ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
s t : Set α
Φ : α → β
h : Isometry Φ
⊢ EMetric.hausdorffEdist (Φ '' s) (Φ '' t) = EMetric.hausdorffEdist s t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.inv.app K =
  (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
a₁ s₁ : A
a₂ s₂ : ↥S
⊢ mk a₁ a₂ * x • mk s₁ s₂ = x • (mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ = ‖u * v / v‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f₁ : α →. β
f₂ : β →. γ
g₁ : δ →. ε
g₂ : ε →. ι
⊢ (f₂.comp f₁).prodMap (g₂.comp g₁) = (f₂.prodMap g₂).comp (f₁.prodMap g₁)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo b (a ⊔ b))
⊢ a ⊓ ↑c ⊔ b = ↑c
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)
g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm
h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
TopologicalAddGroup M₁
ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
TopologicalAddGroup M₂
ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.mkOfIsCompactOperator hf) = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ IsOpen (range ofNNReal)
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ Set.univ ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H₁ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
H₂ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.balance' x r) o₂
α : Type u_4
M : Type u_5
MulOneClass M
SMul α M
IsScalarTower α M M
c : Con M
a : α
w x : M
h : c w x
⊢ c (a • w) (a • x)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ G.CliqueFreeOn Set.univ n ↔ G.CliqueFree n
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
Module.Free R S
Module.Finite R S
I : Ideal S
⊢ Ideal.spanNorm R I = ⊥ ↔ I = ⊥
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ m * n
⊢ (p ^ m).coeff (m * n) = if m * n = m * n then p.coeff n ^ m else 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving id μ μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Finite J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
hf : ∀ (i : ι), f₁ i ≤ f₂ i
⊢ Filter.coprodᵢ f₁ ≤ Filter.coprodᵢ f₂
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
⊢ MeasurableSet (i ⁻¹' s ∩ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
n : ℕ
y : E
⊢ ((p n) fun x => y) = 0
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, MulOpposite.op a • s = s * t
F : Type u → Type u
q : QPF F
a : (QPF.P F).A
f : (QPF.P F).B a → (QPF.P F).W
⊢ QPF.Fix.mk (QPF.abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦WType.mk a f⟧
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
⊢ LocallyLipschitz fun x => min a (f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₁ : 0 < a
h₂ : a < 1
⊢ 1 < a⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b} * span {a}
ha : ¬I ∣ span {a}
⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
hM : ∃ M, E = M.E ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I ↔ Indep I
⊢ (Matroid.ofExistsMatroid E Indep hM).E = E
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
PartialOrder γ
e₁ : α ≃o β
e₂ : β ≃o γ
⊢ e₁.withTopCongr.trans e₂.withTopCongr = (e₁.trans e₂).withTopCongr
n : ℕ
n_pos : n > 0
⊢ (⊤ ^ n).log = ↑n * ⊤.log
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
⊢ ∀ y ∈ Icc x' (x' + s), ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.HasRightInverse f
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E
⊢ ∀ {c d : C}, (full D).arrows c d ⊆ (full E).arrows c d
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField α
inst✝⁴ : LinearOrderedField β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
H : f 2 = 2
⊢ round (f a) = round a
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
g' : (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt ⟶ (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt := hp.desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
⊢ S.RightHomologyData
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
⊢ ⨆ i ∈ s, basicOpen i = ⊤ ↔ Ideal.span s = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)
⊢ a1 * a2 ≤ abv (↑(f * g) i)
R : Type u
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop x = Tropical.untrop y ↔ x = y
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n e e' : α
h : n * e = e'
h2 : n ≠ 0
⊢ e * n = e'
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ f = ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ g
⊢ ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : r₁₂₃ (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℕ
⊢ n • x ∈ s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x + (B x) x = 0
⊢ (B x) x = 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ (↑(iso S f).symm ∘ₗ f) m = (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
⊢ ∃ u_1 v_1, u_1 • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑u_1 * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0
⊢ ¬↑i < x.orderTop
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
⊢ EqOn f 0 U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
⊢ X.σ j.castSucc ≫ X.δ i.succ = X.δ i ≫ X.σ j
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
⊢ s ∈ 𝓝ˢ K ×ˢ l
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
this : (WellFounded fun x x_1 => x > x_1) ↔ ∀ (k : Submodule R M), CompleteLattice.IsCompactElement k
⊢ IsNoetherian R M ↔ ∀ (k : Submodule R M), CompleteLattice.IsCompactElement k
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0
I : Type u
X : I → TopCat
i : I
x₀ x₁ : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))
p : x₀ ⟶ x₁
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.proj X i).map p = Path.Homotopic.proj i p
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
n : ↥N
⊢ N.lTensorOne (1 ⊗ₜ[R] n) = n
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α ν
MeasurableVAdd G α
i : MeasureTheory.SigmaFinite ν
i' : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain G α ν
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
gi : GaloisCoinsertion l u
a b : α
⊢ u (l a ⊓ l b) = a ⊓ b
⊢ MeasurePreserving (⇑measurableEquivPi) volume volume
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
⊢ Nat.find h = 0 ↔ p 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |a + b| = |a| + |b| ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ count p n ≤ count p (n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝¹ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι
x✝ : j ∈ univ
⊢ (x + (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) n) j ∈ s j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ENNReal
hf : MeasureTheory.UnifTight f p μ
hg : MeasureTheory.UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ MeasureTheory.UnifTight (f + g) p μ
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x✝ x y z : C
⊢ (∃ y_1 ∈ closure {x}, ∃ z_1 ∈ closure {y}, y_1 * z_1 = z) ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget FinPartOrd).obj β
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b
⊢ Order.pred a = Order.pred b ↔ a = b
n m : ℕ
⊢ n ≤ n.dist m + m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
f₁ f₂ : Filter α
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
⊢ Filter.map (⇑m) (f₁ * f₂) = Filter.map (⇑m) f₁ * Filter.map (⇑m) f₂
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S R
Algebra S A
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
x : R
⊢ (MvPolynomial.aevalTower g y) ((algebraMap R (MvPolynomial σ R)) x) = g x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
self : Perfect C
⊢ Preperfect C
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
⊢ (lieIdealSubalgebra R L (LieModule.lowerCentralSeries R L L 1 ⊓ LieAlgebra.center R L)).toSubmodule ≤
  LinearMap.ker (LieModule.traceForm R L M)
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M
⊢ ↑((Units.liftRight f g h) x)⁻¹ * f x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : α → Set β
⊢ ⋃ i, s i = range fun a => ↑a.snd
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ ExactAt P.complex (n + 1)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
σ : Perm n
M : Matrix n n R
⊢ (M.submatrix id ⇑σ).det = ↑↑(sign σ) * M.det
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸) 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
⊢ IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2})
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ ↑s = ↑s
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩
m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
hm : m.det = 1
⊢ m = !![m 0 0, m 0 1; m 1 0, m 1 1]
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ∪ l₂).Sublist (l₁ ++ l₂)
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
⊢ s.think.Results a (n + 1)
n : ZNum
⊢ ↑n.abs = (↑n).natAbs
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty
⊢ ¬t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
⊢ J ≤ J'
α : Type u_3
LinearOrder α
NoBotOrder α
⊢ NoMinOrder α
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
⊢ Realize (Formula.iAlls f φ) v v' = (Formula.iAlls f φ).Realize v
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 2 ≤ c ↔ 1 < c
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
DecidableEq α
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, h a 0 = 0
h_add : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, ∀ (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
⊢ (f + g).sum h = f.sum h + g.sum h
α : Sort u_1
β : α → Sort u_3
γ : (a : α) → β a → Sort u_4
⊢ (∀ (a : α) (b : β a), γ a b → True) ↔ True
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
e : R ≃+* S
⊢ ⊥.IsMaximal ↔ ⊥.IsMaximal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ψ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
⊢ ϕ.autCongr.trans ψ.autCongr = (ϕ.trans ψ).autCongr
a : ZFSet
p : ZFSet → Prop
⊢ (ZFSet.sep p a).toSet = {x | x ∈ a.toSet ∧ p x}
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)
this : Mono (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
⊢ Mono (F.map f)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
Group N
TopologicalSpace N
H : OpenSubgroup N
f : G →* N
hf : Continuous ⇑f
⊢ ↑(OpenSubgroup.comap f hf H) = ⇑f ⁻¹' ↑H
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
Fintype ι
Fintype ι'
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).parallelepiped = b.parallelepiped
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (∃ k, addOrderOf x = p ^ k) ↔ ∃ m, p ^ m • x = 0
ι : Type u_2
R : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
i : ι
r : R
⊢ (DirectSum.decompose (AddMonoidAlgebra.grade R)) (Finsupp.single i r) =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(AddMonoidAlgebra.grade R i)) i) ⟨Finsupp.single i r, ⋯⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {J : Type w} {X Y : C} {f : J → (X ⟶ Y)}, CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizers C
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
p : α × α
h : typein s p < type s
⊢ (typein s p).card < #α
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
x : ℂ
hx : x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1
⊢ ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ Real.exp BF
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (if bit a m = 0 then if f false true = true then bit b n else 0 else if bit b n = 0 then if f true false = true then bit a m else 0 else let n' := bit a m / 2; let m' := bit b n / 2; let b₁ := bit a m % 2 = 1; let b₂ := bit b n % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f a b) (bitwise f m n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.Epi ((DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂) ↔
  DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h = 0