ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
i : ℕ
⊢ ↑|(minpoly ℤ x).coeff i| ≤ ↑↑C
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
⊢ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b ^ (p - 1 + 1) - b) * (b ^ p + b) = (b * b ^ (p - 1) - b) * (b ^ p + b)
n a b : ℤ
m : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD m * n]
⊢ a ≡ b [ZMOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ l.balanceR x r = l.balance' x r
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddCommMonoidWithOne G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + n • b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
f₀' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
h' : ∀ (y : E), f₀' y = f₁' y
⊢ HasStrictFDerivAt f₀ f₀' x ↔ HasStrictFDerivAt f₁ f₁' x
α : Type u_2
Add α
s t u : Set α
⊢ s + t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, AddOpposite.op b +ᵥ s ⊆ u
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) < ⊤
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LT α
ha : ∀ (h : p), 1 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 < b h
⊢ 1 < dite p a b
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.map₂ η) (self.app b))
    (self.naturality g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.naturality f) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.app a) (G.map₂ η))
α : Type u_3
self : LinearOrderedAddCommGroupWithTop α
⊢ -⊤ = ⊤
α : Type u
l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : 0 < l.length := ⋯
⊢ l.reverse.getLast hl = l.get ⟨0, hl'⟩
a b : EReal
h : -a ≤ b
⊢ -b ≤ a
α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ
h : s.encard = ↑k
⊢ s.Finite
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S
hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(S ⊔ T)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M
⊢ (iSup s f).Realize v v' ↔ ∃ b ∈ s, (f b).Realize v v'
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ ∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (-x) = -truncateFun n x
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' ⋯) *
    ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' h) =
  1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f ↑x = 0
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f (↑x * Complex.I) = 0
⊢ Set.EqOn f 0 {z | 0 ≤ z.re ∧ 0 ≤ z.im}
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * p).natDegree = p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : IsEmpty α
⊢ StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} E₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} E₂
F₁ : CategoryTheory.Functor C₁ E₁
F₂ : CategoryTheory.Functor C₂ E₂
h₁ : W₁.IsInvertedBy F₁
h₂ : W₂.IsInvertedBy F₂
⊢ (W₁.prod W₂).IsInvertedBy (F₁.prod F₂)
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
⊢ IsRelPrime 1 x
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₂ p₁ p₁'
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
x x' : ↑↑X.toPresheafedSpace
hxx' : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x ≫ X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x'
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
rs : ℝ
hrs : s ⊆ closedBall ct rs
rt : ℝ
hrt : t ⊆ closedBall cs rt
this : hausdorffEdist s t ≤ ENNReal.ofReal (max rs rt)
⊢ hausdorffEdist s t ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoIsTerminal t).hom = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
StarModule R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ star S ↔ star x ∈ S
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
f : G → F
μ.IsAddRightInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (t + g)) μ
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
f : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁
⊢ Q₂ (f m) = Q₁ m
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H✝ H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f
⊢ Subgroup.map f H.normalizer ≤ (Subgroup.map f H).normalizer
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty) → x ∈ s
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ‖x‖ < r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ < r
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
⊢ False
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
R' : Type u_1
SMul R' A
SMul R' B
LinearMap.CompatibleSMul A B R' R
r : R'
x : A
⊢ φ (r • x) = r • φ x
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α
s t : Set α
⊢ s⋆ ⊆ t ↔ s ⊆ t⋆
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.arctan (f x)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono f
this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)
⊢ Mono (F.map f)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
g : ℝ → F
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' s) MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => |f' x| • g (f x)) s MeasureTheory.volume
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : Nonempty α
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ Finmap.lookup a ⟦s⟧ = AList.lookup a s
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
AddGroup G
SubtractionMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
g h : ι → G
⊢ ⇑f ∘ (g + -h) = ⇑f ∘ g + -⇑f ∘ h
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
hn : N ≤ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N m ω = N
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C c : ℝ
hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1
hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
n : ℕ
hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n
hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
h₁ : 0 < c
⊢ ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m : ℕ
hm : m < hf.toFinset.card
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
h : m < n
⊢ (⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨m, ⋯⟩ < (⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β × γ
s : Set α
a : α
h : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x).1) s a
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ ∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys ≤ levenshtein C xs (y :: ys)
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h𝒜 : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
s_mem : s ∈ 𝒜
t_mem : t ∈ 𝒜
⊢ s ∩ t ∈ 𝒜
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
⊢ (CentroidHom.id α).comp f = f
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ ∫ (y : β), f y ∂MeasureTheory.Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
a b : Nat
⊢ a < b → b - a ≠ 0
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ IsCoprime (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)) (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).inv.app X).τ₁.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₁.obj X_1)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ lift.{max v w, w} #ι ≤ lift.{max v w, w} ↑(finrank R M)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ ∀ a ∈ s, f a ∈ t
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ Cardinal.lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (Module.Dual K V)
M : Type u_5
N : Type u_6
One M
One N
⊢ 1.2 = 1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ LinearMap.id.comp f = f
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
s : ι → Set M
⊢ Subsemigroup.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, Subsemigroup.closure (s i)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : φ.totalDegree < n
⊢ ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
h : const abs (sSup S) < f
⊢ False
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
x : α × α
⊢ x.swap ∈ Finset.mulAntidiagonal hs ht a ↔ x ∈ Finset.mulAntidiagonal ht hs a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f g : β → α
T2Space α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ ∏' (b : β), f b / g b = (∏' (b : β), f b) / ∏' (b : β), g b
ho : 2 ≤ 2
⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) 2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ (M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = y • ↑m
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
c : ℝ
⊢ ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ = ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : Polynomial R
⊢ ((Polynomial.taylor r) f).coeff 1 = Polynomial.eval r (Polynomial.derivative f)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.IsReflection (cs.simple i)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
AddCommMonoid N'
Module R N'
TopologicalSpace N'
g : N →L[R] N'
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ ⇑(g.compContinuousAlternatingMap f) = ⇑g ∘ ⇑f
Ω : Type u_1
f : ℕ → Ω → ℝ
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
r : ℝ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.leastGE f r n ω ≤ MeasureTheory.leastGE f r m ω
α : Sort u_3
s : Setoid α
p : Quotient s → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ a, p ⟦a⟧
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
⊢ ∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, (x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2) • ((of R).symm z).coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 • y.coeff x_1.snd.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.snd.2
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs :
  Polynomial.map i f = Polynomial.C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) s).prod
⊢ Polynomial.Splits i f
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #↑{f | Surjective f} ≠ 0 ↔ (#α = 0 ∨ ¬#β' = 0) ∧ Nonempty (β' ↪ α)
q : ℚ≥0
⊢ 0 ≤ ↑q
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAtProp I I n id univ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ edist (f n) (f m) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ H.verts.Nonempty
n m : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ n → Mathlib.Vector ℕ m
hf : Nat.Primrec' f
hg : Nat.Primrec'.Vec g
⊢ Nat.Primrec'.Vec fun v => f v ::ᵥ g v
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) = 1
R : Type u_1
CommRing R
⊢ CliffordAlgebra.ι 0 = 0
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
F : Type u_7
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
StarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f)
x : M
⊢ g (f x) = x