ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
⊢ Function.Bijective OrderRingIso.symm
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : BoxIntegral.IntegrationParams
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ∀ (b : α), ¬r a b
⊢ (a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b) ↔ b = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
⊢ TendstoUniformlyOn F' f p s
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
hIJ✝ : ¬I ⊔ J = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hIJ : I ⊔ J ≤ P
⊢ False
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : 1 ≤ a
⊢ mabs a = a
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).SupIndep id
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ r < 0
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ψ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
⊢ ϕ.autCongr ψ = ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : Y' ⟶ f.left
⊢ (f.homMk' g).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f.hom)).right
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : CategoryTheory.Over X
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.left B.hom = A.hom
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Continuous ⇑f
u v m n : ℤ
⊢ Even (n + 1) ↔ ¬Even n
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
α : Type u
CommSemiring α
x y : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = ∑ i ∈ Finset.range n, y ^ i * x ^ (n - 1 - i)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.Structure.RelMap r fun i => ⟦x i⟧) ↔ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.toThinSkeleton C).map f = CategoryTheory.homOfLE ⋯
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ∀ (x x_1 : R[X]),
  Polynomial.add x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFinsupp := a }, { toFinsupp := b } => { toFinsupp := a + b }
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
⊢ h = ↑(coroot α)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
Ei : Fin n → Type u_1
inst✝¹ : (i : Fin n) → SeminormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin n) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i
b : ℝ
hm : ‖m‖ ≤ b
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * b ^ n
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hli : LinearIndependent R v
i : ι
⊢ ↑((Basis.span hli) i) = v i
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Abelian A
CategoryTheory.Abelian B
L : A ⥤ B
L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
⊢ L.PreservesMonomorphisms
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsGLB s a
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∩ ↑t
n : ℕ
this : 3 ≤ n + 3
⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 2
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ ⇑h '' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (h x) r
α : Type u_4
β : Type u_5
EMetricSpace α
EMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
CompleteSpace α
hf : AntilipschitzWith K f
hfc : UniformContinuous f
⊢ ClosedEmbedding f
M : Type u
AddZeroClass M
a b : M
h : a + b = 0
⊢ a = 0 ↔ b = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E
⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪v, ↑u⟫_𝕜
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
R : CategoryTheory.Presieve (F.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Presieve.functorPullback F R f ↔ R (F.map f)
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ χ ↑n = δ n
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
r : R
s : S
⊢ g (↑f.toMonoidWithZeroHom r • s • y) = g (r • s • y)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
P : PFunctor.{u}
α : Type u
a : P.A
f : P.B a → α
⊢ Functor.supp ⟨a, f⟩ = f '' Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f g : α → β → σ
hg : Primrec₂ f
H : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g a b
⊢ Primrec₂ g
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
⊢ ∃! x, f x = y
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x + 1 ≤ rexp x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
⊢ UniformContinuous ⇑toFun
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ∀ (a : M₁ × M₂), (QuadraticMap.IsometryEquiv.prodComm Q₁ Q₂) a = a.swap
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * d + b * c < a * c + b * d
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ (X.restrictFunctor.op ⋙ (Over.forget X).op ⋙ Γ).map i ≫ ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) V).hom = ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) U).hom ≫ X.presheaf.map i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A
⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.succ ≤ b.castSucc ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ (condCDF ρ a).measure univ = 1
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
⊢ (if ↑j = ↑i then 0 else ↑j + 1) = ↑(if ↑j = ↑i then 0 else j + 1)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Exponentiable A
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Exponentiable A₁
inst✝¹ : Exponentiable A₂
inst✝ : Exponentiable A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
⊢ pre (f ≫ g) = pre g ≫ pre f
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
a : A
⊢ (Bialgebra.counitAlgHom R A) a = Coalgebra.counit a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasInitial C
P : C
⊢ desc (initial.to P) (𝟙 P) ≫ inr = 𝟙 ((⊥_ C) ⨿ P)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α → E
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 ∂μ.prod ν = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.rightHomologyData.Q = S.X₃
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor E D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : CategoryTheory.Sheaf J E
Y : CategoryTheory.Sheaf J D
γ : X ⟶ (CategoryTheory.sheafCompose J F).obj Y
⊢ ((CategoryTheory.Sheaf.composeEquiv J adj X Y).symm γ).val =
  CategoryTheory.sheafifyLift J
    (((CategoryTheory.Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J E).obj X) Y.val).symm
      ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J E).map γ))
    ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Sub β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f - g) = ↑f - ↑g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this : HasZeroObject C
⊢ IsIso S.f ↔ IsZero S.X₃
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, s i)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ V ∈ 𝓤 α, ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ N, (u k, u l) ∈ V
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
U : Set X
inst✝ : (x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
x✝ : X
⊢ x✝ ∈ ⇑(ofIsClopen hU) ⁻¹' {0} ↔ x✝ ∈ U
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
he : ¬e.IsPrimitive
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
⊢ (∑ a : α, μ a * f a) * ∑ a : α, μ a * g a ≤ (∑ a : α, μ a) * ∑ a : α, μ a * (f a * g a)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ Metric.diam (Set.range f) = Metric.diam Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ dist x y < d
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Polynomial.nthRootsFinset n R = n.divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R
I : Type u_5
X : I → Type u_7
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
i : I
⊢ ⇑(ContinuousMap.eval i) = Function.eval i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ ↑(Submodule.torsionBy R M a) = ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M a) ⁻¹' {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s
⊢ (insert a s).sym2 = image (fun b => s(a, b)) (insert a s) ∪ s.sym2
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∈ List.Nat.antidiagonal n ↔ x.1 + x.2 = n
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ ↑n = f ↑n
α : Type u
a : α
m : Multiset α
⊢ FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd (a ::ₘ m)) = FreeCommRing.of a * FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd m)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_3
L✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : CommRing L✝
inst✝⁹ : Nontrivial L✝
inst✝⁸ : Algebra R L✝
inst✝⁷ : Algebra S L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L✝
inst✝³ : IsIntegrallyClosed R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : IsScalarTower R K S
s : S
hs : IsIntegral R s
L : Type u_2 := FractionRing S
⊢ minpoly K s = map (algebraMap R K) (minpoly R s)
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
⊢ 2 ^ 1 ∣ x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
c : γ
a : α
⊢ flip (r ∘r p) c a = (flip p ∘r flip r) c a
M : Type u_1
AddMonoid M
γ : Type u_3
AddMonoid γ
f : M → γ
hf : IsAddMonoidHom f
s : Set M
hs : IsAddSubmonoid s
⊢ IsAddSubmonoid (f '' s)
R : Type u_1
CommRing R
a b : R
⊢ a ^ 4 + 4 * b ^ 4 = (a ^ 2 - 2 * a * b + 2 * b ^ 2) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 2 * b ^ 2)
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha_pos : a ≠ 0
hb_pos : b ≠ 0
dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization
d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1
dfac_prime : ∀ p ∈ dfac.support, Prime p
h1 : d.factorization = dfac
hd_pos : d ≠ 0
⊢ (a.gcd b).factorization = a.factorization ⊓ b.factorization
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
⊢ (KaehlerDifferential.derivationQuotKerTotal R S) x = (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single x 1)
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √(x * y) = √x * √y
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : F
y' : E
hy' : y' ∈ s
hy'f : f y' = y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y') = a • f x + b • y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ Set.uIcc x y
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Zero (α j)
i : Fin (n + 1)
x : α i
⊢ i.insertNth x 0 = Pi.single i x
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ t = Subtype.val ∘ ⇑f '' univ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
⊢ QuasiMeasurePreserving Prod.fst (μ.prod ν) μ
n k : ℕ
h : k ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList.Sublist (n * k).primeFactorsList
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
⊢ ⊤ ≤ upperCentralSeries G' n
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ Subgroup.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen (f.opensFunctor.obj U) ↔ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
F : Type u_5
α : outParam (Type u_6)
β : outParam (Type u_7)
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : CompactlySupportedContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ HasCompactSupport ⇑f
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
a b : ZMod n
⊢ (a - b).cast = a.cast - b.cast
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard
⊢ ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard + 1 ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard + 1
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
Submodule.IsPrincipal I
⊢ Ideal.span {Submodule.IsPrincipal.generator I} = I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := {a} } ≤ { ofColex := s } ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
h2 : finrank K ↥E * finrank (↥E) L = finrank K L
h3 : 0 < finrank (↥E) L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
α✝ : Type u
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
x : α
n : ℕ
⊢ (range n).card • x ^ (n - 1) = ↑n * x ^ (n - 1)
⊢ ∀ {X Y : TopCat} (f : C(↑X, ↑Y)), topToPreord.map f = Specialization.map f
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
⊢ AEDisjoint μ (s ∪ t) u ↔ AEDisjoint μ s u ∧ AEDisjoint μ t u
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n < b ^ n ↔ a < b
z : ℤ
a : UInt8
⊢ z • a = { val := z • a.val }
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)
⊢ closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
α : Sort u_1
y : α
p : α → Prop
⊢ ∃ x, x = y ∨ p x
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'
⊢ Disjoint X (I' \ I)
α : Type u_2
s : Set (Filter α)
l : Filter α
⊢ l ∈ interior s ↔ ∃ t ∈ l, Set.Iic (𝓟 t) ⊆ s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
TopologicalSpace α
g : α → P
⊢ Continuous (⇑f ∘ g) ↔ Continuous g
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
⊢ ∀ {α_1 : Type} {β : Type u_1} {f : α → α_1 → α_1 × β} {x : α} {s : α_1},
  Mathlib.Vector.mapAccumr f (x ::ᵥ xs) s =
    let r := Mathlib.Vector.mapAccumr f xs s;
    let q := f x r.1;
    (q.1, q.2 ::ᵥ r.2)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAntisymm α r
l₁ l₂ : List α
hp : l₁.Subperm l₂
hs₁ : List.Sorted r l₁
hs₂ : List.Sorted r l₂
⊢ l₁.Sublist l₂
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type u_18
g : n → M
⊢ (LinearMap.funLeft R M id) g = g
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
this : IsIso (L.map β.s)
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯