ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => -f x) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ x ∈ box n d ↔ ∀ (i : Fin n), x i < d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1
⊢ x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Monotone fun r => ProbabilityTheory.preCDF ρ r a
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
MulAction M α
FaithfulSMul M α
m : M
⊢ MulAction.fixedBy α m = Set.univ ↔ m = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ f.cycleType ≤ g.cycleType
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
⊢ x ∈ Set.Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ I ≤ comap f (map f I)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Nontrivial R
⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u : U
⊢ φ.symmetrify.costar u =
  ⇑(Quiver.symmetrifyCostar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.costar u) (φ.star u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyCostar u)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
x : E
⊢ (⨅ i, 𝓝 x).HasBasis ((fun x If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) x) ((fun x If => ⋂ i ∈ If.1, If.2 i) x)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
W : Submodule K V
inst✝¹ : Module.Free K ↥W
inst✝ : Module.Finite K ↥W
⊢ finrank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
⊢ (Set.range fun i => g • i • a) = Set.range fun m => m • g • a
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
⊢ spectrum K = HasEigenvalue
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
Subsingleton α
f : α → β
⊢ Monotone f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
y x : 𝔸
hy : y ≠ 0
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (y * x * y⁻¹) = y * NormedSpace.exp 𝕂 x * y⁻¹
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle y z).sign
⊢ o.oangle w x = o.oangle y z
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ (t ∪ u) = s ∩ t ∪ s ∩ u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
⊢ I.boundary M = ∅
α : Type u
ι : Type v
MetricSpace α
ProperSpace α
c : ι → α
s : Set α
r : ι → ℝ
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ Metric.ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, Metric.ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
n : ℕ∞
⊢ ↑n.toNat ≤ n
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (deriv f x) = fderiv 𝕜 f x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
a₁ : WithBot α
h₁ : WithBot.recBotCoe True p a₁
a₂ : WithBot α
h₂ : WithBot.recBotCoe True p a₂
⊢ WithBot.recBotCoe True p (a₁ ⊔ a₂)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
⊢ x ∈ s.smulAntidiagonal t a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 • x.2 = a
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
d : l.Nodup
s₁ : l₁ <+ l
s₂ : l₂ <+ l
⊢ l₁ ~ l₂ ↔ l₁ = l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
⊢ ¬p ^ (n + 1) ∣ p ^ n
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y
⊢ rexp (log x * y) < rexp (log x * z)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : 1 ≤ n
⊢ Continuous (tangentMap I I' f)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs
⊢ (orderedInsert r x xs).erase x = xs
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
LocallyCompactSpace X
RegularSpace X
⊢ μ k =
  ⨅ f,
    ⨅ (_ : Continuous f),
      ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : Set.EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m β
init : β
arr : Array α
a : α
⊢ Array.foldrM f init (arr.push a) (arr.size + 1) = do
  let init ← f a init
  Array.foldrM f init arr arr.size
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))
⊢ ↑‖f_lim a‖₊ ^ p = liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
⊢ ∀ (a : Additive α →+ β) (a_1 : α), (MonoidHom.toAdditive'.symm a) a_1 = Multiplicative.ofAdd (a (Additive.ofMul a_1))
n : ℕ
⊢ n + 1 ≤ (n.sqrt + 1) ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).K = h.K
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioc 0 1)
⊢ ↑x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length
⊢ x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
⊢ ∀ (u v : Set α), μ (u ∆ v) ≠ ⊤ → μ u = ⊤ → μ v = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)
⊢ f (rangeSplitting f x✝) = ↑x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (MeasureTheory.Measure.map f μ)
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (u ∘ f) (u ∘ g) μ ν
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
hν_ac : ν ≪ ν.withDensity f
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν).rnDeriv (ν.withDensity f)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
⊢ LinearMap.id ^ n = LinearMap.id
α : Type u_1
LE α
S : Set (Set α)
hf : ∀ s ∈ S, IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (⋃₀ S)
α : Type u_2
self : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ self.measureOf ∅ = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
hx : 0 ∈ x
⊢ Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 x)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
CauSeq.IsComplete α abs
f : CauSeq α abs
x : α
h : f < CauSeq.const abs x
⊢ f.lim < x
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x y : P
⊢ nndist (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) = nndist x y
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
⊢ UniqueFactorizationMonoid α ↔ ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n : ℕ+
⊢ ∀ (n : ℕ+), (n < PNat.find h₂ + 1 → ¬p n) → n + 1 < PNat.find h₂ + 1 → ¬p (n + 1)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ IsGLB S (sInf S)
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
⊢ nndist f g = Finset.univ.sup fun b => nndist (f b) (g b)
α : Type u
UniformSpace α
⊢ UniformInducing SeparationQuotient.mk
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ (-a) s = HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a s
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
z : ℍ
⊢ (eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) ↑z = (↑(a 0) * ↑z + ↑(a 1)) ^ (-k)
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
u : ∀ (k : ℕ), GammaAux (⌊1 - s.re⌋₊ + k) s = Gamma s
⊢ ⌊1 - s.re⌋₊ ≤ n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X
⊢ ¬Disjoint (orbit G a) (orbit G b) → orbit G a = orbit G b
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : 0 < G.dist u v
⊢ Set.univ.Nonempty
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ mk f ≤ mk g ↔ f ≤ g
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
⊢ s.ncard ≤ (insert a s).ncard
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (ofZeros S hf hg).f' = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s : Finset β
b : β
⊢ s -ᵥ {b} = Finset.image (fun x => x -ᵥ b) s
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : a.testBit i = true
⊢ a ^^^ v < a
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
ι : Type u
Finite ι
f : ι →₀ R
x : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
h : x f = 0
⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose
⊢ X.OpenCover
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (M.tensorBimod N).X = Bimod.TensorBimod.X M N
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft
⊢ B.SeparatingRight
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
hs : ∀ i ∈ ∅, p (g i)
⊢ f (∏ i ∈ ∅, g i) ≤ ∏ i ∈ ∅, f (g i)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
b : B
x : F
hx : b ∈ e.baseSet
⊢ ↑e (↑e.symm (b, x)) = (b, x)
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
hY : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ I, M.Basis I (X ∪ Y) ∧ M.Basis (I ∩ Y) Y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
X : C
⊢ (ρ_ F).inv.app X = (ρ_ (F.obj X)).inv
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a : R
⊢ a ∈ Set.center R ↔ AddMonoidHom.mulLeft a = AddMonoidHom.mulRight a ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) = AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulRight a)
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2
⊢ a ≤ √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) * 2 ^ (n + 1)
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ (1 - (X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i
⊢ (shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
⊢ ↑s = {a, b} ↔ s = {a, b}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
⊢ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ Finset.fold max b f s ≤ c ↔ b ≤ c ∧ ∀ x ∈ s, f x ≤ c
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
i j k : ℕ
⊢ I ^ k • I ^ i • F.N j ≤ I ^ k • F.N (i + j)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsNClique n t ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩
hxy : ↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)) ∈ S k
⊢ f k ⟨↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)), hxy⟩ = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => Real.exp (f x)) ↔
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f'' =o[⊤] g' ↔ ∀ (x : α), f'' x = 0
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
ι : Type u_1
U : ι → ↑X.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
⊢ P f ↔ ∀ (i : ι), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
k : ℕ
x : 𝕜
⊢ deriv^[k] Inv.inv x = (∏ i ∈ Finset.range k, (-1 - ↑i)) * x ^ (-1 - ↑k)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
⊢ ⌈↑n⌉₊ = n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
⊢ f.IsCycleOn {a} ↔ f a = a
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.nodal s v = (Polynomial.X - Polynomial.C (v i)) * Lagrange.nodal (s.erase i) v
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑j.range
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
⊢ ∃ a, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧ ‖j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖j (a n)‖ < f n
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ c ∈ D ∧ d ∈ D → c ∈ E ∧ d ∈ E
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (s ∩ ball x V).Nonempty
α : Type u_1
One α
Add α
⊢ ↑1 = 1
a : ℤ
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : a.gcd ↑p ≠ 1
⊢ ↑a = 0
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a * a = b * b
α : Type u
s₁ s₂ : Set α
a : α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ a ∈ s₁ → a ∈ s₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.StructuredArrow (Opposite.op d) F.op)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.StructuredArrow.toCostructuredArrow' F d).map f =
    CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f.unop.right.unop ⋯
x : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.zeta x = if x = 0 then 0 else 1
⊢ ∀ (G : Type u_1) [inst : Group G] [inst_1 : Subsingleton G] (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ J₂ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ J₁ = J₂ ↔
  ∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))),
    CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J₁ P ↔ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J₂ P
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ (B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))).Nondegenerate
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Set.Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Set.Iic (f i j)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : orderOf x ∣ n
⊢ x ^ n = 1
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Mono S.f
⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsSigmaCompact s ↔ IsSigmaCompact Set.univ
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
self : IsRingHom f
x y : α
⊢ f (x + y) = f x + f y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x
a : I
ha : ↑y a ≠ ↑x a
⊢ ∃ a ∈ factors C s x, (LocallyConstant.evalMonoidHom y) a = 0