ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (y : M), (B (v.repr.symm vi)) y = 0
i : n
⊢ vi i = 0 i
α : Type u_5
β : Type u_6
self : PartialEquiv α β
x : β
⊢ x ∈ self.target → ↑self (self.invFun x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
Nonempty ι
NormedField 𝕜
NormedSpace ℝ 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ LocallyConvexSpace ℝ E
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c < b
⊢ False
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ Equicontinuous Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ (toMultiset 0).toFinset = support 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
⊢ eLpNorm (f_lim - f N) p μ + eLpNorm (f N) p μ < ⊤
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
C : ℝ
h : ‖f‖ ≤ C
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffOn I' I n f s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / c) s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ hausdorffDist s t = 0 ↔ s = t
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ Subgroup.center G
hH : Group.IsNilpotent H
⊢ Group.nilpotencyClass G ≤ Group.nilpotencyClass H + 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ f a - f ((insert k s).piecewise b a) = ∑ i ∈ insert k s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
P : Ideal R
q : R[X]
c : (R ⧸ P)[X]
hq : Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk P) q = c * Polynomial.X ^ n
hn0 : n ≠ 0
⊢ Polynomial.eval 0 q ∈ P
α : Type u_2
I : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
z : α
s : I → α
Fintype I
Hs : Pairwise (IsRelPrime on s)
Hs1 : ∀ (i : I), s i ∣ z
⊢ ∏ x : I, s x ∣ z
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x y : 𝔸
h : Commute x y
⊢ Commute x (exp 𝕂 y)
α : Type u
AddCommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a + -b < c ↔ a < b + c
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
this : ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ AssociatorBimod.homAux M' N P
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
⊢ IsRadical 0 ↔ ∀ (x : R) (x_1 : ℕ), 0 ∣ x ^ x_1 → 0 ∣ x
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
β₀ β₁ β₂ : Type u
g₀ : β₀ → β₁
g₁ : β₁ → β₂
⊢ (TypeVec.id ::: g₁ ∘ g₀) = TypeVec.comp (TypeVec.id ::: g₁) (TypeVec.id ::: g₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
k : α
v : β
h : m.size = m.buckets.size
⊢ (m.insert k v).size = (m.insert k v).buckets.size
z : ℂ
⊢ Complex.abs (Complex.exp z) = Real.exp z.re
x nx z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x nx → Nat.fib nx = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (Nat.fib x) z
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ {a} + s ∩ t = ({a} + s) ∩ ({a} + t)
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x y : DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele
⊢ (x + y).IsFiniteAdele
α : Type u
l l' : List α
⊢ [] ~r l ↔ [] = l
α : Sort u
self : Subsingleton α
a b : α
⊢ a = b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
⊢ P ≈ Q
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
⊢ tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i)
α : Type u
Add α
a b c d : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hd : d ≠ ⊥
hab : a < b
hcd : c ≤ d
⊢ a + c < b + d
X : Type u_2
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
self : Urysohns.CU P
⊢ IsOpen self.U
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : R
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f₁ s x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p => p.1 * p.2
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : f ∈ skewAdjointSubmodule B
hg : g ∈ skewAdjointSubmodule B
⊢ ⁅f, g⁆ ∈ skewAdjointSubmodule B
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.finSepDegree F ↥⊥ = Field.finSepDegree F E
θ : Angle
⊢ θ.toReal < 0 ↔ θ.sign = -1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
this : ↑hv.totalEquiv l = x
⊢ hv.repr x = l
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ HasFDerivAt Inv.inv (-((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹) x
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
⊢ W₂.Q ⋙ Construction.lift (prodLift₁ F hF).flip ⋯ = (prodLift₁ F hF).flip
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ x ∈ EMetric.closedBall y ε ↔ y ∈ EMetric.closedBall x ε
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
⊢ (A * B * C).card * A.card + (A * B).card * A.card - (A' * B).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
μ : YoungDiagram
i : ℕ
c : ℕ × ℕ
⊢ c ∈ μ.row i ↔ c ∈ μ ∧ c.1 = i
k : ℤ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(0 0) * z + ↑(0 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
⊢ ContinuousOn ENNReal.toReal {a | a ≠ ⊤}
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
⊢ ((LieAlgebra.ad K L) x).IsSemisimple
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)
⊢ (∀ (j : WalkingParallelPair), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ P.parts = ∅ ↔ a = ⊥
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : Fin n → ℂ
R θ : Fin n → ℝ
⊢ torusMap c R θ = c ↔ R = 0
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ a = x ^ b
hlt : b < a
⊢ x ^ (a - b) = 1
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed s ∧ IsNowhereDense s ↔ IsOpen sᶜ ∧ Dense sᶜ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ a ∈ (List.ofFn f).prod ↔ ∃ l', (List.map (fun x => ↑x.snd) l').prod = a ∧ List.map Sigma.fst l' = List.ofFn f
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Inducing ⇑DomAddAct.mk
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ
this : b ∣ d * a
⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => max (f x) a
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.tan (↑n * Real.pi - x) = -Real.tan x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (f₂ x).2) s x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
i : Fin2 n
u : α i
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)
⊢ p i u
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
h : f ∈ S.arrows c d
⊢ d ∈ S.objs
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
ι : Type v
inst✝ : Finite ι
hfp : ∃ ι x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ ∃ ι_1 x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo f (EMetric.closedBall x r) (EMetric.closedBall (f x) r)
α : Type u
IntCast α
n : ℤ
⊢ { down := ↑n } = ↑n
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
l : Combinatorics.Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
⊢ ↑l x i = Sum.elim id x (l.idxFun i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
A B : CategoryTheory.Limits.Cocone F
self : CategoryTheory.Limits.CoconeMorphism A B
j : J
⊢ A.ι.app j ≫ self.hom = B.ι.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ Function.support ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs f (MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0)) =
  s ∩ Function.support ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a (insert a s)ᶜ = sᶜ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
x : α
⊢ h.connectedComponentsLift (ConnectedComponents.mk x) = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Quiver.Path X Y
g : Quiver.Path Y Z
⊢ CategoryTheory.composePath (f.comp g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.composePath f) (CategoryTheory.composePath g)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A✝ : Type u_2
inst✝² : AddGroup A✝
N : Type u_3
inst✝¹ : Group N
A : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne A
a : A
⊢ a ∈ (castAddHom A).range ↔ a ∈ AddSubgroup.zmultiples 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)
hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)
h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)
h₁ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (M * r' i) (s i)
h₂ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ r i ≤ 0 → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (r i) (s i)
hp : p = fun i => p i ∧ 0 < r i ∨ p i ∧ r i ≤ 0
⊢ ((blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ⊔ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0) =ᶠ[ae μ] (blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ⊔ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ u • v = -v ↔ ↑u < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Monoid γ
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
DistribMulAction γ α
ContinuousConstSMul γ α
f : β → α
T2Space α
b : γ
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : β), b • f i = b • ∑' (i : β), f i
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ ¬p.natDegree = 0
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]
⊢ x ∈ ?succ.intro.n.primeFactorsList
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥
⊢ ⊤ < ⊤
a b c : UInt64
⊢ a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
CompleteSpace E
K : ProperCone ℝ E
⊢ K.dual.dual = K
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t
this : t ≤ G.degree v
⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
a : A
ha : (spectrum 𝕜 a).Nonempty
n : ℕ
⊢ spectrum 𝕜 (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' spectrum 𝕜 a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
self : F.EffectivePresentation X
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi self.f
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ h.symm.toHomotopyEquiv = h.toHomotopyEquiv.symm
a b c : Prop
h : a → (b ↔ c)
⊢ a → b ↔ a → c
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
self : IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : Associates α
⊢ a ≤ a * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
v : Fin n → E
z : E
⊢ p.applyComposition c (Function.update v j z) =
  Function.update (p.applyComposition c v) (c.index j)
    ((p (c.blocksFun (c.index j))) (Function.update (v ∘ ⇑(c.embedding (c.index j))) (c.invEmbedding j) z))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E
⊢ B ⊆ E → InjOn f B
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)
⊢ map (fun x => x + a) (0 :: map (fun x => x + 1) L₀) = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) = ⋃ a ∈ s, Set.Ici a
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C))
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ upperClosure ↑s
⊢ s.truncatedInf a = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
x✝ : P
⊢ (reflection s).symm x✝ = (reflection s) x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
⊢ ∀ (s : Multiset α), s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ b * (a / b) ≤ a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }