ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
q : P
i : ι
⊢ b.coords q i = (b.coord i) q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₂ S.g = 0
⊢ ∃ A' π,
  ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π),
    ∃ x₁, CategoryTheory.CategoryStruct.comp π x₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x₁ S.f
P : ℕ → Prop
h₀ : P 0
h₁ : P 1
h : ∀ (p a : ℕ), Nat.Prime p → P a → P (p * a)
n : ℕ
⊢ P n
α : Type u_1
β : Type v
t : Multiset β
⊢ 0 ×ˢ t = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
x : E
s : Finset E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s
⊢ f x ≤ s.sup' ⋯ f
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
⊢ SmoothWithinAt I I id s x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ IntegrableAtFilter ((Ioi 1).indicator fun x => P.f x - P.f₀) (𝓝[Ioi 0] x) volume
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
s : Set ι
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
⊢ Set.MapsTo ⇑f ↑(⨆ i ∈ s, N i) ↑(⨆ i ∈ s, N i)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p a b c d x y k1 : R
hk1 : a * x + b * y = p * k1
k2 : R
hk2 : c * x + d * y = p * k2
⊢ (p * k1 - b * y) * d - (p * k2 - d * y) * b = p * (d * k1 - b * k2)
m : Nat
u : UInt32
⊢ m > 0 → (u % m).toNat < m
α : Type u_1
β : Type u_2
g : Filter β
⊢ ⊤ ×ˢ g = Filter.comap Prod.snd g
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r = EMetric.closedBall x r
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ (N₁ ⊓ N₂).normalizer = N₁.normalizer ⊓ N₂.normalizer
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r
⊢ { r' // x < ↑r' }
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
⊢ f.toFinsupp i = f.coeff i
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = (minpoly F α).natSepDegree
f g : CircleDeg1Lift
⊢ f (g 0) ≤ f 0 + ↑⌈g 0⌉
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
NonUnitalSemiring α
StarRing α
Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix n m α
hA : A.IsHermitian
⊢ (B * A * B.conjTranspose).IsHermitian
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.toJordanDecomposition 0 = 0
α : Type u_1
s t : Finset.Colex α
⊢ s.ofColex ≠ t.ofColex ↔ s ≠ t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q✝ : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1
⊢ p.natDegree = 0
n : ℕ∞
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
c : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ContDiff ℝ n ↑(PartialHomeomorph.unitBallBall c r hr).symm
ι : Type u_1
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
CommRing R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
DecidableEq ι
e : Basis ι R₂ M₂
w : ι → R₂ˣ
⊢ e.toMatrix ⇑(e.unitsSMul w) = Matrix.diagonal (Units.val ∘ w)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
h : ↥H
g : G
⊢ RightCosetEquivalence (↑H) (↑h * g) g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ dist (f 0) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, dist (f i) (f (i + 1))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
⊢ Submodule.span R₂ (⇑f '' s) = Submodule.map f (Submodule.span R s)
x : ℝ
⊢ Real.sin x ^ 2 = 1 / 2 - Real.cos (2 * x) / 2
C : Type u_1
C' : Type ?u.89621
D : Type u_5
D' : Type ?u.89627
H : Type u_2
H' : Type ?u.89633
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.89641, ?u.89621} C'
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝⁴ : Category.{?u.89649, ?u.89627} D'
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} H
inst✝² : Category.{?u.89657, ?u.89633} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : F.HasRightDerivedFunctor W
⊢ L.HasLeftKanExtension F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y) (a : ↑(F.eventualRange X)),
  F.toEventualRanges.map f a = Set.MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ a
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
s : Subgroup α
g z : α
⊢ z ∈ {x | ↑x = ↑g} ↔ z ∈ g • ↑s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x < 1 - fract x
⊢ |x - ↑(if fract x < 1 - fract x then ⌊x⌋ else ⌈x⌉)| = if fract x < 1 - fract x then fract x else 1 - fract x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ p₁ ≠ p₂
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
hf_i : Set.InjOn f (Set.Ioo a b)
⊢ StrictMonoOn f (Set.Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : Associates.FactorSet α
⊢ a ≤ b → a.prod ≤ b.prod
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (Metric.sphere z R)
hw : w ∈ Metric.ball z R
⊢ Continuous (Complex.circleTransformDeriv R z w f)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
Star A
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →⋆ₙₐ[S] B
⊢ ↑(NonUnitalStarAlgHom.restrictScalars R f) = ↑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
a b : Bool
⊢ (a || b || b) = (a || b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
l : List R
b : ↥M
⊢ Localization.mk l.sum b = (List.map (fun a => Localization.mk a b) l).sum
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-b * ‖x‖ ^ p)
α : Type u_2
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a ≠ 0 → 0 < |a|
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℂ
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ fourierCoeffOn hab (c • f) n = c • fourierCoeffOn hab f n
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ s = Sym.replicate n a ↔ ∀ b ∈ s, b = a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ
⊢ (f * ↑ζ) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
α : Type u_1
f : ℕ → ℕ → Set α
⊢ ⋂ n, f (Nat.unpair n).1 (Nat.unpair n).2 = ⋂ i, ⋂ j, f i j
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
hf : Function.Surjective ⇑f
a : A ⧸ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hf) a = (↑f).kerLift a
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
h✝ : IsEmpty n
⊢ IsNilpotent M.trace
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : q ≤ p
⊢ lp E q ≤ lp E p
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
⊢ ∀ x ∈ N, x = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ (c X) S ≤ (c X) ((c X) R)
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ +ᵥ x) = f x
⊢ essSup f (μ.restrict s) = essSup f μ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
⊢ IsPreconnected (f '' s) ↔ IsPreconnected s
o o' : ONote
m : ℕ
o.NF
⊢ o.split' = (o', m) → o.split = (ONote.scale 1 o', m)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.236825
S'' : Type ?u.236828
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
v : P.vars →₀ ℕ
r : R
⊢ f.toAlgHom ((monomial v) r) = r • v.prod fun x x_1 => f.val x ^ x_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.d i j ≫ K.pOpcycles j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ 𝓟 t ↔ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s} ∈ f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjoint (adjoint A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure ↑(Subsemigroup.closure s) = NonUnitalSubsemiring.closure s
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
Subsingleton β
f : α → β
⊢ Monotone f
a : String
⊢ Levenshtein.stringLengthCost.delete a = a.length
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 V A
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : a ≤ 0
⊢ b + a < c
R : Type u_12
R₂ : Type u_13
M : Type u_14
M₂ : Type u_15
Semiring R
Ring R₂
AddCommMonoid M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.range (-f) = LinearMap.range f
α : Sort u
h : DecidableEq α
a b : α
n : a ≠ b
⊢ h a b = isFalse n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ s.secondInter p (r • v) = s.secondInter p v
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b ∧ ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b ∧ ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Ioo a b ⊆ Ioi a
α : Type u_11
β : Type u_12
Monoid α
self : MulAction α β
b : β
⊢ 1 • b = b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
⊢ (((quotQuotEquivQuotSup I J).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup J I).symm).symm = ((quotQuotEquivQuotSup J I).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup I J).symm
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∩ {b | ¬a ≤ b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ
⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) ↔ ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1
X : Type u_1
x : X
⊢ OnePoint.infty ≠ ↑x
A : Type u_3
NonUnitalRing A
Module ℂ A
IsScalarTower ℂ A A
SMulCommClass ℂ A A
a : A
⊢ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM ↔ ∀ x ∈ quasispectrum ℂ a, x = ↑x.re
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalNonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
M : Type u
Monoid M
F : Type v
Field F
MulSemiringAction M F
m : M
p : Polynomial ↥(FixedPoints.subfield M F)
⊢ m • p = p
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ ((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) X✝).map f ≫ (fun X => (T.app X.1).app X.2) Y = (fun X => (T.app X.1).app X.2) X ≫ ((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) Y✝).map f
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
⊢ {M | M.E ⊆ E}.Finite
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ f.comp AffineIsometry.id = f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
⊢ Function.Injective fun w => HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
R : Type u
InvolutiveStar R
⊢ Function.Injective star
a : ℝ≥0∞
⊢ 0 < a.toNNReal ↔ 0 < a ∧ a < ⊤
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
⊢ G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => c - f y) x = -deriv f x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.IsCaratheodory s ↔ ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}
⊢ ∃ a, f a = y
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ -g + h + g ∈ H
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial R
x : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) x ≠ 1
p r : ℕ
i : ℕ
pp : Nat.Prime p
hr0 : r ≠ 0
⊢ ¬p ∣ r ↔ (p * i + r).factorization p = 0
l : List Char
c : Char
m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l (c :: m) r s → s.front = c
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx✝ : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
x✝¹ x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : (starRingEnd ℂ) (x✝¹ φ) = x✝¹ (ComplexEmbedding.conjugate φ)
hy : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)
⊢ (starRingEnd ℂ) ((x✝¹ + x✝) φ) = (x✝¹ + x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ SmoothOn I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) φ s ↔ ∀ (i : ι), SmoothOn I 𝓘(𝕜, Fi i) (fun x => φ x i) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
this : 0 < 1 - abv x
⊢ ∀ n ≥ 0, (1 - abv x ^ n) / (1 - abv x) ≤ (1 - abv x ^ n.succ) / (1 - abv x)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) * f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (FreeAddMonoid.lift fun x => FreeAddMonoid.of (f x)) = FreeAddMonoid.map f
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ 0 ≤ ⟪x, x⟫_ℝ
a b c : Int
⊢ max a b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C
⊢ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom = (ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
self : Topology.IsScottHausdorff α
⊢ inst✝ = Topology.scottHausdorff α
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ (∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑i)⁻¹).trim = ⨆ n, mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).inverse.obj c).pt = c.left
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a
⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 * a.2
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
x : s.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π F j (CategoryTheory.Limits.limit.lift F s x) = s.π.app j x
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousWithinAt (f k) s x
⊢ ContinuousWithinAt ((partialSups f) n) s x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
⊢ (⋂₀ J).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair f (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)