ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ map f H = map f K ↔ H ⊔ f.ker = K ⊔ f.ker
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f univ x v ↔ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
φ ψ : (α →₀ M) →ₗ[R] N
h : ∀ (a : α) (b : M), φ (Finsupp.single a b) = ψ (Finsupp.single a b)
⊢ φ = ψ
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
u : Rˣ
J A : Matrix n n R
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesLieSubalgebra (u • J) ↔ A ∈ skewAdjointMatricesLieSubalgebra J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ {X Y : D} (f : X ⟶ Y) (j : C), (F.flip.map f).app j = (F.obj j).map f
α : Type u_1
a : Option α
⊢ (!a.isNone) = a.isSome
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
v : ZFSet
⊢ v = a → v ∈ x ∨ v ∈ y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
this : univ = image (fun w => ↑w) univ ∪ image (fun w => ↑w) univ
⊢ ‖x‖₊ = univ.sup fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ ↑𝕜 = ⇑(algebraMap 𝕜 𝓜(𝕜, 𝕜))
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
⊢ Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count (idealX K).asIdeal (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {↑P}))
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree
⊢ p.natDegree = q.natDegree
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite W
h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F
val✝ : Fintype W
⊢ Nonempty (G →g F)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ ∅, (f p x, f q x) ∈ u
x : ℝ
⊢ ↑x ∈ Complex.slitPlane ↔ 0 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ μ (f ⁻¹' s) = ν (g ⁻¹' s)
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.LeftInverse (Function.surjInv ⋯) f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≤ toIcoMod hp a b
α : Type u_1
s t : List α
⊢ s ∈ t.inits ↔ s <+: t
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => p x ∨ q x) = Filter.bliminf u f p ⊓ Filter.bliminf u f q
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
y : Set β
⊢ maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s y
f g : ℝ → ℝ
f' g' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) s x
z w : ℍ
⊢ dist ↑z ↑w ≤ w.im * (rexp (dist z w) - 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (S.index P).R = S.Relation
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
⊢ Squarefree n ∧ IsPrimePow n ↔ Prime n
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖ContinuousMap.toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(MeasureTheory.measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (x - ↑y) = round x - y
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
hs : IsOpen s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ -(2 * π) ≤ x.arg
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ v x✝³ •> w x✝¹ •> M x✝³ x✝¹ = v x✝³ * (M x✝³ x✝¹ * w x✝¹)
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a b : α
h : (a :: l₁).Sublist (b :: l₂)
⊢ l₁.Sublist l₂
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
x : R
s : Set R
⊢ x ∈ NonUnitalSubsemiring.closure s ↔ ∀ (S : NonUnitalSubsemiring R), s ⊆ ↑S → x ∈ S
α : Type u
self : BooleanAlgebra α
x : α
⊢ ⊤ ≤ x ⊔ xᶜ
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0
⊢ (p * C a).natDegree = p.natDegree
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : T < 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y✝ z : E
h : ConvexOn 𝕜 s f
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
y : E := t.centerMass w p
i : ι
hi : i ∈ filter (fun i => w i ≠ 0) t
hfi : w i • f y ≤ w i • (f ∘ p) i
⊢ ∃ i ∈ t, f y ≤ f (p i)
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ 0 < (a * b).x
a b : Int
h : b < a
⊢ 0 < a - b
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulReflectLT α
h : a * b < a * c
a0 : 0 ≤ a
⊢ b < c
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
⊢ ⊥ = ⊤
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.eq
ee : e = e'
⊢ ω ^ e.repr * (↑↑n + ↑↑n') + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ c)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
n : ℕ
⊢ (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasKernelOfHasCokernel S).i = CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
x y z : ↑X
h : x ⤳ y
h' : y ⤳ z
⊢ F.stalkSpecializes h' ≫ F.stalkSpecializes h = F.stalkSpecializes ⋯
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ (G'.induce s).verts = s
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsCycle
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J × K) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (K × J) C
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.flip ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) k ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimitFlipCompColimIsoColimitCompColim F).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.obj j) k ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
i : LocallyConnectedSpace Y
h : X ≃ₜ Y
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ h x ∈ s ∧ IsConnected s) fun x => ⇑h.symm '' x
⊢ LocallyConnectedSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b ≤ a + (c + (b - c))
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single (g * x) 1 = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single x 1
a b c : EReal
⊢ a * (b / c) = a * b / c
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint g ↔ Disjoint f.support g.support
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
⊢ D 1 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
s : Set G
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun y => ‖f y‖ ^ 2) s
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ ↑φ.range = Set.range ⇑φ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a : α
⊢ IsSquare (mabs a) ↔ IsSquare a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoInitial.hom = 0
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ n + n + 1 = n.bit1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ μ.restrict (Set.Ico a b) = μ.restrict (Set.Icc a b)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s)) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • (g⁻¹ • s ∩ t)))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (single i x)
⊢ x = 0
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (Polynomial.aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ Polynomial.X ^ 2 - Polynomial.C (2 * z.re) * Polynomial.X + Polynomial.C (‖z‖ ^ 2) ∣ p
x n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ ¬Nat.Prime (x ^ n)
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ Submonoid.closure Set.univ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (P.mapCone (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows.cocone.op)) ↔
  ∀ (E : Aᵒᵖ), CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor (P.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj E)) R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ici a \ Ioi b = Icc a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y' Z).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z))
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : α
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h
⊢ a ≤ iInf g * h
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P
⊢ dist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ dist v v' + dist p p'
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
Algebra R P
IsLocalization M P
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x₁ y₁ = IsLocalization.mk' S x₂ y₂ ↔ IsLocalization.mk' P x₁ y₁ = IsLocalization.mk' P x₂ y₂
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.mk' L R).right = R.tail
β : Type u_2
CompleteLattice β
s : Set (Set β)
⊢ sSup (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, sSup t
α : Type u
f : Filter α
⊢ Filter.map (fun x => x) f = f
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ (↑n ! ^ 2) ^ 2 / ((√(2 * ↑n) ^ 2) ^ 2 * ((↑n ^ n / rexp 1 ^ n) ^ 2) ^ 2) / (↑(2 * n)! ^ 2 / (√(2 * ↑(2 * n)) ^ 2 * (↑(2 * n) ^ (2 * n) / rexp 1 ^ (2 * n)) ^ 2)) * (↑n / (2 * ↑n + 1)) = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ¬Acc r a
⊢ ∃ b, ¬Acc r b ∧ r b a
⊢ ¬(𝓝 ∞).IsCountablyGenerated
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
⊢ Homogeneous 𝒜 ↑z
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J = 1 / I
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ ω, ω.length = cs.length w ∧ w = cs.wordProd ω
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype n
NonUnitalSemiring α
StarRing α
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
⊢ (M * N)ᴴ = Nᴴ * Mᴴ
R : Type u_1
EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h : abv.IsAdmissible
A : Fin (h.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
v : V
hp : ∀ e ∈ SimpleGraph.Walk.nil.edges, e ∉ s
⊢ SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s SimpleGraph.Walk.nil hp = SimpleGraph.Walk.nil
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : α₂ → Type u_3
e : α₁ ≃ α₂
a : (a : α₁) × β (e a)
⊢ e.sigmaCongrLeft a = ⟨e a.fst, a.snd⟩
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => f x ⊓ g x) a
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ f.range = NonUnitalSubring.map f ⊤
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ Ordinal.type r = 0 ↔ IsEmpty α
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ (s - t).card ≤ s.card * t.card
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇔ b ⇔ c = a ⇔ c ⇔ b
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
⊢ Rat.divInt a b ≠ 0 ↔ a ≠ 0
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
f g : (DirectSum ι fun i => A i) →+* R
h : ∀ (i : ι) (x : A i), f ((DirectSum.of A i) x) = g ((DirectSum.of A i) x)
⊢ f = g
α : Type u_1
Group α
N : Subgroup α
s : Set α
⊢ QuotientGroup.mk ⁻¹' (QuotientGroup.mk '' s) = ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
self : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g π
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.leftSection f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp π self.rightSection
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Base (M.E \ B) ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B}
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ interior s ⊆ intrinsicInterior 𝕜 s
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Zero (α i j)
β : m → n → Type w
(i : m) → (j : n) → Zero (β i j)
f : ⦃i : m⦄ → ⦃j : n⦄ → α i j → β i j
h : ∀ (i : m) (j : n), f 0 = 0
⊢ DMatrix.map 0 f = 0
R : Type u_2
CommRing R
f : Polynomial R
r : R
h : ∀ (k : ℕ), Polynomial.eval r ((Polynomial.hasseDeriv k) f) = 0
⊢ f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
⊢ (emptyOn α).map f ⋯ = emptyOn β
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1
⊢ -(↑γ + log ↑(2 ^ 2 * π)) / 2 = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
h : LinearMap.ker (traceForm R L M) = ⊥
⊢ IsLieAbelian L
G : Type u
AddMonoid G
n : ℕ
⊢ AddMonoid.exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), addOrderOf g ∣ n
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C o
⊢ Profinite.NobelingProof.GoodProducts.range C = ⋃ e, Profinite.NobelingProof.GoodProducts.smaller C ↑e
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ ∃ p, x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
S₁ : NonUnitalSubalgebra R B
⊢ (S.prod S₁).toSubmodule = S.toSubmodule.prod S₁.toSubmodule
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec Mathlib.Vector.head
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ¬LinearIndependent ℝ (Option.elim' φ' f')
a✝ n a : ℕ
L : List ℕ
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)
haL : ∀ b ∈ L, a < b
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L
α : Type u_1
AddZeroClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ AntitoneOn f (Icc (↑a) (↑a + ↑(b - a)))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ↑f.toLinearEquiv = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }
step1 : ∀ (n : ℤ), fourierCoeff (⇑B) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
step2 : HasSum (fun i => (-↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑i) ^ k) • (fourier i) ↑y) (B ↑y)
⊢ ↑(bernoulliFun k y) = B ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b x : α
hx : ∀ (y : α), y = x
⊢ a = b
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0
⊢ sin (x / 2) = -√((1 - cos x) / 2)
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsStrictTotalOrder β s], IsStrictTotalOrder α r
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (∑ i ∈ s, f i) μ
n : ℕ
⊢ catalan (n + 1) = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2