ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)
hderiv : EqOn (derivWithin f (Icc a b)) (derivWithin g (Icc a b)) (Ico a b)
hi : f a = g a
⊢ ∀ y ∈ Icc a b, f y = g y
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
⊢ g i = 0
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
⊢ W.add P Q = P x ^ 2 • ![1, 1, 0]
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : ContinuousOn g (f '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
x : P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 {x} = ∅
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ HasFDerivAt f f' x ↔ (fun h => f (x + h) - f x - f' h) =o[𝓝 0] fun h => h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0
⊢ padicValRat p (q.num /. ↑q.den) ≤ padicValRat p (q + r)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
Nonempty ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
⊢ (e.adjustToOrientation x).det = e.det ∨ (e.adjustToOrientation x).det = -e.det
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable (f i) μ
⊢ (MeasureTheory.setToFun μ T hT fun a => ∑ i ∈ s, f i a) = ∑ i ∈ s, MeasureTheory.setToFun μ T hT (f i)
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
⊢ False
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → E
⊢ LipschitzWith K f⁻¹ ↔ LipschitzWith K f
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Function.Injective ⇑(f' ^ n)
⊢ Function.Injective ⇑f'
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
⊢ LinearIndependent R fun ji => (stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Finite J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
⊢ choose r 1 = r
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a ≤ a'
hr : r ≤ 1
⊢ (1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r) • a' + r • b
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
α : Type u_1
DistribLattice α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ upperClosure ↑(s ⊻ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∧ a ∈ upperClosure ↑t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g ↔ g.comp f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ List.map f l = l.bind fun x => [f x]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
⊢ ⨆ y, f x * (f y / f y) = f x
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
z : ℂ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 z)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Complex.exp (f x)) l (𝓝 (Complex.exp z))
n : ℤ
⊢ ¬Odd n ↔ n % 2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ (∀ᵐ (a : β) ∂Measure.map X μ, Integrable (fun ω => f (a, ω)) ((condDistrib Y X μ) a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂(condDistrib Y X μ) a) (Measure.map X μ) ↔ Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExtreme 𝕜 A B
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ Continuous (⇑f ∘ fun p => p.1 * p.2)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₃).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₁ a₂).inv.app X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₂ a₃).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).obj X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).inv.app X)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ corec id tail s.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
TopologicalSpace β
OrderedCommSemiring β
OrderTopology β
hk : 0 ≤ᶠ[l] k
hg : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k g
hg' : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k g'
hfg : g ≤ᶠ[l] f
hfg' : f ≤ᶠ[l] g'
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
α : Type u_3
NonAssocRing α
n : ℤ
a : α
⊢ Commute (↑n) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).unitIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
        (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).leftUnitor.inv)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
          (CategoryTheory.whiskerRight
            (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
                (fun X => CategoryTheory.StructuredArrow.isoMk (CategoryTheory.Iso.refl X.right) ⋯) ⋯).inv
            (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).associator
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)).hom)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).associator
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)
                ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
                  (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F))).inv
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
              (CategoryTheory.whiskerRight
                (CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯).inv
                ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
                  (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)))
              ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).comp
                    (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F)).leftUnitor.hom)))))
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ
⊢ ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᶠ[ae μ] f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ derivative (X ^ n) = C ↑n * X ^ (n - 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ g (∫ (x : α), f x ∂μ) ≤ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
⊢ ↑f.completion.ker ≤ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
α : Type u
β : α → Type v
l₀ l₁ : List (Sigma β)
nd₀ : l₀.Nodup
nd₁ : l₁.Nodup
h : ∀ (x : Sigma β), x ∈ l₀ ↔ x ∈ l₁
⊢ l₀.Perm l₁
z : ℂ
⊢ z⁻¹.re = z.re / normSq z
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsLocallyFull K
U V : C
f : G.obj U ⟶ G.obj V
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve f) ∈ K.sieves (G.obj U)
α : Type u_1
InfSet α
s : Set α
⊢ { down := sInf s } = sInf (ULift.down ⁻¹' s)
G : Type u_1
Group G
S : Set G
hS : Subgroup.closure S = ⊤
g : G
s : ↑S
⊢ (Subgroup.quotientCenterEmbedding hS) (↑g) s = ⟨⁅g, ↑s⁆, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ List.oldMapIdxCore f 0 (l ++ [e]) = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
R : Type u_1
CommRing R
IsReduced R
p : Polynomial R
hpl : 0 < p.natDegree
⊢ ¬IsUnit p
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.ConcreteCategory.HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
(CategoryTheory.coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
CategoryTheory.HasSheafify (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) A
(CategoryTheory.coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
CategoryTheory.Balanced (CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) A)
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔
  ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (Opposite.op S))),
    ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (Opposite.op S')) x = (Y.val.map (Opposite.op φ)) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair ⥤ C
f : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } ≅ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }
g : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } ≅ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }
X : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.mapPairIso f g).hom.app X = (CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec f g X.as).hom
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.erase i f).support = f.support.erase i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
⊢ G.IsRightAdjoint
α : Sort u_1
β : α → Sort u
f₁ f₂ : (x : α) → β x
⊢ f₁ = f₂ ↔ ∀ (a : α), f₁ a = f₂ a
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
⊢ k + 0 = k
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
R : Type u_5
MonoidWithZero R
DistribMulAction R V₂
PseudoMetricSpace R
BoundedSMul R V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (r • f) v = r • f v
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
h : a ∉ s
⊢ Finset.fold op b f (insert a s) = op (f a) (Finset.fold op b f s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ b ∈ lowerBounds t → a ∈ lowerBounds s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
⊢ (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
L.Structure M
M ⊨ T
Infinite M
⊢ ∃ N, Cardinal.lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
α : Type u_1
PartialOrder α
a b x : α
hmem : x ∈ Set.Ico a b
⊢ x = a ∨ x ∈ Set.Ioo a b
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
this✝ : span K {x} = ⊤
this : y ∈ span K {x}
⊢ ∃ c, c • x = y
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g
⊢ P.Factors (f ≫ g)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑⊥ = Set.univ
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ↑(LowerSet.Iio a) = Set.Iio a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P
⊢ spanSingleton S x * spanSingleton S y = spanSingleton S (x * y)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balLeft x b) c✝)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)
⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
⊢ A.IsSymm
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
H_ind : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ CategoryTheory.Arrow.leftToRight.app f = f.hom
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
⊢ CategoryTheory.Abelian.DoldKan.equivalence.inverse = CategoryTheory.Abelian.DoldKan.Γ
m n : ℕ
⊢ m.greatestFib < n ↔ m < Nat.fib n
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0
⊢ (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = (Polynomial.idealX K).intValuation f / (Polynomial.idealX K).intValuation g
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ bernoulliFourierCoeff k 0 = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑0) ^ k
a b c : Ordinal.{u_1}
h : a ≤ b
⊢ a ≤ b ♯ c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ 0 < ∫ (x : α) in s, f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a ≤ b ∨ b < a
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ multichoose r 0 = r ^ 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
hl : f₁ =ᶠ[l₁] f₂
⊢ Tendsto f₁ l₁ l₂ ↔ Tendsto f₂ l₁ l₂
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
⊢ (condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.ComonadicLeftAdjoint L
⊢ (CategoryTheory.Comonad.comparison CategoryTheory.ComonadicLeftAdjoint.adj).IsEquivalence
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (toReal ∘ fun x => ‖x‖₊) m).sum
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
p₂o : P
hp₂o : p₂o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₂o
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁)
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
ι : Type v
inst✝ : Finite ι
hfp : FinitePresentation R A
⊢ FinitePresentation R (MvPolynomial ι A)
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
a : G
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝 a) (𝓝 a⁻¹)
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
f : α →₀ γ
g : β →₀ γ
x : α ⊕ β
⊢ (f.sumElim g) x = Sum.elim (⇑f) (⇑g) x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ LinearMap.det ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤