ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M
⊢ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y + f y = f (x + y) + f (x' + y) + f (x + x') + f y ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
hz : ‖(x + const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4
⊢ y i < z i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
⊢ Tendsto (fun n => (L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) ⋯)) atTop (𝓝 ((L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ contDiffGroupoid 0 I = continuousGroupoid H
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).support.max = p.support.max
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct >>= destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
SmoothAdd I' G
f g : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
f : Option ι → Set X
⊢ LocallyFinite ((f ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ LocallyFinite ((f ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) ↔ LocallyFinite (f ∘ some)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ (n + 1)
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ (algebraMap R PUnit.{u_2 + 1}) r = PUnit.unit
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ {x | gauge s x < a} ↔ x✝ ∈ ⋃ r ∈ Ioo 0 a, r • s
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ AddMonoidHom.mker f.mrangeRestrict = AddMonoidHom.mker f
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = posFittingComp R L M
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ s +ᵥ ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s +ᵥ t i
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : ι → AddSubgroup M
h : DirectSum.IsInternal A
⊢ CompleteLattice.Independent A
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (f✝ + g✝) ▷ X✝ = f✝ ▷ X✝ + g✝ ▷ X✝
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (s \ {a}).ncard < s.ncard
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Set.Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Set.Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val
⊢ s = (↑s).toFinset
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
⊢ (of A (i + 0)) (GradedMonoid.GMul.mul xi GradedMonoid.GOne.one) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).2 = OfNat.ofNat n
D : TopCat.GlueData
i j : D.J
⊢ Set.range ⇑(D.ι i) ∩ Set.range ⇑(D.ι j) = Set.range ⇑(D.f i j ≫ D.ι i)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ W.Equation x y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ioi a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi b = Set.Ioi ↑b
x : ℂ
⊢ RCLike.re x = x.re
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ p.succAbove i = p.succAbove j ↔ i = j
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃ + ↑π
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| = 1
⊢ orderOf x ≤ 2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ 0 ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower F K E
h : Normal F E
x : E
hx : IsIntegral F x
hhx : Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
⊢ IsIntegral K x ∧ Splits (algebraMap K E) (minpoly K x)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
n : ℤ
⊢ (f ^ n).toGerm = f.toGerm ^ n
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) c₁ = (lineMap p₀ p₁) c₂ ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Icc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ (fun x => -f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
⊢ e ∉ M.closure I ↔ M.Indep (insert e I)
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ range ⇑(sigmaSet h) = ⋃ i, s i
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup f = s.sup fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
α : Type u_1
a : α
⊢ Topology.WithLowerSet.ofLowerSet (Topology.WithLowerSet.toLowerSet a) = a
F : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : TopologicalSpace F
s t : Set F
hs : AmpleSet s
ht : AmpleSet t
x : F
hx : x ∈ s ∪ t
⊢ (convexHull ℝ) (connectedComponentIn (s ∪ t) x) = univ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitMono S.f
⊢ Mono S.f
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
⊢ ∑ y ∈ s, ∑ x ∈ t, g x • c y • bK y x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a * (b - a) * (1 / b) = 1 / a - 1 / b
x✝ y x : ℝ
a✝ : ℕ
⊢ log (x ^ Int.negSucc a✝) = ↑(Int.negSucc a✝) * log x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
CategoryTheory.EssentiallySmall.{u_4, u_5, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology (CategoryTheory.SmallModel.{u_4, u_5, u_1} C))
    ((CategoryTheory.equivSmallModel C).inverse.op.comp F)
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o.pred ≤ o
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
x : ι → ℝ
⊢ Set.InjOn (fun J => {i | J.lower i = x i}) {J | J ∈ π ∧ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
l : List (L.BoundedFormula α n)
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l).Realize v xs ↔ ∃ φ ∈ l, φ.Realize v xs
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), BddAbove t → tᶜ ∈ atTop
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_lt : Fintype.card { x // x ∈ s } < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ s.card < t.card
a : Code × ℕ
⊢ (rfindOpt fun b => evaln (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.1 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.2 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).2) = a.1.eval a.2
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ -a ≤ a⁻
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
⊢ ¬p.coeff p.natDegree = 0
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' t = Subtype.val ⁻¹' u ↔ s ∩ t = s ∩ u
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
⊢ Function.Injective (ofFractionRing ∘ ⇑(algebraMap K[X] (FractionRing K[X])))
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
x y : ↥S
⊢ x * y = ⟨↑x * ↑y, ⋯⟩
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.2 - b) • cb - (x.1 - a) • ca) = ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in (a, b).1 ..(a, b).2, f x) - ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x - (a, b))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : CategoryTheory.Mat_ C ⥤ D
F.Additive
M N : CategoryTheory.Mat_ C
f : M ⟶ N
⊢ (CategoryTheory.Mat_.additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f =
  (CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun i j => F.map ((CategoryTheory.Mat_.embedding C).map (f i j))) ≫
    (CategoryTheory.Mat_.additiveObjIsoBiproduct F N).inv
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
a b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = b - a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈a⌉ ≤ z ↔ a ≤ ↑z
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
h : α.Arrow β
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
g' : (P.drop.B a).Arrow α
g : (j : P.last.B a) → TypeVec.Arrow (P.WPath (f j)) α
⊢ TypeVec.comp h (P.wPathCasesOn g' g) = P.wPathCasesOn (TypeVec.comp h g') fun i => TypeVec.comp h (g i)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
G : Type u_2
AddGroup G
S : Set (AddSubgroup Gᵃᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (AddSubgroup.op ⁻¹' S)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ WittVector.mapFun ⇑f ↑n = ↑n
x y : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ Surreal.mk x hx ≤ Surreal.mk y hy ↔ x ≤ y
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (OrderIso.addRight a).symm = OrderIso.addRight (-a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
i : ι'
⊢ (hv.equiv hv' e) ((hv.equiv hv' e).symm (v' i)) = (hv.equiv hv' e) ((hv'.equiv hv e.symm) (v' i))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Complex.cosh (f x)) (Complex.sinh (f x) • f') s x
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
⊢ (PerfectRing.lift i j p).comp i = j
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ A.X.map (f ≫ g) = A.X.map f ≫ A.X.map g
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiSeparated f ↔
  autoParam (AlgebraicGeometry.QuasiCompact (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)) _auto✝
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : α
⊢ (NonUnitalRingHom.id α) x = x
ι : Type u_1
Small.{u, u_1} ι
f : ι → SetTheory.Game
⊢ BddAbove (Set.range f)
K : Type u_2
Field K
NumberField K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ (Finset.filter (fun φ => NumberField.InfinitePlace.mk φ = w) Finset.univ).card = w.mult
a b : Nat
⊢ a.succ = b.succ ↔ a = b
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
Ring R
Ring S
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
SMulCommClass R S N
StrongRankCondition R
StrongRankCondition S
Module.Free S N
⊢ Module.rank S (M →ₗ[R] N) = Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank S N)
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn ℝ n Real.log {0}ᶜ
N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ γ ∈ CongruenceSubgroup.Gamma N ↔ (Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ = 1
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
h₂ : ∀ (i : ℕ), ∏ j ∈ range i, Function.const ℕ φ j = φ ^ i
⊢ (coeff R n) (φ ^ k) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) φ
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
IsDomain R
NeZero ↑n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).roots.Nodup
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
Φ : C ⥤ D
Φ.Additive
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (z.map Φ) = (CochainComplex.HomComplex.δ n m z).map Φ
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
this : ρ a = (ρ a).fst ⊗ₘ κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯
h : ∀ᵐ (x : β) ∂(ρ a).fst, (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) x = (ρ a).condKernel x
b : β
hb : (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) b = (ρ a).condKernel b
⊢ κ (a, b) = (ρ a).condKernel b
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ
h : 1 - μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε
almost : 1 ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + (ε + μ (thickening ε.toReal B))
⊢ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + (ε + μ (thickening ε.toReal B)) - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).Disjoint t ↔ a ∉ t ∧ s.Disjoint t
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
⊢ x ∈ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) → x ∈ ⊥
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval₂ f x (Polynomial.X ^ n) = x ^ n
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.drop 1 l = l.tail
α : Type u
s : Set α
f : Filter α
⊢ f ≤ 𝓟 s ↔ s ∈ f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r : R
a : A
⊢ r • a + 0 • 0 + 0 * a = r • a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y
⊢ ⇑h ⁻¹' interior s = interior (⇑h ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ CategoryTheory.Functor.mapMatId.inv.app X = 𝟙 ((𝟭 C).mapMat_.obj X)
ι : Type u_4
𝕜 : Type u_5
𝔸 : Type u_6
NormedDivisionRing 𝕜
NormedAddCommGroup 𝔸
Module 𝕜 𝔸
BoundedSMul 𝕜 𝔸
l : Filter ι
ε : ι → 𝕜
f : ι → 𝔸
hε : Filter.Tendsto ε l (𝓝 0)
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
⊢ Filter.Tendsto (ε • f) l (𝓝 0)
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⊥.dualAnnihilator = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_3
A : Type u_4
a : A
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
p : R[X]
h : (Polynomial.aeval a) p = 0
h' : p ≠ 0
⊢ Module.IsTorsion R[X] (Module.AEval R M a)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
n : ℕ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ Stream'.drop n (Stream'.zip f s₁ s₂) = Stream'.zip f (Stream'.drop n s₁) (Stream'.drop n s₂)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ s
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : Ideal S
hI : I ∈ (Ideal S)⁰
⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = mk0 ⟨I, hI⟩
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁵ : 0 ≤ ε₂
this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁴
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ
⊢ List.take 0 (take n s) = take (min n 0) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α
⊢ ∀ (t : Set α), (x ∈ t ↔ y ∈ t) → (x ∈ tᶜ ↔ y ∈ tᶜ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
⊢ CategoryTheory.HasExt C
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
x : G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
h_mul : s 0
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier →
      -x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier
⊢ x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul, neg_mem' := h_inv } ↔ x ∈ s
r : Int
⊢ { num := r, den := 1, den_nz := Nat.one_ne_zero, reduced := ⋯ } = ↑r