ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum f (e.symm y)
⊢ HasSum (fun b => e (f b)) y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ FreeAlgebra.toTensor (FreeAlgebra.ι R m) = (TensorAlgebra.ι R) m
α : Type u_1
Mul α
a b : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (a * b) = AddOpposite.unop a * AddOpposite.unop b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
⊢ eval₂ (algebraMap R S) x (p * q) = eval₂ (algebraMap R S) x p * eval₂ (algebraMap R S) x q
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm α
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
⊢ Equiv.Perm.ofSubtype (f.subtypePerm h₁) = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.sheafificationWhiskerRightIso F).inv.app P = (J.sheafifyCompIso F P).inv
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
⊢ (S.prod T).FG
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
⊢ Function.LeftInverse (List.map f) (List.map g)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)) o₂
this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr
h : Valid' (↑x) (rl.node' rx rr).eraseMax ↑(findMax' rx rr)
e : (rl.node' rx rr).size = (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1
⊢ l.size + ((rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1) + 1 = l.size + (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1 + 1
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hr : x ≤ 2 * π
⊢ 0 ≤ sin (x / 2)
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
a : α
S T : Submonoid M
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
this : -(π / 2) < π / 2
⊢ Tendsto tan (𝓝[<] (π / 2)) atTop
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ MonotoneOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ MonotoneOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map i ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop V) =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop U) ≫
    Y.presheaf.map ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).op.map i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ dist f₁ f₂
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ioi 1) fun x => √x * log x
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ l₂ = l₁ ++ List.replicate (i - j) default
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * evariance X μ
α : Type u_1
⊢ Relator.LeftUnique fun x x_1 => x ∈ x_1
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
i : ℤ
⊢ ↑(addOrderOf x) ∣ i ↔ i • x = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
this : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ ↑p ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
⊢ IsVonNBounded 𝕜 A ↔ ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
x : ℝ
h : x ≠ -1
⊢ HasDerivWithinAt Real.arccos (-(1 / √(1 - x ^ 2))) (Set.Ici x) x
β : Type u_1
γ : Type u_2
α : Type u_3
b : β
c : γ
⊢ (Equiv.sumProdDistrib α β γ) (Sum.inr b, c) = Sum.inr (b, c)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
⊢ fract x ≤ |x - ↑z| ∨ 1 - fract x ≤ |x - ↑z|
K : Type v
Field K
f : K[X]
⊢ Fact (Irreducible f.factor)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)
⊢ ↑x < type fun x x_1 => x < x_1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m₁ m₂ : M
n : N
⊢ (m₁ + m₂) ⊗ₜ[R] n = m₁ ⊗ₜ[R] n + m₂ ⊗ₜ[R] n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulZeroOneClass α
inst✝² : MulZeroOneClass β
inst✝¹ : MulZeroOneClass γ
inst✝ : MulZeroOneClass δ
f g✝ : α →*₀o β
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
IsPRadical g p
IsPRadical (g.comp i) p
x : N
⊢ (PerfectRing.lift g (PerfectRing.lift i j p) p) x = (PerfectRing.lift (g.comp i) j p) x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Iio ↑a = Set.Iio a
R : Type u_1
Zero R
One R
⊢ TrivSqZeroExt.snd ε = 1
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
h : I.jacobson = I
⊢ I.IsRadical
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
n : ℕ
h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))
⊢ ∀ b ∈ S ^ (n + 2), b * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Injective MulEquiv.toMonoidHom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : StrictAnti g
hf : StrictMono f
⊢ StrictAnti (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N
⊢ 2 ^ 2 / ↑6 < log 2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).snd = κ.map g hg
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
⊢ f a ≤ f c
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
Nonempty α
Nonempty β
⊢ s ×ˢ t = Set.univ ↔ s = Set.univ ∧ t = Set.univ
q a b c : ℚ
⊢ 0 ≠ 1
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Ici ↑a})
m n✝ n x : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h : s.Nonempty
⊢ nodal s v ≠ 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ o.cof ≤ o.card
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑(range f).subtype.dualMap
rr_surj : Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
⊢ range f.dualMap = (ker f).dualAnnihilator
P : Type u_2
MetricSpace P
c : P
r : ℝ
⊢ { center := c, radius := r }.radius = r
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
⊢ limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.Final
d : D
⊢ CategoryTheory.IsConnected (CategoryTheory.StructuredArrow d F)
α : Type u_1
RatCast α
n : ℚ
⊢ toLex ↑n = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ⨅ i, f (⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i] a) = ⨅ n, ⨆ i, (⇑f)^[i + n] a
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
⊢ eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp f hf) - ↑↑(Memℒp.toLp g hg)) p μ = eLpNorm (f - g) p μ
n : ℕ
f g : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
h : Mathlib.Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Nat.Primrec' f
hg : Nat.Primrec' g
hh : Nat.Primrec' h
⊢ Nat.Primrec' fun v => Nat.rec (g v) (fun y IH => h (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)) (f v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ cthickening (ε + δ) s → x ∈ cthickening ε (cthickening δ s)
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
⊢ IsSatisfiable (⋃ i, T i)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
z : ℤ
m : α
⊢ ↑z m = z • m
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]
⊢ wronskian 0 a = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n < ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ ∃ n, MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ AffineSubspace.perpBisector p p = ⊤
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * ProbabilityTheory.mgf X μ t
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
⊢ F.map A.inr ≫ F.map A.snd = 𝟙 (F.obj Q)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g
⊢ s.ι.app zero = f ≫ s.π
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α n✝
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n✝ → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
x : Fin n → M
⊢ realize (fun a => realize (Sum.elim v x) (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr) a)) t = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
⊢ RingHom.ker (quotLeftToQuotSup I J) = map (Ideal.Quotient.mk I) J
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u✝ v✝ : α → 𝕜
u v φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ IsBigOWith c l u v
R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.X n).vars = {n}
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
ha : IsMin a
⊢ ¬SupPrime a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
a b : α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
g : C(Y, Z)
C : DiscreteQuotient Z
⊢ DiscreteQuotient.LEComap g B C → DiscreteQuotient.LEComap f A B → DiscreteQuotient.LEComap (g.comp f) A C
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = (extendIdealTo i f h y) r'
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | b < a}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ k < p
M : Type u_2
AddZeroClass M
a : M
⊢ AddCommute 0 a
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
t : Set M
ht : 1 ∉ t
⊢ s.mulIndicator f ⁻¹' t = f ⁻¹' t ∩ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
left : CategoryTheory.Functor C D
self : left.IsLeftAdjoint
⊢ ∃ right, Nonempty (left ⊣ right)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ inv (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ inv (F.μ X Y) ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = F.map (α_ X Y Z).hom ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x + g x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
self : F.CommShift A
⊢ CategoryTheory.Functor.CommShift.iso 0 = CategoryTheory.Functor.CommShift.isoZero F A
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.conjCLE.toLinearEquiv = RCLike.conjAe.toLinearEquiv
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
m n : ℤ
hx : 1 < a
⊢ a ^ m ≤ a ^ n ↔ m ≤ n
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
⊢ JoinedIn sᶜ a b
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z τ =
  1 / (-Complex.I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * Complex.I * z ^ 2 / τ) / τ *
    (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * Complex.I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
x : M
y : α
⊢ (MulAction.toFun M α) y x = x • y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x‖ / ‖x - y‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
self : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp v₁₃ self.m₃ = v₂₃
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P_max : P.IsMaximal
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
⊢ ∃ Q, Q.IsMaximal ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V
⊢ (∃ x ∈ ↑s, ∃ y ∈ ↑s, x -ᵥ y = v) ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → V
spans : ⊤ ≤ Submodule.span K (Set.range b)
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ LinearIndependent K b
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
N' : Type u_8
AddCommGroup N'
CommSemiring S
Algebra S R
Module S N
Module S N'
IsScalarTower S R N
Module S M
IsScalarTower S R M
f : N →ₗ[S] N'
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑(f.compQuadraticMap' Q)) x y = f (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∉ interior (range ↑I) → ↑(extChartAt I x) x ∈ range ↑I ∧ ↑(extChartAt I x) x ∉ interior (range ↑I)
x : Tree Unit
⊢ x ∈ Tree.treesOfNumNodesEq x.numNodes
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G H : CategoryTheory.Functor C D
α : G ≅ H
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.isoWhiskerRight α F).hom = CategoryTheory.whiskerRight α.hom F
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
n m : Nat
⊢ n.succ ≤ m ↔ n < m
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
s : Set E
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, MeasureTheory.pdf X ℙ μ x ∂μ ≤ (MeasureTheory.Measure.map X ℙ) s
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜' h₂ s' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s s'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x
⊢ derivWithin (h₂ ∘ h) s x = derivWithin h₂ s' (h x) * derivWithin h s x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
hf : Mono f
q : (Functor.fromPUnit S).obj A.left ⟶ T.obj (Subobject.underlying.obj (projectSubobject (Subobject.mk f)))
hq : q ≫ T.map (projectSubobject (Subobject.mk f)).arrow = A.hom
⊢ liftSubobject (projectSubobject (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f