ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ < b₂
⊢ Finset.Ioc a b₁ ⊆ Finset.Ioo a b₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_4)
X B : C
π : X ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPullback π π
⊢ CategoryTheory.regularTopology.MapToEqualizer P π (CategoryTheory.Limits.pullback.fst π π)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd π π) ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.equalizer.lift (P.map π.op) ⋯)
    (CategoryTheory.Limits.Types.equalizerIso (P.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst π π).op)
        (P.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd π π).op)).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
M : Type u_5
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
EB : Type u_8
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_9
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_10
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
f : M → LE₁E₂
x₀ : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂)) n f x₀ ↔
  ContMDiffAt IM IB n (fun x => (f x).proj) x₀ ∧
    ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n
      (fun x => ContinuousLinearMap.inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ (f x₀).proj (f x).proj (f x₀).proj (f x).proj (f x).snd)
      x₀
b : ℝ
x : ℝ
⊢ Real.logb b (-x) = Real.logb b x
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁵ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁴ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝³ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝¹ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝ : IsScalarTower R S S'
this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sInf (s + t) = sInf s + sInf t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Af : Antitone f
bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r₁ r₂ : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hr : ∀ (a b : ι), r₁ a b → r₂ a b
a b : (i : ι) × α i
h : Sigma.Lex r₁ s a b
⊢ Sigma.Lex r₂ s a b
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (s ∩ t).toFinset = s.toFinset ∩ t.toFinset
α : Type u
AddMonoid α
n : ℕ
a : α
⊢ Multiplicative.ofAdd (n • a) = Multiplicative.ofAdd a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Filter.Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) Filter.atTop (𝓝 0)
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl
⊢ IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)))
α : Sort u
σ τ : Equiv.Perm α
H : ∀ (x : α), σ x = τ x
⊢ σ = τ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (∏ i ∈ s, if i ∈ t then f i else 1) = ∏ i ∈ s ∩ t, f i
R : Type u_1
CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ (f.pmul g).IsMultiplicative
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ term n s = 1 / (s - 1) * (1 / ↑n ^ (s - 1) - 1 / (↑n + 1) ^ (s - 1)) - ↑n / s * (1 / ↑n ^ s - 1 / (↑n + 1) ^ s)
γ : Type w
SemilatticeSup γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ IsGLB (Set.Ioc a b) a
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
t' : 𝕊
⊢ Commute (t' • x) (exp 𝕂 (t • x))
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
⊢ ¬IsSquare d
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
MulOneClass Q
f : M →* N →* P
g : Q →* N
m : M
q : Q
⊢ ((f.compl₂ g) m) q = (f m) (g q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
h₁ : m.size = m.buckets.size
h₂ : m.buckets.WF
⊢ m.buckets.size = Buckets.size ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩ ∧ Buckets.WF ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s
⊢ f a ∈ (pure ∘ f) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a + b).im = a.im + b.im
s : List Char
i p n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := p } → utf8GetAux cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := p + n } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := p + n }) = if i = { byteIdx := p } then c else utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p }
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
AddCommMonoid W
Module k W
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W
⊢ let y' := y;
let z := x ⊗ₜ[k] y;
r • z = x ⊗ₜ[k] (r • y')
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k < ↑j
⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.δ ≫ pushout.inr S.L₂.f S.v₂₃.τ₁ = pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pushout.inl S.L₂.f S.v₂₃.τ₁
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
F : Type u_5
N : Type u_6
DivisionSemiring S
AddCommMonoid N
Module S N
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
g' : F
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (⇑g' ∘ g) n x
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
f : Polynomial R
hf : ∀ (r : R), Polynomial.eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < Cardinal.mk R
⊢ f = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt (⇑(equivIoc p a)) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X : C
⊢ (F.comp G).obj X = G.obj (F.obj X)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom
⊢ F₁.map e.inv ≫ app X = app Y ≫ F₂.map e.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f₁ : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f₂ : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
y : β
h : ¬∃ x, g x = y
⊢ ↑(f₁.extend g hg f₂) y = ↑f₂ y
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
i : ↑s
⊢ ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x |_ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)) ⋯ = 0
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
M : α → Type u_3
(a : α) → Zero (N a)
(a : α) → Zero (M a)
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
⊢ (DFinsupp.mapRange F F0 f).neLocus (DFinsupp.mapRange F F0 g) ⊆ f.neLocus g
α : Type u_2
Monoid α
u : αˣ
⊢ ↑((unitsEquivProdSubtype α) u) = (↑u, ↑u⁻¹)
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x - ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedSemiring α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.StructuredArrow A G)
A : C
B : D
f : A ⟶ G.obj B
⊢ (CategoryTheory.leftAdjointOfStructuredArrowInitialsAux G A B).symm f =
  (CategoryTheory.Limits.initial.to (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f)).right
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤
⊢ μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
c : List ℕ
hc : c.sum ≤ Fintype.card α
klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩
klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl
hc'_lt : ∀ l ∈ c.ranges, ∀ n ∈ l, n < Fintype.card α
l : List (List (Fin (Fintype.card α))) := pmap klift' c.ranges hc'_lt
hl : ∀ (a : List ℕ) (ha : a ∈ c.ranges), map (⇑Fin.valEmbedding) (klift' a ⋯) = a
⊢ map length (map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l) = c ∧ (∀ s ∈ map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint (map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
⊢ (κ.fst a) {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ = (b - a - 0) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (f - fun x x => a)⁺ N x) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
VAdd 𝕜 β
ContinuousVAdd 𝕜 β
f : α → 𝕜
g : α → β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x +ᵥ g x
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
d : α
⊢ d \ b = c → (¬c = ⊥ ↔ ¬d ≤ b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
⊢ f a * ∏ i ∈ s, f i + (f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j)) = f a * ∏ x ∈ s, f x + ((g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j)
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (dist z w) ⊆ U
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator f a = 0 ↔ a ∈ s → f a = 0
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h : Function.Injective (Sigma.map f₁ f₂)
a : α₁
⊢ Function.Injective (f₂ a)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : Module.End R M
⊢ f * g = f ∘ₗ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ limsup u f \ a = limsup (fun b => u b \ a) f
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ LinearMap.baseChange A 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
SMulZeroClass R M
f : α → R
g : α → M
⊢ Function.support (f • g) ⊆ Function.support g
x y : ℤ[i]
⊢ (toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round ↑(↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑x)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
⊢ H = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert x s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k'✝ l'✝ : ℕ
s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))
hs : s.card = l'✝
hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝
hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝
⊢ ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
hdvd : DvdNotUnit a (minpoly A x)
⊢ (Polynomial.aeval x) a ≠ 0
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₂.boxes
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).tag J ∈ Box.Icc J
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a * b = 1 ↔ a⁻¹ = b
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (y * x) (z * x) ↔ IsRelPrime y z
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
c : α
⊢ a * c ∣ b * c
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
M : Type w
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : ↥L'
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = ⁅↑x, m⁆
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x = ∫⁻ (x : ℝ) in s, ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : Measure α
f : α → β
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEMeasurable (f ∘ Subtype.val) (Measure.comap Subtype.val μ)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ eval t ((⇑derivative)^[m] p) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a < b + a ↔ 0 < b
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B ∧ I ⊆ B
⊢ I ⊂ M.E
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Finset.Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ μ.testAgainstNN 1 = μ.mass
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
l : List α
⊢ ↑(List.filter (fun b_1 => decide (b_1 = b)) l) = replicate (List.count b l) b
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
⊢ e ∈ X \ I ∧ (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert e I)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Functor.toPrefunctor 0).map f = 0
G : Type u_2
Group G
(x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
Fintype G
Fintype ↥(Subgroup.center G)
Fintype ↑(ConjClasses.noncenter G)
⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.center G) + ∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
⊢ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ
⊢ b ≤ ⌊↑(b + 1)⌋
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
⊢ HasCompactMulSupport f ↔ IsCompact (closure (Function.mulSupport f))
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
⊢ (if a ≤ b then a else b) ≠ c
α : Type u
β : Type v
f g : α ≃. β
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
R₁ : Type u_2
M : Type u_9
Semiring R₁
AddCommMonoid M
Module R₁ M
Subsingleton M
⊢ LinearMap.id = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ (map (fun t => X - C t) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Icc a b ∪ Set.Ioc b c = Set.Icc a c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
⊢ Disjoint ↑(affineSpan k (p '' s1)) ↑(affineSpan k (p '' s2))