ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a✝ : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i j : ι), p i → p j → i = j
a : α
⊢ (∏ i : ι, if p i then a else 1) = if ∃ i, p i then a else 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
⊢ sInf I.minimalPrimes = sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
s : NonUnitalSubsemiring R
x : ↑↑s.toAddSubmonoid
⊢ ↑((e.nonUnitalSubsemiringMap s) x) = e ↑x
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
a : α
⊢ IsClosed (Set.Iic a)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : Function.LeftInverse ⇑f ⇑g
⊢ Function.LeftInverse ⇑(MvPolynomial.map f) ⇑(MvPolynomial.map g)
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
⊢ lift.{v, u} #α + lift.{u, v} #β' = lift.{v, u} #α
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ Set.Iio b ∈ 𝓝ˢ (Set.Iic a) ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a
this : 0 ≤ x
⊢ ↑‖x‖₊ ∈ spectrum ℝ a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)
w : InfinitePlace K
⊢ ↑(if w = w₀ then B else 1) ≤ ↑(max B 1)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α
⊢ (∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Ioi ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ o.bmex f < (succ o.card).ord
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
W : Set X
hVW : Disjoint V W
hW : IsOpen W
hUW : Uᶜ ⊆ W
⊢ closure V ⊆ Wᶜ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
w : ι' → ↑S.X₃
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range w)
hE : Epi S.g
⊢ ⊤ ≤ span R (range (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w)))
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ op 1 • s ↔ x ∈ s
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
⊢ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom
α : Type u_3
DivisionRing α
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι
⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ t v * t w ≠ 0
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
p q : R[X]
x : S
⊢ (-p).smeval x = -p.smeval x
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s
h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG
⊢ s.FG
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
h : b ≤ 1
⊢ a ≤ a * b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : ν ≤ μ
s : Set α
h_s_meas : MeasurableSet s
⊢ (μ - ν + ν) s = μ s
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset α
⊢ p ∣ s.prod → ∃ a ∈ s, p ∣ a
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ d ∈ 𝓤 α, ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ d}
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b c : α
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ -s ⊆ -t
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
⊢ Function.Injective ⇑(coeHom E F)
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
⊢ sbtw a b c ↔ btw a b c ∧ ¬btw c b a
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ (AddCommGrp.kernelIsoKer f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = (AddMonoidHom.ker f).subtype
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a⁻¹ * b * a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : TendstoUniformlyOn f g l s
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l s
⊢ TendstoUniformlyOn (f * f') (g * g') l s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g ≫ g) f
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ multiplicity p (p * n)! = multiplicity p n ! + ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : MonoidHom.toAdditive'' f = MonoidHom.toAdditive'' g
x✝ : Multiplicative (α →₀ M)
⊢ f x✝ = g x✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv f) s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
p1 p2 : P
⊢ f.linearIsometry (p1 -ᵥ p2) = f p1 -ᵥ f p2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t
this : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : IsEmpty β
⊢ ∏' (b : β), f b = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
c : β
huv : u ~[l] v
hu : Filter.Tendsto u l (nhds c)
⊢ Filter.Tendsto v l (nhds c)
b x : ℝ
⊢ Real.log x / Real.log b = Real.logb b x
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
r : ℚ
⊢ ‖↑↑r‖ = |↑r|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E
hV : V₂ ≤ V₁
h : U ⟂ V₁
⊢ U ⟂ V₂
G : Type u_3
AddGroup G
g h : G
⊢ (Additive.toMul (AddAut.conj g)) h = g + h + -g
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊆ s \ t ∪ t
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_7
h : F
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
this : ℑ (z • a) = ℑ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)
⊢ ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y
⊢ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f X ≫ __src✝.obj f ◁ __src✝.map X' = __src✝.map (f ◁ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f Y
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
x : X
y : Y
g : Y → Z
hg : ContinuousAt g y
hf : ContinuousAt f x
hy : f x = y
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x
n : Nat
x : BitVec n
y : Fin (2 ^ n)
⊢ x + { toFin := y } = { toFin := x.toFin + y }
α : Type u_1
as : Array α
n : Nat
hsz : as.size = n
⊢ as = as.toArrayLit n hsz
α : Type u_3
s : Finset α
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ ∑ x ∈ s, f x = s.card * m
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
x : M
⊢ (AddMonoid.Coprod.map f g) (AddMonoid.Coprod.inl x) = AddMonoid.Coprod.inl (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifTight f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
S : Set α
hμS : μ S ≠ ⊤
hFε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (Sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
F : Fintype ↥(Subgroup.zpowers ζ)
⊢ ↑(Subgroup.zpowers ζ) = ↑(rootsOfUnity k R)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥T
hx : ↑x ∈ K i
⊢ (NonUnitalSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) x = (f i) ⟨↑x, hx⟩
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
⊢ ↑(x ^ (y + z)) = ↑(x ^ y * x ^ z)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 0)
α : Type u
⊢ Function.Injective2 Stream'.Seq.cons
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD p] → a + n • p ≡ b [PMOD p]
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a : A
⊢ a ∈ HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜 ↔ (GradedRing.proj 𝒜 0) a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ 0 ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
x✝ : EReal × EReal
⊢ x✝.1 * x✝.2 = ((fun p => p.1 * p.2) ∘ Prod.swap) x✝
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'
yt : y ∉ t
this : (s ∩ (tᶜ ∩ t'ᶜ)).Nonempty
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
f f' : CategoryTheory.Functor A ((i : I) → C i)
h : ∀ (i : I), f.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i) = f'.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i)
⊢ f = f'
G : Type u_6
AddGroup G
H : Type u_9
AddGroup H
f : G → H
hf : ∀ (x y : G), f (x - y) = f x - f y
⊢ ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub f hf) = f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0
e : cokernel γ ≅ Abelian.coimage S.g := (colimit.isColimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0)).coconePointUniqueUpToIso S.cokernelToAbelianCoimageIsCokernel
he : cokernel.π γ ≫ e.hom = S.cokernelToAbelianCoimage
fac : g' = cokernel.π γ ≫ e.hom ≫ Abelian.factorThruCoimage S.g
⊢ S.RightHomologyData
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
R : Type u_7
Add R
Mul R
⊢ ∀ (a : R), (RingEquiv.opOp R) a = MulOpposite.op (MulOpposite.op a)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
h : EquicontinuousAt F x₀
i : ι
⊢ ContinuousAt (F i) x₀
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
⊢ (fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ∅ ∈ s.powerset
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s
⊢ IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Iio 0 ×ˢ ↑s)
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
a : α
⊢ ¬a < ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
⊢ ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₂.lift fun t => (g₁ x).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
G : Type u_1
H : Type u_2
Monoid G
x : G
Monoid H
f : G →* H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsOfFinOrder (f x) ↔ IsOfFinOrder x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P (insert a t) {x}
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp : minpoly R s ∣ p
⊢ (Polynomial.aeval s) p = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0
⊢ (s.sup p).ball 0 r ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
h : DenselyOrdered M
a b : M
ab : Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 1
⊢ ∃ a_1, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : H = ⊤
⊢ Nat.card ↥H = Nat.card G
R : Type u_2
Semiring R
σ : Type u_3
Finite σ
f : MvPowerSeries σ R
⊢ (HahnSeries.toMvPowerSeries.symm f).coeff = f
R : Type u
Semiring R
P : R[X] → Prop
⊢ (∃ p, P p) ↔ ∃ q, P { toFinsupp := q }
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ LinearMap.proj i ∘ₗ LinearMap.stdBasis R φ j = 0
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this : (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulETransformRight e x).1 * (mulETransformRight e x).2 ⊆ x.1 * x.2
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddGroup α
StarAddMonoid α
M N : Matrix m n α
⊢ (M - N)ᴴ = Mᴴ - Nᴴ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ‖(T + T') s‖ ≤ (C + C') * (μ s).toReal
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
SMulCommClass R S S
M N : Submodule R S
ι : Type u_5
m : ι → ↥M
i : ι
n : ↥N
⊢ (Submodule.mulLeftMap N m) (Finsupp.single i n) = ↑(m i) * ↑n
a : Prop
b : Prop
⊢ ¬a → ¬(a ∧ b)