ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁵ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝³ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝² : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this : IsScalarTower Aₘ K L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
p : P
g : Dual R N
q : Q
m : M
n : N
⊢ (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (TensorProduct.map ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)) ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((dualTensorHom R (M ⊗[R] N) (P ⊗[R] Q)) ((dualDistrib R M N) (f ⊗ₜ[R] g) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q))) m) n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsLocalMin f a
g : α → γ
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => op (f x) (g x)) a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ x ∈ preserving_snd, ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.reverse.prev x ⋯ = l.next x hx
R : Type u_1
Ring R
CharP R 2
x : R
⊢ -x = x
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
a : 𝒳.obj
⊢ 𝒴.p.obj (F.obj a) = 𝒳.p.obj a
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 ≤ a
n : ℕ
⊢ a ^ n ≤ a ^ (n + 1)
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (ofReal' ∘ fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 ↑l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hbx : b ≤ x
⊢ x ∈ ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal₁ C D).inverse =
  (CategoryTheory.whiskeringLeft C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)).obj
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : WithLp p (α × β)
⊢ edist f f = 0
R : Type u_2
S : Type u_3
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
IsSemisimpleRing R
⊢ IsSemisimpleRing S
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s
R₂ : ℝ
hR₂ : 0 < R₂
hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1
hbdd' : ∀ x ∈ ball x₀ R₂, ‖v x‖ ≤ 1 + ‖v x₀‖
ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
hε0 : 0 < ε
⊢ IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L (min R₁ R₂ / 2) (1 + ‖v x₀‖)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ eLpNorm (μ[f|m]) 1 μ ≤ eLpNorm f 1 μ
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
⊢ ∀ s ∈ preimage f '' b, IsOpen s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : Aᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafCoyonedaHom α).app X =
  CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafHom
    (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.homOver α (Opposite.unop X))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
ha : IsTop a
hb : IsTop b
⊢ IsTop (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype α
inst : optParam (Fintype (Sym2 α)) Sym2.instFintype
a✝ : Sym2 α
⊢ a✝ ∈ univ.sym2 ↔ a✝ ∈ univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
F : Type u
Field F
DecidableEq F
h3 : 3 = 0
⊢ EllipticCurve.ofJ 0 = EllipticCurve.ofJ1728 F
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i j : ι
w : c.Rel i j
⊢ f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f i ≫ (C₂.xPrevIso w).inv
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y z : α
f : z ⟶ x
g : z ⟶ y
⊢ z ⊔ (x ⊔ (y ⊔ ⊥)) = z ⊔ (x ⊔ y)
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
⊢ ((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
p : R
hp : Prime p
⊢ IsPrimePow p
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
⊢ ContinuousOn (fun x => x ^ m) (Ioi 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
g : γ → α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
K : ℝ
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + K * dist x y
⊢ LipschitzWith K.toNNReal f
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
⊢ ∃ k > 0, Nat.card ↥(Subgroup.center G) = p ^ k
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf CommRingCat X
U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ : Opens ↑X
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑(F.obj (op U₁))
y₂ : ↑(F.obj (op U₂))
f : ↑(F.obj (op (U₁ ⊔ U₂)))
x : ↑(F.obj (op U₃))
h₄₁ : U₄ ≤ U₁
h₄₂ : U₄ ≤ U₂
h₅₁ : U₅ ≤ U₁
h₅₃ : U₅ ≤ U₃
h₆₂ : U₆ ≤ U₂
h₆₃ : U₆ ≤ U₃
h₇₄ : U₇ ≤ U₄
h₇₅ : U₇ ≤ U₅
h₇₆ : U₇ ≤ U₆
e₁ : (F.map (homOfLE ⋯).op) y₁ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (F.map (homOfLE ⋯).op) x
e₂ : (F.map (homOfLE ⋯).op) y₂ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (F.map (homOfLE ⋯).op) x
⊢ (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (F.map (homOfLE ⋯).op) y₁ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (F.map (homOfLE ⋯).op) y₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))
μS : Measure ↥S := addHaar
μT : Measure ↥T := addHaar
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : NormedAddGroupHom H K
x : Completion G
⊢ Completion.map (⇑g ∘ ⇑f) x = Completion.map (⇑(g.comp f)) x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : α' → β → δ
n' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n' a) b
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' (Filter.map n' f) g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E| * μ s
α : Type u_2
One α
s : Set α
⊢ s ⊆ 1 ↔ s = ∅ ∨ s = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)
hm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)
⊢ ⁅y, m⁆ ∈ 𝕎(M, χ₁ + χ₂, x)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
this : (fun p => p.1 * p.2) = (fun x => -x) ∘ (fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (-p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (-(-a, b).1, id (-a, b).2)
R : Type u_7
CommRing R
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
AddCommGroup M₁
Module R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₃
AddCommGroup N₁
Module R N₁
AddCommGroup N₂
Module R N₂
AddCommGroup N₃
Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Function.Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Function.Surjective ⇑f₂
hgexact : Function.Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Function.Surjective ⇑g₂
hfinj : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₃ g₁)
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
⊢ ‖a • u - b • u‖ = |‖a • u‖ - ‖b • u‖|
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ Metric.diam s
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ ≤ c * d⁻¹ ↔ a * d ≤ c * b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
r s ε : ℝ
⊢ IsOpen (B f K r s ε)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
α : Type u_4
SMul α R
SMul α A
IsScalarTower α R A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
m : α
⊢ ↑(m • c).den = ↑c.den
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₁ g₁
adj₂ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₂ g₂
⊢ (adj₁.comp adj₂).unit = adj₁.compUnit adj₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Comon_ C
⊢ (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' C A).one = A.counit.op
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
P Q : Subgroup M
⊢ MulAction.fixedPoints (↥(P ⊔ Q)) α = MulAction.fixedPoints (↥P) α ∩ MulAction.fixedPoints (↥Q) α
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
⊢ generateFrom (⋃ n, memPartition t n) ≤ m
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ A.counit.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (λ_ (op A.X)).hom
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ↑1 = 1
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
i : ZMod n
⊢ ↑i.cast = i.cast
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
⊢ ⇑f.toTopHom = ⇑f
N : ℕ
NeZero N
j : ZMod N
⊢ ZMod.toAddCircle j = 0 ↔ j = 0
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ+
⊢ PNat.find h < n ↔ ∃ m < n, p m
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 ℝ
h : StrictConvex 𝕜 (closedBall 0 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall 0 r)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
TopologicalSpace A
ContinuousStar A
⊢ ∀ (a : A), (starL R).symm a = starAddEquiv.symm a
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
h : W.Equation 0 0
hΔ : Δ W ≠ 0
⊢ W.Nonsingular 0 0
α : Type v
self : Small.{w, v} α
⊢ ∃ S, Nonempty (α ≃ S)
R : Type u_6
CommRing R
K : Type u_5
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ Ideal.span {a} ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)
x : S
⊢ (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) ((lmul R S) x) = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ ⇑0 = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0
⊢ ↑↑(a ^ k) = ↑↑1
α : Type u_1
β : ?m.4523
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ GenerateOpen {t | ∃ a, (Ici a)ᶜ = t} s
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝³ : MulZeroOneClass M₀
inst✝² : Nontrivial M₀
inst✝¹ : Zero M₀'
inst✝ : One M₀'
f : M₀' → M₀
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
⊢ ¬0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Zero β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (s.indicator f)
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
s : Set (α × α)
⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | edist p.1 p.2 ≤ f i} ⊆ s
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
x : AddOreLocalization S X
⊢ 0 +ᵥ x = x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
t : Set α
h₀ : a ∈ t
h₁ : IsOpen t
⊢ 𝓝[s] a = 𝓝[s ∩ t] a
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
f : (i : α) → Finset (δ i)
hf : ∀ (i : α), (↑(f i)).Subsingleton
⊢ (↑(Fintype.piFinset f)).Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Set α → Set β
hg₁ : ∀ (s : Set α), Monotone fun t => g s t
hg₂ : ∀ (t : Set α), Monotone fun s => g s t
⊢ (f.lift fun s => f.lift' (g s)) = f.lift' fun s => g s s
R : Type u_2
CommRing R
ι : Type u_3
Finite ι
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : ι → R
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), r - x i ∈ I i
R : Type u_1
CommSemiring R
p q r : R[X]
⊢ (p * q).comp r = p.comp r * q.comp r
α : Type u_1
a : α
x : Option α
⊢ ((some a).orElse fun x_1 => x) = some a
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ Injective ⇑(Finsupp.total ι A R x)
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Fintype ι
q : P
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) q = 1
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ ∀ (x : { p // Commute p.1 p.2 }),
  (DihedralGroup.OddCommuteEquiv hn) x =
    match x with
    | ⟨(DihedralGroup.sr i, DihedralGroup.r a), property⟩ => Sum.inl i
    | ⟨(DihedralGroup.r a, DihedralGroup.sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j)
    | ⟨(DihedralGroup.sr i, DihedralGroup.sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j)))
    | ⟨(DihedralGroup.r i, DihedralGroup.r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1