ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∫ (x : ℝ × ℝ) in Set.Icc a b, (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i : Fin 2, ((∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e b i) x))) - ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e a i) x)))
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
t : τ
ht : Tendsto (fun x => x + t) f f
⊢ ω f (fun t_1 x => ϕ.toFun (t_1 + t) x) s ⊆ ω f ϕ.toFun s
m x : ℤ
h1 : m ∣ x
h2 : |x| < m
⊢ x = 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ closure s
⊢ infEdist x s = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.toCycles (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₁ S₂.toCycles
S : Type u_3
Mul S
a b : S
h : Commute a b
⊢ SemiconjBy a b b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ ↔ AEStronglyMeasurable f μ
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsColimit t.toCocone
j : J
j' : Discrete J
⊢ t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0).ι.app j'
m n : Nat
⊢ Int.subNatNat m (m + n + 1) = Int.negSucc n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
l : List α
⊢ Multiset.Pairwise r ↑l ↔ List.Pairwise r l
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
⊢ Set.Ioo a₁ b₁ ⊆ Set.Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a < c - b ↔ a + b < c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n (ZMod p)) = p ^ n
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
p : X → Prop
h : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y
⊢ p x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)
x' : ↥(rootSpace H α) := ⟨x, hx⟩
m' : ↥(weightSpace M χ) := ⟨m, hm⟩
⊢ ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑(weightSpace M (α + χ))
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K L : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K * Ideal.comap f L ≤ Ideal.comap f (K * L)
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
hl : (∀ a' ∈ l ++ [0], a' + 2 ≤ a) ∧ Pairwise (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1
⊢ (map fib (a :: l)).sum < fib n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ ⇑(P.coreflection i) '' Set.range ⇑P.coroot = Set.range ⇑P.coroot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
CategoryTheory.Limits.HasImageMaps C
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ CategoryTheory.Limits.im.obj f = CategoryTheory.Limits.image f.hom
n : ℕ
⊢ List.Nat.antidiagonalTuple 1 n = [![n]]
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
M : Type u_6
Zero M
f : Y → M
hf : HasCompactSupport f
φ : X ≃ₜ Y
⊢ HasCompactSupport (f ∘ ⇑φ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
⊢ SmoothOn I' I (fun x => (f x)⁻¹) s
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x y : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑M₁
ihx : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x
ihy : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) y = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) y
⊢ (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x + y) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x + y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.59971, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.59975, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map (f ≫ g) = Hom.mk ((ofHom W f).comp₀ (ofHom W g) (ofHom W g))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x + n • c) = ↑n.negOnePow • f x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ (A.updateColumn i fun k => A k i + c • A k j).det = A.det
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
h : e.source ⊆ s
⊢ e.restr s = e
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) (↑e.symm (↑e.toPartialHomeomorph p))
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i * c ∧ c ≤ ⨆ i, f i * c
α : Type u
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
⊢ IsStrictOrder α (Function.swap r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ e.counitInv.app (e.functor.obj X) = e.functor.map (e.unit.app X)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ ((s \ s₂).weightedVSub p) w - (s₂.weightedVSub p) (-w) = (s.weightedVSub p) w
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: MvQPF.Fix F α)
⊢ (MvQPF.Fix.mk x).dest = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, 1 = defaultRatCDF b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
⊢ l = [l.nthLe 0 ⋯]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : PartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑e.symm (↑e x))
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ s ⊆ intrinsicClosure 𝕜 s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ⨅ x, ‖y - ↑x‖ ≤ ‖y - a‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ a ^ n ≤ 0 ↔ a ≤ 0
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
Field F
Field K₁
Algebra F K₁
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra K₁ E
IsScalarTower F K₁ E
Normal F K₁
Normal F E
⊢ Function.Surjective ⇑(AlgEquiv.restrictNormalHom K₁)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : x ∉ closure s
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = 0
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
Archimedean α
ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
⊢ ∃ n, y ^ n < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : T.mor₁ = 0
⊢ CategoryTheory.Mono T.mor₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
h : φ ≠ 0
⊢ (φ.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
⊢ MeromorphicAt f x ↔ ∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
x : X
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝[Set.range f] f x
n m : Nat
h : n > m
⊢ ¬n ≤ m
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
x : R
y : ↥M
⊢ mk x y = mk' (Localization M) x y
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
⊢ 0 < p.toReal ↔ p ≠ ⊤
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Surjective f
this : lift.{u, v} #β ≤ lift.{v, u} #α
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
A : Type u_1
CommRing A
Γ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation A Γ
S : Submonoid A
hS : S ≤ v.supp.primeCompl
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
IsLocalization S B
a : A
⊢ (v.extendToLocalization hS B) ((algebraMap A B) a) = v a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ s ⊆ MeasureTheory.toMeasurable μ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
⊢ f i * f j = ∏ k ∈ cons i {j} ⋯, f k
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
⊢ IsIntegralClosure A R B
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
x : E
⊢ (p + q) x = p x + q x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ⟪x, y⟫_𝕜 = 0
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x y : ↥S
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : MulAction A M
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
r : R
x : M
⊢ (algebraMap R A) r • x = r • x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ y
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)
R : Type u_1
CommRing R
d : DualNumber (Quaternion R)
⊢ TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv.symm d).re = (TrivSqZeroExt.fst d).re
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ (X.restrict h).presheaf = ⋯.functor.op ⋙ X.presheaf
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (s₁ ⋈ s₂).get (2 * n + 1).succ.succ = s₂.get n.succ
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some q.copy, var := s, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d }
  { l := some q, var := none, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
LocallyCompactSpace G
μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
⊢ E - E ∈ 𝓝 0
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles A)
g h : G
⊢ ↑f (g * h) = ↑f g + ↑f h
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
⊢ ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖₊ = ‖a‖₊
⊢ ‖A.map f‖₊ = ‖A‖₊
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2)) = Complex.abs ((cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2)) / 2)
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
n : Nat
⊢ 1 < 2 ^ n ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym α n.succ
a : α
h : a ∈ s
⊢ ↑(s.erase a h) = (↑s).erase a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b < c
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Ioo b c = Set.Ico a c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable f Measure.count
ι : Sort uι
R✝ : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
A✝ : Type v
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
S✝ T : Set A✝
M N P Q : Submodule R✝ A✝
m n : A✝
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : Module R A
S S' : Set A
x : A
hx : x ∈ span R (S * S')
⊢ ∃ T T', ↑T ⊆ S ∧ ↑T' ⊆ S' ∧ x ∈ span R (↑T * ↑T')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).unop = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g.unop f.unop
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
⊢ (ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = singleton f
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ S
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : a < 1
hb : b < c
⊢ a * b < c
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * n]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
⊢ IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₁ g₁
adj₂ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₂ g₂
⊢ (adj₁.comp adj₂).counit = adj₁.compCounit adj₂
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (p.rootSet S) (p.rootSet S')
n : ℕ
G : Type u_3
Group G
f : Fin n → G
i : Fin n
⊢ (Fin.partialProd f i.castSucc)⁻¹ * Fin.partialProd f i.succ = f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S).f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.L₁
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
⊢ ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j : J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
⊢ Set.MapsTo (F.map f) (F.eventualRange j) (F.eventualRange i)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ
a : α
⊢ n • (a ::ₘ s) = n • {a} + n • s
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
this : n ≤ l.length
⊢ ns.sum ≤ l.length - n
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
⊢ 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
⊢ ∀ (h : (find P).Dom), n < (find P).get h
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (Perfection.coeff S p n) ((Perfection.map p φ) f) = φ ((Perfection.coeff R p n) f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
g : A →ₐ[R] B
x : A[X]
⊢ ((mapAlgHom f).comp (mapAlgHom g)) x = (mapAlgHom (f.comp g)) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ ⊤ ⇔ a = a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g + h) = f ≫ g + f ≫ h
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
S : Type u_3
SMulZeroClass S R
ContinuousConstSMul S R
SMulZeroClass S A
IsScalarTower S R A
IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => s • x) a = s • a
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
y : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, Commute y x
⊢ Commute y a✝.prod
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖g x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
t : Subring S
h : t ≤ f.range
⊢ map f (comap f t) = t
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b : G
h : a * b = 1
⊢ b⁻¹ = a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S T : J.Cover X
I₁ I₂ : S.Arrow
r : I₁.Relation I₂
f : S ⟶ T
⊢ (r.map f).Z = r.Z
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z z' z1 : ℤ_[p]
hz' : z' = z - z1
hz1 : ‖z1‖ = ‖Polynomial.eval z F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
n : ℕ
hz : ih_gen n z
⊢ ‖z' - z‖ = ‖z1‖