ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.1042846
S' : Type ?u.1042849
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.1045280
S'' : Type ?u.1045283
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
⊢ ((map (Hom.id P)) (mk x)).val = (LinearMap.id (mk x)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[t] a
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W
⊢ (∃ v₀, ∀ (v : ↥W), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ a, (∀ v ∈ W, ∃ r, r • a = v) ∧ a ∈ W
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
⊢ Measurable ((range (n + 1)).sup' ⋯ f)
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x✝ : Fin n
⊢ ↑((last n).succAbove x✝) = ↑x✝.castSucc
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.node3L x m y r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P m ∧ P y ∧ Ordnode.All P r
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ G'.deleteVerts (s ∩ G'.verts) = G'.deleteVerts s
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.maximum ≠ ⊥
R : Type u_1
Ring R
u : Rˣ
⊢ PowerSeries.invUnitsSub u * PowerSeries.X = PowerSeries.invUnitsSub u * (PowerSeries.C R) ↑u - 1
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Ioi r)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ (Icc a b).Nonempty ↔ a ≤ b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
⊢ (f.toCycle hf).Nodup
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ PInfty.f n = G.map (PInfty.f n)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph o₁ * Cardinal.aleph o₂ = Cardinal.aleph (max o₁ o₂)
n : ℕ
⊢ Nat.Partrec.Code.id.eval n = Part.some n
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ s ⊻ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
⊢ ⨅ a ∈ s, a⁻¹ = (sSup s)⁻¹
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ Fin.last n = c.boundaries.max' ⋯
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n.succ
⊢ SymOptionSuccEquiv.decode (Sum.inr s) = Sym.map (⇑Function.Embedding.some) s
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
MetricSpace β
CompleteSpace β
f : α → β
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
⊢ LipschitzWith K (UniformSpace.Completion.extension f)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(GenContFract.of v).TerminatedAt (n - 1)
⊢ ↑(Nat.fib (n + 1)) ≤ (GenContFract.of v).dens n
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.count a (s + t) = Multiset.count a s + Multiset.count a t
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ min 0 a = 0
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))
⊢ InjOn g (univ ∩ mulSupport (f ∘ g))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ Integrable (fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ f t >>= g = (f ≫ g) t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀
  {X Y :
    CategoryTheory.InducedCategory (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C)
      AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace}
  (f : X ⟶ Y), AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map f = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius
p : ℝ
hp : p ≠ 0
x : AddCircle p
ε : ℝ
hε : |p| / 2 ≤ ε
⊢ Metric.closedBall x ε = Set.univ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p
this : ↑(legendreSym p a) = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card)
⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ b ∣ n ↔ b ∣ (b'.digits n).sum
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
x : α
y : β
⊢ y ∈ ω f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun t => ϕ t x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ = ‖p (k + l)‖₊
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
n : s.Nodup
⊢ { val := s, nodup := n } = s.toFinset
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
f : Ω → ℝ≥0
fs_lim : ∀ (ω : Ω), Filter.Tendsto (fun n => (fs n) ω) Filter.atTop (𝓝 (f ω))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Filter.comap Subtype.val (𝓝[>] a) = Filter.atBot
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹) = 2 * ↑π * I
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η
i : ι
hi : l.idxFun i = Sum.inr e
⊢ (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) ((Fintype.equivFin ι) i) = Sum.inr e
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ (j.comp f.toMap) (f.sec x✝).1 = (j.comp f.toMap) ↑(f.sec x✝).2 * j x✝
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ E
μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, MeasureTheory.eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ MeasureTheory.Memℒp (⇑g) p μ
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
val✝ : Encodable β
⊢ R (m (⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, s b)) (∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b))
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s ∪ {a} = insert a s
α : Type u
p : α → Bool
xs acc : List α
⊢ List.splitOnP.go p xs acc ≠ []
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} E
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
CategoryTheory.HasShift E M
X Y : C
a : M
f : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift M
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift M
⊢ f.map (F.comp G) = (f.map F).map G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : ι' → ι
hf : Function.Injective f
⊢ Orthonormal 𝕜 (v ∘ f)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ Integrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) (volume.restrict (Ioc 0 1)) ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)
A : Type u
CommGroup A
n : ℤ
⊢ MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range) = QuotientGroup.equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R (EuclideanGeometry.inversion c R x) = x
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
One γ
LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
⊢ Function.extend f g e ≤ 1
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ ↑m = Cardinal.lift.{u, v} x ↔ ↑m = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t
⊢ IsSigmaCompact s
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ ↑xs.gcd ∣ xs.dot ys
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n
⊢ (f.toMatrix * M) i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => M fi j
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
ε : ℝ≥0
εpos : ε ∈ Ioi 0
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
⊢ ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
this : CompleteSpace ↑s
y : ↑s
hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y
h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) atTop (𝓝 y)
hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) y ≤ edist ⟨x, hxs⟩ (MapsTo.restrict f s s hsf ⟨x, hxs⟩) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
⊢ ∃ y ∈ s, IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
V : Type u
⊢ ⊤.edgeSet = {e | ¬e.IsDiag}
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (H.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
y : β
d : { r // 0 < r.length }
w : d.val.length = xs.length + 1
⊢ (Levenshtein.impl C xs y d).val.length = xs.length + 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ DenseRange (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
StarMemClass S A
s : S
x : Unitization R ↥s
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.unitization s) x = (algebraMap R A) x.fst + ↑x.snd
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, Smooth I' I (f i)
⊢ Smooth I' I (∏ i ∈ t, f i)
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ 1 ∈ Set.center M
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
K : Ideal S
⊢ Ideal.map f I ≤ K ↔ I ≤ Ideal.comap f K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂(μ + ν) = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), f a ∂ν
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
⊢ HasStrictDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap
⊢ f = g
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
f : R →+* B
⊢ f.IsIntegralElem 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)
hg'inv : ∀ (x : G), φ.rightDeriv (g'inv x) = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G) x
hg'invf : ∀ (x : G), φ.leftDeriv (g'inv x) = 0 x
⊢ ∀ (x : G), g'inv x = ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm ((ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)) x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
β : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
Preorder β
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
f : β → M
hf : StrictMono f
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → StrictMono fun x => n • f x
G : Type u
self : SubNegMonoid G
a : G
⊢ SubNegMonoid.zsmul 0 a = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
f : β → α
DecidableEq β
s : Finset γ
Hs : s.Nonempty
t : γ → Finset β
Ht : ∀ (b : γ), (t b).Nonempty
⊢ (s.biUnion t).sup' ⋯ f = s.sup' Hs fun b => (t b).sup' ⋯ f
x : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun y => Set.Icc x y) (𝓝[>] x)
  ((IsUnifLocDoublingMeasure.vitaliFamily MeasureTheory.volume 1).filterAt x)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformlyOnFilter f g l l'
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l l'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (f - f') (g - g') l l'
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
ha : a < 0
⊢ StrictAnti fun x => a • x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (ofReal |a⁻¹| • volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)
⊢ P f
z : ℂ
⊢ |z.re| ≤ √(Complex.normSq z)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁
⊢ 0 ≤ a • b₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedObj F n).inv ((F.leftDerived n).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).comp
          (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n)).map
      φ)
    (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
⊢ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ) = ⨅ i, ⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ)
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
⊢ lift.{v, u} a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n