ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ m ⊓ mΩ = MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ x / √(1 + x ^ 2) = √(1 - (√(1 + x ^ 2))⁻¹ ^ 2)
α : Type u_1
s : Set α
DecidableEq α
Fintype ↑s
Fintype ↑s.offDiag
⊢ s.offDiag.toFinset = s.toFinset.offDiag
n a : ℕ
⊢ Finset.image (fun x => x % a) (Finset.Ico n (n + a)) = Finset.range a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Tendsto ((fun r => (pre m r) s) ∘ Subtype.val) atBot (𝓝 (⨆ i, (pre m ↑i) s))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
l : Filter α
⊢ l ≤ comap f ⊤
α : Type u_1
c₁ : Batteries.RBColor
n : Nat
c₂ : Batteries.RBColor
l r : Batteries.RBNode α
hl : l.Balanced c₁ n
hr : r.Balanced c₂ n
⊢ Batteries.RBNode.RedRed (c₁ = Batteries.RBColor.black → c₂ ≠ Batteries.RBColor.black) (l.append r) n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f
⊢ (o.bsup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
⊢ diam ((convexHull ℝ) s) = diam s
y : ℝ
⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iic ↑↑y = Iic y
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
r : R
⊢ Polynomial.nthRoots 2 r = 0 ↔ ¬IsSquare r
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ traverse (pure ∘ f) <$> traverse g x = traverse (map f ∘ g) x
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
⊢ Integrable f μ
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥
R : Type u
S : Type u_1
f : R → S
X Y Z : R
⊢ f ∘ ![X, Y, Z] = ![f X, f Y, f Z]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB ((fun b => b * a) '' s) (b * a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
⊢ ∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
⊢ egauge 𝕜 s (c • x) = ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
m : ℕ
n : ℕ
i : Fin m
⊢ (Fin.natAddOrderEmb n) i = Fin.natAdd n i
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)
⊢ sin x < x
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
s : Set α
TopologicalSpace α
LocallyCompactSpace α
G : ι → α → β
g : α → β
p : Filter ι
hs : IsOpen s
⊢ [TendstoLocallyUniformlyOn G g p s, ∀ K ⊆ s, IsCompact K → TendstoUniformlyOn G g p K,
    ∀ x ∈ s, ∃ v ∈ 𝓝[s] x, TendstoUniformlyOn G g p v].TFAE
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors s.prod = (Multiset.map UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors s).sum
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
Subsingleton α
⊢ r = EmptyRelation
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P ⊤
t₁ t₂ : P.obj (op X)
h₁ : x.IsAmalgamation t₁
h₂ : x.IsAmalgamation t₂
q₁ : P.map (𝟙 X).op t₁ = x (𝟙 X) trivial
q₂ : P.map (𝟙 X).op t₂ = x (𝟙 X) trivial
⊢ t₁ = t₂
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ Function.Injective Subtype.val
α : Type u_1
f : α → α
x : α
g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.minimalPeriod (f ∘ g) x ∣ Function.minimalPeriod f x * Function.minimalPeriod g x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
β : Type u_2
oα : Ord α
oβ : Ord β
Batteries.TransOrd α
Batteries.TransOrd β
⊢ Batteries.TransOrd (α × β)
R : Type u_3
A : Type u_4
AddZeroClass R
AddZeroClass A
x : Unitization R A
⊢ Unitization.inl x.fst + ↑x.snd = x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ sqrtTwoAddSeries 0 n < 2 ^ 2 - 2
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ l.reverse.inits = (map reverse l.tails).reverse
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃
this : Mono φ.hom₂
A : C
⊢ Function.Injective fun x => x ≫ φ.hom₂
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : f v = f w
⊢ v = w
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
x : AdicCompletion I (DirectSum ι fun j => M j)
⊢ (AdicCompletion.sumEquivOfFintype I M).symm x = (AdicCompletion.sumInv I M) x
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
γ : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData
⊢ QuasiIso (opMap φ) ↔ QuasiIso φ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
h : 𝓝[>] x ≠ ⊥
⊢ Function.rightLim f x = sInf (f '' Set.Ioi x)
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α → β
s : β → β → Prop
hs : Equivalence s
⊢ Equivalence (f ⁻¹'o s)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, f a ≠ 0
⊢ ∑' (x : α), s.indicator f x ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
f : ↑I → X
h₁ : Continuous f
h₂ : f 0 = x
h₃ : f 1 = y
⊢ ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := h₁, source' := h₂, target' := h₃ } = f
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubsemigroup M
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α
⊢ α → ?m.115709 → Prop
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ Submodule.annihilator I * I = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
x y : E
⊢ ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
⊢ Measurable (MeasureTheory.pdf X ℙ μ)
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
G : K ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
⊢ (P.coconePointsIsoOfEquivalence Q e w).inv =
  Q.desc
    ((CategoryTheory.Limits.Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm
            ((CategoryTheory.isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G)).functor.obj
      s)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
⊢ Epi S.op.g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
s t : Set α
u : Set α
h : Disjoint s t
⊢ Disjoint (s ∩ u) t
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
H : Algebra.discr ℚ ⇑B.basis • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
a : α
f : α → β
⊢ {a}.noncommSum f ⋯ = f a
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
⊢ Quot.mk Mcongr x.repr = x
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R 0 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x * (g x)⁻¹
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
h : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ Function.minimalPeriod f^[n] x = Function.minimalPeriod f x / (Function.minimalPeriod f x).gcd n
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ logb b 1 < logb b x ↔ 1 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.rnDeriv ν = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μIso m n).inv.app X) ((F.map g).app ((F.obj m).obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m g)).app X)
    ((F.μIso m n').inv.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → α
e : ↑(Function.support f) ≃ ↑(Function.support g)
he : ∀ (x : ↑(Function.support f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ ∑' (x : β), f x = ∑' (y : γ), g y
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
x : AddAction.orbitRel.Quotient G α
a b : ↑x.orbit
⊢ ↑a ∈ AddAction.orbit ↥H ↑b ↔ a ∈ AddAction.orbit (↥H) b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : y ∈ sphere x ε
hε : ε ≠ 0
⊢ x ∉ sphere x ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
StrictOrderedCommSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b : E
⊢ Convex 𝕜 (openSegment 𝕜 a b)
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) GenLoop.const
⊢ GenLoop.toLoop i (GenLoop.fromLoop i p) = p
V : Type u
G H : SimpleGraph V
⊢ G.Adj = H.Adj ↔ G = H
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ ∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ (2 ^ μ.integrablePower * ∫ (x : D), (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower) ∂μ) * (C₁ + C₂)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s), a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2), a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t), a₄ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 * (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 - 2 * φ C.s * φ C.t), a₆ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 * (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 - φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) } = { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)), a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)), a₄ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)), a₆ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hsu : (s ∩ u).Nonempty
⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ LinearMap.range (fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p
hE₂ : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∧ B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ → E =ᶠ[ae μ] C ↑p
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight 1) d ≠ n
⊢ (homogeneousComponent n) φ = 0
V : Type u_2
P : Type u_10
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedSpace ℝ V
x y : P
⊢ dist ((AffineIsometryEquiv.pointReflection ℝ x) y) y = 2 * dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb l : Filter β
f : α → β
⊢ ∀ (x : Filter (Set α)), map f (x.bind 𝓟) = (map (image f) x).bind 𝓟
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β
⊢ l (u (a ⊓ b)) = a ⊓ b
α : Type u_5
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Set.Ioc l u = S}
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
⊢ (𝟭 C).map f ≫ 𝟙 Y.A = f
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : ∃ a < 3, p ^ a = orderOf g
⊢ orderOf g = p
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
⊢ {s | IsPreconnected s} =
  Set.range (Function.uncurry Set.Icc) ∪ Set.range (Function.uncurry Set.Ico) ∪ Set.range (Function.uncurry Set.Ioc) ∪
      Set.range (Function.uncurry Set.Ioo) ∪
    (Set.range Set.Ici ∪ Set.range Set.Ioi ∪ Set.range Set.Iic ∪ Set.range Set.Iio ∪ {Set.univ, ∅})
α : Type u_1
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∀ (i : ι), MeasurableSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (limsup s atTop)
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a = ⊤ → ↑b = ⊤
h_nnreal : ↑a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → (↑a).toNNReal ≤ (↑b).toNNReal
hlt : ↑b < ↑a
⊢ False
c b : Bool
⊢ (bif c then b else c) = (c && b)
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n
⊢ n - x ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃
K : Type u_5
LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ ↑|q| = |↑q|
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiable I' I'' g
hf : MDifferentiable I I' f
p : TangentBundle I M
⊢ tangentMap I I'' (g ∘ f) p = (tangentMap I' I'' g ∘ tangentMap I I' f) p
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
y : ↑X
h : p₀ ⤳ y
⊢ (skyscraperPresheafCoconeOfSpecializes p₀ A h).pt = A
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
x : ℝ*
⊢ (-x).InfinitePos ↔ x.InfiniteNeg
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HSMul.hSMul h₂' = (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp