ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB (fun x => (↑e.symm x).proj) e.target ∧ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (↑e.symm x)).2) e.target
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ card (s.disjSum t) = card s + card t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
n : ℕ
⊢ (match decode n with | some y => ↑y | none => default) ∈ insert default s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
DecidableEq β
H : Set.InjOn f ↑s
⊢ (Finset.image f s).card = s.card
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
t : Set Ω
⊢ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ Disjoint a.primeFactors b.primeFactors ↔ a.Coprime b
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
self : I.IsPrime
x y : α
⊢ x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
h : IsCompact s
⊢ TotallyBounded s
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ pure x ≤ F.lift' closure
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
t : Set (α × α)
⊢ t ⊆ (fun x => s ○ x)^[0] t
K : Type u_1
RCLike K
hI : RCLike.I ≠ 0
⊢ ‖RCLike.I‖ = 1
⊢ Complex.conjCLE.toLinearEquiv = Complex.conjAe.toLinearEquiv
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.flip.SeparatingRight ↔ B.SeparatingLeft
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ClosedEmbedding ⇑DomAddAct.mk.symm
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x
⊢ logb b x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
z : ℤ
NoZeroSMulDivisors ℤ α
hn : z ≠ 0
⊢ z • a ≡ z • b [PMOD z • p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n (min m l)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
t : Finset M
h : FiniteDimensional.finrank R M + 1 < t.card
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Subsingleton P
α : Type u
s : Stream'.Seq α
x : α
⊢ ↑(Stream'.Seq.cons x s) = Stream'.cons (some x) ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ r < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : WithTop α → β
⊢ Set.range f = insert (f ⊤) (Set.range (f ∘ WithBot.some))
p : ENNReal
h : p ≤ 1
n : ℕ
⊢ (PMF.binomial p h n) (Fin.last n) = p ^ n
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
ht : ∀ y ∉ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x ≤ 0
hb : t.card • b < ∑ x ∈ s, w x
⊢ ∃ y ∈ t, b < ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
CommSemiring R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
AddCommMonoid M
Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ B.IsOrthoᵢ v ↔ B.flip.IsOrthoᵢ v
D : GlueData
i : D.J
x : ↑(D.U i)
h : (D.ι i) x = (D.ι i) x
⊢ x = x
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
x : M
hx : 0 < ‖↑x‖
⊢ ‖↑x‖ ≤ ‖S.normedMk‖ * ‖↑x‖
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfa : f ≤ 𝓟 {x}
⊢ 𝓟 {x} ≤ 𝓝 x
G : Type u_1
AddCommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
p' : ℕ
hp' : Fact (Nat.Prime p')
hne : p ≠ p'
⊢ Disjoint (AddCommMonoid.primaryComponent G p) (AddCommMonoid.primaryComponent G p')
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
⊢ OpenEmbedding Units.val
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
a : A
⊢ (CategoryTheory.SingleFunctors.Hom.id F).hom a = 𝟙 (F.functor a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
⊢ s.ncard = t.ncard
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : n < orderOf f
⊢ (f ^ n).support = f.support
α : Type u_1
l : List (Lists α)
⊢ (Lists.ofList l).IsList
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ affineSpan ℝ {t.orthocenter, t.points i} ≤ altitude t i
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
⊢ (t ∩ s).Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))
⊢ (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoidWithZero α
CommMonoidWithZero β
p : α
e : α ≃* β
⊢ Prime p ↔ Prime (e p)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : R
⊢ (Polynomial.C a + p).natDegree = p.natDegree
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hy : c.IsClosed y
⊢ c x ≤ y ↔ x ≤ y
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁴ : Semifield R
inst✝²³ : StarRing R
inst✝²² : MetricSpace R
inst✝²¹ : TopologicalSemiring R
inst✝²⁰ : ContinuousStar R
inst✝¹⁹ : Field S
inst✝¹⁸ : StarRing S
inst✝¹⁷ : MetricSpace S
inst✝¹⁶ : TopologicalRing S
inst✝¹⁵ : ContinuousStar S
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : NonUnitalRing A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : Module S A
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A
inst✝⁹ : SMulCommClass S A A
inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : IsScalarTower R S A
inst✝⁴ : StarModule R S
inst✝³ : ContinuousSMul R S
inst✝² : CompleteSpace R
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)
a : A
ha : p a
⊢ ∀ (f_1 : C(↑(σₙ R a), R)₀), σₙ R ((nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) f_1) = range ⇑f_1
α : Type u_2
OrderedSemiring α
FloorDiv α α
a : α
ha : 0 < a
⊢ GaloisConnection (fun x => a * x) fun x => x ⌊/⌋ a
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
⊢ ∀ (i : Nat) (hi₁ : i < ((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size) (hi₂ : i < (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size), ((a.extract s1 e1).extract s2 e2)[i] = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2))[i]
α : Type u
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.traverse pure s = s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
obj : Fin (n + 1) → C
mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ
i : Fin (n + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.mkOfObjOfMapSucc obj mapSucc).obj i = obj i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
⊢ CategoryTheory.tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫
    CategoryTheory.tensor_μ C (X₁ ⊗ Y₁, X₂ ⊗ Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) =
  (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫
    (X₁ ⊗ X₂) ◁ CategoryTheory.tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁ ⊗ Z₁, Y₂ ⊗ Z₂)
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ max a b / min a b = mabs (b / a)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap f (Subgroup.map f H) = H ⊔ f.ker
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.natDegree = n.succ
⊢ Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid M
y : N
⊢ y ∈ AddSubmonoid.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n
⊢ cyclotomic n K = minpoly K μ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
⊢ ⁅x, 0⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
U₁ : Opens ↑X
hxU₁ : x ∈ U₁
s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))
U₂ : Opens ↑X
hxU₂ : x ∈ U₂
t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))
hst : (G.germ ⟨x, hxU₁⟩) ((f.app (op U₁)) s) = (G.germ ⟨x, hxU₂⟩) ((f.app (op U₂)) t)
W : Opens ↑X
hxW : x ∈ W
iWU₁ : W ⟶ U₁
iWU₂ : W ⟶ U₂
heq : (F.map iWU₁.op) s = (F.map iWU₂.op) t
e_1✝ : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F) = (forget C).obj (F.stalk ↑⟨x, hxW⟩)
⊢ (F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t = (F.germ ⟨x, hxW⟩) ((F.map iWU₂.op) t)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ s → (fun x => a ⊓ x) '' t ⊆ s ⊼ t
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : IsUnit (r • ↑ₐ s - a)
⊢ r • ↑h.unit⁻¹ * (↑ₐ s - r⁻¹ • a) = 1
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₂
Invertible 2
Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.polarBilin (QuadraticForm.baseChange A Q) = LinearMap.BilinMap.baseChange A (QuadraticMap.polarBilin Q)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard = 1 ↔ ∃ x, s = {x}
α : Type u
One α
a : α
⊢ ↑a = 1 ↔ a = 1
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
⊢ ⊤ ≤ (Algebra.ofId R S).range
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
⊢ zipWithLeft f as bs = zipWithLeftTR f as bs
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Antitone upperClosure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | r ≤ f w}
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
Subsingleton M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α
⊢ (∀ (h : p), x ∈ t h) ∧ p ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv) ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrderBot α
a x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrderBot.finsetIic a ↔ x ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
self : S.IsWide
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id c ∈ S.arrows c c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f m = f n
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : HasCompactMulSupport f
h'f : Continuous f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ (f =O[𝓝[≠] a] fun x => 1) ↔ f =O[𝓝 a] fun x => 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
A : Set ι
⊢ M.closure (⋃ i ∈ A, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
a : α
s : Set β
hs : s.Finite
hf : (a +ᵥ s).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = a +ᵥ hs.toFinset
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ ((interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPullback
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGLB s a
⊢ IsLUB (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) (OrderDual.toDual a)
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it →
  ∀ (n : Nat), n ≤ r.length → String.Iterator.ValidFor ((List.take n r).reverse ++ l) (List.drop n r) (it.nextn n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ ∀ t ∈ range Iio, MeasurableSet t
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.eval 1 (Polynomial.cyclotomic p R) = ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.restrict ⋯ = κ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
α : Type u'
g : L.Equiv M N
φ : L.Formula α
v : α → M
⊢ φ.Realize (⇑g ∘ v) ↔ φ.Realize v
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ ¬CompactSpace X ↔ NoncompactSpace X
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
⊢ r j₁ j₂
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots✝ : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0
⊢ ∀ (a : L →ₐ[K] E) (b : E) (ha : b ≠ a pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval b (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0), ¬a = pb.lift b ⋯
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
y : 𝔸ˣ
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (↑y⁻¹ * x * ↑y) = ↑y⁻¹ * NormedSpace.exp 𝕂 x * ↑y
m n k : ℕ
⊢ ack m (ack n k) < ack (max m n + 2) k
x y : ℝ
⊢ abs { re := x, im := y } ≤ √2 * max |{ re := x, im := y }.re| |{ re := x, im := y }.im|
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 f
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹⁻¹ = A
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ ∃ d, f ↑d < r
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
l : Filter α
f : α → E
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l (𝓝 ‖a‖)
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Semiring R
Semiring S
Semiring R₂
Semiring S₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N
⊢ ((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B x) y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
⊢ ↑q.natDegree ≤ ↑p.natDegree
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, εs i ≤ ε / 2 / 2 ^ Fintype.card ι
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε