ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c
this : ∀ x ∈ U, ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ f a = f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
h : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).unop = CategoryTheory.eqToHom ⋯
b : ℂ
hb : b.re ≠ 0
c T : ℝ
this : b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2 = b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)
⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)))
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s ≠ ⊤
⊢ dimH s ≤ ↑d
p n k : ℕ
n_big : 2 < n
p_le_n : p ≤ n
big : 2 * n < 3 * p
⊢ p ≠ 2
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
Module.Free R S
Module.Finite R S
a : S
⊢ (Algebra.trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((Algebra.trace R S) a)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A✝ B C A X Y : Rep k G
f : X ⟶ Y
g : ↑(MonCat.of G)
x : ↑((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) X).V
y : CoeSort.coe A
⊢ f.hom ((X.ρ g) ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ ((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) Y).ρ g) x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ r₁ : List α
l₂ r₂ : List β
_h : l₁.length = l₂.length
⊢ (l₁ ++ r₁).zip (l₂ ++ r₂) = l₁.zip l₂ ++ r₁.zip r₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (F.flip.obj k)
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.combineCones F c).pt.obj k = (c k).cone.pt
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis' I X
hJ : M.Basis' J X
⊢ I.encard = J.encard
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
⊢ 𝓝 (f z₀) ≤ map f (𝓝 z₀)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Module R M
Module R₂ M₂
f : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
U : Submodule R₂ M₂
⊢ ↑(f.ofSubmodule' U) = LinearMap.codRestrict U ((↑f).domRestrict (Submodule.comap (↑f) U)) ⋯
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ ⇑(p ⊔ q) = ⇑p ⊔ ⇑q
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
H : ∀ t ∈ s, t.Finite
⊢ (⋃₀ s).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ μ (⋃ i, f i) ≠ ⊤
f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ⨅ r, ↑f ↑↑r = ↑f x
R : Type u_1
CommSemiring R
a a' c : R
b b' : ℕ
⊢ a = a' → b = b' → a' ^ b' = c → a ^ b = c
R : Type u_1
CommSemiring R
a a' b b' c : R
⊢ a = a' → b = b' → a' * b' = c → a * b = c
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m n : ℕ
h : m < n
hn : n < hf.toFinset.card
⊢ Nat.nth p m < Nat.nth p n
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Fintype n
h : i ≠ j
c d : R
⊢ Matrix.transvection i j c * Matrix.transvection i j d = Matrix.transvection i j (c + d)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a * star a = ↑(a * star a).re
α : Type u_2
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ NonemptyInterval.pure a - NonemptyInterval.pure b = NonemptyInterval.pure (a - b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
self : e.IsRelIff
i₁ i₂ : ι
h : c'.Rel (e.f i₁) (e.f i₂)
⊢ c.Rel i₁ i₂
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
⊢ #↑(Iio a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
Q : Type u_8
CommMonoid Q
h : P →* Q
f : M →* P
g : N →* P
⊢ h.comp (f.coprod g) = (h.comp f).coprod (h.comp g)
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
TopologicalSpace β
f : β → α
c : G
⊢ (Continuous fun x => c • f x) ↔ Continuous f
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ (p ^ n).roots = n • p.roots
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
⊢ ∀ (x : ℕ), x.Coprime n → ∃ k, (x + k * n).Coprime m
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Infinite
⊢ a ≤ nth p k
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i j : J
⊢ Continuous fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsVanKampenColimit c
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
this : ↥(H.subgroupOf H.normalizer) ≃ ↥H
⊢ Nat.card ↥H.normalizer ≡ Nat.card G [MOD p ^ (n + 1)]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
s : Set α
hs : μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal ψ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ε₂
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f g : α → M
⊢ f = g ↔ Function.support f = Function.support g ∧ ∀ x ∈ Function.support f, f x = g x
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
x y : β
⊢ dist { down := x } { down := y } = dist x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
W : C
k : W ⟶ X
h : (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).Factors (k ≫ f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).factorThru (k ≫ f) h = k ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x : R
n : ℕ
⊢ v (x ^ n) = n • v x
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ Tendsto (fun x => ↑x ^ (a + 1)) atTop (𝓝 0)
K : Type u_1
Field K
NeZero 2
a b c : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = (-b + s) / (2 * a) ∨ x = (-b - s) / (2 * a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
⊢ L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ∀ (i : ℕ), u (i + n) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosMono α β
SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ a • b ≤ b ↔ a ≤ 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring α
inst✝³ : AddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ -s • t = -(s • t)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
h : φ.IsAtomic
f : α → β ⊕ Fin n
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel f φ).IsAtomic
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
⊢ φ.comp (MvPolynomial.eval₂Hom f g) = MvPolynomial.eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α
⊢ setOf (hs.setoid.Rel x) = s (hs.index x)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
h : IsCoprime I J
⊢ I ⊔ J = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
⊢ (f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)) = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ
⊢ normEDS b c d ↑n = preNormEDS' (b ^ 4) c d n * if Even n then b else 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
n : ℕ
hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (x * c ^ n) ∨ f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (y * c ^ n)
⊢ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f x n ∨ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f y n
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ (eraseLast s).last ≤ last s
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : α
h : (fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae ((Kernel.const α ρ).fst a)] ⇑((Kernel.const α ρ) a).condKernel
⊢ (fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae ρ.fst] ⇑ρ.condKernel
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
x : L
⊢ {χ | LieModule.weightSpaceOf M χ x ≠ ⊥}.Finite
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))))
z : ℂ
this✝ : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)
A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))
this : ContinuousOn (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) (Icc 0 (π / 2))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 1)
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ self.carrier.Nonempty
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F
⊢ adj.unit.app A ≫ F.map (G.map i ≫ v) = i ≫ adj.unit.app B ≫ F.map v
n : ℕ
a : Fin n
⊢ a ≤ a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ c.lim x ∈ Set.Icc 0 1
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Ici a ↔ x ∈ Ici (r • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
One β
One γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Function.Injective g
hg0 : g 1 = 1
⊢ g ∘ f ≠ 1 ↔ f ≠ 1
a : Multiplicative ℤ
b : ℕ
⊢ Multiplicative.toAdd (a ^ b) = Multiplicative.toAdd a * ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
f₃ : F₁ ⟶ F₃
fac : f₁ ≫ f₂ = f₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
cs₁ cs₂ : List Char
⊢ utf8Len (cs₁.reverseAux cs₂) = utf8Len cs₁ + utf8Len cs₂
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B✝ I✝ X R J I E B : Set α
hB : B ⊆ E
⊢ E \ B = I ∩ E ↔ B = E \ I
M : Type u_2
MulOneClass M
⊢ ⊥.unop = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
⊢ discr Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ) (discr R ⇑b)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ =
  ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
M : Type v
X : Type x
UniformSpace X
SMul M X
self : UniformContinuousConstSMul M X
c : M
⊢ UniformContinuous fun x => c • x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s (μ.restrict t)
⊢ IntegrableOn f (s ∩ t) μ
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
⊢ ∀ (x_1 : V), (IsometryEquiv.constVSub x).symm x_1 = -x_1 +ᵥ x
R✝ : Type u
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : StarMul R
r : R
inst✝¹ : Invertible r
inst✝ : Invertible (star r)
this : star ⅟r = star ⅟r * (star r * ⅟(star r))
⊢ star ⅟r = ⅟(star r)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ Function.Injective ⇑↑f
α : Type ua
ι : Sort u_1
UniformSpace α
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p U
s : Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), ⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (U i) = closure s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
H : a < b
⊢ (𝓝[Set.Ioc a b] a).NeBot
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ ¬↑(f.natDegree - 1) = ⊥
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x) atTop (𝓝 (m - f a))
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s : Set α
T : Set (Set α)
hT : T.Finite
hs : ∀ t ∈ T, Absorbs M s t
⊢ Absorbs M s (⋃₀ T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) z‖ ≤ C
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Algebra R S
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Module R A
IsScalarTower R S A
a : A
⊢ ⇑(algebraMap R S) ⁻¹' quasispectrum S a = quasispectrum R a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
⊢ VectorBundle R F E
m n : ℕ
⊢ IsUnit ↑m ↔ m.Coprime n
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
v : Fin n → M''
⊢ (f.curryLeft m) v = f (Matrix.vecCons m v)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a
⊢ {f}.val ≤ g.cycleFactorsFinset.val
F : Type u_1
inst✝² : Norm F
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
⊢ (fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) =O[𝓝 1] fun x => 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.left.H
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ frontier (Set.Iic a) = {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (f + g) (pf + pg) x (max n m) r
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ (∃ o, o ≠ 0 ∧ ∃ f, (∀ (x : Ordinal.{u}) (hx : x < o), f x hx ∈ s) ∧ o.bsup f = a) ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
s : Set α
⊢ -(AddOpposite.op a +ᵥ s) = -a +ᵥ -s
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
AddGroup G₁
AddGroup G₂
AddGroup G₃
f : G₁ →+ G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →+ G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁
⊢ (f.liftOfRightInverseAux f_inv hf g hg) (f x) = g x
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
Fintype G
⊢ Fintype.card ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n) = Fintype.card G ^ (n - 1)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CommRing L
Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
FiniteDimensional K ↥E1
FiniteDimensional K ↥E2
⊢ FiniteDimensional K ↥(E1 ⊔ E2)
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
⊢ b ^ log b n * b ≤ n * b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅x, m - n⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅x, n⁆
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
⊢ ε > padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Set α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x < a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
Neg β
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a • x)) (a⁻¹ • c)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ f x * f (c ^ n) / f c ^ n ≤ f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hfi : MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ)
α : Type u
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
⊢ s.Equiv t
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
⊢ ker f ≤ ker (g ∘ₗ f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
t : Set M
ChartedSpace H M
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝 x'
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x')