ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace α'
Zero β
f : α → β
T2Space α'
hf : HasCompactSupport f
g : α → α'
cont : Continuous g
⊢ tsupport (Function.extend g f 0) ⊆ g '' tsupport f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
f : ι → κ → R
a : R
l₁ : List ι
l₂ : List κ
⊢ (List.zipWith (fun i j => a * f i j) l₁ l₂).sum = a * (List.zipWith f l₁ l₂).sum
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0
this : Fact (Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p)
⊢ Function.Surjective ⇑(restrictComp p q hq)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
P : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h1 : ∀ (u : σ →₀ ℕ) (a : R), P ((MvPolynomial.monomial u) a)
h2 : ∀ (p q : MvPolynomial σ R), P p → P q → P (p + q)
⊢ P p
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ LinearMap.range (TensorProduct.map f g) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
l m r : List Char
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → Substring.ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r) (s.takeWhile p)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m
hA : IsUnit ((LinearMap.toMatrix b b) A.mulVecLin).det
hAB : (A * B).mulVecLin = ↑(LinearEquiv.ofIsUnitDet hA) ∘ₗ B.mulVecLin
⊢ (A * B).rank = B.rank
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ BddBelow s
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ u * a ~ᵤ a
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ NonarchimedeanRing R
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
LinearOrder ι
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonovaryOn f g s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
i : ι
this : s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} = s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}
⊢ Measurable fun a => min (τ a) i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
S : Submonoid R
IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : PartialHomeomorph H H
e' : PartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e'.symm) e'.target
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I').symm ⁻¹' e.source ×ˢ e'.source ∩ range ↑(I.prod I'))
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
t : Set α
t_mem : t ∈ 𝓝 x
ht : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ 0 < ν n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
⊢ ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.toSheafification D).app P = J.toSheafify P
α : Type u₁
β : Type u₂
g : β → α
f : α → β
h : Function.RightInverse g f
⊢ f ∘ g = id
M : Type u_5
AddCommGroup M
h : Module ℤ M
n : ℤ
x : M
⊢ SMul.smul n x = n • x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∀ b ∈ s, a ∣ f b) → a ∣ s.gcd f
α : Type u
f : Ultrafilter α
s t : Set α
⊢ s ∪ t ∈ f ↔ s ∈ f ∨ t ∈ f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p.sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
i j : ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
hij : i ≤ j
⊢ ↑f i ≤ ↑f j
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
c : S₂
⊢ (MvPolynomial.sumToIter R S₁ S₂) (MvPolynomial.X (Sum.inr c)) = MvPolynomial.C (MvPolynomial.X c)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ Polynomial.evalEval 0 0 W.polynomialY = W.a₃
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
⊢ StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
ms : ℕ → ι
hms : TendstoInMeasure μ (fun n => f (ms n)) atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ms (ns i)) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∃ ns, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable ↑b
A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }
q : A → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β := fun n => ⋃ s, ⋃ (_ : Bornology.IsBounded ↑s ∧ diam ↑s ≤ u n), E s
⊢ range f = ⋂ n, F n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ∃ i j, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0
⊢ p.degree + q.degree = q.degree + p.degree
f : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
⊢ f.translationNumber < z
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
key : minpoly A x = X - C y
this : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0
⊢ (algebraMap A B) y = x
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : IsMaximal x (x ⊔ y)
hyz : IsMaximal y (x ⊔ y)
⊢ IsMaximal (y ⊓ x) y
n : Nat
Nonempty (Fin n)
⊢ 0 < n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[<] a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => min (f i) a) l (𝓝[<] a)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j.succ) = X.map (SimplexCategory.δ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
⊢ MeasureTheory.Measure.pi μ = (MeasureTheory.OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).toMeasure ⋯
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ adjoin K ((X ^ ↑n - 1).rootSet L) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : Forall₂ R l₁.reverse l₂.reverse
⊢ Forall₂ R l₁.reverse.reverse l₂.reverse.reverse
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
⊢ ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ s * closure {1} = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑r / ↑a
⊢ ↑r < p.radius
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
OrderTop α
⊢ Order.succ ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
i : ι
⊢ hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (MvPolynomial.X (some i)) = Polynomial.C (hx.aevalEquiv (MvPolynomial.X i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ < 1 ↔ x ≠ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
⊢ (∑ n ∈ Finset.range N, ∑ r ∈ Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q n) fun i => (p (r i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Function.Periodic f T
t s : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑(-r))) atTop (𝓝 (ρ (⋂ r, s ×ˢ Iic ↑(-r))))
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < 1
⊢ Real.exp x ≤ 1 / (1 - x)
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Monoid β
Monoid γ
FunLike F β γ
MonoidHomClass F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
g : F
⊢ g (s.noncommProd f comm) = s.noncommProd (fun i => g (f i)) ⋯
G : Type u_1
α : Type u_3
Countable G
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ (MeasureTheory.fundamentalInterior G s) = μ s
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy1' : π / 2 ≤ y
⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ |‖x‖ - ‖y‖| < ‖x - y‖
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
x : S
inst✝ : Invertible x
p : R[X]
hp : p ≠ 0
hp' : (aeval x) p = 0
⊢ (aeval ⅟x) p.reverse = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
h : 0 < FiniteDimensional.finrank R M
⊢ Nontrivial M
M : Type u_6
Mul M
m : M
⊢ (MulEquiv.refl M) m = m
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : y ≤ x
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a + (b + -a) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ Iic x)
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ ((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x
α : Type u_1
l : List α
⊢ l <:+: l
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
⊢ x ∈ I ↔ ∀ (i : ι), x i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i)
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ
⊢ a + ↑n ≤ b + ↑n ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i
this : (⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))).HasAntitoneBasis fun i => s ↑(x i)
⊢ f.HasAntitoneBasis fun i => s ((fun i => ↑(x i)) i)
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
this : dist x y ≤ dist x (f x) + dist y (f y) + ↑K * dist x y
⊢ dist x y ≤ (dist x (f x) + dist y (f y)) / (1 - ↑K)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomSurjective σ₁₂
RingHomSurjective σ₂₃
RingHomSurjective σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map (g.comp f) p = Submodule.map g (Submodule.map f p)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ (Relation.TransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = Relation.ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
dνκ_finite : levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤
⊢ levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ = (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ).toReal
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
OrderTop β
l : Filter α
f : α → β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x < ⊤
α : Type u_1
v : α
cmp : α → α → Ordering
path : Batteries.RBNode.Path α
⊢ Batteries.RBNode.Path.Zoomed (cmp v) path → Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hfs : ↑s ≤ fun a => f a
⊢ s.lintegral μ ≤ (s.restrict tᶜ).lintegral μ
α : Type u_1
n : Type u_4
Sub α
Sub n
v w : n → α
⊢ Matrix.circulant (v - w) = Matrix.circulant v - Matrix.circulant w
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ e.trans (ContinuousAffineEquiv.refl k P₂) = e
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
⊢ IsLocallySurjective J f₂
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J✝ : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
J : LieIdeal R L' := let __src := Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ }
⊢ ∃ N, ↑N = Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule
M : Type u_2
α : Type u_4
SMul M α
SMul Mᵐᵒᵖ α
IsCentralScalar M α
r : M
a : α
⊢ MulOpposite.op (r • a) = MulOpposite.op r • MulOpposite.op a
x : PSet
IsEmpty x.Type
⊢ x.Equiv ∅
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
f : List α → β
b : Filter β
a : α
l : List α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 (a :: l)) b ↔ Filter.Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) b
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ spectrum S a
⊢ f s ∈ spectrum R a ∧ (algebraMap R S) (f s) = s
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc c d = Set.Ioc (min a c) (max b d)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
⊢ (𝓝 x).lift g = (𝓤 α).lift fun s => g (UniformSpace.ball x s)
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
self : IsSemiringHom f
x y : α
⊢ f (x + y) = f x + f y
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / (conts.b * nextConts.b)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u / v‖
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N
⊢ 0 • n ∈ s • N
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LinearMap.BilinForm.lieInvariant L (LieModule.traceForm R L M)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
xs : x ∈ s
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
ht : DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ t)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ p.swap.swap = p
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
⊢ 0.2 = 0
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ Ordinal.CNF b o = (Ordinal.log b o, o / b ^ Ordinal.log b o) :: Ordinal.CNF b (o % b ^ Ordinal.log b o)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (GenContFract.of v).partDens.get? n = some b
⊢ ∃ z, b = ↑z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
n : ℤ
⊢ l.sum % n = (map (fun x => x % n) l).sum % n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
i : ℕ
hi : i < n + 1
⊢ p ⟨i, hi⟩ = p' i
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[0|m] = 0
a : ℝ
⊢ closure {z | z.re < a} = {z | z.re ≤ a}