ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x t] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
e : M ≃ₗ[R] M₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ (AlternatingMap.domLCongr R N ι S e) f = f.compLinearMap ↑e.symm
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
⊢ (fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)
A : Type u_1
AddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
n : A
⊢ Finset.map (Equiv.prodComm A A).toEmbedding (Finset.antidiagonal n) = Finset.antidiagonal n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ ∀ (a : X), (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
⊢ Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B))) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)))
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ (quadraticChar F) (-2) = ZMod.χ₈' ↑(Fintype.card F)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
m : ℕ
h : 1 < m
⊢ (fun x => ‖x - x₀‖ ^ m) =o[𝓝 x₀] fun x => x - x₀
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : D
f : Sum.inr (Sum.inl X) ⟶ Sum.inr (Sum.inl Y)
⊢ (CategoryTheory.sum.inverseAssociator C D E).map f = f
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S S' : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ S'
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S') T} (f_1 : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.map f).map f_1).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1
⊢ multinomial (insert a s) f = (s.sum f).succ * multinomial s f
n m k : ℕ
⊢ n ||| m ||| k = n ||| (m ||| k)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
⊢ AList.erase a (s₁ ∪ s₂) = AList.erase a s₁ ∪ AList.erase a s₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0
this : const (padicNorm p) q ≈ 0
⊢ norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
DecidableEq σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (φ * ψ) =
  ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, (MvPowerSeries.coeff R p.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R p.2) ψ
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' sphere x r = sphere (c⁻¹ • x) r
n p : ℕ
hp : p ∈ n.primeFactors
⊢ p ∣ n
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ _root_.IsClosed ↑f.graph.topologicalClosure
α : Type u
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a / b ≤ a⁻¹ * b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
I : Type u_2
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x : α
s : I → α
t : Finset I
H1 : IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i)
i : I
hit : i ∈ t
⊢ IsRelPrime x (s i)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
⊢ inner_ 𝕜 (I • x) y = (starRingEnd 𝕜) I * inner_ 𝕜 x y
a : ℝ≥0∞
⊢ ⋃ n, Set.Ioo a ↑n = Set.Ioi a \ {⊤}
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
x✝ : IsUnit X
g : R[X]
_hfg : (monomial 1) 1 * g = 1
hgf : g * (monomial 1) 1 = 1
⊢ 0 = (g * (monomial 1) 1).coeff 0
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : R1Space G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Set G
h1U : IsOpen U
h2U : U.Nonempty
⊢ 0 < μ.outerMeasure U
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasureTheory.OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ MeasureTheory.piPremeasure m (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
AddGroup M
AddGroup N
AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ g.comp f = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ f a ≤ f 0
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n + 1 ≤ (n + 1) * (n + 1)
n : PosNum
⊢ ↑↑n = Num.pos n
α : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ↪ β') = 0 ↔ Cardinal.lift.{u, v} #β' < Cardinal.lift.{v, u} #α
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
h : x ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
⊢ s.WSameSide y ((AffineMap.lineMap x y) t)
i : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi i, (1 + x ^ 2)⁻¹ = π / 2 - Real.arctan i
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B
⊢ (Algebra.TensorProduct.mul x) (1 ⊗ₜ[R] 1) = x
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)
⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ∀ {x : Fintype ↥⊥}, Fintype.card ↥⊥ = 1
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ ⇑1 = id
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
a b a' b' c : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → a'.mul c = b' → a ∣ b
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
⊢ cs.wordProd (CoxeterSystem.alternatingWord i i' m) =
  (if Even m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
α : Type u_1
s : Multiset α
P : α → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ Multiset.card (Multiset.filter P s) ≤ n ↔ ∀ s' ≤ s, n < Multiset.card s' → ∃ a ∈ s', ¬P a
⊢ π ^ 2 / 6 = (-1) ^ (1 + 1) * 2 ^ (2 * 1 - 1) * π ^ (2 * 1) * ↑(bernoulli (2 * 1)) / ↑(2 * 1)!
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p q : Submodule R M
x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p
x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q
f : Bool → Submodule R M := fun t => Bool.rec q p t
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(p ⊔ q)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
f : α → β
Fintype β
DecidablePred fun y => ∃ x, f x = y
DecidableEq β
⊢ Finset.filter (fun y => ∃ x, f x = y) Finset.univ = Finset.image f Finset.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
x y : R
p : R[X]
⊢ evalEval x y (C p) = eval x p
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
ι : Type u_4
bL : Basis ι F ↥L
⊢ toSubmodule L = span F (Set.range fun i => ↑(bL i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ F.mapIso (CategoryTheory.Iso.refl X) = CategoryTheory.Iso.refl (F.obj X)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf₁ : ∀ (i : ι), Injective (f i)
hf₂ : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ (hammingNorm fun i => f i (x i)) = hammingNorm x
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
IsDedekindDomain S
Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
IsDedekindDomain R
Algebra R K
IsFractionRing R K
Algebra S L
IsFractionRing S L
Algebra K L
Algebra R L
IsScalarTower R S L
IsScalarTower R K L
IsNoetherian R S
IsIntegralClosure S R L
p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
⊢ ∑ P ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map (algebraMap R S) p)).toFinset,
    Ideal.ramificationIdx (algebraMap R S) p P * Ideal.inertiaDeg (algebraMap R S) p P =
  FiniteDimensional.finrank K L
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G
⊢ (∀ (g : G), Measure.map (fun x => x * g) μ = μ) ↔ μ.IsMulRightInvariant
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Topology.WithLowerSet.toLowerSet a ⤳ Topology.WithLowerSet.toLowerSet b ↔ a ≤ b
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Mul β
ContinuousMul β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hv : MeasureTheory.Adapted f v
⊢ MeasureTheory.Adapted f (u * v)
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ : B ⥤ C
F₂ : D ⥤ E
G : C × E ⥤ H
x✝² x✝¹ : B × D
x₁ : B
x₂ : D
y₁ : B
y₂ : D
x✝ : (x₁, x₂) ⟶ (y₁, y₂)
f₁ : (x₁, x₂).1 ⟶ (y₁, y₂).1
f₂ : (x₁, x₂).2 ⟶ (y₁, y₂).2
⊢ G.map (F₁.map f₁, 𝟙 (F₂.obj x₂)) ≫ G.map (𝟙 (F₁.obj y₁), F₂.map f₂) = 𝟙 (G.obj (F₁.obj x₁, F₂.obj x₂)) ≫ G.map (F₁.map f₁, F₂.map f₂) ≫ 𝟙 (G.obj (F₁.obj y₁, F₂.obj y₂))
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
x : X
⊢ ‖x‖ ≤ ‖(P * Q) • x‖ + ‖(1 - P * Q) • x‖
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ Down.compression a 𝒜 → s.erase a ∈ Down.compression a 𝒜
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔
  ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ (map W' f).toJacobian.polynomialX = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialX
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
A : Set (X → α)
S : Set X
x₀ : X
hA : A.EquicontinuousWithinAt S x₀
⊢ (closure A).EquicontinuousWithinAt S x₀
G : Type u_1
H : Type u_2
⊢ ∀ {x : Group G} {x_1 : Group H} (f : G →* H), IsGroupHom ⇑f
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ f.srange = Subsemigroup.map f ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥)
α : Type u_1
x : Multiset α
⊢ Multiset.traverse pure x = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Surjective m
⊢ Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂) ↔ Disjoint g₁ g₂
K x : ℝ
⊢ gronwallBound 0 K 0 x = 0
K : Type u_1
Field K
⊢ (Polynomial.idealX K).asIdeal = Ideal.span {Polynomial.X}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
⊢ Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Codisjoint (MonoidHom.mrange Monoid.Coprod.inl) (MonoidHom.mrange Monoid.Coprod.inr)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).map f).τ₃ = f.f k
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
h : x < 0
⊢ n • x < 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
⊢ Commute (a * b⁻¹) c
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)
⊢ (c₁ + c₂) • x ∈ span R (s • t)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ Continuous ExistsContDiffBumpBase.u
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable δ
Primcodable σ
f : γ → δ → σ
g : α → β → γ
h : α → β → δ
hf : Computable₂ f
hg : Computable₂ g
hh : Computable₂ h
⊢ Computable₂ fun a b => f (g a b) (h a b)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ support R M = ∅ ↔ Subsingleton M
L : FirstOrder.Language
P : Type u_2
L.Structure P
S : L.Substructure P
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap (FirstOrder.Language.Hom.id L P) S = S
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
A : ContDiffOn 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (↑I' (f (↑I.symm p.1)), (mfderivWithin I I' f s (↑I.symm p.1)) p.2)) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G
⊢ ¬IsTorsion G ↔ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| ≤ |b| ↔ a * a ≤ b * b
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
⊢ 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ x < 1 ∧ y < 0
⊢ Filter.Tendsto Complex.exp (Filter.comap Complex.re Filter.atBot) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ Measurable (Function.uncurry (f + g))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
hnm : n ≤ m
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω ∈ Set.Icc n m
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a
⊢ sInf (S ∩ {b_1 | ∀ c < succ b, enumOrd S c < b_1}) ≤ a
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
r : α → β → Prop
(a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ Fintype.card ↑(Rel.image r ↑A)) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra R Q
inst✝ : IsLocalization M Q
f : S →+* Q
hf : f.comp (algebraMap R S) = algebraMap R Q
⊢ f.comp (algebraMap R S) = (↑(algEquiv M S Q)).comp (algebraMap R S)