ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
inst✝²⁹ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²⁸ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²⁷ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²⁶ : AddMonoid A
inst✝²⁵ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝²⁴ : AddMonoid B
inst✝²³ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝²² : AddMonoid B₁
inst✝²¹ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝²⁰ : AddMonoid C
inst✝¹⁹ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹⁸ : AddGroup A'
inst✝¹⁷ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹⁶ : AddGroup B'
inst✝¹⁵ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝¹⁴ : FunLike F A B
R : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_14
inst✝⁷ : Ring S'
inst✝⁶ : MulSemiringAction N S'
T : Type u_15
inst✝⁵ : Semiring T
inst✝⁴ : MulSemiringAction P T
M' : Type ?u.130188
N' : Type u_16
inst✝³ : AddMonoid M'
inst✝² : DistribMulAction R M'
inst✝¹ : AddMonoid N'
inst✝ : DistribMulAction S N'
σ : R →* S
f g : R →ₑ+[σ] N'
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ f x = g x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ g, g • x = y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝⁵ : μ.IsNegInvariant
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : BorelSpace G
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E
hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)
hf : Continuous f
hg : Integrable g μ
⊢ Continuous (f ⋆[L, μ] g)
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
buckets : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
self : buckets.WF
i : Nat
h : i < buckets.val.size
⊢ Batteries.AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i) buckets.val[i]
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
Semiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
q : ℕ
hR : ExpChar R q
⊢ ExpChar A q
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
s : ℝ
h : 0 < s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝ : Fintype ι
f g : ⨁ (i : ι), M i
x✝ : ι
⊢ (f + g) x✝ = (⇑f + ⇑g) x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C) a b =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
⊢ ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ {a, b}.card ≤ 2
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {f : α → β},
  MeasurableEmbedding f → ∀ (g : β → G), ∫ (y : β), g y ∂MeasureTheory.Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
f : α → F
hf : MeasureTheory.Memℒp f p (μ.trim hm)
⊢ ↑((MeasureTheory.lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf)) = MeasureTheory.Memℒp.toLp f ⋯
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe U hY).counitIso = CategoryTheory.eqToIso ⋯
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
⊢ s₂.Equivalent s₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : β → γ
hg : Monotone g
this : Monotone (map m ∘ g)
s : Set γ
⊢ s ∈ map m (f.lift g) ↔ s ∈ f.lift (map m ∘ g)
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
h : x ∈ S.ofUnits
⊢ ↑(S.unit_of_mem_ofUnits h) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s✝, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
g : SupBotHom β γ
f : SupBotHom α β
⊢ SupBotHom.dual (g.comp f) = (SupBotHom.dual g).comp (SupBotHom.dual f)
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ 1 ∈ s
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
⊢ K ≤ ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hf1 : multiplicity.Finite (↑p) (n₁ * d₂)
hf2 : multiplicity.Finite (↑p) (n₂ * d₁)
⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
Nontrivial R
NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
⊢ (IsLocalization.sec M x).1 ≠ 0
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs
⊢ False
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q✝ : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ ∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : UniformSpace.Completion α
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
K : Type u
Field K
Algebra F K
h : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F α)
⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] K) = (minpoly F α).natDegree
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
x y : α
⊢ (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : t.Countable
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
⊢ MeasurableSet (Iio a)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype m'
DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ ((Matrix.toLin b₂' b₂) M))
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
r : ℝ
hr : r ∈ Set.Ioo 0 f.rOut
⊢ Function.support ↑(f.updateRIn r hr) = Function.support ↑f
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ (AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplex A).app X = AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap X
a b : ℤ
⊢ Finset.uIcc a b =
  Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding (min a b))) (Finset.range (max a b + 1 - min a b).toNat)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
⊢ (fun x => (f x, g x)) '' s ⊆ (f '' s) ×ˢ (g '' s)
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
⊢ IsAddUnit a → IsAddUnit (n • a)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ
this : Finite (G ⧸ H)
⊢ H.FiniteIndex
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G
k n : ℕ
f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
C : ℝ
H : ∀ (m : Fin n → G), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
v : Fin k → G
⊢ ‖(f.restr s hk z) v‖ ≤ C * ‖z‖ ^ (n - k) * ∏ i : Fin k, ‖v i‖
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Multiset α
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b) → s.Nodup → Multiset.Pairwise r s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
hi : Std.IdempotentOp op
⊢ fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
inst✝⁶ : MeasurableSpace ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : BorelSpace ι
inst✝¹ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝ : MetrizableSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)
m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace
s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}
hs : MeasurableSet s
⊢ StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.hom.app X).hom₃ = 𝟙 X.obj₃
α : Type u_1
r r' : α → α → Prop
hr : WellFounded r
h : ∀ (a b : α), r' a b → r a b
⊢ WellFounded r'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.77613, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
⊢ (↑(fst φ)).comp (inl φ) ⋯ + (snd φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ = Cochain.ofHom (𝟙 (mappingCone φ))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next ((p.toList x).nthLe k ⋯) ⋯ = p ((p.toList x).nthLe k ⋯)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.toSubsemigroup ↔ x ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)
⊢ f x = y
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → ℕ → α
⊢ ⨅ n, f (Nat.unpair n).1 (Nat.unpair n).2 = ⨅ i, ⨅ j, f i j
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b
a0 : 0 ≤ a
⊢ 1 < a * b
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}
⊢ (∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b) ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (K * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]
this : (minpoly R x).Monic
⊢ ∃ f_1, f_1.degree < ↑(minpoly R x).natDegree ∧ (aeval x) f = (aeval x) f_1
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ mabs a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblX P = W'.dblU P ^ 2
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i✝ : ι
a✝ x : α
inst✝ : Nontrivial α
l m : Line α ι
hlm : (fun x x_1 i => (x.idxFun i).getD x_1) l = (fun x x_1 i => (x.idxFun i).getD x_1) m
i : ι
a b : α
hba : b ≠ a
⊢ a ∈ l.idxFun i ↔ a ∈ m.idxFun i
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
p : ℕ
hp : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow
hp₁ : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow.val
hp₂ : p ∉ k.primesBelow
hpp : Nat.Prime p
⊢ p ∈ {p | k ≤ p}
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑e x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : SupHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : α → β
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ Set.univ ↔ f₁ = f₂
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
hb : b ≤ a ⊔ c
hc : c ≤ a ⊔ b
⊢ a ⊔ b = a ⊔ c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
⊢ 1 + ↑(Multiset.card t) ≤ 1 + (p /ₘ (X - C x)).degree
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
⊢ (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
a : ℕ
⊢ f.coeff a = 0 → f.coeff a ∈ I ^ a
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
⊢ IsSubgroup ↑K
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ f (preNormEDS b c d n) = preNormEDS (f b) (f c) (f d) n
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
⊢ IsSeparator (∐ f) ↔ IsSeparating (Set.range f)
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : G
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
⊢ (toProd x).2 = snd x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), i ∉ Ioo k n → 0 ≤ (↑i ^ 2)⁻¹