ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hnm : n ≤ m
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯
h : s.PartiallyWellOrderedOn fun x x_1 => x ≤ x_1
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
m n : ℕ
hlt : m < n
hle : f m ≤ f n
⊢ False
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
⊢ 1 = x ^ 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫ (α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy a (-x) (-y)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup N
x : G × N
⊢ x ∈ ⊤.prod H ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd G N) H
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ WithTop.orderIsoSumLexPUnit ↑a = toLex (Sum.inl a)
X₁ X₂ : Type u
f : X₁ ⟶ X₂
Y : Type u
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (Prod.fst ≫ f) Prod.snd).pt),
  (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductFunctor.map f).app Y a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimit X₂ Y).lift
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (Prod.fst ≫ f) Prod.snd) a
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.iCycles ≫ φ.τ₂ ≫ S₂.pOpcycles
q : ℚ
⊢ ¬Irrational ↑q
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢￢(a \ b) = ￢￢a \ ￢￢b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (-pf) m = 0
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α₁ : Type u_7
α₂ : Type u_8
f : α₁ ≃ α₂
⊢ (Finsupp.domLCongr f).symm = Finsupp.domLCongr f.symm
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : ⨅ i, as i ∉ range as
this : ⨅ i, as i = x
⊢ ⋃ i, Ici (as i) = Ioi (⨅ i, as i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
⊢ ¬(SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₀ a) (Sum3.in₀ a')
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ (p : Associates (Ideal R)), Irreducible p → p.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = p.count (Associates.mk I).factors
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
Nontrivial α
Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
α : Type u_2
Mul α
f : Filter α
b : α
⊢ f * pure b = Filter.map (fun x => x * b) f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Epi 0
⊢ IsZero Y
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
order_pos : 0 < addOrderOf m
a : α
⊢ 0 < AddAction.period m a
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝¹⁰ : Ring K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V'
inst✝⁴ : Module K V'
inst✝³ : AddCommGroup V''
inst✝² : Module K V''
inst✝¹ : AddCommGroup V'₁
inst✝ : Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ min f.rank g.rank
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
⊢ vi j * (B (v i)) (v j) = 0
f✝ f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
l : List Unit
⊢ List.foldr (fun x => f) a l ≤ sup fun n => f^[n] a
α : Type u_1
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × ℝ)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux (fun p q => κ.density κ.fst p.1 p.2 (Set.Iic ↑q)) κ κ.fst
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
i : ι
h : f i ≤ a
⊢ iInf f ≤ a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom (𝟙 Z) =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 W) (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).inv
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ≤ a ⊔ b
F : Type u_4
SeminormedAddCommGroup F
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
K : ℝ≥0
f : E → F
hf : AntilipschitzWith K f
x y : E
⊢ ‖x - y‖ ≤ ↑K * ‖f x - f y‖
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : NormalizationMonoid α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
M : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : Unique Mˣ
x x✝ : M
a✝ : x✝ ∈ factors x
p : M
⊢ normalize p = id p
s : Multiset ℤ
n : ℤ
⊢ s.prod % n = (Multiset.map (fun x => x % n) s).prod % n
⊢ Set.InjOn Real.arccos (Set.Icc (-1) 1)
n : ℕ
⊢ Ring.multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a : α
l : List α
h : a ∈ a :: l
⊢ f a * (map f ((a :: l).erase a)).prod = (map f (a :: l)).prod
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
g : β → α
⊢ (Finset.image f s).inf g = s.inf (g ∘ f)
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Function.Injective fun x => n • x
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
P : k[X]
hP : P ≠ 0
⊢ ∀ (c : ℕ), c ≤ Multiset.count X (normalizedFactors ↑P) ↔ c ≤ Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ / a⁻ᵐ = a
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥W + FiniteDimensional.finrank K ↥(B.orthogonal W) =
  FiniteDimensional.finrank K V + FiniteDimensional.finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
R : Type u_1
Semiring R
n k : ℕ
⊢ ((Polynomial.X + 1) ^ n).coeff k = ↑(n.choose k)
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
i : ℤ
⊢ addOrderOf x • i • x = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = π
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
L : FirstOrder.Language
n : ℕ
⊢ L.skolem₁.Functions n = L.BoundedFormula Empty (n + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape (a ⟶ b) D
F G : CategoryTheory.Functor C D
η : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Epi η ↔ ∀ (c : C), CategoryTheory.Epi (η.app c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
x : M
⊢ MDifferentiableWithinAt I I id s x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
c : E
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : ι → E → 𝔸
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f i x) x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) x =
  ∑ i : Fin l.length,
    (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod •
      (fderiv 𝕜 (fun x => f (l.get i) x) x).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
g : N →* P
f : G →* N
⊢ map g f.range = (g.comp f).range
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Subsemigroup.map f)
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ 𝓝 (-π) = 𝓝 ((Real.arcsin ∘ (im ∘ Neg.neg / ⇑abs)) z - π)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
ι : Type u_3
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
K : ∀ (i j : ι), ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty) i j
⊢ IsPreconnected (⋃ x ∈ univ, s x)
R : Type u_1
n : ℕ
M : Fin n → Type u_3
M₂ : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)
(i : Fin n) → Module R (M i)
Module R M₂
f g : MultilinearMap R M M₂
ι₁ : Fin n → Type u_6
e : (i : Fin n) → Basis (ι₁ i) R (M i)
h : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁ i), (f fun i => (e i) (v i)) = g fun i => (e i) (v i)
⊢ f = g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
ev : ℤ
bi : K
bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1
hF : (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree = 0 ∨ eval ((algebraMap ℤ K) a * ((algebraMap ℤ K) b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) = 0
Fa : |↑ev| = ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a * (↑b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
F0 : ev = 0
⊢ eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.preimage s = f.core s ∩ f.Dom
n p : ℕ
hp : ¬Nat.Prime p
⊢ p ^ n.factorization p = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s
⊢ 1 ⊗ₜ[R] 0 ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 + 1 / ↑n = r
⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
⊢ ball x V ∈ 𝓝[S] x
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
g : G
⊢ μ {g} = μ {0}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c < b
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ioi c = Set.Ioi (min a c)
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsKilling R L
IsNoetherian R L
IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥
a b : Nat
⊢ compare a b ≠ Ordering.lt ↔ b ≤ a
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x x' : S
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (x * x') =
  ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ S.addUnit_of_mem_ofAddUnits h ∈ S
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => f (R • x)) μ ↔ Integrable f μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a
⊢ resolvent a r = ↑(IsUnit.unit h)⁻¹
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
X : ModuleCat R
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsId' f hf).inv.app X = (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf X).inv
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ q * rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = 2 * π / p * b ^ (-(q + 2) / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblZ P = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
h_mono : StrictMono f
h_surj : Function.Surjective f
b : β
⊢ f ((StrictMono.orderIsoOfSurjective f h_mono h_surj).symm b) = b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N
⊢ ∃ a, (map I f) a = y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
this : dist a b + dist b c = dist a c ↔ b -ᵥ a ∈ (fun x => x -ᵥ a) '' affineSegment ℝ a c
⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : trace K L = 0
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ (traceMatrix K ⇑pb.basis).det = 0
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
self : ChartedSpaceCore H M
e e' : PartialEquiv M H
⊢ e ∈ self.atlas → e' ∈ self.atlas → ContinuousOn (↑(e.symm ≫ e')) (e.symm ≫ e').source
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
d : D
⊢ (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₂.obj d)) ≫ β.app (R₂.obj d) ≫ 𝟙 (L₂.obj (R₂.obj d))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d) = 𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₁.obj d)) ≫ (β.app (R₁.obj d) ≫ α.app (R₁.obj d)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
x : ℕ
⊢ x ∈ χ.conductorSet ↔ χ.FactorsThrough x
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
⊢ Function.Injective ↑R
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id c) g)
⊢ t.ofIdComp.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).inv t.unit
n : ℕ
⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 1 ∨ n + 3 = 2
M₀ : Type u
Mul M₀
Zero M₀
self : IsLeftCancelMulZero M₀
a b c : M₀
⊢ a ≠ 0 → a * b = a * c → b = c
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
⊢ Scott.IsOpen α Set.univ
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.WithUpperSet.map OrderHom.id = ContinuousMap.id (Topology.WithUpperSet α)
α : Type u_1
β : Type v
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ s ×ˢ (b ::ₘ t) = Multiset.map (fun a => (a, b)) s + s ×ˢ t
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractLeft d) ((CliffordAlgebra.contractLeft d) x) = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Ioo ↑a ⊤ = Set.Ioi a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n
⊢ (cyclotomic (↑n) B).IsRoot (zeta n A B) ↔ (aeval (zeta n A B)) (cyclotomic (↑n) A) = 0
R : Type v
Semiring R
f : R →+* R
a : R
⊢ f • a = f a
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ A ∨ x⁻¹ ∈ A
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T5Space Y
e : X → Y
he : Embedding e
⊢ T5Space X
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
⊢ sSup S = conGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
s : Set α
h : G ≤ H
⊢ G.IsClique s → H.IsClique s
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
f : NormedAddGroupHom V W
hf : Isometry ⇑f
v : V
⊢ ‖f v‖ = ‖v‖
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
P : Finpartition a
b c : α
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c
⊢ (P.extend hb hab hc).parts.card = P.parts.card + 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
w : V
⊢ Real.fourierIntegralInv f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
hc : 0 ≤ c
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c ^ r) l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
IsReduced R
x : L
h : IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L M) x)
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ χ x = 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
⊢ ((R ⇒ P ⇒ P) ⇒ P ⇒ List.Forall₂ R ⇒ P) List.foldr List.foldr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
⊢ IsUnit B.det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofLimitCone ht).snd = t.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → VAdd M (α i)
i : ι
FaithfulVAdd M (α i)
⊢ FaithfulVAdd M ((i : ι) × α i)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure).testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
α : Type u_3
AddMonoid α
s : Multiset α
a : α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise AddCommute
⊢ (a ::ₘ s).noncommSum comm = s.noncommSum ⋯ + a
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =Θ[l] g ↔ g =Θ[l] f