ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
⊢ σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
I J : Ideal A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I ⊓ J) = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I ∪ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ t = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G
⊢ ((Finsupp.single (g • y) 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x) = (A.ρ g) ((Finsupp.single y 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
NeZero μ
f : β → γ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable (f ∘ Prod.snd) (μ.prod ν) ↔ MeasureTheory.NullMeasurable f ν
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Set (Submonoid Mᵐᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (Submonoid.op ⁻¹' S)
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T a s • mk 1 1 = mk ((algebraMap R A) a) s
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
⊢ max #↑s ℵ₀ = max (lift.{0, u} #(Fin 6 ⊕ ↑s)) ℵ₀
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
f : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι
x : M i
⊢ (DFinsupp.coprodMap f) (DFinsupp.single i x) = (f i) x
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Subsingleton B
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ S = ∅ ∨ S = {1}
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
Semiring R
(i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
(i : η) → Module R (Ms i)
Fintype η
DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
ji : (j : η) × ιs j
⊢ (Pi.basis s) ji = (LinearMap.stdBasis R Ms ji.fst) ((s ji.fst) ji.snd)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
IsNoetherianRing A
f : A →ₐ[R] B
⊢ f.FiniteType ↔ f.FinitePresentation
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ IsCompl ⊥ ⊤
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ 0 < 60
A : Type u_1
B : Type u_2
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra A B
a : A
⊢ (MvPolynomial.ACounit A B) (MvPolynomial.C a) = (algebraMap A B) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
self : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ IsCompl (LinearMap.ker self.leftDeriv) (LinearMap.ker self.rightDeriv)
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ S → ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ S → s ∩ t ∈ S
⊢ FiniteInter (insert Set.univ S)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
⊢ map (fun k i => m i (k i)) (Filter.coprodᵢ f) ≤ Filter.coprodᵢ fun i => map (m i) (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => -hf.approx n) n)) < ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.comp X = p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ s ∈ 𝓝[insert y s] x
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
h : a ≠ 0
⊢ a • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Ring T
Algebra R S
Algebra S T
Algebra R T
IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k k' : n
h : k ≠ k'
⊢ (Algebra.leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k') = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b
V₂ : Set β
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b
V₂_op : IsOpen V₂
hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'
x : β
x_in₁ : x ∈ V₁
x_in₂ : x ∈ V₂
⊢ φ x ∈ V'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
E : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike E α β
inst✝ : OrderIsoClass E α β
e : E
⊢ (⇑e '' univ).OrdConnected
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
g : X →ₗ[R] Q
this : CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom f)
⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hP : {x | P x}.Infinite
n : ℕ
⊢ P n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.4808, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.4812, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.4816, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.4820, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ m + n + a = a''
M : Type u_1
AddCommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p.swap = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
⊢ Rel (fun a b => Rel p (f a) (g b)) s t
α : Type u_1
s : True → Set α
⊢ Set.iUnion s = s trivial
α : Type u_1
CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f = partialSups g
⊢ ⨆ n, f n = ⨆ n, g n
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
h : a + c < b
⊢ a < b - c
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
⊢ IsLocalization (nonZeroDivisors R) S ↔ IsLocalization (nonZeroDivisors P) S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p μ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Ioi a) = Finset.Ioc (↑a) (n - 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
i : ι'
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ HEq (s i) (s (e (e.symm i)))
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.basis I.1 * B.basis I.2)) i)
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
h : WellFounded r
a b : α
⊢ r a b → ¬r b a
α : Type u_5
E : Type u_6
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hfp : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (↑(MeasureTheory.AEEqFun.mk f ⋯)) p μ < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : Measurable f
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ
p : ℤ
n : ℕ
⊢ (ComplexShape.embeddingUpIntGE p).f n = p + ↑n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : q.Finite
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
⊢ span R (p * q) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))
k m n : ℕ+
⊢ (↑k).Coprime ↑m → (↑k).Coprime ↑n → (↑k).Coprime (↑m * ↑n)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α →ₘ[μ] E
hf : MeasureTheory.eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
⊢ ↑↑⟨f, hf⟩ = ↑f
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).IsRoot μ
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : n < 0
⊢ inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
θ : Real.Angle
⊢ Real.cos θ.toReal = θ.cos
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x - const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Nonempty α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
x : α
⊢ x ∈ (uniformOfFintype α).support ↔ x ∈ ⊤
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1
⊢ ‖Complex.exp (x + z) - Complex.exp x - z • Complex.exp x‖ ≤ ‖Complex.exp x‖ * ‖z‖ ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : NonUnitalSemiring α
h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i
x : ι
hx : x ∈ s.val
hy : f x ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
⊢ a ∣ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
OpensMeasurableSpace β
SecondCountableTopology β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
⊢ (whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
x : α
hf : f x ≤ f a
hgf : g x ≤ f x
⊢ g x ≤ g a
G : Type u_1
α : Type u_2
One G
SMul G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hKL : K ≤ L
hHK : H.relindex K = 0
⊢ H.relindex L = 0
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x
⊢ 0 < star x * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑s.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).1.card
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
⊢ p ≤ p ^ k
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
φ₁ φ₂ : ↥p →ₗ[R] F
ψ₁ ψ₂ : ↥q →ₗ[R] F
⊢ LinearMap.ofIsCompl h (φ₁ + φ₂) (ψ₁ + ψ₂) = LinearMap.ofIsCompl h φ₁ ψ₁ + LinearMap.ofIsCompl h φ₂ ψ₂
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)
⊢ ‖a‖ * ‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖ = ‖a‖ * (‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
⊢ (F.map₂Iso η).hom = F.map₂ η.hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc' i j k).pOpcycles ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv = K.pOpcycles j
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (if n + k - k = n then ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k) else 0) = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
p : α → Prop
DecidablePred p
v v' : α →₀ M
⊢ Finsupp.filter p (v + v') = Finsupp.filter p v + Finsupp.filter p v'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
X : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.homologyFunctorIso C c i).inv.app X = 𝟙 (X.homology i)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k : α → β
f : α → β
NormedLinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
⊢ False
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ ∃ B, M.Base B ∧ I = B ∩ X
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X).leadingCoeff = a
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
⊢ (x < y i ∧ (∀ (b : ι), I.lower b < y b) ∧ ∀ (x : ι), y x ≤ I.upper x) ↔ ((∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ ∀ (x : ι), y x ≤ I.upper x) ∧ x < y i
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y
⊢ dist x y = (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff x y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
ha : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ • b ∈ s ↔ b ∈ a • s
a : Ordinal.{u}
n : ℕ
⊢ ↑n ♯ a = a + ↑n
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a' : F.A
i : F.B a'
hh : IsPath (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
⊢ iselect (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
⊢ c ⊔ d = conGen fun x y => c x y ∨ d x y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ
⊢ ker (evalᵢ σ K) = ⊥
a b : SimplexCategory
f : Fin (a.len + 1) →o Fin (b.len + 1)
i : Fin (a.len + 1)
⊢ (SimplexCategory.Hom.mk f).toOrderHom i = f i
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p ≠ 0
⊢ p.order = 0 ↔ p 0 ≠ 0
V : Type u
Quiver V
⊢ CategoryTheory.freeGroupoidFunctor (𝟭q V) = CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.FreeGroupoid V)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
G : Type u_7
AddGroup G
L : List G
⊢ -L.sum = (List.map (fun x => -x) L).reverse.sum
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.X.comp p = p
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
⊢ ↑h.unit⁻¹ • p.leadingCoeff = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ IsDomain Aₘ
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ⇔ a = b
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ⊤ * ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ False
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ UniformContinuousOn f s ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y < δ → dist (f x) (f y) < ε
⊢ (abscissaOfAbsConv fun n => ↑(μ n)) = 1