ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : AdicCompletion I M
h : ∀ (n : ℕ), ↑x n = ↑y n
⊢ x = y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
s : ι → Set α
h : l.HasBasis (fun x => True) s
⊢ l = ⨅ i, 𝓟 (s i)
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
t : ↑I
⊢ (if ↑t ≤ 1 / 4 then 2 * ↑t else if ↑t ≤ 1 / 2 then ↑t + 1 / 4 else 1 / 2 * (↑t + 1)) ∈ I
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α' → β → γ
g : α → α'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_left_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f (g a) b = g' (f' b a)
⊢ Set.image2 f (g '' s) t = g' '' Set.image2 f' t s
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → 𝔸
⊢ exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, exp 𝕂 (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ t + μ (s \ t) + μ (s ∩ t) = μ (s ∩ t) + μ (s \ t) + μ t
M : Type u_1
Monoid M
x y z : M
⊢ y ∈ powers x → z ∈ powers x → y * z ∈ powers x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ n).smeval r = eval r (ascPochhammer R n)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ 1 ≤ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT'Factor K
F : Type u → Type u
q : QPF F
x y : (P F).W
h : Wequiv x y
⊢ Wequiv y x
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R
⊢ 0 ≤ star c * a * c
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Supermartingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (f + g) ℱ μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ update x i a ≤ x ↔ a ≤ x i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ a ∈ t, op a • s)
α : Type u
s t : Set α
ht : s ⊆ t
hs : s.Nonempty
⊢ t.Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
⊢ x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x (max n m) r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
⊢ False
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycleOn Set.univ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : Sheaf J E
Y : Sheaf J D
A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj
γ : X ⟶ (sheafCompose J F).obj Y
⊢ (A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ sheafifyLift J ((A.homEquiv X.val Y.val).symm γ.val) ⋯) = γ.val
n : ℕ
m : ℕ
hn : 0 < n
⊢ 0 < m.succ * n
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
self : PosSMulReflectLT α β
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hb : a • b₁ < a • b₂
⊢ b₁ < b₂
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.mulSupport f).Finite
s : Finset α
h : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
P : Type u_2
MetricSpace P
c : P
r : ℝ
⊢ Metric.sphere { center := c, radius := r }.center { center := c, radius := r }.radius = Metric.sphere c r
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair
⊢ (inr ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inr ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι ⊕ ι'
⊢ (b.prod b') i = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl R M M') ∘ ⇑b) (⇑(LinearMap.inr R M M') ∘ ⇑b') i
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
⊢ f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
⊢ False
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
hp : AffineIndependent k p
hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i
hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • p i = ∑ i ∈ s, w₂ i • p i
⊢ ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : dist x z / (ε + δ) < 1
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
⊢ dist x z / (ε + δ) * δ < δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ (algebraMap A B) (mk' A (x * y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx * mk' A y hy)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ ∑ a ∈ s.toFinset, count a s = card s
α : Type u_4
TopologicalSpace α
x : ℝ≥0
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ ENNReal.ofNNReal) x
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hr : r ∈ ↑(Ideal.span s)
hn : n ∈ N
⊢ r • n ∈ s • N
α : Type u_1
l l' : List α
h : l = l'
i : Fin l.length
⊢ l.get i = l'.get ⟨↑i, ⋯⟩
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Ideal R
⊢ ↑I ≤ 1
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0
⊢ (c' * d x - c x * d') / d x ^ 2 = c' * ((fun y => y⁻¹) ∘ d) x + c x * (-(d x ^ 2)⁻¹ * d')
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
i : x₂.LeftMoves
h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hl : x₁ ≤ x₂.moveLeft i
he : x₁ ≈ x₂.moveLeft i
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
IsDomain S
r : S
r_ne_zero : r ≠ 0
hr : r ∈ I
p : Polynomial R
⊢ p ≠ 0 → Polynomial.eval₂ f r p = 0 → ∃ i, p.coeff i ≠ 0 ∧ p.coeff i ∈ Ideal.comap f I
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set β
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsBounded (f ⁻¹' s)
m : Nat
n : Nat
h : 0 < m
⊢ n ≤ m.pred → n < m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (Filter.map Prod.mk f).seq g = (Filter.map (fun b a => (a, b)) g).seq f
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
r : ↑((↑U).presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj ((↑U).basicOpen r) = X.basicOpen r
a b m n✝ p n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
⊢ f = n.factorization
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
x : ι
hxS : x ∈ S
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (π x) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (piiUnionInter π S)
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
⊢ W.quotDualCoannihilatorToDual.Nondegenerate
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ a + b
⊢ 0 ≤ a
b : ℕ
hb : 1 < b
y : ℕ
ih : ∀ m < y, ∀ {x : ℕ}, m ≠ 0 → (b ^ x ≤ m ↔ x ≤ log b m)
x : ℕ
hy : y ≠ 0
⊢ b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : RingHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m, σ ↑↑ζ = ↑↑ζ ^ m
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β
hc : c ≠ 0
⊢ map f (c • μ) = c • map f μ
⊢ Set.range Real.sin = Set.Icc (-1) 1
M : Type u_4
G : Type u_7
AddGroup G
AddZeroClass M
f : M → G
map_mul : ∀ (a b : M), f (a + b) = f a + f b
⊢ ⇑(AddMonoidHom.mk' f map_mul) = f
α : Type u
Preorder α
Nonempty α
s : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
⊢ s.Infinite
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
h : p.leadingCoeff = 0
⊢ False
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔
  Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
CommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → i = j → α
⊢ (∏ j : ι, if h : i = j then f j h else 1) = f i ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
⊢ (yoneda.map ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁)).app (Opposite.op A) x = (yoneda.map (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))).app (Opposite.op A) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : X' ⟶ Y'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
⊢ f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
⊢ none.bind f = none
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖diagonal v i j‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊
θ : Angle
⊢ θ.toReal = π / 2 ↔ θ = ↑(π / 2)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
this : lift.{max (u + 1) v, u + 1} (lift.{u + 1, u} c) < lift.{max (u + 1) v, u + 1} univ.{u, u + 1}
⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Module ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ RCLike.re (fr.extendTo𝕜' x) = fr x
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ IsAffine X
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
p : α × α
hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n
⊢ p.2 ∈ setSeq hf U_mem N
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f g : R[X] →+* S
h₁ : ∀ (a : R), f (C a) = g (C a)
h₂ : f X = g X
f' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
hf' : f' = f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
g' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
hg' : g' = g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom
A : f' = g'
B : f = f'.comp ↑(toFinsuppIso R)
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
⊢ Function.Injective ⇑(mulRight R x)
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 * x ≈ 0
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R A)
⊢ (sInf S).toSubsemiring = sInf (Subalgebra.toSubsemiring '' S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
⊢ ¬s b (⋯.min {b | ∀ (a_1 : α), r a_1 a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a_1)) b} ⋯)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ ∀ (y₁ y₂ : F), (a, y₁) ∈ g → (a, y₂) ∈ g → y₁ = y₂
α : Type u_1
Add α
a b : α
⊢ toLex (a + b) = toLex a + toLex b
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ (a ⊔ b) / (a ⊓ b) = mabs (b / a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
v w : M
i : ι
⊢ (h.coeffs (v + w)) i = (h.coeffs v + h.coeffs w) i
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
f : α → β → γ
CompleteSpace γ
⊢ UniformContinuous₂ (UniformSpace.Completion.extension₂ f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.π₂.obj T = T.obj₂
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.upShadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s, insert a s = t
q₁ q₂ : ℚ
⊢ (q₁ * q₂).den = q₁.den * q₂.den / (q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)
α : Type u_1
Add α
Preorder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LE.le
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Icc a b + Finset.Icc c d ⊆ Finset.Icc (a + c) (b + d)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₁ p₂
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ Polynomial.cyclotomic' 2 R = Polynomial.X + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => ¬p x) ⊓ Filter.bliminf u f p = Filter.liminf u f
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : (p * q).Monic
⊢ q.Monic
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | ¬b < a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M
this : ∀ (a : M), a ∈ ⊥
⊢ x = y
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : a = c * b⁻¹
⊢ a * b = c
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥
⊢ sInf s = 0
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
⊢ Normal F K → ∀ (x : K), IsIntegral F x ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F x)
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
x' : X
hx' : f x' = y
⊢ (fun x => x') ≫ (Fork.ofι f w).ι = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') ≫ (Fork.ofι f w).ι
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.removeUnop (CategoryTheory.CategoryStruct.id F.unop) = CategoryTheory.CategoryStruct.id F
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = x