ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ
h₂ : Odd n
⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ x ⧏ 0 ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ σ = Tuple.sort f ↔ StrictMono ⇑(Equiv.trans σ (Tuple.graphEquiv₁ f))
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ
fs : (a : α) → j0 ⟶ j a := fun a => ⋯.some
gg : α → LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (Fin 2) := fun a => LocallyConstant.comap (F.map (fs a)) (g a)
ggg : LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (α → Fin 2) := LocallyConstant.unflip gg
a : α
x : ↑C.pt.toTop
⊢ (LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app (j a)) x)
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
s : Set M
t : Set M₂
⊢ span R (⇑(inl R M M₂) '' s ∪ ⇑(inr R M M₂) '' t) = (span R s).prod (span R t)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ weightSpace M (α + ⇑(chainTop α β)) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
this : CompleteSpace ↑s
y : ↑s
hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y
h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) atTop (𝓝 y)
hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) y ≤ edist ⟨x, hxs⟩ (MapsTo.restrict f s s hsf ⟨x, hxs⟩) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
n : ℕ
⊢ edist (f^[n] x) ↑y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0
⊢ f (1 - (1 - a ^ n) ^ n) = f e₁
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (normalizedFactors (n + 1)).prod ~ᵤ (↑(n + 1).primeFactorsList).prod
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
⊢ ∃ v, s ⊆ Set.iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f g : X ⟶ Y
w : P.Factors (f + g)
wg : P.Factors g
⊢ P.factorThru (f + g) w - P.factorThru g wg = P.factorThru f ⋯
K : Type u
DivisionRing K
L : Type v
Semiring L
s : Set K
hs : Subfield.closure s = ⊤
f g : K →+* L
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data)
m : Type u_1
R : Type u_3
Fintype m
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
⊢ (A + B).PosDef
A : Type u_1
AddCommGroup A
DivisibleBy A ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ n • ⊤ = ⊤
a b : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Ioc a b)
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
⊢ ∑ i ∈ range 1, x ^ i = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsPathConnected (⇑h '' s) ↔ IsPathConnected s
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
⊢ (x ◃ x) ◃ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = (x ◃ x) ◃ x ◃⁻¹ y
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] R
r : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.BilinForm.linMulLin f g).compRight r = LinearMap.BilinForm.linMulLin f (g ∘ₗ r)
n : ℕ+
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension S A B
⊢ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m = 0
n : R
hn : n ∈ S
⊢ m * n = 0
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
k : α
Invertible k
h : IsUnit A.det
⊢ (k • A)⁻¹ = ⅟k • A⁻¹
a b c : Int
h : a + b < c
⊢ b < -a + c
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
h3a : 3 ∣ a
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
x : ℤ
hx : x ∈ {a, b, c}
⊢ 3 ∣ id x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ Finset.image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) (s ×ˢ t) = s ⊻ t
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ ⊥.toNonUnitalSubalgebra = ⊥
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
⊢ ((traceForm R L M) z) x = 0 x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y
⊢ SemiconjBy (a - b) x y
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
⊢ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
H : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'
h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
h : lift.{max w w', w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s') = lift.{w, max w w'} #↑s'
⊢ lift.{w', w} #↥((closure (L.sum L.skolem₁)).toFun (s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s')).elementarySkolem₁Reduct = #↑s'
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.KleisliCat m} (f : X ⟶ Y) (a : X), (CategoryTheory.eq m).functor.map f a = f a
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (swap a b) b = a
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
⊢ ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq ((fun b a => (a, b)) <$> b) fun x => a) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ
⊢ (((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).symm ≪≫ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X W
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Z W
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y W
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (f ≫ g) (𝟙 W) =
  CategoryTheory.Limits.prod.map f (𝟙 W) ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map g (𝟙 W)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toFinsupp (s + t) = Multiset.toFinsupp s + Multiset.toFinsupp t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Type u_4
TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this✝ : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
hnj : n < j
this : j - (n + 1) + n + 1 = j
⊢ j - (n + 1) + n < j
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.map f s) = ⇑f '' ↑s
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (Set.Ici a).OrdConnected
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x,
  ∃ V₁ ∈ 𝓝 x,
    ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
hd : Summable d
⊢ CauchySeq f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.RightInverse f g ↔ g ∘ f = id
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α
⊢ (↑(sort r s)).Nodup
α : Type u_1
OrderedRing α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (↑n) (↑n + 1))
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.next { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪x, b i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪y, b i⟫_𝕜
q : ℚ≥0
⊢ q.den ≠ 0
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
⊢ p.count m.factors ≠ 0 → p ≤ m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
⊢ ⟪v, w⟫_𝕜 • v ∈ Submodule.span 𝕜 {v}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
f : PresheafOfModules.unit R ⟶ M
X : Cᵒᵖ
⊢ ↑(M.unitHomEquiv f) X = (PresheafOfModules.Hom.app f X) 1
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : Preorder α
hα' : MulZeroOneClass α
hβ : Preorder β
hβ' : MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
⊢ f.toOrderMonoidHom = ↑f
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
h : IsLeast s a
⊢ b < a ↔ ∀ x ∈ s, b < x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
inst✝² : HasCoequalizer f g
inst✝¹ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
W : D
k : G.obj Y ⟶ W
wk : G.map f ≫ k = G.map g ≫ k
⊢ G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ coequalizer.desc k wk = k
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
b : P₁
v : V₁
⊢ (AffineEquiv.vaddConst k b) v = v +ᵥ b
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ CompleteLattice.Independent p ↔
  ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)),
    ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (DFinsupp.erase i v) = ↑x → x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ
⊢ ↑(f p) x ≤ 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.singularPart ν ≤ μ
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
s : Set α
M : Type w
(L.withConstants α).Structure M
h : M ⊨ L.distinctConstantsTheory s
⊢ Cardinal.lift.{w, u'} (Cardinal.mk ↑s) ≤ Cardinal.lift.{u', w} (Cardinal.mk M)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
⊢ c * a < c * b
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
η : Type u_3
s : η → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), CompleteLattice.SetIndependent (s i)
⊢ CompleteLattice.SetIndependent (⋃ i, s i)
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : PolishSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
⊢ MeasurableSpace.map f (borel X) = borel Y
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
j : α
⊢ (if j + 1 = j + 1 then d j ≫ 𝟙 (X (j + 1)) else 0) = d j
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
h : t ≤ ⨆ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.coinduced Subtype.val inferInstance
⊢ IsClosed {f | Continuous ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f)}
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
x : X
TopologicalSpace Y
y : Y
f : X × Y → Z
⊢ (↑f).sliceRight = ↑fun y' => f (x, y')
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true
⊢ adj = adj'
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Preorder M
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → M
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ Monotone fun a => f a ^ n * f a
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
f : G →* G'
inst✝ : IsSimpleGroup G
n : ℕ
ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G
h : ⁅⊤, ⊤⁆ = ⊤
⊢ ⁅⁅⊤, ⊤⁆, ⁅⊤, ⊤⁆⁆ = ⁅⊤, ⊤⁆
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s ≤ {a} ↔ s = 0 ∨ s = {a}
a b : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ b + a
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ioo a b₁ ⊆ Set.Ioo a b₂
α : Type u_1
f : α → α
a : α
l : List α
⊢ List.modifyNth f 0 (a :: l) = f a :: l
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length
⊢ i < l'.length
a b c : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
⊢ a / c ≤ b
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ s \ ⋃₀ ↑I ⊆ s
H : Type u
TopologicalSpace H
G₁ G₂ : StructureGroupoid H
⊢ G₁ ≤ G₂ ↔ ∀ e ∈ G₁, e ∈ G₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.BijOn f s₁ t₁
h₂ : Set.MapsTo f s₂ t₂
h₃ : s₁ ∩ f ⁻¹' t₂ ⊆ s₂
⊢ Set.BijOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁.op z₂.op ↔ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁ z₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (intrinsicInterior ℝ s).Nonempty → s.Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork hf hg c hc).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork S hf hg c hc
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω))))) = 1
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
h : NoTopOrder M
a : M
⊢ ∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ Metric.ball 1 δ / s = Metric.thickening δ s⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductIso F G).inv
    CategoryTheory.Limits.prod.snd =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.snd
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
Field F
Field K
Field A
Algebra F K
Algebra F A
Algebra.IsAlgebraic F K
IsAlgClosed A
x : K
⊢ (Set.range fun ψ => ψ x) = (minpoly F x).rootSet A
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)
⊢ z ∈ ↑H.toSubmonoid
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
f : unit R ⟶ M
X : Cᵒᵖ
⊢ Hom.app ((fun s => Hom.mk' (fun X => (ringLmapEquivSelf ↑(R.obj X) ℤ ↑(M.obj X)).symm (↑s X)) ⋯) ((fun f => sectionsMk (fun X => (Hom.app f X) 1) ⋯) f)) X = Hom.app f X
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
⊢ ∏' (x : ↑(Function.mulSupport f)), f ↑x = ∏' (x : β), f x
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
⊢ Monotone posPart
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ≤ n
k : ℕ
ih : succ^[k + 1] x ≤ n → x < succ^[k + 1] x → ψ x < ψ (succ^[k + 1] x)
hy : succ^[k + 1 + 1] x ≤ n
hxy : x < succ^[k + 1 + 1] x
⊢ ψ x < ψ (succ^[k + 1 + 1] x)
α : Type u_1
Infinite α
s : Finset α
⊢ #↑(↑s)ᶜ = #α
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ f.eqLocusM f = ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
k : Set G
h₁ : k ⊆ ↑K
h₂ : K ≤ AddSubgroup.closure k
⊢ AddSubgroup.closure k = K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.f₂₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₂.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₂₄
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.lift hg) (IsLocalization.mk' S x y) = g x * ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).restrict M) hg) y)⁻¹
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
hi : i < n
⊢ ↑(e ⟨i, hi⟩) = i
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
a : α
hf : Function.Injective (f a)
⊢ (Finset.image₂ f {a} t).card = t.card
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
⊢ B.flip.Nondegenerate
k : ℕ+
q : ℕ
x✝ : ¬(0 = 0 ∧ q + 1 = 0)
⊢ ↑k + ↑k * (q + 1).pred = 0 + ↑k * (q + 1)
R : Type u_1
CommMonoid R
x : R
h : IsUnit x
⊢ Squarefree x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i
⊢ f ∈ TProd.mk (i :: l) ⁻¹' Set.tprod (i :: l) t ↔ f ∈ {i_1 | i_1 ∈ i :: l}.pi t
p : ℕ
q : ℚ
⊢ padicValRat p q = ↑(padicValInt p q.num) - ↑(padicValNat p q.den)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 => ↥(lp E x) → ℝ) (fun f => ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f else if p = ⊤ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
⊢ a % b = a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ⊆ t
⊢ s.ndinter t = s
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
⊢ s ⊆ ⋃ n, f '' t n ∪ (range f)ᶜ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ ¬OnePoint.infty ⤳ ↑x
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h : x ∈ S.ofUnits
⊢ ∃ y ∈ S, ↑y = x