ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Finset P
w : P → k
⊢ (Finset.affineCombination k s.attach Subtype.val) (w ∘ Subtype.val) = (Finset.affineCombination k s id) w
α : Type u_1
MeasurableSpace α
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
BorelSpace 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ AEMeasurable (fun x => f x • c) μ ↔ AEMeasurable f μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
v : V
hv : v ∈ W
hv' : v ∈ B.orthogonal W
⊢ (B v).domRestrict W = 0 ∧ v ∈ W
n : ℕ
⊢ (Fin.last n).cycleRange = finRotate (n + 1)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add :
  ∀ (x : A) (hx : x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s),
    p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul :
  ∀ (x : A) (hx : x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s),
    p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s), p x hx → p (star x) ⋯
⊢ p a ha
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ Encodable.decode₂ α n ↔ a ∈ Encodable.decode n ∧ Encodable.encode a = n
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P
⊢ (rTensorHom M) (f - g) = (rTensorHom M) f - (rTensorHom M) g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
e : (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (Finsupp.embDomain u (b.repr x)) = ↑⟨x, p⟩
⊢ ¬∃ a ∈ (b.repr x).support, u a = ⟨x, p⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
x : α
hx : ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ^ q ≤ ↑‖g x‖₊ ^ q
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x : α
hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s
a : α
has : a ∈ s
ha : x ∈ (tᶜ ∩ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent a
b : α
hbt : b ∈ t
hb : x ∈ (sᶜ ∩ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent b
⊢ x ∈ ⊥
x : PartENat
⊢ ¬x.Dom ↔ x = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α
n : ℕ
tT : f n ∈ range f
xt : x ∈ f n
⊢ x ∈ ⋃ i, f i
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ z ∈ ↑(basicOpen 𝒜 f) ↔ z ∈ ↑(⨆ i, basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f))
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
Y : ι' → Type u_8
(j : ι') → TopologicalSpace (Y j)
e : ι ≃ ι'
⊢ ∀ (a : (b : ι) → Y (e.symm.symm b)) (a_1 : ι'),
  (Homeomorph.piCongrLeft e) a a_1 = (Equiv.piCongrLeft' Y e.symm).symm a a_1
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
o : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ o
h : o ≠ m * n
⊢ (p ^ m).coeff o = if o = m * n then p.coeff n ^ m else 0
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
β : (injectiveResolution X).cocomplex ⟶ P.cocomplex
hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map β = P.iso.hom
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
I : Ideal A
⊢ t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I ↔ I ≤ (ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t).toIdeal
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ (ModuleCat.MonoidalCategory.associator M (ModuleCat.of R R) N).hom ≫
    ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 M) (ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor N).hom =
  ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom (ModuleCat.MonoidalCategory.rightUnitor M).hom (𝟙 N)
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • ∅ = ∅
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g → Antivary (⇑OrderDual.toDual ∘ f) (⇑OrderDual.toDual ∘ g)
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
I : BoxIntegral.Box ι
f : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I₀
hI : ↑I ≤ I₀
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ ∑ J ∈ π.boxes, f J = f I
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt Complex.sinh (Complex.cosh x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
ι : Type u
Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
h : ∑ i : ι, f i • x i = 0
⊢ Module.IsTrivialRelation f x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.support = p.support.reverse
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
⊢ Cardinal.lift.{v, w} #ι = Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M)
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Function.Injective f
⊢ f^[m + n] a = f^[n] a ↔ f^[m] a = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x y : α
s t : Seq α
h : cons x s = cons y t
n : ℕ
⊢ s.get? n = t.get? n
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ ∀ b ∈ s, (C (r b) * Lagrange.basis s v b).degree ≤ ↑(s.card - 1)
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (join 0) s = 0 s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
⊢ ker B = ⊥ ↔ ker B.flip = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a : M₁
⊢ (Matrix.toLinOfInv v₁ v₂ hMM' hM'M) a = ((Matrix.toLin v₁ v₂) M) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α
⊢ s.toList = [a] ↔ s = {a}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
T1Space X
hs : s.Subsingleton
⊢ IsGδ sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
⊢ N.Basis (f '' B) (f '' (N.comap f).E) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ (N.comap f).E ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E
a b c : ENNReal
h : a ≤ b * c
⊢ a / c ≤ b
b n : Nat
⊢ ↑(b ^ n) = ↑b ^ n
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
⊢ memPartition f 0 = {Set.univ}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
hn : (↑s1).Nonempty
⊢ s1.direction < s2.direction
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
homeo : ↑C.pt ≃ₜ ↑(limitConeInfi F).pt := homeoOfIso (hC.conePointUniqueUpToIso (limitConeInfiIsLimit F))
⊢ C.pt.str = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str
α : Type u_5
self : SeminormedCommRing α
x y : α
⊢ x * y = y * x
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
ι : Type u_14
α : ι → Type u_15
β : ι → Type u_16
γ : ι → Type u_17
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
f : (i : ι) → α i → β i → γ i
s : (i : ι) → Finset (α i)
t : (i : ι) → Finset (β i)
a✝ : (a : ι) → γ a
⊢ (a✝ ∈ piFinset fun i => image₂ (f i) (s i) (t i)) ↔ a✝ ∈ image₂ (fun a b i => f i (a i) (b i)) (piFinset s) (piFinset t)
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ (n - k)! * n.descFactorial k = (n - k)! * (n ! / (n - k)!)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ r ∈ 𝓤 α, IsClosed r ∧ r ⊆ t
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
⊢ TopologicalSpace.induced f inst✝ = Preorder.topology α
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ ((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) = μ
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ 0
h' : optParam (i.rev ≠ last n) ⋯
⊢ (i.pred h).rev = i.rev.castPred h'
α : Type u_1
⊢ WithBot.ofDual ⊥ = ⊤
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
x : E
h : x ∈ c • s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c‖₊
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
⊢ P g
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
this : dist (f z) (f c) ≤ R / R * dist z c
⊢ dist (f z) c ≤ dist z c
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
h : a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤
⊢ a.toNNReal * b.toNNReal ≤ a.toNNReal ^ p / p.toNNReal + b.toNNReal ^ q / q.toNNReal
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
L'.Structure M
k : ℕ
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) → L'.Term (β ⊕ Fin (k + n))
fr : (n : ℕ) → L.Relations n → L'.Relations n
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : {n : ℕ} → (Fin (k + n) → M) → α → M
v' : β → M
xs : Fin (k + n) → M
h1 :
  ∀ (n : ℕ) (t : L.Term (α ⊕ Fin n)) (xs' : Fin (k + n) → M),
    FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v' xs') (ft n t) =
      FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim (v xs') (xs' ∘ Fin.natAdd k)) t
h2 :
  ∀ (n : ℕ) (R : L.Relations n) (x : Fin n → M),
    FirstOrder.Language.Structure.RelMap (fr n R) x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x
hv : ∀ (n : ℕ) (xs : Fin (k + n) → M) (x : M), v (Fin.snoc xs x) = v xs
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel ft fr (fun n => FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE ⋯) φ).Realize
    v' xs ↔
  φ.Realize (v xs) (xs ∘ Fin.natAdd k)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
α : Type u_7
LE α
self : NonemptyInterval α
⊢ self.toProd.1 ≤ self.toProd.2
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
⊢ IsSplittingField F E p ↔ Splits (algebraMap F E) p ∧ adjoin F (p.rootSet E) = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PartialOrder α
h : ∀ {a b : α}, a < b → IsCompact (Set.Icc a b)
⊢ CompactIccSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
⊢ (∃ a ∈ univ, Sym2.mk a = x) ∧ ¬x.IsDiag ↔ ¬x.IsDiag
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
⊢ L.map f₁ = L.map f₂ ↔
  ∃ Z s, ∃ (_ : W s), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ s
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
Nonempty β
x : (b : β) → π b
r : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r = Set.univ.pi fun b => Metric.closedBall (x b) r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Comon_ C
⊢ (Comon_.forgetMonoidal C).μ X Y = 𝟙 (X.X ⊗ Y.X)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
hc' : c ≠ 0
⊢ ↑p ∣ c - (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ c.valuation.natAbs).cast
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : BEq α
inst✝² : LawfulBEq α
inst✝¹ : BEq β
inst✝ : LawfulBEq β
f : α → β
I : Injective f
a b : α
⊢ (f a == f b) = (a == b)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : dist x y ≤ d
⊢ s.infsep ≤ d
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K ≠ ⊤
⊢ 1 ∉ K
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
h : ∀ (x : M₁), f x ∈ p
x : M₁
⊢ ↑((f.codRestrict p h) x) = f x
X : NonemptyFinLinOrd
⊢ NonemptyFinLinOrd.dual.obj X = NonemptyFinLinOrd.of (↑X)ᵒᵈ
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
c : R
⊢ c • x ≡ c • y [SMOD U]
ι : Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
α : ι → Type u_9
(i : ι) → CommMonoid (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i
⊢ ∏ j : ι, Pi.mulSingle j (f j) i = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
⊢ Prod.swap '' s ×ˢ t = t ×ˢ s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WSameSide x y
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
⊢ s.WOppSide x z
X : Type u
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
DecidableEq ι
hf : Continuous f
i : ι
g : X → π i
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun a => Function.update (f a) i (g a)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
⊢ p = 0 ∧ q = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
M : Type w'
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
L.CommShift M
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y ↔
  ∀ (a b : M),
    Small.{w, v₂} ((CategoryTheory.shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : ⋯.IsVanKampen
⊢ H.IsVanKampen
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
f : Filter α
⊢ map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ MeasureTheory.ComplexMeasure.im (s.toComplexMeasure t) = t
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ ⊓ a = ⊥
σ : Type u
m : Type u → Type v
β γ : Type u
f : σ → StateCpsT σ m β
s : σ
k : β → σ → m γ
⊢ (get >>= f).runK s k = (f s).runK s k
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
⊢ (φ.polyCharpoly b).Monic
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f ↔ IsIso (G.map f)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictMonoOn (fun x => 1 - ε x) (Set.Ioi 1)
a : Int
⊢ a.natAbs = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ f '' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f '' s i j
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → l.maximum = ↑m → a ≤ m
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m ≤ k * n
⊢ m / k ≤ n