ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) x⁻¹ = ((starRingEnd ℂ) x)⁻¹
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (φ ⇔ φ).Realize v xs
m k n : ℕ
x✝ : ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
H₁ : ↑n = ↑k
H₂ : k ≤ n
⊢ ∃ y, n = k + m * y
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (s + t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
⊢ succ a = ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : M
⊢ AddMonoid.Coprod.snd (AddMonoid.Coprod.inl x) = 0
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inl r)⁻¹ = TrivSqZeroExt.inl r⁻¹
b x : ℝ
k : ℕ
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b (x ^ k) = ↑k * Real.logb b x
Y : Type v
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : Y → (i : ι) → π i
g : (i : ι) → π i
u : Filter Y
⊢ Filter.Tendsto f u (𝓝 g) ↔ ∀ (x : ι), Filter.Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
i j : n
x : A
t : ∀ (p : n × n), i = p.1 ∧ j = p.2 ↔ p = (i, j)
⊢ (matrixEquivTensor R A n) (stdBasisMatrix i j x) = x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
α : Type u_1
PartialOrder α
DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j : Fin m
⊢ ↑j < Fintype.card { i // f i ≤ a } ↔ f j ≤ a
M : Type u_4
AddMonoid M
L : List M
h : L.sum ≠ 0
⊢ 0 < L.length
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C
f✝ : Y✝ ⟶ Z✝
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ X✝ ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleMap φ₁ φ₂ a b comm).hom₂ = b
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ LinearIndependent R Subtype.val
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : 0 < (B (P.root i)) (P.root j)
⊢ 0 < P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : 1 < padicNorm p a
⊢ ¬a.isInt = true
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) ε)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}
n : ℕ
⊢ Pairwise (AEDisjoint (sFiniteSeq μ n) on As)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
CommSemiring A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCancelCommMonoid M
Module R M
Module A M
D : A →ₗ[R] M
h : ∀ (a b : A), D (a * b) = a • D b + b • D a
⊢ ⇑(Derivation.mk' D h) = ⇑D
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X) ⊤ =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso (X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))).hom
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q
this : x ∈ ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i
⊢ P x
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₁
Module k V₂
AddTorsor V₁ P₁
AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
Nonempty ↥E
Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ (φ.restrict hEF).linear = φ.linear.restrict ⋯
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
xy : x ∣ y
hu : IsUnit y
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
L : Type u_6
RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), f a * r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) * r
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
b : Set (Set X)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ a ∈ b, x ∈ a ∧ y ∉ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ ↑f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
ContinuousMul β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
hg : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k g
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * g)
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.sym2.dedup = m.dedup.sym2
M : Type u_3
OrderedCommMonoid M
⊢ CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ c
h₂ : b ≤ c
h₃ : ∀ {d : α}, a ≤ d → b ≤ d → c ≤ d
⊢ c = max a b
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.support f).Finite
s : Finset α
h : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ i ∈ s, f i
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
⊢ ↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l)) = ↑l
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₂ y₂ ≤ dist x₂ x₁ + dist x₁ y₁ + dist y₁ y₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
r : NNReal
⊢ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) ↑r).toNNReal = (algebraMap NNReal C(X, NNReal)) r
α : Type u_2
NonUnitalCommRing α
b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
⊢ ∃ y, y * y - b * y + c = 0 ∧ x + y = b ∧ x * y = c
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|
z : ℕ
m : β
hm : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => |k a ^ (z + 1) * f a|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x m
h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun a => |(k a)⁻¹| * m) l (𝓝 0)
x : α
hk0 : k x ≠ 0
hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |k x ^ (z + 1) * f x| m
⊢ |k x ^ z * f x| ≤ |(k x)⁻¹| * m
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.blimsup u f fun x => p x ∧ q x) ≤ Filter.blimsup u f p ⊓ Filter.blimsup u f q
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(iSup S) = ⋃ i, ↑(S i)
X : Type u
⊢ ∀ (X_1 : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X)).obj X_1 = (𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)).obj X_1
⊢ Filter.cofinite = Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
t : Finset α
⊢ t ∈ filter (fun a => (insert x a).card = n.succ) s.powerset ↔ t ∈ filter (fun x => x.card = n) s.powerset
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t : Set β
a : α
⊢ (fun x => a • x) '' t = a • t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
l : Filter γ
u : γ → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => e (u x)) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.span R (Set.range v)) = #↑(Set.range v)
x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃ : SetTheory.PGame
he : x₁ ≈ x₃
h₁ : Surreal.Multiplication.P2 x₁ x₃ y₁
h₃ : Surreal.Multiplication.P2 x₁ x₃ y₃
h3 : Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₂ y₃
⊢ Surreal.Multiplication.P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃
b : Ordinal.{0}
o₁ o₂ : ONote
⊢ o₁.NFBelow b → o₂.NFBelow b → (o₁ + o₂).NFBelow b
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (map f p).Monic ↔ p.Monic
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ ⇨ yᶜ = y ⇨ x
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β
⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : Ring 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ p.removeZero n.pred.succ = p n.pred.succ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ (s.mongePlane i₁ i₂).direction = (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
⊢ a ^ n = 0 → a = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ IndepFun f g μ ↔ Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ = (Measure.map f μ).prod (Measure.map g μ)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ (star ↑hA.eigenvectorUnitary).mulVec ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)) =
  Pi.single j 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : 0 < b
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v ((single s) 1) * Valued.v ((single (-s)) 1) = 1
⊢ Valued.v ((single (-s)) 1) ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag → (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal p < 1 ↔ p < 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
h✝ : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
A : o.volumeForm.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = 1
⊢ addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = volume
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
m : M
a : α
S : Submonoid M
⊢ m ∈ S → a • m ∈ a • S
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fin.castSucc 0 = 0
m : ℕ
⊢ -↑m ≤ 0
R : Type u_8
Group R
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
MulAction R M₁
MulAction R M₂
F : Type u_11
FunLike F M₁ M₂
MulActionHomClass F R M₁ M₂
h : F
c : R
t : Set M₂
⊢ ⇑h ⁻¹' (c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
AddZeroClass M
AddZeroClass N
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
a b : M
h : a + b = 0
⊢ f a + f b = 0
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Icc (-1) 1
hy : y ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
α : Type u
ι✝ : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c✝ : ι✝ → α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
this : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r ∧ r < R x) fun r => ball x r
ι : Type u
c : ι → α
r' : ι → ℝ
hr' : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ 0 < r' a ∧ r' a < R (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, ball (c a) (r' a)
hfin : LocallyFinite fun a => ball (c a) (r' a)
⊢ ∃ ι c r r', (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧ (LocallyFinite fun i => ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ f.range
⊢ 0 ≤ i
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑(LinearMap.range f).mkQ
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ f <$> pure x = pure (f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ∆ b ≤ c ↔ a ≤ b ⊔ c ∧ b ≤ a ⊔ c
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
⊢ (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)) ↔ ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
p : Prop
⊢ pᶜ ↔ ¬p
m : Type u → Type v
Monad m
self : LawfulMonad m
α β : Type u
f : m (α → β)
x : m α
⊢ (do
    let x_1 ← f
    x_1 <$> x) =
  Seq.seq f fun x_1 => x
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : Y
⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
⊢ (algebraMap (RatFunc F) (LaurentSeries F)) ((algebraMap F[X] (RatFunc F)) p / (algebraMap F[X] (RatFunc F)) q) = (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) p / (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
⊢ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) = ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Real.logb b b = 1
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : V ↪ W
inst✝ : Subsingleton V
⊢ G ≤ SimpleGraph.comap (⇑f) G'
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
⊢ oreNum r₃ (sa * s₁) • (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) = oreNum r₃ (sa * s₁) • sa • r₁ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) + oreNum r₃ (sa * s₁) • ra • r₂ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
J : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveYonedaObj J)
⊢ Injective J
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
hs : ∀ a ∈ s₁, a ∉ s₂ → f a = 0
⊢ ∑ a ∈ s₁ ∪ s₂, f a = ∑ a ∈ s₂, f a
α : Type u_1
σ : Type u_3
F : Ctop α σ
s : Set α
a : α
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.f b ∧ F.f b ⊆ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ i = 1
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S
⊢ False
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y ↔
  (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧
    ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I * ⊤ = I
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder β
PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : Set.range f = Set.range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
⊢ f b ≤ g b
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
α : Type u_2
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ t.card ≤ (s / t).card
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t s' t' : Set α
h : s ≤ᵐ[μ] t
h' : s' ≤ᵐ[μ] t'
⊢ s ∪ s' ≤ᵐ[μ] t ∪ t'
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
ExistsAddOfLE R
a : R
⊢ 0 < a ^ 2 ↔ a ≠ 0
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ
⊢ Nonnegg d c (-↑b) ↑a ↔ SqLe b c a d
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ x ∈ closedBall y ε ↔ y ∈ closedBall x ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)
N n m : ℕ
hn : N ≤ n
hm : N ≤ m
hf : (eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ).toReal < B N
⊢ eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ < B1 N
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K : AddSubgroup G
y : N
⊢ y ∈ AddSubgroup.map f K ↔ ∃ x ∈ K, f x = y
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l
⊢ LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l = 0
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : NumberField L
f : K ≃ₐ[ℚ] L
f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv
⊢ Algebra.discr ℚ (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) = Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ L ((RingOfIntegers.basis K).map f₀))
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
f : Additive α →+ β
⊢ ⇑(AddMonoidHom.toMultiplicative' f) = ⇑Multiplicative.ofAdd ∘ ⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Finset ι
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f + g|m] =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + μ[g|m]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k)
s : ℂ
⊢ completedRiemannZeta₀ (1 - s) = completedRiemannZeta₀ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
⊢ (Walk.boxProdRight G a (cons' x y z h w)).ofBoxProdRight = cons' x y z h w
m : Type → Type u_1
α : Type u_2
Monad m
LawfulMonad m
p : α → m Bool
as : Array α
start stop : Nat
q : Fin as.size → Prop
hp : ∀ (i : Fin as.size), start ≤ ↑i → ↑i < stop → SatisfiesM (fun x => x = true ↔ q i) (p as[i])
⊢ SatisfiesM (fun res => res = true ↔ ∃ i, start ≤ ↑i ∧ ↑i < stop ∧ q i) (Array.anyM p as start stop)
S : Type u_1
CommRing S
I J : Ideal S
coprime : IsCoprime I J
⊢ Submodule.cardQuot (I * J) = Submodule.cardQuot I * Submodule.cardQuot J
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : SupSet α
inst✝ : SupSet β
f : ι → α × β
⊢ (iSup f).swap = ⨆ i, (f i).swap
α : Type u_1
f : Nat
n : List α
l : α
⊢ takeD f n l = takeDTR f n l
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ↑T0 ⊨ᵇ φ