ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
⊢ (D.mapGlueData F).ι i ≫ (D.gluedIso F).inv = F.map (D.ι i)
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : K
⊢ 0 < w x ↔ x ≠ 0
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
γ₀ : (i : ι) → Homotopic.Quotient (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Homotopic.Quotient (bs i) (cs i)
⊢ pi γ₀ ⬝ pi γ₁ = pi fun i => γ₀ i ⬝ γ₁ i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ∃ S, (∀ (k : { x // x ∈ S }), IsIrreducible ↑↑k) ∧ s = S.sup id
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x
⊢ derivWithin f S x < slope f x y
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
DecidableEq ι
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
CommRing C
Algebra A C
Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
⊢ Algebra.discr A b = Algebra.discr A (⇑f ∘ b)
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r
⊢ ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * Complex.exp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Complex.Gamma a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ¬Subsingleton α ↔ Nontrivial α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set 𝕜
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f * g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)
⊢ Memℒp f 1 (μ.restrict U)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).toList.prod = (take (↑i) v).toList.prod * a * (drop (↑i + 1) v).toList.prod
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
IsDedekindDomain R
K' : Type u_4
Field K'
Algebra R K'
IsFractionRing R K'
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (Units.map ↑(FractionalIdeal.canonicalEquiv R⁰ K K')) ((FractionalIdeal.mk0 K) I) = (FractionalIdeal.mk0 K') I
α : Type u_1
s : Set α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ insert a s
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ f (∏ᶠ (i : α), g i) = ∏ᶠ (i : α), f (g i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ
⊢ {b | ¬f b ≤ g b} = {b | f b ≤ g b}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
c : NNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (c • μ) = c • MeasureTheory.Measure.map f μ
X : TopCat
ι : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range B.obj)
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
Finite α
Finite κ
Finite η
⊢ ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, Combinatorics.Subspace.IsMono C l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
Fintype ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
i : ι
⊢ ⟪∑ i : ι, l i • v i, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Infinite α
⊢ univ.ncard = Nat.card α
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
s : Set α
f : α → β
K : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
⊢ LipschitzOnWith K.toNNReal f s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X ⟶ Y
⊢ α.hom ≫ (α.inv ≫ f ≫ β.hom) ≫ β.inv = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Mono c.inl
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖x‖ / ‖x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ↪o β)
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d
⊢ a * d = c * b
a : Ordinal.{u_1}
ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a ^ b)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk y)
⊢ mk x = mk y
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ ↑↑(A.unitGroupMulEquiv.symm a) = ↑↑a
E : Type u_6
SeminormedGroup E
T0Space E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 1
x : ℝ
hx : Real.cos x = 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |Real.tan x|) (nhdsWithin x {x}ᶜ) Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
s : Set β
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ 𝓟 s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ s, p (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ENNReal.ofReal ‖i - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))
M : Type u_3
X : Type u_4
Monoid M
S : Submonoid M
OreLocalization.OreSet S
MulAction M X
r : M
x : OreLocalization S X
⊢ (r /ₒ 1) • x = r • x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
k N : ℕ
hk : k ≤ N
⊢ edist (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPt e N) x) x ≤ edist (e k) x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
h1' : (σ ^ n).IsCycle
⊢ σ ^ n ∈ ↑(closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)}) ∧ {swap x ((σ ^ n) x)} ⊆ ↑(closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)})
⊢ DistLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ DistLat Lat = CategoryTheory.forget₂ DistLat Lat ⋙ Lat.dual
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∉ s, insert a s ⊆ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0
h : IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ι 0 (2 * π)), ‖f (circleMap c R a)‖ ≤ |R|⁻¹ * ‖(circleMap 0 R a * I) • f (circleMap c R a)‖
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α
⊢ {a}.Disjoint t ∧ s.Disjoint t ↔ a ∉ t ∧ s.Disjoint t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ toTensorAlgebra (GradedMonoid.GMul.mul ((PiTensorProduct.tprod R) a) ((PiTensorProduct.tprod R) b)) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
h : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ z₁ = z₂
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
he : e ∈ I \ J
y : α
hy : y ∈ J \ I
h : (M ↾ X).Base (insert y (I \ {e}))
⊢ ∃ f ∈ J \ I, M.Basis (insert f (I \ {e})) X
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a) ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a
α : Type ua
a b : α
⊢ (a, b) ∈ idRel ↔ a = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.1
S : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
Monoid S
AddMonoid A
SMul S R
DistribMulAction S A
s : S
r : R
⊢ Unitization.inl (s • r) = s • Unitization.inl r
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
V : Type u_3
Zero V
SMulZeroClass R V
Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
⊢ ¬(r • x).order < x.order
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
⊢ AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f) = (AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cocones.functoriality F G).map f).hom = G.map f.hom
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Fact (Even (Fintype.card n))
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑(-g) = -↑g
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
aux : ↑|0| ^ s = 0
hint : HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
n : ℕ
⊢ (if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) = s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }
_hx : x ∈ (filter p s).attach
⊢ p ↑x
n m : ℕ
⊢ n &&& m = m &&& n
a b c : ℤ
hdvd : ¬3 ∣ a * b * c
⊢ a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.SOppSide (v +ᵥ x) y ↔ s.SOppSide x y
⊢ Int.castAddHom ℤ = AddMonoidHom.id ℤ
⊢ ↑(Filter.hyperfilter ℕ) ≤ Filter.atTop
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
F : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
Semiring B
Bialgebra R B
FunLike F A B
BialgHomClass F R A B
f : F
⊢ (Bialgebra.counitAlgHom R B).comp ↑f = Bialgebra.counitAlgHom R A
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r : R
hr : r ≠ 0
I : ↑{I | I ∈ normalizedFactors (span {r})}
⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr).symm I)) r = multiplicity (↑I) (span {r})
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ f.support, b ≠ n + k → ((monomial (b - k)) (↑(b.choose k) * f.coeff b)).coeff n = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
AddCommGroup P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x y : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ QuadraticMap.polar (⇑(QuadraticMap.pi Q)) x y = ∑ i : ι, QuadraticMap.polar (⇑(Q i)) (x i) (y i)
q : ℚ
⊢ q.num /. ↑q.den * (↑q.den /. 1) = q.num /. 1
α : Type u
MetricSpace α
x : ℕ → α
H : DenseRange x
⊢ Isometry (KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset x)
Γ : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Semiring R✝
α : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
s t : SummableFamily Γ R α
⊢ (s - t).hsum = s.hsum - t.hsum
x : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational x⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
⊢ a ∉ t
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
a x : α
h : IsAtom a
⊢ x ≤ a ↔ x = ⊥ ∨ x = a
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
a : R
n : ℕ
⊢ a ^ n = -1 ↔ a = -1 ∧ Odd n
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ (𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
n : ℕ
hn : (⇑φ)^[n] = _root_.id
g : G
⊢ (List.map (fun k => (⇑φ)^[k] g) (List.range n)).prod = 1
G : Type u
CommSemiring G
H : CommSemiRingCat
f : G →+* ↑H
⊢ RingHom.comp (𝟙 H) f = f
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
a₁ : α
f₁ f₂ : β a₁ → WType β
h✝ : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₁ f₂)
h : HEq (fun b => elim γ fγ (f₁ b)) fun b => elim γ fγ (f₂ b)
⊢ mk a₁ f₁ = mk a₁ f₂
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList
⊢ q ∈ insert p s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t z₁ z₂ : Set X
⊢ IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → ¬s ⊆ z₁ → ¬s ⊆ z₂ → ¬s ⊆ z₁ ∪ z₂ ↔ IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ↑ν = ↑ν
K : Type u_1
RCLike K
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑x ↔ 0 ≤ x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasCokernelOfHasKernel S).ι =
  CategoryTheory.Limits.kernel.ι (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x✝ : S
⊢ { toQuot := Quot.mk (Rel s) ((algebraMap S A) x✝) } = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
this : (F.μ m₁ m₂ ▷ F.obj m₃ ≫ F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃ ≫ F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = ((α_ (F.obj m₁) (F.obj m₂) (F.obj m₃)).hom ≫ F.obj m₁ ◁ F.μ m₂ m₃ ≫ F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X
⊢ (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) ≫ (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x => c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
hT' : T = iUnion S
c : ↑T
ci : (i : ι) → ↑(S i)
hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c
cβ : β
h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ
⊢ iUnionLift S f hf T hT c = cβ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
s : Set R
⊢ coeSubmodule S (Ideal.span s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
α β : Type u
n : ℕ
ha : ↑n < ℵ₀
⊢ succ ↑n < ℵ₀
A : Type u_1
R : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
self : IsIntegralClosure A R B
x : B
⊢ IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap A B) y = x
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b + a
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
c : ℝ
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
⊢ integralSum (c • f) vol π = c • integralSum f vol π
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
p : α → Prop
q : β → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
⊢ Finset.filter (fun x => p x.1 ∧ q x.2) (s ×ˢ t) = Finset.filter p s ×ˢ Finset.filter q t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monad.ofMon M).obj X = M.X.obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (W.map f).preΨ' n = Polynomial.map f (W.preΨ' n)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
Field F'
Fintype F'
DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h : ringChar F' ≠ ringChar F
⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
⊢ a / b ^ i / b * b ≤ a / b ^ i
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
unC : u ∉ ↑C
p : G.Walk v u
⊢ False
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ⊤ ≤ ⊤ s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z : ℂ
⊢ ∀ (v : ℂ), ⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, v⟫_ℝ = ⟪I * z, v⟫_ℝ
M : Type u_2
Monoid M
a : M
⊢ a ^ 2 = a * a
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
w : NumberField.InfinitePlace k
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramifiedIn K w
α : Type u_1
r p : α → α → Prop
s : Set α
h : s.Pairwise r
hrp : s.Pairwise fun ⦃a b⦄ => r a b → p a b
⊢ s.Pairwise p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left)
K : Type u_2
Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
⊢ n < D → f.coeff n = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α → β
h₁ : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
h₂ : { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : α),
    { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun x + { toFun := f, map_mul' := h₁ }.toFun y
⊢ ↑{ toFun := f, map_mul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ } = { toFun := f, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_decr : Antitone f
u : R
frbdd : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
⊢ ∃ᶠ (y : S) in Filter.map f F, f u ≤ y
b x y : ℝ
k : ℕ
hx : 0 < x
⊢ logb b (x ^ k) = ↑k * logb b x
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ GaloisConnection (Subring.map f) (Subring.comap f)
R : Type u_1
AddMonoid R
Mul R
One R
Neg R
⊢ isSemireal R ↔ 0 ≠ 1 ∧ ¬isSumSq (-1)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.20063, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.20070, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
a : M
f : ShiftedHom X Y a
⊢ (mk₀ m₀ hm₀ (𝟙 X)).comp f ⋯ = f