ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
y : M
x : R
⊢ (algebraMap R S) x ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(range ((mk R S M) 1))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
L : Matrix l m α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : l
j✝ : o
⊢ (L * M * N) i✝ j✝ = (L * (M * N)) i✝ j✝
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t * (PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t')
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α
⊢ (∃ n_1, f (Fin.cast ⋯ n_1) = a) ↔ ∃ y, f y = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ (fun i => a * f i) = fun i => f i * a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᶠ[ae μ] (μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)))⁻¹ ∧ ν.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ
P : Type u_1
DistribLattice P
I J : Order.Ideal P
x i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
hx : x ≤ i ⊔ j
⊢ ∃ i' ∈ I, ∃ j' ∈ J, x = i' ⊔ j'
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
⊢ x ∈ S
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
r t : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t
y : E
m : e + y ∈ s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)
⊢ HasSum (fun n => ((p n) fun x => y, (q n) fun x => y)) (f (e + y), g (e + y))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
⊢ ∀ i ∈ 𝓤 β, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id i}
m n k : ℕ
⊢ (m + n).choose k = ∑ ij ∈ antidiagonal k, m.choose ij.1 * n.choose ij.2
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f I ⊔ LieIdeal.map f f.ker = LieIdeal.map f I
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : IntegrableOn f s μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.65033, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.65040, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.65047, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.65099, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
⊢ ({ val := (presheafIso i).hom } ≫ { val := (presheafIso i).inv }).val = (𝟙 ℱ).val
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)
y : Y
ty : y ∈ t
hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)
⊢ ↑f ≤ 𝓝 (x, y)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)
⊢ m = n
F : Type u
Field F
f : F[X]
hf : f ≠ 0
⊢ f.natSepDegree = f.natDegree ↔ f.Separable
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
inst✝ : p.NeBot
h : Tendsto φ p F
H : Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)
⊢ MapClusterPt x F u
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M
this : (fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) = (fun i => (ρ i) x₀) • fun i => φ i x₀
⊢ (support fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) ⊆ ↑(ρ.finsupport x₀)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
⊢ φ.nilRank ≤ Fintype.card ι
M : Type u_3
Monoid M
H K : Submonoid M
⊢ H ⊔ K = Submonoid.closure (↑H * ↑K)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
h : Algebra.adjoin R {x} = ⊤
⊢ conductor R x = ⊤
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, m (t ∩ s i) = m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
R : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid Z
Module R Z
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant X Z
⊢ ∀ (a : Y), ((LocallyConstant.congrLeftₗ R e) g) a = g (e.symm a)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h
⊢ b
G : Type u_2
Group G
S T : Submonoid G
⊢ S⁻¹ ≤ T⁻¹ ↔ S ≤ T
α : Type u_2
⊢ Function.Injective (@PartialOrder.toPreorder α)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
Fintype α
F : Finset (Finset α)
⊢ (Finpartition.atomise s F).parts.card ≤ 2 ^ F.card
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
⊢ WithBot.map (⇑ofDual) s.max = (image (⇑ofDual) s).min
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s ⊆ t
a : α
⊢ a ∉ t → a ∉ s
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ↪ β
Finite β
⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ ⇑f) '' s)
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
self : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅h, e⁆ = 2 • e
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ (RingEquiv.refl R).toNonUnitalRingHom = NonUnitalRingHom.id R
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
⊢ ↑a * a.gcdA b + 0 ≡ ↑a * a.gcdA b + ↑b * a.gcdB b [ZMOD ↑b]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ CategoryTheory.Subobject.mk f = ⊤
u v : ℤ
h : u * v = 1
⊢ u = 1 ∨ u = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifTight f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
S : Set α
hμS : μ S ≠ ⊤
hFε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (Sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hfε : eLpNorm (sᶜ.indicator (f ↑n)) p μ < ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ ClosedEmbedding ((⇑↑(cfcHom ⋯) ∘ ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))) ∘ ⇑ContinuousMapZero.toContinuousMapHom)
α : Type u
n' : Type u_4
j : n'
⊢ (fun i => ![] i j) = ![]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
LinearOrder ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
⊢ Monotone ⇑toLex
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivAt c c' x
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c'.smulRight (f x)) x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter g g' u L'
⊢ HasGradientAtFilter g ((starRingEnd 𝕜) g') u L'
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ
⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁)
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
hτ' : 0 < (-1 / τ).im
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
p : (i : ι) → t i
⊢ (PiTensorProduct.congr f).symm ((PiTensorProduct.tprod R) p) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i).symm (p i)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
t : (L.withConstants α).Term β
v : β → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) t.constantsToVars =
  FirstOrder.Language.Term.realize v t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
⊢ essSup (s.indicator f) μ = essSup f (μ.restrict s)
α : Type u_2
Preorder α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
⊢ (s ∪ t).IsWF
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0
⊢ IsIntegral K x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : a • b < 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a • b < 0 • b
G : Type u_1
TopologicalSpace G
LocallyCompactSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
⊢ Continuous fun x => ∫ (y : G), g (-y + x) ∂μ
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
⊢ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} =ᶠ[ae μ] Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s : Set E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ fderivWithin 𝕜 f₁ s x = fderivWithin 𝕜 f s x
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
s : Finset ℕ
⊢ ∏ p ∈ Finset.filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∑' (m : ↑(Nat.factoredNumbers s)), f ↑m
α : Type u_1
Fintype α
s : Setoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ≈ x_1
x y : α
h1 : x ≠ y
h2 : x ≈ y
⊢ Fintype.card (Quotient s) < Fintype.card α
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s t : Set A
h : s ⊆ t
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.centralizer R t ≤ NonUnitalStarSubalgebra.centralizer R s
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ ↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) = (↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
l : List α
⊢ (List.mergeSort r l).length = l.length
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a / b < c ↔ a < b * c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪-x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
Zero R
UniformSpace R
⊢ UniformEmbedding toContinuousMap
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.222391, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology
⊢ S₁.f ≫ φ.τ₂ ≫ k = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i) (f j / f k) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ BddAbove s → BddBelow t → BddBelow (Set.image2 f s t)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im ((starRingEnd K) z) = -RCLike.im z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : (x : M) → V x
hs : ContMDiff I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n fun x => { proj := x, snd := s x }
⊢ ⇑{ toFun := s, contMDiff_toFun := hs } = s
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X + Polynomial.C d).degree <
  (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3).degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z Z' : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
γ : Z ≅ Z'
⊢ (α ≪≫ β) ≪≫ γ = α ≪≫ β ≪≫ γ
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ s ⊆ closure s
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
⊢ Tendsto (fun e => ‖⨍ (y : α) in e, f y ∂μ - f x‖) (v.filterAt x) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' g s x
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a / (b - 1)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
hab : b < a
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, b ≤ x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.leadingCoeff = 1
⊢ ¬(p * q).leadingCoeff = 1
α β : Pointed
e : α.X ≃ β.X
he : e α.point = β.point
a : β.X
⊢ (Pointed.Iso.mk e he).inv.toFun a = e.symm a
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
hs : s.Nonempty
hs' : 0 < s.card
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < 1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ LinearMap.ker (map R R A B) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)))
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4
p q : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c), p a b c d ↔ q a b c d
⊢ (∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c), p a b c d) ↔ ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c), q a b c d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A B : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois B
σ : CategoryTheory.Aut A
⊢ ∃! τ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp f τ.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp σ.hom f
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ s * {a} ∈ 𝓝 (b * a)
α : Type ua
UniformSpace α
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, UniformSpace.ball x V) (⋃ x ∈ B, UniformSpace.ball x V)
n : ℤ
⊢ ZNum.ofInt' (n + 1) = ZNum.ofInt' n + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : hs.Quotient
⊢ hs.proj ⁻¹' {x} = s (hs.equivQuotient.symm x)
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : ι → UniformSpace β
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n) (f N) < ε
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B) v‖
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ LocallyLipschitzOn Set.univ f ↔ LocallyLipschitz f