ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < p.natDegree
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
t : Set β
⊢ MeasurableSet (s ×ˢ t) ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
CompleteSpace γ
a : α
⊢ ∃ c, Filter.Tendsto f (Filter.comap e (𝓝 a)) (𝓝 c)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q p✝ q✝ : R[X]
a✝¹ : derivative (p✝.comp q) = derivative q * (derivative p✝).comp q
a✝ : derivative (q✝.comp q) = derivative q * (derivative q✝).comp q
⊢ derivative ((p✝ + q✝).comp q) = derivative q * (derivative (p✝ + q✝)).comp q
M : Type u_1
Add M
p p' : AddSubsemigroup M
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Fintype ι
DecidableEq M
i : ι
h : b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ := ⋯
⊢ b.reindexFinsetRange ⟨b i, h⟩ = b i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hfy : f (a • x + b • y) ≤ f y
⊢ f x ≤ f (a • x + b • y)
α : Type u_1
DecidableEq α
PartialOrder α
OrderTop α
SuccOrder α
a : α
h : a ≠ ⊤
⊢ Order.succ ↑a = ↑(Order.succ a)
s : Set SetTheory.PGame
Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddAbove s
x : ℝ
h : x ∈ Set.Ioo (-1) 1
⊢ Real.arcsin x = Real.arctan (x / √(1 - x ^ 2))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : φ ∘ ψ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f
⊢ g ≤ map φ (map ψ g)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ (fun x => x * c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (a * c) (b * c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Ico a b ⊆ Ici a
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n p : ℕ
CharP R p
h : ¬p ∣ n
⊢ NeZero ↑n
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ colim)
j : J
k : K
⊢ colimit.ι (uncurry.obj F) (j, k) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist p₂ ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) = ‖1 - c‖₊ * nndist p₁ p₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
hg_cau : CauchySeq g
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
g : M → N
f : α → M
hg : ∀ {x : M}, x ∈ Set.range f → (g x = 1 ↔ x = 1)
⊢ Function.mulSupport (g ∘ f) = Function.mulSupport f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν 0
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1
⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (Real.log x.1 * x.2)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
hdnf : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
X : Pointed
⊢ (𝟙 X).toFun = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
a b : α
⊢ f '' {a, b} = {f a, f b}
k : Type u_1
E : Type u_2
Field k
AddCommGroup E
Module k E
f : k → E
a b : k
⊢ slope f a b = (b - a)⁻¹ • (f b - f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ (SimpleGraph.map f G).EdgeDisjointTriangles
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.unop X) (Opposite.unop Y) (Opposite.unop Z)).inv
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.bind Q).parts = P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : μ (symmDiff s t) = 0
⊢ μ (symmDiff (r • s) (r • t)) = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(pullback.fst g f).val.base = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f p : R[X]
x : R
⊢ (algebraMap R (AdjoinRoot f)) x = (mk f) (C x)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi) ∈ Set.Ioc (-Real.pi) Real.pi
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
θ : ℂ
⊢ (∃ k, θ - ↑π / 2 = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ↔ ∃ k, θ = ↑k * ↑π
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
⊢ Pretopology.toGrothendieck (Opens T) (Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T)) = grothendieckTopology T
α : Type u_1
b : α
LE α
x : WithTop α
⊢ x ≤ ↑b ↔ ∃ a, x = ↑a ∧ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.coequalizer.isoTargetOfSelf f).inv = CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ (interior (Ico a b)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ UniformIntegrable (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a)
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
a : R
⊢ Polynomial.C a ∣ p ↔ IsUnit a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (f + g) s
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
w : f ≫ g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject f ≤ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (f x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (Function.update f i a) (Function.update f i b)
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype ↑(Set.Icc a b)
⊢ (Set.Icc a b).toFinset = Finset.Icc a b
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℤ
⊢ mapFun (⇑f) n.castDef = ↑n
𝕜 : Type u_6
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Norm E
Module 𝕜 E
self : SeminormedAddCommGroup.Core 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
⊢ ‖c • x‖ = ‖c‖ * ‖x‖
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
b : α
⊢ Finset.Ioo ⊥ ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Iio b)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
X Y : Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
s t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (fun ω => rexp (s * X ω)) (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
PolishSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space Y
SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ MeasurableSpace.map f inst✝ = borel Y
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Set.Ioi (Order.pred a) = Set.Ici a
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ (image f s).sym2 = image (Sym2.map f) s.sym2
α : Type u
β : Type v
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
a : α
⊢ h.isometryEquivOnRange a = ⟨f a, ⋯⟩
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ ((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ Mₗ Rₗ ⇑b₁') (b₁'.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ Nₗ Rₗ ⇑b₂') (b₂'.repr y))
α : Type u_1
l : Filter α
G : Type u_6
Neg G
a : G
⊢ ↑(-a) = -↑a
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Prime ϖ
Ω : Type u_1
m1 m2 _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ _mΩ
h2 : m2 ≤ _mΩ
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = MeasurableSpace.generateFrom p1
hpm2 : m2 = MeasurableSpace.generateFrom p2
hyp : ProbabilityTheory.IndepSets p1 p2 μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep m1 m2 μ
M : Type u_1
AddCommMonoid M
x y : M
hu : IsAddUnit (x + y)
⊢ IsAddUnit x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.opcyclesIso.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φQ h₂.opcyclesIso.inv)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p : α
z : ℤ
⊢ z • p ≡ 0 [PMOD p]
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ a - b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
r : α → β → Prop
a : α
b : β
⊢ Relation.Map r f g (f a) (g b) ↔ r a b
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω < MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f (N₂ + 1) ω
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : IsEmpty α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
this : Subsingleton (Measure α)
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
N : ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.obj F).obj P).X = (F.obj P.X).X
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hnb : log p (n + k) < b
h₁ : multiplicity p ((n + k).choose k) + multiplicity p (k ! * n !) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card + multiplicity p (k ! * n !)
⊢ multiplicity p (k ! * n !) ≠ ⊤
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius = 1
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.liftInclusion S)
    ((FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι (fun x => ↥(S x))
        (fun x x_1 h => FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) i)
      x) =
  (S i).subtype x
R : Type u
M : Type v₁
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.Dual R M
m : M
⊢ (contractRight R M) (m ⊗ₜ[R] f) = f m
a b : ℝ
n : ℕ
h1 : ∀ (c : ℝ), (1 - c) / 2 * ((1 + c) / 2) = (1 - c ^ 2) / 4
h2 : Continuous fun x => cos (2 * x) ^ 2
h3 : ∀ (x : ℝ), cos x * sin x = sin (2 * x) / 2
h4 : ∀ (d : ℝ), 2 * (2 * d) = 4 * d
⊢ (b - a) / 8 - (sin (4 * b) - sin (4 * a)) / 32 = (b - a - 2⁻¹ * ((sin (4 * b) / 2 - sin (4 * a) / 2 + 2 * b - 2 * a) / 2)) / 4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ y ∈ s, f x ≤ f y
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 + 1 = 1 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => edist (f b) (g b)
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1
c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1
x : ℝ
hf_pos : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
h_lb : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → c₁ * ‖g y‖ ≤ ‖f y‖
h_ub : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖f y‖ ≤ c₂ * ‖g y‖
hg_bound : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)
hx_pos : 0 ≤ x
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ round (a + 1) = round a + 1
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
⊢ (Units.map ↑(castHom hm (ZMod n))).comp (Units.map ↑(castHom hd (ZMod m))) = Units.map ↑(castHom ⋯ (ZMod n))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ HasStrictDerivAt f ((p 1) fun x => 1) x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (↑I' (f (↑I.symm p.1)), (mfderivWithin I I' f s (↑I.symm p.1)) p.2)) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc a c) μ
⊢ Filter.Tendsto Real.log (𝓝[>] 0) Filter.atBot
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.Finite
hg : g.Finite
⊢ (g.comp f).Finite
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
⊢ HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x
α : Type u_1
a : α
k n : ℕ
⊢ Multiset.replicate k a ≤ Multiset.replicate n a ↔ k ≤ n
G : Type u_1
Group G
IsKleinFour G
⊢ ¬IsCyclic G
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
⊢ IsCompact (s \ u)
k : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ ∃ b₂,
  Turing.PartrecToTM2.TrCfg (Turing.ToPartrec.stepRet k v) b₂ ∧
    Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
      { l := some (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret (Turing.PartrecToTM2.trCont k)), var := s,
        stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList v) [] [] (Turing.PartrecToTM2.trContStack k) }
      b₂
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ degreeLT R n = Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n))
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ × α → β
⊢ ∑ x ∈ s ×ˢ t, f x = ∑ x ∈ s, ∑ y ∈ t, f (x, y)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₃ ⟶ S₄
e : CategoryTheory.Arrow.mk φ ≅ CategoryTheory.Arrow.mk φ'
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ'
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Setoid ι
hf : ∀ (a b : ι), Setoid.r a b → f a = f b
⊢ (Set.range fun x => x.liftOn' f hf) = Set.range f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • f x' + b • f y' < f (a • x' + b • y')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : φ₁ = φ₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq h).h₂ = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
⊢ (l.rotate ↑k).Nodup