ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
i j : ℕ
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) i) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) j) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ 𝓝 [] = pure []
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ q = p
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hf : IsUnit f
⊢ X.basicOpen f = U
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
snd_i : β a
⊢ ∃ x, HEq x snd_i
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
f : α → β
⊢ f '' 0 = {f 0}
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}
x : X
⊢ x ∈ f ⁻¹' range g ↔ x ∈ Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ ⊤.FG ↔ N.FG
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
⊢ ∀ (x : 𝕜), ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) x‖ ≤ q * ‖x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t i j) (D.t j i) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (D.V (i, j))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
hs : s ∈ K.faces
ht : t ∈ K.faces
⊢ (convexHull 𝕜) ↑s ⊆ (convexHull 𝕜) ↑t ↔ s ⊆ t
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
s : Finmap β
⊢ Finmap.erase a (Finmap.erase a' s) = Finmap.erase a' (Finmap.erase a s)
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
MulOneClass M
MulOneClass N
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
a b : M
h : a * b = 1
⊢ f a * f b = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.X ◁ A.comul).op ≫ A.comul.op = (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.comul ≫ A.X ◁ A.comul).op
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s \ frontier s = interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n))
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x - y ∈ S
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
a : Cardinal.{u}
hac : a ≤ c
⊢ CardinalInterFilter l a
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
(i : ι) → Module R (Nᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P
e : ∀ (i : ι), (Q i).Equivalent (Q' i)
⊢ (QuadraticMap.pi Q).Equivalent (QuadraticMap.pi Q')
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ a ∈ l₁.keys → List.kerase a (l₁ ++ l₂) = List.kerase a l₁ ++ l₂
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ lift.{max u w, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ #(L.Term ↑s)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
h : ∀ (j : n), b j = A j i
⊢ b = Aᵀ i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q i})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
⊢ (Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
q : ℕ
hq' : q ∈ n.primeFactorsList
⊢ List.count q n.primeFactorsList ≤ List.count q (List.replicate (n.factorization p) p)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
m : OuterMeasure α
⊢ ((restrict s) m) t = m (t ∩ s)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : μ s < μ t
⊢ ∃ x ∈ t, ∃ y ∈ t, ∃ g, g ≠ 1 ∧ g • x = y
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this : (interior ↑U).Nonempty
s : Finset G
hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U
⊢ 0 < μ.innerContent U
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
⊢ map p.subtype ⊤ ≤ p' ↔ p ≤ p'
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
e : J ≌ K
⊢ CategoryTheory.IsConnected J ↔ CategoryTheory.IsConnected K
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖 = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (UniformOnFun.uniformSpace α β 𝔖)
x : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α
PosSMulReflectLE α β
⊢ PosSMulStrictMono α β
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ f '' ⋂₀ S ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
R : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid Z
Module R Z
e : X ≃ₜ Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant Y Z) (a_1 : X), ((LocallyConstant.congrLeftₗ R e).symm a) a_1 = a (e a_1)
a b : Int
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 0 < a * b
u v : Prop
duv : Decidable (u → v)
du : Decidable u
dv : u → Decidable v
⊢ decide (u → v) = if h : u then decide v else true
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ Complex.re ⁻¹' {0, 1}
⊢ ‖Complex.HadamardThreeLines.F f ε z‖ ≤ 1
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
⊢ M.trace = (e M).trace
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
⊢ S l R = diagonal (Sum.elim (fun x => 1) fun i => -1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β →o γ
f : α →o β
⊢ Topology.WithLowerSet.map (g.comp f) = (Topology.WithLowerSet.map g).comp (Topology.WithLowerSet.map f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g + h) = f ≫ g + f ≫ h
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x x✝³ : G
x✝² : k
x✝¹ : G
x✝ : k
⊢ (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) x = if x✝³ * x✝¹ = x then x✝² * x✝ else 0
k n : ℕ
⊢ n ∈ k.primesBelow ↔ n < k ∧ Nat.Prime n
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target
hyV : ↑e.symm y ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).target
⊢ ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y)) = ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y)))
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → β → β → Prop
⊢ (∀ (y₁ y₂ y₃ : β), p y₁ y₂ y₃) ↔ ∀ (x₁ x₂ x₃ : α), p (f x₁) (f x₂) (f x₃)
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ c.toProd.1 ⊆ d.toProd.1 ↔ c ≤ d
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Monotone (AddSubmonoid.map f)
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A : Set β
x : β
⊢ x ∈ a⁻¹ • A ↔ a • x ∈ A
α : Type u_1
m n : ℕ
P : Matrix (Fin m) (Fin n) α → Prop
⊢ Matrix.Forall P ↔ ∀ (x : Matrix (Fin m) (Fin n) α), P x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) (HurwitzZeta.expZeta (↑a) s)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁ : orderOf x = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
this : p₁ ^ n₁ = p₂ ^ n₂
⊢ x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α × β → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
x : α
hx : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, f (x, y) = AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P Q : Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ ((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).map f ≫ (fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }) Q = (fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }) P ≫ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).map f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
Field F
Field K₁
Algebra F K₁
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra K₁ E
IsScalarTower F K₁ E
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₁
Normal F K₁
Normal F E
⊢ (χ.liftNormal E).restrictNormal K₁ = χ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ContractibleSpace X ↔ ContractibleSpace Y
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ ((∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) + ∫ (a : Ω), (Y ^ 2) a) + 2 * ((∫ (a : Ω), X a) * ∫ (a : Ω), Y a) - ((∫ (a : Ω), X a) + ∫ (a : Ω), Y a) ^ 2 = variance X ℙ + variance Y ℙ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
AddCommMonoid β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (∑ j ∈ s, f j) (f i) κ μ
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (l.erase a).length = l.length.pred
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y
R : Type u_17
S : Type u_18
Semiring R
Semiring S
g : R ≃+* S
a : S
⊢ (Module.compHom.toLinearEquiv g).symm a = g.symm a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
h_add : map f μ = map f (μ.singularPart ν) + (map f ν).withDensity ((map f μ).rnDeriv (map f ν))
⊢ (map f μ).singularPart (map f ν) = map f (μ.singularPart ν)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed (coborder s ↓∩ s)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
⊢ map p (p.map φ) φ ⋯ φ = 𝟙 a✝
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
hp : p ∈ Polynomial.annIdeal 𝕜 a
hpn0 : p ≠ 0
⊢ (Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a).degree ≤ p.degree
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i => (V i) (↑f i)
m n : ℕ
⊢ (m + n).bodd = bxor m.bodd n.bodd
x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n => -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x => 2 * x) = fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ ∀ x ∉ Set.range fun x => 2 * x, term x = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
⊢ iSup p ≤ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
h : x ∈ l.closed
⊢ u (l.toFun x) = x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
p q : R[X]
hp : (p • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, p.coeff x.1 • g x.2
hq : (q • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, q.coeff x.1 • g x.2
⊢ ((p + q) • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, (p + q).coeff x.1 • g x.2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
p : 𝕜[X]
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x p) (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p)) x
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
f : β →Co γ
g : α →Co β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
x : β
g : α
g' : α ⧸ MulAction.stabilizer α x
⊢ MulAction.ofQuotientStabilizer α x (g • g') = g • MulAction.ofQuotientStabilizer α x g'
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u
⊢ u.finish.v = u.v
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
x✝ : (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E
hIX : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X
h' : ∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y
h'' : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E
⊢ ∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ (f.fpowerSeriesBilinear x).radius = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ (F.mapBinaryBicone b).pt = F.obj b.pt
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
u : (P₁ →ᵃ[k] P₁)ˣ
a : P₁
⊢ (AffineEquiv.equivUnitsAffineMap.symm u).invFun a = ↑u⁻¹ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫
      (CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul)) ≫
    (α_ M.X N.X P.X).hom =
  ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫
    CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫
      (M.mul ⊗ CategoryTheory.tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
⊢ ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < L.length) (h₂ : n < L'.length), L[n] = L'[n]
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖₊ = s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) a
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n p : ℕ
hp : Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
⊢ ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
p : ℝ
h : 1 ≤ p
⊢ (deriv fun x => x ^ p) = fun x => p * x ^ (p - 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
⊢ ContinuousOn f s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
⊢ ‖z1 * z2‖ = ‖z1‖ * ‖z2‖
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t u : Set α
⊢ s ⊻ t ⊻ u = s ⊻ (t ⊻ u)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
⊢ (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i