ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α → β
s : Set α
h : ContinuousOn f s
h' : Set.EqOn g f s
⊢ ContinuousOn g s
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : α
⊢ OrderDual.toDual b • a = b • a
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
A : ↥(symplecticGroup l R)
⊢ -J l R * (↑A)ᵀ * J l R * ↑A = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
SupSet α
SupSet β
f : ι → α × β
⊢ (iSup f).swap = ⨆ i, (f i).swap
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
inst✝ : IsIso f
⊢ Scheme.Spec.map (inv f).op = inv (Scheme.Spec.map f.op)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b b' : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
h : b = b'
⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ CategoryTheory.eqToHom h) ↔ p.IsHomLift f φ
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ μ.restrict A ≠ 0 ↔ μ A ≠ 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ dimH s ≤ ⨆ x ∈ s, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets
⊢ ∅ ⊆ ↑⊥.cells
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : s(v, w) ∈ G.edgeSet
d : G.Dart := { toProd := (v, w), adj := h }
⊢ ¬d = d.symm
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : K
⊢ (mixedEmbedding K) x ∈ convexBodyLT K f ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w x < ↑(f w)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Function.Surjective ⇑f
this✝ : Setoid G := QuotientGroup.leftRel H
this : Setoid G' := QuotientGroup.leftRel (comap f H)
key : ∀ (x y : G'), Setoid.r x y ↔ Setoid.r (f x) (f y)
⊢ Function.Surjective (Quotient.map' ⇑f ⋯)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
DecidableEq m
i : m
A : X → Matrix m n R
B : X → n → R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => (A x).updateRow i (B x)
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
r : R₁
a : A
⊢ f.kerLift (r • (Quotient.mkₐ R₁ (ker f)) a) = r • f.kerLift ((Quotient.mkₐ R₁ (ker f)) a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ (LinearMap.ker f).toAddSubmonoid = AddMonoidHom.mker f
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₂ m₂' : M₂
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (0, m₂) (0, m₂') ↔ Q₂.IsOrtho m₂ m₂'
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Nat.count p n < Nat.count p (n + 1) ↔ p n
α : Type u_1
LE α
cmp : α → α → Ordering
self : Batteries.LECmp cmp
x y : α
⊢ cmp x y ≠ Ordering.gt ↔ x ≤ y
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a (1 - s) =
  2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * HurwitzZeta.sinZeta a s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ lift f g H ≫ f = g
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j (c.next j)
⊢ d φ i j ≫ fstX φ j (c.next j) hjk = -fstX φ i j hij ≫ F.d j (c.next j)
x : EReal
n : ℕ
⊢ (↑n * x).exp = x.exp ^ n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
x : α
n : ℕ
hn : MeasureTheory.spanningSetsIndex μ x ≤ n
⊢ x ∈ MeasureTheory.spanningSets μ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s
⊢ ∀ b ∈ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • s}, a ≤ b
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) = ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
AddCommGroup P
Module R P
LieRingModule L P
LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.LieModule.liftLie R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
T2Space M
f g : ℕ → M
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ ∑' (n : ℤ), Int.rec f g n = ∑' (n : ℕ), f n + ∑' (n : ℕ), g n
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ a, closure (e '' {a' | (a, a') ∈ s}) ∈ 𝓝 b
K : Type u
DivisionRing K
S : Subring K
x : K
h : ∀ x ∈ S.carrier, x⁻¹ ∈ S.carrier
⊢ x ∈ { toSubring := S, inv_mem' := h } ↔ x ∈ S
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint (y \ x) x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[≥] a ↔ ∃ u, a < u ∧ Set.Icc a u ⊆ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n).map f).unop).op
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.inv.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.inv.app X)
    f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
⊢ Classical.choose ⋯ ⊆ i ∧ MeasurableSet (Classical.choose ⋯) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (Classical.choose ⋯)
m n : ℕ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.bind (Stream'.WSeq.ret ∘ f) ~ʷ Stream'.WSeq.map f s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ
⊢ ⌈a + ↑z⌉ = ⌈a⌉ + z
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidablePred fun x => x ≤ a
hab : a < b
⊢ Multiset.filter (fun x => x ≤ a) (Multiset.Ico a b) = {a}
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (Set.Iic a).OrdConnected
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
⊢ orderOf (xa i) = 2 ^ 2
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : CauchyFilter α
h_ex : ∀ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α), ∃ y, (f, pureCauchy y) ∈ s
⊢ ((𝓤 (CauchyFilter α)).lift' fun t => range pureCauchy ∩ UniformSpace.ball f t).NeBot
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
x : E
x✝ : E × E
⊢ 0 = (fun x => c) x✝.1 - (fun x => c) x✝.2 - 0 (x✝.1 - x✝.2)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c₁ c₂ : ℝ≥0
ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ dist (BoxIntegral.integralSum f vol π₁) (BoxIntegral.integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a : α
s : l₁.Sublist l₂
⊢ (a :: l₁).Sublist (a :: l₂)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ LipschitzWith 1 fun f => μ.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
hy_mem : y ∈ f.range
⊢ False
K : Type u_1
J : Type u_2
L : Type v
Field K
Field J
Field L
Algebra K J
Algebra J L
IsAlgClosure J L
Algebra K L
IsScalarTower K J L
hKJ : Algebra.IsAlgebraic K J
⊢ IsAlgClosure K L
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
R' : Type u_6
CommSemiring R'
Algebra R R'
IsLocalization S R'
Module R' M
IsScalarTower R R' M
⊢ IsLocalizedModule S LinearMap.id
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ ↔ t.dual.Bounded o₂ o₁
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s
h2 : Splits x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)
I2 : (minpoly (↥x.carrier) s).degree ≠ 0
this✝ : Algebra (↥x.carrier) K := x.emb.toAlgebra
carrier : IntermediateField F E := restrictScalars F (↥x.carrier)⟮s⟯
this : Algebra ↥x.carrier ↥carrier := (↥x.carrier)⟮s⟯.algebra
⊢ rootOfSplits x.emb.toRingHom h2 I2 ∈ (minpoly (↥x.carrier) s).aroots K
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
⊢ (erase p.natDegree p).degree < p.degree
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr : Symmetric r
x : α × α
⊢ x.swap ∈ interedges r s t ↔ x ∈ interedges r t s
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t✝ : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y✝ : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
A : UniformCauchySeqOn (fun t x => ∑ i ∈ t, f' i x) atTop s
t : Finset α
y : E
hy : y ∈ s
⊢ HasFDerivAt ((fun t x => ∑ i ∈ t, f i x) t) (∑ i ∈ t, f' i y) y
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ |a| < b ↔ -b < a ∧ a < b
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
⊢ ↑(Ideal.kerLiftAlg f) = (↑f).kerLift
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.IsFiltered J
D : CategoryTheory.Limits.Cocone F
i j : J
hD : CategoryTheory.Limits.IsColimit D
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)
y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)
⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y ↔ ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y
A B : TopCat
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.prodIso A B).inv =
  (FundamentalGroupoidFunctor.projLeft A B).prod' (FundamentalGroupoidFunctor.projRight A B)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
X : Type u
TopologicalSpace X
self : T25Space X
x y : X
⊢ x ≠ y → Disjoint ((𝓝 x).lift' closure) ((𝓝 y).lift' closure)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial C
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ Finsupp.toMultiset (Multiset.toFinsupp s) = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ r - ↑‖y‖₊ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
⊢ StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : ↑s), f ↑x ∂MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
p : α → Prop
β : α → Type u_2
DecidablePred p
f : (i : α) → β i
⊢ (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p β) f = (fun x => f ↑x, fun x => f ↑x)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
b : β
⊢ ⇑(BoundedContinuousFunction.const α b) = fun x => b
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) = Q₁.tmul Q₂
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ
hn : ((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ Products.eval C ↑l ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})
n : ℕ
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ RingHom.ker (Int.castRingHom (ZMod n)) ↔ x✝ ∈ Ideal.span {↑n}
x y : Int
h : ¬x ≤ y
⊢ y < x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a • s ⊆ a • t ↔ s ⊆ t
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Bicone f
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t.toCocone
j : J
⊢ t.π j = ht.desc (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
h : X ≤ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ofLE Y h) Y.arrow = X.arrow
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∃ v ∈ s, a ∈ {f v}) ↔ ∃ a_1 ∈ s, f a_1 = a
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M m)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (x : α × β) in s ×ˢ t, f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α) in s, ∫ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {xs : List α} {n : Nat} {d : α}, (x :: xs).getD (n + 1) d = xs.getD n d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ f a_2, encode a = x) ∨ ∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ g a_2, encode a = x) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ spectrum K f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toSheafify P ≫ (CategoryTheory.plusPlusIsoSheafify J D P).hom = CategoryTheory.toSheafify J P
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.Sublist l₂ → ∀ (n : ℕ), (List.drop n l₁).Sublist (List.drop n l₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
y : G
x✝ : y ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range
hy : y ∉ ((approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).comp φ hφ).range
⊢ (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y})).toReal • y = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ HasSum (fun i => (μ (f i)).toReal) (∑' (i : ℕ), μ (f i)).toReal
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a✝ a : ℕ → E
⊢ HasSum (fun n => 0 ^ n • a n) (a 0)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ μ.rnDeriv μ =ᵐ[μ] fun x => 1
n : ℕ
⊢ (finSuccEquiv n).symm none = 0
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸
⊢ c' * d = c' * d + c x * 0
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
f : G → E
g : G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g + x) = -f x
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2) = 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2
i : (-(x₁, x₂).1).LeftMoves
⊢ IH3 (-(x₁, x₂).2) ((-(x₁, x₂).1).moveLeft i) (-(x₁, x₂).1) y₁ y₂
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal n = Finset.map { toFun := fun i => (i, n - i), inj' := ⋯ } (Finset.range (n + 1))
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
j : ι
⊢ (Basis.ofEquivFun b.repr.toLinearEquiv) j = b j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
j : ι
h : i ≠ j
⊢ (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
α β : Sort u
a : α
b b' : β
h₁ : HEq a b
h₂ : b = b'
⊢ HEq a b'
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
q : Submodule R (M × M₂)
⊢ p₁.prod p₂ ≤ q ↔ Submodule.map (LinearMap.inl R M M₂) p₁ ≤ q ∧ Submodule.map (LinearMap.inr R M M₂) p₂ ≤ q