ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : MonotoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f (x ⊔ y) = f x ⊔ f y
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit c
⊢ a = b + -c ↔ a + c = b
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ FractionalIdeal.mapEquiv AlgEquiv.refl = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ StrictMono (Fin.castLE h)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p
⊢ ∑ i ∈ J, w i < 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
⊢ MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w m * MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w n ≤
  MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ s.SOppSide x z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ {∅}.card ≤ {∅}.shatterer.card
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ Disjoint ↑a ↑b ↔ Disjoint a b
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : B.SeparatingLeft
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), (((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B) x) y = 0
⊢ x = 0
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
n : ℕ
h : G.Colorable n
⊢ {n' | G.Colorable n'}.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => g x • f x) 1 μ
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
ha : a ≠ 0
⊢ (a • p).roots = p.roots
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝟙 X) U = 𝟙 (X.presheaf.obj (Opposite.op U))
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a < b
⊢ Set.Ioo a b ∪ {b} = Set.Ioc a b
a b m n✝ p✝ p d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hpd : ¬p ∣ d
⊢ d ∣ n / p ^ n.factorization p
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TrivialStar R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
TopologicalSpace A
ContinuousStar A
⊢ ∀ (a : A),
  (starL' R).symm a =
    (starL R).symm ({ toFun := id, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := id, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm a)
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z
o : Ordinal.{u}
⊢ {a | ∃ ι f, Ordinal.lsub f = o ∧ #ι = a}.Nonempty
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (-a, b)
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
e : S₁ ≃+* S₂
⊢ (MvPolynomial.mapEquiv σ e).symm = MvPolynomial.mapEquiv σ e.symm
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_3
AddAction R X
C : Sort u_2
P : X → ↥S → C
hP : ∀ (r : X) (t : R) (s : ↥S) (ht : t + ↑s ∈ S), P r s = P (t +ᵥ r) ⟨t + ↑s, ht⟩
r : X
s : ↥S
⊢ AddOreLocalization.liftExpand P hP (r -ₒ s) = P r s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
⊢ s.WOppSide x z
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(↑((f j) (r + s)).val - (↑((f j) r).val + ↑((f j) s).val)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)
F1 : δ → α := fun x => F0 (reparam x j) x
hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x
g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯
⊢ Measurable F1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
f g : α →ᵇ E
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
h : (toLp p μ 𝕜) f = (toLp p μ 𝕜) g
⊢ ↑↑((toLp p μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toLp p μ 𝕜) g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasStrictFDerivAt f f' x
h' : f' = g'
⊢ HasStrictFDerivAt f g' x
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.closedBall c ↑R)
hR : 0 < R
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f c ↑R) c ↑R
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x ((map f) p) ≠ 0 → coeff x p ≠ 0
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = yᶜ ↔ x = y
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
b : Y
⊢ ⇑(ContinuousMap.coev X Y b) = Prod.mk b
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
a : (i : ι) → A i
⊢ (PiTensorProduct.tprodMonoidHom R) a = (PiTensorProduct.tprod R) a
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
D : Type u_6
inst✝¹⁸ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁷ : Semiring A✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝¹⁵ : Star A✝
inst✝¹⁴ : Semiring B
inst✝¹³ : Algebra R✝ B
inst✝¹² : Star B
inst✝¹¹ : Semiring C
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ C
inst✝⁹ : Star C
inst✝⁸ : Semiring D
inst✝⁷ : Algebra R✝ D
inst✝⁶ : Star D
R : Type u_7
A : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
⊢ ∀ (x : R), (↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun x)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i
⊢ (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
h : IsAdjoinRootMonic S f
hirr : Irreducible f
q : R[X]
hq : f = minpoly R h.root * q
⊢ minpoly R h.root = minpoly R h.root * 1
α : Type u_1
β : Type u_2
VAdd α β
⊢ VAdd.vadd = HVAdd.hVAdd
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.range f ≤ ⊥ ↔ f = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
⊢ IsLocalDiffeomorph I J n f ↔ IsLocalDiffeomorphOn I J n f Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C}
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
⊢ b < a ↔ ∃ c ∈ s, b < c
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
⊢ ((∀ i ∈ Iio a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioi i) ∧ ∀ i ∈ Ioi a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Iio i) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'
k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (k + 1 + 1), (monomial (k - x)) (_root_.bernoulli x * ↑((k + 1).choose x) * ↑(k + 1 - x)) = (↑k + 1) * ∑ i ∈ range (k + 1), (monomial (k - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(k.choose i))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (J.plusMap (η ≫ γ)).app x✝ = (J.plusMap η ≫ J.plusMap γ).app x✝
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α
⊢ (∃ s_1, s_1ᶜ ∈ 𝒜 ∧ ∃ a ∉ s_1, insert a s_1 = s) ↔ ∃ s_1 ∈ 𝒜, ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = sᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Set.Ioo 0 1
α : Type u_1
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → IsOpen {b}
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
Algebra A B
IsScalarTower R A B
f : { f // (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I) }
c : A
⊢ ↑(((derivationToSquareZeroEquivLift I hI).symm f) c) = ↑f c - (algebraMap A B) c
n : ℕ
⊢ n.minFac = 1 ↔ n = 1
x : ℂ
⊢ (cexp x - cexp (-x)) * 2⁻¹ = (cexp x + cexp (-id x) * -1) * 2⁻¹
m : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑m * Surreal.powHalf (Submonoid.log (Submonoid.pow 2 n)) = ↑m * Surreal.powHalf n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
⊢ TopologicalGroup G
k : Type u
Field k
G : Type u
Monoid G
V W : FDRep k G
⊢ (V ⊗ W).character = V.character * W.character
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
h : 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
⊢ Fintype.card α / P.parts.card - Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ xInTermsOfW p R n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)
F : Type u_1
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
FunLike F ℤ α
AddMonoidHomClass F ℤ α
f : F
h₁ : f 1 = 1
n : ℤ
⊢ f n = ↑n
R : Type u_1
Ring R
I : TwoSidedIdeal R
r : R
x : ↥I
⊢ r • ↑x = r * ↑x
⊢ ⇑Ordinal.lift.principalSeg.toRelEmbedding = Ordinal.lift.{max (u + 1) v, u}
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (normSeminorm 𝕜 E).ball = Metric.ball
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
x : Ω
hx : (μ[f j|↑ℱ i]) x = f i x
⊢ (c • μ[f j|↑ℱ i]) x = (c • f) i x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofiltered J
F : CategoryTheory.Functor J Profinite
C : CategoryTheory.Limits.Cone F
α : Type u_1
Finite α
hC : CategoryTheory.Limits.IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
i : ι
x : ↑(S i)
⊢ (ContinuousMap.liftCover S φ hφ hS) ↑x = (φ i) x
R : Type u_6
NonAssocRing R
⊢ CharP R (addOrderOf 1)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
𝔖 : Set (Set ι)
⊢ induced (⋃₀ 𝔖).restrict topologicalSpace = ⨅ S ∈ 𝔖, induced S.restrict topologicalSpace
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
⊢ (B.domRestrict₁₂ W W).SeparatingLeft
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
⊢ Odd (Nat.card G)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 0 → E
v' : Fin 0 → F
c : Composition 0 := Composition.ones 0
this : {c} = Finset.univ
⊢ (q c.length) (p.applyComposition c v) = (q 0) v'
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (x ^ ↑n) (y ^ ↑n)
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
a : α✝
x✝ : l₁ <:+: l₂
L₁ L₂ : List α✝
h : L₁ ++ l₁ ++ L₂ = l₂
⊢ L₁ ++ l₁ ++ L₂.concat a = l₂.concat a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₁ ⇨ s₂)
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁
⊢ l₁ = l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys
⊢ (xs ++ ys).dedup = ys.dedup
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s
⊢ m₁ = m₂
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
⊢ Function.Injective i
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ * b = c ↔ b = a * c
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
OrderedAddCommMonoid γ
g₁ g₂ : β →+o γ
f : α →+o β
⊢ (g₁ + g₂).comp f = g₁.comp f + g₂.comp f
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (c₁ * log x) (c₂ * log x)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x) y = x -ᵥ y +ᵥ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
⊢ {x | (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
U : Type u_1
Quiver U
u v : U
p : Quiver.Path u v
hzero : p.length = 0
⊢ Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p = Quiver.Path.nil
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hab : b₁ < b₂
hcd : a < d
⊢ b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.homologyι
⊢ S.homology ≅ S.opcycles
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Complex.cosh (f x)) (Complex.sinh (f x) • f') x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R
s : ↥x.asIdeal.primeCompl
⊢ (toStalk R x) f = (toStalk R x) ↑s * ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (const R f (↑s) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑s) ⋯)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
h : Y ∈ Scheme.Spec.essImage
⊢ X ∈ Scheme.Spec.essImage
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x ^ n
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
⊢ P (Scheme.Hom.app ((PreservesPullback.iso AffineScheme.forgetToScheme (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).inv ≫ AffineScheme.forgetToScheme.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))) ⊤)