ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
H : Algebra.IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
Semiring A
Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') = g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R R' S')
h₂ : f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R S S') = g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
⊢ f = g
x y z : Bool
⊢ (xor x y && z) = xor (x && z) (y && z)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0
⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
e : α ≃ β
h : e.Computable
p : β → Prop
⊢ OneOneEquiv (p ∘ ⇑e) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
h : ∀ a ∈ s, p (f a)
b : β
hb : b ∈ t
⊢ p b
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : M
hc : IsUnit c
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
⊢ (IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, a i) → IsCauSeq abv fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i
n : ℕ
q : ℕ
p : ℕ
prime_p : Nat.Prime p
covering : p ≤ 2 * q
H : n < q → ∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
hn : n < p
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
⊢ UpperSemicontinuous f ↔ ∀ (y : β), IsOpen (f ⁻¹' Set.Iio y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
⊢ σ.cycleFactorsFinset = s ↔ (∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℝ M
FiniteDimensional ℝ M
Q : QuadraticForm ℝ M
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated Q)
⊢ ∃ w,
  (∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ M)), w i ≠ 0) ∧
    QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares ℝ fun i => ↑(w i))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n
μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some '' Set.Ioi a = Set.Ioo ↑a ⊤
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < q
⊢ dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
⊢ (funMap f fun i => realize v (![t] i)) = funMap f ![realize v t]
r : Type u
m : Type u → Type v
α : Type w
f : m r → m r
x : ContT r m α
⊢ (ContT.map f x).run = f ∘ x.run
P : Type u_2
LE P
I : Set P
self : Order.IsIdeal I
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) I
a b n : ℕ
h : a * b = n
h₁ : a ≠ 1
h₂ : b ≠ 1
⊢ ¬Nat.Prime n
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K
hφ : h.π ≫ φ = 𝟙 h.K
⊢ IsIso h.π
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Under X
f : U.right ⟶ V.right
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp U.hom f = V.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Under.homMk f w).right = f
α : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero α
x y : α
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : α), ¬IsUnit z → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y
hx : 0 ∣ x
hy : 0 ∣ y
h : ¬IsUnit 0
⊢ False
α : Type u
l : List α
⊢ List.sublistsLen l.length l = [l]
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.rdropWhile p (List.rdropWhile p l) = List.rdropWhile p l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R → CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y : R
h : 1 - e ∣ x - y
⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
F : PFunctor.{u}
DecidableEq F.A
Inhabited F.M
x : ↑F F.M
i : F.Idx
⊢ PFunctor.M.ichildren i (PFunctor.M.mk x) = x.iget i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), UpperSemicontinuousOn (f i hi) s
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun x' => ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi x') s
M : Type u_1
MeasurableSpace M
Sup M
self : MeasurableSup M
c : M
⊢ Measurable fun x => x ⊔ c
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
IsScalarTower R S S
M N : Submodule R S
ι : Type u_5
n : ι → ↥N
i : ι
m : ↥M
⊢ (M.mulRightMap n) (Finsupp.single i m) = ↑m * ↑(n i)
z : ℍ
⊢ (↑z).re = z.re
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : 0 < f.degree
⊢ ∃ g, Irreducible g ∧ g ∣ f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : eLpNorm' f q μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t u : Set α
hf : Set.InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t
N : ℕ
⊢ rothNumberNat N ≤ N
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP p s = 0 ↔ ∀ a ∈ s, ¬p a
α : Type u_1
n : ℕ
Zero α
v : Fin n → α
x : α
⊢ Matrix.vecCons x v = 0 ↔ x = 0 ∧ v = 0
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R M
x : M
⊢ ExteriorAlgebra.toTrivSqZeroExt ((ExteriorAlgebra.ι R) x) = TrivSqZeroExt.inr x
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
n : ℕ
⊢ ↑‖a‖₊ = ((fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n) n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a < b * c
hle : b ≤ 1
⊢ a < c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
⊢ IsPathConnected F ↔ ∃ x ∈ F, pathComponentIn x F = F
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ n ω, ω.length = n ∧ cs.wordProd ω = w
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ Nontrivial α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton s = s
⊢ fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton (insert a s) = insert a s
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
SubNegMonoid G
SubNegMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
g : ι → G
n : ℤ
⊢ ⇑f ∘ (n • g) = n • ⇑f ∘ g
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (Cardinal.aleph 1).ord).α
⊢ ∅ ∈ MeasurableSpace.generateMeasurableRec s i
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : (-z).re ≤ 0
hz_im : (-z).im ≤ 0
⊢ ‖f (-z)‖ ≤ C
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) ∣ b ^ (n + 1)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ μ {y | MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ < ↑‖f y‖₊} = 0
m n : Nat
H : 0 < m.gcd n
⊢ ∃ g m' n', 0 < g ∧ m'.Coprime n' ∧ m = m' * g ∧ n = n' * g
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c ≤ cof r ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S
cs₁ cs₂ : List Char
h : cs₁ <:+: cs₂
⊢ String.utf8Len cs₁ ≤ String.utf8Len cs₂
E : Type u_6
NormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = 0 ↔ a = b
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
⊢ AlternatingMap.domLCongr R N ι S (LinearEquiv.refl R M) = LinearEquiv.refl S (M [⋀^ι]→ₗ[R] N)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
⊢ (sum fun n => μ.restrict (disjointed (spanningSets ν) n)) = μ
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ a ∈ s ↔ ∃ b, Finmap.lookup a s = some b
α : Type u_1
n : ℕ
f : α → ℕ
Preorder α
hn : n ≠ 0
hf : StrictMono f
⊢ StrictMono fun x => f x ^ n
n : ℕ+
a : ℕ
h : 0 ∣ ↑n
hzero : a = 0
⊢ False
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
n : ι → ℝ≥0
h : ∀ b ∈ s, ‖f b‖₊ ≤ n b
⊢ ‖∑ b ∈ s, f b‖₊ ≤ ∑ b ∈ s, n b
K : Type u_1
Field K
NumberField K
i : Fin (NumberField.Units.rank K)
⊢ Additive.ofMul ⟦NumberField.Units.fundSystem K i⟧ = (NumberField.Units.basisModTorsion K) i
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t ⊆ t✝
⊢ (t✝ \ t).card = 1 ↔ t✝.card = t.card + 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬Mono A.e
⊢ (s.cofan (op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
hf1 : (map f atTop).NeBot
hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : Set β
ht : t ∈ map f atTop
htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ‖f j - f i‖ < ε
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup ↔ (l₂ ++ l₁).Nodup
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ (↑1 ^ (u - 1 + 1) - ↑0 ^ (u - 1 + 1)) / (u - 1 + 1) = 1 / u
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
x : V
hxs : x ∉ s
⊢ (LinearIndependent K fun (b : ↑(insert x s)) => ↑b) ↔ (LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b) ∧ x ∉ Submodule.span K s
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
g : A →ₐ[R] B ⧸ I
x : A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((Algebra.FormallySmooth.lift I hI g) x) = g x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).support.tail.Nodup
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (bind₁ onePoly) (wittPolynomial p ℤ n) = 1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter α
a : α
f.NeBot
h : f ≤ 𝓝 a
⊢ f.limsInf = a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
f : β → α
b : β
⊢ {b}.lcm f = normalize (f b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) ≤ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)
d : ℤ
hd : d ≤ 0
x y : ℤ√d
h : Associated x y
⊢ x.norm = y.norm
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
⊢ ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
g : (a : α) → a ∈ s → α
⊢ (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a * f (g a ha) = 1) →
  (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 1 → g a ha ≠ a) →
    ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∏ x ∈ s, f x = 1
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.nums m = g.nums n
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset β
t : Multiset α
⊢ Multiset.Rel (flip r) s t ↔ Multiset.Rel r t s
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ 1 < padicNorm 2 (harmonic n)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
AddCommMonoid N
Module R N
ψ : (DirectSum ι fun i => M i) →ₗ[R] N
f : DirectSum ι fun i => M i
⊢ ψ f = (DirectSum.toModule R ι N fun i => ψ ∘ₗ DirectSum.lof R ι M i) f
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x = 0
⊢ l.sum = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
⊢ Set.EqOn f 0 U
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ Filter.pi f ⊓ 𝓟 (Set.univ.pi s) = ⊥ ↔ ∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
h' : BoxIntegral.HasIntegral I l g vol y'
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (f - g) vol (y - y')
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g
⊢ ⨆ n, (partialSups f) n ≤ ⨆ n, (partialSups g) n
F : PFunctor.{u}
Inhabited F.M
DecidableEq F.A
n : ℕ
x y z : F.M
hx : PFunctor.M.Agree' n z x
hy : PFunctor.M.Agree' n z y
hrec : ∀ (ps : PFunctor.Approx.Path F), n = List.length ps → PFunctor.M.iselect ps x = PFunctor.M.iselect ps y
⊢ x.approx (n + 1) = y.approx (n + 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c : P
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)
α : Type u_1
InvolutiveStar α
s t : Set α
⊢ star s ⊆ star t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
AddCommMonoid α
k : α
n : ℕ
x a a' : α
h : k + a = a'
⊢ k + Mathlib.Tactic.Abel.term n x a = Mathlib.Tactic.Abel.term n x a'
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
⊢ ((Matrix.toBilin' M) v) w = Matrix.dotProduct v (M.mulVec w)
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℕ
⊢ multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ padicValRat p q⁻¹ = -padicValRat p q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
f g : W ⟶ s.pt
h₁ : f ≫ s.fst = g ≫ s.fst
h₂ : f ≫ s.snd = g ≫ s.snd
⊢ f = g
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableSup α
MeasurableNeg α
⊢ Measurable negPart
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ ≤ ifp_n.fr⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').target = e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.target
α : Type u_4
self : Fintype α
x : α
⊢ x ∈ Fintype.elems
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α
⊢ ∃! a, a' = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
hab : (a % b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y % x) b).get ⋯ = a.get ⋯ % b.get ⋯
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g
⊢ μ.testAgainstNN f ≤ μ.testAgainstNN g
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
MulOneClass M
CommMonoid N
CommMonoid P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
⊢ g.comp (f₁ * f₂) = g.comp f₁ * g.comp f₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(pullback (D.f i j) (D.f i k))
⊢ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) (unop (op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(unop (op U)), is_open' := ⋯ })) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g x - f x) (μ.restrict (Ioc a b))
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
s : Subsemigroup M
hs : s ∈ S
this : s ≤ sSup S
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Ring α
I : Ideal α
a b x x✝ : α
⊢ x✝ ∈ span {-x} ↔ x✝ ∈ span {x}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫
    (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv =
  -CochainComplex.mappingCone.inr (CochainComplex.homOfDegreewiseSplit S σ)
⊢ 2 * 0 ^ 2 - 1 = -1
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R ⧸ Ideal.map C I
⊢ eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) f) = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n => (decode n).iget
⊢ IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
U : Set G
h : U ∈ B
⊢ U ⊆ U * U
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ (μ.trim hm) (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖₊ ≤ ↑n
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖ ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ