ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).degree = p.degree
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Precoherent C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
ι : Type u_4
𝔸 : ι → Type u_5
Finite ι
DecidableEq ι
(i : ι) → NormedRing (𝔸 i)
(i : ι) → NormedAlgebra 𝕂 (𝔸 i)
∀ (i : ι), CompleteSpace (𝔸 i)
x : (i : ι) → 𝔸 i
j : ι
xj : 𝔸 j
⊢ Function.update (NormedSpace.exp 𝕂 x) j (NormedSpace.exp 𝕂 xj) = NormedSpace.exp 𝕂 (Function.update x j xj)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
𝕜' : Type u_13
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
AddCommGroup E
Module 𝕜' E
SMul 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
p : Seminorm 𝕜' E
⊢ (Seminorm.restrictScalars 𝕜 p).ball = p.ball
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
⊢ IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' y
⊢ slope f x y < f'
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
r : ℝ
h : 0 ≤ r ∨ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) μ a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Monotone f
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 Set.univ f
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
S : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
T : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq β)
U : Stream'.WSeq α → Stream'.WSeq β → Prop
ST : Stream'.WSeq.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRel R) S T
HU :
  ∀ (s1 : Stream'.WSeq α) (s2 : Stream'.WSeq β),
    (∃ s t S T,
        s1 = s.append S.join ∧
          s2 = t.append T.join ∧ Stream'.WSeq.LiftRel R s t ∧ Stream'.WSeq.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
a : Option (α × Stream'.WSeq α)
ma : a ∈ S.join.destruct
⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ Stream'.WSeq.LiftRelO R U a b
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ x ∈ 1 ↔ ∃ y, (algebraMap R A) y = x
α : Type u
OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ a ≤ b → b⁻¹ ≤ a⁻¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
ι : Type ui
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : CommMonoid G
s✝ : Finset ι
a✝ : ι → G
b : ι → k
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, single (a✝ i) (b i) = single (∏ i ∈ s, a✝ i) (∏ i ∈ s, b i)
⊢ ∏ i ∈ Finset.cons a s has, single (a✝ i) (b i) = single (∏ i ∈ Finset.cons a s has, a✝ i) (∏ i ∈ Finset.cons a s has, b i)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ
g : C(X, ℝ)
hgs : Set.EqOn (⇑g) 0 (closure sᶜ)
hgx : Set.EqOn (⇑g) 1 {x}
⊢ ∃ f, (∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ∧ f x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β
⊢ x ∩ f ⁻¹' minimals s (f '' x ∩ y) = minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L
⊢ (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2)
  ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ +
    (p.1 ^ p.2 * Real.log p.1 - rexp (Real.log p.1 * p.2) * Real.sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)
  p
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid β
l : List α
f : α → β
⊢ ∑ i : Fin l.length, f l[↑i] = (List.map f l).sum
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cones.functoriality F G).obj A).pt = G.obj A.pt
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Set.Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a < b * c
⊢ a * c⁻¹ < b
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X → (i : ι) → π i
f : Y → (i : ι) → π i
g : (i : ι) → π i
u : Filter Y
⊢ Tendsto f u (𝓝 g) ↔ ∀ (x : ι), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
N : Submodule R M
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.lTensor Q N.mkQ) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor Q N.subtype)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < μ s + ε
⊢ μ (t \ s) < ε
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
TopologicalSpace α
f g : α → P
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f -ᵥ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
G : Type u_1
AddCommGroup G
a b : G
⊢ -a + b + a = b
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z => (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
⊢ ‖log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ∅ = ∅ ∩ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
h : p.support ⊆ s
⊢ ∑' (x : α), s.indicator (⇑p) x = 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
a : α i
b : β i
⊢ TypeVec.prod.snd i (TypeVec.prod.mk i a b) = b
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₂ κ μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet s t κ μ
α : Type u_1
Inhabited α
l : List α
a : α
n : Nat
⊢ (a :: l).get! (n + 1) = l.get! n
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+ P
x : DirectLimit G f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ μ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
b : Ordinal.{u_2}
⊢ (succ b).cof ≤ (f (succ b)).cof
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L L k = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback
        (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst
              (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                (CategoryTheory.Limits.prod.map F.f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z.tgt)) G.F))
            F.F))).obj
    X.rel ≤
  (CategoryTheory.Subobject.pullback
        (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp F.f G.f)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z.tgt))).obj
    Z.rel
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ W'.Equation P ↔ P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ DenseRange stoneCechUnit
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
⊢ Surjective ⇑C
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ ⟨⊤, ⋯⟩ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
⊢ ((borelMarkovFromReal Ω η) a) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
α : Type u
AddGroup α
Fintype α
x : α
hx : addOrderOf x = Fintype.card α
⊢ IsAddCyclic α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (T : C),
  (CategoryTheory.Limits.coprod.functor.map f).app T = CategoryTheory.Limits.coprod.map f (𝟙 T)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder γ
inst✝ : BoundedOrder δ
g : BoundedOrderHom β γ
f₁ f₂ : BoundedOrderHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
⊢ star ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
⊢ append as (snoc bs b) = snoc (append as bs) b
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a : σ
⊢ Turing.Reaches₀ f a a
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α
⊢ S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (f ((↾fun x_1 => x) (Classical.choose ⋯))) = f x
a b c : Int
h : -b ≤ a - c
⊢ c ≤ a + b
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : Submodule.map f P = Q
a : N ⧸ Q
⊢ (Submodule.Quotient.equiv P Q f hf).symm a = (Q.mapQ P ↑f.symm ⋯) a
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
x : B
⊢ e (e.symm x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h✝ : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
i : ι
_hi : i ∈ univ
j : ι
_hj : j ∈ univ
h : i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 F
x : E
⊢ x ∈ ConvexCone.comap f S ↔ f x ∈ S
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring R'
NonAssocSemiring S'
⊢ ↑(RingEquiv.prodProdProdComm R R' S S') = MulEquiv.prodProdProdComm R R' S S'
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ
⊢ i ∈ (C a * φ).vars ↔ i ∈ φ.vars
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hxS : x ∈ S
hx : A ⊆ (fun f => (u f x₀, u f x)) ⁻¹' V
⊢ Continuous fun f => u f x
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ Complex.log (↑r * x) = ↑(Real.log r) + Complex.log x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
P : C
k : (j : J) → g j ⟶ P
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.map p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc k =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => p j ≫ k j
α : Type u_1
Preorder α
Add α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ b ≤ b - a + a
x y n : ℕ
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.inl R M M₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ MeromorphicAt id x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
⊢ induced f inst✝¹ ≤ induced f (induced g inst✝)
α β : Type u
Infinite β
⊢ #α + #β = max #α #β
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra K E
Algebra K F
IsScalarTower K F E
⊢ IntermediateField.restrictScalars K ⊤ = ⊤
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ b.factorization ≤ (a * b).factorization
β : Type ub
x : β
V W : Set (β × β)
⊢ UniformSpace.ball x (V ∩ W) = UniformSpace.ball x V ∩ UniformSpace.ball x W
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
z : I → Bool
hz : z ∈ C
hx : ↑⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩ a = true
⊢ e (π C fun x => x ∈ s) a ∈ factors C s ⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ico a b * Finset.Ioc c d ⊆ Finset.Ioo (a * c) (b * d)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G
w : E
⊢ ⟪w, (adjoint (A ∘ₗ B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v⟫_𝕜
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
y : ModP K v O hv p
hy : y ^ p ≠ 0
r : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ^ p ≠ 0
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y ≠ 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
x x' : ↑↑X
h : x = x'
⊢ Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap α x'
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : ∀ (a b : α), f a = a ∨ f b = b ∨ a = b
⊢ f = 1
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : p = 0 ∨ ↑u = 0
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : MonoidAlgebra R M
ih : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = r • f
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : (of v).Terminates
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, v = (of v).convs n
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
⊢ ‖a⁻¹‖ = ‖a‖⁻¹
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
r : R
⊢ (algebraMap R A) r ∈ s.centralizer
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ∅ ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨆ b ∈ Set.range f, g b = ⨆ i, g (f i)
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
⊢ ∀ (l : List α), mapIdx f l = List.oldMapIdx f l
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ s
z : F
hz : z ∈ ball y (ε / C)
w : E
wim : f w = z - y
wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖
this : f (x + w) = z
⊢ f (x + w) ∈ ⇑f '' s
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ Q₁.polarBilin (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + ⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ Q₂.polarBilin (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) = LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.plusObj P ⟶ Q
hγ : J.toPlus P ≫ γ = η
⊢ γ ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom = J.plusMap (J.toPlus P) ≫ J.plusMap γ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) Set.univ ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c
⊢ Mono f ↔ IsIso c.fst
α : Type u_1
r : α → α → Prop
l : List α
⊢ Multiset.Pairwise r ↑l ↔ ∃ l', l ~ l' ∧ List.Pairwise r l'
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (Metric.thickening ε s)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ ker (lTensor P g') = range (lTensor P f')