ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
P : Type u_2
MetricSpace P
ps₁ ps₂ : Set P
hs : ps₁ ⊆ ps₂
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps₂
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps₁
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ b ∈ AList.lookup a s ↔ ⟨a, b⟩ ∈ s.entries
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₄
x : M × M₂
⊢ (f.prodMap g) x = (f x.1, g x.2)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ L.map (h.unit.app (R.obj X) ≫ R.map (L.map (h.unit.app (R.obj X)))) = L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj (R.obj X))))
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t u : Set α
⊢ s ⊻ t ⊻ u = s ⊻ u ⊻ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ g - f
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
⊢ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
s : S
⊢ (KaehlerDifferential.D R S) s = (KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent ⟨1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℕ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
⊢ m = n
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_5
CommRing P''
Algebra R P''
IsLocalization S P''
I : FractionalIdeal S P
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P' P'') ((FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P') I) =
  (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P'') I
a b : Prop
⊢ (¬a ↔ ¬b) ↔ (a ↔ b)
α : Type u_1
IsEmpty α
M : Matroid α
⊢ M = Matroid.emptyOn α
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : 1 < a
hbc : b ≤ c
⊢ b < a * c
α : Type u
Ring α
a b : α
Invertible a
Invertible b
⊢ ⅟a - ⅟b = ⅟a * (b - a) * ⅟b
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ : R[X]
p q : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := p }.coeff = { toFinsupp := q }.coeff → { toFinsupp := p } = { toFinsupp := q }
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Div Y
f g : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (f / g) x = f x / g x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤
⊢ b / a * a = b
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S
⊢ (f.lift hg) (f.mk' x y) = v ↔ g x = g ↑y + v
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I * I⁻¹ = 1 ↔ IsUnit I
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1)) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ a⁻¹ / b⁻¹ = b / a
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
h₃ : ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2
⊢ (∑ i ∈ t, f i) ^ 2 * ↑t.card + ∑ i ∈ t, (f i * ↑t.card - ∑ i ∈ t, f i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
Monoid M
φ : G →* M
HN : N ≤ φ.ker
g : G
⊢ (QuotientGroup.lift N φ HN) (Quot.mk Setoid.r g) = φ g
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s - t₁ ⊆ s - t₂
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
⊢ H.relindex K * K.index = H.index
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.X ^ n = (Polynomial.monomial n) 1
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → γ
hf : AEMeasurable f μ
heq : f =ᵐ[μ] g
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ μ
b : EReal
h : 0 ≤ b
⊢ Monotone fun a => a / b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : CategoryTheory.MonoOver Y
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.pullback f).obj g).obj.left = CategoryTheory.Limits.pullback g.arrow f
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ CentroidHom.toEnd 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
s : Finset ι
hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
⊢ ContinuousAt (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x
α : Type u
TopologicalSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
⊢ abs ∘ ⇑f = NNReal.toReal ∘ ⇑f.nnrealPart + NNReal.toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Eₗ
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Eₗ
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ‖ContinuousLinearMap.precompR Eₗ L‖ ≤ ‖L‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ ∀ {s t : WSeq α}, s ~ʷ t → ∀ {o : Option α}, o ∈ s.head → o ∈ t.head
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bitwise f n 0 = if f true false = true then n else 0
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) r = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b) (c • w) = c • (s.weightedVSubOfPoint p b) w
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
⊢ (fun x => x ^ b) =ᶠ[𝓝 a] fun x => cexp (Complex.log x * b)
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type u_1
s₁ s₂ : AList β
f : AList β → AList β → γ
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : AList β), a₁.entries ~ a₂.entries → b₁.entries ~ b₂.entries → f a₁ b₁ = f a₂ b₂
⊢ ⟦s₁⟧.liftOn₂ ⟦s₂⟧ f H = f s₁ s₂
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRat (x / y) = CauSeq.Completion.ofRat x / CauSeq.Completion.ofRat y
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : 𝕜
v : E
T : E →ₗ[𝕜] E
h : v ∈ eigenspace T μ
⊢ ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ↑‖v‖ ^ 2
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
i : (disjointGlueData f).J
y : ↑↑((disjointGlueData f).U i).toPresheafedSpace
e : ((disjointGlueData f).ι i).val.base y = (sigmaIsoGlued f).hom.val.base x
⊢ (sigmaIsoGlued f).hom.val.base ((Sigma.ι f i).val.base y) = (sigmaIsoGlued f).hom.val.base x
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 (∑ i : ι, ‖f i - f i‖))
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₂ → A₁
h₁ : Function.LeftInverse e' ⇑e
h₂ : Function.RightInverse e' ⇑e
h₃ :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun ((algebraMap R A₁) r) = (algebraMap R A₂) r
⊢ { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ } = e
α : Type u
L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h₁ : FreeAddGroup.Red L₁ L₃
h₂ : FreeAddGroup.Red L₂ L₄
⊢ FreeAddGroup.Red (L₁ ++ L₂) (L₃ ++ L₄)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in f, dist (u x) a < ε
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
⊢ (f ∘ fun x => x * I) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
α : Type u_2
InfSet α
⊢ sInfHom.dual (sInfHom.id α) = sSupHom.id αᵒᵈ
α : Type u_1
Fintype α
f : α → ENNReal
h : ∑ a : α, f a = 1
⊢ (PMF.ofFintype f h).support = Function.support f
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : J₁ ∈ π
h₂ : J₂ ∈ π
hle₁ : J ≤ J₁
hle₂ : J ≤ J₂
⊢ J₁ = J₂
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
f : R → S
self : IsAbsoluteValue f
x : R
⊢ 0 ≤ f x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
G : Type u_1
AddCommGroup G
Fintype G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound ε ≤ Fintype.card G
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ ¬IsCornerFree ↑A
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)
⊢ ContinuousAt (fun x => x - ↑n) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.obj X =
  (CategoryTheory.preadditiveCoyonedaObj X).comp (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat (CategoryTheory.End X)) AddCommGrp)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ CategoryTheory.Epi ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₁) ↔
  (DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂ = 0
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ (algebraMap R C) x_r + (algebraMap R C) y_r + (φ x_a + φ y_a) = (algebraMap R C) x_r + φ x_a + ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)
n d : ℕ
⊢ Behrend.sphere n d 0 ⊆ 0
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
⊢ IsPrincipalIdealRing R
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
self : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g i
α : Type u
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).getLast? = (b :: l).getLast?
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
a b : R
n : ℕ
⊢ b ^ n * (a ^ n * (coeff R n) f) = (a * b) ^ n * (coeff R n) f
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Function.Surjective (Set.projIcc a b h)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → R[X]
I : Ideal R
n : ι → ℕ
h : ∀ i ∈ s, ∀ (k : ℕ), (f i).coeff k ∈ I ^ (n i - k)
k : ℕ
⊢ (s.prod f).coeff k ∈ I ^ (s.sum n - k)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
Fintype α
⊢ s ∈ Finset.Colex.initSeg s
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : b < c
ha : 1 ≤ a
hc : 0 ≤ c
⊢ b < c * a
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
p : M × N
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Mul β
a : α
⊢ e.mulEquiv a = e a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ c⁻¹ • y ∈ ball (c⁻¹ • c • x) r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{z, w} D
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison (α.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Abelian.FunctorCategory.coimageObjIso α X).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison α).app X)
      (CategoryTheory.Abelian.FunctorCategory.imageObjIso α X).hom)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
⊢ swap a c ∈ M
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOn F f p s
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' s'
⊢ TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (s ×ˢ s')
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
⊢ ⇑f = toReal ∘ ⇑f.nnrealPart - toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ a⁻¹ * b = b / a
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
u v : E
⊢ ‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖u - v‖
R : Type u
InvolutiveStar R
x y : R
⊢ star x = star y ↔ x = y
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
⊢ IsClosed (ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s)
R : Type u_1
DivisionRing R
⊢ ε⁻¹ = 0
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
⊢ ∃ p, p.Prime ∧ p ∣ n
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContinuousAt Ring.inverse ↑x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ x = 0 ∨ y = 0 → ↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : G →L[𝕜] E
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (f ∘ ⇑g) (fun x k => (p (g x) k).compContinuousLinearMap fun x => g) (⇑g ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
⊢ limitRecOn 0 H₁ H₂ H₃ = H₁
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
(i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : DirectSum ι fun i => A i
⊢ a * a' =
  ∑ ij ∈ DFinsupp.support a ×ˢ DFinsupp.support a',
    (DirectSum.of A (ij.1 + ij.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (a ij.1) (a' ij.2))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SimplyConnectedSpace X
x y : X
p₁ p₂ : Path x y
⊢ p₁.Homotopic p₂
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
⊢ ((PiTensorProduct.liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (PiTensorProduct.mapL f) =
  (PiTensorProduct.liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : ZMod n
ha : ζ ^ a.val = ζ ^ 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
hA : A.BlockTriangular b'
hb' : image b' univ ⊂ image b univ
⊢ M⁻¹ i j = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
h : ∀ (b : α), Order.succ b ≠ a
⊢ Order.IsSuccLimit a
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
⊢ s.card ≤ card α
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
c : Cone F
j✝ : J
⊢ G.map (c.π.app j✝) = (G.mapCone c).π.app j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ η = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : ¬f m = 0
⊢ n ≤ m
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ BddAbove {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s : Set A
⊢ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s ≤ (StarAlgebra.adjoin R s).toNonUnitalStarSubalgebra
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
Zero M'
x : M
hx : x ∉ tsupport f
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ A₁.str ≫ F.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ A₂.str
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
x1 x2 : X
h : (productOfMemOpens X) x1 = (productOfMemOpens X) x2
⊢ Inseparable x1 x2
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
F : Type u_6
Field F
Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hE : Polynomial.Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
hfx : IsSeparable R pb.gen
⊢ (algebraMap R F) ((Algebra.norm R) pb.gen) = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ (γ₁ + γ₂).leftShift a n' hn' = γ₁.leftShift a n' hn' + γ₂.leftShift a n' hn'
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
CompleteLattice β
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ ⨅ n, aeSeq hf p n =ᵐ[μ] ⨅ n, f n