ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ homMk (ofInv s hs) ≫ homMk (ofHom W s) = 𝟙 ((Q W).obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : ¬q < 0
⊢ 0 ≤ 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
h : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ p.fslope.coeff n = p.coeff (n + 1)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s
⊢ ∀ (x : M) (i : Set H), i ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact i ∧ i ⊆ (chartAt H x).target → IsCompact (↑(chartAt H x).symm '' i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
self : f.IsEisensteinAt 𝓟
⊢ f.coeff 0 ∉ 𝓟 ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t y
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
h : Fin n = Fin n
⊢ _root_.cast h = cast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
f : X → α →ᵤ[𝔖] β
⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ 𝔖, Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖) ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t ts [] ys f).2.length = ys.length
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁶ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra T S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : IsDomain S'
inst✝ : Algebra T S'
hp : map (algebraMap T S') p = 0 → map (algebraMap T S) p = 0
f : S →ₐ[T] S'
x : S
hx : x ∈ p.rootSet S
⊢ f x ∈ p.rootSet S'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → List α
hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f
hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f
hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []
this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI
hf' : (∀ (n : ℕ), (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail) ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}) → ∃ m n, m < n ∧ List.SublistForall₂ r (if m < g 0 then f m else (f (g (m - g 0))).tail) (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail)
m n : ℕ
mn : m < n
hmn : List.SublistForall₂ r (if m < g 0 then f m else (f (g (m - g 0))).tail) (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail)
⊢ False
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial k = k ! * n.choose k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : HasFiniteIntegral f μ
hν : HasFiniteIntegral f ν
⊢ HasFiniteIntegral f (μ + ν)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ : F
⊢ AlgHom.equalizer φ φ = ⊤
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
n : ι
⊢ f.f n ≫ (D.dFrom n ≫ hom (c.next n) n + hom n (c.prev n) ≫ E.dTo n) = C.dFrom n ≫ f.f (c.next n) ≫ hom (c.next n) n + (f.f n ≫ hom n (c.prev n)) ≫ E.dTo n
θ : Angle
⊢ 0 ≤ (↑θ.toReal).cos ↔ |θ.toReal| ≤ π / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
X_1 : C
a : (CategoryTheory.coyoneda.obj X).obj X_1
⊢ (CategoryTheory.Coyoneda.colimitCocone X).ι.app X_1 a = id PUnit.unit
α : Type u_1
r : α → α → Prop
S : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
⊢ Order.cof r ≤ #↑S
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
R : Sheaf J D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj R
⊢ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ ⋯ = J.sheafifyLift (η ≫ γ) ⋯
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
e : ι ≃ ι'
f : ι' → A
⊢ AlgebraicIndependent R (f ∘ ⇑e) ↔ AlgebraicIndependent R f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length
⊢ n < (insertNth n x l).length
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
n : ℕ
⊢ (coeff R m) (X s ^ n) = if m = single s n then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c_count : ∅.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ ∅, U i
⊢ ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
a b : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a / b
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal
⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' K) (Subgroup.map (QuotientGroup.mk' K) H))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (f ≫ g)
⊢ F.ofCompIso.m = F.m ≫ CategoryTheory.inv g
G : Type u_3
H : Type u_4
Group G
Mul H
MulAction G H
SMulCommClass G H H
IsScalarTower G H H
g : G
a b : H
⊢ Commute a (g • b) ↔ Commute a b
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n : ℕ
⊢ ∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range n, truncation (X c) (↑c) a = ∑ x ∈ range n, ∫ (a : Ω), truncation (X x) (↑x) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x : α
⊢ (∀ (t : Set α) (x_1 : ι), p x_1 → s x_1 ⊆ t → x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) y = (range (rTensor Q f)).mkQ y
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑‖y‖ ^ 2 * (o.kahler x) z).arg = ↑((o.kahler x) z).arg
z : ℂ
⊢ Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : ∃ x', e (some x) = some x'
⊢ some (e.removeNone x) = e (some x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂
⊢ s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ t₁ ⊔ 𝓝ˢ t₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) × α i → Prop
⊢ (∀ x ∈ s.sigma t, p x) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃a : α i⦄, a ∈ t i → p ⟨i, a⟩
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
s₁ s₂ : Multiset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₂.inf ≤ s₁.inf
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r✝ : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s : Set X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s
r : ℝ≥0∞
⊢ (pre m r).trim = pre m r
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : CategoryTheory.Limits.HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.pre (E ⋙ F) D ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E =
  CategoryTheory.Limits.colimit.pre F (D ⋙ E)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Icc a b) μ
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
⊢ ⋃ s_1 ∈ s, ⋃ t ∈ {x}, {s_1 • t} ⊆ ↑M'
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
x✝ : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ (∃ x ∈ Set.range X.basicOpen, ↑x = x✝) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ Set.range PrimeSpectrum.basicOpen, ↑x_1 = x) ∧ ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) ⁻¹' x = x✝
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
a : R
⊢ a / 2 - a = -(a / 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
l : Filter Y
l.NeBot
c d : X
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c) l (𝓝 d) ↔ c = d
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.tilted 0 f = 0
a b r : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a r → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b 0 → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a % b) r
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_14, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_13, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_15, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor (CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj
        X₃).HasMap
    r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj (CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorComp₁₂MapObjIso F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃).hom j) =
  CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
t' : 𝕊
⊢ Commute (t' • x) (exp 𝕂 (t • x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i : α
hit : i ∈ t
Hi : f (t.centerMass w p) ≤ f (p i)
⊢ ∃ y ∈ s, f (t.centerMass w p) ≤ f y
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
⊢ b ∈ s.erase a → b ∈ s
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hN : 0 < N
⊢ {n | MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω < N}.Nonempty
α : Type u_2
ι : Type u_5
SemilatticeSup α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (s.inf' hs f) = s.sup' hs (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a = s
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
hXY : X ⊆ Y
hJY : (M ↾ Y).Base J
⊢ (M ↾ Y).Base I
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ c = d
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h✝ : Commute (sr i, sr j).1 (sr i, sr j).2
h : j - i = i - j
⊢ (fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(sr i, sr j), h✝⟩) = ⟨(sr i, sr j), h✝⟩
K : Type v
Field K
f : K[X]
n : ℕ
hfn : f.natDegree = n + 1
⊢ f.removeFactor.natDegree = n
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length
⊢ insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
⊢ i ∈ (update i f b).support ↔ i ∈ insert i f.support
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
⊢ (sSup s) (ωSup c) = ωSup (c.map (sSup s))
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ ∅, (∅.sup p) x = (p i) x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ (stalkToFiberRingHom R x) ((localizationToStalk R x) ((algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f)) = ((RingHom.id (Localization.AtPrime x.asIdeal)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ (LinearIndependent K fun i => A.transpose i) ↔ IsUnit A
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
n : ℕ
⊢ Real.log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * Real.log ↑p
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
⊢ x.refine ex = y.refine ey
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C * ‖v‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
x : β × β
h : x ∈ Prod.map Sum.inr Sum.inr ⁻¹' (range (Prod.map Sum.inl Sum.inl) ∪ Prod.map Sum.inr Sum.inr '' s)
⊢ x ∈ s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
Zero R
AddCommMonoid V
SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((HahnModule.of R).symm y).support ⊆ s
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • y)).coeff a =
  ∑ ij ∈ Finset.VAddAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 • ((HahnModule.of R).symm y).coeff ij.2
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ l.splitMin' x r = (l.findMin' x, (Ordnode.node s l x r).eraseMin)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Coreflective R
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cone ((F ⋙ R) ⋙ comonadicRightAdjoint R) := (comonadicRightAdjoint R).mapCone (limit.cone (F ⋙ R))
this : PreservesLimitsOfShape J (comonadicRightAdjoint R) := PreservesLimitsOfSize.preservesLimitsOfShape
t : IsLimit c := isLimitOfPreserves (comonadicRightAdjoint R) (limit.isLimit (F ⋙ R))
⊢ HasLimit F
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
⊢ p ∣ q
m n : ℕ
⊢ m < n.size ↔ 2 ^ m ≤ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ⋃ i ∈ s, f i ∈ l
⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
a : Ordinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} (Order.succ a) = Order.succ (Ordinal.lift.{u, v} a)
⊢ ADEInequality.Admissible ADEInequality.E6
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
f : P ⟶ Q
n : ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.f.f n) (Q.p.f n) = f.f.f n
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
self : p.IsTrail
⊢ p.edges.Nodup
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x y : ↥S
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
ex : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₂
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
x y : PrimeSpectrum R
e : x ⤳ y
H : x ∈ support R M
⊢ y ∈ support R M
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
hne : N.E ≠ M.E
⊢ M ↾ N.E <r M
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s / t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+~ l₂
h : l₁.length < l₂.length
⊢ ∃ a, a :: l₁ <+~ l₂
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible b
⊢ a * ⅟b * b = a
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
H : Type u
TopologicalSpace H
α : Type u_5
TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = Set.univ
x : α
⊢ (chartAt H x).source = Set.univ
l : List ℕ
h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p
this : ↑(ofNatMultiset (↑l) h).prod = l.prod
⊢ ↑(ofNatList l h).prod = l.prod
n : Nat
⊢ 0 < Fin.last (n + 1)
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (↑n + a) ^ 2 - (↑n + a ^ 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (uIcc f g).card = ∏ i ∈ (f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support, (uIcc (f i) (g i)).card
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
u : G₀ˣ
⊢ (↑u)⁻¹ * ↑u = 1
R M : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Flat R M
K N : Type u
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : Module R K
inst✝⁴ : Finite R K
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : K →ₗ[R] N
x : N →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : ∀ (K' : Submodule R K), K'.FG → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ K' ≤ ker (a ∘ₗ f)
x✝³ : Type u
x✝² : Fintype x✝³
x✝¹ : N →ₗ[R] x✝³ →₀ R
x✝ : (x✝³ →₀ R) →ₗ[R] M
⊢ x✝¹ ∘ₗ f = 0 ↔ ⊤ ≤ ker (x✝¹ ∘ₗ f)
a b c : Nat
h : b * a < c * a
⊢ b < c
k : ℕ
⊢ Finset.Nat.antidiagonalTuple k 0 = {0}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
⊢ ⟪x, u⟫_𝕜 = ⟪y, u⟫_𝕜
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : (colimit.ι F i).base y = (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x)
⊢ False
x y : ℤ[i]
⊢ (toComplex (x / y)).re = ↑(round (toComplex x / toComplex y).re)
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
a : α
a' : α := enum r (succ (typein r a)) ⋯
b : α
h : b ∈ S
ab : ¬r b a'
⊢ typein r a < succ (typein r a)