ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
h_inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)
⊢ num 0 = 0
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.closedBall x δ / {y} = Metric.closedBall (x / y) δ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ g.cycleType
⊢ (g * g).IsThreeCycle
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
ha hb : 0 ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 0
h' : 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 0
⊢ False
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
x : G ⧸ Γ
⊢ Continuous fun g => g • x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
t : ℝ
⊢ t ∈ Set.Icc a b → dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ span R {x} * (M + span R {y}) ≤ M
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
hmE : MeasurableSet (Ef ∪ Eg)
hfmE : μ (Ef ∪ Eg) < ⊤
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inl M N) ⊔ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inr M N) = ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : r a b
hbc : Relation.ReflTransGen r b c
⊢ Relation.ReflTransGen r a c
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
hf : Function.Injective ⇑f
K : Subgroup G
x : G
⊢ f x ∈ Subgroup.map f K ↔ x ∈ K
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)
⊢ μ (p ^ k) = 0
a b c : Int
H : 0 < c
⊢ a / c < b ↔ a < b * c
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f ∅
⊢ ∃ p q, MonotoneOn p ∅ ∧ MonotoneOn q ∅ ∧ f = p - q
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.comap p.subtype p' = ⊤ ↔ p ≤ p'
β : Type u_1
o : Ordinal.{u_1}
c : Cardinal.{u_1}
ho : o.card ≤ c
hc : ℵ₀ ≤ c
A : Ordinal.{u_1} → Set β
hA : ∀ j < o, #↑(A j) ≤ c
⊢ #↑(sSup (range ((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm))) ≤ c
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ∅ ∪ s = s
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
xs : Finset X := ⋯.choose
xs_w : ⋃ x ∈ xs, W x = ⊤ := Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover W W_nhd)
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
⊢ X ◁ (λ_ Y).inv ≫ (α_ X (𝟙_ C) Y).inv = (ρ_ X).inv ▷ Y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Sum.inr
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
Invertible Aᴴ
⊢ (⅟A)ᴴ = ⅟Aᴴ
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
e : ℕ
n : σ
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.monomial (Finsupp.single n e + s)) a = MvPolynomial.X n ^ e * (MvPolynomial.monomial s) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝 x'
⊢ x' ∈ (chartAt H x).source
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderTop β
inst✝ : OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hg : f ≤ᶠ[l] g
hf : ∀ i < ⊤, ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ Ioi i
⊢ ∀ i < ⊤, ∀ᶠ (a : α) in l, g a ∈ Ioi i
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn f g Set.univ ↔ Monovary f g
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (f '' K)
hB₂ : ∀ (U : Set β), qb U → MeasurableSet U
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).InnerRegularWRT pb qb
α : Type u
a x : α
⊢ x ∈ {a}ᶜ ↔ x ≠ a
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card αᵒᵈ = Fintype.card α
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1
⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r = Metric.closedBall y r ∨ Disjoint (Metric.closedBall x r) (Metric.closedBall y r)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
FirstCountableTopology α
x : α
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝[<] x)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖
huv : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c * ‖v x‖
φ : α → 𝕜
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x - 1‖ < ε
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hle : ∀ i ∈ s, g i < f i
⊢ ∑ i ∈ s, g i < ∑ i ∈ s, f i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f := by aesop_cat
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatIso.ofComponents app naturality).hom.app X = (app X).hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
sXY : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit sXY
sYZ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan Y Z
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X sYZ.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.assocInv P s).fst =
  P.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk s.fst (CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.snd sYZ.fst))
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
V2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
AddCommGroup V2
Module k V1
Module k V2
Semiring R
Module R V2
SMulCommClass k R V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ (AffineMap.toConstProdLinearMap R) f = (f 0, f.linear)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ c / b⁻¹
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝² : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a : α i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
x : ι
hx : x ∈ (f.rangeIcc g).support
h : x ∉ f.support ∪ g.support
⊢ (f.rangeIcc g) x = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.map (↑i) (separableClosure F E) = separableClosure F K
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ hausdorffDist s t ≤ r
n : ℕ
⊢ (if true = true then ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2, (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2)) else ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 - (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1), (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2)) = let p := binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
M : Type u_1
Add M
⊢ AddSubsemigroup.closure ∅ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
h₀ : edist x y ≠ 0
htop : edist x y ≠ ⊤
hr : edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
⊢ r = ratio f
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K
⊢ X ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℝ
⊢ 0 ≤ stieltjesFunctionAux f a r
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
b : α
hb : b ∈ s.erase a
hab : a ≠ b
⊢ Commute a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R
⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ξ
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree ≠ ↑i
⊢ f.integralNormalization.coeff i = f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
hf : Injective f
s : Finset α
a : α
⊢ f '' ↑s \ {f a} = f '' ↑s \ {f a}
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l : List ι
DecidableEq ι
hj : j ∈ i :: l
hji : j ≠ i
v : List.TProd α (i :: l)
⊢ v.elim hj = List.TProd.elim v.2 ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᵐ[μ] ↑f
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑f a) ∂μ).toReal
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
p : Bundle.TotalSpace F E → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ b y, p { proj := b, snd := y }
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c, f i hi b < c
a : Ordinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.reverse.next x ⋯ = l.prev x hx
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
⊢ closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ f '' [[a, b]] = [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : {0}ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∀ y ∈ {0}ᶜ, JoinedIn {0}ᶜ x y
⊢ (↑q)ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ (↑q)ᶜ, ∀ y ∈ (↑q)ᶜ, JoinedIn (↑q)ᶜ x y
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R₃ M₃
h : ∀ (b : M₂), g b ∈ p
⊢ (LinearMap.codRestrict p g h).comp f = LinearMap.codRestrict p (g.comp f) ⋯
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
p : ℕ
IsDomain R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
⊢ multiplicity (↑p) (∑ i ∈ Finset.range p, x ^ i * y ^ (p - 1 - i)) = 1
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ span R (image2 (fun a b => (f.flip b) a) ↑p ↑q) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t
open_t : IsOpen t
st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty
⊢ closure t ∩ s ⊆ t
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.card (s.erase a) = if a ∈ s then (Multiset.card s).pred else Multiset.card s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap SeparationQuotient.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
⊢ a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
⊢ ‖MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖
⊢ ‖Complex.ofRealCLM‖ = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
⊢ IsOpenMap Neg.neg
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddMonoid γ
ContinuousAdd γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.toGermAddMonoidHom f = f.toGerm
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝
⊢ b • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux (fun p r => (ProbabilityTheory.preCDF ρ r p.2).toReal)
  (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ) (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ.fst)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
⊢ ((πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l)).toFun = ⇑(eval (π C fun x => ord I x < o₂) l)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a₁ a₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : ‖a₁‖ ≤ r₁
h₂ : ‖a₂‖ ≤ r₂
⊢ ‖a₁ + a₂‖ ≤ r₁ + r₂
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a + b).imJ = a.imJ + b.imJ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
⊢ False
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S T : Set R
⊢ closure (S * T) ≤ closure S * closure T
K : Type u_6
L : Type u_7
Field K
Field L
Algebra K L
Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
⊢ ∃ σ, σ y = x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ cos (π / 2 ^ (n + 1 + 1)) = sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) / 2
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
f : A →+* B
hf : Function.Surjective ⇑f
hker : (RingHom.ker f).FG
⊢ f.FinitePresentation
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊥ → (p x ↔ q x)
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ a} = sInf {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Function.Injective ((fun f => F.map f a) ∘ fun f => f.hom)
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
⊢ ∃ x, 0 < ‖x‖ ∧ ‖x‖ < 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)}
  (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ), (f ≫ g).left.app X_1 = f.left.app X_1 ≫ g.left.app X_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ u ∈ map (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) (p ×ˢ p)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S
x : M
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
x : α
s : Set α
h : sSup s < x
hs : BddAbove s
⊢ x ∉ s
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdf : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
L L' : CategoryTheory.Functor C D
iso₁ : L ≅ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
⊢ L.HasLeftKanExtension F ↔ L'.HasLeftKanExtension F
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
⊢ lim (𝓝 x) = x
M : Type u_2
Monoid M
m : Mᵐᵒᵖ
⊢ IsUnit (MulOpposite.unop m) ↔ IsUnit m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
I : Set β
hc : I.Countable
s : β → Set α
⊢ μ (⋃ b ∈ I, MeasureTheory.toMeasurable μ (s b)) = μ (⋃ b ∈ I, s b)
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝⁴ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ContinuousConstSMul G α
inst✝¹ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
inst✝ : μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X Y : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ⇑(X + Y) = ⇑X + ⇑Y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : 0 < a
⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)
⊢ f.measure univ < ⊤
G : Type u_1
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ Commute (a ^ n) a
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a ≤ b ↔ ↑a ≤ ↑b