ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω₁ : List B
hω₁ : ω₁.length = cs.length (cs.wordProd ω₁)
ω₂ : List B
hω₂ : ω₂.length = cs.length (cs.wordProd ω₂)
⊢ cs.length (cs.wordProd ω₁ * cs.wordProd ω₂) ≤ cs.length (cs.wordProd ω₁) + cs.length (cs.wordProd ω₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : Tendsto ns atTop atTop
ms : ℕ → ℕ
left✝ : StrictMono ms
hms' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns (ms i)) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = t.truncatedInf a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
⊢ f x < f y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y => (c y).comp (d y)) s x = (derivWithin c s x).comp (d x) + (c x).comp (derivWithin d s x)
a b : UInt32
h : a.val = b.val
⊢ a = b
R : Type u
Ring R
S : Set (Subring R)
x : R
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
h : a * b = c ^ n
x y : R
hxy : x * a + y * b = 1
⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ x * a + y * b
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ s +ᵥ ⋃ i, t i = ⋃ i, s +ᵥ t i
G : Type u_1
Group G
hH : Group.IsNilpotent G
Nontrivial G
⊢ Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass (G ⧸ Subgroup.center G) + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ Filter.Tendsto f (MeasureTheory.ae μa) (MeasureTheory.ae μb)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsSimpleModule R (M ⧸ ker f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
DirectSum.Decomposition ℳ
N : Type u_5
AddCommMonoid N
Module R N
f g : M →ₗ[R] N
h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ (ℳ i).subtype = g ∘ₗ (ℳ i).subtype
⊢ f = g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
⊢ SeparatedNhds K L
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictAntiOn (fun x => 1 / log x) (Set.Ioi 1)
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
⊢ ⇑(X.affineCover.map ⟨x, r⟩.fst).val.base '' Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' EMetric.closedBall b r = EMetric.closedBall (a⁻¹ * b) r
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
⊢ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ¬p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x y : R✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
n : ℕ
hn : f ^ n = 0
⊢ IsNilpotent (f.restrict hf)
R : Type u
CommRing R
X Y : CoalgebraCat R
i : X ≅ Y
⊢ ↑i.toCoalgEquiv = i.hom.toCoalgHom
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
p : β → Prop
s : Multiset α
⊢ (∀ y ∈ Multiset.map f s, p y) ↔ ∀ x ∈ s, p (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjointAux (adjointAux A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a
⊢ max ‖f.lim - ↑f N‖ ‖↑f N‖ ≤ a
R : Type u_1
MulZeroClass R
IsCancelMulZero R
a : R
Nontrivial R
⊢ IsRegular a ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
Countable α
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
x : α
⊢ μ.toPMF x = μ {x}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))
α : Type u_1
l : Lists' α true
⊢ l ⊆ nil → l = nil
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u : αˣ
⊢ ↑u⁻¹ = 1 /ₚ u
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
x₀ : B
⊢ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) (TotalSpace.mk' F x (s x))).2) x₀ → ContMDiffAt IB IB n (fun x => x) x₀
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
α : Type ?u.2288
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b) ∨ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b).swap
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B
⊢ -x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B
α : Type u
π : α → Type u_1
Finite α
s : (a : α) → Set (π a)
hs : ∀ (a : α), (s a).Countable
⊢ (Set.univ.pi s).Countable
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).2 = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.2
z : ℍ
⊢ ↑z.re + ↑z.im * Complex.I = ↑z
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
⊢ Function.Surjective (characterSpaceToSpectrum a)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
⊢ Continuous Bundle.TotalSpace.proj
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((injectiveResolutions C).map f) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map J.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
j : ι
hi : i ≠ j
⊢ j ∈ (update i f b).support ↔ j ∈ insert i f.support
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x
⊢ (fun x => diracProba x) (diracProbaInverse μ) = (fun x => diracProba x) x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ P.part a
R : Type u_1
CommRing R
I J : Ideal R
hI : I.IsPrimary
h : IsAssociatedPrime J (R ⧸ I)
⊢ J = I.radical
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.sinh ↑x).re = Complex.sinh ↑x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
self : T.Algebra
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.μ.app self.A) self.a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map self.a) self.a
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
ι : Prop
s : ι → Set α
⊢ m (⋃ (i : ι), s i) = 0 ↔ ∀ (i : ι), m (s i) = 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G
⊢ g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
φ : ι' → ι
⊢ UniformSpace.comap (fun g i' => g (φ i')) (Pi.uniformSpace fun i' => α (φ i')) =
  ⨅ i', UniformSpace.comap (Function.eval (φ i')) (U (φ i'))
α : Type u_1
IntCast α
n : ℤ
⊢ AddOpposite.op ↑n = ↑n
f : Type u → Type v
Applicative f
self : LawfulApplicative f
α β γ : Type u
x : f α
g : f (α → β)
h : f (β → γ)
⊢ (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (Function.comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∀ {x_1 y : L} (x_2 : ℕ), ((ad R L) x ^ x_2) x_1 = 0 → ∀ (x_3 : ℕ), ((ad R L) x ^ x_3) y = 0 → ∃ k, ((ad R L) x ^ k) ⁅x_1, y⁆ = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y
y : α
ys : y ∈ s
hy : IsMinOn (fun y => edist x y) s y
⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ (coeff R 1) X = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ essSup (f + g) μ ≤ essSup f μ + essSup g μ
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • closure s + b • interior s ⊆ interior s
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ (y \ z) = x \ y ⊔ x ⊓ y ⊓ z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e :
  CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.homOfLe ⋯ ≫ l₁ =
    CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.homOfLe ⋯ ≫ l₂
⊢ l₁ = l₂
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g
hg_int : Integrable g volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
P : Set α → Prop
mono : ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → P s → P t
⊢ (∀ s ∈ l, P s) ↔ ∀ (i : ι), p i → P (s i)
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
this : IsWellOrder (ULift.{max v w, u} α) (⇑Equiv.ulift ⁻¹'o r)
⊢ lift.{max v w, u} (type r) < lift.{max u w, v} (type s) ↔ Nonempty (r ≺i s)
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullback.lift f g a b w) (Profinite.pullback.snd f g) = b
R : Type u_1
Monoid R
a : R
ua : IsUnit a
⊢ IsRegular a
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a ⊆ quasispectrum S a
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ Function.Injective fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ coequalizer.desc M.actLeft ⋯ ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this✝ : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ
this : QuasiMeasurePreserving (fun x => g * x) μ μ
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
x : K
⊢ x ∈ I⁻¹ ↔ ∀ y ∈ I, x * y ∈ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
l : List α
⊢ List.zipWith f l [] = []
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ S.val.fieldRange = S
α : Type u_1
Add α
⊢ ↑MulOpposite.opAddEquiv = MulOpposite.opEquiv
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : ModularForm Γ k
n : α
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
p : ℕ
hp : Prime p
⊢ φ p = p - 1
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : (∑ i ∈ f.support, f i * ↑i) ^ (f.support.card * n + 1) ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.fst a) s = (κ a) {p | p.1 ∈ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_directed : Directed LE.le (aeSeq hf p)
⊢ Measure α
A : Type u_4
AddGroup A
H : AddSubgroup A
self : H.Normal
n : A
⊢ n ∈ H → ∀ (g : A), g + n + -g ∈ H
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (s.sup f) t
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : hf.toFinset.card ≤ n
⊢ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) hf.toFinset).length ≤ n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α
xy : ¬x ≤ y
yx : ¬y ≤ x
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ
      (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ f₁ f₂) f₃)
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ f₁
      (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ f₂ f₃))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g
⊢ sq.HasLift
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
a : MvPolynomial σ A₁
⊢ (MvPolynomial.mapAlgEquiv σ e) a = (MvPolynomial.map ↑e) a
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s = 0
i : 𝒰.J
⊢ (Hom.app (𝒰.map i) U) s = 0
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m✝ m : ℤ
x : 𝕜
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
this : ∀ (m : ℤ), 0 < m → HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x
α : Type u_2
Monoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
n : ℕ
⊢ NonemptyInterval.pure a ^ n = NonemptyInterval.pure (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
x₂ : α
hx₂ : x₂ ∈ s₂
heq : f x₂ = f x₁
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)
F : Type u_7
R : Type u_8
S : Type u_9
Mul R
Add R
Mul S
Add S
EquivLike F R S
self : RingEquivClass F R S
f : F
a b : R
⊢ f (a + b) = f a + f b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
CompleteSpace F
⊢ Measurable (fderiv 𝕜 f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraEquivOfIsoMonads h).functor = CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom h.inv
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.val.base
⊢ IsIso (forgetToSheafedSpace.map f)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ u (MeasureTheory.hitting u s n m ω) ω ∈ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsRefl α r
IsAntisymm α r
a b : α
⊢ AntisymmRel r a b ↔ a = b
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}
i : ι
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤
⊢ a * (c / b) = d ↔ b * d = a * c
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
a : α
⊢ UniformEmbedding fun x => x + a
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (1 - r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₂
x : α
this : ¬(x = a ∧ x ∈ s₂)
⊢ x ∈ insert a s₁ ∩ s₂ ↔ x ∈ s₁ ∩ s₂
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ τ (f ^ n) = ↑m ↔ ∃ x, (f ^ n) x = x + ↑m
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊
hn : 0 < ↑(n + 1)
⊢ ↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : f ∘ ⇑σ ≠ f ∘ ⇑(sort f)
⊢ ∃ i j, i < j ∧ (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ proj (↑e₁.symm (b, x)) ∈ e₂.baseSet
α : Type u_1
SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c x ⊔ c y ≤ c (x ⊔ y)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsTruncLE
i' : ι'
j : ι
h : c'.Rel i' (e.f j)
⊢ ∃ i, e.f i = i'
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ [].formPerm = 1
a b c d b' : List Γ'
x : K'
⊢ update (elim a b c d) rev b' x = elim a b' c d x
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2
⊢ z ∈ stolzSet M
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
⊢ 0 < gauge s x ↔ x ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑(sinh (2 * x)) = ↑(2 * sinh x * cosh x)