ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M.X ⊗ N.X) ◁ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one)) ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) =
  (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 ↑S
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousAddMonoidHom A B
⊢ Continuous fun g => g.comp f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
⊢ logDeriv sin x✝ = x✝.cot
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = b ↔ a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
hm : m < 0
hc : ContinuousAt (fun x => x ^ m) 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.MapsTo (↑e.symm) e.target e.source
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'
⊢ (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f τ) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) σ
a : ℚ
⊢ a.floor = a.num / ↑a.den
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Module.Free R M
Module.Finite R M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
⊢ ⇑(LinearMap.trace R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.weightSpace M χ))) =
  FiniteDimensional.finrank R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ) • χ
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).degree ≤ ↑n
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
⊢ (∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1) → 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i → (∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s) → (insert i t).centerMass w z ∈ s
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
⊢ (x.rotateRight r).getLsb i =
  bif decide (i < w - r % w) then x.getLsb (r % w + i) else decide (i < w) && x.getLsb (i - (w - r % w))
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
⊢ DFinsupp.single i m = (lof R ι M i) m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s
h : ↑{↑x}.innerDualCone = inner ↑x ⁻¹' Ici 0
⊢ IsClosed ↑{↑x}.innerDualCone
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom
N : ℕ+
⊢ CongruenceSubgroup.IsCongruenceSubgroup (CongruenceSubgroup.Gamma1 ↑N)
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField
⊢ Polynomial.map (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (p * minpoly F x) ≠ 0
α : Type u_1
C : WithBot α → Sort u_5
d : C ⊥
f : (a : α) → C ↑a
⊢ WithBot.recBotCoe d f ⊥ = d
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ∃ x ∈ s, f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊔ y = 2⁻¹ • (x + y + |y - x|)
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
a : ↑unitInterval × A
i : I
⊢ (ContinuousMap.HomotopyRel.pi homotopies) a i = (homotopies i) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
I : S.Arrow
Z : C
g : Z ⟶ I.Y
⊢ (I.precompRelation g).Z = (I.precomp g).Y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}
⊢ BddAbove (g '' range f)
s : ℝ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.Gamma s
x : ℝ
A : cos (arctan x) ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt arctan (1 / (1 + x ^ 2)) x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
⊢ (↑(ContinuousAffineEquiv.refl k P₁)).toEquiv = Equiv.refl P₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hg : Differentiable 𝕜 f
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 g
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
⊢ TotallyBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, TotallyBounded s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
hf : Filter.Tendsto (⇑m) f₁ f₂
hg : Filter.Tendsto (⇑m) g₁ g₂
⊢ Filter.Tendsto (⇑m) (f₁ - g₁) (f₂ - g₂)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ s + Metric.ball 0 δ = Metric.thickening δ s
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)
L : FirstOrder.Language
α : Type w
T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
Nonempty M
L.Structure M
M ⊨ T
h : Cardinal.lift.{w', w} #↑s ≤ Cardinal.lift.{w, w'} #M
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.SurjOn f s (t i j)
⊢ Set.SurjOn f s (⋃ i, ⋃ j, t i j)
ι : Type u_1
Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Set.Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ I ⊓ orthogonal Φ hΦ_inv I ≤ I ∧ I ⊓ orthogonal Φ hΦ_inv I ≠ I
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
⊢ IsGδ {x}
x y : ℝ
h : x ≤ y
⊢ √x ≤ √y
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ ∃ l₁ l₂, ¬a ∈ l₁ ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l.erase a = l₁ ++ l₂
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).intDegree = ↑p.natDegree
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∑ i : Fin 2, ((∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e b i) x))) - ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e a i) x))) = ((∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (a.1, y)) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, a.2))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
Nonempty α
⊢ ∃ u, DenseRange u
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.b
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M (Submodule.subtype I))
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ PrimrecPred fun n => n ∈ Set.range Encodable.encode
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
f : ι →₀ Finset α
g : ι →₀ α
⊢ g ∈ f.pi ↔ ∀ (i : ι), g i ∈ f i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ↔ ¬AntivaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℕ
⊢ (W.baseChange B).preΨ' n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ' n)
c d : Char
⊢ Eq c d → Eq c.val d.val
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝ : Coreflective j
A : D
h : A ∈ j.essImage
⊢ IsIso ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
b : β
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith K fun x => b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
U✝ : Opens ↑↑X
⊢ X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app U✝).op = (eqToHom ⋯).app (op U✝)
α : Type u_3
β : Type u_4
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
I : Type u_5
h : I → α
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a
n : Type u_1
Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
b : Basis n R M
DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ LinearMap.ker ((Matrix.toLin b b) A) = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (↑(implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') a))
M : Type u_1
AddMonoid M
a : AddUnits M
x y : M
⊢ AddSemiconjBy (↑(-a)) y x ↔ AddSemiconjBy (↑a) x y
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R
⊢ r +ᵥ spectrum R a = spectrum R ((algebraMap R A) r + a)
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
⊢ Continuous (⋯.extend f)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i : ι
r : R
x : M
⊢ f (Function.update v i (r • x)) = r • f (Function.update v i x)
G : Type u
Monoid G
g : G
⊢ orderOf g ∣ Monoid.exponent G
x : ℝ
⊢ ⊥ ≠ ↑x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
x✝ : MeromorphicAt f x
n : ℕ
hn : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • f z) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = (x_1 - x) ^ (-↑n) • (x_1 - x) ^ n • f x_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Fan fun i => f i.succ
c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan (f 0) c₁.pt
⊢ (CategoryTheory.extendFan c₁ c₂).pt = c₂.pt
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
h : b < a
⊢ ∃ c, b + c < a ∧ 0 < c
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsUpperSet s → IsUpperSet (closure s)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ Nonempty (α → β) ↔ IsEmpty α ∨ Nonempty β
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a / b ≤ c
⊢ a = a / b * b
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ (A.updateColumn i fun k => A k i + c • A k j).det = A.det
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract (1 + a) = Int.fract a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y
⊢  ⊗𝟙 = (ρ_ X).hom ≫ ⊗𝟙
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X j : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X).obj j = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj j X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
h : s ⊆ e.source
⊢ ↑e '' s = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint b a
n a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] → b ≡ a [ZMOD n]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
x : M
n : ℕ
y : K
h : j y = x ^ p ^ n
⊢ (IsPerfectClosure.equiv i j p).symm x = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
h : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ)
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
α : Type u_8
β : Type u_9
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ =
  if hf : AEMeasurable f μ then (MeasureTheory.Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk f hf)) μ else 0
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ l ∈ Iio a, Ioo l a ⊆ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
g0 : α → ℝ≥0∞
f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x
g0_cont : LowerSemicontinuous g0
g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2
s : Set α
hs : {x | (fun x => f x = AEMeasurable.mk f fmeas x) x}ᶜ ⊆ s
smeas : MeasurableSet s
μs : μ s = 0
g1 : α → ℝ≥0∞
le_g1 : ∀ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ≤ g1 x
g1_cont : LowerSemicontinuous g1
g1_int : ∫⁻ (x : α), g1 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ∂μ + ε / 2
x : α
⊢ ↑(f x) < (fun x => g0 x + g1 x) x
n : Nat
x y : Fin n
h1 : x ≤ y
h2 : y ≤ x
⊢ x = y
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
R : Type u_3
AddZeroClass G
Semiring R
f : k →+* R
g : Multiplicative G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
⊢ (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) (c • φ) = f c * (AddMonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ Kᗮᗮ = ⊤ ↔ Kᗮ = ⊥
x : ℝ
hl : -π ≤ x
hr : x ≤ π
⊢ cos (x / 2) = √((1 + cos x) / 2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.bottomMap X).f = T.μ.app X.A
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R
⊢ sInf {s | ∀ (x y : R), c x y → s x y} ≤ c
S : Type u
Semiring S
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Polynomial.eval 0 (ascPochhammer S n) = 0
X Y : Type u_1
Semigroup X
Semigroup Y
e : X ≃* Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
x : n → M
⊢ (funLeft R M g) ((funLeft R M f) x) = x
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
⊢ ⇑↑f = ⇑f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
⊢ ∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod = (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) l).sum