ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (N.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) ⋯
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : t ⊆ s
hs : 𝒜.Shatters s
v : Finset α
hv : v ∈ 𝒜
hu : s ∩ v ⊆ t
⊢ ∃ u ∈ 𝒜, t ∩ u = s ∩ v
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
H : ℝ≥0 → ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ ∅, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (McShane.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (McShane.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
m n : ℕ
⊢ ↑↑(m / n) ≤ ↑↑m / ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f +ᵥ g).NeBot → g.NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝 (f a)
⊢ ContinuousAt f a
b : ℕ
⊢ Nat.pow 0 b.succ = 0
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : ℕ →+ β
⊢ (multiplesAddHom β).symm f = f 1
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
s : Finset (ι →₀ M)
hs : (↑s).PairwiseDisjoint Finsupp.support
⊢ (s.sum id).support = s.sup Finsupp.support
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
⊢ ⇑(Nat.castAddMonoidHom α) = Nat.cast
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
⊢ ((-x).insertLeft (-x')).Numeric
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
f : L ≃ₐ[K] L
⊢ ↑((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = ↑f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ Function.Injective (Ordinal.typein r)
x y : ℝ
⊢ cos x ^ 2 ≤ 1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 < a → 0 < ⌈a⌉
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
α : Type u
L : List (α × Bool)
DecidableEq α
x : α × Bool
⊢ FreeGroup.reduce (x :: L) =
  List.casesOn (FreeGroup.reduce L) [x] fun hd tl => if x.1 = hd.1 ∧ x.2 = !hd.2 then tl else x :: hd :: tl
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊔ b \ a = a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ ↑3 * log 2 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.ndinsert a 0 = {a}
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
⊢ Set.InvOn (fun n => n.factorization.support) (fun s => ∏ p ∈ s, p) {s | ∀ p ∈ s, Nat.Prime p} {n | Squarefree n}
i j : ℕ
⊢ i ≠ j → 0 < i.dist j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
l : List α
f : α → β
⊢ ∏ i : Fin l.length, f l[↑i] = (List.map f l).prod
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
a a' : α
al : a ∈ l
pa : p a = some a'
⊢ ∃ a a' l₁ l₂, (∀ (b : α), b ∈ l₁ → p b = none) ∧ p a = some a' ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ List.replaceF p l = l₁ ++ a' :: l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
x : List α
y : List β
⊢ List.Forall₂ R x y → ∀ ⦃i : ℕ⦄ (hx : i < x.length) (hy : i < y.length), R (x.get ⟨i, hx⟩) (y.get ⟨i, hy⟩)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
self : Bimod A B
⊢ self.X ◁ B.one ≫ self.actRight = (ρ_ self.X).hom
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
⊢ False
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s.diffs (t₁ ∪ t₂) = s.diffs t₁ ∪ s.diffs t₂
G : Type u_2
SubtractionMonoid G
⊢ ⇑(AddEquiv.neg' G) = AddOpposite.op ∘ Neg.neg
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer D.diagram
i j : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t i j) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.f j i) (D.ι j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.f i j) (D.ι i)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
r : R
rs : List R
⊢ Subsingleton (M ⧸ Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤) ↔ Subsingleton (QuotSMulTop r M ⧸ Ideal.ofList rs • ⊤)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
rels : Set (FreeGroup α)
φ ψ : PresentedGroup rels →* G
hx : ∀ (x : α), φ (PresentedGroup.of x) = ψ (PresentedGroup.of x)
⊢ φ = ψ
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a : B
⊢ F.toLax.mapId a = (F.mapId a).inv
a b d : Int
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
⊢ a / d = b / d ↔ a = b
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
h1 : 1 ∉ I
r : K
hr : r ∈ I
H : ¬r = 0
⊢ r ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x✝¹ x✝ : α
⊢ dist x✝¹ x✝ ≤ ↑‖a‖₊⁻¹ * dist (x✝¹ * a) (x✝ * a)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj F).obj ((CategoryTheory.Functor.const J).op.obj X)) (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.cones J C).obj F).map f a).app X_1 = f.unop ≫ a.app X_1
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
a c : M
b d : ↥S
⊢ Localization.mk a b = Localization.mk c d ↔ (Localization.r S) (a, b) (c, d)
α : Type u
l l' : List α
⊢ l.reverse = l' ↔ l = l'.reverse
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x' : NormedSpace.Dual 𝕜 E
⊢ NormedSpace.Dual.toWeakDual x' = x'
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : RingQuot s →ₐ[S] B
⊢ f = (liftAlgHom S) ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
i j : ι
h : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
⊢ (preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) ((preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) (root j)) = root j
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = Y
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
S : ι → AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
α : Type u_1
Mul α
s t₁ t₂ : Set α
a : α
h : t₁ ⊆ t₂
⊢ s.mulAntidiagonal t₁ a ⊆ s.mulAntidiagonal t₂ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
⊢ Filter.rcomap' r (Filter.rcomap' s l) = Filter.rcomap' (r.comp s) l
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ⊤.N = ⊤
M : Type u_1
CommMonoid M
x y : M
hu : IsUnit (x * y)
⊢ IsUnit y
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ U ≤ U.dualCoannihilator.dualAnnihilator
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
a : α
n : ℕ
⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (n + 1 + 1 + 1 + 1) = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
e₁ e₂ : r ≃r r
x : α
⊢ (e₁ * e₂) x = e₁ (e₂ x)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable₂ List.cons
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
p : Monoid.CoprodI.Word.Pair M i
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) p.tail = { head := 1, tail := p.tail, fstIdx_ne := ⋯ }
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
h₀ : Continuous C₀C
C₁C : ↑(π (C1 C ho) fun x => ord I x < o) → ↑C := fun x => ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩
h₁ : Continuous C₁C
⊢ ∀ (x : I → Bool) (hx : x ∈ C0 C ho ∩ π (C1 C ho) fun x => ord I x < o), (LocallyConstant.comap { toFun := C₀C, continuous_toFun := h₀ } f) ⟨x, ⋯⟩ = (LocallyConstant.comap { toFun := C₁C, continuous_toFun := h₁ } f) ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_7
β γ : Type u_8
p : Set α
f : α →. β
g : β → α →. γ
H1 : p ⊆ f.Dom
H2 : ∀ (x : β), p ⊆ (g x).Dom
⊢ p ⊆ (f >>= g).Dom
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : ↑(Profinite.NobelingProof.π (Profinite.NobelingProof.C1 C ho) fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)
⊢ Profinite.NobelingProof.SwapTrue o ↑f ∈ Profinite.NobelingProof.C1 C ho
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f g : RingQuot r →+* T
w : f.comp (mkRingHom r) = g.comp (mkRingHom r)
x : RingQuot r
⊢ f x = g x
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f : α → M
h : ∀ a ∈ s, f a ≤ 1
a : α
⊢ s.mulIndicator f a ≤ 1
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
key : zeta n K L ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = zeta n K L ^ (↑x).val
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f g : ι → α
⊢ (⨆ i, f i) ∆ ⨆ i, g i ≤ ⨆ i, f i ∆ g i
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
⊢ closure w ⊆ w ○ w ○ w
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hab : Commute a b
⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : α → β
⊢ (fun {α} => η.app α) ∘ Functor.map x = Functor.map x ∘ fun {α} => η.app α
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
P : R[X] → Prop
p : R[X]
h0 : 0 < p.degree
hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)
hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)
hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)
h : 0 < degree 0
⊢ P 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
MeasurableSpace V
BorelSpace V
SecondCountableTopology V
μ : MeasureTheory.Measure V
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hf' : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
⊢ Differentiable ℝ (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
g : G →L[𝕜] G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖g.compContinuousMultilinearMap f‖ ≤ ‖g‖ * ‖f‖
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
⊢ (sum a₁ fun a b => sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a * a₂) (b * b₂)) g) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Unique ι
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.funUnique ι R M).symm = Function.const ι
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
Q : M
⊢ ↑Pᶜ * Q = Q - ↑P * Q
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z
⊢ y ⊓ x ⊓ y \ x = y ⊓ z ⊓ y \ x
x✝ x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
⊢ 1 - x ^ 2 / 2 ≤ cos x
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
i : α
⊢ ∀ (i_1 : ℝ), 0 < i_1 → ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (x y : ↥(lp E p)), (x, y) ∈ {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < j} → (↑x i, ↑y i) ∈ {p | ‖p.1 - p.2‖ < i_1}
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
X Y : F
h : W.NonsingularLift ⟦![X, Y, 1]⟧
⊢ (WeierstrassCurve.Jacobian.Point.mk h).toAffineLift = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ (↑e x).1 = proj x
β : Type u_1
CommMonoid β
f : ℕ → β
h_mult : ∀ (x y : ℕ), x.Coprime y → f (x * y) = f x * f y
hf : f 1 = 1
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)
G : Type u_1
AddGroup G
x y : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ y ∈ AddSubgroup.zmultiples x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x))
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
CompleteSpace F
hm : m ≤ m0
⊢ IsComplete {f | MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det
⊢ A.det • Matrix.vecMul b A⁻¹ = A.transpose.cramer b
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s + (hurwitzZetaOdd a s - hurwitzZetaOdd b s)
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
f : G →* M
⊢ ↑f.ker = ⇑f ⁻¹' {1}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ Y - (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = -Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ (X ^ pb.dim - ∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree = ↑pb.dim
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ u⁻¹ • v = u • v
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
h_sep : h.Separable
h_root : eval β h = 0
h_splits : Splits ιEE' h
h_roots : ∀ x ∈ (Polynomial.map ιEE' h).roots, x = ιEE' β
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
g : α' → α''
⊢ Finsupp.lmapDomain M R (g ∘ f) = Finsupp.lmapDomain M R g ∘ₗ Finsupp.lmapDomain M R f
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
⊢ curry.obj F₁ = curry.obj F₂
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.symm.toEmbedding.comp f.toEmbedding = FirstOrder.Language.Embedding.refl L M
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
r : R
⊢ Additive.ofMul (u ^ r) = r • Additive.ofMul u
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ (x : J),
  (CategoryTheory.Functor.chosenProd.fst F₁ F₂).app x = CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁.obj x) (F₂.obj x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ (X ^ n - C ↑u).Separable
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.StableUnderBaseChange @AlgebraicGeometry.UniversallyClosed
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N K : Comon_ C
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s t
h₂ : Set.MapsTo f s t
⊢ f '' s = t
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ p (cfcₙ f a)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
⊢ Ideal.map f (Ideal.comap f (Ideal.map f I)) = Ideal.map f I
x z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
⊢ 1 ≤ x ^ z
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
⊢ G.chromaticNumber ≤ ↑n ↔ G.Colorable n
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
⊢ convs'Aux s (n + 2) = convs'Aux (squashSeq s n) (n + 1)