ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
⊢ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}.Infinite ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x y : β
hxS : (x, y).1 ∈ S
hyS : (x, y).2 ∈ S
hxy : A ⊆ (fun f => (u f x, u f y)) ⁻¹' V
⊢ ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).2) ∈ U
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
c : α
⊢ StrictMono fun x => f x + c
ι : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
⊢ IsSemisimpleModule R M
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRat (x - y) = CauSeq.Completion.ofRat x - CauSeq.Completion.ofRat y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (univ.card + 1), ∑ x ∈ powersetCard i univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h : IsOpen s
⊢ s ∩ closure t ⊆ closure (s ∩ t)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ Equivalence fun x x_1 => ¬G.Adj x x_1
X Y : AddCommGrp
i : X ≅ Y
a : ↑X
⊢ i.addCommGroupIsoToAddEquiv a = i.hom a
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
⊢ ((of R).symm y).support.IsPWO
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ CategoryTheory.Presieve.YonedaSheafCondition P S
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ ↑(dual A K I) = (↑I)ᵛ
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
⊢ f =O[l] g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
HasOuterApproxClosed X
F : Set X
hF : IsClosed F
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : X), ↑((hF.apprSeq n) x) ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (μ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Mem.other' h ∈ z
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
CharP R p
k : ℤ
⊢ ↑k = ↑(k % ↑p)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
n : γ → δ
m' : β' → α' → δ
n₁ : β → β'
n₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)
⊢ map n (map₂ m f g) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t✝ s₁✝ s₂✝ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s₁ s₂ t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (s₁ ∪ s₂) t = convexJoin 𝕜 s₁ t ∪ convexJoin 𝕜 s₂ t
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : IsEmpty ι
⊢ Function.Injective ⇑(lift R ι G f g Hg)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
h : f.Disjoint g
a : α
⊢ f (g a) = a → f a = a ∧ g a = a
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, ∀ y ∈ Ioi x, (s ∩ Ioc x y).Nonempty
y : α
hy : y ∈ Icc a b
⊢ y ∈ s
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.leadingCoeff = 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
CompactSpace α
Nonempty α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
ContinuousAdd M₃
g₁ g₂ : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ (g₁ + g₂).comp f = g₁.comp f + g₂.comp f
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n
⊢ ↑(e ⟨i, hi⟩) = i
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n1 n2 k e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n1 * e1 = t1
h2 : n2 * e2 = t2
h3 : n1 * n2 = k
⊢ k * (e1 * e2) = t1 * t2
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ g (h ↑↑ζ) = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n g * χ₀ n h).val)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
⊢ (∑ i ∈ I, κ i) a = ∑ i ∈ I, (κ i) a
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s : Multiset α
H : ∀ a ∈ s, p a
b : β
⊢ b ∈ Multiset.pmap f s H ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ s), f a ⋯ = b
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < 3
θ : Angle
⊢ θ.cos ^ 2 + θ.sin ^ 2 = 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (limit.π (F ⋙ evaluation R X) j)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.Equation P ↔ P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 = P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).H = c.pt
α : Type u
l : List α
⊢ l.reverse.sublists = List.map List.reverse l.sublists'
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
r : ℝ≥0∞
hr : r < x
⊢ r ≤ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : K ⥤ J ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitFlipIsoCompLim F).inv.app X =
  (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfNatIso (CategoryTheory.flipCompEvaluation F X)).inv ≫
    (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F.flip X).inv
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
x : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.WithTerminal.lift F M hM).map
      (CategoryTheory.WithTerminal.starTerminal.from (CategoryTheory.WithTerminal.incl.obj x)))
    (CategoryTheory.WithTerminal.liftStar F M hM).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.WithTerminal.inclLift F M hM).hom.app x) (M x)
α : Type u_2
BEq α
L : List (List α)
a : α
⊢ List.count a L.join = (List.map (List.count a) L).sum
M : Type u_1
Monoid M
a : M
n : ℕ
ha : a ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(Units.ofPowEqOne a n ha hn) = a
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
⊢ ∀ (x_1 : N → ↑I), (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ↑p x_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b * c < a
α : Type u_1
l m : Language α
⊢ l * m = Set.image2 (fun x x_1 => x ++ x_1) l m
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p → q → α
⊢ ⨅ (h₁ : p), ⨅ (h₂ : q), s h₁ h₂ = ⨅ (h : p ∧ q), s ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
T2Space M
T2Space M₂
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
⊢ ∑' (z : ι), e (f z) = y ↔ ∑' (z : ι), f z = e.symm y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W.Nonsingular Q
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁✝ : 0 < a
h₂ : b ≤ c
h₁ : 1 < a
⊢ a ^ b ≤ a ^ c
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
⊢ (of R M) m ∈ span R (⇑(of R M) '' S) ↔ m ∈ S
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
f g : FreeAddMonoid α →+ M
h : ∀ (x : α), f (FreeAddMonoid.of x) = g (FreeAddMonoid.of x)
⊢ f = g
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
s : Submodule R M
h : 0 < Module.rank R ↥s
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ 0
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
h : p.Separable
⊢ Splits f p ↔ Splits (RingHom.id K) (map f p)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.dens m = g.dens n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d
⊢ (lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((base φ) h) w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
Subsingleton α
g : α → β
x y : α
⊢ f x = g y ↔ f = g
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Finset α
f : α → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsOpen (f i)
⊢ IsOpen (⋂ i ∈ s, f i)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'
b : B
hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet
v₁ : F₁
v₂ : F₂
⊢ b ∈ e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
h' : r ∈ {r}
⊢ (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
Module R M
Module R P
f : M ≃ₗ[R] P
IsArtinian R M
⊢ IsArtinian R P
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i
x : n → R
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ star x i * (diagonal d *ᵥ x) i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
PE : Type u_1
PF : Type u_2
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
MetricSpace PF
NormedAddTorsor F PF
FiniteDimensional 𝕜 E
f : PE ≃ᵃ[𝕜] PF
⊢ ⇑f.toHomeomorphOfFiniteDimensional = ⇑f
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →L[R] M₂
g : M →L[R] M₃
h : LinearMap.ker f ⊔ LinearMap.ker g = ⊤
⊢ LinearMap.range (f.prod g) = (LinearMap.range f).prod (LinearMap.range g)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
a : α
⊢ List.argmax f [a] = some a
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ g₂
⊢ Filter.map₂ m f₁ g₁ ≤ Filter.map₂ m f₂ g₂
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor D H
γ₁ γ₂ : F' ⟶ G
hγ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₁) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₂)
⊢ γ₁ = γ₂
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi a) volume
n : ℕ
t : Type u_1
t' : Type u_2
v : TypeVec.{u_1} n
v' : TypeVec.{u_2} n
β : (v ::: t).Arrow (v' ::: t') → Sort u_3
F : (f : t → t') → (fs : v.Arrow v') → β (fs ::: f)
f : t → t'
fs : v.Arrow v'
⊢ TypeVec.typevecCasesCons₂ n t t' v v' F (fs ::: f) = F f fs
α : Type u_1
l : List α
n : Fin l.inits.length
⊢ l.inits.get n = List.take (↑n) l
M : Type u_1
CommMonoid M
a b : M
h : a * b = 1
⊢ IsUnit a
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
⊢ abs (cexp x - 1 - x) = abs (cexp x - ∑ m ∈ range 2, x ^ m / ↑m.factorial)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.1042846
S' : Type ?u.1042849
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.1045280
S'' : Type ?u.1045283
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : P.Cotangent
⊢ ((map (Hom.id P)) x).val = (LinearMap.id x).val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Injective ⇑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.f)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∃ a, y * ↑a = x) ↔ ∃ a, x⁻¹ * y = ↑a⁻¹
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
F : Type u
Field F
Algebra R F
Algebra S F
IsScalarTower R S F
K : Type v
Field K
Algebra R K
Algebra S K
IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W f) 0 = 0
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : f.toAddMonoidHom = g.toAddMonoidHom
⊢ ⇑f = ⇑g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
CategoryTheory.IsIso h.counit
X : D
⊢ h.whiskerLeftRUnitIsoOfIsIsoCounit.inv.app X = h.unit.app (R.obj X)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
⊢ ((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 1
⊢ p = X + C (p.coeff 0)
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F
⊢ (Complex.isometryOfOrthonormal v).symm f = ↑((v.toBasis.coord 0) f) + ↑((v.toBasis.coord 1) f) * Complex.I
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Function.Involutive f
hne : f ≠ id
⊢ f^[n] = id ↔ Even n
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set EReal
⊢ (∃ i, True ∧ Ioi ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Ioi ↑y ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousAdd α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
hd : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, Summable (f ∘ Subtype.val)
⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i ∈ s, t i)), f ↑x = ∑ i ∈ s, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι k V
v : V
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) v • b i = v
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
⊢ abs (TypeVec.id <$$> repr x) = abs (repr x)
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Mul α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, s i) * t ⊆ ⋂ i, s i * t
m n : Nat
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
⊢ (0 ≤ a → b < 0) → ¬(a ≤ 0 → 0 < b)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddLocalization.mk 0 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α
⊢ (μ * f) a * (μ * g) b ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
q : Y → Prop
h : X ≃ₜ Y
h_iff : ∀ (x : X), p x ↔ q (h x)
a : { a // p a }
⊢ ↑((h.subtype h_iff) a) = h ↑a
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
(i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
(i : ι) → Module R (t' i)
r : R
φ : PiTensorProduct R fun i => s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ (r • φ).piTensorHomMapFun₂ = r • φ.piTensorHomMapFun₂
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero R'
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : SMul R M'
p : Prop
inst✝ : Decidable p
a : R
b : M
⊢ (if p then a else 0) • b = if p then a • b else 0