ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k
⊢ ↑((s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂).toSignedMeasure - (s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃).toSignedMeasure) k = ↑s k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct
s' : WSeq α
h1 : s' ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
right✝ : a ∈ s'.destruct
⊢ s.destruct.Terminates
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DecidableEq l
A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hA : Continuous A
x✝¹ : (i : l) × m' i
x✝ : (i : l) × n' i
i₁ : l
i₂ : m' i₁
j₁ : l
j₂ : n' j₁
⊢ Continuous fun a => blockDiagonal' (A a) ⟨i₁, i₂⟩ ⟨j₁, j₂⟩
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueAdd A B a0 b0
⊢ Subsingleton { ab // ab.1 ∈ A ∧ ab.2 ∈ B ∧ ab.1 + ab.2 = a0 + b0 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ
a : α
haf : 0 a ≤ f a
hag : 0 a ≤ g a
⊢ ‖f a‖ ≤ (f + g) a
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
⊢ ∀ (x : ↑I), ↑x = 1 / 2 → 2 * ↑x = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : One β
f : α → β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
⊢ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
app : (X : Cᵒᵖ) → ↑(P.obj X) →ₗ[↑(R.obj X)] ↑(Q.obj X)
naturality : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f : X ⟶ Y) (x : ↑(P.obj X)), (app Y) ((P.map f) x) = (Q.map f) ((app X) x)
⊢ PresheafOfModules.Hom.app (PresheafOfModules.Hom.mk' app naturality) = app
a : Nat
h : 0 ∣ a
⊢ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
J.PreservesSheafification F
P₁ P₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : P₁ ⟶ P₂
hf : J.W f
⊢ J.W (CategoryTheory.whiskerRight f F)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
MulOneClass δ
f : γ →*o δ
g : β →*o γ
h : α →*o β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
⊢ (∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ IsConnected s) id) ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x ∈ V ∧ IsConnected V
R : Type u
CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.Monic
h : 𝓟 ≠ ⊤
⊢ f.leadingCoeff ∉ 𝓟
fs : Code
k : Cont'
⊢ contSupp (Cont'.cons₁ fs k) = trStmts₁ (move₂ (fun x => false) main aux (move₂ (fun s => decide (s = Γ'.consₗ)) stack main (move₂ (fun x => false) aux stack (trNormal fs k.cons₂)))) ∪ codeSupp fs k.cons₂
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p a ^ 2 = 1
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
⊢ DifferentiableOn ℂ (EisensteinSeries.eisSummand k a ∘ ↑UpperHalfPlane.ofComplex) {z | 0 < z.im}
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑(m + n) < ℵ₀
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a
⊢ (a / b).natAbs = a.natAbs / b.natAbs
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s)).IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
h : xs <+ ys
⊢ xs.sym2 <+ ys.sym2
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1
p : ℕ
hp : Prime p
hpdvd : p ∣ m.gcd n
⊢ m.gcd n ∣ m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E
⊢ ⇑f '' parallelepiped v = parallelepiped (⇑f ∘ v)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
f : α → β
hi : Injective f
⊢ (range f).Infinite ↔ Infinite α
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E
⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycle
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a + -b ≤ c ↔ a ≤ b + c
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X n).Factors (AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
h₁ : α ≃ᵤ β
h₂ : β ≃ᵤ γ
a : α
⊢ (h₁.trans h₂) a = h₂ (h₁ a)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯ ≤ adjoin F ↑(Finset.image Subtype.val s)
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeInf T
Add T
OrderTop T
CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : AddHom A T
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ AddMonoidAlgebra.infDegree (⇑D) f + AddMonoidAlgebra.infDegree (⇑D) g ≤ AddMonoidAlgebra.infDegree (⇑D) (f * g)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ Complex.abs (Complex.HadamardThreeLines.invInterpStrip f z ε) =
  (ε + Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) *
    (ε + Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Ici a = Set.Ici ⌈a⌉
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n : ℕ
⊢ ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ᵐ * a⁺ᵐ = mabs a
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p ∨ q x) ↔ p ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.mk f) Polynomial.X = AdjoinRoot.root f
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
o : Ordinal.{u_3}
⊢ Ordinal.type (Quotient.out o).r = o
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : Function.Injective f
h : Set.SurjOn f s t
⊢ f ⁻¹' t ⊆ s
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
⊢ (¬∀ (φ : Module.Dual K (V ⧸ W)), φ (Submodule.Quotient.mk v) = 0) → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
M : Type w
L.Structure M
Nonempty M
h : M ⊨ T
⊢ ↑h.bundled = M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : Differentiable 𝕜 f
c : F
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => f y - c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (f a, 0))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.map η).right = η.right.app (SimplexCategory.mk 0)
a b : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ 1 + x ^ 2 ≠ 0
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffOn I' I n (f i) s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) s
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ✝ : Type u_1
δ : Type u_2
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop
⊢ (∃ fab, p fab) ↔ ∃ fa fb, p fun t => rec fa fb t
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K
⊢ x ∈ ⟨↑I / ↑J, ⋯⟩ ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
⊢ (cauSeqRe f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).re
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ‖(MeasureTheory.Lp.const p μ) c‖ ≤ ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ StrictMonoOn f₁ s ↔ StrictMonoOn f₂ s
R : Type u_1
Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
Fintype l
DecidableEq l
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
x : l → R
⊢ (Matrix.toLinearMapRight' (M * N)) x = (Matrix.toLinearMapRight' N) ((Matrix.toLinearMapRight' M) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ f.fix a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) ((f a).get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hbase a fa
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
a a' : α
h : a ≠ a'
x✝ : M
⊢ (lapply a ∘ₗ lsingle a') x✝ = 0 x✝
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
c : S₂
⊢ (MvPolynomial.iterToSum R S₁ S₂) (MvPolynomial.C (MvPolynomial.X c)) = MvPolynomial.X (Sum.inr c)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : CategoryTheory.Functor D T
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X) (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T))}
  (f : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.StructuredArrow.toUnder X F).map f).right = F.map f.right
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ ((diagonal v).updateColumn j (Pi.single i 1)).det = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i j
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ ∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, ∀ q ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ∣ q → p = q
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ (cs.simple i)⁻¹ = cs.simple i
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
hf : IsMulOneCocycle f
⊢ IsMulOneCoboundary f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair f (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f f) (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f f)
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
h : c ≤ a
⊢ c ≤ a ⊔ b
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
⊢ (∏ x ∈ s, f x ^ if a = x then 1 else 0) = if a ∈ s then f a else 1
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).natDegree ≤ n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
self : Sylow p G
Q : Subgroup G
⊢ IsPGroup p ↥Q → ↑self ≤ Q → Q = ↑self
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
⊢ (eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
B : BilinMap R M N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
Q : QuadraticMap R M N
x✝¹ x✝ : M
⊢ ((f.compQuadraticMap' Q).polarBilin x✝¹) x✝ = ((compr₂ Q.polarBilin f) x✝¹) x✝
α : Type u
a b : α
CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
⊢ (a + b) ^ (m + n - 1) ∈ I
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.cos (x - ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.cos x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
⊢ B.IsRefl
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
X : Condensed A
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition X.val
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - b + c = a + c - b
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
h : x ~ᵢ y
hs : IsClosed s
⊢ x ∈ s ↔ y ∈ s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ
⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n
this : -(π / 2) < π / 2
⊢ Tendsto (fun x => tan ↑x) atBot atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c x / d) s x = derivWithin c s x / d
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t t' : Finset β
⊢ Disjoint (s ×ˢ t) (s' ×ˢ t') ↔ Disjoint s s' ∨ Disjoint t t'
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G
⊢ T.map (α.f + β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f + β.f)
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F G : J ⥤ C
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ 𝟙 (limit F ⊗ limit G) ≫ (limit.π F j' ⊗ limit.π G j') = (limit.π F j ⊗ limit.π G j) ≫ (F.map f ⊗ G.map f)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ x1 ∈ ⨆ i, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
NoMinOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atBot l
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
i : ι
h : a ≤ f i
⊢ a ≤ iSup f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι
⊢ ∀ (j : M.ι), biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i
a : Int
b : Int
⊢ b ≠ 0 → 0 ≤ a % b
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ ∃ J, ↑J ⊆ C ∧ (↑J).PairwiseDisjoint id ∧ s \ ⋃₀ ↑I = ⋃₀ ↑J
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ prod.lift (prod.lift a b) (prod.lift c d) ≫ σ = prod.lift (prod.lift a c ≫ σ) (prod.lift b d ≫ σ)
r p : ℝ
⊢ 𝓝 (↑r, ↑p) = Filter.map (fun p => (↑p.1, ↑p.2)) (𝓝 (r, p))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ ¬⊤ ≤ ↑a
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
⊢ minpoly A x ≠ 0
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c : E
lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b lb lb'
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
hf : Filter.Tendsto f (lb' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt lb
hv : Filter.Tendsto v lt lb
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in a..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t =>
  ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ