ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
self : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ =
  CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n)
      (CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.sequence F a) ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor C m).associator (CategoryTheory.shiftFunctor C n)
        (CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.sequence F a) ≪≫
      CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C m)
          (CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.shiftIso n a a' ha') ≪≫
        CategoryTheory.Functor.ShiftSequence.shiftIso m a' a'' ha''
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : (∑ x ∈ s, (↑(f x).toNNReal + ↑(g x).toNNReal) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
X₁ : C₁
⊢ (CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃).obj X₁ = CategoryTheory.bifunctorComp₂₃Obj F G₂₃ X₁
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι → α) → κ
hl : IsMono C l
⊢ IsMono (fun x => C (⇑eα.symm ∘ ⇑eα ∘ x)) l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪(adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
R : Type u
Ring R
self : RingFilterBasis R
x₀ : R
U : Set R
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => x₀ * x) ⁻¹' U
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ) x = (fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal) x
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (ρ_ f).inv ▷ g ≫ (α_ f (𝟙 b) g).hom = f ◁ (λ_ g).inv
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
⊢ p ^ x ∣ n → 1 ≤ x → (x < n ↔ x ≤ b)
α : Type u_1
ι : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) {As : ι → Set α},
  (∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (As i) μ) →
    Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on As) → μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤ → {i | 0 < μ (As i)}.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f✝ f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) ↔ IsRatStieltjesPoint f a
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
G' : Type u_8
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f : α → E
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : g' =Θ[l] k'
⊢ f =O[l] g' ↔ f =O[l] k'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ maximals r s ⊆ s
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit a m).ldiff (Int.bit b n) = Int.bit (a && !b) (m.ldiff n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x✝ : hs.Quotient
x y : α
⊢ hs.proj y = Quotient.mk'' x ↔ hs.index y = hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ
⊢ (if n < i + 1 then r ^ (i - n) * ↑(i.choose n) else 0) = r ^ (i - n) * ↑(i.choose n)
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
⊢ 2 * arsinh (dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im)))) = 2 * arsinh (dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
i : ι
f : (i : ι) → F' i
⊢ HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (ContinuousLinearMap.proj i) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ PresheafOfModules.restrictionApp (𝟙 X) M = (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app (M.obj X)
M : Type u_3
AddCommMonoid M
s t : Set M
x : M
⊢ x ∈ AddMonoid.Closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ AddMonoid.Closure s, ∃ z ∈ AddMonoid.Closure t, y + z = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.rightHomologyIso.hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φH h₂.rightHomologyIso.inv)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : Opposite.unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ Opposite.unop A.fst
CategoryTheory.Epi e
CategoryTheory.Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.summand K Δ) A ≫
    AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.map K θ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i ≫
    CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.summand K Δ')
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.mk e)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.IsLocal
x : R
h : I ⊔ span {x} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : q = x * r
⊢ r * x - 1 ∈ I
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f g : α → M
⊢ f = g ↔ Function.mulSupport f = Function.mulSupport g ∧ ∀ x ∈ Function.mulSupport f, f x = g x
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (i : (S : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op S)), Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X) ⟨i, a⟩
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
⊢ z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup P
Module R P
IsNoetherian R M
IsNoetherian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ IsNoetherian R N
α : Type u_1
x y : ULift.{u_2, u_1} α
⊢ x = y ↔ x.down = y.down
A : MapsTo (⇑Complex.equivRealProd.symm) ({q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}) Complex.slitPlane
⊢ ContinuousOn (fun x => (Complex.equivRealProd.symm x).arg) { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∃ ε > 0, ∀ y ∈ ball (x, x) ε, ‖f y.1 - f y.2 - (f' x) (y.1 - y.2)‖ ≤ c * ‖y.1 - y.2‖
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F
⊢ Ideal.map f I = ⊥ ↔ I ≤ RingHom.ker f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
v : m → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
x✝ : o
⊢ (v ᵥ* M ᵥ* N) x✝ = (v ᵥ* (M * N)) x✝
R : Type u_2
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval (r + 1) =
  (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
⊢ (LinearIndependent R fun n => (f ^ n) v) ↔ ∀ (p : R[X]), ((aeval f) p) v = 0 → p = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
x : R
⊢ (C (X - C x)).natDegree < W.polynomial.natDegree
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
m : ℕ
h1 : n ≤ m
h2 : n + 1 ≤ m
⊢ leRec (le_succ_of_le ⋯ refl) (fun k h ih => le_succ_of_le ⋯ ih) h2 = leRec refl le_succ_of_le h1
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.eraseP p l = l ∨
  ∃ a l₁ l₂, (∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true) ∧ p a = true ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ List.eraseP p l = l₁ ++ l₂
ι : Sort u_1
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), g i * h ≤ a
⊢ iSup g * h ≤ a
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
⊢ e ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (Finset.image Sym2.mk s.diag).card = s.card
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
n : ℕ
hG : Nat.card G = p ^ n
g : G
⊢ g ^ p ^ n = 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
⊢ (f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal = (-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal
R : Type u_2
Ring R
x : Rᵐᵒᵖ
S : Subring R
⊢ x ∈ S.op ↔ MulOpposite.unop x ∈ S
G : Type u_1
Group G
IsSimpleGroup G
⊢ (∀ (a b : G), a * b = b * a) ↔ IsSolvable G
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : Finite α
C : Set α → Prop
S0 : Set α
H0 : C S0
H1 : ∀ (S : Set α), S ≠ univ → C S → ∃ a ∉ S, C (insert a S)
⊢ ∀ s ⊂ univ, C s → ∃ a ∈ univ \ s, C (insert a s)
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
c : Composition n
n' : ℕ
c' : Composition n'
H : ⟨n, c⟩.snd.blocks = ⟨n', c'⟩.snd.blocks
⊢ ⟨n, c⟩ = ⟨n', c'⟩
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
⊢ ∀ z ∈ {x, y}, z.IsTransitive
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
g : { a // ¬P a } →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain P (f.piecewise g) = f
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ i ∈ Ico a b, ∑ j ∈ Ico (i + 1) b, f i j = ∑ j ∈ Ico a b, ∑ i ∈ Ico a j, f i j
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι
⊢ (∀ j ∈ t, s j ≠ 0) → (Polynomial.Splits i (∏ x ∈ t, s x) ↔ ∀ j ∈ t, Polynomial.Splits i (s j))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
P Q : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : CategoryTheory.Functor C D
hQ : Q.IsInvertedBy F
h : P ≤ Q
⊢ P.IsInvertedBy F
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_2
SemilatticeSup α
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set α
t : Finset ι
hs : SupClosed s
ht : t.Nonempty
⊢ (∀ i ∈ t, f i ∈ s) → t.sup' ht f ∈ s
α : Type u_1
l : Filter α
CountableInterFilter l
p : Set α → Prop
s : Set α
HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
⊢ riemannZeta 2 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 2)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
φ : R →+* S
⊢ (map φ P).toPoly = Polynomial.map φ P.toPoly
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ f.vComp ↑t = v.toFun (↑t) (f.toFun t)
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
⊢ ((HomotopyCategory.quotient V c).obj C).as = C
α : Type u
f : α → α
Hbij : Function.Bijective f
n : ℕ
⊢ Function.Bijective f^[n]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ S
hx'✝ : x✝ ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
x : X
hx' : x ∈ U ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v
⊢ (S ∩ (u ∩ v)).Nonempty
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ
x : L
this : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)
k : ℕ
h : (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : AddSubsemigroup M
x : M
⊢ f x ∈ AddSubsemigroup.map f S ↔ x ∈ S
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.199790
S'' : Type ?u.199793
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (aeval P'.val) (f.toAlgHom x) = (algebraMap S S') ((aeval P.val) x)
p : Fin 0 → Type u
τ : Type u
⊢ Function.FromTypes p τ = τ
α : Type u_2
M : Matroid α
⊢ M.closure Set.univ = M.E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t :
  CategoryTheory.Limits.PushoutCocone (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.fst)
    (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.snd)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.ofPushoutCocone t).ι = (CategoryTheory.Limits.diagramIsoSpan F).hom ≫ t.ι
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : s.topologicalClosure = ⊤
⊢ (Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg).compMeasurePreserving f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (g ∘ f) ⋯
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ Summable fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : γ ≃o α
y : β
⊢ IsLUB {x | f x ≤ y} (g y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
hL : ∀ y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r', ‖f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2‖ ≤ L y
⊢ L =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
L : Sublattice γ
g : LatticeHom β γ
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.comap f (Sublattice.comap g L) = Sublattice.comap (g.comp f) L
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : x ∈ s
⊢ HasDerivWithinAt f₁ f' s x ↔ HasDerivWithinAt f f' s x
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Zero α
Nonempty ι
v : n → α
⊢ Matrix.row ι v = 0 ↔ v = 0
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
⊢ ⟨a, ha⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <:+: l₂
⊢ l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J K : Ideal R
hIJ : I ≤ J.radical
hJ : J.radical.FG
⊢ ∃ k, I ^ k ≤ J
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsLimit t.toCone
j : J
j' : Discrete J
⊢ t.ι j ≫ t.toCone.π.app j' = ht.lift (Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0) ≫ t.toCone.π.app j'
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ ↑(∫ (x : X), re (f x) ∂μ) + ↑(∫ (x : X), im (f x) ∂μ) * I = ∫ (x : X), f x ∂μ
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
⊢ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓟 idRel
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ [a] <+~ l ↔ a ∈ l
α : Type u
β : Type v
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α
⊢ Cauchy l ↔ Cauchy (Filter.map f l)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝² : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝¹ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
x✝ : p ^ (m - 1 + 1) ∣ x
y : α
hy : x = p ^ m * y
⊢ p * x * p = p ^ (m + 1) * y * p
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ (∃ c, (∃ a, p a ∧ ∃ b, q b ∧ f a b = c) ∧ r c) ↔ ∃ a, p a ∧ ∃ b, q b ∧ r (f a b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y Z : CategoryTheory.Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLE Y h₁) (Y.ofLE Z h₂) = X.ofLE Z ⋯
α : Type u
Preorder α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ IsTop a ↔ IsMax a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ SeparationQuotient.mk ⁻¹' closure t = closure (SeparationQuotient.mk ⁻¹' t)
α : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n → ℕ)
⊢ Dioph S → ∀ {f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n}, VectorAllP Dioph.DiophFn f → Dioph {v | (v ⊗ fun i => f i v) ∈ S}