ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F G
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j))
    (CategoryTheory.preservesColimitIso G F).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.comp G) j
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f : ZeroHom M N
⊢ f 0 = 0
n : ℕ
k : ℕ
⊢ n ∣ k - k % n
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Nat.card G
this : Fintype G
⊢ ∃ x, orderOf x = p
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
⊢ HasBiproduct F
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, (f (i + 1) - f i) = f n - f 0
m n : ℕ
h : n ≤ m
p : ℕ
hp : p ∈ filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1))
⊢ p ∣ (m + n).choose m
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g ^ (-↑n - 1))
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ
⊢ ↑b ∣ ↑n ↔ ↑b ∣ ofDigits c (b'.digits n)
self : TopCommRingCat
⊢ TopologicalRing self.α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.mapZeroObject.inv = 0
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ (∀ (x : α), Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x))) ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₃ = p₃ -ᵥ p₂ +ᵥ p₁
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ o.card ↔ ↑n ≤ o
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_init : f x ≤ x
⊢ OrdinalApprox.gfpApprox f x (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord ∈ Function.fixedPoints ⇑f
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
h₁ : ∀ x ∈ S, Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds (f x))
h₂ : EquicontinuousOn F S
⊢ ContinuousOn f S
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ B.IsOrtho x 0
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l
this✝ : l.NeBot
this : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ l
⊢ Cauchy ↑(Ultrafilter.of l)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg : MeasureTheory.Integrable (↑g) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (f - g) =
  MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f - MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T g
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
m : PosNum
⊢ ↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit1) >>> (n + 1)
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ ‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ (μ Set.univ).toReal * ‖f‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : f =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ HasStrictFDerivAt f 0 x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ AlgEquiv.refl.symm = AlgEquiv.refl
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (xy : X × X) in 𝓤 X, ∀ (i : ℕ), (birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.1, birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
G : Type u_3
CommGroup G
a b : G
⊢ a * b / a = b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : 3 = f.degree + g.degree
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree
h : f.degree = 0 ∧ g.degree = 3
⊢ 1 < (f + g).degree
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x : E
⊢ HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (Finset.affineCombination k fs p) w) ↔
  ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (Finset.affineCombination k fs fun i => p ↑i) w
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
x : ℝ
hx_pos : 1 < x
hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ 1 / 2 * log x ≤ log u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctorEquivalence C).inverse.map f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d : α
a b : WithTop α
⊢ a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
k : ℕ
IH : multichoose 1 k = 1
⊢ multichoose 1 (k + 1) = 1
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
⊢ HasGradientAt f f' x ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ⟪f', x' - x⟫_𝕜‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
H : Function.Injective f
a : α
o : Option α
⊢ f a ∈ Option.map f o ↔ a ∈ o
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x : α
⊢ ∃ q, x < ↑q
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ᵤ (X → α) := UniformEquiv.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)
⊢ UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing F
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (WittVector.wittSub p n) = 0
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.inv G) = Inv.inv
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G
⊢ ((forget V G).mapIso f).hom ≫ N.ρ g = M.ρ g ≫ ((forget V G).mapIso f).hom
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
⊢ ∃ y, (algebraMap A (FractionRing A)) y = x
α : Type u_9
β : Type u_10
CommMonoid β
Unique α
Fintype α
f : α → β
⊢ ∏ x : α, f x = f default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)))
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y
this : 0 < sin ((y - x) / 2)
⊢ 0 < 2 * sin ((y - x) / 2) * cos ((y + x) / 2)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ Function.Injective ⇑e
⊢ RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral
C : Type ?u.31337
inst✝⁵ : Category.{?u.31341, ?u.31337} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ S₁.f ≫ φ.τ₂ = 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' t] ↑(chartAt H x) x
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.ball 1 δ / {x} = Metric.ball x⁻¹ δ
y z : SetTheory.PGame
h : y.LF z
x : SetTheory.PGame
⊢ (y + x).LF (z + x)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
m n : ℤ
⊢ A ^ (m * n) = (A ^ n) ^ m
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Set X
hF : IsPathConnected F
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsPathConnected (f '' F)
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α
⊢ k + 1 ≤ l.length
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g : Perm α
⊢ ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
α : Type u
f : Filter (Filter α)
l : Filter α
h : ∀ᶠ (m : Filter α) in f, m ≤ l
⊢ f.join ≤ l
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace K
H : IsUnramified k w
v : InfinitePlace K
hv : v.comap (algebraMap k K) = w.comap (algebraMap k K)
⊢ IsUnramified k v
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_6
MeasurableSpace γ
f : β → δ
hf : Measurable f
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ κ).map f hf = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight γ (κ.map f hf)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ IsRegular (X ^ n)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊥
h : a + b ≤ a + c
⊢ b ≤ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
k : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f^[k] a ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] a ∈ s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ infDist x t ≤ infDist x s + hausdorffDist s t
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
i : ℕ
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly.coeff i
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ jacobiSym a b ^ 2 = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
t : Set R
ht : span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG
⊢ I.FG
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
⊢ (prod.snd ⊚ prod.diag) i = id i
R : Type u_2
NonAssocRing R
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
hR : ringChar R ≠ 2
a : R
⊢ -a = a ↔ a = 0
R : Type u
CommRing R
M : QuadraticModuleCat R
⊢ (𝟙 M).toIsometry = QuadraticMap.Isometry.id M.form
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₂ = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation φ
X : Dᵒᵖ
⊢ d.d 1 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I I' n f x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
⊢ (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a - c ≤ b ↔ a ≤ b + c
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
⊢ f₁ =o[l] g ↔ f₂ =o[l] g
R : Type u_4
K : Type u_5
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ toPrincipalIdeal R K =
  {
    toFun := fun x =>
      { val := FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ↑x, inv := FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯,
        inv_val := ⋯ },
    map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
ι : Type u_2
α : Type u_3
CommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
DecidableEq ι
a : ι
h : a ∈ m
⊢ f a * (Multiset.map f (m.erase a)).prod = (Multiset.map f m).prod
a b c : ℕ
h : a ≤ b
x : ℕ
⊢ x ∈ insert a (Icc (a + 1) b) ↔ x ∈ Icc a b
K : Type u_1
v : K
LinearOrderedField K
FloorRing K
⊢ (SimpContFract.of v).IsContFract
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
⊢ count p n.primeFactorsList = padicValNat p n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
⊢ StarAlgebra.adjoin R {x | x ∈ s} = StarAlgebra.adjoin R ↑s
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ↑(exponentialCDFReal r) x = if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
a : A
b : B
m : M
⊢ a ⊗ₜ[R] b • m = a • b • m
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (fun s => ↑((MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts = 1
α : Type u_1
p : Quiver.Path (Quiver.SingleObj.star α) (Quiver.SingleObj.star α)
a : Quiver.SingleObj.star α ⟶ Quiver.SingleObj.star α
⊢ Quiver.SingleObj.pathEquivList (p.cons a) = a :: Quiver.SingleObj.pathToList p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a
⊢ s.biUnion t₁ ⊆ s.biUnion t₂
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
DecidableEq α
a b : α
⊢ (a == b) = decide (a = b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
h : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => √(1 - ‖y‖ ^ 2)) y
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
motive : Monoid.PushoutI φ → Prop
x : Monoid.PushoutI φ
of : ∀ (i : ι) (g : G i), motive ((Monoid.PushoutI.of i) g)
base : ∀ (h : H), motive ((Monoid.PushoutI.base φ) h)
mul : ∀ (x y : Monoid.PushoutI φ), motive x → motive y → motive (x * y)
⊢ motive x
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
(j : ι) → Decidable (j ∈ ↑s)
⊢ (↑s).piecewise f g = s.piecewise f g
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ variance (c • X) μ = variance ((algebraMap A ℝ) c • X) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
⊢ (r • s).preimage t = r.preimage (s.preimage t)
n : ℕ
⊢ n.factorization = Multiset.toFinsupp ↑n.primeFactorsList
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 1
t : L.Term α
⊢ (RelMap R fun i => Term.realize v (![t] i)) = RelMap R ![Term.realize v t]
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
val✝ : Multiset α
a : α
h : Multiset.card (Quot.mk Setoid.r [a]) = 1
⊢ (fun a => ⟨{a}, ⋯⟩) ((fun s => ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun x => x.length = 1) (fun x => Multiset.card x = 1) ⋯ ⋯) s).liftOn (fun l => (↑l).head ⋯) ⋯) ⟨Quot.mk Setoid.r [a], h⟩) = ⟨Quot.mk Setoid.r [a], h⟩
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ ↑(affineSpan k s) = spanPoints k s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Y' : Type u_5
f : X → Y
f' : X → Y'
hf : IsLocallyConstant f
hf' : IsLocallyConstant f'
⊢ IsLocallyConstant fun x => (f x, f' x)
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i
⊢ IsVanKampenColimit (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
NoncompactSpace α
⊢ Metric.diam Set.univ = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ ↑(Ioc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))
R : Type u
CommRing R
S : Ideal R
Submodule.IsPrincipal S
is_prime : S.IsPrime
ne_bot : S ≠ ⊥
⊢ Prime (Submodule.IsPrincipal.generator S)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : HasKernel S.g
h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData
this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)
⊢ HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ico a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio c = Set.Ico a ↑c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
self : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g π
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.rightSection π = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
⊢ |Real.exp x - Real.expNear m x 0| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ b = a ⊓ c ↔ a ⊓ c ≤ b ∧ a ⊓ b ≤ c
P : Type u_2
MetricSpace P
Nonempty P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ∅
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalRing R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.reverse (LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)) = LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map U.ι.val.base).obj U = ⊤
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : n < addOrderOf x
⊢ n • x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 * p.2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t = ∅ ↔ s ⊆ t
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (g x) (f y)
⊢ s.noncommSum (f + g) ⋯ = s.noncommSum f comm_ff + s.noncommSum g comm_gg
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b
⊢ a ⊓ b ≈ a