ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (m + n)) ((MvPowerSeries.monomial R m) a * φ) = a * (MvPowerSeries.coeff R n) φ
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
⊢ mk a b + mk c b = mk (a + c) b
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
⊢ (G.cliqueFinset n).card ≤ (Fintype.card α).choose n
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g) = g
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
h : f ≤ g
⊢ s.piecewise f g ∈ Set.Icc f g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ 0 < ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ (Set.Ioi a).Nonempty
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup β
x : β
⊢ ↑|x| = |↑x|
C : Type u_3
D : Type ?u.25151
inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C
inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D
X : C
S T : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible
y : FamilyOfElements P S := fun Y g hg => P.map (i hg).op (x (e hg) ⋯)
⊢ ∃ t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i : ι, ‖m₁ i‖) * ∏ i : ι', ‖m₂ i‖
⊢ ‖f.mkContinuousMultilinear C H‖ ≤ max C 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice ℝ L
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
MeasureTheory.Measure.IsAddHaarMeasure μ
F : Set E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
⊢ Zlattice.covolume L μ = (μ F).toReal
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z < 0 ↔ RCLike.re z < 0 ∧ RCLike.im z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ⊆ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y}
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ f 0 i + ∑ x : Fin n, f x.succ (σ x) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)
ι : Type u_1
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : ι → α
i : α
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hf : IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i) i
⊢ HasSum f i
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε + ProbabilityTheory.cgf X μ t)
n : ℕ
a : ℂ
f : (Fin n → ℂ) → ℂ
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a * f x) = a * ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 0 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 0) - xz a1 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
⊢ ∀ (C : G.ComponentCompl K), ∃ ck, ck.1 ∈ C ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) t → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) tᶜ
n : ℕ
this : ∃ x < n + 1, (n + 1).gcd x = 1
⊢ φ (n + 1) = 0 ↔ n + 1 = 0
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
l : List α
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l = l.toFinset.inf id
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ MulAction.period m a ∣ Monoid.exponent M
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * C) t
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ s.circumsphere.center = s.circumcenter
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a, b₁) ⩿ (a, b₂) ↔ b₁ ⩿ b₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ Epi (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
h : m ≠ n
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a) = 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
⊢ ker (f.domRestrict S) = ⊥ ↔ S ⊓ ker f = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.liftedCocone c t).ι.app j).f = c.ι.app j
X : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.counitIso.inv.app X = 𝟙 X
α : Type u_1
R : Type u_6
SMul R ENNReal
IsScalarTower R ENNReal ENNReal
_m : MeasurableSpace α
c : R
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (c • μ).toOuterMeasure = c • μ.toOuterMeasure
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
⊢ 1⁻¹ = 1
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ (hurwitzEvenFEPair a).Λ₀ (s / 2) / 2 - (1 / (s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).f₀ / 2 - ((hurwitzEvenFEPair a).ε / (↑(hurwitzEvenFEPair a).k - s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).g₀ / 2 = completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s - 1 / (1 - s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
TopologicalSpace β
Zero β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (f ⊔ g) μ
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
h : ∀ i ∈ s, IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
⊢ IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 (1 / 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X).right = CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.obj X
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.lift f g H' ≫ f = g
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
h : ↑u = a
⊢ a + ↑(-u) = 0
G : Type v
Group G
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj G) (Type u)
a : Quot (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel J)
⊢ (CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.Quot.equivOrbitRelQuotient J) a = Quot.lift (fun p => ⟦p.snd⟧) ⋯ a
R : Type u
Ring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
⊢ f.eqLocus f = ⊤
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f) ((Localization.monoidOf S).toMap x) = f.toMap x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
Zero β
Zero γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → γ
hg : ∀ {b : β}, g b = 0 ↔ b = 0
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f).FinMeasSupp μ ↔ f.FinMeasSupp μ
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
x y : M₁
⊢ ((-B₁) x) y = -(B₁ x) y
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
⊢ image2 f (↑s) (insert b ↑t) = (fun a => f a b) '' ↑s ∪ image2 f ↑s ↑t
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)
⊢ IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
⊢ x ∈ EMetric.ball 0 ⊤
p n k : ℕ
n_big : 2 < n
p_le_n : p ≤ n
big : 2 * n < 3 * p
⊢ n.centralBinom.factorization p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = s
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (s₁ • m) (s₁ * s₂) = IsLocalizedModule.mk' f m s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
m : ι → β
hm : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ i ∈ s, F i x ≤ m i
a : α
h : ∀ i ∈ s, F i a ≤ m i
⊢ (s.sup' hs fun i => F i a) ≤ s.sup' hs m
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (x ◃ x) ◃ y = x ◃ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥f'.domain), g ↑x = ↑f' x
g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α
h' : u ∈ f '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
⊢ u ∈ f' '' univ
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
⊢ False
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hf : ∀ i ∈ t, i ∉ s → 1 ≤ f i
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ f x₁ = g x₃
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : Language α
⊢ (Language.map f) l∗ = ((Language.map f) l)∗
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
self : S₁.Hom S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f₀ S₂.v₀₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.v₀₁ self.f₁
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ 0 < a - b ↔ ¬a ≤ b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x = m
⊢ noncommProd ⟦a✝⟧ comm = m ^ card ⟦a✝⟧
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]
hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0
hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0
f : R[X]
⊢ (g ⁻¹' {f}).Countable
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ GradedMonoid.GMul.mul ((PiTensorProduct.tprod R) a) ((PiTensorProduct.tprod R) b) =
  (PiTensorProduct.tprod R) (Fin.append a b)
α : Type u_1
s : True → Set α
⊢ Set.iInter s = s trivial
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y Y' Y'' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
g : Y' ⟶ Y
g' : Y'' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f) g')
      (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp f g))
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
K : ConvexBody V
⊢ (↑K).Nonempty
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s + t).inf f = t.inf fun y => s.inf fun x => f (x + y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
⊢ Finset.map f s₁ ⊆ Finset.map f s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x : ι → α
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i
⊢ ∃ ε_1, 0 < ε_1 ∧ ∀ (i : ι), x i + ε_1 < (x + ε) i
α : Type u_2
AddGroup α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ ((fun x => x +ᵥ t) '' ↑s).PairwiseDisjoint id → t.card ∣ (s + t).card
x : ℝ
⊢ Complex.abs (Complex.exp (↑x * Complex.I)) = 1
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hqd0 : q.natDegree ≠ 0
⊢ (p.comp q).coeff (p.natDegree * q.natDegree) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree
E : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : T2Space E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
p : ℝ
hp : 0 < p
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1)) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : F), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂ν) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ F) / p + 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f : αᵃᵒᵖ ≃+ βᵃᵒᵖ
⊢ ∀ (a : β), (AddEquiv.op.symm f).symm a = (AddOpposite.unop ∘ ⇑f.symm ∘ AddOpposite.op) a
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
x : ℝ
⊢ Set.projIcc 0 1 ⋯ x = 1 ↔ 1 ≤ x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
z₁ z₂ : FirstObj P R
h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : R f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₂
⊢ z₁ = z₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Subsingleton X
f : X → Y
⊢ Inducing f
α : Type u_2
One α
⊢ pure 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a✝ : α
⊢ (toFinsupp (s ∪ t)) a✝ = (toFinsupp s ⊔ toFinsupp t) a✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
F : CategoryTheory.Limits.ImageFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (F.ofArrowIso sq).isImage = F.isImage.ofArrowIso sq
s m n : Nat
⊢ List.range' s m ⊆ List.range' s n ↔ m ≤ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hz : F.obj Z = G.obj Z
hf : HEq (F.map f) (G.map f)
hg : HEq (F.map g) (G.map g)
⊢ HEq (F.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ V i ⟂ V j
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b ∈ Set.Ioc a (a + p)
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
⊢ IsFundamental a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence
⊢ ((F.asEquivalence.inverse ⋙ F.asEquivalence.functor) ⋙ G).IsEquivalence
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
i j : Fin n
h : i ≠ j
a : α
⊢ (v.set i a).get j = v.get j
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
⊢ ↑x ∈ ↑s
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ 0 + ↑n * ↑⌊f 0⌋ ≤ (⇑f)^[n] 0
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
x y n : Nat
left : x < 2 ^ n
right : y < 2 ^ n
⊢ x ||| y < 2 ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Inv α
SemilatticeSup β
s : Finset α
hs : s⁻¹.Nonempty
f : α → β
⊢ s⁻¹.sup' hs f = s.sup' ⋯ fun x => f x⁻¹
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : B * A = 1
g : C * A = 1
⊢ B = C
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
μ : ℕ
⊢ ⊤.IsSRGWith (Fintype.card V) (Fintype.card V - 1) (Fintype.card V - 2) μ
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ 1 / 2 ^ (n * 3 + 2) * 2 ^ (n + 2) = 1 / 2 ^ (2 * n)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ Fintype.card ↑(G.incidenceSet v) = G.degree v
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).functor.map f).left =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id { as := PUnit.unit }
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB (↑(trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph x).1).prod (PartialHomeomorph.refl F) = (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x : X
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsOpen (Metric.sphere x r)
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) + Nat.card ↑(commutatorSet G)
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
a✝ : Path as bs
⊢ (pi fun i => proj i ⟦a✝⟧) = ⟦a✝⟧
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ Monotone (Filter.map m)