ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ List.minimum_of_length_pos h ∈ l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
h_X : P.X = Q.X
h_p :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p (CategoryTheory.eqToHom h_X) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h_X) Q.p
⊢ P = Q
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
DecidableRel f.SameCycle
⊢ f.SameCycle x y → (f.cycleOf x) y = f y
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
y : E
⊢ Continuous fun x => x y
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
u : Set α
⊢ m (u ∩ s) ≤ m' (u ∩ t)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (coeff A (n + 1)) (bernoulliPowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) X
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
⊢ ∀ (a : J), IsPullback (c'.ι.app a) ((α' ≫ α).app a) f (c.ι.app a) ↔ IsPullback (c'.ι.app a) (α'.app a) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app a)
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β' → γ
g : β → β'
f' : α → β → δ
g' : δ → γ
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' a b)
⊢ Set.image2 f s (g '' t) = g' '' Set.image2 f' s t
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a : G
⊢ a ∈ Doset.doset a ↑H ↑K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)} (f : X ⟶ Y),
  ↑((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).functor.map f) = f.base
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
CategoryTheory.Limits.HasLimit (D.comp T.forget)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit D
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ toBoolAlg 0 = ⊥
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
x y : LocalizedModule S M
⊢ x + y = y + x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = closure E
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.FinitePresentation R A
Algebra.FinitePresentation A B
⊢ Algebra.FinitePresentation R B
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
DecidableEq α
l : List α
m : α
⊢ m ∈ List.argmin f l → ∀ {a : α}, a ∈ l → f a ≤ f m → List.indexOf m l ≤ List.indexOf a l
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => (e ↑x).re) z
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[Filter.atTop] g
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable g s
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : s.Subsingleton
⊢ StrictAntiOn f s
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
⊢ Tendsto (fun x => cexp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x => (f x).re) l atBot
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E
h_basis : E.fixingSubgroup.carrier ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : E.fixingSubgroup.carrier ∈ 𝓝 1
⊢ IsOpen ↑E.fixingSubgroup
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2
h₁ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹
⊢ ContDiff ℝ ⊤ (stereoInvFunAux v)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ x = yᶜ ↔ y = xᶜ
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0
t : Set α
ht : t ⊆ s ∧ t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, u x
⊢ μ s = 0
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι
⊢ ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X) ≫ (unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X : (i : I) → C i
i : I
⊢ CategoryTheory.Pi.isoApp (CategoryTheory.Iso.refl X) i = CategoryTheory.Iso.refl (X i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
h : optParam (b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ) ⋯
⊢ b.reindexFinsetRange ⟨b i, h⟩ = b i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V
⊢ ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x ≫ stalkPullbackHom C f F ↑x = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ((pullback C f).obj F).germ x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapCyclesIso F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapCyclesIso F).hom (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ))
α : Type u
Add α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α
⊢ ![a₀, a₁, a₂] + ![b₀, b₁, b₂] = ![a₀ + b₀, a₁ + b₁, a₂ + b₂]
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction k A
φ₁ φ₂ : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
h : φ₁.toMulHom.comp (MonoidAlgebra.ofMagma k G) = φ₂.toMulHom.comp (MonoidAlgebra.ofMagma k G)
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : MeasurableSet s₂
this : extend m (s₁ ∪ s₂ \ s₁) = extend m s₁ + extend m (s₂ \ s₁)
⊢ extend m s₁ ≤ m s₂ h₂
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ (cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3) = (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ≅ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ.hom) φ.hom
⊢ p.map φ.hom ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (p.obj a✝)
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => sin y ^ (n + 1)) (↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2) = (sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
⊢ IndepSet s ∅ κ μ
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
y : G
hy : y ∈ ↑B
z : G
hz : z ∈ ↑C
hyz : y * z ∈ ↑A
⊢ y * z * z⁻¹ ∈ A
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
u : m → α
x : n → α
e : m ≃ n
⊢ u ∘ ⇑e.symm ⬝ᵥ x = u ⬝ᵥ x ∘ ⇑e
α : Type u_1
Finite α
f : α → α
⊢ Function.Surjective f ↔ Function.Bijective f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ t x
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
j : J
⊢ π arrows j ≫ arrows j = base arrows
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
h : n ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a).coeff n = 0
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.normSq ((starRingEnd K) z) = RCLike.normSq z
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
hp : Irreducible (a * b)
hI : span R {a * b} < span R {a}
⊢ IsUnit a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Equiv M N
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (⇑φ ∘ x) ↔ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
n : ℕ
ih : a ^ n ~ᵤ b ^ n
⊢ a ^ (n + 1) ~ᵤ b ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
⊢ ∀ (x : α), x ∈ {x | p x}.toFinset ↔ p x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ (List.kerase a l₁).kunion (List.kerase a l₂) = List.kerase a (l₁.kunion l₂)
M : Type u_1
MeasurableSpace M
Inf M
self : MeasurableInf M
c : M
⊢ Measurable fun x => x ⊓ c
M : Type u_1
Add M
⊢ ↑AddSubsemigroup.topEquiv = AddMemClass.subtype ⊤
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy A (X ^ -[n+1]) (Y ^ -[n+1])
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
⊢ LipschitzWith (K ^ 0) (f ^ 0)
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ ¬a ∈ b :: l → a ≠ b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
⊢ s ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯
h : Decidable ⊤.Dom
⊢ ⊤.toWithTop = ⊤
α : Type u_3
AddCommMonoid α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)
p_one : p 0
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.sum
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
n : ℕ
hk : n < s.length
hk' : s.nthLe n hk = x
hl : (insertNth n x s).length = (insertNth (n + 1) x s).length
hn : n < (insertNth n x s).length
hn' : n < (insertNth (n + 1) x s).length
⊢ (insertNth n x s).nthLe n hn = (insertNth (n + 1) x s).nthLe n hn'
α : Type u_2
LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
⊢ Finset.mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) = {(hs.min hns, ht.min hnt)}
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ((volume s)⁻¹ • 1) x ≠ ⊤
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), ∫ (y : Fin n → ℝ) in Icc 0 fun x => 2 * π, (∏ i : Fin (n + 1), ↑(R i) * cexp (↑(e (x, y) i) * I) * I) • f (torusMap c R (e (x, y))) = ∫ (θ : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap (c i) (R i)) θ • ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth (circleMap (c i) (R i) θ) y)
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
⊢ Set.RightInvOn e (⇑(algebraMap R₁ R₃)) (quasispectrum R₃ a)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : Mon_ C
⊢ (ρ_ X).inv.hom = (ρ_ X.X).inv
R : Type u_1
M : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho y x
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ Tendsto pure (↑b) (𝓝 b)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
M' : Type u_1
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Finite R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ FiniteDimensional.finrank R M ≤ FiniteDimensional.finrank R M'
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ Polynomial.map (frobenius R p ^ n) ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f) = f ^ p ^ n
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
⊢ sf < sg
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
p : ℝ
m : ℕ
hf : ContDiffWithinAt ℝ (↑m) f s x
h : ↑m ≤ p
⊢ ContDiffWithinAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1
h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x
⊢ f i * (map f l).prod < g i * (map g l).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r →r s
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝¹ : SemilatticeSup F
inst✝ : Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E
⊢ Tendsto u atTop (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
μ : Measure α
hμ : μ ∈ m
u : Set α
htu : t ⊆ u
_hu : MeasurableSet u
⊢ (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ u
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a
⊢ a ^ ω ≤ nfp (fun x => a * x) b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
f : M → B
hf : ContMDiff IM IB n f
he : ∀ (x : M), f x ∈ e.baseSet
he' : ∀ (x : M), f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiff IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ last n
⊢ a.pred ha < b.castPred hb ↔ a ≤ b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
Algebra A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ↑(d x) + (algebraMap A (B ⧸ I)) x = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
H : CategoryTheory.Functor E C
α : F ⟶ G
X : E
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id H ◫ α).app X = α.app (H.obj X)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
p : V × V
h : G.Adj p.1 p.2
⊢ { toProd := p, adj := h }.edge = Sym2.mk p
G : Type u_1
AddCommMonoid G
tG : AddMonoid.IsTorsion G
a : ↥(AddCommMonoid.addTorsion G)
⊢ tG.torsionAddEquiv a = ↑((AddEquiv.addSubmonoidCongr ⋯) a)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ (∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x) ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ x ≤ y ↔ x' ≤ y'
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
a : { a // (fun x => x ∈ S.toSubmonoid) a }
⊢ ↑(S.addEquivOp a) = MulOpposite.op ↑a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x