ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N.incl.ker = ⊥
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
⊢ univ ∈ cobounded α
a : Multiplicative ℤ
b : ℤ
⊢ Multiplicative.toAdd (a ^ b) = Multiplicative.toAdd a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
h : Primrec fun a => ↑(f a)
⊢ Primrec f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
HasOuterApproxClosed X
F : Set X
hF : IsClosed F
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
n : ℕ
⊢ μ F ≤ ∫⁻ (x : X), ↑((hF.apprSeq n) x) ∂μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w u' v' w' : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
hu : u = u'
hv : v = v'
hw : w = w'
⊢ (p.copy hu hv).append (q.copy hv hw) = (p.append q).copy hu hw
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
tU tV : (subsheafToTypes P).presheaf.stalk x
h : stalkToFiber P x tU = stalkToFiber P x tV
⊢ tU = tV
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] (chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
⊢ ‖snd 𝕜 E F‖ = 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
z : ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card
⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card = s.card % P.parts.card
x : ℝ*
h : x.InfiniteNeg
⊢ ¬x.Infinitesimal
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable α
Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
n : ℕ
⊢ r (f (Directed.sequence f hf n)) (f (Directed.sequence f hf (n + 1)))
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x
⊢ False
α : Type u_1
AddCommGroup α
c n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : Mathlib.Tactic.Abel.smulg c a = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smulg c (Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a) = Mathlib.Tactic.Abel.termg n' x a'
R : Type u_4
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsNoetherian R M
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisCoinsertion l u
hbot : l ⊤ = ⊤
a : α
hb : IsCoatom (l a)
⊢ IsCoatom a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
m : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => x ^ m) {0}ᶜ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
⊢ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) = P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
⊢ μ (⋃ b ∈ s, As b) ≤ μ (⋃ i, As i)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
Countable ι
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ i)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.sum μ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)
T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))
⊢ f x = y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
hm : ∀ (i : β), P (f i)
⊢ extend m (⋃ i, f i) = ∑' (i : β), extend m (f i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * P 1 * P 2 = 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 * P 2 = -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 = W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2
⊢ W.a₁ * (↑u * P 1) * (↑u * P 2) = 3 * (↑u * P 0) ^ 2 + 2 * W.a₂ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) + W.a₄ * (↑u * P 2) ^ 2 ∧ ↑u * P 1 * (↑u * P 2) = -(↑u * P 1) * (↑u * P 2) - W.a₁ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) - W.a₃ * (↑u * P 2) ^ 2 ∧ (↑u * P 1) ^ 2 + W.a₁ * (↑u * P 0) * (↑u * P 1) + 2 * W.a₃ * (↑u * P 1) * (↑u * P 2) = W.a₂ * (↑u * P 0) ^ 2 + 2 * W.a₄ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) + 3 * W.a₆ * (↑u * P 2) ^ 2
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
⊢ List.mapIdx f l = [] ↔ l = []
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝ : Fintype ι
f : ι → 𝕜
⊢ f ∈ stdSimplex 𝕜 ι ↔ f ∈ (⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x : ι, f x = 1}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ s
⊢ a ∈ t
p : ℕ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CompatibleRing K
⊢ (K ⊨ if p = 0 then (fun q => ∼(eqZero q)) '' {q | Nat.Prime q} else if Nat.Prime p then {eqZero p} else {⊥}) ↔ CharP K p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ TensorBimod.X M N ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P') ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) F
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
⊢ CategoryTheory.IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i) ↔ CategoryTheory.IsPushout f g h i
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ (f - g).neLocus f = g.support
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
FunLike hom α β
AddMonoidHomClass hom α β
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 0
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (sets n), (μ[f * g|m]) x = f x * (μ[g|m]) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] 0 ↔ u =ᶠ[l] 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G H : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
f : F ⟶ G
g : G ⟶ H
a : A
⊢ (f ≫ g).hom a = f.hom a ≫ g.hom a
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁
e : α
heJ : e ∈ J
heB' : e ∈ B₁
⊢ False
n : ℕ
⊢ 0 < n → ↑n.toPNat' = n
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
a : ℕ
⊢ ↑a.sqrt ≤ √↑a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
I : Type
X : I → C
z₁ z₂ : CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj P X
h :
  ∀ (i : I),
    CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun i => P.obj (Opposite.op (X i))) i z₁ =
      CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun i => P.obj (Opposite.op (X i))) i z₂
⊢ z₁ = z₂
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
a : α
⊢ LocallyLipschitz (Prod.mk a)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
x : M
⊢ Monoid.Coprod.mk (FreeMonoid.of (Sum.inl x)) = Monoid.Coprod.inl x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
⊢ ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
F : Type u_1
Field F
Infinite F
E : Type u_2
Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
this : ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∪ v ∧ (s ∩ u).Nonempty ∧ (s ∩ v).Nonempty ∧ s ∩ (u ∩ v) = ∅
⊢ False
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
⊢ (x + y) ^ k = 0
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected
⊢ (a • s).OrdConnected
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ 1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
x : A
⊢ x ∈ I ↔ ∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ I
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y + ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
p : Fin 0 → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes p τ
⊢ (Function.fromTypes_zero_equiv p τ) a = a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : Filter α
f.IsMeasurablyGenerated
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∃ s ∈ f, MeasurableSet s ∧ ∀ x ∈ s, p x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
h : x ∉ s
⊢ False
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-⇑α)
⊢ h = ↑(LieAlgebra.IsKilling.coroot α)
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk
⊢ z • (a✝¹ - a✝) ∈ Zp ↔ ∃ k, a✝¹ - a✝ - ↑k • (p / ↑z) ∈ Zp
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y ∈ s, f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y ∈ s, f y = fp₂
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (f y -ᵥ fp₂)
⊢ s.WSameSide x y
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ IsCompl ↑a ↑b ↔ IsCompl a b
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ HasSum (fun i => fourierCoeff (↑↑f) i • fourierLp 2 i) f
α : Type u
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (Part α)
a b : α
ha : Part.some a ∈ c
hb : Part.some b ∈ c
⊢ a = b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
x : R
⊢ (IsLocalization.map Q g hy) ((algebraMap R S) x) = (algebraMap P Q) (g x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)} = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l r : List α
i : ℕ
h1 : l.length - 1 - i < (l.reverseAux r).length
h2 : i < l.length
⊢ (l.reverseAux r).get ⟨l.length - 1 - i, h1⟩ = l.get ⟨i, h2⟩
α : Type u_1
s : Semiquot α
⊢ s.IsPure ↔ ∃ a, s = pure a
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
Nonempty β
f : α → α
g : β → β
⊢ Function.Involutive (Prod.map f g) ↔ Function.Involutive f ∧ Function.Involutive g
n k : ℕ
⊢ (n + 1 - k) ^ k ≤ n.descFactorial k
R : Type u_1
S : Type u_2
q : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
⊢ eval (f q) (cyclotomic n S) = f (eval q (cyclotomic n R))
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
ha : IsOfFinOrder a
⊢ (↑(powers a)).Finite
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0
⊢ IsNilpotent x
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ closure (Set.Ici a) = Set.Ici a
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = 1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n d : ℕ
f : K⟦X⟧
H : Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))
hnd : n < d
⊢ (PowerSeries.coeff K n) f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯;
HEq o.toPGame.moveLeft fun x => (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x).toPGame
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : ¬a * x ∣ a
⊢ ¬IsUnit x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s = s ∪ t ↔ t ⊆ s
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}
ha : ¬I ∣ span {a}
⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = n
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : (fun a => a.swap) '' ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph
⊢ _root_.closure (⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph) ⊆ ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph
x y : SetTheory.PGame
⊢ (-x).Fuzzy (-y) ↔ x.Fuzzy y
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.sinh (Real.log x) = (x - x⁻¹) / 2
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ r.sign = 1
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s
⊢ False
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
x : E
⊢ gaugeRescale s s x = x
n : ℕ
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
a : α
f : Fin n → α
j : Fin (n + 1)
⊢ i.insertNth a f j.rev = i.rev.insertNth a (f ∘ Fin.rev) j
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
⊢ u ∈ f i✝ '' univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.ShortExact
⊢ S.op.ShortExact
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m : ℕ
a : α
⊢ (replicate (m + 1) a).getLast ⋯ = a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
g : R →+* ℤ_[p]
hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n
r : R
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ↑p ^ (-↑n)
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I : Set ((i : ι) × α i)
⊢ (Matroid.sigma M).Indep I ↔ ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (map f g).range ≤ (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range