ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X = id
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ range ⇑(algebraMap R K)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
r : ℝ
⊢ (↑(NumberField.canonicalEmbedding.integerLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsUpperSet s → IsUpperSet (closure s)
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
c : C
⊢ (StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.counit p₀).app c = (skyscraperPresheafStalkOfSpecializes p₀ c ⋯).hom
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}
⊢ ↑M ⊨ Formula.not φ
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h1 : g =o[𝓝[s] x] g'
h2 : g x = 0
⊢ g =o[𝓝[insert x s] x] g'
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ -↑p = ↑p
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
s : Set B
hp : s ⊆ ↑p
x : B
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ p
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
x : DirectSum ι fun i => A i
⊢ 1 * x = x
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ n.descFactorial k = n.factorial / (n - k).factorial
R✝ : Type u_1
inst✝² : Semiring R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f g : R[X]
f0 : ¬f = 0
g0 : ¬g = 0
⊢ (f * g).reverse = f.reverse * g.reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in cofinite, p x) ↔ {x | p x}.Infinite
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
A : Tendsto (fun n => ⌊c ^ n⌋₊) atTop atTop
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝¹ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this✝ : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
this : #↑s = #↑t
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h₃ : S₃.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
ψ' : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ' h₂ h₃
⊢ (ψ.comp ψ').right = ψ.right.comp ψ'.right
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
y : β
h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map f s.val, Commute y x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ ((cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯).op ≫ kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop = (𝟙 (kernel f.op)).unop
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
M₀ : Type u_1
CommSemigroup M₀
Zero M₀
IsRightCancelMulZero M₀
⊢ IsLeftCancelMulZero M₀
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ (∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS) ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Set.range ⇑f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β → α} {b : α}, List.foldl f b List.nil = b
M : Type u_1
Monoid M
a : M
x y : Mˣ
⊢ SemiconjBy a ↑x⁻¹ ↑y⁻¹ ↔ SemiconjBy a ↑x ↑y
α : Type u_1
f : ℕ → α
⊢ {f 0} ∪ Set.range (f ∘ Nat.succ) = Set.range f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable (-f) p μ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
h₄ : f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯ = π₃ ≫ π₂ ≫ f₁
⊢ f₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.singularPart ν).restrict s ⟂ₘ ν
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n)
⊢ ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ map m f = ⊥ → f = ⊥
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
⊢ ∀ (i : ι), (X' i).Nonempty
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
f : M → N
g : N → P
Zero P
h1 : g ∘ f = 0
h2 : ∀ (x : N), g x = 0 → x ∈ Set.range f
⊢ Function.Exact f g
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : A
⊢ (↑𝕜 a).toProd.2 = (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A).flip a
r : ℝ
⊢ Real.sinh r = ∑' (n : ℕ), r ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ (convexHull R) s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ hs.toFinset, w y = 1 ∧ hs.toFinset.centerMass w id = x}
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ (1 / y)) ^ y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
⊢ c ≤ a - b ↔ b + c ≤ a
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsTerminal X
hY : IsTerminal Y
f : X ⟶ Y
⊢ hX.from Y ≫ f = 𝟙 Y
α : Type ua
UniformSpace α
d : Set (α × α)
s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d}
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.comap f ⊤ = ⊤
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0
h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
⊢ d ∣ n
a b c d : ℕ
lr₂ : 3 * (b + c + 1 + d) ≤ 16 * a + 9
mr₂ : b + c + 1 ≤ 3 * d
mm₁ : b ≤ 3 * c
⊢ b < 3 * a + 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, (Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∨ Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)) ∧ #↑N = κ
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : Lagrange.basisDivisor x y = 0
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeSup β
f : α → β
h : Antitone f
x y : α
⊢ f x ⊔ f y ≤ f (x ⊓ y)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ Splits (algebraMap K L) (cyclotomic (↑n) K)
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝² : FunLike F R S✝
inst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
c : M'
x : M
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ↑I' (↑(chartAt H' c) c)) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Filter.Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
x : α
⊢ x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
β : Type v
Primcodable β
Inhabited β
p : Set α
q : Set β
⊢ toNat p ≤₀ toNat q ↔ p ≤₀ q
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ ∃ f, f.IsCycleOn ↑s ∧ f.support ⊆ s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 s ∪ intrinsicInterior 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
hs : s.Nontrivial
⊢ s ≠ {a}
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => x * Real.log x) {0}ᶜ
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
x : E
⊢ Metric.thickening ε (Metric.ball x δ) = Metric.ball x (ε + δ)
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ LipschitzWith 1 norm
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ (KaehlerDifferential.derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ
    Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(KaehlerDifferential.D R S) =
  (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.invRotate.mor₂ = T.mor₁
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
u v : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ u = v ↔ ⟪↑u, ↑v⟫_ℝ = 1
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSMul G α
c : G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.smul c) = fun x => c • x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
R : Type u
ι : Type v
CommRing R
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
(i : ι) → LieAlgebra R (L i)
DecidableEq ι
j : ι
a : L j
⊢ (DirectSum.lieAlgebraOf R ι L j) a = (DirectSum.of L j) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hg : g ≠ 0
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ deriv (⇑e) x = e 1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
g₁ g₂ : LatticeHom β γ
f : LatticeHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : Rˣ
a : A
⊢ r • resolvent a ↑r = resolvent (r⁻¹ • a) 1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ U.topIso.hom = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso' F).inv = (S₁.mapHomologyIso' F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_7
AddCommMonoid M'
Module R M'
f g : M →ₗ[R] R
l r : M' →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.BilinForm.linMulLin f g).comp l r = LinearMap.BilinForm.linMulLin (f ∘ₗ l) (g ∘ₗ r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
⊢ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
α✝ : Type u
inst✝⁵ : Group α✝
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : CovariantClass α✝ α✝ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a / b ≤ b / a ↔ a ≤ b
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP p s = Multiset.card (Multiset.filter p s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ m ∈ {x | (fun c => edist (f n) (f c) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)) x}
⊢ Antitone fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
a b c : α
hab : AntisymmRel r a b
hbc : AntisymmRel r b c
⊢ AntisymmRel r a c
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ 0 < (minpoly A x).natDegree
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone Prod.fst
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
x✝ : X
⊢ f x✝ = (Setoid.quotientKerEquivOfSurjective ⇑f ⋯) (Quotient.mk' x✝)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotationAux₁ =
  let to_dual := (InnerProductSpace.toDual ℝ E).toLinearEquiv ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap.symm;
  ↑to_dual.symm ∘ₗ o.areaForm
α : Type u_1
l : List α
⊢ FreeMonoid.toList (FreeMonoid.ofList l) = l
ξ : ℝ
⊢ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite ↔ Irrational ξ
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
⊢ Continuous ⇑F
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : K
⊢ ‖(NumberField.InfinitePlace.embedding_of_isReal hw) x‖ = w x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
hterm : seminormFromConst_seq c f (c * x) = fun n => f c * seminormFromConst_seq c f x (n + 1)
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (c * x)) atTop (𝓝 (f c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
⊢ m ∣ n
u : Lean.Level
α : Q(Sort u)
a : Q(«$α»)
⊢ «$a» =Q «$a»
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.asEmptyCone X).pt = X
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Monotone f
n a : ℤ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
eq : γ₁ = γ₂
⊢ γ₁.φH = γ₂.φH
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z✝ : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A Z : C
f g : Z ⊗ tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
hZ : HasLeftTensor₃ObjExt Z X₁ X₂ X₃ j
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ ∀ (j_1 : Discrete ↑(r₁₂₃ ⁻¹' {j})), (((curriedTensor C).obj Z).mapCocone (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).ι.app j_1 ≫ f = (((curriedTensor C).obj Z).mapCocone (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).ι.app j_1 ≫ g
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).preΨ₄ = Polynomial.map f W.preΨ₄
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
g : ℕ → E := fun n => c • f n
A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r
x : E
left✝ : x ∈ closedBall 0 r
φ : ℕ → ℕ
φmono : StrictMono φ
φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)
B : CauchySeq (g ∘ φ)
N : ℕ
hN : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → dist ((g ∘ φ) n) ((g ∘ φ) N) < ‖c‖
⊢ ‖c‖ < ‖c‖
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
α : Type u_1
B : Set (Set α)
h : B.Countable
⊢ (⨅ s ∈ B, 𝓟 s).IsCountablyGenerated
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.outer (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
⊢ map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime}
α : Type u_2
CommGroup α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).alternatingProd = a / l.alternatingProd
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ENNReal
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.ae (c • μ) = MeasureTheory.ae μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ.fst a) univ).toReal)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (R.map (L.map (h.unit.app (R.obj X)))) = L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj (R.obj X))))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
⊢ F.ReflectsEpimorphisms ↔ G.ReflectsEpimorphisms
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i
⊢ ↑⌊(algebraMap ℤ K) z⌋ = (algebraMap ℤ K) z
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
F : Type u_7
α : outParam (Type u_8)
AddGroup α
FunLike F α ℝ
self : NonarchAddGroupSeminormClass F α
f : F
⊢ f 0 = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
⊢ {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0} ⊆ {a | μ {x | a < f x} = 0}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (S.map F).X₃ = F.obj S.X₃
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ p ∣ a → ∃ q ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a, p ~ᵤ q
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ IsIntegral K x ↔ IsIntegral K ↑x