ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : 0 < a
h₂ : b ≤ c
⊢ a ^ b ≤ a ^ c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
inst✝ : HasPDF X ℙ volume
x : ℝ
⊢ x * (pdf X ℙ volume x).toReal = (pdf X ℙ volume x).toReal * x
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∈ [a]
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
s1 t1 : Set Ω
hs1 : s1 ∈ {s}
ht1 : t1 ∈ {t}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s1 ∩ t1) = (κ a) s1 * (κ a) t1
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf : ∀ i ∈ s, g ≤ v (f i)
⊢ g ≤ v (∑ i ∈ s, f i)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
⊢ IntegrableOn g' (Ioi a) volume
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
⊢ M = ⊤
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] n → R
⊢ minpoly R (LinearMap.toMatrix' f) = minpoly R f
x y : ℝ
⊢ |x ^ y| ≤ rexp (Real.log x * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ sup f = lsub f ∨ succ (sup f) = lsub f
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : (x : α) → x ∈ S → Set X
ho : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), IsGδ (f s H)
hS : S.Countable
hd : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), Dense (f s H)
⊢ Dense (⋂ x, f ↑x ⋯)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
⊢ Nonempty C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ {a | ∀ b ∈ univ, (a, b) ∈ s} ∈ f ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
P.RespectsIso
⊢ P.diagonal.StableUnderBaseChange
K : Type u
L : Type v
M : Type w
DivisionRing K
DivisionRing L
DivisionRing M
s : Subfield M
g : L →+* M
f : K →+* L
⊢ Subfield.comap f (Subfield.comap g s) = Subfield.comap (g.comp f) s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b ≤ toIcoMod hp a b + p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ Set.range ⇑(mfderiv I I' (↑e) x) = Set.univ
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
this : ∀ (t : S ⊗[R] S), (TensorProduct.lmul' R) t = 1 ↔ 1 - t ∈ KaehlerDifferential.ideal R S
⊢ (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ KaehlerDifferential.ideal R S = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ (𝟙 P).f = (P.decompId_i ≫ P.decompId_p).f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0 ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)
a b : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) MeasureTheory.volume a b ↔ a = b ∨ 0 ∉ [[a, b]]
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra A B
Algebra R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
H : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
x : A
h : IsIntegral R ((algebraMap A B) x)
⊢ IsIntegral R x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ CategoryTheory.PredicateShift P 0 = P
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : z.im ≤ 0
⊢ ‖f z‖ ≤ C
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p % 4 ≠ 3
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = p
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ↑(mrange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Disjoint a (sSup s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint a b
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) 1 = 1
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S✝ S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x * y⁻¹ ∈ S
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ φ.onBoundedFormula.symm = φ.symm.onBoundedFormula
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f
this : Disjoint ⊤ (ker f)
⊢ ker f = ⊥
α : Type u_8
AddCommSemigroup α
a : α × α
⊢ addAddHom a = a.1 + a.2
R : Type u_1
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.toLaurent p = AddMonoidAlgebra.mapDomain Nat.cast p.toFinsupp
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ f) g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) ((deriv ∘ f) n x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
⊢ ↑(v.restrict i) j = ↑v (j ∩ i)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
s : Subsemiring R
t : Subsemiring S
⊢ Subsemiring.map f s ≤ t ↔ s ≤ Subsemiring.comap f t
a b : ℕ+
⊢ (Ico a b).card = ↑b - ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
⊢ N i ≤ (fun i => ∑ j : β, A i j * v j) i
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.map f) ((MvPolynomial.rename g) p) = (MvPolynomial.rename g) ((MvPolynomial.map f) p)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s • t).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
i : X ≅ X
⊢ ((hf.autMulEquivOfFullyFaithful X) i).hom = f.map i.hom
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
h₀ : ↑(oreDenom r₁ s₂) * r₁ = oreNum r₁ s₂ * ↑s₂
⊢ oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (oreDenom r₁ s₂ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
l : Filter β
f₁ f₂ f₃ : β → α
h₁₂ : Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)
h₂₃ : Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ (fun x => (f₁ x, f₃ x)) ⁻¹' (s ○ s) ∈ l
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
⊢ f * g = 1 ↔ g * f = 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
hij : j ≠ i
⊢ ↑(lp.single p i a) j = 0
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }
this : Path.Homotopic.prod (Path.Homotopic.projLeft f) (Path.Homotopic.projRight f) = f
⊢ (prodToProdTop A B).map (Path.Homotopic.projLeft f, Path.Homotopic.projRight f) = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
c : 𝕜
⊢ Bornology.IsBounded (c • s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
⊢ (∃ x, a * x ~ᵤ b) ↔ ∃ c, b = a * c
α : Type u_1
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace 𝕜 G
SMulCommClass ℝ 𝕜 G
c : 𝕜
f : α → G
⊢ ∫ (a : α), c • f a ∂μ = c • ∫ (a : α), f a ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).F = CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
h₁ : a ≠ b
h₂ : a ⊆ b
⊢ a ⊂ b
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b → a ⊔ b = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
this : Fact (μ K < ⊤)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ.restrict K, ‖f a‖ ≤ C
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure M
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f
    (FirstOrder.Language.Substructure.comap f (FirstOrder.Language.Substructure.map f S)) =
  FirstOrder.Language.Substructure.map f S
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ
⊢ (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ (Subsemiring.centralizer s).toSubmonoid = Submonoid.centralizer s
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
f : { x // x ∈ s } → β
⊢ ∑ i : { x // x ∈ s }, f i = ∑ i ∈ s.attach, f i
a : SignType
⊢ a < 0 ↔ a = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
ih : μ (s ∆ (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
⊢ μ (s ∆ (f^[n + 1] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s)) + μ (s ∆ (f ⁻¹' s))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneUnopOfCocone c).pt = Opposite.unop c.pt
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (Ideal.absNorm I)
⊢ Ideal.span {↑(Ideal.absNorm I)} = Ideal.comap (algebraMap ℤ S) I
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ ↑3 = 3
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : 0 ≤ r₁
h₂ : r₁ < r₂
⊢ (fun n => r₁ ^ n) =o[Filter.atTop] fun n => r₂ ^ n
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x
this : (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) = ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1)
⊢ f (A • B • x) * (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) ^ k = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) ^ k)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
⊢ (SemilatSupCat.of α).X = α
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = ν.prod μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
x : A
⊢ IsClosed ↑(elementalStarAlgebra R x)
m n : ℕ
h : m ≤ n
this✝ : n - m + m = n
this : (n - m).gcd n = (n - m).gcd m
⊢ (n - m + m - m).gcd (n - m + m) = (n - m).gcd m
a b c : Int
H : a ∣ b + c
⊢ a ∣ b ↔ a ∣ c
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
hs : IsAntichain r s
f : β → α
hf : Function.Injective f
h : ∀ ⦃a b : β⦄, r' a b → r (f a) (f b)
⊢ IsAntichain r' (f ⁻¹' s)
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : IsAffine ↑U
this : IsIntegral ↑U
⊢ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) = (hU.primeIdealOf ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩).asIdeal.primeCompl
α : Type u_1
a b : α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hca : c ≤ a
⊢ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico a b
⊢ ?f₁ =ᶠ[𝓝[>] 1] fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ tangentMap I I id = id
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) 1 μ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ closedBall x R, p y
y : α
⊢ p y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
⊢ r • resolvent a s = resolvent (r⁻¹ • a) (r⁻¹ • s)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), RCLike.im (f x) ∂μ = RCLike.im (∫ (x : X), f x ∂μ)
a b : ENNReal
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤
⊢ a * (b / a) = b
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ μ Set.univ < ⊤
a : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ a * ℵ₀ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊔ b = b * (a / b)⁺ᵐ
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
⊢ ∫ (x : ι → ℝ), cexp (-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => (f x).bind (g x)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y
⊢ l ≤ 𝓝 y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.associator Y Z).inv.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst))
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd))
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
j : J
⊢ ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitCocone F).ι.app j).c =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (Opposite.op j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑n < m a
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : x < ↑n
y : α
⊢ ↑x < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' e'.source
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ (g * f⁻¹).cycleType + f.cycleType = g.cycleType - f.cycleType + f.cycleType
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
l : List R
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.sum ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair),
  (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductCone F G).π.app x =
    match x.as with
    | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left => CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.fst
    | CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right => CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.snd
a b : Prop
⊢ a ∨ b ↔ b ∨ a
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g → Monovary (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g
α : Type u
β : Type v
⊢ Function.RightInverse Sum.swap Sum.swap
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ ((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s ≤ m (f ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
⊢ (List.zipWith f l₁ l₂).get? i = (Option.map f (l₁.get? i)).bind fun g => Option.map g (l₂.get? i)
α : Type u_1
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
h : s = t
⊢ s.toFinset = t.toFinset
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c : R
⊢ (transvection i j c).det = 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
⊢ Ideal.map f I = ⊤ ∨ (Ideal.map f I).IsMaximal