ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (rexp (f a)) * (ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ))⁻¹ ∂μ = 1
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun a => 0 < a) Set.Iic
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
⊢ IsQuasiSeparated ↑U
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
i : ι
⊢ ↑(f.toFun i) x = 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
⊢ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a ≤ b
⊢ [[a, b]] = Icc a b
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ 3 * X ^ 4 + C (f W.b₂) * X ^ 3 + 3 * C (f W.b₄) * X ^ 2 + 3 * C (f W.b₆) * X + C (f W.b₈) = Polynomial.map f (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ Function.support ⇑f = ↑f.support
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ (minpoly A pb.gen).natDegree = pb.dim
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
⊢ Measurable fun y => edist y x
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
f g : δ → α
μ : MeasureTheory.Measure δ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => min (f a) (g a)) μ
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k
⊢ IsUnit (map f p) ↔ IsUnit p
G : Type u_1
P : Type u_2
SMul G P
s : Set G
t₁ t₂ : Set P
a : P
h : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.smulAntidiagonal t₁ a ⊆ s.smulAntidiagonal t₂ a
m : ℕ∞
n : ℕ
h : m ≤ ↑n
⊢ m.toNat ≤ n
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)
i : ι
⊢ (μ i) (⋂ i, t i) ≤ (μ i).trim s
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ (Equiv.Set.rangeInl α β) ⟨Sum.inl x, ⋯⟩ = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
⊢ (⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 = 0 ∨ ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) = 0) ∨ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)
⊢ commProb ((a : α) → i a) = ∏ a : α, commProb (i a)
α : Type u_1
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l ≠ ⊥), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f) fun x => f ⁻¹' x
⊢ LocallyCompactSpace X
α : Sort u
h : Subsingleton α
a b : α
⊢ a = b
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
⊢ hf.homeoOfEquivCompactToT2.toEquiv = f
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
⊢ μ = ν
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : AddGroup A
s : Set A
h₁ : IsSubgroup s
h₂ : ∀ n ∈ s, ∀ (g : Multiplicative A), g * n * g⁻¹ ∈ s
⊢ IsNormalAddSubgroup s
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
i : n
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
x✝ : j ∈ Finset.univ
a b : n
⊢ stdBasisMatrix i j (M i j) a b = (M (i, j).1 (i, j).2 • (stdBasisMatrix (i, j).1 (i, j).2 1).map ⇑(algebraMap R A)) a b
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
s : Set α
⊢ AntitoneOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ S = (⋃₀ (compl '' S))ᶜ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p a b c d x y k1 : R
hk1 : a * x + b * y = p * k1
k2 : R
hk2 : c * x + d * y = p * k2
⊢ (a * d - b * c) * x = p * (d * k1 - b * k2)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a < x ∧ x ≤ ↑b
⊢ p x
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
⊢ BddAbove (Set.range f)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.degrees 1 = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (((TensorProduct.lcurry R M N P) f) m) n = f (m ⊗ₜ[R] n)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => ↑t ^ a • f t) s ↔ MellinConvergent f (s + a)
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
x y : R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (x + ↑q) → Irrational x
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ (fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) 1 = 1
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
a : α
w : ∀ m ≤ n, f m ≤ a
⊢ (partialSups f) n ≤ a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
⊢ IsLocalization.mk' S (IsLocalization.sec M z).1 (IsLocalization.sec M z).2 = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
x✝ : Finset α
a✝ : γ
⊢ a✝ ∈ (e.finsetCongr.trans e'.finsetCongr) x✝ ↔ a✝ ∈ (e.trans e').finsetCongr x✝
M : Type u
RightCancelMonoid M
a b : M
⊢ b = a * b ↔ a = 1
R : Type u
EuclideanDomain R
p : R
⊢ p / 1 = p
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Multiset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ Multiset.choose p l hp ∈ l
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K₀.toCompacts = 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
⊢ EMetric.infEdist x s ≤ EMetric.infEdist x (Metric.thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ
S : Type u_1
Semiring S
n : ℕ
k : S
⊢ Polynomial.eval k (ascPochhammer S (n + 1)) = Polynomial.eval k (ascPochhammer S n) * (k + ↑n)
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
fₗ : M →ₗ[R] M₂
⊢ IsLinearMap R ⇑fₗ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hgs : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0
this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))
htr : (∀ (n : F), (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * n) = 0) → a = 0
⊢ ∃ b, (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t✝ : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s
t : Set β
ht : t ∈ cobounded β
hts : f ⁻¹' t ⊆ sᶜ
⊢ IsBounded (f '' s)
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
⊢ IsHilbertSum 𝕜 (fun b => ↥(bif b then K else Kᗮ)) fun b => (bif b then K else Kᗮ).subtypeₗᵢ
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_2
f : ι → Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m (iSup f) = ⨆ i, Filter.comap m (f i)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a : α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
Has : a ∈ upperBounds s
Hat : a ∈ t
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.isoTriangleOfIso₁₂ T₁ T₂ hT₁ hT₂ e₁ e₂ comm).inv.hom₁ = e₁.inv
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ ∀ (J : Box (Fin (n + 1))), 0 ≤ ?refine_1 J
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val
this : (Multiset.map f s.val).Nodup
⊢ Set.InjOn f ↑s
n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt (n ^ k) = ArithmeticFunction.vonMangoldt n
S : Type
CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
NoZeroDivisors S
⊢ ψ.Even ∨ ψ.Odd
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n✝ : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
a✝ : m.succ.le n
ih : a ^ m < a ^ n
⊢ a ^ m < a ^ n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
α : Type u
β : Type v
Add α
Add β
γ : Type u_1
Add γ
f : α → β
g : β → γ
hf : IsAddHom f
hg : IsAddHom g
⊢ IsAddHom (g ∘ f)
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ (𝓝[s] x).NeBot
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
⊢ M ∈ Set.range ⇑(Matrix.scalar n)
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (⋃ i, s i) = ⊤
⊢ ↑d ≤ ⨆ i, dimH (s i)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
⊢ polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y
α : Type u_2
LinearOrder α
DecidableEq α
p : Finset α → Prop
s : Finset α
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
⊢ p s
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
as : List α
⊢ List.elem a as = decide (a ∈ as)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + z * x)
⊢ IsCoprime x y
α : Type u
β : Type v
S✝ : WSeq (Computation α)
a : α
h : a ∈ parallel S✝
F : List (Computation α) → α ⊕ List (Computation α) → Prop := fun l a => Sum.casesOn (motive := fun t => a = t → Prop) a (fun a_1 h => ∃ c, c ∈ l ∧ a_1 ∈ c) (fun l' h => ∀ (a' : α), (∃ c, c ∈ l' ∧ a' ∈ c) → ∃ c, c ∈ l ∧ a' ∈ c) ⋯
lem1 : ∀ (l : List (Computation α)), F l (parallel.aux2 l)
C : Computation α
aC : a ∈ C
C' : Computation α
IH : ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), corec parallel.aux1 (l, S) = C' → ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c
l : List (Computation α)
S : WSeq (Computation α)
e : corec parallel.aux1 (l, S) = C'.think
l' : List (Computation α)
this : F l (Sum.inr l')
h' : corec parallel.aux1 ((fun l' => match Seq.destruct S with | none => (l', Seq.nil) | some (none, S') => (l', S') | some (some c, S') => (c :: l', S')) l') = C'
⊢ ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), thickening ε E
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ IsUnit A ↔ IsUnit A.det
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
⊢ IsIrreducible S ↔ ∃ x, S = {x}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
a : g.SplittingField
ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots
⊢ a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) (map (algebraMap R K) f)).roots
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
⊢ c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) → ∃ x, c'.Rel (e.f x) (e.f k)
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
⊢ ((if ¬a = a then count a ↑m else 0) + if a = a then count a ↑m else 0) = count a ↑m
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.ball x ε = ∅ ↔ ε = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
i j : ι
h : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
⊢ root ⋯.choose = root j
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Nat.card G = 1 ∨ p ∣ Nat.card G
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * (k + 1)) = π * ∏ i ∈ Finset.range (k + 1), (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
I : Type u
DecidableEq I
i : I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
Semiring B
Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ ((LinearAlgebra.FreeProduct.lift R A) fun {i} => maps).comp (LinearAlgebra.FreeProduct.ι R A i) = maps
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
n : ℕ
⊢ SequentiallyComplete.seq hf U_mem n ∈ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem n
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
b : β
a : α
⊢ (SupHom.const α b) a = b
x : ℝ
⊢ Real.arsinh x < 0 ↔ x < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.IdempotentOp gb
h : Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Injective f
x : α
⊢ f (ga x x) = f x
R✝ : Type u
a✝ b✝ : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : R[X]
⊢ (a - b).toFinsupp = a.toFinsupp - b.toFinsupp
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
H : (𝓤 α).HasBasis p s
h : ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ n ≥ N, (u n, u N) ∈ s i
i : γ
hi : p i
⊢ ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p.f f.f.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f.f Q.p.f
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }
step1 : ∀ (n : ℤ), fourierCoeff (⇑B) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
step2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑B) i • (fourier i) ↑y) (B ↑y)
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k y))
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
⊢ K ≤ Subgroup.centralizer ↑K ↔ K.IsCommutative
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b : Basis ι R M
i : ι
f : ι →₀ R
⊢ (b.coord i) (b.repr.symm f) = f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
⊢ γ.truncate t t = (Path.refl (γ.extend t)).cast ⋯ ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
Fintype R
Fintype M
⊢ Fintype.card M = Fintype.card R ^ Fintype.card ι
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SigmaCompactSpace X
e : Y → X
he : ClosedEmbedding e
⊢ SigmaCompactSpace Y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → x ∈ t
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ x ∈ t, f x
x y : ℝ
⊢ Tendsto log (𝓝[>] 0) atBot
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (p * q).degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = (Prod.mk '' s).seq t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv (fun x => 1 - ε x) x = -deriv ε x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Γ.obj (Opposite.op X) = X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤)
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ a + b = 0 → -a = b
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, ¬p n'
⊢ count p n = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ [] ∩ l = []
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
K : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : CategoryTheory.Functor K C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker e.functor c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i.factorial ≤ Real.exp x
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap S L) s)) (map (algebraMap R K) (minpoly R s)) = 0
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f
α : Type u_1
Inhabited α
n : Nat
⊢ [][n]! = default
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ f i = ∏ x ∈ s ∩ {i}, f x
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
⊢ pair a₁ b < pair a₂ b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, IsVonNBounded 𝕜 (s i)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ioo a b ∈ 𝓝[>] a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
p p' : α → Bool
hp : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x = p' x
⊢ countP p l₁ = countP p' l₂
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ IsLocalization.Away f ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (X.basicOpen f)))
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
CommRing R
IsDomain R
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : Ring.DimensionLEOne R
⊢ Ring.DimensionLEOne Rₘ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 S
⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
⊢ #↑t ≤ ↑n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
⊢ (comap C P).IsMaximal