ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
⊢ ρ (s ∩ t) ≤ (p • μ) (s ∩ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : MeasureTheory.Integrable g μ
hcg : Filter.Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.tensorObj Y).rel =
  (CategoryTheory.Subobject.pullback
          (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst)).obj
      X.rel ⊓
    (CategoryTheory.Subobject.pullback
          (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)).obj
      Y.rel
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
T2Space G
f : ℕ → G
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∏' (k : ℕ), f (k + i)) Filter.atTop (𝓝 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ ∀ (x : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'), x ∈ range (subToSupQuotient p p')
α : Type u_1
Monoid α
u : α
hu : IsUnit u
⊢ IsPrimal u
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
r : R
m : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(r, m).2 = (algebraMap R S) r
⊢ ∃ r m, z = r • ↑((toInvSubmonoid M S) m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y
e' : Y ≃ᵈ Z
hX : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (e.trans e') = ratio e * ratio e'
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).index ≠ 0
⊢ (⨅ i, f i).index ≠ 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b x : α
ha : a < x
hb : x < b
⊢ Set.Ico a b ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Ideal R
⊢ ↑(I * J) = ⟨↑↑I * ↑↑J, ⋯⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : Cᵒᵖ
⊢ e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X) = 𝟙 (e.functor.op.obj X)
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
⊢ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ≈ powHalf n
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ sᶜ.card + s.card = Fintype.card α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
i : ι'
⊢ ((b.prod b') (Sum.inr i)).1 = 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
p : ι → AddSubmonoid M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : AddSubmonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
this : ∀ (s t : Finset α), map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } (s \\ t) = map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } s \\ map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } t
⊢ s.card * t.card ≤ (s \\ t).card * (t \\ s).card
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : b < 0
h : a < 1
⊢ b < a * b
γ : Type u_3
U : TopologicalSpace γ
m : PseudoMetricSpace γ
H : U = UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ m.replaceTopology H = m
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set (α × β)
⊢ BddBelow s ↔ BddBelow (Prod.fst '' s) ∧ BddBelow (Prod.snd '' s)
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
R : Type u
CommSemiring R
x : PrimeSpectrum R
s : Set R
⊢ x ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus s ↔ s ⊆ ↑x.asIdeal
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S
⊢ (S.map F).leftHomologyπ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (S.leftHomologyData.map F) = (S.map F).leftHomologyπ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (hl.map F) ≫ F.map (leftHomologyMap' (𝟙 S) hl S.leftHomologyData)
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : DivInvMonoid G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : Continuous f
y : G₀
⊢ Continuous fun x => f x / y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ edist (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist y₀ (f x)
α : Type u
β : Type v
Mul β
f f' g g' : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
h' : f' =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x * f' x) =ᶠ[l] fun x => g x * g' x
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(_root_.commutator G)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
⊢ #R * (#R * (#R * #R)) = #R ^ 4
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 b y
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
f : E → ℝ
a b : E
f' : ℝ
h : IsLocalMin f a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
⊢ f' = 0
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ₁ φ₂ : (PiTensorProduct R fun i => s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)
⊢ φ₁ = φ₂
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y
c : R
⊢ Submodule.Quotient.mk (c • x) = Submodule.Quotient.mk (c • y)
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊆ t
hcard : Nat.card ↑t ≤ Nat.card ↑s
⊢ s = t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs
⊢ φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
R : Type u
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative ((Polynomial.monomial n) a) = (Polynomial.monomial (n - 1)) (a * ↑n)
R : Type u
Ring R
a : R[X]
⊢ (-a).toFinsupp = -a.toFinsupp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
⊢ ¬∃ c, a = c ^ 2
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
hf : ∀ {a a' : Ordinal.{u_4}} (ha : a < o) (ha' : a' < o), a < a' → f a ha < f a' ha'
ho : ∀ a < o, Order.succ a < o
i : Ordinal.{u_4}
h : i < o
⊢ f i h < o.bsup f
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin s.length.succ
⊢ s.toFun i = s.toFun j ↔ i = j
α : Type u_1
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable σ
c : α → Prop
DecidablePred c
f g : α → σ
hc : PrimrecPred c
hf : Primrec f
hg : Primrec g
⊢ Primrec fun a => if c a then f a else g a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hs_finite : μ s ≠ ⊤
ht_finite : μ t ≠ ⊤
h_inter : s ∩ t = ∅
x : F
⊢ (weightedSMul μ (s ∪ t)) x = (weightedSMul μ s + weightedSMul μ t) x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
(CategoryTheory.forget A).ReflectsIsomorphisms
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A), CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A), CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
⊢ J.WEqualsLocallyBijective A
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e‖ * ‖↑e.symm‖
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (N₁Γ₀.hom.app K).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n
α : Type u_2
AddMonoid α
f : Filter α
hf : 0 ≤ f
⊢ f + ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Inf β
ContinuousInf β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f ⊓ g)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).support = p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ (fun i => ⋃ (_ : i ∈ s), f i) = fun i => ⋃ (_ : i ∈ hs.toFinset), f i
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
IsRightCancelAdd α
s t : Set α
⊢ (s + t).Infinite ↔ s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
⊢ ¬Nat.card ↥(Stab w) = 1 ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R S) x = 0 ↔ x = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Semiring R
V : Type u_3
AddCommMonoid V
Module R V
g : Γ
⊢ ∀ (a : HahnSeries Γ V), (HahnSeries.coeff.linearMap g) a = (↑(HahnSeries.coeff.addMonoidHom g)).toFun a
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_7
MonoidWithZero M
MonoidWithZero M'
FunLike F M M'
Nontrivial M
ZeroHomClass F M M'
g : F
hg : Function.Injective ⇑g
x : M
h : x ∈ M⁰
⊢ g x ≠ 0
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f) = ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g)
⊢ ⇑f = ⇑g
R : Type u_1
LinearOrder R
OrderTop R
s : Multiset (Tropical R)
⊢ Tropical.untrop s.sum = (Multiset.map Tropical.untrop s).inf
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
a : α
σ : Perm β
x✝¹ x✝ : α × β
a₁ : α
b₁ : β
hab₁ : (prodExtendRight a σ) (a₁, b₁) ≠ (a₁, b₁)
a₂ : α
b₂ : β
hab₂ : (prodExtendRight a σ) (a₂, b₂) ≠ (a₂, b₂)
h : (fun ab x => ab.2) (a₁, b₁) hab₁ = (fun ab x => ab.2) (a₂, b₂) hab₂
⊢ (a₁, b₁) = (a₂, b₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Set.RightInvOn (↑I.symm) (↑I) (Set.range ↑I)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : M
y : ↥S
⊢ AddLocalization.mk x y = (AddLocalization.addMonoidOf S).mk' x y
⊢ Real.sqrtTwoAddSeries 0 2 = √(2 + √2)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ p * (‖x‖ ^ (p - 2) * ‖x‖) = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.leftInvSeq [i] = [cs.simple i]
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
l : List (Equiv.Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ σ.cycleType = ↑(List.map (Finset.card ∘ Equiv.Perm.support) l)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
⊢ μ ⟂ₘ μ → μ = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ)
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
self : CategoryTheory.BasedNatTrans F G
a : 𝒳.obj
⊢ 𝒴.p.IsHomLift (CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝒳.p.obj a)) (self.app a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k))) • P.g (1 / x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
m : ℕ
hm : ?m.378946 ≤ m
⊢ ((p m) fun x_1 => x) = 0
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ ⇑(p ⊔ q) = ⇑p ⊔ ⇑q
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
inst✝ : H.FiniteIndex
n : ℕ
hn : Nat.card (G ⧸ H.normalCore) = p ^ n
k : ℕ
left✝ : k ≤ n
hk2 : H.index = p ^ k
⊢ ∃ n, H.index = p ^ n
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
⊢ f x = nndist (0 x) (f x)
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
DecidableEq β
s : Finset α
⊢ s • 0 ⊆ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
ι'' : Type u_10
Fintype ι'
b'' : ι'' → M
⊢ b.toMatrix ⇑b' * b'.toMatrix b'' = b.toMatrix b''
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
r : R
x : M
⊢ ∃ n y, r ^ n.succ • y = r ^ n • x
l m r ml mm mr : List Char
b e : String.Pos
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s →
  Substring.ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e } →
    ∃ l' r', Substring.ValidFor l' mm r' (s.extract b e)
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 0 ≤ a - b ↔ b ≤ a
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid N
x : M × N
⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd M N) s
α : Type u_1
p p' : α × α
h : Sym2.mk p = Sym2.mk p'
⊢ Sym2.Rel α p p'
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ inv.aux a φ n = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β
⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑⊤ ↔ ↑s = ↑⊤ ∨ ↑t = ↑⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n < m
⊢ 1 / (↑m + 1) < 1 / (↑n + 1)
α : Type u_3
β : Type u_4
⊢ PartENat.card (α ⊕ β) = PartENat.card α + PartENat.card β
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
f : Filter Y
f.NeBot
g : Y → X
h : ∃ x, Filter.Tendsto g f (𝓝 x)
x : X
⊢ limUnder f g = x ↔ Filter.Tendsto g f (𝓝 x)
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι
⊢ max (max #R #ι) ℵ₀ = #ι
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
x : E
L : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasFDerivAtFilter f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') x L
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat (fun p => f p.2) ⋯ ((), a) =
  ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
⊢ s.WOppSide x y ↔ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMapIso e).inv = CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap e.inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → G i
s₁ s₂ : Finset ι
F : (i : ι) → G i := fun i => if i ∈ s₁ then f i else -f i
hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i
⊢ ‖∑ x ∈ s₁ \ s₂, (V x) (f x) + ∑ x ∈ s₂ \ s₁, -(V x) (f x)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
l : List α
i : ℕ
h : i + 1 < (List.scanl f b l).length
⊢ (List.scanl f b l).get ⟨i + 1, h⟩ = f ((List.scanl f b l).get ⟨i, ⋯⟩) (l.get ⟨i, ⋯⟩)
M : Type u
Add M
PseudoMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ dist (a + c) (b + c) = dist a b
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = DistribMulAction.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
TopologicalSpace γ₂
MeasurableSpace γ₂
BorelSpace γ₂
h : γ ≃ₜ γ₂
⊢ ⇑h.toMeasurableEquiv = ⇑h
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
⊢ ↑(((ad R ↥H) x ^ n) y) = ↑(0 y)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
⊢ S.leftInv.leftInv = S
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ a ∈ Filter.liminf s 𝓕 ↔ ∀ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
α : Type u_1
LE α
a : WithTop αᵒᵈ
b : WithBot α
⊢ WithTop.ofDual a ≤ b ↔ WithBot.toDual b ≤ a
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
hr : dist x y ≤ r
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑K * r
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
⊢ ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)