ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
j✝ : J
⊢ ((rightDistributor f X ⊗ asIso (𝟙 Y)) ≪≫ rightDistributor (fun j => f j ⊗ X) Y).hom ≫ biproduct.π (fun j => (f j ⊗ X) ⊗ Y) j✝ = (α_ (⨁ f) X Y ≪≫ rightDistributor f (X ⊗ Y) ≪≫ biproduct.mapIso fun j => (α_ (f j) X Y).symm).hom ≫ biproduct.π (fun j => (f j ⊗ X) ⊗ Y) j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ (a b : ℚ), μ (Ioo ↑a ↑b) = ν (Ioo ↑a ↑b)
⊢ ∀ s ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, μ s = ν s
U : Type u_1
inst✝⁵ : Quiver U
V : Type u_2
inst✝⁴ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.19860
inst✝³ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝² : HasInvolutiveReverse U
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse V
inst✝ : φ.MapReverse
u : U
⊢ Bijective (φ.costar u) ↔ Bijective (φ.star u)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
⊢ 𝓝 (a :: l) = Seq.seq (List.cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℕ
h : Odd n
⊢ (-1) ^ n = -1
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ + b₁ ≤ a₂ + b₂ → a₁ < a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ {p | dist p.1 p.2 < ε} ∈ 𝓤 α
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ Odd (cs.length t)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ ↑((map f s).preimage ⇑f ⋯) = ↑s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.symm.symm = e
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (AddSubgroup.comap f)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
⊢ a ⋖ c ↔ b ⋖ c
x i : Nat
x_lt_succ : x < 2 ^ (i + 1)
⊢ x.testBit i = decide (x ≥ 2 ^ i)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ (∀ (g : G) (A : Set G), MeasurableSet A → μ ((fun h => h * g) ⁻¹' A) = μ A) ↔ μ.IsMulRightInvariant
α : Type u_1
n : ℤ
⊢ n.sign = ↑(SignType.sign n)
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle
⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
Z : V
h : Z ⟶ A
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel (h ≫ f) g ⋯ =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject (h ≫ f)).ofLE (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f) ⋯ ≫ imageToKernel f g w
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
⊢ ↑(cdf μ) x = (μ (Iic x)).toReal
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpU : p ∈ U.carrier
⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝 z)
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
⊢ False
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
S : Type u_6
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
h : SameRay R x y
s : S
⊢ SameRay R (s • x) (s • y)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}
n : ℕ
⊢ Cardinal.lift.{u, v} ↑n = ↑n
a b : Bool
⊢ b = (a || b) ↔ a = true → b = true
α : Type u
β : Type v
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ (Set.image2 f s t).Finite
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
x y : G
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x / y ∈ s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
b : β
⊢ (s.embDomain f) b = if h : b ∈ Set.range ⇑f then s (Classical.choose h) else 0
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
⊢ Nat.Partrec' f ↔ Partrec f
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
⊢ xInTermsOfW p R 0 = X 0
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
f : M ≃ₗ[A] M
⊢ IsUnit (LinearMap.det ↑f)
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ Monoid.exponent (QuaternionGroup n) ∣ lcm (2 * n) 4
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
f : P.Hom P'
i : P.vars
⊢ f.toAlgHom (MvPolynomial.X i) = f.val i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b
⊢ pred a = pred b ↔ a = b
R : Type u
AddMonoid R
StarAddMonoid R
x : R
n : ℕ
⊢ star (n • x) = n • star x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
self : FP.FloatCfg
⊢ FP.FloatCfg.prec ≤ FP.FloatCfg.emax
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
n : ι × ι
⊢ eLpNorm (↑↑(f n.1 - f n.2)) p μ ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
hy : y ≠ 0
⊢ x ≤ log b y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
q : R[X]
⊢ (gcd p q).degree ≤ p.degree
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = if n + 1 = 0 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Small.{w, u_2} β
e : α ≃ β
⊢ Small.{w, u_1} α
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f✝ f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (((LinearMap.lflip ∘ₗ LinearMap.id.flip) m) n) f = (f m) n
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ℕ → ι
p : ι → Prop
l : Filter ι
h_tendsto : Tendsto x atTop l
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
ns : ℕ → ℕ
hge : ∀ (a : ℕ), ns a ≥ a
hns : ∀ (a : ℕ), p (x (ns a))
⊢ ∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : Irreducible p
s : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ p.count ↑s = Multiset.count ⟨p, hp⟩ s
V : Type u_1
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G✝.Adj
n r : ℕ
s✝ t✝ u : V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
h : G.degree s ≠ G.degree t
cf : G.CliqueFree (r + 1)
hd : G.degree t < G.degree s
this : (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
⊢ G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card
α : Type u_1
DecidableEq α
CommMonoid α
m : Multiset α
⊢ m.prod = ∏ x ∈ m.toEnumFinset, x.1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
⊢ ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
α : Type u_2
β : Type u_1
R : α → β → Bool
as : List α
bs : List β
acca : List α
accb : List β
⊢ List.takeWhile₂TR.go R as bs acca accb =
  (acca.reverse ++ (List.takeWhile₂ R as bs).fst, accb.reverse ++ (List.takeWhile₂ R as bs).snd)
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a ≤ b
hne : ¬toLex a = toLex b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
⊢ toLex a j = toLex b j
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ [[a, b]] = Finset.Icc a b
R : Type u_5
A : Type u_6
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ IsIntegrallyClosedIn R A ↔
  Function.Injective ⇑(algebraMap R A) ∧ ∀ {x : A}, IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R A) y = x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : StrongEpiMonoFactorisation f
F' : MonoFactorisation f
hF' : IsImage F'
⊢ StrongEpi (F.e ≫ (F.toMonoIsImage.isoExt hF').hom)
R : Type u_1
CommSemiring R
LocalRing R
a b : R
h : IsUnit (a + b)
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : u = 1
⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = ↑(d ⟨1, ⋯⟩)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n m : ℕ
hnq : n < q
hnm : AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel m n
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp : ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v
J : Ideal R
hJv : Associates.mk J = v
⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
α : Type u_1
Finite α
x : α → FirstOrder.Language.DirectLimit G f
⊢ ∃ i y, x = fun a => ⟦FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b c : R
hab : a ≤ b
hc : c ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s => star s * s)
⊢ c * a ≤ c * b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.opcycles
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : A), x ∈ S
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
⊢ variationOnFromTo f s a b + variationOnFromTo f s b c = variationOnFromTo f s a c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
⊢ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s)
R : Type u_1
Semiring R
p q : Polynomial R
⊢ p.mirror = q ↔ p = q.mirror
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hxb : x ≠ b
hx : x ∈ s ∧ ¬x = a
⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ (F.mapBinaryBicone b).inl = F.map b.inl
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
α : Type u_2
Add α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
m n : α
⊢ (OrderEmbedding.addLeft m) n = m + n
α : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → α
x : α
⊢ x ∈ Set.range f ↔ ∃ y, f y = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
hK : K.ExactAt i
L : HomologicalComplex C c
e : K ≅ L
⊢ L.ExactAt i
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
h : (f '' s).Finite
hi : Set.InjOn f s
⊢ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Div β
ContinuousDiv β
f g : C(α, β)
⊢ ⇑(f / g) = ⇑f / ⇑g
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (∑ i ∈ s, if i ∈ t then f i else 0) = ∑ i ∈ s ∩ t, f i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
y : Set α
⊢ y ∈ 𝒫{x} ↔ y ∈ {∅, {x}}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofZeros S hf hg).Q = S.X₂
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
S : Set K
hprim : adjoin F S = ⊤
⊢ restrictScalars F (adjoin E S) = restrictScalars F ⊤
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Finset α
⊢ ⋯.toFinset = s
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ {a} ⊼ {b} = {a ⊓ b}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y
⊢ f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Y
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasDerivAt Real.arccos (-(1 / √(1 - x ^ 2))) x
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : ∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y := ⋯
⊢ (s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ invFunOn f s b ∈ s ∧ f (invFunOn f s b) = b
ι α : Type v
U : ι → α
CompleteLattice α
o : CategoryTheory.Pairwise ι
⊢ (CategoryTheory.Pairwise.cocone U).ι.app o = CategoryTheory.Pairwise.coconeιApp U o
a b : ℕ
⊢ (a.gcd b).totient * (a * b).totient = a.totient * b.totient * a.gcd b
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ J ⊔ J' = ⊤
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_13, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorObj F X₁ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃ x =
  ((F.obj (X₁ x.1)).obj (X₂ x.2.1)).obj (X₃ x.2.2)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 1 = C X
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
BorelSpace E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
fmeas : Measurable f
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hi₀ : MeasureTheory.Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ (CompHaus.pullback.isLimit f g).lift s = CompHaus.pullback.lift f g s.fst s.snd ⋯
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : ¬q = 0
⊢ (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.tan (angle x (x - y)) = ‖x‖
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ l.toFinset = l'.toFinset ↔ l.dedup.Perm l'.dedup
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, p x) ↔ (l ⊓ 𝓟 {x | p x}).NeBot
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U
⊢ ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
a b : ↑↑S
⊢ ‖x + y + ↑(a + b)‖ ≤ ‖x + ↑a‖ + ‖y + ↑b‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R ⇑b) l = 0
⊢ b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) l) = 0
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.coeff R 1) PowerSeries.X = 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ IsBlock G B ↔ IsBlock (↥⊤) B
α : Type u_1
A : Type u_4
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
NormedRing A
NormOneClass A
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 A
f : ↥(lp (fun x => A) ⊤)
⊢ ⇑((AlgEquiv.lpBCF α A 𝕜) f) = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}) → ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
⊢ IsUnit (r⁻¹ • 1 - ↑a⁻¹)
E : Type u_1
F : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
⊢ Set.SurjOn (⇑f) (Set.extremePoints ℝ s) (Set.extremePoints ℝ (⇑f '' s))
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
this : (-b i).re < 0
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x) = (↑π / b i) ^ (1 / 2) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i))
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ
⊢ (∃ a_1, a < a_1 ∧ valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a < x ∧ x ≤ n - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this✝ : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
hnj : n < j
this : j - (n + 1) + n + 1 = j
⊢ x ∈ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
a b c : Ordinal.{u_1}
ab : a < b
⊢ a ^ Order.succ c < b ^ Order.succ c
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
hij : I ≤ J
hnp : N ≤ P
⊢ I • N ≤ J • P
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
H : 0 < finrank R M
⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
FunLike G' γ α
MonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : Function.LeftInverse ⇑g' ⇑g
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) ↔ Multipliable f