ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X X.X { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ (whiskerRight f { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X X.X { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv ≫ whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option (Option α)
f : α → β
⊢ x.bind (Option.map f) = (Option.map (Option.map f) x).bind id
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ G.map ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x) = adj2.unit.app x
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict s) = ⊥ ↔ μ s = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ HasFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x • 1) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
fg : f ≤ g
gf : g ≤ f
⊢ f ≈ g
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
Finite ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[Set.univ.pi s] x = ⨅ i, Filter.comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
L' : FirstOrder.Language
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
S : L'.Substructure M
⊢ ↑(φ.substructureReduct S) = ↑S
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ = 1
α : Type u_1
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
Zero M
Zero M'
CommMonoid N
f : M → M'
hf : f 0 = 0
g : α →₀ M
h : α → M' → N
h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 1
⊢ (Finsupp.mapRange f hf g).prod h = g.prod fun a b => h a (f b)
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : CommSemiring A'
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R A'
inst✝³ : Algebra R B
p✝ q✝ : R[X]
x : A
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
inst✝ : Algebra S T
p q : S[X]
h₁ : p ∣ q
a : T
h₂ : eval a (map (algebraMap S T) p) = 0
⊢ eval a (map (algebraMap S T) q) = 0
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : N < i
⊢ IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
⊢ ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
n : Nat
⊢ { byteIdx := n }.byteIdx = n
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
⊢ AddMonoidHom.ker f = ⊥
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0
⊢ 0 = C 0
α β : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ α + ↑n = β + ↑n ↔ α = β
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Icc a 0 = Set.Icc (Pi.single i a) 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
ι : Sort u_2
f : F
s : ι → NonUnitalSubsemiring S
⊢ NonUnitalSubsemiring.comap f (iInf s) = ⨅ i, NonUnitalSubsemiring.comap f (s i)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTop α
⊢ Filter.atTop ≤ 𝓝 ⊤
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : k < p ^ n
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.inv.app X).hom₁ = 𝟙 X.obj₁
α : Type u
⊢ (PEquiv.refl α).symm = PEquiv.refl α
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal
x : M
⊢ x ∈ S ↔ ∃ s, x = s • generator S
R : Type u
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R
⊢ op (star (x / y)) = op (star x / star y)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f g : C(X, Y)
⊢ Inseparable ⇑f ⇑g ↔ Inseparable f g
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b ≤ max a b
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
⊢ IsNoetherian R ↥N ↔ ∀ s ≤ N, s.FG
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
n : N
⊢ (SemidirectProduct.inl n).right = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : μ U < μ K + ε / 2
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U ∆ s) < ε
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) b = c
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (π.restrict J).iUnion = ↑J ∩ π.iUnion
X : Type ?u.719
Y : ?m.713
A : Type ?u.722
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
Y₁ : Sort u_3
Y₂ : Sort u_4
Z₁ : Type u_5
Z₂ : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X₁
inst✝² : TopologicalSpace X₂
inst✝¹ : TopologicalSpace Z₁
inst✝ : TopologicalSpace Z₂
f₁ : X₁ → Y₁
g₁ : Z₁ → Y₁
f₂ : X₂ → Y₂
g₂ : Z₂ → Y₂
mapX : X₁ → X₂
contX : Continuous mapX
mapY : Y₁ → Y₂
mapZ : Z₁ → Z₂
contZ : Continuous mapZ
commX : f₂ ∘ mapX = mapY ∘ f₁
commZ : g₂ ∘ mapZ = mapY ∘ g₁
⊢ Continuous (Function.mapPullback mapX mapY mapZ commX commZ)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
a₁ b₁ : ℝ
h₁ : a₁ ≤ b₁
a₂ b₂ : ℝ
h₂ : a₂ ≤ b₂
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a₁ b₁ ×ˢ Set.Ioo a₂ b₂ \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a₁ b₁ ×ˢ Set.Ioo a₂ b₂ \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂) volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, (f' (x, y)) (1, 0) + (g' (x, y)) (0, 1) = (((∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, b₂)) - ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, a₂)) + ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (b₁, y)) - ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (a₁, y)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.count a Finset.univ.val = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
x y : G.Subgraph
h : x ≤ y
⊢ Function.Injective ⇑(SimpleGraph.Subgraph.inclusion h)
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.arctan (1 + x ^ 2)⁻¹ x
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
⊢ IsClosed (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ Summable f ↔ ¬Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
DecidableEq β
b : β
⊢ b ∈ s.biUnion t ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x => c) =o[l] g ↔ Tendsto (fun x => ‖g x‖) l atTop
R : Type u_3
CommSemiring R
Preorder R
Sub R
OrderedSub R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : R
⊢ a * c - b * c ≤ (a - b) * c
a b : Int
⊢ a ∣ b → b.mod a = 0
G : Type u_3
Group G
n : ℤ
j : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n)^[j] = fun x => x ^ n ^ j
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ m +ᵥ AddAction.orbit M a ⊆ AddAction.orbit M a
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ p.closedBall 0 ε ∈ 𝓝 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n m' n' : α
hm' : m' ∣ m
hn' : n' ∣ n
h : gcd k (m * n) = m' * n'
hm'n' : m' * n' ∣ k
⊢ n' ∣ gcd k n
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
⊢ ¬IsField (𝓞 K)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
⊢ b.flag k.succ = span R {b k} ⊔ b.flag k.castSucc
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ 0 < μ U
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
n : ℕ
⊢ Coalgebra.comul ↑n = ↑n
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = (algebraMap R' S') (IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩) * (algebraMap S S') y
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
⊢ 0 < diam s ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ ((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom = (α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ∀ (a : A), (CoalgEquiv.refl R A).invFun a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ 0.6931471808 ≤ ↑3 / 2 ^ 2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
n : ℕ
a : α
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ↑(↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapproxDiff f k) a) = ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f n) a
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
⊢ mk (-f) = -mk f
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X × Y, Z)
a : X
b : Y
⊢ (f.curry a) b = f (a, b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T1Space Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousAt f x
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x = y ^ (1 / z) ↔ x ^ z = y
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable l.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f g h : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
CategoryTheory.Limits.HasKernel h
w₁ : f = g
w₂ : g = h
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq w₁ ≪≫ CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq w₂ = CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso g
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv g) f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y ↔ f = g
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑(LieAlgebra.derivedAbelianOfIdeal I)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ S = ⊥ → Module.rank F ↥S = 1
α : Type u
R : α → α → Prop
l l₁ : List α
h : List.Chain' R l
h' : l₁ <:+ l
⊢ List.Chain' R l₁
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h₁₂ : FreeGroup.Red L₁ L₂
h₂₁ : FreeGroup.Red L₂ L₁
⊢ L₁ = L₂
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
⊢ HasGradientAt f f' x ↔ (fun x' => f x' - f x - ⟪f', x' - x⟫_𝕜) =o[𝓝 x] fun x' => x' - x
θ : Angle
⊢ (θ + ↑π).sin = -θ.sin
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
m x✝ : E
⊢ 0 x✝ = (0 m) x✝
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g✝ : X ≅ Y
X✝ Y✝ : C
f g : X✝ ≅ Y✝
h : f.hom = g.hom
⊢ f.inv = g.inv
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : x < 0
⊢ False
P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
self : P.IsLocal
⊢ P.toProperty.RespectsIso
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
⊢ (PartialEquiv.pi ei).source = Set.univ.pi fun i => (ei i).source
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Icc ↑a ↑b = Set.Icc a b
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j
⊢ QuasiIsoAt ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ j
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hderiv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
α : Type u_1
MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
⊢ a.r (Fin.last N) ≤ τ * a.r i
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → FreeGroup.Red L₁ L₂
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
Small.{u, max u v} ↑F.sections
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.Small.limitCone F).pt = Shrink.{u, max u v} ↑F.sections
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
u_mono : Monotone u
I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a
C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)
I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C
I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ max a b / min a b = mabs (a / b)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.degree < (X - C a).degree
h0 : ¬q = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = a ↔ a ∆ b = a ∆ ⊥
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hf : (setOf p).Finite
hlt : n < hf.toFinset.card
⊢ p (Nat.nth p n)
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ (l ∪ l').toFinset = l.toFinset ∪ l'.toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ‖indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c‖ ≤ ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
x : ι
⊢ (fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i
X : A i → (a : ι) → A a := update x i
hF₁ : ∀ {j : ι}, Measurable fun t => (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t)
hF₀ : Measurable fun t => f (X t)
⊢ ∫⁻ (t : A i), f (X t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p