ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g) ≫ (CategoryTheory.Limits.PreservesPushout.iso G f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl (G.map f) (G.map g)
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
m s : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑M
ihx : (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) m = m
ihy : (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) s = s
⊢ (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) (m + s) = m + s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
f : β → α
⊢ ∀ (b : ↑s), f ↑b = s.mulIndicator f ↑b
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w u : W
i : B
⊢ w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹ = w * u * cs.simple i * (w * u)⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) ≠ i₁₂
⊢ K.ιTotalOrZero c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b✝ b : R
⊢ gcd 0 b ∣ 0 ∧ gcd 0 b ∣ b
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
⊢ False
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ MonoidHom.range f = ⊤
α : Type u_1
t : Set α
s : Finset α
Fintype ↑t
⊢ s ⊂ t.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ f ⋯) ≫ c.π = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj one)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ integralCLM 0 = 0
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
⊢ (F ⊓ F').N = F.N ⊓ F'.N
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
FunLike F α β
self : AddGroupSeminormClass F α β
f : F
a : α
⊢ f (-a) = f a
α : Type u_3
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_10, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
F' : CategoryTheory.Functor D H
G : CategoryTheory.Functor C' C
G.IsEquivalence
α : F ⟶ L.comp F'
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔
  F'.IsLeftKanExtension (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft G α) (G.associator L F').inv)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s : L.DefinableSet A α
⊢ ↑sᶜ = (↑s)ᶜ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating f).compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R n) = f n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E 0 μ)
⊢ ‖f‖ = 0
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
⊢ v (x - y) = v x
a b : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
h2 : b ≤ a
⊢ a - (a - b) = b
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≠ 0
IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x
s t s' t' : R
⊢ gcd (y % x) x = gcd x y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = 0
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s 0 = 1 / ↑0 ^ s
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
⊢ #α ≤ sum fun x => (typein r ↑x).card
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : ∀ (i : ι), (S.map (eval C c i)).Exact
⊢ S.Exact
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
g : Dual R N
q : Q
⊢ prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) = (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q)
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))) ∧ 1 ≤ x_1 → ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑x_1, |x - ↑a / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
b x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b (x ^ y) = y * Real.logb b x
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk : ↑k.toNat = k
⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
C : Type u_5
C' : Type ?u.64843
D : Type u_3
D' : Type ?u.64849
H : Type u_4
H' : Type ?u.64855
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_5} C
inst✝⁸ : Category.{?u.64863, ?u.64843} C'
inst✝⁷ : Category.{u_1, u_3} D
inst✝⁶ : Category.{?u.64871, ?u.64849} D'
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_4} H
inst✝⁴ : Category.{?u.64879, ?u.64855} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W
inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W
G : D ⥤ H
β : F ⟶ L ⋙ G
⊢ G.IsRightDerivedFunctor β W ↔ IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), ContinuousOn (F i) S
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
⊢ IsUnit f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2)
a b : ℝ≥0∞
⊢ max a b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
i j : Option ι
hi : i = none
⊢ HomologicalComplex.extend.d K i j = 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
E : Set α
h : x ∉ closure E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < EMetric.infEdist x E
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : Sort u
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (AddLocalization.r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ ((AddLocalization.addMonoidOf S).mk' a b).liftOn f H = f a b
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).degree ≤ p.degree
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖r‖₊ = ⟨r, hr⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ PartialHomeomorph.ofSet Set.univ ⋯ = PartialHomeomorph.refl X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → β
hfd : DenseRange f
g h : β → γ
hg : Continuous g
hh : Continuous h
H : g ∘ f = h ∘ f
⊢ g = h
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.I ≠ 0 → RCLike.I * RCLike.I = -1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (-f) 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ≤ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
c : ℂ
r R : ℝ
h0 : 0 < r
hle : r ≤ R
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R \ Metric.ball c r)
hd : ∀ z ∈ (Metric.ball c R \ Metric.closedBall c r) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
⊢ ramificationIdx f p P ≠ 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.transPartialEquiv f').source = ⇑e ⁻¹' f'.source
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
⊢ u ⊆ ↑(Subring.comap g T₁)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
x y : F.Elements
h₁ : x.fst = y.fst
h₂ : F.map (CategoryTheory.eqToHom h₁) x.snd = y.snd
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ (↑(C * B).card / ↑C.card) ^ (m + n) * ↑C.card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ ↑e = ↑e' ↔ e = e'
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)
⊢ ∀ (x : V), f x = 0 → f (g x) = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
MulAction G α
Finite α
⊢ Nat.card α ≡ Nat.card ↑(MulAction.fixedPoints G α) [MOD p]
n : ℕ
p i : Fin n
h : i ≤ p
⊢ p.succ.succAbove i = i.castSucc
α : Type u
β : Type v
F : Filter α
s : Set α
f g : α → β
⊢ f =ᶠ[F ⊓ 𝓟 s] g ↔ ∀ᶠ (x : α) in F, x ∈ s → f x = g x
α : Type u
l : List α
s : l.Sublist []
⊢ l = []
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : IsBlock (↥⊤) B
⊢ IsBlock (↥(Subgroup.map (↑(MulAut.conj g)) (Subgroup.comap ↑(MulAut.conj g) ⊤))) (g • B)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : EsakiaHom α β
⊢ ⇑f.toContinuousOrderHom = ⇑f
n : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
⊢ n • a < Cardinal.aleph0 ↔ n = 0 ∨ a < Cardinal.aleph0
α : Type u
β : Type v
f : Filter (α × β)
⊢ Prod.swap <$> f = Filter.comap Prod.swap f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
s t : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj V)
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
e : α ≃o β
⊢ ∀ (a : Option α), e.withBotCongr a = Option.map (⇑e) a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y₁ y₂ : Filter β
h₁ : Filter.Tendsto f x₁ y₁
h₂ : Filter.Tendsto f x₂ y₂
⊢ Filter.Tendsto f (x₁ ⊓ x₂) (y₁ ⊓ y₂)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
CommMonoid N
g : α → M → N
⊢ (Finsupp.filter p f).prod g * (Finsupp.filter (fun a => ¬p a) f).prod g = f.prod g
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G
⊢ z ∈ center G ↔ z ∈ Set.center G
R : Type u_3
CommRing R
z : ℤ
⊢ (↑z).imJ = 0
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
x : ↑(hs.extend ⋯)
⊢ (Basis.extend hs) x = ↑x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrderTop (α i)
a : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Ici a).card = ∏ i : ι, (Finset.Ici (a i)).card
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, sSup (f '' s) = f x ∧ ∀ y ∈ s, f y ≤ f x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Order.succ (Ordinal.sup f) ≤ Ordinal.lsub f ↔ ∃ i, f i = Ordinal.sup f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_5
NormedCommRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
p : Polynomial A
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) Set.univ
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t
n m : Fin (Fintype.card σ + 1)
hneq : n ≠ m
heq : M.evalFrom s (List.take (↑n) x) = M.evalFrom s (List.take (↑m) x)
hle : ↑n ≤ ↑m
⊢ ∃ q a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ M.evalFrom s a = q ∧ M.evalFrom q b = q ∧ M.evalFrom q c = t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f α.inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ↔ f = α.hom
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator 1 a ∂μ = μ s
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
⊢ a • ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hf : u = fun i => g.symm (g (u i))
⊢ g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f) ≤ limsup u f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (a - p) b = toIcoMod hp a b - p
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Multiset α
l : List α
⊢ (a ::ₘ ⟦l⟧).antidiagonal = map (Prod.map id (cons a)) (antidiagonal ⟦l⟧) + map (Prod.map (cons a) id) (antidiagonal ⟦l⟧)
α : Type u
Monoid α
a : ConjClasses α
⊢ a.carrier = ConjClasses.mk ⁻¹' {a}
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
⊢ ‖f 0‖ = ‖f‖
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsCoprime p p.mirror
⊢ Irreducible p
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
h : IsChain r univ
a b : α
⊢ ¬a = b → r a b ∨ r b a
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso (unopMap φ)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ ν.toFiniteMeasure s = ν s
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M
h' : (M ↾ R).E = M.E
⊢ M = M ↾ R ↾ R
𝕜 : Type u
ι : Type v
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
α : Type u_1
Fintype α
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
s : Set ι
e : α ≃ ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : (i : ι) → E₁ i
⊢ ‖(f.iteratedFDerivComponent e) fun x_1 => x ↑x_1‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - Fintype.card α)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (Finset.affineCombination k s p) w₂ = (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (φ + φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ + CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ'
a n : ℕ
⊢ a = n.sqrt ↔ a ^ 2 ≤ n ∧ n < (a + 1) ^ 2
α : Type u_1
f : Bool → α
⊢ range f = {f false, f true}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h✝ : s ~ʷ t
a b : Option (α × WSeq α)
h : BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b
⊢ Option.rec nil Prod.snd a ~ʷ Option.rec nil Prod.snd b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
f : C(α, β)
a : α
⊢ ContinuousMap.coeFnAddMonoidHom f a = f a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
T : C
hT : IsTerminal T
F : Sheaf J D
⊢ ((constantSheafAdj J D hT).counit.app F).val = ((presheafToSheaf J D).map ((constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app F).val
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ (↑I⁻¹).IsPrincipal
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
a : α
⊢ MonotoneOn (fun x => a * f x) s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
⊢ (cfcHom ha) (g.comp f') = (cfcHom ⋯) g
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n
this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)
⊢ ↑p ^ k * ↑p ^ (n - k + 1) ∣ ↑p ^ k * ((expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = (((f.hom ▷ Y.X ≫ N.actRight) ≫ (ρ_ N.X).inv) ≫ N.X ◁ Y.one) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)
ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1
q : ℕ
hq : A * B - 1 = 2 * p * q
⊢ (A * B).ProbablePrime b