ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁷ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : BorelSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
e : G ≃* H
he : Continuous ⇑e
hesymm : Continuous ⇑e.symm
K : Set H
hK : IsCompact K
F : G ≃ₜ H := let __src := e.toEquiv; { toEquiv := __src, continuous_toFun := he, continuous_invFun := hesymm }
⊢ μ (⇑F.toMeasurableEquiv ⁻¹' K) < ⊤
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ ↑(x ^ φ n) = ↑1
k : ℕ
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
⊢ x ∈ c.eval n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ X : CosimplicialObject C
X₀ : C
f : X₀ ⟶ X.obj [0]
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : [0] ⟶ i), f ≫ X.map g₁ = f ≫ X.map g₂
i j : SimplexCategory
g : i ⟶ j
⊢ 𝟙 X₀ ≫ f ≫ X.map ([0].const j 0) = (f ≫ X.map ([0].const i 0)) ≫ X.map g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₃
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X
⊢ Epi f
M : Type u_5
N : Type u_6
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Add M
Add N
Add M'
Add N'
f : AddHom M M'
g : AddHom N N'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
α : Type u
Preorder α
NoMinOrder α
⊢ ¬BddBelow Set.univ
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map List.reverse l.tails = l.reverse.inits.reverse
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0
⊢ ∑' (x : ι), a * f x = a * ∑' (x : ι), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Set.InjOn f (↑s ∪ ↑t)
⊢ Finset.image f (s ∩ t) = Finset.image f s ∩ Finset.image f t
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a b : α
ha : normalize a = a
hb : normalize b = b
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
⊢ a = b
α : Type u_1
LE α
a b : WithBot αᵒᵈ
⊢ WithBot.ofDual a ≤ WithBot.ofDual b ↔ b ≤ a
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X =
  (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).hom.app X) ≫
    (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ re (fr.extendTo𝕜' x) = fr x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h : f = g
x : (CategoryTheory.forget C).obj X
⊢ f x = g x
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
x y : Sigma β
h : x.fst ≠ y.fst
h_2 : a = x.fst
h_1 : a = y.fst
⊢ x = y ∧ ⟨a, b⟩ = ⟨a, b⟩
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B) =
  ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
⊢ log x * y ≤ log x * z
α : Type u
SubtractionMonoid α
u₁ u₂ : AddUnits α
⊢ ↑(u₁ - u₂) = ↑u₁ - ↑u₂
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
⊢ MulAction.fixedBy α g⁻¹ = MulAction.fixedBy α g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
e : ¬x = y
U V : Set X
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hxU : x ∈ U
hyV : y ∈ V
h' : Disjoint U V
⊢ False
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
i : ι
⊢ (b.repr (Zspan.fract b m)) i = Int.fract ((b.repr m) i)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable (∑' (i : ι), f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ Injective fun a => a / b
s : Substring
⊢ s.Valid → ∀ (n : Nat), (s.take n).Valid
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
a : α
⊢ a ≤ s.inf fun x => a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
P : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (⊤_ C) P
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor P).inv =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.terminal.from P) (𝟙 P)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
fa : α✝ → α✝
fb : β✝ → β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → γ
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : RightInvOn ψ φ s
ψts : MapsTo ψ s t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
l : x ≤ y
ψxy : ψ x ≤ ψ y
⊢ ψ x ≤ ψ y
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ∀ (j : J), { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) ≫ limit.π Z✝ j = ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β) ≫ limit.π Z✝ j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.SymmetricCategory C
X Y : C
⊢ (β_ X Y).hom ≫ (β_ Y X).hom = 𝟙 (X ⊗ Y)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
⊢ IsPrincipalIdealRing R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (λ_ Y).inv
α : Type u_1
MonoidWithZero α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
x : α
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ ⟨x, hx⟩ ^ n = ⟨x ^ n, ⋯⟩
p : ℕ
R : Type u_1
coeff✝¹ coeff✝ : ℕ → R
h : ∀ (n : ℕ), coeff✝¹ n = coeff✝ n
⊢ { coeff := coeff✝¹ } = { coeff := coeff✝ }
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (_root_.fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x r
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
s : Finset α
t : Finset α
hs : 0 ∈ s
⊢ t ⊆ s + t
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 1 ≤ c ↔ 0 < c
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I
⊢ (embedBox I J h) π ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
α : Type u_2
A B : Set α
⊢ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' B) ⊆ B
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
h : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p < i.succ
⊢ p.succAbove i ≠ p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Z.base).map (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base).map f.fiber ≫ g.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.base).map { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber }.fiber ≫ { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.fiber
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝
⊢ G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (G.obj' 1 ⋯) = G.map' 0 1 ⋯ ⋯
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
α' : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
DecidableEq α'
DecidableEq α
f : α → β
g : α' ≃ α
a : α
v : β
⊢ Function.update f a v ∘ ⇑g = Function.update (f ∘ ⇑g) (g.symm a) v
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
⊢ ‖f‖ < M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
α : Type u
s : Set α
Countable ↑s
⊢ s.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
x✝ : ι → α
x : α
⊢ f (⨆ i, x✝ i) ≤ f x ↔ ⨆ i, f (x✝ i) ≤ f x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)
⊢ ⨆ i, f i = span (Subtype.val '' ⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μa : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
μb : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹
self : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
⊢ Measurable f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0
h₀ : ∀ {α β : Type} (f : α → β), (fun x => x) ∘ f = f
h₁ : ∀ {α : Type ?u.167360} {β : Type ?u.167363} (f : α → β), (f ∘ fun x => x) = f
h₂ : WithBot.some = Nat.cast
h' : (((finSuccEquiv R n) f).support.sup fun x => x) = degreeOf 0 f
⊢ ((finSuccEquiv R n) f).degree = ↑(degreeOf 0 f)
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f g : α → σ
hf : Computable f
H : ∀ (n : α), f n = g n
⊢ Computable g
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
self : Module.Flat R M
I : Ideal R
⊢ I.FG → Function.Injective ⇑(TensorProduct.lift (LinearMap.lsmul R M ∘ₗ Submodule.subtype I))
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
⊢ n < (find P).get h₁
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R = ∑ i ∈ range n, X ^ i
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
S : Type u_1
AddSemigroup S
a b x y z : S
ha : AddSemiconjBy a y z
hb : AddSemiconjBy b x y
⊢ AddSemiconjBy (a + b) x z
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
h : {p | S ⊆ ↑p} = ⋂₀ ((fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S)
⊢ (∀ s ∈ (fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S, s = Set.univ) ↔ ∀ φ ∈ S, {p | φ ∈ p} = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPushout 0 0 b.inl b.inr
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
u : AddUnits M
⊢ AddCommute a ↑u → AddCommute a ↑(-u)
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ = 1 ↔ a = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
t : Set E
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
⊢ fderivWithin 𝕜 f t x ∈ s ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ fderivWithin 𝕜 f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s
R₂ : ℝ
hR₂ : 0 < R₂
hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1
hbdd' : ∀ x ∈ ball x₀ R₂, ‖v x‖ ≤ 1 + ‖v x₀‖
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
v : V
C : G.ComponentCompl K
⊢ v ∈ C ↔ ∃ (vK : v ∉ K), G.componentComplMk vK = C
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ (PartialHomeomorph.refl X).trans e = e
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
⊢ y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
hd : Summable d
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → edist (f n) (f N) < ↑ε
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (s + t) = Finset.image (⇑f) s + Finset.image (⇑f) t
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n + 1 ≤ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 2
⊢ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * (1 + 1) ≠ n + 1
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
⊢ (λ_ (F.map f)).hom = ((fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f) ≫ (F.map₂Iso (λ_ f)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ∑' (i : ↑fun x => x ∈ t → False), ‖f (↑i) x‖ ≤ ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
hs : s.EquitableOn f
w : α
hw : w ∈ s
hwx : f w < f x
⊢ ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
b b' : ℤ
k : ℕ
h : b ≡ b' [ZMOD ↑k]
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L ≡ Nat.ofDigits b' L [ZMOD ↑k]
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negOfNat n) = -↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ segment 𝕜 x y ⊆ (convexHull 𝕜) s
α : Type u
r : α → α → Prop
h : IsWellOrder α r
⊢ (#α).ord ≤ Ordinal.type r
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
m : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), ↑m = ↑n → m = n
n : ℕ
h : ↑(m + 1) = ↑(n + 1)
⊢ m + 1 = n + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (Iio a).card = (Iic a).card - 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁ = φ₂ + S₁.nullHomotopic S₂ h.h₀ ⋯ h.h₁ h.h₂ h.h₃ ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
D : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
⊢ functor r ⋙ lift r F H = F
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n✝ : ℕ
x : α
hx : f x = g x
n : ℕ
ihn : f^[n] x = g^[n] x
⊢ f^[n.succ] x = g^[n.succ] x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β
⊢ diam (f '' s) ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) ≤ d
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
⊢ s.card < t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
g : γ ↪ α
s : Finset γ
⊢ fold op b f (map g s) = fold op b (f ∘ ⇑g) s
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime x (x * z + y)
⊢ IsRelPrime x y
α : Type u_1
Monoid α
a : α
ha : a ≠ 1
ha' : IsOfFinOrder a
⊢ Monoid.minOrder α ≤ ↑(orderOf a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
ι' : Sort u_7
inst✝ : CompleteLattice α
s : ι' → α
⊢ ⨆ x, s (Equiv.plift x) = ⨆ i, s i.down
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
singleton_mem : ∀ (x : α), {x} ∈ B
⊢ Bornology.cobounded α = Filter.comk (fun x => x ∈ B) empty_mem subset_mem union_mem
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Unique αˣ
x✝¹ x✝ : α
⊢ x✝¹ ~ᵤ x✝ ↔ x✝¹ = x✝
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : (A * J l R * Aᵀ).det = (J l R).det
⊢ (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Neg R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ -A₁.fromRows A₂ = (-A₁).fromRows (-A₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.X₄ = sq.X₄
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x y : α
hne : x ≠ y
⊢ {x, y}.encard = 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
⊢ (∀ (U V : Set ↑↑X.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)) ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
AddCommMonoid N
Module R N
ψ ψ' : (DirectSum ι fun i => M i) →ₗ[R] N
H : ∀ (i : ι), ψ ∘ₗ DirectSum.lof R ι M i = ψ' ∘ₗ DirectSum.lof R ι M i
⊢ ψ = ψ'
α : Type u_1
δ : α → Sort v
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : δ a
f : (a : α) → a ∈ s → δ a
h : a ∈ insert a s
⊢ Finset.Pi.cons s a b f a h = b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}
⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
i : I
⊢ Pi.mulSingle i 1 = 1
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ (2 ^ k * π ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ) * ‖v‖ ^ n = ‖v‖ ^ n * (2 ^ k * π ^ k * ‖L‖ ^ k) * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (map f s).SOppSide (f x) (f y) ↔ s.SOppSide x y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ interior (Set.Icc a b) = Set.Ioo a b
a b ab : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hab : b % a = ab
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat ab a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = -r
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
⊢ min (PiNat.firstDiff x y) (PiNat.firstDiff y z) ≤ PiNat.firstDiff x z
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ x₂ : X
p₀ q₀ : Path x₀ x₁
p₁ q₁ : Path x₁ x₂
F : p₀.Homotopy q₀
G : p₁.Homotopy q₁
t : ↑I
⊢ (F.hcomp G) (t, ⟨1 / 2, ⋯⟩) = x₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R
⊢ trop (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, trop (f i)