ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
⊢ μ = ν
α : Type u_1
LT α
cmp : α → α → Ordering
self : Batteries.LTCmp cmp
x y : α
⊢ cmp x y = Ordering.lt ↔ x < y
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
⊢ (p.insertNth i a prev_connect connect_next).length = p.length + 1
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset α
⊢ (↑s).IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I
⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => t ↑x)
V : Type u
SeminormedAddCommGroup V
⊢ ↑(SemiNormedGrp.of V) = V
ι : Type u_3
α' : ι → Type u_4
(i : ι) → Bot (α' i)
⊢ ⊥ = fun x => ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℂ n f x
⊢ ContDiffAt ℂ n (fun x => Complex.cos (f x)) x
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g g' u
⊢ HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) g')) 1) u
R : Type u_3
A : Type u_4
Add R
Add A
x₁ x₂ : Unitization R A
⊢ (x₁ + x₂).fst = x₁.fst + x₂.fst
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X
⊢ (f ⊗ M.one) ≫ M.mul = (ρ_ Z).hom ≫ f
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S : StarSubalgebra ℂ (H →L[ℂ] H)
h : S.carrier.centralizer.centralizer = S.carrier
⊢ ↑{ toStarSubalgebra := S, centralizer_centralizer' := h } = ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hgδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
StrongRankCondition R
⊢ FiniteDimensional.finrank R ℍ[R,c₁,c₂] = 4
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, ¬(fun y => y ≤ f u) x
⊢ ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => x ≤ u) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
⊢ a ≤ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
l : Finset ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S = ∏ i ∈ l, S i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[≠] x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
NormedAddCommGroup D
NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
  ‖B‖ *
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ ∀ b ∈ G.cliqueFinset 3, (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a : α
⊢ μ.restrict (Set.Ioi a) = μ.restrict (Set.Ici a)
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : Subgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulRightInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite ν
μ.IsMulLeftInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
⊢ (-1)⁻¹ = -1
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝² : LindelofSpace X
f : Filter X
inst✝¹ : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
⊢ ∃ x, ClusterPt x f
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
X : CategoryTheory.Discrete β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk P p).ι.app X = p X.as
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
⊢ MeasurableSet {a | κ a ⟂ₘ η a}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.CommSq fst snd f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
i : P ≅ CategoryTheory.Limits.pullback f g
w₁ : i.hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g = fst
w₂ : i.hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g = snd
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
w : 0 ≫ g = 0
⊢ imageToKernel 0 g w = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ t ∈ {t | ∃ s', MeasurableSet s' ∧ Subtype.val ⁻¹' s' = t}, (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) t
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ
⊢ 1 / p = 1 / ⊤ + 1 / p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
x : R
⊢ (x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ 0 - a + a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
⊢ μ v = ⊤
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (AddOpposite.unop (HahnSeries.addOppositeEquiv x)).support = x.support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : x ∉ closure s
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ p ^ n ∣ a ↔ n ≤ padicValNat p a
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset
i : PLift ι
hi : i ∈ hfin_w.toFinset
⊢ w i.down ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
hf : Smooth I' I f
hg : Smooth I' I g
⊢ Smooth I' I (f / g)
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
⊢ F.Final ↔ ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.rnDeriv ν = 0
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ Lagrange.basis {i, j} v j = basisDivisor (v j) (v i)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasurableSet (⇑e '' s) ↔ MeasurableSet s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(p i)) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x y : M
⊢ ContinuousOn (tangentCoordChange I x y) ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ s', ∀ (a : α), a ∈ s' ↔ a ∈ s
x y : ℝ
⊢ ContinuousAt log x → x ≠ 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalAlgHom.range (NonUnitalSubalgebraClass.subtype S) = S
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) [inst : Nontrivial β], f 1 ≠ 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ
⊢ m ∈ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
f : ι → α
s : Set α
hs : s.Pairwise r
hf : Function.Injective f
hfs : ∀ (x : ι), f x ∈ s
⊢ Pairwise (r on f)
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.castSucc < p
⊢ p.succAbove i ≠ p
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ (fun n =>
    (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ Finset.range n, ProbabilityTheory.truncation (X i) ↑i) a) -
      ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[Filter.atTop]
  Nat.cast
α : Type u_1
Inv α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a
⊢ ma⁻¹ ∈ a⁻¹
M : Type u_1
σ : M → M
self : CompTriple.IsId σ
⊢ σ = id
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : -1 = 1
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : G
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c +ᵥ f x) l (𝓝 (c +ᵥ a)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Monotone NonUnitalSubring.toNonUnitalSubsemiring
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (R.lift (BinaryFan.assocInv P t) ≫ Q.lift (BinaryFan.mk (s.fst ≫ sXY.snd) s.snd)) ≫ sYZ.π.app j = BinaryFan.snd t ≫ sYZ.π.app j
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
g : ↑(CategoryTheory.Limits.kernel f)
⊢ ↑((AddCommGrp.kernelIsoKerOver f).hom.left g) = (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) g
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
r : R
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f (r • g) = r • TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂'.map f).τ₁ = f.f₀.τ₃
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ 1 - 2⁻¹ = 2⁻¹
m₁ m₂ n : ℕ
hm1 : m₁ ∈ n.smoothNumbers
hm2 : m₂ ∈ n.smoothNumbers
⊢ m₁ * m₂ ∈ n.smoothNumbers
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus g = (f - g).support
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ ⇑f.withBotMap = WithBot.map ⇑f
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : f i = 0
⊢ ∏ j ∈ s, f j = 0
m n k : Nat
⊢ m.gcd n ∣ (k * m).gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α
⊢ (⋃ x ∈ s₁, t x) \ ⋃ x ∈ s₂, t x ⊆ ⋃ x ∈ s₁ \ s₂, t x
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => x / a
α : Type u_2
AddMonoid α
s t : Set α
h : t ⊆ s
hs : ThreeAPFree s
⊢ ThreeAPFree t
α : Type u_2
Mul α
a : α
⊢ Filter.pureMulHom a = pure a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)
CategoryTheory.FinallySmall (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)
⊢ CategoryTheory.Limits.IsIndObject A
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
h : Set.MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k) := ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) h)
n i : ℕ
h : n.testBit i = true
⊢ (n &&& 2 ^ i).testBit i = (true.toNat * 2 ^ i).testBit i
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
t : R
h : ‖t‖ < 1
⊢ Ring.inverse (1 - t) = ↑(Units.oneSub t h)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g + h) = f ≫ g + f ≫ h
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (a : α) in s, (μ.rnDeriv ν * f) a ∂ν
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M
⊢ (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x✝) ↔ ∃ x ∈ ↑p, ∃ y ∈ ↑p', x + y = x✝
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a + -b < c + -d ↔ a + d < c + b
α : Type u_1
a b c : α
MulZeroClass α
PartialOrder α
PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
a b : Int
⊢ ↑(a * b) = normalize ((↑a).num * (↑b).num) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.IsIso g
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.closure = Exists.choose hf
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.map φ).right.left = φ.τ₃
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
⊢ Antivary f g⁻¹ ↔ Monovary f g
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.upShadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
i k : ℤ
j : ℤ
H : i ∣ k
⊢ j.gcd i ∣ j.gcd k
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t ts r ys f).2 = List.map (fun x => f (x ++ ts)) (List.permutationsAux2 t [] [] ys id).2 ++ r
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
x : K
⊢ ↑(re x) = x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
hf : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y + c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m 0 = 0
α : Type u
AddGroup α
IsAddCyclic α
Fintype α
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
⊢ (Finset.filter (fun a => addOrderOf a = d) Finset.univ).card = d.totient
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ zeroRootSubalgebra R L H = H
X : Type u
TopologicalSpace X
f : X → Bool
b : Bool
⊢ Continuous f ↔ IsClopen (f ⁻¹' {b})
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hle : a ≤ b + c
hb : b = ⊤ → a = ⊤
hc : c = ⊤ → a = ⊤
⊢ a.toReal ≤ b.toReal + c.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
f : α → β
a : α
s : Sym α n
⊢ Sym.map f (a ::ₛ s) = f a ::ₛ Sym.map f s
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ Function.Injective ⇑e
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
k : ℕ
⊢ ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ lcm a 1 = normalize a
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (2 ^ n), f k ≤ f 0 + ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
k.IsCountablyGenerated
⊢ (∀ (x : ℕ → α), Filter.Tendsto x Filter.atTop k → Filter.Tendsto (f ∘ x) Filter.atTop l) → Filter.Tendsto f k l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : CategoryTheory.Arrow.mk p ≅ CategoryTheory.Arrow.mk p'
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p ↔ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
⊢ (fun c => ↑((const α (i c)).restrict {a | i c ≤ f a}) a) = fun k => if i k ≤ f a then i k else 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
p : Pair M i
hm : ¬p.head = 1
⊢ (rcons p).prod = of p.head * p.tail.prod
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).hom.app X).τ₃.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₃.obj X_1)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.support f = s ↔ (∀ x ∈ s, f x ≠ 0) ∧ ∀ x ∉ s, f x = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
p : α → Prop
h : ∀ {a' a : α}, r a' a → p a → p a'
s' s : Multiset α
⊢ CutExpand r s' s → (∀ a ∈ s, p a) → ∀ a ∈ s', p a
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m n α
⊢ 1 * M = M
a b : Prop
⊢ a ∨ b ↔ ¬(¬a ∧ ¬b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ count s
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a a' b : E
r : k
ha : a ≤ a'
hr : r ≤ 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r ≤ (AffineMap.lineMap a' b) r