ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
a✝ : α
b✝ : β
x✝ : α
h₁ : f a✝ < b✝
h₂ : ¬f x✝ < b✝
⊢ ∃ y, a✝ < y ∧ f y ≤ b✝
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ p.castSucc
⊢ p.castSucc.succAbove (p.predAbove i) = i
a b : ℕ
⊢ Polynomial.eval a (ascPochhammer ℕ b) = (a + b - 1).descFactorial b
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun n => ((f ^ n) x - x) / ↑n) atTop (𝓝 (τ (↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))⁻¹ * f * ↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))))
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
⊢ vecAppend ho u v i = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
t : Set (G ⧸ s)
⊢ Nat.card ↑(mk ⁻¹' t) = Nat.card ↥s * Nat.card ↑t
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q
⊢ z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -(n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + (n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
s step n : Nat
⊢ (List.range' s n step).length = n
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -Complex.I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2)
  (HurwitzZeta.completedSinZeta (↑a) s)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hxu : x ∈ u
hyv : y ∈ v
hs : s ⊆ u ∪ v
huv : Disjoint u v
⊢ t ∩ (u ∩ v) = ∅
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ Cardinal.lift.{u, v} x ≤ ↑m ↔ x ≤ ↑m
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ c * a + (d * b + d * a) < c * b + (d * b + d * a)
α : Type u
Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - x ^ m
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 < a
⊢ a ^ n < a ^ m ↔ n < m
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n
⊢ ∀ p ∈ Multiset.map f l, p.natDegree ≤ n
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
n : ℕ
h : ∀ p ∈ s, (f p).natDegree ≤ n
⊢ (∏ i ∈ s, f i).coeff (s.card * n) = ∏ i ∈ s, (f i).coeff n
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (nim o).RightMoves = (Quotient.out o).α
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ f
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p₁ = ⅟2 • (p₂ -ᵥ p₁)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Add α
A B : Matrix m n α
⊢ (A + B).submatrix = A.submatrix + B.submatrix
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
⊢ ∂ ⊥ = ⊥
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.integralNormalization 0 = 0
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : dimH s < ↑d
⊢ μH[↑d] s = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : ℕ
H : n < l.length
⊢ f (l.nthLe n H) = (List.map f l).nthLe n ⋯
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
δ : Type u_1
inst✝ : Monad m
f : α × β → δ → m (ForInStep δ)
key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : ∀ (init : δ), tail✝.forIn init f = List.forIn.loop f tail✝.toList init
init : δ
a : ForInStep δ
⊢ (match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ TotallyBounded (Set.Icc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroup G
f g : α →₀ G
⊢ (f + -g).support ⊆ f.support ∪ (-g).support
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ 𝓝[s ×ˢ t] (x, y) = 𝓝[s] x ×ˢ 𝓝[t] y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
hsc : count s = 0
hs : s.Finite
⊢ s = ∅
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y z : α},
  Batteries.RBNode.cmpEq cmp x y → (Batteries.RBNode.cmpLT cmp x z ↔ Batteries.RBNode.cmpLT cmp y z)
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s
α : Type u_2
ι : Type u_3
l : Combinatorics.Line α ι
x : α
⊢ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x = fun i => (l.idxFun i).getD x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
⊢ ∀ (c_1 : 𝕜), x ∈ (c_1 * c) • s → egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖c_1‖₊
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
⊢ ∃ Q_1 NQ_1 PQ, Q_1 ∈ L.age M ∧ NQ_1.comp NP = PQ.comp NQ
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
ι : Type u_3
b : α → ι → Set α
p : α → ι → Prop
hbasis : ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (p x) (b x)
hconnected : ∀ (x : α) (i : ι), p x i → IsPreconnected (b x i)
⊢ LocallyConnectedSpace α
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
α : Type u_1
Lattice α
IsWeakUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ a → a ⊓ b ⋖ b → b ⋖ a ⊔ b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
⊢ HasEigenvector T (↑(RCLike.re μ)) v
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
N✝ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁵ : Module R N✝
S : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : SMulCommClass R R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
M N : Submodule R S
ι : Type u_5
m : ι → ↥M
hc : ∀ (i : ι) (n : ↥N), Commute ↑(m i) ↑n
i : ι
n : ↥N
⊢ (mulLeftMap N m ∘ₗ Finsupp.lsingle i) n = (N.mulRightMap m ∘ₗ Finsupp.lsingle i) n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) c
n : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Inverse.obj K).X.X n = (K.X n).X
x y : ZFSet
⊢ x = y ↔ ∀ (z : ZFSet), z ∈ x ↔ z ∈ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ h.op.iso = h.iso.op
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ X.coeff n = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.CG ↔ FirstOrder.Language.Structure.CG L ↥S
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s
⊢ Continuous fun x_1 => edist (x_1 x) (x_1 y)
α : Type u_1
Zero α
One α
LE α
ZeroLEOneClass α
⊢ 0 ≤ 1
a b : UInt64
h : 0 < b
⊢ a % b < b
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hxz : x ≠ 0
⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
p : Submodule R₂ M₂
⊢ (RelIso.symm (Submodule.orderIsoMapComapOfBijective f hf)) p = Submodule.comap f p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
L : IntermediateField F E
f : E →ₐ[F] K
x : ↥L
⊢ ↑((L.equivMap f) x) = f ↑x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ hA.eigenvalues i =
  RCLike.re
    (Matrix.dotProduct (star ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i)))
      (A.mulVec ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i))))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
S : Set X
⊢ IsClosed S ∧ DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ (x : X), Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
a : Subsemiring R
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)
⊢ f ((AffineMap.lineMap a b) r) < (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a b < slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
I' : Set α
hI' : M.Indep I'
hII' : I = I'
⊢ M.Basis I X
P : PartENat → Prop
a : PartENat
⊢ P ⊤ → (∀ (n : ℕ), P ↑n) → P a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α
⊢ MeasurableSet {x}
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (Filter.map Complex.ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝 l)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ Set.image2 f (lowerBounds s) (lowerBounds t) ⊆ upperBounds (Set.image2 f s t)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpen (Set.range Sum.inr)
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ArithmeticFunction.vonMangoldt n
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ s
this : 0 < ‖f x‖
⊢ x ∈ ⋃ n, v n
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₂ <:+: l₁ ++ l₂ ++ l₃
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ eval t ((⇑derivative)^[m] ((X - C t) ^ m * (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖x‖ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
hx : f x ≠ 1
⊢ x ≠ a ↔ x ≠ a ∧ f x ≠ 1
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.graph.topologicalClosure = (Exists.choose hf).graph
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
⊢ ∑ x ∈ antidiagonal n, (MvPowerSeries.coeff R (({ toFun := single (), inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single (), inj' := ⋯ }) x).1) φ * (MvPowerSeries.coeff R (({ toFun := single (), inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single (), inj' := ⋯ }) x).2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
⊢ (Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = rexp (log x * y) * cos (y * π)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsGLB s a
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≥] a, x ∈ s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → β
⊢ (∏ x ∈ s, if p x then f x else g x) = (∏ x ∈ filter p s, f x) * ∏ x ∈ filter (fun x => ¬p x) s, g x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j k : n
⊢ (diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) j k = diagonal (Function.update v i x) j k
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0
⊢ 2 * ↑n + 1 = ↑(2 * n + 2) - 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
⊢ IsOpen (range inl)
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
hy : y₁ ≠ W.negY x₁ y₁
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ + WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
⊢ FirstOrder.Language.Term.relabel g ∘ FirstOrder.Language.Term.relabel f = FirstOrder.Language.Term.relabel (g ∘ f)
α : Type u_1
CommSemiring α
⊢ fibRec.IsSolution fun x => ↑(Nat.fib x)
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ S₂ : Submonoid M
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ ∀ (l : ℕ), (ζ ^ i) ^ l = 1 → k ∣ l
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
PolishSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space Y
SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ MeasurableSpace.map f (borel X) = borel Y
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a < b / c ↔ c < b / a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this✝ : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)
this : ↑(n.choose (i + 1) * (i + 1)) = ↑(n.choose i * (n - i))
⊢ ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose (i + 1)) * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
⊢ Nonempty (Algebra ℚ R) ↔ ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
s : Set β
⊢ (p.bind f).toOuterMeasure s = ∑' (b : β), if b ∈ s then ∑' (a : α), p a * (f a) b else 0
X : BddDistLat
⊢ BddDistLat.dual.obj X = BddDistLat.of (↑X.toDistLat)ᵒᵈ
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ (a ↔ b) ↔ (¬a ∨ b) ∧ (a ∨ ¬b)
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
OrderTop α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
⊢ u (l.toFun ⊤) = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
m : ↥M
r : R
⊢ ↑m • IsLocalization.mk' S r m = (algebraMap R S) r
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
t : Multiset R[X]
h : 0 ∉ t
⊢ t.prod.natDegree = (Multiset.map Polynomial.natDegree t).sum
α : Type u_4
BooleanAlgebra α
IsAtomic α
x y : α
⊢ x = y ↔ ∀ (a : α), IsAtom a → (a ≤ x ↔ a ≤ y)
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
a b : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * a * b = (-1) ^ k * (a * b)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
⊢ (comap f) (mkMetric m) = mkMetric m
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
L : F →SL[τ] G
this✝² : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this✝¹ : UniformAddGroup G
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ Continuous ((⇑(UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) ∘ DFunLike.coe) ∘ { toFun := fun f => L.comp f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
Add X
ContinuousAdd X
x : X
⊢ ⇑(ContinuousMap.addLeft x) = fun y => x + y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
D : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
F : CategoryTheory.Functor C (Type u₂)
CategoryTheory.Limits.HasColimit (D.rightOp.comp CategoryTheory.coyoneda)
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : CategoryTheory.Limits.colimit (D.rightOp.comp CategoryTheory.coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π (D.comp (F.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, u₂})) (Opposite.op i)
    ((CategoryTheory.Limits.colimitCoyonedaHomIsoLimit D F).hom f) =
  {
    down :=
      f.app (D.obj (Opposite.op i))
        ((CategoryTheory.Limits.colimit.ι (D.rightOp.comp CategoryTheory.coyoneda) i).app (D.obj (Opposite.op i))
          (CategoryTheory.CategoryStruct.id (D.obj (Opposite.op i)))) }
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => Real.log (f x)) x = deriv f x / f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
⊢ J.W f
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring P
inst✝⁷ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝⁵ : Algebra P Q
inst✝⁴ : IsLocalization T Q
A : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring A
U : Submonoid A
W : Type u_6
inst✝² : CommSemiring W
inst✝¹ : Algebra A W
inst✝ : IsLocalization U W
l : P →+* A
hl : T ≤ Submonoid.comap l U
x : S
⊢ (map W l hl) ((map Q g hy) x) = (map W (l.comp g) ⋯) x