ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion.comp CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion =
  AlgHom.id R (CliffordAlgebra (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂))
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
d : Dir
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
i : ℕ
IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)
T : Tape Bool
⊢ stepAux ((Stmt.move d ∘ (Stmt.move d)^[i]) q) v T = stepAux q v (((Tape.move d)^[i] ∘ Tape.move d) T)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f)
⊢ f = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
⊢ Ideal.span {↑↑n} = ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
P : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
Nontrivial ι
b : AffineBasis ι 𝕜 P
i : ι
⊢ IsOpenMap ⇑(b.coord i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (f.source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
a : Fin (n + 1) → ℕ
⊢ (map d) a = a 0 + (∑ x : Fin n, a x.succ * d ^ ↑x) * d
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}
z : β → α
hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y
I : InjOn f s
fs_count : (f '' s).Countable
⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
⊢ FreeAddMonoid.map (g ∘ f) = (FreeAddMonoid.map g).comp (FreeAddMonoid.map f)
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
f : R →+* S
⊢ ((MvPolynomial.map f) φ).IsSymmetric
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.flipEquivalence.unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Square C))
I : Type u
R : Type u_1
f : I → Type v
⊢ ∀ {x : CommSemiring R} [_s : (i : I) → Semiring (f i)] [inst : (i : I) → Algebra R (f i)] (a : R) (i : I),
  (algebraMap R ((i : I) → f i)) a i = (algebraMap R (f i)) a
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeSemigroup α
⊢ f <$> (x * y) = f <$> x * f <$> y
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ IsLocalization.IsInteger R 0
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
Add G
ContinuousAdd G
ContinuousNeg G
⊢ Continuous fun g => g.1 + g.2 + -g.1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ENNReal
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (c : α), ENNReal.funMulInvSnorm f p μ c ^ p ∂μ = 1
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : (cyclotomic n ℝ).coeff 0 = 1
⊢ 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
num✝¹ num✝ : ℤ
denom✝¹ denom✝ : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat denom✝) = num✝.mul (Int.ofNat denom✝¹)) = false
⊢ ¬↑num✝¹ * ⅟↑denom✝¹ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
Y₃ : C
g : Z₂ ⟶ Y₃
h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'
T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h
hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1
⊢ False
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ b ∈ ↑I, dist f b < ε
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J
⊢ ∀ ⦃y : Set α⦄, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) y ∧ I ⊆ y ∧ y ⊆ A → J ⊆ y → J = y
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
f : (i : Fin 2) → (fun a => Fin 2 → ℝ) i
i : Fin 2
⊢ ∀ (a : Fin 2),
  (ModularGroup.lcRow0Extend hcd) f i a =
    (![(LinearMap.GeneralLinearGroup.generalLinearEquiv ℝ (Fin 2 → ℝ))
            (Matrix.GeneralLinearGroup.toLinear (Matrix.planeConformalMatrix (↑(cd 0)) (-↑(cd 1)) ⋯)),
          LinearEquiv.refl ℝ (Fin 2 → ℝ)]
        i)
      (f i) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleRotation C).counitIso = CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot
⊢ Filter.comap Complex.exp (Bornology.cobounded ℂ) = Filter.comap Complex.re Filter.atTop
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
⊢ ⇑h ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h.symm x) r
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {n : Nat}, l[n]? = none ↔ l.length ≤ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ (ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f [[a, b]] μ
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
ihb : b.FundamentalSequenceProp b.fundamentalSequence
⊢ (a.oadd m b).FundamentalSequenceProp (match b.fundamentalSequence with | Sum.inr f => Sum.inr fun i => a.oadd m (f i) | Sum.inl (some b') => Sum.inl (some (a.oadd m b')) | Sum.inl none => match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero))
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring S'
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* S'
⊢ (e₁.trans e₂).toRingHom = e₂.toRingHom.comp e₁.toRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Finset β
⊢ StrictMono fun s => s.disjSum t
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 (m + n) = Pell.xn a1 m * Pell.yn a1 n + Pell.yn a1 m * Pell.xn a1 n
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.sum f ≤ Cardinal.mk ι * iSup f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.ρFunctorObj f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.πFunctorObj f πX) =
  CategoryTheory.SmallObject.π'FunctorObj f πX
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hn : n > 0
⊢ cyclotomic n ℤ ∣ X ^ n - 1
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
NormedSpace ℝ F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) μ
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
key : ↑μ s₁ ≤ ↑μ s₂
⊢ (↑μ s₁).toNNReal ≤ (↑μ s₂).toNNReal
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
r : ℝ
l : List ι
hs : ∀ i ∈ ⟦l⟧, 0 ≤ f i
⊢ (Multiset.map (fun x => f x ^ r) ⟦l⟧).prod = (Multiset.map f ⟦l⟧).prod ^ r
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m 1) = f m
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s = s₁ ∧ t = t₁
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsAntisymm β s], IsAntisymm α r
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
comm : Commute g h
j : ℤ
⊢ h ^ j • (MulAction.fixedBy α g)ᶜ = (MulAction.fixedBy α g)ᶜ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1 ~ s2
⊢ LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) (map f s1) (map f s2)
α : Type u
x : α
⊢ (fun x_1 => x) = ![x]
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ ↑(count (normalize a) (normalizedFactors b)) ≤ multiplicity a b
α : Type u_2
DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l
⊢ l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
x✝ : 𝕜
⊢ (fderivWithin 𝕜 f univ x✝) 1 = (fderiv 𝕜 f x✝) 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
h : s = t
x : α
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ t
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
⊢ ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k = 0
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : Quotient.mk' '' K = range F
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
n : ℕ
⊢ ∃ t ⊆ Finset.range n, t.card = rothNumberNat n ∧ ThreeAPFree ↑t
α : Type u_2
Preorder α
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
(i : ι) → Preorder (π i)
f : α →o (i : ι) → π i
i : ι
⊢ OrderHom.piIso f i = (Pi.evalOrderHom i).comp f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ z₁.comp (-z₂) h = -z₁.comp z₂ h
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) * g i ≤ ∑ i : ι, f i * g i
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
⊢ v x ∉ Submodule.span R (v '' s)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
k : ℕ
⊢ M ^ k = (aeval M) (X ^ k %ₘ M.charpoly)
a b c : ℤ
⊢ Fermat42 a b c ↔ Fermat42 b a c
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
i : USize
d : Batteries.AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
⊢ ∃ l₁ l₂, self.val.data = l₁ ++ self.val[i] :: l₂ ∧ l₁.length = i.toNat ∧ (self.update i d h).val.data = l₁ ++ d :: l₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ fract '' s ↔ x ∈ ⋃ m, (fun x => x - ↑m) '' s ∩ Ico 0 1
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ ∀ {a_1 b_1 : Sigma β}, a_1.fst ≠ b_1.fst → ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d
M : Type u_1
A : Type u_4
AddZeroClass A
DistribSMul M A
x : M
⊢ ∀ (x_1 : A), (DistribSMul.toAddMonoidHom A x) x_1 = (fun x x_2 => x • x_2) x x_1
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
⊢ ¬BddBelow s → sInf s = sInf ∅
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
Semiring S
SMul S R
Module S M
IsScalarTower S R M
⊢ Submodule.span S ↑p = Submodule.restrictScalars S p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
MulActionWithZero 𝕜 E
x y : E
⊢ x ∈ [x-[𝕜]y]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
f : N → M × M'
x : N
hf : SmoothAt J (I.prod I') f x
⊢ SmoothAt J I (fun x => (f x).1) x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) ≤ xn a1 (n + 1)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Filter.Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ (v.onQuot ⋯).supp = 0
R : Type u
inst✝² : Ring R
M✝ L M N : ModuleCat R
f : L ⟶ M
inst✝¹ : HasImage f
g : underlying.obj (imageSubobject f) ⟶ N
inst✝ : HasCokernel g
y : ↑N
l : ↑L
⊢ (⇑(cokernel.π g) ∘ ⇑g ∘ ⇑(factorThruImageSubobject f)) l = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
h : ∀ (q : ℚ), x < ↑q ↔ y < ↑q
⊢ x = y
α : Type u
ι : Sort x
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
F : ι → (a : α) → π a
⊢ BddBelow (Set.range F) ↔ ∀ (a : α), BddBelow (Set.range fun i => F i a)
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)
⊢ ∃ a_1, ∃ z ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset, a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) = a_1 * a ^ (n + 1) + z
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
⊢ ↑(MultilinearMap.alternatization m) = ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ m
α : Type u
S : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s.Promises a
⊢ (Computation.parallel S).Promises a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : Y
⊢ (h.symm.trans h) x✝ = (Homeomorph.refl Y) x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Sum.inl_ C D).map f = f
G : Type u_1
Group G
g h : G
⊢ h ∈ Subgroup.zpowers g ↔ ∃ k, g ^ k = h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ Measurable f
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α ↔ ∀ (k : α), CompleteLattice.IsCompactElement k
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
p : M × N
⊢ (p.1, 1) * (1, p.2) = p
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf
⊢ A = B
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
⊢ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
hG : G.IsNClique n s
⊢ ¬G.CliqueFree n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
BorelSpace γ
SecondCountableTopologyEither β γ
MeasurableSpace δ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.comp₂Measurable g hg f₁ f₂ = MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : Associated a₁ a₂
hb : Associated b₁ b₂
⊢ Associated (gcd a₁ b₁) (gcd a₂ b₂)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (⋃ a ∈ s, a • t)
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
⊢ MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
⊢ ↑(ofNatMultiset v h).prod = v.prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
⊢ IsGδ (⋂₀ S ∪ ⋂₀ T)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x : Fin 0 → G
⊢ ‖f x‖ = ‖f‖
α : Type u
Preorder α
s : Set α
ha : Nonempty α
h : ¬BddAbove s
⊢ s.Nonempty
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ MeasureTheory.Measure.haar.index K V
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] s ≤ 1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
hc : b.Countable
⊢ SecondCountableTopology α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f₁ f₂) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.pullback f₁ f₂)
⊢ ∃ x₁ x₂, ∃ (h : f₁ x₁ = f₂ x₂), x = CategoryTheory.Limits.Concrete.pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h