ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
Fintype ι
Fintype ι'
α : ι → Type u_4
f : ι' ≃ ι
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : ↑I
tn : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ ((GenLoop.toLoop i p) t) tn = p ((Cube.insertAt i) (t, tn))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / ((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖x + y‖
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y x : α
hxs : x ∈ s
hxy : (x, y) ∈ U
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), y ∈ ball i U
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
hf : HasSum f a₁
hg : HasSum g a₂
h : f ≤ g
⊢ a₁ ≤ a₂
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct ((crossProduct u) v)) w = (crossProduct u) ((crossProduct v) w) - (crossProduct v) ((crossProduct u) w)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
⊢ lineCount L p = lineCount L q
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
⊢ HasProd (fun x => 1) 1
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
⊢ Equiv.optionCongr (Equiv.swap x y) = Equiv.swap (some x) (some y)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
k : ↥K
⊢ hSK.equiv (g * ↑k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * k)
M : Type u
Add M
PseudoEMetricSpace M
IsometricVAdd M M
a b c : M
⊢ edist (a + b) (a + c) = edist b c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Bornology α
⊢ cobounded α = ⊥ ↔ BoundedSpace α
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : n ≤ Ideal.ramificationIdx f p P
⊢ Ideal.map f p ≤ P ^ n
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I ↔ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal = I
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ minkowskiBound K I < ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
x : σ
⊢ n • w x = 0 → n = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R x y = ⅟2 • (x + y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
⊢ jacobiSym (a₁ * a₂) b = jacobiSym a₁ b * jacobiSym a₂ b
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
⊢ ∃ u v, (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
ha : ↑a ≠ ⊤
h'a : ↑a ≠ ⊥
⊢ Tendsto toReal (𝓝 ↑a) (𝓝 (↑a).toReal)
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
⊢ (starRingEnd K) ↑n = ↑n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
h : ∃ y ∈ s1.direction, ∃ z ∈ s2.direction, y + z = p2 -ᵥ p1
⊢ False
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ (q - 1) ^ φ n < eval q (cyclotomic n ℝ)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
⊢ Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
α : Type u_1
Add α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a + b ≤ c + d
⊢ min a b ≤ max c d
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
f g : Polynomial R
⊢ (Polynomial.hasseDeriv k) (f * g) =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal k, (Polynomial.hasseDeriv ij.1) f * (Polynomial.hasseDeriv ij.2) g
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ IsCompactlyGenerated α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ↑(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t
⊢ (f t - f x) / (t - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
ht : t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
⊢ s \ t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
⊢ J.ι ≫ CategoryTheory.InjectiveResolution.desc f I J = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ I.ι
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
SMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (A.ρ g) (r • x) - r • x = r • ((A.ρ g) x - x)
A B : TopCat
⊢ ∀ (X : ↑(π.obj A) × ↑(π.obj B)), (prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).obj X = (𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).obj X
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : b ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : N ⊨ φ
⊢ M ⊨ φ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≤ 0
⊢ n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
la : Filter α
sa : ι → Set α
lb : Filter β
p : ι → Prop
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j
⊢ (la ×ˢ lb).HasBasis p fun i => sa i ×ˢ sb i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t
s : (i : ↑t) → { s // s ∈ l ↑i }
hsd : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑(s i))
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
⊢ ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} → x ∈ I_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : f '' D₀ = f '' I
⊢ False
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
⊢ F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ f.right.app P) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ g.right.app P)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) D
τ : (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).comp F ⟶ (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).comp G
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (((CategoryTheory.whiskeringLeft C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) D).obj
            (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C)).preimage
        τ).app
    P =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map P.decompId_i)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app P.X) (G.map P.decompId_p))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
a b : E
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt (⇑(AffineMap.lineMap a b)) (b - a) x
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A
⊢ 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
hp : p.Separable
⊢ Fintype.card p.Gal = FiniteDimensional.finrank F p.SplittingField
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Filter.comap f Filter.cofinite = Filter.cofinite
M : Type v
α : Type w
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace M
VAdd M α
MeasurableVAdd M α
c : M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => c +ᵥ x) μ = μ
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
a : α
⊢ (BoundedOrderHom.id α) a = a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ Real.sin (angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x + y‖
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup
⊢ (l ++ [a]).Nodup
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
l : ℝ
h : Filter.Tendsto (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ↑r ≤ p.radius
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
S : Set (Set α)
CardinalInterFilter l c
hSc : #↑S < c
⊢ ⋂₀ S ∈ l ↔ ∀ s ∈ S, s ∈ l
x : ℝ
⊢ ↑(Real.exp x) = Complex.exp ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ ↑I.symm (↑I x) = x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ LipschitzWith 1 (dist x)
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
t : Finset (ℤ × ℕ)
hts : t ⊆ s.toEnumFinset
ht : t.card = n ∧ ↑n ∣ ∑ i ∈ t, i.1
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ ↑n ∣ t.sum
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
M : IndepMatroid α
I : Set α
h : M.Indep I
⊢ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < b
⊢ a < 1
ι : Sort u_4
R : Type u_5
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
f : ι → ℝ≥0∞
c : R
⊢ c • ⨆ i, f i = ⨆ i, c • f i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (s.indicator (μ.restrict s[f|m])) μ
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ a * c < b * c
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.InvOn (↑e.symm) (↑e) e.source e.target
α : Type u_1
LinearOrder α
OrderTop α
l : List α
a : α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → a ≤ x
⊢ a ≤ List.foldr min ⊤ l
n m : Nat
h : m ≤ n
⊢ n - m + m = n
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)
⊢ biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : R
⊢ (AddMonoidHom.mul x) y = x * y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
V : Submodule 𝕜 E
hV : ∀ v ∈ V, T v ∈ V
⊢ (T.restrict hV).IsSymmetric
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
self : K.IsSupportedOutside e
i : ι
⊢ K.ExactAt (e.f i)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R L k = LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f : BoundedContinuousFunction α β
s : Set α
⊢ ⇑(f.restrict s) = ⇑f ∘ Subtype.val
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Iio a = Set.Iio (r • a)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
⊢ Function.Injective OpenSubgroup.toSubgroup
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x * y = 0
⊢ ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
x y : α × β
⊢ x.swap ≤ y.swap ↔ x ≤ y
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
⊢ C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (p * p.mirror).toFinsupp }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ Disjoint (t \ s) (s ∩ t)
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.tan ↑x).re = Complex.tan ↑x
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * b < ℵ₀ ↔ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ Finset.centroid ℝ fs s.points =
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.pointsWithCircumcenter) (Affine.Simplex.centroidWeightsWithCircumcenter fs)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
⊢ IsSplittingField F (↥K) p ↔ Splits (algebraMap F ↥K) p ∧ K = adjoin F (p.rootSet E)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
τ : F ⟶ G
⊢ (S.mapNatTrans τ).τ₃ = τ.app S.X₃
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) 1) = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
⊢ Submonoid.map (MonoidHom.inl M N) s = s.prod ⊥
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
x : Q
hx : x ∈ ↑s
⊢ IsClosed ((fun x_1 => x_1 -ᵥ x) '' ↑s) ↔ IsClosed (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).toHomeomorph.symm '' ↑s)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ φ, f = φ.map L ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hw : w ∈ K
⊢ ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), w⟫_𝕜 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f g : X → Y
h : Continuous f
h' : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ Continuous g
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
⊢ Commute ↑a ↑a⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
z : H
hzK : z ∈ ↑K
infi : ‖b - z‖ = ⨅ w, ‖b - ↑w‖
⊢ ∃ y, (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ) ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
⊢ mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
OrderTop α
Nontrivial α
a : α
⊢ Order.pred a < ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsOpen s
⊢ μ.IsEverywherePos s
a b c : Prop
⊢ ((a ↔ b) ↔ c) ↔ (a ↔ (b ↔ c))
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
M : Ideal R
max : M.IsMaximal
not_field : ¬IsField R
⊢ M ≠ ⊥
R : Type u
S : Type v
T : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
G : Type u_2
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
FunLike G S T
NonUnitalRingHomClass G S T
s : NonUnitalSubsemiring T
g : G
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.comap f (NonUnitalSubsemiring.comap g s) = NonUnitalSubsemiring.comap ((↑g).comp ↑f) s
α : Type u_1
s t : Semiquot α
st : s ≤ t
h : t.IsPure
⊢ s.IsPure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
Nontrivial ↥K
⊢ ‖K.subtypeL‖ = 1
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired fun x x_1 => x + x_1)