ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inl
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inl
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ IsPrimitiveRoot (-1) 2
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous G
⊢ ∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → (G ∘ id fun i => ↑(F i)) x ≤ C ^ p.toReal
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s t : Set α
⊢ BddBelow s → BddBelow t → BddBelow (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ s = ⇑e ⁻¹' t ↔ ⇑e '' s = t
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
X Y Z : Type u
f : X ≅ Y
g : Y ≅ Z
⊢ (f ≪≫ g).toEquiv = f.toEquiv.trans g.toEquiv
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj ⋯.some.p) fun a => F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ a) ≫ τ₂ a))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Sub (α i j)
M N : DMatrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M - N) i j = M i j - N i j
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.whisker E c).pt = c.pt
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
StrongRankCondition R
DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ
⊢ (↑A).rank = Fintype.card n
α : Type u
β : α → Type v
⊢ (sum fun i => lift.{v, max u v} #(WType β) ^ lift.{max u v, v} #(β i)) = sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, v} #(β a)
m : ℤ
n : ℕ
⊢ m ∣ ↑n ↔ m.natAbs ∣ n
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Function.Injective f
⊢ StrictMono f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' t ∈ 𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ 0 < a - b ↔ b < a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ EuclideanGeometry.Concyclic ∅
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (UniformSpace.ball x V ∩ s).Nonempty
A : Type u_1
CommRing A
⊢ (RingHom.id A).Finite
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
f : X → E × F
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).swap = ∫ (x : X), (f x).swap ∂μ
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
inj : Function.Injective (map N.subtype)
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
m : F
s t : Set α
⊢ ⇑m '' (s + t) = ⇑m '' s + ⇑m '' t
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
Group G₁
Group G₂
Group.IsNilpotent G₁
Group.IsNilpotent G₂
⊢ Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) = max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂)
G : Type u_2
Group G
Finite G
H : Subgroup G
⊢ commProb ↥H ≤ commProb G * ↑H.index ^ 2
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm.toList x ~r l
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsRefl
⊢ LinearMap.ker B = ⊥ ↔ LinearMap.ker B.flip = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.const abv (x + y) = CauSeq.const abv x + CauSeq.const abv y
R : Type u
NonAssocSemiring R
x : R
s : Set R
⊢ x ∈ Subsemiring.closure s ↔ ∀ (S : Subsemiring R), s ⊆ ↑S → x ∈ S
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
hPf : P (Memℒp.toLp f' hf'_Lp)
g' : α → F := (s_g \ s_f).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg'_Lp : Memℒp g' p μ
hPg : P (Memℒp.toLp g' hg'_Lp)
h_disj : Disjoint (Function.support f') (Function.support g')
⊢ P (Memℒp.toLp f' hf'_Lp + Memℒp.toLp g' hg'_Lp)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
⊢ (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso (𝟙 B)).inv ≫ ⊤.arrow = 𝟙 B
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f‖ = dist f 0
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), 2 ^ k • f (2 ^ k) ≤ f 1 + 2 • ∑ k ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f k
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ ¬n = 2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
h : ∀ (a b c : α), r a b → r a c → ∃ d, Relation.ReflGen r b d ∧ Relation.ReflTransGen r c d
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hac : Relation.ReflTransGen r a c
⊢ Relation.Join (Relation.ReflTransGen r) b c
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇨ a ⊓ b = b
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Function.Injective f
x y : α
⊢ f x < f y ↔ x < y
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : β →*o γ
g : α →*o β
⊢ ↑(f.comp g) = (↑f).comp ↑g
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
s : Finset F
hs : Finset.filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = ∑ x ∈ s, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
a n✝ n k : ℕ
ih : (2 ^ k * n).bitIndices = map (fun x => x + k) n.bitIndices
⊢ map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices = map (fun x => x + (1 + k)) n.bitIndices
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α
a : α
⊢ ↑(LowerSet.Iic a) = Iic a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2) univ
G : Type u_1
AddCommGroup G
A : Finset (G × G)
⊢ (Corners.triangleIndices A).card = A.card
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ≃ W
G : SimpleGraph W
v : V
⊢ (SimpleGraph.Iso.comap f G) v = f v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s ((liftLinear (OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) ⋯) μ)
⊢ ((liftLinear (OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) ⋯) μ) s = μ (f ⁻¹' s)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (TwoSidedIdeal R)
⊢ (sSup S).ringCon = sSup (TwoSidedIdeal.ringCon '' S)
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α
⊢ loopyOn E ↾ R = loopyOn R
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
Invertible 2
a a' b b' : E
ha : a ≤ a'
hb : b ≤ b'
⊢ midpoint k a b ≤ midpoint k a' b'
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option (Option α)
H : ∀ (a : Option α), a ∈ x → ∀ (a_2 : α), a_2 ∈ a → p a_2
⊢ (Option.pmap (Option.pmap f) x H).join = Option.pmap f x.join ⋯
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
hc : g ↑↑ζ = ↑(↑ζ ^ c.val)
⊢ ↑(↑ζ ^ c.val) = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n g).val)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] E
hA : (↑A).IsSymmetric
⊢ IsSelfAdjoint A
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Finset α
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∪ ↑t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∩ ↑t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(hV.linearIsometryEquiv (W₀.sum fun a => ⇑(V a))) = ⇑W₀
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ Part.map f (Part.some a) = Part.some (f a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap (-φ) = -CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) • f') s x
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (NormedSpace.exp 𝕂 x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.max = ↑a
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑((S.leftInvEquiv hS) x) * ↑x = 1
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
⊢ HasFDerivWithinAt f ((toDual 𝕜 F) f') univ x ↔ HasFDerivAt f ((toDual 𝕜 F) f') x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : MeasureTheory.Integrable (deriv f) MeasureTheory.volume
⊢ 𝓕 (deriv f) = fun x => (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ι : Type u_8
μ ν : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.sum μ + MeasureTheory.Measure.sum ν = MeasureTheory.Measure.sum fun n => μ n + ν n
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
e : L ≃ᴸ L'
⊢ e.symm.invLHom = e.toLHom
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}
⊢ Measurable fun x => min (π x) j
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j = ((ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
h : s.erase x = s.erase y
⊢ x ∉ s.erase y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
r : β
s : Set α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
hs : MeasurableSet s
⊢ r ∈ (f.restrict s).range ↔ r = 0 ∧ s ≠ Set.univ ∨ r ∈ ↑f '' s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Set.Ico a b) = {a, b}
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ t ∈ ⋃ a, {Iic ↑a}, (κ x) t = (ρ.condKernel x) t
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ LinearMap.ker (Module.Dual.eval K V) = ⊥
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯
this : Function.Surjective f'
a : ↑(p.rootSet L)
ha : f' a = ⟨b, ⋯⟩
⊢ ∃ a, f a = b
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Nat.count p (n + 1) = Nat.count p n + if p n then 1 else 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ φ (-x) = -φ x
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
Field F
Field K₁
Field K₂
Algebra F K₁
Algebra F K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra K₁ E
Algebra K₂ E
IsScalarTower F K₁ E
IsScalarTower F K₂ E
Normal F E
x : K₁
⊢ (χ.liftNormal E) ((algebraMap K₁ E) x) = (algebraMap K₂ E) (χ x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ (fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose r 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) (r ^ 0)
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n.bit0.size = n.bit0.natSize
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
⊢ IsZero Y ∨ IsZero Z
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
g : N →+ P
f₁ f₂ : M →+ N
⊢ g.comp (f₁ + f₂) = g.comp f₁ + g.comp f₂
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₂.gcd f ∣ s₁.gcd f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Coplanar k (insert p s) ↔ Coplanar k s
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ (x : α), p x → q x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ Measurable (s.rnDeriv μ)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
a' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R
iDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
hxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)
s_eq' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s
t : Finset ι
ht_cover' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h' i))
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
α : Type u
self : Order.Coframe.MinimalAxioms α
a : α
s : Set α
⊢ ⨅ b ∈ s, a ⊔ b ≤ a ⊔ sInf s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.map (AlgHom.id R A) S = S
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
f : R
⊢ ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ x) ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R U) f) =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R ↑x) f
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
⊢ ∃ x, f x = g x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
⊢ ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) ((aeval pb.gen) f) = (AlgHom.id A S) ((aeval pb.gen) f)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ range n, i) * 2 = ∑ i ∈ range n, i + ∑ i ∈ range n, (n - 1 - i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
h : s = Set.univ
⊢ ofSet s = PEquiv.refl α
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
σ : L →ₐ[K] L
x : B
⊢ (algebraMap B L) (((galRestrictHom A K L B) σ) x) = σ ((algebraMap B L) x)
m : Type u → Type u_1
ρ α β : Type u
Monad m
f : ReaderT ρ m (α → β)
x : ReaderT ρ m α
ctx : ρ
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x).run ctx = Seq.seq (f.run ctx) fun x_1 => x.run ctx
X Y : CommGrp
i : X ≅ Y
a : ↑X
⊢ i.commGroupIsoToMulEquiv a = i.hom a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ update f i '' Ioc a (f i) = Ioc (update f i a) f
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp ≤ id m
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
⊢ 1 (m * n) = 1 m * 1 n
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
ι' : Type u_10
Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
⊢ ∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr x) i