ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
n : ℕ
⊢ ‖↑n + 1‖ ≤ ↑n * ‖1‖ + ‖1‖
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ o.card = ↑n ↔ o = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
⊢ Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a : Finset α
ha : a ∈ P.parts
⊢ a.Nonempty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
⊢ t ≤ s → s ∈ ↑𝒜.shatterer → t ∈ ↑𝒜.shatterer
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
i : ℕ
f : E → F
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (-f) x = -iteratedFDeriv 𝕜 i f x
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
α : Type u_1
M : Type u_8
Fintype α
AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ Finsupp.equivFunOnFinite.symm f = ∑ a : α, Finsupp.single a (f a)
n : ℕ
Δ : SimplexCategory
θ : Δ ⟶ [n + 1]
hθ : ¬Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom θ)
i : Fin ([n + 1].len + 1)
hi : ¬∃ a, (Hom.toOrderHom θ) a = i
⊢ ∃ θ', θ = θ' ≫ δ i
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
Λ' : F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
h0 : Λ' ≠ 0
hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker Λ'
e : ((F →ₗ[ℝ] ℝ) × ℝ) ≃ₗ[ℝ] F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ := (LinearEquiv.refl ℝ (F →ₗ[ℝ] ℝ)).prod (LinearMap.ringLmapEquivSelf ℝ ℝ ℝ).symm ≪≫ₗ LinearMap.coprodEquiv ℝ
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
f : ι → α
⊢ ∅.PairwiseDisjoint f
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x‖ • y = ‖y‖ • x
G : Type u_1
Group G
p p' : Subgroup G
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
z : ℤ_[p]
hz : ih_gen n z
⊢ ‖Polynomial.eval z F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) * f') s x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D
eq : (F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y))) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = (h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y)) ≫ F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))
⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ (DoubleCentralizer.toProd 1).2 = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
a b c : M
α₁ α₂ : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
β : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ (α₁ + α₂).comp β h = α₁.comp β h + α₂.comp β h
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
n : ℕ
φ : k⟦X⟧
⊢ (coeff k n) φ⁻¹ = if n = 0 then ((constantCoeff k) φ)⁻¹ else -((constantCoeff k) φ)⁻¹ * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff k x.1) φ * (coeff k x.2) φ⁻¹ else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransId.inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.V
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : α → Bool
as : List α
⊢ List.map f (List.filter p as) = List.foldr (fun a bs => bif p a then f a :: bs else bs) [] as
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ 0 < a - b ↔ b < a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℕ
a : α
⊢ (-a) ^ (2 * c + 1) = -a ^ (2 * c + 1)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
P.IsFinite
⊢ Algebra.FinitePresentation R S
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.InjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.ι g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CochainComplex.single₀ C).map f) Q.ι
⊢ (F.rightDerived n).map f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoRightDerivedObj F n).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).comp
            (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n)).map
        g)
      (Q.isoRightDerivedObj F n).inv)
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x ∈ V ∧ IsConnected V
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F Y
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f p).snd =
  F.map
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CostructuredArrow.mkPrecomp p.fst f).op
      (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
    p.snd
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ 0 < |a - b| ↔ a ≠ b
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R M
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : X → Z
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun x => (f x, g x)) x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (f * g).FinMeasSupp μ
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ Function.Injective MonoidHomClass.toMonoidHom
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∀ j ≥ k, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η
n : ℕ
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s = ((κ.seq n ⊗ₖ η) a) s
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
g : ℕ → E := fun n => c • f n
A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r
⊢ False
a : Quaternion ℝ
⊢ ⟪a, a⟫_ℝ = Quaternion.normSq a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
z : E
⊢ (d • c') z = (c'.smulRight d) z
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
L₁ : ListBlank Γ'
L₂ : List (Γ k)
H₁ : L₁ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
⊢ ∃ S L', addBottom L' = L₁ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
⊢ ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
x : K
hx : (aeval x) f = 0
⊢ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap F E) f)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio b \ Set.Iic a = Set.Ioo a b
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : LipschitzOnWith K f s
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
⊢ Nontrivial (OreLocalization S R) ↔ 0 ∉ S
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u : ℕ → α
init : Fin E.order → α
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
⊢ ∑ i : Fin E.order, E.coeffs i * u (n - E.order + ↑i) = ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * E.mkSol init (n - E.order + E.order - E.order + ↑x)
V : Type u
s : Set (SimpleGraph V)
a b : V
⊢ (sSup s).Adj a b ↔ ∃ G ∈ s, G.Adj a b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
y : N
⊢ y ∈ MonoidHom.mrange f ↔ ∃ x, f x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
n : ℕ
f : Fin n → C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
x : M₁
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
x : ENNReal
⊢ x.log ≤ 0 ↔ x ≤ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ LiftRel R (cons a s) (cons b t) ↔ R a b ∧ LiftRel R s t
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
H : I.IsPrime
⊢ I.IsRadical
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
⊢ False
a b c : Prop
h : Decidable a
⊢ a → b ∨ c ↔ (a → b) ∨ (a → c)
s : Finset ℕ
m n : ℕ
hm : m ∈ Nat.factoredNumbers s
hn : n ∈ Nat.factoredNumbers s
⊢ m * n ∈ Nat.factoredNumbers s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
α : Type u_1
g : BoxIntegral.Box ι → α
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ ∑ y ∈ Finset.image g π.boxes, BoxIntegral.integralSum f vol (π.filter fun x => g x = y) =
  BoxIntegral.integralSum f vol π
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀
M : Type u_1
Add M
s : Set M
x : M
h_mul : ∀ {a b : M}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
⊢ x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_mul } ↔ x ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
a : R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.rescale a) f) = a ^ n * (PowerSeries.coeff R n) f
p : ENNReal
h : p ≤ 1
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (PMF.binomial p h n) i = p ^ ↑i * (1 - p) ^ (↑(Fin.last n) - ↑i) * ↑(n.choose ↑i)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
ht : t.Nonempty
hf : ∀ (b : β), Function.Injective fun a => f a b
⊢ s.card ≤ (Finset.image₂ f s t).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
R : β → γ → Prop
(a : β) → (b : γ) → Decidable (R a b)
f : α → β
g : α → γ
⊢ PrimrecRel R → Primrec f → Primrec g → PrimrecPred fun a => R (f a) (g a)
n : Type u_3
α : Type v
Semiring α
DecidableEq n
Fintype n
r : α
hr : ∀ (r' : α), Commute r r'
M : Matrix n n α
⊢ Commute ((Matrix.scalar n) r) M
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalExtr f (g b)
hg : ContinuousAt g b
⊢ IsLocalExtr (f ∘ g) b
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
(i : I) → Div (f i)
⊢ x / y = fun i => x i / y i
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
⊢ min (firstDiff x y) (firstDiff y z) ≤ firstDiff x z
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearMap.ker hv.repr = ⊥
x : ℂ
⊢ (x ^ 2⁻¹).re = √((Complex.abs x + x.re) / 2)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (s.pi t)
α : Type u
Mul α
LE α
self : ExistsMulOfLE α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∃ c, b = a * c
α : Type u_3
r : α → α → Prop
x y : α
⊢ Quot.mk r x = Quot.mk r y ↔ EqvGen r x y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
⊢ {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s ↔ x ∉ s
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
x : R
⊢ (lift ⟨f, w⟩) ((mkRingHom r) x) = f x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ sepDegree F E = 1
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Zero M
Zero N
Zero P
f : ZeroHom M N
⊢ ZeroHom.comp 0 f = 0
α : Type u_1
NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (Metric.cthickening ε s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T T' : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : T ⟶ T'
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)} (f_1 : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map f).map f_1).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s t : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
ht : Set.EqOn f₁ f t
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ t x
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ normalClosure F (↥K) L ≤ K
m n✝ n a : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ (↑a).valMinAbs = ↑a ↔ a ≤ n / 2
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
⊢ prehaar (↑K₀) U ⊥ = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ (p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) Y = (q * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) • 1 + (p - q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)) • (mk W) Y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ -[[a, b]] = [[-a, -b]]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)) = W₀.sum fun i => ⇑(V i)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
ps : Set P
⊢ affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ps)) = affineSpan k (insert p ps)
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
hx0 : x < 0
⊢ if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x✝ : α
⊢ (filter p f) x✝ = {x | p x}.indicator (⇑f) x✝
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (AdjoinRoot.powerBasis' hg).gen = AdjoinRoot.root g
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
⊢ (CliffordAlgebra.toBaseChange A Q).comp (CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) = AlgHom.id A (A ⊗[R] CliffordAlgebra Q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : Embedding e
⊢ CompletelyNormalSpace X
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
R : Type u_17
StrictOrderedSemiring R
Archimedean R
f : R → E
g : R → F
h : f =o[Filter.atTop] g
⊢ (fun n => f ↑n) =o[Filter.atTop] fun n => g ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᴹᵒᵖ
⊢ (β_ X Y).inv.unmop = (β_ Y.unmop X.unmop).inv
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
hμ : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
I : Finset ι
⊢ μ Set.univ = (P I) Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : WithBot αᵒᵈ
⊢ WithTop.map f (WithBot.ofDual a) = WithBot.map (⇑OrderDual.ofDual ∘ f) a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → R
⊢ ∑ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val)).sum
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'
⊢ x = x' ∧ y = y'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
⊢ IsOpen v