ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
n : PosNum
x : Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ x ∈ Turing.PartrecToTM2.trPosNum n → Turing.PartrecToTM2.natEnd x = false
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (addZ P Q ^ n)
⊢ W.addXYZ P Q = addZ P Q • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.x * a₁.x < d * (a.y * a₁.y) + a.x
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ContinuousAdd α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasSum (f ∘ Subtype.val) (a i)
⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (∑ i ∈ s, a i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ↑p ^ (n + 1) * WittVector.polyOfInterest p n = WittVector.remainder p n - WittVector.wittPolyProdRemainder p (n + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) • t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j • t
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
(i : I) → NonUnitalNonAssocSemiring (f i)
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : (i : I) → γ →ₙ+* f i
x : γ
b : I
⊢ (Pi.nonUnitalRingHom g) x b = (g b) x
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : MulZeroClass α
a✝ b✝ : WithTop α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α
ha : a < ⊤
hb : b < ⊤
⊢ a * b < ⊤
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₂ ∈ Turing.eval f₂ a₂
⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ Turing.eval f₁ a₁
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
g : G
a : α
⊢ g⁻¹ • g • a = a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
⊢ x ∈ s
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ Function.Surjective ⇑(f.val.app (op U))
P : Type u_1
Preorder P
F : Order.PFilter P
⊢ Order.IsPFilter ↑F
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hq1 : 1 ≤ q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (f + g) q μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ + MeasureTheory.eLpNorm' g q μ
n : ℕ
i j : ZMod n
⊢ DihedralGroup.sr i * DihedralGroup.sr j = DihedralGroup.r (j - i)
α : Type u_1
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ xs.append Mathlib.Vector.nil = xs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M✝ : Type u_4
N✝ : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : MulOneClass N
f : M →* N
s : Set α
g : α → M
x : α
⊢ f (s.mulIndicator g x) = s.mulIndicator (⇑f ∘ g) x
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ b.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
⊢ (-f).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : 0 < b₂
d : β
hcd : 0 < d
⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d < b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
J : Type u_1
inst✝¹ : W.RespectsIso
inst✝ : HasProductsOfShape J C
hW : ∀ (X₁ X₂ : J → C) (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j), (∀ (j : J), W (f j)) → W (Pi.map f)
X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C
c₁ : Cone X₁
c₂ : Cone X₂
hc₁ : IsLimit c₁
hc₂ : IsLimit c₂
f : X₁ ⟶ X₂
hf : W.functorCategory (Discrete J) f
φ : (j : J) → X₁.obj { as := j } ⟶ X₂.obj { as := j } := fun j => f.app { as := j }
hf' : W (Pi.map φ)
⊢ ∀ (j : Discrete J), ((hc₁.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₁) ≪≫ (Pi.isoLimit X₁).symm).hom ≫ (Arrow.mk (Pi.map φ)).hom) ≫ limit.π (Discrete.functor fun j => X₂.obj { as := j }) j = ((Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })).hom ≫ (hc₂.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₂) ≪≫ (Pi.isoLimit X₂).symm).hom) ≫ limit.π (Discrete.functor fun j => X₂.obj { as := j }) j
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
j : x.RightMoves
⊢ Surreal.mk x o < Surreal.mk (x.moveRight j) ⋯
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
⊢ ∃ a, (map I f) a = (mk I N) b
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.rightInvSeq ω.reverse = (cs.leftInvSeq ω).reverse
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x
⊢ diracProba (diracProbaInverse μ) = ↑μ
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : m ≤ l
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
α : Type u_2
LinearOrder α
x : α
s : Finset α
h : ∃ y ∈ s, x < y
⊢ ∃ y ∈ s, x < y ∧ ∀ z ∈ s, x < z → y ≤ z
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ ⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.1 (x.1 - x.2) + ⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.2 (x.1 - x.2) = Q x.1 + -Q x.2
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) 1 = if n = 0 then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
f : E → E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hs : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f^[n] s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Iic (f i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ t
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ×ˢ s \ s.diag = s.offDiag
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
⊢ p x
K : Type u_1
Field K
n : ℕ
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) (Polynomial.cyclotomic' n K)
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
hn : 0 < n
⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) • α = ζ ^ m • α
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ logb b x ≤ y ↔ b ^ y ≤ x
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
⊢ ∑ s : Finset α, ↑(Fintype.card α) / ((↑(Fintype.card α) - ↑s.card) * ↑((Fintype.card α).choose s.card)) =
  ↑(Fintype.card α) * ∑ k ∈ Finset.range (Fintype.card α), (↑k)⁻¹ + 1
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
⊢ (∀ (i : ↑(Iio b)), a ^ ↑i ≤ c) ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LT α
x : α
⊢ ⊥ < ↑x ↔ ↑x ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
s : Set N
⊢ ⇑h.symm '' s = ⇑h ⁻¹' s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubringClass.subtype S = ↑(NonUnitalSubalgebraClass.subtype S)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
⊢ HahnSeries.orderTop 0 = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a
⊢ False
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ
hg0 : g 0 = 0
hgbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |g (i + 1) ω - g i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ IsClosed (⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
⊢ (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.δ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z)) ≫ (G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ (G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z))) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.map (F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
Y : C₄
j : J
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
φ φ' : mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ'
⊢ φ = φ'
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl I (LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv I)
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ (f.sum fun x v => if a = x then v else 0) = f a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle (-x) y = o.oangle x (-y)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ Filter.comap norm (𝓝 0) = 𝓝 0
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
f : p.obj a ⟶ p.obj b
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
⊢ f = p.map φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
J : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} J
F : CategoryTheory.Functor J (AlgebraicGeometry.SheafedSpace C)
x : ↑↑(CategoryTheory.Limits.colimit F).toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).base y = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : α → ℝ≥0∞
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
H : Subgroup G
x : ↑↑H.toSubmonoid
⊢ ↑((Subgroup.equivSMul a H) x) = a • ↑x
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋂ k, ⋂ (_ : k ≤ n + 1), u k = (⋂ k, ⋂ (_ : k ≤ n), u k) ∩ u (n + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => f x • g x) = fun x => f x • g x
⊢ Integrable (fun a => K.indicator f a • g a) μ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this✝ : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
this : ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ∂ν a = ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a
⊢ (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u * (ν a) u = (κ a) (u ×ˢ s)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ (bind₁ verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n) = if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : Module.FinitePresentation R M
⊢ ∃ s, Submodule.span R ↑s = ⊤ ∧ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
StarRing α
a : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)
⊢ CentroidHom.starCenterIsoCentroid a = CentroidHom.starCenterToCentroid a
H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : PartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_5
β : Type u_6
self : PartialEquiv α β
x : α
⊢ x ∈ self.source → ↑self x ∈ self.target
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
⊢ eval x (p * X) = eval x p * x
α : Type u
m : Type u → Type v
x : m α
⊢ monadLift x = x
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, bernoulliFun k x = 0
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
⊢ Surjective x✝ ↔ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
h_injOn : ∀ (i : ι), Set.InjOn (f i) (s i)
h_disjoint : Set.univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i
⊢ Function.Injective (hs.piecewise f)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
f : E →ₐ[F] K
⊢ f.fieldRange = IntermediateField.map f ⊤
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
⊢ (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) = sum fun p => (sFiniteSeq ν p.1).prod (sFiniteSeq μ p.2)
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
⊢ (eX.prod eY).toPartialEquiv = eX.prod eY.toPartialEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V
⊢ W ⊔ span S = span (↑W ∪ S)
a✝ b c d m n a : ℤ
⊢ -a.pred = (-a).succ
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : x < y
⊢ √x < √y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B : LinearMap.BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : B.Nondegenerate
⊢ ((LinearMap.BilinForm.congr e) B).Nondegenerate
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
j k : Jᵒᵖ
f : j ⟶ k
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.componentwiseDiagram F U).map f =
  (F.map f.unop).c.app
      (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.unop j)).base).obj U)) ≫
    (F.obj (Opposite.unop k)).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C 1
⊢ f ∈ ⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ h.right.homologyIso = h.left.homologyIso ≪≫ h.iso
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
⊢ (I ⊔ J) * K = I * K ⊔ J * K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f ⁻¹' s i j
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s : Multiset α
⊢ Multiset.card (Multiset.map f s) = Multiset.card s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u
⊢ Nonempty (Field α) ↔ ℵ₀ ≤ #α ∨ ∃ n, #α = ↑n ∧ IsPrimePow n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
hf : Smooth I' I f
⊢ Smooth I' I fun x => (f x)⁻¹
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s, f (-g +ᵥ x) ∂μ
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M✶.Dep I ↔ (∀ (B : Set α), M.Base B → (I ∩ B).Nonempty) ∧ I ⊆ M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : Array α
bs : Array β
f : α → β → γ
⊢ (as.zipWith bs f).size = min as.size bs.size
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f g : A ⟶ B
h₁ : f.hom₁ = g.hom₁
h₂ : f.hom₂ = g.hom₂
h₃ : f.hom₃ = g.hom₃
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ (NonUnitalSubalgebra.center R A).toNonUnitalSubsemiring = NonUnitalSubsemiring.center A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p.f P.p.f = P.p.f
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers A
CategoryTheory.Limits.HasImages A
CategoryTheory.StrongEpiCategory B
CategoryTheory.Limits.HasImages B
L : CategoryTheory.Functor A B
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) L
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.PreservesImage.iso L f).hom =
  CategoryTheory.Limits.image.lift
    (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.mk (L.obj (CategoryTheory.Limits.image f))
      (L.map (CategoryTheory.Limits.image.ι f)) (L.map (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)) ⋯)