ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n a b : ℕ
hbn : b ≤ n
hab : a < b
⊢ ↑a < ↑b
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial M
NoZeroSMulDivisors ℤ M
⊢ CharZero R
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsPathConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPathConnected s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = ((⇑verschiebung)^[m] ∘ (⇑frobenius)^[m]) b
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : Set E
⊢ μ (r • s) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ s
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
ι : Type w
⊢ Module.rank R (ι →₀ R) = Cardinal.lift.{u, w} #ι
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ (∀ (n : ℕ), f^[n] a ≤ b) → Ordinal.nfp f a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
Group β
UniformGroup β
FunLike hom α β
MonoidHomClass hom α β
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 1
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ 𝓝[<] b = ⊥
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ↔ Mono T.mor₁
⊢ T.mor₃ = 0 ↔ Mono T.mor₁
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
x y : X ⊕ Y
⊢ dist x y ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)
w v : Nat
h : w = v
x : BitVec w
⊢ (BitVec.cast h x).toNat = x.toNat
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
p' : Path u' v'
⊢ _root_.cast ⋯ p = p' ↔ HEq p p'
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
x : Sigma σ
⊢ 𝓝 x = Filter.map (Sigma.mk x.fst) (𝓝 x.snd)
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
h' : (a₁.sub a₂).NFBelow e₁.repr
this : (e₁.cmp e₂).Compares e₁ e₂
⊢ (match e₁.cmp e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => e₁.oadd n₁ a₁ | Ordering.eq => match (↑n₁).sub ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then a₁.sub a₂ else 0 | k.succ => e₁.oadd k.succPNat a₁).NFBelow b
p : ℝ
⊢ 0 < ENNReal.ofReal p ↔ 0 < p
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
Group G₁
Group G₂
Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : { g // f.ker ≤ g.ker }
⊢ ((f.liftOfRightInverse f_inv hf) g).comp f = ↑g
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l
this : Tendsto (fun x => (fun x => f (-x) / g (-x)) (-x)) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
α : Type u_1
Zero α
⊢ OrderDual.ofDual 0 = 0
α : Type u_7
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Set α
hs : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
t : Finset α
⊢ (∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, x ≤ y) → ∃ x ∈ s, t.sup id ≤ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : MDifferentiable I I' f
⊢ MDifferentiableOn I I' f s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ ⨆ y, f y / f y = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : W f
hfg : W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ W g
α : Type u
β : Type v
Add β
f : AddHom (FreeAddMagma α) β
⊢ FreeAddMagma.lift (⇑f ∘ FreeAddMagma.of) = f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : AList β
⊢ ∅ ∪ s = s
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NonUnitalNonAssocRing R
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace R
TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
⊢ TopologicalRing R
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
⊢ dist a' c' = r * dist a c
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → ℝ} {s : Set ℝ},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ MeasureTheory.volume →
    ∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = (MeasureTheory.volume s)⁻¹.toReal * ∫ (x : ℝ) in s, x
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid M
Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Function.Surjective ⇑f
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ LinearMap.ker f ≤ K
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f : α → β},
  AEMeasurable f μ → ∀ (ν : MeasureTheory.Measure α), AEMeasurable f (μ.singularPart ν)
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : NonUnitalRing R
p : RingSeminorm R
⊢ p ≠ 0 ↔ ∃ x, p x ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
a : α
⊢ 0 a = 0
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
dYZ : (Disjoint on id) Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
a b m n p : ℕ
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ b
G : Type u_1
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
ContinuousInv G
x y : G
h : Inseparable x y
m : ℤ
⊢ Inseparable (x ^ m) (y ^ m)
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : 0 + m • g ∈ Ioc a (a + g)
⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (Metric.cthickening R s) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
a b : ℤ
⊢ a = b ↔ a ≤ b ∧ b ≤ a
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
hd : DirectedOn ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) on s) t
⊢ μ (⋃ i ∈ t, s i) = ⨆ i ∈ t, μ (s i)
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Con M)
⊢ sSup S = conGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set (Set β)
⊢ f ⁻¹' ⋂₀ s = ⋂ t ∈ s, f ⁻¹' t
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ aeval (Fin.cons y s) = (Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n)) (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
⊢ SameRay R (x + y) z
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_4
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
g : ι → X
l : Filter ι
x : X
hf : ClosedEmbedding f
⊢ Filter.Tendsto g l (𝓝 x) ↔ Filter.Tendsto (f ∘ g) l (𝓝 (f x))
x : ℂ
⊢ Complex.sinh (3 * x) = 4 * Complex.sinh x ^ 3 + 3 * Complex.sinh x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : Iio δ ⊆ (fun d => ↑C * d ^ ↑r) ⁻¹' {x | (fun x => x < ε) x}
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
X : Type u_3
Z : Type u_5
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace Z
MeasurableSpace.CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Function.Surjective f
s : Set Z
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet s
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun _a => p) s = if p then s else ∅
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
γ : Type v₃
inst✝² : DecidableEq P.A
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst
⊢ (P.map f x).snd (cast ⋯ i.snd) = f (x.snd (cast ⋯ i.snd))
α β : Type u
⊢ #α < ℵ₀ ↔ Finite α
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n✝
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
m n : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin m → α
ys : Fin n → α
i : Fin (m + n)
⊢ append xs ys i.rev = append (ys ∘ rev) (xs ∘ rev) (cast ⋯ i)
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
⊢ (c' * d x - c x * d') / d x ^ 2 = c' * (Inv.inv ∘ d) x + c x * (-(d x ^ 2)⁻¹ * d')
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
⊢ Filter.comap Neg.neg Filter.atBot = Filter.atTop
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
R S T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ Subgroup.leftTransversals.diff ϕ R S * Subgroup.leftTransversals.diff ϕ S T = Subgroup.leftTransversals.diff ϕ R T
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup G
AddGroup H
AddAction G α
MeasurableSpace α
AddAction H β
MeasurableSpace β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : β → α
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f ν μ
e : G → H
he : Function.Bijective e
hef : ∀ (g : G), Function.Semiconj f (fun x => e g +ᵥ x) fun x => g +ᵥ x
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain H (f ⁻¹' s) ν
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ dist a b ≤ r → ‖a‖ ≤ ‖b‖ + r
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
⊢ 1 < Configuration.ProjectivePlane.order P L
p n : ℕ
h : n + 1 = 2 ^ log 2 (n + 1)
⊢ log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
hf : ∀ (i : ι), l i ^ q ^ f i ∈ (algebraMap F E).range
n : ℕ := l.support.sup f
⊢ l i = 0 i
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
g : G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) =
  MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N P : Submodule R M
r : R
⊢ r ∈ N.colon P ↔ ∀ p ∈ P, r • p ∈ N
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
⊢ ⇑(↑f).symm = ⇑f.symm
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Function.Injective ⇑f
⊢ IsLieAbelian L₂ → IsLieAbelian L₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.lift f g H ≫ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i
y : (i : β) → π i
hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i
hxy : x ≠ y
⊢ c ≤ edist x y
α : Type u
⊢ 𝒫 Set.univ = Set.univ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ iteratedFDeriv ℝ n (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) =
  VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
⊢ ∀ x ∈ n.primeFactorsList, List.count x n.primeFactorsList ≤ List.count x (List.replicate (n.factorization p) p)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance1 x b))
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
AddCommMonoid R
n : Matrix (I × K) (J × L) R
i : I
j : J
k : K
l : L
⊢ (Matrix.compAddEquiv I J K L R).symm n i j k l = n (i, k) (j, l)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)
⊢ inlX φ (c.next j) j hjk ≫ (desc φ α hα).f j = hα.hom (c.next j) j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
⊢ (⋃ i, s i).Nonempty ↔ ∃ i, (s i).Nonempty
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
x : K
⊢ ↑K (r • x) = r • ↑K x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ z ⊓ y = (x ⊓ y) \ z
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h₁ : Embedding f
h₂ : IsOpenMap f
⊢ OpenEmbedding f
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
⊢ (T ^ n • z).im = z.im
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊥ → (p x ↔ q x)
a : α
b : β
hb : u b ≠ ⊥ → (p b ↔ q b)
hu : u b = ⊥
⊢ p b → u b ≤ a ↔ q b → u b ≤ a
α : Type u_1
BEq α
a : α
l : List α
⊢ l.erase a ⊆ l
X : TopCat
T : ↑X → Type v
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (X.presheafToTypes T).obj U
⊢ (X.presheafToTypes T).map i f = fun x => f ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
⊢ (∃ R ⊆ M.E, N = M ↾ R) → N ≤r M
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₂ -ᵥ p₁}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
n : ℕ∞
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x, g x)) x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
⊢ ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖x_1 - x‖⁻¹ * ‖f x_1 - f x‖ < r → ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
h : ∃ l_1 ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}, (Finsupp.total (Products I) (LocallyConstant ↑(C' C ho) ℤ) ℤ (Products.eval (C' C ho))) l_1 = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
⊢ False
M : Type u_1
Monoid M
R' : Type u_2
Ring R'
MulSemiringAction M R'
U : Subring R'
IsInvariantSubring M U
⊢ ⇑(IsInvariantSubring.subtypeHom M U) = Subtype.val
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
⊢ ↑⋯.unit = hζ.toInteger
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
this✝ : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
⊢ Tendsto (((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
cf cg : Code
⊢ encode cf < encode (cf.comp cg) ∧ encode cg < encode (cf.comp cg)
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
prop : (fun n => p ^ n • x = 0) = fun n => Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n
this : ∃ n, Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n
⊢ Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) = Associates.mk p ^ Nat.find ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
⊢ (e.piecewise e' s t H H').source = s.ite e.source e'.source
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).functor.map f).right = f.right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
⊢ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - ∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : J.Cover X
I : (S.pullback f).Arrow
⊢ I.base.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.f f
a : EReal
⊢ 0 < a.exp ↔ ⊥ < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.colimitHomIsoLimitYoneda' F A).inv
    ((CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op).app A) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.rightOp.comp (CategoryTheory.yoneda.obj A)) i