ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ |Real.exp 1 - 2244083 / 825552| ≤ 1 / 10 ^ 10
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ I + J = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
hp₁ : p₁ ≠ p₂
hp₃ : p₃ ≠ p₂
hp₄ : p₄ ≠ p₅
hp₆ : p₆ ≠ p₅
hs : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₄ p₅ p₆).sign
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆ ↔ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬a ≤ f i
ha'' : Disjoint a (⨆ i, f i)
⊢ False
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i✝ : ℤ
hx : IsOfFinOrder x
x✝ : y ∈ zpowers x
i : ℤ
hi : (fun x_1 => x ^ x_1) i = y
⊢ x ^ (i % ↑(orderOf x)).natAbs = y
x y : SetTheory.PGame
⊢ x < y ↔ x ≤ y ∧ x.LF y
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
R : Type u_1
MulZeroClass R
⊢ ¬IsLeftRegular 0 ↔ Nontrivial R
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ
⊢ eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
A : p.natDegree < p.natDegree.succ
B : (s • p).natDegree < p.natDegree.succ
⊢ eval₂ g x (s • p) = g s * eval₂ g x p
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (L (fun n => χ ↑n) s)
a : ℤ
b : ℕ
⊢ jacobiSym a b = 0 ↔ b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ η_ X Y ▷ X ≫ (α_ X Y X).hom ≫ X ◁ ε_ X Y = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
a : ⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decomposeAddEquiv ℳ).symm a = (DirectSum.decompose ℳ).symm a
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
⊢ map (Int.castRingHom K) (X ^ k - 1) /ₘ B = (X ^ k - 1) /ₘ B
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ StableUnderSpecialization s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'
⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ Set.BijOn (⇑(Equiv.swap a b)) s s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∑ x_1 : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), ((integralBasis K).repr x) x_1 • (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f (c • μ) = MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
W : C
k l : W ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f g
h₀ : k ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g = l ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
h₁ : k ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g = l ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
⊢ k = l
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
B : D
⊢ (comparisonAdjunction adj).counit.app B = colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖f n‖ ≤ m * ↑n ^ (1 - 1)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i) b) = (lof R ι ℬ i) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ S.W g ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
t : Finset E
w : E → R
hw₀ : ∀ i ∈ t, w i ≤ 0
hws : ∑ i ∈ t, w i < 0
⊢ t.centerMass w id ∈ (convexHull R) ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0
⊢ Continuous fun x => x / c
α : Type u_3
Denumerable α
n : ℕ
⊢ (Encodable.decode n).isSome = true
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
⊢ l.BoundedAtFilter f
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ (a :: l).concat b = a :: l.concat b
α : Type u_1
a : α
⊢ ⊤ ≠ ↑a
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.re RCLike.I = 0
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
self : Module R M
r s : R
x : M
⊢ (r + s) • x = r • x + s • x
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic m K = cyclotomic' m K
ζ : K
hz : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ cyclotomic k K = cyclotomic' k K
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
⊢ a ⊔ b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
⊢ ¬Nontrivial ι
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.num = 0
⊢ q = 0
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
Y : T
⊢ CategoryTheory.Over.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Over Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, n ≤ f x
⊢ n ^ s.card ≤ s.prod f
R : Type x
Mul R
HasDistribNeg R
a x y : R
⊢ SemiconjBy (-a) x y ↔ SemiconjBy a x y
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
⊢ (PowerSeries.constantCoeff k) φ⁻¹ = ((PowerSeries.constantCoeff k) φ)⁻¹
R : Type u
M : Type v
N : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(LinearMap.range f) = FiniteDimensional.finrank R M
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ Equiv.swap a b = Equiv.swap b a
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
hyy : span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) = ⊤
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i
⊢ ∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (update x i t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f
B : ℝ
hB : IsGLB (range f) B
⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ ↑((Equiv.Set.rangeInr α β).symm x) = Sum.inr x
M : Type u_2
Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ ValuationRing R ↔ IsTotal (Ideal R) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => |u a|) ↔
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u ∧ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
f : M → ι → R
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
hsmul : ∀ (c : R) (x : M), f (c • x) = c • f x
f_eq : ∀ (i : ι), f (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)
x : M
i : ι
⊢ (b.repr x) i = f x i
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
⊢ interior s / t ⊆ interior (s / t)
m n : ℕ
⊢ Fin.cast ⋯ ⟨n - n, ⋯⟩ = 0
R : Type u
Ring R
X Y : Type u
AddCommGroup X
AddCommGroup Y
Module R X
Module R Y
e : X ≃ₗ[R] Y
⊢ linearEquivIsoModuleIso.hom e = e.toModuleIso
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (X ^ p - C a)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : ¬p.natDegree < n
⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree)) n)
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
⊢ List.Sorted r [a]
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ∑ x ∈ q.support, ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
d : ℕ
⊢ (↑d)ᴴ = ↑d
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a b : W ⟶ (Stonean.pullback.cone f hi).pt
hfst : a ≫ Stonean.pullback.fst f hi = b ≫ Stonean.pullback.fst f hi
⊢ a = b
m : Type u_3
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype m
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ ‖Matrix.col ι v‖ = ‖v‖
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.map φ).variableChange (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C) = (W.variableChange C).map φ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
⊢ tangentMapWithin I I' f Set.univ = tangentMap I I' f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
⊢ z₁ = z₂
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
NoMaxOrder β
u : α → β
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
a : α
b : β
⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
Ω : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β'
MeasurableNeg β'
hfg : ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f (-g) μ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ i ∈ p.basisSets, Convex ℝ (id i)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s \ frontier s = interior s
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : a < b
⊢ Set.Ioi a ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F F' : TopCat.Sheaf C X
α : F ⟶ F'
⊢ ((TopCat.Sheaf.pushforward C f).map α).val = (TopCat.Presheaf.pushforward C f).map α.val
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
⊢ AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom = (AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom
K : Type u_1
n : ℕ
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n
⊢ (GenContFract.squashSeq s n).get? m = s.get? m
a b : Int
⊢ a % b = a - b * (a / b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (q.map F).leftRetraction = F.map q.leftRetraction
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
v : G × G'
p : P × P'
⊢ (v +ᵥ p).1 = v.1 +ᵥ p.1
n : ℤ
hn : n % 4 = 1
⊢ χ₄ ↑n = 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K ≠ 0
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C × D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X X' : C
f : X ⟶ X'
x✝ : D
⊢ X✝.map (f, 𝟙 x✝) ≫ T.app (X', x✝) = T.app (X, x✝) ≫ Y✝.map (f, 𝟙 x✝)
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ
⊢ ((a < x ∧ x ≤ b) ∧ ∃ c, x = c * r) ↔ ∃ a_1, (a < a_1 * r ∧ a_1 * r ≤ b) ∧ { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } a_1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
h : RestrictGenTopology 𝔖
f : α →ᵤ[𝔖] β
u : Filter (α →ᵤ[𝔖] β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous ((toFun 𝔖) f)}
huf : u ≤ 𝓝 f
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
⊢ ContinuousOn ((toFun 𝔖) f) s
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
SecondCountableTopologyEither X E
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ↑(n.choose k) * bernoulli k = if n = 1 then 1 else 0
m n : ℕ+
⊢ m.natPred = n.natPred ↔ m = n
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s (⋂₀ T) ↔ ∀ t ∈ T, Set.MapsTo f s t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
MeasurableSpace F
BorelSpace F
f : 𝕜 → F
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
⊢ AEMeasurable (deriv f) μ
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a + c = b
⊢ a = b + -c
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : ↑p ∣ y
hpz : ↑p ∣ z
⊢ ↑p ∣ z * z - y * y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β
⊢ image (fun i => b ↑i) univ = (image b univ).erase k
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)
this : Finite ↑I
⊢ ⋃ j, ⋂ x, eval ↑x ⁻¹' s (↑x) j = ⋂ x, ⋃ i, eval ↑x ⁻¹' s (↑x) i
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i ≤ i
⊢ x ∈ generateMeasurableRec s i
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ a = p ^ Nat.find ⋯
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
u : ℕ → Set G
hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u
u_anti : Antitone u
this : ∀ (ib : ℕ), True → ∃ ia, (True ∧ True) ∧ ∀ x ∈ u ia.1 ×ˢ u ia.2, x.1 * x.2 ∈ u ib
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S T : Submonoid M
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
⊢ (ofObjects Y X).arrows g → (ofArrows Y f).arrows g
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
T : Type u_4
O : Type u_5
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
AddCommMonoid O
Module R O
Module S O
Module T O
IsScalarTower S T O
IsScalarTower R S O
IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
⊢ IsBaseChange T (↑R g ∘ₗ f)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : min (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) ≤ p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)
hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ
A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ
hAmeas : MeasurableSet A
hA₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) A ≤ VectorMeasure.restrict 0 A
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
α : Type u_2
x : α
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
⊢ (f.cycleOf x).IsCycle ↔ f x ≠ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
F.Full
F.Faithful
f : F.obj X ⟶ F.obj Y
g : F.obj Y ⟶ F.obj Z
⊢ F.preimage (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.preimage f) (F.preimage g)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∏ x ∈ s, f (σ x) x = ∏ x ∈ s, f x ((Equiv.symm σ) x)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
⊢ ‖f‖ = a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f t)).2 t
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
hx : v y < v x
⊢ v (x + y) = v y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
W : C
k l : t.pt ⟶ W
h₀ : t.inl ≫ k = t.inl ≫ l
h₁ : t.inr ≫ k = t.inr ≫ l
⊢ t.ι.app none ≫ k = t.ι.app none ≫ l
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ G.neighborFinset v = (G.neighborSet v).toFinset
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g h : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
hf : h ≤ f
hg : h ≤ g
⊢ h ≤ s.piecewise f g