ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : Polynomial.derivative f = 0
⊢ f = Polynomial.C (f.coeff 0)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
⊢ 1 ∈ f ⁻¹' s
α : Type w
CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
⊢ A.adjugate = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0]
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α
⊢ foldrAux f a { data := l ++ m.reverse.reverse ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m.reverse.reverse } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m.reverse.reverse
β : Type u_4
AddGroup β
f : ℤ →+ β
n : ℤ
⊢ f n = n • f 1
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n
this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)
⊢ ↑p ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) - wittStructureInt p Φ k ^ p
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : Ring 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
⊢ (↑n !)⁻¹ • 0 ^ n = Pi.single 0 1 n
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β
⊢ (corec' g x).dest = (TypeVec.id ::: Sum.elim _root_.id (corec' g)) <$$> g x
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
⊢ Associates.mk a ≤ Associates.mk b ↔ a ∣ b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ (mapRange f hf g).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ Finset.map f s = ∅ ↔ s = ∅
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ (∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → d ∣ n
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
⊢ IndepFun (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
M : Type u_1
Add M
z : M
self : IsAddCentral z
a c : M
⊢ a + z + c = a + (z + c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), n ≤ (filter (fun x => a ∈ x) B).card
⊢ ∑ s ∈ B, (univ ∩ s).card = ∑ s ∈ B, s.card
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[≠] x, f z ≠ f x
M : Type u_1
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
SetLike M R
MulMemClass M R
S : M
a b : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
hb : b ∈ S
⊢ a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
⊢ ⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x = ⨆ i, u i
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₁₂.τ₂ ≫ S.v₂₃.τ₂ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖(p.1.prod p.2) m‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
h : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
⊢ TotallySeparatedSpace X
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁶ : IsRightCancelAdd α
inst✝⁵ : NoZeroDivisors α
inst✝⁴ : ZeroLEOneClass α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ a * a + b * b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₃ : K ⊆ S → Supports K S
H₂ : trStmts₁ q ⊆ S ∧ K ⊆ S
⊢ Supports (trStmts₁ q ∪ K) S
α : Type u
x y : α
s : Set α
hx : x = y
h : y ∈ s
⊢ x ∈ s
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
⊢ 3 * c ^ 2 < 4
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ JoinedIn sᶜ a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
hK : Dense ↑K
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = 0
v : ↥K
⊢ ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, 0⟫_𝕜
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
⊢ (𝟙 X - p) ≫ (𝟙 X - p) = 𝟙 X - p
a b : Prop
p : Prop → Prop
h₁ : a ↔ b
h₂ : p a
⊢ p b
α : Type u
R : Type u_1
Monoid α
Ring R
f : α →* R
⊢ ↑(FreeAbelianGroup.liftMonoid f) = FreeAbelianGroup.lift ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ PTendsto' f l₁ l₂ → PTendsto f l₁ l₂
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)
⊢ s.sum.support ⊆ (map Finsupp.support s).sup
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S✝ : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S✝
S T : Ideal R
H : S ≤ T
x : R
⊢ ((factor S T H).comp (mk S)) x = (mk T) x
C : Type u₁
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁷ : AddMonoid M
inst✝⁶ : HasShift C M
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
f : X ⟶ Y
⊢ (L.map f ≫ L.map ((shiftFunctorZero' C 0 ⋯).inv.app Y)) ≫ ((L.commShiftIso 0).app Y).hom = ShiftedHom.mk₀ 0 ⋯ (L.map f)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ S
⊢ ↑(hST.equiv g).2 = g ↔ g ∈ T
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f g : A →ₑ+[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A
⊢ f a = g a
α : Type u_6
β : Type u_7
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
self : α ≃ᵐ β
⊢ Measurable ⇑self.toEquiv
z : ℂ
⊢ z.re = Complex.abs z ↔ 0 ≤ z
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
Fintype ↑w
s : Submodule.span R w = ⊤
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
C : CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.WithInitial.prelaxfunctor.obj C = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.WithInitial ↑C)
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
i : G.LeftMoves
hi : 0 ≤ G.moveLeft i
⊢ ∃ i, G.moveLeft i ≈ 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
I : Ideal S
T : Type u_3
inst✝ : CommRing T
f : R →+* T
⊢ map f (spanNorm R I) = span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : UniformGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
φ : G →* ι →ᵤ M := { toFun := swap (DFunLike.coe ∘ F), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
⊢ Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (k + 1), (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (k - x)) = X k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Mon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app X = (F.obj X).mul
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
h : 0 ∈ S
⊢ Subsingleton (LocalizedModule S M)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
⊢ ClusterPt (f x) l
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
CompleteLattice M
Zero M
Nonempty ι
h1 : ⊥ = 0
s : ι → Set α
f : α → M
x : α
⊢ (⋂ i, s i).indicator f x = ⨅ i, (s i).indicator f x
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
α : Type u_1
Semiring α
n : Num
⊢ ↑n.bit1 = 2 * ↑n + 1
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ b
⊢ a + b = max a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
φ : R ⟶ R'
X : Cᵒᵖ
r' : R'.obj X
⊢ ((CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.localPreimage φ r').map φ).IsAmalgamation r'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
r : ℝ
⊢ f.toSeminorm.ball 0 r = {x | ‖f x‖ < r}
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Set N
h1 : t.Countable
h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s
⊢ ∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = s
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ (↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x) ∈ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
CompactSpace α
f : α →C_c β
⊢ CompactlySupportedContinuousMap.ContinuousMap.liftCompactlySupported.symm f = ↑f
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0
h₂ : (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))
⊢ (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.up α))} (f : X ⟶ Y) (n : α),
  (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).functor.map f).f n).f = f.f.f n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0 → x = 0
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (algebraMap A K) ((intNorm A B) x) = (norm K) ((algebraMap B L) x)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)
hne : ↑2 ≠ 0
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ S
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
hmn : m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn m f p univ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ ↑univUnitBall.symm 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Y
⊢ f + g = CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc (𝟙 Y) (𝟙 Y)
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set α
a✝ b✝ c : α
h : (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : b = ⊥
this : a = b
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁
⊢ ↑(m₁ % ↑n) / ↑n = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝
⊢ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
F : Type u
Field F
f : F[X]
q : ℕ
ExpChar F q
hm : f.Monic
⊢ f.natSepDegree = 1 ↔ ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ f = (Polynomial.X ^ q ^ n - Polynomial.C y) ^ m
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b
this : ∀ {n : ℕ}, ↑n ! ≠ 0
⊢ ↑(b.choose a) = ↑b ! / (↑a ! * ↑(b - a)!)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ (CategoryTheory.sheafEquivSheafOfTypes J).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun X =>
      CategoryTheory.Iso.refl
        (({ obj := fun S => { val := S.val, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} f => { val := f.val }, map_id := ⋯,
                  map_comp := ⋯ }.comp
              { obj := fun S => { val := S.val, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} f => { val := f.val }, map_id := ⋯,
                map_comp := ⋯ }).obj
          X))
    ⋯
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ fourierCoeffOn hab f n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - (↑b - ↑a) * fourierCoeffOn hab f' n)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ y, y ⋖ x}.Countable
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β
s : Finset β
⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset γ), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f (g b)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ ⋃ x ∈ ↑t, (fun a => f a x) '' ↑s = image2 f ↑s ↑t
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ a⁻¹ • b ∈ s ↔ b ∈ a • s
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 ≤ f x}
m✝ n a✝ b✝ c✝ d a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * m] → a ≡ b [MOD m]
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
DecidablePred fun x => x ∈ K.fixingSubgroup
FiniteDimensional F E
IsGalois F E
⊢ Fintype.card ↥K.fixingSubgroup = FiniteDimensional.finrank (↥K) E
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊂ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.ncard < t.ncard
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ exponent G = p ↔ ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⊥
D : GlueData
i j k : D.J
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))
e₂ : (D.f j i) ((D.t i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z))) = (D.f j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z)
h₁ : D.t' j i k ≫ pullback.fst (D.f i k) (D.f i j) ≫ D.f i k = pullback.fst (D.f j i) (D.f j k) ≫ D.t j i ≫ D.f i j
⊢ (D.f i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z)) = (D.f i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z)) ∧ (D.f k i) ((D.t i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z))) = (D.f k j) ((D.t j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z))
c d : ℝ≥0∞
r p q a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
b' : ℝ≥0
b'd : ↑b' < d
b : ℝ≥0
bd : ↑b < d
aa' : a < a'
bb' : b < b'
⊢ ↑(a * b) < c * d
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑((condexpInd G hm μ s) x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)