ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hy : y ∈ I
⊢ x * y ∈ I
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
⊢ (p.snoc newLast rel).length = p.length + 1
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → ¬x.InfinitePos
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
⊢ MeasureTheory.Measure.count s = 0 ↔ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : UpperSet α
b : β
⊢ b ∈ (UpperSet.map f) s ↔ f.symm b ∈ s
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0
⊢ (of A 0) (a ^ 0) = (of A 0) a ^ 0
K : Type u
inst✝ : Field K
p✝ q : K[X]
hq : q ≠ 0
p : K[X]
⊢ (if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y : 𝕜
⊢ Pi.single i = ⇑(ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜)))
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
LT α
a b : WithBot α
ha : a ≠ ⊥
hb : b ≠ ⊥
⊢ ⊥ < a * b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
g₁ g₂ : X ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPushout f₁ g₁
inst✝ : HasPushout f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 Y) (𝟙 Z) (𝟙 X) ⋯ ⋯
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ sᶜ = 0
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᵐ[μ] f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
z : ℤ_[p]
hz : ih_gen n z
⊢ ‖↑(Polynomial.eval z F) / ↑(Polynomial.eval z (Polynomial.derivative F))‖ ≤ 1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J✝
D : J✝ ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ ∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.coeff f.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂
⊢ ν₁ = ν₂
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₃).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).hom.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).obj X))
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ici a ∩ Iic b) (Ici (a + d) ∩ Iic (b + d))
α : Type u
LinearOrder α
a : α
⊢ max a a = a
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s t : Set α
h : t.WellFoundedOn r
hst : s ⊆ t
⊢ s.WellFoundedOn r
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
R S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Algebra.FormallyUnramified R S
Algebra.EssFiniteType R S
Module.Flat R M
⊢ Module.Flat S M
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
h : M.Coindep X
⊢ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Function.Involutive Polynomial.mirror
α : Type u
GroupWithZero α
a : α
Invertible a
⊢ ⅟a = a⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ
⊢ ⌈↑x⌉ = ⌈x⌉
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ Subgroup.map f (H ⊔ K) = Subgroup.map f H ⊔ Subgroup.map f K
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ (p.prodEquivOfIsCompl q h) ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x) ∈ q
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H
⊢ ↑(H.transferFunction g q) = q
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
⊢ μ.innerContent ((Opens.comap f.toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid A
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousMonoidHom B C
⊢ Continuous fun g => f.comp g
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), J ≤ P → K ≤ P → ¬P.IsPrime
hJ : I ≤ J
hK : I ≤ K
⊢ I ≤ J * K
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)
⊢ (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m) * ↑(k + 1 - m)) = (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m) * ↑(k + 1))
M : Type u_1
SubtractionMonoid M
a b c d : M
hbd : AddCommute b d
hb : IsAddUnit b
hd : IsAddUnit d
⊢ a - b = c - d ↔ a + d = c + b
T : ℝ
x : ↥circle
⊢ ContinuousAt { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ generateFrom (range Ioi) = generateFrom (⋃ a, {Ioi ↑a})
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L ≠ ⊤
x : ℝ
hx : x < -1
⊢ 0 < Real.log x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), z i < y i
⊢ y ∈ interior s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
k' : ι'
j : ι
hj : c'.Rel (e.f j) k'
hk' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ k'
⊢ e.BoundaryLE j
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover μ l fun i => Ioc (a i) (b i)
i : ι
hai : a i ≤ 0
hbi : 0 ≤ b i
ht : ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R
this : ¬∀ {a : R}, a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬∃ b, x * b = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) * g i < ∑ i : ι, f i * g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ |a - b| ≤ |a| + |b|
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ toLin' Mᵀ)
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ Polynomial.C r = (algebraMap R R[X]) r
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.restrict ∅ = Matroid.emptyOn α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
h : F ≅ G
F.IsLeftAdjoint
⊢ G.IsLeftAdjoint
α : Type u_1
Lattice α
⊢ ↑(Lat.of α) = α
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖S.normedMk m‖ ≤ 1 * ‖m‖
α : Type u_1
Bornology α
Lattice α
Nonempty α
⊢ IsOrderBornology α ↔ inst✝ = orderBornology
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
a : α
IsTrans α R
hl : List.Chain R a l₂
h : l₁.Sublist l₂
⊢ List.Chain R a l₁
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G))
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1
⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
⊢ s =ᶠ[ae μ'] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ'] univ
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)
hφ : AECover μ l φ
i : ι
hai : a i ≤ 0
hbi : 0 ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
⊢ Set.Ici ⊥ = Set.univ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
⊢ x ∈ ↑f.ker ↔ f x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1 : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L
⊢ u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ (↑k * u n + u r) / ↑(k * n + r)
R : Type u
AddGroupWithOne R
⊢ ↑2 = 2
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ (∃ a ∈ range (n + 1), (a, n - a) = x) ↔ x.1 + x.2 = n
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a) ↔ ∃ b, derivFamily (o.familyOfBFamily f) b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (f x).toReal) μ ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ ∂μ < ⊤
α : Type ua
β : Type ub
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : ι → UniformSpace α
u₂ : UniformSpace β
i : ι
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous f
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : FiberPrebundle F E
b : B
⊢ Inducing (↑(self.pretrivializationAt b) ∘ Bundle.TotalSpace.mk b)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this : ExpChar E q
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Preorder (α i)
⊢ Monotone DFunLike.coe
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[m + n.succ] = f^[m] ∘ f^[n.succ]
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
Nontrivial R
M : Matrix n n R
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
f : Filter β
⊢ Filter.map (⇑e.symm) f = Filter.comap (⇑e) f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Icc a b = Set.Icc (Function.update f i a) (Function.update f i b)
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y
⊢ √(x ^ 2) ≤ √y
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p : Prop
u v : V
h : G.Reachable u v
hp : G.Path u v → p
⊢ p
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : α →*o β
⊢ OrderMonoidHom.comp 1 f = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
hf : IsAddFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a + b = c + d
⊢ f a + f b = f c + f d
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1
⊢ ∏ i : ι, f i < 1 ↔ f < 1
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s : R
⊢ (ψ.mulShift r).mulShift s = ψ.mulShift (r * s)
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atBot ↔ r < 0
a b : ℤ
⊢ a < b → ¬b < a
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring S
Semiring R
Algebra S R
AddMonoid ι
A : ι → Submodule S R
SetLike.GradedMonoid A
s : S
⊢ ↑((algebraMap S ↥(A 0)) s) = (algebraMap S R) s
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B))
    (KaehlerDifferential.kerTotal R A ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) =
  Submodule.restrictScalars A (KaehlerDifferential.kerTotal R B)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) s (riemannZeta s)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ ν' ≠ 0
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
⊢ (Computable fun a => Encodable.encode (f a)) ↔ Computable f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois X ↔
  Nonempty
    (CategoryTheory.Limits.IsTerminal
      (CategoryTheory.Limits.colimit (CategoryTheory.SingleObj.functor (CategoryTheory.Aut.toEnd X))))
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
f : β → α
b : β
⊢ {b}.inf' ⋯ f = f b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1) = ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂]
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ
⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n_1.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.fst ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b ⨳ c ≤ a ⨳ (b ⨳ c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
⊢ T.reApplyInnerSelf (c • x) = ‖c‖ ^ 2 * T.reApplyInnerSelf x
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
s : Set R
⊢ Polynomial.X.toContinuousMapOn s = ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ ⊥.comp r = ⊥
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-b * x ^ 2)) = ↑(√(π / b) / 2)
⊢ 𝓝 0 = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
M₀ : Type u_5
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : FunLike F ℚ M₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℚ M₀
f g : F
h : ∀ (m : ℤ), f ↑m = g ↑m
r : ℚ
⊢ f r = g r
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ lfp f ∈ Set.range (lfpApprox f ⊥)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ {x_1 | (ker f).Rel x_1 x} ∈ Set.range fun y => {x | f x = y}
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ Continuous f ↔ LowerSemicontinuous f ∧ UpperSemicontinuous f
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (t n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
One M'
⊢ Smooth I I' 1
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
w : Function.Surjective ⇑f
FiniteDimensional K V
⊢ FiniteDimensional K V₂
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
⊢ iSup f ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f i ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f U ≫
    f.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U)) =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
⊢ MeasureTheory.IsSetSemiring C
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k {p₁, p₂}
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a + 0 = a
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ s ⊆ ↑(Subring.closure s)
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
g₁ g₂ : LocallyBoundedMap β γ
f : LocallyBoundedMap α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ Finset.image MulOpposite.op s⁻¹ = (Finset.image MulOpposite.op s)⁻¹
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ (F.ε ≫ F.map A.one) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (λ_ (F.obj A.X)).hom
𝕜 : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Fintype ι₁
inst✝ : Fintype ι₂
v : OrthonormalBasis ι₁ 𝕜 E
w : OrthonormalBasis ι₂ 𝕜 F
⊢ ∀ (i : ι₁ ⊕ ι₂), (v.prod w) i = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ inr ≫ h.isoPushout.hom = CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ (if x = 0 then if -y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * -y)) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y))⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
a : α
ha : 0 < a
b : β
⊢ (RelIso.symm (OrderIso.smulRight ha)) b = a⁻¹ • b
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s / t = s / t
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 1 → β
⊢ ∑ i : Fin 1, f i = f 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
f : Nat.Partrec.Code → ℕ →. ℕ
hf : Partrec₂ f
⊢ ∃ c, c.eval = f c
α : Type u
Add α
Preorder α
⊢ StrictMono ⇑WithZero.toMulBot
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : Set.range f ⊆ Set.range g
⊢ Ordinal.sup f ≤ Ordinal.sup g
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
⊢ Measurable fun a r => (ProbabilityTheory.preCDF ρ r a).toReal
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ J l R * J l R = -1