ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
⊢ Function.LeftInverse e ⇑(algebraMap R₁ R₃)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
ι : Type u_5
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.map f (⨆ i, AddSubsemigroup.comap f (S i)) = iSup S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g g' : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
hg' : EqOn g g' sᶜ
g'_meas : Measurable g'
hι : IsEmpty ι
⊢ Measurable g
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
x : ↥U
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (X.evaluation x) f = 0 ↔ ↑x ∉ X.toRingedSpace.basicOpen f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Set X
⊢ IsClosed A ↔ derivedSet A ⊆ A
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph ({v | const (Fin2 4 → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ({v | v &1 ≤ v &3} ∩ (((fun v => v &2 = const (Fin2 4 → ℕ) 1 v) ∩ fun v => v &3 = const (Fin2 4 → ℕ) 0 v) ∪ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ (fun v => v &7 * v &7 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &8 * v &8 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &4 * v &4 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &3 * v &3 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &1 * v &1 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ((fun v => v &0 ≡ const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]) ∩ ((fun v => v &0 ≡ v &5 [MOD v &4]) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 0 v < v &3} ∩ ((fun v => v &8 * v &8 ∣ v &3) ∩ ((fun v => v &2 ≡ v &7 [MOD v &4]) ∩ fun v => v &1 ≡ v &6 [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]))))))))}}}}})))
⊢ Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D1 D2 : LieDerivation R L L
a : L
⊢ ⁅D1, D2⁆ a = D1 (D2 a) - D2 (D1 a)
R : Type u_1
LinearOrderedAddCommMonoid R
a b : Tropical (WithTop R)
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
⊢ ((UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) f) ((UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) x) = f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (SeparationQuotient X)
x : X
⊢ Filter.map SeparationQuotient.mk (𝓝[SeparationQuotient.mk ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] SeparationQuotient.mk x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
⊢ Function.minimalPeriod (Prod.map f g) x = (Function.minimalPeriod f x.1).lcm (Function.minimalPeriod g x.2)
n : ℕ
⊢ ↑[n] + ↑(List.range n) = n ::ₘ range n
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
⊢ Summable f
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
⊢ ∀ (c_1 : β), (sSup s) (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map (sSup s)) ≤ c_1
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f i a) Filter.atTop (𝓝 (F a))
α : Type u_2
Finite α
⊢ Filter.cofinite = ⊥
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
s n : Nat
step : Nat
h : 0 < step
⊢ List.Chain (fun x x_1 => x < x_1) s (List.range' (s + step) n step)
R : Type u
Ring R
s : Set (Set R)
⊢ Subring.closure (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, Subring.closure t
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ ContinuousAt Inv.inv x ↔ x ≠ 0
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
x : γ
⊢ (fromAddMonoid ((of (fun i => γ →+ β i) i) f)) x = (of β i) (f x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
⊢ ∑ i ∈ range d, ↑d.succ * (↑(d.choose i) * y ^ i) = ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose (k + 1)) * (↑(k + 1) * y ^ (k + 1 - 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |if f x ∈ Set.Ioc (-A) A then f x else 0| ≤ |f x|
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
⊢ w.toList.head? = some ⟨i, w.head⟩
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
⊢ P ≈ Q
α✝ : Type u_1
a : α✝
l₁ l₂ : List α✝
⊢ [a].Disjoint l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂ ↔ ¬a ∈ l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
P : Type u_6
Group P
K : Subgroup P
g : N →* P
f : G →* N
⊢ Subgroup.comap f (Subgroup.comap g K) = Subgroup.comap (g.comp f) K
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
⊢ Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hle : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s ν
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
T2Space β
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
γ : Type u_3
f : γ → C(α, β)
hf : Summable f
x : α
⊢ ∑' (i : γ), (f i) x = (∑' (i : γ), f i) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
h : f =ᶠ[𝓝ˢ s] g
⊢ AnalyticOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 g s
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
⊢ a k' l = 0 k' l
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
f : G →* N✝
H N : Subgroup G
h : H.normalizer ≤ N
⊢ Injective ⇑N.subtype
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : F), IsSolvable (minpoly F ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)).Gal
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ IsLowerSet sᶜ ↔ IsUpperSet s
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Filter.Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ (CategoryTheory.evaluation K C).obj k) j ≫
    (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F k).inv =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j).app k
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
AddCommMonoid N
Module R N
Algebra A B
IsScalarTower A B M
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R A B M N).symm (m ⊗ₜ[R] n) = m ⊗ₜ[A] 1 ⊗ₜ[R] n
α : Type u_7
β : Type u_8
⊢ Sigma.fst ∘ Prod.toSigma = Prod.fst
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.Icc a b = Finset.fin n (Finset.Icc ↑a ↑b)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
t✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
t' : TopologicalSpace β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
t : TopologicalSpace α
U : Set β
⊢ IsOpen U ↔ IsOpen U
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
⊢ f.Disjoint g ↔ _root_.Disjoint f.support g.support
R : Type u_1
A : Type u_2
S : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing S
Algebra R A
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
x : ↥(integralClosure R A)
⊢ ↑(f.mapIntegralClosure x) = f ↑x
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
h : TotallyBounded s
this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
πi₁ πi₂ : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
h : π₁ = π₂
hi : ∀ J ≤ I, πi₁ J = πi₂ J
⊢ π₁.biUnion πi₁ = π₂.biUnion πi₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
x : α
⊢ insert x s \ insert x t = s \ insert x t
a : Int
H : a ≠ 0
⊢ a.div a = 1
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
hs₀ : 0 ∉ s
this : ∀ (P : ℕ → Prop), (∀ n ∈ s, P n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → P n
⊢ (∀ n ∈ s, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n ∈ s, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → γ
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
BorelSpace γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib f (MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f hf) μ μ
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ Order.IsSuccLimit o
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ IsLocalization.mk' (at x) (f.den * f.num) ⟨f.den, ⋯⟩ = (algebraMap A (at x)) f.num
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' Metric.ball b r = Metric.ball (b / a) r
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α
⊢ b + ↑a = c + ↑a ↔ b = c
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
hp2 : p ∣ Int.natAbs 2
⊢ p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
T : Triangle (CochainComplex C ℤ)
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ ((quotient C (up ℤ)).mapTriangle.obj T) n₀ n₁ h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app T.obj₃ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app T.obj₁
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
z' w' : M
x : ↥S
hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'
hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'
this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')
c : M
hc : c ∈ ↑S
eq : c * z' = c * w'
⊢ z = w
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
hb' : b ≠ a
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f a‖
α : Type u
x : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.map id) x = x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0 μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g
K : Type u
Field K
V : Type v
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
⊢ LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ
    ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V) =
  ↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Nontrivial R
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
x : G
⊢ (∃ n, n ≠ 0 ∧ n • x = 0) ↔ x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ LinearMap.mulLeft R a = 0 ↔ a = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ
hzn : 0 ≤ n
hnp : n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑n‖ < 1
⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R : Type u_3
LinearOrder R
MeasurableSpace R
ν : MeasureTheory.Measure R
MeasureTheory.NoAtoms ν
g : α → R
⊢ (fun t => μ {a | t ≤ g a}) =ᵐ[ν] fun t => μ {a | t < g a}
R : Type u_1
AddGroup R
StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x - y)
F : Type u_1
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
x : R
⊢ (RingEquiv.ofBijective f hf) x = f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ WittVector.truncateFun n 1 = 1
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ (mapAlg R S).range
⊢ r • p ∈ (mapAlg R S).range
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
a : G
s : Set α
⊢ a ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
α : Type u_1
s : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a s \ {b}).ncard = s.ncard
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
p : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.cons x p 0 = x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : HasLimits C
X : TopCat
F : J ⥤ Presheaf C X
H : ∀ (j : J), (F.obj j).IsSheaf
c : Cone F
hc : IsLimit c
F' : J ⥤ Sheaf C X := { obj := fun j => { val := F.obj j, cond := ⋯ }, map := fun {X_1 Y} f => { val := F.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }
e : F' ⋙ Sheaf.forget C X ≅ F := NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F' ⋙ Sheaf.forget C X).obj x)) ⋯
⊢ c.pt.IsSheaf
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
⊢ (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
⊢ MapsTo f (invFunOn f s '' t) t
x : ℂ
⊢ Complex.exp x - Complex.cosh x = Complex.sinh x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP p s ≤ Multiset.card s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F G
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone F
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesColimit.preserves t).desc (G.mapCocone c₂) = G.map (t.desc c₂)
p : ℕ
n : ℕ
⊢ padicValNat p n ≤ Nat.log p n
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : MeasureTheory.OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) m ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict t) m'
P : Type u_1
Preorder P
OrderBot P
⊢ Order.Ideal.principal ⊥ = ⊥
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
n : ℤ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ (CategoryTheory.CommSq.LiftStruct.opEquiv sq) l = l.op
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ : IsIso (homologyMap φ i)
hφφ' : IsIso (homologyMap φ i ≫ homologyMap φ' i)
⊢ IsIso (homologyMap φ' i)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑C
l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)
⊢ l.prod x = (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) l).prod
α : Type u
i : ℤ
s : Set α
⊢ (↑i).IsSupported s
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous ⇑UniformFun.toFun
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
x : L
⊢ LieAlgebra.IsRegular R x ↔ (LinearMap.charpoly ((LieAlgebra.ad R L) x)).natTrailingDegree = LieAlgebra.rank R L
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
⊢ (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = 0
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
⊢ (if h : ↑j✝ = ↑j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j✝ = j then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i x) μ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsNilpotent f ↔ X.basicOpen f = ⊥
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1 + 1), ↑((n + 1 + 1).choose k) * bernoulli k = if n + 1 + 1 = 1 then 1 else 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
α : Type u_2
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y
⊢ ∃ e ∈ Y, e ∉ M.closure X
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict s = ν.restrict s ↔ ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → μ t = ν t
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ IsCompact s