ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
this : (minpolyDiv R x * (X - C x)).leadingCoeff = (map (algebraMap R S) (minpoly R x)).leadingCoeff
⊢ (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0
G : Type u_2
Group G
S : Set G
⊢ (Subgroup.closure S).toSubmonoid = Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ IsConnected (Set.Iic a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : T2Space M✝
v✝ : VectorMeasure α M✝
f : ℕ → Set α
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B
⊢ ↑v (B \ A) = ↑v B - ↑v A
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e => L e (n e) (n e)
this✝ : CauchySeq L0
f' : E →L[𝕜] F
f'K : fderiv 𝕜 f x ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
this : HasFDerivAt f f' x
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι
⊢ (update f i f₂ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₂ (x i)) j
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • x = 0 ↔ x = 0
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : tsze R' M
⊢ ((map f) x).snd = f x.snd
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
⊢ eval x ↑n = ↑n
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
a b : G
⊢ -a = -b ↔ a = b
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
hl₁ : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
hl₂ : l ≠ []
⊢ (List.pmap f l hl₁).getLast ⋯ = f (l.getLast hl₂) ⋯
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
p : Submodule R M₂
h : ∀ (v : (i : ι) → M₁ i), f v ∈ p
v : (i : ι) → M₁ i
⊢ ↑((f.codRestrict p h) v) = f v
M : Type u
AddMonoid M
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ ρ_ X = CategoryTheory.Discrete.eqToIso ⋯
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule
⊢ ↑L₁' = ↑L₂'
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
h : ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
I : Ideal R
hI_ne_top : I ≠ ⊤
⊢ CharP (R ⧸ I) 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : E → A
z : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
n : ℕ
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x ^ n) z
M : Type u_1
AddMonoid M
Unique (AddUnits M)
x : M
⊢ IsAddUnit x ↔ x = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[singleton '' s] E
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun f => eVariationOn f s) f
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
g : α → M
hc : c ≠ 0
x : α
⊢ x ∈ support (c • g) ↔ x ∈ support g
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
β : Type u_2
F : Type u_3
Zero β
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
FunLike F α β
ZeroHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ SignType.sign (f a) = SignType.sign a
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.cyclotomic p R * (Polynomial.X - 1) = Polynomial.X ^ p - 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬x = y
⊢ rootMultiplicity x (X - C y) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α ↪ β
⊢ (M.mapEmbedding f).Base (⇑f '' B)
a : ℝ≥0∞
⊢ (⊤ * a).toReal = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ s₁ ≤ s₂ → s₁ ×ˢ t ≤ s₂ ×ˢ t
G : Type u_1
Group G
IsSimpleGroup G
n : ℕ
⊢ derivedSeries G n.succ = commutator G
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ι
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ adjoin F ↑T
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b = NatOrdinal.toOrdinal (Ordinal.toNatOrdinal a + Ordinal.toNatOrdinal b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso α
f : Z ⟶ Y
g : Z ⟶ X
⊢ g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.inv α) ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g α = f
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : n > 0
⊢ ‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
⊢ Free R M
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁵
hD : generateFrom D = inst✝³
h2C : IsCountablySpanning C
h2D : IsCountablySpanning D
⊢ generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) = Prod.instMeasurableSpace
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ ↑1 = 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
f g h : Over P
R : C
p : R ⟶ f.left
q : R ⟶ g.left
ep : Epi p
Eq : Epi q
comm : p ≫ f.hom = q ≫ g.hom
R' : C
p' : R' ⟶ g.left
q' : R' ⟶ h.left
ep' : Epi p'
eq' : Epi q'
comm' : p' ≫ g.hom = q' ≫ h.hom
⊢ PseudoEqual P f h
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ P n
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : 𝒰.J
⊢ (𝒰.pullbackCover' f).obj x = CategoryTheory.Limits.pullback (𝒰.map x) f
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Function.Injective fun x => Stream'.cons x s
X : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
⊢ ∀ (X_1 : Type uᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj (X.val.obj (Opposite.op PUnit.{u + 1}))).obj X_1),
  (CategoryTheory.typeEquiv.counitIso.hom.app X).val.app X_1 a =
    (CategoryTheory.evalEquiv X.val ⋯ (Opposite.unop X_1)).symm a
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
this : a • s ∈ 𝓝 (a • b)
⊢ {a} * s ∈ 𝓝 (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
op' : γ → γ → γ
Std.Commutative op'
Std.Associative op'
m : β → γ
hm : ∀ (x y : β), m (op x y) = op' (m x) (m y)
⊢ Finset.fold op' (m b) (fun x => m (f x)) s = m (Finset.fold op b f s)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
u_mono : Monotone u
I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a
C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)
I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C
I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)
I4 : ∑' (i : ℕ), ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} < ⊤
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
⊢ IsPreconnected (f '' s) ↔ IsPreconnected s
a : Nat
⊢ (a ≤ 0) = (a = 0)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : ¬l.length = 0
⊢ l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l
α : Type u
Countable α
Nonempty α
⊢ #(List α) = ℵ₀
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x y : G
x✝³ : InClosure s x
x✝² : InClosure s y
x✝¹ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = y
L1 : List G
HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L1.prod = x
L2 : List G
HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL4 : L2.prod = y
⊢ (L1 ++ L2).prod = x * y
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
⊢ (b + 2) ^ (l.dropLast ++ [l.getLast hl]).length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) (l.dropLast ++ [l.getLast hl])
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : C
f : s.pt ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.extend s f).hom = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W₁.HasFactorization W₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Nonempty (W₁.MapFactorizationData W₂ f)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ'
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
Λ' : Type u_4
Inhabited Λ'
f₁ : Turing.PointedMap Γ Γ'
g₁ : Turing.PointedMap Λ Λ'
l : List Γ
⊢ Turing.TM0.Cfg.map f₁ g₁.f (Turing.TM0.init l) = Turing.TM0.init (List.map f₁.f l)
α : Type u_2
β : Type u_1
p : β → Bool
f : α → β
l : List α
⊢ List.countP p (List.map f l) = List.countP (p ∘ f) l
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ico (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Icc f g
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (G.obj (F.obj A.A)) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔ G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
S : StarSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
x : A
⊢ ↑((f.codRestrict S hf) x) = f x
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F
⊢ ∀ (x : F (Fix F)), (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ Dense s ↔ closure s = Set.univ
α : Type u
l₁ l₂ : List α
x : α
h : x ∈ l₂.getLast?
⊢ x ∈ (l₁ ++ l₂).getLast?
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 3
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0
⊢ (r • μ).toSignedMeasure = r • μ.toSignedMeasure
m n✝ n : ℕ
⊢ (bif n.succ.bodd then 1 else 0) + 2 * n.succ.div2 = n.succ
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ Nat.card (ConjClasses (G ⧸ H)) ≤ Nat.card (ConjClasses G)
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
s : Set α
⊢ ⊤ ∈ upperBounds s
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
v : Module.Ray R M
⊢ (Module.Ray.map f) (-v) = -(Module.Ray.map f) v
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
x : M × ↥S
hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1
y : M × ↥S
hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1
⊢ ↑y.2 * x.1 = ↑x.2 * y.1
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (↑a) b = qrSign b a * jacobiSym (↑b) a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) = fun x => (Ioi (a * c)).indicator f (a * x)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ IsIntegralClosure ↥(Algebra.adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : Algebra.adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly A x)) ∈ differentIdeal A B
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ IsCompact (↑(extChartAt I c).symm '' (Metric.closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I))
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
i : η
⊢ (basisFun R η) i = (stdBasis R (fun x => R) i) 1
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ x, t ↑x ⋯) < c
a : α
ha : a ∈ s
this : ∀ (i : ↑s), #↑(t ↑i ⋯) < c
⊢ #↑(t a ha) < c
α : Type u_1
Div α
Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α) x / (equivShrink α) y
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a ≡ b - c [PMOD p] ↔ c + a ≡ b [PMOD p]
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
f : Equiv.Perm (Subtype p)
ha : p a
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype f) a = ↑(f ⟨a, ha⟩)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Iio (Order.succ a) = insert a (Set.Iio a)
κ✝ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M
κ : Type uM
b : Basis κ R M
⊢ Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)
u v : ℤ
⊢ u * v = 1 ↔ u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (x.divMonomial s).support = x.support.preimage (fun x => s + x) ⋯
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
n : ℕ
⊢ ((n + 1) • m).prod = m.prod ^ (n + 1)
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p
hq : ¬q = 0
⊢ p = p / q * q
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ selfZPow x B n = (algebraMap R B) x ^ n.natAbs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s ⊆ f '' univ
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ n ^ k
⊢ p ∣ n.natAbs
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
a : α
⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂
x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₁)
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₁)) x
n : Nat
i j : BitVec n
⊢ i.toNat = j.toNat → i = j
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ atBot
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ ⌊a⌋₊ < ⌊a⌋₊ / n * n + n
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ Function.Bijective AlgEquiv.symm
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
m : ↥N
⊢ N.incl m = ↑m
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅J, N'⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
⊢ (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ (ρ.IicSnd ↑r') s
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddZeroClass M
f : G →+ M
x y : G
⊢ f x = f y ↔ -y + x ∈ f.ker
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝¹ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n✝ : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n✝ ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)
hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ x_1 : Finset (Fin n), ((p.changeOriginSeriesTerm (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).fst (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.fst ↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.snd ⋯) fun x_2 => x) fun x => y)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
β' : Type u_1
UniformSpace β'
F' : ι → α → β'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p s
⊢ UniformCauchySeqOn (fun i a => (F i a, F' i a)) p s
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
z : R[X]
⊢ (h.aequiv h') (h.map z) = h'.map z
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (CliffordAlgebraQuaternion.quaternionBasis c₁ c₂).i = (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (1, 0)