ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring M
Semiring M'
Module R M
Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m₁ s₁ * IsLocalizedModule.mk' f m₂ s₂ = IsLocalizedModule.mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂)
M : Type u_1
Inv M
a : M
⊢ DomMulAct.mk a⁻¹ = (DomMulAct.mk a)⁻¹
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : Presheaf C X
𝒢 : Presheaf C Y
H₂ : (pushforward C H₁.hom).obj ℱ ⟶ 𝒢
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ U = (Opens.map H₁.hom).op.obj (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
⊢ (if n✝ = 0 then ↑n✝ + 1 else 0) = if n✝ = 0 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet (s \ t n ∪ s ∩ t n)
ι : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ (Cardinal.prod fun x => a) = a ^ Cardinal.mk ι
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup Gˣ
x : Gˣ
⊢ ↑x ∈ H.ofUnits ↔ x ∈ H
G : Type u
Group G
⊢ Abelianization.map (MonoidHom.id G) = MonoidHom.id (Abelianization G)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ∈ Set.Ico a b ↔ a < b
ι : Type v
M : Type u_1
S : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeAddMonoidHom A) ((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) x) = ↑x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : HasInitial C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ to P ≫ f = to Q
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Set β
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val) ↔ Multipliable (s.mulIndicator f)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (cthickening ε s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ ∃ r, ∀ (i : Fin (m + 1)), dist ((s.face h).points i) s.circumcenter = r
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (𝟙 f✝)).app X = (𝟙 ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map f✝)).app X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ (α.comp (-β) h).hom = (-α.comp β h).hom
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0
⊢ p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
o : Ordinal.{u}
⊢ enumOrd S o ∈ S ∩ Ici (o.blsub fun c x => enumOrd S c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
⊢ (∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ∀ y ∈ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I, (↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) y = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) y
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹
⊢ Real.tan (π / 2 - x✝¹ + ↑k * π) = Real.tan (π / 2 - x✝¹)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r s}
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
H : a ∈ s
⊢ {a} ∩ s = {a}
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ edist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ edist p₁ p₃ + edist p₂ p₄
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x⁻¹ = (NNReal.sqrt x)⁻¹
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
hx : x ∈ s
⊢ s.WOppSide y ((AffineEquiv.pointReflection R x) y)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : h.finpartition.part ↑⟨a, ⋯⟩ = h.finpartition.part ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
α : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
⊢ AlexandrovDiscrete α → AlexandrovDiscrete α → AlexandrovDiscrete α
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]
⊢ ((Polynomial.aeval f) p).IsSemisimple
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyι (S.asIsoHomologyι hg).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.homology
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
h : (idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)).IsMaximal
⊢ ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
RingHomSurjective τ₁₂
RingHomSurjective τ₂₃
RingHomSurjective τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ LinearMap.range (g.comp f) = Submodule.map g (LinearMap.range f)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
⊢ ℕ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ α.homFromEquiv.symm g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom g
R : Type u_1
CommRing R
Invertible 2
⊢ 2 * Polynomial.C ⅟2 = 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ μ ↑I < ⊤
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
G'' : SimpleGraph X
f' : G' ↪g G''
f : G ↪g G'
⊢ ⇑(f'.comp f) = ⇑f' ∘ ⇑f
M' : Type u_1
X : Type u_5
SMul M' X
Y : Type u_6
SMul M' Y
F : Type u_8
FunLike F X Y
MulOneClass X
SMul X Y
IsScalarTower M' X Y
MulActionHomClass F X X Y
⊢ MulActionHomClass F M' X Y
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K K' : Subgroup N
⊢ K ≤ K' → Subgroup.comap f K ≤ Subgroup.comap f K'
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (algebraMapSubmonoid B M)
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (TensorProduct.rid K V).symm ((TensorProduct.lid K V) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))
α : Type u_1
SizeOf α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~ l₂
⊢ sizeOf l₁ = sizeOf l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → List β
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.bind f ~ l₂.bind f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S T : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.comap f (S ⊓ T) = AddSubsemigroup.comap f S ⊓ AddSubsemigroup.comap f T
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hs : ⋃ i, s i = Set.univ
⊢ μ = ν ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
R : Type u
Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
A : ι → Submodule R M
s : Set ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i
⊢ DirectSum.IsInternal fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(U * A).card / ↑U.card * ↑(U * C).card
α : Type u
Preorder α
a b c : α
⊢ a ≥ b → b ≥ c → a ≥ c
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
p : V × V
h : G.Adj p.1 p.2
⊢ { toProd := p, adj := h }.symm = { toProd := p.swap, adj := ⋯ }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransEq h).inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.V
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s✝ t✝ u✝ v s t u : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : Disjoint a b
c : α
hc : c ∈ u
habc : Disjoint a c ∧ Disjoint b c
⊢ ∃ a_1 ∈ s, ∃ b_1, (∃ a ∈ t, ∃ b ∈ u, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = b_1) ∧ Disjoint a_1 b_1 ∧ a_1 ⊔ b_1 = a ⊔ b ⊔ c
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
⊢ g.dens n = (g.conts n).b
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ B) id
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
hd : ∀ {ι' : Type ?u.7040} {l : Filter ι'} (w : ι' → AddCircle T) (δ : ι' → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι') in l, d ∈ closedBall (w j) (1 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (s ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
⊢ μ s = ENNReal.ofReal T
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformRight e x).1 = x.1 ∪ (AddOpposite.op e +ᵥ x.1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
⊢ ∀ t_1 ∈ range t, MeasurableSet t_1
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ 1 < 2
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ ¬LindelofSpace X ↔ NonLindelofSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousWithinAt f s x
ht : Set.MapsTo f s t
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] f x)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : Preorder G
inst✝ : CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : G
H : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ n
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) D
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.inclDesc F i).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F i).obj X)
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
⊢ x ^ k * f ≤ 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f = ⊥ ↔ f = 0
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) t
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
⊢ Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
X : TwoP
⊢ ∀ (a : ((𝟭 TwoP).obj X).toBipointed.X),
  (TwoP.swapEquiv.unitIso.hom.app X).toFun a =
    (𝟙 (TwoP.swap.obj (TwoP.swap.obj X))).toFun
      (({ toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫
            TwoP.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫
              TwoP.swap.map (TwoP.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ })).toFun
        a)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ Set.univ = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ↑(finrank ℚ K) * ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (↑(finrank ℚ K))⁻¹ ≤ B
α : Type u_1
Inhabited α
⊢ outOfBounds = default
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
⊢ ∃ b ≤ a, Icc b a ∈ 𝓝[≤] a ∧ Icc b a ⊆ s
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
w : α
hp : p w
hq : q w hp
H : ∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = w
⊢ ∃! x, ∃! hx, q x hx
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ ∃ ψ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.s φ.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.f φ.s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
⊢ Disjoint ((partialSups d) n) (d (n + 1))
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx✝⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
γ : Path (p 0) (p ↑n)
h₁ : range ⇑γ ⊆ s
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, γ y = p i
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ ↑↑q = ↑q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
h : ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
⊢ s.OrdConnected
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
hm : m ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support
⊢ m j ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S T : NonUnitalSubsemiring R
h : ∀ (x : R), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
⊢ ℤ
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
⊢ X ∩ M.E ⊆ M.closure X
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = a ∨ max a b = b
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0
⊢ ∀ a_1 ∈ antidiagonal n, (if a_1.2 < n then (coeff R a_1.1) φ * (coeff R a_1.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).1) φ * (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
⊢ S₂.ShortExact
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ (LieModule.maxTrivEquiv e).symm = LieModule.maxTrivEquiv e.symm
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑b))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
g : α → γ
hf : Filter.EventuallyConst f l
op : β → γ → δ
hg : Filter.EventuallyConst g l
⊢ Filter.EventuallyConst (fun x => op (f x) (g x)) l
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
c : ℝ≥0∞
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), t.indicator (Function.const (α × β) c) (a, b) ∂κ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂
⊢ s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ (t₁ ∪ t₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₂'.X₃ = S.L₃.X₂
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Computable₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)
⊢ Computable₂ f
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.Ioc a b = Finset.fin n (Finset.Ioc ↑a ↑b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (TensorProduct.lid R M).symm m = 1 ⊗ₜ[R] m
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_12
M : Matrix m n α
p : m → Prop
q : n → Prop
i : { a // p a }
j : { a // q a }
⊢ M.toBlock p q i j = M ↑i ↑j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
⊢ krullDim α = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable l.sum
P : Type u_3
Mul P
S : Subsemigroup P
⊢ Subsemigroup.comap (MulHom.id P) S = S
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ