ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p 0) 1) ^ p ^ 0 = 1
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * (z + 1) + -1 * (z + 1) * z = 0
⊢ z + 1 = z + 1 ∧ z + 1 + z ^ 2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (∫⁻ (a : α) in s, μ.rnDeriv ν a ∂ν).toReal = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B₁ B₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A B₂ f₂
⊢ IsMulFreimanHom n A (B₁ * B₂) (f₁ * f₂)
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
ha : IsAtom a
hb : b ≠ ⊥
⊢ b ≤ a ↔ b = a
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
g : G
v : V
⊢ ((Rep.trivial k G V).ρ g) v = v
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
IsEmpty σ
a : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.isEmptyRingEquiv R σ) a = (MvPolynomial.aeval fun a => inst✝.elim a) a
R : Type u
M : Type v
CommRing R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
StrongRankCondition R
⊢ f.charpoly.natDegree = FiniteDimensional.finrank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : SingleObj α ⥤q SingleObj β
g : SingleObj β ⥤q SingleObj γ
⊢ toPrefunctor.symm (f ⋙q g) = toPrefunctor.symm g ∘ toPrefunctor.symm f
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f : A →ₑ+[φ] B
⊢ f 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB (insert a s) (a ⊔ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
hs : univ ∈ S
hne : ¬univ = ∅
⊢ ⋃₀ S = univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ 0 ≤ μ.toSignedMeasure
n : ℕ
⊢ (n + 1).descFactorial (0 + 1) = (n + 1) * n.descFactorial 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B × C
⊢ NonUnitalStarAlgHom.prodEquiv.symm f = ((NonUnitalStarAlgHom.fst R B C).comp f, (NonUnitalStarAlgHom.snd R B C).comp f)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hr : Symmetric r
⊢ IsAntichain r (insert a s) ↔ IsAntichain r s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬r a b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
f₁₂ : j₁ ⟶ j₂
f₂₃ : j₂ ⟶ j₃
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
s : Multiset α
a : α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute
⊢ (a ::ₘ s).noncommProd comm = a * s.noncommProd ⋯
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) v = ({ toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun y) v
α : Type u
s : Set α
x : α
hs : s ⊂ {x}
⊢ s = ∅
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
⊢ ↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
⊢ M.closure (⋃ i, M.closure (bif i then X else Y)) = M.closure (⋃ b, bif b then M.closure X else M.closure Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
⊢ ContinuousAt (↑(extChartAt I x)) x'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
M : Type w'
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
W.IsCompatibleWithShift M
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
X Y Z : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W X Y a
g : CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom.equiv W L) (f.comp g h) =
  ((CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom.equiv W L) f).comp
    ((CategoryTheory.Localization.SmallShiftedHom.equiv W L) g) h
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f
this : Countable ↑u
⊢ Countable ι
α : Type u_6
β : Type u_7
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
self : HeytingHom α β
⊢ self.toFun ⊥ = ⊥
z : ℂ
⊢ (↑π * z).cot = (cexp (2 * ↑π * Complex.I * z) + 1) / (Complex.I * (1 - cexp (2 * ↑π * Complex.I * z)))
p1 p2 n : ℕ
h_neq : p1 ≠ p2
pp1 : Nat.Prime p1
pp2 : Nat.Prime p2
h1 : p1 ∣ n
h2 : p2 ∣ n
⊢ p1 * p2 ∣ n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
⊢ g ∈ stabilizer G s ↔ s ⊆ g • s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : d ≤ c
⊢ (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h c) - (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h d) ≤ c - d
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
hx : x ∈ Profinite.NobelingProof.C1 C ho
⊢ Profinite.NobelingProof.SwapTrue o (Profinite.NobelingProof.Proj (fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) x) = x
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β
hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), l (u (f i hi)) = f i hi
⊢ u (⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi) = ⨆ i, ⨆ (hi : p i), u (f i hi)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' y
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' u'' v'' : U
p : Quiver.Path u v
hu : u = u'
hv : v = v'
hu' : u' = u''
hv' : v' = v''
⊢ Quiver.Path.cast hu' hv' (Quiver.Path.cast hu hv p) = Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p
a b c : Ordinal.{u}
⊢ b ♯ c ≤ a ↔ (∀ b' < b, b' ♯ c < a) ∧ ∀ c' < c, b ♯ c' < a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Module.Dual R M
⊢ (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
n : ℕ
⊢ ¬Odd n ↔ n % 2 = 0
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
s : Set G
⊢ AddSubgroup.map f (AddSubgroup.closure s) = AddSubgroup.closure (⇑f '' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → E
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in s, g x ∂μ
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
⊢ aleph' o ≤ c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafOpensLeCover
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ (presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))
x y : ℝ
⊢ Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I) = √(x ^ 2 + y ^ 2)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x y : α
⊢ Associated x (normalize y) ↔ Associated x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a r : ℝ
⊢ 0 < r ∧ x ∈ r • s ↔ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inlₗ a) (Sum.inrₗ b) = Finset.map toLex.toEmbedding ((Finset.Ioi a).disjSum (Finset.Iic b))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom) ≫ (λ_ X).hom = (λ_ X).inv ≫ (λ_ X).hom
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
⊢ a.swapAt i v = (a[↑i], a.set i v)
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
⊢ (↑(Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ)).PairwiseDisjoint fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
⊢ ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → s.encard < ⊤ → (insert a s).encard < ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ (MeasurableSpace.countableGeneratingSet α).Countable
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : Subobject Z
⊢ (pullback (f ≫ g)).obj x = (pullback f).obj ((pullback g).obj x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α → β)
t : Set α
u : Set β
⊢ s.seq t ⊆ u ↔ ∀ f ∈ s, ∀ a ∈ t, f a ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
x : α
⊢ (f.partBind g) x = (f x).bind (g x)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
y : S
H : y ∈ Ideal.map f I
⊢ y ∈ ⇑f '' ↑I
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
⊢ (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ↔ ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.tau f) Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
x : 𝕎 k
hx : x.coeff 0 ≠ 0
y : kˣ := Units.mk0 (x.coeff 0) hx
hy : x.coeff 0 = ↑y
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ
⊢ ⨅ i, f i = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → β
⊢ map (fun i => f ↑i) l.attach = map f l
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
this : ∀ J ∈ π.filter fun J => N (π.tag J) = n, ‖(μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ (μ ↑J).toReal * ↑n
⊢ ∑ b ∈ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).boxes, (μ ↑b).toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) ≤ log ↑N / ↑(nValue N)
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ SpectrumRestricts (cfc Real.sqrt a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ cfc Real.sqrt a ^ 2 = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ (AffineMap.lineMap x y) b ∈ interior (closedBall 0 1)
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.arctan (1 / (1 + x ^ 2)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ ≤ C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z Z' : C → Prop
h : ∀ ⦃X : C⦄, Z X → Z' X
⊢ (CategoryTheory.FullSubcategory.map h).comp (CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion Z') =
  CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion Z
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
l.NeBot
p : β → Prop
x : β
⊢ Filter.Germ.LiftPred p ↑x ↔ p x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
⊢ SameRay R 0 (y -ᵥ x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : Continuous f
⊢ closure s ⊆ f ⁻¹' closure (f '' s)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) LinearMap.id = 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε
⊢ volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
m : Multiset E
⊢ ‖m.sum‖₊ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m).sum
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
hf : f ∈ S
hincl : ⇑(of R M) '' ↑f.support ⊆ ⋃ g ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑g.support
⊢ f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≠ b ↔ a < b ∨ a > b
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : ↑G'.verts
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.coe.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet ↑v)
⊢ Fintype.card ↑(G'.coe.neighborSet v) = G'.degree ↑v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑h '' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Ici b = Set.Ici (b + a)
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
⊢ variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
h0 : ¬c = 0
hinf : ¬c = ⊤
⊢ a / c ≤ b
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!
⊢ bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
x a : α
ha : a ∈ A
hxa : a ∈ ball x V
b : α
hb : b ∈ B
hxb : b ∈ ball x V
⊢ False
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ φ.fst.map L ⋯ = ψ.fst.map L ⋯ ∧ φ.snd.map L ⋯ = ψ.snd.map L ⋯ ↔ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction₂Rel φ ψ
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (SimpleGraph V)
G : SimpleGraph V
hG : G ∈ s
⊢ (∀ G ∈ s, G.Adj a b) → a ≠ b
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime k
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x => g i x) (g' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum s x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ φ 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Monoid M
f : MonoidAlgebra R M
⊢ f ∈ Algebra.adjoin R (⇑(MonoidAlgebra.of R M) '' ↑f.support)
⊢ Path.Homotopy.transAssocReparamAux 0 = 0
R : Type u_1
m : Type u_9
n : Type u_10
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
⊢ (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
⊢ ∀ (a : ↥S.leftNeg), (S.leftNegEquiv hS) a = (↑S.fromCommLeftNeg).toFun a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
⊢ VitaliFamily μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ mk I = mk J ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
x : R
P : Ideal R
hP : x ∈ P
⊢ (p.scaleRoots x).IsWeaklyEisensteinAt P
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.induced.isoZero e M F' e').hom.app (L.obj X) =
  (e' 0).hom.app X ≫ (G.isoShiftZero M).hom.app X ≫ e.inv.app X
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : ¬a = b
⊢ False ↔ a = b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ (MeasureTheory.BorelCantelli.process s)
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
⊢ ContractibleSpace ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g h))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y' Z').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) h)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ IsClosed s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y Z : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).fiber =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map g.base).map f.fiber) g.fiber)
x y : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p
G : Type w
Group G
ts : Set (TopologicalSpace G)
h : ∀ t ∈ ts, TopologicalGroup G
⊢ TopologicalGroup G
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist z x + hammingDist z y
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
Semiring C
StarRing C
Algebra R C
StarModule R C
S : StarSubalgebra R C
g : B →⋆ₐ[R] C
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ StarSubalgebra.comap f (StarSubalgebra.comap g S) = StarSubalgebra.comap (g.comp f) S
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
t : Set β
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (f ⁻¹' t) μ