ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ
⊢ S.LeftHomologyData
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i : ι
w : NeWord H i i
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
c c' c₀ : C
f : IsFiltered.max (F.obj c) (F.obj c') ⟶ F.obj c₀
⊢ ∃ Z x x, True
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : UniformEquicontinuous F
⊢ UniformContinuous f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.φ₁ f.f₂.τ₁ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorP.map f) S₂.φ₁
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : ↑a₂ + b₁ = ↑b₂ + a₁
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (OrderIso.mulRight₀' ha) x = x * a
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U
⊢ AccPt x (𝓟 U)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
h_mass : ¬μ.mass = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
G : Type u_1
CommGroup G
a b : G
⊢ a⁻¹ * b * a = b
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n
this : ∑ x : n, 1 = Fintype.card n
⊢ (∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α → E
r : 𝕜
⊢ μ.withDensityᵥ (r • f) = r • μ.withDensityᵥ f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
⊢ r y z ∨ r z y
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
⊢ ContinuousLinearMap.pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ closure {b | f b < g b} ⊆ {b | f b ≤ g b}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
S : CategoryTheory.Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
self : CategoryTheory.Presieve.FunctorPushforwardStructure F S f
⊢ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.lift (F.map self.premap)
R n : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
r : R
⊢ (of fun i j => diagonal (fun m => r) i j, of fun i j => 0) = inl (diagonal fun m => r)
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
f : (V : TopologicalSpace.Opens ↑X) × { f // TopCat.Presheaf.presieveOfCovering U f }
⊢ f.fst = U (TopCat.Presheaf.presieveOfCovering.indexOfHom U f)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
⊢ groupCohomology.dZero A = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder β
r : α → α → Prop
IsSymm α r
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → f a ≤ f b
a b : α
⊢ r a b → f a = f b
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l
⊢ Chain R a l
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R (fun i => M i.castSucc) (M (last n) →ₗ[R] M₂)
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x : M (last n)
⊢ (f (init (snoc m x))) x = (f m) x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
n : ℕ
⊢ IsCompact (K n)
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
i : ι
a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
⊢ ⟦(Path.pi a✝).map ⋯⟧ = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i
x : UInt8
⊢ ↑x.val = x.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s ∆ t ↔ a ∈ s ∧ a ∉ t ∨ a ∈ t ∧ a ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {α_1 : Type u_3} {f : α → β → α_1} (l₁ : List α) (l₂ : List β),
  List.zipWith f l₁ l₂ =
    List.zipWith f (List.take (min l₁.length l₂.length) l₁) (List.take (min l₁.length l₂.length) l₂)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
hb : 0 ≤ b
⊢ a ^ 2 < b ^ 2 → a < b
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
(𝓤 α).IsCountablyGenerated
H' : ∀ (u : ℕ → α), CauchySeq u → ∃ a, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ CompleteSpace α
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : x ≤ y
⊢ variationOnFromTo (f ∘ φ) t x y = variationOnFromTo f (φ '' t) (φ x) (φ y)
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
⊢ u 0 ∩ ⋂ i, u (i + 1) = ⋂ i, u i
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
Star α
Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
f : α → β
hf : Function.Semiconj f star star
⊢ (A.map f).IsHermitian
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
⊢ b.addHaar (parallelepiped ⇑b) = 1
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
h3 : |x| = x
h4 : |x| ≤ 1
⊢ rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f)) ≫ CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)))
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
x : PiTensorProduct R fun i => s i
⊢ (PiTensorProduct.reindex R (fun i => s (e.symm i)) e') ((PiTensorProduct.reindex R s e) x) =
  (PiTensorProduct.reindex R s (e.trans e')) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ⊤.arrow = 𝟙 X
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.isoZeroCocycles A).hom ≫ A.ρ.invariants.subtype =
  groupCohomology.iCocycles A 0 ≫ (groupCohomology.zeroCochainsLequiv A).toModuleIso.hom
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atTop
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ f a
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a
hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i
⊢ {a | r < f a}ᶜ ⊆ {a | a ≤ i}
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ (F.map f ⊗ F.map g) ≫ F.μ Y Y' = F.μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
c : G
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ^ 1 ↔ x ≤ y ^ z
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p.leadingCoeff = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
a : α
⊢ MeasurableSpace.countablePartitionSet n a ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
l : List α
h : List.Sorted r l
a b : ℕ
ha : a < l.length
hb : b < l.length
hab : a ≤ b
⊢ r (l.nthLe a ha) (l.nthLe b hb)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
hu1' : (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2 = (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1
hu2' : (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3 = (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2
⊢ (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1 = (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z
⊢ z.im / normSq (denom (↑S) z) = z.im / normSq ↑z
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r a) = (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r b)
⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : NormedSpace.Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᵐ[μ] 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
this : ∀ x ∈ closure s, p x
⊢ p x
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
inst✝ : SecondCountableTopology α
ρ : Measure α
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ρ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) + ρ (⋃ p ∈ h.index, h.covering p) = ∑' (p : ↑h.index), ρ (h.covering ↑p)
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
(i : I) → One (g i)
f' : (i : I) → f i → g i
hf' : ∀ (i : I), f' i 1 = 1
i : I
x : f i
j : I
⊢ f' j (Pi.mulSingle i x j) = Pi.mulSingle i (f' i x) j
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
a : α
nth_partNum_eq : g.partNums.get? n = some a
⊢ ∃ gp, g.s.get? n = some gp ∧ gp.a = a
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
⊢ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) p) ≫ hcast ⋯) ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop x₀))) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) p) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ P.map g₁.op (x f₁ h₁) = P.map g₂.op (x f₂ h₂)
ι : Type u_2
Fintype ι
β : ι → Type u_5
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
⊢ ‖x‖ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ (algebraMap R A).rangeS ≤ S.toSubsemiring
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • f x ∂μ) atTop (𝓝 (f 0))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ IsOneCoboundary ↑↑f
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace A
T2Space A
Ring A
StarRing A
Algebra 𝕜 A
h : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum 𝕜 a)
⊢ UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A
α : Type u_1
n m : ℕ
s : Sym α n
a : α
h : n = m
⊢ a ∈ (Sym.cast h) s ↔ a ∈ s
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det
⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this : LocallyCompactSpace H
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
⊢ ∀ (a : ↑(range f)), Acc (fun a b => r ↑a ↑b) a
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
CharZero R
AddCommMonoid M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ NoZeroSMulDivisors ℕ M
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
G : Type u_2
S : Type u_4
SetLike S G
SubNegMonoid G
AddSubgroupClass S G
H : S
⊢ ↑H + ↑H = ↑H
b a c : Nat
h : b ≤ a
⊢ a - b = c ↔ a = c + b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
hb' : 0 < ↑b
⊢ √(2 + ↑a / ↑b) ≤ ↑c / ↑d
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ l[n] :: List.drop (n + 1) l = List.drop n l
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
a : α
b : β
⊢ a ∈ f → b ∈ g a → b ∈ f.bind g
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : s =ᶠ[ae (comap f μ)] t
⊢ f '' s =ᶠ[ae μ] f '' t
α : Type u₁
β : Type u₂
φ : Type u₃
f : α × β → φ
⊢ Function.uncurry (Function.curry f) = f
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p * q).degrees ≤ p.degrees + q.degrees
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
a b : G
⊢ (fun a => single a 1) (a * b) = (fun a => single a 1) a * (fun a => single a 1) b
n a b c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD n * c]
R : Type u
CommRing R
X Y Z : QuadraticModuleCat R
e : X ≅ Y
f : Y ≅ Z
⊢ (e ≪≫ f).toIsometryEquiv = e.toIsometryEquiv.trans f.toIsometryEquiv
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m =
  ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x) (Fin.init m)) (m (Fin.last n))
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 0
⊢ ∑ i : ι, f i ≤ 0
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧ ↔ s₁.entries ~ s₂.entries
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
⊢ (YoungDiagram.ofRowLens w hw).rowLens.length = w.length
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x : X
hx : μ {x} = 0
⊢ ∫ (t : X) in Set.Ici x, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioi x, f t ∂μ
⊢ (fun t => (1 - rexp (-π * t))⁻¹) =O[Filter.atTop] fun x => 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
⊢ OrderDual.toDual (s.sup f) = s.inf (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : O
hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)
hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1
u : Rˣ
hu : ↑u = (algebraMap O R) x
h1 : v ↑u ≤ 1
h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1
r1 : O
hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u
r2 : O
hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹
⊢ (algebraMap O R) (r1 * r2) = (algebraMap O R) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ (∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) ⊔ ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) ≤ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑∅
⊢ ((interpolate ∅ v) r).degree < ↑∅.card
α : Type u_1
LinearOrder α
OrderBot α
l : List α
a : α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → x ≤ a
⊢ List.foldr max ⊥ l ≤ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β
⊢ (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ x✝¹ ∈ map (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x✝³)
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
x : M
N : Submodule R M := ⨅ i, I ^ i • ⊤
hN : ∀ (k : ℕ), (I.stableFiltration ⊤ ⊓ I.trivialFiltration N).N k = N
⊢ x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤ ↔ ∃ r, ↑r • x = x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ (↑K)⁻¹ * edist (f x) (f y) ≤ edist x y
α : Type u_1
⊢ Sym.ofVector Mathlib.Vector.nil = Sym.nil
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊔ b - c ⊔ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun z => (log z)⁻¹) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he :
  ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y),
    (e X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((e X Y) g)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjunctionOfEquivRight e he).unit.app X =
  (e X (F.obj X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
ι : Type u_4
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ f ((Finsupp.total ι M R g) l) = (Finsupp.total ι N R (⇑f ∘ g)) l
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : (univ.pi s₁ ∩ univ.pi s₂).Nonempty
⊢ univ.pi s₁ ∩ univ.pi s₂ ∈ univ.pi '' univ.pi C
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s)
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t