ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : N → M
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) = MulActionHom.id N
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ Finset.image j G → Nonempty (j0 ⟶ X)
f : (s : ↑S) → s ∈ G → (j0 ⟶ j s) := fun s hs => ⋯.some
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
ha : a ≤ 0
⊢ Monotone fun x => a * f x
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α'
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : One γ
inst✝² : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝¹ : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont✝ : Continuous g
inst✝ : TopologicalSpace β
U : Set α'
hU : IsOpen U
f : ↑U → β
cont : Continuous f
supp : HasCompactMulSupport f
x : α'
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContinuousAt (extend Subtype.val f 1) x
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
j : J
x : K.obj j
⊢ ∃ i, c.ι.app j x ∈ descSet hc {i}
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : Function.support (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ i ∈ s, f i.down
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
⊢ ∫ (z : β × α), f z.swap ∂ν.prod μ = ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a + b = a ↔ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a ∨ b = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
j : CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.toBiconeFunctor.obj b).π j = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.casesOn j b.fst b.snd
G : Type u_3
CommGroup G
a b c d : G
⊢ a / b = c / d ↔ a / c = b / d
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
⊢ (Quot.mk Red.Step L)⁻¹.toWord = invRev (toWord (Quot.mk Red.Step L))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M
⊢ ((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (x + y)) m = ((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x + (fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y) m
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
ht : t ⊆ s
⊢ HolderOnWith C r f t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ Wbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' F
k n : ℕ
c : 𝕜
f : 𝓢(E, F)
⊢ SchwartzMap.seminormAux k n (c • f) ≤ ‖c‖ * SchwartzMap.seminormAux k n f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
⊢ (KaehlerDifferential.D R S).tensorProductTo ↑x = (KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module ℝ V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module ℝ W
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
μ : MeasureTheory.Measure V
f : V → E
w : W
⊢ VectorFourier.fourierIntegral Real.fourierChar μ L f w =
  ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * (L v) w) * Complex.I) • f v ∂μ
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ M.Basis I X ↔ ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
α : Type u
x y : α
⊢ {x} = {y} ↔ x = y
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
⊢ X.basicOpen f ≤ U
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
⊢ evenKernel (↑a) x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel (↑a) (1 / x)
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃.f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₁)
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₂) =
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk (z₁.comp₀ z₂ z₃)
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeOrder 𝕆 α
⊢ StrictMono (grade 𝕆)
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x = Real.sin b - Real.sin a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ ⨆ n, aeSeq hf p n =ᶠ[ae μ] ⨆ n, f n
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
f : α → X
a : α
⊢ Filter.Tendsto f (pure a) (𝓝 (f a))
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
this : f = 1
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N
j : ℕ
hj₁ : j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f N n ω) (lowerCrossingTime a b f N n ω)
hj₂ : f j ω ∈ Set.Iic a
⊢ stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ DirichletCharacter.primitiveCharacter 1 = 1
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ S.a + ↑⋯.unit * S.b = S.a + S.b + (hζ.toInteger - 1) * S.b
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
⊢ ↑J⁻¹ = IsLocalization.coeSubmodule K ⊤ / ↑J
R : Type uR
S : Type uS
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
Module S M₃
SMulCommClass R S M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
⊢ ∀ (a : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃),
  (MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv R S M₂ M₃ σ).symm a = (MultilinearMap.domDomCongrEquiv σ).invFun a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
𝕜' : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' Fₗ
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 Fₗ
𝕜'' : Type u_12
Ring 𝕜''
Module 𝕜'' Fₗ
ContinuousConstSMul 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜 𝕜'' Fₗ
SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' Fₗ
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.restrictScalarsL 𝕜 E Fₗ 𝕜' 𝕜'') = ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜'
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
DecidableEq α
Fintype α
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
f : G →* H
emb : OpenEmbedding ⇑f
U : Set H
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ U ∈ 𝓝 (f 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S ≤ T
x : A
hx : x ∈ S
⊢ (Subalgebra.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a : WSeq α
b : WSeq β
ab : LiftRel R a b
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R S) a.destruct b.destruct
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
x : ℕ
hx : x ≤ k
⊢ ↑x ∈ Iic ↑k ∧ ↑↑x = x
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Set.Icc a b ⊆ ⋃ i, Set.Ioo (c i) (d i)
⊢ ENNReal.ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), ENNReal.ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
x : Subobject X
⊢ (pullback (𝟙 X)).obj x = x
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ rTensor Q f ∘ₗ lTensor M g = map f g
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ \ s₂ = s₁ ↔ s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
k : Type u
Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, Polynomial.eval x p = 0
⊢ IsSepClosed k
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α}, MeasurableSet s → s.Nonempty → ∃ f, Measurable f ∧ ∀ (x : ↑s), f ↑x = x
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ OpenEmbedding ⇑DomAddAct.mk
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X : D
⊢ (F.closedUnit.app G).app X = (CategoryTheory.ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
α : Type u_1
Finite α
x y : α → FirstOrder.Language.Structure.Sigma f
xy : x ≈ y
⊢ ∃ i,
  ∃ (hx : i ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ y))),
    FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f x i hx = FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f y i hy
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : Function.support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ MeasureTheory.eLpNorm u (↑p) μ ≤
  ↑(MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p p) * MeasureTheory.eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
l : List α
h : l.rotate 1 = l
n✝ n : ℕ
hn : l.rotate n = l
⊢ l.rotate n.succ = l
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id
x : F
y : E
⊢ f ((fun y => g (y - f x) + x) y) = y
a : Ordinal.{u_1}
⊢ ∀ (n : ℕ), (fun x => a * x)^[n] 0 ≤ 0
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
b : α
hab : a * b = 1
⊢ a ~ᵤ 1
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ D, deriv^[2] f x < 0
⊢ StrictConcaveOn ℝ D f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
h2 : (derivative f).coeff m = f.coeff (m + 1) * (↑m + 1)
⊢ False
z : ℂ
⊢ z.re = -Complex.abs z ↔ z ≤ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace V
inst✝⁴ : TopologicalRing R
inst✝³ : TopologicalAddGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : ContinuousSMul R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
G : V →L[R] R
Gx : G x = 1
Gy : G y ≠ 0
A : V ≃L[R] V := { toFun := fun z => z + G z • (y - x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun z => z + ((G y)⁻¹ * G z) • (x - y), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ ∃ A, A x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
h : f.Disjoint g
a : α
⊢ a ∈ f.support ∪ g.support → a ∈ (f * g).support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X : TopCat
ℱ 𝒢 : TopCat.Presheaf C X
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
T : ℱ ⟶ 𝒢
⊢ TopCat.Presheaf.IsLocallySurjective T ↔ ∀ (x : ↑X), Function.Surjective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map T)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.countP (fun x => false) l = 0
n : ℤ
a : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n a → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n.natAbs a
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
h : 0 < x + 1
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i ≠ 0
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A + C).card * B.card ≤ (A + B).card * (B + C).card
α : Type u_1
n : Nat
a : α
⊢ List.takeD n [] a = List.replicate n a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.exposedPoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ ∃ l, ∀ y ∈ A, l y ≤ l x ∧ (l x ≤ l y → y = x)
α : Type u_1
as : List α
n : Nat
⊢ as.length + n = as.lengthTRAux n
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
x y : α
⊢ ⟦x⟧ = ⟦y⟧ ↔ ∀ s ∈ S, s.Rel x y
α : Type u_1
Lattice α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ∈ Set.uIcc a₂ b₂
h₂ : b₁ ∈ Set.uIcc a₂ b₂
⊢ Set.uIcc a₁ b₁ ⊆ Set.uIcc a₂ b₂
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
⊢ 0 ≤ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso γ.φH
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
this : Injective (⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ ⇑f)
⊢ Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
α : Type u_2
f : Filter α
⊢ f.ker = Set.univ ↔ f = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x = RingHom.comp ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv) (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Div β
x y : α
⊢ x / y = e.symm (e x / e y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Unique α
b' : M
⊢ single a b = single a' b' ↔ b = b'
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
H_zero : H 0
H_one : H 1
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSup✝¹ : Sup α
toPartialOrder✝¹ : PartialOrder α
le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
toSup✝ : Sup α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
⊢ mk le_sup_left✝¹ le_sup_right✝¹ sup_le✝¹ = mk le_sup_left✝ le_sup_right✝ sup_le✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x ≤ y
this : (Ico x y).card < (Icc x y).card
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u
u : Core α
x : α
⊢ ∀ (a : α), ∀ i ∈ u.uniformity, a ∈ Prod.mk a ⁻¹' id i
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β
⊢ ∏' (b : β), f b = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasStrictFDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (f₂ x).2) ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).comp f₂') x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]
⊢ mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ ↑((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) ((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) x)) = ↑x
α : Type u_1
ι : Type u_3
PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun a => ↑(f a) i
x : PSet
i : x.Type
⊢ x.Func i ∈ x
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Summable fun x => (f x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Sort ?u.45682
δ : Sort ?u.45684
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → β → Bool
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ all₂ r (a :: as) (b :: bs) = true ↔ Forall₂ (fun x x_1 => r x x_1 = true) (a :: as) (b :: bs)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i) ≫ f)) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.nonunits ≤ A.nonunits ↔ A ≤ B
ι : Type u_1
α : Type u_2
π : ι → Type u_4
OrderedAddCommMonoid α
(i : ι) → OrderedAddCommMonoid (π i)
(i : ι) → SMulZeroClass α (π i)
(i : ι) → CeilDiv α (π i)
f : (i : ι) → π i
a : α
⊢ f ⌈/⌉ a = fun i => f i ⌈/⌉ a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ Measurable fun a i => f i (a i)
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : 1 ≤ r₁
h₂ : 1 ≤ r₂
⊢ log b r₁ ≤ log b r₂
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0}
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
TopologicalSpace ι
TopologicalSpace.MetrizableSpace ι
MeasurableSpace ι
SecondCountableTopology ι
OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
⊢ Measurable (Function.uncurry u)
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
b c : R
h : 0 * b ∣ c
⊢ b ∣ c / 0