ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitIsoSwapCompLim G).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation G X).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.limMap ((CategoryTheory.flipIsoCurrySwapUncurry G).hom.app X)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
⊢ ‖Real.log (abs z)‖ ≤ 1 * ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖
α : Type u
DecidableEq α
⊢ FreeAddGroup.norm 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1
P : Ideal R
hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime
⊢ x ∈ P
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ : CompleteSublattice α
L : CompleteSublattice β
s : Set α
hs : s ⊆ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
⊢ sInf s ∈ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
⊢ (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂.map (𝟙 (N₂.obj P)))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P) = 𝟙 (N₂.obj P)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
⊢ ↑PartialHomeomorph.univUnitBall x = (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x
α : Sort u
DecidableEq α
β : Sort u_1
f : α → β
a' : α
b : β
a : α
⊢ Function.update f a' b a = if a = a' then b else f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 E‖ = 1
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
P : M
hP : P ∉ Subsemigroup.closure s
⊢ P ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t l l' : Multiset α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset
⊢ l = l'
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
b : α
hs : s.Nonempty
h_is_ub : ∀ a ∈ s, a ≤ b
h_b_le_ub : ∀ (ub : α), (∀ a ∈ s, a ≤ ub) → b ≤ ub
⊢ sSup s = b
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0
x_real : 0 < x.toReal
⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : r * s = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
⊢ False
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
hn : ((πs C o) n + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hn' : ∃ c, (c.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ False
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(of R R) ↑M).compr₂ (tensorHom (𝟙 (of R R)) f ≫ (leftUnitor N).hom)) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑(of R R) ↑M).compr₂ ((leftUnitor M).hom ≫ f)) 1
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
X : C
g₁ g₂ : ∐ f ⟶ X
h : ∀ (b : β), CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f b ≫ g₁ = CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f b ≫ g₂
⊢ g₁ = g₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ⟶ G.obj i
w :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < n),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i (i + 1) ⋯ hi) (app ⟨i + 1, ⋯⟩) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (app ⟨i, ⋯⟩) (G.map' i (i + 1) ⋯ hi)
i : Fin (n + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk app w).app i = app i
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
n : ℕ
⊢ Subgroup.map f (lowerCentralSeries G n) ≤ lowerCentralSeries H n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y
⊢ inv f.inv = f.hom
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
SMulZeroClass R M
b : R
v : α →₀ M
a : α
⊢ (b • v) a = b • v a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
(x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | Nat.findGreatest (p x) N = k}
⊢ Measurable fun x => Nat.findGreatest (p x) N
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Unique ι
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ Continuous (F default)
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
n : ι
h : ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = ⨆ (_ : ∃ i, n ∈ ns i), s n
this : Nonempty (∃ i, n ∈ ns i)
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = s n
z : ℤ
hn : z < 0
⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : l ++ [a] ≠ []
⊢ (l ++ [a]).getLast h = a
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
hg_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm) s (μ.trim hm)
hfg_mk_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk f hfm x ∂μ.trim hm = ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk g hgm x ∂μ.trim hm
⊢ AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p'✝ : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
p' : Submodule R (M ⧸ p)
⊢ p ≤ comap p.mkQ p'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : q.Finite
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) ≤ span R (p * q)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable f' (μ.restrict s)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
q : X →₀ R := (λ_ (of R (X →₀ R))).hom (1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)
⊢ q x' = (Finsupp.mapDomain (λ_ X).hom ((finsuppTensorFinsupp' R (𝟙_ (Type u)) X) (Finsupp.single PUnit.unit 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1))) x'
α : Type u_1
s t u : Multiset α
⊢ (s + t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ ⊤ᵛ = if IsField A then ⊤ else ⊥
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M ≃+ N
g : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapRange.addEquiv f) g = Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ g
α : Type u_1
f g h : Perm α
⊢ f⁻¹.Disjoint g ↔ f.Disjoint g
ι : Type u_4
F : Filter ι
F.NeBot
f : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ Filter.liminf (fun i => c - f i) F = c - Filter.limsup f F
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
CompactSpace α
PseudoMetricSpace β
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (BoundedContinuousFunction α β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : BoundedContinuousFunction α β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact A
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (s.biUnion fun a => Finset.image (fun x => a ⊔ x) t) = s ⊻ t
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S
this : j ((algebraMap R S) (i r)) = (algebraMap R' S') r
⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {a : α}, 0 < n → List.findSome? f (List.replicate n a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length
⊢ take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S I
x : R
y : ↥I.primeCompl
⊢ IsUnit (IsLocalization.mk' S x y) ↔ x ∈ I.primeCompl
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ EqvGen FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ ↔ Relation.Join FreeGroup.Red L₁ L₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
⊢ ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = n → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
⊢ p.Nil → v = w
E : Type u_9
self : SeminormedCommGroup E
x y : E
⊢ dist x y = ‖x / y‖
R : Type u
Ring R
r : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval r (descPochhammer R n) = Polynomial.eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ (Finset.Iic s).card = ∏ i ∈ s.toFinset, (Multiset.count i s + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
Fintype α
(a : α) → Fintype ↑(AddAction.fixedBy β a)
Fintype (Quotient (AddAction.orbitRel α β))
⊢ ∑ a : α, Fintype.card ↑(AddAction.fixedBy β a) = Fintype.card (Quotient (AddAction.orbitRel α β)) * Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), ε < 0 → a + ε ≤ b
⊢ ∀
  {X Y :
    CategoryTheory.InducedCategory AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace}
  (f : X ⟶ Y), AlgebraicGeometry.Scheme.forgetToLocallyRingedSpace.map f = f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z - soln
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
⊢ Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
C : ι → Set α
f : (x : ι) → β → ↑(C x)
hf : ∀ (x : ι), Function.Surjective (f x)
⊢ (⋃ y, Set.range fun x => ↑(f x y)) = ⋃ x, C x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} = sInf (a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})
a b : EReal
h : a ≤ 0
h' : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a / b
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (x + y))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ y)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]
⊢ (lift fe) (a • ad) = (↑fe).1 a * (lift fe) ad
α : Sort u
β : Sort u_1
op : α → β → α
o : outParam β
self : Std.LawfulRightIdentity op o
a : α
⊢ op a o = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] t ↔ l ⊓ 𝓟 s = l ⊓ 𝓟 t
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ MemTrivializationAtlas e ↔ e ∈ trivializationAtlas F E
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.obj P).X n).p = P.p.f n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound ε ≤ Fintype.card G
A : Finset G
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A
⊢ False
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
⊢ (re z + re w) * (re z + re w) + (im z + im w) * (im z + im w) = re z * re z + im z * im z + (re w * re w + im w * im w) + 2 * (re z * re w - im z * -im w)
p : ℕ
q : ℚ
⊢ 0 ≤ padicNorm p q
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X
⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∃ U, ↑U ≤ F ∧ Filter.Tendsto u (↑U) (𝓝 x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ Differentiable 𝕜 b
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
hβα : Fintype.card β ≤ Fintype.card α
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
⊢ ∀ (a : β), (Equiv.ofLeftInverseOfCardLE hβα f g h).symm a = g a
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
l : w.hom.app j = w.hom.app ((𝟭 J).obj j)
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ F.map (e.unitInv.app j) = s.π.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g✝ : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x
⊢ ⨆ x, f x = ⨆ y, g y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s
⊢ (⨆ i ∈ s, comap f (p i)) ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.opcyclesIsoRightHomology hg).hom S.rightHomologyι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.opcycles
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) ((MvPowerSeries.C σ R) a) = a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrderBot (α i)
b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Iic b).card = ∏ i : ι, (Finset.Iic (b i)).card
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f (x * y⁻¹) ≤ f x + f y⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
a : α
b : β
⊢ {a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
v : D
⊢ ‖v‖ ^ k * ‖f v‖ ≤ 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖v‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inverse.map (e.counitInv.app Y)) (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (e.inverse.obj Y)
a b : ℕ+
⊢ (Finset.Ioc a b).card = ↑b - ↑a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y Z T : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X T
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y Z
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y T
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Z T
α : CategoryTheory.Localization.SmallHom W X Y
β : CategoryTheory.Localization.SmallHom W Y Z
γ : CategoryTheory.Localization.SmallHom W Z T
⊢ (α.comp β).comp γ = α.comp (β.comp γ)
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioc ↑x ↑y = Set.Ioc x y
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoSheafify hP).inv = J.sheafifyLift (𝟙 P) hP
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ UniformContinuousOn f s ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a : α}, a ∈ s → ∀ {b : α}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op
⊢ (pullback.fst f.op g.op).unop ≫ (pushoutIsoUnopPullback f g).inv = pushout.inl f g