ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite ν
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map (fun p => p.1 - p.2) (μ.prod ν))
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
R : Type u_1
CommRing R
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun t => Polynomial.X - Polynomial.C t) s).prod =
  ∑ j ∈ Finset.range (Multiset.card s + 1), (-1) ^ j * (Polynomial.C (s.esymm j) * Polynomial.X ^ (Multiset.card s - j))
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
t : Finset α
⊢ t.erase a ⊆ s ↔ t ⊆ s ∨ ∃ a_1 ⊆ s, insert a a_1 = t
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
f : Π₀ (x : ι), M
⊢ ⇑f.toFinsupp = ⇑f
α : Type u_1
xs : List α
h : xs.Nodup
⊢ xs.sym2.Nodup
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 - p⁻¹ = q⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
W : C
k l : t.pt ⟶ W
h₀ : t.inl ≫ k = t.inl ≫ l
h₁ : t.inr ≫ k = t.inr ≫ l
⊢ k = l
α : Type u_1
m : Multiset α
⊢ m.sym2 = 0 ↔ m = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ 𝟙 0 = 0
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
x : α
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) x = ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
⊢ [].minimum = ⊤
α : Type u_1
l l' : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ᶠ (x : α) in l', x ∈ s → p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l ⊓ l', p x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
⊢ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ¬Inseparable x y
b : ℕ
hb : b ≤ 1
n : ℕ
⊢ Nat.log b n = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : C
h : ∀ (A : C) (f : I ⟶ A), CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : QuadraticMap.PosDef Q
⊢ (QuadraticMap.toMatrix' Q).PosDef
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
⊢ Function.Injective fun f => ↑f
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ dirac ((EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm 0) = dirac 0
n : ℕ
⊢ n.divisors.sum Nat.totient = n
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
h : A ↓∩ B = A ↓∩ C
hB : A ∩ B = B
hC : A ∩ C = C
⊢ B = C
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
this : ∃ i ∈ 𝓤 α, ⋃ x ∈ A, ball x (id i) ⊆ Bᶜ
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
x : ℝ≥0∞
⊢ x.toNNReal = 0 ↔ x = 0 ∨ x = ⊤
R : Type u
x y : R
⊢ Tropical.trop x = Tropical.trop y ↔ x = y
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ (↑n + 1) * Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1) =
  Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R n -
    (1 - Polynomial.X ^ 2) * Polynomial.derivative (Polynomial.Chebyshev.U R n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this : IsSeparable (closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n)))
x : α
n : ℕ
⊢ ↑(hf.approx n) x ∈ range ↑(hf.approx n)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
h : IsCyclic G
_inst : Fintype G := Fintype.ofFinite G
⊢ False
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H = ⊤ ↔ ∀ (x : G), x ∈ H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroClass M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
f g : ι → M₀
x : ι
⊢ (x ∈ support fun x => f x * g x) ↔ x ∈ support f ∩ support g
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Epi ((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {f b}
j_property : f a = f b
⊢ o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Subsingleton ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
i : ι
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hfε : eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ < ↑ε
j : ι
⊢ eLpNorm (sᶜ.indicator (f j)) p μ ≤ ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hs : MeasurableSet s
t' : Set β
ht' : MeasurableSet t'
⊢ ∫⁻ (a : α) in X ⁻¹' t', ((condDistrib Y X μ) (X a)) s ∂μ = μ (X ⁻¹' t' ∩ Y ⁻¹' s)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : Set G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ (s + closure {0}) = μ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑f) (PartialHomeomorph.restrContDiff 𝕜 f n).source
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ ∀ (l : ι →₀ 𝕜), (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0 → l = 0
α : Type u_1
Semiring α
m n : ℕ
⊢ ↑(m ^ n) = ↑m ^ n
q✝ q : ℚ
⊢ -q = -q.num /. ↑q.den
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (∃ y, ((toLinearMap₂' R) J).IsPairSelfAdjoint ((toLinearMap₂' R) J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁) ↔ J.IsAdjointPair J₂ A₁ A₁
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
⊢ (HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.empty G A B).toList = []
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card = 1 ↔ o = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
⊢ (∀ (y : M₀), x = 0 ∨ y = 0 → y = 0) ↔ x ≠ 0
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ ¬Unbounded r s ↔ Bounded r s
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ Filter.rmap r l ↔ r.core s ∈ l
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
⊢ IsLocalization.mk' (RatFunc K) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (RatFunc K) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
x : G'
⊢ (ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 G x).uncurry0 = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []
⊢ 1 < (a :: b :: l).prod
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
n : ℤ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
CommRing R'
AddCommGroup M'
Module R' M'
Algebra R R'
Module R M'
IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (PolynomialModule.eval ((algebraMap R R') r)) ((PolynomialModule.map R' f) q) = f ((PolynomialModule.eval r) q)
x : ℝ
⊢ Real.cos (x + 2 * Real.pi) = Real.cos x
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (⨆ i, μ i.down).trim s = (⨆ i, (μ i.down).trim) s
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P
⊢ Submonoid.map e (closure ↑(s.preimage ⇑e ⋯)) = Submonoid.map e P
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.ofMeasurable m m0 mU) s = m s hs
α : Type u_1
β : Type u_2
Coe α β
a b : α
⊢ ↑{ a := a, b := b } = { a := Coe.coe a, b := Coe.coe b }
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
⊢ (HomologicalComplex.unopInverse V c).obj X = Opposite.op X.opSymm
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ IsConnected sᶜ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)
this : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1
⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x
⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁.diff (l₂ ++ l₃) = (l₁.diff l₂).diff l₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
l : (a - b).IsLimit
⊢ b + (a - b) ≤ a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
m : ℕ := Q.natDegree
i j : ℕ
IH : ∀ m > i, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff i • Q).natDegree = Q.natDegree
hij : i + j = i + m
H : i = i → ¬j = m
⊢ P.coeff i * Q.coeff j = 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P2 x₁ x₂ y ↔ P2 x₁ x₂ (-y)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < x * y
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
⊢ ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioc δ ε).Nonempty
k : Type u
Field k
G : Type u
Monoid G
V W : FDRep k G
⊢ FDRep.character
    (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj
      (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj V ⊗ Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj W)) =
  V.character * W.character
a b d m n : ℤ
h : b ∣ a
e : ℤ
⊢ a ∣ b * (a / b * e)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
α' : Type u_1
β' : Type u_2
UniformSpace α'
UniformSpace β'
e₁ : α → α'
e₂ : β → β'
h₁ : UniformEmbedding e₁
h₂ : UniformEmbedding e₂
⊢ UniformEmbedding fun p => (e₁ p.1, e₂ p.2)
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..c, rexp x) atBot (𝓝 (rexp c))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
a b : CategoryTheory.Over P
⊢ a ≈ b → CategoryTheory.Abelian.app f a ≈ CategoryTheory.Abelian.app f b
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 < z ↔ 0 < re z ∧ im z = 0
α : Type u
Add α
b : WithBot α
x : α
⊢ ↑x + b = ⊥ ↔ b = ⊥
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable Real.log μ a b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ (((F.mapBifunctorHomologicalComplexObj c₂ K₁).obj K₂).X i₁).X i₂ = (F.obj (K₁.X i₁)).obj (K₂.X i₂)
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
⊢ (Primrec fun a => some (f a)) ↔ Primrec f
x : ℝ*
⊢ (∃ r, x.IsSt r) ↔ ¬x.Infinite
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f n) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable F μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f i a) Filter.atTop (𝓝 (F a))
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.57383, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'
⊢ K.d j i ≫ k ≫ α = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
a : α
t : Set β
⊢ (fun x => -a +ᵥ x) ⁻¹' t = a +ᵥ t
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den
⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = mkRat num den
α : Type u
Preorder α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
⊢ IsBot a ↔ IsMin a
P : Type u_1
SemilatticeSup P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
s t : Order.Ideal P
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
n✝ : ℕ
⊢ (coeff A' n✝) ((map f) (cos A)) = (coeff A' n✝) (cos A')
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoid.Coprod.clift AddMonoid.Coprod.mk ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = AddMonoidHom.id (AddMonoid.Coprod M N)
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
h : ↥H
⊢ ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹⁻¹ = g⁻¹ * ↑h * g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ∀ (a : M), (LieSubmodule.Quotient.mk' N) a = LieSubmodule.Quotient.mk a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hI : I =ᵐ[MeasureTheory.volume] Metric.ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥(AddSubgroup.zmultiples u)) I MeasureTheory.volume
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ ψ * gaussSum χ⁻¹ ψ⁻¹ = ↑(Fintype.card R)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ⊥.toSubalgebra = ⊥
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s t : Set σ
Nontrivial R
⊢ MvPolynomial.supported R s ≤ MvPolynomial.supported R t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ ≤ ↑‖c‖₊
a b a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < a ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
x : α
hf_ne_zero : f x ≠ 0
hf_ne_top : f x ≠ ⊤
⊢ f x * (f x)⁻¹ = 1 x
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h : ∀ x ∈ f.support, g1 x (f x) = g2 x (f x)
⊢ f.prod g1 = f.prod g2
R : Type u_1
S : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder R
Fintype S
f : S → Tropical (WithTop R)
⊢ Tropical.untrop (∑ i : S, f i) = ⨅ i, Tropical.untrop (f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
IsWellOrder β fun x x_1 => x < x_1
f : α ↪o β
⊢ IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
⊢ IsClosed s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl (G.map f) (G.map g) ≫ CategoryTheory.Limits.pushoutComparison G f g =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g)
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
Y : CategoryTheory.GradedObject J D
a : I × J
ha : a.1 = 0
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorObjSingle₀ObjIso F X e Y a ha).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app (Y a.2))
    ((F.map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq 0 X a.1 ha).inv).app (Y a.2))
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ s ∩ setOf P ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s ∩ t =ᶠ[l] s ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s → x ∈ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
x : X
Vsub : {x} ⊆ S
Vne : {x}.Nonempty
Vcls : IsClosed {x}
hV : ∀ V' ⊆ {x}, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = {x}
⊢ ∃ x ∈ S, IsClosed {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : Set (Set β)
hbc : b.Countable
this : MeasurableSpace α := generateFrom (preimage f '' b)
⊢ CountablyGenerated α
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace β
α : Type u_6
EMetricSpace α
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 1
⊢ Multipliable f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?bc.c ≤ a + c - (b + c) + (b + ?bc.c)
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
hb : b ≠ 0
⊢ a * b = b ↔ a = 1
α : Type u
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
h : Disjoint s₂ t₂
⊢ Disjoint s₁ t₁
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∼φ) ∼ψ
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ H ((t, y).1, (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝)) = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f g h : α → β
H₁ : f =ᶠ[l] g
H₂ : g ≤ᶠ[l] h
⊢ f ≤ᶠ[l] h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f.hom
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation g.hom
⊢ (hF.ofArrowIso sq).lift F' = hF.lift (F'.ofArrowIso (CategoryTheory.inv sq))
f : StieltjesFunction
hf0 : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atBot (𝓝 0)
hf1 : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atTop (𝓝 1)
⊢ ProbabilityTheory.cdf f.measure = f
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
f : α → β
a : α
⊢ (some a).casesOn' x f = f a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
⊢ nthRoots 0 r = 0
S : Type u_1
Mul S
a x y : S
h : SemiconjBy a x y
⊢ a * x = y * a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f ⊔ g) μ