ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
⊢ G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ γ.app (H₁.obj (R₂.obj c)) ≫ R₅.map (H₂.map (β.app c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).leftHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.leftHomologyData.map F) = leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.leftHomologyData.map F) ≫ F.map (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData)
k : ℕ
x : (n : ℕ) × { x // x ∈ Finset.Nat.antidiagonalTuple k n }
⊢ ∀ (a : Fin k), (Finset.Nat.sigmaAntidiagonalTupleEquivTuple k) x a = ↑x.snd a
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
⊢ ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ s ⊆ frontier s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
b✝ : Arrows.Compatible P π x
⊢ (∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∃! x_1, forkMap P X π x_1 = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
n : ℕ
X : C
⊢ n = Nat.card ↑(F.obj X) → ∃ ι f g x, (∀ (i : ι), CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (f i)) ∧ Finite ι
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∉ s, insert a s ⊆ t
x : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
⊢ Surreal.mk x hx = 0 ↔ x ≈ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
⊢ c (f ^ 0) = (c f)^[0]
a b : ENNReal
h : a < b
⊢ b⁻¹ < a⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : Num
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝² : Group β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
⊢ 1 ≤ᶠ[ae μ] g / f ↔ f ≤ᶠ[ae μ] g
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ b ♯ a ≤ c ♯ a → b ≤ c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo (↑(n + 1)) f p ↔
  (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧
    (∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y 0) (p x 1).curryLeft x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpTo (↑n) (fun x => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) fun x => (p x).shift
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
ζ : ℂ
hζU : ζ ∈ frontier (e ⁻¹' U)
hζ : IsMaxOn (norm ∘ f ∘ e) (closure (e ⁻¹' U)) ζ
⊢ ‖f z‖ ≤ C
x : ℝ
⊢ AddLECancellable ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F
⊢ ‖(snd 𝕜 E F) (e, f)‖ ≤ 1 * ‖(e, f)‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
PseudoMetricSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => dist (f x) (g x)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Tendsto g lc l
f : α → β
hf : IsConstant ⟦f⟧
⊢ (compTendsto ⟦f⟧ g hg).IsConstant
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
⊢ p * ?m.99628 = (p * r).primPart
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0
⊢ f * f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ ((M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) ⋯
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ < b₂
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Ioo a₂ b₂
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y✝ : E
h : IsLocalMin f a
hf : HasFDerivAt f f' a
y : E
⊢ f' y = 0 y
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ f = ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ g
⊢ f = g
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
this : ∀ (a b : Fin 1 → ℝ) (f : (Fin 1 → ℝ) → E), ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc a b, f x = ∫ (x : ℝ) in Set.Icc (a 0) (b 0), f fun x_1 => x
⊢ ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 0) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 0) 0), ![f, g] 0 (e.symm (Fin.insertNth 0 (e b 0) fun x_1 => x))) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 0) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 0) 0), ![f, g] 0 (e.symm (Fin.insertNth 0 (e a 0) fun x_1 => x))) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 1) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 1) 0), ![f, g] 1 (e.symm (Fin.insertNth 1 (e b 1) fun x_1 => x))) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 1) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 1) 0), ![f, g] 1 (e.symm (Fin.insertNth 1 (e a 1) fun x_1 => x))) = ((∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (a.1, y)) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, a.2))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p) → (∀ i ∈ insert a s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a_3 => ∑ i ∈ insert a s, f i a_3) p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
⊢ Cauchy (map (fun i => F i x) p)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
⊢ ∃ t, s = Multiset.map (fun x => s.gcd * x) t ∧ t.gcd = 1
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
⊢ StrictMono Submodule.toAddSubgroup
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ GenContFract.IntFractPair.mapFr Rat.cast (GenContFract.IntFractPair.of q) = GenContFract.IntFractPair.of v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
self : CategoryTheory.Limits.HasImageMaps C
f g : CategoryTheory.Arrow C
st : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImageMap st
y : Int
x : Int
n : Nat
⊢ (x % ↑n * y).bmod n = (x * y).bmod n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ
⊢ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R ((cfcₙHom ha) f)) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) f
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖fun x => a‖₊ ≤ ‖a‖₊
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ (sup fun n => o * ↑n) = o * ω
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a - c < b ↔ a < b + c
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
⊢ Rel p (s.bind f) (t.bind g)
α : Type u_1
DecidableEq α
p : Finset (Finset α) → Prop
𝒜 : Finset (Finset α)
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
subfamily :
  ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (Finset.memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜
⊢ p 𝒜
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ↑r = 0 ↔ r = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ LipschitzWith 1 ⇑e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ reflection K * reflection K = 1
β : Type w
α✝ : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : α✝ → C
g : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
e : β ≃ α✝
iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)
this : HasColimit ((Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f)
α : Discrete.functor g ≅ (Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f
⊢ HasCoproduct g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
⊢ 𝓝[>] a ⊔ 𝓝[{a}] a = 𝓝[≥] a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ (NumberField.Units.logEmbedding K) x = 0 ↔ x ∈ NumberField.Units.torsion K
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
c : G
s : Set α
⊢ closure (c +ᵥ s) = c +ᵥ closure s
ι : Type u_3
G : Type u_4
AddCommGroup G
H : AddSubgroup G
f : ι → ↥H
s : Finset ι
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
n : Nat
a : Fin n
h : ↑a < n
⊢ ⟨↑a, h⟩ = a
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π
⊢ (fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) ((fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) (r, θ)) = (r, θ)
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R B
DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B × C
⊢ NonUnitalAlgHom.prodEquiv.symm f = ((NonUnitalAlgHom.fst R B C).comp f, (NonUnitalAlgHom.snd R B C).comp f)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
w✝ : M
α : Type u_7
t : Finset α
B : α → BilinForm R M
v w : M
⊢ ((∑ i ∈ t, B i) v) w = ∑ i ∈ t, ((B i) v) w
α : Type u_1
Ring α
m n : ZNum
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Functor B C) (Y : CategoryTheory.Functor B D) (X_2 : B),
  ((((CategoryTheory.whiskeringRight₂ B C D E).obj X).obj X_1).obj Y).obj X_2 = (X.obj (X_1.obj X_2)).obj (Y.obj X_2)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
I : Type u
s : I → M.sections
p : M ⟶ N
⊢ M.freeHomEquiv.symm s ≫ p = N.freeHomEquiv.symm fun i => SheafOfModules.sectionsMap p (s i)
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (((fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ∘ fun r => closedBall x₀ r) ∘ fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (t : G), (φ i).normed μ (x₀ - t) • g t ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
⊢ ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
h : M ≃* N
⊢ IsMonoidHom ⇑h
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₁
⊢ s₁ ∩ insert a s₂ = insert a (s₁ ∩ s₂)
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
⊢ IsOpen (Ioi (pred a))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ μ.withDensity f = μ.withDensity g
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ normSq z = ‖z‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : β
⊢ x ∈ r.inv.dom ↔ x ∈ r.codom
M : Type u_1
Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a
⊢ b * a = c * a ↔ b = c
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Function.Surjective (Nat.Subtype.ofNat s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑∅)
⊢ s.card ≤ ∅.card
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (mk s (x + y)) i = (mk s x + mk s y) i
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt ⇑(equivIoc p a) ↑z✝
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p✝ p q : R[X]
ihp : (aeval h.root) p = h.map p
ihq : (aeval h.root) q = h.map q
⊢ (aeval h.root) (p + q) = h.map (p + q)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S
⊢ z • (single y x + single x y - single (x * y) 1) ∈ kerTotal R S
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = 0 ↔ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
μ : YoungDiagram
i1 i2 j1 j2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
hj : j1 ≤ j2
hcell : (i2, j2) ∈ μ
⊢ (i1, j1) ∈ μ
α : Type u
DecidableEq α
⊢ FreeGroup.norm 1 = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ RingHom.ker (Ideal.Quotient.mk I) = I
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α M R 0) x = 0
α : Type u
l : List α
⊢ List.Chain' (fun x y => [x, y] <:+: l) l
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ k ≤ 0 ↔ k = 0
α : Type u
s t u : Set α
⊢ (s \ t) \ u = s \ (t ∪ u)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ (F.mapMon.obj A).one = F.ε ≫ F.map A.one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ pushout.inr g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inl f g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
hs : ∀ x ∈ s, ∃ i, 0 < i ∧ closedBall x i ⊆ s
x : E
hx : x ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ s
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Field R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R M
IsScalarTower 𝕜 R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x = x.fst • NormedSpace.exp 𝕜 (x.fst⁻¹ • TrivSqZeroExt.inr x.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g ∧ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ ∧ MeasureTheory.UnifTight f p μ ↔
  Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
⊢ LiftP p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
Subsingleton S
x : R
⊢ (RingEquiv.prodZeroRing R S) x = (x, 0)
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
⊢ IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ∃ p > 0, MixedCharZero R p
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.lift.{max v w, u} (Cardinal.mk α) = Cardinal.lift.{max u w, v} (Cardinal.mk β) ↔ Nonempty (α ≃ β)