ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, eval x f = 0
⊢ f = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x + t • y = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Finset ι
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
⊢ IsCompact (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β →CO γ
f₁ f₂ : α →CO β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ M.mulMap N = LinearMap.mul' R S ∘ₗ TensorProduct.mapIncl M N
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ((ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))).comp
    (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) =
  mfderiv I I (↑(chartAt H (f.c (f.ind x hx)))) x
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
μ : MeasureTheory.Measure M
⊢ MeasureTheory.Measure.conv 0 μ = 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
⊢ Cardinal.lift.{u, v} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ Cardinal.lift.{v, u} #R[X] * ℵ₀
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ BddBelow (image2 f s t)
α : Type u
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : ExistsMulOfLE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
ε : α
hxb : b < b * ε
⊢ a ≤ b * ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
i : ι
⊢ hs.index (hs.some i) = i
a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c
hc0 : 0 < c
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c + 1
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : G
⊢ -x ∈ H ↔ x ∈ H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : s ⊆ S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set X
⊢ dimH s ≤ dimH (f '' s)
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < ε
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑(lightToProfinite.map (S.proj n))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
⊢ (trace R S) ((trace S T) x) = (trace R T) x
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
PartialOrder α
OrderTop α
f : α → X
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (f ⊤))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → γ
g : α → β
a : Set α
⊢ f ∘ g '' a = f '' (g '' a)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : ↑x ^ n = 1
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ (dualPairing 𝕜 E).SeparatingLeft
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
⊢ FiniteDimensional ℝ E
x : ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => Set.Icc (x - ε) (x + ε)
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
(i : ι) → UniformSpace (β i)
⊢ Continuous ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm
a k n : ℕ
a_pos : 0 < a
i : ℕ
ih : (filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * i)))).card ≤ φ a * (i + 1)
⊢ (filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * (i + 1))))).card ≤ φ a * (i + 1 + 1)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ a * c ≤ b * c
a : ℕ
⊢ Nat.cast '' Iio a = Ico 0 ↑a
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
this : PolishSpace ↑s
⊢ AnalyticSet (range fun x => f ↑x)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddZeroClass M
ContinuousAdd M
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 0 ∈ V ∧ V + V ⊆ U
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
this : n ≠ 0
⊢ 1 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
s : ι → Set α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, s i)) ↔
  ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (s i))
⊢ (Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1) = Ordinal.univ.{u, u + 1}
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
hlt : -(π / OfNat.ofNat n) < x.arg
hle : x.arg ≤ π / OfNat.ofNat n
⊢ (x ^ OfNat.ofNat n) ^ (OfNat.ofNat n)⁻¹ = x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable (∑' (i : ι), f i)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
s : Set α
⊢ ContinuousWithinAt f (insert x s) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) x
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k * (n + k + 1) ≤ (n + k + 1) ^ k * (n + k + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {F : Type u_5} [inst : FunLike F α β]
  [inst_1 : RingHomClass F α β] (f : F), ⇑↑f = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 (z +ᵥ s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
this✝ : IsFiniteMeasure μ
this : IsFiniteMeasure ν
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) = μ univ / (μ univ + ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ν univ / (μ univ + ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
α : Type u_1
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
⊢ s.toFinset = t.toFinset ↔ s = t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
h : P ≤ Q
⊢ CategoryTheory.isoClosure P ≤ CategoryTheory.isoClosure Q
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
f : X → Y
h : Continuous f
q : Y → Prop
hpq : ∀ (x : X), p x → q (f x)
⊢ Continuous (Subtype.map f hpq)
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M
⊢ Filter.map MulOpposite.op (𝓝 x) = 𝓝 (MulOpposite.op x)
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
hf : s.Finite
h : ((closure L).toFun s).FG
⊢ ((closure L).toFun s).CG
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
⊢ f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
⊢ AddSubgroup.closure (Set.range ⇑AddMonoid.Coprod.inl ∪ Set.range ⇑AddMonoid.Coprod.inr) = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → 𝕜
g : X → E
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => f x • g x) s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ ¬(IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η)
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f (g i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ sInf s ≤ sSup s
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑Additive.ofMul
x : ℝ*
r : ℝ
⊢ x.IsSt r ↔ Filter.Germ.Tendsto x (𝓝 r)
α : Type u
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y : α
⊢ P x y
X Y Z : CommMonCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ ∫ (b : β), ↑(f (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ Iic x)).toReal
k G A : Type u
CommRing k
Group G
AddCommGroup A
Module k A
DistribMulAction G A
SMulCommClass G k A
f : ↥(groupCohomology.twoCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ groupCohomology.IsTwoCoboundary ↑↑f
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
ha : 0 < ⅟↑da
hb : 0 < ⅟↑db
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddGroup (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommGroup γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_sub : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ - b₂) = h i b₁ - h i b₂
⊢ (f - g).sum h = f.sum h - g.sum h
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).symm = e'.symm.trans e.toPartialEquiv
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h1 : 0 < m * 0
h2 : m * 0 < m
⊢ False
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ ((eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)).comp C) (⇑(eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)) ∘ X ∘ f) p = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g ∘ f)) p
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
⊢ f.IsCycleOn ∅
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
G : SimpleGraph V
x✝¹ x✝ : V
⊢ (FirstOrder.Language.simpleGraphOfStructure V).Adj x✝¹ x✝ ↔ G.Adj x✝¹ x✝
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α
⊢ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 α ↔ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ Filter.comap (fun p => (f p.1, f p.2)) (𝓤 β)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Finite α
f : α → M
⊢ ∀ (a : α), (Finsupp.equivFunOnFinite.symm f) a = f a
C : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X✝ Y✝ Z✝ : Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X✝)
⊢ ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (f ≫ g)) x = ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) g) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app ((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) Z✝)) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_6
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
c : 𝕜'
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x / c
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ ((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X) = (((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ ↔ MeasureTheory.Memℒp f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hut : MeasureTheory.UnifTight f p μ
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t).compls = s.compls ⊼ t.compls
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.totalDegree 0 = 0
G : Type u_3
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (1 + n) = a * a ^ n
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
this : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)
⊢ False
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
⊢ Z.localTriv (Z.indexAt b) = Z.localTrivAt b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
t : Set β
⊢ s.piecewise f g ⁻¹' t = s.ite (f ⁻¹' t) (g ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ
h : α ≃ β := (Set.sumCompl s).symm.trans (((ofInjective ⇑f ⋯).sumCongr g).trans (Set.sumCompl (range ⇑f)))
x : α
hx : x ∈ s
⊢ h ↑⟨x, hx⟩ = f ⟨x, hx⟩
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.x * (d * (a.y * a₁.y)) < a.x * (a.x * a₁.x)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f : CategoryTheory.Arrow T
⊢ CategoryTheory.Arrow.mk f.hom = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
⊢ ∃ s_1, (map f s).destruct = (map f s_1).destruct ∧ Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s_1.destruct
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ s
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Mul M
Mul N
Mul P
S : Subsemigroup M
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.map g (Subsemigroup.map f S) = Subsemigroup.map (g.comp f) S
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c d : α
hab : a ∣ b
hcd : c ∣ d
⊢ gcd a c ∣ gcd b d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ HasStrictFDerivAt.implicitFunction f f' hf hf' (f a) 0 = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ IsClosed ↑s.innerDualCone
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ ↑C * EMetric.diam s ^ ↑r
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
⊢ homogeneousSubmodule σ R n = supported R R {d | d.degree = n}
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
M : G'.coe.Subgraph
hM : M.IsMatching
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph M).IsMatching
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ |a + b| = |a| + |b| ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addXYZ P P = ![0, 0, 0]
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)
⊢ ∃ u, ContDiff ℝ ⊤ u ∧ (∀ (x : E), u x ∈ Icc 0 1) ∧ support u = ball 0 1 ∧ ∀ (x : E), u (-x) = u x
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
⊢ G.otherVertexOfIncident ⋯ = w
α : Type u_1
β : ?m.6008
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : IsOpen s
⊢ IsLowerSet s
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
Nonempty ι
⊢ f 0 = 0
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
x : R
S : NonUnitalSubsemiring R
⊢ x ∈ nonUnitalSubalgebraOfNonUnitalSubsemiring S ↔ x ∈ S
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
⊢ padicValNat p n ≤ count p n.primeFactorsList
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
⊢ x ∈ S.ofAddUnits ↔ ∃ y ∈ S, ↑y = x
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
m : β
h : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ s.noncommProd f comm = m ^ s.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : r < t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
n : ℤ
z τ : ℂ
this : ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖
⊢ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (π * ↑|n| ^ 2) ≤ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (‖↑π‖ * ‖I‖ * ‖↑n ^ 2‖)
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α × β
⊢ (a • x).swap = a • x.swap