ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithTop α → β
⊢ Monotone f ↔ (Monotone fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ↑x ≤ f ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite ι
v : Basis ι R M
⊢ Basis.ofEquivFun v.equivFun = v
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
n : ℕ
a : Cardinal.{u}
⊢ ↑n < Cardinal.lift.{v, u} a ↔ ↑n < a
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : b % 4 = 1
⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑b) a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Nontrivial R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : ι → M
s t : Set M
x y z : M
v : ι → M
inst✝ : Unique ι
h : ∀ (l : ι →₀ R), l default = 0 ∨ v default = 0 → l = 0
hv : v default = 0
this : Finsupp.single default 1 = 0
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Mono f
⊢ Mono (L.map f)
x : ℂ
⊢ Complex.exp (x * Complex.I) = Complex.cos x + Complex.sin x * Complex.I
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
a : α
⊢ {a}.sup = a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithBot α → β
⊢ StrictAnti f ↔ (StrictAnti fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ↑x < f ⊥
α : Type u
Add α
LT α
a b : WithBot α
⊢ ⊥ < a + b ↔ ⊥ < a ∧ ⊥ < b
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u = a / ↑u
ι : Type u_1
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Filter ι
F.NeBot
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
f : R → S
f_decr : Antitone f
a : ι → R
f_cont : ContinuousAt f (Filter.liminf a F)
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F a := by isBoundedDefault
bdd_below : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F a := by isBoundedDefault
⊢ f (Filter.liminf a F) = Filter.limsup (f ∘ a) F
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
⊢ Polynomial.X.toContinuousMap = ContinuousMap.id R
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Finsupp.single x y) = g (Finsupp.single x y)
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
s : Set Y
⊢ Filter.map (↑e) (𝓝[↑e ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] ↑e x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω ≤ i ↔ ∃ j ∈ Set.Icc n i, u j ω ∈ s
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ 1 ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
Y : C
r : CategoryTheory.End X
f : Opposite.unop X ⟶ Y
⊢ r • f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Quiver.Hom.unop r) f
x y : Nat
⊢ x.succ.gcd y = (y % x.succ).gcd x.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) ⋯ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω'
BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
lim : Filter.Tendsto νs L (𝓝 ν)
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (νs i).map f) L (𝓝 (ν.map f))
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i✝ : ι
g✝ : G i✝
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i✝
hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range
n : ↑↑(φ i✝).range × ↑(d.set i✝) := ⋯.equiv (g✝ * (φ i✝) w.head)
w' : Word G := Word.cons (↑n.2) w.toWord hmw ⋯
i : ι
g : G i
hg : ⟨i, g⟩ ∈ w'.toList
⊢ g ∈ d.set i
a b : Ordinal.{u_4}
h : a + b = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.measureUnivNNReal 0 = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (s.attach.SupIndep fun a => f ↑a) ↔ s.SupIndep f
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (DFinsupp.mk s x) i = x ⟨i, hi⟩
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : (ZMod p)[X]
⊢ (Polynomial.expand (ZMod p) p) f = f ^ p
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0
⊢ (P ^ n + ∑ i ∈ range n, P ^ i).Monic
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S U : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubalgebra = U.toNonUnitalSubalgebra ↔ S = U
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
⊢ ⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
⊢ ramificationIdx f p P ≠ 0
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
X : C
e_1✝ : ((shiftFunctor C i).obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((shiftFunctor C i).obj X)) = ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj X))
e_4✝ : (shiftFunctor C i).obj ((shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj (((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X)
e_5✝¹ : (𝟭 C).obj ((shiftFunctor C i).obj X) = (𝟭 C).obj ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj X)
e_5✝ : shiftFunctor C j ⋙ shiftFunctor C i = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor
e_3✝ : shiftFunctor C j ⋙ shiftFunctor C i = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor
⊢ shiftFunctorCompIsoId C j i ⋯ = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).counitIso
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : e ∉ I
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I ∨ e ∈ I
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s : ↥M
e : mk' S x s * (algebraMap R S) a = 0
⊢ mk' S x s = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
X✝ Y✝ : C ⥤ Comon_ D
α : X✝ ⟶ Y✝
x : C
⊢ (α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).counit = (X✝.obj x).counit
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots ≤ p ^ n • f.roots
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this✝ : TopologicalSpace R := I.adicTopology
this : (Filter.map (fun y => x + y) (𝓝 0)).HasBasis (fun _n => True) fun i => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ i)
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
α : Type u_1
DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hn : l.Nodup
hs : Symmetric r
⊢ (↑l.toFinset).Pairwise r ↔ List.Pairwise r l
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b
⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max b a)
n : Nat
x : BitVec n
⊢ x.toInt = (↑x.toNat).bmod (2 ^ n)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
f : BoundedContinuousFunction α β
g : C(δ, α)
x : δ
⊢ (f.compContinuous g) x = f (g x)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
hz : ‖z‖ = 1
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd K) z
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime y (x * z) ↔ IsCoprime y z
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
h : b = c - a
⊢ a + b = c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ e.functor.map (e.inverse.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.counit.app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.counitInv.app Y))
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v : V
⊢ SimpleGraph.Subgraph.map f (G.singletonSubgraph v) = G'.singletonSubgraph (f v)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s ∩ f ⁻¹' t)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
⊢ ∃ x_1, IsNilpotent (x_1 - x) ∧ (aeval x_1) P = 0
R : Type u
Ring R
p : R[X]
i : ℤ
⊢ (↑i).comp p = ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ Set.kernImage f (f ⁻¹' s) = s ↔ (Set.range f)ᶜ ⊆ s
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
Nontrivial R
x : X
⊢ FreeAlgebra.ι R x ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
⊢ (∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x) ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x : X
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsClopen (Metric.closedBall x r)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (bN'.repr (g (bN j'))) j • (bM'.repr (f (bM i'))) i = (bM'.repr (f (bM i'))) i * (bN'.repr (g (bN j'))) j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
⊢ ∀ {X Y : P.I} (f : X ⟶ Y), (P.toCostructuredArrow.map f).left = P.F.map f
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : r = s
⊢ r • x = s • x
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a - b ≤ a / 2
⊢ a / 2 ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
g : F →L[𝕜] G
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (g.compFormalMultilinearSeries p n) fun x => y✝) ((⇑g ∘ f) (x + y✝))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
G : f₁.HomotopyWith f₂ P
⊢ (F.trans G).symm = G.symm.trans F.symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.coprodMonad X).map g = CategoryTheory.Limits.coprod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) g
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'
W : MorphismProperty C
X : C
P : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q
X₀ : Paths (LocQuiver W) := { obj := X }
⊢ ∀ ⦃Y₀ : Paths (LocQuiver W)⦄ (f : X₀ ⟶ Y₀), P (StructuredArrow.mk ((Quotient.functor (relations W)).map f))
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r₁ r₂ : k
⊢ AffineMap.homothety c (r₁ * r₂) = (AffineMap.homothety c r₁).comp (AffineMap.homothety c r₂)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s✝ : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s✝, n ∣ f i
hn : n > 0
s : ι
hs : s ∈ s✝
⊢ f s = f s / n * n
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ HasDerivAt f ((p 1) fun x => 1) x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
I : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' J)
i : ι
J : Set (α i)
hJI : J ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' I
hJ : J.Finite
⊢ (M i).Indep J
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
g : α → α
hg : ∀ (x : α), x < g x
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ f 0 = a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ ≤ (a ⊓ b)ᶜᶜ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
⊢ ∃ a, f a = i
n : Nat
a b : Fin n
h : ↑a = ↑b
⊢ a = b
n : ℕ
⊢ Set.range Fin.castSucc = {i | ↑i < n}
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
⊢ CauchySeq (SequentiallyComplete.seq hf U_mem)
α : Type v
Preorder α
b : α
⊢ ⋃ a, Set.Ico a b = Set.Iio b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
⊢ y ∈ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r ↔ y ∈ EMetric.closedBall x r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ico a b ↔ x✝ ∈ Ico ⌈a⌉₊ ⌈b⌉₊
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this : IsCompact s
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
⊢ PiNat.cylinder x 0 = Set.univ
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
⊢ ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (b - a) r
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A
⊢ ‖↑a‖₊ = ‖a‖₊
w : Nat
x y : BitVec w
a b : Bool
⊢ x.concat a ||| y.concat b = (x ||| y).concat (a || b)
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
⊢ x ⩿ y ↔ x.1 ⩿ y.1 ∧ x.2 = y.2 ∨ x.2 ⩿ y.2 ∧ x.1 = y.1
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
⊢ Measurable fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
hs : MeasurableSet s
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
x y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.IH1 x y → Surreal.Multiplication.IH1 x (-y)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ Ordinal.type r ≠ 0 ↔ Nonempty α
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E
⊢ 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ FDerivMeasurableAux.D f K ⊆ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
w : α.base = β.base
h : α.c ≫ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom ⋯) X.presheaf = β.c
⊢ α = β
x : ↑(Set.Icc (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
⊢ Real.sinOrderIso x = ⟨Real.sin ↑x, ⋯⟩
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) I = ⊥
⊢ I = ⊥
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
s : Set Ordinal.{max u v}
x✝ : s ∈ Set.range fun i => fixedPoints (f i)
i : ι
hi : (fun i => fixedPoints (f i)) i = s
⊢ f i (nfpFamily f a) = nfpFamily f a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ M.mul ▷ 𝟙_ C) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
⊢ ∀ (a₁ : ℕ) (ha₁ : a₁ ∈ filter k.Coprime (range k)) (a₂ : ℕ) (ha₂ : a₂ ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a₁ ha₁ = (fun i x => ζ ^ i) a₂ ha₂ → a₁ = a₂
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, sin x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in π / 2 ..π, sin x ^ n
C : Type u₁
Quiver C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ Quiver.Hom.unop (Opposite.op f) = f
b c : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
⊢ log b 0 ≤ log c 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
Nontrivial M
⊢ 0 < Module.rank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
a x : α
b : M
⊢ (single a b) x = 0 ↔ x = a → b = 0
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => (completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) * s.Gammaℝ⁻¹) 1
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Infinite ↑(Set.Icc a b)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
v : M
x fx : CliffordAlgebra Q
⊢ ((contractLeftAux Q d) v) ((ι Q) v * x, ((contractLeftAux Q d) v) (x, fx)) = Q v • fx
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F (-α)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
t : ℝ
ht : t ∈ T
⊢ ‖↑t ^ (s - 1) • f t‖ = t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
m n : ℕ
⊢ Even (m + n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)