ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
⊢ x ∈ closedBall 0 1 ↔ x ∈ ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r
G : Type u_1
Add G
a : G
self : G ≃+c[a, a] G
⊢ AddConstEquiv.toPerm self = self.toEquiv
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋂ i ∈ s, f i)
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0
⊢ k • p ≠ 0
α : Type u
a b : α
⊢ EmptyRelation a b ↔ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
SS : Seq (Seq1 (Seq1 α))
⊢ SS.join.join = (Seq.map join SS).join
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 1 < n
⊢ n < n * n
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁ : s₁.length = 0
⊢ s₂.length = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
⊢ s.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = 0
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
this : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
⊢ IsClosed (partialSections F H)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ p₁ = p₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᵐ[μ] t
⊢ Filter.limsup s Filter.atTop =ᵐ[μ] t
k G A : Type u
CommRing k
Group G
AddCommGroup A
Module k A
DistribMulAction G A
SMulCommClass G k A
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ groupCohomology.IsTwoCocycle ↑f
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
s : Set α
⊢ Set.SurjOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), Set.SurjOn (⇑(f ^ n)) s s
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableVAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s) μ
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
d : ℕ
⊢ selfZPow x B ↑d = (algebraMap R B) x ^ d
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Set.Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : Set.univ ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ t, ↑(t 0) = a ∧ Monotone t ∧ (∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(t n) = b) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), ↑↑(MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
k : ℕ
hk : dist (c k) d < δ
Hsub : Box.Icc ((J k).face i) ⊆ Box.Icc (I.face i)
⊢ ‖∫ (a : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d a) i - f (i.insertNth (c k) a) i ∂volume‖ ≤ ε
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
xs : List α
n m : Fin xs.length
h : xs.get n = xs.get m
hne : n ≠ m
⊢ ¬Injective xs.get
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f f) F
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.Epi (F.map f)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
Fintype V
Fintype W
⊢ Fintype.card V = Fintype.card W
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Filter.Tendsto seq Filter.atTop Filter.atBot
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) Filter.atTop (𝓝 0)
Ω : Type u_1
PseudoEMetricSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ ∃ r ∈ Set.Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG₁ PG₂ : Pregroupoid H
h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s
e : PartialHomeomorph H H
he : PG₁.property (↑e) e.source ∧ PG₁.property (↑e.symm) e.target
⊢ PG₂.property (↑e) e.source ∧ PG₂.property (↑e.symm) e.target
α : Type u
l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a).get ⟨j, hj⟩ = l.get ⟨j, ⋯⟩
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
m : β
h : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ s.noncommProd f comm = m ^ s.card
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
α : Type u
Add α
MulOneClass α
LeftDistribClass α
a b : α
⊢ a * (1 + b) = a + a * b
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
⊢ ((sumInv I M) x) j = (map I (component R ι M j)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
s : 𝕜 := ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n
this : Commute (1 - r) s
⊢ s = r / (1 - r) ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
le : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt I I' m f s x
α : Type u
l : List α
a : α
DecidableEq α
h : l.Nodup
⊢ a ∉ l.erase a
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ #R[X] = max #R ℵ₀
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0
⊢ p.natDegree ∈ (p * C a).support
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s
openness₂ : IsOpen ↑s
⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ (ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm
α : Type u_1
Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom
⊢ a.Dom
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
s t : Set 𝕜
ha : a ∈ s
hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a
hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)
hst : MapsTo g s t
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a
⊢ False
R : Type u
n m : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.natDegree ≤ m
hg : q.natDegree ≤ n
⊢ (p * q).natDegree ≤ m + n
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) → α i → β
⊢ ⨅ i ∈ s, ⨅ j ∈ t i, f i j = ⨅ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u_4}
l : o.IsLimit
⊢ (f o).IsLimit
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
F : Filter X
⊢ AccPt x F ↔ ClusterPt x (𝓟 {x}ᶜ ⊓ F)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
x : WithLp p (α × β)
⊢ ((WithLp.equiv p (α × β)) x).1 = x.1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y z a b : α
x : ↑(Icc b (a ⊔ b))
⊢ a ⊓ ↑x ⊔ b = ↑x
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι
⊢ ↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
l : ∀ {a : α}, a ∈ ca → ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
right✝ : ∀ {b : β}, b ∈ cb → ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
b' : β
mb' : b' ∈ cb
ab' : R a b'
⊢ R a b'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ f) s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x y : AddUnits M
h₁ : x ∈ S.addUnits
h₂ : y ∈ S.addUnits
⊢ x + y ∈ S.addUnits
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedAddCommMonoid β
MulActionWithZero α β
FloorDiv α β
a : α
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β
⊢ a • b ⌊/⌋ a = b
x y c : ℝ
y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs
⊢ c + mk y✝¹ < c + mk y✝ ↔ mk y✝¹ < mk y✝
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q₁ q₂ : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
hi : q₁.i = q₂.i
hj : q₁.j = q₂.j
⊢ q₁ = q₂
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithBot α
b : α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ = Option.bind ⊥ fun a => Option.some (a * b)
n m : ℕ
h : Fin n = Fin m
⊢ cast h = Fin.cast ⋯
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o✝ : Orientation ℝ E (Fin 2)
w z : ℂ
o : Orientation ℝ ℂ (Fin 2) := Complex.orientation
⊢ (Complex.orientation.areaForm w) z = ((starRingEnd ℂ) w * z).im
α : Type u
⊢ 1 < Cardinal.mk α ↔ Nontrivial α
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ (∃ i, G.moveLeft i ≈ 0) ↔ G.Fuzzy 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors J
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ TensorPower.toTensorAlgebra ((PiTensorProduct.tprod R) x) = (TensorAlgebra.tprod R M n) x
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
⊢ ⨆ n, (partialSups f) n = ⨆ n, f n
l r : List Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.curr = r.headD default
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'
⊢ ∀ (n : β), f a₀ ≤ n → (∃ a, n < f a) → ∃ a, succ n < f a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
x : LocalizedModule S M
⊢ 0 • x = 0
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f ↔ Mono ((forget TopCat).map f)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ o.oangle x y = 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ (∃ i, G.moveLeft i ≈ 0) ↔ G ‖ 0
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
⊢ SemidirectProduct.rightHom.comp (SemidirectProduct.map f₁ f₂ h) = f₂.comp SemidirectProduct.rightHom
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x)⁻¹) s x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ↑1 = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ↑I ∘ ↑I.symm =ᶠ[nhdsWithin (↑I x) (range ↑I)] id
M : Type u_1
α : Type u_7
VAdd M α
FaithfulVAdd M α
⊢ Function.Injective fun x x_1 => x +ᵥ x_1
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : ↥(Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R))
i : n
⊢ (Matrix.scalar n) (↑↑A i i) = ↑↑A
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
⊢ Disjoint (g₁ • t) (g₂ • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ p ≤₀ q → q ≤₀ r → p ≤₀ r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
⊢ ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
  ((CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans.id F).naturality f).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).inv
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (MeasureTheory.measurableCylinders α) = MeasurableSpace.pi
x : ℍ
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x)‖ = ‖x‖
α : Type u_1
Ring α
UniformSpace α
TopologicalRing α
UniformAddGroup α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
f g : β → UniformSpace.Completion α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => f b * g b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => star (f y)) s x = (↑(starL' 𝕜)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ image2 f s t = (f '' s).seq t
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p₂)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (i : 𝒰X.J × 𝒰Y.J), pullback.map (𝒰X.map i.1 ≫ f) (𝒰Y.map i.2 ≫ g) f g (𝒰X.map i.1) (𝒰Y.map i.2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) i)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hc : Differentiable ℝ f
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.exp (f x)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ ⇑X.isoSpec.hom.val.base '' X.zeroLocus s = PrimeSpectrum.zeroLocus s
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
i i' : B
⊢ (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) (i, i') = (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) (i, i')
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ModP K v O hv p
hx : x ^ p ≠ 0
hy : y ^ p ≠ 0
⊢ x * y ≠ 0
p q m n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hq : Nat.Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)
⊢ p = q ∧ m = n
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
ι : Sort u_1
f : ι → I.Filtration M
⊢ (iSup f).N = ⨆ i, (f i).N
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ (fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) m = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) m) w
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x y : α
⊢ hs.proj x = hs.proj y ↔ hs.index x = hs.index y
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (cycle [a] ⋯) = fr (const a)
⊢ fr (cycle [a] ⋯).tail = fr (const a).tail
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
g : N →* P
f : M →* N
⊢ map g (mrange f) = mrange (g.comp f)
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
h : x ≤ y
⊢ x + y = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfPrime ⊤
⊢ False