ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
⊢ F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u_1
P : α → Prop
x : α
⊢ Ordnode.Any P {x} ↔ P x
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : (𝓓 a 𝒜).Shatters s
⊢ 𝒜.Shatters s
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → Polynomial R
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
⊢ (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (v i) (p j)) = Matrix.vandermonde v * Matrix.of fun i j => (p j).coeff ↑i
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β
⊢ (𝓝 a ⊓ 𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ t) id
m n : ℕ
h : m < n
⊢ m * m < n * n
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
φ : C ⟶ (single₀ V).obj X
⊢ C.d 1 0 ≫ φ.f 0 = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ < 1
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
H : Computation.LiftRel R ca cb
b : β
h : b ∈ cb
⊢ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
G : Type u_6
AddGroup G
x : G
⊢ Nat.card G • x = 0
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalRing.toNonUnitalSemiring R)
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
p : Fq[X]
hp : ↑((algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p) = 0
⊢ p = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e * SimpleGraph.incMatrix R G b e = (G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b).indicator 1 e
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.L₀.g ≫ S.δ = 0
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
S : Subalgebra F E
⊢ S = ⊥ ∨ S = ⊤
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasLimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
this✝¹ : HasProductsOfShape (↑𝒢) C
this✝ : ∀ (A : C), HasProductsOfShape ((G : ↑𝒢) × (A ⟶ ↑G)) C
this : CompleteLattice (Subobject (∏ᶜ Subtype.val)) := completeLatticeOfCompleteSemilatticeInf (Subobject (∏ᶜ Subtype.val))
⊢ (A : C) → Unique (Subobject.underlying.obj ⊥ ⟶ A)
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
⊢ {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ ↑(closure s)
K : Type u
V : Type v
V' V'₁ : Type v'
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V'₁
Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ min f.rank g.rank
R : Type u
CommRing R
q : R[X]
hq : q.Monic
p : R[X]
⊢ p ∈ LinearMap.ker q.modByMonicHom ↔ q ∣ p
n : ℕ
⊢ (bif -[n+1].bodd then 1 else 0) + 2 * -[n+1].div2 = -[n+1]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : M' → M
hm : m ≤ n
s : Set M'
⊢ ContMDiffOn I' J m (⇑h ∘ f) s ↔ ContMDiffOn I' I m f s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
⊢ s ⊼ s = s ↔ InfClosed ↑s
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
⊢ ∑ a : R, ψ a = 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor C D
X : A × C
⊢ (F.prod G).obj X = (F.obj X.1, G.obj X.2)
a : Int
h : 0 < -a
⊢ a < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ ContinuousAt Inv.inv x ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ C
⊢ ‖f‖₊ ≤ MeasureTheory.measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
h : ((whiskering C D).obj G ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X = (alternatingFaceMapComplex C ⋙ G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X := Eq.symm (Functor.congr_obj (map_alternatingFaceMapComplex G) X)
⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous (⇑ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑toFun)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
⊢ G'.connectedComponentMk (φ v) = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C ↔ G.connectedComponentMk v = C
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod = b.prod
this : a.prod.factors = b.prod.factors
⊢ a = b
n : ℕ
R : Type u_2
Ring R
a : R
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.negOfNat n) → a = (Int.negOfNat n).rawCast + 0
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
B₂ : ℕ
hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2
S₁ : ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 4
S₂ : ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 4
⊢ ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i + ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 2
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit a
⊢ a + b = 0 ↔ -a = b
x : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ici ↑x = Set.Ici x
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ (Equiv.optionSubtypeNe a).symm a = none
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (GenContFract.IntFractPair.mapFr Rat.cast) (GenContFract.IntFractPair.stream q n) =
  GenContFract.IntFractPair.stream v n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
f : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => -f x) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (h.compRight ψ).h₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₀ ψ.τ₁
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
Invertible A
Invertible Aᵀ
⊢ (⅟A)ᵀ = ⅟Aᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Zero γ
g : C(α, β)
⊢ ContinuousMap.comp 0 g = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Finset ↑s
ht : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ False
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
k : ℕ
⊢ ‖z ^ k‖ * ‖z‖ = ‖z‖ ^ k * ‖z‖
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ ↑(⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, ↑(f i j)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
f₂ : E → G
f₂' : E →L[𝕜] G
hf₁ : HasStrictFDerivAt f₁ f₁' x
hf₂ : HasStrictFDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁'.prod f₂') x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂ρ.fst
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
x : E
r' : ℝ
r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
⊢ ∃ ε_1 > 0, ball x ε_1 ⊆ A f L r ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
h : Disjoint s t
⊢ Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
fst✝ : C
snd✝¹ snd✝ : F.obj fst✝
h₂ : snd✝¹ = snd✝
⊢ ⟨fst✝, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X✝ : Sheaf J E
Y✝ Y'✝ : Sheaf J D
f : (composeAndSheafify J G).obj X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Y'✝
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).unit.app X✝.val ≫ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).map (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val ≫ g.val)).app x✝ = ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).unit.app X✝.val ≫ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).map (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val)).app x✝ ≫ F.map (g.val.app x✝)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.closedBall 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
⊢ x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
R : Type u_1
M M₁ : Type u
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R M = Module.rank R M₁ + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
hx : d x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => c x / d x) x = (deriv c x * d x - c x * deriv d x) / d x ^ 2
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor W.Localization D
τ : W.Q.comp F₁ ⟶ W.Q.comp F₂
X : W.Localization
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.natTransExtension τ).app X =
  CategoryTheory.Localization.Construction.NatTransExtension.app τ X
x y : UInt32
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt32.size
a : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ 1 ↔ a = 0 ∨ a = 1
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ (Matrix.Pivot.listTransvecCol M).length = r
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique R
⊢ Relator.BiUnique (List.Forall₂ R)
x : SetTheory.PGame.star.RightMoves
⊢ SetTheory.PGame.star.moveRight x = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f
⊢ (AdjoinRoot.quotMapOfEquivQuotMapCMapSpanMk I f) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I)) x) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {f})) (Ideal.map Polynomial.C I))) x
M : Type u_4
AddMonoid M
a : M
n : ℕ
m : ℕ
ha : n • a = 0
⊢ m • a = (m % n) • a
α : Type u_1
s : Finset α
r : ℕ
⊢ Set.Sized r ↑(Finset.powersetCard r s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C ↔
  ∀ {J : Type v} [inst : CategoryTheory.SmallCategory J] [inst_1 : CategoryTheory.FinCategory J] (F : J ⥤ C),
    ∃ X, Nonempty (CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)))
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
x1 x2 : X
h : (productOfMemOpens X) x1 = (productOfMemOpens X) x2
⊢ x1 = x2
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : X ≅ Y
g : Y ≅ Z
W : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (f ≪≫ g) W =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso f W ≪≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso g W
α : Sort u_1
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
a : p → α
b c : ¬p → α
⊢ (dite p a fun hp => if q then b hp else c hp) = if q then dite p a b else dite p a c
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.snd M N) = ⊤
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
n : ℕ
⊢ |a| ^ n = |a ^ n|
R : Type u_3
CommRing R
z : ℤ
⊢ Quaternion.normSq ↑z = ↑z ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
φ φ' : f ⟶ g
h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 0 ⋯
h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 1 ⋯
h₂ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 2 ⋯
h₃ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 3 ⋯
h₄ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 4 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 4 ⋯
h₅ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 5 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 5 ⋯
⊢ φ = φ'
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G
⊢ p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Free R M'
Module.Finite R M
Module.Finite R M'
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M') ↔ FiniteDimensional.finrank R M = FiniteDimensional.finrank R M'
α : Type u_2
LE α
a : αᵒᵈᵒᵈ
⊢ (OrderIso.dualDual α).symm a = OrderDual.ofDual (OrderDual.ofDual a)
a b c : Int
h : a + b < c + b
⊢ a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 1
⊢ HasProd f (∏ b ∈ s, f b)
ι : Type u_2
Countable ι
X : ι → Type u_3
s : (i : ι) → Set (X i)
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
h : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsSeparable (s i)
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (Set.univ.pi s)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ 1 < s.card ↔ s.Nontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
f : α → β
a b : α
hf : MonotoneOn f (Set.uIcc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.uIcc a b) (Set.uIcc (f a) (f b))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hi : ∀ m < n, 1 < m → (cyclotomic m R).coeff 0 = 1
hn : 1 < n
hprod : ∏ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).coeff 0 = -1
⊢ (cyclotomic n R).coeff 0 = 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
r : R
⊢ ∃ a, (eval IM I M R x) a = r
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
p1 p2 : Set (Set Ω)
hp1m : ∀ s ∈ p1, MeasurableSet s
hp2m : ∀ s ∈ p2, MeasurableSet s
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hyp : ProbabilityTheory.IndepSets p1 p2 μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom p1) (MeasurableSpace.generateFrom p2) μ
l m r : List Char
s : Substring
n : Nat
h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }.str.data = l ++ List.take n m ++ (List.drop n m ++ r)
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
⊢ BalancedSz r.size l.size
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p ≠ 0 → p.natTrailingDegree ∈ p.support
R : Type u_1
ι : Type u_2
A₁ : ι → Type u_3
A₂ : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A₁ i)
(i : ι) → Semiring (A₂ i)
(i : ι) → Algebra R (A₁ i)
(i : ι) → Algebra R (A₂ i)
e : (i : ι) → A₁ i ≃ₐ[R] A₂ i
⊢ (AlgEquiv.piCongrRight e).symm = AlgEquiv.piCongrRight fun i => (e i).symm
n p : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range n)).card = n / p
α : Type u_2
self : NormedOrderedGroup α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x / y‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
hc : Differentiable ℂ f
⊢ Differentiable ℂ fun x => Complex.sinh (f x)
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
r : R
⊢ ∃ r_1, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r_1 = (quotientInfToPiQuotient I) ((Quotient.mk (⨅ i, I i)) r) i
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (AddCommGrp.free.map f) x = f <$> x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)
⊢ s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ {a | ¬s.indicator f a = 0 a} = 0
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0
⊢ μ s = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ * f₂) g
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ Filter.liminf u Filter.atTop = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), u i
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (Polynomial.aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (Polynomial.aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
a : S
⊢ (pb.equivOfRoot pb' h₁ h₂) a = (pb.lift pb'.gen h₂) a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
Finite ι
s : ι → Set α
a : α
⊢ 𝓝[⋃ i, s i] a = ⨆ i, 𝓝[s i] a
a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ insert a (Finset.Icc (a + 1) b) = Finset.Icc a b
K' : Type u_3
Field K'
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ (Polynomial.X ^ p - Polynomial.X).natDegree = p
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : ¬a = 0
x : α
hx : x ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
⊢ normalize x = x
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0
h2 : 0 < (-I * τ).re
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ (localizationAway r).dimension = 0
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (Bornology.cobounded E) (Bornology.cobounded E)
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ Nat.rawCast 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : IsPeriodicPt f n x
hy : IsPeriodicPt f n y
hn : 0 < n
h : f x = f y
⊢ x = y
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => (fourier n) ↑y) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier n) ↑x) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => f e - g e
R : Type u_2
Semiring R
σ : Type u_3
Finite σ
f : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (HahnSeries.toMvPowerSeries.symm f).coeff n = (MvPowerSeries.coeff R n) f