ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → E
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.reverse ((CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m) = (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝² : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝¹ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝ : AddCommMonoid R
r : R → R → Prop
hr : ∀ (v₁ v₂ : α → R), IsBoundedUnder r f v₁ → IsBoundedUnder r f v₂ → IsBoundedUnder r f (v₁ + v₂)
hr₀ : r 0 0
u : κ → α → R
s : Finset κ
h : ∀ k ∈ s, IsBoundedUnder r f (u k)
⊢ IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ s, u k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h_eq : ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)
j : ι
⊢ j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.withDensity 0) a✝¹) s✝ = (0 a✝¹) s✝
R : Type u
σ : Type u_1
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.monomialOneHom R σ) s = (MvPolynomial.monomial s) 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
LinearOrder β
f : β → α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
⊢ ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ ns i), s j = ⨆ n, s n
b n : ℕ
⊢ b ≤ n ∧ 1 < b → log b (n / b) + 1 = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ t, g i
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
x✝ : M
⊢ (g.comp (f₁ * f₂)) x✝ = (g.comp f₁ * g.comp f₂) x✝
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ (seminormFromConst hf1 hc hpm) x = seminormFromConst' hf1 hc hpm x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s, w x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s, w x • x = 0
⊢ ∀ x ∈ s, w x = 0
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ infSum 𝒜 = 1
self : CpltSepUniformSpace
⊢ T0Space self.α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
i : δ
⊢ Measurable fun x_1 => if hi : i ∈ s then x_1 ⟨i, hi⟩ else x i
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x
⊢ slope f x y < derivWithin f S x
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
x : E
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ padicNorm p q ≠ 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : 0 < B
⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
⊢ OreLocalization.smul' r₁ s₁ r₂ s₂ = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Sort u_4
S : ι → Submodule R M
⊢ -⨆ i, S i = ⨆ i, -S i
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
⊢ max (lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) (lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) = o
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)) ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map (𝟙 ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj (CochainComplex.mappingCone f))) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃ ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
i : I
⊢ (ι' R A) ((lof R I A i) 1) = (mkAlgHom R A) 1
m : ℤ
n : ℕ
⊢ m.toNat ≤ n ↔ m ≤ ↑n
E : Type u_2
F : Type u_3
Norm E
Norm F
x : E × F
⊢ ‖x.2‖ ≤ ‖x‖
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : ι
H : IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
l : List ι
⊢ (f i ∘ List.foldr f a) l ≤ sup (List.foldr f a)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ S.toIntermediateField ⋯ ↔ x✝ ∈ S
n : ℕ
⊢ ∃ i, 0 ≤ (powHalf n).moveLeft i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
⊢ p.coeff 0 = (aeval 0) p
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget (ModuleCat R)) x y
⊢ colimitSMulAux F r x = colimitSMulAux F r y
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ comap (↑(opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : β → α
l : Filter β
a : α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[s] a)
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝[t] a)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p' : ι → Prop
s : ι → Set E
p : Seminorm 𝕜 E
hb : (𝓝 0).HasBasis p' s
h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
h₂ : ∀ (i : ι), p' i → ∃ r > 0, p.ball 0 r ⊆ s i
⊢ inst✝ = PseudoMetricSpace.toUniformSpace
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
h : IsGreatest s a
⊢ a < b ↔ ∀ x ∈ s, x < b
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0
⊢ q⁻¹.den = q.num
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s.card ^ 2 * t.card ^ 2 ≤ (s + t).card * s.addEnergy t
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * y = 1
⊢ x ∣ a * z * x + b * (y * z)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ a ≤ a ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.P
hx₂ : x₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = 0
A' : C
π : A' ⟶ A
hπ : Epi π
x₁ : A' ⟶ S.L₁.X₁
fac : π ≫ x₂ ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = x₁ ≫ S.L₁.f
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f
R : Type
inst✝ : Ring R
d : ℤ
f g : ℤ√d →+* R
h : f sqrtd = g sqrtd
x_re x_im : ℤ
⊢ f { re := x_re, im := x_im } = g { re := x_re, im := x_im }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
a : EReal
h₁ : a ≠ ⊥
h₂ : a ≠ ⊤
h₃ : ↑a.toReal ≠ 0
⊢ ↑a.toReal / ↑a.toReal = 1
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
⊢ p = 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
hg : IsLocalMax g a
⊢ IsLocalMax (fun x => max (f x) (g x)) a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
ε : ℝ≥0∞
hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖f x x_1 - g x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
n : ι
hn : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
hε : 0 < ε
this : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ < ENNReal.ofReal δ
x : α
⊢ δ ≤ dist (f n x) (g x) ↔ δ ≤ ‖f n x - g x‖
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → 𝔸
h : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = s.noncommProd (fun i => NormedSpace.exp 𝕂 (f i)) ⋯
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.tan (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x‖
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ f₁ = f₂
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
⊢ ‖a • u + b • u‖ = ‖a • u‖ + ‖b • u‖
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
M : Set (Ideal R)
hM : ∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤
hInf : I = sInf M
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
⊢ x ∈ I
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃ₗ[R] β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv e) x = DFinsupp.mapRange (fun i x => (e i) x) ⋯ x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ x ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal
hvw : v.asIdeal = w.asIdeal
⊢ False
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q
⊢ (lineMap p₀ p₁) c ∈ Q
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
self : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ φ.Realize (↑self ∘ x) ↔ φ.Realize x
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : Irreducible b
⊢ Associated a b
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.d (i + 2) 0 = 0
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h' : ∀ (x : Cofix F), r x x
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x✝ : Cofix F
x : (P F).M
y✝ : Cofix F
y : (P F).M
rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
r' : (P F).M → (P F).M → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
this : IsPrecongr r'
⊢ Mcongr x y
σ : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S A
⊢ MvPolynomial.aevalTower (Algebra.ofId S A) = MvPolynomial.aeval
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult)⁻¹ ≤ (∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w a) / ∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : β
hr : r ≠ 0
⊢ ↑(f.restrict s) ⁻¹' {r} = s ∩ ↑f ⁻¹' {r}
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.edges = []
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
⊢ r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, r₂ • v +ᵥ p₁}
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y
⊢ (inv (F.εIso.inv.app X) ≫ (F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y) ≫ inv ((F.map (ρ_ m).inv).app Y) = f
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
hf : Set.LeftInvOn ⇑g ⇑f ↑I
x : R
hx : x ∈ ↑I
⊢ f x ∈ ↑(comap g I)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.map f i k ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.map f i j hij)
    (CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.map f j k hjk)
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a + b ≤ a ↔ b ≤ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (f '' s) (f x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b✝ b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
s : Set α
⊢ image2 f s {b} = s
α : Type u_1
a b : α
Sub α
p : a = b
c : α
⊢ a - c = b - c
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
⊢ x ⩿ y → x.1 = y.1 ∨ x.2 = y.2
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n.pred] ∘ f = f^[n]
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)
⊢ M.LinearDisjoint N
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ * a = 1
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ht : μ t = 0
⊢ μ (s \ t) = μ s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (a +ᵥ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E
⊢ x ∈ K.vertices ↔ x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val).sum
⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
v : n' → α
A : Matrix (Fin m) n' α
⊢ (Matrix.of (Matrix.vecCons v A)).transpose = Matrix.of fun i => Matrix.vecCons (v i) (A.transpose i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1