ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits ↥S
⊢ ↑↑x + ↑↑(-x) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
v : M
x : CliffordAlgebra Q
fx : N
⊢ ((ι Q) v * ((ι Q) v * x), (f v) ((ι Q) v * x, (f v) (x, fx))) = Q v • (x, fx)
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n =
  (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 2)
α : Type u_1
a : Part α
ha : a.Dom
b : α
⊢ a.get ha = b ↔ a = Part.some b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico i j, 0 =ᶠ[ae μ] 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ MeasureTheory.volume (Zspan.fundamentalDomain (NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K)) =
  2⁻¹ ^ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K * ↑(NNReal.sqrt ‖NumberField.discr K‖₊)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑C
⊢ ((πs C o) (Products.eval (π C fun x => ord I x < o) ↑l)) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
x : 𝕎 R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i (truncateFun n x) = x.coeff ↑i
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)
h₃ : ↑(weightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i
⊢ (a • α + ↑b • χ) x = ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M) x) ⋯)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K
⊢ ∃ x, ∀ (y : ClassGroup (𝓞 K)), y = x
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((thickenedIndicator ⋯ F) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ F))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(pullback.fst f g ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
a b c : Int
H : b ≠ 0
H' : b ∣ a
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
a : α
irr : Irreducible a
primal : IsPrimal a
⊢ Prime a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + x)) atTop (𝓝 1)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
⊢ G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => star (f y)) s
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))
this : HasDerivWithinAt f e (Icc b a) a
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.sheafificationIsoPresheafToSheafCompSheafToPreasheaf D).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (J.sheafify X)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : γ → α
⊢ ∑' (y : β), Function.extend g f 0 y = ∑' (x : γ), f x
α : Sort u
h : DecidableEq α
a : α
⊢ h a a = isTrue ⋯
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
f : α → M
⊢ ⇑(FreeAddMonoid.lift f) ∘ FreeAddMonoid.of = f
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a < 0
⊢ |a| = -a
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ (∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, if x_1.1 = x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • Q (bm x_1.1) else if x_1.1 < x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • polar (⇑Q) (bm x_1.1) (bm x_1.2) else 0) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.cgf 0 μ t = Real.log (μ Set.univ).toReal
m n a b c d : ℤ
⊢ a ≡ 0 [ZMOD n] ↔ n ∣ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
⊢ ((CategoryTheory.Limits.idZeroEquivIsoZero X) h).inv = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃* P
x : N
⊢ (f.mulEquivOfLocalizations (f.ofMulEquivOfLocalizations k)) x = k x
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (-x) (-y)
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ l.length - 1 ≤ 2 * List.count b l
α : Type u
β : Type v
data : Lean.HashMapBucket α β
i : USize
d : Lean.AssocList α β
h : i.toNat < data.val.size
⊢ (data.update i d h).val.size = data.val.size
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₂) ((Matrix.toLin v₁ v₂) M) = M
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
d : D
c : C
s s' : d ⟶ F.obj c
c₀ : C
f : IsFiltered.coeq s s' ⟶ F.obj c₀
⊢ s ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f)) = s' ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f))
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Ideal R
⊢ ↑↑I = IsLocalization.coeSubmodule P I
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (f ^ (n + 1)) x = (⇑f)^[n + 1] x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : max 0 δ < ε), thickening ε E
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
ia : ι
a : 𝒜 ia
ib : ι
b : ℬ ib
⊢ ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r * (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ 0) GradedMonoid.GOne.one * (lof R ι ℬ ib) b) = (r • (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
h : List.Sorted r l
k : ℕ
x y : α
hx : x ∈ List.take k l
hy : y ∈ List.drop k l
⊢ r x y
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x : DirectLimit G f
h✝ : Nonempty ι
⊢ F x = (lift R ι G f (fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) ⋯) x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
this : InjOn (⇑(span R (range ⇑root)).subtype.dualMap) (range (⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot))
⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip (coroot l)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ < b ↔ 1 < a * b
α β : Type u
S : Set (α ⊕ β → ℕ)
⊢ Dioph S → Dioph {v | ∃ x, v ⊗ x ∈ S}
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ≤ c ^< ℵ₀
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y ≠ y ↔ x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
p : Polynomial R
r s : R
⊢ p.scaleRoots (r * s) = (p.scaleRoots r).scaleRoots s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ N.X ▷ Z.X ≫ (α_ M₂.X N.X Z.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actRight ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)
α : Sort u
β : α → Sort v
r : α → α → Prop
s : (a : α) → β a → β a → Prop
ha : WellFounded r
hb : ∀ (x : α), WellFounded (s x)
⊢ WellFounded (PSigma.Lex r s)
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists.Perm l.sublists'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
i : Nat
cs : Array γ
hia : i ≤ as.size
hib : i ≤ bs.size
h : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)
⊢ (if h : i < as.size then let a := as[i]; if h : i < bs.size then let b := bs[i]; zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b)) else cs else cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : Field k
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq k
f : R →+* k
x y : R[X]
x✝ : x ≠ 0
ih : EuclideanDomain.gcd (map f (y % x)) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd (y % x) x)
⊢ EuclideanDomain.gcd (map f x) (map f y) = map f (EuclideanDomain.gcd x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.einfsep ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Add γ
MeasurableAdd γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => f x + c) (fun x => g x + c) μ ν
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
a b : Γ
L R : ListBlank Γ
⊢ ∀ {L' R' : ListBlank Bool} (l₁ l₂ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c₁ * f x ≤ f u
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : Function.IsFixedPt f x
hy : Function.IsFixedPt f y
⊢ x = y ∨ edist x y = ⊤
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
⊢ Module.End.eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ = ⊥
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (𝟭 C).map f✝ ≫ (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) Y✝ = (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
R : CategoryTheory.Sieve Y
Z : C
gf : Z ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.pushforward f R).arrows gf = ∃ g, CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = gf ∧ R.arrows g
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0) = MvPolynomial.constantCoeff Φ
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f
⊢ IsLUB (Set.range (f ∘ ⇑c)) (f (ωSup c))
X Y : TopCat
f : X ≅ Y
⊢ TopCat.isoOfHomeo (TopCat.homeoOfIso f) = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
x : F
⊢ ((c • μ) s).toReal • x = c.toReal • (μ s).toReal • x
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this✝ : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
this : Ideal.absNorm ↑I = 1
⊢ ClassGroup.mk0 I = 1
R : Type u
M : Type v₁
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R P
Module R Q
Module.Free R M
Module.Finite R M
x : TensorProduct R P (M →ₗ[R] Q)
⊢ (lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) x = (TensorProduct.lTensorHomToHomLTensor R M P Q) x
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.fib (n + 2)) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommGroup α
l : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => (u x)⁻¹) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l u
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s
⊢ (Finset.cons b s hb).inf' ⋯ f = f b ⊓ s.inf' H f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ (insert a ∅).max = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable β
s : β → Set α
hm : ∀ (i : β), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ = ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀
this : I₀ ≠ 0
⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
eq : F.map (G.map F.ε) ≫ h.counit.app (F.obj (𝟙_ C)) = h.counit.app (𝟙_ D) ≫ F.ε
⊢ (F.ε ≫ F.map ((h.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)) (inv F.ε))) ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = 𝟙 (𝟙_ D)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.leftUnitorEquivalence C).unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (𝟭 (CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1} × C))
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ f.curryRight.uncurryRight = f
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
j : ι
hij : c.Rel j (c.next j)
⊢ inlX φ (c.next j) j hij ≫ sndX φ j = 0
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑(v.map f.toLinearEquiv)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ ↔ MeasureTheory.Integrable g μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ p.closedBall x r ↔ x✝ ∈ ∅