ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G H : CategoryTheory.Functor C D
α : G ⟶ H
F : CategoryTheory.Functor D E
X : C
⊢ (CategoryTheory.whiskerRight α F).app X = F.map (α.app X)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
⊢ C.augmentTruncate.inv.f 0 = 𝟙 (C.X 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : F × E
hv' : x.1 = 0
hv : ∃ a b, (∃ (h : a ∈ f.domain), ↑f ⟨a, ⋯⟩ = b) ∧ (b, a) = x
⊢ x.2 = 0
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦a✝³ i * -mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = ⟦a✝³ i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
α : Type u_2
A B C : Set α
hB : B ⊆ A
hC : C ⊆ A
h : Subtype.val ⁻¹' B = Subtype.val ⁻¹' C
⊢ B = C
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this✝ : Inhabited M
this : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
x y : Int
h : y ≤ x
⊢ ¬x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t
this✝ : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}
this : g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x} = f ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x ++ x_1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : ∃ n, ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ y ∈ engel R x
n m : ℕ
h : Nonempty (Fin n ↪ Fin m)
⊢ n ≤ m
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
n k : ℕ
h : k ≤ n
aux₁ : (fun a => k ≤ a.2) = (fun a => k ≤ a.1) ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).symm
aux₂ : ∀ (i j : ℕ), (∃ a b, a + b = n - k ∧ b = i ∧ a + k = j) ↔ ∃ a b, a + b = n - k ∧ a = i ∧ b + k = j
⊢ map (({ toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }.prodMap (Embedding.refl ℕ)).trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) (antidiagonal (n - k)) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }) (antidiagonal (n - k))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ 0 ≤ κ.density ν a x s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ ∃ Y f g, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : ℝ≥0
⊢ AddLECancellable ↑a
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ
⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
R S : CommRingCat
φ : R ⟶ S
H : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
⊢ P (Spec.map φ) ↔ Q φ
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A₁ A₂ : Set α
B₁ B₂ : Set β
f : α → β
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsAddFreimanHom n A₂ B₂ f
hf' : Set.MapsTo f A₁ B₁
⊢ IsAddFreimanHom n A₁ B₁ f
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f ▷ 𝟙_ C = (f ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ Y).hom) ≫ (ρ_ Y).inv
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hfp : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
a : α
⊢ List.mapIdx f (a :: l) = f 0 a :: List.mapIdx (fun i => f (i + 1)) l
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
⊢ l ∣ 2 * ↑n
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e.toRingEquiv = ↑e
⊢ {0} ∪ Set.range Nat.succ = Set.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
x y : R
⊢ evalEval (f x) (f y) (map (mapRingHom f) p) = f (evalEval x y p)
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : a < ℵ₀
⊢ a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
m : Nat
n : Nat
h : 0 < n
⊢ m.gcd n ≤ n
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup M
⊢ ↑(AddSubsemigroup.map f S) = ⇑f '' ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
α : Type u_1
L : List (List α)
i : ℕ
⊢ List.drop (Nat.sum (List.take i (List.map List.length L))) L.join = (List.drop i L).join
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
hfg : f ≤ g
hgh : g ≈ h
⊢ f ≤ h
⊢ polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
⊢ ‖z1‖ = ‖z2‖
a b m n✝ p✝ n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
p : ℕ
pp : Prime p
⊢ p ^ d.factorization p ∣ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin y) (x + y) (r - ↑‖y‖₊)
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_4
v : RayVector R M
⊢ ↑(-v) = -↑v
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Multiset α
⊢ s ≤ Multiset.filter p t ↔ s ≤ t ∧ ∀ a ∈ s, p a
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m) = ⇑(S.proj n)
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ deriv f x
⊢ Monotone f
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ
⊢ M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
x : ℕ
⊢ (∃ n, n * n = x) ↔ x.sqrt * x.sqrt = x
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
One M
One N
One P
f : OneHom M N
⊢ OneHom.comp 1 f = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ MeasurableSet j
α : Type u_3
Inf α
⊢ InfHom.dual.symm (SupHom.id αᵒᵈ) = InfHom.id α
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).encard = (B₂ \ B₁).encard
α : Type u_3
Lattice α
⊢ (LatticeHom.id α).withTop = LatticeHom.id (WithTop α)
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ r • { toFun := fun m => (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f (Multiplicative.toAdd m))) ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd m) 1, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } (Multiplicative.ofAdd m) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ r ∈ ↑f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s t : Set α
f g : α → β
(a : α) → Decidable (a ∈ t)
hpf : ∀ a ∈ s ∩ frontier t, Filter.Tendsto f (𝓝[s ∩ t] a) (𝓝 (t.piecewise f g a))
hpg : ∀ a ∈ s ∩ frontier t, Filter.Tendsto g (𝓝[s ∩ tᶜ] a) (𝓝 (t.piecewise f g a))
hf : ContinuousOn f (s ∩ t)
hg : ContinuousOn g (s ∩ tᶜ)
⊢ ContinuousOn (t.piecewise f g) s
d : Nat
n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
z : d ≠ 0
h : mkRat n d = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * ↑m ∧ d = d' * m
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ l ∘ u ∘ l = l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ ↑(⨅ i, f i).compl = ↑(⨅ i, (f i).compl)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (b : β), g b ∂(κ.withDensity f) a = ∫⁻ (b : β), f a b * g b ∂κ a
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
p q : ℚ
⊢ 0 < q.toNNRat ↔ 0 < q
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
M : ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - c‖₊)
⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
i : ℕ
m : M
⊢ (PolynomialModule.eval r) ((PolynomialModule.lsingle R i) m) = r ^ i • m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
x : S
hx : Prime ((Algebra.norm ℤ) x)
y : ℤ
⊢ (Algebra.norm ℤ) x ∣ y ↔ x ∣ ↑y
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
a : α.X
⊢ (SemilatInfCat.Iso.mk e).hom.toInfHom a = e a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a : S
⊢ ∃ b, IsLocalization.IsInteger R (↑b • a)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x y : α
⊢ (x == y) = (x == y)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
i : ι
x : A i
⊢ (DirectSum.toSemiring f hone hmul) ((DirectSum.of A i) x) = (f i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
⊢ UniformEquicontinuous F
num den n : ℕ
⊢ mkRat (↑num) den ^ n = mkRat (↑num ^ n) (den ^ n)
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
⊢ a - ⊤ < c → a < ⊤ + c
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D
⊢ L₂.map (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ adj₂.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
β : Type v
γ : Type w
MetricSpace γ
MetricSpace β
f : γ → β
⊢ UniformEmbedding f ↔
  (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : γ}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε) ∧
    ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : γ}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ Finset.image₂ f (s ∩ s') t ⊆ Finset.image₂ f s t ∩ Finset.image₂ f s' t
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → AddCommGroup (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f⁺ = fun i => (f i)⁺
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)
hlt : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
z : α
hzs : z ∈ s
hz : dist x z < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
hle : dist z x ≤ dist y x
⊢ False
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Equiv.symm (Equiv.addLeft a) = Equiv.addLeft (-a)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f
b : ConjClasses β
⊢ ∃ a, map f a = b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y₁ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject J C₂
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₁).obj Y₁).HasMap p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X₂).obj Y₂).HasMap p
e : X₁ ≅ X₂
e' : Y₁ ≅ Y₂
i : K
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMapIso F p e e').inv i =
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p e.inv e'.inv i
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Function.Surjective (Sum.map f g) ↔ Function.Surjective f ∧ Function.Surjective g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
⊢ CategoryTheory.IsPullback f g h i
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
p : R[X]
hsep : p.Separable
⊢ Squarefree p
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s t : Set S
p q : Submodule R M
le_set : s ≤ t
le_submodule : p ≤ q
⊢ s • p ≤ t • q
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a b : X × Y
h : a ⤳ b
⊢ a.1 ⤳ b.1
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
T2Space M
⊢ (𝓝 c).HasBasis (fun x => True) fun f => tsupport ↑f
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
FiniteDimensional k K
hw : ¬NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ Even (Fintype.card (K ≃ₐ[k] K))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
⊢ ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R),
    ↑v.asIdeal ^
      (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {n})).factors) -
        ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) =
  FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ (IsLocalization.mk' K n d)
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha_pos : a ≠ 0
hb_pos : b ≠ 0
dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization
d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1
dfac_prime : ∀ p ∈ dfac.support, Prime p
h1 : d.factorization = dfac
hd_pos : d ≠ 0
⊢ d ∣ b
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
right✝ : j ∈ s
⊢ f (update v i (g j • v j)) = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁✝ x₂✝ y y₁✝ y₂✝ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x₁ x₂ y₁ y₂ : A
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD I]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD I]
⊢ x₁ * x₂ ≡ y₁ * y₂ [SMOD I]
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ∆ b = b \ a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Ring α
i j i✝ j✝ : n
⊢ (Equiv.toPEquiv (Equiv.swap i j)).toMatrix i✝ j✝ = (1 - (single i i).toMatrix - (single j j).toMatrix + (single i j).toMatrix + (single j i).toMatrix) i✝ j✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F.leftDerivedToHomotopyCategory
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
⊢ G.chromaticNumber ≤ 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
a b : α
hl : a ≤ b
⊢ f a ≤ f (b - a) + f a
n : ℕ+
S : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
Field K
Field L
Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K L) (Polynomial.X ^ ↑n - 1)
k m n : Nat
h : k ≤ m
⊢ n ≤ m - k ↔ k + n ≤ m
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable
x : K
hx : (map f p).IsRoot x
⊢ eval₂ f x p = 0
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
⊢ forIn.loop as f as.size ⋯ b = forIn as.data b f
N : ℕ
⊢ (Polynomial.revAt N) 0 = N
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
β γ : Type
Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.reindex ε f).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun b => CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f (ε b)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Finset α
⊢ s.val.prod = s.prod id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
x✝ : f < f
h : f < f := x✝
⊢ (f - f).LimZero
A : Type u_1
AddMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
x : A × A
⊢ ↑(Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd.symm x).snd = x