ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬p.comp q = 0
n : ℕ
hn : n ∈ p.support
⊢ ↑(C (p.coeff n)).natDegree + n • ↑q.natDegree = ↑(n * q.natDegree)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ i ∈ ∅, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ ∅, S i) = ∑ i ∈ ∅, T (S i)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt P f x ↔
  ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) Set.univ (↑(chartAt H x) x)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn' f H = f p q
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ ≠ 0
⊢ normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
h : (↑s).EquitableOn f
ha : a ∈ s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁷ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
h : z = x
a : 𝕜
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1
⊢ z ∈ openSegment 𝕜 x x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
⊢ ((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0
⊢ f = 0
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < c * b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ s ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
b : β
hb : b ∈ t
h : p b
⊢ ∃ a ∈ s, p (f a)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
⊢ Continuous (exp 𝕂)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < (-q).degree
⊢ (p - q).leadingCoeff = -q.leadingCoeff
x : ℝ
⊢ Real.cos (Real.pi - x) = -Real.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
⊢ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n.succ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).op = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.op X)).symm
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
A : (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Filter.Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
⊢ UniformEquicontinuous F
n : ℕ
s : ℝ
⊢ 0 ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc (↑n) (↑n + 1), (x - ↑n) / x ^ (s + 1) ∂volume
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L'' : FirstOrder.Language
L3 : FirstOrder.Language
F : L'' →ᴸ L3
G : L' →ᴸ L''
H : L →ᴸ L'
⊢ (F.comp G).comp H = F.comp (G.comp H)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ s ∩ ⋃ i, notConvergentSeq f g i (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg i) ⊆ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
hn : n ≠ 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
bc : b < c
a0 : 0 < a
⊢ b * a < c * a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
CommMonoid β
ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, MeasureTheory.ProgMeasurable f (U c)
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f (∏ c ∈ s, U c)
x : ℤ
r : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r = Set.Icc ⌈↑x - r⌉ ⌊↑x + r⌋
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hle : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index K V ≤ index K' V
α : Type u_1
x✝ : Bool × ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (uncurry bit (b, n)).boddDiv2 = (b, n)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a : α
⊢ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₁ ≫ Sigma.desc e = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝⁵ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝⁴ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this✝³ : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝² : FiniteDimensional ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥(↥E')⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Iic a \ {a} = Set.Iio a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.ι self.π = f
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑a
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
⊢ ∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsLindelof {x}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => g (f x)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ f⁻¹.toGerm = f.toGerm⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
⊢ x ∈ (normalizeScaleRoots p).support → x ∈ p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
⊢ (r.comp s).image t = s.image (r.image t)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.leadingCoeff = 0 ↔ p.degree = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.7315, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.7319, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J
⊢ e.inv j ≫ e.hom j = 𝟙 (Y j)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume (Ioi a) = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ P X ↔ P Y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
X : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i
nothing : ⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i = ∅
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f₁ s x f'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys
⊢ (xs ++ ys).dedup = xs.dedup ++ ys.dedup
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f (v ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) + f v = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I
y : L
⊢ ((killingForm R L) y) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum fun n => sum (μ n)) s = (sum fun m => sum fun n => μ n m) s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ HasCompactSupport u
C : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X : Cᵒᵖ
x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)
⊢ ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (𝟙 X)) x = ((ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)) x
a b c : ℕ
⊢ a.choose c ≤ (a + b).choose c
α : Sort u_4
β : Sort u_5
r : β → β → Prop
f : α → β
⊢ WellFounded r → WellFounded (r on f)
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → (it.hasPrev = true ↔ l ≠ [])
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → NonAssocSemiring (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalRingHom f i) g = g i
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0
⊢ AntitoneOn f D
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : ↑S
⊢ EquicontinuousAt (S.restrict ∘ F) x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt F S ↑x₀
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b ≤ c
⊢ (fun x => a * x) '' Icc b c = Icc (a * b) (a * c)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
⊢ ∀ (i_1 : { n // ↑n = i }) (i_2 : { n // ↑n = j }), ∀ x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1), ∀ y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_2), x * y ∈ ⋃ i_3, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_3)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ (↑(List.map Multiset.ofList L)).join = ↑L.join
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
h : LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho))
f : ↑(MaxProducts C ho) → ↑(GoodProducts (C' C ho)) := MaxToGood C hC hsC ho h₁
hf : Function.Injective f
hh : (fun l => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail) = eval (C' C ho) ∘ f
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho)) ℤ (eval (C' C ho) ∘ f)
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc : IsUnit c
⊢ (f =o[l] fun x => c * g x) ↔ f =o[l] g
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, 1) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, 1
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : C * a ^ n < ε
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ dist (f (x + y)) (p.partialSum n y) < ε
α : Type u_1
s t u : Finset α
h : t ⊆ u
d : Disjoint s u
⊢ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
α : Type u_2
Sub α
s : Set α
b : α
⊢ s - {b} = (fun x => x - b) '' s
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ Real.pi
hxy : x ≤ y
⊢ Real.cos y ≤ Real.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite
⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = _root_.fderiv 𝕜 f z
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
hx : Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {z}
hy : Ideal.span {y} ≤ Ideal.span {z}
⊢ Ideal.span {gcd x y} ≤ Ideal.span {z}
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j : J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i
⊢ F.eventualRange i = F.map f '' F.eventualRange j
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Disjoint p p' ↔ ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ p', x = y → x = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
x : M
⊢ ↑((LinearEquiv.ofLeftInverse h) x) = f x
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRightTensor X Y).inv.app Z =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z X Y).hom
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ valFromGraph hg ⋯ = (x_fst, x_snd).2
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ TotallyBounded (Set.Ioc a b)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Algebra.EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, ∀ (s : S), ∃ t ∈ Algebra.adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ Algebra.adjoin R ↑σ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
hba : b ≤ x
⊢ x ∈ Iio b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Iio (max b d)
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n
⊢ Prime ⟨p, ⋯⟩ ∧ ↑⟨p, ⋯⟩ ∣ ↑n
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
x z : R
hz : ¬z = 0
p : R
⊢ x * (z * p) / z = x * (z * p / z)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
s : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
⊢ f =ᵐ[ν] μ.rnDeriv ν
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
x y : ℂ
⊢ cosh x + sinh x = cexp x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt
⊢ IsOpen (⇑homeo.symm ⁻¹' x✝) ↔ ∀ (i : J), IsOpen x✝
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f f' : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b = f' a b
⊢ Set.image2 f s t = Set.image2 f' s t
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → X → E
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.LocallyIntegrable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (∑ i ∈ s, f i) μ
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ (algebraMap R S).SurjectiveOnStalks
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ (summand a b σ) v + (summand a b (swap i j • σ)) v = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), c ∂μ = c * μ Set.univ
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
⊢ (Q₁.tensorAssoc Q₂ Q₃).toLinearEquiv = TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (Sum.inl x, Sum.inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (Sum.inl x, Sum.inr y)) + dist f g