ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c d : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hcd : c < d
b : α
hab : a < a + b
⊢ a * d + (a + b) * c < a * c + (a + b) * d
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
∀ (A : adj.toMonad.Algebra), CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonAdjunction adj).counit =
  {
    app := fun Y =>
      (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso
            (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit
              (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app Y)))
                (adj.counit.app (F.obj (G.obj Y)))))
            Y).symm
        ⟨adj.counit.app Y, ⋯⟩,
    naturality := ⋯ }
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
⊢ cfc f A = hA.cfc f
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝² : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x
⊢ (filter p s).dens + (filter (fun a => ¬p a) s).dens = s.dens
R : Type u
Semiring R
r : R
i : ℕ
⊢ ((Polynomial.X + Polynomial.C r) ^ i).leadingCoeff = 1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
x : α
left✝¹ : x ∈ A
y : α
left✝ : y ∈ A
a✝ : ¬{x} = {y}
⊢ G.IsUniform ε {x} {y}
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g x = g (f x)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ (eqToHom ⋯).f = P.p ≫ eqToHom ⋯
a b : USize
⊢ a + b = { val := a.val + b.val }
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
o₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
⊢ o₂.NFBelow b₂ → (e₁.oadd n₁ a₁ * o₂).NFBelow (e₁.repr + b₂)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible A
Invertible D
Invertible (Matrix.fromBlocks A 0 C D)
⊢ ⅟(Matrix.fromBlocks A 0 C D) = Matrix.fromBlocks (⅟A) 0 (-(⅟D * C * ⅟A)) ⅟D
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.6235) (N : Type ?u.6234) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ioc a b * Ico c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ ∀ (a : 𝓜(𝕜, A)), DoubleCentralizer.toProdMulOppositeHom a = a.toProdMulOpposite
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddSemigroup α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a + x)) c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : ι → Set α
g : ι → α
a✝ : List ι
hg : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, g i ∈ f i
⊢ (List.map g a✝).prod ∈ (List.map f a✝).prod
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
a : α
⊢ (partialSups f) n ≤ a ↔ ∀ k ≤ n, f k ≤ a
α : Type u_2
MeasurableSpace α
⊢ Measurable MulOpposite.unop
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν₁ ν₂ μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν₁
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν₂
ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
(ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᵐ[μ] ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : multiplicity.Finite p n
⊢ multiplicity p n = ↑(p.maxPowDiv n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
DecidableEq ι
x : E
hg : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (g i) x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => ∏ i ∈ u, g i x) x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) • fderiv 𝕜 (g i) x
M : Type u_1
S : Set M
Semigroup M
⊢ ↑(Subsemigroup.centralizer S) = S.centralizer
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α
⊢ ofSet e.target ⋯ ∈ G
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
P : A → Prop
f : M →ₗ[A] M
hb : ∀ (s : Finset M) (b : Basis { x // x ∈ s } A M), P ((toMatrix b b) f).det
h1 : P 1
⊢ P ((if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) f)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ IsLocalization ((toSpec 𝒜 f).val.base x).asIdeal.primeCompl (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal)
α : Type u
a b : α
s : Set α
⊢ insert a (insert b s) = insert b (insert a s)
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
k' : Cont
a✝¹ : Code
a✝ : Cont
k_ih : ∀ {v : List ℕ}, (a✝.then k').eval v = a✝.eval v >>= k'.eval
v : List ℕ
⊢ (if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail >>= k'.eval else a✝¹.fix.eval v.tail >>= (a✝.then k').eval) = (if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail else a✝¹.fix.eval v.tail >>= a✝.eval) >>= k'.eval
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.snoc v x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
⊢ (WittVector.truncate n).comp (WittVector.lift f f_compat) = f n
α : Type u
n : ℕ
xs : Stream' α
⊢ (Stream'.take n xs).dropLast = Stream'.take (n - 1) xs
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
i✝ : Fin2 n
x : P.last.M
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.M
h' : x.dest = ⟨a, f⟩
i : Fin2 n
c : P.drop.B a i
f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α
r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩
e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₁ : dest P ⟨x, f₁⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩⟩
e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₃ : pathDestLeft P e₁' f₁ = pathDestLeft P e₂' f₂
e₂ : dest P ⟨x, f₂⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩⟩
h'' : ∀ (i : (P.B a).last), R ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩) i) ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩) i)
⊢ f₁ i (Path.root x a f h' i c) = f₂ i (Path.root x a f h' i c)
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass N
f g : (i : ι) × η i →₀ N
⊢ sigmaFinsuppEquivDFinsupp (f + g) = sigmaFinsuppEquivDFinsupp f + sigmaFinsuppEquivDFinsupp g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
c : γ
⊢ c ∈ Option.map₂ f a b ↔ ∃ a' b', a' ∈ a ∧ b' ∈ b ∧ f a' b' = c
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0
⊢ rexp (-t) = rexp (-(t / ↑n)) ^ n
X : Type v
Y : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
⊢ ParacompactSpace X
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
⊢ Disjoint (⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k) (⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hgk : IsBigOWith c l g k
hc : 0 < c
hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f k
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
SecondCountableTopologyEither α β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : C(α, β)
⊢ ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f) =ᵐ[μ] ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Finite
⊢ s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
h : J.Covers S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ J.Covers S (g ≫ f)
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ Continuous fun p => Path.delayReflLeft p.1 p.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ ConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊤
⊢ H = ⊤
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
hkm : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support = {k, m}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ 0 < s.einfsep ↔ ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.N.map f =
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).inverse.map
      (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁.map f)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.IsEquipartition ↔ ∀ a ∈ P.parts, a.card = s.card / P.parts.card ∨ a.card = s.card / P.parts.card + 1
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
⊢ c ⩿ a ↔ c ⩿ b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
GroupWithZero α
ContinuousMul α
c : α
hc : c ≠ 0
⊢ ⇑(Homeomorph.mulRight₀ c hc).symm = fun x => x * c⁻¹
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n = n'
h1 : a * (2 * b - a) = a'
h2 : a * a + b * b = b'
⊢ fib (n' + 1) = b'
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k)) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
z : β
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun _x => z) s x
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (fun x => Real.exp (f x)) x = Real.exp (f x) * deriv f x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
⊢ (opProductIsoCoproduct' hf hc).inv ≫ (hf.lift f').op = hc.desc f'.op
α : Sort u_1
f : α → Fin 0 → α
x : α
⊢ Fin.foldl 0 f x = x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
sq✝ : CommSq f✝ i✝ p✝ g✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
⊢ LiftPropWithinAt P f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓤 α
⊢ u₁ = u₂
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ∃ x_1, (∃ y ∈ I, ∃ z, x ∣ z ∧ y + z = x_1) ∧ x_1 ∈ S
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
⊢ False
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2, z.1 * z.2)) (μ.prod ν) (ν.prod μ)
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Add α
LinearOrder β
FunLike F α β
self : NonarchimedeanHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a + b) ≤ max (f a) (f b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f + g)
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ deriv (fun x => √x * log x) x = (2 + log x) / (2 * √x)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
⊢ {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
⊢ e.toRingEquiv = ↑e
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
M : Matrix n n R
i : n
⊢ ((Matrix.toLinAlgEquiv v₁) M) (v₁ i) = ∑ j : n, M j i • v₁ j
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.ψ (2 * (↑m + 3)) * W.ψ₂ =
  W.ψ (↑m + 2) ^ 2 * W.ψ (↑m + 3) * W.ψ (↑m + 5) - W.ψ (↑m + 1) * W.ψ (↑m + 3) * W.ψ (↑m + 4) ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
H.IsGenerating
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
T : A
x y : T ⟶ P.obj (Opposite.op X)
h :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    S.arrows f → CategoryTheory.CategoryStruct.comp x (P.map f.op) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp y (P.map f.op)
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
⊢ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
m : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.sum ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable f
⊢ (support f).Countable
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubmonoid N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ Independent (⇑AddSubmonoid.toNatSubmodule ∘ p)
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
q : ℕ
inst✝ : ExpChar R q
h : Nat.Prime q
⊢ 0 < q
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : b⁻¹ * a = c
⊢ a = b * c
α : Type u_1
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer
E : F.σ ≃ τ
s : τ
⊢ (F.ofEquiv E).F.f s = F.F.f (E.symm s)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b ≤ 0
⊢ a + b < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
⊢ μ univ < ⊤
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
⊢ False
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p
inst✝ : Fintype { i // p i ≠ ⊥ }
⊢ Fintype.card { i // p i ≠ ⊥ } ≤ finrank R M
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
⊢ ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
hIoc₁₃ : toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
⊢ Nat.xgcdAux 0 s t r' s' t' = (r', s', t')
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.FG ↔ FirstOrder.Language.Structure.FG L ↥S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1
h3 : (2 * ↑k).Gammaℂ ≠ 0
⊢ Complex.cos (↑π * (2 * ↑k) / 2) * (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ ↑s.toCompacts = ↑s
m a b c d : ℕ
hm : 0 < m
hcd : c ≡ d [MOD m]
h : a * c ≡ b * d [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
⊢ False
α : Type u
Add α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α
⊢ ![a₀, a₁] + ![b₀, b₁] = ![a₀ + b₀, a₁ + b₁]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ Monotone fun n => Urysohns.CU.approx n c x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y = 0 ↔ x = 0 ∨ y = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
h₀ : edist x y ≠ 0
htop : edist x y ≠ ⊤
hr : edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
⊢ r = Dilation.ratio f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f (closure s)
⊢ f '' closure s ⊆ closure (f '' s)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
⊢ 𝟙 ((F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).obj (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient D c).obj ((F.mapHomologicalComplex c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K).as))) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
IsPurelyInseparable F E
⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card ≠ 0 ↔ s.Nonempty
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ Continuous ↑(univBall c r)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop ≫ cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯ = 𝟙 (Opposite.unop (kernel f.op))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : Filter α
⊢ Cauchy f ↔ f ≠ ⊥ ∧ ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, edist x y < ε
x : Nat
⊢ x.testBit 0 = decide (x % 2 = 1)
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ∃ ι x x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (p i ^ e i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β
⊢ (range fun x => f ↑x).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
A : E
U : E
hU : U ∈ unitary E
⊢ ‖A * U‖ = ‖A‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto ?m.51003 (𝓝 g) (𝓝 0)