ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ
⊢ Tendsto (fun p => a i * b i ^ p) atTop (𝓝 0)
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
⊢ ⇑φ = fun x => x⁻¹
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set B
⊢ e.source ∩ frontier (proj ⁻¹' s) = proj ⁻¹' (e.baseSet ∩ frontier s)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
j : n
c : m → α
DecidableEq n
Star α
⊢ M.conjTranspose.updateRow j (star c) = (M.updateColumn j c).conjTranspose
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z - soln
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝¹ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this✝ : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h
⊢ ‖-q‖ * ‖h‖ ≤ 1 * ‖h‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
⊢ B.polar (⋃ i, s i) = ⋂ i, B.polar (s i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔
  ∃ S σ, Nonempty (T ≅ CochainComplex.trianglehOfDegreewiseSplit S σ)
x y : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily (ULift.{w, 0} Bool)
h : x ⟶ y
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.functor.map h =
  match x, y, h with
  | x, .(x), CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.id .(x) =>
    CategoryTheory.CategoryStruct.id
      (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.rec CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
        CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one x)
  | .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero), .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one),
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line j =>
    bif j.down then CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left
    else CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (update f b 1)
n : β
⊢ f n = (if n = b then f n else 1) * update f b 1 n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
τ : ℍ
⊢ ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = 2 + ↑τ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
hc : Collinear ℝ (Set.range p)
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
⊢ ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
DivisionRing β
a : α
q : ℚ
CharZero β
⊢ ↑q ∈ LinearOrderedField.cutMap β a ↔ ↑q < a
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
⊢ commProb ↥H ≤ commProb G * ↑H.index ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
w x y z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ (tangentCoordChange I x y z) ((tangentCoordChange I w x z) v) = (tangentCoordChange I w y z) v
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *
    (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x₁ (Polynomial.C y₁) *
      WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x₂ (Polynomial.C y₂)) =
  WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.YIdeal W (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *
    WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
      (Polynomial.C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
V : Type u_2
TopologicalSpace V
AddCommMonoid V
SMul ℝ V
self : ConvexBody V
⊢ self.carrier.Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ CategoryTheory.IsIso c.snd
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : α
hx : a ^ m ≤ infEdist x Uᶜ
⊢ a ^ n ≤ infEdist x Uᶜ
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toLocallyRingedSpace Y f.val = X
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.IsNoetherian X ↔ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X ∧ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List ι
f : M → N → P
hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → M
f₂ : ι → N
⊢ ∀ (a : M) (b : N) (i : ι), f (a * f₁ i) (b * f₂ i) = f a b * f (f₁ i) (f₂ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α
this✝ : Nonempty α
this : ∀ b ∈ s, b = a
⊢ False
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
k : ℕ
_h : 0 < k + 2
⊢ ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
x : ℂ
hx : cos x = 0
A : sin x ≠ 0
B : Tendsto cos (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] 0)
⊢ Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[≠] x) atTop
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
⊢ f ∘ id = f
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(s.max' hs) = s.max
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.Nondegenerate ↔ LinearMap.ker B = ⊥
n : ℕ
x : ℤ × ℤ
⊢ x ∈ box 0 ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ -(u ^ 3 * P y) - W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) - W'.a₃ * (u * P z) ^ 3 = u ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ IsSimpleModule R ↥m ↔ IsSimpleOrder ↑(Set.Iic m)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0
hab_0' : 0 < (a + b) ^ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
π : ι → Type u
π' : ι' → Type u
⊢ ∀ (a : ((i : ι) → Sum.elim π π' (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → Sum.elim π π' (Sum.inr i'))) (i : ι ⊕ ι'),
  (Equiv.prodPiEquivSumPi π π') a i = (Equiv.sumPiEquivProdPi (Sum.elim π π')).symm a i
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_4
Ring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M
⊢ f a * f b + f b * f a = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ (s ⊻ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.equivOfNatIso α).unitIso =
  CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransId.symm ≪≫
    CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransEq ⋯ ≪≫
      CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransComp α.hom α.inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ProperSpace 𝕜
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
⊢ IsCompact (WeakDual.polar 𝕜 s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Ico a b).card = ∏ i : ι, (Finset.Icc (a i) (b i)).card - 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)
⊢ U ⟂ sSup V ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ a + b ↔ Cardinal.aleph0 ≤ a ∨ Cardinal.aleph0 ≤ b
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star a * (star (star b) * star (star c)) = star a * star (star c * star b)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
⊢ s ⊆ ↑(NonUnitalSubring.closure s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
hg : ∀ x ∈ s₂ \ s₁, g x = 1
hfg : ∀ x ∈ s₁, f x = g x
⊢ ∏ i ∈ s₁, f i = ∏ i ∈ s₂, g i
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β
⊢ (∀ i ∈ f, ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
R : Type u
Ring R
ι : Sort u_1
S : ι → Set R
h : ∀ (y : ι), IsSubring (S y)
⊢ IsSubring (Set.iInter S)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ (toSpec 𝒜 f).val.base x = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x✝ y : M
a b : R
h : a + b = 1
x : M
⊢ a • x + b • x = x
M : Type u_1
AddMonoid M
u₁ u₂ : AddUnits M
⊢ AddCommute ↑u₁ ↑u₂ ↔ AddCommute u₁ u₂
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ InfPrime a ↔ ¬IsMax a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts G
h : CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.extensiveTopology C) f
X : C
⊢ Function.Surjective (f.app (Opposite.op X))
G : Type uG
E' : Type uE'
NormedAddCommGroup E'
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
SeminormedAddCommGroup G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SFinite μ
NormedSpace ℝ E'
CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hφ : Filter.Tendsto (fun n => Function.support (φ n)) l (𝓝 0).smallSets
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : Filter.Tendsto (Function.uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)
hk : Filter.Tendsto k l (𝓝 x₀)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => MeasureTheory.convolution (φ i) (g i) (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ (k i)) l (𝓝 z₀)
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.im = w.im
⊢ dist z w = dist z.re w.re
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
r : ℝ
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ c.swap < d.swap ↔ d < c
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(range C)) => ↑p
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set (β × β)
f : α → α → β
hf : Tendsto ((fun x => (f x.1.1 x.1.2, f x.2.1 x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 α) (𝓤 β)
hs : s ∈ 𝓤 β
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
v : Set (α × α)
hv : v ∈ 𝓤 α
huvt : u ×ˢ v ⊆ ((fun x => (f x.1.1 x.1.2, f x.2.1 x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' s
⊢ ∃ u ∈ 𝓤 α, ∀ (a b c : α), (a, b) ∈ u → (f a c, f b c) ∈ s
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
⊢ v.submodule = Submodule.span K {v.rep}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x✝ : EuclideanSpace ℝ n
⊢ x✝ ∈ Metric.closedBall 0 r ↔ x✝ ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 ≤ r ^ 2}
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
hS : adjoin F S = ⊤
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
y : K
hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0
this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F S)
⊢ ∃ φ, φ ⟨x, hx⟩ = y
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
self : Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet L) = ⊤
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
⊢ (f ⁻¹' N)ᶜ ⊆ mulTSupport f
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L →ₐ[F] L), IntermediateField.map σ K = K
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ ↑⊥ = {1}
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S
s : ↑(LightProfinite.toTopCat.obj (Opposite.unop S))
⊢ (X.topCatAdjunctionUnit.val.app S x) s = X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) a = 1 ↔ IsSquare a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ f x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v : V
x✝¹ x✝ : W
⊢ ⊥ → ∃ x, f x = x✝¹ ∧ ∃ x, f x = x✝
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → α
s : Set α
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ s
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set (X × Y)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (a : X) (b : Y), (a, b) ∈ s → ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ a ∈ u ∧ b ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this : SeparableSpace ↑s
⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s)
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
i : ι
x : X
⊢ 0 ≤ (f i) x
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
H : Function.Surjective ⇑f
s : R
hs : s ∈ ↑M
y : R
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯) (IsLocalization.mk' R' y ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' S' (f y) ⟨f s, ⋯⟩
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s : Finset α
b : α
⊢ s ⊻ {b} = Finset.image (fun x => x ⊔ b) s
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ (a \ b) ≤ b
α : Type u_1
la : Filter α
s : Set (α × α)
⊢ s ∈ la ×ˢ la ↔ ∃ t ∈ la, t ×ˢ t ⊆ s
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
⊢ ∃ ι c r r', (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧ (LocallyFinite fun i => ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (θ : X ⟶ Y)
  (a :
    ((fun Δ =>
          { left := SSet.standardSimplex.obj Δ, right := ⊤_ Type u,
            hom :=
              {
                app := fun Δ' =>
                  CategoryTheory.Limits.terminal.from
                    (((𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject (Type u))).obj (SSet.standardSimplex.obj Δ)).obj Δ'),
                naturality := ⋯ } })
        X).right),
  (SSet.Augmented.standardSimplex.map θ).right a =
    CategoryTheory.Limits.terminal.from
      ((fun Δ =>
            { left := SSet.standardSimplex.obj Δ, right := ⊤_ Type u,
              hom :=
                {
                  app := fun Δ' =>
                    CategoryTheory.Limits.terminal.from
                      (((𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject (Type u))).obj (SSet.standardSimplex.obj Δ)).obj Δ'),
                  naturality := ⋯ } })
          X).right
      a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.X * p = p * Polynomial.X
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
p2 p : P
⊢ (∃ y ∈ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}, ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p1) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous AddOpposite.op
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo a b
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ f (s.min' h) = (Finset.image f s).min' ⋯
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).counitIso.inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ t
⊢ t ⊆ ↑(Submodule.span K (hs.extend hst))
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k))
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
h : LipschitzOnWith K f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
r : ℝ≥0∞
hr : edist x y ≤ r
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑K * r
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n = toPartENat c ↔ ↑n = c
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a
⊢ Filter.blimsup u f p = Filter.blimsup v f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
μ : Measure α
hμ : μ ∈ m
u : Set α
htu : t ⊆ u
_hu : MeasurableSet u
hm : ∀ {s t : Set α}, s ⊆ t → OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) s ≤ μ t
⊢ (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ u
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
y : PrimeSpectrum ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) y.asIdeal
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
T : TopologicalSpace α
f : β → α
hf : Surjective f
a : β
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Splits (algebraMap F K) p
⊢ (p.aroots K).toFinset.card = p.natDegree
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β
⊢ ⨆ x ∈ {a} ∪ s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M
⊢ e'.symm ≫ₕ e'' ∈ G ∧ e''.symm ≫ₕ e' ∈ G