ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hf : ∀ y ∉ t, 0 ≤ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x
ht : t.Nonempty
hb : ∑ x ∈ s, w x ≤ t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' i₁'' : I₁
i₂ : I₂
⊢ (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ (K.d i₁' i₁'').f i₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
BEq β
⊢ (Batteries.AssocList.nil == Batteries.AssocList.nil) = true
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (IsBigOWith c l f'' fun _x => 0) ↔ f'' =ᶠ[l] 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.update i f (f i) = f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s' : Fin n → R
f : (MvPolynomial (Fin n) R)[X]
i : ℕ
⊢ (Polynomial.map (eval s') f).coeff i = (eval s') (f.coeff i)
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
x : ι
a : α
s' : Finset ↑{x' | x' ≠ x}
this : DecidableEq ι
ha : (image (fun z => ↑z) s').Nonempty → image (fun z => ↑z) s' ≠ univ → (image (fun z => ↑z) s').card < ((image (fun z => ↑z) s').biUnion t).card
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => (t ↑x').erase a).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.hom.hom₁ ≫ e.inv.hom₁ = 𝟙 A.obj₁
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ f.iteratedSliceForward.comp (CategoryTheory.Over.forget f.left) =
  (CategoryTheory.Over.forget f).comp (CategoryTheory.Over.forget X)
α : Type u_1
One α
⊢ MulOpposite.unop 1 = 1
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ s → f x = 0 x
⊢ s.indicator f x = 0 x
α : Type u
One α
⊢ 1 ≠ ⊤
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
⊢ ∑ a : R, ψ a = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
n : ℕ
w✝ : E
h : w✝ ∈ K
hseq : f w✝ = seq n
⊢ 0 ≤ ⟪y, seq n⟫_ℝ
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
⊢ (∑ x : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ x_1 : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if x x_1 = x_1 then Polynomial.X else 0) - X (some (x x_1, x_1)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b : C
f : a ⟶ b
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ ((if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then a else ⊤_ C)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj V)) = (if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then b else ⊤_ C)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ BddBelow (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
j : ι
s : Set (σ j)
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk j '' s))
G : Type u_1
AddGroup G
p p' : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan Z
f : CategoryTheory.Limits.Fan fun x => Opposite.op (Z x)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hf : CategoryTheory.Limits.IsLimit f
b : α
⊢ (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct' hc hf).inv ≫ (c.inj b).op = f.proj b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
ι : Sort u_3
us' : ι → UniformSpace β
h' : ∀ (i : ι), UniformGroup β
⊢ UniformGroup β
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ Integrable ((Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g) μ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α
⊢ Cauchy l ↔ Cauchy (map f l)
m n : Nat
c : Int
⊢ ↑m + ↑n + c = ↑m + (↑n + c)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ I.upper ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f g⁻¹ ↔ Antivary f g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ Option.rec nil Prod.snd (Option.map (fun a => (a, ↑s.tail)) s.head) = ↑s.tail
α : Type u
β : Type v
Neg β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
⊢ (fun x => -f x) =ᶠ[l] fun x => -g x
E : Type u_3
SeminormedGroup E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ C
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
SizeOf (Sigma β)
x : α
xs : List (Sigma β)
⊢ sizeOf (List.kerase x xs) ≤ sizeOf xs
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h :
  ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω),
    0 < ε →
      ε < ⊤ →
        MeasurableSet B →
          μ B ≤ ν (Metric.thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (Metric.thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
i : Int
⊢ Lean.Omega.Coeffs.dot (i * xs) ys = i * xs.dot ys
n : ℕ
⊢ n.totient = Nat.card ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a b : α
IsAntisymm α r
ha : a ∈ maximals r s
hb : b ∈ s
h : r a b
⊢ a = b
M : Type u_3
N : Type u_4
⊢ ∀ {x : Add M} {x_1 : AddCommSemigroup N} (f g : AddHom M N), ⇑f + ⇑g = fun x_2 => f x_2 + g x_2
n : Nat
x : Fin n
y : Nat
lt : 0 < n
⊢ x - Fin.ofNat' y lt = Fin.ofNat' (n - y % n + ↑x) lt
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ (⨅ x, f x) ⊓ a = ⨅ x, f x ⊓ a
α : Type u
Monoid α
⊢ ⇑FreeAbelianGroup.ofMulHom = FreeAbelianGroup.of
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ closure (Set.range ⇑(algebraMap L E) ∪ S) = closure (Set.range ⇑(algebraMap L' E) ∪ S)
s : ℂ
⊢ s.GammaIntegral = mellin (fun x => ↑(rexp (-x))) s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℤ
⊢ (map (fun i => f i ^ n) m).prod = (map f m).prod ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback map (imageSieve f a) ∈ K.sieves (H.obj Z)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n
⊢ 0 ≤ a
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S = 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ Module.rank F ↥S ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), a • f z) = a • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h : xs <+ ys
n : ℕ
⊢ List.sym (n + 1) [] <+ List.sym (n + 1) []
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ (↑S).Pairwise fun i j => Ideal.span {q i} ⊔ Ideal.span {q j} = ⊤
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α
⊢ l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k + 1 - l.length) l') = l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k - l.length + 1) l')
ι : Type u_1
f : ι → ℂ
a : ℂ
h : HasSum f a
⊢ HasProd (Complex.exp ∘ f) (Complex.exp a)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
⊢ ∃ h, Bijective h
r : ℝ
⊢ r.toNNReal = 1 ↔ r = 1
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁
b : β₁
⊢ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (Sum.inl a) (Sum.inl b) = Finset.map Function.Embedding.inl (f₁ a b)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r * ‖f n‖ ≤ ‖f (n + 1)‖
⊢ ¬Summable f
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
m : Finset (Associates M)
hm : ∀ r ∈ m, r ≤ q
⊢ m.card ≤ n + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra A B
Algebra R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
Algebra.IsIntegral R A
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ IsIntegral R x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
⊢ ↑e.symm '' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ (Set.Ico a b).Infinite
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)
this✝ : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1
this : HasDerivAt (fun y => 2 * (2 * ↑π) ^ (-y) * Gamma y) (-log (2 * ↑π) / ↑π * Gamma 1 + 2 * (2 * ↑π) ^ (-1) * -↑γ) 1
⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
⊢ ((F.obj j).smul r + (F.obj j).smul s) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ })
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
X : C
⊢ (F.isoShiftZero M).hom.app (L.obj X) = (e' 0).hom.app X ≫ (G.isoShiftZero M).hom.app X ≫ e.inv.app X
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ioc a b)
α : Type u
a : α
⊢ Function.Injective (List.cons a)
α : Type u
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => n • a = 0) Finset.univ).card ≤ n
⊢ IsAddCyclic α
a b n : ℤ
c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a + n * c ≡ b [ZMOD n]
⊢ Cardinal.lift.{u, 0} (Module.rank ℝ ℂ) = 2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ↔ o.oangle y x = 0
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy ⇑μ = μ.toOuterMeasure
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
hf : ¬MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ[f|m] = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x✝ : X
⊢ ({ toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } f) (Quot.mk (Rel R X) (Pre.of x✝)) = f x✝
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
C : α ⧸ s → Prop
⊢ (∀ (x : α ⧸ s), C x) ↔ ∀ (x : α), C ↑x
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
a : α i
b : β i
⊢ TypeVec.prod.fst i (TypeVec.prod.mk i a b) = a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : EssFiniteType R S
f g : S →ₐ[R] T
H : ∀ s ∈ finset R S, f s = g s
⊢ adjoin R {x | ↑x ∈ finset R S} = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
⊢ ContinuousWithinAt f (insert x s) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
C : Type u_5
Ring C
Algebra R C
f g : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ →ₐ[R] C
ha : f.comp (GradedTensorProduct.includeLeft 𝒜 ℬ) = g.comp (GradedTensorProduct.includeLeft 𝒜 ℬ)
hb : f.comp (GradedTensorProduct.includeRight 𝒜 ℬ) = g.comp (GradedTensorProduct.includeRight 𝒜 ℬ)
⊢ f = g
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* MvPolynomial σ T
⊢ (MvPolynomial.bind₂ g).comp (MvPolynomial.bind₂ f) = MvPolynomial.bind₂ ((MvPolynomial.bind₂ g).comp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
hg : MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc
⊢ MeasurePreserving g μa μb
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
h : a ≠ b
⊢ List.count b p.support = 1
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x - ↑Real.pi / 2) = Complex.sin x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ P y * ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] z ^ 3 = ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] y * P z ^ 3
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
⊢ f ∈ MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a
⊢ x ≤ b
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y z : R
⊢ SemiconjBy (star x) (star z) (star y) ↔ SemiconjBy x y z
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, Smooth I' I (f i)
⊢ Smooth I' I fun x => ∏ i ∈ t, f i x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ (s.altitude i).direction = (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(Finset.univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
α : Type u_1
l : List α
p : l.Palindrome
⊢ l.reverse = l
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
⊢ c • eLpNorm (↑↑g) p μ ≠ ⊤
R : Type u
CommSemiring R
l : List R[X]
q : R[X]
⊢ l.prod.comp q = (List.map (fun p => p.comp q) l).prod
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
⊢ f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
⊢ leadingCoeff 1 = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeSup β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ f x ⊔ f y = f x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
⊢ Function.Injective (MeasurableSpace.mapNatBool α)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩) ↔ L ∣ M
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
a b c : Int
⊢ a ∣ b → b ∣ c → b.div a ∣ c.div a
α : Sort u_1
a b : α
⊢ ¬a ≠ b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ∀ (s : Set E), Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
⊢ f = ⇑(s.orderEmbOfFin h)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Setoid X
SecondCountableTopology X
h : IsOpenMap Quotient.mk'
⊢ SecondCountableTopology (Quotient S)
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b
h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c
h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p
h₄ : ∀ (x y : ℝ), x * (y * x) = x * x * y
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d