ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
r : ℚ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a) ↑r = ProbabilityTheory.toRatCDF f a r
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x
⊢ p x fun n => f n x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)
hlt : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
Nonempty α
f : β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : ContinuousOn f K
⊢ BddBelow (f '' K)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_11
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
n : ℕ∞
g : F → F'
f : M → F
s : Set M
t : Set F
x : M
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n (g ∘ f) s x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.diff l₂ = List.foldl List.erase l₁ l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Cᴹᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).unmop = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Z.unmop f.unmop
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
AddCommMonoid β
MeasurableAdd₂ β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
f : ℕ → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (∑ j ∈ Finset.range n, f j) (f n) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(mk (fun x => (↑f x, ↑g x)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun x => (↑f x, ↑g x)
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
g : F[X]
m : ℕ
hf✝ : HasSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g)
hf : IsSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g) g
⊢ ∃ m_1, g.natDegree * q ^ m_1 = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x y : R
H : (iterateFrobenius R p n) x = (iterateFrobenius R p n) y
⊢ x = y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
RingHomSurjective τ₁₂
RingHomSurjective τ₂₃
RingHomSurjective τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
hf : LinearMap.range f = ⊤
⊢ LinearMap.range (g.comp f) = LinearMap.range g
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ((monomial n) a).coeff m = if n = m then a else 0
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ Filter.Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
⊢ p ∈ R[X]⁰
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X Y : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).inverse.map f = (equivShrink (X.fromShrinkHoms ⟶ Y.fromShrinkHoms)).symm f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.extensiveTopology C) F ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
⊢ ∀ (P₁ P₂ : RootSystem ι R M N), P₁.toLin = P₂.toLin → P₁.root = P₂.root → range ⇑P₁.coroot ⊆ range ⇑P₂.coroot
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ + φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ + h'.h₁) + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂ + φ₄).τ₁
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
⊢ IsRefl α (Function.swap r)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ f.right.app P = g.right.app P
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p u : R[X]
h₂ : p.leadingCoeff = (p * u).leadingCoeff
h₁ : p.natDegree = (p * u).natDegree
hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0
⊢ p = p * u
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ ((A / B) ×ˢ (B / C)).card * 1
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
self : DirectSum.GAlgebra R A
r s : R
⊢ GradedMonoid.mk 0 (DirectSum.GAlgebra.toFun (r * s)) =
  GradedMonoid.mk (0 + 0) (GradedMonoid.GMul.mul (DirectSum.GAlgebra.toFun r) (DirectSum.GAlgebra.toFun s))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K S
h_sep : IsSeparable K pb.gen
h_splits : Splits (algebraMap K L) (minpoly K pb.gen)
x✝ : Fintype (S →ₐ[K] L) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ Fintype.card (S →ₐ[K] L) = pb.dim
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
FirstCountableTopology α
x : α
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), x < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |a| • MeasureTheory.Measure.map (fun x => a * x) MeasureTheory.volume = MeasureTheory.volume
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : t' α
⊢ Equiv.traverse eqv (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f ∘ g) x =
  Functor.Comp.mk (Equiv.traverse eqv f <$> Equiv.traverse eqv g x)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
⊢ p₁ -ᵥ p = p₂ -ᵥ p ↔ p₁ = p₂
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
this : HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) ((c x • smulRight 1 d' + (smulRight 1 c').smulRight (d x)) 1) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.right b
⊢ (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ (B 0) x = 0
α : Type u_1
x y : α
⊢ y ∈ s(x, y)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent (ι := { x // x ∈ a }) R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃₀ s)) => ↑x
α : Type u_1
Preorder α
a₁ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Iic b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f g : β → α
u₁ u₂ : α
s : Multiset β
⊢ Multiset.fold op (op u₁ u₂) (Multiset.map (fun x => op (f x) (g x)) s) =
  op (Multiset.fold op u₁ (Multiset.map f s)) (Multiset.fold op u₂ (Multiset.map g s))
α : Type u_2
x : α
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
⊢ f.cycleOf x = 1 ↔ f x = x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : (fun t => t.app Y) (whiskerLeft G adj.unit ≫ (G.associator F G).inv ≫ whiskerRight adj.counit G) = (fun t => t.app Y) (NatTrans.id (G ⋙ 𝟭 C))
⊢ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r₁ r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ /ₒ s₁ = r₂ /ₒ s₂ ↔ ∃ u v, u • r₂ = v • r₁ ∧ ↑u * ↑s₂ = v * ↑s₁
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
E : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid E
ψ : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.comap (φ.comp ψ) = CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ ∘ CategoryTheory.Subgroupoid.comap ψ
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ (map φ P).toPoly = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike K
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module K E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ K E
r : ℝ
x : E
⊢ r • x = ↑r • x
l : List ℕ
⊢ l.ranges.join = List.range (Nat.sum l)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
⊢ MeasureTheory.extend m ∅ = 0
R : Type u_1
Ring R
⊢ Polynomial.cyclotomic 1 R = Polynomial.X - 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.Martingale 0 ℱ μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
l : Filter α
⊢ Tendsto (lift f hf) (𝓝[s] mk x) l ↔ Tendsto f (𝓝[mk ⁻¹' s] x) l
γ : Type w
EMetricSpace γ
s : Set γ
⊢ 0 < EMetric.diam s ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y
α : Type u_1
Preorder α
S : Set (Set α)
⊢ upperClosure (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, upperClosure s
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
⊢ ∃ w, LinearIndependent R w
k : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.pow k).IsMultiplicative
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
hlt : p.degree < q.degree
⊢ max p.degree q.degree ≤ (p + q).degree
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI : ¬I = ⊥
⊢ Submodule.FG I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso α
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv α) f ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α g = f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Real.sin (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) = 0
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
O : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
S : Submodule R O
e : M ≃ₗ[R] N
f : N ≃ₗ[R] O
he : map e P = Q
hf : map f Q = S
hef : map (e ≪≫ₗ f) P = S
x✝ : M ⧸ P
⊢ (equiv P S (e ≪≫ₗ f) hef) x✝ = (equiv P Q e he ≪≫ₗ equiv Q S f hf) x✝
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ s.erase a = s
p : ℝ[X]
this : Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
x : ℝ
hx : x ∈ {x | 0 < x}
⊢ x ∈ {x | (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹ = (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) x) x}
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I * J = ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
α : Type u_7
M : Type u_11
N : Type u_12
Monoid N
SMul M N
MulAction N α
SMul M α
IsScalarTower M N α
x : M
y : α
⊢ (x • 1) • y = x • y
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
⊢ single a b ^ 0 = single (0 • a) (b ^ 0)
α : Type u
n m : ℕ
v : Mathlib.Vector α n
w : Mathlib.Vector α m
⊢ (v.append w).toList = v.toList ++ w.toList
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ
α : Type u
R : Type v
CommRing R
f : α → R
x : α
⊢ (FreeCommRing.lift f) (FreeCommRing.of x) = f x
M : Type u_1
Monoid M
c : Con M
f : M → M
hf : ∀ (x : M), c (f x * x) 1
x y : M
h : c x y
⊢ c (f x) (f y)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ ((Homotopy.ofEq ⋯).trans (Homotopy.equivSubZero (Homotopy.refl (𝟙 K)))).hom i j = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
Module R M
Module R P
f : M →ₗ[R] P
h : Function.Injective ⇑f
IsArtinian R P
⊢ IsArtinian R M
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ f ((lineMap p₀ p₁) c) = (lineMap (f p₀) (f p₁)) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ z₂' : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ z₁.comp (z₂ + z₂') h = z₁.comp z₂ h + z₁.comp z₂' h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
ceq : c = ∅
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | f w ≤ r ∧ r ≤ f w}
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ edgeDensity r s t + edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s t = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (Function.update x i₀ m i) (y i)) =
  {z | m < z i₀} ∩ Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (y i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (f + g)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycle
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : eLpNorm (X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ ^ 2 < ⊤
⊢ evariance X μ < ⊤
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
⊢ (induce (⋃₀ S) G).Connected
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρ.IicSnd r) s = ρ (s ×ˢ Set.Iic r)
ι : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
f g : ι → E
hg : Summable g
h : f ~[Filter.cofinite] g
⊢ Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
⊢ ∃ n, ∀ l ∈ s.subchain, l.length ≠ n
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid β
r : α → α → Prop
IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ f a c = f a b * f b c
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : Ordinal.IsNormal f
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (Function.fixedPoints f)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
a : α
⊢ Ordinal.typein r a < Ordinal.type r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ - φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ - h'.h₂) + (h.h₁ - h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ - φ₄).τ₂
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty V
inst✝ : Nonempty W
⊢ ∀ (C : (completeBipartiteGraph V W).Coloring (Fin 2)), Surjective ⇑C
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
⊢ a / b ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
⊢ ∀ y ∈ ⋃₀ c, ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
α : Type u_1
l : Filter α
R : Type u_5
Semiring R
⊢ ⇑(Filter.Germ.coeRingHom l) = Filter.Germ.ofFun
x : ℝ
h : 1 < x
⊢ 2 * Real.arctan x = Real.arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + Real.pi
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s₁
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
hle : s₁ ≤ s₂
p : P
hp : p ∈ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₂
R : Type u
Ring R
n : ℕ
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
⊢ (descPochhammer R n).natDegree = n
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Continuous ((fun φ => φ f) ∘ toWeakDualBCNN)
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c : α
⊢ Finset.image (fun x => x + c) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo (a + c) (b + c)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : ↑s ∈ 𝓝 y
x : M
this : Tendsto (fun c => y + c • x) (𝓝[{x | IsUnit x}] 0) (𝓝 y)
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
g : M → N
hg : ∀ {x : M}, g x = 1 → x = 1
f : α → M
⊢ Function.mulSupport f ⊆ Function.mulSupport (g ∘ f)
R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K✝
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
⊢ J * K ∣ I
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
DecidableEq ι
P : ι → Prop
DecidablePred P
DecidableEq { a // P a }
x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i
z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i
i : { a // P a }
c : M₁ ↑i
⊢ (fun j => if h : P j then Function.update x i c ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩) =
  Function.update (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩) (↑i) c
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ⊔ J ^ n = ⊤
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
⊢ inst1 = inst2
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
e : Sym2 V
⊢ e ∈ p.edges → e ∈ G.edgeSet
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬S = ⊥
⊢ S = ⊤
i : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), n.testBit i = n.bits.getI i
n : ℕ
⊢ n.testBit (i + 1) = n.bits.getI (i + 1)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : a ≤ b
hf : ¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b))
⊢ ¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
⊢ M.Basis B X
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
n : ℕ
⊢ (2 * n)‼ = ∏ i ∈ Finset.range n, 2 * (i + 1)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
r : R
g g' : Γ
hgg' : g < g'
⊢ ↑g < ((HahnSeries.single g') r).orderTop