ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.scMap φ h₁ h₂ i hi).τ₁ = φ.app ⟨i, ⋯⟩
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ cs.lengthParity t = Multiplicative.ofAdd 1
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
e : ↑G.edgeSet
⊢ ↑(f.mapEdgeSet e) = Sym2.map ⇑f ↑e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.RegularMono f
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b c : G₀
a : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a / c * (c / b) = a / b
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ sInf (f '' [[a, b]]) ≤ sSup (f '' [[a, b]])
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.toInt = if x.msb = true then ↑x.toNat - ↑(2 ^ w) else ↑x.toNat
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id F = CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans.id F.toOplax
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖
⊢ ‖f₂ x‖ ≤ 1 / (1 - c) * ‖f₂ x - f₁ x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
⊢ take (take i (map length L)).sum L.join = (take i L).join
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ (pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.fst f (Y.ofRestrict ⋯) = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X
n : ℕ
c✝ c : Composition n
⊢ c ≠ ones n ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
hJ : J ∈ π
⊢ (π.biUnion πi).restrict J = πi J
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b ↔ Codisjoint b a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g < h
⊢ h - f = g - f + (h - g)
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : FractionRing K[X]
⊢ (toFractionRingRingEquiv K).symm x = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)).toRingEquiv x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Embedding (⇑(prod.map i₁ i₂) ∘ ⇑(prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂)))
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (↑m / x)
⊢ Irrational x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
⊢ Ex ≤ Ey
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
⊢ μ.FiniteAtFilter f → μ.FiniteAtFilter g → μ.FiniteAtFilter (f ⊔ g)
n : Int
s : Nat
⊢ n >>> s = n.shiftRight s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ i ∈ s, a.get i ∈ Hindman.FS a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ lowerBounds t
⊢ f a b ∈ lowerBounds (Set.image2 f s t)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ (starRingEnd K) (r • z) = r • (starRingEnd K) z
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
hy : y ≠ 0
⊢ y < b ^ x ↔ Nat.log b y < x
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x + a) '' s = s + t
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_13, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorObj F X₁ I₂ I₃).obj X₂).map φ x =
  ((F.obj (X₁ x.1)).obj (X₂ x.2.1)).map (φ x.2.2)
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ K.Saturate Y ⊤
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).leadingCoeff = -p.leadingCoeff
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
η : Type u_4
Gs : η → Type u_5
(i : η) → Group (Gs i)
H K : (i : η) → Subgroup (Gs i)
⊢ ⁅Subgroup.pi Set.univ H, Subgroup.pi Set.univ K⁆ ≤ Subgroup.pi Set.univ fun i => ⁅H i, K i⁆
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∏ x ∈ Finset.Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Finset.Ico (a + c) (b + c), f x
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.sum = Multiset.foldr (fun x x_1 => x + x_1) ⋯ 0 s
n₂ : Int
d₂ : Nat
z₂ : d₂ ≠ 0
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
e₂ : normalize n₂ d₂ z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } * { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * n₂) (den✝¹ * g₁ * d₂) ⋯
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e (x - y) = ↑e (y - x)
l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }
n m : ℕ
⊢ n * m + m = 0 → n.succ = 0 ∨ m = 0
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x
⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S x
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : i < last N
⊢ dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y
⊢ SameRay R x y
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaOdd a (1 - s) = HurwitzZeta.completedSinZeta a s
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ 0 < ⊤
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ ∀ (a_1 : αᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.subLeft a)) a_1 = -OrderDual.ofDual a_1 + a
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
a m n : Nat
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
C : β → Type u_7
(b : β) → SemilatticeSup (C b)
s : Finset α
H : s.Nonempty
f : α → (b : β) → C b
b : β
⊢ s.sup' H f b = s.sup' H fun a => f a b
R : Type u_1
F : Type u_3
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
CommRing R
Module R F
ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
⊢ Continuous ⇑(AffineMap.homothety x t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
⊢ 1 < (a :: b :: l).prod
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
Nontrivial M₁
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : B.SeparatingLeft
⊢ B ≠ 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ ⊼ t₁ ⊆ s₂ ⊼ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b
V₂ : Set β
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b
V₂_op : IsOpen V₂
hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'
⊢ ∀ x ∈ V₁ ∩ V₂, φ x ∈ V'
α : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq α
CommSemiring R
s : Finset α
f : α → R
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(Nat.multinomial s k) * ∏ i ∈ s, f i ^ k i
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'
x : P
⊢ x ∈ (canonicalEquiv S P P').symm I ↔ x ∈ (canonicalEquiv S P' P) I
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)
hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤
r : R
hr : r ∈ s
⊢ P ((algebraMap S (Localization.Away ↑⟨f r, ⋯⟩)).comp f)
x y : ℤ
⊢ |x| < |y| ↔ x.natAbs < y.natAbs
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ T35Space X ↔ T1Space X ∧ CompletelyRegularSpace X
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B.Nondegenerate
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Martingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (f - g) ℱ μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addRightEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
X : J
⊢ CategoryTheory.Zag X X
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator f a ≠ 0 ↔ a ∈ s ∩ Function.support f
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
⊢ S₁.LeftHomologyData
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Finset V
hs : s.Nonempty
lin_ind : LinearIndependent K Subtype.val
card_eq : s.card = finrank K V
⊢ ⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
a : α
ha : a ∈ x
⊢ f a ∈ minimals s (f '' x) ↔ a ∈ minimals r x
ι : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
Fintype ι
r : R
⊢ (PiTensorProduct.constantBaseRingEquiv ι R).symm r = (algebraMap R (⨂[R] (x : ι), R)) r
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ¬(2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n ∧ n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1))
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ IsClosed (Compactum.cl A)
α : Type u_3
Lattice α
⊢ LatticeHom.dual (LatticeHom.id α) = LatticeHom.id αᵒᵈ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y × Z
x : X
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => (f x).1) x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p = a + p - ((a + p - b) / p - ↑⌊(a + p - b) / p⌋) * p
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ‖f.smulRight z‖₊ ≤ ‖f‖₊ * ‖z‖₊
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
⊢ (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ ↑(map (Finset.card ∘ support) [l.attach.formPerm]) = {l.length}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y ⟶ Z
⊢ ⋯.mpr q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom p) q
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
c : α
hc : c ≠ 0
x : β
⊢ c • c⁻¹ • x = x
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∀'φ) (∀'ψ)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ f.neLocus (f - g) = g.support
R : Type u
CommRing R
σ : Type u_1
x : MvPolynomial σ R
⊢ (KaehlerDifferential.mvPolynomialBasis R σ).repr ((KaehlerDifferential.D R (MvPolynomial σ R)) x) =
  (MvPolynomial.mkDerivation R fun x => Finsupp.single x 1) x
α : Type u_1
CompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
⊢ sSup (-s) = -sInf s
s : List Char
i e n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := e } → go₂ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs (i + c) { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs (i + c) { byteIdx := e }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ Set.image2 f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ⊆ ⋂ i, ⋂ j, Set.image2 f s (t i j)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
⊢ s.dens = 0 ↔ s = ∅
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0
⊢ (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) = I.toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
a c : Nat
b d : Nat
h : b ≤ d
⊢ (a + b ≤ c + d) = (a ≤ c + (d - b))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l l' : Filter α✝
α : Type u_17
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
f : α → G
g : α → G'
⊢ f =O[atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖f n‖ ≤ ‖g n‖
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a
b : α
hb : b < a
h₃ : wellOrderSucc b < a
⊢ ∃ c, b < c ∧ c < a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
⊢ (Aᴴ * A).IsHermitian
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝² : Group β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
h : f ≤ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
⊢ 1 a ≤ (g / f) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α
⊢ (∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)) ∧ s(x✝, y✝).IsDiag ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ a = b) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
x : MulAction.orbitRel.Quotient G α
a : ↑x.orbit
⊢ ↑(g • a) = g • ↑a
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
⊢ (¬∀ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in f, ¬p x
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑(↑n.pred' + 1) = ↑↑n.pred' + 1
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x : M
n : ℕ
⊢ ↑((AdicCompletion.of I M) x) n = (I ^ n • ⊤).mkQ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
x : X
h : Set.range f ∈ 𝓝 (f x)
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.geometricMeasure hp_pos hp_le_one)
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
n₁ n₂ : N
⊢ SemidirectProduct.inl n₁ = SemidirectProduct.inl n₂ ↔ n₁ = n₂