ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : IsOpen s
hf : ContinuousOn f s
x : α
⊢ x ∈ s → StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 x) μ
α : Type u_2
LinearOrder α
x y x' y' : α
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
⊢ x = y ↔ x' = y'
p q : Prop
h₁ : p = q
h₂ : ¬q
⊢ ¬p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
⊢ Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map f s).destruct ∧ c2 = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝³ : IsDomain R₁
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'
⊢ map (↑h) (1 / I) = 1 / map (↑h) I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed s
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ |re z| ≤ ‖z‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMapIso e).inv = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap e.inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p => -p
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ lowerBounds (Set.Ico a b) = Set.Iic a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R
⊢ ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R M M₂) (Submodule.fst R M M₂) = ⊥
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
y : ZMod p
h : y ^ 2 = -1 ^ 2
⊢ p % 4 ≠ 3
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
h : IsOpen {0}
⊢ DiscreteTopology G
x y : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
⊢ (x ∩ y).IsTransitive
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ ∃ r, r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : Polynomial R), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
r : ℝ
hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r
A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r
⊢ 0 ≤ r
α β : Type u_1
x : Id α
f : α → β
⊢ f <$> x = f x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
⊢ p -ᵥ p2 ∈ s.direction ↔ p2 ∈ s
α : Type u_1
p q : α → Prop
H : ∀ {x : α}, p x → q x
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p t → Batteries.RBNode.All q t
a : Sort u_1
b : Sort u_2
c : Prop
⊢ a → b → c ↔ b → a → c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q T : PresheafOfModules R
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ T
X : Cᵒᵖ
⊢ PresheafOfModules.Hom.app (f ≫ g) X = PresheafOfModules.Hom.app g X ∘ₗ PresheafOfModules.Hom.app f X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
F : α
F0 : F > 0
hF : ∃ i, ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j
H : g.LimZero
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j ∧ |↑g j| < F / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : F ≤ ↑f j
h₂ : |↑g j| < F / 2
this : F + -(F / 2) ≤ ↑f j + ↑g j
⊢ F / 2 ≤ ↑(f + g) j
α : Type u_1
Monoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ Fin.partialProd f 0 = 1
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
⊢ (𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iio
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ (p * Polynomial.X).leadingCoeff = p.leadingCoeff
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
a b : E
f' : ℝ
l : Filter E
h : IsExtrFilter f l a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
h' : Filter.Tendsto (fun t => a + t • b) (𝓝 0) l
⊢ f' = 0
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun a => f a ⊔ g a) x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
⊢ normUnit (a * ↑(normUnit a)) = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) < a ^ n
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : V
p : P
⊢ Wbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) ↔ Wbtw R x y z
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
S : Type u_3
Field L
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S L
φ : K[X] →ₐ[S] L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (RatFunc.liftAlgHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f
⊢ Filter.map f (𝓝[≠] x) ⊓ Filter.map f F ≤ 𝓝[≠] f x ⊓ Filter.map f F
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
A : ∀ (c : M), ∃ g, support g = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g ∧ range g ⊆ Icc 0 1
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = 1 * (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L
⊢ K.liftCycles k j hj hk ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ i = L.liftCycles (k ≫ φ.f i) j hj ⋯
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
α : Type u_1
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
⊢ q • 1 = ↑q
α β : Type u
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Cardinal.mk α ≤ Cardinal.mk β
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ a ^ 2 ≤ 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : List α
b : List β
⊢ List.Forall₂ (flip R) b a → List.Forall₂ R a b
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.abs (x ^ (↑n)⁻¹) = Complex.abs x ^ (↑n)⁻¹
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
⊢ μ s = ENNReal.ofReal T
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : m ≤ n
i2 : n ≤ m
⊢ m = n
x y : SetTheory.PGame
h : x ≈ y
⊢ ¬x.Fuzzy y
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)
hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
α : Type u_3
Preorder α
NoMaxOrder α
x : α
⊢ Set.Ioi x ∈ Filter.atTop
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ (π.biUnionTagged πi).iUnion = ⋃ J ∈ π, (πi J).iUnion
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
he : MeasurableEmbedding fun x => g⁻¹ • x
⊢ AEStronglyMeasurable (f ∘ fun x => g⁻¹ • x) (μ.restrict (g • s ∩ t)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ Set.range p.succAbove = {p}ᶜ
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
s : Finset β
⊢ ⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y} = f ⁻¹' ↑s
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ quasispectrum S a
⊢ f s ∈ quasispectrum R a ∧ (algebraMap R S) (f s) = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
h : n = n
⊢ X.eqToIso h = CategoryTheory.Iso.refl (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P
z✝ : P
h : z✝ ∈ I
⊢ (algebraMap R P) ↑I.den * z✝ ∈ I
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ν s = 0 → μ s = 0
⊢ μ.AbsolutelyContinuous ν
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
self : IsSemiringHom f
⊢ f 1 = 1
a : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.toNatOrdinal a = 1 ↔ a = 1
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty
h : IsOpen {a}
b : Ordinal.{u}
hb : b ∈ {a}
hb' : b ∈ s
c : Ordinal.{u}
hc : c ∈ {a}
hc' : c ∈ sᶜ
⊢ False
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ cgf X 0 t = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ 0 ≤ r₁
R : Type u
Ring R
n : ℤ
x : R
⊢ Polynomial.eval x ↑n = ↑n
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ σ.IsCycle
α : Type u
l : List α
⊢ l[l.length]? = none
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ StrictAnti fun x => b ^ x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → CommRing (G i)
f✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f'✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝⁴ : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f✝ i j hij x) = (g i) x
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →+* G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →+* G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih : ∀ (A : Fin n → Fq[X]), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' : ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ}, ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
exists_nonempty_j : ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
this : False
⊢ t' i = j
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ico a b) μ
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
i : x₂.LeftMoves
h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hl : x₁ ≤ x₂.moveLeft i
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))
⊢ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F)) = adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ x.1 ∩ e • x.2 ⊆ x.1 ∪ e • x.2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
⊢ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
NeZero μ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μ.tilted f)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
R : Type u_2
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c • f y) (c • f') x
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L
⊢ g ↑t = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t s' t' : Set α
h : s ≤ᵐ[μ] t
h' : s' ≤ᵐ[μ] t'
⊢ s ∩ s' ≤ᵐ[μ] t ∩ t'
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
⊢ CauSeq.lim ⟨fun n => -(↑f n).im, ⋯⟩ = (-⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩).lim
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Surjective ⇑(ExteriorAlgebra.map f) ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
⊢ Filter.map (fun b => a +ᵥ b) f = a +ᵥ f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.closedBall x ε = ∅ ↔ ε < 0
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
r : R
⊢ (WittVector.map f) ((WittVector.teichmuller p) r) = (WittVector.teichmuller p) (f r)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
a : α
s : Set α
ih : ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x
supp_subset : (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s
b : α
⊢ (swap (f a) a * f) b ∈ orbit (↥(closure S)) b
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Equiv.Perm.sign 1 = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : ¬IsUnit ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P))
⊢ P.newtonMap x = x
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
⊢ (Finsupp.lcongr e₁ e₂).symm = Finsupp.lcongr e₁.symm e₂.symm
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }
⊢ ∃ a b c, ¬↑a = ↑b ∧ ¬↑a = ↑c ∧ ¬↑b = ↑c
R : Type u_3
A : Type u_4
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
a : A
r : R
hr : ¬IsUnit r
⊢ r ∈ spectrum R ↑a
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
Nontrivial R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R K) x ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ finrank k V
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ latticeClosure.IsClosed s = IsSublattice s
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiff 𝕜 m fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω n = 1
⊢ Nat.Prime n
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.tail.even = s.odd
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ
⊢ ((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.snd.c.app x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
j : n
c : m → α
DecidableEq n
⊢ M.transpose.updateRow j c = (M.updateColumn j c).transpose
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (UpperHalfPlane.smulAux' g z).im = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom g z)
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ
χ : MulChar R R'
⊢ (equivToUnitHom χ) a ∈ rootsOfUnity ⟨Fintype.card Rˣ, ⋯⟩ R'
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
⊢ Module.rank R (ι →₀ R) = lift.{u, w} #ι
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
⊢ positiveOrientation.volumeForm = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).φK = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.K
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.Reachable u v ↔ Relation.ReflTransGen G.Adj u v
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R
w✝ : Set M
b : Basis (↑w✝) R M
⊢ finrank R M = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Tendsto (fun ε => ∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ (thickening ε {a | t ≤ f a}))).toReal) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ {a | t ≤ f a})).toReal))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
⊢ (fun a => ↑(condCDF ρ a) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u_4
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
x : AdicCompletion I M
⊢ (AdicCompletion.map I g) ((AdicCompletion.map I f) x) = (AdicCompletion.map I (g ∘ₗ f)) x
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x &&& y).toFin = x.toFin &&& y.toFin
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.xa i ^ 2 = QuaternionGroup.a ↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).obj₃ = CochainComplex.mappingCone φ
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
e : α ≃+* β
h : ∀ {a b : α}, e.toFun a ≤ e.toFun b ↔ a ≤ b
⊢ ⇑{ toRingEquiv := e, map_le_map_iff' := h } = ⇑e
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
⊢ x ∈ LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H ↔ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((LieModule.toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0