ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : PartialFun
⊢ (partialFunEquivPointed.functor.obj X).X = Option X
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ a
h2 : a < b
⊢ a - c < b - c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
c : β
hc : c ∈ {c | ∀ᶠ (n : α) in f, c ≤ u n}
hbc : b < c
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x ≠ (y :: l).getLast ⋯
⊢ x ≠ l.getLast ⋯
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
this✝ : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)
h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s
this : Subtype.val ⁻¹' s ⊆ connectedComponent ⟨x, ⋯⟩
⊢ s ⊆ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B
e : α
he : e ∈ B \ B'
hBase : M.Base (insert e (B' \ {x}))
⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • b i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
hc : ∀ (s : Finset ι') (g : ι' → S), ∑ i ∈ s, g i • c i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
⊢ LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2
α : Type u_1
E I X : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).Basis (X ∩ I) X
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (m₁ + m₂).trim = m₁.trim + m₂.trim
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖ ≤ (1 - ‖z‖)⁻¹
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
⊢ p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : s ∈ f
⊢ ∃ x ∈ s, f = pure x
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f✝ : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
eta : ApplicativeTransformation G H
α β : Type u_1
f : α → G β
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ (fun {α} => eta.app α) (traverse f ⟦a✝⟧) = traverse ((fun {α} => eta.app α) ∘ f) ⟦a✝⟧
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Irreducible (absNorm I)
h : IsUnit I
⊢ IsUnit (absNorm I)
r : ℝ
z : ℂ
hz : ↑r ≤ z
⊢ z = ↑z.re
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hx✝ : x ∈ F
hy✝ : y ∈ F
h : Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F
⊢ Joined ⟨y, ⋯⟩ ⟨x, ⋯⟩
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imJ 1 = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
⊢ x ∈ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) → x ∈ k • p.closedBall 0 r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (type r).bsup (bfamilyOfFamily' r f) = sup f
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ioc a b ⊆ Set.Ioc (f a) (f b)
α : Type u
Mul α
a b : α
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.189232, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
⊢ α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯ + -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + ((δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ + α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ 0 ≤ (fderivWithin ℝ f s a) y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)
⊢ (s.face ⋯).points i✝ = (mkOfPoint k (s.points i)).points i✝
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
w : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
⊢ FractionalIdeal.count K v ↑w.asIdeal = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p = 0
⊢ (derivative p).degree = p.degree
α : Type u_1
Semiring α
a b : α
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ Commute a (↑n * b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (Convex.toCone ((convexHull 𝕜) s) ⋯)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ FirstOrder.Language.Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ ((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = φ ((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)
⊢ (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ ConvexOn ℝ D f
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
FunLike F α β
SupHomClass F α β
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
s t : Finset α
⊢ Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊻ t) =
  Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊻ Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t
α : Type u_2
x : α
⊢ 𝓝 (pure x) = 𝓟 {⊥, pure x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
h₀ : a ∈ s
h₁ : IsOpen s
h₂ : t ∩ s = u ∩ s
⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₁ = h₀ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f h₁
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
FloorDiv α β
b : β
⊢ b ⌊/⌋ 0 = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ ⊥.toIdeal = ⊥
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
a : α
S : Subgroup G
⊢ ↑(a • S) = a • ↑S
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
hQ : (aeval B.gen).toRingHom Q₁ = p • z
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
hm : m > 0
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
r : ℝ
⊢ NormedSpace.exp ℝ ↑r = ↑(NormedSpace.exp ℝ r)
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • ⊥ = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
p : Submodule R M₂
⊢ Submodule.comap (-f) p = Submodule.comap f p
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0
⊢ (CochainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').d 0 1 = d₀
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn Prod.snd s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
DecidableEq V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).toSubgraph = c.toSubgraph
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Field K
Fintype σ
DecidableEq σ
DecidableEq K
p : ℕ
CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (MvPolynomial.eval x) f = 0 }
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms AlgebraicGeometry.Scheme =
  @AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion ⊓ @AlgebraicGeometry.Surjective
R : Type u_1
Ring R
p q : Polynomial R
⊢ -p.cancelLeads q = q.cancelLeads p
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
⊢ ∃ i, V i ⊆ U
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
⊢ ((ιMulti R n) fun i => ιInv ↑(f i)) = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).degree = ↑(a.wronskian b).natDegree
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x) m = ⁅x, m⁆
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Set α
h2 : #↑s < #α
⊢ #↑s + #↑sᶜ = #α
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ
x : M
hfxv : f x = -↑v ↔ ⟪f x, -↑v⟫_ℝ = 1
⊢ x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source ↔ x ∈ Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ List.modifyNth f n l = ((fun a => l.set n (f a)) <$> l.get? n).getD l
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
G : Type u
CommMagma G
IsRightCancelMul G
⊢ IsCancelMul G
α : Type u_2
self : NormedLinearOrderedField α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
⊢ ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
a : Int
⊢ a.sign = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((const α (μ.bind ⇑κ)) a) s = ((κ ∘ₖ const α μ) a) s
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
⊢ count a (s.erase a) - count a t = count a s - count a (a ::ₘ t)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph V
e : V ≃ W
x✝¹ x✝ : W
⊢ (SimpleGraph.comap (⇑e.symm.toEmbedding) G).Adj x✝¹ x✝ ↔ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).Adj x✝¹ x✝
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
CommRing R
Ring A
IsDomain A
Algebra R A
AddCommGroup M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
NoZeroSMulDivisors R A
NoZeroSMulDivisors A M
⊢ NoZeroSMulDivisors R M
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a b : Γ
L R : ListBlank Γ
⊢ write b (mk' L (ListBlank.cons a R)) = mk' L (ListBlank.cons b R)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card { x // x ∈ s }
f : α ↪ { x // x ∈ s }
⊢ ∃ f, Set.range ⇑f ⊆ ↑s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
⊢ ∀ (x : Finset α), (∀ x_1 ∈ ↑s, x_1 ∈ x) → ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → x_1 ∈ x
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => b ≤ x
⊢ ∅.val = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
f : Fₗ →L[𝕜] Gₗ
g : E →L[𝕜] Fₗ
⊢ ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 E Fₗ Gₗ) f) g = f.comp g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
hS : S.Nonempty
f : (i : { x // x ∈ s }) → α ↑i := hS.some
hf : f ∈ S
⊢ False
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f (0 + l.length) [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ f.restrict s ≤ g.restrict s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
y : ↥M
hxy : mk' S 0 y ≠ 0
⊢ False
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
i : n
h : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
⊢ (scalar n) (↑A i i) = ↑A
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
m : ℤ
⊢ AddCommute (m • a) b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring S
CommSemiring R
p : Polynomial S
f : S →+* R
r : R
s : S
⊢ Polynomial.eval₂ f (f s * r) (p.scaleRoots s) = f s ^ p.natDegree * Polynomial.eval₂ f r p
α : Type u
One α
⊢ Additive.ofMul 1 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
SemilatticeInf β
f : α → β
⊢ Finset.inf' 1 ⋯ f = f 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
b : Bool
⊢ UniformGroup β
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) (a b : α), f (a + b) = f a + f b
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : M
self : IsLprojection X P
⊢ IsIdempotentElem P
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
a : α
x✝ : Multiset α
hx✝ : x✝ ∈ Set.range val
s : Finset α
t : Multiset α
ht : t ∈ Set.Icc x✝ s.val
⊢ t ∈ Set.range val
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInverse g f
F : Filter α
⊢ map g (map f F) = F
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
self : CategoryTheory.Limits.HasBiproduct F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.LimitBicone F)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesLimitPair.iso G X Y).inv ≫ G.map CategoryTheory.Limits.prod.snd =
  CategoryTheory.Limits.prod.snd
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true
⊢ 0 ≤ ↑0 * ⅟↑d
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C m
Φ : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) (Fin (m + 1))
⊢ ∀ {X Y : Fin (n + 1)} (f : X ⟶ Y), (F.whiskerLeft Φ).map f = F.map (Φ.map f)
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
⊢ k * 0 = 0
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : Lattice γ
inst✝ : Lattice δ
g : LatticeHom β γ
f₁ f₂ : LatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ (π.biUnionTagged πi).IsHenstock ↔ ∀ J ∈ π, (πi J).IsHenstock
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
hρball : s ⊆ Metric.ball 0 (‖a‖ * 1)
⊢ Bornology.IsBounded s
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
γ : Type u_5
AddCommGroup γ
UniformSpace γ
UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
⊢ (f + g).completion ⋯ = f.completion hf + g.completion hg
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖(mk' S) m‖ = sInf ((fun x => ‖m + x‖) '' ↑S)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
y : S
⊢ y • single ((algebraMap R S) x) 1 ∈ kerTotal R S
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
⊢ (A * B).FermatPsp b