ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f : α → G
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ BddAbove (Set.range fun x => -f x)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
h0 : P.toPoly ≠ 0
x : R
⊢ eval x (C P.a * X ^ 3 + C P.b * X ^ 2 + C P.c * X + C P.d) = 0 ↔ P.a * x ^ 3 + P.b * x ^ 2 + P.c * x + P.d = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p₁ p₂ : Submodule R M
q : Submodule R N
h : p₁ ≤ p₂
⊢ Submodule.map₂ f p₁ q ≤ Submodule.map₂ f p₂ q
R : Type u_2
MonoidWithZero R
⊢ (nonZeroSMulDivisors Rᵐᵒᵖ R).unop = R⁰
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e e' : Basis ι R M
⊢ IsUnit (e.det ⇑e')
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε
y : E
hy : y ∈ f ⁻¹' S
⊢ edist (f y) (f x) ≤ diam S
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ Polynomial.map f (r • p) = f r • Polynomial.map f p
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hf : f ≫ (n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) = 0
hj : i + 1 = j
hi' : n + i = i + n
hj' : i + n + 1 = j + n
⊢ (f ≫ 𝟙 (K.X (i + n))) ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ (f - g) m = f m - g m
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddBelow t
h : sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
⊢ sInf (Subtype.val '' t) = ↑(sInf t)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ LowerSet.Iic (a ⊓ b) = LowerSet.Iic a ⊓ LowerSet.Iic b
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ ⊥.neighborSet v = ∅
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : ¬IsZero Y
⊢ IsZero Z
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
s : IntermediateField K L
t : IntermediateField K L'
⊢ IntermediateField.map f s ≤ t ↔ s ≤ IntermediateField.comap f t
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : ¬s.direction = ⊤
hne : (↑s).Nonempty
⊢ μ ↑s = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
⊢ G.edist u v ≠ ⊤
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map hU.fromSpec.val.base).obj (X.basicOpen f) = PrimeSpectrum.basicOpen f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
⊢ TotallyDisconnectedSpace X ↔ TotallySeparatedSpace X
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ h.equiv (h.equiv.symm ((f x₁) x₂)) = h.equiv (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddLeftCancelMonoid N
f g h : α →₀ N
⊢ (f + g).neLocus (f + h) = g.neLocus h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
g : E → F
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg : g 0 = 0
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • g x
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
⊢ ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
hs : s.WellFoundedOn r
hx : x ∈ s
P : α → Prop
hP : ∀ y ∈ s, (∀ z ∈ s, r z y → P z) → P y
Q : ↑s → Prop := fun y => P ↑y
⊢ ∀ (x : ↑s), (∀ (y : ↑s), r ↑y ↑x → Q y) → Q x
R : Type u
inst✝²⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²³ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²² : Field K
inst✝²¹ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²⁰ : Field L
inst✝¹⁹ : Algebra S L
inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module R V
inst✝¹⁵ : Module K V
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V
inst✝¹³ : AddCommGroup V'
inst✝¹² : Module R V'
inst✝¹¹ : Module S V'
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'
inst✝⁹ : AddCommGroup V''
inst✝⁸ : Module R V''
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
inst✝ : IsNoetherian R S
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b' : ι → S := fun i => ⋯.choose
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ -(u ^ 4 * W'.dblU P) * ((u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P - u ^ 2 * P x * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 2) + u ^ 3 * P y * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 3 = (u ^ 4) ^ 3 * (-W'.dblU P * (W'.dblX P - P x * (P y - W'.negY P) ^ 2) + P y * (P y - W'.negY P) ^ 3)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (completedCosZeta a) s
α : Type u_1
β : Type u_2
R S✝ T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
hl : Pairwise R l
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
S : β → β → Prop
hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)
⊢ Pairwise S (List.pmap f l h)
R : Type u
Ring R
s : Set R
⊢ (Subring.centralizer s).toSubmonoid = Submonoid.centralizer s
α : Type u
s : Stream'.Seq α
x : α
⊢ (Stream'.Seq.cons x s).enum = Stream'.Seq.cons (0, x) (Stream'.Seq.map (Prod.map Nat.succ id) s.enum)
T : ℝ
⊢ Continuous { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(harmonic n) - Real.log (↑n + 1)) Filter.atTop (𝓝 Real.eulerMascheroniConstant)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ LinearIndependent R v
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }
this : Path.Homotopic.prod (Path.Homotopic.projLeft f) (Path.Homotopic.projRight f) = f
⊢ HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
⊢ a ≤ o.nfpBFamily f a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X
Y : D
⊢ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows = Presieve.functorPushforward F R
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
b : β
⊢ ↑(MeasureTheory.AEEqFun.const α b) =ᵐ[μ] Function.const α b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ i ∈ s, (f i)ᶜ)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsDirected α r
⊢ Directed r id
m n : ℕ
H : m * n = 1
⊢ n = 1
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p + 1 ^ p = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f g : P ⟶ Q
⊢ f + g = { f := f.f + g.f, comm := ⋯ }
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom.app X = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ⋃ c, (fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' U = Set.univ
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ List.ofFn f = [] ↔ n = 0
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → (a : α) → M a
⊢ (funMap f fun i => Quotient.mk' (x i)) = Quotient.mk' fun a => funMap f fun i => x i a
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
⊢ iSup ⇑a = monotonicSequenceLimit a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
t : Set α
ht : t ∈ l
⊢ ∃ i, p' i ∧ s' i ⊆ t
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
h : IsLowerSet ↑𝒜
⊢ 𝒜 ⊆ 𝒜.shatterer
a : ℤ
b : ℕ
⊢ {0, -1, 1} = ↑(MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
h : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.inf f) = s.inf (WithTop.some ∘ f)
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y
a : ℝ≥0
ha : c.toNNReal ≤ a
⊢ b ≤ a ^ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ QuasilinearOn 𝕜 s f → QuasilinearOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
⊢ l.MemBaseSet I c r (π.filter p)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
⊢ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H
R : Type u
Ring R
x : R
s : Set R
⊢ x ∈ Subring.closure s ↔ ∀ (S : Subring R), s ⊆ ↑S → x ∈ S
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
G : Type u_1
Monoid G
⊢ orderOf 1 = 1
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ f₂ : P.mp.B a₁ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₁, f₂⟩
i : Fin2 n
p : P.mp.B a₁ i
⊢ f₁ i p = f₂ i p
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, b < a
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NonAssocRing α
ContinuousMul α
⊢ ContinuousNeg α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A : Set E
⊢ Set.extremePoints 𝕜 A ⊆ A
x y : SetTheory.PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hL : (i : x.LeftMoves) → (x.moveLeft i).Relabelling (y.moveLeft (L i))
hR : (j : x.RightMoves) → (x.moveRight j).Relabelling (y.moveRight (R j))
⊢ (SetTheory.PGame.Relabelling.mk L R hL hR).leftMovesEquiv = L
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ |a + -b| ≤ |a| + |(-b)|
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₁.head ∈ toSubgroup A B (-u)
w₂' : NormalWord d
hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₂'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂
hw₂'2 : List.map Prod.fst w₂'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList
hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₂'.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
this : w₁' = w₂'
⊢ List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
α : Type u
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
c : α
⊢ b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ e.r i' = none
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ (BoundedLatticeHom.id β).comp f = f
m n : ℕ
eq : n = m
i : Fin m
⊢ (RelIso.symm (Fin.castOrderIso eq)) i = Fin.cast ⋯ i
ι : Type u_1
X : Type u_6
M : Type u_7
AddCommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ∑ i ∈ s, g i
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
i j : n
h : j ≠ i
⊢ ↑(LieAlgebra.SpecialLinear.Eb R i j h) = Matrix.stdBasisMatrix i j 1
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
s : Set α
⊢ EMetric.diam (f '' s) = EMetric.diam s
α : Type u_1
Add α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x + x_1
PartialOrder α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
⊢ a + c = b + c ↔ a = b
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : ι → κ
j : κ → ι
hi : ∀ a ∈ s, i a ∈ t
hj : ∀ a ∈ t, j a ∈ s
left_inv : ∀ a ∈ s, j (i a) = a
right_inv : ∀ a ∈ t, i (j a) = a
h : ∀ a ∈ s, f a = g (i a)
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
Z : C
iZY : G.obj Z ⟶ Y
W : D
V : C
iVZ : V ⟶ Z
iWV : W ⟶ G.obj V
iVX : V ⟶ X
e : G.map iVX = G.map iVZ ≫ iZY ≫ iYX
⊢ (Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)))).arrows (iWV ≫ G.map iVZ)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
Semiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
Module A M
Module A N
Module R N
ContinuousConstSMul R N
SMulCommClass A R N
self : M [⋀^ι]→L[A] N
⊢ ContinuousAlternatingMap.toContinuousMultilinearMapLinear self = self.toContinuousMultilinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)
⊢ a.succ.castPred ha ≤ b ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f ↔ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
hn : Nonempty α
m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
⊢ Order.succ 0 ≤ ⨆ a, m ^ lift.{u, v} #(β a)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts
⊢ p ∈ P.part '' ↑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
⊢ AlgebraicTopology.alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) =
  (CategoryTheory.SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ AlgebraicTopology.alternatingFaceMapComplex D
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f₁ p s
n : ℕ
⊢ ⟨↑n, ⋯⟩ = ↑n
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Finite α
DecidableEq β
Finite β
f : Equiv.Perm α
e : α ≃ β
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
ht : ∀ (x : β), x ∈ t
⊢ Equiv.Perm.signAux3 ((e.symm.trans f).trans e) ht = f.signAux3 hs
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
⊢ (A * diagonal v).det = (∏ i : n, v i) * A.det
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ¬∃ i, a ≤ f i
⊢ False
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
⊢ a ^ 2 = a * a
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : α
⊢ x - 1 / 2 < ↑(round x)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
H : ∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0
a : M
ha : a ∈ N
⊢ (Φ ⁅x, a⁆) y = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
h : α → β := s.piecewise f g'
⊢ ∃ h, Bijective h
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size
⊢ (m.modify k f).size = (m.modify k f).buckets.size
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd f a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
⊢ HasProd g a