ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }
⊢ (↑((optionSubtype x).symm e)).symm ↑b = some (e.symm b)
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ n / 2 + n / 2 ≤ n * m.natAbs
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ U i}
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
⊢ Memℓp 1 ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
F : D ⥤ PresheafOfModules R
∀ (X : Cᵒᵖ),
    Small.{v, max u₂ v}
      ↑((F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X) ⋙ CategoryTheory.forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
hF : ∀ (j : D), CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (F.obj j).presheaf
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape D AddCommGrp
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J c.pt.presheaf
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s
⊢ ∃ b c, a ∈ Icc b c ∧ Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Icc b c ⊆ s
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))
⊢ imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a) ≤ Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3
hm1 : ↑((multiplicity λ (S'.c ^ 3)).get ⋯) = multiplicity λ (S'.c ^ 3)
⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
G : Type u_3
AddGroup G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => x + c) fun x => x - c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U
⊢ ⊤ ≤ G.sieveOfSection s
A : Type u_2
AddMonoid A
s : Set A
⊢ IsAddSubmonoid s → IsSubmonoid s
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
AddCommSemigroup β
LE β
MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b c : α
⊢ f (a / c) ≤ f (a / b) + f (b / c)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
c : Continuous fun x => dist (f x) (g x)
⊢ dist f g < C
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal |r|
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).lcm f = lcm (f b) (s.lcm f)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : σ
⊢ ((rename f).comp (expand p)) (X φ) = ((expand p).comp (rename f)) (X φ)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
MeasurableSpace α
MeasurableSup α
⊢ Measurable oneLePart
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
r : S
a : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
x✝ : M × M₂
⊢ ((r • a.1).coprod (r • a.2)) x✝ = (r • a.1.coprod a.2) x✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.left (i, j))) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
y : Y
⊢ Continuous fun x => (x, y)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
hψ : ψ.IsSymmetric
⊢ (φ - ψ).IsSymmetric
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
⊢ y < b ^ x → Nat.log b y < x
α : Type u_2
Add α
t : Set α
a : α
⊢ {a} + t = (fun x => a + x) '' t
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
h' :
  ∀ (a b : R) (rs' : List R),
    (a :: b :: rs').Subperm rs →
      let K := Submodule.torsionBy R (M ⧸ Ideal.ofList rs' • ⊤) b;
      K = a • K → K = ⊥
rs₁ rs₂ : List R
rs₀ : List R
h₁₂ : rs₁.Perm rs₂
H₁ : (rs₀ ++ rs₁).Subperm rs
H₃ : (rs₀ ++ rs₂).Subperm rs
h : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₀ • ⊤) rs₁
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₀ • ⊤) rs₂
M : Type u_6
Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ↑hx.unit = x
M : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Monoid M
MulSemiringAction M A
SMulCommClass M R A
m : M
a : A
⊢ (MulSemiringAction.toAlgHom R A m) a = m • a
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).moveLeft = xL
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
v : ι → E
⊢ |(e.adjustToOrientation x).toBasis.det v| = |e.toBasis.det v|
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
⊢ (h.ofEquiv e).root = e h.root
ι : Type u_3
G : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k
⊢ p ∣ Nat.card ↥(center G)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R
⊢ CharP (R ⧸ I) n ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ RingHom.ker (Nat.castRingHom R)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s₁
HasOrthogonalProjection s₁.direction
hle : s₁ ≤ s₂
p : P
hp : p ∈ s₂
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s₁) p ∈ s₂
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C
⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n m h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑𝒰 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
t : R
ht : t < 0
⊢ s.SOppSide y ((AffineMap.lineMap x y) t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct >>= destruct
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ t ∈ (p.append p').support.tail ↔ t ∈ p.support.tail ∨ t ∈ p'.support.tail
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ 1 ≤ lift.{v, u} a ↔ 1 ≤ a
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
l : E →ₗ.[R] F
hl : l ∈ c
x : ↥l.domain
⊢ ↑(LinearPMap.sSup c hc) ⟨↑x, ⋯⟩ = ↑l x
ι : Type u_1
X : ι → Type u_3
(d : ι) → TopologicalSpace (X d)
⊢ (Filter.coprodᵢ fun d => Filter.cocompact (X d)) = Filter.cocompact ((d : ι) → X d)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n j : ℕ
hj : j < p ^ n
⊢ p ^ (n - WittVector.pnat_multiplicity p ⟨j + 1, ⋯⟩) ∣ (p ^ n).choose (j + 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
i : P.vars
⊢ (CotangentSpace.map (g.comp f)) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α
⊢ s.toFinset = {a} ↔ card s ≠ 0 ∧ s = card s • {a}
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Integrable (u n) μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ Integrable (stoppedValue u τ) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k s.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l s.ι
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp k (s.π.app j) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (s.π.app j)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∃ a, ↑a * y = x) ↔ ∃ a, y * x⁻¹ = ↑a⁻¹
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
x✝ : (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hBB' : Disjoint B B'
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
⊢ M.Base (M.E \ (M.E \ B'))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ card { i // ↑i < m } = m
α : Type u_1
GroupWithZero α
Finite α
⊢ Nat.card α = Nat.card αˣ + 1
c₁ c₂ : Lean.Omega.Constraint
x₁ x₂ : Int
a : Int
w₁ : c₁.sat x₁ = true
b : Int
w₂ : c₂.sat x₂ = true
⊢ (Lean.Omega.Constraint.combo a c₁ b c₂).sat (a * x₁ + b * x₂) = true
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
hk₀ : 0 < k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Tendsto f L'' L'
⊢ HasFDerivAtFilter (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x L''
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter (α × β)
⊢ f ≤ Filter.map Prod.fst f ×ˢ Filter.map Prod.snd f
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
v : α →₀ M
⊢ Finsupp.mapDomain id v = v
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
⊢ factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ (eqToIso h).hom ≫ ι f'
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Setoid.r = fun x y => y + -x ∈ s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.GradedObject I C₁} (φ : X ⟶ Y) (Y_1 : CategoryTheory.GradedObject J C₂) (ij : I × J),
  ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).map φ).app Y_1 ij = (F.map (φ ij.1)).app (Y_1 ij.2)
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
Monoid R
DistribMulAction R α
IsScalarTower R α α
a : R
A : Matrix m n α
b : n → α
⊢ (a • A) *ᵥ b = a • A *ᵥ b
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
Group β
f : α → β
hf : IsMulHom f
⊢ IsMonoidHom f
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
⊢ LinearIndependent ℤ (Subtype.val ∘ (equiv_range C).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(range C)) => ↑p
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ N' ↔ N ≤ N'.normalizer
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
FunLike F α β
ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
neZero : NeZero (f a)
⊢ NeZero a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M N : CategoryTheory.Mat_ C
f g : M ⟶ N
H : ∀ (i : M.ι) (j : N.ι), f i j = g i j
⊢ f = g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : IsBlock (↥⊤) B
⊢ IsBlock (↥(Subgroup.comap ↑(MulAut.conj g) ⊤)) B
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ opcyclesMap e.hom ≫ opcyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.opcycles
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (x - y) = WittVector.init n (WittVector.init n x - WittVector.init n y)
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
⊢ sInf (Inv.inv '' s) = (sSup s)⁻¹
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
W : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : AddCommMonoid X
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y
inst✝⁴ : AddCommMonoid Z
inst✝³ : Module R W
inst✝² : Module R X
inst✝¹ : Module R Y
inst✝ : Module R Z
⊢ (LinearMap.lTensor W ↑(assoc R X Y Z) ∘ₗ ↑(assoc R W (X ⊗[R] Y) Z)) ∘ₗ LinearMap.rTensor Z ↑(assoc R W X Y) = ↑(assoc R W X (Y ⊗[R] Z)) ∘ₗ ↑(assoc R (W ⊗[R] X) Y Z)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
r : Set α
hinj : Set.InjOn f r
hrs : r ⊆ s
⊢ ∃ u, r ⊆ u ∧ u ⊆ s ∧ f '' u = f '' s ∧ Set.InjOn f u
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g : CategoryTheory.CostructuredArrow L Y
⊢ (E.coconeAt Y).ι.app g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (E.hom.app g.left) (E.right.map g.hom)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : ComposableArrows C n
hS : S.Exact
i : ℕ
hk : autoParam (i + 1 + 1 ≤ n) _auto✝
⊢ (S.sc' ⋯ i (i + 1) (i + 1 + 1) ⋯ ⋯ ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c - b
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
Nonempty ι
f : ι → α
h : iInf f < a
⊢ ∃ i, f i < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
⊢ ∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
f : γ → α
inst✝² : MeasurableSpace.CountablySeparated α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : StandardBorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_meas : Measurable f
f_inj : InjOn f s
this : UpgradedStandardBorel γ := upgradeStandardBorel γ
tγ : TopologicalSpace γ := inferInstance
τ : TopologicalSpace α
left✝¹ : SecondCountableTopology α
left✝ : T4Space α
right✝ : OpensMeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (f '' s)
X : Type u_1
EDist X
a b : Multiplicative X
⊢ edist (Multiplicative.toAdd a) (Multiplicative.toAdd b) = edist a b
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
n : ℕ
x : A
⊢ ψ (n • x) = ψ x ^ n
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
SeminormedRing R
n : ℕ
⊢ ⇑↑n = ↑n
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)
S : (i : ι) → Set (π i)
hne : (Set.univ.pi S).Nonempty
⊢ Bornology.IsBounded (Set.univ.pi S) ↔ ∀ (i : ι), Bornology.IsBounded (S i)
k : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
G : Type u_5
H : Type u_6
F : Type u_7
Add G
Add H
FunLike F G H
AddHomClass F G H
f : F
⊢ ∀ (a : G →₀ A), (AddMonoidAlgebra.mapDomainNonUnitalAlgHom k A f) a = (↑(Finsupp.mapDomain.addMonoidHom ⇑f)).toFun a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a
⊢ x ∈ t
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₃ p₂ p₁ = π / 2
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
⊢ ↑e.symm = (↑e).symm
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
⊢ Ico a b \ Ico a c = Ico (max a c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ IntegrableOn (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal) s ν
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
InfSet α
Inhabited ↑s
⊢ sInf ∅ = default
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α
⊢ ∀ (σ : Perm α), σ.IsCycle → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑⟨↑y, ⋯⟩ = x.1 ∧ ↑g ⟨↑y, ⋯⟩ = x.2
a b : Int
n : Nat
⊢ (a + b).bmod n = (a.bmod n + b.bmod n).bmod n
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (a : ↥(Submodule.span R (Set.range v))),
  hv.totalEquiv.symm a =
    ((LinearEquiv.ofInjective (LinearMap.codRestrict (Submodule.span R (Set.range v)) (Finsupp.total ι M R v) ⋯)
                ⋯).toEquiv.trans
          (LinearEquiv.ofTop
              (LinearMap.range (LinearMap.codRestrict (Submodule.span R (Set.range v)) (Finsupp.total ι M R v) ⋯))
              ⋯).toEquiv).invFun
      a
R : Type u
Group R
⊢ ↑(Grp.of R) = R
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F β → IsIntegral F (α + β)
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
⊢ (Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ ≫ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯) ≫ pullback.fst f hi = 𝟙 (pullback f hi) ≫ pullback.fst f hi
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
⊢ p.count (Associates.mk a0 * b).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count b.factors
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c₁ c₂ : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : f₂ =o[l] g
hc : c₁ < c₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ'.haarScalarFactor μ • μ s ≤ μ' s
θ : Angle
⊢ θ = 0 ∨ θ + 0 = ↑π ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
h : Set.MapsTo (⇑f) K U
⊢ ∀ᶠ (g : C(X, Y)) in 𝓝 f, Set.MapsTo (⇑g) K U
xl xr : Type u
xR : xr → SetTheory.PGame
i : xl
xL : xl → SetTheory.PGame
j : (xL i).LeftMoves
⊢ ((xL i).moveLeft j).Subsequent (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)