ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)).IsPWO
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
this : IsIso (pullback.snd f.base g.base)
⊢ IsIso (pullback.snd f g)
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ LinearMap.range (KaehlerDifferential.kerCotangentToTensor R A B) =
  Submodule.restrictScalars A (LinearMap.ker (KaehlerDifferential.mapBaseChange R A B))
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
this : ∀ᶠ (h : 𝔸) in 𝓝 0, h ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
a✝ : 𝔸
hh : a✝ ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ exp 𝕂 x * (exp 𝕂 (0 + a✝) - exp 𝕂 0 - (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) a✝) = exp 𝕂 (x + a✝) - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x • (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) a✝
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j k : ι
hjk : c.Rel j k
⊢ (desc φ α hα).f j = fstX φ j k hjk ≫ hα.hom k j + sndX φ j ≫ α.f j
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph' o₁ < Cardinal.aleph' o₂ ↔ o₁ < o₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ Function.Injective SetLike.coe
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)
hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))
⊢ ∀ t ∈ Ico (-b) (-a), HasDerivWithinAt (f ∘ Neg.neg) ((Neg.neg ∘ v (-t)) ((f ∘ Neg.neg) t)) (Ici t) t
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K
⊢ K.ε ≫ K.map F.ε ≫ K.map (α.app (𝟙_ C)) = K.ε ≫ K.map G.ε
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : ¬j ≤ m
⊢ (proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j) = (proj 𝒜 i) a ^ m * ((proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))
α : Type u
a b : Set α
⊢ a ⊆ b → b ⊆ a → a = b
α : Type u_1
⊢ Nat.card α = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} = Set.univ
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
this : Ioo a b ∈ 𝓝[s] x
y : ℝ
hy : y ∈ s
h'y : y ∈ Ioo a b
⊢ f y = g y
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
CommRing S
IsDomain S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
ζ : R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Subgroup.map (Units.map ↑f) (rootsOfUnity n R) = rootsOfUnity n S
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
p : ℕ
⊢ padicValRat p 0 = 0
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
r : R
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.C r) = (algebraMap R A) r
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (f x)⁻¹
m n : Nat
⊢ (m.gcd n).gcd m = m.gcd n
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : 1 ≤ R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ (fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x) =ᶠ[atTop] fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v₁, u₁, v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ N
⊢ mapRange (⇑f) hf (mapRange (⇑f.symm) hf' x) = x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
y : R
hx' : ((Quotient.mk I).comp C) y ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
⊢ ↑⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ = ↑0
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
h : i < l.length
⊢ l.reverse[i]? = l[l.length - 1 - i]?
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ (Finset.affineCombination k s p) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i j c) = (AffineMap.lineMap (p i) (p j)) c
X : Type u
ι : Sort w
x : X
t : Set X
TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ x ∈ closure t ↔ ∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ((if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) ∪ if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅).card • 1 + (filter (fun x => ¬(x = i₁ ∨ x = i₂)) univ).card • 0 + -1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a + b - (a + c) = b - c
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
e : M ≃ₗ[R] M'
⊢ LinearEquiv.det (e.symm ≪≫ₗ f ≪≫ₗ e) = LinearEquiv.det f
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in Filter.atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (k : α) in Filter.atBot, ∀ᶠ (l : β) in Filter.atBot, p (k, l)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Group α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : MulAction β α
H : Subgroup α
inst✝ : QuotientAction β H
b : β
q : α ⧸ H
⊢ ↑(b • Quotient.out' q) = b • q
x₁ y₁ x₂ y₂ : ℝ
⊢ dist { re := x₁, im := y₁ } { re := x₂, im := y₂ } = √((x₁ - x₂) ^ 2 + (y₁ - y₂) ^ 2)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
⊢ F₁.IsTriangulated ↔ F₂.IsTriangulated
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
⊢ ?hc.choose =ᶠ[ae μ] s
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ StrictMonoOn (deriv fun x => x ^ n) (interior (Ici 0))
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
⊢ p ∣ q → Polynomial.eval x p ∣ Polynomial.eval x q
α : Type u_1
as : List α
i : Nat
h : i < as.length
⊢ getElem as i h :: List.drop (i + 1) as = List.drop i as
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
s : Set Z
z : Z
⊢ ContinuousWithinAt f s z ↔ ContinuousWithinAt (⇑h ∘ f) s z
R : Type u_6
AddCommMonoid R
o : Type u_8
Fintype o
DecidableEq o
d : o → R
⊢ (Matrix.diagonal d).trace = ∑ i : o, d i
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖x - a‖) (𝓝[≠] a) (𝓝[>] 0)
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (Ring.DirectLimit.of G f j) (f i j hij x) = (Ring.DirectLimit.of G f i) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
W : C
k : W ⟶ X
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.lift hs k h) s.ι = k
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
a : α
⊢ ∃ a, const α a = f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b a : k
hb : 0 < b
⊢ a < b + ↑⌊a / b⌋ * b
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff m ((MvPolynomial.map f) p) = f (MvPolynomial.coeff m p)
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ ⋯.toFinset
⊢ x ∈ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x : ring.Term α
v : α → R
⊢ Term.realize v (-x) = -Term.realize v x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this : C (f.coeff n) ∈ p
⊢ C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
x : E
⊢ f.normed μ x ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal = 0 ↔ θ = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
m m' : ↥N
⊢ ↑(m - m') = ↑m - ↑m'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
⊢ f ≫ (g + g') = f ≫ g + f ≫ g'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[univ] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivAt f 0 x₀
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
a : 𝓞 K
h : ℚ⟮↑a⟯ = ⊤
⊢ (minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ rankOfDiscrBdd N
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
⊢ (zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (truncate hm) ((zmodEquivTrunc p m) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this : IsIso (L.map z₂.s)
⊢ z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₂
TopologicalSpace R₁
ContinuousSMul R₁ M₂
ContinuousMul R₁
x : M₂
c : R₁
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 c) = ContinuousLinearMap.smulRight 1 (c • x)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f')
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
p : ℕ
f : R →+* S
q : R[X]
⊢ Polynomial.map f ((Polynomial.expand R p) q) = (Polynomial.expand S p) (Polynomial.map f q)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
Dist α
Dist β
hp : 0 < p.toReal
f g : WithLp p (α × β)
⊢ dist f g = (dist f.1 g.1 ^ p.toReal + dist f.2 g.2 ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
x : X
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (g ∘ f) x
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.blocks.length = c.length
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
⊢ CategoryTheory.Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ({ obj := fun F => { val := F.val, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} f => { val := f.val }, map_id := ⋯,
          map_comp := ⋯ }.comp
      { obj := fun F => { val := F.val, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} f => { val := f.val }, map_id := ⋯,
        map_comp := ⋯ })
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf CommRingCat X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥U
⊢ algebraMap ↑(F.obj (Opposite.op U)) ↑(F.stalk ↑x) = F.germ x
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
a : ↥(Algebra.adjoin ℤ {ζ})
⊢ hζ.adjoinEquivRingOfIntegers' a = (IsIntegralClosure.lift ℤ (𝓞 K) K) a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.ReflTransGen (Relation.TransGen r) = Relation.ReflTransGen r
R : Type u
Semiring R
M : Type u_1
AddMonoid M
f g : R[X] →+ M
h : ∀ (n : ℕ) (a : R), f ((Polynomial.monomial n) a) = g ((Polynomial.monomial n) a)
⊢ f = g
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).support ⊆ p.support
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ Set.range ⇑(NumberField.mixedEmbedding K)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.norm x = 0 ↔ x = 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
⊢ (a.extract s1 e1).extract s2 e2 = a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
⊢ ∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ a ∈ I
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
l : List α
⊢ List.Chain' R l → List.destutter R l = l
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime (x + z * y) y ↔ IsCoprime x y
k : ℕ
⊢ (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * (π / 2) ≤ Real.Wallis.W k
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ NNReal.toReal ∘ nnnorm = norm
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
f : ℕ → M
n x✝ : ℕ
hd : (map f (range x✝.succ)).prod = f 0 * (map (fun i => f i.succ) (range x✝)).prod
⊢ (map f (range x✝.succ.succ)).prod = f 0 * (map (fun i => f i.succ) (range x✝.succ)).prod
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ permsOfFinset s ↔ ∀ {x : α}, f x ≠ x → x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 0
⊢ HasSum f (∑ b ∈ s, f b)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
h : x ∈ S.addUnits
⊢ -x ∈ S.addUnits
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl' : 0 < l
hl : l < k
⊢ ζ ^ l ≠ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
ι : Sort u_5
a : α
f : ι → β
⊢ a • Set.range f = Set.range fun i => a • f i
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M
⊢ ⊤ ≤ span R (Set.range v) ↔ ∀ (x : M), ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x
β : Type u_2
TopologicalSpace β
α : Type u_3
f : α → β
g : α → List β
a : Filter α
b : β
l : List β
hf : Filter.Tendsto f a (𝓝 b)
hg : Filter.Tendsto g a (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => f a :: g a) a (𝓝 (b :: l))
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ Finsupp.filter p f = ∑ i ∈ Finset.filter p f.support, Finsupp.single i (f i)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ ¬n % 2 = 0 ↔ n % 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
⊢ s.ncard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
⊢ Injective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊓ ker f = ⊥
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
h : UniformEquicontinuous F
⊢ UniformEquicontinuous (F ∘ rangeSplitting F)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
⊢ support 1 = ∅
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T
⊢ (map (𝟙 T)).obj (mk f.hom) = mk f.hom
α : Sort u_1
a : α
⊢ a ≠ a ↔ False
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M
⊢ Submodule.restrictScalars R (Ideal.map (algebraMap R S) I • N) = I • Submodule.restrictScalars R N
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
⊢ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num ∣ a
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
OrderedAddCommMonoid β
GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f x ≤ f y + f (y / x)
α : Type u
β : Type v
a : Filter α
b : β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => b) a (pure b)
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
a₁ a₂ : A i
⊢ (ι' R A) ((lof R I A i) a₁) * (ι' R A) ((lof R I A i) a₂) = (ι' R A) ((lof R I A i) (a₁ * a₂))