ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∣ generator I ↔ span R {generator I} = Ideal.span {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ s ∪ f ⁻¹' t ⊆ f ⁻¹' (f '' s ∪ t)
b c : SetTheory.Game
⊢ b.LF c → ∀ (a : SetTheory.Game), (a + b).LF (a + c)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m.trim.trim = m.trim
X : Type u_1
TopologicalSpace X
U : Set X
⊢ Perfect U ↔ U = derivedSet U
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Module S M
r : R
s : S
x : M
⊢ (addEquiv R S M).symm ((r • s) • x) = r • (addEquiv R S M).symm (s • x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ rootSpace H 0
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β → β
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
b : β
⊢ Multiset.noncommFoldr f (↑l) comm b = List.foldr f b l
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_1
PartialOrder α
Finite α
a : α
⊢ OrderIso.supIrredLowerSet a = ⟨LowerSet.Iic a, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ (b : ℕ), dist (u (f (b + 1))) (u (f b)) ≤ (1 / 2) ^ b
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
⊢ (C a * X).toFinsupp = Finsupp.single 1 a
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a + (c + 1) < b + d
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ g '' Set.image2 f s t = Set.image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
f : α →+ H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Nat.card α ∣ Nat.card H
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α ↪ β
v w : α →₀ M
⊢ Finsupp.embDomain f (v + w) = Finsupp.embDomain f v + Finsupp.embDomain f w
n : ℕ
x y : Fin (n + 1)
⊢ (∃ z, x.succAbove z = y) ↔ y ≠ x
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 > b
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
n : ℕ
a : α
⊢ ∀ b ∈ Finset.range n, ↑(if hs : MeasurableSet {a | ennrealRatEmbed b ≤ f a} then piecewise {a | ennrealRatEmbed b ≤ f a} hs (const α (ennrealRatEmbed b)) 0 else 0) a < ⊤
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M
⊢ (∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x) ↔ ∃ x_1, ∑ x : α, x_1 x • v x = x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : ℕ → α
⊢ ∃ g, (∀ (n : ℕ), r (f (g n)) (f (g (n + 1)))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ (range fun i => f ⟨i, ⋯⟩) = range f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
ι : Type
w✝ : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → Shrink.{0, u_7} η → α) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l
⊢ ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
h : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ μ univ = ⊤
⊢ {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) ⊆ {x | Liouville x}
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
α : Type u_1
s t✝ : Finset α
n : ℕ
t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
⊢ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ powersetCard n t ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t ∧ { val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = n
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₅
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} C₆
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₄
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₅
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ C₆
R₁ : CategoryTheory.Functor C₄ C₅
R₂ : CategoryTheory.Functor C₅ C₆
CategoryTheory.CatCommSq H₁ L₁ R₁ H₂
CategoryTheory.CatCommSq H₂ L₂ R₂ H₃
X : C₁
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.iso'.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso H₂ L₂ R₂ H₃).inv.app (L₁.obj X))
    (R₂.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso H₁ L₁ R₁ H₂).inv.app X))
α : Type u
β : Type v
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
⊢ (List.Forall₂ r ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) List.Nodup List.Nodup
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f x < x + (↑⌊τ f⌋ + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ (LinearMap.mul' R A) (a ⊗ₜ[R] b) = a * b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f x + r) a = cfc f a + (algebraMap R A) r
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n
⊢ 1 / ε < ↑n + 1
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ x₂ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
q₀ q₁ : Path x₁ x₂
hp : p₀.Homotopic p₁
hq : q₀.Homotopic q₁
⊢ (p₀.trans q₀).Homotopic (p₁.trans q₁)
x : ℝ
hx : ‖x‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * x ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) (Real.arctan x)
n : ℕ
⊢ (OfNat.ofNat n).den = 1
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Surjective ⇑f
h₂ : IsLieAbelian L₁
u v : L₁
⊢ ⁅f u, f v⁆ = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.19876, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c
⊢ S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ hd * tl.prod
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
a : α
⊢ MeasurableSet (MeasurableSpace.countablePartitionSet n a)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ UniformCauchySeqOn F Filter.atTop s ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree < Q.degree
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
s : Set α
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet s → MeasurableSet sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iio x) x ↔ Function.leftLim f x = f x
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.Separable
x : S
hx : Polynomial.eval₂ f x p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f x (Polynomial.derivative p) ≠ 0
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : ι → Submodule R M
t : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f (⨆ i, s i) t = ⨆ i, Submodule.map₂ f (s i) t
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A A' : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
h : A' ≤ A
⊢ DiscreteQuotient.map f cond ∘ DiscreteQuotient.ofLE h = DiscreteQuotient.map f ⋯
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ dist x y
⊢ ENNReal.ofReal d ≤ s.einfsep
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
k : { k // k ∈ Ioo p q }
z : M
hz : z ∈ weightSpace M (↑k • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
p1 p2 p3 : P
h21 : p2 ≠ p1
h32 : p3 ≠ p2
h13 : p1 ≠ p3
⊢ ∡ p1 p2 p3 + ∡ p2 p3 p1 + ∡ p3 p1 p2 = ↑π
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
k : α → G
g' : α → F'
l : Filter α
hfg : f =O[l] g'
hgk : ∀ (x : α), ‖g' x‖ ≤ ‖k x‖
⊢ f =O[l] k
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ b / c < a ↔ c * a < b
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) (fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
P' : Type u_5
inst✝² : CommRing P'
inst✝¹ : Algebra R P'
inst✝ : IsLocalization S P'
x : P
⊢ ∀ (x_1 : P'), x_1 ∈ (canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) ↔ x_1 ∈ spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂_fderiv z τ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.rightUnitor.inv.f =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.src) (CategoryTheory.Limits.terminal.from X.src)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ a • x₀ + b • T x₀ = 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
ha : ‖0‖ ≤ 1
⊢ 0 • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₃ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
⊢ ∃ t, closure {x} ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ‖lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (Quotient.mk' '' t)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
rs : List R
⊢ Ideal.map f (Ideal.ofList rs) = Ideal.ofList (List.map (⇑f) rs)
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (baseChange W B).toAffine.polynomial = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomial
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
⊢ q.k * q.k = -((c₁ * c₂) • 1)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
r : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.infEdist x s < r ↔ ∃ y ∈ s, edist x y < r
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type w
CommRing S
Algebra R S
T : Type z
CommRing T
Algebra R T
f : S →ₐ[R] T
M : Matrix n n S
⊢ f M.det = (f.mapMatrix M).det
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ ↑(PartialHomeomorph.univBall c r).symm c = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
l : List ι
⊢ (∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Continuous (f i)) → Continuous fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) (Quot.mk Setoid.r l)).prod
⊢ Set.SurjOn (⇑expMapCircle) (Set.Ioc (-π) π) Set.univ
R : Type u
Ring R
V W : Type u
AddCommGroup V
Module R V
Module.Finite R V
AddCommGroup W
Module R W
Module.Finite R W
e : V ≃ₗ[R] W
⊢ e.toFGModuleCatIso.hom = ↑e
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ ↑|(-1) ^ ((↑5 - 1) / 2) * ↑↑5 ^ (↑5 - 2)| < (2 * (π / 4) ^ ((↑5 - 1) / 2) * (↑(↑5 - 1) ^ (↑5 - 1) / ↑(↑5 - 1)!)) ^ 2
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun n => MeasureTheory.Measure.sum (μ n)) = MeasureTheory.Measure.sum fun p => μ p.1 p.2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ f =ᶠ[ae (μ.trim hm)] g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
F : Set X
⊢ IsPathConnected F ↔ ∃ x ∈ F, pathComponentIn x F = F
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
a : R
this : (C a).degree < X.degree
⊢ (X + C a).degree = 1
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
⊢ (toAddMonoid f) ((of A xi) xv * (of A yi) yv) = (toAddMonoid f) ((of A xi) xv) * (toAddMonoid f) ((of A yi) yv)
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoid M
a x y : M
h : x = y
⊢ SemiconjBy a x y
α : Type u_1
a b : Set α
h : ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
⊢ a = b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁
⊢ g (f_inv (f x)) = g x
α : Type u_1
S : Finset α
g : α → ℕ
hS : ∀ x ∈ S, g x ≠ 0
⊢ (S.prod g).factorization = ∑ x ∈ S, (g x).factorization
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_15, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_14, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_13, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor (CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj
        X₃).HasMap
    r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorComp₁₂MapObjIso F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃).inv j) =
  CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj (CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n
this : ∑ i' : m, (if i = i' then 1 else 0) * M i' j = M i j
⊢ ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 ᵥ* M) j = M i j
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ -((u ^ 4) ^ 3 * W'.negDblY P) - W'.a₁ * ((u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P) * (u ^ 4 * W'.dblZ P) - W'.a₃ * (u ^ 4 * W'.dblZ P) ^ 3 = (u ^ 4) ^ 3 * (-W'.negDblY P - W'.a₁ * W'.dblX P * W'.dblZ P - W'.a₃ * W'.dblZ P ^ 3)