ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)
s : Finset ιK := c.support
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
⊢ False
A : Type u_4
B : Type u_5
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
pb : PowerBasis A B
b : B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t :
  CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c))
⊢ t.ofCompId.left.as = PUnit.unit
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
α : Type u_1
n : Type u_3
A B : Matrix n n α
Add α
hA : A.IsSymm
hB : B.IsSymm
⊢ (A + B).IsSymm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
⊢ (filter p s).Nonempty ↔ ∃ a ∈ s, p a
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Finset.univ = Finset.insertNone Finset.univ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
⊢ s ∪ t + s ∩ t = s + t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
x : F'.obj U
⊢ f.app U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (f.app U)) V
R : CommRingCat
X✝ : Scheme
V✝ U✝ : X✝.Opens
f✝ g : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
V : Y.Opens
e : U ≤ f ⁻¹ᵁ V
s : ↑Γ(Y, V)
⊢ X.basicOpen ((Hom.appLE f V U e) s) = U ⊓ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen s
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f g : K[X]
h : ∀ {A : Type v} [inst : CommRing A] [inst_1 : IsDomain A] [inst_2 : Algebra K A] (a : A), (aeval a) f ≠ 0 ∨ (aeval a) g ≠ 0
x : K[X]
hx : x ∈ nonunits K[X]
x✝ : x ≠ 0
⊢ x ∣ f → ¬x ∣ g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : 𝕜
x : E
y : F
⊢ (f (c • x)) y = c • (f x) y
a b c : Nat
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a * c ↔ b < c
α : Type ua
β : Type ub
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β
⊢ {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ 𝓤 (α × β)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ‖g x‖ ≤ c * ‖g' x‖
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
⊢ (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) L
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 α = (𝓤 α).lift' interior
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : p i
⊢ (DFinsupp.filter p f) i = f i
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Function.Injective (sum_to C ho)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
H : f.support = ∅
⊢ ∀ (i : ι), f i = 0 i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.f₁₃ = sq.f₃₄.unop
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ ≤ 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
C : {n : ℕ} → Vector3 α n → Sort u_2
H0 : C []
Hs : {n : ℕ} → (a : α) → (w : Vector3 α n) → C w → C (Vector3.cons a w)
⊢ [].recOn H0 Hs = H0
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n
⊢ repeat m.succ a = append a (repeat m a) ∘ cast h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
z : Sym2 α
x y : α
⊢ x ∈ s ∧ y ∈ s ↔ ∃ a ∈ s ×ˢ s, Sym2.mk a = s(x, y)
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
h : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
⊢ ringChar F = 2 ↔ ringChar F = 2 ∧ ↑n ≠ 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
b : G
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b))
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
⊢ q ∈ Turing.TM2.stmts₁ q
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ : MultilinearMap R s E
φ' : (PiTensorProduct R fun i => s i) →ₗ[R] E
H : φ'.compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R) = φ
⊢ φ' = PiTensorProduct.lift φ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (ρ_ (F.obj X)).inv = F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Submonoid M
⊢ MonoidHom.mrange s.subtype = s
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b
this : IsLocalizedModule S LinearMap.id
⊢ LinearIndependent Rₛ b
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Disjoint (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s
⊢ f a ∈ map f s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
⊢ ⊤ ≤ normalClosure {⟨f, ⋯⟩}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => 0) x = 0 x
u v a b c d : ℤ
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b
hc : IsUnit c
hd : IsUnit d
⊢ a + b = c + d ↔ a = c ∧ b = d ∨ a = d ∧ b = c
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set (Submodule R M)
s : Submodule R M
hs : s ∈ S
x : M
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R
⊢ k * (m / k) + m % k = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : IsOpenMap f
finv : β → α
hleft : LeftInverse finv f
⊢ ContinuousOn finv (f '' univ)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
N : Subgroup G
N.Normal
h : s ⊆ ↑N
⊢ Group.conjugatesOfSet s ⊆ ↑N
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.reverse <+ l₂.reverse ↔ l₁ <+ l₂
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite = μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
⊢ Function.Injective NonUnitalStarSubalgebra.toNonUnitalSubalgebra
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
⊢ frontier (s ×ˢ Set.univ) = frontier s ×ˢ Set.univ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑S.starClosure = ⋂ t, ⋂ (_ : Set.range ⇑(algebraMap R A) ⊆ ↑t ∧ ↑S ⊆ ↑t ∧ star ↑S ⊆ ↑t), ↑t
M : Type u_9
AddCommGroup M
s : AddSubgroup M
⊢ (Submodule.span ℤ ↑s).toAddSubgroup = s
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
⊢ Nonempty α → Nonempty β → Nonempty γ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
ho : o.Compares a' b'
hab : a = b ∨ b < a
⊢ o.Compares a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : ι →₀ α
⊢ (Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card
b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ
⊢ b ∣ n ↔ ↑b ∣ Nat.ofDigits c (b'.digits n)
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ (LinearIsometryEquiv.neg R).symm = LinearIsometryEquiv.neg R
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) a = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc' i j k).pOpcycles ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K) = K.pOpcycles j
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
t : ℝ
ht : x < t
ht' : t < y
⊢ t ∈ S
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c d : α
hab : a ∣ b
hcd : c ∣ d
⊢ lcm a c ∣ lcm b d
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
hq0 : 0 ≤ q
⊢ eLpNorm' 0 q μ = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ioi a = Iio (a / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
⊢ ((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ↑x < map f ⊤) ↔ StrictMono f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ Collinear k s ↔ ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
⊢ Multiset.count b (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ rootMultiplicity b (map f p)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
⊢ q.num / ↑q.den = n / ↑d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Paths C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.pathComposition C).map f = CategoryTheory.composePath f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ f x ≤ b
α : Type u_1
R : Type u_2
Add R
MulOneClass R
SMul α R
IsScalarTower α R R
c : RingCon R
a : α
x : R
⊢ ↑(a • x) = a • ↑x
n✝ n e : ℕ
⊢ 0 < e → n < 10 ^ e → n.repr.length ≤ e
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
⊢ x.modMonomial s + (MvPolynomial.monomial s) 1 * x.divMonomial s = x
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), g x • ∑ i ∈ s, (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 1
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b ∈ s, f b
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det
⊢ A * B * (A * B).adjugate = A * B * (B.adjugate * A.adjugate)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
ε : F ⟶ G
hε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ε μ = η
X Y : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
t : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f) t = s
u : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows η t
⊢ (u.map₁ ε hε).map₂ f hf = (u.map₂ f hf).map₁ ε hε
M : Type u_6
N : Type u_7
F : Type u_8
Add M
Add N
FunLike F M N
AddHomClass F M N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
f : F
⊢ ContinuousAdd M
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ s ≠ 0 ↔ s.Nonempty
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥A
Module.Free R ↥B
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) ≤ Module.rank R ↥A * Module.rank R ↥B
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
R : Type u_1
CommSemiring R
b : ℕ
⊢ Nat.rawCast 1 ^ b = Nat.rawCast 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
⊢ prod q₁ q₂ ⬝ prod r₁ r₂ = prod (q₁ ⬝ r₁) (q₂ ⬝ r₂)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a ^ 2 = ↑(Quaternion.normSq a) ↔ a = ↑a.re
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A
h : D ⊆ E
⊢ Subtype.val '' D ⊆ Subtype.val '' E
G : Type u_2
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H ⊔ K = Subgroup.closure (↑H * ↑K)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
x : α
⊢ IsRelPrime x 0 ↔ IsUnit x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ Field.finInsepDegree F E = Field.finInsepDegree F K
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ ∀ x ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, x ≤ projectiveSeminorm
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : R
n : ℕ
ih : span {s} ^ n = span {s ^ n}
⊢ span {s} ^ (n + 1) = span {s ^ (n + 1)}
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
⊢ xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true
α : Sort u_4
β₁ : α → Sort u_1
β₂ : α → Sort u_2
β₃ : α → Sort u_3
F : (a : α) → β₁ a ≃ β₂ a
G : (a : α) → β₂ a ≃ β₃ a
⊢ (Equiv.psigmaCongrRight F).trans (Equiv.psigmaCongrRight G) = Equiv.psigmaCongrRight fun a => (F a).trans (G a)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d)
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ (z ⊓ x \ z) ⊓ y \ z = ⊥
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m ⋯ m0) s = m s hs
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝¹ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this✝ : FiniteDimensional F ↥L
this : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)
⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ : List α
l₂ : List α
⊢ (∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true) → List.eraseP p (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ List.eraseP p l₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n).natTrailingDegree = 0
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M.Basis (B' ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ List.Pairwise (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ (map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l
m n : ℕ
⊢ Odd (m * n) ↔ Odd m ∧ Odd n
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop ↔ 0 < r
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
t : X
g : G
⊢ ↑(CategoryTheory.ActionCategory.homOfPair t g) = g
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
⊢ ‖f z₁‖ * ‖z‖ / r ≤ c * ‖z‖ / r
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i
⊢ ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i
α : Type u_1
x : List α
w : x.length = 1
⊢ let_fun this := ⋯;
x = [x[0]]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ z₂' : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ z₁.comp (z₂ - z₂') h = z₁.comp z₂ h - z₁.comp z₂' h
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.ball 0 r ↔ p y < r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + c) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {X Y Z : C} {f : X ⟶ Z} {g : Y ⟶ Z}, CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
α : Type u
a : α
s : Stream' α
⊢ (Stream'.cons a s).head = a
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y
⊢ 0 < x ^ z