ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ Pairwise (Disjoint on fun l => ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
⊢ s.piecewise f f = f
⊢ ∀ (a : ↑unitInterval), unitInterval.symmHomeomorph a = unitInterval.symm a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : (of R M) m ∈ span R ↑(closure (⇑(of R M) '' S))
⊢ m ∈ closure S
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ φ.not.Realize v xs ↔ ¬φ.Realize v xs
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iZ.hom
wg : iY.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one = iZ.hom
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (star a).re = a.re
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
DecidableEq σ
Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.esymm σ R n).support =
  (Finset.powersetCard n Finset.univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ ca
⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
⊢ {i | (f i).Nonempty}.Finite
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
Fintype ι
s : Finset ι
w : ∀ (x : ι), 1 ≤ f x
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ x : ι, f x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.9364, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.9368, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.9372, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.9376, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ m + n + a = a''
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w
k : Type u_2
Field k
n : ℕ
φ : PowerSeries k
⊢ (PowerSeries.coeff k n) φ⁻¹ =
  if n = 0 then ((PowerSeries.constantCoeff k) φ)⁻¹
  else
    -((PowerSeries.constantCoeff k) φ)⁻¹ *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, if x.2 < n then (PowerSeries.coeff k x.1) φ * (PowerSeries.coeff k x.2) φ⁻¹ else 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
⊢ 𝓤 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G) = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {f | ‖f.1 - f.2‖ < r}
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
f : R →ₗ[R] M
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ f y ∈ I • ⊤
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (s.sup p).ball x r = ⨅ a ∈ s, (p a).ball x r
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.edist u w ≤ G.edist u v + G.edist v w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(Set.range f)
x : ↑(Set.rangeSplitting f '' s)
⊢ ↑↑((Equiv.Set.rangeSplittingImageEquiv f s) x) = f ↑x
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
⊢ G'.deleteVerts (s ∩ G'.verts) = G'.deleteVerts s
X : Type u
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsInitial X) ↔ IsEmpty X
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
One β
MeasurableSingletonClass β
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet (Function.mulSupport f)
n : ℕ
⊢ map Prod.swap (antidiagonal n) = (antidiagonal n).reverse
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG
g : ↑t
⊢ (ker (IsLocalization.map (Localization.Away (f ↑g)) f ⋯)).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
⊢ ↑(f.toEquivRange (e (f.toEquivRange.symm ⟨b, ?h⟩))) = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))
a b : ℝ≥0∞
⊢ a * b < ⊤ ↔ a < ⊤ ∧ b < ⊤ ∨ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_1
Semigroup α
a b : α
h : a ∣ b
⊢ ∃ c, b = a * c
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
s : Finset α
⊢ s.sym2.card = (s.card + 1).choose 2
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∑ x : Fin pb.dim, ↑(Ioi x).card = ↑(n * (n - 1) / 2)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank R M ↔ ∃ x, x ≠ 0
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
IsRightCancelAdd α
ha : a ≠ ⊥
h : b + a = c + a
⊢ b = c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
V : Set ↑U
⊢ V ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ↔ ∃ i, (i ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ V
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
c' : E →L[𝕜] G →L[𝕜] H
u : E → G
u' : E →L[𝕜] G
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hu : HasStrictFDerivAt u u' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => (c y) (u y)) ((c x).comp u' + c'.flip (u x)) x
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
Nontrivial A
a : A
n : ℕ
⊢ spectrum ℂ (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' spectrum ℂ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf' : DenseRange f
hf : Continuous f
hs : Dense s
⊢ Dense (f '' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u + b = (a + b * ↑u) /ₚ u
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : (fun x => (f x)⁻¹) =Θ[l] fun x => (g x)⁻¹
⊢ f =Θ[l] g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
this : p ^ n ≤ p ^ k ↔ n ≤ k
⊢ ↑p ^ n ≤ ↑p ^ k ↔ n ≤ k
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
⊢ x ≡ y [SMOD ⊤]
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.head.Terminates
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.flipFunctor.map φ).τ₃ = φ.τ₂
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
⊢ p.trans (Path.refl x₁) = p.reparam (fun t => ⟨Path.Homotopy.transReflReparamAux t, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
⊢ UniformCauchySeqOn (f * f') l s
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
I : Ideal S
T : Type u_3
CommRing T
f : R →+* T
⊢ Ideal.map f ((Ideal.relNorm R) I) = Ideal.span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj (𝟙_ M)).map f) ((F.μ m (𝟙_ M)).app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.εIso.inv.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).inv).app Y))
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x + y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 + ⟪y, z⟫_𝕜
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ (∀ (i : ι), μ (t i) = 0) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ t i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Odd a
n : ℕ
⊢ Odd (a ^ (n + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᵐ[μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
⊢ Filter.limsup (fun n => ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ) Filter.atTop ≤ ∫⁻ (a : α), Filter.limsup (fun n => f n a) Filter.atTop ∂μ
n : ℕ
⊢ 1 = QuaternionGroup.a 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅
⊢ Pairwise (AEDisjoint μ on s)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} = {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarAddMonoid R
Star A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ IsSelfAdjoint ↑a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
n : ℕ
a : α
⊢ mulRothNumber {a} = 1
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)
⊢ f ∈ ContinuousMap.idealOfSet R s ↔ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D
⊢ (F.map e.inv).app Z ≫ (F.map e.hom).app Z = 𝟙 ((F.obj Y).obj Z)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedCosZeta₀ a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven₀ a s
α : Type u_1
β : α → Type u_4
f : (a : α) → β a → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (p : (a : α) × β a), f p.fst p.snd = ∑' (a : α) (b : β a), f a b
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : ℵ₀ ≤ b
⊢ a ≤ a * b
a : ℕ
⊢ Ico ↑⊥ ↑a = Ico 0 ↑a
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
hf : Continuous (Function.uncurry f)
a₀ b₀ : ℝ
⊢ Continuous fun x => ∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f x t ∂μ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ (span ℕ s).toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure s
α : Type u_1
CommRing α
p : α
hp : Prime p
⊢ Prime (-p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
x : α
⊢ x ∉ ∅
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
⊢ f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) -
    (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
      P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈
  P'.ker ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₗc[R] B
R' : Type u_6
SMul R' A
SMul R' B
LinearMap.CompatibleSMul A B R' R
r : R'
x : A
⊢ φ (r • x) = r • φ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
InfSet α
InfSet β
f : ι → α × β
⊢ (iInf f).2 = ⨅ i, (f i).2
⊢ ∀ (a : ENNReal), OrderIso.invENNReal a = (OrderDual.toDual a)⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
CompleteSpace F
LocallyCompactSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
MeasurableSpace F
BorelSpace F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
μ : MeasureTheory.Measure (α × 𝕜)
⊢ AEMeasurable (fun p => deriv (f p.1) p.2) μ
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.t ^ ↑u • w = HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ u w
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
u : ℤˣ
g : G
⊢ (unitsSMulGroup φ d u g).2 = (⋯.equiv g).2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
h : IsMaxChain r s
⊢ IsChain r s
ι : Type u_4
α : ι → Type u_6
DecidableEq ι
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (s.pi t).card = ∏ i ∈ s, (t i).card
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ⇑Polynomial.toLaurent ∘ ⇑Polynomial.C = ⇑LaurentPolynomial.C
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k (NumberField.InfinitePlace.mk φ) ↔
  ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f : X → Y
hf : Conformal f
c : ℝ
hc : c ≠ 0
⊢ Conformal (c • f)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
⊢ Function.Injective ContinuousLinearMap.toLinearMap
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
h : ∀ (j : n), b j = A j i
⊢ Aᵀᵀ.cramer b = Pi.single i Aᵀ.det
β : Type v
γ : Type u_3
OmegaCompletePartialOrder β
OmegaCompletePartialOrder γ
f : β →𝒄 γ
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.id.comp f = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
⊢ 2 = 0 ∨ re ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi f
h : f ≫ g = 0
⊢ g = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Multiset.Rel Associated (factors (x * y)) (factors x + factors y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢  ⊗𝟙 = 𝟙 X
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, b ≤ a
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ioo a 0 = Set.Ioo (Pi.single i a) 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} (X : Ω → E) (ℙ : MeasureTheory.Measure Ω) (μ : MeasureTheory.Measure E)
  [inst : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ], Measurable X → MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving X ℙ μ
x y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ (x * y).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
  x.moveLeft i * y + x * y.moveLeft j - x.moveLeft i * y.moveLeft j
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
h : L ≤ M
⊢ M.subtype.comp (Sublattice.inclusion h) = L.subtype
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
⊢ ∑ x ∈ p.support, ϕ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ d ∈ p.support, (ϕ.comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, ϕ (X i) ^ d i
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.π c₁ c₁₂ (i₂, i₁) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : C ⥤ D
X : C
⊢ (F ⊗ G).obj X = F.obj X ⊗ G.obj X
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
h : IsLUB s a
⊢ IsGLB (-s) (-a)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t : Set β
a : α
s : Set α
⊢ a ∈ s → a • t ⊆ s • t
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
δ : ℝ
B : Set Ω
δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ
x✝ : MeasurableSet B
JB : Set ℕ := {i | B ∩ Es i ≠ ∅ ∧ i ∈ Iio N}
B_subset : B ⊆ (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) ∪ (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ
subset_thickB : ⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i) ⊆ thickening δ B
hQ : ↑P (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) < ↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
⊢ ↑P.toLevyProkhorov (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ↑P.toLevyProkhorov (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
g : G →L[𝕜] E
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => E) F
⊢ ∀ (m : ι → G), ‖(f.compContinuousLinearMap fun x => g) m‖ ≤ ‖g‖ ^ Fintype.card ι * ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)), (((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i)
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
G : Type u_3
AddMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ (fun x => x + a)^[n] 0 = n • a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = MeasureTheory.setToFun μ T hT g
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
Y₁ Y₂ : Cᵒᵖ
f : Y₁ ⟶ Y₂
X : C
⊢ ((CategoryTheory.linearCoyoneda R C).map f).app X = ModuleCat.ofHom (CategoryTheory.Linear.leftComp R X f.unop)
α : Type u_3
self : LinearOrderedAddCommGroupWithTop α
a : α
⊢ a ≠ ⊤ → a + -a = 0
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict Set.univ) m = m
M : Type u_1
A : Type u_4
Zero A
SMulZeroClass M A
a : M
b : A
h : b = 0
⊢ a • b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddGroup α
AddGroup β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - n • c) = (-1) ^ n • f x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : ProbabilityTheory.Kernel γ δ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel ξ
η : ProbabilityTheory.Kernel β γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ (ξ.comp η).comp κ = ξ.comp (η.comp κ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] E
⊢ IsSelfAdjoint A ↔ (↑A).IsSymmetric
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x