ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (-x) = -WittVector.ghostFun x
α : Type u_1
l : List α
⊢ Quotient.mk'' l = ↑l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P₁ P₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
α : P₁ ⟶ P₂
j : P₁.Elementsᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Presheaf.coconeOfRepresentable P₁).ι.app j) α =
  (CategoryTheory.Presheaf.coconeOfRepresentable P₂).ι.app ((CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).op.obj j)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (s - t)
m n : Nat
i : Fin m
h : ↑i < n
⊢ ↑(i.castLT h) = ↑i
α : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
f : ι → α
⊢ f ∈ s.piDiag ι ↔ ∃ a ∈ s, Function.const ι a = f
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a ≪ η a ∧ (κ.singularPart η) a ≪ η a
⊢ (κ.singularPart η) a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : ε > 0
j : ℕ
x✝ : j ≥ 0
⊢ abv (↑0 j) < ε
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z
⊢ x ^ y < x ^ z
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f g : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.rTensor M (f - g) = LinearMap.rTensor M f - LinearMap.rTensor M g
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
s : Set α
⊢ Set.image2 f s {b} = s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : NoncompactSpace X
⊢ ¬IsCompact Set.univ
α : Type u_3
LinearOrder α
a b : α
⊢ (Set.Icc a b).Subsingleton ↔ b ≤ a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
i✝ : ι
⊢ (mapRange f hf 0) i✝ = 0 i✝
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
⊢ ∃ c', c = lift.{max (u + 1) v, u} c'
α : Type u_2
x y : α
h : x = y
f : Equiv.Perm α
⊢ f.SameCycle x y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq R
⊢ IsNoetherian R ↥N
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
⊢ HasSum (fun i => a₂ * f i) (a₂ * a₁) ↔ HasSum f a₁
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝³ : TopologicalSpace M₂
inst✝² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M₁ → M₂
g : M₂ → M₃
hg : Continuous g
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ f ⁻¹' K ⊆ g ∘ f ⁻¹' (g '' K)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
⊢ v (-x) = v x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ 0 ≤ 2 * ↑(2 * n)
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Embedding ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ σ'
x : R₂
⊢ σ (σ' x) = x
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
⊢ FormallyEtale Rₘ Sₘ
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
c : α
⊢ c ∈ s.diffs t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a \ b = c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ ∀ (n_1 : ℕ), (init n (init n x)).coeff n_1 = (init n x).coeff n_1
m n : ℤ
⊢ m ≤ n + 1 ↔ m ≤ n ∨ m = n + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
CategoryTheory.MonoidalClosed C
CategoryTheory.MonoidalCategory.ClosedPredicate P
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ ((CategoryTheory.ihom X).obj Y).obj = (CategoryTheory.ihom X.obj).obj Y.obj
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a : A
⊢ IsQuasiregular ↑a ↔ IsQuasiregular a
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
h₁ : α = β
h₂ : HEq r s
⊢ (RelIso.cast h₁ h₂).symm = RelIso.cast ⋯ ⋯
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ C a * X ^ (n + 1) = (monomial (n + 1)) a
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Valid' o₂ t.dual o₁
this : Valid' o₁ t.dual.dual o₂
⊢ Valid' o₁ t o₂
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) ~[Filter.atTop] fun x =>
  P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
X : Set α
hX : ⇑f '' X ⊆ range ⇑f
I : Set α
x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X)) ∧ ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X ∧ ⇑f '' X ⊆ range ⇑f
hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X))
hIX : ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X
⊢ ∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ ⇑f '' I = ⇑f '' I₀ ∧ ⇑f '' X = ⇑f '' X₀
p q : Prop
dpq : Decidable (p ↔ q)
dp : Decidable p
dq : Decidable q
⊢ decide (p ↔ q) = (decide p == decide q)
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ Nonempty (IsColimit (Cocone.whisker e.inverse c'))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ eval α (χ.coeff i) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ ‖0‖₊ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ Set.Iic (⨅ i, f i) = ⋂ i, Set.Iic (f i)
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Icc a b ⊆ Set.Icc ↑a ↑b
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
⊢ ((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = #[].data ++ (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind ?h.h.false.cons.G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).inv ≫
    HomologicalComplex.cyclesMap ((HomologicalComplex.single C c j).map f) j =
  f ≫ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j B).inv
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+: l₂ → l₁ ⊆ l₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J K : Type
Finite J
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
Fintype K
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
P : C
x : (k : K) → g k ⟶ P
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix m ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc x =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => ∑ k : K, m j k ≫ x k
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
UniformSpace 𝕜
⊢ 𝓤 (Matrix m n 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.ReflectsIsomorphisms
inst✝² : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
inst✝ : Balanced D
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ : Mono f
x✝ : Epi f
⊢ IsIso f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (CategoryTheory.forget A).obj (G.obj (Opposite.op U))
⊢ CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f s =
  (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf
        (CategoryTheory.whiskerRight f (CategoryTheory.forget A))).sieveOfSection
    s
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Finset β
⊢ ∅ ×ˢ t = ∅
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α
b : ↥t
⊢ (fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) ((fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) (Quotient.mk'' a, Quotient.mk'' b)) = (Quotient.mk'' a, Quotient.mk'' b)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Isometry ⇑h
m : ℤ
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Odd (m ^ n) ↔ Odd m
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
⊢ s.SOppSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
hfg : ∀ (b : β), f b = g b
⊢ ∑' (b : β), f b = ∑' (b : β), g b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
Zero R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
h : a ∈ U
⊢ (f.indicator hU) a = f a
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℝ
h : -1 < r ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
h' : -1 < (↑r).re ∨ ↑r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ r = (b ^ (r + 1) - a ^ (r + 1)) / (r + 1)
⊢ Integrable (fun x => (1 + x ^ 2)⁻¹) volume
p q : ℤ[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ p ∣ q ↔ Polynomial.map (Int.castRingHom ℚ) p ∣ Polynomial.map (Int.castRingHom ℚ) q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (s i).mulIndicator f a) Filter.atTop (pure ((⋃ i, s i).mulIndicator f a))
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
S : Set (Submodule R M)
s : Submodule R M
hs : s ∈ S
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ s → x ∈ sSup S
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s
h₂ : IsClosed t
⊢ IsOpen (s \ t)
m n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ m → Mathlib.Vector ℕ n
⊢ Nat.Partrec'.Vec f ↔ Computable f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
π : Y ⟶ P
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g π
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π w).pt = P
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝¹ : Group N
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℤ
⊢ ↑k * r ∈ zmultiples r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ a ^ 0 ∣ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S : PointedCone 𝕜 E
⊢ (↑S).Pointed
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b = c / d ↔ a / c = b / d
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a ≤ a∗
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (a : FamilyOfElements P S.arrows) (b : a.Compatible), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm ⟨a, b⟩))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))
gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i
⊢ IsUnit f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMono (⇑OrderDual.toDual ∘ f) ↔ StrictAnti f
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a = ↑a.re ↔ a ∈ Set.range QuaternionAlgebra.coe
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
⊢ (p.smash q h).head = p.head
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : G
h : ∀ (b : G), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
⊢ a ∈ s
p x ε : ℝ
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
s : Set α
⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = s
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n : ℕ
H3 : μ = ↑n
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
⊢ ⟦α⟧ ^ ↑Nat.zero < ℵ₀
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
⊢ PredOrder.limitRecOn (pred a) H_pred H_lim = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Set C
c : C
⊢ c ∈ (CategoryTheory.Subgroupoid.full D).objs ↔ c ∈ D
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 𝓝[>] a = ⊥
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) Filter.atTop (𝓝 0)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (RingCat.Colimits.coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (RingCat.Colimits.coconeMorphism F j) x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
h0 : ¬orderOf x = 0
⊢ orderOf (x ^ (orderOf x).pred * (x * y)) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf (x * y))
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ ℵ₀ < lift.{v, u} c ↔ ℵ₀ < c
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addLeftEmbedding c) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo (c + a) (c + b)
c : ℂ
R : ℝ
⊢ Function.Periodic (circleMap c R) (2 * π)
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i₁ i₂ : D.J
j : PUnit.{u + 1}
⊢ D.oneHypercover.p₂ j = D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
v : E
⊢ v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : TopologicalSpace F
hm : m ≤ mΩ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
⊢ Hereditarily p x → p ∅
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ L.map (h.unit.app X✝) ≫ L.map (R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ edist (f^[n] x) (ContractingWith.efixedPoint f hf x hx) ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμs c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Mul M
Mul N
Mul P
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
h : μ₁ + μ₂ ≪ ν
⊢ μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace σ F 𝔖
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ n = 0 ∨ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t
⊢ s.ndinter t = s
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
Algebra.FinitePresentation R A
ι : Type v
Finite ι
⊢ Algebra.FinitePresentation R (MvPolynomial ι A)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N ⊔ N'⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)
g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))
x : M
⊢ (if MDifferentiableWithinAt I I' f univ x then fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) else 0) = if MDifferentiableAt I I' f x then fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) else 0
α : Type u
x : α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (Part α)
⊢ x ∈ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c ↔ Part.some x ∈ c
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f
⊢ Filter.Tendsto (fun n => 1 / ↑n) Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set (M × M')
x : M × M'
⊢ HasMFDerivWithinAt (I.prod I') I Prod.fst s x (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (q.map F).rightRetraction = F.map q.rightRetraction
α : Type u_5
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
⊢ μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Set.Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))
β : Type u_1
α : Type u_2
R : β → β → Prop
l : List α
f : α → List β
⊢ Pairwise R (l.bind f) ↔ (∀ (a : α), a ∈ l → Pairwise R (f a)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ (x : β), x ∈ f a₁ → ∀ (y : β), y ∈ f a₂ → R x y) l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R
⊢ eval x p = ∑ i ∈ range n, p.coeff i * x ^ i
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
⊢ CompHausLike.isoEquivHomeo.symm f = CompHausLike.isoOfHomeo f
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u v : ℙ K V
h : u.submodule = v.submodule
⊢ u = v