ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)
nextConts_b_ineq : ↑(fib (n + 2)) ≤ pred_conts.b + gp.b * conts.b
⊢ |(-1) ^ n / den'| ≤ 1 / den
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p * q ≠ 0
⊢ (p * q).roots = p.roots + q.roots
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
⊢ (if (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.fst ≤ (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.snd then -1 else 1) = 1
R : Type u
CommSemiring R
p q : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.expand R p) ((Polynomial.monomial q) r) = (Polynomial.monomial (q * p)) r
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M
this : Fintype ι
n : ℕ
e : M → EuclideanSpace ℝ (Fin n)
hsmooth : Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e
hinj : Injective e
hinj_mfderiv : ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
⊢ ∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence.inverse = CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
ht : ContinuousWithinAt f t x
⊢ ContinuousWithinAt f (s \ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
p : NatOrdinal → Prop
i : NatOrdinal
⊢ (∀ (j : NatOrdinal), (∀ k < j, p k) → p j) → p i
α : Type u_1
δ : α → Sort v
DecidableEq α
s : Finset α
a a' : α
b : δ a
f : (a : α) → a ∈ s → δ a
h : a' ∈ insert a s
ha : a ≠ a'
⊢ Finset.Pi.cons s a b f a' h = f a' ⋯
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
⊢ (T.η.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (π i)
a b c : (i : ι) → π i
hab : StrongLT a b
hbc : b ≤ c
⊢ StrongLT a c
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
⊢ CG L N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology β
f : α × β → γ
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), Continuous fun x => f (x, b)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq α
⊢ (s₁ ∩ s₂) • (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ • t₁ ∪ s₂ • t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
⊢ ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b ≤ succ a
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt (x / y) = NNReal.sqrt x / NNReal.sqrt y
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
r : S
⊢ (X + C r).leadingCoeff = 1
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ (colimit.cocone (J.diagram P (unop X) ⋙ F)).ι.app W ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)).hom = (((isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm).hom) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
⊢ spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hg : HasDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => f y + g y) (f' + g') x L
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
⊢ π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion = ↑I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hn : l.Nodup
⊢ σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = σ
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ (ENNReal.ofReal x).log = ↑(Real.log x)
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
⊢ prod.snd ⊚ (f ⊗' g) = g ⊚ prod.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (⇑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L) ∘ f) x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
⊢ (𝓕 fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x)) = fun t =>
  1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + Complex.I * c) ^ 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
h0 : 0 < r
⊢ UniformContinuous f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
⊢ op { carrier := ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ } = op { carrier := ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ }
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
⊢ (CoordinateRing.basis W) 1 = (mk W) Y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ↑n fun y => fderiv 𝕜 f y
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ (spectralRadius ℝ a).toNNReal ∈ spectrum ℝ≥0 a
G : Type u_1
AddGroup G
k : Set G
⊢ AddSubgroup.closure k = ⊥ ↔ k ⊆ {0}
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s t : CategoryTheory.Limits.Trident f
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom t.ι = s.ι := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.ext i w).inv = CategoryTheory.Limits.Trident.mkHom i.inv ⋯
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
⊢ ∑ i_1 : n, ∑ j_1 : m, σ₂ ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) •> σ₁ ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) •> f i_1 j_1 = f i j
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
x✝ : ℍ
⊢ ((c • 1) • f) (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = ((c • 1) • f ∣[k]A) x✝
α : Type u_2
SemilatticeSup α
t : Set α
a : α
⊢ {a} ⊻ t = (fun b => a ⊔ b) '' t
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥F⟮α⟯ ↔ IsSeparable F α
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
X Y : C
this : Zero.zero ≫ Zero.zero = Zero.zero
⊢ Zero.zero = Zero.zero
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α → β
⊢ ↑(Finset.image f Finset.univ) = Set.range f
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Field R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ σₙ R ((cfcₙHom_of_cfcHom R ha) f) = Set.range ⇑f
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : List (L.Term α)
⊢ FirstOrder.Language.Term.listDecode (l.bind FirstOrder.Language.Term.listEncode) = l
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν).rnDeriv (ν.withDensity f)
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
⊢ OrthogonalIdempotents e ↔ (∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)) ∧ ∀ (i j : I), i ≠ j → e i * e j = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
h : ¬LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
⊢ lineDeriv 𝕜 f x v = 0
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
s : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (f '' s)
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this✝ : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
hf_maps_to : MapsTo f s s
c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z
this : c ≤ c / 2
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Zero (α i)
LinearOrder ι
(i : ι) → LinearOrder (α i)
⊢ DFinsupp.Lex.decidableLT =
  DFinsupp.lt_trichotomy_rec (fun {f g} h => isTrue h) (fun {f g} h => isFalse ⋯) fun {f g} h => isFalse ⋯
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
⊢ ⊥.toSubalgebra = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
⊢ Summable fun x => 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k ∈ range (n + 1)
⊢ n + 1 - k = n - k + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α →. β
g : α →. γ
⊢ (f.prodLift g).Dom = {x | (f x).Dom ∧ (g x).Dom}
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ≤ I.lower i
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112708, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.H
n : ℕ
h₁ : 1 < n
h₂ : ¬Prime n
⊢ n ∣ 1 ^ (n - 1) - 1
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
K' : Type u_3
inst✝ : Field K'
p n : ℕ
hp : 1 < p
⊢ (X ^ p - X).natDegree = p
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime x (y + x * z) ↔ IsCoprime x y
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
⊢ g i = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' e.hom h₁ h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
hG : G.CliqueFree 3
hε : 0 < ε
⊢ ¬G.FarFromTriangleFree ε
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
h : α → M → N
⊢ Finsupp.prod 0 h = 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SeqCompactSpace X
x : ℕ → X
⊢ ∃ a φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ prod.snd ≫ prod.snd = prod.snd
ι : Sort u_6
R : Type u_7
M : Type u_8
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
x : M
⊢ (∑ᶠ (i : ι), f i) • x = ∑ᶠ (i : ι), f i • x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
m : M
k : ℕ
⊢ (⇑((LieModule.toEnd R L M) x ∘ₗ (LieModule.toEnd R L M) y))^[k] m ∈ LieModule.lowerCentralSeries R L M (2 * k)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ Disjoint (Submodule.span R (Set.range (u ∘ Sum.inl))) (Submodule.span R (Set.range (u ∘ Sum.inr)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f → QuasiconvexOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ pb.minpolyGen = minpoly A pb.gen
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ p.degree = ↑p.natDegree
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c
⊢ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
Semiring R₁
Semiring S₁
Semiring R₂
Semiring S₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂
⊢ Matrix.toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂
    ((LinearMap.toMatrix₂Aux R (fun i => (LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j =>
        (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
      f) =
  f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
g' : S →ₗ[R] N
⊢ TensorProduct.map f g ∘ₗ LinearMap.lTensor M g' = TensorProduct.map f (g ∘ₗ g')
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
f : M →+ N
y : N →+ P
x : M
⊢ (f.compHom' y) x = y (f x)
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
⊢ (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
a b : ℝ
h : b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => (↑a ^ ↑x).re) b
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ S = {a | IsAtom a}
n : ℤ
⊢ Int.sqrt (n * n) = ↑n.natAbs
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ (∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ
⊢ (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : outParam (A → Prop)
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
self : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
⊢ p a →
  ∃ φ,
    ClosedEmbedding ⇑φ ∧
      φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a ∧
        (∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), σₙ R (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), p (φ f)
α : Sort u
β : Sort v
F : Sort u_1
EquivLike F α β
e : F
x : α
⊢ (↑e).symm (e x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CommSemiring A
s : Set E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => f x i) s
p : MvPolynomial σ A
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.aeval (f x)) p) s
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ Measurable fun x => (x, 1)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
y : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y)‖₊ = ‖y‖₊
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ (univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i)) =ᶠ[ae volume] Box.Icc I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t
⊢ s ⊂ t.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
G : Type u_1
AddZeroClass G
a : G
⊢ (AddEquiv.additiveMultiplicative G).symm a = Additive.ofMul (Multiplicative.ofAdd a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons b s hb } ↔ a ≤ b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
c : 𝕜
hc₀ : c ≠ 0
hc : c • x ∈ s
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (range fun x_1 => (p x_1) (c • x))
⊢ BddAbove (range fun i => (p i) x)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)
⊢ f = g
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
⊢ 0 < (a ^ n.succ).y
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n * Cardinal.continuum = Cardinal.continuum
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ S.W f
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ ⨆ i, f ↑i = ⨆ i, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
CommGroup β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
⊢ IsGroupHom fun a => (f a)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y✝ z : E
h : ConvexOn 𝕜 s f
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
y : E := t.centerMass w p
⊢ ∃ i ∈ t, f y ≤ f (p i)
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : NFA α σ
M : DFA α σ
x : List α
⊢ (∃ S ∈ M.toNFA.accept, S ∈ {M.evalFrom M.start x}) ↔ x ∈ M.accepts
n : ℤ
z τ : ℂ
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2) (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (z, τ)