ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type w
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v
CommRing R'
Ring S'
Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Function.Injective ⇑i
hj : Function.Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
⊢ Module.rank R S ≤ Module.rank R' S'
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : jacobiSym a p = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2
⊢ ↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this✝² : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
hSx : IsIntegral (↥S) x
Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})
MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx
this✝¹ : Module.Finite ↥S ↥Sx
this✝ : SMul ↥S ↥Sx := { smul := SMul.smul }
this : IsScalarTower R ↥S ↥Sx
⊢ Module.Finite R ↥(Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R (adjoin ↥S {x})))
f : ℕ → ℂ
⊢ abscissaOfAbsConv (logMul f) = abscissaOfAbsConv f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
x✝ : β
⊢ Pi.mulSingle b a x✝ = if x✝ = b then a else 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
OrderClosedTopology M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)
⊢ v.restrict (⋃ n, f n) ≤ w.restrict (⋃ n, f n)
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ b * (a / b) + a % b = a
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ((↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))⁻¹ * f * ↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))) ^ n) 0 / ↑n = ((f ^ n) x - x) / ↑n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
ι : Type u_2
Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), Polynomial.eval (f i) p = 0
hcard : p.natDegree < Fintype.card ι
⊢ p = 0
p : ℕ
g : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R
f : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R
WittVector.IsPoly₂ p g
WittVector.IsPoly p f
⊢ WittVector.IsPoly₂ p fun _R _Rcr x y => g (f x) y
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ((φ.polyCharpoly b).coeff i).IsHomogeneous j
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (-s)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : M →+ M₂
as : List R
bs : List S
hf : Surjective ⇑f
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), f (r • x) = s • f x) as bs
⊢ AddSubgroup.map f (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup = (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N⁆ = LieSubmodule.lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
⊢ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)
K : Type u
DivisionRing K
a b : ↥(Subring.center K)
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.fork F U).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.res F U
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullback f g).OpenCover
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : a.get (d + 1 + i) ∈ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop i a))
⊢ j = d + 1 + i
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
P : RegularExpression α
x : List α
⊢ P.rmatch x = true ↔ x ∈ P.matches'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : z₀ ∈ closure ({z | f z = 0} \ {z₀})
⊢ Set.EqOn f 0 U
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h' : ∀ (x : Cofix F α), r x x
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
x y : (P F).M α
rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
r' : (P F).M α → (P F).M α → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
hr' : r' = fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
this : IsPrecongr r'
⊢ Mcongr x y
v : PrimeMultiset
⊢ ↑v.toNatMultiset.prod.primeFactorsList = v.toNatMultiset
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Star R
Star α
SMul R α
StarModule R α
c : R
M : Matrix m n α
⊢ (c • M)ᴴ = star c • Mᴴ
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
h₁ : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y
h₂ : { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁ }.toFun x + { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := ⇑f, map_mul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun a)
⊢ { toFun := ⇑f, map_mul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_star' := h₄ } = f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
s : Set (Submodule R M)
z : M
hs : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ z ∈ sSup s ↔ ∃ y ∈ s, z ∈ y
x y z✝ : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
z : ℝ
⊢ x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
this : IsScalarTower F (↥(separableClosure E K)) K
⊢ Module.rank F ↥(IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F (↥(separableClosure E K)) K) (separableClosure F ↥(separableClosure E K))) = sepDegree F ↥(separableClosure E K)
α : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f =o[l] g'
⊢ f =o[l] fun x => (f' x, g' x)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
head₁ : G i
tail₁ : Word G
fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝¹ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
head₂ : G i
tail₂ : Word G
fstIdx_ne✝ : tail₂.fstIdx ≠ some i
normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
⊢ ↑(⋯.equiv head₁).2 = ↑(⋯.equiv head₂).2 → tail₁ = tail₂ → (⋯.equiv head₁).1 = (⋯.equiv head₂).1 → head₁ = head₂ ∧ tail₁ = tail₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
⊢ tsupport ↑f ⊆ (extChartAt I c).source
⊢ |rexp 1 - 363916618873 / 133877442384| ≤ 1 / 10 ^ 20
R : Type u_1
AddCommMonoid R
m : ℕ
NeZero m
f : ℕ → R
⊢ f = ∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
⊢ (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e.toLinearEquiv = ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
⊢ ofNat (ℕ × ℕ) = unpair
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
s : Finset α
f : α → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ (Finsupp.indicator s fun x x_1 => f x).prod h = ∏ x ∈ s, h x (f x)
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s \ t) = μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex
⊢ (x.shift n).coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] (x.shift n)
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → PartialOrder (α' i)
(i : ι) → BoundedOrder (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ IsCompl f g ↔ ∀ (i : ι), IsCompl (f i) (g i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
⊢ (ContinuousLinearMap.flipₗᵢ' E F G σ₂₃ σ₁₃).symm = ContinuousLinearMap.flipₗᵢ' F E G σ₁₃ σ₂₃
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
p q : Polynomial R
ext : ∀ (r : R), Polynomial.eval r p = Polynomial.eval r q
⊢ p = q
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hq : q ≠ 0
⊢ p.natDegree < q.natDegree
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ↑φ = φ.coeff n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.725197) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
⊢ Ico a b = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr' : ↑r < 1
hr : ↑r < 1
⊢ Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 ↑0)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Partrec Part.some
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.C 0 = 0
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ✝
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ✝ R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R
a : σ →₀ ℕ
⊢ (C (p.toFun 0)) a = p a
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
Fintype m
⊢ Matrix.toEuclideanLin = Matrix.toLin (EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis (EuclideanSpace.basisFun m 𝕜).toBasis
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ Set.InjOn norm {y | SameRay ℝ x y}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ h₁.homologyIso.hom ≫ rightHomologyMap' φ h₁ h₂ = homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
h : p.flip (p.toDualRight.symm f) = f
⊢ (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
⊢ IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A
α : Type u_1
σ : Type u_2
self : Ctop α σ
x : α
⊢ x ∈ self.f (self.top x)
a : UInt16
n : ℕ
⊢ a ^ n = { val := a.val ^ n }
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hx : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
α : Type u
l l' : List α
⊢ l ~r l' ↔ l' ~r l
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : ¬1 = 0
⊢ X.support = {1}
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V
h : H.verts = {v}
⊢ H = G.singletonSubgraph v
R : Type u
NonAssocSemiring R
p p' : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1
h : HasProd (fun b_1 => f b_1 * if b_1 = b then x else 1) (a * x)
⊢ a * x = a' * f b
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ∃ J, M.Basis J X ∧ I ⊆ J
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapId b).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).hom
      (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W g₁ g₂) =
  CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₂)
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ F.shiftIso mn a a'' ⋯ =
  CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C m n mn hnm) (F.shift a) ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor C m).associator (CategoryTheory.shiftFunctor C n) (F.shift a) ≪≫
      CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C m) (F.shiftIso n a a' ha') ≪≫
        F.shiftIso m a' a'' ha''
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
⊢ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ p ∣ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ ⟪l.sum fun i a => a • v i, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (S.index P).L = S.Arrow
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
t : Set α
ht✝ : t ∈ l
i : ι
hi : p i
ht : s i ⊆ t
⊢ ∃ i, p' i ∧ s' i ⊆ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (⇑g ∘ f) x
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ exp 𝕂 (-A) = (exp 𝕂 A)⁻¹
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊂ t
⊢ ∃ x ∈ t, x ∉ s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
h0 : f ≠ 0
g : R[X]
hg : f = (X - C (r ^ p ^ n)) ^ rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f * g
ndvd : ¬((expand R (p ^ n)) g).IsRoot r
⊢ rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) f) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f
G : Type u_1
Group G
x y : G
h : y ∈ Subgroup.zpowers x
⊢ orderOf y ∣ orderOf x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ ↑(NonUnitalSubring.center R) = Set.center R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
a : (CategoryTheory.Limits.Types.constPUnitFunctor C).obj X
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.pUnitCocone C).ι.app X a = id a
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f' : 𝕜 → F
hs : IsOpen s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
x : 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ deriv f x = f' x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S), f x = f' x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
⊢ P a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
inst✝ : Mono f.unop.left.op
⊢ f.unop.left ≫ (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).hom.unop = (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ 1 / a * a = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq).f p =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v p q hpq ≫ α.v q p ⋯ + (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v p p ⋯ ≫ β.f p
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ MeasurableSet (Ioc 0 Y)
ι : Type u_1
Fintype ι
I J : BoxIntegral.Box ι
h : J ∈ BoxIntegral.Prepartition.splitCenter I
i : ι
⊢ J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α
⊢ Nontrivial ↑s ↔ s.Nontrivial
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ e.symm.symm = e
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
(i : α) → Decidable (i ∈ sᶜ)
⊢ sᶜ.piecewise f g = s.piecewise g f
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ Rel.interedges r s t = s.biUnion fun x => Finset.map { toFun := fun x_1 => (x, x_1), inj' := ⋯ } (Finset.filter (r x) t)