ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f : N →* M
x y : N
⊢ ↑(f x) = ↑(f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
⊢ prod.map (𝟙 (F.obj A)) ((expComparison F A).app B) ≫ (exp.ev (F.obj A)).app (F.obj B) = inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) ≫ F.map ((exp.ev A).app B)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᵐ[μ] Set.univ
⊢ s ∪ t =ᵐ[μ] Set.univ
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Ico (Order.succ a) b = Set.Ioo a b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.48727, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.48731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain G K d
he : 0 + d = e
⊢ 0 + e = d
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
⊢ s.gcd f = 0 ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
CategoryTheory.Mono f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inl f g x₁ = CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inr f g x₂ ↔
  ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
⊢ f.ofMulEquivOfLocalizations (f.mulEquivOfLocalizations k) = k
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf_int : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
α : Type u
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ (x + y).length = x.length + y.length
R : Type u_1
CommMonoid R
StarMul R
U : R
⊢ U ∈ unitary R ↔ U * star U = 1
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
ha : a ≠ ⊥
⊢ P.parts.Nonempty
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ' : MeasureTheory.Measure α
c : ENNReal
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
⊢ μ'.AbsolutelyContinuous μ
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (p.mod q).degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformly (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) Filter.atTop
K : Type u_2
Field K
d : ℕ
f : PowerSeries K
⊢ Valued.v ((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d)) ↔ ∀ n < d, (PowerSeries.coeff K n) f = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
h : ∀ (x : ↑e.source), ∃ s, IsOpen s ∧ ↑x ∈ s ∧ ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ b.flag (Fin.last n) = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
c' : ℝ
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc' : 0 ≤ c'
h : Asymptotics.IsBigOWith c' l f fun x => c * g x
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c' * ‖c‖) l f g
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ ⇑e.toEquiv = ⇑e
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
k : Set α
fk : k.Finite
ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}
u : Set α := k ∩ {y | ∃ x ∈ s, (x, y) ∈ r}
f : ↑u → α
hfs : ∀ (x : ↑u), f x ∈ s
hfr : ∀ (x : ↑u), (f x, ↑x) ∈ r
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
α : Type u_2
s : Set α
⊢ s.Infinite ↔ ∃ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, x ∈ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ cof 0 ≤ card 0
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S
⊢ Continuous (LightCondSet.coinducingCoprod X)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a c : α
n✝ n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (a + n • p) = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ : C
r : X₁ ⟶ X₂
⊢ (CategoryTheory.Biprod.unipotentUpper r).hom = CategoryTheory.Biprod.ofComponents (𝟙 X₁) r 0 (𝟙 X₂)
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.infsep = 0 ↔ s.einfsep = 0 ∨ s.einfsep = ⊤
s : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) s).GammaIntegral = (starRingEnd ℂ) s.GammaIntegral
R : Type u_1
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
α : Type u_4
Unique α
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique R M α) f = f default
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ 2⁻¹ ^ n
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
FirstCountableTopology G
⊢ ∃ u, (𝓝 0).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) + u (n + 1) ⊆ u n
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) MeasureTheory.volume (↑n) (↑n + 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a b : R[X]
h : minpoly R x ∣ a * b
h' : ¬minpoly R x ∣ a
⊢ minpoly R x ∣ b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
s : Set A
⊢ t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s ↔ s ⊆ ↑(ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t)
ι : Type u_1
β : Type u_3
DecidableEq ι
f : ι → β
i : ι
v : β
⊢ Function.update f i v = {i}.piecewise (fun x => v) f
R : Type u_1
M : Type u_3
Monoid R
MulAction R M
⊢ IsSMulRegular M 1
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
⊢ i = j
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (s.inf f)
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
⊢ ⇑(AddHom.snd M N) = Prod.snd
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.isPairSelfAdjointSubmodule F ↔ B.IsPairSelfAdjoint F f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
p : X = X
⊢ CategoryTheory.eqToHom p = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u v : E
hv : v ∈ K
hvo : u - v ∈ Kᗮ
⊢ ↑((orthogonalProjection K) u) = v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
r : R
h : v ⟂ᵥ w
s : Set α
hmeas : MeasurableSet s
hs₁ : ∀ t ⊆ s, ↑v t = 0
hs₂ : ∀ t ⊆ sᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ sᶜ
⊢ ↑(r • w) t = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd g f =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
h₁' : x < y
h₂' : 0 < z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
this : UniqueFactorizationMonoid R := HasUnitMulPowIrreducibleFactorization.toUniqueFactorizationMonoid hR
⊢ DiscreteValuationRing R
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this
ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f p μ ≤ c • MeasureTheory.eLpNorm' g p μ
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
x : ℕ
x✝ : x ∈ range (p + 1)
⊢ bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ↑p ! * (↑p + 1) = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ((↑p + 1) * ↑p !)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
huv : G.Adj u v
⊢ (⊤.induce {u, v}).Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set C(α, β)
f : ↑s
⊢ Continuous ⇑↑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
⊢ MDifferentiableOn I I id s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
⊢ mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
R : Type u
AddMonoid R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ star x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M →+ N
⊢ ((f + g).sum fun x => ⇑(h x)) = (f.sum fun x => ⇑(h x)) + g.sum fun x => ⇑(h x)
α : Type u_1
s✝ : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s✝
s t : Set α
e : ℕ → α
he : ∀ (n : ℕ), e n ∈ s ∪ t
⊢ ∃ g, (∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ s) ∨ ∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ t
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
hy' : 1 - δ' < ‖y‖
hδ' : 0 < 1 - δ'
h₁ : ∀ (z : E), 1 - δ' < ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z‖ = 1
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : α ≃o β
x y : α
⊢ IsCompl x y ↔ IsCompl (f x) (f y)
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, 2 ^ k • f (2 ^ (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Finset.Ico 2 (2 ^ n + 1), f k
a b : Int
h : a - b < 0
⊢ a < b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ ∀ {X Y : (J ⥤ C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (X_1 : C)
  (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj X).obj ((CategoryTheory.Functor.const J).obj X_1)) (X_2 : J),
  (((CategoryTheory.cocones J C).map f).app X_1 a).app X_2 = f.unop.app X_2 ≫ a.app X_2
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' N' : Submodule R S
hm : M' ≤ M
hn : N' ≤ N
Module.Flat R ↥N
Module.Flat R ↥M'
⊢ M'.LinearDisjoint N'
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
⊢ ⇑(homothety x t) = fun y => t • (y - x) + x
x : ℂ
⊢ HasDerivAt Complex.cosh (Complex.sinh x) x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
a✝ : f x ≠ f y
⊢ Commute (f x) (f y)
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α✝
s✝ : Set α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : c.Nonempty
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ i ∈ c, f i
⊢ ∃ i ∈ c, ↑s ⊆ f i
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
f : α → ℕ
⊢ (f a + ∑ i ∈ ∅, f i).choose (f a) * multinomial ∅ f = 1
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0
⊢ f • f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
⊢ x ^ y ≤ 1 ↔ 1 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
One B
a : A
⊢ Function.mulSupport (Pi.mulSingle a 1) = ∅
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
e : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑e.toHomeomorph.symm = ⇑e.symm
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
CategoryTheory.Mono S.f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (hS.lift k hk) S.f = k
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ Nat.succ 0 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
h : edist x y ≠ ⊤
h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤
⊢ edistLtTopSetoid.Rel y (efixedPoint f hf y hy)
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2)) ^ 2 = √(π / b) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
Nonempty α
h : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.MapsTo (Function.invFunOn f s) t s
x y : PUnit.{u_1 + 1}
⊢ gcd x y = PUnit.unit
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s
⊢ μ = ν
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : Part α
⊢ x.bind (Part.some ∘ f) = Part.map f x
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
⊢ IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
⊢ StableUnderSpecialization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = s
⊢ ∑ i ∈ divisors 0, i = ∑ i ∈ properDivisors 0, i + 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β✝ : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
inst✝ : CommMonoid β
g : α → M → β
⊢ (f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ ∀ (a : Quotient (CategoryTheory.isIsomorphicSetoid C)), (CategoryTheory.ThinSkeleton.fromThinSkeleton C).obj a = a.out
a b : UInt8
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ Measurable ⇑κ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ image2 f s (⋂ i, t i) ⊆ ⋂ i, image2 f s (t i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card ≤ (mulETransformLeft g (s, t)).1.card + (mulETransformLeft g (s, t)).2.card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
⊢ max x y = if x < y then y else x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤
⊢ ¬hausdorffEdist t u = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
y : E
x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Set.SurjOn f s t
g : β → γ
⊢ Set.SurjOn (g ∘ f) s (g '' t)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ disjointed f ≤ f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0
⊢ norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
⊢ ⊤ ≤ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T)
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
n : ↑N
hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))
⊢ ↑((Substructure.inclusion ⋯) ((g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding (NP n))) = ↑((Substructure.inclusion ⋯) (QM.equivRange (NQ n)))
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K : S
h : H ≤ K
val✝ : G
property✝ : val✝ ∈ H
⊢ ↑((inclusion h) ⟨val✝, property✝⟩) = ↑⟨val✝, property✝⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : PartialHomeomorph H H
e' : PartialHomeomorph H' H'
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
⊢ e.prod e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ (I.prod I')
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ IsNormal (f i ?H.hi)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : 0 < dist b a
hc : 0 < dist c a
hd : 0 < dist d a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
a b : ℝ
n : ℕ
H : ∀ x ∈ Set.Icc 0 π, sin x ^ (n + 1) ≤ sin x ^ n := fun x h => pow_le_pow_of_le_one (sin_nonneg_of_mem_Icc h) (sin_le_one x) (Nat.le_add_right n 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
m n k : Nat
⊢ Int.negSucc m + Int.negSucc n + ↑k = Int.negSucc m + (Int.negSucc n + ↑k)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + n
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U V : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ (U ⊔ V).dualCoannihilator = U.dualCoannihilator ⊓ V.dualCoannihilator
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.id M) = ⊤
M : Type u_6
MulOneClass M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
a : M
⊢ 𝓝 1 * 𝓝 a = 𝓝 a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) (Metric.closedBall x)