ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
i j k : ℤ
H1 : k ∣ i
H2 : k ∣ j
⊢ (i / k).gcd (j / k) = i.gcd j / k.natAbs
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
⊢ ∀ (x : PGame × PGame), x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n
⊢ a.castSucc = 0 ↔ a = 0
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁴ : CommRing 𝒪
inst✝³ : IsDomain 𝒪
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra 𝒪 K
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
a b : 𝒪
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a
⊢ Function.RightInverse WType.ofNat WType.toNat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
hπ₂ : Epi π₂
x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁
hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁
x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f
x₂ : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := π₂ ≫ p ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
k₂ : A₂ ⟶ S.L₀.X₂ := ⋯.lift (x₂ - x₂') hx₂'
hk₂ : k₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = x₂ - x₂'
hk₂' : k₂ ≫ S.L₀.g = π₂ ≫ p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩
⊢ ∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts → a_1 ∉ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
x y z : SetTheory.PGame
⊢ ⟦(y - z) * x⟧ = ⟦y * x⟧ - ⟦z * x⟧
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : b ≤ a
⊢ a ⊔ b ≈ a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ : List α} {a : α} {l₂ : List α}, l₁ <:+ a :: l₂ ↔ l₁ = a :: l₂ ∨ l₁ <:+ l₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ basicOpen f ⊓ basicOpen g ≤ basicOpen f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
g' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') s x
H : ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f' = g'
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
x y : ℝ
⊢ -(x * y * log (x * y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
ι : Type u_1
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord H i j
hcard : 3 ≤ Cardinal.mk (H i)
hheadtail : i ≠ j
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f) w.prod ≠ 1
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
a b : ℕ
⊢ Nat.count p (a + b) = Nat.count (fun k => p (k + b)) a + Nat.count p b
α : Type u_1
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
h : (ENNReal.ofReal a).toReal = a
⊢ 0 ≤ (ENNReal.ofReal a).toReal
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
⊢ (∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0) → 𝟙 (S s) = 0
α : Type u_2
CommMonoid α
A : Set α
n : ℕ
⊢ IsMulFreimanIso n A A id
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : EqOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t => ↑a ^ (1 - s) • (fun u => ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.Center C
⊢ (𝟙 X).f = 𝟙 X.fst
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ I
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b ^ p - b) * (b ^ p + b) = (b ^ (p - 1 + 1) - b) * (b ^ p + b)
R : Type u_1
CommRing R
TopologicalSpace R
TopologicalRing R
U I : Ideal R
h : U ≤ I
hU : IsOpen ↑U
⊢ IsOpen ↑I
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ IsLocalization.mk' K x y = 0 ↔ x = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
h : ∀ (x : R), f x = 0
n : ℕ
⊢ (map f p).coeff n = coeff 0 n
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
⊢ Finset.range n = Finset.cons n' (Finset.range n') ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ c / a / (c / b) = b / a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.BilinForm.toLin.symm = LinearMap.toBilin
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ l.eraseIdx n = List.modifyNthTail List.tail n l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = ∏ a ∈ p.roots.toFinset, (X - C a) ^ rootMultiplicity a p
p q : Rat
⊢ p.num = q.num → p.den = q.den → p = q
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
x : X × Y
hf : ContinuousAt f x.1
⊢ ContinuousAt (fun x => f x.1) x
R : Type u
CommSemiring R
x : PrimeSpectrum R
⊢ closure {x} = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑x.asIdeal
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0
h : ∀ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = cexp (- -b * (↑x + c / (2 * b)) ^ 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α
⊢ dist x y = dist y x
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
y x : α
n : ℕ
hn : x < n • 1
⊢ x < ↑n
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = decide (a = b)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
r' : R₂ ⟶ R₃
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightComp L r r').hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ coequalizer.π f.op 0 ≫ cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op = coequalizer.π f.op 0 ≫ 𝟙 (cokernel f.op)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ p ≤ Submodule.comap f (Submodule.map f p)
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ g₂
⊢ f₁ ×ˢ g₁ ≤ f₂ ×ˢ g₂
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
E' : Type u_4
Field E'
Algebra F E'
Algebra F E
IsGalois F E
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ IsGalois F E'
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ a * b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d
⊢ f a * f b = f c * f d
p q : ℚ≥0
⊢ p = q ↔ p.num = q.num ∧ p.den = q.den
M : Type u_2
N : Type u_3
Semigroup M
Semigroup N
f : M →ₙ* N
a b : M
⊢ a ∣ b → f a ∣ f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
i : SimplexCategory
⊢ f.augmentedCechConerve.hom.app i = CategoryTheory.Limits.WidePushout.head fun x => f.hom
α : Type u_1
l : List α
p : [] ~ l
⊢ [] = l
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
c : α
⊢ StrictMonoOn (fun x => c * f x) s
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
hH : CategoryTheory.CoverPreserving J K H
H.IsCoverDense K
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective K f
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)
h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
⊢ ((k₁ + k₂ - 1).choose (i, j).1 • ((f₁ - μ₁ • 1) ^ (i, j).1 * (f₂ - μ₂ • 1) ^ (i, j).2)) m = 0
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
⊢ Prime n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset β
f : ι → Finset α
a✝ : α × β
⊢ a✝ ∈ interedges r (s.biUnion f) t ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => interedges r (f a) t
α : Type u_1
β : Type v
s t : Multiset α
u : Multiset β
⊢ (s + t) ×ˢ u = s ×ˢ u + t ×ˢ u
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ ↑(Finset.Ico 0 ↑2)
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
F : α → M →+ N
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.liftAddHom F) f = f.sum fun x => ⇑(F x)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
v' : Valuation R Γ₀
f : Γ₀ →*₀ Γ'₀
hf : Monotone ⇑f
inf : Injective ⇑f
h : v.IsEquiv v'
H : StrictMono ⇑f := Monotone.strictMono_of_injective hf inf
r s : R
⊢ f (v r) ≤ f (v s) ↔ v r ≤ v s
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
IsLocalization M S
IsLocalization N T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
⊢ IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) N) T
⊢ ⇑Complex.abs = fun z => √(Complex.normSq z)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
⊢ F.toOplaxMonoidalFunctor.toFunctor = F.toFunctor
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ + ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ NonemptyInterval.pure a * NonemptyInterval.pure b = NonemptyInterval.pure (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
hg : ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
a✝ : α
haf : ↑f a✝ ≤ ↑f' a✝
hag : ↑g a✝ ≤ ↑f' a✝
ha_sup : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
⊢ ↑(f ⊔ g) a✝ ≤ ↑f' a✝
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ 0 ≤ (fderivWithin ℝ f s a) y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → MetricSpace (α i)
x : (i : ι) → α i
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi μ) (Metric.ball x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.ball (x i) r)
m : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (m + 1), (2 * m + 1).choose i = 4 ^ m
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
⊢ ∀ {ι_1 : Type u_5} {p : ι_1 → Prop} {b : ι_1 → Set F},
  (𝓝 0).HasBasis p b →
    (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Bornology.IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | Set.MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g (σ i) < ∑ i : ι, f i * g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁
⊢ False
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q
β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'
E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor
α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor
α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
γ : G' ⋙ E₂ ≅ E₁ ⋙ G := liftNatIso W₁.Q W₁ (W₁.Q ⋙ G' ⋙ E₂) (W₁.Q ⋙ E₁ ⋙ G) (G' ⋙ E₂) (E₁ ⋙ G) ((W₁.Q.associator G' E₂).symm ≪≫ isoWhiskerRight β.symm E₂ ≪≫ Φ.functor.associator W₂.Q E₂ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor α₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight α₁.symm G ≪≫ W₁.Q.associator E₁ G)
hγ : ∀ (X : C₁), γ.hom.app (W₁.Q.obj X) = E₂.map (β.inv.app X) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X)
⊢ α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X ≫ G'.map g ≫ β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X ≫ E₁.map g ≫ α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y
α : Sort u_1
p : α → Prop
hp : ∀ (a : α), ¬p a
⊢ IsEmpty (Subtype p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
h : α → β → γ
f : γ → α
x : α
g : γ → β
y : β
i : Option γ
⊢ (i.elim (h x y) fun j => h (f j) (g j)) = h (i.elim x f) (i.elim y g)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Surjective ⇑(map g g')
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
⊢ s ∈ S → ∃ a, Ordinal.enumOrd S a = s
α : Type u
self : MetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = 0 → x = y
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R
⊢ MvPolynomial.comap (MvPolynomial.rename f) x = x ∘ f
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
Monoid E
Monoid F
MulAction F G
f : E →* F
a : E
x : G
⊢ a • x = f a • x
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Free R M'
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M') ↔ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) = Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M')
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
⊢ Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)) + ∑ i ∈ range 1, f i = (↑(m + 1) + 1 / 2) * Real.log (1 + (↑m + 1)⁻¹)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hF : IsClosed F
⊢ μ F = 1 ↔ F = univ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
⊢ (if m < n + 1 then if m = 0 then 1 else 0 else 0) = if m = 0 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ENNReal
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.UnifTight (fun x => g) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
AddGroup β
f : α → β
⊢ Continuous f
c : Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ x✝.contains c = true ↔ c ∈ x✝.toString.data
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K L : AddSubgroup N
hf : K ≤ f.range
⊢ AddSubgroup.comap f K ≤ AddSubgroup.comap f L ↔ K ≤ L
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ Set.range (SetLike.coe ∘ basicOpen) = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
k : ℕ
⊢ deriv^[k] (fun y => y ^ m) x = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑k)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
f : P →ₐ[R] P'
h : Function.Injective ⇑f
x : P
I : FractionalIdeal S P
⊢ f x ∈ FractionalIdeal.map f I ↔ x ∈ I
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ Function.Surjective ⇑e
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z
h₂ : r • f i = (r • 1) • f i
⊢ tprodCoeff R z (update f i ((r • 1) • f i)) = tprodCoeff R (r • 1 * z) f
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else 1 / 2 * ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t))) ((↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2)
⊢ Summable fun i => ‖1 / 2‖ / |↑i + a| ^ s.re
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp g 1 ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle G K 0
m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (z₁.comp ↑z₂ ⋯) = (CochainComplex.HomComplex.δ n m z₁).comp ↑z₂ ⋯
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.Nonsingular ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsRat (a ^ Int.negOfNat nb) num den
⊢ IsRat (a ^ b) num den
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c
⊢ a < b / c ↔ c * a < b
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun {b} => ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) {c | 0 < c.re}
z w : ℍ
⊢ w.im * (1 - rexp (-dist z w)) ≤ dist ↑z ↑w
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
h : M ≃+ N
x : M
⊢ h x = 0 ↔ x = 0
A : Type u_1
SeminormedAddGroup A
δ : ℕ → ℝ
a : A
⊢ a ∈ addWellApproximable A δ ↔ a ∈ Filter.blimsup (fun n => approxAddOrderOf A n (δ n)) Filter.atTop fun n => 0 < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p
⊢ ∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
h : f a ⋖ f b
⊢ a ⋖ b
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
x : M₁ ⊗[R] M₂
⊢ (Q₁.tensorComm Q₂) x = (TensorProduct.comm R M₁ M₂) x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k