ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x : M''
⊢ ∃ x_1, x_1.2 • x = (↑e ∘ₗ f) x_1.1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : vi i * (B (v i)) (v i) = 0
⊢ vi i = 0
α : Type u_1
Mul α
Add α
One α
OfNat α 2
Invertible 2
a b : α
⊢ SymAlg.sym a * SymAlg.sym b = SymAlg.sym (⅟2 * (a * b + b * a))
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : M
⊢ AddSemiconjBy 0 x x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L
⊢ ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ (DistribMulAction.toModuleEnd R M) s = DistribMulAction.toLinearMap R M s
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ = (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖) / 2 - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ClusterPt x (𝓟 s)
a b c : Int
H : 0 < c
H' : a ≤ b
⊢ a / c ≤ b / c
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.Fan.proj B.toCone j = B.π j
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ι
g : G i
m : M
⊢ (toDirectLimit f M) ((of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m) = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
CategoryTheory.Limits.HasCofilteredLimitsOfSize.{w, w, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w, w, v, u} C
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
⊢ M.εClosure Set.univ = Set.univ
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
Algebra F E
p : F[X]
hFEp : Polynomial.IsSplittingField F E p
⊢ Normal F E
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' (Iio x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Iic x) x
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
⊢ e' = Quiver.Hom.cast hu hv e ↔ HEq e' e
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
hx : r x x
n : Nat
⊢ Pairwise r (replicate (n + 1) x)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod = 1
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u
M' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x
x : ℝ
hx : x ∉ s \ u
h'x : ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x
⊢ x ∈ s → p x
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s
⊢ LocallyCompactSpace M
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
⊢ ∀ {ifp_n : IntFractPair ℚ}, IntFractPair.stream q n = some ifp_n → ifp_n.fr.num ≤ (IntFractPair.of q).fr.num - ↑n
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
⊢ e ∈ ⋃ φ, ⋃ U, ⋃ (hU : IsOpen U), ⋃ (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U), ⋃ (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), {e | e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)} ↔ ∃ φ U, ∃ (hU : IsOpen U) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
a b : ℕ+
left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b
h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b
left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)
right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)
⊢ a.gcdD b = a.gcd b
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin (Composition.single n h).length
⊢ (Composition.single n h).blocksFun i = n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
StarAddMonoid B
a : A
⊢ 0 a = 0
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ ι (F ⋙ G) j ≫ post F G = G.map (ι F j)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
t : Finset ↑s
ht : (Subtype.val '' ↑t).Finite
⊢ Subtype.val '' ↑t ∈ range fun t => Subtype.val '' ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousAt f x}.Countable
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
α : Sort u_1
a : α
⊢ Eq (id a) a
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
⊢ x ∈ I ∨ y ∈ I
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
⊢ ∀ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ Monotone f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 2 + 1
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c ≤ 0
⊢ ∀ (x : K), 0 ≤ -a * x * x + -b * x + -c
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
⊢ (c • f) ∣[k]A = c • f ∣[k]A
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.reindex ε f).hom ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π f (ε b) = CategoryTheory.Limits.Pi.π (f ∘ ⇑ε) b
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
⊢ (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).re = (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).re
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace Y
μ : MeasureTheory.Measure Y
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → Y → E
s : Set X
k : Set Y
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ Set.univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), f x y ∂μ) s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
m : M
⊢ f m = g m
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
(i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 0
⊢ (DFinsupp.mapRange f hf g).sum h = g.sum fun i b => h i (f i b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
p : h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ h₂₂
t : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
k : Type u₁
G : Type u₂
Monoid G
CommSemiring k
V : Type u₃
AddCommMonoid V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
g : G
v : V
⊢ (MonoidAlgebra.GroupSMul.linearMap k V g) v = MonoidAlgebra.single g 1 • v
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume (Iic a) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ
⊢ (condCDF ρ a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) x)
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0
⊢ p ^ k ≤ Associates.mk m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ (Associates.mk m).factors
α : Type u
SemilatticeInf α
a : α
⊢ a ⊓ a = a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
⊢ orderOf x = orderOf y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : ¬b = c
⊢ swap a b * swap a c ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Field K
Fintype σ
DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (Fintype.card K - 1) * Fintype.card σ
⊢ ∑ x : σ → K, (MvPolynomial.eval x) f = 0
m n : Nat
⊢ m.gcd n = n.gcd m
p n : ℕ
h : 2 * n < p
⊢ n.centralBinom.factorization p = 0
R : Type u
Semiring R
M : Fin 2 → Type v
(i : Fin 2) → AddCommMonoid (M i)
(i : Fin 2) → Module R (M i)
⊢ ⇑(LinearEquiv.piFinTwo R M).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
X : Type u_1
Y : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf)) (𝓝 (SeparationQuotient.mk x, SeparationQuotient.mk y))
    l ↔
  Filter.Tendsto (Function.uncurry f) (𝓝 (x, y)) l
γ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : List α
f : α → List β
g : β → List γ
⊢ (l.bind f).bind g = l.bind fun x => (f x).bind g
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
⊢ Module.rank R M = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
⊢ HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
α : Type u_1
m n✝ a n : ℕ
hn : Odd n
hm : 2 ∣ n
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I * J ⊔ I = I
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.116938
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ ((toModule R ι₁ (M₂' →ₗ[R] ⨁ (i : ι₁), M₁ i ⊗[R] M₂') fun i => (mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) ((lof R ι₁ M₁ i) x)) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
⊢ ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙 (𝟙_ C) ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).inv
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
⊢ ∀ (j : (powHalf n).RightMoves), powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ⧏ (powHalf n).moveRight j
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑↑I = ↑I
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : √((1 - z).re ^ 2 + z.im ^ 2) < M * (1 - √((1 - (1 - z).re) ^ 2 + z.im ^ 2))
h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2
⊢ z ∈ stolzSet M
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ
⊢ m / n ≤ m
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (i : ι), ∃ n, s i ^ n • x ∈ S'
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this✝ : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : {z | 0 < z.re} ∈ 𝓝 1
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 1, x ∈ {1}ᶜ → ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) x = 1 / (x - 1) - 1 / x.Gammaℝ / (x - 1)
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
h : ∀ b ∈ s, Commute a b
⊢ Commute a s.sum
n : ℕ
⊢ ¬n % 2 = 0 ↔ n % 2 = 1
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
⊢ ReducedWord.prod φ w.toReducedWord • empty = w
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ
⊢ p a = (∑ n ∈ p.support, C (p.toFun n) * T n) a
n : Nat
h : Char.isValidCharNat n
⊢ n < UInt32.size
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m
⊢ Function.Surjective A.mulVec ↔ ∃ B, A * B = 1
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
x_pos : 0 < x
⊢ x ^ y ≤ x ^ z ↔ y ≤ z
l r : List Char
it : String.Iterator
h : String.Iterator.ValidFor l r it
⊢ it.i = it.s.endPos ↔ r = []
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
i : USize
d d' : Batteries.AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size
⊢ (self.update i d h).update i d' h' = self.update i d' h
α : Type u_2
β : α → Type u_1
a : (i : α) ×' β i
⊢ (Equiv.psigmaEquivSigma β) a = ⟨a.fst, a.snd⟩
R : Type u
CommRing R
f₁ f₂ g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
h : f₁ * g₂ = f₂ * g₁
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₁ g₁ U hu₁ = AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₂ g₂ U hu₂
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
i : ℕ
a✝ : i ∈ t
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ ⨆ (_ : ↑(L i) ⊆ ↑(U i)), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i)
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
⊢ (Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes).card ≤ (Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card
α : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
f : α → tsze R M
a : tsze R M
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x).fst) a.fst
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
Sₘ : Type u_5
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R S
⊢ Algebra.traceMatrix Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) =
  (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (Algebra.traceMatrix R ⇑b)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
⊢ ‖↑(let_fun h1 := ⋯; let z1 := ⟨↑(Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) F) / ↑(Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) (Polynomial.derivative F)), h1⟩; let z' := ↑(newton_seq_aux hnorm n) - z1; ⟨z', ⋯⟩) - ↑(newton_seq_aux hnorm n)‖ = ‖Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) F‖ / ‖Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) (Polynomial.derivative F)‖
s : ℂ
⊢ s.Gammaℝ = ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2)
x k l : Nat
w : 1 < x
⊢ x ^ k ∣ x ^ l ↔ k ≤ l
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι
⊢ (e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) k) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) k)
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
R' : Type u_4
CommRing R'
g : S →+* R'
p : S[X]
x : R'
hx : Polynomial.eval₂ g x p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ (g.comp (algebraMap R S)) x (IsLocalization.integerNormalization M p) = 0
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
⊢ f.toEmbedding.comp f.symm.toEmbedding = Embedding.refl L N
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
S : ℕ → ℕ → Prop
d : Dioph fun v => S (v (Fin2.ofNat' 0)) (v (Fin2.ofNat' 1))
⊢ Dioph fun v => S (f v) (g v)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.functor.IsLeftAdjoint
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
e : M ≃ₗ[R] M
f f' : M →ₗ[R] M
h : ∀ (x : M), f x = f' (e x)
⊢ Associated (LinearMap.det f) (LinearMap.det f')