ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
Nonempty ι
f : ι → α
x : α
hf : IsLUB (Set.range f) x
hx : ¬Order.IsSuccLimit x
⊢ ∃ i, f i = x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
⊢ swap (f x) (f y) = f * swap x y * f⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
NoMinOrder α
DenselyOrdered α
⊢ sSup (Set.Iio a) = a
M : Type w
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
c' : c → M
f₁' : f₁ → M → M
f₂' : f₂ → M → M → M
r₁' : r₁ → Set M
r₂' : r₂ → M → M → Prop
f : f₁
x : M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap f ![x] = f₁' f x
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
p : α → Prop
hbot : p ⊥
hsucc : ∀ (a : α), p a → p (Order.succ a)
a : α
⊢ p a
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ normalize (gcd a b) = gcd a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
f : Fin n → α → β
hf : ∀ (i : Fin n), MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n : ℕ
⊢ 0 < 1 / (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s μb
⊢ μa (f ⁻¹' s) = μb s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure α)
⊢ μ.join = μ.bind id
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
c' : Cocone (Functor.empty C)
α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
I : LieIdeal R L
⊢ ∀ x ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, x = 0
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : μ.rowLen i1 < μ.rowLen i2
⊢ False
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
p q d : A[X]
h : p * q = minpoly A x * d
this : (Polynomial.aeval x) (p * q) = 0
⊢ minpoly A x ∣ p ∨ minpoly A x ∣ q
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ -((-(Q x * P z)) ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3)) - W'.a₁ * ((-(Q x * P z)) ^ 2 * P x) * (-(Q x * P z) * P z) - W'.a₃ * (-(Q x * P z) * P z) ^ 3 = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
r s : F[X]
h : α ^ m = (aeval (α ^ n)) r / (aeval (α ^ n)) s
⊢ IsAlgebraic F α
α : Type u_1
l m : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l * m ↔ ∃ a ∈ l, ∃ b ∈ m, a ++ b = x
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ (minpoly R B.gen).coeff 0
this : Module.Finite K L
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
x₁ x₂ : M
⊢ f x₁ = f x₂ ↔ ∃ c, c • x₁ = c • x₂
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
T : Type u_2
AddMonoid T
f : R →+ T
fS : ↥S →+ AddUnits T
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
φ : AddOreLocalization S R →+ T
huniv : ∀ (r : R), φ (AddOreLocalization.numeratorHom r) = f r
⊢ φ = AddOreLocalization.universalAddHom f fS hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x₀
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < InnerProductGeometry.angle x (x - y)
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }
⊢ { re := ↑x + ↑d * ↑(y + 1) - ↑x, im := 0 - ↑(y + 1) }.Nonneg
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω = m
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d
h : ∑ x : Fin n, x₁ x.succ * d ^ ↑x = ∑ x : Fin n, x₂ x.succ * d ^ ↑x ∨ d = 0
this : x₁ 0 = x₂ 0
⊢ x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
B B' : ℝ → ℝ
ha : ‖f a‖ ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Set.Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ‖f x‖ = B x → ‖f' x‖ < B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → ‖f x‖ ≤ B x
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < expNegInvGlue x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
⊢ dropFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = dropFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun z => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z) (Set.Ioi 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
h : a ∈ s
h_ne : ¬memPartitionSet f n a = s
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
CommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (max a b) * f (min a b) = f a * f b
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)
⊢ countP p (a :: l).join = Nat.sum (map (countP p) (a :: l))
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
h0 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ (interior t)ᶜ, f x = 0
h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
D : Type u₂
CategoryTheory.EnrichedCategory V D
self : CategoryTheory.EnrichedFunctor V C D
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eComp V X Y Z) (self.map X Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (self.map X Y) (self.map Y Z))
    (CategoryTheory.eComp V (self.obj X) (self.obj Y) (self.obj Z))
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
FiniteDimensional k V
Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ affineSpan k (Set.range p) = ⊤ ↔ Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ I ≤ (Ideal.homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
⊢ ⟨j, w.last⟩ ∈ w.toList.getLast?
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
h_add : map f μ = map f (μ.singularPart ν) + (map f ν).withDensity ((map f μ).rnDeriv (map f ν))
⊢ map f (μ.singularPart ν) ⟂ₘ map f ν
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
hf : Multipliable f
s : Set β
⊢ Multipliable (s.mulIndicator f)
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ Subgroup.center G
hH : Group.IsNilpotent H
⊢ Group.IsNilpotent G
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
⊢ (fun _x => c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
α : Type u
Preorder α
P : α → Prop
x₀ : α
hP : Antitone P
⊢ (∀ (x : α), x ≤ x₀ → P x) ↔ P x₀
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
this : q.degree = 0
hq : ((X ^ k) ^ m - C b ^ m).degree = ((X ^ k - C b) * q).degree
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ toLaurent (Polynomial.C r * f) = C r * toLaurent f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
BooleanAlgebra γ
g : BoundedLatticeHom β γ
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ (g.comp f).asBoolRing = g.asBoolRing.comp f.asBoolRing
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat a) = OfNat.ofNat a
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isLeft = true
⊢ ∃ a c, r a c ∧ x = inl a ∧ y = inl c
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
IsDomain B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ Prime (minpoly A x)
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
x✝ : A × A
a b : A
⊢ (a, b) ∈ map (Equiv.prodComm A A).toEmbedding (antidiagonal n) ↔ (a, b) ∈ antidiagonal n
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a k : ℕ
⊢ (p * ↑a).coeff k = p.coeff k * ↑a
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Filter.Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
α : Type u_1
l : Multiset α
a : α
⊢ {a}.Disjoint l ↔ a ∉ l
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAnti (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ StrictAnti f
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅⟨y, hy⟩, ⟨z, hz⟩⁆ = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ (∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i : m₁
j : n
⊢ A₁.fromRows A₂ (Sum.inl i) j = A₁ i j
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
p : AddSubmonoid M
hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p
hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p
⊢ ↑(Subbimodule.mk p hA hB) = ↑p
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : I.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ σ • w = w.comap ↑σ.symm
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
p : ℤ
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ).v p p ⋯ = φ.f p
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
x : M
y : N
⊢ (TensorProduct.lift f).toAddHom (x ⊗ₜ[R] y) = (f x) y
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : (k * k).ble n = false
⊢ 2 ≤ n ∧ ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ n.sqrt → ¬m ∣ n
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R
⊢ (∀ (i : m₁ ⊕ m₂) (j : n), x1.fromRows y1 i j = x2.fromRows y2 i j) → (∀ (i : m₁) (j : n), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m₂) (j : n), y1 i j = y2 i j
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
_h : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ l.next (l.get i) ⋯ = l.get ⟨(↑i + 1) % l.length, ⋯⟩
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ 0 < ↑(index (↑K₀) U)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ ∃ x ∈ s, dist x y < r
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h : H
⊢ Measure.map ((fun x => h * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) μ
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a v : F
h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v
⊢ Continuous (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
hker : (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ f.FinitePresentation
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
p : β → Prop
f : α → Subtype p
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun a => ↑(f a)
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
f : αᵐᵒᵖ ≃* βᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : β), (MulEquiv.op.symm f).symm a = (MulOpposite.unop ∘ ⇑f.symm ∘ MulOpposite.op) a
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).ψ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).ψ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
hab : Semiconj fab ga gb
hbc : Semiconj fbc gb gc
x : α
⊢ (fbc ∘ fab) (ga x) = gc ((fbc ∘ fab) x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
y : β
⊢ (dirac x).prod (dirac y) = dirac (x, y)
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus Set.univ = ∅
b x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ logb b (x ^ y) = y * logb b x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
x : α
⊢ (μ.withDensity fun x => ↑(f x)).FiniteAtFilter (nhds x)
R : Type u_6
NonAssocRing R
⊢ 0ᶜ = 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
G' : Type u_8
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f : α → E
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : f =o[l] g'
⊢ f =o[l] fun x => (g' x, k' x)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range Set.Iic)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z - (starRingEnd K) z = 2 * ↑(RCLike.im z) * RCLike.I
d : ℤ
b : ℤ√d
⊢ Pell.IsPell b ↔ Pell.IsPell (star b)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ (∫⁻ (x : α), s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
ι : Type u_2
α : Type u_3
CommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (Multiset.map (fun i => f i ^ n) m).prod = (Multiset.map f m).prod ^ n
m n k : Nat
⊢ (m % n + k) % n = (m + k) % n
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑↑⟨s, hs✝⟩) (g : ↑↑⟨s, hs✝⟩ → R), ∑ i ∈ s_1, g i • M'.mkQ ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
⊢ ∫⁻ (x : E), pdf X ℙ μ x ∂μ = ℙ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α
⊢ ∀ {s u : Multiset α}, s ≤ t → s ≤ u → s ≤ t ∩ u
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
⊢ (x✝.extract b e).Valid
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ (∏' (b' : β), if b' = b then a else 1) = a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m
⊢ Mᵀ.updateColumn i b i✝ j✝ = (M.updateRow i b)ᵀ i✝ j✝