ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
x✝ : Set ε
⊢ image2 f (image2 g s t) u ⊆ x✝ ↔ image2 f' s (image2 g' t u) ⊆ x✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctorEquivalence C).inverse.obj X = X
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) ⊆ {r}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (s ∩ f ⁻¹' t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Stream'.Seq.map f Stream'.Seq.nil = Stream'.Seq.nil
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ map f H ≤ map f K ↔ H ⊔ f.ker ≤ K ⊔ f.ker
α : Type u₁
β : Type u₂
MulZeroClass β
DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
⊢ (g₁ * g₂).support ⊆ g₁.support ∩ g₂.support
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d₁ d₂ : G.Dart
⊢ d₁.edge = d₂.edge ↔ d₁ = d₂ ∨ d₁ = d₂.symm
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ l ~ a :: l.erase a
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n) (f N) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂).φH = φ.τ₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : BddAbove s
⊢ closure ↑(lowerClosure s) = ↑(lowerClosure (closure s))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a) (f b)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : c ≠ 0
hab : a * c ≤ b * c
⊢ a ≤ b
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
⊢ (∑ y : m, ∑ x : n, ‖Aᵀ x y‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
a : UInt8
⊢ -a = { val := -a.val }
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
A : C
X✝ Y✝ : Over A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : Over A
⊢ coprod.map k.left (𝟙 g.left) ≫ coprod.desc Y✝.hom g.hom = coprod.desc X✝.hom g.hom
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x + r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele
⊢ (x * y).IsFiniteAdele
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.hom.hom₃ ≫ e.inv.hom₃ = 𝟙 A.obj₃
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a < b / r ↔ a * r < b
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
x : Perm α
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
p : ℚ
q : ℚ≥0
hq : 0 < q
⊢ q ≤ p.toNNRat ↔ ↑q ≤ p
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
⊢ Function.Injective ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i))
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R
⊢ 0 < prod (Quot.mk Setoid.r l) ↔ ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r l, 0 < x
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ μ s⁻¹ = 0 ↔ μ s = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
a : AddCircle p
⊢ ∃ b ∈ Set.Ico 0 p, ↑b = a
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
DivisionRing K
m : ℕ
⊢ m ≤ n → g.contsAux m = (g.squashGCF n).contsAux m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ HasProd (fun b => f b / g b) (a₁ / a₂)
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
⊢ StrictMono f ∧ Continuous f → IsNormal f
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
self : c.TensorSigns
p q r : I
hpq : c.Rel p q
⊢ c.Rel (r + p) (r + q)
x y : Char
⊢ x = y ↔ x.val = y.val
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.fromCostructuredArrow F).obj c).π = c.hom
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯
⊢ ℱ.val.map c'.pt.hom.op (ℱ.val.map (G.map (c'.π.app left).right).op (eqToHom ⋯ (x g₁ hg₁))) = ℱ.val.map c'.pt.hom.op (ℱ.val.map (G.map (c'.π.app right).right).op (eqToHom ⋯ (x g₂ hg₂)))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
G : Type u_6
TopologicalSpace β
Group G
MulAction G β
ContinuousConstSMul G β
m : MeasurableSpace α
c : G
⊢ (MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c • f x) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
r : R
⊢ P (reverse ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imK = s • a.imK
c : Type u → Type u
hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → Type u
self : CategoryTheory.BundledHom hom
α : Type u
I : c α
⊢ self.toFun I I (self.id I) = id
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
⊢ (∃ x < l, eval (π C fun x => ord I x < o₂) x = f) ↔ ∃ a < l, (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) a) = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ∏ i : ι, (μ i) (f i ⁻¹' s i) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ ‖f.completion‖ = ‖f‖
C : Type u₁
Quiver C
X Y : Cᵒᵖ
⊢ Function.Injective Quiver.Hom.unop
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₁, (lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
⊢ Sbtw R (t.points i₁) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ s₁ ∧ BijOn f s' t'
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
Ring B
Ring C
Algebra R B
Algebra A B
Algebra R C
IsScalarTower R A B
Algebra A C
IsScalarTower R A C
b : B
FunLike F B C
AlgHomClass F A B C
f : F
hb : IsIntegral R b
⊢ IsIntegral R (f b)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ t, (Finset.filter (fun x => f x = a) s).card ≤ n
⊢ s.card ≤ n * t.card
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset α
⊢ (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ Multiset.map f Finset.univ.val = ↑(List.ofFn f)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Abelian C₁
HasDerivedCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Abelian C₂
HasDerivedCategory C₂
F : C₁ ⥤ C₂
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
K : CochainComplex C₁ ℤ
⊢ F.mapDerivedCategoryFactorsh.hom.app ((HomotopyCategory.quotient C₁ (ComplexShape.up ℤ)).obj K) =
  F.mapDerivedCategory.map ((DerivedCategory.quotientCompQhIso C₁).hom.app K) ≫
    F.mapDerivedCategoryFactors.hom.app K ≫
      (DerivedCategory.quotientCompQhIso C₂).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ≫
        DerivedCategory.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℤ)).inv.app K)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Abelian D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
F.Faithful
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : (S.map F).Exact
⊢ S.Exact
X : Type u_1
Y : Sort u_2
Z : ?m.78767
f : X → Y
⊢ range (toPullbackDiag f) = pullbackDiagonal f
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (A.leftRegularHomEquiv.symm x).hom (Finsupp.single g 1) = (A.ρ g) x
α : Type u_1
CommGroup α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : MulDissociated t
⊢ MulDissociated s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑e.toLieModuleHom = ⇑e
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : NeZero a
⊢ f a ≠ f 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
⊢ ∑ x_1 ∈ {x, 0}, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Disjoint s ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ a ≤ EquivLike.inv f b ↔ f a ≤ b
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
a : α
Nonempty ι
⊢ ⨅ x, a = a
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
he : e ∈ I \ J
⊢ ∃ f ∈ J \ I, M.Basis (insert f (I \ {e})) X
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ν : MeasureTheory.Measure α
h' : ν.AbsolutelyContinuous μ
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint ν s t
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
s : Submodule R E
f g : ↥s →ₗ[R] F
h : f = g
⊢ { domain := s, toFun := f } = { domain := s, toFun := g }
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ StrictMono (Pell.xn a1)
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : multiplicity.Finite a b
hdiv : a ∣ b
⊢ 0 < (multiplicity a b).get hfin
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : ⌈a⌉₊ ≤ n
⊢ a ≤ ↑n
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemigroup R
inst✝ : StarMul R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x * y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℤ
⊢ ∀ {X Y : CochainComplex C ℤ} (φ : X ⟶ Y) (i : ℤ), ((CochainComplex.shiftFunctor C n).map φ).f i = φ.f (i + n)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j
⊢ i ∈ t
α : Type u_1
f g h : Perm α
l : List (Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Disjoint l
⊢ ∀ {a b : Perm α}, a ∈ l → b ∈ l → a.Disjoint b → a ≠ b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
⊢ Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddRightInvariant
ν.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 + z.2, -z.1)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.take n.succ s = s.head :: Stream'.take n s.tail
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesColimit (parallelPair S.f 0) F
this : PreservesLimit (parallelPair h.g' 0) F
wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0
hp : IsColimit ((CokernelCofork.ofπ h.p ⋯).map F)
g' : F.obj h.Q ⟶ F.obj S.X₃ := hp.desc (CokernelCofork.ofπ (S.map F).g ⋯)
hg' : g' = F.map h.g'
wι : F.map h.ι ≫ g' = 0
⊢ (S.map F).RightHomologyData
R : Type u
A : Type v
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
HS : S.FG
IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing ↥S
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
m : M
n : N
⊢ AddCommute ((AddMonoidHom.inl M N) m) ((AddMonoidHom.inr M N) n)
S : Type u'
M : Type v
N : Type u_1
α : Type u_2
SetLike S α
VAdd M N
VAdd M α
AddMonoid N
AddAction N α
VAddMemClass S N α
VAddAssocClass M N α
s : S
r : M
x : ↥s
⊢ r +ᵥ x = ⟨r +ᵥ ↑x, ⋯⟩
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in Filter.atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ y ≤ f x, p y
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s
⊢ IsLindelof (⋃ n, K n)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊔ b = b + (a - b)⁺
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
n : ℕ
R : L.Relations n
x : Fin n → Σˣ f
i j : ι
hi : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
hj : j ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
⊢ RelMap R (unify f x i hi) = RelMap R (unify f x j hj)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring
⊢ ∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in nhds (p.comp (↑f).attachBound), x ∈ ↑A.toSubsemiring
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
⊢ ⇑f.toBotHom = ⇑f
m : Type u_2
α : Type v
CommSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m m α
k : ℕ
⊢ (M ^ k)ᵀ = Mᵀ ^ k
M : Type u_3
AddCommMonoid M
s : Set M
hs : IsAddSubmonoid s
m : Multiset M
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.sum ∈ s