ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
⊢ σ ((aeval a) p) = (fun x => eval x p) '' σ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l
⊢ ∀ (x : α), x ∈ l → x ≠ x → R x x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
f : β × γ → α
h : Multipliable f
b : β
⊢ Multipliable fun c => f (b, c)
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
h : I ≠ ⊤
⊢ 0 ≠ 1
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
⊢ AddSubgroup.zmultiples g = ⊥ ↔ g = 0
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
⊢ t₀ = t₀ / a / a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
q : β → Prop
DecidablePred q
⊢ Finset.filter (fun x => q x.2) (s ×ˢ t) = s ×ˢ Finset.filter q t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree = q.degree
hlc : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
this : (p + q).natDegree = p.natDegree
⊢ (p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff + q.leadingCoeff
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ G.dist v v = 0
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
b d : G₀
a c : G₀
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : a / b = c / d
⊢ a * d = c * b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
⊢ Function.Surjective ⇑A.mulVecLin
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
⊢ b ∈ a⁻¹ • s ↔ a • b ∈ s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X ⊕ Y → Z
⊢ IsOpenMap f ↔ (IsOpenMap fun a => f (inl a)) ∧ IsOpenMap fun b => f (inr b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
J : Type
𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1
p : String.Pos
⊢ { byteIdx := p.byteIdx } = p
z τ : ℂ
⊢ (Summable fun x => jacobiTheta₂_term_fderiv x z τ) ↔ 0 < τ.im
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.lift α β).f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd.f i = β.f i
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n + 1
a : α
h : a ∈ m
⊢ (Sym.mk m hc).erase a h = Sym.mk (m.erase a) ⋯
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
b : β
⊢ LocallyLipschitz fun a => (a, b)
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
Hs : StrictMono (enumOrd s)
⊢ IsNormal (enumOrd s) ↔ IsClosed s
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonAssocSemiring α
DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : ι
⊢ ∑ j ∈ s, (if i = j then 1 else 0) * f j = if i ∈ s then f i else 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
hu : IsUnit (χ a)
⊢ hu.unit ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : Filter (OnePoint X)
⊢ f ≤ 𝓝 OnePoint.infty ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → OnePoint.some '' sᶜ ∪ {OnePoint.infty} ∈ f
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
r k : ℕ
ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
t : Finset α
⊢ (∃ a ∈ t, ∃ u, u.card = k ∧ (u ⊆ t ∧ a ∉ u) ∧ t \ insert a u ∈ 𝒜) ↔ ∃ u, (∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = u ∧ t.card = k) ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ -(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
⊢ r' x y
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.map f ((Polynomial.monomial n) a) = (Polynomial.monomial n) (f a)
α : Type u_1
f : Poly α
⊢ IsPoly ⇑f
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
⊢ x ∈ M'
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0
⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
V : Type u
G : SimpleGraph V
Inhabited V
⊢ default = G.connectedComponentMk default
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
⊢ P ≈ Q
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive (m + 1) (n + 1)
m : Nat
⊢ Nat.casesDiagOn (m + 1) 0 zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = succ_zero m
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
hs : s.Finite
⊢ p.toMeasure s = ∑' (x : α), s.indicator (⇑p) x
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ (X_1 : C) (X_2 : D),
  ((CategoryTheory.currying.unitIso.hom.app X).app X_1).app X_2 = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((X.obj X_1).obj X_2)
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
NonUnitalSemiring α
StarRing α
Fintype n
A : Matrix m n α
⊢ (A * A.conjTranspose).IsHermitian
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
⊢ Polynomial.smeval 1 x = 1 • x ^ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 l)
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
A : Type u_7
TopologicalSpace A
f : A → ContinuousMonoidHom B C
h : Continuous (Function.uncurry fun x y => (f x) y)
⊢ Continuous f
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ico a b * Set.Icc c d ⊆ Set.Ico (a * c) (b * d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ IsPathConnected (range f)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
f₁ : F → 𝕜
t : Set F
h : HasGradientWithinAt f f' s x
ht : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ HasGradientWithinAt f₁ f' t x
θ : ℝ
⊢ (Complex.exp (↑θ * Complex.I)).arg = toIocMod ⋯ (-π) θ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 (UniformSpace.Completion α) = ⨅ ε, 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑ε}
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b + a, c + a]]
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ
⊢ f.natDegree + 1 ≤ n → 0 = f.coeff (n * p)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b ≠ Ordering.lt ↔ a ≥ b
ι : Type u_11
α : Type u_12
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : ι → Set α
hs : Antitone s
ht : Antitone t
⊢ ⋂ i, s i ∪ t i = (⋂ i, s i) ∪ ⋂ i, t i
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑(LieAlgebra.radical R L) ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I → IsLieAbelian ↥↑I
α : Type u_1
β : α → Type u_2
⊢ (Equiv.Perm.sigmaCongrRight fun a => Equiv.refl (β a)) = Equiv.refl ((a : α) × β a)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R
i : V
⊢ ↑{w | G.Adj i w}.toFinset.card = ∑ j : V, if G.Adj i j then 1 else 0
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hs : IsCompact s
⊢ {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
hip : HasLiftingProperty i p
⊢ HasLiftingProperty i' p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = 0
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : 0 ≤ b
h : a ^ n ≤ b ^ n
⊢ a ≤ b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x c : G
H : x ∈ conjugatesOfSet s
⊢ c * x * c⁻¹ ∈ conjugatesOfSet s
n : ℕ
h : ¬bit true 0 = 0
IH : shiftLeft' true 0 n ≠ 0 → (shiftLeft' true 0 n).size = size 0 + n
s0 : shiftLeft' true 0 n = 0
this : 2 ^ n = 1
⊢ (size 0).succ = (size 0 + n).succ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : x' ∈ polar 𝕜 (ball 0 r)
⊢ x' ∈ closedBall 0 (‖c‖ / r)
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAboveOrderEmb i = p.succAbove i
α : Type u_1
CompleteLattice α
s t : Set α
⊢ sInf (s ∪ t) = sInf s ⊓ sInf t
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s t : Finset β
a : α
⊢ s ⊆ t → a +ᵥ s ⊆ a +ᵥ t
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : l < m
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).eraseLead = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
⊢ a₁ = a₂
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
⊢ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
hs : s.Nodup
hs' : s'.Nodup
⊢ s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.Subsingleton ∧ s'.Subsingleton
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hne : s.Nonempty
A : 0 < infDist x s
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < infDist x s
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ infDist x s < infDist x s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
f : CategoryTheory.MonoOver X
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.forget X).obj f).hom = f.arrow
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬p = 0
⊢ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p ∣ p
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : Continuous f
⊢ Continuous f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hint : ∀ k ∈ Set.Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))
⊢ IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
(x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (Pi.monotoneCurry α β γ)
a b : EReal
⊢ -a ≤ -b ↔ b ≤ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N
h : padicNormE (↑f i - ↑(Classical.choose ⋯)) < 1 / (↑i + 1)
⊢ 0 ≤ 1 * ε
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.34532, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.34536, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π
⊢ (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).inv) ≫ equalizer.ι (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op) = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯ ≫ equalizer.ι (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (expZeta a) s
X : TopCat
⊢ ↑(topToCompHaus.obj X).toTop = StoneCech ↑X
R : Type u
CommRing R
LocalRing R
⊢ [HenselianLocalRing R,
    ∀ (f : R[X]),
      f.Monic →
        ∀ (a₀ : LocalRing.ResidueField R),
          (Polynomial.aeval a₀) f = 0 →
            (Polynomial.aeval a₀) (Polynomial.derivative f) ≠ 0 → ∃ a, f.IsRoot a ∧ (LocalRing.residue R) a = a₀,
    ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),
      Function.Surjective ⇑φ →
        ∀ (f : R[X]),
          f.Monic →
            ∀ (a₀ : K),
              Polynomial.eval₂ φ a₀ f = 0 →
                Polynomial.eval₂ φ a₀ (Polynomial.derivative f) ≠ 0 → ∃ a, f.IsRoot a ∧ φ a = a₀].TFAE
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInvOn g f s
F : Filter α
hF : F ≤ 𝓟 s
⊢ map g (map f F) = F
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ a ∈ Finset.cons a s h
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : ∀ m_1 ≤ m, ¬p (m_1 + 1)
⊢ ¬p (m + 1)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 2
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
a b c : ℤ
⊢ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ b ^ 4 + a ^ 4 = c ^ 2 ↔ b ≠ 0 ∧ a ≠ 0 ∧ b ^ 4 + a ^ 4 = c ^ 2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ (preNormEDS' (b ^ 4) c d (2 * (m + 3)) * if Even (2 * (m + 3)) then b else 1) * b = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even (m + 2) then b else 1) ^ 2 * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) * if Even (m + 5) then b else 1) - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even (m + 1) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even (m + 4) then b else 1) ^ 2
c : Prop
h : Decidable c
hc : c
α : Sort u
t e : α
⊢ ite c t e = t
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
⊢ #↑Set.univ < 𝔠
n : ℕ
NeZero n
a : Fin (n + 1)
b : Fin n
ha : a ≠ 0
⊢ a.succAbove b = 0 ↔ b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
MetricSpace β
ProperSpace β
K : ℝ≥0
f : α ≃ₜ β
hK : LipschitzWith K ⇑f
⊢ ProperSpace α
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : α
v : n' → α
A : Fin m → n' → α
⊢ x • Matrix.vecCons v A = Matrix.vecCons (x • v) (x • A)
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
l : BoxIntegral.IntegrationParams
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c
⊢ l.MemBaseSet I c r (π.biUnionTagged πi)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
⊢ Fintype.card α ≠ 0
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 (interior s)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A C
e : B ≃ₐ[A] C
x : B
⊢ (LinearMap.trace A C) ((lmul A C) (e x)) = (LinearMap.trace A C) (e.toLinearEquiv.conj ((lmul A B) x))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ F.map (f + g) = F.map f + F.map g
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
⊢ |a⁻¹| = |a|⁻¹
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
hs' : IsClosed s
⊢ sᶜ ∈ Filter.coclosedCompact X
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
v : ℕ → Set α
hv : s ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i + (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p))
⊢ (∑ i ∈ s, |f i + g i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, |g i| ^ p) ^ (1 / p)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ Subgroup.normalClosure s ≤ Subgroup.normalClosure t
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ S.unit K = ⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.unitGroup
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
Inhabited I
l : Profinite.NobelingProof.Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = Profinite.NobelingProof.term I ho
⊢ ↑l = Profinite.NobelingProof.term I ho :: ↑l.Tail
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p (μ.trim hm))
⊢ ↑↑↑(MeasureTheory.lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f) =ᵐ[μ] ↑↑f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
M : Matrix (n ⊕ o) (l ⊕ m) α
⊢ Matrix.fromBlocks M.toBlocks₁₁ M.toBlocks₁₂ M.toBlocks₂₁ M.toBlocks₂₂ = M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
f : LatticeHom β γ
g : LatticeHom α β
⊢ (f.comp g).withBot = f.withBot.comp g.withBot
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1
k : ℕ
left✝ : k ≤ w✝
hk : orderOf x = p ^ k
⊢ ∃ k, orderOf x = p ^ k
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
⊢ range Rat.cast ⊆ {x | (fun x => x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)) x}
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)
⊢ v.reverse.head = v.last
β : Type u_2
f g : β → ℝ
hg : ∀ (b : β), 0 ≤ g b
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hf : Summable f
⊢ Summable g
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
i : ι
⊢ ∑ a : ι, ((of β a) (x a)) i = x i
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = c ⊔ b ⊔ a
n✝ : ℕ
i✝ : Fin (n✝ + 1).succ
i : Fin (n✝ + 1)
⊢ ↑((finRotate (n✝ + 1).succ) i.succ) = ↑((decomposeFin.symm (1, finRotate (n✝ + 1))) i.succ)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
⊢ HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i)) ((hT.eigenvectorBasis hn) i)
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
a b : α
hc : IsCompl a b
⊢ IsCoatom a ↔ IsAtom b