ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
s t : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
H : s ∩ t ⊆ ∅
a : ↑(s ∪ t)
ha : ↑a ∈ s
⊢ (Equiv.Set.union H) a = Sum.inl ⟨↑a, ha⟩
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s
openness₂ : IsOpen ↑s
⊢ ofSet (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target ⋯ ≈ ofSet (↑s) openness₂
α : Type u_1
a : Array α
x : α
⊢ (a.push x)[a.size]? = some x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
⊢ induced f inst✝¹ ≤ inst✝²
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ Heyting.IsRegular aᶜ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ p ∣ x
a b : UInt16
⊢ a.toNat = b.toNat → a = b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x - φ‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : E → G := fun y => f y - φ y
⊢ ‖f y - f x - φ (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
⊢ b * a ~ᵤ d * c → b ~ᵤ d → b ≠ 0 → a ~ᵤ c
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G' →+ G
K : AddSubgroup G'
⊢ (AddSubgroup.comap f H).relindex K = H.relindex (AddSubgroup.map f K)
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
h : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ (NumberField.InfinitePlace.mk φ).embedding = φ
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
R1Space α
K : Set α
hK : IsCompact K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1
⊢ HasCompactMulSupport f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits CategoryTheory.ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
V : TopologicalSpace.Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (Opposite.op (U i)))
h : TopCat.Presheaf.IsCompatible F.val U sf
⊢ ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
α : Sort u
Unique α
β : α → Sort u_1
⊢ ⇑(Equiv.piUnique β) = fun f => f default
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ s₁.circumcenter = s₂.circumcenter
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
S.IsPrincipal
x : M
⊢ x ∈ S ↔ ∃ s, x = s • Submodule.IsPrincipal.generator S
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toPresheafedSpace.obj R =
  (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj (Opposite.unop R)).toPresheafedSpace
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp_odd : p % 2 = 1
⊢ a ^ (p - 1) = 1
α : Type u
Fam : α → Type v
a : α
β : outParam (Type v)
self : Lake.FamilyOut Fam a β
⊢ Fam a = β
α : Type u_1
f g h : Perm α
⊢ f.Disjoint g → g.Disjoint f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s - t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
hU : IsOpen s
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i).mulIndicator f a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
⊢ (⊤.induce {u, v} ⊔ H ⊔ K).Connected
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
CommRing L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
IsPRadical i p
PerfectRing L p
⊢ PerfectRing.lift i i p = RingHom.id L
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : map f K ≤ map i K
n : ℕ
⊢ f.iterateMapComap i n K ≤ (fun K => comap f (map i K))^[n + 1] K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β
⊢ nndist (f b) (g b) ≤ nndist f g
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Relation.TransGen r b a
⊢ Relation.TransGen (Function.swap r) a b
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
⊢ e ∈ (fromEdgeSet s).edgeSet ↔ e ∈ s \ {e | e.IsDiag}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Antivary f g₁
h₂ : Antivary f g₂
⊢ Antivary f (g₁ + g₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : ¬G.CliqueFree n
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : ¬padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))
⊢ False
G : Type u_2
S : Type u_4
SetLike S G
SubtractionMonoid G
AddSubgroupClass S G
H : S
⊢ ↑H - ↑H = ↑H
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑(a % b) = ↑a % ↑b
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Icc a b = Icc ↑a ↑b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x p = 0 → coeff x ((map f) p) = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.trim = μ.toOuterMeasure
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
⊢ M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E \ B
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ ∀ {c d : C}, S.disconnect.arrows c d ⊆ S.arrows c d
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_neg : a < 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ ↑e.toPartialEquiv = ⇑e
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : ↑(vectorsProdEqOne G (n + 1))
⊢ (↑v).toList.prod = 1
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ ⇑e '' closure s = closure (⇑e '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f (-(n • c))
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x : R
h0 : x ≠ 0
h : IsRadical x
⊢ Squarefree x
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ dist 1 a = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
s' : Set α
t' : Set β
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s ∪ s') (t ∪ t')
α : Type u_1
b c : α
Mul α
p : b = c
a : α
⊢ a * b = a * c
α : Type u_4
self : DivisionRing α
a : α
⊢ a ≠ 0 → a * a⁻¹ = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) (f %ₘ minpoly A pb.gen)) = (aeval y) (f %ₘ minpoly A pb.gen)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1
⊢ edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x))) = edist (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 (x + 1))) (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 x))
S : Type u_1
Semiring S
l : List S[X]
⊢ l.sum.natDegree ≤ List.foldr max 0 (List.map Polynomial.natDegree l)
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson R ↔ ∀ (I : Ideal R), I.IsRadical → I.jacobson = I
α β : Type u
b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
⊢ 0 ≤ 0 ^ b
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i = f a₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤
⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ OpenEmbedding ((CategoryTheory.forget TopCat).map f ≫ (CategoryTheory.forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ t + μ s
⊢ (t ∩ s).Nonempty
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
⊢ StrictMono (o.derivBFamily f) ∧ Set.range (o.derivBFamily f) = ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
DivisionRing 𝕜
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0
⊢ Set.InjOn Real.arcsin (Set.Icc (-1) 1)
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
Group G₁
Group G₂
IsKleinFour G₁
IsKleinFour G₂
⊢ Nonempty (G₁ ≃* G₂)
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl x y
⊢ z ≤ x ↔ Disjoint z y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b x : α
⊢ x ∈ ↑(s ∆ t) ↔ x ∈ ↑s ∆ ↑t
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.mex f < (Order.succ #ι).ord
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id
x : F
⊢ (fun y => g (y - f x) + x) (f x) = x
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᵐ[μ] Set.univ
⊢ s ∩ t =ᵐ[μ] t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ X
⊢ β.hom = α.symm.hom ↔ β.hom = α.inv
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ
⊢ ↑r ! * ↑(n.choose r) ≤ ↑n ^ r
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddMonoid M₁
AddMonoid M₂
⊢ AddMonoid.exponent (M₁ × M₂) = lcm (AddMonoid.exponent M₁) (AddMonoid.exponent M₂)
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n.bit1.size = n.bit1.natSize
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
q : Polynomial ℕ
n : ℕ
⊢ q.smeval ↑n = ↑(q.smeval n)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
⊢ DifferentiableAt 𝕜 Complex.exp x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Set.range ⇑h = Set.univ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
R : Type u
CommSemiring R
p n : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (iterateFrobenius R p n) x = x ^ p ^ n
R : Type u_4
CommRing R
p : ℕ
Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ IsPrimitiveRoot (-1) 2
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ -u • v = -(u • v)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
x : α
hs : Ici x ⊆ s
⊢ x ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
f : ι → α
g : ι → β
hf : 0 ≤ f
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary (f ^ n) g
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥A
Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(A ⊔ B) =
  FiniteDimensional.finrank R ↥A * FiniteDimensional.finrank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => a - x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset ι
m : ι → Multiset α
⊢ a ∈ ∑ i ∈ s, m i ↔ ∃ i ∈ s, a ∈ m i
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
TopologicalAddGroup M
f₁ : M →L[R] M₂
f₂ : M₂ →L[R] M
h : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
⊢ (LinearMap.ker f₁).ClosedComplemented
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.map φ).right.left = φ.τ₂
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c : R
⊢ a + (b + c) = a + b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : 0 < s.infsep
⊢ s.Nontrivial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ EMetric.diam (Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : c.Nonempty
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ i ∈ c, f i
⊢ ∃ i ∈ c, ↑s ⊆ f i
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint (Function.support f) s ↔ Set.EqOn f 0 s
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ u ≠ v
R : Type u_3
CommRing R
x y : R
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
⊢ ∅ ⊆ {x} ↔ ∅ = ∅ ∨ ∅ = {x}
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
⊢ 2 ≠ 0
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
h : i < l.length
⊢ (List.take i l).concat l[i] = List.take (i + 1) l
α : Type u_2
MeasurableSpace α
⊢ Measurable AddOpposite.unop
xs : Lean.Omega.IntList
a : Int
m : a ∈ xs
⊢ ↑xs.gcd ∣ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr' : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : TransGen r x y
⊢ r' x y
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M.E = E → ((∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂
⊢ b₁ = b₂
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ y < -x ↔ x < -y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.toFinite s = (μ.toFiniteAux Set.univ)⁻¹ * μ.toFiniteAux s
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x < y ↔ x < rexp y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.filter (Eq b) (Multiset.map (⇑f) p.roots))).prod ∣ map f p
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
⊢ y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map l.hom) Y.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R₁.map r.hom) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comma.isoMk l r h).hom.right = r.hom
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 < f x}
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one x = (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one y
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
n : ℕ
α₀ : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α₁ : TypeVec.{u_2} (n + 1)
α₂ : TypeVec.{u_3} (n + 1)
f₀ : α₀.drop.Arrow α₁.drop
f₁ : α₁.drop.Arrow α₂.drop
g₀ : α₀.last → α₁.last
g₁ : α₁.last → α₂.last
⊢ TypeVec.splitFun (TypeVec.comp f₁ f₀) (g₁ ∘ g₀) = TypeVec.comp (TypeVec.splitFun f₁ g₁) (TypeVec.splitFun f₀ g₀)
S : Set ℝ
⊢ sSup S = if h : S.Nonempty ∧ BddAbove S then Classical.choose ⋯ else 0
α : Type u
s : Set α
⊢ Set.Iic (𝓟 s) = {l | s ∈ l}
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : x < 0
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable δ
Primcodable σ
f : γ → δ → σ
g : α → β → γ
h : α → β → δ
hf : Primrec₂ f
hg : Primrec₂ g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec₂ fun a b => f (g a b) (h a b)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), LowerSemicontinuousAt (f i hi) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x' => ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi x') x
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
r : ℝ
⊢ IsCompact (Metric.cthickening r s)
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
⊢ gosperCatalan (n + 1) (i + 1) - gosperCatalan (n + 1) i = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α
x✝ : ℕ
⊢ rec (f 0 x) (f ∘ succ) x✝ = ((fun n => rec x f n) ∘ succ) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
h : s.Nonempty
⊢ ⊤.preimage s = Set.univ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ (-f) i ≤ᶠ[ae μ] -μ[f j|↑ℱ i]
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
tn : N.Normal
a : G
h : a ∈ N
c : G
hc : c * a * c⁻¹ ∈ conjugatesOf a
⊢ c * a * c⁻¹ ∈ ↑N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x → DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
FunLike F M M₁
AddMonoidHomClass F M M₁
Module (ZMod n) M
Module (ZMod n) M₁
f : F
c : ZMod n
x : M
⊢ f (c • x) = c • f x
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_6
A B : Matrix m n α
Mul α
SMul R α
IsScalarTower R α α
k : R
⊢ (k • A).hadamard B = k • A.hadamard B
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂ eB hF).counitIso =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂CounitIso eB hF
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Top α
Inf β
Top β
Inf γ
Top γ
g₁ g₂ : InfTopHom β γ
f : InfTopHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
s : Set α
ho : Set.Ioi a ⊆ s
hc : s ⊆ Set.Ici a
⊢ s ∈ {Set.Ici a, Set.Ioi a}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
⊢ 0 < ‖x‖
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : F
h : W.Nonsingular ![X, Y, 1]
⊢ toAffine W ![X, Y, 1] = Affine.Point.some ⋯
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α
⊢ (∀ b ∈ Multiset.map f s.val, b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
⊢ 0 = Polynomial.eval (z' - a + a) F