ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) g
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
IsRightCancelAdd R
⊢ Set.InjOn Nat.cast (Set.Iio p)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
E : Type u_1
SeminormedAddGroup E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded (-s)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x L μ
⊢ (f ⋆[L, μ] (g + g')) x = (f ⋆[L, μ] g) x + (f ⋆[L, μ] g') x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < UniqueFactorizationMonoid.factors x ↔ ¬IsUnit x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x y : Subtype p
⊢ x ⤳ y ↔ ↑x ⤳ ↑y
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (r • y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
⊢ (↑a)⁻¹.toNNReal = (↑a).toNNReal⁻¹
X : Type u
TopologicalSpace X
s U : Set X
⊢ ContinuousOn U.boolIndicator s ↔ IsClopen (Subtype.val ⁻¹' U)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace δ
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : TopologicalLattice β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(f ⊔ -f) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑f x ⊔ -↑f x
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
hx' : 0 < x + 1
⊢ x + 1 < rexp x
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀
g_diff : DifferentiableOn ℂ g (ball c R₁)
⊢ f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).2 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
δ : Type u_3
AddCommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico m n, f k = ∑ k ∈ Finset.range n, f k + -∑ k ∈ Finset.range m, f k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hc : c ≠ 0
this : eLpNorm (c⁻¹ • c • f) p μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • eLpNorm (c • f) p μ
⊢ ↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm (c • f) p μ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arctan (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂))
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ e.trans (DilationEquiv.refl Y) = e
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
g : α → 𝕜 → F
y₀ : 𝕜
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
⊢ (deriv fun y => ∑' (n : α), g n y) = fun y => ∑' (n : α), deriv (g n) y
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∃ a, find p = some a
⊢ ∃ i, p i
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑x * ↑((S.leftInvEquiv hS) x) = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Field S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalRing S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
Module R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
a : A
φ : ContinuousMapZero (↑(quasispectrum S a)) S →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(quasispectrum S a)
⊢ ClosedEmbedding ⇑(QuasispectrumRestricts.nonUnitalStarAlgHom φ h)
p n k : ℕ
h : n < p
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
n : ℕ
⊢ Even (n + 1) ↔ ¬Even n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M
R : Type u_4
CommRing R
ζ : Rˣ
IsDomain R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
p q : X ⊕ Y
x : X
y : Y
⊢ Sum.dist p q = glueDist (fun x_1 => ⋯.some) (fun x => ⋯.some) 1 p q
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ↑(sSup ∅) = sSup (toReal '' ∅)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x ≥ 1 - fract x
⊢ |x - ↑(if fract x < 1 - fract x then ⌊x⌋ else ⌈x⌉)| = if fract x < 1 - fract x then fract x else 1 - fract x
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
⊢ (s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = ↑s₄ * r₃ * ↑(u * s₁)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : Inhabited α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.length ≤ (l₁ ++ l₂).length
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
C : Set α → Prop
h_open : ∀ (U : Set α), IsOpen U → C U
h_compl : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C t → C tᶜ
h_union :
  ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C (f i)) → C (⋃ i, f i)
t : Set α
⊢ MeasurableSet t → C t
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₂ ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ p₁ = p₂
E : Type u_2
Norm E
x : Additive E
⊢ ‖Additive.toMul x‖ = ‖x‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imageSheaf f).val =
  (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J
      (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f.val)).toPresheaf
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : J₁ ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₁.boxes
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes, J₁ ≤ J'
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
x : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Commute x (OfNat.ofNat n)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
he : e.toBasis.orientation = o
heφ : (e.map φ).toBasis.orientation = (map (Fin n.succ) φ.toLinearEquiv) o
⊢ ((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1
⊢ HasCompactMulSupport f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFiniteAux = 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
x : α
⊢ x ∉ Function.mulSupport f ↔ f x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ Set.EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (e.target ∩ t)
s : Set ℝ
⊢ ContinuousOn Real.exp s
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
s : Set α
t : Set β
hs : SupClosed s
ht : SupClosed t
⊢ SupClosed (s ×ˢ t)
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
j : ι
snd✝ : κ₁ j
hij : i ≠ j
⊢ ((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨j, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = j then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0
b : Bool
⊢ b = false ∧ b = true ↔ False
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.aleph0 < Cardinal.lift.{v, u} c ↔ Cardinal.aleph0 < c
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
⊢ Int.clog b r = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : n < 0
hm : m < 0
⊢ selfZPow x B (n + m) = selfZPow x B n * selfZPow x B m
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
x : α
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
⊢ ⟨x, hx⟩ ^ n = ⟨x ^ n, ⋯⟩
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ x * y = (PiTensorProduct.mul x) y
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : VectorPrebundle R F E
x : B
⊢ self.pretrivializationAt x ∈ self.pretrivializationAtlas
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 0 μ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F.augmentedCechConerve ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.cechConerveEquiv F X) G =
  CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceLeftToRight F X G
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x
⊢ l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing K
inst✝¹¹ : CommRing L
inst✝¹⁰ : CommRing M
inst✝⁹ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁸ : ExpChar K p
inst✝⁷ : ExpChar L p
inst✝⁶ : ExpChar M p
inst✝⁵ : ExpChar N p
inst✝⁴ : PerfectRing M p
inst✝³ : IsPRadical i p
inst✝² : PerfectRing N p
inst✝¹ : IsPRadical j p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L
⊢ (lift j i p) ((lift i j p) x) = x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
LE α
ZeroLEOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 1 ≤ 2
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g).comp Monoid.Coprod.inl = f
G : Type u_1
AddGroup G
k : Set G
⊢ AddSubgroup.closure (Subtype.val ⁻¹' k) = ⊤
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ ¬p a → Multiset.filter p (a ::ₘ s) = Multiset.filter p s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
x : α
⊢ Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
inst✝¹ : Filter.atTop.IsCountablyGenerated
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hin : i ≤ n
t : Set Ω
⊢ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f x (Filter.map f x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤
w : Finset ↑v
hw : ∑' (a : { a // a ∉ w }), μ (B ↑↑a) < ε / ↑C
⊢ μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β
⊢ f.lim * x = (f * const abv x).lim
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.map f p) ≤ Module.rank R ↥p
V : Type u
s : Set (Sym2 V)
⊢ (SimpleGraph.fromEdgeSet s).edgeSet = s \ {e | e.IsDiag}
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ ⟪1, if h : i = j then ⋯ ▸ 1 else 0⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a
y : α
hy : y ∈ a
⊢ ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ = ↑‖f y - f x‖₊
b : Ordinal.{u_1}
ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) 0
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (0 ^ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
g : α
x y : β
⊢ g • x = y ↔ x = g⁻¹ • y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
f₁ : ↥(Lp ℝ 1 μ) := Integrable.toL1 f hf
eq₁ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.posPart f₁‖
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal - (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
n : ℕ
CompleteSpace E
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (BoxIntegral.Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (BoxIntegral.Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1))
  BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume
  (BoxIntegral.integral (I.face i) BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x))
      BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume -
    BoxIntegral.integral (I.face i) BoxIntegral.IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x))
      BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume)
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)
⊢ ⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
I : Set ι
hs : ∀ i ∈ I, Dense (s i)
⊢ Dense (I.pi s)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ interior (Metric.sphere x r) = ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : Disjoint a c
hb : Disjoint b c
⊢ Disjoint (a ∆ b) c
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ ¬s.Terminates ↔ ∀ (n : ℕ), (s.get? n).isSome = true
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H
⊢ (chartAt (ModelProd H E) p).source = (TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.source
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ count a s ≤ count a (fold max 0 (map (fun a => count a s) s) • s.dedup)
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ∪ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), u (k + 1)
G : Type v
Group G
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj G) (Type u)
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Limits.colimit J),
  (CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.colimitEquivQuotient J) a =
    Quot.lift (fun p => ⟦p.snd⟧) ⋯ ((CategoryTheory.Limits.Types.colimitEquivQuot J) a)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.snd R M M₂)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ 1 • φ f = φ f