ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ
ha : Tendsto a l atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioi (a i)) (μ.restrict (Iic b))
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a x..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a x), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Iic b) ≤ I
n : ℕ
h : IsSquare (-1)
⊢ ∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p + toIocMod hp a b = b
R : Type uR
A : Type uA
CommRing R
Ring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ (Algebra.adjoin R s).toSubring = Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : ∀ (b : k), f (single 1 b) = g (single 1 b)
h_of : ∀ (a : G), f (single a 1) = g (single a 1)
a : G
b : k
⊢ f (single 1 b * single a 1) = g (single 1 b * single a 1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset β
h : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ -a = b
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∉ Function.periodicPts f
⊢ Function.minimalPeriod f x = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
⊢ (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s))
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x
⊢ Sbtw R x (midpoint R x y) y
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
⊢ ∀ (x : ℝ), γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 x ∧ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ x (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ x))) → HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ x) (γ t₀) (γ x)) (v (γ x))) x
C : Type (u + 1)
inst✝⁵ : Category.{u_1, u + 1} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
D : Type (u + 1)
inst✝³ : Category.{u_2, u + 1} D
inst✝² : ConcreteCategory D
inst✝¹ : HasForget₂ C D
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : IsIso ((forget₂ C D).map f)
i' : IsIso ((forget D).map ((forget₂ C D).map f))
⊢ IsIso f
α : Type u_2
self : MeasurableSpace.DynkinSystem α
a : Set α
⊢ self.Has a → self.Has aᶜ
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x ≤ ∑' (x : ↑t), f ↑x
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : IsUnital m₁ e₁
h₂ : IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
a b : X
⊢ m₂ a b = m₂ b a
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.snd M N) = ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
q : ℕ[X]
⊢ ∀ (n : ℕ), q.smeval ↑n = ↑(q.smeval n)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ Nat.card ↑s = hs.toFinset.card
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
self : IsGalois F E
⊢ Algebra.IsSeparable F E
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
M : Matrix n n α
⊢ M ∈ Set.range ⇑(Matrix.scalar n) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
i : ι
⊢ Finset.centroidWeights k s i = (↑s.card)⁻¹
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h1 : s.Gammaℝ ≠ 0
h2 : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
⊢ (1 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ↑h.dim
h0 : ¬q = 0
⊢ (aeval h.gen) q ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r : R
⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), multiplicity x r ≤ 1 ∨ IsUnit x
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n
h : lift.{max v w u, max v w} #(m × n) = Module.rank R (Matrix m n R)
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
h : l.Perm l'
⊢ l.toFinset = l'.toFinset
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
F : CategoryTheory.Functor A B
X : A
⊢ F.rightUnitor.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y
n m : ℕ
hnm : f' n = f' m
⊢ n = m
p : ℕ → Prop
h : p 0
⊢ nth p 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.coconePoint c t).A = c.pt
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Countable
⊢ IsLindelof s
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (μ.restrict s)) U =
  μ (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α) ⁻¹' U ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ f a
h' : (k a).get this ∈ g a
⊢ (k a).get this = x
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
⊢ (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i).totalDegree ≤ 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ Disjoint (I.splitLower i x) (I.splitUpper i x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
l : Filter α
⊢ Tendsto (uncurry (lift₂ f hf) ∘ Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝 (x, y)) l
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ M.X.map (M.mul.app X) ≫ M.mul.app X = M.mul.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : ¬↑g x = 0
⊢ x ∈ s
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
h : Acc r a
⊢ h.rank = Ordinal.sup fun b => Order.succ ⋯.rank
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
s : Set ι
IsNoetherian K V
b : Basis (↑s) K V
⊢ s.Finite
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi f
s : PullbackCone f g
hs : IsLimit s
this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.right)
⊢ Epi s.snd
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
E : Set α
⊢ 0 < EMetric.infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Sub β
ContinuousSub β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hv : MeasureTheory.Adapted f v
⊢ MeasureTheory.Adapted f (u - v)
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
⊢ Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
StarAlgHomClass F R A B
f g : F
s : Set A
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ StarAlgebra.adjoin R s ≤ StarAlgHom.equalizer f g
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s : Finset α
⊢ (-s).Nonempty ↔ s.Nonempty
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (Sigma.mk i '' s)
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ sᶜ ∈ Filter.cocardinal α hreg
p : ℝ
n : ℕ
h : ↑n ≤ p
⊢ ContDiff ℝ ↑n fun x => x ^ p
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ extend m s₁ ≤ extend m s₂
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
h₁ : Algebra.FormallyUnramified R A
h₂ : Algebra.FormallySmooth R A
⊢ Algebra.FormallyEtale R A
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ
this : Set.Nonempty.some ⋯ ∈ ⋂ n, A (res (↑x) n)
⊢ (inducedMap A).snd x ∈ A (res (↑x) n)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
b : β
hb : b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ u n}
⊢ b ≤ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.map f g = f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inl
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : count p m = count p n
⊢ m = n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝 0) (𝓝 x)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
y : β
⊢ x = h.symm y ↔ h x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.equivalence.unitIso = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
ι : Type u_1
DecidableEq ι
l : List ι
i : Fin l.length
⊢ (l.erase (l.get i)).Perm (l.eraseIdx ↑i)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x : α
r' : ℝ
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (Metric.ball x r') (Metric.ball (f x) (↑(Dilation.ratio f) * r'))
K : Type ?u.611342
L : Type ?u.611345
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q
⊢ (aeval (root q)) p = 0
a b : ℕ+
⊢ (Finset.Ioo a b).card = ↑b - ↑a - 1
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
v : ι → M
i₁ i₂ : ι
heq : v i₁ = v i₂
hne : i₁ ≠ i₂
⊢ f v = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
x : α
⊢ x ∈ Function.mulSupport f ↔ f x ≠ 1
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (ndinsert a s).sup = a ⊔ s.sup
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → Group (f i)
i : I
x : f i
⊢ Pi.mulSingle i x⁻¹ = (Pi.mulSingle i x)⁻¹
m : Nat
r : Int
i : Nat
x v : Lean.Omega.Coeffs
h : x.length ≤ i
p : v.get i = Lean.Omega.bmod_div_term m x v
w : (Lean.Omega.Constraint.exact r).sat' x v = true
⊢ (Lean.Omega.Constraint.exact (r.bmod m)).sat' (Lean.Omega.bmod_coeffs m i x) v = true
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : Fin (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c).get i = List.drop (c.sizeUpTo ↑i) (List.take (c.sizeUpTo (↑i + 1)) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0
⊢ M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : ℝ
f : ℕ → ℕ
hm : 1 < m
fi : ∀ (i : ℕ), i ≤ f i
a : ℕ
⊢ 1 / m ^ f a ≤ (1 / m) ^ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
IsEmpty α
a : α
⊢ OrderEmbedding.ofIsEmpty a = isEmptyElim a
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
this : HasColimit (E ⋙ F ⋙ G)
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
⊢ orderOf (x * y) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
⊢ ⇑ContinuousMap.fst = Prod.fst
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
x : E
⊢ √(1 + ‖x‖ ^ 2) ≤ 1 + ‖x‖
μ ν : YoungDiagram
⊢ μ.transpose = ν ↔ μ = ν.transpose
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V
⊢ G'.induce s ≤ G'.induce (s ∪ s')
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ n < ⌈a⌉₊ ↔ ↑n < a
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
ht : t ⊆ Set.range f
⊢ ∃ s, f '' s = t ∧ Set.InjOn f s
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
x : α
⊢ (closure E).indicator (fun x => 1) x ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ (E.multicospanIndex F).R = E.I₁'
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
⊢ Embedding ⇑f.val.base
K : Type u_1
Field K
UniformSpace K
TopologicalDivisionRing K
CompletableTopField K
x : K
⊢ (↑K x)⁻¹ = ↑K x⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ Z.X ≫ N₂.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ◁ f.hom) ▷ Z.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ Z.X) ≫ TensorBimod.actRight M N₂
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j ≫ (rightDistributor f X).inv = biproduct.ι f j ▷ X
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
this : CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom f)
l : ModuleCat.of R Y ⟶ ModuleCat.of R Q
⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ModuleCat.ofHom f) l) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
m n k : α
⊢ lcm (lcm m n) k = lcm m (lcm n k)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
p : ι → Subgroup G
⊢ ⨆ i, p i = closure (⋃ i, ↑(p i))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (Fin.last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃ₗ[𝕜] F
⊢ ⇑e.toContinuousLinearEquiv.symm = ⇑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
e : α → β
p : β → β → β → Prop
he : DenseRange e
hp : IsClosed {q | p q.1 q.2.1 q.2.2}
h : ∀ (a₁ a₂ a₃ : α), p (e a₁) (e a₂) (e a₃)
b₁ b₂ b₃ : β
⊢ p b₁ b₂ b₃
α : Type u_1
Group α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
H : Subgroup α
g : ↥H
i : ι
⊢ (Subgroup.quotientiInfSubgroupOfEmbedding f H) (↑g) i = ↑g
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
⊢ P.RespectsIso
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso g
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ↔ f = CategoryTheory.inv g
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'
⊢ ((e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f)) x✝ = (((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ κ.density ν a x s ≤ 1
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ Real.logb b x ↔ x ≤ 1
α : Type u_1
n : ℕ
Add α
a b : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecHead (a + b) = Matrix.vecHead a + Matrix.vecHead b