ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b x : β
⊢ (∃ a ∈ s, ∃ (h : (f a).Dom), (f a).get h = x) ↔ ∃ a, ∃ (hp : a ∈ s) (hq : (f a).Dom), (f a).get ⋯ = x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t₁ t₂ : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
h : Disjoint (t₁ a) (t₂ a)
⊢ Disjoint (Fintype.piFinset t₁) (Fintype.piFinset t₂)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
⊢ ⇑h '' Metric.ball x r = Metric.ball (h x) r
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
⊢ ∀ {g : α → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
m n : ℕ
⊢ m < 1 <<< n → m.size ≤ n
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : b = 0 → a = 0
⊢ a * b / b = a
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
C : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)
mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)
a : CliffordAlgebra Q
⊢ C a
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
⊢ x ∈ D → ∀ y ∈ D, x ≤ y → C * (y - x) ≤ f y - f x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a, f a = b
⊢ f (invFun f b) = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (deriv f) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n
this : ∑ i' : m, (if i = i' then 1 else 0) * M i' j = M i j
x✝ : m
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 x✝ = if i = x✝ then 1 else 0
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
n : ℕ := addOrderOf u
m : ℕ
hm : ↑(↑m / ↑(addOrderOf u) * p) = u
⊢ ∃ k, ‖u‖ = p * (↑k / ↑n)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
α : Type u_5
H : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
g : α → E
h : α → F
l : Filter α
⊢ (fun x => f (g x, h x)) =O[l] fun x => ‖g x‖ * ‖h x‖
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
⊢ iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (f i)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k
⊢ ((((((AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂ = (((((((AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ matPolyEquiv (M.map ⇑Polynomial.C) = Polynomial.C M
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (id '' s)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
  Filter.Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) Filter.atTop Filter.atTop ↔
    Filter.Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) Filter.atTop Filter.atTop
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hnp).support = p.support.tail
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
(i : ι) → PartialOrder (α' i)
(i : ι) → OrderTop (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ Codisjoint f g ↔ ∀ (i : ι), Codisjoint (f i) (g i)
D : GlueData
i j : D.J
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' Set.range ⇑(D.ι i) = Set.range ⇑(D.f j i)
R : Type u_1
CommRing R
⊢ ↑ArithmeticFunction.zetaUnit⁻¹ = ↑ArithmeticFunction.moebius
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
IsIntegrallyClosed A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((Algebra.traceForm K L).dualBasis ⋯ b))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] Function.const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ∀ (a a_1 : SetTheory.PGame), a.IsOption a_1 ↔ (∃ i, a = a_1.moveLeft i) ∨ ∃ i, a = a_1.moveRight i
α : Type u_1
p : α → Bool
l l' : List α
h✝ : l <+~ l'
xs : List α
hp : xs ~ l
h : xs <+ l'
⊢ List.filter p l <+~ List.filter p l'
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
this : ∀ (x : ↑s), ∃ u, IsOpen u ∧ ↑x ∈ u ∧ IntegrableOn f (u ∩ s) μ
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (p.update n a).support = insert n p.support
G : Type u
AddCommMonoid G
hG : AddMonoid.ExponentExists G
⊢ ∃ g, addOrderOf g = AddMonoid.exponent G
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
f : α → β
⊢ (PFun.toSubtype p f).Dom = {a | p (f a)}
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero X
⊢ 0 = biprod.fst
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Nonempty (Unique (M ⧸ p)) ↔ p = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
f : (a : α) → a ∈ s → β
g : (a : α) → a ∉ s → β
⊢ (s.restrict fun a => if h : a ∈ s then f a h else g a h) = fun a => f ↑a ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ
⊢ (map φ φ (𝟙 K) (𝟙 L) ⋯).f n = (𝟙 (mappingCone φ)).f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ o.bmex f ∉ range (o.familyOfBFamily f)
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t
⊢ min p q ≤ q
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
ℋ : Set C
h𝒢ℋ : 𝒢 ⊆ ℋ
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating ℋ
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M x
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
this : x ∈ s
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U ∈ 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ≤ 2 * (‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ Real.log √x = Real.log x / 2
α : Type u_1
f g h : Perm α
⊢ f.Disjoint g⁻¹ ↔ f.Disjoint g
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
this : x ∈ ⨆ i, f i → ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => Max.max (f a) (g a)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ S.fromLeftInv ((S.leftInvEquiv hS).symm x) = x
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
⊢ M ↾ R₁ ↾ R₂ = M ↾ R₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
⊢ (deriv fun x => c) = fun x => 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
FiniteDimensional F E
⊢ (IntermediateField.fixedField H).fixingSubgroup = H
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).Φ n = Polynomial.map f (W.Φ n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ (s.weightedVSub p) (Finset.weightedVSubVSubWeights k i j) = p i -ᵥ p j
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁷ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁶ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁵ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝⁴ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
inst✝ : G.IsEquivalence
⊢ (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).IsEquivalence
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
⊢ f = AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
⊢ Function.Injective HahnSeries.coeff
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
  μ Set.univ / (μ Set.univ + ν Set.univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ +
    ν Set.univ / (μ Set.univ + ν Set.univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
⊢ ⋃ x ∈ s, Ici x = Ioi a
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ p.removeZero n = p n
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
⊢ IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧ ↔ P1 (x.moveLeft i) x (x.moveLeft j) y (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.id h).left = CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.id h.left
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom
⊢ F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = (app X ≫ F₂.map e.hom) ≫ F₂.map e.inv
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
e₁ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₂ : M₂ ≃SL[σ₂₃] M₃
⊢ (e₁.trans e₂).toLinearEquiv = e₁.trans e₂.toLinearEquiv
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
f : E → ℝ
a b : E
f' : ℝ
h : IsLocalMax f a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
⊢ f' = 0
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y
⊢ x ≤ y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ h.left.φH ≫ h₂.iso.hom = h₁.iso.hom ≫ h.right.φH
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
j : Nat
v : α
⊢ (a.set i v)[j]? = if ↑i = j then some v else a[j]?
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x y : ↑s
⊢ x < Nat.Subtype.succ y ↔ x ≤ y
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ IsMin a ↔ a = ⊥
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S : Set (Projectivization K V)
W : Projectivization.Subspace K V
hS : S ⊆ ↑W
hW : W ≤ Projectivization.Subspace.span S
⊢ Projectivization.Subspace.span S = W
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
p : β → Prop
f : (b : β) → p b → α
a : β
l : List β
ihl : ∀ (h : ∀ (x : β), x ∈ l → p x), Pairwise R (pmap f l h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l
h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x
left✝ : p a
hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b
⊢ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l → ((∀ (a' : α) (x : β) (h_1 : x ∈ l), f x ⋯ = a' → R (f a ⋯) a') ↔ ∀ (a' : β), a' ∈ l → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p a'), R (f a h₁) (f a' h₂))
K : Type u_1
M : Type u_3
CommRing K
CommRing M
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar M p
PerfectRing M p
⊢ PerfectRing.lift (RingHom.id K) j p = j
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a ≤ a / b ↔ b ≤ 1
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
α : Type u_1
ι : Type u_3
f : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsPreconnected s ↔ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ dist (∑ k ∈ Finset.range n, u k) (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) = ‖u n‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n y) (fun y => f (x + y)) atTop (Metric.ball 0 ↑r')
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B))) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)))
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (loopHomeo (Classical.arbitrary N)).symm (Path.trans ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv q) ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv p)) ≈ fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.trans (toLoop (Classical.arbitrary N) q) (toLoop (Classical.arbitrary N) p))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
la : Filter α
lb : Filter β
f : α → Filter β
⊢ Tendsto f la (𝓝 lb) ↔ ∀ s ∈ lb, ∀ᶠ (a : α) in la, s ∈ f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ ((∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x) ↔ (∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᵐ[μ] r • ν.rnDeriv μ
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : ∃ x', e (some x) = some x'
⊢ some (e.removeNone_aux x) = e (some x)
⊢ {x | Liouville x} ⊆ {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ ν : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
⊢ (μ + ν) ⊗ₘ κ = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
⊢ s.prod = 0
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V W : Type u
AddCommGroup V
AddCommGroup W
Module k V
Module k W
ρ : Representation k G V
τ : Representation k G W
x : TensorProduct k V W
⊢ (ρ.repOfTprodIso τ).hom.hom x = x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
sc_st : HasSeparatingCover s₂ t₂
s_sub : s₁ ⊆ s₂
t_sub : t₁ ⊆ t₂
⊢ HasSeparatingCover s₁ t₁
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
hw : dist z z ≤ r
⊢ (norm ∘ f) z = Function.const E ‖f z‖ z
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ (f.map ⋯ f) z = z
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)) = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ derangements.Equiv.RemoveNone.fiber none = ∅