ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Multiset ι
l : List ι
⊢ (∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) → Tendsto (fun b => (Multiset.map (fun c => f c b) (Quot.mk Setoid.r l)).prod) x (𝓝 (Multiset.map a (Quot.mk Setoid.r l)).prod)
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) = max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).adjugate
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ NNReal.sqrt (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * NNReal.sqrt (∑ i ∈ s, g i ^ 2)
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
⊢ (a.castPred ha).succ ≤ b ↔ a < b
f : ℝ → ℝ
p : ℤ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
m : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (groupCohomology.dZero A) m g = (A.ρ g) m - m
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Set α
M : Matroid α
hI : M.Indep I
f : α → β
hf : Set.InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf).Indep (f '' I)
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℕ
a : α
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
⊢ ((zmultiplesHom G) g).ker = AddSubgroup.zmultiples ↑(addOrderOf g)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a : σ
b : Option σ
m : ℕ
self : Turing.EvalsToInTime f a b m
⊢ self.steps ≤ m
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
a : Ordinal.{u}
⊢ (S ∩ Set.Ici a).Nonempty
α : Type u_1
as : List α
⊢ as.reverse.reverse = as
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)
⊢ 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
this : Nonempty n
r : R
hr : r ^ Fintype.card n = 1
hr' : (scalar n) r = ↑↑A
⊢ ↑↑A i i ^ ↑(Fintype.card n).toPNat' = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
r : R
⊢ ((PowerSeries.C R) r).derivativeFun = 0
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
v : ι → E
⊢ parallelepiped v = ∑ i : ι, segment ℝ 0 (v i)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ ⇑f.toEmbedding = ⇑f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeUnopOfCone c).ι = CategoryTheory.NatTrans.unop c.π
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ Multiset.ndinsert a ↑l = ↑(insert a l)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
f : BoundedContinuousFunction α β
g : C(δ, α)
⊢ ⇑(f.compContinuous g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.take n l ⊆ l
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = 0 ↔ x = y
Ω : Type u_1
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ ↔ ∀ (s t : Set Ω), MeasurableSet s → MeasurableSet t → ProbabilityTheory.IndepSet s t μ
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = A.hom.right
m n : ℕ
⊢ m < 1 + n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
xs ys : List α
p : α → Bool
⊢ List.findIdx? p (xs ++ ys) =
  HOrElse.hOrElse (List.findIdx? p xs) fun x => Option.map (fun i => i + xs.length) (List.findIdx? p ys)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a : G
⊢ a * a ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
⊢ UniformContinuous (Function.eval x ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
G : Type u_1
Add G
IsLeftCancelAdd G
a b c : G
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
⊢ μ {a | f a < c} = 0
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset =
  (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ Finset.image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)) \ {s(t, t)}
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ 1 = p * C (p.coeff 0)⁻¹
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
⊢ 0⁺ = 0
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
n : ℕ
hn : ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
⊢ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' cylinder x n)
M : Type w
AddCommGroup M
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
LieRingModule L M
x : ↥I
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = ⁅↑x, m⁆
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
this : Fintype ↥G
⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
hkl : n ≤ k + l
⊢ p.changeOriginSeriesTerm k l s hs = 0
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
⊢ f n = g n
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ (f.comp (incl ⊤)).range = f.range
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ CategoryTheory.Epi ((F.shift n₀).map T.mor₁) ↔ (F.shift n₀).map T.mor₂ = 0
θ : Real.Angle
⊢ θ.toReal = π ↔ θ = ↑π
α β γ : Type u
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
⊢ Option.map₂ f a b = Seq.seq (f <$> a) fun x => b
n p : ℕ
hpos : n ≠ 0
h : ∀ {d : ℕ}, Nat.Prime d → d ∣ n → d = p
⊢ n = p ^ n.primeFactorsList.length
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v w : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hw : ∀ (i : ι), w i = v i ∨ w i = -v i
⊢ Orthonormal 𝕜 w
X : AlgebraicGeometry.Scheme
i : X.affineBasisCover.J
⊢ X.affineBasisCover.obj i = AlgebraicGeometry.Spec (X.affineBasisCoverRing i)
n m k : ℕ
⊢ map (fun x => k + x) (Ico n m) = Ico (n + k) (m + k)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
h : Differentiable 𝕜' f
⊢ Differentiable 𝕜 f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
⊢ AnalyticSet (⋃ n, s n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ BddBelow (⇑e ⁻¹' s) ↔ BddBelow s
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → 0 ^ n = 0
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
⊢ IsAddGroupHom f
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a
n m : Nat
h : n ≤ m
i : Fin n
⊢ ↑(Fin.castLE h i) = ↑i
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
⊢ sSup s ⊓ b = ⨆ a ∈ s, a ⊓ b
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
K : Type u_1
Field K
NumberField K
u : Fin (NumberField.Units.rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : NumberField.InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (NumberField.Units.rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (NumberField.Units.rank K)
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| =
  |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑f.toLinearEquiv = ⇑f
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
⊢ 0 ≤ T n
α : Type u
s : Set α
⊢ IsClosed {u | s ∈ u}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), UpperSemicontinuousWithinAt (f i hi) s x
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi x') s x
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R M M₂) (Submodule.snd R M M₂) = ⊥
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
r : R
⊢ (p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C r)).Monic
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
⊢ Cardinal.sum f ≤ Cardinal.sum g
β : Type u_2
TopologicalSpace β
α : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
p : P
⊢ 2 < Configuration.lineCount L p
α : Sort u
β : Sort v
a a' : α
b : α → β
h : a = a'
⊢ (let x := a;
  b x) =
  let x := a';
  b x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖) ↔ angle x y = π
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h :
  ∀ (f : X → Prop) (a : X),
    (∀ (u : ℕ → X), Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a) → Filter.Tendsto (f ∘ u) Filter.atTop (𝓝 (f a))) →
      ContinuousAt f a
⊢ FrechetUrysohnSpace X
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ Monotone (Nat.nth p)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Function.Surjective ⇑(ofTensorProduct I M)
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Subsingleton R
⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
m n a b c d : ℕ
hdm : d ∣ m
h : a ≡ b [MOD d]
⊢ a ≡ 0 [MOD d] ↔ b ≡ 0 [MOD d]
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
⊢ e (sInf s) = ⨅ x, e ↑x
α : Type u_2
Zero α
LinearOrder α
⊢ Finset.max' 0 ⋯ = 0
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
N' : Type u_8
AddCommGroup N'
Module R N'
Q : QuadraticMap R N' N
f : M →ₗ[R] N'
⊢ (Q.comp f).polarBilin = LinearMap.compl₁₂ Q.polarBilin f f
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Add α
Add γ
f : α → β → γ
hf : ∀ (a₁ a₂ : α) (b : β), f (a₁ + a₂) b = f a₁ b + f a₂ b
A₁ A₂ : Matrix l m α
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f (A₁ + A₂) B = Matrix.kroneckerMap f A₁ B + Matrix.kroneckerMap f A₂ B
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ MDifferentiableAt I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.79019, u_1} C
X : PresheafedSpace C
⊢ X.presheaf = (𝟭 (Presheaf C ↑X)).obj X.presheaf
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
s : NonUnitalSubalgebra R A
h_star : ∀ x ∈ s, star x ∈ s
⊢ (s.toNonUnitalStarSubalgebra h_star).toNonUnitalSubalgebra = s
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ MeasurableSet (t ∩ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
⊢ ∀ x ∈ univ, (fun j => M i j) x * (fun j_1 => N j_1 j) x = 0
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⊥ = ⊤
n : ℕ
⊢ map (Prod.map id succ) (antidiagonal (n + 1)) ++ [(n + 1 + 1, 0)] = (0, n + 2) :: map (Prod.map succ succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 2, 0)]
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).hom.app X = (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
AddMonoid ι
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
SetLike.GradedMonoid A
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm x) (o.rightAngleRotation y) = ⟪x, y⟫_ℝ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₁ →L[𝕜] F₂
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n f
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, (F₂ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n fun y => ContinuousLinearMap.precomp F₃ (f y)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ re z ≤ 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≤ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
α : Type u_1
LT α
a : αᵒᵈ
b : α
⊢ a < OrderDual.toDual b ↔ b < OrderDual.ofDual a
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α
⊢ a ∈ ofFn f ↔ a ∈ Set.range f
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) × C i
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f = f
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousWithinAt (f k) s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) s x
F : Type u_1
α : Type u_3
NonAssocRing α
FunLike F ℤ α
RingHomClass F ℤ α
f : F
n : ℤ
⊢ f n = ↑n
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
⊢ BalancedSz r.dual.size l.dual.size
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.mk f) f = 0
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
M : Type u_4
Monoid M
a b : M
n : ℕ
⊢ a * b = 1 → a ^ n * b ^ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this : (𝓝[<] x).NeBot
h : leftLim f x = f x
⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Function.Injective g
x : α
⊢ (g '' s).indicator f (g x) = s.indicator (f ∘ g) x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
self : CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
⊢ Nonempty ((CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).whisker h).IsKan
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ ((WittVector.toPadicInt p).comp (WittVector.fromPadicInt p)) x = (RingHom.id ℤ_[p]) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.cokernelUnopOp g).hom =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift g (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g.unop).op ⋯
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
m : ℕ
hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m
hm0 : 0 < m
⊢ Fintype.card ↥(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α)))) ≤ n
α : Type u_1
f : α → ENNReal
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
⊢ (PMF.normalize f hf0 hf).support = Function.support f
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
⊢ (cexp (2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1) * I) + cexp (-(2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1)) * I)) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)))) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
l : Filter β
f : β → ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderTop α
f : ι → α
s : Finset ι
a : α
⊢ Codisjoint a (s.inf f) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Codisjoint a (f i)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles A)
g : G
⊢ (A.ρ g) (↑f g⁻¹) = -↑f g
p : ℕ → Prop
⊢ Set.range (Nat.nth p) ⊆ insert 0 (setOf p)
M : Type uM
α : Type uα
β : Type uβ
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
VAdd M α
VAdd M β
MeasurableVAdd M β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m +ᵥ a) = m +ᵥ f a
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M β (MeasureTheory.Measure.map f μ)
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
⊢ ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
M : Type u_1
Mul M
x : ↥⊤
⊢ Subsemigroup.topEquiv x = ↑x
α : Type u
DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b : α
⊢ 𝓝 b = Function.update pure a₀ l b
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z