ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
⊢ ∀ {t_1 : Set α}, TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B → IsOpen s → (∀ U ∈ B, U ⊆ s → U ⊆ t_1) → s ⊆ t_1
α : Type u
β : α → Type v
a : α
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
⊢ a ∈ s₁ ↔ a ∈ s₂
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
A : Set M
a : ↑A
v : α → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (L.con a).term = ↑a
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
⊢ RingHom.OfLocalizationFiniteSpan @RingHom.Finite
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : { α // α.IsNonZero }
⊢ (LieAlgebra.IsKilling.rootSystem H).coroot α = LieAlgebra.IsKilling.coroot ↑α
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
R : Type u_11
AddMonoid M
Monoid R
DistribMulAction R M
f : α → β
r : R
v : β →₀ M
hfv : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v.support)
hfrv : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(r • v).support) := ⋯
⊢ Finsupp.comapDomain f (r • v) hfrv = r • Finsupp.comapDomain f v hfv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : Convex 𝕜 A
⊢ Convex 𝕜 B
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v : ι → F
c : F
f : ι → F
⊢ { toFun := fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id F) c • { toFun := fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i, map_add' := ⋯ }.toFun f
α : Type u
m n : ℕ
⊢ take m (range n) = range (min m n)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
⊢ IntegrableOn (fun a => ‖↑a ^ (s - 1) • f a‖) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.twoTorsionPolynomial.disc = 16 * W.Δ
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ [].toFinset = ∅
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
t₀ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ f =ᶠ[𝓝 t₀] g
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) / t = s₁ / t ∪ s₂ / t
⊢ (γ - Real.log (4 * π)) / 2 ≠ 0
C : Type u
X Y : F C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f ≫ (normalizeIsoApp' C Y n).hom = (normalizeIsoApp' C X n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
a b c : Int
H1 : 0 ≤ b
H2 : b ∣ a
H3 : a / b ≤ c
⊢ a ≤ c * b
J : Type u
inst✝³ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s✝ : Set (F.obj i✝)
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)
⊢ ∃ a, (fun s => ↑s i) a = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : y < x
h₂ : y < z
h₃ : z < x
⊢ False
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
⊢ x ∈ S.centralizer
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => 1 / (↑n + ↑a) ^ s) (HurwitzZeta.hurwitzZeta (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
q : ℚ
a : α
ha : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
⊢ (preCDF ρ q a).toReal ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x) ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)
⊢ ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (MeasureTheory.Measure.haarMeasure K₀) (closure ↑K₀) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
⊢ Nonempty (α ↪ β)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
⊢ ∃ b ⊆ t, span K b = span K t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
x₁ x₂ : SetTheory.PGame
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
⊢ 0 < x₁ * x₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
self : sq.LiftStruct
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp i self.l = f
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' N) N = ⊥
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
⊢ Ordinal.IsNormal f ↔
  StrictMono f ∧ ∀ (o : Ordinal.{u_4}), o.IsLimit → ∀ (a : Ordinal.{u_5}), (∀ b < o, f b ≤ a) → f o ≤ a
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
h : ∀ i ∈ Set.univ, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (Set.univ.pi t)
R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
h : r ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) r).vars = s.support
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
x : ZMod n
⊢ (castHom ⋯ R) x = 0 → x = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M
⊢ sSup {m | IsSimpleModule R ↥m ∧ m ≤ N} = N
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
f : α
hfB' : f ∉ B
x : α
he : x ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {x} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {x}))
hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {x})))
hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Subobject X
⊢ CategoryTheory.Subobject.mk P.arrow = P
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.RTendsto' r l₁ l₂ ↔ ∀ s ∈ l₂, r.preimage s ∈ l₁
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.rightHomologyIso.inv = S.rightHomologyIso.inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f
⊢ HasFDerivAt f 0 x
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
b₁ b₂ : β
⊢ op (Finset.fold op b₁ f (s₁ ∪ s₂)) (Finset.fold op b₂ f (s₁ ∩ s₂)) =
  op (Finset.fold op b₂ f s₁) (Finset.fold op b₁ f s₂)
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
b : β
⊢ s • {b} = (fun x => x • b) '' s
G H : SetTheory.PGame
G.Impartial
H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m
⊢ (G + H).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
h2 : p ≠ 0
⊢ (map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
H : ∀ (U : Cᵒᵖ), Function.Surjective ⇑(f.app U)
U : C
t : (forget A).obj (F.obj (op U))
⊢ ⊤ ∈ J.sieves U
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A
⊢ Function.Injective ⇑((mul R A) x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
h : CategoryTheory.Limits.IsZero c.pt
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
hs : autoParam ∅.Finite _auto✝
⊢ ∅.ncard ≤ 1 ↔ ∅ = ∅ ∨ ∃ a, ∅ = {a}
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ = Set.univ \ s
α : Type u_1
a b c : α
⊢ a ∈ s(b, c) ↔ a = b ∨ a = c
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ 0 ∈ S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
⊢ insert a (s \ {a}) = insert a s
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
h : m.Nonempty
⊢ (sInf m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ m, μ (t n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
b : α
hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}
⊢ b ∈ ⋃ i ∈ {x | a ⋖ x}, Set.Ici i
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ BddBelow (↑f '' Ioi x)
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ IsBot (OrderDual.toDual a) ↔ IsTop a
α : Type u_1
l m : Language α
⊢ l ≤ m ↔ l + m = m
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
i : I
g : X ⟶ Y i
Z : C
h : Z ⟶ X
⊢ (ofObjects Y X).arrows h ↔ ⊤.arrows h
K : Type u_1
Field K
NumberField K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
w₀ : { w // w.IsComplex }
h :
  NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 <
    MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT' K f w₀)
⊢ ∃ a,
  a ≠ 0 ∧
    (∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧
      |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
Zero M'
f : M → M'
hf : ∀ x ∈ tsupport f, ContMDiffAt I I' n f x
⊢ ContMDiff I I' n f
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
s : ↥S
⊢ 0 /ₒ s = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : j + 1 = i
A : C
f g : (CochainComplex.mappingCone φ).X j ⟶ A
h₁ : (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v i j ⋯ ≫ f = (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v i j ⋯ ≫ g
h₂ : (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f j ≫ f = (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f j ≫ g
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
H K : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
α : CategoryTheory.MonoidalNatTrans F G
β : CategoryTheory.MonoidalNatTrans H K
⊢ (α.hcomp β).toNatTrans = α.toNatTrans ◫ β.toNatTrans
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
h : Monotone (↑f).toFun
⊢ ⇑{ toMonoidWithZeroHom := f, monotone' := h } = ⇑f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hμ : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : Set α
⊢ ↑μ.toSignedMeasure s = if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.724724
S' : Type ?u.724727
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.727158
S'' : Type ?u.727161
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : R
x : P.Cotangent
⊢ (r • x).val = r • x.val
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ S.op.toSubsemiring = S.op
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
d n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ antidiagonal n, (d + ij.2).choose d = (d + n).choose d + (d + n).choose d.succ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E₂
r : ℝ
⊢ ⇑e ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (e.symm x) r
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {i : Nat}, (a :: as).eraseIdx (i + 1) = a :: as.eraseIdx i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : KernelFork (f - g)
⊢ Fork.ι c ≫ f = Fork.ι c ≫ g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hom₁ : A.obj₁ ⟶ B.obj₁
hom₂ : A.obj₂ ⟶ B.obj₂
hom₃ : A.obj₃ ⟶ B.obj₃
comm₁ : A.mor₁ ≫ hom₂ = hom₁ ≫ B.mor₁ := by aesop_cat
comm₂ : A.mor₂ ≫ hom₃ = hom₂ ≫ B.mor₂ := by aesop_cat
comm₃ : A.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map hom₁ = hom₃ ≫ B.mor₃ := by aesop_cat
⊢ (A.homMk B hom₁ hom₂ hom₃ comm₁ comm₂ comm₃).hom₂ = hom₂
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Semiring S
f : R →+* S
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.eval₂ f 1 (Polynomial.cyclotomic p R) = ↑p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ (L.map φ.f).op ≫ (inv (L.map φ.s)).op = (L.map φ.f).op ≫ inv (L.map φ.s).op
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ (∃ a, σ.cycleType = {a}) ↔ σ.IsCycle
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s : Multiset α
b : β
⊢ Multiset.map f s = {b} ↔ ∃ a, s = {a} ∧ f a = b
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ K₁ K₂ : Subgroup G
h₁ : H₁ ≤ K₁
h₂ : H₂ ≤ K₂
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ ≤ ⁅K₁, K₂⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ f '' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f '' s i j
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t))
  (HurwitzZeta.evenKernel (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0)
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂).det
⊢ b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : Module.Ray R M
⊢ x.someVector ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
x' : L
hx : (algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
⊢ (algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
c : (X : C) → ClosureOperator (CategoryTheory.Sieve X)
pb :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : CategoryTheory.Sieve X),
    (c Y) (CategoryTheory.Sieve.pullback f S) = CategoryTheory.Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (CategoryTheory.topologyOfClosureOperator c pb).close S = (c X) S
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
⊢ ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
β : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)
m k n : Nat
hn : 0 < n
h : n * m = n * k
⊢ m = k
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (C ↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n)))) = (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p))
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
e : α ≃ β
⊢ (∀ (a : α), p a) ↔ ∀ (b : β), p (e.symm b)
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.C a * p).divX = Polynomial.C a * p.divX
a b c d b' : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Function.update (Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d) Turing.PartrecToTM2.K'.rev b' =
  Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b' c d
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : 1 ≤ t
x : X
⊢ (F.extend t) x = f₁ x
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ minpoly F (IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α) = minpoly F α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.f =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.src) (CategoryTheory.Limits.terminal.from X.src)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ
⊢ ∑' (x : γ) (b : ↑(g ⁻¹' {x})), f ↑b = ∑' (i : β), f i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
E : CategoryTheory.Functor D C
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J D
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < c
a : α
⊢ b + ↑a < c + ↑a
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =
  ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
a : M
x✝ : IsUnit (↑u * a)
v : Mˣ
hv : ↑v = ↑u * a
this : IsUnit (↑u⁻¹ * (↑u * a))
⊢ IsUnit a
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker (mvPolynomialQuotientEquiv S r))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f n) μ
hF : MeasureTheory.Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (F x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))