ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).cos * ‖x - y‖ = ‖x‖
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
p : ↥(NonUnitalSubring.closure s) → Prop
a : ↥(NonUnitalSubring.closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(NonUnitalSubring.closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(NonUnitalSubring.closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(NonUnitalSubring.closure s)), p x → p y → p (x * y)
⊢ p a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsCoatomistic αᵒᵈ
b : α
⊢ ∃ s, b = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse (f x)
⊢ ContinuousAt (fun x => Ring.inverse (f x)) x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ IsNilpotent R L M
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
x : S
z : R
⊢ (map Q g hy) (z • x) = g z • (map Q g hy) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ
⊢ derivative ↑n = 0
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSemiring R
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
⊢ TopologicalSemiring (tsze R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
a : α
l : List α
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
⊢ List.mapM f (a :: l) = do
  let __do_lift ← f a
  let __do_lift_1 ← List.mapM f l
  pure (__do_lift :: __do_lift_1)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
R : Type u
CommRing R
n : ℕ
c : R
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[n] ((Polynomial.X - Polynomial.C c) ^ n) = ↑n.factorial
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
⊢ (PartialHomeomorph.restrContDiff 𝕜 f n).source =
  f.source ∩ {x | ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) x ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) (↑f x)}
w : ℕ
n : ℕ
x : BitVec w
⊢ (n • x).toFin = n • x.toFin
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c + f y) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
J : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
ha : a = -↑a.natAbs
⊢ J(-↑a.natAbs | b) = J(-↑a.natAbs | b % (4 * a.natAbs))
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
l : List α
f : α → β
⊢ List.enumFrom n (List.map f l) = List.map (Prod.map id f) (List.enumFrom n l)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R
⊢ ¬IsPrimePow 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
P : Algebra.Presentation R S
⊢ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) =
  RingHom.ker (MvPolynomial.aeval P.baseChange.val)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
⊢ h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type u_1
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
x : α
⊢ count x l ≤ count (f x) (map f l)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
s : Set M
RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ Submodule.span R₂ (⇑f '' s) = Submodule.map f (Submodule.span R s)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
x y : R
⊢ (x * y) • (M * N) = x • M * y • N
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ 1 ≤ P ↔ 1 ∈ P
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y
hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y
C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
a : R
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalCommSemiring α
Fintype n
Fintype o
A : Matrix m n α
B : Matrix o n α
x : o → α
⊢ A *ᵥ x ᵥ* B = (A * Bᵀ) *ᵥ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ IsPiSystem (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b})
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : β ≃o α
L : Sublattice α
⊢ Sublattice.comap { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L =
  Sublattice.map { toFun := ⇑f.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L
α : Type u_1
l₁ : List α
⊢ [] ~ l₁ ↔ l₁ = []
ι : Type v
L : Type w₁
M : ι → Type w
LieRing L
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → LieRingModule L (M i)
x : L
m : DirectSum ι fun i => M i
i : ι
⊢ ⁅x, m⁆ i = ⁅x, m i⁆
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Measurable MeasureTheory.Measure.join
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
⊢ (fun cs₂ => cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius) { center := cc₂, radius := cr₂ } ∧ ∀ (y : Sphere P), (fun cs₂ => cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius) y → y = { center := cc₂, radius := cr₂ }
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
l : A₁ ≃ₗ[R] A₂
map_one : l 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A₁), l (x * y) = l x * l y
a : A₁
⊢ (AlgEquiv.ofLinearEquiv l map_one map_mul) a = l a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop (𝓝 c)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), Filter.liminf (fun n => f n a) Filter.atTop ∂μ ≤ Filter.liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ) Filter.atTop
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ WittVector.mapFun ⇑f ↑n = ↑n
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
Fintype ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m
c t : Bool
⊢ (bif c then t else true) = (!c || t)
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj β
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 ∅
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
x : γ
hx : κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1
⊢ Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 (κ.densityProcess κ.fst n a x univ))
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ 1 ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').hom)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.comap LinearMap.id p = p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α
⊢ id^[k] x ≤ succ^[k] x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
g : α → F := Exists.choose hf
⊢ Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ p.natDegree = p.support.max' ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f✝ g✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f g : ι →₀ α
i : ι
⊢ f i = 0 ∧ g i = 0 ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i = 0
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
hf : Involutive f
m : ℕ
⊢ f^[2 * m + 1] = f
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x - ↑q)
⊢ Irrational (x + ↑(-q))
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
⊢ IsGalois F E
α : Type u_1
s t : Set α
DecidableEq α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s \ t)
⊢ (s \ t).toFinset = s.toFinset \ t.toFinset
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ insert a (s ∪ t) = insert a s ∪ insert a t
a : UnitAddCircle
⊢ HurwitzZeta.cosZeta a 0 = -1 / 2
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
⊢ a ∈ rfindOpt f
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X ⟶ F
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceLeftToRight X F G).right = G.right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x = fderiv 𝕜 f x
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s
⊢ μ = ν
α : Type u_1
SupSet α
s : Set (ULift.{v, u_1} α)
⊢ (sSup s).down = sSup (ULift.up ⁻¹' s)
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
ι : Sort u_2
c : ι → Set X
s : Set X
hs : IsSeqCompact s
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ δ > 0, ∀ a ∈ s, ∃ i, Metric.ball a δ ⊆ c i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ s = ⨅ t, μ ↑t
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ derangements.Equiv.RemoveNone.fiber (some a) = {f | Function.fixedPoints ⇑f ⊆ {a}}
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LinearMap.IsSymm (LieModule.traceForm R L M)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : Products I
⊢ l ∈ GoodProducts C ↔ l ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
⊢ ∃ n, s = Ideal.span {ϖ ^ n}
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ cs.IsReflection t⁻¹
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)} (g : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.costructuredArrowPresheafToOver A).map g =
    CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafMap₁ g) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
⊢ Disjoint f (𝓟 s) ↔ sᶜ ∈ f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
i : ℕ
⊢ CategoryTheory.Functor.OfSequence.map f i i ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X i)
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ List.Duplicate x l ↔ [x, x].Sublist l
α : Type u_3
SemilatticeInf α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atBot = Filter.atBot
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ (mkMetric m).trim = mkMetric m
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
⊢ 0 < NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K I
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ↑(r / 2)
hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ↑(r / 2)
⊢ z ∈ ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ (LinearMap.mulRight R a) b = b * a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f
⊢ IsPullback a a f f
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
ι : P ⟶ X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι ι w).pt = P
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.punitCoprod M) = ⇑Monoid.Coprod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}
⊢ (⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}).Countable
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
e : Sym2 V
⊢ Sym2.map (⇑f) e ∈ G'.edgeSet ↔ e ∈ G.edgeSet
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ CompleteSpace E
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ (X.restrict ⋯).presheaf = (TopCat.Presheaf.pushforward C (TopologicalSpace.Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).obj X.presheaf
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
x : α
hx : count x l₁ < count x l₂
⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l₁ → count x_1 (x :: l₁) ≤ count x_1 l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
I₁ : CategoryTheory.Functorial F
I₂ : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.of F).μ X Y = CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X Y
R : Type u_1
CommRing R
x₁ x₂ y₁ y₂ : R
⊢ (x₁ ^ 2 + x₂ ^ 2) * (y₁ ^ 2 + y₂ ^ 2) = (x₁ * y₁ - x₂ * y₂) ^ 2 + (x₁ * y₂ + x₂ * y₁) ^ 2
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum ((fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (Quotient.mk' ⁻¹' (mk '' t))
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ (a, x) ∈ κ.mutuallySingularSet η
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ sinZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s - (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / (2 * I)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
⊢ ∃ f, Inducing f
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A
⊢ of ↑(φ a) = t * of ↑a * t⁻¹
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ QuasiIso φ.τ₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
s : Set β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) (f a) ∂μ = c * μ (f ⁻¹' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : T
ik jk : m × n
⊢ (leftMulMatrix (b.smulTower c)) x ik jk = (leftMulMatrix b) ((leftMulMatrix c) x ik.2 jk.2) ik.1 jk.1
K : Type u_1
Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(NumberField.canonicalEmbedding K))
⊢ (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ)
X : Type u
TopologicalSpace X
x y z : FundamentalGroupoid X
p : x ⟶ y
q : y ⟶ z
⊢ p ≫ q = Path.Homotopic.Quotient.comp p q