ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq B_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
f : ℕ → ENNReal
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ ∑' (k : ℕ), f k ≤ f 0 + ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
b : M i
⊢ ((DirectSum.lof R ι M i) b) i = b
ι : Type u
β : ι → Type v
I : Nonempty ι
⊢ ∃ i, Nonempty ((j : ι) → β i ↪ β j)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving J K G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution X
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.ι.f 0) (φ.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (J.ι.f 0)
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
    (F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).comp (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ))).map φ)
    (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
m : M
⊢ m ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid M a ↔ m • a = a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
⊢ ¬Memℒp X 2 μ → ¬evariance X μ < ⊤
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : α → C
h : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct h
p : α → β
q : (a : α) → f a ⟶ g a
q' : (a : α) → g a ⟶ h (p a)
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.map q ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p q' =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p fun a => q a ≫ q' a
α : Type u_1
β : Type u_2
MetricSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f : C(α, β)
ε : ℝ
h : 0 < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {x y : α}, dist x y < δ → dist (f x) (f y) < ε
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
f : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) f = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X) f
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H : ∀ (s : Finset (Fin (Nat.succ 0).succ)) (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R), ∑ i ∈ s, g i • ![f x, 1] i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ z ≤ ⌊a⌋ ↔ ↑z ≤ a
x : ENNReal
n : ℕ
⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ
⊢ ∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTop α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α ≤ Filter.atBot
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
⊢ ‖Aᵀ‖₊ = ‖A‖₊
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
⊢ IsCauSeq abs f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (A i) (A' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) s x
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ ≤ d₂
s : Set X
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hj : i + 1 = j
hi' : n + i = i + n
hj' : i + n + 1 = j + n
hf : n.negOnePow • f ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0
⊢ 1 • (f ≫ 𝟙 (K.X (i + n))) ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c
⊢ Rel R X (a + b) (a + c)
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a).natDegree ≤ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
h : Module.Finite R M
⊢ Module.FinitePresentation R M
ι : Type u
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
c : ℝ
hc : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ c
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ‖BoxIntegral.integral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul‖ ≤ (μ ↑I).toReal * c
R : Type u_3
NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), ↑((n + 1).choose ij.1) * f ij.1 ij.2 =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, ↑(n.choose ij.1) * f ij.1 (ij.2 + 1) +
    ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, ↑(n.choose ij.2) * f (ij.1 + 1) ij.2
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ
⊢ Finsupp.single i 1 ≤ Finsupp.single j 1 ↔ i = j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ Icc (a - max b c) (a - min b c) = Icc (min (a - b) (a - c)) (max (a - b) (a - c))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β'
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SFinite ν
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁
⊢ f_inv (f x) * x⁻¹ ∈ f.ker
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
hf : ContMDiffOn IM IB n f s
he : Set.MapsTo f s e.baseSet
he' : Set.MapsTo f s e'.baseSet
⊢ ContMDiffOn IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))) s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
S : Set α
hSf : S.Finite
hS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ i ∈ S, Ici i → p x
x : α
hx : x ∈ ⋂ i, (fun x => Ici ↑x) i
y : α
hy : x ≤ y
⊢ p y
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Add α
Add β
f : α ≃+ β
⊢ f.mapMatrix.symm = f.symm.mapMatrix
a b : SignType
⊢ a ≤ b → b ≤ a → a = b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.kernelUnopOp g).hom =
  (CategoryTheory.Limits.kernel.lift g.unop (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g).unop ⋯).op
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((rename f) φ).degrees ⊆ Multiset.map f φ.degrees
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p ≤ i
hp : p ≠ 0
hi : i ≠ 0 := ⋯
⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.pred hi
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0
⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
Fintype ↑G.edgeSet
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
⊢ ⋯.edgesFinset = G.edgeFinset
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : Basis.SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
i : Fin n
⊢ (snf.bM.repr ↑m) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • m)) i
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
h : a < b
c : α
hc : b = a * c
⊢ ∃ c x, a * c = b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
y : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = y • deriv f x
m n✝ n a : ℕ
inst✝ : NeZero n
ha : (↑a).valMinAbs = ↑a
⊢ (↑a).valMinAbs.natAbs ≤ n / 2
σ R : Type u
CommSemiring R
Nonempty σ
Nontrivial R
⊢ #(MvPolynomial σ R) = max (max #R #σ) ℵ₀
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } - { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n - { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
w✝ : ℕ
hm : n ≠ 0 ∧ w✝ ≠ 0
⊢ n * w✝ / (n * w✝ / n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
s : Set α
⊢ IsQuasiSeparated (f '' s) → IsQuasiSeparated s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ↑{i | gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0}
hij : ¬↑i = ↑j
⊢ ⟪(fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) i, (fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) j⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : CompleteSpace F
hm : m ≤ m0
⊢ CompleteSpace ↑{f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms S.P
h₁ : S.P T.obj₁
h₂ : S.P T.obj₂
⊢ S.P T.obj₃
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : b < c
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ico b c = Set.Ioo a c
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑(ofZNum (ZNum.pos p)) = (↑↑p).toNat
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α
⊢ (M * N * M⁻¹).det = N.det
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ a < ⊤ → ∀ (n : ℕ), a ^ n < ⊤
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
m : ℕ
z : K
hz : i z = y ^ p ^ m
⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ClosedEmbedding Sum.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ ⊤ ≤ ⊤ᗮᗮ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range
h : ↑s = {p | p ≤ Submodule.comap f p}
⊢ f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
α : Type u_1
n n' : ℕ
s s' : Sym α n
t : Sym α n'
⊢ s.append t = s'.append t ↔ s = s'
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ↑⊥ = {0}
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Set.Icc a b
x : ℝ
⊢ -↑x ∈ slitPlane ↔ x < 0
R : Type u_1
LinearOrder R
OrderTop R
x : Tropical R
n : ℕ
⊢ (n + 1) • x = x
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x : α
inst : Batteries.OrientedCmp cmp
t : Batteries.RBNode α
⊢ (Batteries.RBNode.ins cmp x t).reverse = Batteries.RBNode.ins (flip cmp) x t.reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd ω * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
H : I.IsPrime
⊢ I.radical = I
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ici a ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α β : Type u₀
e : α ≃ β
x : f α
⊢ (EquivFunctor.mapEquiv f e) x = EquivFunctor.map e x
α : Type u
β : Type u_1
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : StrictMonoOn f s
⊢ StrictAntiOn (fun x => (f x)⁻¹) s
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x : OreLocalization S R
⊢ 0 * x = 0
X : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace X
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
u : R
hu : IsUnit u
⊢ u • P ≈ P
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ range f * range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ range f * range g → dist x y ≤ C
⊢ ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
⊢ x ≠ 0 → ‖x‖ = ↑p ^ (-x.valuation)
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
CategoryTheory.IsFiltered K
Finite J
⊢ Function.Injective (CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimit F)
α : Sort u
s : Setoid α
a b : α
⊢ Quotient.mk s a = Quotient.mk s b → a ≈ b
R : Type u_4
NonAssocSemiring R
⊢ ↑(RingEquiv.refl R) = MonoidHom.id R
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
⊢ ∀ (x : Set ((i : ι) → β i)), (∀ (i : ι), ∃ t₁, m i ⁻¹' t₁ ∈ f i ∧ eval i ⁻¹' t₁ ⊆ x) → ∀ (i : ι), ∃ t₁ ∈ f i, eval i ⁻¹' t₁ ⊆ (fun k i => m i (k i)) ⁻¹' x
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : R
m : M
s t : ↥S
⊢ (fun m => (s * t) • m) (IsLocalization.mk' A x s • mk' f m t) = (fun m => (s * t) • m) (mk' f (x • m) (s * t))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
r✝ : 𝕜
a✝ : A
hx : (splitMul 𝕜 A) (inl r✝ + ↑a✝) = 0
⊢ inl r✝ + ↑a✝ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
⊢ ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y : M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : map f P = Q
x : N
hx : x ∈ Q
⊢ x ∈ comap (↑f.symm) P