ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s q
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
⊢ l.rotateL x Ordnode.nil = l.node' x Ordnode.nil
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (Set.range f)
hf' : ¬Order.IsPredLimit (⨅ i, f i)
⊢ ∃ i, f i = ⨅ i, f i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.101289, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
⊢ φ₁ ≫ b ≫ b' = (a ≫ a') ≫ φ₃
M : Type u_8
N : Type u_9
CommMonoid M
CommMonoid N
⊢ (MonoidHom.inl M N).coprod (MonoidHom.inr M N) = MonoidHom.id (M × N)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum 1 s (riemannZeta s)
z : ℂ
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im < 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
⊢ M.closure (X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I
⊢ (⋂₀ ↑J).Nonempty
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.sum = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ Fintype.card { a // ¬a.IsDiag } = (image Sym2.mk univ.offDiag).card
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a ≤ f b
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ f a ≤ f b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
⊢ StrongConcaveOn s 0 f ↔ ConcaveOn ℝ s f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
S.HasHomology
k : S.cycles ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.toCycles k = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ (S.descHomology k hk) = k
α : Type u_1
l : Filter α
l.NeBot
hl : l.Subsingleton
⊢ ∃ a, l = pure a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : α
⊢ x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) m → x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) n
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a = c * b⁻¹
⊢ a * b = c
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
⊢ {p | ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p} = Set.Ici (⨆ a ∈ s, a • N)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U : OpenAddSubgroup G
⊢ ↑↑U = ↑U
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
u : κ → ι
⊢ UniformEquicontinuousOn (F ∘ u) S
n : ℕ
⊢ Nat.card (ZMod n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
⊢ μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) ≤ μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a : α
e : l.get? n = some a
⊢ a ∈ l
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ s ∪ t \ s = t ∪ s \ t
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : a.isInt = true
⊢ padicNorm p a ≤ 1
a b : Int
⊢ ↑(a.gcd b) ∣ b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.ball x ε ⊆ EMetric.closedBall x ε
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.Productive ↔ ∀ (n : ℕ), (s.get? n).Terminates
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∃ c, IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ (AlgHom.id R A).Finite
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ X.basicOpen (f ^ n) = X.basicOpen f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
⊢ Monotone s.disjSum
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a - x)) c
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ b * a⁻¹ < 1 ↔ b < a
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal = -π / 2 ↔ θ = ↑(-π / 2)
α : Type u_1
l : List α
x : α
l' : List α
hx : List.Duplicate x l
h : l.Sublist l'
⊢ List.Duplicate x l'
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : (QPF.P F).W
⊢ QPF.Wequiv x x
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.x * a₁.y * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
R : Type u
Semifield R
StarRing R
x y : R
⊢ star (x / y) = star x / star y
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + C) l Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Multiset.Rel p (Multiset.map f s) (Multiset.map g t) ↔ Multiset.Rel (fun a b => p (f a) (g b)) s t
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁺ᵐ = 1 ↔ a ≤ 1
a b c d m k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k : ℕ
h1 : 0 < m * k
h2 : m * k < m
hk : k > 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hf : MeromorphicOn f U
⊢ MeromorphicOn (-f) U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
x : H
⊢ HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, E) (↑I) s x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅I, N⁆ = ((toModuleHom R L M).comp (mapIncl I N)).range
n : ℕ
NeZero n
⊢ 1 = 0 ↔ n = 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor T C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.post L R F).map f).right = f.right
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x y : ↥S
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
n : ℕ
⊢ ↑((AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I f) a) n = f (↑a n)
α : Type u_1
DecidableEq α
a b c : α
⊢ {a, b, c}.card ≤ 3
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))
hf : IsField (𝓞 K)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
⊢ b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l) ↔ k ≤ l.castSucc
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ (C a * X ^ n).degree ≤ ↑n
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ l = List.replicate l.length a ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → b = a
α : Type u
⊢ (ofFn fun i => [][↑i]) = []
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)
⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ IsIso ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)
α : Type u_2
LE α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
⊢ ⊥ ≠ ⊤
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
b : OrthonormalBasis (Fin n) ℝ E
v : Fin n → E
⊢ |o.volumeForm v| = |b.toBasis.det v|
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β →. σ
ho : Computable o
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
⊢ Partrec fun a => Option.casesOn (o a) (Part.some (f a)) (g a)
x y z : ENNReal
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x * y⁻¹ ≤ z ↔ x ≤ z * y
α : Type u
s : Set α
t : Set ↑s
⊢ Lean.Internal.coeM t = ↑t
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
⊢ ↑(Submodule.map (↑e) p) = ↑(Submodule.comap (↑e.symm) p)
x : ℤ
h1 : x ^ 2 ≤ 3
h2 : x ≠ 0
⊢ x ^ 2 = 1
α : Type u
f : Ultrafilter α
g : Filter α
hg : (g ⊓ ↑f).NeBot
⊢ ↑f ≤ g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
φ : ℕ → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop φ
hmono : Monotone φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α
⊢ Nat.rec (g a) (fun n IH => h a (n, IH).2) (f a) = (h a)^[f a] (g a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f '' s ≤ᵐ[μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
α : Type u_1
ι : Sort u_3
Countable ι
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ι → Set α
⊢ m (⋃ i, s i) = 0 ↔ ∀ (i : ι), m (s i) = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => g x * f x) k μ
α : Type u_1
Sub α
a b : α
⊢ toLex (a - b) = toLex a - toLex b
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β
⊢ y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f✝ : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
f : ι
l : List ι
h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f✝ c b) (f :: l)).prod) x (𝓝 (List.map a (f :: l)).prod)
n : ℕ
⊢ (filter (fun p => Prime p) (range n)).card = count Prime n
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
hIX : I ⊆ X
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis I X ↔ M.Basis I (M.closure X)
a b : Int
⊢ 0 ≤ a + b ↔ -a ≤ b
m n : Nat
⊢ m < n ↔ m ≤ n ∧ m ≠ n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S ≤ T
x : A
hx : x ∈ S
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
f g : NormedAddGroupHom V W
⊢ f.comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f g) = g.comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
hiu : (i, i') ∉ u
j : ι
j' : ι'
hij : (i, i') ≠ (j, j')
hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
⊢ μ (ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
⊢ (List.Forall₂ r ⇒ List.Forall₂ r ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) List.Perm List.Perm
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
⊢ BoundedOrderHom.dual.symm (BoundedOrderHom.id αᵒᵈ) = BoundedOrderHom.id α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
β' : Type u_6
f : α → β' → γ
g : β → β'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_right_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' b a)
⊢ Option.map₂ f a (Option.map g b) = Option.map g' (Option.map₂ f' b a)
C : Type u₁
Quiver C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ f.unop.op = f
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hyf : y ∈ f.support
⊢ g y (f y) * (Finsupp.erase y f).prod g = f.prod g
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K = ↑(μ.toFun K)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' w✝))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ IntervalIntegrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) volume 0 1 ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
self : CorePresheafOfModules R
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : self.obj X
⊢ (self.map (f ≫ g)) x = (self.map g) ((self.map f) x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ K₂.carrier
⊢ ↑(index (↑K₁) U) ≤ ↑(index (↑K₂) U)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x
⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure
⊢ Integrable f (p.toMeasure.restrict p.support)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
ha : a < 0
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ k • a < 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (IsLocalization.coeSubmodule S I).IsPrincipal ↔ Submodule.IsPrincipal I
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ ((algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv).comp (algebraMap A (FractionRing A)) = ((↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))).comp (algebraMap A (FractionRing A))
R : Type u_1
M : Type u_3
a : R
Monoid R
MulAction R M
ua : IsUnit a
⊢ IsSMulRegular M a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
self : α →C₀ β
⊢ Filter.Tendsto self.toFun (Filter.cocompact α) (𝓝 0)
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsLUB s a
Hb : IsLUB s b
⊢ a = b
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ (List.take n l).length ≤ n
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ multichoose (-↑n) n = (-1) ^ n
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ a ∈ ⊤
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
r : R
ha : (quotientMap I f H) ((Quotient.mk J) r) = 0
⊢ (Quotient.mk J) r = 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
F : Polynomial ℤ_[p]
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑ncs i) (Polynomial.derivative F)‖) Filter.atTop
  (𝓝 ‖Polynomial.eval ncs.lim (Polynomial.derivative F)‖)