ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskeringEquivalence e).functor = CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering e.functor
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
⊢ A₁.str ≫ F.map 0 = 0 ≫ A₂.str
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g univ (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]
⊢ h.map (g %ₘ f) = h.map g
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (TwoSidedIdeal R)
x : R
⊢ (∀ x_1 ∈ ringCon '' S, x_1 x 0) ↔ ∀ I ∈ S, x ∈ I
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n✝ n : ℕ
⊢ (-1) ^ n = (-1) ^ (n % 2)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : G → CoeSort.coe A
g : G × G
⊢ (A.ρ g.1) (x g.2 + y g.2) - (x (g.1 * g.2) + y (g.1 * g.2)) + (x g.1 + y g.1) = (A.ρ g.1) (x g.2) - x (g.1 * g.2) + x g.1 + ((A.ρ g.1) (y g.2) - y (g.1 * g.2) + y g.1)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ L : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = f (W.addX x₁ x₂ L)
α : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i m
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Countable
hd : s.Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ
this : Encodable ↑s
⊢ μ (⋃ x, f ↑x) = ∑' (p : ↑s), μ (f ↑p)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p ≠ 0
α : Type u_1
Add α
s : Set α
⊢ Equivalence (LeftAddCosetEquivalence s)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.comp Polynomial.X = p
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty
⊢ ∃ v, ∀ (w : ↑(H ⊔ K).verts), (H ⊔ K).coe.Reachable v w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
x : ↑↑X
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
hx : f x ≠ x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s
n : ℕ
i : (SetTheory.PGame.powHalf (n + 1)).RightMoves
⊢ (SetTheory.PGame.powHalf (n + 1)).moveRight i = SetTheory.PGame.powHalf n
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
a : EReal
h₁ : a ≠ ⊥
h₂ : a ≠ ⊤
h₃ : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' b' x' : ι → α
ha : ∀ (i : ι), a' i < x' i
hb : ∀ (i : ι), x' i < b' i
⊢ Set.Icc a' b' ∈ 𝓝 x'
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsIntegralClosure A R B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R B
⊢ NoZeroSMulDivisors R A
n : ℕ+
⊢ 1 + n.natPred = ↑n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ map I.incl (derivedSeries R (↥↑I) k) = derivedSeriesOfIdeal R L k I
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E
⊢ J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I_1 | (uniqueBaseOn I E).Indep I_1 ∧ I_1 ⊆ X} ↔ J = X ∩ I
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimit (CategoryTheory.Limits.span f f) F
CategoryTheory.Epi (F.map f)
⊢ CategoryTheory.Epi f
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
V₃ : C
iV₃ : V₃ ⟶ V₂
e₄ : iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = iV₃ ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂
⊢ ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁)).op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂Y₂)).op (x g₂ hg₂)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
⊢ cardPowDegree (x - z) < a
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
f : α → β → m β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i + 1) b → SatisfiesM (motive ↑i) (f as[i] b)
i : Nat
b : β
hi : i ≤ as.size
H : motive i b
⊢ SatisfiesM (motive 0) (Array.foldrM.fold f as 0 i hi b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
b : β
hb : b ∈ upperBounds (l '' s)
⊢ u b ∈ upperBounds s
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
⊢ H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L = (H ⊓ K).relindex L
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 - ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)
R : Type u
Semiring R
r : R → R → Prop
StarRing R
hr : ∀ (a b : R), r a b → r (star a) (star b)
a b : R
h : RingQuot.Rel r a b
⊢ RingQuot.Rel r (star a) (star b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
⊢ PolishSpace α
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
ι : Type u_4
n : ℕ
self : Basis.SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
⊢ ↑(self.bN i) = self.a i • self.bM (self.f i)
n k : ℕ
h : 0 < n
⊢ n.ascFactorial k = (n + k - 1).factorial / (n - 1).factorial
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a * b ≤ c ^ 2
⊢ min a b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
hb : b ≠ 0
⊢ b * c % b = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ CircleIntegrable f c 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
x : G
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x
hne : f x ≠ g x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => dist (f y) (g y)) s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
α : F₁ ⟶ F₂
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).op.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F₂) =
  (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F₁).comp (CategoryTheory.CostructuredArrow.map α)
α : Type u_1
inst✝¹¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
b : ONote
b.NF
o : ONote
⊢ o.NFBelow b.repr ↔ o.NF ∧ b.TopBelow o
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
f : G → F
μ.IsMulRightInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (t / g)) μ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x * y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) = Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.num * Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
⊢ Nonempty (α ↪ β)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ x ∈ κ.mutuallySingularSetSlice η a
u : ℤˣ
⊢ u⁻¹ = u
α : Type u_1
AddZeroClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
hab : 0 ≤ a + b
⊢ a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1
forall_le : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≤ f b
⊢ ⇑f '' s ⊆ Iio (sInf (⇑f '' t))
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
I : Set η
H : (i : η) → AddSubgroup (f i)
⊢ ↑(AddSubgroup.pi I H) = I.pi fun i => ↑(H i)
α : Sort u
s : Setoid α
motive : Quotient s → Prop
q : Quotient s
h : ∀ (a : α), motive (Quotient.mk s a)
⊢ motive q
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
a b : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ ∃ n < s.card, (f ^ n) a = b
α : Type u_1
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Nonempty → s = Set.univ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α
⊢ Monotone (ball b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ ⋃ a, {Ioi ↑a} = Ioi '' (Rat.cast '' univ)
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ AlternatingMap.domCoprod' (a ⊗ₜ[R'] b) = a.domCoprod b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
⊢ Integrable (↑(-g)) μ
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : UpperSemicontinuousAt f x
gmon : Monotone g
⊢ UpperSemicontinuousAt (g ∘ f) x
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R),
    ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) =
  ↑I
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
Sub M
a b : M
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b
p x : ℝ
m : ℤ
⊢ LiouvilleWith p (↑m + x) ↔ LiouvilleWith p x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
⊢ Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤ ↔ M = ⊤
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
f : F
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ multiplicity.Finite (↑p) a ↔ a ≠ 0
R : Type u
Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ p' ∈ s, ∀ p ∈ Submodule.span R s, p.degree ≤ p'.degree
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
g0 : α → ℝ≥0∞
f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x
g0_cont : LowerSemicontinuous g0
g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2
s : Set α
hs : {x | (fun x => f x = AEMeasurable.mk f fmeas x) x}ᶜ ⊆ s
smeas : MeasurableSet s
μs : μ s = 0
g1 : α → ℝ≥0∞
le_g1 : ∀ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ≤ g1 x
g1_cont : LowerSemicontinuous g1
g1_int : ∫⁻ (x : α), g1 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ∂μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (fun x => g0 x + g1 x) x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h : abv.IsAdmissible
A : Fin (h.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
⊢ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁' = (p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁')
n : ℕ
⊢ (finRotate n.succ) 0 = 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
el : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).equivFin
es : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).equivFin
⊢ ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Submodule R M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
⊢ μ.inv.InnerRegular ↔ μ.InnerRegular
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
Decidable (∃ x h, ¬P x h)
(x : α) → (h : p x) → Decidable (P x h)
⊢ (¬∀ (x : α) (h : p x), P x h) ↔ ∃ x h, ¬P x h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc' i j k).homologyπ ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyπ j
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
e : α
he : e ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
f : α
hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)
⊢ ∃ b ∈ B' \ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert b (B \ {e}))
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M
⊢ ↑n < Module.rank R M
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
h : ∀ (b : β), ∃ a, f a ≤ b
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atBot
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p
⊢ (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f (g * x) = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f x
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Ordinal.IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
⊢ f (Ordinal.nfp f a) = Ordinal.nfp f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
⊢ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s) ⊆ u
R : Type u
Field R
p : R[X]
DecidableEq R
hp0 : p ≠ 0
⊢ (normalize p).Monic
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
⊢ ∀ ⦃f_1 g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (a : α), f_1 a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * f_1) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), (f_1 + g) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * (f_1 + g)) a ∂μ
z : ℂ
⊢ ↑z.re + ↑z.im * Complex.I = z
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
⊢ DFinsupp.erase i 0 = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ lift f g H' ≫ f = g
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
⊢ (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
⊢ x = y
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime x (y ^ n)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x y : E
⊢ dist x⁻¹ y = dist x y⁻¹
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : Finmap β
⊢ Finmap.lookup a (Finmap.insert a b s) = some b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
n : ℕ
f : α ≃ Fin n
⊢ Nat.card α = n