ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
⊢ {σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y < a, r * y = x) ↔ x < r * a
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
⊢ v x < 1 ↔ 1 < v x⁻¹
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
Fintype n
NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ∈ slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => Complex.log x.1 * x.2) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ ψ.IsQF → φ.toPrenexImpRight ψ = φ.imp ψ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R M₂
module_M₃ : Module R M₃
module_M₄ : Module R M₄
e₁ : M ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₃ ≃ₗ[R] M₄
p : M × M₃
⊢ (e₁.prod e₂) p = (e₁ p.1, e₂ p.2)
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq α✝
inst✝⁶ : PartialOrder α✝
inst✝⁵ : BoundedOrder α✝
inst✝⁴ : IsSimpleOrder α✝
α : Type ?u.83175
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
x : α
⊢ (fun x => Bool.casesOn x ⊥ ⊤) ((fun x => decide (x = ⊤)) x) = x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
⊢ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : ProperSpace α
K s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
hK : IsBounded K
hs : IsClosed s
⊢ (K ∩ s).Finite
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : N ≤ n
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω = N
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ (n + 1) = r * (1 - r)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
Bornology α
Finite ι
f : ι → Set α
⊢ Bornology.IsCobounded (⋂ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Bornology.IsCobounded (f i)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ : Set M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : (closure L).toFun s = ⊤
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f (setOf p)
this : ∀ x ∈ (closure L).toFun s, p x
⊢ p x
α : Type u_1
E I : Set α
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).E = E
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ (A.updateRow i (A i + A j)).det = A.det
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : ¬x = y
hyz' : ¬y = z
hxz' : ¬x = z
⊢ cardPowDegree (x - z) < a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (CategoryTheory.Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : CategoryTheory.Limits.Multifork (S.index R)
j : CategoryTheory.StructuredArrow (Opposite.op X) G.op
⊢ CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.lift hF hR s ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right =
  CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.liftAux hF α s j.hom.unop
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ ↑((Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑p ^ n).num = (Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑p ^ n
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ 0 < p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
⊢ (s₁ ⊓ s₂).direction = s₁.direction ⊓ s₂.direction
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
⊢ IsAlgebraic R (?m.42391 ↑n)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n✝ n : ℕ
ih : (M ^ n).FG
⊢ (M ^ n.succ).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => 0) μ
R : Type u
CommRing R
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
a : ↑X
⊢ i.toAlgEquiv a = i.hom a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ x) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod) μ
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⊥.IsComplement' H ↔ H = ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : OnePoint X
⊢ Inseparable x y ↔ x = OnePoint.infty ∧ y = OnePoint.infty ∨ ∃ x', x = ↑x' ∧ ∃ y', y = ↑y' ∧ Inseparable x' y'
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Set α
hs : s.Intersecting
⊢ ⊥ ∉ s
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ (fun x => rexp (-llr μ ν x)) =ᶠ[ae μ] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (FreeAbelianGroup.map (g ∘ f)) x = (FreeAbelianGroup.map g) ((FreeAbelianGroup.map f) x)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ a✝, x = m
⊢ a✝.prod = m ^ a✝.length
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∀ x ∈ n.primeFactors.powerset, (∏ i ∈ x, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ x, g i = f x.val.prod * g (n / x.val.prod)
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y : X
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal x y → x < y
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
f : s ≺i r
h : Ordinal.type s < Ordinal.type r
⊢ Ordinal.enum r (Ordinal.type s) h = f.top
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
φ : M → N
ψ : N → P
⊢ CompTriple φ ψ (ψ ∘ φ)
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
⊢ (take (f 0).succ l')[f 0] ∈ take (f 0 + 1) l'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ Summable fun n => f p ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ≅ G.obj i
w :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < n),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i (i + 1) ⋯ hi) (app ⟨i + 1, ⋯⟩).hom =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (app ⟨i, ⋯⟩).hom (G.map' i (i + 1) ⋯ hi)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk app w).hom = CategoryTheory.ComposableArrows.homMk (fun i => (app i).hom) w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F‖ ≤ 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
h : NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
ht : ν t ≠ 0
⊢ NullMeasurableSet s μ
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).toMatrix ⇑(Pi.basisFun 𝕜 ι) * A = of fun i j => ((b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).repr (Aᵀ j)) i
⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)
c : 𝕜
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ ‖equivRealProd z‖ ≤ 1 * abs z
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ r • z = ↑r * z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
F.Full
α : F ≅ F'
⊢ F'.Full
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
Nonempty α
h : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.RightInvOn (Function.invFunOn f s) f t
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ dist (mk { re := 0, im := z.im } ⋯) (mk { re := 0, im := w.im } ⋯) ≤ dist z w
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : y < 1
⊢ ∃ a, 1 < a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : sin (angle x y) = 1
⊢ √(1 - 1 ^ 2) = 0
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
⊢ Isometry Sum.inl
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
⊢ ∫ (a : α), -f a ∂μ = -∫ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x = 0
⊢ log b x ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ s ×ˢ (t₁ ⊔ t₂) = s ×ˢ t₁ ⊔ s ×ˢ t₂
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
self : InnerProductSpace 𝕜 E
x y z : E
⊢ ⟪x + y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 + ⟪y, z⟫_𝕜
G : Type u
F : Type v
Group G
Field F
Fintype G
MulSemiringAction G F
FaithfulSMul G F
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥(FixedPoints.subfield G F)) F = Fintype.card G
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ lcm 1 a = normalize a
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
⊢ GaloisConnection (Subfield.map f) (Subfield.comap f)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
hsin : ∃ n, ↑n * π = angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ l <+ a :: l
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : StandardBorelSpace α
inst✝ : Finite α
⊢ ∃ n, Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range fun x => ↑↑x))
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
h : Prime P
⊢ P.IsPrime
xs ys : Lean.Omega.IntList
h : ∀ (x : Int), x ∈ xs → x = 0
⊢ xs.dot ys = 0
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
⊢ x ∈ s → -x ∈ s
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
hd₀ : d x y ≠ 0
s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}
hs₀ : 0 ∈ s
hsne : s.Nonempty
M : ℕ
hMl : M ≤ l.length
hMs : IsGreatest s M
hM_lt : M < L.length
⊢ ∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
⊢ False
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
g : α → β ⊕ Fin n
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g φ.not = (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel g φ).not
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
⊢ comap f J ≤ K
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₁
s : Set M
hg : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g s
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n f s
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n (fun x => (g x).comp (f x)) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.map (SimplexCategory.σ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
r : ℝ
⊢ μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) = μ (s ∩ ({x} + r • t))
⊢ boolRingCatEquivBoolAlg.functor = CategoryTheory.forget₂ BoolRing BoolAlg
R : Type u_4
NormedRing R
r : ℝ
hr : 1 < r
⊢ Nat.cast =o[Filter.atTop] fun n => r ^ n
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ GromovHausdorff.candidatesBOfCandidates f fA ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →ₙₐ[R] B
h : ∀ (a : A), f.toFun (star a) = star (f.toFun a)
⊢ ⇑{ toNonUnitalAlgHom := f, map_star' := h } = ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
a : α
l : List α
ih : (∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x) → filterMap f l = filterMap g l
h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x
⊢ (match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
⊢ BoxIntegral.integral I l (-f) vol = -BoxIntegral.integral I l f vol
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ IsLUB (Ioo a b) b
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
E : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_7
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
self : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
IsPurelyInseparable F E
Algebra.IsSeparable E K
⊢ Field.sepDegree F K = Module.rank E K
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ ⊤
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
L : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (L ++ L₁) (L ++ L₂) ↔ FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
x y z t : EReal
h : x ≤ y
h' : t ≤ z
⊢ x - z ≤ y - t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ List.map f [a] = [f a]
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ * ↑(Ideal.span {x}) = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
⊢ (μ.prod ν).mass = μ.mass * ν.mass
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
inst✝¹ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
inst✝ : ReflectsColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
⊢ Nonempty (IsInitial X) ↔ IsEmpty ((forget C).obj X)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ∀ (i : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }), Irreducible (IsPrincipal.generator ↑i)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
i j : A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯ = CategoryTheory.shiftFunctorAdd C i j
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRatRingHom x = CauSeq.Completion.ofRat x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) s ↔
  ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
x : ℝ
hx₁ : -(2 * Real.pi) < x
hx₂ : x < 2 * Real.pi
⊢ Real.cos x = 1 ↔ x = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
l : List ι
r : M → N → Prop
f : ι → M
g : ι → N
h₁ : r 0 0
h₂ : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : M⦄ ⦃b : N⦄, r a b → r (f i + a) (g i + b)
⊢ r (List.map f l).sum (List.map g l).sum