ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hmn : 1 ≤ n
⊢ Continuous (tangentMap I I' f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
⊢ x ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ x.IsDiag
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal
⊢ (fun y => ENNReal.ofReal ((g - f) y)) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun a => ↑(g a - f a).toNNReal
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (Set.Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
⊢ MeasureTheory.Integrable (⇑f) MeasureTheory.volume
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ a ∈ s, ↑(f a).toNNRat
n a b c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
hxy' : -x ≠ -y
⊢ a • log x + b • log y < log (a • x + b • y)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P
⊢ ↑g.toMonoidWithZeroHom ((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v
α : Type u_1
Semiring α
n : Num
⊢ ↑n.bit0 = 2 * ↑n
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (List.replicate n [a]).join = List.replicate n a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ LinearIndependent 𝕜 v
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
⊢ Metric.thickening ε (Metric.cthickening δ s) = Metric.thickening (ε + δ) s
⊢ ⇑Ordinal.lift.initialSeg = Ordinal.lift.{v, u}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ t.eta.inv.hom = 𝟙 t.pt
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hnc : NormalizerCondition G
hmax : IsCoatom H
⊢ H.Normal
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
⊢ Continuous fun p => max p.1 p.2
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
T : Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (homologyFunctor C n₀).map T.mor₁ ≫ (homologyFunctor C n₀).map T.mor₂ = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f g : SchwartzMap E F
x : E
⊢ (f - g) x = f x - g x
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => min (f a) (g a)
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : 1 < a
⊢ b < a * b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ ∑ s ∈ 𝒜, (↑((card α).choose s.card))⁻¹ = ∑ s ∈ 𝒜, ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
⊢ Integrable (fun x => (B (f (L.symm x))) (g' (L.symm x))) ν
x : ℝ
⊢ Real.cos x ∈ Set.Icc (-1) 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
LocallyCompactSpace E
⊢ FiniteDimensional 𝕜 E
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
Field K
AddCommGroup V
Module K V
Field K₁
AddCommGroup V₁
Module K₁ V₁
Field K₂
AddCommGroup V₂
Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho x (a • y)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Ioc ↑a ↑b = Set.Ioc a b
G : Type u_1
Group G
x y : G
hx : IsOfFinOrder x
⊢ y ∈ Submonoid.powers x ↔ y ∈ Subgroup.zpowers x
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ ⇑(Nat.orderEmbeddingOfSet s) = Subtype.val ∘ Nat.Subtype.ofNat s
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
c : Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
⊢ ωSup (c.map (f.partBind g)) = ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
i : ι
c : γ
x : β i
⊢ DFinsupp.single i (c • x) = c • DFinsupp.single i x
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0
⊢ y = 0
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
f : Q₁ →qᵢ Q₂
⊢ ⇑f.toLinearMap = ⇑f
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
⊢ Directed Superset fun G => TopCat.partialSections F G.snd
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
A : C
B B' : C
h : B ⟶ B'
hB : B ∈ i.essImage
hB' : B' ∈ i.essImage
f : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.unitCompPartialBijective A hB') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.unitCompPartialBijective A hB) f) h
R✝ : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (map (algebraMap (↥(Subring.closure ↑p.coeffs)) R) p.restriction).coeff n = p.coeff n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ f (x + y) = p.sum y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ Prod.map f f ⁻¹' s
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ I.closure ≠ ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
self : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ self.L₁.Exact
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ (1 * ↑η ^ 2 - ↑η * 1) * gcd S.a S.b
⊢ p ∣ λ
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
f : F
U : NonUnitalStarSubalgebra R B
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map f S ≤ U ↔ S ≤ NonUnitalStarSubalgebra.comap f U
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
this : L.mapArrow.EssSurj
φ : Arrow C
e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f
Z : C
g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((𝟭 C).obj φ.left)
H : Triangle.mk φ.hom g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ (Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left)).mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map (Arrow.leftFunc.mapIso e.symm).hom = (Iso.refl (Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left)).obj₃).hom ≫ (L.mapTriangle.obj (Triangle.mk φ.hom g h)).mor₃
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : RCLike α
inst✝ : RCLike β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
i : n
⊢ ↑(re (A i i)) = A i i
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S₁ : Type u_2
Semiring S₁
Module S₁ R
NoZeroSMulDivisors S₁ R
a : S₁
h : a ≠ 0
p : MvPolynomial σ R
⊢ (a • p).support = p.support
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
⊢ ∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
⊢ ⨆ i, MonoidHom.mrange of = ⊤
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = ⨍ (x : ℝ) in b..a, f x
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∈ l
⊢ l.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ : Measure α
κ : Kernel α β
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ dist p1 p3 * dist p1 p3 =
  dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 -
    2 * dist p1 p2 * dist p3 p2 * Real.cos (EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ FactorsThrough 1 1
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
⊢ Function.Injective ⇑Matrix.SpecialLinearGroup.toLin'
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
m : ι → G
m' : ι' → G
⊢ (f.currySum m) m' = f (Sum.elim m m')
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) 1 = 1
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this✝ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p
this : Fact (Irreducible g)
key : (Algebra.norm K) (root g) ^ p = a ^ g.natDegree
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
CategoryTheory.IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h (CategoryTheory.inv f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id V))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom h (CategoryTheory.CategoryStruct.id V))
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
E : Type u_3
Field E
Algebra F E
Algebra K E
IsScalarTower F K E
h : Normal F E
ϕ : E →ₐ[F] K
⊢ Function.Bijective ⇑ϕ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
Y Y' Y'' : D
g : Y ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
⊢ (e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g ≫ g' = ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) ≫ g'
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
⊢ ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = |R ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E| • ∫ (x : E), f x ∂μ
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ Metric.ball z R
⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x - y) + InnerProductGeometry.angle y (y - x)) =
  -Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s t : Multiset α
⊢ Multiset.map f (s + t) = Multiset.map f s + Multiset.map f t
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : abs ⟨a, f⟩ = x
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ Liftp p x
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l
⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R
⊢ ((truncate h1).comp (truncate h2)) x = (truncate ⋯) x
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ xᶜ = ⊥
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
x : M
y : N
⊢ e x = y ↔ x = e.symm y
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
⊢ (F ⟶ G) = CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ
⊢ ⟪x, ↑r • y⟫_𝕜 = r • ⟪x, y⟫_𝕜
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ y.gcd z = 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x
hg : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n g s x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) s x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
hT_add : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ + μ')
⊢ MeasureTheory.setToFun (μ + μ') T hT_add f = MeasureTheory.setToFun μ' T hT f
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
⊢ ⇑X.isoSpec.hom.val.base '' X.zeroLocus s = PrimeSpectrum.zeroLocus s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ioc ⌊a⌋ ⌊b⌋
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ q.comp p.removeZero = q.comp p
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = (Multiset.map f s.val).prod
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : Dense s
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : (ball x ε).Nonempty
⊢ ∃ y ∈ s, dist x y < ε
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s * t).toProd.2 = s.toProd.2 * t.toProd.2
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
⊢ (g₁ + g₂).support = g₁.support ∪ g₂.support
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 0
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ ((leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂) = ((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ X).ρ g) (x₁, x₂)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ ↑(insert a s) = insert a ↑s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (n → R) R
f : (n → R) →ₗ[R] n → R
⊢ (Q.comp f).discr = (LinearMap.toMatrix' f).det * (LinearMap.toMatrix' f).det * Q.discr
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ⊥.toSubmodule = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
self : CategoryTheory.MonoidalNatTrans F G
⊢ F.ε ≫ self.app (𝟙_ C) = G.ε
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
⊢ (s.embDomain f).hsum = s.hsum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ X.leftOpRightOpIso.inv.left = 𝟙 X.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
⊢ ∀ (x x_1 : S.Arrow) (r : x.Relation x_1), S.preOneHypercover.p₂ r = r.g₂
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j c * Matrix.stdBasisMatrix k l d = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (√(1 + x ^ 2))⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
⊢ ∃ i ∈ s, (H i).FiniteIndex ∧ (H i).index ≤ s.card
k : Type u_1
G : Type u_2
CommRing k
Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
AddCommGroup V
AddCommGroup W
Module k V
Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V
⊢ f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) r) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) r) (f x)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a < Booleanisation.comp b ↔ Disjoint a b
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Set R
hs : Subsemiring.closure s = ⊤
f g : R →+* S
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
⊢ Nat.card α = 0