ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f : M → M'
g : M → M''
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I I'' g x
⊢ mfderiv I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x = (mfderiv I I' f x).prod (mfderiv I I'' g x)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hc : 0 < c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c⁻¹ l f g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.124213, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.124217, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S✝ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.Splitting
⊢ S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a x y : α
⊢ ¬dirac x ≠ dirac y ↔ ¬∃ A, MeasurableSet A ∧ x ∈ A ∧ y ∉ A
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
⊢ False
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this : ((traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) y = (0 x) y
⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
⊢ ∀ (a : Fin 2), (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₁ f).obj a = CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.obj X₀ X₁ a
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
b c a : Prop
h : b ↔ c
⊢ a ∧ b ↔ a ∧ c
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
⊢ x ∈ I
α : Type u_1
SeminormedRing α
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ ≤ ↑n * ‖1‖
α : Type u
s : Set α
p : (x : α) → x ∈ s → Prop
⊢ (∃ x, ∃ (h : x ∈ s), p x h) ↔ ∃ x, p ↑x ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.104131, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ
⊢ (δ (-1) 0 (inl φ)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (φ ≫ inr φ)).v p p ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
⊢ T.reApplyInnerSelf x = RCLike.re ⟪T x, x⟫_𝕜
ctx : Nat.Linear.Context
c d : Nat.Linear.ExprCnstr
h : (c.toNormPoly == d.toPoly) = true
⊢ Nat.Linear.ExprCnstr.denote ctx c = Nat.Linear.ExprCnstr.denote ctx d
X : Type u
p : X → Prop
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed {a | p a} → IsOpen {a | ¬p a}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : ZMod (p ^ m)
⊢ ((zmodEquivTrunc p n).toRingHom.comp (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n)))) x = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.evariance f μ = ProbabilityTheory.evariance g ν
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ₂ h₁ h₂
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
z : α 0
P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v
h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (cons x₀ x)
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ consCases h (cons x₀ x) = h x₀ x
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
inst✝ : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass G = 0 ↔ Subsingleton G
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr : 0 ≤ r
⊢ ⌈Real.logb (↑b) r⌉ = Int.clog b r
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
x : X
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G
h : ↥H
hh : h • g • a = a
hh' : (↑h * g) • a = a
⊢ ∀ (y : ↑↑H × ↑↑(MulAction.stabilizer G a)), (fun x => ↑x.1 * ↑x.2 = g) y → y = (h⁻¹, ⟨↑h * g, hh'⟩)
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
⊢ sum f ≤ #ι * iSup f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
⊢ dslope f a b = slope f a b
α : Type u_1
ι : Type u_2
π π' : ι → Set (Set α)
h_le : ∀ (i : ι), π i ⊆ π' i
S : Set ι
⊢ piiUnionInter π S ⊆ piiUnionInter π' S
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑0 = 0
α : Sort u_1
a b : α
⊢ HEq a b = (a = b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).φH =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.comp CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ Function.support (fderiv 𝕜 f) ⊆ tsupport f
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ φ a * (n / a + 1)
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ sup fun b_1 => succ ⋯.rank
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
n : ℕ
⊢ (↑n).2 = ↑n
A : Type u_1
SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : orderOf a ^ 2 ∣ n
⊢ a • approxOrderOf A n δ = approxOrderOf A n δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α
a : α
⊢ closure {a} = Iic a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P
⊢ ⇑e⁻¹ = ⇑e.symm
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : ¬Irreducible p
s : Associates.FactorSet α
⊢ p ∉ s
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
U : Set α
xU : x ∈ U
Uop : IsOpen U
V : Set α
yV : y ∈ V
Vop : IsOpen V
hUV : Disjoint (closure U) (closure V)
⊢ Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))
S : Type u_1
Semiring S
l : List S[X]
⊢ l.sum.degree ≤ (List.map Polynomial.natDegree l).maximum
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
⊢ (∀ (a : M), ∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0) ↔ NoTopOrder M
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
Fintype α
⊢ 2 < Fintype.card α ↔ ∃ a b c, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ CategoryTheory.NatTrans.op (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) = CategoryTheory.CategoryStruct.id F.op
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > a * b
⊢ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
H : ∀ {ca : Computation α} {cb : Computation β}, C ca cb → Computation.LiftRelAux R C ca.destruct cb.destruct
ca : Computation α
cb : Computation β
Hc : C ca cb
⊢ Computation.LiftRel R ca cb
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ IsUpperSet s ∧ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ DirSupInacc s
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))
⊢ (fun x => 1 + y / x) =ᶠ[atTop] rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
c : Cocone F
j✝ : J
⊢ G.map (c.ι.app j✝) = (G.mapCocone c).ι.app j✝
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ ≪ μ.toFinite
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ IsOpen ↑U
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ
⊢ ∀ (X : Push σ), Φ.obj X = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.obj X
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
q : M.QuasicoherentData
⊢ q.localGeneratorsData.I = q.I
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Ring α
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
⊢ -a • t = -(a • t)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
⊢ (↑(2 + 1) / ↑(2 - 1)) • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t = 3 • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
s : Set α
hs : s ∈ countableGeneratingSet α
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
⊢ (s.indicator fun x => 0) = fun x => 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' interior s = e.source ∩ interior (↑e ⁻¹' s)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I {x | M.Basis I (insert x I)}
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f g : A →A[R] A
x : A
⊢ (f * g) x = f (g x)
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)
i : J
f : i ⟶ Function.argmin fn ⋯
⊢ Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj (Function.argmin fn ⋯)) ≤ Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj i)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (f n) (f (Order.succ n)))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
⊢ f ×ˢ ⊤ = Filter.comap Prod.fst f
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι₂) → s (e.symm i)
⊢ (reindex R t e) (((map f ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) m) = (reindex R t e) (((↑(reindex R t e).symm ∘ₗ map fun i => f (e.symm i)).compMultilinearMap (tprod R)) m)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
zl : ℤ
tr t : α
prl₁ : l = tl
prl₂ : ↑tl = zl
prr : r = tr
prt : smulg zl tr = t
⊢ smul l r = t
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
⊢ rnDeriv 0 ν =ᶠ[ae ν] 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
⊢ η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h : μ ≤ ν
⊢ μ ≤ 0 + ν
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a : α
hf : StrictMono f
ha : IsMin (f a)
⊢ IsMin a
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
hi : i + 1 ≤ m
⊢ x ^ m ∣ x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2
n p : ℕ
⊢ (↑p + 1) * ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p = Polynomial.eval (↑n) (Polynomial.bernoulli p.succ) - bernoulli p.succ
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ t ∈ 𝓝[s] x, 0 < μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
Nonempty β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
⊢ ∑' (n : ℕ), 2⁻¹ ^ n = 2
α : Type u
β : Type v
f : β → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ foldr (fun x => f) b (a :: l) = f^[(a :: l).length] b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_ε : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.ε.app X) = M.ε.app X
f_δ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.δ.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.δ.app X)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app (M.obj X)) (N.map (f.hom.app X)))
⊢ (CategoryTheory.comonadToFunctor C).mapIso (CategoryTheory.ComonadIso.mk f f_ε f_δ) = f
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ ↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g 0 0 * ↑↑g 1 1 - ↑↑g 0 1 * ↑↑g 1 0) * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u
⊢ (fun t => ‖(L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ ∀ (a_1 : αᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.divLeft a)) a_1 = (OrderDual.ofDual a_1)⁻¹ * a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Antitone f
n a : ℕ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n
⊢ False
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + (((match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 1) + 1 = (((match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 2
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
a b : α
⊢ ↑α (a + b) = ↑α a + ↑α b
α : Type u
A : Set (Set α)
⊢ Cardinal.mk ↑(⋃₀ A) ≤ Cardinal.mk ↑A * ⨆ s, Cardinal.mk ↑↑s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), ((∀ x ∈ s, r x x) → Rel r s s) → (∀ x ∈ a ::ₘ s, r x x) → Rel r (a ::ₘ s) (a ::ₘ s)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
a b t : ℝ
ht : t ≠ -1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t = (1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t✝ : Set A
s t : Set M
ht : IsSubmonoid t
h : s ⊆ t
a : M
ha : a ∈ Closure s
⊢ a ∈ t
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
hc : c ≤ 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
⊢ δ n m (γ.rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' γ).rightUnshift m hm'
m : Type u → Type v
Applicative m
self : CommApplicative m
α β : Type u
a : m α
b : m β
⊢ (Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b) = Seq.seq ((fun b a => (a, b)) <$> b) fun x => a
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • cyclesMap' φ h₁ h₂
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 8 → β
⊢ ∏ i : Fin 8, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6 * f 7