ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G
inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (range f)
a : G
⊢ (⨆ i, f i) / a = ⨆ i, f i / a
α : Type u_1
AddCommGroup α
n : ℤ
x a k a' : α
h : a + k = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a + k = Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a'
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ (f / g).NeBot → g.NeBot
G : Type u_12
SubtractionCommMonoid G
⊢ ∀ (a : G), (AddEquiv.neg G) a = -a
a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ y) (𝓝 0) (𝓝 0)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x : G
⊢ (f * MonoidAlgebra.single 1 r) x = f x * r
a : UnitAddCircle
⊢ { f := ofReal' ∘ evenKernel (-a), g := ofReal' ∘ cosKernel (-a), k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if -a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel a, g := ofReal' ∘ cosKernel a, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
hr : r ∈ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
⊢ C r
α : Type u_1
Union α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma ∪ mb ∈ a ∪ b
x y z : ℂ
h₁ : -π < (log x * y).im
h₂ : (log x * y).im ≤ π
⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
TopologicalSpace α
f : α → G
x : α
hf : ContinuousAt f x
z : ℤ
⊢ ContinuousAt (fun x => f x ^ z) x
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → A) →ₗ[A] ι → A
⊢ (toMatrix' f).det = LinearMap.det f
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : Continuous f
⊢ IsLindelof (f '' s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : E
c : 𝕜
⊢ ‖(toSpanSingleton 𝕜 E x) c‖ = ‖x‖ * ‖c‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b
⊢ Ioc a (pred b) = Ioo a b
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a ≤ b / c ↔ a * c ≤ b
a b c : Int
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c
⊢ a = c * b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ¬c = 0 → ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h => h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2
B : (fun x => (f'' w) v - (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun x => 1
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z
⊢ ((h₁.invFun.comp h₂.invFun).comp (h₂.toFun.comp h₁.toFun)).Homotopic (h₁.invFun.comp h₁.toFun)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s ×ˢ (t₁ ∩ t₂) = s ×ˢ t₁ ∩ s ×ˢ t₂
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬⊥.SOppSide x y
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
⊢ IntervalIntegrable (fun y => v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1))) volume 0 1
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
⊢ F.map f x ∈ range (F.map f')
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
b : α
Nonempty ι
f : ι → α
h : b < iSup f
⊢ ∃ i, b < f i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
x : L
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = LinearMap.charpoly (φ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedRing 𝕜
f✝ f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : Integrable g μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a * g a‖ ≤ (c • fun a => ‖g a‖) a
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueAdd A B a0 b0
⊢ UniqueAdd (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
  (AddOpposite.op b0) (AddOpposite.op a0)
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : IsRelPrime x z
⊢ IsRelPrime x (y * z)
R : Type u
ι : Type v
A : Type u_1
Fintype ι
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
TopologicalSpace A
ContinuousMul A
m : ι → A
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra R ι A) m = ∏ i : ι, m i
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∀ (a : ↑M), φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∀ (a : ↑M), ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)
α : Type u
l : List α
⊢ List.map Prod.fst l.revzip = l
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
f : γ → α
e : α ≃o β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => e (f x)) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
G : Type u_1
CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
⊢ g • s = s
X Y : FintypeCat
f : X ≅ Y
y : ↑Y
⊢ f.hom (f.inv y) = y
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
⊢ LinearMap.ker f = ⊥ ↔ LinearMap.range f = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
t u v : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj t u
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).tail ⋯ = p
X Y : CommGrp
e : ↑X ≃* ↑Y
⊢ e.toCommGrpIso.hom = e.toMonoidHom
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.squashGCF n = g
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.map (↑f) K = NonUnitalSubsemiring.comap f.symm K
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
⊢ (f -ᵥ g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite = μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : CategoryTheory.Functor D E
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hmap : HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ HEq ((F.comp H).map f) ((G.comp H).map f)
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
j : x.RightMoves
⊢ x ≤ x.moveRight j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
self : CategoryTheory.InjectivePresentation X
⊢ CategoryTheory.Injective self.J
f : Nat → Bool
m n : Nat
⊢ (Nat.all f n && Nat.allTR.loop f (m + n) m) = Nat.all f (m + n)
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : max a b ≤ c
⊢ a ≤ c
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
⊢ (G.interedges s t).card ≤ s.card * t.card
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
CommSemiring R
CommSemiring S₃
f : MvPolynomial S₁ R →+* MvPolynomial S₂ S₃
g : MvPolynomial S₂ S₃ →+* MvPolynomial S₁ R
hfgC : (f.comp g).comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C
hfgX : ∀ (n : S₂), f (g (MvPolynomial.X n)) = MvPolynomial.X n
hgfC : (g.comp f).comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C
hgfX : ∀ (n : S₁), g (f (MvPolynomial.X n)) = MvPolynomial.X n
a : MvPolynomial S₁ R
⊢ (MvPolynomial.mvPolynomialEquivMvPolynomial R S₁ S₂ S₃ f g hfgC hfgX hgfC hgfX) a = f a
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x.2 ∈ s ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 * x.1 = a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a
m : ℕ
⊢ 0 < ack (m + 1) 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
p : Submodule R M
p' : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f p ⊓ p' = Submodule.map f (p ⊓ Submodule.comap f p')
α : Type u_2
PartialOrder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
⊢ ⊥ ⋖ ⊤
x : ENNReal
h : 0 < x.toReal
⊢ x.log = ↑(Real.log x.toReal)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
⊢ (DirichletCharacter.changeLevel hm) χ = MulChar.ofUnitHom ((MulChar.toUnitHom χ).comp (ZMod.unitsMap hm))
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
⊢ s.encard - 1 ≤ (s \ {x}).encard
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
α : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
j : CategoryTheory.Discrete α
⊢ (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinsetColimitCocone F).cocone.ι.app j =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinset F) {j}
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
⊢ ⇑(LinearMap.toContinuousLinearMap f) = ⇑f
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ inverse ↑u = ↑u⁻¹
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : CochainComplex V ℕ
e : P ⟶ Q
zero : P.X 1 ⟶ Q.X 0
comm_zero : e.f 0 = P.d 0 1 ≫ zero
one : P.X 2 ⟶ Q.X 1
comm_one : e.f 1 = zero ≫ Q.d 0 1 + P.d 1 2 ≫ one
succ :
  (n : ℕ) →
    (p :
        (f : P.X (n + 1) ⟶ Q.X n) ×'
          (f' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' e.f (n + 1) = f ≫ Q.d n (n + 1) + P.d (n + 1) (n + 2) ≫ f') →
      (f'' : P.X (n + 3) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' e.f (n + 2) = p.snd.fst ≫ Q.d (n + 1) (n + 2) + P.d (n + 2) (n + 3) ≫ f''
i j : ℕ
h : i + 1 = j
⊢ (HomologicalComplex.xNextIso P h).inv ≫ (Homotopy.mkCoinductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ i).snd.fst =
  (Homotopy.mkCoinductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ j).fst ≫ (HomologicalComplex.xPrevIso Q h).hom
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
g : M →+ N
hg : Function.Injective ⇑g
f : α → M
⊢ g (∑ᶠ (i : α), f i) = ∑ᶠ (i : α), g (f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection U
inst✝ : HasOrthogonalProjection V
h : U ≤ V
x : E
⊢ (orthogonalProjection U) x = (orthogonalProjection U) ↑((orthogonalProjection V) x)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ cos (angle x y) = cos (π / 2) ↔ angle x y = π / 2
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β
⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NonUnitalNormedRing A
StarRing A
CompleteSpace A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : ContinuousMapZero (↑(quasispectrum 𝕜 a)) 𝕜
⊢ (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < ε + μ s
⊢ μ t - μ s < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ c • (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
A : Set M
h : A ⊆ ↑S
x : M
⊢ x ∈ S.withConstants h ↔ x ∈ S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
A : Type u_4
K : Type u_5
CommRing A
IsDomain A
L : Type u_6
Field K
Field L
Algebra A K
Algebra A L
IsFractionRing A K
C : Type u_7
CommRing C
IsDomain C
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
Algebra K L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
⊢ IsFractionRing C L
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1)
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ∣ 1
⊢ a' * g ∣ b' * g
α : Type u
s t : Set α
h : (s \ t).Nonempty
⊢ s.Nonempty
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
X Y : T
i : X ≅ Y
p : Arrow T
sq : mk i.hom ⟶ p
⊢ i.inv ≫ sq.left ≫ p.hom = sq.right
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V
p : P
⊢ z +ᵥ p ∈ affineSegment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y
α : Type u
s t : Set α
x : α
⊢ x ∈ s \ t ↔ x ∈ s ∧ ¬x ∈ t
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ AntitoneOn f Set.univ ↔ Antitone f
α : Type u_1
⊢ Equivalence (Sym2.Rel α)
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsPreconnected s ↔
  ∀ (t t' : Set α),
    IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih : ∀ (A : Fin n → Fq[X]), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' : ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ}, ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin (n + 1)), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ (Set.Icc v.tMin v.tMax).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inl
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
⊢ F.symm.symm = F
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
x : α
⊢ x ∈ p.snoc newLast rel ↔ x ∈ p ∨ x = newLast
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C × C
⊢ (CategoryTheory.tensorMonoidal C).obj X = X.1 ⊗ X.2
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ (range ENNReal.toEReal).OrdConnected
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
n : S
⊢ (Algebra.Generators.self R S).σ n = MvPolynomial.X n
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s ∩ t).ncard + (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = AddLocalization.mk x y
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ
⊢ a ^ n < a ^ (n.succ + k)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
c✝ c : M'
x : M
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x fun x => c) 0 (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
⊢ Indep (generateFrom {s}) ⊥ κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
⊢ (κ.map f hf) a = MeasureTheory.Measure.map f (κ a)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖
huv : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c * ‖v x‖
φ : α → 𝕜
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖
c : ℝ
hc : 0 < c
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x - 1‖ < c / 2 / C
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.of v).h = ↑(GenContFract.IntFractPair.seq1 v).1.b
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
H : ⇑c = ⇑d
⊢ c = d
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
h : Y ⟶ Y
⊢ f = f ≫ 𝟙 Y
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
fr : RestrictScalars ℝ 𝕜 F →L[ℝ] ℝ
x : F
⊢ fr.extendTo𝕜 x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
⊢ s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ IsOpen (exterior s)
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
⊢ (coeff R n) (φ ^ k) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) φ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ ∀ {X Y : T.Algebra} (f : X ⟶ Y), T.forget.map f = f.f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f ↔ ∀ (x : X), ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f y = f x
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
b : β
⊢ Finset.image₂ f s {b} = Finset.image (fun a => f a b) s
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ ↑(n + 1).primeFactorsList, Irreducible x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x = fderivWithin 𝕜 f s x
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
s : Set M
f : M → N
hs : Submonoid.closure s = ⊤
h1 : f 1 = 1
hmul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), f (x * y) = f x * f y
⊢ ⇑(MonoidHom.ofClosureMEqTopLeft f hs h1 hmul) = f