ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Scheme
U : (Opens ↑↑((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ toOpen ↑(unop (Scheme.Γ.rightOp.obj X)) ⊤ ≫ (adjunction.unit.app X).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat (adjunction.unit.app X).val.base).obj ((𝟭 Scheme).obj X).presheaf).map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
⊢ IsPurelyInseparable F ↥F⟮x⟯ ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
⊢ ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
m n : ℕ
⊢ (Nat.fib m).gcd (Nat.fib (n + m)) = (Nat.fib m).gcd (Nat.fib n)
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ Function.Surjective ⇑(frobenius R p)
x y z : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x)) x
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
a✝ : i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset
⊢ (φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) else 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v
⊢ ⟨w, hw⟩ ∈ ↑(H.coe.connectedComponentMk w✝) ∧ ↑⟨w, hw⟩ = w
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.InvOn f' f s t
hs : s₁ ⊆ s
ht : t₁ ⊆ t
⊢ Set.InvOn f' f s₁ t₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
x : L
i : ℕ
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = (LinearMap.charpoly (φ x)).coeff i
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
x : P
I : Order.Ideal P
hI : I.IsProper
⊢ x ∉ I ∨ xᶜ ∉ I
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
z : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => x ^ z) s
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
a : A
⊢ (GradedTensorProduct.includeLeft 𝒜 ℬ) a = a ᵍ⊗ₜ[R] 1
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : X
r : R
h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0
f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1
⊢ False
α : Type v
AddCommMonoid α
Mul α
v w : PUnit.{u_10 + 1} → α
⊢ v ⬝ᵥ w = v PUnit.unit * w PUnit.unit
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
this : HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).fst) e
⊢ HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x) (inl e + inr (e • x.snd))
m : Type u_2
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
NonAssocSemiring γ
f : α ≃+* β
g : β ≃+* γ
⊢ f.mapMatrix.trans g.mapMatrix = (f.trans g).mapMatrix
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ IsUnramified k w ↔ w.IsReal ∨ (w.comap (algebraMap k K)).IsComplex
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y ∧ y ≠ 0}
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ A.rank = (diagonal hA.eigenvalues).rank
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.IsEquivalence
⊢ F.Faithful
α : Type u_1
as : List α
i : Nat
⊢ as = [] → List.drop i as = []
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret (Turing.PartrecToTM2.Cont'.comp f k)) =
  Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.trNormal f k
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
x : X
⊢ ↑(e.trans e') x = ↑e' (↑e x)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
f : α →+ β
hf : ContinuousAt (⇑f) 0
⊢ UniformContinuous ⇑f
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ioc a b)
hcg : ContinuousOn g (Ioc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : f b = 0
hgb : g b = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h : (x ^ p ^ n) ^ p ^ n' = i y ^ p ^ n'
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a = c * b
⊢ a * b⁻¹ = c
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightId L R).hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 0
α : Type u_1
DecidableEq (Option α)
DecidableEq α
s t : Finset (Option α)
⊢ Finset.eraseNone (s ∩ t) = Finset.eraseNone s ∩ Finset.eraseNone t
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
⊢ (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ Subtype.val '' D ∩ A = Subtype.val '' D
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α
⊢ (l ++ l.reverse).reverse = l ++ l.reverse
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : (λ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.ε ▷ F.obj n ≫ F.μ (𝟙_ M) n ≫ F.map (λ_ n).hom).app X
⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M : Mod_ A
⊢ M.id.hom = 𝟙 M.X
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
⊢ a⁻¹ ∈ s.centralizer
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
R : Type u_17
S : Type u_18
Semiring S
SMul R M
Module S M
SMul R M₂
Module S M₂
SMul R S
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
IsScalarTower R S M₂
f : M →ₗ[S] M₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsScalarTower R S M
G : Type u_1
H : Type u_2
⊢ ∀ {x : AddGroup G} {x_1 : AddGroup H} (f : G →+ H), IsAddGroupHom ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
a✝ b✝ : A
r : R
inst✝³ : OrderedCommRing R
inst✝² : OrderedRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : OrderedSMul R A
a b : R
h : a ≤ b
⊢ 0 ≤ (b - a) • 1
α : Type u_1
Monoid α
x : α
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op (x ^ n) = MulOpposite.op x ^ n
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
⊢ 1 + (↑n * a + (a + (a + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a * a) + a * a)))))) = 1 + (a + (a + (a * a + (↑n * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : (f ⊓ 𝓟 s).NeBot
⊢ ∃ x ∈ s, (𝓝 x ⊓ (f ⊓ 𝓟 s)).NeBot
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : x ∈ V
iVU : V ⟶ U
f g : R
hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
hs : const R f g V hg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.map (homOfLE hg).op) (const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.map iVU.op) s
α : Type u_2
t : TopologicalSpace α
self : DiscreteTopology α
⊢ t = ⊥
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ ¬x ⤳ y ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
k : Fin n
⊢ (cons y s).tail k = s k
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S T : Submonoid M
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
X Y : AddMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget AddMonCat).map f = ⇑f
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
hi : (φ i).rOut < ε
⊢ ball c (φ i).rOut ∈ 𝒫 ball c ε
R : Type u_1
s : Multiset ℕ
h0 : s.prod ≠ 0
⊢ Ω s.prod = (Multiset.map (⇑Ω) s).sum
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
⊢ p.leftInv i = p.rightInv i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
⊢ ((M.map f hf).Base (f '' M.E \ f '' B) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = f '' B) ↔ (M✶.map f hf).Base (f '' B)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ
⊢ ((A.pull θ).e ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op = A.e.op ≫ θ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
n : ℕ
p : n + 1 < (h :: t).length
⊢ (h :: take (n + 1) t).prod = (h :: take n t).prod * t[n]
α : Type u_2
Ring α
self : Ring.PositiveCone α
⊢ self.nonneg 1
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
self : r ≃r s
a b : α
⊢ s (self.toEquiv a) (self.toEquiv b) ↔ r a b
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ Metric.ball 0 r
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
⊢ ⋂ x, eval ↑x ⁻¹' s ↑x ∈ pi f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
⊢ a ≤ t.inf' ht id
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD orderOf hμ.toRootsOfUnity]
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
a : α
b : β
f : α → β → γ
hr : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), s b₁ b₂ → f a b₁ = f a b₂
hs : ∀ (a₁ a₂ : α) (b : β), r a₁ a₂ → f a₁ b = f a₂ b
⊢ (Quot.mk r a).liftOn₂ (Quot.mk s b) f hr hs = f a b
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s < {a} ↔ s = 0
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
Hx : 1 < a.x
Hy : 0 < a.y
H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
n₁ : ℤ
hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁
⊢ a = a₁
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)) = fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ ⨆ i ∈ I, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis R φ i) ≤ ⨅ i ∈ J, LinearMap.ker (LinearMap.proj i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
⊢ False
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.left b
⊢ Finset.card (SetTheory.PGame.Domineering.moveLeft b m) / 2 < Finset.card b / 2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0
⊢ RingHom.ker (Quotient.mk (comap C P)) = ⊥
n : ℕ
t : 11 ∣ n ↔ ↑11 ∣ ofDigits (-1) (digits 10 n)
⊢ 11 ∣ n ↔ 11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
⊢ s.Finite
ctx : Nat.Linear.Context
m₁ m₂ : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁.cancel m₂) = Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁, m₂)
n d : ℕ
a : Fin (n + 1) → ℕ
⊢ (Behrend.map d) a = a 0 + (Behrend.map d) (a ∘ Fin.succ) * d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrder β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : QuasiconcaveOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r < f x}
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
hst : t.encard = s.encard + 1
⊢ ∃ a, t = insert a s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
l : List α
h : 0 < (List.scanl f b l).length
⊢ (List.scanl f b l).get ⟨0, h⟩ = b
y : ℝ
H : 0 < y
⊢ 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).preΨ₄ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).preΨ₄
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulZeroOneClass α
inst✝² : MulZeroOneClass β
inst✝¹ : MulZeroOneClass γ
inst✝ : MulZeroOneClass δ
f✝ g✝ f g : α →*₀o β
h : f.toOrderMonoidHom = g.toOrderMonoidHom
⊢ ∀ (a : α), f a = g a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => 0 y
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n ∈ Submodule.span ℤ {m}
⊢ (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) n = g ⟨n, hn⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toSheafify (P.comp F)) (J.sheafifyCompIso F P).inv =
  CategoryTheory.whiskerRight (J.toSheafify P) F
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
a : α
b : β
⊢ MulOpposite.op (a • b) = a • MulOpposite.op b
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
⊢ N.IsCommutative
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing S
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Monad C
h : M ≅ N
⊢ (CategoryTheory.MonadIso.toNatIso h).inv = h.inv.toNatTrans
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : Irreducible ϖ
⊢ LocalRing.maximalIdeal R = Ideal.span {ϖ}
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
n : ℕ
⊢ Continuous fun a => n • a
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
x : AddCommGrp.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r x.neg = -Quot.mk Setoid.r x
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
⊢ ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : q.natDegree < p.natDegree
⊢ (p + q).natDegree = p.natDegree
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
C : (DirectSum ι fun i => β i) → Prop
x : DirectSum ι fun i => β i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : β i), C ((DirectSum.of β i) x)
H_plus : ∀ (x y : DirectSum ι fun i => β i), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x