ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C
this : ∀ (y : α), y ≠ x ∧ y ∈ closure C → ∃ᶠ (z : α) in 𝓝 y, z ≠ x ∧ z ∈ C
⊢ ∃ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : α) in 𝓝 x', x'' ≠ x ∧ x'' ∈ C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback f).obj ((CategoryTheory.Subobject.map f).obj g) = g
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
hp : p.Monic
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod = p
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'
⊢ (canonicalEquiv S P' P).symm ((canonicalEquiv S P' P) I) = I
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
self : G.IsNClique n s
⊢ G.IsClique ↑s
n m d b : ℕ
hd : d ∈ (b + 1 + 1).digits m
⊢ d < b + 1 + 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
f₁ : Filter α
f₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (⇑m) f₁ f₂ → Filter.Tendsto (⇑m) (-f₁) (-f₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
hne : f x ≠ g x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) s x
α : Type u_1
y : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.nil.rotateR y r = Ordnode.nil.node' y r
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal {x} = x.asHomogeneousIdeal
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X
⊢ max (f x + g x) 0 + (-f x + max (f x) 0) + (-g x + max (g x) 0) = -(f x + g x) + max (f x + g x) 0 + max (f x) 0 + max (g x) 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he✝ : s(t, u) ∈ p.edges
d : G.Dart
hd : d ∈ p.darts
he : d.edge = s(t, u)
⊢ t ∈ p.support
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
⊢ (a * b) ^ 0 = a ^ 0 * b ^ 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H ↔ Function.Bijective (S.restrict Quotient.mk'')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t.toCocone
⊢ t.snd = ht.desc (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∈ t
⊢ a ∉ s \ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
a : E
⊢ Convex 𝕜 (a +ᵥ s) ↔ Convex 𝕜 s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
⊢ MeasureTheory.martingalePart f ℱ μ = fun n => f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
⊢ of' k G g %ᵒᶠ g = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n
⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ adj2.unit.app (G.obj (F.obj x)) ≫ G'.map (adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x
a b : Int
Ha : a < 0
Hb : 0 < b
⊢ a / b < 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a₁ a₂ : H
x✝¹ : a₁ ∈ f '' s
x✝ : a₂ ∈ f '' s
b₁ : G
hb₁ : b₁ ∈ s
eq₁ : f b₁ = a₁
b₂ : G
hb₂ : b₂ ∈ s
eq₂ : f b₂ = a₂
⊢ f (b₁ * b₂) = a₁ * a₂
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)
⊢ S₂.LeftHomologyData
R : Type u_1
CommRing R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∏ i : I, (1 - e i) = 0
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
a b : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : WithBot ℕ
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ m
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 m) ≠ 0
⊢ p.degree = m
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
⊢ Set.univ ×ˢ t = Prod.snd ⁻¹' t
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
Semiring S
Algebra R S
x : S
⊢ ⇑(Polynomial.aeval x) = fun p => p.smeval x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
⊢ f ∈ closedBall f₀ r
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun b => a * rexp (-π * (↑b + a ^ 2) * t)) (a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ succ^[(toZ i0 i).toNat] i0 = i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve φ m).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ 1 m) = (A.val.map f.op) m
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ
⊢ P y α * (trace A B) (b y * P x β • b x) = P y α * (traceMatrix A b y x * P x β)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s₁ \ s₂ ↔ x✝ ∈ filter (fun x => x ∉ s₂) s₁
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (z * z⁻¹) < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddGroupWithOne G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x + ↑n) = f x + n • b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (α ≫ β).c.app U = β.c.app U ≫ α.c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map β.base).obj (Opposite.unop U)))
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
h : Ideal.ramificationIdx f p P ≠ 0
⊢ p ≤ Ideal.comap f P
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.op α).app X = (α.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_2
DecidableEq α
DistribLattice α
s t u : Finset α
⊢ s ⊻ t ⊼ u ⊆ (s ⊻ t) ⊼ (s ⊻ u)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
p a : α
h : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
⊢ p ∣ a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : ℕ
⊢ x ∈ Iio (k + 1) ↔ x ∈ Iic k
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
⊢ (b + 2) * (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) * (ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : Prop
Decidable P
X Y Z : C
f : P → (X ⟶ Y)
f' : ¬P → (X ⟶ Y)
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (if h : P then f h else f' h) g =
  if h : P then CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f h) g else CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f' h) g
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+ β
M : Matrix m n α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ (↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) (↑I x) = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x)
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x + ↑n) = f x + n • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : C(β, γ)
b : β
⊢ f.comp (ContinuousMap.const α b) = ContinuousMap.const α (f b)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C
f : (coyoneda.obj X).obj Y
e_1✝ : s.pt = ((Functor.const C).obj s.pt).obj (unop X)
⊢ s.ι.app Y f = ((coyoneda.obj X).map f ≫ s.ι.app Y) (𝟙 (unop X))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝ : Preorder α
f : Filter β
u : β → α
b : α
hb : b ∈ upperBounds (range u)
⊢ ∀ (x : β), u x ≤ b
F : Type u_3
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
⊢ Metric.closedBall x (Metric.infDist x sᶜ) ⊆ closure s
M : Type u_1
AddSemigroup M
S : Set M
⊢ AddSubsemigroup.center M ≤ AddSubsemigroup.centralizer S
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
c : E
l : Filter α
⊢ IsBigOWith ‖c‖ l (fun _x => c) fun _x => 1
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ IsUniversalColimit c
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ IsUnit ((Algebra.lmul R A) x) ↔ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a ^ (n + 1)
⊢ p ∣ a
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
g : N →* G
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
x : ↥f.range
⊢ (MonoidHom.ofLeftInverse h).symm x = g ↑x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // ∀ (x : ↥p), f ↑x = x }
x : E
⊢ (p.subtype ∘ₗ ↑f * p.subtype ∘ₗ ↑f) x = (p.subtype ∘ₗ ↑f) x
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
⊢ (if P then a else b) = a ∨ (if P then a else b) = b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n k : ℕ
x✝ : k ∈ Finset.range n
⊢ process s (k + 1) - process s k - μ[process s (k + 1) - process s k|↑ℱ k] = (s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
x : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ (WithLp.equiv 2 ((i : m) → (fun x => 𝕜) i)) ((Matrix.toEuclideanLin A) x) =
  (Matrix.toLin' A) ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) x)
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries ℝ ℍ (2 * n)) fun x => q) = ↑((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ σ.supportᶜ.card ≡ Fintype.card α [MOD p]
α : Type u
β : α → Type v
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∈ l.keys
⊢ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ l
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.bind₁ f) φ).vars ⊆ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
α : Type u_1
R : Type u_2
MeasurableSpace α
LinearOrderedSemiring R
FloorSemiring R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
f : α → R
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ⌊f x⌋₊
α : Type u
b : α
bs : List α
as : List α
⊢ b ∈ bs → b ∈ as ++ bs
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α → β
IsAntisymm α r
IsRefl β s
hf : ∀ (a b : α), s (f a) (f b) ↔ r a b
⊢ ⇑(RelEmbedding.ofMapRelIff f hf) = f
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
⊢ ⇑0 = 0
a b c d : Nat
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f g : X → ℝ
s : Set X
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (-φ).τ₃ = -φ.τ₃
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ nndist f g < r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) < r
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
⊢ (WittVector.ghostComponent 0) (WittVector.verschiebung x) = 0
α : Type u_1
x : α → ℕ
l : List (Poly α)
⊢ (Poly.sumsq l) x = 0 ↔ List.Forall (fun a => a x = 0) l
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
p q : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.of W.polynomial) ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y)) =
  (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W)
    ((Polynomial.C p + Polynomial.C q * Y) *
      (Polynomial.C p + Polynomial.C q * (-Y - Polynomial.C (Polynomial.C W.a₁ * Polynomial.X + Polynomial.C W.a₃))))
α : Sort u_2
a : α
β : Sort u_1
b : α
C : α → Sort u_1
x : C a
y : β
e : a = b
⊢ HEq (e ▸ x) y ↔ HEq x y
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ
x : M
hfxv : f x = -↑v ↔ ⟪f x, -↑v⟫_ℝ = 1
⊢ x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (stereographic' n (-v)).source ∩ Set.univ ↔ x ∈ Set.univ ∩ ({a | ¬⟪-↑v, f a⟫_ℝ = 1} ∩ Set.univ)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ ∀ (a : Action V G) (g : ↑G), ((F.mapAction G).obj a).ρ g = F.map (a.ρ g)
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
E' : Submodule ℝ F
hE' : IsCompl E E'
⊢ IsPathConnected (↑E)ᶜ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, BddAbove (Set.range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousAt (f i) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x' => ⨆ i, f i x') x
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
t : Set α
⊢ (s ⊓ t).Finite
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
⊢ (fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot) 1 = 1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
S✝ S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
S : C
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : StructuredArrow S F
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom ≫ (F ⋙ G).map f.right = ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
w✝¹ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFPowerSeriesAt f w✝¹ e
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFPowerSeriesAt g w✝ e
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (f x, g x)) e
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔
  ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Filter.Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
⊢ (↑p).natAbs ≠ 1 ∧ z ≠ 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
⊢ UniformConvexOn s (φ + ψ) (f - g)
x y : ℝ
⊢ 1 * 1 = x ↔ x = 1
a b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
h : a ≤ b
⊢ a.toReal ≤ b.toReal
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ { re := ↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w, im := -(↑x * ↑w + ↑y * ↑z) }.Nonneg
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.mk L₁ = FreeGroup.mk L₂
⊢ FreeGroup.reduce L₁ = FreeGroup.reduce L₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)