ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun ((inl x_r + ↑x_a) * (inl y_r + ↑y_a)) = { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl x_r + ↑x_a) * { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl y_r + ↑y_a)
x : ℝ
n : ℕ
A : 1 < 2 ^ (n + 1)
B : π / 2 ^ (n + 1) < π
⊢ cos (π / 2 ^ (n + 1 + 1)) = sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) / 2
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ upperBounds ↑(lowerClosure s) = upperBounds s
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < Nat.sum l
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ P.pairing i j = 0 ↔ P.pairing j i = 0
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d
t : (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ
⊢ { re := ↑(x + 1), im := -[y+1] } = 0
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
h_inj : Function.Injective ⇑f
⊢ ↑(LinearEquiv.ofInjectiveEndo f h_inj).symm * f = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : Unique δ
inst✝ : (i : δ) → MeasurableSpace (π i)
⊢ Measurable fun x => x
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ x ^ 2 = x ^ ↑2
α : Type u_7
β : Type u_8
Inf α
Inf β
Top α
Top β
self : InfTopHom α β
⊢ self.toFun ⊤ = ⊤
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
ProperSpace F
f : 𝓕
FunLike 𝓕 E F
CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 3
⊢ ↑(unitOfInvertible (-3 ^ 3))⁻¹ * 0 ^ 3 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ ∀ (a : α), (Isometry.toDilation f hf) a = f a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
z : B
left✝ : z ∈ ↑⊤
hz : (Algebra.linearMap B L) z = y * x
⊢ ∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in Bornology.cobounded 𝕜, IsUnit (resolvent a z)
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.intDegree 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
b : β
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
hf : Function.Injective fun a => f a b
⊢ Finset.image₂ f (s₁ ∩ s₂) {b} = Finset.image₂ f s₁ {b} ∩ Finset.image₂ f s₂ {b}
α : Type u_2
Bot α
a : α
⊢ (BotHom.id α) a = a
x y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ = ⟦y.mulOption x j i⟧
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows f_1 → (lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map f_1.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map f_1.op
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
⊢ ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ ↑(NonUnitalStarSubalgebra.centralizer R s) = (s ∪ star s).centralizer
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
x : ↑X
Y : C
f₁ f₂ : F.stalk x ⟶ Y
ih : ∀ (U : TopologicalSpace.Opens ↑X) (hxU : x ∈ U), F.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ f₁ = F.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ f₂
⊢ f₁ = f₂
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / den
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
⊢ A ↓∩ ⋃₀ S = ⋃ x ∈ S, A ↓∩ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Mem.other h ∈ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
y : M
⊢ (∃ a ∈ f.support, f a = y) ↔ y ≠ 0 ∧ ∃ x, f x = y
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
h : r₁ ≤ r₂
⊢ p.closedBall x r₁ ⊆ p.closedBall x r₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
w : E
⊢ (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) w = (K.subtypeL.comp (orthogonalProjection K) + Kᗮ.subtypeL.comp (orthogonalProjection Kᗮ)) w
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ AnalyticAt 𝕜 g x
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Nontrivial R
Module R M
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
⊢ ⋃ k, ↑(b.repr (v k)).support = Set.univ
A : Type v
inst✝⁶ : Ring A
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type w
C : Type w₁
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring C
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R C
f✝ : A →ₐ[R] B
g✝ : B →ₐ[R] C
f g : A →ₐ[R] B
h : f.toLieHom = g.toLieHom
a : A
⊢ f a = g a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
s : l₁ ⊆ l₂
x✝ : α
⊢ x✝ = a ∨ x✝ ∈ l₁ → x✝ = a ∨ x✝ ∈ l₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 X).c.app U = X.presheaf.map (𝟙 U)
w : Nat
x : BitVec w
s : Nat
h : x.msb = true
⊢ x.sshiftRight s = ~~~(~~~x >>> s)
α : Type u_11
Add α
a a' : α
⊢ a +ᵥ a' = a + a'
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢.op ↔ CategoryTheory.IsCodetecting 𝒢
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ List.map₂Right f (a :: as) (b :: bs) = f (some a) b :: List.map₂Right f as bs
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ HasStrictFDerivAt Prod.snd (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F) p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6279, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6283, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6287, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ : L.LeftExtension F
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
G : CostructuredArrow L Y
⊢ (E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = E'.hom.app G.left ≫ E'.right.map G.hom
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime y (z * x) ↔ IsRelPrime y z
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : One M
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice M
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α → M
x : α
hx : ∀ (x_1 : ι), f x_1 x = 1
⊢ ⨆ i, f i x = 1
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n
f_cont : Continuous f
hs : IsClosed (range f)
hne : (range f).Nonempty
fs : ∀ x ∈ range f, f x = x
⊢ ∃ f_1, (∀ (x : ↑(range f)), f_1 ↑x = x) ∧ Surjective f_1 ∧ Continuous f_1
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
⊢ (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
h : N ≤ N'
x y : ↥↑N
⊢ (inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y
⊢ ∫ (x : ℝ) in -1 ..1, √(1 - x ^ 2) = π / 2
α : Type u_1
LT α
a : WithBot α
b : WithTop αᵒᵈ
⊢ WithBot.toDual a < b ↔ WithTop.ofDual b < a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℤ
a : α
⊢ (-a) ^ (c + c) = a ^ (c + c)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ FractionalIdeal.absNorm ⊥ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
q : Bool
⊢ (q || l.all p) = l.all fun a => q || p a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (update f b 1)
⊢ (if b = b then f b else 1) * ∏' (x : β), update f b 1 x = f b * ∏' (x : β), if x = b then 1 else f x
E : Type u_4
AddCommGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
x : E
⊢ BddBelow (Set.range fun y => p y + q (x - y))
G : Type u_7
AddGroup G
self : NonarchAddGroupSeminorm G
r : G
⊢ self.toFun (-r) = self.toFun r
E : Type u_2
F : Type u_3
Norm E
Norm F
x : E × F
⊢ ‖x‖ = max ‖x.1‖ ‖x.2‖
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
IsDomain R
⊢ ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
self : G.Dart
⊢ G.Adj self.toProd.1 self.toProd.2
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
⊢ smeval 1 x = 1 • x ^ 0
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V W : Type u
AddCommGroup V
AddCommGroup W
Module k V
Module k W
ρ : Representation k G V
τ : Representation k G W
x : TensorProduct k V W
⊢ (ρ.repOfTprodIso τ).inv.hom x = x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T
⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.176514 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.181965 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂ = pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
X : Sort u_2
DecidableEq X
x : X
Y : Sort u_1
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
⊢ ↑((Equiv.subtypeEquivCodomain f).symm y) x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) x) 1 = x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
i : ι
MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
x : α i
⊢ ∀ᵐ (y : (i : ι) → α i) ∂MeasureTheory.Measure.pi μ, y i ≠ x
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
K.Normal
⊢ K.relindex (H ⊔ K) = K.relindex H
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ Submodule.toSubMulAction 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
f : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)) f‖₊ = ‖f‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ UniformContinuous ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
hba : b ≤ a
hcb : c ≤ b
⊢ (a ⇨ b) ⊓ (b ⇨ c) = a ⇨ c
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ι a b) μ
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace δ
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
p : α → Prop
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ContinuousOn g (s ∩ {a | ¬p a})
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ = ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
habc : gcd a b ∣ c
hcab : c ∣ gcd a b
⊢ gcd a b = normalize c
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂MeasureTheory.Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂MeasureTheory.Measure.pi μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom
n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1)
a : ZMod (n✝ + 1)
⊢ a.val < n✝ + 1
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ J = I⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (⇑f) x
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
h : PreconnectedSpace ↑s
⊢ IsPreconnected s
α : Type u_1
F : Type u_4
E'' : Type u_9
Norm F
NormedAddCommGroup E''
g : α → F
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x => c) =o[l] g ↔ Filter.Tendsto (fun x => ‖g x‖) l Filter.atTop
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : IsEmpty ((i : ι) → A i)
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α}, ↑(RingHom.id α) = MonoidHom.id α
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Conservative f^[n] μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
U : Set E
⊢ U ∈ 𝓝 x ↔ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
f : α ≃ β
⊢ Fintype.card β = Fintype.card α
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
SuccOrder α
⊢ ⊥ = TopologicalSpace.generateFrom {s | ∃ a, s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a}
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
H : ∃ f, LinearIndependent R f
⊢ ↑n ≤ Module.rank R M
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
A : Type u_1
Add A
e₁ : AddAut A
⊢ e₁⁻¹ = AddEquiv.symm e₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).f₂₄ = F.map sq.f₂₄
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
𝒜 : Finset (Finset α)
A A₁ A₂ : Finset α
r r₁ r₂ : ℕ
inst✝ : Fintype α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ ∑ r ∈ Iic (Fintype.card α), (𝒜 # r).card = 𝒜.card
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
h : x = y
⊢ cmp x y = Ordering.eq
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι
⊢ vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K
this : ¬Disjoint (g • K) K
⊢ g ∈ E / E
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₂ = ↑(∠ p₁ p p₂) ∨ ∡ p₁ p p₂ = -↑(∠ p₁ p p₂)