ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Multiset.Ioc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).obj K).g = K.d i (c.next i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable → (c • f).Integrable
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
hI' : M.Indep I
hss : I ⊆ X
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hIJ' : I = J
⊢ J ⊆ I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ≤ n
k : ℕ
ih : succ (succ^[k] x) ≤ n → x < succ (succ^[k] x) → ψ x < ψ (succ (succ^[k] x))
hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))
hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n
hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)
hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))
⊢ ψ x < ψ (succ (succ (succ^[k] x)))
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ
⊢ 0 ≤ a ^ k * a ^ k
z : ℤ
⊢ Rat.sqrt ↑z = ↑(Int.sqrt z)
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
⊢ IsCompact (Set.univ.pi s)
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑θ.expMapCircle).arg = θ
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
T2Space M
f : ℤ → M
hf : Summable f
⊢ ∑' (n : ℕ), (f ↑n + f (-↑n)) = ∑' (n : ℤ), f n + f 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⌊a⌋₊ < n ↔ a < ↑n
xs : List Nat
⊢ xs.nonzeroMinimum = 0 ↔ ∀ (x : Nat), x ∈ xs → x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
hf : f.HasBasis p s
q : β → Prop
⊢ blimsup u f q = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, ⨆ (_ : q a), u a
z : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.abs (z ^ n) = Complex.abs z ^ n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
s : Set α
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : Fact (μ A < ⊤)
⊢ (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set G.Subgraph
⊢ (sSup s).edgeSet = ⋃ G' ∈ s, G'.edgeSet
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
⊢ Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ √x = y ↔ y * y = x
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
self : CategoryTheory.EnrichedCategory V C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)
        (CategoryTheory.EnrichedCategory.id Y))
      (CategoryTheory.EnrichedCategory.comp X Y Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
x y : ↑s
⊢ Set.inclusion h x ≤ Set.inclusion h y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
ι : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderBot α
DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
g : ι → ι
hf : ∀ (a : ι), f (g a) ≤ f a
⊢ (↑(Finset.image g s)).PairwiseDisjoint f
α : Type u_1
Inhabited α
a : α
⊢ (some a).iget = a
R : Type u
B : Type v
CommRing R
A : Matrix B B ℤ
i : B
h : A i i = 2
⊢ CartanMatrix.Relations.adF R A (i, i) = 0
α : Type u_1
⊢ RegularExpression.matches' 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_3
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : ι
b : κ
m : M
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsuppRid R M ι κ) (Finsupp.single a m ⊗ₜ[R] Finsupp.single b r) = Finsupp.single (a, b) (r • m)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊻ t ⊆ s₂ ⊻ t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
p : ι → AddSubgroup G
⊢ ⨆ i, p i = AddSubgroup.closure (⋃ i, ↑(p i))
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
k : ℕ
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count a.factors
⊢ ∃ b, a = b ^ k
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε
⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
G : Type u_1
Group G
h : ⊤ = ⊥
⊢ IsSolvable G
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
a b : α
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
h : a * b ∣ x * y
hz : a * b ∣ z
⊢ IsUnit (a * b)
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α
⊢ {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
s : Set α
hs : MeasureTheory.AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (f '' s)
α : Type u_1
Preorder α
s₁ s₂ : UpperSet α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ ≤ s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ ≤ s₂
α : Type u_2
PartialOrder α
a : α
b : ↑(Set.Ici a)
⊢ IsAtom b ↔ a ⋖ ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a ≤ b
x : α
h : a < b
⊢ projIcc a b ⋯ x = ⟨a, ⋯⟩ ↔ x ≤ a
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs ↔
  ∀ (i : ℕ) (h : i < rs.length), IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take i rs) • ⊤) rs[i]
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ x < sin x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn self.f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
h₁ : ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : A),
    { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ : Coalgebra.counit ∘ₗ { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } = Coalgebra.counit
h₄ :
  TensorProduct.map { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } ∘ₗ
      Coalgebra.comul =
    Coalgebra.comul ∘ₗ { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }
⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, counit_comp := h₃, map_comp_comul := h₄ } = f
b : Bool
⊢ {b}ᶜ = {!b}
x : Int
n : Nat
⊢ (x % ↑n).bmod n = x.bmod n
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N
⊢ (f.sum fun x v => if a = x then b x v else 0) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 0
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
s : Finset α
h₁ : p ∅
h₂ : ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α} (h : a ∉ s), p s → p (Finset.cons a s h)
⊢ p s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (∀ (a : α), Multiset.count a s = Multiset.count a t) → s = t
α : Type u_1
LinearOrder α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < a⁻ ↔ a < 0
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ a * b ≤ mabs a * mabs b
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPowerSeries.map σ f) ((MvPowerSeries.monomial R n) a) = (MvPowerSeries.monomial S n) (f a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : l.toFinset = f.cycleFactorsFinset
⊢ p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
v : σ
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ Turing.Reaches₀ (Turing.TM1.step (Turing.TM2to1.tr M))
  { l := some (Turing.TM2to1.Λ'.ret q), var := v,
    Tape := (Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[n] (Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom L)) }
  { l := some (Turing.TM2to1.Λ'.ret q), var := v, Tape := Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom L) }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : Option γ → Option δ → α
l : List γ
l' : List δ
⊢ List.map f (List.zipWithAll g l l') = List.zipWithAll (fun x y => f (g x y)) l l'
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s s = 0
L : Type v
self : LieRing L
x : L
⊢ ⁅x, x⁆ = 0
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (-a).imJ = -a.imJ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (f' x) x
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ (Matrix.transposeLinearEquiv m n R α).symm = Matrix.transposeLinearEquiv n m R α
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : Disjoint p p'
x : ↥p
⊢ ↑x ∈ p' ↔ x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
⊢ ⇑hs.equivQuotient ∘ hs.index = hs.proj
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ ↑a ≤ ↑b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap (Prod.map f id)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : b ≠ 0
⊢ Finite a b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
s : Set α
FunLike F α β
LatticeHomClass F α β
hs : IsSublattice s
f : F
⊢ IsSublattice (⇑f '' s)
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
y : N
⊢ (AddMonoidHom.inr M N) y = (0, y)
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
ι : Type u_1
U : ι → ↑X.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
H : ∀ (i : ι), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)
⊢ P f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
a : β
s : Finset β
x✝ : a ∉ s
ih : (s ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm (s.lcm f) (s₂.lcm f)
⊢ (insert a s ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm ((insert a s).lcm f) (s₂.lcm f)
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
⊢ (s.erase a)ᶜ = insert a sᶜ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
hm : ¬coeff m p = 0 ∧ coeff m q = 0
⊢ m ∈ (p + q).support
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a b : α
⊢ |a - b| = |b - a|
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E✝
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E✝
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E✝
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
E : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace F
q : ι → Seminorm 𝕝₂ F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded (fun x => normSeminorm 𝕝 E) q f
⊢ Continuous ⇑f
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : CuspForm Γ k
⊢ ⇑f.toSlashInvariantForm = ⇑f
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
⊢ M.eval [] = M.start
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
h : torsion' R M S = ⊤
x : M
⊢ x ∈ ⊤
w : Nat
⊢ (BitVec.intMax w).toNat = 2 ^ w - 1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A
h2 : g ⁻¹' B =ᶠ[ae (κ a)] g' ⁻¹' B
⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t✝ : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
t : Finset ι
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)
h's : (↑t).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥B
Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥B ∣ FiniteDimensional.finrank R ↥(A ⊔ B)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ s → (fun x x_1 => x ⊔ x_1) a '' t ⊆ s ⊻ t
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a x : α
⊢ (OrderIso.addLeft a) x = a + x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Multiset α
hf : Function.Injective f
⊢ s.Nodup → (Multiset.map f s).Nodup
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
⊢ SwapTrue o x (term I ho) = true
x y : ℂ
⊢ Complex.cos x + Complex.cos y = 2 * Complex.cos ((x + y) / 2) * Complex.cos ((x - y) / 2)
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.image (s ∩ r.dom) = r.image s
R : Type u
Ring R
f g : R[X]
q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t) ∩ t = t
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
DecidableEq R
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod =
  ∏ a ∈ p.roots.toFinset, (Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ Polynomial.rootMultiplicity a p
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬p ^ n • x = 0
hfin : p ^ (n + 1) • x = 0
⊢ addOrderOf x = p ^ (n + 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
f : A →A[R] B
g : A →A[R] C
⊢ (ContinuousAlgHom.fst R B C).comp (f.prod g) = f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
Group H
MulAction H α
SMulCommClass H G α
g : H
⊢ MeasureTheory.fundamentalFrontier G (g • s) = g • MeasureTheory.fundamentalFrontier G s
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
V : Type u_2
Quiver V
V' : Type u_4
Quiver V'
Quiver.HasReverse V'
φ : V ⥤q V'
Φ : Quiver.Symmetrify V ⥤q V'
hΦ : Quiver.Symmetrify.of ⋙q Φ = φ
hΦinv : ∀ {X Y : Quiver.Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (Quiver.reverse f) = Quiver.reverse (Φ.map f)
⊢ Φ = Quiver.Symmetrify.lift φ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
⊢ n = n₀ + (n - n₀)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L L' : Φ.LeftResolution X₂
self : L.Hom L'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Φ.functor.map self.f) L'.w = L.w
α : Type u_2
MulOneClass α
s : Set α
t : Set α
hs : 1 ∈ s
⊢ t ⊆ s * t
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) c b
E : Type u_4
Group E
x : E
⊢ 0 x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊0⌋₊ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : β → γ
hg : Injective g
⊢ HasProd (extend g f 1) a ↔ HasProd f a
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
Zero M
s : Set α
f : α → M
hf : ∀ x ∉ s, 0 ≤ f x
⊢ s.indicator f ≤ f
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ IsClosed (EMetric.ball x ⊤)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ (μ + ν).toENNRealVectorMeasure = μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ∨ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ↔ ∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : p ≠ 0
hsplit : Polynomial.Splits i p
⊢ p.degree = ↑(Multiset.card (Polynomial.map i p).roots)
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
h : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct h
p : α → β
p' : β → γ
q : (a : α) → f a ⟶ g (p a)
q' : (b : β) → g b ⟶ h (p' b)
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p q ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p' q' =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.map' (p' ∘ p) fun a => q a ≫ q' (p a)
α : Sort u
x y : α
⊢ Opposite.op x = Opposite.op y ↔ x = y
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf : ContDiff 𝕂 1 f
⊢ LocallyLipschitz f
k : Type u_2
Field k
r : k
⊢ ((PowerSeries.C k) r)⁻¹ = (PowerSeries.C k) r⁻¹
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ (MvPolynomial.eval P) W'.polynomialY = 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ succ^[Nat.find ⋯] i0 = i
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.linear = e.linearIsometryEquiv.toLinearEquiv
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ioc (f a) (f b) ⊆ f '' Set.Ioc a b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
CompleteLattice β
s : Set (α → β)
hs : ∀ f ∈ s, Monotone f
⊢ Monotone (sSup s)
M : Type u_4
Monoid M
Inhabited M
l : List M
h : l ≠ []
⊢ l.headI * l.tail.prod = l.prod
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
⊢ 0 < ε / 4
α : Type u_1
n : Type u_3
Star α
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
⊢ A.conjTranspose.IsSymm
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ (interior self.carrier).Nonempty
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
n : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.aeval x) ((Polynomial.monomial n) r) = (algebraMap R A) r * x ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
A : Set M
hA : A.Finite
⊢ IsNoetherian R ↥(Submodule.span R A)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
μ.IsComplete
hs : μ s = 0
⊢ MeasurableSet s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
r : R
⊢ ((foldl Q f hf) n) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = r • n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∀ x ∈ t, s ∈ 𝓝 x