ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
s : Finset S₂
p : S₂ → MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (∏ x ∈ s, p x) = ∏ x ∈ s, MvPolynomial.eval₂ f g (p x)
ι : Type u_1
X : Type u_2
MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, Metric.closedBall x (δ x) ⊆ U i
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q - x) ↔ Irrational x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
⊢ closure (thickening δ s) = cthickening δ s
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
r : R
⊢ ∀ (x : Invertible ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r)),
  ⅟r = ⅟(ExteriorAlgebra.algebraMapInv ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r))
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
c : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R)
hd : ∀ z ∈ Metric.ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * Complex.I) • f c
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ
⊢ Integrable f (μ.restrict (s \ t))
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ BoxIntegral.Prepartition.split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : x < y i
⊢ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q
⊢ Submodule.span R {t | ∃ m n, p.subtype m ⊗ₜ[R] q.subtype n = t} = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : (α ⧸ t) × ↥t ⧸ s.subgroupOf t
⊢ (Subgroup.quotientEquivProdOfLE' h_le f hf).symm a = Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
D✝ : BilinForm R M
D₁ : BilinForm R₁ M₁
B D : BilinForm R M
h : (fun B x y => (B x) y) B = (fun B x y => (B x) y) D
x y : M
⊢ (B x) y = (D x) y
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddCommGroupWithOne G
AddGroupWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
n : ℤ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + ↑n
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ s.prod f ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
s : ℝ
r : ℝ
hs : 0 < s
⊢ (fun x => Real.log x ^ r) =o[Filter.atTop] fun x => x ^ s
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal
⊢ generator S ∈ S
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
Fintype ι
Finite ι'
DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
⊢ AffineIndependent k p
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ
zy : z ≤ y
⊢ y = y - z + z ∨ y ≤ z ∧ y - z = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : CategoryTheory.Sieve.ofArrows X f ∈ J.sieves S
E : A
x : (i : I) → E ⟶ P.obj (Opposite.op (X i))
hx :
  ∀ ⦃W : C⦄ ⦃i j : I⦄ (a : W ⟶ X i) (b : W ⟶ X j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (f i) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (f j) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (x i) (P.map a.op) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (x j) (P.map b.op)
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (hP.amalgamateOfArrows f hf x hx) (P.map (f i).op) = x i
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation X ↑n
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
Y2 : ∀ (n : ℕ), ∫ (a : Ω), (Y n ^ 2) a = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, x ^ 2 ∂ρ
⊢ ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A
⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖ = ‖x‖
X : Type u
TopologicalSpace X
x : FundamentalGroupoid X
⊢ 𝟙 x = ⟦Path.refl x.as⟧
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
u v : ↑G'.verts
h : G'.spanningCoe.Adj ↑u ↑v
⊢ G.Adj ↑u ↑v
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
⊢ Commute a⁻¹ b⁻¹ ↔ Commute a b
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → Option β
x : Option α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → f a = g a
⊢ x.bind f = x.bind g
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
⊢ F.map ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = F.map ((embedding C).map (f j i))
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
⊢ lc e (h.coeffs m) = m
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
⊢ matPolyEquiv (diagonal fun x => X) = X
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ⁻¹ * χ = 1
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associated Q₁).tmul (associated QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < lsub f
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ padicValInt p (a * b) = padicValInt p a + padicValInt p b
m n k : ℕ
h : m ≤ k * n
⊢ m / k ≤ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac x ≠ MeasureTheory.Measure.dirac y ↔ x ≠ y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsClosed (C1 C ho)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
MeasurableNeg G
MeasurableAdd G
f : G → 𝕜
g : G → F
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul 𝕜 𝕜) μ x = ∫ (t : G), f (x - t) • g t ∂μ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : Function.Injective ⇑f
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Surjective ⇑(AddMonoid.Coprod.swap M N)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → ↑↑m = ↑↑n
⊢ ↑m = ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.135729, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T : (Triangle C)ᵒᵖ
⊢ ((Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₁).hom).op = ((Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₃).hom ≫ (Opposite.unop T).mor₃).op
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
a✝ : A₂
⊢ ((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ψ)) a✝ = ψ a✝
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →o β
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' ⇑f
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
d : ENNReal
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ edist x y
⊢ d ≤ s.einfsep
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
⊢ 𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
MeasureTheory.SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ s
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x
⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior (interior D))
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
⊢ ∃ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f^[n] x ∈ s
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
val✝ : Fintype σ
e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ
f' : MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R →+* S := f.comp (renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom
hf' : Function.Surjective ⇑f'
this : (f.comp ((renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom.comp MvPolynomial.C)).IsIntegral
⊢ (f.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
⊢ (s.sup p).ball x ↑r = ⋂ i ∈ s, (p i).ball x ↑r
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n m : ℕ
h : n = m
x : ⨂[R]^n M
⊢ GradedMonoid.mk m ((PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) (finCongr h)) x) = GradedMonoid.mk n x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
d : ℕ → ℝ
hd : ∀ {k : ℕ}, m ≤ k → k < n → dist (f k) (f (k + 1)) ≤ d k
⊢ dist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, d i
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s + t).Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g ≫ g) f =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid N
⊢ ⊤.prod s = Submonoid.comap (MonoidHom.snd M N) s
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : IsIso (homologyMap φ')
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))
⊢ IsIso (homologyMap φ)
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime (x * y) (x * z) ↔ IsCoprime y z
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
C : α → Sort u_2
F : (x : α) → ((y : α) → r y x → C y) → C x
x : α
a : Acc r x
⊢ fixF F x a = WellFounded.fixFC F x a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).unitIso.inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0
h_eq_α : {a | ¬s a = t a} = s \ t ∪ t \ s
⊢ μ {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = 0
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
⊢ DenseRange fun x => (↑α x.1, ↑β x.2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : g = h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
i : ℕ
m : M
⊢ p ^ i • (lsingle R 0) m = p ^ i • (single R 0) m
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ ∀ a ∈ s, ∀ x ∈ t, s.max' hs * x = a * t.min' ht → a = s.max' hs
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ v.intValuationDef 1 = 1
n : ℤ
d : ℕ
⊢ n % ↑d = n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
PartialOrder 𝕜
StarRing 𝕜
StarOrderedRing 𝕜
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
Invertible A
⊢ (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D).PosSemidef ↔ (D - B.conjTranspose * A⁻¹ * B).PosSemidef
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
⊢ ⊤ ≤ upperCentralSeries G' n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : α → PMF β
b : β
⊢ (p.bindOnSupport fun a x => f a) b = (p.bind f) b
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
⊢ #ι = Module.rank R M
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | edist p.1 p.2 ≤ ↑ε}
α : Type u_2
Group α
a : α
⊢ Finset.preimage 1 (fun x => a⁻¹ * x) ⋯ = {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
Φ : PartialDiffeomorph I J M N n
⊢ ContMDiffOn I J n (↑Φ.toPartialEquiv) Φ.source
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E
⊢ Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (Module.rank ℝ E) = Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ Function.Injective (Set.imageFactorization f s) ↔ Set.InjOn f s
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this : n = u.prod
⊢ (n * m).factorMultiset = n.factorMultiset + m.factorMultiset
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
x : F
L : Filter F
c : 𝕜
⊢ HasGradientAtFilter (fun x => c) 0 x L
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Function.Injective AddSubgroup.toAddSubmonoid
α : Type u_1
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
sl : l.Sized
sr : r.Sized
⊢ l.size + r.size + 1 = r.dual.size + l.dual.size + 1
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
Decidable s.Nontrivial
DecidableEq α
Fintype ↑s
⊢ s.infsep = if hs : s.Nontrivial then s.offDiag.toFinset.inf' ⋯ (Function.uncurry dist) else 0
X Y : Type u
Semiring X
Semiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toSemiRingCatIso.inv = e.symm.toRingHom
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) ≤ kerTotal R S
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
this : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
⊢ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.eta c).inv.hom = 𝟙 c.pt
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
l : c.IsLimit
⊢ (a + b) * c = a * c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : C^⊤⟮I, M; I', M'⟯
x : M
⊢ MDifferentiableAt I I' (⇑f) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U : Set ℂ
z : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
hU : IsOpen U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hr : 0 < r
hzr : Metric.closedBall z r ⊆ U
⊢ Complex.cderiv r f z = deriv f z
R : Type u_1
CommRing R
Algebra R ℝ
g : SL(2, R)
z : ℍ
⊢ g • z =
  UpperHalfPlane.mk
    ((↑((algebraMap R ℝ) (↑↑g 0 0)) * ↑z + ↑((algebraMap R ℝ) (↑↑g 0 1))) /
      (↑((algebraMap R ℝ) (↑↑g 1 0)) * ↑z + ↑((algebraMap R ℝ) (↑↑g 1 1))))
    ⋯
α : Type u_3
⊢ Set.univ.ncard = Nat.card α
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x : { x // x ∈ s }
⊢ 𝓝 x = comap Subtype.val (𝓝[s] ↑x)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (d n A) f g = ∑ x : Fin (n + 1 + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑x • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ x.succAbove) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
x y : G
f : A → B
⊢ (fun a => f ((x * y)⁻¹ • a)) = fun a => f (y⁻¹ • x⁻¹ • a)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ i ∈ s, f i).FiniteIndex
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : Set.univ ⊆ s ∪ t
hc : Measurable fun a => f ↑a
hd : Measurable fun a => f ↑a
⊢ Measurable f
⊢ Nat.Primrec' fun v => v.head * v.tail.head
G : Type u_2
Group G
S T : Submonoid G
⊢ S⁻¹ ≤ T ↔ S ≤ T⁻¹
α : Type u_1
f g h : Perm α
⊢ f.Disjoint f ↔ f = 1
s : ℂ
⊢ L (fun n => ↑(ζ n)) s = L 1 s