ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ (f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support = f.support ∪ g.support
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
⊢ (∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = m' + d) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, ∃ c, xi = si + c
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f₁ f₂ g : α →₀ N
⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
M : Type u_1
MulOneClass M
N : Type u_6
S : Type u_7
MulOneClass N
SetLike S M
SubmonoidClass S M
f : M →* N
s : S
x : ↥s
⊢ (f.restrict s) x = f ↑x
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
⊢ k - 1 < k ↔ 0 < k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
⊢ Memℒp (truncation f A) 1 μ
n : ℕ
⊢ Λ (n + 1) ≤ Real.log ↑(n + 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J
x n : ℂ
⊢ (x ^ n)⁻¹ = if x.arg = π then (starRingEnd ℂ) (x⁻¹ ^ (starRingEnd ℂ) n) else x⁻¹ ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
DecidableEq δ
s : Finset α
t : Finset β
f : γ → β → δ
g : α → γ
⊢ Finset.image₂ f (Finset.image g s) t = Finset.image₂ (fun a b => f (g a) b) s t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
w : ↥(lp G 2)
⊢ hV.linearIsometryEquiv.symm w = ∑' (i : ι), (V i) (↑w i)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
L : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red (L ++ L₁) (L ++ L₂) ↔ FreeAddGroup.Red L₁ L₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
h : ‖q‖ ≠ ‖r‖
⊢ ‖q + r‖ = max ‖q‖ ‖r‖
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H' : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
H : optParam (∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q') ⋯
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn f H = f p q
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
y : M
⊢ y ∈ LinearMap.ker f ↔ f y = 0
α : Type u_1
b c : α
Add α
p : b = c
a : α
⊢ a + b = a + c
α : Type u_1
β : Type v
p q : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → q a → β
s : Multiset α
H₁ : ∀ a ∈ s, p a
H₂ : ∀ a ∈ s, q a
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ (h₁ : p a) (h₂ : q a), f a h₁ = g a h₂) → Multiset.pmap f s H₁ = Multiset.pmap g s H₂
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (a, c)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
⊢ evariance X μ = ⊤
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal
⊢ q * C q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
i j : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(f j).toPresheafedSpace
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f i).val.base x = (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f j).val.base y ↔ ⟨i, x⟩ = ⟨j, y⟩
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : A
n : ℤ
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.Chebyshev.T R n) = Polynomial.eval x (Polynomial.Chebyshev.T A n)
x : ℝ*
⊢ x.Infinitesimal → ∀ (r : ℝ), 0 < r → x < ↑r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
⊢ S.HasHomology
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.erase i (-f) = -DFinsupp.erase i f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f.op ↔ CategoryTheory.IsIso f
d : ℤ
n : ℕ
⊢ (↑n).im = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
self : CategoryTheory.NoetherianObject X
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β + LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β = LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
a b c : Int
⊢ a * b * c = a * c * b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
hμ : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
hν : MeasureTheory.IsProjectiveLimit ν P
⊢ μ Set.univ = ν Set.univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0
⊢ ∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k + k) • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) * num z)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K
⊢ (adjoin F S).toSubfield ≤ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2
⊢ MeasurableSpace.comap Prod.fst mβ ≤ MeasurableSpace.map f m
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : Memℒp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
⊢ IsBounded (range f)
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ (c • s) = μ s
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
⊢ ∀ (x y : R), (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u
x : α
hxs : x ∈ s
hx : Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t =ᶠ[ae ν] Prod.mk x ⁻¹' u
⊢ NullMeasurableSet t ν
X : Type u_3
TopologicalSpace (X × X)
⊢ 𝓝ˢ (Set.diagonal X) = ⨆ x, 𝓝 (x, x)
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
⊢ ↑0 = 0
K : Type u_1
LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : Polynomial.eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
⊢ 1 ≤ ↑b ^ f.natDegree * |Polynomial.eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ ⊥.closedBall x r = Set.univ
a : Int
⊢ a = ↑a.natAbs ∨ a = -↑a.natAbs
z x y : Nat
⊢ x * z % (y * z) = x % y * z
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
⊢ MulPosMono α ↔ MulPosReflectLT α
X Y : CompactlyGenerated
f : X ≅ Y
a : (CategoryTheory.forget CompactlyGenerated).obj Y
⊢ (CompactlyGenerated.homeoOfIso f).symm a = f.inv a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a = Set.Ioi b ↔ a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
Monoid M
h : Algebra.FiniteType R (MonoidAlgebra R M)
⊢ ∃ G, Algebra.adjoin R (⇑(MonoidAlgebra.of R M) '' ↑G) = ⊤
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
M : Type u_1
hom : Type u_2
MulOneClass M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
FunLike hom G M
MonoidHomClass hom G M
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 1
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
g : γ → α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (comap g p')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.N.obj X =
  (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).inverse.obj (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I I' : Set β
h : I' ∈ R.rightFixedPoints
h₁ : I ≤ I'
⊢ R.rightDual I' ≤ R.rightDual I
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ (∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) → w.GuitartExact
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : a ≤ b
⊢ r • a ≤ r • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
⊢ List.zipWith f l l' = [] ↔ l = [] ∨ l' = []
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
f : α → β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hμs : μb s ≠ ⊤
c : E
hf : MeasurePreserving f μ μb
⊢ μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
c : ↥M'
⊢ ↑((Submodule.toLocalized' S p f M') c) = f ↑c
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I
⊢ {I | absNorm I = n}.Finite
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ PathConnectedSpace X ↔ ∃ x, pathComponent x = Set.univ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
⊢ s ⊆ t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[<] ↑n) (𝓝[≤] (↑n - 1))
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hsg : t = generateFrom s
hsi : FiniteInter s
g : Finset (Set α)
hgs : ↑g ⊆ s
⊢ (fun f => ⋂₀ f) ↑g ∈ s
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g
⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
H : ∀ b < a, ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = b
⊢ a ≤ o.bmex f
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).edges = s(u, v) :: p.edges
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ = ⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p} (h : ∀ i ∈ s, ¬p i) (f : (i : α) → p i → β) (g : (i : α) → ¬p i → β),
  (∑ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∑ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
hf : Adapted ℱ f
hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R
h₁ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
h₂ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot
h₃ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (μ[f (n + 1) - f n|↑ℱ n]) ω
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
f : ArithmeticFunction ℕ
⊢ ↑f = f
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a * b = 1
⊢ b ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
a b : α
⊢ f a < f b ↔ b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
⊢ IsClosed {f | (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) f}
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : Kˣ
⊢ (toPrincipalIdeal R K) x = I ↔ FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
α : Type u_1
Group α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
g : α
i : ι
⊢ (Subgroup.quotientiInfEmbedding f) (↑g) i = ↑g
w z : ℂ
⊢ Complex.orientation.oangle w z = ↑((starRingEnd ℂ) w * z).arg
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : Set (UniformSpace β)
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ u ∈ u₂, UniformContinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
n : ℕ
a b : Fin n
hab : a = b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
n : ℕ
x : α
s : Multiset α
y : α
⊢ min (if y = x then n else 0) (count y s) = if y = x then min n (count x s) else 0
α σ : Type u
m : Type u → Type v
n : Type u → Type u_1
β : Type u
Monad m
MonadLiftT n m
x : n α
s : σ
k : α → σ → m β
⊢ (monadLift x).runK s k = do
  let x ← monadLift x
  k x s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
R : CategoryTheory.Sieve (F.obj X)
⊢ (CategoryTheory.Sieve.functorPullback F R).arrows = CategoryTheory.Presieve.functorPullback F R.arrows
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
⊢ Even (m - n)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits i f
n : ℕ
⊢ Splits i (f ^ n)
n : ℕ
self : CompositionAsSet n
⊢ 0 ∈ self.boundaries
α : Sort u_1
a b c : α
h₁ : a = b
h₂ : b ≠ c
⊢ a ≠ c
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioo a a = ∅
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor M = ModuleCat.MonoidalCategory.rightUnitor M
α β : LinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget LinOrd).obj β
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, ∀ y ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, x.val.prod = y.val.prod → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})
⊢ Measurable f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ min (a / c) (b / c) = min a b / c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ : E × F → G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E
y : F
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ max ‖f‖ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f : S.Arrow
⊢ S.preOneHypercover.X f = f.Y
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
ι : Type u_4
f : M ≃ₗ[R] N
x : Orientation R M ι
⊢ (Orientation.map ι f) (-x) = -(Orientation.map ι f) x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
hst : s ⊆ t
b : Set V
bt : b ⊆ t
bi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
sb : s ⊆ b
h : ∀ a ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val}, b ⊆ a → a = b
x : V
xt : x ∈ t
hn : x ∉ ↑(span K b)
⊢ x ∈ ↑(span K b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h) =
  -(CochainComplex.HomComplex.δ m m' α).comp (CochainComplex.mappingCone.inl φ) ⋯ +
    (CochainComplex.HomComplex.δ n m β + α.comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯).comp
      (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)) ⋯
K✝ : Type u
inst✝² : Field K✝
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
K : Type u_1 := FractionRing R
i : R →+* K := algebraMap R K
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
⊢ X ^ n - C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))
α : Type u_1
R : Type u_2
StrictOrderedSemiring R
Archimedean R
f : α → ℕ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(f n)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
x y : PGame
k : (x * y).LeftMoves
P : (x * y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inl (ix, iy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (jy : y.RightMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inr (jx, jy)))
⊢ P k
H : Type u
TopologicalSpace H
self : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ self.members → e.symm ∈ self.members
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (v Q) m * e0 Q = -(e0 Q * (v Q) m)
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
n : ℕ
⊢ dist (((f * g) ^ n) 0) ((fun n => (f ^ n) 0 + (g ^ n) 0) n) ≤ 1
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
QuasiIsoAt f i
⊢ (isoOfQuasiIsoAt f i).inv ≫ HomologicalComplex.homologyMap f i = 𝟙 (L.homology i)
S : Type u_1
CommRing S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
⊢ a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
α : Type u
f : α → α
⊢ Function.Involutive (List.map f) ↔ Function.Involutive f
a : ℕ
b : ℕ
h : 0 < b
⊢ Finset.Icc a (b - 1) = Finset.Ico a b
X Y : Type u
CommMonoid X
CommMonoid Y
e : X ≃* Y
⊢ e.toCommMonCatIso.inv = CommMonCat.ofHom e.symm.toMonoidHom
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
⊢ ((eval₂RingHom (RingHom.id R) r).mapMatrix M).det = (eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M)).det
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ (∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ s → ¬a_1 = a → a ∉ s ∧ a_1 ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ Set.EqOn f g s
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = MeasurableSpace.generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = Set.univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
⊢ μ = ν
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ Set.image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y ∈ u
p q : ℝ
h : p ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
⊢ EquivLike.inv f = ⇑f.symm
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
⊢ (MvPolynomial.eval (Fin.cons y s)) f =
  Polynomial.eval y (Polynomial.map (MvPolynomial.eval s) ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f))