ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
c : M'
⊢ SmoothOn I I' (fun x => c) s
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ cmp y x = Ordering.eq
x✝ y x : ℂ
hx : ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
hy : ‖1‖ = 1
⊢ ‖x - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle x 1) (angle x 1)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasPullbacks C
P Q R : C
f : P ⟶ R
g : Q ⟶ R
p : Pseudoelement P
q : Pseudoelement Q
x : Over P
y : Over Q
h : pseudoApply f ⟦x⟧ = pseudoApply g ⟦y⟧
Z : C
a : Z ⟶ ((fun g => app f g) x).left
b : Z ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) y).left
ea : Epi a
eb : Epi b
comm : a ≫ ((fun g => app f g) x).hom = b ≫ ((fun g_1 => app g g_1) y).hom
⊢ ∃ s, pseudoApply (pullback.fst f g) s = ⟦x⟧ ∧ pseudoApply (pullback.snd f g) s = ⟦y⟧
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
⊢ AdicCompletion.ofTensorProduct I (ι → R) =
  ↑(AdicCompletion.piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ
    ↑(TensorProduct.piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' EMetric.closedBall b r = EMetric.closedBall (b / a) r
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ (x \ y) = x ⊓ y
R : Type u
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ ¬IsCoprime 0 0
α : Type u_1
f g : Filter α
⊢ f ≤ g ↔ ∀ V ∈ g, f ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ IsSquare (∏ i ∈ s, f i)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ↑p.natDegree + ↑q.natDegree ≤ (p * q).degree
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
⊢ Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral f = (MeasureTheory.L1.setToL1 ⋯) f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
DecidablePred fun x => x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (Finset.affineCombination k (Finset.filter (fun x => x ≠ i) s) p) w = p i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
V : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map f).obj (Opposite.unop V))
⊢ ((TopCat.Presheaf.pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app V ≫
    TopCat.Presheaf.germToPullbackStalk C f F ((TopologicalSpace.Opens.map f).obj (Opposite.unop V)) x =
  F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
β : Type v
u v : UniformSpace β
F : Filter β
huv : u ≤ v
hF : Cauchy F
⊢ Cauchy F
α : Type u_1
f : Nat
n : α
l : List α
⊢ insertNth f n l = insertNthTR f n l
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
ys : List β
w : 0 < (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val.length
⊢ (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val[0] =
  match suffixLevenshtein C xs (y :: ys) with
  | ⟨dx, property⟩ =>
    match suffixLevenshtein C (x :: xs) ys with
    | ⟨dy, property_1⟩ =>
      match suffixLevenshtein C xs ys with
      | ⟨dxy, property_2⟩ => min (C.delete x + dx[0]) (min (C.insert y + dy[0]) (C.substitute x y + dxy[0]))
p q✝ : ℚ
q : ℚ≥0
hp : 0 ≤ p
⊢ q ≤ p.toNNRat ↔ ↑q ≤ p
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
⊢ 0 < 1 - ‖z‖ → M * (1 - ‖z‖) ≤ ‖1 - z‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x y z : 𝕜'
⊢ (((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 𝕜') x) y) z = x * z * y
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ Disjoint a bᶜᶜ ↔ Disjoint a b
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ 1 ≤ cs.length (cs.simple i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
⊢ b ∈ s
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hf : Integrable f volume
hE : CompleteSpace E
A : Tendsto f atBot (𝓝 0)
B : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = 0
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso X f).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : D
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) (F.comp G)
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.pre S F G).obj X).right = F.obj X.right
c : Cardinal.{u_2}
h₁ : ℵ₀ < c
h₂ : c ≤ c.ord.cof
h₃ : ∀ x < c, 2 ^ x < c
⊢ c.IsInaccessible
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
f g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsClosed {y | f y = g y}
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
x y : M
⊢ (c ⊓ d) x y ↔ c x y ∧ d x y
α : Type u_3
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
⊢ i.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ i, b.Disjoint a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty = sSup {μ | ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s}
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure β
a : α
s : Set β
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.const α μ) a = ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂μ
X Y : Type u
CommMonoid X
CommMonoid Y
e : X ≃* Y
⊢ e.toCommMonCatIso.hom = CommMonCat.ofHom e.toMonoidHom
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.shadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k
a : ℝ
⊢ (ENNReal.ofReal a).toReal = a ↔ 0 ≤ a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ∈ R⁰
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
key : Associated (Multiset.replicate m p).prod (Multiset.replicate n q).prod
⊢ m = n
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R (fun i => M i.castSucc) (M (last n) →ₗ[R] M₂)
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x : M (last n)
⊢ (f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
⊢ (B.domRestrict₁₂ W W).Nondegenerate
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f - g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f - baseChange A g)) 1) x✝
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e₁₂ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
e₂₃ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃
x : CliffordAlgebra Q₁
⊢ ((equivOfIsometry e₁₂).trans (equivOfIsometry e₂₃)) x = (equivOfIsometry (e₁₂.trans e₂₃)) x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
RingHomIsometric σ₁₂
X : Type u_11
TopologicalSpace X
g : X → F →SL[σ₂₃] G
hg : Continuous g
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ Continuous fun x => (g x).comp f
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
f : α →+ Additive β
⊢ ⇑(AddMonoidHom.toMultiplicative'' f) = ⇑Additive.toMul ∘ ⇑f ∘ ⇑Multiplicative.toAdd
α : Type u
⊢ Function.Injective FreeAddGroup.negRev
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ → α
l : List γ
l' : List δ
⊢ List.map f (List.zipWith g l l') = List.zipWith (fun x y => f (g x y)) l l'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix n l α
B' : Matrix n m α
C' : Matrix o l α
D' : Matrix o m α
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D = Matrix.fromBlocks A' B' C' D' ↔ A = A' ∧ B = B' ∧ C = C' ∧ D = D'
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
⊢ ∀ e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges, e ∈ G.edgeSet
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G 0
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cocycle.ofHom z.homOf = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, g x = g y → x = y
⊢ fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f‖₊ = nndist f 0
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ φ n * ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
LinearOrder N
⊢ (Covariant M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1) ↔ Contravariant M N μ fun x x_1 => x < x_1
α : Type u
β : Type v
x : α ⊕ β
h₁ : x.isLeft = true
h₂ : x.getLeft?.isSome = true
⊢ x.getLeft h₁ = x.getLeft?.get h₂
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
Ring R
Ring S
Module R M
Module S M₂
x : ℤ
a : M
⊢ f (↑x • a) = ↑x • f a
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (f ∣_ U) V =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V) ≫
    X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set E
t : Set E'
f : E → F
g : E' → F'
x : E
y : E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.map f g) (s ×ˢ t) (x, y)
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
DecidableEq p
DecidableEq q
CommRing R
Fintype p
Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
⊢ LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R i * LieAlgebra.Orthogonal.Pso p q R (-i) = 1
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
⊢ M.support = M.verts
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
f g : HahnSeries ℕ R
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ n, f.coeff ij.1 * g.coeff ij.2 = ∑ x ∈ antidiagonal n, f.coeff x.1 * g.coeff x.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
⊢ φ y ∈ V'
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
⊢ 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
a : AdjoinRoot (minpoly R x)
⊢ (AdjoinRoot.Minpoly.toAdjoin R x) a = (AdjoinRoot.liftHom (minpoly R x) ⟨x, ⋯⟩ ⋯) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.left.H
α : Type u_1
LinearOrder α
b c : α
⊢ c ∉ Set.Iic b ↔ b < c
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ a * u ~ᵤ a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2
⊢ W.Nonsingular P
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q
⊢ q.get p ∈ q
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
A B : Matrix n n R
⊢ (Matrix.toLinAlgEquiv v₁) (A * B) = (Matrix.toLinAlgEquiv v₁) A ∘ₗ (Matrix.toLinAlgEquiv v₁) B
x : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) x).arg = if x.arg = π then π else -x.arg
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (deriv f) volume
x : ℝ
I : Integrable (fun x => fderiv ℝ f x) volume
this : 𝓕 (deriv f) x = (𝓕 (fderiv ℝ f) x) 1
⊢ (fourierSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) x) 1 = (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
⊢ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
a : C
⊢ SkyscraperPresheafFunctor.map' p₀ (𝟙 a) = 𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
⊢ ‖(f x) y‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ‖y‖
R : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R
inst✝ : Sub R
K : ℝ≥0
lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
⊢ Bornology.IsBounded (s - t)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type w
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
X Y Z : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (r • f) ≫ g = r • f ≫ g
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : AddSubsemigroup M
x : M
h_one : 0 ∈ s.carrier
⊢ x ∈ { toAddSubsemigroup := s, zero_mem' := h_one } ↔ x ∈ s
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ ⇑AlgEquiv.refl = id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ ↔ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
Fintype ι
⊢ 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
S₁ : Type u_7
S₂ : Type u_8
Ring S₁
Ring S₂
f : S₁ →+* S₂
g : S₂ →+* R
⊢ Valuation.comap (g.comp f) v = Valuation.comap f (Valuation.comap g v)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ ↑I * ↑J' ≤ ↑J
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
x : X
⊢ HolderOnWith C r f {x}
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < ↑b
hne : x ≠ ↑a / ↑↑b
hlt : |x - ↑a / ↑↑b| < 1 / ↑↑b ^ m
⊢ False
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
⊢ map₂ (fun a b => x * (a * b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1) = map₂ (fun a b => x * a * (b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
h : ∀ (X : C), CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.initial.to X)
⊢ CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
x✝ : Box ι
⊢ x✝ ∈ π ∧ x ∈ x✝ ↔ ∃ (_ : x✝ ∈ π.toPrepartition), x ∈ ↑x✝
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
α : Type u
s t : Set α
⊢ symmDiff s t = s \ t ∪ t \ s
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p * X n)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p * X n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed (OnePoint.some '' s) ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
s : Finset F
hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun i => ↑i
⊢ s.card ≤ Fintype.card G
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∃ x ∈ s, ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
s : Setoid α
f : Quotient s → β
⊢ Measurable f ↔ Measurable (f ∘ Quotient.mk'')
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
t : Set α
h : Set.InjOn f s
hst : t ⊆ s
⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' t
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
⊢ LSeriesSummable f s ↔ LSeriesSummable g s
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
hα : IsIntegral F α
⊢ F⟮α⟯.toSubalgebra = Algebra.adjoin F {α}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
⊢ (P.extend η).I = P.I
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Ici a + Set.Ioi b ⊆ Set.Ioi (a + b)