ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ p ∈ univ.pi fun x => univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i : n, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
g : N ↪ₑ[L] P
h : P ↪ₑ[L] Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P Q R : C
f : P ⟶ R
g : Q ⟶ R
p : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P
q : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement Q
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f p = CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g q →
  ∃ s,
    CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) s = p ∧
      CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) s = q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C} (α : X ⟶ Y),
  (Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.laxMonoidalToMon C).map α =
    ((CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.mapMonFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C).map α).app
      (Mon_.trivial (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ CategoryTheory.IsIso (K.pOpcycles j)
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
n✝ : ℕ
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
⊢ (↑(finSuccEquiv R n).symm).comp (Polynomial.C.comp C) = C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (ρ_ X).hom ▷ 𝟙_ C
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : Cochain F G n
⊢ z ∈ cocycle F G n ↔ δ n (n + 1) z = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens
i : D.J
y : D.U i
⊢ ∃ i_1 y_1, (Sigma.ι D.diagram.right i_1 ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y_1 = D.π ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).inv ⟨i, y⟩)
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
h : x ∈ [y]
⊢ [y].next x h = y
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)
⊢ False
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I' : C
e : X ⟶ I'
m : I' ⟶ Y
comm : e ≫ m = f
inst✝¹ : StrongEpi e
inst✝ : Mono m
⊢ (StrongEpiMonoFactorisation.mk (MonoFactorisation.mk I' m e ⋯)).toMonoIsImage.lift (Image.monoFactorisation f) ≫ ι f = m
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
⊢ (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)) → ((I ⊆ X ∧ (∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ∧ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E) ↔ (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = (κ'.fst ⊗ₖ η).comapRight h_prod_embed
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X).mor₃ = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ X.toModuleCat ≫ (α_ X.toModuleCat X.toModuleCat X.toModuleCat).hom
n : ℕ
⊢ (antidiagonal n).length = n + 1
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n = 1
⊢ χ = 1
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
⊢ Substructure.map f.toHom ((closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t)) = Substructure.map f.toHom s
k : Type u_2
Field k
φ ψ : PowerSeries k
⊢ (φ * ψ)⁻¹ = ψ⁻¹ * φ⁻¹
a b c d : Prop
h₁ : a ↔ c
h₂ : b ↔ d
⊢ a → b ↔ c → d
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (sInf s) = sSup (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s)
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s ⊆ t ↔ t ∈ 𝓝ˢ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn (f ^ n) g s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ↑(toLp (x n) ⋯)) atTop (𝓝 ↑g)
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑(↑p + ↑p + 1) = ↑p + ↑p + 1
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
i : (forget SimplexCategory).obj Δ
⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) i = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
x : α
x_in_s : x ∈ s
xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s
h : ∀ x ∈ s, ∏ x ∈ filter (fun y => ⟦y⟧ = ⟦x⟧) s, f x = 1
⊢ ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ≤ o.card ↔ OfNat.ofNat n ≤ o
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
n : ℕ
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
simple : ∀ (i : B), p (cs.simple i)
one : p 1
mul : ∀ (w w' : W), p w → p w' → p (w * w')
⊢ p w
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h : minpoly A pb.gen = minpoly A pb'.gen
⊢ (pb.equivOfMinpoly pb' h).symm = pb'.equivOfMinpoly pb ⋯
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible A
Invertible (D - C * ⅟A * B)
Invertible (Matrix.fromBlocks A B C D)
⊢ ⅟(Matrix.fromBlocks A B C D) =
  Matrix.fromBlocks (⅟A + ⅟A * B * ⅟(D - C * ⅟A * B) * C * ⅟A) (-(⅟A * B * ⅟(D - C * ⅟A * B)))
    (-(⅟(D - C * ⅟A * B) * C * ⅟A)) ⅟(D - C * ⅟A * B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ∑' (i : ι), μ (s i) ≤ μ univ
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.trunc n f).degree < ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w, w', v₂, u₂} D
CategoryTheory.CreatesLimitsOfSize.{w, w', v₁, v₂, u₁, u₂} F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w, w', v₁, u₁} C
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Multiplicative.ofAdd a ≤ Multiplicative.ofAdd b ↔ a ≤ b
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * Rel.edgeDensity r s₂ t₂ ≤ Rel.edgeDensity r s₁ t₁
M : Type u_1
AddCommMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit a ↔ ∃ b, b + a = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ max (a * c) (b * c) = max a b * c
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₈ = ↑C.u⁻¹ ^ 8 * (W.b₈ + 3 * C.r * W.b₆ + 3 * C.r ^ 2 * W.b₄ + C.r ^ 3 * W.b₂ + 3 * C.r ^ 4)
r : ℝ≥0
⊢ (↑r).toNNReal = r
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Ioi a ↔ a < x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeLeftOp c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j = s.π.app j
j : Jᵒᵖ
⊢ (c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s).unop).op
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
x : EReal
h : x ≠ ⊥
⊢ ↑x.toReal ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
a : α
⊢ HasSum (⇑UniformSpace.Completion.toCompl ∘ f) (↑α a) ↔ HasSum f a
α : Type u
AddCommGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a - d < b - c
M : Type u
m₁ m₂ : AddMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
⊢ m₁ = m₂
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hp : LieModule.weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ LieModule.weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ LieModule.weightSpaceChain M α χ p q
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
⊢ (imageSubobjectIso 0).hom ≫ image.ι 0 = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ ⟪r₂ • x, r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length
⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0
e : cokernel γ ≅ Abelian.coimage S.g := (colimit.isColimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0)).coconePointUniqueUpToIso S.cokernelToAbelianCoimageIsCokernel
he : cokernel.π γ ≫ e.hom = S.cokernelToAbelianCoimage
fac : g' = cokernel.π γ ≫ e.hom ≫ Abelian.factorThruCoimage S.g
hι : IsLimit (KernelFork.ofι (kernel.ι (cokernel.π γ)) wι)
⊢ S.RightHomologyData
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
⊢ (∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).erase a = l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
X : C
P : CategoryTheory.InjectiveResolution X
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.toRightDerivedZero' F)
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex).iCycles 0) =
  F.map (P.ι.f 0)
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
hμ'ν : μ' ≪ ν
h : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ'.rnDeriv ν x
h1 : μ'.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ (pderiv i) (f * g) = (pderiv i) f * g + f * (pderiv i) g
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
f g : ContinuousMonoidHom A B
h : f.toContinuousMap = g.toContinuousMap
⊢ ∀ (x : A), f x = g x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s : Set L
⊢ s ⊆ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => x ^ n) (↑n * x ^ (n - 1)) s x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ ↑I
⊢ ∀ J ∈ splitMany I s, ↑J ⊆ ↑I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.alternatingCofaceMapComplex C).obj X = AlgebraicTopology.AlternatingCofaceMapComplex.obj X
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasStrictFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.finRange l.length)).prod) (∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s t : (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ
f : t ⟶ s
x : F.obj t
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F (Opposite.unop s) (F.map f x) =
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F (Opposite.unop t) x).map₂ f.unop.left ⋯
α : Type u
l : List α
r : α → α → Prop
IsSymm α r
hl : l.Nodup
⊢ {a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ List.Pairwise r l
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₂
g : J → I
j : J
X : C (g j)
⊢ (CategoryTheory.Sigma.inclCompMap C g j).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨g j, X⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : (univ.pi fun i => s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty
⊢ (univ.pi fun i => s₁ i ∩ s₂ i) ∈ univ.pi '' univ.pi C
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.lanLiftCompIso f g h).inv =
  (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.isKan f g h).desc
    (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ
h : Partrec fun a => Part.map Option.some (f a)
n : ℕ
⊢ (do let n ← (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Part.map Option.some (f a)) a) ↑n.ppred) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x - d) = ∫ (x : ℝ) in a - d..b - d, f x
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
s : Set α
⊢ s ∈ {b | b ⊆ a} ↔ s ∈ ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
⊢ closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft
⊢ B.Nondegenerate
z w : ℍ
⊢ dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) = w.im * Real.sinh (dist z w)
α : Type u_4
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
⊢ f = Equiv.swap x (f x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (s ∪ t).toFinset = s.toFinset ∪ t.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n
⊢ Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (Vector.insertNth a i ⟨l, hl⟩))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C
α : X₁ ≅ X₂
β : Y₁ ≅ Y₂
⊢ (α.homCongr β).symm = α.symm.homCongr β.symm
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (⋂ i ∈ s, f i)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a b : A
r : Rˣ
⊢ ↑r ∈ spectrum R (a * b) ↔ ↑r ∈ spectrum R (b * a)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ s ⊼ s = s ↔ InfClosed s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
h : FirstOrder.Language.Structure.FG L M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.CG L M
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ x ∈ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X : C
hX : W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
⊢ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) hX).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X true
y : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X false
pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν = n • X
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
⊢ (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
G : Type u_3
Group G
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ↑P G - ε < ↑Q G
⊢ ↑P G = ↑P G - ε + ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r ≤ 2 * ‖c‖ * ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2
⊢ ‖(L₁ - L₂) y‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖y‖
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ IntegrableOn f (Ioi a) μ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n✝ : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n✝
n : ℕ
S : ComposableArrows C (n + 2)
h₁ : S.δlast.Exact
h₂ : (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
⊢ S.Exact
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a b : α
h : multiplicity.Finite a b
⊢ b ≠ 0