ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
u : Set X
hu_sub : u ⊆ t
hu_o : IsOpen u
hu_mem : x ∈ u
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
k : Nat
⊢ p.isNum? = some k → Nat.Linear.Poly.denote ctx p = k
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), Complex.abs (x.2 ⟨a, b⟩) < ↑(f a)
⊢ (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), Complex.abs (x.2 ⟨a, b⟩) < ↑(f a)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ Fintype.card m.ToType = Multiset.card m
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ t = TopologicalSpace.generateFrom (TopologicalSpace.countableBasis α)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f g : M →ₙ* N
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ ∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0
n : ℕ
α : Type u
σ : Equiv.Perm (Fin n)
f : Fin n → α
⊢ List.ofFn (f ∘ ⇑σ) ~ List.ofFn f
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin n → α → σ
⊢ Primrec₂ f ↔ ∀ (i : Fin n), Primrec (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioc a₁ a₂))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
t : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ⨅ r, (ρ.IicSnd ↑↑r) s = (ρ.IicSnd ↑t) s
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ (⋂ i, t i) ∩ s = ⋂ i, t i ∩ s
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H : ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T), Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : P (f ≫ g)
hY : IsAffine X
⊢ P f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y
X : C
⊢ Y.one.app X = (ofMon Y).η.app X
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), LowerSemicontinuous (f i hi)
⊢ LowerSemicontinuous fun x' => ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi x'
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
p : G.Walk v v
⊢ p.Nil ↔ p = SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
m : α → β
s : Set α
hsf : s ∈ f
hsg : s ∈ g
hm : Set.InjOn m s
⊢ Filter.map m f = Filter.map m g ↔ f = g
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x y : G
n✝ : ℕ
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (powersEquivPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
⊢ #Cardinal.{u} = univ.{u, u + 1}
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a + b
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B
h : Fintype ↑S
⊢ Module.Finite A B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
Nonempty γ
f : α → β
g : γ → α
Cf : ContinuousAt f (⨅ i, g i)
Mf : Monotone f
H : BddBelow (Set.range g)
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
n : ℕ
x : ℝ
⊢ deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x = (-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2))
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ ker (lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g) = ker (lTensor Q g)
a b : UInt8
⊢ a - b = { val := a.val - b.val }
α : Type u_1
LE α
a : WithTop α
b : α
h : a ≠ ⊤
⊢ a.untop h ≤ b ↔ a ≤ ↑b
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
succ_nth_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
⊢ ∃ ifp_n, GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ x ∈ perfectClosure F E ↔ (minpoly F x).natSepDegree = 1
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ (ω f ϕ s).Nonempty
α : Type u_1
x : α
l r : List α
s : α → α → Bool
⊢ x ∈ List.merge s l r ↔ x ∈ l ∨ x ∈ r
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)
H_zero : H 0
H_one : H 1
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ (RingHom.snd S R).comp ↑RingEquiv.prodComm = RingHom.fst R S
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom = cs2.mulEquiv.toMonoidHom
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : μ s = 0
⊢ C * (μ s).toReal = 0
α : Type u_1
β : α → Type u_4
h : ∀ (a : α), Subsingleton (β a)
⊢ Function.Injective Sigma.fst
R n : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
r : R
⊢ { toFun := fun A => (of fun i j => fst (A i j), of fun i j => snd (A i j)), invFun := fun d => of fun i j => (fst d i j, snd d i j), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix n n (DualNumber R))) r) = (algebraMap R (DualNumber (Matrix n n R))) r
R : Type u_1
Semiring R
u : Rˣ
x : R
⊢ (AddEquiv.symm (AddAut.mulRight u)) x = x * ↑u⁻¹
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.moduleCatLeftHomologyData.f' = S.moduleCatToCycles
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K
⊢ (toLin' (col (Fin 1) w)).rank ≤ 1
m n : Nat
⊢ n.gcd (m * n) = n
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
⊢ a - c < b - c ↔ a < b
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
⊢ Order.succ a ≤ a → IsMax a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivInverse B F).obj c =
  CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivInverseObj B F c
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
S : Set L
inst✝ : Finite ↑S
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional K ↥(adjoin K S)
R : Type u_3
A : Type u_4
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ cfc f a =
  if h : p a ∧ ContinuousOn f (spectrum R a) then
    (cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }
  else 0
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ
⊢ (m + n) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ (fun n => ↑(r i n) - b i * ↑n) =o[Filter.atTop] fun n => ↑n / Real.log ↑n ^ 2
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s +ᵥ (t₁ ∪ t₂) = s +ᵥ t₁ ∪ (s +ᵥ t₂)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X : D
Y : C
⊢ Function.Bijective fun g => adj.unit.app X ≫ g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + (∑ i ∈ range K, abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) - ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ i ∈ p.degrees ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0 ∧ i ∈ d.support
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ (𝟙 (F.obj (X ⊗ 𝟙_ C)) ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C))) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t :
  CategoryTheory.Limits.PushoutCocone (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.fst)
    (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.snd)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.ofPushoutCocone t).pt = t.pt
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Finite m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
b : Basis l R M₁
b' : Basis l R M₂
i j : l
⊢ (toMatrix b' b) (↑(b'.equiv b (Equiv.refl l))) i j = 1 i j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
hb : DifferentiableWithinAt 𝕜 b s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => a y * b y) s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
CategoryTheory.Mono g
⊢ CategoryTheory.Mono t.fst
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ (fun p => ↑p) ∘ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.range_equiv_smaller C o).toFun =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.πs C o) ∘ fun p => ↑p
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
hs : s.length = 0
⊢ {x | x ∈ s}.Subsingleton
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
this : ∀ (x : ι → ℝ), ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ U (N x)
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
⊢ Measurable (updateFinset x s)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ centroidWeights R s i
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a
⊢ enumOrd S (succ b) ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f' : Filter α
g' : Filter β
⊢ Disjoint (f ×ˢ g) (f' ×ˢ g') ↔ Disjoint f f' ∨ Disjoint g g'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℕ
⊢ f (x + (2 * k + 1) • c) = (-1) ^ (2 * k + 1) • f x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a g : α
h : ι → α
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a
⊢ g * iSup h ≤ a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
⊢ 0 < prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.37143, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
⊢ c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
⊢ Disjoint K ↑C
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (m → WithLp 2 (n → α))).symm fun i => (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun j => A i j‖₊ = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
x : α
h : Function.IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
⊢ birkhoffSum f g n x = n • g x
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ Projective R P ↔ ∃ s, Finsupp.total P P R id ∘ₗ s = LinearMap.id
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo (a / c) (b / c)
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log 0 b = 0
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : 1 < n
a : K
⊢ AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) ≠ 0
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D
F G H : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ⟶ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G
τ' : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G ⟶ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp H
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ)
    (CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ') =
  CategoryTheory.Quotient.natTransLift r (CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ τ')
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
s t : Multiset α
⊢ Multiset.map f s = Multiset.map f t ↔ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
⊢ MeasurableSet (⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
GroupWithZero α
ContinuousMul α
c : α
hc : c ≠ 0
⊢ ⇑(Homeomorph.mulRight₀ c hc) = fun x => x * c
Γ : Type u_1
R : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ (x • s).hsum = x * s.hsum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ generateFrom (range Iio) = generateFrom (⋃ a, {Iio ↑a})
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ Algebra.adjoin R {AdjoinRoot.root f} = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.up α))
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).unitIso.inv.app P).f.f n = P.p.f n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist (dist x z) (dist y z) ≤ dist x y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
⊢ ∀ (b : (gluing 𝒰 f g).diagram.R), Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p1 𝒰 f g ≫ f = Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p2 𝒰 f g ≫ g
α : Type u_4
SeminormedAddCommGroup α
CompleteSpace α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr₁ : r < 1
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ‖f (n + 1)‖ ≤ r * ‖f n‖
⊢ Summable f
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Semiring A₃'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
Algebra R A₃'
e₁₂ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁₂' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
e₂₃ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
e₂₃' : A₂' ≃ₐ[R] A₃'
⊢ (e₁₂.equivCongr e₁₂').trans (e₂₃.equivCongr e₂₃') = (e₁₂.trans e₂₃).equivCongr (e₁₂'.trans e₂₃')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
CategoryTheory.IsIso g
⊢ f ≫ g = 0 ↔ f = 0
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
hf_lb : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
⊢ (e₁.embeddingCongr e₂).symm = e₁.symm.embeddingCongr e₂.symm
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (starRingEnd ℂ) (f z) + (f z - 1) = (starRingEnd ℂ) z + (z - 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i → β₁ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf₂ : ∀ (i : ι), f₂ i 0 = 0
h : ∀ (i : ι), (f i ∘ f₂ i) 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι
⊢ (mapRange (fun i => f i ∘ f₂ i) h g) i✝ = (mapRange f hf (mapRange f₂ hf₂ g)) i✝
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0
hb : b = 0
⊢ b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
⊢ IsZero ((quotient V c).obj C) ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y : α
⊢ x ⊔ y = x ⊔ y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ