ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l l' : L₁ ⟶ L₂
h : l = l'
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftEq R l l' h).inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : 𝓝[s] x = ⊥
⊢ ContinuousWithinAt f s x
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'
⊢ F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ (η.naturality g).hom ▷ h = (η.naturality f).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : ¬W.Nonsingular P
⊢ toAffine W P = 0
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d
⊢ (c + a) % d = (c + b) % d
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ'✝ : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
u : ℤ → ℝ := fun n => 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
hu : Summable u
n : ℤ
x✝¹ : ℂ × ℂ
z' τ' : ℂ
x✝ : (z', τ') ∈ V
hz' : (z', τ').1 ∈ {u | |u.im| < S}
hτ' : (z', τ').2 ∈ {v | T < v.im}
⊢ ‖jacobiTheta₂'_term n (z', τ').1 (z', τ').2‖ ≤ u n
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ ¬Wbtw R x z y
v : List ℕ
⊢ Turing.ToPartrec.Code.zero.eval v = pure [0]
G : Type u_1
Mul G
IsLeftCancelMul G
a b c : G
⊢ a * b = a * c → b = c
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r
⊢ x = ζ ^ (r % ↑n) ∨ x = -ζ ^ (r % ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f
⊢ _root_.Continuous f
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
h : ⊥ ≠ a
⊢ ⊥ < a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤
⊢ ↑(f x).toNNReal = f x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
CompleteLattice α
c : ClosureOperator α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ c (⨆ i, ⨆ j, c (f i j)) = c (⨆ i, ⨆ j, f i j)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Mul M
Mul N
Mul P
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.map g f.srange = (g.comp f).srange
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x
⊢ (f ∘ i) ⟨x, x_in⟩ = (f ∘ i) ⟨x', x'_in⟩
x : ℤ[i]
⊢ GaussianInt.toComplex x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
BEq α
a : α
l : List α
⊢ l.erase a = List.eraseP (fun x => x == a) l
α : Type u
x : α
s : Set α
⊢ insert x s = {y | y = x ∨ y ∈ s}
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose
⊢ ν = ν.transpose.transpose
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ (List.take n l).dropLast = List.take n.pred l
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }
⊢ map (fun j => f ↑j) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => eval x p) s x = eval x (derivative p)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
hv : G.maxDegree = G.degree v
⊢ G.degree v < Fintype.card V
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
⊢ { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0
⊢ ∃ b, a * b = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : b < 0
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
⊢ Algebra.FiniteType R S
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
h' : optParam (∀ (j : ι), update I.lower i x j < I.upper j) ⋯
⊢ I.splitUpper i x = ↑{ lower := update I.lower i x, upper := I.upper, lower_lt_upper := h' }
m n : ℕ
h : n.succ ≤ m
⊢ Int.ofNat m + -[n+1] = Int.ofNat (m - n.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
⊢ Measurable (g ∘ f) ↔ Measurable f
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length (w₁ * w₂) ≤ cs.length w₁ + cs.length w₂
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
CompleteLattice α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
f : (i : ι) → κ i → Interval α
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, ↑(f i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
g : β →₀ M
hg : ↑g.support ⊆ Set.range ⇑f
⊢ Finsupp.embDomain f (Finsupp.comapDomain (⇑f) g ⋯) = g
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype n
Fintype o
AddCommMonoid α
Mul α
p : Type u_10
q : Type u_11
M : Matrix m n α
N : Matrix n p α
e₁ : l → m
e₂ : o ≃ n
e₃ : q → p
⊢ M.submatrix e₁ ⇑e₂ * N.submatrix (⇑e₂) e₃ = (M * N).submatrix e₁ e₃
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ ∃ k, LucasLehmer.X.ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * LucasLehmer.X.ω ^ 2 ^ p' - 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
i : ι
b : β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : h i 0 = 0
⊢ (DFinsupp.single i b).sum h = h i b
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable β
m : Set α → M
m0 : m ∅ = 0
s : β → Set α
⊢ ∑' (i : ℕ), m (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, s b) = ∑' (b : β), m (s b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
⊢ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f), ∫⁻ (a : β), g_1 a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
α : Type u_1
r₁ r₂ : Setoid α
⊢ r₁ = r₂ ↔ r₁.Rel = r₂.Rel
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
h : s.Nonempty
⊢ ((interpolate s v) r).degree < ↑s.card
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
v : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (Fin.last n)
⊢ (((continuousMultilinearCurryRightEquiv 𝕜 Ei G).symm f) v) x = f (Fin.snoc v x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ
⊢ HasSum (fun b => ∑' (b_1 : ↑(g ⁻¹' {b})), f ↑b_1) (∑' (i : β), f i)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto (Rat.cast ∘ f) l atBot
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
IsEmpty α
f g : α →C₀ β
⊢ f = g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝ : HasEqualizer f g
⊢ (equalizerSubobject f g).arrow ≫ f = (equalizerSubobject f g).arrow ≫ g
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < a → 0 < b → a - b < a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, s.points i₁ -ᵥ s.points i₂⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
x : α
hx : ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) x = ↑↑↑f x
⊢ (c • ↑↑↑f) x = (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)) x
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
n : ℕ
⊢ TrivSqZeroExt.inl r ^ n = TrivSqZeroExt.inl (r ^ n)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ (∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ t
a : Rat
⊢ a.inv = ↑a.den /. a.num
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
⊢ q.k * q.j = c₂ • q.i
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃ op y = op x ◃ op y
⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
p : R[X]
hsep : p.Separable
⊢ ∀ (x : R[X]), multiplicity x p ≤ 1 ∨ IsUnit x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : ¬IsMax b
⊢ Set.Ico a (Order.succ b) = insert b (Set.Ico a b)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
    (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M L)
K : Type u_2
Field K
x : K
r : ℝ
⊢ (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w x = r) ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ = r
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.comp q = p.sum fun e a => C a * q ^ e
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y L : R
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C y) =
  WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N
⊢ (f.sum fun x v => if x = a then b x v else 0) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
⊢ False
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : 1 ≠ 0
⊢ (C 1).degree = 0 • p.degree
α : Type u_2
Preorder α
OrderTop α
x : α
a : ↑(Set.Ici x)
ha : IsCoatom a
⊢ IsCoatom ↑a
R : Type u_1
CommSemiring R
p : Polynomial R
⊢ p.IsPrimitive ↔ ∀ (r : R), Polynomial.C r ∣ p → IsUnit r
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
i : ℕ
k : R
⊢ (taylor r) ((monomial i) k) = C k * (X + C r) ^ i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
s : Set E
⊢ ContDiffOn 𝕜 n id s
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
⊢ SecondCountableTopology α
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)
⊢ a.repr + ↑m < ω ^ e.repr
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑(pos p).bit1 = ↑(pos p) + ↑(pos p) + 1
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp 0 ⋯ = 0
n : ℕ
⊢ rexp 1 ^ n = rexp ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
⊢ fract (↑m / ↑0) = ↑(m % ↑0) / ↑0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥
⊢ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E) = separableClosure F K
α : Type u_1
l : List α
⊢ ↑l = Cycle.nil ↔ l = []
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
r : R
rs : List R
⊢ ⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ ⊤ = Ideal.ofList rs • ⊤
α : Type u
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
⊢ (a.set i v).size = a.size
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α
⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ AddAction.period m a • m +ᵥ a = a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ f 0 ≤ f a
w : Nat
x : BitVec w
s i : Nat
⊢ (x.sshiftRight s).getLsb i = (!decide (w ≤ i) && if s + i < w then x.getLsb (s + i) else x.msb)
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ 1 ↔ n ≤ 1
α : Type u_1
Preorder α
a b : Antisymmetrization α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ofAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a ≤ ofAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) b ↔ a ≤ b
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
⊢ (MonoidHom.inl M N).noncommCoprod (MonoidHom.inr M N) ⋯ = MonoidHom.id (M × N)
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ I ≤ J ↔ J.lower ≤ I.lower ∧ I.upper ≤ J.upper
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
⊢ ∀ (a : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω), MeasureTheory.FiniteMeasure.toMeasureAddMonoidHom a = ↑a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m
a : α
⊢ Bounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) → Bounded r s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b : A
⊢ (shiftFunctorAdd' (OppositeShift C A) a b (a + b) ⋯).inv.app X = ((shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h's : r < μ s
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
z : 𝔻
⊢ abs ↑z ≠ 1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
⊢ (M.updateColumn j fun k => M k i).det = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.swapRight.snd a) s = (κ.fst a) s
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨅ x, f x = ⨅ x, a ⊓ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
s : β → α
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (Function.uncurry f) (Set.univ ×ˢ Set.Icc 0 1)
hs : Continuous s
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
⊢ Continuous fun x => f x (Int.fract (s x))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i : m
j : n
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : D
f : Sum.inl (Sum.inr X) ⟶ Sum.inl (Sum.inr Y)
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).map f = f
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpV : p ∈ V.carrier
⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
x : M₂
⊢ (e.conj f) x = e (f (e.symm x))
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ IsCompl (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) ↔ IsCompl a b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L₂
hst : L₁ ≤ L₂
⊢ HasDerivAtFilter f f' x L₁
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
hs : HasDerivWithinAt f f' s x
ht : HasDerivWithinAt f f' t x
⊢ HasDerivWithinAt f f' (s ∪ t) x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
⊢ ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ Integrable f ((μ a)⁻¹ • μ.restrict a)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.inv 0 ⋯ = α.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ BoxIntegral.integralSum (f + g) vol π = BoxIntegral.integralSum f vol π + BoxIntegral.integralSum g vol π
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c : α
hn : Even n
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₁ s
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
x y : α
⊢ t.Bounded ↑x ↑y → x < y
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ (x, y) ∈ f.graph
a b : Int
h : a < b
⊢ ∃ n, a + ↑n.succ = b
R : Type u
inst✝² : Ring R
P : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_1
b : Basis ι R P
⊢ Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑((b.constr ℕ) fun i => Finsupp.single (b i) 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.111951, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.111955, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
⊢ inr φ₁ ≫ map φ₁ φ₂ a b comm = b ≫ inr φ₂
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
⊢ yn a1 m < yn a1 (n + 1)
j : ℕ
⊢ ¬AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel 0 j
f : ℕ → ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec (Nat.unpaired f)
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired (Function.swap f))
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x.toNNReal = y.toNNReal ↔ x = y
α : Type u_2
M : Matroid α
X I J : Set α
hI : M.Basis I X
hJI : J ⊆ I
hJ : X ⊆ M.closure J
⊢ J = I
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
f : ℕ → C(X, ℝ)
fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s
fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ
_hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)
f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i
u_sum : Summable u
hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1
g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x
hgmc : EqOn g 0 mᶜ
I : ∀ (n : ℕ) (x : X), u n * (f n) x ≤ u n
S : ∀ (x : X), Summable fun n => u n * (f n) x
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).leadingCoeff = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f : β ≃ γ
⊢ (e.trans f).toEmbedding = e.toEmbedding.trans f.toEmbedding
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.add h').h₀ = h.h₀ + h'.h₀