ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
S : Subring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂κ a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
h : 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂
⊢ ⋂₀ {s | s ∈ 𝓝 l₁} ⊆ ⋂₀ {s | s ∈ 𝓝 l₂}
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn : 0 < n
ha : a ≠ 0
⊢ root (X ^ n - C a) ≠ 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
⊢ (dOne A) f = 0 ↔ ∀ (g h : G), (A.ρ g) (f h) - f (g * h) + f g = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = a + Int.fract ((b - a) / p) * p
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ¬o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
M : Type u_1
AddMonoid M
Subsingleton M
a : M
⊢ IsAddUnit a
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } ≥ { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then n else if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero K ↔ K.IsStrictlySupported e ∧ K.IsStrictlySupportedOutside e
R : Type u_6
CommRing R
K : Type u_5
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ J ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n + 1
a : α
h : a ∈ m
⊢ Multiset.card (m.erase a) = n
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 ⊤
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₁
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
α : Type u_1
x : α
⊢ AddOpposite.unop (AddOpposite.op x) = x
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ MvPolynomial.X i * x.divMonomial (Finsupp.single i 1) + x.modMonomial (Finsupp.single i 1) = x
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
LocallyCompactSpace B
⊢ Continuous fun f => f.2.comp f.1
G : Type u
AddMonoid G
h : AddMonoid.ExponentExists G
g : G
⊢ addOrderOf g ≤ AddMonoid.exponent G
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
S : ProperCone ℝ F
⊢ ↑(ProperCone.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
α : Type u
a b : α
BEq α
⊢ List.nil.replace a b = List.nil
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
⊢ IsPiSystem C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
⊢ S.Exact ↔ (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
ha : Odd a
⊢ Odd 1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v v' : V
p p' : P
⊢ nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ nndist v v' + nndist p p'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < b
⊢ (a * b).IsLimit
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
s : Finset β
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup' h f = s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => f (i, i')
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
c : index K
⊢ ↑(((stdBasis K).repr ((commMap K) x)) c) = (matrixToStdBasis K *ᵥ x ∘ ⇑(indexEquiv K)) c
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A ≤ firstDiff x y
⊢ ¬Disjoint s (cylinder x (Nat.find A))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a : α
ha : μ {a} = 0
⊢ Set.Iio a =ᵐ[μ] Set.Iic a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.comm R M N) (m ⊗ₜ[R] n) = n ⊗ₜ[R] m
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ |(|a|)| = |a|
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
h : H ≤ H'
⊢ H.verts ⊆ H'.verts
α : Type u
n : ℕ
a1 a2 : Mathlib.Vector α n
⊢ a1.toList = a2.toList → a1 = a2
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
⊢ i.succ.succAbove (i.cycleRange j) = (swap 0 i.succ) j.succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] F
t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)
st : s ⊆ ⋃ n, t n
t_approx : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))
ht : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ disjointed t n) (r (A n))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det
⊢ (A * 1 + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x + y) < π / 2
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
PerfectRing N p
IsPRadical j p
⊢ (PerfectRing.lift j k p).comp (PerfectRing.lift i j p) = PerfectRing.lift i k p
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
a✝ : δ < ⊤
ε_top : ¬↑ε = ⊤
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
⊢ μ B ≤ ν (thickening (δ + ↑ε).toReal B) + (δ + ↑ε) ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ↑ε).toReal B) + (δ + ↑ε)
α : Type u_5
self : NormedField α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ = ‖a‖ * ‖b‖
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
f : n → n
x✝ : f ∈ univ
hbij : f ∉ filter Bijective univ
⊢ ¬Bijective f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∃ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∨ ∃ x ∈ s, p x
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
⊢ ∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr x) i
α : Type u_2
Inv α
a : α
⊢ (pure a)⁻¹ = pure a⁻¹
x y : EReal
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x + y < ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : MeasurableSet p.support
⊢ p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s
R' : Type u
S' : Type v
Semiring R'
SMul R' S'
p : R'[X]
f : R' → S'
x : R'
⊢ (p • f) x = Polynomial.eval x p • f x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ((CategoryTheory.forget C).map f)
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.slitPlane
⊢ z ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
this : SecondCountableTopology α
⊢ PolishSpace α
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (op [n]) ≫ (Q q).f n = (Q q).f n ≫ f.app (op [n])
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X : C
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Subobject X),
  (CategoryTheory.Limits.cokernelOrderHom X) a =
    CategoryTheory.Subobject.lift (fun A f x => CategoryTheory.Subobject.mk (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f).op) ⋯ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₂ app₀ app₁ app₂ w₀ w₁).inv =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₂ app₀.inv app₁.inv app₂.inv ⋯ ⋯
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ (∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)) ↔ Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ = (Measure.map f μ).prod (Measure.map g μ)
M : Type u_3
Monoid M
N : Type u_6
CommMonoid N
MulAction M N
IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ Submonoid.closure s
⊢ ∃ n, r ^ n • x ∈ Submonoid.closure (r • s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (g x).toReal) (μ.restrict s)
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.uIcc 0 1)
⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis =
  (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
⊢ ∀ {α : Type u_1} {le : α → α → Bool} {n : Nat},
  Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.nil
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
α : Type u_1
Add α
⊢ ⇑MulOpposite.opAddEquiv.symm = MulOpposite.unop
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
⊢ ∀ (a : Fin n), w a • ↑(hT.eigenvalues hn a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a = (↑(hT.eigenvalues hn a) * w a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1))) ≤ LinearMap.ker (f ^ k)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Set.Icc a b)
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Set.Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Set.Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ (deriv fun x => x) = fun x => 1
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Group G
MulSemiringAction G A
SMulCommClass G R A
g : G
⊢ ↑(MulSemiringAction.toAlgEquiv R A g) = ↑(MulSemiringAction.toRingEquiv G A g)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
⊢ ∀ x ∈ ↑(basicOpen f), ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ x ∈ t
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
⊢ ∑ a : R, χ (a * b⁻¹) * ψ (a - b) = ∑ c : R, χ c * ψ (b * (c - 1))
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
⊢ Unitization.lift φ = φ.toAlgHom
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
z : R
s : I → R
Fintype I
Hs : Pairwise (IsCoprime on s)
Hs1 : ∀ (i : I), s i ∣ z
⊢ ∏ x : I, s x ∣ z
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
⊢ LinearMap.range b.toDual = ⊤
α : Type u
AddCommGroup α
⊢ IsAddGroupHom Neg.neg
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
TrivialStar R
AddGroup A
StarAddMonoid A
SMul R A
StarModule R A
r : R
x : ↥(selfAdjoint A)
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
u : Rˣ
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) (↑u * ϖ ^ n) = ↑n
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
p : Submodule R N
h : ∀ (v : ι → M), f v ∈ p
⊢ p.subtype.compAlternatingMap (f.codRestrict p h) = f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x = g^[n] x ↔ f x = g x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Subsingleton α
f : α → β
⊢ Function.Injective f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : D
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (G ⋙ F).map f✝ ≫ (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) Y✝ = (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) X✝ ≫ (𝟭 D).map f✝
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : ↥S.leftNeg
⊢ ↑(S.fromLeftNeg x) + ↑x = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.Basis (I ∪ J) (X ∪ Y)
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
x : α × β
⊢ addOrderOf x.2 ∣ addOrderOf x
s : ℕ
h : s ≠ 0
⊢ s.gcdB 0 = 0
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
⊢ ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)))) = ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))))
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M
n k : ℕ
h✝¹ : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac
h✝ : n > 0
h : succ 0 < n
⊢ 1 < n
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
⊢ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (r + s) = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ ((↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun r + (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun s)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler (o.rightAngleRotation x)) y = -Complex.I * (o.kahler x) y
f : ℂ → ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ c) (c * f x ^ (c - 1) * f') x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : TensorProduct R N M
⊢ (LinearMap.rTensor M LinearMap.id) x = x
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ ⋃ x ∈ t, U x ∈ 𝓝ˢ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
⊢ HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K ≫ HomologicalComplex.cylinder.π K = 𝟙 K
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
p q : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c → q a b c
⊢ (∃ a b c, p a b c) → ∃ a b c, q a b c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
⊢ (Diffeomorph.prodComm I J M N n).symm = Diffeomorph.prodComm J I N M n
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
⊢ s.WSameSide ((lineMap x z) t) z
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = s.inf (untrop ∘ f)
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ i ∈ s, f ⁻¹' {i})
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
l : w.hom.app j = w.hom.app ((𝟭 J).obj j)
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ (e.functor ⋙ G).map (e.unitInv.app j) ≫ w.hom.app j = s.π.app j
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
⊢ f • ⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n₀ n₁ n₂ : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₀
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n₁ n₂ (CochainComplex.HomComplex.δ n₀ n₁ z) = 0
α : Type u_1
One α
⊢ OrderDual.toDual 1 = 1
α : Type u_3
⊢ Nat.card (ULift.{u_4, u_3} α) = Nat.card α
R : Type u
A : Type z
M : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
Semiring A
Algebra R A
Module A M
IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
⊢ (Polynomial.aeval a) p • m ∈ q
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (↑p ^ (n + 1) * (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1) - X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) - X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)))).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (RingHom.fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = Ideal.Quotient.factor (I ⊓ J) I ⋯