ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
⊢ IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' (↑(upperClosure {a}) ∩ ↑(lowerClosure {a})))
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.im (z * w) = RCLike.re z * RCLike.im w + RCLike.im z * RCLike.re w
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
t u : ↑F
htu : ↑t ⊆ ↑u
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this✝ : Nontrivial (Subobject X)
this : IsAtomic (Subobject X)
⊢ ∃ Y, Simple (underlying.obj Y)
α : Type u
Order.Frame α
s t : Set α
⊢ sSup s ⊓ sSup t = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊓ p.2
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
⊢ (ker f.toRingHom).FG
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂
⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  (CategoryTheory.Pseudofunctor.id B).mapComp f g = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' ↑f.graph
⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
n : ℕ
⊢ Finset.univ = Finset.cons (Fin.last n) (Finset.map Fin.castSuccEmb Finset.univ) ⋯
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ ↑(LinearEquiv.det (o.rotation θ).toLinearEquiv) = ↑1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ = 1 - μ s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
⊢ a ≤ Order.pred a ↔ IsMin a
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α
⊢ f (s.inf' hs g) = s.inf' hs (⇑f ∘ g)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E✝ → G
C : ℝ
s : Set E✝
x✝ y✝ : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0
x y : E
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E
⊢ f x = f y
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
⊢ ⇑0 = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ UniqueMDiffWithinAt I t x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
h : Set.InvOn f g t s
hf : Set.BijOn f s t
⊢ Set.BijOn g t s
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
ι : α ↪ β
x : β
hx : x ∉ Set.range ⇑ι
⊢ (e.viaEmbedding ι) x = x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ
m : Products I
⊢ m < l → (eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f)
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ alternatization (a.domCoprod b) = (alternatization a).domCoprod (alternatization b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-f).LimZero
M' : Type u_5
α : Type u_6
MulOneClass M'
SMul M' α
S : Submonoid M'
g : M'
hg : g ∈ S
a : α
⊢ ⟨g, hg⟩ • a = g • a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ Set.SurjOn f s Set.univ ↔ Function.Surjective (s.restrict f)
X : TwoP
a : ((TwoP.swap ⋙ TwoP.swap).obj X).toBipointed.X
⊢ (TwoP.swapEquiv.counitIso.hom.app X).toFun a = a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⋃ s, ↑(I.splitCenterBox s) = ↑I
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ False
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ ↑(Icc a b * Icc c d) ⊆ ↑(Icc (a * c) (b * d))
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite
⊢ IsOfFinOrder a
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y
⊢ (y :: z :: l).prev x h = (z :: l).getLast ⋯
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
n : ℕ
x : α
⊢ (f ^ n) x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x = (b ^ 2 - a ^ 2) / 2
β : Type u_2
α : Type u_4
AddGroup α
AddAction α β
a : α
x : β
⊢ (Equiv.symm ((AddAction.toPermHom β α) a)) x = (Multiplicative.ofAdd a)⁻¹ • x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
⊢ -x ∈ p.ball 0 r ↔ x ∈ p.ball 0 r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ s : Set α
hs : s.Nonempty
t : Set β
a : β
⊢ s ⊆ (fun x => a) ⁻¹' t ↔ a ∈ t
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : x ∈ thickening δ E
⊢ x ∈ cthickening δ E
n k : ℕ
⊢ (n + 1).descFactorial (k + 1) = (n + 1) * n.descFactorial k
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
⊢ Function.Injective v
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ PiTensorProduct.lift (PiTensorProduct.tprod R) = LinearMap.id
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ eLpNorm (s.indicator f) ⊤ μ = eLpNorm f ⊤ (μ.restrict s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[s] x, y ∈ s ∧ (∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V) ∧ (f y, z) ∈ V
y : X
hys : y ∈ s
hFy : ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V
hfy : (f y, z) ∈ V
i : ι
hi : i ∈ (fun x => F x y) ⁻¹' ball (f y) V
⊢ (F i x, z) ∈ id U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.ShortExact ↔ S.unop.ShortExact
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ↑v (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), ↑v (f i)
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, h a 0 = 1
h_add : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, ∀ (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ (f + g).prod h = f.prod h * g.prod h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p.natDegree ≤ n
⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ s \ t ⊆ closure t ↔ s ⊆ closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1
⊢ (dirac a) s ≤ univ.indicator 1 a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s
⊢ (image2 f s t).Finite
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x : WittVector p R
i k : ℕ
⊢ ((⇑WittVector.frobenius)^[i] x).coeff k = x.coeff k ^ p ^ i
M : Type v
α : Type w
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace M
VAdd M α
MeasurableVAdd M α
c : M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => c +ᵥ x) μ μ
α : Type u_1
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x y : α
hy : (Equiv.swap x (f x) * f) y ≠ y
⊢ f y ≠ y ∧ y ≠ x
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
A : Set (X → α)
x₀ : X
hA : A.EquicontinuousAt x₀
⊢ (closure A).EquicontinuousAt x₀
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
⊢ (CompHausLike.pullback.cone f g).pt = CompHausLike.pullback f g
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
hn : n < l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - n < l.length
⊢ l.nthLe (l.length - 1 - n) hn' = l.reverse.reverse.nthLe (l.reverse.length - 1 - n) ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.sup' H f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : C.X 0 ⟶ X
n : ℕ
⊢ ((C.toSingle₀Equiv X).symm f).f (n + 1) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
SemilatticeInf ι
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.CondIndep m' (m i) m₁ hm' μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
h_le' : m₁ ≤ mΩ
hm : Antitone m
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (⨆ i, m i) m₁ hm' μ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x).symm = AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
x y : A
⊢ { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x * { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun y
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ EMetric.diam s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : μ U < μ K + ε / 2
⊢ μ (U ∆ s) < ε
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ Differentiable 𝕜 f ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => f x i
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
hinj : Function.Injective ⇑f
u v : V
⊢ Function.Injective (SimpleGraph.Walk.map f)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / (conts.b * nextConts.b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
⊢ (↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.OfCoimageImageComparisonIsIso.imageMonoFactorisation f).m =
  CategoryTheory.Limits.kernel.ι (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f)
R : Type u
Ring R
StarRing R
z : ℤ
⊢ star ↑z = ↑z
α : Type u_1
t : Ordnode α
h : t.dual.Sized
⊢ t.Sized
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ logb b (x / y) = logb b x - logb b y
D : Type u_3
V : Type u_7
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MeasurableSpace D
BorelSpace D
SecondCountableTopology D
μ : MeasureTheory.Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : SchwartzMap D V
k : ℕ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y₁ y₂ y₃ y'✝ x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption x
h₂ : x₂.IsOption x
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y') → P124 a
⊢ ArgsRel (Args.P24 x₁ x₂ y') (Args.P1 x y')
z : ℂ
hz : ¬z = 0
⊢ |z.im / abs z| ≤ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α
⊢ 𝓟 s ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ (aeval h.root) f = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ ∃ S, Set.Unbounded r S ∧ Ordinal.type (Subrel r S) = (Ordinal.type r).cof.ord
G : Type u
AddGroup G
⊢ Subsingleton (G ⧸ ⊤)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
⊢ Injective fun a => a ^ n
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : MulActionWithZero G₀ α
inst✝³ : MeasurableSpace G₀
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSMul G₀ α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ MeasurableSet (a • s)
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
CommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M → N
hf : Function.Injective f
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).prod h = s.prod fun a b => h (f a) b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
⊢ Disjoint (filter (fun x => x.card = m) (equitabilise h).parts) (filter (fun x => x.card = m + 1) (equitabilise h).parts)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
MulAction M N
IsScalarTower M N N
SMulCommClass M N N
r : M
x : N
n : ℕ
⊢ (r • x) ^ n = r ^ n • x ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {J : Type w} {X Y : C} {f : J → (X ⟶ Y)}, CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizers C
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
⊢ a.get? i = a.data.get? i
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
⊢ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.natTrailingDegree 0 = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ closure (Set.Icc a b) = Set.Icc a b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0
n : ℕ
b : (𝕎 k)ˣ
hb : x = ↑p ^ n * ↑b
⊢ ∃ n, Associated (↑p ^ n) x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
f : unit R ⟶ M
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (M.map f✝) ((fun X => (Hom.app f X) 1) X✝) = (fun X => (Hom.app f X) 1) Y✝
x : ℝ*
hn : x < 0
⊢ x.InfiniteNeg ↔ x.Infinite
i : Nat
c : Char
⊢ 0 < i + c.utf8Size
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|.toNNReal) (μ.restrict s)
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁵ : CommRing 𝒪
inst✝⁴ : IsDomain 𝒪
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra 𝒪 K
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
inst✝ : ValuationRing 𝒪
h : (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
⊢ IsFractionRing 𝒪 K
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set α
⊢ DirectedOn r s ↔ Directed r Subtype.val
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
⊢ ν B ≤ μ (Metric.thickening c.toReal B) + c
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
⊢ Finmap.lookup a s.toFinmap = List.dlookup a s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f j⟫_𝕜 = 0
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
⊢ Ideal.span {↑(Ideal.absNorm I)} ≤ I
X T : TopCat
⊢ ∀ {x : TopologicalSpace.Opens ↑X} (f : ↥x → ↑T), (X.continuousPrelocal T).pred f = Continuous f
R : Type u_1
CommRing R
hR : Ideal.IsJacobson R
⊢ Ideal.IsJacobson (Polynomial R)
A : Type u_4
AddGroup A
S : Subgroup (Multiplicative A)
⊢ ↑((RelIso.symm AddSubgroup.toSubgroup) S) = ⇑Additive.toMul ⁻¹' ↑S