ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type u_1
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : β → α
hf : Monotone f
⊢ Antitone fun x => (f x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
C : ℝ≥0∞ := ↑((map (⇑f) μ).haarScalarFactor μ)
hC : map (⇑f) μ = C • μ
⊢ map (fun g => g ^ n) μ = μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x
⊢ StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * log x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n
⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t s' : Set X
h' : IsMetricSeparated s' t
hs : s ⊆ s'
⊢ IsMetricSeparated s t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
⊢ Icc x y ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ↑S.card < ↑T.card
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
⊢ IsIso (biprod.map g f)
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
hs : s.Subsingleton
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (f ⁻¹' s).Subsingleton
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (↑p.toPath).edges ⊆ p.edges
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
⊢ ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) = id
α : Type u_2
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
⊢ sSup (a • s) = a • sSup s
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₂
⊢ AffineSubspace.map (↑e.symm) s = AffineSubspace.comap (↑e) s
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
hn : ¬n = 0
ha : ¬a = 0
h : n = ↑n.natAbs
⊢ D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
Q : Type u_8
AddCommMonoid Q
h : P →+ Q
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ h.comp (f.coprod g) = (h.comp f).coprod (h.comp g)
k : Type u
Field k
IsAlgClosed k
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, p.IsRoot x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hij : c.Rel i (c.next i)
⊢ inrX φ i ≫ fstX φ i (c.next i) hij = 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑e.toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ e.source) ∧ ↑e' x ∈ e.source
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D E
G : C ≌ D
i : G.functor.comp H ≅ F
X : D
⊢ i.isoInverseComp.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (H.map (G.counitIso.inv.app X)) (i.hom.app (G.inverse.obj X))
M : Type u
Add M
PseudoEMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a : M
⊢ Isometry fun x => x + a
n : ℤ
⊢ (↑n).re = ↑n
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
⊢ (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ =ᶠ[𝓝[≠] 1] fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
⊢ (Summable fun i => f (i + k)) ↔ Summable f
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀
⊢ Bifunctor.fst f (Bifunctor.snd f' x) = bimap f f' x
α : Type u_1
Monoid α
x y : α
⊢ x ~ᵤ y ↔ y ~ᵤ x
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
hI : I.IsRadical
hJ : J.IsRadical
⊢ (I ⊓ J).IsRadical
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ essSup f μ = essSup g ν
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.negMap ⟦P⟧ = ⟦W'.neg P⟧
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
Zero α
⊢ EMetric.diam 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝 x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
hs : IsOpen s
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ IsOpen (f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun x => CategoryTheory.Iso.refl ((Comon_.Mon_OpOpToComon_ C ⋙ Comon_.Comon_ToMon_OpOp C).obj x)) ⋯
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
U : Set E
⊢ U ∈ 𝓝 x ↔ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀
h8 : (sphere z₀ r).Nonempty
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y
⊢ S ∈ (J.over X).sieves Y ↔ (Sieve.overEquiv Y) S ∈ J.sieves Y.left
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
x : β
⊢ x ∈ map f l₁ → x ∈ map f l₂
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
E : Type u_9
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ stdOrthonormalBasis 𝕜 E =
  let b := Classical.choose ⋯;
  ⋯.mpr (b.reindex (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯))
G : Type u_3
AddGroup G
s : Finset G
⊢ AddGroup.rank ↥(AddSubgroup.closure ↑s) ≤ s.card
o : Ordinal.{u_1}
⊢ -nim o = nim o
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
⊢ Finset.filter p (Finset.cons a s ha) = (if p a then {a} else ∅).disjUnion (Finset.filter p s) ⋯
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
self : α ≃ᵢ β
⊢ Isometry self.toFun
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen =
  Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
⊢ ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ K⟮α⟯ = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C).hom.app X).hom₁ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₁
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
htc : Convex ℝ t
ht₀ : 0 ∈ t
hta : Absorbent ℝ t
⊢ Set.MapsTo (gaugeRescale s t) (closure s) (closure t)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ k m, Odd m ∧ n = 2 ^ k * m
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) = MulActionHom.id N
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
⊢ span ℂ ↑(selfAdjoint A) = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ ‖orthogonalProjection K‖ ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Functor.empty C) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesTerminal.iso G).hom = CategoryTheory.Limits.terminalComparison G
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0
⊢ (a + b) * (c * c) = (a * c + b * c) * c
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ a ≤ b → ¬b ≤ a → a < b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B B' : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
i : B ⟶ B'
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a₁) i) =
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a₂) i) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ SpectrumRestricts (a + b) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f : α → β
g : α → Multiset β
⊢ (s.bind fun a => f a ::ₘ g a) = Multiset.map f s + s.bind g
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ (μ.restrict A).mass = μ A
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
m : ℕ
⊢ (trunc (n + 1) ((C R) a)).coeff m = (Polynomial.C a).coeff m
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
x✝ : 0 < m
ih : IsPeriodicPt f (n % m) x → IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f ((n % m).gcd m) x
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
⊢ IsPeriodicPt f (m.gcd n) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.f₃₄ = sq.f₁₃.unop
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : G i
h : (AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) x = 0
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f i j hij) x = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AffineSpace V₃ P₃
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
e' : P₂ ≃ᵃ[k] P₃
p : P₁
⊢ (e.trans e') p = e' (e p)
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
⊢ ⅟b * (a * b * ⅟b) = ⅟b * (b * a * ⅟b)
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
a : { a // (fun x => x ∈ H) a }
⊢ ↑(H.equivOp a) = AddOpposite.op ↑a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤+ D
⊢ (CategoryTheory.AdditiveFunctor.forget C D).obj F = F.obj
n : ℕ
c : Char
l : List Char
⊢ { data := l }.IsSuffix (leftpad n c { data := l })
x y : ℂ
h :
  ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y * Complex.I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2) ∨
    (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∃ l, y * Complex.I = (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2
⊢ Complex.tan (x + y * Complex.I) =
  (Complex.tan x + Complex.tanh y * Complex.I) / (1 - Complex.tan x * Complex.tanh y * Complex.I)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}
⊢ J₁ = J₂
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
T0Space X
⊢ Function.Injective fun x => MeasureTheory.diracProba x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
b : Set (Set α)
bct : b.Countable
hbm : ∀ s ∈ b, MeasurableSet s
hb : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ ∀ (x y : α), (∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)) → x = y
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h
x : α
⊢ x ∈ h • fixedBy α g ↔ x ∈ fixedBy α g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t✝ : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)
g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))
x : M
y : M'
s : Set M
t : Set M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') (s ×ˢ t) (x, y)
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
K : ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in closedBall (w j) (δ j), ‖f y - f x‖ ∂μ) l (𝓝 0)
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
m n : ℚ
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
⊢ μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
⊢ HasPDF (g ∘ X) ℙ ν
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) univ
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
s : Finset ι
f : ι → ℝ → E
h : ∀ i ∈ s, IntervalIntegrable (f i) μ a b
⊢ IntervalIntegrable (∑ i ∈ s, f i) μ a b
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).IsTrail → p.IsTrail
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ o.card = ↑n ↔ o = ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x y : α
⊢ dist (h x) (h y) = dist x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct I X
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ (CategoryTheory.Limits.isInitialMul X hI).inv = hI.to (I ⨯ X)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
x : DirectSum ι fun i => A i
⊢ x * 1 = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : OpenEmbedding g
⊢ IsOpenMap f ↔ IsOpenMap (g ∘ f)
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace α'
One β
f : α → β
T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f
g : α → α'
cont : Continuous g
⊢ HasCompactMulSupport (Function.extend g f 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty D
F : C ⥤ D
⊢ (P.inverseImage F).map F ≤ P.isoClosure
E : Type u_1
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : T2Space E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x
⊢ ContDiff ℝ n fun y => toEuclidean (g y)
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n ≡ xn b1 (n + 2) + xn b1 n [MOD c]
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l = l.toFinset.inf id
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittAdd p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) + X (1, 0))
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
aux : ↑|0| ^ s = 0
hint : HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedCosZeta (↑a) s)
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v✝ v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, a ∈ f x
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ a ∈ v.setsAt x ∩ f x, a ⊆ closedBall x ε
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
⊢ (PrimeMultiset.ofPNatList l h).prod = l.prod
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
h : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
⊢ ringChar F = 2 ↔ Fintype.card F % 2 = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : ℕ
H1 : n < (List.map f l).length
H2 : n < l.length
⊢ (List.map f l).nthLe n H1 = f (l.nthLe n H2)
F : Type u_3
E : Type u_4
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).degree = ↑(FiniteDimensional.finrank F E)