ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
⊢ μ t ≤ μ s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| < |b| ↔ |a| * |a| < |b| * |b|
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
DistribLattice α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
f₁ f₂ f₃ f₄ : α → β
DecidableEq α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (a b : α), f₁ a * f₂ b ≤ f₃ (a ⊓ b) * f₄ (a ⊔ b)
s t : Finset α
⊢ (∑ a ∈ s, f₁ a) * ∑ a ∈ t, f₂ a ≤ (∑ a ∈ s ⊼ t, f₃ a) * ∑ a ∈ s ⊻ t, f₄ a
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
f : α → M
⊢ ∅.mulIndicator f = fun x => 1
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y
⊢ IsNilpotent (x - y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (-p).radius = p.radius
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoTerminal.inv = 0
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C
⊢ a₁ + a₂₃ = a₁₂₃
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
k : ℕ
x : α
hx : x ∈ f^[k] ⁻¹' s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s
hk : f^[k] x ∈ s
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y
k n✝ : ℕ
⊢ (n✝ + 1).ascFactorial k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
⊢ Valued.v f ≤ 1 ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
⊢ ∀ (a : ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)), (LieModule.shiftedWeightSpace.shift R L M χ).symm a = a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
⊢ HasDerivAt cexp (cexp x) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a✝ : α
x : β
a : α
s : Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ x✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
h : Function.Injective f
⊢ IsAddGroupHom.ker f = IsAddSubgroup.trivial G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
h₀ : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
s : NonemptyInterval α
t : NonemptyInterval β
⊢ NonemptyInterval.dual (NonemptyInterval.map₂ f h₀ h₁ s t) =
  NonemptyInterval.map₂ (fun a b => OrderDual.toDual (f (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b))) ⋯ ⋯
    (NonemptyInterval.dual s) (NonemptyInterval.dual t)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.mulRight R x)
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : ¬(IsUnit (↑ₐ (C k - p).leadingCoeff) ∧ IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod))
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
h₃ : ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2
⊢ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this✝ : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1
this : a * c * (d * c) = a * c * 1
hdc : d * c = 1
⊢ a ~ᵤ a * c
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
⊢ y ∈ [[a, b]]
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ Fintype.card (QuaternionGroup n) = 4 * n
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Mono (S.map (eval C c i)).f
hi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)
⊢ IsLimit (KernelFork.ofι (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).f ⋯)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
φ : ι' → ι
⊢ UniformContinuous fun f j => f (φ j)
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ (contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs)) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source ∧ (contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
⊢ (x, y) ∈ map (inr R M M₂) q ↔ (x, y) ∈ ⊥.prod q
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 • p.2
α : Type u
l : List α
x : α
n : ℕ
⊢ (List.insertNth n x l).length ≤ l.length + 1
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (x : α), ¬x ∈+ l
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c b : G
⊢ (IsometryEquiv.divLeft c).symm b = b⁻¹ * c
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑I
v : Set α
hv : v ∈ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
x✝ : u ≠ v
⊢ Disjoint (id u) (id v)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
i : ι
m : i ∈ s
i_ne : f i ≠ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≠ 1
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoidWithZero M
S : Finset α
p : M
pp : Prime p
g : α → M
⊢ p ∣ S.prod g ↔ ∃ a ∈ S, p ∣ g a
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
v : m → α
⊢ ‖col (Fin 1) (A *ᵥ v)‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖col (Fin 1) v‖₊
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ x ∈ Convex.toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s
α β : Type u
f g : FreeAddSemigroup (α → β)
x : FreeAddSemigroup α
⊢ (Seq.seq (f + g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) + Seq.seq g fun x_1 => x
G : Type u_1
Group G
a b : G
comm : Commute a b
h : G
⊢ Commute (h * a * h⁻¹) (h * b * h⁻¹)
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
CommRing A
Ring B
Ring B'
Algebra A B
Algebra A B'
f : B →ₐ[A] B'
x : B
⊢ (Polynomial.aeval (f x)) (minpoly A x) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r ∧ HasFPowerSeriesOnBall g pg x r
⊢ HasFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Sort u_5
Nonempty ι
S : ι → AddSubgroup G
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ (f ∣[k] γ) z = f z ↔ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ MonoidalCategory.whiskerRight ((fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X Y) (F.obj Z) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫ F.map (MonoidalCategory.associator X Y Z).hom = (MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) ((fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) Y Z) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z)
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : p.IsRoot x
y : ℝ
hy : p.IsRoot y
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
⊢ ∃ z ∈ (derivative p).roots.toFinset, x < z ∧ z < y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A B : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
CategoryTheory.Mono i
CategoryTheory.Mono j
⊢ ∃ f, F.map f.hom a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α →CO β
⊢ f.toFun = ⇑f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f g : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
h : ∀ (x : P), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint sᶜ t ↔ t ⊆ s
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0
⊢ ↑↑f =ᵐ[μ] 0
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id
⊢ m < N.sqrt.succ
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
⊢ False
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
p q : I
⊢ c.ε (p + q) = c.ε p * c.ε q
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
Group β
LE β
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
⊢ 1 ≤ᵐ[μ] g / f ↔ f ≤ᵐ[μ] g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ x ∈ closure {y} ∧ y ∈ closure {x}
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
Order.Frame α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Disjoint (⨆ i, ⨆ j, f i j) a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint (f i j) a
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ : ℤ
h₁ : d₁ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. 0) = n₁ * n₂ /. (d₁ * 0)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
Nontrivial S
⊢ Polynomial.map f p ≠ 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (y1 - y2).val = (y1 + -y2).val
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.constantCoeff p = p.coeff 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ b * c
α β : Type u
f : ℕ → Cardinal.{u}
⊢ sum f = f 0 + sum fun i => f (i + 1)
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ Dense ↑s ↔ s.topologicalClosure = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ eLpNorm (f_lim - f N) p μ < ⊤ ∧ eLpNorm (f N) p μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ e.target = e'.target
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[S] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (AlgHom.restrictScalars R (Algebra.TensorProduct.map f g)).comp Algebra.TensorProduct.includeRight =
  Algebra.TensorProduct.includeRight.comp g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.Indep I
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S
e₁ : (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift (f x) = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((Ideal.Quotient.mk (ideal R S).cotangentIdeal) (f x))
⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < c * b
α : Type u
σ : Type v
⊢ εNFA.accept 0 = ∅
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarMul A
Algebra R A
StarModule R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) (star r) = star ((algebraMap R A) r)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.114338}
ho : 0 < o
⊢ 0 < type fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
key : ↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h)) = ↑x
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Mat_ C ⥤ D
F.Additive
M : CategoryTheory.Mat_ C
i : M.ι
⊢ (CategoryTheory.Mat_.additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun i => F.obj ((CategoryTheory.Mat_.embedding C).obj (M.X i))) i =
  F.map
    (M.isoBiproductEmbedding.hom ≫
      CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun i => (CategoryTheory.Mat_.embedding C).obj (M.X i)) i)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : One β
f : α → β
h₀ : f 0 = 0
h₁ : f 1 = 1
i✝ j✝ : n
⊢ map 1 f i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
M : Type u_1
Monoid M
s₁ s₂ : Set M
is₁ : IsSubmonoid s₁
is₂ : IsSubmonoid s₂
⊢ IsSubmonoid (s₁ ∩ s₂)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
hd_ne_zero : (algebraMap R K) ↑d ≠ 0
h0 : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) ≠ 0
hI : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) ↑d)⁻¹ * ↑(Ideal.span {n})
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {n})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = spanSingleton R⁰ (mk' K n d)
E : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
OrderedAddCommGroup β
Module ℝ β
OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmax : IsLocalMaxOn f s a
h_conc : ConcaveOn ℝ s f
⊢ IsMaxOn f s a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : QuotientMap f
h_fibers : ∀ (y : β), IsConnected (f ⁻¹' {y})
a : α
⊢ f '' connectedComponent a = connectedComponent (f a)
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ (Complex.cauSeqConj f).lim = (starRingEnd ℂ) f.lim
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
r : Set β
hf : BijOn f s t
hrt : r ⊆ t
x : β
hx : x ∈ r
⊢ x ∈ f '' (s ∩ f ⁻¹' r)
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
⊢ Function.Injective ⇑e
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Function.Injective f
⊢ Monotone fun s => s.preimage f ⋯
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : (if a < 0 then -1 else 0) = 1
hn : ¬0 < a
⊢ False
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ Monotone Rat.cast
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.gcd b).primeFactors = a.primeFactors ∩ b.primeFactors
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n
⊢ xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n - j) [MOD xn a1 n]
α : Type u
s : Set α
⊢ s ⊆ ∅ → s = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} = sInf (a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
⊢ (PB l R)ᵀ * JB l R * PB l R = 2 • fromBlocks 1 0 0 (S l R)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, p (x, y)