ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (i : Fin n) → motive i.succ
i : Fin n
⊢ Fin.cases zero succ i.succ = succ i
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x y : K
⊢ x ∈ A → y ∈ A → x * y ∈ A
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
⊢ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t)
n : Nat
a b : Fin n
h : a < b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ Measurable fun x => min (τ x) j
⊢ ∀ {X Y : AddSemigrp} (f : AddHom ↑X ↑Y), AddMonCat.adjoinZero.map f = WithZero.map f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ (s.restrict f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
n : ℕ
h_dim : finrank 𝕜 ↥K₁ + n = finrank 𝕜 ↥K₂
⊢ finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = n
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ (¬∃ x y, x ≠ y) ↔ ∀ (x y : M), x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : CategoryTheory.Functor C D
T : D
A : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
P Q : (CategoryTheory.CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ Opposite.op A
g : Q ⟶ Opposite.op A
CategoryTheory.Mono f.unop.left.op
CategoryTheory.Mono g.unop.left.op
h : CategoryTheory.Subobject.mk f.unop.left.op ≤ CategoryTheory.Subobject.mk g.unop.left.op
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g.unop.left
    (CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop =
  f.unop.left
cf cg : Code
⊢ encode cf < encode (cf.prec cg) ∧ encode cg < encode (cf.prec cg)
X : Type u
TopologicalSpace X
self : T2Space X
⊢ Pairwise fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
⊢ (AddMonoidHom.fst G G').ker = ⊥.prod ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
⊢ L ≤ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap 0 = 0
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : Order.Frame.MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
he' : e' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑m - x) ↔ LiouvilleWith p x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
⊢ f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
n m : Nat
⊢ min n m = ite (n ≤ m) n m
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b
⊢ a * ⅟b = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hkf : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf
⊢ (hS.leftHomologyDataOfIsLimitKernelFork kf hkf).π = 0
α : Type u
u : (Function.End α)ˣ
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.Perm.equivUnitsEnd.symm u)) = ↑u⁻¹
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
hf : Smooth I' I f
hg : Smooth I' I g
⊢ Smooth I' I (f * g)
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f (c + x) = ∑ x ∈ Finset.Ico (a + c) (b + c), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α
⊢ PosSMulMono α β ↔ PosSMulReflectLT α β
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
⊢ MvPolynomial.vanishingIdeal ∅ = ⊤
X : Type w
t : TopologicalSpace X
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X
⊢ t ≤ compactlyGenerated X
α β : PartialFun
e : α ≃ β
x : α
⊢ (PartialFun.Iso.mk e).hom x = ↑(some (e x))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
⊢ (comap m f ⊓ 𝓟 s).NeBot
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
⊢ orderOf x ∣ card G
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
⊢ ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
x✝ y z x : ℝ
h : x ≠ 0
⊢ 0 ^ x = 0
n k : ℕ
h✝ : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac
h : n > 0
⊢ 1 < n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F
⊢ (List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l).prod ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : ↑(n + 2) * U R (n + 2 - 1) = 1 * T R (n + 1) + X * (↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)) - ((0 - ↑2 * X ^ (2 - 1)) * U R n + (1 - X ^ 2) * derivative (U R n))
⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
hI : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
x : S
mem : x ∈ ↑J \ ↑I
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R S) x p = 0
⊢ comap (algebraMap R S) I < comap (algebraMap R S) J
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝ : (f + g - 0).LimZero
this : f ≈ -g
⊢ f.norm = g.norm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
⊢ Filter.Tendsto (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h) (f ×ˢ g ×ˢ h)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun a => |f a|) μ
r s : ℝ
⊢ ↑(r + s) = ↑r + ↑s
b c d : ℕ
mr₁ : 2 * d ≤ b + c + 1
mm₁ : b ≤ 3 * c
⊢ d ≤ 3 * c
α : Sort u_2
β : Sort u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
x : P (e.symm b)
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e).symm (Function.update f b x) = Function.update ((Equiv.piCongrLeft' P e).symm f) (e.symm b) x
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
T2Space M
f : ℤ → M
hf₁ : Multipliable fun n => f (↑n + 1)
hf₂ : Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ ∏' (n : ℤ), f n = (∏' (n : ℕ), f (↑n + 1)) * f 0 * ∏' (n : ℕ), f (-(↑n + 1))
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a + b ≤ c
hle : d ≤ a
⊢ d + b ≤ c
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
a : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := -a } = -{ cauchy := a }
R : Type u_1
L : Type u_2
Field R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ↑(LieDerivation.IsKilling.rangeAdOrthogonal R L) =
  {m | ∀ (a : L), (killingForm R (LieDerivation R L L)).IsOrtho ((LieDerivation.ad R L) a) m}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
nd : l.Nodup
h : ∀ (x : α), x ∈ l
i : Fin l.length
⊢ (fun a => ⟨indexOf a l, ⋯⟩) ((fun i => l.get i) i) = i
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a + b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
x : Set E
⊢ diam (c • x) = ‖c‖ * diam x
n : ℕ
u v : Fin n
⊢ (SimpleGraph.pathGraph n).Adj u v ↔ ↑u + 1 = ↑v ∨ ↑v + 1 = ↑u
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq ι
j : ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g = Function.update (s.piecewise f g) j (f j)
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
Φ : Paths V ⥤ C
⊢ autoParam (∀ (X Y : Paths V) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = eqToHom ⋯ ≫ (lift (of ⋙q Φ.toPrefunctor)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
z w : ℍ
⊢ dist (Real.log z.im) (Real.log w.im) ≤ dist z w
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
⊢ ∃ d, ∃ e ∈ P ^ (i + 1), a * d + e = c
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Finite
⊢ M.E.Finite
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Unique ι
h : FiniteDimensional.finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
w : V
⊢ (FiniteDimensional.basisSingleton ι h v hv).repr w =
  Finsupp.single default
    (((FiniteDimensional.basisUnique ι h).repr w) default / ((FiniteDimensional.basisUnique ι h).repr v) default)
α : Type u_1
ι : Type u_4
CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
⊢ ∃ x, ⨅ t ∈ B, f t = ⨅ i, f (x i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
⊢ ∏ a ∈ {x | p x}.toFinset, f a = ∏ a : Subtype p, f ↑a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
⊢ IsSubmonoid (f '' Set.univ)
a b : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ p / p.toNNReal + b ^ q / q.toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
g : α
x y : β
h : g • x = g • y
⊢ x = y
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y Z : C
g h : X ⟶ ((⨁ f) ⊗ Y) ⊗ Z
w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y ▷ Z = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y ▷ Z
⊢ g ≫ (α_ (⨁ f) Y Z).hom = h ≫ (α_ (⨁ f) Y Z).hom
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W✝ W : Subspace K V
x : Module.Dual K ↥W
⊢ 1 x = x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S U : Subalgebra R A
⊢ S.toSubsemiring = U.toSubsemiring ↔ S = U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : CPolynomialAt 𝕜 f x
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, CPolynomialOn 𝕜 f s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
⊢ x ≠ y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
⊢ Continuous fun x => ![↑x, 1 - ↑x]
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
x : k[G]
⊢ of' k G a * x /ᵒᶠ a = x
x y : ℝ
⊢ cosh x - sinh x = rexp (-x)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f g : Filter α
h_c : Cauchy f
⊢ g.NeBot → g ≤ f → Cauchy g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
⊢ (fderiv 𝕜 fun x => c) = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
⊢ deriv (fun y => u * v y) x = u * deriv v x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ (↑s).drop (n + 1) = ↑(s.drop (n + 1))
α : Type u_1
CommMonoid α
⊢ (fun x x_1 => x ∣ x_1) = fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : x ∉ periodicPts f
⊢ ¬0 < minimalPeriod f x
X : BoolAlg
⊢ ↑X.toBddDistLat.toDistLat = ↑X
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop
⊢ IsEmpty (Subtype p) ↔ ∀ (x : α), ¬p x
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor E D
adj : G ⊣ F
⊢ J.PreservesSheafification G
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → LowerSet α
⊢ (⨅ i, f i).compl = ⨅ i, (f i).compl
α : Type u
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen s ∧ IsOpen s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
boxes : Finset (WithBot (BoxIntegral.Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
H : ∀ J ∈ π, ∃ J' ∈ boxes, ↑J ≤ J'
⊢ π ≤ BoxIntegral.Prepartition.ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint
a b : ℕ+
⊢ a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this : Countable (Subtype p)
hp : IsEmpty (Subtype p)
⊢ Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} D₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.CatCommSq G L₁ L₂ G'
CategoryTheory.CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.Localization.ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (L₁.obj X₁) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map (adj.unit.app X₁))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁))
      (F'.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a * b < c * d
hc : 0 < c
hh : c ≤ a
⊢ b < d
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ✝ : 𝕜
u v : Finset α
ε δ : 𝕜
a b : α
ab : G.Adj a b
U : Finset α
UP : U ∈ P.parts
V : Finset α
VP : V ∈ P.parts
xU : a ∈ U
yV : b ∈ V
UV : U ≠ V
GUV : G.IsUniform ε U V
εUV : δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ G.Adj b a ∧ ∃ U ∈ P.parts, ∃ V ∈ P.parts, b ∈ U ∧ a ∈ V ∧ U ≠ V ∧ G.IsUniform ε U V ∧ δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s t : Set α
a : ↑s
⊢ Subtype.val ⁻¹' t ∈ 𝓝 a ↔ t ∈ 𝓝[s] ↑a
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
hMq : ∀ (x : n → ℝ), x ≠ 0 → 0 < x ⬝ᵥ M *ᵥ x
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ M *ᵥ x
K : Type u_13
V : Type u_16
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : V →ₗ[K] V →ₗ[K] K
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊔ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B = ⊤
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j = i
⊢ i.cycleRange j = 0
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
Y' : Finset α
hY' : Y' ∈ P.parts
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y'
zZ' : z ∈ Z'
nYZ : Y' ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsOpen (↑U)ᶜ
α : Type u_1
LT α
s : Set α
⊢ s.chainHeight = ⨆ l, ↑(↑l).length
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] 0 ↔ u =O[l] 0
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
AddMonoid M
AddAction M α
ContinuousConstVAdd M α
c : M
s : Set α
⊢ c +ᵥ closure s ⊆ closure (c +ᵥ s)
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
h : i < a.size
⊢ a[i]? = some a[i]
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ (ofHoms ψ).v p q hpq ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun x_1 => f.measure (Ioc x_1 x)) atBot (𝓝 (ofReal (↑f x - l)))
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
h✝ : s ≤ t
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂
⊢ List.map ofList (sublistsLen n l₁) <+~ List.map ofList (sublistsLen n l₂)
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
x : S
h : x ∈ I
⊢ absNorm I ∣ absNorm (span {x})
X : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.inverse.obj X = Opposite.op X