ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
⊢ ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m') + ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f (t.piecewise m m') + ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ ‖soln_gen hnorm - a‖ = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
C : Type u_1
C' : Type ?u.14347
D : Type u_6
D' : Type ?u.14353
H : Type u_3
H' : Type ?u.14359
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.14367, ?u.14347} C'
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_6} D
inst✝³ : Category.{?u.14375, ?u.14353} D'
inst✝² : Category.{u_2, u_3} H
inst✝¹ : Category.{?u.14383, ?u.14359} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e✝ : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α'✝ : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W✝ : MorphismProperty C
α' : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
e : RF ≅ RF'
comm : α ≫ whiskerLeft L e.hom = α'
⊢ RF.IsRightDerivedFunctor α W ↔ RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r : ℝ
⊢ y ∈ Metric.ball x r ↔ x ∈ Metric.ball y r
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R (Module.Dual R M)) (Module.Dual.transpose f) = (LinearMap.trace R M) f
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ u * t / t
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ ((algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv).comp (algebraMap A (FractionRing A)) = ((↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))).comp (algebraMap A (FractionRing A))
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m✝ n✝ : ℕ
l : List α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ drop n l <+ drop m l
a : ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ (⨆ i ∈ s, f i) + a = ⨆ i ∈ s, f i + a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₀ F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C C
α : F₀ ⟶ F₁
β : F₁ ⟶ F₂
X : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F₀
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransComp α β).inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.V
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
⊢ ∃ Q_1 NQ_1 PQ, Q_1 ∈ L.age M ∧ NQ_1.comp NP = PQ.comp NQ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
k l : ℕ
h : k + l ≠ Fintype.card ι
x✝¹ : { s // s.card = l }
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm k l ↑x✝¹ ⋯ = 0
z : ℂ
⊢ (z * (starRingEnd ℂ) z).re = (↑(normSq z)).re ∧ (z * (starRingEnd ℂ) z).im = (↑(normSq z)).im
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.sup f) t x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b - d + a - c ≤ b - d + (a - c)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
DecidableEq α
IsAntisymm α r
x : α
xs : List α
hx : x ∈ xs
hxs : List.Sorted r xs
⊢ List.orderedInsert r x (xs.erase x) = xs
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a
b b' : α
hb : b ∈ s
hb' : b' ∈ s
hne : b ≠ b'
⊢ False
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ ⇑f.toAlgHom = ⇑f
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Ici y)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p
i j : n
hpij : p i = p j
hij : i ≠ j
⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter f f' x L ↔ (fun x' => f x' - f x - (x' - x) • f') =o[L] fun x' => x' - x
α : Type u
AddGroup α
s : Set (AddGroupTopology α)
⊢ (sInf s).toTopologicalSpace = sInf (AddGroupTopology.toTopologicalSpace '' s)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ ¬(x = 0 ∧ 1 = 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
y : β
⊢ IsLUB {x | g x ≤ fb y} (fa (g' y))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ (∀ (r : R), C r ∣ p → IsUnit r) ↔ IsUnit p.content
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ IsUnit r
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys))).minimum
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
i : ℕ
h : i ≠ n
⊢ (p.update n a).coeff i = p.coeff i
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ENNReal
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
⊢ c ≤ (Set.univ.pi s).einfsep
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubsemiring.closure s ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
⊢ ∀ (x_1 : α), (x, x_1) ∉ xs.zip ys
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)}) = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
hd : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, Multipliable (f ∘ Subtype.val)
⊢ ∏' (x : ↑(⋃ i ∈ s, t i)), f ↑x = ∏ i ∈ s, ∏' (x : ↑(t i)), f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
PriestleySpace α
x y : α
h : ¬x ≤ y
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ IsLowerSet U ∧ x ∉ U ∧ y ∈ U
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α ↔ CompleteLattice.IsSupClosedCompact α
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.inits.tail = Stream'.initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
n : ℕ
⊢ Nat.pair (Nat.unpair n).1 (Nat.unpair n).2 = n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
f : α → E
f_intble : MeasureTheory.Integrable f μ
s : Set α
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ.restrict s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ DifferentiableOn 𝕜 Neg.neg s
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
⊢ (List.take n l).get? m = if m < n then l.get? m else none
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
x : FreeAddMonoid (M ⊕ N)
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g) (AddMonoid.Coprod.mk x) = (FreeAddMonoid.lift (Sum.elim ⇑f ⇑g)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
p : ℤ
φ : F ⟶ G
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ 0 p (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) = 0
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.lcoeff R n) f = f.coeff n
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel' f g w ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso g).inv =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso f).inv ≫ imageToKernel f g w
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.refl R E) = id
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Set α
Fintype ↑(insert a s)
Fintype ↑s
⊢ (insert a s).toFinset = insert a s.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
g : α →ₛ γ
b : β
c : γ
⊢ ↑(f.pair g) ⁻¹' {b} ×ˢ {c} = ↑f ⁻¹' {b} ∩ ↑g ⁻¹' {c}
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - min a b = a - b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
W : C
k : Y ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g k
⊢ ∃! d, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) d = k
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ⊆ ↑I
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
a : R
⊢ (X + C a).Separable
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α
⊢ s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 (n + 1) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)
α : Type u
β : Type v
s : Set β
f : α ↪ β
h : s.Finite
⊢ (⇑f ⁻¹' s).Finite
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a : ι → α
A : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioi A)) l fun i => Set.Ioi (a i)
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, f i + ∑ i ∈ Finset.Ico n k, f i = ∑ i ∈ Finset.Ico m k, f i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioc (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f N x ∂μ
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b x : α
⊢ (Equiv.swap a b) x = if x = a then b else if x = b then a else x
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
R' : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R'
Semiring A
(i : ι) → Module A (M₁ i)
DistribMulAction R' M₂
Module A M₂
SMulCommClass A R' M₂
f : MultilinearMap A M₁ M₂
c : R'
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (c • f) m = c • f m
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
⊢ |(μ t).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| ≤ ↑ε
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
i : (ℕ × ℕ) × ℕ
⊢ map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2)) = (sFiniteSeq μ i.1.1).prod ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2))
R : Type u_1
CommRing R
Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
⊢ ↑↑n = ↑↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.map f).f n =
  (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX Y n).factorThru
    ((AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow ≫ f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk n))) ⋯
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
⊢ (b + 2).digitsAux ⋯ (x + (b + 2) * (n✝ + 1)) = x :: (b + 2).digitsAux ⋯ (n✝ + 1)
α : Type u
s : Set α
⊢ s = ∅ ∨ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Iic a = Iic (e a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
this : (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X = 𝟙 (X.X ⊗ N.X)
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ 𝟙 (X.X ⊗ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangle.obj₁ = Z₁₂
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
⊢ (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (sum fun p => (map f (sFiniteSeq μa p.1)).prod (map g (sFiniteSeq μc p.2))) = sum fun i => map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b
V₂ : Set β
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b
V₂_op : IsOpen V₂
hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b
α : Type u_9
β : Type u_10
Fintype α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
DecidablePred p
⊢ ∑ i : { x // p x }, f ↑i + ∑ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∑ i : α, f i
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)
h_disjoint : univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i
x y : α
h : hs.piecewise f x = hs.piecewise f y
⊢ ¬Disjoint (f (hs.index x) '' s (hs.index x)) (f (hs.index y) '' s (hs.index y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s✝ : Set α
f : ι → α
a : α
s : Set α
hs : BddAbove s
hne : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a✝ b✝ c a b : ℍ[R]
⊢ normSq (a + b) = normSq a + (a * star b).re + ((b * star a).re + normSq b)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ Stream'.WSeq.map f s ~ʷ Stream'.WSeq.map f t
ι : Sort u_1
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a
⊢ g * iSup h ≤ a
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan @RingHom.FiniteType
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ (map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l
c : Char
⊢ (String.utf8EncodeChar c).length = c.utf8Size
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hsA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ s → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
htA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ t → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
hs : card s = n
ht : card t = n
⊢ (map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod ↔ s.prod = t.prod
s t : Set ℝ
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s ×ℂ t)