ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x
m : Type → Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
p : α → m Bool
as : Array α
start stop : Nat
hstart : start ≤ min stop as.size
tru : Prop
fal : Nat → Prop
h0 : fal start
hp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])
⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM p as start stop)
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]
⊢ p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (Metric.closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (Metric.closedBall x ε)
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
⊢ 1 ≤ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s✝ : Set E
a x y✝ : E
s t : Set E
hst : s ≤ t
y : E
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ y ∈ (fun s => posTangentConeAt s a) t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ diam (s ∪ t)
x y : ℤ
hc : x.gcd y ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
α : Type u_2
Add α
a b : α
⊢ pure a + pure b = pure (a + b)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.InitiallySmall J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w, w, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f₁ f₂ : C(β, γ)
g : C(α, β)
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ f₁.comp g = f₂.comp g ↔ f₁ = f₂
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
X : C
⊢ (e.hom.hom n).app X ≫ (e.inv.hom n).app X = 𝟙 ((F.functor n).obj X)
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
⊢ OpenEmbedding ⇑(Sigma.ι Z a)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : ProperCone ℝ E
⊢ (↑↑K).Pointed
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.CostructuredArrow F.op (Opposite.op d))ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow' F d).map f =
    CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.unop.left.unop ⋯
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
CompleteLattice α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
h_mono : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 (⨅ i, f i))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
⊢ (l.toFilter I).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π}
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e e' : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ e * e' = e'.trans e
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ ((↑(↑↑x 0 0) * ↑(↑↑y 0 0) + ↑(↑↑x 0 1) * ↑(↑↑y 1 0)) * ↑z + (↑(↑↑x 0 0) * ↑(↑↑y 0 1) + ↑(↑↑x 0 1) * ↑(↑↑y 1 1))) * ((↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1)) * (↑(↑↑x 1 0) * ↑(smulAux y z) + ↑(↑↑x 1 1))) = (↑(↑↑x 0 0) * (↑(↑↑y 0 0) * ↑z + ↑(↑↑y 0 1)) + ↑(↑↑x 0 1) * (↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1))) * ((↑(↑↑x 1 0) * ↑(smulAux y z) + ↑(↑↑x 1 1)) * (↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1)))
p : Polynomial ℝ
⊢ p.roots.toFinset.card ≤ ((Polynomial.derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree
⊢ (p + q).degree = q.degree
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
⊢ ¬p ^ (p.maxPowDiv n + 1) ∣ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
s : Set E
g : F → G
t : Set F
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h : Set.MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (g ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 g t (f x)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
r : R
x : M
y : N
⊢ (f (r • x)) y = ρ₁₂ r • (f x) y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : α
⊢ Bornology.IsCobounded s ↔ ∃ r, (Metric.closedBall c r)ᶜ ⊆ s
α : Type u_1
PartialOrder α
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑s = Set.Icc s.toProd.1 s.toProd.2
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ List.lookupAll a l = (List.dlookup a l).toList
x y : ZFSet
⊢ ⋃₀ {x, y} = x ∪ y
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a p ≤ n ↔ ¬(Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ (n + 1) ∣ p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
⊢ normalizedFactors (span {x}) ≤ normalizedFactors P
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I ∅ = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)
⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ (m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
g : L.Embedding N P
f : L.Embedding M N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }
⊢ l.attach.formPerm.cycleOf x = l.attach.formPerm
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.toNatOrdinal (max a b) = max (Ordinal.toNatOrdinal a) (Ordinal.toNatOrdinal b)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
N' : AddSubsemigroup N
x : ↥(AddSubsemigroup.comap f N')
⊢ ↑((f.subsemigroupComap N') x) = f ↑x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
this : MeasurableSpace Ω := ⨆ n, ↑ℱ n
⊢ μ {a | ¬∃ c, Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 c)} = 0
x : Int
m : Nat
⊢ ↑m ∣ x.bmod m - x
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Icc b c = Icc (a - c) (a - b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
⊢ affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A : DiscreteQuotient X
⊢ DiscreteQuotient.map (ContinuousMap.id X) ⋯ = id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
L R : CategoryTheory.Functor C C
adj : L ⊣ R
α : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ L
c : C
⊢ ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj CategoryTheory.Adjunction.id) α).app c =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app (R.obj c)) (adj.counit.app c)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ → L₂.length + 2 = L₁.length
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x) μ
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f 1 ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun f => f i) s' f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : (k • ⇑α) (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β
⊢ Disjoint (a • s) (a • t) ↔ Disjoint s t
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t
⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
a : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ 0 = a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0
⊢ P.IsOrthogonal i j
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)
⊢ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ)) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ closure (s ∩ t) ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) ⊆ closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
c : G
hf : SmoothOn I' I f s
⊢ SmoothOn I' I (fun x => f x - c) s
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g 0))
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
⊢ 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
v : ι → E
⊢ |(e.adjustToOrientation x).toBasis.det v| = |e.toBasis.det v|
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set (Subfield K)
x : K
⊢ (∀ p ∈ s, x ∈ p) ↔ ∀ p ∈ Set.range fun t => ⨅ (_ : t ∈ s), t.toSubring, x ∈ p
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ ↑s.compl = (↑s)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
a : Option α
b : Option β
⊢ (a.bind fun x => b.bind (f x)) = b.bind fun y => a.bind fun x => f x y
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
s : Set α
⊢ s ∈ 𝒜 → sᶜ ∈ 𝒜
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
⊢ Measure.map id (ProbabilityTheory.cond μ s) = ProbabilityTheory.cond μ s
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ a
⊢ a - b ≤ a - c ↔ c ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact α) (𝓝 x)
⊢ UniformContinuous f
θ : Angle
⊢ Real.cos θ.toReal = θ.cos
f fs : Turing.ToPartrec.Code
⊢ (f.cons fs).eval = fun v => do
  let n ← f.eval v
  let ns ← fs.eval v
  pure (n.headI :: ns)
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ hζ.integralPowerBasis'.gen = hζ.toInteger
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ Polynomial.degreeLT R n
⊢ (Polynomial.degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ = 0 ↔ p = 0
M : Type u_1
A : Type u_5
Add M
SetLike A M
hA : AddMemClass A M
S' : A
x y : ↥S'
⊢ x + y = ⟨↑x + ↑y, ⋯⟩
X : AlgebraicGeometry.Scheme
V U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
i : Opposite.op U ⟶ Opposite.op V
CategoryTheory.IsIso i
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = X.basicOpen f
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.id f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.map f)
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
this : setOf p ⊆ ↑(range n)
⊢ ⋯.toFinset.card ≤ n
w : ℂ
h : 0 = 0 → w.re = 0 → w = 0
hw : w.re ≠ 0
⊢ abs (0 ^ w) = 0 ^ w.re / rexp (arg 0 * w.im)
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ B₁.ncard = B₂.ncard
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
⊢ ∀ (x_1 : P), (IsometryEquiv.constVSub x) x_1 = x -ᵥ x_1
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → s ∈ l
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α
⊢ Finite α
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (-a) b = ZMod.χ₄ ↑b * jacobiSym a b
α : Type u
l : List α
i : Nat
⊢ l.eraseIdx i = List.take i l ++ List.drop (i + 1) l
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
TopologicalSpace V
BorelSpace V
TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ Continuous (VectorFourier.fourierIntegral e μ L f)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ ⋯.measurableSpace ≤ hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ (F.mapPresheaf.obj X).presheaf = X.presheaf ⋙ F
G H : AddCommGrp
g : ↑G
⊢ 0 g = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
⊢ ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
s : Set M
hs : s = ↑p
⊢ ↑(p.copy s hs) = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
⊢ lineDeriv 𝕜 f x (-v) = -lineDeriv 𝕜 f x v
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => (f x)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x
⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
V₂ : Set δ
V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W
⊢ ∀ x ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ x' ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ y ∈ V₁ ∩ V₂, ∀ y' ∈ V₁ ∩ V₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this✝ : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
this : IsIso (whiskerRight adj.unit W.Q)
⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ 2 • o.oangle (-x) x = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ ∑ i : { i // N i ≠ ⊥ }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯) = ∑ i : { x // x ∈ hN.toFinset }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯)
a b : Prop
h : a → b
⊢ a ∧ b ↔ a
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
⊢ reindex R s (Equiv.refl ι) = LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
g✝ : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
g : β →ₙ+* γ
f₁ f₂ : α →ₙ+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ f^[n.succ] x = f^[n] (f x)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (Finsupp.total (Products I) (LocallyConstant ↑(C' C ho) ℤ) ℤ (Products.eval (C' C ho))) m = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
⊢ False