ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
motive : HNNExtension.NormalWord d → Sort u_4
g : G
ofGroup : (g : G) → motive (HNNExtension.NormalWord.ofGroup g)
cons :
  (g : G) →
    (u : ℤˣ) →
      (w : HNNExtension.NormalWord d) →
        (h1 : w.head ∈ d.set u) →
          (h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B u → u = u') →
            motive w → motive (HNNExtension.NormalWord.cons g u w h1 h2)
⊢ HNNExtension.NormalWord.consRecOn (HNNExtension.NormalWord.ofGroup g) ofGroup cons = ofGroup g
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition
πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock
πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r
h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m
πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion
⊢ (π.biUnionTagged πi).distortion = π.distortion
M : Type u_6
Monoid M
u : Mˣ
⊢ Equiv.symm u.mulLeft = u⁻¹.mulLeft
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ (l₁.diff l₂).erase a = (l₁.erase a).diff l₂
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
x : α × β
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ IsOfFinAddOrder x.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
t : Set Y
hf : Continuous f
hx : x ∈ closure s
ht : Set.MapsTo f s t
⊢ f x ∈ closure t
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
⊢ UniformFun.ofFun 1 = 1
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ
⊢ |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))| ≤ 1 / 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Opposite.op X ⟶ Opposite.op Y
⊢ (CategoryTheory.yoneda.obj X).map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) =
  (CategoryTheory.yoneda.map f.unop).app (Opposite.op Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ
⊢ map X ℙ = withDensity μ (pdf X ℙ μ)
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ ⇑(Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I) = ⇑(Ideal.Quotient.mk I)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
f : α → β
⊢ (∏ x ∈ Finset.filter p s, f x) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, f x = ∏ x ∈ s, f x
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
P : A → Prop
f : M →ₗ[A] M
hb : ∀ (s : Finset M) (b : Basis { x // x ∈ s } A M), P ((toMatrix b b) f).det
h1 : P 1
⊢ P (LinearMap.det f)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • (f - g) w) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ((∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w) - ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • g w)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
K : Type u_2
Group K
ϕ : K →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p ↥ϕ.ker
α : Type u_1
as : Array α
⊢ #[] ++ as = as
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant X Z
⊢ (LocallyConstant.congrLeft e) g = LocallyConstant.comap e.symm.toContinuousMap g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ ⊥.sieves X ↔ S = ⊤
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i j : ι
⊢ LinearMap.proj i ∘ₗ LinearMap.stdBasis R φ j = LinearMap.diag j i
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
⊢ (CategoryTheory.BasedFunctor.id 𝒳).toFunctor = CategoryTheory.Functor.id 𝒳.obj
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ
⊢ (Algebra.adjoin R s).unop = Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)
G : Type u_1
P : Type u_2
Preorder G
Preorder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a +ᵥ c < b +ᵥ d
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
this : (↑f x, ↑x) ∈ f.inverse.graph
⊢ ↑f.inverse y = ↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
Ring R
Ring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
⊢ (Ideal.map f I).IsPrime
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
a : CategoryTheory.FinCategory.ObjAsType α
⊢ (CategoryTheory.FinCategory.objAsTypeToAsType α).obj a = id a
a b : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
⊢ (a + b) * 0 = a * 0 + b * 0
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑n)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree = 0 ↔ p.IsHomogeneous 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).sup f = f b ⊔ s.sup f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
H : ∀ y < s, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ s = sSup S
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
η : Type u_3
f : η → Type u_4
(i : η) → AddGroup (f i)
DecidableEq η
I : Finset η
H : AddSubgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i ∉ I, x i = 0
h2 : ∀ i ∈ I, Pi.single i (x i) ∈ H
⊢ x ∈ H
b : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
⊢ a ≤ b.cof ↔ ∀ {o : Ordinal.{u}} (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), o.blsub f = b → a ≤ o.card
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f g : Module.End R M
h : Commute f g
μ : R
⊢ Set.MapsTo ⇑g ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a)
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (Metric.closedBall z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
⊢ Equiv.swap a b * Equiv.swap a c ∈ Subgroup.closure {σ | σ.IsThreeCycle}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
h₁ : R a✝ b✝
h₂ : Forall₂ R l₁✝ l₂✝
x : α
y : β
hx : (x, y) = (a✝, b✝) ∨ (x, y) ∈ zipWith Prod.mk l₁✝ l₂✝
⊢ R x y
G : Type u
AddGroup G
⊢ ∀ (a : G), QuotientAddGroup.quotientBot.symm a = ↑a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = r • algebraMap₀ s
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
⊢ M.nonUnitalSubsemiringClosure = NonUnitalSubsemiring.closure ↑M
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
α : Type u_4
Preorder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
h : R a b
a' : α
as : List α
b' : β
bs : List β
h₁ : R a' b'
h₂ : Forall₂ R as bs
⊢ a = a' ∨ a ∈ as ↔ b = b' ∨ b ∈ bs
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
x : B
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ ↑e (Bundle.zeroSection F E x) = (x, 0)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1
i j : n
⊢ (of rows i ᵥ* A) j = (fun v => v ᵥ* A) (rows i) j
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ (CategoryTheory.coalgebraEquivOver X).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun A =>
      CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.prodComonad X).Coalgebra).obj A).A) ⋯)
    ⋯
G : Type u_1
AddGroup G
s t : Set G
ht : IsAddSubgroup t
⊢ AddGroup.closure s ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ.toFiniteAux s = 0 s
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0 s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
c : α
⊢ (∀ (a : κ i) (b : (a : ι) → a ∈ s → κ a), a ∈ t i → (∀ (a : ι) (h : a ∈ s), b a h ∈ t a) → (f i a ⊓ s.attach.inf fun i => f (↑i) (b ↑i ⋯)) ≤ c) ↔ ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
⊢ (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddMonoid G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
⊢ f (n • a) = f 0 + n • b
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
⊢ canonicalEquiv S P P = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
α : Type u_2
Group α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ 1 ∈ s / s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
⊢ upperBounds (Set.range ⇑(partialSups f)) = upperBounds (Set.range f)
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r
⊢ (↑↑2)⁻¹ + (↑↑3)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
n : ℕ
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsStandardSmoothOfRelativeDimension n R S
⊢ Algebra.IsStandardSmooth R S
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α
⊢ (Filter.cocardinal α hreg ⊓ 𝓟 s).NeBot ↔ c ≤ #↑s
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubring S
⊢ NonUnitalSubring.comap (↑f) K = NonUnitalSubring.map f.symm K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
φ₀ φ₁ : K ⟶ F
h : Homotopy φ₀ φ₁
⊢ HomologicalComplex.cylinder.ι₁ K ≫ HomologicalComplex.cylinder.desc φ₀ φ₁ h = φ₁
α : Type u_2
Preorder α
x y : α
h : x = y
⊢ y ≤ x
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Zero (β i)
⊢ Hamming.toHamming 0 = 0
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : c < a
hb : b ≠ c
⊢ min a b ≠ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
g : α → (a : δ) → π a
⊢ Measurable g ↔ ∀ (a : δ), Measurable fun x => g x a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
s : AffineSubspace k P
⊢ p ∈ ↑s ↔ p ∈ s
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
CommMonoid α₁
CommMonoid α₂
CommMonoid β₁
CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
⊢ IsMulFreimanIso n (A₁ ×ˢ A₂) (B₁ ×ˢ B₂) (Prod.map f₁ f₂)
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ (⋃ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEDisjoint μ (s i) t
z : ℂ
⊢ z.cot = (cexp (2 * Complex.I * z) + 1) / (Complex.I * (1 - cexp (2 * Complex.I * z)))
α : Type u_1
Add α
a b : Thunk α
εa : Type u_3
εb : Type u_4
EstimatorData a εa
EstimatorData b εb
e : εa × εb
⊢ EstimatorData.improve (a + b) e =
  match EstimatorData.improve a e.1 with
  | some e' => some (e', e.2)
  | none =>
    match EstimatorData.improve b e.2 with
    | some e' => some (e.1, e')
    | none => none
α : Type u
ι : Sort w
minAx : Order.Coframe.MinimalAxioms α
a : α
f : ι → α
⊢ a ⊔ ⨅ i, f i = ⨅ i, a ⊔ f i
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
h : ∀ {x y : α}, f x ≤ f y → x ≤ y
⊢ Function.Injective f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hg : Monotone g
⊢ ⋂₀ {s | s ∈ f.lift g} = ⋂ s ∈ f, ⋂₀ {t | t ∈ g s}
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : α × ι → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × ι) in 𝓝 x₀ ×ˢ f, p x) ↔ ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x b : α
hb : b ∈ {x}
⊢ r (enum r (typein r x) ⋯) (enum r (succ (typein r x)) ⋯)
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
i : M
hi : i ∈ ↑p
j : N
hj : j ∈ ↑q
⊢ (fun m n => (f m) n) i j ∈ ↑(map₂ f p q)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
α : Type u
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : l₁.length = n
⊢ List.takeD n (l₁ ++ l₂) a = l₁
r : ℝ
⊢ Real.sin r = ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n * r ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y ↔ Small.{w, v₂} (L.obj X ⟶ L.obj Y)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
m : Sym α n
a : α
h : m ∈ s.sym n
⊢ (Sym.filterNe a m).snd ∈ (s.erase a).sym (n - ↑(Sym.filterNe a m).fst)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f
⊢ ∏' (i : ι), f i = 1 ↔ ∀ (x : ι), f x = 1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ dist ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c₁) ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c₂) = dist c₁ c₂ * dist p₁ p₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Iio n
⊢ (⟪gramSchmidt 𝕜 f x✝, f n⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 f x✝‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 f x✝ = ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f x✝})) (f n))
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
x✝¹ : 0 ≤ as.size
x✝ : β
⊢ forIn.loop as f 0 x✝¹ x✝ = forIn (List.drop as.data.length as.data) x✝ f
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
hab : a < b
⊢ Monotone fun N ω => MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ((CategoryTheory.sheafifyComposeIso J U ((CategoryTheory.Functor.const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (Opposite.op t)))).symm ≪≫
        (CategoryTheory.presheafToSheaf J B ⋙ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B).mapIso
          (CategoryTheory.Functor.constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (Opposite.op t)) U)).hom ≫
    ((CategoryTheory.constantSheafAdj J B ht).counit.app ((CategoryTheory.sheafCompose J U).obj F)).val =
  ((CategoryTheory.sheafCompose J U).map ((CategoryTheory.constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)
i : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂.obj P).p.f i =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f i ≫ P.p.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk i))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
x : α
g : α → β
g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))
this : Nonempty α
u : ℕ → α
hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop
Ioi_eq_iUnion : Ioi x = ⋃ n, Ioc x (u n)
n : ℕ
h : x < u n
⊢ AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x (u n)))
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ‖z‖ * ‖z‖ = RCLike.normSq z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
ht' : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) x ∂μ
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Ico s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1
V : Type u
SeminormedAddCommGroup V
⊢ ↑(SemiNormedGrp₁.of V) = V
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ p ^ count p n.primeFactorsList ∣ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
⊢ (SimplicialObject.Split.mk' s).X = X
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z : DirectLimit G f
ind : ι
x✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s✝ : Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i))
a : (i : ι) × G i
s : Multiset ((i : ι) × G i)
ih : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
i : ι
x : G i
j : ι
y : G j
hs : (of G f j) y = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (of G f k) (f i k hik x * f j k hjk y) = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of (⟨i, x⟩ ::ₘ s))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = I ↔ ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
k : ℤ
⊢ ↑n ∣ k → ↑n ∣ k
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
t : Set Ω
⊢ (ProbabilityTheory.cond μ s) (s ∩ t) = (ProbabilityTheory.cond μ s) t
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
b : Set V
hb₁ : b ⊆ t
hb₂ : t ⊆ ↑(span K b)
hb₃ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
⊢ ∃ b ⊆ t, span K b = span K t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_11
B : Type u_13
CommRing R
CommRing B
Algebra R B
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
e : m ≃ n
A : Matrix m m B
⊢ ((Matrix.reindexAlgEquiv R B e) A).det = A.det
G : Type u_1
CommGroup G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(CommGroup.primaryComponent G p) = {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F' f p p'
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
⊢ Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-↑n)
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : 𝒰.J
⊢ (𝒰.pullbackCover f).map x = CategoryTheory.Limits.pullback.fst f (𝒰.map x)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (some a).isSome = true
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A
⊢ a * a * (b * a) = a * a * b * a