ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.span R {0} = ⊥
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc (n + 2) PowerSeries.X = Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ Measurable ↑↑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).comp
    (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α β h) ⋯ =
  β
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
VAdd M α
VAdd N α
self : VAddCommClass M N α
m : M
n : N
a : α
⊢ m +ᵥ (n +ᵥ a) = n +ᵥ (m +ᵥ a)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
b : β
ca : Computation α
⊢ Computation.LiftRelAux R C ca.destruct (Sum.inl b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
⊢ (List.zipWith f l₁ l₂)[i]? = (Option.map f l₁[i]?).bind fun g => Option.map g l₂[i]?
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
s : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ {a, b}, s x = s a ∩ s b
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
⊢ ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : R[M]
ih : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = r • f
p : ℝ
⊢ (deriv fun x => x ^ p) =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (p - 1)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b < r₂
⊢ 0 < r₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
LE α
f g : ι →₀ α
⊢ ⇑f ≤ ⇑g ↔ f ≤ g
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
m : ℝ
hf' : (∃ x ∈ s, m ≤ f' x) ∧ ∃ x ∈ s, f' x ≤ m
⊢ ∃ x ∈ s, f' x = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ lowerBounds s
c : α
hc : c < b
⊢ False
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ IsLowerSet (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ IsUpperSet s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ (i₁, i₂) = (φ.f i₁).f i₂
r : ℝ
⊢ r.toNNReal < 1 ↔ r < 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
⊢ s.Subsingleton
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
this : ∅ ∉ 𝒜
a : α
ha : a ∉ s
ht : insert a s ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ insert a s
⊢ insert a s ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F' : Fin (n + 1) → C
c : Cocone (Discrete.functor F')
α : Discrete.functor F' ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
H₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i))
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.cases (c.ι.app { as := 0 }) (fun i => c.ι.app { as := i.succ }) j = c.ι.app { as := j }
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
n : ℕ
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict (sets n))
⊢ μ.restrict (sets n)[(sets n).indicator f * g|m] =ᶠ[ae (μ.restrict (sets n))] (sets n).indicator f * μ.restrict (sets n)[g|m]
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
⊢ hitting u s ⊥ ⊤ ω = sInf {i | u i ω ∈ s}
α β : Type u_2
f : Filter α
m : α → Filter β
⊢ f >>= m = f.bind m
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
MulOneClass M₁
MulOneClass M₂
ContinuousMul M₂
F : Type u_8
FunLike F M₁ M₂
MonoidHomClass F M₁ M₂
f : M₁ → M₂
hf : f ∈ closure (Set.range fun f x => f x)
⊢ ⇑(monoidHomOfMemClosureRangeCoe f hf) = f
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size }
⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
hn : n ≠ 0
⊢ log b n ≤ log c n
G : Type u_1
H : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Set.Ici 0)
⊢ Monotone f
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
(x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx₁ : x ∈ e₁.baseSet
hx₂ : x ∈ e₂.baseSet
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
⊢ ↑(e₁.prod e₂) { proj := x, snd := (v₁, v₂) } =
  (x, (Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x hx₁) v₁, (Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x hx₂) v₂)
n : ℕ
⊢ Nat.fib (2 * n + 1) = Nat.fib (n + 1) ^ 2 + Nat.fib n ^ 2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
s : Set α
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ⟪c, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫_𝕜
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
s : Set (ℕ → Bool)
f : α ≃ᵐ ↑s
this : TopologicalSpace α := induced (⇑f) inferInstance
F : α ≃ₜ ↑s := f.toHomeomorphOfInducing ⋯
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop
⊢ (∃ y ∈ e.target, p y) ↔ ∃ x ∈ e.source, p (↑e x)
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 1 + y ≠ 0
⊢ x ^ (1 + y) = x * x ^ y
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh (2 * x)) = ↑(cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
val✝ : Fintype β
⊢ P σ
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
Nonempty α
CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
⊢ Function.IsFixedPt f (ContractingWith.fixedPoint f^[n] hf)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (Set.range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ interior s = ∅
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op
⊢ f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j = g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
hf : f.IsIntegral
⊢ (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
U : CategoryTheory.Functor B C
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor A B
F' : CategoryTheory.Functor C A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R.comp U
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers A
(X : B) → CategoryTheory.RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
⊢ ∀ (a : X ⟶ R.obj Y),
  (CategoryTheory.LiftAdjoint.constructLeftAdjointEquiv R F' adj₁ adj₂ Y X).symm a =
    (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso
          (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit
            (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F'.map (U.map (adj₁.counit.app X)))
              (CategoryTheory.LiftAdjoint.otherMap R F' adj₁ adj₂ X)))
          Y).symm
      ⟨(adj₂.homEquiv (U.obj X) Y).symm
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₁.unit.app (U.obj X))
            (U.map
              ↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso (CategoryTheory.LiftAdjoint.counitCoequalises adj₁ X)
                    (R.obj Y))
                  a))),
        ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderBot α
SemilatticeInf β
OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : (insert e I₀).ncard ≤ J.ncard
⊢ False
α : Type u
β : Type v
Preorder α
f : α → β → α
H : ∀ (b : β), StrictMono fun a => f a b
l : List β
⊢ StrictMono fun a => List.foldl f a l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.sinh (f x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
⊢ Antiperiodic f (-c)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
u : L
x✝ : ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = u
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
z : L
hz : z ∈ rootSpace H (-α)
hyz : ⁅y, z⁆ = u
⊢ u ∈ H ↔ ↑((rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯) (⟨y, hy⟩ ⊗ₜ[R] ⟨z, hz⟩)) ∈ ↑(rootSpace H 0)
n : ℕ
a : Fin n
⊢ ↑↑a = a.castSucc
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
⊢ c i = c 1
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Ico a (Order.succ b) = Set.Icc a b
T : Type u_4
CommRing T
IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
⊢ J ^ n ⊔ I = J ^ (multiplicity J I).get ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
A : HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) (↑(extChartAt I x) x) = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x) x)
X Y Z : AddCommGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α.Arrow β
g : α'.Arrow β'
⊢ TypeVec.comp TypeVec.prod.snd (TypeVec.prod.map f g) = TypeVec.comp g TypeVec.prod.snd
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M
⊢ (exp 𝕜 x).fst = exp 𝕜 x.fst
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
AddCommMonoid β
IsEmpty α
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, f i = 0
ι : Type u_1
Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
⊢ {f | ∀ (i : ι), f i ∈ t i}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ f.uncurryLeft m = (f (m 0)) (Fin.tail m)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
⊢ φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R ((cfcHom ha) f)) (ContinuousMap.id R)) = (cfcHom ha) f
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : IsCoprime x z
⊢ IsCoprime x (y * z)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.lintegral 0 μ = 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
Subsingleton 𝕜
⊢ stdSimplex 𝕜 ι = Set.univ
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (s.inf' hne f) x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap (↥(integralClosure A L)) L))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[{y}ᶜ] x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp
hc : s.card = finrank k ↥sp.direction + 1
hn : s.Nonempty
⊢ (affineSpan k ↑(Finset.image p s)).direction = sp.direction
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
f g : α → E
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (s.piecewise f g) μ =
  max (MeasureTheory.eLpNormEssSup f (μ.restrict s)) (MeasureTheory.eLpNormEssSup g (μ.restrict sᶜ))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) (-s) = -(convexHull 𝕜) s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.HasShift E ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCompIso G).hom.app X).hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj (F.obj X.obj₂))
m n : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
⊢ (m / m.gcd n).primeFactors = m.primeFactors \ n.primeFactors
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
p : Submodule R N
⊢ Submodule.map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (Submodule.map e p).dualCoannihilator
K L M : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : ((K ⊗ L) ⊗ M).obj Δ
⊢ (α_ K L M).hom.app Δ x = (x.1.1, x.1.2, x.2)
α : Type u_2
DistribLattice α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ a ∈ [[b, c]] → b ∈ [[a, c]] → a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : sSupHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ ∀ (a : α), (sInfHom.dual.symm f).toFun a = (⇑OrderDual.ofDual ∘ ⇑f ∘ ⇑OrderDual.toDual) a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ ∀ {x : FractionRing A}, IsIntegral Aₘ x → ∃ y, (algebraMap Aₘ (FractionRing A)) y = x
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
ι' : Type u_5
s : Finset ι'
f : ι' → M
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, (DirectSum.decompose ℳ) (f i)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
rpos : 0 < r
f : E → E := fun y => x + (r * ‖y‖⁻¹) • y
⊢ IsPathConnected (sphere x r)
α : Type u
Monoid α
⊢ ↑1 = 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ ⇑e.toIsometryEquiv = ⇑e
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
S : Submonoid R
IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : I * I' = 1
⊢ (↑I).IsPrincipal
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
n : ℕ
⊢ (r ^ (p.natDegree + q.natDegree - (p * q).natDegree) • (p * q).scaleRoots r).coeff n = (p.scaleRoots r * q.scaleRoots r).coeff n