ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ ⇑h '' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (h x) r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖
A : (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => (r₂ / ‖r₁‖) ^ n
⊢ (fun n => r₁ ^ n) =O[atTop] fun n => ‖r₁‖ ^ n
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
⊢ PreTilt.valAux K v O hv p 1 = 1
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
a : α
⊢ (UpperSet.map f) (UpperSet.Ioi a) = UpperSet.Ioi (f a)
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
x✝ : α × α
a₁ a₂ : α
⊢ (a₁, a₂) ∈ ((preimage fun x => (pureCauchy x.1, pureCauchy x.2)) ∘ gen) s ↔ (a₁, a₂) ∈ id s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type
w✝¹ : Field K
w✝ : CharP K p
H : Infinite K
⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)) μ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q
x✝ : ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
n : ℕ
h : (algebraMap F E) ((minpoly F x).coeff 0) = -1 * x ^ q ^ n
⊢ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
this : IsIso f
⊢ f = g
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
c1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)
hf : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
x : R
⊢ Localization.mk x 1 = (algebraMap R (Localization M)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X₁ X₂) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Concrete.prodEquiv X₁ X₂) x).2 = CategoryTheory.Limits.prod.snd x
R : Type u
M : Type v
Zero R
⊢ TrivSqZeroExt.fst ∘ TrivSqZeroExt.inr = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ normalClosure F (↥(separableClosure F E)) E = separableClosure F E
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
CategoryTheory.CategoryWithHomology D
(HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
F.Additive
F.PreservesHomology
⊢ (HomologicalComplex.quasiIso C c).IsInvertedBy (F.mapHomologicalComplex c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q)
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
h : b < a
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc b a
α : Type u_1
SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ f * f.inv hf ≈ 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hle : map f p ≤ P ^ n
hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)
Q : ℕ → Prop := fun m => ∀ (k : ℕ), map f p ≤ P ^ k → k ≤ m
this : Q n
⊢ ramificationIdx f p P = n
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
⊢ Continuous f → Continuous fun x => ‖f x‖₊
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ 0 ≤ f' y
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ ¬cs.IsLeftInversion (t * w) t ↔ cs.IsLeftInversion w t
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
hcomm : Commute (↑a) (r • ↑a⁻¹ - 1)
⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
β : Type u_2
Primcodable β
H : Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
⊢ Primrec₂ List.cons
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f (fun t => MvPolynomial.eval₂ f g (q t)) p =
  MvPolynomial.eval₂ f g (MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C q p)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝ ∈ interedges r s t
hy : a✝ ∈ interedges r s' t
⊢ False
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, a + ↑n = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
X : C
⊢ (e.changeInverse iso).unitIso.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (iso.inv.app (e.functor.obj X)) (e.unitIso.inv.app X)
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u_1
inst✝ : (constantsOn α).Structure M
a : α
x : Fin 0 → M
⊢ funMap (Sum.inr a) default = ↑(L.con a)
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
g : G
⊢ (rangeKerLift φ) ↑g = ⟨φ g, ⋯⟩
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ Function.Surjective ⇑e.toLieHom
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₁
⊢ ↑(AffineEquiv.equivUnitsAffineMap e)⁻¹ = ↑e.symm
V : Type u
G : SimpleGraph V
x : G.Subgraph
a : V
⊢ x.spanningHom a = id a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ IsIso (pullback.snd f g)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ CompleteLattice.Independent fun χ => LieModule.weightSpace M χ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
K₁ K₂ : ConvexCone 𝕜 E
a : E
⊢ a ∈ K₁ + K₂ ↔ ∃ x ∈ K₁, ∃ y ∈ K₂, x + y = a
α : Type u_1
β : α → Type u_2
⊢ Function.Injective ⇑(Equiv.Perm.sigmaCongrRightHom β)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ a • b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
⊢ Submodule.map ((LieModule.toEnd R L M) x) ↑N ≤ ↑N
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2
⊢ ∀ (x : F × F), f (g x.1) = x.1 ∧ f (g x.2) = x.2 → (fun x => ↑f' (((fun p => (g p.1, g p.2)) x).1 - ((fun p => (g p.1, g p.2)) x).2) - (f ((fun p => (g p.1, g p.2)) x).1 - f ((fun p => (g p.1, g p.2)) x).2)) x = f' (g x.1 - g x.2) - (x.1 - x.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h1 : Function.Periodic f c₁
h2 : Function.Antiperiodic f c₂
⊢ f (c₁ - c₂) = -f 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.Units.regulator K ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
b : β
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.GradedObject β C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.GradedObject.eval b).map f = f b
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) = 𝓕⁻ (𝓕 f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
⊢ (reinsertAux data a b).size = data.size.succ
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) 0 = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n (x - y) = init n (init n x - init n y)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ 1 x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
⊢ i ∈ l.splitSupport ↔ l.split i ≠ 0
α : Type u_1
s : Multiset (Multiset α)
a : Multiset α
⊢ a ∈ s.Sections ↔ Multiset.Rel (fun s a => a ∈ s) s a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 0 < a + b
⊢ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X : C
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L₁.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L₂.obj X)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((bind₁ f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, j ∈ (f i).vars
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
X : Type u_6
TopologicalSpace X
f : Bundle.TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ Set.univ)
⊢ ContinuousOn f (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type v
IsEmpty α
f : α → β
la : Filter α
lb : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f la lb
a b c : ℕ
h : c ≤ a
x : ℕ
⊢ x ∈ image (fun x => x - c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico (a - c) (b - c)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ ∀ (i : Set X), IsClosed i ∧ IsLindelof i → ∀ (j : Set X), IsClosed j ∧ IsLindelof j → ∃ k, (IsClosed k ∧ IsLindelof k) ∧ kᶜ ⊆ iᶜ ∧ kᶜ ⊆ jᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ AEMeasurable (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
⊢ span R (⇑b '' {i | i.castSucc < k.succ}) = span R {b k} ⊔ span R (⇑b '' {i | i < k})
𝕜 : Type u_1
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
hg_upper : ∃ k C, ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ C * (1 + ‖g x‖) ^ k
f : SchwartzMap E F
⊢ ⇑((SchwartzMap.compCLM 𝕜 hg hg_upper) f) = ⇑f ∘ g
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
⊢ ⇑(MvPolynomial.basisMonomials σ R) = fun s => (MvPolynomial.monomial s) 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N P : CategoryTheory.Bundled L.Structure
h : Nonempty (↑N ≃[L] ↑P)
⊢ N ∈ L.age M ↔ P ∈ L.age M
α : Type u
CommSemiring α
x y : α
⊢ x ∈ Ideal.span {y} ↔ y ∣ x
⊢ ⇑Cardinal.Aleph'.relIso = Cardinal.aleph'
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
⊢ IsAddSubgroup (f '' s)
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictAntiOn (Real.logb b) (Set.Iio 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.IsIso f
Z : C
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv f) g) = g
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightId L R).hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ Quot.out (Associates.mk a) ~ᵤ a
α : Type u
Monoid α
m : α
Invertible m
n : ℕ
Invertible (m ^ n)
⊢ ⅟(m ^ n) = ⅟m ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
⊢ 0 < dValue N
α : Type u_2
f : Filter α
v : α → EReal
⊢ Filter.liminf (-v) f = -Filter.limsup v f
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) ⇑(EisensteinSeries.eisensteinSeries_SIF a k)
m n : ℕ
x✝ : Fin m × Fin n
x : Fin m
y : Fin n
H : 0 < n
⊢ ↑y / n + ↑x = 0 + ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), f.toAddMonoidHom = ↑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hs : ∀ (s : Set X), f '' interior s ⊆ interior (f '' s)
u : Set X
hu : IsOpen u
⊢ f '' u = f '' interior u
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
a : X
⊢ 𝓝[⋃ i, f i] a = ⨆ i, 𝓝[f i] a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 1, c := c, d := d }.toPoly.Monic
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a \ ⊤ = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.lcs 0 N = N
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a • b ≤ 0
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝¹ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
⊢ ∀ (y : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)), y = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] F
hf : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, L (f x) ∂μ = L (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)
F : Type u_1
K : Type u_2
CommRing F
Ring K
Algebra F K
self : Algebra.IsSeparable F K
x : K
⊢ IsSeparable F x
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
e : E
⊢ Function.Bijective ⇑e
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
⊢ ∀ (a : G), NormedAddCommGroup.toCompl a = ↑G a
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ IntegrableOn (fun x => (∏ i : Fin (n + 1), ↑(R i) * cexp (↑(e x i) * I) * I) • f (torusMap c R (e x))) (Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π) (volume.prod volume)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.158486, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (φ₁ ≫ ψ).τ₂ = S₁.g ≫ h.h₂ ≫ ψ.τ₂ + (h.h₁ ≫ ψ.τ₁) ≫ S₃.f + (φ₂ ≫ ψ).τ₂
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
h : a < b
⊢ ⌊a⌋ < ⌈b⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂
⊢ p₁ = p₂
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
⊢ ↑hx.unit⁻¹ ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+: l₂
f : α → Option β
⊢ List.filterMap f l₁ <+: List.filterMap f l₂
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }
this : Algebra K K[n√a] := inferInstance
⊢ (X ^ n - C a).Separable
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
g : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Integrable g μ
hgtends : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) 1 μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ eLpNorm (f n - μ[g|↑ℱ n]) 1 μ = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Ico ↑a ⊤ = Set.Ici a
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Monotone t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
NormedAddCommGroup γ
BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp g p ν
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAt f f' x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[≠] x, f z ≠ f x
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Odd (a + (1 + a))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
⊢ s ⊻ s = s ↔ SupClosed ↑s
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
h2 : F⟮x⟯ ≤ L'
⊢ False