ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this : (center G).FiniteIndex
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) * ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)) * (center G).index
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
x : { x // x ∈ (minpoly F α).aroots K }
⊢ (aeval ↑x) (minpoly F (adjoin.powerBasis h).gen) = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / (‖x‖ / ‖x + y‖) = ‖x + y‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ F.map (inv f) = inv (F.map f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
a b : α
s : Finset ι
⊢ ∑ t ∈ s.powerset, a ^ t.card * b ^ (s.card - t.card) = (a + b) ^ s.card
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε + ProbabilityTheory.cgf X μ t)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
x : B
y : F
⊢ (x, y) ∈ e'.target ↔ x ∈ e'.baseSet
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n (f.normed μ)
R : Type u
Ring R
s : Set R
P : R
hP : P ∉ Subring.closure s
⊢ P ∉ s
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ ‖equivRealProd z‖ ≤ abs z
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : (Q₁.prod Q₂).Anisotropic
⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) (op ⊤)) ≫ colimMap (J.diagramNatTrans η (unop x✝))
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∀ (j : Fin q), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) = 0
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ deriv^[2] cos x < 0
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
hR : DiscreteValuationRing.HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
⊢ DiscreteValuationRing R
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range (s.reindex e).points = Set.range s.points
M : Type u_1
Monoid M
x : M
⊢ IsUnit x ↔ ∃ b, x * b = 1 ∧ b * x = 1
G : Type u_2
AddGroup G
S T : AddSubmonoid G
⊢ -(S ⊓ T) = -S ⊓ -T
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsPreorder α r
a : Antisymmetrization α r
⊢ toAntisymmetrization r (ofAntisymmetrization r a) = a
R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
MulAction A M
SMul R M
h : ∀ (r : R) (x : M), (algebraMap R A) r • x = r • x
⊢ IsScalarTower R A M
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∉ l
⊢ (a :: l).dedup = a :: l.dedup
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
a✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp ↑e.symm
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse (O₂ ↑e)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ (∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U
a b : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → (a ⊔ b).toReal = a.toReal ⊔ b.toReal
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ ∃ c' n', (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).Balanced c' n'
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
⊢ ¬LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra 𝕜 A
a : A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ((WeakDual.gelfandTransform 𝕜 A) a) φ = φ a
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : K
⊢ ((∀ (a : InfinitePlace K), a.IsReal → a x < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), if ⟨a, b⟩ = w₀ then |(a.embedding x).re| < 1 ∧ |(a.embedding x).im| < ↑(f a) ^ 2 else a x < ↑(f a)) ↔ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w x < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding x).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding x).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ 𝓝ˢ ∅
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
t : Set α
ht : t ∈ T
s : Set α
hs : s ∈ S
⊢ μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1
⊢ orderOf g ∣ m * n.gcd (Fintype.card α)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
⊢ ⇑LatticeHom.fst = Prod.fst
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
U V : C
f₁ f₂ : U ⟶ V
⊢ CategoryTheory.Sieve.equalizer f₁ f₂ = CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve f₁ f₂
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
y : S
⊢ y ∈ f.rangeS ↔ ∃ x, f x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
CompleteSpace F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
y : E
⊢ Measurable fun p => (fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
h : Set α → Set β
m : γ → β
⊢ Filter.comap m (f.lift' h) = f.lift' (Set.preimage m ∘ h)
m : Nat
n : Nat
mpos : 0 < m
⊢ 0 < m.gcd n
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negOfNat n) = -↑n
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
⊢ a = 0 ∨ b = 0
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
C : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[{0}] 0 ×ˢ 𝓝 y) (pure 0)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
p : ℕ+
⊢ p.Prime → ¬p ∣ 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅⊥, N⁆ = ⊥
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
W₂ : Type u_6
Q₂ : Type u_7
AddCommGroup W₂
Module R W₂
TopologicalSpace Q₂
AddTorsor W₂ Q₂
f : Q →ᴬ[R] Q₂
g : P →ᴬ[R] Q
x : P
⊢ (f.comp g) x = f (g x)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑↑(MulOpposite.opLinearEquiv R) = MulOpposite.op
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
h : Commute f₁ f₂
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)
⊢ ((f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1) ^ (k₁ + k₂ - 1)) m = 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
h' : BoxIntegral.HasIntegral I l g vol y'
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (f + g) vol (y + y')
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ P.Λ s
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ Monotone AddSubgroup.ofAddUnits
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
x : D
⊢ x ∈ (map φ hφ S).objs ↔ x ∈ φ.obj '' S.objs
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : M → N
h : φ = φ'
f : X →ₑ[φ] Y
a : X
⊢ (MulActionHom.ofEq h f) a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
e : α → β
he : Function.Bijective e
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t
⊢ s.card = t.card
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
ι : Type u_1
g : ι → R[X]
s : Finset ι
⊢ Polynomial.map f (∏ i ∈ s, g i) = ∏ i ∈ s, Polynomial.map f (g i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.rightDistributor f X).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) X) =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((unop Y✝).hom ≫ 𝟙 (op d)).unop = (unop Y✝).hom.unop
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq0 : q = 0
⊢ (p * q).degree = p.degree + q.degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).fst = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).pt
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ ∃ β x sgn g,
  (∀ (b : β), g b ∈ s) ∧
    Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs ∧ ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
δ : d ⟶ d
⊢ (fun γ => inv f ≫ γ ≫ f) ((fun δ => f ≫ δ ≫ inv f) δ) = δ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (trinomial k m n u v w).mirror = trinomial k (n - m + k) n w v u
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
⊢ (addVal R) a ≤ (addVal R) b ↔ a ∣ b
M : Type u_2
α : Sort u_4
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : Function.mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i.down
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
SemilatticeInf β
OrderTop β
f : α → β
⊢ Finset.inf 1 f = f 1
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝
⊢ ∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(condDistrib Y X μ) x) (Measure.map X μ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Y' Z Z' : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : X ⊗ Y ⟶ Z
g : Z ⟶ Z'
⊢ (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv X Y Y' Z') (f ≫ g) = (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv X Y Y' Z) f ≫ g ▷ Y'
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : VectorPrebundle R F E
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ e ∈ self.pretrivializationAtlas →
  ∀ e' ∈ self.pretrivializationAtlas,
    ∃ f,
      ContinuousOn f (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ∧
        ∀ b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet, ∀ (v : F), (f b) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
AddMonoid E
AddMonoid F
AddAction F G
AddAction.IsPretransitive F G
f : E →+ F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddAction.IsPretransitive E G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ x + t • y ∈ s
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬(volume s = 0 ∨ volume s = ⊤)
⊢ Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ |dist a₁ b₁ - dist a₂ b₂| ≤ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) 0
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
x y z : α
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) ((fun x x_1 => x * x_1) x y) z = (fun x x_1 => x * x_1) ((fun x x_1 => x * x_1) x z) y
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
f g : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ (↑f - ↑g) x = f x - g x
R : Type x
NonAssocRing R
a : R
⊢ a * a - 1 = (a + 1) * (a - 1)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]
⊢ (aeval ↑x) P = ↑((aeval x) P)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
K : Set M
L : Set X
⊢ closure K +ᵥ closure L ⊆ closure (K +ᵥ L)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMono f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ s.cone.fst = f
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
H.FiniteIndex
h : H ≤ K
⊢ K.FiniteIndex
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : m ≤ n
⊢ s ^ m ⊆ s ^ n
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 0 ≤ 1 / a ↔ 0 ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ HEq (F.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)) (G.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g))
θ : ℝ
⊢ θ ∈ Set.Ioc (-π) π ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
Zero β
Zero γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
Zero δ
hf : f.FinMeasSupp μ
g : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
hg : g.FinMeasSupp μ
op : β → γ → δ
H : op 0 0 = 0
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.map (Function.uncurry op) (f.pair g)).FinMeasSupp μ
a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c
⊢ (a + b) % c + c = a % c + b % c
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Rat.cast ∘ f) l atTop
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅
⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ⁅1, g⁆ = 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
f : F
⊢ RingHom.ker f = Ideal.comap f ⊥
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
val✝ : Fintype ι
this : μ = μ ↑(piIcc01 ι) • addHaarMeasure (piIcc01 ι)
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g
⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
h : (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
⊢ (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ = s.max' ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : C
I J : CategoryTheory.InjectiveResolution X
⊢ I.ι ≫ (I.homotopyEquiv J).hom = J.ι
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
kf' : CategoryTheory.Limits.KernelFork f'
hf' : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ kf.mapOfIsLimit hf' φ ≫ CategoryTheory.Limits.Fork.ι kf' = CategoryTheory.Limits.Fork.ι kf ≫ φ.left
m n : Nat
⊢ m < n ↔ m ≤ n ∧ ¬n ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hg : Monotone g
s : Set β
⊢ (∃ i ∈ f, ∃ x ∈ g i, id x ⊆ s) ↔ ∃ t ∈ f, s ∈ g t
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ (AList.lookup a s).isSome = true ↔ a ∈ s
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
hab : b < a
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, b < x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : Center C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : Center C
U : C
⊢ f.f ▷ Y.fst ▷ U ≫ (α_ X₂.fst Y.fst U).hom ≫ X₂.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X₂.fst U Y.fst).inv ≫ (X₂.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X₂.fst Y.fst).hom = ((α_ X₁.fst Y.fst U).hom ≫ X₁.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X₁.fst U Y.fst).inv ≫ (X₁.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X₁.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ f.f ▷ Y.fst
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
a b : GradedMonoid (ModularForm Γ)
h : a.fst = b.fst
h2 : ModularForm.mcast h a.snd = b.snd
⊢ a = b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W (L.map 0) f = f
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < y
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y