ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁
⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
x : ℝ
⊢ (Complex.exp (↑x * Complex.I)).re = Real.cos x
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x y : ↑N
m : ↑M
w : x = y + f m
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) x = (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) y
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hs₀ : s.Nonempty
ht₀ : t.Nonempty
⊢ (convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 s t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
⊢ ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i = b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i)
α : Type u_1
a : α
as : List α
x : α
BEq α
⊢ (a :: as).contains x = (x == a || as.contains x)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeSemigroup α
⊢ (lift f) (of x * y) = f x * (lift f) y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s
⊢ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → t ∈ 𝒜 ∧ a ∉ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x : L
y' : L'
⊢ (e.toLinearEquiv.conj ((ad R L) x)) y' = ((ad R L') (e x)) y'
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ Set.Iio 1 ⊆ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : |‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal
H : ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
this : |‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal| = ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal
⊢ ‖∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b) - f‖ ^ p.toReal < ε ^ p.toReal
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
i : σ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.X i * x).modMonomial (Finsupp.single i 1) = 0
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m + x) ↔ Irrational x
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.Conservative f μ
s : Set α
⊢ MeasurableSet s → μ s ≠ 0 → ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
h : succ #α ≤ #α
mk_initialSeg_subtype : #↑(Iio (succ #α).ord) = lift.{u + 1, u} (succ #α)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
CommRing R'
AddCommGroup M'
Module R' M'
Algebra R R'
Module R M'
IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ (PolynomialModule.map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (PolynomialModule.map R' f) q
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : dist (∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal
⊢ dist (∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b)) f < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
I X : Set α
⊢ (N.comap f).Basis I X ↔ N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ Set.InjOn f I ∧ I ⊆ X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ENNReal
hf : MeasureTheory.UnifTight f p μ
hg : MeasureTheory.UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ MeasureTheory.UnifTight (f - g) p μ
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
⊢ ker (Dual.eval R M) = ⊥
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
⊢ r ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)).castSucc) ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)).succ)
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
H : Type u_4
MulAction G H
g : G
f : H →₀ k
h : H
⊢ (((Representation.ofMulAction k G H) g) f) h = f (g⁻¹ • h)
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
hb : b ≠ 0
⊢ b = a * b ↔ a = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X).obj F = F.obj X
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
self : MulActionWithZero R M
r : R
⊢ r • 0 = 0
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bit a m).xor (bit b n) = bit (xor a b) (m.xor n)
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ≃ β
f : β → γ
⊢ Function.Injective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Injective f
α : Type u
p : α → Prop
⊢ ¬∃ x, x ∈ [] ∧ p x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
x : (i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i
f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯
⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = x ⟨i, hi⟩
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.diam (EMetric.closedBall x r) ≤ 2 * r
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
⊢ f₁ ≤ f₂ → f₁ • g ≤ f₂ • g
α : Sort u
x : α
⊢ Opposite.unop (Opposite.op x) = x
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Fintype m
StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
⊢ A.rank ≤ Fintype.card m
k : Type u
Field k
R : Type u_1
Ring R
IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ f x p = 0
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝³ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝² : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
⊢ coprodComparison F A B ≫ F.map (coprod.map f g) = coprod.map (F.map f) (F.map g) ≫ coprodComparison F A' B'
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
X✝ Y Z : C
f : Y ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
F : C ⥤ D
X : C
⊢ functorPushforward F ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
y : M
⊢ y ∈ f.frange ↔ y ≠ 0 ∧ ∃ x, f x = y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ (insert a ∅).min = ↑a
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ (↑e).symm = ↑e.symm
x y : ℝ
⊢ ↑(expMapCircle (x + y)) = ↑(expMapCircle x * expMapCircle y)
a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD 0] ↔ a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α
⊢ (insert a s).IsPWO ↔ s.IsPWO
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arcsin (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommRing R
CommRing S
Ring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
x : A
A_alg : IsAlgebraic R x
⊢ IsAlgebraic S x
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
S : Profinite
ι : ↑S.toTop → I → Bool
hι : ClosedEmbedding ι
⊢ Module.Free ℤ (LocallyConstant ↑S.toTop ℤ)
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1 : 0 ≤ p
hp2 : p ≤ 1
⊢ (1 + s) ^ p ≤ 1 + p * s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ (q.compHom F).j = F q.j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
R : Type u
CommRing R
S T : Ideal R
H : S ≤ T
x : R
⊢ (Ideal.Quotient.factor S T H) ((Ideal.Quotient.mk S) x) = (Ideal.Quotient.mk T) x
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
j : J
this : HasBiproduct fun j => F.obj (f j)
⊢ ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (desc g) = ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ desc fun j => F.map (g j)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ μ ≪ ProbabilityTheory.cond μ Set.univ
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
n : ι
Countable ι
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hσ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ σ
hσ_le_τ : σ ≤ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f σ =ᵐ[μ] μ[MeasureTheory.stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ s
⊢ False
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a = b ↔ b ⊆ a ∧ a ⊆ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
⊢ ((Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : W ⟶ (limit H).obj k
w : ∀ (j : J), f ≫ (limit.π H j).app k = g ≫ (limit.π H j).app k
⊢ f ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation H k).hom = g ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation H k).hom
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ (-(1 - t) * t) • (z -ᵥ x) = (t * (t + -1)) • (z -ᵥ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b + a) (c + a)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ ↔ ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ support ↑(fs.toFun (fs.ind x hx))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
⊢ deriv^[k] (fun x => x ^ n) x = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ (n - k)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in atTop, μ s ≤ (↑c)⁻¹ * ρ s
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
SeminormedRing R
n : ℤ
⊢ ⇑↑n = ↑n
α : Type u
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∉ s \ t
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
D : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Star C
NonUnitalNonAssocSemiring D
Star D
f : C →⋆ₙ+* D
g : B →⋆ₙ+* C
h : A →⋆ₙ+* B
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
s : Set (Ideal S)
⊢ ⨅ I ∈ s, comap f I = ⨅ I ∈ comap f '' s, I
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens + t.dens
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.Reachable u v ↔ Set.univ.Nonempty
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ (F.lift' closure ⊓ pure x).NeBot
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a1 : |a * ↑q - ↑b * p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
⊢ False
R : Type u
S : Type v
a : R
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (Polynomial.C a) = f a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
⊢ Mono ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ Set.uIcc (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.uIcc a b
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
m : M
⊢ ↑n m = n • m
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ I ∈ (toPrincipalIdeal R K).range ↔ ∃ x, FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ x = ↑I
α : Type u_1
LinearOrder α
b c d : α
h₁ : c ≤ b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Icc c d = Set.Iic (max b d)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(Set.image2 f s t)
⊢ (Set.image2 f s t).toFinset = Finset.image₂ f s.toFinset t.toFinset
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.46544
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
pp : p.IsPath
⊢ (p.transfer H hp).IsPath
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
h✝ : Subsingleton α
⊢ s.sup f = ⊤ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑(-s) w = 0 → w ⊆ u → v ⊆ w → ↑(-s) v = 0
⊢ ↑s v = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
b : φ i
j : ι
hj : j ∈ J
⊢ j ≠ i
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
con : Formula.not φ ∈ T
⊢ False
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
A : Bicone F
i j : J
⊢ G.map (A.ι i ≫ A.π j) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
h : NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ (w.comap (algebraMap k K)).mult = w.mult
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
⊢ Ideal.span {↑P} ≠ 0
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
hvp : 0 < v ↑p
⊢ 1 / ↑p + 1 / ↑p ≤ 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u
Subsingleton α
One α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ s = {1}
K : Type u
inst✝³ : Field K
Γ : Type u_1
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v : Valuation K Γ
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v.valuationSubring.valuation x ≤ 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)
⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).sublists' = List.map (List.map f) l.sublists'