ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
⊢ (piFinset s).Nonempty ↔ ∀ (a : α), (s a).Nonempty
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c : 𝕜 → 𝔸
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝔸
⊢ derivWithin (fun y => c y * d) s x = derivWithin c s x * d
α : Type u_7
s : Finset α
n : ℕ
⊢ (Fintype.piFinset fun x => s).card = s.card ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = (a ⊔ b) \ (a ⊓ b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 _root_.id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t ∪ s ∩ tᶜ = s
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_4
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection p
x : E'
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) p)) x) = f ↑((orthogonalProjection p) (f.symm x))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
⊢ mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
⊢ r ^ (p.natDegree + q.natDegree - (p * q).natDegree) • (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
R : Type u_1
inst✝ : Mul R
a : R
h : IsRightRegular a
ca : ∀ (b : R), Commute b a
⊢ IsLeftRegular a
α : Type u_1
x y : α × α
⊢ Sym2.Rel α x y → Sym2.Rel α y x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure ∅
⊢ ContinuousAt (fun x => (infDist x ∅)⁻¹) x
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ (DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles.Coe.algHom R K) x v = ↑(x v)
α : Type u_1
β : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨆ i, m i) = ⨆ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (m i)
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
⊢ 0 ⧏ (mk xl xr xL xR).inv'
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
⊢ (∀ a ∈ p, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → p.prod = q.prod → p = q
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : CategoryTheory.Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
⊢ Δ'.len < Δ.len
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support
⊢ ∀ i_1 ∈ i.support, ((fun n e => g n ^ e) i_1 (i i_1)).IsHomogeneous ((fun k => n * i k) i_1)
N : ℕ
NeZero N
j : ℤ
⊢ ZMod.toAddCircle ↑j = ↑(↑j / ↑N)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : β → ℝ≥0∞
g : α ≃ᵐ β
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂ν = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic n ℤ ∣ X ^ n - 1
K : Type u_1
n : ℕ
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
DivisionRing K
⊢ GenContFract.convs'Aux s (n + 2) = GenContFract.convs'Aux (GenContFract.squashSeq s n) (n + 1)
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
⊢ cmp x y = Ordering.gt ↔ y < x
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
f : E
x y : α
⊢ f x = f y ↔ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (h.compRight ψ).h₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₂ ψ.τ₂
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ ∃ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_2 i < Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
H : o.bsup f = o.blsub f
⊢ (o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ∑' (i : ι), (μ.restrict (s i)) t
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.min' ⋯ = a
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
⊢ multichoose 2 k = ↑k + 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
⊢ IsPrimitiveRoot (IsCyclotomicExtension.zeta n A B) ↑n
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : 0 < r
⊢ clog b r⁻¹ = -log b r
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
⊢ List.Chain (fun x y => Nonempty (y ⟶ x)) b p.toList
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : π.IsPartition
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
hi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
⊢ (π.biUnionPrepartition πi).IsPartition
α : Type u
a : α
⊢ Set.Iic (pure a) = {⊥, pure a}
α : Type u_7
M : Type u_11
N : Type u_12
SMul M N
SMul N α
SMul M α
IsScalarTower M N α
x : M
y : N
z : α
⊢ (x • y) • z = x • y • z
M : Type u_4
MulOneClass M
⊢ [].prod = 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ Function.Surjective ⇑(LieSubmodule.Quotient.mk' N)
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
s : Set α
f : ↥(MeasureTheory.Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
l : List α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
a m : α
o : Option α
⊢ a ∈ l → m ∈ List.foldl (List.argAux r) o l → ¬r a m
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) / ↑s.card
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 (Additive.ofMul x) = Filter.map (⇑Additive.ofMul) (𝓝 x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
⊢ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
m n : Nat
⊢ m ≠ 0 → m.gcd n ≠ 0
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
f : (a : δ) → π a
a : δ
DecidableEq δ
⊢ Measurable (Function.update f a)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
d : D
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
⊢ (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₂.obj d)) ≫ β.app (R₂.obj d) ≫ 𝟙 (L₂.obj (R₂.obj d))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d) = 𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₁.obj d)) ≫ (β.app (R₁.obj d) ≫ α.app (R₁.obj d)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d)
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
hy : y ∈ (convexHull ℝ) s
x' : E
hx' : x' ∈ s
y' : E
hy' : y' ∈ s
H : dist x y ≤ dist x' y'
⊢ edist x' y' ≤ EMetric.diam s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
⊢ Smooth (I.prod J) I Prod.fst
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.awayToSection 𝒜 f)
    ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯)
    (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ dist p1 (midpoint ℝ p1 p2) = dist p2 (midpoint ℝ p1 p2)
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Mul M
Mul N
x y : M
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : Commute (f x) (f y)
⊢ Commute x y
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
⊢ ∀ {X Y : T} (h : X ⟶ Y), C.asFunctor.map h = { f := fun i => (C.X i).map h, comm' := ⋯ }
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f g : A →A[R] A
⊢ f * g = f.comp g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y
⊢ r x (wf.succ x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app ⟨2, ⋯⟩ = app₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(Finset.range n)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω < N
this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ N ≤ N
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ QuotientMap f ↔ Function.Surjective f ∧ ∀ (s : Set Y), IsOpen s ↔ IsOpen (f ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobjectIso f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g =
  (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobject f g).arrow
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
a : TensorProduct R S ↑Y
⊢ (ModuleCat.ExtendRestrictScalarsAdj.Counit.map f) a =
  (TensorProduct.lift
      { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
    a
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ≅ g b
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.mapIso p).hom = CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun b => (p b).hom
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑‖(X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2‖₊ = ENNReal.ofReal ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ n, aeSeq h_meas p n) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
⊢ ∃ X₀ X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ f₀ f₁ f₂ f₃ f₄, X = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₅ f₀ f₁ f₂ f₃ f₄
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
k m : ℕ
h : φ.IsQF
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt k m φ).IsQF
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 + u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 + u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 = v 0 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 0 + v 1 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 1 + v 2 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))
α : Type u
self : PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ε}
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ f.measure (Ici x) = ofReal (l - leftLim (↑f) x)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ∀ (j : J), limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j (𝟙 X✝ ≫ x✝) = limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
a : α
s : Set β
ha : 0 ≤ a
⊢ a • upperBounds s ⊆ upperBounds (a • s)
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
TopologicalSpace V
BorelSpace V
TopologicalSpace W
MeasurableSpace W
BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
ν : MeasureTheory.Measure W
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
SecondCountableTopology V
CompleteSpace F
f : V → ℂ
g : W → F
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g ν
⊢ ∫ (ξ : W), VectorFourier.fourierIntegral e μ L f ξ • g ξ ∂ν =
  ∫ (x : V), f x • VectorFourier.fourierIntegral e ν L.flip g x ∂μ
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s t = 0 ↔ closure s = closure t
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)
⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
h : b ⟶ c
⊢ eqToHom ⋯ ▷ h = eqToHom ⋯
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0