ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : ↑(LieIdeal.map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ LieIdeal.comap f (LieIdeal.map f I) = I ⊔ f.ker
R : Type u
Semiring R
⊢ Nontrivial R[X] ↔ Nontrivial R
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ insert b s ↔ a = b ∨ a ∈ s
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
h : ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ s
⊢ s.OrdConnected
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = (weight 1) d
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x
Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩
⊢ engel K x ≤ engel K y
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
a : α
b : β
⊢ IsMinFilter (fun x => b) l a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : (A ⊗[R] B) ⊗[R] C ≃ₗ[R] D
h_mul :
  ∀ (a₁ a₂ : A) (b₁ b₂ : B) (c₁ c₂ : C),
    f (((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)) ⊗ₜ[R] (c₁ * c₂)) = f ((a₁ ⊗ₜ[R] b₁) ⊗ₜ[R] c₁) * f ((a₂ ⊗ₜ[R] b₂) ⊗ₜ[R] c₂)
h_one : f ((1 ⊗ₜ[R] 1) ⊗ₜ[R] 1) = 1
x : (A ⊗[R] B) ⊗[R] C
⊢ (Algebra.TensorProduct.algEquivOfLinearEquivTripleTensorProduct f h_mul h_one) x = f x
z : ℂ
hz : z ≠ 0
⊢ Complex.abs z ≠ 0
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
n : ℤ
hn : n ≠ 0
h : n • a = 0
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ n • a = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
K : SimpleGraph V
hp' : ∀ e ∈ (p.transfer H hp).edges, e ∈ K.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).transfer K hp' = p.transfer K ⋯
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ Cardinal.prod f ≠ 0 ↔ ∀ (i : ι), f i ≠ 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
S : Set E
q : ℕ
ExpChar F q
n : ℕ
⊢ IntermediateField.adjoin F S = IntermediateField.adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun sq => sq.map F) X✝).f₁₃ ≫ F.map φ.τ₃ = F.map φ.τ₁ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₁₃
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ OpenEmbedding OnePoint.some
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h :
  ∀ (x y : P.M α),
    R x y →
      (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> MvPFunctor.M.dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> MvPFunctor.M.dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ x = y
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S
⊢ 0 • mk m s = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ dist p1 p2 * dist p1 p2 = dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p2) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p2) + dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p2) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p2)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
c : α
⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Iio c)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
hx : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x
⊢ ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.unitaryGroup ι 𝕜
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Subobject.exists f = CategoryTheory.Subobject.map f
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Nat.card ↑{u | addOrderOf u = n} ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
R S Q : α → β → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β), Q a b → R a b → S a b
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ Q l₁ l₂ → List.Forall₂ R l₁ l₂ → List.Forall₂ S l₁ l₂
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
MulOneClass β
f f' : α → β
hf : HasCompactMulSupport f
hf' : HasCompactMulSupport f'
⊢ HasCompactMulSupport (f * f')
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!
⊢ |a * c ^ p| ≤ ↑⌈|a|⌉ * ↑⌈|c|⌉ ^ p
R : Type u
CommRing R
⊢ ∀ {X Y : AlgebraCat R} (f : X ⟶ Y), (ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverse.map f).hom = AlgHom.toLinearMap f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
R : Type u_2
E : Type u_4
AddGroup E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : AddGroupSeminorm E
x : E
⊢ (r • p) x = r • p x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y W : C
iYW : G.obj Y ⟶ G.obj W
iWX : G.obj W ⟶ X
⊢ ℱ'.val.map { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.lift.op (α.app (op { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.1) (ℱ.map { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.map.op x)) = α.app (op Y) (ℱ.map (iYW ≫ iWX).op x)
α : Type u_1
G : Type u_2
TopologicalSpace G
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderTopology G
f : α → G
TopologicalSpace α
h : Continuous f
⊢ Continuous fun x => |f x|
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
⊢ (((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i ≤ f.totalDegree
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
⊢ (pullbackSpecIso R S T).hom ≫ Spec.map (ofHom includeLeftRingHom) = pullback.fst (Spec.map (ofHom (algebraMap R S))) (Spec.map (ofHom (algebraMap R T)))
α : Type u
⊢ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α = typesGrothendieckTopology.sieves α
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
K : IntermediateField F E
⊢ F⟮α⟯ ≤ K ↔ α ∈ K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)
xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
c w : ℂ
R : ℝ
⊢ CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹) c R ↔ R = 0 ∨ w ∉ Metric.sphere c |R|
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y = Ordering.lt → cmp y z = Ordering.lt → cmp x_1 z = Ordering.lt
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
⊢ e ≠ 0
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h𝒜 : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
⊢ Set.univ ∈ 𝒜
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ (∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i) → s ∈ ⨅ i, f i
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
x y : R
⊢ s ^ (x * y) = (s ^ x) ^ y
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) e
⊢ HasSum (fun n => ((↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) • x.snd) (e • x.snd)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : i ≤ τ ω
⊢ stoppedProcess u τ i ω = u i ω
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
⊢ (MvPolynomial.bind₁ g).comp (MvPolynomial.bind₁ f) = MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.bind₁ g) (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : β → Bool
l : List α
⊢ List.dropWhile p (List.map f l) = List.map f (List.dropWhile (p ∘ f) l)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x
h_eqOn : Set.EqOn 0 (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) (σ ℝ a)
⊢ 0 = (-x) ^ 3
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
t : Set α
h1t : P t
h2t : s ⊆ t
h3t : m t ⋯ < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
⊢ ∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsClopen ↑U
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x y : G
⊢ ConjAct.toConjAct (x * y) = ConjAct.toConjAct x * ConjAct.toConjAct y
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ (f.cycleOf x) y = if f.SameCycle x y then f y else y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
h : a * b = 1
⊢ a ^ n.succ * b ^ n.succ = a ^ n * a * (b * b ^ n)
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ (↑n).toNNReal = ↑n
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ (wittStructureRat p Φ)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) ((bind₁ (xInTermsOfW p ℚ)) (W_ ℚ n))
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarAddMonoid R
Star A
a : A
⊢ IsSelfAdjoint ↑a ↔ IsSelfAdjoint a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).functor.obj X = CategoryTheory.ShrinkHoms.toShrinkHoms X
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term (f ⍟ g) s = fun n =>
  ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), LSeries.term f s (↑b).1 * LSeries.term g s (↑b).2
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : a < 1
hb : b ≤ 1
b0 : 0 < b
⊢ a * b < 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : β × α), f z.swap ∂ν.prod μ = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν
G : Type u_1
α : Type u_3
Countable G
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ (MeasureTheory.fundamentalFrontier G s) = 0
r : ℝ
⊢ ↑(-r) = -↑r
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
prop : (fun n => p ^ n • x = 0) = fun n => Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n
⊢ Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) = Associates.mk p ^ Nat.find ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ (CategoryTheory.Comonad.comparisonForget h).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f
H : ∀ (a : (Quotient.out (succ #ι).ord).α), ∃ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a
g : (Quotient.out (succ #ι).ord).α → ι := fun a => Classical.choose ⋯
hg : Injective g
⊢ succ #ι = #(Quotient.out (succ #ι).ord).α
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b ♯ c = a ♯ (b ♯ c)
α : Type u
l : List α
⊢ List.map Prod.swap l.revzip = l.reverse.revzip
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).right.p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv e.hom.τ₂) h.right.p
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f g : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), (f - g) (x, y) ∂ν ∂μ = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ - ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
h : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x : K
⊢ φ (σ x) = star (φ x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
hp' : 0 < p.toReal
this : 0 < 1 / p.toReal
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
α : Type u
a b : α
s : Set α
⊢ b ∈ insert a s → b ≠ a → b ∈ s
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p
⊢ sumInv {p, q, r} ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ a \ liminf u f = limsup (fun b => a \ u b) f
G : Type u_1
Group G
x : G
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ↑(Submonoid.powers x) = ↑(Subgroup.zpowers x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z
hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hgn : ∀ (z : ℂ), ‖g z‖ = expR (ε * z.re) * ‖f z‖
⊢ ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
⊢ a * b⁻¹ ∈ center M
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, closedBall x δ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ x y : E
⊢ {x, y} ⊆ segment 𝕜 x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoInitial.inv = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s : Set α
z : β
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun _x => z) s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
L : List R[X]
hd : R[X]
tl : List R[X]
ih : 0 ∉ tl → tl.prod.roots = (↑tl).bind roots
H : 0 ∉ hd :: tl
⊢ (hd :: tl).prod.roots = (↑(hd :: tl)).bind roots
m n : ℤ
⊢ m <<< (-n) = m >>> n
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
⊢ (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) ≤ lift.{v, u} (2 ^ #ι)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
h : Int.fract v ≠ 0
⊢ (GenContFract.of v).s.head = some { a := 1, b := ↑⌊(Int.fract v)⁻¹⌋ }
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
γ : Type u_11
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
u : α → γ
hu : UniformInducing u
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ UniformEquicontinuous ((fun x => u ∘ x) ∘ F)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
abcd : (α × β) × γ × δ
⊢ (Equiv.prodProdProdComm α β γ δ) abcd = ((abcd.1.1, abcd.2.1), abcd.1.2, abcd.2.2)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : f.IsSemisimple
⊢ IsSemisimple (LinearMap.restrict f hp)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
h : IsInitial X
⊢ (∀ (i : Empty), IsConnected ((fun x => X) i)) ∧ Finite Empty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
inst✝ : F.NeBot
cobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
⊢ ↑↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf) = MeasureTheory.AEEqFun.mk ↑f ⋯
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ deriv (fun x => Polynomial.eval x p) x = Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p)
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a a' b : E
r : k
ha : a < a'
hr : r < 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < (AffineMap.lineMap a' b) r
n n' : Lake.Name
⊢ n.quickCmp n' = Ordering.eq → n = n'
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 4 / ↑6 < log 2
α : Type u_1
β : Type u_2
Sub β
a b : β
⊢ Function.const α a - Function.const α b = Function.const α (a - b)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
a b : Associates.FactorSet α
⊢ a.prod ≤ b.prod ↔ a ≤ b
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ Subtype.val ⁻¹' Metric.ball 0 1 = {0}
G H : Type u_1 → Type u_1
Applicative G
Applicative H
CommApplicative G
CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
⊢ Multiset.traverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) x =
  Functor.Comp.mk (Multiset.traverse h <$> Multiset.traverse g x)
p : Prop
d : Decidable p
h : toBoolUsing d = false
⊢ ¬p