ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
⊢ Set.range (g ∘ f) ⊆ Set.range g
a : ↥circle
⊢ (LinearMap.toMatrix Complex.basisOneI Complex.basisOneI) ↑(rotation a).toLinearEquiv =
  ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.encard = ↑s.toFinset.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_meas_ae : AEStronglyMeasurable f (μ'.trim hm)
hf : HasFiniteIntegral f (μ'.trim hm)
⊢ Integrable f μ'
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
⊢ a * c ≤ b * c
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ ≠ 0
α : Type u
l : List α
⊢ l.revzip.unzip = (l, l.reverse)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < v x
vyx : v y < v x
⊢ False
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f b x) < δ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
F✝ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K L) p
hF : ∀ x ∈ p.rootSet L, x ∈ F
⊢ Splits (algebraMap K ↥F) p
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s
m n : ℕ
j i : Fin n
hi : i.castSucc ≠ Fin.last n
hj : i.castSucc.succAbove j ≠ i.castSucc
⊢ (finSuccEquiv' i.castSucc) (i.castSucc.succAbove j) = some ((i.castSucc.castLT ⋯).predAbove (i.castSucc.succAbove j))
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
σ : Equiv.Perm (Fin B.dim)
x✝¹ : σ ∈ univ
j : Fin B.dim
x✝ : j ∈ univ
⊢ (traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ j) j ∈ ⊥
α : Type u_1
⊢ (ofNat' 0).toZNum = (ofNat' (0 + 1)).toZNumNeg + 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : LieSubmodule R L M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ _root_.orderOf g = 3
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
exp_pos : 0 < AddMonoid.exponent M
m : M
⊢ BddAbove (Set.range fun a => AddAction.period m a)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s \ intrinsicInterior 𝕜 s = intrinsicFrontier 𝕜 s
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
⊢ ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
s : String
c : Char
n : Nat
⊢ (s.pushn c n).length = s.length + n
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
⊢ IsNonarchimedean (seminormFromBounded' f)
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
this : IsCofiltered J
⊢ F.sections.Nonempty
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
n : ℤ
hn : 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den
⊢ 0 < if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h1 : 1 ∈ S
⊢ (S.toSubalgebra h1).toNonUnitalSubalgebra = S
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective fun x => ↑x
α : Type u_1
σ τ : Equiv.Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
m n : ℕ
⊢ (σ ^ m).Disjoint (τ ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
j i : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i - ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S
⊢ F (t, x) = f₀ x
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
⊢ InitiallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } = ∑ i ∈ range (m + m + 1), g i
R : Type u_1
Ring R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ (descPochhammer ℤ k).smeval (r + s) =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ^ p ≠ 0
s : O
hy : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ^ p ≠ 0
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s) ≠ 0
a b c : ℝ≥0
h : a ≠ 0
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(map (algebraMap ℤ K) i).roots.toFinset
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(adjoin (↥L) S)) = f
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ e x = e y ↔ x = y
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
H : Subgroup G
⊢ MulAction.orbitRel (↥H) α ≤ MulAction.orbitRel G α
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
v : π i
⊢ s.piecewise (update f i v) (update g i v) = s.piecewise f (update g i v)
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
⊢ a • S = Ideal.comap (RingEquiv.symm ((MulSemiringAction.toRingAut M R) a)) S
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ restrictScalars S p = ⊤ ↔ p = ⊤
α : Type u_2
TopologicalSpace α
S : Set (TopologicalSpace.Opens α)
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ i ∈ S, ↑i
α : Type u_1
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
⊢ (ρ.condKernel x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
x y : α
⊢ (x ⨿ y) = x ⊔ y
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x : α
⊢ (comap (Prod.mk x) (𝓤 α)).HasBasis p fun i => ball x (s i)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
f : A →A[R] B
g : A →A[R] C
⊢ (ContinuousAlgHom.snd R B C).comp (f.prod g) = g
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ (∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) → ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ (cylinder s S)ᶜ ↔ f ∈ cylinder s Sᶜ
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Finset.Ioo a b).card = ↑b - ↑a - 1
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
hz : (aeval x) Q = p • z
f : ℕ → A
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
⊢ z ∈ adjoin A {x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
k : ι
hki' : k ∈ Iio i
hki : k < i
this : ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪b k, v i⟫_𝕜 / ↑‖b k‖ ^ 2 * ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
h₁ : ∀ y ∈ s, f₁ y = f y
hx : f₁ x = f x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f₁ s x
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence
⊢ {p | Formula.not φ ∈ p} = ∅ ↔ {p | {Formula.not φ} ⊆ ↑p} = ∅
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
hq' : 1 < q
⊢ ↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)| = |(algebraMap ℤ ℝ) (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ))|
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ (x + y) ^ p
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : 0 ≤ y
⊢ ↑x ^ y = ↑(x ^ y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
a✝¹ : k ∈ Ico 2 (n + 1)
c : Composition k
a✝ : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ UniformContinuous ⇑h.symm
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (coeff R n) f.derivativeFun = (coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
x : M
⊢ f x ∈ LinearMap.range f
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ a = 1 ∨ a = -1 ↔ a.y = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R
⊢ (C.comp f) a * X ^ n = C (f a) * X ^ n
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ span s
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.Palindrome ↔ l.reverse = l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Monad.beckAlgebraCofork X).ι.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.topMap X)
        (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.π X))
      (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.π X) X_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ s ↔ a_1 = a
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x = a
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X =
  (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X) ≫ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : IsGLB (↑s) i
⊢ i = s.min' hs
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℂ
ht : t ≠ -1
this : t + 1 ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun {b} => (1 + ↑b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))) (↑x * (1 + ↑x ^ 2) ^ t) x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
h : ¬IsUnit a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h
⊢ ⊥.lift' h = 𝓟 (h ∅)
n : ℤ
⊢ ↑n.natAbs = ‖n‖₊
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) = ↑I ∘ ↑(chartAt H x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
⊢ L.extend ↑s = L s
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint g ↔ ∀ (x : α), f x = x ∨ g x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
h : a < b * succ c
⊢ a / b ≤ c
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : Associates.mk v.asIdeal ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})
nmem : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ 2) ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a (b ::ₘ s) = Multiset.count a s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso.hom.app ((toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).functor.obj K) = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ ∀ (i : ι), (b.repr ↑(floor b m)) i = (b.repr m) i
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑n.bit1 = ↑n + ↑n + 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ v.ennrealToMeasure s = ↑v s
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
q : α
hq : p ~ᵤ q
hf : (∀ b ∈ {q}, Prime b) ∧ {q}.prod ~ᵤ p
⊢ Prime p
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.ψ (-n) = -W.ψ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv (𝟙_ C) Y Y' Z).symm (η_ Y Y' ≫ f ▷ Y') = (λ_ Y).hom ≫ f
m n : ℕ
⊢ 1⁻¹ = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)
m k n : ℕ
x✝ : ∃ y, n = k + m * y
a : ℕ
ha : n = k + m * a
⊢ ↑n = ↑k
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ 𝓝ˢ (Set.Iic a) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Set.Iio a)
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
k : ℕ
hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k
this : Option.some a = Option.some ((rfindOpt f).get h')
⊢ a ∈ rfindOpt f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B
⊢ x ∈ g • B
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
g : I → Type u_4
(i : I) → Zero (g i)
op : (i : I) → f i → g i
h : ∀ (i : I), op i 0 = 0
i : I
x : f i
⊢ Pi.single i (op i x) = fun j => op j (Pi.single i x j)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap e.hom
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hp : p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ∈ 𝓝 0
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε
⊢ p.closedBall 0 ε ∈ 𝓝 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α
⊢ s ∈ ∂⁺ 𝒜ᶜˢ ↔ s ∈ (∂ 𝒜)ᶜˢ
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
⊢ a ≤ nth p k
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ μ s ^ p.toReal⁻¹ ≤ ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → L
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∏ i ∈ t, f i ∈ S
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∅ ∈ s.ssubsets
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (Polynomial.cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ orderOf (ZMod.unitOfCoprime a ⋯) ∣ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoOfRangeEq f g e).hom =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.lift g f ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ x ∈ antidiagonal n, f ({ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } x).swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p