ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
m m' : ℤ
hm' : m + a = m'
⊢ δ n m (γ.leftUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' γ).leftUnshift m hm'
R : Type u_1
CommRing R
⊢ (Polynomial.wronskianBilin R).IsAlt
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ μ = ν
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
⊢ M⁻¹ i j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_6
MeasurableSpace δ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft δ κ).snd = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft δ κ.snd
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
a : { x // x ∈ s }
t u : Set { x // x ∈ s }
⊢ t ∈ 𝓝[u] a ↔ t ∈ Filter.comap Subtype.val (𝓝[Subtype.val '' u] ↑a)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIocDiv hp a b • p + m • p) = b - toIocDiv hp a b • p
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
this : ∏ i ∈ s, (1 / z) i ^ w i ≤ ∑ i ∈ s, w i * (1 / z) i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
⊢ (∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Icc (↑n) (↑n + 1) = univ
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun g => g +ᵥ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (WittVector.wittAdd p n) = 0
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α
⊢ Ring.inverse (diagonal v) = diagonal (Ring.inverse v)
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
h : a / b = c
⊢ a = b * c
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → ε' → ε
n' : β → γ → ε'
h : Filter γ
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = m' a (n' b c)
⊢ map (fun p => m (n p.1.1 p.1.2) p.2) ((f ×ˢ g) ×ˢ h) = map ((fun p => m' p.1 (n' p.2.1 p.2.2)) ∘ ⇑(Equiv.prodAssoc α β γ)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a * b ≤ b⁻¹ * b ↔ a * b ≤ 1
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
n : σ →₀ ℕ
hnn : n ≠ 0
a : R
⊢ (MvPowerSeries.trunc R n) ((MvPowerSeries.C σ R) a) = MvPolynomial.C a
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₂ b₂ : σ₂
h : f₂ a₂ = f₂ b₂
⊢ (match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ a₂ (tr b₁) | none => f₂ a₂ = none) ↔ match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ b₂ (tr b₁) | none => f₂ b₂ = none
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ s ∈ 𝓝 0, (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w = (s.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
AddGroup E
AddGroup F
AddGroup G
p : AddGroupSeminorm E
g : F →+ E
f : G →+ F
⊢ p.comp (g.comp f) = (p.comp g).comp f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
⊢ f (a ^ 0) = f a ^ 0
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
⊢ Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝 b) f g ↔ Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).map f).hom = A.X.map f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ nndist (y₂ i) (y i) ≤ nndist (y₁ i) (y i)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)
sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
this : filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k) = {(0, k)}
sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 = psum σ R k
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
this : Nontrivial R
⊢ Module.rank R ↥(span R (range v)) = #↑(range v)
a b c : ENNReal
⊢ a / b * c = a * (c / b)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
this✝ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base
this : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)
⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : 0 < a • b
ha : 0 ≤ a
⊢ a • 0 < a • b
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
⊢ ¬IsUnit (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeSup β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone (f ⊔ g)
x y : ℤ
h0 : ¬x.gcd y = 0
z0 : ℤ
h : PythagoreanTriple x y (↑(x.gcd y) * z0)
⊢ PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (↑(x.gcd y) * z0 / ↑(x.gcd y))
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) e
⊢ HasSum (fun n => ((↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) • x.snd) (e • x.snd - ∑ x_1 ∈ Finset.range 1, ((↑x_1.factorial)⁻¹ • x ^ x_1).snd)
R : Type u_1
Ring R
p q : Polynomial R
NoZeroDivisors R
⊢ (p * q).mirror = p.mirror * q.mirror
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.closure (⇑(Subgroup.closure s).subtype ⁻¹' s) = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M
⊢ (FirstOrder.Language.Formula.graph f).Realize (Fin.cons y x) ↔ FirstOrder.Language.Structure.funMap f x = y
α : Type u_1
f : α → ℝ
l : Filter α
⊢ (fun x => ↑(f x)) =Θ[l] f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ‖f‖ = 0
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : x.im = 0
⊢ ↑(-x).arg = ↑x.arg + ↑π
R : Type u
CommRing R
b c d : R
n : ℕ
⊢ preNormEDS b c d ↑n = preNormEDS' b c d n
x : ℝ
⊢ Real.sinh (3 * x) = 4 * Real.sinh x ^ 3 + 3 * Real.sinh x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ Multiset.fold op b (Multiset.map f (cons a s h).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
j i : ι
⊢ i ≤ j → gramSchmidt 𝕜 f i ∈ Submodule.span 𝕜 (f '' Set.Iic j)
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
⊢ g (↑x (k + n)) ∈ I ^ (k + n) • ⊤
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyUnramified R S
⊢ FormallyUnramified Rₘ Sₘ
a : ℝ
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel ↑a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
A : Type u_5
NormedRing A
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
c : A
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c * f x) μ a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ ⥤ C} (α : X_1 ⟶ Y_1) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).inverse.map α).app X_2 =
    α.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_2)))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t✝ : Set α✝
f✝ : α✝ → β
μa μa' : Measure α✝
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : Measure α
g : G
h_qmp : QuasiMeasurePreserving (fun x => g⁻¹ • x) μ μ
h_ae_eq : s =ᵐ[μ] t
⊢ g • s =ᵐ[μ] g • t
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
⊢ (Finsupp.sum F fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t → s ⊆ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
(HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
⊢ (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 1 = ⊤
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ 1 ≤ b⁻¹ * a ↔ b ≤ a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
⊢ p.vars = p.support.biUnion Finsupp.support
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
b : α
⊢ toIcoDiv ⋯ 0 b = ⌊b⌋
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ (Q j) (Pi.single i m j) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C}
a✝¹ : X
h1 : f a✝¹ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹
a✝ : ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹‖ ≤ C
⊢ ‖f a✝¹‖ ≤ C
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
x : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ ∀ (x_1 : m), x_1 ≠ i → (∑ j : n, stdBasisMatrix x_1 j (x x_1 j)) i j = 0
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
⊢ (FinPartOrd.Iso.mk e).hom = ↑e
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) l (𝓝 x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
c : ℕ
w : n ≤ n + c
h : x ∈ (fun n => range (f ^ n)) (n + c)
⊢ x ∈ (fun n => range (f ^ n)) n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ (DoubleCentralizer.toProd 0).1 = 0
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ sInf (Set.Icc a b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ univ = Finset.cons p (map p.succAboveEmb univ) ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ J = I⁻¹
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : m ≤ n
⊢ contDiffGroupoid n I ≤ contDiffGroupoid m I
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a - b < c ↔ a < b + c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
R : Type u_10
CommRing R
TopologicalSpace R
ChartedSpace H' R
SmoothRing I' R
⊢ ∀ (a : C^⊤⟮I, N; I', R⟯) (a_1 : N), SmoothMap.coeFnRingHom a a_1 = a a_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
⊢ ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ b / c < a ↔ b < a * c
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ≃ W
G : SimpleGraph W
w : W
⊢ (SimpleGraph.Iso.comap f G).symm w = f.symm w
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
this : univ = image (fun w => ↑w) univ ∪ image (fun w => ↑w) univ
⊢ max (univ.sup fun b => ‖x.1 b‖₊) (univ.sup fun b => ‖x.2 b‖₊) = max (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w)) (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w))
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
self : IsLocalizedModule S f
y : M'
⊢ ∃ x, x.2 • y = f x.1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨅ i, s i).toIdeal = ⨅ i, (s i).toIdeal
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Subspace K V
⊢ (LinearMap.range (LinearMap.domRestrict B W)).dualCoannihilator = B.orthogonal W
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : α
⊢ OrderDual.toDual (b +ᵥ a) = b +ᵥ OrderDual.toDual a
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulReflectLE α
bc : a * b ≤ a * c
a0 : 0 < a
⊢ b ≤ c
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∀ i ∉ s, g i = 0
hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i✝ i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
hi : i ∉ s
⊢ g i • v i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
⊢ A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), ⟪(toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁), (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂⟫_α = ⟪(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁, (toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂)⟫_α
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
⊢ l.BoundedAtFilter (f * g)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
z : N
⊢ (k.lift ⋯) ((f.lift ⋯) z) = z
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
z : ℤ
hz1 : 0 ≤ z
hz2 : z < b
hz3 : z ≡ a [ZMOD b]
⊢ ↑z.natAbs < b ∧ ↑z.natAbs ≡ a [ZMOD b]
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : IsCentralScalar R M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup M
inst✝⁴ : ContinuousSMul R M
inst✝³ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : T2Space R
inst✝¹ : T2Space M
x : tsze R M
inst✝ : Invertible x.fst
⊢ x = x.fst • exp 𝕜 (⅟x.fst • inr x.snd)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ (Q W).map s ≫ Qinv s hs = 𝟙 ((Q W).obj X)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x = y
⊢ C * (y - x) ≤ f y - f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LT β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
Nonempty α
a : α
⊢ ¬f a < f (Function.argmin f h)
α : Type u_1
n : ℕ
Add α
x : α
v : Fin n → α
w : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x v + w = Matrix.vecCons (x + Matrix.vecHead w) (v + Matrix.vecTail w)