ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β
⊢ (M.mapSetEmbedding f).Indep I ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
α : Type u
β : Type v
a : α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ MonotoneOn f {a}
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
⊢ weightSpace M₂ χ ⊓ f.range ≤ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ K ⊓ Kᗮ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
f : α → β
⊢ (List.map (Option.map f) l).reduceOption = List.map f l.reduceOption
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ
⊢ (∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step i (some s))) ↔ ∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.step i s
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
⊢ (cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
μ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac 0).conv μ = μ
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
l : List α
⊢ (↑l).sup = List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ g ∈ IsSubgroup.trivial G ↔ g = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f g : R ≃+* S
h : f = g
x : R
⊢ f x = g x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x✝ : F.obj a ⊕ G.obj a
⊢ (fun z => (binaryCoproductIso F G).hom.app a z) ((fun z => (binaryCoproductIso F G).inv.app a z) x✝) = x✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatInverse G).obj X).fiber.as = X.snd
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Field.sepDegree F E * Field.sepDegree E K = Field.sepDegree F K
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p✝ : AddGroupSeminorm E
r : R
p q : AddGroupSeminorm E
x y : ℝ
⊢ r • max x y = max (r • x) (r • y)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop Y) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)
⊢ (A.val.map π) (smul α φ r m) = smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' * C g.leadingCoeff = g
R : Type u
CommRing R
j : R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ j).Δ = j ^ 2 * (j - 1728) ^ 9
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
⊢ ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s
f g : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hg : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => f x * g x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift a b - CategoryTheory.Limits.prod.lift c d =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (a - c) (b - d)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝² : MonoCoprod D
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
A B : C
c : BinaryCofan A B
h : IsColimit c
c' : BinaryCofan (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.left })) (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.right })) := BinaryCofan.mk (F.map c.inl) (F.map c.inr)
⊢ Mono c.inl
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
⊢ Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ).card = 2
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
AddCommMonoid C
Module R A
Module R B
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₗc[R] B
e₂₃ : B ≃ₗc[R] C
⊢ ↑(e₁₂.trans e₂₃) = e₂₃.comp ↑e₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ a b, p (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
h : a ∈ lowerClosure ↑s
⊢ (filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) = (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ {zI : P}, zI ∈ I → zI ∈ spanSingleton S x * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
⊢ z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
L : (ι → E × ℝ) →L[ℝ] E := (ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))
this : HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (mfderiv I I (↑(chartAt H (f.c (f.ind x hx)))) x)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_5
Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
⊢ f ⇑e ≠ 0 ↔ f ≠ 0
α : Type u_1
Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
⊢ f = HAdd.hAdd →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a na da →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b nb db →
      (na.mul ↑db).add (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc → da.mul db = k.mul dc → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (f a b) nc dc
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt (x * y) = NNReal.sqrt x * NNReal.sqrt y
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t) = 0 ↔ p = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.36857, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ isomorphisms C f ↔ IsIso f
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)
⊢ f ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).1 = g ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).2
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i : ι
d : Transversal φ
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)
a₁✝ a₂✝ : G i
h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(of i)) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(of i)) a₂✝
⊢ a₁✝ = a₂✝
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in (fun t => t ^ p) '' Ioi 0, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
X Y U : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ Y
g : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
H : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
V : U.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift f g H) V =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso f V).inv ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj V) ≫
      X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Finset.Ioc a b = Finset.cons b (Finset.Ioo a b) ⋯
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (t \ s).ncard = t.ncard - s.ncard
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
⊢ LocalRing.ResidueField.map (RingHom.id R) = RingHom.id (LocalRing.ResidueField R)
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
Ω : Type u_5
F : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} [inst : TopologicalSpace F] {X : Ω → β} {μ : MeasureTheory.Measure Ω},
  Measurable X →
    ∀ {f : Ω → F},
      MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) ↔
        MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_3
MulAction R X
C : Sort u_2
P : X → ↥S → X → ↥S → C
hP :
  ∀ (r₁ : X) (t₁ : R) (s₁ : ↥S) (ht₁ : t₁ * ↑s₁ ∈ S) (r₂ : X) (t₂ : R) (s₂ : ↥S) (ht₂ : t₂ * ↑s₂ ∈ S),
    P r₁ s₁ r₂ s₂ = P (t₁ • r₁) ⟨t₁ * ↑s₁, ht₁⟩ (t₂ • r₂) ⟨t₂ * ↑s₂, ht₂⟩
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ OreLocalization.lift₂Expand P hP (r₁ /ₒ s₁) (r₂ /ₒ s₂) = P r₁ s₁ r₂ s₂
α : Type u
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
hsub : s ⊆ t
⊢ Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : SFinite μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ
⊢ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t
p q : Prop
dpq : Decidable (p ∧ q)
dp : Decidable p
dq : Decidable q
⊢ decide (p ∧ q) = (decide p && decide q)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.Injective fun B x y => (B x) y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b \ (a ⊓ b) = a ∆ b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.prod η) a = (κ a).prod (η a)
α : Type u
⊢ Function.Surjective FreeAddGroup.negRev
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
AddGroup G
MeasurableSpace α
AddAction G α
MeasurableVAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
⊢ ∫ (x : α), f (g +ᵥ x) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ↑⊤.annihilator ∩ ↑R⁰ ≠ ∅
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (Set.range f)
a : G
⊢ a * ⨅ i, f i = ⨅ i, a * f i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ Filter.Tendsto f L (𝓝 (f x))
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
lim₁ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
lim₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋃ k ∈ Iic i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
⊢ Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
g : SL(2, ℤ)
i j : Fin 2
⊢ ↑(↑↑↑g i j) = ↑(↑g i j)
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.sup f = Fintype.elems.sup f
α : Type u
a b : Set α
⊢ a ∪ b = b ∪ a
ι : Type u_3
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice ℝ L
Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)) μ
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n + 1), u k = (⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u k) ⊔ u n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ Set.range f
⊢ f (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph f h).symm x) = x
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
l : List K
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.sum ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra K E
A₁ : Type u_8
B₁ : Type u_9
A₂ : Type u_10
B₂ : Type u_11
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : Ring B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : Ring B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x✝ : B₁
c : A₁
x : B₂
⊢ e₂.symm (((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x) = e₂.symm (x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x u.val).prod) (Multiset.map (fun x_1 => (Multiset.map x (u.erase x_1).val).prod • proj x_1) u.val).sum x
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k
⊢ multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k - (y ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
v : α → M
f : α → α'
l : α' →₀ R
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
⊢ (Finsupp.total α M R v) (Finsupp.comapDomain f l hf) = ∑ i ∈ l.support.preimage f hf, l (f i) • v i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖
⊢ ↑‖c‖₊ = ENNReal.ofReal c
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯
⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ σ 𝕜 (↑(cfcHom ⋯) (((↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))).comp ContinuousMapZero.toContinuousMapHom) f)) = Set.range ⇑f
n m : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.succ ≤ b.castSucc ↔ a < b
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ IntermediateField.adjoin F S ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
i : P.vars
⊢ 1 ⊗ₜ[P''.Ring] (D R'' P''.Ring) ((aeval g.val) (f.val i)) = 1 ⊗ₜ[P''.Ring] (D R'' P''.Ring) (g.toAlgHom (f.val i))
α : Type u_1
r : semiOutParam (α → α → Prop)
s : α → α → Prop
self : IsNonstrictStrictOrder α r s
a b : α
⊢ s a b ↔ r a b ∧ ¬r b a
n : ℕ
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
n : ℕ
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ Finset.antidiagonal n }), ↑((Finset.Nat.antidiagonalEquivFin n) x) = x.1.1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + -t)
f : CauSeq ℚ abs
⊢ 0 < Real.mk f ↔ f.Pos
a b : SetTheory.PGame
⊢ ⟦a + b⟧ = ⟦a⟧ + ⟦b⟧
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
W : Submodule K V
⊢ IsAtom W ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = Submodule.span K {v}
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ S.ofAddUnits.addUnits = S
α : Type u
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : Dioph.DiophPFun f
⊢ Dioph {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ Function.const β a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
o : Ordinal.{u_4}
ho : o ≠ 0
c : α
⊢ (o.brange fun x x => c) = {c}
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (Set.range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P Q R : C
S T U : D
f : (P, S) ⟶ (Q, T)
g : (Q, T) ⟶ (R, U)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.1 g.1, CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.2 g.2)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
self : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
i : ι
⊢ Subgroup.IsComplement (↑(φ i).range) (self.set i)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ 1 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.symm.h₃ = -h.h₃