ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H.toLieSubmodule
⊢ x ∈ rootSpace H 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊓ ⁅I, N'⁆
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ (SimpleGraph.Embedding.map f G) v = f v
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tail = l.tail?.getD []
θ : Real.Angle
⊢ θ.cos = 0 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝¹ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u
v : ℍ
left✝ : v ∈ K
hv : IsMinOn im K v
⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋃ n, s n)
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a⁻¹ * (b * a) = b
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
x : c.pt
y : lc.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.descFun hc lc x = y ↔ x ∈ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {y}
n : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonalTuple 1 n = {![n]}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ ↑(g.compMeasurePreserving f hf) =ᵐ[μ] ↑g ∘ f
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
hx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0
⊢ e.symm x' ∈ LinearMap.ker (killingForm R L)
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r✝ p✝ q p : ℝ≥0
right✝¹ h : ↑p < b
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < b
pc : ↑p < ↑r
cb : ↑r < b
⊢ ∃ q, 0 ≤ q ∧ ↑p < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ (filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 1)).card ≤ 1
a b : Char
⊢ a.val = b.val → a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ‖x‖ ^ 2
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
⊢ of V ⋙q (𝟭 (FreeGroupoid V)).toPrefunctor = 𝟭q V ⋙q of V
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
⊢ ∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → ∀ (x_2 : ι), y ∈ (f x_2).sets → ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
⊢ CategoryTheory.Preregular D
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x✝ y z : R
a✝ b c a : ℍ[R,c₁,c₂]
x : R
h : a = ↑x
⊢ a = ↑a.re
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
h : LowerSemicontinuous f
s : Set α
x : α
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
s t : MeasureTheory.VectorMeasure α M
h : ∀ (i : Set α), MeasurableSet i → ↑s i = ↑t i
⊢ s = t
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
m : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff m φ ↔ f (g (coeff m φ)) = coeff m φ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
⊢ ∑ᶠ (x : ConjClasses G), x.carrier.ncard = Nat.card G
m n : Nat
⊢ ↑m * Int.negOfNat n = Int.negOfNat (m * n)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ MonotoneOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ MonotoneOn f s
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l₂)
h : l₁ <+ l₂
⊢ Pairwise R (a :: l₁)
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.sin (↑n * (2 * ↑Real.pi) - x) = -Complex.sin x
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
⊢ IsSl2Triple (-h) f e ↔ IsSl2Triple h e f
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 1
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).ordConnectedSection = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s.ordConnectedSection
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s
⊢ x = inclusion h ⟨↑x, hx⟩
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g1 g2 : widePushout B objs arrows ⟶ X
h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g1 = ι arrows j ≫ g2
h2 : head arrows ≫ g1 = head arrows ≫ g2
⊢ g1 = g2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
t : Batteries.AssocList α β
BEq α
BEq β
⊢ (Batteries.AssocList.cons a b t == Batteries.AssocList.nil) = false
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
x y z : α
hxy : x ≤ u (l y)
hyz : y ≤ u (l z)
⊢ x ≤ u (l z)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l : List (Sigma β)
⊢ l.kunion [] = l
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
ha : IsMin a
hb : IsMin b
⊢ IsMin (a, b)
α : Type u_2
Inf α
HImp α
a b : α
⊢ a ⇔ b = (b ⇨ a) ⊓ (a ⇨ b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
⊢ Continuous (⋯.extend (uncurry inner))
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i
⊢ (if h : i' = i then ⋯ ▸ b else 0 i') = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : a * b = 1
⊢ Tendsto ((fun b_1 => b_1 * b) ∘ fun x => x * a) (cocompact M) (cocompact M)
R : Type u
Ring R
A : AddCommGrp
φ : R →+* CategoryTheory.End A
r : R
x : ↑(ModuleCat.mkOfSMul' φ)
⊢ r • x =
  (let_fun this := φ r;
    this)
    x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.associator Y Z).hom.f =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst)
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd)
      CategoryTheory.Limits.prod.snd)
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = ((algebraMap R C) x_r + φ x_a) * ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ x ^ n * x ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
e : (a : α) → X a ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) (CategoryTheory.EffectiveEpiFamily.desc X π e ⋯) = e a
α : Type u
Preorder α
x : α
⊢ Monotone fun x_1 => x < x_1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : SimplicialObject C
s✝ : Splitting X✝
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬Mono A.e
⊢ (s.cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' x : F
⊢ (tangentBundleCore 𝓘(𝕜, F) F).coordChange (achart F b) (achart F b') x = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
this✝ : 0 ≤ C₂
this : 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l) = ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
⊢ x ^ k * f ≤ 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}
norm_sets_spanning : ⋃ n, norm_sets n = univ
sets : ℕ → Set α := fun n => sigma_finite_sets n ∩ norm_sets n
h_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n)
h_finite : ∀ (n : ℕ), μ (sets n) < ⊤
⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
⊢ Int.fract ↑z = 0
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x✝ : List α
s : σ
a✝ : α
S : Set σ
x : List α
a : α
⊢ M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
a x z✝ z : ℂ
⊢ z.arg < π ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im ≠ 0
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
CommSemiring R
N₁ : Type u_6
AddCommMonoid N₁
Module R N₁
N₂ : Type u_7
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N : Type u_8
AddCommMonoid N
Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
v : ι₁ ⊕ ι₂ → N
⊢ (a.domCoprod b) v = (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, SetLike.Homogeneous 𝒜 x
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (Ideal.span s)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b : α
hab : a ≤ a + b
d : α
hcd : c ≤ c + d
⊢ a * c + (a + b) * c + a * d ≤ a * c + (a + b) * c + (a + b) * d
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : CategoryTheory.Limits.Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.liftAux hF α s f ≫ F.map g.op = s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app (Opposite.op W)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K₁ + MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K₂
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b✝ : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
⊢ ((toMatrix b b) ((lmul R S) s)).trace = ((toMatrix b b) (mulLeft R s)).trace
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
    y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤
⊢ (sInf s).toNNReal = sInf (ENNReal.toNNReal '' s)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.X ^ n = (PowerSeries.monomial R n) 1
N : ℕ
⊢ CongruenceSubgroup.Gamma1 N ≤ CongruenceSubgroup.Gamma0 N
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ Disjoint (⋃₀ ↑I) (s \ ⋃₀ ↑I)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ ¬BddBelow s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, y < x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x✝ y z x : α
⊢ toDual x ∈ (⇑ofDual ⁻¹' s).ordConnectedComponent (toDual x✝) ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v
m n : ℕ
⊢ (finRotate n.succ) 0 = 1
num✝¹ : Int
den✝¹ : Nat
den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0
reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₂ : Nat
zg₂ : g₂ ≠ 0
z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0
e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } + { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.support = p.support.reverse
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
φ : K →+* ℂ
⊢ x φ = 0
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
y : R
hy : x * y = 1
⊢ 1 ∈ I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x + g x) (f' + g') x
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ disjointed f n = f n ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : i < n), (f i)ᶜ
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ (IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom =
  RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X () - 1})
α : Type u
P : α → Prop
a : α
s : Set α
⊢ (∃ x ∈ insert a s, P x) ↔ P a ∨ ∃ x ∈ s, P x
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
FunLike hom α β
AddMonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Continuous ⇑f
⊢ UniformContinuous ⇑f
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.length w⁻¹ = cs.length w
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
⊢ cfcₙ f 0 = 0
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.measure ↑K
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
hi : i < L.length
hj : i < j
⊢ L[i] = (List.take j L)[i]
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
l : M ≃ₗ[R] N
IsSimpleModule R N
⊢ IsSimpleModule R M
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
f : Filter α
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K : Set γ
hK : IsCompact K
μ : Measure γ
⊢ μ (closure K) ≤ μ K
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R (Module.Dual R M)) (Module.Dual.transpose f) = (trace R M) f
α : Type u_1
s : Set α
f : α → ℝ≥0
a : α
⊢ ↑(s.indicator f a) = s.indicator (fun x => ↑(f x)) a
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
⊢ -deriv f 1 = γ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ
⊢ x ∈ ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k) → x ∈ {x | ∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < 2 * (n✝ + 1) - 1}
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
(↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ (↑I⁻¹).IsPrincipal
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
⊢ Function.LeftInverse ⇑f.symm ⇑f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝¹ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C
F G : ℕ ⥤ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)
i j : ℕ
φ : i ⟶ j
k : ℕ
hk : j = i + k
⊢ F.map φ ≫ app j = app i ≫ G.map φ
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
x y : G
DecidableEq G
⊢ y ∈ AddSubgroup.zmultiples x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A' B'
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A' B')
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B) ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.prod.map f g) =
  CategoryTheory.Limits.prod.map (F.map f) (F.map g) ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A' B')
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ a ≤ aᶜ ∧ a ≠ aᶜ ↔ a = ⊥
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
AddGroup G
MeasurableNeg G
f : G → E
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
⊢ ∫ (x : G), f (-x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
n : ℕ
⊢ χ₈ ↑n = χ₈ ↑(n % 8)
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ (↑n + X + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1) = (X + (↑n + 1)) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ∃ i ∈ s, f i ∈ l
⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
X Y : Ω → ℝ
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.Integrable X μ
hY : MeasureTheory.Integrable Y μ
⊢ MeasureTheory.integral μ (X * Y) = MeasureTheory.integral μ X * MeasureTheory.integral μ Y
R : Type u
inst₁ inst₂ : Ring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ Set.univ.pi t = ∅ ↔ ∃ i, t i = ∅