ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
⊢ ((map S f g) h) (mk' f x s) = mk' g (h x) s
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ All P (l.balanceL x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hf : (↑f).IsConstant
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ (↑(f ∘ g)).IsConstant
ι : Type u_2
Fintype ι
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
hp : p ≠ ⊤
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp p β
⊢ ‖f‖₊ = (∑ i : ι, ‖f i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
x : Int
m : Nat
h : 0 < m
⊢ x.bmod m < (↑m + 1) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
⊢ Tendsto (fun x => (↑x).eraseIdx ↑i) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (l.eraseIdx ↑i))
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ WeierstrassCurve.VariableChange.map φ (C.comp C') =
  (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C).comp (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C')
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp : ¬p = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
Fintype α
x : R
v : α → R
⊢ x ∈ Ideal.span (Set.range v) ↔ ∃ c, ∑ i : α, c i * v i = x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
⊢ 0 ≤ d → Monotone fun r => r ^ d
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝² : IsIntegralClosure B A L
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this : IsScalarTower A Aₘ K
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Ioc 0 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
g : β → γ
f : α → γ → α
a : α
l : t β
⊢ Traversable.foldl f a (g <$> l) = Traversable.foldl (fun x y => f x (g y)) a l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
StrictConvexSpace ℝ F
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn f (Function.const M (f c)) U
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
⊢ autoParam (∀ (X Y_1 : Under Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Under Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
hb' : Odd (b % (4 * a))
e a' : ℕ
ha₁' : ¬2 ∣ a'
ha₂ : a = 2 ^ e * a'
ha₁ : Odd a'
⊢ χ₈ ↑b ^ e * (qrSign b a' * J(↑b | a')) = χ₈ ↑(b % (4 * a)) ^ e * (qrSign (b % (4 * a)) a' * J(↑(b % (4 * a)) | a'))
⊢ ADEInequality.Admissible (ADEInequality.E' 4)
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
CommMonoid β
g : α → M → β
⊢ (f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ insert a s ∪ t = insert a (s ∪ t)
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Coalgebra R X
Coalgebra R Y
e : X ≃ₗc[R] Y
⊢ e.toCoalgebraCatIso.hom.toCoalgHom = ↑e
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
self : A ≃⋆+* B
a : A
⊢ self.toFun (star a) = star (self.toFun a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
DecidableEq α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
m : M
n : N
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.tensorTensorTensorAssoc R M N P Q).symm ((m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] p) ⊗ₜ[R] q) = (m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q
M : Type u_1
AddMonoid M
u₁ u₂ : AddUnits M
⊢ AddCommute ↑u₁ ↑u₂ → AddCommute u₁ u₂
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
⊢ IsPurelyInseparable F ↥F⟮x⟯ ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddCommMonoid α
s : Multiset (Matrix m n α)
⊢ s.sumᵀ = (Multiset.map Matrix.transpose s).sum
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
y : H
⊢ HasStrictFDerivAt f f' y ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') y
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ CategoryTheory.CosimplicialObject.cechConerve.obj f = f.cechConerve
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
a : α
⊢ ↑((Equiv.subtypePreimage p x₀).symm x) a = if h : p a then x₀ ⟨a, h⟩ else x ⟨a, h⟩
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Clopens α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ Subgroup.comap H.normalizer.subtype H) ≡ Nat.card (G ⧸ H) [MOD p]
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (a ^ n) ^ (↑n)⁻¹.val = a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
F : ℂ → E := dslope f w
hws : (insert w s).Countable
hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
m n : Nat
⊢ m < n.succ ↔ m < n ∨ m = n
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict t).restrict s = μ.restrict (s ∩ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂0, ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ eLpNorm f p 0 ≤ C • 0 Set.univ ^ p.toReal⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
⊢ ¬s b ↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ variance (c • X) μ = c ^ 2 • variance X μ
α : Type u_1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
t : Set α
ht : t.Nonempty
⊢ ⊤ (t ∩ s) + ⊤ (t \ s) ≤ ⊤ t
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
this : d * a.y ^ 2 = d * b.y ^ 2
⊢ a.y = b.y
α : Type u
s : Set α
a : α
⊢ s \ {a} ⊂ s ↔ a ∈ s
α : Type u
p : α → Prop
⊢ Cardinal.mk { x // p x } ≤ Cardinal.aleph0 ↔ {x | p x}.Countable
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ toZ i0 i = ↑(Nat.find ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 (balancedCoreAux 𝕜 s)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
x : ℝ
⊢ Real.cosh x + Real.sinh x = Real.exp x
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
x : β
g : α
⊢ MulAction.ofQuotientStabilizer α x ↑g = g • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
⊢ ⋃₀ S ∈ {∅, univ}
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
⊢ R.rightDual (R.leftDual J) ≤ J'
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : Fin 2 → V
⊢ LinearIndependent K f ↔ f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (a : K), a • f 1 ≠ f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
B : ℕ → Set α
hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hr : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n
n : ℕ
hn : -↑s A < ↑n
⊢ False
d : Nat
nz : d ≠ 0
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = MeasureTheory.eLpNorm' g q μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
d' : 𝔸
c : 𝔸
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
M : Turing.TM0.Machine Γ Λ
⊢ Turing.TM0.Supports M Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
⊢ l.reduceOption.length < l.length ↔ none ∈ l
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
I I' : R →+* R
Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n
⊢ ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝¹⁰ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁷ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝⁴ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝¹ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₃ p₂
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩ + n = i + j + (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)
z : ℍ
n : ℤ
⊢ (↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 0 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 0 1))) / (↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 1 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 1 1))) = ↑z + ↑↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
ν : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
x✝ : List β
⊢ Forall₂ R (map f []) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) [] x✝
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c
h_integral : (μ Set.univ).toReal • c = ∫ (x : α), f x ∂μ
⊢ (μ Set.univ).toReal ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 ↑u
⊢ 1 ≤ ‖k‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_4
VAdd R Y
r : R
f : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (r +ᵥ f) x = r +ᵥ f x
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
s : Set ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
c : M
f₁ g₁ : (i : ι) → α i
⊢ s.piecewise (c • f₁) (c • g₁) = c • s.piecewise f₁ g₁
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
⊢ (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ List.insert a l₁ ~ List.insert a l₂
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!
⊢ ↑⌈|a|⌉ * ↑⌈|c|⌉ ^ p = ↑(⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p)
n : Nat
⊢ Fin.list (n + 1) = 0 :: List.map Fin.succ (Fin.list n)
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
⊢ IsClosedMap Neg.neg
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≠ ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ (↑s).Nonempty
α : Type u_2
M : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroup M
s t : Set α
f : α → M
x : α
⊢ |(symmDiff s t).indicator f x| = |s.indicator f x - t.indicator f x|
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ (a⁻¹ / b⁻¹)⁻¹ = a / b
α : Type u_1
p : α → Bool
q : α → Bool
l : Array α
⊢ Array.filter p (Array.filter q l 0) 0 = Array.filter (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso = AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id c) g)
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
τ : s ⟶ t.whisker (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)
⊢ (s.whiskerIdCancel τ).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ.right (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor t.lift).hom
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ s ^ (n + 1) ⊆ t ^ (n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
r : R
m : M
⊢ (PolynomialModule.single R i) (r • m) = r • (PolynomialModule.single R i) m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
a : α
⊢ ⨆ i ∈ f, (⨅ a ∈ i, u a) ⊔ a = ⨆ s ∈ f, ⨅ a_1 ∈ s, a ⊔ u a_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Surjective f
⊢ f '' s ∪ f '' sᶜ = univ
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
⊢ Measurable (Function.uncurry (κ.rnDeriv η))
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : One γ
f : α → β
x✝ : β
⊢ extend f 1 1 x✝ = 1 x✝
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
x y : R
w : r x y
⊢ (RingQuot.mkRingHom r) x = (RingQuot.mkRingHom r) y
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (sSup s)
F : Type u
Field F
ι : Type u_1
f : ι → F
s : Finset ι
⊢ (∏ i ∈ s, (Polynomial.X - Polynomial.C (f i))).Separable ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 1
⊢ 0 < Real.sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
Ring 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Submodule 𝕜 E
x : ↥s
⊢ ‖↑x‖ = ‖x‖
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Ico n (m + 1) = Ico n m ++ [m]
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α G
a : α
ha : a ≠ 0
S T : Subgroup G
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
CommSemiring R
χ : DirichletCharacter R 1
⊢ (fun x => χ ↑x) = 1
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
DecidableEq α
s : Set α
t : Finset α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun x => x • t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 * p.2) (s ×ˢ ↑t)
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ Polynomial.lifts f
hp : p.Monic
⊢ ∃ q, Polynomial.map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => (↑‖z - x‖)⁻¹ • (f n.1 z - f n.1 x) - (↑‖z - x‖)⁻¹ • (f n.2 z - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)