ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
⊢ I.encard = J.encard
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : Embedding f
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace α
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.Coindep X ↔ M✶.Indep X
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ gauge s x < a + ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : MapsTo (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
s : Set H
⊢ ↑s.innerDualCone = ⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
⊢ JoinedIn sᶜ a b
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Monotone Tuple.graph.proj
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Ico 0 p
h0 : 0 ∈ Ico 0 (0 + p)
⊢ ↑a = 0 ↔ a = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.η.app X) (f.hom.app X) = N.η.app X := by aesop_cat
f_μ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.μ.app X) (f.hom.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.map (f.hom.app X)) (f.hom.app (N.obj X))) (N.μ.app X) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.MonadIso.mk f f_η f_μ).inv.toNatTrans = f.inv
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_1
Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
Fintype ↑w
s : Set.range v ≤ ↑(Submodule.span R w)
⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G
⊢ stabilizer G ↑s = s
X : Type w
t : TopologicalSpace X
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X
⊢ t = compactlyGenerated X
ι : Type u_3
α' : ι → Type u_4
(i : ι) → Bot (α' i)
i : ι
⊢ ⊥ i = ⊥
δ : Type u_3
CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ico m n, f k = (∏ k ∈ Finset.range n, f k) * (∏ k ∈ Finset.range m, f k)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c b : Ordinal.{u_4}
x✝ : a ∣ c
d : Ordinal.{u_4}
e : c = a * d
⊢ a ∣ a * (b + d)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F
this : Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom
e' : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)
E₁ : W₁.Localization ≌ D₁ := uniq W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ≌ D₂ := uniq W₂.Q L₂ W₂
e₁ : W₁.Q ⋙ E₁.functor ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
e₂ : W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
e'' : (Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor ≅ (W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F := Φ.functor.associator W₂.Q E₂.functor ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight e₁.symm F
e''' : Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ E₁.functor ⋙ F := liftNatIso W₁.Q W₁ ((Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor) ((W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F) (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor) (E₁.functor ⋙ F) e''
⊢ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom ↔ TwoSquare.GuitartExact e.hom
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i - f j) (f k - f l) κ μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : x = 0
⊢ ∃ y, (x = 0 ∨ y = 0) ∧ y ≠ 0
G : Type u_2
Group G
⊢ Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G 1 = {1 ::ᵥ Mathlib.Vector.nil}
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ IsUnit A⁻¹.det ↔ IsUnit A.det
α : Type u
s : Set α
f : Filter α
⊢ Filter.map Subtype.val (Filter.comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
s : Set M
⊢ Submodule.map f (Submodule.span R s) = Submodule.span R₂ (⇑f '' s)
n : ℕ
⊢ Equiv.symm Fin.revPerm = Fin.revPerm
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F
x : E
xR : ‖x‖ ≤ R
hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖
hx' : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖y - x‖
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
c : 𝕜
x : G
⊢ { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id 𝕜) c • { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.count = ∑' (a : α), f a
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
Preorder β₁
Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂
⊢ Filter.map u₁ Filter.atBot ×ˢ Filter.map u₂ Filter.atBot = Filter.map (Prod.map u₁ u₂) Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
hs : IsOpen s
hs' : IsOpen s'
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
x : α
hx : x ∈ frontier t
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ s'
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).tan = ‖x‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : Group α
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
x : β
h : a • x = 0
⊢ x = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable ↑(eapprox f n)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred a = Order.pred b ↔ a = b
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ UpperSet.Ici a ≠ ⊤
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ ⊤ ≤ a ↔ a = ⊤
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : VectorPrebundle R F E
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ e ∈ self.pretrivializationAtlas → Pretrivialization.IsLinear R e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
u : αˣ
⊢ ↑((map ↑f) (-u)) = ↑(-(map ↑f) u)
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
⊢ StrictAnti fun a => a / b
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε
⊢ Tendsto (id fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) atTop (𝓝 ↑(F n - f))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitIsoSwapCompLim G).inv.app X =
  CategoryTheory.Limits.limMap ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry G).inv.app X) ≫
    (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation G X).inv
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T2Space Y
WeaklyLocallyCompactSpace Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsCompact (f ⁻¹' K)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ f.mk' x 0 = f.toMap x
R : Type u
σ : Type v
a : R
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (MvPolynomial.C a * f) = MvPolynomial.C a * (MvPolynomial.pderiv i) f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : OrientedOrd α
inst✝ : OrientedOrd β
⊢ OrientedCmp (compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd))
C : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory C
D : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory D
G : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget A)
CategoryTheory.Limits.HasColimits A
CategoryTheory.Limits.HasLimits A
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget A)
(CategoryTheory.forget A).ReflectsIsomorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf J A} (f : X ⟶ Y),
  (G.sheafPullback A J K).map f = (CategoryTheory.presheafToSheaf K A).map (G.op.lan.map f.val)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × X)
x : X
hx : s ∈ 𝓝 (x, x)
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ U ×ˢ U ⊆ s
m n : ℕ+
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : ∀ (a : Pseudoelement P), pseudoApply f a = 0
⊢ f = 0
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddBelow S
⊢ IsGLB S (sInf S)
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
⊢ ∀ (j : Discrete α), ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.π.app j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app j
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e.symm.symm = e
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
⊢ |↑a| * dist ↑y₁ ↑y₂ / (|↑a| * (2 * √(y₁.im * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ
h : n = 0
⊢ ↑n = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Function.Injective MeasureTheory.JordanDecomposition.toSignedMeasure
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
m₁ m₂ : M
⊢ (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₂))) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁)).1 = (f.bilin m₁) m₂
a b a' b' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → b'.mod a' = 0 → a ∣ b
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 1 < a
n : ℤ
⊢ 0 < n → 1 < a ^ n
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ Nontrivial α ↔ ∃ x y, x < y
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
⊢ μ = ν
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ x ∈ I, t x), f a = ∏ᶠ (i : ι) (_ : i ∈ I) (j : α) (_ : j ∈ t i), f j
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
ab : r b a
⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
H.FiniteIndex
h : H ≤ K
⊢ K.FiniteIndex
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl.f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst.f i = 𝟙 (K.X i)
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : HasSum f a
i : ι
⊢ f i ≤ a
R : Type u
Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
⊢ DirectSum.IsInternal A ↔ IsCompl (A i) (A j)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ Metric.diam {x, y, z} = max (max (dist x y) (dist x z)) (dist y z)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L ⋯
F₂ : W.Localization ⥤ E := Construction.lift L' h
e' : F₁ ⋙ eq.functor ≅ F₂ := liftNatIso W.Q W (L ⋙ eq.functor) L' (F₁ ⋙ eq.functor) F₂ e
⊢ L'.IsLocalization W
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₃'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃'
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b
⊢ (insert a s).chainHeight + 0 = s.chainHeight + 1
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ injectiveSeminorm ≤ projectiveSeminorm
f : Bool → Bool → Bool
hf : ∀ (b b' : Bool), f b b' = f b' b
n m : ℕ
⊢ Nat.bitwise f n m = Nat.bitwise f m n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
P : R[X] → Prop
p : R[X]
h0 : 0 < p.degree
hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)
hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)
hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)
h : 0 < ⊥
⊢ P 0
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
h : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f.mkNormedAddGroupHom C h‖ ≤ C
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsScalarTower R A B
inst✝² : FormallyUnramified R B
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra A Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂
this : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra
⊢ f₁ = f₂
x : ℂ
⊢ ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) = x • 1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
u : yoneda.obj (unop X) ⟶ F
⊢ yonedaEquiv.symm (F.map f (yonedaEquiv u)) = yoneda.map f.unop ≫ yonedaEquiv.symm (yonedaEquiv u)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j : Fin m
⊢ ∀ (k : Fin m), ↑k < Fintype.card { i // f i ≤ a } → f k ≤ a
α : Sort u
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ StrictWeakOrder.Equiv a b → ¬r a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (Y_1 : CategoryTheory.Under Y),
  (CategoryTheory.Under.mapPushoutAdj f).counit.app Y_1 =
    CategoryTheory.Under.homMk
      (CategoryTheory.Limits.pushout.desc (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y_1.right) Y_1.hom ⋯) ⋯
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
a : A
⊢ 0 a = 0
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Iio ↑y = Set.Iio y
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ (l.eraseIdx i).length + 1 = (take i l ++ drop (i + 1) l).length + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
t : LowerSet β
⊢ ⊥ ×ˢ t = ⊥
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
R : Type u_10
Monoid R
DistribMulAction R V2
SMulCommClass k R V2
c : R
f : P1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
x y : SetTheory.PGame
⊢ (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y).Numeric ↔ x.Numeric ∧ y.Numeric
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
this : ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : Ω), upcrossings a b f x ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑n < m a
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 ⊤)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.Injective Submodule.toAddSubmonoid
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
b : B
x : F
hx : b ∈ e.baseSet
⊢ ↑e (↑e.symm (b, x)) = (b, x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ image2 (fun a b => f (a, b)) s t = f '' s ×ˢ t
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v
x : ℕ
hx : x ::ₒ v ∈ S
t : β → ℕ
ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0
⊢ (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ x ::ₒ t) = 0
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ PiNat.cylinder x n ↔ x ∈ PiNat.cylinder y n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b
⊢ a ≤ b * a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.functorialityEquivalence F e).inverse =
  CategoryTheory.Limits.Cocones.functoriality (F ⋙ e.functor) e.inverse ⋙
    (CategoryTheory.Limits.Cocones.precomposeEquivalence
        (F.associator e.functor e.inverse ≪≫
            CategoryTheory.isoWhiskerLeft F e.unitIso.symm ≪≫ F.rightUnitor).symm).functor