ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : D
⊢ ∀ (a : ℱ'.val.obj (Opposite.op X)),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appIso i X).inv a =
    CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom i.inv X a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x₀ : hat K
⊢ ∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x₀)) (𝓝 c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
α : F.rightOp ⟶ G.rightOp
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.removeRightOp α).app X = (α.app (Opposite.unop X)).unop
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ N = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
⊢ Continuous f → ScottContinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
f : Fin (n + 1) ↪ α
ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ¬a = b
⊢ Nonempty (⊤ ↪g G)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)
x y : ℂ
⊢ Complex.cos x = Complex.cos y ↔ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑Real.pi + x ∨ y = 2 * ↑k * ↑Real.pi - x
B X : TopCat
π : X ⟶ B
x✝ : EffectiveEpi π
hπ : RegularEpi π
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat := parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right
i : B ≅ colimit F := RegularEpi.isColimit.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right))
⊢ QuotientMap (⇑(homeoOfIso i) ∘ ⇑π)
α : Type u_4
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
h_nhds : ∀ (a : α), 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}
⊢ OrderTopology α
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0 : 0 ≤ q
hq1 : q ≤ 1
a : α
⊢ ↑‖(f + g) a‖₊ ≤ ((fun a => ↑‖f a‖₊) + fun a => ↑‖g a‖₊) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
⊢ (∀ (a : α) (b : β), (a, b) ∈ s → ContinuousWithinAt (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s} b) ↔ ∀ (a : α), ∀ x ∈ {b | (a, b) ∈ s}, ContinuousWithinAt (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s} x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.deterministic f hf) a) s = s.indicator (fun x => 1) (f a)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
x : Sigma β
l : List (Sigma β)
⊢ (x :: l).dedupKeys = List.kinsert x.fst x.snd l.dedupKeys
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks A B Bᴴ D).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((lineMap p₁ p₂) c) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
l : Filter X
f : X → Y × Z
p : Y × Z
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 p)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (f a).2) l (𝓝 p.2)
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
a : R
b : B
m d : ℤ
⊢ selfZPow x B (m - d) * IsLocalization.mk' B a 1 = b ↔ selfZPow x B m * IsLocalization.mk' B a 1 = selfZPow x B d * b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x
y : Y
⊢ ∃ x₁ x₂, (g - dg) y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∑ a ∈ s, f a).toNNRat = ∑ a ∈ s, (f a).toNNRat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hf : liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤
hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l x ∨ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l x
⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
r : CategoryTheory.End Y
f : X ⟶ Y
⊢ r • f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f r
α : Sort u
op : α → α → α
self : IsLeftCancel α op
a b c : α
⊢ op a b = op a c → b = c
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module ℝ A
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝ : SMulCommClass ℝ A A
a : A
⊢ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ∀ x ∈ σₙ ℝ a, 0 ≤ x
α : Type u_1
s₁ : Set α → Prop
has_empty✝¹ : s₁ ∅
has_compl✝¹ : ∀ {a : Set α}, s₁ a → s₁ aᶜ
has_iUnion_nat✝¹ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₁ (f i)) → s₁ (⋃ i, f i)
s₂ : Set α → Prop
has_empty✝ : s₂ ∅
has_compl✝ : ∀ {a : Set α}, s₂ a → s₂ aᶜ
has_iUnion_nat✝ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₂ (f i)) → s₂ (⋃ i, f i)
h : ∀ (s : Set α), { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ }.Has s ↔ { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }.Has s
⊢ { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ } = { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = map (Dual.eval K V) W
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
s : Set X
⊢ Filter.map (↑e) (𝓝[s] x) = 𝓝[↑e '' (e.source ∩ s)] ↑e x
α : Sort u_1
y : α
p : α → Prop
⊢ ∃ x, y = x ∨ p x
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
h : ∀ i ∈ s, Polynomial.IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)
⊢ Polynomial.IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
⊢ Multiset.fold op b {a} = op a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y✝ : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y✝)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y✝ (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y✝
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
y : Y
hy : y ∈ f '' K
hyl : ClusterPt y l
⊢ ∃ x ∈ insert y✝ (range f), ClusterPt x l
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
⊢ ∑ x : σ → K, coeff d f * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
w : ι → R
z : ι → E
⊢ ∅.centerMass w z = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
⊢ 𝓝[insert y s] x = 𝓝[s] x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.X s * p).support = Finset.map (addLeftEmbedding (Finsupp.single s 1)) p.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (A i) x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) x
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
⊢ ∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), ↑__src✝ (x * y) = ↑__src✝ x * ↑__src✝ y
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
⊢ x = 1
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f) m‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ (fun x => f x * (C / 2)) ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H
⊢ b * a ∈ H
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
h : Function.Injective ⇑f
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap f (Subgroup.map f H) = H
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
a₁ a₂ : α
⊢ (algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ ≤ a₂
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S T : VonNeumannAlgebra H
h : ∀ (x : H →L[ℂ] H), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).mop = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g.mop f.mop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).f' = 0
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
h : e' ≈ e
⊢ e' ∈ G
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
⊢ (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f = LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i})
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
MeasurableMul₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => f a * g a
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
⊢ f ↑m = 1
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.map f.op = AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ⊤
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
⊢ finrank K ↥V = (charpoly φ).natTrailingDegree
α : Type u_1
I✝ B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
I : Set α
h : M.Indep I
B : Set α
hB : (M.Indep B ∧ I ⊆ B ∧ B ⊆ M.E) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → I ⊆ y → y ⊆ M.E → B ⊆ y → B = y
⊢ ∃ B, (M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y) ∧ I ⊆ B
x : ℝ
h : x < -1
⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) - π
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
A : M
h : IsUnit A.det
⊢ A ^ (-n) * A ^ n = 1
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
⊢ (σ a).Nonempty
R : Type u
CommRing R
f g : R[X]
I : Ideal R
⊢ (AdjoinRoot.quotEquivQuotMap f I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I)) ((AdjoinRoot.mk f) g)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Type w
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i ∈ ∅, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ ∅, f i)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a / c = b / c ↔ a = b
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
⊢ count p n.primeFactorsList ≤ padicValNat p n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b⁻¹ * a = c
⊢ a = b * c
o : Ordinal.{u_1}
h : o.IsLimit
n : ℕ
⊢ ↑n < o
t : ℝ
ht : |t| ≤ 1
x : ℝ
⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α
⊢ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ ∀ (x : PUnit.{v + 1}), (AlgebraicGeometry.Scheme.openCoverOfIsIso f).obj x = X
α : Type u_2
Preorder α
a : α
LocallyFiniteOrderBot α
⊢ (Finset.Iio a).Nonempty ↔ ¬IsMin a
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
⊢ (s ∪ t).chainHeight = s.chainHeight + t.chainHeight
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
h : IsBigOWith C (𝓝 b) f g
this : ContinuousAt (↑e) (↑e.symm b)
⊢ Tendsto (↑e) (𝓝 (↑e.symm b)) (𝓝 b)
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃
a b : Int
w₁ : 0 ≤ a
w₂ : a < b
⊢ a.natAbs < b.natAbs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, b = succ a
⊢ a < b.pred ↔ succ a < b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (Ioi a).disjUnion (Iio a) ⋯ ↔ a✝ ∈ {a}ᶜ
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∈ l
⊢ (List.insert a l).Nodup
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Nat.nth p (Nat.count p n) = sInf {i | p i ∧ n ≤ i}
b : ℕ
⊢ b ^ log b 0 ≤ 0 + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(trim 0 hle) i = ↑0 i
K : Type u
Field K
V W : FGModuleCat K
⊢ (CategoryTheory.ihom V).obj W = FGModuleCat.of K (↑V →ₗ[K] ↑W)
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
n : ℤ
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
⊢ f.subtypePerm hf ^ n = (f ^ n).subtypePerm ⋯
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Quiver.IsThin C
⊢ EssentiallySmall.{w, v, u} C ↔ Small.{w, u} (Skeleton C)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι
⊢ (∀ j ∈ t, Splits i (s j)) → Splits i (∏ x ∈ t, s x)
R : Type u_1
TopologicalSpace R
Ring R
TopologicalRing R
I : Ideal R
hI : IsClosed ↑I
⊢ I.closure = I
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
⊢ ⨆ x ∈ s ∪ t, f x = (⨆ x ∈ s, f x) ⊔ ⨆ x ∈ t, f x
R : Type u_1
CommRing R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
r : R
⊢ (CategoryTheory.Free.lift R F).map (Finsupp.single f r) = r • F.map f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
X : C
⊢ (HomologicalComplex.homologyFunctorSingleIso C c j).inv.app X = (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j X).inv
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : WithTop α
⊢ a * ⊤ = if a = 0 then 0 else ⊤
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f g : α →𝒄 β
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a a₂ : α
hf : HasProd f a
h : ∀ (s : Finset ι), a₂ ≤ ∏ i ∈ s, f i
⊢ a₂ ≤ a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {R : α → α → Prop} {l : List α} {S : α → α → Prop},
  List.Pairwise (fun a b => R a b ∧ S a b) l ↔ List.Pairwise R l ∧ List.Pairwise S l
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ (limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
G : Type u_3
Group G
g h : G
⊢ (MulEquiv.symm (MulAut.conj g)) h = g⁻¹ * h * g
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → SMul α (β i)
k : α
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist (k • x) (k • y) ≤ hammingDist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α → γ
b b' : β → γ
Mul γ
⊢ Sum.elim (a * a') (b * b') = Sum.elim a b * Sum.elim a' b'
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
x : α
⊢ DenseRange fun c => c +ᵥ x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
s : Set α
⊢ StrictMonoOn f s
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ (CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).inverse.comp (CategoryTheory.subterminalInclusion C) =
  (CategoryTheory.MonoOver.forget (⊤_ C)).comp (CategoryTheory.Over.forget (⊤_ C))
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range fun x => x * x) = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
g : SupBotHom β γ
f₁ f₂ : SupBotHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => φ x i) s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i => derivWithin (fun x => φ x i) s x
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain P f.extendDomain = f
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset α
⊢ (↑s).IsWF
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R✝
M : Subsemigroup R✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
z : R
⊢ z ∈ center R ↔ z ∈ Set.center R