ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
self : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
j : J
⊢ (self.map (𝟙 j)).hom = 𝟙 ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (F.map (𝟙 j))).obj (self.obj j)).pt
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1
⊢ Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥(IntermediateField.adjoin F S) = 1 ↔ S ⊆ ↑⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
⊢ 1 ≤ (1.38 - 1) * x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
l' : α → β
u' : β → α
gc' : GaloisConnection l' u'
hu : ∀ (b : β), u b = u' b
a : α
⊢ l a = l' a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
h : ↥H
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
q : G ⧸ H
x✝ : q ∈ Finset.univ
⊢ (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ = (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ * h
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
h : f.IsThreeCycle
⊢ f⁻¹.IsThreeCycle
α : Type u_1
f : α → ℝ
r : ℝ
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.SurjOn f (s i j) (t i j)
⊢ Set.SurjOn f (⋃ i, ⋃ j, s i j) (⋃ i, ⋃ j, t i j)
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u : ℕ → α
init : Fin E.order → α
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
⊢ u = E.mkSol init
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
⊢ (M ^ Fintype.card K).charpoly = M.charpoly
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
map_one : φ.toLinearMap 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A), φ.toLinearMap (x * y) = φ.toLinearMap x * φ.toLinearMap y
⊢ AlgHom.ofLinearMap φ.toLinearMap map_one map_mul = φ
z : ℂ
⊢ ⇑(Complex.basisOneI.repr z) = ![z.re, z.im]
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : H → α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
this : NormedSpace ℝ H := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 H
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ‖f.mkContinuous C H‖ ≤ C
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : EsakiaHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E
⊢ HasFDerivAt f 0 x
α : Type u_1
x y : α
⊢ ¬List.Duplicate x [y]
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
⊢ p ∉ Set.Ioo 0 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ uIcc x' y'
hy : y ∈ uIcc x' y'
⊢ x ∈ uIcc y' x'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
i : ι
hi : e.r i' = some i
⊢ e.r i' = none
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
⊢ Function.Semiconj (Finset.image f) (Finset.image ga) (Finset.image gb)
α : Type u_1
Fintype α
f : α → ENNReal
h : ∑ a : α, f a = 1
s : Set α
⊢ (PMF.ofFintype f h).toOuterMeasure s = ∑' (x : α), s.indicator f x
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
⊢ Gamma =ᶠ[𝓝 s] GammaAux n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ (isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I n id s x
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₂
b : Basis ι R₂ M₂
⊢ (Matrix.toBilin' M).Nondegenerate ↔ ((Matrix.toBilin b) M).Nondegenerate
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖f x‖) s
S : Type u
Semiring S
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer S (n + 1)).comp (Polynomial.X + 1) =
  ascPochhammer S (n + 1) + (n + 1) • (ascPochhammer S n).comp (Polynomial.X + 1)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
hr₀ : Irreflexive r
a : α
⊢ List.argAux r (some a) a = some a
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (AddSubsemigroup.map f)
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ x ∈ l.closed ↔ u (l.toFun x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : Set.SurjOn f s (Set.Ioi (f a))
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
F : Type u
Field F
P : Fin 3 → F
hPz : P 2 ≠ 0
⊢ P ≈ ![P 0 / P 2, P 1 / P 2, 1]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.ContainsIdentities
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
W.IsStableUnderFiniteProducts
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
⊢ ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), ∀ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, ⇑((F ⋙ toTopCat).map f) ⁻¹' V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk f (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) ⋯).Exact
d : ℤ
n m : ℤ√d
⊢ (n * m).norm = n.norm * m.norm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
hf : Differentiable ℝ f
h0 : ∀ (x : G), f x ≠ 0
⊢ Differentiable ℝ fun y => ‖f y‖
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalAlgHomClass.toNonUnitalAlgHom (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion ⋯) = NonUnitalAlgHom.id R ↥S
f : StieltjesFunction
a : ℝ
⊢ f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)
M : Type u_3
OrderedAddCommMonoid M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ l, 0 ≤ x
hl₂ : l.sum = 0
x : M
hx : x ∈ l
⊢ x = 0
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, m⁆ + ⁅y, ⁅x, m⁆⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'
this : μ.toOuterMeasure ≤ sInf (toOuterMeasure '' m)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s ≤ (sInf (toOuterMeasure '' m)) s
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
⊢ IsMinFilter f l a → IsExtrFilter f l a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ Multiset.count a (f.sum fun a n => n • {a}) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_9
AddCommMonoid N
Module R N
Fintype ι'
Fintype κ
Finite ι
DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R
⊢ b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (LinearMap.toMatrix b₃ b₁) ((Matrix.toLin b₃ b₂) A)
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a < a + b ↔ 0 < b
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
n : ℕ
x : β
hx : f x ≠ x
⊢ f ^ n = 1 ↔ (f ^ n) x = x
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
TopologicalSpace α
f : α → G
⊢ Continuous (-f) ↔ Continuous f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
⊢ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
⊢ rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }
⊢ False
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ Disjoint aᶜ a
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ (p.linearProjOfIsCompl q h) ↑((p.linearProjOfIsCompl q h) x) = (p.linearProjOfIsCompl q h) x
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
SMul α β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ s • ⋃ i, t i = ⋃ i, s • t i
α : Type u_3
Preorder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Filter.atBot, x < a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n : ℤ
h : b - n • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
⊢ toIocDiv hp a b = n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
f : β → α
g h : γ → β
hf : Monotone f
le_gh : g ≤ h
⊢ f ∘ g ≤ f ∘ h
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
⊢ (∃ p, Prime p) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
⊢ ∃ x ∈ s, Unbounded r x
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ¬∃ i, (Part.Fix.approx f i x).Dom
⊢ Part.fix f x = Part.none
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint 1
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLeast s a
⊢ IsGreatest (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) (OrderDual.toDual a)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.RightInverse Prod.swap Prod.swap
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as₀ as₁ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : ∀ {bs : Multiset β}, Rel r (s + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Rel r s bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁
bs : Multiset β
⊢ Rel r (a ::ₘ s + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Rel r (a ::ₘ s) bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s t : Set α
ht : Absorbent M s
hsub : s ⊆ t
⊢ Absorbent M t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (bihimp s₁ s₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.range (Set.MapsTo.restrict f s t h) = Subtype.val ⁻¹' (f '' s)
n d : PosNum
⊢ -↑↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(neg d)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
⊢ M.closure (M.closure X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ s.tail ~ʷ t.tail
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
⊢ MeasureTheory.Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • g x) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
⊢ Differentiable ℝ fun p => ⟪p.1, p.2⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Vector α n
y : Vector β n
m✝ : Fin (n - 1)
⊢ (zipWith f x y).tail.get m✝ = (zipWith f x.tail y.tail).get m✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ ‖(MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f‖ ≤ C * ‖f‖
ι : Type u_1
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ Multiplicative.ofAdd (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, Multiplicative.ofAdd (f i)
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h1 : s.Gammaℝ ≠ 0
⊢ (1 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹
α : Type u
T : Set (TopologicalSpace α)
⊢ {s | IsOpen s} = ⋂ t ∈ T, {s | IsOpen s}
I : Type u
f : I → Type v₁
i : I
(i : I) → Zero (f i)
⊢ 0 i = 0
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x - const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹))) j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ mfderiv I I' f₁ x = mfderiv I I' f x
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ ((p.length + ↑i) % (p.length + q.length + 1 + 1) + 1 % ({ length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.length + 1)) % (p.length + q.length + 1 + 1) = p.length + ↑i + 1
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ≤ comap f (𝓝 x) ∧ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
⊢ l ≤ comap f (𝓝 x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : W ⟶ (CategoryTheory.Limits.limit H).obj k
w : ∀ (j : J), f ≫ (CategoryTheory.Limits.limit.π H j).app k = g ≫ (CategoryTheory.Limits.limit.π H j).app k
⊢ f = g
α : Type u_1
CommMonoid α
p : Multiset α
⊢ (Multiset.map Associates.mk p).prod = Associates.mk p.prod
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ
hmn : m ≤ n
hf : StrongConvexOn s n f
⊢ StrongConvexOn s m f
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
⊢ (f.comp S.val).range = Subalgebra.map f S
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
k : Set G
⊢ AddSubgroup.closure k ≤ K ↔ k ⊆ ↑K
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
⊢ (fun m => m • Q) (Units.mk0 (P z) hPz / Units.mk0 (Q z) hQz) = P
α : Type u
s : Set α
hc : s.Countable
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ f, s = Set.range f
X : Type u
s : Set (CofiniteTopology X)
⊢ IsClosed s ↔ s = Set.univ ∨ s.Finite
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
g₁ g₂ : StoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ stoneCechUnit = g₂ ∘ stoneCechUnit
⊢ g₁ = g₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_7
S : ι → Set X
H : ∀ (i : ι), StableUnderSpecialization (S i)
⊢ StableUnderSpecialization (⋃ i, S i)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ ((cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯).unop ≫ kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯) ≫ equalizer.ι f 0 = 𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) s x
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRoot f).root = AdjoinRoot.root f
α : Type u_3
NonAssocRing α
⊢ ⇑(Int.castRingHom α) = fun x => ↑x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
hs : IsClosed s
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsClosed {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
a : CategoryTheory.Over P
⊢ (CategoryTheory.Abelian.app f a).hom = a.hom ≫ f
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ ⟨↑sb * ra * ↑s₃, hs₃rasb⟩) • (r₁ /ₒ s₁)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ p.prod q = Submodule.map (LinearMap.inl R M M₂) p ⊔ Submodule.map (LinearMap.inr R M M₂) q
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' (f '' (f ⁻¹' s)) = f ⁻¹' s
p a : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : a ≠ 1
⊢ a ∣ p ↔ p = a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : F.PseudoCore
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (self.mapCompIso f g).hom = F.mapComp f g
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ
hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p
⊢ ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)