ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring R
x : R × S
⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom i)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t t' : Set α
h : EqOn f g (t ∩ s)
h' : EqOn f' g (t' ∩ sᶜ)
⊢ EqOn (s.piecewise f f') g (s.ite t t')
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Mul Y
f g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α
⊢ (insert a s).IsWF ↔ s.IsWF
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
f : E → E'
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f ↔ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ normUnit (0 * ↑(normUnit 0)) = 1
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi : i ≠ last (n + 1)
⊢ (last n).predAbove i = i.castPred hi
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β
⊢ (e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s)).source = (e.restr (↑e ⁻¹' s)).source
⊢ Partrec₂ Nat.Partrec.Code.eval
α : Type u
R : Type u_1
Semiring R
Small.{v, u} α
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ ∀ (a : α), (Shrink.linearEquiv α R).symm a = (AddEquiv.symm (equivShrink α).symm.addEquiv) a
α : Type u_1
β : Type u_2
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ AddOpposite.op (a +ᵥ b) = a +ᵥ AddOpposite.op b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : (f : α ↪ β) × ↑(Set.range ⇑f)ᶜ
⊢ (Function.Embedding.optionEmbeddingEquiv α β).symm f = f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : ↥N
n : ℕ
⊢ ↑(((toEnd R L ↥↑N) x ^ n) y) = ((toEnd R L M) x ^ n) ↑y
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, v j * f j ^ ↑i = 0
⊢ v = 0
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.count K v ↑J = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, f x = ∏ x ∈ s, f x
F : Type u_1
H : Type u_3
b : H
R : Type u_4
LinearOrderedRing R
FloorRing R
AddGroup H
FunLike F R H
AddConstMapClass F R H 1 b
f : F
x : R
⊢ f (Int.fract x) = f x - ⌊x⌋ • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
l.NeBot
r : β → γ → Prop
x : β
y : γ
⊢ Filter.Germ.LiftRel r ↑x ↑y ↔ r x y
α : Type u
⊢ CategoryTheory.discreteSieve α ∈ CategoryTheory.typesGrothendieckTopology.sieves α
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
hp : Irreducible p
⊢ MulAction.IsPretransitive p.Gal ↑(p.rootSet E)
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ ¬Nat.Prime n ↔ ∃ m, m ∣ n ∧ m ≠ 1 ∧ m ≠ n
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformInducing f
⊢ Inducing f
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
Module 𝕜' F'
BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
F : (i : I) → f i → g i
hF : ∀ (i : I), Function.Injective (F i)
⊢ Function.Injective fun x i => F i (x i)
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n Real.arcsin x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
CategoryTheory.ArtinianObject X
h : ¬CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ ∃ Y, CategoryTheory.Simple (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj Y)
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
hn : N ≤ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N m ω = N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CommSemiring A
s : Set E
NormedRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
p : Polynomial A
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval (f x)) p) s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
⊢ map id S.toFinset.val ≤ S
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ ⨅ α, Weight.ker = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ N ≤ ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Integrable (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : y ∈ ball x ε
this : 0 < ε - edist y x
⊢ edist y x + (ε - edist y x) ≤ ε
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
OrderTop α
LE β
OrderTop β
LE γ
OrderTop γ
g : BotHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : BotHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ TopHom.dual.symm (g.comp f) = (TopHom.dual.symm g).comp (TopHom.dual.symm f)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
⊢ Function.support f = f ⁻¹' {0}ᶜ
f : ℂ → ℂ
z₀ : ℂ
ε r : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ Metric.sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
⊢ Metric.ball (f z₀) (ε / 2) ⊆ f '' Metric.closedBall z₀ r
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
n : Nat
f : α → Option β
h : f a = none
⊢ List.filterMap f (List.replicate n a) = []
z w : ℂ
⊢ ((abs z + w) * abs z + w) ≤ ((abs z) + abs w) * ((abs z) + abs w)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
w : α
hp : p w
hq : q w hp
H : ∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = w
⊢ ∃! x, ∃ hx, q x hx
α : Type u
l₁ l₂ : List α
h : l₂ ≠ []
⊢ (l₁ ++ l₂).getLast ⋯ = l₂.getLast h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, aeSeq h_meas p i a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.convolution f g L μ) μ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
⊢ (swap dslope z₀)^[p.order] f z₀ ≠ 0
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α ⧸ s
⊢ (Subgroup.quotientEquivProdOfLE' h_le f hf) a =
  (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)
x : ℝ
h0x : 0 ≤ x
hxp : x ≤ Real.pi / 2
⊢ 0 ≤ Real.tan x
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(-f).domain
⊢ ↑(-f) x = -↑f x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ (Finmap.erase a s).keys = s.keys.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B✝ I : Set α
h : BijOn f E N.E
B : Set α
hB : B ⊆ (N.comapOn E f)✶.E
⊢ f '' B ⊆ N.E
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : StarRing α
⊢ A⁻¹ᴴ = Aᴴ⁻¹
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x + x_1
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}
this : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
⊢ Matrix.vecCons m 0 = ![m]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b ≤ d
h₂ : c ≤ a
⊢ Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
hy : y ⊆ f '' x
⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ List.filter (fun x => decide (a = x)) l = List.replicate (List.count a l) a
p n : ℕ
hpp : Prime p
ih : IsSquare (-1) → ∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2
h : IsSquare (-1)
⊢ ∃ x y, p * n = x ^ 2 + y ^ 2
σ : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
w : σ → M
self : Finsupp.NonTorsionWeight w
n : ℕ
s : σ
h : n • w s = 0
⊢ n = 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
⊢ ↑↑↑f =ᵐ[μ] 0
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ Compactum.cl (Compactum.cl A) ⊆ Compactum.cl A
x : ℤ
h : 1 < x.natAbs
m : ℕ
⊢ Submonoid.log (Submonoid.pow x m) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Af : Antitone f
fbot : f ⊥ = ⊤
⊢ f (sSup s) = sInf (f '' s)
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
this : m / m.gcd n ≠ 0
hp : (Prime p ∧ p ∣ m) ∧ (Prime p → ¬p ∣ n)
⊢ (m.gcd n).Coprime p
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : β
⊢ toLex (Sum.inr a) < toLex (Sum.inr b) ↔ a < b
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (max (lsub fun a => (xL a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
f : R[X]
hf : f ∈ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})
n : ℕ
⊢ f.coeff n = 0
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
h : (↑P.parts).Subsingleton
⊢ P.IsEquipartition
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasPoints P L
l₁ l₂ : L
hl : l₁ ≠ l₂
⊢ ∃! p, p ∈ l₁ ∧ p ∈ l₂
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ IsLUB (Set.range f) (⨆ j, f j)
R : Type u_1
CommRing R
p q r : Polynomial R
pq : p ∣ q
pr : p ∣ r
⊢ p ∣ q.cancelLeads r
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Bijective (List.map f) ↔ Function.Bijective f
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
⊢ ∀ c ∈ Finset.range (k + 1), a ^ c * b ^ (k - c) * ↑(k.choose c) ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
ha : a < 0
hb : 0 < b
⊢ a • b < 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cocycle G K n
h : m + 1 = n
eq : CochainComplex.HomComplex.δ m n α = n.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ).comp ↑β ⋯
⊢ ↑(CochainComplex.mappingCone.descCocycle φ α β h eq) = CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α (↑β) h
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.ball x r) =
  ENNReal.ofReal r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E *
    ENNReal.ofReal (√Real.pi ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E / Real.Gamma (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) / 2 + 1))
K : Type u_4
Kₘ : Type u_5
Field K
CommRing Kₘ
M : Submonoid K
hM : 0 ∉ M
Algebra K Kₘ
IsLocalization M Kₘ
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap K Kₘ)
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
⊢ 0 < IsUnifLocDoublingMeasure.scalingScaleOf μ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
⊢ ↑{a} ⊆ s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
StrongRankCondition R
Fintype m
f : n → m
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ (A.submatrix f ⇑e).rank ≤ A.rank
α : Type u_1
β : Type u_2
MetricSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f : C(α, β)
ε : ℝ
h : 0 < ε
⊢ 0 < f.modulus ε h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
J : Type
Finite J
K : Type
Finite K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : ⨁ f ⟶ ⨁ g
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun j k => CategoryTheory.Limits.biproduct.components m j k) = m
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1
⊢ ∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.PreservesOneHypercovers J K
J.IsGeneratedByOneHypercovers
⊢ F.IsContinuous J K
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n
⊢ (∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, f i).coeff ({ val := l, nodup := hl }.card * n) = ∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
ht : IsCompact t
hs : IsClosed s
⊢ IsCompact (s ∩ t)
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
v : n → R
⊢ (A₁.fromRows A₂).mulVec v = Sum.elim (A₁.mulVec v) (A₂.mulVec v)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, (∃ i, x ∈ (f.genEigenspace μ) i) → ∃ i, g x ∈ (f.genEigenspace μ) i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
x : E
⊢ f.normed μ x = ↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂
⊢ ‖p₂ -ᵥ s.center‖ ≤ ‖p₁ -ᵥ s.center‖
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
⊢ (base f) x = (base f) y
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ✝
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ✝ R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R
a : σ →₀ ℕ
⊢ p.toFun 0 = p 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
⊢ IsUnit ((toMatrix v v') ↑f).det
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
H1 : ↑x = 0
H2 : ¬x % Nat.find ⋯ = 0
⊢ ↑(x % Nat.find ⋯) = 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h : μ K ≠ 0
⊢ μ.IsOpenPosMeasure
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
ha : a ≤ 1
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroupWithOne β
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ ↑(∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, ↑(f x)
α : Type u
r : α → α → Prop
self : IsWellFounded α r
⊢ WellFounded r
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ Commute (LinearMap.mulLeft R a) (LinearMap.mulRight R b)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₂ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (bit b n).bodd = b
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
n : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime x (y ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b
hbc : b ≤ c
⊢ f b ≤ g b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂
⊢ f₁ = f₂
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
⊢ spectrum R (cfc f a) = f '' spectrum R a
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
⊢ ¬b = 0 → a ^ ω ≤ b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
⊢ ContinuousOn (⇑e) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.NatTrans.vcomp α β = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (cexp (↑x * I)).im = Real.sin x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor B C
H : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (F.comp G).comp H = F.comp (G.comp H)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
⊢ (∫⁻ (a : α) in s, μ.rnDeriv ν a ∂ν).toReal = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red.Step L₂ L₃ → FreeAddGroup.Red.Step (L₁ ++ L₂) (L₁ ++ L₃)