ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
hf : Mono f
q : (Functor.fromPUnit S).obj A.left ⟶ T.obj (Subobject.underlying.obj (projectSubobject (Subobject.mk f)))
hq : q ≫ T.map (projectSubobject (Subobject.mk f)).arrow = A.hom
⊢ ?i.hom ≫ f = homMk (projectSubobject (Subobject.mk f)).arrow hq
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : n ≤ l₁.length
⊢ List.take n (l₁ ++ l₂) = List.take n l₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ (convexHull 𝕜) ∅ = ∅
a : ℕ
⊢ jacobiSymNat a 0 = 1
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
⊢ min univ.card r ≤ fp.parts.card
α : Type u_1
l : List α
m n : Nat
a : α
h : n < (l.set m a).length
⊢ (l.set m a)[n] = if m = n then a else l[n]
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
OrderedCommMonoid α
OrderedCommMonoid β
OrderedCommMonoid γ
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
⊢ g.comp (f₁ * f₂) = g.comp f₁ * g.comp f₂
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ dist f g = (MeasureTheory.eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ).toReal
G : Type u_4
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
⊢ (MeasurableEquiv.neg G).toEquiv = Equiv.neg G
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
⊢ (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R n) = X n
α : Type u
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f * Equiv.swap x y = Equiv.swap (f x) (f y) * f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
⊢ ∑ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = finrank L F • ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x₁ + f.mk' x₂ y = f.mk' (x₁ + x₂) y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j x : n
⊢ v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
⊢ η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s a
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (f / g) s a
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a + (b - a) = b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommRing Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup Mₛ
Module R M
Module R Mₛ
Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
IsLocalizedModule S f
IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ (Basis.ofIsLocalizedModule Rₛ S f b) i = f (b i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a ≤ b * a
q a b c : ℚ
n : ℤ
⊢ mkRat n 1 = ↑n
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
⊢ x ∈ C0 C ho ∪ C1 C ho ↔ x ∈ C
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.zero = 0
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n.succ
⊢ ∃ a, a ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsSMulRegular M 0
a b : M
⊢ (fun x => 0 • x) a = (fun x => 0 • x) b
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX : tX ∈ tas
hY : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst Y Z)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l (-f) vol
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f vol
α : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
AddAction M α
FaithfulVAdd M α
m : M
⊢ AddAction.fixedBy α m = Set.univ ↔ m = 0
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
IsGalois K L
x : L
⊢ (algebraMap K L) ((Algebra.norm K) x) = ∏ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x
X : TopCat
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
F : TopCat.Presheaf C X
U V W : TopologicalSpace.Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op W))
⊢ TopCat.Presheaf.restrictOpen (TopCat.Presheaf.restrictOpen x V e₂) U e₁ = TopCat.Presheaf.restrictOpen x U ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →* β
x : α
⊢ (WithZero.lift' f) ↑x = f x
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ LaurentPolynomial.trunc (Polynomial.toLaurent f) = f
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
P : Multiset (Ideal R) := factors I
prime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ EisensteinSeries.gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
⊢ v ᵥ* ↑γ ∈ EisensteinSeries.gammaSet N (a ᵥ* ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
⊢ motive x
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α
⊢ ∀ (p q : R[X]), ((aeval f) p) x = eval (f x) p → ((aeval f) q) x = eval (f x) q → ((aeval f) (p + q)) x = eval (f x) (p + q)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n
⊢ ∀ (g : ↥G), g ≠ 0 → AEDisjoint volume (g +ᵥ I) I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.rightDistributor f X ⊗ CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)) ≪≫
    CategoryTheory.rightDistributor (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) Y =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (⨁ f) X Y ≪≫
    CategoryTheory.rightDistributor f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) ≪≫
      CategoryTheory.Limits.biproduct.mapIso fun j => (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (f j) X Y).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ f (iInf s) ≤ ⨅ i, f (s i)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ (algebraMap R P') x = a • b
α : Type u_1
DecidableEq α
s : List α
p : α → Bool
⊢ (List.filter p s).toFinset = Finset.filter (fun x => p x = true) s.toFinset
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
⊢ Nonempty n → Matrix.det 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Neg γ
x : β → γ
y : α → β
⊢ (-x) ∘ y = -x ∘ y
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
f : ι → G.Subgraph
v : V
⊢ (⨅ i, f i).neighborSet v = (⋂ i, (f i).neighborSet v) ∩ G.neighborSet v
z : ℤ
⊢ { cauchy := ↑z } = ↑z
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a✝ : α
b✝ : β
this✝ : type r * typein s b✝ + type r ≤ c
this : type r * typein s b✝ + typein r a✝ < c
a b : ↑{b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)}
⊢ Subrel (Prod.Lex s r) {b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)} a b → Sum.Lex (Prod.Lex (Subrel s {b | s b b✝}) r) (Subrel r {b | r b a✝}) ((fun a => ?m.90264 a) a) ((fun a => ?m.90264 a) b)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ ContDiff 𝕜 n b
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' (⇑e ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f q μ * eLpNorm g r μ
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_1
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
(ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : Submodule.IsPrincipal.generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
⊢ N = ⊥
R : Type u_1
Semiring R
r : R
i : ℕ
k : R
⊢ (Polynomial.taylor r) ((Polynomial.monomial i) k) = Polynomial.C k * (Polynomial.X + Polynomial.C r) ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
l : Filter α
⊢ (∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in l, ↑x < ↑(f a)) ↔ ∀ (i : ℝ≥0), True → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ Ioi i
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hnzero : n > 0
h : n ≠ 0
⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic 0 ℚ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
⊢ AEMeasurable (fun x => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)) ((ν a).restrict u)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
⊢ Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ * ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (1 - z.re)) ^ (-1) * ((ε + sSupNormIm f 1) ^ z.re) ^ (-1) ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 (⊤_ C)) f ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor Y).hom =
  (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor X).hom ≫ f
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioc ⊥ ↑y = Iic y
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧
h₂ : ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧ < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧
⊢ P3 x₁ x₃ y₁ y₂
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ (⇑(AffineMap.homothety x r) '' s) = μ ((fun x_1 => r • (x_1 - x) + x) '' s)
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')
f : MulRingNorm ℚ
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
⊢ f ↑m = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Multiset R
t : Multiset M
⊢ s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum
α : Type u_1
Ring α
LinearOrder α
a b : α
⊢ |a| ∣ b ↔ a ∣ b
β : Type u_1
x : β
α : TypeVec.{u_2} 0
⊢ TypeVec.const x α = TypeVec.nilFun
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : EckmannHilton.IsUnital m₁ e₁
h₂ : EckmannHilton.IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
⊢ e₁ = e₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun a => f a * k a ^ z
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A ≪≫ₗ (opLinearEquiv A).symm)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a : α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ cmp (a * b) (a * c) = cmp b c
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : ∀ (i : ι), (S.map (HomologicalComplex.eval C c i)).ShortExact
⊢ S.ShortExact
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
Y : CategoryTheory.Subobject B
h₁ : X ≤ CategoryTheory.Subobject.mk f
h₂ : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLEMk f h₁) (CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f Y h₂) = X.ofLE Y ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : ∀ s ∈ f, h₁ s ⊆ h₂ s
⊢ f.lift' h₁ ≤ f.lift' h₂
α✝ : Type u_1
a : α✝
l : List α✝
p : α✝ → Bool
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α✝
l₁ l₂ : List α✝
left✝¹ : ∀ (b : α✝), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
⊢ (eraseP p l).length = l.length.pred
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
F G : C ⥤ₑ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.AdditiveFunctor.ofExact C D).map α = α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ none.elim (1 - ∑ i : I, e i) e + ∑ i : I, (some i).elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
fg : (α →₀ M) × (β →₀ M)
⊢ Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.symm fg = fg.1.sumElim fg.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : CategoryTheory.Mono f], CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : CategoryTheory.Mono f], CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan F
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan F
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan F
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan F
⊢ CategoryTheory.Adhesive C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
s : σ
⊢ ((↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode s)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = Part.map encode (h a (m, s))
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₙₐ[S] B
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.restrictScalars R f) = ⇑f
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Finset.univ.card = Fintype.card α
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set β
hs : s.Countable
t : β → Set α
⊢ m (⋃ i ∈ s, t i) = 0 ↔ ∀ i ∈ s, m (t i) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : CocompactMap β γ
g : CocompactMap α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r✝ : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
g' : Γ'
h : ¬g' = f g
hr : ¬r = 0
⊢ g' ∉ ⇑f '' ((single g) r).support
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
β : Type v'
B' : Basis β R M'
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ 𝟙 (φ.obj c) ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c) (φ.obj c)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
⊢ (cramer 0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a b : ℝ
h : Function.support f ⊆ Set.Ioc a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
this : f (1, 1) * f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) * f (g, 1)
⊢ g • f (g⁻¹, g) / f (g, g⁻¹) = f (1, 1) / f (g, 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y = (X ⨯ Y)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
⊢ IsConnected s ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
M : Type u_5
A : Type u_7
B : Type u_8
Monoid M
Monoid A
MulDistribMulAction M A
MulOneClass B
c : M
f : A →* B
a : A
⊢ (DomMulAct.mk c • f) a = f (c • a)