ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.cycleType.lcm = orderOf σ
α : Type u_3
Preorder α
PredOrder α
self : IsPredArchimedean α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ∃ n, Order.pred^[n] b = a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M
One M'
⊢ SmoothAt I I' 1 x
M : Type u_3
N : Type u_4
MulOneClass M
CommMonoid N
f g : M →* N
x : M
⊢ (f * g) x = f x * g x
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ Dilation.ratio (Isometry.toDilation f hf) = 1
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0
⊢ (i : ι) → φv i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f))
    S.cokernelToAbelianCoimage =
  0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
z : ℝ
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.101182, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
j : ℕ
hj : j + 1 < n + 1 + 1
⊢ 1 ≤ ⟨j + 1, hj⟩
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hy : y ≤ x
h : x \ y = z
⊢ x \ z = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
s : Set α
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
k : ℕ
ih : f^[k] ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ f^[k + 1] ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Disjoint a (sSup s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint a b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'
⊢ Smooth I I fun a => a ^ 0
q' : Λ'
p✝ : Γ' → Bool
k✝ : K'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif :
  ∀ (f g : Multiset α),
    (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
⊢ Irreducible p ↔ Prime p
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
a : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ (Finsupp.single (x, y, z) 1) a = (Finsupp.single (x, y, z) 1) a
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
x : M
n : ℕ
hx : (φ ^ n) x = 0
⊢ ↑((restrict φ hφV ^ n) ⟨x, ⋯⟩) = ↑0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ Set.InjOn f (s₁ ∪ s₂) ↔ Set.InjOn f s₁ ∧ Set.InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
G.PreservesLeftHomologyOf S
h : S.LeftHomologyData
τ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.natTransApp h τ).φH = τ.app h.H
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
⊢ False
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
φ : R
k : ℕ
x : L
⊢ Set.MapsTo ⇑(((LieModule.toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) φ) ^ k) ↑N ↑N
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
⊢ ↑⊥ = Set.range ⇑(algebraMap R A)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (Multiset.map (Associates.mk ∘ ⇑normalize) (Classical.choose ⋯)).prod = (Multiset.map Associates.mk (Classical.choose ⋯)).prod
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
x : (i : ι) → F' i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => f i) x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
⊢ Function.RightInverse f g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : ∀ s ∈ f, h₁ s = h₂ s
⊢ f.lift' h₁ = f.lift' h₂
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
⊢ ‖↑(Units.oneSub t ht')⁻¹‖ ≤ ‖1‖ + 1
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ CliffordAlgebra.changeForm ⋯ = LinearMap.id
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g ↔ (fun x => f₂ x - f₁ x) =O[l] g
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h✝ : π.IsPartition
hx✝ : x ∈ I
J : Box ι
h : J ∈ π
hx : x ∈ J
⊢ ∃! J, J ∈ π ∧ x ∈ J
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
r : α → β → Prop
h₁ : Relator.RightTotal r
h₂ : Relator.RightUnique r
⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Function.Injective ⇑f
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) = Module.rank R M
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ ↑SimpleGraph.Path.nil = SimpleGraph.Walk.nil
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0
⊢ ↑(q + r) = ↑(divNat (q.num * r.den + r.num * q.den) (q.den * r.den))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
(a : α) → Fintype (β a)
t : WType β
⊢ 0 < t.depth
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ s1 ≤ s2 ↔ ↑s1 ⊆ ↑s2
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ Isometry ⇑(WithLp.equiv ⊤ (α × β))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
F : Filter X
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
y : Y
⊢ MapClusterPt y F f ↔ (F.lift' closure ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' {y})).NeBot
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
φ : E → ℝ
x₀ : E
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
Finite ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ¬LinearIndependent ℝ (Option.elim' φ' f')
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α
⊢ preimage 1 (fun x => x * b⁻¹) ⋯ = {b}
x y : ℝ
⊢ |x ^ y| ≤ |x| ^ y
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (TopCat.Presheaf.presieveOfCovering U) ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves (iSup U)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.map p.subtype (Submodule.comap p.subtype p') = p ⊓ p'
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π i
inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f g : (i : ι) → π i
⊢ (univ.erase i).piecewise f g = update f i (g i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₂
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Polynomial.Splits i f
hf0 : (Polynomial.map i f).natDegree ≠ 0
⊢ (Polynomial.map i f).roots ≠ 0
ι : Type u_2
Countable ι
α : ι → Type u_3
s : (i : ι) → Set (α i)
(i : ι) → TopologicalSpace (α i)
h : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsSeparable (s i)
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable {f | ∀ (i : ι), f i ∈ s i}
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
⊢ (Disjoint on fun k => Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N k ω) (upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω)) i j
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.closedBall 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
n : ℕ
⊢ (C a * X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n a
c : Prop
h : Decidable c
α : Sort u
t e : α
⊢ (if x : c then t else e) = ite c t e
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
inst✝ : MonoCoprod C
inl : c₁.pt ⟶ c.pt
hinl : ∀ (i₁ : I₁), c₁.inj i₁ ≫ inl = c.inj (Sum.inl i₁)
⊢ inl = (binaryCofanSum c c₁ c₂ hc₁ hc₂).inl
hf : 0 < (C 0).degree
hf' : ∀ (z : ℂ), ¬(C 0).IsRoot z
this : ∀ (z : ℂ), (eval z (C 0))⁻¹ = 0
⊢ False
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
⊢ ∃ a l₁ l₂, (∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true) ∧ p a = true ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ List.eraseP p l = l₁ ++ l₂
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
⊢ (f i j hij) x = 0
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
⊢ (cos z + sin z * I) ^ n = cos (↑n * z) + sin (↑n * z) * I
x : ℝ
h : x < -1
⊢ 2 * Real.arctan x = Real.arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) - Real.pi
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
⊢ a * (b % c) % c = a * b % c
c c' : (n : ℕ) × Composition n
⊢ c = c' ↔ c.snd.blocks = c'.snd.blocks
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
⊢ diam (f '' s) ≤ ↑K * diam s
α : Type u_6
⊢ (Set.range some)ᶜ = {none}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Mono f
x : ↑X
⊢ CategoryTheory.Mono ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f.val)
I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝³ : X₃.HasTensor X₄
inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A
inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g
⊢ f = g
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
p : ι → Set α
⊢ ⋃ i, omegaLimit f ϕ (p i) ⊆ omegaLimit f ϕ (⋃ i, p i)
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ ∑ m ∈ Finset.antidiagonal p, p.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuous (f i)
⊢ LowerSemicontinuous fun x' => ⨆ i, f i x'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
x x' : A
⊢ x = x' → e x = e x'
n : ℕ
⊢ 0 < (↑n + 1)⁻¹
E : Type u_9
self : NormedAddGroup E
x y : E
⊢ dist x y = ‖x - y‖
R : Type u_1
Semiring R
⊢ LaurentPolynomial.T 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b✝ : α
s : Finset β
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ HasProd (fun b' => if b' = b then a else 1) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ⨆ s_1, ∑ a ∈ s_1, μ (s a) ≤ μ univ
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f
⊢ lift.{u, v} #↑(range f) ≤ lift.{u, v} #β
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ LinearMap.ker f ≤ LinearMap.ker (g.comp f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X : C
πX : X ⟶ S
self : CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.t πX = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f self.i) self.b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
x✝ : m
⊢ (A *ᵥ (x + y)) x✝ = (A *ᵥ x + A *ᵥ y) x✝
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : ∀ y ∈ hd :: tl, y ∈ s ∨ y = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace 𝕜
T1Space 𝕜
Field 𝕜
HasContinuousInv₀ 𝕜
ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : Set.EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
⊢ Set.EqOn f g S
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
⊢ (e.oadd n a + o).NFBelow b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
h : α → β
f : γ → α
x : α
i : Option γ
⊢ (i.elim (h x) fun j => h (f j)) = h (i.elim x f)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
a : α
⊢ f '' connectedComponent a ⊆ connectedComponent (f a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c ↔ a ≤ c * b
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] B
r : R
c : CharacterModule B
x : A
⊢ ({ toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) x = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun c) x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, mk' S 1 m = x
α : Type u_1
Preorder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ 0 < Multiset.countP p s ↔ ∃ a ∈ s, p a
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hm : m < Function.minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x
⊢ m ≤ n
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
hf'_sup : (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.Nonempty
σ : Fin n →₀ ℕ
hσ1 : σ ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support
hσ2 : ((((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.sup fun s => s.sum fun x e => e) = σ.sum fun x e => e
σ' : Fin (n + 1) →₀ ℕ := cons i σ
⊢ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i = σ'.sum fun x e => e
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
n : MeasurableSpace α
hle : m ≤ n
⊢ MeasureTheory.VectorMeasure.trim 0 hle = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b
⊢ Dense s
M : Type u_6
Monoid M
A : Type u_5
SetLike A M
SubmonoidClass A M
S : A
x : ↥S
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
P : TopCat → Prop
self : CompHausLike.HasExplicitPullbacks P
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CompHausLike.HasExplicitPullback f g
α : Type u
self : StrictOrderedSemiring α
a b c : α
⊢ a < b → 0 < c → c * a < c * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData C
i j : self.J
⊢ CategoryTheory.Mono (self.f i j)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
OrderBot α
ha : SupIrred a
⊢ a ≠ ⊥
M : Type u_1
Semigroup M
S : Set M
⊢ Subsemigroup.center M ≤ Subsemigroup.centralizer S
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
h : TendstoUniformly F f p
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
l : Profinite.NobelingProof.Products I
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) l ↔
  ∃ o' < o,
    Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o')
      l