ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ infClosure (infClosure s) = infClosure s
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : ↑G
⊢ F.map (X✝.ρ g) ≫ F.map f.hom = F.map f.hom ≫ F.map (Y✝.ρ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a ε : α
hε : 0 < ε
⊢ {x | (fun x => |x - a| < ε) x} ∈ 𝓟 {b | |a - b| < ε}
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
h : n < m
⊢ (coeff R n) ↑(trunc m f) = (coeff R n) f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ↑(f x)
⊢ NonemptyFinLinOrd.dualEquiv.functor = NonemptyFinLinOrd.dual
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f) = ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
he✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring
⊢ (asIso (hU.basicOpenSectionsToAffine f)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (unop (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => (map (Prod.mk b) ν) s
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0
⊢ a = 1 * a
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
a b : A
⊢ a = m → (a + b = n ↔ m ≤ n ∧ b = n - m)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Ioo ⊥ ↑a = Set.Iio a
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.ofCone t).π.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (t.π.app j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X X' : C
Y : D
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ (rightAdjointOfEquiv e he).obj Y
⊢ f ≫ g = (e X Y) (F.map f ≫ (e X' Y).symm g)
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ 0 = 0
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
w : Set M
hw : w.Finite
s : span R w = ⊤
ι : Type w
b : Basis ι R M
⊢ Finite ι
d n : Int
h : d ∣ n
H : n.div d = 0
⊢ n = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
⊢ ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base ''
    (⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' S) =
  ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist s.circumcenter p₁ * dist s.circumcenter p₁ = dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) + dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) - s.circumradius * s.circumradius
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
hs : t = TopologicalSpace.generateFrom s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel β γ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
a✝ : MeasurableSet s
⊢ (((κ.map g hg).comap f hf) x) s = (((κ.comap f hf).map g hg) x) s
m n : ℕ∞
h : m < n + 1
⊢ m ≤ n
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (y ^ (-n) * b * a) = b * a
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
⊢ (quadraticChar F) a = quadraticCharFun F a
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ m (f₁ ⊔ f₂) g = Filter.map₂ m f₁ g ⊔ Filter.map₂ m f₂ g
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ X ^ n ∣ φ ↔ ∀ m < n, (coeff R m) φ = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
⊢ SecondCountableTopology α
P : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝¹ : Finite α
X : α → CompHausLike P
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X
a : α
x y : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t
⊢ ν s = ν t
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
⊢ 1 < p.length + 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h1 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((a * y - 1) * y_1 + 1)
h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)
⊢ IsUnit a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
⊢ s = t
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b
⊢ a ≤ b * a
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
IsGalois K L
FiniteDimensional K L
IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (FiniteDimensional.finrank K L) K).Nonempty
⊢ ∃ α, α ^ FiniteDimensional.finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Finite
⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, g t ∈ s t
ha : f a = g a
⊢ Set.EqOn f g (Set.Icc a b)
α : Type u_1
n : ℕ
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ v.head ∈ v.toList
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
⊢ ↑↑z = ↑z
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
Algebra ℝ A
TopologicalRing A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
ContinuousFunctionalCalculus NNReal fun x => 0 ≤ x
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
f : NNReal → NNReal
ha : 0 ≤ a := by cfc_tac
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : CompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ IsCompact (range f)
R : Type u
M : Type v
x y : tsze R M
h1 : x.fst = y.fst
h2 : x.snd = y.snd
⊢ x = y
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : SimpleFunc α ℝ
g : α → ℝ
hg : Integrable g μ
this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), s.indicator (Function.const α c) * f = s.indicator (c • f)
g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ
x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂)
h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑f * μ[g|m]) g₁
h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑f * μ[g|m]) g₂
⊢ μ[↑(g₁ + g₂) * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g|m]
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
s : Subsemigroup M
hs : s ∈ S
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ Function.Bijective TopologicalSpace.Closeds.compl
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
G : Type u
inst✝² : LeftCancelMonoid G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : Nontrivial G
⊢ exponent G ≠ 0 ∧ exponent G ≠ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α
⊢ lowerBounds (insert a s) = Iic a ∩ lowerBounds s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousMul α
f : γ → β → α
a : γ → α
s : Finset γ
⊢ (∀ i ∈ s, HasProd (f i) (a i)) → HasProd (fun b => ∏ i ∈ s, f i b) (∏ i ∈ s, a i)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
⊢ (S₁.s.cofan Δ).inj A ≫ Φ.F.app Δ = Φ.f (unop A.fst).len ≫ (S₂.s.cofan Δ).inj A
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace = ((toMatrix c c) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)).trace
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : ↑(Ico 0 1)
⊢ x = 0 ↔ ↑x = 0
A : Class
⊢ A ∈ Class.univ ↔ ∃ x, ↑x = A
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
f : G → F
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf : Integrable f μ
g : G
⊢ Integrable (fun t => f (t * g⁻¹)) μ
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ ⇑(CompleteLatticeHom.id α) = id
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α × β
⊢ (a • x).2 = a • x.2
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
x : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.filterAddMonoidHom β p) x = DFinsupp.filter p x
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x
hle : (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G) ≤ injectiveSeminorm
⊢ ‖(lift f'.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f'‖ * injectiveSeminorm x
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
⊢ ⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n = ⨆ n, s n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Mono i
⊢ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op Δ)).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op Δ)) ≫
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).map i.op =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i ≫
    ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op Δ')).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op Δ'))
α : Type u_1
Zero α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Subsingleton α
⊢ Function.Injective Prod.snd
m n : ℕ
NeZero m
NeZero n
⊢ OfNat.ofNat m < OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m < OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p ↔ ∀ (i : ι) (s : Set ι), p i ∉ (convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True
eq_zero_false : p = 0 ↔ False
⊢ padicValNat p p = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
α : Sort u_13
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : α → M
⊢ Set.range (⇑h ∘ f) = ⇑h.symm ⁻¹' Set.range f
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 1 ⨳ a = a
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑n.bitm1 = ↑n + ↑n - 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
⊢ (∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
k n m : Nat
H : k.Coprime n
⊢ (m * k).gcd n = m.gcd n
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x₁ x₂ : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
h : (toSpec 𝒜 f) x₁ = (toSpec 𝒜 f) x₂
this : FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x₁) = FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x₂)
⊢ x₁ = x₂
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
⊢ (BoolRing.Iso.mk e).hom = ↑e
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.197151, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.197155, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cocycle K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
eq : δ n m β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ δ n m (liftCochain φ (↑α) β h) = 0
R : Type u
CommSemiring R
Subsingleton R
f : R[X]
⊢ f.Separable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
ProperSpace E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ((SchwartzMap.toZeroAtInftyCLM 𝕜 E F) f) x = f x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n d : ℕ
f : K⟦X⟧
H : Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))
hnd : n < d
⊢ PowerSeries.X ^ d ∣ f
α : Type u_1
CommMonoid α
l : List α
⊢ ∏ i : Fin l.length, l[↑i] = l.prod
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h₁ : l₁.length ≤ n
h₂ : n < (l₁ ++ l₂).length
⊢ (l₁ ++ l₂).get ⟨n, h₂⟩ = l₂.get ⟨n - l₁.length, ⋯⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
this : ‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1
⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
α : Type u
a : α
⊢ (Computation.pure a).destruct = Sum.inl a
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]
⊢ f ∈ Submodule.span k (⇑(of k G) '' ↑f.support)
x : Nat
xs : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.mergeIdem (x :: x :: xs) = Lean.Data.AC.mergeIdem (x :: xs)
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ #ι < ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
hst : ∃ x, t \ s = {x}
⊢ ∃ a, t = insert a s
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0
⊢ SimpleGraph.triangleRemovalBound ε ≤ 0
R : Type u
CommRing R
f : Polynomial R
x y : R
⊢ Polynomial.eval (x + y) f =
  ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) +
    f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
Finite ι
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
i : CategoryTheory.Discrete ι
X : C
g : X ⟶ ((CategoryTheory.Functor.const (CategoryTheory.Discrete ι)).obj c.pt).obj i
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback g (c.ι.app i)
n : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial n * n ! ≤ (n + n) ^ n * n !
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ 1 = a
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (supClosure s).Finite
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Comma.snd L R).map f = f.right
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∈ (Polynomial.derivative p).support
⊢ n + 1 ∈ p.support
K : Type u_1
LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
FloorRing K
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
  v = GenContFract.compExactValue ((GenContFract.of v).contsAux n) ((GenContFract.of v).contsAux (n + 1)) ifp_n.fr
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ v x ≤ v (x + y) ∨ v y ≤ v (x + y)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : AEMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = AEMeasurable.mk f h x
a b : Nat
h : a = b
⊢ ↑a = ↑b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : s.Countable
⊢ {t | (f t).Nonempty}.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
s : Set α
f : α → G
⊢ sᶜ.mulIndicator f = f / s.mulIndicator f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h_eq : f (∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
j : ι
⊢ j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k