ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio a ⊆ Set.Iio b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
⊢ SuperpolynomialDecay l k fun a => k a ^ z * f a
X : Preord
a : ↑((preordToPartOrd ⋙ PartOrd.dual).obj X)
⊢ (preordToPartOrdCompToDualIsoToDualCompPreordToPartOrd.hom.app X) a = (OrderIso.dualAntisymmetrization ↑X) a
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I {x | M.Basis I (insert x I)}
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 < b ^ 2
hb : 0 ≤ b
⊢ |a| < b
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R
⊢ ((PrimeSpectrum.primeSpectrumProd R S).symm (Sum.inl x)).asIdeal = x.asIdeal.prod ⊤
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
⊢ algebraMap R (LocalRing.ResidueField R) = LocalRing.residue R
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
VAdd G α
VAdd G β
s t : Set α
b : β
h : s ⊆ t
hs : AddAction.Supports G s b
⊢ AddAction.Supports G t b
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G
⊢ p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy A (X ^ ↑n) (Y ^ ↑n)
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Neg.neg '' Ici (-x)) (- -x)
⊢ x ≠ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
⊢ F.map (𝟙 P) ≫ φ.app P = F.map (P.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ φ.app P
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
c : α
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x * c) s
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) '' [[b, c]] = [[b + a, c + a]]
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ 0 ≤ (2 * π * ↑v)⁻¹
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (p ^ n).degrees ≤ n • p.degrees
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerLeft (F.functor a'') (shiftFunctorAdd' D m n (m + n) ⋯) ≪≫ ((F.functor a'').associator (shiftFunctor D m) (shiftFunctor D n)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (F.shiftIso m a' a'' ha'') (shiftFunctor D n) ≪≫ F.shiftIso n a a' ha'
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
bd : b < d
a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'
b' : ℝ≥0
bb' : b < ↑b'
b'd : ↑b' < d
⊢ ↑a * b < c * d
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
⊢ f.IsSemisimple
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator F₁ F₂ F₃).inv.app j =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).inv
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
b c : B
a : B
f : b ⟶ c
⊢ ∀ {X Y : a ⟶ b} (x : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Bicategory.postcomp a f).map x = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight x f
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : 1 ≤ r
⊢ Int.clog b r = ↑(Nat.clog b ⌈r⌉₊)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun a => ↑(f a) i
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
W : D
Z : C
iWZ : W ⟶ G.obj Z
iZY : G.obj Z ⟶ Y
⊢ Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves (G.obj Z)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y
⊢ ∃ g, g • x = y
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : MvQPF.Cofix F α → MvQPF.Cofix F α → Prop
h' : ∀ (x : MvQPF.Cofix F α), r x x
h : ∀ (x y : MvQPF.Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
x y : MvQPF.Cofix F α
⊢ r x y → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
d : δ
ds : List δ
w : 0 < (d :: ds).length
w' : 0 < ds.length
⊢ Levenshtein.impl C (x :: xs) y ⟨d :: ds, w⟩ =
  match Levenshtein.impl C xs y ⟨ds, w'⟩ with
  | ⟨r, w⟩ => ⟨min (C.delete x + r[0]) (min (C.insert y + d) (C.substitute x y + ds[0])) :: r, ⋯⟩
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ S.W f ↔ ∃ Z g h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 s.GammaIntegral)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0
this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))
htr : (∀ (n : F), (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * n) = 0) → a = 0
hf : ∀ (b : F), (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) = 0
⊢ False
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
f : Box ι → M
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ ↑π.boxes
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ ↑π.boxes
hne : J₁ ≠ J₂
J' : Box ι
h₁' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₁
h₂' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₂
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioi x) x
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
hs' : DiscreteTopology ↑s
⊢ s.Countable
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a
i : Fin m
⊢ i ∉ Finset.Iio k✝ → i ∉ Finset.filter (fun i => f i ≤ a) Finset.univ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB ((fun b => b * a) '' s) (b * a)
a b : ℕ
⊢ Multiset.range (a + b) = Multiset.range a ∪ Multiset.map (fun x => a + x) (Multiset.range b)
p : Prop
h : Decidable p
b c : Bool
⊢ (¬if p then b = true else c = false) ↔ if p then b = false else c = true
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 - p⁻¹ = q⁻¹
b e : String.Pos
s : Substring
⊢ s.Valid → { str := s.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid → (s.extract b e).Valid
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a : α
⊢ RegularExpression.deriv 1 a = 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.edist u v ≠ ⊤
⊢ G.Reachable u v
⊢ Ordinal.lift.{u_4, u_3} 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective R
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ { carrier := ∅, is_open' := ⋯ } = ⊥
α β γ✝ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (α ⊕ β → ℕ)
γ : Type u
p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)
pe : ∀ (v : α ⊕ β → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr) p) (v ⊗ t) = 0
t : β ⊕ γ → ℕ
ht : p ((v ⊗ t) ∘ ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr)) = 0
⊢ p ((v ⊗ t ∘ inl) ⊗ t ∘ inr) = 0
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
⊢ Summable fun i => ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ‖(fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i a_1‖ ∂volume
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
this : Encodable ↑S
⊢ ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
⊢ (ad R ↥H) x ^ n = 0
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
⊢ (prodXSubSMul G F x).Monic
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪(o.rotation ↑(π / 2)) x, r • x⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i)) = 1
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
v : α → ℕ
⊢ v ∈ {v | f v < g v} ∪ {v | g v < f v} ↔ ¬f v = g v
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
h : ∀ (t : Set γ), t.Finite → ∃ c, P c t
⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ AddOpposite.op (a ^ b) = AddOpposite.op a ^ b
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
h₁ : BddAbove s
h₂ : a ∈ s
⊢ a ≤ sSup s
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1
⊢ l.length = ?m.22276
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
S : Set α
K : ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict S,
  ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ),
    Filter.Tendsto δ l (𝓝[>] 0) →
      (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ Metric.closedBall (w j) (K * δ j)) →
        Filter.Tendsto (fun j => μ (S ∩ Metric.closedBall (w j) (δ j)) / μ (Metric.closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
u : Aˣ
⊢ spectrum R (↑u⁻¹ * a * ↑u) = spectrum R a
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)
⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → δ
g : β → γ
⊢ image2 f (↑s) (g '' ↑t) = image2 (fun a b => f a (g b)) ↑s ↑t
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
boxes : Finset (WithBot (BoxIntegral.Box ι))
h₁ : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
h₂ : (↑boxes).Pairwise Disjoint
⊢ J ∈ BoxIntegral.Prepartition.ofWithBot boxes h₁ h₂ ↔ ↑J ∈ boxes
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ t₁ ≤ t₂ → s ×ˢ t₁ ≤ s ×ˢ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
m : α → β
⊢ Set.SurjOn (Filter.map m) (Set.Iic F) (Set.Iic G) ↔ G ≤ Filter.map m F
G : Type u_1
Group G
k : Set G
⊢ Subgroup.closure k = ⊥ ↔ k ⊆ {1}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
σ : ι ≃ ι'
f g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ AlternatingMap.domDomCongr σ f = AlternatingMap.domDomCongr σ g ↔ f = g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0
this : (f %ₘ minpoly A pb.gen).natDegree < pb.dim
i : ℕ
hi : i < pb.dim
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • pb.gen ^ i) = (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • y ^ i
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜
⊢ (affineHomeomorph a b h) x = a * x + b
α : Type u_1
β : Type u_7
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero β
Monoid N
CommMonoid P
f : α →₀ β
g : α → β → N →* P
⊢ ⇑(f.prod g) = f.prod fun i fi => ⇑(g i fi)
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).1.card + (Finset.mulETransformRight e x).1.card = 2 * x.1.card
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Continuous ⇑γ
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ Set.InjOn (fun χ => LieModule.weightSpace M χ) {χ | LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n₁ n₃ n₁₃ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K 0
z₃ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n₃
h₁₃ : n₁ + n₃ = n₁₃
⊢ (z₁.comp z₂ ⋯).comp z₃ h₁₃ = z₁.comp (z₂.comp z₃ ⋯) h₁₃
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (↑(↑↑x 1 0) * ↑(↑↑y 0 0) + ↑(↑↑x 1 1) * ↑(↑↑y 1 0)) * ↑z + (↑(↑↑x 1 0) * ↑(↑↑y 0 1) + ↑(↑↑x 1 1) * ↑(↑↑y 1 1)) = ↑(↑↑x 1 0) * (↑(↑↑y 0 0) * ↑z + ↑(↑↑y 0 1)) + ↑(↑↑x 1 1) * (↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1))
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ LinearMap.coprod 0 g = g ∘ₗ LinearMap.snd R M M₂
n m : ℕ
h : m ∈ n.smoothNumbers
⊢ m ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X ↔ f = 0
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ (μ.restrict s) t ≤ μ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.reverse.length
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) x‖) =Θ[Filter.atTop] fun z => z ^ (p - 1)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f g : S.LocalizationMap N
h : ∀ (x : M), f.toMap x = g.toMap x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_6
MeasurableSpace δ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft δ κ).fst = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft δ κ.fst
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent G = 1 ↔ Subsingleton G
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
⊢ (a * b).y = a.x * b.y + a.y * b.x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)
α : Type u_1
DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
⊢ (a ::ₘ m).pi t = (t a).bind fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons m a b) (m.pi t)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
this : (fun x_1 => x) = Set.univ.indicator fun x_1 => x
⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = (T Set.univ) x
n : Nat
⊢ Nat.Coprime 0 n ↔ n = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : ¬a ≤ b
⊢ [[a, b]] = Finset.Icc b a
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
⊢ 0 < ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithLowerSet.ofLowerSet ⁻¹' s) ↔ IsLowerSet s
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ c ∈ s ⊼ t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, p (a ⊓ b)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ Module.rank R ℍ[R,c₁,c₂] = 4
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Functor.chosenProd.snd F₁ F₂).app j = CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁.obj j) (F₂.obj j)
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ (s / t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)
x : α
hx1 : x ∈ s
hx2 : x ∈ t
⊢ False
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ convexBodySum K B = convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B
p x y : ℝ
⊢ y ∈ {y | ↑y = ↑x} ↔ y ∈ {x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X : C
f g : X ⟶ 𝟙_ C
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : Option α →₀ M
b : Option α → M → N
h_zero : ∀ (o : Option α), b o 0 = 0
h_add : ∀ (o : Option α) (m₁ m₂ : M), b o (m₁ + m₂) = b o m₁ + b o m₂
⊢ f.sum b = b none (f none) + f.some.sum fun a => b (some a)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (s ∩ t) = Multiset.filter p s ∩ Multiset.filter p t