ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : Set.MapsTo f s t
hc : ∀ x ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s x
⊢ Set.MapsTo f (closure s) (closure t)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ Balanced 𝕜 (s + -t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ ¬Disjoint l l' ↔ ¬∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Fintype σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
h : f.totalDegree < n * Fintype.card σ
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
⊢ ∃ i, d i < n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯
this : sᶜ ∈ f
⊢ p s
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
⊢ Continuous ⇑l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1
⊢ ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) b‖ = ‖x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b)‖
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ ↑n < o.card ↔ ↑n < o
S : Type u_1
R : Type u_2
AddMonoidWithOne R
SetLike S R
s : S
AddSubmonoidWithOneClass S R
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
⊢ ⌊↑n⌋ = ↑n
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ (↑n ! ^ 2) ^ 2 * rexp (2 * (2 * ↑n)) * (2 * (2 * ↑n) * ((2 * ↑n) ^ (2 * n)) ^ 2) * ↑n * (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1)) = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n) ^ 2 * ((↑n ^ n) ^ 2) ^ 2 * (↑(2 * n)! ^ 2 * rexp (2 * (2 * ↑n))) * (2 * ↑n + 1))
α : Type u
s : Set α
a : α
h : s.Countable
⊢ (insert a s).Countable
a b c : Int
⊢ a ∣ b → a ∣ c → a ∣ b - c
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ eval 0 (ascPochhammer S n) = 0
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b a : α
s : Set α
hs : s ∈ update pure a₀ l a
⊢ ∀ᶠ (y : α) in update pure a₀ l a, s ∈ update pure a₀ l y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.toFinite.restrict s, μ.densityToFinite x < ⊤
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.subtype = ↑S.val
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C × D ⥤ E
fst✝² : C
snd✝² : D
fst✝¹ : C
snd✝¹ : D
fst✝ : (fst✝², snd✝²).1 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).1
snd✝ : (fst✝², snd✝²).2 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).2
⊢ (F.map (fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ F.map (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)
α : Type u
a : α
S : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ Stream'.Seq1.join ((a, Stream'.Seq.nil), S) = (a, S.join)
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.map₂Iso (ρ_ f)).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ List.filter (fun x => x == a) l = List.replicate (List.count a l) a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
⊢ f x < f y
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ lowerClosure s = ⊥ ↔ s = ∅
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
F : Set G
hF : IsClosed F
⊢ F * closure {1} = F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ x * x⋆ = 0 ↔ x = 0
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a b : N ⋊[φ] G
⊢ a * b = { left := a.left * (φ a.right) b.left, right := a.right * b.right }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ A.X.map (f ≫ g) = A.X.map f ≫ A.X.map g
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty V
inst✝ : Nonempty W
⊢ (completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : ℝ≥0∞
⊢ μ {x | ¬f x ≤ a} = (μ.trim hm) {x | ¬f x ≤ a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs₀ : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α) in s, c ∂μ = c
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
⊢ List.eraseP p (a :: l) = bif p a then l else a :: List.eraseP p l
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
x : A
⊢ IsIntegral R (f x) ↔ IsIntegral R x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
j : β
hi : g j = mex g
hj : g j = f i
⊢ False
α : Type u_1
f : Filter α
h : ∃ x, f = ⨅ i, 𝓟 (x i)
⊢ f.IsCountablyGenerated
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i : ι
x y : M
⊢ f (Function.update v i (x + y)) = f (Function.update v i x) + f (Function.update v i y)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P
a : R
ha : a ∈ J
s : R
hs : s ∈ P.primeCompl
eq✝ : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0
m : R
hm : m ∈ P.primeCompl
eq : ↑⟨m, hm⟩ * (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0
⊢ s * m * x ∈ J
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a✝ a : Args
ha : a.Numeric
ih : ∀ (a' : Args), ArgsRel a' a → P124 a'
⊢ P124 a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n : ℕ
⊢ ∀ {a b : ℕ}, { toFun := fun n => { ofColex := equivBitIndices n }, invFun := fun s => equivBitIndices.symm s.ofColex, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun n => { ofColex := equivBitIndices n }, invFun := fun s => equivBitIndices.symm s.ofColex, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (x x_1 x_2 : ι) (x_3 : x ≠ x_1) (x_4 : x ≠ x_2) (x_5 : x_1 ≠ x_2),
  (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).t' x x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 =
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst ((fun x x_6 x_7 => (f x).emptyTo) x x_1 x_3)
        ((fun x x_6 x_7 => (f x).emptyTo) x x_2 x_4) ≫
      (CategoryTheory.Limits.pullback ((fun x x_6 x_7 => (f x).emptyTo) x_1 x_2 x_5)
          ((fun x x_6 x_7 => (f x).emptyTo) x_1 x ⋯)).emptyTo
r : ℝ
tr : Transcendental ℚ r
⊢ Irrational r
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i j : Fin (n + 1)
h : j < i
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)
⊢ i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.castPred ⋯))
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame ⧏ b.toPGame → a < b
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ (↑f).toFun = ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
x : ↥((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C x ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
⊢ x = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G
⊢ a / (a * b) = b⁻¹
x : UInt32
⊢ x.toUInt8.toNat = x.toNat % 2 ^ 8
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + c < b → c < b - a
α : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
p : FreeCommRing α
v : α → R
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (FirstOrder.Ring.termOfFreeCommRing p) = (FreeCommRing.lift v) p
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
u : E → G
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y) (u y)) s x = (c x).comp (fderivWithin 𝕜 u s x) + (fderivWithin 𝕜 c s x).flip (u x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f g : X → Y
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ * b ≤ c * b ↔ a ≤ c * b
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map (h.hom ≫ h.inv)) ((F.mapHomologicalComplex c).map (𝟙 C))
α : Type u_1
R : Type u_3
s t : Finset α
DecidableEq α
AddGroupWithOne R
⊢ ↑(s ∪ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∩ t).card
R : Type u_5
A : Type u_6
AddZeroClass R
AddZeroClass A
P : Unitization R A → Prop
inl_add_inr : ∀ (r : R) (a : A), P (Unitization.inl r + ↑a)
x : Unitization R A
⊢ P x
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
x p : ℝ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ p
⊢ Filter.Tendsto (fun a => f a ^ p) l (𝓝 (x ^ p))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
⊢ cyclotomic (p ^ (n + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n) ^ i
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.sphere x ε ⊆ Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ ⇑0 = 0
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V
v : V
⊢ G.singletonSubgraph v = ⊤.induce {v}
α β : Type u_4
h : α = β
s : Finset α
⊢ HEq (Finset.map (Equiv.cast h).toEmbedding s) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsLUB (range f) a
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 a)
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (star a).re = a.re
m n : ℕ
co : n.Coprime m
a b z : ℕ
hzan : z ≡ a [MOD n]
hzbm : z ≡ b [MOD m]
⊢ z ≡ ↑(Nat.chineseRemainder co a b) [MOD n * m]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddMonoid α
Neg β
Group γ
DistribMulAction γ α
h : Function.Antiperiodic f c
a : γ
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : Option α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ derangements.Equiv.RemoveNone.fiber a ↔ ∃ F ∈ derangements (Option α), F none = a ∧ Equiv.removeNone F = f
α : Type u
Zero α
a : α
LT α
⊢ ↑a < 0 ↔ a < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f✝ : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (single a b + f)
s : Finset α
f : α →₀ M
hf : f.support = ∅
⊢ p f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : StrictConvexOn 𝕜 t f
hst : s ⊆ t
hs : Convex 𝕜 s
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
⊢ Filter.Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ s) (𝓝[≠] ↑P.k) (𝓝 (P.ε • P.g₀))
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Bicone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Bicones.functoriality F G).map f).hom = G.map f.hom
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2
⊢ W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 * P 2 ≠ -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
⊢ s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
s : Set (α i)
⊢ univ.pi (update (fun j => univ) i s) = eval i ⁻¹' s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom F ≫ adj2.counit = adj1.counit
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => -x - (a * x ^ 2 + b * x)) atTop atTop
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ ⇑AddConstMap.id = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α
⊢ image2 (fun f a => f a) s (image2 (fun f a => f a) t u) = image2 (fun f a => f a) (image2 (fun x x_1 => x ∘ x_1) s t) u
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : ∃ a < padicValNat p n, p ^ (a + 1) = t
⊢ t ∈ n.divisors.erase 1
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
g : α ≃ β
⊢ ∀ (a : L.Term β), (FirstOrder.Language.Term.relabelEquiv g).symm a = FirstOrder.Language.Term.relabel (⇑g.symm) a
α : Type u
Add α
x y z : α
⊢ Quot.mk (AddMagma.AssocRel α) (x + y + z) = Quot.mk (AddMagma.AssocRel α) (x + (y + z))
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.limsup u f \ a = Filter.limsup (fun b => u b \ a) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂).obj₁ = X₁
G : Type u_2
MeasurableSpace G
DivisionMonoid G
MeasurableMul G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun t => g / t) μ = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c d : G
⊢ a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hpn : p n
⊢ Nat.nth p (Nat.count p n) = n
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ (⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal = ⨅ i, (vanishingIdeal (t i)).toIdeal
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
hc : Continuous fun u => u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * (1 - sin x ^ 2) ^ n * cos x = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n
K : Type u_1
Field K
x y : (𝓞 K)ˣ
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x * y) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hfg : IsFixedPt (f^[n] ∘ g^[n]) x
hg : IsPeriodicPt g n x
⊢ IsPeriodicPt f n x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a| = a ↔ 0 ≤ a
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i
⊢ ∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ diagonal d *ᵥ x
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
ha : a ≠ ⊥
⊢ (Finpartition.indiscrete ha).parts = {a}
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
⊢ p < A * B
x : ZFSet
⊢ (⋃₀ x).toSet = ⋃₀ (ZFSet.toSet '' x.toSet)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ {x | s ∈ 𝓝 x} = {x | 𝓝 x ≤ 𝓟 s}
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
h : S ⊓ ker f = ⊥
⊢ ker (f.domRestrict S) ≤ ⊥
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
⊢ ∏ᶠ (j : ↑s), f ↑j = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
α : F₁ ⟶ F₂
t : F₁.Elements
⊢ ((CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).obj t).snd = α.app t.fst t.snd
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
x : ↥U
hx : x ∈ V
⊢ X.presheaf.germ ⟨↑x, ⋯⟩ ≫ (U.stalkIso x).inv = (↑U).presheaf.germ ⟨x, hx⟩
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Epi (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 0 ⋯)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
C : WSeq α → Prop
a : α
s : WSeq α
M : a ∈ s
h1 : ∀ (b : α) (s' : WSeq α), a = b ∨ C s' → C (cons b s')
h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think
⊢ ∀ (b : Option α) (s' : Seq (Option α)), some a = b ∨ C s' → C (Seq.cons b s')
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
HasDistribNeg α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ gcd a (-b) = gcd a b
G : Type u_1
a b : G
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
⊢ b * a ∈ s ↔ b ∈ s
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
G : CategoryTheory.Functor A C
H : CategoryTheory.Functor B D
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor A B
R₂ : CategoryTheory.Functor B A
L₃ : CategoryTheory.Functor C D
R₃ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G.comp L₃ ⟶ L₂.comp H
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₃) (CategoryTheory.leftAdjointConjugateSquare.vcomp α β) =
  CategoryTheory.rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂) α)
    ((CategoryTheory.mateEquiv adj₂ adj₃) β)
x y : ℝ
h : 0 ≤ y
⊢ x ^ 2 ≤ y ↔ -√y ≤ x ∧ x ≤ √y
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}, {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
hG : Nat.card G = p ^ n
⊢ IsPGroup p G
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ α.app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))
R : Type u
Semiring R
M N K : CategoryTheory.Mat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ f ≫ g = fun i k => ∑ j : ↑N, f i j * g j k