ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_13, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_15, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_14, u_5} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_6} C₄
CategoryTheory.Category.{u_17, u_3} C₁₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_4} C₂₃
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
associator : CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap
    ρ₂₃.q
H₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).inv j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((associator.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃))
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
K : Type u_1
Field K
PerfectField K
g : K[X]
⊢ g.Separable ↔ Squarefree g
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ ν : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
ν.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
⊢ μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
x y : α
self : IsCompl x y
⊢ Disjoint x y
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ f ≫ toSpecΓ S = toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G H : CategoryTheory.Functor D E
α : G ≅ H
⊢ (CategoryTheory.isoWhiskerLeft F α).hom = CategoryTheory.whiskerLeft F α.hom
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : α
⊢ x ∈ thickening ε (thickening δ s) → x ∈ thickening (ε + δ) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f✝ : ι →₀ α
f : ι →₀ Finset α
⊢ f.pi.card = f.prod fun i => ↑(f i).card
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieIdeal.map f ⁅I₁, I₂⁆ = ⁅LieIdeal.map f I₁, LieIdeal.map f I₂⁆
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
⊢ List.zipWithTR.go f as bs acc = acc.data ++ List.zipWith f as bs
x y : ℕ
⊢ dist ↑↑x ↑↑y = dist ↑x ↑y
M : Type u_2
CommMonoid M
f : True → M
⊢ ∏ᶠ (i : True), f i = f trivial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
⊢ False
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ ∀ (a : { x // p x ∧ q x }), ↑↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter p q).symm a) = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'
⊢ (fun x => (f' x).2) =O[l] f'
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ sᶜ ∈ Filter.cocompact X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this✝ : Fact (μ A < ⊤)
V : Set α
V_open : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
this : (μ.restrict A).InnerRegularWRT IsClosed fun s => MeasurableSet s
⊢ ∃ K ⊆ V, IsClosed K ∧ r < (μ.restrict A) K
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.univ.encard = s.encard
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ f a b ∈ Set.image2 f s t
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (Function.update x i xᵢ) ∂μ i
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
a : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Ici a) = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
TopologicalSpace B
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (StarSubalgebra.inclusion ⋯) = ψ.comp (StarSubalgebra.inclusion ⋯)
⊢ φ = ψ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ comp 1 p = 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n
⊢ (a ^ n)⁻¹ ≤ (a ^ m)⁻¹
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (↑p).valuation = 1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
S₁ : NonUnitalSubalgebra R B
⊢ ↑(S.prod S₁) = ↑S ×ˢ ↑S₁
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x : M
NoZeroSMulDivisors R M
r : R
hr : r < 0
h : SameRay R x (r • x)
⊢ x = 0
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 0 → ℂ) → E
c : Fin 0 → ℂ
R : Fin 0 → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin 0 → ℂ) in T(c, R), f x) = f c
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ IsUnit A ↔ IsUnit A.det
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ ∃ μ, f.HasEigenvalue μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
h' : ∀ x ∈ s, ∃ y, x < y
⊢ MeasurableSet s
I : Type u_1
DecidableEq I
f : I → Type u_2
(i : I) → NonAssocSemiring (f i)
Finite I
G : Type u_3
NonAssocSemiring G
g h : ((i : I) → f i) →+* G
H : ∀ (i : I) (x : f i), g (Pi.single i x) = h (Pi.single i x)
⊢ g = h
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
AddMonoid M
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
f : M →+ ι
⊢ DirectSum.IsInternal (AddMonoidAlgebra.gradeBy R ⇑f)
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
H : (s ∩ t).Nonempty
Hs : IsConnected s
Ht : IsConnected t
⊢ IsConnected (s ∪ t)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
⊢ ∀ (n : ℕ), f 0 * x ^ n = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ ↑f ⊓ ↑g ∈ A
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.37783, u_2} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Cat
⊢ autoParam (∀ (X Y : Grothendieck F) (f : X ⟶ Y), (map (𝟙 F)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟙 (Cat.of (Grothendieck F))).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk : ContDiffOn ℝ (↑k) f s → DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y → HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f (k + 1) s t x) (((↑(k + 1)!)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1 + 1) f s y) s' y
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) {b | b.card.ord = b}
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
self : M₁ × M₂
⊢ (QuadraticMap.Isometry.fst M₂ Q₁) self = self.1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : Filter Y
hs : IsCompact s
hf : Disjoint f (Filter.cocompact Y)
⊢ 𝓝ˢ s ×ˢ f ≤ 𝓝ˢ (s ×ˢ Set.univ)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝[>] 0) = 𝓝[>] 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ⊆ Finset.range (n + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x / y) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
D : Type u₂
CategoryTheory.EnrichedCategory V D
A : CategoryTheory.Center V
F G : CategoryTheory.EnrichedFunctor V C D
self : CategoryTheory.GradedNatTrans A F G
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (A.snd.β (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F.map X Y) (self.app Y))
      (CategoryTheory.eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (self.app X) (G.map X Y))
    (CategoryTheory.eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
F : Fintype { x // x ∈ s }
h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ (fun x => x ∈ s) x
⊢ ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∏ a : { x // x ∈ s }, f ↑a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0
⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ
⊢ F.submodule = Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
⊢ (Filter.comap m f).NeBot ↔ (Set.range m)ᶜ ∉ f
α : Type u_1
a : Multiset α
⊢ {a}.join = a
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
i : ℕ
⊢ (p.scaleRoots s).coeff i = p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.QuasiSeparated f
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiCompact (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M
⊢ φ ∈ W.dualAnnihilator ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
⊢ Monotone t.LE
n : ℕ
⊢ Cardinal.aleph' ↑n = ↑n
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0
G : Type u
Group G
x y : CategoryTheory.SingleObj G
f : x ⟶ y
⊢ CategoryTheory.inv f = f⁻¹
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
⊢ (x, y) ∈ map (inl R M M₂) p ↔ (x, y) ∈ p.prod ⊥
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0
⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ici b = Iic (a - b)
n : Nat
x y : BitVec n
h1 : x ≤ y
h2 : ¬x = y
⊢ x < y
C : ℕ → Sort u_1
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (Nat.bit b n)
b : Bool
n : ℕ
h : f false 0 z = z ∨ (n = 0 → b = true)
⊢ Nat.binaryRec z f (Nat.bit b n) = f b n (Nat.binaryRec z f n)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft
⊢ ker B = ⊥
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot l ↔ ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≤ a, f b ∈ s
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.MonoidalLinear R C
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.MonoidalPreadditive D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor D C
F.Faithful
F.Additive
CategoryTheory.Functor.Linear R F.toFunctor
⊢ CategoryTheory.MonoidalLinear R D
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β
⊢ False
C : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A✝ A' B B' : C
inst✝⁸ : HasBinaryProduct A✝ B
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁶ : HasBinaryProduct (F.obj A✝) (F.obj B)
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A✝)) (G.obj (F.obj B))
inst✝³ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A✝) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : HasBinaryProducts D
A : C
inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (prodComparison F A B)
⊢ IsIso { app := fun B => prodComparison F A B, naturality := ⋯ }
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j < i
⊢ i.cycleRange j = j + 1
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
⊢ e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
p : Fin 2 → Prop
⊢ (∀ (i : Fin 2), p i) ↔ p 0 ∧ p 1
X : Type u
TopologicalSpace X
p : Prop
⊢ IsClosed {_x | p}
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.cosh (f x)) (Real.sinh (f x) * f') x
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (baseChange W B).toAffine.negPolynomial = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.negPolynomial
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraEquivDirectSum.symm = DirectSum.toAddMonoidAlgebra
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
t : Set Y
ht : ∀ (x : X), f x ∈ t
h : Inducing (Set.codRestrict f t ht)
⊢ Inducing f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.toNatOrdinal (min a b) = min (Ordinal.toNatOrdinal a) (Ordinal.toNatOrdinal b)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ star x = CliffordAlgebra.involute (CliffordAlgebra.reverse x)
z w : ℂ
⊢ dist ((starRingEnd ℂ) z) ((starRingEnd ℂ) w) = dist z w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : PMF α
s : Set β
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
⊢ (PMF.map f p).toMeasure s = p.toMeasure (f ⁻¹' s)
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan f
e : c₁.pt ≅ c₂.pt
w : ∀ (b : β), c₁.inj b ≫ e.hom = c₂.inj b := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofan.ext e w).inv.hom = e.inv
G : Type u
H : Type v
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
f : H →ₙ* G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset H
A0 : A.Nonempty
B0 : B.Nonempty
⊢ ∃ a0 ∈ A, ∃ b0 ∈ B, UniqueMul A B a0 b0
p : ℝ[X]
x : ℝ
a✝ : x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset
hx₂ : x ∉ (derivative p).roots.toFinset
⊢ Multiset.count x (derivative p).roots = 0
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
e : Lean.Data.AC.Expr
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx e.toList = Lean.Data.AC.eval α ctx e
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (WittVector.toZModPow p n) = WittVector.toZModPow p m
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
⊢ Q.diagonal f'
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₗc[R] B
⊢ ⇑φ₁ = ⇑φ₂ ↔ φ₁ = φ₂
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∨ a > b
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ StrictMonoOn (fun x => ↑n * x ^ (n - 1)) (Ioi 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Mono S.f
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.IsIso S.toCycles
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).unitIso.hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LieModule.IsTrivial L M ↔ LieModule.maxTrivSubmodule R L M = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α
h : ∃ a ∈ s, (a, a) = (a₁, a₂)
⊢ (a₁, a₂).1 ∈ s ∧ (a₁, a₂).1 = (a₁, a₂).2
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯
⊢ x ⊔ y = 2⁻¹ • (x + y + |y - x|)
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ
G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ
G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ
disj' : Disjoint (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ
disj'' : Disjoint (closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ) (closure (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ)
⊢ False
X : outParam (Type u_3)
Y : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Type u_5
f₀ f₁ : outParam C(X, Y)
FunLike F (↑I × X) Y
self : ContinuousMap.HomotopyLike F f₀ f₁
f : F
x : X
⊢ f (0, x) = f₀ x
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : B * A⁻¹ = C
⊢ B = C * A
z : ℂ
x : ℝ
⊢ (z / ↑x).re = z.re / x
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹
⊢ x ^ 4 * (5 / 96) < x ^ 3 * 12⁻¹