ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≤ 0
ge : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≥ 0
⊢ ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
Fq F : Type
Field Fq
Field F
Algebra Fq[X] F
Algebra (RatFunc Fq) F
IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] ↥(FunctionField.ringOfIntegers Fq F))
n d k : ℕ
⊢ ↑(Behrend.sphere n d k) ⊆ (fun x => (WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)) ⁻¹' Metric.sphere 0 √↑k
α : Type u_2
LE α
⊢ WithTop.toDualBotEquiv.symm ⊤ = ⊤
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (if i ∈ f.support then f i else 0) = f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι c.fstKernelFork = c.inr
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : VectorPrebundle R F E
b : B
⊢ Inducing (↑(self.pretrivializationAt b) ∘ Bundle.TotalSpace.mk b)
R : Type u
self : AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ IntCast.intCast ↑n = ↑n
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
aux1 : ∀ (n : ℕ), ↑n = ↑n
aux2 : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree
⊢ (p * q).trailingDegree = ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
α : Type u
f : α → α → α
⊢ Commutative f → Associative f → LeftCommutative f
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
b : β
⊢ b ∈ s → a +ᵥ b ∈ a +ᵥ s
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ ≤ x ↔ x = ⊤
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : ¬Summable f
⊢ ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed
⊢ (Polynomial.aeval (μ ^ p)) (minpoly ℤ (μ ^ p)) = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ StableUnderGeneralization Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ↑‖f (a_1, a)‖₊ ∂η (a, a_1)).toReal ∂κ a < ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun a => f ⁻¹' {a})
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (biprod.isoCoprod X Y).hom = biprod.desc coprod.inl coprod.inr
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs) a = 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S U : Subalgebra R A
⊢ S.toSubring = U.toSubring ↔ S = U
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).IsHenstock
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
⊢ Function.Injective (Subalgebra.restrictScalars R)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
x : TensorProduct R M N
⊢ -x + x = 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ s.Gammaℝ ≠ 0
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → x ∈ t
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ x ∈ t, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_5
MeasurableSpace γ
⊢ κ.compProd 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (Opposite.op (X i))
hx : CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible P π x
⊢ hx.familyOfElements.Compatible
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α
⊢ x ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
p : α → Prop
⊢ p a → p b → p (a ⊓ b)
α : Type u
⊢ TopologicalSpace.induced pure Ultrafilter.topologicalSpace = ⊥
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ ≤ 1 ∧ ‖z‖ ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ count {i | ↑ε ≤ (ofNNReal ∘ a) i} ≤ ↑c / ↑ε
α : Type u_1
ι : Sort u_3
ι' : Sort u_4
f : ι → ι'
hf : Function.Surjective f
g : ι' → α
⊢ Set.range (g ∘ f) = Set.range g
x : ℝ
⊢ |x|.toNNReal = Real.nnabs x
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Zero M
x : R
⊢ 𝓝 (TrivSqZeroExt.inl x) = (𝓝 x).prod (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left)
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
a✝ b✝ : G ⧸ φ.ker
a b : G
h : φ.rangeRestrict a = φ.rangeRestrict b
⊢ Setoid.r a b
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ ↑(AddSubmonoid.center M) = Set.addCenter M
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
x : PiTensorProduct R fun i => s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
⊢ p ∈ x.lifts ↔ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β
⊢ ∀ (x : α), (∀ x_1 ∈ s, f x_1 x = 1) → ∏ i ∈ s, f i x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
⊢ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
G : Type u_1
AddGroup G
hN : Nontrivial G
⊢ AddMonoid.IsTorsion G → ¬AddMonoid.IsTorsionFree G
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) J ⋯
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ Subsemigroup.closure s ↔ ∀ (S : Subsemigroup M), s ⊆ ↑S → x ∈ S
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf)⁻¹ = MeasureTheory.AEEqFun.mk f⁻¹ ⋯
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
m : ↥M
⊢ C (IsLocalization.mk' S a m) = IsLocalization.mk' (MvPolynomial σ S) (C a) ⟨C ↑m, ⋯⟩
i₁ i₂ : String.Pos
h : i₁.byteIdx = i₂.byteIdx
⊢ i₁ = i₂
M : Type u_2
AddZeroClass M
s : Set Mᵃᵒᵖ
⊢ (AddSubmonoid.closure s).unop = AddSubmonoid.closure (AddOpposite.op ⁻¹' s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p1 p2 = dist p1 p3
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = EuclideanGeometry.angle p1 p3 p2
p : Nat.Primes
⊢ Multiset.card (PrimeMultiset.ofPrime p) = 1
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ ∃! τ,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f g)
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f τ) =
    s.unit
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a ^ n + b ^ n ≤ (a + b) ^ n + (a + b) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε✝ r : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h0 : p ∅
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hεs : ε + ε ≤ μ s
hr : μ s - (ε + ε) < μ s
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ μ s - (ε + ε) < μ K
i₁ i₂ : String.Pos
⊢ i₁ ≤ i₂ ↔ i₁.byteIdx ≤ i₂.byteIdx
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SFinite μ
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f₀ μ
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (MeasureTheory.convolution f₀ g₀ L μ) (MeasureTheory.convolution f₀ (deriv g₀) L μ x₀) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ ↑n = a ^ ↑n * b ^ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_5 u_4}
ha : a < o.bmex f
i : (Quotient.out o).α
hi : o.familyOfBFamily f i = a
⊢ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
x✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map ((leSupr U x✝.as.1).op ≫ ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op) = F.map (leSupr U x✝.as.2).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
⊢ ∀ (j : Discrete (Fin n)), IsPullback ((Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯).ι.app j) ((Discrete.natTrans fun i => α.app { as := i.as.succ }).app j) (pullback.fst c₂.inr i) (c₁.ι.app j)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩
m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
hm : m.det = 1
⊢ P ⟨m, hm⟩
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g h : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct h
p : α → β
q : (a : α) → f a ⟶ g (p a)
q' : (b : β) → g b ⟶ h b
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p q ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.map q' =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p fun a => q a ≫ q' (p a)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
Algebra L' L
IsScalarTower K L' L
E : IntermediateField L' L
⊢ (IntermediateField.restrictScalars K E).toSubfield = E.toSubfield
x₀ : ℝ
a : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : AntitoneOn f (Set.Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑(i + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj X).X n = X _[n]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
α : Type u
f : Filter α
P : α → Prop
U : Set α
hU : U ∈ f
h : ∀ x ∈ U, P x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, P x
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
⊢ cantorFunction c f = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
s : α → α → Prop
hs₁ : IsPartialOrder α s
rs : r ≤ s
hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s
this : IsPartialOrder α s
x y : α
h : ¬s x y ∧ ¬s y x
⊢ False
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → ℝ
⊢ (Summable fun x => ↑(f x)) ↔ Summable f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ LipschitzWith 2 (Function.uncurry dist)
α : Type u_1
p : Prop
f : p → Part α
h : ¬p
⊢ Part.assert p f = Part.none
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c✝ : ComplexShape ι
W : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.37324, u_3} W
inst✝² : Preadditive W
F G : V ⥤ W
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f✝ : { as := C } ⟶ { as := D }
f : C ⟶ D
⊢ (F.mapHomotopyCategory c).map (Quot.mk (Quotient.CompClosure (homotopic V c)) f) ≫ (fun C => (HomotopyCategory.quotient W c).map ((mapHomologicalComplex α c).app C.as)) { as := D } = (fun C => (HomotopyCategory.quotient W c).map ((mapHomologicalComplex α c).app C.as)) { as := C } ≫ (G.mapHomotopyCategory c).map (Quot.mk (Quotient.CompClosure (homotopic V c)) f)
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖x / a‖) (𝓝[≠] a) (𝓝[>] 0)
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
i : R
hi : i ∈ I
⊢ C i ∈ Ideal.map C I
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
⊢ H.normalizer = H ↔ ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).next? = some (a, l)
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ a ⊓ b ∈ infClosure s
m n : ZNum
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst 0 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y.left
hS : S ∈ J.sieves Y.left
⊢ (Sieve.overEquiv Y).symm S ∈ (J.over X).sieves Y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ ((↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = 2 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + (↑(m + 5) ^ 2 - if Even (m + 5) then 4 else 1) ∧ (↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1)) ∧ ((↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 0 else 6
R : Type u_2
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
a b : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * a * b = (-1) ^ k * (a * b)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α
⊢ a.Disjoint (i.sum f) ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint (f b)
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ pure a ↔ a ∈ s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ
⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
f : Multiplicative α →* β
a : α
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative''.symm f) a = Additive.ofMul (f (Multiplicative.ofAdd a))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ map f (dickson k a (n + 2)) = dickson k (f a) (n + 2)
G : Type u_10
G₂ : Type u_11
Group G
Group G₂
f : G →* G₂
s : Subgroup G
⊢ AddSubgroup.map (MonoidHom.toAdditive f) (Subgroup.toAddSubgroup s) = Subgroup.toAddSubgroup (Subgroup.map f s)
x : Nat
xs : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.insert x xs ≠ []
X : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace X} (μ : MeasureTheory.Measure X) [inst : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ] (s : Set X),
  ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, 1 ∂μ) = μ s
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K V = 1 ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure
h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure
this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β
⊢ (MvQPF.Cofix.corec g x).dest = (TypeVec.id ::: MvQPF.Cofix.corec g) <$$> g x
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z
⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
DecidableEq μ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
s : Finset ι
⊢ s.finsuppAntidiag 0 = {0}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ False
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : D} (g : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.currying.inverse.obj F).obj X).map g = F.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X, g)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
p : α → Prop
⊢ (∀ c ∈ s.disjSups t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)
X : Type u_2
Dist X
self : IsUltrametricDist X
x y z : X
⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ S, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
hg : IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n
⊢ ∃ x, IsLUB S x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : ↑((Functor.fromPUnit G).obj x.right)
ha : a ∈ LinearMap.range x.hom
⊢ a ∈ LinearMap.range y.hom
m : Nat
s : Bool
e : Nat
⊢ Rat.ofScientific m s e = if s = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)
G : AddCommGrp
⊢ Function.Injective AddCommGrp.asHom
V : Type u_1
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : ⊤ →g G'
⊢ Function.Injective ⇑f
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
⊢ e' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
n : ℕ
⊢ n ≤ n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt + n.sqrt
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
⊢ f (x + ↑n) = f x + ↑n
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉) (𝓝[>] ↑n) (𝓝 (↑n + 1))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
H : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)
hFG : IsIso (colimit.pre ((s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor) ⋙ H) (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ≫ colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
⊢ IsIso (colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n * 2 + 1 = 0
this : 1 % 2 = 0 % 2
⊢ ↑θ = ↑ψ
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ closure E ⊆ thickening δ E