ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).numDenom = (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q), C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ
⊢ Integrable (fun x => f x * g (x + t • -v)) μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableEmbedding id
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : ι → Type u_6
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) μ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
SemilatticeSup β
NoMaxOrder β
Nonempty β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : β → ℕ
hf : Function.Injective f
⊢ CauchySeq (u ∘ f)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
m : z ∈ {z | z ≠ 0}
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => z⁻¹) z
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
r : ℝ
hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r
A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r
⊢ ∀ x ∈ range (optimalGHInjr X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjl X Y), dist x y ≤ r
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = MeasureTheory.setToFun μ (MeasureTheory.weightedSMul μ) ⋯ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
A B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject 0 = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ ⇑h.toEquiv = ⇑h
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid α
Monoid β
s : Set α
t : Set β
hs : ThreeGPFree s
ht : ThreeGPFree t
⊢ ThreeGPFree (s ×ˢ t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.leftDistributor X f).hom =
  ∑ j : J,
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j))
      (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j)
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I * I⁻¹ = 1 ↔ ∃ J, I * J = 1
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ Function.Injective (Fin.castLE hmn)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.nil.append s = s
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : RankCondition R
J : Set M
v : Basis ι R M
hJ : span R J = ⊤
⊢ #↑(range ⇑v) ≤ #↑J
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ 0 ≤ a / b ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
VAdd M X
ts' : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), ContinuousVAdd M X
⊢ ContinuousVAdd M X
α : Type u_1
⊢ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet.symm = Topology.WithUpperSet.toUpperSet
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀
⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
⊢ ∫ (b : β), g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫ (b : β), g b ∂κ a else ∫ (b : β), g b ∂η a
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝¹ : NeZero (m * n)
this✝ : NeZero m
this : NeZero n
⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ 0 - a + b = b - a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
h : IsIntegralCurveOn γ v s
h' : IsIntegralCurveOn γ v s'
⊢ IsIntegralCurveOn γ v (s ∪ s')
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S
⊢ g a = (IsAdjoinRoot.lift i x hx h) a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q / r) = padicNorm p q / padicNorm p r
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0
x : F
hf : C x = f
⊢ False
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
⊢ ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
v : E
h : v ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ Zspan.fract b (v + m) = Zspan.fract b m
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α ≃ β
h₁ : UniformContinuous ⇑f
h₂ : UniformContinuous ⇑f.symm
⊢ UniformEmbedding ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
f : Y → Z
⊢ (Inducing fun x' => (x, f x')) ↔ Inducing f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
K : Type u_2
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.whiskerEquiv e w).inv =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.map' ⇑e.symm fun k => CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (w (e.symm k)).hom
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ f.comp LieHom.id = f
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ 3 < π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | f w = r}
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
⊢ ∀ b ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support, n ≤ b
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
neq : p ≠ q
⊢ padicValNat p q = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s < ⊤ → ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫ (a : α) in s, g a ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
⊢ ContinuousLinearMap.adjoint (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
n : Nat
⊢ x✝.nextn (n + 1) { byteIdx := utf8Len m } = { byteIdx := utf8Len m }
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
this : ∀ (j : ι), {ω | τ ω = i} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | τ ω = i} ∩ {_ω | i ≤ j}
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i})
U : Type u_1
Quiver U
u v v' w : U
p : Quiver.Path u v
p' : Quiver.Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ Quiver.Hom.cast ⋯ ⋯ e = e'
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X : Set α
M : Matroid α
B : Set α
h : B ⊆ M.E
⊢ M✶✶.Base B ↔ M.Base B
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x + b * a.y = 1 ∧ a.x - b * a.y = 1 ∨ a.x + b * a.y = -1 ∧ a.x - b * a.y = -1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Unique αˣ
M : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p q : M
pp : Prime p
qp : Prime q
⊢ p ∣ q ↔ p = q
α : Type u_1
n m : ℕ
l : List α
⊢ (List.dropSlice n m l).Sublist l
x : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m - x)
⊢ Irrational x
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ Subgroup.IsComplement Set.univ {g}
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
A : Type u_2
StarRing R
ContinuousStar R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A
h : φ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X) = ψ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X)
⊢ (polynomialFunctions s).starClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
x : Nat
⊢ x < 1 ↔ x = 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : Semiring C
inst✝⁶ : Algebra R C
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S C
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S C
f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
ha : f.comp includeLeft = g.comp includeLeft
hb : (AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight = (AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight
⊢ f.toLinearMap = g.toLinearMap
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : R
_hx : x ∈ ↑(I ^ n)
b : R
hb : b ∈ ↑(I ^ n)
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x b ∈ ↑(I ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
h✝ : f.NeBot
h₁ : autoParam (∀ i ∈ ∅, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ ∅, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
⊢ limsup (fun a => ∅.sup fun i => F i a) f = ∅.sup fun i => limsup (F i) f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → β
⊢ ⨅ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⨅ i ∈ s, ⨅ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
⊢ v ᵥ* (Aᴴ * A) = 0 ↔ v ᵥ* Aᴴ = 0
⊢ (bif true then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = Num.pos 1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
⊢ f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
hK : CategoryTheory.Limits.IsLimit K
T : C
k : (a : I.L) → T ⟶ I.left a
hk :
  ∀ (b : I.R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (k (I.fstTo b)) (I.fst b) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (k (I.sndTo b)) (I.snd b)
a : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multifork.IsLimit.lift hK k hk) (K.ι a) = k a
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (f ⊔ g) p μ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, Polynomial.eval x f = Polynomial.eval x g
⊢ f = g
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y : Action V G
f : X ⟶ Y
Z : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.hom Z.V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.op.X₃ = Opposite.op S.X₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
this : CompactSpace ↑s
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
H : Type u_2
Group H
f g : G →* H
h : ∀ (a : IsFreeGroup.Generators G), f (IsFreeGroup.of a) = g (IsFreeGroup.of a)
⊢ f = g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
⊢ ∀ (f g : Arrow C), (f ≅ g) → P f.hom → P g.hom
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
e : α → β
p : β → Prop
he : DenseRange e
hp : IsClosed {x | p x}
h : ∀ (a : α), p (e a)
b : β
⊢ p b
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).toList.prod = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
hf : Summable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
o : Part α
a : α
h : o.Dom
⊢ a = o.get h ↔ a ∈ o
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
q : Polynomial R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun a => Polynomial.eval a q) '' spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (Polynomial.eval x q)) a = cfc f ((Polynomial.aeval a) q)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : (Polynomial.aeval x) q = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) (p %ₘ q) = (Polynomial.aeval x) p
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (s \ {a}).ncard + 1 = s.ncard
n d : ℕ
⊢ ⟨Rat.divInt ↑n ↑d, ⋯⟩ = NNRat.divNat n d
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ ↑(CentroidHom.id α) = AddMonoidHom.id α
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
⊢ p.comp 0 = 0
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S
⊢ (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) = fun i => (f i) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).reindex e.symm = s
E : Type u_6
SeminormedGroup E
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a / x‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
x : ℝ
r : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ^ (r / 2) = √x ^ r
R : Type u_4
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
w : Set M
x : ↥(Submodule.span R w)
⊢ Span.repr R w x = ⋯.choose
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Monoid S
DistribMulAction S R
IsScalarTower S R R
s : S
p q : R[X]
⊢ (s • p).comp q = s • p.comp q
o a : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ a < o → Order.succ a < o
z : ℂ
⊢ abs (cexp z) = Real.exp z.re
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ (f.extend I).target = ↑I '' f.target
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ upperClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ upperClosure ↑s
⊢ (if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊥) = if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ e a) (map e.toEmbedding s)).inf' ⋯ id else ⊥
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
τ : (const J).obj (op X) ⟶ F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ Quiver.Hom.op ((F ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => (τ.app j).unop) j)) = ((fun j => (τ.app j).unop) j').op
x : ℤ[i]
⊢ (Zsqrtd.norm x).natAbs = x.re.natAbs * x.re.natAbs + x.im.natAbs * x.im.natAbs
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m
⊢ ∀ (a : Option α), (match a with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = pure (Option.map f a)
x : ℝ
h1 : 0 ≤ 0
h2 : 0 < π / 2
⊢ 0 ≤ tan 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
OpensMeasurableSpace X
hs : IsClosed s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.comap id ⋯) a) s✝ = (κ a) s✝
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
hx : x ∈ C0 C ho
i : I
⊢ o ≤ ord I i → false = x i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
hT : DominatedFinMeasAdditive 0 T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ 0 s = 0
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
g : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
j : ι
⊢ ((prevD j) fun i j => f.f i ≫ g i j) = f.f j ≫ (prevD j) g
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ x < Real.sin x
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
E : Type u_5
Zero E
MulActionWithZero G₀ E
TopologicalSpace E
T1Space E
ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Equation (WeierstrassCurve.map W f) (f x) (f y)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
UniformSpace δ
h₁ : α ≃ᵤ β
h₂ : γ ≃ᵤ δ
⊢ ⇑(h₁.prodCongr h₂) = Prod.map ⇑h₁ ⇑h₂
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
⊢ n.centralBinom = ∏ p ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
UniqueFactorizationMonoid N
UniqueFactorizationMonoid M
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ multiplicity p m ≤ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Finset X
⊢ dimH ↑s = 0
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f x = 0 ↔ x = 0