ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ μ ≪ μ.neg
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : M' →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ f = g
⊢ IsLocalizedModule.lift S f g h = l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f g : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.lTensor M (f - g) = LinearMap.lTensor M f - LinearMap.lTensor M g
C : Type u_1
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv j) (e.hom j) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (Y j)
ι : Type u_1
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupPrime a
⊢ a ≤ s.sup f ↔ ∃ i ∈ s, a ≤ f i
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
Nonempty M
⊢ (L.completeTheory M).IsSatisfiable
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a * c * (b / c) = a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P'
CategoryTheory.BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategory.map h).obj X).obj = X.obj
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) ⁻¹' u ∈ p ×ˢ p
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S
⊢ s ≤ sSup S
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x✝ : ↑X.toTopCat
⊢ x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ x✝ ∈ (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
f : B ⟶ A
inst✝ : Exponentiable B
X : C
⊢ uncurry ((pre f).app X) = prod.map f (𝟙 (A ⟹ X)) ≫ (exp.ev A).app X
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
γ : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData
⊢ IsIso γ.op.right.φH ↔ IsIso γ.left.φH
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
δ : Type u_1
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
AddCommMonoid δ
g : γ →+ δ
f : (i : ι) → β i →+ γ
⊢ g.comp (DFinsupp.sumAddHom f) = DFinsupp.sumAddHom fun a => g.comp (f a)
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n) (2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n)
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ - a₂) (b₁ - b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
val✝ : Fintype ι
⊢ f = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ ↑0 + ↑z₁ = ↑z₂
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = (IsLocalization.lift ⋯).comp ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)))
M : Type u_2
AddCommGroup M
𝕜 : Type u_7
Field 𝕜
Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
⊢ ⊥ < LinearMap.ker f
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) ≤ f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) < y (k + 1)
⊢ x n < y n
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
f : M ≃ₗ[A] M
⊢ LinearMap.det ↑f * LinearMap.det ↑f.symm = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x_1 : 𝕜), ‖(toSpanSingleton 𝕜 x) x_1‖ ≤ N * ‖x_1‖
⊢ ‖x‖ ≤ N
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
⊢ ∫ (x : G), f x⁻¹ ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsRightRegular (b * a)
x y : R
xy : (fun x => x * b) x = (fun x => x * b) y
⊢ x * b * a = y * b * a
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.y ^ 2 < (1 + d * a.y ^ 2) * a₁.y ^ 2
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ ↑(f + f') = ↑f + ↑f'
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
⊢ S = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ≤ n
k : ℕ
ih : succ (succ^[k] x) ≤ n → x < succ (succ^[k] x) → ψ x < ψ (succ (succ^[k] x))
hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))
hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n
hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)
hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))
⊢ ψ (succ^[k.succ] x) < ψ (succ (succ^[k.succ] x))
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
ι : Type u_2
π : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : ℕ → (i : ι) → π i
n : ℕ
i : ι
⊢ (partialSups f) n i = (partialSups fun x => f x i) n
β : Type u_5
CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ a ~ᵤ u * a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
z : ℂ
n✝ n : ℕ
⊢ Complex.sin (↑π * 0) = ((↑π * 0 * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - 0 ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * 0 * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.blimsup u f fun x => p x ∧ q x) ≤ Filter.blimsup u f q
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g' s x ↔ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
⊢ mfderivWithin I I' f₁ univ x = mfderivWithin I I' f univ x
α : Type u_3
γ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ κ.rnDeriv η a x = ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) s x
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
⊢ Continuous fun x => ↑x.1 * 2 * ↑x.2
G : Type u_1
Monoid G
H : Submonoid G
y : ↥H
⊢ orderOf ↑y = orderOf y
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N
h : padicNormE (↑f i - ↑(Classical.choose ⋯)) < 1 / (↑i + 1)
⊢ 1 ≤ (↑i + 1) * ε
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : M →+ P
h : c ≤ AddCon.ker f
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(c.lift f h)
β : Type u_2
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
FiniteDimensional K V
FiniteDimensional K V₂
H : FiniteDimensional.finrank K V = FiniteDimensional.finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ LinearMap.ker f = ⊥ ↔ LinearMap.range f = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf✝ : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β
hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z
hf' : (¬f (ωSup c) ≤ z) = ωSup (c.map { toFun := fun x => ¬f x ≤ z, monotone' := ⋯ })
⊢ (∃ a, (∃ y, ¬f (c y) ≤ z ↔ a) ∧ a) ↔ ∃ x, ¬f (c x) ≤ z
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0
⊢ SameRay R (-t • (p₁ -ᵥ x)) (p₁ -ᵥ x)
α : Type u_1
β : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : β → α
hi : Function.Injective i
⊢ ∑' (x : β), f (i x) ≤ ∑' (x : α), f x
K : Type u_1
RCLike K
A : Type u_3
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module K A
StarModule K A
IsScalarTower K A A
SMulCommClass K A A
⊢ OrderedSMul K A
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : α → β
⊢ (∏ x ∈ s, if a = x then b x else 1) = if a ∈ s then b a else 1
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
x : M
⊢ e x = 0 ↔ x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ f (EquivLike.inv f b) < f a ↔ b < f a
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (hS.δ i j hij) (HomologicalComplex.homologyMap S.f j) ⋯).Exact
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ b ≠ 0 → a ∣ b → a ≤ b
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f g : R →+* S
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : Function.support f ⊆ Metric.ball 0 R
hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ R, g x = g x₀
⊢ MeasureTheory.convolution f g L μ x₀ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g x₀) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
h : f x = 2
⊢ (preReflection x f) x = -x
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
TopologicalAddGroup M₂
f g : M →L[A] M₂
⊢ ContinuousLinearMap.restrictScalars R (f + g) =
  ContinuousLinearMap.restrictScalars R f + ContinuousLinearMap.restrictScalars R g
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.primPart.natDegree = p.natDegree
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
⊢ Q x + Q y + (B x) y + Q z + ((B x) z + (B y) z) + (Q x + Q y + Q z) = Q x + Q y + (B x) y + (Q y + Q z + (B y) z) + (Q x + Q z + (B x) z)
α : Type u
⊢ 2 ≤ Cardinal.mk α ↔ ∃ x y, x ≠ y
ι : Type u_1
Fintype ι
α : ι → Type u_4
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
p : ι → Prop
DecidablePred p
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
x : α
⊢ x ∈ Function.support f ↔ f x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f✝ f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^⊤⟮I, G; 𝕜⟯⟨g * h⟩
⊢ ((evalAt (g * h)) X) f = ((𝒅ₕ ⋯) ((evalAt h) X)) f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.Equation (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.beth o₁ < Cardinal.beth o₂ ↔ o₁ < o₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f).hom = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
Fintype ι
Fintype ι'
i : ι
j : ι'
⊢ ContDiff 𝕜 n fun f => f i j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor ℕ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality :
  ∀ (n : ℕ),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯)) (app (n + 1)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (app n) (G.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯))
n : ℕ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.ofSequence app naturality).app n = app n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x
β : Type v
ι : Sort u_1
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy l
n : ℕ
⊢ List.Nat.antidiagonal (n + 1) = List.map (Prod.map id Nat.succ) (List.Nat.antidiagonal n) ++ [(n + 1, 0)]
a b c : ENNReal
h : 0 < b → b < a → c ≠ 0
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ Function.Injective ⇑h.coeff
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
Finite ι
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
x : M
hx1 : x ∈ L
hx2 : p ∣ x
⊢ p ∈ L
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
⊢ ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal (φ + (ψ - φ))).lintegral μ < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ Function.Surjective ⇑A.unitGroupToResidueFieldUnits
α : Type u_1
Lattice α
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s ⊔ t).toProd.2 = s.toProd.2 ⊔ t.toProd.2
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isRight = true
⊢ ∃ b d, s b d ∧ x = inr b ∧ y = inr d
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat
d : α
⊢ a.getD n d = a[n]?.getD d
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
⊢ FP (Stream'.drop i a).tail (a.get j)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
⊢ ∀ (hf : (setOf p).Finite), k < hf.toFinset.card
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
h2 : NeZero 2
z : k
⊢ ∃ z_1, z ^ 2 = z_1 * z_1
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u v : U
e : u ⟶ v
⊢ (Quiver.starEquivCostar u) (Quiver.Star.mk e) = Quiver.Costar.mk (Quiver.reverse e)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂ᵒᵖ
L : Φ.op.RightResolution X₂
⊢ L.unop.w = L.w.unop
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g : α → β
⊢ f =ᶠ[l] g ↔ ∃ s ∈ l, Set.EqOn f g s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
RingHomSurjective σ₁₂
p : Submodule R E
⊢ IsComplete ↑(Submodule.map f.toLinearMap p) ↔ IsComplete ↑p
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₃ p₄
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = -(∡ p₁ p₃ p₂).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Semiring β
TopologicalSemiring β
f : C(α, β)
a : α
⊢ ContinuousMap.coeFnRingHom f a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
hβα : Fintype.card β ≤ Fintype.card α
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
⊢ ∀ (a : α), (Equiv.ofLeftInverseOfCardLE hβα f g h) a = f a
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1
⊢ (∑ x ∈ s, f x + 1) * (∑ x ∈ s, f x)! / (1! * ∏ x ∈ s, (f x)!) = (s.sum f).succ * ((∑ i ∈ s, f i)! / ∏ i ∈ s, (f i)!)
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
⊢ (a ::ₘ s).sum ^ (Multiset.card (a ::ₘ s) * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) (a ::ₘ s)).toFinset