ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (HahnSeries.addOppositeEquiv.symm x).support = (AddOpposite.unop x).support
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N
⊢ padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a ≤ b + a - b
hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ sInf ∅
α : Type u
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
⊢ DirectedOn r {b, a}
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a) (Set.Ici x) x
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ ((2 * 2 * (n / 4) + n % 4) / 2)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N'✝ : LieSubmodule R L M'
hf : Function.Injective ⇑f
N N' : LieSubmodule R L M
h : map f N = map f N'
⊢ ⇑f '' ↑N = ⇑f '' ↑N'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.StableUnderBaseChange @AlgebraicGeometry.IsAffineHom
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
⊢ IsPrimitiveRoot μ n
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
sg : Subsemigroup R
hg : ↑sg = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
⊢ (NonUnitalSubsemiring.mk' s sg hg sa ha).toSubsemigroup = sg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • s + b • interior s ⊆ interior s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S T : Subalgebra R A
S₁ T₁ : Subalgebra R B
⊢ S.prod S₁ ⊓ T.prod T₁ = (S ⊓ T).prod (S₁ ⊓ T₁)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).Monic
⊢ M.charpoly.Monic
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y Y' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.mkPostcomp f g).right = g
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
self : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (QuaternionAlgebra.reₗ c₁ c₂) self = self.re
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
y : M
⊢ y ∈ orthogonal Φ hΦ_inv N ↔ ∀ x ∈ N, (Φ x) y = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.inv f.inv = f.hom
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ (𝟙 X).c = CategoryTheory.eqToHom ⋯
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
H : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s
o : Ordinal.{u}
ho : o ≠ 0
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s
⊢ ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
f f' : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ContinuousOn f (t.ite s s' ∩ closure t)
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
p : t₁ ~ t₂
a : α
x✝ : a ∈ l
⊢ elem a t₁ = elem a t₂
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : -n = n'
h₂ : -a = a'
⊢ -termg n x a = termg n' x a'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
op : β → γ → δ
f : α → β
g : α → γ
⊢ Filter.Germ.map₂ op ↑f ↑g = ↑fun x => op (f x) (g x)
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
p q : M × N
⊢ (p * q).1 = p.1 * q.1
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
G : Type u_4
Group G
MeasurableSpace G
MeasurableInv G
f : α → G
⊢ (Measurable fun x => (f x)⁻¹) ↔ Measurable f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
⊢ Continuous (stdSimplexEquivIcc ℝ).invFun
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
⊢ Continuous ⇑f.symm
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
⊢ μ t = ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s)
α : Type u_5
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : OpensMeasurableSpace α] [inst : SecondCountableTopology α]
  {μ : MeasureTheory.Measure α}, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable id μ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ c.toCostructuredArrow.obj j = CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (c.ι.app j)
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.RightInverse (Function.surjInv hf) f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
φ : Quotient s₁ → Quotient s₂ → Sort u_5
f : (a : α) → (b : β) → φ (Quotient.mk'' a) (Quotient.mk'' b)
c : ∀ (a₁ : α) (b₁ : β) (a₂ : α) (b₂ : β), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → HEq (f a₁ b₁) (f a₂ b₂)
x : α
qb : Quotient s₂
⊢ (Quotient.mk'' x).hrecOn₂' qb f c = qb.hrecOn' (f x) ⋯
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M₁ i
i : ι
v : M₁ i
⊢ f (update x i v) = f x - f (update x i (x i - v))
X : Type u_1
EDist X
a b : X
⊢ edist (Additive.ofMul a) (Additive.ofMul b) = edist a b
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f g : M ≃* N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u_1
k : ℕ
⊢ (ζ * pow k).IsMultiplicative
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (f ^ n) x ≤ (g ^ n) x
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁ ≤ y ↔ x₂ ≤ y
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
self : WfDvdMonoid α
⊢ WellFounded DvdNotUnit
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖c +ᵥ f‖₊ = ‖f‖₊
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
hle : τ ≤ π
⊢ hτ.measurableSpace ≤ hπ.measurableSpace
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ
⊢ k • PrimeMultiset.ofPrime p ≤ m.factorMultiset ↔ Multiset.replicate k p ≤ m.factorMultiset
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ∅ = ⟦s₁⟧
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity) ≠ 0
G : Type u_3
Group G
⊢ Group.FG G ↔ ∃ n S, S.card = n ∧ Subgroup.closure ↑S = ⊤
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
b c : M
⊢ z₁ * (z₂ * b * c) = z₁ * (z₂ * b) * c
n : ℕ
⊢ Function.Injective BitVec.toNat
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ ⇑e '' Metric.ball x r = Metric.ball (e x) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α
⊢ interior (Ico a b) = Ioo a b
G : Type u
Group G
A : Type v
CommGroup A
f : G →* A
⊢ commutator G ≤ f.ker
s₁ s₂ : String
h : s₁.data = s₂.data
⊢ s₁ = s₂
M : Type u_1
Monoid M
P : Submonoid M
⊢ P.FG ↔ ∃ S, Submonoid.closure S = P ∧ S.Finite
q : ℚ
n : ℕ
⊢ (q ^ n).den = q.den ^ n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R →₀ ℤ
⊢ count K v (exps.prod fun x x_1 => ↑x.asIdeal ^ x_1) = exps v
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ 1 < star x ↔ 1 < x
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → α → m β
as : List α
⊢ as.mapIdxM f = List.traverse (Function.uncurry f) as.enum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y Z).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
x : ℝ
⊢ deriv arcsin x = 1 / √(1 - x ^ 2)
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.sin (↑n * Real.pi - x) = -((-1) ^ n * Real.sin x)
α β : Type u
Infinite α
eq : #α = #β
⊢ #(α ≃ β) = #(α → β)
α : Type u_2
Div α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ (s₁ ∪ s₂) / (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ / t₁ ∪ s₂ / t₂
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' u'' v'' : U
e : u ⟶ v
hu : u = u'
hv : v = v'
hu' : u' = u''
hv' : v' = v''
⊢ Quiver.Hom.cast hu' hv' (Quiver.Hom.cast hu hv e) = Quiver.Hom.cast ⋯ ⋯ e
b n : ℕ
⊢ log b n = 1 ↔ b ≤ n ∧ n < b * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
ev : ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => t' ≤ x) x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
⊢ Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
Zero R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
⊢ (f.indicator hU) a = if a ∈ U then f a else 0
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0
⊢ { num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R
⊢ 0 < (X - C a).degree
α : Type u_1
a : α
Inhabited α
l : List α
n : Nat
⊢ l.get? n = some a → l.get! n = a
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ ∏ i ∈ ∅, (f i)! ∣ (∑ i ∈ ∅, f i)!
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Submodule.fst R M M₂ ⊔ Submodule.snd R M M₂ = ⊤
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
this✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢.op
this : HasInitial Cᵒᵖ
⊢ HasTerminal C
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄, x ∈ filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts → x ∈ image (fun P => filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t P ↔ i ∈ x) s) (F.erase t).powerset
n a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD -n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y Y' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.mkPostcomp f g).left =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f).left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
i j : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μIso i j).inv.app X) ((F.μ i j).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj i j)).obj X)
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ l₁ ∪ l₂ → p x) ↔ (∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₂ → p x
k : Type u_2
Field k
f : PowerSeries k
hf : f ≠ 0
⊢ PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf * PowerSeries.Inv_divided_by_X_pow_order hf = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ ⇑f ⁻¹' Metric.closedBall (f x) r = Metric.closedBall x r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
p : M × N
⊢ SmoothAt (I.prod J) J Prod.snd p
K : Type u_1
Field K
s : SimpContFract K
n : ℕ
hyp : n = 0 ∨ ¬(↑s).TerminatedAt (n - 1)
⊢ ((↑s).contsAux n).a * ((↑s).contsAux (n + 1)).b - ((↑s).contsAux n).b * ((↑s).contsAux (n + 1)).a = (-1) ^ n
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Injective (Set.image f) ↔ Function.Injective f
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 0 < AkraBazziRecurrence.asympBound g a b n
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
Countable ι
TopologicalSpace ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
OrderTopology ι
MeasurableSingletonClass ι
SecondCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = π ω}
n k : ℕ
⊢ k + 2 ≠ 1
cs cs' : List Char
c : Char
i p : Nat
hp : i + (String.utf8Len cs + c.utf8Size) = p
⊢ String.utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = { byteIdx := i + String.utf8Len cs }
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
x y : M
⊢ polar (⇑B.toQuadraticMap) x y = (B x) y + (B y) x
E : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
X : Type u_8
Y : Type u_9
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace X
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (Function.uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (Function.uncurry f)
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts ν
⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
h : b = ⊥
⊢ False
α : Type u
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
ht : affineSpan 𝕜 s = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)
⊢ IsClosed (closure (Subtype.val ⁻¹' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
⊢ (s.attach.SupIndep fun a => f ↑a) ↔ s.SupIndep f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
⊢ ∀ (i : ℕ), (lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)
l : Filter ℂ
self : Complex.IsExpCmpFilter l
⊢ Filter.Tendsto Complex.re l Filter.atTop
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N × P
⊢ ((AddMonoidHom.fst N P).comp f).prod ((AddMonoidHom.snd N P).comp f) = f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
x y : α
⊢ Associated y (gcd x y) ↔ y ∣ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
⊢ B.polar Set.univ = {0}
q a b c : ℚ
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
hd : ¬d = 0
⊢ n /. x * (x /. d) = n /. d
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j
⊢ ∀ (b : Bool), MeasurableSet (bif b then i else j)
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
b : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.deriv (fun x => a * x) b = a ^ Ordinal.omega * b
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
t : Batteries.AssocList α β
a' : α
b' : β
t' : Batteries.AssocList α β
BEq α
BEq β
⊢ (Batteries.AssocList.cons a b t == Batteries.AssocList.cons a' b' t') = (a == a' && b == b' && t == t')
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)
n : ℕ
x a b : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
rm : ℝ
er : ↑m = rm
h : |x| ≤ 1
e : |1 - a| ≤ b - |x| / rm * ((rm + 1) / rm)
⊢ |Real.exp x - Real.expNear n x a| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
h : a * b ≤ 0
hb : 0 < b
⊢ a ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
a : α
⊢ Finset.fold op b f {a} = op (f a) b
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ s ∈ l₂, ∀ᶠ (x : α) in l₁, f x ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
D₀ D₁ : Set α
perf0 : Perfect D₀
sub0 : D₀ ⊆ C
hdisj : Disjoint D₀ D₁
perf1 : Perfect D₁
sub1 : D₁ ⊆ C
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ D₀
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ D₁
perf0' : Perfect (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀))
non0' : (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)).Nonempty
sub0' : closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀) ⊆ D₀
diam0 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) ≤ ε
⊢ ∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₀ ≤ ε) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₁ ≤ ε) ∧ Disjoint C₀ C₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)
y : β
hyi : y ∈ (range i)ᶜ
hys : y ∈ i '' s
⊢ False
R : Type u
Semiring R
M : Polynomial R → Prop
p : Polynomial R
h_add : ∀ (p q : Polynomial R), M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M ((Polynomial.monomial n) a)
⊢ M p