ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' y
hf : HasFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
right✝ : ∀ (y : Set V), (fun b => b ∈ P.parts ∧ v ∈ b) y → y = Exists.choose ⋯
left✝ : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts
h : v ∈ Exists.choose ⋯
⊢ v ∈ P.partOfVertex v
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
hR1 : 1 ∈ R₀
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
⊢ ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
⊢ Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) atTop (𝓝 (-γ))
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : b < a.succ
⊢ a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H
this : (F ⋙ G).Full
⊢ F.Full
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
⊢ midpoint k a b ≤ b ↔ a ≤ b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)
h10 : f z = f z₀
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⊥
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
f : Spec S ⟶ Spec R
⊢ map φ = map ψ ↔ φ = ψ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
hg_cau : CauchySeq g
this : Tendsto (fun n => (g n).compContinuous e) atTop (𝓝 ((limUnder atTop g).compContinuous e))
hge : (limUnder atTop g).compContinuous e = f
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
α : Type u_1
PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
h2 : a ≤ c
h3 : c ≤ b
⊢ c = a ∨ c = b
G : Type u_1
Add G
a : G
u : (G →+c[a, a] G)ˣ
⊢ ⇑(AddConstEquiv.equivUnits.symm u).symm = ⇑↑u⁻¹
α : Type u_5
self : KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗ * a ≤ a∗
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
⊢ ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, 1 x.1 • b x.2 = b x
M : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
l : List M
⊢ l.sum = 0 ↔ ∀ x ∈ l, x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
⊢ (CochainComplex.triangleOfDegreewiseSplit S σ).mor₃ = CochainComplex.homOfDegreewiseSplit S σ
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ s.restrict g₁ = s.restrict g₂
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
(x : α) → (y : β x) → Preorder (γ x y)
f : (x : α) → (y : β x) → γ x y
x : Sigma β
⊢ (Pi.monotoneUncurry α β γ) f x = Sigma.uncurry f x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((inv ((linearization k G).μ (Action.leftRegular G) { V := Fin n → G, ρ := 1 })).hom ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
s t : Set A
⊢ Algebra.adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin (↥(Algebra.adjoin R s)) t)
R : Type u_1
Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ ∃ r, (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
P : ClassGroup R → Prop
h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)
x : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
this : I = (Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv) ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K).toMulEquiv) I)
⊢ P ↑I
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j k : n
hjk : j ≠ k
⊢ (diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) j k = diagonal (Function.update v i x) j k
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N
⊢ ((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n : ℤ
a : G
⊢ a / a = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : f.Finite
⊢ f.FiniteType
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
a : L
S : Type u_4
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
LieDerivation.SMulBracketCommClass S L M
r : S
D : LieDerivation R L M
⊢ (r • D) a = r • D a
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
hf : IsAddFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
⊢ f a + f b = f c + f d ↔ a + b = c + d
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.29373, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
⊢ k ≫ K.d i j = 0
α✝ : Type u_1
l l₁ l₂ : List α✝
⊢ (l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
⊢ (pderiv z) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = C W'.a₁ * X x * X y + C (3 * W'.a₃) * X y * X z ^ 2 - (C (2 * W'.a₂) * X x ^ 2 * X z + C (4 * W'.a₄) * X x * X z ^ 3 + C (6 * W'.a₆) * X z ^ 5)
X : Type u_1
Y : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
⊢ SeparationQuotient.lift₂ f hf (SeparationQuotient.mk x) (SeparationQuotient.mk y) = f x y
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ (G.subgraphOfAdj h).support = {u, v}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
p : 𝕜[X]
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Polynomial.eval x p) (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p)) s x
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
hab : 0 ≤ a - b
⊢ ‖a • u - b • u‖ = |‖a • u‖ - ‖b • u‖|
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ I.multiforkEquivPiFork.unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun K =>
      CategoryTheory.Limits.Cones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Limits.Multifork I)).obj K).pt) ⋯)
    ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ L.comp (CategoryTheory.Monad.comparison h) = h.toMonad.free
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
⊢ ⊥ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : ι → Function.End α
K : ι → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)
⊢ LipschitzWith (List.map K []).prod (List.map f []).prod
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : J ≤ I
⊢ y✝ ∈ J
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0),
    ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I ∩ s,
      ∀ ε > 0,
        ∃ δ > 0,
          ∀ J ≤ I,
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ →
              x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0),
    ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I \ s,
      ∀ ε > 0,
        ∃ δ > 0,
          ∀ J ≤ I,
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ →
              (l.bHenstock = true → x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f vol (g I)
α : Type u_3
Preorder α
NoMinOrder α
x : α
⊢ Disjoint Filter.atBot (𝓟 (Set.Ici x))
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
empty : p ∅
cons : ∀ (a : α) (s : Finset α) (h : a ∉ s), p s → p (Finset.cons a s h)
s : Finset α
⊢ p s
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max a 1 / max a⁻¹ 1 = a
⊢ FinBoolAlg.dualEquiv.inverse = FinBoolAlg.dual
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
Finite α
⊢ C.colorClasses.Finite
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : ¬CircleIntegrable f c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = 0
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (x * y).intDegree = x.intDegree + y.intDegree
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
s : ℕ := n.sqrt
⊢ (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).1 < n
n d : ZNum
⊢ ↑(n % d) = ↑n % ↑d
α : Type u_1
a b b' : α
LinearOrder α
h : ¬a < b
eq : b = b'
⊢ b' ≤ a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ (Algebra.TensorProduct.lmul' R).comp Algebra.TensorProduct.includeRight = AlgHom.id R S
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = ({ cauchy := a } + -{ cauchy := b }).cauchy
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm 1 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint A ↔ adjoint A = A
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
AddCommMonoid M
DecidableEq M
⊢ DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ =>
  (DirectSum.mk (fun i => ↥(MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i))
      (Finset.image (⇑(Finsupp.weight w)) φ.support))
    fun m => ⟨(MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w ↑m) φ, ⋯⟩
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ b - a = c - a ↔ b = c
α : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (μ.withDensityᵥ f).trim hm ≪ᵥ (μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure
A : Type u_2
Ring A
Algebra ℝ A
a : A
ha : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ SpectrumRestricts (r • a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.powerset ⊻ s.powerset = s.powerset
α : Type u_1
a b c : α
Lattice α
OrderBot α
IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hsup : Disjoint (a ⊔ b) c
⊢ Disjoint a (b ⊔ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a : α
⊢ Function.Injective fun x => (x.1 * a, x.2 * a)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ
⊢ f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
α : Type u_4
Add α
a a' : α
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ a' = a' + a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (BoolAlg.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : (i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
p : Ring.DirectLimit G f
i : ι
x : G i
H : (Ring.DirectLimit.of G f i) x ≠ 0
⊢ (Ring.DirectLimit.of G f i) x * (Ring.DirectLimit.of G f i) x⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r q : ℚ
hr_le_q : r ≤ q
x : α × ℝ
⊢ x.1 ∈ s → x.2 ≤ ↑r → x.1 ∈ s ∧ x.2 ≤ ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : F.Elements
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).obj X =
  { left := { as := PUnit.unit }, right := X.fst, hom := fun x => X.snd }
α : Type u_2
LE α
a : α
⊢ WithBot.toDualTopEquiv ↑(OrderDual.toDual a) = OrderDual.toDual ↑a
M : Type u_2
AddMonoid M
a b : M
h : AddCommute a b
n : ℕ
⊢ AddCommute a (n • b)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l
⊢ l.nthLe ((n + (l.length - 1) + 1) % l.length) ⋯ = l.nthLe n hn
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ P x * ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] z ^ 2 = ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] x * P z ^ 2
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
hy0 : 0 < ty
⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
Fintype ι
⊢ AntilipschitzWith (↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
α : Type u
f : Equiv.Perm α
⊢ f⁻¹ = Equiv.symm f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m ≤ n
⊢ ContDiff 𝕜 m f
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}
R : Type u_2
Add R
Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ ⇑(sInf S) = sInf (DFunLike.coe '' S)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
x : ℝ
⊢ 0 < ε + sSupNormIm f x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ f ≤ 𝓝 x ↔ ∀ (s : Set X), x ∈ s → IsOpen s → s ∈ f
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ¬a n < a m ↔ a n = a m
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : ↥(CliffordAlgebra.even (-Q))
⊢ (CliffordAlgebra.evenEquivEvenNeg Q).symm a = (CliffordAlgebra.evenToNeg (-Q) Q ⋯) a
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Nat.card G' ∣ Nat.card G
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : Fintype (Sym2 α)
inst✝ : Semiring R
a b : α
e : Sym2 α
h : G.Adj a b
⊢ (incMatrix R G * (incMatrix R G)ᵀ) a b = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n
⊢ toMultiset m < toMultiset n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
hK : IsCompact K
a✝ : { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ univ
⊢ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ (fun K => Icc 0 ↑(index ↑K ↑K₀)) { carrier := K, isCompact' := hK }
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α
⊢ l.toFun (↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑(l.toFun ↑y)) = l.toFun (↑x ∪ ↑y)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) a = 1 ∨ (quadraticChar F) a = -1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (y + z * x)