ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s : Set α
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ↔ μ s = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < 1 → a • x + b • y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
X Y : C
P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
h' : CategoryTheory.IsPushout f g inl' inr'
⊢ inl' ≫ (CategoryTheory.IsPushout.isoIsPushout X Y h h').inv = inl
xl xr : Type u
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)
⊢ x ≈ y
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{v, max u u'} (ℵ₀ + (lift.{u, u'} #α + lift.{u', u} #((i : ℕ) × L.Functions i))) + lift.{max u u', v} (lift.{0, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + lift.{v, 0} ℵ₀)) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ (Ioc a b).Nonempty ↔ a < b
M : Type u_1
AddMonoid M
n : AddUnits ↥(AddSubmonoid.center M)
⊢ ↑↑((addUnitsCenterToCenterAddUnits M) n) = ↑↑n
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H α
hy : y ∈ LieAlgebra.rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
G : Type u_1
Group G
z : G
⊢ z ∈ Subgroup.center G ↔ ∀ (g : G), g * z = z * g
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hd : finrank K V = d + 1
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p ∧ 0 ≤ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g ((a', b').2 • (a, b).1 + (a, b).2 • (a', b').1)) = ↑⋯.unit⁻¹ (g a) + ↑⋯.unit⁻¹ (g a')
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hu : DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ deriv (fun y => (c y) (u y)) x = (deriv c x) (u x) + (c x) (deriv u x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (↑p ^ (n + 1) * WittVector.polyOfInterest p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Set α
t : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ insert a s, t x = t a ∪ ⋃ x ∈ s, t x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ lowerClosure ↑s ⊓ lowerClosure ↑t
⊢ a ∉ lowerClosure ↑(s ⊼ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊤ → (p x ↔ q x)
⊢ Filter.bliminf u f p = Filter.bliminf u f q
m n : ℕ
⊢ m ≤ n.succ ↔ m ≤ n ∨ m = n.succ
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i
⊢ (Quotient.out (x a)).fst ∈ range fun a => (Quotient.out (x a)).fst
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
u₂ : Set (β × β)
h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β
hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂
u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁
t : Set α
tx : t ∈ 𝓝[s] x
F : α → β
hFc : ContinuousWithinAt F s x
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⊤.spanningCoe = G
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
self : L →ₗ⁅R⁆ L'
x y : L
⊢ (↑self).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅(↑self).toFun x, (↑self).toFun y⁆
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
⊢ LinearMap.ker (f.prodMap g) = (LinearMap.ker f).prod (LinearMap.ker g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∀ (b' : ℕ), b' ≠ Fintype.card ι - 1 → ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b') fun x_1 => x) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E
⊢ -1 * s - t * -1 ≠ 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTrivial L M
x y : L
⊢ φ x ∘ₗ φ y = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f {x}
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
⊢ (cons h p).IsCycle ↔ p.IsPath ∧ s(u, v) ∉ p.edges
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ Real.arccos x = Real.arctan (√(1 - x ^ 2) / x)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
n : ℕ
r : R
⊢ (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor I C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.colimitHomIsoLimitYoneda F A).hom
    (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op.comp (CategoryTheory.yoneda.obj A)) (Opposite.op i)) =
  (CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op).app A
ι✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → ‖F n x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in a..b, F n x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ))
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d
⊢ (a + c) % d = (b + c) % d
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ (Finset.Ico a b).card = if h : a.fst = b.fst then (Finset.Ico (h ▸ a.snd) b.snd).card else 0
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
⊢ f +ᵥ ⊥ = ⊥
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x✝ y x : α
⊢ x ∈ {x | c.IsClosed x} ↔ x ∈ range ⇑c
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
this : Subsingleton α
⊢ HEq a b
R : Type u_1
LinearOrderedField R
x : R
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ χ ↑(-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑(-1)) = χ (-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift (-1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).Regular
⊢ μ = map (⇑f.symm) (map (⇑f) μ)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
f : ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1) = ↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1)
⊢ ↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1) = ↑n / 2
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
x : A
⊢ (ContinuousAlgHom.id R A) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable Y' μ'
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
⊢ M.PosSemidef
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
a b : ℕ
⊢ Finset.Ico a b.succ = Finset.Icc a b
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
⊢ l₁.reverse.reverse <:+ l₂.reverse.reverse ↔ l₁ <:+ l₂
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
⊢ (∃ i, r = c₂ i) → r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝² : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
t : ι → Set α
V : ι → Set (β × β)
ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖
hmono : Monotone t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V
this : Nonempty ι
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasAntitoneBasis fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L₂ M₂
LieModule R L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y : V₁
hy' : g y = 0
hy : f y = 0
t : K
hz : t • x ∈ p
⊢ f (y + t • x) = g (y + t • x)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : β → γ
i : γ → β
hf : Function.LeftInverse f g
hh : Function.LeftInverse h i
⊢ Function.LeftInverse (h ∘ f) (g ∘ i)
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
SMul α γ
a : α
x : β → γ
y : I → β
⊢ (a • x) ∘ y = a • x ∘ y
d : ℤ
x : ℤ√d
⊢ x.norm.natAbs = 1 ↔ IsUnit x
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Monoid A
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
g : ContinuousMonoidHom B C
f : ContinuousMonoidHom A B
⊢ PontryaginDual.map (g.comp f) = (PontryaginDual.map f).comp (PontryaginDual.map g)
R : Type u_1
DivisionSemiring R
NeZero 2
a : R
⊢ a / 2 + a / 2 = a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ (((𝟙 (N₁.obj (Γ₀.obj K)) ≫ Split.toKaroubiNondegComplexFunctorIsoN₁.inv.app (Split.mk' (Γ₀.splitting K))) ≫ 𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj (Γ₀.splitting K).nondegComplex)) ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀'CompNondegComplexFunctor.hom.app K)) ≫ 𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj K) = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
h : x ∈ span R s
⊢ f x ∈ span R₂ (⇑f '' s)
R : Type u_1
Ring R
StrongRankCondition R
n : ℕ
m : ℕ
v : Fin m → Fin n → R
⊢ LinearIndependent R v → m ≤ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D)ᵒᵖ} (η : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).functor.map η).app X_1 = (η.unop.app (Opposite.op X_1)).op
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
hc : ↑↑⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ 1 0 ≠ 0
h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩) z ≠ 0
⊢ ∃ u v w, (fun x => ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ • x) = (fun x => w +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
n : ℕ
⊢ n + 2 ≤ Nat.nth Nat.Prime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf CommRingCat X
U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ : Opens ↑X
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑(F.obj (op U₁))
y₂ : ↑(F.obj (op U₂))
f : ↑(F.obj (op (U₁ ⊔ U₂)))
x : ↑(F.obj (op U₃))
h₄₁ : U₄ ≤ U₁
h₄₂ : U₄ ≤ U₂
h₅₁ : U₅ ≤ U₁
h₅₃ : U₅ ≤ U₃
h₆₂ : U₆ ≤ U₂
h₆₃ : U₆ ≤ U₃
h₇₄ : U₇ ≤ U₄
h₇₅ : U₇ ≤ U₅
h₇₆ : U₇ ≤ U₆
e₁ : (F.map (homOfLE h₇₅).op) ((F.map (homOfLE h₅₁).op) y₁) = (F.map (homOfLE h₇₅).op) ((F.map (homOfLE h₅₁).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ * (F.map (homOfLE h₅₃).op) x)
e₂ : (F.map (homOfLE h₇₆).op) ((F.map (homOfLE h₆₂).op) y₂) = (F.map (homOfLE h₇₆).op) ((F.map (homOfLE h₆₂).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ * (F.map (homOfLE h₆₃).op) x)
⊢ (F.map (homOfLE h₇₄).op) ((F.map (homOfLE h₄₁).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * y₁)) = (F.map (homOfLE h₇₄).op) ((F.map (homOfLE h₄₂).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * y₂))
α : Type u_2
Add α
s t u : Set α
⊢ s + t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x + y ∈ u
α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : s a b = true
⊢ List.merge s (a :: l) (b :: r) = a :: List.merge s l (b :: r)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hX : self.LE 0 X
hY : self.GE 1 Y
⊢ f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s + t)
s : Set (ℝ × ℝ)
r₁ r₂ : ℝ
H : ∀ x ∈ s, |x.1| < r₁ ∧ |x.2| < r₂
⊢ UniformContinuous fun p => (↑p).1 * (↑p).2
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : 3 * (ll.size + lr.size + 1) < rl.size + rr.size + 1
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size
hr₁ : rl.size ≤ delta * rr.size
hr₂ : rr.size ≤ delta * rl.size
⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
α : Type u
⊢ Subsingleton (Option α) ↔ IsEmpty α
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (p + -q).Monic
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
⊢ map₂ f (span R {m}) = map (f m)
n : ℕ
b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Iic b) = Finset.Iic ↑b
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ c * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
hr : r ∈ ⊥
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
⊢ L.mapArrow.EssSurj
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y + c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : B.SeparatingLeft
x : Mₗ₁'
y : Mₗ₂
hx : (((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B) x) (e₂ y) = 0
⊢ (B (e₁.symm x)) y = 0
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
⊢ c.sizeUpTo i ≤ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
⊢ f ∈ s.dfinsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
l : List M
⊢ CliffordAlgebra.reverse (List.map (⇑(CliffordAlgebra.ι Q)) l).prod = (List.map (⇑(CliffordAlgebra.ι Q)) l).reverse.prod
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r
hi : s.Infinite
m n : ℕ
hmn : m < n
h : r ↑((Infinite.natEmbedding s hi) m) ↑((Infinite.natEmbedding s hi) n)
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
SMul α β
a : α
s : ι → Set β
⊢ a • ⋃ i, s i = ⋃ i, a • s i
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
⊢ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n
⊢ ∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) (Multiset.map f l)).prod
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0
⊢ Tendsto (fun x => |tan x|) (𝓝[≠] x) atTop