ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
q : ℚ≥0
⊢ ⟨↑q, ⋯⟩ = ↑q
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑e.toHomeomorph = ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ x) ((fun x => (f x, g x)) ⁻¹' {p | p.1 ∈ s}) = (κ x) (f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(PiTensorProduct.tprod R)) = ⊤
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
hs : CompleteLattice.SetIndependent s
t : Set α
hst : t ⊆ s
⊢ CompleteLattice.SetIndependent t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : μ (s ∪ t) < ⊤
⊢ μ s < ⊤
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.bind Q).parts.card = ∑ A ∈ P.parts.attach, (Q ↑A ⋯).parts.card
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt (toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
x : ℝ
h1✝ : 0 ≤ x
h2 : x < 1
h1 : 0 < x
⊢ rexp x ≤ 1 / (1 - x)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Antitone (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ Monotone f
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
θ : Angle
⊢ θ.toReal = 0 ↔ θ = 0
α : Type u
Mul α
One α
a : α
⊢ ∀ {x : Invertible a}, ⅟a * a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)
r' : ℝ
hr' : r' ^ k < r
h1 : 1 < r'
h0 : 0 ≤ r'
⊢ (fun n => ↑n ^ k) =O[atTop] fun n => (r' ^ k) ^ n
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
a₁ a₂ a₃ a₄ : R
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion { re := a₁, imI := a₂, imJ := a₃, imK := a₄ } =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂))) a₁ +
        a₂ • (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (1, 0) +
      a₃ • (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (0, 1) +
    a₄ •
      ((CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (1, 0) *
        (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (0, 1))
n : Nat
s m : Nat
x : BitVec n
⊢ (BitVec.extractLsb' s m x).toNat = x.toNat >>> s % 2 ^ m
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card = s.card / P.parts.card ↔ t.card ≠ s.card / P.parts.card + 1
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
a₁ a₂ : α
h : a₁ ≠ a₂
b : β
⊢ (PEquiv.single a₁ b) a₂ = none
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ¬∀ (i : ι), p i
⊢ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f ⟨i, h⟩ = iSup f ⊔ sSup ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f
M : Type u_1
S : Set M
Add M
⊢ S ⊆ S.addCentralizer.addCentralizer
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
⊢ p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂ ↔ p₁ = p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
⊢ Associates.mk a ∣ Associates.mk b ↔ a ∣ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
h : Sum.LiftRel r s x y
⊢ x.isRight = true ↔ y.isRight = true
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
X : J
⊢ (CategoryTheory.Comma.colimitAuxiliaryCocone F c₂).ι.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.obj X).hom (R.map (c₂.ι.app X))
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
s : Set G
⊢ s ⊆ s + closure {0}
x y : ℂ
⊢ sinh x * cosh x + cosh x * sinh x = 2 * sinh x * cosh x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
⊢ ∀ᶠ (x : E) in cofinite, ‖f x‖ ≤ d * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Zero α
Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
⊢ Matrix.map 0 f = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module A M
Module R N
IsScalarTower R A M
f : Module.Dual A M
g : Module.Dual R N
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.dualDistrib R A M N) (f ⊗ₜ[R] g)) (m ⊗ₜ[R] n) = g n • f m
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : Module.Dual R M
m : M
n : N
⊢ ((dualTensorHom R M N) (f ⊗ₜ[R] n)) m = f m • n
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯;
o.toPGame =
  SetTheory.PGame.mk (Quotient.out o).α PEmpty.{u_1 + 1} (fun x => (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x).toPGame)
    PEmpty.elim
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α × β →₀ M
g : α → β → M → N
hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0
hg₁ : ∀ (a : α) (b : β) (c₀ c₁ : M), g a b (c₀ + c₁) = g a b c₀ + g a b c₁
p : α × β
c : M
⊢ ((single p.1 (single p.2 c)).sum fun a f => f.sum (g a)) = g p.1 p.2 c
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α
⊢ a ∈ NonUnitalSubsemiring.center α ↔ ∀ (b : α), Commute (AddMonoid.End.mulLeft b) (AddMonoid.End.mulLeft a)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
a : α
h₁ : P 0
h₂ : ∀ (x : α), IsUnit x → P x
h₃ : ∀ (a p : α), a ≠ 0 → Prime p → P a → P (p * a)
⊢ P a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : Infinite α
n : ℕ
⊢ ∃ s, s.card = n + 1
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
⊢ 0 < x ^ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.degree + (f /ₘ g).degree = f.degree
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
T : ℕ → Set α
hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable
hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹
f : ℝ≥0∞ → α → α
hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s
hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < ε / 2
y : α
hyn : y ∈ T n
hyx : x ∈ closedBall y (↑n)⁻¹
⊢ ∃ y ∈ ⋃ n, f (↑n)⁻¹ '' T n, edist x y < ε
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
x : A
⊢ r • x = (algebraMap R A) r * x
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
ha : IsMin a
h : b ≤ a
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).OuterRegular
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
M : Type u_2
Monoid M
m : Mᵐᵒᵖ
h : IsUnit m
⊢ IsUnit (MulOpposite.unop m)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Inf α
inst✝⁶ : Top α
inst✝⁵ : Inf β
inst✝⁴ : Top β
inst✝³ : Inf γ
inst✝² : Top γ
inst✝¹ : Inf δ
inst✝ : Top δ
g : InfTopHom β γ
f₁ f₂ : InfTopHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
⊢ ∅.ncard = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i * f i
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
c : Cardinal.{v}
⊢ c ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, #↑s = c ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
⊢ !![↑g 0 0, ↑g 0 1; ↑g 1 0, ↑g 1 1] = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ insert a s = { val := Multiset.ndinsert a s.val, nodup := ⋯ }
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ m ≤ s.card
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
⊢ Algebra.traceMatrix A (b ᵥ* P.map ⇑(algebraMap A B)) = Pᵀ * Algebra.traceMatrix A b * P
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : h ≠ 0
⊢ e ≠ 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set α
⊢ s ∩ r.dom ⊆ r.preimage (r.image s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β
⊢ (pure a).bind f = f a
x y : ℕ∞
⊢ PartENat.withTopEquiv.symm x ≤ PartENat.withTopEquiv.symm y ↔ x ≤ y
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
U : Set G
h : IsOpen U
x : G
⊢ IsOpen (x • U)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n d : ℕ
⊢ (trunc (n + 2) X).coeff d = Polynomial.X.coeff d
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
s : NonUnitalSubalgebra R A
h_star : ∀ x ∈ s, star x ∈ s
⊢ ↑(s.toNonUnitalStarSubalgebra h_star) = ↑s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
f : U ⟶ U'
⊢ (X.fst ⊗ Y.fst) ◁ f ≫ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U').hom = ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U).hom ≫ f ▷ (X.fst ⊗ Y.fst)
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }
cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }
this✝ : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
Hc'' : IsColimit c''
⊢ Nonempty (IsColimit c')
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (insert N s)
p : ℕ
hp : p ∈ m.primeFactorsList
⊢ p ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.opAdjointOpOfAdjoint F G h).unit.app X =
  (CategoryTheory.opEquiv X (Opposite.op (G.toPrefunctor.1 (F.obj (Opposite.unop X))))).symm
    (G.map
        ((CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X))) (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X))))
          (𝟙 (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X))))) ≫
      h.counit.app (Opposite.unop X))
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
n : ℕ
⊢ Prime (p ^ n) ↔ Prime p ∧ n = 1
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ |RCLike.im z / ‖z‖| ≤ 1
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
X : CategoryTheory.Discrete β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fan.mk P p).π.app X = p X.as
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
⊢ Metric.infDist x s ≤ Metric.infDist y s + dist x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
p : X → Prop
⊢ IsOpen {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ (EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) =
  (EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑n < ↑n.succ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : μ t ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
ht : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ↑‖x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (Metric.ball 0 1) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) (↑I x)) ∘ ↑I ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
q : Y → Prop
x : X
y : Y
hx : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
hy : ∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 y, q y
⊢ ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 (x, y), p z.1 ∧ q z.2
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, -(↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(oddKernel a t))) / 2 = -((∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(oddKernel a t)) / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι'' : Type u_6
Preorder ι''
l : Filter α
s : ι'' → Set α
hf : l.HasAntitoneBasis s
m : β → α
⊢ (Filter.comap m l).HasAntitoneBasis fun x => m ⁻¹' s x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ range toPrimeSpectrum = {x | IsClosed {x}}
x n p : Nat
h₁ : x < n * p
⊢ (n * p - (x + 1)) / n = p - (x / n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜
α : Type u_2
u v : α → 𝕜
l : Filter α
huv : u =O[l] v
hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop
c : ℝ
hc : c > 0
hcuv : IsBigOWith c l u v
⊢ Tendsto (fun x => ‖v x‖) l atTop
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousAt f x
⊢ oscillation f x = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x.toCircle = y.toCircle
⊢ x = y
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}
⊢ μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
r₁ r₂ : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hr : ∀ (a b : ι), r₁ a b → r₂ a b
a b : (i : ι) ×' α i
h : PSigma.Lex r₁ s a b
⊢ PSigma.Lex r₂ s a b
M : Type u_12
N : Type u_13
F : Type u_14
Add M
Add N
FunLike F M N
AddHomClass F M N
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
a : M
⊢ (AddEquiv.ofBijective f hf) a = f a
x : ℝ
⊢ 1 - x ≤ Real.exp (-x)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
⊢ p.divX.degree < p.degree
α : Type u_1
OrderedSemiring α
NoZeroDivisors α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : 0 < b
⊢ a * b ≠ 0
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ < d⁻¹ * c ↔ d * a < c * b
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ ENNReal.ofReal (ProbabilityTheory.variance X ℙ / c ^ 2)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
R : Type u_10
SMul R α
r : R
A : Matrix m n α
⊢ (r • A).submatrix = r • A.submatrix
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ ∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 a ∂Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 a ∂Measure.pi fun i => volume
b : Bool
Decidable (false = b)
⊢ decide (false = b) = !b
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_2} {f : α → α_1} {R : α_1 → α_1 → Prop} {l : List α},
  List.Pairwise R (List.map f l) ↔ List.Pairwise (fun a b => R (f a) (f b)) l
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a : ℕ
x : ZMod a
⊢ (RingEquiv.refl (ZMod a)) x = x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hindp : ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ
⊢ μ[f|m₂] =ᵐ[μ] fun x => ∫ (x : Ω), f x ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
f : R →+* R ⧸ span {↑p} := mk (span {↑p})
h : f a = f b
hf : ∀ (r : R), ↑p ∣ r ↔ f r = 0
⊢ ↑p = 0
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 T) ψ
⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
M : Type u_1
AddSemigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U + U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
⊢ ∃ a, Hindman.FS a ⊆ s₀
x y : ZFSet
⊢ (x ∩ y).toSet = x.toSet ∩ y.toSet
α : Type u_1
SemilatticeInf α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c (x ⊓ y) ≤ c x ⊓ c y
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
⊢ IsCoseparator (op G) ↔ IsSeparator G
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ¬b.natDegree ≤ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
⊢ sSup (⋃ i, Iic (f i)) = ⨆ i, f i
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
s t : ι → Set α
hic : #ι < c
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋂ i, s i =ᶠ[l] ⋂ i, t i
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
⊢ α.app X.left ≫ F.map (L.map φ.left) ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ F.map (R.map φ.right) ≫ β.app Y.right
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Liftr r x.dest y.dest
⊢ ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
n : ℕ
⊢ MeasurableSpace.invariants f ≤ MeasurableSpace.invariants f^[n]
n : ℤ
⊢ ↑n.toNat + ↑(-n).toNat = ‖n‖
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (x ^ (dim E - 1)).toNNReal • f x = x ^ (dim E - 1) • f x