ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1
⊢ Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f z =
  ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0) ^ (1 - z) * ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1) ^ z
α : Type v
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Disjoint (Set.Iio a) (Set.Ici b)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
x : L
⊢ φ.nilRank ≤ (LinearMap.charpoly (φ x)).natTrailingDegree
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
m : M
⊢ ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (f m) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝² : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this✝ : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)
m₁ : Set α
hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁
m₂ : Set α
hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂
hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t
a : β
ha₁ : a ∈ e ⁻¹' m₁
left✝ : (f a, ⋯.extend f x₁) ∈ s
ha₂ : (⋯.extend f x₁, f a) ∈ s
b : β
hb₁ : b ∈ e ⁻¹' m₂
hb₂ : (f b, ⋯.extend f x₂) ∈ s
right✝ : (⋯.extend f x₂, f b) ∈ s
this : Prod.map f f (a, b) ∈ s
⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ‖0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (s.sigma t).Nonempty ↔ ∃ i ∈ s, (t i).Nonempty
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : GCDMonoid α
a b : α
⊢ gcd a b ∣ a
c : Char
m : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid → s.toString.data = c :: m → s.front = c
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).factorization p = a.factorization p + b.factorization p
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
self : f₀.Homotopy f₁
x : X
⊢ self.toFun (0, x) = f₀ x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : f ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ (minpoly A x).natDegree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range
X : Type u_1
TopologicalSpace X
HasOuterApproxClosed X
F : Set X
hF : IsClosed F
n : ℕ
x : X
hxF : x ∈ F
⊢ (hF.apprSeq n) x = 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =o[l] g
hc : 0 < c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f g
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₁
⊢ Function.Surjective ⇑B.flip ↔ Function.Injective ⇑B
m n : ℕ
x : Fin n
⊢ finSumFinEquiv.symm (Fin.natAdd m x) = Sum.inr x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
f : MeasureTheory.Filtration ℕ m
τ : Ω → ℕ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ℕ
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f fun ω => τ ω + i
z : ℂ
⊢ -(z * I) * I = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
⊢ μ (⇑f.toMeasurableEquiv ⁻¹' K) < ⊤
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
ω : Ω
hbddω : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
α : Type u
TopologicalSpace α
self : ConnectedSpace α
⊢ Nonempty α
F : Type u
Field F
K : Type v
Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : Polynomial.eval x h = 0
h_splits : Polynomial.Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (Polynomial.map i h).roots, y = i x
⊢ h = Polynomial.C h.leadingCoeff * (Polynomial.X - Polynomial.C x)
R : Type u
n : ℕ
CommRing R
IsDomain R
η : R
hη : η ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R
⊢ η ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
h : x < y
⊢ h₁ h = ltByCases x' y' h₁' h₂' h₃'
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
l : List α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x.eraseIdx n) (𝓝 l) (𝓝 (l.eraseIdx n))
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ n s', some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ (Function.mulSupport fun v => ↑v.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors))).Finite
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : o → Matrix m n α
k k' : o
i : m
j : n
⊢ Matrix.blockDiagonal M (i, k) (j, k') = Matrix.blockDiagonal' M ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
t : NonUnitalSubsemiring S
⊢ Monotone fun s => s.prod t
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).multinomial = (↑s).multinomial
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
UniqueFactorizationMonoid N
UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ Prime ↑(d ⟨p, ⋯⟩)
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cos x * (2 * sin x * cos x) = 2 * sin x * cos x ^ 2
⊢ sin x * (2 * (1 - sin x ^ 2) - 1) + 2 * sin x * (1 - sin x ^ 2) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
⊢ LocallyFinite fun i => support ⇑(f i)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite
⊢ (f ⁻¹' s).Finite
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.ShiftSequence ℤ
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.shift n₀).map φ.hom₃) (F.homologySequenceδ T' n₀ n₁ h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map φ.hom₁)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ (isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ closure {b | f b ≤ g b} = {b | f b ≤ g b}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : ∀ (i : Fin n), x i < d
⊢ ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ≤ n * (d - 1) ^ 2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) = ↑(adjoin F (S ∪ T))
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.toSubtype p) = id
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ IsFractional S ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α →. β
g : α → β →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec₂ g
⊢ Partrec fun a => (f a).bind (g a)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)) = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂ + 12 * C.r)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y z : P
⊢ dist (x -ᵥ z) (y -ᵥ z) = dist x y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
GroupWithZero α
ContinuousMul α
c : α
hc : c ≠ 0
⊢ ⇑(Homeomorph.mulLeft₀ c hc) = fun x => c * x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ ((P.actRight ≫ (ρ_ P.X).inv) ≫ P.X ◁ S.one) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b c✝ d a c : G₀
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : a / b = c / d
⊢ a * d = c * b
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ BddBelow (Set.range fun p => PiTensorProduct.projectiveSeminormAux ↑p)
X : Scheme
U : X.Opens
⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom = Scheme.Hom.app (Spec.map U.topIso.inv) ⊤ ≫ (Scheme.ΓSpecIso Γ(↑U, ⊤)).hom ≫ U.topIso.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Part β
o : Part α
Decidable o.Dom
(a : α) → Decidable (f a).Dom
Decidable (o.bind f).Dom
⊢ (o.bind f).toOption = o.toOption.elim none fun a => (f a).toOption
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
fg_min_on : IsMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖(PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap F) x‖ ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminorm x
α : Type u
UniformSpace α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
⊢ UniformEmbedding (Set.inclusion hst)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
head₁ : G i
tail₁ : Word G
fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝¹ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
head₂ : G i
tail₂ : Word G
fstIdx_ne✝ : tail₂.fstIdx ≠ some i
normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
⊢ rcons i { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹, normalized := normalized✝¹ } = rcons i { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝, normalized := normalized✝ } → { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹, normalized := normalized✝¹ } = { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝, normalized := normalized✝ }
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M ≃ₗ[R] M
e : M ≃ₗ[R] M'
⊢ LinearEquiv.det (e.symm ≪≫ₗ f ≪≫ₗ e) = LinearEquiv.det f
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
hx : x ≠ 0
s : Polynomial K
hs : s ≠ 0
⊢ ↑(x.num * s).natDegree - ↑(s * x.denom).natDegree = x.intDegree
n b x : ℕ
hx : x ≠ 0
hxb : x < b
⊢ b.digits x = [x]
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : S
h : a ∈ p.rootSet S
hf : p = 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp F G).F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.prod.map F.f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z.tgt))
        G.F))
    F.F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
CategoryTheory.IsIso f
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.inv f) (CategoryTheory.inv g)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ -Set.Ici a = Set.Iic (-a)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Injective ⇑f ∨ f = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1
⊢ HasFPowerSeriesAt (dslope f z₀) p.fslope z₀
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f).obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one = Y
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
n : ℕ
x✝ : n ∈ range (s.card + 1)
⊢ ∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ↑(s.card.choose n) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n))
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ici a ∩ Set.Iic b = Set.Icc a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (2 * x ^ (2 - 1)) • (rexp (-x ^ 2) * (x ^ 2) ^ (1 / 2 - 1)) = √π
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
⊢ Codisjoint W (B.orthogonal W)
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β
⊢ x ∩ f ⁻¹' maximals s (f '' x ∩ y) = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b ∆ a = b
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred AddSubgroup.FiniteIndex
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 →
  (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i +ᵥ ↑(H i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
hij : j ⊆ i
⊢ ↑(v.restrict i) j = ↑v j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc a b = Ico (b / c) (a / c)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ lowerClosure s ↔ ∃ a ∈ s, x ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
x y : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Icc (e x) (e y) = Set.Icc x y
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
this : DecidableEq ι
disj : Disjoint s (image (fun z => ↑z) s')
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (Icc a b).erase b = Ico a b
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n k : ℕ
⊢ multiplicity p n ≤ multiplicity p (n.choose k) + multiplicity p k
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ max ⊤ a = ⊤
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (Metric.closedBall a r)
R : Type u
DivisionSemiring R
q : ℚ≥0
f : R[X]
⊢ q • f = Polynomial.C ↑q * f
α : Type u
f : Equiv.Perm α
s : Set α
Finite ↑s
h : Set.MapsTo (⇑f) s s
⊢ Set.MapsTo (⇑f⁻¹) s s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁.map f = f.f₁
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ a = a ∨ a ∉ s
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝¹ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
a✝ : ℕ
⊢ a ≠ 0 → a ^ ↑a✝ ≠ 0
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
s : Submodule K V
Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s = 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ s ≤ Submodule.span K {v₀}
α : Type u_1
β : α → Type u_4
p : (a : α) × β a → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
x : ↑(Set.Ioc a (a + p))
⊢ (QuotientAddGroup.equivIocMod hp a).symm x = ↑↑x
α : Type v
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Disjoint (Set.Iic a) (Set.Ioi b)
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
⊢ ↑r < x * y
α : Type u_1
l : Filter α
⊢ ∃ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, s ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s✝ : Set α
f : ι → α
a✝ : α
s : Set α
a : α
h : ∀ b ∈ s, b ≤ a
⊢ sSup s ≤ a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
p : α
s : Finset α
hps : p ∉ s
ih : (∀ p ∈ s, Prime p) → (∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q) → f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
is_prime : ∀ p_1 ∈ insert p s, Prime p_1
is_coprime : ∀ p_1 ∈ insert p s, ∀ q ∈ insert p s, p_1 ∣ q → p_1 = q
hpr_p : Prime p
hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p
⊢ f (∏ p ∈ insert p s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ insert p s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ insert p s, p ^ j p)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
hH : CategoryTheory.CoverPreserving J K H
H.IsCocontinuous J K
H.IsCoverDense K
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f) ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective K f
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Computable Prod.snd
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ BddAbove s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
h : MeasureTheory.Integrable 0 μ
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 0 h = 0
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
⊢ x ∈ D → ∀ y ∈ D, x < y → C * (y - x) < f y - f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsIsoLeftRightHomologyComparison' h₁ h₂).left = h₁