ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o a b : Ordinal.{u}
m : ℕ
hm : a < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o
n : ℕ
hn : b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
h : (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o ≤ (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o
⊢ ∃ n, op a b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
⊢ StrictMono NNRat.cast
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ ↑s ⊂ ↑t ↔ t < s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream'.WSeq α
f : α → Stream'.WSeq β
g : β → Stream'.WSeq γ
⊢ (s.bind f).bind g ~ʷ s.bind fun x => (f x).bind g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ F.comp (CategoryTheory.toThinSkeleton D) = (CategoryTheory.toThinSkeleton C).comp (CategoryTheory.ThinSkeleton.map F)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : ¬Finite R M
⊢ ¬0 < finrank R M
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ (if ↑x.val * 2 ≤ ↑n then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
c : α
hc : c ∈ (a :: b :: l).getLast?
⊢ (a :: b :: l).dropLast ++ [c] = a :: b :: l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₃ f₄ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ P.disc ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z
R : CommMonCat
⊢ CommMonCat.units.obj R = CommGrp.of (↑R)ˣ
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s • t).IsPWO
α : Type u
t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α
⊢ t.ite (s₁ ∩ s₂) (s₁' ∩ s₂') = t.ite s₁ s₁' ∩ t.ite s₂ s₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s → f a ∈ Finset.map f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y / x) b).get ⋯ = a.get ⋯ / b.get ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i - f j) (f k - f l) μ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (n + 1) = Pell.xn a1 n * a + Pell.d a1 * Pell.yn a1 n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : ¬IsUnit a
⊢ (↑{ toFun := quadraticCharFun F, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
⊢ ∃ ψ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.f ψ.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.s ψ.f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
⊢ (∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z) → MeromorphicAt f x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
e : ↑(F.obj (X ⨿ Y)) ≃ ↑(F.obj X) ⊕ ↑(F.obj Y) := ((PreservesColimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).symm ≪≫ Types.binaryCoproductIso (FintypeCat.incl.obj (F.obj X)) (FintypeCat.incl.obj (F.obj Y))).toEquiv
⊢ Nat.card ↑(F.obj (X ⨿ Y)) = Nat.card ↑(F.obj X) + Nat.card ↑(F.obj Y)
R : Type u
a : R
Semiring R
⊢ 0 ≤ (Polynomial.C a).trailingDegree
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ P.coxeterWeight i j = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
Subsingleton ι
i : ι
f : G →L[𝕜] G'
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G' i) f‖₊ = ‖f‖₊
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f g : β → α
h : ∀ b ∈ s, f b ∣ g b
⊢ s.gcd f ∣ s.gcd g
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
⊢ Primrec f → Nat.Primrec' f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
hp : p.Separable
hq : q * q ∣ p
⊢ IsUnit q
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Nontrivial M₀
inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'
inst✝³ : FunLike F G₀ M₀
inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'
f✝ : F
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f 0 = g 0
⊢ f 0⁻¹ = g 0⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
⊢ a ∣ p * b → p ∣ a ∨ a ∣ b
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d
⊢ (b - a).Nonneg
α : Sort u_1
⊢ Uncountable α ↔ ¬Countable α
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m
b : α
hb1 : b ∈ replicate n a
hb2 : flip r x b
⊢ r a x
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p
⊢ ∀ ⦃b : Ideal (R ⧸ RingHom.ker f')⦄, b ∈ {p | p.IsPrime ∧ ⊥ ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) b
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
⊢ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ) = weightSpace M χ
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
x₀ : E
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖₊ < ε
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.Indep ∅
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a - b - c = a - (b + c)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
⊢ ∃ a, autMap f a = σ
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
⊢ map (fun x => x) l = l
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s t : Finset ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
(i : ι) → Decidable (i ∈ t)
h : t ⊆ s
f g₁ g₂ : (a : ι) → π a
⊢ s.piecewise f (t.piecewise g₁ g₂) = s.piecewise f g₂
α β : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ α + ↑n ≤ β + ↑n ↔ α ≤ β
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ≃ β
⊢ Finite α ↔ Finite β
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
R : Type u
Preorder R
⊢ Monotone Tropical.untrop
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : G →L[𝕜] E
A : (m : ℕ) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) F := fun m h => h.compContinuousLinearMap fun x => g
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (f ∘ ⇑g) (fun x k => (p (g x) k).compContinuousLinearMap fun x => g) (⇑g ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P).L
⊢ (Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I_1.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I))) = (Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (S.index P) I_1.base) ⋯) ((Meq.equiv P S).symm x))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
hxy : x ∈ span R {y}
hyz : y ∈ span R {z}
⊢ x ∈ span R {z}
n m : Nat
h : n = m
i : Nat
hn : i < n
⊢ Fin.cast h ⟨i, hn⟩ = ⟨i, ⋯⟩
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones F
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y), D.coconePoints.map f = (D.map f).hom
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite (G ⧸ H)
⊢ H.FiniteIndex
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
G : Type u_3
AddCommGroup G
P : Submodule ℤ G
⊢ P.FG ↔ P.toAddSubgroup.FG
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N : ℕ
h_B : B N ≤ ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
h_sub : eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop
N1 : ℕ
⊢ eLpNorm (f n - f (max N N1)) p μ ≤ ε
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u
⊢ ∀ (a : α), (CategoryTheory.ofTypeMonad m).η.app α a = pure a
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f
⊢ ωSup (approxChain f) ≤ ωSup ((approxChain f).map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.lift g e he ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq h).inv =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift f e ⋯
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ WittVector.wittZero p n = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ ⨆ i, AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i) = ⊤
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.sin (↑n * Real.pi - x) = -((-1) ^ n * Real.sin x)
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (n : ↑({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p})), {p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) ↑n ∈ Iio (1 / 2)
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ pmap f l H = pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩ ⋯) l ⋯
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ ⇑(thickenedIndicator δ_pos E) = ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ≠ ∅ → s ≠ ∅
α : Type u_1
a' a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = some a'
⊢ replaceF p (a :: l) = a' :: l
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
r : R
hr : (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r ∈ CliffordAlgebra.even Q
⊢ (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) ⟨(algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r, hr⟩ = (algebraMap R A) r
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ H = ⊥ ∨ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
α : Type u
s : Set α
DecidableEq α
hs : s.Finite
⊢ ⋯.toFinset = hs.toFinset.offDiag
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.edist u v = 0 ↔ u = v
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
c : R
x : ↥f.domain
⊢ ↑f (c • x) = c • ↑f x
α : Type u
l : List α
a : α
DecidableEq α
h : l.Nodup
⊢ (List.insert a l).Nodup
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
⊢ Convex R s ↔
  ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : δ
⊢ Measurable ⋯.mp
k : Type u_3
DivisionRing k
CharZero k
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s • Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
x : α
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
M : ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - c‖₊)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
c : E
ct : c ∈ t
xc : ↑‖f x - c‖₊ < ε / 2
a : Set α
ha : (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a < ε / 2
h'a : 0 < μ a
h''a : μ a < ⊤
⊢ ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ ≤ ε * μ a
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
⊢ HasDerivAt (fun z => LSeries.term f z n) (-LSeries.term (LSeries.logMul f) s n) s
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n) = f x - ↑n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
Nonempty J
h : ∀ {α : Type u₁} (F : J → α), (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂) → ∀ (j j' : J), F j = F j'
⊢ CategoryTheory.IsConnected J
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ t.ncard ≤ s.ncard + (t \ s).ncard
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Function.Injective 𝓝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
⊢ ‖↑x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖↑x‖ < ↑p ^ (n + 1)
α : Type u_1
a : α
SemilatticeInf α
x y : ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑(x ⊓ y) = ↑x ⊓ ↑y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ EventuallyMeasurableSet m l s
n : Int
d : Nat
⊢ -mkRat n d = mkRat (-n) d
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ All P (l.node4L x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r
ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
I : Box ι
x : E
⊢ (BoxAdditiveMap.volume I) x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
⊢ ∀ {X Y : SheafOfModules R} (f : X ⟶ Y), ((SheafOfModules.toSheaf R).map f).val = f.val.hom
α : Type u
Nontrivial α
⊢ Set.univ.Nontrivial
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ (eLpNorm (↑↑(f - g)) p μ).toReal = (eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ).toReal
α : Type u_1
β : Type v
a : α
f : α → Multiset β
⊢ {a}.bind f = f a
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
h : c ≤ b
⊢ c ≤ a ⊔ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor C D
iso : e.functor ≅ G
⊢ (e.changeFunctor iso).inverse = e.inverse
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).2.card
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
⊢ #κ = #ι
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.EnoughInjectives C ↔ CategoryTheory.EnoughInjectives D
τ : Type u_1
AddMonoid τ
TopologicalSpace τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
t : β → τ
ht : Continuous t
f : β → α
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => ϕ.toFun (t x) (f x)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
h : v x ≠ 0
⊢ {y | v (y - x) < ↑(Units.mk0 (v x) h)} ⊆ {y | v y = v x}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ₁ E ⊆ Metric.cthickening δ₂ E
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.unopMap φ).τ₂ = φ.τ₂.unop
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a +ᵥ b ∈ s +ᵥ t
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Codisjoint (AddMonoidHom.mrange AddMonoid.Coprod.inl) (AddMonoidHom.mrange AddMonoid.Coprod.inr)
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ ![u • P 0, u • P 1, u • P 2] = ![↑u * P 0, ↑u * P 1, ↑u * P 2]
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Sym.map f 0 = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
x : ↑(of R ↑A)
⊢ (1, x).1 • LinearMap.id (1, x).2 = 1 • x
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.scaleRoots 1 r = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
⊢ (single i (a - b)) i = (single i a - single i b) i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a✝ b : α
n✝ : ℤ
a : α
n : ℕ
⊢ ↑n • a = ↑↑n * a