ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
C : ℝ≥0∞ := ↑((map (⇑f) μ).haarScalarFactor μ)
hC : map (⇑f) μ = C • μ
h_univ : (map (⇑f) μ) univ = μ univ
hμ₀ : μ univ ≠ 0
hμ₁ : μ univ ≠ ⊤
⊢ C = 1
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
H₁ : ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹
H₂ : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d
⊢ d * c ≤ max a c * max d b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
⊢ Metric.cthickening δ (closure s) = Metric.cthickening δ s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
Nontrivial R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.point 0 = ⟦![1, 1, 0]⟧
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Set.Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Set.Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
⊢ gt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ gt.Compares b a
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (if a ∈ s then 1 else 0) = s.indicator 1 a
α : Type u_1
l : List α
⊢ l ≠ [] → ∃ b L, l = b :: L
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
TopologicalSpace G
UniformSpace M
AddGroup G
AddGroup M
TopologicalAddGroup G
UniformAddGroup M
FunLike hom G M
AddMonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 0
⊢ Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ F)
R : Type u_1
CommRing R
Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
⊢ star χ = χ⁻¹
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x
⊢ MonotoneOn f D
α : Type u
BooleanAlgebra α
⊢ Function.Surjective compl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ (s1 ⊓ s2).direction ≤ s1.direction ⊓ s2.direction
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
v : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.changeFormAux Q B) v) (((CliffordAlgebra.changeFormAux Q B) v) x) = (Q v - (B v) v) • x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ derivative ((monomial n) a) = (monomial (n - 1)) (a * ↑n)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ (MonoidalCategory.rightUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : Rˣ
⊢ spectrum R (r • a) = r • spectrum R a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LE (α i)
⊢ ⇑DFinsupp.orderEmbeddingToFun = DFunLike.coe
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
One M
One N
One P
g : OneHom N P
f : OneHom M N
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : V → W
Subsingleton V
⊢ G ≤ SimpleGraph.comap f G'
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
hpd3 : p ∣ m * n / (p ^ k * p ^ l)
⊢ p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n
w n : Nat
x : BitVec w
⊢ (x <<< n).toFin = Fin.ofNat' (x.toNat <<< n) ⋯
a : UInt64
b : Nat
⊢ (a.modn b).toNat = a.toNat % b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℂ
a : α
hf : ContinuousAt f a
hg : ContinuousAt g a
h0 : f a ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => f x ^ g x) a
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (t.biUnion fun b => Finset.image (fun x => x ⊔ b) s) = s ⊻ t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ ↑s ⊆ ↑(a • t) ↔ ↑(a⁻¹ • s) ⊆ ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
b : β
h : ¬s b b
⊢ ∀ {a b_1 : α}, Prod.Lex r s ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } a) ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } b_1) ↔ r a b_1
n m k : Nat
⊢ n + m + k = n + k + m
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s
R₂ : ℝ
hR₂ : 0 < R₂
hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1
hbdd' : ∀ x ∈ ball x₀ R₂, ‖v x‖ ≤ 1 + ‖v x₀‖
ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
x : ℝ*
⊢ |x|.InfinitePos ↔ x.Infinite
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
⊢ (EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂}))) s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) ‖f‖
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n) (f N) < ε
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
d : ↥R⁰
r : R
hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x
⊢ d • ↑(spanSingleton R⁰ x) = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (Ideal.span {r})
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
⊢ S.Exact
σ : Type u_1
DecidableEq σ
s : Sym σ 1
⊢ Nat.Partition.ofSym s = Nat.Partition.indiscrete 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    CategoryTheory.Limits.prod.snd =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 0 ≤ a⁻¹ ↔ 0 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.restrict hs ⊗ₖ η = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x✝ : ι
⊢ x✝ ∈ (↑((f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support))ᶜ ↔ x✝ ∈ (↑(f.support ∪ g.support))ᶜ
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t u : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s u ≤ EMetric.hausdorffEdist s t + EMetric.hausdorffEdist t u
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V
⊢ ↑(e (-(L (v - v₀)) w)) • f v = ↑(e ((L v₀) w)) • ↑(e (-(L v) w)) • f v
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
x : G
⊢ Fintype.card G • x = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ IsUnit ↑r.den
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
DivisionRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
⊢ (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).sum x = ∑' (n : ℕ), x ^ n / ↑n.factorial
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.baseChange A ⊤ = ⊤
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : (∃ x, p x) → Prop
⊢ (∀ (h : ∃ x, p x), q h) ↔ ∀ (x : α) (h : p x), q ⋯
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f g : α →o β
h : f ≤ g
⊢ c.map f ≤ c.map g
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ 0 < x + y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (↑e' ∘ f) (↑(e ≫ₕ e').toPartialEquiv) (s ∩ (e ≫ₕ e').source)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
hc : IsComplete ↑(iSup V)
⊢ DirectSum.IsInternal V ↔ (iSup V)ᗮ = ⊥
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsOpen (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
h : x.Compatible
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.pullback f x).Compatible
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (m % n).gcd n = 1
⊢ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
hs : s ∈ {s | a ∈ s}
t : Finset α
ht : t ∈ {s | a ∈ s}
h : s.erase a = (fun s => s.erase a) t
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ c ≤ Finset.fold min b f s ↔ c ≤ b ∧ ∀ x ∈ s, c ≤ f x
α : Type u
a : α
⊢ (Computation.pure a).tail = Computation.pure a
M : Type u
Monoid M
N : Type u'
Monoid N
F : M →* N
X : CategoryTheory.Discrete M
⊢ ((CategoryTheory.Discrete.monoidalFunctor F).obj X).as = F X.as
G : Type u_10
InvolutiveInv G
⊢ Equiv.symm (Equiv.inv G) = Equiv.inv G
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : ∀ (a : ℚ), Measurable fun x => f x a
⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
x' : Mˣ
hx : ↑x' = ↑x
⊢ ↥S.leftInv
α : Type u
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α
⊢ (l ++ l').eraseIdx k = l ++ l'.eraseIdx (k - l.length)
R : Type u
a : R
Semiring R
x : R
⊢ Polynomial.eval x (Polynomial.C a) = a
σ : Type u
m : Type u → Type v
β : Type u
s s' : σ
k : PUnit → σ → m β
⊢ (set s').runK s k = k PUnit.unit s'
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
⊢ Finite (IntermediateField F E)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
s : Set α
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (⨅ i, m i) = ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (m i)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
e_1✝ : ((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj i = (colimitCocone F).pt
⊢ (colimitCocone F).ι.app i xi = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : x ∈ interior s
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
m : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.congr f) ((PiTensorProduct.tprod R) m) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup
⊢ (a :: l₁ ++ l₂).dedup = a :: l₁ ∪ l₂.dedup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f s t = ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t, {f i j}
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑i
this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
MulDistribMulAction αᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar α M
⊢ IsCentralScalar α (Submonoid M)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
key : zeta n K L ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L)
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g
⊢ (fun x => 0 • x) '' s ∈ 0
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (if P then a else b) ≠ a ↔ ¬P
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun x => ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α
⊢ upperBounds (insert a s) = Ici a ∩ upperBounds s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
α : Type u_7
f : α → E
s : Set α
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ r
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
a : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ
⊢ Tendsto (Prod.snd ∘ φ) atTop (𝓝 y)
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n : ℕ
⊢ ↑(∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))) / ↑n.factorial = s (n + 1)
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
⊢ utf8Len cs + c.utf8Size + i = utf8Len cs + (i + c.utf8Size)
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T1Space R
⊢ T1Space V
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S T : Submodule 𝕜 E
⊢ (S ⊓ T).toConvexCone = S.toConvexCone ⊓ T.toConvexCone
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ ↑↑e.symm = ↑(↑e).symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g =
  g ≫ CategoryTheory.inv f
a b m n p✝ p r i : ℕ
hr : ¬p ∣ r
⊢ ¬p ∣ p * i + r
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ W.preΨ n ≠ 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
⊢ ∀ {Z : D} {W₁ W₂ : C} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁) (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂), iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ → ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
f27 : φ 27 = 27
⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ insert n n.properDivisors = n.divisors
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
h : -a = a
⊢ a = 0
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.id R₁ M₁) = LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n ContinuousLinearMap.inverse ↑e
α : Type u_1
s t : Set α
Preorder α
⊢ (s ∪ t).chainHeight ≤ s.chainHeight + t.chainHeight
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ x + 1 < rexp x
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x.2 ∈ s ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 + x.1 = a ↔ x ∈ t.addAntidiagonal s a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
ℱ : TopCat.Presheaf C X
⊢ (TopCat.Presheaf.pushforward C (f ≫ g)).obj ℱ =
  (TopCat.Presheaf.pushforward C g).obj ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj ℱ)
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α
⊢ x ⊔ y ≤ c ↔ x ⊔ y ≤ c
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
NormedStarGroup E
x : E
⊢ ‖x⋆‖₊ = ‖x‖₊
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : Associates α
⊢ DvdNotUnit a b ↔ a < b
α : Type u
s t : Set α
⊢ sᶜ ⊆ tᶜ ↔ t ⊆ s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
ha' : a ≠ ⊥
⊢ id a ≤ (s.erase ⊥).sup id
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
⊢ ∃ v m,
  Monotone v ∧
    (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧
      x ∈ v '' Set.Iio m ∧
        ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ op A.X ◁ A.counit.op ≫ A.comul.op = (ρ_ (op A.X)).hom