ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C D : Type u₁
inst✝⁹ : SmallCategory C
inst✝⁸ : SmallCategory D
E : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{u₁, u₂} E
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : HasLimits E
inst✝⁴ : HasColimits E
inst✝³ : ReflectsLimits (forget E)
inst✝² : PreservesFilteredColimits (forget E)
inst✝¹ : PreservesLimits (forget E)
inst✝ : HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
H : RepresentablyFlat F.op.lan
this✝ : PreservesFiniteLimits F.op.lan
this : PreservesFiniteLimits F
⊢ RepresentablyFlat F
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
n : ℕ
⊢ mk' S (x ^ n) (y ^ n) = mk' S x y ^ n
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
i : ℕ
hi : i ≤ d.blocks.length
i_lt : i < d.boundaries.card
⊢ (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
hn : n > 0
⊢ (coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (n - 1)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
h : LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho))
f : ↑(MaxProducts C ho) → ↑(GoodProducts (C' C ho)) := MaxToGood C hC hsC ho h₁
hf : Function.Injective f
⊢ LinearIndependent ℤ fun (l : ↑(MaxProducts C ho)) => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
⊢ orderOf (x ^ n) ∣ orderOf x
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖fun x => a‖ ≤ ‖a‖
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
pb : PowerBasis K L
f : K[X]
⊢ pb.equivAdjoinSimple ((Polynomial.aeval (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K pb.gen)) f) = (Polynomial.aeval pb.gen) f
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
TopologicalSpace β
h'f : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 0 ∉ k
⊢ IsCompact (f ⁻¹' k)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ False
G : Type u_2
Group G
x y : Quandle.Conj G
⊢ x ◃ y = y ↔ y ◃ x = x
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ ↑(1 * I) ≤ span R ↑T * ↑I⁻¹ * ↑I
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : H.index = 2
a : G
⊢ a + a ∈ H
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ↑ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1
⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ξ
x : ℝ
h : x < 0
⊢ ↑x * ⊤ = ⊥
a b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
h : a < b
⊢ a.toReal < b.toReal
α : Type u
Order.Coframe α
ι : Type u_1
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ ⨅ i, f i ⊔ g i = (⨅ i, f i) ⊔ ⨅ i, g i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono z
⊢ HasLiftingProperty g z
c : Code
v : List ℕ
i : Cfg'
h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i
h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i
x : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')
⊢ x ∈ eval (TM2.step tr) (init c v) ↔ x ∈ halt <$> c.eval v
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
⊢ a < (a.castPred ha).succ
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0
p0 : Associates α
p0_irr : Irreducible p0
p0_mem : ⟨p0, p0_irr⟩ ∈ factors' a ⊓ factors' b
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree = 0 ↔ p.IsHomogeneous 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.next (l.prev x hx) ⋯ = x
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Invertible 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = ⅟2 • (x + y - |y - x|)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ x✝ y✝ x' y' a x y : G₀
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (x ^ Int.negSucc n) (y ^ Int.negSucc n)
a : ℝ≥0∞
⊢ Monotone fun x => a * x
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring T
f : R →+* S × T
⊢ ((RingHom.fst S T).comp f).prod ((RingHom.snd S T).comp f) = f
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
NormedAddCommGroup F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
TopologicalSpace B'
NormedSpace 𝕜₁ F
(x : B) → Module 𝕜₁ (E x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
F' : Type u_8
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜₂ F'
E' : B' → Type u_9
(x : B') → AddCommMonoid (E' x)
(x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F' E')
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜₁ F E
(x : B') → TopologicalSpace (E' x)
FiberBundle F' E'
VectorBundle 𝕜₂ F' E'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : E x →SL[σ] E' y
hx : x ∈ (trivializationAt F E x₀).baseSet
hy : y ∈ (trivializationAt F' E' y₀).baseSet
⊢ ContinuousLinearMap.inCoordinates F E F' E' x₀ x y₀ y ϕ =
  (↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₂ (trivializationAt F' E' y₀) y hy)).comp
    (ϕ.comp ↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₁ (trivializationAt F E x₀) x hx).symm)
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
⊢ (M.updateRow j (M i)).det = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝² : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝¹ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this : FiniteDimensional ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit I.multicospan (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.multiequalizer I)
i : I.L
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Concrete.multiequalizerEquiv I) x) i = (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I i) x
f : Char → Char
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ List.modifyHead (fun x => f (cs'.headD default)) cs' } = { data := cs ++ List.modifyHead f cs' }
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (Polynomial.cyclotomic' n R).natDegree = n.totient
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (a * x) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h : 0 ≤ a
⊢ SameRay R v (a • v)
⊢ Cardinal.ord ∘ Cardinal.aleph' = Ordinal.enumOrd {b | b.card.ord = b}
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Ioc a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
Inf δ
Top δ
f : InfTopHom γ δ
g : InfTopHom β γ
h : InfTopHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
hf : Function.Injective f
hsf : s ⊆ Set.range f
⊢ Nat.card ↑(f ⁻¹' s) = Nat.card ↑s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a => (c • L) (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • L.compLp f)
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝¹ : DecidablePred p
x✝ : ∃ i, p i
i : ℕ
hin : i < n + 1
hi : p ⟨i, hin⟩
⊢ (Option.rec (if p (last n) then some (last n) else none) (fun val => some (val.castLT ⋯)) (find fun i => p (i.castLT ⋯))).isSome = true
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
a : G
b : k
ha : ∀ (a' : G), Commute a a'
hb : ∀ (b' : k), Commute b b'
f : MonoidAlgebra k G
⊢ Commute (MonoidAlgebra.single a b) f
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
s : Set M
hs : s.Countable
⊢ ((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s).CG
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hk : k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (k * x) (k * y) (k * z) → PythagoreanTriple x y z
α : Type u_2
M : Type u_4
AddMonoid M
DecidableEq α
l : List α
a : α
f : α → M
hf : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ l → f a' = 0
⊢ (List.map f l).sum = List.count a l • f a
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (-Q) x = -Q x
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
Module S M₂
SMulCommClass R S M₂
IsEmpty ι
m : M₂
⊢ (MultilinearMap.constLinearEquivOfIsEmpty R S M₁ M₂) m = MultilinearMap.constOfIsEmpty R M₁ m
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a✝ : α
b : β
c : γ
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
l : Filter β
⊢ map₂ f (pure a) l = l
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
h : s.Nonempty
⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑s)
α : Type u
s : Set α
⊢ Set.univ ∪ s = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ CategoryTheory.Subobject.mk f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLE Y h₁) (Y.ofLEMk f h₂) = X.ofLEMk f ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ Monotone r.image
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0)
  (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
⊢ ∀ x ∈ {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}, ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ioc b₁ b₂))
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ Polynomial.eval 1 ((⇑Polynomial.derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) =
  (-1) ^ (n - ν) * Polynomial.eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
ha : n • a = 0
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(AddUnits.ofNSMulEqZero a n ha hn) = a
q : ℚ
⊢ (↑q).cauchy = ↑q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun x => (a, x))
α : Type u
s t u : Set α
⊢ Disjoint (s ∪ t) u ↔ Disjoint s u ∧ Disjoint t u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π c.inlCokernelCofork = c.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_2
Preorder α
OrderBot α
a : α
⊢ IsAtom a ↔ a ≠ ⊥ ∧ ∀ (b : α), b ≠ ⊥ → b ≤ a → a ≤ b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S T : Submonoid M
⊢ Submonoid.comap f (Submonoid.map f S ⊓ Submonoid.map f T) = S ⊓ T
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ ‖x⋆ * x‖ = ‖x‖ * ‖x‖
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ f m * f n * (g m * g n) = f m * g m * (f n * g n)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory TopCat Sequential.toTop} (f : X ⟶ Y), Sequential.sequentialToTop.map f = f
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : ∃ s', ↑s' ⊆ t ∧ Ideal.span ↑s' = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
⊢ Finite R M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x
h : swap x (f x) * f = 1
⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
β : Type u_3
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
SigmaCompactSpace β
R1Space β
μ : MeasureTheory.Measure β
f : β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α
⊢ IsGLB (f '' s) (⨅ x ∈ s, f x)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
⊢ False
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
S : Function.Surjective (f ∘ g)
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective g
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace X
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
h : Module.Baer R Q
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃ h, h ∘ₗ f = g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
⊢ z ∈ span R {x, y} ↔ ∃ a b, a • x + b • y = z
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0
⊢ ‖x‖ ^ 2 + 2 * (‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ ‖1‖
α : Type u_1
β : Type u_2
lb : Filter β
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (x : β) in lb, p x
la : Filter α
⊢ ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x.2
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s ↔ ω ∈ {τ y}
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
s : Set X
⊢ EMetric.diam (c +ᵥ s) = EMetric.diam s
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0
⊢ (m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f
n : ℕ
α : Type u_1
Monoid α
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).toList.prod = (Mathlib.Vector.take (↑i) v).toList.prod * a * (Mathlib.Vector.drop (↑i + 1) v).toList.prod
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
Countable ι
s : ι → Set α
hm : Monotone s
⊢ Filter.Tendsto (⇑μ ∘ s) Filter.atTop (nhds (μ (⋃ n, s n)))
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x
⊢ connectedComponentIn F x = connectedComponentIn F y
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
ha : 1 < a
⊢ 1 < a⁺ᵐ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Ioc (f x) (g x)) s
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂
⊢ (g.compLinearMap fun x => LinearMap.id) = g
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
hts : ∅ ⊆ s
ht : ∅.Subsingleton
htl : ∅ ∈ l
⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.ι (self.hp.desc (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I
⊢ ∀ (i : ↑I), (t ↑i).Finite