ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ Function.support ↑f = ⋃ y ∈ Finset.filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ f (evalEval x y W.polynomial) = f 0
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
x y : Holor α (d :: ds)
h : x.slice = y.slice
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
hiis : ↑t = i :: is
⊢ Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
⊢ Continuous (DiscreteQuotient.ofLE h)
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : Function.support f ⊆ k
⊢ IsCompact (Set.range f)
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) • Polynomial.bernoulli k = (Polynomial.monomial n) (↑n + 1)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
⊢ Finset.memberSubfamily a 𝒜 ⊆ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddCommGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
f g : α → G
hf : Measurable f
⊢ Measurable (f + g) ↔ Measurable g
α : Type u_2
LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
⊢ x = y ∨ y = z ∨ x = z
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
c : 𝕜
⊢ Memℓp (c • f) p
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
y : ℤ√d
hy : 1 = x * y
this : (Int.natAbs ∘ norm) 1 = (Int.natAbs ∘ norm) (x * y)
⊢ x.norm.natAbs = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
⊢ i ∈ ρ.fintsupport x₀ ↔ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ range (map f g) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length
i : α
hi : i ∈ l ++ l'
⊢ i ∈ s ∪ t
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (Sum.elim f g)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j
⊢ IsIso (homologyMap ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i) ↔ IsIso (homologyMap φ j)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
B : Multiset (LinearMap.BilinMap R M N)
⊢ B.sum.toQuadraticMap = (Multiset.map LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ AEMeasurable g μ
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
n : α
⊢ (ChainComplex.of X d sq).X n = X n
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
⊢ 1∗ = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g : β →*₀ γ
f : α →*₀ β
x : α
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
M : Type u_2
N : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ MulOpposite.unop
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ≤ c * f x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ
⊢ ↑z1 = ↑z2 ↔ z1 = z2
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
α : Type u
inst✝ : Monoid α
v i₁ : α
vi₁ : v * i₁ = 1
iv₁ : i₁ * v = 1
i₂ : α
vi₂ : v * i₂ = 1
iv₂ : i₂ * v = 1
⊢ i₁ = i₂
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
j : X.affineBasisCover.J
hx : ↑x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base
i : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base ⊆ ↑U
U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := { carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base, is_open' := ⋯ }
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
⊢ Continuous' fun x x_1 => x_1 <$> g x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Iic s).card = ∏ i ∈ s.toFinset, (count i s + 1)
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
c : AddCon M
s : Multiset ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ s, c (f x) (g x)
⊢ c (Multiset.map f s).sum (Multiset.map g s).sum
b c : Bool
⊢ false.atLeastTwo b c = (b && c)
α : Type u
AddGroup α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
⊢ IsAddCyclic α
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ s.card ≤ (s \ t).card + t.card
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c
⊢ star c * a * c < star c * b * c
a b c : Prop
⊢ (a ∨ b) ∧ c ↔ a ∧ c ∨ b ∧ c
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
⊢ a < iInf f ↔ ∃ b, a < b ∧ ∀ (i : ι), b ≤ f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ b = b ∨ ∃ c, r b c ∧ ReflTransGen r c b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
z : A
⊢ z ∈ Subalgebra.centralizer R s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), 0 = 1 ↔ Set.range ⇑f = {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop
A_meas : MeasurableSet A
E : Set α
hE₁ : MeasurableSet E
hE₂ : E ⊆ A
hE₃ : ↑0 E < ↑s E
k : ℕ
hk₁ : 1 ≤ bdd k
hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
Invertible ((CliffordAlgebra.ι Q) a)
Invertible (Q a)
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * (CliffordAlgebra.ι Q) b * ⅟((CliffordAlgebra.ι Q) a) =
  (CliffordAlgebra.ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
⊢ Sym.filterNe a (Sym.fill a m.fst m.snd) = m
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
⊢ I ≠ ⊤ → I = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : S
⊢ x ∈ map (RingHom.snd R S) (I.prod J) ↔ x ∈ J
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
p q : M × N
⊢ (p + q).1 = p.1 + q.1
K : Type ?u.601713
L : Type ?u.601716
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q
⊢ (aeval (root q)) p = 0
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u_1}
hs : BddAbove s
⊢ ∀ c ∈ upperBounds (lift.{u, u_1} '' s), lift.{u, u_1} (sSup s) ≤ c
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ : List α
f : α → List β
⊢ (Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ (l : List β) (x : α), f x = l → x ∈ l₁ → l.Nodup) ↔ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i k : ι
hk_lb : ∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x
hk : j < k
⊢ j ≤ i
R : Type u
Semigroup R
⊢ ↑(Semigrp.of R) = R
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
m : M
⊢ Module.DualBases.lc e (h.coeffs m) = m
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f g : M →ₙ* N
s : Set M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Subsemigroup.closure s)
c : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
h : c ≤ ↑n
⊢ ∃ m ≤ n, c = ↑m
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : A ⊗[R] Matrix n n R
⊢ invFun R A n ((toFunAlgHom R A n) M) = M
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)
⊢ IsUnit f
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s
⊢ card s ⋖ card (a ::ₘ s)
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsColimit (Cofork.ofπ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ?e)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCocycle G U
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ γ.ev i j a b = (γ.ev j i b a)⁻¹
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ a ^ (m - n) * a ^ n = a ^ m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
a : α
ha : ∀ b ≥ a, b ∈ f ⁻¹' Ioi M
⊢ False
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
⊢ ∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f = 0
α : Type u_1
f : Filter α
Preorder α
f.NeBot
h : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X Y : C
inst✝ : HasImage 0
⊢ lift (monoFactorisationZero X Y) ≫ (monoFactorisationZero X Y).m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set β
⊢ ⋃ i, s i = range fun a => ↑a.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
f : Fin (n + 1) ↪ α
ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b
⊢ ¬G.CliqueFree n
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
h : a = b * c
⊢ a / b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Icc a b) = b - a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
hx : x ∈ e.target
⊢ ∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 x, ↑e (↑e.symm y) = y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)
⊢ 0 + n = n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (sInf (stieltjesFunctionAux f a '' Ioi x)))
a b : ℝ
n✝ : ℕ
n : ℤ
h : -1 < ↑n ∨ ↑n ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ n = (b ^ (n + 1) - a ^ (n + 1)) / (↑n + 1)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ { a₁ := 1 * (W.a₁ + 2 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s), a₂ := 1 ^ 2 * (W.a₂ - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s * W.a₁ + 3 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s ^ 2), a₃ := 1 ^ 3 * (W.a₃ + { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r * W.a₁ + 2 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t), a₄ := 1 ^ 4 * (W.a₄ - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s * W.a₃ + 2 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r * W.a₂ - ({ u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t + { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s) * W.a₁ + 3 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r ^ 2 - 2 * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.s * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t), a₆ := 1 ^ 6 * (W.a₆ + { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r * W.a₄ + { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r ^ 2 * W.a₂ + { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r ^ 3 - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t * W.a₃ - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t ^ 2 - { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.r * { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }.t * W.a₁) } = W
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ ∃ n, x = Pell.xn a1 n ∧ y = Pell.yn a1 n
α : Type u_1
Preorder α
⊢ krullDim α = ⨆ a, height α a
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
l.IsCountablyGenerated
⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Filter.Tendsto x Filter.atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p (x n)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s : TopologicalSpace.Clopens α
h : IsUpperSet s.carrier
⊢ ↑{ toClopens := s, upper' := h } = ↑s
X : Type u_7
TopologicalSpace X
⊢ (PartialHomeomorph.refl X).source = Set.univ
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n
⊢ (cyclotomic (↑n) B).IsRoot (zeta n A B)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J
⊢ (m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ x = ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
self : IsLocalizedModule S f
x : ↥S
⊢ IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑x)
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1
⊢ (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
⊢ lift.{max u v w, max (max u v) w} (lift.{w, max (max u v) w} #↑N) ≤ lift.{max u v w, max (max u v) w} #↑N
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeMinOrder 𝕆 α
a : α
h : IsMin a
⊢ IsMin (grade 𝕆 a)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
S₁ S₂ : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥S₂
hle : S₁ ≤ S₂
hd : finrank K ↥S₂ ≤ finrank K ↥S₁
⊢ S₁ = S₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Antitone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atBot
h_Iic : Iic a = ⋃ n, Ioc (xs n) a
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Ioc (xs n) a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
⊢ 0 < count a s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f (φ x) ∂μ))
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
G : Type x
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
AddCommGroup G
Module 𝕜 G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
f : F →L[𝕜] G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
⊢ (f.compFormalMultilinearSeries p n) v = f ((p n) v)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y = (λ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective R
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₂, u₂} D
M : Type u_1
Add M
m : M
p : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedRing 𝔹
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹
inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf : Continuous ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ ∑' (b : ℕ), (⇑f ∘ fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n) b = (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (f x)
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ SupPrime a ↔ ¬IsMin a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0
⊢ fderiv ℝ (fun x => √(f x)) x = (1 / (2 * √(f x))) • fderiv ℝ f x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y
⊢ F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X ≫ (F ⋙ G').map g) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
MulAction β α
H : Subgroup α
MulAction.QuotientAction β H
b : β
q : α ⧸ H
⊢ ↑(b • Quotient.out' q) = b • q
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2
⊢ 2 / π * x ≤ sin x
ι : Sort u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
β : ι → Sort u_3
f : (i : ι) → α i → β i
g : (i : ι) → α i
i : ι
v : α i
j : ι
⊢ f j (Function.update g i v j) = Function.update (fun k => f k (g k)) i (f i v) j
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x)) = (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli (n - (n - x)) * ↑(n.choose (n - x)))