ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
hδ : eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ (u • P) 0 = ↑u * P 0 ∧ (u • P) 1 = ↑u * P 1 ∧ (u • P) 2 = ↑u * P 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s = 1 ↔ p.support ⊆ s
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
self : IsSubmonoid s
a b : M
⊢ a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
⊢ Path.Homotopic.prod (𝟙 x₀) (𝟙 x₁) = 𝟙 { as := (x₀.as, x₁.as) }
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A
this : ∀ (S : Set A), S ≤ ↑(equalizer φ ψ) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) S
⊢ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
⊢ List.ofFn f = (List.ofFn fun i => List.ofFn fun j => f ⟨↑i * n + ↑j, ⋯⟩).join
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
h₂ : ‖x + x‖ = 2 * ‖x‖
⊢ ‖x‖ ^ 2 = 4 / 16 * (2 * ‖x‖ * (2 * ‖x‖) - 0 * 0 - 0 + ((0 * ‖I • x + x‖ - im I * 0) * ‖I • x + x‖ - (0 * 0 + im I * ‖I • x + x‖) * 0) - ((0 * ‖I • x - x‖ - im I * 0) * ‖I • x - x‖ - (0 * 0 + im I * ‖I • x - x‖) * 0)) - -0 / 16 * (2 * ‖x‖ * 0 + 0 * (2 * ‖x‖) - (0 * 0 + 0 * 0) + ((0 * ‖I • x + x‖ - im I * 0) * 0 + (0 * 0 + im I * ‖I • x + x‖) * ‖I • x + x‖) - ((0 * ‖I • x - x‖ - im I * 0) * 0 + (0 * 0 + im I * ‖I • x - x‖) * ‖I • x - x‖))
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ (u : Set F), IsOpen u → 0 ∈ u → TendstoUniformlyOn (fun i x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) 0 atTop uᶜ
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ (insert a s).val = a ::ₘ s.val
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1
⊢ v.toList = [v.head]
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
this : ↑(Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = ↑(Multiset.count (normalize ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))))
⊢ ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩) ∈ normalizedFactors ?m.130449
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
X Y Z : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g =
  CategoryTheory.Limits.Types.Limit.mk (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X Z)
    (fun j =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X Y) j f)
        (CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram Y Z) j g))
    ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapComp f g) (self.map h))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h)
      (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (self.map f) (self.map g) (self.map h)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.mapComp g h))
      (self.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)))
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
h1 : m ≠ 1
h2 : w.fstIdx ≠ some i
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.cons m w h2 h1).prod = Monoid.CoprodI.of m * w.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
posmeas : Set ι := {i | 0 < μ (As i)}
posmeas_def : posmeas = {i | 0 < μ (As i)}
as : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictAnti as
as_mem : ∀ (n : ℕ), as n ∈ Ioo 0 1
as_lim : Tendsto as atTop (𝓝 0)
fairmeas : ℕ → Set ι := fun n => {i | as n ≤ μ (As i)}
countable_union : posmeas = ⋃ n, fairmeas n
⊢ posmeas.Countable
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : p → n ⊕ o
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).submatrix f Sum.swap = (Matrix.fromBlocks B A D C).submatrix f id
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ ∀ (a b c : Finset α) (a_1 : α), (∃ a_2 ∈ a, ∃ b_1 ∈ b, Disjoint a_2 b_1 ∧ a_2 ⊔ b_1 = a_1) → ∀ b_1 ∈ c, Disjoint a_1 b_1 → ∃ a_5 ∈ a, ∃ b_2, (∃ a ∈ b, ∃ b ∈ c, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = b_2) ∧ Disjoint a_5 b_2 ∧ a_5 ⊔ b_2 = a_1 ⊔ b_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ MulOpposite.op x ∈ S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : M → M'
h : f = f'
⊢ mfderiv I I' f x = mfderiv I I' f' x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ EMetric.ball x ε ∈ 𝓝 x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : ζ⁻¹ ^ l = 1
⊢ k ∣ l
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
pf : Nat.Partrec' f
⊢ Partrec f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝ : MeasurableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
i : ι
this : u i = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun x => (⟨i, ⋯⟩, x)
⊢ StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun x => (⟨i, ⋯⟩, x))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : R ⟶ yoneda.obj X
Y Z : C
t : R.obj (Opposite.op Y)
g : Z ⟶ Y
⊢ (yoneda.obj X).map g.op (f.app (Opposite.op Y) t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
a : α
h : IsAddUnit b
⊢ a + b + (0 - b) = a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
xbar : Quotient R
xbar_in_s : xbar ∈ image Quotient.mk'' s
⊢ ∏ y ∈ filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y = 1
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ QuotientMap ⇑DomAddAct.mk
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ UniformContinuousOn f s ↔ UniformContinuous (s.restrict f)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hs : ⋃₀ S = Set.univ
⊢ μ = ν ↔ ∀ s ∈ S, μ.restrict s = ν.restrict s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x y : α
⊢ sign (x * y) = sign x * sign y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
L.EssSurj
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
L.PreservesZeroMorphisms
X : D
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X ∈ L.essImageDistTriang
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
⊢ rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
⊢ (((even.ι Q).compr₂ ((evenToNeg Q' Q h').comp (evenToNeg Q Q' h))).bilin m₁) m₂ = (((even.ι Q).compr₂ (AlgHom.id R ↥(even Q))).bilin m₁) m₂
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x y : S
⊢ ((Algebra.traceForm R S) x) y = (Algebra.trace R S) (x * y)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : a * b = 1
⊢ a⁻¹ = b
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (-(m ^ 2 - n ^ 2)).natAbs.gcd (2 * m * n).natAbs = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
⊢ sInf {a | μ {x | a < f x} = 0} ≤ sInf {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
hχ : χ.IsPrimitive
he : ¬e.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ e = 0
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ (Matrix.J l R)⁻¹ = -Matrix.J l R
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖
h₄ : ‖I • -x - y‖ = ‖I • x + y‖
⊢ 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
⊢ ⇑f.toLatticeHom = ⇑f
x y : SetTheory.PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hL : (i : x.LeftMoves) → (x.moveLeft i).Relabelling (y.moveLeft (L i))
hR : (j : x.RightMoves) → (x.moveRight j).Relabelling (y.moveRight (R j))
⊢ (SetTheory.PGame.Relabelling.mk L R hL hR).rightMovesEquiv = R
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : x ^ 2 - a * a * y ^ 2 = 1
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
r s t r' s' t' : R
h : r ≠ 0
⊢ (if _hr : r = 0 then (r', s', t') else let q := r' / r; let_fun x := ⋯; xgcdAux (r' % r) (s' - q * s) (t' - q * t) r s t) = xgcdAux (r' % r) (s' - r' / r * s) (t' - r' / r * t) r s t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl₁ : l < 1
hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
r : ℝ
hr₀ : l < r
hr₁ : r < 1
a✝¹ : ℕ
a✝ : ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖ ≤ r
h₁ : f a✝¹ ≠ 0
⊢ ‖f (a✝¹ + 1)‖ ≤ r * ‖f a✝¹‖
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ 0 < m
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x < y ^ z ↔ log x < z * log y
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α ν
MeasurableVAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain G α ν
h : MeasureTheory.addCovolume G α ν ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
f : α →₀ γ
g : β →₀ γ
x : α
⊢ (f.sumElim g) (Sum.inl x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β
F : Filter α
G : Filter γ
⊢ map f F ×ˢ G = map (Prod.map f id) (F ×ˢ G)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace ↑Set.univ ↔ TopologicalSpace.NoetherianSpace α
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
S : Type u_3
L₁.Structure S
L₂.Structure S
n : ℕ
f : L₁.Functions n
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inl f) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ p a → Multiset.countP p (a ::ₘ s) = Multiset.countP p s + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → α
x : β
s : Set β
h : LeftInvOn f g s
hx : f (g x) = x
hf : ContinuousWithinAt f (g '' s) (g x)
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ 𝓝[g '' s] g x ≤ map g (𝓝[s] x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b
⊢ pred a ≤ pred b ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖ ≤ M
⊢ ‖u‖ ≤ Fintype.card ι • ‖↑v.equivFunL‖ * M
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Neg (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.toHamming (-x) = -Hamming.toHamming x
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ UniformInducing ⇑h
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ ThreeAPFree ↑(sphere n d k)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
⊢ False
X : AddGrp
⊢ AddGrp.toGrp.obj X = Grp.of (Multiplicative ↑X)
x✝ y z x : ℝ
hx : x ≠ 0
p : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)
⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i < i0
hj : i0 ≤ j
⊢ toZ i0 i ≤ toZ i0 j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving J (e.inverse.inducedTopology J) e.functor
α : Type u_1
Preorder α
InfSet α
s : Set α
hs : BddBelow s
⊢ ↑(sInf s) = sInf ((fun a => ↑a) '' s)
R : Type u
CommSemiring R
s : Multiset (Ideal R)
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ s.prod ≤ P ↔ ∃ I ∈ s, I ≤ P
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
inst✝⁶ : MeasurableSpace ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : BorelSpace ι
inst✝¹ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝ : MetrizableSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)
m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace
s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}
hs : MeasurableSet s
h_meas_fst : ∀ (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)), Measurable fun x => ↑(↑x).1
⊢ Measurable (s.restrict fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length
⊢ some (f ⟨i, ⋯⟩) = ofFnNthVal f i
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
LieAlgebra.IsNilpotent R L
IsNoetherian R M
LieModule.LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
⊢ ((LieModule.traceForm R L ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)) x) y =
  FiniteDimensional.finrank R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ) • (χ x * χ y)
ι : Type u_1
I J : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ↑(I ⊓ J) = ↑I ∩ ↑J
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b \ Ioc a b = {a}
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑((MeasureTheory.condexpInd G hm μ s) x) =ᵐ[μ] ↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x)
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
⊢ Function.mulSupport f =ᶠ[l] Function.mulSupport g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : Differentiable 𝕜 g
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
x y : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.limit F)
⊢ (∀ (j : J), (CategoryTheory.Limits.limit.π F j) x = (CategoryTheory.Limits.limit.π F j) y) → x = y
ι : Type u_4
Fintype ι
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R) (MulOpposite.op ((Polynomial.monomial n) r)) = (Polynomial.monomial n) (MulOpposite.op r)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) (κ a)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ∈ f.eraseLead.support
⊢ a ≠ f.natDegree
G : Type u_1
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ Commute a (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β
⊢ dist (f b) (g b) ≤ dist f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X₁ Y₁ Z₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
γ : Z ≅ Z₁
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (α.homCongr γ) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((α.homCongr β) f) ((β.homCongr γ) g)
G : Type u_1
Group G
g : G
k : ℕ
⊢ g ^ k ∈ Subgroup.zpowers g
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a = c + b
⊢ a - b = c
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ re z⁻¹ = re z / normSq z