ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)
⊢ ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
α : Type u
x : Multiplicative α
⊢ Multiplicative.ofAdd (Multiplicative.toAdd x) = x
M : Type u_1
Monoid M
a : M
⊢ IsUnit a ↔ Function.Bijective fun x => a * x
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : y✝ = t
⊢ False ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Zero α
⊢ 0ᵀ = 0
ι : Type u_1
M : Type u_4
LinearOrderedCancelCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∏ i ∈ s, f i = 1
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
⊢ ∃ i ∈ s, 1 < f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : PMF α
⊢ (PMF.map f p).support = f '' p.support
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
n : ℤ
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
⊢ A ^ (-n) * A ^ n = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
t : Set β
⊢ (fun x => a • x) ⁻¹' t = a⁻¹ • t
α : Type u_1
γ : Type u_3
𝔖 : Set (Set α)
u₁ u₂ : UniformSpace γ
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖 = UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖 ⊓ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
⊢ (𝓝 y).HasBasis (fun t => t ∈ b ∧ x ∈ t) fun t => t
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₁ : ∀ i_1 ∈ i :: l, f i_1 ≤ g i_1
h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1
⊢ (map f (i :: l)).prod < (map g (i :: l)).prod
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
r : R
⊢ (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebra.EquivEven.Q' Q)) (m, r) =
  (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m + r • CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ IsCompactOperator ⇑f ↔ IsCompact (closure (⇑f '' Metric.ball 0 r))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
T T' : L.Theory
h : M ⊨ T
h' : M ⊨ T'
⊢ M ⊨ T ∪ T'
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : |a - b| ≤ 0
⊢ a = b
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ
⊢ ↑n ≤ 0 ↔ n ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
⊢ UnifIntegrable (-f) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.MetrizableSpace γ
BorelSpace γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
σ : α → Type u_1
l₂ : (a : α) → List (σ a)
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup
a₁ : α
b₁ : σ a₁
left✝ : b₁ ∈ l₂ a₁
h₁ : ⟨a₁, b₁⟩ ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)
n : a₁ ≠ a₁
h₂ : ⟨a₁, b₁⟩ ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)
mb₂ : b₁ ∈ l₂ a₁
⊢ False
C : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
f₁ f₂ : (X : C) × (d ⟶ F.obj X)
t : EqvGen (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel (F.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op d)))) f₁ f₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f₁.snd) (CategoryTheory.StructuredArrow.mk f₂.snd)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ρ : MeasureTheory.Measure (α × β)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ρ.snd s = ρ (Prod.snd ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s t : Set α
⊢ Disjoint (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
hg_mono : StrictMono g
g_iso : ℝ≥0∞ ≃o ℝ≥0∞ := StrictMono.orderIsoOfSurjective g hg_mono ⋯
⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Fintype α
𝕜 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : α) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fact (1 ≤ p)
f : ↥(lp E p)
⊢ (lpPiLpₗᵢ E 𝕜) f = ↑f
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : F (QPF.Fix F)
⊢ (QPF.Fix.mk x).dest = x
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : ↑(MonCat.of G)
⊢ (Rep.of ρ).ρ g = ρ g
α : Type u
l : List α
⊢ l ∈ (↑l).toList
θ : Angle
⊢ (-θ).sign = -θ.sign
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ normalize (lcm a b) = lcm a b
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁⁻¹ * h₂ = 1
⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a - ↑n⌋ = ⌊a⌋ - ↑n
α : Type u_1
x y : α
h : x ∈ {y}
⊢ x = y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
B : Set α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hB : MeasurableSet B
⊢ ∫⁻ (x : α) in A ∩ B, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in A \ B, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ IsLieAbelian ↥↑(LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I) ↔ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
M : α := max 1 (max K₁ K₂)
K0 : 0 < M
εK : 0 < ε / 2 / M
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M
ha₁ : abv a₁ < M
hb₂ : abv b₂ < M
this : abv ((a₁ - b₁) * b₂) + abv (a₁ * (a₂ - b₂)) < ε
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
p : ℕ → Prop
h₀ : ¬p 0
a b : ℕ
hab : a ≤ b
ha : ∃ (hf : (setOf p).Finite), hf.toFinset.card ≤ a
⊢ ∃ (hf : (setOf p).Finite), hf.toFinset.card ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
⊢ A = ContinuousLinearMap.adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ f.toMap x * ↑1⁻¹ = f.toMap x
α : Type u_2
Zero α
h : Set.Finite 0 := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset h = 0
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
h : IsFractionRing.num A x = 0
⊢ IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {X Y Z : C} {f : X ⟶ Y} {g : X ⟶ Z}, CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.span f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
f : F
r : R
⊢ r ∈ RingHom.ker f ↔ f r = 0
α : Type u_5
self : NormedRing α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
γ : Type u_4
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
fltr.NeBot
fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), MeasureTheory.ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Filter.Tendsto U fltr (𝓝 u)
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f u
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ
⊢ (Set.range fun i => f i) = ∅
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
⊢ s ∈ K.facets ↔ s ∈ K.faces ∧ ∀ t ∈ K.faces, s ⊆ t → s = t
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s t : Multiset α
a : α
⊢ (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : p ∣ q ∨ q ∣ p
⊢ Associated p q
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : ℕ
⊢ (↑x✝)⁻¹ = (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) x✝
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((a : α) → (b : β a) → γ a b)
x : α
y : β x
⊢ ωSup (c.map ((evalOrderHom y).comp (evalOrderHom x))) = ωSup (c.map ((evalOrderHom ⟨x, y⟩).comp (monotoneUncurry α β γ)))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p u : R[X]
h₂ : p.leadingCoeff = (p * u).leadingCoeff
h₁ : u.natDegree = 0
hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0
⊢ p = p * u
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
⊢ p s
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin n → α → α
x : α
⊢ foldl n (fun x i => f i.rev x) x = foldr n f x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
M₀ : PresheafOfModules R₀
⊢ ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (𝟙 M₀)).val = (𝟙 ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.obj M₀)).val
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (Metric.ball z r) z
⊢ Set.EqOn f (Function.const E (f z)) (Metric.closedBall z r)
a b a' b' : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → (b'.mod a' != 0) = true → ¬a ∣ b
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
⊢ x ∈ LieSubalgebra.engel R x
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p
⊢ IsCyclic α
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
⊢ IsUnit p
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX✝ : tX ∈ tas
hY✝ : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
hX : Continuous id
hY : Continuous id
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ
h : (wp + 1) * (zp + 1) = x * y + 1
⊢ wp + zp + wp * zp = x * y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] v ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s s₁ : Set E
f f₁ : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
h₁ : ∀ x ∈ s₁, f₁ x = f x
hs : s₁ ⊆ s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f₁ s₁
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
α' : TypeVec.{u_2} n
β : Type u_1
β' : Type u_2
f : α.Arrow α'
g : β → β'
⊢ TypeVec.dropFun (f ::: g) = f
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.Restriction M
⊢ N = M ∨ N.StrictRestriction M
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this : IsIso (pullback.snd f g)
⊢ Set.range ⇑(inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g).val.base = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀
⊢ 0 * (x✝¹ * x✝) = 0 * x✝¹ * x✝
z τ : ℂ
⊢ (Summable fun x => jacobiTheta₂'_term x z τ) ↔ 0 < τ.im
α : Sort u
r : α → α → Prop
β : Sort v
f : α → β
c : ∀ (a b : α), r a b → f a = f b
a : α
⊢ Quot.lift f c (Quot.mk r a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : ProbabilityTheory.Kernel β γ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (κ.map g hg).comap f hf = (κ.comap f hf).map g hg
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ ↑s.toFinset = s
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
f : F
y : B
⊢ y ∈ NonUnitalSubalgebra.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
⊢ q.leadingCoeff ≠ 0
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1
⊢ (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
ι' : Sort u_6
hf : LocallyFinite f
p : ι' → Prop
s : ι' → Set X
x : X
hb : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ ∃ i, p i ∧ {j | (f j ∩ s i).Nonempty}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
e : r ≃r s
f : r ≺i t
g : s ≺i t
⊢ (equivLT e g).top = g.top
⊢ @Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR = @rank
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
j : σ
f : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.degreeOf j (f * MvPolynomial.X j) ≤ MvPolynomial.degreeOf j f + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
⊢ Primrec fun a => (a.1 ::ᵥ a.2).toList
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
⊢ (↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, f a = (∑ i ∈ s, f i) / s.card ∨ f a = (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
X : Bipointed
⊢ ∀ (a : ((Bipointed.swap ⋙ Bipointed.swap).obj X).X),
  (Bipointed.swapEquiv.unitIso.inv.app X).toFun a =
    (Bipointed.swap.map (Bipointed.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ }) ≫
          Bipointed.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫
            { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ }).toFun
      ((𝟙 (Bipointed.swap.obj (Bipointed.swap.obj X))).toFun a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
M₀ : Type u_2
Mul M₀
Zero M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * b ≠ 0
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
f : SmallHom W₁ X Y
⊢ (SmallHom.equiv W₂ L₂) (Φ.smallHomMap f) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) f) ≫ e.inv.app Y
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ
⊢ (map ((fun x => x.prod) ∘ (fun x => map f x) ∘ Finset.val) (Finset.powersetCard n s).val).sum = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x - φ‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : E → G := fun y => f y - φ y
hg : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt g (f' x - φ) s x
⊢ ‖f y - f x - φ (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = torsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
x : α
⊢ MeasurableSet ((fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {Nat.find ⋯})
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ∅ \ s = ∅
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n => thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
⊢ 0 = ∫ (x : M) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
s : Set α
⊢ EMetric.diam (⇑f '' s) = ↑(Dilation.ratio f) * EMetric.diam s
ι✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℝ → E
h : ∀ i ∈ s, IntervalIntegrable (f i) μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ∑ i ∈ s, f i x ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (x : ℝ) in a..b, f i x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n
⊢ (circulant v * circulant w) i j = (circulant w * circulant v) i j
α : Type u_1
⊢ (PartialEquiv.refl α).source = Set.univ