ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxF : x ∈ ⋂ i, F i
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ ∈ ⋂ i, F i ∧ x₂ ∈ ⋂ i, F i
R : Type u_2
CommSemiring R
f : R[T;T⁻¹]
n : ℤ
⊢ (LaurentPolynomial.invert f) n = f (-n)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : o → Matrix m n α
⊢ (Matrix.blockDiagonal M)ᵀ = Matrix.blockDiagonal fun k => (M k)ᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α := ⋯.choose
⊢ ∃ i, ∃ (hi₁ : MeasurableSet i) (hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i) (hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ), s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
⊢ (CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ (x - y).toNat = (2 ^ n - y.toNat + x.toNat) % 2 ^ n
s : ℝ
⊢ Gamma s = 0 → ∃ m, s = -↑m
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
f g : ℕ →₀ R
⊢ { toFinsupp := f } = { toFinsupp := g } ↔ ∀ (n : ℕ), { toFinsupp := f }.coeff n = { toFinsupp := g }.coeff n
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
x y : α
⊢ cmp (f x) (f y) = cmp y x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
n : ℕ
x y : WittVector p k
⊢ WittVector.peval (WittVector.polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] =
  (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
hd : 0 < p.degree
⊢ (p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff
α : Type u
Preorder α
a : α
s t p : Set α
hs : IsLUB s a
hp : IsLUB p a
hst : s ⊆ t
htp : t ⊆ p
⊢ IsLUB t a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
⊢ ‖ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜'‖ ≤ 1
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ sᶜ.card = Fintype.card α - s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s
⊢ False
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
⊢ SqLe x d (d * y) 1
N : ℕ
NeZero N
⊢ Function.Injective ⇑ZMod.toAddCircle
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : l.length ≤ n - 1
⊢ (a :: l).length ≤ n
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
p : Fin (n + 1)
x : α p
f : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ p.removeNth (Function.update f p x) = p.removeNth f
α β : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x >>= x_1) = Multiset.bind
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
i j k : ι
hi : f i ≤ f k
hj : f j ≤ f k
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ (e k)) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e j)) (extend e f ⊥ (e k))
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝² : α✝
α α' : Type u
e : α ≃ α'
κ : Type (max v u)
x✝¹ : Finite κ
ι : Type
x✝ : Fintype ι
h : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (ι → α') → κ
l : Line α ι
c : κ
lc : ∀ (x : α), (fun v => C (⇑e ∘ v)) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
x : α
⊢ C ((fun x i => ((map (⇑e) l).idxFun i).getD x) (e x)) = c
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), MeasurableSpace.generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (piiUnionInter π S) ≤ m
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Commensurable H H
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card = s.card / P.parts.card ↔ t.card ≠ s.card / P.parts.card + 1
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
g : ↑G
⊢ 𝟙 (𝟙_ W) ≫ F.ε = F.ε ≫ F.map (𝟙 (𝟙_ V))
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
r : R
LinearOrderedAddCommGroup R
Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • r) l Filter.atBot
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_5}
⊢ a < f o ↔ ∃ b < o, a < f b
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
⊢ ↑(hST.equiv g).1 * ↑(hST.equiv g).2 = g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
⊢ w i₁ ∈ Set.Ioo 0 1
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.log x / x ^ r) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(ULift.down ⁻¹' s) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) atBot (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β
⊢ sublistsLenAux n l f r = sublistsLenAux n l (f ∘ id) (map f [] ++ r)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
DecidableEq δ
s : Finset α
t : Finset β
f : α → γ → δ
g : β → γ
⊢ Finset.image₂ f s (Finset.image g t) = Finset.image₂ (fun a b => f a (g b)) s t
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ I ≤ I.radical
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
⊢ teichmullerFun p (x * y) = teichmullerFun p x * teichmullerFun p y
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
⊢ List.indexOf x l = List.indexOf y l ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.OuterMeasure α →ₗ[ENNReal] MeasureTheory.OuterMeasure β
hf : ∀ (μ : MeasureTheory.Measure α), inst✝ ≤ (f μ.toOuterMeasure).caratheodory
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((MeasureTheory.Measure.liftLinear f hf) μ) s = (f μ.toOuterMeasure) s
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = G.map (A.π.app X✝ ≫ F.map f✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
i : ℕ
hi : i < n
a✝ : ⟨i, hi⟩ ∈ univ
⊢ c ⟨i, hi⟩ = if h : ↑⟨i, hi⟩ < n then c ⟨↑⟨i, hi⟩, h⟩ else 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
⊢ 𝓝 (x, y) = map Prod.swap (𝓝 (y, x))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ (a : ι), (∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F a y) ∈ u) → a ∈ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : 0 ≤ f'
x : ℝ
⊢ 0 ≤ f' x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, p y) ↔ ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : α⦄, dist y x < ε → p y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
hs : IsAntichain r s
h : t ⊆ s
⊢ IsAntichain r t
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) L.distinctConstantsTheory
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I
this : Iₚ ≠ ⊤
M : Ideal Sₚ
hM : M.IsMaximal
hM' : Iₚ ≤ M
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q ≤ P
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ✝ μ : Measure Ω
⊢ variance 0 μ = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : D
⊢ ∀ (a : ℱ.val.obj (Opposite.op X)),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appIso i X).hom a =
    CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom i.hom X a
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E
x✝ : ι
⊢ (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
s : StarSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
M : Type u_1
Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ Set.center M
hz₂ : z₂ ∈ Set.center M
⊢ z₁ * z₂ ∈ Set.center M
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).unitIso.inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p (𝓟 s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
IsStrictTotalOrder ι r
Finite ι
(i : ι) → Zero (α i)
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
⊢ WellFounded (DFinsupp.Lex r s)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s
⊢ ∀ z ∈ of '' s, ∀ (n : FreeCommRing α), (map Subtype.val) ((restriction s) n) = n → (map Subtype.val) ((restriction s) (z * n)) = z * n
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (x - y) = ProbabilityTheory.gaussianPDFReal (μ + y) v x
n : ℤ
⊢ ¬Even (2 * n + 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
R : Set α
⊢ M.restrict R = M ↔ R = M.E
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
K : Type u_1
E : Type u_2
RCLike K
AddCommGroup E
Module K E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ K E
r : ℝ
x : E
⊢ r • x = ↑r • x
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)
⊢ sᶜ ∈ cocompact ((d : ι) → X d)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m✝ n✝ n m : ℕ
l : List α
⊢ dropSlice n m l = take n l ++ drop m (drop n l)
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Add (γ a b)
x y : (a : α) → (b : β a) → γ a b
⊢ Sigma.uncurry (x + y) = Sigma.uncurry x + Sigma.uncurry y
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ (Lagrange.interpolate s v) 1 = 1
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddMonoid R
AddCommMonoid S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → R →+ S
r : R
⊢ (f.sum g) r = f.sum fun a b => (g a b) r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
⊢ Continuous (BoundedContinuousFunction.comp G H)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
h_le : Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π) ≤ S
⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.Hom.f 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
kf : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hkf : CategoryTheory.Limits.IsLimit kf
⊢ (hS.leftHomologyDataOfIsLimitKernelFork kf hkf).i = CategoryTheory.Limits.Fork.ι kf
α : Type u
f : α → Ordinal.{u}
⊢ ¬Function.Surjective f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P
⊢ ∑ x ∈ s, w x • (b₂ -ᵥ b₁) = 0
a : SetTheory.PGame
⊢ (a + 1).birthday = Order.succ a.birthday
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iio b) = ↑b
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
i : Fin (n + 1)
j : Fin (n + 2)
⊢ Mathlib.Vector.eraseIdx (j.succAbove i) (Mathlib.Vector.insertNth a j v) =
  Mathlib.Vector.insertNth a (i.predAbove j) (Mathlib.Vector.eraseIdx i v)
σ : Type u_1
⊢ Finsupp.degree 0 = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f g : Module.End R N
⊢ LinearMap.rTensor M (f * g) = LinearMap.rTensor M f * LinearMap.rTensor M g
M : Type u_1
AddMonoid M
a x y : AddUnits M
h : AddSemiconjBy ↑a ↑x ↑y
⊢ AddSemiconjBy a x y
α : Type u_1
S : Set (Set α)
cond : FiniteInter S
F : Finset (Set α)
⊢ ↑F ⊆ S → ⋂₀ ↑F ∈ S
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
s_fin : s.Finite
s_mble : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.count s = ↑s_fin.toFinset.card
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
⊢ ∀ x ∈ f.graph.toList, ∀ y ∈ f.graph.toList, x.1 = y.1 → x = y
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
h₁ : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)
g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm
h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det|
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ e ∈ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → e ∈ F
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0
H₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≤ (Submodule.span R {a • y}).annihilator
H₂ : (Submodule.span R {a • y}).annihilator ≠ ⊤
⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ↑⊤ = ⊤
i j : ℤ
⊢ i.gcd j * i.lcm j = (i * j).natAbs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝 x'
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᵃ[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ ⇑{ toAffineMap := f, cont := h }.contLinear = ⇑f.linear
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A B : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) R
c : Fin n → R
A_zero : ∀ (i : Fin (n + 1)), A i 0 = B i 0
A_succ : ∀ (i : Fin (n + 1)) (j : Fin n), A i j.succ = B i j.succ + c j * A i j.castSucc
⊢ A.det = B.det
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : R ≠ 0
⊢ ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = |(R ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ
α : Type u
Preorder α
a : α
s : Set α
⊢ lowerBounds (insert a s) = Set.Iic a ∩ lowerBounds s
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) = (PrimeSpectrum.zeroLocus {r})ᶜ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {R : α → α → Prop} {l : List α} {S : α → α → Prop},
  List.Pairwise R l → List.Pairwise S l → List.Pairwise (fun a b => R a b ∧ S a b) l
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
q : α → Prop
DecidablePred q
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (Multiset.filter q s) = Multiset.filter (fun a => p a ∧ q a) s
k : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
⊢ Nat.findGreatest P k = 0 ↔ ∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ i ∉ Finset.univ → ∑ x : κ, ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single x 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Mul β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(f * g) a = ↑f a * ↑g a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
r : 𝕜
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ X (r • f) = r • X f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.Sheaf J A), (CategoryTheory.CategoryStruct.id x).val = CategoryTheory.CategoryStruct.id x.val