ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.left.IsPreservedBy F
h.right.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).iso = F.mapIso h.iso
ι : Type u_5
E : Type u_6
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
⊢ b.addHaar = MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure b.parallelepiped
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
⊢ Quot.mk Setoid.r RingCat.Colimits.Prequotient.zero = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ‖⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * ‖f‖₊
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f ▷ 𝟙_ C = (ρ_ X).hom ≫ f ≫ (ρ_ Y).inv
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
⊢ (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 + N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) + if i✝.2 = j✝.2 then N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0
⊢ v = 0
α : Type u_1
x : Option α
⊢ (HOrElse.hOrElse x fun x => none) = x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ ↑(P.reflection i).dualMap ∘ₗ P.toLin.flip = P.toLin.flip ∘ₗ ↑(P.coreflection i)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
f g : P1 →ᵃ[k] P1
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
R : Type u
S : Type v
a : R
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
h : Commute (f a) x
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p * Polynomial.C a) = Polynomial.eval₂ f x p * f a
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
⊢ Function.Injective ⇑SlashInvariantForm.coeHom
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
hp : p ≠ ⊤
x y : WithLp p (α × β)
⊢ dist x y = (dist x.1 y.1 ^ p.toReal + dist x.2 y.2 ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n
⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₀ : ∀ (j : ℕ), d ∈ cthickening (r₁ (f j)) (s (f j))
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
⊢ False
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h : f = g
x : P1
⊢ f x = g x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ 0 ≤ ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : D
⊢ λ_ X =
  e.functor.mapIso
      (((e.unitIso.app (𝟙_ C)).symm ⊗ CategoryTheory.Iso.refl (e.inverse.obj X)) ≪≫ λ_ (e.inverse.obj X)) ≪≫
    e.counitIso.app X
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, norm_map' := hf } = ⇑f
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
n : Type u_9
Fintype n
x : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ ‖x‖₊ = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖x i‖₊ ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)
⊢ (CategoryTheory.Monad.ofMon M).μ = M.mul
⊢ ContinuousOn (fun p => p.1 - p.2) {p | p ≠ (⊤, ⊤)}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖f (-z)‖ ≤ C
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ Integrable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
⊢ a < x ∧ x ≤ b ∨ c < x ∧ x ≤ d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x ≤ b ∨ x ≤ d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
a : ℝ≥0∞
ha✝ : a ∈ f.range
ha : a ≠ ⊤
⊢ a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b n : ℤ
h : a + b = n
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b n h).hom.app X).hom₂ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b n h).hom.app X.obj₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
hX : ¬AEMeasurable X ℙ
⊢ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
x : 𝕜
h : HasSum f x
⊢ HasSum (fun x => RCLike.im (f x)) (RCLike.im x)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z ≤ ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y ≤ δ ∧ dist y z ≤ ε
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
this : (if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 else p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < q.degree
⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)
n m i : Nat
v : BitVec n
w : BitVec m
⊢ (v ++ w).getLsb i = bif decide (i < m) then w.getLsb i else v.getLsb (i - m)
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑β
⊢ (BoolAlg.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
z : ℂ
x : ℚ
⊢ (z / ↑x).im = z.im / ↑x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : delta * ls < rs
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ls + rl.size
⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a : α
g : G
⊢ g ∈ MulAction.stabilizer G a ↔ g • a = a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
hs : s.Nonempty
⊢ (a • s).Nonempty
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ ENNReal.ofReal T * (addHaarMeasure ⊤) ↑⊤ = ENNReal.ofReal T
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg.num 0 = 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f vol ↔
  ∀ ε > 0,
    ∃ r,
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
            π₁.IsPartition →
              l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
                π₂.IsPartition → dist (BoxIntegral.integralSum f vol π₁) (BoxIntegral.integralSum f vol π₂) ≤ ε
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i
a : X
If : (I : Set ↑T) × (↑I → Set X)
hIf : If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)
i : ↑If.fst
⊢ IsClosed (If.snd i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J D).unit.app P = CategoryTheory.toSheafify J P
α : Type u_1
⊢ ¬∅.Nonempty
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Nat.count p (n + 1) = Nat.count p n ↔ ¬p n
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ IsMinOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
r : S
⊢ (Ideal.relNorm R) (Ideal.span {r}) = Ideal.span {(Algebra.norm R) r}
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
h : IsEmpty X
⊢ ∃ y, f = Function.const X y
R : Type u
CommRing R
V W : QuadraticModuleCat R
⊢ Function.Injective QuadraticModuleCat.Hom.toIsometry
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype l
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : l → α
e₁ : l ≃ m
e₂ : o → n
⊢ v ᵥ* M.submatrix (⇑e₁) e₂ = (v ∘ ⇑e₁.symm ᵥ* M) ∘ e₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ Multiset.map Subtype.val (factors' a) = Multiset.map Associates.mk (factors a)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
⊢ (mk φ).embedding = φ ∨ (mk φ).embedding = ComplexEmbedding.conjugate φ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
s : Set β
hsf : s.Finite
hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}
⊢ Set β
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
j k : ι
hjk : c.next j = k
hj : ¬e.BoundaryLE j
⊢ c'.next (e.f j) = e.f k
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
DecidableEq o
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
l r : (o → R₂) →ₗ[R₂] n → R₂
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix' (B.comp l r) =
  (LinearMap.toMatrix' l).transpose * LinearMap.BilinForm.toMatrix' B * LinearMap.toMatrix' r
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ
⊢ reflect N (X ^ n) = X ^ (revAt N) n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
⊢ ∀ {X Y : SheafOfModules R} (φ : (SheafOfModules.forget R).obj X ⟶ (SheafOfModules.forget R).obj Y),
  ((SheafOfModules.fullyFaithfulForget R).preimage φ).val = φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
⊢ IsNormal f ↔ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
⊢ e.symm (e x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ ↑h.restr.symm = ↑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
⊢ (p.filter s h) a ≠ 0 ↔ a ∈ s ∧ a ∈ p.support
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoMetricSpace X
PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
h : ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s
⊢ [[y, x]] ∪ [[x, z]] = [[x, y]] ∪ [[x, z]]
x : SetTheory.PGame
xl' xr' : Type u_1
el : xl' ≃ x.LeftMoves
er : xr' ≃ x.RightMoves
i : x.LeftMoves
⊢ (SetTheory.PGame.relabel el er).moveLeft (el.symm i) = x.moveLeft i
β : Type u_1
AddCommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ (m.gcd n).primeFactors.sum f + (m * n).primeFactors.sum f = m.primeFactors.sum f + n.primeFactors.sum f
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
this : MulPosStrictMono α
hc : 0 < c
⊢ a * c < b * d
θ : ℝ
⊢ |(-↑θ).toReal| = θ ↔ 0 ≤ θ ∧ θ ≤ π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
⊢ {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Finset β
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ b / c ≤ a ↔ c * a ≤ b
F : Type u_1
G : Type u_2
N : Type u_3
DivisionMonoid G
Monoid N
FunLike F G N
MonoidHomClass F G N
x : G
hx : IsUnit x
f g : F
h : f x = g x
⊢ f x⁻¹ = g x⁻¹
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ polar (⇑Q) (-x) y = -polar (⇑Q) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
c : α
Add α
DivisionMonoid β
HasDistribNeg β
hf : Function.Antiperiodic f c
hg : Function.Antiperiodic g c
⊢ Function.Periodic (f / g) c
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)
x : Fix F α
⊢ ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x → rec g (mk x) = h (mk x)
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
PartialOrder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
⊢ Function.LeftInverse u l
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
⊢ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(π / 2) + ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x • a = a → (x • a) • b = a • b
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
R : Type u_2
Field R
A : Matrix n n R
IsAlgClosed R
⊢ A.trace = A.charpoly.roots.sum
α : Type u
⊢ Stream'.WSeq.nil.destruct = Computation.pure none
A : Type uA
AddCommGroup A
a : A
⊢ ∀ (a_1 : ℤ ⧸ Ideal.span {↑(addOrderOf a)}),
  ↑((CharacterModule.intSpanEquivQuotAddOrderOf a).symm a_1) =
    ↑((LinearMap.toSpanSingleton ℤ A a).quotKerEquivRange
        (((LinearMap.ker (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A a)).quotEquivOfEq (Ideal.span {↑(addOrderOf a)}) ⋯).symm a_1))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousOn (f i) s
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) s
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x y : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝 y) = 𝓝 (y * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ (s \\ t).card * (t \\ s).card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun a => x + d a) atTop (𝓝 x)
a : ℤ
gt : 0 < a
⊢ (↑a)⁻¹.num = a.sign
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ↑s.toSubmonoid = ↑s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
M : Type u_6
One M
f : Y → M
hf : HasCompactMulSupport f
φ : X ≃ₜ Y
⊢ HasCompactMulSupport (f ∘ ⇑φ)
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
self : FirstOrder.Language.IsFraisse K
⊢ FirstOrder.Language.Hereditary K
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
Preorder β
f g : β → α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
hf₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ (x : β), 0 < g x
⊢ StrictMono (f * g)
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
u : A
⊢ u ∈ unitary A ↔ IsStarNormal u ∧ spectrum ℂ u ⊆ ↑circle
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).right ⟶ (StructuredArrow.mk g).right
hb : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).hom ≫ B.map b = (StructuredArrow.mk g).hom
⊢ ∃ X₁_1 a_1 b_1, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk b hb) = mk w g X₁_1 a_1 b_1 comm
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : G → CoeSort.coe A
g : G × G
⊢ (A.ρ g.1) (r • x g.2) - r • x (g.1 * g.2) + r • x g.1 = r • ((A.ρ g.1) (x g.2) - x (g.1 * g.2) + x g.1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.functor.map f =
    CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.map f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev A).app ((CategoryTheory.ihom A).obj B))
    ((CategoryTheory.ihom A).map ((CategoryTheory.ihom.ev A).app B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.ihom A).obj B)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ IsCompact (f ⁻¹' V)
α : Type u_1
LT α
s : Set α
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).chainHeight = s.chainHeight
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ∀ (x : X₁) (y : X₂) (z : X₃), (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)