ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ -n • a = -(n • a)
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) + dist ↑w ↑(w.center (dist z w)) = w.im * (rexp (dist z w) - 1)
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α M
a : α
ha : a ≠ 0
S : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
p : X → Prop
h : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, p x
C : Type u_1
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} D
K : CategoryTheory.Coverage C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C K) P ↔
  ∀ ⦃X : C⦄,
    ∀ R ∈ K.covering X,
      Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (P.mapCone (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows.cocone.op))
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
Module.Free R S
Module.Finite R S
a : S
⊢ (Algebra.norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((Algebra.norm R) a)
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : StandardBorelSpace α
inst✝ : Finite α
n : ℕ
n_equiv : α ≃ Fin n
⊢ Fin n ≃ ↑(range fun x => ↑↑x)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
⊢ a ∈ s₁ → AList.lookup a (s₁ ∪ s₂) = AList.lookup a s₁
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ u ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ (a : α), F i a - f a ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
⊢ b ∈ Set.range ⇑f
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(-c).num = -↑c.num
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
⊢ Function.rightLim f x ≤ Function.leftLim f y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑iso ∘ f) univ x = (↑iso).comp (fderivWithin 𝕜 f univ x)
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ : LieModule.Weight R L M
h : ∀ (x : L), χ₁ x = χ₂ x
⊢ χ₁ = χ₂
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
p : β → Prop
f : α → β
hf : Measurable f
h : ∀ (x : α), p (f x)
⊢ Measurable fun x => ⟨f x, ⋯⟩
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }
h : rng.topologicalClosure = rng
x✝¹ x✝ : ↑(characterSpace ℂ A)
⊢ x✝¹ ≠ x✝ → ∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑rng.toSubalgebra, f x✝¹ ≠ f x✝
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b
⊢ Int.clog b r ≤ ⌈logb (↑b) r⌉
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ (↑((card α).choose s.card))⁻¹ = ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : (M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
⊢ I.encard = J.encard
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ hfpB : FinitePresentation A B
n : ℕ
I : Ideal (MvPolynomial (Fin n) A)
e : (MvPolynomial (Fin n) A ⧸ I) ≃ₐ[A] B
hfg : I.FG
this : FinitePresentation R (MvPolynomial (Fin n) A ⧸ I) := FinitePresentation.quotient hfg
⊢ FinitePresentation R B
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
U V : Set α
⊢ Disjoint (Quotient.mk' '' U) (Quotient.mk' '' V) ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Sub Y
f g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
N : LieSubmodule R L M
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ N ≤ LieSubmodule.comap f (LieSubmodule.map f N)
m : ℕ
P Q : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
DecidablePred Q
hPQ : ∀ (n : ℕ), P n → Q n
hmn : m ≤ n
⊢ Nat.findGreatest P m ≤ Nat.findGreatest Q n
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a - b = 0
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0
⊢ a' - b' = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f
hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)
⊢ g₁ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₁, property := hf₁ } = g₂ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₂, property := hf₂ }
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ s.Finite
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
TopologicalSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {x | f x = g x} μ
p q : ℚ
⊢ q.toNNRat < p.toNNRat ↔ q < p ∧ 0 < p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a : α
h : ScottContinuous f
⊢ Monotone f
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsMin a → Order.IsSuccLimit a
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β₀ β₁ β₂ : Type u
g : β₀ → F β₁
g' : β₁ → G β₂
x : t α β₀
⊢ Functor.Comp.mk (Bitraversable.tsnd g' <$> Bitraversable.tsnd g x) =
  Bitraversable.tsnd (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map g' ∘ g) x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
t : Finset β
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s → a • t ⊆ s • t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
X : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app X).τ₁ = (X.XIsoOfEq hi).inv
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
SeparatingDual 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ CompleteSpace (E →L[𝕜] F) ↔ CompleteSpace F
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ edist (f x) (f y) = edist x y
α : Type u
Fintype α
⊢ Cardinal.mk (Finset α) = 2 ^ Fintype.card α
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α
⊢ 2 * a + 1 + (2 * b + 1) = a + b + 1 + (a + b + 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ (pb.basis.toMatrix ⇑b * (pb.basis.toMatrix ⇑b)ᵀ).det * ((BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ (K ⊓ H).subgroupOf K = H.subgroupOf K
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ AntilipschitzWith ‖a‖₊⁻¹ fun x => a * x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsClosed (irreducibleComponent x)
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ (m - n) • -a = -(m • a) + n • a
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : 0 < a
⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hfi : iIndepFun (fun x => mβ) f μ
hij : i < j
⊢ Indep (⨆ k ∈ {j}, MeasurableSpace.comap (f k) mβ) (⨆ k ∈ {k | k ≤ i}, MeasurableSpace.comap (f k) mβ) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.ULift.equivalence.functor = CategoryTheory.ULift.upFunctor
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Set.Ioc a b) = {a, b}
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ[R] F
g : E →ₗ.[R] F
⊢ (f +ᵥ g).domain = g.domain
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M
⊢ Nonempty ι
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ ∃ x q, ∃ (h' : G.Adj x w), SimpleGraph.Walk.cons h p = q.concat h'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategory
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (𝟙 Δ) = 𝟙 (K.X Δ.len)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f I ≤ f.idealRange
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n
⊢ b.equivFun.symm ((stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ f '' quasispectrum S a = quasispectrum R a
X : Type u
TopologicalSpace X
h : CompactSpace X
⊢ IsCompact Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
Y : C
η : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f) η = s
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s f
n : Nat
m : Nat
H : 0 < m
⊢ m * n / m = n
α : Type u
x y : List α
⊢ x = x ++ y ↔ y = []
α : Sort u_1
β : Sort u_2
coe : outParam (β → α)
cond : outParam (α → Prop)
self : CanLift α β coe cond
x : α
⊢ cond x → ∃ y, coe y = x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
⊢ log (μ.rnDeriv (c • ν) x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n i : ℕ
⊢ (if i < n then if i < n then x.coeff i else 0 else 0) = if i < n then x.coeff i else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id sq).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₃
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b ∨ b < a
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ List.filter p l₁ <+ List.filter p l₂
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (P✝ ⟶ sheafify J P✝) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝ ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P✝))
e_3✝ : P✝ = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝
e_4✝ : J.sheafify P✝ = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P✝
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P) = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ 𝟙 (J.sheafify P)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (derivative (nodal s v)) = eval (v i) (nodal (s.erase i) v)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
⊢ ↑1 = 1
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
StarRing α
⊢ A⁻¹.conjTranspose = A.conjTranspose⁻¹
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
self : p.IsPath
⊢ p.support.Nodup
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
⊢ i ∈ fs₁ ↔ i ∈ fs₂
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.index = 1 ↔ H = ⊤
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_5 u_4}
ha : ∀ (i : ι), f i ≠ a
⊢ Ordinal.mex f ≤ a
θ : Angle
⊢ θ.sin = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.densityProcess κ.fst n a x Set.univ = 1
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ Multiset.card σ.cycleType = 1 ↔ σ.IsCycle
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
h : Presheaf.imageSieve f x ∈ (extensiveTopology C).sieves X
⊢ ∃ a, f.app (op X) a = x
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
hdvd : map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ X ^ n - 1
hzero : ↑n = 0
⊢ False
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
self : F.IsTriangulated
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  F.mapTriangle.obj T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddLocalization.r S = AddLocalization.r' S
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
e : α ≃ β
h : ∀ (x : α), e (f x) = g (e x)
⊢ sign f = sign g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (x : β), (η a) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂κ a
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : K
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x / y ∈ s
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
⊢ Ideal.absNorm I = 1 ↔ I = ⊤
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
p : Z.TotalSpace
⊢ ↑(Z.localTriv i) p = (p.proj, (Z.coordChange (Z.indexAt p.proj) i p.proj) p.snd)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
hs : Convex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 (⇑f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).Factors h ↔ h ≫ f = 0
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
b : β a
⊢ Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val) = (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ
equiv : (y : γ) × { x // g x = y } ≃ β := Equiv.sigmaFiberEquiv g
⊢ ∀ (b : γ), HasSum (fun c => (f ∘ ⇑equiv) ⟨b, c⟩) (∑' (b_1 : ↑(g ⁻¹' {b})), f ↑b_1)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).cos * ‖x - y‖ = ‖x‖
k G A : Type u
CommRing k
Group G
AddCommGroup A
Module k A
DistribMulAction G A
SMulCommClass G k A
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ groupCohomology.IsOneCocycle ↑f
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse.coeff 1 = f.nextCoeff
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
One Y
⊢ IsLocallyConstant 1
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (DilationEquiv.mulLeft a ha).symm x = a⁻¹ * x
V : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
p₁ p₂ p₃ p₄ : V
⊢ nndist (midpoint ℝ p₁ p₂) (midpoint ℝ p₃ p₄) ≤ (nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄) / 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P
M : Type u_1
α : Type u_7
VAdd M α
AddAction.IsPretransitive M α
x : α
⊢ Function.Surjective fun c => c +ᵥ x
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ Metric.closedBall z r
hy : y ∈ Metric.closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ Metric.ball z r
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
H : x.1 = 0
⊢ z = 0 ∨ w = 0
α : Type u_1
l : Filter α
Subsingleton α
⊢ l.Subsingleton
α : Type u_1
a : Lists α
l : Lists' α true
⊢ (Lists'.cons a l).toList = a :: l.toList
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s t : Set X
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] f
hst : s ≤ᵐ[μ] t
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p' ×ˢ p', (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2) ∈ t ∧ (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2) ∈ t
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
⊢ (C p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod).coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
α : Type u_1
s : Set α
InvolutiveStar α
⊢ star '' s = star s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => InnerProductGeometry.angle y.1 y.2) x
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m