ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f : α → β
s : Set α
e : α ≃ α
he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ
he' : QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) μ μ
k : ℤ
hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s
⊢ ⇑(e ^ k) '' s =ᵐ[μ] s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ inlX φ j i hij ≫ d φ i j = φ.f j ≫ inrX φ j
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Unique J
f : J → C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).bicone.π j = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.100731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
n : ℤ
⊢ (mappingCone φ).d (n - 1) n ≫ (snd φ).v n n ⋯ = (↑(fst φ)).v (n - 1) n ⋯ ≫ φ.f n + (snd φ).v (n - 1) (n - 1) ⋯ ≫ G.d (n - 1) n
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid α
AddMonoid β
e : α ≃+ β
γ : Type u_3
AddMonoid γ
g : α →+ γ
⊢ (AddMonoidHom.precompEquiv e γ).symm g = g.comp ↑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α
this : Nonempty α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ IsCauSeq abs fun n => (↑f n).re
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
K K' : ℝ≥0
f : α → β
g : β → γ
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
⊢ Integrable (g ∘ f) μ ↔ Integrable f μ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ↑(AddMonoidHom.mker f) = ⇑f ⁻¹' {0}
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun i => Ico (i + 1) b, f x.fst x.snd = ∑ x ∈ (Ico a b).sigma (Ico a), f x.snd x.fst
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
h : X ⟶ Z
k : Y ⟶ Z
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
comm : f ≫ h = g ≫ k
inst✝² : PreservesColimit (span f g) G
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ G.map (pushout.inr f g) ≫ (iso G f g).inv = pushout.inr (G.map f) (G.map g)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
⊢ Finsupp.mapRange.addEquiv (AddEquiv.refl M) = AddEquiv.refl (α →₀ M)
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
k : ℕ
⊢ a ^ (Nat.mul 2 k).add 1 = a ^ k * a ^ k * a
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - y - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - (μ + y)) ^ 2 / (2 * ↑v))
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
hχ₁ : χ ≠ 1
⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
M : Type u_2
Monoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ Commute (a ^ m) (a ^ n)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iic a ∪ Set.Icc a b = Set.Iic b
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1
⊢ b • y - b • x + (a • x + b • x) = b • (y - x) + x
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun a => f a ⊓ g a) x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])
⊢ reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = append_singleton xs x (reverseRecOn xs nil append_singleton)
ι : Type u_1
I J : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α
⊢ (∃ b, ((Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b)ᶜ ∈ 𝒜 ∧ ∃ a ∈ (Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b, ((Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b).erase a = s) ↔ ∃ s_1 ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s_1, insert a s_1 = sᶜ
⊢ Bipointed.swapEquiv.symm = Bipointed.swapEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
b : β
f : (x : β) → x = b → α
⊢ ⨅ x, ⨅ (h : x = b), f x h = f b ⋯
s : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ s
h : Nonempty ↑s
⊢ ↑⊥ = Nat.find ⋯
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
⊢ a • approxOrderOf A n δ ⊆ approxOrderOf A (orderOf a * n) δ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
⊢ s.Countable
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ : G
y : X
γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), y⟩
⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
n : ℕ+
K : Type u_1
Field K
L : Type u_2
μ : L
CommRing L
IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ (IsCyclotomicExtension.fromZetaAut hμ h) (IsCyclotomicExtension.zeta n K L) = μ
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
t : Set β
⊢ t ∈ Filter.map m f ↔ {x | m x ∈ t} ∈ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : CategoryTheory.Dial C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.Dial.tensorHom f₁ f₂) f₃)
    (Y₁.associator Y₂ Y₃).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X₁.associator X₂ X₃).hom
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom f₁ (CategoryTheory.Dial.tensorHom f₂ f₃))
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h : 1 < a
hm : 1 < m
⊢ a < a ^ m
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
⊢ (trace R M) f = 0
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a : α
⊢ AddAction.orbitRel.Quotient.orbit (Quotient.mk'' a) = AddAction.orbit G a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α →ₘ[μ] E
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑f x‖₊ ≤ ‖↑↑g x‖₊
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
a b : R
H : a * (x + y * z) + b * y = 1
⊢ a * x + (a * z + b) * y = 1
α : Type u_1
Monoid α
s : Submonoid α
a : α
⊢ a ∈ a • ↑s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X true
y : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X false
pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1
pderiv_true_y : (pderiv true) y = 0
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν = n • X
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ -1 • (a + b) = -1 • b + -1 • a
α : Type u
Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
⊢ IsCyclic α
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
H : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ∪ t) μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
A : Type u_12
B : Type u_13
Monoid A
Monoid B
f : A →* B
g : B → A
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : B), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
R : Type u_1
S : Type u_4
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
l : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ (LinearMap.extendScalarsOfSurjective h l) x = l x
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ
start : Set σ
⊢ List.foldl M.toεNFA.stepSet start = List.foldl M.stepSet start
f : Prop → Prop
⊢ (∀ (p : Prop), f p) ↔ f True ∧ f False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
⊢ IsClosed {p | p.1 ⤳ p.2}
z : ℂ
⊢ Complex.abs z ≤ √2 * max |z.re| |z.im|
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b₁ b₂ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ Set.uIcc b₁ b₂
⊢ ContinuousOn (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Set.uIcc b₁ b₂)
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
A : X → Matrix ((i : l) × m' i) ((i : l) × n' i) R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).blockDiag'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • x₀ + b • T x₀ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Set.InjOn f (↑s ∪ ↑t)
⊢ f '' (↑s ∩ ↑t) = f '' ↑s ∩ f '' ↑t
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
h : ↥H
g : G
this : (hHT.equiv (↑h * g)).2 = (hHT.equiv g).2
⊢ hHT.equiv (↑h * g) = (h * (hHT.equiv g).1, (hHT.equiv g).2)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ s ∈ coclosedLindelof X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsLindelof t ∧ tᶜ ⊆ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s
⊢ 1 ∈ s ^ 0
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊
⊢ LipschitzWith C ⇑f
G : Type u_1
Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
⊢ Disjoint H₁ H₂
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
⊢ ∀ {X Y : a ⟶ b} (η : X ⟶ Y) (x : b ⟶ c),
  ((CategoryTheory.Bicategory.precomposing a b c).map η).app x = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η x
α : Type u
σ' : Type v
M : DFA α σ'
⊢ M.toNFA.start = {M.start}
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Infinite R
h_lt : Cardinal.lift.{v, u} #R < Cardinal.lift.{u, v} #M
⊢ Module.rank R M = #M
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ t ⊆ tᶜ
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
hp : NeZero p
CharZero R
n : ℕ
⊢ (W_ R n).vars = Finset.range (n + 1)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype α
DecidablePred fun j => a < j ∧ j < b
⊢ Finset.filter (fun j => a < j ∧ j < b) Finset.univ = Finset.Ioo a b
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).trans e = e.restr (e.source ∩ s)
α : Type u
s₁ s₂ s₃ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ = s₁ ∩ s₃ ∩ s₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
h : Presheaf.imageSieve f y ∈ (coherentTopology C).sieves U✝
⊢ Presheaf.imageSieve f y ∈ (regularTopology C).sieves U✝
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N✝
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M✝
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
M : Type u_7
B : Type u_8
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N
⊢ (↑ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ↑ζ ^ l = 1 → k ∣ l) ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → k ∣ l
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Set.Iic b
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
y : ↑X
h : p₀ ⤳ y
U : (TopologicalSpace.OpenNhds y)ᵒᵖ
⊢ (skyscraperPresheafCoconeOfSpecializes p₀ A h).ι.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → s.Nonempty → μ₁ s ≤ μ₂ s
⊢ μ₁ ≤ μ₂
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
⊢ ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.associator Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).braiding Z).hom
      (Z.associator X Y).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Dial.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) (Y.braiding Z).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.associator Z Y).inv
      (CategoryTheory.Dial.tensorHom (X.braiding Z).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)))
E : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : AddCommGroup L
inst✝⁴ : Countable L
inst✝³ : AddAction L E
inst✝² : MeasurableSpace L
inst✝¹ : MeasurableVAdd L E
inst✝ : VAddInvariantMeasure L E μ
fund : IsAddFundamentalDomain L F μ
hS : NullMeasurableSet s μ
h : μ F < μ s
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ ¬Disjoint (x +ᵥ s) (y +ᵥ s)
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝ : R
⊢ z • Quotient.mk'' a✝ = z • θ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ QuasiIso (CochainComplex.mappingCone.descShortComplex S)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Submodule.span R s ≤ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle j = TensorProduct.map (lapply i ∘ₗ lsingle j) (lapply i ∘ₗ lsingle j) ∘ₗ comul
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
⊢ spectrum R ((cfcHom ha) f) = Set.range ⇑f
o : Ordinal.{u_4}
h : ω ≤ o
⊢ 1 + o = o
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
hq' : 1 < q
⊢ (↑q - 1) ^ φ n < ↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)|
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = Filter.comap (Prod.mk x) (𝓤 α)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ hf.toFinset, f i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V
h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V
⊢ g₁⁻¹ ∈ K₁.carrier * V⁻¹ ⊓ K₂.carrier * V⁻¹
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f g : α →C_c β
⊢ (f - g) x = f x - g x
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
⊢ VectorFourier.fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) = fun w =>
  e ((L v₀) w) • VectorFourier.fourierIntegral e μ L f w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪x, RCLike.I • x⟫_ℝ = 0
m n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive (n + 1) ⋯
mn : m ≤ n
msn : m ≤ n + 1
⊢ Nat.decreasingInduction of_succ self msn = Nat.decreasingInduction (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ n ⋯ self) mn
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
r : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
x : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ ⨆ i, f ⟨i, ⋯⟩ = iSup f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : (colimit H).obj k ⟶ W
w : ∀ (j : J), (colimit.ι H j).app k ≫ f = (colimit.ι H j).app k ≫ g
⊢ f = g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom
⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
ε' : 𝕜
h : ε ≤ ε'
hε : G.IsUniform ε s t
⊢ G.IsUniform ε' s t
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
One M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
⊢ g '' s ∩ Function.mulSupport f = g '' (s ∩ Function.mulSupport (f ∘ g))
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = Fintype.card α / P.parts.card
this : m * 4 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card
⊢ (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
R : Type u_1
S : Type u_2
Rₚ : Type u_3
Sₚ : Type u_4
CommSemiring R
CommRing S
CommRing Rₚ
CommRing Sₚ
Algebra R S
Algebra R Rₚ
Algebra R Sₚ
Algebra S Sₚ
Algebra Rₚ Sₚ
IsScalarTower R S Sₚ
IsScalarTower R Rₚ Sₚ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ
hRS : Module.Finite R S
⊢ Module.Finite Rₚ Sₚ
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
NonUnitalNonAssocRing T
s : NonUnitalSubring R
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubring.map g (NonUnitalSubring.map f s) = NonUnitalSubring.map (g.comp f) s
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
a : A
⊢ Prime (Ideal.span {a}) ↔ Prime a
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
⊢ P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
x : α
y : β
⊢ ContinuousAt (update f x y) x ↔ Tendsto f (𝓝[≠] x) (𝓝 y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
f : ι → α
⊢ ((∑ i ∈ ∅, f i) / ↑∅.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ ∅, f i ^ 2) / ↑∅.card
x y : PartENat
h : x < y + 1
⊢ x ≤ y
n : ℕ
⊢ ZMod.castHom ⋯ (ZMod n) = RingHom.id (ZMod n)
α : Type u_2
Div α
f₁ f₂ g₁ g₂ : Filter α
⊢ f₁ ≤ f₂ → g₁ ≤ g₂ → f₁ / g₁ ≤ f₂ / g₂
ε : Type u_1
p : ε → Prop
inst✝ : DecidablePred p
ep ep' : Perm { a // p a }
en en' : Perm { a // ¬p a }
a : ε
h : ¬p a
⊢ (ep.subtypeCongr en) a = ↑(en ⟨a, h⟩)
a b : Int
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a * b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
hg : CircleIntegrable g c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z - g z) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) - ∮ (z : ℂ) in C(c, R), g z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Injective f
x : α
h : f x ∈ f '' s
⊢ (Equiv.Set.image f s H).symm ⟨f x, h⟩ = ⟨x, ⋯⟩