ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ spanPoints k s
hp2 : p2 ∈ spanPoints k s
⊢ p1 -ᵥ p2 ∈ vectorSpan k s
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ List.Ico n (m + 1) = List.Ico n m ++ [m]
R : Type u_2
Ring R
⊢ ⊤.op = ⊤
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ image2 f (s ∪ t) (s ∩ t) ⊆ image2 f s t
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a : α
z : ℤ
⊢ z • p + a ≡ a [PMOD p]
p : Prop
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : Batteries.RBNode α} {x : α} {b : Batteries.RBNode α} {n : Nat},
  Batteries.RBNode.RedRed p (Batteries.RBNode.node Batteries.RBColor.red a x b) n →
    ∃ c₁ c₂, a.Balanced c₁ n ∧ b.Balanced c₂ n
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f) m‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
H : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.BijOn f₁ s t ↔ Set.BijOn f₂ s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable X' μ'
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b
⊢ ∃ q, 0 ≤ q ∧ a < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
α : Type u_1
l : Language α
⊢ 1 + l∗ * l = l∗
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
a : ↥A
b : ↥B
⊢ ↑((A.mulMap' B) (a ⊗ₜ[R] b)) = ↑a * ↑b
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
hco : ((↑e).comp f).toRingHom = (↑e.toRingEquiv).comp f.toRingHom
⊢ RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom = RingHom.ker f.toRingHom
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).ψ₂ = Polynomial.map (mapRingHom f) W.ψ₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x✝ : ↑(ModuleCat.of ℤ (LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ))
⊢ (ModuleCat.ofHom (πs C o) ≫ ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) x✝ = 0 x✝
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Top α
inst✝² : Top β
inst✝¹ : Top γ
inst✝ : Top δ
g : TopHom β γ
f₁ f₂ : TopHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
self : η.StrongCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (self.naturality f).hom = η.naturality f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
⊢ (↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) (↑I x) = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous fun μ => μ.mass
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
⊢ ∃ k ≤ b, b = a + k
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α ν
MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ fract (↑n + a) = fract a
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
⊢ Function.Injective Rat.cast
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
A : Type u_2
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℝ A
⊢ Function.Injective NonUnitalStarAlgHom.realContinuousMapZeroOfNNReal
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ Eₘ[s, univ] = Fintype.card α * s.card ^ 2
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
⊢ ∃ c, n = kl.1 + c
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ • b < a₂ • b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).hom.app X).hom₂ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app X.obj₂
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
x y : P
⊢ ⟨span R {x}, ⋯⟩ = ⟨span R {y}, ⋯⟩ ↔ span R {x} = span R {y}
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
h : x ^ Fintype.card (ZMod p) = x
⊢ x ^ p = x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s ∩ g • t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • t ∩ s, f (g⁻¹ • x) ∂μ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : μ.InnerRegular
⊢ μ.InnerRegularWRT IsCompact fun s => MeasurableSet s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (remainder p n).vars ∪ (wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.fst M N) = ⊤
α : Type u_1
i : Nat
l : List α
h : l.length ≤ i
⊢ List.drop i l = []
a b c : ℕ
⊢ a / c + b / c ≤ (a + b) / c
a b c : Nat
h : a < c - b
⊢ a + b < c
X : Scheme
U V : X.Opens
h : U = V
W : (Spec Γ(X, V)).Opens
⊢ Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom h).op)) W = eqToHom ⋯
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Ico b c = Set.Ico (b - a) (c - a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (0 + a✝).f = a✝.f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary (f ∘ ⇑σ) g
R : Type u_3
A : Type u_4
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (algebraMap (↥S) A).range = S.toSubring
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b
⊢ b⁻¹ ≤ a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f g : α → β
⊢ (range fun x => if p x then f x else g x) ⊆ range f ∪ range g
d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
⊢ ¬m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
⊢ M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
⊢ Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
K : Type u
CommRing K
R : Type u_1
IsDomain K
Monoid R
DistribMulAction R K[X]
IsScalarTower R K[X] K[X]
c : R
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk (c • p) q = c • RatFunc.mk p q
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
h : ¬IsFiniteMeasure μ
h' : ¬μ univ = ⊤
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x⁻¹ ^ (n + 1)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
⊢ imageSieve (f₁ ≫ f₂) x ≤ imageSieve f₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
h : Function.Periodic f c
hc : 0 < c
x a : α
⊢ ∃ y ∈ Set.Ioc a (a + c), f x = f y
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
CommMonoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
m : Multiset M
hm : ∀ a ∈ m, a ∈ S
⊢ m.prod ∈ S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a = b * b ↔ a = b ∨ a = -b
R : Type u
CommRing R
IsBezout R
p : R
hp : Irreducible p
i : R
⊢ IsCoprime p i ∨ p ∣ i
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ (J l R)⁻¹ = -J l R
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).RightMoves = xr
M : Type u_2
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) = a ^ n * a
R : Type uR
Semiring R
T : Type uT
Semiring T
r : R → R → Prop
f g : RingQuot r →+* T
w : f.comp (RingQuot.mkRingHom r) = g.comp (RingQuot.mkRingHom r)
⊢ f = g
n : Nat
⊢ Int.subNatNat n n = 0
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
n d : ℤ
⊢ (Rat.divInt n d).num = d.sign * n / ↑(n.gcd d)
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P✝ : Ideal S
P_prime✝ : P✝.IsPrime
hP✝ : P✝ ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
ab_mem : a * b ∈ P ^ (i + 1)
⊢ b ∈ P
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
n : ℕ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (some n) f s
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblY P / W.dblZ P ^ 3 =
  W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
    (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s : Set (α → M)
⊢ A.Definable L s ↔ ∃ A0, ↑A0 ⊆ A ∧ (↑A0).Definable L s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : IntegrableOn f t μ
hgi : IntegrableOn (g ∘ f) t μ
⊢ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ, ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M
⊢ polar (⇑Q) 0 y = 0
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t u : Set α
⊢ s ⊼ (t ⊼ u) = t ⊼ (s ⊼ u)
m n k : ℕ+
h : k.Coprime m
⊢ (k * n).gcd m = n.gcd m
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M N : Matrix m n α
⊢ (∀ (i : m) (j : n), M i j = N i j) ↔ M = N
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Interval α
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⋂ i, ↑(f i)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
⊢ Z.localTriv (Z.indexAt b) = Z.localTrivAt b
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrderBot (α i)
b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Iio b).card = ∏ i : ι, (Finset.Iic (b i)).card - 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Injective ⇑S.f
k : ℕ
x : ℝ
⊢ bernoulliFun k x = ↑(k + 1) * bernoulliFun (k + 1 - 1) x / (↑k + 1)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : γ → Finset α
t' : Finset α
s' : α → Finset γ
h : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'
f : γ → α → β
⊢ ∑ x ∈ s, ∑ y ∈ t x, f x y = ∑ y ∈ t', ∑ x ∈ s' y, f x y
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! m, b - m • a ∈ Set.Ico c (c + a)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPoly p n) = X n ^ p
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ (Orientation.map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
f g : β → C
z : (b : β) → f b ≅ g b
j j' : β
w : j = j'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z j).inv (CategoryTheory.eqToHom ⋯) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (z j').inv
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
hik : 0 ≤ k
hm₁ : p ^ 0 ≠ 1
hm : p ^ 0 ∣ p ^ k
⊢ False
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range (2 ^ i), f a ≤ f 0 + ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.map φ).τ₄ = φ.right.right
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) ((f x)⁻¹ * f') x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
⊢ (∃ p, Prime p) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosReflectLE α
bc : b * a ≤ c * a
a0 : 0 < a
⊢ b ≤ c
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ (minpoly K f).IsRoot μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
hrpq0 : (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁.toOuterMeasure ≤ μ₂.toOuterMeasure ↔ μ₁ ≤ μ₂
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
a : α
⊢ Irreducible (Associates.mk a) ↔ Irreducible a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ ↑p = 2
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ p.nextCoeff = p.coeff (p.natDegree - 1)
n : ℕ
⊢ ZMod.valMinAbs 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
t : Finset ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ ∑ i ∈ t, g i ∈ ∑ i ∈ t, f i
S : Type u_1
M : Type u_2
SubNegMonoid M
SetLike S M
AddSubgroupClass S M
⊢ SMulMemClass S ℤ M
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
⊢ p = comap f q
m n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ n.factorial = m.factorial ↔ n = m
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
K : AddSubgroup N
f : G →+ N
⊢ ↑(AddSubgroup.comap f K) = ⇑f ⁻¹' ↑K
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M
this : y - x ∈ ker f ⊔ ker g
⊢ ∃ y_1, y_1 - x ∈ ker f ∧ g y_1 = g y
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι
this : S i ≤ iSup S
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S i → x ∈ iSup S
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
i : Nat
⊢ List.drop (l₁.length + i) (l₁ ++ l₂) = List.drop i l₂
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
u : Set (B × F)
hu1 : IsOpen u
hu2 : ↑e'.symm ⁻¹' e.source ∩ e'.target = u ∩ e'.target
⊢ IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin Y.len
⊢ (h.hom (h.inv { down := a })).down = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ⟶ G
V : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTrans α).obj V).str =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp V.str (α.app V.V)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
x : α
⊢ ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x‖
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a : α
n : ℕ
⊢ n • p + a ≡ a [PMOD p]
α : Type u
Semiring α
x y z : α
⊢ z ∈ Ideal.span {x, y} ↔ ∃ a b, a * x + b * y = z
ι : Type u_1
Fintype ι
Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} =
  ENNReal.ofReal r ^ Fintype.card ι *
    ENNReal.ofReal ((2 * Real.Gamma (1 / p + 1)) ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (↑(Fintype.card ι) / p + 1))
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
⊢ p = minpoly A x
a : ℤ
⊢ ↑a.natAbs = ↑a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Filter β
m : γ → β
⊢ Filter.comap m (f.lift g) = f.lift (Filter.comap m ∘ g)