ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 } → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 }
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₐc[R] B
⊢ (↑↑f).toLinearMap = ↑f
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
⊢ n + 1 < a ^ n * a
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
⊢ (l.lift' closure).HasBasis p fun i => closure (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : Independent fun i => t ↑i
⊢ Independent t
α : Type u_4
Infinite α
⊢ Function.Injective (Infinite.natEmbeddingAux α)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] n → R
⊢ Matrix.toLinAlgEquiv' (LinearMap.toMatrixAlgEquiv' f) = f
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ StarSubalgebra.comap (StarAlgHom.id R A) S = S
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ (fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a => (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
ha : b ∈ insert a s
hb : b ∉ s
⊢ b = a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => c) x = 0 x
p : ℚ → Prop
h : ∀ (a b : ℤ), p (↑a / ↑b)
q : ℚ
this : p (↑q.num / ↑↑q.den)
⊢ p q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hμinter : (μ.singularPart ν) (A ∩ (S ∩ T)) = 0
⊢ s A = (μ.singularPart ν) A
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
E : (i : I) → C i ≌ D i
⊢ (CategoryTheory.Equivalence.pi E).functor = CategoryTheory.Functor.pi fun i => (E i).functor
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ dist (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) (∑ k ∈ Finset.range n, u k) = ‖u n‖
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set ↑s
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ) t = μ (Subtype.val '' t)
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Tuple.sort f = Equiv.refl (Fin n) ↔ Monotone f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α
⊢ s.seq (t.seq u) = (((fun x x_1 => x ∘ x_1) '' s).seq t).seq u
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
CompleteLattice β
a : α
⊢ ⊤ a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ IsUpperSet s
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
Coalgebra R M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CoalgebraCat.of R M)).hom.toCoalgHom.toLinearMap = ↑(TensorProduct.lid R M)
R : Type u
n : ℕ
CommRing R
IsDomain R
η₁ η₂ : R
hη₁ : η₁ ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R
hη₂ : η₂ ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R
⊢ η₁ * η₂ ∈ Polynomial.nthRootsFinset n R
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
b : α
hb : b ∈ u
c : α
hc₁ : a⁻¹ • c ∈ t
hc₂ : b⁻¹ • c ∈ t
⊢ a ∈ u * (t / t)
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xl
j : yl
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inl (i, j)) =
  xL i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yL j - xL i * yL j
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) MeasureTheory.volume (a / c) (b / c)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (⇑(piCongrLeft α f).symm ⁻¹' univ.pi fun i' => t (f i')) = univ.pi t
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜
⊢ PiLp.basisFun p 𝕜 ι = (Pi.basisFun 𝕜 ι).map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (ι → 𝕜)).symm
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b
⊢ ∃ n > 0, (↑n)⁻¹ * a < b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∀ x ∈ s, w x • (p x -ᵥ p i) = 0
α : Sort u
⊢ ¬Countable α ↔ Uncountable α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y
⊢ UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a - b = 0
⊢ a ≤ b
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
w : V
⊢ b.repr ((fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w)) = b.repr w
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
β : Type u_4
Preorder β
f g : α → β
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x
⊢ f ≤ᵐ[μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ K.toSubmonoid ↔ x ∈ K
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x x' : E
⊢ x = x' → f x = f x'
n d a : Int
a0 : a ≠ 0
⊢ n * a /. (d * a) = n /. d
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ ↑(AddAction.stabilizer G s) + s = s
K : Type u
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R K[X]
inst✝ : IsScalarTower R K[X] K[X]
c : R
p q : K[X]
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (c • p) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = c • ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q)
n : ℕ
⊢ 0 ≤ Real.log (-↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
One γ
⊢ Sum.elim 1 1 = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : N ≃* M
K : Submonoid M
⊢ Submonoid.comap f K = Submonoid.map f.symm K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofColimitCocone ht).inl = t.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
⊢ Continuous (preStoneCechExtend hg)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l
hlx₁ : l x₁ ≤ l x
hlx₂ : l x₂ ≤ l x
⊢ x₁ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ x₂ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
α : Type u
Monoid α
⊢ 1 ∉ nonunits α
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ¬↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : ¬1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₂ : ↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩ = γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩)
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
DecidableEq n
v : n → α
⊢ ‖Matrix.diagonal v‖₊ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖₊
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
G : Type u → Type u
Applicative G
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → G β
h : β → γ
⊢ traverse (Functor.map h ∘ g) = Functor.map (Functor.map h) ∘ traverse g
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (g : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X).map g = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X g
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M.charpoly.Monic
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Setoid.r = LeftCosetEquivalence ↑s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
R' : Type v
inst✝ : CommMonoid R'
φ : AddChar R R'
a : R
h : 0 < ringChar R
⊢ ⋯.unit ∈ rootsOfUnity (ringChar R).toPNat' R'
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ antidiagonal n, f p.swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
ys : List β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ xs.product ys ↔ x ∈ xs ∧ y ∈ ys
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
x₁ : E
h₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
h₂ : x₂ ∈ A
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x ↔ x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
A' : Type u_1
AddCommGroup A'
B : Type uB
AddCommGroup B
Module R A
Module R A'
Module R B
f : A →ₗ[R] A'
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor B f) ↔ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lcomp R (CharacterModule B) f)
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis K hζ).dim = (minpoly K (ζ - 1)).natDegree
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ[R] F
g : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f +ᵥ g).domain
⊢ ↑(f +ᵥ g) x = f ↑x + ↑g x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'
⊢ g =ᶠ[ae μ] g'
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.range = ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q p : Submodule R M
⊢ p ≠ ⊥ ↔ ∃ x ∈ p, x ≠ 0
α : Type u
β : Type u_1
f : α → β
l : List α
n : ℕ
⊢ List.map f (l.rotate n) = (List.map f l).rotate n
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
p : M × N
⊢ (f.coprod g) p = f p.1 * g p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
s : Finset α
⊢ (↑s).encard = ↑s.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ ↑((orthogonalProjection K) v) = v ↔ v ∈ K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ ⋃₀ setOf (Bornology.IsVonNBounded 𝕜) = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformly f g l
hf' : TendstoUniformly f' g' l
⊢ TendstoUniformly (f / f') (g / g') l
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : z ∈ thickening (↑r / 2) s
hzt : z ∈ thickening (↑r / 2) t
⊢ z ∈ ⊥
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → N
n₁ n₂ : N
a : α
ha : a ∈ f.support
h : g a (f a) * n₁ = g a (f a) * n₂
⊢ f.prod g * n₁ = f.prod g * n₂
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ Real.log ↑n ≤ ↑n ^ ε / ε
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ (σ • w).IsComplex ↔ w.IsComplex
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
X : C
F : C ⥤ D
⊢ ∀ (x : J), (CategoryTheory.Functor.constComp J X F).hom.app x = 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj X ⋙ F).obj x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
hf : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 a)
hg : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, g b) atTop (𝓝 b)
⊢ Tendsto (fun s => (∏ x ∈ s, f x) * ∏ x ∈ s, g x) atTop (𝓝 (a * b))
α : Type u
x y n : ℕ
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).OuterRegular
α β : Type u
p : β → Prop
e : α ≃ β
⊢ Cardinal.mk { a // p (e a) } = Cardinal.mk { b // p b }
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
⊢ Continuous fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
CompleteSpace α
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ IsComplete (Set.range f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Iio a ↔ x✝ ∈ Iio ⌈a⌉
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
na nb : ℤ
da db : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a na da
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b nb db
h : decide (nb * ↑da ≤ na * ↑db) = true
⊢ ¬a < b
m n a b c d : ℤ
⊢ -a ≡ -b [ZMOD n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotToQuotSupₐ R I J) = DoubleQuot.quotQuotToQuotSup I J
S : Type u_1
StrictOrderedSemiring S
n : ℕ
s : S
h : 0 < s
⊢ 0 < Polynomial.eval s (ascPochhammer S n)
x : ℝ
⊢ RCLike.normSq x = x * x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ closure {x} = closure {y}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
x : E
s : Set E
f₂ : E → G
hf₁ : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
hf₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (f₁ x, f₂ x)) s x
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
e : σ →₀ ℕ
⊢ ((monomial d) 1) e ⊗ₜ[R] n = (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n)) e
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ l[indexOf a l]? = some a
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 1 ≤ g
he : 1 ≤ e
_b : β
⊢ 1 _b ≤ extend f g e _b
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
Gl : CategoryTheory.Functor C D
Gr : CategoryTheory.Functor D C
adj : Gl ⊣ Gr
Gr.Full
Gr.Faithful
F : CategoryTheory.Functor J D
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp Gr)
H : CategoryTheory.IsUniversalColimit c
∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), CategoryTheory.Limits.HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
(X : D) →
    (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit (Gl.mapCocone c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a : ℤ
x : Rˣ
⊢ (x • γ).shift a = x • γ.shift a
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ f.comp (StarAlgHom.id R A) = f
n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
np : ¬Nat.Prime n
⊢ ∃ m, m ∣ n ∧ m ≠ 1 ∧ m ≠ n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : LinearOrder β
U : Filter (α × α)
z : β
D : α → α → β
H : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ U ↔ ∃ ε > z, ∀ {a b : α}, D a b < ε → (a, b) ∈ s
s : Set (α × α)
⊢ s ∈ U ↔ ∃ i > z, {p | D p.1 p.2 < i} ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.rotate C).map f).hom₁ = f.hom₂
G : Type u_10
G₂ : Type u_11
AddGroup G
AddGroup G₂
f : G →+ G₂
s : AddSubgroup G
⊢ Subgroup.map (AddMonoidHom.toMultiplicative f) (AddSubgroup.toSubgroup s) = AddSubgroup.toSubgroup (AddSubgroup.map f s)
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
AddGroup β
f : α → β
hf : IsAddHom f
⊢ IsAddMonoidHom f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j : CategoryTheory.Bicone J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id j =
  CategoryTheory.Bicone.casesOn j CategoryTheory.BiconeHom.left_id CategoryTheory.BiconeHom.right_id fun k =>
    CategoryTheory.BiconeHom.diagram (CategoryTheory.CategoryStruct.id k)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α
⊢ x ∈ Ioo a b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Ioo (min a c) (max b d)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ StarAlgebra.adjoin R ↑S = S
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R K[X]
x : R
⊢ (algebraMap R (RatFunc K)) x = RatFunc.mk ((algebraMap R K[X]) x) 1
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ↑ξ
K : Type u_1
CommRing K
IsDomain K
⊢ ∀ (x x_1 : RatFunc K),
  x.div x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFractionRing := p }, { toFractionRing := q } => { toFractionRing := p / q }