ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s
⊢ IsOpen s ↔ IsCompact (some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsOpen (some ⁻¹' s)
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a + b < Cardinal.aleph0 ↔ a < Cardinal.aleph0 ∧ b < Cardinal.aleph0
μ : YoungDiagram
j : ℕ
⊢ μ.transpose.colLen j = μ.rowLen j
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μ
⊢ MeasureTheory.Conservative f μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
⊢ A ↓∩ ⋃₀ S = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ S, A ↓∩ B = x}
α : Type u_1
Encodable α
⊢ Encodable.encode none = 0
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin 1)) ⊤ ⇑expMapCircle
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e✝ : Perm σ
⊢ (rename ⇑e✝) (esymm σ R n) = esymm σ R n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
zero : T.mor₃ = 0
⊢ ∃ e, T.mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl ∧ T.mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
⊢ (q.seq p) b = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
c : R
⊢ c ∈ p.coeffs ↔ ∃ n ∈ p.support, c = MvPolynomial.coeff n p
x : Nat
⊢ (Int.negSucc x).sign = -1
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a - b < c - d ↔ a + d < c + b
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} C
X : C
S T : CategoryTheory.Presieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_1)
H : S.FactorsThru T
hS : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P T
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_dense : DenseRange f
⊢ Continuous f
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
ne_top : I ≠ ⊤
⊢ I.IsProper
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ 0 < count a l ↔ a ∈ l
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆ → W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄ → Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃ → Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y = W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X + 3 * W.a₆
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E₂ : Type u_6
F : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R₂ E₂
NormedAddCommGroup F
Module R F
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Function.Injective ⇑f₁
n : ℕ
β : Type v
x : β
p : Fin n → β
⊢ (Fin.last n).insertNth x p = Fin.snoc p x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ S₃ : SimplicialObject.Split C
Φ₁₂ : S₁ ⟶ S₂
Φ₂₃ : S₂ ⟶ S₃
n : ℕ
⊢ (Φ₁₂ ≫ Φ₂₃).f n = Φ₁₂.f n ≫ Φ₂₃.f n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x' : NormedSpace.Dual 𝕜 E
r : ℝ
⊢ IsClosed (⇑WeakDual.toNormedDual ⁻¹' Metric.closedBall x' r)
α : Type u_11
⊢ ⋃ x, {x} = Set.univ
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (TensorProduct.rid R M).symm m = m ⊗ₜ[R] 1
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : 0 = n % k
⊢ IsNat n.minFac k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α → β
h : Injective f
b : β
w : b ∉ Set.range f
⊢ b ∉ map { toFun := f, inj' := h } univ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ (∃ a b c, (a ≤ b ∧ b ≤ c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) ↔ ∃ a b c, (a < b ∧ b < c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α
⊢ s ∈ [].tails ↔ s <:+ []
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
this : dist (f z) c ≤ R / R * dist z c
⊢ R ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a : R
SMul R M
SMul R S
SMul S M
IsScalarTower R S M
b : S
ha : IsSMulRegular M a
⊢ IsSMulRegular M (a • b) ↔ IsSMulRegular M b
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R R' : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R ⟶ R'
M' : SheafOfModules R'
⊢ ((SheafOfModules.restrictScalars α).obj M').val = (PresheafOfModules.restrictScalars α.val).obj M'.val
n : ℕ
⊢ ↑n.succ = ONote.oadd 0 n.succPNat 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ f '' s ⊆ t
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsOpen s
j : ι
⊢ IsOpen (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))
a b c : ℤ
hbc : c ∣ b
⊢ a ∣ b / c ↔ c * a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ l.reverse.tails = (map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse).reverse
K : Type u
Field K
c : K
⊢ (RatFunc.C c).num = Polynomial.C c
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Module.support R M ⊆ Module.support R N
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} + Metric.ball 0 δ = Metric.ball x δ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ ℵ₀ + (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max (max u' v) (max u u') v, u} #((i : ℕ) × L.Functions i)) + (lift.{max (max u u') v, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + ℵ₀) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max u' (max u u') v, max u v} L.card)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Finite ι₂
inst✝² : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
A : Type u_6
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ toMvPolynomial (basis A b₁) (basis A b₂) (baseChange A f) i = (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i)
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ star φ = φ.comp ↑σ.symm ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E
⊢ (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ B ⊆ E
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
g : CategoryTheory.Over f.left
⊢ f.iteratedSliceBackward.obj g = CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.Over.homMk g.hom ⋯)
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < 3 + 1
⊢ BddDistLat.dualEquiv.functor = BddDistLat.dual
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ sin x * cos (2 * x) + cos x * sin (2 * x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
⊢ 1 ≤ b → Pell.IsPell b → b ≤ Pell.pellZd a1 n → ∃ n, b = Pell.pellZd a1 n
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ∀ (i j : ι), ⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R
⊢ (fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) ((fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) P) = P
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b a : α
s : Set α
hs : s ∈ update pure a₀ l a
ha : a ≠ a₀
⊢ ∀ᶠ (y : α) in update pure a₀ l a, s ∈ update pure a₀ l y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hmg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
s : Set α
hms : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ - ∫⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α) in sᶜ, g x ∂μ
α : Type u
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l[i]? = some x
R : Type u
CommSemiring R
ι₂ : Type v₂
DecidableEq ι₂
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
AddCommMonoid M₁'
(i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
Module R M₁'
(i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (TensorProduct.directSumRight R M₁' M₂).symm
    ((DirectSum.lof R ι₂ (fun i => TensorProduct R M₁' (M₂ i)) i) (x ⊗ₜ[R] y)) =
  x ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι₂ M₂ i) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ * ‖x‖ = ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w y : R[X]
hy : h.repr z - w = f * y
⊢ eval₂ i x (h.repr z) = eval₂ i x w
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n d : ℕ
r : R
⊢ ((Polynomial.monomial n) r * p).coeff (d + n) = r * p.coeff d
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
h : ∀ (a : α), ∃! b, r a b
⊢ ∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Disjoint s t ↔ s ∩ t = ∅
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
hI : LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I
⊢ LieAlgebra.derivedLengthOfIdeal R L I = 0 ↔ I = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral (f + g) =
  MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f + MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
h_KU : K ⊆ U
⊢ ∃ L, IsCompact L ∧ IsClosed L ∧ K ⊆ interior L ∧ L ⊆ U
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a ∉ s, insert a s = t
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
DiscreteTopology Y
hf : Embedding f
⊢ DiscreteTopology X
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
K : Subgroup N
⊢ H.prod K = ⊥ ↔ H = ⊥ ∧ K = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
h : UniformInducing (g ∘ f)
⊢ UniformInducing f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A✝ : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A✝
N : Type u_5
inst✝ : Group N
A A' B : Subgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B
⊢ B ⊓ (A ⊔ A') = B ⊓ A ⊔ B ⊓ A'
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
v w : Fin 3 → α
⊢ Matrix.dotProduct v w = v 0 * w 0 + v 1 * w 1 + v 2 * w 2
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
i : J
⊢ ∃ c, Nonempty (i ⟶ (fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).obj c)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ t⁻¹ * of ↑b = t⁻¹ * of ↑b * t * t⁻¹
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i j : Ordinal.{u}
hi : i < o
hj : j < o
hij✝ : i ≤ j
hij : i < j
⊢ f i hi ≤ f j hj
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x : Quotient G α
⊢ (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)).Nonempty
α : Type u_2
β : Type u_3
Norm α
Norm β
f : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ ‖f‖ = ‖f.1‖ ⊔ ‖f.2‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x x₀ : M
y₀ : M'
⊢ mfderiv I (I.prod I') (fun x => (x, y₀)) x₀ = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)
α : Type u_2
GroupWithZero α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 / s = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure (E × E)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2) μ
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
g : α → β ⊕ Fin n
k : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α k
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g (φ.imp ψ) =
  (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g φ).imp (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g ψ)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hst : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hft : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
DecidableEq ι
Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod)
  (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • ContinuousLinearMap.proj i) l).sum x
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
DecidableRel f.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
⊢ f.cycleOf x = f
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
c : α
⊢ c ∈ s ⊼ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ b = c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : Subsingleton M₂
x✝ : M
⊢ (ofSubsingleton M M) x✝ = (refl R M) x✝
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
⊢ ⟨g, hg⟩ ∈ comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq : ℝ≥0
rq_pos : 0 < ↑rq
hrq : ↑rq < min 1 q.radius
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
H : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₂ ≫ T.mor₃ = 0
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Finite Γ
⊢ ∃ n enc dec, enc default = Mathlib.Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ ⋃₀ S ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
⊢ ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
hy : y ⊆ f '' x
⊢ x ∩ f ⁻¹' maximals s y = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightId L R).inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g
⊢ ?f ≫ (sInf s).arrow = f.arrow
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.EssentiallySmall.{w₁, v₂, u₂} J
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{w₁, w₁, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y : G
⊢ (filter (fun g => f g = f x) univ).card = (filter (fun g => f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)) univ).card
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 1 < a
⊢ a ^ m < a ^ n ↔ m < n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents.id X n).b i = X.σ i
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ z ⊔ (y ⊓ x ⊔ y \ x)) ⊓ (y ⊓ x ⊔ (y ⊓ z ⊔ y \ z)) = (y ⊓ z ⊔ y) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Finset.Icc a b).erase a = Finset.Ioc a b
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι
⊢ ((Fintype.total R R) b) (Pi.single i 1) = b i
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ (π.biUnionTagged πi).distortion = π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion
α : Type u
β : Type v
f : α → β → α
a : α
L : List (List β)
⊢ List.foldl f a L.join = List.foldl (List.foldl f) a L
α : Type u
minAx : Order.Coframe.MinimalAxioms α
s : Set α
b : α
⊢ sInf s ⊔ b = ⨅ a ∈ s, a ⊔ b
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ (f.f i₁).f (i₂ + y) ≫ ((i₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((L.X i₁).X (i₂ + y)) ≫ L.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((L.total (up ℤ)).X (n + y))) = ((i₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X i₁).X (i₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y))) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
⊢ IsOpen (imageOfDf f)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ LinearIndependent ℝ ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂] ↔ LinearIndependent ℝ ((fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1))