ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
⊢ μ[f|⊥] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ ∃ S T, S.set = T.set ∧ Pairwise (Disjoint on S.set)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b
⊢ Set.Ico a b ∪ Set.Ico c d = Set.Ico (min a c) (max b d)
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
n : ℤ
hn : (n • 1).den = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet Set.univ
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ Submodule.span R ↑s = s.toSubmodule
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
⊢ (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
y : X
hy : y ∈ interior (V • {x})
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer
E : F.σ ≃ τ
⊢ (F.ofEquiv E).σ = τ
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a
⊢ (spectralRadius ℝ a).toNNReal ∈ spectrum ℝ≥0 a
M : Type u
X : Type w
PseudoMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
x y : X
⊢ dist (c +ᵥ x) (c +ᵥ y) = dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i = ⨆ i, u (i + n)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
p : R[X]
M : Matrix n n R[X]
⊢ matPolyEquiv (p • M) = Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p * matPolyEquiv M
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (biproduct.lift fun j => X ◁ biproduct.π f j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ = (∑ j : J, X ◁ biproduct.π f j ≫ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0
⊢ v (x * y⁻¹) * v y ≤ 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ 1 * v' y
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ EMetric.diam (insert x s) = max (⨆ y ∈ s, edist x y) (EMetric.diam s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → Part β
x : Part α
g : β → γ
⊢ map g (x.bind f) = x.bind fun y => map g (f y)
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
e : m ≃ n
⊢ (LinearEquiv.funCongrLeft R M e).symm = LinearEquiv.funCongrLeft R M e.symm
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Finset.Ioo ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ = Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (Finset.Ioo a b)
z w : ↥circle
⊢ (↑z).arg = (↑w).arg ↔ z = w
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
o : Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
p : Set Ordinal.{u_4}
p0 : p.Nonempty
b : Ordinal.{u_4}
H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, a ≤ o
⊢ f b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, f a ≤ o
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
⊢ (A ^ -[n+1])ᵀ = Aᵀ ^ -[n+1]
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ m
hψ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w ψ n
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (φ * ψ) (m + n)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
s t : Set α
f : α → M
l : Filter α
h : ∀ᶠ (a : α) in l, a ∉ s ∩ t
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f =ᶠ[l] s.mulIndicator f * t.mulIndicator f
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
x : α
⊢ f x ^ p = 0 x → f x = 0 x
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
h : ∀ (g : α), g • ↑s = op g • ↑s
a : α
ha : a ∈ s
g : α
⊢ g * a ∈ g • ↑s
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ
⊢ (x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log ↑(n + 1) + (log ↑(n + 1) + log ↑n !) - (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑(k + 1)) + log x) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
⊢ Continuous (ϕ.toFun t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ CategoryTheory.isoClosure P = P
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
P Q : T
g : P ⟶ Q
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f v
⊢ (CategoryTheory.Arrow.homMk' w).right = v
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y
⊢ x < logb b y ↔ y < b ^ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
x : ↑↑X
hx : α.base x ∈ U
⊢ Y.presheaf.germ ⟨α.base x, hx⟩ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x =
  α.c.app (Opposite.op U) ≫ X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩
R : Type u
NonAssocSemiring R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ Subsemiring.closure s ≤ Subsemiring.closure t
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s✝ t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
⊢ iIndepSets (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (t : Finset ι), μ (⋂ i ∈ t, s i) = ∏ i ∈ t, μ (s i)
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
⊢ (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : Fin n} (hij : X ⟶ Y), (Fin.castSuccFunctor n).map hij = hij
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, UniformSpace.ball x V ⊆ s
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Sort u_3
s : ι → Set (Projectivization K V)
⊢ Projectivization.Subspace.span (⋃ i, s i) = ⨆ i, Projectivization.Subspace.span (s i)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.invRotate.mor₁ = 0 ↔ Mono T.invRotate.mor₂
⊢ T.mor₃ = 0 ↔ Mono T.mor₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t
⊢ ((graph t).cliqueFinset 3).card = t.card
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₁ : σ₁
ab : Turing.Reaches₁ f₁ a₁ b₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Turing.Reaches₁ f₂ a₂ b₂
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 1 f x
K : ℝ≥0
hK : ‖fderiv 𝕂 f x‖₊ < K
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hS : S ≤ equalizer φ ψ
hT : T ≤ equalizer φ ψ
⊢ S ⊔ T ≤ equalizer φ ψ
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
M'' : Type u_6
N'' : Type u_7
AddZeroClass M''
AddZeroClass N''
f' : M' →+ M''
g' : N' →+ N''
f : M →+ M'
g : N →+ N'
⊢ (AddMonoid.Coprod.map f' g').comp (AddMonoid.Coprod.map f g) = AddMonoid.Coprod.map (f'.comp f) (g'.comp g)
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : Module.rank K V = 0
⊢ FiniteDimensional K V
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
⊢ n ^ (p - 1) ≡ 1 [ZMOD ↑p]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ g z
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ I ≤ f.ker ↔ ∀ x ∈ I, f x = 0
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(x * y).arg = ↑x.arg + ↑y.arg
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ num (x * y) z * (denom y z * denom x (smulAux y z)) = (↑(↑↑x 0 0) * num y z + ↑(↑↑x 0 1) * denom y z) * (denom x (smulAux y z) * denom y z)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.attach.Nodup ↔ s.Nodup
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ (((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom) ≫ (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
m n : ℕ
⊢ m.psub' n = m.psub n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
t : ι → ℝ
ht1 : t ∈ Icc 0 1
ht2 : x.1 = ∑ i : ι, t i • v i
s : ι' → ℝ
hs1 : s ∈ Icc 0 1
hs2 : x.2 = ∑ i : ι', s i • w i
⊢ Sum.elim t s ∈ Icc 0 1 ∧ x = ∑ i : ι ⊕ ι', Sum.elim t s i • (v.prod w) i
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ a.toNat ≤ b.toNat
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {y z x : x},
  cmp y z = Ordering.eq → cmp x y = cmp x z
α : Type u_1
l : List α
⊢ (∃ x, List.Duplicate x l) ↔ ¬l.Nodup
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (closure s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u
l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a)[j] = l[j]
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : s.Subsingleton
⊢ MonotoneOn f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c y • f y) s x = c x • fderivWithin 𝕜 f s x + (fderivWithin 𝕜 c s x).smulRight (f x)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f
s : Multiset β
⊢ ∃ a, map f a = s
⊢ 4 * arctan 5⁻¹ - arctan 239⁻¹ = π / 4
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n
⊢ op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = op y ^ j * op x ^ (n - 1 - j)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
⊢ Acc (InvImage (fun a b => r ↑a ↑b) f') c
α : Type u
β : Type v
f : α → Finset β
h : (Set.range f).Finite
⊢ (⋃ a, ↑(f a)).Finite
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
⊢ a ∈ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
⊢ ∀ (i : ℕ), s i ⊆ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
n : Nat
P : Fin (n + 1) → Prop
⊢ (∃ i, P i) ↔ P 0 ∨ ∃ i, P i.succ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
i✝ j✝ : ιM
⊢ (bₘ.end.repr (φ x)) (i✝, j✝) = (toMatrix bₘ bₘ) (φ x) i✝ j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size
⊢ (m.erase k).size = (m.erase k).buckets.size
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ 1 / q ≠ ⊤
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i / f j) (f k) κ μ
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ x ∈ r • Iic a ↔ x ∈ Iic (r • a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
U : C
R : CategoryTheory.Presieve U
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
CategoryTheory.Limits.HasProducts A
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Presheaf.forkMap R P) (CategoryTheory.Presheaf.firstMap R P) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Presheaf.forkMap R P) (CategoryTheory.Presheaf.secondMap R P)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
V : Set X
h : V ∈ 𝓝 x
h' : V ∩ s = {x}
⊢ {x}ᶜ ∩ V ∩ s = ∅
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s * t).toProd.1 = s.toProd.1 * t.toProd.1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊
hn : 0 < ↑(n + 1)
⊢ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) = (↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊) ^ (1 / ↑(n + 1))
G : Type u_3
Group G
g : ConjAct G
h : G
⊢ g • h = (MulAut.conj (ConjAct.ofConjAct g)) h
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (⋃ g, (fun x => g • x) '' t)
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → F'
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ[f - g|m] =ᵐ[μ] μ[f|m] - μ[g|m]
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ Polynomial.evalEval x y W.negPolynomial = W.negY x y
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
z : ℤ
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ z) x
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
P : {n : ℕ} → L.BoundedFormula α n → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
h : φ.IsPrenex
hq : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
ha : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P ψ.all
hn : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, P ψ → P ψ.not
⊢ P φ
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : c < 0
⊢ a * c ≤ b * c ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
⊢ ∑ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₐc[R] B
x y : A
h : x = y
⊢ φ x = φ y
α : Type u_4
s : Finset α
p : { x // x ∈ s } → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
DecidableEq ι
A : ↥(Matrix.isRepresentation R b)
f : Module.End R M
h : Matrix.Represents b (↑A) f
⊢ (Matrix.isRepresentation.toEnd R b hb) A = f
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl :
  Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₁) l
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₂) l
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
s : L.Substructure M
⊢ s.CG ↔ Countable ↥s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).leadingCoeff = AddOpposite.unop x.leadingCoeff
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
a b x : ℤ
⊢ K.shiftFunctor₁XXIso a x (a + x) ⋯ b =
  CategoryTheory.Iso.refl ((((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).X a).X b)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 γ
ContinuousConstSMul 𝕜 γ
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(c • f) =ᵐ[μ] c • ↑f
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w
θ ψ : Real.Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ
⊢ θ.tan = ψ.tan
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : A), (AlgEquiv.opOp R A) a = MulOpposite.op (MulOpposite.op a)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).Nonempty
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
v : α → β
i j : α
hv : v i = v j
k : α
hi : ¬k = i
hj : ¬k = j
⊢ v ((swap i j) k) = v k
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : e (some x) = none
⊢ some (e.removeNone_aux x) = e none
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
⊢ ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ s • N ↔ x ∈ sInf {p | ∀ ⦃r : S⦄ {n : M}, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p}
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
M : Matrix n n R₂
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix' B * M = LinearMap.BilinForm.toMatrix' (B.compRight (Matrix.toLin' M))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ Integrable (g ∘ s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
hy : IsFixedPt f y
⊢ edist x y ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N
⊢ toAddCircle j = ↑(↑j.val / ↑N)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).erase a = s