ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.down α))
n : α
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).functor.obj P).X n).p = P.p.f n
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_6
Finite ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F) ↔ CompleteSpace F
α : Type u_2
Zero α
⊢ NeZero 0 ↔ False
r : ℝ
p : ℝ≥0
ha : 0 ≤ r
⊢ r.toNNReal < p ↔ r < ↑p
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ Function.Bijective SimpleGraph.Walk.reverse
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
⊢ ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
Nonempty α
⊢ s.dens = 1 ↔ s = Finset.univ
α : Type u_3
Inf α
Top α
⊢ InfTopHom.dual.symm (SupBotHom.id αᵒᵈ) = InfTopHom.id α
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
⊢ Metric.diam (s ∪ t) ≤ Metric.diam s + dist x y + Metric.diam t
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.comap i (separableClosure F K) = separableClosure F E
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n
⊢ 4 ^ n < n * n.centralBinom
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
⊢ ((KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])).f = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ IsLocalExtrOn (fun x => b) s a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
h : W.Equation x y
hΔ : Δ W ≠ 0
⊢ Δ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine ≠ 0
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k'
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤
⊢ a * (c / b) = d ↔ a * c = b * d
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.equivOfNatIso α).functor =
  CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTrans α.inv
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
m : M
⊢ LinearMap.rTensor M f ∘ₗ (TensorProduct.mk R N M).flip m = (TensorProduct.mk R P M).flip m ∘ₗ f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝ : ι
this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) { as := as✝ } = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := { as := as✝ }.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv
⊢ OpenEmbedding ⇑(((Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
α : Type u_1
p q : α → Bool
n : Nat
l : List α
⊢ countP.go p l n = n + countP.go p l 0
a : Ordinal.{u_4}
b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
α : Type u
l : List α
l' : List α
⊢ l ≠ [] → (l' ++ l).dropLast = l' ++ l.dropLast
P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
P.toProperty.RespectsIso
H :
  ∀ ⦃X Y S : AlgebraicGeometry.Scheme⦄ [inst : AlgebraicGeometry.IsAffine S] [inst_1 : AlgebraicGeometry.IsAffine X]
    (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
⊢ P.StableUnderBaseChange
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
H : (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨ ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs
⊢ p ∣ 1
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty
⊢ sInf (upperBounds s) = sSup s
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0
⊢ b * x / b * (d * y / d) = b * x * (d * y) / (b * d)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
X : CategoryTheory.InducedCategory Profinite LightDiagram.toProfinite
a : ↑(LightDiagram.toProfinite X).toTop
⊢ (𝟙 X) a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ ⨆ i, f (s i) ≤ f (iSup s)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
N : ℕ
hN : N ∈ Finset.range n.succ
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
α : Type u_1
a✝ : List α
h : a✝.Nodup
⊢ Nontrivial (Quotient.mk'' a✝) ↔ ¬length (Quotient.mk'' a✝) ≤ 1
q a✝ b c a : ℚ
⊢ 0 ≤ a ∨ 0 ≤ -a
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
self : IsAddSubgroup s
a : A
⊢ a ∈ s → -a ∈ s
m : Type u_1 → Type u_2
ε β : Type u_1
e : ε
Monad m
⊢ (throw e).run = pure (Except.error e)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
⊢ (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{u, u} #ι
l m₂ r m₁ : List Char
s : Substring
h : ValidFor l (m₁.reverse ++ m₂) r s
n : Nat
⊢ s.prevn n (s.prev { byteIdx := utf8Len m₁ }) = { byteIdx := utf8Len (List.drop (n + 1) m₁) }
α : Type u_1
LE α
a : αᵒᵈ
⊢ IsBot (OrderDual.ofDual a) ↔ IsTop a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ s
h'b : b ∈ t
⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
α : Type u
β : Type v
Monoid α
Monoid β
f : α →* β
a b : α
⊢ IsConj a b → IsConj (f a) (f b)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.Additive
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝² : G.Additive
inst✝¹ : (F ⋙ G).Additive
inst✝ : G.Faithful
x✝¹ x✝ : C
f₁ f₂ : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ G.map (F.map (f₁ + f₂)) = G.map (F.map f₁ + F.map f₂)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ ((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : (sum fun a => κ ^ #(β a)) ≤ κ
⊢ (sum fun a => κ ^ lift.{u, u} #(β a)) ≤ κ
R : Type u
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ ¬Polynomial.Separable 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
(a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
⊢ ∑ a ∈ s, (Finset.bipartiteAbove r t a).card = ∑ b ∈ t, (Finset.bipartiteBelow r s b).card
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
x : E
hx : ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
h'x : ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
⊢ ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
α β γ : Type u
S✝ S' S : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
IH : List.Forall Dioph l → ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
d : Dioph S ∧ List.Forall Dioph l
⊢ ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) (S :: l) ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
f : Dual R N
x : N
⊢ (p (p.toDualLeft.symm f)) x = f x
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ m ≤ ↑(i.addNat m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g h))
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y' Z').inv)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
⊢ IsPrincipalIdealRing R
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.rank R (ULift.{w, v} M) = Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M)
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l
l : List α
h : n + ns.sum = l.length
⊢ (l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)).join = l
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
⊢ (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧
  P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯
⊢ x ∈ K⟮x⟯.toSubalgebra
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : SimplicialObject.Split C
Φ₁ Φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Φ₁ = Φ₂
n : ℕ
⊢ Φ₁.f n = Φ₂.f n
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z
α : Type u_2
Fintype α
a : α
⊢ {a}.dens = (↑(Fintype.card α))⁻¹
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * x * Ring.inverse x = y
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday) ≤ (mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
⊢ 2 * (n / 2) + 1 = n
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
⊢ CauchySeq ↑f
R : Type u_2
Rack R
h : Rack.IsInvolutory R
x y : R
⊢ x ◃⁻¹ y = x ◃ y
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝³ : GradedRing 𝒜
a : A
n i : ι
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : i ≤ n
b : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ ⇑f.opensCongr = ⇑(TopologicalSpace.Opens.comap f.symm.toContinuousMap)
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ p.snd ≠ p.fst
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ≠ ⊤
⊢ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁴ : SMul M X
inst✝³ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝² : SMul N Y
inst✝¹ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝ : SMul P Z
f : X →ₑ[φ] Y
x : X
⊢ ((MulActionHom.id N).comp f) x = f x
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ ‖a‖
α : Type u_1
a : α
l₁ : List α
l₂ : List α
h : a ∈ l₁
⊢ a ∈ l₁ ++ l₂
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ -a < b ↔ -b < a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
ho : s.WOppSide x y
⊢ False
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₃ f₄
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ιι : Type u_3
ι : ιι → Type u_4
a b : GradedMonoid fun ii => ⨂[R] (x : ι ii), M
h : a.fst = b.fst
⊢ (PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) (Equiv.cast ⋯)) a.snd = b.snd → a = b
α : Type u_1
Preorder α
s : NonemptyInterval α
⊢ (Set.Icc s.toProd.1 s.toProd.2).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
Fintype β
f : β → α
⊢ HasProd f (∏ b : β, f b)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ≤ n + 1 ↔ m ≤ n ∨ m = n + 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
i : ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ (fractionalIdealLatticeBasis K I) i = (mixedEmbedding K) ((basisOfFractionalIdeal K I) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
ι : Type u_2
F : ι → BoundedContinuousFunction α β
f : BoundedContinuousFunction α β
l : Filter ι
⊢ Filter.Tendsto F l (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i => ⇑(F i)) (⇑f) l
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousMul M
f g : ℕ → M
hf : HasProd f m
hg : HasProd g m'
⊢ HasProd (fun t => Int.rec f g t) (m * m')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • s + b • s ⊆ s
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ‖f‖ ^ 2 = RCLike.re ⟪f, f⟫_𝕜
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.pOpcyclesNatTrans C).app S = S.pOpcycles
α : Type u_1
c : Bool
t : α
⊢ (bif c then t else t) = t
θ : ℝ
⊢ Real.tan θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), ↑k * Real.pi / 2 ≠ θ
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ filter Prime (Ico k (k + n)) ⊆ filter a.Coprime (Ico k (k + n))
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
⊢ r ≤ egauge 𝕜 s x ↔ ∀ (c : 𝕜), x ∈ c • s → r ≤ ↑‖c‖₊
α : Type u_1
ι : Sort u_4
IsEmpty ι
s : ι → Set α
⊢ ⋃ i, s i = ∅
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a - c ≡ b - c [ZMOD n]
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (tanh ↑x).im = 0
α : Type u_1
m : Type u_3
CommRing α
StarRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian
⊢ A⁻¹.IsHermitian
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ s ○ t ○ u = s ○ u ○ t
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (if b = j then 1 else 0) • v₁ b = 0
x : PartENat
⊢ x ≠ ⊤ ↔ x.Dom
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ Metric.ball x (Metric.infDist x sᶜ) ⊆ s
n : ℕ
⊢ 0 ∈ preCantorSet n