ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ cexp (↑x * I) + cexp (-(↑x * I)) - (2 - 1 * ↑x * ↑x) = cexp (↑x * I) - (1 / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)) + (cexp (-(↑x * I)) - (1 / (↑0 + 1) + -(1 * (↑x * I)) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + -(1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I)) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ ENNReal.ofReal ‖f - g‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
⊢ (Function.Injective fun n => x ^ n) ↔ ¬IsOfFinOrder x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ ⟶ Δ'
CategoryTheory.Mono i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i ≫ f.f Δ.len =
  f.f Δ'.len ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K' i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ
⊢ (f.trans g).toContinuousMap = g.toContinuousMap.comp f.toContinuousMap
α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hB : M.Base B
h : B ⊂ X
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Dep X
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a : G
⊢ 0 • a = 0
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = v x
⊢ v y = v x
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.X s)⁻¹ = 0
α : Type u_5
self : KleeneAlgebra α
a b : α
⊢ b * a ≤ b → b * a∗ ≤ b
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
⊢ ↑((skewAdjointPart ℝ) x) = I • ↑(ℑ x)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ ⊥ < ↑(x - y)
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ 0 < aleph' o
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ fderivWithin ℂ (fun x => Complex.sinh (f x)) s x = Complex.cosh (f x) • fderivWithin ℂ f s x
R : Type u
CommRing R
x : R
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {x})) x = 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R ca.think cb ↔ Computation.LiftRel R ca cb
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : LowerSemicontinuousOn f s
gmon : Monotone g
⊢ LowerSemicontinuousOn (g ∘ f) s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
f : R[T;T⁻¹]
m : ℤ
a : R
⊢ T n * (C a * T m) = C a * T m * T n
r x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun a => -rexp (-(r * a))) (r * rexp (-(r * x))) x
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
ha : a < 0
⊢ StrictMono fun x => f x * a
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
c : E
h : IsCompact (closedBall c r)
⊢ IsCompact (closedBall 0 r)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub
trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c
⊢ ∃ m, ∀ (a : α), r m a → r a m
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
self : H.Characteristic
ϕ : G ≃* G
⊢ Subgroup.comap ϕ.toMonoidHom H = H
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ ↑f a = Part.some (f a)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
⊢ (LinearMap.ker (g ∘ₗ f)).FG
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
⊢ ∀ (r : R), (algebraMap R S) r = (algebraMap R S) r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Fintype V
⊢ ∃ n, card V = card K ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
p : ℝ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => f x ^ p) ((p * f x ^ (p - 1)) • f') s x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f f' : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
h : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, HasDerivWithinAt f (f' z) (Metric.sphere c R) z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f' z) = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f : N →* M
x y : N
⊢ c (f x) (f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)
w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : x ≠ 0
y z : ℝ≥0
hyz : (fun y => y ^ x) y = (fun y => y ^ x) z
⊢ y = z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → α
hf : MonotoneOn f s
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u
Group α
⊢ ⊥.toTopologicalSpace = ⊥
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluedLift 𝒰 f g s ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g = s.fst
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → G
comm : (↑s).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
K : ι → AddSubgroup G
hind : CompleteLattice.Independent K
hmem : ∀ x ∈ s, f x ∈ K x
heq1 : s.noncommSum f comm = 0
i : ι
⊢ i ∈ s → f i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace β
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A B : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ Matrix.UnitaryGroup.toLin' (A * B) = Matrix.UnitaryGroup.toLin' A ∘ₗ Matrix.UnitaryGroup.toLin' B
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : v +ᵥ p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
⊢ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
⊢ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ) = ⊤
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
⊢ M * (BilinForm.toMatrix b) B = (BilinForm.toMatrix b) (B.compLeft ((Matrix.toLin b b) M.transpose))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c ↔ a ≤ b * c
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2
⊢ False
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ closedBall x r = ⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
H : a.cof.ord = o
⊢ a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯
n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
IsDomain B
NeZero ↑↑n
⊢ (Polynomial.aeval (IsCyclotomicExtension.zeta n A B)) (Polynomial.cyclotomic (↑n) A) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict s, μ.rnDeriv ν x < ⊤
a b : Cardinal.{u_1}
h' : a ≠ 0
h : ℵ₀ ≤ b
⊢ b * a = max b a
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization → d ∣ n
S : Type u_3
Mul S
a b : S
h : Commute a b
⊢ a * b = b * a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).dens + (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0
hp : m.primeFactors ⊆ s
⊢ m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hf : u = fun i => g.symm (g (u i))
⊢ g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f) ≤ limsup (fun i => g.symm (g (u i))) f
α : Type u_1
Fintype α
h : 1 < Fintype.card α
a : α
⊢ ∃ b, b ≠ a
u : Level
e' r : ℤ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n n' : ℕ
inst : CharP α n
e : α
he : IsInt e e'
hn : IsNat n n'
h₂ : IsInt (e' % ↑n') r
⊢ e = ↑r
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
⊢ (l.rotateR x r).size = l.size + r.size + 1
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ star ↑x = ↑x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : E), pdf X ℙ μ x * f x ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ
α : Type u_1
σ : Type u_2
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
hf : Primrec f
⊢ Computable f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
b✝ : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
⊢ (∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv (forkMap P X π t) = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
n : ℤ
⊢ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shift n =
  HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
⊢ BddAbove (range fun c => a ^ ↑c)
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
⊢ min x y = Filter.Germ.map₂ min x y
β : Type u_1
α : Type u_2
Unique β
x : α × β
⊢ (Equiv.prodUnique α β) x = x.1
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
p : P
⊢ ⇑(Equiv.vaddConst p).symm = fun p' => p' -ᵥ p
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
ij : ι × ι
k : ι
⊢ (b.end ij) (b k) = if ij.2 = k then b ij.1 else 0
m : Num
n : ℕ
⊢ ↑(m >>> n) = ↑m >>> n
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[m * n] = f^[m]^[n]
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
⊢ N.toSubmodule ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule
R : Type u_4
AddMonoidWithOne R
x : R
⊢ x ∈ 1 ↔ ∃ n, ↑n = x
a : ℝ≥0∞
⊢ a - ⊤ = 0
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
⊢ (⋂₀ F).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LT α
⊢ ⊥ < ↑b ↔ ∀ (a : α), ⊥ = ↑a → a < b
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
a b : α
h1 : 0 ≤ a
h2 : 0 ≤ b
⊢ a ≤ b ↔ a * a ≤ b * b
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
⊢ AddSubgroup.centralizer ↑(AddSubgroup.closure S) = ⨅ g ∈ S, AddSubgroup.centralizer ↑(AddSubgroup.zmultiples g)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
Nonempty β
⊢ Nonempty α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ Function.Injective CentroidHom.toEnd
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
hd : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y
x✝ : E
⊢ f c = (f ∘ ↑e.symm) (↑e c)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
⊢ o.nfpBFamily f = Ordinal.nfpFamily (o.familyOfBFamily f)
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ s.carrier = ↑s
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I.IsPrime
⊢ I ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
⊢ gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
g : Y → Z
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : ι → Y
l : Filter ι
y : Y
hg : Inducing g
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Filter.Tendsto (g ∘ f) l (𝓝 (g y))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
⊢ eval x p = p.sum fun e a => a * x ^ e
x : ℝ≥0∞
⊢ ENNReal.logHomeomorph x = x.log
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.opEquivalence V c).inverse = HomologicalComplex.opInverse V c
w : Nat
x y : BitVec w
a b : Bool
⊢ x.concat a ^^^ y.concat b = (x ^^^ y).concat (xor a b)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, SetIndependent a
⊢ SetIndependent (⋃₀ s)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α ≃o β
x y : α
⊢ f (x ⊔ y) = f x ⊔ f y
x : Int
xs : List Int
i : Nat
y : Int
⊢ Lean.Omega.IntList.set (x :: xs) (i + 1) y = x :: Lean.Omega.IntList.set xs i y
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.minimalPeriod f x = 1 ↔ Function.IsFixedPt f x
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero V
inst✝ : SMul R V
x y : HahnModule Γ R V
⊢ ((of R).symm x).coeff = ((of R).symm y).coeff ↔ x = y
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0
⊢ P α
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} ↔ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I J : Ideal S
⊢ spanNorm R (I * J) ≤ spanNorm R I * spanNorm R J
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
⊢ ∀ (y_1 : X), (fun x => f x = y) y_1 → y_1 = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') PUnit.unit
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
S₁ : Type u_2
SMulZeroClass S₁ R
r : S₁
⊢ r • (MvPolynomial.monomial s) a = (MvPolynomial.monomial s) (r • a)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
⊢ ￢⊥ = ⊤
α : Type u_1
AddCommGroup α
c : ℤ
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smulg c 0 = 0
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
⊢ ↑(LieModule.weightSpaceOf M 0 x) = ⨆ k, LinearMap.ker ((LieModule.toEnd R L M) x ^ k)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ z ∈ e.source
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
⊢ (1 + a) * (1 + a) * (1 + a) ^ n = (1 + a) ^ (n + 2)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
⊢ ↑p = |↑p|
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : ↑(finrank ℝ E) < d
⊢ μH[d] = 0
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * 0 * ω ^ 2 ^ p' - 1
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
α : Type u_1
s : Finset α
Nonempty α
⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∃ x, s ⊆ {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
⊢ Monotone s.disjSum
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
⊢ normalize (s.lcm f) = s.lcm f
α : Type u_1
SeminormedRing α
a : α
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ‖a ^ n‖ ≤ ‖a‖ ^ n
α : Type u
β : Type v
C : β → Sort u_2
op : α → β → β
b : β
hb : C b
hl : (b : β) → C b → (a : α) → a ∈ [] → C (op a b)
⊢ [].foldrRecOn op b hb hl = hb
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
c : M
hc : IsUnit c
⊢ IsOpenMap fun x => c • x
⊢ Set.range Nat.succ = {i | 0 < i}
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
q : IsSplitCoequalizer f g π
F : C ⥤ D
⊢ F.map q.leftSection ≫ F.map f = F.map π ≫ F.map q.rightSection
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.traceAux R b) f = ((LinearMap.toMatrix b b) f).trace
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I ≠ ⊤
⊢ ∃ M, M.IsMaximal ∧ I ≤ M
a b c : ℕ
hc : 0 < c
⊢ a * c ∣ b * c ↔ a ∣ b
p : Bool → Prop
⊢ (∀ (b : Bool), p b) ↔ p false ∧ p true
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b ≤ a ↔ a = b
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : ↑n < p.trailingDegree
⊢ p.coeff n = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : IsTotallySeparated s
⊢ IsTotallyDisconnected s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
⊢ 0 ⟂ᵥ w
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = M.one
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
g : X → Y
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt g x
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(LieSubmodule.baseChange A N) = Submodule.baseChange A ↑N
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ∀ (x : L), x ∈ L₁' ↔ x ∈ L₂'
⊢ L₁' = L₂'
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
x : L
⊢ x ∈ IntermediateField.extendScalars h ↔ x ∈ E
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
self : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 self.target