ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
a x z✝ z : ℂ
h₀ : z ≠ 0
⊢ 0 ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
⊢ Tendsto (logb b) atTop atBot
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ a < b / c ↔ b < a * c
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b : α
h₁ : a₁ < a₂
⊢ Set.Ico a₂ b ⊆ Set.Ioo a₁ b
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
h : f.HasBasis p s
⊢ f.limsSup = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), sSup (s i)
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
⊢ ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f) = Set.preimage f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
⊢ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ segment 𝕜 a b → f c ∈ uIcc (f a) (f b)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
a : A
⊢ (CoalgHom.id R A) a = a
Y : Type u_1
TopologicalSpace Y
⊢ ContractibleSpace Y ↔ (ContinuousMap.id Y).Nullhomotopic
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ a < c.ord → Ordinal.deriv f a < c.ord
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).degree = p.degree + ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s t : Set β
h : s = t
⊢ ∏' (x : ↑s), f ↑x = ∏' (x : ↑t), f ↑x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
⊢ 𝟙 (unop E) ≫ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
DecidableEq m
Fintype m
DecidableEq α
Fintype α
LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
⊢ M.det = ∏ k : α, (M.toSquareBlock b k).det
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)
⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.diffFinset₀ hs hI) = s
n : ℕ
c : Char
⊢ (replicate n c).length = n
y2 y1 y0 yn1 yn0 xn1 xn0 ay a2 : ℤ
⊢ (a2 * yn1 - yn0) * ay + y2 - (a2 * xn1 - xn0) = y2 - a2 * y1 + y0 + a2 * (yn1 * ay + y1 - xn1) - (yn0 * ay + y0 - xn0)
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x
⊢ sin (x * I) = -(I * sin (x * I)) * I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ NullMeasurableSet {a | f a ≤ g a} μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ (fun x => x * b) ⁻¹' 1 = {b⁻¹}
R : Type u_1
Ring R
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
self : v.RankOne
⊢ StrictMono ⇑(Valuation.RankOne.hom v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk : HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
⊢ (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y = ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y + ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ ⋃ x ∈ s, closure {x} = s ↔ StableUnderSpecialization s
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.reverse ~r (l.rotate n).reverse
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).f = T.mor₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
u : E → G
hc : Differentiable 𝕜 c
hu : Differentiable 𝕜 u
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => (c y) (u y)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
⊢ ∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u) → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1 ∪ t, (f p x, f q x) ∈ u
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ I ⊔ J = ⊤
α : Type u_1
Fintype α
Field α
⊢ IsPrimePow ‖α‖
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Ico ↑a ⊤ = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Ici a)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set α
hs : s.Finite
h : sᶜ.Finite
⊢ univ.Finite
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
h : a ∉ U
⊢ (f.mulIndicator hU) a = 1
α : Type u_1
l m r : List Char
f : Char → α → α
init : α
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → Substring.foldr f init s = List.foldr f init m
G₀ : Type u_2
CommGroupWithZero G₀
DecidableEq G₀
a : G₀
h0 : a ≠ 0
⊢ normalize a = 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Doset.Quotient ↑⊥.toSubmonoid ↑H = (G ⧸ H)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)
⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[<] b) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] b)
α : Type u
s : Set α
p q : α → Prop
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ q x} ↔ ∀ x ∈ s, p x ↔ q x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : Even (Multiset.card g.cycleType)
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this✝ : IsDomain (Localization M')
this : ⊥.IsMaximal
⊢ (IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X (⊥_ C)
⊢ (CategoryTheory.Limits.mulInitial X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
⊢ {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)}.Countable
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.trim ⋯)] μ[f j|↑ℱ i] - f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
g : β → α
h : m₁ ≤ m₂
⊢ MeasurableSpace.comap g m₁ ≤ MeasurableSpace.comap g m₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (Function.update f i a) (Function.update f i b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
a b : ℝ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a
hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b
this : ‖interpStrip f z‖ ≤ sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re
⊢ sSupNormIm f 1 ^ z.re ≤ b ^ z.re
α : Type u_1
β : Type u_2
q : PMF (α → β)
p : PMF α
⊢ (q.seq p).support = ⋃ f ∈ q.support, f '' p.support
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ f s t = Finset.image₂ (fun a b => f b a) t s
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : ∀ (a : α), f a = 1 → a = 1
x y : α
hxy : f x = f y
⊢ f (x / y) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
h : Irreflexive r
⊢ ∀ {z : Sym2 α}, z ∈ fromRel sym → ¬z.IsDiag
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsClosed s✝
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}
h : x ∉ s✝
l : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s
hl : s < l x
y : E
hy : y ∈ s✝
hxy : l x ≤ l y
⊢ False
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
A : Tendsto (fun x => x + 1) atTop atTop
⊢ Tendsto rexp atTop atTop
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
⊢ ∃ x, r * ‖x‖₊ < ‖f x‖₊
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))
hne : f ≠ e
⊢ ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹
⊢ f ↑z * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹ = 1
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
⊢ (↑__src✝).toFun ((fun t => (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) x) = x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_6
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 β
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
A B : Matrix n n R
⊢ ⁅A, B⁆.transpose = ⁅B.transpose, A.transpose⁆
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ LipschitzWith 2 ⇑(Unitization.addEquiv 𝕜 A)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : (orderOf t).factorization p < (exponent G).factorization p
⊢ False
p : ℕ
h : 1 < p
n : ℕ
⊢ 1 / (-1) ^ p * (1 / ↑n ^ p) = 1 / ↑(-↑n) ^ p
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : ∃ a, a • y = b
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ e.IsImage sᶜ tᶜ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
hn : 1 ≤ n
⊢ Continuous fun x => fderiv 𝕜 f x
R : Type u
CommRing R
X Y : BialgebraCat R
f g : X ⟶ Y
h : f.toBialgHom = g.toBialgHom
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S →₀ S
this : (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x) = (kerTotal R S).mkQ x
⊢ __src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x)) = (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ρ : PartitionOfUnity ι X
x₀ : X
⊢ ∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1 ∧ (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f : α → β
s : Set ι
μ : ι → Measure α
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ∑' (i : ↑s), (μ ↑i) t + ∑' (i : ↑sᶜ), (μ ↑i) t = ∑' (i : ι), (μ i) t
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
⊢ (c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) s = ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f_dom : Submodule R E
f g : ↥f_dom →ₗ[R] F
h' : ∀ ⦃x : ↥{ domain := f_dom, toFun := f }.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := f_dom, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := g } y
⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := g }
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
direction : Submodule k V
⊢ p₂ ∈ AffineSubspace.mk' p₁ direction ↔ p₂ -ᵥ p₁ ∈ direction
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖(a - x)⁻¹ • (f a - f x)‖ ∈ Iio r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffAt I I' m (f ∘ ⇑h) x ↔ ContMDiffAt J I' m f (h x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i j : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ HomogeneousLocalization.mk (i * j) = HomogeneousLocalization.mk i * HomogeneousLocalization.mk j
α : Type u_1
x : α
h : ↑x ≠ ⊤ := ⋯
⊢ (↑x).untop h = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
self : μ.FiniteSpanningSetsIn C
i : ℕ
⊢ self.set i ∈ C
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s = t ∨ s ⊂ t
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists.Nodup ↔ l.Nodup
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : T.Finite
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
⊢ S.Finite
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
⊢ ⊤.dualAnnihilator = ⊥
X Y : AddMonCat
x : ↑X
⊢ 0 x = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
x : E
⊢ mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x = f
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
s : Set H
⊢ map (↑I.symm) (𝓝[↑I '' s] ↑I x) = 𝓝[s] x
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (r :: rs) ↔
  IsSMulRegular M r ∧
    RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
⊢ (Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂) ((LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B) = B
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousSMul R A
⊢ Continuous ⇑(algebraMap R A)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ (ae μ)⁻¹⁻¹ ≤ (ae μ)⁻¹
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
s : Set X
x : X
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (f ⊔ g) s x
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.Nondegenerate P L
Fintype P
Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (l : L), f l ∉ l
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
⊢ ⇑1 = 1
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A
⊢ Subtype.val '' (D ∪ E) = Subtype.val '' D ∪ Subtype.val '' E
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ IsIntegral A ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i) * b i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => c