ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
⊢ (u ⊔ v).prod = n.lcm m
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
⊢ f'' =o[𝓟 s] g' ↔ ∀ x ∈ s, f'' x = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
n : ℕ
⊢ (a + b) ^ (n + n) ≤ 2 ^ (n + n - 1) * (a ^ (n + n) + b ^ (n + n))
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ f.inverse.closure.graph = f.closure.inverse.graph
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ angle x (x + y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₂
b : β₂
⊢ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (Sum.inr a) (Sum.inr b) = Finset.map { toFun := Sum.inr, inj' := ⋯ } (f₂ a b)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
a : Γ
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.ListBlank.cons a l).tail = l
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f : Filter β
⊢ f -ᵥ ⊥ = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ (let_fun h5 := ⋯; preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 3) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 5) - preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 1) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 3) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 4) ^ 2) = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2
α : Type u
SemilatticeSup α
a : α
⊢ a ⊔ a = a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s✝ : Multiset α
b : α
s : Multiset α
ih : (map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd
⊢ (map (fun x => a * x) (b ::ₘ s)).gcd = normalize a * (b ::ₘ s).gcd
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.map f (a ::ₘ s) = f a ::ₘ Multiset.map f s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul M α
SMul N α
SMul M β
SMul N β
SMulCommClass M N β
f : α → β
hf : Function.Injective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x
⊢ SMulCommClass M N α
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a : α
hf : Summable f
⊢ Summable fun i => f i * a
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : ⨁ (x : ι), M
⊢ f.toAddMonoidAlgebra.toDirectSum = f
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
h : x ∈ Set.Ioo a b
⊢ x ∈ Set.Ioc a b
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
⊢ [x-[𝕜]y] = Set.Icc (min x y) (max x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddMonoid α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (n • c) = f 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
G : K ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
⊢ (P.conePointsIsoOfEquivalence Q e w).hom =
  Q.lift
    ((CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e.symm
            ((CategoryTheory.isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G)).functor.obj
      s)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0
n : ℕ
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
w : { toFinsupp := toFinsupp✝ }.natDegree < n
⊢ { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum f = ∑ a ∈ range n, f a ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff a)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Set.Ico a b) = ENNReal.ofReal (Function.leftLim (↑f) b - Function.leftLim (↑f) a)
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u
γ : Type u_1
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → γ
⊢ Ultrafilter.extend f ∘ pure = f
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
⊢ ∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y
θ : Angle
⊢ θ - ↑π = θ + ↑π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
h₀ : F.obj' 0 ⋯ = G.obj' 0 ⋯
h : F.δ₀ = G.δ₀
w :
  F.map' 0 1 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₀)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ F = G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
f g : α → β
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ g =ᵐ[μ] f
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
x : α
f : α → E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, MeasureTheory.IntegrableOn f a μ
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Setoid ι
hf : ∀ (a b : ι), a ≈ b → f a = f b
⊢ Set.range (Quotient.lift f hf) = Set.range f
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
⊢ IsPathConnected (↑E)ᶜ
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
⊢ ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ⊆
  ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩))
α : Type u_1
a b : (ii : ℕ) × (Fin ii → α)
h : a.fst = b.fst
⊢ a.snd = b.snd ∘ Fin.cast h → a = b
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
⊢ ⨆ n, f n ∈ ⋂ n, Set.Icc (f n) (g n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
⊢ (permsOfList (a :: l)).length = (l.length + 1) * l.length !
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 2
⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e₁ e₂ : α ≃ᵐ β
h : ⇑e₁ = ⇑e₂
⊢ e₁ = e₂
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o : Option α
a m : α
tl : List α
hd : α
⊢ (foldl (argAux r) o tl = none ↔ tl = [] ∧ o = none) → (foldl (argAux r) o (tl ++ [hd]) = none ↔ tl ++ [hd] = [] ∧ o = none)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
h₁ : l₁.length ≤ l.length
h₂ : l₂.length ≤ l.length
⊢ (a :: l₂).length ≤ (a :: l).length ∧ l₁.length ≤ (a :: l).length
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
self : HasGroupoid M G
e e' : PartialHomeomorph M H
⊢ e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → e.symm ≫ₕ e' ∈ G
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
h_sum : Summable fun n => f n
⊢ κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup (AddUnits G)
x : AddUnits G
⊢ ↑x ∈ H.ofAddUnits ↔ x ∈ H
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : Ergodic f μ
⊢ QuasiErgodic f μ
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
c : K[X]ˣ
⊢ LinearMap.ker ((aeval f) ↑c) = ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
⊢ (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = 1 ↔ x ^ n = 1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
i : ⊤.Arrow
⊢ ↑((Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) i = ↑((Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))) i
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ
H₁ : Differentiable ℂ fun z => resolvent a z
⊢ False
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ nndist (a / c) (b / c) = nndist a b
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S
⊢ single x z + single y z - single (x + y) z ∈ kerTotal R S
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[n] (Turing.TM1to1.trTape' enc0 L R) =
  Turing.TM1to1.trTape' enc0 (Turing.ListBlank.cons R.head L) R.tail
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
⊢ ∀ (i : Fin B.dim), ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f s x ↔ f x ≤ Filter.liminf f (𝓝[s] x)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(harmonic n) - Real.log ↑n) Filter.atTop (𝓝 Real.eulerMascheroniConstant)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ μ.HaveLebesgueDecomposition ν
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ Module.FinitePresentation R M
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
a : ↥H
⊢ ↑((Subgroup.inclusion h) a) = ↑a
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (z, t) (x, y)
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
A : C
B : D
f : i.obj ((CategoryTheory.reflector i).obj A) ⟶ i.obj B
⊢ (CategoryTheory.unitCompPartialBijectiveAux A B).symm f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.reflectorAdjunction i).unit.app A) f
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : HasContDiffBump E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝³ : μ.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : CompleteSpace X
z : X
⊢ ∫ (x : E), f.normed μ x • z ∂μ = z
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
⊢ Polynomial.eval (Polynomial.map f q) (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) p) =
  Polynomial.map f (Polynomial.eval q p)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
⊢ 2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
i : ι
x : β i
⊢ ((DirectSum.of β i) x) i = x
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑ x ∈ s \ {i}, f x + f i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ ((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_5
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_6
CommRing B
Algebra R B
Aₚ : Type u_7
CommRing Aₚ
Algebra A Aₚ
Algebra R Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
CommRing Bₚ
Algebra B Bₚ
Algebra R Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
IsLocalization.Away a Aₚ
IsLocalization.Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalization.Away.mapₐ Aₚ Bₚ f a)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ∃ r, ContinuousLinearMap.seminorm.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →*o β
⊢ (OrderMonoidHom.id β).comp f = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
V W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Z
f : V ⟶ W
g : V ⟶ X
h : W ⟶ Y
k : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map h k =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (f ≫ h) (g ≫ k)
⊢ Turing.ToPartrec.Code.zero'.eval = fun v => pure (0 :: v)
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) = Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))
α : Type u_1
l l' : Filter α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (l ⊓ l').HasBasis (fun i => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∩ s' i.2
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β
⊢ f.toFun = ⇑f
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
inst✝³ : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
⊢ Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) = Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
T : Triangle C
⊢ (a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (b.negOnePow * a.negOnePow) • (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₃) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁)
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
a : R
⊢ (γ.smul a).φQ = a • γ.φQ
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₂ ⊆ l₁ ++ l₂
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
e_3✝ : Complex.instSemiring = DivisionSemiring.toSemiring
he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule
⊢ span ℂ (range (fourierLp p)) = Submodule.map (↑(toLp p haarAddCircle ℂ)) (span ℂ (range fourier))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : f = g
Z : C
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) y = (F.map f ≫ F.map β) x * (F.map g ≫ F.map β) y
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.SpecΓIdentity.inv.app R = (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).inv
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset (α × β)
⊢ s.sum.1 = (Multiset.map Prod.fst s).sum
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
R1Space α
BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U ∆ s) < ε
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ∃ C, ∀ (i : ι), ‖(g i) x‖ ≤ C
x✝ : Fin 1
x : E
⊢ BddAbove (range fun i => (normSeminorm 𝕜₂ F) ((g i) x))
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ (s * t).Nonempty → s.Nonempty
X : AlgebraicGeometry.Scheme
V U : X.Opens
i : V ⟶ U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.basicOpen (TopCat.Presheaf.restrict f i) ≤ X.basicOpen f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ (n, d) ∉ antidiagonal (d + n) → (coeff R (n, d).1) (X ^ n) * (coeff R (n, d).2) p = 0
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
ih' :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P24 x₁ x₂ y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ Surreal.Multiplication.IH4 x₁ x₂ y
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
P : Subgroup G
⊢ P.FG ↔ (toAddSubgroup P).FG
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
j : ι'
x✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = ((b'.repr x) j • b.repr (b' j)) i
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J✝ I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
J : Box ι
x✝ : J ≤ I
hJ : ∀ J' ∈ splitCenter J, ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (J'.upper i - J'.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J'.distortion
⊢ ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion