ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n k : ℕ
hnk : n < k
⊢ (Polynomial.hermite n).coeff k = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {a : α} {h : l.concat a ≠ []}, (l.concat a).getLast h = a
k : Type u
Field k
k' : Type u
Field k'
e : k ≃+* k'
IsAlgClosed k
⊢ IsAlgClosed k'
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).divX = if n = 0 then 0 else Polynomial.C a * Polynomial.X ^ (n - 1)
H : Type u_1
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x ↔
  x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ Set.EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≤ C
h : Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto g l Filter.atTop
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a
d : EReal
hd : limsup v f < d
hdb : d < b
⊢ limsup (u + v) f < a + b
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
n : ℕ
hn : 0 < n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ IsPrimitiveRoot ⋯.unit n
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x =
  (⨅ i ∈ I, Filter.comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), Filter.comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
x : σ
⊢ Primrec fun x_1 => x
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
X : C
S : CategoryTheory.Presieve X
⊢ S.FactorsThru ⊤
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
⊢ GrowsPolynomially fun x => |f x|
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : MeasureTheory.IntegrableOn (u' * v + u * v') (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
h_zero : Filter.Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (supClosure (infClosure s)).Finite
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : (p %ₘ (X - C a)).coeff 0 = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0
⊢ p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R
h : ⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)) = ⇑(↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I))
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype (Module.Flat.J R S I)))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W P f
Z : C
hZ : P Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (hf.homEquiv Z hZ) g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ Integrable g (Measure.map (fun x => S • x) μ)
x : ℝ
⊢ x.cot = Real.cos x / Real.sin x
R : Type u
CommSemiring R
⊢ ↑(CommSemiRingCat.of R) = R
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃
⊢ (bind₁ ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i) = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
FunLike F α β
LatticeHomClass F α β
f : F
⊢ IsSublattice (Set.range ⇑f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'
⊢ ContMDiff I I' n 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Module.Free R M
Module.Finite R M
Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ φ.nilRankAux b ≤ φ.nilRankAux b'
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P
⊢ closure (⇑e '' (⇑e ⁻¹' ↑s)) = closure ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
k : R
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (k • z).v p q hpq = k • z.v p q hpq
L : FirstOrder.Language
ι : Type u_1
Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
⊢ FirstOrder.Language.Theory.IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ 𝓝 ∞ = map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ MapsTo.restrict f (f ⁻¹' t) t ⋯ '' (Subtype.val ⁻¹' s) = Subtype.val ⁻¹' (f '' s)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ image₂ f s t ⊆ image₂ f s' t'
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
⊢ f ≫ (XIso φ i hi).hom = g ≫ (XIso φ i hi).hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq CategoryTheory.Limits.biprod.fst CategoryTheory.Limits.biprod.snd 0 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).Δ'⁻¹ = C.u ^ 12 * E.Δ'⁻¹
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
⊢ (∃ a, x.getLeft? = some a) ↔ ∃ y, x = inl y
α : Type u
s : Set α
Fintype α
h : s.Finite
⊢ h.toFinset = Finset.univ ↔ s = Set.univ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
⊢ ∀ (y : H), ContDiffWithinAtProp I I n id univ y
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
hpp : p ∣ (m ^ 2).natAbs
⊢ p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ ¬ringChar R = 2
x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n Real.smoothTransition x
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs
⊢ a / - -[n+1] = -0
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquiv B F).unitIso =
  CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivUnitIso B F
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' X : Cᵒᵖ
Y : Dᵒᵖ
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.op.obj Y
⊢ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')) (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)) g.unop).op
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
L.IsLocalization W
L'.IsLocalization W
X : C
f : CategoryTheory.StructuredArrow (L'.obj X) L'
⊢ (CategoryTheory.Localization.structuredArrowEquiv W L L').symm f =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk ((CategoryTheory.Localization.homEquiv W L' L) f.hom)
q : ℚ
⊢ q.num < (⌊q⌋ + 1) * ↑q.den
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Ioc a b).card = ∏ i : ι, (Finset.Icc (a i) (b i)).card - 1
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
J : Ideal A
⊢ idealFactorsFunOfQuotHom ⋯ = OrderHom.id
R : Type u_1
M : Type u_3
SMul R M
N : Type u_4
F : Type u_5
SMul R N
FunLike F M N
MulActionHomClass F R M N
f : F
r : R
h1 : Function.Injective ⇑f
h2 : IsSMulRegular N r
⊢ IsSMulRegular M r
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (a + n • b) (a + (n + 1) • b))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ f.fix a
fa : Sum.inl b ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fun x e => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) x (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hbase a fa) (Sum.inl b) ⋯
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ ≤ 1
⊢ ↑r ^ n / ↑n ! * ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Zero R
DecidableEq p
A : X → p → Matrix m n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => Matrix.blockDiagonal (A x)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : 1 ≤ a ^ 2
⊢ 1 ≤ a
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
AddCommMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.sum = (Multiset.map Subtype.val m).sum
α : Type u_3
Lattice α
⊢ (LatticeHom.id α).withTopWithBot = BoundedLatticeHom.id (WithTop (WithBot α))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s
⊢ (cons b s hb).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.220633, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
this : Epi S.toCycles
⊢ hS.liftFromProjective f hf ≫ S.f = f
R : Type u_1
m i : ℕ
hi : i ∈ range (m + 1)
⊢ i ≤ 2 * m + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
AddZeroClass Y
AddZeroClass Z
f : Y →+ Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ (LocallyConstant.mapAddMonoidHom f) g = LocallyConstant.map (⇑f) g
α : Type u
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ⊓ g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ ∩ t₂ ⊆ s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R M
x✝ : L
int✝ : IsIntegral R x✝
h✝ : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x✝)
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower R K L
h : Splits ((algebraMap K L).comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)
⊢ Splits (algebraMap K L) (minpoly K x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ eLpNorm (f_lim - f N + f N) p μ < ⊤
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
f : G →* M
x : G
⊢ x ∈ f.ker ↔ f x = 1
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioi a, u a * v' a + u' a * v a ∂volume = b' - a'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup fun i => F i a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝¹ q✝ : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p✝ p q : R[X]
hp : (aeval (f x)) p = f ((aeval x) p)
hq : (aeval (f x)) q = f ((aeval x) q)
⊢ (aeval (f x)) (p + q) = f ((aeval x) (p + q))
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Function.Injective ⇑(Polynomial.expand R n)
K : Type u_1
Field K
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
⊢ Continuous Valued.extension
β : Type u_2
α : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β}, m ≤ m0 → ∀ {f : α → β}, Measurable f → Measurable f
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z
hk : k = k'
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0
he : 0 < exponent G
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ∀ (a : E), ↑(IntermediateField.topEquiv.symm a) = ↑((↑↑Subalgebra.topEquiv).symm a)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
P : β → α → Prop
s : Set β
hP : ∀ (x : β), x ∈ s → Antitone (P x)
⊢ Antitone fun y => ∀ (x : β), x ∈ s → P x y
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
n : ℕ
α : Ext Z T n
⊢ (mk₀ f).comp ((mk₀ g).comp α ⋯) ⋯ = (mk₀ (f ≫ g)).comp α ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 < a
⊢ a⁻¹ < 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
⊢ R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap { toFun := ⇑(taylor r), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } R[X]⁰
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s
⊢ s.OrdConnected
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ
⊢ s.drop n ~ʷ t.drop n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖
hcε : ‖c‖ < ε
⊢ ‖(B x) y‖ ≤ ε
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a
⊢ f.cycleType ≤ g.cycleType
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I a b c : OplaxFunctor B C
f g : a ⟶ b
h i : b ⟶ c
η : f ⟶ g
θ : h ⟶ i
b✝ : B
⊢ ((fun {F G H} η x x_1 Γ => OplaxNatTrans.whiskerLeft η Γ) f h i θ ≫ (fun {F G H} x x_1 Γ η => OplaxNatTrans.whiskerRight Γ η) f g η i).app b✝ = ((fun {F G H} x x_1 Γ η => OplaxNatTrans.whiskerRight Γ η) f g η h ≫ (fun {F G H} η x x_1 Γ => OplaxNatTrans.whiskerLeft η Γ) g h i θ).app b✝
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ a ∧ b ↔ ¬(¬a ∨ ¬b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₂ : β → γ
hgm₂ : Measurable g₂
hgm₁ : Measurable (g₂ ∘ f)
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₂ ∘ f
⊢ AEMeasurable g (Measure.map f μ)
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_2
Group α
f g : Filter α
⊢ ¬1 ≤ f / g ↔ Disjoint f g
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
⊢ image2 f' ((fun b => b) '' t) (g' '' s) = image2 f' t (g' '' s)
a b : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := a + b } = { cauchy := a } + { cauchy := b }
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ : AffineSubspace k P
v₁₂ v₂₃ : V
⊢ map (↑(constVAdd k P v₂₃)) (map (↑(constVAdd k P v₁₂)) s₁) = map (↑(constVAdd k P (v₂₃ + v₁₂))) s₁
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
ConditionallyCompleteLattice M
Nonempty ι
f : ι → α → M
⊢ (Function.support fun x => ⨆ i, f i x) ⊆ ⋃ i, Function.support (f i)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable fun x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
⊢ ↑(c ^ n).num = ↑c.num ^ n
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥
x : L
hx : x ≠ 0
this : x ∈ H.normalizer
⊢ False
⊢ ↑(↑0)⁻¹.den = ↑(if 0 = 0 then 1 else Int.natAbs 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then ∅ else t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Ici a)
hft : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioi a)
hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' Set.Ici a) MeasureTheory.volume
hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Set.Ici a) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Set.Ioi (f a), g u
m n : ℕ+
⊢ m.gcd n = n.gcd m
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
x : R
⊢ f x ∈ f.range
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (coeff R n) ({ toFun := fun f => mk fun n => 0 ^ n * (coeff R n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x) = if n = 0 then (constantCoeff R) x else 0
G : Type u_1
AddCommSemigroup G
IsCancelAdd G
g : G
⊢ addLeftEmbedding g = addRightEmbedding g
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s * t).card
R : Type u_3
V : Type u_4
AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
Zero R
SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R V
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • y)).coeff (x.order + ((HahnModule.of R).symm y).order) =
  x.leadingCoeff • ((HahnModule.of R).symm y).leadingCoeff
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ A.EqId ↔ CategoryTheory.Mono A.e
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
N : Submodule S M
hfin : N.FG
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ (Submodule.restrictScalars R N).FG