ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0
i : n
⊢ vi i = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : Dense s
htop : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
π' : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π' ≤ π.biUnion πi ↔ π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J
α : Type u_1
r : α → α → Prop
Subsingleton α
⊢ Pairwise r
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
this : ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ = ∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ
x : α
⊢ (fun x => |s.indicator f x|) x = s.indicator (fun x => |f x|) x
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = ↑⟨c, c0⟩ • p
⊢ IsUnit p
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
IsAntisymm α r
P : α → Prop
⊢ x ∈ maximals r (setOf P) ↔ P x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, P y → r x y → x = y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n
⊢ ↑i.rev.modNat = ↑i.modNat.rev
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
α : Type u_1
Preorder α
a b : Multiplicative α
⊢ Multiplicative.toAdd a < Multiplicative.toAdd b ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 ∅ = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
k : ℕ
hk : taylorWithinEval f k s x₀ x = ∑ k ∈ Finset.range (k + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s x₀
⊢ taylorWithinEval f (k + 1) s x₀ x = ∑ k ∈ Finset.range (k + 1 + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s x₀
β : Type v
γ : Type w
EMetricSpace γ
EMetricSpace β
f : γ → β
⊢ UniformEmbedding f ↔
  (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : γ}, edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε) ∧
    ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : γ}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y
⊢ sin x < sin y
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
s : Finset (ι × ℝ)
h₁ : (π₁.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
h₂ : (π₂.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₁.boxes
⊢ ↑J ≤ I₀
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
⊢ ∃ a, {a} ∈ l
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m ((MvPowerSeries.trunc R n) φ) = if m < n then (MvPowerSeries.coeff R m) φ else 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Sub α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) - t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j - t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix l n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible D
⊢ (reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks A B C D) = (reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks 1 (B * ⅟D) 0 1 * fromBlocks (A - B * ⅟D * C) 0 0 D * fromBlocks 1 0 (⅟D * C) 1)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
x : G₀
m : ℤ
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ m) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
x : ℝ
⊢ (f a ∘ qs) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
m n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
le : m ≤ n
⊢ ContMDiff I I' m f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ≥0 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜
⊢ Tendsto (⇑(algebraMap ℝ≥0 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
⊢ m ∈ f' '' Ioo a b
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
x : α
hx : 1 ≤ x
a b c : ℤ
h : min a b ≤ c
⊢ x ^ (-c) ≤ max (x ^ (-a)) (x ^ (-b))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
G.IsCocontinuous J K
G.IsContinuous J K
F : CategoryTheory.Sheaf K A
H : CategoryTheory.Sheaf J A
f : (G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F ⟶ H
⊢ (((G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K).homEquiv F H) f).val = ((G.op.ranAdjunction A).homEquiv F.val H.val) f.val
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ Algebra.FiniteType R S ↔ ∃ ι x f, Function.Surjective ⇑f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ toAffine W ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1] = toAffine W P + toAffine W Q
I : Type u_1
DecidableEq I
R : Type u_2
CommSemiring R
A : I → Type u_3
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
i : I
⊢ LinearAlgebra.FreeProduct.ι R A i = AlgHom.ofLinearMap (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
g : α → β
hgm : Measurable g
⊢ (f.comp g hgm).range ⊆ f.range
a b : Prop
⊢ ¬a → ¬b → ¬(a ∨ b)
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
not_surj : range f < ⊤
inj : Function.Injective ⇑f.dualMap
φ : V₂ →ₗ[K] K
φ0 : φ ≠ 0
range_le_ker : range f ≤ ker φ
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
_hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
⊢ f ((normalizeScaleRoots p).coeff n) * (f p.leadingCoeff * x) ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ (∃ y, ∃ (_ : y ∈ H), y ≠ ↑1) ↔ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
e : ↑s ↪ ↑t
⊢ s.encard ≤ t.encard
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x : α
hx : f x ≠ x
⊢ (Equiv.swap x (f x) * f).support.card < f.support.card
α : Type u_1
s t : Set α
n : ℕ
hst : 2 * n < (s ∪ t).ncard
⊢ ∃ r, n < r.ncard ∧ (r ⊆ s ∨ r ⊆ t)
α : Type u_1
M : Type u
AddMonoid M
SubtractionMonoid α
F : Type u_2
FunLike F M α
AddMonoidHomClass F M α
f : F
u : AddUnits M
⊢ f ↑(-u) = -f ↑u
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Subsingleton R
⊢ IsField R ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = 1 ↔ φ = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ (s₁ ∩ s₂) • t ⊆ s₁ • t ∩ s₂ • t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan s.pt X
Q : IsLimit t
⊢ t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt)) = 𝟙 t.pt
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
M : A ⊗[R] Matrix n n R
⊢ MatrixEquivTensor.invFun R A n ((MatrixEquivTensor.toFunAlgHom R A n) M) = M
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
hv : v ≤ᶠ[l] u
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l v
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a * c = b
⊢ a = b * c⁻¹
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal.{max w ?u.168006}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ h.isoPushout.inv = inr
V : Type u
G : SimpleGraph V
u u' : V
p : G.Walk u u
hu : u = u'
⊢ (p.copy hu hu).IsCycle ↔ p.IsCycle
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ (S ⊔ star S).carrier
⊢ star a ∈ (S ⊔ star S).carrier
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : ‖x‖ ≤ 1 - δ'
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
w : ι' → ↑S.X₃
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range w)
hE : Epi S.g
⊢ ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr))
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n = !![OfNat.ofNat n, 0; 0, OfNat.ofNat n]
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) (r ⊗ₜ[R] m) = ↑M.lTensorOne (r ⊗ₜ[R] m)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
cf cg : Code
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s t : Interval α
⊢ s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = Interval.pure a ∧ t = Interval.pure b ∧ a * b = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
⊢ ⌈a + b⌉₊ ≤ ⌈a⌉₊ + ⌈b⌉₊
⊢ Complex.GammaIntegral = mellin fun x => ↑(rexp (-x))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∩ ⋂ x, ⋂ (h : p x), s x ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.bagInter [] = []
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
⊢ s ⊆ closure s
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : Polynomial R
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.taylor r) f).coeff n = Polynomial.eval r ((Polynomial.hasseDeriv n) f)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
i : Fin2 n
u : α i
⊢ u ∈ MvFunctor.supp x i ↔ ∀ (a : (MvQPF.P F).A) (f : (MvQPF.P F).B a ⟹ α), MvQPF.abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : SpecializingMap f
⊢ StableUnderSpecialization (Set.range f)
E : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
OrderedAddCommGroup β
Module ℝ β
OrderedSMul ℝ β
f : E → β
a : E
h_local_min : IsLocalMin f a
h_conv : ConvexOn ℝ Set.univ f
x : E
⊢ f a ≤ f x
α : Type u
Small.{w, u} α
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, u, u} (CategoryTheory.Discrete α)
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat e n d → decide (1 < ↑n / ↑d) = true → 0 < Real.log e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
G₁ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj₁ : G₁ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
G₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ B) (CategoryTheory.Sheaf J B)
adj₂ : G₂ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B
⊢ J.PreservesSheafification F ↔
  ∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A), CategoryTheory.IsIso (G₂.map (CategoryTheory.whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))
α : Sort u
β : α → Sort v
a₁ a₂ : α
b₁ : β a₁
b₂ : β a₂
h₁ : a₁ = a₂
h₂ : Eq.ndrec b₁ h₁ = b₂
⊢ ⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₂, b₂⟩
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ LieModule.toEnd R (Module.End R M) M = LieHom.id
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hint : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f n) μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
  Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop Filter.atTop ↔
    Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ n ω) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
bc : b < c
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a * c
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f x ≤ f y + f (x / y) ∧ f y ≤ f x + f (x / y)
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ ∀ (a : ℚ), Rat.castOrderEmbedding a = ↑a
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.ofRealAm = RCLike.ofReal
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S) ≤ S
α : Type u_1
Order.Frame α
⊢ ↑(Opposite.unop (Locale.of α)) = α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖x‖ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ ≤ r
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x • a) '' s = s • t
α : Type u_1
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
s : Set R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S (Ideal.span s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)
n : Nat
H : n ∣ 1
⊢ n = 1
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
h : (p + q).natDegree ≤ n
m : ℕ
hm : n < m
⊢ p.coeff m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))
⊢ F (∫ (y : γ), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) - ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
α : Type u_1
LinearOrder α
x : α
⊢ cmp x x = Ordering.eq
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
SMul M α
SMul N α
SMulCommClass M N α
⊢ SMulCommClass N M α
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
⊢ (∀ s ∈ 𝓝 x, r.preimage s ∈ l) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l
α : Type u
R : α → α → Prop
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : List.Chain' R (l₁ ++ l₂)
h₂ : List.Chain' R (l₂ ++ l₃)
hn : l₂ ≠ []
⊢ List.Chain' R (l₁ ++ l₂ ++ l₃)
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
hg : HasSum (fun a => ↑(g a)) ↑a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ ↑(g i)
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖ ≤ ↑a
⊢ HasSum (fun n => term (n + 1) 1) (1 - γ)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y = v
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I : Ideal R
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {x | f x = g x} ↔ x✝ ∈ {x | (f - g) x = 0}
α : Type u_1
n n' : ℕ
s : Sym α n
t t' : Sym α n'
⊢ s.append t = s.append t' ↔ t = t'