ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{?u.218597, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.218601, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.218605, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{?u.218609, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.218613, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.218617, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
i₂₃ : ρ₂₃.I₂₃
h₂₃ : ρ₂₃.p (i₂, i₃) = i₂₃
⊢ ρ₂₃.q (i₁, i₂₃) = j
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
FunLike F α β
self : AddGroupNormClass F α β
f : F
a : α
⊢ f a = 0 → a = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U x = ⊤
α : Type u_1
s t : Finset α
a b : α
h : Disjoint s t
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : 0 ≤ a
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
⊢ f.natSepDegree = f.natDegree ↔ f.Separable
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → α
g : α → β
b : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ b
⊢ b.restrict g ∘ Set.codRestrict f b h = g ∘ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
bddmax : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a
⊢ limsup (fun a => max (u a) (v a)) f = max (limsup u f) (limsup v f)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ ∀ (a : L), (∀ (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔ ∃ k, (((toEnd R L M) a - χ a • 1) ^ k) m = 0
X : Type u
Preorder X
x : Xᵒᵈ
⊢ (CategoryTheory.orderDualEquivalence X).functor.obj x = Opposite.op (OrderDual.ofDual x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot.hom.app X).hom₁ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).inv.app X.obj₁
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.odd = s.tail.even
n : ℕ
p i : Fin n
⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
α : Type u
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.Subsingleton ↔ s = {x}
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
⊢ Function.Bijective ⇑(Hom.toOrderHom i)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ map f I = map f J ↔ I ⊔ RingHom.ker f = J ⊔ RingHom.ker f
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
y : β
hy : ∀ i ∈ f, y ∈ closure (image2 ϕ i s)
u : Set τ
hu : u ∈ f
⊢ gb y ∈ closure (image2 ϕ' u s')
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
N : Submodule R M
h : N.FG
⊢ (map N.subtype ⊤).FG
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A : Set α
t : ι → Set ↑A
Nonempty ι
⊢ Subtype.val '' ⋂ i, t i = ⋂ i, Subtype.val '' t i
α : Type u_2
Lattice α
self : Sublattice α
⊢ InfClosed self.carrier
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
⊢ Continuous ⊥
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
self : Trivialization F proj
p : Z
⊢ p ∈ self.source → (↑self.toPartialHomeomorph p).1 = proj p
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).powerset = ↑(List.map Multiset.ofList l.sublists')
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
β : Type u
f : ℕ → α → m β
start : ℕ
a : α
as : List α
⊢ List.mapIdxMAuxSpec f start (a :: as) = Seq.seq (List.cons <$> f start a) fun x => List.mapIdxMAuxSpec f (start + 1) as
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
⊢ (contractRight 1) d = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑↑f) p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (↑↑f) hf = f
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
⊢ CompleteLattice.Independent A
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
w x y z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 (CochainComplex.mappingCone.inl φ) =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ CochainComplex.mappingCone.inr φ)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
⊢ IsBlock H (⇑j '' B)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
F G : TopCat.Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : TopologicalSpace.Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (Opposite.op U))
x : ↑X
⊢ Function.Injective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f)
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
A : Type u_3
TopologicalSpace A
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : Set.EqOn (f ∘ g₁) (f ∘ g₂) s
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ Set.EqOn g₁ g₂ s
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
x : ι
⊢ (fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip) a') b) = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : DivInvMonoid α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingProd = a / b * l.alternatingProd
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hqd0 : q.natDegree ≠ 0
⊢ p.natDegree ∉ p.support → (fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) p.natDegree (p.coeff p.natDegree) = 0
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
⊢ Trivialization.continuousLinearMapAt R (Z.localTriv i) b = Z.coordChange (Z.indexAt b) i b
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
⊢ ClassGroup.mk I = 1 ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑w * ↑d + x * ↑ur.b, y * ↑d + ↑z * ↑ur.b) = (↑a, ↑b) := Eq.trans (XgcdType.reduce_v u) (XgcdType.start_v a b)
⊢ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ b * a ≤ a ↔ b ≤ 1
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
c : CharacterModule (A ⊗[R] B)
r : R
a : A
x✝ : B
⊢ ({ toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯ }.toFun (r • a)) x✝ = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯ }.toFun a) x✝
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ (x ::ₘ y ::ₘ {z}).Nodup
x : ℕ
h : ↑x = ⊤
⊢ ¬(↑x).Dom = ⊤.Dom
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤
⊢ ∀ (n n_1 : ℕ), ↑n_1 + ↑c = ↑n + ↑c ↔ n_1 = n
m : ℕ∞
⊢ 0 < ↑m ↔ 0 < m
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
⊢ swap hammingDist = hammingDist
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)
e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U ⊓ X.basicOpen r
⊢ X.basicOpen r ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), IsBlock G (B i)
hι : ¬IsEmpty ι
⊢ ∀ (g : G), g • ⋂ i, B i = ⋂ i, B i ∨ Disjoint (g • ⋂ i, B i) (⋂ i, B i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝) (f✝ x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → Option β
hf : Computable f
⊢ Partrec fun a => ↑(f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : β → Set α
s : Set β
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => f x ∩ g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
⊢ Integrable f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c
⊢ a < b + c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hx : f x ∈ s
⊢ x ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∃ F, ContinuousAt F x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (image Sym2.mk s.diag).card = s.card
p n : ℕ
hpp : Nat.Prime p
ih : Squarefree n → (∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) → IsSquare (-1)
hn : Squarefree (p * n)
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ p * n → q % 4 ≠ 3
⊢ IsSquare (-1)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
⊢ ⨆ i, (fun t => ∑ a ∈ t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
K : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K.jacobson = sInf (Ideal.comap f '' {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal})
H : Type u_1
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
f : PartialHomeomorph H H
hf : f ∈ G
x : H
hx : x ∈ f.source
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt Q (↑f) x
⊢ ArithmeticFunction.log * ↑ArithmeticFunction.moebius = ArithmeticFunction.vonMangoldt
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
h : l.sum ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ l, x ≠ 0
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
self : ModularForm Γ k
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) ⇑self.toSlashInvariantForm
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ = 0
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
CommMonoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.prod = (Multiset.map Subtype.val m).prod
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
U : CategoryTheory.Over X
⊢ ((CategoryTheory.Over.map f).obj U).left = U.left
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s
⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {r₁ r₂ : α → α_1 → Prop} {β : Type u_3} {β_1 : Type u_4} {s₁ s₂ : β → β_1 → Prop}
  {x : α ⊕ β} {y : α_1 ⊕ β_1},
  (∀ (a : α) (b : α_1), r₁ a b → r₂ a b) →
    (∀ (a : β) (b : β_1), s₁ a b → s₂ a b) → Sum.LiftRel r₁ s₁ x y → Sum.LiftRel r₂ s₂ x y
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : RatFunc K
⊢ p ≠ 0 → p * p⁻¹ = 1
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
⊢ IsConnected (StructuredArrow d F)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Set.Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Icc a b) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k
⊢ (((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (G →₀ k)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ v.valuation (IsLocalization.mk' K r s) = v.intValuation r / v.intValuation ↑s
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.natDegree ≤ 1
⊢ p = Polynomial.C (p.coeff 1) * Polynomial.X + Polynomial.C (p.coeff 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
⊢ ∀ ⦃x y : β⦄, (SimpleGraph.map f G).Adj x y → ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ x ∈ s ∧ y ∈ s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
G.IsCocontinuous J K
G.IsContinuous J K
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ ((G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K).counit.app F).val = (G.op.ranAdjunction A).counit.app F.val
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j✝ : n
b : n → α
c✝ : m → α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : o
c : l → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateColumn j c = (A.updateColumn (f j) fun i => c (e.symm i)).submatrix ⇑e ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ HasFDerivAt f f' x ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ frontier {b | f b ≤ g b} ⊆ {b | f b = g b}
α β : Type u
f : α → FreeGroup β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
α : Type u
⊢ induced pure Ultrafilter.topologicalSpace = ⊥
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module.Free R M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
cond : finrank R M = finrank R M'
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ c • s ∈ ae μ ↔ s ∈ ae μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i ≤ ↑s.card * ∑ x ∈ s, f x * f x
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ℝ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
T X Y : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.lift f g)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y) =
  g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).P ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ↔
  ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a
⊢ ↑(Pell.d a1) = az a * az a - 1
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
⊢ l₁.reverse <+: l₂.reverse ↔ l₁ <:+ l₂
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ biproduct.π f j
j✝ : J
⊢ g ≫ Y ◁ biproduct.π f j✝ = h ≫ Y ◁ biproduct.π f j✝
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ) in ⋃ n, Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ)
M : Type u → Type v
α ω : Type u
x x' : WriterT ω M α
h : x.run = x'.run
⊢ x = x'
R : Type u
Ring R
p : R[X]
r : R
a : ℕ
⊢ (p * (Polynomial.X - Polynomial.C r)).coeff (a + 1) = p.coeff a - p.coeff (a + 1) * r
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.sub y = x - y
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
⊢ ∀ (x : I × I),
  TotalComplexShape.ε₂ c c c x =
    match x with
    | (p, snd) => c.ε p
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
DecidableEq n
DecidableEq m
DecidableEq (n ⊕ m)
φ₁ : Module.End R M₁
φ₂ : Module.End R M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix (v₁.prod v₂) (v₁.prod v₂)) (LinearMap.prodMap φ₁ φ₂) =
  Matrix.fromBlocks ((LinearMap.toMatrix v₁ v₁) φ₁) 0 0 ((LinearMap.toMatrix v₂ v₂) φ₂)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
⊢ a ⊓ b ⊔ a ⊓ c = a → a ⊓ b = a ∨ a ⊓ c = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
y : Y
hyK : y ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 y
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
h : μ s ≠ ⊤
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ (μ s).toReal • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} (⨆ ι, #↑↑ι)