ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))
z : Complex.UnitDisc
⊢ Complex.abs ↑z ≠ 1
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y g : G
⊢ ((fun g => f g = f x) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight y⁻¹))) g ↔ f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover μ l fun i => Ioc (a i) (b i)
⊢ Integrable f μ
p : TopologicalSpace.NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)
⊢ ⟦p⟧ = GromovHausdorff.toGHSpace ↥p
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
H : (i : η) → Subgroup (f i)
x : (i : η) → f i
⊢ x ∈ pi ∅ H ↔ x ∈ ⊤
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n✝ + 1), x ^ i * y ^ (n✝ + 1 - 1 - i) = ∑ i ∈ range (n✝ + 1), y ^ i * x ^ (n✝ + 1 - 1 - i)
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (fun x => f' x - f' x) =o[l] g'
a : ℝ
⊢ frontier {z | a < z.im} = {z | z.im = a}
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒵 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α : F ⟶ G
H : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒴 𝒵
⊢ (CategoryTheory.BasedCategory.whiskerRight α H).toNatTrans = CategoryTheory.whiskerRight α.toNatTrans H.toFunctor
a : Ordinal.{u}
⊢ a.cof.ord.cof = a.cof
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ≤ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i ≤ᶠ[l] ⋃ i, t i
R : Type u_1
Ring R
k : Type u_3
Field k
Algebra k R
V : ModuleCat R
h : FiniteDimensional.finrank k ↑V = 1
⊢ CategoryTheory.Simple V
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 n < xn a1 n * a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioo a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P
x : N
⊢ (f.addEquivOfLocalizations (f.ofAddEquivOfLocalizations k)) x = k x
α : Type u_1
M : Type u
N : Type v
P : Type w
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M
⊢ ↑((liftRight f g h) x)⁻¹ * f x = 1
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Continuous (f i)
⊢ Continuous (s.sup' hne f)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ c * d' = 0 * d x + c * d'
M : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
⊢ Embedding Units.val
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I
⊢ a ∈ Ideal.span {a}
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
⊢ (MulAction.orbit M a).Nonempty
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi c = Set.Ioo (↑c) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
⊢ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f 0 = CategoryTheory.Limits.cokernel.π f
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc b a)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc b a)] 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
⊢ False
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
m n : ℕ
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
⊢ fderiv ℝ f z ≠ 0 → (((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z))
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
val✝ : Fintype ι
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (s.pi t)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Type u_3
Φ : MvPolynomial idx ℤ
f : idx → σ
n : ℕ
⊢ wittStructureInt p ((rename f) Φ) n = (rename (Prod.map f id)) (wittStructureInt p Φ n)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
ha : a < 1
hbc : b ≤ c
⊢ a * b < c
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Tendsto ((fun x => -π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x)) - fun x => -1 * ↑x) atTop atBot
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent φ (∀'FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt 1 n φ)
α : Type u_2
Field α
TopologicalSpace α
TopologicalDivisionRing α
s : Subfield α
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a⌋₊ = 0 ↔ a < 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
⊢ (a ⊔ b) * (a ⊓ b) = a * b
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f
⊢ (o.bsup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → α
e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ HasProd f a ↔ HasProd g a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.fork F U).ι = TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.res F U
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p
⊢ ⨆ (h : p), f h = ⊥
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Finset.weightedVSubVSubWeights k i i = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (map id) x = x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
⊢ pullback (𝟙 X) S = S
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
⊢ F.map ((shiftFunctorCompIsoId C a b h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α × β → M
a : α
⊢ (Function.support fun b => f (a, b)) ⊆ Prod.snd '' Function.support f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ W.Equation 0 0 ↔ W.a₆ = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
n : ℕ∞
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(e.extend I).symm) (↑I '' e.target)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ a, cs.wordProd a = w
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ |n • a| = |n| • |a|
R : Type u
Field R
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
x : Multiplicative G
⊢ ((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) ((AddMonoidAlgebra.of k G) x) = F x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
Zero β
Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map g (f.restrict s) = (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f).restrict s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
f : InfHom β γ
g : InfHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
S : Type u
Semiring S
⊢ ascPochhammer S 1 = Polynomial.X
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
n : ι
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f τ =ᵐ[μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R L
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∀ (x : L), IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L M) x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R[X]
hx : x.Monic
⊢ map f (y %ₘ x) = 0 ↔ y %ₘ x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set β
hs : s ∈ 0
⊢ (fun x => 0 • x) ⁻¹' s = univ
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
⊢ (∀ a ∈ p, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → p.prod = q.prod → p = q
α : Type u_1
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.NoetherianSpace α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
β : Type u_2
s : Set β
⊢ (∅ ≠ s) = s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (m - n), d (n + k) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
α' : Type u_5
AddCommMonoid α'
TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Function.Surjective e
f : β → α
g : γ → α'
he : ∀ {a : α'}, HasSum f (e a) ↔ HasSum g a
⊢ Summable f ↔ Summable g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ (T + T') (s ∪ t) = (T + T') s + (T + T') t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
CategoryTheory.SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E :
  CategoryTheory.Limits.Cone
    (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (CategoryTheory.evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (Opposite.op W))
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.coneCompEvaluationOfConeCompDiagramFunctorCompEvaluation i E).pt = E.pt
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑f)
α : Type u
R : Type u_1
Semiring R
Small.{v, u} α
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ ∀ (a : Shrink.{v, u} α), (Shrink.linearEquiv α R) a = (equivShrink α).symm a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => x) a = a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ (Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y) = p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (x * (MvPolynomial.monomial s) 1).modMonomial s = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
E₃ : Type u_5
NormedAddCommGroup E₁
NormedAddCommGroup E₂
NormedAddCommGroup E₃
NormedSpace 𝕜 E₁
NormedSpace 𝕜 E₂
NormedSpace 𝕜 E₃
g : E₁ × E₂ × E₃ → G
f₁ : F → E₁
f₂ : F → E₂
f₃ : F → E₃
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf₁ : ContDiff 𝕜 n f₁
hf₂ : ContDiff 𝕜 n f₂
hf₃ : ContDiff 𝕜 n f₃
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => g (f₁ x, f₂ x, f₃ x)
n : ℕ
⊢ -↑n.succ = (-↑n).pred
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x : α
⊢ dist (birkhoffSum f g n (f x)) (birkhoffSum f g n x) = dist (g (f^[n] x)) (g x)
i j k : ℤ
⊢ i ∣ k → j ∣ k → ↑(i.lcm j) ∣ k
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
Subsingleton ↥S
⊢ S = ⊥
R : Type x
Monoid R
HasDistribNeg R
n : ℕ
⊢ (-1) ^ n = 1 ∨ (-1) ^ n = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ (↑f).core s = f ⁻¹' s
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ ‖MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f‖ ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.map norm f)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[≥] ↑n) (𝓝[≥] ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] {f : α → β} {s : Set α},
  MeasurableSet s →
    MeasureTheory.StronglyMeasurable (s.restrict f) →
      MeasureTheory.StronglyMeasurable (sᶜ.restrict f) → MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
d : δ
h : Sum.LiftRel r s x (Sum.inr d)
⊢ x.isRight = true
q : ℚ
hq : 0 ≤ q
⊢ ↑⟨q, hq⟩ = q
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
s : Set ι
⊢ IsOpen (Sigma.fst ⁻¹' s)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
⊢ FiniteDimensional ℚ L
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑f.rangeRestrict = (↑f).rangeRestrict
⊢ Tendsto (fun n => eulerMascheroniSeq' n - eulerMascheroniSeq n) atTop (𝓝 0)
Q : Type u_1
inst✝ : Quandle Q
x : Q
⊢ x ◃⁻¹ x = x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ Function.Injective ⇑(AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : DirectSum.IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
w : PiLp 2 fun i => ↥(V i)
⊢ (hV.isometryL2OfOrthogonalFamily hV').symm w = ∑ i : ι, ↑(w i)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_1} n
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
g' : (P.drop.B a).Arrow α
g : (j : P.last.B a) → TypeVec.Arrow (P.WPath (f j)) α
⊢ P.wPathDestRight (P.wPathCasesOn g' g) = g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
α : Type u_8
β : Type u_9
SupSet α
SupSet β
self : sSupHom α β
s : Set α
⊢ self.toFun (sSup s) = sSup (self.toFun '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
f : α → β → β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i + 1) b → motive (↑i) (f as[i] b)
i : Nat
b : β
hi : i ≤ as.size
H : motive i b
⊢ motive 0 (Array.foldrM.fold f as 0 i hi b)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
F : Type u_3
MeasurableSpace F
ν : MeasureTheory.Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun X Y ℙ ↔
  MeasureTheory.pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᵐ[μ.prod ν] fun z =>
    MeasureTheory.pdf X ℙ μ z.1 * MeasureTheory.pdf Y ℙ ν z.2
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
H1 : p.degree ≤ ↑n
H2 : p.coeff n = 1
⊢ p.Monic
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : Pretriangulated C
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : L.CommShift ℤ
inst✝³ : L.EssSurj
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
X : D
⊢ contractibleTriangle X ≅ L.mapTriangle.obj (contractibleTriangle (L.objPreimage X))
α : Type u_1
One α
a : α
⊢ SymAlg.sym a = 1 ↔ a = 1
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto (fun x => x.2.1 * (x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 * 1⁻¹))
⊢ Tendsto (fun x => x.1.2 * (x.2.1 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ s ×ˢ (t₁ ⊔ t₂) = s ×ˢ t₁ ⊔ s ×ˢ t₂
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))
⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ LucasLehmer.X.ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
R : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
Monoid R
DistribMulAction R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
c : R
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂c • μ, p x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a * b < c * d
hc : 0 < c
hh : c ≤ a
ha : a ≠ 0
⊢ b < d