ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₂ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v := by isBoundedDefault
h₃ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₄ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v := by isBoundedDefault
⊢ Filter.limsup (fun a => max (u a) (v a)) f = max (Filter.limsup u f) (Filter.limsup v f)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
t : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (∅ + t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 ∅ ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
G : Type u_3
DivInvMonoid G
g h : G
⊢ ConjAct.toConjAct g • h = g * h * g⁻¹
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : f.HasGenEigenvalue μ k
⊢ f.HasGenEigenvalue μ m
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l
⊢ Pairwise (fun x y => x ≠ y → R x y) l
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x + ↑n * c) = ↑↑n.negOnePow * f x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((α_ P.X Q.X (L.X ⊗ U.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ L.actRight) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖f y - a - f' (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
⊢ ‖(∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)) • f' (Pi.single i 1) - (integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.upper i)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.lower i)) BoxAdditiveMap.volume)‖ ≤ 2 * ε * ↑c * ∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
h : 0 ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_3
CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
S : Type u_4
CommSemiring S
J : Ideal S
hJ : J.IsPrime
K : Ideal P
hK : K.IsPrime
f : R →+* S
hIJ : I = Ideal.comap f J
g : S →+* P
hJK : J = Ideal.comap g K
⊢ Localization.localRingHom I K (g.comp f) ⋯ =
  (Localization.localRingHom J K g hJK).comp (Localization.localRingHom I J f hIJ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : Finite p a ∧ Finite p b
⊢ multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b
X : Type u_2
TopologicalSpace X
NonLindelofSpace X
⊢ ¬IsLindelof Set.univ
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ star a * a = ↑(normSq a)
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b => ⟨a * ↑b, ⋯⟩
hf : Surjective f
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ = ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = n), ball x δ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulOneClass Y
x : X
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y), (LocallyConstant.evalMonoidHom x) a = a x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (∅ ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (∅.gcd f) (s₂.gcd f)
x y : SetTheory.PGame
⊢ (x + y).RightMoves = (x.RightMoves ⊕ y.RightMoves)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ n = 0 ↔ 0 = n
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
h' : (a + o).NFBelow b
⊢ (e.addAux n (a + o)).NFBelow b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
⊢ ∀ {X Y : Fin (n + 1)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.obj F).map f = F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯)
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
n : ℤ
⊢ a + n • b + b = a + (n + 1) • b
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
g : N →+ M
h₁ : g.comp f = AddMonoidHom.id M
h₂ : f.comp g = AddMonoidHom.id N
⊢ ⇑(f.toAddEquiv g h₁ h₂) = ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
r : R
hr : r ∈ I ^ n
⊢ (Polynomial.monomial n) r ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (Polynomial.monomial 1) I)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
⊢ QuotientAddGroup.mk '' ↑N = 0
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
PosMulMono α
MulPosMono α
h : 0 < a * b
ha : a ≤ 0
⊢ b < 0
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieAlgebra.IsKilling.coroot α = 0 ↔ α.IsZero
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ (starRingEnd K) (-I) = I
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G ≤ 0 ↔ 0 ≤ G
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (φ - φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ - CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ'
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')
⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
self : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (↑self.boxes).Pairwise (Disjoint on BoxIntegral.Box.toSet)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R.arrows f
⊢ ⊤ ⊓ Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (s.drop (n + 1)).destruct (t.drop (n + 1)).destruct
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
K : Type u_1
Field K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.place (NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ) = NumberField.place φ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] g
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ x ∈ (algebraMap (↥S) B).range ↔ x ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
a✝ : Nontrivial E
O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp ↑e.symm
O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂
h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁
h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ ⇑(prodAssoc α β γ).symm '' s ×ˢ t ×ˢ u = (s ×ˢ t) ×ˢ u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
c : F
e : E
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => c) (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c) e ⊤
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.Smooth R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R A
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | edist p.1 p.2 < ε}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
⊢ (fun y => (x, y)) '' openSegment 𝕜 y₁ y₂ = openSegment 𝕜 (x, y₁) (x, y₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
⊢ ((convexHull 𝕜) s).Nonempty ↔ s.Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
this : ContinuousWithinAt (fun x => (x - a) • dslope f a x + f a) s b
⊢ ContinuousWithinAt f s b
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hs : IsPreconnected s
hu : IsOpen u
h'u : (s ∩ u).Nonempty
h : closure u ∩ s ⊆ u
A : s ⊆ u ∪ (closure u)ᶜ
⊢ s ⊆ u
R : Type u_6
A : Type u_7
B : Type u_8
CommRing R
Field A
CommRing B
Nontrivial B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
x : A
h : IsIntegral R ((algebraMap A B) x)
⊢ IsIntegral R x
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
zn : 0 < 1 - ‖z‖
⊢ M * (1 - ‖z‖) ≤ ‖1 - z‖
K : Type v
Field K
p : K[X]
hsplit : Polynomial.Splits (RingHom.id K) p
⊢ p = Polynomial.C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a✝ : α
q : ℚ
a : β
ha : IsRatStieltjesPoint f (a✝, a)
⊢ ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a✝, a)) ↑q = f (a✝, a) q
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ realPart (Complex.I • a) = -imaginaryPart a
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
_hx : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ span Set.univ
α : Type u
β : Type v
s : Set α
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ ¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔
  ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a < b ∧ b < c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ Integrable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.ι (I.sndTo b)) (I.snd b)
α : Type u_1
ι : Sort v
Nonempty ι
l : ι → Language α
m : Language α
⊢ m + ⨆ i, l i = ⨆ i, m + l i
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]
this : (minpoly R x).Monic
⊢ (aeval x) f = (aeval x) (f %ₘ minpoly R x)
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∀ (t : Finset α), Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯) → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x : Subtype p
⊢ ContinuousAt Subtype.val x
F : Type u_7
α : outParam (Type u_8)
AddGroup α
FunLike F α ℝ
self : NonarchAddGroupSeminormClass F α
f : F
a : α
⊢ f (-a) = f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ IsOpen (extChartAt I x).source
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯ =
  (CategoryTheory.shiftFunctor C a).leftUnitor.symm ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).symm (CategoryTheory.shiftFunctor C a)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i j k : ι
x : B
⊢ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∩ Z.baseSet k → (Z.coordChange j k x).comp (Z.coordChange i j x) = Z.coordChange i k x
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
SMul α β
a : α
t : ι → Set β
⊢ a • ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, a • t i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
⊢ ∃ b, ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).functor.obj c).left.as = PUnit.unit
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
a b c d : α
h : a * b = c * d
⊢ a ≠ c ↔ b ≠ d
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
⊢ borel γ = borel γ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ‖x‖ ^ 2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
⊢ e.toBasis.orientation = o
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ H.mapConePostcomposeEquivalenceFunctor.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
⊢ ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca.destruct cb.destruct
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
⊢ Disjoint (f i) (sSup (f '' {j | j ≠ i}))
α : Type u_1
M : Type u_5
G : Type u_9
Group G
MulAction G α
AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α
⊢ (g • f) a = f (g⁻¹ • a)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
⊢ ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ≤ comap f ⁅J₁, J₂⁆
α : Type u
hα : Nonempty α
l : List α
⊢ (∀ (n : ℕ), l.rotate n = l) ↔ ∃ a, l = List.replicate l.length a
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
S : Subgroup G
hS : Filter.Tendsto (⇑S.subtype) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
⊢ ProperlyDiscontinuousSMul (↥S) G
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (b : β), g b ∂(ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a =
  if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
hs : s.Infinite
hf : s ⊆ Set.range f
⊢ (f ⁻¹' s).Infinite
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.EssFiniteType R S
⊢ ∃ s, IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap (↥(Algebra.adjoin R ↑s)) S) (IsUnit.submonoid S)) S
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support
⊢ _root_.Disjoint x.support y.support
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
v : R
hu : (Ideal.Quotient.lift I f H) ((Ideal.Quotient.mk I) v) = 0
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) v = 0
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
DiscreteTopology β
hA : CantorScheme.VanishingDiam A
⊢ Continuous (CantorScheme.inducedMap A).snd
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
h : ClosedEmbedding f
⊢ ClosedEmbedding (s.restrictPreimage f)
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
⊢ 1 < s.re
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Filter.Tendsto (fun n => ‖c n‖) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : C
f : Sum.inl (Sum.inl X) ⟶ Sum.inl (Sum.inl Y)
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).map f = f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ F q.i * F q.i = c₁ • 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
⊢ map (Int.castRingHom ℚ) (minpoly ℤ μ) = minpoly ℚ μ
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₁ : a₁ ∈ l.keys
ha₂ : a₂ ∉ l.keys
⊢ kerase a₂ (kerase a₁ l) = kerase a₁ (kerase a₂ l)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddCommMonoid α
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → Finset α
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)