ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ (ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker (killingForm R ↥(ad R L).range))
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝⁴ : DecidableRel G.Adj
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : NonAssocSemiring α
i j : V
⊢ (((if i = j then 1 else 0) + if G.Adj i j then 1 else 0) + if i = j then 0 else if (if G.Adj i j then 1 else 0) = 0 then 1 else 0) = 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1 : n, (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 •> yj •> (B (b₁ i_1)) (b₂ j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
x y : ℝ
⊢ Real.exp (x + y) = Real.exp x * Real.exp y
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.C a).degree = p.degree
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.card (Multiset.Ioo a b) = Multiset.card (Multiset.Icc a b) - 2
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
⊢ ∃ N, ∀ (m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → padicNorm p (↑f n) = padicNorm p (↑f m)
α : Type u_1
m : Multiset α
h : m.Nodup
⊢ m.sym2.Nodup
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ logb b x = |x|
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : ℕ → α
⊢ ∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s * t)
R : Type u
CommRing R
f₁ f₂ g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₁ g₁ U hu₁ + AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₂ g₂ U hu₂ =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R (f₁ * g₂ + f₂ * g₁) (g₁ * g₂) U ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ dist x y
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y
a b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = b - a
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommGroup α
⊢ Filter.Tendsto abs Filter.atBot Filter.atTop
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
⊢ f.natDegree = 0
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = (p %ₘ q + q * (p /ₘ q)).leadingCoeff
m n : ℤ
k : ℕ
⊢ (m.land n).testBit k = (m.testBit k && n.testBit k)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
_h : φ.order ≠ ψ.order
H : φ.order < ψ.order
⊢ (φ + ψ).order = φ.order
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
this : s.Terminates
⊢ s.think.length = n + 1
α : Type u_4
a b : α
Preorder α
IsStronglyAtomic α
h : a < b
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.str = { data := l ++ m ++ r }
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
⊢ P γ
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h✝ : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)
b : Cardinal.{u}
e : lift.{v, u} b = succ (lift.{v, u} a)
h : succ (lift.{v, u} a) ≤ lift.{v, u} a
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
ht : t.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 • t
n : ℕ+
⊢ n.gcd 1 = 1
⊢ BoolAlg.dualEquiv.inverse = BoolAlg.dual
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 1 ≤ a
⊢ a⁻¹ ≤ 1
α : Type u_1
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
a b : α
⊢ min a b + max a b = a + b
R : Type u
InvolutiveStar R
r s : R
h : r = star s
⊢ s = star r
α : Type u
L : List (α × Bool)
Group α
⊢ FreeGroup.prod (FreeGroup.mk L) = (List.map (fun x => bif x.2 then x.1 else x.1⁻¹) L).prod
α : Type u
a : α
⊢ (Computation.pure a).length = 0
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f g : OneHom M N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
⊢ ⨆ i, ↑‖g i‖₊ < ⊤
x : ℝ
⊢ (ENNReal.ofReal x).log = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)
E : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
OrderedAddCommGroup β
Module ℝ β
OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
⊢ IsMinOn f s a
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList).prod = a * b
α : Type u_1
l : Filter α
G : Type u_6
Inv G
a : G
⊢ ↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasLines P L
Fintype P
Fintype L
⊢ Fintype.card P ≤ Fintype.card L
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β →₀ M
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support
⊢ ((Finset.cons a s ha).sum f).support ⊆ (Finset.cons a s ha).sup fun x => (f x).support
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
x : M
⊢ c x x
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
X : ChainComplex C α
A : Type u_4
Ring A
CategoryTheory.Linear A C
Y : C
i : α
⊢ (X.linearYonedaObj A Y).X i = ModuleCat.of A (X.X i ⟶ Y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct
t' : Option (α × WSeq α)
ht' : t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd t' = t
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ Function.Bijective IsometryEquiv.symm
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α
⊢ Disjoint (a ⊓ b) c ↔ Disjoint (a ⊓ c) b
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Set.Unbounded r (⋃ x, s x)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r
⊢ ∃ x, Set.Unbounded r (s x)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E} {X : Ω → E},
  ¬AEMeasurable X ℙ → MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Star α
s : ι → Set α
⊢ star (⋃ i, s i) = ⋃ i, star (s i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ comap mk (𝓝ˢ t) = 𝓝ˢ (mk ⁻¹' t)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Icc b c = Set.Icc (b - a) (c - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ (Sum.inl x).getLeft? = some x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((κ.restrict hs) a) t = (κ a) (t ∩ s)
M : Type u_2
Monoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
φ : G →+ H
⊢ Function.Injective ⇑(QuotientAddGroup.rangeKerLift φ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
⊢ ((PresheafOfModules.homEquivOfIsLocallyBijective f hN).symm ψ).hom =
  (CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
k l : ℕ
h : k + l ≠ Fintype.card ι
⊢ f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries k l = 0
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
hu : ¬liminf u f = ⊥
hv : ¬liminf v f = ⊥
⊢ liminf u f + liminf v f ≤ liminf (u + v) f
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : Module.End R M
⊢ Set.InjOn (fun x => ⨆ k, (f.genEigenspace x) k) {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
R : Type u_1
CommRing R
d : DualNumber (Quaternion R)
⊢ TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv.symm d).imI = (TrivSqZeroExt.snd d).imI
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
S : Type u_2
LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, A i j
⊢ A.det ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_5
TopologicalSpace X
g : X → F →L[𝕜] G
f : X → E →L[𝕜] F
hg : Continuous g
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => (g x).comp (f x)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
⊢ (G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G) ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g) = equalizer.lift (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
Hk : Turing.PartrecToTM2.codeSupp c k ⊆ S
⊢ Turing.PartrecToTM2.Λ'.Supports S (Turing.PartrecToTM2.trNormal c k)
m n : ℕ+
⊢ m.natPred < n.natPred ↔ m < n
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
F : PFunctor.{u}
self : F.MIntl
⊢ PFunctor.Approx.AllAgree self.approx
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
self : Module.DualBases e ε
i j : ι
⊢ (ε i) (e j) = if i = j then 1 else 0
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ latticeClosure (latticeClosure s) = latticeClosure s
a b c : Int
h : -b < a - c
⊢ c < a + b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]
i : ℕ
⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
α : Type u
s : Set α
hs : Nontrivial ↑s
⊢ Nontrivial α
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0
⊢ (↑p).num * ↑(↑q).den < (↑q).num * ↑(↑p).den ↔ p.num * q.den < q.num * p.den
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → AddSubgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → AddCommute x y
i : ι
y : ↥(H i)
⊢ (AddSubgroup.noncommPiCoprod hcomm) (Pi.single i y) = ↑y
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)
⊢ f.natDegree * (image (fun x => eval x f) univ).card + (-g).natDegree * (image (fun x => eval x (-g)) univ).card = 2 * ((image (fun x => eval x f) univ).card + (image (fun x => eval x (-g)) univ).card)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
⊢ (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x)).1 = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2).1
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
P Q : RegularExpression α
x : List α
⊢ (P + Q).rmatch x = true ↔ P.rmatch x = true ∨ Q.rmatch x = true
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hq : ∀ (y : ℕ), (fun p => Nat.Prime p ∧ p ∣ 0) y → y = p
hn : p ∣ 0
⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = 0
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
x₁ y₁ : X₁
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel' f g (Sum.inl x₁) (Sum.inl y₁) ↔
  x₁ = y₁ ∨ ∃ x₀ y₀, ∃ (_ : g x₀ = g y₀), x₁ = f x₀ ∧ y₁ = f y₀
X : LocallyRingedSpace
⊢ ∀ s ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' s)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
⊢ ↑(Coalgebra.counitCoalgHom R A) = Coalgebra.counit
x : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.cos x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β
⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep (X ∩ I)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
k : ℕ
⊢ padicValRat p (q ^ k) = ↑k * padicValRat p q
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
this✝ : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)
e2 : (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator := (Free.chooseBasis K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)).toDualEquiv ≪≫ₗ (dualAnnihilator W).dualQuotEquivDualAnnihilator
this : FiniteDimensional K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator
⊢ finrank K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
⊢ (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ KaehlerDifferential.ideal R S = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.support.card = 2 ↔ f.IsSwap
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
⊢ S = ⊤
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : MeasureTheory.IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
⊢ (μ {x | R < f x}).toReal * R < ∫ (x : X) in {x | R < f x}, f x ∂μ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V'
f : G →g H
hf : Function.Surjective ⇑f
hG : G.Connected
⊢ H.Connected
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
⊢ 0 ≤ ifp_n.fr
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ F ((of R ι G f i) x) = ((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) i) x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (g n) μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.predictablePart (f + g) ℱ μ n =ᵐ[μ] g n
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = ↑n.natAbs
⊢ x ^ n.natAbs = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hbdd : BddAbove (Set.range g)
⊢ BddAbove (Set.range f)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
i : Fin (rank K)
⊢ Additive.ofMul ⟦fundSystem K i⟧ = (basisModTorsion K) i
L : FirstOrder.Language
ι : Type u_1
Countable ι
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), FirstOrder.Language.Structure.CG L (G i)
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ FirstOrder.Language.Structure.CG L (FirstOrder.Language.DirectLimit G f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Memℒp (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m n : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hmnd : m + n = (p * q).natDegree
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hmn : 0 < m → 0 < n → False
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
inst✝ : DecidableEq σ
⊢ antidiagonal n = antidiagonal n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
h : Set.EqOn f g s
⊢ AnalyticOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 g s