ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dZero A ∘ₗ (groupCohomology.H0 A).subtype = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
SMulCommClass R₂ R₂ M₂
SMulCommClass R₃ R₃ M₃
ContinuousConstSMul R₂ M₂
ContinuousConstSMul R₃ M₃
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
c : R₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
⊢ h.comp (c • f) = σ₂₃ c • h.comp f
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
u : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ ∅, u x = Set.univ
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
FunLike F α β
Semiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
TopologicalSpace R
LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
ContinuousSMul R β
f : F
⊢ ContinuousSMul R α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
e : (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (Finsupp.embDomain u (b.repr x)) = ↑⟨x, p⟩
j : ι
W : b j = x
⊢ False
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ s ∈ {t}, MeasurableSet s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
this : f = fun a => ↑(f' a)
hd : Symmetric fun a b => (f' a).Disjoint (f' b)
⊢ (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.toFinsupp {a} = Finsupp.single a 1
R : Type u
CommSemiring R
ι₁ : Type v₁
DecidableEq ι₁
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂' : Type w₂'
(i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
AddCommMonoid M₂'
(i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
Module R M₂'
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (TensorProduct.directSumLeft R M₁ M₂').symm ((DirectSum.lof R ι₁ (fun i => TensorProduct R (M₁ i) M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)) =
  (DirectSum.lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits T
A : CategoryTheory.StructuredArrow S T
P : { P // ∃ q, CategoryTheory.CategoryStruct.comp q (T.map P.arrow) = A.hom }
⊢ (RelIso.symm A.subobjectEquiv) P = CategoryTheory.Subobject.mk (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk (↑P).arrow ⋯)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
g : β → α
hg : Function.Injective g
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ Set.range g), f i = ∏ᶠ (j : β), f (g j)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(n + (N + 1))) * ε⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (M.whiskerLeft (𝟙 N)).hom = (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Type u_5
b : ι → TopologicalSpace.Opens α
hb : TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range b)
hb' : ∀ (i : ι), IsCompact ↑(b i)
U : Set α
⊢ IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑(b i)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
n : ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((F.mapTriangleCommShiftIso n).hom.app X).hom₃ = (F.commShiftIso n).hom.app X.obj₃
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
⊢ ∃ A x, CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
α : Type u_1
self : Filter α
x y : Set α
⊢ x ∈ self.sets → x ⊆ y → y ∈ self.sets
G : Type u_7
CommGroup G
L : List G
⊢ L.prod⁻¹ = (List.map (fun x => x⁻¹) L).prod
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycle
⊢ {x | f x ≠ x}.Nontrivial
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
n : ℤ
f : C ⟶ D
i : ι
⊢ (n • f).f i = n • f.f i
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (finRotate (n + 1)) i = i + 1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ {a} ⊆ Iic a
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
i : (D.mapGlueData F).J
y : (D.mapGlueData F).U i
eq : (D.mapGlueData F).ι i y = e.hom x
⊢ ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑n
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
⊢ (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) = fun x => (∑ i ∈ range x, (pos ∘ X i) ω) / ↑x - (∑ i ∈ range x, (neg ∘ X i) ω) / ↑x
ι : Type u_2
Fintype ι
β : ι → Type u_5
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
⊢ ‖x‖ = √(∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2)
R : Type u
S : Type v
T✝ : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T✝
p : T✝[X]
g : ℕ → T✝ → R[X]
x : S
T : R[X] →+ S := { toFun := eval₂ f x, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
A : ∀ (y : R[X]), eval₂ f x y = T y
⊢ T (p.sum g) = p.sum fun n a => T (g n a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
⊢ s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction
n x : ℕ
ih : ∀ (hx : x < n + 2), ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩
hx : x + 1 < n + 2
⊢ ¬↑⟨x, ⋯⟩ = n + 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
this : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)
⊢ IsIso f
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ p₁ -ᵥ (lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • (p₁ -ᵥ p₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × List β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this✝ : Primcodable (List β) := prim H
this : Primrec fun a => Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a)))
a : α
⊢ Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a))) = some (List.casesOn (f a) (g a) fun b l => h a (b, l))
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).Δ' = C.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ'
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
⊢ (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩ ∈ A (res y n.succ)
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) x = (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) y
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y
x : E
hx : x ∈ sphere 0 1
y : E
hy : y ∈ sphere 0 1
h₂ : ‖x + y‖ = 2
⊢ x = y
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ ∀ (x : α), (ClosureOperator.id α).IsClosed x = True
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : G.toPresheaf ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U : Cᵒᵖ
s : G.toPresheaf.obj U
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection ↑((homOfLe ⋯).app U s)).arrows f_1 → F'.map f_1.op ((homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s) = F'.map f_1.op (f.app U s)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ Function.Surjective (Function.uncurry (IsLocalizedModule.mk' f))
V : Type u
v w : V
⊢ ⊤.Adj v w ↔ v ≠ w
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B
⊢ hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ eA.counit.app (eA.functor.obj (G.obj Y)) ≫ 𝟙 ((G ⋙ eA.functor).obj Y)) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y
α : Type u
a : α
b : α
CommSemiring α
I : Ideal α
h : a ∈ I
⊢ a * b ∈ I
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
⊢ s.lcm f = (Multiset.map f s.val).lcm
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Sup α
Sup β
Bot α
Bot β
FunLike F α β
self : SupBotHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊥ = ⊥
n : Nat
⊢ n = 0 ∨ n > 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
⊢ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0 → v ∈ (span 𝕜 {u})ᗮ
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
c : α
⊢ a / c < b / c ↔ a < b
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
⊢ p ^ (k + l + 1) ∣ (m * n).natAbs
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
⊢ x ∈ Set.range ⇑f
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : R
x : L
m : M
⊢ m ∈ LieModule.weightSpaceOf M χ x ↔ ∃ k, (((LieModule.toEnd R L M) x - χ • 1) ^ k) m = 0
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a + b = a + c
⊢ b = c
R : Type u
Semiring R
self : R[X]
⊢ (Polynomial.toFinsuppIso R) self = self.toFinsupp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ IsBlock G B ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B
o : Ordinal.{u_3}
⊢ IsEmpty (Quotient.out o).α ↔ o = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
u : Set P
hu : IsOpen u
hne : u.Nonempty
⊢ affineSpan ℝ u = ⊤
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 β
s : Set β
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s id
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalCommSemiring.toNonUnitalSemiring R)
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
C : ℕ∞ → Sort u_1
d : C ⊤
f : (a : ℕ) → C ↑a
x : ℕ
x.AtLeastTwo
⊢ ENat.recTopCoe d f (OfNat.ofNat x) = f (OfNat.ofNat x)
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B✝ : Type u_2
a✝ b : R✝
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Semiring B✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ B✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A
⊢ f (eval₂ (algebraMap R A) a p) = eval₂ (algebraMap R B) (f a) p
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑p)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
x : ↑(of R ↑A)
⊢ (mul' R ↑A) ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (Algebra.linearMap R ↑A)) (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1)) = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (of R ↑A)).hom (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1)
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ ((monomial n) a).support ⊆ {n}
n k : ℕ
⊢ n.factorial * (n + 1).ascFactorial k = (n + k).factorial
α : Type u
β : Type v
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ (a :: as).zipLeft' (b :: bs) =
  let r := as.zipLeft' bs;
  ((a, some b) :: r.1, r.2)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
⊢ (e₁.arrowCongr e₂).symm = e₁.symm.arrowCongr e₂.symm
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
a : ι
h : a ∈ m
⊢ f a * (map f (m.erase a)).prod = (map f m).prod
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
⊢ ∀ (hx : x ∈ M * M ^ n), C (n + 1) x ⋯
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (C (q.coeff 0)) ≠ 0
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
k✝ k : ℕ
⊢ (M * M ^ k * M).PosSemidef
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
hk : k < (ofFn.go f i j h).length
⊢ (ofFn.go f i j h).get ⟨k, hk⟩ = f ⟨j + k, ⋯⟩
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |a| • MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * a) MeasureTheory.volume = MeasureTheory.volume
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => f x • g x) = fun x => f x • g x
⊢ Integrable (fun x => f x • g x) μ
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
h₁ : α = β
h₂ : HEq r s
⊢ (RelIso.cast h₁ h₂).toEquiv = Equiv.cast h₁
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ a = b ↔ a ≤ b ∧ ¬a < b
n : ℕ
⊢ (Nat.fib n).Coprime (Nat.fib (n + 1))
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u : ℕ → α
init : Fin E.order → α
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
⊢ u n = ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * E.mkSol init (n - E.order + ↑x)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
U : ℕ → Set (X × X)
hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)
hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)
⊢ IsGδ (⋂ i, ⋂ (_ : True), ⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U i)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
hF : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G).toPresheaf
R : Type u_1
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
Monoid R
MulAction R M₁
MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
FunLike F M₁ M₂
MulActionHomClass F R M₁ M₂
c : R
t : Set M₂
hc : IsUnit c
⊢ ⇑h ⁻¹' (c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
ρ : G →* V →ₗ[k] V
⊢ (Rep.of ρ).ρ = ρ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
h : n ≠ 1
⊢ FormalMultilinearSeries.id 𝕜 E n = 0
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ IsIso ((forget TopCat).map (D.t i j))
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValNat p (p * (n / p))! = padicValNat p (p * (n / p) + n % p)!
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
Nonempty X
⊢ (OpenEmbedding.toPartialHomeomorph f h).source = Set.univ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps ↔ ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ I.radical = InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
h : √2 / 2 > 0
⊢ √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioc a b) (Set.Ico (f b) (f a))
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
h : IsNat (a₁ + b₁) 0
⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₂ + b₂
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Countable ι
SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
⊢ L.EssSurj
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R n) = MvPolynomial.X n