ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ CategoryTheory.IsPushout g.op f.op snd.op fst.op
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
s : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x s = 0 ↔ ∃ m, ↑m * x = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
⊢ ∃ N₀, ∀ N ≥ N₀, ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m‖ < ε
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
x : M
⊢ e.symm (e x) = x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).reverse = p.reverse.copy hv hu
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
⊢ (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
α : Type u
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ a :: l₂).Nodup ↔ (a :: (l₁ ++ l₂)).Nodup
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
CommRing K
Ring A
Algebra K A
TopologicalSpace K
T1Space K
TopologicalSpace A
ContinuousSub A
ContinuousSMul K A
FunLike F A K
AlgHomClass F K A K
SetLike S A
OneMemClass S A
AddSubgroupClass S A
SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S
⊢ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) = closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).target = (Z.localTriv i).target
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ ((PresheafOfModules.unit R).map f) 1 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofAbelian S).H =
  CategoryTheory.Abelian.coimage
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f))
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ toLex ↑n = ↑n
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
ψ : (⨁ (i : ι), β i) →+ γ
f : ⨁ (i : ι), β i
⊢ ψ = toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
⊢ MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → Option β
g : β → γ
s : Multiset α
⊢ Multiset.map g (Multiset.filterMap f s) = Multiset.filterMap (fun x => Option.map g (f x)) s
α : Type u_3
DivisionRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
p x : ℝ
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (x - ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ.Nonempty ↔ s ≠ Set.univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.IsPoly p fun R _Rcr => ⇑WittVector.verschiebung
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cocone F✝
F : J ⥤ C
s : Cocone F
G : K ⥤ C
t : Cocone G
P : IsColimit s
Q : IsColimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ w.inv.app j ≫ G.map (e.counitInv.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ s.ι.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) = s.ι.app j
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ gauge (closure 0) = 0
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ^ n ⊔ J = ⊤
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ⊤.toSubfield = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
⊢ MDifferentiable 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') ⇑f
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
a : δ
⊢ (image₂ f s t).sup g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }
⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ (a + b).toNat = a.toNat + b.toNat
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x ∣ y ↔ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x ≤ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors y
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite
⊢ ∑ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃₀ t), f a = ∑ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a
α : Type u_1
a a' b b' : α
AddGroup α
p : a = b
H : a' - b' - (a - b) = 0
⊢ a' = b'
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ (CliffordAlgebra.ofEven Q).comp (CliffordAlgebra.toEven Q) = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q)
p q : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Fact (Nat.Prime q)
hp : p % 4 = 3
hq : q % 4 = 3
⊢ legendreSym q ↑p = -legendreSym p ↑q
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : FiniteDimensional.finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
⊢ ∃ c, c • x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α → β
hif : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(Finsupp.support 0)) := ⋯
⊢ Finsupp.comapDomain f 0 hif = 0
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * n]
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
hm : m ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support
⊢ (cons i m) j.succ ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ μ = μ ↑K₀ • MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure K₀
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
⊢ e.inv.hom n ≫ e.hom.hom n = 𝟙 (G.functor n)
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ l.erase (l.get i) = l.eraseIdx ↑i
⊢ Function.Periodic Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ H.addSubgroupOf K = ⊥ ↔ Disjoint H K
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormOneClass R
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
⊢ IsBigOWith (c ^ 0) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Polynomial.Splits i f
hf0 : (Polynomial.map i f).degree ≠ 0
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ i x f = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ n.choose k = n ! / (k ! * (n - k)!)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
h₁ : 0 ≤ ↑s v
⊢ ↑s v = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c = c.ι.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ
⊢ (∃ a, ∃ x ∈ s, a ∈ f x ∧ a✝ ∈ g a) ↔ ∃ a x, a ∈ s ∧ x ∈ f a ∧ a✝ ∈ g x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
⊢ D ∈ (LieDerivation.ad R L).idealRange ↔ ∃ x, (LieDerivation.ad R L) x = D
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ μ s₁ ≤ μ s₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
c : F
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (fun x => c - f x) s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesColimit (span f g) F
s : IsPushout f g h i
⊢ IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : ¬i = j
⊢ auxGroup i = auxGroup j
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ‖∏ b ∈ s, f b‖ = ∏ b ∈ s, ‖f b‖
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
⊢ ∀ (x : TaggedPrepartition I), (∃ c, l.MemBaseSet I c (δ c) x ∧ x.IsPartition) → integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
s : Set γ
⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = (fun x => g (f x)) ⁻¹' s
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M
⊢ x = y
Y : AlgebraicGeometry.Scheme
U : Y.OpenCover
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.zariskiPretopology.coverings Y (CategoryTheory.Presieve.ofArrows U.obj U.map)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
hf : Primrec f
n : ℕ
⊢ (encode (Option.map f (decode n))).pred = encode (Option.map (fun a => (f a).get ⋯) (decode n))
n m : Nat
⊢ n.pred * m = n * m - m
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊔ S₂).unop = S₁.unop ⊔ S₂.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
⊢ (∃ x ∈ ∅, p x) ↔ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Function.Injective ⇑f
⊢ CategoryTheory.Mono f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0
⊢ ∃ z, a.norm = ↑p ^ (-z)
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝
⊢ ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (Part.some (f a)).toOption
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y
⊢ x ^ y < x ^ z
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ Mono (app' φ 2 ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
H : B.IsSymm
⊢ B.IsRefl
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S ⊗[R] N
⊢ rTensorAlgHom p = rTensor p
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : MeasureTheory.eLpNorm' f q μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ < ⊤
α : Type u_2
DivisionMonoid α
s t : Set α
⊢ s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R s E
x : PiTensorProduct R fun i => s (e.symm i)
⊢ (PiTensorProduct.lift φ) ((PiTensorProduct.reindex R s e).symm x) =
  (PiTensorProduct.lift ((MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv' R R s E e) φ)) x
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p ∨ q → α
⊢ ⨆ (x : p ∨ q), s x = (⨆ (i : p), s ⋯) ⊔ ⨆ (j : q), s ⋯
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix n n R
C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = B * C
⊢ A.det = B.det
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
Rs : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti Rs
Rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < Rs n
Rs_lim : Tendsto Rs atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) s)) = 0
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) α
i j : Fin 3
⊢ (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove 0 0 * A.submatrix j.succAbove i.succAbove 1 1 - A.submatrix j.succAbove i.succAbove 0 1 * A.submatrix j.succAbove i.succAbove 1 0) = !![A 1 1 * A 2 2 - A 1 2 * A 2 1, -(A 0 1 * A 2 2) + A 0 2 * A 2 1, A 0 1 * A 1 2 - A 0 2 * A 1 1; -(A 1 0 * A 2 2) + A 1 2 * A 2 0, A 0 0 * A 2 2 - A 0 2 * A 2 0, -(A 0 0 * A 1 2) + A 0 2 * A 1 0; A 1 0 * A 2 1 - A 1 1 * A 2 0, -(A 0 0 * A 2 1) + A 0 1 * A 2 0, A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0] i j
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ N = ⊥ → ¬Nontrivial ↥↑N
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
adj : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.IsLeftAdjoint f
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → AddCommMonoid (Z i)
Fintype I
f : (i : I) → Z i
⊢ ∑ i : I, Pi.single i (f i) = f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformly F (fun x => c) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
b : β
s : Set β
x✝ : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.f = S.moduleCatToCycles ≫ (LinearMap.ker S.g).subtype
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
DecidableEq ι'
x : M
⊢ e.toMatrix (Function.update v j x) = (e.toMatrix v).updateColumn j ⇑(e.repr x)
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ Function.Involutive ⇑LaurentPolynomial.invert
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
h : multiplicity.Finite a b
⊢ ¬IsUnit a
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (exp 𝕂 x)
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
⊢ m s ≤ (m.toMeasure h) s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ⟪(o.rotation ↑(π / 2)) x, x⟫_ℝ = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).H = h.H
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : Hamming β
⊢ nndist x y = ↑(hammingDist (Hamming.ofHamming x) (Hamming.ofHamming y))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ μ (0 • ∅) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ ∅
σ : Type u
R : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Nonempty σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ max (lift.{v, u} #(σ →₀ ℕ)) (lift.{u, v} #R) = max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
f : G →* G'
inst✝ : IsSimpleGroup G
n : ℕ
ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G
h : ⁅⊤, ⊤⁆ = ⊥
⊢ ⁅⁅⊤, ⊤⁆, ⁅⊤, ⊤⁆⁆ = ⁅⊤, ⊤⁆
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
⊢ ¬p ∣ Nat.card (Sylow p G)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
hbc : b ⋖ c
⊢ a ⋖ c
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
⊢ P.c = Q.c
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
i : ι
hi : i ∈ s
hiy : (s.sup p) y = (p i) y
⊢ q y ≤ (C • s.sup p) y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ ⁅I, N⁆
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}
A : (support fun i => f.toPOUFun i x) ⊆ ↑s
B : (mulSupport fun i => 1 - (f i) x) ⊆ ↑s
this : LinearOrder ι := linearOrderOfSTO WellOrderingRel
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
⊢ ⊥.prod ⊥ = ⊥
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
f : ι → M → G
lf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
h : ∀ (i : ι), SmoothAt I' I (f i) x₀
⊢ SmoothAt I' I (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x₀
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F)