ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
⊢ (⊤.induce {u, v} ⊓ H).verts.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
hr : Relator.LeftUnique R
⊢ Relator.LeftUnique (List.Forall₂ R)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.projIcc a b h a = ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Topology.IsUpperSet α
Topology.IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Continuous f
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
⊢ K ≤ K' ↔ ↑K ⊆ ↑K'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
⊢ 0 ∈ a • t ↔ 0 ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a b : α
m n : ℕ
h : a ≠ b
⊢ l ~ replicate m a ++ replicate n b ↔ count a l = m ∧ count b l = n ∧ l ⊆ [a, b]
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Unique α
l : α →₀ R
v : α → M
⊢ (Finsupp.total α M R v) l = l default • v default
α : Type u_1
Monoid α
a b c : α
⊢ multiplicity.Finite a (b * c) → multiplicity.Finite a b
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
W X Y Z : Action V G
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.hom g.hom
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = 1 * Q z
⊢ (fun m => m • Q) u = Q
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ frontier (Set.Icc a b) = {a, b}
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ deriv ε =o[atTop] fun x => x⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Ico (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) = Finset.map Function.Embedding.inr (Finset.Ico b₁ b₂)
f✝ f g : StieltjesFunction
a b : ℝ
h : a < b
⊢ ofReal (↑f b + ↑g b - (↑f a + ↑g a)) = ofReal (↑f b - ↑f a) + ofReal (↑g b - ↑g a)
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (fun a => s.inf' hne fun x => f x a) x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
s : Finset ι
⊢ ProbabilityTheory.mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t = ∏ i ∈ s, ProbabilityTheory.mgf (X i) μ t
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t : Multiset α
a✝ b : α
s : Multiset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ≤ a ::ₘ s.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b
⊢ (insert a s).chainHeight + ↑0 = s.chainHeight + ↑1
R : Type u_5
S : Type u_6
Ring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ abv (a - b) = 0 ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
Nonempty ι
e : α ≃o β
f : ι → α
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ e (⨆ i, f i) = ⨆ i, e (f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ IsClosed ↑Kᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.comp₂ g hg f₁ f₂ = MeasureTheory.AEEqFun.comp (Function.uncurry g) hg (f₁.pair f₂)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.iIndepSets (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (t : Finset ι), μ (⋂ i ∈ t, s i) = ∏ i ∈ t, μ (s i)
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊤.op = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
hv : v ≤ᶠ[l] u
⊢ ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in map u l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → ∀ᶠ (x : β) in map v l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent
⊢ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → (if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) = if G.connectedComponentMk j = c then 1 else 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
ι : Type u_11
b : Basis ι R E
f₁ f₂ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
⊢ f₁ = f₂
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : M
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ DomAddAct.mk c +ᵥ MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf = MeasureTheory.Memℒp.toLp (fun x => f (c +ᵥ x)) ⋯
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ 𝓒 u v s
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →L[𝕜] E
hf : f.det ≠ 0
⊢ ↑(f.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hf) = f
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
self : Pretrivialization F proj
⊢ self.target = self.baseSet ×ˢ Set.univ
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m₁ m₂ : M
a : α
h₁ : a ∈ fixedBy α m₁
h₂ : a ∈ fixedBy α m₂
⊢ a ∈ fixedBy α (m₁ * m₂)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
f : ι → ℝ
⊢ a • ⨅ i, f i = ⨅ i, a • f i
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : A.card ≤ 1
hB1 : B.card ≤ 1
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
α : Type u
UniformSpace α
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ ClusterPt (x, y) (𝓤 α)
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x
this : (fun x => { down := true }) = fun x => { down := false }
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ s.toList.formPerm.IsCycleOn ↑s
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a b c : α
ha : SupPrime a
⊢ a ≤ b ⊔ c ↔ a ≤ b ∨ a ≤ c
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι
h : dist x y < (1 / 2) ^ encode i
⊢ dist (x i) (y i) ≤ dist x y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t
F : α → ℝ
F_mble : Measurable F
F_nn : 0 ≤ F
f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F
eq₁ : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)
eq₂ : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..F ω, G t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Ioo (pred a) b = Ico a b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* N
g : M' →* N'
S : Submonoid N
S' : Submonoid N'
⊢ Submonoid.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (Submonoid.comap f S).prod (Submonoid.comap g S')
x y : EReal
⊢ max (-x) (-y) = -min x y
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Order.succ c ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ kernImage f (s ∪ f ⁻¹' t) = kernImage f s ∪ t
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
f₁ : F.B a₀ → F.M
h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)
h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩
⊢ (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
a b : UInt64
h : a < b
⊢ a ≠ b
a x y : ℂ
⊢ InnerProductGeometry.angle (x / a) y = InnerProductGeometry.angle x (y * a)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s +ᵥ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t y
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
hy : y = f x
⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
h : f a = a
⊢ OrderHom.lfp f ≤ a
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hp : ¬p = 0
⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i
α β : Type u
a : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀
⊢ succ a < ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop
⊢ EventuallyConst p l ↔ (∀ᶠ (x : α) in l, p x) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, ¬p x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
eq : γ₁ = γ₂
⊢ γ₁.left.φH = γ₂.left.φH
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ (π₁ ⊓ π₂).iUnion = ↑I
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
x : α
IsAntisymm α r
⊢ x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group G
MulAction G α
MulAction G β
⊢ MulAction.orbitRel G (α × β) ≤ Setoid.comap Prod.snd (MulAction.orbitRel G β)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) x =
  HahnSeries.embDomain { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ } (HahnSeries.toPowerSeries.symm x)
α : Type u
β : Type v
t : Set β
f : α → β
⊢ ∀ (a : ↑(f ⁻¹' t)), ↑(t.restrictPreimage f a) = f ↑a
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯).Exact
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (∀ (b : α), b ∈ l → b = a) → l = List.replicate l.length a
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
x : β
⊢ h (h.symm x) = x
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Fintype G
x : G
⊢ addOrderOf x = Fintype.card ↑↑(AddSubmonoid.multiples x)
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Inhabited α
Preorder β
f : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
a : α
⊢ f a ≤ f (Directed.sequence f hf (Encodable.encode a + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Inhabited α
l✝ : List α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).dedup.headI = if (a :: l).headI ∈ (a :: l).tail then (a :: l).tail.dedup.headI else (a :: l).headI
α : Type u_1
β : Type u_2
Add β
f g : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun (f + g) = UniformFun.toFun f + UniformFun.toFun g
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
n : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' false 1 n = 2 ^ n
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ.hom
⊢ f ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 R
α : Type u_1
Nonempty α
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
b : β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 b) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : α), N < n → ‖f n - b‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (x * a)) (c / a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun f => F.obj f.fst.1
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan F.obj
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ s = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 }
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ t = c₂.ι.app { as := f.fst.1 }
i : CategoryTheory.Limits.Cofork s t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasColimitOfHasCoproductsOfHasCoequalizers.buildColimit s t hs ht i).ι.app j =
  c₂.ι.app { as := j } ≫ i.π
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty
⊢ ¬t.Nonempty
α : Type u_1
s t u : Multiset α
⊢ s.Disjoint (t + u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : P
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P).symm (AddMonoid.Coprod.inr (AddMonoid.Coprod.inr x)) = AddMonoid.Coprod.inr x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
S : Set E
q : ℕ
inst✝¹ : ExpChar F q
n : ℕ
L : IntermediateField F E := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
M : IntermediateField F E := adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
⊢ L = M
F : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
Group G
MulOneClass H
FunLike F G H
MonoidHomClass F G H
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f ↔ ∀ (a : G), f a = 1 ↔ a = 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PolishSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ PolishSpace.IsClopenable s
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
x : β
t : Set β
s : Set α
⊢ μ (if x ∈ t then s else ∅) = t.indicator (fun x => μ s) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Mono c.inr
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ↑k✝ < Fintype.card { i // f i ≤ a }
⊢ f k✝ ≤ a
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C).hom.app X).app X_1).τ₁ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).X₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Ici a = cons a (Ioi a) ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n
⊢ |a - b| < n
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p
α : Type u_1
G : Type u_9
DivisionMonoid G
f g : α → G
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x / g x) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun n => f^[n] x) Filter.atTop (𝓝 (ContractingWith.efixedPoint f hf x hx))
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
γ₁ : Sort u_3
α₂ : Sort u_4
β₂ : Sort u_5
γ₂ : Sort u_6
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
ec : γ₁ ≃ γ₂
f : α₁ ↪ β₁
g : β₁ ↪ γ₁
⊢ (ea.embeddingCongr ec) (f.trans g) = ((ea.embeddingCongr eb) f).trans ((eb.embeddingCongr ec) g)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)
⊢ ↑(finPiFinEquiv (Pi.single i j)) = ↑j * ∏ j : Fin ↑i, n (Fin.castLE ⋯ j)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r✝ : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s
r : ℝ≥0∞
s : Set X
hs : diam s ≤ r
⊢ diam (closure s) ≤ r
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h : ∃ u, a < u
⊢ ∃ u, a < u ∧ Set.Ico a u ⊆ s
α : Type u
S : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s.Promises a
c : Computation α
cs : c ∈ S
ac : a ∈ c
⊢ a ∈ Computation.parallel S
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₁ : σ₁
ab : Reaches f₁ a₁ b₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches f₂ a₂ b₂
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
⊢ LipschitzWith 1 f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ (s.toMeasureOfLEZero i hi₁ hi) j = ↑⟨-↑s (i ∩ j), ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
⊢ ∃ t_1, t_1.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t_1, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
⊢ (fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j ⊆ ((↑i).extend I).source
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ ⦃t : Set ℝ⦄, MeasurableSet t → (κ x) t = (ρ.condKernel x) t
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
self : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
⊢ MvQPF.abs (MvQPF.repr x) = x
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ 0 < a.re.gcd a.im ↔ a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
w x y z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ z ∈ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H w) ∩ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H x) ∩ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H y)
b x : ℝ
hb : 1 < b
h0 : 0 < x
h1 : x < 1
⊢ Real.logb b x < 0
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ Ideal.span (⇑U.topIso.inv '' s) = ⊤
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)
⊢ reduce (invRev w) = invRev (reduce w)