ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec r s).1 * IsLocalization.Away.invSelf r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
a : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0
⊢ (a * 0).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ primeFactorsList 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
hd : α
tl : List α
ih : ∀ {init tail : List α}, (init, tail) ∈ tl.inits.zip tl.tails ↔ init ++ tail = tl
init tail : List α
⊢ (init, tail) ∈ ([], hd :: tl) :: (map (fun t => hd :: t) tl.inits).zip tl.tails ↔ init ++ tail = hd :: tl
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
BiheytingAlgebra γ
f₁ f₂ : BiheytingHom α β
g : BiheytingHom β γ
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ →₀ ℕ
⊢ (monomial i) 1 ∣ (monomial j) 1 ↔ i ≤ j
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.comap N.incl N = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : Function.mulSupport f ⊆ ↑s
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b ∈ s, f b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
le : m ≤ n
⊢ ContMDiffOn I I' m f s
R : Type u
Semiring R
k : ℕ
p : R[X]
m : ℕ
⊢ ((⇑Polynomial.derivative)^[k] p).coeff m = (m + k).descFactorial k • p.coeff (m + k)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
⊢ (X * p).reverse = p.reverse
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x h, P x h) → (∀ (a : α) (h : p a), P a h → b) → b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : Set α
h : s ⊆ t
u : Set ↑s
hs : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
hu : MeasurableSet u
⊢ MeasurableSet (Set.inclusion h '' u)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (f.sum fun x x => 0) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
n : ℕ
hz : n ≠ 0
⊢ n • ψ = n • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(p / ↑n)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
⊢ ↑1 n = 1
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]
⊢ RatFunc.mk p 1 = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p }
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
p : ι → AddSubmonoid M
⊢ ⨆ i, p i = AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
X : Pointed
a : X.X
⊢ (Pointed.Hom.id X).toFun a = id a
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
⊢ compress u v a ∈ s ∧ compress u v (compress u v a) ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a
α : Sort u
r : α → α → Prop
motive : Quot r → Prop
q : Quot r
h : ∀ (a : α), motive (Quot.mk r a)
⊢ motive q
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
⊢ 1 = ContinuousLinearMap.id R₁ M₁
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
⊢ (ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E) x ≤ 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂
⊢ (if h : x₁ = x₂ ∧ y₁ = W.negY x₂ y₂ then 0 else some ⋯) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
c : M'
⊢ MDifferentiableOn I I' (fun x => c) s
X Y : FinBddDistLat
a : BoundedLatticeHom ↑X.toBddDistLat.toBddLat.toLat ↑Y.toBddDistLat.toBddLat.toLat
⊢ FinBddDistLat.dual.map a = BoundedLatticeHom.dual a
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' (hσ' q))).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hσ' q i j hij)).f n
⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app Y = c.π.app Y
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
b : ℕ
⊢ a ^ b = a ^ b * Nat.rawCast 1 + 0
R : Type u_1
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ ∑ m ∈ range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
⊢ (fun n => a / 2 / 2 ^ n) = fun i => a / 2 * (1 / 2) ^ i
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℤ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + n • b
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
⊢ SameRay R (-x) (-y) ↔ SameRay R x y
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w.IsComplex ↔ ¬NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocSemiring R
m : ℕ
⊢ m • 1 = ↑m
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : (reflection s) p₁ = p₁
p₂ : P
⊢ dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
hI' : M.Indep I
⊢ M.Basis I X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hps : ∀ x ∈ s, p x
⊢ f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.destruct.bind (destruct_append.aux S.join)) (t.destruct.bind (destruct_append.aux T.join))
G : Type u_4
AddCommGroup G
s t : Set G
x : G
⊢ x ∈ AddGroup.closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ AddGroup.closure s, ∃ z ∈ AddGroup.closure t, y + z = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.homologyData.left = s.leftHomologyData
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
⊢ (Ioi c).indicator (fun x => f (a * x)) x = (Ioi (a * c)).indicator f (a * x)
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
w✝ : I → Bool
left✝ : w✝ ∈ C
⊢ (eval (π C J) l) ⟨Proj J w✝, ⋯⟩ = 0 ⟨Proj J w✝, ⋯⟩
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁ ≅ C₂
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.Hom.isoApp f i).hom = f.hom.f i
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l → 0 < l.length
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : β), IsOpen (f ⁻¹' Set.Ioi y)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ s.max' H ∈ s
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : i.EssImageSubcategory
⊢ i.essImageInclusion.map (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom = inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
j : J
⊢ (F.mapBicone b).ι j = F.map (b.ι j)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f_1 : ℕ → Set (β × ℝ)), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ f_1 i} ∂ν a = (κ a) (f_1 i)) → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ⋃ i, f_1 i} ∂ν a = (κ a) (⋃ i, f_1 i)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
g : α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hfg : Set.EqOn f g s
⊢ TendstoUniformlyOn F g p s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
UniformSpace Y
(𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
⊢ IsGδ {x | ContinuousAt f x}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})
⊢ ∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y))
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j k)
        (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
τ : F ≅ G
⊢ (S.mapNatIso τ).hom = S.mapNatTrans τ.hom
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
⊢ b ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
Preorder α
CovariantClass M α HSMul.hSMul LT.lt
m : M
⊢ StrictMono (HSMul.hSMul m)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
this : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ U
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit a
⊢ a / a = 1
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
⊢ ↑x * ↑a + ↑y * -↑b = ↑d
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ sSup ∅ = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.trivial C).comul = (λ_ (𝟙_ C)).inv
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hKL : K ≤ L
hHL : H.relindex L ≠ 0
⊢ H.relindex K ≤ H.relindex L
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := {i₁, i₂}
hfs : ∀ i ∉ fs, i ≠ i₁ ∧ i ≠ i₂
⊢ -(∑ x : Fin (n + 2 + 1), ∑ x_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (if x = i₁ ∨ x = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x_1 * (dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1) * dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1)) + ∑ x : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), -2 / ↑(n + 1) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x * (dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x) * dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x))) / 2 = 0
a : Bool
l : List Bool
⊢ (a :: l).and = (a && l.and)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α
⊢ (Language.map f) R.matches' * (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
⊢ count K v ↑J = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)
x : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex (star x) = (starRingEnd ℂ) (GaussianInt.toComplex x)
m n : Nat
⊢ BitVec.zeroExtend m 0#n = 0#m
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι
⊢ f x ≤ 1
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ 0 ≤ if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hx' : x ∈ Submodule.span R Φ
f g : Module.Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection x g)) Φ Φ
⊢ (Submodule.span R Φ).subtype.dualMap f = (Submodule.span R Φ).subtype.dualMap g
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k
⊢ slope f a a = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
n : ℕ
⊢ count a (replicate n a) = n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E₂ : Type u_6
F : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R₂ E₂
NormedAddCommGroup F
Module R F
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : F
h : x ≠ y
⊢ f₁ x ≠ f₁ y
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
⊢ p s
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ StrictMonoOn (fun x => x ^ r) (Set.Ici 0)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittSub p n) = 0
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Set (Subtype p)
t : Set α
⊢ s = Subtype.val ⁻¹' t ↔ ∀ (x : α) (h : p x), ⟨x, h⟩ ∈ s ↔ x ∈ t
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑f)^[n] s s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ ((α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv).unop = Quiver.Hom.unop (op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv))
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasGenEigenvalue μ 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
⊢ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x}) → x ∈ extremePoints 𝕜 A
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h2 : p * (X - C a) ^ n ≠ 0
⊢ rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) ≤ rootMultiplicity a p + n
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f 0 p = f (MvPolynomial.constantCoeff p)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
U : Opens ↑Y
S : Sieve U
hS : S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑Y).sieves U
x : ↑X
hx : x ∈ (Opens.map f).obj U
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ U
hi : S.arrows i
hxV : f x ∈ V
⊢ ∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward (Opens.map f) S).arrows f_1 ∧ x ∈ U_1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ map₂ Prod.mk f g = f ×ˢ g
b x : ℝ
hb : 0 < b
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => rexp (-(b * x))) (Set.Ioc 0 x) MeasureTheory.volume
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : List Γ
⊢ Turing.BlankExtends l l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
⊢ (⋃₀ S).Nonempty ↔ ∃ s ∈ S, s.Nonempty
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⊓ ψ) ∼(∼φ ⊔ ∼ψ)
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ E'
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
CompleteSpace E'
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
μ.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi 0) ν
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g (Set.Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ =
  (L (∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, g x ∂μ)
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ ⊓ a⁻ = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree
⊢ False
α : Type u
Add α
a b : α
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (Metric.closedBall 0 ↑r) z
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
⊢ a ⊔ b = b ⊔ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}
⊢ BddLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatInfCat =
  CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatSupCat ⋙ SemilatSupCat.dual
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p + 1 = 0
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
⊢ Finite (IntermediateField F E)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ mellin (fun t => ↑t ^ a • f t) s = mellin f (s + a)
k n : ℕ
⊢ (∀ (a b : ℕ), a + b = n → Pairwise (fun a_2 b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a a_2) (Fin.cons a b)) (antidiagonalTuple k b)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a₁.1 a) (Fin.cons a₂.1 a_2)) (antidiagonal n)