ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P
⊢ ⇑f '' affineSegment R x y = affineSegment R (f x) (f y)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f (insert x s ∩ u)
⊢ ∀ {X Y : NonemptyFinLinOrd} (a : ↑X →o ↑Y), NonemptyFinLinOrd.dual.map a = OrderHom.dual a
z : ℝ
h : 0 ≤ z
h0 : 0 = z
⊢ Monotone fun x => x ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f ⟨i, h⟩ = iSup f
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictMonoOn f (Set.Ici a)
⊢ f '' Set.Ioi a ⊆ Set.Ioi (f a)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n✝ : ℕ
z : ℤ
n : ℕ
⊢ a - (n • p + a) = -↑n • p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
F.Full
F.Faithful
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi (F.map f) ↔ CategoryTheory.IsSplitEpi f
x✝¹ : Substring
h✝ : x✝¹.Valid
x✝ : Nat
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝¹
⊢ (x✝¹.take x✝).toString.data = List.take x✝ x✝¹.toString.data
G : SemiRingCat
H : Type u
Semiring H
f : ↑G →+* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
hmod : (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree
⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i x') s x
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, ‖↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))‖ ≤ 1 a
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ DedekindDomain.ProdAdicCompletions.IsFiniteAdele 0
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
f : CentroidHom α
a : α
⊢ (-f) a = -f a
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
z : (forget CommRingCat).obj (CommRingCat.of (A⁰_ f))
⊢ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toEquiv ((awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z) = (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯) z
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ - n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ - n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.Limits.HasKernels Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasCokernels Cᵒᵖ
X : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyFunctorOpNatIso C).inv.app X = (Opposite.unop X).leftHomologyOpIso.hom
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α
⊢ {b | b ∈ s ⊻ t ∧ b ≤ a} = {b | b ∈ s ∧ b ≤ a} ⊻ {b | b ∈ t ∧ b ≤ a}
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ IsSelfAdjoint (x + d)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioo A B)) l fun i => Set.Ioo (a i) (b i)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
l : Filter α
MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (Filter.map e l) μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter (f ∘ e) l (MeasureTheory.Measure.comap e μ)
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → G β
h : β → γ
x✝ : t α
⊢ traverse (map h ∘ g) x✝ = (map (map h) ∘ traverse g) x✝
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
p q : PrimeSpectrum S
h : p.asIdeal = q.asIdeal
⊢ p = q
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
h : x < y
⊢ Function.leftLim f y ≤ f x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
⊢ Pell.xn a1 (2 * n - j) + Pell.xn a1 j ≡ 0 [MOD Pell.xn a1 n]
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ f.unop ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
T : Type u
TopologicalSpace T
⊢ CategoryTheory.Pretopology.ofGrothendieck (TopologicalSpace.Opens T) (Opens.grothendieckTopology T) =
  Opens.pretopology T
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R
⊢ (∀ (m : M), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0) → (∀ (m : P), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0) → ∀ (m : N), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
e : ℝ
he : 0 < e
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, Metric.ball x e
s x y : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : x < 1 / (1 + s ^ 2)
hy : |y| < s * x
⊢ √(x ^ 2 + y ^ 2) < (2 * √(1 + s ^ 2) + 1) * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
H : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
Group H
TopologicalSpace H
TopologicalGroup H
f : G →* H →* M
hf : ContinuousAt (fun x => (f x.1) x.2) (1, 1)
hl : ∀ (x : G), ContinuousAt (⇑(f x)) 1
hr : ∀ (y : H), ContinuousAt (fun x => (f x) y) 1
⊢ Continuous fun x => (f x.1) x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
⊢ Nonempty (α ≃o β)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ EuclideanDomain.gcd x y * EuclideanDomain.lcm x y = x * y
x : ℝ
⊢ Real.cosh (-x) = Real.cosh x
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ r.toNNReal = OfNat.ofNat n ↔ r = OfNat.ofNat n
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
⊢ a = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)
⊢ (f ∘ rangeSplitting f) x✝ = ↑x✝
X : CondensedSet
⊢ condensedSetToTopCat.obj X = X.toTopCat
R : Type u
Semiring R
m n : WithBot ℕ
H : m ≤ n
⊢ Polynomial.degreeLE R m ≤ Polynomial.degreeLE R n
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ MeasureTheory.Measure.snd 0 = 0
a b : Bool
⊢ a = true → b = true → (a && b) = true
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.10918, u_1} E
X✝¹ Y✝¹ : C
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
hF✝ hF : F.FullyFaithful
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso (F.map f)
⊢ IsIso f
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
h : Set.range f ∈ 𝓝 (f a)
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
⊢ ∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).biUnion id).card ≤ m
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α n✝
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n✝ → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
x : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim v x) (t.subst (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr))) = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (↑e x) = x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] H
⊢ ↑(unitary.linearIsometryEquiv.symm e) =
  ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : Mon_ C
⊢ (λ_ X).inv.hom = (λ_ X.X).inv
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
⊢ μ (f '' s) = 0
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.QuasiCompact f
U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
S : outParam (Type u_3)
Semiring R
Semiring S
σ : outParam (R →+* S)
σ' : outParam (S →+* R)
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
M₂ : outParam (Type u_5)
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
EquivLike F M M₂
self : ContinuousSemilinearEquivClass F σ M M₂
f : F
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (List.map (Sigma.mk a) (List.lookupAll a l)).Sublist l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
y : β
⊢ IsLUB (⇑fa '' {a | g (fa a) ≤ fb y}) (fa (g' y))
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f I = ⊥ ↔ I ≤ f.ker
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b)) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a))
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ
hx : x ∈ s
⊢ q • x ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ (ι Q) a * (ι Q) b + (ι Q) b * (ι Q) a = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Epi f
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableVAdd M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
y : β
⊢ AEMeasurable (fun x => f x +ᵥ y) μ
α : Type u_1
Preorder α
s₁ s₂ : LowerSet α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ < s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ < s₂
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') s x
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 5
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ b % 2 = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
α : Type u
β : α → Type v
⊢ [].keys = []
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
⊢ orderOf (x * y) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)
f✝ f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommGroup M
TopologicalAddGroup M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
⊢ (-w).restrict i ≤ (-v).restrict i
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ -spectrum R a = spectrum R (-a)
f✝ f : StieltjesFunction
x y : ℝ
hy_mem : y ∈ Ioi x
⊢ ↑f x ≤ ↑f y
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Rₚ : Type u'
CommRing Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type v'
CommRing Aₚ
Algebra R Aₚ
Algebra A Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type v'
CommRing Bₚ
Algebra R Bₚ
Algebra B Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
Algebra Rₚ Aₚ
Algebra Rₚ Bₚ
IsScalarTower R Rₚ Aₚ
IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
⊢ ⇑(IsLocalization.mapₐ M Rₚ Aₚ Bₚ f) = ⇑(IsLocalization.map Bₚ f.toRingHom ⋯)
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M
⊢ RelMap (L.orderLHom.onRelation leSymb) ![a, b] ↔ a ≤ b
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b ≤ c
⊢ Set.Iic c ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico a b)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.Regular
h3μ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ 0 < μ s ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
⊢ κ.withDensity (f + g) = κ.withDensity f + κ.withDensity g
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this✝ : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n
this : Nontrivial G
⊢ ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c✝ d✝ : C
p : d✝ ⟶ c✝
γ : c✝ ⟶ c✝
hs : γ ∈ S.arrows c✝ c✝
⊢ p = Groupoid.inv (Groupoid.inv p)
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_2
Semiring S
Algebra R S
M : Submonoid R
x : ↥M
⊢ (algebraMap R S) ↑x ∈ Algebra.algebraMapSubmonoid S M
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s * t⁻¹)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
⊢ Pairwise fun c c' => Disjoint c.supp c'.supp
α : Type v
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ ⋃ b, Set.Ico a b = Set.Ici a
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => -(-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x) - -1 * ↑x)) atTop atTop
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
a : α
x✝ : ℝ
⊢ x✝ ∈ {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C} ↔ x✝ ∈ {C | ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddCommGroup α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ f (c - x) = -f (-x)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Epi S.g
⊢ Epi ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
⊢ leftRightHomologyComparison' h.left h.right = h.iso.hom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
h : y < x
⊢ h₃ h = ltByCases x' y' h₁' h₂' h₃'
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
K : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
H₁ : Turing.PartrecToTM2.Λ'.Supports S q
H₂ : Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ q ∪ K ⊆ S
H₃ : K ⊆ S → Turing.PartrecToTM2.Supports K S
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ q ∪ K) S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f✝ f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsLocallyClosed t
hs : IsLocallyClosed (f ⁻¹' t)
⊢ IsLocallyClosed (t ∩ range f)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
⊢ x = y
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
B : BilinForm R M
v : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (ι Q) v * ((ι Q) v * x - (contractLeft (B v)) x) - (contractLeft (B v)) ((ι Q) v * x - (contractLeft (B v)) x) = (Q v - (B v) v) • x
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < c + b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)
α : Type u_1
⊢ Quiver.SingleObj.pathEquivList Quiver.Path.nil = []
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ Continuous (f.normed μ)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
n : ℕ
x : R
⊢ (ψ.mulShift ↑n) x = ψ x ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
⊢ ((F.mapBiproduct f).hom ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => F.map (g j)) =
  F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.desc g)
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ 𝓝 a
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
i j : α
⊢ (ComplexShape.up α).Rel i j = (i + 1 = j)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ (deriv fun x => x⁻¹) = fun x => -(x ^ 2)⁻¹