ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ MonoidHom.mrange (Monoid.Coprod.lift f g) = MonoidHom.mrange f ⊔ MonoidHom.mrange g
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'
⊢ (η.naturality (𝟙 a)).hom ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (G.map (𝟙 a)) f).hom ≫ η.app a ◁ G.mapId a ▷ f = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
⊢ ¬NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w) = 2
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ max (a.blsub fun a' ha' => a' ♯ b ♯ c) (max (b.blsub fun b' hb' => a ♯ b' ♯ c) (c.blsub fun b' x => a ♯ b ♯ b')) = max (a.blsub fun a' x => a' ♯ (b ♯ c)) (max (b.blsub fun a' ha' => a ♯ (a' ♯ c)) (c.blsub fun b' hb' => a ♯ (b ♯ b')))
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
⊢ (f ⁻¹' V)ᶜ ∈ 𝓝 x
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
h1 : n ≤ m
h2 : n ≤ m + 1
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
x : C n
⊢ Nat.leRecOn h2 next x = next (Nat.leRecOn h1 (fun {k} => next) x)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
i : Fin n
⊢ (replicate n a).get i = a
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable fun x => rexp (f x)
this : f = fun x => log (rexp (f x))
⊢ Measurable fun x => log (rexp (f x))
m n k : ℕ
⊢ m.Coprime (k * m + n) ↔ m.Coprime n
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
DecidablePred p
f g : α → β
hf : (Set.range f).Finite
hg : (Set.range g).Finite
⊢ (Set.range fun x => if p x then f x else g x).Finite
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P
M : Ideal R
hM : (fun I => I.IsMaximal) M
⊢ M ≠ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
S : Type u_3
Semigroup S
b c : S
hbc : Commute b c
a d : S
⊢ a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
a : Int
n : Nat
⊢ a < a + ↑n.succ
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
y : W.CoordinateRing
hy : (map W f) y = 0
⊢ y = 0
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
this✝ : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
f : TopCat.FiniteDiagramArrow G
a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val
this : T2Space ((forget TopCat).obj (F.obj f.snd.fst))
⊢ IsClosed {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s t : Set A
h : s ⊆ t
⊢ Subalgebra.centralizer R t ≤ Subalgebra.centralizer R s
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ (graph f).card = n
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
⊢ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
this : ∀ (x y : P.M α), EqvGen R x y → x = y
⊢ x = y
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L.comp G ⟶ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L') (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
⊢ ∀ {X_1 Y : D} (f_1 : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.postcomp₁ G f F).obj X).left.map f_1 = X.left.map (G.map f_1)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
n✝ : ℕ
h₁ : c = n✝ + 1
⊢ f.eraseLead.support.card + 1 = n✝ + 1
x y : PSet
⊢ ZFSet.mk x = ZFSet.mk y ↔ x.Equiv y
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
this : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
⊢ IsIntegral (↥L') s ∧ Splits f'.toRingHom (minpoly (↥L') s)
S : Type u_1
CommSemiring S
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
s : A → A → Prop
⊢ RingQuot.mkAlgHom S s =
  let __src := RingQuot.mkRingHom s;
  { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type u_1
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
x : α
⊢ countP (fun x_1 => x_1 == x) l ≤ countP ((fun x_1 => x_1 == f x) ∘ f) l
a b : ℝ
h : 0 < b
this : Tendsto (fun x => -rexp (-b * x) / b) atTop (𝓝 (-0 / b))
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioi a) volume
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = span (⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.Associative gb
h : Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Injective f
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ f (ga (ga x₁ x₂) x₃) = f (ga x₁ (ga x₂ x₃))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ ∀ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, FractionalIdeal.count K v I = 0
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I
x✝ : l.bDistortion = true
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑J \ ((embedBox I J h) π).iUnion ∧ π'.distortion ≤ max c π₀.compl.distortion
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → Set α
s : Set ι
y : α
h_disjoint : s.PairwiseDisjoint f
hy : y ∈ ⋃ i ∈ s, f i
⊢ ∃! i, i ∈ s ∧ y ∈ f i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT'') f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f + (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod
G : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
⊢ exponent ((i : ι) → M i) = univ.lcm fun x => exponent (M x)
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : ¬a = 0
⊢ 0 / a = 0
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
⊢ IsNilpotent f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ i, ball (xs i) U = univ
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
⊢ (-B).IsRefl ↔ B.IsRefl
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
a : M
i : ι
b : α i
⊢ a • ⟨i, b⟩ = ⟨i, a • b⟩
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
⊢ TypeVec.id <$$> x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
hs : s.EquitableOn f
w : α
hw : w ∈ s
hwx : f w < f x
y : α
hy : y ∈ s
⊢ f x ≤ (f y).succ
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).support.Nonempty
⊢ ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) Real.Gamma
c : Code
v : List ℕ
⊢ eval (TM2.step tr) (init c v) = halt <$> c.eval v
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ TwoP.swapEquiv.symm = TwoP.swapEquiv
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Semiring R₂
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
p' : Submodule R₂ M₂
x✝ : ↥p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ map (codRestrict p f h) p' ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ comap p.subtype (map f p')
R : Type u_1
CommRing R
k : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.dickson k a 2 = Polynomial.X ^ 2 - Polynomial.C a * (3 - ↑k)
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ b ≤ c
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ False
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact
⊢ S.δlast.Exact
M : Type u_1
A : Type u_4
Zero A
SMulZeroClass M A
a : M
b : A
⊢ a • b ≠ 0 → b ≠ 0
w v : Nat
x : BitVec w
k : Nat
h : w = v
⊢ BitVec.truncate k (BitVec.cast h x) = BitVec.truncate k x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
⊢ ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Fintype (Sym2 V)
⊢ ∑ v : V, G.degree v = 2 * G.edgeFinset.card
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group W
inst✝¹ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
inst✝ : Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i i' : B
⊢ (FreeGroup.lift f) (uncurry M.relation (i, i')) = 1
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
i : σ →₀ ℕ
fr : S₁
⊢ ∃ a, (map f) a = (monomial i) fr
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
⊢ ∀ b ∈ range (n + 1), b ≠ k → (X ^ b).coeff k * r ^ (n - b) * ↑(n.choose b) = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
T1Space X
f : E → X
hf : HasCompactSupport f
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ FiniteDimensional 𝕜 E
α β : Type u
f : FreeAbelianGroup (α → β)
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (Seq.seq (-f) fun x_1 => x) = -Seq.seq f fun x_1 => x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f g : α →C₀ β
⊢ (f - g) x = f x - g x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S
⊢ closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ) ⊆ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ))
α : Type u_1
s : False → Set α
⊢ Set.iUnion s = ∅
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2✝ : p ≤ 1
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs' : ¬s = 0
⊢ (1 + s) ^ p ≤ 1 + p * s
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
f : γ →C_c δ
⊢ f.comp (CocompactMap.id γ) = f
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : F
InfHomClass F α β
hf : Function.Injective ⇑f
a : α
⊢ (orderEmbeddingOfInjective f hf) a = f a
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
κ : Type u_6
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i * g j
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
hd0 : 0 < d
⊢ φ (a * b) * φ (a.gcd b) ≤ φ (a * b) * d
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Neg α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (-s).inf f = s.inf fun x => f (-x)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B
⊢ A⁻¹ - B⁻¹ = A⁻¹ * (B - A) * B⁻¹
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ℕ → ι
p : ι → Prop
l : Filter ι
h_tendsto : Tendsto x atTop l
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
⊢ ∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑↑(toLp (x n) ⋯) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
p : E × E'
hf : ContDiffAt 𝕜 n f p.1
hg : ContDiffAt 𝕜 n g p.2
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (Prod.map f g) p
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
⊢ closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sInf s) = ⨅ a ∈ s, f a
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n ≤ Cardinal.toPartENat c ↔ ↑n ≤ c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
⊢ IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ f.toFun = ⇑f
M : Type u_1
Monoid M
γ : Type u_3
Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
⊢ IsSubmonoid (f '' s)
α : Type u_3
MeasurableSpace α
self : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure self.posPart
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
Semiring R
Semiring S
Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
IsLocalRingHom (g.comp f)
⊢ IsLocalRingHom f
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.nthRoots n a).Nodup
a : ℝ≥0∞
⊢ ⋃ n, Set.Icc a ↑n = Set.Ici a \ {⊤}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalExtr f a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalExtr (g ∘ f) a
M : Type u_1
Add M
s : AddSubsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
x : ℝ
⊢ Real.sin x ^ 2 = 1 - Real.cos x ^ 2
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
⊢ ∀ᶠ (t : Set α) in v.filterAt x, ‖⨍ (y : α) in t, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in t, ‖f y - f x‖ ∂μ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ extend m s₁ ≤ m s₂ h₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ∃ n, 0 ≤ n ∧ n < ↑p ∧ ‖⟨↑r, h⟩ - ↑n‖ < 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atBot
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, ∀ y ≤ x, p y
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ y ≤ f x, p y
α : Type u_1
n : ℕ
p : Sym α n → Prop
⊢ (∀ (s : Sym α n), p s) ↔ ∀ (s : Multiset α) (hs : Multiset.card s = n), p (Sym.mk s hs)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
hB : μ (B j) = ⊤
⊢ μ (W ∩ B j) / μ (B j) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
s t : Set α
h : Set.SurjOn (⇑g) s t
⊢ Set.SurjOn (⇑(g.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' s) (Subtype.val ∘ ⇑f '' t)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∃ a, x⁻¹ * y = ↑a⁻¹) ↔ x⁻¹ * y ∈ s
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
⊢ ∑ᶠ (x : α), 0 = 0
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
CategoryTheory.Limits.HasImages V
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject (C.d i j) = CategoryTheory.Limits.imageSubobject (C.d i' j)
L : Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ (funMap f fun i => ⟦x i⟧) = ⟦funMap f x⟧