ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_4
Fintype ι
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i)
⊢ Isometry fun g i => f i (g i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
⊢ (LeftFraction₂.mk (α.f + α.f') α.f'' α.s ⋯).add.map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk α.f (α.f' + α.f'') α.s ⋯).add.map L ⋯
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
x y : R
⊢ x * y ∈ ker f → x ∈ ker f ∨ y ∈ ker f
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ ‖f i‖ ≤ ‖f‖
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : finrank F ↥S = 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ S = ⊥
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
hK : 1 ≤ K
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGLB s a
Hb : IsLUB s b
hab : b ≤ a
⊢ s.Subsingleton
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f h).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.map₂ η) (self.map h))
      (self.mapComp g h).inv)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.compProd 0 κ = 0
r₁ r₂ : ℝ
h : |r₁| < |r₂|
⊢ (fun n => r₁ ^ n) =o[Filter.atTop] fun n => r₂ ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => 0) s x) (init m)) (m (last n)) = 0 m
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : IsPeriodicPt f m x
⊢ IsPeriodicPt f n x
x : ℕ
r : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r = Set.Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : X ⟶ A ⟹ Y
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.curry (CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs : f '' s ∈ 𝓝 (f a)
⊢ ContinuousAt f a
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨅ k, ⨅ (_ : k ≤ n + 1), u k = (⨅ k, ⨅ (_ : k ≤ n), u k) ⊓ u (n + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ (factors 1).prod ~ᵤ Multiset.prod 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P
this : (eval P) W.polynomialY = P y - W.negY P
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V
k : ℕ
hg : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card = 2 * k + 1
hg' : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card > 0
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Fintype P
Fintype L
⊢ Fintype.card P = Fintype.card L
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
⊢ EMetric.diam s = ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s)
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree < i + ((minpolyDiv R x).natDegree + 1)
α : Type u_1
Fintype α
inst : Fintype (Sym2 α) := Sym2.instFintype
⊢ Finset.univ.sym2 = Finset.univ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ ((h.homEquiv (Opposite.op Y') (Opposite.op X)).symm (g.op ≫ f.op)).unop = ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)).symm f.op).unop ≫ G.map g
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
b : α
⊢ a - (a + b) = -b
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : Finset n
hj : j ∉ s
c : n → R
a : R
⊢ (M.updateRow j (a • M j + ∑ k ∈ s, c k • M k)).det = a • M.det
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : Option α → M
f : Option α →₀ R
⊢ (Finsupp.total (Option α) M R v) f = f none • v none + (Finsupp.total α M R (v ∘ some)) f.some
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
α : Type u
l l₁ l₂ : List α
⊢ l.split = (l₁, l₂) → l₁.length ≤ l.length ∧ l₂.length ≤ l.length
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (Q₁.tensorComm Q₂).symm = Q₂.tensorComm Q₁
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
n : M
SemilatticeSup M
w : σ → M
hφ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ n
h : φ ≠ 0
⊢ MvPolynomial.weightedTotalDegree' w φ = ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsAddFreimanHom n A B f
⊢ Set.MapsTo f A B
x : ZFSet
⊢ x.IsTransitive ↔ ⋃₀ x ⊆ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
a : α
⊢ (F.nhds a).σ = { s // a ∈ F.F.f s }
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
⊢ ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ map (fun x => x * g) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
⊢ (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Finite
n : ℕ
⊢ Nat.count p n ≤ hp.toFinset.card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.ιTotalOrZero c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ ≫ (HomologicalComplex₂.total.map φ c₁₂).f i₁₂ =
  (φ.f i₁).f i₂ ≫ L.ιTotalOrZero c₁₂ i₁ i₂ i₁₂
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α
⊢ u ⊆ t.ite s s' ↔ u ∩ t ⊆ s ∧ u \ t ⊆ s'
⊢ UniformContinuous ⇑CompareReals.compareEquiv.symm
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
hb : b < c
this : a + b < c
⊢ False
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
i : ↑s
hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * 0
⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (k⁻¹ * f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ ⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Pairwise.rec (fun a => WalkingPair.rec s.fst s.snd a.down) (fun a a_1 => WalkingPair.rec (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) a.down) (unop X_1), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = s.fst
x y : ℝ≥0
z : ℝ
⊢ (↑x * ↑y) ^ z = ↑x ^ z * ↑y ^ z
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j k : D.J
⊢ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => F.map (D.f i j)) j k) ((fun i j => F.map (D.f i j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k) ≫ (fun i j => F.map (D.t i j)) i j
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
⊢ ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : G →ₗᵢ[𝕜] G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap f‖ = ‖f‖
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasLimit F
x y : limit F
w : ∀ (j : J), limit.π F j x = limit.π F j y
⊢ x = y
n : ℕ
s : ℂ
hs : s.re ≠ 0
⊢ ‖↑n ^ s‖ = ↑n ^ s.re
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
n : ℤ
t : ℝ
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f volume t₁ t₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..n • T, f x = n • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, f x
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ g⁻¹ • S ↔ g • x ∈ S
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ↑n + 1 ≤ ↑m + 1
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.addRight g) = fun x => x + g
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
u : Set α
hu : u.Nonempty
ou : IsOpen u
⊢ ∃ v ∈ B, v.Nonempty ∧ v ⊆ u
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
⊢ x = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => c) x = 0
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
⊢ ↑i.divNat = ↑i / n
⊢ ⇑ENat.toENNRealOrderEmbedding = ENat.toENNReal
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
B : Set (Set X)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ B, x ∈ t ∧ closure t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
r : β → γ → Prop
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ LiftRel r f g ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, r (↑f a) (↑g a)
a b k m n p : ℕ
⊢ p ∈ n.primeFactors ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
⊢ Function.Injective MeasureTheory.ProbabilityMeasure.toMeasure
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r ≃r s
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % 2 ^ n
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (Measure.comap f (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι
⊢ (h.basis.dualBasis i) (h.basis j) = (ε i) (h.basis j)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup α
a : α
AddAction α β
b : β
k : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)
⊢ (AddAction.orbitZMultiplesEquiv a b).symm k = k.cast • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
OrderedSemiring 𝕜
(i : ι) → AddCommMonoid (π i)
(i : ι) → Module 𝕜 (π i)
DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
⊢ Function.update y i '' [x₁-[𝕜]x₂] = [Function.update y i x₁-[𝕜]Function.update y i x₂]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Sheaf J A
φ : F ⟶ G
X : Cᵒᵖ
⊢ ↑((CategoryTheory.sheafHomSectionsEquiv F G).symm φ) X = (J.overPullback A (Opposite.unop X)).map φ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
hconn : G.Connected
u v : V
⊢ ∃ p, p.length = G.dist u v
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → ↥(A (fι a))
l : List α
⊢ ↑(l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => ↑(fA a)) l).prod
a b : Ordinal.{u}
ha : a ≠ 0
hb : Principal (fun x x_1 => x * x_1) b
hb₂ : 2 < b
⊢ a * b ≤ b ^ succ (log b a)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ f.IsCycleOn {x | f x ≠ x}
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : i ∈ s
ht : Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
⊢ Disjoint (s.pi t₁) (s.pi t₂)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
⊢ (Summable fun b => star (f b)) ↔ Summable f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
hs : a ∉ s
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hts : insert a t = insert a s
⊢ s ∈ 𝒜
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
self : CategoryTheory.Limits.ImageMap sq
⊢ self.map ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom = CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ ψ : MvPowerSeries σ R
h : ∀ (n : σ →₀ ℕ), (MvPowerSeries.coeff R n) φ = (MvPowerSeries.coeff R n) ψ
⊢ φ = ψ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
AddTorsor G E
VAddCommClass G E E
a : G
b c : E
⊢ a +ᵥ openSegment 𝕜 b c = openSegment 𝕜 (a +ᵥ b) (a +ᵥ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
A : Set β
h : ContinuousWithinAt f s x
hx : x ∈ closure s
hA : Set.MapsTo f s A
⊢ f x ∈ closure A
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ (p.scaleRoots ↑(IsFractionRing.den A x)).IsRoot (IsFractionRing.num A x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
R S T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
g : G
x✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
x✝ : G ⧸ H
⊢ ϕ ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) x✝))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) x✝), ⋯⟩ = ϕ ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x✝)))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x✝)), ⋯⟩
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n) μ
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : C * A = 1
⊢ B = C
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
⊢ ζ ^ l = 1 ↔ k ∣ l
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
s : Set β
DecidablePred fun x => x ∈ s
v : β → α
⊢ Filter.limsup (s.piecewise u v) f = (Filter.blimsup u f fun x => x ∈ s) ⊔ Filter.blimsup v f fun x => x ∉ s
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv✝ : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
x : M₁
hx : x ∈ closedBall 0 1
hTv : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ T), x ∈ ⇑v ⁻¹' (i +ᵥ V)
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ T), x ∈ ⇑u ⁻¹' (i +ᵥ U)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
⊢ y ∈ interior s
n b : ℕ
L : List ℕ
⊢ List.foldr (fun x y => ↑x + b * y) 0 L = (List.zipWith (fun i a => a * b ^ i) (List.range L.length) L).sum
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
x : M
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
hts : t ⊆ s
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g t x
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
x : α
⊢ f ((ofInjective f hf).symm ⟨f x, ⋯⟩) = f (rangeSplitting f ⟨f x, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
SemilatticeSup β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2
⊢ s1.direction ≤ s2.direction
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
MulAction β α
H : Subgroup α
self : MulAction.QuotientAction β H
b : β
a a' : α
⊢ a⁻¹ * a' ∈ H → (b • a)⁻¹ * b • a' ∈ H
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y
⊢ LipschitzWith K f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hT : T.Nonempty
⊢ ↑(⋂₀ T) = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ T, ↑B = x}
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ ¬∃ a, o = Order.succ a