ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
Algebra A B
IsScalarTower A B M
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.assoc R A B M P Q) ((m ⊗ₜ[A] p) ⊗ₜ[R] q) = m ⊗ₜ[A] p ⊗ₜ[R] q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
Q R : C
f : Q ⟶ R
h : ∀ {P : C} (g : P ⟶ Q), g ≫ f = 0 → g = 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
n : ℕ
⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [![n]]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖
n : ℕ
⊢ n.primeFactorsList.toFinset = n.primeFactors
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Set.Iic ↑a})
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((Localization.localRingHom (Ideal.comap f p.asIdeal) p.asIdeal f ⋯) ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a))
⊢ IsUnit a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑j.range
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ j.range
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
⊢ ∃ a, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧ ‖j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖j (a n)‖ < f n
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_3
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
IsIntegralClosure A R B
⊢ IsIntegrallyClosedIn A B
α : Type u_1
β : Type u_2
Membership α β
s t : β
a : α
h : a ∈ s
⊢ ¬a ∈ t → s ≠ t
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
⊢ upperClosure 1 = 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ (α_ R.X P.X (Q.tensorBimod L).X).inv ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ Finset.range n, f i
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : CategoryTheory.ComposableArrows Cᵒᵖ n
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).inverse.obj X =
  Opposite.op
    ((⋯.functor.comp (CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).functor).comp
      (CategoryTheory.Functor.leftOp X))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
⊢ (diagonal v *ᵥ Pi.single j x) i = Pi.single j (v j * x) i
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : { c // s c.1 ∧ t c.2 }
⊢ (Homeomorph.Set.prod s t) x = (⟨(↑x).1, ⋯⟩, ⟨(↑x).2, ⋯⟩)
α : Type u
p : Additive α → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ a, p (Additive.ofMul a)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
⊢ T_gen p F a = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
⊢ midpoint 𝕜 x y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) (o.rightAngleRotation y) = Complex.I * (o.kahler x) y
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
⊢ f'' =o[⊤] g' ↔ ∀ (x : α), f'' x = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
hJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) = ⊥
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜
x : PiLp p fun x => 𝕜
i : ι
⊢ ((PiLp.basisFun p 𝕜 ι).repr x) i = x i
a : ↥circle
⊢ (rotation a).symm = rotation a⁻¹
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f : α → G
⊢ sᶜ.mulIndicator f = f / s.mulIndicator f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 (f + g) ⋯ = MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf + MeasureTheory.Integrable.toL1 g hg
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x) = x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Sum.inl ⁻¹' Set.range Sum.inr = ∅
G : Type u_1
α : Type u_2
One G
SMul G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => g • s)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
hy : y ∈ Metric.ball x ε
⊢ 0 < ε
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
⊢ sin (↑π / 2) = sin ↑(π / 2)
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
l : c.IsLimit
IH : ∀ c' < c, (a + b) * succ c' = a * succ c' + b
c' : Ordinal.{u_1}
h : c' < c
⊢ a * succ c' + b ≤ a * c
n : Nat
⊢ Int.negSucc n = -↑n - 1
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → ↑Y.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ P f
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K H : Subgroup G
⊢ H.subtype.range = H
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.98000, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f g : W.LeftFraction X Y
⊢ (Hom.mk f).map (Q W) ⋯ = (Hom.mk g).map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ j ∉ Finset.univ → (Finsupp.single j 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) j) = 0
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : IsZero (L.sc i).homology
⊢ IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsZero (K.sc i).homology
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
⊢ ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u
l : β
⊢ ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (l, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u = (fun j => a k j) l * NumberField.house.ξ K x l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.p (h.descQ k hk) = k
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_3
Semiring k
MulOneClass G
Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : f.comp MonoidAlgebra.singleOneRingHom = g.comp MonoidAlgebra.singleOneRingHom
h_of : (↑f).comp (MonoidAlgebra.of k G) = (↑g).comp (MonoidAlgebra.of k G)
⊢ f = g
α : Type u
β : α → Type v
a : α
⊢ a ∉ ∅
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
x : ((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y
⊢ (𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) x = 0 x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
hh : Monotone h
s : Set β
⊢ s ∈ f.lift' h ↔ ∃ t ∈ f, h t ⊆ s
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).preΨ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ n)
G : Type u_7
CommGroup G
n : ℕ
f : ℕ → G
⊢ (List.map (fun k => f (k + 1) / f k) (List.range n)).prod = f n / f 0
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
UniformSpace G
UniformGroup G
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓝 1) fun V => {f | ∀ (x : α), f x ∈ V}
α : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
Fintype n
h : A.transpose.HasOrthogonalCols
⊢ A.HasOrthogonalRows
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ + (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ + t₁ ∪ (s₂ + t₂)
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ u ∘ l ∘ u = u
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'
⊢ ↑e₃ (g (f (↑e₁.symm x✝))) = ↑e₃ (g (↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))))
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ eLpNorm (↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ ≠ ⊤
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 y : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), (∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1)) = 0) → (∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) y)) = 0) → ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 + y))) = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOpEquiv.inverse = CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOp.leftOp
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
One β
s : ι → Set α
hs : Antitone s
f : α → β
a : α
⊢ (fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => (⋂ i, s i).mulIndicator f a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ multiplicity E ≤ 5 ^ finrank ℝ E
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring R
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥s
⊢ ↑((s.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card α = 0 → Nat.card β = 0
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₙₐ[R] C
⊢ (Unitization.lift f).range = Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range f)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : ↥⊤
⊢ NonUnitalSubring.topEquiv x = ↑x
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : b ≤ a
⊢ a + b = a
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
x : FiniteAdeleRing R K
hx : x ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}) * ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : (𝓝 1).IsCountablyGenerated
⊢ (comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).IsCountablyGenerated
n : Nat
⊢ n.Coprime n ↔ n = 1
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
x : ExteriorAlgebra R M
hx : (map f) x = (ι R) y
⊢ ιInv ((map f).toLinearMap x) = y
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b
⊢ (∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ b.primeFactorsList), legendreSym a_1 a = 0) ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ a.natAbs ∧ p ∣ (↑b).natAbs
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : eval₂ (algebraMap R (Matrix n n R)) M M.charpoly = 0
⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Monoid R
DistribMulAction R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : AEMeasurable f μ
c : R
⊢ AEMeasurable f (c • μ)
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid M
f : Option α → M
⊢ ∑ i : Option α, f i = f none + ∑ i : α, f (some i)
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Finite α
Infinite β
f : α → β
⊢ ¬Function.Surjective f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ s ⊂ t ↔ vanishingIdeal t < vanishingIdeal s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.op.h₀ = h.h₃.op
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α
⊢ zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []
R : Type u
Ring R
s : Set R
z : R
⊢ z ∈ Subring.centralizer s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ p.swap.snd = p.fst
α : Type u_2
β : Type u_3
m : α → β
f : Filter β
⊢ (Filter.comap m f).ker = m ⁻¹' f.ker
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioo a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iio b) b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
FiniteDimensional 𝕜 V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
⊢ closure s \ intrinsicFrontier 𝕜 s = intrinsicInterior 𝕜 s
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∈ s
⊢ f b ≤ s.sup' ⋯ f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : ((⇑frobenius)^[m] b).coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R B
c : A →ₗ[R] CharacterModule B
⊢ CharacterModule.uncurry c = TensorProduct.liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯
G H : AddCommGrp
⊢ (G.biprodIsoProd H).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = AddMonoidHom.snd ↑G ↑H
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
t : Set α
x : α
(𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsGLB t x
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, Antitone u ∧ (∀ (n : ℕ), x ≤ u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α
h : (∀ (x : α), p x) → b
h' : ∀ (x : α), ¬(p x → b)
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
⊢ μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.IsPath
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a =
  (κ a) (s ×ˢ Set.Iic x)
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
i j k : ℕ
⊢ I ^ (i + k) • F.N j ≤ I ^ k • F.N (i + j)
G : Type u_1
AddGroup G
a x y : G
h : AddSemiconjBy a x y
m : ℤ
⊢ AddSemiconjBy a (m • x) (m • y)
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J
⊢ ι (F ⋙ H) j✝ ≫ post F H ≫ H.map (colim.map α) = ι (F ⋙ H) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α H) ≫ post G H
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).obj K).X₂ = K.X i
β : Type u_2
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
mβ : MeasurableSpace β
Ω : Type u_5
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ eLpNorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤