ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
this : ∀ (t : Set A), NonUnitalAlgebra.adjoin R (star t) ≤ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R t)
⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R s) ≤ NonUnitalAlgebra.adjoin R (star s)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
l : List α
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l = l.toFinset.sup id
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
MulAction α β
a : α
ha : IsUnit a
x y : β
⊢ a • x = a • y ↔ x = y
α : Type u
i : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop i s.tail = Stream'.drop (i + 1) s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.rTensor M (g ∘ₗ f) = LinearMap.rTensor M g ∘ₗ LinearMap.rTensor M f
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).powerset = ↑(List.map Multiset.ofList l.sublists)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom
⊢ False
r p : ℝ
hr : 0 ≤ r
hp : 0 ≤ p
⊢ r.toNNReal = p.toNNReal ↔ r = p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom
⊢ (unop X).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left ≫ f.unop.left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : Unique α
s : Finset α
⊢ s.Nonempty ↔ s = {default}
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
⊢ Submodule.map ((lift Q) ⟨f, cond⟩).toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ ¬f * g ≈ 0
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : Module.Ray R M
⊢ ⟦x.someRayVector⟧ = x
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ Function.support f), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j
⊢ IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y : Set α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
⊢ M.Dep Y
b a : Prop
⊢ ¬(a → b) → ¬b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f g : P ⟶ Q
h : f.f = g.f
⊢ f = g
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
s : AffineSubspace k P
⊢ ↑(v +ᵥ s) = v +ᵥ ↑s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
hf : f.IsIntegral
x✝ : S ⧸ I
x : S
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ f x p = 0
⊢ (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegralElem (Quot.mk Setoid.r x)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter α
a : α
hf : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f := by isBoundedDefault
h : ∀ᶠ (n : α) in f, n ≤ a
⊢ f.limsSup ≤ a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
X : CategoryTheory.Functor A B × CategoryTheory.Functor A C
⊢ (CategoryTheory.functorProdFunctorEquivUnitIso A B C).inv.app X =
  ((X.1.prod'CompFst X.2).hom, (X.1.prod'CompSnd X.2).hom)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : CategoryTheory.Arrow.mk i ≅ CategoryTheory.Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p ↔ CategoryTheory.HasLiftingProperty i' p
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
⊢ ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ = ∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ
t : Set ℝ≥0
h : t.OrdConnected
⊢ (NNReal.toReal '' t).OrdConnected
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
x : α
i : Fin (Multiset.count x m)
⊢ (m.mkToType x i).fst = x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Inv β
h : Filter.EventuallyConst f l
⊢ Filter.EventuallyConst f⁻¹ l
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
x : L
⊢ IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L M) x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
y y' : γ
⊢ f y = f y' → y = y'
α : Type u_1
f : α → Option α
l₁ l₂ : List α
H : List.Pairwise (fun a b => ∀ c ∈ f a, ∀ d ∈ f b, a = b ∧ c = d) l₁
p : l₁.Perm l₂
⊢ (List.lookmap f l₁).Perm (List.lookmap f l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace β
b : β
⊢ MeasurableSpace.comap (fun _a => b) m = ⊥
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofiltered J
F : CategoryTheory.Functor J Profinite
C : CategoryTheory.Limits.Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : CategoryTheory.Limits.IsLimit C
hU : IsClopen U
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ ((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)) x ∈ S.abToCycles.range
x y : SetTheory.PGame
⊢ (-y ≤ -x ↔ x ≤ y) ∧ ((-y).LF (-x) ↔ x.LF y)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Subsingleton R
⊢ (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
tV : (subsheafToTypes P).presheaf.stalk x
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
h : stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩) = stalkToFiber P x tV
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CompHaus.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullbackIsoPullback f g).hom (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π
⊢ |θ.sin| = |ψ.sin|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f✝ : F
g✝ : G
x y z : α
s : Set α
f g : α →ᵈ α
h : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (f * g) = ratio f * ratio g
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊤.iUnion = ↑I
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
⊢ (x, y) ∈ ↑g.graph
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ TopologicalSpace.coinduced f t₁ ≤ t₂
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
t : W
ht : t ∈ cs.leftInvSeq ω
⊢ cs.IsReflection t
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
⊢ (d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s u : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
hu : u ⊆ s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable u
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → F
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.eLpNormEssSup (g ∘ f) μ
F : PFunctor.{u}
DecidableEq F.A
Inhabited F.M
a : F.A
f : F.B a → F.M
⊢ PFunctor.M.iselect [] (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) = a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
i : IsZero Y
hf : f = 0
⊢ IsZero X
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥⊤ ↔ LieModule.IsNilpotent R L M
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑e) s x = e
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)
y : AddCircle T
⊢ DivisibleBy.div x (n - 1) + (-DivisibleBy.div x (n - 1) + -x + n • y + x) = n • y
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n < firstDiff x y
⊢ x n = y n
θ : Angle
⊢ 2 • θ = ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
⊢ (List.pmap f l h).get? n = Option.pmap f (l.get? n) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
⊢ i ∉ Finset.univ → ((p i).mapQ q (f i) ⋯) (Pi.single i x i) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
⊢ ↑(u * u) = ↑1 ↔ ↑u = ↑1 ∨ ↑u = ↑(-1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
FunLike F α β
SupSet α
SupSet β
sSupHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α
⊢ f (⨆ i, ⨆ j, g i j) = ⨆ i, ⨆ j, f (g i j)
p q : NNReal
self : p.IsConjExponent q
⊢ 1 < p
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ G.degree v ≤ G.maxDegree
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Fintype Mˣ
χ : MulChar M R
a✝ : Mˣ
⊢ (χ ^ Fintype.card Mˣ) ↑a✝ = 1 ↑a✝
M : Type u_1
Monoid M
n : ℕ
a : M
ha : a ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ Units.ofPowEqOne a n ha hn ^ n = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
terminatedAt_n : (of v).TerminatedAt n
m : ℕ
m_geq_n : m ≥ n
⊢ v = (of v).convs m
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
⊢ weightedHomogeneousSubmodule R w m * weightedHomogeneousSubmodule R w n ≤ weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
e : r ≃r r
x : α
⊢ e (e⁻¹ x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
⊢ Set.IccExtend h (f ∘ Subtype.val) = f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ False
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.sin (x + ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.sin x
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a ≤ 1 / b ↔ b ≤ a
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
⊢ IsMinFilter (⇑OrderDual.toDual ∘ f) l a ↔ IsMaxFilter f l a
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ 0 < orderOf x ↔ IsOfFinOrder x
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ ((fun x => Real.exp (f x)) =Θ[l] fun x => Real.exp (g x)) ↔
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x - g x|
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j : Subtype p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (Subtype.restrict p f) j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f ↑j
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (Polynomial.map f p).coeff n = f (p.coeff n)
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ √(a.im * b.im) * √(b.im * c.im) = √(a.im * c.im) * b.im
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
⊢ ∀ b ∈ I, IsInteger R (1 • b)
I : Type u
α : Type u_4
DecidableEq I
Subsingleton I
One α
i : I
x : α
⊢ Pi.mulSingle i x = fun x_1 => x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W Z
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 W) (f ≫ g) =
  CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 W) f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 W) g
x : ℂ
n : ℕ
hlt : -π < ↑n * x.arg
hle : ↑n * x.arg ≤ π
y : ℂ
⊢ x ^ (↑n * y) = (x ^ n) ^ y
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
⊢ 1 ≤ ifp_n.fr⁻¹
K V : Type u
Field K
AddCommGroup V
Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank K V < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))) μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
G : Type u_2
α : Type u_3
AddGroup G
TopologicalSpace α
AddAction G α
AddAction.IsMinimal G α
ContinuousConstVAdd G α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ∃ I, K ⊆ ⋃ g ∈ I, g +ᵥ U
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ ∀ (x : { a // a ∈ s }), IntegrableAtFilter f (Filter.map Subtype.val (𝓝 x)) μ
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
hx : x ∉ Set.Icc (q₁ i) (q₂ i)
⊢ i.insertNth x ⁻¹' Set.Icc q₁ q₂ = ∅