ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ (fun x => x.1 / x.2) '' s ×ˢ t = s / t
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
⊢ (if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ f.image s ⊆ f.image t
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ Ico a b + Ico b c = Ico a c
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
A : ∑ j ∈ range K, ∫ (x : ℝ) in ↑j..↑N, 1 ∂ρ ≤ (∫ (a : Ω), X a) + 1
B : ∀ (a b : ℝ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc a b} = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Set.Ioc a b, 1 ∂ρ)
⊢ ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
hx : x ∈ A
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toContinuousLinearEquiv = g.toContinuousLinearEquiv ↔ f = g
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ = s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ s₂ ⊆ s₁
⊢ CategoryTheory.IsSkeletonOf NonemptyFinLinOrd SimplexCategory SimplexCategory.skeletalFunctor
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
c : α
h : a ≤ b
⊢ max c a ≤ max c b
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Interval α
⊢ ↑(Interval.dual s) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' ↑s
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
⊢ (HNNExtension.lift f x hx) HNNExtension.t = x
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s ∩ t =ᶠ[l] s ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s → x ∈ t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : ℝ
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, c ≤ C ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → dist x y ≤ C
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
M : Type u_1
Monoid M
a : M
u : Mˣ
⊢ Commute a ↑u → Commute a ↑u⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Faithful
(CategoryTheory.constantSheaf J A).Full
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
F : CategoryTheory.Sheaf J A
X : A
i : F ≅ (CategoryTheory.constantSheaf J A).obj X
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsDiscrete J ht F
M : Type u
AddZeroClass M
⊢ (fun x => x + 0) = id
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
⊢ (𝟙 P).hom = 𝟙 P.presheaf
M : Type u_1
N : Type u_2
σ : Type u_4
Add M
Add N
SetLike σ N
AddMemClass σ N
f : AddHom M N
S : σ
h : ∀ (x : M), f x ∈ S
n : M
⊢ ↑((f.codRestrict S h) n) = f n
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝¹ : Coreflective j
A : D
inst✝ : IsSplitEpi ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
ε : coreflector j ⋙ j ⟶ 𝟭 D := (coreflectorAdjunction j).counit
this✝ : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))
this : Mono (ε.app A)
⊢ A ∈ j.essImage
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
⊢ c = f.cycleOf a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
⊢ ∀ (a : γ), ↑(e.transPartialEquiv f').symm a = e.symm (↑f'.symm a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : G.obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).inv.app a (Sum.inr x) = CategoryTheory.Limits.coprod.inr.app a x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ (Unitization.splitMul 𝕜 A) x = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A) x.snd)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} D₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.CatCommSq G L₁ L₂ G'
CategoryTheory.CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁
⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').unit.app (L₁.obj X₁) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map (adj.unit.app X₁))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁))
      (F'.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff x_1) * (f p.leadingCoeff * x) ^ x_1 = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff x_1) * x ^ x_1)
X Y Z : Type u
x : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ ((α_ X Y Z).inv x).1.1 = x.1
m n : ℤ
⊢ |↑m - ↑n| = ↑|m - n|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ sSup ((fun x => LieSubmodule.lieSpan R L {x}) '' ↑N) = N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ GaloisConnection (CategoryTheory.Sieve.pushforward f) (CategoryTheory.Sieve.pullback f)
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ∀ (x_1 : J) (x_2 : F.obj x_1), ¬t.ι.app x_1 x_2 = x
⊢ False
R : Type w₁
A : Type w₂
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.FinitePresentation R A
⊢ ∃ n f, Function.Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T : L.Theory
⊢ M ⊨ T ↔ T ⊆ L.completeTheory M
o : ONote
b₁ b₂ : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
eb b : Ordinal.{0}
h₁ : e.NFBelow eb
h₂ : a.NFBelow e.repr
h₃ : e.repr < b
a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → e.NFBelow b₂
a_ih✝ : e.repr ≤ b₂ → a.NFBelow b₂
bb : b ≤ b₂
⊢ a.NFBelow e.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : s.Nonempty → Set β
⊢ ⋃ (h : s.Nonempty), t h = ⋃ x, ⋃ (h : x ∈ s), t ⋯
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
H : 1 ≤ a
k : ℕ
⊢ 1 ≤ a ^ k * a
r : ℝ
hz : r.sign = 0
⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c < d
⊢ Set.Ioo a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc b c)
R : Type u_1
CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (f + g) p) n = (f * g) n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
s : Set M
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
⊢ UniqueMDiffWithinAt I s x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R n = 2 * X * U R (n - 1) - U R (n - 2)
x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ (starRingEnd ℂ) x ≠ 0
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ UniformSpace.comap (⇑h) inst✝ = inst✝¹
n p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
⊢ x ^ p ^ n = x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
⊢ ‖(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
⊢ G.FarFromTriangleFree ε
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ ∅, Monotone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ ∅, f i j = ⨅ i ∈ ∅, ⨆ j, f i j
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
p q : I
hp : c.Rel p (c.next p)
⊢ c.next (p + q) = c.next p + q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, V) n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, V) n (fun p => f p • g p) s x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0
⊢ F[X]
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f ⊤
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b
⊢ (fun x => rexp ((f x).arg * (g x).im)) =Θ[l] fun x => 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i => 0) = 0
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ ¬G ≈ 0 ↔ G.Fuzzy 0
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
α β : Type v
f : Functor.Comp F G (α → β)
x : Functor.Comp F G α
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x).run = Seq.seq ((fun x x_1 => Seq.seq x fun x => x_1) <$> f.run) fun x_1 => x.run
α : Type u
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (Mathlib.Vector.cons a v).tail = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
⊢ card α = 0 ↔ IsEmpty α
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ f (⨆ a ∈ s, a) ≤ ⨅ a ∈ s, f a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
⊢ ⨅ x, 𝓟 (Ici {x}) ≤ atTop
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
i : idx
j : ℕ
hj : j < k + 1
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
hk : k < n + 1
⊢ (i, j).2 < n + 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ Obj.map K (𝟙 Δ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ 𝟙 (Obj.obj₂ K Δ)
β : Type u_2
α : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ v a
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
hv : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v := by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf u f ≤ Filter.liminf v f
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
⊢ f ∘ Function.Pullback.fst = g ∘ Function.Pullback.snd
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Field.sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree E K) =
  Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree F K)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : C
⊢ CategoryTheory.Projective P ↔ CategoryTheory.Injective (Opposite.op P)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
⊢ ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
α : Type u_5
β : Type u_6
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
g : C(β, A)
⊢ (ContinuousMap.compRightAlgHom R A f) g = g.comp f
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ J ∈ π.filter p ↔ J ∈ π ∧ p J
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ max a b = b
V : Type u
Quiver V
X Y : CategoryTheory.Paths (Quiver.Symmetrify V)
p q : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep p q →
  CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep (Quiver.Path.reverse p)
    (Quiver.Path.reverse q)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
a : B
⊢ (CategoryTheory.LaxFunctor.id B).mapId a = CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂) t).re = t.re
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.presheafIso i).hom.app X =
  CategoryTheory.yoneda.preimage ((CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafYonedaHom i.hom).app X)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hx : x ∈ U
s : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 x)
    (((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hx⟩) s) =
  ↑s ⟨x, hx⟩
s : Multiset ℝ≥0
⊢ ↑s.sum = (Multiset.map NNReal.toReal s).sum
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 → P2
linear : V1 →ₗ[k] V2
add : ∀ (p : P1) (v : V1), f (v +ᵥ p) = linear v +ᵥ f p
⊢ ⇑{ toFun := f, linear := linear, map_vadd' := add } = f
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
n : ℤ
x : α
⊢ f.cycleOf ((f ^ n) x) = f.cycleOf x
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
DecidableEq ι
a : R
⊢ (fun i => (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) a) = fun i => ⇑(Finsupp.single i a)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X : C
⊢ (ρ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ ε ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (ρ_ X).hom
α : Type u
a b : α
hne : a ≠ b
⊢ {a, b} \ {a} = {b}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (Finset.affineCombination k s fun x => p) w = p
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ≤ F.submodule.toAddSubmonoid
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.right b
⊢ Finset.card (SetTheory.PGame.Domineering.moveRight b m) / 2 < Finset.card b / 2
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix m n R
hf : Summable f
⊢ Summable fun x => (f x)ᵀ
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ Metric.closedBall x r = Set.univ.pi fun b => Metric.closedBall (x b) r
α : Type u_3
UniformSpace α
Group α
self : UniformGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ (Ordinal.sup fun n => o ^ ↑n) = o ^ ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥
s : String
c : Char
⊢ s.posOfAux c = s.findAux fun x => x == c
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (interior ∘ ⇑K)
K : Type u_3
DivisionRing K
a : ℚ
x : K
⊢ a • x = ↑a * x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n
this : span {generator s} = s
⊢ Associated (generator s) (generator s * ↑u)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M
⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = g ((liftAlternating f) v)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)
n : ℕ
⊢ ((AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P)).d
      (n + 1) n).f =
  P.p.app (Opposite.op [n + 1]) ≫ (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj P.X).d (n + 1) n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
R : Type u_4
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
r : R
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ ↑(r • v) i = r • ↑v i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
⊢ {a} ⊆ ↑s ↔ {a} ⊆ s
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
m n : ℤ
H : (a ^ m).y < (a ^ n).y
⊢ m < n
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
g' : G'
hg' : ∀ (x : G'), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g'
h : addOrderOf g = addOrderOf g'
⊢ (addEquivOfAddOrderOfEq hg hg' h).symm = addEquivOfAddOrderOfEq hg' hg ⋯
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
e' : β → γ
⊢ Function.Injective fun g => Function.extend f g e'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E
t : F
⊢ t ∈ (⇑f ∘ fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1 ↔ t ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • (⇑f ∘ v) i) '' Icc 0 1
P : Type u_2
MetricSpace P
p : P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ p ∈ s ↔ dist s.center p = s.radius
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
h : χ.FactorsThrough d
⊢ d ∣ n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Collinear k (insert p s) ↔ Collinear k s