ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ ↑(re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun sq => sq.map F) X✝).f₃₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₃ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₃₄
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
b : B
x : E b
⊢ { proj := b, snd := x } ∈ (a.pretrivializationAt b).source
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
key : ∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1
⊢ ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) + ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 1 + 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
e : X ≃ᵢ Y
s : Set Y
⊢ dimH (⇑e ⁻¹' s) = dimH s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
hV_sum : DirectSum.IsInternal fun i => V i
α : ι → Type u_6
v_family : (i : ι) → Basis (α i) 𝕜 ↥(V i)
hv_family : ∀ (i : ι), Orthonormal 𝕜 ⇑(v_family i)
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑(hV_sum.collectedBasis v_family)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁷ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : BorelSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
e : G ≃* H
he : Continuous ⇑e
hesymm : Continuous ⇑e.symm
K : Set H
hK : IsCompact K
F : G ≃ₜ H := let __src := e.toEquiv; { toEquiv := __src, continuous_toFun := he, continuous_invFun := hesymm }
⊢ (map (⇑F.toMeasurableEquiv) μ) K < ⊤
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G * M) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, M u w
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x y z : M
⊢ (B x) (y + z) = (B x) y + (B x) z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b x : β
⊢ x ∈ pimage f s ↔ x ∈ image (fun x => (f ↑x).get ⋯) (filter (fun x => (f x).Dom) s).attach
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a : α
⊢ |a| = max a (-a)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ
a : ℝ
ha : 0 < a
f : E ≃ₛₗ[σ] F
⊢ (∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖) → ∀ (y : F), ‖f.symm y‖ = a⁻¹ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
⊢ a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
r : ℝ
z : ℂ
⊢ ↑r * z = { re := r * z.re, im := r * z.im }
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq m
Zero α
One α
p : m → Prop
⊢ Matrix.toBlock 1 p p = 1
f : ℝ → ℝ
x p : ℝ
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ deriv (fun x => f x ^ p) x = deriv f x * p * f x ^ (p - 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
F : Set X
OpensMeasurableSpace X
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hF : IsClosed F
⊢ μ F = μ Set.univ ↔ F = Set.univ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁
⊢ iso'.hom.app X = iso'.hom.app X
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Ioc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
hxz : f z < f x
⊢ f y < f z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct S.X₁ S.X₃
⊢ h.isoBinaryBiproduct.inv = CategoryTheory.Limits.biprod.desc S.f h.s
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 < n
⊢ a ^ n < b ^ n ↔ a < b
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.NonsingularLift ⟦P⟧ ↔ W'.Nonsingular P
k : Type u
Field k
R : Type u_1
Field R
IsAlgClosed k
f : R →+* k
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ f x p = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p + q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ConnectedSpace α
f : α → β
h : Continuous f
⊢ IsConnected (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ
⊢ a ^ n ∣ b → f a ^ n ∣ f b
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
k : ℕ
⊢ a ^ k * a ≤ b ^ k * b
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 ≤ a * b
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
f f' : α →₀ M
⊢ Finsupp.erase a (f + f') = Finsupp.erase a f + Finsupp.erase a f'
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ (Algebra.TensorProduct.basis A b) i = 1 ⊗ₜ[R] b i
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
c₁✝ c₂✝ r x y z : R
a✝ b c : ℍ[R,c₁✝,c₂✝]
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a = -a ↔ a.re = 0
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
c : R
⊢ (c • A).det = c ^ Fintype.card n * A.det
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ Multiset.powersetAux' (a :: l) = Multiset.powersetAux' l ++ List.map (Multiset.cons a) (Multiset.powersetAux' l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : ↑(f.restrict s) x ≠ 0
hxs : x ∈ s
x✝ : μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑(f.restrict s) x}) ≠ 0
⊢ ↑(f.restrict s) x ∈ f.range
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
⊢ orderOf x = n
α : Type u_1
β : Type u_2
head✝ : Option α
tail✝ : List (Option α)
tail_ih✝ : (¬∀ (x : Option α), x ∈ tail✝ → x.isSome = true) ↔ none ∈ tail✝
⊢ head✝.isSome = true → none ∈ tail✝ ↔ none = head✝ ∨ none ∈ tail✝
z : ℂ
A : Tendsto (fun n => ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
⊢ Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
K₁ K₂ : Set X
h1K₁ : IsCompact K₁
h1K₂ : IsCompact K₂
h2K₁ : K₁ ⊆ U x
h2K₂ : K₂ ⊆ ⋃ i ∈ fun i => i ∈ t.val, U i
hK : s = K₁ ∪ K₂
⊢ ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪(-o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a b c : R
ha : a ≠ 0
h : ∀ ⦃d : R⦄, d ∣ a → d ∣ c → ¬Prime d
⊢ a ∣ b * c → a ∣ b
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
IsDomain A
IsDomain B
hx : IsIntegral A x
⊢ Irreducible (minpoly A x)
K : Type u_1
Field K
Fintype K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
n : ℕ
hcard : q = p ^ n
⊢ frobenius K p ^ n = 1
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0) = constantCoeff Φ
i j : ℕ
h : i < j
⊢ i.dist j = max i j - min i j
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
Add C
Mul C
Star C
e₁ : A ≃⋆+* B
e₂ : B ≃⋆+* C
x : C
⊢ (e₁.trans e₂).symm x = e₁.symm (e₂.symm x)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.IsCommutative
H.FiniteIndex
H.Normal
α : H.QuotientDiff
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
⊢ H.IsComplement' (MulAction.stabilizer G α)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0 ↔ p ≠ 0
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
⊢ ∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ x + y = y ↔ y ≤ x
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.bypass.IsPath
ι : Type u_7
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
IsEmpty ι
m : N''
⊢ AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty m = AlternatingMap.constOfIsEmpty R' M'' ι m
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime
⊢ (I.prod ⊤).IsPrime
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.blsub f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a ≤ f i hi
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
⊢ Multiset.card (Multiset.replicate n a) = n
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y✝ z x y : V
hx : x ≠ 0
⊢ (∀ (s t : K), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0) ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y
R : Type u
Add R
x y : R
⊢ Tropical.trop (x + y) = Tropical.trop x * Tropical.trop y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : R
⊢ (residue R) x = 0 ↔ x ∈ maximalIdeal R
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hnm : n.natAbs < m.natAbs
⊢ n = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
m : Nat
n k : Nat
H : 0 < m
⊢ n * m / (k * m) = n / k
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ upperClosure s = ⊤ ↔ s = ∅
α : Type u
inst✝³ : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ extend f (pureCauchy a) = f a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
S : Set X
⊢ IsPreirreducible S ↔ S.Subsingleton
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : insert x s ∩ t ⊆ u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
R : Type u
Ring R
A : Subring R
⊢ A = ⊤ ↔ ∀ (x : R), x ∈ A
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hf : IsLimit f
c' : Cofan Z
x✝ : Discrete α
j : α
⊢ (c.ι.app { as := j } ≫ (hc.desc c').op.unop).op = (c.ι.app { as := j } ≫ (hf.lift c'.op ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv).unop).op
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K ≠ ⊤
⊢ 1 ∉ comap f K
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ Continuous fun x => EMetric.infEdist x s
x : ℝ
hx : Real.cos x ≠ 0
⊢ Real.tan x ^ 2 / (1 + Real.tan x ^ 2) = Real.sin x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x ⊗ₜ[R] y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd Y Z)
α : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
s t : Set α
f : α → M
l : Filter α
h : ∀ᶠ (a : α) in l, a ∉ s ∩ t
⊢ (s ∪ t).indicator f =ᶠ[l] s.indicator f + t.indicator f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ TensorProduct.map f g ^ n = TensorProduct.map (f ^ n) (g ^ n)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
⊢ Pairwise r l
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : (image f s).card = s.card
⊢ Set.InjOn f ↑s
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => ↑(f a)
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n = ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_2 i
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.IsNormal f ↔
  (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (Order.succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ span R {generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})} = span R {generator (ϕ.submoduleImage N)}
α✝ : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
s : Set α✝
α : Type u_2
U : Set α
h : IsOpen U
⊢ U = ∅ ∨ U = univ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
n m : ℕ
h : n ≤ m
x : M
x✝ : x ∈ (fun n => LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id)) m
y : M
hy : r ^ m • y = x
⊢ r ^ n • r ^ (m - n) • y = x
⊢ volume (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ↑(NonUnitalStarSubalgebra.center R A) = Set.center A
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c + f y) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t
⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist ((f ∘ g) (↑i.2 (i_1 + 1))) ((f ∘ g) (↑i.2 i_1)) ≤ ↑C * eVariationOn g s
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) (Icc (↑n) (↑n + 1)) volume
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
⊢ ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ : ι → Set α
self : MeasureTheory.AECover μ l φ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ φ i
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ (↑e).comp ↑e.symm = ContinuousLinearMap.id R₂ M₂
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' Metric.closedBall f₀ r)
⊢ f ∈ Metric.closedBall f₀ r
M : Type u_1
Mul M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
k n : ℕ+
x : M
⊢ x ^ (k + n) = x ^ k * x ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (s • t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a
⊢ b₁ • d + b₂ • a ≤ b₁ • a + b₂ • d
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap η ≫ J.plusLift γ hR = η ≫ γ
ι : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ℤ
hs : s.card = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = p ∧ ↑p ∣ ∑ i ∈ t, a i
α : Type u_1
LT α
a b : WithBot α
⊢ WithBot.toDual a < WithBot.toDual b ↔ b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
⊢ ↑i < k
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f
s : Multiset K
h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ s.Nodup
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
Quiver.HasInvolutiveReverse U
Quiver.HasInvolutiveReverse V
φ.MapReverse
h : ∀ (u : U), Function.Bijective (φ.costar u)
⊢ φ.IsCovering
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
U : Type u_1
Quiver U
u v v' w : U
p : Quiver.Path u v
p' : Quiver.Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p = p'
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
ValuationRing R
CommRing S
IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ValuationRing S