ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (⋂ i ∈ s, f i)
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ x ∈ ⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
a✝ : Nontrivial E
⊢ fderivWithin 𝕜 f univ x = fderiv 𝕜 f x
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
⊢ (p.smash q h).toFun (Fin.natAdd p.length i).castSucc = q.toFun i.castSucc
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]
⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I)
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((Polynomial.aeval pb.gen) g)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)}))
    (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₃ : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
I : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
⊢ B.IsAdjointPair B' 0 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
x y : α
⊢ IsLUB (f '' {x, y}) (f x ⊔ f y)
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h : ∃ a ∈ I, a ∈ hC.diffFinset₀ hs hI
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
AddMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
SmoothAdd I' G
f : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
⊢ let leq := ⋯; (quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯) = (quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g leq)
V : Type u
G : SimpleGraph V
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
f : G ↪g G'
n : ℕ
h : G'.Colorable n
⊢ G.Colorable n
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
A : Set X
hf : ContinuousOn f A
x : X
⊢ x ∈ A → extendFrom A f x = f x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
n : ℕ
⊢ CauSeq.Completion.ofRat ↑n = ↑n
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
i : ℕ
⊢ ↑((DirectSum.Decomposition.decompose' φ) i) = (MvPolynomial.homogeneousComponent i) φ
α : Type u_1
q : Semiquot α
s : Set α
h : q.s ⊆ s
⊢ Semiquot.blur s q = q.blur' h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ (G.cofree.obj X).A = G.obj X
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * c * r • a = b * (c * r • a)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
⊢ gauge s x < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
F : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
k : ℕ
ζ : M
f : F
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R
⊢ (-1) ^ 0 * A 0 0 * ((-1) ^ 0 * A 1 1 * A 2 2 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 2 * A 2 1) + ((-1) ^ (0 + 1) * A 0 1 * ((-1) ^ 0 * A 1 0 * A 2 2 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 2 * A 2 0) + (-1) ^ (0 + 1 + 1) * A 0 2 * ((-1) ^ 0 * A 1 0 * A 2 1 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 1 * A 2 0)) = A 0 0 * A 1 1 * A 2 2 - A 0 0 * A 1 2 * A 2 1 - A 0 1 * A 1 0 * A 2 2 + A 0 1 * A 1 2 * A 2 0 + A 0 2 * A 1 0 * A 2 1 - A 0 2 * A 1 1 * A 2 0
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1
⊢ (χ.ringHomComp f) ↑a ≠ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
Nonempty ι
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Preorder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜
hf_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
hg_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g
⊢ (fun a => ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.IsConnected C ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.Types.pUnitCocone C))
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ x ∈ cthickening δ E
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
⊢ HolderWith 1 1 id
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
P : C
ι : P ⟶ X
w : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι (f j₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι (f j₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.ofι ι w).ι = ι
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1
i j : n
⊢ (of rows * A) i j = 1 i j
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
⊢ supported M R (s ∩ t) = supported M R s ⊓ supported M R t
I : Type u_1
J : Type u_2
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
CommSemiring K
AddCommMonoid R
Module K R
⊢ ∀ (a : Matrix I J (Matrix K L R)), (Matrix.compLinearEquiv I J L R K) a = (Matrix.compAddEquiv I J K L R) a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
x : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝⁶ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
s : Finset (LieIdeal R L)
a✝⁵ : (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝⁴ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, a✝⁵⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
a✝³ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I✝ : (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝² : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, I✝⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
I : LieIdeal R L
a✝¹ : I ≤ s.sup id
a✝ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
h✝ : J ∈ s ∧ ¬J ≤ I
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
this : I ≤ K
⊢ (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 ⟨s', ⟨hs'S, ⟨I, this⟩⟩⟩ ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩
M : Type u
AddMonoid M
N : Type u'
AddMonoid N
F : M →+ N
X Y : CategoryTheory.Discrete M
⊢ (CategoryTheory.Discrete.addMonoidalFunctor F).μ X Y = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ 𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))
z : ℂ
⊢ z ∈ Complex.slitPlane ↔ z.arg ≠ π ∧ z ≠ 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
⊢ {v | Odd (G.degree v)}.toFinset = Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Injective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Injective ⇑(f' ^ (n + 1))
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsConnected J
B : C
F : J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone (F ⋙ CategoryTheory.Over.forget B)
⊢ (CategoryTheory.Over.CreatesConnected.raiseCone c).pt =
  CategoryTheory.Over.mk (c.π.app (Classical.arbitrary J) ≫ (F.obj (Classical.arbitrary J)).hom)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
m : M
⊢ (Finsupp.single none m).some = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ
⊢ edist x y < ENNReal.ofReal r ↔ dist x y < r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a })
x y : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }
hy : σ x = y
⊢ (reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M y x = fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j) y x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ (desc φ α hα).f j = sndX φ j ≫ α.f j
r : ℝ≥0
p : ℝ
hr : 0 < r
hp : p < 0
⊢ r ≤ p.toNNReal ↔ ↑r ≤ p
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
r : R
⊢ Polynomial.nthRoots 0 r = 0
a b c d : Int
h₁ : a ≤ c
h₂ : b < d
h₃ : 0 ≤ b
h₄ : 0 < c
⊢ a * b < c * d
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain R a l₂
h : l₁ <+ l₂
⊢ Chain R a l₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
⊢ Kᗮ = ⊥ → K = ⊤
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
⊢ edist (f x) (f y) < ⊤
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
hg : LSeries.abscissaOfAbsConv g < ↑s.re
⊢ L (f ⍟ g) s = L f s * L g s
α : Type u
β : Type u_1
w x✝ y✝ z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x \ y ⊔ x ⊓ y = x
M : Type u_1
Mul M
z : M
⊢ z ∈ Set.center M ↔ IsMulCentral z
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => min (f x) a
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
⊢ (fun x => count (e x) (map ⇑e ↑s)) = fun x => count x ↑s
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0
a b : Quaternion ℝ
⊢ ⟪a, b⟫_ℝ = (a * star b).re
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
⊢ GaloisConnection exterior interior
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ ∃ X₁ a b,
  ∃ (comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.map a) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (w.app X₁) (B.map b)) = g),
    f = CategoryTheory.TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w g X₁ a b comm
r s : ℤ
h2 : IsCoprime s r
⊢ IsCoprime (r ^ 2 + s ^ 2) r
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A
⊢ IsStarNormal ↑a ↔ IsStarNormal a
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelCoforkBiproductFromSubtype f p).cocone =
  CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
h : M ≃+ N
⊢ h 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (f ▷ 𝟙_ C ≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
u v : ℤ
h : u * v = -1
⊢ u = 1 ∧ v = -1 ∨ u = -1 ∧ v = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β
⊢ BddBelow (u '' s) ↔ BddBelow s
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : ContDiff ℝ 1 f
hEF : FiniteDimensional.finrank ℝ E < FiniteDimensional.finrank ℝ F
⊢ Dense (Set.range f)ᶜ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Subsingleton α
a : Associates α
⊢ a.factors = ⊤
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ S.X₃.liftCycles x₃ j ⋯ hx₃ ≫ S.X₃.homologyπ i ≫ hS.δ i j hij = S.X₁.liftCycles x₁ k hk ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ j
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
s : ι → Set α
x : α →₀ M
⊢ x ∈ supported M R (⋂ i, s i) ↔ x ∈ ⨅ i, supported M R (s i)
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
η : Type u_9
Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
⊢ essSup (s.piecewise f g) μ = max (essSup f (μ.restrict s)) (essSup g (μ.restrict sᶜ))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ leftHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ - leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
h : Asymptotics.IsBigOWith c l u v
⊢ u / v * v =ᶠ[l] u
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
w✝² : V
w✝¹ : G.Adj u w✝²
w✝ : G.Walk w✝² v
⊢ v ∈ (cons w✝¹ w✝).support.tail
x : ℝ*
hI : x.Infinite
⊢ x ≠ 0
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ⊻ ∅ = ∅
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ Codisjoint (H.addSubgroupOf (H ⊔ K)) (K.addSubgroupOf (H ⊔ K))
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x y : A
w : s x y
⊢ (mkAlgHom S s) x = (mkAlgHom S s) y
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.next hs x hx ∈ s
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
⊢ proj ⁻¹' {b} ⊆ range (mk b)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.negDblY (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.negDblY P)
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ Continuous ⇑p
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
ha : a = 0
⊢ SemiconjBy a⁻¹ x y ↔ SemiconjBy a y x
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsIntegrallyClosedIn R B → IsIntegrallyClosedIn R A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
A : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ ((CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.functoriality P Q F).obj A).snd = F.map A.snd
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ Denumerable.lower' (Denumerable.raise' l n) n = l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ R ⊓ S ∈ J.sieves X ↔ R ∈ J.sieves X ∧ S ∈ J.sieves X
r : Type u
m : Type u → Type v
α : Type w
x y : ContT r m α
h : ∀ (f : α → m r), x.run f = y.run f
⊢ x = y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ y = midpoint R x y ↔ x = y
J : Type
Finite J
f : J → AddCommGrp
j : J
⊢ (AddCommGrp.biproductIsoPi f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j = Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
⊢ ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ instTopologicalSpace σ F 𝔖₁ ≤ instTopologicalSpace σ F 𝔖₂
ctx : Nat.Linear.Context
a b c d : Nat.Linear.Expr
h : a.toNormPoly.cancel b.toNormPoly = (c.toPoly, d.toPoly)
⊢ (Nat.Linear.Expr.denote ctx a ≤ Nat.Linear.Expr.denote ctx b) =
  (Nat.Linear.Expr.denote ctx c ≤ Nat.Linear.Expr.denote ctx d)