ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
⊢ s = t
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
a : α
h : ¬p a
⊢ (Finsupp.filter p f) a = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubsemiringClass.subtype S = ↑(NonUnitalSubalgebraClass.subtype S)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
  ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 ℝ ℝ hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (f + g)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ s.disjUnion t h = s ∪ t
x y : ℝ
⊢ range arcsin = Icc (-(π / 2)) (π / 2)
u : ℤ
⊢ IsUnit u ↔ u = 1 ∨ u = -1
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
⊢ ∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, π ⊓ splitMany I t = (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f.curry g ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ᶠ (y : β) in g, (x, y) ∈ s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : g.Separable
h : IsCoprime f g
⊢ IsCoprime (f * g) (derivative f * g + f * derivative g)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
c : Fintype.card V < r
⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ S, span R {x})
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
⊢ slope f x y < f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x b : α
hb : b ∈ {x}
⊢ typein r x < succ (typein r x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : C
⊢ EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.rightAdd X Y x x_1) 0
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
I : Ideal ℤ
g : ↥I →ₗ[ℤ] A
⊢ ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).counitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
⊢ (if k = n then x else 0) = if n = k then x else 0
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ ((α_ X.X X.X N.X).inv ≫ (α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ
h₁ : cs.length (cs.wordProd (take j ω)) ≤ (take j ω).length
h₂ : cs.length (cs.wordProd (drop j ω)) ≤ (drop j ω).length
h₃ : (take j ω).length + (drop j ω).length ≤ cs.length (cs.wordProd (take j ω)) + cs.length (cs.wordProd (drop j ω))
⊢ cs.IsReduced (take j ω) ∧ cs.IsReduced (drop j ω)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskeringEquivalence e).inverse =
  CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.inverse ⋙ CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
⊢ x ⊔ y < z
n : Type u_3
α : Type v
Semiring α
Fintype n
DecidableEq n
v : n → α
k : ℕ
⊢ Matrix.diagonal v ^ k = Matrix.diagonal (v ^ k)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
w x y z : α
hwx : w ≠ x
hyz : y ≠ z
h : ∀ {y z : α}, y ≠ z → w ≠ z → swap w y * swap x z * swap w x * (swap w y * swap x z)⁻¹ = swap y z
hwz : w = z
⊢ z ≠ y
α : Type u_1
IdemSemiring α
a b : α
⊢ a + b = b ↔ a ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
x✝ : X
⊢ ↑(thickenedIndicatorAux δ E x✝).toNNReal = thickenedIndicatorAux δ E x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ CategoryTheory.tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
    CategoryTheory.tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ▷ (X₃ ⊗ Y₃) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
  ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
    CategoryTheory.tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ CategoryTheory.tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤
⊢ ↑σ ∈ ↑H ∧ τ ∈ ↑H
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun a => MulOpposite.op (f a)) (MulOpposite.op a)
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) + -I * ↑0 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)))
⊢ HasSum (fun x => ↑(2 * ↑x * Real.sin (2 * π * a * ↑x) * rexp (-π * ↑x ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s
⊢ False
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ J ∈ π.toPrepartition ↔ J ∈ π
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
M : Matrix m n α
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ) M = M.submatrix ⇑eₘ.symm ⇑eₙ.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
⊢ Disjoint (f (g i)) (t.sup f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ α → ℝ≥0∞
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalStarSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ T
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ((NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h) x) = (f i) x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ IsInteger R (a • b)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.4974
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
⊢ MeasurableSpace.comap (Function.eval i) (m i) ≤ MeasurableSpace.generateFrom ((fun a => Function.eval i ⁻¹' a i) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
⊢ P ≤ CategoryTheory.isoClosure P
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic b = Set.Iic ↑b
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
T2Space M
T2Space M₂
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
⊢ e (∑' (z : ι), f z) = ∑' (z : ι), e (f z)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b : α
hab : a < a + b
d : α
hcd : c < c + d
⊢ a * c + (a + b) * c + a * d < a * c + (a + b) * c + (a + b) * d
n : ℕ
⊢ Λ (n + 1) ≤ ∑ i ∈ (n + 1).divisors, Λ i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : f x ∈ Ioo (f a) (f b)
⊢ a < x ∧ x < b
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
x : α
xs : List α
⊢ List.foldl f b (xs ++ [x]) = f (List.foldl f b xs) x
R : Type u
Semiring R
DecidableEq R
n : ℕ
⊢ Polynomial.degreeLT R n = Submodule.span R ↑(Finset.image (fun n => Polynomial.X ^ n) (Finset.range n))
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⁻ (y : (i : { x // x ∈ ∅ }) → π ↑i), f (updateFinset x ∅ y) ∂Measure.dirac fun a => isEmptyElim a) = f x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup = s ↔ s.Nodup
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Precoherent D
X : C
S : Sieve X
this : Precoherent C
⊢ S ∈ (coherentTopology C).sieves X ↔ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : ℝ
hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x
this✝ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[≥] x, ‖f x_1 - f x - (x_1 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
m : ℝ
xm : m ∈ Ioi x
hm : Ico x m ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f x_2 - f x - (x_2 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ ε / 2 * ‖x_2 - x‖) x_1}
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 (m - x)
this : r ∈ Ioc (r / 2) r
⊢ x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.re (z / w) = RCLike.re z * RCLike.re w / RCLike.normSq w + RCLike.im z * RCLike.im w / RCLike.normSq w
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeft R l).obj X).right = X.right
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
m : Fin n → M
x y : M
⊢ f (Matrix.vecCons (x + y) m) = f (Matrix.vecCons x m) + f (Matrix.vecCons y m)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
AddCommMonoid V
MulZeroClass R
SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
b : Γ
⊢ ((HahnModule.of R).symm ((HahnSeries.single b) r • x)).coeff (b +ᵥ a) = r • ((HahnModule.of R).symm x).coeff a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.210393, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
φ : S ⟶ S₁
inst✝ : S₁.HasLeftHomology
⊢ (k ≫ φ.τ₂) ≫ S₁.g = 0
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
f : Equiv.Perm (Subtype p)
ha : ¬p a
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype f) a = a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ symmDiff s t = symmDiff (a +ᵥ s) (a +ᵥ t)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ s ∩ u ⊆ t ∩ u
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
Algebra.IsAlgebraic F K
⊢ IsNormalClosure F K L ↔ (∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K L = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k : ℕ
m : ℕ+
inst✝ : ExpChar R p
ζ : Rˣ
⊢ ζ ^ (p ^ k * ↑m) = 1 ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
AddCommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
⊢ (∑ j : ι, if i = j then f j else 0) = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α
this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun s => 𝓟 ↑s
U : Set α
⊢ U ∈ B.filter ↔ U ∈ ⨅ s, 𝓟 ↑s
X Y : BddOrd
a : BoundedOrderHom ↑X.toPartOrd ↑Y.toPartOrd
⊢ BddOrd.dual.map a = BoundedOrderHom.dual a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
this : T ≤ S ⊔ T
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
x : (a : ι) → π a
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, s a ∈ 𝓝 (x a)
⊢ i.pi s ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
g : s ≼i r
⊢ (f.antisymm g).symm = g.antisymm f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f g : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ IsLocalExtr f a ↔ IsLocalExtr g a
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
⊢ indicator c ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)
α : Type u_1
ι : Type u_2
N : Type u_10
AddCommMonoid N
S : Finset ι
f : ι → α →₀ N
a : α
⊢ (∑ i ∈ S, f i) a = ∑ i ∈ S, (f i) a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
self : SimplicialObject.Augmented.ExtraDegeneracy X
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ self.s n ≫ X.left.σ i.succ = X.left.σ i ≫ self.s (n + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P
⊢ inversion c (dist x c) x = x
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b < a * 1 ↔ b < a
α : Type u_2
LT α
⊢ DenselyOrdered αᵒᵈ ↔ DenselyOrdered α
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ EMetric.diam {x} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ Finset.range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ Finset.range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ i,
  ∀ j ≥ i,
    abv
        ((∑ k ∈ Finset.range j, f k) * ∑ k ∈ Finset.range j, g k -
          ∑ n ∈ Finset.range j, ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), f m * g (n - m)) <
      ε
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n / rexp 1 ^ k < (rexp 1 * C)⁻¹
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
⊢ X.basicOpen s = ⊥ ↔ s = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs₁ : IsOpen s₁
hs₂ : IsOpen s₂
h₁ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₁
h₂ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₂
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (s₁ ∪ s₂)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : Set M
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => n • x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
⊢ StrictMono (MeasureTheory.ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ range v ≤ ↑(span R w)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
α : Type u
PartialOrder α
a b : α
⊢ a = b ↔ a ≤ b ∧ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : β → α
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
i : ι
⊢ s i ⊆ {y | ∀ ⦃x : β⦄, f x = y → x ∈ t} ↔ f ⁻¹' s i ⊆ t
R : Type u
CommRing R
j : R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ j).c₄ = j * (j - 1728) ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1
s t : Set α
h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f
this : ∀ {s : Set α}, Function.mulSupport (s.mulIndicator f) =ᶠ[l] s
⊢ s =ᶠ[l] t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
⊢ closure s ∩ coborder s = s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
⊢ IsFiltered C ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F.op ⋙ yoneda.obj X))
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
y x : R
⊢ (AddMonoid.End.mulRight y) x = x * y
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : Group M} {x_1 : MulOneClass N} {x_2 : CommGroup P} (f : M →* N →* P) (m : M) (n : N), (f m⁻¹) n = ((f m) n)⁻¹
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * c
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (↑x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = ↑x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₛₗ[J] V₂
x y : V
⊢ y ∈ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B ↔ y ∈ ker (B x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
hf : IntegrableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
⊢ IntegrableAtFilter (f + -g) l μ
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
β : Type u_2
MulOneClass β
Preorder β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
h : ∀ (x : α), 1 ≤ f x
a : α
⊢ f |a| ≤ f a * f (-a)
α : Type u
x : α
e : Equiv.Perm α
h : Function.IsFixedPt (⇑e) x
⊢ Function.IsFixedPt (⇑(Equiv.symm e)) x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i]) x ∂μ
G : Type u_2
u : UniformSpace G
AddGroup G
UniformAddGroup G
⊢ TopologicalAddGroup.toUniformSpace G = u