ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p
⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom = h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1 + 1
⊢ 1 < n✝ + 1 + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ IsClosed univ
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace CommRingCat
Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toLocallyRingedSpace Y f).toSheafedSpace =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSheafedSpace Y.toSheafedSpace f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p a = -1 ↔ ¬legendreSym p a = 1
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {β : Type u_5} [inst : SeminormedAddCommGroup β] {f : α → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ‖f x‖
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id A).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id A.A
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t K : Set X
hs : s.Infinite
hK : IsCompact K
hsub : s ⊆ K
x : X
hx : x ∈ K ∧ ClusterPt x (cofinite ⊓ 𝓟 s)
⊢ x ∈ K ∧ AccPt x (cofinite ⊓ 𝓟 s)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ p
⊢ -x ∈ p
S : Type v
Semiring S
c : S
⊢ (Polynomial.X + Polynomial.C c).nextCoeff = c
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)) μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
⊢ AffineIndependent k p
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Involutive fun x => a ⇔ x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
y : F
⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) y = e.symm b y
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
c : AdicCompletion I ((j : ι) → M j)
i : ι
n : ℕ
⊢ ↑((AdicCompletion.pi I M) c i) n = (LinearMap.reduceModIdeal (I ^ n) (LinearMap.proj i)) (↑c n)
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p s = 0 ↔ ∀ a ∈ s, ¬p a
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) / 2)
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
α : Sort u_1
DecidableEq α
i j : α
⊢ ⇑(Equiv.swap i j) = Function.update (Function.update id j i) i j
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' F'' : CategoryTheory.Functor D H
φ : F'' ⟶ F'
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
α' : L.comp F'' ⟶ F
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L φ) α = α'
F'.IsRightKanExtension α
⊢ F''.IsRightKanExtension α' ↔ CategoryTheory.IsIso φ
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊔ b - c ⊔ d‖ ≤ ‖a - c‖ + ‖b - d‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
hjn : j ≤ n
⊢ x ∈ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
x : P'
⊢ (∃ x_1 ∈ I, ↑(let __src := ringEquivOfRingEquiv P P' (RingEquiv.refl R) ⋯; { toEquiv := __src.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }) x_1 = x) ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
hf : Monotone f
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≥ x_1) (fun x x_1 => x ≥ x_1) f ↔ ∀ (x : α), f '' Set.Ici x = Set.Ici (f x)
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsCompact (closedBall x r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s
⊢ ⊤ ∉ (fun a => ↑a) '' s
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + n), (m - ↑k)
⊢ 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1 + (n + 1)), (m - ↑k)
α : Type u_1
Preorder α
BoundedOrder α
⊢ ↑⊤ = ⊤
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
W X X' Y Z Z' : C
f : W ⟶ X
f' : X ⟶ X'
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
h' : X' ⟶ Z'
i : Y ⟶ Z
i' : Z ⟶ Z'
hsq₁ : CommSq f g h i
hsq₂ : CommSq f' h h' i'
⊢ (f ≫ f') ≫ h' = g ≫ i ≫ i'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 Set.univ) l₂
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q * x) → Irrational x
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ Disjoint G₁.edgeSet G₂.edgeSet ↔ Disjoint G₁ G₂
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ 4 * (↑n + 1) ^ 2 / (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2 ≤ ((2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2 - 1) / (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
i : ι
⊢ piiUnionInter π {i} = π i ∪ {Set.univ}
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
r : ℝ
hx : x ∈ Metric.closedBall z r
hy : y ∈ Metric.closedBall z r
hne : x ≠ y
⊢ openSegment ℝ x y ⊆ Metric.ball z r
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hf : MellinConvergent f ↑σ
hFf : VerticalIntegrable (mellin f) σ volume
hfx : ContinuousAt f x
g : ℝ → E := fun u => rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
⊢ mellinInv σ (mellin f) x = f x
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
⊢ P (a + 1) b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
⊢ p.degree = 1
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
inst✝ : CommMonoid N
s t : Submonoid N
x : N
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ioo c d = Set.Ioo (min a c) (max b d)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
B : Type u₀
CategoryTheory.Category.{v₀, u₀} B
CategoryTheory.MonoidalCategory B
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F.prod G).ε = (F.ε, G.ε)
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
self : Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K L) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : AddCommMonoid β
f : ι →₀ α
i : ι
a : α
g : ι → α → β
hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0
hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂
⊢ (erase i f).sum g + (single i a).sum g + g i (f i) = (f.update i (f i)).sum g + g i a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ∧ Wbtw R z x y ↔ x = y
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
ha : 0 < a
⊢ (map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
⊢ ((split J i x).restrict I).boxes ⊆ (split I i x).boxes
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc f g = f
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
i : ι
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ Finsupp.lsingle i = TensorProduct.map (Finsupp.lsingle i) (Finsupp.lsingle i) ∘ₗ Coalgebra.comul
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
xs : List (Sigma β)
⊢ (⟨a, b⟩ :: xs).toAList = AList.insert a b xs.toAList
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
S : Set α
hS : S.OrdConnected
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ S ∈ 𝓝[>] x
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t u : Finset α
⊢ (s.disjSups t).disjSups u = (s.disjSups u).disjSups t
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ -Set.Iio a = Set.Ioi (-a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c d : Ordinal.{u_4}
⊢ a - b - c ≤ d ↔ a - (b + c) ≤ d
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν k : ℕ
w : k < n - ν
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = 0
x : ℂ
⊢ Complex.cosh x + Complex.sinh x = Complex.exp x
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.map (fun x => x + c) (Multiset.Ioc a b) = Multiset.Ioc (a + c) (b + c)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
this : HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) ((((compL 𝕜 E F G) (c x)).comp (smulRight 1 d') + ((compL 𝕜 E F G).flip (d x)).comp (smulRight 1 c')) 1) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ (φ * ψ).degrees ⊆ φ.degrees + ψ.degrees
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : AffineTargetMorphismProperty.IsLocal fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty @QuasiCompact
⊢ MorphismProperty.StableUnderBaseChange @QuasiCompact
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ.compProd η) a)
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ.compProd η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a ⊔ Booleanisation.comp b = Booleanisation.comp (a ⊓ b)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
self : Perfect C
⊢ IsClosed C
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)
⊢ induced (⇑homeo) (of { p // f p.1 = g p.2 }).topologicalSpace_coe = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ (∀ (x : E), p x = q x) → p = q
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ α (LieAlgebra.IsKilling.coroot α) = 2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ e.inverse.obj (e.functor.obj Y)
⊢ f ≫ e.unitInv.app Y = f' ≫ e.unitInv.app Y ↔ f = f'
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N₁ N₂ : Submodule R M
hN₁ : N₁.FG
hN₂ : N₂.FG
⊢ (N₁ ⊔ N₂).FG
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
⊢ 0 ≤ x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (↑C.u⁻¹ * ↑C'.u⁻¹) ^ 2 * (W.a₂ - (↑C'.u * C.s + C'.s) * W.a₁ + 3 * (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) - (↑C'.u * C.s + C'.s) ^ 2) = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (↑C'.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C'.s * W.a₁ + 3 * C'.r - C'.s ^ 2) - C.s * (↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C'.s)) + 3 * C.r - C.s ^ 2)
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
DivInvMonoid G
DivInvMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
a b : G
⊢ f (a / b) = f a / f b
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ b.reindexRange.repr (b i) = Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ Function.Injective Subtype.val
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a b : α
h : a ∈ s
hab : a ≠ b
⊢ (b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
p : Prop
ps : List Prop
f : Sat.Fmla
hf : f.proof []
hv : ∀ (v : Sat.Valuation), v.implies (Sat.Fmla.reify v f p) ps 0
⊢ p
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
⊢ (kernelSubobject f).arrow ≫ f = 0
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
y_neg : y < 0
⊢ (x ^ y).log = ↑y * x.log
a b : ℤ
h : a ≤ b + 1
⊢ ↑(Icc a b).card = b + 1 - a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) + t = ↑(lowerClosure (s + t))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
DecidableEq ι
S : Finset ι
p : ι → Ideal R
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
⊢ DirectSum.IsInternal fun i => Submodule.torsionBySet R M ↑(p ↑i)
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
IsDomain R
F : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (MvPolynomial.eval r) F = 0
hnR : ↑n ≤ Cardinal.mk R
⊢ F = 0
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x + y) ≤ max (v x) (v y)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α
s : Set α
hs : s ∈ atBot ⊔ atTop
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
self : K.IsStrictlySupportedOutside e
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (K.X (e.f i))
M : Type u_11
N : Type u_12
MulOneClass N
SMul M N
SMulCommClass M N N
x : M
y : N
⊢ y * x • 1 = x • y
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
⊢ |↑(sign f)| = 1
n d : ℤ
this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1
⊢ (n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s : Multiset α
p : β → Prop
DecidablePred p
⊢ Multiset.countP p (Multiset.map f s) = Multiset.card (Multiset.filter (fun a => p (f a)) s)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h₀ : ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 1
h₁ : a ∉ s → f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
c : β
huv : u ~[l] v
⊢ Filter.Tendsto u l (nhds c) ↔ Filter.Tendsto v l (nhds c)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
⊢ ↑f.inverse y = ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pullbackComparison G f g ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (G.map f) (G.map g) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ici a ⊆ Set.Ioi b ↔ b < a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
⊢ g.unop.left ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
A : Type u_1
Add A
e₁ e₂ : AddAut A
⊢ e₁ * e₂ = AddEquiv.trans e₂ e₁
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁷ : Zero α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Zero γ
inst✝⁴ : One α
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
hf₃ : f 1 1 = 1
⊢ (diagonal fun mn => f 1 1) = 1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix m n α
Invertible A
⊢ B * A * A⁻¹ = B
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ 𝟙 (N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P)) = α.hom ≫ β.hom
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ pure x ≤ F.lift' closure
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ range Subtype.val ⊆ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s ⊆ s.dedup
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ