ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : m < n
i : Nat
⊢ (if i < m then (l.set n a)[i]? else none) = if i < m then l[i]? else none
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A
x : G
this : f.hom (((ofMulAction k G G).ρ x) (Finsupp.single 1 1)) = (A.ρ x) (f.hom (Finsupp.single 1 1))
⊢ (((fun x => A.leftRegularHom x) ({ toFun := fun f => f.hom (Finsupp.single 1 1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (f.hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (n - 2) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R (n - 1) - Polynomial.Chebyshev.T R n
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U K : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ δ > 0, Metric.cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsSplitMono f
inst✝ : Epi f
⊢ retraction f ≫ f = 𝟙 Y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a⌋₊ < 1 ↔ a < ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : Set.MapsTo f s t
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ Set.MapsTo f (closure s) (closure t)
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
K : Set X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
T2Space X
hg : ContinuousOn g K
hg' : MeasureTheory.IntegrableOn g' K μ
hK : IsCompact K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => g x * g' x) K μ
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c✝ : E
f✝ : ContDiffBump c✝
x : E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
hc : ContDiff ℝ n c
hr : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rIn
hR : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rOut
hg : ContDiff ℝ n g
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ↑(f x) (g x)
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a +ᵥ Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (a +ᵥ b) r
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f g : M ≃ₗ[R] M
⊢ LinearEquiv.det (f ≪≫ₗ g) = LinearEquiv.det g * LinearEquiv.det f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable ↔ f ∈ Lp β 1 μ
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ π' (k + n) ≤ (filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
⊢ flip (Relation.Comp r p) = Relation.Comp (flip p) (flip r)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : ↥(closure s) → Prop
a : ↥(closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)
b : R
hb : b ∈ closure s
⊢ ∀ (x : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : -x ∈ closure s), p ⟨-x, x_1⟩
α : Type u_1
inst✝³ : Ring α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : TopologicalRing α
inst✝ : UniformAddGroup α
m : α →+ α →+ Completion α := AddMonoidHom.mul.compr₂ toCompl
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
⊢ levyProkhorovDist μ κ ≤ levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ
n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a + b).valMinAbs.natAbs ≤ (a.valMinAbs + b.valMinAbs).natAbs
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
L : Filter F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasGradientAtFilter f₁ f' x L
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
⊢ ContinuousOn (NormedSpace.exp 𝕂) (EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius)
α : Type u
σ : Type v
s : σ
a : Option α
⊢ εNFA.step 1 s a = ∅
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (b + p) = toIocMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
⊢ (F.toPreimages s).IsMittagLeffler
C : Type u
X Y Z : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.α_hom X Y Z⟧ = (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
E : Type u_6
SeminormedGroup E
u v : E
⊢ ‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖u / v‖
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ (associator M (of R R) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitor N).hom = tensorHom (rightUnitor M).hom (𝟙 N)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ ↑a
⊢ (s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
he' : e' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : Set.MapsTo f s e'.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
  ContinuousOn f s ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ UniformEmbedding ⇑h
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ≅ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ.hom) φ.hom
⊢ (eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ p.map φ.hom = 𝟙 (p.obj b✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
MeasurableSingletonClass β
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = f (g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (mulSupport fun j => ∏ᶠ (_ : j ∈ s), f j).Finite
α : Type u_4
β : Type u_5
⊢ IsEmpty (α × β) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
⊢ s.card < t.card
α : Type u_1
G : Type u_9
DecidableEq α
AddGroup G
f g : α →₀ G
⊢ (f - g).support ⊆ f.support ∪ g.support
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
⊢ IsClosed (⋂ i ∈ s, ⋂ i_1 ∈ s, {x | edist (x i) (x i_1) ≤ ↑K * edist i i_1})
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1 + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ F.map (F.inv.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.asEquivalence.counit.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (F.asEquivalence.counitInv.app Y))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
s : Set β
⊢ Set.LeftInvOn f g s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesEffectiveEpis
F.ReflectsEffectiveEpis
F.EffectivelyEnough
CategoryTheory.Preregular D
F.Full
F.Faithful
⊢ CategoryTheory.Preregular C
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : Semiring C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
x : A
⊢ (↑↑__src✝.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑__src✝.toRingHom).toFun x)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
⊢ (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (BF * Real.exp (0 * |z.im|))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
⊢ ⨅ b, ⨅ (_ : ⊤ < b), b ≤ succ ⊤
α : Type u_2
PartialOrder α
f : α → α → α
comm : Commutative f
assoc : ∀ (a b c : α), f (f a b) c ≤ f a (f b c)
⊢ Associative f
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
mass_lim : Filter.Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y ∪ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ Set.range ⇑U.ι.val.base = ↑U
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Iio b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
b✝ : Basis ι ℝ E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℝ (ι → ℝ)
⊢ volume (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).det|
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso (𝟙_ (Discrete A)) { as := a }).inv.app X
k : ℕ
c : Nat.Partrec.Code
n x : ℕ
⊢ x ∈ Nat.Partrec.Code.evaln k c n → x ∈ c.eval n
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s : Finset α
b : α
⊢ s ⊼ {b} = Finset.image (fun x => x ⊓ b) s
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α} [inst : Batteries.TransCmp cmp],
  Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y ↔ cmp x y = Ordering.lt
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
⊢ IsExtreme 𝕜 A {x} ↔ x ∈ extremePoints 𝕜 A
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
a₁ a₂ : ℂ
⊢ (fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₁ * z) * cexp (↑(b₂ - b₁) * z)) =ᶠ[l] fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₂ * z)
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂ ↔ a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔
  (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)
⊢ f ''ᵁ X.basicOpen r = Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r)
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ ‖LSeries.term f s n‖ = if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝕜'
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
R : Type u_1
CommSemiring R
a c₁ c₂ : R
b₁ b₂ : ℕ
d : R
⊢ a ^ b₁ = c₁ → a ^ b₂ = c₂ → c₁ * c₂ = d → a ^ (b₁ + b₂) = d
⊢ (fun x => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) ~[Filter.atTop] fun x => 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
⊢ addValuation x = ↑x.valuation
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t
F : α → ℝ
F_mble : Measurable F
F_nn : 0 ≤ F
f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F
eq₁ : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : Tendsto ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 0)
⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E ⊆ cthickening δ E
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
n : ℕ
⊢ Nat.divisorsHom n = n.divisors
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : FloorRing α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
⊢ ∀ (x : β × α), ContinuousAt (uncurry f ∘ Prod.map id fract) x
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
a' : Ordinal.{0}
e0 : e.repr ≠ 0
h : a' < ω ^ e.repr
aa : a.repr = a'
n : ℕ+
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a') ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂
le23 : μ s₂ ≤ μ s₃
key : μ s₃ ≤ μ s₁
⊢ μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VSub α β
s : (i : ι) → κ i → Set β
t : Set β
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) -ᵥ t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j -ᵥ t
α : Type u
NormedField α
u : ℕ → α
⊢ IsCauSeq norm u ↔ CauchySeq u
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
m : M
x : CliffordAlgebra Q
hx : P (reverse x)
⊢ P (reverse (x * (ι Q) m))
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Icc (Order.succ a) b = Set.Ioc a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.span f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = X
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Add R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
U : R
hU : ∀ᶠ (x : R) in map u f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x U
V : R
hV : ∀ᶠ (x : R) in map v f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x V
⊢ ∀ᶠ (x : R) in map (u + v) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (U + V)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n
⊢ 0 < RCLike.re (star ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i)) ⬝ᵥ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i))
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Sort u_5
Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋃ i, s i) μ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ arccos (⟪x, r • y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • y‖)) = arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖cexp (-b * (↑a + ↑c * I) ^ 2)‖) volume
x y : ℕ
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
m : Type u
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).adjugate = A.adjugate.submatrix ⇑e ⇑e
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLUB ∅ a ↔ IsBot a
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ (s \ t).ncard + t.ncard
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
ha : (Set.Ioi a).Nonempty
⊢ frontier (Set.Ioi a) = {a}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ y ∈ EMetric.ball x ε ↔ edist x y < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
r s : m
hrs : b s < b r
⊢ ¬(i = r ∧ j = s)
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min a b ≤ c ↔ a ≤ c ∨ b ≤ c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
⊢ lift hF hR s ≫ R.map i.f.op = s.ι i
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R) (MulOpposite.op (Polynomial.C a)) = Polynomial.C (MulOpposite.op a)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (List.map (⇑(algebraMap R S)) rs) ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FormallyUnramified R A
C : Type u
CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A), f (g₁ x) = f (g₂ x)
⊢ g₁ = g₂
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
⊢ ∏ i : Fin n, c i = ∏ i ∈ Finset.range n, if h : i < n then c ⟨i, h⟩ else 1
α : Type u
DecidableEq α
Finite α
f g : Equiv.Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (Equiv.swap x y).signAux3 hs = -1
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
⊢ ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)