ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ
⊢ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ dist x (f x) * ↑K ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x✝ : M
⊢ ((ofDirectSum.comp toDirectSum).toLinearMap ∘ₗ ι R) x✝ = ((AlgHom.id R (TensorAlgebra R M)).toLinearMap ∘ₗ ι R) x✝
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
⊢ ((L.commShiftIso c).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (SmallHom.comp f (g.shift a c h))) = ((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D a).map (((L.commShiftIso b).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) g)) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
α : Type u_1
s : Set α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
⊢ s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) volume
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (shortComplexOfDistTriangle ((shiftFunctor (Triangle C) n₀).obj T) ⋯).map F ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e✝ : Sym2 V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
s : Finset (Sym2 V)
inst✝ : Fintype ↑(G.deleteEdges ↑s).edgeSet
e : Sym2 V
⊢ e ∈ (G.deleteEdges ↑s).edgeFinset ↔ e ∈ G.edgeFinset \ s
α : Type u_1
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
⊢ s ≤ t ↔ s = t
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Monotone Finset.offDiag
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toSupHom := { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_sup' := ⋯ }, map_inf' := ⋯ } =
  { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) ≤ μ s + μ t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌊a⌋₊ = ⌊a⌋
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
r : R
hr : r ∈ I.leadingCoeffNth m
⊢ r ∈ I.leadingCoeffNth n
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) = fun i => (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) i z
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
i : (Quotient.out o).α
⊢ (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday = typein (fun x x_1 => x < x_1) i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ Measurable (MeasureTheory.spanningSetsIndex μ)
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R✝ → R✝ → Prop
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a : R
⊢ RingQuot.neg r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (-a) }
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hp : 0 ≠ 0
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0
⊢ False
α : Type u_1
R : α → α → Prop
a : α
⊢ List.Pairwise R [a]
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
s : S
SMul R M
SMul R S
SMul S M
IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
⊢ IsSMulRegular M s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
hI : IsFractional S I
⊢ ↑⟨I, hI⟩ = I
n : ℕ
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin n) → p i) → τ
⊢ (Function.FromTypes.curry f).uncurry = f
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
f : A₁ ≃ₐ[R] A₂
g : A₂ ≃ₐ[R] A₃
⊢ (f.trans g).toLinearMap = g.toLinearMap ∘ₗ f.toLinearMap
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ StronglyMeasurable (uncurry u)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s✝ : Set α
⊢ s✝ ∈ ae (c • μ) ↔ s✝ ∈ ae μ
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
T : Ideal R
x : R
hST : S ≤ T
hxS : x ∉ S
hxT : x ∈ T
z : R
hz : generator S = generator T * z
⊢ 1 ∈ T
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
IsDedekindDomain S
p.IsMaximal
P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : Ideal.ramificationIdx f p P ≠ 0
⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ Ideal.ramificationIdx f p P) = Ideal.ramificationIdx f p P • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
z : ℤ
x : 𝔸
⊢ exp 𝕂 (z • x) = exp 𝕂 x ^ z
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b
⊢ ofReal (↑(c • f) b - ↑(c • f) a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
⊢ ∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ X → B = J
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hxU : x ∈ U
⊢ hU.fromSpecStalk hxU = X.fromSpecStalk x
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b r r' s t s' t' : R
p : EuclideanDomain.P a b (r, s, t)
p' : EuclideanDomain.P a b (r', s', t')
⊢ EuclideanDomain.P a b (xgcdAux r s t r' s' t')
R : Type u
a : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a).degree ≤ 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₁} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRight L r).map f).left = f.left
α : Type u_1
DivisionMonoid α
u : αˣ
n : ℤ
⊢ ↑(u ^ n) = ↑u ^ n
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (x : G), ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) * (f x / ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s)) ∂μ' = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
⊢ ⋃ i, s i = ∅ ↔ ∀ (i : ι), s i = ∅
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₂.HasRightHomology
α : Type u
s : Finset α
⊢ ⋯.toFinset = s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l
⊢ ∃ o' < o, isGood (π C fun x => ord I x < o') l
α : Type u_9
β : Type u_10
DivisionSemiring α
NeZero 2
Lattice β
AddCommGroup β
Module α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊔ y = 2⁻¹ • (x + y + |y - x|)
R : Type u
CommRing R
X Y Z : AlgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).map (α_ X Y Z).hom =
  (α_ ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj X)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Y)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Z)).hom
R : Type u
CommSemiring R
x y : PrimeSpectrum R
⊢ x ≤ y ↔ x ⤳ y
b : ℕ
l1 l2 : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b (l1 ++ l2) = Nat.ofDigits b l1 + b ^ l1.length * Nat.ofDigits b l2
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
⊢ ¬IsUnit p
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Affine.Simplex.circumsphere t =
  {
    center :=
      ((∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)).tan⁻¹ / 2) •
          (EuclideanGeometry.o.rotation ↑(π / 2)) (t.points i₃ -ᵥ t.points i₁) +ᵥ
        midpoint ℝ (t.points i₁) (t.points i₃),
    radius := dist (t.points i₁) (t.points i₃) / |(∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)).sin| / 2 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
e : α ≃ β
⊢ map (⇑e) univ.val = univ.val
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
α : Type u_4
SMul α X
IsometricSMul α X
d : ℝ
c : α
h : 0 ≤ d ∨ Function.Surjective fun x => c • x
s : Set X
⊢ μH[d] (c • s) = μH[d] s
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
ha : 0 < a
⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc G'' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f
R : Type u
CommSemiring R
f : R
⊢ IsCompact ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ σ (MulOpposite.op x) • f 1 = g (MulOpposite.op x • 1)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
⊢ ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.val ⩿ t.val ↔ s ⩿ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n (Prod.map f g)
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₁
Module A M₁
SMulCommClass R A M₁
IsScalarTower R A M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ ((QuadraticForm.tensorDistrib R A) (Q₁ ⊗ₜ[R] Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = Q₂ m₂ • Q₁ m₁
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
⊢ (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : R
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ ((k • z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ ProperSMul ?convert_1 X
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M.dualIndepMatroid.Indep I = (I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
G.IsEquivalence
e : L.comp G ≅ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
F' : CategoryTheory.Functor D' H
α : L'.comp F' ⟶ F
⊢ F'.IsRightKanExtension α ↔
  (G.comp F').IsRightKanExtension
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.associator G F').inv
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight e.hom F') α))
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
⊢ Ideal.span {r} = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
⊢ map (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm) (f ×ˢ g ×ˢ h) = (f ×ˢ g) ×ˢ h
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s
⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ ↑V
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1
⊢ p.natDegree = (p * 1).natDegree
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
⊢ frontier (Set.univ ×ˢ s) = Set.univ ×ˢ frontier s
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ Associated p q
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ (∃ a_1, (a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∈ a_1) ∧ a_1.erase a = s) → insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i => f i ^ p
hg_sum : Summable fun i => g i ^ q
⊢ Summable fun i => f i * g i
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ log b < 0
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
l : List α
⊢ [] ∪ l = l
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
a : A
⊢ L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ K₂.map (L₄.map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a)) = L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ (δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ (L₄ ⋙ K₂).map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a))
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖p x - p y‖ ≤ p (x - y)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f
⊢ Filter.map f (𝓝[≠] x) ≤ 𝓝[≠] f x
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x y : EReal
⊢ P x y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
r : ℝ
hr₀ : 1 < r
hr₁ : r < l
⊢ ¬Summable f
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
p : γ → Prop
⊢ (∀ z ∈ Set.image2 f s t, p z) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, p (f x y)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ IsNormalAddSubgroup Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s = interior s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
R : Type u_2
Ring R
S : Set (Subring R)
⊢ (sInf S).op = sInf (Subring.unop ⁻¹' S)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
c : γ
hc : c ∈ u
⊢ g' (f₁ a b) (f₂ a c) ∈ image2 g' (image2 f₁ s t) (image2 f₂ s u)
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h h' : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ b = b
z : ℂ
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(circle.ofConjDivSelf z hz) = (starRingEnd ℂ) z / z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (s / t) = Finset.image (⇑f) s / Finset.image (⇑f) t
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
DivisionRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 = fun x => ∑' (n : ℕ), x ^ n / ↑n.factorial
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n m : ℕ
hm : n ≤ m
e : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂)
⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁)) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂))
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α}, Bornology.IsCobounded Set.univ
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
CommRing R
CommRing S
FunLike F R[X] S[X]
MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰
⊢ (RatFunc.map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S S' : D
Y : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S' ⟶ T.obj Y
g : S ⟶ S'
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.map g).obj (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f) =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ UpperSet.Ici a ×ˢ UpperSet.Ici b = UpperSet.Ici (a, b)