ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
⊢ F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) t = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
⊢ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap} = ⊤
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso g
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
⊢ IsIso ((f ≫ g) ≫ inv g)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : StrictMono g
hf : StrictAntiOn f s
⊢ StrictAntiOn (g ∘ f) s
α : Type u_1
Preorder α
self : ClosureOperator α
x : α
⊢ self.IsClosed x ↔ self.toFun x = x
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
x : ↑Y
⊢ (explicitCokernelπ f ≫ explicitCokernelDesc cond) x = g x
R : Type u
inst✝² : Ring R
P : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_1
b : Basis ι R P
m : P
⊢ ((b.repr m).sum fun a b_1 => b_1 • b a) = m
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
⊢ ∃! r, IsNilpotent (x - r) ∧ (aeval r) P = 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V'
f : G →g H
hf : Function.Surjective ⇑f
hG : G.Preconnected
⊢ H.Preconnected
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ → (l₁.Nodup ↔ l₂.Nodup)
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
hT : ∅ ⊆ S
ha : IsAtom (sSup ∅)
haS : sSup ∅ ≤ sSup S
⊢ sSup ∅ ∈ S
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y ε x : α
x0 : 0 < x
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ ↑q < x
α : Type u
G : Type u_1
CommGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousDiv G
b : G
c : G
f : α → G
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
Γ : Type u_1
inst✝³ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝² : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
inst✝ : Fintype Γ
S : Finset Λ
ss : Supports M S
q : Λ'
h : q ∈ trSupp M S
⊢ ∀ (q : Stmt₁), SupportsStmt S q → (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) → SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ {p | Disjoint ↑(Submonoid.powers r) ↑p.asIdeal} ↔ x ∈ ↑(basicOpen r)
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
inj : Module.Injective R Q
⊢ CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f✝ : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
cond : ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
x : X
hx : x ∈ U
f : Ultrafilter X
h : ↑f ≤ 𝓝 x
⊢ U ∈ f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ t ∈ s, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ s : Set α
s_fin : s.Finite
s_mble : MeasurableSet s
⊢ count s = ↑s_fin.toFinset.card
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s ∈ atTop
x : α
⊢ x ∈ s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
α : Type u_2
M : Type u_3
AddCommMonoid M
π : BoxIntegral.Prepartition I
f : BoxIntegral.Box ι → α
g : BoxIntegral.Box ι → M
⊢ ∑ y ∈ Finset.image f π.boxes, ∑ J ∈ (π.filter fun J => f J = y).boxes, g J = ∑ J ∈ π.boxes, g J
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : a ≤ b
⊢ b⁻¹ ≤ a⁻¹
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Ioi a) = ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
n : ℕ
α : Type u
f : Fin n → α
Preorder α
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (List.ofFn f) ↔ Monotone f
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.diff l₂).erase a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime
hlt : Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P
⊢ False
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x✝ y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n
this : CauchySeq u
x : α
xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)
n : ℕ
⊢ x ∈ s n
R : Type u
⊢ ⇑Tropical.tropEquiv.symm = Tropical.untrop
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
⊢ DFinsupp.mk s 0 = 0
α : Type u
l : List α
⊢ 0 < l.length ↔ l ≠ []
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun t => Ring.inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ 2
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
ha : Pell.IsFundamental a
hb : Pell.IsFundamental b
⊢ a = b
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
⊢ ∅.piAntidiag 0 = {0}
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ All P (l.rotateR x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n < Pell.xn a1 n
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
this : (s + 1).Gammaℝ ≠ 0
⊢ s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2)
n : ℕ
j : Fin n
⊢ Fin.succAbove 1 j.succ = j.succ.succ
G : Type u_3
Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
⊢ Function.Semiconj (fun x => x * a) (fun x => x * c) fun x => x * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he :
  ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y),
    (e X Y') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((e X Y) h) (G.map g)
Y : D
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjunctionOfEquivLeft e he).counit.app Y =
  (e (G.obj Y) Y).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj Y))
α : Type u_1
Finite α
⊢ 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ N' : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ N' ↔ N ≤ N'.normalizer
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ |y| < |x|
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : Filter.Tendsto F l (nhds f)
h₂ : UniformEquicontinuous F
⊢ UniformContinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ x, s = {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α), c ∂μ < ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
ha : Absorbent ℝ s
h : gauge s x ≤ 1
this : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, r • x ∈ s
⊢ x ∈ closure s
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i j : ι
⊢ (Homotopy.nullHomotopy hom zero).hom i j = hom i j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ (β_ X Y).mop = β_ { unmop := Y } { unmop := X }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ (f ⊔ g) x ≤ r}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : (𝓟 s ⊓ 𝓝 a).NeBot
⊢ IsLUB s a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ TendstoUniformlyOn F f p {x} ↔ Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
h_int_gt : ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * (μ s).toReal
⊢ μ {x | f x ≤ b} = 0
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
⊢ o.volumeForm.measure = MeasureTheory.volume
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set Ω)
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω},
  ProbabilityTheory.iIndepSets π μ →
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
β : G.ComponentCompl K → Prop
f : ∀ ⦃v : V⦄ (hv : v ∉ K), β (G.componentComplMk hv)
C : G.ComponentCompl K
⊢ β C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheaf A F).obj X =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F (Opposite.unop X)
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
⊢ Set.Iic ⊤ = Set.univ
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
F✝ : Filter ι
inst✝⁷ : F✝.NeBot
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : OrderTopology R
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : OrderTopology S
F : Filter R
inst✝ : F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
⊢ liminf f F ≤ f F.limsSup
p n : ℕ
hp : Prime p
h : ¬p ∣ n
⊢ p.Coprime n
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
this : C x⁻¹ * C x ∈ I
⊢ 1 ∈ I
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Finset V
le_span : ⊤ ≤ Submodule.span K ↑s
card_eq : s.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ∀ (a : V),
  (finsetBasisOfTopLeSpanOfCardEqFinrank le_span card_eq).repr a =
    ⋯.repr ((LinearMap.codRestrict (Submodule.span K (Set.range Subtype.val)) LinearMap.id ⋯) a)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
ι' : Type u_1
β' : Type u_2
UniformSpace β'
F' : ι' → α → β'
p' : Filter ι'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s
⊢ UniformCauchySeqOn (fun i a => (F i.1 a, F' i.2 a)) (p ×ˢ p') s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
b : β
⊢ IsAtom (u b) ↔ IsAtom b
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m s - m t ≤ m (s \ t)
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (Rack.act' x)⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ ∀ {X Y : Comon_ (C ⥤ D)} (f : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functor.map f).app X_1).hom = f.hom.app X_1
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a < 0
⊢ upperBounds (a • s) = a • lowerBounds s
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c'') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
R : Type u
R' : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
Ring R'
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R' M'
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M'
hi : Function.Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) = Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i
this : b ∘ f' = f
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
inst✝ : Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).IsSubordinate r
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
⊢ (Setoid.quotientKerEquivOfSurjective ⇑f ⋯).invFun ∘ ⇑f = Quotient.mk'
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : m.IsCaratheodory sᶜ
⊢ m.IsCaratheodory s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
⊢ Function.Injective fun x => x.toHom
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
⊢ (OrderIso.sumDualDistrib α β) (OrderDual.toDual (Sum.inl a)) = Sum.inl (OrderDual.toDual a)
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f g : BotHom α β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) h)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y' Z').hom)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
⊢ ∀ {X_1 Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (θ : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.Γ.obj X).map θ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.map X θ
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
M : Matrix n n α
d : ℕ
⊢ Mᵀ = ↑d ↔ M = ↑d
E✝ : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝
inst✝⁹ : BorelSpace E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝
μ✝ : Measure E✝
inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
s : Set E✝
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
this : ball 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' ball x r
⊢ μ (ball x r) = μ (ball 0 r)
a b n : ℕ
⊢ a ^ n ∣ b ↔ a ∣ n.floorRoot b
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball 1 δ / s = thickening δ s⁻¹
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot μ n✝ → Nat.Coprime 0 n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)
α β γ : Sort u_1
h : α = β
h2 : β = γ
⊢ (Equiv.cast h).trans (Equiv.cast h2) = Equiv.cast ⋯
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ y ≠ 0
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
y : F.obj i
hy : y ∈ F.eventualRange i
hx : F.map f y ∈ F.eventualRange j
⊢ ∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨F.map f y, hx⟩
n : Nat
x : Fin (2 ^ n)
i : Nat
⊢ { toFin := x }.getLsb i = (↑x).testBit i
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
v : n → α
M : Matrix m n α
⊢ ∀ (a : m), (Matrix.mulVec.addMonoidHomLeft v) M a = (M *ᵥ v) a
x : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ico ↑x ⊤ = Ici x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : (Finsupp.total ι M R v) l₂ = (Finsupp.total ι M R v) l₁
⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
n : ℕ
p : ℕ → Prop
⊢ (∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ (∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
p : β → Prop
hg : ∀ᵐ (x : β) ∂μb, p x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μa, p (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E
⊢ ((ContinuousLinearMap.adjoint S).comp (T.comp S)).IsPositive
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
⊢ ι f = (eqToIso h).hom ≫ ι f'
ι : Type u_4
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → ℝ≥0∞
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ (PiTensorProduct.map fun i => LinearMap.id) = LinearMap.id
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
⊢ K.ExactAt j ↔ (K.sc' i j k).Exact
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ G.edgeSet ↔ G.Adj v w
x y : Int
n : Nat
⊢ (x * y.bmod n).bmod n = (x * y).bmod n
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
ha : a ∈ UV.compression u v s
⊢ UV.compress u v a ∈ UV.compression u v s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G
⊢ φ g = g⁻¹