ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C
this : ∀ (X Y : C), F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
⊢ (β_ (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
F : PFunctor.{u}
x : F.M
⊢ PFunctor.M.mk x.dest = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
G : C ⥤ D
G.Additive
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n m : ℕ
hnm : AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel m n
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm = G.map (AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm)
α : Sort u
φ : α → Sort v
a a' : α
p₁ : φ a
p₂ : φ a'
e : a = a'
h₂ : e ▸ p₁ = p₂
⊢ HEq p₁ p₂
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 2 f z) m = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
⊢ Irreducible p
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
i : J
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict (fun j => j ≠ i) f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelBiproductιIso f i).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f i) 0)
    (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f fun j => ¬j = i) ⋯)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
x✝¹ : C
x✝ : x✝¹ ⟶ X
h : (generate R).arrows x✝
⊢ x (⋯.choose ≫ ⋯.choose) ⋯ = x x✝ h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (-x) = WittVector.init n (-WittVector.init n x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ Tendsto length (pure []) (pure [].length)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α
A : ∀ (i : ι) (c : α), MeasurableSet {x | f i x ≤ c}
B : ∀ (c : α), MeasurableSet {x | ∀ (i : ι), f i x ≤ c}
u : ℕ → α
hu : Tendsto u atTop atTop
this : {b | BddAbove (range fun i => f i b)} = {x | ∃ n, ∀ (i : ι), f i x ≤ u n}
⊢ MeasurableSet (⋃ i, {x | ∀ (i_1 : ι), f i_1 x ≤ u i})
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g
f : w.StructuredArrowRightwards g
⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g), f = mk w g X₁ a b comm
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
a : { a // (fun x => x ∈ H) a }
⊢ ↑(H.equivOp a) = MulOpposite.op ↑a
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
⊢ F.IsMittagLeffler ↔ ∀ (j : J), ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
α : Type u_3
LT α
self : NoMaxOrder α
a : α
⊢ ∃ b, a < b
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
n : ℤ
⊢ ↑↑(fourierLp p n) =ᵐ[AddCircle.haarAddCircle] ⇑(fourier n)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
⊢ s.Nonempty
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hz : z ∈ s
⊢ s.WSameSide x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set β
h : s ∪ t = ⊤
⊢ f ⁻¹' (s ∪ t) = ⊤
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b
⊢ d * (a / d) < b
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α
⊢ ⨅ x, 0 = 0
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ < b₂
⊢ Set.Ioc a b₁ ⊆ Set.Ioo a b₂
n : ℕ
m : ℝ
hm : 2 ≤ m
⊢ 2 ≤ m ^ n !
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ {x | x < a} = Set.Iio a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ExteriorAlgebra.liftAlternating (ExteriorAlgebra.ιMulti R) = LinearMap.id
n : Nat
⊢ n ≠ 0 → 0 < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α ↪ β
s : Finset α
a : α
⊢ map f (s.erase a) = (map f s).erase (f a)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
hf : ∀ (i : ι), Function.Surjective ⇑(f i)
⊢ Function.Injective fun g => g.compLinearMap f
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1
⊢ ack (m + 1) (n₁ + 1) < ack (m + 1) (n₂ + 1)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
x : α × β
⊢ ((WithLp.equiv p (α × β)).symm x).2 = x.2
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ 1 / (4 * ↑(n + 1) ^ 2)
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c'')
α : Type u
S : Set (Set α)
⊢ sSup S = ⋃₀ S
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
⊢ ((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP = ((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x = ⊥
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a b : Ordinal.{max v u}
hb : b < o.nfpBFamily f a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi b < o.nfpBFamily f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc E p μ) }), P ↑a
f✝ f g : StieltjesFunction
a b : ℝ
h : a < b
⊢ ofReal (↑f b + ↑g b - (↑f a + ↑g a)) = ofReal (↑f b - ↑f a + (↑g b - ↑g a))
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i > j
⊢ 0 < i.dist j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : MvQPF.Fix F α → β
h :
  ∀ (x : F (α ::: MvQPF.Fix F α)),
    MvFunctor.map (TypeVec.id ::: g₁) x = MvFunctor.map (TypeVec.id ::: g₂) x →
      g₁ (MvQPF.Fix.mk x) = g₂ (MvQPF.Fix.mk x)
x : MvQPF.Fix F α
⊢ g₁ x = g₂ x
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (directSumRight R M₁' M₂) (x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
⊢ ∃ b ∈ ↑I, nndist f b < ε
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
⊢ ‖term f s 0‖ ≤ ‖↑C / ↑0 ^ (s + (1 - ↑x))‖
α : Type u_1
s : Set α
S : Set (Set α)
⊢ Disjoint s (⋃₀ S) ↔ ∀ t ∈ S, Disjoint s t
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
ne : s.Nonempty
H : BddAbove s
⊢ IsLUB s (sSup s)
f : ℕ → ℝ≥0∞
N : ℕ → ℕ
hN : Filter.Tendsto N Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ∑' (i : ℕ), f i = ⨆ i, ∑ a ∈ Finset.range (N i), f a
α : Type u
TopologicalSpace α
self : PreconnectedSpace α
⊢ IsPreconnected Set.univ
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℕ
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0
⊢ a * b = b ↔ a = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y
⊢ map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y ⊔ comap f ⊥
α : Type u
a : α
Group α
DecidableEq α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers a
⊢ Finset.image (fun i => a ^ i) (Finset.range (Fintype.card α)) = Finset.univ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W.polynomialY = 2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
DecidableEq R
n : ℕ
x : { x // x ∈ ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset }
⊢ ↑((Polynomial.rootsExpandPowEquivRoots p f n) x) = ↑x ^ p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
CompleteLattice γ
g : sInfHom α γ
⊢ Filter.bliminf (⇑g ∘ u) f p ≤ g (Filter.bliminf u f p)
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ closure (Metric.ball x ε) ⊆ Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ 0 / a = 0
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ finrank K ↥(comap (↑(Module.evalEquiv K V)) (dualAnnihilator Φ)) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
f : (fun x x_1 => x < x_1) →r fun x x_1 => x < x_1
⊢ ⇑f.toOrderHom = ⇑f
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℕ
h : x < ↑n
⊢ x < ↑↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.toFinset = Finset.univ ↔ s = univ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
F✝ F : C ⥤ D
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Aut X
⊢ (F.mapIso (α.conjAut f)).hom = ((F.mapIso α).conjAut (F.mapIso f)).hom
z w : ℍ
⊢ Real.cosh (dist z w) = 1 + dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 * z.im * w.im)
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : AddSubmonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
⊢ AddLocalization.mk a₁ a₂ ≤ AddLocalization.mk b₁ b₂ ↔ ↑b₂ + a₁ ≤ ↑a₂ + b₁
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
x✝ : ℍ
⊢ (0 ∣[k]A) x✝ = 0 x✝
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p) = 1 / 2 * (2 * z₁) ^ p + 1 / 2 * (2 * z₂) ^ p
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : Zero β], MeasureTheory.StronglyMeasurable 0
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m))
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 0
⊢ IsTrivial L M
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
⊢ Function.Bijective ContinuousMap.HomotopyRel.symm
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ < c * d⁻¹ ↔ a * d < c * b
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ
⊢ ↑(n.choose r) ≤ ↑n ^ r / ↑r !
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
Hd : a ∣ b
⊢ a * (b / a) = b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
⊢ False
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp (fun a => |f a|) 1 μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.map φ).left.right = φ.τ₃
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ s(a, Sym2.Mem.other' h) = z
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ variance (X + Y) ℙ = (∫ (a : Ω), (fun a => X a ^ 2 + Y a ^ 2 + 2 * X a * Y a) a) - (∫ (a : Ω), (X + Y) a) ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ t ∈ ⊥.parts ↔ ∃ a ∈ s, {a} = t
P : Type u_2
Preorder P
self : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ IsCompl ↑self.I ↑self.F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
μ ν ρ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ρ
⊢ (μ + ν).conv ρ = μ.conv ρ + ν.conv ρ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.SurjectiveOnStalks
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (p : α × β), f p.1 p.2 = ∑' (a : α) (b : β), f a b
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Word M
⊢ (equivPair i) (of m • w) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
hu : IsUnit (1 - z • a)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
this : φ.order.Dom
H : φ.order.get this < n
⊢ False
n✝ n : ℕ
⊢ n.divisors.sup id = n
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
⊢ x✝ ∈ associatedPrimes R M ↔ x✝ ∈ ∅
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ op ((a :: l) <*> a₁) a₂ = op a₁ (foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ (a :: l))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.NormalMono f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f CategoryTheory.NormalMono.g = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f ((μ Set.univ)⁻¹ • μ)
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ ¬Bounded r s ↔ Unbounded r s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
a b x : α
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Set.Ioo a b
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
⊢ ↑⊤.edgeFinset = ↑(filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (if Finsupp.single s 1 ≤ m then 1 * coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
β : Type u_4
UniformSpace β
f : β → (i : ι) → α i
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous fun x => f x i
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.offDiag = ∅
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Reflexive R
⊢ Reflexive (Computation.LiftRel R)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
⊢ ↑(finrank R M) = #ι
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ ((filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i (s.erase i)), Ioo (c i_1) (d i_1)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ insert i (s.erase i), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ 2.7182818286 ^ (107 / 60) < 6
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
hF : M.Flat F
⊢ ∀ t' ∈ {F | M.Flat F ∧ I ∩ M.E ⊆ F}, F ⊆ t'
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).fst = κ.map f hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)
s : Multiset α
n : α
h : ∀ a ∈ s, Prime a
div : ∀ a ∈ s, a ∣ n
uniq : ∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1
⊢ s.prod ∣ n