ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q / x) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter Neg.neg (-1) x L
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf) = MeasureTheory.Memℒp.toLp (↑f) hf
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
⊢ (Filter.pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s)).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (starRingEnd ℂ) ((fourier i) x) * (fourier j) x ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
⊢ m = n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).caratheodory
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
⊢ IsNilpotent (P * X) ↔ IsNilpotent P
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingRight
⊢ ker B.flip = ⊥
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal (n + 1) =
  Finset.cons (0, n + 1)
    (Finset.map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ))
      (Finset.antidiagonal n))
    ⋯
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioo ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Ioo a b)
α : TypeVec.{u} 0
ps : α.Arrow (TypeVec.repeat 0 Prop)
⊢ TypeVec.subtypeVal ps = TypeVec.nilFun
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
⊢ ∅.finsuppAntidiag 0 = {0}
n : ℤ
⊢ n.negOnePow = -1 ↔ Odd n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
⊢ ↑(CauSeq.const abv x) = Function.const ℕ x
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j k)
        (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g j i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density κ.fst a x (seq n)) (κ.fst a)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 50 * 2 / ε ^ 5 ≤ ↑m + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
MulAction α β
c : α
x : β
Invertible c
⊢ ⅟c • c • x = x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
this : HasCoproduct X
h : (Pi.lift fun i => F.map (c.inj i).op) = F.map (Pi.lift fun i => (c.inj i).op) ≫ piComparison F fun i => op (X i)
⊢ (piComparison F fun x => op (X x)) = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Pi.lift fun i => F.map (c.inj i).op
R : Type u
CommRing R
M N P : ModuleCat R
f : N ⟶ P
g : ↑(ModuleCat.of R (M ⟶ N))
⊢ ((CategoryTheory.ihom M).map f) g = g ≫ f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
x✝ : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (update f x y) s x ↔ Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
⊢ I ≤ J ↔ ↑I ⊆ ↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
self : DenseEmbedding e
⊢ Function.Injective e
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
n' : Type u_7
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
Semiring A
Module R A
Fintype n
DecidableEq o
e₁ : o ≃ n
e₂ : o ≃ n'
M : Matrix m n A
⊢ M * (Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) 1 = (Matrix.reindexLinearEquiv R A (Equiv.refl m) (e₁.symm.trans e₂)) M
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₁ ≤ π₂
⊢ π₁.iUnion ⊆ π₂.iUnion
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι
⊢ length 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ≃ β
s : Set α
⊢ ⇑f '' sᶜ = (⇑f '' s)ᶜ
l r : List Char
⊢ ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
α : Type u_1
LT α
a : WithBot α
⊢ ¬a < none
n m : ℕ
⊢ Ordnode.Raised n m ↔ n ≤ m ∧ m ≤ n + 1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y
⊢ ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) c)⁻¹ * g ↑c * g x = g y
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
y : α
hy : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist y E
⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ edist x y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Prod.snd
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.coeff p.natDegree = p.leadingCoeff
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ↑((orthogonalProjection K) v) = ↑0
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (x + y) = WittVector.mapFun (⇑f) x + WittVector.mapFun (⇑f) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
hu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
hgu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault
hgu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault
⊢ g (Filter.limsup u f) = Filter.limsup (fun x => g (u x)) f
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M
⊢ (∃ x_1 c, ↑(c * x_1.2) * x = ↑c * ↑x_1.1) ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).card = s.card + t.card - (s ∩ t).card
α : Type u_1
s : Set (Setoid α)
⊢ sSup s = EqvGen.Setoid (sSup (Setoid.Rel '' s))
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
⊢ 0 ∈ spectrum R ↑a
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ f^[Function.minimalPeriod f x] x = x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
⊢ Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Ioo (f p.1) (g p.1)} (μ.prod MeasureTheory.volume)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
hc : 1 - a.coeff f.natDegree * b.coeff 0 = ∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x)
⊢ IsUnit (∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x) - 1)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => (↑n + a) ^ 1 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable f
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Set.Iic x = Set.Ioc ⊥ ↑x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
l : List ℕ
⊢ Nat.sum l = l.sum
R : Type u
Ring R
⊢ (Subring.center R).toSubsemiring = Subsemiring.center R
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
x : α
s : Set α
h : x < sInf s
hs : BddBelow s
⊢ x ∉ s
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b c : E
⊢ ‖a * b * c‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖ + ‖c‖
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
⊢ Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
hs : a ∉ s
ht : a ∉ t
⊢ cons a s hs ⊆ cons a t ht ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t₁ t₂ : Set β
⊢ f ⁻¹' s.ite t₁ t₂ = (f ⁻¹' s).ite (f ⁻¹' t₁) (f ⁻¹' t₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
self : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
    ∀ (a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁) (b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂),
      T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ →
        ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
a b : Bool
⊢ ((a && b) = true) = (a = true ∧ b = true)
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, (B.basis.repr ((B.basis.repr x) k.1 • B.basis k.1 * (B.basis.repr y) k.2 • B.basis k.2)) i)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = ⨍ (x : ℝ) in b..a, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0
⊢ ∀ (i : m), ¬¬p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a / c ≤ b ↔ a ≤ b * c
o : ONote
⊢ o.FundamentalSequenceProp (Sum.inl none) ↔ o = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = (tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f = CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ Metric.diam s = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂ → x i ∈ t₁ i ∧ x i ∈ t₂ i) ↔ (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj
⊢ 𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) (α.app a ≫ β.app a)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (optionEquivRight R S₁) (X none) = C Polynomial.X
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
f : M → B
g : M → F
x : M
hf : ContMDiffAt IM IB n f x
hg : ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F) n g x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ Computation.map (fun x => Prod.fst <$> x) (s.drop n).destruct
s' : WSeq α
sd : some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct
⊢ ∃ b, b ∈ t ∧ R a b
n : ℕ
⊢ StrictMono Fin.castSucc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[Filter.atTop] fun x => a ^ x
⊢ ↑r < p.radius
α : Type u_1
l : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l∗ ↔ ∃ L, x = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l
G : Type u_1
α : Sort u_4
SubtractionCommMonoid G
f : α → G
⊢ ∑ᶠ (x : α), -f x = -∑ᶠ (x : α), f x
p : ZFSet → Prop
x y✝ y : ZFSet
IH : ∀ y_1 ∈ y, Hereditarily p y_1 → p ∅
h : Hereditarily p y
a : ZFSet
ha : a ∈ y.toSet
⊢ p ∅
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ s / 2 ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.EndMonoidal (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.star C)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctor C).map f = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
f g : Y ⟶ X
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
⊢ Filter.comap f (Bornology.cobounded β) ≤ Bornology.cobounded α
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
R : Type u_1
CommSemiring R
f g : PowerSeries R
⊢ (f * g).derivativeFun = f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)
⊢ ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (s.sup m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ p '' s), (convexHull 𝕜) ↑t
hp : Injective p
⊢ x ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.X₃ = S.L₃.X₁
n : ℕ
⊢ 0 ≤ Real.sqrtTwoAddSeries 0 n
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : w = z ∧ u = x ∨ w = x ∧ u = z
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
β : (projectiveResolution X).complex ⟶ P.complex
hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map β = P.iso.hom
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v u
⊢ p.concat h ≠ SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → EReal}, Measurable f → Measurable fun x => (f x).exp
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ IsOpen {a}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ (H.mapCocone c).ι.app j = H.map (c.ι.app j)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x)
⊢ IsFixedPt f x
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ (f y * (z - y) + f y * (y - x)) / ((y - x) * (z - y)) < (f x * (z - y) + f z * (y - x)) / ((y - x) * (z - y))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hij ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ j = 0