ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
f g : CompHaus.finiteCoproduct X ⟶ B
h :
  ∀ (a : α),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.finiteCoproduct.ι X a) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.finiteCoproduct.ι X a) g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k
⊢ (↑⟨↑s (i ∩ k), ⋯⟩).toReal - (↑⟨-↑s (iᶜ ∩ k), ⋯⟩).toReal = ↑s k
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → Inf (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ f ⊓ g = fun i => f i ⊓ g i
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ * (A * B) = B
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r : k
⊢ AffineMap.homothety c r = r • (AffineMap.id k P1 -ᵥ AffineMap.const k P1 c) +ᵥ AffineMap.const k P1 c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comonad C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.comonadToFunctor C).map f = f.toNatTrans
α : Type u_1
m n : α →₀ ℕ
⊢ Finsupp.toMultiset (m + n) = Finsupp.toMultiset m + Finsupp.toMultiset n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x✝ : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x✝ ∈ fundamentalDomain (stdBasis K) ↔ x✝ ∈ (Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1) ×ˢ Set.univ.pi fun x => ⇑measurableEquivPi ⁻¹' Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1
G : outParam (Type u_1)
P : Type u_2
AddGroup G
self : AddTorsor G P
g : G
p : P
⊢ g +ᵥ p -ᵥ p = g
G : Type u_1
Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
⊢ conjugatesOf a ⊆ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty = AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.Nonsingular P ↔
  W'.Equation P ∧
    (W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) ≠ 0 ∨
      2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 ≠ 0 ∨
        W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
            (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) ≠
          0)
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num
m n✝ n : ℕ
⊢ val 1 = 1 % n
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).support ⊆ p.support
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → CommSemiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
κ : Type u_5
s : Finset κ
x : κ → (i : ι) → A i
⊢ (PiTensorProduct.tprod R) (∏ k ∈ s, x k) = ∏ k ∈ s, (PiTensorProduct.tprod R) (x k)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
Neg β
h1 : Function.Periodic f c₁
h2 : Function.Antiperiodic f c₂
⊢ Function.Antiperiodic f (c₁ + c₂)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
β : Option ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : Option ι) → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : Option ι), SigmaFinite (μ i)
⊢ map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none)) = Measure.pi μ
α : Type u
self : OrderedSemiring α
a b c : α
⊢ a ≤ b → 0 ≤ c → a * c ≤ b * c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.BraidedFunctor D E
⊢ (F.comp G).ε = G.ε ≫ G.map F.ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
AddMonoid Y
ContinuousAdd Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ LocallyConstant.toContinuousMapAddMonoidHom f = ↑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
hy : x ≠ y
⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[{y}ᶜ] x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ ∀ (x : Q) (y : N), (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (lTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)
x : ℝ
⊢ (∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x) ↔ Liouville x
a b c : ℝ
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ 1
h₃ : c ≠ -1
⊢ Real.logb a c / Real.logb b c = Real.logb a b
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ p.smeval 0 = p.coeff 0 • 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i
h : (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i
i : ι
hi : i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂
⊢ x i ∈ t₁ i ∧ x i ∈ t₂ i
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
Module R₁ M₄
e : M₁ ≃L[R₁] M₂
e' : M₃ ≃L[R₁] M₄
⊢ ↑(e.prod e') = (↑e).prodMap ↑e'
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.extendId s).inv.hom = 𝟙 s.pt
M : Type u_1
DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ Set.center M
hb : b ∈ Set.center M
⊢ a / b ∈ Set.center M
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
Invertible b
Invertible (a * b)
⊢ ⅟(a * b) = ⅟b * ⅟a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ (s.weightedVSub p) (weightedVSubVSubWeights k i j) = p i -ᵥ p j
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
s : Set R
⊢ Subsemiring.map f (Subsemiring.closure s) = Subsemiring.closure (⇑f '' s)
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
⊢ ContinuousOn (toFun' e₁ e₂) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
a' : α
e : a = a'
β : Sort u_2
y : β
⊢ HEq y (e ▸ x) ↔ HEq y x
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
⊢ ((f * g) ∣[k1 + k2] A) x = ((↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A) x
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
EM : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace HM M
x : M
f : ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x)
⊢ f ∈ nonunits ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) ↔ f ∈ ↑(RingHom.ker (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x))
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Set α
B : Set β
f : α → β
⊢ f ⁻¹' B ⊆ A ↔ ∀ (a : α), f a ∈ B → a ∈ A
p q : ℝ
⊢ p.IsConjExponent q ↔ 1 < p ∧ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ n • s ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).sum = a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * (g x)⁻¹) l (𝓝 0)
R : Type u
X : Type v
CommRing R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
IsScalarTower S R R
t : S
a b : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X a b
⊢ FreeLieAlgebra.Rel R X (t • a) (t • b)
this : Tendsto (fun s => HurwitzZeta.hurwitzZetaEven 0 s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (HurwitzZeta.hurwitzZetaEven 0 1))
⊢ riemannZeta 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ Associated x (normalize x)
⊢ ⇑ENat.toNatHom = ENat.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a + c < b
⊢ c + a < b
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
f g : M → N
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (f + g) x y = QuadraticMap.polar f x y + QuadraticMap.polar g x y
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
⊢ ae (μ.restrict (s ∪ t)) = ae (μ.restrict s) ⊔ ae (μ.restrict t)
α : Type u_1
LinearOrder α
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x - f y ≤ (eVariationOn f s).toReal
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
F : Type u
K : Type v
Ring F
Ring K
Module F K
StrongRankCondition F
StrongRankCondition K
Module.Free F K
A : Type v
AddCommGroup A
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
Module.Free K A
⊢ Module.rank F K * Module.rank K A = Module.rank F A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
⊢ (CochainComplex.triangleOfDegreewiseSplit S σ).obj₁ = S.X₁
R : Type u_1
DivisionRing R
StarRing R
x : ℚ
⊢ IsSelfAdjoint ↑x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y = x ↔ Disjoint x y
u : PNat.XgcdType
⊢ u.reduce.v = u.v
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R
⊢ abv a - abv b ≤ abv (a + b)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
AddGroup n
v : n → α
⊢ (Matrix.circulant v).conjTranspose = Matrix.circulant (star fun i => v (-i))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (MvPolynomial.aeval P'.val) (f.toAlgHom x) = (algebraMap S S') ((MvPolynomial.aeval P.val) x)
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : a * c = b
⊢ a * c = b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ∀ b ∈ s, ⟨(p b) x, ⋯⟩ < a
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : ⊤.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl
⊢ (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 x).symm (HomogeneousLocalization.mk f) =
  ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩)
    (AlgebraicGeometry.sectionInBasicOpen 𝒜 x f)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (t.sup f)
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
TopologicalAddGroup α
x : α
h : x ≠ ↑⌊x⌋
⊢ ContinuousAt Int.fract x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ ⇑f fun v n => f.iteratedFDeriv n v
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
e : R ≃+* S
a : S[X]
⊢ (Polynomial.mapEquiv e).symm a = Polynomial.map (↑e.symm) a
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ G'.spanningCoe.deleteEdges s = (G'.deleteEdges s).spanningCoe
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
⊢ p 1 = 1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
hp : MeasureTheory.NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor f
⊢ IsUniversalColimit c
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
⊢ 𝔠 ≤ #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b)
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => (f ≫ g) x = i) Finset.univ, ↑h j = ↑(({ toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := toTopMap g, continuous_toFun := ⋯ }) h) i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
x : α
IsAntisymm α r
⊢ x ∈ minimals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r y x → x = y
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ -a < -b ↔ b < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
⊢ ⊤ ≤ p.radius
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ map Sigma.fst (eraseP (fun s => decide (a = s.fst)) l) = map Sigma.fst (eraseP (fun x => a == x.fst) l)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Function.Injective Subalgebra.toSubsemiring
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : ofArrows X f ∈ J.sieves S
E : A
x y : E ⟶ P.obj (op S)
h : ∀ (i : I), x ≫ P.map (f i).op = y ≫ P.map (f i).op
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
a b c : α
⊢ Finite a (c * b) → Finite a c
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.Exact ∧ CategoryTheory.Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ CategoryTheory.Epi S₂.g
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ p.support.Nonempty
α : Type u_1
t₁ t₂ : List α
s : List α
⊢ s ++ t₁ = s ++ t₂ ↔ t₁ = t₂
Y : Type u_1
TopologicalSpace Y
⊢ SimplyConnectedSpace Y ↔ PathConnectedSpace Y ∧ ∀ (x y : Y), Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
ht₂ : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Preorder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
this : Nonempty α
⊢ ∃ a' ≥ a, b ≤ u a'
α : Type u_2
Lattice α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
⊢ HasDerivAt Complex.Gammaℂ (-(↑γ + Complex.log (2 * ↑Real.pi)) / ↑Real.pi) 1
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
⊢ Subgroup.normalClosure rels ≤ (FreeGroup.lift f).ker
R : Type u
⊢ Function.Injective (@Semiring.toNonAssocSemiring R)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure s
hs : s.Nonempty
⊢ ContinuousAt (fun x => (infDist x s)⁻¹) x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
w₁ w₂ : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ w₁ = w₂ ↔ w₁.head = w₂.head ∧ w₁.toList = w₂.toList
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ
a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ
p q P✝ Q : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P✝
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
m n k : ℕ
hmk : m.le k
ih : findGreatest P m ≤ findGreatest P k
⊢ findGreatest P m ≤ findGreatest P k.succ
α : Type u_2
Mul α
a : Additive α
⊢ IsSquare (Additive.toMul a) ↔ Even a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ s ∩ t = (a ::ₘ s) ∩ (a ::ₘ t)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ HasDerivAt f (g x) x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ g ∘ₗ f = 0
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : e ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ ≫ eqToHom ⋯ = e ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
⊢ ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder α
l : Filter ι
l.NeBot
f : ι → α
x : α
hf : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i ≤ x
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s = closure t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : (fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : x = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
⊢ a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
⊢ (∀ (a : ↑X.affineOpens) (b : ↑a ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨a, b⟩)) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p