ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree
⊢ (h.basis.repr x) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v
n : ℕ
⊢ 0 ≤ SetTheory.PGame.powHalf n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
⊢ ∀ (W : PEmpty.{u_1 + 1} → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Collinear R {x, y, z}
⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : Mono (terminal.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
⊢ f = g
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S ≤ T
x : ↥T
m : ↑x ∈ S
⊢ (NonUnitalSubalgebra.inclusion h) ⟨↑x, m⟩ = x
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
⊢ HasDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ (∑ x ∈ s, if Odd (f x) then 1 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
a : α
ha : MulLECancellable a
⊢ Function.Injective fun x => a * x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (2 * (f' i).card) + 2 * (2 ^ Fintype.card α * (s.biUnion f' ∩ (f' i)ᶜ).card) ≤ 2 * 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o'
⊢ g i hi < o
X✝ Y✝ Z X Y : TopCat
H : X ≅ Y
U : Opens ↑X
⊢ (map H.inv ⋙ map H.hom).obj U = (𝟭 (Opens ↑X)).obj U
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else 1 / 2 * ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t))) ((↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2)
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (mellin (fun t => (↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2) (s / 2))
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ -1
⊢ False
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : Cᵒᵖ
j : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.const.opObjUnop X).inv.app j = 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj X).leftOp.obj j)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
⊢ μ ⟂ₘ μ ↔ μ = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
e : S ≃ₐ[R] S'
i : Fin pb.dim
⊢ (pb.basis.map e.toLinearEquiv) i = e pb.gen ^ ↑i
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
⊢ 0 < μ (support u)
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | b ≤ a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ (midpoint ℝ p₃ p₂) = ∡ p₁ p₂ p₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
self : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk self.m₁ self.m₃
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp w₂₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map v₁₂)) ∈
  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : f a * (f b)⁻¹ = 1
⊢ f (a * b⁻¹) = 1
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).LeftMoves ≃ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR + mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR).LeftMoves
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
R : Type u_1
Ring R
a b c : R
⊢ discrim (-a) (-b) (-c) = discrim a b c
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑p.succ
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ ⋃₀ {s, t} = s ∪ t
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
⊢ φ ∈ T ∨ FirstOrder.Language.Formula.not φ ∈ T
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ι : Type u_7
m : ι → MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f (MeasureTheory.Measure.sum m)
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (MeasureTheory.Measure.sum m) =
  MeasureTheory.Measure.sum fun i => MeasureTheory.Measure.map f (m i)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Equivalence ManyOneEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤
⊢ (μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s \ t)).toReal - (μ (t \ s)).toReal
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : Nonempty (⊤ ↪g turanGraph n r)
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
w : α → ℝ≥0
wpos : ∀ (x : α), 0 < w x
wmeas : Measurable w
wint : ∫⁻ (x : α), ↑(w x) ∂μ < ε / 2
f' : α → ℝ≥0∞ := fun x => ↑(f x + w x)
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }
⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
⊢ ∀ (x : α), (fun x => True) x → ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
ss : List String
cs : List Char
⊢ List.foldl (fun x x_1 => x ++ x_1) { data := cs } ss = { data := cs ++ (List.map String.data ss).join }
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
h₂ : ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n} = ∅
⊢ MeasurableSet (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n})
R : Type u
CommRing R
f g : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hv : ∀ x ∈ V, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
i : Opposite.op U ⟶ Opposite.op V
⊢ ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i) (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g U hu) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g V hv
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
t : (ZMod ↑n)ˣ
⊢ minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c ≠ 0
⊢ mkMetric (c • m) = c • mkMetric m
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
hr : 0 < a
⊢ SameRay R (a • x) y
G : Type u_1
g₁ g₂ : AddCommGroup G
h_mul : Add.add = Add.add
⊢ g₁ = g₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 2
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan * dist p₁ p₂ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ¬M.Dep X ↔ M.Indep X
R✝ : Type u
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : StarMul R
r : R
inst✝¹ : Invertible r
inst✝ : Invertible (star r)
this✝ : star ⅟r = star ⅟r * (star r * ⅟(star r))
this : star ⅟r * star r = star 1
⊢ star ⅟r * star r * ⅟(star r) = ⅟(star r)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = 0
⊢ f = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq 0 0 CategoryTheory.Limits.biprod.inl CategoryTheory.Limits.biprod.inr
R : Type u_1
Semiring R
x y : R[ε]
⊢ TrivSqZeroExt.snd (x * y) = TrivSqZeroExt.fst x * TrivSqZeroExt.snd y + TrivSqZeroExt.snd x * TrivSqZeroExt.fst y
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
hdnf : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
a b : ℤ
h : ¬b ≤ a
⊢ a + 1 ≤ b
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CompHaus.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullbackIsoPullback f g).hom (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h0 : ¬q = 0
hq : (aeval h.gen) q = 0
⊢ ↑h.dim ≤ q.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝[Set.range f] f a
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ UpperHalfPlane.verticalStrip A B
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : a * b = 1
⊢ a⁻¹ = b
α : Type u
x : WithOne α
hx : x ≠ 1
⊢ ↑(WithOne.unone hx) = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type x
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
b : β
hs : s.Infinite
hb : b ∈ t
hf : Set.InjOn (fun a => f a b) s
⊢ (Set.image2 f s t).Infinite
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
m : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.sum ∈ s
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0
this : VanishesTrivially R (fun i => ↑(↑i).1) fun i => (↑i).2
⊢ VanishesTrivially R (fun i => (↑i).1) fun i => (↑i).2
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
x : X
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba i)) (𝓝 x) (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba x)))
n : ℕ
⊢ cos (↑n * (2 * π) - π) = -1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ✝ ψ : L.Formula α
v✝ : α → M
φ : L.Formula (Fin n)
v : Empty → M
x : Fin n → M
⊢ (BoundedFormula.relabel Sum.inr φ).Realize v x ↔ φ.Realize x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
h : a ∈ t
⊢ insert a s ∩ t = insert a (s ∩ t)
x y : ℝ
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => log x ^ n / id x) atTop (𝓝 0)
x : ℝ
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[<] x, Icc i x ⊆ Metric.closedBall x ε
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
hunion : filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) ∪ filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) = Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ
⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').target = e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' (e'.source ∩ e.target)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ ClusterPt y (pure x)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P
a : R
ha : a ∈ J
s : R
hs : s ∈ P.primeCompl
eq : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0
⊢ False
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
z : ℂ
⊢ z ∈ Set.range ⇑((gelfandTransform ℂ A) a) ↔ ∃ f, f a = z
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, Inducing f
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
IsEmpty ι
m : N
⊢ ∀ (a : (i : ι) → (fun x => M) i), (ContinuousAlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι m) a = m
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
F : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ
i : ι
⊢ DFinsupp.liftAddHom.symm F i = F.comp (DFinsupp.singleAddHom β i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hs : s ∈ l
⊢ s ∈ ⊤
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : Ideal.PrimePair P
⊢ IsIdeal (↑IF.F)ᶜ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x
α : Type u_1
F : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mF : MeasurableSpace F
Y : α → F
hY : Measurable Y
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : α), (μ[A.indicator fun x => 1|MeasurableSpace.comap Y mF]) x ∂μ = (μ A).toReal
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
n : S
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.DifferentialObject S C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftFunctor C n).map f).f = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (f =o[l] fun x => -g' x) ↔ f =o[l] g'
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
u : αˣ
⊢ 0 < ↑u
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
s : Finset α
H : ∀ x ∈ s, p x ↔ q x
⊢ Finset.filter p s = Finset.filter q s