ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
ι : Type u_1
Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall a r) = ENNReal.ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : M → Prop
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x ∈ ↑(S i)
⊢ C x
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Rₚ : Type u'
CommRing Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type v'
CommRing Aₚ
Algebra R Aₚ
Algebra A Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type v'
CommRing Bₚ
Algebra R Bₚ
Algebra B Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
Algebra Rₚ Aₚ
Algebra Rₚ Bₚ
IsScalarTower R Rₚ Aₚ
IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
x : ↥(RingHom.ker f)
⊢ (AlgHom.toKerIsLocalization M Rₚ Aₚ Bₚ f) x = (RingHom.toKerIsLocalization Aₚ Bₚ f.toRingHom ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
⊢ (eraseP p l).length + 1 = l.length
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s), p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ p x h
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.fundamentalFrontier G s ∪ MeasureTheory.fundamentalInterior G s = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g : C
η : f ⟶ g
η' : f ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (𝟙_ C) g
η'' : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (𝟙_ C) f ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (𝟙_ C) g
pf_η' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor g).inv = η'
pf_η'' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor f).hom η' = η''
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) η = η''
B : Type u_3
S : Type u_4
Ring B
R : Type u_5
CommSemiring R
CommRing S
Algebra R B
Algebra S B
Algebra R S
IsScalarTower R S B
x : B
r : R
hx : IsIntegral S x
⊢ IsIntegral S (r • x)
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
⊢ Measurable fun a => f (updateFinset x ∅ a)
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ+
⊢ n < PNat.find h ↔ ∀ m ≤ n, ¬p m
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired fun x x_1 => x ^ x_1)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero N
n : N
i : ι
a : η i
j : ι
b : η j
h : ¬i = j
⊢ (single ⟨i, a⟩ n) ⟨j, b⟩ = 0
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
f : α →* H
a b : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f a})
⊢ ↑((f.fiberEquiv a b) g) = b * (a⁻¹ * ↑g)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableEq α
a : α
P : Finpartition a
b : α
⊢ (P.avoid b).parts.val = (Multiset.map (fun x => x \ b) P.parts.val).dedup.erase ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
a : α
⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖) a ≤ ‖f a‖
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
he : e ≠ 0
this✝¹ : NeZero e := { out := he }
this✝ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P) := Quotient.algebraQuotientOfRamificationIdxNeZero f p P
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
hdim : Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hP : ¬FiniteDimensional (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hPe : ¬FiniteDimensional (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e)
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e * finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
⊢ μ (⇑(f a) ⁻¹' s \ K) + μ (⇑g ⁻¹' s \ K) ≤ ε / 2 + ε / 2
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ I < max 1 (I + 1)
a b : Prop
h : Or a b
na : Not a
⊢ b
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ ∀ x ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
⊢ Irreducible x ∨ ∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α
⊢ pred^[k] x ≤ x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
a b : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) (a * b) = ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) (((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) a)) b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
aux0 : Continuous fun p => p.1.smulRight p.2
aux1 : AEStronglyMeasurable (fun v => (L v, f v)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ
⊢ ((ofComplex.comp toComplex).toLinearMap ∘ₗ ι Q) 1 = ((AlgHom.id ℝ (CliffordAlgebra Q)).toLinearMap ∘ₗ ι Q) 1
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
IsReduced R
⊢ IsSemisimpleRing R
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.95146, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.95150, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ F.map s.r ≫ F.map S.f + F.map S.g ≫ F.map s.s = 𝟙 (F.obj S.X₂)
z τ : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'' z τ) = jacobiTheta₂'' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
a : ENNReal
h0 : a ≠ 0
ht : a ≠ ⊤
⊢ a⁻¹ * a = 1
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (P ⟶ sheafify J P) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P))
e_3✝ : P = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P
e_4✝ : J.sheafify P = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P
⊢ J.toSheafify = (plusPlusAdjunction J D).unit.app
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraEquivOfIsoMonads h).counitIso =
  (CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomComp h.inv h.hom).symm ≪≫
    CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomEq ⋯ ≪≫ CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomId
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ Opposite.op (𝟙_ C) = 𝟙_ Cᵒᵖ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) p (μ.restrict s) = eLpNorm (↑↑f) p (μ.restrict s)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
⊢ f.comp (FrameHom.id α) = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
⊢ a ≤ o.cof ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι
k m n : Nat
H : k.Coprime m
⊢ m.gcd (n * k) = m.gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
h : f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
x : ℂ
hx : Complex.cos x ≠ 0
⊢ Complex.tan x * Complex.cos x = Complex.sin x
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
b : B
h : b ∈ e.baseSet
⊢ e.coordChange e b = id
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R
⊢ (contractRight (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = (contractRight a) d * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
⊢ (countablePartition γ n).PairwiseDisjoint fun u => ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ MeasureTheory.Memℒp (MeasureTheory.Filtration.limitProcess f ℱ μ) p μ
α : Sort u_1
⊢ IsEmpty α ↔ α → False
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : α
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i + h
⊢ a ≤ iInf g + h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
i : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero Y
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
m n : ℚ
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
y : F
⊢ ‖⟪0, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, 0⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪0, 0⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x < star y ↔ x < y
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c : C
⊢ c ∈ ⊤.objs
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 4096 < rexp 16
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x : α
⊢ Bounded r {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)
this : Nonempty { i // p i }
⊢ InjOn f (⋃ i, s ↑i ⋯)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ MvPolynomial.constantCoeff ((MvPolynomial.monomial d) r) = if d = 0 then r else 0
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ a✝ ≤ b✝
α : Type u_3
TopologicalSpace α
TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsNowhereDense s
⊢ IsNowhereDense (closure s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b)
α : Type u
LinearOrderedCommGroup α
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ c * a < c * b
m n : ℕ
⊢ m.sqrt < n ↔ m < n * n
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Ico a b₁ ⊆ Finset.Ico a b₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
⊢ ∀ (P : Ideal R[X]), P.IsPrime → P.jacobson = P
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.tan (↑n * ↑Real.pi - x) = -Complex.tan x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : (aeval x) P = 0
⊢ IsFixedPt P.newtonMap x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true
⊢ count a (filter p l) = count a l
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
h_meas_f : Measurable f
h_meas_g : Measurable g
h_indep_fun : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
R : Type u_1
Semiring R
f g : PowerSeries R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) (f + g) = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) f + (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) g
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1))) (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume)
⊢ Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
α : Type u_3
AddCommMonoid α
l : List α
⊢ (↑l).sum = l.sum
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S✝ S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x / y ∈ S
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ (∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => f x i
α : Type u
f : α → Option α
l : List α
acc : Array α
⊢ List.lookmap.go f l acc = acc.toListAppend (List.lookmap f l)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsOpen (Set.range f)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m - ↑v * ϖ ^ m = 0
⊢ u = v
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ∃ t ⊆ ↑H, IsOpen t ∧ 1 ∈ t
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
a b : ℤ
⊢ 0 < a - b ↔ b < a
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ ⇑(Basis.extend hs) = Subtype.val
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
Y₁ : ι₁ → Type u_8
Y₂ : ι₂ → Type u_9
(i₁ : ι₁) → TopologicalSpace (Y₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → TopologicalSpace (Y₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → Y₁ i₁ ≃ₜ Y₂ (e i₁)
⊢ ∀ (a : (i : ι₁) → Y₁ i) (i₂ : ι₂),
  (Homeomorph.piCongr e F) a i₂ = ⋯ ▸ (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv) a (e.symm i₂)
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ Summable f
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊔ b - a ⊓ b = |b - a|
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
q : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o))
l : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho)
⊢ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑↑q ↑↑l
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ σ 𝕜 ((cfcₙAux ⋯ a ha) f) = Set.range ⇑f
G : Type u
inst✝² : LeftCancelMonoid G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : Nontrivial G
⊢ 1 < exponent G
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
⊢ IsGalois F E
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
u : ℙ K V
⊢ u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), span S ≤ W → u ∈ W
α : Type u_1
a : α
s : Set α
⊢ s.ncard ≤ (insert a s).ncard
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : D.t' i j i ≫ D.t' j i i ≫ D.t' i i j = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
⊢ G.IsUniform ε s t ↔ G.IsUniform ε t s