ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g : G
hg : g ∈ k
⊢ ⟨g, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ ∀ {a b : G}, a ∈ f ⁻¹' s → b ∈ f ⁻¹' s → a * b ∈ f ⁻¹' s
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup Gˣ
x : Gˣ
⊢ ↑x ∈ H.ofUnits ↔ x ∈ H
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs₁ : MeasurableSet s
hs₂ : μ s = 0
⊢ (μ.withDensity f) s = 0
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : C
i j : A
⊢ (CategoryTheory.shiftComm X i j).symm = CategoryTheory.shiftComm X j i
M : Type u_1
Monoid M
n : M
⊢ Submonoid.powers n = Submonoid.closure {n}
M : Type u_3
ι' : Sort u_6
Add M
ts : ι' → TopologicalSpace M
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousAdd M
⊢ ContinuousAdd M
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e.invFun = ⇑e.symm
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this : Nontrivial R
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E Fₗ) c) f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.pimage f s ⊆ t ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ f x, y ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
⊢ ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬x + a = a_1
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ s - Multiset.filter p s = Multiset.filter (fun a => ¬p a) s
x : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ x.birthday.toPGame
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
a : α
h : a ∈ Nat.rfindOpt f
⊢ ∃ n, a ∈ f n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | r < f x}
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
u : (ZMod N)ˣ
hu : u ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker
⊢ χ ↑u = ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
x : α
h : x ∈ e.source
⊢ ↑e x ∈ e.target
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit a m).land (Int.bit b n) = Int.bit (a && b) (m.land n)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp (-f) p ↔ Memℓp f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
⊢ ∀ (s : Set α), μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ insert a s \ s ↔ x✝ ∈ {a}
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).natTrailingDegree = n
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ =
  CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n) (F.shift a) ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor C m).associator (CategoryTheory.shiftFunctor C n) (F.shift a) ≪≫
      CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C m) (F.shiftIso n a a' ha') ≪≫
        F.shiftIso m a' a'' ha''
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I✝ : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
bM' : M → ι →₀ ↥I
hbM' : ∀ (x : M), (Ideal.finsuppTotal ι M I b) (bM' x) = f x
A : Matrix ι ι R := fun i j => ↑((bM' (b j)) i)
this : Represents b A f
⊢ ∃ M_1, (toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : Fin l.length
⊢ f (l.get n) = (List.map f l).get ⟨↑n, ⋯⟩
ι : Sort u_1
IsEmpty ι
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨅ i, f i = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits T
A : CategoryTheory.StructuredArrow S T
P : CategoryTheory.Subobject A
q :
  (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S).obj A.left ⟶
    T.obj (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject P))
hq : CategoryTheory.CategoryStruct.comp q (T.map (CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject P).arrow) = A.hom
⊢ CategoryTheory.StructuredArrow.liftSubobject (CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject P) hq = P
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
start stop : Nat
⊢ as.any p start stop = true ↔ ∃ i, start ≤ ↑i ∧ ↑i < stop ∧ p as[i] = true
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
f : ι → ι' → α
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j = ⨅ j, ⨅ i, f i j
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝ : ↑(P.obj X)
⊢ (P.map (f ≫ g)) x✝ = ((P.map g).comp (P.map f)) x✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
h : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
y : 𝕜
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (↑‖a‖₊)⁻¹
norm_lt : ‖y • a‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)) fun x => y) (Ring.inverse (1 - (0 + y) • a))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquiv F U).functor =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivFunctor F U
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
this : i % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit) = j % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit)
⊢ i = j
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
⊢ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = p
⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ioi 0 → z ∈ Ioi 0 → x < y → y < z → (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S
⊢ IsCompact (closure (⇑f '' S))
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z
zb : ℕ
hzb : ↑zb = z - b
⊢ HEq (match z + 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
L'' : Language
e'✝ : L' ≃ᴸ L''
e✝ e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''
⊢ (e'.toLHom.comp e.toLHom).comp (e.invLHom.comp e'.invLHom) = LHom.id L''
α : Type u_1
r : Setoid α
⊢ ∅ ∉ r.classes
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
b : I.R
⊢ I.multispan.obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right b) = I.right b
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t v w : V
⊢ (edge s t).Adj v w ↔ (v = s ∧ w = t ∨ v = t ∧ w = s) ∧ v ≠ w
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
z w : α
hz : z ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ nndist z⁻¹ w⁻¹ = nndist z w / (‖z‖₊ * ‖w‖₊)
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i
⊢ (a ++ b).extract i j = b.extract (i - a.size) (j - a.size)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n
⊢ A ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₃ ↔ J.IsAdjointPair J₃ A A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
fst snd : S.Arrow
r : fst.Relation snd
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.mk' r).fst = fst
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0
⊢ a ≤ b * a
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a ≥ b → a ≤ b
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true
⊢ List.rtakeWhile p (l ++ [x]) = []
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R P
Module R Q
p p' : Submodule R P
q q' : Submodule R Q
hp : p ≤ p'
hq : q ≤ q'
⊢ LinearMap.range (TensorProduct.mapIncl p q) ≤ LinearMap.range (TensorProduct.mapIncl p' q')
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.toFiniteAux 0 = 0
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝕊
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝕊
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕊 𝔸
ContinuousSMul 𝕊 𝔸
IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
⊢ HasFDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x))
  ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x))) t
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ (f.closure.domRestrict f.domain).closure = f.closure
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.map F.obj f = F.map f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
π₂ : TaggedPrepartition I := π.filter fun J => ¬p J
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x = φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p x
hq : HasFPowerSeriesAt g q x
heq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z = g z
⊢ p = q
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
⊢ (∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ closure (interior (Set.Icc a b)) = Set.Icc a b
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
⊢ s.Countable
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
⊢ Matrix.vandermonde v =
  Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * Matrix.vandermonde (Fin.tail v) i j
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
⊢ ↑r ≠ ⊤ ∨ dimH s ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R
⊢ (x - y) ^ n = (x - y) ^ (n % p) * (x ^ p - y ^ p) ^ (n / p)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn F f p ∅
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ ValuationRing R ↔ LocalRing R ∧ IsBezout R
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
k : ℕ
x : α
hx : x ∈ f^[k] ⁻¹' s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s
hk : f^[k] x ∈ s
n : ℕ
hn : f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s
⊢ f^[n + k] x ∈ s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalGroup G
H : Type u_4
Group H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
TopologicalGroup H
e : G ≃* H
he : Continuous ⇑e
hesymm : Continuous ⇑e.symm
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ).IsHaarMeasure
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
⊢ ↑I =ᵐ[MeasureTheory.volume] BoxIntegral.Box.Icc I
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i
⊢ (f (Quotient.out (x a)).fst i ⋯) (Quotient.out (x a)).snd = (f (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst i this) (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).snd
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ ↑n * ⌊f 0⌋ ≤ ⌊(⇑f)^[n] 0⌋
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
x : B
⊢ x ∈ ↑p ↔ x ∈ p
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
⊢ sInf I.minimalPrimes ≤ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
⊢ m.IsCaratheodory (s₁ᶜ ∪ s₂ᶜ)
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
h : S ⊆ T
⊢ ⋂₀ T ⊆ ⋂₀ S
α : Type ua
u₁ u₂ : UniformSpace α
⊢ u₁ = u₂ ↔ ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ 𝓤 α
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
⊢ ∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ unop (((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α
A : ∀ (i : ι) (c : α), MeasurableSet {x | f i x ≤ c}
B : ∀ (c : α), MeasurableSet {x | ∀ (i : ι), f i x ≤ c}
u : ℕ → α
hu : Tendsto u atTop atTop
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a : α
h : filter p [a] ≠ []
h' : p a = true
⊢ (filter p [a]).getLast h = [a].getLast ⋯
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x y : α
r : ℝ
h : dist x y ≤ K * r
rpos : 0 < r
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
H : closedBall y r ⊆ closedBall x (R / 4)
hr : R < r
⊢ ∃ r_1, closedBall y r ⊆ closedBall x r_1 ∧ μ (closedBall x (3 * r_1)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall y r)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ ↑(s.erase a) = ↑s \ {a}
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
f : ℂ → F
R : ℝ≥0
hR : 0 < ↑R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c ↑R)
⊢ deriv f c = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : IsEmpty α
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 < f
⊢ 1 < ∏ i : ι, f i
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z ↔ x ≤ y
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
f2 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2
f_test_function_union : ∀ x ∈ K1 ⊔ K2, 1 ≤ (f1 + f2) x
⊢ rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
⊢ Surjective f ↔ Bijective f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) < r
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
M : Type u_1
α : Type u_3
SMul M α
a : M
x : Option α
⊢ a • x = Option.map (fun x => a • x) x
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (t i) μ
H : μ Set.univ < ∑ i ∈ s, μ (t i)
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, ∃ (_ : i ≠ j), (t i ∩ t j).Nonempty
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
this : (𝓤 G).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ b i}
x✝¹ : Set α × ι
x✝ : α →ᵤ[𝔖] G
⊢ (∀ x ∈ x✝¹.1, (toFun 𝔖) x✝ x ∈ b x✝¹.2) ↔ (x✝, 1) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 x✝¹.1 {x | x.1 / x.2 ∈ b x✝¹.2}
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : ScottContinuous f
⊢ Monotone f
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
α : Type u_1
self : CompleteBooleanAlgebra α
a : α
s : Set α
⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
⊢ x = y ∨ edist x y = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
hf : ¬IsField R
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬IsUnit x