ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
M : AddSubgroup G
nM : M.Normal
h : N ≤ M
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientAddGroup.quotientQuotientEquivQuotientAux N M h) ↑x = (QuotientAddGroup.map N M (AddMonoidHom.id G) h) x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
p : LocallyConstant ↑C ℤ
⊢ (∃ a, ∃ (b : Products.isGood C a), eval C ⟨a, b⟩ = p) ↔ ∃ a, ∃ (h : a < o), ∃ x, (∃ a_1, ∃ (h_1 : Products.isGood (π C fun x => ord I x < a) a_1), eval (π C fun x => ord I x < a) ⟨a_1, ⋯⟩ = x) ∧ (πs C a) x = p
X Y : Type u_1
CommGroup X
CommGroup Y
f : X →* Y
x : X
⊢ (CommGrp.ofHom f) x = f x
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 (f a))
x y : SetTheory.PGame
h : x.LF y
⊢ ¬y ≈ x
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h : 0 < s
⊢ 0 ≤ Gamma s
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ p₀ -ᵥ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = c • (p₀ -ᵥ p₁)
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 < ∑ i : ι, f i ↔ 0 < f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
⊢ p.Coprime k
⊢ DifferentiableOn ℝ Real.log {0}ᶜ
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imK = TrivSqZeroExt.snd q.imK
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v i + ∑ i_1 ∈ Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 v i_1, v i⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 v i_1‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 v i_1⟫_𝕜 = 0
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ν
⊢ ProbabilityTheory.cdf μ = ProbabilityTheory.cdf ν ↔ μ = ν
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
⊢ (LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H).toSubmodule = ↑(LieAlgebra.rootSpace H 0)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
⊢ (Polynomial.aeval (ϕ (AdjoinRoot.root f))) f = 0
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ I.radical ∈ minimalPrimes R
γ : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring γ
x : γ
⊢ IsAddMonoidHom fun y => y * x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
OrderBot α
LE β
OrderBot β
LE γ
OrderBot γ
g : BotHom β γ
f : BotHom α β
⊢ BotHom.dual (g.comp f) = (BotHom.dual g).comp (BotHom.dual f)
R : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Function.Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
⊢ ∀ (a : ↥(Submodule.comap f p)),
  (Submodule.comap_equiv_self_of_inj_of_le hf h) a = (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (Submodule.comap f p).subtype) ⋯) a
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
ht : t.SupIndep f
h : s ⊆ t
⊢ s.SupIndep f
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg Filter.atBot Filter.atTop
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_8
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ IsTensorProduct (TensorProduct.mk R M N)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ Set.univ = 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x b : α
hb : b ∈ {x}
⊢ r b (enum r (succ (typein r x)) ⋯)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
⊢ ⊤.IsRegularOfDegree (Fintype.card V - 1)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Set.Ioc a b = ∅
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set β
a : α
⊢ (a • s).Infinite → s.Infinite
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ μ = ν
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q R : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
g : Q.Hom R
f : P.Hom Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f) R.p)
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF
⊢ ((e.oadd n a).add o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
t : Set α
tl : t ∈ l
ht : IntegrableOn g t μ
⊢ IntegrableOn (f + g) (s ∩ t) μ
x i : Nat
⊢ (x.testBit i).toNat = x / 2 ^ i % 2
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ
⊢ A.adjugate i j = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ IsZero (HomologicalComplex.homology K n)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ IsCoseparator G ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
hf : Summable f
s : Set β
⊢ Summable (s.indicator f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Y Z : C
P Q : CategoryTheory.Subobject Y
f : Z ⟶ Y
h : P ≤ Q
⊢ P.Factors f → Q.Factors f
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Bijective (ULift.map f) ↔ Function.Bijective f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsPreirreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
α : Type u_1
self : DistribLattice α
x y z : α
⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf this : FiniteDimensional k ↥s.direction
p₀ : P
hp₀ : p₀ ∈ ↑s
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
p : ι → β → Prop
⊢ {x | ∃ i, p i x} = ⋃ i, {x | p i x}
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ some a ∈ Finset.insertNone s ↔ a ∈ s
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.Red (FreeAddGroup.reduce L₁) L₂
⊢ FreeAddGroup.reduce L₁ = L₂
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
h : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (𝓝 ∘ f) x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • (|a| * t ^ (a - 1)) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 ≤ a.y ^ 2 - a₁.y ^ 2
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → (b + a ≤ c + a ↔ b ≤ c)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
k : ℕ
hk : k • p = ↑m * (p / ↑n)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ ⊗ₘ κ) (s ×ˢ t) = ∫⁻ (a : α) in s, (κ a) t ∂μ
α : Type u
Group α
self : IsCyclic α
⊢ ∃ g, ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplex b V).counitIso =
  HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplexCounitIso b V
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
a i j : α
⊢ (ComplexShape.up' a).Rel i j = (i + a = j)
o₁ o₂ : ONote
⊢ o₁ ^ o₂ = o₂.opowAux2 o₁.split
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
hμ : MeasureTheory.Integrable f μ
hν : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y z : X
r✝ s : ℝ
x : X
r : ℝ
⊢ IsClosed (ball x r)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
g h : (i : ι) → β i →+ γ
⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i => g i + h i) = DFinsupp.sumAddHom g + DFinsupp.sumAddHom h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (unpair v).2 ≤ v
⊢ ∃ a ∈ decodeList v.succ, encodeList a = v.succ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : PseudoEpimorphism β γ
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ ↑(g.comp f) = (↑g).comp ↑f
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s t : Set A
h : s ⊆ t
⊢ StarSubalgebra.centralizer R t ≤ StarSubalgebra.centralizer R s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P
Q : Ideal S
hQ : Q ≥ P'
hQ' : Q.IsPrime
hQ'' : comap (algebraMap R S) Q = P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
n k : ℕ
⊢ (n + 1).descFactorial (k.succ + 1) = (n + 1) * n.descFactorial k.succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤
m : M
⊢ m ∈ closure ↑S
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K₁
inst✝¹¹ : Field K₂
inst✝¹⁰ : Field K₃
inst✝⁹ : Algebra F K₁
inst✝⁸ : Algebra F K₂
inst✝⁷ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K₁ E
inst✝³ : Algebra K₂ E
inst✝² : IsScalarTower F K₁ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₂ E
inst✝ : Normal F K₁
h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)
h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)
f : (E ≃ₐ[K₁] E) →* E ≃ₐ[F] E := { toFun := fun ϕ => AlgEquiv.ofAlgHom (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ) (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ.symm) ⋯ ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
⊢ IsSolvable (E ≃ₐ[F] E)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋂ i ∈ s, i)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))) = ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))))))
eq₃ : ((F ⋙ yoneda).map (↑f).unop ≫ φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))) = (φ.app (Opposite.unop y.fst) ≫ (yoneda ⋙ G).map (↑f).unop).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)))))
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
x : PiLp p α
i : ι
⊢ (WithLp.equiv p ((i : ι) → α i)) x i = x i
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
hcb : c ≤ b
had : a ≤ d
⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → One (α j)
i : Fin (n + 1)
x : α i
⊢ i.insertNth x 1 = Pi.mulSingle i x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Sbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Sbtw R x y z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ ∀ (p q_1 : R[X]), map f (p.comp q) = (map f p).comp (map f q) → map f (q_1.comp q) = (map f q_1).comp (map f q) → map f ((p + q_1).comp q) = (map f (p + q_1)).comp (map f q)
f fs : Code
k : Cont'
⊢ codeSupp (f.cons fs) k = trStmts₁ (trNormal (f.cons fs) k) ∪ codeSupp f (Cont'.cons₁ fs k)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
⊢ LinearMap.lTensor M 0 = 0
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
x : F (α → β)
f : γ → α
y : F γ
⊢ (Seq.seq x fun x => Seq.seq (pure f) fun x => y) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun x => x ∘ f) fun x_1 => x) fun x => y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type w
f : ι → Set α
s : Finset ι
⊢ ⨅ i ∈ ↑s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ ↑s, f i)
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : { x // 0 ≤ x }
n : ℤ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y z w : α
⊢ ((x = z ∨ x = w) ∧ (y = z ∨ y = w)) ∧ (z = x ∨ z = y) ∧ (w = x ∨ w = y) ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => True) fun n => {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑n + 1)}
⊢ ∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1} {x : Option α} {b : α_1}, f <$> x = some b ↔ ∃ a, x = some a ∧ f a = b
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
⊢ ‖A‖₊ ≤ N
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
⊢ ↑(∏ x ∈ S, ⋯.choose) ∈ ↑⊤.annihilator
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ f.eraseLead ≠ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
⊢ p.reverseAux q = p.reverse.append q
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
⊢ LipschitzWith 1 ⇑f
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
this : Nonempty ↑I
⊢ (restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
s : Set A
hs : s.Finite ∧ Algebra.adjoin R s = S
t : Set B
ht : t.Finite ∧ Algebra.adjoin R t = T
⊢ (S.prod T).FG
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
f : α →+ Additive β
a : Multiplicative α
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative'' f) a = Additive.toMul (f (Multiplicative.toAdd a))
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
⊢ Finset.Ioc a b = Finset.subtype p (Finset.Ioc ↑a ↑b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
z : E
⊢ AnalyticAt 𝕜 id z
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / √x) {x | rexp 2 ≤ x}
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ.inv.inv μ.inv.inv
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
a : R
⊢ Multiset.card (Polynomial.nthRoots n a) ≤ n
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ LSeries (f - g) s = LSeries f s - LSeries g s
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
H : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ a ^ n / (a - 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : SimplyConnectedSpace X
⊢ Nonempty (FundamentalGroupoid X ≌ CategoryTheory.Discrete Unit)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
f : β → α
hs : s.OrdConnected
hf : Monotone f
⊢ (f ⁻¹' s).OrdConnected
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.X ^ n).order = ↑n
X : BddLat
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatInfCat).obj X).X = ↑X.toLat
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ s.πSummand A = 𝟙 (SimplicialObject.Splitting.summand s.N Δ A)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
h : (f i).NeBot
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsCompact Set.univ ↔ CompactSpace X
X : PartOrd
⊢ PartOrd.dual.obj X = PartOrd.of (↑X)ᵒᵈ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t ∪ s ∩ t = s
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)
⊢ ∃ b, a < b
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
γ : Type u_7
TopologicalSpace γ
MeasureTheory.SFinite ν
f : β → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun z => f z.2) (μ.prod ν)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
Nonempty M
L.Structure M
⊢ ∃ S, Small.{max u v, w} ↥S
x : ℝ
⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ici ↑↑x) = Ici x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ f.kerLift ((Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker f)) r) = f r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (x + y) = WittVector.init n (WittVector.init n x + WittVector.init n y)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
⊢ IsConnected (f ⁻¹' connectedComponent t)