ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ s ○ (t₁ ∪ t₂) = s ○ t₁ ∪ s ○ t₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
⊢ lineDeriv 𝕜 f x (0 • v) = 0 • lineDeriv 𝕜 f x v
z : ℂ
hz : z ≠ 0
w : ℂ
⊢ abs (z ^ w) = abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
α : Type u_1
Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
G' : Subgroup G
H' : Subgroup H
G'.Normal
H'.Normal
e : G ≃* H
he : Subgroup.map (↑e) G' = H'
x : G
⊢ (QuotientGroup.congr G' H' e he) ((QuotientGroup.mk' G') x) = (QuotientGroup.mk' H') (e x)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
ι : Type u_3
α : ι → Sort u_4
s : (i : ι) → Setoid (α i)
p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop
f : (i : ι) → Quotient (s i)
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧
⊢ p fun i => ⟦(f i).out⟧
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ S.abelianImageToKernel ≫ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ IsMaxChain r (maxChain r)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ Integrable X ℙ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
h : ClosedEmbedding f
⊢ MeasurableEmbedding f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β
l : Filter γ
⊢ Tendsto m l (f.lift g) ↔ ∀ s ∈ f, Tendsto m l (g s)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
t : Finset β
a : α
⊢ {a} +ᵥ t = a +ᵥ t
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
⊢ c < (type r).cof
⊢ FinBddDistLat.dualEquiv.functor = FinBddDistLat.dual
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x₀ : E
f' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivWithinAt f f' s x₀
⊢ (fun x => f x - f x₀) =O[𝓝[s] x₀] fun x => x - x₀
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
⊢ |rexp x - ∑ m ∈ range m, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ ι (f ≫ g ≫ h) = lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯) ≫ ι h
a b c d x y z w : ℕ
⊢ (↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2)
A : Type
MetricSpace A
self : GromovHausdorff.AuxGluingStruct A
⊢ Isometry self.embed
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ 0 < p.natDegree ↔ p ≠ 1
G : Type w
H : Type x
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
F : Type u_1
Group H
TopologicalSpace H
FunLike F H G
MonoidHomClass F H G
f : F
hf : Inducing ⇑f
⊢ TopologicalGroup H
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ ↑↑f = ↑↑g → f = g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
h : L.map f = L.map g
⊢ CategoryTheory.AreEqualizedByLocalization W f g
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
⊢ (∀ (a : X) (b : Y), (mk a, mk b) ∈ s → ContinuousWithinAt (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s) (a, b)) ↔ ∀ (a : X) (b : Y), (a, b) ∈ Prod.map mk mk ⁻¹' s → ContinuousWithinAt (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s) (a, b)
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors 0 = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.yoneda.obj X ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.limitCone h).extend (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.homOfCone h s) = s
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ A.a ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 ≠ s.circumradius
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
⊢ affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ (affineSpan k s₁).direction = (affineSpan k s₂).direction ∧ (affineSpan k s₁ = ⊥ ↔ affineSpan k s₂ = ⊥)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) = μ
⊢ μ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => 1
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ s.lcm f ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s t : Set M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L (s ∪ t) = LieSubmodule.lieSpan R L s ⊔ LieSubmodule.lieSpan R L t
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
y : ModP K v O hv p
hy0 : ¬y = 0
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y = 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₂.HasLeftHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₁.HasLeftHomology
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ f b * ∏ x ∈ Ico a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : ↑k • χ₁ = ↑l • χ₁
⊢ k = l
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
⊢ m = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
τ : Type u_1
AddMonoid τ
TopologicalSpace τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
x : α
⊢ ϕ.toFun 0 x = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
U : Set E
g : E → ℂ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
⊢ (∃ w, ∀ z ∈ U, g z = w) ∨ ∀ s ⊆ U, IsOpen s → IsOpen (g '' s)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
n : ℤ
⊢ A ^ (-n) = (A ^ n)⁻¹
f : ArithmeticFunction ℤ
⊢ ↑f = f
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) s x
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ deriv (fun x => Complex.sinh (f x)) x = Complex.cosh (f x) * deriv f x
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
hc : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ Part.fix ⇑f = f (Part.fix ⇑f)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (frobenius R p) x = x ^ p
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹² : Field F
inst✝¹¹ : Field K₁
inst✝¹⁰ : Field K₂
inst✝⁹ : Field K₃
inst✝⁸ : Algebra F K₁
inst✝⁷ : Algebra F K₂
inst✝⁶ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : Algebra K₁ E
inst✝² : Algebra K₂ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₁ E
inst✝ : IsScalarTower F K₂ E
h : Normal F E
x y : E
⊢ minpoly F x = minpoly F y ↔ x ∈ MulAction.orbit (E ≃ₐ[F] E) y
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q)
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
⊢ v ∈ ⊥
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
⊢ lift g f ⋯ ≫ lift f g ⋯ = 𝟙 X
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
h : ¬∃ a, o = succ a
⊢ lift.{u, v} o.pred = (lift.{u, v} o).pred
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g = CategoryTheory.Limits.coprod.map f g
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ frontier (Metric.ball x r) = Metric.sphere x r
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ {x, y} = [x, y]
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
x : M
⊢ ((CliffordAlgebra.lift Q) ⟨f, cond⟩) ((CliffordAlgebra.ι Q) x) = f x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorSemiring α
a : α
⊢ a - 1 < ↑⌊a⌋₊
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
n : ℕ
⊢ n ≤ Polynomial.rootMultiplicity a p ↔ (Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ n ∣ p
α : Type u
l : List α
Inhabited α
n : ℕ
hn : l.length ≤ n
⊢ l.getI n = default
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD n]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
h : |a| = -a
⊢ gauge (a • s) = gauge (|a| • s)
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_7
MonoidWithZero M
MonoidWithZero M'
FunLike F M M'
NoZeroDivisors M'
MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ M⁰ ≤ Submonoid.comap f M'⁰
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : m
⊢ A.updateRow i (A i) = A
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
Invertible A
Invertible D
Invertible (Matrix.fromBlocks A B 0 D)
⊢ ⅟(Matrix.fromBlocks A B 0 D) = Matrix.fromBlocks (⅟A) (-(⅟A * B * ⅟D)) 0 ⅟D
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R N
Module.Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0
⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
α : Type u_1
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α
⊢ u (l.toFun (u (l.toFun x) ⊔ y)) = u (l.toFun (x ⊔ y))
L : FirstOrder.Language
⊢ L.card =
  (Cardinal.sum fun l => Cardinal.lift.{v, u} #(L.Functions l)) +
    Cardinal.sum fun l => Cardinal.lift.{u, v} #(L.Relations l)
α : Type u
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => n • a = 0) Finset.univ).card ≤ n
d : ℕ
⊢ d ∣ Fintype.card α →
  0 < (Finset.filter (fun a => addOrderOf a = d) Finset.univ).card →
    (Finset.filter (fun a => addOrderOf a = d) Finset.univ).card = d.totient
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, 0 x ≤ f x
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
hs : s.Nonempty
⊢ eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ = 1
x : UInt32
⊢ x.toNat < 2 ^ 32
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l
hb : b ∈ l
⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
u : ℕ → Set G
hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u
u_anti : Antitone u
this : ∀ (ib : ℕ), ∃ a b, True ∧ ∀ (a_1 b_1 : G), a_1 ∈ u a → b_1 ∈ u b → a_1 * b_1 ∈ u ib
event_mul : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, u m * u m ⊆ u n
φ : ℕ → ℕ
hφ : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → u (φ n) * u (φ n) ⊆ u (φ m)
φ_anti_basis : (𝓝 1).HasAntitoneBasis (u ∘ φ)
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
M : PresheafOfModules R
⊢ (PresheafOfModules.evaluation R X).obj M = M.obj X
x y : ℂ
hx₁ : -Real.pi < x.im
hx₂ : x.im ≤ Real.pi
hy₁ : -Real.pi < y.im
hy₂ : y.im ≤ Real.pi
hxy : Complex.exp x = Complex.exp y
⊢ x = y
α : Type u_1
a a' : α
⊢ a' ∈ (PMF.pure a).support ↔ a' = a
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable (μ[f|m]) μ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.invariants id = inst✝
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof (K ∩ range f)
⊢ IsLindelof (f ⁻¹' K)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hI : I.IsPrimary
hJ : J.IsPrime
x : R ⧸ I
e : J = (Submodule.span R {x}).annihilator
this : x ≠ 0
⊢ J = I.radical
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
hn : IsInitial Y → False
this✝ : IsIso u
this : IsIso v
hu : G.map u y = a
⊢ F.map ((asIso u).symm ≪≫ asIso v).hom a = b
a✝¹ a✝ : ℕ
⊢ ↑a✝¹ + ↑a✝ = 2 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 2 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 2 ∧ ↑a✝ = 0
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.continuum + OfNat.ofNat n = Cardinal.continuum
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
⊢ s.indicator (fun j => f j * g j) i = f i * s.indicator g i
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) = μ s
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0
⊢ m ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
⊢ abs x ^ 1 * (↑(Nat.succ 1) * (↑(Nat.factorial 1) * ↑1)⁻¹) = 2 * abs x
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L
⊢ ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre (E ⋙ F) D ≫ pre F E = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
w : Set M
x : ↥(Submodule.span R w)
⊢ (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (Span.repr R w x) = ↑x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
LinearOrderedRing A
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (0 < n) = true → 0 < e
α : Type u
β : Type v
g : α → β
f : α → α
a : α
⊢ Stream'.unfolds g f a = Stream'.cons (g a) (Stream'.unfolds g f (f a))
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f g : α →ᵈ α
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.iCycles S.g = 0
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ n.primeFactors.card = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
F.Full
F.Faithful
f : X ≅ Y
⊢ F.preimageIso (F.mapIso f) = f
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
DecidableEq m
One α
⊢ Matrix.blockDiag 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : β →*o γ
g : α →*o β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasurableSpace.map (⇑e) inst✝ = inst✝¹
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ
F' : 𝕜 → α → E
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
⊢ MeasureTheory.Integrable (F' x₀) μ ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
⊢ 0 a = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
⊢ v ∈ (fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀})) ↔ v ∈ range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ i, F i)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
⊢ (μ Set.univ).toReal ≠ 0
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ∀ d ∈ φ.support, (mapDomain f d).degree = n
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ inst✝ = ⨅ i, induced (fun x => x ∈ i) inferInstance
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)