ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI✝ : ¬I = ⊥
hI : ↑I ≠ 0
⊢ Submodule.FG I
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F
⊢ ↑(r • f) = r • ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α
⊢ Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊓ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∩ toMultiset g)
n : Nat
a b : Fin n
h : a > b
⊢ ↑b + 1 ≤ ↑a
θ₁ : Angle
x✝ : ℝ
⊢ (θ₁ + ↑x✝).cos = θ₁.cos * (↑x✝).cos - θ₁.sin * (↑x✝).sin
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s : ClopenUpperSet α
⊢ ↑s.toUpperSet = ↑s
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
⊢ (a :: l)[n + 1]? = l[n]?
m : Type u_2
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α →+* β
M : Matrix m m α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R
⊢ (mk I) x = (mk I) y ↔ x - y ∈ I
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
⊢ (x✝.extract b e).Valid
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {R : α → α → Prop} [inst : DecidableRel R], List.pwFilter R [] = []
⊢ @List.takeWhile₂ = @List.takeWhile₂TR
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ (fun s => ∫ (u : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ) =ᶠ[ae ν] fun s => (L₃ (f s)) (∫ (u : G), (L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Ioc a b) = Icc a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.map (⇑e.symm) ν) = ν
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)
A B C D B' D' : SemiNormedGrp
fab : A ⟶ B
fbd : B ⟶ D
fac : A ⟶ C
fcd : C ⟶ D
h : fab ≫ fbd = fac ≫ fcd
fbb' : B ⟶ B'
fdd' : D ⟶ D'
condb : fab ≫ fbb' = 0
condd : fcd ≫ fdd' = 0
g : B' ⟶ D'
h' : fbb' ≫ g = fbd ≫ fdd'
⊢ SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc condb ≫ g =
  SemiNormedGrp.explicitCokernel.map h ≫ SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc condd
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
c : ℝ≥0
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
⊢ LinearMap.ker (Submodule.inclusion h) = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
r : R
N n✝ : ℕ
⊢ (reflect N (C r * f)).coeff n✝ = (C r * reflect N f).coeff n✝
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a ∉ s, insert a s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
l₁ l₂ : List α
rcomm : RightCommutative f
p : l₁.Perm l₂
b : β
⊢ List.foldl f b l₁ = List.foldl f b l₂
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
m n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
hn : n ≠ 0
⊢ 0 ^ n = 0
α : Type u
t : Set α
ht : t.Finite
s : Finset α
⊢ s ⊆ ht.toFinset ↔ ↑s ⊆ t
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ W.neg P = -(P y / P x) • ![1, 1, 0]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).obj K).X₃ = K.X (c.next i)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : (swap x y).support = {x, y}
⊢ x ≠ y
⊢ Set.range ENNReal.ofNNReal = Set.Iio ⊤
α : Type u_1
f g : Poly α
x : α → ℕ
⊢ (f + g) x = f x + g x
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ ∀ (a : ↥p), (Submodule.restrictScalarsEquiv S R M p).symm a = a
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ → α → β
⊢ ∑ p ∈ r, f p.1 p.2 = ∑ c ∈ s, ∑ a ∈ t c, f c a
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
⊢ Module.Finite R M
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) D
q : CategoryTheory.Functor ((i : I) × C i) D
h : (i : I) → (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp q ≅ F i
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.descUniq F q h).hom.app ⟨i, X⟩ = (h i).hom.app X
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ
⊢ A⁻¹ ^ n = A ^ (-n)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
⊢ μ[f|⊥] = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
this : Fact (0 < 2 * π)
⊢ IsLocalHomeomorph ⇑expMapCircle
α : Type u_1
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
⊢ Measurable fun x => ↑‖x‖₊
K : Type u_1
A : Type u_5
Field K
Ring A
Algebra K A
e : A
FiniteDimensional K A
⊢ IsAlgebraic K e
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
this : UniformContinuous fun x => 1 / f x
⊢ UniformContinuous fun x => (f x)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ (range ⇑f).Finite
R : Type u
Semiring R
StarRing R
a : R
⊢ Ring.inverse (star a) = star (Ring.inverse a)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk b = Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => -f y) x = -fderiv 𝕜 f x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.Category.{t, v} J
Small.{w, v} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J (ModuleCat R)
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (p a b ∧ ∀ (b_1 : α), b_1 ≠ a → p b_1 (update f a b b_1)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
h : Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P))
x : R
⊢ x ∈ comap (algebraMap R S) P ↔ x ∈ p
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ContinuousWithinAt g s x → (P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j))
    (CategoryTheory.leftDistributor X f).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ UpperHalfPlane.denom g z ≠ 0
n : ℕ
hq : re 0 = 0
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • 0 ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖0‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖0‖) • 0
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)
p' : Set (Set Ω) := {t | MeasurableSet t}
hp'_pi : IsPiSystem p'
h_gen' : m' = generateFrom p'
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
α : Type u
Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.pullback.fst f g) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.pullback.snd f g) g
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ n ≤ n + 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (∏ i : ι, if p i then 1 else 0) = if ∀ (i : ι), p i then 1 else 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
⊢ R.map (retraction (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)
α : Type u_4
LinearOrderedRing α
⊢ Subsingleton (FloorRing α)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, r • x + y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
⊢ Set.range ⇑(FreeMonoid.lift Subtype.val) = Set.range (List.prod ∘ List.map Subtype.val)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ FractionalIdeal.count K v I⁻¹ = -FractionalIdeal.count K v I
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.toSubring = ⊤ ↔ S = ⊤
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f x - x ≤ f y - y
⊢ z < τ f
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y f))
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').inv)
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}.IsPWO
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ = CochainComplex.shiftFunctorZero' C 0 ⋯
x p : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
hp_nonneg : 0 ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal x ^ p = ENNReal.ofReal (x ^ p)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
X : Action V G
⊢ (Action.FunctorCategoryEquivalence.unitIso.hom.app X).hom = 𝟙 X.V
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (PolynomialModule.eval r) ((PolynomialModule.comp p) q) = (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval r p)) q
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ψ 1 = 1
p : ℕ
⊢ 0 < mersenne p ↔ 0 < p
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (HMul.hMul b.re) atTop atTop
n : ℕ
A : Type u
α β : TypeVec.{u} n
f : α.Arrow β
x : MvQPF.Const n A α
⊢ (MvFunctor.map f x).get = x.get
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
α : Type u
Semiring α
x : α
s : Set α
⊢ Ideal.span (insert x s) = Ideal.span {x} ⊔ Ideal.span s
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
this : (fun p h => Coe.coe ⟨p, h⟩) = fun p x => id p
⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ l.length ≤ n → l[n]? = none
a b c : ℕ
hac : a ≤ c
x : ℕ
⊢ x ∈ image (fun x => c - x) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico (c + 1 - b) (c + 1 - a)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : AList β
⊢ (s₁ ∪ s₂ ∪ s₃).entries ~ (s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)).entries
G : Type u_2
S : Type u_4
InvolutiveInv G
SetLike S G
InvMemClass S G
H : S
⊢ (↑H)⁻¹ = ↑H
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
⊢ f (x - a) = f x - b
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
⊢ EqOn (toFun' e₁ e₂) ((f₃ ∘ f₂) ∘ f₁) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set α
⊢ μ s < ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
⊢ LinearMap.range ((b.constr S) f) = span R (range f)
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
⊢ Function.Bijective ⇑(Polynomial.Gal.galActionHom p ℂ)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
Y : C
f : X ⟶ Y
j : J
t : h.hom.app Y { down := f } = F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })
⊢ (F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })).app j = (h.hom.app X { down := 𝟙 X } ≫ (const J).map f).app j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
self : SimplicialObject.Augmented.ExtraDegeneracy X
⊢ self.s' ≫ X.hom.app (Opposite.op [0]) = 𝟙 (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.obj X)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀
g_diff : DifferentiableOn ℂ g (ball c R₁)
this : g z = g z₀
⊢ f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.Mono ((F.shift n₁).map T.mor₁) ↔ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = 0
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Nonsingular x (W.negY x y)
⊢ W.Nonsingular x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
⊢ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ Differentiable ℝ fun x => x ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
α' : Type u_3
γ : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
f : α → α'
g : α' → β → γ
⊢ List.zipWith g (List.map f l₁) l₂ = List.zipWith (fun a b => g (f a) b) l₁ l₂
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ RingHom.OfLocalizationSpanTarget P ↔ RingHom.OfLocalizationFiniteSpanTarget P
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
n : ℕ
⊢ Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) (M ^ n) =
  Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) M ^ n
n m : ℕ
f : SimplexCategory.mk n ⟶ SimplexCategory.mk m
⊢ CategoryTheory.Epi f → m ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
⊢ ↑(-v) s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b
⊢ a ∣ c + b ↔ a ∣ c
α : Type u_3
CommMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).prod = a * s.prod
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
m : M
n : N
⊢ m ⊗ₜ[R] (-n) = -m ⊗ₜ[R] n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1
⊢ ∀ n ≥ ⌊‖x‖⌋₊, ‖x ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!‖ ≤ ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) * ‖x ^ n / ↑n !‖
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.Mono f
⊢ Function.Injective f
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y
⊢ ∃ p_1 q, v ++ p = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w ++ p = p_1 ++ r.output ++ q
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
s : Subsemiring R
y : ↑(⇑↑e.toAddEquiv '' ↑s.toAddSubmonoid)
⊢ ↑((e.subsemiringMap s).symm y) = (↑e).symm ↑y
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
⊢ x ∈ Ideal.span ((fun s => (MvPolynomial.monomial s) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, si ≤ xi