ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
⊢ as.all p 0 = true ↔ ∀ (i : Fin as.size), p as[i] = true
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) none) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) none) x✝
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
y : ℝ
h : 0 < y
⊢ 0 ^ y = 0
α : Type u
DecidableEq α
a : α
⊢ List.splitOn a [] = [[]]
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
hm_not : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f|m] = 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : Filter α
⊢ f.limsInf = ⨆ s ∈ f, sInf s
α✝ β α : Type u
⊢ #α < #(Set α)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.Cocone.toStructuredArrow F).map f = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.hom ⋯
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ IsPiSystem {s | MeasurableSet s}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.comm R M N).symm (n ⊗ₜ[R] m) = m ⊗ₜ[R] n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F k).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ (CategoryTheory.evaluation K C).obj k) j =
  (CategoryTheory.Limits.limit.π F j).app k
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
CompleteLattice M
One M
h1 : ⊥ = 1
s : ι → Set α
f : α → M
x : α
⊢ (⋃ i, s i).mulIndicator f x = ⨆ i, (s i).mulIndicator f x
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
⊢ Matrix.vandermonde (Fin.cons v0 v) =
  Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * Matrix.vandermonde v i j
x : ℝ
⊢ (Complex.exp ↑x).im = 0
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
⊢ X.basicOpen f = U
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s
R₂ : ℝ
hR₂ : 0 < R₂
hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1
hbdd' : ∀ x ∈ ball x₀ R₂, ‖v x‖ ≤ 1 + ‖v x₀‖
ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)
hε0 : 0 < ε
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
G : Type u_1
Group G
s₁ s₂ : Set G
hs₁ : IsSubgroup s₁
hs₂ : IsSubgroup s₂
⊢ IsSubgroup (s₁ ∩ s₂)
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M = Matroid.loopyOn M.E ∨ M.RkPos
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk
⊢ False
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
E : Type u_5
Zero E
MulActionWithZero G₀ E
TopologicalSpace E
T1Space E
ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (c • s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ :
  ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c),
    ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s (F.map t) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s' (F.map t)
d : D
⊢ CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.StructuredArrow d F)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹
⊢ f ↑y = f ↑z
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
LinearOrder α
SemilatticeInf β
hf : MonotoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
⊢ count p n.primeFactorsList = n.factorization p
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b
x : E
⊢ (a • p) x ≤ (b • q) x
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
b₁ b₂ : α
h₁ : b₁ ≠ 0
h₂ : ¬IsUnit b₂
h : span {b₁} ≤ span {b₁ * b₂}
⊢ b₁ * b₂ ∣ b₁ * 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
⊢ closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), Metric.cthickening δ E
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ →+* ℂ
h : Continuous ⇑f
⊢ f = ofReal
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ (closure s).Nonempty ↔ s.Nonempty
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
c : R
⊢ c ∈ p.coeffs ↔ ∃ n ∈ p.support, c = p.coeff n
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x₀, ρ.fintsupport y ⊆ ρ.fintsupport x₀
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ x ∩ y ↔ z ∈ x ∧ z ∈ y
E : Type u_1
c : E
self : ContDiffBump c
⊢ 0 < self.rIn
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
φ : G →* H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
⊢ ∀ (a : H), (QuotientGroup.quotientKerEquivOfRightInverse φ ψ hφ).symm a = (QuotientGroup.mk ∘ ψ) a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ
⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n
R : Type u
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n a
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
g : α → β
q : Fin n.succ → α
⊢ g ∘ Fin.tail q = Fin.tail (g ∘ q)
n : ℕ+
K : Type w
L : Type z
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
α : Type u_1
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
⊢ x ∈ s.antidiagonal ↔ x.1 + x.2 = s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
K : Type u_2
Field K
f : LaurentSeries K
⊢ Valued.v f ≤ 1 ↔ ∃ F, (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ K) F = f
⊢ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
j : JordanDecomposition α
h : s = j.toSignedMeasure
⊢ s.toJordanDecomposition = j
R : Type u_1
k : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedField k
abv : R → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
h : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → R
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ (RingHom.id R) p.leadingCoeff ≠ 0
w x✝ y✝ z✝ z : ℝ
h : 0 < z
x y : ℝ≥0
hxy : x < y
⊢ (fun x => x ^ z) x < (fun x => x ^ z) y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)
hg : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ Measurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : Partrec' f
v : Vector ℕ n.succ
i : Fin n
⊢ v.get i.succ = v.tail.get i
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
⊢ ⅟(LaurentPolynomial.T n) = LaurentPolynomial.T (-n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
h : Continuous f
y : Y
⊢ limUnder (𝓝 y) f = f y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬false = true
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'
⊢ l.cyclicPermutations ~r l'.cyclicPermutations
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ Set.Ici ⊤ = {⊤}
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
CompactSpace ↑s
⊢ ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩)) =
  closure ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
⊢ y ∈ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.op.f = S.g.op
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
⊢ n • x < 0 ↔ x < 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ interior K
⊢ ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
⊢ hammingDist 0 = hammingNorm
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
κ : Type u_1
h : ι ≃ κ
f : DirectSum ι fun i => M i
k : κ
⊢ ((DirectSum.lequivCongrLeft R h) f) k = f (h.symm k)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ ↑((r * (DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r') n) = ↑(r j) * ↑r'
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
x : X
ℱ : Filter X
hℱ₁ : ℱ.NeBot
hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s
hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x
K : Set X
hK : IsCompact K
K_mem : K ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Membership α β
s : β
p : α → α → Prop
⊢ (∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → p a b) ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → p a b
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ i]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ i])) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Sort u_3
FunLike F Y X
EmbeddingLike F Y X
f : F
p : X → X → Prop
h : Pairwise p
⊢ Pairwise (p on ⇑f)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1
hf : ContinuousOn f (spectrum R a)
ha : p a
⊢ { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ 1
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
F : Type u_8
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
l : List M
⊢ f l.prod = (List.map (⇑f) l).prod
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : D ⥤ C
x✝ : E
⊢ (𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) ≫ x.map (adj.unit.app (G.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝))))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ x.map (G.map (adj.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) = 𝟙 (x.obj (G.obj x✝))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id A).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id A.a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
⊢ (T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ Pi.map fun j => (T j).mor₃
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opEquivalence Φ X₂).functor =
  CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opFunctor Φ X₂
F : Type u_10
M : outParam (Type u_11)
N : outParam (Type u_12)
Mul M
Mul N
FunLike F M N
self : MulHomClass F M N
f : F
x y : M
⊢ f (x * y) = f x * f y
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₃)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ (range fun s => star s * s) ⊆ ⇑starAddEquiv ⁻¹' range fun s => star s * s
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) Filter.atTop (𝓝 0)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
x : ↑(fundamentalDomain b)
⊢ ↑x = fract b ↑x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn f s
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
G.LocallyFinite
u v : V
n : ℕ
⊢ Fintype.card ↑{p | p.length = n} = (G.finsetWalkLength n u v).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ [y-[𝕜]z]
⊢ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
⊢ (W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))) * (algebraMap R (MvPolynomial ℕ R)) (⅟↑p ^ n) = X n * C (↑p ^ n) * C (⅟↑p ^ n)
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ |a ⊔ c - b ⊔ c| ⊔ |a ⊓ c - b ⊓ c| ≤ |a - b|
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
⊢ MulAction.stabilizer G a ≤ MulAction.stabilizer G B
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : f ≈ 0
hg : g ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
⊢ ⟨a', b'⟩ :: kerase a' (⟨a, b⟩ :: kerase a s.entries) ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a (⟨a', b'⟩ :: kerase a' s.entries)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
A : E
U : ↥(unitary E)
⊢ ‖A * ↑U‖ = ‖((↑U)⋆ * A⋆)⋆‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
f : K ⟶ L
y : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
L.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
⊢ HomologicalComplex₂.total.map ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).map f) (ComplexShape.up ℤ) ≫
    (L.totalShift₂Iso y).hom =
  (K.totalShift₂Iso y).hom ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) y).map
      (HomologicalComplex₂.total.map f (ComplexShape.up ℤ))
R : Type u
CommSemiring R
s : Set R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(Ideal.span s) = PrimeSpectrum.zeroLocus s
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ ↑g z₁ = ↑(f.sup g h) z₂
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
hn₁ : orderOf x = p₁ ^ 0
this : p₁ ^ 0 = p₂ ^ n₂
⊢ x = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
⊢ affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s) = ⊤
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : ∀ (c : α), c < a ↔ c < b
⊢ a = b
⊢ StrictMonoOn Nat.fib (Set.Ici 2)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ ContinuousMap.setOfIdeal (ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
Zero β
AddCommMonoid M
DistribSMul R M
v : α →₀ β
c : R
h : α → β → M
⊢ c • v.sum h = v.sum fun a b => c • h a b
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
x : α
⊢ (WithZero.map' f) ↑x = ↑(f x)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (f + g) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ + MeasureTheory.eLpNorm g p μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Mathlib.Vector.map f Mathlib.Vector.nil = Mathlib.Vector.nil
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ ContinuousOn f s ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ TensorPower.toTensorAlgebra GradedMonoid.GOne.one = 1
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : 4 * cos x ^ 3 = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * cos x ^ 2
⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * (1 - sin x ^ 2) - 3 * cos x
⊢ Tendsto (fun s => riemannZeta ↑s - 1 / (↑s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 ↑γ)
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
s : Subgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
w✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
⊢ (lift f) (Quot.mk Red.Step L) ∈ s
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ b = ⊤
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.Surjective f ↔ Function.Surjective ⇑f.val.base
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
⊢ sᶜ ∈ measurableCylinders α
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ (lowerBounds s ∩ t).Nonempty → BddBelow (f '' s)