ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ IsAffineOpen (f ''ᵁ U) ↔ IsAffineOpen U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Monoid G
r : kᵐᵒᵖ
x : Gᵐᵒᵖ
⊢ MonoidAlgebra.opRingEquiv.symm (MonoidAlgebra.single x r) =
  MulOpposite.op (MonoidAlgebra.single (MulOpposite.unop x) (MulOpposite.unop r))
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ ↑μ * ↑ζ = 1
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ f ∈ closure ↑(boundedContinuousFunction E p μ)
α : Type u_2
Inv α
f : Filter α
⊢ f.NeBot → f⁻¹.NeBot
R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K✝
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ ∀ {d : Ideal R}, d ∣ J → d ∣ K → ¬Prime d
α : Type u_1
AddMonoid α
s : Set α
⊢ AddOpposite.op 0 +ᵥ s = s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → α
a : α
l : List β
H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ l → f a b = g a b
⊢ foldl f a l = foldl g a l
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≤ C
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ x, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic
hP : Splits (RingHom.id L) (map (algebraMap K L) P)
⊢ eval r (derivative (map (algebraMap K L) P)) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (op (basicOpen r)) = X.toΓSpecCApp r
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).lcm = GCDMonoid.lcm s₁.lcm s₂.lcm
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
a : α
s : Set M
⊢ a • Submonoid.closure s = Submonoid.closure (a • s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E
⊢ RCLike.im ⟪x, (LinearMap.adjoint T) (T x)⟫_𝕜 = 0
n : ℕ
⊢ n.smoothNumbers = Nat.factoredNumbers n.primesBelow
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ ∀ (a : ↥S.toSubsemiring), S.ringEquivOpMop a = MulOpposite.op (S.addEquivOp a)
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
C : ℝ
hφ : ‖φ‖ ≤ C
⊢ ‖NormedAddGroupHom.Equalizer.lift φ h‖ ≤ C
R : Type u_1
Mul R
a : R
h : IsSMulRegular R a
⊢ IsLeftRegular a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
J : Type u
LinearOrder J
j : J
F : CategoryTheory.Functor { i // i ≤ j } C
i : J
hi : i ≤ j
⊢ (CategoryTheory.Functor.Iteration.coconeOfLE F hi).pt = F.obj ⟨i, hi⟩
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
w : c.Rel i (c.next i)
⊢ (dNext i) f = C.d i (c.next i) ≫ f (c.next i) i
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
a : R
⊢ a ∈ Ideal.torsionOf R M x ↔ a • x = 0
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
⊢ Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1 ↔ i = j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (b - p) = toIcoMod hp a b
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
x : A
⊢ (NonUnitalAlgHom.inl R A B) x = (x, 0)
α : Type u
a : α
⊢ a ∈ {a}
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
⊢ PartialHomeomorph.refl H ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas H G
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ ∀ (a_1 : ℝ), (Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀) a_1 ≤ Ioc (a i) (b i) a_1
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ ↑(AddCircle.toCircle (n • ↑x)) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
h : g.comp f = id
m : M
hm : f m = 0
⊢ m = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
⊢ UpperSemicontinuousOn f Set.univ ↔ UpperSemicontinuous f
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop,
    |∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, ProbabilityTheory.truncation (X i) (↑i) ω -
          ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, ProbabilityTheory.truncation (X i) ↑i) a| <
      ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
n : ℕ
⊢ log (1 + (↑n + 1)⁻¹) < (↑n + 1)⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
⊢ (coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = (coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)
m n : ℕ+
⊢ ↑m = ↑n → m = n
x✝ : Unit
p : ℕ
⊢ List.map (fun n => Nat.rec Option.none (fun n_1 n_ih => rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) (unpair n).1) (fun n_2 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 n_2) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_2 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_2 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) (ofNat Code (unpair p).2)) (unpair p).1) (List.range (unpair p).1) = List.map (evaln (unpair p).1 (ofNat Code (unpair p).2)) (List.range (unpair p).1)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ z + f.toMap ↑(f.sec z).2 = f.toMap (f.sec z).1
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, b ≤ a
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ Injective (Subtype.coind (fun x => f ↑x) ⋯)
x : Prop
p : x = x → Prop
h : ∀ (he : x ↔ x), p ⋯
⊢ p ⋯
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
⊢ card (InfinitePlace K) = (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ).card * finrank k K + (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
⊢ Tendsto (fun i => (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)) atTop (𝓝 (1 - 0))
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → 𝕜
i : Set X
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f i μ
⊢ ↑(∫ (x : X) in i, RCLike.re (f x) ∂μ) + ↑(∫ (x : X) in i, RCLike.im (f x) ∂μ) * RCLike.I = ∫ (x : X) in i, f x ∂μ
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
this : CompleteSpace ↑↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
v : V
C : ℝ
C_pos : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
mem_w_orthogonal : 0 ∈ (range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮ
⊢ ⟪0, v⟫_ℝ = 0
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
h : M ≃+ N
x : M
⊢ h x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n
⊢ 0 + q = q ∧ ↑↑r = r
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 < r
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ < r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
n : ℕ∞
h : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
⊢ ContMDiffOn I I n (↑e) e.source
F : PFunctor.{u}
x : F.M
n : ℕ
⊢ x.head = PFunctor.Approx.head' (x.approx (n + 1))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
L R : Type v
fst snd : L → R
X : CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan fst snd
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.Hom.id X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
self : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ r ≤ p.radius
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
s : Finset (ι × ℝ)
hs : ∀ π ∈ {π₁, π₂}, π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ s
z : F
hz : z ∈ ball y (ε / C)
w : E
wim : f w = z - y
wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖
this✝ : f (x + w) = z
this : x + w ∈ ball x ε
⊢ f (x + w) ∈ ⇑f '' s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ b (min_bi b) / 2 < 1
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : BaireSpace X
inst✝ : Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ
hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)
hgd : Dense (⋂ i, g i)
x : X
hxs : x ∈ s
hxg : x ∈ ⋂ i, g i
⊢ x ∈ ⋃ i, interior (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
⊢ Ideal.map f I.radical = (Ideal.map f I).radical
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift M
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift M
⊢ f.map (F ⋙ G) = (f.map F).map G
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = (((dNext i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + (prevD i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + ((F.mapHomologicalComplex c).map g).f i
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty
⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) ≤ min (fract x) (1 - fract x)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
⊢ (iSup f)ᶜᶜ = (⨅ i, (f i)ᶜ)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
b : β
lc : Filter γ
g : lc.Germ α
hg : g.Tendsto l
⊢ (↑b).compTendsto' g hg = ↑b
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
⊢ φ ∈ p ∨ FirstOrder.Language.Formula.not φ ∈ p
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ A *ᵥ A.cramer b = A.det • b
α : Sort u_2
a b c : α
⊢ a = c → b = c → a = b
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h' * h₂') x L
ι : Type u_1
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ Cardinal.mk ι ∨ ∃ i, 3 ≤ Cardinal.mk (H i)
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
w : Monoid.CoprodI.Word H
h : (Monoid.CoprodI.lift f) w.prod = 1
⊢ w = Monoid.CoprodI.Word.empty
R : Type u
CommRing R
x y : R
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {x})) y = 0 ↔ x ∣ y
G : Type u_1
AddCommMonoid G
tG : AddMonoid.IsTorsion G
a : G
⊢ tG.torsionAddEquiv.symm a = ⟨↑(AddSubmonoid.topEquiv.symm a), ⋯⟩
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝² : Denumerable α✝
inst✝¹ : Denumerable β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Denumerable α
e : β ≃ α
n : ℕ
this : Denumerable β := ofEquiv α e
⊢ decode n = some (e.symm (ofNat α n))
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
⊢ f.graph.topologicalClosure ≤ g.graph.topologicalClosure
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : PosNum
⊢ ↑↑n = ↑n
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length w = cs.length w⁻¹
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂
hw₂'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₁.head • ↑(toSubgroup A B (-u))
hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₂.head • ↑(toSubgroup A B (-u))
⊢ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₂.head • ↑(toSubgroup A B (-u))
M : Type u_1
A : Type u_4
AddZeroClass A
DistribSMul M A
a : M
b₁ b₂ : A
⊢ a • (b₁ + b₂) = a • b₁ + a • b₂
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ) ((GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ).symm x) = x
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M →+ N
⊢ ↑(Finsupp.mapRange.addMonoidHom f) = Finsupp.mapRange.zeroHom ↑f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ 1 < card α ↔ ↑1 < #α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (z - y)
hzx : z - x = b • (z - y)
⊢ 0 ∈ [-x + y-[𝕜]-x + z]
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0
x : k
hx : eval x (map (↑e.symm) p) = 0
⊢ e.symm (eval (e x) p) = eval x (map (↑e.symm) p)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 = P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3
⊢ (u • P) 1 ^ 2 * (u • P) 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 * (u • P) 2 + W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ^ 2 = (u • P) 0 ^ 3 + W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 ^ 2 + W.a₆ * (u • P) 2 ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).H = h.H
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
⊢ log (1 + z) = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 + t • z)⁻¹
α : Type u_1
N : Type u_6
CommMonoid N
f : α → N
a : α
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ f a ∣ finprod f
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α → β
g : γ → β
⊢ ∑ x ∈ s.disjSum t, Sum.elim f g x = ∑ x ∈ s, f x + ∑ x ∈ t, g x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
f : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H)
⊢ ↑((AddSubgroup.MemRightTransversals.toEquiv ⋯) q) = f q
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ z ⊓ y \ x = ⊥ ↔ z ≤ x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
h : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → ∃ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∉ V
hV : V ∈ 𝓝 0
⊢ False
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
⊢ a.neg = ↑(-a)
n m : ℕ
hm✝ : n ≠ m
hm : n < m
⊢ (1 &&& 2 ^ n / 2 ^ m != 0) = false
o : WellOrder
⊢ { α := o.α, r := o.r, wo := ⋯ } = o