ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
this : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))
⊢ ∀ (a : α) (b : ι), (∀ᶠ (x : ι) in p, (F b a, F x a) ∈ t) → Tendsto (fun n => F n a) p (𝓝 (f a)) → (f a, F b a) ∈ u
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : UniformSpace K
inst✝² : TopologicalDivisionRing K
inst✝¹ : CompletableTopField K
inst✝ : UniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space (hat K)
f : hat K → hat K := fun x => x * x.hatInv
c : K → hat K := fun x => ↑K x
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' (c '' {0}ᶜ))
⊢ f x = 1
n : ℕ
m : ℕ
⊢ StrictMono (Fin.castAdd m)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : Filter.Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => Function.support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets
R✝ : Type u
M✝ M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹² : Ring R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M'
inst✝⁶ : Module R✝ M₁
inst✝⁵ : Nontrivial R✝
inst✝⁴ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0) ↔ ∀ ⦃x : M⦄, ∃ a, a • x = 0
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
i : ι
⊢ Integrable ((fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i) (volume.restrict (Ioi 0))
S : Type u_3
AddSemigroup S
b c : S
h : AddCommute b c
a : S
⊢ a + b + c = a + c + b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsClosed s) id
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
⊢ Continuous fun l => l.eraseIdx n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF (ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯) κ ν
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y \ (x ⊔ z) = y \ x ⊓ y \ z
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
s t : Set P1
f : P1 →ᵃ[k] P2
v : V2
⊢ (∃ a ∈ s, ∃ a_1 ∈ t, f.linear (a -ᵥ a_1) = v) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ s, ∃ y ∈ t, x_1 -ᵥ y = x) ∧ f.linear x = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
x✝ : s.Nodup ∧ t.Nodup
h₁ : s.Nodup
h₂ : t.Nodup
a : α
⊢ max (count a s) (count a t) ≤ 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}ᶜ, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥⊥
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥⊥
⊢ 1 ≤ Module.rank F ↥⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ lift hP hE le F ≫ P.map f.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf }
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
h : f.translationNumber < ↑n
x : ℝ
⊢ f x < x + ↑n
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j) = ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (base φ).range ≤ (of j).range
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Wbtw R x y z
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
⊢ comap (⇑(p i)) (𝓝 0) = 𝓝 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : Preorder α
⊢ 𝓝 atTop = ⨅ x, 𝓟 (Iic (𝓟 (Ici x)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
W X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⊗ Z ⟶ W
wh : f ▷ Z ≫ h = g ▷ Z ≫ h
⊢ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g ▷ Z ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight Z) f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h wh =
  h
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ permsOfList l ↔ ∀ {x : α}, f x ≠ x → x ∈ l
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
s : R
hs : s * 1 * (r - 1) + s - 1 ∈ I
⊢ s * r - 1 ∈ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.leftDistributor X f).hom
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ q.subtype ∘ₗ Submodule.inclusion h = p.subtype
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
i j : ι
h : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
⊢ ⋯.choose = j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (Fin n)) C
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.CategoryStruct.{v₂, u₂} C
F : B ⥤q C
a b c : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F f)
    (CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F g)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Monoid R
BoundedMul R
ContinuousMul R
n : ℕ
f : BoundedContinuousFunction α R
⊢ ⇑(f ^ n) = ⇑f ^ n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z))
y' z' : ℝ≥0∞
hx : x < (y', z').1 + (y', z').2
hy' : (y', z').1 ∈ Iio y
hz' : (y', z').2 ∈ Iio z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
R : Type u_1
b c d : R
Semiring R
hb : b ≠ 0
⊢ { a := 0, b := b, c := c, d := d }.toPoly.natDegree = 2
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (u n), f k = ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
⊢ a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ F.map ((evaluationEquivOfIsGalois F A.obj A.pt).symm (f.app A.obj A.pt)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt
α : Type u_1
β : α → Type u_2
i : α
s : Set (β i)
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' (Sigma.mk i '' s) = s
C✝ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F : D ⥤ E
hF : F.FullyFaithful
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C
X✝ Y✝ : C ⥤ D
f : ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj X✝ ⟶ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj Y✝
x✝¹ x✝ : C
g : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ F.map (X✝.map g ≫ (fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝) = F.map ((fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝¹ ≫ Y✝.map g)
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ frontier (s ∪ t) ⊆ frontier s ∩ closure tᶜ ∪ closure sᶜ ∩ frontier t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
x✝ : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (p.comp q) = eval₂ f (eval₂ f x q) p
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
self : A × B
⊢ (StarAlgHom.fst R A B) self = self.1
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
P : Ideal S
P.IsPrime
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
x y : α
⊢ Disjoint (pure x) (pure y) ↔ x ≠ y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R
⊢ zeroLocus ↑x.asIdeal ⊆ {x} ↔ x.asIdeal.IsMaximal
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ eLpNorm f p μ
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).dens + (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
S : Set E
Algebra.IsSeparable F ↥(IntermediateField.adjoin F S)
q : ℕ
ExpChar F q
n : ℕ
⊢ IntermediateField.adjoin F S = IntermediateField.adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop
⊢ P Fin.elim0 ↔ P finZeroElim
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x.toReal = y.toReal ↔ x = y
R : Type u_1
SMul R ℝ
r : R
z : ℂ
⊢ (r • z).re = r • z.re
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommMonoid R
CommMonoidWithZero R'
g : Rˣ
hg : ∀ (x : Rˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
⊢ χ₁ = χ₂ ↔ χ₁ ↑g = χ₂ ↑g
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a ≤ OfNat.ofNat n ↔ a ≤ OfNat.ofNat n
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
self : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 self.toSubmodule
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R.arrows f
⊢ Sieve.pullback f (R ⊓ S) ∈ J.sieves Y
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
⊢ 1 • 0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
⊢ closure u ∩ U ⊆ u
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
⊢ ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
α : Type u_8
CommMonoid α
L : List α
⊢ IsUnit L.prod ↔ ∀ m ∈ L, IsUnit m
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E
⊢ ∃ IM IN, M.Indep IM ∧ N.Indep IN ∧ Disjoint IM IN ∧ I = IM ∪ IN
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
⊢ BddAbove (Set.range fun i => mk (g i) ⋯)
n : ℕ
a : Cardinal.{u}
⊢ ↑n = Cardinal.lift.{v, u} a ↔ ↑n = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
⊢ ¬q (e.extendSubtype x)
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
⊢ RCLike.im ↑n = 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
f : P →ₐ[R] P'
h : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (FractionalIdeal.map f)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ eLpNorm (stoppedValue f (leastGE f r i)) 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.hom.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₂)
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) →. ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' g
v : Vector ℕ n
⊢ (mOfFn fun i => Fin.cases f (fun i v => ↑(some (v.get i))) i v) >>= g = (f v).bind fun a => g (a ::ᵥ v)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s +ᵥ t).Nonempty → s.Nonempty
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' m μ ↔ ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' (fun x => {s | MeasurableSet s}) μ
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
a a' : α
Lake.LawfulCmpEq α cmp
⊢ cmp a a' = Ordering.eq ↔ a = a'
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a b : E
⊢ dist (a * b) a = ‖b‖
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
⊢ a ∈ IsAddSubgroup.addCenter G ↔ ∀ (g : G), g + a = a + g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b
⊢ ν (Iic a) ≠ ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (map f s).Nonempty
⊢ (map f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ ⇑f)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t u : Set α
⊢ s ⊼ t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ⊓ b ∈ u
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ A
⊢ Turing.PartrecToTM2.contSupp Turing.PartrecToTM2.Cont'.halt = ∅
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)
⊢ Nat.rec v.tail.head (fun y IH => IH + 1) v.head = v.head + v.tail.head
α : Type u_1
AddCommGroup α
self : AddCommGroup.PositiveCone α
a : α
⊢ self.pos a ↔ self.nonneg a ∧ ¬self.nonneg (-a)
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ d.Has (⋃ b, bif b then s₁ else s₂)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) * f') x
α : Type u_1
IsEmpty α
s : Finset α
⊢ s = ∅
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ e.symm.trans e = LieModuleEquiv.refl
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom =
  CategoryTheory.inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (CategoryTheory.inv F.ε) ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom
α : Type u_1
Preorder α
Subsingleton α
a : α
⊢ IsMax a
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ↑H.op = AddOpposite.unop ⁻¹' ↑H
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
⊢ (o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.bsup f
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : 1 < finrank R M
⊢ 1 < Module.rank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
α : Type ua
⊢ 𝓤 α = 𝓟 idRel
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ interior (f ⁻¹' s) ⊆ f ⁻¹' interior s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t u : Set X
⊢ SeparatedNhds s u → SeparatedNhds t u → SeparatedNhds (s ∪ t) u
M : Type u_1
Monoid M
S T : Submonoid M
⊢ (S ⊓ T).units = S.units ⊓ T.units
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
v : V₁
⊢ ↑((NormedAddGroupHom.Equalizer.lift φ h) v) = φ v