ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
a b : α →₀ M
⊢ { toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (a + b) = { toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun a + { toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
⊢ HasFPowerSeriesAt f p x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n.bit0.size = (↑n.bit0).size
A : Type u
CommGroup A
n : ℤ
⊢ QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom (MonoidHom.id A) n = MonoidHom.id (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K L : HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)
f : K ⟶ L
⊢ quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) f ↔ (subcategoryAcyclic C).W f
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hst : s ⊆ closure t
⊢ SeparableSpace ↑s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : D ⥤ E
τ : X✝ ⟶ Y✝
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ X✝.map (F.map f) ≫ τ.app (F.obj Y) = τ.app (F.obj X) ≫ Y✝.map (F.map f)
α : Type u
R : Type u_1
SMul R α
x : R
a₀ a₁ : α
⊢ x • ![a₀, a₁] = ![x • a₀, x • a₁]
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.attach.val = s.val.attach
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.op.g' = h.f'.op
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ (s ∩ {a}).Nonempty ↔ a ∈ s
X : Type u_1
ι : Type u_3
TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Countable
t : (i : ι) → i ∈ s → Set X
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), IsGδ (t i hi)
⊢ IsGδ (⋂ i, ⋂ (h : i ∈ s), t i h)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : Γ
r s : R
⊢ (HahnSeries.single a) r * (HahnSeries.single b) s = (HahnSeries.single (a + b)) (r * s)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
⊢ ∀ (y₁ y₂ : Set α), y₁ ∈ s ∧ a ∈ y₁ → y₂ ∈ s ∧ a ∈ y₂ → y₁ = y₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℤ_[p]), x - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
k : Type u
Field k
f : (AlgebraicClosureAux k)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ ∃ x, Polynomial.eval x f = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
⊢ ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
⊢ IsGLB s a → s.Nonempty → (𝓝[s] a).NeBot
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
⊢ (∃ φ, s = setOf φ.Realize) ↔ ∃ b, s = setOf ((LEquiv.addEmptyConstants L ↑∅).onFormula.symm b).Realize
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : Integrable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ioc a (a + p)
this : (equivIoc p a) ↑x = ⟨x, hx⟩
⊢ (Ioc a (a + p)).restrict f ⟨x, hx⟩ = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : E
hx : x ∈ Set.range ↑I
⊢ HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) I (↑I.symm) (Set.range ↑I) x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ' T C
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
init : β
h0 : motive as.size init
f : α → β → β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i + 1) b → motive (↑i) (f as[i] b)
⊢ motive 0 (Array.foldr f init as as.size)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.SpecΓIdentity.inv.app
      (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))
    ((AlgebraicGeometry.identityToΓSpec.app X).val.c.app (Opposite.op ⊤)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.Functor.id CommRingCat).obj (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a - ↑a.re = a.im
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
t : Subsemiring R
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ Subsemiring.closure s
⊢ Subsemiring.closure s = t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (((M.tensorBimod N).tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom Q ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (N.tensorBimod P) Q, inv := AssociatorBimod.inv M (N.tensorBimod P) Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom N P Q, inv := AssociatorBimod.inv N P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = coequalizer.π (((M.tensorBimod N).tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom (M.tensorBimod N) P Q, inv := AssociatorBimod.inv (M.tensorBimod N) P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N (P.tensorBimod Q), inv := AssociatorBimod.inv M N (P.tensorBimod Q), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ ((Lagrange.interpolate s v) r).degree ≤ ↑(s.card - 1)
G : Type u_3
α : Type u_7
Group G
MulAction G α
g : G
a b : α
⊢ g⁻¹ • a = b ↔ a = g • b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
⊢ k.factorial • multichoose (-↑n) k = k.factorial • 0
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S
⊢ (relNorm R) ⊥ = ⊥
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
⊢ G.CliqueFree n
n : ℕ
a : ℤ
⊢ (↑a).cast = a % ↑n
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(WittVector.map f)
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ 𝓝 ↑γ = pure ↑γ
i : (SetTheory.PGame.nim 1).RightMoves
⊢ SetTheory.PGame.toRightMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
DecidableEq n
i : n
A : X → Matrix m n R
B : X → m → R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => (A x).updateColumn i (B x)
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ i : ι, f i
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ t • (z -ᵥ x) + 0 ≠ 0 ∧ (t - 1) • (z -ᵥ x) ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
hx : x ∈ U
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s ∧ s ⊆ U) id
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ (interior (Icc a b)).Nonempty
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
hx : 0 ∈ finsetApprox bS adm
⊢ False
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : C → Prop
h : CategoryTheory.Limits.ClosedUnderColimitsOfShape J P
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J (CategoryTheory.FullSubcategory P)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }
⊢ ∃ a b c, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
Ω : Type u_1
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
h : ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep m₂ m₁ μ
M : Type u_2
AddCancelCommMonoid M
a x y : M
⊢ AddSemiconjBy a x y ↔ x = y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
p : Set α
a b : ↑p
⊢ Subrel r p a b ↔ r ↑a ↑b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
⊢ M.id.hom = 𝟙 M.X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.inv.hom₂ ≫ e.hom.hom₂ = 𝟙 B.obj₂
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Monovary f g
⊢ Monovary g f
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
r : R
h : f r ∈ map f I
s : R
hsi : s ∈ ↑I
hfsr : f s = f r
⊢ f (r - s) = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
⊢ eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
H : ∀ (n : ℕ), ∏ p ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => (1 - f p)⁻¹) p = ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹
H' : ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => (1 - f p)⁻¹) = {p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝¹ : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+* P
x : DirectLimit G f
h✝ : IsEmpty ι
⊢ F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x
α : Type u_1
as : Array α
start stop : Nat
h : as.size ≤ start
⊢ as.extract start stop = #[]
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : C
⊢ e.functor.map (e.unit.app x✝) ≫ 𝟙 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj x✝))) ≫ e.counit.app (e.functor.obj x✝) = 𝟙 (e.functor.obj x✝)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
⊢ ∃ f, Inducing f
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : (((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)) g) f = (((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)) g) f
⊢ (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiableWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_5
Preorder α
self : IsStronglyAtomic α
a b : α
⊢ a < b → ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
c d : ℝ≥0
hcd : c < d
s : Set α
hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a
hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a
x : α
x✝ : x ∈ s
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s' : Set α := s ∩ o
h : ¬μ (s ∩ o) = 0
⊢ False
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ψ₂ ^ 2 = Polynomial.C W.Ψ₂Sq + 4 * W.toAffine.polynomial
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun b => G.obj (f b)
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.piComparison G f ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun b => G.obj (f b)) b =
  G.map (CategoryTheory.Limits.Pi.π f b)
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t u : Finset α
⊢ (s.disjSups t).disjSups u = s.disjSups (t.disjSups u)
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr.symm) (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)
m n : ℕ
i : Fin m
⊢ finSumFinEquiv (Sum.inl i) = Fin.castAdd n i
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ G'.Adj (f u) (f v)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ coimageImageComparison (α.app X)) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X)) = (cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ (cokernel.desc (kernel.ι (α.app X)) (𝟙 (F.obj X) ≫ cokernel.π ((kernel.ι α).app X)) ⋯ ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) (kernel.ι α)).inv) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) (cokernel.π α)).hom ≫ kernel.map ((cokernel.π α).app X) (cokernel.π (α.app X)) (𝟙 (G.obj X)) (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ⋯) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝ : S.HasHomology
this : Mono S.fromOpcycles
⊢ Epi S.f
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
G : Type u_2
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R S : RegularExpression α
⊢ map g (map f (R + S)) = map (g ∘ f) (R + S)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
X : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂
ij : I × J
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).obj Y ij = (F.obj (X ij.1)).obj (Y ij.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
hgℒp : Memℒp (g j) p μ
⊢ UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
hf : MeasureTheory.Integrable f (κ a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂κ a
n : ℕ
⊢ (4 * n).superFactorial = ((∏ i ∈ Finset.range (2 * n), (2 * i + 1).factorial) * 2 ^ n) ^ 2 * (2 * n).factorial
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a b : α
⊢ (MulAction.orbitRel G α).Rel a b ↔ a ∈ MulAction.orbit G b
α : Type u_1
Ring α
CharZero α
a b : α
na nb : ℤ
da db : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a na da →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b nb db → decide (na.mul (Int.ofNat db) = nb.mul (Int.ofNat da)) = false → ¬a = b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.dickson 1 1 p = Polynomial.X ^ p
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
⊢ Continuous ⇑F
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
hfi : IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in ⋃ n, s n, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ))
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
m : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt f n (f^[m] x)
S : Type v
s : S
R : Type u_1
Semiring R
SetLike S R
SubsemiringClass S R
x : ↥s
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
R₃ : Type u_3
Ring R₃
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₃
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
TopologicalAddGroup M₂
TopologicalAddGroup M₃
g : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f₁ f₂ : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ g.comp (f₁ - f₂) = g.comp f₁ - g.comp f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a
⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)