ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ (eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₂).map f.f ≫ eqToHom ⋯) ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f i a) Filter.atTop (𝓝 (F a))
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j j' : ι
w : c.Rel j' j
⊢ (prevD j) f = f j j' ≫ D.d j' j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Functor.mapSquare C F).map φ).τ₁ = F.map φ.τ₁
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this : UniformInducing (const ι)
⊢ CompleteSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = Set.univ
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, Filter.Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f g : (a : α) → β a
a : α
b : β a
⊢ update f a b = f ↔ b = f a
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
h : f₂ =o[l] g
⊢ f₁ =o[l] g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X₁ X₂) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj X₁ × (CategoryTheory.forget C).obj X₂
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.fst ((CategoryTheory.Limits.Concrete.prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.1
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R 0) f = Polynomial.C (Polynomial.eval 1 f)
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a * b⁻¹ ≤ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f • g).NeBot
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
g : LocallyConstant ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ℤ
⊢ ∀ (a : ↑C),
  ((Profinite.NobelingProof.πs C o) g) a =
    g (Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C (fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
⊢ r - ↑‖y‖₊ ≤ (p.changeOrigin y).radius
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (i : ℕ), 2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ i) s = 0
⊢ ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq μ i) s = 0
c : Char
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
⊢ ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c } { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c } = ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ } { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = c • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
p₁ : α → Prop
hp₁ : p₁ ∈ l
p₂ : α → Prop
hp₂ : p₂ ∈ l
⊢ (∀ (a : α), p₁ a) ↔ ∀ (a : α), p₂ a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖ ≤ ‖f x‖ * ‖g x‖
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f q μ * MeasureTheory.eLpNorm g r μ
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
fn : 𝒰.J → ℕ
hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0
this : Fintype 𝒰.J
N : ℕ := Finset.univ.sup fn
hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N
⊢ IsNilpotent s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
f : L.Functions n
s t : Set M
hs : FirstOrder.Language.ClosedUnder f s
ht : FirstOrder.Language.ClosedUnder f t
⊢ FirstOrder.Language.ClosedUnder f (s ∩ t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
⊢ IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ w ⬝ᵥ (crossProduct v) w = 0
α : Type u_1
a : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0
⊢ ↑(∑' (x : α), a * f x) = ↑(a * ∑' (x : α), f x)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p₁ p₂ p : P
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
hp : p ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁i : p₁ ∈ ⇑(lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) '' Set.Ioo 0 1
h₂i : p₂ ∈ ⇑(lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) '' Set.Ioo 0 1
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p p₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f' ↔ HasMFDerivAt I I' f x f'
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃
⊢ rightHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ₂ h₂ h₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
g : β ≃ γ
l : α →₀ M
⊢ Finsupp.equivMapDomain (f.trans g) l = Finsupp.equivMapDomain g (Finsupp.equivMapDomain f l)
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a * b).factorization = a.factorization + b.factorization
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ Function.Bijective fun x => a * x
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.op.unop = S
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ OneOneEquiv p q → ManyOneEquiv p q
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ≠ f.natDegree ∧ a ∈ f.support
⊢ a < f.natDegree
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 / p ≠ 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.RightInverse f g → Function.Surjective f → Function.LeftInverse f g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)
⊢ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (𝟙 ((Q W).obj Y)) = eqToHom ⋯
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ aleph' o ≤ ⨆ a, aleph' ↑a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : ℕ
⊢ x ∉ p.support → x ∉ (map f p).support
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : R
⊢ ↑(Ideal.span {x}) = FractionalIdeal.spanSingleton S ((algebraMap R P) x)
α : Type u_1
i : Nat
as bs : List α
h : ¬i < as.length
h' : i < (as ++ bs).length
h'' : i - as.length < bs.length
⊢ (as ++ bs).get ⟨i, h'⟩ = bs.get ⟨i - as.length, h''⟩
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SFinite μ] [inst : MeasurableSpace β]
  [inst_1 : MeasurableSingletonClass β] {g : α → β},
  MeasureTheory.NullMeasurable g μ → {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ Filter.Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
Fintype I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
x : ℝ
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ ContinuousWithinAt Complex.arg {z | 0 ≤ z.im} z
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
T : Triangle C
⊢ (a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (b.negOnePow * a.negOnePow) • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
e : ι ≃ ι₂
⊢ (PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) e).symm = PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) e.symm
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
⊢ { x // x ∈ G.edgeSet } ≃ { x // x ∈ G'.edgeSet }
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ r ∈ {r | ∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))} ↔ r ∈ spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ evenKernel (-a) x = evenKernel a x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x y : α
ys : y ∈ s
hy : y < x
⊢ x ∈ s
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => s.inf fun x => f x a) t x
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this✝ : (constantSheaf K A).Faithful
this : (constantSheaf K A).Full
⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = -↑n.natAbs
⊢ x ^ n.natAbs = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c‖₊⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i ∈ t, i), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
cut : α → Ordering
f : Option α → Option α
t : Batteries.RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ ∃ c n, (Batteries.RBNode.alter cut f t).Balanced c n
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x✝ : α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalGroup G
tg' : TopologicalGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1
x : G
⊢ 𝓝 x = 𝓝 x
M : Type u_1
Monoid M
a : M
n : ℕ
ha : a ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(Units.ofPowEqOne a n ha hn)⁻¹ = a ^ (n - 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
⊢ (FreeMonoid.count x) (FreeMonoid.of y) = Pi.mulSingle x (Multiplicative.ofAdd 1) y
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
hij : j ≠ i
⊢ ‖diagonal v i j‖₊ = 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ MeasurableEmbedding fun x => g * x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s')
⊢ IsOpen (s ∩ s')
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
⊢ Set.range f ⊆ ↑(lift f).range
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ dist z w = dist w z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i / g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) / ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0
⊢ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), (g a ^ (p - 1)) ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hnk : n < k
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α → β
TopologicalSpace β
T2Space β
Zero β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ ↔
    MeasureTheory.StronglyMeasurable f ∧
      ∃ t, MeasurableSet t ∧ (∀ x ∈ tᶜ, f x = 0) ∧ MeasureTheory.SigmaFinite (μ.restrict t)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Smooth I' I (f i)
hf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
⊢ Smooth I' I fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ ⌈0⌉ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ default = SimpleGraph.Walk.nil
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
V : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe V
⊢ (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule).symm (V.ρ.asModuleEquiv.symm ((V.ρ g) x)) = ((Representation.ofModule ↑(ModuleCat.of (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule)) g) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule).symm (V.ρ.asModuleEquiv.symm x))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : IsFreeGroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : Generators G → H
⊢ ∃! F, ∀ (a : Generators G), F (of a) = f a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ↑e.toPartialEquiv = ↑e
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
j : N →+ P
y : ↥S
⊢ IsAddUnit ((j.comp f.toMap) ↑y)
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ∩ l₂ ⊆ l₂
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iio b) μ
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.C a).natDegree = p.natDegree
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsAssociatedPrime I M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsAssociatedPrime I M'
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
Countable M
h : L.IsUltrahomogeneous M
⊢ FirstOrder.Language.IsFraisse (L.age M)
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ ↑(K i) ⊆ ↑(iSup K)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
f : p → Part α
h : p
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α
h' : f h = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
⊢ (∃ (h : p), (f h).Dom) = Dom✝
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
⊢ ¬(chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f' : α → E' × F'
⊢ (fun x => (f' x).2) =O[l] f'
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Neg G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ.neg = MeasureTheory.Measure.map Neg.neg μ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g) ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T
α : Type u_1
p : α → Prop
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p (l.balance2 v r) ↔ p v ∧ Batteries.RBNode.All p l ∧ Batteries.RBNode.All p r
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
self : IsLocalization M S
x y : R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
G : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasLimits D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits G
hG : CategoryTheory.SolutionSetCondition G
⊢ G.IsRightAdjoint
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h1 : Antiperiodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂
⊢ Periodic f (c₁ - c₂)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ Set.image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q ⊆ ↑(Submodule.map₂ f p q)