ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
m : M
hm : m ∈ span R {v i} ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j}
⊢ m ∈ ⊥
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G
⊢ μ ((fun h => h * g) ⁻¹' A) = μ A
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.map Prod.fst (List.enumFrom n l) = List.range' n l.length
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
⊢ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq) = of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
One β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x y z : M
⊢ (B (x + y)) z = (B x) z + (B y) z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
CompleteSpace F
LocallyCompactSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
μ : MeasureTheory.Measure (α × 𝕜)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun p => deriv (f p.1) p.2) μ
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ (ae μ)⁻¹ = ae μ
x y : Int
h : ¬x < y
⊢ y ≤ x
α : Type u
TopologicalSpace α
LocallyConnectedSpace α
x : α
⊢ IsOpen (connectedComponent x)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
f : α →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.toMultiset f).sum = f.sum fun a n => n • a
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
⊢ μ[|s] t * μ s + μ[|sᶜ] t * μ sᶜ = μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
p : (a : β) → a ∈ Finset.map f s → Prop
⊢ (∀ (y : β) (H : y ∈ Finset.map f s), p y H) ↔ ∀ (x : α) (H : x ∈ s), p (f x) ⋯
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
s : σ
x : List α'
⊢ (comap f M).evalFrom s x = M.evalFrom s (List.map f x)
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R) (Metric.ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ Metric.ball c R
⊢ dist (f z) c ≤ dist z c
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x✝ : ↥p
x : E
hx : ↑f x ∈ p
⊢ ↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨↑f x, hx⟩) = ↑⟨↑f x, hx⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ 𝓝ˢ (interior s)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
h : (I.prod ⊤).IsPrime
⊢ I.IsPrime
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
⊢ μ univ = ν univ
S : Type u
inst✝ : State S
s t : S
m : t ∈ l s
h : turnBound s = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
this : TopologicalAddGroup F
⊢ WithSeminorms (q.comp f)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ 𝓝[<] a
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (-n / (P z * d)) = (-n * (n ^ 2 - W.a₁ * n * P z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * d ^ 2 - 2 * P x * d ^ 2 - P x * d ^ 2) + P y * d ^ 3) / (P z * d) ^ 3
α : Type u
a b c : α
LE α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b = c
⊢ a ≤ c
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y) = -1 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : ∀ x ∈ E, φ x = x
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
e : M ≃L[R] M₂
f : M →L[R] M₂
⊢ f.inverse = (Ring.inverse ((↑e.symm).comp f)).comp ↑e.symm
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
⊢ ↑p ^ i ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑(cos (x + y)) = ↑(cos x * cos y - sin x * sin y)
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
den_pos : 0 < ↑q'.den
md_pos : 0 < (↑m + 1) * ↑q'.den
⊢ ↑q'.den < ↑m + 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : 𝕎 R
⊢ (TruncatedWittVector.truncate hm) ((WittVector.truncate m) x) = (WittVector.truncate n) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ ℵ₀ < univ.{u, v}
α : Type u_1
⊢ ∀ (m n : Num), ↑(m.ldiff n) = (↑m).ldiff ↑n
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)
⊢ ↑(↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))) = ϕ ↑x
x x' : SetTheory.PGame
⊢ (-x).insertLeft (-x') = -x.insertRight x'
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : y ∈ v
h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ
xv : x ∉ v
yu : y ∉ u
this : (s ∩ (u ∪ v)ᶜ).Nonempty
⊢ False
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕂 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ hf.localInverse hf' hn (f a) = a
n m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ n ∈ m.properDivisors ↔ n ∣ m ∧ n < m
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Function.Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).IsHamiltonianCycle
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x) = -x
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 x, y.re < 0 ∧ y.im < 0
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι']→ₗ[R] N
⊢ (AlternatingMap.domDomCongrEquiv σ).symm f = AlternatingMap.domDomCongr σ.symm f
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ -a • b₂ < -a • b₁ ↔ b₂ < b₁
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
AddCommGroup M₄
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
x : M₁ ⊗[R] M₃
⊢ (Q₂.tmul Q₄) ((TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) x) = (Q₁.tmul Q₃) x
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n i : ℕ
⊢ ↑p ^ (i + 1) * x.verschiebungFun.coeff (i + 1) ^ p ^ (n + 1 - (i + 1)) = ↑p * (↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n - i))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)
hB :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.im) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ
this : ¬single s 1 ≤ 0
⊢ (coeff R 0) (φ * X s) = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ ProbabilityTheory.iIndepSet f μ ↔ ProbabilityTheory.iIndepSets (fun i => {f i}) μ
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0
⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (Real.log x.1 * x.2) * Real.cos (x.2 * π)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
⊢ ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring R
CommRing S
Nontrivial S
NonUnitalRing A
Algebra R S
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Module R A
IsScalarTower R S A
a : A
⊢ 0 ∈ spectrum R ↑a
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ map (↑I.symm) (𝓝[range ↑I] ↑I x) = 𝓝 x
a b c : ENNReal
h : a ≤ b / c
⊢ a * c ≤ b
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M₂
x : ι → R
x✝¹ : ι
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ f (x x✝¹ • fun j => if x✝¹ = j then 1 else 0) = x x✝¹ • f fun j => if x✝¹ = j then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ BddBelow {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
⊢ (f + g).prod h = f.prod h * g.prod h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
β : Type v
r : β → β → Prop
IsRefl β r
IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ r (f b) (f c)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (B (l (b₁' i))) (r (b₂' j)) = ∑ x : m, ∑ i_1 : n, (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 * (B (b₁ i_1)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α
⊢ map f (foldl List.erase l₁ l₂) = foldl (fun l a => l.erase (f a)) (map f l₁) l₂
M : Type u_11
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
T2Space M
R : Type u_12
DivisionRing R
Module R M
ContinuousConstSMul R M
G : Type u_13
AddGroup G
Γ : AddSubgroup G
f : G → M
g : G ⧸ Γ → R
⊢ QuotientAddGroup.automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) = g • QuotientAddGroup.automorphize f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ a₂ : α
⊢ Finset.Icc (Sum.inlₗ a₁) (Sum.inlₗ a₂) = Finset.map (Function.Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Icc a₁ a₂)
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t
⊢ 2 * t.card ≤ Fintype.card α
x : Int
xs : List Int
⊢ ↑(Lean.Omega.IntList.gcd (x :: xs)) ∣ x
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ comap f ⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ Nonempty ↑(Metric.sphere 0 r)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
τ₁ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
τ₂ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₂
τ₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₁ S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f τ₂
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₂ S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homMk τ₁ τ₂ τ₃ comm₁₂ comm₂₃).τ₂ = τ₂
M : Type u_1
S : Set M
AddSemigroup M
⊢ ↑(AddSubsemigroup.centralizer S) = S.addCentralizer
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ (↑e).toAddMonoidHom = e.toAddEquiv.toAddMonoidHom
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
⊢ IsGalois F E
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h'x : x ≤ 1
⊢ Real.log x ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : Cᵒᵖ
Y : C
⊢ (CategoryTheory.preadditiveCoyonedaObj X).obj Y = ModuleCat.of (CategoryTheory.End X) (Opposite.unop X ⟶ Y)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
⊢ IsPreirreducible s
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
⊢ ↑y⁻¹ * (↑y * a) * ↑x⁻¹ = ↑y⁻¹ * a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)
y : Y
ty : y ∈ t
hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)
⊢ ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α
⊢ ∃ i, x ∈ s i
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥(FixedPoints.subfield G F)) F ≤ Fintype.card G
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0
R : Type u_6
AddGroupWithOne R
Fintype R
⊢ ↑(Fintype.card R) = 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2
⊢ (1 + ‖x‖) ^ 2 ≤ 2 * (1 + ‖x‖ ^ 2)
p q : ℤ[X]
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ (p.sum fun n x => x ^ 2) = 3
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
a b : G
⊢ x.divOf (a + b) = (x.divOf a).divOf b
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
⊢ (∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n) ∧ ((rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom ↔ (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((changeFormAux Q' B) m) (((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) 1) x) = (ι Q') m * (changeForm h) x - (contractLeft (B m)) ((changeForm h) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : σ (π⁻¹ b) = π⁻¹ b
⊢ b ∉ (π * σ * π⁻¹).support
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
f : C(X, Y)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen {x | MapsTo (⇑(x.comp f)) K U}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
c : γ
⊢ (∀ i₂ ∈ t, ∀ i₁ ∈ s, l i₁ i₂ ≤ c) ↔ ∀ b ∈ t, b ≤ u₂ (sSup s) c
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Function.Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ᶠ (j : β), g j
α : Type u_9
β : Type u_10
Semiring α
Invertible 2
Lattice β
AddCommGroup β
Module α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = ⅟2 • (x + y - |y - x|)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Gamma (s / 2) ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ sInf I.minimalPrimes = I.radical
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : C(β, γ)
g₁ g₂ : C(α, β)
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f.comp g₁ = f.comp g₂ ↔ g₁ = g₂
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α
⊢ IsStronglyCoatomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a * b)
⊢ IsSMulRegular M b
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg (g / f)
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ g
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
y : ↑(X.presheaf.stalk (e.inv.val.base (e.hom.val.base x)))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.hom x)
    ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x)) y) =
  (X.presheaf.stalkSpecializes ⋯) y
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ 1 = AddConstMap.id
α : Type u_2
One α
⊢ Filter.NeBot 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanIso n B C g
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
⊢ (map (g ∘ f) s).prod = (map (g ∘ f) t).prod ↔ s.prod = t.prod
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
φ : U ⥤q V
⊢ ∀ {X Y : Quiver.Symmetrify U} (a : (X ⟶ Y) ⊕ (Y ⟶ X)), φ.symmetrify.map a = Sum.map φ.map φ.map a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
h : s ⊆ e.target
⊢ ↑e '' (↑e.symm '' s) = s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Epi f
qbar : Pseudoelement Q
q : Over Q
⊢ 𝟙 (pullback f q.hom) ≫ ((fun g => app f g) (Over.mk (pullback.fst f q.hom))).hom = pullback.snd f q.hom ≫ q.hom
α : Type u_2
LinearOrder α
m : WithTop α
s : Finset α
st : ∀ a ∈ s, m ≤ ↑a
⊢ m ≤ s.min
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
s : Set α
⊢ u (sInf (l '' s)) = sInf s
X : TopCat
⊢ ↑(stoneCechObj X).toTop = StoneCech ↑X