ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp_odd : p % 2 = 1
⊢ a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
x y : ℝ*
⊢ ¬x.Infinitesimal → 0 < x → y.InfiniteNeg → (x * y).InfiniteNeg
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p - q) = Polynomial.eval₂ f x p - Polynomial.eval₂ f x q
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
⊢ FirstOrder.Language.Structure.CG L M ↔ Countable M
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Submonoid.closure {1} = ⊥
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ unop X
hf : (Sieve.coverByImage G (unop X)).arrows f
⊢ (ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map f.op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝ f hf
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
⊢ G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s t : Set β
⊢ ⨆ x ∈ s ∪ t, f x = (⨆ x ∈ s, f x) ⊔ ⨆ x ∈ t, f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : Cᵒᵖ
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ CategoryTheory.IsPushout g.unop f.unop snd.unop fst.unop
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
⊢ (CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ 0 < f.natDegree
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ Summable fun i => ‖(-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i‖
B X : TopCat
π : X ⟶ B
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi π ↔ QuotientMap ⇑π
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
a : ↥(selfAdjoint A)
⊢ spectrum ℂ ↑a = Complex.ofReal' ∘ Complex.re '' spectrum ℂ ↑a
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : V₁), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
x y : V₁
⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
⊢ (pb.lift y hy) ((Polynomial.aeval pb.gen) f) = (Polynomial.aeval y) f
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) ((x₁ * x) ⊗ₜ[R] (x₂ * y)) = (x₁ * x₂) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x ⊗ₜ[R] y) + (x * y) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
a b : Bool
⊢ a ≠ !b ↔ a = b
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
h : b = a⁻¹ * c
⊢ a * b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.homologyIso.hom h.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyIso.inv
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ (∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length) ↔ ¬G.IsAcyclic
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
DivisionRing L
AddCommGroup W
Module L W
F : Type u_5
U : Type u_6
Field F
AddCommGroup U
Module F U
σ : K →+* L
τ : L →+* F
γ : K →+* F
RingHomCompTriple σ τ γ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
g : W →ₛₗ[τ] U
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ Projectivization.map (g.comp f) ⋯ = Projectivization.map g hg ∘ Projectivization.map f hf
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x y d : R
DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
⊢ d ∣ y
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
⊢ ((f₁ + f₂) ^ (k₁ + k₂ - 1)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
⊢ 0 * k = 0
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
H : NumberField.house.ξ K x = 0
l : β
r : K →+* ℂ
⊢ x (l, r) = 0 (l, r)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
⊢ p.IsPath ↔ p = SimpleGraph.Walk.nil
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)
α : Type u
AddMonoidWithOne α
a b : α
c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b c → a = b
B X : TopCat
π : X ⟶ B
x✝ : EffectiveEpi π
hπ : RegularEpi π
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat := parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right
i : B ≅ colimit F := RegularEpi.isColimit.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right))
⊢ QuotientMap ⇑π
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ xs * ys = List.zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).unitIso.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).comp
          (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp).leftUnitor.inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.NatTrans.op (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
        ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).comp
          (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).associator
            (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).comp
              (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp)).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F)
            ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp.associator
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp).inv)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F)
              (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp))
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
              (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F)
                (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).rightOp.leftUnitor.hom)
              (CategoryTheory.NatTrans.op (CategoryTheory.eqToHom ⋯)))))))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SequentialSpace X
f : X → Y
hf : SeqContinuous f
⊢ Continuous f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α
⊢ s ≤ t.ndinter u ↔ s ≤ t ∧ s ⊆ u
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
this : h.fintype = inst✝
⊢ h.toFinset = s.toFinset
n : ℕ
⊢ n.succ.div2 = bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ ((c.takeUntil u h).support.tail ++ (c.dropUntil u h).support.tail) ~r c.support.tail
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ W.IsInvertedBy F ↔ W.map F ≤ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms D
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R
H₁ : ∀ (m : M), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
H₂ : ∀ (m : P), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
m : N
r : R
hr : r ∉ x.asIdeal
e₁ : r • g m = 0
⊢ ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Countable ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f fun x => MeasureTheory.hitting u s (τ x) N x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_11
Fintype ι
M : ι → Type u_12
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
C : ℝ
L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i
hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖ContinuousLinearMap.pi L‖ ≤ C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
l.IsMeasurablyGenerated
hf : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ 0 < eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ ↑(g c)
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ ↑(g d)
hcd : g c ≠ g d
⊢ (Disjoint on f) a b
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
s : Set M
h : s ⊆ ↑p
hd : Disjoint p (LinearMap.ker f)
⊢ Set.InjOn (⇑f) s
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
n : ℕ
⊢ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem n ∈ f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.map α).obj X).fiber = (α.app X.base).obj X.fiber
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'
x y : ℝ
⊢ MonotoneOn (fun x => log x * x) {x | 1 ≤ x}
α : Type u
m i : ℕ
h : i.succ < m.succ
x : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecCons x u ⟨i.succ, h⟩ = u ⟨i, ⋯⟩
α : Type u
Bot α
⊢ { down := ⊥ } = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasFDerivAt f₁ f' x
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2 * (4 * (↑n + 1) ^ 2) ≤ 1 * (1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
φ : A →+ B
CategoryTheory.HasShift C B
X : CategoryTheory.PullbackShift C φ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero (CategoryTheory.PullbackShift C φ) A).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C B).inv.app X)
    ((CategoryTheory.pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).inv.app X)
m : Type u_1
R : Type u_2
Fintype m
CommRing R
M : Matrix m m R
hM : M.Nondegenerate
v : m → R
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ w, Matrix.dotProduct v (M.mulVec w) ≠ 0
x : ℝ
hx0 : x < 0
hpx : -(π / 2) < x
⊢ -x < π / 2
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).minimum = min (↑a) l.minimum
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∃ k > 1, n = m * k) → m ∈ n.properDivisors
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R x y z
⊢ Sbtw R w y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
⊢ Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : Antitone f
⊢ f '' Set.Icc a b ⊆ Set.Icc (f b) (f a)
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
⊢ clog b 1 = 0
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Set.univ.OrdConnected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
inst✝ : Fintype ↑p
⊢ card ↑p = card ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
g : { a // ¬P a } →₀ M
⊢ Disjoint (map (Embedding.subtype P) f.support) (map (Embedding.subtype fun a => ¬P a) g.support)
X Y U : AlgebraicGeometry.Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
fg : Y ⟶ X
H : fg = f ≫ g
h : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f V =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso g V).inv ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app fg ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor g).obj V) ≫
      Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial
⊢ ¬(s = ∅ ∨ s = {c})
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : B.conjTranspose = C
hD : D.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsHermitian
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
e : α ≃ᵐ ↑s
⊢ ∃ f, MeasurableEmbedding f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y : M
⊢ ContinuousOn (tangentCoordChange I x y) ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ∆ c = (a ⊓ b) ∆ (a ⊓ c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ SmoothWithinAt I I' f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ (p.gcd n) * φ (p * n) = φ p * φ n * p.gcd n
⊢ φ (p * n) = p * φ n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ (NonUnitalAlgebra.adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(NonUnitalSubsemiring.closure s)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint (x \ y) (y \ x)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
hab : ¬a = b
hbc : ¬b = c
⊢ ((c - b) / (c - a)) • slope f b c + ((b - a) / (c - a)) • slope f a b = slope f a c
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.map reverse (evenOdd Q n) = evenOdd Q n
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
⊢ MeasurableSet {a | κ a ≪ η a}
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t = s ∩ tᶜ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : B →⋆ₙₐ[R] C
g : A →⋆ₙₐ[R] B
a : A
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (op (basicOpen 1)) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
⊢ map f l₁ ⊆ map f l₂ ↔ l₁ ⊆ l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
⊢ Measurable fun a => ↑‖f a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ ↑l.formPerm.support = {x | l.formPerm x ≠ x}
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite G
⊢ Nat.card ↥H ≤ Nat.card G
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ ![p₁, p₂] ↑i₁ -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s✝ : Set M
f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀
⊢ ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀