ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1} {x y : Option α},
  Option.map f (HOrElse.hOrElse x fun x => y) = HOrElse.hOrElse (Option.map f x) fun x => Option.map f y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
⊢ l.prod ∈ alternatingGroup α ↔ Even l.length
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
⊢ (m, 0) ∈ fst R M M₂
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ s.inf p ↔ ∀ i ∈ s, x ∈ p i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ 1 - ∑ x : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ x = 0
G : Type u_1
inst✝ : Group G
φ : G →* G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
⊢ Function.Injective (commutatorMap ⇑φ)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ N, f n z) c
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mΩ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun ω => (((ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᵐ[μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m]
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
⊢ ((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) ((algebraMap E E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)
α : Type u
l₁ l₂ : List α
d : (l₁ ++ l₂).Nodup
⊢ l₁.Disjoint l₂
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
T2Space M₂
s : Set M₁
hs : Dense ↑(Submodule.span R₁ s)
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
g : G
⊢ (V ⊗ W).character g = (V.character * W.character) g
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x y : L
⊢ ((LieAlgebra.ad R L) x) y = ⁅x, y⁆
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.CategoryStruct.id f) g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
x a : α
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.term 0 x a = a
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
CharZero 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedSpace 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_int : Integrable X μ
⊢ ∫ (a : Ω), X a ∂μ - ∫ (a : Ω), ∫ (x : Ω), X x ∂μ ∂μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend
⊢ Continuous fun p => (γ₂ p.1).extend (2 * ↑p.2 - 1)
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
δ : Type u_1
f : α → δ
⊢ (f '' do
    let a ← γ
    pure ↑a) =
  β.restrict f '' γ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h✝ : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h✝).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h✝).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h✝).parts
x : Finset α → Prop
ha : x ≤ fun u => u.card = m
hb : x ≤ fun u => u.card = m + 1
i : Finset α
h : x i
⊢ ⊥ i
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.precomp L F G).map φ).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
⊢ Continuous ContinuousMapZero.toNNReal
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsPathConnected (Set.range f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G 0
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z₁.comp z₂ ⋯).v p q hpq = z₁.v p p ⋯ ≫ z₂.v p q hpq
R : Type u
Ring R
n m : ℕ
⊢ descPochhammer R n * (descPochhammer R m).comp (Polynomial.X - ↑n) = descPochhammer R (n + m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
⊢ (fun i => ∑' (y : Composition (i + 1)), (4 ^ ⟨i + 1, y⟩.fst)⁻¹) = fun i => 1 / 4 * (1 / 2) ^ i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝[>] a)
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α
⊢ (fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
x : M
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g) (AddMonoid.Coprod.inl x) = f x
α : Type u_3
Mul α
LinearOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ cmp (a * c) (b * c) = cmp a b
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0
⊢ 1 + p * -1 < (1 + -1) ^ p
α : Type u
Infinite α
⊢ #(Equiv.Perm α) = 2 ^ #α
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ multiplicity E
u v : ℂ
⊢ v.betaIntegral u = u.betaIntegral v
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ ↑(Matrix.toEuclideanCLM A) = Matrix.toEuclideanLin A
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.tail.get (2 * n) = s.get (2 * n + 1)
α : Type u_1
inst✝⁸ : MetricSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
K : ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in closedBall (w j) (δ j), f y ∂μ) l (𝓝 (f x))
R : Type u
Semiring R
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a).coeff 0 = OfNat.ofNat a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : ExactPairing X Y
⊢ Y ◁ η_ X Y ⊗≫ ε_ X Y ▷ Y = ⊗𝟙
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y → Z
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
u : Set Z
hf : Continuous (uncurry f)
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ closure t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b ∈ u
⊢ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
hs : s ⊆ t
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
α : Sort u
p : α → Prop
h : ∃! x, p x
y₁ y₂ : α
py₁ : p y₁
py₂ : p y₂
⊢ y₁ = y₂
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → E
t : Set α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in t ∩ (g +ᵥ s), f x ∂μ
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
⊢ AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) ^ n = (AdjoinRoot.of (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₄
s : Set M
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g s
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₄) n f s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁ × F₂ →L[𝕜] F₃ × F₄) n (fun x => (g x).prodMap (f x)) s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
z : { z // ofHom φ₁ = δ (-1) 0 z + ofHom φ₂ }
p : ℤ
eq : (ofHom φ₁).v p p ⋯ = (δ (-1) 0 ↑z + ofHom φ₂).v p p ⋯
h₁ : (ComplexShape.up ℤ).Rel (p - 1) p
h₂ : (ComplexShape.up ℤ).Rel p (p + 1)
⊢ φ₁.f p = (((dNext p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + (prevD p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + φ₂.f p
n : ℕ
h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2
g : HasSum (fun k => ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)) ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2))
⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun m => m ^^^ n
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizer f
⊢ (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.cotrident f).π = CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
⊢ a ≠ b
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)
⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f 0 x r
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, f z = 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U V : OpenSubgroup G
⊢ ↑(U ⊓ V) = ↑U ∩ ↑V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h.hom) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' h.hom) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g'
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
x y : M₁ (σ.symm (σ i))
⊢ (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
f : α → β
a b : α
hf : Monotone f
⊢ f '' Set.uIcc a b ⊆ Set.uIcc (f a) (f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ (s ∩ s') ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t
x : Int
xs : List Int
g : Int
⊢ Lean.Omega.IntList.sdiv (x :: xs) g = x / g :: Lean.Omega.IntList.sdiv xs g
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
⊢ Submodule.restrictScalars S ⊤ = ⊤
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
⊢ q = 0 ∨ IsPrimePow q
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
z : γ
i : ℕ
⊢ (List.zipWith f l₁ l₂)[i]? = some z ↔ ∃ x y, l₁[i]? = some x ∧ l₂[i]? = some y ∧ f x y = z
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
a b : ℤ
⊢ ↑(a /. b) = ↑a / ↑b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
⊢ f a ≠ a
s : Type u_1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
⊢ (X.openCoverOfISupEqTop U hU).J = s
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f : LocallyBoundedMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
s : Set α
Preorder α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x < y
⊢ s.Nontrivial
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq m
Zero α
d : m → α
p : m → Prop
⊢ (Matrix.diagonal d).toBlock p p = Matrix.diagonal fun i => d ↑i
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : Pow R ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
hx : 0 < sInf s
⊢ s.Nonempty
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
⊢ s.sup (f ⊔ g) = s.sup f ⊔ s.sup g
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h : s ⊆ t
⊢ interior s ⊆ interior t
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
MeasurableSpace β
b : β
f : α → β
s : Set α
f_mble : MeasureTheory.NullMeasurable f (μ.restrict s)
hs : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] fun x => b
t : Set β
t_mble : MeasurableSet t
ht : b ∉ t
⊢ μ (f ⁻¹' t) = (μ.restrict s) (f ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ [].permutations = [[]]
R : Type u_1
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q
⊢ LinearMap.ker (f.restrict hf) = LinearMap.ker (f.domRestrict p)
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
⊢ HEq f f'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s - t)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ 0 < asympBound g a b n
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
l : α →₀ M
b : β
⊢ (Finsupp.equivMapDomain f l) b = l (f.symm b)
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ (x : α), C ≤ f x
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot → Filter.Tendsto g l Filter.atBot
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
p q : M × N
⊢ (p + q).swap = p.swap + q.swap
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Neg (β i)
x : Hamming β
⊢ Hamming.ofHamming (-x) = -Hamming.ofHamming x
R : Type (u + 1)
Ring R
A : CondensedMod R
self : CondensedMod.IsSolid R A
X : Profinite
⊢ CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.yoneda.obj A).map ((Condensed.profiniteSolidification R).app X).op)
M : Type u_5
Zero M
ι : Type u_13
Unique ι
⊢ ∀ (a : M) (a_1 : ι), (Equiv.finsuppUnique.symm a) a_1 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ IsClosed s ↔ IsLowerSet s ∧ DirSupClosed s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
ho : Odd n
⊢ a ^ n = -b ^ n ↔ a = -b ∧ Odd n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f x✝¹ x✝ : RatFunc R
h : (laurent r) x✝¹ = (laurent r) x✝
⊢ x✝¹ = x✝
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ
⊢ a ∣ b * (a / b * e)
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
X✝ Y✝ : A ⥤ B × C
α : X✝ ⟶ Y✝
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).2.map f ≫ (fun X => (α.app X).2) Y = (fun X => (α.app X).2) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).2.map f
cs cs' : List Char
⊢ String.Pos.Valid { data := cs ++ cs' } { byteIdx := String.utf8Len cs }
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
hx : x' ∈ x :: y :: l
n : ℕ
hn : n < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'
hl : (x :: y :: l).length = (x' :: y' :: l').length
⊢ (x :: y :: l) ~r (x' :: y' :: l')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
T0Space γ
b : β
⊢ ⋯.extend f (e b) = f b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f + g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f + baseChange A g)) 1) x✝
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x \ y ⊔ x ⊔ y \ x) ⊓ (x \ y ⊔ (y \ x ⊔ y)) = (x ⊔ y \ x) ⊓ (x \ y ⊔ y)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.powersetCard 1 s = Multiset.map singleton s
α : Type u_1
⊢ OrderDual.ofDual.symm = OrderDual.toDual
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso (F₁.map f) ↔ CategoryTheory.IsIso (F₂.map f)
n : ℕ
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ a.succAbove b = Fin.last (n + 1) ↔ b = Fin.last n
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : Wbtw R x y x
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
y : P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S y = 0 ↔ y = 0
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet w = {v}
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
h : l ≤ n
hφ : φ.IsAtomic
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h φ).IsAtomic
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f ↔ AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f ∧ IsClosed (Set.range ⇑f.val.base)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ S.toIntermediateField ⋯ = S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
h : IsCoatom K
⊢ frattini G ≤ K
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Set.Ioo a b) = ENNReal.ofReal (Function.leftLim (↑f) b - ↑f a)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)
aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree
⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + -I * ↑(-↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s + -I * ↑(Int.sign 0) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)
⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
⊢ ∃ Q,
  (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧
    (∀ x ∈ P.parts, (x \ (Finset.filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧
      (Finset.filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : Int
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b ∨ a = -b