ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ ⟨z, hz⟩ ∈ ker (B.restrict p) ↔ ⟨z, hz⟩ ∈ Submodule.comap p.subtype (ker B)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ ↑(upperClosure s) * t = ↑(upperClosure (s * t))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
⊢ (h (g n) - n) ⊗ₜ[R] q ∈ range (rTensor Q f)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n = 1
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.leadingCoeff = 1
s : Finset ℕ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hs : p ∉ s
x : ℕ × ↑(Nat.factoredNumbers s)
⊢ ↑((Nat.equivProdNatFactoredNumbers hp hs) x) = p ^ x.1 * ↑x.2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 n fun f => f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
S : Set (Set α)
hSo : ∀ t ∈ S, IsOpen t
hSc : S.Countable
⊢ MeasurableSet (⋂₀ S)
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
t : Finset α
b : α
⊢ Finset.image (fun x => x * b⁻¹) t = t.preimage (fun x => x * b) ⋯
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
R : Type u_1
A : Type u_2
S : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing S
Algebra R A
Algebra R S
f : A ≃ₐ[R] S
x : ↥(integralClosure R A)
⊢ ↑(f.mapIntegralClosure x) = f ↑x
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
Y' : ?m.129704
j : J
⊢ φ j ≫ e.inv.app (X' j) ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ = e.inv.app (X j) ≫ (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ (F.map (φ j)).app ((single₀ I).obj Y 0) ≫ (F.obj (X' j)).map (𝟙 ((single₀ I).obj Y 0)) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I' : C
e : X ⟶ I'
m : I' ⟶ Y
comm : e ≫ m = f
CategoryTheory.StrongEpi e
CategoryTheory.Mono m
⊢ (CategoryTheory.Limits.image.isoStrongEpiMono e m comm).hom ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f = m
a : Prop
⊢ (False ↔ a) ↔ ¬a
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
m : M
hm : m ∈ Hindman.FP a
⊢ ∃ n, ∀ m' ∈ Hindman.FP (Stream'.drop n a), m * m' ∈ Hindman.FP a
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a : G
⊢ 2 • a = a + a
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x * g x
M : Type u_1
NonAssocRing M
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ Set.center M
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
⊢ IsOpen fun y => y.re < 0 ∧ y.im < 0
n : ℤ
⊢ ¬n % 2 = 0 ↔ n % 2 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
OrderedRing 𝕜
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictConvex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow (op d) F.op)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (𝟙 (op d) ≫ (unop X✝).hom).unop = (unop X✝).hom.unop
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = o.volumeForm ![x, y]
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
e : M ≃* N
e' : M' ≃* N'
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.coprodCongr e e') = ⇑(Monoid.Coprod.map ↑e ↑e')
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
n : ℕ
x : ℝ≥0
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
⊢ ∀ (R : ℝ), μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
⊢ IsExtrOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s a ↔ IsExtrOn f s a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c) x = c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
⊢ IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed t
⊢ closure s ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : a = x → b = y → ¬c = z
⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
h : Splits (j.comp i) f
lift : (a : F) → a ∈ (map (j.comp i) f).roots → L
lift_eq : ∀ (a : F) (a_1 : a ∈ (map (j.comp i) f).roots), j (lift a a_1) = a
⊢ ∃ s, map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
r : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → α i → Prop
x y : ↑P α
a : P.A
f₀ f₁ : P.B a ⟹ α
xeq : x = ⟨a, f₀⟩
yeq : y = ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ LiftR r x y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : ↑r ∈ resolventSet R ↑a
⊢ ↑r⁻¹ ∈ resolventSet R ↑a⁻¹
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}
⊢ sInf (range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}) = f a
R : Type u_1
A : Type u_2
n : ℕ
CommRing R
NeZero ↑n
Ring A
Nontrivial A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
⊢ NeZero ↑n
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
K : IntermediateField F L
Normal F L
⊢ normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, IntermediateField.map f K
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ t ∈ 𝓝[insert y s] x
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.normalClosure s = ⨅ N, ⨅ (_ : N.Normal), ⨅ (_ : s ⊆ ↑N), N
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s < t
⊢ a ::ₘ s < a ::ₘ t
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ QuaternionAlgebra.im 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
h : Function.Surjective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑(f' ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → α
⊢ ∃ M, ∀ (i : β), f i ≤ M
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), (↑↑f).toFun = ⇑f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => x - a) '' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) ↔ S = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.unit.app (e.inverse.obj Y)) (e.inverse.map (e.counit.app Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (e.inverse.obj Y)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥⊤
⊢ FiniteDimensional F E
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
self : LawfulBitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α α' β β' γ γ' : Type u
f : β → F γ
f' : β' → F γ'
g : α → G β
g' : α' → G β'
x : t α α'
⊢ bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f ∘ g) (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f' ∘ g') x =
  Functor.Comp.mk (bitraverse f f' <$> bitraverse g g' x)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε
⊢ ∀ x ∈ P.nonUniforms G ε, ↑x.1.card * ↑x.2.card ≤ ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ IsUnit ζ
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleMorphismId T).hom₃ = 𝟙 T.obj₃
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Set α
Finite ↑s
⊢ s.infsep = 0 ↔ s.Subsingleton
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence
⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default
R : Type u_9
M : Type u_10
Zero R
Zero M
SMul R M
self : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
⊢ c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t
h : ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1 = ∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1
this : (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1).support = (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1).support
⊢ False
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
m : E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hcont : ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic a, f' x = f a - m
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
inst✝¹ : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
i : I
⊢ (fun i => ‖1 i‖) i ≤ 1
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
_hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs_finite : μ s ≠ ⊤
ht_finite : μ t ≠ ⊤
h_inter : s ∩ t = ∅
⊢ MeasureTheory.weightedSMul μ (s ∪ t) = MeasureTheory.weightedSMul μ s + MeasureTheory.weightedSMul μ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
⊢ G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ / t ⊆ s₂ / t
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
h : Nonempty X
hs : Dense s
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
a : α
PosSMulMono α β
ha : a < 0
⊢ ∀ (a_1 : β), (OrderIso.smulRightDual β ha) a_1 = a • OrderDual.toDual a_1
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ : V
⊢ (∃ w, u = x✝ ∧ v = w ∨ u = w ∧ v = x✝) ↔ x✝ ∈ {u, v}
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
⊢ ∀ (j : α → Prop), j ∈ l → ∀ (j_1 : α → Prop), j_1 ∈ l → ((∀ (a : α), j a) ↔ ∀ (a : α), j_1 a)
α : Type u_1
One α
⊢ Set.up 1 = 1
n : ℕ
⊢ 2 ^ 0 ≤ n ↔ 0 < n
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ (Relation.ReflTransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = Relation.ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
k : ℕ
h : k.succ ≤ 0
⊢ False
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Nat.card (α ⧸ s) ∣ Nat.card α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
self : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
c : 𝕜
x : E
y : F
⊢ f (x, c • y) = c • f (x, y)
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
⊢ (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ t ∈ g, ∀ᶠ (y : α) in f, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ (fun p => (p.2, p.1)) ⁻¹' s) ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
f : α → β
AddCommMonoid β
h : a ∉ s
⊢ ∑ x ∈ Finset.cons a s h, f x = f a + ∑ x ∈ s, f x
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
x : X
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ (eraseLast s).snoc (last s) ⋯
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L.comp G ⟶ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
X Y : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L') (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.postcomp₁ G f F).map φ).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
h : ∀ (n : ℕ), ∃ k, Ideal.map f p ≤ P ^ k ∧ n < k
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (φ ⊔ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : Type v
AddCommGroup X₁
AddCommGroup X₂
AddCommGroup X₃
Module R X₁
Module R X₂
Module R X₃
f : X₁ →ₗ[R] X₂
g : X₂ →ₗ[R] X₃
hfg : g ∘ₗ f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMk f g hfg).f = ModuleCat.ofHom f
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
⊢ FiniteDimensional.finrank R M ≤ 1
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ -x ⊗ₜ[R] y + x ⊗ₜ[R] y = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
b : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
H : ∀ {o : Ordinal.{u}} (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), o.blsub f = b → a ≤ o.card
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = b
⊢ a ≤ #ι
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
j : σ
hj : j ≠ i
⊢ ↑(e a) j ^ d j = x₀ ⟨j, hj⟩ ^ d j
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
⊢ C (p.coeff p.natDegree) = 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.ofReal r₁ = ENNReal.ofReal r₂
⊢ r₁ = r₂
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
hf_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i a = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ a
⊢ μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊔ a \ b = a
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Multiset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.sup ≤ s₂.sup
s : ℕ
⊢ Nat.gcdA 0 s = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ
this : (↑A * ↑A⁻¹).rank ≤ (↑A).rank
⊢ Fintype.card n ≤ (↑A).rank
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Compacts α
h : IsOpen s.carrier
⊢ ↑{ toCompacts := s, isOpen' := h } = ↑s
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖
a : UnitAddCircle
ha : a ≠ 0
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.expZeta a)
α : Type u_1
s t u : Set α
h : s ⊆ t ∪ u
hab : Disjoint s t
⊢ s ⊆ u
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Set α
⊢ s * 0 ⊆ 0
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ gaugeRescale t u (gaugeRescale s t x) = gaugeRescale s u x
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < 0
⊢ StrictAnti fun x => x * a
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19205, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ (X.d j i).op = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s.erase a
⊢ f x = 1
α : Type u_2
Add α
a : α
⊢ Filter.pureAddHom a = pure a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
a : R
x : M'
x' : M
hx : f x' = x
⊢ f (a • x') = a • x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
⊢ t.orthocenter =
  3 • (Finset.centroid ℝ Finset.univ t.points -ᵥ Affine.Simplex.circumcenter t) +ᵥ Affine.Simplex.circumcenter t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j
ham : a ≤ m
⊢ ⟨a, ⋯⟩.succ < j.succ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇨ a ⊓ b = b
ι : Type u
f : ι → ℝ
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ ∅, 0 ≤ f a
⊢ (∑ x ∈ ∅, f x) ^ (n + 1) / ↑∅.card ^ n ≤ ∑ x ∈ ∅, f x ^ (n + 1)