ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : A.mulVecLin (Pi.single i 1) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) (Pi.single i 1) = v₂ (e i)
⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
p : β → Prop
⊢ ⨆ i, f i = (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬p i), f i
α : Type u_1
Sub α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (x - y) = MulOpposite.unop x - MulOpposite.unop y
X Y U : AlgebraicGeometry.Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
fg : Y ⟶ X
H : fg = f ≫ g
h : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj V =
  (TopologicalSpace.Opens.map fg.val.base).obj ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor g).obj V)
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ IntervalIntegrable rexp μ a b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ dist s.center p₁ = dist s.center p₂
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
x : β
⊢ Function.Injective (MulAction.ofQuotientStabilizer α x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
⊢ MeasurableSet (fderiv 𝕜 f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
Archimedean α
y : α
ExistsAddOfLE α
x : α
hy1 : 1 < y
⊢ ∃ n, x < y ^ n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : M
n₁ n₂ : N
⊢ m ⊗ₜ[R] (n₁ + n₂) = m ⊗ₜ[R] n₁ + m ⊗ₜ[R] n₂
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPushouts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : Mono g
s : PushoutCocone f g
hs : IsColimit s
this : Mono ((colimit.cocone (span f g)).ι.app WalkingCospan.left)
⊢ Mono s.inl
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
self : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ f (x₁ + x₂, y) = f (x₁, y) + f (x₂, y)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
p : l₁.Perm l₂
l : List (Sigma β)
⊢ (l₁.kunion l).Perm (l₂.kunion l)
m n : ℕ
⊢ ¬m.Coprime n ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ m ∧ p ∣ n
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
MulPosMono α
⊢ MulPosReflectLT α
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : ↥K'
⊢ (∃ y, ⟨↑y, ⋯⟩ = x) ↔ ↑x ∈ K
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
⊢ Fin.snoc p x i.castSucc = p i
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ ⇑f.withTopMap = WithTop.map ⇑f
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
⊢ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β
⊢ ((M.map f hf).Indep B ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I) ↔ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ a ≤ b / c ↔ b ≤ a * c
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ^^^ y).toNat = x.toNat ^^^ y.toNat
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}
⊢ map i h = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
q : ℚ≥0
⊢ CauSeq.Completion.ofRat ↑q = ↑q
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h₁ : (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
h₂ : (fun x => f₂ x - f₃ x) =o[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₃ x) =o[l] g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z
⊢ (fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₂ : ?m.76253
x✝¹ x✝ : M
⊢ (RingHom.id R) ((B x✝¹) x✝) = (B x✝) x✝¹ ↔ ((flipHom B) x✝¹) x✝ = (B x✝¹) x✝
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist p₁ ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) = ‖c‖ * dist p₁ p₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm' f p.toReal ν ≤ eLpNorm' f p.toReal μ
p : Char → Bool
s : String
⊢ (s.dropWhile p).data = List.dropWhile p s.data
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp f 1 μ'
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Function.Injective PartialHomeomorph.toPartialEquiv
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
x : A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ x))
⊢ ↑(elementalStarAlgebra.characterSpaceToSpectrum x φ) = φ ⟨x, ⋯⟩
x : ℝ
⊢ Real.sin x ≠ 0 ↔ ∀ (n : ℤ), ↑n * Real.pi ≠ x
X : Type u
t t' : TopologicalSpace X
⊢ t = t' ↔ ∀ (x : X), 𝓝 x = 𝓝 x
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ (a ⊓ b) * c = a * c ⊓ b * c
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I
⊢ x ∈ I.radical ∨ y ∈ I.radical
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
⊢ p.predAbove i.rev = (p.rev.predAbove i).rev
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b : α
⊢ Iic b = cons b (Iio b) ⋯
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ o = (map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o
α : Type u_1
s : Finset (Option α)
x : α
⊢ x ∈ Finset.eraseNone s ↔ some x ∈ s
α : Type u
a b : α
s : Stream' α
⊢ a ∈ Stream'.cons b s → a = b ∨ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => ((ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
f : α → β
d : Function.Injective f
⊢ (Multiset.map f s).Nodup ↔ s.Nodup
M : Type u_1
S : Set M
Semigroup M
⊢ S.centralizer = Set.univ ↔ S ⊆ Set.center M
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
⊢ AEStronglyMeasurable (gammaPDFReal a r) (ℙ.restrict (Iic x))
b a : Prop
hb : ¬b
⊢ a ∨ b ↔ a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Multiset β
⊢ Monotone fun s => s.disjSum t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hf : StrongLT 0 f
⊢ Monovary f⁻¹ g ↔ Antivary f g
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
this✝ : DecidableEq ι
disj : Disjoint s (image (fun z => ↑z) s')
this : s'.card = (s ∪ image (fun z => ↑z) s').card - s.card
⊢ ((s ∪ image (fun z => ↑z) s').biUnion t).card - (s.biUnion t).card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Zero α
One α
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G).IsAdjMatrix
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
g_eq : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ℝ), g (↑x, y) = y - ↑f x
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ (algebraMap K L).fieldRange
⊢ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L)
n : ℤ
k : ℕ
⊢ (n ^ k).natAbs = n.natAbs ^ k
α : Type u_2
s : ℕ → Set α
⊢ Filter.limsup s Filter.atTop =
  {ω | Filter.Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) Filter.atTop Filter.atTop}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
z : E
hz : z ∈ V
⊢ ‖a‖ * ‖y‖ < 1 * r
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
H : ∀ (b : β a), ⟨a, b⟩ ∉ l
⊢ List.kreplace a b l = l
a b : ℝ
m n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ m * Real.cos x ^ (2 * n + 1) =
  ∫ (u : ℝ) in Real.sin a..Real.sin b, u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
a : Γ
l : ListBlank Γ
f : Γ → List Γ'
hf : ∃ n, f default = List.replicate n default
⊢ (cons a l).bind f hf = append (f a) (l.bind f hf)
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x)⁻¹) = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
α : Type u_2
Zero α
s : Finset α
⊢ s ⊆ 0 ↔ s = ∅ ∨ s = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ ⇑(mkMetric m) = ⇑(Measure.mkMetric m)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map f).obj ⊤ = CategoryTheory.Subobject.mk f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
b : β
s : Set β
x✝ : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ((fun _a => b) ⁻¹' s)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven (-a) s = HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a s
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
x : ↥p
⊢ p.subtype x = ↑x
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))
      (PrimeSpectrum.basicOpen r))
    (X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen r))) =
  X.toToΓSpecMapBasicOpen r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable g μ
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Set.Icc m n)
us : ∀ i ∈ Set.Icc m n, u i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
α : Type u
ι : Sort w
minAx : Order.Frame.MinimalAxioms α
a : α
f : ι → α
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b
U : Set α
U_open : IsOpen U
U_nonempty : U.Nonempty
a b : α
hab : a < b
H : Ioo a b ⊆ U
⊢ (U ∩ s).Nonempty
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).leadingCoeff = k • p.leadingCoeff
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Function.Bijective ⇑f
a : L₁
⊢ (LieEquiv.ofBijective f h) a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
⊢ ↑(e.restr s) = ↑e
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : (J ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y)
  (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op (Opposite.unop F))).obj ((CategoryTheory.Functor.const J).obj X))
  (X_1 : J), (((CategoryTheory.cocones J C).obj F).map f a).app X_1 = a.app X_1 ≫ f
G : Type u_1
CommGroup G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ IsPGroup p ↥(CommGroup.primaryComponent G p)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ (Polynomial.aeval (IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α) = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2224, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ⊤ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap P X π)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap P X π) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap P X π)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap P X π)
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
m n k : Int
⊢ (m % n + k) % n = (m + k) % n
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
hgt : i < j
⊢ i.succ.succAbove (i.cycleRange j) = (swap 0 i.succ) j.succ
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k ≤ (n + k) ^ k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
x y : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ico x y) = Ico ↑x ↑y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r s : R
⊢ (TensorPower.cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (TensorPower.algebraMap₀ r) (TensorPower.algebraMap₀ s)) =
  TensorPower.algebraMap₀ (r * s)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
b₁ b₂ : M
⊢ Finsupp.single a (b₁ + b₂) = Finsupp.single a b₁ + Finsupp.single a b₂
X : CondensedSet
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous (CondensedSet.coinducingCoprod X)
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
FunLike F α β
i : EmbeddingLike F α β
f : F
x y : α
⊢ f x = f y ↔ x = y
G : Type u_1
Group G
Finite G
⊢ Nat.card ↥(Subgroup.center G) + ∑ᶠ (x : ConjClasses G) (_ : x ∈ ConjClasses.noncenter G), Nat.card ↑x.carrier =
  Nat.card G
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : 1 = -1
⊢ False
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
⊢ dualCoannihilator ⊤ = ⊥
α : Type u_4
o : Option α
⊢ (↑o).Dom ↔ o.isSome = true
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype { a // p a }
⊢ Finset.subtype p Finset.univ = Finset.univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ IsUnit x
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid α
AddGroup β
DistribMulAction α β
DecidableEq β
a : α
t : Finset β
⊢ a • -t = -(a • t)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : ContinuousAdd M₂
ι : Type u_9
t : Finset ι
f : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂
b : M₁
⊢ (∑ d ∈ t, f d) b = ∑ d ∈ t, (f d) b
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i)) = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL b i) x))) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL a i) x)))
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (GP.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((BoxAdditiveMap.volume J) ((f' x) (Pi.single i 1))) (F J) ≤ ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsCompact s) fun s => s
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
x m : ↥p
⊢ x ∈ MulAction.orbit R m ↔ ↑x ∈ MulAction.orbit R ↑m
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
a : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
m n : ℕ
⊢ (f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ m ≡ n [MOD s.card]
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ici 0) Real.negMulLog
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitIsoFlipCompLim F).hom.app X = (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F X).hom
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
p : ι → E
⊢ Finset.centroid R s p = s.centerMass (Finset.centroidWeights R s) p
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g✝ : G
H K : Subgroup G
g : G
this : mk H K (Quotient.out' (mk H K g)) = mk H K g ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k
⊢ ∃ h k, h ∈ H ∧ k ∈ K ∧ Quotient.out' (mk H K g) = h * g * k
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ (a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a b : R[X]
e : a * p + b * q = 1
s : R := ↑hr.unit⁻¹
this : (a * p).natDegree = (b * q).natDegree
⊢ ∃ b, s ^ (a * p).natDegree • s ^ (a.natDegree + p.natDegree - (a * p).natDegree) • a.scaleRoots r * p.scaleRoots r + b * q.scaleRoots r = 1
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
⊢ StrictMono (deriv fun a => a ^ n)
R : Type u_1
Semigroup R
StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R
⊢ IsSelfAdjoint (star z * x * z)
α : Type u_1
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
⊢ (∀ (s : Set α), IsOpen s → IsOpen s) ↔ t₂ ≤ t₁