ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) > 0
n : ℕ
han : n ≥ card (filter (fun x => a = x.1) s.val) - 1
hn : (a, n) ∈ s
⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
⊢ ↑(lp.single p i a) i = a
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
l : f.left ≅ g.left
r : f.right ≅ g.right
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp l.hom g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom r.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Arrow.isoMk l r h).hom.left = l.hom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
⊢ M.mk F ⟨j₁, x⟩ * M.mk F ⟨j₂, y⟩ = M.mk F ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₂ y₂ ≤ dist x₁ y₁ + (dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
Nonempty M
φ ψ : L.BoundedFormula α n
hφ : φ.IsQF
hψ : ψ.IsPrenex
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (φ.toPrenexImpRight ψ).Realize v xs ↔ (φ.imp ψ).Realize v xs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
w : α
hw : a < w
⊢ ∃ a_1 ∈ Ioi a, a_1 < w
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
α : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
g : R ≃+* S
f : α → R
s : Finset α
⊢ g (∏ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, g (f x)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
hsf : f '' (f ⁻¹' s) = s
⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
x : ℝ
⊢ Real.log x = 0 ↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
(𝓤 α).IsCountablyGenerated
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ CompleteSpace α
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
⊢ I' (vi j) • (B (v i)) (v j) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : MeasureTheory.Integrable f₀ μ
hg_i : MeasureTheory.Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
⊢ MeasureTheory.Integrable f₁ μ
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
DecidableEq ι
⊢ b.toMatrix ⇑b₂ * b₂.toMatrix ⇑b = 1
x : PartENat
⊢ x ≠ 0 ↔ ⊥ < x
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j
⊢ 1 ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
R : Type u_1
Ring R
φ : PowerSeries R
⊢ φ - (PowerSeries.C R) ((PowerSeries.constantCoeff R) φ) =
  PowerSeries.X * PowerSeries.mk fun p => (PowerSeries.coeff R (p + 1)) φ
α : Type u
self : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ edist x z ≤ edist x y + edist y z
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℤ
⊢ M = (↑d)ᴴ ↔ M = ↑d
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f : αᵃᵒᵖ ≃+ βᵃᵒᵖ
⊢ ∀ (a : α), (AddEquiv.op.symm f) a = (AddOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.op) a
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ MulOpposite.op '' s • t = t * s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prodZeroIso X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ F.εIso.inv.app ((F.obj n).obj X) = (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X
α : Type u_2
Group α
b : α
⊢ (fun x => x * b⁻¹) ⁻¹' 1 = {b}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
r s : CategoryTheory.Limits.Cone G
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
w : F ≅ G
⊢ Q.lift r ≫ (P.conePointsIsoOfNatIso Q w).inv = CategoryTheory.Limits.IsLimit.map r P w.inv
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
H : X.toLocallyRingedSpace = Y.toLocallyRingedSpace
⊢ X = Y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a✝ b✝ : R
a b : Rˣ
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (⋃ b, bif b then s₁ else s₂)
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
g : ι → ι
hf : ∀ (a : ι), f (g a) ≤ f a
⊢ (g '' ↑s).PairwiseDisjoint f
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred a ≤ a
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ∅), f i = 0
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
⊢ ∃ x' ∈ s, ∃ y' ∈ t, dist x y ≤ dist x' y'
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv = cs2.mulEquiv
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
⊢ BddAbove (Set.range f)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ S
⊢ ↑(hST.equiv g).1 = 1 ↔ g ∈ T
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s
b : α
b_in_orbit : b ∈ orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a
g : M
g_fixing : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
g_eq : g • a = b
⊢ b ∈ s
α : Type u_1
⊢ Multiset.join 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
LinearOrderedRing R
Archimedean R
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt 1 n φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.castSucc)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofiltered D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ QuaternionAlgebra.im 1 = 0
ι : Type u_1
β : Type u_3
DecidableEq β
s : Finset ι
f : ι → Finset β
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (f a).card ≤ n
⊢ (s.biUnion f).card ≤ s.card * n
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
h : IsSuccLimit (succ^[0] b)
hb : b ≤ succ^[0] b
⊢ succ^[0] b ≤ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α
⊢ (∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = a_1) ∧ a_1 ≤ a) ↔ (∃ a_1 ∈ s, a_1 ≤ a) ∧ ∃ a_1 ∈ t, a_1 ≤ a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A₁ : Type u_2
CommSemiring A₁
Algebra R A₁
⊢ MvPolynomial.mapAlgEquiv σ AlgEquiv.refl = AlgEquiv.refl
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = map (Prod.map id succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 1, 0)]
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : y = x
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Epi h.f'
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ Module.support R M
⊢ Module.annihilator R M ≤ p.asIdeal
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
⊢ μ (Metric.closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.closedBall 0 s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝² : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : S s✝ t✝
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h✝ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a✝ : WSeq α
b✝ : WSeq β
ab : LiftRel R a✝ b✝
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ S s t
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
s : Set K
⊢ Subfield.map f (Subfield.closure s) = Subfield.closure (⇑f '' s)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
⊢ ∃ s, s • h = coroot α
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hyK : f x ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 (f x)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
hx : IsIntegral K x
pb : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis hx
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
f g : W ⟶ X ⨯ Y
h₁ : f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst
h₂ : f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
⊢ M.Base (M.E \ B) → ∃ u ⊆ M.E, f '' u = f '' B
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Ioc b c = Set.Ico (a - c) (a - b)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
x : α
⊢ x ∉ Function.support f ↔ f x = 0
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).smeval x = x ^ n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
⊢ x ∈ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U))) ↔ x ∈ ↑⊥
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain ((α →𝒄 β) × α)
⊢ { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ } (ωSup c) = ωSup (c.map { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ })
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S₁ : NonUnitalSubalgebra R A
S₂ : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S₁.starClosure ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.toNonUnitalSubalgebra
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
_h : v ≠ w
⊢ (fun v w => ¬⊥.Adj v w → Fintype.card ↑(⊥.commonNeighbors v w) = 0) v w
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
f : PowerSeries R
⊢ IsUnit f → f.order = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
⊢ (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2 + sFiniteSeq ν' p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν' n.2)
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
ha : a ∈ ↑(filter (fun x => compress u v x ∉ s) s)
b : α
hb : b ∈ ↑(filter (fun x => compress u v x ∉ s) s)
hab : compress u v a = compress u v b
⊢ a = b
α : Type u
UniformSpace α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ (𝓤 (CauchyFilter α)).HasBasis p (CauchyFilter.gen ∘ s)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Module.IsTorsionBySet R M s ↔ Submodule.torsionBySet R M s = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
IntCast β
n : ℤ
⊢ ⇑↑n = ↑n
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
hfin : B.Finite
⊢ M.FiniteRk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => g x + f x) l atBot
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c • -f = -(c • f)
a : Cardinal.{u}
⊢ 0 = Cardinal.lift.{v, u} a ↔ 0 = a
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e e' : X ≃ᵈ X
⊢ e * e' = e'.trans e
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : re a ≤ re b ∧ im a = im b
⊢ r * re a ≤ r * re b ∧ r * im a = r * im b
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β
⊢ f.comp (BoundedOrderHom.id α) = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : (CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C)ᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : Fin (n + 1)),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).functor.obj X).obj X_1 =
    Opposite.op ((Opposite.unop X).obj X_1.rev)
α : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Filter.cofinite, x ∉ s
M₃ : Type u_8
AddCommGroup M₃
A : Type u_11
CommRing A
IsDomain A
Module A M₃
B₃ : LinearMap.BilinForm A M₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι A M₃
h : ((BilinForm.toMatrix b) B₃).det ≠ 0
⊢ B₃.Nondegenerate
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
x y z : M × N
hm : AddSemiconjBy x.1 y.1 z.1
hn : AddSemiconjBy x.2 y.2 z.2
⊢ AddSemiconjBy x y z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).inverse.map f).unmop.unmop = f
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) =
  CategoryTheory.inv (F.μ X X') ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F.map f) (F.map g) ≫ F.μ Y Y'
𝔽 : Type u_1
Field 𝔽
Fintype 𝔽
n : ℕ
⊢ Nat.card (GL (Fin n) 𝔽) = ∏ i : Fin n, (Fintype.card 𝔽 ^ n - Fintype.card 𝔽 ^ ↑i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).comp
    (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq)) ⋯ =
  α
F : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_4
Field F
Field E
Algebra F E
Field E'
Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ Normal F E ↔ Normal F E'
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ (o : Set X), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
b c : ℤ
a : ℤ
h : b ∣ c
⊢ a * b ∣ a * c
α : Type u_1
Preorder α
SupSet α
s : Set (WithTop α)
hs : ⊤ ∉ s
hs' : BddAbove (WithTop.some ⁻¹' s)
⊢ sSup s = ↑(sSup (WithTop.some ⁻¹' s))
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
⊢ a * b = 1 → a⁻¹ = b
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
N₂ : LieSubmodule R L M₂
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑y, ↑z⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆
r : ℝ
⊢ r.toNNReal = 0 ↔ r ≤ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bot α
Bot β
Bot γ
g₁ g₂ : BotHom β γ
f : BotHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
a b : Nat
h : a < b
⊢ a < b.succ
n : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n) =o[Filter.atTop] Real.exp
x : ℝ
⊢ (↑x).sin = Real.sin x
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ { re := ↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w, im := -(↑x * ↑w + ↑y * ↑z) }.Nonneg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
⊢ (fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₁
h : q₁ ∈ stmts₁ q₂
hs : SupportsStmt S q₂
⊢ SupportsStmt S q₁
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
S.HasHomology
⊢ h.right.homologyIso = h.left.homologyIso ≪≫ h.iso
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.moduleCatCyclesIso.inv S.homologyπ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.moduleCatHomologyπ S.moduleCatHomologyIso.inv
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
s : I → R
Fintype I
Nonempty I
DecidableEq I
⊢ (∃ μ, ∑ i : I, μ i * ∏ j ∈ {i}ᶜ, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on s)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ f.ofAddEquivOfLocalizations (AddEquiv.refl N) = f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a₁ a₂ : A
h : (Algebra.lmul R A) a₁ = (Algebra.lmul R A) a₂
⊢ a₁ = a₂
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bI)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : Differentiable 𝕜 f
c : F
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => f y + c