ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
l : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => -u x) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (mk '' t)
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ finrank F ↥⊤ = finrank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ eraseP p l = erasePTR p l
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) = (aeval y) f
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
⊢ M.Basis I X ↔ (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CompactSpace α
inst✝² : MetricSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
⊢ dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
X : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
Y Z : Type u
_tsY : TopologicalSpace Y
_tsZ : TopologicalSpace Z
_csY : CompactSpace Y
_t2Y : T2Space Y
_csZ✝ : CompactSpace Z
_csZ : T2Space Z
f : StoneCech X → Z
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
g_sur : Surjective g
s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯
hs : g ∘ s = id
t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit
ht : Continuous t
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ g ∘ h = f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
self : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x - y).orderTop = x.orderTop
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : ∀ m ∈ S.centralizer.centralizer, m * x = x * m
y : M
hy : y ∈ S
⊢ y * x = x * y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖
α : Sort u_1
self : Uncountable α
⊢ ¬Countable α
α : Type u_1
Add α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a + b) = OrderDual.toDual a + OrderDual.toDual b
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
⊢ (∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i + ↑↑(Equiv.Perm.sign (Equiv.refl n)) * ∏ i : n, M.charmatrix ((Equiv.refl n) i) i - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(f.restrict s) = s.indicator ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : β ≃ᵐ α
⊢ Measure.map (⇑e.symm) μ = Measure.comap (⇑e) μ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : Fintype ι
x hx : ι → α
⊢ edist ((Equiv.funUnique ι α).toFun x) ((Equiv.funUnique ι α).toFun hx) = edist x hx
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
Semiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
f : α ≃ₗ[R] β
M : Matrix m n α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
f : α →₀ M
Field R
CharZero R
g : α → M → ℚ
⊢ ↑(f.prod g) = f.prod fun a b => ↑(g a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f
hit : i ∉ t
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
BR : RingFilterBasis R
B : ι → Submodule R M
self : BR.SubmodulesBasis B
m : M
i : ι
⊢ ∃ U ∈ BR, U ⊆ (fun x => x • m) ⁻¹' ↑(B i)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
CompactIccSpace α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
a b : α
⊢ μ (Set.Icc a b) < ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁✝ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop
p : ℝ
i : α
x✝ : i ∈ univ
h₁ : 0 < a i
h₂ : 0 < b i
⊢ 0 ≤ (fun i => a i * b i ^ p) i
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsOpen (f i)ᶜ
⊢ IsOpen (⋂ i ∈ s, (f i)ᶜ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
t : Set M'
g : M' → M''
hg : SmoothOn I' I'' g t
hf : SmoothOn I I' f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ SmoothOn I I'' (g ∘ f) s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = ↑(↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi))
R : Type u
Ring R
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ Subring.closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
g : G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) =
  MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Bialgebra R A
⊢ (LinearMap.mul R A).compr₂ Coalgebra.counit = (LinearMap.mul R R).compl₁₂ Coalgebra.counit Coalgebra.counit
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
⊢ ⋃ x ∈ univ, (fun x_1 => x • x_1) '' t = ⋃ a ∈ univ, a • t
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
⊢ AddMonoid.IsTorsion G
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
h' : (a₁ - a₂).NFBelow e₁.repr
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ ((-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯ + (((-1) ^ (a + 1) • X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ X * map f (dickson k a (n + 1)) - C (f a) * map f (dickson k a n) = X * dickson k (f a) (n + 1) - C (f a) * dickson k (f a) n
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
h : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
⊢ IsConnected s
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
⊢ limit.lift (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j = 𝟙 (limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F)) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ r⁻¹ • x ∈ s
cont : Type u_1
idx : Type u_2
elem : Type u_3
dom : cont → idx → Prop
GetElem? cont idx elem dom
LawfulGetElem cont idx elem dom
Inhabited elem
c : cont
i : idx
h : dom c i
Decidable (dom c i)
⊢ getElem! c i = getElem c i h
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.112788, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X✝ Y✝ : Split C
Φ : X✝ ⟶ Y✝
n : ℕ
⊢ Φ.f n ≫ (Y✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = (X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U : Y.Opens
⊢ f.appLE U ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U) ⋯ = f.app U
α : Sort u_4
M : Type u_7
OrderedAddCommMonoid M
f : α → M
hf : ∀ (i : α), 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ ∑ᶠ (i : α), f i
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ MeasureTheory.Memℒp (⇑L ∘ ↑↑f) p μ
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Finset.Ico a a = ∅
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t = s \ t ∪ t \ s ∪ s ∩ t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
h : r ≠ 0
⊢ (HahnSeries.single a) r ≠ 0
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
x y : R
⊢ { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Finite α
f : ↥(lp E p)
⊢ AddEquiv.lpPiLp f = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
hfin : Finite G
g : IntermediateField F E → G := fun K => ⟨Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α), ⋯⟩
⊢ Finite (IntermediateField F E)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : ChartedSpace H A
inst✝³ : TopologicalSpace A'
inst✝² : ChartedSpace H' A'
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ChartedSpace H R
x : M
⊢ ∀ (t : N), ∃ U f, ∃ (_ : (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate M N ⋯).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : Ring S
f : R✝ →+* S
I✝ : Type u_3
e : I✝ → R✝
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝³ : Fintype I✝
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
I : Type u_4
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : DecidableEq I
R : I → Type u_5
inst✝ : (i : I) → Ring (R i)
⊢ ∀ (i j : I), i ≠ j → Pi.single i 1 * Pi.single j 1 = 0
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
⊢ W'.negAddY P Q * (P z * Q z) ^ 3 =
  (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) *
      (W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2) +
    P y * Q z ^ 3 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 3
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedCosZeta (-a) s = completedCosZeta a s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
n : ℕ
hf : f.IsCycleOn ↑{a}
ha : a ∈ {a}
⊢ (f ^ n) a = a ↔ {a}.card ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ ⋃ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∃ i, P i x}
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊥.iUnion = ∅
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
⊢ μ.normalize s = μ.mass⁻¹ * μ s
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.length (w * t) ≠ cs.length w
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit
⊢ MeasurePreserving (⇑e) (Measure.pi μ) (Measure.dirac ())
g : SL(2, ℤ)
⊢ (↑↑↑g).det = 1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
R S : CommRingCat
e : R = S
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (CategoryTheory.eqToHom e) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Finset α
f : α → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
StarAddMonoid β
NormedStarGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ (star f) x = star (f x)
R : Type u
Semiring R
DecidableEq R
n : ℕ
⊢ Polynomial.degreeLE R ↑n = Submodule.span R ↑(Finset.image (fun n => Polynomial.X ^ n) (Finset.range (n + 1)))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0
x : k
hx : (map (↑e.symm) p).IsRoot x
⊢ ∃ x, eval x p = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
⊢ (3 * (P x / P z ^ 2) ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * (P x / P z ^ 2) + W.toAffine.a₄ - W.toAffine.a₁ * (P y / P z ^ 3)) / (P y / P z ^ 3 - W.negY P / P z ^ 3) = -(W.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4)) / (P z * (P y - W.negY P))
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
c : M
hc : c ≠ 1
⊢ (Function.mulSupport fun x => c) = Set.univ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
DivisionRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
⊢ (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = fun n => x ^ n / ↑n.factorial
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
Y Y' : D
h : Y ≅ Y'
hY : Y ∈ F.essImage
⊢ Y' ∈ F.essImage
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i => ‖↑f i‖ ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a
⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝 z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝 z)
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦a✝³ i * -a✝ j⟧ = ⟦a✝³ i * a✝ j⟧
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x₂ ∈ ↑(S i)
⊢ C x₂
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
⊢ Summable fun x => ‖g x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
l : List (Option α)
⊢ (some x :: l).reduceOption = x :: l.reduceOption
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
r : R
s : S
y : ↑Y
⊢ (f r • s) • y = f r • s • y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
Mathlib.Tactic.Coherence.LiftObj W
Mathlib.Tactic.Coherence.LiftObj X
Mathlib.Tactic.Coherence.LiftObj Y
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
Mathlib.Tactic.Coherence.LiftHom f
Mathlib.Tactic.Coherence.LiftHom g
⊢ f ≫ g ≫ h = (f ≫ g) ≫ h
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
MeasurableSpace M
BorelSpace M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
f f' : M → F
μ : MeasureTheory.Measure M
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hf' : MeasureTheory.LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = f' x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernel.mapIso f f' p q w).inv = CategoryTheory.Limits.kernel.map f' f p.inv q.inv ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a < o ↔ ∃ x < o, a < x
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ e.symm.toRingHom.comp e.toRingHom = RingHom.id R
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P4 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P4 x₁ x₂ (-y)