ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
self : μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
⊢ IsOpen U → U.Nonempty → μ U ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma % mb ∈ a % b
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ Finset.filter (fun a => k ≤ a.2) (Finset.antidiagonal n) =
  Finset.map ((Function.Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }) (Finset.antidiagonal (n - k))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.center R L
y : L
⊢ Commute ((toEnd R L M) x) ((toEnd R L M) y)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : E), (MeasureTheory.pdf X ℙ μ x).toReal • f x ∂μ = ∫ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
⊢ IsUnit P
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
⊢ U ≤ ⨆ i, Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f i)) ⊓ U
α : Type u_4
β : Type u_5
⊢ IsEmpty (α ⊕ β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ μ s < ⊤
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ Disjoint s ↑(lowerClosure t) ↔ Disjoint s t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₂, p₃}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
a : M
f : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
⊢ f.comp (CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)) ⋯ = f
M : Type u_4
AddCommGroup M
R : Type u_6
CommRing R
Module R M
IsSemisimpleModule R M
⊢ (Module.annihilator R M).IsRadical
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set 𝕜
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑(f ⊔ g)
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (f * g) μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ[f * g|m] =ᵐ[μ] f * μ[g|m]
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
⊢ IsPGroup (Nat.card ↥N).minFac ↥N
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
Field F
Field K₁
Field K₂
Field K₃
Algebra F K₁
Algebra F K₂
Algebra F K₃
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra E K₁
Algebra E K₂
Algebra E K₃
IsScalarTower F E K₁
IsScalarTower F E K₂
IsScalarTower F E K₃
Normal F E
⊢ (χ.trans ω).restrictNormal E = (χ.restrictNormal E).trans (ω.restrictNormal E)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d
d' : ℝ≥0
hsd' : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d'
hd'd : ↑d' < ↑d
⊢ μH[↑d] s = 0
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
⊢ a < min b c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
⊢ a * b ~ᵤ c * d → b ~ᵤ d → b ≠ 0 → a ~ᵤ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
⊢ s.prod = 0
R : Type u_2
Add R
MulOneClass R
c : RingCon R
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
ih : ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)
⊢ ↑((insert i s).inf p) = ⋂ i_1 ∈ insert i s, ↑(p i_1)
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : P f
U : ↑Y.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ dimH s = ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
⊢ { re := -(↑d * ↑y), im := ↑x }.Nonneg
α : Type u_1
⊢ Symmetric Equiv.Perm.Disjoint
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
h : (1 - ↑n).smeval r = 1 - ↑n
⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
t a : α
ts : List α
ih : permutations'Aux t ts = (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2
⊢ permutations'Aux t (a :: ts) = (permutationsAux2 t [] [a :: ts ++ [t]] (a :: ts) id).2
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
a : L
h : Polynomial.map i f = Polynomial.C a
⊢ Polynomial.Splits i f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
a' : R
J' : Ideal R
ha' : a' ≠ 0
haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'
ha'_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a'}) ≠ 0
hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0
h_prod : I * I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (a * a'))⁻¹ * ↑(J * J')
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
α : Type u_1
f : α → ℝ
l : Filter α
x : ℝ
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => √(f x)) l (𝓝 √x)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
e : ι ≃ ι₂
f : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.reindex R s e) ((PiTensorProduct.tprod R) f) = (PiTensorProduct.tprod R) fun i => f (e.symm i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 ≤ 0 ↔ x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
⊢ x ∈ S.toConvexCone ↔ x ∈ S
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
⊢ (f + g).lintegral μ = f.lintegral μ + g.lintegral μ
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
⊢ o.IsLimit → Ordinal.derivFamily f o = o.bsup fun a x => Ordinal.derivFamily f a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y
w : ∀ (j : J), X ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j ≫ h
j✝ : J
⊢ X ◁ biproduct.ι f j✝ ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j✝ ≫ h
L : FirstOrder.Language
M : Type w'
L.Structure M
Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
i : ι
⊢ ((finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = p i ⊗ₜ[R] n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β
⊢ IsUpperSet (⇑f '' s)
q : ℕ+
x y : LucasLehmer.X q
⊢ (x * y).2 = x.1 * y.2 + x.2 * y.1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F Z)
(b : M) → TopologicalSpace (Z b)
(b : M) → AddCommMonoid (Z b)
(b : M) → Module 𝕜 (Z b)
FiberBundle F Z
VectorBundle 𝕜 F Z
SmoothVectorBundle F Z I
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (I.prod 𝓘(𝕜, F)) e.toPartialHomeomorph
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ‖1‖ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ ∑ x_1 : { s // s.card = n }, ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x_1 ⋯) fun x_2 => x) (Fin.snoc ![] x) = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x
p q : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable p} {x_1 : Decidable q}, decide p = decide q ↔ (p ↔ q)
G : Type u_1
AddGroup G
IsAddKleinFour G
x y z : G
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ y
hz : z ≠ 0
hzx : z ≠ x
hzy : z ≠ y
⊢ z = x + y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
⊢ Submartingale (f + -g) ℱ μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
T : ι' → Set (Set X)
hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t
hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable
hTs : ∀ (i : ι'), (fun i => ⋂₀ T i) i = ⋂₀ T i
⊢ IsGδ (⋂ i, (fun i => ⋂₀ T i) i)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
x : K[X]
⊢ RatFunc.mk x 1 = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ (f.map hy k) (f.mk' x y) = k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
⊢ weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
this✝ : Function.RightInverse (fun f => ofFn f.snd) fun l => ⟨l.length, l.get⟩
this : cast ⋯ (h ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.fst ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.snd) = h ⟨n, f⟩.fst ⟨n, f⟩.snd
⊢ ofFnRec h (ofFn f) = h n f
M : Type u_6
N : Type u_7
F : Type u_8
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
TopologicalSpace N
ContinuousMul N
f : F
⊢ ContinuousMul M
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
t : Finset β
⊢ ∅ +ᵥ t = ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ Filter.comap SeparationQuotient.mk (𝓝ˢ t) = 𝓝ˢ (SeparationQuotient.mk ⁻¹' t)
R : Type u
inst₁ inst₂ : Ring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h₁ : toSemiring = toSemiring
h₂ : toNonAssocRing = toNonAssocRing
h₃ : AddGroup.toSubNegMonoid = AddGroup.toSubNegMonoid
⊢ inst₁ = inst₂
α✝ : Sort u_1
x₁ x₂ : α✝
⊢ x₁ = x₂ ↔ x₁ = x₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
⊢ ((b.repr m).sum fun i a => a • b i) ∈ span R (range ⇑b)
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
⊢ n ≤ sInf {m | p (m - n)}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
NormedCommRing A'
NormedAlgebra 𝕜 A'
DecidableEq ι
NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
  ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
hst : (s - t).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s - t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ - t.rnDeriv μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v p q hpq = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Iic b
⊢ projIic b ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : Filter α
h : μ ≤ ν
⊢ ν.FiniteAtFilter f → μ.FiniteAtFilter f
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).obj F).g =
  CategoryTheory.whiskerLeft F CategoryTheory.ShortComplex.π₂Toπ₃
ι : Type u_3
α : Type u_4
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
f : ι → α
h_mono : Antitone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atBot ∨ ∃ l, Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
hno : s.Nodup
⊢ s ≤ t.dedup ↔ s ≤ t
Y : Type v
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
l : Filter Y
f : Y → (i : ι) → π i
x : (i : ι) → π i
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
i : ι
⊢ Filter.Tendsto (fun a => f a i) l (𝓝 (x i))
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖∑' (b : ℕ), 2 * ↑b * Real.sin (2 * π * a * ↑b) * rexp (-π * ↑b ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ CategoryTheory.Subgroupoid.discrete.arrows c d ↔ ∃ (h : c = d), f = CategoryTheory.eqToHom h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
r : ℤ
α : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ G.a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ Symmetric fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
m_mono : ∀ ⦃t : Set α⦄, s ⊆ t → m s ≤ m t
m_subadd : ∀ (s : ℕ → Set α), m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (s i)
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = m s
B : Type u_3
S : B
ι : Type u_4
M : Type u_5
AddCommMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
f : ι → ↥S
s : Finset ι
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).degree <
  4
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ Real.arccos (Set.Ici x) x ↔ x ≠ -1
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min a b < c ↔ a < c ∨ b < c
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hlc : p.leadingCoeff ≠ q.leadingCoeff
h : p.degree = (-q).degree
⊢ (p - q).leadingCoeff = p.leadingCoeff - q.leadingCoeff
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
⊢ x ∈ s → HasFDerivAt g (g' x) x
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a x : α
⊢ (OrderIso.mulLeft a) x = a * x
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c + 1 = c
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ edgeDensity r s₁ t₁ - edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t = t ↔ t ⊆ s
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trList ((n + 1) :: v)) [] c d } (Nat.rec { l := some q₁, var := none, stk := elim (trList ((n + 1) :: v).tail) [] c d } (fun n_1 x => { l := some q₂, var := none, stk := elim (trList (n_1 :: ((n + 1) :: v).tail)) [] c d }) ((n + 1) :: v).headI)
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 0 < Real.log (-↑n)
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ 1 < 1 + 1
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
s : σ
⊢ Computable fun x => s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
IH : derivative (nodal t v) = ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v
⊢ derivative (nodal (insert i t) v) = ∑ i_1 ∈ insert i t, nodal ((insert i t).erase i_1) v
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
Zero β
s : Set α
c : β
hc : c ≠ 0
⊢ Filter.EventuallyConst (s.indicator fun x => c) l ↔ Filter.EventuallyConst s l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
h_meas : Measurable (Function.uncurry fun a b => ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s})
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
e : ι → κ
he : Function.Injective e
f : ι → α
g : κ → α
h' : ∀ i ∉ Set.range e, g i = 0
h : ∀ (i : ι), f i = g (e i)
⊢ ∑ i : ι, f i = ∑ j : κ, g j
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a \ Set.Ioi b = Set.Ioc a b
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
z : L
hz : IsPrimitiveRoot z ↑n
⊢ Splits (RingHom.id L) (X ^ ↑n - 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
b : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.left b) I.fstSigmaMap =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst b) (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.right (I.fstFrom b))
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
h : IsAssociatedPrime I M
⊢ ⊤.annihilator ≤ I
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s * t)
⊢ (s * t).toFinset = s.toFinset * t.toFinset
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
DecidableEq V
e : Sym2 V
⊢ e ∈ G.incidenceFinset v ↔ e ∈ G.incidenceSet v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx : x ∈ closure (e '' {x | p x})
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ univ
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a * b⁻¹ ∈ IsGroupHom.ker f
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
x✝ : a + (b + 1) < a + 1 + (b + 1)
⊢ a < b + 1
a a' b : EReal
h₁ : 0 < b
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : a < a'
⊢ a / b < a' / b
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hn : 1 < n
⊢ a ^ n < a
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
φ : G →* H
⊢ Function.Injective ⇑(QuotientGroup.kerLift φ)
m : Type u_1
R : Type u_3
DecidableEq m
Fintype m
CommRing R
Nontrivial R
⊢ (Matrix.mvPolynomialX m m R).det ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ