ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
L : HomologicalComplex C c'
M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
⊢ HomologicalComplex.restrictionMap (φ ≫ φ') e =
  HomologicalComplex.restrictionMap φ e ≫ HomologicalComplex.restrictionMap φ' e
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M
⊢ GradedMonoid.GMul.mul a b = TensorPower.mulEquiv (a ⊗ₜ[R] b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : 0 ≤ f₁
hf₂ : 0 ≤ f₂
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Antivary f₂ g
⊢ Antivary (f₁ * f₂) g
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⊂ t ↔ s ⊆ t ∧ s ≠ t
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] b) l
hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x
hdg : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard = 3 ↔ ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar L p
IsPRadical i p
PerfectRing L p
x : L
⊢ PerfectRing.liftAux i i p x = x
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor A (C i)
i : I
X : A
⊢ (CategoryTheory.Functor.pi'CompEval F i).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F i).obj X)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W'.neg ((fun m => m • Q) u) ≈ W'.neg Q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ + ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = 2 * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
b : β
⊢ ⇑(SupHom.const α b) = Function.const α b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : A), x ∈ S
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ Relation.Join FreeGroup.Red L₁ L₂
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
⊢ FiniteType R (FreeAlgebra R ι)
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ val ⁻¹' t = val ⁻¹' u ↔ s ∩ t = s ∩ u
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G
⊢ Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass (G ⧸ center G) + 1
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' closure t ⊆ closure s
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
S : Type u_8
Fintype n
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring S
DistribMulAction R S
SMulCommClass R S S
M : Matrix m n S
b : R
v : n → S
⊢ M *ᵥ b • v = b • M *ᵥ v
B : Type u_1
W : Type u_3
H : Type u_4
Group W
Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
e : W ≃* H
i : B
⊢ (cs.map e).simple i = e (cs.simple i)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
X Y Y' S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Y' ⟶ Y
g' : Y' ⟶ X
sq : IsPullback f' g' g f
hg : P g
e : Y' ≅ pullback f g := ⋯.isoPullback
⊢ P (pullback.fst f g)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.112788, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X✝ Y✝ : Split C
Φ : X✝ ⟶ Y✝
n : ℕ
⊢ Φ.f n ≫ (Y✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ((X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₁
g : M₁ →ₗ[R] M
c : R
h : B.IsAdjointPair B' f g
⊢ B.IsAdjointPair B' (c • f) (c • g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
⊢ gauge (closure 0) x = 0 x
G : Type u_1
Group G
hN : Nontrivial G
⊢ Monoid.IsTorsion G → ¬Monoid.IsTorsionFree G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius
⊢ HasSum (fun l => ∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l) (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst)
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a + -c = b
⊢ a = b + c
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ b :: l₂
⊢ a ∈ (l₁.erase b).diff l₂
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ y * x ∈ H ↔ y ∈ H
z : ℂ
n : ℤ
⊢ z / ↑n = { re := z.re / ↑n, im := z.im / ↑n }
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
Module S M₂
SMulCommClass R S M₂
IsEmpty ι
f : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ (MultilinearMap.constLinearEquivOfIsEmpty R S M₁ M₂).symm f = f 0
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support
⊢ (i.prod fun n e => g n ^ e).IsHomogeneous (n * m)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Sort u
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (Localization.r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ (Localization.mk a b).liftOn f H = f a b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Set.Ioc a b → f x = g x
h' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Set.Ioc b a → f x = g x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
SMul M α
ContinuousConstSMul M α
TopologicalSpace β
g : β → α
hg : Continuous g
c : M
⊢ Continuous fun x => c • g x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
f : β →+ γ
g : α →+ β
⊢ f.mapMatrix.comp g.mapMatrix = (f.comp g).mapMatrix
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
hperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))
hnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup
⊢ xs₀.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.nthLe n ⋯) = xs.nthLe (n + 1) hn
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ x < Nat.Subtype.succ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
⊢ lineDeriv 𝕜 ⇑f = QuadraticMap.polar ⇑f
R : Type u_2
Ring R
S : Set (Subring Rᵐᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (Subring.op ⁻¹' S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
⊢ ∃ X₀ X₁ X₂ X₃ f₀ f₁ f₂, X = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₃ f₀ f₁ f₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support
⊢ n * m = ∑ i_1 ∈ i.support, n * i i_1
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ⊤
p : Lean.Name
n : Nat
⊢ sizeOf (p.num n) = 1 + sizeOf p + sizeOf n
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
i : Fin 1
⊢ realize v (![t] i) = ![realize v t] i
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph' o ≤ c ↔ ∀ o' < o, Cardinal.aleph' o' ≤ c
α : Type u
P : α → Prop
a : α
s : Set α
H : ∀ x ∈ s, P x
ha : P a
x : α
h : x ∈ insert a s
⊢ P x
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
⊢ ThreeAPFree s ↔ ThreeAPFree t
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : w s = 0
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ (fun x => f (star x)) a = cfcₙ f (star a)
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (↑q + x)
⊢ Irrational x
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card
⊢ 2 ≤ Finset.card b
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝ : M
⊢ ↑n * x✝ = x✝ * ↑n
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
⊢ (map (algebraMap F K) (∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x))).IsRoot (s x)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f✝ f g : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
⊢ (((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ∑ ij ∈ antidiagonal k, (((compHom.comp ((compHom Φ) (D ij.1))).flip (D ij.2)) f) g
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.inv.app X) ≫ Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ adjoin R (of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
r s : ℝ
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : Tendsto x (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
y : ℕ → ℝ
hys : Tendsto y (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)
⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) (ofSeq y)) (f r s)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas
⊢ ∃ i ∈ c.atlas, ∃ i_1, IsOpen i_1 ∧ e.source = ↑i ⁻¹' i_1 ∩ i.source
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra
⊢ exp 𝕂 (-A) = Ring.inverse (exp 𝕂 A)
n : ℤ
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
ht : t.Nonempty
⊢ ⨆ (_ : t.Nonempty), sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
c : R
hc : IsUnit c
f : α → R
l : Filter α
⊢ f =O[l] fun x => c * f x
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
LinearOrder α
LinearOrder β
PosSMulMono α β
SMulPosMono α β
h : 0 < a • b
ha : a ≤ 0
⊢ b < 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ f (b' • a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f (↑(b * b') • a))
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hxy : -y < x
⊢ 1 + y / x = (rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x) x
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ AffineTargetMorphismProperty.StableUnderBaseChange fun X x x_1 x => IsAffine X
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).rank = A.rank
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ interior (I.pi s) = I.pi fun i => interior (s i)
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ a⁻¹ * a ≤ 1
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
⊢ pointCount P l ≤ lineCount L p
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ⇑↑v = ⇑v
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
a : (i : ι) → α i
hs : IsWeakAntichain s
⊢ (∀ ⦃b : (i : ι) → α i⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬StrongLT b a) →
  (∀ ⦃b : (i : ι) → α i⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬StrongLT a b) → IsWeakAntichain (insert a s)
a b : Prop
h₁ : a → b
h₂ : ¬b
⊢ ¬a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ s \ {a} = s.erase a
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime k
h : MinFacHelper n k
⊢ MinFacHelper n k'
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v✝ : Valuation R Γ₀
x✝ y z : R
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
⊢ v x < 1 ↔ 1 < v x⁻¹
α : Type u
r : α → α → Prop
IsSymm α r
a b : α
⊢ r a b ↔ r b a
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Algebra R A
Module R M₁
Module A M₁
SMulCommClass R A M₁
IsScalarTower R A M₁
Module R M₂
B₁ : LinearMap.BilinForm A M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ (((LinearMap.BilinMap.tensorDistrib R A) (B₁ ⊗ₜ[R] B₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (B₂ m₂) m₂' • (B₁ m₁) m₁'
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
e : M ≃* N
S : Submonoid M
g : ↥(Submonoid.map (↑e) S)
⊢ (e.submonoidMap S).symm g = ⟨e.symm ↑g, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α
⊢ u (l.toFun (u (l.toFun x) ⊔ u (l.toFun y))) = u (l.toFun (x ⊔ y))
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ x * (Ring.inverse x * y) = y
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
B₁ B₂ : LinearMap.BilinMap R M N
⊢ (B₁ - B₂).toQuadraticMap = B₁.toQuadraticMap - B₂.toQuadraticMap
X Y : Type u
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) (a : (CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj x),
  (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductCocone X Y).ι.app x a =
    (match x.as with
      | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left => Sum.inl
      | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right => Sum.inr)
      a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q
⊢ ∀ (m_1 m' : A), m_1 • x ∈ carrier f_deg q → m' • x ∈ carrier f_deg q → (m_1 + m') • x ∈ carrier f_deg q
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
⊢ Metric.closedBall x δ ⊆ Metric.cthickening δ {x}
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveInv α
s : Finset α
⊢ s⁻¹.card = s.card
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this✝ : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
this : ∑ x : Fin 4, f (σ x) ^ 2 = ∑ x : Fin 4, f x ^ 2
⊢ 2 * x + 2 * y = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2
M : Type u_1
AddCommMonoid M
a b : M
h : a + b = 0
⊢ IsAddUnit a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H
this : b * (a * b) * b⁻¹ ∈ H
⊢ b * a ∈ H
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card = Fintype.card α ↔ s = Finset.univ
R : Type u_1
M : Type u_3
a b : R
SMul R M
Mul R
IsScalarTower R R M
ra : IsSMulRegular M a
rb : IsSMulRegular M b
⊢ IsSMulRegular M (a * b)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)
⊢ x ∈ Fintype.piFinset s ↔ Fin.init x ∈ Fintype.piFinset (Fin.init s) ∧ x (Fin.last n) ∈ s (Fin.last n)
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : S
⊢ (↑↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap S (RingQuot s)) x) = (algebraMap S B) x
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
Countable (Subtype p)
Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
⊢ Filter.limsup f v =
  if ∃ j, s ↑j = ∅ then sInf Set.univ
  else if ∀ (j : Subtype p), ¬BddAbove (Set.range fun i => f ↑i) then sInf ∅ else ⨅ j, ⨆ i, f ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
⊢ IsUnit (Associates.mk a) ↔ a ~ᵤ 1
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ Heyting.IsRegular ⊤
α : Type u_3
DivisionSemiring α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∩ r.dom
⊢ x ∈ r.preimage (r.image s)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
e : r ≃r s
x : α
y : β
⊢ r x (e.symm y) ↔ s (e x) y
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsLocallyInjective f
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g
⊢ IsLocallyInjective (f ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t
this : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a
⊢ ∃ i', ((↑⟨φ, hφ⟩).restrict s).lintegral μ ≤ (↑i').lintegral μ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ ker f = ⊥
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ = c
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
⊢ f ⁅x, y⁆ = ⁅f x, f y⁆
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ g₀ g₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
h₀ : f₀ = g₀
h₁ : f₁ = g₁
a : ↑I × X
⊢ (F.cast h₀ h₁) a = F a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).map f).f = f
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
L₁' : LieSubalgebra R L₁
L₂' : LieSubalgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
h : LieSubalgebra.map e.toLieHom L₁' = L₂'
x : ↥L₁'
⊢ ↑((LieEquiv.ofSubalgebras L₁' L₂' e h) x) = e ↑x
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hi : Inducing f
ho : IsOpen (Set.range f)
⊢ IsOpenMap f