ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (blockDiagonal fun x => A.map fun a => (f a) 1).det * (blockDiagonal fun x => B.map fun b => (f 1) b).det = (A.map fun a => (f a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => (f 1) b).det ^ Fintype.card m
α : Type u
Semiring α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
⊢ (sInf s).IsPrime
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in ∅, f x ∂μ = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Embedding ULift.down
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l' ∈ l.cyclicPermutations
⊢ l'.length = l.length
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
⊢ frontier s = s \ interior s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (eval P) W.polynomialY / P z ^ 3 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialY
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ 1 < a / b ↔ b < a
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : K ⟶ M
β : L ⟶ M
i : ι
⊢ biprod.inl.f i ≫ (biprod.desc α β).f i = α.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in Aᶜ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : s₁.points '' ↑univ = s₂.points '' ↑univ
⊢ centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}
⊢ ∃ y ∈ s, f x ≤ f y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousAt (fun x => (L (f a)) (g (x - a))) x₀
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
G : Type u_1
M : Type u_2
Monoid G
CommGroup M
MulAction G M
f : G × G → M
hf : groupCohomology.IsMulTwoCocycle f
g : G
⊢ f (1, g) = f (1, 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
hs : s₁ < s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ < s₂.disjSum t₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
x : α
⊢ (∃ z, infEdist z s ≤ ENNReal.ofReal δ ∧ edist x z < ENNReal.ofReal ε) → infEdist x s < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
⊢ Function.Surjective ⇑((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (A i).subtype)
L : Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ (RelMap r fun i => ⟦x i⟧) ↔ RelMap r x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
(S₁.map F).HasHomology
(S₂.map F).HasHomology
F.PreservesRightHomologyOf S₁
F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapHomologyIso' F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapHomologyIso' F).hom (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ))
G : Type u_6
Group G
x : G
⊢ IsOfFinOrder x ↔ ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 < a + b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafToA F) s
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.fst p.val = s
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : (i : I) → C(X i, A)
ig : (i : I) × X i
⊢ (ContinuousMap.sigma f) ig = (f ig.fst) ig.snd
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this✝ : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
this : (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l) = (Linear_CC' C hsC ho) (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
⊢ False
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra F L
inst✝² : IsScalarTower F K L
f g : F[X]
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
inst✝¹ : IsSplittingField F K f
inst✝ : IsSplittingField K L (Polynomial.map (algebraMap F K) g)
⊢ Algebra.adjoin F ((f * g).rootSet L) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
n : ℕ
⊢ (if n = 1 then 1 else 0) + _root_.bernoulli n = bernoulli' n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
w : F ≅ G
j : J
⊢ (P.conePointsIsoOfNatIso Q w).hom ≫ t.π.app j = s.π.app j ≫ w.hom.app j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
y : Y
⊢ IsClosed {x | f x = y}
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 0
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
⊢ (f + g).sum h = f.sum h + g.sum h
q : ℚ≥0
⊢ ↑q⁻¹ = ↑(divNat q.den q.num)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => c) μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card
⊢ ((insert a s).biUnion t).card ≤ (t a).card + (s.biUnion t).card
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
⊢ ⨆ p_1, ⇑↑p_1 = ⨆ i, ⇑(p i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ
⊢ Continuous fun a => a * a ^ k
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α
hB : (M.disjointSum N h).Base B
⊢ ∃ BM BN, M.Base BM ∧ N.Base BN ∧ Disjoint BM BN ∧ B = BM ∪ BN
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
⊢ MeasureTheory.Memℒp 0 p μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
⊢ HasSeparatingCover s t
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
⊢ term I ho :: (↑l).tail = term I ho :: ↑l.Tail
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ (∃ g, ↑H = {g}) ↔ H = ⊥
α : Type u_2
Preorder α
a b : α
H : ∀ (c : α), a ≤ c → b ≤ c
⊢ b ≤ a
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 V S ↔ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ V
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel (c.prev i) i
⊢ f i (c.prev i) ≫ D.d (c.prev i) i = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
this : InjOn (⇑(span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap) (range (⇑P.toLin.flip ∘ ⇑P.coroot))
⊢ InjOn (⇑((span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip)) (range ⇑P.coroot)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : μ s < ⊤
ht : μ t < ⊤
⊢ μ (s ∪ t) < ⊤
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M
hs : IsCoatom s
⊢ IsClosed ↑s ∨ Dense ↑s
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
⊢ commProb M ≤ 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
R : Type u
Ring R
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
AddZeroClass ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
a b : A 0
⊢ (DirectSum.of A 0) (a * b) = (DirectSum.of A 0) a * (DirectSum.of A 0) b
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
⊢ ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l∗ = {x | ∃ S, x = S.join ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l ∧ y ≠ []}
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ IsZero T.obj₁ ↔ IsIso T.mor₂
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R) = LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
⊢ Tendsto (ENNReal.toNNReal ∘ ofNNReal) (𝓝 a) (𝓝 (↑a).toNNReal)
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Injective ⇑S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
s : Set α
⊢ Metric.diam (⇑f '' s) = ↑(Dilation.ratio f) * Metric.diam s
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
⊢ C (p.coeff p.natDegree) * X ^ p.natDegree + ∑ x ∈ range p.natDegree, C (p.coeff x) * X ^ x = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.t i j ≫ D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.uIcc (f i) b = Set.uIcc f (Function.update f i b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan P Q
⊢ t.swap.snd = t.fst
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (-(shiftFunctor C 1).map X✝.mor₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom₂ = (shiftFunctor C 1).map f.hom₁ ≫ (-(shiftFunctor C 1).map Y✝.mor₁)
α : Type u_2
PartialOrder α
DecidableEq α
a b : α
⊢ (a ≠ b ↔ a < b) ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
p q : E × β
hp : p.1 ∈ s ∧ p.2 < f p.1
hq : q.1 ∈ s ∧ q.2 ≤ f q.1
⊢ openSegment 𝕜 p q ⊆ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 < f p.1}
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsRefl α r
IsRefl β s
x : α ⊕ β
⊢ Sum.LiftRel r s x x
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0
key : n.gcd k = (↑n * n.gcdA k % ↑k).toNat
⊢ Int.ofNat (n * (n.gcdA k % ↑k).toNat % k) = Int.ofNat (↑n * n.gcdA k % ↑k).toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s.disjSum t).card = s.card + t.card
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t) \ t = s \ t
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f).obj ⊤ = ⊤
b a : Prop
ha : a
⊢ a → b ↔ b
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, f (inl x, inr y) + C)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
P : PrimeSpectrum ↥A
⊢ ↑↑(A.primeSpectrumOrderEquiv P) =
  {x | ∃ a ∈ A, ∃ a_1, (∃ (x : a_1 ∈ A), ⟨a_1, ⋯⟩ ∈ P.asIdeal.primeCompl) ∧ x = a * a_1⁻¹}
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
P : Type u₁
L.Structure P
F : FirstOrder.Language.DirectLimit G f ↪[L] P
x : FirstOrder.Language.DirectLimit G f
⊢ F x =
  (FirstOrder.Language.DirectLimit.lift L ι G f (fun i => F.comp (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i)) ⋯) x
S : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Type u_4
SetLike S α
SMul M N
SMul M α
Monoid N
MulAction N α
SMulMemClass S N α
IsScalarTower M N α
⊢ SMulMemClass S M α
δ : Type u_4
u : Set δ
MeasureTheory.MeasureSpace δ
hu : MeasureTheory.NullMeasurableSet u MeasureTheory.volume
t : Set ↑u
ht : MeasureTheory.volume t = 0
⊢ MeasureTheory.volume (Subtype.val '' t) = 0
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
⊢ (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯).slice = x.slice
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x : X
r : ℝ
⊢ IsClosed (Metric.ball x r)
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
⊢ (⨆ ι, #↑↑ι) + ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R M
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.symm.symm = e
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ pb.minpolyGen.natDegree = pb.dim
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
Bialgebra R X
Bialgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y
⊢ e.toBialgebraCatIso.inv.toBialgHom = ↑e.symm
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₁ : K₁ ⟶ L₁
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ K₁.ιMapBifunctor K₂ F c i₁ i₂ j h ≫ (HomologicalComplex.mapBifunctorMap f₁ f₂ F c).f j =
  (F.map (f₁.f i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctor L₂ F c i₁ i₂ j h
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
a : α
hf : ContinuousAt f a
hg : ContinuousAt g a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (f / g) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage g
h : f ≫ g = 0
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImage g = 0
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
⊢ Function.Injective (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
t : (i : ι) → Set (G i)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ rightTransversals ↑(φ i).range ∧ 1 ∈ t i
⊢ Nonempty (Transversal φ)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n : ℕ
⊢ ‖Polynomial.eval (newton_seq_gen hnorm n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
DecidablePred p
h : (i : ι) → β i → γ
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
⊢ ((DFinsupp.subtypeDomain p v).prod fun i b => h (↑i) b) = v.prod h
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
is : Finset (PLift ι)
his : s ∈ is.inf fun a => f a.down
⊢ p s
i x : Nat
p : x.testBit i = true
⊢ x ≥ 2 ^ i