ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)
⊢ (fun x => f r * x) (f (↑⋯.unit⁻¹ * y)) = (fun x => f r * x) x
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
⊢ (update i f b) i = (erase i f + single i b) i
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommSemiring R
⊢ HahnSeries.C = algebraMap R (HahnSeries Γ R)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : MeasureTheory.IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
hT : MeasurableSet T
h_eq : MeasureTheory.cylinder I S = MeasureTheory.cylinder J T
⊢ (P I) S = (P J) T
M : Type u_1
N : Type u_2
F : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
k : ℕ
ζ : M
f : F
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsPrimitiveRoot (f ζ) k
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
⊢ of' R M m ∈ span R (of' R M '' S) ↔ m ∈ S
α : Type u
β : Type v
⊢ Function.Bijective PEquiv.symm
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.equivalence.unitIso = CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.ε
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
⊢ ∅ ∪ ⟦s₁⟧ = ⟦s₁⟧
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a b : α
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
a✝ : Nontrivial α
⊢ normalize a = normalize b
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s + t)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A✝ : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A✝
N : Type u_5
inst✝ : Group N
A A' B : Subgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B
⊢ (A ⊔ A').subgroupOf B = A.subgroupOf B ⊔ A'.subgroupOf B
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
⊢ Monotone (Nat.count p)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ᘁf ≫ g) = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((ᘁf) ⊗ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.prod ⊤ = comap Prod.fst f
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => (fun x => x ^ (1 / 2)) x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
⊢ ∀ a ∈ powersetCard n s, f a.card = f n
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = MeasureTheory.eLpNorm' f (p * q) μ ^ q
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
Z : Type u_7
SMul P Z
g : Y →ₑ[ψ] Z
f : X →ₑ[φ] Y
CompTriple φ ψ χ
x : X
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → Set X
ho : ∀ (i : α), IsOpen (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : α), IsOpen (f i ∩ s)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
b : σ a
⊢ ⟨a, b⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨a, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨a, b⟩.snd ∈ t ⟨a, b⟩.fst
F : Type u_1
A : Type u_2
Field F
Ring A
IsDomain A
Algebra F A
hp : Nat.Prime (FiniteDimensional.finrank F A)
⊢ IsSimpleOrder (Subalgebra F A)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : b ≤ a * c⁻¹
⊢ b * c ≤ a
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.BraidedCategory V
X Y : Action V G
⊢ (Action.forgetBraided V G).μ X Y = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.V Y.V)
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate = Matrix.of fun i => A.transpose.cramer (Pi.single i 1)
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
S : Finset Turing.TM1to1.Λ'
d : Turing.Dir
q : Turing.TM1.Stmt Bool Turing.TM1to1.Λ' σ
⊢ Turing.TM1.SupportsStmt S (Turing.TM1to1.move d q) = Turing.TM1.SupportsStmt S q
α : Type u_1
p : Equiv.Perm α
⊢ {x | p⁻¹ x ≠ x} = {x | p x ≠ x}
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
hc : a ∈ Icc a b
⊢ f a ≤ f a
n d : ℕ
⊢ d ∣ n ↔ n / d * d = n
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.I = 0 ∨ RCLike.I * RCLike.I = -1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, EMetric.infEdist x s = edist x y
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : 0 < a
⊢ 0 < |a|
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
⊢ f y - f x ≤ C * (y - x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.IsSubterminal (⊤_ C)
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
x : M
y : α
⊢ (AddAction.toFun M α) y x = x +ᵥ y
R : Type u_2
Semiring R
σ : Type u_3
Finite σ
f : HahnSeries (σ →₀ ℕ) R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (HahnSeries.toMvPowerSeries f) = f.coeff n
p : Prop
as ps : List Prop
as₁ : List Prop
⊢ as = as₁.reverseAux ps → (Sat.Valuation.mk as).implies p ps as₁.length → p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
x : F
hx : x ∉ f.range ∨ x = 0
⊢ (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
F : Set α
x : α
⊢ connectedComponentIn F x ⊆ F
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + -c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
c : ℝ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
hf : ∀ x ∈ s, c ≤ f x
hfint : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f x) s μ
⊢ c * (μ s).toReal ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : 1 • w s = 0
⊢ 1 = 0
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i : ι
x : M
⊢ (b.dualBasis i) x = (b.coord i) x
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
hFEp : IsSplittingField F E 0
⊢ Normal F E
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑e) s x = e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
⊢ (if l i ≠ 0 then ⟪(V i) v, (V i) (l i)⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜
x : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m * x)
⊢ Irrational x
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
One M₁
hA : OneMemClass A M₁
S' : A
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ x + 1 / 2 - 1 < ↑⌊x + 1 / 2⌋
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
b' : β ⟨a, b⟩.fst
h' : dlookup ⟨a, b⟩.fst l = some b'
⊢ b ∈ dlookup a l
n : ZMod 0
⊢ IsUnit n ↔ n.val = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
⊢ e (sInf s) = sInf (⇑e '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
hb : b₁ < b₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a < 0
h : 1 < b
⊢ a * b < a
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s' s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
h : s ≤ s'
⊢ MvPolynomial.coeff s' (x.modMonomial s) = 0
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ Z✝ : J
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.cos
    (InnerProductGeometry.angle x y + InnerProductGeometry.angle x (x - y) + InnerProductGeometry.angle y (y - x)) =
  -1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
⊢ (circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = 1
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
v : Vector ℕ n.succ
i : Fin n
⊢ v.get i.succ = v.tail.get i
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, Even m
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B (B' x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ B x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this : HasPDF X ℙ μ
⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + m = 0
K L : Cᵒᵖ
φ : K ⟶ L
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C n m hnm).hom.app K)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).map φ.unop).op
      ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C n m hnm).inv.app L))
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : x ≤ f x
y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)
⊢ f.nextFixed x hx ≤ y ↔ x ≤ ↑y
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H.IsComplement' K
⊢ K.index = Nat.card ↥H
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
⊢ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
⊢ IsPurelyInseparable F E
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
⊢ (if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0
α : Type u_2
Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (Cardinal.aleph 1).ord
⊢ Ordinal.sup o < (Cardinal.aleph 1).ord
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ sort r s ↔ a ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : CompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : FirstCountableTopology α
inst✝¹ : OrderTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
h : u =ᶠ[f] ⊥
⊢ limsup ⊥ f = ⊥
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
⊢ (∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}) → ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
α : Type u
a : α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (insert a s).Finite
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ (hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣
  ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) *
    ((hζ.toInteger - 1) ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
self : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
⊢ s ⊆ ⋃ i, self.toFun i
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.X.denom = 1
α : Type u_1
β : α → Type u_2
(a : α) → AddMonoid (β a)
a : α
l : List ((a : α) → β a)
⊢ l.sum a = (List.map (fun f => f a) l).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
h : Filter β
s : Set α
hs : s ∈ f
hg : g s ≤ h
⊢ f.lift g ≤ h
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
⊢ ∃ y, f = Function.const X y
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : ∀ (c : α), a < c ↔ b < c
⊢ a = b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
⊢ ∀ y ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet, ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') y) = smoothCoordChange IB a he he' y
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atBot ↔ ∀ (b : β), ∃ a, f a ≤ b
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hmn : m < n
⊢ a ^ n < a ^ m
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
⊢ kl.1 ≤ n
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ ∃ t, t.Sublist l₁ ∧ t ++ l₂ = l₁ ∪ l₂
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ioi 0) log
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' S))
⊢ m ∈ closure S
ι : Sort u_3
X : Type u_4
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), RegularSpace X
⊢ RegularSpace X
n : Nat
x : BitVec n
⊢ x - x = 0#n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : QuotientMap f
⊢ Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : y = gcd x y * z
⊢ x * z * gcd x y = x * y
α : Type u_1
BooleanRing α
a : α
⊢ a + a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).map F).Exact
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
v : V
⊢ e (-(L v) w) • r • f v = r • e (-(L v) w) • f v
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
h : Disjoint b c
⊢ a ≤ a ∆ b ⊔ a ∆ c
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
⊢ ∀ x ∈ f.support, ∑ x_1 : σ → K, coeff x f * ∏ i : σ, x_1 i ^ x i = 0
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_5
r₁₂ : α → β → Prop
r₂₃ : β → γ → Prop
r₁₃ : α → γ → Prop
hr : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r₁₂ a b → r₂₃ b c → r₁₃ a c
⊢ Relator.LeftTotal r₁₂ → Relator.LeftTotal r₂₃ → Relator.LeftTotal r₁₃
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
self : A × B
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.fst R A B) self = self.1
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
β : Type u_2
inst✝ : InvolutiveStar β
x y : β
⊢ y ∈ {x}⋆ ↔ y ∈ {x⋆}
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ b i < 1
α : Type u_1
s : Set α
hs : s ≠ Set.univ
f : ↑s → α
hf : Function.Surjective f
⊢ Infinite α
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ^ 2
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {0}) →ₗ[ℤ] A
⊢ ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {0}), g' x = g ⟨x, mem⟩
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => c + x) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)
α : Type u
S T : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(S ∪ T) ≤ Cardinal.mk ↑S + Cardinal.mk ↑T
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Set X
hs : s.Countable
⊢ dimH s = 0
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup P
inst✝ : OrderBot P
x : P
I J K : Ideal P
S : Set (Ideal P)
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
⊢ f ∈ closedBall 0 1