ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁₂ : S₁ ⟶ S₂
φ₂₃ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂ φ₂₃).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₂ φ₂₃.τ₂
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U V : TopologicalSpace.Opens ↑Z
i : U ⟶ V
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g)).map i = (TopologicalSpace.Opens.map f).map ((TopologicalSpace.Opens.map g).map i)
α : Type u_1
LinearOrder α
p : { p // p.1 ≤ p.2 }
⊢ Sym2.sortEquiv.symm p = Sym2.mk ↑p
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' S' (f 1) ⟨f ↑⟨r, hr⟩, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y
R : Type u
CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ (ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverseObj A).one = Algebra.linearMap R ↑A
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x y : R
I J : Ideal R
⊢ span {x} * I ≤ span {y} * J ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ MeasureTheory.fundamentalInterior G s ↔ x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
a b : UInt16
⊢ a % b = { val := a.val % b.val }
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ (p : K[X]), (if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
α : Type u
C : FreeAbelianGroup α → Prop
z : FreeAbelianGroup α
C0 : C 0
C1 : ∀ (x : α), C (FreeAbelianGroup.of x)
Cn : ∀ (x : α), C (FreeAbelianGroup.of x) → C (-FreeAbelianGroup.of x)
Cp : ∀ (x y : FreeAbelianGroup α), C x → C y → C (x + y)
⊢ C z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ s ○ (t ○ u) = t ○ (s ○ u)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
⊢ Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (1 • f x))
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm
this : (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v) = (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
R : Type u
CommSemiring R
x y : PrimeSpectrum R
⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
α : Type u_1
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ici a)
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
⊢ a ∈ AddAction.fixedPoints M α ↔ ∀ (m : M), m +ᵥ a = a
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
Preorder α
a : α
⊢ (OrderRingHom.id α) a = a
P : PFunctor.{u}
α : Type u
a : P.A
f : P.B a → α
x : α
⊢ x ∈ supp ⟨a, f⟩ ↔ x ∈ f '' univ
G : Type u
Group G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → F
⊢ (∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y) ↔ Function.Injective f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 - -1 = ↑p * k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ 0 ≤ ‖f‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
⊢ (f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
z : Complex.UnitDisc
⊢ (↑z).re = z.re
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : M
⊢ ((QuotSMulTop.map r) f) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
K.IsStrictlySupported e
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (K.X i')
i j k : ℤ
⊢ i.gcd j ∣ (k * i).gcd j
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 < n
h : a < b
⊢ n • a < n • b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
Fintype ↥S
⊢ S = ⊥ ↔ Fintype.card ↥S = 1
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : ℕ
x : M
v : Fin m → M
hli : LinearIndependent R v
x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(Submodule.span R (Set.range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0
⊢ LinearIndependent R (Fin.cons x v)
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
(i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : Turing.ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ
⊢ (Turing.ListBlank.map (Turing.proj i) L).nth n = L.nth n i
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
h : f ≤ g
⊢ a₁ ≤ a₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
i j : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyPInftyToId X).hom i j = (AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyPToId X (j + 1)).hom i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
⊢ Set (Set α)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)
⊢ Continuous integral
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
⊢ ⇑((FreeLieAlgebra.lift R) f) ∘ FreeLieAlgebra.of R = f
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L₂ M
t : R
x : L₁
m : M
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Functor.mapSquare C F).map φ).τ₃ = F.map φ.τ₃
R : Type u
CommSemiring R
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ((LinearMap.domRestrict' p) f) x = f ↑x
α : Type u_2
SemilatticeSup α
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set α
t : Finset ι
OrderBot α
hs : SupClosed s
ht : t.Nonempty
⊢ (∀ i ∈ t, f i ∈ s) → t.sup f ∈ s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSolvable R L
⊢ LieAlgebra.radical R L = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (map f (s + replicate (n - m) a)).prod = (map f (t + replicate (n - m) a)).prod ↔ (s + replicate (n - m) a).prod = (t + replicate (n - m) a).prod
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ iSup f / a = ⨆ i, f i / a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
AddCommMonoid T
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
Module R T
f : M →ₗ[R] Q
g : N →ₗ[R] S
h : P →ₗ[R] T
x : TensorProduct R M (TensorProduct R N P)
⊢ (TensorProduct.map (TensorProduct.map f g) h) ((TensorProduct.assoc R M N P).symm x) =
  (TensorProduct.assoc R Q S T).symm ((TensorProduct.map f (TensorProduct.map g h)) x)
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ (head✝ :: l₁).keys
⊢ kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
⊢ ↑(r * d) ≤ dimH s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : α
⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a / b = x
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Ici b = Ici (b + a)
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice ℝ L
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
MeasureTheory.Measure.IsAddHaarMeasure μ
⊢ Zlattice.covolume L μ ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeInf δ
OrderTop δ
g : γ → δ
a : δ
⊢ a ≤ (Finset.image₂ f s t).inf g ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ g (f x y)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → dist x y ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter β
f : α → β
⊢ (Filter.comap f l).smallSets = Filter.comap (Set.image f) l.smallSets
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
⊢ (p.support.erase p.natDegree).max ≠ ↑p.natDegree
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ < b₂
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
c : ℝ
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f'' g''
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x = 0 → f'' x = 0
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
i : ℕ
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
x : S
⊢ (Ideal.quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Submodule.Quotient.mk x) =
  Submodule.Quotient.mk ⟨(Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (a * x), ⋯⟩
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
i j : n
hj : j ∈ Finset.univ
⊢ ‖diagonal v i j‖₊ ≤ ‖v i‖₊
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) X X' ≫ __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' = __src✝.map (f ▷ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) Y X'
it : String.Iterator
⊢ it.Valid → it.remainingBytes ≤ it.s.utf8ByteSize
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ + (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ + S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂.τ₁ + φ₄.τ₁)
α : Type
ds : List ℕ
Monoid α
AddMonoid α
m n : ℕ
x y : Holor α ds
⊢ Holor.CPRankMax m x → Holor.CPRankMax n y → Holor.CPRankMax (m + n) (x + y)
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ restrict s g = f
R : Type u
LinearOrder R
x y : R
⊢ Tropical.trop (x ⊓ y) = Tropical.trop x + Tropical.trop y
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x ≤ y
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
α : Type u_1
t : Ordnode α
x : α
⊢ t.dual.findMin' x = Ordnode.findMax' x t
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
inst✝ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso
hP₂ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β), P f → P (s.restrictPreimage f)
hP₃ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β), iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f
⊢ IsLocalAtTarget (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P)
n k : ℕ
⊢ (n + k.succ - 1).descFactorial k.succ = n.ascFactorial k.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
b : β
⊢ b ∈ CompleteSublattice.map f L ↔ ∃ a ∈ L, f a = b
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t 𝒰 f g i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
hs : g ∘ s = id
t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit
ht : Continuous t
h : StoneCech X → Y := stoneCechExtend ht
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ g ∘ h = f
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R
x : υ → R
⊢ comap (g.comp f) x = comap f (comap g x)
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
n : ℕ
⊢ ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
a x : ℝ
⊢ ↑(HurwitzZeta.evenKernel (↑a) x) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a * Complex.I * ↑x) (Complex.I * ↑x)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ {x | a < x ∧ x < b} = Set.Ioo a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'
CategoryTheory.Limits.HasPushout f (g ≫ g')
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f (g ≫ g') ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutLeftPushoutInrIso f g g').inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'
α : Type u_1
i : Nat
l : List α
h : l.length ≤ i
⊢ List.take i l = l
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
Y : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Y} {f : X → Y} {ν : MeasureTheory.Measure Y},
  MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν →
    MeasurableEmbedding f → ∀ (g : Y → E) (s : Set X), ∫ (y : Y) in f '' s, g y ∂ν = ∫ (x : X) in s, g (f x) ∂μ
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool
⊢ s.boolIndicator ⁻¹' t = (if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ sᶜ
⊢ s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y ↔ f x ≠ g y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g h : G
L : List G
⊢ g * (h⁻¹ * ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i) = (g :: h :: L).get 0 ^ (-1) ^ ↑0 * ((g :: h :: L).get (Fin.succ 0) ^ (-1) ^ ↑(Fin.succ 0) * ∏ i : Fin L.length, (g :: h :: L).get i.succ.succ ^ (-1) ^ ↑i.succ.succ)
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r.toNNReal = ‖r‖₊
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y : M
hsrc : x ∈ (chartAt H y).source
⊢ mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
⊢ Function.Injective (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s : Set X
⊢ μ ≤ pre m r ↔ ∀ (s : Set X), diam s ≤ r → μ s ≤ m s
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ ∀ b ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, vanishingIdeal (zeroLocus I) ≤ b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ ↑N ≤ ↑N' ↔ N ≤ N'
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E
⊢ Continuous ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsTrans β s
f : r ≺i s
a : α
b : β
h : s b (f.toRelEmbedding a)
⊢ ∃ a', f.toRelEmbedding a' = b
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
hv : HasDerivWithinAt v v' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) s x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
Algebra A B
IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ (liftOfDerivationToSquareZero I hI f) x = ↑(f x) + (algebraMap A B) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.projectiveResolutions C).map f) Q.iso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.iso.hom ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ)
R : Type u_1
M : Type u_2
SMul M R
Semigroup R
SMulCommClass M R R
x y : R
m : M
h : x ∣ y
⊢ x ∣ m • y
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
sq : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom sq.right
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x : c.pt
⊢ (↑((CategoryTheory.Limits.PullbackCone.IsLimit.equivPullbackObj hc) x)).2 = c.snd x
⊢ ∀ {X Y : FintypeCat} (f : X ⟶ Y) (a : ↑X), (FintypeCat.toLightProfinite.map f) a = f a