ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype m
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ (A.conjTranspose * A).PosSemidef
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ ¬IsUnit Polynomial.X
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
h : p.degree < q.degree
⊢ p.natDegree < q.natDegree
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x y : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
h' : y ∈ S
⊢ x ⤳ y
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(X : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X : CategoryTheory.GradedObject J D
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).hom j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj (X j)).map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso 0 Y).hom)
    (e.hom.app (X j))
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : 1 - t.re < ↑n
⊢ Gamma t = GammaAux n t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
⊢ dslope f a a = deriv f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_pos : ¬0 < c
⊢ ball 0 c = Ico 0 c.toNNReal
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : J
⊢ B.toCone.π.app { as := j } = B.π j
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ gaugeRescale t u (gaugeRescale s t 0) = gaugeRescale s u 0
G : Type u_1
Group G
⊢ IsSubgroup.trivial G = Group.closure ∅
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
⊢ ∃ d, coeff d (X s) ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
hp₃ : p₃ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₂ + ∡ p₂ p p₃ = ∡ p₁ p p₃
F : Sort u_1
α : outParam (Sort u_2)
β : outParam (Sort u_3)
FunLike F α β
self : EmbeddingLike F α β
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x • c) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n (addBottom L) = addBottom (ListBlank.modifyNth f n L)
n x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
b : ℕ
hxb : x.succ < b + succ 1
⊢ (b + succ 1).digits x.succ = [x.succ]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
⊢ CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = F.map CategoryTheory.Limits.prod.fst
X : TopCat
⊢ ∀ (X_1 : LightProfiniteᵒᵖ), X.toLightCondSet.val.obj X_1 = C(↑(Opposite.unop X_1).toTop, ↑X)
f : ℝ → ℂ
hc : Continuous f
b : ℝ
hb : 1 < b
hf : f =O[Filter.cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
hFf : 𝓕 f =O[Filter.cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
x : ℝ
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 f ↑n * (fourier n) ↑x
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f (x + c) = ∑ x ∈ Finset.Ico (a + c) (b + c), f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
p : M × N
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s p.1
hg : ContMDiffWithinAt J J' n g r p.2
⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (s ×ˢ r) p
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ
hmk : ↑k < m
⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
a b : ℝ≥0∞
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a ∧ 0 < b
s : SL(2, ℤ)
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (s • g) • z = (↑s * g) • z
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
h : IsEmpty α
⊢ ∃ a, const α a = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).left.right = sq.X₃
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
y : ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x y) = g x * ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)⁻¹
u : XgcdType
hr : u.r = 0
⊢ u.finish.v = u.v
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ' : Δ'' ⟶ Δ'
θ : Δ' ⟶ Δ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')
A : Splitting.IndexSet Δ''
fac : factorThruImage (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e) = (θ' ≫ θ).unop ≫ A.e
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map (θ' ≫ θ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ' ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ ∀ (y : ClassGroup R), y = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val)
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
⊢ (AlgEquiv.toOpposite R A).toLinearEquiv = MulOpposite.opLinearEquiv R
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ 0 < W.Ψ₂Sq.natDegree
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousAddMonoidHom B C
⊢ Continuous fun g => f.comp g
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
y : N
⊢ (f 0) y = 0
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ
h_meas' : NullMeasurableSet {a | ∃ g, g • a ∈ s} μ
⊢ μ univ ≤ ∑' (i : G), μ (i • s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
⊢ ⨆ i₁, ⨆ j₁, ⨆ i₂, ⨆ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨆ i₂, ⨆ j₂, ⨆ i₁, ⨆ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
α : Fin 2 → Type u
(i : Fin 2) → UniformSpace (α i)
⊢ ⇑(UniformEquiv.piFinTwo α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ A.det = A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : ∀ (k : n), ∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖ < ‖A k k‖
⊢ A.det ≠ 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (((PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Decidable (a ∈ s)
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (insert a s).ncard = if a ∈ s then s.ncard else s.ncard + 1
M : Type u_1
Monoid M
n : M
⊢ n ∈ Submonoid.powers n
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.FG ↔ Algebra.FiniteType R ↥S
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
⊢ (p + q).support ⊆ p.support ∪ q.support
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a % 1 = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail = {u} + ↑p.support.tail + (↑p'.support.tail + {v}) - {v}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s
⊢ s ∈ ↑(Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜) → t ∈ ↑(Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)
⊢ range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (insert k (range k))
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
a b : R
h : ↑p ∣ a - b
k : ℕ
⊢ ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
⊢ IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_3
Semiring k
AddMonoid G
Semiring R
f g : AddMonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : f.comp AddMonoidAlgebra.singleZeroRingHom = g.comp AddMonoidAlgebra.singleZeroRingHom
h_of : (↑f).comp (AddMonoidAlgebra.of k G) = (↑g).comp (AddMonoidAlgebra.of k G)
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
i : ι
I : Finset ι
a✝ : i ∉ I
ihI : I.piecewise f g ∈ u → (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hI : (insert i I).piecewise f g ∈ u
⊢ (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ (⋃ n, s ∩ spanningSets μ n) = 0
α : Type u
s : Set α
⊢ ∅ ⊂ s ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
h : Function.Injective f
h' : ¬Function.Surjective f
⊢ Fintype.card α < Fintype.card β
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
b : β
⊢ LinearOrderedField.inducedMap β β b = b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
x✝ : x ∈ 0
x' : R
x'_mem_zero : x' ∈ ↑0
x'_eq_x : (Algebra.linearMap R P) x' = x
x'_eq_zero : x' = 0
⊢ x = 0
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
f : α
hfJ : f ∈ J
hfI₀ : f ∉ I₀
hfi : Indep (insert f I₀)
⊢ False
α : Type u_2
Inv α
f g : Filter α
hf : f ≤ g
⊢ f⁻¹ ≤ g⁻¹
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p
eq : (π.app (op [n]) ≫ PInfty.f n).f = (PInfty.f n ≫ π.app (op [n])).f
⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (l.toFilterDistortioniUnion I c π₀).HasBasis l.RCond fun r => {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PredOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (f (Order.pred n)) (f n))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y Z : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W f).comp (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W g) =
  CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
α : Type u_1
CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α
⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ E.charPoly.IsRoot q
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ n ≤ l ∧ l < n + (m - n) ↔ n ≤ l ∧ l < m
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure sᶜ = (interior s)ᶜ
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X
⊢ IsOpen (some '' s)ᶜ ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
v : V
⊢ (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q) ((CliffordAlgebra.ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (z ⊗ₜ[R] v)) =
  z ⊗ₜ[R] (CliffordAlgebra.ι Q) v
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
α : Type u
s : Stream'.Seq α
a : α
s' : Stream'.Seq α
⊢ s.destruct = some (a, s') → s = Stream'.Seq.cons a s'
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).hom.app X = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ f.eta.inv.left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
⊢ HahnSeries.support 0 = ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : ↑n ≤ a
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = (∏ x ∈ s \ {i}, f x) * f i
α : Type u
ι : Sort v
f : ι → Set (Set α)
hf : ∀ (i : ι), {s | IsOpen s} = f i
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (⋂ i, f i) = ⨆ i, TopologicalSpace.generateFrom (f i)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)
this : Nontrivial 𝕜
⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
a b c : ℕ
H3 : 2 * (b + c) ≤ 9 * a + 3
h : b < 2 * c
⊢ b < 3 * a + 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
self : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
i : ι
⊢ i ∈ self.carrier → closure (self.toFun i) ⊆ u i
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (if e ∈ G.incidenceSet a then 1 else 0) = 1 ↔ e ∈ G.incidenceSet a
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
K : Type u_3
Add K
c : K
g : AddConstMap H K b c
f : AddConstMap G H a b
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥
y : E
hx : (algebraMap E K) y ∈ separableClosure F K
⊢ (algebraMap E K) y ∈ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.core s = {x | ∀ y ∈ f x, y ∈ s}
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))
ε : ℝ≥0
εpos : ε ∈ Ioi 0
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
⊢ p1 -ᵥ p2 ∈ s.direction
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
⊢ (∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree < ↑pb.dim
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
g : α → List β
⊢ (List.map f l ++ l.bind g).Perm (l.bind fun x => f x :: g x)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : f ∈ LinearMap.skewAdjointSubmodule B
hg : g ∈ LinearMap.skewAdjointSubmodule B
⊢ ⁅f, g⁆ ∈ LinearMap.skewAdjointSubmodule B
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : Polynomial.constantCoeff p ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (singleObjHomologySelfIso c j A).inv ≫ ((single C c j).obj A).homologyι j = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.prod = Multiset.foldl (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))