ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this✝ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j
this : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right
⊢ f₁ = f₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ↑(CochainComplex.HomComplex.Cocycle.diff K) = CochainComplex.HomComplex.Cochain.diff K
α : Type u_1
G : Type u_4
s : Set α
DivisionCommMonoid G
f : α → G
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (x : α) (_ : x ∈ s), (f x)⁻¹ = (∏ᶠ (x : α) (_ : x ∈ s), f x)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
R θ : ℝ
⊢ Complex.abs (circleMap 0 R θ) = |R|
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ ((T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2) ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ (G.incidenceFinset v).card = G.degree v
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
⊢ IsMax ⊤
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
⊢ ↑((Subgroup.MemRightTransversals.toEquiv ⋯) q) = f q
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
⊢ AddValuation.supp (Valuation.onQuot v ⋯) = 0
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
⊢ n < n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
⊢ (e X' Y) ((e X' Y).symm (f ≫ g)) = (e X' Y) ((e X' Y).symm ((f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X))) ≫ G.map ((e X Y).symm g)))
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
⊢ p.natTrailingDegree + n ≤ (p * X ^ n).natTrailingDegree
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) * gaussSum χ ψ = χ (↑p ^ n) * gaussSum χ ψ
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
a : α
⊢ IsCoatom {a}ᶜ
α : Type u_1
Fintype α
f : α → ENNReal
h : ∑ a : α, f a = 1
a : α
⊢ (PMF.ofFintype f h) a = f a
α : Type u_1
l : List α
⊢ Multiset.card ↑l = l.length
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : ↥K
⊢ ↑((orthogonalProjection K) ↑v) = ↑v
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a⁻¹ * a * a = a
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J K : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ Function.Surjective (Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C h)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0
g : α → ℝ≥0∞
hgf : g ≤ f
hg_meas : Measurable g
hgsupp : μ (support g) < ⊤
hgε : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ε < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α) in (support g)ᶜ, f a ∂μ < ε
n : Nat
⊢ n ≠ 0 → n - 1 < n
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f - g).neLocus f = g.support
α : Type u_1
x y : α
hne : x ≠ y
⊢ {x, y}.encard = 2
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Bijective ⇑f
x y : L₁
⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
a : β
l : List α
L : List (List α)
⊢ foldr f a (l :: L).join = foldr (fun l b => foldr f b l) a (l :: L)
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
⊢ ↑(m * n) < ω
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.Faithful
X Y : C
⊢ Function.Injective F.map
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝
⊢ (cons x✝¹ x✝).getVert 1 = (cons x✝¹ x✝).sndOfNotNil ⋯
a b : ℕ+
⊢ (Ioc a b).card = (Ioc ↑a ↑b).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s
t : Set γ
ht : IsOpen t
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' t ∩ s)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0
⊢ logDeriv (fun z => f z * a) x = logDeriv f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.End X
⊢ α.conj f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.inv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f α.hom)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∑ x ∈ s, f (σ x) = ∑ x ∈ s, f x
G : Type u_1
Group G
⊢ Subgroup.centralizer Set.univ = Subgroup.center G
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α ↪ β
s₁ s₂ : Finset α
⊢ Finset.map f (s₁ ∪ s₂) = Finset.map f s₁ ∪ Finset.map f s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Ioc ↑a ↑b
⊢ p x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ o.oangle (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.eval 1 (Polynomial.cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₂ →L[𝕜] F₃
x : M
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n f x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n (fun y => ContinuousLinearMap.postcomp F₁ (f y)) x
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
l : List α
⊢ List.mapM' f l = List.mapM f l
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
W : Type u_3
Quiver W
F : U ⥤q V
G : V ⥤q W
⊢ ∀ {X Y : U} (f : X ⟶ Y), (F ⋙q G).map f = G.map (F.map f)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
DivisionSemiring S
Module S M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffAverage R f g n x = birkhoffAverage S f g n x
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
h : m ≤ n
⊢ (contDiffPregroupoid n I).groupoid ≤ (contDiffPregroupoid m I).groupoid
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
a : α
b : β
⊢ (BoundedContinuousFunction.const α b) a = b
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ ⇑(Finsupp.filter p f) = {x | p x}.indicator ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
⊢ range f = s ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s) ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
α : Type u_1
P Q : RegularExpression α
⊢ (P * Q).matches' = P.matches' * Q.matches'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ lift' f (mk a) = f a
m : Type u_1
R : Type u_3
Fintype m
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosDef
⊢ (A + B).PosDef
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ SupIrred (Iic a)
k m n : Nat
h : k ∣ n
⊢ k ∣ m ↔ k ∣ m + n
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) (f + g)) x✝ = ((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) f + (fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) g) x✝
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C₁
inst✝⁴ : Preadditive C₂
inst✝³ : Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F
a b : ℤ
⊢ (𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
WellFoundedGT α
a : α
⊢ ∃ s, s.inf id = a ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → InfIrred b
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
l : L
⊢ 2 < Configuration.pointCount P l
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • v ∈ U
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Epi S₁.g
⊢ Epi (S₁.g ≫ e.hom.τ₃)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X
⊢ ∀ (j : (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
Bot β
f : BotHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
⊢ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
R S : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
StrongRankCondition R
StrongRankCondition S
Module S M
Module S M₁
Module.Free S M₁
Algebra S R
Module R M
IsScalarTower S R M
Module.Free R M
⊢ Module.rank R (TensorProduct S M M₁) = Module.rank R M * Module.rank S M₁
s₁ s₂ s₃ : String
⊢ s₁ ++ s₂ ++ s₃ = s₁ ++ (s₂ ++ s₃)
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set ℝ
p q : ℝ → ℝ
hp : MonotoneOn p s
hq : MonotoneOn q s
h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (p - q) s x
F : Type u_1
Field F
n : ℕ
⊢ IsSolvable (Polynomial.X ^ n).Gal
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x
hmem : ∀ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * ↑x).valMinAbs.natAbs ∈ Ico 1 (p / 2).succ
hsurj : ∀ b ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ∃ x, ∃ (_ : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ), (a * ↑x).valMinAbs.natAbs = b
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
x : AdjoinRoot g
⊢ (pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) x) = x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
δ ε₁ ε₂ : 𝕜
hε : ε₁ ≤ ε₂
⊢ SimpleGraph.regularityReduced P G ε₁ δ ≤ SimpleGraph.regularityReduced P G ε₂ δ
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
self : Pretrivialization F proj
⊢ self.source = proj ⁻¹' self.baseSet
M : Type u_4
AddCommMonoid M
s : Set M
⊢ (Submodule.span ℕ s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure s
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : U.Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re
⊢ ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (-(s + (1 - ↑x)).re + s.re)
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
h : ∀ a ∈ q, ∀ b ∈ q, f a = f b
a : α
aq : a ∈ q
⊢ q.liftOn f h = f a
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
f27 : φ 27 = 27
⊢ (φ P.a * -(x + y + z)) ^ 2 * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) ^ 2 - 4 * φ P.a * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) ^ 3 - 4 * (φ P.a * -(x + y + z)) ^ 3 * (φ P.a * -(x * y * z)) - 27 * φ P.a ^ 2 * (φ P.a * -(x * y * z)) ^ 2 + 18 * φ P.a * (φ P.a * -(x + y + z)) * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) * (φ P.a * -(x * y * z)) = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.fst = prod.fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪(adjointAux A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
M N : Matrix m n R
⊢ (M + N).mulVecLin = M.mulVecLin + N.mulVecLin
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree
⊢ p = C (p.coeff 0)
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c d : α
h : sbtw a b c
⊢ sbtw b d c → sbtw a d c
R : Type u_1
M : Type u_2
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
StarAddMonoid M
n : ℕ
x : M
⊢ star ((↑n)⁻¹ • x) = (↑n)⁻¹ • star x
R : Type u_1
Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ n).smeval r = Polynomial.eval r (ascPochhammer R n)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
this : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u) \ v ∈ 𝒜
⊢ insert w s ∈ 𝒜
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧
m : ℕ
⊢ (trunc n (↑(trunc n f) * g)).coeff m = (trunc n (f * g)).coeff m
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (s • t).Nonempty → t.Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
CategoryTheory.Limits.HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₁ (E.f i₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₂ (E.f i₂)
⊢ E.sieve₁ p₁ p₂ = CategoryTheory.Sieve.pullback (CategoryTheory.Limits.pullback.lift p₁ p₂ w) (E.sieve₁' i₁ i₂)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
⊢ p.prod ≤ q.prod ↔ p ≤ q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_4)
hP : CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P
X B : C
π : X ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpi π
CategoryTheory.Limits.HasPullback π π
⊢ Function.Bijective
  (CategoryTheory.regularTopology.MapToEqualizer P π (CategoryTheory.Limits.pullback.fst π π)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd π π) ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
⊢ ⨅ i, (bif i then f else g).lift' s = ⨅ b, bif b then f.lift' s else g.lift' s
θ : Angle
⊢ θ.toReal = π ↔ θ = ↑π
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
n : ℕ
⊢ v.intValuationDef r ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑n)) ↔ v.asIdeal ^ n ∣ Ideal.span {r}
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
⊢ NonUnitalRingHom.srange (NonUnitalRingHom.snd R S) = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a c : R
⊢ ∃ c_1, f a * c_1 = f (a * c) ∨ f (a * c) * c_1 = f a
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
⊢ d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
c : NNReal
⊢ ‖x‖₊ ≤ c ↔ max ↑(x 0).natAbs ↑(x 1).natAbs ≤ c
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
⊢ ∃ M, p ∈ T.realizedTypes (↑M) α
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.gcd n = 1
⊢ m.gcd n ∣ 1