ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
Y' : D
f' : Y' ⟶ unop U
hf' : (Sieve.coverByImage G (unop U)).arrows f'
x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))
⊢ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map f'.op = x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ ↑(P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card) ≤ ↑P.parts.card ^ 2
α : Type u_1
E : Type u_3
Norm E
f : α → E
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith 1 l f f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ (-e).inv = -e.inv
X : Type u_1
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
⊢ LocallyConstant.comap (ContinuousMap.id X) = id
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ (GradedTensorProduct.comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b) = (-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r : R
⊢ OreLocalization.numeratorHom r = r /ₒ 1
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y : Set α
⊢ M.closure (X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' n' : M
f : m ⟶ m'
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ (F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n').map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n').app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ⊗ g)).app X
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)) + C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)) * C (C (W.a₁ + L)) = C (C W.a₁ * X + C W.a₃) + C (C L * (X - C x₁) + C y₁) + Y
I : Type u
f : I → Type v₁
x : (i : I) → f i
i : I
(i : I) → Neg (f i)
⊢ (-x) i = -x i
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
g : InfTopHom β γ
f₁ f₂ : InfTopHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible A
⊢ IsUnit (Matrix.fromBlocks A B C D) ↔ IsUnit (D - C * ⅟A * B)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
Q : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k s ≤ Q ↔ s ⊆ ↑Q
x y : ℝ
⊢ nndist x y = Real.nnabs (x - y)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
⊢ (g • z).im = z.im / Complex.normSq (denom (↑g) z)
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk
γ : Gᵐᵒᵖ
hγ : γ ∈ Γ.op
x : G
⊢ ↑(x * MulOpposite.unop γ) = ↑x
z : ℂ
h : z ≠ 0
⊢ z * z⁻¹ = 1
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Div (α i)
s t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => s i / t i) = Fintype.piFinset s / Fintype.piFinset t
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C 0 = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
this : Nontrivial R
⊢ degree 0 < ↑p.natDegree
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ϕ ⟨x, ⋯⟩
b : Prop
α : Sort u_1
i : Nonempty α
⊢ α → b ↔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
a : ℝ≥0∞
b : α
s : Set α
⊢ (a • dirac b) s = s.indicator (fun x => a) b
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
hg : (g.comp f).SurjectiveOnStalks
I : Ideal T
hI : I.IsPrime
this : Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (g.comp f) I) I (g.comp f) ⋯)
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap g I) I g ⋯)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized (r + 1) ↑𝒜.upShadow
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s
⊢ LSeriesSummable (logMul f) ↑s
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
⊢ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ z < ⌈a⌉ ↔ ↑z < a
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ (fun p => dist p.1 p.2) ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : Real.ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ Real.ContfracLegendre.Ass (Int.fract ξ)⁻¹ v (u - ⌊ξ⌋ * v)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
A : X → Matrix m n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x)ᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2
a k q : ℕ
⊢ (a, k).2 = 0 ∧ q = 0 ∨ 0 < (a, k).2 ∧ q * (a, k).2 ≤ (a, k).1 ∧ (a, k).1 < (q + 1) * (a, k).2 ↔ (fun x x_1 => x / x_1) (a, k).1 (a, k).2 = q
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap' h).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hsf : s.Finite
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = ⋯.toFinset.inf' ⋯ (uncurry dist)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g
⊢ Sieve.pullback i (Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')) ∈ K.sieves Y
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
⊢ Isometry ZeroAtInftyContinuousMap.toBCF
A : Type u_1
Add A
⊢ 1 = AddEquiv.refl A
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ x.arg = arg 0
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ n / 2 ≤ (↑n * m + x).natAbs
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Filter.Tendsto (fun x => n • f x) l Filter.atTop
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
x : E
⊢ gauge s (-x) = gauge s x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
⊢ IsUnit (map φ a) → IsUnit a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ x ∈ s, 0 ≤ (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) x
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
⊢ ∀ (x : Mˣ), ContinuousAt (fun u => ↑u⁻¹) x
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
hab : Codisjoint a b
⊢ a ≤ b → b = ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G ≃+ N
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map (↑f) K = AddSubgroup.comap (↑f.symm) K
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (s₁ ⋈ s₂).tail = s₂ ⋈ s₁.tail
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ x + ↑n * ↑m < (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m < f x
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj R).toSheafedSpace = AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj R
α : Type u_1
β : α → Type u_2
R : (x : α) → β x → Prop
(a : α) → Encodable (β a)
(x : α) → (y : β x) → Decidable (R x y)
H : ∀ (x : α), ∃ y, R x y
⊢ ∃ f, ∀ (x : α), R x (f x)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
α : Type u
self : SemilatticeSup α
a b : α
⊢ b ≤ a ⊔ b
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
⊢ ↑a⁻¹ * ↑a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ (κ.withDensity fun a x => ↑(f a x) * g a x) a = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
⊢ ∀ (a : S), ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv R S) f) a = (↑↑(↑f).toRingHom).toFun a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
⊢ ∫ (x : α) in s, ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
r : A
⊢ ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 r) = (ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {r})ᶜ
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
⊢ |↑(Set.projIcc a b h c) - ↑(Set.projIcc a b h d)| ≤ |c - d|
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
⊢ f.Pos ∨ f.LimZero ∨ (-f).Pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • g') x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).inf' ⋯ f = f b ⊓ s.inf' H f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsPreconnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPreconnected s
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
v v' : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (v + v') = DFinsupp.subtypeDomain p v + DFinsupp.subtypeDomain p v'
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ Polynomial.C (f r) ∈ Polynomial.lifts f
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A
inst✝⁴ : CompactSpace A
inst✝³ : ConnectedSpace A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure A
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
hδ : μ univ ≤ (n + 1) • μ (closedBall 0 (δ / 2))
this : IsFiniteMeasure μ
B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)
hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)
h : Pairwise (Disjoint on B)
⊢ n = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
P : Type u_1
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
s : AffineSubspace 𝕜 P
FiniteDimensional 𝕜 ↥s.direction
⊢ IsClosed ↑s
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ (s ○ s)) ≤ 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
⊢ p.applyComposition (Composition.single n hn) v j = (p n) v
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
⊢ (∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : ↥s), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v
F : Type u_1
NormedField F
CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ (1 - f p)⁻¹ = ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C✝ : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α
e : ℝ
epos : 0 < e
n : ℕ
hn : dist a (x n) < e / 2
C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n
⊢ dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ENNReal
g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n
⊢ MeasureTheory.UnifTight f p μ ↔ MeasureTheory.UnifTight g p μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ N
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
k seed : ℕ
hk : 1 < k
hs : P seed.succ
hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (k * x)
n x✝ : ℕ
hl : seed.succ ≤ x✝
hP✝ : P x✝
⊢ x✝ = 1 * x✝
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
⊢ Function.Injective ⇑WeierstrassCurve.Affine.Point.toClass
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
⊢ ∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = ∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g
⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk f.hom.left)).hom ≫ B.map f.right.hom = (StructuredArrow.mk g).hom
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ {a | p a ∨ q a} = {a | p a} ∪ {a | q a}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.sheafIsoOfIso H).hom = H.hom.c
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ z * (starRingEnd K) z = ↑‖z‖ ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
g : Filter α
p : Filter α → Prop
hp : Monotone p
H : ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ g → p ↑f
f : Filter α
hf : f.NeBot
hfg : f ≤ g
⊢ p f
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
⊢ Isometry Neg.neg
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
⊢ IsUnit a → a * a⁻¹ = 1
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f
α : Type u
a : α
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples a
⊢ Finset.image (fun i => i • a) (Finset.range (addOrderOf a)) = Finset.univ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L
⊢ (toEnd R L M₂) x ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
x : ℂ
h : Filter.Tendsto f l (nhds x)
hx : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ Filter.Tendsto (fun t => Complex.log (f t)) l (nhds (Complex.log x))
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ cs.leftInvSeq [] = []
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsIrrefl α r
inst✝ : Subsingleton α
⊢ ∀ (a b : α), r a b = EmptyRelation a b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
⊢ f =O[l] g
R : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
A : Type u_1
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ ¬(x = 0 ∧ 1 = 0)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α
⊢ ∀ {hs : l.Nodup} {hs' : l'.Nodup}, l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑p ^ n = (Int.castRingHom ℤ_[p]) (↑p ^ n)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card) ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card)
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥q
⊢ (p.quotientEquivOfIsCompl q h) (Submodule.Quotient.mk ↑x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g pg x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x r
n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a * b).val = a.val * b.val % n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
i j k : Fin (n + 1 + 1)
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f i k ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f i j hij)
    (CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f j k hjk)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ c s
hR : DifferentiableOn ℝ R s
hx : DifferentiableOn ℝ x s
hne : ∀ a ∈ s, x a ≠ c a
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo (a / c) (b / c)
α : Type u_1
n m : Nat
l : List α
⊢ List.drop n (List.drop m l) = List.drop (n + m) l
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω < MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖ = ‖iteratedDerivWithin n f s x‖
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ
x : R
hx : x ∈ ↑(I ^ n)
⊢ (DistribMulAction.toLinearMap R R r) x ∈ I ^ n
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
x : X
⊢ x ∈ s ↔ ¬x = last s ∧ x ∈ s ∨ x = last s
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
⊢ x * y ∉ {x, y, 1}
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
hff : ∀ (a : α), ∃ j g, ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_2
AddGroup α
b : α
⊢ Finset.preimage 0 (fun x => x + b) ⋯ = {-b}
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ OpenEmbedding (e.source.restrict ↑e)