ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / den
n : ℤ
⊢ 0 ≤ Real.log ↑n
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
a : α
⊢ a ∉ f.neLocus g ↔ f a = g a
x : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex (-x) = -GaussianInt.toComplex x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
⊢ f₂ = 0
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
IsDomain S
Nontrivial R
⊢ abv 1 = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ (ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker ((killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
⊢ (𝓝 ⟨x, x_in⟩).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 ⟨x, x_in⟩ ∧ IsPathConnected s) id
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.parts.attach.sup fun x => (Q ↑x ⋯).parts.sup id) = a
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ ∀ (p q : R[X]), p ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → q ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → p + q ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})
A : Type u_2
AddMonoid A
s : Set A
⊢ IsSubmonoid s ↔ IsAddSubmonoid s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0
mem₀ : f 0 ∈ closure (f '' Ioi 0)
⊢ K.Pointed
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
⊢ p ∣ λ
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
ε : α
⊢ 0 < ε → ∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ i, abv (↑f j - ↑f k) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(f a x) * g a x)
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hp : p ≠ 2
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (Finset.filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ)).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ ∀ (x y : E), ⟪(id 𝕜 E) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (id 𝕜 E) y⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ insert a (s ∪ t) = insert a s ∪ insert a t
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
F : Type u
K : Type v
A : Type w
DivisionRing F
DivisionRing K
AddCommGroup A
Module F K
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
hf : FiniteDimensional F A
⊢ FiniteDimensional K A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α
⊢ generate B.sets = B.filter
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f n) μ
hF : MeasureTheory.Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (F x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))
u v : ℤ
h : u * v = 1
h' : v * u = 1
⊢ u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ (sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g₁ g₂ : SpectralMap β γ
f : SpectralMap α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
a x z✝ z : ℂ
⊢ z.arg ∈ Ioc (-π) π
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (LieModule.toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : LieModule.lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ LieModule.lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
Fintype K
Field K
Fintype σ
DecidableEq σ
DecidableEq K
p : ℕ
CharP K p
Fintype ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i : ι, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ (i : ι), (MvPolynomial.eval x) (f i) = 0 }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ ∃ f, f.IsCycleOn ↑s ∧ f.support ⊆ s
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0
⊢ J(4 * a / 4 | b) = J(4 * a | b)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(f.splittingOfFinsuppSurjective s)
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
⊢ T1Space G
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym (Option α) n.succ
⊢ SymOptionSuccEquiv.decode (SymOptionSuccEquiv.encode s) = s
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 0 ≤ |a|
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.NullMeasurable f μ
⊢ Measurable f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : f ≈ 0
hg : g ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
s : Set M
⊢ ↑(centralizer s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (Finset.affineCombination k s p₁) w -ᵥ (Finset.affineCombination k s p₂) w
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
LE β
t c : Lex (α × β)
h : t ≤ c
⊢ (ofLex t).1 ≤ (ofLex c).1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ a * ⊤ = if a = 0 then 0 else ⊤
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖term f s n‖ = if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset α
⊢ Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.Rel (fun a b => Associates.mk a = Associates.mk b) p q
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε
⊢ ↑f '' {n | n ≥ N} ∈ map (↑f) atTop ∧ (↑f '' {n | n ≥ N}) ×ˢ (↑f '' {n | n ≥ N}) ⊆ s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ a ≤ |b| ↔ b ≤ -a ∨ a ≤ b
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
Fintype m
Monoid R
Mul α
AddCommMonoid α
DistribMulAction R α
IsScalarTower R α α
x : R
v w : m → α
⊢ x • v ⬝ᵥ w = x • (v ⬝ᵥ w)
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ IF.I.IsProper
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
⊢ ∀ m ≤ n, Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
α : Type u_1
ι : Type u_5
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
As_disj : Pairwise (Disjoint on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
⊢ {i | ε ≤ μ (As i)}.Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₂
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero S.homology
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
⊢ ¬IsUnit p
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Filter.Tendsto id L (𝓝 x)
⊢ ¬Filter.Tendsto MeasureTheory.diracProba L (𝓝 (MeasureTheory.diracProba x))
l m r : List Char
it₁ it₂ : String.Iterator
h₁ : String.Iterator.ValidFor l (m ++ r) it₁
h₂ : String.Iterator.ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂
⊢ it₁.extract it₂ = { data := m }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t : Set α
a b : α
⊢ ∀ (x : Set α), SupClosed ((fun s => {a | ∃ t, ∃ (ht : t.Nonempty), ↑t ⊆ s ∧ t.sup' ht id = a}) x)
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
f : RatFunc R
⊢ (RatFunc.laurent 0) f = f
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ (span ℤ (Set.range ⇑(ofZlatticeBasis K L b))).toAddSubgroup = L
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.coeff 0 = Polynomial.eval 0 p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hg : Monotone g
⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
⊢ φ₁ * (φ₂ + φ₃) = φ₁ * φ₂ + φ₁ * φ₃
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ ‖↑↑r.den‖ = 1
G : Type u_1
Group G
h k : Set G
h' : h ⊆ k
⊢ Subgroup.closure h ≤ Subgroup.closure k
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
L : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inl i, j := inr (), hij := ⋯, c := -M (inl i) (inr ()) / M (inr ()) (inr ()) }
L' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inr (), j := inl i, hij := ⋯, c := -M (inr ()) (inl i) / M (inr ()) (inr ()) }
A : List.map toMatrix L = listTransvecCol M
B : List.map toMatrix L' = listTransvecRow M
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod).IsTwoBlockDiagonal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelCompIsIso f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (g ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.π (f ≫ g)) ⋯
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
⊢ coeSubmodule S ⊥ = ⊥
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p q : RingNorm R
⊢ (∀ (x : R), p x = q x) → p = q
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
h : f ∈ l
hl : List.Pairwise Disjoint l
x : α
hx : x ∈ f.support
⊢ x ∈ l.prod.support
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
x : X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i = {x}
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioi t) MeasureTheory.volume ↔ s.re < -1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f₁ x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
⊢ (weight w) d = ⊥
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V
⊢ index K' V ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
kpos : 0 < k
x : ℕ
⊢ f x ^ k * f x = ((f.ppow k).pmul f) x
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this✝ : IsScalarTower k A W
this : IsScalarTower k A V
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
a : ℤˣ
e : X ≅ Y
⊢ (a • e).hom = a • e.hom
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
n : ℕ
⊢ f.SameCycle x ((f ^ n) y) ↔ f.SameCycle x y
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ ¬cs.IsRightInversion (w * t) t ↔ cs.IsRightInversion w t
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ M * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ ‖f‖ ≤ M
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ PMF.map id p = p
⊢ univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1} ∨ univ.{v, u + 1} ≤ univ.{u, v + 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a
⊢ levenshtein C a' ys ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
MemTrivializationAtlas e₁
MemTrivializationAtlas e₁'
MemTrivializationAtlas e₂
MemTrivializationAtlas e₂'
⊢ ContinuousOn (Pretrivialization.continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂')
  (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m' : α → γ → δ'
n' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' b (m' a c)
⊢ Filter.map₂ m f (Filter.map₂ n g h) = Filter.map₂ n' g (Filter.map₂ m' f h)
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ
⊢ (ringHomComp 1 f) ↑a✝ = 1 ↑a✝
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ((n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
x : α × β
a : α
b : β
⊢ IsOfFinOrder a → IsOfFinOrder b → IsOfFinOrder (a, b)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PolishSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ PolishSpace.IsClopenable s
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) 0 = 0
M : Type u_2
α : Sort u_4
CommMonoid M
IsEmpty α
f : α → M
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = 1
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
h : F.eventualRange k = range (F.map g)
⊢ F.eventualRange k ⊆ range (F.map (f ≫ g))
X Y : TopCat
f : X ≅ Y
a : ↑X
⊢ (TopCat.homeoOfIso f) a = f.hom a
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ f.HasEigenvalue μ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : Subgroup.closure S = ⊤
⊢ Subgroup.closure ((fun g => g * (↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
x : P
I : Order.Ideal P
hI : I.IsPrime
hxnI : x ∉ I
⊢ xᶜ ∈ I