ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
t : Ordnode α
hl : t.Sized
C : Ordnode α → Prop
H0 : C nil
H1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (l.node' x r)
⊢ C t
R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝ : Fintype ι
c : R
f : ⨁ (i : ι), M i
⊢ { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id R) c • { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯ }.toFun f
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
⊢ (singleton a m).lookupFinsupp = Finsupp.single a m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv Y)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X (𝟙_ C) Y).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).inv
m n : Nat
⊢ m <<< (n + 1) = (2 * m) <<< n
M N : ℕ
⊢ rothNumberNat (M + N) ≤ rothNumberNat M + rothNumberNat N
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
y : V
⊢ 𝓕 f (-y) = 𝓕 (fun x => f (-x)) y
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
⊢ S ≤ T ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ n ∈ t, s n) (Filter.limsup s f) μ
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s : Finset α
⊢ s.mulEnergy ∅ = 0
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ (A.updateColumn i fun k => A k i + A k j).det = A.det
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
hAs : A.Definable L s
hAB : A ⊆ B
⊢ B.Definable L s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a : A
⊢ ↑(LinearMap.mulRight R a) = AddMonoidHom.mulRight a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : solvableByRad.P α
hβ : solvableByRad.P β
⊢ solvableByRad.P γ
V : Type u_1
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) < G.degree v
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionRing α
inst✝¹ : FunLike F ℚ α
inst✝ : RingHomClass F ℚ α
f : F
q : ℚ
⊢ f q = ↑q
f f₁ f₂ : Sat.Fmla
H : f.subsumes (f₁.and f₂)
⊢ f.subsumes f₁
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
CompleteSpace β
e : α ≃ᵢ β
⊢ CompleteSpace α
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
a : α
DecidableEq α
h : a ∈ s
⊢ a * (s.erase a).prod = s.prod
n m : Nat
⊢ n + 1 ≤ m ↔ n < m
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ofReal ↑(ε' i)
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
B : volume ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) = 0
⊢ polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).ker = {y | y ⤳ x}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering E).obj c = CategoryTheory.Limits.Cone.whisker E c
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
f : ArithmeticFunction ℕ
x : ℕ
⊢ ↑f x = ↑(f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
⊢ Continuous (⋯.extend fun p => (φ p.1) p.2)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : MeasurableSpace.generateFrom C = inst✝
hD : MeasurableSpace.generateFrom D = inst✝¹
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : MeasureTheory.Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
⊢ μ.prod ν = μν
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝¹ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (S.X₁.shiftFunctorObjXIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shift n₁).obj S.X₁) = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ S.leftNeg.leftNeg ≤ S
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
⊢ (intrinsicClosure 𝕜 s).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ
hc : c < 1
h₁ : Tendsto (fun x => 1 - ε x) atTop (𝓝 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c < 1 - ε x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
x : M₁
⊢ 0 x = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ (K.pOpcyclesIso i j hi h).hom = K.pOpcycles j
x : ℝ
h : 1 < x
⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + π
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hHK : H ≤ K
⊢ (H.subgroupOf K).Normal ↔ ∀ (h k : G), h ∈ H → k ∈ K → k * h * k⁻¹ ∈ H
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ ↑(hC.diffFinset hs ht) ⊆ C
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n
⊢ 1 * k = k
x y : ZFSet
⊢ (∀ (z : ZFSet), z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
s : Set Γ₀
⊢ IsClosed s ↔ 0 ∈ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ s ⊆ Set.Ici γ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
n : α
⊢ ↑(f n).toNNReal ≤ |f n|
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ‖f x‖
⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ a ≤ b / c ↔ a * c ≤ b
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ
⊢ a % ↑b ≡ a [ZMOD ↑b]
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j = Set.univ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∈ s i j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ h.trans h.symm = Homeomorph.refl X
α : Type u_1
One α
Add α
n : PosNum
⊢ ↑n.bit1 = ↑n + ↑n + 1
n : ℕ
NeZero n
a : Fin (n + 1)
b : Fin n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.succAbove b ≠ 0
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) = fun n => 1 / ↑↑n ^ k * (fourier ↑n) ↑x + 1 / ↑(-↑n) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
u : ℙ K V
⊢ u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → u ∈ W
x y : ZFSet
h : ↑x = ↑y
⊢ x = y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 1
⊢ IsTrivial L M
R : Type u
I : Type v
inst✝² : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
A : Type u
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Nontrivial A
a b : ℕ
h : a.Coprime b
⊢ IsCoprime ↑a ↑b
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder α
f : ι → α
PartialOrder ι
⊢ Monovary f id ↔ Monotone f
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hf : Set.range m ∈ f
⊢ Filter.map m (Filter.comap m f) = f
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
DecidableEq ι
m : ι → M
i : ι
⊢ f (Function.update m i 0) = 0
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ Ordnode.delta * r.size
H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.balanceR x r) o₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g,
  (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧
    LowerSemicontinuous g ∧
      MeasureTheory.Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧
        (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).diag
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
this : 2 < 2 ^ k
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ k)) K)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ k)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2
p : Char → Bool
s : String
⊢ (s.takeWhile p).data = List.takeWhile p s.data
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
p q : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (p + q) = { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun p + { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun q
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
⊢ 1⁻¹ = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p = 2 ∨ p % 2 = 1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a = ⊤
⊢ (a + b).toReal ≤ a.toReal + b.toReal
α : Type u_1
p : α → Prop
a : α
l : List α
⊢ (∃ x x_1, p x) ↔ p a ∨ ∃ x x_1, p x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : Cᵒᵖ
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ (Opposite.unop ((CategoryTheory.Functor.const J).op.obj X)).map f = 𝟙 (Opposite.unop X)
p q : ℚ
h : 0 < p
⊢ q.toNNRat < p.toNNRat ↔ q < p
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
hb : b.IsBilimit
⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.biproduct.isLimit f)).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc b.ι
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
⊢ Complex.abs (eisensteinSeries a k z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (EisensteinSeries.eisSummand k x z)
G : Type u_3
Group G
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ m * a ^ n = a ^ n * a ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → β
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop f
⊢ BddAbove (range f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) → q
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
⊢ φ.order + ψ.order ≤ (φ * ψ).order
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂
⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Set ι
⊢ I.splitCenterBox s ≤ I
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
a : α
l : List α
⊢ Tendsto f (𝓝 (a :: l)) (r (a :: l))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => c) s x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
⊢ MeasurableSet (insert a s) ↔ MeasurableSet s
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : UpperSet α
⊢ 1 * s = s
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
u : R
hu : IsUnit u
hx : u ≠ 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ u ∧ u ∣ y ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t : LowerSet β
⊢ s₁ ≤ s₂ → s₁ ×ˢ t ≤ s₂ ×ˢ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : (CokernelCofork.ofπ σ ⋯).pt ⟶ Y
hg : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ σ ⋯) ≫ g = prod.map f f ≫ σ
⊢ σ ≫ f = prod.map f f ≫ σ
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l' l.size ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r.size r' ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ (l.balanceL x r).size = l.size + r.size + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
val : β
⊢ Function.Embedding.inr val = Sum.inr val
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Function.Bijective p
⊢ ∑ σ : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌈a⌉ = 0 ↔ a ∈ Set.Ioc (-1) 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : LatticeHom α β
b : β
⊢ b ∈ Sublattice.map f L ↔ ∃ a ∈ L, f a = b
R : Type u_3
A : Type u_4
Add R
AddZeroClass A
r₁ r₂ : R
⊢ Unitization.inl (r₁ + r₂) = Unitization.inl r₁ + Unitization.inl r₂
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
VAdd M α
MeasurableVAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
c : Mᵈᵃᵃ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(c +ᵥ f) =ᵐ[μ] fun x => ↑f (DomAddAct.mk.symm c +ᵥ x)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
s : Finset ℕ
hs : s ≥ range N₀
⊢ dist (∏ b ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(CategoryTheory.forget C).PreservesEpimorphisms
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.surjective C = CategoryTheory.MorphismProperty.epimorphisms C
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f g : SchwartzMap E F
x : E
⊢ (f + g) x = f x + g x
α : Type u_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ Any (Eq x) t ↔ x ∈ t.toList
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
UniformSpace M₂
UniformAddGroup M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
CompleteSpace M₂
⊢ IsClosed {f | IsCompactOperator ⇑f}
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s / t ∈ f / g
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
⊢ {y | s.SSameSide x y} = Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) ↑s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : F → G
f : E → F
hg : AnalyticOn 𝕜 g (f '' s)
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (g ∘ f) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse = CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.Γ
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
hfg : f =O[l] g
hgk : g =o[l] k
⊢ f =o[l] k
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
fn : 𝒰.J → ℕ
hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0
this : Fintype 𝒰.J
N : ℕ := Finset.univ.sup fn
hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N
⊢ s ^ N = 0
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproductsOfShape (Fin n) C
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
⊢ (a * b).factorization p = b.factorization p
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
⊢ (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
NontriviallyNormedField α
NormedAlgebra ℝ α
DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
⊢ ‖LinearMap.toMatrix' ↑f‖₊ = ‖f‖₊
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : BaireSpace X
inst✝ : Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ
hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)
hgd : Dense (⋂ i, g i)
⊢ s ∩ ⋂ i, g i ⊆ ⋃ i, interior (f i)
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : x ∈ a • S
⊢ a⁻¹ • x ∈ S
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
f : M →ₗ[R'] N
⊢ (TrivSqZeroExt.map f).comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom R' R' M) = TrivSqZeroExt.inlAlgHom R' R' N
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
this✝³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝² : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
x : M
hx : 0 < ‖↑x‖
⊢ 1 ≤ ‖S.normedMk‖