ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ range s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ a}
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ 0 - (0 - a) = a
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
⊢ s.ordConnectedComponent x ⊆ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F
left✝ : ¬CompleteSpace E
right✝ : ¬CompleteSpace F
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
α β : Type u
f : (α → ℕ) → ℕ
g : α → β
d : Dioph.DiophFn f
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f (v ∘ g)
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
h₁' : ↑n / ↑d < 0
⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(NumberField.canonicalEmbedding.latticeBasis K)) ↔
  x ∈ ((NumberField.canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K)).range
a b : Int
⊢ 0 ≤ a → b ≤ 0 → a.fdiv b ≤ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b
⊢ (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
x y z : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
hz : z ≠ 1
hzx : z ≠ x
hzy : z ≠ y
⊢ z = x * y
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ZMod n →+* R
k : ℤ
φ : ℤ →+* R := f.comp (Int.castRingHom (ZMod n))
ψ : ℤ →+* R := g.comp (Int.castRingHom (ZMod n))
⊢ φ k = ψ k
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
a : α
⊢ a • ⊥ = ⊥
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB ((fun b => b * a) '' s) (b * a)
z w : ℂ
⊢ (z - w).im = z.im - w.im
α : Type u
a : α
inst✝⁴ : Group α
H : Type u_1
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : FunLike F H G
inst✝ : MonoidHomClass F H G
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
x : H
hx : ∀ (x_1 : H), x_1 ∈ zpowers x
n : ℤ
⊢ f ((fun x_1 => x ^ x_1) n) ∈ zpowers (f x)
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
c : G
⊢ ContinuousOn (fun x => c • f x) s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
⊢ (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) = fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ
α : Type u
Monoid α
a b : αˣ
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 0
M : Matrix n n R
⊢ M.det = 1
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
i : Fin (ones n).length
⊢ (ones n).blocksFun i = 1
x : EReal
h : x ≠ ⊥
⊢ x + ⊤ = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n < m
⊢ 0 < ↑n + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ ¬S.Pointed → ¬S.Flat
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
g' : C(X, ℝ≥0)
hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I
hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x
⊢ ∃ g, (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g ∈ I ∧ (∀ (x : X), g x ≤ 1) ∧ Set.EqOn (⇑g) 1 t
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
⊢ P.toPoly.degree ≤ 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a : S
⊢ ∃ b, IsLocalization.IsInteger R (a * (algebraMap R S) ↑b)
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t - if 1 - a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
⊢ (CategoryTheory.DifferentialObject.isoApp f).hom = f.hom.f
M : Type u_6
Add M
m : M
⊢ (AddEquiv.refl M) m = m
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = Min.min (hs.min hsn) (ht.min htn)
α : Type u_1
Encodable α
a : ULower α
⊢ ULower.down a.up = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : b = a ∧ c = w✝ ∨ b = w✝ ∧ c = a
⊢ a = b ∨ a = c
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.addETransformLeft (-e) x = (Finset.addETransformRight e x.swap).swap
α : Type u_1
E : Type u_2
Norm E
l : Filter α
f : α → E
g : α → ℝ
⊢ (f =o[l] fun x => ↑(g x)) ↔ f =o[l] g
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hJI : J ⊆ I
hJ : X ⊆ M.closure J
⊢ J = I
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => C + f x) l Filter.atTop
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
f : β → α
⊢ ∅.lcm f = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
⊢ b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1) = c • b i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, S.functorInclusion ≫ g = f
R : Type u
⊢ ⇑Tropical.tropEquiv = Tropical.trop
a b c d : Int
H2 : d ∣ c
H3 : b ≠ 0
H4 : d ≠ 0
H5 : a * d = b * c
⊢ a / b = c / d
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P
⊢ Q = ⊥ ∨ Q ≠ ⊥
α✝ : Type u_1
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
p q : Set α✝ → Prop
U✝ : Set α✝
ε : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (f '' K)
hB₂ : ∀ (U : Set β), qb U → MeasurableSet U
U : Set β
hU : qb U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ (f ⁻¹' U)
K : Set α
hKU : K ⊆ f ⁻¹' U
hKc : pa K
hK : r < μ K
⊢ r < (map f μ) (f '' K)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x}
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.rightHomologyι
⊢ IsIso S.homologyι
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ t ⊆ f i, IsCompact t
t : Set α
ht : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ IsCompact t
α : Type u_8
Monoid α
x : αˣ
⊢ (Units.embedProduct α) x = (↑x, MulOpposite.op ↑x⁻¹)
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
⊢ J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G) f
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0
⊢ b ∣ a
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : ∀ (x : P), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_2
G₀ : Type u_6
GroupWithZero G₀
AddMonoid α
DistribMulAction G₀ α
TopologicalSpace α
ContinuousConstSMul G₀ α
s : Set α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c • s ∈ 𝓝 0 ↔ s ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingRight
⊢ B.SeparatingLeft
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J X Y : C
CategoryTheory.Injective J
g : X ⟶ J
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ f ≫ CategoryTheory.Injective.factorThru g f = g
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
b : α
A : P → α
h : ∀ (h : P), A h ≠ b
⊢ (dite P A fun x => b) ≠ b ↔ P
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
⊢ R.map (retraction (h.counit.app X) ≫ (h.homEquiv (R.obj X) Y).symm f) = f
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ min a a = a
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ sa = sb
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝² : MonoCoprod D
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
A B : C
c : BinaryCofan A B
h : IsColimit c
c' : BinaryCofan (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.left })) (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.right })) := BinaryCofan.mk (F.map c.inl) (F.map c.inr)
⊢ IsColimit c'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : ℕ → α → β
⊢ List.mapIdx f [] = []
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g = h
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.eqToHom η) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j✝ : J
⊢ (biproduct.lift fun j => biproduct.π f j ▷ X) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ = (∑ j : J, biproduct.π f j ▷ X ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
⊢ sign (prodCongrLeft σ) = ∏ k : α, sign (σ k)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
U : Set α
xU : x ∈ U
Uop : IsOpen U
V : Set α
yV : y ∈ V
Vop : IsOpen V
hUV : Disjoint (closure U) (closure V)
⊢ ((Perfect (closure (V ∩ C)) ∧ (closure (V ∩ C)).Nonempty) ∧ closure (V ∩ C) ⊆ C) ∧ Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
⊢ ¬y = 1 ∧ ¬x = 1 ∧ ¬x = y
α : Type u_1
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
⊢ Fintype.card ↑p = s.card
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
⊢ closure ↑s + closure ↑s ⊆ closure ↑s
z : ℂ
⊢ ↑z.im = (z - (starRingEnd ℂ) z) / (2 * I)
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsAtomic α
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x : E
⊢ 0 x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
zero : T.mor₃ = 0
⊢ ∃ e, T.mor₁ ≫ e.hom = CategoryTheory.Limits.biprod.inl ∧ T.mor₂ = e.hom ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
is : List ι
hl : (i :: is).Nodup
v w : TProd α (i :: is)
hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi
⊢ v = w
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective R
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cocone ((F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R) := (monadicLeftAdjoint R).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ R))
this : PreservesColimitsOfShape J (monadicLeftAdjoint R) := PreservesColimitsOfSize.preservesColimitsOfShape
t : IsColimit c := isColimitOfPreserves (monadicLeftAdjoint R) (colimit.isColimit (F ⋙ R))
⊢ (F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R ≅ F
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ logb b x ≤ 0 ↔ 1 ≤ x
α : Type u_2
SubtractionMonoid α
f g : Filter α
⊢ f + g = 0 ↔ ∃ a b, f = pure a ∧ g = pure b ∧ a + b = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) h)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g' h).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
⊢ (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂).ball 0 1 = s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
⊢ ((∑ i ∈ I, κ i) a) s = ∑ i ∈ I, ((κ i) a) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ MDifferentiable I I id
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
r : R
⊢ LinearMap.rTensor M (DistribMulAction.toLinearMap R N r) = DistribMulAction.toLinearMap R (TensorProduct R N M) r
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : (map (ofStep k n) p).Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
⊢ ∃ x, eval x (map (ofStep k n) p) = 0
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
Field K
Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(↑n).minFac
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
f : c ⟶ d
⊢ f.hom ≫ 𝟙 d.pt = 𝟙 c.pt ≫ f.hom
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
M : ℝ
M0 : 0 < M
⊢ ‖f‖ < M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
ht_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (f x, g (f x)) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ Module.Free R M ↔ NoZeroSMulDivisors R M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : i ⟶ j
f' : i ⟶ j'
⊢ ∃ k g g', CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g'
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
s : Set β
⊢ {a | ∀ b ∈ s, (a, b) ∈ {x | p x}} ∈ f ↔ {x | ∀ y ∈ s, p (x, y)} ∈ f
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Monotone fun c => a ^< c
a : Nat
b c : Nat
h : c > a
⊢ (a = b + c) = False
m : ℕ
⊢ hyperoperation 0 m = Nat.succ
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a / b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
F : ι → α × β
⊢ BddBelow (Set.range F) ↔ BddBelow (Set.range (Prod.fst ∘ F)) ∧ BddBelow (Set.range (Prod.snd ∘ F))
F : Type u_1
Field F
Infinite F
E : Type u_2
Field E
α β : E
Algebra F E
Finite (IntermediateField F E)
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : ↥(LieModule.maxTrivSubmodule R L M)
⊢ ↑((LieModule.maxTrivHom f) m) = f ↑m
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s \ {a}).ncard < s.ncard
a b : Char
h : a < b
⊢ ¬b < a
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
self : IsWellOrderLimitElement a
⊢ ∃ b, b < a
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ max a b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ IsLocalization M S ↔
  (∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)) ∧
    (∀ (z : S), ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1) ∧
      ∀ {x y : R}, (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
⊢ min x y = if x < y then x else y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ (x✝ ∈ univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulOneClass Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y) (a_1 : X), LocallyConstant.coeFnMonoidHom a a_1 = a a_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
l : List α
o : Option α
a m✝ hd : α
tl : List α
m : α
⊢ m ∈ argmax f (hd :: tl) → m ∈ hd :: tl
α : Type u
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (s₁ ⋈ s₂).get (2 * n) = s₁.get n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
⊢ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X) ∧ X ⊆ M.E ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E ∧ Disjoint X B
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsTrail
x : V
⊢ Even (List.countP (fun e => decide (x ∈ e)) p.edges) ↔ u ≠ v → x ≠ u ∧ x ≠ v
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ IsNilpotent R L