ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
p : ULift.{u_1, u} α → Prop
⊢ (∀ (x : ULift.{u_1, u} α), p x) ↔ ∀ (x : α), p { down := x }
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ p ≤ comap f (map (f.coprod g) (p.prod q))
d : ℤ
n : ℕ
⊢ (↑n).norm = ↑n * ↑n
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
⊢ Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = ⊤
α : Type u_2
Mul α
ι : Sort u_5
a : α
f : ι → α
⊢ (Set.range fun i => a * f i) = a • Set.range f
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_4
Group G
MeasurableSpace G
MeasurableInv G
f : α → G
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ ↔ AEMeasurable f μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, Metric.ball y ε
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ↑P.parts.offDiag.card * ε < ↑(P.nonUniforms G ε).card
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ↑(P.nonUniforms G ε).card * (ε ^ 4 / 3) - ↑P.parts.offDiag.card * (ε ^ 5 / 25)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddMonoid α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f ((2 * n) • c)
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : Set.MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (ContractingWith.efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
⊢ s m ∈ ⋃ y ∈ {k | k ≤ n}, {x | (x, s y) ∈ a}
a b : Prop
Decidable a
⊢ ¬a → ¬b ↔ b → a
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.IsTree ↔ Nonempty V ∧ ∀ (v w : V), ∃! p, p.IsPath
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsSMulRegular M 0
a b : M
⊢ 0 • a = 0 • b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.LimitCone G
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.limitConeComp F t).cone = CategoryTheory.Limits.Cone.whisker F t.cone
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hn : G.Colorable n
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
NonUnitalNonAssocRing T
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubring.map g f.range = (g.comp f).range
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
x : TensorProduct R (Module.Dual R M) N
⊢ (dualTensorHomEquivOfBasis b).symm ((dualTensorHom R M N) x) = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : s ∥ ⊥
⊢ s = ⊥
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map K.subtype (H.addSubgroupOf K) = H ⊓ K
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
x y : M
⊢ x - y ∈ LinearMap.ker f ↔ f x = f y
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.ΨSq (2 * (↑m + 3)) = (W.preΨ' (m + 2) ^ 2 * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 5) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 4) ^ 2) ^ 2 * W.Ψ₂Sq
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPushout.iso G f g).hom = CategoryTheory.Limits.pushoutComparison G f g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 Φ s x ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Φ x i) s x
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
hx : IsPrimal x
⊢ y * x ∣ z
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → UpperSet α
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⋂ i, ↑(f i)
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
⊢ FirstOrder.Language.JointEmbedding K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a : α
ha hb : a ∉ s
⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons a s hb } ↔ a ≤ a
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
x : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
⊢ X.basicOpen (f * x) = X.basicOpen (x • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.whiskering C D).obj H).obj F).map f = H.map (F.map f)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β
c : γ
⊢ ((OrderHom.const β) c).comp f = (OrderHom.const α) c
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α
⊢ ∀ (a_1 : α), a ∣ Associates.out ⟦a_1⟧ ↔ Associates.mk a ≤ ⟦a_1⟧
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w n) φ) n
X : BoolAlg
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.obj X = BoolRing.of (AsBoolRing ↑X)
i : ℤ
j : ℤ
hi : i ≠ 0
⊢ 0 < i.gcd j
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
U : Y.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
n : ℕ
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
NeZero n
a : ZMod n
⊢ a.cast = ↑a.val
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : G →L[𝕜] E
A : (m : ℕ) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) F := fun m h => h.compContinuousLinearMap fun x => g
hA : ∀ (m : ℕ), IsBoundedLinearMap 𝕜 (A m)
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (f ∘ ⇑g) (fun x k => (p (g x) k).compContinuousLinearMap fun x => g) (⇑g ⁻¹' s)
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 < j2
⊢ T i j1 ≤ T i j2
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0
⊢ (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y)) = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ (∀ (i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U))) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
⊢ StarConvex 𝕜 x (Set.Ici y)ᶜ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp (a - m • p) b = toIcoDiv hp a b + m
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (deriv^[n] f) s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ xbar ∈ image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
⊢ sbtw a b c ↔ sbtw c a b
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
X : 𝓞 K
hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x * g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
h : e.target = e'.source
⊢ ∀ (a : α), ↑(e.trans' e' h) a = (↑e' ∘ ↑e) a
m n p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q
⊢ ↑q ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
n : ℕ
ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
hn : l.length = 2 * (n + 1)
⊢ l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
α : Type u
Group α
x y : GroupTopology α
⊢ x.toTopologicalSpace ≤ y.toTopologicalSpace ↔ x ≤ y
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
x : k[G]
x✝ c : G
⊢ a + c = a + x✝ ↔ c = x✝
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i
u_sum : Summable u
hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1
g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ContinuousOn (fun x => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), LowerSemicontinuousWithinAt (f i hi) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi x') s x
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ✝ : a ⟶ b
inst✝³ : p.IsStronglyCartesian f φ✝
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
ψ ψ' : a' ⟶ a
inst✝¹ : p.IsHomLift g ψ
inst✝ : p.IsHomLift g ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ
⊢ ψ = ψ'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f).left = { as := PUnit.unit }
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ (s + t).card = s.card * t.card ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 + p.2) (↑s ×ˢ ↑t)
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.dual.dual = t
p n k b : ℕ
hp : Nat.Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : Nat.log p n < b
⊢ multiplicity p (n.choose k) = ↑(Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Finset.Ico 1 b)).card
R : Type u
M : Type v
Add R
AddZeroClass M
r₁ r₂ : R
⊢ TrivSqZeroExt.inl (r₁ + r₂) = TrivSqZeroExt.inl r₁ + TrivSqZeroExt.inl r₂
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
⊢ (↑P).Normal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ (∫ (a : Ω), (fun a => X a ^ 2 + Y a ^ 2 + 2 * X a * Y a) a) - (∫ (a : Ω), (X + Y) a) ^ 2 = (((∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) + ∫ (a : Ω), (Y ^ 2) a) + 2 * ∫ (a : Ω), (X * Y) a) - ((∫ (a : Ω), X a) + ∫ (a : Ω), Y a) ^ 2
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
i : κ
x : β (h i)
⊢ (single (h i) x) (h i) = (single i x) i
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x = m - f a
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
SMulCommClass R S S
IsScalarTower R S S
M : Submodule R S
N : Submodule R S
ι : Type u_5
m : ι → ↥M
hc : ∀ (i : ι) (n : ↥N), Commute ↑(m i) ↑n
⊢ Submodule.mulLeftMap N m = N.mulRightMap m
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≤ q.natDegree
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
h : ∀ t ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋂₀ s) μ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ (v ^ 3 * Q y * (u * P z) ^ 3 - u ^ 3 * P y * (v * Q z) ^ 3) * (P z * Q z) = (u * v) ^ 2 * (Q y * P z ^ 3 - P y * Q z ^ 3) * (u * P z * (v * Q z))
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b ∆ c = a ∆ (b ∆ c)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
⊢ s = 2 * a * x + b ∨ s = -b + -(2 * a * x) ↔ x * (2 * a) = -b + s ∨ x * (2 * a) = -b - s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
a b : α
c d : β
⊢ (a ≠ b ↔ c = d) → (a = b ↔ c ≠ d)
x : ℝ*
h : x.Infinite
⊢ ¬x.Infinitesimal
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (l.erase a).length = l.length.pred
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∉ Finset.Ioo a b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hu : (p * q).IsPrimitive
hpm : p.natDegree = 0
⊢ IsUnit (p.coeff 0)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Set.range ⇑(PrimeSpectrum.comap f) = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(RingHom.ker f)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
s : σ'
x : List α
⊢ ((DFA.reindex g) M).evalFrom s x = g (M.evalFrom (g.symm s) x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasLeftKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((L.lanUnit.app (L.comp G)).app X)
    (((L.lanAdjunction H).counit.app G).app (L.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Functor C H)).obj (L.comp G)).obj X)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this✝ : s.Terminates
this : s.Results a s.length
⊢ ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : { x // x ∈ e.source }
⊢ 𝓝 ↑x = comap (↑e) (𝓝 (↑e ↑x)) ⊓ 𝓟 e.source
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s
⊢ Function.Injective (Set.codRestrict f s h) ↔ Function.Injective f
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ Nat.bit false ↑n ≠ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.appHom X) α = α.app X
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
a : A
z : 𝕜
h : ↑‖z‖₊ < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
⊢ IsUnit (1 - z • a)
n : ℕ
⊢ n - 1 + n = 2 * n - 1
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ.row i ↔ (i, j) ∈ μ
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoidWithOne α
p : ι → Prop
DecidablePred p
s : Finset ι
⊢ ↑(Finset.filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ FiniteDimensional.finrank ℝ ({ w // w ≠ NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ } → ℝ) = NumberField.Units.rank K
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
y z : ℝ
n : ℕ
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y
hx0 : 0 ≤ 0
hx1 : 0 ≤ 1
⊢ 0 ^ y ≤ 0 ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
i_inj : ∀ (a₁ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (a₂ : α) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), i a ha = b
⊢ s.card = t.card
α : Type u'
n : ℕ
k : ℕ
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabelAux Sum.inl k = Sum.map id (Fin.natAdd n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
⊢ normalClosure {⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LocallyConnectedSpace X
f : X → Y
h : ∀ (x y : X), y ∈ connectedComponent x → f y = f x
⊢ IsLocallyConstant f
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
⊢ ∀ x ∈ {z | 0 < z.im}, (eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) x = (↑(a 0) * x + ↑(a 1)) ^ (-k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ ↑e '' (e.trans e').source = e.target ∩ e'.source
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.counit ∘ₗ LinearMap.inr R A B = Coalgebra.counit
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
Zero α
One α
DecidableEq m
DecidableEq l
e : l ↪ m
⊢ Matrix.submatrix 1 ⇑e ⇑e = 1
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W a : Submodule R M
a✝ : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ a✝ ≤ a.dualAnnihilator ↔ a ≤ a✝.dualCoannihilator
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
x : G
⊢ x ∈ upperCentralSeries G (n + 1) ↔ ∀ (y : G), x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ upperCentralSeries G n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - toIcoDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + p + m • p)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
x✝ : α
y✝ : β x✝
⊢ y✝ ∈ dlookup x✝ (s₁ ∪ s₂).entries ↔ y✝ ∈ dlookup x✝ (s₂ ∪ s₁).entries
o : Ordinal.{u_2}
h : o.IsLimit
⊢ o.cof.IsRegular
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
⊢ x < y ↔ x ≤ y ∧ ∃ i, x i < y i
⊢ Ordinal.toNatOrdinal.symm = NatOrdinal.toOrdinal
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * edist x y ^ ↑r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : φ₁ = φ₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq h).h₀ = 0