ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ Integrable I l f vol ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
PartialOrder β
gi : GaloisInsertion l u
⊢ Function.LeftInverse l u
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)
⊢ k + 1 = n + k + 1 - n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
x : R
⊢ (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Ideal.Quotient.mk p) x) = (Ideal.Quotient.mk P) (f x)
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
Nontrivial R
⊢ Function.Injective (FreeAlgebra.ι R)
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
S : Turing.PartrecToTM2.K' → List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr) { l := some (Turing.PartrecToTM2.unrev q), var := s, stk := S }
  { l := some q, var := none,
    stk :=
      Function.update (Function.update S Turing.PartrecToTM2.K'.rev []) Turing.PartrecToTM2.K'.main
        ((S Turing.PartrecToTM2.K'.rev).reverseAux (S Turing.PartrecToTM2.K'.main)) }
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min ↑a ↑b ≤ ↑c ↔ min a b ≤ c
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
AddCommGroup P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ QuadraticMap.associated (QuadraticMap.pi Q) =
  ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (QuadraticMap.associated (Q i)) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
x : ↥(Module.Baer.supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : ↥(Module.Baer.extensionOfMax i f).domain
r : R
eq1 : ↑x = ↑a + r • y
⊢ Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extensionToFun i f h x =
  ↑(Module.Baer.extensionOfMax i f).toLinearPMap a + (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) r
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ = 1
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
⊢ 1 < a * b ↔ 1 < a ∨ 1 < b
a b : NONote
⊢ (a.opow b).repr = a.repr ^ b.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
⊢ ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
⊢ CategoryTheory.RelCat.opFunctor.comp CategoryTheory.RelCat.unopFunctor = CategoryTheory.Functor.id CategoryTheory.RelCat
⊢ Bipointed.swap ⋙ bipointedToPointedFst = bipointedToPointedSnd
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
b n : ℕ
h : 1 < b
hn : b ≤ n
⊢ Nat.log b n = Nat.log b (n / b) + 1
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
hδ : 0 < δ / 2
h : 0 ≤ 1
n m : ℕ
i : ι
hsub : Metric.ball (addNSMul h (δ / 2) n, addNSMul h (δ / 2) m) δ ⊆ c i
⊢ ∃ i, Icc (addNSMul h (δ / 2) n) (addNSMul h (δ / 2) (n + 1)) ×ˢ Icc (addNSMul h (δ / 2) m) (addNSMul h (δ / 2) (m + 1)) ⊆ c i
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₁
⊢ (piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = f ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousAt f x
hg : LowerSemicontinuousAt g x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasFDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
h : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g h
⊢ t.asCofork.pt = Z
α : Type u_2
f : Filter α
v : α → EReal
⊢ Filter.limsup (-v) f = -Filter.liminf v f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.cycles ≅ S.homology
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (φ.map (Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f))
z : ℂ
⊢ z.re ^ 2 ≤ z.re ^ 2 + z.im * z.im
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
FunLike F α β
BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ f aᶜ = (f a)ᶜ
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ FractionalIdeal.map (AlgHom.id R P) I = I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)
⊢ Measurable f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.Finite R M
h : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
⊢ (LinearMap.ker l).FG
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X
hf : f = 0
⊢ IsZero Y
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : IsTotal α r
inst✝ : IsTrans α r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
⊢ Sorted r (mergeSort r (a :: b :: l))
x : ℂ
⊢ (∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x - ↑π / 2) ↔ ∃ k, ↑π / 2 + ↑k * (2 * ↑π) = x
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a : α
⊢ Disjoint a ⊤ ↔ a = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f g : CategoryTheory.End X
⊢ α.conj (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.conj f) (α.conj g)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
⊢ ⋃ n, Set.Ioc (↑n) (↑n + 1) = Set.univ
V : Type u
x y : SimpleGraph V
v w : V
⊢ (x \ y).Adj v w ↔ x.Adj v w ∧ ¬y.Adj v w
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
R' : Type w
S' : Type t
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
Algebra.Flat R R'
⊢ Algebra.Flat S S'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 0 ≤ c
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
⊢ ↑(Rel.interedges G.Adj (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ x * y ∈ I * J
R : Type u
ι : Type v
M : Type u_1
Fintype ι
CommRing R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
ContinuousMul R
ContinuousSMul R M
z : M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
α : Type
self : IO.PromiseImpl α
⊢ Nonempty α
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ a / b = b⁻¹ * a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : ↑M.E ↪ β
⊢ (M.mapSetEmbedding f).E = Set.range ⇑f
n : Nat
⊢ Nat.gcd 1 n = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
⊢ m ∈ span R (range ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1
this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
f : α → β
a b : α
hf : Antitone f
⊢ f '' Set.uIcc a b ⊆ Set.uIcc (f a) (f b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, P n k
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
ht : s ∩ u ⊆ t
hu : s ∩ t ⊆ u
⊢ s ∩ t = s ∩ u
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalSemiring α
u : m → α
w : n → α
v : Matrix m n α
⊢ (fun j => u ⬝ᵥ fun i => v i j) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ fun i => v i ⬝ᵥ w
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R ↔
  CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
f : ℍ → ℂ
hf : ∀ (γ : ↥Γ), f ∣[k] γ = f
⊢ ⇑{ toFun := f, slash_action_eq' := hf } = f
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
⊢ ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h = ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤
⊢ Summable (ENNReal.toNNReal ∘ f)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
hσ_le_τ : σ ≤ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
hτ_countable_range : (Set.range τ).Countable
hσ_countable_range : (Set.range σ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[μ[f n|hτ.measurableSpace]|hσ.measurableSpace]
⊢ stoppedValue f σ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hσ.measurableSpace]
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Neg α
A : Matrix m n α
⊢ (-A).submatrix = -A.submatrix
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
⊢ AddAction.fixedBy α (-g) = AddAction.fixedBy α g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.congr X e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun Y => CategoryTheory.MonoOver.isoMk (e.unitIso.app Y.obj.left) ⋯) ⋯
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ
⊢ μ (s ∩ closedBall 0 R) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
⊢ Finset.pimage f ∅ = ∅
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
ι : Type u_7
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → G} {μ : ι → MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.sum μ) →
    ∫ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.sum μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f a ∂μ i
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hs : s ⊆ range f
⊢ (f '' (f ⁻¹' s)).Finite
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
⊢ μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
x y : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex (x * y) = GaussianInt.toComplex x * GaussianInt.toComplex y
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
LocallyFiniteOrder α
f : ι →₀ α
⊢ (Finset.Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Finset.Iic (f i)).card
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : TensorAlgebra R M
⊢ TensorAlgebra.ofDirectSum (TensorAlgebra.toDirectSum x) = x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
⊢ x ^ p = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
⊢ Subsingleton P
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
D₁ D₂ : LieDerivation R L L
y : L
⊢ ⁅x, ⁅D₁, D₂⁆⁆ y = (⁅⁅x, D₁⁆, D₂⁆ + ⁅D₁, ⁅x, D₂⁆⁆) y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup fun i => F i a
ds₁ ds₂ : List ℕ
is : List ℕ
eq : ds₁ = ds₂
h : List.Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is ds₁
⊢ ↑(cast ⋯ ⟨is, h⟩) = is
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1
⊢ a • x + b • y = b • (y - x) + x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cone.fromCostructuredArrow F).map f).hom = f.left
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsOpen (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier)
α : Sort u_1
f : Bool → α
⊢ Function.Injective f ↔ f false ≠ f true
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ AEMeasurable (codRestrict f s hfs) μ
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g✝ : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g
⊢ g ⁻¹' closure (g '' (g ⁻¹' mulSupport f)) ⊆ g ⁻¹' mulTSupport f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
hb : b ∈ f.fix a
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
⊢ b ∈ f.fix a'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
t : Set α
⊢ t ∈ l ⊔ l' ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ p' i.snd) ∧ s i.fst ∪ s' i.snd ⊆ t
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : 0 ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
⊢ p - 1 ≠ 0
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ (¬(if (w.comap (algebraMap k K)).IsReal then 1 else 2) = if w.IsReal then 1 else 2) ↔ ¬w.IsReal ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[S] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (Algebra.TensorProduct.map f g).comp Algebra.TensorProduct.includeLeft = Algebra.TensorProduct.includeLeft.comp f
M : Type u_4
AddZeroClass M
a : M
⊢ [a].sum = a
⊢ pointedToTwoPSnd ⋙ TwoP.swap = pointedToTwoPFst
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋) atBot atBot
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
StarAddMonoid β
NormedStarGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(star f) = star ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : PosNum
⊢ ↑(a.sub' 1) = ↑a - ↑1
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : DistribMulAction M E
inst✝ : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
⊢ Absorbs M (s₁ - s₂) (t₁ - t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Sup β
ContinuousSup β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f ⊔ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
⊢ e.symm.removeNone_aux (e.removeNone_aux x) = x
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R
m : M
n : N
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] (s • n) = (r * s) • m ⊗ₜ[R] n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E
⊢ B ⊆ E → ((N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B))
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).reverse = q.reverse.append p.reverse
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec R).presheaf = (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑R).val
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
s : Finset ι := hN.toFinset
κ : ι → Type u_3 := fun i => Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N ↑i)
⊢ (trace R M) f = 0
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p
h1 : ∀ (i : ℕ), (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) ((a + ↑p * b) ^ i) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)
⊢ (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i)) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (↑p * a ^ (p - 1))
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
⊢ u ∈ f' i✝ '' univ