ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r
y : α
hy : y ∈ t
yr : edist x y < ENNReal.ofReal r
⊢ ∃ y ∈ t, dist x y < r
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ cfc f a
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ a ∈ MulAction.fixedBy α m ↔ m • a = a
α : Type u
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
⊢ Cardinal.mk { x // p x } ≤ Cardinal.mk { x // q x }
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
⊢ s ≤ a ::ₘ t → s ≤ t
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ List.ofFn f = List.pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (List.range n) ⋯
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
k : ℕ
hk : 1 < k
⊢ riemannZeta ↑k = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ k
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : ∀ x ∈ a :: l, p x
⊢ p (a :: l).prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ
⊢ ∃ γ t, ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)
⊢ f.toMap x = f.toMap y
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (divX 1).coeff n✝ = coeff 0 n✝
m n k : ℕ
⊢ n ^ k = m ↔
  k = 0 ∧ m = 1 ∨
    0 < k ∧
      (n = 0 ∧ m = 0 ∨
        0 < n ∧
          ∃ w a t z,
            ∃ (a1 : 1 < a),
              Pell.xn a1 k ≡ Pell.yn a1 k * (a - n) + m [MOD t] ∧
                2 * a * n = t + (n * n + 1) ∧
                  m < t ∧ n ≤ w ∧ k ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
φ : Fin n ↪ α
hφ : ∀ {a b : Fin n}, (G.replaceVertex s t).Adj (φ a) (φ b) ↔ ⊤.Adj a b
⊢ ¬G.CliqueFree n
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
y : E
h : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ writtenInExtChartAt I I x (↑(chartAt H x)) y = y
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ∃ x, x ∈ I
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
h : IsClosed {a | p a}
⊢ ClosedEmbedding Subtype.val
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ s.sdiff {a} = s.erase a
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
i : δ
α : Type u_1 := { x // x ∈ {i} }
e : π ↑default ≃ᵐ ((i_1 : α) → π ↑i_1) := (MeasurableEquiv.piUnique fun j => π ↑j).symm
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
φ₁ : B →ₐ[R] C
φ₂ : A →ₐ[R] B
p : A
⊢ (φ₁.comp φ₂) p = φ₁ (φ₂ p)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
L : Subgroup ↥K
n : (Subgroup.map K.subtype L).Normal
⊢ L.Normal
α : Type u
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∧ q
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
val : α
⊢ (RelEmbedding.sumLiftRelInl r s) val = Sum.inl val
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖(tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖
x a : ℂ
⊢ 0 ^ x = a ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
⊢ vanishingIdeal {x} ≤ I
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (μ univ)⁻¹ ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂c • μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
⊢ Filter.map Complex.exp (Filter.comap Complex.re Filter.atBot) = nhdsWithin 0 {0}ᶜ
n : ℕ
⊢ ringChar (ZMod n) = n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n n✝ : ℕ
⊢ (coeff A n✝) (∑ x ∈ Finset.range n, { toFun := fun f => mk fun n => ↑x ^ n * (coeff A n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } (exp A)) = (coeff A n✝) (mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
y : Y
⊢ comap (⇑h) (𝓝 y) = 𝓝 (h.symm y)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
⊢ Real.exp (∑ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, Real.exp (f x)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hμ : f.HasGenEigenvalue μ k
contra : Function.Injective ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ)
⊢ Function.Injective ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) μ) ^ k)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ Sbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ 1 * x⁻¹⁻¹ = x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹
R : Type u_3
CommRing R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N
⊢ ∃ r ∈ I, ∀ n ∈ N, r • n = n
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m
⊢ (scale 1 a).NF ∧ o.repr = (scale 1 a).repr + ↑m
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
hs : s.Nontrivial
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ (f ⁻¹' s).Nontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
h : f.HasBasis p s
⊢ Filter.limsup u f = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, u a
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
⊢ a ∉ s → ∑ x ∈ insert a s, f x = f a + ∑ x ∈ s, f x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Set.BijOn (⇑(P.coreflection i)) (Set.range ⇑P.coroot) (Set.range ⇑P.coroot)
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsMulFreimanHom n A B f
⊢ Set.MapsTo f A B
X : TopCat
x₀ x₁ : ↑X
hx₀ : x₀ = x₁
⊢ ContinuousMap.Homotopy.hcast hx₀ = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (sSup (S n)) 0 < ε
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
AddCommMonoid M
Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₂
⊢ B.IsOrtho 0 x
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑(n.sign * ↑n.natAbs) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(n.sign * ↑n.natAbs) * inner_ 𝕜 x y
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ (∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a) → IsAtom f
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ nndist x y = nndist x.1 y.1 ⊔ nndist x.2 y.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), CategoryTheory.Square.evaluation₂.map φ = φ.τ₂
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
h : p ≠ 0
⊢ ∃ d, MvPolynomial.coeff d p ≠ 0
α : Type u_2
PartialOrder α
b : α
a : ↑(Set.Iic b)
⊢ IsCoatom a ↔ ↑a ⋖ b
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
⊢ IsClosed (↑(extChartAt I c).symm '' (Metric.closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I))
n✝ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
n : ℕ
f : ℕ → α
hn : ¬n = 0
⊢ ∀ x ∈ n.divisors, ∀ y ∈ n.divisors, n / x = n / y → x = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
⊢ pure ⊥ ≤ 𝓝 ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) a = (f a, 0)
α : Type u_1
ι : Type u_8
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on As)
⊢ ∑' (i : ι), μ (As i) ≤ μ (⋃ i, As i)
n : Int
d : Nat
z : d ≠ 0
n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
h : normalize n d z = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * ↑m ∧ d = d' * m
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' i j i = (D.t' i j i ≫ pullback.snd (D.f j i) (D.f j i)) ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.Integrable (NNReal.toReal ∘ ⇑f) μ
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
hdnf : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a : α
s : Set α
⊢ (0 • s)⁻¹ = op 0⁻¹ • s⁻¹
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0
⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ ⇑SimpleGraph.Hom.id = id
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p✝ p q : Polynomial ↥(subfield M F)
ihp : m • p = p
ihq : m • q = q
⊢ m • (p + q) = p + q
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ -b < a - c ↔ c < a + b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
⊢ R.one ▷ Bimod.TensorBimod.X P Q ≫ Bimod.TensorBimod.actLeft P Q = (λ_ (Bimod.TensorBimod.X P Q)).hom
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
⊢ count (fun k => p (b + k)) a + count p b = count (fun k => p (k + b)) a + count p b
n : Nat
⊢ List.range n.succ = List.range n ++ [n]
a✝ b✝ c d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ (∀ a' < a, a' ⨳ 1 < b) ↔ a ≤ b
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(I ^ n) = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : AddHom M N
g : AddHom N M
h₁ : g.comp f = AddHom.id M
h₂ : f.comp g = AddHom.id N
⊢ ⇑(f.toAddEquiv g h₁ h₂) = ⇑f
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y
⊢ x ^ y < x ^ z
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
Mul M
IsScalarTower R M M
p q : SubMulAction R M
⊢ ↑(p * q) = ↑p * ↑q
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
⊢ o / b ^ log b o < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformEmbedding f
⊢ UniformEmbedding (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.toFun)
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Set.Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Set.Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x
M : Type u_1
Inv M
a : Mᵈᵐᵃ
⊢ DomMulAct.mk.symm a⁻¹ = (DomMulAct.mk.symm a)⁻¹
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hS : Nonempty ↑S
hSd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊇ x_1) S
hSn : ∀ U ∈ S, U.Nonempty
hSc : ∀ U ∈ S, IsCompact U
hScl : ∀ U ∈ S, IsClosed U
⊢ (⋂₀ S).Nonempty
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
n : ℕ
h : q = Fintype.card (ZMod p) ^ n
⊢ ∃ n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
⊢ False
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ ↑(PartialHomeomorph.univBall c r) 0 = c
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (?m.434150 ⁻¹' univ) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f
t : Set α
ht : t ∈ pure a
⊢ s.seq t ∈ map (fun g => g a) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) (Neg.neg '' s) = Neg.neg '' (convexHull 𝕜) s
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ Subtype.val)
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = factor (I * J) J ⋯
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M
⊢ mk a b + mk c d = mk (↑b * c + ↑d * a) (b * d)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ s = {a} ↔ a ∈ s ∧ ∀ x ∈ s, x = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
⊢ v ∈ (span 𝕜 {u})ᗮ ↔ ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖
⊢ r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : One β], MeasureTheory.StronglyMeasurable 1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
a : α
s : Set β
⊢ (a +ᵥ s).Infinite ↔ s.Infinite
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
self : CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
⊢ Nonempty ((CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f g).whisker h).IsKan
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ
⊢ x ∈ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ e.functor.obj (e.inverse.obj Y)
⊢ f ≫ e.counit.app Y = f' ≫ e.counit.app Y ↔ f = f'
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
this : i = j.succ
⊢ snoc q b j = snoc (cons a q) b j.succ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n + 1
hn : 4 < n + 1
⊢ 4 ^ (n + 1) < (n + 1) * (n + 1).centralBinom
α : Type u
TopologicalSpace α
Z : Set α
h : IsClopen Z
⊢ ⋃ x ∈ Z, connectedComponent x = Z