ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsIntegral X
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ IsFractionRing ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U)) ↑X.functionField
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
BorelSpace ι
TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
hf_prog : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ Measurable (MeasureTheory.stoppedValue u τ)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
r : A
⊢ (∃ y ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal, ∃ z ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal, y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asHomogeneousIdeal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P : D → Prop
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : ∀ (X : C), P (F.obj X)
⊢ (CategoryTheory.FullSubcategory.lift P F hF).comp (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P) = F
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
h : IsEmpty ↑(Ioi a)
⊢ atTop = comap Subtype.val atTop
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ (Trunc.lift (fun b => detMonoidHom.comp ↑(toMatrixAlgEquiv b)) ⋯ (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.ComposableArrows.app' β.hom 0 ⋯) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom (G.map' 0 1 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMkSucc α β w).hom = CategoryTheory.ComposableArrows.homMkSucc α.hom β.hom w
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (cthickening ε s)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ 0 = a⁻¹ ↔ 0 = a
α : Type u_3
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (∏ i ∈ s, f i) % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
x : Fin n → FirstOrder.Language.Structure.Sigma f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ x))
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap F x ≈
  FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i
    (FirstOrder.Language.Structure.funMap F (FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f x i hi))
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ 2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R) ≤ ↑(2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)).toNNReal
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (n % ↑(card G)) = a ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
⊢ (comap f (𝓝 (f b))).HasBasis (?m.187297 b) (?m.187298 b)
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iInf f).toNNReal = ⨅ i, (f i).toNNReal
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) l).prod) μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A
⊢ p ∈ Polynomial.annIdeal 𝕜 a ↔ Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a ∣ p
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
Lattice β
FunLike F α β
OrderHomClass F α β
f : F
⊢ ⇑(OrderHomClass.toLatticeHom α β f) = ⇑f
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
i : x.LeftMoves
⊢ x.moveLeft i ≤ x
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.X + Polynomial.C r ≠ 1
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R 2
x : R
⊢ -x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : α → β
a : α
s t : Set α
l : Filter β
hst : s ⊆ t
h : Filter.Tendsto f (𝓝[t] a) l
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) l
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
x y : ↑(s.vaddAntidiagonal t a)
h₁ : (↑x).1 ≤ (↑y).1
h₂ : (↑x).2 ≤ (↑y).2
⊢ x = y
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
x : P
I : Order.Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
⊢ x ∉ I
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : HasDistribNeg M
l : List M
⊢ (map Neg.neg l).prod = (-1) ^ l.length * l.prod
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
s : Set X
hs : s ∈ residual X
⊢ Dense s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
⊢ False
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P
⊢ v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ v₂ - v₁ = p₁ -ᵥ p₂
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
⊢ Multiset.card (map i p).roots = p.natDegree
α : Type u
p q : α → Bool
l : List α
⊢ List.takeWhile p (List.takeWhile q l) = List.takeWhile (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
α : Type u_4
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
hffx : f (f x) ≠ x
⊢ (Equiv.swap x (f x) * f).IsCycle
α : Type u_1
LE α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
a : α
⊢ a ∈ { carrier := s, upper' := hs } ↔ a ∈ s
B : Type uR
CommRing B
r : B → B → Prop
x : B
⊢ (RingQuot.ringQuotToIdealQuotient r) ((RingQuot.mkRingHom r) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cos ↑x) = cos ↑x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
⊢ x ∈ (fun h => ↑H) J
n : Nat
h : n ≤ 0
⊢ n = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
a : 𝕜'
⊢ (logDeriv fun x => a) = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ P.parts.card ≤ s.card
K : Type u_2
Field K
s : ℤ
⊢ Valued.v ((HahnSeries.single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
⊢ x ^ orderOf x = (fun x_1 => x * x_1)^[minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1] 1
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ 2 * a * xn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * xn b1 (n + 1) [MOD c]
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im
⊢ (x ^ 2⁻¹).im = √((abs x - x.re) / 2)
a b : String
⊢ a.firstDiffPos b = { byteIdx := String.utf8Len (List.takeWhile₂ (fun x x_1 => decide (x = x_1)) a.data b.data).fst }
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℕ
hd : b / c = a * d
⊢ b = c * a * d
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U✝ : Opens G
hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U✝
U : Compacts G
h1U : ↑U ⊆ ↑U✝
h2U : μ.innerContent U✝ - ↑ε < ↑(μ.toFun U)
⊢ μ.innerContent U✝ - ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
M : Type u_5
Monoid M
f g : Multiplicative ℤ →* M
h1 : f (Multiplicative.ofAdd 1) = g (Multiplicative.ofAdd 1)
⊢ f = g
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : p a = true
⊢ List.eraseP p (a :: l) = l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A B : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
self : A.Hom B
⊢ F.map self.val A.pt = B.pt
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Preorder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
n✝ m✝ : ℕ
h : n✝.le m✝
⊢ a ^ m✝.succ ≤ a ^ n✝
α : Type u_1
Preorder α
a : α
One α
⊢ ↑a < 1 ↔ a < 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
n : ℕ
⊢ K n ⊆ K (n + 1)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))
h_zero : (commMap K) x = 0
⊢ x = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : M.Basis I' X
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J
⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
⊢ Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ taylorWithinEval f 0 s x₀ x = f x₀
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i ≤ k
⊢ j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)
⊢ ↑((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = ↑((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
x y : X
h : (fun x => orbit G x) x ≠ (fun x => orbit G x) y
⊢ (Disjoint on id) ((fun x => orbit G x) x) ((fun x => orbit G x) y)
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (MeasureTheory.volume (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑(U * A * C).card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card / ↑U.card
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
j : n
c : m → α
DecidableEq n
⊢ M.updateColumn j c i j = c i
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
DecidableEq σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) 1 = if n = 0 then 1 else 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ ∀ (a : Module.Dual R M × M), (QuadraticForm.dualProdIsometry f) a = ((↑f.symm.dualMap).prodCongr ↑f) a
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i : m₂
j : n
⊢ A₁.fromRows A₂ (Sum.inr i) j = A₂ i j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hn : n < f.natDegree
⊢ h.coeff (h.root ^ n) = Pi.single n 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
hp' : p + a + n = q
⊢ (mk fun p q hpq => (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) q ⋯).v p q hpq = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) q hp'
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
v : m → α
⊢ v ᵥ* 0 = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω = lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω
⊢ b ≤ stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
this : ∏ i ∈ s, (1 / z) i ^ w i ≤ ∑ i ∈ s, w i * (1 / z) i
⊢ (∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
α : Type u_1
i : ι
x : α → G i
a : α
⊢ (f (Structure.Sigma.mk f i (x a)).fst i ⋯) (Structure.Sigma.mk f i (x a)).snd = x a
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m * 1 ≤ yn a1 n * a
A : Type v
Ring A
⊢ (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ ℕ
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
H : μ'.haarScalarFactor μ = 0
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
g : Filter β
a : α
⊢ pure a • g = Filter.map (fun x => a • x) g
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ∀ {α_1 : Type u_4} {p : Set ι → Prop} {f : Filter ι} {ns : α_1 → Set ι},
  (∀ (n : ι), s n ≤ m0) →
    ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα →
      (∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f) →
        Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns →
          (∀ (a : α_1), p (ns a)) → ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n) (Filter.limsup s f) κ μα
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelComparison f G ≫
    CategoryTheory.Limits.kernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ =
  G.map (CategoryTheory.Limits.kernel.map f g p q hpq) ≫ CategoryTheory.Limits.kernelComparison g G
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ↑(LieIdeal.map f I) = Submodule.map ↑f ↑I
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∀ (a : B),
  (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hf).symm a = (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑f)) (Classical.choose ⋯ a)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ sphere a r ↔ ‖b / a‖ = r
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥
⊢ IsCompl (LinearMap.ker f) p
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ upcrossingsBefore a b f N ω < upcrossingsBefore a b f (N₂ + 1) ω
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
e : β → α
a : α
⊢ (∀ (i : ℕ), True → ∃ y ∈ range e, y ∈ ball a (1 / (↑i + 1))) ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ k, dist a (e k) < 1 / (↑n + 1)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : ProperSpace α
K s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
hK : IsBounded K
hs : IsClosed s
⊢ IsCompact (closure K ∩ s)
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1
this : 1 ≤ 2 ^ (p' + 2)
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
⊢ Set.EqOn (fun n => ↑(Nat.fib n)) (fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5) ↑(Finset.range fibRec.order)
a : ℝ≥0∞
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ ENNReal.ofReal b
⊢ a.toReal ≤ b
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
s : Finset α
f : α → M
g : α → M → N
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
hg : ∀ (a : α), g a 0 = 1
⊢ (Finsupp.onFinset s f hf).prod g = ∏ a ∈ s, g a (f a)
n : Nat
x : Nat
p : ∀ (i : Nat), i ≥ n → x.testBit i = false
⊢ x < 2 ^ n
α : Type u_1
as : List α
⊢ (List.toArray as).data = as
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
⊢ 0 < ↑x ↔ 0 < x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < Ordinal.sup f
⊢ (Ordinal.sup f).cof ≤ #ι
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 2 → β
⊢ ∏ i : Fin 2, f i = f 0 * f 1
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n 1
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
SemilatticeInf β
BoundedOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
⊢ e (s.truncatedInf a) = (Finset.map e.toEmbedding s).truncatedInf (e a)
R : Type u_3
S : Type u_4
OrderedCommRing S
NoZeroDivisors S
Ring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a : R
⊢ abv (-a) = abv a
z : ℂ
⊢ (↑π * z).cot = (cexp (2 * ↑π * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * z)))
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b < 0
ha : 0 ≤ a
⊢ a • b < a • 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
f : α →₀ M
h : a' ≠ a
⊢ (erase a f) a' = f a'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
f₁ : ↥(Lp ℝ 1 μ) := Integrable.toL1 f hf
eq₁ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.posPart f₁‖
eq₂ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.negPart f₁‖
⊢ CompleteSpace ℝ
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hm : Squarefree 0
⊢ False
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
l : Filter α
f : α → E
h : Filter.Tendsto (fun y => ‖f y‖) l Filter.atTop
x : E
⊢ ∀ᶠ (y : α) in l, f y ≠ x
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := ∑ i ∈ s, f i } = ∑ i ∈ s, { toFinsupp := f i }
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0)
⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (y0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0 / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)))
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), SetTheory.PGame.LF 0 (x.moveRight j)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))))
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b ≤ c
⊢ Set.Iio c ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico a b)
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : c.toProd.2 = d.toProd.2
⊢ c = d