ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ Algebra.adjoin R {x | x ∈ s} = Algebra.adjoin R ↑s
α β : Type u
f : β → α → β
xs : FreeMonoid α
⊢ (Monoid.Foldl.ofFreeMonoid f) xs = MulOpposite.op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs))
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
s : Set α
⊢ LinearMap.range (Finsupp.totalOn α M R v s) = ⊤
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : Subobject A
inst✝ : HasBinaryProduct f₁ f₂
⊢ f₁ ⊓ f₂ ≤ (f₁ ⨯ f₂)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd : r * s = d ^ 2 ∨ r * s = -d ^ 2
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : Fin (List.zipWith f l l').length
⊢ (List.zipWith f l l').get i = f (l.get ⟨↑i, ⋯⟩) (l'.get ⟨↑i, ⋯⟩)
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : Hamming β
⊢ dist x y = ↑(hammingDist (Hamming.ofHamming x) (Hamming.ofHamming y))
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f vol ↔ Cauchy (Filter.map (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I ⊤))
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i ≤ ⊥
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : ↑X.affineOpens
h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U
⊢ P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩)) ⋯) ↔ P (Hom.appLE f U (↑V) h)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRight L r).obj X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (r.app X.right)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C
⊢ (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ SSet ⊗ sHom K'' L)).inv ≫ (α_ (𝟙_ SSet) (𝟙_ SSet) (sHom K'' L)).inv ≫ ((homEquiv K K') f ⊗ (homEquiv K' K'') f') ▷ sHom K'' L ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K K') (EnrichedCategory.Hom K' K'') (EnrichedCategory.Hom K'' L)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom K K' ◁ eComp SSet K' K'' L ≫ eComp SSet K K' L = (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ p₂ : Path x₀ x₁
h₀ : p₀.Homotopic p₁
h₁ : p₁.Homotopic p₂
⊢ p₀.Homotopic p₂
⊢ Function.Injective ⇑GaussianInt.toComplex
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u
hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u
⊢ LinearMap.ofIsCompl h φ ψ = χ
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
h : r₁ ≤ r₂
⊢ p.ball x r₁ ⊆ p.ball x r₂
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
self : p.IsStronglyCartesian f φ
a' : 𝒳
g : p.obj a' ⟶ R
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift (g ≫ f) φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift g χ ∧ χ ≫ φ = φ'
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄, (∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)) → IsOpen (⋃ i, f i)
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IsBigOWith ((c ^ r⁻¹) ^ r) l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r
X Y Z : CommGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ s.hsum.coeff g = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N
⊢ ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → N),
  FirstOrder.Language.Structure.funMap f x = e (FirstOrder.Language.Structure.funMap f (⇑e.symm ∘ x))
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.sum = Multiset.foldl (fun x x_1 => x + x_1) ⋯ 0 s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ f ≫ (kernel.ι f.op).unop = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0 → μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.split J i x).restrict I = BoxIntegral.Prepartition.split I i x
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a - c ≤ b - c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.R
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : HasDistribNeg α
a b c : α
⊢ (∃ b_1, b = -a * (Equiv.symm (Equiv.neg α)) b_1) ↔ a ∣ b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
f : X₁ ⊞ X₂ ⟶ Y₁ ⊞ Y₂
⊢ ofComponents (biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst) (biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd) (biprod.inr ≫ f ≫ biprod.fst) (biprod.inr ≫ f ≫ biprod.snd) = f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuous (s.restrict f)
⊢ ContinuousOn f s
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set B
hb : s ⊆ e.baseSet
p : ↑(proj ⁻¹' s)
⊢ (e.preimageHomeomorph hb) p = (⟨proj ↑p, ⋯⟩, (↑e ↑p).2)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
d_pos : 0 < pb.dim
d_pos' : 0 < (minpoly K pb.gen).natDegree
this : Nonempty (Fin pb.dim)
⊢ (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ioc a b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
⊢ fderiv 𝕜 f (x + y) = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ min (a / b) (a / c) = a / max b c
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
st : s ≤ t
⊢ pure (t.get h) ≤ pure (s.get ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
a : ℤ√↑d
⊢ a.Nonneg → (-a).Nonneg → a = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).map f).τ₁ = f.f (c.prev i)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ (Filter.cocompact X).coprod (Filter.cocompact Y) = Filter.cocompact (X × Y)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ ⊥.direction = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
a : Filter α
b : E
⊢ Filter.Tendsto f a (𝓝 b) ↔ Filter.Tendsto (fun e => ‖f e / b‖) a (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
f' : α →ₛ G''
hf' : 0 ≤ f'
hff' : ↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑f'
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α →o β
b : β
⊢ b ∈ c.map f → ∃ a ∈ c, f a = b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s t : Set M
ChartedSpace H M
x : M
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S T : Subalgebra R A
S₁ T₁ : Subalgebra R B
⊢ S ≤ T → S₁ ≤ T₁ → S.prod S₁ ≤ T.prod T₁
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ (insert a s).Nonempty
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n : ℕ
h : NeZero ↑n
⊢ NeZero n
M : Type u_3
G : Type u_6
MulOneClass M
CommGroup G
f g : M →* G
x : M
⊢ (f / g) x = f x / g x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hι : #ι < c.cof
⊢ (∀ (i : ι), f i < c) → Ordinal.sup f < c
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ sinh ((dist a b + dist b c) / 2) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))
a : Nat
⊢ a < UInt8.size → ↑(UInt8.ofNat a).val = a
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a
⊢ nfp (fun x => a * x) b = a ^ ω
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
⊢ ∃ i, θ = σ i
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
u : PNat.XgcdType
hr : u.r = 0
⊢ u.q = u.qp + 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
this : ContinuousOn (circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f
⊢ (yoneda.obj s.pt).map g₁.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₁ hf₁) = (yoneda.obj s.pt).map g₂.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₂ hf₂)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s ∪ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s ∪ t → x ≤ y → eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
a : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < 0, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
h : a < 0
⊢ beth a < beth 0
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
Module R M
Module S M
Module A M
Module R N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower S A M
IsScalarTower R S M
f : Module.End A M
g : Module.End R N
⊢ Module.endTensorEndAlgHom (f ⊗ₜ[R] g) = TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
⊢ Tendsto (fun n => approx (n + 1) c x) atTop (𝓝 (midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)))
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
x : ℝ
⊢ ((fun r => r⁻¹) ∘ fun x => rexp x / x ^ n) x = x ^ n * rexp (-x)
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
a b : α
⊢ a ∣ b ∧ b ∣ a ↔ a ~ᵤ b
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c : Concept α β r
⊢ c.swap.swap = c
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Monoid.Coprod.map (MonoidHom.id M) (MonoidHom.id N) = MonoidHom.id (Monoid.Coprod M N)
α : Type u
β : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : MonotoneOn f s
⊢ AntitoneOn (fun x => -f x) s
R : Type u_1
Semiring R
f g : R[X]
⊢ Polynomial.toLaurent f = Polynomial.toLaurent g ↔ f = g
C✝ : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C✝
X✝ Y✝ : PresheafedSpace C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
Y : TopCat
f : Y ⟶ TopCat.of ↑↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
U : Opens ↑↑(X.restrict h)
⊢ (X.restrict h).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (X.ofRestrict h).c.app (op ((opensFunctor (X.ofRestrict h)).obj U))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
⊢ ∫ (x : α), ProbabilityTheory.truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ∂MeasureTheory.Measure.map f μ
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
⊢ h = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ
⊢ p.smeval x * x ^ m * x ^ n = p.smeval x * (x ^ m * x ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.ofMeasurable (fun s x => κ.compProdFun η a s) ⋯ ⋯) s = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
Bornology α
Finite ι
s : ι → Set α
⊢ Bornology.IsBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), Bornology.IsBounded (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
h : ¬∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
⊢ s ⊆ SuccChain r s
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
⊢ ∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
s : Set ι
f : (i : ι) → α i
⊢ (s.pi fun i => Set.Ioi (f i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] s.pi fun i => Set.Ici (f i)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Finset.Ioo a b = ∅
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
⊢ IsUnit L.prod ↔ ∀ m ∈ L, IsUnit m
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π
⊢ x⁻¹ ^ n = (x ^ n)⁻¹
α : Type u_4
SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ‖f n‖ ≠ 0
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, r * ‖f n‖ ≤ ‖f (n + 1)‖
⊢ ¬Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
Preorder β
f : α → β
hne : ∀ (y : β), ∃ x, f x ≤ y
hbdd : ∀ (y : β), BddAbove {x | f x ≤ y}
⊢ IsOrderRightAdjoint f fun y => sSup {x | f x ≤ y}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q
⊢ gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd q.coeff)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
x : ℝ
⊢ ((Ioi 0).indicator fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) = (Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hg : ∀ {x : β}, g x = 1 ↔ x = 1
⊢ HasCompactMulSupport (g ∘ f) ↔ HasCompactMulSupport f
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugateᵀ.map star = (Aᵀ.map star).adjugate
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h : ∀ (x : α), Q x → ∃ a f f', (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ Liftr R x.dest y.dest
G : Type u_1
Monoid G
Subsingleton G
⊢ Monoid.IsTorsionFree G
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : ↑X.affineOpens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ↑U))
⊢ ↑(X.affineBasicOpen f) = X.basicOpen f
f g : ℝ → ℝ
hg : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[Filter.atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 ≤ f x
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y = ↑n * m + x
⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
n : Type u_1
m : Type u_2
Fintype n
DecidableEq n
Fintype m
DecidableEq m
R : Type u_3
Semiring R
InvariantBasisNumber R
M : Matrix n m R
N : Matrix m n R
h : M * N = 1
h' : N * M = 1
⊢ Fintype.card n = Fintype.card m
n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x + y).cast = (x.cast + y.cast) % ↑n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = ∏ᶠ (i : HeightOneSpectrum R), ↑i.asIdeal ^ ↑((Associates.mk i.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) * ↑i.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk i.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : ↑f = ↑g
a : P
⊢ f a = g a
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
h : ‖f‖ ≤ c
x : V₁
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
θ₁ θ₂ : Real.Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).expMapCircle = θ₁.expMapCircle * θ₂.expMapCircle
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ∀ k ≤ r, (M * (List.take k (listTransvecRow M)).prod) (inr ()) (inl i) = if k ≤ ↑i then M (inr ()) (inl i) else 0