ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun n => MeasureTheory.Measure.sum (μ n)) =
  MeasureTheory.Measure.sum fun m => MeasureTheory.Measure.sum fun n => μ n m
α : Type u
β : Type u_1
l : List (α × β)
⊢ (List.map Prod.swap l).unzip = l.unzip.swap
R : Type u_1
CommRing R
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
TopologicalAddGroup M₂
ContinuousConstSMul R M₂
r : R
m : M₂
⊢ ((algebraMap R (M₂ →L[R] M₂)) r) m = r • m
R : Type u_10
S : Type u_11
F : Type u_12
Zero R
Zero S
FunLike F R S
ZeroHomClass F R S
f : F
x : R
hx : f x ≠ 0
⊢ x ≠ 0
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
⊢ ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b), η.toOplax.naturality f = (η.naturality f).hom
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0
⊢ ¬abv (-a) = -abv a
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
ContinuousAdd M₂
f g : M₁ → M₂
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f + g)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R1Space α
μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
⊢ μ (closure k) = μ k
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Even p ↔ p = 2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
⊢ (i - l).choose k * i.choose l = (k + l).choose k * i.choose (k + l)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f H ≤ AddSubgroup.map f K ↔ H ≤ K
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Module.IsTorsionBySet R M ↑(Submodule.span R {a}) ↔ Module.IsTorsionBy R M a
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
⊢ Order.pred a ≤ b ∧ b ≤ a ↔ b = a ∨ b = Order.pred a
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ P f ↔
  ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧ ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2
⊢ ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ i.pred hi ≤ j ↔ i ≤ j.succ
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G' →+ G
hf : Function.Injective ⇑f
H.IsCommutative
⊢ (AddSubgroup.comap f H).IsCommutative
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
⊢ ∀ (w : R), x < w → ∃ i, as i < w
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (x : M), IsAddUnit (f x)
x : M
⊢ f x + ↑(-(IsAddUnit.liftRight f h) x) = 0
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ MultilinearMap.alternatization (a.domCoprod b) =
  (MultilinearMap.alternatization a).domCoprod (MultilinearMap.alternatization b)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
⊢ M.charmatrix.det.coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₁ p₃ p₂ = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
⊢ (monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
K : Set X
U : Set Y
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen {f | Set.MapsTo (⇑f) K U}
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i
⊢ m = (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f
H : ∀ (a : (Quotient.out (succ #ι).ord).α), ∃ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a
⊢ succ #ι ≤ #ι
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 3 = C X * C W.Ψ₃ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 2
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a c d : α
⊢ a⁻¹ ∈ Set.Ioo c d ↔ a ∈ Set.Ioo d⁻¹ c⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) s x
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
R : Type u_1
Mul R
IsCancelMul R
g : R
⊢ IsRegular g
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Set.Ioc a b)).toReal - (μ (Set.Ioc b a)).toReal) • c
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s • (t₁ ∪ t₂) = s • t₁ ∪ s • t₂
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : EqvGen (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) (pure a) (pure b)
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
⊢ Ultrafilter.extend g (pure a) = Ultrafilter.extend g (pure b)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
smul_tprod : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (tprodCoeff R r f)
⊢ motive z
G : Type u_1
Group G
R : Type u_2
Semiring R
MulSemiringAction G R
x : G
⊢ ∀ (a : R), (MulSemiringAction.toRingEquiv G R x) a = x • a
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ fundamentalDomain b =ᶠ[ae μ] parallelepiped ⇑b
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
a : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v
⊢ ∃ b ∈ nonZeroDivisors R, a * ↑b ∈ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
⊢ ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
⊢ ¬G.IsUniform ε s t ↔
  ∃ s' ⊆ s, ∃ t' ⊆ t, ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card ∧ ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card ∧ ε ≤ ↑|G.edgeDensity s' t' - G.edgeDensity s t|
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : IsLocalization.coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0
⊢ i ∈ p.support
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C
⊢ adj2.unit.app x ≫ G'.map (F.map (adj1.unit.app x) ≫ adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
d : D
⊢ d ∈ ⊤.objs
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ LinearMap.det ((Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]) = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
FloorSemiring α
FloorSemiring β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ ⌊f a⌋₊ = ⌊a⌋₊
⊢ Function.Antiperiodic Real.Angle.cos ↑π
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℤ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
G : Type u_6
AddGroup G
S : Set G
x : G
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (-S) ↔ -x ∈ AddSubmonoid.closure S
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (toMatrix' Q).PosDef
⊢ PosDef Q
α : Type u_2
TopologicalSpace α
B : Set (TopologicalSpace.Opens α)
⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis B ↔ ∀ (U : TopologicalSpace.Opens α), ∃ Us ⊆ B, U = sSup Us
a b : Int
⊢ a ∣ -b ↔ a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', g x = ∏ b ∈ v', f b
hf : HasProd g a
⊢ HasProd f a
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
⊢ iSup s = ⊥ ↔ ∀ (i : ι), s i = ⊥
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
r' : R₂ ⟶ R₃
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightComp L r r').inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
f₁₂ : M →ₗ[R] N
f₂₃ : N →ₗ[R] P
g₁₂ : M' →ₗ[R] N'
g₂₃ : N' →ₗ[R] P'
e₁ : M ≃ₗ[R] M'
e₂ : N ≃ₗ[R] N'
e₃ : P ≃ₗ[R] P'
h₁₂ : g₁₂ ∘ₗ ↑e₁ = ↑e₂ ∘ₗ f₁₂
h₂₃ : g₂₃ ∘ₗ ↑e₂ = ↑e₃ ∘ₗ f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
α : Type u_4
Fintype α
Nonempty α
⊢ (PMF.uniformOfFintype α).support = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Integrable.toL1 f hfi)) μ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.mirror.leadingCoeff = p.trailingCoeff
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
⊢ a ≤ b ↔ a ≤ b ∧ (b ≤ a ∨ ¬b ≤ a)
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
⊢ ⊤.unop = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
init : β
arr : Array α
a : α
⊢ Array.foldr f init (arr.push a) (arr.push a).size = Array.foldr f (f a init) arr arr.size
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)
⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Base I ↔ M.E ⊆ M.closure I
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
⊢ toZ i0 (succ^[n] i0) ≤ ↑n
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
⊢ Injective ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i
⊢ ∀ u_1 ∈ u '' T, IsOpen u_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ
i j : ι
x✝ : i ≤ j
⊢ μ[(fun x => f) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (fun x => f) i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq P
inst✝ : DecidableEq V
s : Finset P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k ↑s = Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x => x -ᵥ p) (s.erase p))
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : l₁.length = n
⊢ List.take n (l₁ ++ l₂) = l₁
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
ContinuousSMul M X
ContinuousSMul M X
⊢ ContinuousSMul M X
α : Type u_1
l l' : Filter α
hl : l.Subsingleton
hl' : l' ≤ l
⊢ l'.Subsingleton
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
⊢ Finset.centroid k s p = Finset.centroid k Finset.univ fun x => ↑x
X : Type u_1
R : Type u_3
Zero X
Zero R
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
f : C(X, R)
h0 : f 0 = 0
⊢ ⇑{ toContinuousMap := f, map_zero' := h0 } = ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_6
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set E
t : Set E'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map f g) (s ×ˢ t)
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
h : IsNilpotent y
⊢ IsNilpotent (x * y)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
b : β
⊢ (∃ a, b = l a) ↔ b = l (u b)
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
⊢ Tendsto (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) (nhds 0) ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).f' = 0
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ NormedAddGroupHom.comp 0 f = 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict A) s = μ (s ∩ A)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n.factorial
x : ℝ
hl : -(π / 2) ≤ x
hu : x ≤ π / 2
⊢ cos x = √(1 - sin x ^ 2)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
this : InjOn (⇑(span R (range ⇑root)).subtype.dualMap) (range (⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot))
⊢ (span R (range ⇑root)).subtype.dualMap ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) k) = (span R (range ⇑root)).subtype.dualMap ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) l)
α✝ : Type u_1
a : α✝
l : List α✝
p : α✝ → Bool
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α✝
l₁ l₂ : List α✝
left✝¹ : ∀ (b : α✝), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
⊢ (l₁ ++ l₂).length = l.length.pred
x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ 2 / π * InnerProductGeometry.angle x y ≤ ‖x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
a : α
hs : {a}.Nonempty
⊢ p {a} hs
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing α
inst✝⁶ : CommRing β
inst✝⁵ : Algebra R α
inst✝⁴ : Algebra R β
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (kroneckerMap (tmul R) A B).det = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
⊢ (if h : Δ = Δ then eqToHom ⋯ else if h : Isδ₀ (𝟙 Δ) then K.d Δ.len Δ.len else 0) = 𝟙 (K.X Δ.len)
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Cycle.nil.toFinset = ∅
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n + 1] t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : s ∈ ae μ
⊢ ∀ a ∈ s, (if a ∈ s then f a else g a) = f a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => star (f y)) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
⊢ ∀ (g₁ : F[X]), g₁.Separable → (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f → ∀ (g₂ : F[X]), g₂.Separable → (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f → n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ (t ∩ s) = s \ t
n : ℕ+
p : ℕ+ → Sort u_1
p1 : p 1
hp : (n : ℕ+) → p n → p (n + 1)
⊢ (n + 1).recOn p1 hp = hp n (n.recOn p1 hp)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ UpperSet.Ici x = UpperSet.Ici x.1 ×ˢ UpperSet.Ici x.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.leftDistributor X f ⊗ CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)) ≪≫
    CategoryTheory.rightDistributor (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) Y =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X (⨁ f) Y ≪≫
    (CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) ⊗ CategoryTheory.rightDistributor f Y) ≪≫
      (CategoryTheory.leftDistributor X fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) Y) ≪≫
        CategoryTheory.Limits.biproduct.mapIso fun j => (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X (f j) Y).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
⊢ (Finsupp.equivCongrLeft f).symm = Finsupp.equivCongrLeft f.symm
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.length ≤ n
α : Type u_1
self : Primcodable α
⊢ Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
⊢ Polynomial.evalEvalRingHom x = Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.evalRingHom x)