ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))
hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s] x ×ˢ 𝓝[t] y) (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g y))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Limits.Cocones.forget F).map f = f.hom
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
a : R
⊢ (Ideal.quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M x) (Submodule.Quotient.mk a) = a • ⟨x, ⋯⟩
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
self : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (QuaternionAlgebra.imKₗ c₁ c₂) self = self.imK
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ s.Nonempty
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree = ⊥
⊢ False
G : Type u
self : SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ -(a + b) = -b + -a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
e₁ e₂ : r ≃r r
⊢ ⇑(e₁ * e₂) = ⇑e₁ ∘ ⇑e₂
M : Type u_2
AddZeroClass M
⊢ ⊤.op = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
p : β → Prop
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂MeasureTheory.Measure.map f μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p2 𝒰 f g
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ Projectivization.mk K v hv = Projectivization.mk K w hw ↔ ∃ a, a • w = v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : x ∉ range as
this : ⨅ i, as i = x
⊢ ⋃ i, Ici (as i) = Ioi x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
⊢ ∀ ⦃ε : ℝ≥0⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
l : β
k : α
r : K →+* ℂ
⊢ a k l * (NumberField.house.newBasis K) r = ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max a 0 - max (-a) 0 = a
R : Type u_1
Ring R
NoZeroDivisors R
S : Submonoid R
⊢ Nonempty (OreLocalization.OreSet S) ↔ ∀ (r : R) (s : ↥S), ∃ r' s', ↑s' * r = r' * ↑s
α : Type u_1
CommGroup α
s t : Set α
hs : s.Finite
ht' : t.Finite
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, Nat.card ↑u * Nat.card ↑t ≤ Nat.card ↑(s * t) ∧ s ⊆ u * t / t ∧ u.Finite
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
t : Set β
ht : t ∈ 𝓝[s] x
Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : TopologicalSemiring A
inst✝⁴ : ContinuousStar A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : StarRing B
s : Subalgebra R A
⊢ (star s).topologicalClosure = star s.topologicalClosure
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f✝ : ι → α
i : ι
f : Bool → α
⊢ true ≠ false
a : EReal
ha : a ≠ ⊤
h'a : a ≠ ⊥
⊢ Filter.Tendsto EReal.toReal (𝓝 a) (𝓝 a.toReal)
α : Type u_2
l : Ordnode α
l' : ℕ
r : Ordnode α
r' : ℕ
H1 : Ordnode.BalancedSz l' r'
H2 : l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l'
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : NonAssocSemiring S
inst✝² : NonAssocSemiring R'
inst✝¹ : NonAssocSemiring S'
inst✝ : Subsingleton S
fst✝ : S
snd✝ : R
⊢ (fun x => (0, x)) (fst✝, snd✝).2 = (fst✝, snd✝)
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ ∃ l₁ l₂, ¬a ∈ l₁ ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l.erase a = l₁ ++ l₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : Option α}, x.isSome = true ↔ ∃ a, x = some a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
h : s.Countable
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ < ⊤
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse f g
⊢ Function.Injective f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
i : ι
MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
x : α i
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi μ) {f | f i = x} = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
P : Type u_1
AddCommMonoid P
Module A P
Module R P
IsScalarTower R A P
l : M →ₗ[R] N
l' : N →ₗ[A] P
⊢ l' ∘ₗ LinearMap.liftBaseChange A l = LinearMap.liftBaseChange A (↑R l' ∘ₗ l)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ ‖∫ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ - ∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔
  ∀ ⦃d : Set α⦄,
    d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → ∀ ⦃a : α⦄, IsLUB d a → a ∈ s → ∃ b ∈ d, Set.Ici b ∩ d ⊆ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : 𝕜
s : Set 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
hv : HasDerivWithinAt v v' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
y : β
hy : y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsReflection (w * t * w⁻¹)
n m : Nat
⊢ n - m.succ = (n - m).pred
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : J × K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.curry.obj G ⋙ CategoryTheory.Limits.colim)
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.curry.obj G).obj j) k ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.curry.obj G ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι G (j, k)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Comma.fst L R).map f = f.left
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
h : ¬MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ↑(cos x - (1 - x ^ 2 / 2)) = Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
hD : D ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
⊢ ⁅x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
h : (X ⊓ Y).Factors f
⊢ X.Factors f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ UniformEquicontinuous Subtype.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Filter.Tendsto (fun a => ⟪y, (f a) x⟫_𝕜) l (𝓝 ⟪y, A x⟫_𝕜)
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ mabs a * a = a⁺ᵐ ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ) S₂.iCycles =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.iCycles φ.τ₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
⊢ mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
hd : Disjoint s t
ht : IsOpen t
⊢ Disjoint (closure s) t
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
⊢ (zipWith f hf (single i b₁) (single i b₂)) j = (single i (f i b₁ b₂)) j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
X : Cᵒᵖ
s : ↑(F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj X).sections
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfSectionCompCoyoneda F X s).π =
  (CategoryTheory.Limits.compCoyonedaSectionsEquiv F (Opposite.unop X)) s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W✝ : A
f g : W✝ ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op
W : C
i : W ⟶ unop j.right
hi : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩).arrows i
eq : f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op)
⊢ f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) ≫ α.app (op W) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) ≫ α.app (op W)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f x = f' x
ι : Type u_1
M : Type u_4
LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
Hlt : ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
x : G
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x_1 - x) (𝓝 0) = 𝓝 x
p x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = |x|
z : ℂ
⊢ !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 0 0 + !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 1 1 = 2 * z.re
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ ↑(Finset.Iio a) = Set.Iio a
α : Type u_1
LE α
Add α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ c + b
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ tᶜ.ite s s' = t.ite s' s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
Nontrivial R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.fromAffine 0 = 0
ι : Type u_1
Finite ι
I : BoxIntegral.Box ι
J : ℕ → BoxIntegral.Box ι
hJ : Monotone J
hl : Filter.Tendsto (BoxIntegral.Box.lower ∘ J) Filter.atTop (𝓝 I.lower)
hu : Filter.Tendsto (BoxIntegral.Box.upper ∘ J) Filter.atTop (𝓝 I.upper)
⊢ ⋃ n, BoxIntegral.Box.Ioo (J n) = BoxIntegral.Box.Ioo I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f a‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f a⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (pmap f l h).length
⊢ (pmap f l h)[n] = f l[n] ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (fun i => if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i => if i ∈ s then f i else g i) j (f j)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ A ⊆ B ↔ A ⊆ -a +ᵥ B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ F.Initial
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor C D
a : A
⊢ (F.sum G).obj (Sum.inl a) = Sum.inl (F.obj a)
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
u : (j : J) → ↑(F'.obj j)
hu : u ∈ {u | ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), (F'.map f) (u i) = u j}
⊢ F.sections.Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0 → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0) (hy : y ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0),
    motive x hx → motive ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0
⊢ motive x hx
α : Type u_3
AddCommMonoid α
a b : α
⊢ {a, b}.sum = a + b
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
OrderBot β
f : LatticeHom α β
⊢ f.withBot'.toSupHom = f.withBot'.toSupHom
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : LieAlgebra.IsSolvable R L'
h₂ : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f g : CategoryTheory.StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
η : f ⟶ g
⊢ η = CategoryTheory.Limits.IsInitial.to h g
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGLB (Set.Ici a) a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : ℕ → α
hf : ∀ i < n, f i ∈ s
f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ n ≤ (Finite.toFinset hs).card
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
⊢ gcd (p * q).eraseLead.content p.leadingCoeff = gcd (p.eraseLead * q).content p.leadingCoeff
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
⊢ IsRelPrime (x * y) z ↔ IsRelPrime x z ∧ IsRelPrime y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ OpenEmbedding Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
h : _root_.Disjoint s t
⊢ (↑s ∪ ↑t).offDiag = (↑s).offDiag ∪ (↑t).offDiag ∪ ↑s ×ˢ ↑t ∪ ↑t ×ˢ ↑s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A B : IndexSet Δ
h : B ≠ A
⊢ ((s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ fun B_1 => if h : B_1 = B then eqToHom ⋯ else 0) = 0
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ c ⊔ b
hd : Disjoint a c
⊢ a ≤ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace β
UniformSpace α
UniformSpace γ
f : α → β → γ
h : UniformContinuous₂ f
x : α
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
MulOneClass G
ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
⊢ g * h ∈ connectedComponent 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving Prod.swap (μ.prod ν) (ν.prod μ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
total : ∑ j : J, b.π j ≫ b.ι j = 𝟙 b.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.coequalizer.isoTargetOfSelf f).hom =
  CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) ⋯