ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ
⊢ (minpoly K f).IsRoot μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) y
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
⊢ ∑ a ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Finset.Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ s * ((ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ t)⁻¹) = ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹)
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
hf : ¬IsUnit f
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hfs : (f ^ n).Separable
⊢ f.Separable ∧ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommGroup α
l : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun x => (u x)⁻¹) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
a : α
l : List α
this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x
⊢ map f (eraseP (fun x => f a == f x) l) = map f (eraseP ((fun x => f a == x) ∘ f) l)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : F.Elements
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.CategoryOfElements.toStructuredArrow F).map f).right = ↑f
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ∈ Ι b c → b ∈ Ι a c → a = b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑Q.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).toNNRat = q
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
a : M
⊢ p.toDualLeft a = p a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
a : α
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → a ∈ s → b ∈ s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, a < b → a ∈ s → b ∈ s
A : Type u_5
NormedRing A
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x * g x) μ a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β
⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑⊥ ↔ ↑s = ↑⊥ ∨ ↑t = ↑⊥
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y
this : 0 < ↑N
⊢ x = y
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
ι : Type u_4
α : Type u_5
β : ι → Type u_6
(i : ι) → Preorder (β i)
Preorder α
f : α → (i : ι) → β i
⊢ Antitone f ↔ ∀ (i : ι), Antitone fun x => f x i
θ₁ θ₂ : Real.Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).cos = θ₁.cos * θ₂.cos - θ₁.sin * θ₂.sin
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1
⊢ (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) ^ ↑(m / (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) = x
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
⊢ ∃ u, u.Countable → s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G
⊢ A.ihom.obj B = Rep.of (A.ρ.linHom B.ρ)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ
⊢ (eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (x.coeff i)) (φ n) = (aeval ((WittVector.map g) x).coeff) (φ n)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
⊢ (∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
Algebra L' L
IsScalarTower K L' L
⊢ Function.Injective (IntermediateField.restrictScalars K)
x y : SetTheory.PGame
⊢ ⟦-x * -y⟧ = ⟦x * y⟧
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
hs : IsStrongAntichain r s
h : t ⊆ s
⊢ IsStrongAntichain r t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : Cᵒᵖ
⊢ Quiver.Hom.unop 0 = 0
R : Type u_2
Ring R
S : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.toSubsemiring = S.unop
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, 1 / (↑i + 1)) Filter.atTop Filter.atTop
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
t u s x✝¹ : Multiset α
x✝ : α
⊢ s + t + {x✝} = s + u + x✝¹ ↔ t + {x✝} = u + x✝¹
α : Type u
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
l : Filter α
p : ι → α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ i ∈ I, p i x) ↔ ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, p i x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
this : (A.ρ 1) (↑f (1, g)) + ↑f (1, 1 * g) = ↑f (1 * 1, g) + ↑f (1, 1)
⊢ ↑f (1, g) = ↑f (1, 1)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
l : List α
⊢ (List.insertionSort r l).Perm l
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
A : Matrix n n R
⊢ Aᵀ.trace = A.trace
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ IsOpen (Metric.thickening δ E)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ normEDS b c d (2 * (↑m + 3)) * b = normEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 5) - normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 4) ^ 2
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasLimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : CategoryTheory.Limits.HasLimit (D ⋙ E ⋙ F)
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.pre F E ≫ CategoryTheory.Limits.limit.pre (E ⋙ F) D =
  CategoryTheory.Limits.limit.pre F (D ⋙ E)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
⊢ ∀ (n : ℕ), (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
H : SemiconjBy f g₁ g₂
⊢ g₁.translationNumber = g₂.translationNumber
M : Type u_1
MulAction ℝ≥0∞ M
c : ℝ≥0
x : M
⊢ c • x = ↑c • x
N : ℕ
NeZero N
j : ℕ
⊢ ZMod.toAddCircle ↑j = ↑(↑j / ↑N)
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
y : α
hxy : x ≤ y
hy : y < ⊤
hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y
z : α
hyz : y < z
hz : z < ⊤
⊢ False
R : Type u
LinearOrder R
x y : R
⊢ Tropical.trop (min x y) = Tropical.trop x + Tropical.trop y
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ IsOpen (cylinder x n)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
F.Full
F.Faithful
f : X ⟶ Y
⊢ F.preimage (F.map f) = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ (a ∆ b) = b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ (q.compHom F).k = F q.k
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Finset α
st : s ⊆ t
⊢ s.max ≤ t.max
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n
hcoeff : f (q.coeff n) = s
⊢ map f ((monomial n) (q.coeff n)) = (monomial n) s ∧ ((monomial n) (q.coeff n)).degree = ((monomial n) s).degree
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β
h : f ≈ CauSeq.const abv x
⊢ f.lim = x
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
x y : { x // p x }
⊢ (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x = (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y → x = y
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → Y
i : PreconnectedSpace X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
x x' : X
⊢ f x = f x'
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ
⊢ List.iterate f a (m + n) = List.iterate f a m ++ List.iterate f (f^[m] a) n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
x : E
s : Set E
f₂ : E → G
hf₁ : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
hf₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (f₁ x, f₂ x)) s x = (fderivWithin 𝕜 f₁ s x).prod (fderivWithin 𝕜 f₂ s x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
⊢ (J.sheafification D).map η = J.sheafifyMap η
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
Group G
TopologicalGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
NoncompactSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsOpenPosMeasure
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ μ Set.univ = ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_6
m : MeasurableSpace α
Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
⊢ (a + b) / 2 < b ↔ a < b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ ExactAt I.cocomplex (n + 1)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ (PiTensorProduct.mapL fun i => 1) = 1
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
f : ℕ → α
n : ℕ
x : α
⊢ Disjoint ((partialSups f) n) x ↔ ∀ k ≤ n, Disjoint (f k) x
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ rexp (log (x / y)) = rexp (log x - log y)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet (op [j])), (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0
⊢ g i = (Finsupp.lapply i) (Finsupp.single i (g i))
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
e : M ≃* N
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SingleObj M} (a : M), e.toSingleObjEquiv.functor.map a = e a
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom + Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i
q : α
h : q ∣ p ^ (n + 1)
⊢ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ q ~ᵤ p ^ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N
i✝ : ℕ
him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst
hin✝ : i✝ < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length
⊢ ((p (⟨k, blocks_fun⟩.snd ⟨i✝, him✝⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
i : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
j : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves
⊢ (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i < (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : Disjoint s t
ht : MeasurableSet t
⊢ μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) 0 = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc f g ≫ h = biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc (f ≫ h) (g ≫ h)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S
⊢ λ ^ S.multiplicity * λ ∣ S.c
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ (Fintype.card n).pred < Fintype.card n
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
⊢ x = y
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
U : ℕ → Set (Y × Y)
left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)
hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)
⊢ IsGδ {x | ContinuousAt f x}
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g (x / R)) MeasureTheory.volume ↔ MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r : k
ha : a < a'
hb : b < b'
h₀ : 0 ≤ r
h₁ : r ≤ 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < (AffineMap.lineMap a' b') r
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
⊢ ⇑f.toNonUnitalRingHom = ⇑f
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
⊢ ζ ^ k.pred = -∑ i ∈ range k.pred, ζ ^ i
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
Star A
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →⋆ₙₐ[S] B
⊢ ⇑(NonUnitalStarAlgHom.restrictScalars R f) = ⇑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
⊢ ⨆ i, LinearMap.range (LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯).toLinearMap = span 𝕜 (Set.range v)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
r' : NNReal
hzr' : edist c z < ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
⊢ adj1.unit ≫ CategoryTheory.whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G = adj2.unit
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddGroupHom f
⊢ f 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
f : (Y : E) → F.obj (G.obj Y) ⟶ X
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (G.map g)) (f Z) = f Y
⊢ ∀ {X_1 Y : E} (g : X_1 ⟶ Y), (G.toCostructuredArrow F X f h).map g = CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (G.map g) ⋯
ι : Type u_4
fi : Filter ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (f n).toReal) fi (𝓝 x.toReal) ↔ Filter.Tendsto f fi (𝓝 x)
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ
a : ℝ
h : Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ENNReal.ofReal (m a)) f (𝓝 (ENNReal.ofReal a))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
⊢ T.map 0 ≫ G.a = F.a ≫ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedDivisionRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Absorbent 𝕜 s ↔ ∀ (x : E), ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, c • x ∈ s
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ Integrable (NNReal.toReal ∘ ⇑f) μ
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hy : y ∈ I
⊢ x * y ∈ I
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊