ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X X' Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ A ⟹ Y
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) f)
    (CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry g)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a - b).toProd = a.toProd - b.toProd
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CommSemiring (α i)
(i : ι) → StarRing (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
⊢ (starRingEnd ((i : ι) → α i)) f i = (starRingEnd (α i)) (f i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
⊢ (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑i).extend I) x
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
m : M
⊢ b.toDualEquiv m = b.toDual m
β : Type u_4
CommMonoid β
b : β
n : ℕ
⊢ b ^ n = ∏ _k ∈ Finset.range n, b
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint a (b ⊓ c) ↔ Codisjoint a b ∧ Codisjoint a c
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Icc ↑a ↑b = Icc a b
α : Type u_1
Preorder α
f g : α → α
hf : Monotone f
h : f ≤ g
n : ℕ
⊢ f^[n] ≤ g^[n]
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
⊢ (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x
y : R
hy₁ : y + x + x * y = 0
hy₂ : x + y + y * x = 0
⊢ IsUnit (1 + x)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
a : α
s : Set α
ih : ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x
supp_subset : (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s
⊢ f ∈ closure S
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
r : β → β → Prop
hr : ∀ {x y z : β}, r x (op y z) ↔ r x y ∨ r x z
c : β
⊢ r c (Finset.fold op b f s) ↔ r c b ∨ ∃ x ∈ s, r c (f x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
⊢ ↑((norm a).natAbs * (norm b).natAbs) = norm (a * b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
⊢ ∀ (i : ι'), i ∈ Finset.univ ↔ e.symm i ∈ Finset.univ
F : Type u
Field F
p q : F[X]
⊢ (algebraMap (RatFunc F) (LaurentSeries F)) ((algebraMap F[X] (RatFunc F)) p / (algebraMap F[X] (RatFunc F)) q) =
  (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) p / (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) q
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Subsemigroup N
⊢ ⊤.prod s = Subsemigroup.comap (MulHom.snd M N) s
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
t : ℕ
hl : m * m < t * t
hr : t * t < (m + 1) * (m + 1)
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
⊢ ∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x
q : ℚ
⊢ (-q)⁻¹ = -q⁻¹
M : Type u_3
AddMonoid M
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree M ↔ NoZeroSMulDivisors ℕ M
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C_c β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
⊢ IsOpen (⋃ i ∈ s, Sigma.fst ⁻¹' {i})
R : Type u
Ring R
⊢ Monotone Subring.toSubsemiring
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 K
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ((RingOfIntegers.norm K) ((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) x)) =
  (Algebra.norm K) ((algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) x))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : NeZero μ
t : Set β
h : NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν)
⊢ NullMeasurableSet (?m.120828 ×ˢ t) (?m.120825.prod ν)
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ 1 < Polynomial.rootMultiplicity t p ↔ p.IsRoot t ∧ (Polynomial.derivative p).IsRoot t
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <:+ l₂
⊢ List.filter p l₁ <:+ List.filter p l₂
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ⊥.ClosedComplemented
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
DecidableEq β
One β
FunLike F α β
OneHomClass F α β
f : F
s : Finset α
⊢ (Finset.imageOneHom f) s = Finset.image (⇑f) s
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
x : M₀
⊢ x ∈ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ x ∈ nonZeroDivisorsRight M₀
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
⊢ x ≤ b ^ y ↔ clog b x ≤ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p✝ p q : MvPolynomial σ A
hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
hq : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) q) z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p + q)) z
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsTotal α r
a b : α
⊢ r a b ∨ r b a
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.id R₁ M₁) = id
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => g (f ↑x)
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => g ↑x
r : ℝ
hr : |r| < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α
⊢ M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
(i : ι) → (x : ↥(ℳ i)) → Decidable (x ≠ 0)
r : M
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.decompose ℳ) r), ↑(((DirectSum.decompose ℳ) r) i) = r
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0 ↔ MeasureTheory.SigmaFinite μ
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
⊢ (update i f b) j = (erase i f + single i b) j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : ∀ {R : C} (g : Q ⟶ R), f ≫ g = 0 → g = 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ (Cardinal.sum fun i => f i + g i) = Cardinal.sum f + Cardinal.sum g
b : ℕ
⊢ Monotone (Nat.log b)
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
⊢ 2 ≤ b → a + b ≤ a * b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.Mono h.g'
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c • ↑f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ = c
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s ≤ t'
⊢ a ∉ s → a ∈ t' → a ::ₘ s ≤ t'
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
p' : Submodule R ↥p
⊢ Submodule.comap (LinearMap.codRestrict p f hf) p' = Submodule.comap f (Submodule.map p.subtype p')
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ∀ (m : R) (x : ↥(snd R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯ }.toFun x
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t
⊢ ∀ ⦃a : σ →₀ ℕ⦄, a ∈ {∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1} → a ∉ {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ 0 < X.natDegree
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f Set.univ μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ sInf (image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖
m m' : (i : ι) → E i
h' : dist m' m < 1
⊢ ‖f m' - f m‖ ≤ D * ↑(Fintype.card ι) * (‖m‖ + 1) ^ (Fintype.card ι - 1) * ‖m' - m‖
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible (↑ad ^ b)
⊢ IsRat ((↑an * ⅟↑ad) ^ b) (an ^ b) (ad ^ b)
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
hp : p ≠ Fin.last n
⊢ (p.castPred hp).predAbove p = p.castPred hp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤
x✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra.IsIntegral R S
m' : Ideal S
left✝¹ : m'.IsMaximal
left✝ : (comap (algebraMap R S) m').IsMaximal
hm : map (algebraMap R S) I ≤ m'
⊢ ¬map f I = ⊤
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.Ψ (2 * (↑m + 3)) * W.ψ₂ =
  W.Ψ (↑m + 2) ^ 2 * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 5) - W.Ψ (↑m + 1) * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 4) ^ 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 0 < t
x : E
⊢ t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ ‖x‖ ≤ t ^ (-r⁻¹) - 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∩ t ∩ t = s ∩ t
α : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ #(ULift.{u, 0} ℕ ⊕ α) ^ c ≤ max #α ℵ₀ ^ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans (PartialEquiv.refl β)).source = e.source
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
h1' : ((σ ^ n) ^ ↑m).IsCycle
⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)} = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (C a * X ^ n).divX = if n = 0 then 0 else C a * X ^ (n - 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
⊢ a +ᵥ f = ⊥ ↔ f = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E → F
hf : IsLinearMap 𝕜 f
s : Set E
⊢ f '' (convexHull 𝕜) s = (convexHull 𝕜) (f '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
f : PartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ f.source
hf : IsLocalHomeomorph ↑f
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ Set.InjOn (↑f) U
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ y ∈ I, (algebraMap R₁ K) ↑I.den * y ∈ 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
⊢ ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioi δ ∩ Ioc δ ε).Nonempty
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
t : Set α
MeasurableSpace α
ht : MeasurableSet t
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs).toMeasure t = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ Integrable bound μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
g : β → α → γ
h_comm : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g b a
⊢ Option.map₂ f a b = Option.map₂ g b a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opEquiv C).unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ)
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype α
Fintype β
f : α → R
g : β → M
⊢ (∑ i : α, f i) • ∑ j : β, g j = ∑ i : α, ∑ j : β, f i • g j
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ↑a * (↑a⁻¹ * b) = b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ Subalgebra.map f ⊥ = ⊥
a : Int
⊢ a.sign = -1 ↔ a < 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.IsColimit c → CategoryTheory.IsUniversalColimit c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f
    (FirstOrder.Language.Substructure.comap f S ⊔ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T) =
  S ⊔ T
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
h₁ : ContinuousOn f (spectrum R ((algebraMap R A) r))
x : R
hx : x ∈ spectrum R ((algebraMap R A) r)
⊢ (spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f ⟨x, hx⟩ = (algebraMap R R) (f r)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
IsEmpty α
f : α → β
⊢ Measurable f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' X : Cᵒᵖ
Y : Dᵒᵖ
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.op.obj Y
⊢ (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map g.unop).op
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app X
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsOpen (⋃₀ ∅)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ‖↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f)‖ ≤ ‖f‖
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q✝ q' : Submodule R₂ M₂
x : M
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p q : Submodule R M
⊢ Disjoint p q ↔ comap p.subtype q = ⊥
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ Q.diagonal f ↔ P.diagonal f
α : Type u_4
self : BiheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ \ a = ￢a
b : ℂ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
⊢ ∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) =
  (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
n : ℕ
S : Type u_3
MonoidWithZero S
x : S
hn : n ≠ 0
⊢ IsNilpotent (x ^ n) ↔ IsNilpotent x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x : E
⊢ ↑hT.toSelfAdjoint x = T x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω
⊢ lowerCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N₂
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x : ℕ × K
⊢ -PerfectClosure.mk K p x = PerfectClosure.mk K p (x.1, -x.2)
n : ℕ
A : Type u
α : TypeVec.{u} n
x : A
⊢ MvPFunctor.const.get (MvPFunctor.const.mk n x) = x
n : ℕ
⊢ Nat.digits 0 n.succ = [n + 1]
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (b : β) in Set.univ, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT'') f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n