ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ -(p₁ -ᵥ p₂) = p₂ -ᵥ p₁
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
⊢ IsLUB s (sSup s)
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s : Set α
f g : α → G
⊢ (s.indicator fun a => f a - g a) = fun a => s.indicator f a - s.indicator g a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
⊢ Continuous (fourierIntegral e μ L f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
⊢ ContinuousOn (exp 𝕂) (EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
f2 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2
f_test_function_union : ∀ x ∈ K1 ⊔ K2, 1 ≤ (f1 + f2) x
⊢ Λ (f1 + f2) < rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h : s ⊆ t
⊢ closure s ⊆ closure t
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
⊢ IsAlgebraic R 1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : Integrable I l f vol
⊢ HasIntegral I l f vol (integral I l f vol)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
φ ψ : C(↑(spectrum R a), R) →⋆ₐ[R] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h :
  φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) =
    ψ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R))
⊢ φ = ψ
α : Type u_1
s t : Multiset α
d : s.Disjoint t
⊢ t.Disjoint s
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
⊢ Polynomial.dickson 1 1 p = Polynomial.X ^ p
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ ⇑L.subtype = Subtype.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)
⊢ Tendsto (norm ∘ fun x => (x - a)⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop
m a b c : ℤ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [ZMOD m]
⊢ a ≡ b [ZMOD m / ↑(m.gcd c)]
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
⊢ Subgroup.closure (Set.range ⇑Monoid.Coprod.inl ∪ Set.range ⇑Monoid.Coprod.inr) = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this : HasZeroObject C
⊢ IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ Submodule.span R s
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)
⊢ p x
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈' ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 3 then 1 else -1
⊢ χ₈' ↑(n % ↑8) = if n % 8 % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : ↥(S.unit K)
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
hv : v ∉ S
⊢ v.valuation ↑↑x = 1
k : Type u
inst✝ : Field k
⊢ spanEval k ≠ ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : a ∈ closure s
⊢ IsLUB s a
d : ℕ
ds : List ℕ
p : HolorIndex (d :: ds) → Prop
t : HolorIndex (d :: ds)
⊢ (∀ (i : ℕ) (is : List ℕ) (h : ↑t = i :: is), p ⟨i :: is, ⋯⟩) → p t
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.542637
Bₘ : Type ?u.542640
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.leftAdjointUniq adj3).hom.app x
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ZetaAsymptotics.term_tsum s = 1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y : X
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal x (x ⊔ y) → JordanHolderLattice.Iso (x, x ⊔ y) (x ⊓ y, y)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc a b))
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
f : β → α
g : γ → α
h : ∀ {a : α}, HasSum f a ↔ HasSum g a
⊢ ∑' (b : β), f b = ∑' (c : γ), g c
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ (∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ((proj i).comp ((↑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜)).comp f')) t y) ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ ⇑(pullback.fst (Scheme.forgetToTop.map g) (Scheme.forgetToTop.map f)) '' (⇑(pullback.snd g.val.base f.val.base) ⁻¹' Set.univ) = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
i : ι
x : β i
⊢ DFinsupp.single i (-x) = -DFinsupp.single i x
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
⊢ ¬IsSuccLimit (toDual a) ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : Filter (α → β)
g₁ g₂ : Filter α
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ g₂
⊢ f₁.seq g₁ ≤ f₂.seq g₂
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
a b : k
ha : a ≠ 0
⊢ Int.fract (b / a) * a + ⌊b / a⌋ • a = b
s : String
p : Char → Bool
⊢ s.any p = true ↔ ∃ c, c ∈ s.data ∧ p c = true
α : Type u_1
Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'
⊢ -b = a' * b
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α
a : α
⊢ (∀ (i : Set α), i ∈ b ∧ a ∈ i → (i ∩ s).Nonempty) ↔ ∀ o ∈ b, a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
x : ℂ
⊢ -(cexp (-x * I) - cexp (x * I)) * I * 2⁻¹ = (cexp (id x * I) * (1 * I) + cexp (-id x * I) * (-1 * I)) * 2⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞
i : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x₀
hmn : m + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕜 m (iteratedFDeriv 𝕜 i f) x₀
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
s : Set X
hs : IsClosed s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s
⊢ s.Subsingleton
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_epi : Epi f
f_surj : Function.Surjective (Hom.toOrderHom f).toFun
⊢ y.len ≤ x.len
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun r b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r)
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : ∀ (n : ℕ), (s.get? n).Equiv (t.get? n)
⊢ s ~ʷ t
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥
⊢ ker B.flip = ⊥
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X
⊢ (f.app (op X) ≫ F.map g.op) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C a 0).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ eqToHom ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m * (n + 1)) = (a ^ m) ^ (n + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpi (F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f')))
J : Type w
f : J → AddCommGrp
⊢ (AddCommGrp.HasLimit.productLimitCone f).cone.π =
  CategoryTheory.Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.neg P = ![P x, -P y, 0]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : dist (ξ ^ k) 0 < 1
⊢ ‖ξ‖ < 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ Disjoint (Ioc b a ∪ Ioc c b) (Ioc a c)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
Hc : IsColimit c
j : Fin (n + 1)
⊢ mapPair (α.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => α.app { as := b.succ } ≫ c₁.inj b) ≫ c₂.ι = (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ })).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map i
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s ∈ 𝓝ˢ s
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
Field F
Field K₁
Field K₂
Algebra F K₁
Algebra F K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra E K₁
Algebra E K₂
IsScalarTower F E K₁
IsScalarTower F E K₂
Normal F E
x : E
⊢ (algebraMap E K₂) ((χ.restrictNormal E) x) = χ ((algebraMap E K₁) x)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x
⊢ f (A • B • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ ⟂ₘ μ
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.Relabelling y → x.birthday = y.birthday
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fderivWithin 𝕜 f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
n : ℕ
hn : ¬Disjoint s (cylinder x n)
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ x ∈ cylinder y n
α : Type u
β : Type v
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ (a, b) ∈ s ×ˢ t
x✝ y x : ℝ
⊢ π / 4 ≤ arcsin x ↔ √2 / 2 ≤ x
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
⊢ f ∣[k] A = ModularForm.slash k A f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
a b : X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
LinearOrder X
CompactIccSpace X
T2Space X
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f [[a, b]] μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
a : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
ha : a < ω
b : Ordinal.{u_1}
⊢ a * (ω * b) = ω * b
⊢ Set.InjOn Real.tan (Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u
a : m α
⊢ joinM (pure a) = a
α : Type u_2
s : Set α
⊢ (Filter.cofinite ⊓ 𝓟 s).NeBot ↔ s.Infinite
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : A
r : R
⊢ (algebraMap R S) r ∈ spectrum S a ↔ r ∈ spectrum R a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
T : F ⟶ G
X : C
Y Z : D
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj X).map f) ((T.app X).app Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((T.app X).app Y) ((G.obj X).map f)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
c : β i
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨i, c⟩
hj : ⟨i, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, c⟩.snd ∈ g ⟨i, c⟩.fst
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨i, c⟩)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a + b - a = b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : B ≤ 0
⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : s.topologicalClosure = ⊤
⊢ (Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure = ⊤
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1
⊢ ∃ B, B * A = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ ![((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q, ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.addY P Q, (u * v) ^ 2 * addZ P Q] = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : β → α
x : Filter β
a : α
⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.mulSupport f).Finite
n : ℕ
⊢ (∏ᶠ (i : α), f i) ^ n = ∏ᶠ (i : α), f i ^ n
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
⊢ (BilinForm.toMatrix b) ((Matrix.toBilin b) M) = M
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ x ∈ seminormFromBounded' f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ f ⁻¹' {0}
n m : Nat
h : n < m
⊢ n + 1 ≤ m
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
⊢ separableClosure F E ≤ L ↔ IsPurelyInseparable (↥L) E
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
⊢ φ.app P = F.map P.decompId_i ≫ φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ G.map P.decompId_p
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f : C(X, Y)
hf : P f
x : ↑I × X
⊢ (ContinuousMap.HomotopyWith.refl f hf) x = f x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ≤ -↑r
⊢ ↑q ≤ ↑r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
K : Type z
inst✝¹ : Category.{z', z} K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
F : K ⥤ Sheaf J D
E : Cone (F ⋙ sheafToPresheaf J D)
hE : IsLimit E
⊢ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork E.pt))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
s : 𝕜 → 𝕜
U : Set 𝕜
⊢ MeromorphicOn s⁻¹ U ↔ MeromorphicOn s U
R : Type u_2
Ring R
⊢ ⊤.unop = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
⊢ Memℒp (f - g) p μ
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction M S
f : R →+*[M] S
m : M
x : R
⊢ f (m • x) = m • f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑(f.extend I) = ↑I ∘ ↑f
R : Type u
Field R
x : R
⊢ ¬Irreducible (Polynomial.C x)
op : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a o : Ordinal.{u_1}
hao : a < o
ho : Ordinal.Principal op o
n : ℕ
⊢ (op a)^[n] a < o
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
f : M →* P
x y : M
⊢ (Con.ker f) x y ↔ f x = f y