ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty
⊢ a * b ∈ s * t
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a ≤ b + (a - b)
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
⊢ a ++ b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y ++ x) b
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z => (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)
H : (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹
⊢ ‖log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
⊢ borel ℝ = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ a, {Set.Iio ↑a})
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
⊢ ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P.coeff m • Q = 0) → P.coeff n • Q = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
AddGroup G
TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖) t
θ : ℝ
k : ℤ
⊢ -π < θ - 2 * ↑k * π ∧ θ - 2 * ↑k * π ≤ π ↔ (2 * ↑k - 1) * π < θ ∧ θ ≤ (2 * ↑k + 1) * π
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
inst✝¹ : Ring R
α : Type u_3
inst✝ : Group α
a : α
this : Nat.card ↑(MulAction.orbit (↥(zpowers a)) 1) = Nat.card (ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a • x) 1))
⊢ Nat.card ↥(zpowers a) = orderOf a
x : ℤ[i]
y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ (Zsqrtd.norm (x % y)).natAbs < (Zsqrtd.norm y).natAbs
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ (a * d - b * c) / (c * d) < 0 ↔ a / c < b / d
R : Type w
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v
CommRing R'
Ring S'
Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
⊢ Module.rank R S = Module.rank R' S'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
⊢ 3 - ↑1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : Fin c.length
⊢ 0 < c.blocksFun i
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (f * g) = (toMatrix v₁ v₁) f * (toMatrix v₁ v₁) g
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ᵐ * a⁺ᵐ = mabs a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
this : s ∩ o ∈ 𝓝[s] x
y : E
hy : y ∈ s ∩ o
⊢ fderivWithin 𝕜 f s y = f' y
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ (n.succ + 1 + n.succ) * (n.succ + 1 + n.succ) - (n + 1 + n) * (n + 1 + n) = 8 * (n + 1)
D : Type u_3
NormedAddCommGroup D
MeasurableSpace D
μ : MeasureTheory.Measure D
h : μ.HasTemperateGrowth
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
⊢ Monotone card
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
μ : MeasureTheory.Measure G
self : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => g * x) μ = μ
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.kerLiftAlg f)
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
⊢ LieSubmodule.baseChange A ⊥ = ⊥
F : Type u_6
α : outParam (Type u_7)
β : outParam (Type u_8)
Preorder α
Preorder β
FunLike F α β
self : PseudoEpimorphismClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ f a ≤ b → ∃ c, a ≤ c ∧ f c = b
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base y)
⊢ (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : Module.Finite R M
⊢ ⊤.FG
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C
⊢ (liftNatTrans L W F F F' F' (𝟙 F)).app (L.obj X) = (𝟙 F').app (L.obj X)
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h)
    ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₁).map T.mor₁) ⋯).Exact
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
h : ↑(ModuleCat.CoextendScalars.obj' f M)
⊢ (ModuleCat.CoextendScalars.map' f g) h = g ∘ₗ h
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.fromStructuredArrow F).obj c).ι = c.hom
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a : n
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (M * transvection i j c) a j = M a j + c * M a i
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ (b ⨳ c) ≤ a ⨳ b ⨳ c
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) s x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1
⊢ ∠ p3 p1 p2 + ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p2 p3 = π
α : Type u
f : Filter α
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p → q x) ↔ p → ∀ᶠ (x : α) in f, q x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
⊢ ∃ i ∈ s, (H i).FiniteIndex ∧ (H i).index ≤ s.card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 => x) (Fin.snoc 0 y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
H : c ≤ Con.ker f
⊢ MonoidHom.mrange (c.lift f H) = MonoidHom.mrange f
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
s : p → Set α
⊢ ⋂ (h : p), s h = if h : p then s h else Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r < f x}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x : Fin n → ℕ
⊢ x ∈ ↑(sphere n d k) → ‖f x‖ = √↑k
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im
⊢ (-x).arg = x.arg - π
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NonAssocRing α
⊢ TopologicalSemiring α → TopologicalRing α
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
h : IsEmpty ι
⊢ Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq ι
j : ι
inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (↑(insert j s)).piecewise f g = (insert j ↑s).piecewise f g
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
⊢ x.1 ∈ n.divisors
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
⊢ Function.Injective ⇑f.dualMap ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (symmDiff s₁ s₂)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
⊢ ⊥.facets = ∅
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
⊢ Commute (g x) (g y)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ ¬(x = y ∨ x = z) ∧ ¬y = z ∧ True
m n : ℕ
s : ℂ
⊢ (↑m * ↑n) ^ s = ↑m ^ s * ↑n ^ s
a b : UInt8
⊢ a.toNat = b.toNat → a = b
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set N
f : G ≃* N
this : ⇑f.toEquiv ⁻¹' s = ⇑f.symm '' s
⊢ normalClosure (⇑f ⁻¹' s) = comap (↑f) (normalClosure s)
m n : ℕ
⊢ pair m n < (max m n + 1) ^ 2
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : ↑F F.M
n : ℕ
i : F.B x.fst
⊢ Agree ((x.snd i).approx n) ((x.snd i).approx (n + 1))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
S : Set (Set α)
f : Filter α
⊢ f ≤ generate S ↔ f ≤ ⨅ s ∈ S, 𝓟 s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P ≃ₐ[R] P'
⊢ (FractionalIdeal.mapEquiv g).symm = FractionalIdeal.mapEquiv g.symm
α : Fin 2 → Type u
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
⊢ (fun f => (f 0, f 1)) ⁻¹' s ×ˢ t = Set.univ.pi (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim))
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g) = Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
f : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ 𝓝 f = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V i}
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k
contra : ¬μ₁ = μ₂
⊢ False
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_4
κ : ι → Type u_5
α : (i : ι) → κ i → Type u_6
(i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (α i k)
(i : ι) → (k : κ i) → Module R (α i k)
f : (x : (i : ι) × κ i) → α x.fst x.snd
⊢ (LinearEquiv.piCurry R α) f = Sigma.curry f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
p q r : F.Elements
f : p ⟶ q
g : q ⟶ r
⊢ ↑(CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ↑f ↑g
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
x : G
⊢ orderOf (f x) = orderOf x
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
self : T.CompleteType α
⊢ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊆ ↑self
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
⊢ algebraMap R' (tsze R' M) = TrivSqZeroExt.inlHom R' M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set β → Set γ
m : α → β
⊢ (Filter.map m f).lift' g ≤ f.lift' (g ∘ Set.image m)
α : Type u_1
f : α → α → α
a : Option α
⊢ Option.liftOrGet f a none = a
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
hne : I.Nonempty
⊢ M.RkPos
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c
⊢ ∀ᵐ (a : γ) ∂Measure.map f μ, g a ≤ c
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (esymm σ R n).support = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), CategoryTheory.Epi (φ.f i)
⊢ CategoryTheory.Epi φ
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ ((HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).moduleCatCyclesIso.hom) ≫ ModuleCat.ofHom (oneCocycles A).subtype = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
a : α
⊢ (∀ (i k : ℕ), k ≤ i → f k ≤ a) ↔ ∀ (i : ℕ), f i ≤ a
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
⊢ (∑ x : n × n, ‖diagonal v x.1 x.2‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖₊ ^ 2)
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ ∀ x ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, χ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hf : Measurable f
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
⊢ StronglyMeasurable f
G : Type u_3
Group G
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P R t = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
m1 m2 : M
s1 s2 : ↥S
⊢ LocalizedModule.mk m1 s1 + LocalizedModule.mk m2 s2 = LocalizedModule.mk (s2 • m1 + s1 • m2) (s1 * s2)
α : Type u_1
CompleteLattice α
x y : α
⊢ x ⊓ y = ⨅ b, bif b then x else y
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s
j : Fin (s.length + 1)
hy : s.toFun j ∈ s
⊢ s.toFun i ≤ s.toFun j ∨ s.toFun j ≤ s.toFun i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedAlgebra ℝ 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
μ.WeaklyRegular
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ DenseRange ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ TensorAlgebra.toDirectSum ((TensorAlgebra.tprod R M n) x) =
  (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 < f
⊢ ∃ i ∈ Finset.univ, 1 < f i
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
s : Set α
⊢ BddBelow (closure s) → BddBelow s
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
hf : {x | P x}.Finite
m : ℕ
hP : m ∈ {x | P x}
hm : ∀ a' ∈ {x | P x}, id m ≤ id a' → id m = id a'
y : ℕ
hl : m < y
hy : P y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
x : α
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
hij : i ≠ j
hxi : f^[i] x ∈ s
hxj : f^[j] x ∈ s
hlt : i < j
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
⊢ HasFPowerSeriesAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸) 0
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
⊢ nfp f a ≤ b ↔ ∀ (n : ℕ), f^[n] a ≤ b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular ![Q 0, Q 1, 0]
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
a : E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ CircleIntegrable (fun x => a) c R
R : Type u_1
Semiring R
deg m o : ℕ
c : R
p : R[X]
h_natDeg_le : p.natDegree ≤ m
coeff_eq : p.coeff o = c
coeff_ne_zero : c ≠ 0
deg_eq_deg : m = deg
coeff_eq_deg : o = deg
⊢ p.natDegree = deg
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
α : Type u_2
Monoid α
MulDistribMulAction α A
SMulCommClass α R A
a : α
r : R
⊢ a • (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.offDiag.Nonempty ↔ s.Nontrivial
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ T =O[atTop] asympBound g a b
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂
⊢ l ∪ t₁ ~ l ∪ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
f' : ℕ → α → β := fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable f' p μ
hut' : UnifTight f' p μ
g' : α → β := AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
hg : StronglyMeasurable g'
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'' : Memℒp g' p μ
haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (g' x))
haefg : ∀ (n : ℕ), f n - g =ᶠ[ae μ] f' n - g'
hsnfg : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (f' n - g') p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)