ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
k : ℕ
a✝ : Nontrivial α
a0 : α
hz : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count ↑(factors' a0)
hk' : ∀ p ∈ factors' a0, k ∣ Multiset.count p (factors' a0)
⊢ ∃ b, Associates.mk a0 = b ^ k
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedLENhdsClass α
a : α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝 a)
x : ℝ*
⊢ x.Infinitesimal ↔ ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → |x| < |↑r|
x : ℂ
⊢ sin x = 1 ↔ ∃ k, ↑π / 2 + ↑k * (2 * ↑π) = x
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W X Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W X T
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y T
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Z T
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
γ : SmallHom W Z T
⊢ (equiv W W.Q) ((α.comp β).comp γ) = (equiv W W.Q) (α.comp (β.comp γ))
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (∀ (x : ↥S), _root_.IsAlgebraic R ↑x) ↔ ∀ (x : ↥S), _root_.IsAlgebraic R x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Subsingleton R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.coeffs = ∅
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
x y : α
d : ℝ≥0∞
h : edist x y < d / ↑K
⊢ edist (f x) (f y) < d
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → β → Prop
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, r = fun x x_1 => f x = x_1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
⊢ φ.order = ⊤ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → (coeff R i) φ = 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
z w : α
hz : z ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ dist z⁻¹ w⁻¹ = dist z w / (‖z‖ * ‖w‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
hc : t.card < s.card
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
α : Type u
l✝ l' l : List α
⊢ l ∈ l.cyclicPermutations
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x, g x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
h : (minpoly k x).degree = 1
this : x = -(algebraMap k K) ((minpoly k x).coeff 0)
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected
⊢ volume (frontier (↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s))) = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ ∀ (J_1 : Set α), M.Indep J_1 → J ⊆ J_1 → J_1 ⊆ X → J = J_1
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
R : Type u_11
⊢ ∀ {x : Monoid R} [inst : AddMonoid M] [inst_1 : DistribMulAction R M] [inst_2 : AddMonoid N]
  [inst_3 : DistribMulAction R N] {f : M → N} {hf : f 0 = 0} (c : R) (v : α →₀ M),
  (∀ (x_1 : M), f (c • x_1) = c • f x_1) → Finsupp.mapRange f hf (c • v) = c • Finsupp.mapRange f hf v
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : ℤ
⊢ a ≤ ⌊↑n⌋ ↔ a ≤ ↑n
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 0 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
n : WithTop ℕ
⊢ ContMDiffOn I I n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (Set.range e)
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) n.bitIndices
⊢ Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (bit b n).bitIndices
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
α : Type u₁
β : Type u₂
Semiring β
f : α → β
g : α →₀ β
⊢ ⇑(f • g) = f • ⇑g
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Set.cIcc a b
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s t : Set ι
hst : s ⊆ t
h : AntivaryOn f g t
⊢ AntivaryOn f g s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
⊢ (F ⊗⋙ G).δ X Y = G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s t : CategoryTheory.Limits.Trident f
k : s.pt ⟶ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k t.ι = s.ι := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.mkHom k w).hom = k
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
⊢ x < y ↔ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
x y : Nat
⊢ (x + 1).gcd y = (y % (x + 1)).gcd (x + 1)
a : ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂ - chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ ‖x⋆‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, minpoly F x = X ^ q ^ n - C y
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i = a), f i = f a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
⊢ realize v (![t₁, t₂] 0) = ![realize v t₁, realize v t₂] 0
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)
nextConts_b_ineq : ↑(fib (n + 2)) ≤ pred_conts.b + gp.b * conts.b
conts_b_ineq : ↑(fib (n + 1)) ≤ conts.b
⊢ |(-1) ^ n / den'| ≤ 1 / den
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : MeasurableSet s
x : α
⊢ ↑(f.restrict s) x ≤ ↑(g.restrict s) x
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
f fs : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp (f.cons fs) k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal (f.cons fs) k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.codeSupp f (Turing.PartrecToTM2.Cont'.cons₁ fs k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : β
h : inr a < inr b
⊢ ∃ b, a < b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ
⊢ Martingale (fun x => f) ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Bool
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {true})
⊢ Measurable f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁
⊢ (B.symm.unitIso.hom.app (R.obj (T.symm.inverse.obj X)) ≫ B.symm.inverse.map (B.inverse.map (R.map (T.counitIso.inv.app (T.symm.inverse.obj X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.symm.inverse.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.symm.inverse.obj X)))) ≫ B.symm.inverse.map (L.map (T.symm.counitIso.hom.app X))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.hom.app X)) = (T.functor ⋙ R).map (T.unitIso.hom.app X) ≫ iso'.hom.app ((T.functor ⋙ T.inverse).obj X)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ b ≤ max a b
α : Type u_2
DecidableEq α
AddCommSemigroup α
s t : Finset α
⊢ s ∩ t + (s ∪ t) ⊆ s + t
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a * b * a⁻¹ = 1 ↔ b = 1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
⊢ Function.Injective ⇑(HahnSeries.single a)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ autoParam (∀ (X Y : SimplicialObject C) (f : X ⟶ Y), (alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map f = eqToHom ⋯ ≫ ((SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMax (fun x => f x - g x) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f g : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f - g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a =
  ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a - ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ m • a + n • a = n • a + m • a
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
Field L
φ : K[X] →+* L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (RatFunc.liftRingHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p) /
    (RatFunc.liftRingHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) =
  φ p / φ q
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra S C
f : A ⊗[R] B →ₗ[S] C
h_mul : ∀ (a₁ a₂ : A) (b₁ b₂ : B), f ((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)) = f (a₁ ⊗ₜ[R] b₁) * f (a₂ ⊗ₜ[R] b₂)
h_one : f (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
x : A ⊗[R] B
⊢ (Algebra.TensorProduct.algHomOfLinearMapTensorProduct f h_mul h_one) x = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ⟶ T₂
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom h).comp T₁.forget = T₂.forget
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')
⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
ι : Type u_1
Unique ι
h : FiniteDimensional.finrank R M = 1
v : M
i : ι
⊢ ((FiniteDimensional.basisUnique ι h).repr v) i = 0 ↔ v = 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
x : M
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g Set.univ x ↔ ChartedSpace.LiftPropAt P g x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ K.pOpcycles i ≫ HomologicalComplex.opcyclesMap φ i = φ.f i ≫ L.pOpcycles i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⟶ Z
⊢ (tensorLeftHomEquiv (𝟙_ C) Y Y' Z).symm (η_ Y Y' ≫ Y ◁ f) = (ρ_ Y').hom ≫ f
a b : ℕ
⊢ Finset.Ico a.succ b.succ = Finset.Ioc a b
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
μ : 𝕜
v : E
T : E →ₗ[𝕜] E
h : v ∈ Module.End.eigenspace T μ
⊢ ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ↑‖v‖ ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (s : Set X), f '' interior s ⊆ interior (f '' s)
R : Type u
CommSemiring R
⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)
x : ℝ
y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x.toNNReal * ‖y‖₊ = ‖x * y‖₊
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
r : R
m : M
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (r • m) s = r • IsLocalizedModule.mk' f m s
α : Type u_1
Monoid α
HasDistribNeg α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ -a ~ᵤ -b
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ < b₁
⊢ Set.Ico a₁ b₁ ⊆ Set.Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T
f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i
⊢ f ∈ S ↔ f ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ ({a} ∩ s).Nonempty ↔ a ∈ s
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
C : Module.Ray R M → Prop
h : ∀ (v : M) (hv : v ≠ 0), C (rayOfNeZero R v hv)
x : Module.Ray R M
⊢ C x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
⊢ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i₀) '' (p '' (univ \ {i₀}))) = Submodule.span k (range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.toIsometryEquiv.symm = e.symm.toIsometryEquiv
α : Type u_5
d x : α
⊢ WithBot.unbot' d ↑x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : Monotone f
⊢ f '' Set.Icc a b ⊆ Set.Icc (f a) (f b)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
⊢ 2 * n ≤ 2 * n
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ s ×ˢ t ⊆ (Set.diagonal α)ᶜ ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Ioi b = Ioi (b + a)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
P.IsPrime
x : ↥A
⊢ (A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ x ∈ P.primeCompl
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x
⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image (fun x => x.1 +ᵥ x.2) (s ×ˢ t) = s +ᵥ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h1 : Function.Antiperiodic f c₁
h2 : Function.Antiperiodic f c₂
⊢ Function.Periodic f (c₁ - c₂)
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
⊢ min φ.order ψ.order ≤ (φ + ψ).order
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop univ
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α ≃o β
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
α : Type u
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ closure s ↔ ∀ o ∈ b, a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p 1)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
c : Char
cs : List Char
i : Pos
⊢ { data := c :: cs }.get (i + c) = { data := cs }.get i
α : Type u_2
LT α
p : α → Prop
x y : Subtype p
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
n : ℕ
⊢ ComplexShape.embeddingUpNat.f n = ↑n
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.mirror 0 = 0
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F G : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
α : F ⟶ G
j : J
x : CategoryTheory.Limits.limit F
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π G j (CategoryTheory.Limits.limMap α x) = α.app j (CategoryTheory.Limits.limit.π F j x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
⊢ False