ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : CategoryTheory.Mat_ C ⥤ D
F.Additive
M N : CategoryTheory.Mat_ C
f : M ⟶ N
⊢ F.map f ≫ (CategoryTheory.Mat_.additiveObjIsoBiproduct F N).hom =
  (CategoryTheory.Mat_.additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun i j => F.map ((CategoryTheory.Mat_.embedding C).map (f i j))
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.closure X = ↑(M.subtypeClosure ⟨X ∩ M.E, ⋯⟩)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂
comm₃ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₃
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
hxy : IsLocalization.mk' S x y ≠ 0
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ ((t a).val.bind fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
z' w' : M
x : ↥S
hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'
hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'
this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')
⊢ z = w
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : Set.MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ edist (f^[n] x) (ContractingWith.efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.OuterMeasure X
r : ℝ≥0∞
h0 : 0 < r
hr : ∀ (s : Set X), EMetric.diam s ≤ r → μ s ≤ m (EMetric.diam s)
⊢ μ ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
n a : ℤ
h : n ∣ a
⊢ a ≡ 0 [ZMOD n]
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv) ≫ whiskerRight α (𝟭 D)) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) (𝟭 C) ≫ whiskerLeft H ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
⊢ ((mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G β ≫ α)).app b = ((mateEquiv adj₁ adj₂) α ≫ whiskerLeft H ((Trans.trans (Trans.trans (L₃.leftUnitor.homCongr L₂.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₂ adj₃)) (R₂.rightUnitor.homCongr R₃.leftUnitor)) β)).app b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ cfcₙ (fun x => star (f x)) a = star (cfcₙ f a)
x✝ y✝ x y : ℝ
h : √x < y
hy : 0 < y
⊢ x < y ^ 2
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ OrthogonalFamily 𝕜 (fun μ => ↥(Module.End.eigenspace T (↑T μ))) fun μ => (Module.End.eigenspace T (↑T μ)).subtypeₗᵢ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
⊢ B.polar (B.flip.polar (B.polar s)) = B.polar s
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
w : CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' x'
⊢ EqvGen (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel F) ⟨j, x⟩ ⟨j', x'⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ (f + g).lintegral μ = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}))
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
x : M
y : ↥S
⊢ Localization.mk x y = (Localization.monoidOf S).mk' x y
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
⊢ (g • w).prod = (of i) g * w.prod
I : Type u₁
J : Type u₂
e : I ≃ J
⊢ (CategoryTheory.Discrete.equivalence e).counitIso = CategoryTheory.Discrete.natIso fun j => CategoryTheory.eqToIso ⋯
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = 0
cb : α
hb : b = 0
⊢ a = 0 ∧ b = 0
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p = (1 / 2 * (2 * z₁) + 1 / 2 * (2 * z₂)) ^ p
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ max a b = a
i : (toPGame 1).LeftMoves
⊢ toLeftMovesToPGame.symm i = ⟨0, ⋯⟩
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG
this✝ : Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
κ : Type u
hκ : Fintype κ
a : L →ₗ[R] κ →₀ R
y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ h₁ = y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p ^ n) = Polynomial.eval₂ f x p ^ n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b + toIcoDiv hp a b • p = b
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ {x | IsTop x}.Subsingleton
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
s : Set ι
f g : (i : ι) → α i
⊢ (s.pi fun i => Set.Ico (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] s.pi fun i => Set.Icc (f i) (g i)
α : Type u_1
One α
⊢ 1 ∈ 1
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
h : l.length ≤ n
a : α
⊢ l.set n a = l
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
NormedLinearOrderedField β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l (fun a => ‖k a‖) fun a => ‖f a‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
⊢ CompleteSpace α ↔ IsComplete Set.univ
β : Type u_2
MulOneClass β
⊢ ↑(WithZero.map' (MonoidHom.id β)) = MonoidHom.id (WithZero β)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s ∪ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ t ⋖ s ↔ t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h
this : x' ^ φ n = 1
⊢ ↑(x ^ φ n) = ↑1
α : Type u_1
Monoid α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ∣ a ^ n
β : Type u_1
ι : Type u_2
t : ι → TopologicalSpace β
T : ι → Set (Set β)
h_basis : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
x✝ : TopologicalSpace β := ⨅ i, t i
⊢ ∀ u ∈ {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i}, IsOpen u
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
h : ∀ {α : Type u₁} (F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Discrete α)) (j j' : J), F.obj j = F.obj j'
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected J
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
⊢ InjOn (⇑((span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip)) (range ⇑P.coroot)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)
⊢ (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2 = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
n : ℕ
⊢ Int.ofNat n = ↑n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule S = ⊤ ↔ S = ⊤
V : Type u_1
V' : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup V'
InnerProductSpace ℝ V
InnerProductSpace ℝ V'
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
x : V'
⊢ (((Orientation.map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).rotation θ) x = f ((o.rotation θ) (f.symm x))
⊢ StrictMono fun n => Nat.fib (n + 2)
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G
⊢ image₂ (fun x x_1 => x * x_1) f.support {a} ⊆ image (fun x => x * a) f.support
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩ • (algebraMap S S') y
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a * b ≠ ⊤
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsSolvable R L
⊢ radical R L = ⊤
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ closedBall x ε =ᶠ[ae volume] ball x ε
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R n) ((C σ R) a * φ) = a * (coeff R n) φ
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' 0 = {-a}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
H : ∀ t ∈ T, Set.SurjOn f s t
⊢ Set.SurjOn f s (⋃₀ T)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hU : IsOpen U
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f ⊥ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, DifferentiableOn ℂ (F n) U
⊢ ∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (deriv f) ⊥ K
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring C
inst✝⁹ : CommSemiring D
inst✝⁸ : CommSemiring E
inst✝⁷ : CommSemiring F
inst✝⁶ : Algebra C D
inst✝⁵ : Algebra C E
inst✝⁴ : Algebra C F
inst✝³ : Algebra D F
inst✝² : Algebra E F
inst✝¹ : IsScalarTower C D F
inst✝ : IsScalarTower C E F
S : Set D
T : Set E
hS : adjoin C S = ⊤
hT : adjoin C T = ⊤
⊢ Subalgebra.restrictScalars C (adjoin E (⇑(algebraMap D F) '' S)) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D (⇑(algebraMap E F) '' T))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
a : R
hzero : p + q ≠ 0
⊢ (X - C a) ^ min (rootMultiplicity a p) (rootMultiplicity a q) ∣ p + q
R : Type u
inst₁ inst₂ : Semiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
s : Multiset ℕ
⊢ s.prod.divisors = (Multiset.map Nat.divisors s).prod
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν (c • haarMeasure K)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
⊢ IsNilpotent (x * y) → IsNilpotent x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulDysonETransform e x).1 * (mulDysonETransform e x).2 ⊆ x.1 * x.2
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive (n + 1) ⋯
⊢ Nat.decreasingInduction of_succ self ⋯ = of_succ n ⋯ self
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
h : x ≠ 0
⊢ Nontrivial ↥(Submodule.span R {x})
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
s : Set E
⊢ MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ (Equiv.refl α).embeddingCongr (Equiv.refl β) = Equiv.refl (α ↪ β)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f = c • MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R s) = NonUnitalAlgebra.adjoin R (star s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ (s ×ˢ t).Nonempty → t.Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E
⊢ (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin c.length, ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ a : Fin c.length, ∏ s : Fin (c.blocksFun a), ‖v (c.blocksFinEquiv ⟨a, s⟩)‖
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ x ∈ I → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
k : Type u_1
Ring k
a b c : k
⊢ (AffineMap.lineMap a b) c = c * (b - a) + a
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.single i x = Pi.single i y ↔ x = y
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ : R✝
R : Type u
σ : Type v
r : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype σ
⊢ Prime ((renameEquiv R (Fintype.equivFin σ)).toMulEquiv (C r)) ↔ Prime r
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddGroupWithOne G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n) = f x - n • b
⊢ MeasureTheory.volume {x | Liouville x} = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
Semiring S
p : Polynomial S
f : S →+* R
⊢ Continuous fun x => Polynomial.eval₂ f x p
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ k.primeFactorsList
⊢ p ∈ m.primeFactorsList
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ X.rightOpLeftOpIso.hom.right = 𝟙 X.right
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M
i : ι
⊢ edist (f i) (g i) ≤ ↑M
n : ℤ
m : ℕ
⊢ ↑m ∣ n ↔ m ∣ n.natAbs
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
h₁ : (mk₀ biprod.inl).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inl).comp β ⋯
h₂ : (mk₀ biprod.inr).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inr).comp β ⋯
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ α = β
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, infDist x s = dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsTrans β s], IsTrans α r
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a < b ∨ b = a
X : Type u
UniformSpace X
CompleteSpace X
T0Space X
⊢ (CpltSepUniformSpace.of X).α = X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
b : β
t : Set γ
f : β × γ → α
⊢ ∏' (x : ↑({b} ×ˢ t)), f ↑x = ∏' (c : ↑t), f (b, ↑c)
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
h : Continuous ⇑(algebraMap R A)
⊢ ContinuousSMul R A
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
DecidableEq σ
DecidableEq R
DecidableEq M
x : DirectSum M fun i => ↥(MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i)
⊢ (DirectSum.coeAddMonoidHom fun i => MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i) x =
  DFinsupp.sum x fun x x_1 => ↑x_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
⊢ p f
y : ℝ
h : 0 < y
x✝ x : ℝ≥0
⊢ ((fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal) x = (ofNNReal ∘ fun z => z ^ y) x
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
hn : n ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun z => term f z n) (-term (logMul f) s n) s
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ≥0
⊢ ‖x‖₊ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖₊ ≤ r
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ IsClosed (⇑e '' s) ↔ IsClosed s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ G.a
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
a : A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctor C a = h.F a
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1
R : Type u_1
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
⊢ n = 0 ∨ a = b
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
h : l₁.length ≤ [].length
⊢ ([].zip []).unzip.1 = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
f : γ → β → α
a : γ → α
s : Finset γ
⊢ (∀ i ∈ s, HasProd (f i) (a i)) → HasProd (fun b => ∏ i ∈ s, f i b) (∏ i ∈ s, a i)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.starClosure.toNonUnitalSubalgebra = S ⊔ star S
p : ℕ
⊢ padicNorm p 0 = 0
d n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, (d + ij.2).choose d = (d + n).choose d + (d + n).choose d.succ