ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt f f' x ↔ HasDerivAt f (f' 1) x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|.toNNReal) (μ.restrict s)
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)), ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis i) = ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis i)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
⊢ a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
x : ↑s
⊢ ↑(Set.MapsTo.restrict f s t h x) = f ↑x
n : ℕ
⊢ Real.convergent 0 n = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
⊢ IntegrableOn (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) s μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A
⊢ (List.map f l).prod = (List.map (fun a => ⟨(f a).fst, (f a).snd⟩) l).prod
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hab : a < b
⊢ Measurable (MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = c * b
⊢ a * b⁻¹ = c
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset, f i
L : FirstOrder.Language
⊢ (FirstOrder.Language.LEquiv.refl L).invLHom = FirstOrder.Language.LHom.id L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.val.obj X)
m : ↑(A.val.obj X)
Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
r₀ : ↑(R₀.obj Y)
hr₀ : (α.app Y) r₀ = (R.val.map f) r
m₀ : ↑(M₀.obj Y)
hm₀ : (φ.app Y) m₀ = (A.val.map f) m
⊢ (A.val.map f) (PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r m) = (φ.app Y) (r₀ • m₀)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' F'' : CategoryTheory.Functor D H
e : F' ≅ F''
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
α' : F ⟶ L.comp F''
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L e.hom) = α'
F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ frontier (Icc a b) = {a, b}
G : Type u_2
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
⊢ IsGδ k
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
n : ℕ
σ : Equiv.Perm α
⊢ n ∈ σ.cycleType ↔ ∃ c τ, σ = c * τ ∧ c.Disjoint τ ∧ c.IsCycle ∧ c.support.card = n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
⊢ (underlyingIso (𝟙 B)).hom = ⊤.arrow
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i
a b c d : ℤ
⊢ a ∣ b → c ∣ d → a * c ∣ b * d
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
⊢ (iterateFrobenius R p (m + n)) x = (iterateFrobenius R p m) ((iterateFrobenius R p n) x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
⊢ Sieve.pullback g (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
⊢ K.iCycles i ≫ K.d i j = 0
n m : ℕ
H : Ordnode.Raised n m
⊢ n.dist m ≤ 1
z : ℍ
r : ℝ
⊢ (z.center r).im = z.im * Real.cosh r
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ u + s = u ∪ t ↔ u.Disjoint s ∧ s = t
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a ⇨ b) = OrderDual.ofDual b \ OrderDual.ofDual a
n : ℕ
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ n.factorization p = (Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Finset.Ico 1 n)).card
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => b ^ x) Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
⊢ ∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f) → Multiset.map g (toMultiset (single a b + f)) = toMultiset (mapDomain g (single a b + f))
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
this : ((AlgHom.op (toBaseChange A Q)).comp reverseOp) x = ((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x
⊢ unop (((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Icc a b) = {a}
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a : π i
⊢ Function.update x i a ≤ y ↔ a ≤ y i ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ s ∪ t =ᵐ[μ] t ↔ s ≤ᵐ[μ] t
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s : AddSubsemigroup N
⊢ ⊤.prod s = AddSubsemigroup.comap (AddHom.snd M N) s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : List Γ
⊢ map f (mk₂ L R) = mk₂ (List.map f.f L) (List.map f.f R)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U
b : Bool
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x y : α}, (bif b then x else y) = if b = true then x else y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
e.IsRelIff
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c'} (φ : X ⟶ Y), (e.restrictionFunctor C).map φ = HomologicalComplex.restrictionMap φ e
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) =
  ↑(Submodule.span 𝕜 ({1} ∪ ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})))
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hι : #ι < c.ord.cof
⊢ (∀ (i : ι), f i < c) → iSup f < c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ < a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
α : Type u_2
LE α
OrderTop α
⊢ TopHom.dual (TopHom.id α) = BotHom.id αᵒᵈ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0
⊢ (1 - (1 - a ^ n) ^ n) * e₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d ≤ b
⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
⊢ Embedding ⇑(CategoryTheory.Limits.prod.map f g)
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (x * z + y)
w : Nat
x y z : BitVec w
⊢ x &&& y &&& z = x &&& (y &&& z)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
b : FactorSet α
h : ⊤ ≤ b
⊢ ⊤.prod ≤ b.prod
X : AlgebraicGeometry.Scheme
P : X.Opens → Prop
S : X.Opens
hS : IsCompact S.carrier
h₁ : P ⊥
h₂ : ∀ (S : X.Opens), IsCompact S.carrier → ∀ (U : ↑X.affineOpens), P S → P (S ⊔ ↑U)
⊢ P S
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
t : Set α
s : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalExtrOn f t (g b)
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
hg : ContinuousOn g s
hb : b ∈ s
⊢ IsLocalExtrOn (f ∘ g) s b
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i j : ι
⊢ (h.basis.repr (e i)) j = (Finsupp.single i 1) j
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
⊢ (f.lift hg) (f.toMap x) = g x
G' : Type u_1
inst✝¹⁰ : AddGroup G'
inst✝⁹ : MeasurableSpace G'
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'
inst✝⁶ : BorelSpace G'
μ' : Measure G'
Γ' : AddSubgroup G'
inst✝⁵ : Countable ↥Γ'
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')
inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')
𝓕' : Set G'
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant
f : G' → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ'
g : G' ⧸ Γ' → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))
h𝓕 : IsAddFundamentalDomain (↥Γ'.op) 𝓕' μ'
π : G' → G' ⧸ Γ' := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f
H₁ : Integrable (g ∘ π * f) μ'
⊢ ∫ (x : G'), g (π x) * f x ∂μ' = ∫ (x : G' ⧸ Γ'), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
η : Type u_5
s : η → Set E
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (HurwitzZeta.oddKernel a) (Set.Ioi 0)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
s : Set X
inst✝ : BorelSpace X
this✝ : MeasurableSpace X := borel X
⊢ dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hs : IsClosed s
⊢ LocallyIntegrableOn f s μ ↔ LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
v v' : AddValuation R Γ₀
f : Γ₀ →+ Γ'₀
ht : f ⊤ = ⊤
hf : Monotone ⇑f
inf : Function.Injective ⇑f
h : v.IsEquiv v'
⊢ (AddValuation.map f ht hf v).IsEquiv (AddValuation.map f ht hf v')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ comapDomain f l ⋯ = 0 → l = 0
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsAddUnit b
hd : IsAddUnit d
⊢ a - b = c - d ↔ a + d = c + b
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean norm
x : K
⊢ (NormedField.valuation h) x = ‖x‖₊
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
a b : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ⟦a⟧ = ⟦b⟧
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
⊢ (sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f₁ a₁ b₁).Nonempty) ∨ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ ((g₁ a₁ b₂).Nonempty ∨ (g₂ a₁ b₂).Nonempty)) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (f₂ a₂ b₂).Nonempty
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ
⊢ ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
H0 : max (x 0).natAbs (x 1).natAbs = (x 0).natAbs
⊢ 1 ≤ (↑(x 0) / ‖x‖) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d < b
⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ f.trans f.symm = LinearEquiv.refl R₁ M₁
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m₁ s₁ - IsLocalizedModule.mk' f m₂ s₂ = IsLocalizedModule.mk' f (s₂ • m₁ - s₁ • m₂) (s₁ * s₂)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Subgroup G
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n : ℕ
⊢ ((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
h : Function.Surjective v
⊢ LinearMap.range (Finsupp.total α M R v) = ⊤
G : Type u_1
Group G
S : Set G
hS : Subgroup.closure S = ⊤
⊢ Subgroup.center G = ⨅ g ∈ S, Subgroup.centralizer ↑(Subgroup.zpowers g)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S T : L.Substructure N
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (S ⊓ T) =
  FirstOrder.Language.Substructure.comap f S ⊓ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
s : Set α
t : Set β
⊢ s.chainHeight ≤ t.chainHeight ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length ≤ l'.length
M : Type u_8
AddCommGroup M
⊢ (AddEquiv.refl M).toIntLinearEquiv = LinearEquiv.refl ℤ M
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
⊢ (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ (∀ ⦃z w : PGame⦄, w.IsOption y → (z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w) ∧ (z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w)) → (∀ ⦃z w : PGame⦄, w.IsOption y → ((-z).IsOption x₂ → P2 z (-x₁) w) ∧ ((-z).IsOption x₁ → P2 (-x₂) z w)) ∧ ∀ ⦃z w : PGame⦄, (-w).IsOption y → (z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w) ∧ (z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ⊆ s.ndunion t
R : Type u
X Y Z : R
⊢ ![X, Y, Z] x = X ∧ ![X, Y, Z] y = Y ∧ ![X, Y, Z] z = Z
f g : CircleDeg1Lift
⊢ f (g 0) < f 0 + g 0 + 1
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ F.map₂ (α_ f g h).hom = (F'.mapCompIso (f ≫ g) h).hom ≫ (F'.mapCompIso f g).hom ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapCompIso g h).inv ≫ (F'.mapCompIso f (g ≫ h)).inv
G : Type u_1
Group G
⊢ NormalizerCondition G ↔ ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set α
a b : α
inst✝ : Preorder α
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) {a} ∧ IsGreatest {a} a
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
f : α → β → γ
⊢ UniformContinuous₂ (UniformSpace.Completion.map₂ f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ a ∣ s.gcd f ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b
a b : ℝ≥0∞
⊢ a - b = sInf {d | a ≤ d + b}
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ s, IsGLB s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
x : P.Elementsᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.coconeOfRepresentable P).ι.app x = CategoryTheory.yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.map id μ = μ
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
A : ℝ
hA : 0 < A
h : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|x - ↑a / (↑b + 1)| * A)
r : ℕ
hn : A < (1 + 1) ^ r
⊢ False
α : Type u
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
A : Matrix m' n' α
B : Matrix n' (Fin 0) α
⊢ A * B = Matrix.of fun x => ![]
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
hp : ∏ x ∈ s, f x = 1
h1 : ∀ x ∈ s, x ≠ a → f x = 1
x : α
⊢ x ∈ s → f x = 1
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
b : G₀
⊢ a / (a * b) = b⁻¹
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsNilpotent (C r * X ^ n)
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun z => Complex.log (1 + z) - Complex.logTaylor (n + 1) z) ((-z) ^ n * (1 + z)⁻¹) z
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Sum.isRight
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
A : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X
r : ℝ≥0∞
F : ℕ → Set X
F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)
F_mono : Monotone F
hU : IsOpen (⋃ n, F n)
hr : r < ⨆ i, μ (F i)
⊢ ∃ K ⊆ ⋃ n, F n, IsClosed K ∧ r < μ K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.inv.app X).hom₁ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X.obj₁
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n, Associated (↑p ^ n) x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Set G
a : G
ha : a ∈ ↑(stabilizer G s)
b : G
hb : b ∈ s
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) a b ∈ s