ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
hf : SmoothWithinAt I I' f s x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDerivWithin n (-f) s x = -iteratedDerivWithin n f s x
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
⊢ (v ≠ w ∧ ∃ e ∈ G.edgeSet, v ∈ e ∧ w ∈ e) → G.Adj v w
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card
h_deg_eq : degree 0 = g.degree
hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x 0 = eval x g
⊢ 0 = g
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A
a : A
n✝ : ℕ
⊢ (a ^ n✝ * if n✝ = 1 then 1 else 0) = a * if n✝ = 1 then 1 else 0
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α
⊢ f (x + (↑n * (2 * c) + c)) = -f x
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.FinitePresentation R B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.liftedCone D c t).π.app j).f = c.π.app j
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
d : Derivation R A M
a : A
f : Polynomial R
⊢ (d.compAEval a) f = (Module.AEval.of R M a) (d ((Polynomial.aeval a) f))
n : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ j ≤ i.pred hi ↔ j.succ ≤ i
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
e : Sym2 V
⊢ e ∈ p.toSubgraph.edgeSet ↔ e ∈ p.edges
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
∀ (X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁) (X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂)
    (X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃),
    ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ Y₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
i : J
⊢ (((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMap F p).map φ).app X₂).app X₃ i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapMap F p φ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₂)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃) i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ 0 < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : a = 0
⊢ a % a = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R I X : Set α
hR : R ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ (M.restrict R).Basis I X ↔ M.Basis I X ∧ X ⊆ R
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E
y : α
yE : y ∈ E
hy : infEdist x E = edist x y
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ
p : ℕ
h : φ p = p - 1
hp : 1 < p
⊢ Prime p
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).a₂ = φ E.a₂
M : Type u_1
Nonempty M
AddSemigroup M
TopologicalSpace M
CompactSpace M
T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x + r
⊢ ∃ m, m + m = m
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } = { ofColex := t } ↔ s = t
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.map σ f) (MvPowerSeries.X s) = MvPowerSeries.X s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
h : Differentiable 𝕜 f
⊢ Continuous f
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ P (pullback.fst f g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin j, r * (a ^ s j * p (s j)) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F G
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesLimit.preserves t).lift (G.mapCone c₂) = G.map (t.lift c₂)
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
⊢ 0 < e.oadd n a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
σ : Type u_5
f : σ → E →L[𝕜] B
p : MvPolynomial σ B
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.eval fun x_1 => (f x_1) x) p) Set.univ
ε : Type u
α : Type u_1
⊢ Except.map id = id
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
⊢ MvPFunctor.M.dest P (MvPFunctor.M.corec P g x) = (TypeVec.id ::: MvPFunctor.M.corec P g) <$$> g x
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
l : Filter α
c : F''
hc : c ≠ 0
⊢ (f'' =o[l] fun _x => c) ↔ Filter.Tendsto f'' l (𝓝 0)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ c ∈ image₂ f s t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, f a b = c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β
⊢ f.preimage (s ∪ t) = f.preimage s ∪ f.preimage t
G : Type u_1
Group G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ MulAction.stabilizer G ↑s = s.unop
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_4
Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
i : ι
⊢ (Monoid.CoprodI.lift fi).comp Monoid.CoprodI.of = fi i
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
F : N ⋊[φ] G →* H
⊢ ∀ (x : N ⋊[φ] G), F x = (lift (F.comp inl) (F.comp inr) ⋯) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero Y
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.restrict I = Matroid.freeOn I
α : Type u
Preorder α
b : α
a : α
hb : IsLUB (Set.Iio a) b
⊢ b ≤ a
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.ΓIso f U).inv =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U)
    ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U) ⋯
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R x ≫ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x =
  𝟙 (CommRingCat.of (Localization.AtPrime x.asIdeal))
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i.down
m : ℕ
⊢ m % 2 + (m + 1) % 2 = 1
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ F.Stable ↔ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
⊢ Filter.liminf f ⊥ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : Nat
a : Fin (n + 1)
⊢ a.castSucc ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
⊢ IsChain r univ ↔ IsTrichotomous α r
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddZeroClass β
inst✝ : ContinuousAdd β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
hg : l.ZeroAtFilter g
⊢ l.ZeroAtFilter (f + g)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
⊢ 0 * b < 0
w z : ℂ
⊢ ⟪w, z⟫_ℝ = ((starRingEnd ℂ) w * z).re
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lTensor M f) ↔ Function.Surjective ⇑(LinearMap.rTensor M f)
α : Type u_2
Monoid α
p : { p // p.1 * p.2 = 1 ∧ p.2 * p.1 = 1 }
⊢ ↑((unitsEquivProdSubtype α).symm p) = (↑p).1
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ ∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x) → (lift (f + g)) (-of x) = (lift f) (-of x) + (lift g) (-of x)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
F' : Type u_6
TopologicalSpace F'
e : Trivialization F proj
h : F ≃ₜ F'
x : Z
⊢ ↑(e.transFiberHomeomorph h) x = ((↑e x).1, h (↑e x).2)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : I.pi t ⊆ eval i ⁻¹' s
⊢ s ∈ f i
m n : ℤ
⊢ (m * n).bodd = (m.bodd && n.bodd)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f g : α → β
h : f = g
a : α
⊢ ⋯ = ⋯
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ False
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)
⊢ ↑(skewAdjoint.negISMul a) = -Complex.I • ↑a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ
this : ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ)
⊢ ∀ a ∈ sᶜ, ENNReal.ofReal (g a) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁✝ a₂✝ a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
⊢ (algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)) → IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
⊢ ∅.Finite ↔ BddBelow ∅ ∧ BddAbove ∅
s : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(↑n ^ s) * ↑n ! / ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑x) = ↑n ^ ↑s * ↑n ! / ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑x)
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
⊢ |log x * x| < 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsSigmaCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsSigmaCompact s
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
⊢ derivedSet (closure A) ⊆ closure A
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
⊢ (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀) ↔ M.Base B
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
h₁ : (∑ i ∈ range n, x ^ i * (-y) ^ (n - 1 - i)) * (x - -y) = x ^ n - (-y) ^ n
⊢ x + y ∣ x ^ n + y ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
⊢ F.μ X Y ≫ (F.μIso X Y).inv = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (F.obj X) (F.obj Y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ MapsTo f s ∅ ↔ s = ∅
n : ℕ
⊢ Polynomial.bernoulli n = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), (Polynomial.monomial i) (bernoulli (n - i) * ↑(n.choose i))
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y), SimplexCategory.toCat.map f = ⋯.functor
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
self : CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
U : C
s : (CategoryTheory.forget A).obj (G.obj (Opposite.op U))
⊢ CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f s ∈ J.sieves U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x • g x) s
α : Type u_1
f : α → NNReal
a : NNReal
⊢ ∑' (x : α), f x * a = (∑' (x : α), f x) * a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly).degree < M.charpoly.degree
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
f' : β ≃ γ
⊢ ∀ (a : α), ↑(e.transEquiv f') a = f' (↑e a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ ∃ n, s ⊆ interior (K n)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop ↔ n ≠ 0 ∧ 0 < c
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
hs : s.Nonempty
B : α
hB : B ∈ lowerBounds s
⊢ f B ≤ sInf (f '' s)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ MeasurableSet (Ioc c b)
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A.det * (J l R).det * A.det = (J l R).det
⊢ (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
n m : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
g : Vector ℕ n → Vector ℕ m
hf : Partrec' ↑f
hg : Vec g
i✝ : Fin m.succ
i : Fin m
⊢ Partrec' fun v => ↑(some (((fun v => f v ::ᵥ g v) v).get i.succ))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ
⊢ p + b + a = p + a + b
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a.fmod b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ {x : ℝ}, dist x 0 < δ → dist (b x) 0 < ε
x y : β
hxy : dist x y < δ
i : ι
⊢ dist (F i x) (F i y) < ε
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
b0 : 0 ≤ b
⊢ a * b ≤ 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inl z)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊔ y = x \ y ⊔ y \ x ⊔ x ⊓ y
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
⊢ (x + y).intDegree ≤ max x.intDegree y.intDegree
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
⊢ Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n = 0
⊢ IsNilpotent f
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ X ⊆ M.closure (Y ∩ M.E)
X Y Z : AddMonCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
hf : Function.Involutive f
hf' : Measurable f
a : α
⊢ (MeasurableEquiv.ofInvolutive f hf hf') a = f a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ ∀ {X Y : Subobject B}, X.Factors f ∧ Y.Factors f → (X ⊓ Y).Factors f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
x y : ℝ
⊢ Set.Icc x y = Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a : α
MulPosStrictMono α
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => x * a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ ({ down := f }.seq fun x_1 => { down := x }) = { down := f x }
x a : ℂ
⊢ a = 0 ^ x ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ∀ (k : ι), ¬c.Rel j k
⊢ c.next j = j
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
R : Type u_2
CommRing R
abv : AbsoluteValue R 𝕜
⊢ (𝓤 R).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {p | abv (p.2 - p.1) < ε}
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
⊢ ∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝.toFun (x * y) = __src✝.toFun x * __src✝.toFun y
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑WittVector.verschiebung)^[n] x'
n : ℕ
a : ℕ
⊢ (↑a).val = a % n
R : Fin 2 → Type u_1
(i : Fin 2) → Semiring (R i)
⊢ ∀ (a : R 0 × R 1) (i : Fin 2), (RingEquiv.piFinTwo R).symm a i = (piFinTwoEquiv R).invFun a i
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
jb : β ia
⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ia, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ia jb
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : ¬a < b
⊢ Set.Ioc a b = ∅
M : Type u_1
AddSemigroup M
V : Ultrafilter M
⊢ Continuous fun x => x + V
α : Type u
s : Set (TopologicalSpace α)
a : α
⊢ 𝓝 a = ⨅ t ∈ s, 𝓝 a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
DistribMulAction ℚ≥0 α
PosSMulMono ℚ≥0 α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ |q • a| = q • |a|