ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_2
Add R
Mul R
r : R → R → Prop
c : RingCon R
h : ∀ (x y : R), r x y → c x y
⊢ ringConGen r ≤ c
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
⊢ tᶜ * closure {1} = tᶜ
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ (s ⊔ t).compl = s.compl ⊔ t.compl
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ AEMeasurable (Set.codRestrict f s hfs) μ
R : Type u
k : Type y
Field R
CommSemiring k
DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : Polynomial.eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
⊢ Polynomial.eval₂ ϕ α g = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
self : A →ₗc[R] B
⊢ TensorProduct.map self.toLinearMap self.toLinearMap ∘ₗ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul ∘ₗ self.toLinearMap
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso S.pOpcycles
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (FirstOrder.Language.Hom.id L M).range = ⊤
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
⊢ abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
R : Type u_1
V : Type u_2
Field R
AddCommGroup V
TopologicalSpace R
TopologicalSpace V
TopologicalRing R
Module R V
SeparatingDual R V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module R W
FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
⊢ Function.Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap) ↔ Function.Injective ⇑f
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
⊢ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map (Function.uncurry m) (f ×ˢ g) = Filter.map₂ m f g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ chartAt H x ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y
⊢ LipschitzWith K f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
α : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : α → E
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 0)
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • g x) l (𝓝 0)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
⊢ (TensorProduct.tensorTensorTensorComm R M N P Q).symm = TensorProduct.tensorTensorTensorComm R M P N Q
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
j i : ι
hij : i ≤ j
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
C : WSeq α → Prop
a : α
s : WSeq α
M : a ∈ s
h1 : ∀ (b : α) (s' : WSeq α), a = b ∨ C s' → C (cons b s')
h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think
⊢ C s
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
j : J
this : IsPullback (α.app j ≫ c.ι.app j) (α.app j) (𝟙 (((Functor.const J).obj c.pt).obj j)) (c.ι.app j)
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (α.app j ≫ c.ι.app j)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V
⊢ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ ⊓ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet ∩ G₂.edgeSet
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
φ : ι → ℝ≥0
hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}
H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε
ε' : ι → ℝ
hε' : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hc : HasSum ε' c
hcε : c ≤ (fun a => ↑a) a
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0
⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val + (x.appr (m + k) - x.appr m)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
hp : p ≠ 0
⊢ centralMoment 0 p μ = 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.castSucc < b.succ ↔ a ≤ b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
U : Relator.RightUnique r
ab : Relation.ReflTransGen r a b
ac : Relation.ReflTransGen r a c
⊢ Relation.ReflTransGen r b c ∨ Relation.ReflTransGen r c b
G : Type u_1
Group G
S T : Subgroup G
x y : G
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⊔ ψ) ∼(∼φ ⊓ ∼ψ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
x : M'
hx : x ∈ e.target
⊢ MDifferentiableAt I' I (↑e.symm) x
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ A.principalUnitGroup ≤ A.unitGroup
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
z : α 0
j : Fin n
⊢ tail (update q 0 z) j = tail q j
R : Type u_1
Field R
a b : R
hab : a ^ 2 + b ^ 2 ≠ 0
⊢ ↑(Matrix.planeConformalMatrix a b hab) = !![a, -b; b, a]
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Partition
s : Set V
⊢ s ∈ self.parts → IsAntichain G.Adj s
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.closure I = {x | M.Basis I (insert x I)}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ (∃ p1 ∈ mk' p direction, ∃ p2 ∈ mk' p direction, v = p1 -ᵥ p2) ↔ v ∈ direction
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
x y : R
⊢ Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {f x, f y})
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.LpAddConst p < ⊤
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ Polynomial.derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) =
  -((Polynomial.X - Polynomial.C x₁) * (Polynomial.X - Polynomial.C x₂) +
        (Polynomial.X - Polynomial.C x₁) * (Polynomial.X - Polynomial.C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) +
      (Polynomial.X - Polynomial.C x₂) * (Polynomial.X - Polynomial.C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_zero : f 0 = 0
⊢ seminormFromBounded' f 0 = 0
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ (∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))) ↔ IsUnit r → ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
m n : Num
⊢ ↑n % ↑m = 0 ↔ ↑n % ↑m = ↑0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
⊢ l.reduceOption.length = l.length ↔ ∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true
R : Type u_1
X : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Mul R
BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q r : ℚ
a : α
⊢ Commute (↑r) a
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M ≃+ N
⊢ ↑(Finsupp.mapRange.addEquiv f) = Finsupp.mapRange.equiv ↑f ⋯ ⋯
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ k ∣ m * gcd k n ↔ k ∣ m * n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.map L hL) (L.map φ.s) = L.map φ.f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
i : ι
⊢ f (Function.update x i (y i)) = (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑(((fun x => ⟨{x}ᶜ, ⋯⟩) ∘ ⇑(Fintype.equivFinOfCardEq ⋯)) i)).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NoncompactSpace X
⊢ DenseRange OnePoint.some
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ finsuppTensorFinsuppRid R R ι κ = finsuppTensorFinsupp' R ι κ
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A : OrderBot α
hB : PartialOrder α
B : OrderBot α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊥ = ⊥
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
hf : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt lb
hv : Tendsto v lt lb
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in a..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ StrictAntiOn f₁ s ↔ StrictAntiOn f₂ s
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R
⊢ star c * a * c ≤ star c * b * c
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
inst✝ : (x : β) → Decidable (x ∈ Set.range f)
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
⊢ ↑(image f (s.preimage f hf)) = ↑(filter (fun x => x ∈ Set.range f) s)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∀ {a : M ⊗[R] N} {s : Set (M ⊗[R] N)}, a ∉ s → s.Finite → (∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))) → ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
g : β → α
x : β
h : Function.LeftInverse f g
hf : ContinuousWithinAt f (Set.range g) (g x)
hg : ContinuousAt g x
⊢ Filter.map g (𝓝 x) = 𝓝[Set.range g] g x
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f : A →ₑ+[φ] B
⊢ ⇑↑f = ⇑f
x y : ℂ
⊢ sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - (cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
hzero : Nat.card ↑(F.obj X) = 0
⊢ IsEmpty ↑(F.obj X)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : 2 ≤ n
h : m ≤ m / n
⊢ n * m ≤ m
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : F ⟶ (CategoryTheory.Functor.const J).obj X
j : Jᵒᵖ
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.opCompYonedaSectionsEquiv F X).symm τ) j = τ.app (Opposite.unop j)
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
⊢ a = 0 → a < ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
⊢ (𝟙 X - p) ≫ (𝟙 X - p) = 𝟙 X - p
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
i : ι
⊢ e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i = (↑e.det).toLinearMap v i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈).natDegree ≤ 4
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
h : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).left = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.sym2.Nonempty ↔ s.Nonempty
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ
m : ℕ
hmn : m > n
hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso α
f : Z ⟶ Y
g : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.inv α) = g ↔ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g α
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
⊢ N ≤r M ↔ ∃ R ⊆ M.E, N = M ↾ R
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0∞
hr₀ : 0 ≤ r
hrc : r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ r ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) r
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
s : Subfield K := let __spread.0 := (⨆ i, (S i).toSubring).copy (⋃ i, ↑(S i).toSubring) ⋯; { toSubring := __spread.0, inv_mem' := ⋯ }
this : iSup S = s
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ (orthogonalProjection K) v = 0 ↔ v ∈ Kᗮ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
y : Y
hy : f.Homotopic (const X y)
⊢ (g.comp f).Homotopic (const X (g y))
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
A : Set G
⊢ μ A⁻¹ = μ A
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
⊢ Turing.eval Turing.ToPartrec.step (Turing.ToPartrec.stepNormal f (Turing.ToPartrec.Cont.fix f k) v) = do
  let v ← f.fix.eval v
  Turing.eval Turing.ToPartrec.step (Turing.ToPartrec.Cfg.ret k v)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᵐ[μ] ∅
⊢ s ∩ t =ᵐ[μ] ∅
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ (n + 1)
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsRefl α r
a : α
⊢ r a a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)
S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ
⊢ ∑ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, ((-1) ^ ↑x.2 • X.δ x.2) ≫ ((-1) ^ ↑x.1 • X.δ x.1) = 0
z : ℂ
⊢ AnalyticAt ℂ cexp z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₁ m₂) m₃).app X)
      ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m₁ m₂ m₃).hom).app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X))
    ((F.μ m₁ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₂ m₃)).app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
bddmax : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a
cobddmax : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => max (u a) (v a)
⊢ limsup (fun a => max (u a) (v a)) f = max (limsup u f) (limsup v f)
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ a / b ∈ s / t
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2✝ : p ≤ 1
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
⊢ (1 + s) ^ p ≤ 1 + p * s
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
⊢ #α ≤ #{ s // Bounded r s }
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
σ₁ : ι ≃ ι'
σ₂ : ι' ≃ ι''
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ AlternatingMap.domDomCongr (σ₁.trans σ₂) f = AlternatingMap.domDomCongr σ₂ (AlternatingMap.domDomCongr σ₁ f)
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddCommGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
f g : α → G
hf : Measurable f
⊢ Measurable (g + f) ↔ Measurable g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
W.HasRightCalculusOfFractions
⊢ Equivalence CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s
⊢ card s ⋖ card s + 1
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ (b + c) = a ^ b * a ^ c
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
⊢ M.Base B ↔ M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I