ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ ‖x + (starRingEnd K) x‖ ^ 2 = re (x + (starRingEnd K) x) ^ 2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h₁ : EssFiniteType R S
h₂ : EssFiniteType S T
⊢ EssFiniteType R T
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
h : Summable f
⊢ RCLike.re (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), RCLike.re (f a)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g
⊢ f ≫ P.factorThru g h = P.factorThru (f ≫ g) ⋯
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Monotone Submodule.toSubMulAction
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : x ≠ 0
y y' : G₀
w : (fun y => x * y) y = (fun y => x * y) y'
⊢ y = y'
k : ℕ
n m : ℕ
H : Ordnode.Raised n m
⊢ Ordnode.Raised (k + n) (k + m)
P Q : AddCommGrp
f g : P ⟶ Q
x : ↑P
⊢ (f + g) x = f x + g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ fderiv 𝕜 f x = 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)
⊢ (pullbackIsoProdSubtype f g).hom x = ⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T25Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, ∃ t ∈ 𝓝 y, Disjoint (closure s) (closure t)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ closedBall b r
⊢ a ^ n ∈ closedBall (b ^ n) (n • r)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
d : τ →₀ ℕ
h : coeff d ((rename f) φ) ≠ 0
⊢ ∃ u, Finsupp.mapDomain f u = d ∧ coeff u φ ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ sq₃ : CategoryTheory.Square C
f : sq₁.Hom sq₂
g : sq₂.Hom sq₃
⊢ (f.comp g).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₂ g.τ₂
⊢ ⇑Complex.basisOneI = ![1, Complex.I]
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f)
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I)) ((AdjoinRoot.mk f) p)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E
h₁ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W D
h₂ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W W.Localization
⊢ W.Q ⋙ 𝟭 W.Localization = W.Q ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ ⋙ h₂.lift W.Q ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp |f| p μ
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.length w = 1 ↔ ∃ i, w = cs.simple i
α : Type u
a : α
l : List α
d : α
⊢ (a :: l).headD d = a
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : p x = true
⊢ List.rtakeWhile p (l ++ [x]) = List.rtakeWhile p l ++ [x]
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring S
CommSemiring R
p : Polynomial S
f : S →+* R
r : R
s : S
hr : Polynomial.eval₂ f r p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f (f s * r) (p.scaleRoots s) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
hS : S.Pointed
x : E
⊢ x ∈ ConvexCone.toPointedCone hS ↔ x ∈ S
ι : Type u_1
Fintype ι
I J : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
h : I ≤ J
⊢ Filter.Tendsto (⇑(BoxIntegral.TaggedPrepartition.embedBox I J h)) (l.toFilteriUnion I ⊤)
  (l.toFilteriUnion J (BoxIntegral.Prepartition.single J I h))
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ↑x ^ r) (μ.restrict (Ι a b))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'
⊢ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y ↔ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X' Y'
x y : ℝ≥0
z : ℝ
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ).symm = TensorProduct.gradedComm R ℬ 𝒜
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix' (Matrix.toBilin' M) = M
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : α
ts is : List α
IH1 : map (map f) (ts.permutationsAux (t :: is)) = (map f ts).permutationsAux (map f (t :: is))
IH2 : map (map f) (is.permutationsAux []) = (map f is).permutationsAux []
⊢ map (map f) ((t :: ts).permutationsAux is) = (map f (t :: ts)).permutationsAux (map f is)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ IsCompl K Kᗮ
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ H.verts.Nonempty
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ ↑(1 * I) ≤ span R ↑T * 1
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a g : α
h : ι → α
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j
⊢ a ≤ g * iInf h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hP0 : ¬P = ⊥
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
F G : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
α : F ⟶ G
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i : ι
⊢ ((CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α c).app C).f i = α.app (C.X i)
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
⊢ x ∈ s → HasDerivAt g (g' x) x
z w : ℍ
⊢ Real.cosh (dist z w / 2) = dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w) / (2 * √(z.im * w.im))
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
⊢ s.val = {a} ↔ s = {a}
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
m : ↑M
n : ↑N
⊢ (β_ M N).inv (n ⊗ₜ[R] m) = m ⊗ₜ[R] n
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ η.app (colimit (J.diagram P (unop X))) ≫ (J.plusCompIso G P).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerLeft P η) (unop X))
α : Type u_1
x : α
l : List (Option α)
⊢ (some x :: l).reduceOption = x :: l.reduceOption
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : Monic 0
⊢ False
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop ↔
  0 < r ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ∨ r < 0 ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
α : Type u_6
LE α
self : UpperSet α
⊢ IsUpperSet self.carrier
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ ContinuousAlternatingMap.toAlternatingMap 0 = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i
⊢ c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
α : Type u
s : Set α
p : (x : α) → x ∈ s → Prop
⊢ (∀ (x : α) (h : x ∈ s), p x h) ↔ ∀ (x : ↑s), p ↑x ⋯
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : IsUpperSet t
⊢ ↑(upperClosure s) ⊆ t
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (PartialHomeomorph.unitBallBall c r hr).target = Metric.ball c r
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
⊢ (ZMod.castHom hm (ZMod n)).comp (ZMod.castHom hd (ZMod m)) = ZMod.castHom ⋯ (ZMod n)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : W.Point
⊢ (P + Q).point = W.addMap P.point Q.point
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : Aᵐᵒᵖ
⊢ x ∈ MulOpposite.unop ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R A) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
⊢ Continuous fun f => MeasureTheory.Lp.posPart f
α : Type u_1
p : Prop
f : p → Part α
h : p
⊢ Part.assert p f = f h
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.trans e.symm = Equiv.refl α
α : Type u_1
s : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a (s \ {b})).encard = s.encard
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.blsub f ≤ Order.succ (o.bsup f)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (ghostComponent n) (select P x) + (ghostComponent n) (select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : ∀ y ∈ s, g' y = g y
hx : g' x = g x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g' s x
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s : Set α
⊢ 𝓝ˢ (exterior s) = 𝓝ˢ s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
⊢ ↑e (c • x) = ↑‖c‖₊ * ↑e x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.map α).map f =
  { base := f.base,
    fiber := CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.eqToHom ⋯).app X.fiber) ((α.app Y.base).map f.fiber) }
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
this : (map Sigma.fst (map (Sigma.mk a) (lookupAll a l))).Nodup
⊢ (lookupAll a l).length ≤ 1
α : Sort u
s : Setoid α
a b : α
⊢ a ≈ b → Quotient.mk s a = Quotient.mk s b
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i
⊢ ⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
⊢ (F.μIso X Y).inv ≫ F.μ X Y = 𝟙 (F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y))
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
β : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset β
f : β → Holor α ds
this : DecidableEq β := Classical.decEq β
x : β
s : Finset β
h_x_notin_s : x ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, CPRankMax n (f x)) → CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)
h_cprank : ∀ x_1 ∈ insert x s, CPRankMax n (f x_1)
⊢ CPRankMax (n + s.card * n) (f x + ∑ x ∈ s, f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : ¬IsMaxChain r s
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
e : α ↪ γ
f : γ → β
⊢ ∏ x ∈ map e s, f x = ∏ x ∈ s, f (e x)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ
⊢ p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
r : ℝ≥0∞
h0r : 0 < r
hrε : r < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ↑(ε' i) < ε
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : μ s = 0
⊢ T s = 0
m n : ℕ
⊢ List.take m (List.range n) = List.range (min m n)
S : Type u_2
K : Type u_4
Semiring S
Field K
p : Polynomial S
f : S →+* K
hf : Function.Injective ⇑f
r s : S
hr : Polynomial.eval₂ f (f r / f s) p = 0
hs : s ∈ nonZeroDivisors S
⊢ Polynomial.eval₂ f (f r) (p.scaleRoots s) = 0
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
β : Type v
Primcodable β
Inhabited β
p : Set α
q : Set β
⊢ ManyOneDegree.of (p ⊕' q) = ManyOneDegree.of p + ManyOneDegree.of q
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ ⨆ x, ‖f x‖ = ↑(⨆ x, ‖f x‖₊)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ba : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Set.Icc b a → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Set.Icc b a → edist (f x) (f y) = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ Set.range ⇑hU.fromSpec.val.base = ↑U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
h₀ : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∀ (a : NonemptyInterval α) (a_1 : NonemptyInterval β),
  (NonemptyInterval.map₂ f h₀ h₁ a a_1).toProd.1 = f a.toProd.1 a_1.toProd.1
z : ℍ
h : 0 < (↑z).im := ⋯
⊢ UpperHalfPlane.mk (↑z) h = z
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
val✝ : Fintype τ
z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0
reassoced : ∀ {t : τ} {W : C} (h : T t ⟶ W), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t ≫ h = 0 ≫ h
x : S s ⟶ S s := biproduct.ι S s ≫ f ≫ inv f ≫ biproduct.π S s
h₁ : x = 𝟙 (S s)
⊢ 𝟙 (S s) = 0
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.ncard = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.WSameSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) z * z = ↑‖z‖ ^ 2
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.snd.comp (Monoid.Coprod.swap M N) = Monoid.Coprod.fst
α : Type u
app : List α → List α
inv : ∀ (l : List α), app l = app [] ++ l
x : List α
⊢ app [] ++ x = app x
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) s x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ p (a * s.prod)
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : ↥e.finiteSubspace
⊢ dist x y = (↑e (↑x - ↑y)).toReal
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinite
hy : ¬y.Infinite
⊢ ¬(x * y).Infinite
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
⊢ IsOpen {x | IsUnit x}
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P24 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P24 x₁ x₂ (-y)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
this : AEMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, φ (u i)))
⊢ AEMeasurable f μ
α : Sort u_1
DecidableEq α
r a : α
⊢ Equiv.swapCore a a r = r
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (↑m).coeff n = ↑(if n = 0 then m else 0)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
ι : Sort u_7
Finite ι
s : ι → Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s i)
α : Type u_1
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
a : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(n • a) = n • ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ {x : ℝ}, dist x 0 < δ → dist (b x) 0 < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (x y : β), dist x y < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i y) < ε
G : Type u_2
MeasurableSpace G
SubtractionMonoid G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun t => g - t) μ μ
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
⊢ (h.lift g) (f x) = g x
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ Flat R M ↔ Baer R (CharacterModule M)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : (ZMod p)ˣ
⊢ a ^ (p - 1) = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M
⊢ c ⊔ d = conGen fun x y => c x y ∨ d x y
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hm : Ordnode.Valid' (↑x) m ↑y
hr : Ordnode.Valid' (↑y) r o₂
H1 : Ordnode.BalancedSz l.size (m.size + r.size + 1)
H2 : Ordnode.BalancedSz m.size r.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.node3R x m y r) o₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.contractibleTriangleIso X).hom.hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det
⊢ A.det = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n c : ℕ
w : n ≤ n + c
m : M
⊢ (f ^ (n + c)) m ∈ (fun n => range (f ^ n)) n
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + 0).f = a✝.f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
G.IsCocontinuous J K
G.IsContinuous J K
F : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ((G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K).unit.app F).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
f : R[A]
fs : List R[A]
⊢ (f * fs.prod).support.sup degb ≤ f.support.sup degb + (List.map (fun f => f.support.sup degb) fs).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] u
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ s.compl.compl = s