ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M : CategoryTheory.Mat_ C
⊢ M.isoBiproductEmbedding.hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.SSameSide x y ↔ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖1‖ = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
⊢ a ∈ sᶜˢ ↔ aᶜ ∈ s
a : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Iio a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 Prod.fst p
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubalgebra.inclusion ⋯ = NonUnitalAlgHom.id R ↥S
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
n : ℕ
⊢ a = b ↔ n + 1 = 0 ∨ a = b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : d.degree = n
⊢ ((monomial d) r).IsHomogeneous n
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}
A : (support fun i => f.toPOUFun i x) ⊆ ↑s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
α : Type u_4
LinearOrderedRing α
self : FloorRing α
⊢ GaloisConnection FloorRing.ceil Int.cast
α : Type u
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b → a < b ∨ a = b
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
s : Set E
⊢ Metric.diam (⇑e '' s) = Metric.diam s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
⊢ ∀ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.Injective f ↔ Set.InjOn f Set.univ
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅
i : ι
x : α
hx : x ∈ s i
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ t, s i
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).hom.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.toIsometryEquiv.symm = e.symm.toIsometryEquiv
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
f : F[X]
h : Polynomial.Splits (algebraMap F E) f
⊢ f.natSepDegree = (f.aroots E).toFinset.card
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass M₀
a✝ b✝ a b : M₀
h : a ≠ 0 → b = 0
ha : a = 0
⊢ a * b = 0
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : ↑F F.M
⊢ x.fst = (M.mk x).dest.fst
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
hf : ∀ (x : ι), 0 ≤ f x
⊢ Monotone fun s => ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y
n m : ℕ
hnm : 2 * ↑n = 2 * ↑m ∨ x = y
⊢ n = m
K : Type u_1
Field K
NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(NumberField.Units.logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : { w // w ≠ NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ }
⊢ |(NumberField.Units.logEmbedding K) x w| ≤ r
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ toLex (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v.restrict ∅ ≤ w.restrict ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M
⊢ (cast R M ⋯) (mulEquiv ((tprod R) Fin.elim0 ⊗ₜ[R] a)) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c₁ c₂ : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h1 : Function.Periodic f c₁
h2 : Function.Antiperiodic f c₂
⊢ Function.Antiperiodic f (c₁ - c₂)
k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁹ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra k K
inst✝⁶ : Algebra k F
inst✝⁵ : Algebra K F
inst✝⁴ : IsScalarTower k K F
inst✝³ : NumberField k
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
⊢ ∀ (x : InfinitePlace k), InfinitePlace.IsUnramifiedIn K x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X →. Y
⊢ PContinuous f ↔ ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → Filter.PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
P : Type u_4
AddCommMonoid P
Module R P
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] P
m : (i : ι) → (fun x => M) i
⊢ (f.prod g) m = (f m, g m)
R : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α
⊢ ((Polynomial.aeval f) g) x = Polynomial.eval (f x) g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K 0
m₁ : ℤ
h₁ : n₁ + 1 = m₁
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n₁ m₁ (z₁.comp z₂ ⋯) =
  z₁.comp (CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 z₂) h₁ + (CochainComplex.HomComplex.δ n₁ m₁ z₁).comp z₂ ⋯
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (ν.withDensityᵥ fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) = μ.withDensityᵥ f
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ Epi ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).g
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.chromaticNumber ≠ ⊤ ↔ ∃ n, G.Colorable n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set β
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) (μb.restrict s)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, (F x, F l) ∈ {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε}) → F x ∈ Metric.closedBall f ε
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬y ≤ x
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ p ⊓ (f.genEigenspace μ) k = Submodule.map p.subtype ((Module.End.genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k)
R : Type u_1
AddCommGroup R
TopologicalSpace R
TopologicalAddGroup R
m : ℕ
hm : NeZero m
k : ℕ
f : ℕ → R
⊢ Summable ({n | ↑n = ↑k}.indicator f) ↔ Summable fun n => f (m * n + k)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
h : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Z ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map f g ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.braiding Y W).hom =
  (CategoryTheory.Limits.prod.braiding X Z).hom ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map g f
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
⊢ Γ₂N₁.inv ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom = 𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L)) ≤ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
α : Type u_1
TopologicalSpace α
K : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ TopologicalSpace.CompactOpens.map id ⋯ ⋯ K = K
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
E₁ : A ≌ B
E₂ : C ≌ D
⊢ (E₁.prod E₂).counitIso = CategoryTheory.NatIso.prod E₁.counitIso E₂.counitIso
a : Int
b c : Int
hcb : c ∣ b
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) = (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ S₃ : SimplicialObject.Split C
Φ₁₂ : S₁ ⟶ S₂
Φ₂₃ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (Φ₁₂ ≫ Φ₂₃).F = Φ₁₂.F ≫ Φ₂₃.F
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun b => f (a, b) q) (ν a)
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
α : Type u_1
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
δ : α → Type u_7
t : Set α
t' : (i : α) → Set (δ i)
f g : (i : α) → δ i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'
⊢ s.piecewise f g ∈ t.pi t'
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → List β
p : α → β → Bool
hf : Primrec f
hp : Primrec₂ p
⊢ Primrec fun a => List.findIdx (p a) (f a)
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
⊢ Continuous fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : AEStronglyMeasurable f (κ a)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂κ.condKernel (a, x)) (κ.fst a)
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
i : Fin w.length
⊢ (ofRowLens w hw).rowLen ↑i = w.get i
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Subsingleton
⊢ s.formPerm ⋯ = 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
hf : Set.LeftInvOn ⇑g ⇑f ↑I
x : R
hx : x ∈ ↑I
⊢ x ∈ I
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ = ↑h.unit⁻¹ • A.adjugate
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
a : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I (I.fstFrom a)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I (I.sndFrom a))
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
⊢ (mapRingHom (Int.castRingHom K)) Q₁ = cyclotomic' k K
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ
⊢ ↑(ℜ ↑r) = ↑r
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ (↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id
m k : ℕ
⊢ hyperoperation 0 m k = k.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m
⊢ take n xs ++ drop (n + m) xs ~ ys ∩ (take n xs ++ drop (n + m) xs)
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
⊢ ∃ᶠ (b : ℕ) in Filter.atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
⊢ Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (f a - 1)) (f a) = Nat.rec (Part.some (g a)) (fun n n_ih => h a n) (f a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
t : TopologicalSpace α
hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
ht : PolishSpace α
s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s
⊢ ∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α ∧ IsClosed s ∧ IsOpen s
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj Y
⊢ ({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : Set.EqOn f g (frontier U)
⊢ Set.EqOn f g U
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
⊢ n ∣ b + d - (a + c)
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
⊢ Set.Icc ⊥ ⊤ = Set.univ
n : Nat
i : Nat
h : i < (Fin.list n).length
⊢ (Fin.list n)[i] = Fin.cast ⋯ ⟨i, h⟩
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
hsc : sᶜ.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
⊢ ∏ i ∈ n.primeFactors, ↑(i - 1) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (1 - (↑x)⁻¹) * ↑x
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
CharZero k
h : s.Nonempty
⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights k s i = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone D
⊢ ((CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.liftedCoconeIsColimit D c t).desc s).f = t.desc (T.forget.mapCocone s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
Z' : D
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.colimMap (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) ≫
        CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h wh =
  q ≫ h
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Add G
a b : Multiplicative G
⊢ single (a * b) 1 = single (a + b) 1
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.natDegree = 0 ↔ ∃ x, Polynomial.C x = p
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y
n : ℕ
b : Fin n
⊢ Finset.Iic b = Finset.fin n (Finset.Iic ↑b)
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : A.Finite
⊢ schnirelmannDensity A = 0
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : R
h : IsPrimePow n
⊢ ¬IsUnit n
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
t₁' : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯))
⊢ Nonempty (IsColimit c)
a b n : Nat
⊢ a * b % n = a % n * (b % n) % n
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ (√↑v)⁻¹ * (√(2 * π))⁻¹ * rexp (-(c⁻¹ * x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = |c| * (√(2 * π * (c ^ 2 * ↑v)))⁻¹ * rexp (-(x - c * μ) ^ 2 / (2 * (c ^ 2 * ↑v)))
⊢ ∀ {α : Type u_1} {b : α} {α_1 : Type u_2} {f : α_1 → α} {l : List α_1}, b ∈ List.map f l → ∃ a, a ∈ l ∧ f a = b
α : Type u
f : α → α
s : Set α
h : Function.IsFixedPt (Set.image f) s
n : ℕ
⊢ Function.IsFixedPt (Set.image f^[n]) s
n : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < 1
⊢ (1 - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits 1 L / 1 ^ i.succ = ofDigits 1 L - L.sum
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
ht : IsLowerSet t
⊢ IsLowerSet (s ∩ t)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p %ₘ q).degree ≤ q.degree
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.minimalPeriod f x = 0 ↔ x ∉ Function.periodicPts f
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
x : S
⊢ e (e.symm x) = x
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : LocallyLipschitzOn s f
⊢ ContinuousOn f s
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'
⊢ range (F.map (g ≫ f)) ⊆ range (F.map f')
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
⊢ (HomologicalComplex.homotopyEquivalences V c).IsInvertedBy (HomotopyCategory.quotient V c)
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
inst✝ : ⊥.Normal
h1 : (Nat.card ↥⊥).Coprime ⊥.index
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬⊥.IsComplement' H
⊢ False
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M
⊢ mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
DecidableEq o
c : Basis o R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
⊢ (b.toMatrix ⇑c).transpose * (BilinForm.toMatrix b) B * b.toMatrix ⇑c = (BilinForm.toMatrix c) B
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : M
w : σ → M
hφ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w φ n
hψ : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w ψ n
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (φ + ψ) n
M₁ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₁
c : ↥M₁⁰
x : M₁
⊢ ↑c * x = 0 ↔ x = 0