ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
x : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
⊢ X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x = X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) ⊓ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)
n : ℕ
⊢ n.totient = 1 ↔ n = 1 ∨ n = 2
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b
⊢ b - a + a = b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y ≤ 0 ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
l : List α
a x✝ : α
⊢ (decide ¬P x✝) = !decide (P x✝)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PartialOrder α
PredOrder α
SuccOrder α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
⊢ DiscreteTopology α ↔ OrderTopology α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a x✝ y✝ : α
h : a ∈ s(x✝, y✝)
⊢ s(a, Mem.other' h) = s(x✝, y✝)
α : Type u
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : Set.MapsTo f s s
⊢ Set.InjOn f s ↔ Set.BijOn f s s
a b c : EReal
⊢ a / b / c = a / (b * c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Finset.Ioo s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 2
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ ∀ (a : ↥S.leftNeg), S.fromCommLeftNeg a = S.fromLeftNeg a
α : Type u_2
Preorder α
a : α
⊢ {a}.IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β
a₁ a₂ : α
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 ≤ f b
h : a₁ • f b < a₂ • f b
⊢ a₁ < a₂
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
i : ℕ × ℕ
s : Set β
t : Set δ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2)) (Prod.map f g ⁻¹' s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μa i.1) (f ⁻¹' s) * (sFiniteSeq μc i.2) (g ⁻¹' t)
M : Type u_1
inst✝² : Zero M
l : List M
inst✝¹ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
x : M
inst✝ : DecidablePred fun x_1 => [x].getD x_1 0 ≠ 0
⊢ [x].toFinsupp = Finsupp.single 0 x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsSeparable s
⊢ IsSeparable ((fun x => f ↑x) '' univ)
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ≤ b / c ↔ c ≤ b / a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ JoinedIn Set.univ x y ↔ Joined x y
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α × β) = Filter.comap (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ a / b < 0 ↔ 0 < a ∧ b < 0 ∨ a < 0 ∧ 0 < b
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
b : α
a : α
⊢ a ∈ Stream'.WSeq.cons b s ↔ a = b ∨ a ∈ s
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
⊢ x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ (I ⊓ J).radical
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
x y : PiLp ⊤ β
⊢ dist x y = ⨆ i, dist (x i) (y i)
α : Type u
Fam : α → Type v
a : α
β : semiOutParam (Type v)
self : Lake.FamilyDef Fam a β
⊢ Fam a = β
M₀ : Type u_2
MulZeroClass M₀
a b : M₀
⊢ a * b ≠ 0 → a ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ∃ I, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (Function.support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f
s : Multiset K
h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ map i f = C (i f.leadingCoeff) * ∏ a ∈ s.toFinset, (X - C a)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
h : Module.IsTorsionBy R M r
⊢ Module.IsTorsionBy R (M ⧸ N) r
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (Metric.thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovDist μ ν ≤ δ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
n : ℕ
⊢ (n • α).app X = n • α.app X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
c : ℝ
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc (fun s => c • T s) f = c • setToSimpleFunc T f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
Fintype ι
Nonempty ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E
⊢ ⇑(basisOfOrthonormalOfCardEqFinrank hv card_eq) = v
α : Type u
Group α
⊢ ∀ (a : α) (a_1 : ULift.{u, 0} (Multiplicative ℤ)),
  ((MonoidHom.fromULiftMultiplicativeIntEquiv α).symm a) a_1 = a ^ Multiplicative.toAdd (MulEquiv.ulift a_1)
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ Subgroup.IsComplement {g} Set.univ
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (a * b) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (a * c) + L (b * c) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + (L (a * b) + L (a * b)) + (L (a * c) + L (a * c)) + (L (b * c) + L (b * c))⁆
q : ℚ
x : ℝ
h : Irrational (x * ↑q)
⊢ Irrational x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
⊢ ∀ x ∈ {y}, ∃ a, a • y = x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
n : ℕ
d : ℕ → ℝ
hd : ∀ {k : ℕ}, k < n → dist (f k) (f (k + 1)) ≤ d k
⊢ dist (f 0) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, d i
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous Sum.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β →. σ
g : α → β
hf : Partrec f
hg : Computable g
n : ℕ
⊢ (((↑(decode n)).bind fun a => Part.some (encode (g a))).bind fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f (g a))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
⊢ range 0 = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
Div β
f g : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun (f / g) = UniformFun.toFun f / UniformFun.toFun g
𝕂 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕂
CompleteSpace 𝕂
CharZero 𝕂
x : 𝕂
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ HasDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.symm.counitIso = e.unitIso.symm
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
p : α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (p ^ k) = Multiset.replicate k (normalize p)
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ x ∧ x ∣ y ^ n
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (NonemptyFinLinOrd.Iso.mk e).hom = ↑e
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.toMap x₁ * f.toMap x₂ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap ↑y₁ = f.toMap ↑y₁ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap x₁ * f.toMap x₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable ((fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x) ∘ fun x => (a, x))
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
⊢ IsNilpotent (x * y) → IsNilpotent y
α : Type u_1
a : α
⊢ (pure a).Subsingleton
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q
⊢ (z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯) ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₁ + n₂ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ (z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₂ + 1).negOnePow • G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + n₂.negOnePow • (z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) + (n₁ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Iic a * Set.Iio b ⊆ Set.Iio (a * b)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
⊢ Metric.thickening δ ∅ = ∅
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ = a
⊢ ⊥ < a
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Type u_2
l : Filter ι
f : ι → Set α
x : α
⊢ Tendsto f l (v.filterAt x) ↔ (∀ᶠ (i : ι) in l, f i ∈ v.setsAt x) ∧ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, f i ⊆ closedBall x ε
α : Type u
n : ℕ
l : List α
a : α
⊢ (List.takeD n l a).length = n
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : Submodule.span R (↑y • ↑s) = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
⊢ ↑(D1 - D2) = ↑D1 - ↑D2
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g : G
hg : g ≠ 1
x : G
⊢ x ∈ Submonoid.powers g ↔ x ∈ ⊤
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ
⊢ coeff m (X i ^ k) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Bimon_ C
⊢ (Bimon_.toMon_Comon_ C).obj M = Bimon_.toMon_Comon_obj C M
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x ^ y ≤ 1 ↔ 1 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
k : ℕ
⊢ gcd (a ^ k) b ∣ gcd a b ^ k
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
⊢ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
⊢ Prod.GameAdd rα rβ ≤ Prod.Lex rα rβ
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30188
s✝ t s a : Finset α
ha : a ∈ (range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => powersetCard i s) ⋯
⊢ a ∈ s.powerset
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z + (starRingEnd K) z = 2 * ↑(RCLike.re z)
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᵐ[μ.restrict ↑I] 0
hl : l.bRiemann = false
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul 0
p : ℕ → Prop
m n : ℕ
hle : m ≤ n
h : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ Nat.nth p m ≤ Nat.nth p n
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ 0 < b
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ ∀ {X Y Z : ↑S.objs} (p : X ⟶ Y) (q : Y ⟶ Z),
  ↑(CategoryTheory.CategoryStruct.comp p q) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ↑p ↑q
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
w : F ≅ G
j : J
⊢ t.ι.app j ≫ (P.coconePointsIsoOfNatIso Q w).inv = w.inv.app j ≫ s.ι.app j
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
H₁ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F' a ∂μ) x₀
H₂ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F' a ∂μ) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ n ≠ 1
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this : Nonempty γ
⊢ Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
UX UY : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine UY
iY : UY ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : CategoryTheory.IsPullback iX f' f iY
hf : P f
⊢ Q f'
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ Disjoint (𝓝 x) (pure y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖ = ‖iteratedDeriv n f x‖
α : Type u
S T : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
H : Stream'.WSeq.LiftRel Computation.Equiv S T
⊢ (∀ (s : Computation α), s ∈ S → s.Promises a) ↔ ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t.Promises a
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = 0 +ᵥ p₁
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
β : LocalizedModule S M → Prop
h : ∀ (m : M) (s : ↥S), β (LocalizedModule.mk m s)
x : LocalizedModule S M
⊢ β x
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
Fintype α
s t : Finset α
⊢ s.mulEnergy t =
  ∑ a : α,
    (Finset.filter
          (fun x =>
            match x with
            | (x, y) => x * y = a)
          (s ×ˢ t)).card ^
      2
N : ℕ
A : ↥(CongruenceSubgroup.Gamma0 N)
⊢ A ∈ CongruenceSubgroup.Gamma1' N ↔ ↑(↑↑A 0 0) = 1 ∧ ↑(↑↑A 1 1) = 1 ∧ ↑(↑↑A 1 0) = 0
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
⊢ SameRay R (e.unitsSMul w).det (↑((∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, w i) • (e.unitsSMul w).det)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.π h.leftHomologyIso.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.cyclesIso.inv S.leftHomologyπ
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : Nonempty n
⊢ (M ^ Fintype.card K).charpoly = M.charpoly
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) ((bind₁ (xInTermsOfW p ℚ)) (W_ ℚ n)) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
⊢ ⊥ ∥ s ↔ s = ⊥
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
a : A
z : ℂ
h : z ∈ spectrum ℂ a
⊢ (algebraMap ℂ A) z = a
ι : Sort u_6
R : Type u_7
M : Type u_8
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M
⊢ c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
⊢ P f (s ∩ {x | f x = g x}) x ↔ P g (s ∩ {x | f x = g x}) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : CategoryTheory.MonoOver A ≌ CategoryTheory.MonoOver B
⊢ (CategoryTheory.Subobject.lowerEquivalence e).inverse = CategoryTheory.Subobject.lower e.inverse
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f (closure s)
⊢ DiffContOnCl 𝕜 f s
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ Turing.eval f a
c : σ
⊢ Turing.Reaches f b c ↔ c = b
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
σa : Equiv.Perm α
σb : Equiv.Perm β
⊢ Equiv.Perm.sign (σa.sumCongr σb) = Equiv.Perm.sign σa * Equiv.Perm.sign σb
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
h : infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r
⊢ infEdist x s < r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
⊢ HasDerivAtFilter (⇑e) (e 1) x L
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
⊢ 0 < c.ord
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map singleton s ≤ s.powerset
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
p : α → Prop
⊢ BoundedSpace (Subtype p) ↔ IsBounded {x | p x}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}
z : β → α
hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y
I : InjOn f s
⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
⊢ uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ i, uniformSpace α γ 𝔖