ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
⊢ ν ⋯.choose = ν s
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
S : Set (Set α)
H : ∀ s ∈ S, IsOpen s
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ T ⊆ S ∧ ⋃₀ T = ⋃₀ S
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.Memℒp (ProbabilityTheory.truncation f A) p μ
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ IsRelPrime (x ^ m) y ↔ IsRelPrime x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ image2 f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t = ⋃ i, ⋃ j, image2 f (s i j) t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Set α
a b c : α
s t : Set α
this : (uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = image2 (fun x x_1 => x ⊓ x_1) s t
⊢ (uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = s ⊼ t
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
⊢ commutatorSet G ⊆ ↑f.ker
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ a⁻¹ * (a * b) = b
a b : ℕ
hab : a ∣ b
h : b / a = 1
⊢ a = b
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Surjective fun x => x ∆ a
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
⊢ Injective ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_2
MeasurableSpace α
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
BorelSpace R
f : α → R
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Int.fract (f x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsDetector G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : H ⟶ Y
⊢ ∃! h', h' ≫ f = h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.223578, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (rotateHomotopyEquiv φ).hom = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (inr φ))
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys
⊢ xs ∪ ys = ys
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
⊢ ↑x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
d : ℝ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
h : ∀ (t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)), ‖f₁.toFun t - f₂.toFun t‖ ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * d
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Ι ↑v.t₀ ↑t, f₁.vComp x - f₂.vComp x ∂volume‖ ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)! * d
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' y L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Filter.Tendsto h L L'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α → β
s : Set α
x : α
h : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt g s x
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h_det : (mvPolynomialX m m R).det = 0
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₁
⊢ S.W T.mor₂
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
α : Type u_4
LinearOrderedField α
MulActionWithZero α ℝ
OrderedSMul α ℝ
MulActionWithZero α E
SMulCommClass α ℝ ℝ
IsScalarTower α ℝ ℝ
IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ gauge (a • s) = a⁻¹ • gauge s
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g
⊢ ∃ X₁ a b,
  ∃ (comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.map a) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (w.app X₁) (B.map b)) = g),
    f = CategoryTheory.TwoSquare.StructuredArrowRightwards.mk w g X₁ a b comm
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ (if i✝ ∈ f j✝ then 1 else 0) = of (fun x y => if x ∈ f y then 1 else 0) i✝ j✝
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
hb : AddLECancellable b
hc : AddLECancellable c
hba : b ≤ a
hca : c ≤ a
⊢ a - b = a - c ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α
gb : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
⊢ Function.Semiconj (Option.map f) (Option.map ga) (Option.map gb)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteSemilatticeInf α
a : α
s : ι → α
⊢ iInf s ≤ a ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), b ≤ s i) → b ≤ a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ P.inverseImage F f ↔ P (F.map f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f₁ (↑(extChartAt I x) x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_5
AddCommMonoid M
v : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
⊢ Finsupp.mapDomain (g ∘ f) v = Finsupp.mapDomain g (Finsupp.mapDomain f v)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
h : W.Equation 0 0
hΔ : WeierstrassCurve.Δ W ≠ 0
⊢ W.Nonsingular 0 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
S : ConvexCone 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ ↑(ConvexCone.map f S) = ⇑f '' ↑S
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) x
⊢ P f s x
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
w : W
⊢ ‖VectorFourier.fourierIntegral e μ L f w‖ ≤ ∫ (v : V), ‖f v‖ ∂μ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
⊢ comap (dist x) atTop = cocompact α
z : ℍ
⊢ ModularGroup.S • z = mk (-↑z)⁻¹ ⋯
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π
this : (piPremeasure fun i => (μ i).toOuterMeasure) = ⇑(Measure.map (⇑e.symm) (μ default))
⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
α : Type u_1
a : α
Max α
min_eq_or : ∀ (a b : α), max a b = a ∨ max a b = b
xs : List α
⊢ xs.maximum? = some a → a ∈ xs
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
v : V
⊢ (H ⊔ H').neighborSet v = H.neighborSet v ∪ H'.neighborSet v
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
e' : β → γ
b : β
Decidable (∃ a, f a = b)
⊢ Function.extend f g e' b = if h : ∃ a, f a = b then g (Classical.choose h) else e' b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op
⊢ (pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.snd f.op g.op = (pushout.inr f g).op
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).p = CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P t → s ⊆ t → P s
x✝ : P s
h : ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
t : Finset α
ht : P t
hst : s ⊆ t
x : α
hxt : x ∈ t
⊢ x ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Center.ofBraided C).obj X = CategoryTheory.Center.ofBraidedObj X
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ ⇑f.toInfTopHom = ⇑f
l m r ml mm mr : List Char
b e : Pos
⊢ ∃ l' r', ValidFor l' mm r' (if utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml then { str := "", startPos := 0, stopPos := 0 } else { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }.min ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }), stopPos := { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }.min ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) })
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : LipschitzWith K f
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo f (EMetric.closedBall x r) (EMetric.closedBall (f x) (↑K * r))
p q : ℝ
self : p.IsConjExponent q
⊢ 1 < p
X : Sort u_2
DecidableEq X
x : X
Y : Sort u_1
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : X
⊢ ↑((Equiv.subtypeEquivCodomain f).symm y) x' = if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
Field K
LieAlgebra K L
Module K M
LieModule K L M
FiniteDimensional K M
LieAlgebra.IsNilpotent K L
LieModule.LinearWeights K L M
LieModule.IsTriangularizable K L M
x y : L
⊢ ((LieModule.traceForm K L M) x) y =
  ∑ χ : LieModule.Weight K L M, FiniteDimensional.finrank K ↥↑(LieModule.weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)
L : FirstOrder.Language
G' : ℕ → Type w
(i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ⇑(FirstOrder.Language.DirectedSystem.natLERec f' m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
h : ∀ (n : ℕ), take n s₁ = take n s₂
⊢ s₁ = s₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductIso X Y).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = Prod.snd
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
aux : ∀ (x y : M), x = y
⊢ ⊥ = ⊤
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubring = ⊤ ↔ S = ⊤
m✝ n a b c d m : ℤ
h : m * n ∣ b - a
⊢ n ∣ b - a
m n : ℕ
h : Odd (m * n)
⊢ Odd n
I : Type w₀
J✝ : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X Y : (i : I) → C i
f' : X ⟶ Y
⊢ (({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f' ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) = (fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ fun i => f' (g (f i))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (if (map f p).natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff ((map f p).natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))
x y : ℂ
⊢ tan (x * I) = tanh x * I
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ f ∈ Polynomial.degreeLT R n ↔ f.degree < ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
self : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  ∀ (T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C),
    (T₂ ≅ T₁) → T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b y : α
hya : y ∈ Iic a
z : α
hzb : z ∈ Iic b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iic (a * b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h2 : p * (X - C a) ^ n ≠ 0
⊢ rootMultiplicity a p + n ≤ rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
x : β
y₁ y₂ : α ⧸ stabilizer α x
g₁ g₂ : α
H : g₁ • x = g₂ • x
⊢ (g₁⁻¹ * g₂) • x = x
R : Type u_1
Star R
TrivialStar R
r : R
⊢ IsSelfAdjoint r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
a : α
l : List α
u : List β
⊢ Forall₂ (fun a b => p a ∧ R a b) (a :: l) u ↔ (∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → p a_1) ∧ Forall₂ R (a :: l) u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Tendsto (fun i => F i a) p (𝓝 (f a))
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' S : Submodule R M
⊢ Nat.card M = Nat.card ↥S * Nat.card (M ⧸ S)
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : Set.range f ⊆ Set.range g
⊢ Ordinal.lsub f ≤ Ordinal.lsub g
θ : Real.Angle
⊢ θ - ↑π = θ + ↑π
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)
⊢ deriv (fun x => ↑(g x)) s = ↑g'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖x‖ = √(RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
⊢ MeasurableSingletonClass α
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : M
⊢ x ∈ p → y ∈ p → x - y ∈ p
α : Type u_1
a : α
x : Option α
⊢ (HOrElse.hOrElse (some a) fun x_1 => x) = some a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (zmodEquivTrunc p n).toRingHom.comp ((PadicInt.toZModPow n).comp (toPadicInt p)) = (truncate n).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
⊢ M.toNFA.accepts = M.accepts
x : ℝ
z : ℍ
⊢ (x +ᵥ z).im = z.im
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
cp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ n → (p ^ m).coeff (m * n) = p.coeff n ^ m := fun {m n} {p} => coeff_pow_of_natDegree_le
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → Option σ
⊢ (Computable₂ fun a n => (Encodable.decode n).bind (f a)) ↔ Computable₂ f
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq β
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : β
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inr i) x (Sum.inr j) = Function.update (f ∘ Sum.inr) i x j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
⊢ ContinuousOn (↑I.symm) s
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y.toTopCat
x : ↑X.toTopCat
hx : f.val.base x ∈ U
⊢ Y.presheaf.germ ⟨f.val.base x, hx⟩ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x =
  f.val.c.app (Opposite.op U) ≫ X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this✝ : Fintype ↑t
this : Fintype ↑s
⊢ Fintype.card ↑s < Fintype.card ↑t
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
b : Fin n
ha : a ≠ 0
⊢ a.succAbove b = 0 ↔ b = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
f : (a : α) → σ a → β
⊢ ∑ a ∈ s, ∑ s ∈ t a, f a s = ∑ x ∈ s.sigma t, f x.fst x.snd
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∉ s
⊢ (Finset.cons b s h).sup f = f b ⊔ s.sup f
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : FreeGroup α →* FreeGroup β
hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = FreeGroup.of (f x)
x : FreeGroup α
⊢ g x = (FreeGroup.map f) x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
h : UpperSemicontinuous f
s : Set α
⊢ UpperSemicontinuousOn f s
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝓟 s ≤ 𝓟 t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ modifyNth f n l = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
NormedLatticeAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
OrderedSMul ℝ E
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 2
α β : Type u
h : α = β
x y : α
⊢ cast h x = cast h y ↔ x = y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V
⊢ Sbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝¹ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
σ : Perm (Fin n)
x✝ : σ ∈ univ
⊢ (-1 * sign σ) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ q.lift (x + y) = q.lift x + q.lift y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel (f - g)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
⊢ Metric.hausdorffDist s t ≤ r
S : Type u_3
Semigroup S
a b c : S
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
⊢ Commute (a * b) c
α : Type u_1
β : Type u_2
c : α
Add α
AddCommMonoid β
s : Multiset (α → β)
hs : ∀ f ∈ s, Function.Periodic f c
⊢ Function.Periodic s.sum c
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a)