ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n : M
X Y : C
f : X ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj Y
a a' : M
h : n + a = a'
⊢ F.shiftMap (L.map f ≫ (L.commShiftIso n).hom.app Y) a a' h = (e' a).hom.app X ≫ G.shiftMap f a a' h ≫ (e' a').inv.app Y
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f ⊤ μ
hφ : MeasureTheory.Memℒp φ p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (φ • f) p μ
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u}
g : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o ≠ 0 → f (o.bsup g) = o.bsup fun a h => f (g a h)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
s t : S
⊢ D.tensorProductTo (s ⊗ₜ[R] t) = s • D t
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
TopologicalSpace β
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTopology β
f : α → β
a z : α
r : ℝ
hf : ContinuousOn f (Metric.closedBall a r)
hz : z ∈ Metric.closedBall a r
hf1 : ∀ z' ∈ Metric.sphere a r, f z < f z'
⊢ ∃ z ∈ Metric.ball a r, IsLocalMin f z
d : ℤ
h₀ : 0 < d
⊢ (∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0) → ¬IsSquare d
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
Hs : IsConnected s
Ht : IsConnected t
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
⊢ IsPreconnected (s ∪ t)
α : Type u_2
Zero α
One α
LE α
ZeroLEOneClass α
⊢ 0 ≤ 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
⊢ (InfTopHom.dual f).toSupHom = InfHom.dual f.toInfHom
n : Nat
k : Fin n
⊢ k.succ ≠ 0
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
x : α
⊢ DenseRange fun c => c • x
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233529}
x : α
⊢ 2 ≤ #α ↔ ∃ y, y ≠ x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
P : C
π : Y ⟶ P
w : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₁) π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₂) π
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cotrident.ofπ π w).π = π
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderBot α
SemilatticeInf β
OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
⊢ Disjoint (f a) (f b) ↔ Disjoint a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
⊢ ∀ (f : ℕ → Set (α × β)), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) (f i)) → (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) (⋃ i, f i)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
⊢ (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))
x : ℝ
⊢ Real.exp x ≤ 1 ↔ x ≤ 0
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x y : L
⊢ ((killingForm R L) x) y = (LinearMap.trace R L) ((LieAlgebra.ad R L) x ∘ₗ (LieAlgebra.ad R L) y)
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
y : G
⊢ μ ((fun x => y⁻¹ * x) ⁻¹' s⁻¹)⁻¹ = 0 ↔ μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun a => (a, x))
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : ∀ (v w : V), H.Adj v w → H'.Adj v w
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ H'.Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF
⊢ ((m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val AssocList.nil ⋯).update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).WF
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b
⊢ Order.succ a ≤ Order.succ b ↔ a ≤ b
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
SMul M X
IsometricSMul M X
c : M
⊢ Isometry fun x => c • x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c R n) fun x => w)
  ((2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
U : Set ↑Y
p : IsOpen U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f).obj { carrier := U, is_open' := p } = { carrier := ⇑f ⁻¹' U, is_open' := ⋯ }
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : Submodule.span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ Submodule.span R t
⊢ k • x ∈ Submodule.span R (s • t)
α' : Type u_1
α'' : Type u_2
β' : Type u_3
β'' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
f' : α' → α''
g' : β' → β''
f : α → α'
g : β → β'
⊢ Sum.map f' g' ∘ Sum.map f g = Sum.map (f' ∘ f) (g' ∘ g)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsMin x
⊢ IsMin x.2
R : Type u
CommSemiring R
f g : R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen (f * g) ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
x y : ℤ[i]
⊢ x % y = x - y * (x / y)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
ContinuousConstVAdd V₁ P₁
v : V₁
⊢ ↑(ContinuousAffineEquiv.constVAdd k P₁ v) = AffineEquiv.constVAdd k P₁ v
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (t * s)
β : Type v
PartialOrder β
IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
Nontrivial β
⊢ ∃ a b, a < b
⊢ Real.sin (Real.pi / 4) = √2 / 2
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ (compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₐc[R] B
e₂₃ : B ≃ₐc[R] C
⊢ ∀ (a : C), (e₁₂.trans e₂₃).invFun a = (↑↑e₁₂).symm ((↑↑e₂₃).symm a)
p : ℕ
⊢ ↑(LucasLehmer.ωUnit p) = LucasLehmer.X.ω
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ ≤ c * d⁻¹ ↔ a * d ≤ c * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
sq : CategoryTheory.CommSq t (f i) πX b
⊢ ∃ l,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f i) l =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp t (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πX) ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (CategoryTheory.SmallObject.πFunctorObj f πX) = b
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Nontrivial R
⊢ order 1 = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z = 0
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ orderOf hμ.toRootsOfUnity = orderOf μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) = μ.withDensity 1
h_one : μ = μ.withDensity 1
⊢ AEMeasurable 1 μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
⊢ ‖(toSesqForm f) v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX✝ : tX ∈ tas
hY : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
hX : Continuous id
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
z : ℂ
⊢ Complex.conjLIE z = (starRingEnd ℂ) z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f g : X ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj P
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f P.arrow = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g P.arrow
⊢ f = g
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree
erase : R[X]
herase : map f erase = Polynomial.erase p.natDegree p ∧ erase.degree = (Polynomial.erase p.natDegree p).degree
⊢ (erase + lead).degree = lead.degree
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥
⊢ a ∈ s
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (p.comp (1 - Polynomial.X)) = -(Polynomial.derivative p).comp (1 - Polynomial.X)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, b ≤ u x) → b ≤ limsup u f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure N
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f
    (FirstOrder.Language.Substructure.map f (FirstOrder.Language.Substructure.comap f S)) =
  FirstOrder.Language.Substructure.comap f S
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
l : List α
⊢ (a :: l).Nodup ↔ a ∉ l ∧ l.Nodup
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ 𝓝ˢ (Set.Ioo a b) = 𝓟 (Set.Ioo a b)
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
p1 p2 : Set (Set Ω)
hp1m : ∀ s ∈ p1, MeasurableSet s
hp2m : ∀ s ∈ p2, MeasurableSet s
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hyp : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' p1 p2 μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.generateFrom p1) (MeasurableSpace.generateFrom p2) hm' μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.FinitaryExtensive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan F
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.FinitaryExtensive C
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
hG : ¬G.IsAcyclic
⊢ 3 ≤ G.girth
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
DecidableEq n
Fintype n
P : Matrix n n 𝕜 → Prop
M : Matrix n n 𝕜
hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (Matrix.diagonal D).det = M.det → P (Matrix.diagonal D)
htransvec : ∀ (t : Matrix.TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix
hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), P A → P B → P (A * B)
⊢ P M
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} (f : X ⟶ Y), F.toPseudoFunctor.map f = F.map f.as
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : MeasureTheory.Filtration ι m
self : MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ f
i : ι
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ Memℒp (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
K : CategoryTheory.Pretopology C
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Pretopology.toGrothendieck C K) P ↔
  ∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.coverings X, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
x✝ : LocallyConstant X Z
⊢ comap e.toContinuousMap (comap e.symm.toContinuousMap x✝) = x✝
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V
d : G.Dart
⊢ d.toProd.1 = v ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ G.neighborSet v), G.dartOfNeighborSet v ⟨x, h⟩ = d
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
⊢ LSeriesHasSum (f - g) s (a - b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.X₁ = Opposite.unop sq.X₄
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β
⊢ nndist (f b) (g b) ≤ nndist f g
⊢ UnivLE.{u, v} ∨ UnivLE.{v, u}
c c' : Cardinal.{u_1}
hc' : c' < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toPartENat c ≤ Cardinal.toPartENat c' ↔ c ≤ c'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b \ c ⊔ c \ a ∆ b = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c) ⊔ (c \ (a ⊔ b) ⊔ c ⊓ a ⊓ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
f : ℕ → M
h : Multipliable f
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∏ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 (∏' (i : ℕ), f i))
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
PartialOrder 𝕆
Preorder α
OrderTop 𝕆
OrderTop α
GradeMaxOrder 𝕆 α
⊢ grade 𝕆 ⊤ = ⊤
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
⊢ absNorm ⊥ = 0
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ Ring.multichoose (r + 1) (k + 1) = Ring.multichoose r (k + 1) + Ring.multichoose (r + 1) k
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : (ts.permutationsAux (t :: is)).length + (t :: is).length ! = (ts.length + (t :: is).length)!
IH2✝ : (is.permutationsAux []).length + [].length ! = (is.length + [].length)!
IH2 : (is.permutationsAux []).length + 1 = is.length !
⊢ ((t :: ts).permutationsAux is).length + is.length ! = ((t :: ts).length + is.length)!
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ (interior s) = 𝓟 (interior s)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
⊢ l i = 0 i
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = C (f.coeff 0)
⊢ f.coeff 0 ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ μ ∅ = 0
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
ha : IsGLB s a
⊢ b < a ↔ ∃ c ∈ lowerBounds s, b < c
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
⊢ List.filter (fun x => decide (x < l)) (List.Ico n m) = List.Ico n m
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
hξ : MeasureTheory.Adapted 𝒢 fun n => ξ (n + 1)
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
⊢ MeasureTheory.Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ (k + 1) * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g
s : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
⊢ CategoryTheory.Mono s.inl
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0
⊢ Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (map f p).roots
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.Nodup
⊢ (pmap l.prev l ⋯).length = (l.rotate (l.length - 1)).length
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEMeasurable f (ν.prod μ)
⊢ AEMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
T2Space α
⊢ star (∑' (b : β), f b) = ∑' (b : β), star (f b)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ 0 < (Classical.choose ⋯).nnnorm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ (CategoryTheory.algebraEquivUnder X).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun A =>
      CategoryTheory.Monad.Algebra.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.coprodMonad X).Algebra).obj A).A) ⋯)
    ⋯
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Fintype n
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
⊢ (A * A.transpose).IsDiag ↔ A.HasOrthogonalRows
α✝ : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α✝
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
A : m' → Fin n.succ → α
x : α
v : Fin n → α
i : m'
⊢ (of A *ᵥ vecCons x v) i = (x • vecHead ∘ A + of (vecTail ∘ A) *ᵥ v) i
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.47193
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u u
qc : q.IsCycle
hq : ∀ e ∈ q.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (q.transfer H hq).IsCycle