ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₂,c₁]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂).symm t).imI = t.imJ
α β : Type u
f : FreeAbelianGroup (α → β)
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x - y) = (Seq.seq f fun x_1 => x) - Seq.seq f fun x => y
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X ≫ (λ_ (F.obj X)).hom
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x = ⊥
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)) * ∏ᶠ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))
R : Type u
Ring R
X : Type u
⊢ (ModuleCat.free R).obj X = ModuleCat.of R (X →₀ R)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
⊢ (f.comp (RingHom.id A)).FiniteType
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono (f ≫ g)
⊢ Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this : a * (c * d) = a * 1
⊢ a ~ᵤ a * c
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < p.natDegree
pzero : p ≠ 0
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
G : Type u_1
AddCommMonoid G
⊢ AddMonoid.IsTorsion ↥(AddCommMonoid.addTorsion G)
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
n : ℕ
f : Fin n → GradedMonoid A
⊢ (List.ofFn f).prod = mk ((List.finRange n).dProdIndex fun i => (f i).fst) ((List.finRange n).dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
h : a ≤ c
⊢ b ≤ c - a ↔ a + b ≤ c
R : Type u
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring R)
x : R
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁ <+ l₂ → l₁.diff l₃ <+ l₂.diff l₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
φ φ' : F ⟶ G
h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 0 ⋯
h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 1 ⋯
⊢ φ = φ'
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
hab : a ⩿ b
hac : a < c
⊢ b ≤ c
α : Type u_1
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : Ordinal.type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ Ordinal.familyOfBFamily' r ho f (Ordinal.enum r i ⋯) = f i hi
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖(NormedSpace.inclusionInDoubleDual 𝕜 E) x‖ ≤ ‖x‖
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
t : Set (α × α)
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}
⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
M : Type u_1
α : Type u_7
VAdd M α
Add α
VAddCommClass M α α
VAddAssocClass M α α
a b : α
h : AddCommute a b
r : M
⊢ AddCommute (r +ᵥ a) b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.JordanDecomposition.toSignedMeasure 0 = 0
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
h : Set.EqOn u v ↑(range E.order)
u' : ↥E.solSpace := ⟨u, hu⟩
v' : ↥E.solSpace := ⟨v, hv⟩
x : Fin E.order
⊢ E.toInit u' x = E.toInit v' x
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulli (2 * k))
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
U : Set α
⊢ Quotient.mk' ⁻¹' (Quotient.mk' '' U) = ⋃ g, (fun x => g • x) '' U
e : ℤˣ
⊢ ‖↑e‖₊ = 1
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤
f : K →ₐ[F] L
⊢ f.fieldRange ≤ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (f.codRestrict (⨆ f, f.fieldRange).toSubalgebra ⋯).fieldRange
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
⊢ ↑((f.mapNeighborSet v).symm w) = f.symm ↑w
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = comap ((fun x => (g x.1, g x.2)) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 γ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
G : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
i : F ≅ G
F.Corepresentable
⊢ G.Corepresentable
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b
⊢ Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
⊢ (↑I ∩ ↑J).Nonempty
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
πi' : Box ι → (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι
⊢ (J ∈ π.biUnion fun J => (πi J).biUnion (πi' J)) ↔ J ∈ (π.biUnion πi).biUnion fun J => πi' (π.biUnionIndex πi J) J
x y : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ (x * y).Numeric
α : Type u_2
β : Type u_3
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ -s • t = -(s • t)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).hom.app X).hom₃ = e.hom.app X.obj₃
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hP₁ : 0 < P.parts.card
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(G.nonuniformWitness ε U V).card ≤ ↑((star hP G ε hU V).biUnion id).card
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.singularPart ν = 0
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type uM'
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : (M →ₗ[R] R) × (M' →ₗ[R] R)
a : M × M'
⊢ ((Module.dualProdDualEquivDual R M M') f) a = f.1 a.1 + f.2 a.2
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
a : α
⊢ M.eval [a] = M.stepSet M.start a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R m) ((monomial R n) a * φ) = if n ≤ m then a * (coeff R (m - n)) φ else 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
⊢ (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (↑m * Int.negSucc n) = (a ^ ↑m) ^ Int.negSucc n
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid
this : ↑p.toSubmonoid = ↑q.toSubmonoid
⊢ p = q
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
⊢ UniformConvexOn s (φ + ψ) (f - g)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a c : M
⊢ a * (z₁ * z₂) * c = a * z₁ * z₂ * c
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
NontriviallyNormedField α
NormedAlgebra ℝ α
DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
⊢ ‖LinearMap.toMatrix' ↑f‖ = ‖f‖
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R
⊢ M * (LinearMap.toMatrix₂' R) B * N = (LinearMap.toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ (Matrix.toLin' Mᵀ) (Matrix.toLin' N))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α
a : α
tl : List α
r : Array α
⊢ go f (tl ++ [a]) r = r.toListAppend (go f (tl ++ [a]) #[])
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ ∃ i, p i
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
⊢ (Finset.filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (Finpartition.atomise s F).parts).card ≤ 2 ^ (F.card - 1)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)
⊢ x ∈ P ^ min (Multiset.count P (normalizedFactors (span {a}))) (i + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) x
S : Type u_5
LinearOrderedSemifield S
R : Type u_6
Semiring R
Nontrivial R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
⊢ abv 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = ((κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
⊢ a * (l.erase a).prod = l.prod
α : Type u_1
a b a' : α
LinearOrder α
h : ¬a < b
eq : a = a'
⊢ b ≤ a'
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
c : Con M
f : N →* M
⊢ Con.comap ⇑f ⋯ c = Con.ker (c.mk'.comp f)
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a } = 0 ↔ a = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p1 : P
p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ dist p1 p2 * dist p1 p2 =
  dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2) * dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2) +
    dist p2 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2) * dist p2 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : Type u_1
⊢ (TypeVec.id ::: id) = TypeVec.id
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ f - g = 0
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
⊢ f = g
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : x ∈ (fun g => g • s) a
hxb : x ∈ (fun g => g • s) b
⊢ False
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map f μH[d]) s = (μH[d].restrict (range f)) s
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
⊢ ∃ a, type r = succ a
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg1 sg2 : Subgroup H
h : { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg1 ≤ { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg2
⊢ sg1 ≤ sg2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
g : γ ↪ α
s : Finset γ
⊢ Finset.fold op b f (Finset.map g s) = Finset.fold op b (f ∘ ⇑g) s
m n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive n ⋯
smn : m + 1 ≤ n
mn : m ≤ n
⊢ Nat.decreasingInduction of_succ self mn = of_succ m smn (Nat.decreasingInduction of_succ self smn)
n : Nat
⊢ (2 ^ (n + 1) - 1) / 2 = 2 ^ n - 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → γ → δ'
n' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b
⊢ map₂ m (map₂ (fun a b => n b a) g f) h = map₂ (fun a b => n' b a) g (map₂ m' f h)
z τ : ℂ
⊢ ∑' (b : ℤ), -(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'_term b z τ) = ∑' (n : ℤ), jacobiTheta₂'_term n (-(starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Setoid X
⊢ Continuous Quotient.mk'
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
⊢ x ∉ setOfIdeal I ↔ ∀ ⦃f : C(X, R)⦄, f ∈ I → f x = 0
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A B : Matrix m n α
CommSemigroup α
⊢ A.hadamard B = B.hadamard A
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x
t : ℕ → Finset X
ht : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, x ∈ compactCovering X n ∩ s
hsub : ∀ (n : ℕ), compactCovering X n ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ t n, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x}
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Filter.Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons :
  ∀ (l : List α) (a : α),
    Filter.Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Filter.Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
l : List α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 l) (r l)
α : Type u_1
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm G
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ f' =O[l] k ↔ g' =O[l] k
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
⊢ ∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
b : n → M₂
i j : n
⊢ (BilinForm.toMatrixAux b) B i j = (B (b i)) (b j)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P', inv := AssociatorBimod.inv M N P', hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => (b.re * x - 2 * |b.im| * |c|) * x) atTop atTop
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.homEquiv.symm f = AlgebraicGeometry.Spec.map f
α : Type u_1
E : Type u_2
Norm E
l : Filter α
f : α → ℝ
g : α → E
⊢ (fun x => ↑(f x)) =O[l] g ↔ f =O[l] g
ι : Type u_1
Nonempty ι
Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.ball x r) =
  ENNReal.ofReal r ^ Fintype.card ι *
    ENNReal.ofReal (√Real.pi ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (↑(Fintype.card ι) / 2 + 1))
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
⊢ IsRat (a + -b) nc dc
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ⇑(evalHom IM I M R x) = (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ 𝓝ˢ (s ∪ t) = 𝓝ˢ s ⊔ 𝓝ˢ t
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ¬∃ x ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
⊢ eval₂ (algebraMap R S) x (p.comp q) = eval₂ (algebraMap R S) (eval₂ (algebraMap R S) x q) p
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
s : ↑I.multicospan.sections
i : I.L
⊢ (I.sectionsEquiv.symm s).val i = ↑s (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left i)
c : ℝ≥0
⊢ Metric.closedBall 0 ↑c = Set.Icc 0 c
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r✝ : R
f p : R[X]
r : R
⊢ ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → ((taylor r) ((monomial n) c)).natDegree = n
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), f 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id W))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) f) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
⊢ (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)).comp α ⋯ = α