ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y s t s' t' : R
⊢ (EuclideanDomain.xgcdAux x s t y s' t').1 = EuclideanDomain.gcd x y
F : Type u_1
G : Type u_2
N : Type u_3
SubtractionMonoid G
AddMonoid N
FunLike F G N
AddMonoidHomClass F G N
x : G
hx : IsAddUnit x
f g : F
h : f x = g x
⊢ f (-x) = g (-x)
k m : ℕ+
⊢ k ∣ m ↔ m.mod k = k
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ AdicCompletion.map I LinearMap.id = LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
⊢ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))
γ : Type w
SemilatticeSup γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
⊢ IsGLB (Set.Ioo a b) a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, ProbabilityTheory.IndepSets (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (⋃ n ∈ u, s n) s' μ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEStronglyMeasurable f_1 μ
⊢ AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ finrank F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥⊤
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑(na * nb) = ↑(↑k * nc)
⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_1
p q : Prop
s : p ∨ q → Set α
⊢ ⋃ (h : p ∨ q), s h = (⋃ (i : p), s ⋯) ∪ ⋃ (j : q), s ⋯
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
f : Module.End R M
w : ι → R
⊢ ((PiToModule.fromEnd R b) f) w = f (((Fintype.total R R) b) w)
n : ℕ
hn : 0 < n
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x
⊢ term n 1 = log (↑n + 1) - log ↑n - 1 / (↑n + 1)
R : Type u_1
CommRing R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents fun x => 1 - e x
⊢ Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {e i}))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s s' : Set A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s ∪ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s' =
  ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s.preimage f ⋯) Filter.atTop Filter.atTop
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = ν s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w
x✝ : ι'
⊢ (⇑S.g ∘ Function.invFun ⇑S.g ∘ w) x✝ = w x✝
R : Type u_1
Ring R
φ : PowerSeries R
u : Rˣ
h : (PowerSeries.constantCoeff R) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u * φ = 1
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
g : PushoutI φ
w : NormalWord d
⊢ (g • w).prod = g * w.prod
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced
⊢ BalancedSz r.dual.size l.dual.size
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha' : SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a ∨ -‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G
⊢ g ^ n = g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G))
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α✝ β✝ γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq1 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝¹ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝¹ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq2 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
α β : Type u
x : F α
y : Unit → F β
⊢ sl1 x y = sl2 x y
R : Type u
σ : Type u_1
a a' : R
CommRing R
⊢ MvPolynomial.C (a - a') = MvPolynomial.C a - MvPolynomial.C a'
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x : DirectLimit G f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ F x = (lift R ι G f (fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) ⋯) x
hS : ∀ x ∈ ∅, x ≤ 0
⊢ sInf ∅ ≤ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
a : E
h : Convex 𝕜 (a +ᵥ s)
⊢ Convex 𝕜 s
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ b ∈ List.dlookup a l → ⟨a, b⟩ ∈ l
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) s x
α : Type u
L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
⊢ L₁ ++ (x1, b1) :: (x1, !b1) :: L₂ = L₃ ++ (x2, b2) :: (x2, !b2) :: L₄ →
  L₁ ++ L₂ = L₃ ++ L₄ ∨ ∃ L₅, FreeGroup.Red.Step (L₁ ++ L₂) L₅ ∧ FreeGroup.Red.Step (L₃ ++ L₄) L₅
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
a : α
⊢ Antitone fun x => f x * a
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : Bool → α
⊢ ⨅ b, f b = f true ⊓ f false
a : Prop
⊢ a ∧ ¬a ↔ False
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (M.X ⊗ M.X) ≫ 𝟙_ C ◁ M.mul) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) / ↑K ≤ edist x y
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Functor t
LawfulFunctor t
α : Type u
x : t' α
⊢ Equiv.map eqv id x = x
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
J : Type v₂
CategoryTheory.SmallCategory J
K : J ⥤ C
X : C
Y : J
⊢ (CategoryTheory.ProdPreservesConnectedLimits.γ₁ X).app Y = CategoryTheory.Limits.prod.fst
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ g₁ ⟦(P F).wMk a f' f⟧ = g₂ ⟦(P F).wMk a f' f⟧
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiableWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
G : Type u_2
FunLike G S R
g : G
I : Ideal S
hf : Set.LeftInvOn (⇑g) (⇑f) (⇑f ⁻¹' ↑I)
⊢ Ideal.comap f I ≤ Ideal.map g I
n : ℕ
s : ℝ
⊢ 0 ≤ ZetaAsymptotics.term n s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ 0 ≤ a • b ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
m n : ℕ
⊢ 1 < ack m (n + 1)
α : Type u_1
a : α
⊢ Multiset.replicate 1 a = {a}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ :
  (X Y : C) →
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (F.obj X) (F.obj Y) ⟶
      F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
μ_natural :
  ∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'),
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F.map f) (F.map g) ≫ μ Y Y' =
      μ X X' ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) := by
  aesop_cat
associativity :
  ∀ (X Y Z : C),
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (μ X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫
        μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
          F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫
        CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (F.obj X)) (μ Y Z) ≫
          μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z) := by
  aesop_cat
left_unitality :
  ∀ (X : C),
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj X)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom ε (𝟙 (F.obj X)) ≫
        μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom := by
  aesop_cat
right_unitality :
  ∀ (X : C),
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (F.obj X)) ε ≫
        μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom := by
  aesop_cat
⊢ ∀ {X Y : C} (a : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.ofTensorHom F ε μ μ_natural associativity left_unitality right_unitality).map a =
    F.map a
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ρ.asAlgebraHom ((MonoidAlgebra.of k G) g) = ρ g
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Irreducible (Ideal.map (algebraMap R S) I)
α : Type u_1
f g : Poly α
⊢ (∀ (x : α → ℕ), f x = g x) → f = g
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ p w
α : Type u_1
Subsingleton α
s t : Set α
Nonempty ↑s
Nonempty ↑t
⊢ s = t
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
a b c d m✝ n✝ : ℤ
this : 1 ≠ -1
m n : ℕ
⊢ 0 < ↑m + 1 + (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
⊢ { re := 0, im := 0 } = 0
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
⊢ ∃! p, ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x
⊢ derivWithin f S x ≤ slope f x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
⊢ x ∈ Ioo a b ∪ Ioi c ↔ x ∈ Ioi (min a c)
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (α.app j ≫ c.ι.app j)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
⊢ Function.Surjective ⇑(AdjoinRoot.Minpoly.toAdjoin R x)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ f '' spectrum S a = spectrum R a
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
t : Vector3 α m
v : Vector3 α n
i : Fin2 (n + 1)
e : n + 1 + m = n + m + 1
⊢ Vector3.insert a (t.append v) (Eq.recOn e (i.add m)) = Eq.recOn e (t.append (Vector3.insert a v i))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Add β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f + g = MeasureTheory.SimpleFunc.map (fun p => p.1 + p.2) (f.pair g)
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a * b).val ≤ a.val * b.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
W : C
k l : W ⟶ CategoryTheory.Limits.equalizer f g
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp k (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g)
⊢ k = l
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
⊢ m ∈ (((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).coeff i).support ↔ Finsupp.cons i m ∈ f.support
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
z : E
hxz : dist z x ≤ δ
hzy : dist z y ≤ ε
⊢ False
w : Nat
α : Type u_1
f : Fin w → α → α × Bool
state : Nat → α
s : α
init : s = state 0
ind : ∀ (i : Fin w), (f i (state ↑i)).fst = state (↑i + 1)
⊢ (BitVec.iunfoldr f s).fst = state w
m n : Num
⊢ m + n.succ = (m + n).succ
M : Type u_1
AddZeroClass M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 0
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
⊢ p x
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
X Y : Ω → ℝ
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable Y μ
⊢ ∫ (ω : Ω), X ω * Y ω ∂μ = MeasureTheory.integral μ X * MeasureTheory.integral μ Y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
⊢ (fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = fun b_1 => b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) b_1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughProjectives C
Z : C
⊢ CategoryTheory.ProjectiveResolution.of Z =
  CategoryTheory.ProjectiveResolution.mk (CategoryTheory.ProjectiveResolution.ofComplex Z) ⋯
    (((CategoryTheory.ProjectiveResolution.ofComplex Z).toSingle₀Equiv Z).symm ⟨CategoryTheory.Projective.π Z, ⋯⟩) ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
self : F.Corepresentable
⊢ ∃ X, Nonempty (CategoryTheory.coyoneda.obj X ≅ F)
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ Polynomial.eval x (Lagrange.basisDivisor x y) = 1
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ φ * 0 = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯
hfg : g.comp (Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f
⊢ (g.comp ((Quotient.mk (RingHom.ker f)).comp C)).IsIntegral
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
this✝ : IsWellOrder ι r
r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
this : IsWellOrder (↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}) r'
⊢ a ≤ (type r').blsub fun i x => f ↑(enum r' i x)
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m f = ⊥ ↔ (Set.range m)ᶜ ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
⊢ ⇑(ContinuousMap.constPi α) = fun b => Function.const α b
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f g : ι → α
⊢ (⨅ i, f i) ⊔ ⨅ i, g i ≤ ⨅ i, f i ⊔ g i
α : Type u
Lattice α
a b c : α
⊢ a ⊓ b = c ∧ a ⊔ b = c ↔ a = c ∧ b = c
α : Type u_1
a : α
f : α → ℕ
⊢ Nat.multinomial {a} f = 1
x : ℝ
hx : Real.cos x ≠ 0
⊢ (1 + Real.tan x ^ 2)⁻¹ = Real.cos x ^ 2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U ∈ B.powerset.erase ∅
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.fst R₁ M₁ M₂) = Prod.fst
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ℕ
⊢ (μ.trim hm) (spanningSets (μ.trim ⋯) i) < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hom₁ : A.obj₁ ⟶ B.obj₁
hom₂ : A.obj₂ ⟶ B.obj₂
hom₃ : A.obj₃ ⟶ B.obj₃
comm₁ : A.mor₁ ≫ hom₂ = hom₁ ≫ B.mor₁ := by aesop_cat
comm₂ : A.mor₂ ≫ hom₃ = hom₂ ≫ B.mor₂ := by aesop_cat
comm₃ : A.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map hom₁ = hom₃ ≫ B.mor₃ := by aesop_cat
⊢ (A.homMk B hom₁ hom₂ hom₃ comm₁ comm₂ comm₃).hom₃ = hom₃
M : Type u_2
CommMonoid M
f : ℕ → M
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (∏ k ∈ Finset.range m, f k) * ∏ k ∈ Finset.Ico m n, f k = ∏ k ∈ Finset.range n, f k
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
NoncompactSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsOpenPosMeasure
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ μ Set.univ = ⊤
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
UniformConvexSpace E
ε : ℝ
NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ