ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
⊢ IsLocalization.lift ⋯ = algebraMap Rₘ Sₘ
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ x ∈ D f K
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.651, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
j : ℕ
hj : j + 1 = 0
⊢ j.succ ≤ 0
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : ℝ → E
w : ℝ
⊢ 𝓕 f w = ∫ (v : ℝ), Complex.exp (↑(-2 * π * v * w) * Complex.I) • f v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
s : LowerSet α
t : LowerSet β
⊢ x ∈ s ×ˢ t ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t
a : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} a = 1 ↔ a = 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
p : Monoid.CoprodI.Word.Pair M i
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.rcons p).prod = Monoid.CoprodI.of p.head * p.tail.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
f : α → β
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y) → s.Nodup → (Multiset.map f s).Nodup
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α β γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
F2 : Functor F
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq1 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝¹ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝¹ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq2 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
⊢ mk = mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : RightInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) t
a : α
ha : a ∈ t
⊢ (g₂.extendDomain f) ((g₁.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a
r : ℝ≥0
⊢ ↑r < ⊤
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
Algebra k K
Algebra k F
Algebra K F
IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
h₂ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces K F
⊢ IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
α : Type u_2
Add α
s : Set α
b : α
⊢ s + {b} = (fun x => x + b) '' s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
a : ℤˣ
e : X ≅ Y
⊢ (a • e).inv = a⁻¹ • e.inv
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
⊢ Metric.cthickening δ ∅ = ∅
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformly (fun i x => F i ↑x) (f ∘ Subtype.val) p
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
hf : f.NeBot
hs : s ∈ f
ht : t ∈ f
⊢ ¬Disjoint s t
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Monotone Set.Iio
α : Type u_1
a : α
s : Set α
⊢ (insert a s).ncard ≤ s.ncard + 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : Filter.limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ finrank F ↥⊤ = finrank F ↥⊤
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
x : ↥(unitary R)
⊢ ↑(unitary.toUnits x)⁻¹ = ↑x⁻¹
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : ∀ (x : α), g x ≤ C
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E E' : IntermediateField K L
h : F ≤ E
h' : F ≤ E'
⊢ IntermediateField.extendScalars h ≤ IntermediateField.extendScalars h' ↔ E ≤ E'
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (↑↑k * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
x : X
⊢ IsOpen (⋂ i, ⋂ (_ : x ∉ f i), (f i)ᶜ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ Aᵀ.IsHermitian
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
h : a ≠ 0
⊢ map (a • f) p ≤ map f p
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
this : CompleteSpace ↑↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
⊢ ∀ (x : V), x ∈ (range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮᗮ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'
k : ℕ
⊢ Smooth I I fun a => a ^ (k + 1)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ f l[n] = (List.map f l)[n]
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ b → a ⋖ a ⊔ b
x : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π
⊢ log (cexp x) = x
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
⊢ groupCohomology.oneCoboundaries A = ⊥
α : Type u
R : Type u_1
CommSemiring R
Small.{v, u} α
Semiring α
Algebra R α
⊢ ∀ (a : Shrink.{v, u} α), (Shrink.algEquiv α R) a = (equivShrink α).symm a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n : ℕ
⊢ l.enum[n]? = Option.map (fun a => (n, a)) l[n]?
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
self : RingTheory.Sequence.IsRegular M rs
⊢ ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
⊢ a ^ (p - 1) = if a ≠ 0 then 1 else 0
α : Type u_1
SizeOf α
as : List α
i : Fin as.length
⊢ sizeOf (as.get i) < sizeOf as
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))
room₂ : ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ < ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near : ∀ᶠ (x : ι) in L, ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs x) ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near' : ∀ᶠ (x : ι) in L, ↑(μs x) F ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
⊢ ↑μ F + ↑ε / 2 + ↑ε / 2 ≤ ↑μ F + ↑ε
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ e.target = e'.target
α : Type u_1
s : Finset.Colex α
⊢ { ofColex := s.ofColex } = s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f I ≤ ⊥ ↔ I ≤ f.ker
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α
⊢ List.map (List.map f) ts.permutations = (List.map f ts).permutations
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 + ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, y.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
h : 0 < p.count m.factors
⊢ 1 ≤ p.count m.factors
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Quotient.mk (map C I)) f) = Polynomial.map (Quotient.mk I) f
α : Type u_1
l : List α
c : Composition l.length
⊢ (l.splitWrtComposition c).join = l
m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m
⊢ ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ
⊢ (∑' (a_1 : β), (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) * if h : (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 h) a) = ∑' (a_1 : α), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else ∑' (a_2 : β), (f a_1 h) a_2 * if h : (f a_1 h) a_2 = 0 then 0 else (g a_2 ⋯) a
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ r * ⨅ i, f i = ⨅ i, r * f i
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
⊢ IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2})
M : Type u_1
Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z : C → Prop
X : CategoryTheory.FullSubcategory Z
⊢ (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion Z).obj X = X.obj
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
t : Set α
⊢ (t ⊓ s).Finite
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ 1 = a
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
⊢ Finset.Ico a b = Finset.subtype p (Finset.Ico ↑a ↑b)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
μ'.IsHaarMeasure
⊢ 0 < μ'.haarScalarFactor μ
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
⊢ (∃ x, x ∈ l ∧ p x) → ∃ x, x ∈ a :: l ∧ p x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ ↑u ^ 2 * Q x * Q z ^ 2 = Q x * (↑u * Q z) ^ 2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
⊢ e.toMatrix v i j = (e.repr (v j)) i
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid M
x : ↥S
⊢ f ↑x ∈ Submonoid.map f S
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
x : β
e : { e // e none = x }
a : α
⊢ ↑(((Equiv.optionSubtype x) e) a) = ↑e (some a)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → ∀ (l : List α), l₁ ++ l <+ l₂ ++ l
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
r : R
LinearOrderedAddCommGroup R
Archimedean R
f : α → ℕ
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • r) l Filter.atBot
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ x⋆ * x = 0 ↔ x = 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f f' : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h : ∀ (a : α) (b : β), f a b = f' a b
⊢ Set.image2 f s t = Set.image2 f' s t
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ G.map (e.counit.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app j = s.π.app j
α : Type u_1
p q✝ q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ (q ^ n).num = q.num ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖↑↑f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ ENNReal.ofReal ‖f‖ ^ p.toReal
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |truncation f A x| ≤ |A|
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
⊢ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasFDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (f₂ x).1) ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).comp f₂') x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
x : H
⊢ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E) (↑I) s x
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
⊢ IsOrderBornology α ↔ inst✝² = orderBornology
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : IntegrableOn g' A μ
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
R : Type u
CommSemiring R
α : Type u_2
a₁ a₂ : α →₀ ℕ
b₁ b₂ : R
⊢ (MvPolynomial.monomial a₁) b₁ = (MvPolynomial.monomial a₂) b₂ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ b₁ = 0 ∧ b₂ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → E
s : Set E
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hfm : Measurable f
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
h₀i : MeasureTheory.Integrable (fun x => y₀) μ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hfm s y₀ h₀ n))
  Filter.atTop (𝓝 (MeasureTheory.setToFun μ T hT f))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
Nonempty ↥s
⊢ Function.Injective ⇑s.subtype
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
⊢ T2Space G ↔ IsClosed {1}
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClopen s
⊢ IsClosed s
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ f x
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
x : M
n : ℕ
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ n) x
q r : ℚ
⊢ q * r = mkRat (q.num * r.num) (q.den * r.den)
G : Type u_2
AddGroup G
N H : AddSubgroup G
N.Normal
⊢ ↑(N ⊔ H) = ↑N + ↑H
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)
⊢ V ∈ 𝓝 (x, x)
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∈ s
⊢ ((DirectSum.mk β s) f) n = f ⟨n, hn⟩
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S : Submonoid N
f : F
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f S) ≤ S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
s : Set E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ p) x = (p * ‖f x‖ ^ (p - 2)) • ((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Semiring A₃'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
Algebra R A₃'
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
e₂' : A₂' ≃ₐ[R] A₃'
⊢ (e₁.trans e₂).arrowCongr (e₁'.trans e₂') = (e₁.arrowCongr e₁').trans (e₂.arrowCongr e₂')
self : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (↑self) (Set.Ici x) x
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑g
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ s⁻¹.Nonempty
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
⊢ finrank K ↥(LinearMap.range f) = 1