ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
⊢ ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → (fun x => a • x) y ∈ r • s
α : Type u
IsEmpty α
s : Set α
⊢ s = ∅
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ {u | addOrderOf u = n}.Finite
α : Type u
x : α
s : Set α
⊢ s ⊆ insert x s
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n = Cardinal.lift.{v, u} a ↔ OfNat.ofNat n = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪x, (adjointAux A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
Preorder α
P : β → α → Prop
hP : ∀ (x : β), Antitone (P x)
⊢ Antitone fun y => ∃ x, P x y
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ range ↑f
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hm : r.Sized
⊢ (l.rotateL x r).size = l.size + r.size + 1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
g : R →+* ℤ_[p]
hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n
r : R
⊢ (lift f_compat) r = g r
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ 0 < ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
h : s ⊆ t
⊢ ↑(t \ s).card = ↑t.card - ↑s.card
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
⊢ G (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).1 (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).2 = some ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a n)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ (s ∪ t).encard ≤ s.encard + t.encard
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
⊢ a + b + -a = b
X : Grp
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ
⊢ ∀ (p q : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j q)).coeff k = stdBasisMatrix i j (q.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j (p + q))).coeff k = stdBasisMatrix i j ((p + q).coeff k)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {a b : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g),
  F.toPseudoFunctor.map₂ η = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
i : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f g : ↥(lp E p)
hfg : ‖f - g‖ < ε
⊢ (↑f i, ↑g i) ∈ {p | ‖p.1 - p.2‖ < ε}
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X).degree ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) < r
⊢ ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : ℕ
E : Fin n → Type u_2
(i : Fin n) → MeasureTheory.MeasureSpace (E i)
∀ (i : Fin n), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
f : (i : Fin n) → E i → 𝕜
⊢ ∫ (x : (i : Fin n) → E i), ∏ i : Fin n, f i (x i) = ∏ i : Fin n, ∫ (x : E i), f i x
p : ZFSet → Prop
x : ZFSet
h : ZFSet.Hereditarily p x
⊢ p x
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℤ
⊢ 0 < (a ^ n).x
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
⊢ esymm σ R 0 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ AntivaryOn f g s
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : Aᵐᵒᵖ ≃ₐ[R] Bᵐᵒᵖ
⊢ (AlgEquiv.unop f).toRingEquiv = RingEquiv.unop f.toRingEquiv
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ s * closure {1} = s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f_inv : N → M
f : M → N
map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : N → M
g : M → N
map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
⊢ f_inv = g_inv
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ ((↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x)
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Finite K
Module.Free K V
Module.Finite K V
⊢ #V < ℵ₀
a b m n p✝ p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
⊢ p.factorization q = (single p 1) q
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Mul α
StarMul α
c : α
M : Matrix m n α
⊢ (c • M)ᴴ = MulOpposite.op (star c) • Mᴴ
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard = t.ncard ↔ (s \ t).ncard = (t \ s).ncard
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ 2 * (Finset.image Sym2.mk s.offDiag).card = s.offDiag.card
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S) = S
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ c₁₂.next (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂)
α : Type u
β : Type v
l₁ : List α
f : α → List β
⊢ (l₁.bind f).Nodup ↔ (∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup) ∧ List.Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
⊢ Function.RightInverse ⇑e.symm ⇑e
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : ι → X
x : X
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 x)
this : TopologicalSpace ι := ⊥
h : DiscreteTopology ι
⊢ IsCompact (insert x (range f))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Set.BijOn f {a} {b} ↔ f a = b
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
Invertible B
⊢ A * B * ⅟B = A
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
h : a ^ 2 / 2 = a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)
⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
⊢ s.Finite
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f - g) = lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f - lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
a : α
r : ℝ≥0∞
⊢ IsClosed (EMetric.closedBall a r)
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α
⊢ eval S α (typesGlue S hs α f) x = f x
G : Type u_1
Group G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
⊢ ∀ (α_1 : Type u) (r_1 : α_1 → α_1 → Prop) [inst : IsWellOrder α_1 r_1] (hr : type r_1 < type r) (hs : type r_1 < type s), f (enum r (type r_1) hr) = enum s (type r_1) hs
α : Type u
AddCommGroup α
Fintype α
h : AddMonoid.exponent α = Fintype.card α
⊢ IsAddCyclic α
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ y ∈ EMetric.ball x ε ↔ edist y x < ε
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ diam (s ∪ t)
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module S✝ M
inst✝⁴ : SMul S✝ R
inst✝³ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝² : Ring R'
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R' M'
S T : Submodule R' M'
s t : M'
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
⊢ s + -t ∈ S ⊔ T
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
hku : ‖-a‖ < ‖↑ku⁻¹‖⁻¹
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
K : Type u_1
RCLike K
q : ℚ
⊢ RCLike.im ↑q = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}
hu : s' ⊆ s
hf : ∀ c ∈ s, c ∉ s' → f c = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
⊢ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.closedBall 0 r
f : ℝ → ℝ
x p : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => f x ^ p) s x = derivWithin f s x * p * f x ^ (p - 1)
α : Type u_1
Sub α
Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x - y) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y
R : Type u_1
M : Type u_3
a : R
Monoid R
MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsSMulRegular M (a ^ n) ↔ IsSMulRegular M a
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
i : ι
⊢ UniformContinuous fun a => a i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Abelian.Ext.hom' 0 = 0
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit b
⊢ a - b = 0 ↔ a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i j : ℕ
h2 : ¬m + m < j
h1 : ¬j ≤ m
l : A⁰_ f := HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ (proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j) ∈ 𝒜 (m * i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y, ⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y⟫_𝕜 = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2))
α : Type u
n : ℤ
d : ℕ
DivisionRing α
a : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → a = Rat.rawCast n d
x : ℝ
h : x < 0
⊢ ⊥ * ↑x = ⊤
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = Ideal.map (↑f) I
⊢ ∀ (a : R ⧸ I), (I.quotientEquiv J f hIJ) a = (↑↑(Ideal.quotientMap J ↑f ⋯)).toFun a
w i : Nat
⊢ (BitVec.twoPow w i).toNat = 2 ^ i % 2 ^ w
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
⊢ (l.set m a)[n]? = if m = n then (fun x => a) <$> l[n]? else l[n]?
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this✝ : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
this : (fun x => ‖1 / ↑x ^ k‖) = fun x => |1 / ↑x ^ k|
⊢ Summable fun a => ‖1 / ↑a ^ k‖
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : (i : ι) → (x : η i →₀ N) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) × η i →₀ N
a✝ : ι
⊢ (sigmaFinsuppEquivDFinsupp f) a✝ ≠ 0 ↔ a✝ ∈ f.splitSupport
n : ℤ
z τ : ℂ
this : ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖
⊢ π * ↑|n| ^ 2 = ‖↑π‖ * ‖I‖ * ‖↑n ^ 2‖
m n : ℤ
⊢ Odd (m + n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
i : ι
x : ℝ
⊢ (min x (I.upper i) ≤ I.lower i ∨ ∃ x, x ≠ i ∧ I.upper x ≤ I.lower x) ↔ x ≤ I.lower i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.natDegree + (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree
hf : f ≠ 0
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
⊢ MeasurableSet (range f)
α : Type u_1
f : Filter α
⊢ f.asBasis.filter = f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
r' : α → α → Prop
hr : Equivalence r
⊢ (∀ (a b : α), r' a b → r a b) → Relation.ReflTransGen r' a b → r a b
α : Type u_3
β : α → Type u_6
DecidableEq α
(a : α) → AddCommMonoid (β a)
a : α
f : (a : α) → β a
s : Finset α
⊢ ∑ a' ∈ s, Pi.single a' (f a') a = if a ∈ s then f a else 0
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ ⇑(m₁ + m₂) = ⇑m₁ + ⇑m₂
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.support.card = 0 ↔ f = 1
z : ℍ
h1 : ↑π * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z)))) = -↑π * I * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) * (1 / (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z))))
⊢ -↑π * I * (2 * ∑' (i : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ i - 1) = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
M : Type u_1
Monoid M
u₁ u₂ : Mˣ
⊢ Commute u₁ u₂ → Commute ↑u₁ ↑u₂
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
ι : Type u_8
DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ Q (∑ i ∈ s, f i) =
  ∑ i ∈ s, Q (f i) +
    ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => QuadraticMap.polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij
a : Int
b : Int
h : 0 < b
⊢ a < b + a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Z : C
f : Z ⟶ X
i : I
φ : Z ⟶ Y i
⊢ x.familyOfElements X f ⋯ = F.map φ.op (x i)
F : Type u_6
α : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring α
FunLike F α α
self : CentroidHomClass F α
f : F
a b : α
⊢ f (a * b) = f a * b
a x✝ z x : ℂ
⊢ abs x * Real.sin x.arg = x.im
α : Type u_1
Zero α
⊢ AddOpposite.unop 0 = 0
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
⊢ (fun x => 1 • x) = id
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
hk : 1 < k
⊢ IsReduced R ↔ ∀ (x : R), x ^ k = 0 → x = 0
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M →ₗ[A] P
g₁ g₂ : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f (g₁ + g₂) =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g₁ + TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g₂
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
hfin : multiplicity.Finite p ↑n
m : ℕ
hm : ↑n = p ^ (multiplicity p ↑n).get hfin * m ∧ ¬p ∣ m
⊢ NeZero ↑↑n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
⊢ ‖z1‖ = ‖z2‖
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
DecidableEq α
IsRefl α r
x : α
xs : List α
⊢ (List.orderedInsert r x xs).erase x = xs
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
s : Set X
hs : EMetric.diam s ≤ r
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r) s ≤ m s
n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (Fin.castLE h)
⊢ ↑((Equiv.ofInjective (Fin.castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ ¬⊤ < a
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : b < 1
⊢ a * b < a
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
⊢ P ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E ↔ ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ S ∈ 𝓝 0, Convex 𝕜 S ∧ S ⊆ U
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : T0Space E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 1
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool
⊢ List.findIdxs p (x :: xs) =
  bif p x then 0 :: List.map (fun x => x + 1) (List.findIdxs p xs) else List.map (fun x => x + 1) (List.findIdxs p xs)