ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.comap i (perfectClosure F K) = perfectClosure F E
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
y z : α
hz : z ∈ span ↑I
hy : 1 = y * x + z
⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
R : Type u_4
ζ : R
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ NeZero ↑↑n
α : Type u_1
s : Set α
T : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ insert s T = s ∪ ⋃₀ T
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support
⊢ (a i).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ ∀ (a : E), ↑(Homeomorph.unitBall a) = ↑PartialHomeomorph.univUnitBall a
X Y Z : CommSemiRingCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
⊢ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
hs : IsUpperSet s
f : β → α
hf : Monotone f
⊢ IsUpperSet (f ⁻¹' s)
C D E : CategoryTheory.Cat
F G : C ⟶ D
H : D ⟶ E
η : F ⟶ G
X : ↑C
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η H).app X = H.map (η.app X)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
⊢ ∃ a b, MeasurableSet a ∧ MeasurableSet b ∧ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ⊆ a ∧ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ⊆ b ∧ μ (a ∩ b) = 0
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)
⊢ Finite R M
L : Language
ι✝ : Type v
inst✝¹³ : Preorder ι✝
G✝ : ι✝ → Type w
inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)
f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j
inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)
inst✝⁹ : Nonempty ι✝
P : Type u₁
inst✝⁸ : L.Structure P
g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι✝ → Type w'
inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Countable ι
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Nonempty ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), CG L (G i)
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ (⋃ i, ⇑(of L ι G f i) '' Classical.choose ⋯).Countable
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Function.Bijective ⇑h
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a₁ : α
b : β
a₂ : α
⊢ (G □ H).Adj (a₁, b) (a₂, b) ↔ G.Adj a₁ a₂
hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ sSup ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
⊢ J.sheafifyMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.sheafifyMap η) (J.sheafifyMap γ)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ {r | EMetric.closedBall x r ⊆ s}.OrdConnected
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) ↔ ∀ (g : ↥⊤), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
IsTrans α r
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ s) → ∃ g, ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)) (f (g n))
S : ShortComplex Ab
⊢ Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x : A
⊢ range Subtype.val = ↑(elementalStarAlgebra R x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.conj (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
⊢ Summable fun i => min ((1 / 2) ^ encode i) (dist (x i) (y i))
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e 1 = 1
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
MeasurableSpace E
BorelSpace E
SecondCountableTopology E
CompleteSpace F
x : E
⊢ SchwartzMap.integralCLM 𝕜 (MeasureTheory.Measure.dirac x) = SchwartzMap.delta 𝕜 F x
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
T : Set α
hx : x ∈ T
S : Set α
⊢ 𝓝[S] x = Filter.comap (Prod.mk x) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (T ×ˢ S))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
D : ℕ → LieIdeal R L → LieIdeal R L := derivedSeriesOfIdeal R L
hI : D k I = ⊥
hJ : D l J = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f : A →A[R] A
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
hφ : φ.IsPrenex
hψ : ψ.IsPrenex
⊢ (φ.toPrenexImp ψ).IsPrenex
r : ℚ
⊢ ‖↑r‖ = ‖r‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ∫⁻ (x : α) in i, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_2
Monoid α
s : Set α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : m ≤ n
⊢ s ^ m ⊆ s ^ n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2
⊢ ↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
f : α ⊕ β →₀ γ
x : α
⊢ (Finsupp.sumFinsuppEquivProdFinsupp f).1 x = f (Sum.inl x)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
inst✝ : (i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
j : ι
⊢ (if j ∈ {i} then (single i (x i)) j else (erase i x) j) = x j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
⊢ atTop = ⨅ x, 𝓟 (Ici {x})
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
⊢ ↑(f.smulRight z) = (↑f).smulRight z
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s (closure s) = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a⌋₊ = n ↔ ↑n ≤ a ∧ a < ↑n + 1
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
⊢ ⊤ ∈ s
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
⊢ Function.FromTypes p τ = (Matrix.vecHead p → Function.FromTypes (Matrix.vecTail p) τ)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₂ ≤ aleph o₁
⊢ max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ WittVector.frobeniusRotation p ha₁ ha₂ ≠ 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨅ i, ⨅ j, s i j).toIdeal = ⨅ i, ⨅ j, (s i j).toIdeal
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ HasCompactSupport ExistsContDiffBumpBase.u
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (Metric.cthickening δ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x - g x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
⊢ IsClosed (s • t)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
⊢ s.prod ⊥ ⊔ ⊥.prod t = s.prod t
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x✝ : L ≃ₐ[K] L
⊢ x✝ ∈ ⊤.fixingSubgroup ↔ x✝ ∈ ⊥
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
⊢ upperBounds (s ∪ t) = upperBounds s ∩ upperBounds t
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a : α
s : Finset β
⊢ HasSum f a ↔ HasSum (fun x => f ↑x) (a - ∑ i ∈ s, f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
γ : Type u_6
f : γ → ι
hf : Function.Injective f
⊢ OrthogonalFamily 𝕜 (fun g => G (f g)) fun g => V (f g)
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
DenselyOrdered α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTopology β
f : α → β
a b : α
h : ContinuousOn f (Set.uIcc a b)
⊢ f '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (sInf (f '' Set.uIcc a b)) (sSup (f '' Set.uIcc a b))
p : ℕ → Prop
⊢ Nat.nth p 0 = sInf (setOf p)
α : Type u_2
CanonicallyOrderedCommSemiring α
Nontrivial α
l : List α
⊢ 0 < l.prod ↔ ∀ x ∈ l, 0 < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfLeftIso f g).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right)
α : Type u
i j : ℕ
hl : [].Nodup
⊢ [].rotate i = [].rotate j ↔ i % [].length = j % [].length ∨ [] = []
a a' b : EReal
h : b ≤ 0
h' : a ≤ a'
⊢ a' / b ≤ a / b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ LieIdeal.map I.incl (LieAlgebra.derivedSeries R (↥↑I) k) = LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0
⊢ ∀ a ∈ antidiagonal n, (match match a with | (a, b) => (single () a, single () b) with | (f, g) => (f (), g ())) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : Finset α) in atTop, ∀ x ∈ s, dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ n, f n x) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ₁ h₁ h₂ = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ₂ h₁ h₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N
g : M →+ P
⊢ (AddMonoidHom.snd N P).comp (f.prod g) = g
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⊥.edgeSet = ∅
x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n
R : Type u
CommSemiring R
LocalRing R
S : Type v
CommSemiring S
LocalRing S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
⊢ (PrimeSpectrum.comap f) (LocalRing.closedPoint S) = LocalRing.closedPoint R
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
S : Subalgebra R B
H : IsNoetherian R ↥(Subalgebra.toSubmodule S)
x : B
hx : x ∈ S
⊢ IsIntegral R x
n✝ p i n : ℕ
h : 2 ≤ p
⊢ n = ofDigits p (p.digits n)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
⊢ IsEmpty (PProd α β) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
this : ↑(ν.map f_aemble) A = ↑ν (f ⁻¹' A)
⊢ (ν.map f_aemble) A = ν (f ⁻¹' A)
m k : ℕ+
⊢ (k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = if ↑m % ↑k = 0 then ↑m / ↑k - 1 else ↑m / ↑k
α : Type u
c : Computation (Stream'.WSeq α)
⊢ Stream'.WSeq.flatten c.think = (Stream'.WSeq.flatten c).think
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y
hxy₀ : x * y ≠ 0
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (x * y) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) x * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : N →₀ M
h : (TensorProduct.comm R M N) x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n
⊢ ∃ S, x = S.sum fun n m => m ⊗ₜ[R] n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : ¬IsUnit a
⊢ (↑{ toFun := quadraticCharFun F, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
⊢ (∑ i ∈ s, w i) / ∑ i ∈ s, w i / z i ≤ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F‖ ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
t : Finset α
B : α → LinearMap.BilinForm R M
v w : M
⊢ ((∑ i ∈ t, B i) v) w = ∑ i ∈ t, ((B i) v) w
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec List.head?
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z, z • x = y
⊢ 2 • o.oangle x z = 2 • o.oangle y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (range ↑I)
⊢ ↑I y ∈ interior (f.extend I).target
p q : Prop
⊢ (¬p = q) = (p = ¬q)
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
a : R
b : ↥M
⊢ -Localization.mk a b = Localization.mk (-a) b
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ a * a / a = a
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
(a : α) → CommMonoid (β a)
s : Finset γ
g : γ → (a : α) → β a
⊢ ∏ c ∈ s, g c = fun a => ∏ c ∈ s, g c a
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s t : Multiset α
⊢ (s + t).sum = s.sum + t.sum
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ s ≤ 1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ (fun ε => {p | ‖p.1 / p.2‖ < ε}) = fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
t : K
ht : t ≠ 0
⊢ (t • f).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
x : A
h : IsIntegral R (f x)
⊢ IsIntegral R x
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X'
inst✝¹ : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
Y : ι' → Type u_8
inst✝ : (j : ι') → TopologicalSpace (Y j)
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ Continuous fun a => (Equiv.piCongrLeft Y e).toFun a (e i)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
A : Set X
a : X
⊢ IsClosed (A ∩ {a})
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ M.X ◁ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯
α : Type u
p : α → Prop
⊢ {x | x ∈ Set.univ ∧ p x} = {x | p x}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Semiring α
⊢ ∀ (v w : Fin 0 → α), circulant v * circulant w = circulant (circulant v *ᵥ w)