ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
⊢ (M * N) i j = 0
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
⊢ AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q ↔
  AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P ∧ Q = AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty.of P
α : Type u
x : α
⊢ FreeMagma.toFreeSemigroup (FreeMagma.of x) = FreeSemigroup.of x
α : Type u_2
DivisionMonoid α
s : Set α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a} ∧ IsUnit a
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ ∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i) y → y = hg.lift (hf.lift i)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G
⊢ -g + n + g ∈ H
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ n
⊢ m = n
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg (n + 1) =
  max (MeasureTheory.ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeqAux hfg (n + 1))
    (MeasureTheory.ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg n + 1)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.val.base
⊢ IsIso f
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ SpectrumRestricts (a + b) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ 2 - Real.sin x ^ 2 = Real.sin b * Real.cos b - Real.sin a * Real.cos a
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
⊢ ¬p ∣ r ↔ (p * i + r).factorization p = 0
m n k : Nat
⊢ (m * n).gcd (m * k) = m * n.gcd k
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι
⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (Finset.affineCombination k Finset.univ (⇑(b.coord j) ∘ ⇑b₂)) fun i => (b₂.coord i) x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
s : Set G
⊢ s ⊆ Set.range ⇑(closure s).subtype
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
b : α
A : P → α
h : ∀ (h : P), A h ≠ b
⊢ (dite P A fun x => b) = b ↔ ¬P
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑Additive.ofMul
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ f.ofAddEquivOfDom ⋯ = f
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (GenContFract.of v).nums n = ↑q
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
One γ
g : C(α, β)
⊢ ContinuousMap.comp 1 g = 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : ι → Filter α
m : α → β
⊢ Filter.map m (iInf f) ≤ ⨅ i, Filter.map m (f i)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
h'f : 0 ≤ f
⊢ ∫ (x : α), ProbabilityTheory.truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ∂MeasureTheory.Measure.map f μ
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S T : StarSubalgebra R A
h : S.toSubalgebra = T.toSubalgebra
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ StronglyMeasurable (-↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f))
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : v (f a) < g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) < g
⊢ v (f a + ∑ x ∈ s, f x) < g
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F G : f₀.HomotopyWith f₁ P
h : ∀ (x : ↑I × X), F x = G x
⊢ F = G
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsFractionRing A K
IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
x : L
⊢ x ∈ Submodule.traceDual A K I ↔ ∀ a ∈ I, IsIntegral A (((Algebra.traceForm K L) x) a)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → MeasureTheory.Measure Ω
∀ (i : ℕ), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) Filter.atTop
⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ Filter.liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) Filter.atTop
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ p = sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = Submodule.span R {m}}
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a
⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
b : σ
H : b ∈ h a n
⊢ b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X
t : (fun s => s.app X) (whiskerRight adj.unit F ≫ (F.associator G F).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit) = (fun s => s.app X) (NatTrans.id (𝟭 C ⋙ F))
⊢ F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
R : Type u_1
Ring R
p : ℕ
CharP R p
Fact (2 < p)
⊢ -1 ≠ 1
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ a /ₚ 1 = a
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
h : ⌊a⌋₊ < 1
⊢ a < 1
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
h : Commute g₁ g₂
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ = 1
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅
x : ↑s
hx : s ∩ Iic ↑x = ∅
⊢ False
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
a : α
b : β a
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
⊢ b ∈ Part.fix (⇑f) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousAdd E
s t : Set E
hst : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s + t)
ht : t.Nonempty
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
δ : α✝ → Sort u_6
s✝ : Set α✝
f g : (i : α✝) → δ i
inst✝¹ : (j : α✝) → Decidable (j ∈ s✝)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
s : Set ι
t t' : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : (x : ι) → Decidable (x ∈ s)
⊢ univ.pi (s.piecewise t t') = s.pi t ∩ sᶜ.pi t'
X : Type u_1
Y : Type u_2
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Inducing f ↔ tX = TopologicalSpace.induced f tY
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : 0 < r
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < a ↔ b < a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
⊢ (if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ Submonoid.closure ↑S = S
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a b : α
ha : 0 ≤ a
⊢ Nat.cast ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo ⌊a⌋₊ ⌈b⌉₊
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (β i)
r : ι → ι → Prop
hwf : WellFounded r
x y : (i : ι) → β i
hlt : x < y
⊢ ∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, (x - y + y) ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) + y ^ n = (x - y + y) ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ n
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.SurjOn (Set.projIci a) (Set.Ici a) Set.univ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => x⁻¹) x ↔ x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑(Int.sign 0) • ↑(Int.natAbs 0) • x) y = ↑(Int.sign 0) * ↑(Int.natAbs 0) * inner_ 𝕜 x y
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
A : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
h : f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k
q : ℚ
left✝ : 0 ≤ q
lt_q : ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k < ↑(↑q).toNNReal
q_lt : ↑(↑q).toNNReal < f a
⊢ False
α : Type u_2
SubtractionCommMonoid α
a b : α
ha : Even a
hb : Even b
⊢ Even (a - b)
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a < b * a ↔ 1 * a < b * a
R : Type u_1
Ring R
f : Polynomial R
⊢ (-f).reverse = -f.reverse
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f g : A₁ ≃ₐ[R] A₂
h : ∀ (a : A₁), f a = g a
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
⊢ p.removeZero.leftInv i = p.leftInv i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X : C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.functor.obj X).map g = CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 X) g
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
N : Submodule R M
x : ↥(B.dualSubmodule N)
y : ↥N
⊢ (algebraMap R S) (B.dualSubmoduleParing x y) = (B ↑x) ↑y
w₁ w₂ w₃ w₄ p₁ p₂ p₃ p₄ : ℝ≥0
⊢ w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ * p₄ ^ ↑w₄ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃ + w₄ * p₄
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Opens α
⊢ IsCoatom s ↔ ∃ x, s = (Closeds.singleton x).compl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
x✝ : Finset α
⊢ (interedges r x✝ t).card = ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x✝, y).1 (x✝, y).2).card
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d
⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ s, f m
G : Type u_1
AddGroup G
z : G
⊢ z ∈ AddSubgroup.center G ↔ ∀ (g : G), g + z = z + g
α : Type u
⊢ Function.Injective fun t => {s | IsOpen s}
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ ∀ (a : NormedAddGroupHom V₁ V₂) (a_1 : V₁), NormedAddGroupHom.coeAddHom a a_1 = a a_1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
e₁ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e₂ : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
c : E
⊢ (e₁.trans e₂) c = e₂ (e₁ c)
a b c : Prop
⊢ (a ∨ b) ∨ c ↔ a ∨ b ∨ c
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ ↑s.toAddSubgroup = ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
m : CategoryTheory.Limits.ImageMap sq
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
i : ι := Classical.arbitrary ι
⊢ p.basisSets.Nonempty
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
⊢ I.radical.IsPrime
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
lf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
h : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I' I n (f i) s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x) s
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
⊢ x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ioc ↑a ↑b)
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (Set.Ioi a).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ CauSeq.const abv 0 = 0
α : Type u
Infinite α
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ #α ^ c
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0
hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0
hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0
habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n
⊢ IsUnit ({A, B, C}.gcd id)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (P.coconePointUniqueUpToIso Q).inv ≫ P.desc r = Q.desc r
M : Type u_1
A : Type u_5
Add M
SetLike A M
hA : AddMemClass A M
S' : A
⊢ ⇑(AddMemClass.subtype S') = Subtype.val
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)
⊢ ↑I (↑I.symm z) = z
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
⊢ ⇑(e.toHomeomorph he) = ⇑e
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
self : C ≌ D
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.functor.map (self.unitIso.hom.app X))
    (self.counitIso.hom.app (self.functor.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.functor.obj X)
x✝ y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x
⊢ mk f ≤ x
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
HF : CharP F 0
⊢ f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F 0) g = f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
f : M →ₗ[R] M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
hf_inj : Disjoint (span R s) (ker f)
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑f '' s)) => ↑x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L (LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule).Nondegenerate
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_nonpos : p ≤ 0
⊢ 0 < x ^ p
x y : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) x).cot = (starRingEnd ℂ) x.cot
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ s
⊢ infEdist x t ≤ ⨆ x ∈ s, infEdist x t
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
Finite α
f : M →ₗ[R] α → R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.LeftInverse ⇑f ⇑(f.splittingOfFunOnFintypeSurjective s)
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ.col j ↔ (i, j) ∈ μ
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)