ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0
⊢ a * -eval a p.reverse.divX = 1
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
⊢ (s \ t).Infinite
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
⊢ ↑i.rev.modNat = ↑i.modNat.rev
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
c : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint a (c ⊔ b)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * yz a1 n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = ⊥
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
G' : Type u_8
N' : Type u_9
Group G'
Group N'
f : G →* N
g : G' →* N'
⊢ (f.prodMap g).ker = f.ker.prod g.ker
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (Classical.choose ⋯).1).symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α
⊢ (⋃ x ∈ s₁, t x) \ ⋃ x ∈ s₂, t x ⊆ ⋃ x ∈ s₁ \ s₂, t x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Relation.ReflTransGen (Relation.ReflGen r) = Relation.ReflTransGen r
V : Type u
G : SimpleGraph V
β : G.ConnectedComponent → G.ConnectedComponent → Prop
h : ∀ (v w : V), β (G.connectedComponentMk v) (G.connectedComponentMk w)
c d : G.ConnectedComponent
⊢ β c d
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₂.τ₁ = S₁.f ≫ (-h.h₁) + -h.h₀ + φ₁.τ₁
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
hS : S.Nonempty
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {1}) A B
p : ℕ
n : ℕ
⊢ ↑(padicValNat p n) = padicValRat p ↑n
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
⊢ orderOf x⁻¹ = orderOf x
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
h : (NumberField.InfinitePlace.mk φ).IsComplex
⊢ ¬NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
a : R
⊢ AddMonoidHom.mulLeft a = AddMonoidHom.mulRight a ↔ ∀ (b : R), Commute a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (α i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (α i)
x : (i : ι) → α i
⊢ x ∈ closure (I.pi s) ↔ ∀ i ∈ I, x i ∈ closure (s i)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ s
⊢ infEdist x t ≤ (⨆ x ∈ s, infEdist x t) ⊔ ⨆ y ∈ t, infEdist y s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
⊢ thickening (↑r / 2) s ⊓ thickening (↑r / 2) t ≤ ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
a b : UInt64
h : a < b
⊢ ¬b < a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
a b : S
⊢ (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) a → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) b → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) (a + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : C(α, β)
H : f = g
x : α
⊢ f x = g x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.orderTop = ↑(⋯.min ⋯)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
⊢ cfc f 1 = (algebraMap R A) (f 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N P Q : Bimod Y Z
f : N ⟶ P
g : P ⟶ Q
⊢ M.whiskerLeft (f ≫ g) = M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ f.valuation = g.valuation ↔ f.norm = g.norm
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 0)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ n ≤ l.length → l.rotate n = drop n l ++ take n l
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
x y : α
⊢ x ≤ y → ⌈x⌉₊ ≤ ⌈y⌉₊
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha_pos : a ≠ 0
hb_pos : b ≠ 0
dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization
d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1
⊢ (a.gcd b).factorization = a.factorization ⊓ b.factorization
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
⊢ (Polynomial.coeToPowerSeries.algHom A) φ = (PowerSeries.map (algebraMap R A)) ↑φ
α : Type u
Nonempty α
⊢ ∅ ≠ Set.univ
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm 0 p μ = 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
h : p ≤ LinearMap.range f
⊢ Submodule.map f (Submodule.comap f p) = p
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
⊢ a.gcd m = b.gcd m
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => x ^ n / ↑n.factorial) (NormedSpace.exp 𝕂 x)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
⊢ μ.tilted f = μ.withDensity fun x => ↑⟨rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ, ⋯⟩
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ DirSupInacc s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap R A)
α : Type u_1
n : Type u_3
Neg α
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
⊢ (-A).IsSymm
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι
⊢ a • (basis A b) i = a ⊗ₜ[R] b i
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ (c : E) ⦃s_1 : Set Ω⦄, MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
FirstCountableTopology G
SecondCountableTopologyEither G E
hbf : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
hf : Continuous f
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ Continuous (MeasureTheory.convolution f g L μ)
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ MulAction.IsPretransitive G α ↔ Subsingleton (MulAction.orbitRel.Quotient G α)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f ≤ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT') f
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f : SupHom α β
a : WithBot α
⊢ f.withBot'.toSupHom a = Option.elim a ⊥ ⇑f
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x✝ : α
⊢ (𝓝 x✝).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x✝ ∈ s ∧ IsConnected s) id ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x✝, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x✝ ∈ V ∧ IsConnected V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => map f (g x)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : IsTotal α r
inst✝ : IsTrans α r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length
⊢ Sorted r (mergeSort r (a :: b :: l))
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
LinearOrder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ grade 𝕆 a ⋖ grade 𝕆 b ↔ a ⋖ b
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁
⊢ map (f.comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P₁ v)) s = map ((↑(AffineEquiv.constVAdd k P₂ (f.linear v))).comp f) s
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z
⊢ ∃ m n,
  x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧
    y = 2 * m * n ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2 ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0) ∧ 0 ≤ m
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p
⊢ Flat R M
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
hs : s.Nodup
⊢ s.permutations.Nodup
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ ∃ k_1 f_1 g_1, (F.map f_1) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g_1) ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
hc : c ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 s (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G ≃* N
K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f.toMonoidHom K = Subgroup.comap f.symm.toMonoidHom K
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson (Polynomial R) ↔ Ideal.IsJacobson R
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
f : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
⊢ (DFinsupp.liftAddHom f).comp (DFinsupp.singleAddHom β i) = f i
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C (C x₂) - C (C x₁)) + C (C y₁)) + (C X - C (C x₂)) * -C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C X - C (C x₁)) + C (C y₁))
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
this : Module.Free F ↥⊤
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ finrank F E = 1
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ a
⊢ a - c < b - c ↔ a < b
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap x * f.mk' 1 y = f.mk' x y
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone (⇑toLex ∘ Sum.inr)
α : Type u_1
l : List α
⊢ (ofFn (get ⟨l, ⋯⟩)).toList = toList ⟨l, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a + b < c
hle : 0 ≤ a
⊢ b < c
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
v f : V
is_lax_milgram : ∀ (w : V), ⟪f, w⟫_ℝ = (B v) w
⊢ f = coercive.continuousLinearEquivOfBilin v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Add α
inst✝⁶ : Sub α
inst✝⁵ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
R : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Sub R
inst✝¹ : OrderedSub R
inst✝ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : R
⊢ a * c - b * c ≤ (a - b) * c
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ (Algebra.Generators.Hom.id P).toAlgHom = AlgHom.id R P.Ring
α : Type u
β : α → Type v
self : Finmap β
⊢ self.entries.NodupKeys
s : Lean.Omega.Constraint
x v : Lean.Omega.Coeffs
w : s.sat' x v = true
⊢ (Lean.Omega.tidyConstraint s x).sat' (Lean.Omega.tidyCoeffs s x) v = true
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
t : Finset α
⊢ t ∈ (insert a s).powerset ↔ t ∈ s.powerset ∪ image (insert a) s.powerset
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x x' y : (j : J) × ↑(F.obj j)
hxx' : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget MonCat) x x'
⊢ MonCat.FilteredColimits.colimitMulAux F x y = MonCat.FilteredColimits.colimitMulAux F x' y
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : Set β
Decidable (b ∈ s)
⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = if b ∈ s then Set.univ else ∅
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioo ⊥ ⊤ = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
htt' : t ⊆ t'
ht' : t' ⊆ range f
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ BijOn f s' t'
⊢ BddOrd.dualEquiv.functor = BddOrd.dual
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K₁.carrier V
t : Finset G
h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index K₂.carrier V
⊢ s ∪ t ∈ {t | K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ LocallyCompactSpace ↑s
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
s : AddSubmonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s
⊢ addOrderOf x ≤ Nat.card ↥s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMaxOn f s a
t : Set α
⊢ IsLocalMaxOn f (s ∩ t) a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Nonempty α
f : Filter β
u : β → α
h : Filter.Tendsto u f Filter.atTop
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • closure s + b • interior s ⊆ interior s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
m p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
⊢ (cyclotomic (p ^ 0 * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
A : C
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ (skyscraperPresheaf p₀ A).map i =
  if h : p₀ ∈ Opposite.unop V then CategoryTheory.eqToHom ⋯
  else (⋯ ▸ CategoryTheory.Limits.terminalIsTerminal).from ((fun U => if p₀ ∈ Opposite.unop U then A else ⊤_ C) U)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
b✝ b : α
l : List α
hb : ∀ {a : α}, Chain R a l → destutter' R a l = a :: l
a : α
h✝ : Chain R a (b :: l)
h : R a b
hc : Chain R b l
⊢ destutter' R a (b :: l) = a :: b :: l
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : StrongRankCondition R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Free R M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Free R M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Free R M₁
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : Free R W
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hVW : Module.rank R M = n • Module.rank R W
⊢ Finite R M ↔ Finite R W
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho)
q : Profinite.NobelingProof.Products I
hq : q < (↑l).Tail
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (Profinite.NobelingProof.term I ho :: ↑q)
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Iio a = Ioi a
⊢ 𝔠 ≤ #↑(Iio a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial C
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∀ (i : Fin 2), ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m (ForInStep β)
s : ForInStep β
⊢ ForInStep.bindList f [] s = pure s
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0