ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
this : FormallyEtale S Sₘ
⊢ FormallyEtale Rₘ Sₘ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun k => m ((⋃ n, s n) \ s k)) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
DecidableEq κ
Fintype κ
s : Finset ι
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∑ j : κ, ∑ _i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f j = ∑ i ∈ s, f (g i)
f : Bool → Bool → Bool
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
⊢ Nat.bitwise f n m = Nat.bit (f n.bodd m.bodd) (Nat.bitwise f (n / 2) (m / 2))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
hb : b ∈ f.range
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal * ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hμ : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
hν : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ν
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ + ν)
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u}
ι : Type u
e : ↑s ≃ ι
⊢ BddAbove s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h h' : X ≃ₜ Y
H : ∀ (x : X), h x = h' x
⊢ h = h'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
⊢ a ≫ b = 0
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_5
Group G
MeasurableSpace G
MulAction G β
MeasurableSMul G β
c : G
⊢ AEMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Adapted (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) fun n x => κ.densityProcess ν n a x s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (T ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪y, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪y, -x⟫_ℝ
L : FirstOrder.Language
L.IsAlgebraic
F : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
L.Structure M
L.Structure N
FunLike F M N
L.HomClass F M N
⊢ L.StrongHomClass F M N
K : Type u
Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
⊢ Monotone ⇑(R.mapOfLE S h)
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ vecCons x u (i + i) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1) i
c : Batteries.RBColor
⊢ ∀ {α : Type u_1} {t : Batteries.RBNode α} {n : Nat},
  Batteries.RBNode.DelProp c t n → ∃ n', Batteries.RBNode.RedRed (c = Batteries.RBColor.black) t n'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
r : R
⊢ ↑((e.toRingEquiv.subsemiringMap S.toSubsemiring).toFun ((algebraMap R ↥S) r)) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso f
H : P (f ≫ g)
⊢ P g
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)
hyp' : rec g <$> x = h <$> x
⊢ rec g (mk x) = h (mk x)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
n : ℤ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
⊢ f.IsCycle
C : Type v
CommMonoid C
n : ℕ
NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n
⊢ ψ a = 1 ↔ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a✝ b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β
a : α
⊢ (a ∈ x ∧ ((∃ x_1 ∈ x, f x_1 = f a) ∧ f a ∈ y) ∧ ∀ a_1 ∈ x, f a_1 ∈ y → s (f a_1) (f a) → s (f a) (f a_1)) ↔ (a ∈ x ∧ f a ∈ y) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ x → f b ∈ y → r b a → r a b
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
S : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
f : (ι → R) →ₗ[R] M
i : ι
⊢ (LinearEquiv.piRing R M ι S) f i = f (Pi.single i 1)
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ Interval.pure 0 = 0
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ IsLeftRegular (X ^ n)
x a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
hx : 0 < x
⊢ 0 < ProbabilityTheory.gammaPDFReal a r x
f : CircleDeg1Lift
⊢ Monotone ⇑f
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ ExistsContDiffBumpBase.u x ≤ 1
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}.Nonempty
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
j : J
k : K
⊢ (limitObjIsoLimitCompEvaluation G k).hom ≫ limit.π (G.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (G.obj j) k = (limit.π G j).app k ≫ colimit.ι (G.obj j) k
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
⊢ Quot.mk Setoid.r f = ↑f
m n✝ n : ℕ
hn : Nat.Coprime 2 n
a : ZMod n
⊢ a + a = 0 ↔ a = 0
G : Type u_2
Group G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
⊢ ↑A * ↑(B ⊓ C) = ↑A * ↑B ∩ ↑C
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ η.left.app (op [0]) ≫ Y✝.hom.app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
(i : I) → Add (f i)
⊢ x + y = fun i => x i + y i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
h₁ : ∀ y ∈ s, f₁ y = f y
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f₁ s x
α : Type u
f : Filter α
p q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
p : Fin 2 → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin 2) → p i) → τ
⊢ Function.FromTypes.curry f = Function.curry (f ∘ ⇑(piFinTwoEquiv p).symm)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ
x : M
⊢ x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source ↔ x ∈ Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
V : Type u₁
Quiver V
W : Type u₂
Quiver W
F : V ⥤q W
X Y Z : CategoryTheory.Paths V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ F.mapPath (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = (F.mapPath f).comp (F.mapPath g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α
α : Type u_1
Infinite α
⊢ ℵ₀ * #α = #α
b c : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b_1 c_1 : Ordinal.{u_1}⦄, b_1 < b + c → c_1 < b + c → b_1 + c_1 ≠ b + c
ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) (b + c)
hb : b < b + c
hc : c < b + c
⊢ False
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
⊢ ∀ (a : (↥M₀⁰)ˣ), unitsNonZeroDivisorsEquiv a = (↑(Units.map M₀⁰.subtype)).toFun a
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocRing R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ⊤.FG ↔ S.FG
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (r : 𝕜) in 𝓝 0, {x} + r • s ⊆ u
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝
⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
M : Type u_11
N : Type u_12
AddMonoid N
VAdd M N
H : ∀ (x : M) (y : N), y + (x +ᵥ 0) = x +ᵥ y
⊢ VAddCommClass M N N
S : Profinite
⊢ Function.Injective (ι S)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
this : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q
⊢ eLpNorm' f q μ = eLpNorm' g q μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[s] a ≤ 𝓝 a
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
i : ↑s
hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i) * (f ^ n i * x)) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * 0
⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : Lex α
⊢ ofLex (b • a) = b • ofLex a
K : Type u_1
GroupWithZero K
Fintype K
a : K
⊢ a ^ q = a
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
M' : Subsemigroup M
x : ↥M'
⊢ ↑((f.subsemigroupMap M') x) = f ↑x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
⊢ ∑ x ∈ filter p l.toFinset, count x l = countP (fun b => decide (p b)) l
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
⊢ ⇑f.toInfHom = ⇑f
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ 𝔠 * max (#↑s) 2 ^ ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Q₁ : QuadraticForm R X
⊢ QuadraticModuleCat.ofIso (QuadraticMap.IsometryEquiv.refl Q₁) = CategoryTheory.Iso.refl (QuadraticModuleCat.of Q₁)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
r : α → ℝ
t : Set α
v_count : ((fun x => (x, r x)) '' t).Countable
hinj : InjOn (fun x => (x, r x)) t
vs : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ s
vg : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → r x ∈ g x
μv : μ (s \ ⋃ y ∈ t, closedBall y (r y)) = 0
v_disj : t.PairwiseDisjoint ((fun p => closedBall p.1 p.2) ∘ fun x => (x, r x))
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
la : List α
lb : List β
⊢ List.zipWith f la lb = List.zipWith (fun b a => f a b) lb la
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
m_empty : m ∅ = 0
m_mono : ∀ ⦃t : Set α⦄, s ⊆ t → m s ≤ m t
m_subadd : ∀ (s : ℕ → Set α), m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (s i)
⊢ (boundedBy m) s = m s
⊢ Function.Periodic Complex.cos (2 * ↑Real.pi)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
a : A
b : B
⊢ (GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) (a ᵍ⊗ₜ[R] b) = (DirectSum.decompose 𝒜) a ⊗ₜ[R] (DirectSum.decompose ℬ) b
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
b : LinearMap.SeparatingLeft B
m n : V
⊢ ((B.toDual b) m) n = (B m) n
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).darts = p.darts.concat { toProd := (v, w), adj := h }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
⊢ max y z ≤ x ↔ x ≥ y ∧ x ≥ z
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
i : ι
x : M
⊢ 0 ≤ (f i) x
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
⊢ Sym2.map (⇑f) e ∈ G'.edgeSet
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B
⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
b : Bool
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' b m n ≠ 0
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x ∧ derivWithin f (Set.Ici x) x ∈ K} = RightDerivMeasurableAux.D f K
a b m n✝ p n d : ℕ
⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
⊢ a / (b ^ i * b) * b ≤ a / b ^ i
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Fintype G
hdvd : p ∣ Fintype.card G
⊢ ∃ x, orderOf x = p
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N
h' : upperCrossingTime a b f N n ω < N
⊢ upperCrossingTime a b f M n ω = upperCrossingTime a b f N n ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
⊢ StrictMono s.disjSum
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈ comap (MonoidHom.id N) K ↔ x✝ ∈ K
α : Type u_1
n : ℕ
a b : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
⊢ a ∈ Sym.fill b i s ↔ ↑i ≠ 0 ∧ a = b ∨ a ∈ s
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
⊢ Continuous fun p => infEdist p.1 ↑p.2
X Y : Type u
f : X ≅ Y
x : X
⊢ f.inv (f.hom x) = x
α : Type u_1
x : Option α
⊢ Option.traverse pure x = x
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
⊢ ((additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
⊢ (zero F s i).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => κ.density ν a x s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : p ∣ q
⊢ (X ^ q - X).Separable
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-a) b = -(toIcoDiv hp a (-b) + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
ha : ρ.fst {a} ≠ 0
⊢ (ρCond a) univ = 1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype m
Semiring α
DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (M * f.toMatrix) i j = Option.casesOn (f.symm j) 0 fun fj => M i fj
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ (R₂.map (α.app c) ≫ R₂.map ((L₁ ⋙ H).map (adj₁.unit.app c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
α : Type u_4
DecidableEq α
n : ℤ
b x : α
f : Equiv.Perm α
⊢ (Equiv.swap x (f x) * f) b ≠ b → (f ^ n) (f x) = b → ∃ i, ((Equiv.swap x (f x) * f) ^ i) (f x) = b
P : TopCat → Prop
X : Type u
TopologicalSpace X
self : CompHausLike.HasProp P X
⊢ P (TopCat.of X)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)
⊢ I.jacobson = I ↔ ⊥.jacobson = ⊥
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
⊢ c • x ≠ 0 ↔ c ≠ 0 ∧ x ≠ 0
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
∀ (j : J), Nonempty ↑(F.obj j)
∀ (j : J), CompactSpace ↑(F.obj j)
∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
⊢ Nonempty ↑(TopCat.limitCone F).pt
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
f : LocallyBoundedMap β γ
g : LocallyBoundedMap α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : Over X
X✝ Y✝ : Over f
κ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ κ.left.left ≫ Y✝.hom.left = (κ.left ≫ Y✝.hom).left
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
⊢ 0.1 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) ≫
    (s.cofan (Opposite.op [n])).inj (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) ≫
      AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x y : G
⊢ ↑x = ↑y ↔ x / y ∈ N
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
f : α → M
⊢ (Function.mulSupport f).mulIndicator f = f
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ((ContinuousMultilinearMap.smulRightL 𝕜 E G) f) z = f.smulRight z
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set α
t : Set β
h : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
ht : t.Nonempty
⊢ Bornology.IsBounded s
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0
⊢ IsUnit (gcd x' y')
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40064, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40068, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
kf : KernelFork S.g
hkf : IsLimit kf
this : S.HasHomology
⊢ (Iso.refl (Arrow.mk S.toCycles).left).hom ≫ (Arrow.mk ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))).hom = (Arrow.mk S.toCycles).hom ≫ (S.cyclesIsKernel.conePointUniqueUpToIso hkf).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ s = ⋂ i ∈ s, i
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ
⊢ ↑(a.ascFactorial b) = Polynomial.eval (↑a) (ascPochhammer S b)
α : Sort u_4
M : Type u_7
OrderedCommMonoid M
f : α → M
hf : ∀ (i : α), 1 ≤ f i
⊢ 1 ≤ ∏ᶠ (i : α), f i
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
j : J
⊢ ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (desc g) = ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ desc fun j => F.map (g j)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), b = a + p
c : R
⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star c * b * c = star c * a * c + p