ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ IsField R ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)
α : Type u
β : Type v
f g : α → β → β
b : β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : β), f a b = g a b
⊢ List.foldr f b l = List.foldr g b l
τ : ℍ
⊢ jacobiTheta ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = jacobiTheta ↑τ
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpoly R x).natDegree
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S
hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(S ⊔ T)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : Semiring C
inst✝⁶ : Algebra R C
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S C
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S C
f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
ha : f.comp includeLeft = g.comp includeLeft
hb : (AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight = (AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight
⊢ f = g
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y ≠ Ordering.gt → cmp y z = Ordering.lt → cmp x_1 z = Ordering.lt
ι : Type u_1
Fintype ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (A i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i),
    ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (Function.update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂MeasureTheory.Measure.pi μ ≤
  (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂MeasureTheory.Measure.pi μ) ^ p
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t
open_t : IsOpen t
⊢ s ⊆ t
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 π
⊢ 0 ≤ sin x
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
s : Set A
⊢ NonUnitalSubalgebra.map f (NonUnitalAlgebra.adjoin R s) = NonUnitalAlgebra.adjoin R (⇑f '' s)
R : Type u_4
F : Type u_6
k : ℕ+
CommRing R
IsDomain R
FunLike F R R
RingHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
⊢ ∃ m, σ ↑↑ζ = ↑↑ζ ^ m
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0
this : ↑m < ↑(δ n) / ↑n
⊢ ↑n * ↑m ≤ ↑(δ n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
⊢ setToSimpleFunc (weightedSMul (μ + ν)) f = setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f + setToSimpleFunc (weightedSMul ν) f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
h : 1 < ↑p
⊢ 0 ≤ x.valuation
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : PredOrder ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi_min : ¬IsMin i
this : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iic (pred i)
⊢ MeasurableSet (τ ⁻¹' Set.Iic (pred i))
𝕜 : Type u_5
M : Type u_7
LinearOrderedSemifield 𝕜
OrderedAddCommMonoid M
MulActionWithZero 𝕜 M
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
⊢ OrderedSMul 𝕜 M
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
β : Type u_3
p : α
hp : Prime p
s : Finset β
f : β → α
⊢ multiplicity p (∏ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, multiplicity p (f x)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
A : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ ↑(S.withConstants h) = ↑S
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
⊢ ∀ (x : ℕ → β), x ∈ (inducedMap A).fst
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ‖↑p ^ n‖ = ↑p ^ (-↑n)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ Disjoint p (LinearMap.ker f) ↔ ∀ x ∈ p, f x = 0 → x = 0
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Zero M
Zero N
Zero P
g : ZeroHom N P
f : ZeroHom M N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V (ComplexShape.up' b)
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.homologicalComplexToDGO b V).obj X).obj i = X.X i
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
a : G
s : Set α
⊢ a ∈ AddAction.stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a +ᵥ b ∈ s ↔ b ∈ s
α : Type u_1
n : ℕ
CommMonoid α
x y : Mathlib.Vector α n
⊢ x.toList.prod * y.toList.prod = (Mathlib.Vector.zipWith (fun x x_1 => x * x_1) x y).toList.prod
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioc A B)) l fun i => Set.Ioc (a i) (b i)
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this✝ : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
hf_maps_to : MapsTo f s s
c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z
this : c ≤ 0
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
g : ℂ →L[ℂ] ℂ
⊢ (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
DecidableEq β
⊢ (Finset.image f s).card = s.card ↔ Set.InjOn f ↑s
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (4 * n + j) ≡ Pell.xn a1 j [MOD Pell.xn a1 n]
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
s : Set α
⊢ g '' (f '' s) = s
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
⊢ (PEquiv.refl n).toMatrix = 1
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
c : 𝕜
⊢ HasGradientAtFilter (fun x => c) 0 x L
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
a b : X
⊢ 𝓝 a = 𝓝 b ↔ a = b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ r ∣ p.content ↔ C r ∣ p
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ t
⊢ IsPreconnected (s ∪ t)
α : Type u_7
Preorder α
TopologicalSpace α
self : BoundedLENhdsClass α
a : α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝 a)
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
inst✝ : OrderTop P
I : Ideal P
h : ⊤ ∈ I
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ ↑I ↔ x✝ ∈ ↑⊤
R : Type u_4
NonAssocSemiring R
⊢ (RingEquiv.refl R).toRingHom = RingHom.id R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∘ Subtype.val)
ne : S.Nonempty
t : Set α
⊢ ∀ ⦃x y : Set α⦄, x ≥ y → 𝓟 x ≥ 𝓟 y
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s : Set α
⊢ 𝓟 (exterior s) = 𝓝ˢ s
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : c ⊔ a ≤ c ⊔ b
⊢ a \ c ≤ b \ c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (lineDerivWithin 𝕜 f s x v) s x v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
⊢ ∀ (u : E), f u ∈ U → ∀ (v : E), f v ∈ V → ⟪f u, f v⟫_𝕜 = 0
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : ι → S[X]
⊢ (∑ i ∈ s, f i).natDegree ≤ Finset.fold max 0 (natDegree ∘ f) s
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
Nonempty ι
hf : BddAbove (Set.range f)
c : Cardinal.{v}
⊢ c + ⨆ i, f i = ⨆ i, c + f i
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ici a) = n - ↑a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Fork I.fstPiMap I.sndPiMap
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.ofPiFork I c).pt = c.pt
M : Type u_1
S : Set M
MulOneClass M
⊢ 1 ∈ S.centralizer
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J
c : Set (Ideal R)
hc : c ⊆ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}
hc' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
J' : (Ideal R)ᵒᵈ
hJ' : J' ∈ c
⊢ ∀ z ∈ c, z ≤ OrderDual.toDual (sInf c)
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.toMultiset = 0 ↔ s = Cycle.nil
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) x
x y a b : ℕ
h : x * a = y * b + 1
⊢ x.gcd y = 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
x : α
hx : x ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
⊢ Prime x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
TopologicalSpace α
f : α → P
s : Set α
⊢ ContinuousOn (⇑e ∘ f) s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⇨ y = x ↔ x = ⊤ ∧ y = ⊤
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
⊢ ∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 0)) (𝓝 c)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra.IsIntegral K L
⊢ IsTotallyDisconnected Set.univ
xl xr : Type u
xL : xl → SetTheory.PGame
i : xr
xR : xr → SetTheory.PGame
j : (xR i).LeftMoves
⊢ ((xR i).moveLeft j).Subsequent (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
⊢ ⇑(AffineMap.homothetyHom c) = AffineMap.homothety c
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R
⊢ (∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
α : Type u
a : α
⊢ {a} = insert a ∅
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i
⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ Multiset.card (s - t) = Multiset.card s - Multiset.card t
α : Type u
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
⊢ IsGLB s f ↔ ∀ (a : α), IsGLB (Function.eval a '' s) (f a)
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
i : ℕ
w : i < l.length
h : 0 < l.length := ⋯
⊢ l[i] ≤ List.maximum_of_length_pos h
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
⊢ (ProbabilityTheory.cond μ s) t = (μ s)⁻¹ * (ProbabilityTheory.cond μ t) s * μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
Preorder α
f : α → Set β
g : α → Set γ
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => f x ×ˢ g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
x✝ : List α
⊢ List.count a x✝.dedup = if a ∈ x✝ then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ
⊢ ∀ (h₁ : (multiplicity ↑a ↑b).Dom) (h₂ : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity ↑a ↑b).get h₁ = (multiplicity a b).get h₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n k : ℕ
⊢ Xor' (k + k = 2 * k) (k + k = 2 * k + 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
h : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑v j ≤ ↑w j
⊢ v.restrict i ≤ w.restrict i
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
α : Type u_4
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → β
ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
⊢ ProperSpace β
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
⊢ Function.Injective Nat.cast
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β
⊢ l (u a) ⊔ l (u b) = a ⊔ b
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
⊢ Rat.divInt a b = 0 ↔ a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Subsingleton X
f : X → Y
⊢ Embedding f
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ≤ a
hb : 0 < b
h : a / b = 0
⊢ a = a % b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
⊢ w + ((↑g).restrict M) y * z₁ = ((↑g).restrict M) y * z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
c : 𝕜
hc : 0 ≤ c
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ c • (a • f x + b • f y) = a • c • f x + b • c • f y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ (fun x => ↑‖s.indicator (fun x => c) x‖₊ ^ p.toReal) = fun x => s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ Function.Injective AlgHomClass.toAlgHom
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s.attach, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t ≤ s.ndinter t
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
n : ℕ
NoZeroDivisors M₀
Nontrivial M₀
⊢ a ^ n = 0 ↔ a = 0 ∧ n ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (f i) μ
t : ι → Set α
_ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ f i
ht_eq : ∀ (i : ι), f i =ᶠ[ae μ] t i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
htd : Pairwise (Disjoint on t)
⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v / u‖
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Mul β
ContinuousMul β
f g : C(α, β)
x : α
⊢ (f * g) x = f x * g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f
⊢ IsLUB (f '' Set.range ⇑c) (f (ωSup c))
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
self : QuasiIsoAt f i
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))
⊢ (𝟙 X).left = 𝟙 X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
⊢ ⋂ i, Iic (f i) ⊆ Iic (⨅ i, f i)
M : Type u
α : Type v
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction M α
⊢ (FixedPoints.subgroup M α).toSubmonoid = FixedPoints.submonoid M α
step : Nat
s n : Nat
⊢ List.range' s (n + 1) step = List.range' s n step ++ [s + step * n]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
MetricSpace β
n : ℕ
f : ι → α → β
g : α → β
Preorder ι
⊢ Antitone (MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n)
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
DecidableEq K
⊢ primitiveRoots n K ⊆ (Polynomial.map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ (∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W✝ W : Subspace K V
x : Module.Dual K ↥W
⊢ (dualRestrict W ∘ₗ W.dualLift) x = x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ GaloisConnection (Ideal.map f) (Ideal.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ x ≤ u (l.toFun x)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Over.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  (CategoryTheory.Over.map f).comp (CategoryTheory.Over.map g)
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
A : ∀ (x : β), ¬x ∈ ∅
⊢ (¬s.Nonempty) = (s = ∅)
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace ⋯
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x * g x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ Function.Surjective ⇑AddMonoid.Coprod.toSum
m n : Nat
⊢ ↑m + ↑n = ↑(m + n)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ (Monoid.PushoutI.NormalWord.cons g w hmw hgr).prod = (Monoid.PushoutI.of i) g * w.prod
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ ↑x.valMinAbs.natAbs * 2 ≤ ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfRightIso f g).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right =
  CategoryTheory.inv g ≫ f
α : Type u
s : Set α
DivisionRing α
⊢ Subfield.rangeOfWType s = ⊤
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
f : α.Arrow β
⊢ TypeVec.comp f TypeVec.id = f
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ FreeAddGroup.Red (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ FreeAddGroup.Red L₁ L₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I X
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ⊆ supClosure s