ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily (ULift.{w, 0} Bool)
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.unitIso.inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle (r • x) y = o.oangle x y
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
⊢ ‖∑' (x : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x) z‖ ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k x z‖
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
⊢ K' = K
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
⊢ ν t = ∑' (g : G), ν (t ∩ g • s)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =o[l] g
h₂ : f₂ =o[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : β ≃o γ
⊢ IsOrderRightAdjoint (⇑e ∘ f) (g ∘ ⇑e.symm)
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
⊢ Gamma (s + 1) = s * Gamma s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso g
f : Y ⟶ X
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → GeneralizedCoheytingAlgebra (π i)
a b : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ (a ∆ b) i = a i ∆ b i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ ↑f =ᶠ[𝓝 c] 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubmonoid N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
⊢ Independent p
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ∀ b ∈ s * t, hs.min hsn * ht.min htn ≤ b
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
CategoryTheory.IsIso α
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot
⊢ leftLim f x ≤ f y
α : Type
n : ℕ
xs : Vector α n
β σ₁ γ σ₂ : Type
f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
R : σ₁ → σ₂ → Prop
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2
n✝ : ℕ
xs✝ : Vector α n✝
ys✝ : Vector β n✝
x✝ : α
y✝ : β
a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).2
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h₀ : R s₁ s₂
⊢ R (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑n ^ 2 - if Even n then 4 else 1
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : ModuleCat S
r : R
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars f).obj M)
⊢ r • m = f r • m
v : Sat.Valuation
a : Prop
n : ℕ
h : v n ↔ a
⊢ Sat.Literal.reify v (Sat.Literal.pos n) ¬a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.EquitableOn f → ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n₁ n₂ n₃ : ℕ
e₁₂ : Fin (n₁ + 1) ≃ Fin (n₂ + 1)
e₂₃ : Fin (n₂ + 1) ≃ Fin (n₃ + 1)
s : Affine.Simplex k P n₁
⊢ s.reindex (e₁₂.trans e₂₃) = (s.reindex e₁₂).reindex e₂₃
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.sin (f x)) (Real.cos (f x) • f') x
α : Type u
β✝ : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
β : α → Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
ht : image Sigma.fst s ⊆ t
⊢ (t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) = s
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ (a * b) ^ c = a ^ c * b ^ c
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f g : R[X]
I : Ideal R
⊢ (quotEquivQuotMap f I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) g)
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
i : G.RightMoves
hi : G.moveRight i ≤ 0
⊢ ∃ j, G.moveRight j ≈ 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ Function.Injective Coe.coe
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
g : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₁) ℤ
hg : g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₁)
⊢ ∃ x ∈ range (π C fun x => ord I x < o₂), (πs C o₂) x = (πs C o₁) g
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ snd (f ≫ i) (g ≫ i) = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ snd f g
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc (b / c) (a / c)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
inst✝ : CharZero S
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b
⊢ ↑a = ↑b
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b
⊢ BddAbove (HPow.hPow a '' Iio b)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this : SeparableSpace ↑s
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs
⊢ ↑p ∣ z * z - y * y
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → L
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∑ i ∈ t, f i ∈ S
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ (m * n).divisors.card = m.divisors.card * n.divisors.card
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
x m : ↥p
⊢ x ∈ MulAction.orbit R m ↔ ↑x ∈ MulAction.orbit R ↑m
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Multiset.Pairwise r 0
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
a b : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ↑a ≠ 0
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha✝ : ua ∈ uas
hb✝ : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
⊢ (μ + ν).trim hm = μ.trim hm + ν.trim hm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.liftStar F M hM).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α
⊢ x ∈ ∅ ↔ y ∈ ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommSemigroup α
h : Periodic f c
a x : α
⊢ (fun x => f (x + a)) (x + c) = (fun x => f (x + a)) x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a = (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
β : Type v
PartialOrder β
IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
Nontrivial β
⊢ ∃ a b, a < b
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
n : ℕ
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / 2 / ↑n ^ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x ∂ENNReal.ofReal |c| • Measure.map (fun x => x * c) volume
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
β : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
hm : m ≤ m0
f : MeasureTheory.SimpleFunc β F
hf_int : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
m n : ℕ
⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬IsSuccLimit x
hs' : s.Nonempty
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
i : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (s : Set α), μ s + ν₁ s = μ s + ν₂ s
⊢ μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₁.restrict (spanningSets μ i)) s = μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₂.restrict (spanningSets μ i)) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
⊢ (τ * σ * τ⁻¹).cycleType = σ.cycleType
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → X → M
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Continuous (f i)) → Continuous fun a => ∑ i ∈ s, f i a
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
⊢ ↑a / ↑b < ↑c / ↑d ↔ a * d < c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_dense : DenseRange f
a : α
⊢ closure (f '' univ) ∈ 𝓝 (f a)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α) = ↑(Nat.card α)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
⊢ dist (BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f) (BoundedContinuousFunction.mkOfCompact g) = dist f g
m n : ℕ
⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(!x && !y)) m n = m ||| n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ 0 < ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
h : ↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b
⊢ ↑x ≤ ↑y
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
h : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
rs' : List R
h'' : rs.Perm rs'
h' :
  ∀ (a b : R) (rs' : List R),
    (a :: b :: rs').Subperm rs →
      let K := Submodule.torsionBy R (M ⧸ Ideal.ofList rs' • ⊤) b;
      K = a • K → K = ⊥
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs'
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
y : ℤ
hxr : y ^ n = m
⊢ False
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ Disjoint Filter.cofinite l ↔ ∃ s ∈ l, s.Finite
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
p : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ Submodule.equivOpposite p = MulOpposite.op (Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) p)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : eLpNorm (↑g) p μb < ⊤
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb
⊢ eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ < ⊤
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
proj : Z → B
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj
⊢ IsOpenMap proj
A B : CommRingCat
f : A ⟶ B
M : ModuleCat ↑B
D : M.Derivation f
b : ↑B
⊢ D.desc (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) = D.d b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
H : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ s.card = ∑ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.Surjective f
α : Sort u
β : Sort v
Uncountable α
f : α ↪ β
⊢ Uncountable β
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
⊢ HasDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
α : Type u_1
Field α
n k e : α
h2 : e ≠ 0
h3 : n * e = k
⊢ k * e⁻¹ = n
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ 3 * (G.cliqueFinset 3).card ≤ G.edgeFinset.card
β : Type u_4
γ : Type u_5
DecidableEq β
i : β → γ
j : γ → β
h : Function.LeftInverse j i
⊢ Filter.Tendsto (Finset.image j) Filter.atTop Filter.atTop
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y Z : C
g h : ((⨁ f) ⊗ X) ⊗ Y ⟶ Z
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ▷ Y ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ▷ Y ≫ h
⊢ (α_ (⨁ f) X Y).inv ≫ g = (α_ (⨁ f) X Y).inv ≫ h
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
P : CategoryTheory.Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g
⊢ f ≫ P.factorThru g h = P.factorThru (f ≫ g) ⋯
α : Type u_1
Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
⊢ p.prod q₁ ⊓ p'.prod q₁' = (p ⊓ p').prod (q₁ ⊓ q₁')
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C b * X + C c).degree < (C a * X ^ 2).degree
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
⊢ VanishesTrivially R m n
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
S : Type u_1
SetLike S γ
AddSubmonoidClass S γ
s : S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → γ
h : ∀ (c : ι), f c ≠ 0 → g c (f c) ∈ s
⊢ f.sum g ∈ s
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
⊢ (Polynomial.map f p).Monic
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
VAdd R M
SetLike S M
hS : VAddMemClass S R M
s : S
r : R
x : ↥s
⊢ r +ᵥ x = ⟨r +ᵥ ↑x, ⋯⟩
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) D
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.inclDesc F i).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F i).obj X)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ ↑r ∈ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ (-1) ^ (j₁ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁ + (j₁ * i₂ + j₂ * i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = (-1) ^ (j₂ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁)) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes
⊢ J ∈ Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (if e ∈ G.incidenceSet a then 1 e else 0) = 1 ↔ e ∈ G.incidenceSet a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
⊢ (Mon_.limit F).X = CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ Mon_.forget C)