ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
posmeas : Set ι := {i | 0 < μ (As i)}
posmeas_def : posmeas = {i | 0 < μ (As i)}
as : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictAnti as
as_mem : ∀ (n : ℕ), as n ∈ Ioo 0 1
as_lim : Tendsto as atTop (𝓝 0)
fairmeas : ℕ → Set ι := fun n => {i | as n ≤ μ (As i)}
countable_union : posmeas = ⋃ n, fairmeas n
n : ℕ
⊢ (fairmeas n).Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.ofCone t).π.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (t.π.app j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0 ↔ B z = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : K
⊢ (algebraMap K L) x ∈ S
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ toLaurent (Polynomial.C r * X ^ n) = C r * T ↑n
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s ⩿ insert a s
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), 1 = 1
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
⊢ σₙ R 0 = {0}
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
⊢ ‖term f s' n‖ ≤ ‖term f s n‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A
⊢ curry (𝟙 (A ⊗ (𝟭 C).obj X)) = (ihom.coev A).app X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la lb : β
hab : a ≠ b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddGroup (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (-f).support = f.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
⊢ MeromorphicAt (f ^ n) x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
n : ℕ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ n * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
x : X
F : Ultrafilter X
⊢ F.lim = x ↔ ↑F ≤ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
⊢ b ∈ Finmap.lookup a (s₁ ∪ s₃) → a ∉ s₂ → b ∈ Finmap.lookup a (s₁ ∪ s₂ ∪ s₃)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s : ℕ → Set X
hs : ∀ (n : ℕ), IsMeagre (s n)
⊢ IsMeagre (⋃ n, s n)
p : Prop
h : Decidable p
f : Bool
⊢ (if p then false else f) = (!decide p && f)
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ w, ∑ i : ι, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[Filter.atTop] g
hg : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ ⋃ j, s j
⊢ x default = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c
a : α
h : ∀ b ∈ s, F b a ≤ c
⊢ F i a ≤ c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : (RightFraction.mk α.s ⋯ β.f).f ≫ γ.s = (RightFraction.mk α.s ⋯ β.f).s ≫ γ.f
⊢ add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)
α : Type u_1
a : α
l : Array α
⊢ a ∈ l.data ↔ a ∈ l
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
H : Subgroup Mˣ
⊢ H.ofUnits ≤ S ↔ H ≤ S.units
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
l : F → E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l y
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x
⊢ deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), a.Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsReflection t ∧ cs.length (w * t * t) < cs.length (w * t) ↔ ¬(cs.IsReflection t ∧ cs.length (w * t) < cs.length w)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty
⊢ (H ⊔ K).Connected
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.Equation P ↔
  P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 -
      (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) =
    0
n : ℕ
⊢ (CharacterModule.int.divByNat n) ↑n = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s.addEnergy t =
  (Finset.filter (fun x => Finset.addEnergy_eq_card_filter.match_1 (fun x => Prop) x fun a b c d => a + b = c + d)
      ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (repr (Quot.mk Mcongr a✝)))) (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝))
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ * a⁻¹⁻¹ = 1
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : AddHom M M₃
h : ∀ (m : R) (x : M), f.toFun (m • x) = σ m • f.toFun x
⊢ ⇑{ toAddHom := f, map_smul' := h } = ⇑f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
k : ℕ
h : G.edist u v = ↑k
⊢ ∃ p, p.length = k
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B C : Matrix n n α
Invertible A
⊢ A⁻¹ * B = C ↔ B = A * C
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
CharZero R
⊢ CharZero K
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
W : Submodule R M
⊢ W.dualRestrict = W.subtype.dualMap
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ aleph o₁ * aleph o₂ = aleph (max o₁ o₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
x : M
⊢ h.symm (h x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ t
⊢ a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W P f
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeGroup α
⊢ f <$> (x * y) = f <$> x * f <$> y
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
⊢ ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = |R ^ finrank ℝ E| • ∫ (x : E), f x ∂μ
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => Finset.image (Finset.Pi.cons s a b) (s.pi t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
F : Set X
hF : IsPathConnected F
⊢ IsConnected F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : 0 < multiplicity a b
⊢ ↑1 ≤ multiplicity a b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc a b) μ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalGroup G
h₂ : TopologicalGroup G
b : Bool
⊢ TopologicalGroup G
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_6
C : Type u_7
CommRing C
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
Algebra C B
IsScalarTower R A B
IsIntegralClosure C R B
Algebra.IsIntegral R A
⊢ IsIntegralClosure C A B
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j
⊢ QuasiIsoAt ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) n).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ j
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q) ∣ p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (α_ P.X Q.X L.X).hom ▷ U.X ≫ (((α_ P.X (Q.X ⊗ L.X) U.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ▷ U.X) ≫ P.X ◁ TensorBimod.actRight Q L) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S T : AddSubsemigroup M
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map f (S ⊔ T) = AddSubsemigroup.map f S ⊔ AddSubsemigroup.map f T
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
E : Set α
h : Set.BijOn f E N.E
⊢ (N.comapOn E f)✶ = N✶.comapOn E f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
e : α ≃ β
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t
⊢ s.card = t.card
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α
⊢ ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ?m.10083 * ‖f x‖
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap F E)
η : Type u_1
α : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ
ι : Type
_inst : Fintype ι
l : Line { x // x ∈ S } ι
c : κ
hl : ∀ (x : { x // x ∈ S }), (fun v => C (∑ i : ι, ↑(v i))) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
s : Finset ι := Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
hs : s = Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
⊢ ⋯.choose ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
i : ι → M
⊢ (g fun i_1 => ↑f.symm (i i_1)) = g i
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
⊢ iSup f ≤ Cardinal.sum f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
R.hasPullbacks
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Equalizer.forkMap P R)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.firstMap P R) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Equalizer.forkMap P R)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.secondMap P R)
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderBot α
OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
x : α
hx : p x
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⊥ ↔ x = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
self : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd ⋯))
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
x y : M
⊢ Pi.prod (⇑f) (⇑g) (x + y) = Pi.prod (⇑f) (⇑g) x + Pi.prod (⇑f) (⇑g) y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f
⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.toList.sum = s.sum
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ f '' quasispectrum S a = quasispectrum R a
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n < 1 ↔ a < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Countable α
MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
⊢ Measurable f
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p₁ -ᵥ p = p₂ -ᵥ p
⊢ p₁ = p₂
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.variance (fun ω => c * X ω) μ = c ^ 2 * ProbabilityTheory.variance X μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ ↑r ∈ adicCompletionIntegers K v
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
p : ι →₀ R
n : N
⊢ (TensorProduct.finsuppScalarLeft R N ι) (p ⊗ₜ[R] n) = p.sum fun i m => Finsupp.single i (m • n)
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
C : α ⧸ s → Prop
x : α ⧸ s
H : ∀ (z : α), C ↑z
⊢ C x
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ (s.toMeasureOfLEZero i hi₁ hi) j = ↑⟨-↑s (i ∩ j), ⋯⟩
h : setOf Odd = {n | n % 2 = 1}
⊢ schnirelmannDensity {n | n % 2 = 1} = 2⁻¹
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{u₁, u₂} C
CategoryTheory.IsPreconnected J
X Y : C
α : (CategoryTheory.Functor.const J).obj X ⟶ (CategoryTheory.Functor.const J).obj Y
j j' : J
⊢ α.app j = α.app j'
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_4
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
DecidableEq ι
i : ι
x : M i
⊢ (DFinsupp.lsingle i) x = DFinsupp.single i x
M : Type u_1
α : Type u_3
SMul M α
β : Type u_5
Monoid M
AddMonoid β
DistribMulAction M β
a : M
b : α
⊢ a • (b, 0) = (a • b, 0)
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ MulOpposite.op ((∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y)) = MulOpposite.op (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).functor.obj self = self.unmop
α : Type u
Inhabited α
Preorder α
a : α
l : List α
h : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
ha : a ∈ l
⊢ a ≤ l.head!
α : Type u_2
Zero α
s : Finset α
⊢ 0 ⊆ s ↔ 0 ∈ s
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ Isometry (GromovHausdorff.optimalGHInjl X Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).support = Finset.image f s.support
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A
x : A
⊢ star x ∈ star S ↔ x ∈ S
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f g : ↑(Ω^ N X x)
H : ∀ (y : N → ↑I), f y = g y
⊢ f = g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ
⊢ Martingale (f + -g) ℱ μ
n : ℕ
⊢ Multiset.range n.succ = n ::ₘ Multiset.range n
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ NonemptyInterval.dual (NonemptyInterval.pure a) = NonemptyInterval.pure (OrderDual.toDual a)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
k : σ → τ
g : τ → S
p : MvPolynomial σ R
Algebra R S
⊢ (MvPolynomial.aeval g) ((MvPolynomial.rename k) p) = (MvPolynomial.aeval (g ∘ k)) p
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ s =ᵐ[μ] t ↔ μ (s \ t) = 0 ∧ μ (t \ s) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Convex 𝕜 (⇑f '' s)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Nat.card (G ⧸ f.ker) ∣ Nat.card G
α : Type u_1
f : α → ℝ
l : Filter α
x : ℝ
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hx : x ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.log (f x)) l (𝓝 (Real.log x))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
S : Set E
q : ℕ
inst✝¹ : ExpChar F q
n : ℕ
L : IntermediateField F E := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
M : IntermediateField F E := adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
hi : M ≤ L
this✝ : Algebra ↥M ↥L := (inclusion hi).toAlgebra
this : Algebra.IsSeparable ↥M ↥(extendScalars hi)
⊢ L = M
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ ∀ (a : ↑(Metric.ball 0 1)),
  Homeomorph.unitBall.symm a = ↑(PartialHomeomorph.univUnitBall.toHomeomorphSourceTarget.symm a)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.length ≤ 0
⊢ l.reverse = []
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ (↑f.cycleFactorsFinset).Pairwise Commute
α : Type u
l✝ l'✝ l l' : List α
⊢ l.cyclicPermutations ~r l'.cyclicPermutations ↔ l ~r l'
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
⊢ ∃ x, f x = x + τ f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => star (f x)) (star f') s x