ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b → Codisjoint b a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
⊢ Commute (a / b) c
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0
⊢ (p * q).natDegree = (q * p).natDegree
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
t : Finset α
Fintype α
ht : 0 ∈ t
⊢ Finset.univ + t = Finset.univ
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den
hqdn : q.num ∣ n
⊢ ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
δ : Sort x
e₁ : α ≃ β
e₂ : γ ≃ δ
f : α ↪ γ
⊢ ⇑(Function.Embedding.congr e₁ e₂ f) = ⇑(f.trans e₂.toEmbedding) ∘ ⇑e₁.symm
N : ℕ
NeZero N
j : ℕ
⊢ ↑(ZMod.toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑j / ↑N)
α : Type u_2
AddGroupWithOne α
s : SignType
⊢ ↑↑s = ↑s
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
Fintype n
Fintype m
NonUnitalSemiring R
v : m → R
A : Matrix m n R
w : n → R
⊢ v ⬝ᵥ A *ᵥ w = v ᵥ* A ⬝ᵥ w
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p
⊢ lift.{v, w} #{ i // p i ≠ ⊥ } ≤ lift.{v, w} ↑(finrank R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : ∀ (x : α), f x ∉ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (x_1 : α), ¬f x_1 = x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b
⊢ a ≤ b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ v ∉ G.commonNeighbors v w
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
g : LatticeHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : LatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ LatticeHom.dual.symm (g.comp f) = (LatticeHom.dual.symm g).comp (LatticeHom.dual.symm f)
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ (f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f = MulActionHom.id M
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.moduleCatLeftHomologyData.π = S.moduleCatHomologyπ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
⊢ gauge (-s) (-x) = gauge s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n
dvd_a : p ∣ a
⊢ p ∣ a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.coeff n = 0
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
⊢ ↑(s.sdiff t) = ↑s \ ↑(lowerClosure t)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α
⊢ H.Connected
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
⊢ (fun x => ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) * (f x / ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s))) =ᶠ[ae μ'] f
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
⊢ ¬∃ a₁ b₁ c₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ inr c₂ = inl c₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁
a b c : ℕ
h : a * c ≤ b * c
hc : 0 < c
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
X : Type u_6
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
s : Set X
hF_meas : ∀ x ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => F x a) s
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) s
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ Valued.toUniformSpace = TopologicalAddGroup.toUniformSpace R
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a b : A
r : Rˣ
h₁ : ∀ (x y : A), IsUnit (1 - x * y) → IsUnit (1 - y * x)
this : IsUnit (1 - r⁻¹ • a * b) ↔ IsUnit (1 - r⁻¹ • (b * a))
⊢ ↑r ∈ σ (a * b) ↔ ↑r ∈ σ (b * a)
α : Type u_1
s t : Set α
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
⊢ ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a c : List α
⊢ (Perm ∘r Perm) a c = (a ~ c)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s1 s2 : Stream'.WSeq α
t1 t2 : Stream'.WSeq β
h1 : Stream'.WSeq.LiftRel R s1 t1
h2 : Stream'.WSeq.LiftRel R s2 t2
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R (s1.append s2) (t1.append t2)
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Zero R
⊢ Embedding TrivSqZeroExt.inr
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n > N x, ∀ y ∈ U x, f (n + 1) y = f n y
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a✝ b✝ c a b : ℍ[R]
⊢ normSq a + normSq b + ((a * star b).re + (b * star a).re) = normSq a + normSq b + 2 * (a * star b).re
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
h : MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a
x : EReal
h : x ≠ ⊥
⊢ ⊤ + x = ⊤
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
f : ι →₀ M
k : κ
⊢ ((Finsupp.lcongr e₁ e₂) f) k = e₂ (f (e₁.symm k))
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
⊢ (∀ (i : ι), (b.coord i) x = 0) ↔ x = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
⊢ Measurable fun a => (hf.stieltjesFunction a).measure
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g
heval : (Polynomial.aeval x) (f * g) = (Polynomial.aeval x) (minpoly A x)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z.map Φ).v p q hpq = Φ.map (z.v p q hpq)
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
Preorder α
⊢ ↑(OrderRingHom.id α) = OrderAddMonoidHom.id α
r₁ r₂ : ℝ≥0
⊢ ↑(r₁ / r₂) = ↑r₁ / ↑r₂
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
x : ↥I
y : ↥I
z : L
hyz : ⁅↑x, z⁆ ∈ I
⊢ (Φ ↑y) ⁅↑x, z⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ ((fun s => { support := s.toFinset, toFun := fun a => count a s, mem_support_toFun := ⋯ }) ((fun f => Finsupp.toMultiset f) f)) a = f a
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n
⊢ { val := l, nodup := hl }.card = Multiset.card (Multiset.map f l)
α : Type u_2
Zero α
f : Filter α
⊢ f ≤ 0 ↔ 0 ∈ f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, ?R a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (tail.aux a) (tail.aux b)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Set.up s ≤ Set.up t ↔ s ⊆ t
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
⊢ IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a₁ a₂ : α
T2Space α
⊢ HasProd f a₁ → HasProd f a₂ → a₁ = a₂
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ TensorBimod.actLeft (P.tensorBimod Q) L ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t} = MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}
R : Type u
Monoid R
StarMul R
a : R
⊢ IsUnit (star a) ↔ IsUnit a
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ WithBot.orderIsoPUnitSumLex.symm (toLex (Sum.inr a)) = ↑a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Subsingleton β
⊢ Filter.EventuallyConst f l
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
⊢ ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
Fintype m
Fintype m'
CommSemiring α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' α
B' : Matrix m' n' α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (A * B) (A' * B') =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A A' * Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) B B'
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i j : ℕ
⊢ (CochainComplex.truncate.obj C).d i j = C.d (i + 1) (j + 1)
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ A.EqId ↔ A.fst = Δ
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
Cinf : (↑C).Infinite
⊢ (↑(SimpleGraph.ComponentCompl.hom h C)).Infinite
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} E
G : D ⥤ E
⊢ (P.map F).map G ≤ P.map (F ⋙ G)
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
h1 : { data := l ++ (c :: m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = (c :: m ++ r).headD default
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
α : Type u_2
One α
LinearOrder α
⊢ Finset.min' 1 ⋯ = 1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
⊢ HasFiniteIntegral X μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
m : β
h : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ m ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) = m ^ s.card
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictMono fun x => b ^ x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ gcd a b = gcd b a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ Submodule.span k (range Subtype.val) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s))
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖f x‖₊ ≤ K * ‖x‖₊
m : Type u → Type v
Monad m
MonadCont m
self : LawfulMonadCont m
α ω γ : Type u
cmd : m α
next : ContT.Label ω m γ → α → m ω
⊢ (MonadCont.callCC fun f => cmd >>= next f) = do
  let x ← cmd
  MonadCont.callCC fun f => next f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ (periodicOrbit f x).length = minimalPeriod f x
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
⊢ RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f
b u v w : Ordinal.{u_1}
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
⊢ b ^ u * v + w < b ^ Order.succ u
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ EMetric.infEdist x s = ⊤ ↔ s = ∅
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)
⊢ Nat.card { p // ∀ (a : α), (p.1 * p.2) a = (p.2 * p.1) a } = Nat.card ((a : α) → { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
Unique I
⊢ OrthogonalIdempotents e ↔ IsIdempotentElem (e default)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
⊢ ((Finset.cons a s ha).sup p) x = ↑((Finset.cons a s ha).sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
DecidableEq σ
i : σ
⊢ MvPolynomial.pderiv i = MvPolynomial.mkDerivation R (Pi.single i 1)
α : Type u_2
DecidableEq α
CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ mulRothNumber (Finset.map (mulLeftEmbedding a) s) = mulRothNumber s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
⊢ ∀ (x y : Cofix F α), r x y → x = y
x y : SetTheory.PGame
⊢ ¬x.LF y ↔ y ≤ x
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
a✝ : Nontrivial A
⊢ (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) 0
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ Polynomial.evalEval x y W.polynomialX = W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
⊢ List.modifyNth f n [] = []
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.Ico a c ⊆ Finset.Ico a b ∪ Finset.Ico b c
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j k)
        (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Collinear R {x, y, z}
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
⊢ Finset.powersetCard n.succ (insert x s) =
  Finset.powersetCard n.succ s ∪ Finset.image (insert x) (Finset.powersetCard n s)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
⊢ False
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ Submonoid.closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ Submonoid.closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ Submonoid.closure s
⊢ p x h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G
⊢ ↑k * g ∈ G
R : Type u
Ring R
p : R[X]
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ Polynomial.eval₂ f (↑n) p = f (Polynomial.eval (↑n) p)
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)
⊢ (fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) ((fun g => g ^ n) g) = g
α : Type u
s : Set α
⊢ 𝓟 s = Filter.map Subtype.val ⊤
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
self : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
⊢ 0 < ε → ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hqd0 : q.natDegree ≠ 0
⊢ (fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) p.natDegree (p.coeff p.natDegree) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ (TensorAlgebra.lift R) (g.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) = g
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
ι : Sort u_10
S : ι → Submodule R M
⊢ Submodule.comap f (⨅ i, Submodule.map f (S i)) = iInf S
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ closure (Set.range ⇑f) = mrange f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t✝ : Set α
h : Semiconj f fa fb
s t : Set β
hb : MapsTo fb s t
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
⊢ fa x ∈ f ⁻¹' t
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z