ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
ι : Type u_4
SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) Filter.atTop
  (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hfc : Continuous ⇑f
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → j = i → α
⊢ (∏ j : ι, if h : j = i then f j h else 1) = f i ⋯
x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ Real.sin (Real.arcsin x) = x
b : ℝ
b_lt_one : b < 1
⊢ b ≠ 1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h₀ : ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 0
h₁ : a ∉ s → f a = 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f a
α : Type u
SubtractionCommMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit a
⊢ a - (a - b) = b
α : Sort u_1
⊢ ∀ {x : Decidable False} (t e : α), (if False then t else e) = e
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ List.argmin f (a :: l) = Option.casesOn (List.argmin f l) (some a) fun c => if f c < f a then some c else some a
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ
ha : Tendsto a l atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)
⊢ IntegrableOn f (Iic b) μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
⊢ sSup (T₁ ∩ T₂) = sSup T₁ ⊓ sSup T₂
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
s : Set β
h : s.Nonempty
⊢ 0 • s = 0
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
a : α
h : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ‖f x‖) s a
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝) ≫ U.map (((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝) ≫ U.map ((sheafifyLift J (𝟙 F.val) ⋯).app x✝) = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ sheafifyLift J ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ⋯).app x✝
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹
⊢ x - x ^ 3 / 4 < -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∏ k ∈ range 0, f k = 1
R : Type u_1
LinearOrderedField R
a : ℍ[R]
z : ℤ
⊢ Quaternion.normSq (a ^ z) = Quaternion.normSq a ^ z
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
a : α
⊢ a ∈ s ⊔ t ↔ a ∈ s ∧ a ∈ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂.hom (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃.hom (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄.hom (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).inv =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀.inv app₁.inv app₂.inv app₃.inv app₄.inv app₅.inv ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ MeasureTheory.eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
l l' : List α
⊢ (l ++ l').rotate' l.length = l' ++ l
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i✝¹ : I₁
i✝ : I₂
⊢ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (𝟙 (K₂.X i✝)) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X i✝¹)).obj (K₂.X i✝))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Disjoint (Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(NumberField.canonicalEmbedding.latticeBasis K)))
  (LinearMap.ker (NumberField.mixedEmbedding.commMap K))
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Quotient.functor redStep ⋙ Φ = Paths.lift (Quiver.Symmetrify.lift φ)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
h₂ : p.leadingCoeff * (p ^ n).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M
⊢ c ⊔ d = conGen (⇑c ⊔ ⇑d)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
⊢ Monotone (s ∘ f)
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f ∘ f^[n.pred] = f^[n]
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α := fun n => Nat.recOn n ⋯.choose fun x a => ⋯.choose
⊢ s.Infinite
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ V₁).hom ▷ V₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ U₁ U₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ U₁).hom ▷ U₂ ≫ X₁ ◁ (α_ U₁ X₂ U₂).hom ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
n : ℕ
f_norm_diff : ℕ → α → ℝ := fun i x => ‖f (i + 1) x - f i x‖
hgf_norm_diff : ∀ (n : ℕ), (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f_norm_diff i
⊢ eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
⊢ (MulAction.stabilizer R m).toSubmonoid = (MulAction.stabilizer R ↑m).toSubmonoid
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L.Formula α
⊢ M ⊨ equivSentence φ ↔ φ.Realize fun a => ↑(L.con a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
l : FreeMonoid α
b : β
⊢ l • b = List.foldr f b (FreeMonoid.toList l)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b
ht : b = ⊤ → a = ⊤
⊢ a.toReal ≤ b.toReal
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P S.arrows a = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun p => κ.densityProcess ν n p.1 p.2 s
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
SemilatticeInf T
OrderTop T
Semiring R
degt : A → T
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ f.support.inf degt ⊓ g.support.inf degt ≤ (f + g).support.inf degt
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂
⊢ e.oadd n₁ o₁ < e.oadd n₂ o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
b : β
⊢ (∃ a ∈ s, f.toEmbedding a = b) ↔ f.symm b ∈ s
a : UnitAddCircle
this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
⊢ Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅
⊢ 𝓒 u v (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a - n * c = a + n * -c
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R
hup : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
hdown : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => (-f) n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => (-f) n ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω₁ : BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
hω₂ : BddAbove (Set.range fun n => (-f) n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => (-f) n ω) atTop (𝓝 c)
⊢ BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
UniformSpace β
Group β
UniformGroup β
f : α →* β
hf : ContinuousAt (⇑f) 1
⊢ UniformContinuous ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ trunc (n - 1) ((d⁄dX R) f) = Polynomial.derivative (trunc n f)
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
s : σ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ (∀ (m : σ →₀ ℕ), m s < 1 → (coeff R m) φ = 0) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s = 0 → (coeff R m) φ = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
⊢ ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}) ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
hl : l.bRiemann = false
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
LinearOrder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ grade 𝕆 a = grade 𝕆 b ↔ a = b
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
StrongRankCondition R
Module.Free R M
Module.Free R M₁
⊢ Module.rank R (M × M₁) = Module.rank R M + Module.rank R M₁
R : Type u_1
A : Type u_2
Semifield R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
HasContinuousInv₀ R
Ring A
Algebra R A
a : Aˣ
n : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => x ^ n) (spectrum R ↑a)
α : Type u_1
ι : Type u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
self : l.HasCountableBasis p s
⊢ (setOf p).Countable
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hx' : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
C : ℕ → Sort u_1
n : ℕ
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
x : C n
⊢ Nat.leRecOn ⋯ (fun {k} => next) x = x
α : Type u_1
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ Chain r ↑(range n.succ) ↔ r n 0 ∧ ∀ m < n, r m m.succ
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((algebraMap A B) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
⊢ Filter.RTendsto' r l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : 1 • w s = 0
⊢ False
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c c' : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c' l (fun x => f₂ x - f₃ x) g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c + c') l (fun x => f₁ x - f₃ x) g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
φ : L.Sentence
⊢ φ ∈ L.completeTheory M ∨ FirstOrder.Language.Formula.not φ ∈ L.completeTheory M
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
⊢ 0 ≤ Real.log (-↑n)
ι : Type u_1
l u : ι → ℝ
⊢ BoxIntegral.Box.mk' l u = ⊥ ↔ ∃ i, u i ≤ l i
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.negDblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.negDblY P
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso G f g).inv ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (G.map f) (G.map g)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ X * 1 ^ 2 * (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆) - (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈) * 1 = X ^ 4 - C W.b₄ * X ^ 2 - C (2 * W.b₆) * X - C W.b₈
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
AddCommMonoid M
DistribMulAction R M
p : R
hM : Module.IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
x : M
(n : ℕ) → Decidable (p ^ n • x = 0)
⊢ p ^ Submodule.pOrder hM x • x = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f' : ℝ → E
f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
⊢ lineCount L p = order P L + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 1 ≤ p
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ IntegrableOn (↑↑f) s μ
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
Nontrivial Γ₀
v : AddValuation K Γ₀
x : K
⊢ v x ≠ ⊤ ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : btw a b c
⊢ btw b c a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
⊢ (addVal R) ϖ = 1
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
L : Type u_6
Field L
Algebra A L
Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
⊢ IsFractionRing (↥(integralClosure A L)) L
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Mul α
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
i₁ : l
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : p
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (i₁, i₂) (j₁, j₂) = A i₁ j₁ * B i₂ j₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F
⊢ Continuous fun x => ∫ (x_1 : X), ↑↑(L.compLp x) x_1 ∂μ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ x ∈ Ι a b, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x‖ ≤ C * |b - a|
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ) μ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
x : E
xs : x ∈ s
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
⊢ u ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
⊢ (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral ↔ ((Ideal.Quotient.mk I).comp f).IsIntegral
x m n : Nat
lt : x < 2 ^ m
le : m ≤ n
⊢ x < 2 ^ n
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ map (const α b₂) ↑l
⊢ b₁ ∈ replicate (card ↑l) b₂
x : ℝ
⊢ Real.sin x ≤ 1
n : ℕ
G : Type u_3
AddGroup G
f : Fin n → G
i : Fin n
⊢ -Fin.partialSum f i.castSucc + Fin.partialSum f i.succ = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : J.Cover X
⊢ (J.pullback f).obj S = S.pullback f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (∀ (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)) → (∀ (hf : Memℒp (↑g) p μ), P (toLp g hf)) → ∀ (hf : Memℒp (↑(f + g)) p μ), P (toLp (f + g) hf)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : Module.Free R N
inst✝⁶ : Module.Finite R N
inst✝⁵ : Module.Free R P
inst✝⁴ : Module.Finite R P
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : IsProj p f
inst✝³ : Module.Free R ↥p
inst✝² : Module.Finite R ↥p
inst✝¹ : Module.Free R ↥(ker f)
inst✝ : Module.Finite R ↥(ker f)
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ↑(finrank R ↥p)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
n : ℕ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R l₁ l₂ → List.Forall₂ R (List.take n l₁) (List.take n l₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
R : Type u_4
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
c : R
⊢ (c • v).restrict i = c • v.restrict i
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
c1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)
hf : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ 1 < p ^ 2
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
f₁ : A →A[R] B
f₂ : A →A[R] C
⊢ ↑(f₁.prod f₂) = (↑f₁).prod ↑f₂