ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation X ↑n
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
⊢ ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (FirstOrder.Language.Substructure.comap f)
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubgroup A
x : A
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((μ.withDensity f).restrict s) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
ι : Type u_4
E : ι → Type u_5
(i : ι) → AddCommMonoid (E i)
(i : ι) → SMul 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht : ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → StarConvex 𝕜 (x i) (t i)
⊢ StarConvex 𝕜 x (s.pi t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
⊢ M.Flat F ↔ ∃ (h : F ⊆ M.E), M.subtypeClosure.IsClosed ⟨F, h⟩
a b c : Ordinal.{u}
⊢ c < a ⨳ b ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, c ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I.Boundaryless
⊢ ∀ (a : E), I.toHomeomorph.symm a = ↑I.symm a
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
⊢ ∀ V' ∈ 𝓝 (φ b), IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : J.Cover X
x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
⊢ (∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y) → x = y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : HeytingAlgebra α
inst✝¹ : HeytingAlgebra β
inst✝ : HeytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ⇔ b) = f a ⇔ f b
m n : ℕ
⊢ ↑m ≠ ↑n ↔ m ≠ n
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ iSup S = AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype)
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
⊢ ↑0 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
⊢ IsOpen (↑e.symm '' t) ↔ IsOpen t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (x : α) in spanningSets μ n, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ s = sSup S
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.ofRealCLM = RCLike.ofReal
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * z ^ n + -1 * z ^ n * z = 0
⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
f : β →Co γ
g : α →Co β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
n : ℕ
⊢ Computability.unaryDecodeNat (Computability.unaryEncodeNat n) = n
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ρ : PartitionOfUnity ι X
x₀ : X
I : Finset ι
H : (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[univ] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
⊢ ∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1 ∧ (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s
α : Type u_1
s t : List α
⊢ t ≠ [] → s ++ t ≠ []
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).card ≤ s.card + 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n (↑f) x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μ' : MeasureTheory.Measure β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
g : MeasureTheory.SimpleFunc β ℝ≥0∞
m' : α → β
eq : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g (m' a)
h : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → μ' s = μ (m' ⁻¹' s)
⊢ f.lintegral μ = g.lintegral μ'
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
⊢ (spectrum R A).Finite
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
a a' : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → ↑n = a' → a = a'
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
⊢ ∃ x ∈ weightSpace M ⇑χ, x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Subsingleton L
⊢ LieAlgebra.IsEngelian R L
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
x : α
⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.ofMonotone ?intro.intro.intro.refine_1 ⋯) a_1 = x
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
x : M
⊢ ↑u * x = ↑u * x * ↑u⁻¹ * ↑u
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ instUniformSpace σ F 𝔖 = UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
y : β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ {x | x ∈ s ∧ f x = y}.ncard ≠ 0 ↔ y ∈ f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
⊢ Iic (sInf s) = ⋂ a ∈ s, Iic a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
U V : Set X
h : JoinedIn U x y
hUV : U ⊆ V
⊢ JoinedIn V x y
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x y : ↑X
h : x ≠ y
⊢ ¬↑x = ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ (CategoryTheory.Functor.opUnopEquiv C D).counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun F => F.unopOpIso) ⋯
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.aleph o) = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
α : Type u
Monoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u = 1 ↔ a = ↑u
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ { toWeierstrassCurve := E.toWeierstrassCurve, Δ' := WeierstrassCurve.VariableChange.id.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } = E
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B.Nondegenerate
⊢ B ≠ 0
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Disjoint (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t) (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s))
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
a : α
⊢ 1 ≤ ⨆ a, m ^ lift.{u, v} #(β a)
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
(x : β) → Decidable (x ∈ Set.range f)
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
⊢ Finset.image f (s.preimage f hf) = Finset.filter (fun x => x ∈ Set.range f) s
α : Type u_1
o : Part α
⊢ o = Part.none ∨ ∃ x, o = Part.some x
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
⊢ r * x = r * y ↔ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left = c.fst
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
⊢ Squarefree n
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β × γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ ⨆ i, ⨆ j, ⨆ (_ : i ∈ s), ⨆ (_ : j ∈ t), f (i, j) = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.kernImage f ∅ = (Set.range f)ᶜ
a b : ℝ
n : ℕ
c : ℂ
hc : c ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.exp (c * ↑x) = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c
z : ℂ
⊢ (↑z.arg).toReal = z.arg
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)
⊢ ((a, b) :: l).unzip = (map Prod.fst ((a, b) :: l), map Prod.snd ((a, b) :: l))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
ho' : type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
i : ι
j : ι'
hj : typein r' j = typein r i
⊢ familyOfBFamily' r ho f i ≤ sup (familyOfBFamily' r' ho' f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α → β
l : β →₀ M
g : β → M → N
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ ∑ x ∈ l.support.preimage f ⋯, g (f x) ({ support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ } x) = ∑ a ∈ l.support, g a (l a)
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ
⊢ n ∣ m ↔ n ∣ n✝
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ X.basicOpen (f ^ n) = X.basicOpen f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c : α
hn : Even n
a : α
⊢ |a| ^ n = a ^ n
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
v : F
⊢ (Trivialization.linearEquivAt R e b hb).symm v = e.symm b v
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
S T : A
⊢ ↑S ⊆ ↑T ↔ S ≤ T
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
b : G₀
⊢ a⁻¹ * (a * b) = b
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ IsGalois F E ↔ Algebra.IsSeparable F E ∧ Normal F E
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
⊢ P ^ i ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
⊢ ∀ (c : α × β), ωSup (c₀.zip c₁) ≤ c ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ c
α : Type u_1
LE α
⊢ Function.Injective NonemptyInterval.toProd
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ 𝓝 x₀ = B.N x₀
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃ j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : r₁₂₃ (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
⊢ q.partialSum N (∑ i ∈ Finset.Ico 1 N, (p i) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
c d : ℝ
hcd : c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖rexp (-d * x)‖ ≤ rexp (-c * x)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
⊢ p ∣ a ∨ p ∣ b
α : Type u_1
t₁ t₂ : Ordnode α
h₁ : t₁.Sized
h₂ : t₂.Sized
h : t₁.toList = t₂.toList
⊢ t₁.size = t₂.size
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
⊢ φ.symm.connectedComponentEquiv = φ.connectedComponentEquiv.symm
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
⊢ { toOrderHom := ↑(g.comp f), exists_map_eq_of_map_le' := ⋯ } =
  { toOrderHom := ↑g, exists_map_eq_of_map_le' := ⋯ }.comp { toOrderHom := ↑f, exists_map_eq_of_map_le' := ⋯ }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
h₁ : S.δlast.Exact
h₂ : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
⊢ S.Exact
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : AdicCompletion I (Fin n → R)
⊢ (AdicCompletion.piEquivFin I n) x = (AdicCompletion.pi I fun x => R) x
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
⊢ (l.lift' interior).HasBasis p fun i => interior (s i)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ^ n ⊔ J = ⊤
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Function.Surjective ⇑(MvPolynomial.counit R)
R : Type u
CommRing R
M : BialgebraCat R
⊢ (𝟙 M).toBialgHom = BialgHom.id R ↑M.toBundled
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
⊢ (((shiftFunctor₂ C y).obj K).shiftFunctor₁XXIso n₁ x (n₁ + x) ⋯ n₂).hom ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)) x n (n + x) ⋯).inv ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • (((shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K).f n₁).f n₂ ≫ ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).shiftFunctor₂XXIso n₁ n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal
h_bound : ∀ (n : ℕ), (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ p.toReal
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : β) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ p.toReal) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n✝ : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup L
inst✝¹³ : Module R L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : Fintype ιM
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι'
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
x : L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a < g a}
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
h : LiftPropOn P g s
y : H
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) y
x y : ℝ
⊢ Subtype.val '' range (IccExtend arcsin.proof_2 ⇑sinOrderIso.symm) = Icc (-(π / 2)) (π / 2)
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
B : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂
⊢ (Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) ((LinearMap.toMatrixₛₗ₂' R) B) = B
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β
⊢ 0 ≤ ↑s.card * ↑t.card
p : ℝ[X]
hp : Irreducible p
z : ℂ
hz : (aeval z) p = 0
⊢ p.degree ≤ 2
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ insert i (s.erase i), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
⊢ PerfectClosure.mk K p (0, 0) = 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ EMetric.infEdist x {y} = edist x y
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ a * b = b * a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30241, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0