ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
AddMonoid α
b : AddUnits α
a c : α
⊢ a = ↑(-b) + c ↔ ↑b + a = c
a : ℝ
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
cf : Code
this : 1 * cf.encodeCode ≤ 2 * 2 * cf.encodeCode
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1 + 4
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), edist (f x) (F n x) < ε
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2
H₂ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ 2
H₃ : RCLike.re ⟪f, f⟫_ℂ = RCLike.re (∫ (a : AddCircle T), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_ℂ ∂haarAddCircle)
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
⊢ Cardinal.prod f ≤ Cardinal.prod g
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
p : R
hp : Irreducible p
hM : Module.IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : Module.IsTorsionBy R M (p ^ Submodule.pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
⊢ i * j ∈ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
f0 : f x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (f x)⁻¹) x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H K : LieSubalgebra R L
h₁ : H ≤ K
h₂ : K ≤ H.normalizer
⊢ ∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K) I = ofLe h₁
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ (a + b).toReal = a.toReal + b.toReal
K : Type u
Field K
⊢ Function.Injective ValuationSubring.toSubring
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) p₂ = ‖1 - c‖₊ * nndist p₁ p₂
A : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n k l : A
h : (k, l) ∈ antidiagonal n
⊢ (fun x => ⟨x.1 + x.2, ⟨x, ⋯⟩⟩) ((fun x => ↑x.snd) ⟨n, ⟨(k, l), h⟩⟩) = ⟨n, ⟨(k, l), h⟩⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z = f.mk' x y
⊢ z * f.toMap ↑y = f.toMap x
n : ℕ
i j : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.a i * QuaternionGroup.xa j = QuaternionGroup.xa (j - i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ - φ').τ₂ = φ.τ₂ - φ'.τ₂
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd' C m n (m + n) ⋯) (F.shift a) ≪≫ (shiftFunctor C m).associator (shiftFunctor C n) (F.shift a) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C m) (F.shiftIso n a a' ha') ≪≫ F.shiftIso m a' a'' ha''
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁.Perm l₂
⊢ List.dlookup a l₁ = List.dlookup a l₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s = insert b s ↔ a = b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
⊢ limsup u f = limsup v f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j✝ : ι'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ (e.repr (e j)) i = 1 i j
⊢ -π - π = 2 * π * ↑(-1)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
m : M
n : N
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.tensorTensorTensorComm R M N P Q) ((m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q) = (m ⊗ₜ[R] p) ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] q
α : Type u_1
Ring α
n₁ n₂ : ℤ
a₁ a₂ : α
Invertible a₁
Invertible a₂
⊢ ↑n₁ * ⅟a₁ = ↑n₂ * ⅟a₂ ↔ ↑n₁ * a₂ = ↑n₂ * a₁
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
x : ↑(Zspan.fundamentalDomain b)
⊢ (Zspan.quotientEquiv b).symm x = Submodule.Quotient.mk ↑x
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
⊢ Finsupp.toMultiset (Finsupp.single a n) = n • {a}
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b ≤ a + c + (b - c)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (interior s)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ IsLeast (↑(insert a s)) (min (s.min' H) a)
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∑ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = ∑ x ∈ s₁, f x + ∑ x ∈ s₂, f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
⊢ (s.bind f).Results b (n + m)
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => eisensteinSeries a k x) Filter.atTop
K : Type u_1
RCLike K
α : Type u_3
s : Finset α
f : α → ℝ
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
s : ↥S
m : M
⊢ r • mk m s = mk (r • m) s
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → StrictMono fun x => x ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
topology : TopologicalSpace E
self : WithSeminorms p
⊢ topology = p.moduleFilterBasis.topology
a b : ℕ
⊢ 0 < a.factorizationLCMLeft b
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
f : α → M
⊢ s.indicator f a = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
⊢ B.Nondegenerate ↔ ∀ (m : M), B m = 0 → m = 0
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ 0 ≤ R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₁ ↔ CategoryTheory.IsIso T.mor₂
α : Type u_1
StrictOrderedRing α
a b : α
ha : a < 0
hb : 0 < b
⊢ b * a < 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ dist (f 0) a ≤ C / (1 - r)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
i : 𝒰.J
⊢ P (((fun i => Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i)) i).ι ≫ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ s : Finset β
f : β → α
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ x ∈ s.attach, f ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ ∈ s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ μ U = ν (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)
n : ℕ
NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
⊢ x.valMinAbs = y ↔ x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
p : ℚ
q : ℚ≥0
⊢ q < p.toNNRat ↔ ↑q < p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a n : α
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x ≤ n
⊢ prod ⟦a✝⟧ ≤ n ^ card ⟦a✝⟧
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductIso F G).inv
    CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.fst
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w
⊢ ⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t ≤ ⊤.induce (s ∪ t)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖
a : ℕ
a1 : 1 < a
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
b1 : 1 ≤ b
hp : Pell.IsPell b
⊢ ∃ n, b = Pell.pellZd a1 n
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
H :
  ℝ≥0 →
    ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I,
      ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I BoxIntegral.IntegrationParams.McShane f vol (g I)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
⊢ map X ℙ = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f
X : Scheme
⊢ Presieve.IsSheaf zariskiTopology (yoneda.obj X)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨅ i, f i).edgeSet = (⋂ i, (f i).edgeSet) ∩ G.edgeSet
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ X ◁ biproduct.ι f j ≫ (leftDistributor X f).hom = biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ ((latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)).det = ((algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))).det
α : Type u_1
Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom
⊢ a.Dom
l : List Char
s : String
⊢ l.asString = s ↔ l = s.toList
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ ⋯.extend f (pkg.coe a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α
H : s.toFinset = {a}
h : card s = 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x✝ : ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
x : α
hx₀ : x ≠ 0
hxu : ¬IsUnit x
⊢ ∃ p, Prime p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => f y + g y) (f' + g') x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ LinearMap.ker f
q : Submodule R (M ⧸ p)
⊢ Submodule.map (p.liftQ f h) q = Submodule.map f (Submodule.comap p.mkQ q)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R (θ + 2 * π) = circleMap c R θ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (f x)⁻¹
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p1 : P
p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ ↑(⟨p1, hp1⟩ -ᵥ (EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2) ∈ s.direction
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
this : Invertible 1
⊢ (fromBlocks A B C 1).det = (A - B * C).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t✝ : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
t : Finset α
⊢ s.toFinset ⊂ t ↔ s ⊂ ↑t
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
m n : ℕ
y x₁ x₂ : Holor α ds
hx₁ : x₁.CPRankMax1
hx₂ : CPRankMax m x₂
hy : CPRankMax n y
⊢ CPRankMax (m + 1 + n) (x₁ + x₂ + y)
G : Type u_3
H : Type u_4
Neg G
Neg H
p : G × H
⊢ (-p).swap = -p.swap
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
hp : p < ⊤
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ p ≤ LinearMap.ker f
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β
g : α →o γ
x : α
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : SMul M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
x : M
y : N
⊢ x • 1 * y = x • y
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
g : β → α → γ
h_comm : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g b a
⊢ Set.image2 f s t = Set.image2 g t s
X Y : AddGrp
f : X ⟶ Y
⊢ AddGrp.uliftFunctor.map f =
  AddGrp.ofHom (AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (AddMonoidHom.comp f AddEquiv.ulift.toAddMonoidHom))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, maxTrivSubmodule R L M⁆ = ⊥
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X : C
⊢ τ.app ((objEquiv W).invFun (W.Q.obj X)) = τ.app X
x : ℝ
⊢ Real.sin x = 0 ↔ Real.cos x = 1 ∨ Real.cos x = -1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g d : G
⊢ (x.modOf g) (g + d) = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
α : Type u_4
Finite α
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
DecidableEq α
x : α
m : M
⊢ (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R M α) (Finsupp.single x m) = Pi.single x m
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → IsSublattice t → latticeClosure s ⊆ t
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
⊢ ((fun x => x * μ (interior s)) ∘ ENNReal.ofNNReal ∘ fun a => a ^ d) 1 = μ (interior s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ SmoothAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ SmoothAt I 𝓘(𝕜, E') (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
Z X : C
g : Z ⟶ X
⊢ (ofObjects Y X).arrows g ↔ ∃ i, Nonempty (Z ⟶ Y i)
α : Type u_1
Preorder α
l r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l o₂
hr : Ordnode.Valid' o₁ r o₂
sep : Ordnode.All (fun x => Ordnode.All (fun y => x < y) r) l
bal : Ordnode.BalancedSz l.size r.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.glue r) o₂ ∧ (l.glue r).size = l.size + r.size
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (b : B) (m₁ m₂ : A), (Algebra.linearMap A B) (m₁ + m₂) • (D S B) b = (Algebra.linearMap A B) m₁ • (D S B) b + (Algebra.linearMap A B) m₂ • (D S B) b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
hm : m ∈ s
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → m ∈ N
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ {i, j} ⊆ s
cf cg : Code
this : 1 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * 2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P
⊢ p ∈ s1 ↔ p ∈ s2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
ι : Type u_4
Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
⊢ ↑(iSup K) = ⋃ i, ↑(K i)
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
⊢ ↑p = (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ (prevD 0) f = 0