ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < b + c
G : Type u_1
hG : Group G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : IsPGroup p G
⊢ Group.IsNilpotent G
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
l : List α
⊢ Chain' R ([a] ++ l) ↔ Chain' R [a] ∧ Chain' R l ∧ ∀ (x : α), x ∈ [a].getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l.head? → R x y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.AffineOpenCover
j : 𝓤.J
⊢ 𝓤.openCover.map j = 𝓤.map j
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ (F (p.coeff i)).IsHomogeneous j
a b : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (a + b) = Cardinal.lift.{v, u} a + Cardinal.lift.{v, u} b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α✝ → β
α : Type u_5
E : Type u_6
m m₂ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
⊢ StronglyMeasurable f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
⊢ (map W f).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map f (W.addPolynomial x y L)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ↑‖f (i • a)‖₊ ∂μ ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Subsingleton ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) = p
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
t : Set G
kt : s ⊆ t
t_meas : MeasurableSet t
⊢ s * closure {1} ⊆ t * closure {1}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : s ⊆ t
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
f : γ → α
inst✝² : MeasurableSpace.CountablySeparated α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : StandardBorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_meas : Measurable f
f_inj : InjOn f s
this : UpgradedStandardBorel γ := upgradeStandardBorel γ
tγ : TopologicalSpace γ := inferInstance
τ : TopologicalSpace α
left✝¹ : SecondCountableTopology α
left✝ : T4Space α
right✝ : OpensMeasurableSpace α
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
f_cont : Continuous f
t'_polish : PolishSpace γ
⊢ MeasurableSet (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
⊢ p ∣ a
α : Type u
f g : List α → List α
m n : ℕ
l : List α
⊢ List.modifyNthTail g (m + n) (List.modifyNthTail f n l) = List.modifyNthTail (fun l => List.modifyNthTail g m (f l)) n l
i k : ℤ
j : ℤ
H : i ∣ k
⊢ i.gcd j ∣ k.gcd j
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
m n k : ℕ
⊢ m.psub (n + 1) = some k ↔ k + (n + 1) = m
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ (⋃ n, ↑(u n)).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_10
V : ι → Type u_11
P : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommGroup (V i)
(i : ι) → Module k (V i)
(i : ι) → AffineSpace (V i) (P i)
i : ι
⊢ (AffineMap.proj i).linear = LinearMap.proj i
α β : AlexDisc
e : ↑α ≃ₜ ↑β
⊢ (AlexDisc.Iso.mk e).inv = e.symm.toContinuousMap
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
⊢ (∀ (i : Fin as.length), IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) as) • ⊤) (as.get i)) ↔ ∀ (i : Fin bs.length), IsSMulRegular (M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) bs) • ⊤) (bs.get i)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card) * (9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2)
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : ContinuousMul α
⊢ Continuous fun a => -a
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid M
f : α → M
h : ∀ (a : α), f a = 0
⊢ ∑ a : α, f a = 0
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0
⊢ log (b ^ logb b x) = log |x|
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
eq : ∀ (i : ι), IsIso ((quotient C c ⋙ homologyFunctor C c i).map f) ↔ IsIso ((HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).map f)
⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p < p.succAbove i ↔ p < i.succ
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ (fun x => -f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
⊢ a * b + b * a ≤ a * a + b * b
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
⊢ p / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
x : PartENat
n : ℕ
⊢ x < ↑n ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h < n
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstSMul G α
MulAction.IsMinimal G α
U : Set α
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
hμU : μ U ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : (i : I) → One (f i)
inst✝² : (i : I) → One (g i)
inst✝¹ : (i : I) → One (h i)
inst✝ : One β
i : I
x : β
i' : I
⊢ mulSingle i x i' = mulSingle i' x i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
n : ℕ
⊢ (L.mapComposableArrows n).EssSurj
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ GaloisConnection (NonUnitalSubalgebra.map f) (NonUnitalSubalgebra.comap f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) s
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
i j : n
⊢ 1 i j = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t₁ t₂ : (a : α) → Finset (δ a)
h : ∀ (a : α), t₁ a ⊆ t₂ a
⊢ Fintype.piFinset t₁ ⊆ Fintype.piFinset t₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ PadicInt.valuation 0 = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ homologyMap e.hom ≫ homologyMap e.inv = 𝟙 S₁.homology
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
ho : o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ a < c.ord → o.nfpBFamily f a < c.ord
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddCommSemigroup G
Add H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
⊢ f (a + x) = f x + b
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
a b c : ℕ
P✝ : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
k : ℕ
hk : 1 < k
P : M → Prop
hmul : ∀ (x y : M), P x → P (x * y) ∨ P (y * x)
hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x
x : M
hx : P (x ^ n)
h : P (x * x ^ n)
⊢ P (x ^ (n + 1))
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s ⊻ t).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ image2 f (⋂ i, s i) t ⊆ ⋂ i, image2 f (s i) t
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
⊢ of V ⋙q (lift φ).toPrefunctor = φ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L
⊢ ∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L), ?a.f✝ x_1 = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
⊢ P.toPoly.natDegree ≤ 1
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ 1 ↔ s.Subsingleton
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < Ordinal.sup f ↔ ∃ i, a < f i
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
Mul A
f g : MonoidAlgebra R A
a0 b0 : A
h : UniqueMul f.support g.support a0 b0
⊢ (f * g) (a0 * b0) = f a0 * g b0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ Orthonormal 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ
⊢ Integrable (φ • f) μ
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
⊢ F.Initial ↔ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
SemilatticeSup B
OrderBot B
Semiring R
Add A
Add B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degbm : ∀ {a b : A}, degb (a + b) ≤ degb a + degb b
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ (f * g).support.sup degb ≤ f.support.sup degb + g.support.sup degb
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α
⊢ (s.sup' hs fun i => a ⊓ f i) = s.sup' hs fun i => f i ⊓ a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
this : F⟮x⟯ ≤ ⨆ i, f i → ∃ s, F⟮x⟯ ≤ ⨆ i ∈ s, f i
⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
MeasurableSub G
hf : Measurable f
c : G
⊢ Measurable fun x => c - f x
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
⊢ {p | ∀ ⦃r : S⦄, r ∈ s → ∀ a ∈ N, r • a ∈ p} = {x | ∀ i ∈ s, i • N ≤ x}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
val✝ : Invertible (Q m)
⊢ IsUnit ((ι Q) m)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
x : ↥(S ⊓ f.domain)
y : ↥f.domain
h : ↑x = ↑y
this : (Submodule.inclusion ⋯) x = y
⊢ ↑(f.domRestrict S) x = ↑f ((Submodule.inclusion ⋯) x)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
⊢ f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a) ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
⊢ f.Homotopic f
α : Type u
Semiring α
x : α
⊢ ∑ i ∈ Finset.range 0, x ^ i = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : Rˣ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (k • z₁).comp z₂ h = k • z₁.comp z₂ h
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
TopologicalAddGroup M
f₁ : M →L[R] M₂
f₂ : M₂ →L[R] M
h : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
x : M
⊢ ↑((ContinuousLinearEquiv.equivOfRightInverse f₁ f₂ h) x).2 = x - f₂ (f₁ x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G
⊢ (adjoint (A ∘ₗ B)) v = (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ
⊢ a ^ (-Int.negSucc n) = a ^ ↑(n + 1)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ IsEmpty (PProd α β) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : s.Nonempty
⊢ s.centerMass (centroidWeights R s) id ∈ (convexHull R) ↑s
α : Type u_1
a : α
SizeOf α
as : List α
h : a ∈ as
⊢ sizeOf a < sizeOf as
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ n • (0 - a) = 0 - n • a
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ m₂
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.nextn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take n m₂) }
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
DecidableRel c.Rel
K : HomologicalComplex C c
x y : (α : G ⟶ K) × Homotopy (φ ≫ α) 0
⊢ x = y ↔ x.fst = y.fst ∧ ∀ (i j : ι), c.Rel j i → x.snd.hom i j = y.snd.hom i j
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
P : RegularExpression α
⊢ (RegularExpression.map f P).matches' = (Language.map f) P.matches'
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a ≠ s ↔ a ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
I₁ : CategoryTheory.Functorial F
I₂ : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y : C
⊢ ∀ (a : X ⟶ Y), (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.of F).map a = CategoryTheory.Functorial.map' a
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Sub α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, s i) - t = ⋃ i, s i - t
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Module.Free R S
Module.Finite R S
Module.Free S T
Module.Finite S T
⊢ Algebra.trace R S ∘ₗ ↑R (Algebra.trace S T) = Algebra.trace R T
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
s₁ s₂ : NonUnitalSubring R
hs : s₁ ≤ s₂
t₁ t₂ : NonUnitalSubring S
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : ι ≃ ι'
f : ι' → M
g : ι → M
h : f ∘ ⇑e = g
⊢ LinearIndependent R g ↔ LinearIndependent R f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
z : ℤ
f : C(α, β)
⊢ ⇑(z • f) = z • ⇑f
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hD : D ∈ 𝓝 x
⊢ oscillationWithin f D x = oscillation f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hkf : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf
⊢ (hS.leftHomologyDataOfIsLimitKernelFork kf hkf).K = kf.pt
S : Profinite
⊢ ClosedEmbedding (Profinite.Nobeling.ι S)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ ^ 2 = 1
⊢ 2 ∣ σ.support.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℕ
hm : 0 < ↑m
⊢ Tendsto (fun x => ‖x ^ (-↑m)‖) (𝓝[≠] 0) atTop
a b c d m n x : ℤ
⊢ ↑x.natAbs ^ 2 = x ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
Unique ι
Fintype ι
f : (i : ι) → (fun a => α) i
⊢ (IsometryEquiv.funUnique ι α) f = f default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0
x : ℝ≥0∞
⊢ ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x
r : ℝ
⊢ Convex ℝ {c | r < c.re}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
h : f.toFun 1 = 1
h₁ : ∀ (x y : A), f.toFun (x * y) = f.toFun x * f.toFun y
⊢ ⇑{ toCoalgHom := f, map_one' := h, map_mul' := h₁ } = ⇑f
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
a : ι
hat : a ∈ t
hu : ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → τ * δ b < δ a
⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u