ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I n id s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h✝ : a ∈ s
b : α
h : s.inf WithTop.some = ↑b
right✝ : b ≤ a
⊢ ∃ b, s.min = ↑b
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
Finite G
h1 : Nat.card ↥H * Nat.card ↥K = Nat.card G
h2 : (Nat.card ↥H).Coprime (Nat.card ↥K)
⊢ H.IsComplement' K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t
hr' : r = ‖↑r‖ * 1
hr'' : ↑r ≠ 0
⊢ IsOpen (↑r • ↑S)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis I X
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
⊢ ∀ (X : Over Y), (map (𝟙 Y)).obj X = (𝟭 (Over Y)).obj X
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι
⊢ w i ≤ z i
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ (￢a) ∆ a = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).left.left = sq.X₁
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.CG
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.map f s).CG
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : Filter α
y z : Filter β
hy : Filter.Tendsto f x y
hz : y ≤ z
⊢ Filter.Tendsto f x z
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
⊢ Function.Injective ⇑f
b : Bool
n : ℕ
⊢ (!(Nat.bit (!b) n).testBit 0) = b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ s
⊢ ∃ ε > 0, ball y ε ⊆ ⇑f '' s
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * (π * 1)) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Filter.Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : K
⊢ (fun w => ((↑w).embedding x).re) = (Pi.ringHom fun w => embedding_of_isReal ⋯) x ∧ (fun w => (↑w).embedding x) = (Pi.ringHom fun w => (↑w).embedding) x
α : Type u_1
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ 0 ≤ μ
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
a : α
⊢ s = Sym.replicate n a ↔ ∀ b ∈ s, b = a
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosMono α
bc : b ≤ c
ha : a ≤ 1
a0 : 0 ≤ a
c0 : 0 ≤ c
⊢ b * a ≤ c
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive n ⋯
⊢ leRec (motive := fun {n_1} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n_1 → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n_1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n_1 ⋯ → motive n mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) ⋯ of_succ self = self
G : Type u_1
Group G
x : G
s : Subgroup G
hx : x ∈ s
⊢ orderOf x ∣ Nat.card ↥s
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : Module.Dual R M
p : P
g : Module.Dual R N
q : Q
⊢ TensorProduct.map ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)) ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) =
  (dualTensorHom R (TensorProduct R M N) (TensorProduct R P Q))
    ((TensorProduct.dualDistrib R M N) (f ⊗ₜ[R] g) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ logDeriv (fun x => x⁻¹) x = -1 / x
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : 1 < a
⊢ b < a * b
R : Type u
CommRing R
W : ℤ → R
h : IsEllDivSequence W
x : R
⊢ IsEllDivSequence (x • W)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)
b : ι → ℝ
hb : b ∈ closure (s ∩ Ici a)
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)
⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 1
hb : b ≤ 1
⊢ a * b < 1
R : Type u
CommSemiring R
g : R[X]
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
s : Subalgebra R A
f : ↥s
⊢ ↑((Polynomial.aeval f) g) = (Polynomial.aeval ↑f) g
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : φ ∘ ψ = id
hφ : Filter.Tendsto φ f g
hψ : Filter.Tendsto ψ g f
⊢ Filter.map φ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
htf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ ⋃ i, t i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (inclusion hT ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' s))
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (IntermediateField.adjoin.powerBasis hx).dim = (minpoly K x).natDegree
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j : n
⊢ (diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) j j = diagonal (Function.update v i x) j j
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y J : Set α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
hXY : X ⊆ Y
hJY : M.Basis J Y
⊢ M.Basis I Y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
⊢ φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : J ⥤ C
c₁ : Cofan fun f => F.obj f.fst.1
c₂ : Cofan F.obj
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ s = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 }
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ t = c₂.ι.app { as := f.fst.1 }
i : Cofork s t
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
reassoced : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)) {W : C} {h : c₂.pt ⟶ W}, c₁.ι.app { as := f } ≫ s ≫ h = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 } ≫ h
⊢ F.map f ≫ c₂.ι.app { as := j₂ } ≫ i.π = (c₂.ι.app { as := j₁ } ≫ i.π) ≫ 𝟙 i.pt
a : ℤ
b : ℕ
x✝ : b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
hb : NeZero b
h : a.gcd ↑b ≠ 1
⊢ J(a | b) = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ nthRootsFinset 0 R = ∅
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ ‖f i‖₊ ≤ ‖f‖₊
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ Function.Surjective ⇑f.rangeSRestrict
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
b : β
⊢ inducedMap γ β (inducedMap β γ b) = b
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup M
T : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map f S ≤ T → S ≤ AddSubsemigroup.comap f T
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S
⊢ f.mk' a d = f.mk' b d ↔ ∃ c, ↑c * a = ↑c * b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_6
(i : ι) → LinearOrder (α i)
∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1
Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ s.IsPWO
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ n.Coprime (n - m) ↔ n.Coprime m
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubalgebra.map (NonUnitalAlgHom.id R A) S = S
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0
⊢ (μ s)⁻¹ ≠ 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
c : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone.obj c).pt = c.pt
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.FormallyEtale R A ↔ Algebra.FormallyUnramified R A ∧ Algebra.FormallySmooth R A
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀, v ⊆ insert x₀ s ∧ ∃ f', (∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀
n : ℕ
hn : Even n
⊢ closure (range fun x => x ^ n) = nonneg ℤ
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
DecidableEq α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ lowerClosure ↑s ⊓ lowerClosure ↑t
⊢ (s ⊼ t).truncatedSup a = ⊤
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))
room₂ : ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ < ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near : ∀ᶠ (x : ι) in L, ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs x) ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near' : ∀ᶠ (x : ι) in L, ↑(μs x) F ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
⊢ limsup (fun x => ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2) L ≤ ↑μ F + ↑ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ
T : Set α := t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hμT : μ T ≠ 0
hTm : NullMeasurableSet T μ
x : α
hxt : x ∈ T
m : ℕ
hm₀ : m ≠ 0
hmt : f^[m] x ∈ T
⊢ N + m > N
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v = (1 / 2 * 2) • ∫ (a : V), 𝐞 (-⟪a, w⟫_ℝ) • f a
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
Zero R
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
self : ContinuousMapZero X R
⊢ self.toContinuousMap 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
⊢ FreeMonoid.prodAux l = l.prod
α : Type u_1
LE α
a : α
b : WithTop α
h : b ≠ ⊤
⊢ a ≤ b.untop h ↔ ↑a ≤ b
x y : UInt32
⊢ x = y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
α : Type u
Group α
DecidableEq α
Fintype α
IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
⊢ (Finset.filter (fun a => a ^ n = 1) Finset.univ).card ≤ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsCompact (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
F_le : F ≤ 𝓟 s
x : X
x_in : x ∈ s
hx : ClusterPt (f x) (map f F)
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x F
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Subsingleton M
Subsingleton M₂
⊢ LinearEquiv.symm 0 = 0
α : Type u_3
Monoid α
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : ∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y := ⋯
⊢ (s.erase a).noncommProd comm' * a = s.noncommProd comm
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ I * J' ≤ J
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ d ≤ s.einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ edist x y
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
⊢ a % c * b % c = a * b % c
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
h' : IsEmpty α
⊢ InjOn f s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (S.map F).Exact
α : Type u_3
n : ℕ
a : α
s : Sym α n
⊢ Sym.cons' a (Sym.symEquivSym' s) = Sym.symEquivSym' (a ::ₛ s)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : (aeval x) q = 0
⊢ (aeval x) (p %ₘ q) = (aeval x) p
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq α
j : α
(i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g = Function.update (s.piecewise f g) j (f j)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
h0 : ∀ (x : M), f x ≠ 0
⊢ ContMDiff I' I n fun x => (f x)⁻¹
G H : CommGrp
g : ↑G
⊢ 1 g = 1
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
⊢ SameRay R (-x) (-y) ↔ SameRay R x y
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ
⊢ x /ₚ ux = y /ₚ uy ↔ x * ↑uy = y * ↑ux
α : Type u
Monoid α
a b : αˣ
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
m : Multiset α
⊢ (a = b ∧ 0 = m ∨ a ≠ b ∧ ∃ cs, 0 = b ::ₘ cs ∧ m = a ::ₘ cs) ↔ a = b ∧ m = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
f : X → E
g : X → F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫ (x : X), (f x, g x) ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ, ∫ (x : X), g x ∂μ)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
g₀ : β → γ
⊢ Function.Surjective fun g => g ∘ f
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * m) * cos x ^ (2 * n) = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ m * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ n
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
Monoid M
S : Submonoid M
OreLocalization.OreSet S
MulAction M X
SMul R X
SMul R M
IsScalarTower R M M
IsScalarTower R M X
r : R
x : X
⊢ r • (x /ₒ 1) = r • x /ₒ 1
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (x - y) = WittVector.mapFun (⇑f) x - WittVector.mapFun (⇑f) y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝¹ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ s ↔ toDual.symm a✝ ∈ s
m n : ℕ
⊢ m - n = (m.psub n).getD 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
⊢ y -ᵥ p₂ = 0 → x -ᵥ p₁ = 0 ∨ p₃ -ᵥ z = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
⊢ MvPolynomial.degreeOf n 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
N : Type u_17
N₂ : Type u_18
N₃ : Type u_19
AddCommMonoid N
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid N₃
Module R N
Module R N₂
Module R N₃
e₁ : M ≃ₗ[R] N
e₂ : M₂ ≃ₗ[R] N₂
e₃ : M₃ ≃ₗ[R] N₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ (e₁.arrowCongr e₃) (g ∘ₗ f) = (e₂.arrowCongr e₃) g ∘ₗ (e₁.arrowCongr e₂) f
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
b : β
hb : b ∈ s
⊢ f b ∣ s.lcm f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
EquivLike F α β
Mul α
Mul β
MulEquivClass F α β
⊢ Function.Injective MulEquivClass.toMulEquiv
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
h : f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
⊢ s ∈ f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (TensorAlgebra.Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = (TensorAlgebra.ι R) m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (m • x) = m • truncateFun n x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s✝ s : Finset α
⊢ Multiset.map (⇑(Embedding.subtype fun x => x ∈ s)) s.val.attach = s.val
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
self : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
X Y : C
⊢ self.μ X Y ≫ self.map (β_ X Y).hom = (β_ (self.obj X) (self.obj Y)).hom ≫ self.μ Y X
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsRightRegular (a ^ n) ↔ IsRightRegular a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Ring α
TopologicalRing α
s : Subring α
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
inhabited_h : Inhabited ι
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 l)
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 (f_lim x))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : (Metric.ball x ε₁ ∩ Metric.ball y ε₂).Nonempty
⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.negDblY P = (-W'.dblU P) ^ 3
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)
M : Type u_1
Monoid M
n : M
⊢ (Function.Injective fun m => n ^ m) ↔ Function.Injective (Submonoid.pow n)
n : Nat
m : Nat
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.zeroExtend m x).getLsb i = (decide (i < m) && x.getLsb i)
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q