ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hK : μ A < μ K + ε
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (a : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, -f a ∂μ
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
StrongRankCondition R
Module.Free R M
Module.Free R M'
Module.Finite R M
Module.Finite R M'
⊢ FiniteDimensional.finrank R (M × M') = FiniteDimensional.finrank R M + FiniteDimensional.finrank R M'
α : Type u_1
E I X J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).Basis J X ↔ J = X ∩ I
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ (Set.uIcc a b).Nonempty
R : Type u
Semiring R
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
f g : R[X] →ₗ[R] M
h : ∀ (n : ℕ), f ∘ₗ Polynomial.monomial n = g ∘ₗ Polynomial.monomial n
⊢ f = g
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
self : CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g)
R : Type u_1
Mul R
c : R
h : IsRightRegular c
⊢ IsSMulRegular R (MulOpposite.op c)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ homMk (mk s s hs) = 𝟙 ((Q W).obj X)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∉ s
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s) ∧ IsCompact (some ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ : M
inst✝³ : T2Space M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : M → G
hg : SmoothOn I 𝓘(ℝ, G) g (chartAt H c).source
x : M
hx : x ∈ tsupport fun x => ↑f x • g x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, G) ⊤ (fun x => ↑f x • g x) x
β : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
f : ℕ → β → F
u : ℕ → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun N x => ∑ n ∈ Finset.range N, f n x) (fun x => ∑' (n : ℕ), f n x) Filter.atTop s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j
⊢ (B (v i)) (v j) = 0
p m n k : Nat
hmn : m ≤ n
hdiv : p ^ n ∣ k
⊢ p ^ m ∣ k
n : ℕ
⊢ n.primeFactorsList = [] ↔ n = 0 ∨ n = 1
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ + n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ + n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
r : ℝ
⊢ RCLike.re ((algebraMap ℝ K) r) = r
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₂ adj₃) β) =
  (CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₃) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp β α)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ), (𝟙 X).left.app X_1 = 𝟙 (X.left.obj X_1)
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan @RingHom.FiniteType
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
b : β
⊢ {a} • {b} = {a • b}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
⊢ (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.37168
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
s : T
⊢ (aeval (Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val))) ((fun x => Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r => (rename Sum.inr) (P.σ r) * (monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1) s) = s
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 < a
hmn : m < n
⊢ a ^ m < a ^ n
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
Zero N
f : Π₀ (i : ι), η i →₀ N
s : (i : ι) × η i
⊢ (sigmaFinsuppEquivDFinsupp.symm f) s = (f s.fst) s.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < 0 • b
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₕ Y
⊢ ContractibleSpace X ↔ ContractibleSpace Y
a : { x // 0 < x }
⊢ Isometry fun x => a • x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ker (f ^ m) ⊔ range (f ^ m) = ⊤
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }
a : ε
⊢ (ep.subtypeCongr en) a = if h : p a then ↑(ep ⟨a, h⟩) else ↑(en ⟨a, h⟩)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p = ∑ i ∈ p.support, (Polynomial.monomial i) (p.coeff i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ ⊤.toIdeal = ⊤
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
⊢ x ⊔ y < z
f : ℂ[X]
hf : 0 < f.degree
⊢ ∃ z, f.IsRoot z
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ x ^ OfNat.ofNat n = x ^ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ι R = f ↔ g = (lift R) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
X Y : CategoryTheory.WithTerminal C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.lift F M hM).map f =
  match X, Y, f with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.of y, f => F.map (CategoryTheory.WithTerminal.down f)
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.star, x_1 => M x
  | CategoryTheory.WithTerminal.star, CategoryTheory.WithTerminal.star, x => CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq β
i : β → γ
j : γ → β
h : Function.LeftInverse j i
a : β
⊢ a ∈ Finset.image j {i a}
R : Type u_1
Bornology R
Mul R
BoundedMul R
s t : Set R
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s * t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
TopologicalSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
K : ℝ≥0
ha : ∀ (a : α), Continuous fun y => f (a, y)
hb : ∀ (b : β), LipschitzWith K fun x => f (x, b)
⊢ Continuous f
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ
⊢ ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ v ∈ {v | (f v :: v) ∈ S}
α : Type u_1
ι'' : Type u_6
Preorder ι''
l : Filter α
s : ι'' → Set α
self : l.HasAntitoneBasis s
⊢ Antitone s
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α
⊢ ¬none < a
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h : minpoly A pb.gen = minpoly A pb'.gen
f : A[X]
⊢ (pb.equivOfMinpoly pb' h) ((Polynomial.aeval pb.gen) f) = (Polynomial.aeval pb'.gen) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : CategoryTheory.Over A
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYoneda A).obj η = CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η.hom
z : ↥circle
⊢ ↑z ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
a₁ a₂ : α
b : β
⊢ (a₁, b) ⩿ (a₂, b) ↔ a₁ ⩿ a₂
x : ℤ
r : ℝ
⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉ ⌊↑x + r⌋
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
⊢ p₁.natDegree + q₂.natDegree = p₂.natDegree + q₁.natDegree
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
⊢ -Int.log b r⁻¹ = Int.clog b r
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
⊢ IsSt (Germ.map₂ f x y) (f r s)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ⋯.choose = Q.polarBilin
G : Type u_3
Group G
a x y b : G
⊢ SemiconjBy (b * a * b⁻¹) (b * x * b⁻¹) (b * y * b⁻¹) ↔ SemiconjBy a x y
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1
⊢ ls.fstIdx ≠ some i
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
R : Type u_4
CommRing R
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
⊢ (χ.ringHomComp f)⁻¹ = χ⁻¹.ringHomComp f
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ⊤ ≤ b
ht : b = ⊤ → ⊤ = ⊤
⊢ ⊤.toReal ≤ b.toReal
n : Nat
x y : Int
⊢ BitVec.ofInt n (x + y) = BitVec.ofInt n x + BitVec.ofInt n y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
f : Y → X
h : Continuous f
hp : ∀ (x : Y), p (f x)
⊢ Continuous fun x => ⟨f x, ⋯⟩
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : T2Space β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝⁴ : l.IsCountablyGenerated
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : SecondCountableTopology γ
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
g : β → γ
hg : Measurable g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
⊢ MeasurableSet {x | Tendsto (fun b => dist (f b x) (g x)) l (𝓝 0)}
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
a b : Prop
⊢ Xor' a b ↔ (a ↔ ¬b)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
h'f : Measurable f
t : Set E
ht : MeasurableSet t
⊢ (Measure.map f ((μ.restrict s).withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) t = (μ.restrict (f '' s)) t
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout b.fst b.snd 0 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) + (κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ + η
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : ↑G'.verts
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.coe.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet ↑v)
⊢ G'.coe.degree v = G'.degree ↑v
α : Type u
l : List α
x : α
⊢ [x] ~r l ↔ [x] = l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra G
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransEq h).hom.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
n : S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftFunctor C n).obj X).obj = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X.obj
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
⊢ IntervalIntegrable f μ (b₁ ⊓ b₂) (b₁ ⊔ b₂)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ
h : i + 1 ≤ n
⊢ 0 = r ^ (i - n) * ↑(i.choose n)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.eraseAddHom a) f = Finsupp.erase a f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Iio a)
l : Filter β
⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot
M : Type w
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
c' : c → M
f₁' : f₁ → M → M
f₂' : f₂ → M → M → M
r₁' : r₁ → Set M
r₂' : r₂ → M → M → Prop
c₀ : c
x : Fin 0 → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap c₀ x = c' c₀
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
p p' : Prop
q q' : p → Prop
hq : ∀ (h : p), q h ↔ q' h
hp : p ↔ p'
⊢ (∀ (h : p), q h) ↔ ∀ (h : p'), q' ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
⊢ ps ⊆ ↑⊤
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intTrace A B) x) = (trace K L) ((algebraMap B L) x)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))
R : Type uR
Ring R
r : R → R → Prop
a : R
⊢ -{ toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) (-a) }
x : PartENat
⊢ x = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∈ t
⊢ (s + t).erase a = s + t.erase a
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra Rₘ S
IsScalarTower R Rₘ S
x : S
hx : IsIntegral Rₘ x
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map (f ≫ f') = { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f ≫ { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f'
⊢ ¬Summable fun n => 1 / ↑n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, EMetric.ball x ε ⊆ s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : α → β
x : Filter α
y : ι → Filter β
⊢ Filter.Tendsto f x (⨅ i, y i) ↔ ∀ (i : ι), Filter.Tendsto f x (y i)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
⊢ Monotone (Multiset.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Continuous g
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : ↥(Submodule.map (LinearMap.fst R E F) g)
⊢ (↑x, ↑g.toLinearPMap x) ∈ g
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ diam {x, y, z} = max (max (edist x y) (edist x z)) (edist y z)
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
ι : Sort u_3
S : ι → IntermediateField F E
⊢ ↑(iInf S) = ⋂ i, ↑(S i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
s : Set M
x : M
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : SmoothWithinAt I I' f s x
hg : SmoothWithinAt J J' g r y
⊢ SmoothWithinAt (I.prod J) (I'.prod J') (Prod.map f g) (s ×ˢ r) (x, y)
α : Type u_1
l₂ : List α
a : α
DecidableEq α
l₁ : List α
h : ¬a ∈ l₂
⊢ (a :: l₁) ∩ l₂ = l₁ ∩ l₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hm : Surjective m
⊢ comap m f = ⊥ ↔ f = ⊥
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
⊢ cons a (snoc q b) i = snoc (cons a q) b i
a b c : Nat
⊢ min (a + b) (a + c) = a + min b c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
⊢ hg.compLp g0 0 = 0
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.boundaries.orderEmbOfFin ⋯ = c.boundary
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
x✝ : a = 0 ∧ b = 0
ha : a = 0
hb : b = 0
⊢ gcd a b = 0
f : ℝ
⊢ f⁻¹.cauchy = f.cauchy⁻¹
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Finset α
⊢ s ∈ Finset.powersetCard n t ↔ s ⊆ t ∧ s.card = n
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
SemilatticeSup α
i : ι
f g : ι →₀ α
⊢ (f ⊔ g) i = f i ⊔ g i
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
⊢ DFinsupp.sumAddHom (DFinsupp.singleAddHom β) = AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.cosh (f x)
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a.castSucc = b.castSucc ↔ a = b