ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ ((-1) ^ (j₁ * i₂) * (-1) ^ ((j₁ + j₂) * (i₁ + i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = ((-1) ^ (j₂ * i₂) * ((-1) ^ (j₁ * i₁) * (-1) ^ (i₁ * j₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd α α
s : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 0
⊢ {a} + s ∈ 𝓝 a
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))
R : Type u_1
Semiring R
s : Unit →₀ ℕ
n : ℕ
h : s () = n
⊢ PowerSeries.coeff R n = MvPowerSeries.coeff R s
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : CompleteLattice.Independent t
hf : Function.Injective f
⊢ CompleteLattice.Independent (t ∘ f)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet w = {v}
α : Type u_1
a : α
⊢ MeasurableSet {s | a ∉ s}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage g
CategoryTheory.Limits.HasImage (f ≫ g)
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage (f ≫ g) ≫ CategoryTheory.Limits.image.preComp f g =
  f ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImage g
n : ℕ
β : Type u
⊢ ⇑(Equiv.piFinSucc n β) = fun f => (f 0, Fin.tail f)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ (ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map f.op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
x : R
⊢ ↑(-x) = -↑x
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
⊢ PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (z / ↑(x.gcd y))
α : Type u_1
p : Nat
a : Array α
i j : Fin a.size
hp : p < a.size
hi : p ≠ ↑i
hj : p ≠ ↑j
⊢ (a.swap i j)[p] = a[p]
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f' : Y → X
h : Continuous f'
l_inv : Function.LeftInverse f f'
r_inv : Function.RightInverse f f'
⊢ IsOpenMap f
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Even (m + n)
⊢ 4 ∣ 2 * m + 1 + (2 * n + 1) ∨ 4 ∣ 2 * m + 1 - (2 * n + 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
a✝ : PrimeSpectrum R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ ((comap (RingHom.id R)) a✝).asIdeal ↔ x✝ ∈ ((ContinuousMap.id (PrimeSpectrum R)) a✝).asIdeal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
X : A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Sheaf.constantCommuteCompose J U).inv.app X).val.app X_1 =
    ((CategoryTheory.presheafToSheaf J B).map ((CategoryTheory.Functor.compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app X)).val.app X_1 ≫
      ((CategoryTheory.sheafComposeNatIso J U (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J A)
                    (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J B)).hom.app
              ((CategoryTheory.Functor.const Cᵒᵖ).obj X)).val.app
        X_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞
⊢ ↑r * s.toReal = r • s.toReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s t : Set E
ht : Balanced 𝕜 t
h : s ⊆ t
⊢ balancedHull 𝕜 s ⊆ t
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
p1 p2 p3 : P
h21 : p2 ≠ p1
h32 : p3 ≠ p2
h13 : p1 ≠ p3
⊢ EuclideanGeometry.oangle p1 p2 p3 + EuclideanGeometry.oangle p2 p3 p1 + EuclideanGeometry.oangle p3 p1 p2 = ↑π
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.mgf X μ 0 = 1
G : Type u_1
M : Type u_2
Group G
CommGroup M
MulAction G M
f : G → M
hf : groupCohomology.IsMulOneCocycle f
g : G
⊢ g • f g⁻¹ = (f g)⁻¹
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
⊢ s = ∅ → s ≠ {⊥}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
⊢ ⨆ a_1, ↑(eapprox f a_1) a + ↑(eapprox g a_1) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv Y)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).hom
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
n' : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq n'
inst✝³ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nonempty n'
inst✝ : Nontrivial R
A : M
ha : IsUnit A.det
z : ℤ
⊢ A ^ z ≠ 0
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m
i : Nat
h' : i < n
e : s + step * n = s + step * i
⊢ False
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
hM : IsNilpotent M
⊢ IsUnit M.charpolyRev
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (image f s).Nonempty
g : β → α
⊢ ↑((image f s).sup' hs g) = ↑(s.sup' ⋯ (g ∘ f))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
s : Set (α × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.map id (embeddingReal Ω) ⁻¹' s)
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
⊢ (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose 0 (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
DecidableEq α
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
s : Set α
h : ↑φ.freeVarFinset ⊆ s
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (φ.restrictFreeVar (Set.inclusion h)).Realize (v ∘ Subtype.val) xs ↔ φ.Realize v xs
α : Type u
Semiring α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ Ideal.span s ↔ ∀ (p : Ideal α), s ⊆ ↑p → x ∈ p
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ S₂ : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
γ : Type u_7
MeasureTheory.SFinite ν
TopologicalSpace γ
f : α × β → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ≤ b → a ≤ max b c
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
Top β
a : α
⊢ ⊤ a = ⊤
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
⊢ IsClosed (diagonal (Quotient (MulAction.orbitRel G X)))
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ |⟪x, y⟫_ℝ| ≤ ‖x‖ * ‖y‖
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
⊢ ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i) = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), C (p.coeff i) * X ^ i
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 + z.2, z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
⊢ ∀ (j : K), (P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s)) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j
⊢ Nat.bit true = fun x => 2 * x + 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)
a b : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a.toNat < b.toNat ↔ a < b
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑(t \ s)
⊢ (Equiv.Set.sumDiffSubset h) (Sum.inr x) = Set.inclusion ⋯ x
m n : ℕ
⊢ m % n.succ = m ↔ m < n.succ
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
⊢ ⇑1 = id
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X Y Z : C × C
⊢ tensor_μ C X Y ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C (X ⊗ Y) Z ≫ __src✝.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (__src✝.obj X) (__src✝.obj Y) (__src✝.obj Z)).hom ≫ __src✝.obj X ◁ tensor_μ C Y Z ≫ tensor_μ C X (Y ⊗ Z)
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ Indep (⨆ n ∈ t, s n) (limsup s f) κ μα
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α
hs : #↑s < c
⊢ sᶜ ∈ Filter.cocardinal α hreg
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
⊢ x ∈ Set.Ioc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N✝
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M✝
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
M : Type u_7
B : Type u_8
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N
⊢ IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ (∀ (n : ℕ), (s.get? n).Terminates) ↔ ∀ (n : ℕ), (t.get? n).Terminates
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R✝ N
inst✝³ : IsSemisimpleModule R✝ M
R : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ (Module.annihilator R M).IsRadical
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
X Y : Karoubi C ⥤ Karoubi D
φ : X ⟶ Y
P : Karoubi C
⊢ (X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i).f ≫ (φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }).f ≫ (Y.map P.decompId_p).f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ lcm a b = lcm b a
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (x ^ n) = WittVector.mapFun (⇑f) x ^ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ∈ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f ↔ f ∉ x.asHomogeneousIdeal
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.46156, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.symm.Rel i j
⊢ (fun i => (f.unop.f i).unop) i ≫ ((fun X => (unop X).unop) Y✝).d i j = ((fun X => (unop X).unop) X✝).d i j ≫ (fun i => (f.unop.f i).unop) j
X Y Z : GrpWithZero
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
⊢ π ⊓ splitMany I ∅ = π.biUnion fun J => splitMany J ∅
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
f g : α ⟹ β
h : ∀ (i : Fin2 n), f i = g i
⊢ f = g
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
q : R[X]
p : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (p * q).degree
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
f : α → β → φ
⊢ flip f = fun b a => f a b
R : Type u_1
CommSemiring R
a c : R
b : ℕ
⊢ a ^ b = c → (a + 0) ^ b = c + 0
α : Type u_1
a b : α
n : Nat
h : b ∈ List.replicate n a
⊢ b = a
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s - closure t = s - t
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
n : ℕ
⊢ Function.Commute f g^[n]
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : OfLocalizationSpanTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set S
hs : Ideal.span s = ⊤
hT✝ : ∀ (r : ↑s), ∃ T x x_1, ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑r) T), P ((algebraMap S T).comp f)
r : ↑s
T : Type u
w✝² : CommRing T
w✝¹ : Algebra S T
w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T
hT : P ((algebraMap S T).comp f)
⊢ (algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f = (Localization.algEquiv (Submonoid.powers ↑r) T).symm.toRingEquiv.toRingHom.comp ((algebraMap S T).comp f)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-2) ^ 2 ^ k)
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ ⟦l⟧ → a' = 1
⊢ prod ⟦l⟧ = a ^ count a ⟦l⟧
R : Type u
Semiring R
⊢ WellFounded fun p q => p.trailingDegree < q.trailingDegree
α : Type u_2
Field α
TopologicalSpace α
TopologicalDivisionRing α
s : Subfield α
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
x : (Quotient.out c.ord).α
⊢ (typein (fun x x_1 => x < x_1) x).card < c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : ↑δ > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
s : Set α
⊢ TotallyBounded (insert a s) ↔ TotallyBounded s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
⊢ y ∈ T†.domain
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Filter α
IsTrans α r
a : α
h : ∀ s ∈ f, ∃ x ∈ s, r a x
⊢ Filter.IsCobounded r f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ⨍⁻ (_x : α), 0 ∂μ = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
⊢ orderOf y ∣ orderOf y / p
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |Real.cos x - (1 - x ^ 2 / 2)| ≤ |x| ^ 4 * (5 / 96)
q r : ℚ
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
n : ℕ
⊢ (n % Nat.card G) • a = n • a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
⊢ IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) (sinh z)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ‖∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im))
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M
⊢ polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y
α : Type u_2
β : Type u_3
g : Equiv.Perm α
s : Set α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
h : g.IsCycleOn s
⊢ (g.extendDomain f).IsCycleOn (Subtype.val ∘ ⇑f '' s)
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)
p' : Set (Set Ω) := {t | MeasurableSet t}
hp'_pi : IsPiSystem p'
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
a : α
s : Set α
⊢ IsLeast s a → IsGreatest (f '' s) (f a)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ s ∈ G.obj U
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
⊢ A.cramer b i = b i
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ¬∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x
⊢ Irreducible x