ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ t.card - s.card ≤ (t \ s).card
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
⊢ B * B⁻¹ = 1
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
f : ℕ → G
k : ℕ
h : Summable f
⊢ ∑ i ∈ Finset.range k, f i + ∑' (i : ℕ), f (i + k) = ∑' (i : ℕ), f i
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
f : α →* H
a b : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f b})
⊢ ↑((f.fiberEquiv a b).symm g) = a * (b⁻¹ * ↑g)
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ AddAction.stabilizer G ↑s = AddAction.stabilizer G s
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o ↔ 0 < o
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
⊢ (q + p).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ {0}ᶜ, x + a • y ∈ {x}ᶜ
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∈ l
y : α
⊢ ∀ (h : x ∈ y :: l) (hy : x ≠ y), x ≠ (y :: l).getLast ⋯ → (y :: l).next x h = l.next x ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (Submonoid.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ↑(mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
A : Type u_3
TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
t : ↑unitInterval × A
⊢ (F.prod G) t = (F t, G t)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
self : HenselianRing R I
f : R[X]
⊢ f.Monic →
  ∀ (a₀ : R),
    Polynomial.eval a₀ f ∈ I →
      IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (Polynomial.derivative f))) → ∃ a, f.IsRoot a ∧ a - a₀ ∈ I
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
bi : M
i : ι
h : b i = bi
⊢ (b.reindexRange.repr x) ⟨bi, ⋯⟩ = (b.repr x) i
α : Type u
Fintype α
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.mk α) = Fintype.card α
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (∃ S ⊆ {t | IsOpen t ∧ Dense t}, S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsOpen t) ∧ (∀ t ∈ S, Dense t) ∧ S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K
⊢ ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (↑(re z) + ↑(im z) * I)‖ = ‖↑(re z) + ↑(im z) * I‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 < R
hc : ContinuousOn f (Metric.sphere c R)
hf : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
hlt : ∃ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ < C
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ < 2 * π * R * C
⊢ finRotate 1 = Equiv.refl (Fin 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y
⊢ ((x₁, y₁) ~ᵢ (x₂, y₂)) ↔ (x₁ ~ᵢ x₂) ∧ (y₁ ~ᵢ y₂)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃
⊢ ∀ (x : α), lookup x s₁ = lookup x s₂
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
a : A
⊢ star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryProduct G H
⊢ IsCoseparator (G ⨯ H) ↔ IsCoseparating {G, H}
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
⊢ ∃ c, c • x = y
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : sheafify J P ⟶ Q
h : (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ γ = η
γ' : (presheafToSheaf J D).obj P ⟶ { val := Q, cond := hQ } := { val := γ }
⊢ γ'.val = (((sheafificationAdjunction J D).homEquiv P { val := Q, cond := hQ }).symm η).val
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < Real.pi / 2
⊢ x ≤ Real.tan x
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≤ 0
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinite
hy : ¬y.Infinite
⊢ (x * y).st = x.st * y.st
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (coeff R p n) (((frobenius (Ring.Perfection R p) p).comp (pthRoot R p)) x) = (coeff R p n) ((RingHom.id (Ring.Perfection R p)) x)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMul R V
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
Zero R
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • y)).coeff a =
  ∑ ij ∈ Finset.VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((HahnModule.of R).symm y).coeff ij.2
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u} n
φ φ' ψ ψ' : Type u
f₀ : α.Arrow α'
g₀ : β.Arrow β'
f₁ : φ → φ'
g₁ : ψ → ψ'
⊢ (TypeVec.prod.map f₀ g₀ ::: Prod.map f₁ g₁) = TypeVec.prod.map (f₀ ::: f₁) (g₀ ::: g₁)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0
⊢ ConcaveOn ℝ D f
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜
⊢ Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜.compls
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.op.toSubsemiring = S.op
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
x : ↑P α
f : α → β
⊢ (P.map f x).fst = x.fst
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)
this : IsReflexive R N
⊢ (map e.flip.symm p).dualAnnihilator = map e p.dualCoannihilator
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
C : ℝ
hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C
⊢ (∏ i : Fin n, |R i|) * C * (volume (Icc 0 fun x => 2 * π)).toReal = ((2 * π) ^ n * ∏ i : Fin n, |R i|) * C
x : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ (-x).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg i) = -x.moveLeft i
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r⁻¹
⊢ Stream'.nats = Stream'.cons 0 (Stream'.map Nat.succ Stream'.nats)
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
f : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I₀
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J
S : Type u_4
M : Type u_5
Mul M
SetLike S M
self : MulMemClass S M
s : S
a b : M
⊢ a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ stdSimplex 𝕜 (Fin 2) = [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 0 < k
⊢ (hasseDeriv k) 1 = 0
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
⊢ f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.inverse C).map f).f = f.f.f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
Y : C
f : Y ⟶ unop X
⊢ (F₁.map f.op) x = (F₁.map f.op) y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ιX : Type u_5
ιY : Type u_6
px : ιX → Prop
py : ιY → Prop
sx : ιX → Set X
sy : ιY → Set Y
x : X
y : Y
hx : (𝓝 x).HasBasis px sx
hy : (𝓝 y).HasBasis py sy
⊢ (𝓝 (x, y)).HasBasis (fun i => px i.1 ∧ py i.2) fun i => sx i.1 ×ˢ sy i.2
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_left : (n : Nat) → motive 0 n
zero_right : (m : Nat) → motive m 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recDiagAux zero_left zero_right succ_succ 0 n = zero_left n
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
z : ℤ√d
⊢ z.norm = 1 ↔ IsUnit z
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : 0 ≤ f'
⊢ Monotone f
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
⊢ (B.restrict W).Nondegenerate ↔ IsCompl W (B.orthogonal W)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)
⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ StrictAnti ![a]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : α
⊢ some a % some b = some (a % b)
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
a✝ : ℕ
⊢ -mk K p (0, ↑(a✝ + 1)) = mk K p (0, -↑(a✝ + 1))
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring
g : C(X, ℝ)
H : g ∈ Metric.ball f ε
m : g ∈ ↑A.toSubsemiring
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
n : ℕ
h : n ≥ 3
⊢ FermatLastTheoremFor n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) a ≠ 0
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
⊢ ker f ≠ ⊥
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K
⊢ minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Batteries.AssocList α β
⊢ l.isEmpty = l.toList.isEmpty
α : Type u
β : Type u_1
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (l.zip l').length
⊢ i < l'.length
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.bmex f ≤ o.blsub f
a b c : Prop
⊢ a ∧ b ∨ c ↔ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (deriv f) s
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f g : α →ₙ+* β
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
Q : CategoryTheory.Functor A B
V : CategoryTheory.Functor B D
U : CategoryTheory.Functor A C
R : CategoryTheory.Functor C D
comm : U.comp R ≅ Q.comp V
U.IsRightAdjoint
CategoryTheory.MonadicRightAdjoint V
R.IsRightAdjoint
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers A
⊢ Q.IsRightAdjoint
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
Module Rᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R M
⊢ TensorAlgebra.toTrivSqZeroExt ((TensorAlgebra.ι R) x) = TrivSqZeroExt.inr x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
x y : α
IsRefl α r
h : IsChain r s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ r x y ∨ r y x
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
X : Set α
⊢ M.Indep (X ∩ I)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.Measure α
⊢ m.bind MeasureTheory.Measure.dirac = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ
⊢ ⨆ b, ∫⁻ (a : α), ∑ i ∈ b, f i a ∂μ = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : SemilatticeSup α
s : α → Set β
t : α → Set γ
hs : Monotone s
ht : Monotone t
z : β
w : γ
⊢ (z, w) ∈ ⋃ x, s x ×ˢ t x ↔ (z, w) ∈ (⋃ x, s x) ×ˢ ⋃ x, t x
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
⊢ False
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s : ℕ → Set α
⊢ MeasureTheory.extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), MeasureTheory.extend m (s i)
m n : ℕ
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin n
⊢ Fin.append u v (Fin.natAdd m i) = v i
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Set β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • symmDiff s t = symmDiff (a • s) (a • t)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ f.eraseLead.natDegree = f.natDegree - 1
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a b : Doset.Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K
⊢ a ≠ b → Disjoint (Doset.doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (Doset.doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
Y : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace Y
g : X → Y
f : Y → E
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map g μ)
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫ (y : Y) in s, f y ∂Measure.map g μ = ∫ (x : X) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
hH : f.ker ≤ H
hK : f.ker ≤ K
hf : Subgroup.map f H = Subgroup.map f K
⊢ H = K
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ degreeLT R n
x : R
⊢ (p.sum fun e a => a * x ^ e) = ∑ i : Fin n, (degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ i * x ^ ↑i
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableMul M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => f x * c) μ
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ hU.fromSpec ''ᵁ PrimeSpectrum.basicOpen f = X.basicOpen f
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 m < xn a1 (n + 1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ
⊢ addRothNumber (range M ∪ map (addLeftEmbedding M) (range N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (map (addLeftEmbedding M) (range N))
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w.comap (RingHom.id K) = w
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ mulTSupport f = ∅ ↔ f = 1
R : Type u_6
M : Type u_7
Ring R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_8
Module.Finite R M
b : Basis ι R M
⊢ Finite ι
α : Type u_3
Group α
a : α
⊢ (↑(Subgroup.zpowers a)).Infinite ↔ ¬IsOfFinOrder a
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 0 → (p x ↔ x ∈ t)
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∑ i ∈ t, f i
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.symm.toPartialEquiv = e.symm
M : Type u_11
N : Type u_12
Monoid N
SMul M N
H : ∀ (x : M) (y : N), y * x • 1 = x • y
⊢ SMulCommClass M N N
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(affineSpan k s).direction
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
f : α × β
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)).symm f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ
⊢ (μ.tilted fun x => c) = (μ Set.univ)⁻¹ • μ
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ μ ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → μ s ≤ m s
α : Type u
self : UniformSpace.Core α
⊢ 𝓟 idRel ≤ self.uniformity
G : Type u
Monoid G
⊢ ∀ (x : ↑(MonCat.of G)) (x_1 : G), (Action.leftRegular G).ρ x x_1 = x * x_1
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
⊢ (sSup s).toReal = sSup (ENNReal.toReal '' s)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ f ((AffineMap.lineMap a b) r) < (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ↔
  slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r) < slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L
⊢ I ≤ Jᵛ ↔ I * J ≤ 1ᵛ
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.pathGraph n).Preconnected
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
⊢ 0 < ↑(Nat.card ↥H) ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
g : OneHom N P
f₁ f₂ : OneHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul β α
p : Prop
Decidable p
a b : α
c : β
⊢ (c • if p then a else b) = if p then c • a else c • b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j = f'.π.app { as := j }
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
ba : b ≤ a
⊢ (-(a - b)).Nonneg
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ T =Θ[Filter.atTop] AkraBazziRecurrence.asympBound g a b
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (↑q / x)
⊢ Irrational x
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
x : L i
y : L j
⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = if hij : i = j then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ ↑⊥ = {0}
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
u : Q
⊢ (f.map hy k) z = u ↔ k.toMap (g (f.sec z).1) = k.toMap (g ↑(f.sec z).2) * u
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
q : R →+* S₁
r : R
hr : ∀ (r' : R), q r' = 0 ↔ r ∣ r'
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.C r ∣ φ ↔ (MvPolynomial.map q) φ = 0
n : ℕ
c : Composition n
h : 0 < n
⊢ c.blocks.sum = n
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ CategoryTheory.Limits.pushoutComparison G f g ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.pushout.desc h k w) =
  CategoryTheory.Limits.pushout.desc (G.map h) (G.map k) ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (𝟙 K[X] - PInfty).f n ≫ PInfty.f n = 0