ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t
S : Set (Set α)
hSne : S.Nonempty
hSc : S.Countable
hS : (∀ s ∈ S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
V : Type u₁
Quiver V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C
X Y : V
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Paths.lift φ).map f.toPath = φ.map f
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonLeftAdjointObj adj A ⟶ B),
  ((CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonLeftAdjointHomEquiv adj A B) a).f =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app A.A)
      (G.map
        ↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso
              (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit
                (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))))
              B)
            a))
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
h : IsCompl W W'
⊢ IsCompl (dualAnnihilator W) (dualAnnihilator W')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
a b n : ℤ
h : a + b = n
a' n' : ℤ
ha' : a' + b = n'
hn' : n' = n + x
⊢ K.ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a' b n' ha' ≫
    (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (ComplexShape.up ℤ)) x n n' hn').inv ≫ (K.totalShift₁Iso x).inv.f n =
  (K.shiftFunctor₁XXIso a x a' ⋯ b).inv ≫
    ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b n h
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.addMonoidHom fun i => (f i).comp (f₂ i)) =
  (DFinsupp.mapRange.addMonoidHom f).comp (DFinsupp.mapRange.addMonoidHom f₂)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
hr₁.IsPreservedBy F
hr₂.IsPreservedBy F
⊢ F.map (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ hr₁ hr₂) =
  CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app = ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
CategoryTheory.Mono i₃
⊢ CategoryTheory.IsPullback
  (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ⋯)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) ⋯)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' g') i₁)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = s
⊢ IsSigmaCompact (f '' s)
α : Type u
DivisionCommMonoid α
a b : α
h : IsUnit a
⊢ a / (a / b) = b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hgi : MeasureTheory.IntegrableOn (g ∘ f) t μ
⊢ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ ≤ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.addXYZ P Q =
  WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q •
    ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      1]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (x : ((fun X => CategoryTheory.Mat_.mk PUnit.{1} fun x => X) X).ι)
  (x_1 : ((fun X => CategoryTheory.Mat_.mk PUnit.{1} fun x => X) Y).ι),
  (CategoryTheory.Mat_.embedding C).map f x x_1 = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
⊢ ((Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n) = h a n
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Group α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
MeasurableSup α
MeasurableInv α
⊢ Measurable fun x => (f x)⁻ᵐ
m : ℕ∞
⊢ 1 = ↑m ↔ m = 1
C : Type u
X Y X✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B (B' x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ B x
b : ℕ
r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
⊢ ↑(Nat.count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b) = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
⊢ (↑x.zmodRepr).cast = ↑x.zmodRepr
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ abs z ≤ √2 * max |z.re| |z.im|
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : ↑G.chromaticNumber.toNat = G.chromaticNumber
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
⊢ G.chromaticNumber.toNat < n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : ↥K
⊢ (orthogonalProjection K) ↑v = v
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ ∀ (t_1 : Triangle ℝ P), Set.range t_1.points ⊆ s → Simplex.circumradius t_1 = Simplex.circumradius t
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0
⊢ IsNilpotent (x * y)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
Z : C
g h : Z ⟶ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j = h ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j
⊢ g = h
v : PrimeMultiset
p : ℕ
h : p ∈ v.toNatMultiset
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
⊢ IsLowerSet {a | p a} ↔ Antitone p
q' q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
⊢ (q' = unrev q → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q) (trStmts₁ q) ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q)))
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f g : W ⟶ X
h : Y ⟶ Z
⊢ (f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ Finset.filter (fun i => g i ∈ t) s, f i
hn : Squarefree 0
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ 0 → q % 4 ≠ 3
⊢ IsSquare (-1)
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
⊢ LinearMap.ker ((aeval f) (C q.leadingCoeff * X + C (q.coeff 0))) = LinearMap.ker ((aeval f) q)
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
p : ℕ
α : Type u_1
a : Fin m → α
b : Fin n → α
c : Fin p → α
i : Fin (m + n + p)
⊢ append (append a b) c i = (append a (append b c) ∘ cast ⋯) i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s✝ : Set α
f : ι → α
a✝ : α
s : Set α
a : α
h : a < sSup s
⊢ ∃ b ∈ s, a < b
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
s t : Set α
⊢ s ∈ 𝒜 → t ∈ 𝒜 → s ∪ t ∈ 𝒜
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s t ↔ f '' s ⊆ t
F : Type u_1
M₀ : Type u_5
MonoidWithZero M₀
FunLike F ℚ M₀
MonoidWithZeroHomClass F ℚ M₀
f g : F
h : ∀ (m : ℤ), f ↑m = g ↑m
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass (NullMeasurableSpace α μ)
s : Finset α
⊢ NullMeasurableSet (↑s) μ
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).hom.app T.obj₃) ≫ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = (F.shift n₁).map (-(shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁) ≫ 𝟙 ((F.shift n₁).obj T.obj₁)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_9
Monoid α
DistribMulAction α R
SMulCommClass R α R
a : α
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : B.IsAlt
⊢ (a • B).IsAlt
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S T : Submonoid M
f : F
⊢ Submonoid.map f (S ⊔ T) = Submonoid.map f S ⊔ Submonoid.map f T
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x - ↑n
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : x ∈ ker (f ^ (n + m))
⊢ (f ^ n) x = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤
⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ ((h ≫ coeqHom g h) ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ IsLocallyInjective f
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T
this : hST.equiv.symm (⟨1, h1⟩, ⟨g, hg⟩) = g
⊢ (hST.equiv g).2 = ⟨g, hg⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
⊢ IsConnected (f ⁻¹' connectedComponent t)
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x < π / 2 ↔ x < 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Star α
A : Matrix m n α
r_reindex : l → m
c_reindex : o → n
⊢ (A.submatrix r_reindex c_reindex)ᴴ = Aᴴ.submatrix c_reindex r_reindex
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝¹ : b₁ ∈ eval f₁ a₁
ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁
b0 : f₁ b₁ = none
b₂ : σ₂
bb : tr b₁ b₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ b₂ ∈ eval f₂ a₂
x : ℝ*
h : x.Infinitesimal
⊢ ¬x.Infinite
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ Eₘ[s, t] = ∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
a : UInt8
⊢ sizeOf a = a.toNat + 2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(φ i)
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(Monoid.PushoutI.of i)
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
i : M₁
⊢ (QuadraticMap.Isometry.inl Q₁ Q₂) i = (i, 0)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ Integrable (fun a => 2 * (X a * Y a)) ℙ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑S.toSubsemiring = ↑S
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
⊢ HasStrictFDerivAt g (↑f'.symm) a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ spectrum K f
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)
x : α
hx1 : x ∈ s
hx2 : x ∈ t
y : M
hy : y ≠ 0
this : single x y ∈ ⊥
⊢ False
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ Tendsto (fun x => (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M ≃+ N
⊢ f.toAddMonoidHom = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable g p μ
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
⊢ (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
M : Type u_11
N : Type u_12
AddMonoid M
AddZeroClass N
AddAction M N
VAddAssocClass M N N
x : M
⊢ AddMonoidHom.vaddZeroHom x = x +ᵥ 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.totalDegree 1 = 0
M : Type u
DivInvMonoid M
PseudoMetricSpace M
IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ nndist (a / c) (b / c) = nndist a b
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
⊢ a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊓ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
⊢ b ⊓ c ≤ a → b ≤ a ∨ c ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
D : Type t
CategoryTheory.Category.{r, t} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor f) F
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => F.obj (f j)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan (CategoryTheory.forget D)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (CategoryTheory.forget D)
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (CategoryTheory.Limits.Pi.π f i)) x = (F.map (CategoryTheory.Limits.Pi.π f i)) y
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
k : ℕ
a : α
⊢ Multiset.map f (Multiset.replicate k a) = Multiset.replicate k (f a)
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ ∃ y ∈ N, ϕ y = ϕ x
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).reverse = ↑l.reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
AddCommMonoid N
f : α ≃ β
l : α →₀ M
g : β → M → N
⊢ (Finsupp.equivMapDomain f l).sum g = l.sum fun a m => g (f a) m
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Embedding M N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M
Module R₂ M
PartialOrder N
AddCommMonoid N
Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
⊢ 0 ≤ Q x
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
⊢ s.Nontrivial
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f 0 = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).IsSubordinate r
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring k
AddMonoid G
AddMonoid H
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃+ H
⊢ (AddMonoidAlgebra.domCongr k A e).symm = AddMonoidAlgebra.domCongr k A e.symm
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
⊢ IsInvariant ϕ.toFun (ω f ϕ.toFun s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p k : R[X]
h : p * k ≠ 0
⊢ p.roots ≤ (p * k).roots
x y z : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y → x + z ≤ y + z
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen V
f : Opposite.op U ⟶ Opposite.op V
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (X.presheaf.map f) ≫ hU.fromSpec = hV.fromSpec
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.AbsolutelyContinuous μ.toFinite
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
α : Type v
LinearOrder α
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
⊢ ⋃ x ∈ s, Set.Iio x = Set.Iio a
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet
⊢ z✝ ∈ {x, y} → z✝.IsTransitive
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s - t).Nonempty
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → (∀ z ∈ s, z ∉ Set.Ioo x y) → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y
⊢ s.card ≤ (t \ s).card + 1
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n
h : a ^ m = b ^ n
⊢ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
h : BoxIntegral.HasIntegral I l₁ f vol y
hl : l₂ ≤ l₁
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l₂ f vol y