ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P
⊢ nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ nndist v v' + nndist p p'
α : Type u
Preorder α
f : α → α
hf : RightOrdContinuous f
n : ℕ
⊢ RightOrdContinuous f^[n]
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
⊢ Mono S₂.f
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn * ht.min htn
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N✝ : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝³ : TopologicalSpace N✝
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N✝
N : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : TopologicalAddGroup N
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
⊢ ↑v s = 0
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F ↔ Small.{u, max u v} ↑F.sections
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
t₁ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ → l₁ ∩ t₁ ~ l₂ ∩ t₁
p n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n
⊢ x.out.coeff ↑i = TruncatedWittVector.coeff i x
a b : ENNReal
⊢ 0 < a / b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f : α → β},
  AEMeasurable f μ → ∀ (ν : MeasureTheory.Measure α), AEMeasurable f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))
a b : Prop
Decidable a
h : ¬(a → b)
⊢ a ∧ ¬b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ comp g hg f = mk (g ∘ ↑f) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.unop.Exact ↔ S.Exact
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.ContainsIdentities
X : C
⊢ W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1 → α} {a : α} {acc : Array α} (l : List α_1),
  List.scanlTR.go f l a acc = acc.data ++ List.scanl f a l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (φ + φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ + CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ'
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
v : V
⊢ (IsometryEquiv.vaddConst x) v = v +ᵥ x
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ∀ {x : Fintype G} (H : AddSubgroup G) [hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))], H = ⊥ ∨ H = ⊤
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
f : p.obj a ⟶ p.obj b
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ f = p.map φ
x : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s t : Set α
⊢ exterior (s ∪ t) = exterior s ∪ exterior t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + (⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.sinh (f x)) s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
t : R
ht : t < 0
⊢ s.SOppSide ((AffineMap.lineMap x y) t) y
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S (MeasureTheory.weightedSMul μ) f
α : Type u_2
SemilatticeInf α
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), InfClosed (f i)
⊢ InfClosed (⋂ i, f i)
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
inst✝ : IsAntisymm α r
l₁ l₂ : List α
hp : l₁ <+~ l₂
hs₁ : Sorted r l₁
hs₂ : Sorted r l₂
w✝ : List α
h : w✝ ~ l₁
h' : w✝ <+ l₂
⊢ l₁ <+ l₂
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
R' : Type u_7
A : Type u_9
Monoid R'
Semiring A
Module A M
Module A N
DistribMulAction R' N
ContinuousConstSMul R' N
SMulCommClass A R' N
c : R'
f : M [⋀^ι]→L[A] N
⊢ (c • f).toAlternatingMap = c • f.toAlternatingMap
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = (aeval t) ((monomial n) (↑n + 1))
α : Type u_2
One α
LinearOrder α
⊢ Finset.min 1 = 1
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
h : α → Filter β
⊢ (f ⊔ g).bind h = f.bind h ⊔ g.bind h
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Set.Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Set.Icc x₀ x)) (Set.Ioo x₀ x)
⊢ ∃ x' ∈ Set.Ioo x₀ x,
  f x - taylorWithinEval f n (Set.Icc x₀ x) x₀ x =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f (Set.Icc x₀ x) x' * (x - x') ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f
b : ↑B
hb : ∀ (a : ↑A), f a ≠ b
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.whiskerLeft G.op α.val)
⊢ CategoryTheory.IsIso α
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
⊢ R a b → ((∀ (i : ℕ) (h : i < t.length), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i, ⋯⟩)) ↔ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < t.length + 1), R ((b :: t).get ⟨n, ⋯⟩) (t.get ⟨n, ⋯⟩))
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (smulAux' g z).im = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Surjective ⇑(map f) ↔ Function.Surjective ⇑f
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hcont : ContinuousWithinAt g (Set.Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Set.Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
r : ℝ≥0
⊢ ↑r ≤ 1 ↔ r ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B : Set E
hB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsExposed 𝕜 B A
⊢ A = B
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R ⟶ R'
M₁' M₂' : PresheafOfModules R'
φ : M₁' ⟶ M₂'
⊢ ((PresheafOfModules.restrictScalars α).map φ).hom = φ.hom
α : Type u_2
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace R
TopologicalSpace α
f : α → Matrix m n R
h : ∀ (i : m) (j : n), Continuous fun a => f a i j
⊢ Continuous f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
hseq : seminormFromConst_seq c f (x * y) = fun n => f x * seminormFromConst_seq c f y n
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl x y
⊢ x ≤ z ↔ Codisjoint z y
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
⊢ Set.image2 f (insert a s) t = (fun b => f a b) '' t ∪ Set.image2 f s t
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
n : N
g : Dual R N
p : P
m : M
⊢ f m • g n • p = g n • f m • p
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ ((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = (pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)
x : PSet
y : PSet
z : PSet
h1 : x.Equiv y
h2 : y.Equiv z
⊢ x.Equiv z
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁ᶜ
h₂ : IsOpen s₂ᶜ
⊢ IsOpen (s₁ᶜ ∪ s₂ᶜ)
M : Type u_1
Monoid M
Unique Mˣ
u : Mˣ
⊢ u = 1
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
n : ℤ
⊢ (f ^ n).SameCycle x y → f.SameCycle x y
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊥.toAddSubmonoid = ⊥
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
SMul M X
self : IsometricSMul M X
c : M
⊢ Isometry fun x => c • x
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
⊢ IsIso (IsOpenImmersion.isoOfRangeEq (X.ofRestrict ⋯ ≫ f) (Y.ofRestrict ⋯) ?refine_1).hom
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
⊢ s.IsPWO
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Star α
v : m → α
⊢ (Matrix.col ι v).conjTranspose = Matrix.row ι (star v)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ
⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace ↑s ↔ ∀ t ⊆ s, IsCompact t
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l
l : List α
h : n + ns.sum = l.length
⊢ (take n l :: (drop n l).splitWrtCompositionAux ns).join = l
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
⊢ s⁻¹ = ∅ ↔ s = ∅
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
derivf : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
derivg : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Set.Ici x) x
fcont : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
gcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hi : f a = g a
y : ℝ
⊢ y ∈ Set.Icc a b → f y = g y
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥
this : finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p) = finrank K ↥(LinearMap.ker f) + finrank K ↥p
⊢ finrank K ↥⊤ ≤ finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p)
α : Sort u
β : Sort v
f x✝¹ x✝ : α ≃ β
h : x✝¹.toEmbedding = x✝.toEmbedding
⊢ x✝¹ = x✝
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Monoid M
⊢ ⇑(Filter.Germ.coeMulHom l) = Filter.Germ.ofFun
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
IsTrans H R
hR : CovariantClass H H (fun x y => y + x) R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Set.Icc l (l + a), ∀ y ∈ Set.Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
⊢ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ R) ⇑f ⇑f
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
⊢ ∃ g, Irreducible g ∧ g ∣ f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ∀ i ∈ s, map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ StandardBorelSpace ↑s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ e.symm.symm = e
p : ℕ
w : 1 < p
⊢ sZMod p (p - 2) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ Stream'.map (Option.map f) (some a :: s) = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
a b ab : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hab : b % a = ab
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat ab a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c < d
⊢ Set.Ico a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc b c)
α : Type u_2
β : Type u_1
R : α → β → Bool
as : List α
bs : List β
⊢ takeWhile₂ R as bs = takeWhile₂TR.go R as bs [] []
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < p.radius
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
⊢ n = 0 ∨ a = b
R : Type u_1
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R E₂
f : E →ₗᵢ[R] E₂
c : R
x : E
⊢ f (c • x) = c • f x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
𝓕 : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
FunLike 𝓕 E F
SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
g : ι' → Set X
hf : LocallyFinite f
hg : LocallyFinite g
⊢ LocallyFinite (Sum.elim f g)
F : Type u_1
G : outParam (Type u_2)
H : outParam (Type u_3)
Add G
Add H
a : outParam G
b : outParam H
FunLike F G H
self : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
⊢ f (x + a) = f x + b
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
l : Filter β
f₁ f₂ f₃ : β → α
h₁₂ : Filter.Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)
h₂₃ : Filter.Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (f₁ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ IsOpen s ↔ ∀ o ∈ s, o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s
M : Type u
AddRightCancelMonoid M
a b : M
⊢ a + b ≠ b ↔ a ≠ 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2)
  (HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd (↑a) s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : C ⥤ CommMon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.inverse.obj F).mul.app X = (F.obj X).mul
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ deriv f x = f'
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s
f' : F → G
left✝ : f (g x) = f' (g x)
ef : f =ᶠ[𝓝[s] g x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' (g x)
g' : E → F
gx : g x = g' x
eg : g =ᶠ[𝓝[t] x] g'
hg' : AnalyticAt 𝕜 g' x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (f' ∘ g') x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X
⊢ (M ↾ X).Basis ↑B ↑(X ↓∩ (M ↾ X).E) ∧ InjOn Subtype.val B ∧ B ⊆ X ↓∩ (M ↾ X).E ↔ M.Basis' (↑B) X
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : ι), f i ≠ 0 ↔ ∃ x, f x ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
hg : OpenEmbedding g
⊢ OpenEmbedding (g ∘ f) ↔ OpenEmbedding f
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
s : Set α
⊢ s ∈ f -ᵥ g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ -ᵥ t₂ ⊆ s
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.exp x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : Embedding g
⊢ Continuous f ↔ Continuous (g ∘ f)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
R : Type u
Ring R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
x : X
⊢ (ModuleCat.ofHom f) x = f x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
inst✝ : Nontrivial R
x : ↥(span R (range v))
p : Finsupp.equivMapDomain (Equiv.ofInjective v ⋯).symm (Span.repr R (range v) x) = hv.repr x
⊢ Span.repr R (range v) x = Finsupp.equivMapDomain (Equiv.ofInjective v ⋯) (hv.repr x)
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
s : Set α
h : s ⊆ ↑L
⊢ sSup s ∈ L
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hx : 1 < x
hyz : y < z
⊢ x ^ y < x ^ z
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableOn 𝕜 a s
b : 𝔸
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => a y * b) s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
i : Opposite.op U' ⟶ Opposite.op U
⊢ Y.presheaf.map i ≫ f.app U = f.app U' ≫ X.presheaf.map ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).map i.unop).op
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ U✝
h : EffectiveEpiFamily Z π
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
⊢ Presheaf.imageSieve f y ∈ (regularTopology C).sieves U✝
k : Type u
Field k
self : IsSepClosed k
p : k[X]
⊢ p.Separable → Polynomial.Splits (RingHom.id k) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.cokernelOpOp f).hom = CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f.op (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f).op ⋯
a : ℤ
⊢ J(a | 1) = 1
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x / ↑m)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
p : β → Prop
s : β → Set α
a : α
h : (𝓝 a).HasBasis p s
t : Set α
⊢ (𝓝[t] a).HasBasis p fun i => s i ∩ t
X : AlgebraicGeometry.Scheme
P : ↑X.affineOpens → Prop
ι : Sort u_2
U : ι → ↑X.affineOpens
iSup_U : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
V : ↑X.affineOpens
basicOpen : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ↑U))), P U → P (X.affineBasicOpen f)
openCover :
  ∀ (U : ↑X.affineOpens) (s : Finset ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ↑U))),
    Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (f : { x // x ∈ s }), P (X.affineBasicOpen ↑f)) → P U
hU : ∀ (i : ι), P (U i)
⊢ P V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.Exact ↔ S₂.Exact
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
⊢ nndist I.lower I.upper / nndist (I.lower i) (I.upper i) * nndist (I.lower i) (I.upper i) ≤ I.distortion * nndist (I.lower i) (I.upper i)
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
AddGroup G
Fintype G
AddMonoid M
DecidableEq M
FunLike F G M
AddMonoidHomClass F G M
f : F
x y : M
hx : x ∈ Set.range ⇑f
hy : y ∈ Set.range ⇑f
⊢ (Finset.filter (fun g => f g = x) Finset.univ).card = (Finset.filter (fun g => f g = y) Finset.univ).card
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x y : ℝ
z1 : ℂ
left✝ : z1 ∈ re ⁻¹' {x}
hz2 : (norm ∘ f) z1 = y
⊢ 0 ≤ y