ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))
this : Nonempty α
u : ℕ → α
hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop
Ioi_eq_iUnion : Ioi x = ⋃ n, Ioc x (u n)
n : ℕ
⊢ AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x (u n)))
R : Type u_1
K : Type v
L : Type w
CommRing R
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
f : R[X]
Algebra K L
IsScalarTower R K L
h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) f
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap R L) f
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AffineSpace V₃ P₃
s : AffineSubspace k P₁
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
g : P₂ →ᵃ[k] P₃
⊢ AffineSubspace.map g (AffineSubspace.map f s) = AffineSubspace.map (g.comp f) s
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α
⊢ (∑ x : n, ‖col ι v x default‖ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M
⊢ c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
x✝ : k⟦X⟧
⊢ x✝ ∈ RingHom.ker (constantCoeff k) ↔ x✝ ∈ maximalIdeal k⟦X⟧
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F.unop
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeUnop c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeUnop c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J
⊢ (m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneUnopOfCocone s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
x✝¹ x✝ : M
⊢ ⅟2 * ((f x✝¹ + f x✝) * (g x✝¹ + g x✝) - f x✝¹ * g x✝¹ - f x✝ * g x✝) = ⅟2 * (f x✝¹ * g x✝) + ⅟2 * (g x✝¹ * f x✝)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp c a = toIcoMod hp c b ↔ a ≡ b [PMOD p]
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l
⊢ Cauchy ↑(Ultrafilter.of l)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => x⁻¹) (-(x ^ 2)⁻¹) s x
α : Type u_2
DecidableEq α
MulOneClass α
s : Finset α
⊢ Finset.coeMonoidHom s = ↑s
x y z : ℝ
n : ℕ
⊢ rexp 1 ^ n = rexp ↑n
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ n, some a ∈ s.get? n
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ t)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → sizeOf L₂ < sizeOf L₁
α : Type u_2
AddCommGroup α
l : List α
⊢ l.reverse.alternatingSum = (-1) ^ (l.length + 1) • l.alternatingSum
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen U
⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
E : (i : I) → C i ≌ D i
⊢ (CategoryTheory.Equivalence.pi E).unitIso = CategoryTheory.NatIso.pi fun i => (E i).unitIso
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.X.eraseLead = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
⊢ ((↑A).toPMap p).adjoint = (↑(ContinuousLinearMap.adjoint A)).toPMap ⊤
n : ℕ
ζ : ℂ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ i, ζ.arg = ↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i ↑n ∧ i.natAbs < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[<] b, s ∈ 𝓝[Ico a b] b, s ∈ 𝓝[Ioo a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioo l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioo l b ⊆ s].TFAE
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a b : α
⊢ Setoid.r a b ↔ a⁻¹ * b ∈ s
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
a₂ : P.A
f₂ : P.last.B a₂ → P.last.M
h₂ : x.dest = ⟨a₂, f₂⟩
f' : Path P x ⟹ α
⊢ dest' P h₁ f' = dest' P h₂ f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
e : β ≃ γ
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.comapEquiv C e).inverse = CategoryTheory.GradedObject.comap C ⇑e
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
s : ι → Set M
⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, AddSubmonoid.closure (s i)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ memberSubfamily a (𝒜 ∪ ℬ) = memberSubfamily a 𝒜 ∪ memberSubfamily a ℬ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
s : Set α
f : α → β
⊢ LocallyLipschitzOn s f ↔ LocallyLipschitz (s.restrict f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : p1 = p2
⊢ False
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1
⊢ |log x * x| < 1
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
⊢ ∀ {X Y : Action V G} (f : X ⟶ Y), (Action.forget V G).map f = f.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set α
hinj : InjOn f r
hrs : r ⊆ s
⊢ ∃ u, r ⊆ u ∧ u ⊆ s ∧ f '' u = f '' s ∧ InjOn f u
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇔ (b ⇔ c) = b ⇔ (a ⇔ c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T.adjointDomain
x : ↥T.domain
⊢ (adjointDomainMkCLMExtend hT y) ↑x = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
⊢ (s.sym n).Nonempty ↔ n = 0 ∨ s.Nonempty
α : Type u_1
e : α
X : Set α
M : Matroid α
he : e ∈ M.E
hX : X ⊆ M.E
⊢ insert e X ⊆ M.E
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ (cons a f ∘ rev) i = snoc (f ∘ rev) a i
α : Type u_1
Primcodable α
d : α
⊢ Primrec₂ fun l n => l.getD n d
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}).Nonempty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
n : ℕ
⊢ Integrable (martingalePart f ℱ μ n) μ
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
CommSemiring R
TopologicalSemiring R
StarRing R
ContinuousStar R
⊢ ⇑ContinuousMapZero.toContinuousMapHom = toContinuousMap
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
⊢ (cs.leftInvSeq ω).Nodup
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hI : comap (algebraMap R S) I = ⊥
x : S
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A
⊢ ↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
H : BddBelow (f '' s)
c : β
hc : c ∈ s
⊢ ⨅ i, f ↑i ≤ f c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
hf' : MeasureTheory.Integrable (fun x => x • f x) MeasureTheory.volume
⊢ deriv (𝓕 f) = 𝓕 fun x => (-2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • f x
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₁
⊢ Function.Bijective ⇑B.flip ↔ Function.Bijective ⇑B
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : M →+ P
H : c ≤ AddCon.ker f
x : M
⊢ (c.lift f H) ↑x = f x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
⊢ MvQPF.Cofix.corec (g ∘ f) x₀ = MvQPF.Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x₀)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β
⊢ lookup a (insert a b ⟦s⟧) = some b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s u : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hu : u ∈ 𝓝[s] x
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ u) x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
⊢ ∀ (i : Finset ι × ℝ), 0 < i.2 → x ∈ (i.1.sup p).ball 0 i.2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
val✝ : Fintype ι
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ Free R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2
⊢ mγ ≤ MeasurableSpace.map (Prod.snd ∘ f) m
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] P
hf : LinearMap.ker f = ⊥
N : Submodule R M
hfn : (Submodule.map f N).FG
⊢ N.FG
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
h : IsStrongAntichain r s
⊢ IsAntichain r s
p n k : ℕ
hp : Prime p
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k ↔ k ≠ 0 ∧ k ≠ p ^ n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
⊢ ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0
⊢ ord ∘ aleph' = enumOrd {b | b.card.ord = b}
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option α
f : (a : α) → a ∈ x → Option β
h' : ∀ (a : α) (H : a ∈ x), f a H = none → x = none
⊢ x.pbind f = none ↔ x = none
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ ↑⟨n, h⟩ = n
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
N : ℕ
hN : N ≥ N₀
p : ℕ
hp : p ∈ N₀.primesBelow
⊢ p ∈ range N
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousAt f x
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
⊢ Primrec f
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : f' < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, slope f x z < r
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
G'' : ι → Type v''
(i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →+ G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →+ G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.map g₂ hg₂).comp (AddCommGroup.DirectLimit.map g₁ hg₁) =
  AddCommGroup.DirectLimit.map (fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) ⋯
α : Type u_1
σ : α → Type u_3
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
a : α
b : σ a
⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₁.sigma l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂ a
α : Sort u_1
DecidableEq α
r a b : α
⊢ Equiv.swapCore a b r = Equiv.swapCore b a r
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x : ↑X
⊢ ⟦H.evalAt x⟧ =
  ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯ ≫
    (π.map H.uliftMap).map
        (ContinuousMap.Homotopy.prodToProdTopI unitInterval.uhpath01 (𝟙 (FundamentalGroupoid.fromTop x))) ≫
      ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ u =Θ[l] v
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : ε₁ + dist x y ≤ ε₂
⊢ Metric.ball x ε₁ ⊆ Metric.ball y ε₂
α : Type u_1
n : Type u_6
Semiring α
DecidableEq n
AddGroup n
Fintype n
a : α
⊢ Matrix.circulant (Pi.single 0 a) = (Matrix.scalar n) a
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD n • p] → a ≡ b [PMOD p]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
f : N → H
g : N → H'
ϕ : N → E →L[𝕜] E'
x₀ : N
⊢ inTangentCoordinates I I' f g ϕ x₀ = ϕ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
h : x ∈ f.source
⊢ (f.extend I).source ∈ 𝓝 x
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star y = star x + p
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
X : Set α
⊢ M.Indep (I \ X)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
hp : ¬p ≠ 0
⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
ι : Type w
Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
⊢ (Algebra.trace R S) ((algebraMap R S) x) = Fintype.card ι • x
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
z : N
⊢ j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * (j.toMap.comp (l.comp g)) ↑(f.sec z).2 = (j.toMap.comp l) ↑(k.sec ((f.map hy k) z)).2 * j.toMap (l (g (f.sec z).1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
⊢ {a | f a ≤ c} ⊆ {x | -c ≤ ‖f x‖}
α : Type u
x : FreeAddGroup α
⊢ (FreeAddGroup.map fun z => z) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
c : β
⊢ Filter.EventuallyConst (fun x => c) l
A : Type u
B : Type v
CommGroup A
CommGroup B
f : A →* B
h : ∀ (u v : B →* B ⧸ f.range), u.comp f = v.comp f → u = v
⊢ f.range = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯
h : s.PartiallyWellOrderedOn fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
α : Type
n : ℕ
xs : Vector α n
β σ₁ γ σ₂ : Type
ys : Vector β n
f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
R : σ₁ → σ₂ → Prop
h₀ : R s₁ s₂
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2
⊢ (mapAccumr₂ f₁ xs ys s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
hn : 0 ∣ n
hm : 0 ∣ m
⊢ ↑(m / 0) / ↑(n / 0) = ↑m / ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
i : α
his : i ∈ s
hi : i < y
⊢ sInf s ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f t ν
hs : s ⊆ t
hμ : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville ↑{ num := a, den := b, den_nz := bN0, reduced := cop }
⊢ False
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m 0 (μ.restrict s)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
⊢ π₁.restrict J ≤ π₂.restrict J
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Multiset.Ioc a b).Nodup
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
h : z ≤ x
⊢ x ⊓ y ⊔ z = x ⊓ (y ⊔ z)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.coverByImage G Y).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves Y_1
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
I : Submodule R N
x : ↥I ⊗[R] M
⊢ ∃ J, ∃ (_ : J.FG) (hle : J ≤ I), ∃ y, x = (rTensor M (inclusion hle)) y
α : Type u_1
Fintype α
s : Setoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ≈ x_1
⊢ Fintype.card (Quotient s) ≤ Fintype.card α
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedSpace ℝ E
s : Set X
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
⊢ f₁.bind g₁ ≤ f₂.bind g₂