ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : P ⊗[R] Q
⊢ ∃ a, (rTensor Q g) a = z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : μ tᶜ = 0
⊢ μ (s ∩ t) = μ s
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S
⊢ z • (single x 1 + single y 1 - single (x + y) 1) ∈ kerTotal R S
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
⊢ ({ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (a * b)) a✝ = ({ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun a * { toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun b) a✝
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ ↑(Submodule.toAddSubgroup I).index = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.uniqueUpToIso X Y hb).inv = CategoryTheory.Limits.biprod.desc b.inl b.inr
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
hpn : 2 ∣ k
⊢ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * 2 ∣ n + 1
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
h : s.IsPWO
⊢ s.IsWF
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ Inseparable x y ↔ edist x y = 0
α : Type u_1
l : List α
⊢ l <+~ l
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (OrderIso.mulLeft a).toEquiv = Equiv.mulLeft a
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M✝
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M✝
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M✝
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
⊢ i = j
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
X : ℕ → Ω → E
hℒp : MeasureTheory.Memℒp (X 0) p ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ)
  Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖₊ = ‖x‖₊ * ‖1‖₊
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = Set.univ
⊢ SecondCountableTopology α
α β : Type u
f : α → β
x : α
⊢ f <$> pure x = pure (f x)
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length
⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding i) ↔ c.sizeUpTo ↑i ≤ ↑j ∧ ↑j < c.sizeUpTo (↑i).succ
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (a = if P then b else c) ↔ P ∧ a = b ∨ ¬P ∧ a = c
x : ℝ
⊢ Irrational (-x) ↔ Irrational x
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ 2 ^ c ≤ c ^ c
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p = b
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
i : (D.mapGlueData F).J
y : (D.mapGlueData F).U i
eq : ((D.mapGlueData F).ι i ≫ e.inv) y = (e.hom ≫ e.inv) x
⊢ ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥⊤
⊢ s < ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ max (a + b) (a + c) = a + max b c
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K I ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this : (g - 0).LimZero
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x ≠ (y :: l).getLast ⋯
⊢ x ∈ l
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet {p | p.2 = f p.1}
α : Type u
v : Fin 0 → α
⊢ v = ![]
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x✝ : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'
y : M
hy : y ∈ p
z : M
hz : z ∈ p'
hx : y + z ∈ p ⊔ p'
⊢ (inclusion ⋯) ⟨y, hy⟩ - ⟨y + z, hx⟩ ∈ comap (p ⊔ p').subtype p'
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
nd : l.Nodup
h : ∀ (x : α), x ∈ l
i : Fin l.length
⊢ (List.Nodup.getEquivOfForallMemList l nd h) i = l.get i
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.symm.functor = e.inverse
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
a_eq_0 : a⁻¹ = 0
⊢ False
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
⊢ T i1 j ≤ T i2 j
S : Type u_5
LinearOrderedCommRing S
R : Type u_6
Ring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a b : R
⊢ |abv a - abv b| ≤ abv (a - b)
α : Type u_1
a : α
Decidable (Part.some a).Dom
⊢ (Part.some a).toFinset = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ (a.pred ha).castSucc < a
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map p.subtype ⊤ = p
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
s : S
M : Ideal S
hM : M.IsMaximal
hIM : I ≤ M
⊢ ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
hx : x.Compatible
x_ext : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows := x.sieveExtend
hx_ext : x.sieveExtend.Compatible
S : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => match x with | PUnit.unit => f)
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) = ENNReal.ofReal ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * volume (fundamentalDomain (latticeBasis K))
a b : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a < Cardinal.lift.{v, u} b ↔ a < b
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
s : Set G
hs : s = ↑K
⊢ ↑(K.copy s hs) = s
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
y : ↥S
⊢ f.mk' (↑y) y = 1
h : Tendsto (fun x => log x * x ^ 1) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
N₃ : Type u_15
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommGroup N₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] N₃
⊢ (g - h).comp f = g.comp f - h.comp f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ (∀ u ∈ ⊤, ⟪u, x⟫_𝕜 = 0) ↔ x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
(a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
a : δ i
ha : a ∈ s i
⊢ Fintype.piFinset (Function.update s i {a}) = Finset.filter (fun f => f i = a) (Fintype.piFinset s)
α : Type u_1
⊢ (List.Forall₂ fun x x_1 => x = x_1) = Eq
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
h : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, IsClosed t ∧ t ⊆ s
⊢ ∀ (a : ℤ × ℤ), SetTheory.PGame.Domineering.shiftUp a = Prod.map id (fun x => x + 1) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).mop = CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor { unmop := X }
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
TopologicalSpace R
f g : R →A[R] A
⊢ f = g ↔ f 1 = g 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
self : CategoryTheory.ComonadHom M N
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.app X) (N.ε.app X) = M.ε.app X
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ Associated (normalize x) x
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (C a * p).degree = p.degree
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
hu : NormedSpace.exp ℂ (I • a) ∈ unitary A
Iu : ℂˣ := Units.mk0 I I_ne_zero
this : NormedSpace.exp ℂ (I • z) ∈ spectrum ℂ (NormedSpace.exp ℂ (I • a))
⊢ z = ↑z.re
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' : CategoryTheory.Functor J C
f : F₁ ⟶ F₁'
F₂ : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f F₂).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁'.obj j) (F₂.obj j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁.obj j) (F₂.obj j)) (f.app j)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.op.g = S.f.op
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : Finset α → β
⊢ ∏ t ∈ s.powerset, f t = ∏ j ∈ range (s.card + 1), ∏ t ∈ powersetCard j s, f t
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ
⊢ (map f s.val).esymm n = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : R
hx : IsUnit x
s : Set R
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 Ring.inverse s x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ Metric.closedBall x δ + s = x +ᵥ Metric.cthickening δ s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.enum = Stream'.zip Prod.mk Stream'.nats s
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ x ∈ RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) ↔ x ∈ RingHom.ker (toZModPow m)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Nontrivial ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.comap CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.evenOdd Q n) = CliffordAlgebra.evenOdd Q n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjToComonadIso G).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Ico ↑a ↑b = Set.Ico a b
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x : G
i k : ℤ
h : x ^ k ∈ zpowers x
⊢ (x ^ k) ^ orderOf x = 1
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).obj F).X₃ = F.comp CategoryTheory.ShortComplex.π₃
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ s.piecewise f 1 = s.mulIndicator f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F c ≫ CategoryTheory.Limits.limMap α =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift G ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α).obj c)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
⊢ ⨅ n, ↑↑n ≠ ⊤ ↔ ∃ n, G.Colorable n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
hp : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
R : CategoryTheory.Presieve X
hr : CategoryTheory.Sieve.generate R ∈ J.sieves X
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
G : Type u_1
AddGroup G
x : ↥⊤
⊢ AddSubgroup.topEquiv x = ↑x
s : String
c : Char
⊢ (s.push c).length = s.length + 1
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).diffs t = s₁.diffs t ∪ s₂.diffs t
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h₀ : HasMFDerivAt I I' f x f₀'
h₁ : HasMFDerivAt I I' f x f₁'
⊢ f₀' = f₁'
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
AddGroup N
TopologicalSpace N
H : OpenAddSubgroup N
f : G →+ N
hf : Continuous ⇑f
⊢ ↑(OpenAddSubgroup.comap f hf H) = ⇑f ⁻¹' ↑H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
n : ℕ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.leftDerived α n).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedObj F n).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map
        ((CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex))
      (P.isoLeftDerivedObj G n).inv)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : Function.Injective k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
⊢ (∑ i : Fin n, Polynomial.C (x i) * Polynomial.X ^ k i).support.card = n
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H
⊢ ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q) = H.transferFunction g q
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + 1)
⊢ (p.append q connect).toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i)) = p.toFun i
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
ι : Type u_6
SemilatticeSup B
OrderBot B
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
s : Finset ι
f : ι → AddMonoidAlgebra R A
⊢ (∏ i ∈ s, f i).support.sup degb ≤ ∑ i ∈ s, (f i).support.sup degb
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
h't : μ t ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : μ (t \ closedBall 0 ↑n) < ε / 2 * μ t
L : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
r : ℝ
hr : μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + r • t) < ε / 2
rpos : 0 < r
I : μ (s ∩ ({x} + r • t)) ≤ μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) + μ ({x} + r • (t \ closedBall 0 ↑n))
⊢ μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t) < ε
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)
⊢ (P.map (↑fg.1.snd).op ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_10
V : ι → Type u_11
P : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommGroup (V i)
(i : ι) → Module k (V i)
(i : ι) → AffineSpace (V i) (P i)
f g : (i : ι) → P i
c : k
i : ι
⊢ (AffineMap.lineMap f g) c i = (AffineMap.lineMap (f i) (g i)) c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
⊢ Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
PredOrder α
a : α
⊢ a ≤ Order.succ (Order.pred a)
m n k : ℕ
⊢ (k * n + m).gcd n = m.gcd n
α : Type u_1
Nontrivial α
NonUnitalNonAssocRing α
NoZeroDivisors α
k : α
⊢ IsRegular k ↔ k ≠ 0
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 ≠ 0
⊢ ∃ u v w, (fun x => g • x) = (fun x => w +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : f ≫ g = 𝟙 X
⊢ f ≫ inv f = f ≫ g
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
⊢ inst₁ = inst₂
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG₁ PG₂ : Pregroupoid H
h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ PG₁.groupoid
⊢ e ∈ PG₂.groupoid
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
y p q : R[X]
⊢ ((mk W) (C p) * 1 + (mk W) (C q) * (mk W) Y) * (mk W) (C y) = (mk W) (C p) * (mk W) (C y) * 1 + (mk W) (C q) * (mk W) (C y) * (mk W) Y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
B X : C
f : X ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ f ⋯)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₁ ⇨ s₂)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
⊢ a = b
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
Nontrivial L
⊢ LieAlgebra.IsKilling.chainLength α 0 = 2