ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g f' g' : X ⟶ Y
hf : f = f'
hg : g = g'
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.parallelPair.eqOfHomEq hf hg).inv.app X_1 =
    (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl X) (CategoryTheory.Iso.refl Y) X_1).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
⊢ Convex 𝕜 {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x y : L
⊢ y ∈ LieSubalgebra.engel R x ↔ ∃ n, ((LieAlgebra.ad R L) x ^ n) y = 0
α : Type u_1
β : Type u_7
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero β
AddMonoid N
AddCommMonoid P
f : α →₀ β
g : α → β → N →+ P
x : N
⊢ (f.sum g) x = f.sum fun i fi => (g i fi) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
⊢ (ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
a : α
⊢ (pure a).IsCountablyGenerated
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).Δ = ↑C.u⁻¹ ^ 12 * W.Δ
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
h : 0 ∈ S
a b : LocalizedModule S M
⊢ a = b
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree ≤ n
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
⊢ ((gammaMeasure a r) (Iic x)).toReal = (∫⁻ (x : ℝ) in Iic x, ENNReal.ofReal (gammaPDFReal a r x)).toReal
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
u : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)))
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => f x • ↑↑u x) 1 μ
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
h : Function.Surjective F.obj
X : C
⊢ F.obj X ∈ F.essImage
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b c : α
hc : p * b = a * c
⊢ p ∣ a ∨ a ∣ b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
this : Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Surjective (Multiset.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1
⊢ s.mulIndicator (g ∘ f) = g ∘ s.mulIndicator f
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
t : Set ℕ
ht : t.Infinite
h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))
u : Set ι
hut : u ⊆ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) '' t
hu : u.Finite
n : ℕ
hi : (Infinite.natEmbedding ι) n ∈ u
⊢ ⋂ n ∈ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) ⁻¹' u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n) ⊆ s ((Infinite.natEmbedding ι) n)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : Subtype MeasurableSet
⊢ ↑(s ⇨ t) = ↑s ⇨ ↑t
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ ↑0 = 0
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (map (fun p => p.1 + p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ
k : Type u
Field k
IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
⊢ ∃ z, z ^ n = x
R : Type u_1
K : Type v
L : Type w
CommRing R
Field K
Field L
i : R →+* K
j : K →+* L
f : R[X]
h : Polynomial.Splits i f
⊢ Polynomial.Splits (j.comp i) f
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : ¬Integrable I l f vol
⊢ integral I l (-f) vol = -integral I l f vol
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
d : l.Nodup
⊢ List.count a l = if a ∈ l then 1 else 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true
⊢ (fun a_1 => decide ((a_1 == a) = true ∧ p a_1 = true)) = fun x => x == a
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a b : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ {a b : σ →₀ ℕ}, ((a + b).sum fun x e => e) ≤ (a.sum fun x e => e) + b.sum fun x e => e
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Monotone (f (a, b))
p m n : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p (m ^ n) = n • multiplicity p m
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
b : Γ
T : Turing.Tape Γ
i : ℤ
⊢ (Turing.Tape.write b T).nth i = if i = 0 then b else T.nth i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ¬∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)
a : Int
b : Int
H : b ≠ 0
⊢ a * b / b = a
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ edist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ edist p₁ p₃ + edist p₂ p₄
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)
hg : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ MeasurableSet {x | LineDifferentiableAt 𝕜 f x v}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F
⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c - f z) s x = iteratedDerivWithin n (fun z => -f z) s x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
IsEmpty n
A : Matrix n n R
⊢ A.det = 1
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
β : AddOreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r -ₒ s)
q : AddOreLocalization S X
⊢ β q
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ LiftPropAt P f ↑x ↔ LiftPropAt P (f ∘ Subtype.val) x
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
x : M × ↥S
hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1
y : M × ↥S
hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1
⊢ ↑1 * (↑y.2 * x.1) = ↑1 * (↑x.2 * y.1)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, t i
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x ≠ 0
⊢ P y ≠ 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
⊢ (Rat.MulRingNorm.mulRingNorm_padic p) r = ↑(padicNorm p r)
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
Semiring k
Mul G
Semiring R
g_hom : Type u_3
FunLike g_hom G R
MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
⊢ (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) a * (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) b
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
ys : List β
w : 0 < (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val.length
⊢ (match impl C xs y ⟨(suffixLevenshtein C xs ys).val, ?w'⟩ with | ⟨r, w⟩ => min (C.delete x + r[0]) (min (C.insert y + levenshtein C (x :: xs) ys) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))) = min (C.delete x + (suffixLevenshtein C xs (y :: ys)).val[0]) (min (C.insert y + (levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val)[0]) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex))) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)
n : ℕ
⊢ (n + 2).primeFactorsList = (n + 2).minFac :: ((n + 2) / (n + 2).minFac).primeFactorsList
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
s : S
x : R
t : ↥M
e : s * (algebraMap R S) ↑(x, t).2 = (algebraMap R S) (x, t).1
⊢ ∃ a, IsUnit ((algebraMap R S) a) ∧ ∃ y, (algebraMap R S) y = s * (algebraMap R S) a
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
t : Finset β
hαt : Fintype.card α = t.card
s : Finset α
f : α → β
hfst : Finset.image f s ⊆ t
hfs : Set.InjOn f ↑s
⊢ ∃ g, ∀ i ∈ s, ↑(g i) = f i
R : Type u_1
AddCommGroupWithOne R
PartialOrder R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass R
NeZero 1
n : ℤ
⊢ 0 ≤ ↑n ↔ 0 ≤ n
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ 0 ≤ c * f x
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (n + 1) = Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R n + Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1)
α : Type u
p : Poly α
⊢ Dioph.DiophFn fun v => (p v).natAbs
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Submodule R M
self : S.IsPrincipal
⊢ ∃ a, S = Submodule.span R {a}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
n : ℕ
⊢ Function.Semiconj f ga^[n] gb^[n]
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
n m : ℕ
h_eq : Order.succ^[n] a = Order.succ^[m] a
h_lt : n < m
⊢ IsMax (Order.succ^[n] a)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : z -ᵥ x ∈ s.direction
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharZero R
m : ℕ
hnm : cyclotomic 0 R = cyclotomic m R
⊢ 0 = m
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Set.InjOn ⇑f ↑p ↔ Set.SurjOn ⇑f ↑p ↑p
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Combinatorics.Line α ι
l' : Combinatorics.Line α ι'
x : α
⊢ (fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x =
  Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖₊ ≤ ‖q c.length‖₊ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖₊
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source ↔
  SmoothOn I I (↑f) f.source ∧ SmoothOn I I (↑f.symm) f.target
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E × F
⊢ x ∈ f.graph ↔ ∃ y, (↑y, ↑f y) = x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ Sbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ 2 * Real.cos x ^ 2 = (b - a) / 8 - (Real.sin (4 * b) - Real.sin (4 * a)) / 32
α : Type u
β : Type v
Mul β
Preorder β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
k l : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs (k + l) N = LieSubmodule.ucs k (LieSubmodule.ucs l N)
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
DecidableEq α
Fintype β
DecidableEq β
h : Fintype.card α = Fintype.card β
⊢ Fintype.card ↑(derangements α) = Fintype.card ↑(derangements β)
n : ℕ
⊢ |↑n| = ↑n
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
⊢ g ^ k = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
x : ℝ
⊢ 0 ≤ Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f x
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
⊢ q < p.succ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPolynomial.monomial (∑ i ∈ s, f i)) a = MvPolynomial.C a * ∏ i ∈ s, (MvPolynomial.monomial (f i)) 1
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ IsNilpotent (mulLeft R a) ↔ IsNilpotent a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ a * b
⊢ p ^ n ∣ a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F)) ≫ f.F = π(π₁, (prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F)) ≫ g.F) ≫ f.F
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → Complex.abs (g ε w) ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
hR₀ : 0 < R
hgd : Differentiable ℂ (g ε)
hd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))
w : ℂ
hw : w ∈ frontier (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))
⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
L : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
h : L ⊣ F
F.Full
F.Faithful
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) L
⊢ CategoryTheory.CartesianClosedFunctor F
k m : Nat
n : Nat
H : k.Coprime m
⊢ m.gcd (k * n) = m.gcd n
M : Type u_1
NonAssocSemiring M
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ∈ Set.center M
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ eLpNorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g 1 μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : Prop
⊢ MeasurableSet {_a | p}
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ((PartialEquiv.refl α).restr s).target = s
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ (∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
m : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
h : Nat.findGreatest P n = m
h0 : m ≠ 0
⊢ P m
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.next hs (s.prev hs x hx) ⋯ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b = 1
⊢ b = 1 / a