ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
a b b' : α
LE α
h : ¬a ≤ b
eq : b = b'
⊢ ¬a ≤ b'
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsLeftInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsRightInversion w t
α : Type u
Mul α
β : Type v
Semigroup β
f : α →ₙ* β
⊢ (Magma.AssocQuotient.lift f).comp Magma.AssocQuotient.of = f
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ a = b
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ min (a * c) (b * c) = min a b * c
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z (τ + 2) = jacobiTheta₂' z τ
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℕ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A - C).card * B.card ≤ (A - B).card * (B + C).card
⊢ Or (Eq System.Platform.numBits 32) (Eq System.Platform.numBits 64)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f Set.univ x v = lineDeriv 𝕜 f x v
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
r : ℝ
hr : r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
⊢ ((o.oangle (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) (2 • (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)) + (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁))).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : Set α → Prop
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : Set.univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
⊢ μ.InnerRegularWRT p MeasurableSet
M : Type u_4
AddCommMonoid M
l l' : List M
⊢ l.sum + l'.sum =
  (List.zipWith (fun x x_1 => x + x_1) l l').sum + (List.drop l'.length l).sum + (List.drop l.length l').sum
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
Y : D
E : L.RightExtension F
⊢ (CategoryTheory.Functor.RightExtension.coneAtFunctor L F Y).obj E = E.coneAt Y
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.addRight g).symm = MeasurableEquiv.addRight (-g)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, IsClosed V ∧ -V = V ∧ V + V ⊆ U
M : Type u_2
MulOneClass M
Pow M ℕ
self : NatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 0 = 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
⊢ s.ordT5Nhd t ⊓ t.ordT5Nhd s ≤ ⊥
α : Type u
Preorder α
a b c : α
⊢ a < b → b < c → a < c
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (∃ i, (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) i = (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) J) ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J
α : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
CompleteLinearOrder α
OrderTopology α
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a) → iSup f = a
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : c < 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ f.toEquiv = ↑f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : PolishSpace.IsClopenable s
⊢ PolishSpace.IsClopenable sᶜ
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
AddGroup M
AddGroup N
AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑g ↔ g.ker = f.range
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.divX.natDegree = p.natDegree - 1
α : Type u
ι : Type u_1
s : Set ι
Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
⊢ Finite ↑(⋃ x ∈ s, t x)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
k m n : α
⊢ gcd k (m * n) ∣ gcd k m * gcd k n
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂
⊢ x✝.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
b x : ℝ
hb : 0 < b
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-(b * x))) (Ioc 0 x) ℙ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i
⊢ a ∉ ⋃ x ∈ t, f x
i j : ℕ
⊢ i ! * j ! ∣ (i + j)!
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree
this : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t = t
hts : μ (t ∩ s) = 0
⊢ ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Nontrivial A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
i j : m
⊢ of (fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inr i)) i j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| ≤ 1 ↔ a * a ≤ 1
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
⊢ map (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) ≤ nhds 0 ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : Associates.mk (v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)
h_not_dvd : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1)) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq ι
i : ι
v : π i
⊢ Function.update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise (Function.update f i v) (Function.update g i v)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
⊢ ∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i
a b : Nat
h : a ≥ b
⊢ a % b = (a - b) % b
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
g : G
⊢ ↑(f.rangeRestrict g) = f g
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₂
x : M
⊢ f (-x) = -f x
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E ∧ (e ∈ M.E → M.Indep (insert e I))
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
b : γ
v : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (b • v) i = b • v i
k : ℕ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ k) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (b * x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A Y ⟶ X
g : Y ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj X
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f = g ↔ f = CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry g
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq n
i : n
⊢ toMvPolynomial 1 i = X i
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso e.inv
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (j : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ), (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ (whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n
this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)
⊢ ↑p ^ (n - k + 1) ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k)
α : Type u
f : Filter α
P : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
h : IsPreconnected s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ = -a ↔ a ≤ 0
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
x : M₁ ⊗[R] R
⊢ Q₁ ((TensorProduct.rid R M₁) x) = (Q₁.tmul QuadraticMap.sq) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ Independent (f ∘ Subtype.val) ↔ s.SupIndep f
m n : ℕ
⊢ m * m ≤ n * n ↔ m ≤ n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
⊢ ∀ (x y : P), IsInteger R ((aI * aJ) • x) → IsInteger R ((aI * aJ) • y) → IsInteger R ((aI * aJ) • (x + y))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ R.map (L.map (h.unit.app X) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax
⊢ LipschitzOnWith v.L (v.toFun t) (Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R)
M : Type u_1
CommMonoid M
μ : M
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot μ ↑n
⊢ ↑(↑h.toRootsOfUnity)⁻¹ = μ ^ (↑n - 1)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ ∀ i ∈ (W_ ℚ n).vars, i ∈ (W_ ℚ n).vars → (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖ ^ 2 = ‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a ≤ b
x : α
h : a < b
⊢ projIcc a b ⋯ x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
n m : ℕ
h_eq : Order.pred^[n] a = Order.pred^[m] a
h_ne : n ≠ m
⊢ IsMin (Order.pred^[n] a)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 p) = fun v => v +ᵥ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : (CategoryTheory.Square C)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Square.opFunctor.obj sq = (Opposite.unop sq).op
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 4 = W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq
α : Type u_1
Subsingleton α
f : α → α
s : Set α
⊢ Set.SurjOn f s s
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : Disjoint ↑I ↑J
⊢ I ≠ J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑((↑A).toPMap p).adjoint x = ↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : ↑a * y ≤ ↑a * x
⊢ y ≤ x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m * m ≤ n * n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ IntegrableOn f (iUnion s) μ
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
⊢ ((0 ∈ s → s ∈ 𝓝 0) ∧ ∀ (b : Γ₀), b ≠ 0 → b ∈ s → s ∈ 𝓝 b) ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a b : A
n i : ι
b_mem : b ∈ 𝒜 i
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = 0
α : Type u_1
AddSemigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ AddOpposite.op b +ᵥ (a +ᵥ s) = a +ᵥ (AddOpposite.op b +ᵥ s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → a ::ₘ s ≠ ∅ → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
⊢ (sInf S).op = sInf (Submonoid.unop ⁻¹' S)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.126128, u_3} E
F : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
⊢ EqualizerCondition F ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ (regularCoverage C).covering X, Nonempty (IsLimit (F.mapCone (Sieve.generate R).arrows.cocone.op))
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₂ a)
⊢ sSup (Set.image2 l s t) = l (sSup s) (sInf t)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ¬OfNat.ofNat n < 1
ι : Type u
α : Type v
DecidableEq α
t : ι → Finset α
h : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ι' : Finset ι
⊢ Nonempty ↑(hallMatchingsOn t ι')
α : Type u_1
f : Nat → α → α
init : α
m n : Nat
⊢ Nat.foldTR.loop f (m + n) m (Nat.fold f n init) = Nat.fold f (m + n) init
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
⊢ s ∉ K.facets ↔ ∃ t ∈ K.faces, s ⊂ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
⊢ G = ⊤ ↔ CategoryTheory.IsIso G.ι
α : Type u_1
NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ a ∣ b ↔ a ∣ c
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
h : v ∈ e
e' : Sym2 V
⊢ e' ∈ G.incidenceSet v ∩ G.incidenceSet (Sym2.Mem.other h) ↔ e' ∈ {e}
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ
⊢ 0 < n.succ
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
g : B →+* C
f : A →+* B
hg : g.FiniteType
hf : f.FiniteType
x✝² : Algebra A B := f.toAlgebra
x✝¹ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
x✝ : Algebra B C := g.toAlgebra
⊢ (g.comp f).FiniteType
α : Type u_1
Semigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ MulOpposite.op b • MulOpposite.op a • s = MulOpposite.op (a * b) • s
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
⊢ F.sections.Nonempty
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
⊢ (coeff R n) (φ * ψ) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α
⊢ Seq.map (Option.map (g ∘ f)) s = Seq.map (Option.map g) (Seq.map (Option.map f) s)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ K.d (n + 1) n = ∑ j : Fin (n + 2), ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑j • (Γ₀.obj K).δ j) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
x : α
hx : f x ≤ c
⊢ -c ≤ |f x|
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
⊢ (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard ≤ s.encard
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
τ : F₁ ⟶ F₂
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F₁.CommShift A
F₂.CommShift A
self : CategoryTheory.NatTrans.CommShift τ A
a : A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F₁.commShiftIso a).hom
    (CategoryTheory.whiskerRight τ (CategoryTheory.shiftFunctor D a)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C a) τ)
    (F₂.commShiftIso a).hom
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Invertible 2
⊢ IsUnit W.twoTorsionPolynomial.disc ↔ IsUnit W.Δ
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Monotone (toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ↑⊥ = {0}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
T : Set α → β
μ' : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
hT : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
⊢ MeasureTheory.FinMeasAdditive μ' T
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
f : { x // x ∈ s } → β
⊢ ∏ i : { x // x ∈ s }, f i = ∏ i ∈ s.attach, f i
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ↑{s} ⊆ C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
f : E → 𝕜
hf1 : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
hf2 : ∀ ⦃c : 𝕜⦄ (x : E), 0 ≤ c → f (c • x) ≤ c * f x
B : 𝕜
x : E
hx : x ∈ {x | f x ≤ B}
y : E
hy : y ∈ {x | f x ≤ B}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hs : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ {x | f x ≤ B}