ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors c
hb : b ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b
⊢ a = b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
h : dist x y < Metric.infDist x s
⊢ y ∉ s
S : Type u_3
Mul S
a b : S
⊢ Commute a b ↔ Commute b a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F✝ : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
F : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p (fun x => normSeminorm 𝕝₂ F) f
⊢ Continuous ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
h : IsCompl p q
hp : IsClosed ↑p
hq : IsClosed ↑q
⊢ ⇑(Submodule.prodEquivOfClosedCompl p q h hp hq).symm = ⇑(Submodule.prodEquivOfIsCompl p q h).symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : CategoryTheory.Dial C} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).f = CategoryTheory.Limits.prod.map f.f g.f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ s1 < s2 ↔ ↑s1 ⊂ ↑s2
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).bypass = p.bypass.copy hu hv
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.msb = x.getLsb (w - 1)
R : Type u
A : Type v
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
Countable R
⊢ {x | IsAlgebraic R x}.Countable
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
d : ENNReal
⊢ d ≤ s.einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ edist x y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ : OneCocycle G U
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ γ.ev i j a b = (γ.ev j i b a)⁻¹
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(PrimeSpectrum.vanishingIdeal t) = closure t
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : { w // w.IsComplex }
⊢ ((NumberField.mixedEmbedding.stdBasis K).repr x) (Sum.inr (w, 0)) = (x.2 w).re
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ (∀ s ∈ S, IsOpen s) → IsOpen (⋂₀ S)
K : Type u_1
Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + x ^ 2 ≠ 0
x : K
⊢ ↑((circleEquivGen hk) x) = (2 * x / (1 + x ^ 2), (1 - x ^ 2) / (1 + x ^ 2))
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
⊢ Disjoint (LieModule.weightSpace M χ₁) (LieModule.weightSpace M χ₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁
⊢ (f a).Dom
N : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
⊢ g • CongruenceSubgroup.Gamma N = CongruenceSubgroup.Gamma N
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
hW : W ≤ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C
⊢ (CategoryTheory.Functor.id C).IsLocalization W
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
ℋ : Set C
h𝒢ℋ : 𝒢 ⊆ ℋ
⊢ CategoryTheory.IsSeparating ℋ
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ M.closure Y
⊢ M.closure X ⊆ M.closure Y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K S
h_sep : IsSeparable K pb.gen
h_splits : Splits (algebraMap K L) (minpoly K pb.gen)
x✝ : Fintype (S →ₐ[K] L) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ((minpoly K pb.gen).aroots L).Nodup
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι
⊢ MeasurableSet ({a | τ a ≤ i} ∪ {a | π a ≤ i})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊓ hg.approx n) n)) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b : ℝ≥0
⊢ ↑a - ↑b ≤ dist a b
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
⊢ minpoly F α ∣ p
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
⊢ l₁.length ≤ n → (l₁ ++ l₂)[n]? = l₂[n - l₁.length]?
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ s.tail ~ʷ t.tail
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
⊢ (W.Φ ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 ∧ (W.Φ ↑n).coeff (n ^ 2) = 1
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R
⊢ supDegree D (single a r) = if r = 0 then ⊥ else D a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) a.dest b.dest
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i g✝
⊢ g ∣ map i (f * g✝)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : Mon_ C
⊢ (α_ X Y Z).inv.hom = (α_ X.X Y.X Z.X).inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ g₁
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₂ g₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback.congrHom h₁ h₂).hom =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map f₁ g₁ f₂ g₂ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
t : Set ((a : ι) → α a)
⊢ ∀ j ∈ Finset.univ, j ≠ i → (μ j).toOuterMeasure (eval j '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ j).toOuterMeasure (eval j '' t)
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
Nontrivial B
⊢ minpoly A 0 = Polynomial.X
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsLeftInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsLeftDescent w i
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c > 0,
  ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop,
    ∀ (i : α), AkraBazziRecurrence.sumTransform (AkraBazziRecurrence.p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑n + ℵ₀ = ℵ₀
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
h : M ≤ 1
Module.Flat R ↥N
⊢ M.LinearDisjoint N
α : Type u_1
Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : a • ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s t : Set E
hs : Absorbent ℝ s
h : s ⊆ t
⊢ gauge t ≤ gauge s
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi a
h'x : a ≤ id x
⊢ IntegrableOn f' (Ioc a (id x)) volume
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r x : S
hx' : x ∈ ↑(span {r})
hx : (Algebra.norm R) x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})
⊢ (Algebra.norm R) r ∣ (Algebra.norm R) x
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ ⇑e '' (⇑e.symm '' s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)
Hm' : StronglyMeasurable (rangeFactorization f)
⊢ StronglyMeasurable f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
hy : ¬y = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
f₁' f₂' : β → α
h₁ : Set.RightInvOn f₁' f t
heq : Set.EqOn f₁' f₂' t
⊢ Set.RightInvOn f₂' f t
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
f : X → ↑I
f_cont : Continuous f
f_zero : f x = 0
f_one : EqOn f 1 {y}
⊢ ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
α' : CochainComplex.HomComplex.Cochain F L (-1)
β' : G ⟶ L
eq' : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α' = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β')
n n' : ℤ
hnn' : n + 1 = n'
⊢ (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq).f n ≫ (CochainComplex.mappingCone.desc φ α' β' eq').f n =
  (↑α).v n n' hnn' ≫ α'.v n' n ⋯ + β.v n n ⋯ ≫ β'.f n
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α
⊢ (A + B) *ᵥ x = A *ᵥ x + B *ᵥ x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p✝ : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
⊢ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter ≤ comap (⇑(p i)) (𝓝 0)
α : Type u
c : Computation (Stream'.WSeq α)
⊢ (Stream'.WSeq.flatten c).destruct = c >>= Stream'.WSeq.destruct
n m l : ℕ
⊢ List.Ico n m ∩ List.Ico m l = []
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f) ↔ ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1
M : Type u_1
CommMonoid M
x : M
⊢ Localization.mk = Submonoid.LocalizationMap.mk' (Localization.Away.monoidOf x)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
c : ℕ
hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c
⊢ 1 = orderOf f * c
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c
⊢ IsGreatest {f | CardinalInterFilter f c ∧ g ⊆ f.sets} (cardinalGenerate g hc)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
⊢ a.castSucc.pred ha < b ↔ a ≤ b
z : 𝔻
⊢ 1 = 1 ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ IsPiSystem {s | ∃ n, MeasurableSet s}
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
p : α → Prop
⊢ {a | a ∈ s ∧ p a}.Finite
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ ⊤ ∈ J₂.sieves Y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.ImageFactorisation f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
CharZero R
⊢ P.coroot i ≠ 0
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.join₂ ((MvPolynomial.map f) φ) = (MvPolynomial.bind₂ f) φ
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
h₁ : s₁ = s₂
h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x
comm : (↑s₁).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ s₁.noncommSum f comm = s₂.noncommSum g ⋯
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
CompactSpace X
hs : s.Infinite
⊢ ∃ x, AccPt x (𝓟 s)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : Set α
ht : TopologicalSpace.GenerateOpen s t
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (insert t s) = TopologicalSpace.generateFrom s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l' l : List α}, l' <+ l → ∃ is, l' = List.map l.get is ∧ List.Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) is
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : J} (x : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.Functor.const J).obj X).map x = 𝟙 X
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((((α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ L.X) ≫ TensorBimod.actLeft P Q ▷ L.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
m : ℕ
⊢ 0 + 1 ≠ -↑m
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
z : α
hz : z ∈ s
⊢ {x | x ∈ s ∧ f x = f z}.ncard ≠ 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
hs : IsClosed ↑(affineSpan 𝕜 s)
⊢ IsClosed (intrinsicFrontier 𝕜 s)
x : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => x ^ n / ↑n !) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
l : List α
⊢ (l ++ [a]).minimum = min l.minimum ↑a
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
f : FreeAddMonoid α →+ M
⊢ FreeAddMonoid.lift.symm f = ⇑f ∘ FreeAddMonoid.of
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ
⊢ ∑ r ∈ range (n✝ + 1), x ^ (n✝ - r) * y ^ (n✝ - (n✝ - r)) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Set.InjOn (Real.logb b) (Set.Ioi 0)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
hf : CauchySeq f
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m.natMod ↑n < n
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_12, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R₁ : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
eL : C₂ ≌ C₃
eR : D₂ ≌ D₃
w' : H₂.comp eR.functor ≅ eL.functor.comp H₃
⊢ (w.vComp w'.hom).GuitartExact ↔ w.GuitartExact
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
f : A →+* B
hf : f.Finite
⊢ f.FiniteType
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsCompact s ↔ ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y => star (f y)) s x = star (derivWithin f s x)
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 < q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ f ⁻¹' U ⊆ s
x : ℂ
⊢ sin (x + ↑π / 2) = cos x
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.functor J C).obj S).map f =
    S.mapNatTrans ((CategoryTheory.evaluation J C).map f)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ (∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ interior s ↔ ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 < i2
hcell : (i2, j) ∈ μ
⊢ T i1 j < T i2 j
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f P).natDegree = P.natDegree
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ (e₁₂.trans e₂₃).symm = e₂₃.symm.trans e₁₂.symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).pt = Y
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target
⊢ ↑e.symm y = (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
h : (↑s).Nonempty
⊢ IsConnected {y | s.SOppSide x y}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁵ : EquivLike F α β
inst✝⁴ : LE α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
this : BotHomClass F α β := OrderIsoClass.toBotHomClass
⊢ f a = ⊥ ↔ a = ⊥
X : Type u
TopologicalSpace X
self : RegularSpace X
s : Set X
a : X
⊢ IsClosed s → a ∉ s → Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
⊢ μ (Iic a) = ⨆ i, μ (Ioc i a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
⊢ insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n : ℕ
⊢ p.coeff Nat.zero.succ = (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).coeff Nat.zero.succ
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x : B
h : IsIntegral R x
n : ℤ
⊢ IsIntegral R (n • x)
a : Int
n : Nat
⊢ a.natAbs = n ↔ a = ↑n ∨ a = -↑n
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.trailingDegree < q.trailingDegree
⊢ q.coeff p.natTrailingDegree = 0