ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ (CategoryTheory.algebraEquivUnder X).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun f =>
      CategoryTheory.Under.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.underToAlgebra X).comp (CategoryTheory.algebraToUnder X)).obj f).right)
        ⋯)
    ⋯
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ioc 0 b = Set.Ioc 0 (Pi.single i b)
o : Ordinal.{u}
ho₂ : 2 < o
ho : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
⊢ o.IsLimit
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : G.Colorable 0
v : V
i : ℕ
hi : i < 0
⊢ False
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι
x : M
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h => h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → Set α
g : (i : ι) → ¬p i → Set α
⊢ (⋃ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⋃ i, ⋃ (h : p i), f i h) ∪ ⋃ i, ⋃ (h : ¬p i), g i h
K : Type u
DivisionRing K
S : Subfield K
s : Set K
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b * a < b * b⁻¹ ↔ b * a < 1
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
Group H
MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock H (⇑j ⁻¹' B)
x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ ‖x - y‖ ≤ InnerProductGeometry.angle x y
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm (Subtype p)
h : f.IsSwap
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype f).IsSwap
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Icc (succ a) b = Ioc a b
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β
⊢ ⇑e ⁻¹' t = ⇑e.symm.symm ⁻¹' t
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
f : InfTopHom β γ
g : InfTopHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : ↑s), g (s.restrict f a) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1
⊢ (p * q).Monic
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
l : ℝ
hl : l < h.lim
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, l < u b / ↑b
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α 0
⊢ v.toList = []
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ MeasurableSpace.countablePartitionSet n a
L : FirstOrder.Language
L.IsOrdered
⊢ L.orderLHom.onRelation FirstOrder.Language.leSymb = FirstOrder.Language.leSymb
x : ℂ
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℂ n Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s ∩ t = (a +ᵥ s) ∩ (a +ᵥ t)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.sphere a r ↔ ‖b / a‖ = r
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : SFinite μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ
⊢ ∫⁻ (a : α) in t ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ, μ.densityToFinite a ∂μ.toFinite = ⊤ * μ.toFinite (t ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}
hU : IsClopen U
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
⊢ g.convs n = (g.conts n).a / (g.conts n).b
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
hba : b ≠ a
⊢ (Equiv.optionSubtypeNe a).symm b = some ⟨b, hba⟩
E : Type u_1
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : T2Space E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x
⊢ ∀ (x : F), toEuclidean (f x) ≠ toEuclidean (g x)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
⊢ x ∣ y ∧ ¬y ∣ x ↔ DvdNotUnit x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
CategoryTheory.HasSheafify K A
⊢ CategoryTheory.HasSheafify J A
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
I : Set α
hI : I ⊆ f ⁻¹' N.E
x✝ : ∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' I = f '' I₀
I₀ : Set α
hI₀ : N.Indep (f '' I₀)
right✝ : InjOn f I₀
hII₀ : f '' I = f '' I₀
⊢ I₀ ⊆ f ⁻¹' N.E
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π
⊢ 0 ≤ (↑θ).sign
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ (-deriv ε) x = x⁻¹ / log x ^ 2
ι : Sort u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
a : ι → α
ha : CompleteLattice.Independent a
⊢ CompleteLattice.Independent (⇑f ∘ a)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {n : Nat}, l.length ≤ n → l[n]? = none
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun b => ⨅ i ∈ s, f i b
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Iic a = Ioc ⊥ ↑a
n : ℕ
⊢ (2 * n + 2)‼ = (2 * n + 2) * (2 * n)‼
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ≤ Ordinal.nfp f a
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i : ι
⊢ Injective ⇑(of i)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (Finset.image f s).Nonempty
g : β → α
⊢ (Finset.image f s).inf' hs g = s.inf' ⋯ (g ∘ f)
α : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrder α
LinearOrder β
a b : α
c d : β
⊢ a ≤ b → c ≤ d ↔ d < c → b < a
α : Type u
x s : Set α
h : x ⊆ s
⊢ x ∈ 𝒫 s
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
s : Set α
h₀ : BddBelow s
h₁ : BddAbove s
⊢ s.Finite
α : Type u_1
DecidableEq α
Inhabited α
l : List α
⊢ l.dedup.headI = if l.headI ∈ l.tail then l.tail.dedup.headI else l.headI
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivAt Complex.log z⁻¹ z
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ ⋂ i, M.closure (bif i then I else J) = ⋂ b, bif b then M.closure I else M.closure J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
⊢ ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
α : Type u
f : Equiv.Perm α
s : Set α
⊢ ⇑f⁻¹ ⁻¹' s = ⇑f '' s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
h : ∅.Subsingleton
⊢ IsClosed ∅
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
this : pB.gen = hζ.toInteger
h : 1 = (pB.basis.repr (↑↑p * x)) ⟨1, hdim⟩ + (pB.basis.repr ↑n) ⟨1, hdim⟩
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℤ
⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ↑⊤.annihilator ∩ ↑R⁰ ≠ ∅
S : Type u_3
Add S
a b : S
⊢ AddCommute a b ↔ AddCommute b a
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α
⊢ x ≤ u (l.toFun y) ↔ u (l.toFun x) ≤ u (l.toFun y)
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
hd₀ : d x y ≠ 0
s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}
hs₀ : 0 ∈ s
hsne : s.Nonempty
M : ℕ
hMl : M ≤ l.length
hMs : IsGreatest s M
hM_lt : M < L.length
hM_ltx : M < (x :: l).length
hM_lty : M < (l ++ [y]).length
⊢ ∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
⊢ k + 2 ≤ n.minFac
X : CommSemiRingCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
i : ℕ
⊢ Tendsto (fun i_1 => u i_1 i) atTop (𝓝 (u i i))
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
q : R[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]
x✝ : ℕ
⊢ (Finsupp.single 1 1 * toFinsupp✝) x✝ = (toFinsupp✝ * Finsupp.single 1 1) x✝
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = (Multiset.map (fun i => i.1 ⊗ₜ[R] i.2) S).sum
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta 3 ℚ K) ↑3
this : u ∈ [1, -1, ⋯.unit, -⋯.unit, ⋯.unit ^ 2, -⋯.unit ^ 2]
⊢ u = 1 ∨ u = -1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ
⊢ (λ_ Y).inv ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (α_ (ᘁZ) Z Y).hom ≫ ᘁZ ◁ (Z ◁ f ≫ ε_ (ᘁZ) Z) = 𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
V : Type u
Quiver V
X Y : CategoryTheory.Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y
⊢ Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Quiver.Path.reverse p) p) =
  Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimits C
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑m + x)
F : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
α : Type u
x : id α
⊢ (fun {α} => (Traversable.PureTransformation F).app α) x = pure x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ (cons i σ).sum f = f 0 i + σ.sum (Fin.tail f)
X Y : Type u
i : X ≅ Y
⊢ ⇑i.toEquiv = i.hom
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
⊢ e' = cast hu hv e ↔ HEq e' e
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f
⊢ omegaLimit f ϕ s = ⋂ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ (u ∩ v) s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ x ∈ t • s
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)
⊢ ↑I ⊓ ↑J ≤ ⊥ ↔ ↑I ∩ ↑J ⊆ ↑⊥
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
⊢ count a (s ∩ t) = min (count a s) (count a t)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
b : P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (s₁.weightedVSubOfPoint p b) w = (s₂.weightedVSubOfPoint p b) ((↑s₁).indicator w)
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Functor F
Functor G
LawfulFunctor F
LawfulFunctor G
α : Type v
x : Functor.Comp F G α
⊢ Functor.Comp.map id x = x
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
SMul G α
SMul G β
s t : Set α
b : β
h : s ⊆ t
hs : MulAction.Supports G s b
⊢ MulAction.Supports G t b
R : Type u_1
CommMonoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r₁ * r₂ /ₒ (s₁ * s₂)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1
⊢ hurwitzZeta a (1 - s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (-↑π * I * s / 2) * expZeta a s + cexp (↑π * I * s / 2) * expZeta (-a) s)
α : Type u_1
A : Set (Finset α)
Fintype α
hA : Set.Sized (Fintype.card α) A
⊢ A.Subsingleton
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer D.diagram
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit D.diagram.multispan F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit (D.diagram.multispan.comp F)
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m / x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a b : β
h : inr b < inr a
⊢ ∃ b, b < a
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ star x = CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.involute x)
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S p₁ p₂ : Submonoid M
⊢ Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x : M}, x ∈ p₁ → x ∈ p₂ → x = 1
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
f : ι → Set α
⊢ upperClosure (⋃ i, f i) = ⨅ i, upperClosure (f i)
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
⊢ (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2) = ↑(sin (π / 2)) * ↑(cos (π / 2)) ^ (n - 1) * (-Complex.cos (2 * z * ↑(π / 2)) / (2 * z)) - ↑(sin 0) * ↑(cos 0) ^ (n - 1) * (-Complex.cos (2 * z * ↑0) / (2 * z)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) * (-Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f
⊢ ((rename f) p).degrees = Multiset.map f p.degrees
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s.diffs t).Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
⊢ 0 ∈ B.polar Set.univ ∧ ∀ x ∈ B.polar Set.univ, x = 0
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
⊢ {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y} ⊆ Set.range toContinuousMap
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R
hzero : n ≠ 0
⊢ n = m
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ ↑((μ.map ⋯).prod (ν.map ⋯)) = ↑((μ.prod ν).map ⋯)
α : Type u_1
n : Type u_4
RCLike α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ (fun i => ↑(RCLike.re (A.diag i))) = A.diag
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'
a✝ : α × β
hx : a✝ ∈ interedges r s t
hy : a✝ ∈ interedges r s t'
⊢ False
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α✝
a : α✝
g f✝ : α✝ → M
α : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
⊢ ∀ (a : ℕ), n ≤ a ∧ a < m ↔ a < m ∧ n ≤ a
x n : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ x ^ φ n ≡ 1 [MOD n]
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
b : α
⊢ Finset.Icc ⊥ ↑b = Finset.insertNone (Finset.Iic b)
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Subring.center R = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₂ p₁ p₃).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
self : C(α, β)
⊢ Continuous self.toFun
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal
⊢ S = ⊥ ↔ generator S = 0
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
p.IsMaximal
P.IsPrime
he : Ideal.ramificationIdx f p P ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ Ideal.ramificationIdx f p P) =
  Ideal.ramificationIdx f p P * FiniteDimensional.finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
⊢ (List.map ((fun x => ‖x‖) ∘ ⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum ≤ (List.map (fun x => ‖f‖ • x) (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p)).sum
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ f (MulOpposite.op x • 1) = g (MulOpposite.op x • 1)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ f x ≤ (fun ε' => gronwallBound δ K ε' (x - a)) ε
θ : Angle
x✝ : ℝ
⊢ θ.sin = (↑x✝).sin ↔ θ = ↑x✝ ∨ θ + ↑x✝ = ↑π
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ a ∉ s.erase a
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
⊢ HolderOnWith C 1 f s ↔ LipschitzOnWith C f s
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ x - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ Opposite.op (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (Opposite.op X) (Opposite.op Y)
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f g : ι →₀ α
hfg : f ≤ g
⊢ f.support ⊆ g.support
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
h : β → γ
g : α → β
l : List α
⊢ List.map (h ∘ g) l = List.map h (List.map g l)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
⊢ ((of R).symm (x • (y + z))).coeff k = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
s : Set V
t : Set W
φ : G →g G'
φst : Set.MapsTo (⇑φ) s t
⊢ ⇑(SimpleGraph.induceHom φ φst) = Set.MapsTo.restrict (⇑φ) s t φst
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.dist u v = 0 ↔ u = v ∨ ¬G.Reachable u v
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
s : Set E
⊢ IsComplete (⇑f '' s) ↔ IsComplete s
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
⊢ Commute (a ^ n) a
o : Ordinal.{max u_2 u_3}
f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
ho : o.card < c
⊢ (∀ (i : Ordinal.{max u_2 u_3}) (hi : i < o), f i hi < c.ord) → o.blsub f < c.ord