ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
ha : ¬a = 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ↑sa ≤ ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ p.count ↑sa ≤ p.count ↑sb
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
p : R[X]
⊢ ↑(normUnit p) = Polynomial.C ↑(normUnit p.leadingCoeff)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ ↑(s ⇨ t) = ↑s ⇨ ↑t
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
⊢ (n₁ * y + x * y).negOnePow • K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ = (n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).inv ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).hom
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (1 • (p₁ -ᵥ p₂) + -1 • (p₃ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ Submonoid.closure ∅ = ⊥
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks A B Bᴴ D).IsHermitian ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑(Module.annihilator R M)), { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {i})ᶜ
⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (cyclotomic n ℤ))
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i) = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f ⊓ g) μ
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
⊢ ↑(BddDistLat.of α).toDistLat = α
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
⊢ Continuous fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel lt
a b : α
⊢ (cmpUsing lt a b = Ordering.lt) = lt a b
k : Type u
Field k
R : Type u_1
Field R
IsAlgClosed k
Algebra R k
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, (Polynomial.aeval x) p = 0
a : ℝ≥0
m n : ℕ
mn : m ≤ n
a1 : a ≤ 1
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b)] 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C} (f : X ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁.map f).f =
    AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty ≫ AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.map f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, u ⊆ insert x s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f u
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T (f + g) =
  MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f + MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T g
α : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommGroupWithZero G₀
inst✝ : DecidableEq G₀
a : G₀
h0 : a ≠ 0
⊢ normalize a = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
⊢ (minpoly ℤ x).natDegree ≤ finrank ℚ K
m k : Nat
n : Nat
H : m ∣ k
⊢ m.gcd n ∣ k.gcd n
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
⊢ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal}) ≤ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊥ᗮ = ⊤
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂) = dist c₁ c₂ * dist p₁ p₂
⊢ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 * ω
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ e.symm.trans e = MeasurableEquiv.refl β
α : Type u_2
a b c d : α
Preorder α
hca : c ≤ a
hbd : b ≤ d
⊢ a ≤ b → c ≤ d
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M
⊢ tsupport ↑f ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → α
a : α
bs : List β
⊢ List.foldlIdx f a bs = List.foldl (fun a p => f p.1 a p.2) a bs.enum
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
⊢ FormalMultilinearSeries.order 0 = 0
X : Type u
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.SeparableSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
DiscreteTopology ↑s
hmk : 𝔠 ≤ #↑s
⊢ ¬NormalSpace X
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
l : List M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
⊢ ((foldl Q f hf) n) (List.map (⇑(ι Q)) l).prod = List.foldl (fun m n => (f n) m) n l
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : HasConstantSpeedOnWith f s l
x y : ℝ
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ BoundedVariationOn f (s ∩ Icc x y)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
⊢ IsUnit f
n : Type u_3
α : Type v
A : Matrix n n α
⊢ Aᵀ.diag = A.diag
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hi : ∀ m < n, 1 < m → (cyclotomic m R).coeff 0 = 1
hn : 1 < n
hprod : ∏ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).coeff 0 = -1
heq : (X ^ n - 1).coeff 0 = -(cyclotomic n R).coeff 0
hzero : (X ^ n - 1).coeff 0 = -1
⊢ (cyclotomic n R).coeff 0 = 1
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
⊢ b.dualBasis.toDual ∘ₗ b.toDual = Module.Dual.eval R M
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a₁.y ≤ a.y
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
F : Type u_6
Field F
Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Polynomial.Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
⊢ (algebraMap R F) ((Algebra.norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → GeneralizedHeytingAlgebra (π i)
a b : (i : ι) → π i
⊢ a ⇔ b = fun i => a i ⇔ b i
α : Type u_3
MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
self : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ ¬MeasurableSet i → ↑self i = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type v
CategoryTheory.SmallCategory I
CategoryTheory.IsFiltered I
F : CategoryTheory.Functor I C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.ofCocone c hc).isColimit = hc
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
⊢ (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
cs cs' : List Char
⊢ { byteIdx := utf8Len cs } + cs'.headD default = { byteIdx := utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
i : J
⊢ (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).ι i ≫ TopCat.GlueData.fromOpenSubsetsGlue U = (U i).inclusion
X : Type u
t t' : TopologicalSpace X
⊢ t = t' ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s ↔ IsOpen s
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
⊢ LocallyFinite fun i => mulSupport fun x => 1 - (f i) x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
b : n → α
DecidableEq m
⊢ M.transpose.updateColumn i b = (M.updateRow i b).transpose
n : ℕ
α : Type u_1
x : Mathlib.Vector α n
i : Fin (n - 1)
⊢ x.tail.get i = x.get ⟨↑i + 1, ⋯⟩
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ 2 ^ (n * 3 + 2) = 2 ^ (n + 2 + 2 * n)
n m : ℕ
⊢ n ^^^ m ≠ 0 ↔ n ≠ m
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P ⊤
t₁ t₂ : P.obj (op X)
h₁ : x.IsAmalgamation t₁
h₂ : x.IsAmalgamation t₂
q₁ : t₁ = x (𝟙 X) trivial
q₂ : t₂ = x (𝟙 X) trivial
⊢ t₁ = t₂
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) (EMetric.closedBall x)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddZeroClass α
d₁ d₂ : n → α
⊢ Matrix.diagonal d₁ + Matrix.diagonal d₂ = Matrix.diagonal fun i => d₁ i + d₂ i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
⊢ a + (-a + b) = b
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf_nonneg : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
hf : Summable f
⊢ ENNReal.ofReal (∑' (n : α), f n) = ∑' (n : α), ENNReal.ofReal (f n)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ = W₃.map L₁
⊢ L₂.IsLocalization W₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s a : ℂ
⊢ mellin (fun t => f t / a) s = mellin f s / a
f : Int → Int
i : Nat
xs : Lean.Omega.IntList
h : f 0 = 0
⊢ Lean.Omega.IntList.get (List.map f xs) i = f (xs.get i)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type w
b : Basis ι R M
⊢ Module.Free R M
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
StarAddMonoid R
ContinuousStar R
f : X → Matrix m n R
⊢ (Summable fun x => (f x)ᴴ) ↔ Summable f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ Monotone CategoryTheory.MorphismProperty.universally
m n : ℕ
⊢ (ack (m + 1) (n + 1) + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 1 + 3) (n + 1)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
⊢ ∃ x, ↑r * ‖x‖ < ‖f x‖
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
self : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
i : ι
⊢ i ∉ self.carrier → self.toFun i = u i
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
⊢ o.volumeForm =
  Nat.casesAuxOn (motive := fun a => n = a → E [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ) n
    (fun h =>
      Eq.ndrec (motive := fun {n} =>
        [_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)] → Orientation ℝ E (Fin n) → E [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ)
        (fun [Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 0)] o =>
          let opos := AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1;
          ⋯.by_cases (fun x => opos) fun x => -opos)
        ⋯ o)
    (fun n_1 h =>
      Eq.ndrec (motive := fun {n} =>
        [_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)] → Orientation ℝ E (Fin n) → E [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ)
        (fun [Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n_1 + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det)
        ⋯ o)
    ⋯
E : Type u_6
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ (a : E × E), (ContinuousAddMonoidHom.add E) a = a.1 + a.2
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
x₀ y₀ : M
key : (fun p => x₀ * p.1 * (p.2 * y₀)) = ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => x * y₀) ∘ uncurry fun x x_1 => x * x_1
key₂ : ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => y₀ * x) = fun x => x₀ * y₀ * x
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x₀, y₀)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.arctan (f x)) s x = 1 / (1 + f x ^ 2) * derivWithin f s x
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) =ᶠ[ae μ] c • μ[f|m]
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono f
⊢ IsIso f
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
⊢ pretopology T ≤ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
z : E
S : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 h S z
hz : h z ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) S z
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ ⇑M.mulVecLin = M.mulVec
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
k : ℕ
⊢ ↑(u ^ -[k+1]) = ↑u ^ -[k+1]
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ (associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)
M : Type u_1
Monoid M
MeasurableSpace M
μ : MeasureTheory.Measure M
⊢ μ.mconv 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
⊢ ∏' (c : γ), f (g c) = ∏' (b : β), f b
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)
⊢ Function.Surjective (i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)
g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone Sum.inr
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ Submodule.comap f₁ q ⊓ Submodule.comap f₂ q ≤ Submodule.comap (f₁ + f₂) q
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ⇑(SpectralMap.id α) = id
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
χ : MulChar R R'
⊢ χ.ringHomComp f = ringHomComp 1 f ↔ χ = 1
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk (a ⊓ b) = Real.mk a ⊓ Real.mk b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι
⊢ Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr = (↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' (x * ↑y) y = f.toMap x
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Mul M
Mul N
Mul M'
Mul N'
Mul P
f : P →ₙ* M
g : P →ₙ* N
f' : M →ₙ* M'
g' : N →ₙ* N'
⊢ (f'.prodMap g').comp (f.prod g) = (f'.comp f).prod (g'.comp g)
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0
a1 : 1 < a
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (fun x_1 => (↑‖x_1.2 - x‖)⁻¹ • (g x_1.2 - g x - (g' x) (x_1.2 - x))) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
⊢ Set.Ico a b ∪ Set.Ico c d = Set.Ico (min a c) (max b d)
a : ℝ≥0∞
⊢ Continuous fun x => x - a