ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyπNatTrans C).app S = S.leftHomologyπ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
⊢ S.LeftHomologyData
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
e₀ : E
⊢ ContDiff 𝕜 n fun f => (e₀, f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LE β
t c : Lex (α × β)
h : t ≤ c
⊢ (ofLex t).1 ≤ (ofLex c).1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ ⇑(Homeomorph.shearAddRight G) = fun z => (z.1, z.1 + z.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
⊢ LinearIndependent 𝕜 v
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
SemilatticeInf α
NoMinOrder α
Filter.atBot.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure α
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => μ (Set.Ioc x a)) Filter.atBot (nhds (μ (Set.Iic a)))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
⊢ ∀ (s : Set (α × β)), MeasurableSet s → Measurable fun b => (map (Prod.mk b) ν) s
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint a (b ⊓ c) ↔ Codisjoint a b ∧ Codisjoint a c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'
x₀ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x₀
hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖
h : ‖f ↑x₀‖ ≤ C
⊢ ∀ {z : ℂ}, 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ C
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s = (convexHull R) (range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0))
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
R : Type u_4
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R M M
c : R
a : M
b : ↥S
⊢ (c • 1) • a /ₒ (b * 1) = c • a /ₒ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ γ.neg.φQ = -γ.φQ
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
t : Finset ↑s
g : ↑s → R
hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'
i : ↑s
hi : i ∈ t
r : ↥(nonZeroDivisors R)
hg : ∑ x ∈ t, (↑r * g x) • ↑x = 0
⊢ g i = 0
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
q₁ q₂ : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
x✝¹ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₁
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₂
i₁ : ι
p₁ : (G i₁)[X]
ih₁ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ = q₁
i₂ : ι
p₂ : (G i₂)[X]
ih₂ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂ = q₂
i : ι
h1 : i₁ ≤ i
h2 : i₂ ≤ i
⊢ Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₁ i h1)) p₁ + Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₂ i h2)) p₂ = Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ + Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.closure (I ∩ J) = M.closure I ∩ M.closure J
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
g : α → F := Exists.choose hf
hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf)
hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf
h_eLpNorm_fg : eLpNorm g p (μ.trim hm) = eLpNorm (↑↑f) p μ
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ < ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 1
⊢ p₁ ≠ p₂
n : ℕ
⊢ Nat.Coprime 1 n ↔ True
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
x y z : E
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v : V
H : G.Subgraph
⊢ G.singletonSubgraph v ≤ H ↔ v ∈ H.verts
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (f' • 1) x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ Sym.replicate n a ∈ s.sym n
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ P.parts.Nonempty ↔ a ≠ ⊥
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
W.HasLeftCalculusOfFractions
h₁₂ : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
h₂₃ : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₂ z₃
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₃
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))
⊢ (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) ≤ᶠ[atTop] fun x => ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : MapsTo f s e'.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Prime (span {0}) ↔ Prime 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
⊢ a * b ≤ b ↔ a * b = b
k : ℤ
⊢ Prime k ↔ Nat.Prime k.natAbs
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius ≤ 1
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
z p : R
hz : z ≠ 0
hp : Irreducible p
ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n
hx : p * z ≠ 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ↑x = ∏ x : (ZMod p)ˣ, ↑x
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
⊢ False
α : Type u_1
s : Multiset α
n : ℕ
a : α
⊢ n • (a ::ₘ s) = n • {a} + n • s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ edist x y < ↑c ↔ nndist x y < c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).p = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)
⊢ f =o[𝓝[≠] a] fun x => (x - a)⁻¹
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
x : E
K : ProperCone 𝕜 E
⊢ x ∈ ↑K ↔ x ∈ K
m n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ (finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i) '' (p '' (s \ {i})))
x y : ℤ[i]
⊢ normSq (↑(toComplex x / toComplex y).re - ↑(toComplex (x / y)).re + (↑(toComplex x / toComplex y).im - ↑(toComplex (x / y)).im) * I) ≤ normSq (1 / 2 + 1 / 2 * I)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
⊢ ¬IsOfFinOrder x
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
⊢ a * b ~ᵤ 1 → a ~ᵤ 1
α : Type u_1
σ : α → Type u_3
l : (a : α) → List (σ a)
⊢ [].sigma l = []
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
⊢ x * y ∈ I
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x
f : α → β
this : DecidableEq α
⊢ (∏ x ∈ filter p s, f x) * ∏ x ∈ filter (fun x => ¬p x) s, f x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p a = 1 ↔ IsSquare ↑a
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : 0 < b - a
hc : 0 < c
⊢ 0 < c • b - c • a
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ closure (Metric.ball x r) = Metric.closedBall x r
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeAddGroup α
⊢ x.norm = 0 ↔ x = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ ≤ ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ + φ').τ₂ = φ.τ₂ + φ'.τ₂
n b : ℕ
h : 1 ≤ b
⊢ n.ProbablePrime b ↔ b ^ (n - 1) ≡ 1 [MOD n]
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ (G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
α : Type u_1
t : TopologicalSpace α
Preorder α
self : OrderTopology α
⊢ t = TopologicalSpace.generateFrom {s | ∃ a, s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a}
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : z ∈ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)
i : ι
⊢ z i < y i
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ eulerMascheroniSeq' n = ↑(harmonic n) - log ↑n
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
⊢ (g fun j => (update f i (a • f₀) j) (x j)) = a • g fun j => (update f i f₀ j) (x j)
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
⊢ schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card
X : Type u
p₁ p₂ : X → Prop
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen {x | p₁ x} → IsOpen {x | p₂ x} → IsOpen {x | p₁ x ∧ p₂ x}
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsBounded (f '' s)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : (p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑⊥
⊢ ↑((weight w) d) ≤ p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)
α : Type u
self : StrictOrderedRing α
a b : α
⊢ 0 < a → 0 < b → 0 < a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
f g : CategoryTheory.Over X
h : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Epi h ↔ CategoryTheory.Epi h.left
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
⊢ a < b → ¬b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpoly R x).natDegree
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a b : R[X]
h : (Polynomial.aeval x) (a * b) = 0
h' : ¬(Polynomial.aeval x) a = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) b = 0
M : Type u_3
CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin b → M
h : a = b
⊢ ∏ i : Fin a, f (Fin.cast h i) = ∏ i : Fin b, f i
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
hv : Submodule.span R s = ⊤
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt (⇑(equivIco p a)) x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
R : Type u_1
Semiring R
f : ℕ → R
⊢ f ⍟ 1 = f ⍟ fun x => ↑(ArithmeticFunction.zeta x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
inst✝⁹ : Module R M'✝
inst✝⁸ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V
⊢ B.dualBasis hB (B.dualBasis hB b) = b
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℝ
⊢ 0 ≤ (fun x => id x ^ 2) x
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ a / c < b / c
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(-↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s + (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(Int.sign 0) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedSinZeta (↑a) s)
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsScalarTower R A B
inst✝² : FormallyUnramified R B
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra A Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra
this : IsScalarTower R A Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
⊢ AlgHom.restrictScalars R f₁ = AlgHom.restrictScalars R f₂
Γ : Type u_1
inst✝⁵ : PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
a₁✝ a₂✝ : HVertexOperator Γ R V W
h : a₁✝.coeff = a₂✝.coeff
v : V
n : Γ
⊢ ((of R).symm (a₁✝ v)).coeff n = ((of R).symm (a₂✝ v)).coeff n
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : AddSubmonoid R
n : ℕ
⊢ s ^ n = closure (↑s ^ n)