ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
⊢ weightedTotalDegree' w p ≤ ↑(weightedTotalDegree w p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ (CategoryTheory.monadToFunctor C).obj T = T.toFunctor
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
i : ι
⊢ P₁.root i ∈ span R (range ⇑P₁.root)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).inverse = Comon_.Mon_OpOpToComon_ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
hν : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ + ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
⊢ ¬SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
A : C
f g : A ⟶ (CochainComplex.mappingCone φ).X i
h₁ : f ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij = g ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij
h₂ : f ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯ = g ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯
⊢ f = g
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
s : Set α
x : α
hx : IsLUB (f '' s) (f x)
⊢ IsLUB s x
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
⊢ IsCyclic α
n : ℕ
c : Composition n
⊢ (Nat.Partition.ofComposition n c).parts = ↑c.blocks
it : Iterator
n : Nat
⊢ it.forward n = it.nextn n
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t u : Set E
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
hu : Convex 𝕜 u
⊢ convexJoin 𝕜 s t ⊆ u
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
⊢ L = L'
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzOnWith C f univ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ (parallelPair (Over.homMk c.fst ⋯).op (Over.homMk c.snd ⋯).op).Initial
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ a ∉ l₁.keys → List.kerase a (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ List.kerase a l₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ (f x ~ᵢ f y) ↔ (x ~ᵢ y)
K : Type u_5
LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.Ici ↑q = Set.Ici q
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIcoMod hp a a = a
f✝ : Bool → Bool → Bool
C : ℕ → Sort u_1
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (bit b n)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ binaryRec z f n = cast ⋯ (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
⊢ (UV.compression u v s).card = s.card
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)
⊢ (eqToHom ⋯ ≫ F₁.map ((Q W).map f.s) ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I) = ↑↑I.num
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u : U
e : Quiver.Costar u
⊢ ((Quiver.starEquivCostar u).symm e).snd = Quiver.reverse e.snd
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts
⊢ |(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) -
      ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤
  ε ^ 5 / 49
G : Type u_6
H : Type u_7
Group G
Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Injective ⇑φ
L : Subgroup G
n : (Subgroup.map φ L).Normal
⊢ L.Normal
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
H1 : (B x) y = 0
⊢ (B y) x = 0
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
⊢ μ.IsHaarMeasure
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : 0 < a
⊢ -a < a
n : ℕ
⊢ (n + 1 + 1).choose (n + 1) = n + 1 + 1
α : Type u_1
CircularPreorder α
a : α
⊢ btw a a a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ UniformContinuous fun x => Metric.infDist x s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
a : ℕ
⊢ (X * p).coeff a.succ = p.coeff a
ι : Type u_1
α : Type u_3
a : α
s : Finset ι
m : ι → Multiset α
⊢ a ∈ ∑ i ∈ s, m i ↔ ∃ i ∈ s, a ∈ m i
F : Type u
Field F
f g : F[X]
q : ℕ
ExpChar F q
h : Polynomial.IsSeparableContraction q f g
⊢ f.natSepDegree = g.natDegree
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
LindelofSpace X
h : IsClosed s
⊢ IsLindelof s
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Pair M i
m : M j
⊢ ⟨j, m⟩ ∈ (if h : p.head = 1 then p.tail else { toList := ⟨i, p.head⟩ :: p.tail.toList, ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ ¬m = 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f ↔ ker f = ⊥
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
f : α → β
e : β ≃ γ
⊢ Function.Surjective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Surjective f
α : Type u_11
β : Type u_12
Monoid α
self : MulAction α β
x y : α
b : β
⊢ (x * y) • b = x • y • b
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a / c * (b * c) = a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
hY : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoZeroBiprod hY).inv = CategoryTheory.Limits.biprod.snd
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'
⊢ K.descOpcycles k j hj hk ≫ α = K.descOpcycles (k ≫ α) j hj ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
x : X
L : Set X
hLc : IsCompact L
hxL : L ∈ 𝓝 x
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun K => K ∈ 𝓝 x ∧ IsCompact K ∧ IsClosed K) fun x => x
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : IsRightCancelMulZero α
x y : α
h : x * y = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
R : Type u
CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
⊢ ⊥.jacobson = ⊥
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ deriv (fun x => √x * log x) x = (2 + log x) / (2 * √x)
α : Sort u
⊢ Countable α ↔ ∃ f, Function.Injective f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
⊢ List.ofFn f = f 0 :: List.ofFn fun i => f i.succ
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m n R
v : m → R
⊢ (Matrix.toLinearMapRight' M) v = v ᵥ* M
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p.toOuterMeasure {a} = p a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
h : sq.IsPushout
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span sq.f₁₂ sq.f₁₃) F
⊢ (sq.map F).IsPushout
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
p : Polynomial R
q : ↥(nonZeroDivisors (Polynomial R))
⊢ (RatFunc.laurentAux r) { toFractionRing := Localization.mk p q } =
  { toFractionRing := Localization.mk ((Polynomial.taylor r) p) ⟨(Polynomial.taylor r) ↑q, ⋯⟩ }
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k ∈ range (n + 1)
⊢ C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n + 1 - k) = (expand p) (C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n - k))
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x : α
⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (x, 0)‖ = ‖x‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
Zero M'
x : M
hx : x ∉ tsupport f
n : ℕ∞
s : Set M
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofZeros S hf hg).p = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Ι a b ↔ b < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T ≅ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).inv.τ₃ = e.inv.hom₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a b ∩ Ioi c = Ioc (a ⊔ c) b
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
SMulZeroClass S R
a : S
n : ℕ
b : R
⊢ a • (Polynomial.monomial n) b = (Polynomial.monomial n) (a • b)
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ a, 1 < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ W f → W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) → W g
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
⊢ ∑ a ∈ filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts, (a \ (filter (fun x => x ⊆ a) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
α : Type u_1
n : ℕ
Zero α
⊢ Matrix.vecHead 0 = 0
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
⊢ (I • J) • N = I • J • N
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → α
g✝ : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
f : α → α
g : β → β
fst✝ : α
snd✝ : β
⊢ ∀ (c : ℕ), minimalPeriod (Prod.map f g) (fst✝, snd✝) ∣ c ↔ (minimalPeriod f (fst✝, snd✝).1).lcm (minimalPeriod g (fst✝, snd✝).2) ∣ c
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
m n k : α
⊢ gcd (gcd m n) k = gcd m (gcd n k)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hne : s.Nonempty
A : 0 < infDist x s
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < infDist x s
⊢ ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
α : Sort u_1
P : α → Prop
⊢ (∃ a, P a) ∨ ∀ (a : α), ¬P a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a +ᵥ b) = π b
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a +ᵥ b)) • f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i
n : ℕ
⊢ f.iterateMapComap i n K = f.iterateMapComap i (n + 1) K
α : Type u_1
E I X : Set α
⊢ (Matroid.freeOn E).Basis' I X ↔ I = X ∩ E
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ List.modifyNth f n l = List.take n l ++ f l[n] :: List.drop (n + 1) l
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
gp ppred pred : GenContFract.Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_conts_eq : g.conts n = ppred
succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = pred
⊢ g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun i x => (f₂ i) x) i ∘ (fun i x => (f i) x) i) 0 = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ IsCompl N N' ↔ IsCompl ↑N ↑N'
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f i ∈ f '' univ
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
AddCommMonoid M
f : σ →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.weight w) f = f.sum fun i c => c • w i
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
⊢ ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ∣ s.gcd ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ b) → (a ∣ (a_1 ::ₘ s).gcd ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ∣ b)
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
this : Nonempty ↑I
⊢ (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt Complex.cosh (Complex.sinh x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ (∀ a ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] a, μ t = 0) → μ s = 0
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ Y✝.unit ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M →ₗ[R] M₂
⊢ f.compRight g = f ∘ₗ g
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (b : β) → P (e.symm b)
x : α
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e).symm f x = ⋯ ▸ f (e x)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
⊢ v' = default
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ (o.oangle y (y - x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : SmoothOn I I' f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ SmoothAt I I' f x
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ balancedCoreAux 𝕜 s ⊆ s
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
y : List α
hy : y ∈ {a} * {b}∗ * {c}
⊢ y ∈ M.accepts
α : Type u_1
Inv α
a : α
⊢ (Part.some a)⁻¹ = Part.some a⁻¹
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ a : ι, f a) ^ n = ∑ p : Fin n → ι, ∏ i : Fin n, f (p i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable' m₁ f μ
x y : ℝ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A B : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ ↑(A * B) = ↑A * ↑B
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a l' : α
s : Set α
hl' : l' < a
⊢ s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Set.Ico l' a, Set.Ioo l a ⊆ s
R : Type u
CommRing R
X : ModuleCat R
Y Z : ModuleCat R
f : Y ⟶ Z
⊢ X ◁ f ≫ (X.braiding Z).hom = (X.braiding Y).hom ≫ f ▷ X
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ
this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ
⊢ η = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content
n✝ b n : ℕ
l : List ℕ
b2 : 1 < b
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
h : b.digits (n / b) = l
m0 : 0 < n / b
hr : n % b < b
e : n % b + b * (n / b) = n
⊢ b.digits n = n % b :: l
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ Disjoint xᶜ y ↔ y ≤ x