ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
this✝ : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
⊢ Tendsto (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
x : PartENat
⊢ 0 < x ↔ 1 ≤ x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0
⊢ (minpoly R s).degree = P.degree
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
⊢ f x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support
x : ℝ
⊢ Real.cos (2 * x) = Real.cos x ^ 2 - Real.sin x ^ 2
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
⊢ Order.IsSuccLimit ⊥
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hf_sum : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hg_sum : HasSum (fun a => g a ^ q) (B ^ q)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A * ↑B ∧ HasSum (fun i => ↑(f i) * ↑(g i)) C
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s
⊢ ∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (Bornology.cobounded E) (Bornology.cobounded E)
α : Type u_2
GroupWithZero α
s : Set α
⊢ 0 / s ⊆ 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
a : R
⊢ a ∈ ker f → f a = 0
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S T : StarSubsemiring R
h : ∀ (x : R), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
TopologicalSpace β
f : β → α
c : M
s : Set β
hc : IsUnit c
⊢ ContinuousOn (fun x => c • f x) s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
s : Finset α
f : α → M
g : α → M → N
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
hg : ∀ (a : α), g a 0 = 0
⊢ (Finsupp.onFinset s f hf).sum g = ∑ a ∈ s, g a (f a)
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x⁻¹⁻¹ = x
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : MonotoneOn f (Set.Iic b)
⊢ f '' Set.Iic b ⊆ Set.Iic (f b)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
⊢ ∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
f : F
s : Set M₂
⊢ ⇑f ⁻¹' s ⊆ ⇑f ⁻¹' ↑(span R₂ s)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap ⇑Multiplicative.ofAdd
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
S : Type u_3
SMulZeroClass S R
ContinuousConstSMul S R
SMulZeroClass S A
IsScalarTower S R A
IsScalarTower S R (R → R)
s : S
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun x => s • x) '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f (s • x)) a = cfcₙ f (s • a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 ⋯) f = c • (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₁ y₁ ≤ dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂ + dist x₂ y₂
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
⊢ ∀ (j : α → Prop), j ∈ l → ∀ (j_1 : α → Prop), j_1 ∈ l → ((∃ a, j a) ↔ ∃ a, j_1 a)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
hf : ∀ (x : M), c (f x * x) 1
x y : M
h : c x y
⊢ c (f x) (f y)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.dist u v = 0 ↔ u = v ∨ ¬G.Reachable u v
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h₁ : o₁ < type r
h₂ : o₂ < type r
⊢ r (enum r o₁ h₁) (enum r o₂ h₂) ↔ o₁ < o₂
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinAt f p s e
hg : HasFPowerSeriesWithinAt g q s e
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) s e
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α
⊢ a✝ ∈ insert b (Iio b) ↔ a✝ ∈ Iic b
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ ⇑f.toInfHom = ⇑f
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
x✝ y x : ℝ
n : ℕ
ih : log (x ^ n) = ↑n * log x
hx : x ≠ 0
⊢ log (x ^ (n + 1)) = ↑(n + 1) * log x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
g : s ≼i t
a : α
⊢ (f.trans g) a = g (f a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.functor.obj X).obj Y = (X ⨯ Y)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : IsTorsionBy R M a
x : M
⊢ ∀ ⦃a_1 : ↑{a}⦄, ↑a_1 • x = 0
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
⊢ A ∈ Matrix.symplecticGroup l R ↔ A * Matrix.J l R * Aᵀ = Matrix.J l R
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
⊢ ε = 2 * (ε / 2)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
⊢ f = g
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpaceᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.map f = f.unop.val.c.app (Opposite.op ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
g' : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g'
⊢ ∫⁻ (b : γ), g' b ∂(κ.map f hf) a = ∫⁻ (a : β), g' (f a) ∂κ a
c : Nat.Linear.ExprCnstr
⊢ c.toPoly.norm = c.toNormPoly
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
h : a ≤ b
h₂ : b = ⊥
⊢ a = ⊥
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s₁ s₂ : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
⊢ (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.merge le s₁ s₂).realSize = s₁.realSize + s₂.realSize
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvOneMonoid G
a : G
⊢ a / 1 = a
K : Type v
Field K
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Polynomial.Splits (RingHom.id K) P
⊢ P.coeff 0 = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
g : G
x : AddMonoidAlgebra k G
⊢ (AddMonoidAlgebra.of' k G g * x).modOf g = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = Finset.fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 f s
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a = b + c
⊢ a - b = c
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
l : Filter α
f : α → E
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖₊) l (𝓝 ‖a‖₊)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map id l = l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
⊢ ∀ p_1 ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) p_1, ∃ q ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) q, IsCompl p_1 q
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ X.δ i.succ = 𝟙 (X _[n])
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup
⊢ σ.cycleType = ↑(List.map (Finset.card ∘ support) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
p : β → Prop
⊢ (∀ y ∈ e.target, p y) ↔ ∀ x ∈ e.source, p (↑e x)
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G
this : f (g * g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹ * g)
⊢ g • f (g⁻¹, g) - f (g, g⁻¹) = f (1, 1) - f (g, 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q R : C
⊢ ⟦CategoryTheory.Over.mk 0⟧ = ⟦CategoryTheory.Over.mk 0⟧
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0
h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
⊢ n ≤ n / d * d
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1).2 ∈ B✝
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
Preorder β
f : α → β
NoMinOrder α
SuccOrder β
IsSuccArchimedean β
hf : StrictAnti f
⊢ ¬BddAbove (Set.range f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
α : F₁ ⟶ F₂
t₁ t₂ : F₁.Elements
k : t₁ ⟶ t₂
⊢ ↑((CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).map k) = ↑k
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
⊢ f.curryRight.uncurryRight = f
⊢ (L fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) = L 1
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0
⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ edgeDensity r s₁ t₁
⊢ 0.3678794412⁻¹ < rexp 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ BijOn f {a} {b} ↔ f a = b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_6
FunLike F α β
InfSet α
InfSet β
sInfHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (ofFn f).Nodup → Function.Injective f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
AddCommGroup M'
AddCommGroup N'
AddCommGroup P'
Module R M'
Module R N'
Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Function.Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Function.Surjective ⇑g'
⊢ LinearMap.ker (TensorProduct.map g g') =
  LinearMap.range (LinearMap.lTensor N f') ⊔ LinearMap.range (LinearMap.rTensor N' f)
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ aᶜ ⊔ b ≤ a ⇨ b
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hp0_lt : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' 0 q μ = 0
P : Type u_1
SemilatticeSup P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
x : P
I J : Order.Ideal P
⊢ x ∈ I ⊔ J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, x ≤ i ⊔ j
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : ∀ (i : ι), ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ eval i ⁻¹' t
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
f g : X → M
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
hf : Monotone f
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≤ x_1) (fun x x_1 => x ≤ x_1) f ↔ ∀ (x : α), f '' Set.Iic x = Set.Iic (f x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ HNNExtension.of ↑(φ a) = HNNExtension.t * HNNExtension.of ↑a * HNNExtension.t⁻¹
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ ‖HurwitzKernelBounds.f_nat k a t n‖ ≤ HurwitzKernelBounds.g_nat k a t n
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ DifferentiableAt ℂ jacobiTheta τ
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
self : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ {a | (self.toFun a).coeff g ≠ 0}.Finite
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
c : R
x : M
⊢ e (c • x) = σ c • e x
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.negDblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.negDblY P
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0
⊢ v₁ + v₂ ⟂ᵥ w
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ y ∈ p.toList x ↔ p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : x ^ f.natDegree + ∑ i : Fin f.natDegree, f.coeff ↑i * x ^ ↑i = 0
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = f.natDegree + k
⊢ ∑ i : Fin f.natDegree, f.coeff ↑i * x ^ ↑i ∈ 𝓟
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.BijOn (⇑e.symm) t s ↔ Set.BijOn (⇑e) s t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
HasOrthogonalProjection K₁
⊢ K₁ ⊔ K₁ᗮ ⊓ K₂ = K₂
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
⊢ s.Nonempty → ∃ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a ≤ f b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X).decompId_p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    { X := ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X).X,
      p := CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X).X, idem := ⋯ }
α : Type u
S T : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(S ∪ T) + Cardinal.mk ↑(S ∩ T) = Cardinal.mk ↑S + Cardinal.mk ↑T
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
⊢ StronglyMeasurable (stoppedValue u τ)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b • p + toIcoMod hp a b = b
M : Type u_13
AddZeroClass M
d : M
⊢ AddEquiv.finsuppUnique.symm d = Finsupp.single () d
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ hs.choose.1 ∈ s
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
σ : n ≃ n
i j : n
⊢ σ.toPEquiv.toMatrix i j = 1 (σ i) j
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ s \ MeasureTheory.fundamentalInterior G s = MeasureTheory.fundamentalFrontier G s
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ (MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N)
R : Type u
CommRing R
σ : Type u_1
⊢ (↑(KaehlerDifferential.mvPolynomialBasis R σ).repr).compDer (KaehlerDifferential.D R (MvPolynomial σ R)) =
  MvPolynomial.mkDerivation R fun x => Finsupp.single x 1
o : Ordinal.{u_1}
i : (SetTheory.PGame.nim o).RightMoves
⊢ ↑(SetTheory.PGame.toRightMovesNim.symm i) < o
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ ↑↑((-1) ^ (j₁ * i₂)) • (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ↑↑((-1) ^ (j₂ * i₂)) • ↑↑((-1) ^ (j₁ * i₁)) • ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : TotallyBounded s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
α : Type u_1
p q : Perm α
n : ℤ
x : α
⊢ ¬(p ^ n) x = x → ¬p x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
f : α → Option β
H : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ s.Nodup → (Multiset.filterMap f s).Nodup
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₄, p₅}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h i j : C
α : f ⟶ g
η : g ⟶ h
ηs : h ⟶ i
θ : i ⟶ j
ι : h ⟶ j
pf_ι : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ηs θ = ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ηs)) θ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ι)
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₂
K : Type w₃
f : K → J
g : J → I
X : (i : K) × (fun i => C (g (f i))) i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.mapComp C f g).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨g (f X.fst), X.snd⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : β → γ
hg : Function.Injective g
⊢ HasSum (Function.extend g f 0) a ↔ HasSum f a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
val : β
⊢ (RelEmbedding.sumLexInr r s) val = Sum.inr val
α : Type u
β : Type v
l✝ : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d✝ : α
l l' : List α
d : α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ (l ++ l').getD n d = l.getD n d
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
⊢ IsFractional S I → ∀ (J : Submodule R P), IsFractional S (I ⊓ J)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
⊢ ↑((m + n).choose k) = ∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
hu : IsUnit u
⊢ W'.Equation (u • P) ↔ W'.Equation P