ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ZFSet → ZFSet
PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
⊢ x.IsFunc y (ZFSet.map f x) ↔ ∀ z ∈ x, f z ∈ y
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im
⊢ -Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = Real.arccos (x.re / abs x) - π
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
AddGroup β
f : α → β
⊢ (FreeAddGroup.lift f) (FreeAddGroup.mk L) = (List.map (fun x => bif x.2 then f x.1 else -f x.1) L).sum
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c✝ u a : αˣ
b c : α
h : ↑a * b = ↑a * c
⊢ b = c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hts : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f t x
m n k : ℕ
hk : k + 1 < n + 2
⊢ ⟨k + 1, hk⟩ < ⟨k + 1, hk⟩ - 1 ↔ ⟨k + 1, hk⟩ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Balanced C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Summable f
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 0 ≤ f j
⊢ f i ≤ ∑' (i : ι), f i
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ C X * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n) ^ 2 - Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n + 1)) * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n - 1)) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C X * W.ψ n ^ 2 - W.ψ (n + 1) * W.ψ (n - 1))
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q x → r x) ↔ (∀ (x : α), p x → r x) ∧ ∀ (x : α), q x → r x
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ (MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) (MeasureTheory.indicatorConstLp 1 hs hμs x) =
  (MeasureTheory.condexpInd F' hm μ s) x
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
v w : Fin 0 → α
⊢ Matrix.dotProduct v w = 0
s : Finset ℕ
m : ℕ
h : m ∈ Nat.factoredNumbers s
⊢ m ≠ 0
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.Cancels (-u) (HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ u w) ↔ ¬HNNExtension.NormalWord.Cancels u w
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0
h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
r : R
⊢ star ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r) = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
⊢ (ContinuousMap.id β).comp f = f
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (M ^ n).toAddSubmonoid = M.toAddSubmonoid ^ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x
y : Y
ty : y ∈ t
hy : map Prod.snd ↑f ≤ 𝓝 y
⊢ ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
⊢ (ExteriorAlgebra.map f) ((ExteriorAlgebra.ιMulti R n) m) = (ExteriorAlgebra.ιMulti R n) (⇑f ∘ m)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift.{max uE' uF uP, uG} G
this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG
this✝ : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift.{max uG uF uP, uE'} E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift.{max uG uE' uP, uF} F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift.{max uG uE' uF, uP} P
isoG : eG ≃L[𝕜] G
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'
isoF : eF ≃L[𝕜] F
isoP : eP ≃L[𝕜] P
ef : eG → E := f ∘ ⇑isoG
eμ : Measure eG := Measure.map (⇑isoG.symm) μ
eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => isoE'.symm (g (isoP ep) (isoG ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF := (↑(isoE'.arrowCongr isoF).symm).comp L
R : eP × eG → eF := fun q => (ef ⋆[eL, eμ] eg q.1) q.2
R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((⇑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊓ b⟧ } = match { cauchy := ⟦a⟧ }, { cauchy := ⟦b⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⋯ x y }
α : Type u
AddGroup α
a : α
n : ℕ
⊢ Equiv.addRight a ^ n = Equiv.addRight (n • a)
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
⊢ (e₁.arrowCongr' e₂).symm = e₁.symm.arrowCongr' e₂.symm
p : ℕ+
⊢ p.Prime → p ≠ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.liftedCone c t).pt =
  CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.conePoint c t
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (o.kahler (φ x)) (φ y) = (o.kahler x) y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.cos (f x)) s x
α : Type u_1
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∏ i : ι, if i ∈ s then f i else 1) = ∏ i ∈ s, f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C).hom.app X).hom₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₃
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd α α
s t : Set α
⊢ IsOpen t → IsOpen (s + t)
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u : ι → α
x : α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq fun n => x + u n
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
this : IsIso (ModuleCat.ofHom (ofTensorProduct I M))
⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Group γ
TopologicalGroup γ
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n : ℤ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf ^ n = MeasureTheory.AEEqFun.mk (f ^ n) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
ht : MeasurableSet t
h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤
ht_lt_top : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) < ⊤
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f g : α →𝒄 β
h : f = g
x : α
⊢ f x = g x
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : op g • s = s
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u
s : Set α
t₁ t₂ : Set α
h : t₁ ⊆ t₂
⊢ s ∪ t₁ ⊆ s ∪ t₂
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ + ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
⊢ IntegrableOn f univ μ
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
hd : p ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
⊢ p.degree = 1
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x✝ : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x✝)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x✝
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x✝ = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
x : X
x_notin_U : x ∉ U
⊢ ↑0 ∉ Ioi 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
s : Set X
⊢ 𝓝[e.source ∩ s] x = 𝓝[s] x
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
⊢ ∃ a', Ordinal.lift.{v, u} a' = b
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : x ≤ f x
⊢ x ≤ ↑(f.nextFixed x hx)
R : Type u_1
d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := d }.toPoly.leadingCoeff = d
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
f : Filter β
u : β → α
h : Filter.Tendsto u f Filter.atBot
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
r : A × B
⊢ Coalgebra.counit r = Coalgebra.counit r.1 + Coalgebra.counit r.2
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
⊢ IsOpen (Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a))
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
g : N →+ G
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
x : ↥f.range
⊢ (AddMonoidHom.ofLeftInverse h).symm x = g ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : ContinuousOn f univ
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hg : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 g x
m n k : ℕ
⊢ m * n.lcm k ∣ (m * n).lcm (m * k)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
n : ℕ
a' : α
l : List α
this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)
⊢ Tendsto ((fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) ∘ fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : μ s = 0
⊢ μ (f '' s) ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_6
f : ι → α
g₁ g₂ : α → β
⊢ Set.EqOn g₁ g₂ (Set.range f) ↔ g₁ ∘ f = g₂ ∘ f
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
Monoid G
φ₁ φ₂ : W →* G
h : ∀ (i : B), φ₁ (cs.simple i) = φ₂ (cs.simple i)
⊢ φ₁ = φ₂
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ
⊢ (if m = 0 then (Quotient.mk I) (a.coeff n) else 0) = coeff 0 m
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
⊢ c.ord.cof ≤ c
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ) → Prop
h_ind :
  ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤),
    P ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ) (hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      P (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf) →
        P (MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg) → P (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf + MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ P f
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Semiring k
One G
g_hom : Type u_3
FunLike g_hom G R
OneHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
⊢ (MonoidAlgebra.liftNC ↑f ⇑g) 1 = 1
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso η
⊢ F.map₂ (CategoryTheory.inv η) = CategoryTheory.inv (F.map₂ η)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s t : Finset β
a : α
⊢ s ⊆ t → a • s ⊆ a • t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
hm : m ≤ m0
hsf_zero : ∀ (g : α → E), g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0 → s.indicator g =ᶠ[ae μ] g
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m]
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
self : HasCountableSeparatingOn α p t
⊢ ∃ S, S.Countable ∧ (∀ s ∈ S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P').symm = FractionalIdeal.canonicalEquiv S P' P
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hcc : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
⊢ (hS.rightHomologyDataOfIsColimitCokernelCofork cc hcc).p = CategoryTheory.Limits.Cofork.π cc
α : Type u_1
a : Topology.WithScott α
⊢ Topology.WithScott.toScott (Topology.WithScott.ofScott a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝[<] x, f x_1 ∈ Iic (leftLim f x)
a b : Nat
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨0, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < 0
⊢ (if (swap 0 1) 0 ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x y : ↥S
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
h₃ : ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2
⊢ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X).toFinsupp = Finsupp.single 1 a
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
ι : Sort u_5
f : ι → α
⊢ (range f)⁻¹ = range fun i => (f i)⁻¹
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ Subfield.closure ↑s = s
α : Type u
LinearOrder α
x y : α
⊢ x < y ↔ ¬x ≥ y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.f
this✝¹ : Mono S₂.f
this✝ : Epi S₁.g
this : Epi S₂.g
⊢ IsIso φ.τ₂
n : ℕ+
⊢ ↑(PrimeMultiset.ofNatList (↑n).primeFactorsList ⋯).prod = ↑n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
h : IsLocalExtrOn f s a
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalExtrOn g s a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =O[l] v ↔ ∃ φ, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
⊢ (fun x => 0 +ᵥ x) = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (F.interUnionPullbackCone U V).snd = F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F G
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (CategoryTheory.Limits.limit.lift F t))
    (CategoryTheory.preservesLimitIso G F).hom =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (F.comp G) (G.mapCone t)
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
a : G
l : List G
hl : (a :: l).prod = 1
n : ℕ
⊢ ((a :: l).rotate n).prod = 1
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
s : Set E
x : E
⊢ MeasureTheory.pdf.uniformPDF s x μ = if x ∈ s then (μ s)⁻¹ else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsTrichotomous α r
IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
⊢ Function.Injective f
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ IntermediateField.adjoin E ↑(separableClosure F K) ≤ separableClosure E K
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0,
  ∀ (x : α),
    μ (Metric.closedBall x (2 * ε)) ≤ ↑(IsUnifLocDoublingMeasure.doublingConstant μ) * μ (Metric.closedBall x ε)
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋂ k, ⋂ (_ : k ≤ n + 1), u k = u 0 ∩ ⋂ k, ⋂ (_ : k ≤ n), u (k + 1)
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Set N
h1 : t.Countable
h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s
⊢ (closure L).toFun (⇑f ⁻¹' t) = s
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
m n : Nat
⊢ m.gcd n = (n % m).gcd m
α : Type u₁
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Discrete α), (CategoryTheory.Discrete.opposite α).inverse.obj a = Opposite.op a
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
m n a : ℕ
hmn : m ≤ n
x : R ⧸ I ^ n • ⊤
⊢ (AdicCompletion.transitionMap I R hmn) (x ^ a) = (AdicCompletion.transitionMap I R hmn) x ^ a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
r : R
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (B × C)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ'.fst ⊗ₖ η.comapRight he
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
g₁ g₂ : InfHom β γ
f : InfHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)
⊢ a.repr + ↑m < ω ^ e.repr