ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
q : R[X]
⊢ q * p = 0 ↔ q = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ J.toSheafify P ≫ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = η ≫ γ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) (-1) * ⟪x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
⊢ ∑' (a : ↑s), ((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
f : M →ₗ[R'] N
x : M
⊢ (TrivSqZeroExt.map f) (TrivSqZeroExt.inr x) = TrivSqZeroExt.inr (f x)
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
⊢ X ^ n - C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M ≃[L] N
n : N
⊢ n ∈ f.toHom.range ↔ n ∈ ⊤
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : i < x.order
⊢ x.coeff i = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
⊢ (↑n).toProd = ↑n
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j : ι
x : M i
hnotone : x ≠ 1
w : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
⊢ (Monoid.CoprodI.NeWord.replaceHead x hnotone w).head = x
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (RingHom.snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = Ideal.Quotient.factor (I ⊓ J) J ⋯
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set F
x : 𝕜
⊢ deriv f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ deriv f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioi a)
⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β × γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ ⨅ x ∈ s ×ˢ t, f x = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ blimsup u f p = limsup u (f ⊓ 𝓟 {x | p x})
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
⊢ #↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} = #↑{s | ∀ (n : σ), s n < Fintype.card K}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
⊢ Function.Injective ⇑((mul R A) x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalMin (g ∘ f) a
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
q : ι' → P
i : ι'
j : ι
⊢ b.toMatrix q i j = (b.coord j) (q i)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasLimit F.leftOp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
s t : Set E
x : E
⊢ gaugeRescale s t x = (gauge s x / gauge t x) • x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ↑‖↑↑f x‖₊ ^ 2 = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
LawfulApplicative m
x y : FreeAddSemigroup α
⊢ traverse F (x + y) = Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
⊢ lowerClosure t ⊔ s.sdiff t = s
a : Int
⊢ -a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H = K
x : ↥H
⊢ ↑((MulEquiv.subgroupCongr h) x) = ↑x
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∀ (x : Ordinal.{u}), ∃ x_1, p.c x_1 ∉ p.iUnionUpTo x ∧ p.R x ≤ p.τ * p.r x_1
⊢ x = y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f (L.map 0) = f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
⊢ 2 ^ s.card * (Finset.memberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.memberSubfamily a ℬ).card + 2 ^ s.card * (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card = 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ¬Disjoint (doset a ↑H ↑K) (doset b ↑H ↑K)
⊢ doset a ↑H ↑K = doset b ↑H ↑K
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
⊢ leRec refl le_succ_of_le ⋯ = le_succ_of_le ⋯ refl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
⊢ (map (Embedding.subtype p) univ).val = (filter p univ).val
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
x : ↥(Opposite.unop V)
⊢ ↑1 x = 1
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ ↑L = Set.univ ↔ L = ⊤
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype m
Semiring R
B₁ : Matrix m n₁ R
B₂ : Matrix m n₂ R
v : m → R
⊢ Matrix.vecMul v (B₁.fromColumns B₂) = Sum.elim (Matrix.vecMul v B₁) (Matrix.vecMul v B₂)
n : ℕ
h : n ≠ 0
i : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose).coeff i = ⋯.choose.coeff i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Set.Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
Zero β
⊢ ↑0 =ᵐ[μ] 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ primitiveCharacter 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β × γ → Set α
⊢ ⋃ x, f x = ⋃ i, ⋃ j, f (i, j)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
⊢ ∀ (a : ↑I × Y), p.toHomotopyConst a = p a.1
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ List.replicate (n + 1) a = List.replicate n a ++ [a]
R : Type u
CommSemiring R
a b : R
h : IsCoprime a b
⊢ IsRelPrime a b
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X
⊢ (toFinsupp a + toFinsupp b).support ⊆ (toFinsupp a).support ∪ (toFinsupp b).support
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
⊢ X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) ((X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n))
X Y : FinBoolAlg
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.map f =
  let_fun this :=
    ↑(let_fun this := f;
      this);
  this
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a✝ b✝ : G
ha : a✝ ∈ center G
hb : b✝ ∈ center G
g : G
⊢ g * (a✝ * b✝) = a✝ * b✝ * g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
hu : ∀ (n : ℕ), ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
this✝ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)
this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (⇑b '' Set.Iio j)
⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.leftInvSeq ω = (cs.rightInvSeq ω.reverse).reverse
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α
⊢ ∀ (a b : α), dist (↑α a) (↑α b) = dist (↑α b) (↑α a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.rightUnitorEquivalence C).inverse = CategoryTheory.prod.rightInverseUnitor C
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
ha : Codisjoint a c
hb : Codisjoint b c
⊢ Codisjoint (a ⇔ b) c
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ nb) num den
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ b) num den
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k
⊢ single a b ^ 0 = single (a ^ 0) (b ^ 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p (μ.restrict s)
k m : Nat
n : Nat
H : k.Coprime m
⊢ m.gcd (n * k) = m.gcd n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₁ ((EuclideanGeometry.reflection s) p₂) = dist ((EuclideanGeometry.reflection s) p₁) p₂
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
M : AddSubgroup G
nM : M.Normal
h : N ≤ M
x : G
⊢ (QuotientAddGroup.quotientQuotientEquivQuotientAux N M h) ↑↑x = ↑x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
⊢ (fun a => ⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Star R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : StarAddMonoid A
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
x : A
h : x ∈ skewAdjoint A
⊢ r • x ∈ skewAdjoint A
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
v₁ v₂ : V
⊢ v₁ - midpoint R v₁ v₂ = ⅟2 • (v₁ - v₂)
M : Type u_3
DivisionMonoid M
TopologicalSpace M
h : ContinuousOn Inv.inv {x | IsUnit x}
⊢ Embedding Units.val
m : Type u_2
m' : Type u_6
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
DecidableEq m
DecidableEq m'
One A
e : m ≃ m'
⊢ (Matrix.reindexLinearEquiv R A e e) 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
f : R[X]
m : M
n : ℕ
⊢ (f • (single R i) m) n = if i ≤ n then f.coeff (n - i) • m else 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h2 : p ≠ 2
⊢ Even (p - 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
this : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (polyOfInterest p n).vars = (↑p ^ (n + 1) * (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1) - X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) - X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)))).vars
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
LieModule.IsTriangularizable R L M
z : L
⊢ LieModule.traceForm R L M = ∑ χ ∈ ⋯.toFinset, LieModule.traceForm R L ↥↑(LieModule.weightSpaceOf M χ z)
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * A₁.fromRows A₂ = (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂).fromRows (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂)
x : ONote
inst✝¹ : x.NF
o : ONote
inst✝ : o.NF
⊢ (x.scale o).repr = ω ^ x.repr * o.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : α
h : inl a < inl b
⊢ ∃ b, a < b
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
x : A
h : SetLike.Homogeneous 𝒜 x
hmem : x ∈ I
⊢ x ∈ Ideal.homogeneousCore 𝒜 I
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (β × β)
hV : SymmetricRel V
x y : β
⊢ x ∈ ball y V ↔ y ∈ {y | (y, x) ∈ V}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso fst
CategoryTheory.IsIso g
sq : CategoryTheory.CommSq fst snd f g
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
⊢ ¬I = ⊤ → I = ⊥
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z ↔ w = f ↑y * z
α : Type u
f : Filter α
x y : Set α
hx : x ∈ f
hxy : x ⊆ y
⊢ y ∈ f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 0 ↔ IsField R
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ IsDedekindDomain Aₘ
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
g : β → α
hfg : Set.LeftInvOn g f s
⊢ Set.LeftInvOn (Filter.map g) (Filter.map f) (Set.Iic (𝓟 s))
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W.negAddY P Q = (-WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q) ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν) μ
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝¹ : Coreflective j
A : D
inst✝ : IsSplitEpi ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
ε : coreflector j ⋙ j ⟶ 𝟭 D := (coreflectorAdjunction j).counit
this : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))
⊢ A ∈ j.essImage
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
⊢ ⊤ • span R {x} ≤ M'
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
⊢ ∀ (x : MeasureTheory.SignedMeasure α × MeasureTheory.SignedMeasure α),
  MeasureTheory.ComplexMeasure.equivSignedMeasure.symm x =
    match x with
    | (s, t) => s.toComplexMeasure t
R : Type u
AddGroupWithOne R
m n : ℤ
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ∫ (a : V), ‖𝐞 (-⟪a, w⟫_ℝ) • (f a - f (a + i w))‖ < 2 * ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Neg Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
⊢ IsLocallyConstant (-f)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ (Classical.choose ⋯).1
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (Classical.choose ⋯).1).symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
n b m : ℕ
hm : m ≠ 0
this : (b + 2).digits m ≠ []
⊢ (b + 2) ^ ((b + 2).digits m).length ≤ (b + 2) * m
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
⊢ f.eraseLead.support.card < f.support.card
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫ (a : α), (f - g) a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ - ∫ (a : α), g a ∂μ
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ padicNorm p ↑p < 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] s
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (b - m • p) = toIocDiv hp a b - m
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
m : A
a : α
S : AddSubmonoid A
⊢ m ∈ S → a • m ∈ a • S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
⊢ Continuous fun p => edist p.1 p.2
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent φ φ