ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulReflectLT α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
smul : α → β → True
h : a • f b₁ < a • f b₂
⊢ f b₁ < f b₂
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : eval ζ (X ^ n - 1) = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)
⊢ ζ ^ n = 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ PolishSpace ↑s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ (i : ι), ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
hL : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] AlgebraicClosure L) = finrank F E
α : Type u_3
TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior {a} ⊆ t ↔ t ∈ 𝓝 a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g - h) = f ≫ g - f ≫ h
α : Type u
β : Type v
Top α
Top β
⊢ ⊤.1 = ⊤
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (SimplexCategory.δ j.succ) ≫ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
⊢ ¬Isδ₀ (SimplexCategory.δ j.succ)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ midpoint R y ((Equiv.pointReflection x) y) = x
n : Nat
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
⊢ (∀ (p : P1) (a : ι), (fv a) p = 0 p a) ↔ ∀ (i : ι) (p : P1), (fv i) p = 0 p
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
⊢ ∀ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ✝ ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
x : E
i j : ι
x✝ : i ≤ j
⊢ μ[(fun x_1 x_2 => x) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (fun x_1 x_2 => x) i
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
hn : 1 < n.pred
⊢ n < n !
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
⊢ Set.Ico a c ⊆ Set.Ico a b ∪ Set.Ico b c
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
x : α
U : Set α
hμU : μ U < ⊤
hUf : U ⊆ {x_1 | (fun a => f a ≤ f x + 1) x_1}
hUx : U ∈ nhds x
hUo : IsOpen U
⊢ (μ.withDensity fun x => ↑(f x)).FiniteAtFilter (nhds x)
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : i ≠ f.natDegree
⊢ f.integralNormalization.coeff i = f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s✝ s : ι → Set Ω
μ : Measure Ω
⊢ iIndepSet s μ ↔ ∀ (s' : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s', MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s', f i) = ∏ i ∈ s', μ (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddGroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂
x : α
⊢ f (x + (c₁ - c₂)) = f x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
y : α
⊢ y ∈ cthickening δ {x} ↔ y ∈ closedBall x δ
n m m' : Nat
i : Fin n
h : n + m' = n + m
⊢ Fin.cast h (i.addNat m') = i.addNat m
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ List.Duplicate x (x :: l) ↔ x ∈ l
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ ≃ₗ[R] M₂
g : Module.Dual R M₂
x : M₁
⊢ (f.dualMap g) x = g (f x)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ
⊢ edist x y < ENNReal.ofReal r ↔ dist x y < r
n m : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → Mathlib.Vector ℕ m
hf : Nat.Primrec'.Vec f
⊢ Nat.Partrec'.Vec f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ map (Int.castRingHom R) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom R) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
P : ι → α → Prop
⊢ ⋃ i, {x | P i x} = {x | ∃ i, P i x}
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
m : Type u_9
n : Type u_10
Zero α
Zero β
Zero γ
DecidableEq m
DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
a : m → α
b : n → β
⊢ Matrix.kroneckerMap f (Matrix.diagonal a) (Matrix.diagonal b) = Matrix.diagonal fun mn => f (a mn.1) (b mn.2)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Sub α
M N : Matrix m n α
⊢ (M - N)ᵀ = Mᵀ - Nᵀ
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
⊢ (fun x => a • x)^[Nat.zero] b = a ^ Nat.zero • b
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop,
  f ^ n • HomogeneousLocalization.val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i n)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ supDegree D (single a r) = D a
m n : ℕ
h : n = m
⊢ (Fin.castOrderIso h).symm = Fin.castOrderIso ⋯
α : Type u
⊢ Computation.empty α = (Computation.empty α).think
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I✝ J : Box ι
i : ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
g : M →+ N
I : Box ι
hI : ↑I ≤ I₀
π : Prepartition I
hπ : π.IsPartition
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (⇑g ∘ ⇑f) Ji = (⇑g ∘ ⇑f) I
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen 1).leTop.op ≫ (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.map (eqToHom ⋯).op) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
x : G
⊢ (IsometryEquiv.addLeft x).symm = IsometryEquiv.addLeft (-x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesEffectiveEpis
F.ReflectsEffectiveEpis
F.Full
F.Faithful
F.EffectivelyEnough
CategoryTheory.Preregular D
⊢ CategoryTheory.regularTopology C = F.inducedTopology (CategoryTheory.regularTopology D)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
g : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
i : ι
⊢ ((dNext i) fun i j => f.f i ≫ g i j) = f.f i ≫ (dNext i) g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ HasCountableSeparatingOn (↑s) MeasurableSet univ ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s
a b : Prop
ha : a
⊢ (b ↔ a) ↔ b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ (p.linearProjOfIsCompl q h) x = 0 ↔ x ∈ q
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(v.map id) i = ↑v i
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
⊢ p.Nil ↔ p.support = [v]
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z✝ : R
a b c : ℍ[R]
z : ℤ
⊢ normSq ↑z = ↑z ^ 2
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomSurjective σ₁₂
RingHomSurjective σ₂₃
⊢ RingHomSurjective σ₁₃
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G →* H
s : Set G
⊢ Subgroup.map f (MulAction.stabilizer G s) ≤ MulAction.stabilizer H (⇑f '' s)
q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ NNRat.num ⟨q, hq⟩ = q.num.natAbs
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f g : α → β
DivisionCommMonoid β
⊢ ∏ x ∈ s, f x / g x = (∏ x ∈ s, f x) / ∏ x ∈ s, g x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
s : Set E
x₀ x : E
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : Summable fun x => f x x₀
hx : x ∈ s
⊢ Summable fun n => f n x
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
U : ℕ → Set α
hAU : ∀ (n : ℕ), U n ⊇ A n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : ∀ (n : ℕ), μ (U n) < μ (A n) + δ n
⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCircuit
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsCircuit
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
⊢ gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * normalize a
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2 + ε / 2
⊢ ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v U : Set α
⊢ ConnectedComponents.mk ⁻¹' (ConnectedComponents.mk '' U) = ⋃ x ∈ U, connectedComponent x
R : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → R
hI : (↑s).Pairwise (IsCoprime on I)
x : R
⊢ (x ∈ s.inf fun i => span {I i}) ↔ x ∈ span {∏ i ∈ s, I i}
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ (x * y).num ∣ x.num * y.num
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ op x • ↑s = op y • ↑s ↔ y * x⁻¹ ∈ s
R : Type u_1
n : ℤ
⊢ Squarefree n.natAbs ↔ Squarefree n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ J.Covers S f ↔ CategoryTheory.Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
α : Type u
l : List α
BEq α
⊢ List.nil.isPrefixOf l = true
α : Sort u
β : Sort v
ra : Setoid α
rb : Setoid β
e : α ≃ β
eq : ∀ (a₁ a₂ : α), Setoid.r a₁ a₂ ↔ Setoid.r (e a₁) (e a₂)
a : α
⊢ (Quotient.congr e eq) ⟦a⟧ = ⟦e a⟧
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
aA : a0 ∈ A
bB : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔ ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = a0 * b0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
h : CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, f k
b : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
key : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (∑ k ∈ Finset.range n, f k) (∑ k ∈ Finset.range m, f k) ≤ b N
right✝ : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ ≤ b 0
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ x ∈ do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)
P : TopCat → Prop
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproducts P
hP' : ∀ ⦃X Y B : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ B) (g : Y ⟶ B), OpenEmbedding ⇑f → CompHausLike.HasExplicitPullback f g
⊢ CompHausLike.HasExplicitPullbacksOfInclusions P
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
x : N
y : M
⊢ e.symm x = y ↔ x = e y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0
⊢ CategoryTheory.IsIso f
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ frontier (closedBall x r) = sphere x r
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
⊢ Filter.map (fun p => (integralSum f vol p.1, integralSum f vol p.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 ({π | π.iUnion = π₀.iUnion} ×ˢ {π | π.iUnion = π₀.iUnion})) ≤ 𝓤 F
α : Type u_1
p : α × α
⊢ Sym2.mk p.swap = Sym2.mk p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
i : ℕ
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.η.inv.app X).f i =
  ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).unitIso.hom.app X).f i ≫
    ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).inverse.map
          (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.inv.app X)).f
      i
z : ℍ
⊢ (ModularGroup.T⁻¹ • z).im = z.im
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
⊢ ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) = s
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
LE α
LE β
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
φ : α ≃o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ '' s)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
hn : 1 < n.natAbs
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 < (W.ΨSq n).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ ∅, s x = ∅
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f) x
M : Type u_3
AddMonoid M
NoZeroSMulDivisors ℕ M
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree M
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = { cauchy := ⟦a⟧ } ⊔ { cauchy := ⟦b⟧ }
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
⊢ ∀ (i : ℕ), cantorFunctionAux c f i ≤ cantorFunctionAux c g i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
f : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
⊢ f.pi.card = f.prod fun i => ↑(f i).card
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ {s | IsPreconnected s} ⊆
  Set.range (Function.uncurry Set.Icc) ∪ Set.range (Function.uncurry Set.Ico) ∪ Set.range (Function.uncurry Set.Ioc) ∪
      Set.range (Function.uncurry Set.Ioo) ∪
    (Set.range Set.Ici ∪ Set.range Set.Ioi ∪ Set.range Set.Iic ∪ Set.range Set.Iio ∪ {Set.univ, ∅})
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop
⊢ (∀ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∀ t ⊆ s, p (f '' t)
α β φ : Sort u
a : α
b : β
c : φ
h₁ : HEq a b
h₂ : HEq b c
⊢ HEq a c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂ = γ.φK
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
⊢ IsClosed (zeroLocus 𝒜 s)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ b.flag (Fin.last n) = ⊤
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
Nontrivial E
U : ↥(unitary E)
⊢ ‖↑U‖ = 1
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.14175, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
⊢ b₁ + b₂ = b₃
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsSigmaCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsSigmaCompact s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ n ≠ 0
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m + 0
hg : ((expand F (q ^ 0)) g').Separable
⊢ ((expand F (q ^ 0)) g').natDegree = g'.natDegree
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
⊢ bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology D) A
X : Cᵒᵖ
⊢ ((e.sheafCongrPreregular A).inverse.obj F).val.obj X = F.val.obj (Opposite.op (e.functor.obj (Opposite.unop X)))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
inst✝ : CharZero R
x✝² x✝¹ : ℕ
x✝ : ↑x✝² = ↑x✝¹
⊢ f ↑x✝² = f ↑x✝¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfIsSplitMono f).pt = X
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
x y : α
h : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (x, y) ∈ V
⊢ x = y
α : Type u
R : α → α → Prop
a b c : α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Chain R a (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ List.Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ List.Chain R c l₂
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 + (-c) ^ 3 = 0
h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c
⊢ False
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l[i]? ≠ l[j]?
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ
⊢ cs.IsReduced (take j ω) ∧ cs.IsReduced (drop j ω)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option α} {a : α}, o = some a ↔ ∃ h, o.get h = a
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : n ≤ m
k : ℕ
hk : n + k = m
⊢ a ^ n * a ^ k = a ^ m
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S
⊢ g a = (lift i x hx h) a
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α}, 1 = RingHom.id α