ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
R : Type u
CommRing R
n k : ℕ
c : R
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] ((Polynomial.X - Polynomial.C c) ^ n) =
  n.descFactorial k • (Polynomial.X - Polynomial.C c) ^ (n - k)
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
AddMonoid α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 0 < ε → a < b + ε
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.fst R A B).prod (NonUnitalStarAlgHom.snd R A B) = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
hsurj : Function.Surjective ⇑f
s : Set F
⊢ closure (⇑f ⁻¹' s) = ⇑f ⁻¹' closure s
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊓ y) \ z = x \ z ⊓ y \ z
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
CharP R n
k : ℤ
⊢ (↑k).cast = ↑k
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ lowerBounds s ↔ ∀ x ∈ s, a ≤ x
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
h' : f' =Θ[l'] g'
⊢ f' =Θ[l ⊔ l'] g'
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α → β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := ⋯ }
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
ts : t ⊆ s
ho : IsGδ t
hd : Dense t
⊢ s ∈ residual X
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactSpace (X × Y)
⊢ Continuous (Function.uncurry fun x y => (Function.uncurry (fun x y => x.curry y) x) y)
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : r ∈ ω.tt ![![a, b], ![b, a]]
⊢ f ![a, b] < f r
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
⊢ ∑ x ∈ s, f x = 0 ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
⊢ (normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x + ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • -g)
n : ℕ
G : Type u_3
AddGroup G
f : Fin (n + 1) → G
⊢ (f 0 +ᵥ Fin.partialSum fun i => -f ↑↑i + f i.succ) = f
T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ ↑(AddCircle.toCircle 0) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) ≤ ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ (e.inverse.map (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det = -f.toBasis.det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x + n • c) = (-1) ^ n • f x
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ (l₁ - l₂).const = l₁.const - l₂.const
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
⊢ x = y
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y
⊢ r' x y
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ ∀ (a : (S →₀ S) ⧸ (KaehlerDifferential.kerTotal R S).toAddSubgroup),
  (KaehlerDifferential.quotKerTotalEquiv R S) a =
    (QuotientAddGroup.lift (KaehlerDifferential.kerTotal R S).toAddSubgroup
        (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(KaehlerDifferential.D R S)).toAddMonoidHom ⋯)
      a
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s
⊢ Disjoint v a
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g
⊢ P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : PosMulMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
h1 : a < c
h2 : b < d
h3 : 0 ≤ a
h4 : 0 ≤ b
b0 : 0 = b
⊢ a * b < c * d
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
⊢ ∀ (b : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) b = a ^ ω * b
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
x y : M
⊢ e x = e y ↔ x = y
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
s : Set α
⊢ f (sInf s) = ⨅ x ∈ s, f x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f = g
h : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom η) h = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Set (StarSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑⊥ = Set.range ⇑(algebraMap R A)
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^< max b c = max (a ^< b) (a ^< c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableOn I J f s
G : Type u_3
InvolutiveInv G
⊢ Function.RightInverse (fun a => a⁻¹) fun a => a⁻¹
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
c : F
hq_pos : 0 < q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Fintype.card { a // ¬a.IsDiag } = (Fintype.card α).choose 2
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
self : LieRingModule L M
x : L
m n : M
⊢ ⁅x, m + n⁆ = ⁅x, m⁆ + ⁅x, n⁆
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 0) (↑0 * x ^ (0 - 1)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ a b comm).hom₁ = a
e : ℂ → ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => (e ↑x).re) z
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
ε' : ℝ
hε' : 0 < ε'
ha : a * ε' < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
α : Type u_1
M : Matroid α
R : Set α
⊢ (M.restrict R).E = R
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
⊢ ∀
  {X Y :
    CategoryTheory.InducedCategory AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace}
  (f :
    (CategoryTheory.inducedFunctor AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace).obj X ⟶
      (CategoryTheory.inducedFunctor AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace).obj Y),
  AlgebraicGeometry.Scheme.fullyFaithfulForgetToLocallyRingedSpace.preimage f = f
x y : PUnit.{1}
⊢ x / y = PUnit.unit
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (-2) = -1
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.tail = Stream'.drop 1 s
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
h : c ≠ 0
hab : a * c ≤ b
⊢ a ≤ b * c⁻¹
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → 𝕜
⊢ ∫ (x : X), (starRingEnd 𝕜) (f x) ∂μ = (starRingEnd 𝕜) (∫ (x : X), f x ∂μ)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ Filter.IsBounded r (𝓟 s) ↔ ∃ t, ∀ x ∈ s, r x t
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
hg : IsCauSeq abv g
⊢ IsCauSeq abv (f * g)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∃ g, S = {g}) → IsComplement S univ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω < upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsClopen (f i j)
⊢ IsClopen (⋂ i, ⋂ j, f i j)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ↔ x < y ∨ x.Fuzzy y
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Finset.Icc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ HasDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasDerivWithinAt f f' s x
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ limsup s f ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
x : ↑Y
⊢ (SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc cond) ((SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f) x) = g x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
⊢ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ polar (⇑Q) x x = 2 • Q x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
NonAssocSemiring γ
Preorder γ
f : β →+*o γ
g : α →+*o β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u
AddGroup α
Infinite α
g : α
h : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
⊢ addOrderOf g = 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
hwf : w ≫ f = 0
n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt
hn : 0 = w
this : IsIso (coequalizer.π u v)
⊢ u = v
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R (-n - 1) = -U R (n - 1)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ 2 ∣ n.pred.succ.centralBinom
α : Type u_2
Lattice α
self : IsLowerModularLattice α
a b : α
⊢ a ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ b
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑Additive.toMul
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hn : ¬n = 0
hm : ¬m = 0
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ (multiplicity p m).get ⋯ ∣ n
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ j ∉ Finset.univ → (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
b : α
P : (a : α) → Relation.ReflTransGen r a b → Prop
a : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
refl : P b ⋯
head : ∀ {a c : α} (h' : r a c) (h : Relation.ReflTransGen r c b), P c h → P a ⋯
⊢ P a h
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasLocalization
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.HasLocalization.L.IsLocalization W
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
a : α
⊢ closure {a} = Set.Ici a
α : Type
Finite α
B : Profinite
X : α → Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ [CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π, CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π),
    ∀ (b : ↑B.toTop), ∃ a x, (π a) x = b].TFAE
α : Type u_1
Div α
a b : α
⊢ toLex (a / b) = toLex a / toLex b
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
⊢ Ideal.absNorm ⊥ = 0
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.δ.app (D.obj j).A = lambda c t ≫ T.map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).symm.trans (Z.localTrivAsPartialEquiv j) ≈ (Z.trivChange i j).toPartialEquiv
M G : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Group G
x y : SingleObj G
f : x ⟶ y
⊢ f ≫ f⁻¹ = 𝟙 x
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)
⊢ ((autAdjoinRootXPowSubCEquiv hζ hn H) η) (AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)) =
  ↑↑η • AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
⊢ ((if p i then f i else 0) + if ¬p i then f i else 0) = f i
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ (QuadraticMap.pi Q) x = ∑ i : ι, (Q i) (x i)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b ≤ o.nfpBFamily f a) ↔ b ≤ o.nfpBFamily f a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblXYZ P = P x ^ 2 • ![1, 1, 0]
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
P : Polynomial R
x : A
⊢ D ((Polynomial.aeval x) P) = (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P) • D x
p : Fin 0 → Type u
τ : Type u
t : τ
⊢ Function.FromTypes.const p t = t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Zero β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).indicator f a) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => (Set.iUnion s).indicator f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ i
h₁ : f ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.fstX φ i j hij = g ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i = g ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i
⊢ f = g
α : Type u_2
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ + t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ + t₁ ∪ (s₂ + t₂)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e : ℝ
⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → logb b a ≤ e
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
⊢ s.lcm ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, b ∣ a
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1
⊢ f x ≠ 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
H : WellFounded r
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ H.min s h ∈ s
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs₂ : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ gauge s x < 1
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
h0 : 0 < k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k
ξ : Rˣ
hξ : ↑ξ ^ k = 1
⊢ ∃ i < k, ↑ζ ^ i = ↑ξ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (r + q)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r
⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.114018, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ rightHomologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ rightHomologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.H
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
hp0_inv_lt : 0 < 1 / p
⊢ ⊤ = (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).OrdConnected