ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
r : α → α → Prop
h : Equivalence r
x y : α
⊢ Quot.mk r x = Quot.mk r y ↔ r x y
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
⊢ (rc * rb) • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s : Set X
hs₁ : IsClosed s
hs₂ : IsLindelof s
t : Set X
ht₁ : IsClosed t
ht₂ : IsLindelof t
⊢ ∃ k, (IsClosed k ∧ IsLindelof k) ∧ kᶜ ⊆ sᶜ ∧ kᶜ ⊆ tᶜ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : ZMod (p ^ m)
⊢ ((truncate hm).comp (zmodEquivTrunc p m).toRingHom) x = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) x)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (j + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g
⊢ ⋯.HasLift
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1
⊢ Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree
⊢ p.coeff q.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
LinearOrder α
LinearOrder β
PosSMulMono α β
SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b
⊢ a < 0 ↔ b < 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t✝ : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)
g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))
x : M
y : M'
s : Set M
t : Set M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ×ˢ (↑(extChartAt I' y).symm ⁻¹' t) ∩ range ↑I ×ˢ range ↑I' ⊆ ↑(extChartAt (I.prod I') (x, y)).symm ⁻¹' s ×ˢ t ∩ range ↑I ×ˢ range ↑I'
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : AddCommGroup M''
inst✝¹ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} = {r | IsSMulRegular M r}ᶜ
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
⊢ S.f = 𝟙 S.X₁ ≫ S.f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
⊢ rootMultiplicity a (C r) = 0
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
Small.{u, max u v} ↑F.sections
x y : (CategoryTheory.Limits.Types.Small.limitCone F).pt
w : (equivShrink ↑F.sections).symm x = (equivShrink ↑F.sections).symm y
⊢ x = y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasImage f✝
A B : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : HasImage f
h : A ⟶ underlying.obj X
w : h ≫ X.arrow = f
⊢ ((imageSubobjectIso f).hom ≫ image.lift (MonoFactorisation.mk (underlying.obj X) X.arrow h ⋯)) ≫ X.arrow = (imageSubobject f).arrow
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ' : QuasiIso φ'
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ (Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv) ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
m n : Nat
⊢ min n (min m n) = min n m
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn ((fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ∘ ⇑measurableEquivRealProd.symm) (⇑measurableEquivRealProd.symm ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
⊢ μ ≪ μ.withDensity f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_4
SemilatticeSup ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 = (sin a * cos a - sin b * cos b + b - a) / 2
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map X ℙ = μ.withDensity f ↔ MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] f
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
⊢ ⊤ ≤ contDiffGroupoid 0 I
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p
inst✝ : HasOrthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)
x : E
⊢ f ↑((orthogonalProjection p) x) ∈ Submodule.map f.toLinearMap p
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
⊢ Surjective ⇑f
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
M.FiniteRk
⊢ I.Finite
t : ℝ
⊢ ↑(expMapCircle t) = cexp (↑t * Complex.I)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : C
⊢ EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => CategoryTheory.SemiadditiveOfBinaryBiproducts.leftAdd X Y x x_1) 0
α : Type u_1
AddGroup α
DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
⊢ DevosAddRel x y ↔
  (x.1 + x.2).card < (y.1 + y.2).card ∨
    (x.1 + x.2).card = (y.1 + y.2).card ∧ y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card ∨
      (x.1 + x.2).card = (y.1 + y.2).card ∧ x.1.card + x.2.card = y.1.card + y.2.card ∧ x.1.card < y.1.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
S : Set X
x : X
⊢ (x ∉ S → Disjoint (𝓝 x) (𝓟 S)) ∧ (x ∈ S → Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)) ↔ Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
ContinuousSMul ℝ V
c : ℝ
K : ConvexBody V
⊢ ↑(c • K) = c • ↑K
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Type u_5
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.comap f (⨆ i, Subsemigroup.map f (S i)) = iSup S
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0
⊢ Injective fun x => x ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) c} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.inverse.map f =
    CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Inverse.map f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ CategoryTheory.Pretopology.toGrothendieck C ⊥ = ⊥
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
n : Nat
⊢ List.Pairwise R l → List.Pairwise R (List.drop n l)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)
⊢ integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x) = ∫ (x : ℝ) in d + a..d + b, f x
⊢ RingHom.StableUnderBaseChange @RingHom.FiniteType
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v w : E
⊢ w ∈ K → ⟪v - orthogonalProjectionFn K v, w⟫_𝕜 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : Rˣ
⊢ (x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'
α : Type u_1
β : Type u_2
val : α
⊢ Function.Embedding.inl val = Sum.inl val
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
hc : (↑n + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 4 else 1
⊢ ((W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).natDegree ≤ 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) ∧ (W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).coeff (2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
⊢ List.count s(u, x) (p.takeUntil u h).edges ≤ 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)
⊢ ∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc (-A) A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
α : Type u_1
I E : Set α
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E)✶ = Matroid.uniqueBaseOn (E \ I) E
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f₁ f₂ : MvPolynomial σ K
h : f₁.totalDegree + f₂.totalDegree < Fintype.card σ
F : Bool → MvPolynomial σ K := fun b => bif b then f₂ else f₁
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f₁ = 0 ∧ (eval x) f₂ = 0 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)
a : α
s : Multiset α
induct : ∀ (n : α), (∀ a ∈ s, Prime a) → (∀ a ∈ s, a ∣ n) → (∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1) → s.prod ∣ n
n : α
h : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Prime a_1
div : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, a_1 ∣ n
uniq : ∀ (a_1 : α), countP (Associated a_1) (a ::ₘ s) ≤ 1
⊢ (a ::ₘ s).prod ∣ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ (μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet =
  μ.restrict μ.sigmaFiniteSet
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S T : Submonoid N
f : F
⊢ Submonoid.comap f (S ⊓ T) = Submonoid.comap f S ⊓ Submonoid.comap f T
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
h : ∀ o' < o, P I o'
hho : o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C o
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : cofinite ≤ l
s : ℕ → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
⊢ l.kerᶜ.Countable
β : Type u_1
α : Type u_2
self : Besicovitch.TauPackage β α
⊢ 1 < self.τ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C ↔ Small.{w, u} (CategoryTheory.Skeleton C)
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det
⊢ (-1) ^ ↑i * (↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det) = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ⊤.obj.left = X
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
f : α → β
⊢ (Mathlib.Vector.map f v).tail = Mathlib.Vector.map f v.tail
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∩ s
⊢ a ∈ y ∩ t
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type v
S : Type w
e : α ≃ S
⊢ Small.{w, v} α
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : s ⊆ e.source
⊢ IsOpen (↑e '' s) ↔ IsOpen s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesLimitPair.iso G X Y).inv ≫ G.map CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  CategoryTheory.Limits.prod.fst
α : Type u_3
β : Type u_4
AddZeroClass α
AddCommMonoid β
g : α →+ β
a : α
⊢ (AddMonoidHom.coeFn α β) g a = g a
α : Type u_1
M : Matroid α
B I : Set α
hB : M.Base B
hI : M.Indep I
hBI : B ⊆ I
⊢ B = I
α : Type u_3
Preorder α
CommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
T2Space α
f : ℕ → α
c : α
hf : Multipliable f
h : ∀ (n : ℕ), ∏ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ ∏' (n : ℕ), f n ≤ c
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F G : CategoryTheory.Functor A B
H I : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
a : A
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.sum α β).app (Sum.inl a) = α.app a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ J.toPlus P ≫ (J.isoToPlus P hP).inv = 𝟙 P
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
x : m → R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (F.obj ∘ f)
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (F.splitMonoBiproductComparison' f).retraction = F.biproductComparison f
m n k : ℕ
⊢ -[m+1] >>> (↑n + ↑k) = -[m+1] >>> ↑n >>> ↑k
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ < b₂
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊂ Set.Icc a₂ b₂
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
this✝ : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
f : TopCat.FiniteDiagramArrow G
a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val
this : T2Space ((forget TopCat).obj (F.obj f.snd.fst))
⊢ Continuous fun y => y f.snd.fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ ConvexCone.strictlyPositive 𝕜 E ↔ 0 < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ F.mapIso i.symm = (F.mapIso i).symm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ (CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P R ∧
    ∀ (x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔
  CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : CategoryTheory.GradedObject (I₁ × I₂) C
d₁ : (i₁ i₁' : I₁) → (i₂ : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁', i₂)
d₂ : (i₁ : I₁) → (i₂ i₂' : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁, i₂')
shape₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁), ¬c₁.Rel i₁ i₁' → ∀ (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ = 0
shape₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), ¬c₂.Rel i₂ i₂' → d₂ i₁ i₂ i₂' = 0
d₁_comp_d₁ : ∀ (i₁ i₁' i₁'' : I₁) (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₁ i₁' i₁'' i₂ = 0
d₂_comp_d₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' i₂'' : I₂), d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₂ i₁ i₂' i₂'' = 0
comm : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ i₂' : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₂ i₁' i₂ i₂' = d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₁ i₁ i₁' i₂'
i₁ i₁' : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((HomologicalComplex₂.ofGradedObject c₁ c₂ X d₁ d₂ shape₁ shape₂ d₁_comp_d₁ d₂_comp_d₂ comm).d i₁ i₁').f i₂ =
  d₁ i₁ i₁' i₂
α : Type u_7
⊢ ↑id = PFun.id α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
x : ↥(unop (op U))
⊢ 0 = ↑0 x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨f, ⋯⟩
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : f₁ =o[l] f₂
⊢ f₂ =Θ[l] (f₁ + f₂)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
⊢ ∃ x ∈ s, dist x y < r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
i j : ℕ
⊢ s.nondegComplex.d i j = s.d i j
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅h, f⁆ = -(2 • f)
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ ↑n ∈ s
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
g : Filter β
a : α
⊢ pure a +ᵥ g = Filter.map (fun x => a +ᵥ x) g
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
heq : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → μ[∑ i ∈ s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ s, μ[f i|m]
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ μ[∑ i ∈ insert i s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ insert i s, μ[f i|m]
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
n : ℕ
⊢ seqTendstoAeSeq hfg n < seqTendstoAeSeq hfg (n + 1)
p : ℕ
i n : ℕ
h : 2 ≤ p
⊢ n / p ^ i = Nat.ofDigits p (List.drop i (p.digits n))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = π / 2 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C
α : Type u_1
l : Array α
⊢ l.data.length = l.size
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ s, zeroLocus 𝒜 s = Uᶜ