ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Submodule.map f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n] ⟶ Δ'
hθ : ¬CategoryTheory.Mono θ
⊢ X.map θ.op ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = 0
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
g : σ × τ → R
i : σ
p : MvPolynomial τ R
⊢ (MvPolynomial.eval g) ((MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) p) = (MvPolynomial.eval fun j => g (i, j)) p
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : V ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ V) → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ V).equivFun.toContinuousLinearEquiv
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ⊤
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred a < a ↔ ¬IsMin a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
G : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_9
inst✝ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
⊢ range ↑(I.prod J) = range ↑I ×ˢ range ↑J
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
x✝ : V
a✝ : x✝ ∈ e
⊢ { toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } x✝) = id x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ alternatization ((↑a).domCoprod ↑b) = ((Fintype.card ιa).factorial * (Fintype.card ιb).factorial) • a.domCoprod b
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] r) = ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] r)
α : Type u_3
a : Multiset α
l : List (Multiset α)
⊢ a.Disjoint l.sum ↔ ∀ b ∈ l, a.Disjoint b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x} = s
α : Type u
l : List α
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ l[i] = l[i]?.get ⋯
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup.comp (FreeAddMagma.map f) =
  (FreeAddSemigroup.map f).comp FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Limits.cospan f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left)
G : Type u
AddCommGroup G
H : AddCommGrp
f : G →+ ↑H
⊢ AddMonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
⊢ (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
α : Type u_1
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ factors' a = factors' b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖x‖ = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
⊢ limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv ≫ ({ cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }.cocone.ι.app j).c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
ι : Sort u_7
f : G →* N
s : ι → Subgroup N
⊢ ⨆ i, Subgroup.comap f (s i) ≤ Subgroup.comap f (iSup s)
hb₀ : -1 < 0
hb₁ : 0 < 1
⊢ Tendsto (fun x => 0 ^ x) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ Filter.comap OnePoint.some (𝓝 ↑x) = 𝓝 x
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
j : J
⊢ ι (F.obj ∘ f) j ≫ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (desc g) = ι (F.obj ∘ f) j ≫ desc fun j => F.map (g j)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
R : Type u
M : Type v
Ring R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
N : Submodule R M
ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ x ∉ N
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ l₃ : List (Sigma β)
h₁ : b ∈ List.dlookup a (l₁.kunion l₃)
h₂ : a ∉ l₂.keys
⊢ b ∈ List.dlookup a ((l₁.kunion l₂).kunion l₃)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p
⊢ ∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ range k, f (p ^ x)
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
h : p ∣ n
⊢ 0 < n.factorization p
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
⊢ Submodule.comap reverse (p ^ n) = Submodule.comap reverse p ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
⊢ CategoryTheory.Dial.tensorUnit.src = ⊤_ C
a : Cardinal.{u}
⊢ 0 < Cardinal.lift.{v, u} a ↔ 0 < a
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsClosed s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
⊢ IsClosed (s \ u)
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) - 1 = ↑a.bit0 - ↑b.bit1
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Ω (p ^ k) = k
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
hy : y ⊆ f '' x
⊢ x ∩ f ⁻¹' maximals s y = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
inv_mem : ∀ x ∈ Algebra.adjoin F S, x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S
⊢ (IntermediateField.adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∏ x : { x // x ∈ s }, ⋯.choose * ⋯.choose
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
this : ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ = ∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, |f x| ∂μ
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
u s : Set α
a : α
has : a ∈ s
⊢ ⟨f a, ⋯⟩ ∈ (fun x => ↑((Set.image f s hf).symm x)) ⁻¹' u ↔ ⟨f a, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' u)
σ α : Type
self : ST.Ref σ α
⊢ Nonempty α
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X Y : Ω → E} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E},
  X =ᵐ[ℙ] Y → (MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ ↔ MeasureTheory.HasPDF Y ℙ μ)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : InvolutiveInv G
inst✝¹ : MeasurableInv G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
A : Set G
⊢ μ A⁻¹ = μ A
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n < m
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x < f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) < f y
G : Type u_1
Group G
x : G
m n : ℤ
⊢ x ^ m = x ^ n ↔ m ≡ n [ZMOD ↑(orderOf x)]
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
⊢ MapsTo gb (ω f ϕ s) (ω f ϕ' s')
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
m : ι → M
i : ι
c : R
x : M
⊢ f (Function.update m i (c • x)) = c • f (Function.update m i x)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ ((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯ ≤ (closure (L[[↑A]])).toFun s
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
⊢ (a * b + c) % b = c % b
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β
⊢ ∑ i : Fin n, f i = (List.map f (List.finRange n)).sum
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
⊢ Function.const ℍ x ∣[0] A = Function.const ℍ x
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
AddGroup α
M N : Matrix (m × o) (n × o) α
⊢ (M - N).blockDiag = M.blockDiag - N.blockDiag
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
⊢ Integrable f μ ↔ IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
SuccOrder β
IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, Order.succ n ∈ t → (s n ∩ s (Order.succ n)).Nonempty
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
α : Type u_1
Monoid α
HasDistribNeg α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ -a ~ᵤ b
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den
⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = num /. ↑den
α : Type u
β : Type v
g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
h : Disjoint g₁ g₂
⊢ Disjoint (Filter.comap m g₁) (Filter.comap m g₂)
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (Perfection.coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
⊢ (Perfection.coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0
α : Type u
Add α
a : WithBot α
⊢ ⊥ + a = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₃ : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
I : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
f : M →ₗ[R] M₁
g : M₁ →ₗ[R] M
⊢ B.IsAdjointPair B' f g ↔ B' ∘ₗ f = B.compl₂ g
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_3
AddCommGroup M₂
Module R M₂
M₃ : Type u_4
AddCommGroup M₃
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (LinearMap.range f) (LinearMap.range g)
⊢ LinearMap.ker (f.coprod g) = (LinearMap.ker f).prod (LinearMap.ker g)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
x : X
x✝ : x ∈ univ
⊢ ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, LipschitzOnWith C f t
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
f : α →* H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Nat.card α ∣ Nat.card H
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.inv.preimage s = r.image s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
this : b ∈ closure (e '' {x | p x})
c : γ
hc : Tendsto (f ∘ Subtype.val) (comap Subtype.val (comap e (𝓝 b))) (𝓝 c)
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + f a
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ n ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.75564, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ s.r ≫ S.f = 𝟙 S.X₂ - S.g ≫ s.s
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
J' : BoxIntegral.Box ι
hJ : J ≤ I
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ J' ∈ BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h ↔ J' = J
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iio ↑y) = Ici x ∩ Iio y
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasGradientAt f (∇ f x) x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X
⊢ a ∈ closure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Filter.Tendsto x Filter.atTop (𝓝 a)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
⊢ (A * B).FermatPsp b
ctx : Nat.Linear.Context
cs : Nat.Linear.Certificate
h : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx cs.combine → False
⊢ Nat.Linear.Certificate.denote ctx cs
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖VectorFourier.fourierSMulRight L f v‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
⊢ ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U) → (fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m).trim = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this : IsIso (pullback.snd f g)
⊢ Set.range ⇑(lift f g H').val.base = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Star R
Star α
SMul R α
SMul Rᵐᵒᵖ α
c : R
M : Matrix m n α
h : ∀ (r : R) (a : α), star (r • a) = MulOpposite.op (star r) • star a
⊢ (c • M)ᴴ = MulOpposite.op (star c) • Mᴴ
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Multiset.card s.val = s.card
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} J
inst✝ : Category.{u_4, u_2} C
P Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
X : J
⊢ autoParam (∀ (X Y : J ⥤ C) (f : X ⟶ Y), (toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding J C).map f = eqToHom ⋯ ≫ ((whiskeringRight J C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
inst✝ : IsIso η
⊢ inv (f ◁ η) = f ◁ inv η
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
f : N → M × M'
hf : Smooth J (I.prod I') f
⊢ Smooth J I fun x => (f x).1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i * 1) = ↑f i • lp.single 2 i 1
⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
n : Type u_1
p : Type u_2
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
DecidableEq n
DecidableEq p
Fintype n
Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
H :
  ∃ L L' D,
    (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * (Matrix.reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M *
        (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod =
      Matrix.diagonal D
⊢ ∃ L L' D,
  (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M * (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod =
    Matrix.diagonal D
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ
⊢ (f.pmul ↑ζ) x = f x
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ cs.wordProd [] = 1
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
a : α
⊢ Ordinal.enum r (Ordinal.typein r a) ⋯ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
⊢ r ⊔ s = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)
X Y : FintypeCat
f : X ≅ Y
x : ↑X
⊢ f.inv (f.hom x) = x
K : Type u_1
DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(q ^ n) = ↑q ^ n
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
A : ↥(symplecticGroup l R)
⊢ ↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g h : TensorProduct R (TensorProduct R M N) P →ₗ[R] Q
H : ∀ (x : M) (y : N) (z : P), g ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = h ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
⊢ g = h
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = ↑(sInf {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C})
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ -ᵥ t₁ ⊆ s₂ -ᵥ t₂
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.comp (algebraMap R A) =
  Algebra.TensorProduct.includeRight.comp (algebraMap R B)
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
η : CategoryTheory.Functor.id C ≅ F.comp G
ε : G.comp F ≅ CategoryTheory.Functor.id D
⊢ F.IsEquivalence