ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ ⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support = ⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
⊢ 1 / ↑(b - a) * (f b * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑b) - f a * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a) - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (f' x * (fourier (-n)) ↑x)) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ count p (n + 1) = count p n + if p n then 1 else 0
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ A.Nonempty
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LE α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
⊢ (if p then a else b) ≤ 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfy : f (a • x + b • y) < f y
⊢ f x < f (a • x + b • y)
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
hb : b > 0
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
⊢ Function.uncurry f = fun p => f p.fst p.snd
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ
⊢ f.toContinuousMap.comp f.symm.toContinuousMap = ContinuousMap.id β
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ tangentMap I I (↑(chartAt H p.proj)) q = (Bundle.TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
s : Set E
fs : AnalyticOn ℂ f s
gs : AnalyticOn ℂ g s
m : ∀ z ∈ s, f z ∈ Complex.slitPlane
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => f z ^ g z) s
α β : Type u
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s
⊢ Cardinal.mk ↑t ≤ Cardinal.mk ↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
⊢ Set.InjOn (Set.image f) (𝒫 s)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
p : (Matrix n n R)[X]
i j : n
k : ℕ
⊢ (matPolyEquiv.symm p i j).coeff k = p.coeff k i j
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
Fintype κ
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
f : Module.Dual R (TensorProduct R M N)
⊢ (TensorProduct.dualDistribInvOfBasis b c) f = ∑ i : ι, ∑ j : κ, f (b i ⊗ₜ[R] c j) • b.dualBasis i ⊗ₜ[R] c.dualBasis j
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
kn : ↥(ker G) ⊗[R] N
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) kn = en
⊢ VanishesTrivially R m n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ ↑s.direction ↔ v ∈ (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s
R : Type u_1
Semiring R
t : R
⊢ (Polynomial.C t).reverse = Polynomial.C t
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ
⊢ a✝ ∈ map ({ toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ }.trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisors ↔ a✝ ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Semiring T
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g✝ : G
f : S →+* R
g : T →+* S
⊢ Ideal.comap g (ker f) = ker (f.comp g)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤
⊢ ⊤ ≤ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ IsDomain (R ⧸ I) ↔ I.IsPrime
β : Type v
π : β → Type u_2
Fintype β
(b : β) → EDist (π b)
f g : (b : β) → π b
d : ℝ≥0∞
⊢ edist f g ≤ d ↔ ∀ (b : β), edist (f b) (g b) ≤ d
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame
⊢ ¬Quot.mk Setoid.r x ≤ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ⧏ Quot.mk Setoid.r x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0
h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0
htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
h0_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ 0
h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p
h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) * (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)))
⊢ 1 ≤ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
⊢ Associates.mk x * Associates.mk y = Associates.mk (x * y)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
r : R
⊢ Polynomial.eval (f r) (Polynomial.eval (Polynomial.map f q) (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) p)) =
  f (Polynomial.eval r (Polynomial.eval q p))
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
⊢ dist (a • y₁) (a • y₂) = dist y₁ y₂
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n ≤ b ^ n → a ≤ b
t x : ℝ≥0∞
⊢ 0 ≤ t.truncateToReal x
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
⊢ deriv Gamma (↑n + 1) = ↑n ! * (-γ + ↑(harmonic n))
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
⊢ (φ * ψ)⁻¹ = ψ⁻¹ * φ⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : D × C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.braiding C D).inverse.map f = (f.2, f.1)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = mk' f (↑s₁ • m₁) s₁ • mk' f (↑s₂ • m₂) s₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l₁ l₂ : List α}, (a :: l₁).Disjoint l₂ → l₁.Disjoint l₂
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
P : ProjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex).homologyι 0 ≫ P.fromLeftDerivedZero' F
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f
_def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f
f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f
f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀
f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀
f₀_ae_nns : ∀ (i : γ), 0 ≤ᶠ[ae ↑(μs i)] ⇑f₀
aux : ∫ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑μ = (∫⁻ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑μ).toReal
auxs : ∀ (i : γ), ∫ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑(μs i) = (∫⁻ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑(μs i)).toReal
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
⊢ content 0 = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1
⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
⊢ IsIntegral ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
V : Type u
G : SimpleGraph V
p : Prop
u v : V
h : G.Reachable u v
hp : G.Walk u v → p
⊢ p
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
f : ↑(Ω^ N X x)
⊢ ⟦symmAt i f⟧ = ⟦symmAt j f⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
R : α → β → Prop
f : γ → β
l : List α
u : List γ
⊢ List.Forall₂ R l (List.map f u) ↔ List.Forall₂ (fun a c => R a (f c)) l u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
f g : A ≃⋆+* B
⊢ f = g ↔ ∀ (a : A), f a = g a
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg :
  ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F),
    Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) → Filter.Tendsto (⇑g ∘ u) Filter.atTop (𝓝 y) → y = g x
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.ofSeqClosedGraph hg) = ⇑g
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
(x : B) → Zero (E x)
x : B
⊢ (Bundle.zeroSection F E x).snd = 0
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
B✝ : PowerBasis S A
hB✝ : IsIntegral R B✝.gen
B B' : PowerBasis K S
P : R[X]
h : (aeval B.gen) P = B'.gen
hB : IsIntegral R B.gen
hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)
i✝ : Fin B.dim
j : Fin B'.dim
i : Fin B.dim
n : ℕ
x✝ : n ∈ Finset.range (P.natDegree + 1)
⊢ IsIntegral R ((P.coeff n • B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ M.det = (-1) ^ Fintype.card n * M.charpoly.coeff 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
i₀ : β
⊢ ⨆ i, f i = f i₀ ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≠ i₀), f i
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq
h : Ordering.eq.orElse (Ordering.eq.orElse (a₁.cmp a₁)) = Ordering.eq
h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ ¬↑n₁ < ↑n₁
⊢ e₁.oadd n₁ a₁ = e₁.oadd n₁ a₁
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)
⊢ (m.toMeasure h) s = m s
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ SupClosed s
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Transitive R
⊢ Transitive (Computation.LiftRel R)
R : Type u
Ring R
s : Subring R
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
⊢ (DFinsupp.mk s x).support ⊆ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ G' ≤ ⊤.induce G'.verts
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6)
B C : CommRingCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ AlgebraicGeometry.Spec C
g : AlgebraicGeometry.Spec B ⟶ AlgebraicGeometry.Spec C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
n : ℕ
f g : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
hf : Nat.Partrec' f
H : ∀ (i : Mathlib.Vector ℕ n), f i = g i
⊢ Nat.Partrec' g
a b : Ordinal.{u}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit
⊢ a ^ b = b.bsup fun c x => a ^ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
⊢ f.SameCycle x (f y) ↔ f.SameCycle x y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ vecCons x u (i + i + 1) = vecAlt1 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuousOn F Set.univ ↔ UniformEquicontinuous F
n : ℕ
⊢ fib (n + 2) < fib (n + 1 + 2)
α : Type u_1
BEq α
n : Nat
a b c : α
h : (!b == a) = true
⊢ (List.replicate n a).replace b c = List.replicate n a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousMul α
T3Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd g a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
hf' : Multipliable f
⊢ HasProd f a
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
⊢ s.Nonempty → ∃ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f b ≤ f a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1
⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ξ
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
h : j = default
⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app j ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app j
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length
⊢ l.formPerm.Disjoint l'.formPerm ↔ l.Disjoint l'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ
⊢ (map φ₁ φ₃ (a ≫ a') (b ≫ b') ⋯).f n = (map φ₁ φ₂ a b comm ≫ map φ₂ φ₃ a' b' comm').f n
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
⊢ DFinsupp.comapDomain h hh 0 = 0
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ Polynomial.evalEval 0 0 W.polynomial = -W.a₆
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)
α : Type u_2
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
⊢ s ∈ 𝒜 → t ∈ ℬ → s ∪ t ∈ 𝒜 ⊻ ℬ
α : Type u_1
DivisionRing α
n d : ℕ
a n' d' : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.ofNat n) d → ↑n = n' → ↑d = d' → a = n' / d'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : OrderTop α
s✝¹ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : OrderTop β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfTopHomClass F α β
f : F
s✝ : Finset ι
g : ι → α
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
h : f (s.inf g) = s.inf (⇑f ∘ g)
⊢ f ((cons i s x✝).inf g) = (cons i s x✝).inf (⇑f ∘ g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
HasDerivedCategory C
n : ℕ
α β : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
⊢ α = β ↔ α.hom = β.hom