ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
a : α
s t : Set α
⊢ doset a s t = Set.image2 (fun x x_1 => x * a * x_1) s t
α : Type u_1
p : αᵒᵈ → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ a, p (OrderDual.toDual a)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
⊢ (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A))) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv
⊢ (starRingEnd ℂ) Complex.I = -Complex.I
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
x : Unitization R ↥s
⊢ (NonUnitalSubalgebra.unitization s) x = (algebraMap R A) x.fst + ↑x.snd
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ 𝒜.card ≤ (Fintype.card α).choose r
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : HomotopyEquiv C D
⊢ (quotient V c).map (f.inv ≫ f.hom) = (quotient V c).map (𝟙 D)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ (∀ i ∈ s, infEdist i u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u) ∧ ∀ i ∈ u, infEdist i s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tail = l.tailD []
α : Type u_1
p : α → Bool
⊢ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) = List.filter p
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≤ a
hab : a < b
⊢ filter (fun x => x ≤ a) (Ico a b) = {a}
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ico a b) μ
a : ℕ
⊢ wellOrderSucc a = a.succ
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ Dense (closure s) ↔ Dense s
r s : ℝ
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r
g : ℕ → ℝ
hys : (ofSeq g).IsSt s
⊢ ofSeq f < ofSeq g
x : ℂ
⊢ Complex.sin x ^ 2 = 1 - Complex.cos x ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
⊢ comap f (cobounded β) ≤ cobounded α ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, IsBounded s → IsBounded (f '' s)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U V : Set α
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
⊢ { carrier := U, is_open' := hU } ⊓ { carrier := V, is_open' := hV } = { carrier := U ⊓ V, is_open' := ⋯ }
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
x : X
⊢ IsClosed (⋃ i, f ↑i)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable f (map X ℙ) ↔ Integrable f (μ.withDensity ((map X ℙ).rnDeriv μ))
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
⊢ ⇑(h.collectedBasis v) = fun a => ↑((v a.fst) a.snd)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
h : s =ᵐ[μ] t
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
Unique Mˣ
Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
l : ↑(Set.Iic (Associates.mk n))
⊢ ↑((RelIso.symm (mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd)) l) = Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩)
ι : Type u_2
self : BoxIntegral.Box ι
i : ι
⊢ self.lower i < self.upper i
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD n]
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSub p₁) w
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₅
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} C₆
T₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
T₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
V₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₄
V₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₅
V₃ : CategoryTheory.Functor C₃ C₆
B₁ : CategoryTheory.Functor C₄ C₅
B₂ : CategoryTheory.Functor C₅ C₆
CategoryTheory.CatCommSq T₁ V₁ V₂ B₁
CategoryTheory.CatCommSq T₂ V₂ V₃ B₂
X : C₁
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.iso'.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (B₂.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T₁ V₁ V₂ B₁).inv.app X))
    ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T₂ V₂ V₃ B₂).inv.app (T₁.obj X))
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
az : ¬a = 0
⊢ b ∣ b * c
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
Invertible A
⊢ A⁻¹ * (A * B) = B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x✝ : Set α
⊢ x✝ ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ x✝ ∈ 𝓟 (s i)
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
n : N
⊢ (SemidirectProduct.inl n).left = n
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
hn : n₁ ≤ n₂
⊢ n₁ = n₂
α : Type u
self : BooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x ⇨ y = y ⊔ xᶜ
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∏' (x : ↑↑s), f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
x y : PProd α β
⊢ x.fst = y.fst → x.snd = y.snd → x = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l
hlx₁ : l x₁ ≤ l x
⊢ x₁ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ x₂ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → G
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x.1
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
m : ℤ
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ m ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ m
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (insert Set.univ s) = TopologicalSpace.generateFrom s
α : Type u
β : Type v
R S : α → β → Prop
C D : Stream'.WSeq α → Stream'.WSeq β → Prop
H1 : ∀ (a : α) (b : β), R a b → S a b
H2 : ∀ (s : Stream'.WSeq α) (t : Stream'.WSeq β), C s t → D s t
o : Option (α × Stream'.WSeq α)
p : Option (β × Stream'.WSeq β)
⊢ Stream'.WSeq.LiftRelO R C o p → Stream'.WSeq.LiftRelO S D o p
θ : Real.Angle
⊢ -θ = θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : IsAntichain r s
hr : Symmetric r
h : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬r a b
⊢ IsAntichain r (insert a s)
n : ℕ
l : List ℕ
b : ℕ
hl : ∀ x ∈ l, x < b + 1 + 1
⊢ ofDigits (b + 1 + 1) l < (b + 1 + 1) ^ l.length
α : Type u_1
LT α
a b : αᵒᵈ
o : Ordering
⊢ o.Compares (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) ↔ o.Compares b a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ⇑UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ = ↑E
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
f : C(X, ℝ)₀
⊢ (fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal) (r • f) = (MonoidHom.id ℝ) r • (fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal) f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = μ s / (μ s + μ t) * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ + μ t / (μ s + μ t) * ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
⊢ Computable fun a => Option.map (g a) (f a)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : HasCokernel S.f
h : S.RightHomologyData := S.rightHomologyData
this : HasLimit (parallelPair h.g' 0)
⊢ HasKernel (cokernel.desc S.f S.g ⋯)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Module.Free R S
Module.Free R T
Module.Finite R S
Module.Finite R T
x : S × T
⊢ (Algebra.trace R (S × T)) x = (Algebra.trace R S) x.1 + (Algebra.trace R T) x.2
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
⊢ Countable ι
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Fintype.card G.ConnectedComponent = FiniteDimensional.finrank ℝ ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : Function.IsPeriodicPt f n x
hg : Function.IsPeriodicPt g n x
⊢ Function.IsPeriodicPt (f ∘ g) n x
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ^^^ y).toFin = x.toFin ^^^ y.toFin
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ici a
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, Ici i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
⊢ Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
⊢ Matrix.UnitaryGroup.toGL 1 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ a ≤ ↑b.toNat
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
f : R ≃+* S
⊢ (LocalRing.ResidueField.mapEquiv f).symm = LocalRing.ResidueField.mapEquiv f.symm
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
U : Set G
hU : U ∈ B
⊢ U ∈ 𝓝 1
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s ∪ Finset.filter q s = Finset.filter (fun x => p x ∨ q x) s
G : Type u_1
AddMonoid G
H : Type u_6
AddMonoid H
e : G ≃+ H
x : G
⊢ addOrderOf (e x) = addOrderOf x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ (det fun i j => ∑ k ∈ range (↑j + 1), v i.succ ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v i.succ ^ ↑j
α : Type u_2
Preorder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
t : Interval α
⊢ ⊥ + t = ⊥
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≤ 1
⊢ I ≤ I * (1 / I)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (Metric.cthickening δ s) (Metric.cthickening δ t)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
s s' : σ
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff (Finsupp.single s' n) (MvPolynomial.X s) = if n = 1 ∧ s = s' then 1 else 0
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + n • b
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s + t = Finset.image (fun p => p.1 + p.2) (s ×ˢ t)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) 0).prod ≠ 0 → (prod 0).natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) 0).sum
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f ≤ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
s : Set 𝕜
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑f) s
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
s : NonUnitalSubring R
⊢ Monotone fun t => s.prod t
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x y : E
hx : IsSeparable F x
hy : IsSeparable F y
⊢ IsSeparable F (x * y)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame < b.toPGame → a < b
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α × β → γ
h : UniformContinuous f
b : β
⊢ UniformContinuous fun a => f (a, b)
M₀ : Type u_2
CommMonoidWithZero M₀
a : M₀
ha : a ∈ M₀⁰
⊢ associatesNonZeroDivisorsEquiv.symm ⟦⟨a, ha⟩⟧ = ⟨⟦a⟧, ⋯⟩
x : ℝ
⊢ ↑(Real.nnabs x) = |x|
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t₁ t₂ : Set β
⊢ s -ᵥ (t₁ ∪ t₂) = s -ᵥ t₁ ∪ (s -ᵥ t₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiff 𝕜 m fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (Submodule.span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
⊢ IsHilbertSum 𝕜 (fun x => 𝕜) fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y = Ordering.eq → cmp x_1 z = cmp y z
s : Set ℕ∞
⊢ sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (Metric.ball x r)
⊢ ContinuousOn f (Metric.closedBall x r)
z : ℂ
⊢ 0 ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
Γ''₀ : Type u_6
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ''₀
v₁ : AddValuation R Γ₀
v₂ : AddValuation R Γ'₀
v₃ : AddValuation R Γ''₀
h₁₂ : v₁.IsEquiv v₂
h₂₃ : v₂.IsEquiv v₃
⊢ v₁.IsEquiv v₃
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.X i ^ k) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
G' : G.Finsubgraph
⊢ ↑G'ᶜ = (↑G')ᶜ
ι : Type u_3
α' : ι → Type u_4
(i : ι) → Top (α' i)
i : ι
⊢ ⊤ i = ⊤
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x (W.negY x y) ↔ W.Nonsingular x y
α : Sort u
x y : α
⊢ { down := x } = { down := y } ↔ x = y
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
⊢ ((constantCommuteCompose J U).app (F.val.obj (op t))).hom ≫ (constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F) = (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).1.card + (Finset.mulETransformLeft e x).2.card +
    ((Finset.mulETransformRight e x).1.card + (Finset.mulETransformRight e x).2.card) =
  x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ ball x R, p y
y : α
R : ℝ
hR : R > dist y x
h : ∀ z ∈ ball x R, p z
⊢ p y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : AddCommMonoid β
f : ι →₀ α
i : ι
a : α
g : ι → α → β
hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0
hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂
⊢ (erase i f).sum g + (single i a).sum g + g i (f i) = f.sum g + g i a
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.diam s = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
R I : Set α
⊢ (M.restrict R).Indep I ↔ M.Indep I ∧ I ⊆ R
α : Type u
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
c : α
⊢ b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp f 2 μ ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x ^ 2) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
α : Type u_1
AddMonoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
j : Fin n
⊢ Fin.partialSum f j.succ = Fin.partialSum f j.castSucc + f j
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
g : Filter β
⊢ ⊥ -ᵥ g = ⊥
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ |a| = |b|
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
⊢ Function.Injective ⇑b.toDual