ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃] ↔ AffineIndependent ℝ ![p₄, p₅, p₆]
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]
hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0
hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0
⊢ #(ULift.{u, v} { x // IsAlgebraic R x }) ≤ #(ULift.{v, u} R[X]) * ℵ₀
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
∀ (X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁) (X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂)
    (X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃),
    ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMap F p).obj X₁ =
  CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapFunctorObj F p X₁
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X → ℝ
s : Set X
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => Real.arsinh (f x)) s
f g : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
⊢ ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
G : Type u
AddCommMagma G
IsRightCancelAdd G
⊢ IsCancelAdd G
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
⊢ (↑I).IsPrincipal
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h₁ : IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
h₂ : Associated (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
T : 𝓞 K
h₃ : Associated (T ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)
⊢ (∃ X, Associated (X ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S)) ∧ (∃ Y, Associated (Y ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)) ∧ ∃ Z, Associated (Z ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ (n : ℕ), P ↑(eapprox f n)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b
⊢ Odd (a - b)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.unop
m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeUnopOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : Jᵒᵖ
⊢ (m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.contractibleTriangleIso X).inv.hom₃ = (⋯.iso ⋯).inv
α : Type u_1
⊢ ⇑0 = ⇑(Poly.const 0)
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
x✝ : ¬Q
⊢ C np x✝ = if p : P then A p else C p x✝
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t
⊢ Quotient.mk' ⁻¹' (mk '' t) = t * ↑H
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
⊢ List.rdropWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then List.rdropWhile p l else l ++ [x]
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L.comp G ⟶ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
X Y : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L') (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
φ : X ⟶ Y
⊢ ∀ (X_1 : D), ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.postcomp₁ G f F).map φ).left.app X_1 = φ.left.app (G.obj X_1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
g : β → α
⊢ m ≤ MeasurableSpace.map g (MeasurableSpace.comap g m)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
⊢ z ∈ Set.Ioo x y ↔ ∃ a b, 0 < a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
G : Type w
TopologicalSpace G
self : MeasureTheory.Content G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ Disjoint ↑K₁ ↑K₂ → IsClosed ↑K₁ → IsClosed ↑K₂ → self.toFun (K₁ ⊔ K₂) = self.toFun K₁ + self.toFun K₂
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ✝ ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
i j : ι
x✝ : i ≤ j
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] 0 i
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L ⊓ LinearMap.ker (span ℤ s).mkQ).FG
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C
⊢ (F.map X.d ≫ η.app X.obj) ≫ (F ⋙ shiftFunctor D 1).map X.d ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
α : Type u_1
β : Type u_8
MeasurableSpace α
_mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure β
hfi : Function.Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : (MeasureTheory.Measure.comap f μ) s = 0
⊢ μ (f '' s) = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
a : E
⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ↑n * ‖a‖₊
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
x : H
⊢ {x}.innerDualCone = ConvexCone.comap ((innerₛₗ ℝ) x) (ConvexCone.positive ℝ ℝ)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A
⊢ f₁ = f₂ ↔ S.leftHomologyπ ≫ f₁ = S.leftHomologyπ ≫ f₂
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
hvx : preVal K v O hv p x = 0
hx0 : x ≠ 0
⊢ False
o : Ordinal.{max u_2 u_3}
f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c
⊢ (∀ (i : Ordinal.{max u_2 u_3}) (hi : i < o), f i hi < c.ord) → o.bsup f < c.ord
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup.Sublist l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f g : CategoryTheory.Aut X
⊢ f * g = g ≪≫ f
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ (Multiset.map f s).prod < (Multiset.map g s).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c
⊢ a - b ≤ c ∧ a ≠ b + c
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Stream'.map (Option.map (mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) = IntFractPair.stream v
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)
⊢ ⋂ i, M.closure (Is i) = ⋂ J ∈ range Is, M.closure J
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜
DecidableEq ι
i : ι
⊢ (PiLp.basisFun p 𝕜 ι) i = (WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Pi.single i 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd
⊢ (toUnitHom ψ) (-1) = -1
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻¹⁻ᵐ = a⁺ᵐ
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∪ u = t ∪ u ↔ s ⊆ t ∪ u ∧ t ⊆ s ∪ u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
hmgEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator g) μ
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b c : α
⊢ btw a b c ∧ ¬btw c b a ↔ ¬btw c b a
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Type u_6
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : ((i : ι) → i ∈ univ → κ i) → β
⊢ ∏ x ∈ univ.pi t, f x = ∏ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
⊢ A.rank = FiniteDimensional.finrank R ↥(LinearMap.range ((Matrix.toLin v₂ v₁) A))
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ xn a1 (n % m) * yn a1 (m * (n / m)) + yn a1 (n % m) * xn a1 (m * (n / m))
hp : n % m > 0
co : (yn a1 m).Coprime (xn a1 (m * (n / m)))
m0 : 0 < m
⊢ False
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K H : Subgroup G
⊢ Subtype.val '' ↑⊤ = ↑H
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
⊢ IsFractionRing.num A x = 0 ↔ x = 0
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf✝ : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : f ∈ S
⊢ f⁻¹ ∈ S
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
w x y z : S
⊢ C w * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = C w * X ^ 3 + C w * -(C x + C y + C z) * X ^ 2 + C w * (C x * C y + C x * C z + C y * C z) * X + C w * -(C x * C y * C z)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s.encard ≤ s.encard + (t \ s).encard
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
this : sin (arcsin x) ^ 2 + cos (arcsin x) ^ 2 = 1
⊢ cos (arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : f a = f b
⊢ Turing.Reaches₁ f a c ↔ Turing.Reaches₁ f b c
G : Type u_3
AddMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ (fun x => x + a)^[n] = fun x => x + n • a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ (X_1 : C) (X_2 : D),
  ((CategoryTheory.currying.unitIso.inv.app X).app X_1).app X_2 = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((X.obj X_1).obj X_2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢￢(a ⊔ b) = ￢￢a ⊔ ￢￢b
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} H
F₁ : CategoryTheory.Functor B C
F₂ : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor (C × E) H
⊢ CategoryTheory.uncurry.obj (F₂.comp (F₁.comp (CategoryTheory.curry.obj G)).flip).flip = (F₁.prod F₂).comp G
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖x‖ = ↑1 * ‖(coeToLp α E ℝ) x‖
M : Type w'
LE M
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.order.noTopOrderSentence ↔ NoTopOrder M
α : Type u_1
TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
h : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
p : α → Prop
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.preimage Subtype.val '' B)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ List.map f l.tail = (List.map f l).tail
α : Type u
f : α → ZFSet
x : ZFSet
⊢ x ∈ ZFSet.range f ↔ x ∈ Set.range f
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.support ++ q.support.tail).Nodup → p.support.Nodup
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ ((X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1) - W.preΨ' (n + 1 + 1) * W.preΨ' n * if Even (↑n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
n : Nat
i j : Fin n
⊢ i.rev ≤ j.rev ↔ j ≤ i
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ μ (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.ball 0 1)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ Disjoint p (ker f) ↔ ∀ x ∈ p, f x = 0 → x = 0
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
hp0_lt : 0 < p
hp0 : 0 ≤ p
⊢ ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ < ⊤
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s ∩ ⋃ i, t i = ⋃ i, s ∩ t i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : E
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ((SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 m) f) x = lineDeriv ℝ (⇑f) x m
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Monotone (Set.preimage f)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_5
E : α → Type u_4
⊢ IsEmpty (Sigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : (⊤ • μ) s < ⊤
⊢ (⊤ • μ) s = 0
n : ℕ
⊢ 0 < n → 4 ^ n ≤ 2 * n * n.centralBinom
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
⊢ P ≈ Q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun x => ((κ x) s).toReal) μ
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 1 = Polynomial.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (CategoryTheory.presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
y : (CategoryTheory.presheafHom F G).obj (Opposite.op X)
⊢ x.IsAmalgamation y ↔
  ∀ (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S.arrows g),
    y.app (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk g)) =
      (x g hg).app (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)))
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x✝ : ℍ
⊢ (f (A • x✝) + g (A • x✝)) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹ = f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹ + g (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : CommRing α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
i k : n
this : Pi.single i 1 = ⇑f ∘ Pi.single i 1
⊢ f.mapMatrix M.adjugate i k = (f.mapMatrix M).adjugate i k
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ ker f = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e e' : PartialHomeomorph X Y
f f' : PartialHomeomorph Y Z
he : e ≈ e'
hf : f ≈ f'
⊢ e.trans f ≈ e'.trans f'
I : Type u
inst✝¹¹ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : MonoidalCategory C
inst✝⁸ : DecidableEq I
inst✝⁷ : HasInitial C
inst✝⁶ : (X₁ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)
inst✝⁵ : (X₂ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)
X₁ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁴ : X₁.HasTensor X₃
inst✝³ : (tensorObj X₁ tensorUnit).HasTensor X₃
inst✝² : X₁.HasTensor (tensorObj tensorUnit X₃)
inst✝¹ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor tensorUnit X₃
inst✝ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ tensorUnit X₃
⊢ (associator X₁ tensorUnit X₃).hom ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (leftUnitor X₃).hom = tensorHom (rightUnitor X₁).hom (𝟙 X₃)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
this : ofReal' ∘ periodizedBernoulli k = AddCircle.liftIco 1 0 (ofReal' ∘ bernoulliFun k)
⊢ fourierCoeffOn ⋯ (ofReal' ∘ bernoulliFun k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k