ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
⊢ Zspan.fract b m = m - ↑(Zspan.floor b m)
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ ((limit.isLimit F).conePointsIsoOfEquivalence (limit.isLimit G) e w).inv ≫ limit.π F j = limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
a : ↥L
⊢ L.subtype a = ↑a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun (c • x) = |c| * NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ [].dedup = []
x : PGame
IHl : ∀ (i : x.LeftMoves) {y : PGame}, x.moveLeft i ≡r y → (x.moveLeft i).Numeric → y.Numeric
IHr : ∀ (j : x.RightMoves) {y : PGame}, x.moveRight j ≡r y → (x.moveRight j).Numeric → y.Numeric
y : PGame
r : x ≡r y
ox : x.Numeric
j : y.RightMoves
⊢ (y.moveRight j).Numeric
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a
⊢ c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = c.lift (g.comp c.mk') ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ε
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
AddCommMonoid M
Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
x y : M₁
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.flip.IsOrtho y x
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ Function.Bijective (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.range_equiv_smaller_toFun C o)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Nat.find ⋯ ≤ Nat.find ⋯
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (Module.DirectLimit.of R ι G f j) ((f i j hij) x) = (Module.DirectLimit.of R ι G f i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousAt f x}.Countable
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ∪ t) μ
a b : ℝ≥0
h : a < b
⊢ b ≠ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
h : ↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b
⊢ a ⊓ (↑x ⊔ b) ≤ a ⊓ (↑y ⊔ b)
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d
⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : l₁.Sublist l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 0 ≤ a
⊢ l₁.sum ≤ l₂.sum
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : MultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (g.compMultilinearMap f) m = g (f m)
w x y z r : ℝ
l : List ℝ≥0
this : (List.map (toReal ∘ fun x => x ^ r) l).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
⊢ (List.map ((fun x => x ^ r) ∘ toReal) l).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a
h₂ : r < b'
⊢ (↑r + q * ↑b') / ↑b' = q
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ FractionalIdeal.dual A K I ≠ 0 ↔ I ≠ 0
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
⊢ (sqrtd * { re := -↑x, im := ↑y }).Nonneg
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ (n + 2) =
  (Real.sin a ^ (n + 1) * Real.cos a - Real.sin b ^ (n + 1) * Real.cos b) / (↑n + 2) +
    (↑n + 1) / (↑n + 2) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ n
X : Type u_1
ι' : Sort u_4
TopologicalSpace X
Countable ι'
s : ι' → Set X
hs : ∀ (i : ι'), IsGδ (s i)
⊢ IsGδ (⋂ i, s i)
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
h : 𝒜.Shatters s
⊢ t ⊆ s ↔ ∃ u ∈ 𝒜, s ∩ u = t
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : ¬a ∈ l
⊢ List.insert a l = a :: l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
⊢ C x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Ico a b = Ico (e a) (e b)
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b x : α
l : List α
h : Chain' R (x :: l)
y : α
hy : y ∈ l.head?
⊢ R x y
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) f ↔ ⊤ = ⊥
a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d Turing.PartrecToTM2.K'.rev = b
n : ℕ
⊢ Encodable.decode n.succ = none
α : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid α
x y : α
⊢ op (x / y) = (op y)⁻¹ * op x
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ x * y ∣ z * (a * x) + z * (b * y)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) (f x) < r
G : Type u_1
P : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder G
Preorder P
Preorder γ
SMul G P
IsOrderedSMul G P
f : γ → G
g : γ → P
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => f x • g x
α : Type u_2
Div α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s / t₁ ⊆ s / t₂
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ c.toStructuredArrow.obj j = CategoryTheory.StructuredArrow.mk (c.π.app j)
α : Type u_1
a : α
⊢ {a}.card = 1
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.lift ⊥ = ⊥
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ b / a = c / a ↔ b = c
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ c.sizeUpTo (i + 1) = c.sizeUpTo i + c.blocks[i]
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
⊢ realPart ↑(realPart x) = realPart x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
⊢ ball x V ∈ 𝓝 x
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
x : α
hx : x ∈ s
htU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ ⋃ i ∈ t, f ↑i
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ t, f ↑y
α : Type u
UniformSpace α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ ∀ (i : ι), p i → (x, y) ∈ s i
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : D
⊢ e.unit.app (e.inverse.obj x✝) ≫ e.inverse.map (e.counit.app x✝) = 𝟙 (e.inverse.obj x✝)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
⊢ IsClosed (s +ᵥ t)
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
hf : HasCompactMulSupport f
⊢ IsCompact (mulTSupport f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ (∃ x ∈ ↑s, x -ᵥ p = -v) ↔ ∃ x ∈ ↑s, p -ᵥ x = v
R : Type u_10
CommRing R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 0 0 = A 0 0 * B 0 0 + A 0 1 * B 1 0 ∧
  (A * B) 0 1 = A 0 0 * B 0 1 + A 0 1 * B 1 1 ∧
    (A * B) 1 0 = A 1 0 * B 0 0 + A 1 1 * B 1 0 ∧ (A * B) 1 1 = A 1 0 * B 0 1 + A 1 1 * B 1 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
c : β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
γ : Type u_7
TopologicalSpace γ
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
f : β × α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (ν.prod μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
α : Type u_1
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
MeasurableSpace α
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
a : δ
g : α → (a : δ) → π a
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun x => g x a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.199564, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : HasCokernels C
inst✝¹ : HasKernels Cᵒᵖ
inst✝ : HasCokernels Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : (ShortComplex C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (rightHomologyFunctor C).op.map f ≫ ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) Y).hom = ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) X).hom ≫ (opFunctor C ⋙ leftHomologyFunctor Cᵒᵖ).map f
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ μ.toFiniteMeasure s₁ ≤ μ.toFiniteMeasure s₂
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
⊢ ↑a * b ≤ ↑a * c
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a * b).toProd.1 = a.toProd.1 * b.toProd.1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }
⊢ ↑v' ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
⊢ IsGreatest {μ | ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s} (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).functor.obj X).left = X.left
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
f : Filter β
m : α → β
hf : Cauchy f
hm : Filter.comap (fun p => (m p.1, m p.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
(Filter.comap m f).NeBot
⊢ Cauchy (Filter.comap m f)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
hF : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n y, minpoly F x = Polynomial.X ^ q ^ n - Polynomial.C y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ (fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ Equivalence (EqvGen R)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
⊢ IsClopen (s ∩ a)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
⊢ min a b < min a c ↔ b < c ∧ b < a
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
⊢ ⊥ * M = ⊥
x y : PartENat
⊢ x < y ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃! v, v +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.110647, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
⊢ K.W (whiskerLeft G.op f) ↔ J.W f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ (id X n).a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ (id X n).b i.rev = (P (n + 1)).f (n + 1) + (Q (n + 1)).f (n + 1)
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (Set.range f)
a : G
⊢ a * ⨆ i, f i = ⨆ i, a * f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.StrongEpi f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ
ih : Even (m ^ n) ↔ Even m ∧ n ≠ 0
⊢ Even m → ¬n = 0 → Even m
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
SemilatticeSup M
f g : α → M
⊢ (Function.support fun x => f x ⊔ g x) ⊆ Function.support f ∪ Function.support g
α : Type u
⊢ 𝓟 Set.univ = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
σ : Equiv.Perm ι := Equiv.ofBijective i ⋯
⊢ f (⇑e ∘ ⇑σ) = (f ⇑e • e.det) (⇑e ∘ ⇑σ)
R : Type u
CommRing R
⊢ (CoalgebraCat.comonEquivalence R).functor = CoalgebraCat.toComon R
m x y : Bool
⊢ (x && m) = (y && m) → (x || m) = (y || m) → x = y
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ W.Equation x (W.negY x y)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ q : R[X]
P : R[X] → Prop
p✝ : R[X]
h0✝ : 0 < p✝.degree
hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)
hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)
hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)
p : R[X]
a : R
heq0 : p.coeff 0 = 0
x✝ : a ≠ 0
ih : 0 < p.degree → P p
h0 : 0 < (p + C a).degree
h : 0 ≥ p.degree
⊢ 0 < (C a).degree
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.integral μ 0 = 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).trans f') ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : 0 ≤ b
⊢ a.fmod b = a.mod b
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : op a • ↑s = ↑s
⊢ a ∈ op a • ↑s
C : Type u
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X ⟶ Y
n : (CategoryTheory.Discrete ∘ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject) C
⊢ ((CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.tensorFunc C).map f).app n =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusion.obj { as := n.as }) f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n : ℕ
⊢ StronglyMeasurable fun ω => ∑ k ∈ Finset.range N, ({n | lowerCrossingTime a b f N k ω ≤ n} ∩ {n | n < upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω}).indicator 1 n
s t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume ↔ s < -1
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ (f + g)) =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + μ[g|m]
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ
⊢ f s ≤ f.degree
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁹ : CompleteSpace A
inst✝⁸ : Nontrivial A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.24334, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.24341, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
⊢ f.comp (mk₀ m₀ hm₀ (𝟙 Y)) ⋯ = f
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Saturated ↔ ∀ (n : ℤ) (g : G), n • g ∈ H → n = 0 ∨ g ∈ H
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).reverse = cons ⋯ p.reverse
R : Type u_1
S₁ : Type u_3
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) ((Matrix.toLinearMap₂' R) M) = M
R : Type u_2
Ring R
S : Set (Subring Rᵐᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (Subring.op ⁻¹' S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitEpiOfKernel i).inl = CategoryTheory.Limits.Fork.ι c
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
⊢ IsIntegral R x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, a = d ^ k