ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ (PiTensorProduct.liftEquiv 𝕜 E F) f = (PiTensorProduct.lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrderedAddCommGroup α
CompactIccSpace α
Filter.atTop.IsMeasurablyGenerated
MeasurableNeg α
μ.IsNegInvariant
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᵐ[μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[Filter.atTop] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atTop μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_2
Preorder α
a b c : α
⊢ b ≤ c → a < b → a < c
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : j ∉ μ.cells.preimage (Prod.mk i) ⋯
⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²³ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²² : Category.{u_5, u_3} E
inst✝²¹ : HasShift C ℤ
inst✝²⁰ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁹ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁸ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁷ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁶ : HasZeroObject C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject D
inst✝¹⁴ : HasZeroObject E
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : Preadditive D
inst✝¹¹ : Preadditive E
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated C
inst✝⁶ : Pretriangulated D
inst✝⁵ : Pretriangulated E
H : C ⥤ E
e : F ⋙ G ≅ H
inst✝⁴ : H.CommShift ℤ
inst✝³ : H.IsTriangulated
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : F.mapArrow.EssSurj
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ
this : (F ⋙ G).IsTriangulated
⊢ G.IsTriangulated
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f₁ f₂ : X ⟶ Y
h : ∀ (x : 𝒰.J), 𝒰.map x ≫ f₁ = 𝒰.map x ≫ f₂
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a✝ : α
a b : List α
⊢ a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z_1, z_1 • y = z
⊢ 2 • o.oangle x y = 2 • o.oangle x z
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ Embedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ -a + -a + a = a
α : Type u
a : α
s : Stream'.Seq α
⊢ (Stream'.Seq.cons a s).destruct = some (a, s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
⊢ IsConj σ τ
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
⊢ ¬(p ↑k)ᶜ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
⊢ trivial G ⊆ Group.closure ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
⊢ ∃ l₁ l₂, self.val.data = l₁ ++ self.val[i] :: l₂ ∧ l₁.length = i.toNat ∧ (self.update i d h).val.data = l₁ ++ d :: l₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = c • ν
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂c • ν, s y) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap ↑y * f.mk' x y = f.toMap x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M''
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁶ : CommRing K
inst✝⁵ : Semiring M
inst✝⁴ : Algebra K M
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K L
⊢ Injective fun r => r • 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
⊢ (↑(hφ.embedding x)).im = (φ x).im
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
⊢ Function.Surjective ⇑f ∨ ∃ b, ∀ (x : β), s x b ↔ ∃ y, f y = x
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
s : Set α
⊢ ⇑h ⁻¹' (⇑h '' s) = s
m n : ℕ
⊢ m + n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + (m + n)
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (f ⊓ g) x
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun y => ↑y ^ r) MeasureTheory.volume 0 c
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
x : PrimeSpectrum S
hx : IsClosed {x}
⊢ IsClosed {(PrimeSpectrum.comap f) x}
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (c - b) + (toIocMod hp 0 (b - a) + toIocMod hp 0 (b - c)) = p + p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ s.addEnergy t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s -ᵥ s ⊆ ↑(vectorSpan k s)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral ↑f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
p : P
⊢ Sbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
⊢ U R (-1) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
cn : ι →₀ R
hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'
hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n
hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)
⊢ (cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)) ∈ span R (range u)
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
hd : l.Nodup
h : l ~r l'
⊢ l.formPerm = l'.formPerm
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i : ι
hx : x ∈ ℳ i
⊢ ↑(((decompose ℳ) x) i) = x
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (star a).imJ = -a.imJ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ Filter.map mk (𝓝 x) = 𝓝 (mk x)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n ↔
  ∃ ifp_n,
    GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧
      ifp_n.fr ≠ 0 ∧ GenContFract.IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : r a b
hbc : Relation.ReflTransGen r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.liftToInitial F hZ).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithInitial.of x => F.obj x
  | CategoryTheory.WithInitial.star => Z
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
c : R
⊢ (c • A).det = ((diagonal fun x => c) * A).det
G H : AddCommGrp
⊢ (G.binaryProductLimitCone H).cone.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = AddMonoidHom.fst ↑G ↑H
α : Type u
f : Filter α
⊢ f = ⊥ ∨ f.NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
⊢ [].dropLast ++ [] = []
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).map f).τ₃ = f.f (c.next i)
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
R : Type u_1
MonoidWithZero R
⊢ IsNilpotent 0
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
a✝ b : ℚ
nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a✝, b := b }
⊢ (of v).dens n = ↑b
R : Type x
Monoid R
HasDistribNeg R
a : R
n : ℕ
⊢ (-a) ^ n = (-1) ^ n * a ^ n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
a' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R
iDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
hxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)
s_eq' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s
t : Finset ι
ht_cover' : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ht_cover : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1
⊢ ↑m ≤ ↑n
R : Type u_9
NonAssocSemiring R
m : ℕ
⊢ m • 1 = ↑m
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow.symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ n.floorRoot (a ^ n) = a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
x : M
xm : x ∈ ⊥
y : M
ym : y ∈ ⊥
⊢ 0 = y
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
a₁✝ a₂✝ : M ≃[L] N
h : a₁✝.toEmbedding = a₂✝.toEmbedding
⊢ (fun f => ⇑f) a₁✝ = (fun f => ⇑f) a₂✝
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
⊢ G.grundyValue = o ↔ G ≈ SetTheory.PGame.nim o
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
⊢ IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
f : ℝ → F
f' : F
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) s x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
g : L.Equiv M N
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)
⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I) (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) x))) v = (v, 0)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' N' : Submodule R S
hm : M' ≤ M
hn : N' ≤ N
Module.Flat R ↥M
Module.Flat R ↥N'
⊢ M'.LinearDisjoint N'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
DecidableEq β
⊢ (Finset.image f s).card ≤ s.card
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < a * b
⊢ a = 0 ∨ b = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (MulOpposite.op x) = MulOpposite.op (NormedSpace.exp 𝕂 x)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (Real.log x * y)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
n k : ℕ
hnk : n ≤ k
⊢ ‖newton_seq_gen hnorm k - newton_seq_gen hnorm n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.trim s = ⨅ t, m ↑t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
x : 𝕜'
hx : x ≠ 0
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Inv.inv x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
x : α
⊢ 1 ≤ ⌊x⌋₊ ↔ 1 ≤ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G H : CategoryTheory.Functor D E
α : G ⟶ H
X : C
⊢ (CategoryTheory.whiskerLeft F α).app X = α.app (F.obj X)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌈a⌉₊ = ↑⌈a⌉
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Ico (f p.1) (g p.1)}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
f : β → γ → α
h : Summable (Function.uncurry f)
⊢ ∑' (c : γ) (b : β), f b c = ∑' (b : β) (c : γ), f b c
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (((toLinearMap₂' ℝ) (lapMatrix ℝ G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
H : Symmetric R
H₁ : ∀ (x : α), x ∈ l → R x x
H₂ : List.Pairwise R l
x : α
⊢ x ∈ l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ l → R x y
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.InjOn (Function.invFunOn f s) (f '' s)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
⊢ ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
n : Type u
R : Type v
DecidableEq n
Fintype n
LinearOrderedCommRing R
A : GL n R
⊢ A ∈ Matrix.GLPos n R ↔ 0 < ↑(Matrix.GeneralLinearGroup.det A)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : f⁻¹ b < f⁻¹ a
⊢ (if f⁻¹ ⟨a, b⟩.fst ≤ f⁻¹ ⟨a, b⟩.snd then -1 else 1) = if f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).fst ≤ f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).snd then -1 else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g₁ g₂ : β → γ
hg : Set.EqOn g₁ g₂ t
hf : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h1 : (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ < 2
h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h2 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝ < 2
h3'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h3 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝ < 2
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
this : 2 * 3 ≤ (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ + (multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝ + (multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ {a}.toFinset = {a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
n p : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X p = K.X (p + n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
f : α → Measure β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
⊢ (m.bind f) s = ∫⁻ (a : α), (f a) s ∂m
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ update f i '' Icc a (f i) = Icc (update f i a) f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 0 ≤ a
h : m ≤ n
⊢ m • a ≤ n • a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
c_ne_top : c ≠ ⊤
μ : Measure (G ⧸ Γ) := c • haarMeasure K
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
⊢ IsOpen ↑H
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ (trace R M) id = ↑(finrank R M)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M N : Matrix n n A
⊢ (M * N).det = (N * M).det
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ c < Finset.fold max b f s ↔ c < b ∨ ∃ x ∈ s, c < f x
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
Mul α
r s : M
x y : α
IsScalarTower M α α
SMulCommClass M α α
⊢ r • x * s • y = (r * s) • (x * y)
R : Type u
Semiring R
self : IsField R
a : R
⊢ a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz : Quot.mk Setoid.r z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
h : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨Quot.mk Setoid.r z, hz⟩) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)
⊢ x - y ∈ P
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientWithinAt f f' s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : x ∈ s
⊢ HasGradientWithinAt f₁ f' s x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α
⊢ a + a + 1 + (b + b + 1) = a + b + 1 + (a + b + 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis I X
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0
⊢ eval₂ f x p * eval₂ f x q = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
⊢ (l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨(l.length - ↑k % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ~r l