ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ J ⊓ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
⊢ Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ (F.mapMon.obj A).mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
Y : Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y_1 : C} (f : X ⟶ Y_1),
  ((CategoryTheory.linearCoyoneda R C).obj Y).map f =
    ModuleCat.ofHom (CategoryTheory.Linear.rightComp R (Opposite.unop Y) f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : SpectralMap β γ
f₁ f₂ : SpectralMap α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).hom.app X).τ₁.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₁.obj X_1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → β → Bool
hp : Primrec₂ p
l : List β
⊢ Primrec fun a => List.findIdx (p a) l
R : Type u
EuclideanDomain R
a b c : R
hb : b ≠ 0
h : a * b = c
⊢ a = c / b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (s ×ˢ univ)))
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
X Y : Set α
hX : X ⊆ S
hY : Y ⊆ S
h : sSup X ≤ sSup Y
a : α
ha : a ∈ X
⊢ a ∈ Y
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : CategoryTheory.Discrete J
⊢ B.toCocone.ι.app j = B.ι j.as
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT (f - g) = MeasureTheory.setToFun μ T hT f - MeasureTheory.setToFun μ T hT g
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ 0
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : ConjAct G
⊢ Commensurable (g • H) H ↔ Commensurable H (g⁻¹ • H)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (MvPolynomial.eval P) W.polynomialZ =
  P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
his : IsGLB (↑s) i
hs : s.Nonempty
⊢ i ∈ ↑s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
⊢ map f (think ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).think
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t
hs : s.Nonempty
⊢ padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) ≤ t
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
R : Type u_1
N₁ : Type u_10
Semiring R
AddCommGroup N₁
Module R N₁
z : ℤ
m : N₁
⊢ ↑z m = z • m
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
γ : Type u_3
MeasurableSpace γ
m : MeasureTheory.Measure α
f : α → MeasureTheory.Measure β
g : β → MeasureTheory.Measure γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (m.bind f).bind g = m.bind fun a => (f a).bind g
⊢ FiniteDimensional.finrank ℝ ℂ = 2
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ (A * A.adjugate) i j = (A.det • 1) i j
α : Type u_1
a : α
⊢ ((Equiv.sigmaPUnit α).symm a).snd = PUnit.unit
R : Type u
CommSemiring R
Nontrivial R
f : R[X]
h : f.Separable
⊢ f ≠ 0
a : ℤ
⊢ 0 < -a ↔ a < 0
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Submodule.dualCoannihilator ⊤ = ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (c + a) (c + b)
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
s : Set X
x : X
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => f a ⊔ g a) s x
M : Type u
R : Type v
Monoid M
Semiring R
self : MulSemiringAction M R
g : M
x y : R
⊢ g • (x * y) = g • x * g • y
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ (𝓝 l).HasBasis p fun i => Iic (𝓟 (s i))
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (fun x_1 => ‖(↑‖x_1.2 - x‖)⁻¹ • (g x_1.2 - g x - (g' x) (x_1.2 - x))‖) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Zero M} {x_1 : Zero N} (f : ZeroHom M N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x / a) '' s = s / t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (x * y).intDegree = x.intDegree + y.intDegree
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Set R
⊢ Subring.map f (Subring.closure s) = Subring.closure (⇑f '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f
⊢ HasStrictFDerivAt f 0 x
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.join = [] ↔ ∀ (l : List α), l ∈ L → l = []
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s t ≤ hausdorffEdist (closure s) t
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
⊢ frattini G ≤ Subgroup.comap φ (frattini H)
α : Type u_2
Preorder α
a : α
LocallyFiniteOrderBot α
⊢ (Finset.Iic a).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.Limits.prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (CategoryTheory.Dial.isoMk e₁ e₂ eq).inv.f = e₁.inv
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ xInTermsOfW p R n = (X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
⊢ (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' => ii'.1 ∈ dom ∧ p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial A
⊢ { f := CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.Initial.strInv h) A.str, h := ⋯ } =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id A
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : LinearOrder α
⊢ ∃ x y, x < y
α : Type u_6
⊢ IsCompl (Set.range some) {none}
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
⊢ ∀ (i : 𝒰.J), IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g k : MulRingNorm R
c : ℝ
hcPos : 0 < c
hfg : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
d : ℝ
hdPos : 0 < d
hgk : (fun x => g x ^ d) = ⇑k
x : R
⊢ f x ^ (c * d) = k x
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle
⊢ (n • θ).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂
sd : ↥S
hd : ↑sd * (↑sc * rb) = ↑sd * (rc * ra)
⊢ (↑sd * ↑sc * sb) • r₁ + (↑sd * ↑sc * rb) • r₂ = (↑sd * rc * ↑sa) • r₁ + (↑sd * rc * ra) • r₂ ∧ ↑sd * ↑sc * (sb * ↑s₁) = ↑sd * rc * (↑sa * ↑s₁)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ m, (QuotientAddGroup.mk' S) m = x ∧ ‖m‖ < ‖x‖ + ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ (PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
⊢ (F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y) ↔ PathConnectedSpace ↑F
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h : Commute (r i, sr j).1 (r i, sr j).2
⊢ (fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(r i, sr j), h⟩) = ⟨(r i, sr j), h⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r)) =ᶠ[ae ρ.fst] preCDF ρ r
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂
⊢ p (y₁ - x₁ + (y₂ - x₂)) < r₁ + r₂
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable₂ Mathlib.Vector.cons
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
m : Multiset E
⊢ ‖m.prod‖₊ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m).sum
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⇑(AddMonoidHom.fst M N) = Prod.fst
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)
⊢ Module.rank R M = #M
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ ((tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp ((tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x) x)) = ϕ
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ ↑(w i) ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocRing R
m : ℤ
⊢ m • 1 = ↑m
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m
⊢ ¬decide (l ≤ k) = true
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : E
w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = (⟪v, w⟫_𝕜 / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
hinj : Function.Injective ⇑f
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).IsPath ↔ p.IsPath
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
⊢ ↑↑((f j) r).val - ↑↑((f i) r).val = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
f : α → β
a : α
x : β
⊢ x ∈ image f {a} ↔ x ∈ {f a}
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ closure {1} = {x | ‖x‖ = 0}
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.292784
Bₘ : Type ?u.292787
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ ∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) tᶜ
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : P.RespectsIso
restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : X.Opens), P f → P (U.ι ≫ f)
of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → X.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
H : P f
i : 𝒰.J
⊢ P (𝒰.map i ≫ f)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hy : x ≠ y
hz : x ≠ z
⊢ (y :: z :: l).prev x h = (z :: l).prev x ⋯
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
⊢ (∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
⊢ log b (o % b ^ log b o) < log b o
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌊a⌋₊ ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Blunt ↔ ¬S.Pointed
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N
⊢ eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
⊢ s.gcd f * s.gcd g = s.gcd f
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
G : CategoryTheory.Pseudofunctor C D
⊢ (F.comp G).toPrelaxFunctor = F.comp G.toPrelaxFunctor
α : Sort u
a : α
⊢ a ≠ a → False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : R
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (k • z₁).comp z₂ h = k • z₁.comp z₂ h
α : Type u_1
π : α → Type u_11
i : Set α
s : (a : α) → Set (π a)
⊢ i.pi s = ⋂ a ∈ i, Function.eval a ⁻¹' s a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
⊢ (f '' s).Countable
n : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (Polynomial.X • A.map ⇑Polynomial.C + B.map ⇑Polynomial.C).det.natDegree ≤ Fintype.card n
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
⊢ (ascPochhammer ℕ 0).smeval (-↑0) = (-1) ^ 0 * ↑(Nat.factorial 0)
α : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Fintype β
e : Perm α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ sign (e.extendDomain f) = sign e
R : Type u
X : Type v
CommRing R
a : lib R X
b c : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X b c
⊢ FreeLieAlgebra.Rel R X (a - b) (a - c)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ ∑' (i_1 : ι), (V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1) = ∑' (b' : ι), if b' = i then (V i) x else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ ∀ t ∈ range Iio, MeasurableSet t
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c < d
⊢ Set.Icc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc b c)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ f.range.toSubmodule = LinearMap.range ↑f
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
⊢ χ ↑n = δ n
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ 4 * (a + 1) * (b + 1) ≤ (a + 1 + (b + 1)) * (a + 1 + (b + 1))
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ
⊢ μ s ≠ 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ map valEmbedding (Iic b) = Iic ↑b
x : ℂ
⊢ Complex.tanh (-x) = -Complex.tanh x
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ limit.π (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)) { as := ε.symm (ε b) } ≫ (Discrete.functor f).map ((Discrete.equivalence ε).counit.app { as := ε b }) = π (f ∘ ⇑ε) b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s t : σ →₀ ℕ
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ (MvPolynomial.monomial s) r = (MvPolynomial.monomial t) r ↔ s = t
R : Type u_1
CommRing R
p q : R[X]
hu : (p * q).IsPrimitive
hpm : p.natDegree = 0
⊢ IsUnit p
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ : Subsemiring R
S₂ : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ S₁.op ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
⊢ μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ
this : 0 < (s + 1).re
⊢ -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 / (s + 1).Gammaℝ