ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
⊢ dimH (range f) ≤ dimH univ / ↑r
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
a b : α
⊢ {a} + {b} = {a + b}
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
⊢ ∃ n < p, x - ↑n ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n✝ d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
n : ℕ
this : Invertible ↑n
⊢ (↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ = ↑(-Int.ofNat d) * ⅟↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
α : Type u_1
UniformSpace α
CompactSpace α
⊢ 𝓝ˢ (Set.diagonal α) = 𝓤 α
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ (B (v i)) (v i) = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ (ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a).measure Set.univ = 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : ∃ c ∈ Icc a b, f c < g c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s * t)
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p
hp : p ≠ Fin.last n
hi : i ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ (p.castPred hp).predAbove i = i.castPred hi
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ finInsepDegree F F = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
⊢ (h₁.map F).π ≫ F.map ψ.φH = F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).π
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ Set.range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ Set.range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι'
⊢ (b.equiv' b' f g hf hg hgf hfg).symm (b' i) = g (b' i)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
⊢ ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
x : α
v : m → α
x✝ : m
⊢ (v ᵥ* diagonal fun x_1 => x) x✝ = (MulOpposite.op x • v) x✝
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ ((preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b ^ 4 else 1) - preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b ^ 4) * 1 = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even m then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even m then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) ^ 3
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ Ico a b ∪ Ico b c = Ico a c
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : a ∈ List.drop n l
⊢ a ∈ l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
G.Full
G.Faithful
I : D
hI : CategoryTheory.Injective (G.obj I)
⊢ CategoryTheory.Injective I
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ IsUnit I ↔ I = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}
⊢ IsClosed (negPart ⁻¹' {0})
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) I ⋯
⊢ Ordinal.lift.principalSeg.top = Ordinal.univ.{u, v}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖id 𝕜 E‖ = 1
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑(t ^ (a - 1)) * ↑(rexp (-(r * t))) = ↑(t ^ (a - 1)) * ↑(rexp (-(r * t)))
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
A : Type u_1
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eB : B ≌ B'
F : A ⥤ B'
G : B ⥤ A
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
X : B
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalenceCounitIso η).hom.app X =
  eB.inverse.map (η.hom.app X) ≫ eB.unitIso.inv.app X
α : Type u_2
β : Type u_3
Finite α
Nonempty α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x₀ ≤ f x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ InnerProductGeometry.angle x (r • y) = InnerProductGeometry.angle x y
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
NonUnitalSemiring α
StarRing α
Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
hA : A.IsHermitian
⊢ (B.conjTranspose * A * B).IsHermitian
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
k : ι
hk : k = i ∨ k = j
⊢ Disjoint (f k) (({i, j}.erase k).sup f)
R : Type u
CommRing R
Invertible 2
X Y : QuadraticModuleCat R
⊢ (X ⊗ Y).toModuleCat = X.toModuleCat ⊗ Y.toModuleCat
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle x (-y) = π - InnerProductGeometry.angle x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty + AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty = 𝟙 K[X]
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
⊢ Finset.fold op b f ∅ = b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ ⇑(AffineEquiv.vaddConst 𝕜 p) = fun v => v +ᵥ p
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc id a ≤ (algebraMap R A) r
ι : Sort u_1
R : Type u_2
Ring R
S : ι → Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk (f / g) ⋯ = MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf / MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg
M : Type u_2
CommMonoid M
p : Prop
Decidable p
x : M
⊢ ∏ᶠ (_ : p), x = if p then x else 1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
V : Set (α × α)
⊢ SymmetricRel (symmetrizeRel V)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.Tape.mk' L R).left = L
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ x < s.min' H ↔ ∀ y ∈ s, x < y
x : ℝ*
⊢ x.InfinitePos ↔ ∀ (r : ℝ), ↑r < x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k (s -ᵥ s)
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
Nonempty α
F : Filter β
u : α → β
⊢ (F ⊓ Filter.map u Filter.atBot).NeBot ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≤ N, u n ∈ U
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E
⊢ #↑s = #E
N : Type u_2
AddMonoid N
self : AddMonoid.FG N
⊢ ⊤.FG
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow = fun f => (f 0, f 1)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))
⊢ ↑((comap f U V hUV) (const R a b U hb)) p = ↑(const S (f a) (f b) V ⋯) p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i
⊢ a • h.hom i j = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ k.gcd l = k
α : Type u_2
m : Type u_9
n : Type u_10
NonAssocSemiring α
DecidableEq m
DecidableEq n
a b : ℕ
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) ↑a ↑b = ↑(a * b)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
h : (Metric.sphere 0 1).Pairwise fun x y => ‖x + y‖ ≠ 2
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
a : MvPolynomial σ R
⊢ (-a).totalDegree = a.totalDegree
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Countable ∧ s.Infinite ↔ Nonempty (Denumerable ↑s)
m : ℕ
⊢ (m + 1) % 2 = 0 ↔ m % 2 = 1
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
⊢ μ univ = ν univ
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.IsPushout ↔ ∀ (X : C), (sq.op.map (CategoryTheory.yoneda.obj X)).IsPullback
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (a b : α), f₁ a * f₂ b ≤ f₃ (a ⊓ b) * f₄ (a ⊔ b)
⊢ (∑ a : α, f₁ a) * ∑ a : α, f₂ a ≤ (∑ a : α, f₃ a) * ∑ a : α, f₄ a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : Finite β
t : β → Set α
⊢ IntegrableOn f (⋃ i, t i) μ ↔ ∀ (i : β), IntegrableOn f (t i) μ
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g
⊢ μ.testAgainstNN f ≤ μ.testAgainstNN g
α : Type u_1
as✝ : List (Option α)
as' : List α
acc : Array α
as : List (Option α)
⊢ fillNonesTR.go (none :: as) [] acc = acc.data ++ (none :: as).fillNones []
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitLower i x ≤ ↑I
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => ↑n * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) + a * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
α : Type u_6
CommMonoid α
β : Type u_7
Fintype β
s : Set β
DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
⊢ Finset.univ.prod f = Finset.univ.prod g
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p / (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) q }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : s ∈ TopologicalSpace.countableBasis α
⊢ s.Nonempty
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n) + ↑(2 * a) * (yz a1 (n + 1) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 1)) - xz a1 (n + 1)) - (yz a1 n * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ n) - xz a1 n)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
f : α → StieltjesFunction
hf : ∀ (q : ℝ), Measurable fun a => ↑(f a) q
hf_bot : ∀ (a : α), Filter.Tendsto (↑(f a)) Filter.atBot (𝓝 0)
hf_top : ∀ (a : α), Filter.Tendsto (↑(f a)) Filter.atTop (𝓝 1)
⊢ Measurable fun a => (f a).measure
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair ⥤ C
f : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } ≅ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }
g : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } ≅ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }
X : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.mapPairIso f g).inv.app X = (CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec f g X.as).inv
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapId X).hom.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
⊢ IsRadical (minpoly K f)
z : ℂ
this : HasSum ((fun i => ((-z * I) ^ i / ↑i ! - (z * I) ^ i / ↑i !) * I / 2) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
CommSemiring S₃
e : S₁ ≃+* S₂
f : S₂ ≃+* S₃
⊢ (MvPolynomial.mapEquiv σ e).trans (MvPolynomial.mapEquiv σ f) = MvPolynomial.mapEquiv σ (e.trans f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)
⊢ ∑ x : Fin (n + 1), ((if x ∈ {i₁, i₂} then ((↑2)⁻¹ + (↑2)⁻¹) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) = ∑ _x ∈ ?m.329271, 0
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f g : α → M
a : α
r : M → M → Prop
h1 : r 1 1
ha : a ∈ s → r (f a) (g a)
⊢ r (s.mulIndicator f a) (s.mulIndicator g a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
ncf : ¬G.CliqueFree z.card
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ (Polynomial.taylor r) 1 = Polynomial.C 1
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred a < Order.pred b ↔ a < b
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ s.sup f ⊓ a = s.sup fun i => f i ⊓ a
α : Type u
s : Set α
hs : s.Subsingleton
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s = {x}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, ↑(N i)
hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y
h0 : C 0
hadd : ∀ (y z : M), C y → C z → C (y + z)
⊢ C x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∧ b ≤ Order.succ a ↔ b = a ∨ b = Order.succ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ (∃ i, p i ∧ (f '' s i).Subsingleton) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s i, f x = f y
R : Type u_1
CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
k : ℕ
⊢ (f.ppow k).IsMultiplicative
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Iic a * Iio b ⊆ Iio (a * b)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ Sbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
⊢ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ↔ x ^ n = 1
R : Type u
inst✝ : Ring R
q n : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (-1) ^ q ^ n = -1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCochain G U
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ γ⁻¹.ev i j a b = (γ.ev i j a b)⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
h : f.preimage s ⊆ t
⊢ f.preimage s ∈ 𝓝 x
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
h : ¬μ s = 0
⊢ False
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cone F
i : r ≅ t
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsLimit.equivIsoLimit i).symm P = P.ofIsoLimit i.symm
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
⊢ IsPreconnected (f ⁻¹' connectedComponent t)
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c
h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }
⊢ { data := l.reverse ++ c :: r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len l } = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) l).tail?
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ F.d p' p ≫ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms ψ).v p q hpq = F.d p' q ≫ ψ q
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x + g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
α : Type u_1
m n : PosNum
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
H : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
x : M
h : x ∈ Submodule.span R s
⊢ f x = g x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
h : a ∉ s
⊢ Multiset.count a s = 0
k : Type u
Field k
⊢ IsAlgClosure k (AlgebraicClosureAux k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
x : α × β × γ
⊢ SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle x = {Sum3.in₀ x.1, Sum3.in₁ x.2.1, Sum3.in₂ x.2.2}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ≥0
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M
⊢ ‖u‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖↑v.equivFunL‖₊ * M