ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
hx : x ∈ t
⊢ (graph t).IsNClique 3 (toTriangle x)
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
s : Set β
⊢ ⇑h '' (⇑h ⁻¹' s) = s
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ Function.Injective ⇑(mulLeftMap N m)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, x ∈ s
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : i ≤ m.castSucc
⊢ (finSuccEquiv' i) m.succ = some m
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ ∀ (a1 a2 : ℕ), id (a1 + a2) = id a1 + id a2
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)
n : ℕ
⊢ Finset.Nat.antidiagonalTuple 1 n = {![n]}
ι : Type u
a : Cardinal.{v}
⊢ (Cardinal.prod fun x => a) = Cardinal.lift.{u, v} a ^ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ι)
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : eval₂ i b (X ^ n - C a) = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
(X₁ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).obj X₁)
X X' : CategoryTheory.GradedObject I C
φ : X ⟶ X'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom φ
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.rightUnitor X').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.rightUnitor X).hom φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f g : CategoryTheory.Under X
h : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Mono h ↔ CategoryTheory.Mono h.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ e.source
⊢ x ∈ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ↔ x ∈ s
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ (A.leftRegularHom x).hom (Finsupp.single 1 1) = x
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : x ~ᵤ y
⊢ normalizedFactors x = normalizedFactors y
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V).card ≤ 4 * ε * ↑A.card ^ 2
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
hg : Function.Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
⊢ Function.Injective ⇑(f.map ⋯ k)
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ ∑ i_1 : Fin (n + 1), f i_1 ((cons i σ) i_1) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => f n • ∑ i ∈ Finset.range n.succ, z i + -∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n i : ℕ
h : i ≠ n
⊢ (Polynomial.erase n p).coeff i = p.coeff i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(f.extend I) y
G : Type u_2
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ H ⊔ K = AddSubgroup.closure (↑H + ↑K)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 1
t : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (RelMap R fun i => realize (Sum.elim v xs) (![t] i)) = RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t]
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
AddCommMonoid P'
Module R P'
Module A P'
IsScalarTower R A P'
AddCommMonoid Q'
Module R Q'
f₂ : P →ₗ[A] P'
f₁ : M →ₗ[A] P
g₂ : Q →ₗ[R] Q'
g₁ : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (f₂ ∘ₗ f₁) (g₂ ∘ₗ g₁) =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f₂ g₂ ∘ₗ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f₁ g₁
m n : ℕ
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s
f' : F → G
left✝ : f (g x) = f' (g x)
ef : f =ᶠ[𝓝[s] g x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' (g x)
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (f ∘ g) t x
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a : R
h : a ≠ 0
⊢ (∀ b ∈ if h : a = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯, Irreducible b) ∧ Associated (if h : a = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯).prod a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.left g.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ t.inl ≫ CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.IsColimit.desc ht h k w = h
α : Type u
β : α → Type v
s t : Finmap β
⊢ s.entries = t.entries ↔ s = t
z w : ℂ
⊢ ¬z < w ↔ w.re ≤ z.re ∨ z.im ≠ w.im
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (φ - φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ - CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
⊢ ∃ o f, a.IsFundamentalSequence o f
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
DecidableEq α
⊢ Primrec₂ List.lookup
x : ℝ
⊢ π / 4 ≤ Real.arcsin x ↔ √2 / 2 ≤ x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₁
h₁ : f.comp g = AlgHom.id R A₂
h₂ : g.comp f = AlgHom.id R A₁
⊢ ↑(AlgEquiv.ofAlgHom f g h₁ h₂) = f
G : Type u_1
Group G
(Subgroup.center G).FiniteIndex
g : G
⊢ (MonoidHom.id ↥(Subgroup.center G)).transfer g = ⟨g ^ (Subgroup.center G).index, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
m n : Num
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
⊢ ∀ {x₁ x₂ : PGame}, x₁.Numeric → x₂.Numeric → x₁ < x₂ → P3 x₁ x₂ y₁ y₂
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ LeftOrdContinuous ⇑e
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
OrderBot α
Nontrivial α
a : α
⊢ Order.succ a ≠ ⊥
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ Submodule.span R (Set.range (minpolyDiv R x).coeff) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ LowerSet.Iic x = LowerSet.Iic x.1 ×ˢ LowerSet.Iic x.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsClosedMap g
hf : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (g '' (f '' s))
α : Type u_2
M : Type u_4
CommMonoid M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → M
l : List α
⊢ (List.map f (List.filter (fun b => decide (p b)) l)).prod * (List.map f (List.filter (fun x => decide ¬p x) l)).prod =
  (List.map f l).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X : D
⊢ (CategoryTheory.sum.inverseAssociator C D E).obj (Sum.inr (Sum.inl X)) = Sum.inl (Sum.inr X)
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n
⊢ 0 ≤ y
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
f✝ : ℕ → α✝
a : α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : β → ℝ
hf : 0 ≤ f
s : α → Set β
hs : ∀ (i : β), ∃! j, i ∈ s j
⊢ Summable f ↔ (∀ (j : α), Summable fun i => f ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑(s j)), f ↑i
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ p) ≤ Module.rank R M
f g : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
⊢ LSeriesHasSum f s a ↔ LSeriesHasSum g s a
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
x : M × ↥S
hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1
y : M × ↥S
hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1
⊢ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ f (￢a) = ￢f a
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
⊢ r ⊔ s = EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {γ : Type u_2} {r : α → γ → Prop} {β : Type u_3} {δ : Type u_4} {s : β → δ → Prop} {b : β} {d : δ},
  Sum.LiftRel r s (Sum.inr b) (Sum.inr d) ↔ s b d
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
g : δ → α
b : δ
hf : IsMinOn f s (g b)
⊢ IsMinOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Monoid M
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
c : M
x : α
⊢ c • closure (MulAction.orbit M x) ⊆ closure (MulAction.orbit M x)
n : ℕ
s : Finset ℕ
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.fin n s) = Finset.filter (fun x => x < n) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ (F.mapIso i).hom = F.map i.hom
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
i : ι
m : M
i✝ : ι
⊢ (single i m).toDFinsupp i✝ = (DFinsupp.single i m) i✝
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
hy : y ∈ (convexHull ℝ) s
x' : E
hx' : x' ∈ s
y' : E
hy' : y' ∈ s
H : dist x y ≤ dist x' y'
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c * (a ⊔ b) = c * a ⊔ c * b
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : One α
inst✝² : One α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : OneHomClass F α α₂
f : F
⊢ mapDomain (⇑f) 1 = 1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Metric.ball 0 r ⊆ s
⊢ r * gauge s x ≤ ‖x‖
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
⊢ f = g ↔ ⇑f = ⇑g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M N K : Mod_ A
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
α : Type u
r : α → α → Prop
IsOrderConnected α r
a b c : α
h₁ : ¬r a b
h₂ : ¬r b c
⊢ ¬r a c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
⊢ ¬1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P {x} a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
⊢ (fun x => x / a) '' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
G : Type w
Neg G
ts : Set (TopologicalSpace G)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousNeg G
⊢ ContinuousNeg G
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ Order.IsIdeal ↑s
⊢ ¬Summable fun p => 1 / ↑↑p
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
⊢ Continuous fun x => sSup (f x '' K)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.JordanDecomposition.negPart 0 = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
h₁ : s₁ = s₂
h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x
comm : (↑s₁).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ s₁.noncommProd f comm = s₂.noncommProd g ⋯
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.rdropWhile p l = l ↔ ∀ (hl : l ≠ []), ¬p (l.getLast hl) = true
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S = ∅
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ round (x + OfNat.ofNat n) = round x + OfNat.ofNat n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ OpenEmbedding Sum.inr
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
p : R[X][Y]
h : Polynomial.evalEval x y p = 0
⊢ ∀ (a : R[X][Y] ⧸ Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {p})),
  (AdjoinRoot.evalEval h) a =
    (QuotientAddGroup.lift (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {p}))
        ↑(Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.evalRingHom x) y) ⋯)
      a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → ℝ
x : ℝ
⊢ HasSum (fun x => ↑(f x)) ↑x ↔ HasSum f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
a : α
s : Set α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ f '' insert a s ↔ x✝ ∈ insert (f a) (f '' s)
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
S : Type u_9
Monoid S
DistribMulAction S M₂
ContinuousConstSMul S M₂
f : M₁ → M₂
hf : IsCompactOperator f
c : S
⊢ IsCompactOperator (c • f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep ⊥ m' μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ∀ {X Y : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ} (i : X ⟶ Y)
  (a : (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.structureSheafInType 𝒜).val.obj X),
  ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.structurePresheafInCommRing 𝒜).map i) a =
    (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.structureSheafInType 𝒜).val.map i a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
⊢ r < ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
n : ℤ
⊢ 0 < x ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ b ⇨ c ↔ b ⊓ a ≤ c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ (J : Type w) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasLimitsOfShape J C
J : Type
hJ : SmallCategory J
hhJ : FinCategory J
this : HasLimitsOfShape (ULiftHom (ULift.{w, 0} J)) C
l : J ≌ ULiftHom (ULift.{?u.1062, 0} J)
⊢ HasLimitsOfShape J C
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ ¬SupIrred a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
G : CategoryTheory.Functor A C
H : CategoryTheory.Functor B D
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₂ : CategoryTheory.Functor D C
L₃ : CategoryTheory.Functor C D
R₃ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
β : L₃ ⟶ L₂
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₃) (CategoryTheory.leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β) =
  CategoryTheory.rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M.Base B
⊢ M✶.Base (M.E \ B)
l : List Char
c : Char
r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l (c :: r) it → String.Iterator.ValidFor (c :: l) r it.next
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
⊢ AnalyticAt ℂ f c
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ m₃ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ
h31 : m₃ ≤ m₁
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₃ m₂ hm' μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsClosed (Set.range ⇑(PrimeSpectrum.comap f))
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ limsup (u + v) f = ⊥
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ K⟮α⟯ = ⊤
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
Countable ι
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.iUnion s) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S T : J.Cover X
x : CategoryTheory.Meq P T
e : S ⟶ T
I : S.Arrow
⊢ ↑(x.refine e) I = ↑x { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ }
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
⊢ ConcreteCategory.forget.map f = ConcreteCategory.forget.map g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hG : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J G
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (CategoryTheory.presheafHom F G)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
⊢ xn a1 m < xn a1 (n + 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x y : S
⊢ h.repr (x + y) - (h.repr x + h.repr y) ∈ Ideal.span {f}
α : Type u
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ ⋯.toFinset = s.toFinset
x y : ℂ
⊢ sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this : Mono S.f
⊢ (S.map F).ShortExact