ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ Antitone F.N
a : ℕ
IH : ∀ m < a, ∀ {b : ℕ} {flip : Bool} {ha0 : m > 0}, b % 2 = 1 → b > 1 → fastJacobiSymAux m b flip ha0 = if flip = true then -J(↑m | b) else J(↑m | b)
b : ℕ
flip : Bool
ha0 : a > 0
hb2 : b % 2 = 1
hb1 : b > 1
ha4 : ¬a % 4 = 0
ha2 : ¬a % 2 = 0
ha1 : ¬a = 1
hba : ¬b % a = 0
⊢ (if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑(b % a) | a) else J(↑(b % a) | a)) = if flip = true then -J(↑a | b) else J(↑a | b)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.derivative p).degree ≤ p.degree
C : FP.FloatCfg
⊢ FP.ValidFinite FP.emin 0
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ ∏ x ∈ s, (coeff R (k x)) f = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ Measurable fun x => min (τ x) j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
PartialOrder 𝕜
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x)) (𝓝[>] 0) (𝓝 f')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x = (↑iso).comp (fderiv 𝕜 f x)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.75509, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).ι n ≫ (Γ₀.splitting K).desc (op [n]) fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj A) = f.f n ≫ (Γ₀.splitting K').ι n
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
hAA' : ∅ ⊆ A
⊢ (A * C).card * ∅.card ≤ (∅ * C).card * A.card
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ G₁.edgeSet ⊆ G₂.edgeSet ↔ G₁ ≤ G₂
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex L ≠ 0
hK : K.relindex L ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≠ 0
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
a : α
⊢ f a = f' a
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
CompleteLattice α
s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
⊢ (⋃ i ∈ s, g i).PairwiseDisjoint f
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 1 ≤ OfNat.ofNat n
α : Type u
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
⊢ List.span.loop p l₁ l₂ = (l₂.reverse ++ List.takeWhile p l₁, List.dropWhile p l₁)
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).inv = AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen ↑R ⊤
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ (2 * (3 / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2 < (2 * (π / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R
⊢ n = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ o.bmex f ∉ o.brange f
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
hnzd : ↑(Polynomial.rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t (Polynomial.derivative p) = Polynomial.rootMultiplicity t p - 1
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
h : ((var 0).equal (var 1)).Realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) ↔ ((var 0).equal (var 1)).Realize fun i => if i = 0 then x else y
⊢ φ x = φ y → x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal) = eLpNorm f q μ
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
Y : Type v
TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ ContinuousMap.restrict s g = f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
p' q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) ↑(p', ⟨q, hq⟩).2 = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) (p', ⟨q, hq⟩).1
⊢ φ'.IsIntegralElem ((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p')
n : Nat
a : Fin n
⊢ ¬a < a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
h : f ≤ g
a : ι
ha : 0 < f a
⊢ 0 < g a
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ IsRegular (Polynomial.X ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_4
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.toSesqForm f) v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
Algebra R P
IsLocalization M P
x y : R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y ↔ (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) y
α : Type u_1
s : Cycle α
r₁ r₂ : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
p : Cycle.Chain r₁ s
⊢ Cycle.Chain r₂ s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hfμ : MeasureTheory.Integrable f μ
h_int : MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.llr μ ν) μ
hfν : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.llr μ (ν.tilted f)) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct Z
X : C
π : (a : α) → X ⟶ Z a
⊢ (CategoryTheory.Limits.opProductIsoCoproduct Z).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.Pi.lift π).op =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun a => (π a).op
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
o : ℕ
p : R[X]
coeff_ne_zero : p.coeff o ≠ 0
h_natDeg_le : p.natDegree ≤ o
⊢ p.natDegree = o
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
s : Set G
x : G
⊢ ContinuousWithinAt Inv.inv s x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)
⊢ Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (μ (t • x))) k)
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this : IsPrimitiveRoot z ↑k
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
G : Type u_2
Group G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
⊢ ↑(A ⊓ B) * ↑C = ↑A ∩ (↑B * ↑C)
R : Type u_1
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid N
Module R N
i : ι × κ
r : R
n : N
⊢ (finsuppTensorFinsuppLid R N ι κ).symm (Finsupp.single i (r • n)) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : Box ι
hle : J ≤ I
hs : ∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
s : Set ι
h' : J.splitCenterBox s ∈ splitCenter J
⊢ p (J.splitCenterBox s)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))
α : Type u_1
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.reverse.isRed = t.isRed
n : ℕ
this✝ : ↑n + 1 ≠ 0
this : ↑n + 1 + 1 ≠ 0
h : ↑n + 2 ≠ 0
⊢ gosperCatalan (n + 1) (n + 1) - gosperCatalan (n + 1) 0 = ↑(n + 1).centralBinom / (↑n + 2)
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
hs : CompleteLattice.SetIndependent s
⊢ s.Finite
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : Mul α
x y : α
⊢ of x * of y = of (x * y)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
⊢ (c ^ n).deg = n • c.deg
n : ℕ
n_large : 2 < n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x
no_prime : x ≤ 2 * n → ¬Nat.Prime x ∨ x ≤ n
⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ s_1 ∈ {s}, MeasurableSet s_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y
⊢ a + b + c = a + (b + c)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
TopologicalSpace X
One X
T1Space X
f : E → X
hf : HasCompactMulSupport f
h'f : Continuous f
⊢ f = 1 ∨ FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ ⋃ k, PiNat.cylinder (Function.update x n k) (n + 1) = PiNat.cylinder x n
n : ℕ
⊢ Function.Injective Fin.succAbove
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
x : E
s : Set E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₀ s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map β) ((F.map f) x * (F.map g) y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ (reflection K).symm = reflection K
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X ⊕ Y → Z
⊢ IsClosedMap f ↔ (IsClosedMap fun a => f (Sum.inl a)) ∧ IsClosedMap fun b => f (Sum.inr b)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i : ι, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w)) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular
⊢ μ = map (⇑f.symm) (map (⇑f) μ)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
⊢ s0 • y ∈ span R (s • t)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)
⊢ (LeftFraction₂.mk (-α.f) α.f α.s ⋯).add.map L ⋯ = L.map 0
R : Type u_1
A : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
CharP A p
⊢ CharP R p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
⊢ IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M ↔ IsNilpotent R L M
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
s : NonUnitalSubsemiring R
y : ↑(⇑↑e.toAddEquiv '' ↑s.toAddSubmonoid)
⊢ ↑((e.nonUnitalSubsemiringMap s).symm y) = (↑e).symm ↑y
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
p₁ : R[X]
⊢ ∃ x, (mapRingHom f) x = C (f r) * (mapRingHom f) p₁
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ n.factorization.support ⊆ Finset.filter Prime (Finset.range m)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ ↑(f.neLocus g) ↔ x✝ ∈ {x | f x ≠ g x}
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝ : tα ⊆ univ
hfin : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
⊢ (of i) g • w = g • w
α : Type u
Semiring α
Nontrivial α
n : ℕ
Invertible ↑n
⊢ 0 < n
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : ∃ a, p a
⊢ p P.choose
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : μ (frontier s) = 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Set α
t : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ insert a s, t x = t a ∩ ⋂ x ∈ s, t x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
φ : StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁)) ⟶ StructuredArrow.mk (L.map f) := StructuredArrow.homMk f ⋯
⊢ limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f)) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
NormedRing 𝕜
(i : α) → Module 𝕜 (E i)
∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ c • ↑f ∈ lp E p
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ algebraMap P.Ring S = ↑(MvPolynomial.aeval P.val)
α : Type u
f : Filter α
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ f), ↑g = f
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
⊢ ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) s → (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) (a_1 ::ₘ s)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImages V
w : f ≫ 0 = 0
⊢ imageToKernel f 0 w =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject 0).arrow
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
⊢ (G₁ ⊓ G₂).verts = G₁.verts ∩ G₂.verts
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
u : Rˣ
⊢ ↑((Units.map ↑v) u) = v ↑u
m n k : ℕ
⊢ (m + n * k).gcd n = m.gcd n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c.smulRight f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
α : Type u
Infinite α
s : Finset α
⊢ ∃ a, a ∉ s
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℂ n Complex.sin
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : S.HasRightHomology
h : IsIso S.leftRightHomologyComparison
this : IsIso (leftRightHomologyComparison' S.leftHomologyData S.rightHomologyData)
⊢ S.HasHomology
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
⊢ 2 • θ = ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i
⊢ (map (Sigma.mk a.fst) (𝓝 a.snd)).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (Ordinal.sup fun n => o + ↑n) = o + ω
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
ξ : 𝕊
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ volume univ ≤ (n + 1) • volume (closedBall 0 (T / ↑(n + 1) / 2))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯
⊢ Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)) ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ))
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
⊢ μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Q : Algebra.Generators S T
P : Algebra.Generators R S
i : P.vars
⊢ (Q.toComp P).val i = MvPolynomial.X (Sum.inr i)
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
DecidableEq n
v : n → α
⊢ ‖Matrix.diagonal v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A
x : G
⊢ (((fun x => A.leftRegularHom x) ({ toFun := fun f => f.hom (Finsupp.single 1 1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (f.hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
k : Type u_2
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V2
AffineSpace V2 P2
Module k V2
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
(i : ι) → AddCommGroup (φv i)
(i : ι) → Module k (φv i)
Finite ι
DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
Nonempty ι
h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap
⊢ f = g
⊢ @AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion =
  (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => ClosedEmbedding) ⊓
    AlgebraicGeometry.stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f