ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((const α c).restrict s).lintegral μ = c * μ s
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
One M
One N
FunLike F M N
OneHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
⊢ f x = 1 ↔ x = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
x : E
hf✝ : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
left✝ : 0 < M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
e : E
⊢ ‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) e - (IsLinearMap.mk' f hf) x‖
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
⊢ Function.Injective Submonoid.LocalizationMap.toMap
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : 0 < (head✝ :: tail✝).length
⊢ (head✝ :: tail✝).maximum ≠ ⊥
m n : PosNum
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (fun x => f x ^ n) =o[l] fun x => g x ^ n
m : Type u → Type u_1
α β : Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : m (α → β)
x : m α
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x) = do
  let x_1 ← f
  x_1 <$> x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
⊢ ∀ (s : Set Ω'), MeasurableSet s → MeasurableSet (i '' s)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
S : NonUnitalStarSubalgebra R B
hf : ∀ (x : A), f x ∈ S
x : A
⊢ ↑((NonUnitalStarAlgHom.codRestrict f S hf) x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Antitone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atBot
⊢ μ (Iic a) = ⨆ i, μ (Ioc i a)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
⊢ (f.sqTo j).left = f.prev j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ (n + m)
a : UnitAddCircle
⊢ (HurwitzZeta.hurwitzOddFEPair a).ε = 1
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
f : Fin n → α
⊢ Finset.image f Finset.univ = (List.ofFn f).toFinset
R : Type u_1
Semiring R
x : Rˣ
⊢ ∀ (a : R), (AddEquiv.symm (AddAut.mulLeft x)) a = x⁻¹ • a
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
AddZeroClass M
AddZeroClass N
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
x : M
hx : ∃ y, y + x = 0
⊢ ∃ y, y + f x = 0
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : α → E
hf : Summable f
⊢ ∀ {N : ℕ} {g : α → Fin N → ℝ}, Summable g → Summable fun x => ‖g x‖
A : Type u_1
Field A
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
⊢ minpoly A (x - (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (Polynomial.X + Polynomial.C a)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X
⊢ max (f x * g x) 0 + (-(f x * max (g x) 0) + max (f x) 0 * max (g x) 0) + (-(max (f x) 0 * g x) + max (f x) 0 * max (g x) 0) = -(f x * g x) + max (f x * g x) 0 + max (f x) 0 * max (g x) 0 + (-(max (f x) 0 * g x) + f x * g x + (-(f x * max (g x) 0) + max (f x) 0 * max (g x) 0))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq.leadingCoeff = 4
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ Type ?u.208387
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (a \ b) = OrderDual.toDual b ⇨ OrderDual.toDual a
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
α : Type u_1
i : ι
x : α → G i
⊢ FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f (fun a => FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i (x a)) i ⋯ = x
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ↑ε * ‖y‖
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
⊢ 𝓕 (iteratedDeriv n f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
l : Multiset ℕ
⊢ (Nat.Partition.ofMultiset l).parts = Multiset.filter (fun x => ¬x = 0) l
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp2 : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑(∑ x ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, a * x) =
  ↑(Finset.filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ)).card +
      ↑(∑ x ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, x) +
    ↑(∑ x ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * inverse x * x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set α
t : Set β
⊢ r.image s ⊆ t ↔ s ⊆ r.core t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Embedding g
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
A : Comon_ C
⊢ A.comul = CategoryTheory.Limits.diag A.X
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x => a - x) '' t = s - t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ hA.cfcAux g =
  ↑hA.eigenvectorUnitary * Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) *
    star ↑hA.eigenvectorUnitary
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
self : CategoryTheory.HasProjectiveResolution Z
⊢ Nonempty (CategoryTheory.ProjectiveResolution Z)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
x : α →o β
⊢ ∀ (a : α →o γ) (x_1 : α), ((OrderHom.prodₘ x) a) x_1 = (x x_1, a x_1)
F : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
CompleteLattice α
CompleteLattice β
FunLike F α β
self : FrameHomClass F α β
f : F
s : Set α
⊢ f (sSup s) = sSup (⇑f '' s)
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0
⊢ (finRotate (↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1)).cycleType = {↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
n : ℕ
f_norm_diff : ℕ → α → ℝ := fun i x => ‖f (i + 1) x - f i x‖
hgf_norm_diff : ∀ (n : ℕ), (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f_norm_diff i
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), eLpNorm' (f (x + 1) - f x) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
f : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ f.symm.trans f = LinearEquiv.refl R₂ M₂
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
⊢ l.formPerm ^ l.length = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
⊢ (comap Prod.fst f).NeBot ↔ f.NeBot ∧ Nonempty β
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
⊢ FinitaryExtensive C ↔ IsVanKampenColimit c₀
m n : Nat
⊢ m ∣ n ↔ m.gcd n = m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ a / c ≤ b / c ↔ b ≤ a
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
g : ι → ℝ
a : E
b : ℝ
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ ‖a‖ ≤ b
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
⊢ p = 0 ∧ q = 0 ∨ p = 0 ∧ q = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
α : Type u
Preorder α
s : Set α
h : BddBelow s
⊢ BddAbove (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁴ : Semifield R
inst✝²³ : StarRing R
inst✝²² : MetricSpace R
inst✝²¹ : TopologicalSemiring R
inst✝²⁰ : ContinuousStar R
inst✝¹⁹ : Field S
inst✝¹⁸ : StarRing S
inst✝¹⁷ : MetricSpace S
inst✝¹⁶ : TopologicalRing S
inst✝¹⁵ : ContinuousStar S
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : NonUnitalRing A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : Module S A
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A
inst✝⁹ : SMulCommClass S A A
inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : IsScalarTower R S A
inst✝⁴ : StarModule R S
inst✝³ : ContinuousSMul R S
inst✝² : CompleteSpace R
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)
a : A
ha : p a
⊢ (nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometryEquiv.toIsometryEquiv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommMonoid E
MulAction 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 0 < c
x : E
⊢ c • x ∈ S ↔ x ∈ S
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.coeff 0 = 0
α₁ : Sort u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Sort u_3
β₂ : Type u_4
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
⊢ ∀ (a : α₂ × β₂), (ea.pprodProd eb).symm a = (ea.pprodCongr eb).symm ⟨a.1, a.2⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
n m : ℕ
α : Sort u_1
k : ℕ
f g : Fin k → α
⊢ HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k), f i = g ⟨↑i, ⋯⟩
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux (fun p => f p.2) ((), a) =
  ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
DecidableEq ι
i : ι
x : (i : ι) → s i
u : s i →ₗ[R] t i
⊢ (fun j => (Function.update f i u j) (x j)) = Function.update (fun j => (f j) (x j)) i (u (x i))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
x : R
inst✝ : Away x S
⊢ mk' S (↑⟨x, ⋯⟩) 1 = (algebraMap R S) x
z w : ℍ
⊢ Real.sinh (dist z w / 2) = dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => x) a = a
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ ⊤
hf : ∀ i ∈ s, g < v (f i)
⊢ g < v (∑ i ∈ s, f i)
a b : ℤ
⊢ (Finset.Icc a b).card = (b + 1 - a).toNat
ι : Type u_1
α : Type u_2
π : ι → Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
(i : ι) → OrderedAddCommMonoid (π i)
(i : ι) → SMulZeroClass α (π i)
(i : ι) → FloorDiv α (π i)
f : (i : ι) → π i
a : α
⊢ f ⌊/⌋ a = fun i => f i ⌊/⌋ a
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
x : M₁
hx : x ∈ closedBall 0 1
t : M₂
ht : t ∈ T
htx : v x - t ∈ V
⊢ u x - t = v x - t + -(v - u) x
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i j : ℕ
ih : i ≤ j → approx (⇑f) i ≤ approx (⇑f) j
a✝ : i.le j
⊢ approx (⇑f) i ≤ approx (⇑f) (j + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w :
  ∀ (a : I.L),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (π (I.fstFrom a)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (π (I.sndFrom a))
x : CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicofork.ofπ I P π w).ι.app x =
  match x with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left a => CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (π (I.fstFrom a))
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right b => π b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =O[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⊓ b \ c = (a ⊓ b) \ (a ⊓ c)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
x : Associates ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) =
  ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) ↑(associatesNonZeroDivisorsEquiv.symm x))
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k✝ : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k✝
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')
s : End K V
mem : s ∈ adjoin K {f}
hss : (aeval ⟨s, mem⟩) P = 0
k : ℕ
hk : (ff - ⟨s, mem⟩) ^ k = 0
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0
⊢ ((fun x => x ^ (-s)) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => x ^ s) x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p = 0
⊢ p.mirror = 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A
⊢ x • p₁ * p₂ = x • (p₁ * p₂)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
c : L.Constants
x : Fin 0 → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap c x = ↑c
α : Type u
self : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⊔ a \ b = a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
p : P
⊢ Wbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) ↔ Wbtw R x y z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ a ⇨ b ↔ a ≤ b
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a✝
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
a : 𝕜
⊢ ∃ e, a ∈ e.source ∧ QuotientAddGroup.mk = ↑e
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeAddMagma α
⊢ FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup ((FreeAddMagma.map f) x) = (FreeAddSemigroup.map f) (FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup x)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
f : α →+ β
g h : α
⊢ f (g - h) = f g - f h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x • ↑x = 0
⊢ ∀ x ∈ s, w x = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
x : 𝕜
⊢ (AddCircle.homeomorphAddCircle p q hp hq) ↑x = ↑(x * (p⁻¹ * q))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ (∃ t ∈ la, t ×ˢ t ⊆ {x | (fun x => r x.1 x.2) x}) ↔ ∃ t ∈ la, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, r x y
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.HasShift.Induced.add F s i a b).inv.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((s b).map ((i a).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).inv.app X))
        ((i (a + b)).inv.app X)))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
⊢ (∃ i, IsCompact i ∧ i ∈ f) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : Commute a b
m n : ℤ
⊢ Commute (a ^ m) (b ^ n)
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_2
AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : DirectSum.IsInternal A
⊢ CompleteLattice.Independent A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableOn I I' f s
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
⊢ A.idealOfLE (A.ofPrime P) ⋯ = P
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.rotateRight 0 = l
M : Type u_6
N : Type u_7
Monoid M
Monoid N
h : M ≃* N
x : Mˣ
⊢ ↑((Units.mapEquiv h) x) = h ↑x
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ a * iInf f = ⨅ i, a * f i
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α
hle : idRestrGroupoid ≤ G
⊢ ofSet e.target ⋯ ∈ G
R : Type u_1
Semiring R
f : Module.End Rᵐᵒᵖ R
⊢ (Module.moduleEndSelfOp R).symm f = f 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
J.PreservesSheafification F
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ (CategoryTheory.presheafToSheafCompComposeAndSheafifyIso J F).inv.app X =
  (CategoryTheory.presheafToSheaf J B).map (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.toSheafify J X) F)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f : ℝ → E
hderiv : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x
hint : IntervalIntegrable (deriv f) MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, deriv f y = f b - f a