ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ (CategoryTheory.ihom.adjunction A).counit = CategoryTheory.ihom.ev A
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c₀ : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₀) (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₁) =
  OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.Prod.apply (OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c₀.zip c₁))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
this : ProperSpace ↥K₁
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
r : R
n : ℕ
⊢ BinomialRing.multichoose r n = Ring.multichoose r n
n : ℕ
IH : n.multichoose 1 = n
⊢ (n + 1).multichoose 1 = n + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
hne : f x ≠ g x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => dist (f y) (g y)) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < 1 - ε ↑(r i x)
X : Type u_1
M : Type u_7
R : Type u_9
ι : Type u_10
TopologicalSpace X
Zero M
SMulZeroClass R M
f : ι → X → M
h : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
s : ι → X → R
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support (s i • f i)
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
⊢ Submodule.map (CliffordAlgebra.map f).toLinearMap (LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q₁)) =
  Submodule.map (CliffordAlgebra.ι Q₂) (LinearMap.range f.toLinearMap)
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Finset α
⊢ (↑s).infsep = 0 ↔ (↑s).Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ ↑(f.restrict s) ⁻¹' t = s ∩ ↑f ⁻¹' t
B : Type u_1
self : CoxeterMatrix B
i : B
⊢ self.M i i = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ (spanPoints k s).Nonempty ↔ s.Nonempty
p : ℕ
K : Type u_1
Field K
FirstOrder.Ring.CompatibleRing K
⊢ K ⊨ FirstOrder.Language.Theory.fieldOfChar p ↔ CharP K p
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p
⊢ n / p ^ n.factorization p = n
n : ℕ
α : Type u_1
f : Fin 0 → α
⊢ (ofFn f).toList = List.ofFn f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Nonempty β
LinearOrder β
Preorder γ
NoMinOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Filter.Tendsto g Filter.atBot Filter.atBot
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l (g ∘ f) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)
this : ∀ (b : ℕ), volume (⋃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, B a b) ≤ ↑(2 * (↑b ^ (1 - r) + ↑b ^ (-r)))
⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0
⊢ C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C p.content * C q.content * (p.primPart * q.primPart)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
A : Action V G
⊢ A.ρ 1 = 𝟙 A.V
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ 0 %ₘ p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
⊢ card m.sym2 = (card m + 1).choose 2
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s t : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ s ⊆ t ↔ ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ s → a +ᵥ b ∈ t
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k
⊢ colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ ManyOneEquiv p q → ManyOneEquiv q r → ManyOneEquiv p r
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
⊢ 0 ≤ ↑y' ^ Fintype.card ι
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
r : R
a : A
⊢ star r ∈ resolventSet R a ↔ r ∈ resolventSet R (star a)
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
⊢ c < #↑S
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
⊢ (univ ℤ n).coeff (Fintype.card n) = 1
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
φ : G →+ H
g : G
⊢ (QuotientAddGroup.kerLift φ) ↑g = φ g
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ((zpowersHom G) g).ker = Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd ↑(orderOf g))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom
    (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.rightOp.comp CategoryTheory.coyoneda) i) =
  CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
⊢ (cons h p).getVert n = p.getVert (n - 1)
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G.Subgraph
⊢ (∀ G' ∈ Set.range fun i => f i, G'.Adj a b) ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b
x y z : ℝ
hx0 : 0 ≤ x
hx1 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
dvd : n ∣ addOrderOf x
⊢ addOrderOf (n • x) = addOrderOf x / n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
j : ι
hj : 0 < n j
⊢ μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T
a x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ 2 / π * angle x y ≤ ‖x - y‖
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)
g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm
h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |↑↑(Equiv.Perm.sign (g.trans e₂.symm)) * (Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
⊢ (splitMany I ∅).IsPartition
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α
⊢ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq)).d (j + 1) j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ (of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯).d (j + 1) j
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
self : CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢ CategoryTheory.IsIso ⊗𝟙
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Unique J
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproductUniqueIso f).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).bicone.π
R : Type u
Ring R
p : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (-p) = -Polynomial.eval x p
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
⊢ cosZeta a (1 - s) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * hurwitzZetaEven a s
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f ↔ Epi ((forget₂ C Ab).map f)
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r
aux : (1 / ↑r) ^ a = 1 / ↑r * (1 / ↑r) ^ (a - 1)
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Gamma a
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
X : CategoryTheory.KleisliCat m
⊢ (CategoryTheory.eq m).functor.obj X = X
o : Ordinal.{u_1}
h : o.IsLimit
⊢ ω ≤ o
α : Type u
l l' l✝ : List α
n m : ℕ
⊢ l✝.rotate (n + m) = (l✝.rotate n).rotate m
ι : Type u_1
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Filter ι
F.NeBot
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
f : R → S
f_decr : Antitone f
a : ι → R
f_cont : ContinuousAt f (Filter.limsup a F)
bdd_above : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F a := by isBoundedDefault
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F a := by isBoundedDefault
⊢ f (Filter.limsup a F) = Filter.liminf (f ∘ a) F
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ o.oangle x (r • x + y) = 0 ∨ o.oangle x (r • x + y) = ↑π ↔ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
⊢ False
α : Type u_1
n : ℕ
s : Finset α
hn : 0 < n
⊢ Finset.powersetCard (s.card + n) s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a = ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν j a x s ∂ν a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
Λ' : F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
h0 : Λ' ≠ 0
hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker Λ'
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ (F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂ = 0
⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m n : Type v
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{u, v} (#m * #n)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
⊢ ¬p ^ (n + 1) ∣ a → ¬p ^ (m + 1) ∣ b → ¬p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
i✝ x✝ : m
⊢ (toLinearMapRight' 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝
n : ℕ
⊢ IsUnit ↑n ↔ IsUnit n
α : Type u_1
f : α → ℝ
x : ℝ
⊢ HasSum (fun x => ↑(f x)) ↑x ↔ HasSum f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
⊢ inst✝² ≤ induced f inst✝¹
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
α : Type u
β : Type v
Preorder α
NoBotOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
l : Filter β
l.NeBot
f : β → α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
a : α
⊢ ¬Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
ι : Sort u
R : Type u_1
CompleteLinearOrder R
f : ι → R
no_greatest_elem : ⨆ i, f i ∉ Set.range f
⊢ ⋃ i, Set.Iic (f i) = Set.Iio (⨆ i, f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Functor.empty C)
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X s.pt
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.rightUnitor P Q).inv =
  Q.lift
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
      (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }))
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Add α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s + ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s + t i
x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n arccos x ↔ n = 0 ∨ x ≠ -1 ∧ x ≠ 1
G : Type u_3
Group G
G' : Type u_5
Group G'
Group.FG G
f : G →* G'
⊢ Group.rank ↥f.range ≤ Group.rank G
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
h : f.Finite
⊢ f.IsIntegral
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus g = (f - g).support
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
H : ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
Z X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Z ⟶ Y
g' : Z ⟶ X
h : IsPullback g' f' f g
hg : P g
⊢ P (pullback.fst f g)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)
⊢ f = g
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup
m n : ℤ
⊢ bitwise (fun a b => a && !b) m n = m.ldiff n
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Icc b c = Icc (a - c) (a - b)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
a : α
b : Bool
⊢ FreeAddGroup.Red.Step ((a, b) :: L₁) L₂ ↔ (∃ L, FreeAddGroup.Red.Step L₁ L ∧ L₂ = (a, b) :: L) ∨ L₁ = (a, !b) :: L₂
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
h : LocallyFinite f
⊢ closure (⋃ i, f i) = ⋃ i, closure (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : R
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => c • f x) (c • f') x L
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
⊢ IntervalIntegrable f μ (min a (b₁ ⊓ b₂)) (max a (b₁ ⊔ b₂))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : π⁻¹ b ∉ σ.support
⊢ b ∉ (π * σ * π⁻¹).support
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → CommRing (G i)
f✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f'✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝⁴ : CommRing P
g✝ : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f✝ i j hij x) = (g✝ i) x
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+* G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toRingHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i
⊢ (congr e he).symm ((of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) g) = (of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) ((e i).symm g)
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
⊢ t.centerMass w z = t'.centerMass w z
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithBot α
⊢ WithBot.unbot' 0 (a * b) = WithBot.unbot' 0 a * WithBot.unbot' 0 b
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Div α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s / ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s / t i j
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ μ ((t \ k) \ (s \ k)) = 0
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
A : Set (Quotient S.toSetoid)
⊢ IsClopen (S.proj ⁻¹' A)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s' → ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x i) s'
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hst : s ⊆ t
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ (convexHull 𝕜) t
z : ℂ
⊢ { re := z.re, im := z.im } = z
c : CliffordAlgebra CliffordAlgebraComplex.Q
⊢ CliffordAlgebraComplex.ofComplex (CliffordAlgebraComplex.toComplex c) = c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ x ∈ toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
⊢ gaussSum χ ψ ^ p = gaussSum (χ ^ p) (ψ ^ p)