ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
F : CategoryTheory.Functor C E
F' : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F F'
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
L.CommShift A
F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (F'.commShiftIso a).hom.app (L.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F'.map ((L.commShiftIso a).inv.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).hom.app X)
        ((CategoryTheory.shiftFunctor E a).map ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F F').inv.app X))))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
s : Set α
hsF : id s ⊆ F
h1s : IsOpen s
hxs : x ∈ s
h2s : IsConnected s
⊢ connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInverse g f
F : Filter α
⊢ comap f (comap g F) = F
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
R' : Type u
CommRing R'
Algebra R R'
N : Type u_1
AddCommMonoid N
Module R N
Module R' N
IsScalarTower R R' N
IsLocalization M R'
s : Set N
x : N
hx : x ∈ Submodule.span R' s
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R s
α β : Cardinal.{u_1}
⊢ α + 1 = β + 1 ↔ α = β
α : Type u_1
n : Type u_4
R : Type u_5
Sub n
SMul R α
k : R
v : n → α
⊢ Matrix.circulant (k • v) = k • Matrix.circulant v
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊼ t ⊆ s₂ ⊼ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)
⊢ v.restrict (⋃ n, f n) ≤ w.restrict (⋃ n, f n)
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
c : α
⊢ c ∈ p.support
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0∞), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p
⊢ ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (p / q) ≤ a ^ p + b ^ p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x' : WeakDual 𝕜 E
⊢ WeakDual.toNormedDual x' = x'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) volume 0 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
ε : ℝ
l : ℕ
⊢ l ≤ SzemerediRegularity.initialBound ε l
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
hfg : g ≤ f
⊢ g.IsClosable
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
⊢ (e.unitsSMul w).orientation = (∏ i : ι, w i)⁻¹ • e.orientation
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe U hY).inverse = TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
α : Type u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ f k ≤ fun x => ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsDetector G →
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', CategoryTheory.CategoryStruct.comp h' f = h) → CategoryTheory.IsIso f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
f : X → Y
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
⊢ ContinuousAt (SeparationQuotient.lift f hf) (SeparationQuotient.mk x) ↔ ContinuousAt f x
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) → C i
f : X ≅ Y
i : I
⊢ CategoryTheory.Pi.isoApp f.symm i = (CategoryTheory.Pi.isoApp f i).symm
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y
⊢ slope f x y < f'
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime x (y + z * x)
⊢ IsRelPrime x y
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.GoodProducts C =
  Profinite.NobelingProof.GoodProducts (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ∪
    Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
a : α → ℝ
t₀ : Filter α
h : ∀ (n : α), ‖f n‖ ≤ a n
⊢ Filter.Tendsto a t₀ (𝓝 0) → Filter.Tendsto f t₀ (𝓝 1)
p q r : ℕ+
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
H : 1 < sumInv ↑S
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
⊢ S.length = 3
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
b : β
⊢ ⨆ x ∈ {b}, f x = f b
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} ⦃μ : MeasureTheory.Measure α⦄ {s t : Set α} {f : α → ℝ≥0∞},
  s ⊆ t → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ dist (s.indicator f x) (t.indicator f x) = ‖(symmDiff s t).indicator f x‖
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
x : R
⊢ (toMatrix v₁ v₁) ((algebraMap R (Module.End R M₁)) x) = (scalar n) x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ g ≤ f.sup g h
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).counitIso.hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
this : U R 2 = 2 * X * (2 * X) - 1
⊢ U R 2 = 4 * X ^ 2 - 1
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : φ q ≠ 0
⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), TypeVec.lastFun g x = TypeVec.dropFun g <$$> x
⊢ g <$$> MvPFunctor.M.dest P x = MvPFunctor.M.dest P (TypeVec.dropFun g <$$> x)
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : 1 ≤ a
⊢ a * b ≤ b
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
IsEmpty β
⊢ IsEmpty α
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℤ
⊢ 0 < (a ^ n).x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.unop.h₃ = h.h₀.unop
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
⊢ ∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyFunctor C).obj S = S.homology
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitPullbacks P
hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f
X Y Z : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
π : Z ⟶ Y
hπ : EffectiveEpi π
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ π = h ≫ f
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ✝ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j✝ : J
inst✝² : X.HasMap p
inst✝¹ : Y.HasMap p
inst✝ : Z.HasMap p
A : C
j : J
φ : (i : I) → p i = j → (X i ⟶ A)
i : I
hi : p i = j
⊢ X.ιMapObj p i j hi ≫ X.descMapObj p φ = φ i hi
α : Type u_4
⊢ Submonoid.closure (Set.range FreeMonoid.of) = ⊤
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
x : α
hx : x ∉ s
⊢ s.card < Fintype.card α
n : ℤ
⊢ Real.tan (↑n * Real.pi / 2) = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ EuclideanGeometry.angle p₂ p₃ p₁ = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers A
CategoryTheory.Limits.HasImages A
CategoryTheory.StrongEpiCategory B
CategoryTheory.Limits.HasImages B
L : CategoryTheory.Functor A B
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) L
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.PreservesImage.iso L f).inv
    (CategoryTheory.Limits.image.ι (L.map f)) =
  L.map (CategoryTheory.Limits.image.ι f)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁).isPerm l₂ = true ↔ a :: l₁ ~ l₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
r : R
⊢ (MvPolynomial.killCompl hf) (MvPolynomial.C r) = MvPolynomial.C r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
⊢ f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' Set.univ x ↔ HasFDerivAt f f' x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ Tendsto defaultRatCDF atBot (𝓝 0)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (f'.prod φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), g₁ (f x) = g₂ (f x)
x : N
⊢ g₁ 0 = g₂ 0
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
x : R
⊢ 0 ≤ abv x
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x + y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
hμ'ν : μ' ≪ ν
h : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ'.rnDeriv ν x
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsClosed s
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsClosed (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))
s step n : Nat
x✝ : 0 < n + 1
⊢ (range' s (n + 1) step)[0]? = some (s + step * 0)
α : Type u_1
C : FreeAddMonoid α → Sort u_6
h0 : C 0
ih : (x : α) → (xs : FreeAddMonoid α) → C (FreeAddMonoid.of x + xs)
⊢ FreeAddMonoid.casesOn 0 h0 ih = h0
𝕜 : Type u_6
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Norm E
Module 𝕜 E
self : SeminormedAddCommGroup.Core 𝕜 E
x : E
⊢ 0 ≤ ‖x‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
TopologicalSpace α
Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AnalyticSet (s n)
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (⋃ n, s n)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
⊢ add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ↑⊤ = 1
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ S.map ((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)).op s = S.map f.op s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithBot α → β
⊢ Monotone f ↔ (Monotone fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ⊥ ≤ f ↑x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
⊢ (eval₂Hom f g) p = f (constantCoeff p)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ ⁻¹' ↑S
⊢ funMap f (⇑φ ∘ x) ∈ ↑S
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
x y z : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x ≤ y
hyz : y < z
h : f y ≤ f z
⊢ f x ≤ f y
X : Pointed
a : ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X).X
⊢ (partialFunEquivPointed.counitIso.hom.app X).toFun a = Option.casesOn' a X.point Subtype.val
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ y ∈ closedBall x ε ↔ dist x y ≤ ε
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ ↑(nndist x y) = edist x y
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).compls = s.compls ∪ t.compls
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ (toLin b₁' b₁) Mᵀ)
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
period_pos : 0 < MulAction.period m a
moved : ∀ (k : ℕ), 0 < k → k < n → m ^ k • a ≠ a
⊢ n ≤ MulAction.period m a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => x) (p.sum x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫ (a : α), g a ^ q ∂μ = ∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ
⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ DirichletCharacter.conductor 1 = 1
α : Type u_1
a : Array α
x : α
i : Nat
h : i < a.size
⊢ let_fun this := ⋯;
(a.push x)[i] = a[i]
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) ↔ a = b
α : Type u_1
Preorder α
S : Set α
⊢ IsClosed (⇑Topology.WithLawson.ofLawson ⁻¹' S) ↔ IsClosed S
p q : Prop
⊢ (∃! x, q) ↔ p ∧ q
R : Type u
Top R
⊢ Tropical.untrop 0 = ⊤
a b : ℝ
G : Type u_6
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : Continuous g
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x
M : Type u_1
AddMonoid M
a x y : AddUnits M
h : AddSemiconjBy a x y
⊢ AddSemiconjBy ↑a ↑x ↑y
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑((lightToProfinite.obj S).asLimitCone.π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑(lightToProfinite.obj S).toTop)).obj (Opposite.op n)))
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Nontrivial R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ (↑g).det ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₐc[R] B
⊢ φ₁ = φ₂ ↔ ∀ (x : A), φ₁ x = φ₂ x
α : Type u_1
SemilatticeInf α
⊢ ⇑LowerSet.iicInfHom = LowerSet.Iic
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X₂)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y₁ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (x * y).num.natDegree + (x.denom.natDegree + y.denom.natDegree) = x.num.natDegree + y.num.natDegree + (x * y).denom.natDegree
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v
h₀ : u ≫ f ≫ g = z ≫ v ≫ g
⊢ sq.HasLift
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a a ∈ M
hbc : swap a c ∈ M
⊢ swap a c ∈ M
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
x : ↥P.ker
⊢ p * ↑x ∈ P.ker * P.ker
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
b : β
hb : ∀ᶠ (x : β) in map f cofinite, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b
this : Nonempty β
⊢ BddAbove (range f)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s
⊢ MeasurableSpace.generateFrom s = (MeasurableSpace.DynkinSystem.generate s).toMeasurableSpace ⋯
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
⊢ ζ ^ n = 1
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ'
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
Λ' : Type u_4
Inhabited Λ'
M : Turing.TM0.Machine Γ Λ
f₁ : Turing.PointedMap Γ Γ'
f₂ : Turing.PointedMap Γ' Γ
g₁ : Λ → Λ'
g₂ : Λ' → Λ
S : Set Λ
f₂₁ : Function.RightInverse f₁.f f₂.f
g₂₁ : ∀ q ∈ S, g₂ (g₁ q) = q
c : Turing.TM0.Cfg Γ Λ
⊢ c.q ∈ S →
  Option.map (Turing.TM0.Cfg.map f₁ g₁) (Turing.TM0.step M c) =
    Turing.TM0.step (M.map f₁ f₂ g₁ g₂) (Turing.TM0.Cfg.map f₁ g₁ c)