ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ 0 ≤ c /. d - a /. b ↔ 0 ≤ c * b - a * d
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ Stream'.map (Option.map (GenContFract.IntFractPair.mapFr Rat.cast)) (GenContFract.IntFractPair.stream q) =
  GenContFract.IntFractPair.stream v
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
FiniteDimensional K ↥W
⊢ Function.Bijective ⇑(Submodule.quotDualCoannihilatorToDual W).flip
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop n (Stream'.map f s) = Stream'.map f (Stream'.drop n s)
G : Type u₂
k : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
AddMonoid G
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A (AddMonoidHom.id G) = AlgHom.id k (AddMonoidAlgebra A G)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x y : E
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ ‖f‖₊ * nndist x y
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.boolIndicator ⁻¹' {true} = s
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α β : CategoryTheory.BasedNatTrans F G
h : α.toNatTrans = β.toNatTrans
⊢ α = β
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
h : p.degree ≤ 0
⊢ σ ((aeval a) p) = (fun k => eval k p) '' σ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a < b
⊢ Ioo (pred a) b = insert a (Ioo a b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
hP : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
W : C
h : X ⟶ W
k : Y ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ inr ≫ hP.desc h k w = k
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hp : p ≠ 0
⊢ {x | p.IsRoot x}.Finite
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ Y.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op ≫ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.ΓIso f U).inv =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
h : f.HasGenEigenvalue μ k
⊢ k ≠ 0
x : PSet
y : PSet
h : x.Equiv y
j : y.Type
⊢ ∃ i, (x.Func i).Equiv (y.Func j)
x y : ℂ
s1 : sin x = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
s2 : sin ((x + y) / 2 - (x - y) / 2) = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ sin x - sin y = 2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2)
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
⊢ max a b ≤ a * b
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
x✝ : n
⊢ ∑ i : n, c i • A x✝ i = (∑ k : n, c k • Aᵀ k) x✝
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
Decidable (a = ⊥)
⊢ (↑⊤.parts).Subsingleton
x : PUnit.{u_1 + 1}
⊢ normUnit x = 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ ν.IsEverywherePos s ↔ μ.IsEverywherePos s
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ QuasiCompact (terminal.from X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
⊢ CategoryTheory.Mono S.g ↔ S.f = 0
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hm : m ≤ m0
⊢ (μ.trim hm).AbsolutelyContinuous (ν.trim hm)
α : Type u_1
Denumerable α
⊢ (Denumerable.eqv α).Computable
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
α : Sort u_1
hα : Nonempty α
o : Ordinal.{u_2}
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
b : Ordinal.{u_2}
a : Ordinal.{u_2}
h : a < b + o
⊢ ∃ i, a < b + f i
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
s.OrdConnected
x y : ↑s
⊢ Subtype.val '' Set.Ioo x y = Set.Ioo ↑x ↑y
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts = 1
M : Type u
SubNegMonoid M
PseudoMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ nndist (a - c) (b - c) = nndist a b
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_4
V₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₂
self : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ Continuous (↑self).invFun
α : Type u
a : α
s : Stream'.Seq α
⊢ (Stream'.Seq.cons a s).get? 0 = some a
l m r : List Char
s : Substring
n : Nat
h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} = {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
⊢ ∑ n ∈ (p %ₘ f).support, eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff n) * X ^ n) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
⊢ ∀ (b : ι), dist (f b) (0 b) ≤ 1
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ oddKernel ↑b =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α = 0 ↔ toPartENat #α = ↑0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α
⊢ decide (p a) = true
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
x : M
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₗc[R] B
⊢ (CoalgHom.id R B).comp φ = φ
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p✝ p q : β[X]
hp : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) p * f x
hq : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) q * f x
⊢ SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) (p + q) * f x
X : CommGrp
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝² : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
m : M
hm : m ∈ ↑p
⊢ (f + g) m ∈ map f p ⊔ map g p
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
OrderedCommMonoid β
f : α → β
h_mul : ∀ (a b : α), f (a * b) ≤ f a * f b
s : Multiset α
hs_nonempty : s ≠ ∅
⊢ f s.prod ≤ (Multiset.map f s).prod
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
s : S
⊢ (MvPolynomial.aeval P.val) (P.σ s) = s
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
self : SeparatingDual R V
x : V
⊢ x ≠ 0 → ∃ f, f x ≠ 0
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
⊢ gosperCatalan (n + 1) (i + 1) - gosperCatalan (n + 1) i = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c ≤ HomologicalComplex.quasiIso C c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ Chain r ↑[a] ↔ r a a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ F.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ F.obj Y
⊢ f ≫ g ≫ α.hom.app Y = f' ≫ g' ≫ α.hom.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ (increment hP G ε).parts.card = stepBound P.parts.card
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p b : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint (fun x => p) b) w = (∑ i ∈ s, w i) • (p -ᵥ b)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).inv.app X).hom₃ = e.inv.app X.obj₃
a b : ℕ
⊢ Nat.Prime (a * b) ↔ Nat.Prime a ∧ b = 1 ∨ Nat.Prime b ∧ a = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittMul p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ ⊥.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
⊢ N' ≤ N
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
⊢ m x = (lift f s) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
x : α ⊕ β
⊢ x ∈ s.disjSum t ↔ (∃ a ∈ s, Sum.inl a = x) ∨ ∃ b ∈ t, Sum.inr b = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
n : ℕ
⊢ 0 < n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥
⊢ Injective t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
Mul β
Mul γ
g : β → γ
hg : ∀ (x y : β), g (x * y) = g x * g y
f₁ f₂ : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map g (f₁ * f₂) = MeasureTheory.SimpleFunc.map g f₁ * MeasureTheory.SimpleFunc.map g f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hac : a ≤ c
hbd : b ≤ d
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a * b = c * d ↔ a = c ∧ b = d
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
⊢ univ.Countable
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
z x✝ y x r : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ^ (r / 2) = x ^ (1 / 2 * r)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
f' : M₁ → M₂
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s t u : Finset α
ht : t ⊆ s
hu : u ⊆ s
⊢ (∏ a ∈ t, a) / ∏ a ∈ u, a ∈ s.mulSpan
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α
⊢ modifyNthTail g n (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (g ∘ f) n l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
(F : CategoryTheory.Functor D E) → (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(F : CategoryTheory.Functor D E) →
    (X : C) →
      (W : J.Cover X) →
        (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
X : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (J.plusFunctorWhiskerLeftIso P).inv.app X = (J.plusCompIso X P).inv
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
α : Type u_1
LT α
a : WithBot α
b c : α
h : a = ⊥ → b < c
⊢ WithBot.unbot' b a < c ↔ a < ↑c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : l.Nodup
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
⊢ l[i] = l[j] ↔ i = j
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j)) ≤ ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq k
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
a : m
b : n
c : k
⊢ (single a b).toMatrix * (single b c).toMatrix = (single a c).toMatrix
α : Type u_2
One α
LinearOrder α
⊢ Finset.max' 1 ⋯ = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPullback (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
p : h₁₁ ≫ v₁₂ = v₁₁ ≫ h₂₁
t : CategoryTheory.IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
⊢ CategoryTheory.IsPullback h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Monoid A
MulDistribMulAction M A
r : M
x : A
⊢ (MulDistribMulAction.toMonoidHom A r) x = r • x
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : AntitoneOn f s
ha : IsGLB s a
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ b ∈ upperBounds (f '' s)
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊥
⊢ a + b < a + c ↔ b < c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
⊢ ↑Q = Set.univ ↔ Q = ⊤
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
l' : Type u_5
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
⊢ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂ ≪≫ₗ reindexLinearEquiv R A e₁' e₂')
α : Sort u_1
inst : DecidableEq α
a : α
⊢ Eq (decide (Eq a a)) true
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
⊢ Integrable (fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) μ ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : Polynomial R
⊢ ↑(φ * ψ) = ↑φ * ↑ψ
G : Type u_1
M : Type u_3
AddGroup G
AddMonoid M
AddAction G M
VAddCommClass G M M
VAddAssocClass G M M
g : G
m : AddUnits M
⊢ ↑(g +ᵥ m) = g +ᵥ ↑m
x : ℝ
⊢ Set.projIcc 0 1 ⋯ x = 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
c : R
x : M 0
⊢ f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddZeroClass M
ContinuousAdd M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 0 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ s
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt u (u' x) x
hvv' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ → β
h₁ : Measurable fun p => f (↑p.1, ↑p.2)
h₂ : Measurable fun r => f (⊤, ↑r)
h₃ : Measurable fun r => f (↑r, ⊤)
⊢ Measurable f
z : ℂ
⊢ abs z = √(z.re ^ 2 + z.im ^ 2)
α : Type u_1
Mul α
s : Set α
⊢ Equivalence (RightCosetEquivalence s)
α : Type u
β : Type v
Sup β
l : Filter α
f f' g g' : α → β
hf : f =ᶠ[l] f'
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x ⊔ g x) =ᶠ[l] fun x => f' x ⊔ g' x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a
⊢ s.erase a ⊓ Ici a = s
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : f =o[l] g₁
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f =o[l] g₂
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f g : EsakiaHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I J : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I
⊢ ∃ y,
  BoxIntegral.HasIntegral J l f vol y ∧
    Filter.Tendsto (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (BoxIntegral.Prepartition.single I J hJ)) (𝓝 y)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑i
this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p