ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable f (μ.restrict ↑Finset.univ)
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
huX : IsUniform X s ℙ volume
⊢ ∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = (volume s)⁻¹.toReal * ∫ (x : ℝ) in s, x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ‖⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩‖ ≤ ↑(MeasureTheory.measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ‖f‖
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ ball a r
⊢ ‖b / a‖ < r
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
this : Nontrivial V
⊢ LinearMap.det ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax
x : E
hx : x ∈ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R
⊢ ‖v.toFun t x‖ ≤ ↑v.C
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
⊢ ⇑(AffineMap.homothetyAffine c) = AffineMap.homothety c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Presieve.singleton (CategoryTheory.CategoryStruct.id X))
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (memPartition t n) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (Set.range t)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt f f' x ↔ (fun x' => f x' - f x - (x' - x) • f') =o[𝓝 x] fun x' => x' - x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsUpperSet (f i)
⊢ IsUpperSet (⋂ i, f i)
K : Type u_1
n : Type u_2
NormedField K
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : ∀ (k : n), ∑ i ∈ Finset.univ.erase k, ‖A i k‖ < ‖A k k‖
⊢ A.det ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
a : A
i : ℕ
⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (m * i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)
i j : ℕ
hj : 0 < j
⊢ j * (j - 1) * (i / j + 1) ^ 2 < (i + j) ^ 2
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
⊢ BddAbove (Set.range fun a => period m a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
⊢ s ×ˢ Set.univ = Prod.fst ⁻¹' s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
⊢ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (weightedSMul μ s) x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ).map star = blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ.map star
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N.incl.range = N
r x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ exponentialPDF r x = ENNReal.ofReal (r * rexp (-(r * x)))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : x ∉ closure s
⊢ 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
⊢ b ⊆ {s | IsOpen s} ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)
ctx : Nat.Linear.Context
m : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx m.sort = Nat.Linear.Poly.denote ctx m
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel Sum.inl φ = FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE ⋯ φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b
⊢ ∀ l ∈ (insert a s).subchain, ∃ l' ∈ s.subchain, l.length + 0 ≤ l'.length + 1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
⊢ (I ⊔ J) • N = I • N ⊔ J • N
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
(S₁.map F).HasHomology
(S₂.map F).HasHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)) (S₂.mapHomologyIso F).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapHomologyIso F).inv
    (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y
⊢ 0 ≤ x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ✝ : SheafOfTypes K
Z✝ : C
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
hF : {c : C} → {d : D} → (d ⟶ F.obj c) → (c' : C) × (F.obj c' ≅ d)
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (F.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ F.obj Y₁
f₂ : X ⟶ F.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
he : f₁ ≫ F.map g₁ = f₂ ≫ F.map g₂
X' : C
e : F.obj X' ≅ X
⊢ ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ Memℒp (f + g) p μ ↔ Memℒp f p μ ∧ Memℒp g p μ
c : ℝ
f : ℕ → Bool
n : ℕ
h : 0 ≤ c
⊢ 0 ≤ Cardinal.cantorFunctionAux c f n
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
s : Set α
a : β
hs : IsLUB (l '' s) a
⊢ IsLUB s (u a)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ False
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V''
Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ f.rank
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x‖ ≤ c * ‖k₂ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c' * ‖g' x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖k₁ a✝‖ ≤ c * ‖k₂ a✝‖
hx₂ : ‖f' a✝‖ ≤ c' * ‖g' a✝‖
⊢ c * c' * ‖k₂ a✝ • g' a✝‖ = c * ‖k₂ a✝‖ * (c' * ‖g' a✝‖)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ ↑x = 0 ↔ ∃ n, n • p = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (G.map f)) (adj.counit.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.counit.app X) f
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
PosMulStrictMono α
hf : StrictMono f
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => a * f x
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
⊢ selfZPow x B 0 = 1
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
o a b : Ordinal.{u}
m : ℕ
hm : a < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o
n : ℕ
hn : b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
⊢ ∃ n, op a b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
⊢ P f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f₁ (x + t • v)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
⊢ (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
TopologicalSpace α
hanti : CantorScheme.Antitone A
hclosed : ∀ (l : List β), IsClosed (A l)
⊢ CantorScheme.ClosureAntitone A
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 ≤ Int.fract a
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
l : List α
h : ¬∀ (b : α), b ∈ List.pwFilter R l → R a b
⊢ List.pwFilter R (a :: l) = List.pwFilter R l
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
i : ℕ
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
⊢ cthickening δ E ⊆ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Set.Icc a b)] f
⊢ 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u : UniformSpace α
a : α
⊢ 𝓝 a = 𝓝 a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ * t ⊆ s₂ * t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ⨆ x, ((↑x).restrict s).lintegral μ ≤ ⨆ x, (↑x).lintegral μ
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
m : M
⊢ fixedBy α m = Set.univ ↔ m = 1
α : Type u_5
Denumerable α
⊢ Computable (Denumerable.ofNat α)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ IsColimit (ShortComplex.π₁.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
S : Type u_5
Semiring S
M : Type u_6
AddCommMonoid M
Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : LinearMap.IsProj m f
x : M
⊢ ↑(h.codRestrict x) = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
γ : CategoryTheory.sheafify J P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.toSheafify J P) γ = η → γ = CategoryTheory.sheafifyLift J η hQ
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ↪ β
f : γ → α
⊢ e.arrowCongrRight f = ⇑e ∘ f
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : CompactSpace α
⊢ (∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K) ↔ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p univ
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
⊢ (Finsupp.cons y s) i.succ = s i
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
h : Function.Surjective ⇑f
H : AddSubgroup N
⊢ AddSubgroup.map f (AddSubgroup.comap f H) = H
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
⊢ ∃ q,
  (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod * q = p ∧
    Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬sSup s < k
sSup' : sSup s ≤ k
⊢ False
Γ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
StrictOrderedSemiring Γ
f : R[X]
⊢ (algebraMap R[X] (HahnSeries Γ R)) f = (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) ↑f
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
r : R
m : ↑M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor M).hom (r ⊗ₜ[R] m) = r • m
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
⊢ F.map A.inr ≫ F.map A.fst = 0
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
f : V₁ →ₗ[k] V₂
⊢ ⇑f.toAffineMap = ⇑f
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
f : α → G
l : Filter α
y : G
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => -f x) l (𝓝 (-y))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ IsCompact (U ∩ V)
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : p = 1
⊢ 1 = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF (fun p r => (ProbabilityTheory.preCDF ρ r p.2).toReal)
  (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ) (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ.fst)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
h : e ∈ G.incidenceSet a
⊢ incMatrix R G a e = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ∀ ⦃a : ℕ⦄ {s : Finset ℕ}, a ∉ s → (∀ (f : R[X]), f.support = s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding s) → ∀ (f : R[X]), f.support = insert a s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding (insert a s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : β →₀ M
⊢ equivMapDomain (Equiv.refl β) v = v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
J' : Submodule R R
hJJ' : J < J'
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'
x : R
hxJ' : x ∈ J'
hxJ : x ∉ J
⊢ False
ι : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
Field K
Finite K
CommRing R
Finite ι
Algebra K R
Algebra.IsAlgebraic K R
ps : ι → MvPolynomial ι R
hinj : Function.Injective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)
⊢ Function.Surjective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) ≤ᶠ[ae μ] 1
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α →₀ β →₀ M
xy : α × β
⊢ ((finsuppProdLEquiv R).symm f) xy = (f xy.1) xy.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
b : X
⊢ 0 ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ f.neLocus g = (f - g).support
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
⊢ IsLocalDiffeomorphOn I J n f s ↔ ∀ (x : ↑s), IsLocalDiffeomorphAt I J n f ↑x
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
c : S
x : M
⊢ c • f x = f (σ' c • x)
X : Scheme
⊢ ↑(⨆ i, ↑i) = ↑⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid C
⊢ Quiver.IsThin C ↔ ∀ (c : C), Subsingleton (c ⟶ c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.MonoOver A} (k : X ⟶ Y) (g : CategoryTheory.MonoOver A),
  (CategoryTheory.MonoOver.inf.map k).app g =
    CategoryTheory.MonoOver.homMk
      (CategoryTheory.Limits.pullback.lift
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst ((CategoryTheory.MonoOver.forget A).obj g).hom X.arrow)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.snd ((CategoryTheory.MonoOver.forget A).obj g).hom X.arrow ≫ k.left) ⋯)
      ⋯
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
⊢ padicNormE q ≠ padicNormE r → padicNormE (q + r) = max (padicNormE q) (padicNormE r)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p
_i : ι
hi : _i ∈ J
hi' : _i ∈ ↑I
⊢ False
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ iSup K → ∃ i, x ∈ K i
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
⊢ Integrable (X * Y) μ
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y
⊢ ↑((TopologicalSpace.Opens.map f).obj U) = ⇑f ⁻¹' ↑U