ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
pn : (ι →₀ R) ⊗[R] N
i : ι
⊢ ((finsuppScalarLeft R N ι) pn) i = (TensorProduct.lid R N) ((rTensor N (Finsupp.lapply i)) pn)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) x = (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c) x
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (b * Real.exp x + c) / x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f✝ : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝¹ : R
h : x✝¹ ∈ closure s
x✝ y : R
hx✝ : x✝ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)
x : R
hx : x * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
f : -x * q = -(x * q)
⊢ -(x * q) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hfg : Set.EqOn f g (spectrum R a)
⊢ cfc f a = cfc g a
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
ha : 1 ≤ a
⊢ 1 ≤ Function.const β a
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
⊢ append u v = u ∘ cast ⋯
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
t : Set X
ht : IsSeparable t
hgt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
this : SecondCountableTopology ↑t
⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
x✝ : n
⊢ (v ᵥ* -A) x✝ = (-(v ᵥ* A)) x✝
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x -ᵥ x_1) f g = f -ᵥ g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : ProperCone ℝ E
⊢ ↑↑K.dual = (↑K).innerDualCone
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
⊢ u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊥.unop = ⊥
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ ↑(s.erase a) = ↑s \ ↑(LowerSet.Iic a)
m n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Even (m ^ n) ↔ Even m
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
h : S ≤ f.range
⊢ Subalgebra.map f (Subalgebra.comap f S) = S
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst
⊢ x ∉ sigmaLift f a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X : D
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).obj (Sum.inl (Sum.inr X)) = Sum.inr (Sum.inl X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ RingCat
S : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
M : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ ((PresheafOfModules.pushforward φ).obj M).obj X =
  (ModuleCat.restrictScalars (φ.app X)).obj (M.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X))))
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f g : β → α
a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ HasProd (fun b => f b / g b) (a₁ / a₂)
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
⊢ ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 G f.uncurry0 = f
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
g : N ↪ₑ[L] P
f : M ↪ₑ[L] N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)
a : α
⊢ a ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, a ∈ s
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ p ⊓ (f.genEigenspace μ) k = Submodule.map p.subtype ((genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finmap β
⊢ (s₁ ∪ s₂).keys = s₁.keys ∪ s₂.keys
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑((B ^ m / B ^ n).card * C.card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a - b).re = a.re - b.re
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsClosed (Set.range Sum.inl)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
⊢ Sieve.pullback iYX S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
h i : b ⟶ c
η : f ⟶ g
θ : h ⟶ i
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f θ)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft g θ)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : LowerSemicontinuous f
gmon : Monotone g
⊢ LowerSemicontinuous (g ∘ f)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), f k = ∑ k ∈ Finset.range n, f (k + 1) + f 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
X Y : C
f : X ⟶ Y
hX : P X
hY : P Y
⊢ CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W P f ↔ CategoryTheory.IsIso f
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
⊢ 1 ≤ v x ↔ v x⁻¹ ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
hs : s.Nonempty
hb : b < sSup s
⊢ ∃ a ∈ s, b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.preimage Set.univ = r.dom
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ μH[d] {x} = 0
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)
⊢ AlgebraicIndependent R fun x => g ↑x
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
⊢ f.symm.toEmbedding.comp f.toEmbedding = Embedding.refl L M
α : Type u_2
Monoid α
a : α
⊢ IsUnit a → IsUnit (pure a)
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s.card = t.card
⊢ (s \ t).card = (t \ s).card
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f : Y✝ ⟶ X
Y : C
⊢ (ofArrows (fun x => Y✝) fun x => f) = singleton f
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Set.Ioc (-π) π
⊢ (↑r * (Complex.cos ↑θ + Complex.sin ↑θ * Complex.I)).arg = θ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ Continuous (s.restrict f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
val✝ : Fintype ι
this : ∀ [inst : (i : Fin (Fintype.card ι)) → AddCommGroup (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_1 : (i : Fin (Fintype.card ι)) → Module R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_2 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Finite R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_3 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Free R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))], Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
l : Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
r : Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
e : MultilinearMap R M₁ M₂ ≃ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i)) M₂
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ hurwitzZetaOdd a s = (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s - (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s)) / 2
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α
h : Codisjoint (a ⊔ b) c
hle : c ≤ b
⊢ Codisjoint a b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Continuous Prod.fst
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char
⊢ (let c_1 := f ({ data := l ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l }); let_fun this := ⋯; let s := { data := l ++ c :: r }.set { byteIdx := utf8Len l } c_1; mapAux f (s.next { byteIdx := utf8Len l }) s) = { data := l ++ List.map f (c :: r) }
n : Nat
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
H : Type u_5
TopologicalSpace H
self : Pregroupoid H
f : H → H
u : Set H
⊢ IsOpen u → (∀ x ∈ u, ∃ v, IsOpen v ∧ x ∈ v ∧ self.property f (u ∩ v)) → self.property f u
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : (ZMod p)ˣ
⊢ (∃ y, y ^ 2 = x) ↔ x ^ (p / 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
ha : a ∈ z
hb : Mem.other ha ∈ z
⊢ Mem.other hb = a
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ * A = 1
right✝ : A * A⁻¹ = 1
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback g.right (fun x => g.left) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mapAugmentedCechNerve F).left = CategoryTheory.Arrow.mapCechNerve F
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x = (↑iso).comp (fderiv 𝕜 f x)
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ ≠ Set.univ ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
e : α ≃ β
x : Sym β n
⊢ (Sym.equivCongr e).symm x = Sym.map (⇑e.symm) x
α : Type u_1
DistribLattice α
a b c : α
⊢ b ∈ Set.uIcc a c → c ∈ Set.uIcc a b → b = c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
CategoryTheory.Limits.HasPullback g g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ g) (f ≫ g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal (f ≫ g) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f ≫
    (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIdIso f f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal g)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ g) (f ≫ g) g g f f (𝟙 Z) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.Domᶜ ⊆ f.core s
n d k : ℕ
⊢ Behrend.sphere n d k ⊆ Behrend.box n d
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ c • 0 = 0
S : Set Ordinal.{u}
o x✝ : Ordinal.{u}
⊢ x✝ ∈ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a) ↔ x✝ ∈ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s
⊢ μH[↑d] s = ⊤
r : ℝ
c : ℂ
⊢ { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c) = (RingHom.id ℝ) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun c
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = if b ≤ a then a else b
R : Type u_1
CommSemiring R
a a' : R
p : a = a'
⊢ a = a' ^ Nat.rawCast 1 * Nat.rawCast 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
ha₀ : a ≠ 0
ha : ¬IsUnit a
⊢ a ^ n ∣ a ^ m ↔ n ≤ m
J : Type w
X₁ X₂ : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J
⊢ ∀ (a : X₁ ⟶ X₂),
  (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOp J).map a = CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap J X₁ X₂ a
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Martingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Martingale (f + g) ℱ μ
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
a : α
h : IsLUB (Set.range ⇑c) a
⊢ a = OmegaCompletePartialOrder.ωSup c
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ℝ
⊢ dist x 0 = |x|
R : Type u_1
Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n).eraseLead = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ PadicSeq.norm 1 = 1
m : ℕ
h : 0 < m
⊢ List.Ico (m - 1) m = [m - 1]
n : PosNum
⊢ Computability.encodePosNum n ≠ []
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ ∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f g).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom g)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology
⊢ ∃ A' π,
  ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π),
    ∃ z,
      ∃ (hz : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z S.g = 0),
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp π γ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles z hz) S.homologyπ
α : Type u
x : α
⊢ (FreeSemigroup.of x).tail = []
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
⊢ {S | (∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d) ∧ S.IsNormal} ⊆ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
hx : c.ι.app j z ∈ descSet hc {x}
hy : c.ι.app j z ∈ descSet hc {y}
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B D : LinearMap.BilinForm R M
x y : M
⊢ ((B + D) x) y = (B x) y + (D x) y
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, f u ≤ c * f ↑n
α : Type u_3
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ (MeasureTheory.SignedMeasure.toJordanDecompositionEquiv α) s = s.toJordanDecomposition
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
⊢ Function.Injective fun e => e.toPretrivialization
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
S : Type u_5
CommSemiring S
Algebra R S
Module S M
IsScalarTower R S M
s : S
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
⊢ (TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) (s • t) = s • (TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) t
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
DistribSMul S R
IsScalarTower S R R
a : S
x : R
⊢ a • (AdjoinRoot.of f) x = (AdjoinRoot.of f) (a • x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c - x)) volume (c - a) (c - b)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ ¬cs.IsRightDescent w i ↔ cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1
α : Type u
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)
⊢ C S
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ (finRotate n).IsCycle
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Add α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s + ⋃ i, t i = ⋃ i, s + t i
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
c : R
x : A
⊢ f (c • x) = φ c • f x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ { proj := p.proj, snd := (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I p.proj)) p.snd } = p
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsRightRegular b
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₁, u₁} C
CategoryTheory.Coreflective R
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₂, u₂} D
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
w : α
hp : p w
hq : q w hp
H : ∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = w
⊢ ∃! x, ∃! hx, q x hx
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
⊢ False
F : Type u_2
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
FunLike F ℍ ℂ
self : ModularFormClass F Γ k
f : F
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Skeletal (CategoryTheory.Skeleton C)
q : ℚ≥0
⊢ |↑q| = ↑q
⊢ Cardinal.lift.{w, max (u + 1) v} Cardinal.univ.{u, v} = Cardinal.univ.{u, max v w}
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑f