ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
⊢ (g ∘ f) 0 = 0
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
a : α
b₁ b₂ : β
h : (a, b₁) = (a, b₂)
⊢ b₁ = b₂
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
⊢ Ultrafilter.extend g (pure a) = Ultrafilter.extend g (pure b)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
F : Type u
Field F
Algebra R F
Algebra S F
IsScalarTower R S F
K : Type v
Field K
Algebra R K
Algebra S K
IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W K).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) =
  f ((WeierstrassCurve.baseChange W F).toAffine.slope x₁ x₂ y₁ y₂)
𝕜 : Type u_1
Semiring 𝕜
ι : Type u_5
κ : ι → Type u_6
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (κ i)
α : (i : ι) → κ i → Type u_7
(i : ι) → (k : κ i) → SeminormedAddCommGroup (α i k)
(i : ι) → (k : κ i) → Module 𝕜 (α i k)
f : PiLp p fun i => α i.fst i.snd
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCurry 𝕜 p α) f =
  (WithLp.equiv p ((i : ι) → WithLp p ((y : κ i) → α i y))).symm fun i =>
    (WithLp.equiv p ((y : κ i) → α i y)).symm (Sigma.curry ((WithLp.equiv p ((x : Sigma κ) → α x.fst x.snd)) f) i)
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring S
Algebra S R
Invertible 2
B₁ : LinearMap.BilinMap R M R
h : LinearMap.IsSymm B₁
⊢ (QuadraticMap.associatedHom S) B₁.toQuadraticMap = B₁
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ (fun x => a + x) '' Icc b c = Icc (a + b) (a + c)
α : Type u_5
r₁₁ : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), r₁₁ a a
⊢ Relator.RightTotal r₁₁
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
Ω : Type u_5
Nonempty Ω
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
η : ProbabilityTheory.Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.borelMarkovFromReal Ω η) a) s =
  if (η a) (Set.range (MeasureTheory.embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (MeasureTheory.embeddingReal Ω '' s)
  else (MeasureTheory.embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α}, ⇑1 = id
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
x : ↑(of R ↑A)
⊢ (x, 1).2 • LinearMap.id (x, 1).1 = 1 • x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
s : Set α
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.trim hm) s ≠ ⊤
c : F
⊢ ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : IsAbsoluteValue norm
inst✝ : ProperSpace R
p : R[X]
hp0 : ¬0 < p.degree
⊢ ∀ (y : R), ‖eval ((C (p.coeff 0)).coeff 0) (C (p.coeff 0))‖ ≤ ‖eval y (C (p.coeff 0))‖
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
⊢ ¬s.WOppSide x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
⊢ (∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p) ↔ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'
F : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
a : A
⊢ (StarAlgEquiv.ofBijective f hf) a = f a
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
s : Set E
x : E
h₁ : HasFDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasFDerivWithinAt (fun t => Complex.log (f t)) ((f x)⁻¹ • f') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ box n d
⊢ ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ≤ n * (d - 1) ^ 2
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
⊢ LieEquiv.refl.symm = LieEquiv.refl
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ AEMeasurable (↑↑f) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ ⨆ i, LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ i = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
⊢ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι N R v) l = 0 → l = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ f.range ∧ x ≠ 0
⊢ x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (CategoryTheory.sheafification J D).obj P = CategoryTheory.sheafify J P
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
f g : α → M
h : Disjoint (Function.mulSupport f) (Function.mulSupport g)
⊢ (Function.mulSupport f).mulIndicator (f * g) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : β → Set α
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => f x ∩ g x
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z) =
  CategoryTheory.inv (F.μ X Z) ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (F.map f) (F.obj Z) ≫ F.μ Y Z
R : Type u
CommRing R
j : R
Invertible j
Invertible (j - 1728)
⊢ (EllipticCurve.ofJ' j).j = j
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
A B : J
f : A ⟶ B
⊢ c.π.app ?m.210336 ≫ (D ⋙ T.forget).map ?h = c.π.app A ≫ (D.map f).f
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (ChainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').X 0 = X₀
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m
⊢ x ^ count x m = 1
c : Lean.Omega.Constraint
t : Int
k : Nat
n : k ≠ 0
h : ↑k ∣ t
w : c.sat t = true
⊢ (c.div k).sat (t / ↑k) = true
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W (CategoryTheory.Iso.refl X) =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
⊢ A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ (∀ (g : G) (A : Set G), MeasurableSet A → μ ((fun h => h + g) ⁻¹' A) = μ A) ↔ μ.IsAddRightInvariant
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀
⊢ x ∈ mulSupport f
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})
⊢ ∃ b, x * b = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) 0) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.quasiIso C c).IsInvertedBy (HomologicalComplex.homologyFunctor C c i)
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
hd : ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w
⊢ Filter.Eventually (IsMaxOn (norm ∘ f) s) (𝓝 z)
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
⊢ (f.toPartitionOfUnity i) x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - (f j) x)
α : Type u
β : Type u_1
m n✝ : ℕ
s : Finset ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ
⊢ m ^ n = (∑ k ∈ range n, m ^ k) * (m - 1) + 1
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
⊢ max (max (max #R ℵ₀) ℵ₀) ℵ₀ = max #R ℵ₀
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
R : ℝ
Rpos : R ∈ Ioi 0
hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}
x : α
t r : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 K
hr : r ≤ R
⊢ μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
⊢ Pairwise fun g₁ g₂ => MeasureTheory.AEDisjoint ν (g₁ +ᵥ s) (g₂ +ᵥ s)
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
g : α → β
MeasurableVAdd₂ M β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun x => f x +ᵥ g x
n✝ n : ℕ
⊢ Fintype.card (Composition n) = Fintype.card (CompositionAsSet n)
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑u + ↑v + ↑w) ^ 2 = (↑x + ↑v + ↑z) ^ 2
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ Finset.filter p s = s
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
⊢ Integrable (fun x => cexp (-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ)) volume
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i : ι
⊢ i ≤ succFn i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_directed : Directed LE.le (aeSeq hf p)
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
g : M₂ →ₗ[R] M
⊢ AlternatingMap.compLinearMap 0 g = 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a b : α
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ e a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ e b
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : b ≤ a
⊢ a ⊓ b ≈ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Sieve.pullback f ⊤ = ⊤
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
SMul M α
SMul N α
MulAction.IsPretransitive M α
f : M → N
hf : ∀ {c : M} {x : α}, f c • x = c • x
⊢ MulAction.IsPretransitive N α
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : β →ₙ+* γ
f₁ f₂ : α →ₙ+* β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : Tendsto (fun n => EMetric.diam (A (res x n))) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map β) ((F.map f) x) * (F.map β) ((F.map g) y)
R : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
Fintype m
Finite n
Semiring R
i : m
j : n
DecidableEq m
DecidableEq n
⊢ (Matrix.stdBasis R m n) (i, j) = Matrix.stdBasisMatrix i j 1
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing B
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsFractionRing R S
⊢ Nontrivial S
α : Type u_1
BooleanRing α
a : α
⊢ a * a = a
A : Type u
AddGroup A
self : AddGroupFilterBasis A
U : Set A
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → 0 ∈ U
α : Type u_1
Add α
a b : Part α
hab : (a + b).Dom
⊢ (a + b).get hab = a.get ⋯ + b.get ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : D), (CategoryTheory.Functor.constCompEvaluationObj D X).inv.app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id X_1
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid →
  s.toString.data = m₁ ++ c :: m₂ →
    s.prev { byteIdx := String.utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ }
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
hcnz : c ≠ 0
⊢ r ≤ ‖σ₁₂ c‖
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s : σ
h : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s).2 = Mathlib.Vector.map₂ (fun x y => (f x y s).2) xs ys
U : Type u_1
Quiver U
u v : U
p : Quiver.Path u v
⊢ Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p = p
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
h : ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
t : TransvectionStruct n R
⊢ Commute (stdBasisMatrix t.i t.j t.c) M
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : J₁ ≤ J₂
⊢ comap f J₁ ≤ comap f J₂
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type ?u.138430
inst✝¹ : MulAction R X
T : Type u_2
inst✝ : Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
φ : OreLocalization S R →* T
huniv : ∀ (r : R), φ (numeratorHom r) = f r
r : R
s : ↥S
⊢ φ (r /ₒ s) = (universalMulHom f fS hf) (r /ₒ s)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : x ∈ {ω | τ ω = i}
⊢ stoppedValue f τ x = f i x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ Continuous f ↔ LowerSemicontinuous f ∧ UpperSemicontinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ AlgebraicIndependent R x ↔ ∀ (p : MvPolynomial ι R), (MvPolynomial.aeval x) p = 0 → p = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1
⊢ ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = 0 x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬x = a → x ∈ t) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ≠ a → x ∈ s → x ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p✝ : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
w✝ : α
p : G.Walk w✝ w✝
hp : p.IsHamiltonianCycle
a_mem : a ∈ p.support
⊢ G.Reachable a b
n : ℕ
i j : (a : Composition n) × Composition a.length
⊢ i = j ↔ i.fst.blocks = j.fst.blocks ∧ i.snd.blocks = j.snd.blocks
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
⊢ EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2)) ≤ ε
a : ℤ
b e : ℕ
⊢ jacobiSym a (b ^ e) = jacobiSym a b ^ e
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑n ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑n) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ))
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
hS : IsClosed ↑S
x : A
hx : x ∈ S
⊢ elementalStarAlgebra R x ≤ S