ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x : α
⊢ x ∈ insert a s \ {a} ↔ x ∈ s
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, ∑ i : Fin s.card, (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ i * x ^ ↑i = 0
⊢ (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ = 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ kernelSubobject (C.dFrom i) = kernelSubobject (C.d i j)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
Finite ι
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Module.Finite R M₂
Module.Free R M₂
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
this : prod.fst = prod.snd
⊢ f = g
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : ↑(Y.presheaf.obj (op V))
⊢ (residueFieldMap f ↑x) ((Y.evaluation ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a) = (X.evaluation x) ((f.val.c.app (op V)) a)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
⊢ Quot.mk Setoid.r RingCat.Colimits.Prequotient.one = 1
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val).prod = ∑ x ∈ range (Multiset.card s + 1), Polynomial.C ((Multiset.map X univ.val).esymm x) * Polynomial.X ^ (Multiset.card s - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f' : β → α
h : Set.LeftInvOn f' f s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ f' (f x) = x
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
NoMaxOrder β
f : α → β
h : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ¬BddAbove (Set.range f)
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ ∃ p1, (p1.1 ∈ A✝ ∧ p1.2 ∈ B✝) ∧ ∃ p2, (p2.1 ∈ A✝ ∧ p2.2 ∈ B✝) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal
⊢ IsSolvable q.Gal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x
⊢ x = mk ((Meq.equiv P (unop S)) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Inducing f ∧ Function.Injective f ↔ (∀ (x : ι), Inducing ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), Function.Injective ((U x).carrier.restrictPreimage f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ f a ≤ 0
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
Preorder α
DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
⊢ (Matrix.stdBasisMatrix i j c).BlockTriangular b
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ c • MeasureTheory.eLpNorm g p μ
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ BddAbove (Icc (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]])))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
x : E
hf : DifferentiableAt ℂ f x
hg : DifferentiableAt ℂ g x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => f x ^ g x) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (m • x) = WittVector.init n (m • WittVector.init n x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)) • P.f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Continuous SeparationQuotient.mk
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
L : Sublattice α
⊢ ↑(Sublattice.map f L) = ⇑f '' ↑L
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ F
i✝ : F
a✝ : i✝ ∈ f.range
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {i✝})‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {i✝})).toReal
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g x).toReal}
⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval _root_.id) p = 0 → p = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.sheafEquivSheafOfTypes J).functor.map f).val = f.val
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
f : j₂ ⟶ j₁
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
a : A
⊢ (𝟙 F).hom a = 𝟙 (F.functor a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖⟪x, x⟫_𝕜‖
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
a : ι → M
b : ι₂ → M
⊢ (PiTensorProduct.tmulEquiv R M)
    (((PiTensorProduct.tprod R) fun i => a i) ⊗ₜ[R] (PiTensorProduct.tprod R) fun i => b i) =
  (PiTensorProduct.tprod R) fun i => Sum.elim a b i
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.sup f) t x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ContDiff 𝕜 1 f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ Continuous (fderiv 𝕜 f)
G : Type u
Group G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hn : (↑P).normalizer.Normal
⊢ (↑P).Normal
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
γ : Type w
inst✝ : AddZeroClass γ
f✝ g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ
H : ∀ (i : ι) (y : β i), f✝ (single i y) = g (single i y)
f : Π₀ (i : ι), β i
hf : ∃ i y, single i y = f
⊢ f✝ f = g f
α : Type u_1
Inter α
a b : Part α
⊢ a ∩ b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y ∩ x) b
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
⊢ period m a ∣ Monoid.exponent M
α : Type u
DecidableEq α
M : Type u_1
CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M
⊢ ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p.1 p.2 = ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p.2 p.1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β]
  [inst_2 : MeasurableSpace β] [inst_3 : BorelSpace β] {μ : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → AEMeasurable f μ
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
hf : ∀ (x : M), f x ∈ q
⊢ f.restrict ⋯ = (LinearMap.codRestrict q f hf).domRestrict p
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
⊢ Function.Injective fun s => ↑s j
G : Type u_1
AddMonoid G
H : Type u_6
AddMonoid H
ψ : G →+ H
x : G
⊢ addOrderOf (ψ x) ∣ addOrderOf x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
⊢ ↑L'.toSubmodule = ↑L'
α : Type u
n : ℕ
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ Matrix.vecCons x u (i + i) = Matrix.vecAlt0 ⋯ (Matrix.vecAppend ⋯ (Matrix.vecCons x u) (Matrix.vecCons x u)) i
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
a✝ b c✝ d : V
inst✝ : ∀ (a b : V), Subsingleton (a ⟶ b)
a x✝ c : V
p : Path a c
f : c ⟶ x✝
C : Path a c
D : c ⟶ x✝
hAC : p.toList = C.toList
⊢ p.cons f = C.cons D
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ ↑e z ∈ (s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {f : α → Option α} {l : List α}, (List.replaceF f l).length = l.length
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ {x, y}.infsep = dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
Preorder α
b : α
⊢ {x | x ≤ b} = Set.Iic b
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Basis B M.E ↔ M.Base B
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
o : Option α
⊢ a ∈ o.toFinset ↔ a ∈ o
A : Type u_2
Monoid A
TopologicalSpace A
x : A
⊢ (ContinuousMonoidHom.id A) x = x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {x : α ⊕ β}, x.isRight = true ↔ ∃ y, x = Sum.inr y
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
f g : A ≃⋆ₐ[R] B
h : ∀ (a : A), f a = g a
⊢ f = g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k b : ℕ
x✝ : b ≥ 0
⊢ b ≤ (fun a => a + k) b - k
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
j : ι
hj : j ∈ J
hi : j ∈ I
b : φ j
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Antivary f₂ g
⊢ Antivary (f₁ * f₂) g
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g → Monovary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g)
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (Ordnode.insert x t).Valid
α : Type u
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 0 < ε → a < b + ε
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
⊢ M.IsHermitian
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s.ndinter t ↔ a ∈ s ∧ a ∈ t
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (h.collectedBasis v) a ∈ A a.fst
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelCompIsIso f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc (f ≫ g) (CategoryTheory.inv g ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) ⋯
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝² : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a : α i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
x : ι
hx : x ∈ (f.rangeIcc g).support
⊢ x ∈ f.support ∪ g.support
p n : ℕ
h : p ∈ n.primesBelow
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
⊢ StronglyMeasurable f
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
p : Z.TotalSpace
⊢ p ∈ (Z.localTriv i).source ↔ p.proj ∈ Z.baseSet i
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
a : M
⊢ (MulEquiv.ofLeftInverse' f h) a = f.mrangeRestrict a
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
F E✝ E'✝ : Subfield L
h : F ≤ E✝
h' : F ≤ E'✝
x : L
E E' : { E // F ≤ E }
⊢ extendScalars ⋯ ≤ extendScalars ⋯ ↔ E ≤ E'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
m : ℕ
hm : m < MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i
⊢ ¬MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, ¬(fun x' => f l ≤ x') x
⊢ ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => l ≤ x) x
S : Type u_2
CommRing S
x y z : S
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C x) * (Polynomial.X - Polynomial.C y) * (Polynomial.X - Polynomial.C z) =
  { a := 1, b := -(x + y + z), c := x * y + x * z + y * z, d := -(x * y * z) }.toPoly
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
htwo : Invertible 2
B : LinearMap.BilinForm R M
hB₁ : B ≠ 0
hB₂ : LinearMap.IsSymm B
⊢ ∃ x, ¬LinearMap.IsOrtho B x x
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * a⁻¹ < a * b ↔ 1 < a * b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ioc a b ∈ 𝓝[<] b
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S), D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) + (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
a : A
⊢ Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom a = a ⊗ₜ[R] 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val
⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val volume) = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'
⊢ Nat.card ↑s = Nat.card ↑t
V : Type u_1
W : Type u_2
u v : V
G : SimpleGraph W
f : V → W
⊢ (SimpleGraph.comap f G).Adj u v ↔ G.Adj (f u) (f v)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.map F).left ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.map F).right
⊢ (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 1 ≤ a * b⁻¹ ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
N : ℕ
hN : N ∈ Finset.range n.succ
x : E
⊢ C N ≤ C'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ n' a : ℤ
γ : Cocycle ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ δ n (n + 1) ((↑γ).leftUnshift n hn) = 0
q r : ℚ≥0
⊢ q * r = NNRat.divNat (q.num * r.num) (q.den * r.den)
α : Type u_1
s t u : Finset α
DecidableEq α
hst : Disjoint s t
hsu : Disjoint s u
htu : Disjoint t u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
h : {x₁, y₁, z₁} = {x₂, y₂, z₂}
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u
⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
a : α
⊢ a ∈ ↑s ↔ a ∈ s
α : Type u_6
MeasurableSpace α
self : MeasureTheory.Measure α
⊢ self.trim ≤ self.toOuterMeasure
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure N
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f (FirstOrder.Language.Substructure.comap f S) ≤ S