ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c
h_integral : ∫ (x : α), (μ[f|⊥]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
⊢ (fun x => c) = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
p q✝ q : ℚ≥0
⊢ (↑q).num = ↑q.num
x : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (x / ↑q)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
⊢ (μ.prod ν).mass = μ.mass * ν.mass
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
S : Type u_1
Semiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
hp : p.Monic
map_eq : Polynomial.map f p = 1
⊢ p = 1
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (g ⊗ f.hom) ≫ (h ⊗ f.inv) = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
d₂0 : 0 < ↑d₂
⊢ 0 ≤ n₁ → 0 ≤ n₂ → 0 ≤ n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
h : ∀ (n : ℕ), (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) = 1 - 1 / (2 * ↑n + 2)
⊢ Tendsto (fun i => 1 - 1 / (2 * ↑i + 2)) atTop (𝓝 (1 - 0))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
⊢ (LeftFraction.mk (α.f + α.f' + α.f'') α.s ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f + (α.f' + α.f'')) α.s ⋯).map L ⋯
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ p.Monic ↔ (Polynomial.map f p).Monic
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
p : R[X]
h : p.Separable
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f p).Separable
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) z₀ < ε
⊢ FinBddDistLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ FinBddDistLat BddDistLat =
  CategoryTheory.forget₂ FinBddDistLat BddDistLat ⋙ BddDistLat.dual
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n : ℕ
⊢ (f ∘ g)^[n] = f^[n] ∘ g^[n]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
h : s.Nonempty
⊢ x ∈ s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv g)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) g).hom =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).inv
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0
⊢ ↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (LaurentSeries K) ↑f ⟨↑g, ⋯⟩
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace V
inst✝⁴ : TopologicalRing R
inst✝³ : TopologicalAddGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : ContinuousSMul R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
G : V →L[R] R
Gx : G x = 1
Gy : G y ≠ 0
⊢ ∃ A, A x = y
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
G : Type u_10
Group G
DistribMulAction G M
SMulCommClass G R M
g : G
b : Basis ι R M
⊢ (g • b).repr = (DistribMulAction.toLinearEquiv R M g).symm ≪≫ₗ b.repr
m n k : Int
i : Int
H : m % n = k % n
⊢ (i + m) % n = (i + k) % n
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : Monotone f
s : Set α
⊢ Monotone (s.restrict f)
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
z : ℝ
⊢ z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ z ∈ |t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
IsAlgClosed 𝕜
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1 ↔ Nonempty (X ≅ Y)
α : Type u
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length
hk : n + k + 1 < (List.insertNth n x l).length := ⋯
⊢ (List.insertNth n x l).get ⟨n + k + 1, hk⟩ = l.get ⟨n + k, hk'⟩
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ i ∈ s, if i ∈ s then f i else 1) = ∏ i ∈ s, f i
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i : ι
⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).obj C).X i = F.obj (C.X i)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
NoMinOrder α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, y < x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ U x, (f y, F n y) ∈ V
t : Finset ↑univ
ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (f x, F n x) ∈ V
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid A
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
g : ContinuousMonoidHom B C
f : ContinuousMonoidHom A B
⊢ ∀ (a : A), (g.comp f) a = g.toMonoidHom (f.toMonoidHom a)
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
⊢ oscillationWithin f univ x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f univ x
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ IsCoatomic α
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.ofNat n) → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Sort w
s : ι → Set α
x : Set α
⊢ x ∈ ⨆ x, 𝓟 (s x) ↔ x ∈ 𝓟 (⋃ i, s i)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Field k
CharZero k
AddCommGroup V
Module k V
AddTorsor V P
a b : P
⊢ (AffineMap.homothety a 2⁻¹) b = midpoint k a b
α : Type u
β : Type v
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ tβ = TopologicalSpace.induced f tα ↔ ∀ (b : β), 𝓝 b = Filter.comap f (𝓝 (f b))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → One (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.uIcc 1 b = Set.uIcc 1 (Pi.mulSingle i b)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
⊢ (fun i => 0) ≤ fun i => 1
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L
⊢ u (n * k + r) / ↑(n * k + r) < L
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x + f.mk' 0 y = f.mk' x y
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ a.norm = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ f ≫ t.inl = g ≫ t.inr
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ε ≤ schnirelmannDensity A
⊢ False
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
⊢ ball x r = ball y r ∨ Disjoint (ball x r) (ball y r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ s✝ : Set α
ε✝ r : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h0 : p ∅
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hεs : ε + ε ≤ μ s
hr : μ s - (ε + ε) < μ s
U : Set α
hsU : U ⊇ s
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ s) < ε
U' : Set α
hU'o : IsOpen U'
hμU' : μ U' < ε
hsU' : U \ U' ⊆ s
K : Set α
hKU : K ⊆ U
hKc : p K
hKr : μ U < μ K + ε
⊢ μ s < μ (K \ U') + (ε + ε)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s ⊼ t.compls = s.diffs t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
e : E ≃L[𝕜] F
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑e '' s)
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ StrictAnti fun x => rexp (log b * x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
⊢ ∀ (X : F.Elements), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).obj X = (𝟭 F.Elements).obj X
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F
  (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
hq' : 0 < q
hp' : p < ⊤
⊢ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸) 0 ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ SzemerediRegularity.bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(SzemerediRegularity.bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : ↥M
⊢ ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid M S) x) = IsLocalization.mk' S 1 x
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRightTensor X Y).hom.app Z =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z X Y).inv
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ ↑(basicOpen 𝒜 (f * g)) = ↑(basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
hi : s i = ∅
⊢ False
ι : Type u_1
X : Type u_2
EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
α : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
x : R
v : α → R
⊢ x ∈ Ideal.span (Set.range v) ↔ ∃ c, (c.sum fun i a => a * v i) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ { ofColex := s \ t } < { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a * b = ⟨↑a * ↑b % n, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf✝ hf : IsGroupHom f
a : α
⊢ f a⁻¹ * f a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
⊢ ⨆ x ∈ Set.univ, f x = ⨆ x, f x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ LinearMap.range (M.mulMap N) = M * N
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
⊢ ∀ (z : ℝ), ↑z < ⊤ → ↑z ≤ liminf (u + v) f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ⇑b.toOrthonormalBasis = fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
LocalRing R
Nontrivial M
Module.Finite R M
rs : List R
h : ∀ r ∈ rs, r ∈ LocalRing.maximalIdeal R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G F₁ F₂ : C ⥤ Type w
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a : F.obj x✝²
⊢ (F₁.map x✝ (τ₁.app x✝² a), F₂.map x✝ (τ₂.app x✝² a)) = (prod F₁ F₂).map x✝ (τ₁.app x✝² a, τ₂.app x✝² a)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (QPF.Fix F)
⊢ QPF.Fix.rec g (QPF.Fix.mk x) = g (QPF.Fix.rec g <$> x)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y t u v : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj t u
⊢ notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons h p) ⋯ = p
f : ℕ → ℂ
h : f =O[Filter.atTop] 1
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ 1
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (-a + b) r
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
⊢ (Multiset.replicateAddMonoidHom a) n = Multiset.replicate n a
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
H : ∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0
a : M
ha : a ∈ N
⊢ (Φ a) ⁅x, y⁆ = 0
r : ℝ≥0
⊢ 1 ≤ ↑r ↔ 1 ≤ r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
d' : 𝔸
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.leftHomologyIso.hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φH h₂.leftHomologyIso.inv)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
n : ℕ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ (Stream'.zip f s₁ s₂).get n = f (s₁.get n) (s₂.get n)
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
Preorder α
⊢ ↑(OrderRingIso.refl α) = OrderRingHom.id α
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (univBall c r).target = ball c r
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Sylow p G
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ stabilizer G P ↔ x✝ ∈ (↑P).normalizer
q : ℚ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.ennrealRatEmbed (Encodable.encode q) = ↑(↑q).toNNReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate R ≤ S ↔ R ≤ S.arrows
α : Type u_1
Preorder α
a b : Additive α
⊢ Additive.toMul a ≤ Additive.toMul b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
k : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
n : Nat
le : α → α → Bool
res : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin α
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
m : Nat
hk : ∀ (s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α), (k s).realSize = m + s.realSize
eq : n = m + s.realSize
hres : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize res n
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.findMin le k s res) n
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ ‖2 * ↑π * I * ↑n‖ * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
⊢ (⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : ¬p i), g i h
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in ∅, f x ∂μ = 0
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
n : ℕ
a : α
h : n ≠ 0
⊢ |a ^ n| = 1 ↔ |a| = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖A‖ ≤ ‖adjointAux A‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
⊢ tangentMapWithin (I.prod I') I Prod.fst s p = { proj := p.proj.1, snd := p.snd.1 }
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ finrank ℤ ↥↑↑I = finrank ℤ (𝓞 K)
cont : Type u_1
idx : Type u_2
elem : Type u_3
dom : cont → idx → Prop
GetElem? cont idx elem dom
LawfulGetElem cont idx elem dom
c : cont
i : idx
h : ¬dom c i
Decidable (dom c i)
⊢ getElem? c i = none
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ (CategoryTheory.BasedNatIso.id F).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id F
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Ioc r s)
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a < b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
⊢ ContinuousOn f {a}
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0
⊢ EqOn f g U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β
⊢ (∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : β), f x
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K < ⊤
b o : Ordinal.{u_1}
⊢ List.foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (Ordinal.CNF b o) = o
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
⊢ IsLocalMaxOn f s a
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)