ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
⊢ range (enumerateCountable h default) ⊆ insert default s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[s] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, ‖f p x - f q x‖ < δ
I : ∀ p ∈ s, IntegrableOn (fun y => (L (g y)) (f p y)) k μ
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, ‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f ≫ (SemiNormedGrp.explicitCokernelIso f).hom = CategoryTheory.Limits.cokernel.π f
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s1 s2 μ ↔
  ∀ (t1 t2 : Set Ω),
    t1 ∈ s1 →
      t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : CauSeq α abs
⊢ a ⊓ a = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : BundledCorePresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ ↑(M.toPresheafOfModules.obj X) = ↑(M.obj X)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ φ.IsQF → φ.toPrenexImp ψ = φ.toPrenexImpRight ψ
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : 1 < b
⊢ a < a * b
ι : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
c : Con M
s : Multiset ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ s, c (f x) (g x)
⊢ c (Multiset.map f s).prod (Multiset.map g s).prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Neg Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
Nonempty ι
⊢ (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun x => True) s
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
⊢ (if 2 = 1 + 1 then d₁ ≫ 𝟙 X₂ else 0) = d₁
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x
⊢ ↑(map (fun y => Classical.epsilon fun z => z ∈ y) x) ′ ↑y ∈ ↑y
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
⊢ Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve ((F ⋙ G).obj X)
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
⊢ (functorPullback (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPullback F (functorPullback G R)).arrows f✝
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
f' : F
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x → HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') s x
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
Fintype l
DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
⊢ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card))
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
hf : HasCompactSupport f
h'f : Continuous f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α n.succ → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α n.succ
fv : f v
⊢ f (?m.23397 x✝ v fv :: ?m.23398 x✝ v fv)
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
Top β
⊢ ⇑⊤ = ⊤
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ MeromorphicAt (f * g) x
G : Type u_1
α : Type u_2
One G
SMul G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W₁.HasFunctorialFactorization W₂
⊢ Nonempty (W₁.FunctorialFactorizationData W₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v', u', v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A B : G.Coalgebra
f : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso f.f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ ({ f := { f := fun n => (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n, comm' := ⋯ }, comm := ⋯ } ≫ { f := { f := fun n => s.πSummand (IndexSet.id (op [n])), comm' := ⋯ }, comm := ⋯ }).f.f n = (𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj s.nondegComplex)).f.f n
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i' : B'
⊢ (cs.reindex e).simple i' = cs.simple (e.symm i')
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
⊢ dist (f x) (f y) = ↑(ratio f) * dist x y
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Ι a b = Set.Ioc b a
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ Metric.ball 0 δ - s = Metric.thickening δ (-s)
α : Type u
β : Type v
f g : α ≃. β
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (a : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ g a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ a ∆ b = a ⊓ b
⊢ SetTheory.PGame.star.LeftMoves = PUnit.{u_1 + 1}
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α
⊢ (∃ y c, y = c ^ m ∧ a = c ^ n) ↔ ∃ y, y ^ n = a
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ 0 < 1 - rexp (-π * τ.im)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => max (f x) (g x)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
G H✝ : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableRel H✝.Adj
inst✝¹ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
H : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel H.Adj
hG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
⊢ ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
⊢ closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ⊆ C
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
u : F
hu : IsUnit u
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W (u • P) = WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module R M
n : ℤ
b : M
⊢ ((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R) = (smulAddHom ℤ M).flip b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection s).arrows i
⊢ F.map i.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map i.op s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condexpKernel μ m') a) t1 * ((condexpKernel μ m') a) t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
⊢ b ∈ -a +ᵥ s ↔ a +ᵥ b ∈ s
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
StarAddMonoid R
ContinuousStar R
f : X → Matrix m n R
a : Matrix m n R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x)ᴴ) aᴴ
G : Type u_1
Group G
S : Set G
g : G
⊢ Subgroup.IsComplement S {g} ↔ S = Set.univ
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ MonovaryOn f g s ↔ (∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, f x < f x_2 → g x ≤ g x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, g x < g x_2 → f x ≤ f x_2
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ (f - g) = MeasureTheory.condexpL1 hm μ f - MeasureTheory.condexpL1 hm μ g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (Orientation.map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).arg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V
⊢ V ≤ Uᗮ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo (b / c) (a / c)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun x => Complex.cosh (f x)) s x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' sᶜ = ∅
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Multiset.Icc a a = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ StrictMono (⇑toLex ∘ Sum.inr)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
x : X
x✝ : x ∈ s
⊢ limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets ≤ dimH s
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
⊢ (⨅ i, S i).toSubalgebra = ⨅ i, (S i).toSubalgebra
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LocallyConnectedSpace X
f : X → Y
h : ∀ (U : Set X), IsPreconnected U → IsClopen U → ∀ x ∈ U, ∀ y ∈ U, f y = f x
⊢ IsLocallyConstant f
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CommSemiring S
Algebra S A
SMulCommClass R S A
r : S
⊢ (algebraMap S (A ⊗[R] B)) r = (algebraMap S A) r ⊗ₜ[R] 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => (map f b) s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
hs : IsOpen s
t : Set Y
h : ⇑e '' s = t
⊢ (e.toPartialHomeomorphOfImageEq s hs t h).source = s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : TensorProduct R N M
⊢ (LinearMap.rTensor M (g ∘ₗ f)) x = (LinearMap.rTensor M g) ((LinearMap.rTensor M f) x)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (G.subgraphOfAdj h).verts
⊢ ∃! w_1, (G.subgraphOfAdj h).Adj v✝ w_1
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
Ring A
Algebra R A
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f g : M →ₗ[R] N
⊢ LinearMap.baseChange A (f - g) = LinearMap.baseChange A f - LinearMap.baseChange A g
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
hq' : 1 < q
⊢ (q - 1) ^ φ n < (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)).natAbs
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
i : ι
⊢ μ i ≤ MeasureTheory.Measure.sum μ
m✝ n m n✝ : ℕ
a✝ : (m + n✝).bodd = bxor m.bodd n✝.bodd
⊢ (m + (n✝ + 1)).bodd = bxor m.bodd (n✝ + 1).bodd
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
s : Set X
h : IsOpen (f '' s)
⊢ f ⁻¹' (f '' s) = s
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < b⁻¹ ↔ b * a < 1
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.cdf μ)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ HasSum (fun i => (μ (f i)).toReal) (∑' (a : ℕ), (μ (f a)).toReal)
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ Finset.Iio a * Finset.Iic b ⊆ Finset.Iio (a * b)
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α
⊢ ![a₀, a₁, a₂] ⬝ᵥ ![b₀, b₁, b₂] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁ + a₂ * b₂
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set (Set E)
hS : S.Finite
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsVonNBounded 𝕜 s
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
fₗ : M →ₗ[R] M₂
c : R
x : M
⊢ fₗ (c • x) = c • fₗ x
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (2 * y) = true
⊢ (y ^ 2 + r).sqrt = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsClosed A
⊢ IsClosed B
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v
⊢ ‖v‖ * ‖v‖ = ‖v - p‖ * ‖v - p‖ + ‖p‖ * ‖p‖
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.mulLeft g).symm = MeasurableEquiv.mulLeft g⁻¹
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d_X : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq_X : ∀ (n : α), d_X n ≫ d_X (n + 1) = 0
Y : α → V
d_Y : (n : α) → Y n ⟶ Y (n + 1)
sq_Y : ∀ (n : α), d_Y n ≫ d_Y (n + 1) = 0
f : (i : α) → X i ⟶ Y i
comm : ∀ (i : α), f i ≫ d_Y i = d_X i ≫ f (i + 1)
i : α
⊢ (CochainComplex.ofHom X d_X sq_X Y d_Y sq_Y f comm).f i = f i
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
he : e ∈ X \ I
⊢ M.Dep (insert e I)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ ⇑(Polynomial.eval₂RingHom f x) = Polynomial.eval₂ f x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a < 0
⊢ BddAbove (a • s) ↔ BddBelow s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFiltered D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
⊢ CategoryTheory.IsFiltered C
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∑ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = ∑ x ∈ s₁, f x + ∑ x ∈ s₂, f x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
⊢ IsAntichain r (insert a s) ↔ IsAntichain r s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬r a b ∧ ¬r b a
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddZeroClass ι
GradedMonoid.GMul A
a b : A 0
⊢ a • b = a * b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
a b : ℕ+
hab : a < b
⊢ a ≤ b - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
c : α
Add α
Mul β
HasDistribNeg β
hf : Function.Antiperiodic f c
hg : Function.Antiperiodic g c
⊢ Function.Periodic (f * g) c
α : Type u_1
⊢ Function.Bijective ⇑SymAlg.sym
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density ν a x (seq n)) (ν a)
m n k : ℕ
⊢ m.lcm n ∣ k ↔ m ∣ k ∧ n ∣ k
α : Type u
Finite α
⊢ Cardinal.mk α < Cardinal.aleph0
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
⊢ ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
⊢ (D R R[X]) P = derivative P • (D R R[X]) X
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : BaireSpace X
inst✝ : Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ
hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)
hgd : Dense (⋂ i, g i)
⊢ Dense (⋃ i, interior (f i))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ F q.j * F q.i = -F q.k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖A x‖ = √(re ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜)
b : ℂ
ι : Type u_2
Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ ∫ (v : ι → ℝ), cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) =
  (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp ((∑ i : ι, c i ^ 2) / (4 * b))
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
DecidableEq α
hab : a ≠ b
⊢ (f a)! * (f b)! * Nat.multinomial {a, b} f = (f a + f b)!
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign ≠ 0
⊢ p₃ ≠ p₂
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
aux' : (fun t => ((1 - rexp (-π * t)) ^ 2)⁻¹) =O[atTop] fun x => 1
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.8873, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
j : J
⊢ F.map (e.hom j) ≫ F.map (e.inv j) = 𝟙 (F.obj (X j))