ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X → Y
he : Embedding e
s : Set Y
hs : ∀ (x : X), e x ∈ s
⊢ Embedding (Set.codRestrict e s hs)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • s.indicator (fun x => y) (π.tag J)) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ↑ε * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
α : CategoryTheory.Over f
⊢ f.iteratedSliceForward.obj α = CategoryTheory.Over.mk α.hom.left
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
x : α
⊢ f^[m + n] x = f^[m] (f^[n] x)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
⊢ (DFA.reindex (Equiv.refl σ)) M = M
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
w : F
hw : w ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x | x ∈ s ∧ f x = w}
ht₀ : {x | x ∈ s ∧ f x = w}.Nonempty
⊢ w ∈ ⇑f '' extremePoints ℝ s
α : Type u_1
x y : α
hxy : x ≠ y
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
hy : y ∈ Quot.mk Setoid.r l
⊢ 2 ≤ length (Quot.mk Setoid.r l)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
⊢ False
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
AddMonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ LipschitzWith C.toNNReal ⇑f
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ L'
y : ↥L'
⊢ ((LieModule.traceForm R (↥L') M) ⟨x, hx⟩) y = ((LieModule.traceForm R L M) x) ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
Subsingleton β
f : α → β
h : s.Nonempty → t.Nonempty
⊢ Set.MapsTo f s t
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.closedBall 1 δ * {x} = Metric.closedBall x δ
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
L : Type u_4
Field L
Algebra F L
f : E →ₐ[F] K
g : K →ₐ[F] L
⊢ IntermediateField.map g f.fieldRange = (g.comp f).fieldRange
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun p => (κ p.1) (countablePartitionSet n p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) (countablePartitionSet n p.2)
R : Type u
CommRing R
L : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
l : ↑L
m : ↑M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft L f) (l ⊗ₜ[R] m) = l ⊗ₜ[R] f m
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
α : Type u_12
e : M ≃+ N
f : α → M
g : α → N
⊢ ⇑e.symm ∘ g = f ↔ g = ⇑e ∘ f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f 0 s x 0
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
⊢ append u v = v ∘ cast ⋯
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ ¬(¬p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → ¬p x (f x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).obj X)
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f : α → β
h : ∀ ⦃s : Set α⦄, Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded (f '' s)
a : α
⊢ (LocallyBoundedMap.ofMapBounded f h) a = f a
E : Type u_1
c : E
self : ContDiffBump c
⊢ self.rIn < self.rOut
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
⊢ c ⋖ a ↔ c ⋖ b
a : Prop
⊢ ¬¬¬a ↔ ¬a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
y : β
⊢ y ∈ e.target → (↑e.symm y ∈ s ↔ y ∈ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : Multipliable fun b => (f b)⁻¹
⊢ Multipliable f
x y : ℝ*
⊢ ¬x.Infinitesimal → x < 0 → y.InfinitePos → (x * y).InfiniteNeg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι
⊢ Submodule.span k (range ((fun x => x -ᵥ p i0) ∘ p)) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q
⊢ False
s : ℝ
⊢ Tendsto s.GammaSeq atTop (𝓝 (Gamma s))
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
⊢ inverse a = a⁻¹
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' e'.source
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ Convex R {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}
n m : ℕ
⊢ (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
⊢ AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f = ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ ofTensorProduct I N ∘ₗ AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.X ∣ p - Polynomial.C (p.coeff 0)
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h₁ : ∀ m_1 ∈ m :: l, n ≤ m_1
h₂ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (m :: l)
⊢ raise' (lower' (m :: l) n) n = m :: l
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
this : φ 0 = 0
⊢ id = fun y => y
z : ℂ
⊢ ↑(Complex.normSq z) = (starRingEnd ℂ) z * z
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
h : I ^ m = I ^ m • ⊤
⊢ Submodule.Quotient.mk (↑r n) = Submodule.Quotient.mk (↑r m)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).g' = F.map h.g'
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s (t \ s)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
⊢ ∫ (x : E), (∑ i ∈ s, a i * (fderiv ℝ g x) (v i)) * f x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), (fderiv ℝ g x) (v i) * f x ∂μ
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
NonUnitalNonAssocSemiring R
ContinuousAdd R
ContinuousMul R
Fintype m
A : X → m → R
B : X → Matrix m n R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => A x ᵥ* B x
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ s ∪ insert a t = insert a (s ∪ t)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
MeasurableSpace α
MeasurableInv α
MeasurableSup₂ α
⊢ Measurable mabs
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R
⊢ x + y = z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
⊢ ↑((f.restrict hf') (snf.bN i)) = ↑(snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ b ⇨ c ≤ a ⇨ d
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8
⊢ ∀ (a : (α →₀ M) × (β →₀ M)),
  (Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R).symm a = Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.invFun a
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
⊢ QuasiCompact f ↔ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
M : Type u
RightCancelMonoid M
a b : M
⊢ a * b = b ↔ a = 1
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this : Mono f
⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
⊢ p.mirror = q.mirror ↔ p = q
R : Type u
LinearOrder R
⊢ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) = fun x x_1 => x + x_1
R : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
b : R
l : List R
h : ∀ a ∈ l, Commute a b
⊢ Commute l.sum b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
a : α
⊢ (∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball a i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
⊢ P (pullback.fst f g)
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
⊢ ∀ ⦃z : ZFSet⦄, z = {a} ∨ z = {a, b} → ∀ ⦃z_1 : ZFSet⦄, z_1 ∈ z → z_1 ∈ x ∨ z_1 ∈ y
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : ConcreteCategory C
inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝¹ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0
⊢ ((forget₂ C Ab).map S.iCycles) ((S.mapCyclesIso (forget₂ C Ab)).hom ((S.map (forget₂ C Ab)).abCyclesIso.inv ⟨x₂, hx₂⟩)) = x₂
P : Type u_1
inst✝ : LE P
I✝ J s t : Ideal P
x y : P
I : Ideal P
p : P
nmem : p ∉ I
hp : ↑I = univ
this : p ∈ univ
⊢ False
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
⊢ False
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : C
CategoryTheory.Closed A
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A ((CategoryTheory.ihom A).map f))
    ((CategoryTheory.ihom.ev A).app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.ev A).app X) f
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (iterateFrobenius R p 1) x = x ^ p
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
LinearOrderedCommRing S
Nontrivial R
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
⊢ abv ↑↑x = 1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
h : IsUnit I
⊢ (↑I).FG
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ c.toCone.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = c.fst
α : Type u_2
Monoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (s ^ n).toProd.2 = s.toProd.2 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.blimsup u f q ≤ Filter.blimsup u f fun x => p x ∨ q x
x : ℝ
⊢ Real.sinhEquiv.symm x = Real.arsinh x
α : Type u
l : List α
⊢ List.lookmap (fun x => none) l = l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K} = FDerivMeasurableAux.D f K
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
h2 : a < b
⊢ a - c < b - c
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ
⊢ X k - ∑ i ∈ range k, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (k - i) + ∑ x ∈ range k, C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.sin ↑x).re = Complex.sin ↑x
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).leadingCoeff = k • p.leadingCoeff
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α →+*o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
r : R
⊢ (↑↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = (algebraMap R C) r
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z
⊢ y ⊓ x ⊔ y \ x = y ⊓ z ⊔ y \ x
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ Function.Injective MulAction.orbitRel.Quotient.orbit
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v.restrict ∅ = 0
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
μ : MeasureTheory.Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => f x - y₀) μ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ∂μ) Filter.atTop
  (𝓝 0)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
z✝ : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
A B : ℝ
hB : 0 < B
HABK : K ⊆ verticalStrip A B
p : ↑(gammaSet N a)
z : ℍ
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ ‖eisSummand k (↑p) z‖ ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-↑k) * ‖↑p‖ ^ (-k)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
hJ : x ∈ J
r : R
s : ↥M
hx : mk' S r s = x
⊢ x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) J)
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P4 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P4 (-x₂) (-x₁) y
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
⊢ IsClosed {x | x.1 = 0}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Monotone f
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 Set.univ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ ∀ᶠ (p : F × G) in 𝓝 (φ.prodFun φ.pt), φ.prodFun (φ.implicitFunction p.1 p.2) = p
α : Type u_1
x : α
xs : List α
n : Nat
h : n = xs.length
⊢ (x :: xs).get ⟨n, ⋯⟩ = (x :: xs).getLast ⋯
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
hnm : n ≤ m
ω : Ω
⊢ n ≤ MeasureTheory.hitting u s n m ω
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).hom)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (θ.app a) (H.mapComp g h))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapComp g h) (θ.app c)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (G.map g) (θ.naturality h).hom))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
              (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (θ.naturality g).hom (H.map h)))
            (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
              (CategoryTheory.Bicategory.associator (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom)))))
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.neg (u • P) = u • W'.neg P
i j : ℤ
H : i ∣ j
⊢ i.gcd j = i.natAbs
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E
⊢ p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f univ x
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
⊢ (convexHull R) (Set.range ⇑b) = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
⊢ Continuous (coev X Y)
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ Function.Injective Sym.toMultiset
n k : ℕ
⊢ n ! * (n + 1).ascFactorial (k + 1) = (n + (k + 1))!