ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ l.sublists = map reverse l.reverse.sublists'
n : ℕ
h : n ≠ 1
h1 : Prime n
⊢ ↑(n - 1)! = -1
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ IsCompact (Metric.closedBall x r)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < p.natDegree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
σ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
n : ℕ
⊢ (σ ^ n).toLinearMap = σ.toLinearMap ^ n
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
p : E × F
fa : AnalyticAt 𝕜 f p
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f (x, p.2)) p.1
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ OfNat.ofNat n • a = OfNat.ofNat n • a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * p).aroots S = p.aroots S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g : CategoryTheory.MonoOver X
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.map f).obj g).obj.left = g.obj.left
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
AddAction G β
VAdd α β
VAddAssocClass G α β
a : α
b : β
⊢ AddAction.stabilizer G a ≤ AddAction.stabilizer G (a +ᵥ b)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
A : C
h : A ∈ i.essImage
⊢ CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.reflectorAdjunction i).unit.app A)
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
E : Type u_9
self : SeminormedAddCommGroup E
x y : E
⊢ dist x y = ‖x - y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))}
  (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (f ≫ g).left = f.left ≫ g.left
α : Type u_5
NormedDivisionRing α
NormedAlgebra ℝ α
a : α
⊢ ‖Matrix.unitOf a‖₊ = 1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
⊢ lintegral μ F ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
⊢ cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
α : Type u
n : ℕ
x : α
LinearOrderedRing α
hx : x ≠ -1
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i ≠ 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂) M).compl₁₂ ((Matrix.toLin b₁' b₁) P) ((Matrix.toLin b₂' b₂) Q) =
  (Matrix.toLinearMap₂ b₁' b₂') (Pᵀ * M * Q)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
hn : IsInitial Y → False
this✝ : IsIso u
this : IsIso v
hu : G.map u y = a
hv : G.map v y = b
⊢ F.map ((asIso u).symm ≪≫ asIso v).hom a = b
ε : ℝ
l : ℕ
⊢ 0 < SzemerediRegularity.bound ε l
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
⊢ IsCoseparator (∏ᶜ f) ↔ IsCoseparating (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Finset.image₂ f s t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend
⊢ Continuous fun p => { toFun := fun x => if ↑x ≤ 1 / 2 then (γ₁ p.1).extend (2 * ↑x) else (γ₂ p.1).extend (2 * ↑x - 1), continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } p.2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
⊢ π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
⊢ P = Q
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b₁ b₂ : α
s₁ s₂ : Multiset α
a : α
b : Multiset α
h : fold op (op b₁ b₂) (s₁ + b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ b)
⊢ fold op (op b₁ b₂) (s₁ + a ::ₘ b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ (a ::ₘ b))
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : MeasureTheory.Integrable f μ
hf₂ :
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (QuotientGroup.automorphize f)
    (MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ =
  ∫ (x : G ⧸ Γ), QuotientGroup.automorphize f x ∂MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ (Multiset.toDFinsupp s) a = Multiset.count a s
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : l₁.length = n
⊢ takeD l₁.length (l₁ ++ l₂) a = l₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup L
inst✝¹¹ : Module R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Fintype ι'
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) = (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (basis A (Module.Free.chooseBasis R M))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ IsOpen (resolventSet 𝕜 a)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ f₁ ≤ f₂ → g₁ ≤ g₂ → f₁ +ᵥ g₁ ≤ f₂ +ᵥ g₂
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommGroup R
A : Matrix n n R
⊢ (-A).trace = -A.trace
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = 𝓤 C(↑(σₙ R a), R)₀
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
x✝ : (forget FinBoolAlg).obj α
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Iic r)
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : GCDMonoid α
a b c : α
⊢ a ∣ c → a ∣ b → a ∣ gcd c b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∑ x_1 : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), ((integralBasis K).repr x) x_1 • (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
⊢ (fun i => ∑ j : β, A i j * v j) i ≤ P i
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x : N
⊢ x ∈ mker (inr M N) ↔ x ∈ ⊥
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R
⊢ count a (x ::ₘ t) = (if a = x then 1 else 0) + count a t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
o : Ordinal.{u_3}
c : Cardinal.{u_3}
⊢ o.card ≤ c ↔ o < (Order.succ c).ord
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
⊢ c = ClosureOperator.ofPred (⇑c) c.IsClosed ⋯ ⋯ ⋯
⊢ ⇑Cardinal.toENat ∘ Cardinal.ofENat = id
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α
⊢ ∀ (σ τ : Perm α), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
v : m → α
⊢ 1 *ᵥ v = v
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p : P1
v : V1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p (v +ᵥ p)) c = c • v +ᵥ p
α : Type u_2
Bornology α
s : Set α
⊢ Bornology.IsCobounded (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ Bornology.IsCobounded s
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
⊢ p = 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v)
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.sepDegree F E * Field.insepDegree F E = Module.rank F E
a x : ℝ
⊢ ↑(HurwitzZeta.oddKernel (↑a) x) =
  cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
    (jacobiTheta₂' (↑a * Complex.I * ↑x) (Complex.I * ↑x) / (2 * ↑π * Complex.I) +
      ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * Complex.I * ↑x) (Complex.I * ↑x))
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ θ : L.BoundedFormula α n
h1 : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h2 : T.SemanticallyEquivalent ψ θ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
h1' : φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs
h2' : ψ.Realize v xs ↔ θ.Realize v xs
⊢ φ.Realize v xs ↔ θ.Realize v xs
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
x✝ : Γ
⊢ ((single 0) r * x).coeff x✝ = (r • x).coeff x✝
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i
k : J
g : k ⟶ j
hg : F.eventualRange j = range (F.map g)
⊢ F.eventualRange i ⊆ F.map f '' F.eventualRange j
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ
⊢ (prevD j) f = f j (j + 1) ≫ Q.d (j + 1) j
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x : PFunctor.Approx.CofixA F n
y : PFunctor.Approx.CofixA F n.succ
h : PFunctor.Approx.Agree x y
⊢ PFunctor.Approx.truncate y = x
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M < ↑n
⊢ ↑n < ℵ₀
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ I.radical ∈ minimalPrimes R
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
self : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ self.source = Set.univ
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ a ::ₘ s
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 => {x}) n).Nonempty), diam ((fun x_2 => {x}) n) ^ d ≤ 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G
m : Ei 0
x : (i : Fin n) → Ei i.succ
⊢ (f.uncurryLeft.curryLeft m) x = (f m) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing M
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : Algebra R M
x : L
int : IsIntegral R x
h : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x)
f : K →ₐ[R] L
⊢ x ∈ ⇑f '' ?m.29144
a b m n p : ℕ
⊢ 0 < a.factorizationLCMRight b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
f : ι → α
h : BddAbove (range f)
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ 1 ^ z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≠ 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⊤
α : Type u_1
a b : α
⊢ b ∈ Part.some a ↔ b = a
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ (map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ)).Separable
n : Nat
x : Nat
lt : x < 2 ^ n
i : Nat
⊢ (x#'lt).getLsb i = x.testBit i
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : f.comp (toAlgHom R R' S') = g.comp (toAlgHom R R' S')
h₂ : f.comp (toAlgHom R S S') = g.comp (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ f 0 = g 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
f : E → F
fa : CPolynomialOn 𝕜 f univ
⊢ Continuous f
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hs : ∀ a ∈ i, IsClosed (s a)
⊢ IsClosed (i.pi s)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f g : ↥(CliffordAlgebra.even Q) →ₐ[R] A
h : (CliffordAlgebra.even.ι Q).compr₂ f = (CliffordAlgebra.even.ι Q).compr₂ g
⊢ f = g
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ ∀ (a : αᵒᵈ), (CompleteLatticeHom.dual f).toFun a = OrderDual.toDual (f (OrderDual.ofDual a))
i j : ℤ
⊢ (i - j).natAbs ≠ 0 ↔ i ≠ j
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
g : G
⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
u : (i : ι) → M i
m : E
⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y) u) s x) m = ((fderivWithin 𝕜 c s x) m) u
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (x * y) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) x * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).right.Q = h.right.Q
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x - y) y).sign = (o.oangle x y).sign
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ Continuous (gauge s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X
⊢ EquicontinuousAt F x ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
⊢ σ.cycleType = τ.cycleType ↔ σ.partition = τ.partition
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
⊢ IsInitial X → False ↔ Nonempty ↑(F.obj X)