ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
w✝¹ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e w✝¹
w✝ : ℝ≥0∞
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e w✝
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) e
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
w : NumberField.InfinitePlace k
hw : ¬NumberField.InfinitePlace.IsUnramifiedIn K w
⊢ Even (FiniteDimensional.finrank k K)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : CuspForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f - g) z = f z - g z
x : ℂ
hx : cos x = 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[≠] x) atTop
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, CompleteLattice.SetIndependent a
⊢ CompleteLattice.SetIndependent (⋃₀ s)
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
⊢ Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 Y) y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
⊢ a.factorization ≤ b.factorization
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
⊢ ∀ x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1, ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
h : ∀ (a : α) (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
this : ∀ (a : α), ∫⁻ (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) ∂κ a = ⨆ n, ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a
n : ℕ
⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝³ : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝² : IsIso g
inst✝¹ : IsAffine Z
inst✝ : IsAffine Y
⊢ P (f ≫ g) ↔ P f
K : Type u_1
Field K
Fintype K
f : K[X]
⊢ (Polynomial.expand K q) f = f ^ q
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : ↑a * b < ↑a * c
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.zero h₁ h₂).φK = 0
α : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → α → m β
arr : Array β
as : List α
⊢ List.mapIdxM.go f as arr = (fun x => arr.toList ++ x) <$> List.mapIdxMAuxSpec f arr.size as
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : Bornology α} [inst : Bornology β] {f : α → β},
  Filter.comap f (Bornology.cobounded β) ≤ Bornology.cobounded α ↔
    ∀ ⦃s : Set α⦄, Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded (f '' s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
W X Y Z : C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom))) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
⊢ (fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) ≠ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
⊢ CompleteSpace F
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (fun x => x * 1) =o[atTop] fun x => -x * log x ^ 2
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p /ₘ 0 = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ∀ i ∈ s, (fun h => i * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
M₀ : Type u_1
CommMonoidWithZero M₀
⊢ ∀ (a : M₀ × M₀), mulMonoidWithZeroHom a = (↑mulMonoidHom).toFun a
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => x ^ (↑p - ↑q)
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : OnePoint ℕ → Y
⊢ Continuous f ↔ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop (𝓝 (f OnePoint.infty))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (CategoryTheory.plusPlusAdjunction J D).unit.app X = J.toSheafify X
α : Type u
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
Nonempty ι
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsConnected (s i)
K : ∀ (i j : ι), Relation.ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty) i j
⊢ IsConnected (⋃ n, s n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c c' : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
φ : c.pt ≅ c'.pt
winl : c.inl ≫ φ.hom = c'.inl := by aesop_cat
winr : c.inr ≫ φ.hom = c'.inr := by aesop_cat
wfst : φ.hom ≫ c'.fst = c.fst := by aesop_cat
wsnd : φ.hom ≫ c'.snd = c.snd := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.ext φ winl winr wfst wsnd).inv.hom = φ.inv
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ici (x i)) = Set.Ici x
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : q.IsRoot k
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hx : x ∈ s
⊢ s.WSameSide y z
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
c : α
⊢ s ∈ Filter.cocompact α ↔ ∃ r, (Metric.closedBall c r)ᶜ ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
s : Set (Submodule 𝕜 E)
⊢ ⨅ K ∈ s, Kᗮ = (sSup s)ᗮ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) (r • x) = r • (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
⊢ (Summable fun b => -f b) ↔ Summable f
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (s.inf f) t
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.z = u.w
R✝ : Type u
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : StarMul R
r : R
inst✝¹ : Invertible r
inst✝ : Invertible (star r)
⊢ star ⅟r = ⅟(star r)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᵐ[ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
a b : UInt32
h : a < b
⊢ ¬b < a
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : MeasureTheory.SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
⊢ BoxIntegral.integral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul = MeasureTheory.SimpleFunc.integral (μ.restrict ↑I) f
F : Type → Type v
Alternative F
h : Decidable False
⊢ guard False = failure
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
m i : ℕ
⊢ i ∣ p ^ m ↔ ∃ k ≤ m, i = p ^ k
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
⊢ ¬H = ⊤ → ¬H = H.normalizer ↔ H.normalizer = H → H = ⊤
X : Bipointed
a : ((𝟭 Bipointed).obj X).X
⊢ (Bipointed.swapEquiv.counitIso.inv.app X).toFun a = a
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.psum σ R n).IsSymmetric
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
NormalizationMonoid R
DecidableRel Dvd.dvd
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ ↑n ≤ multiplicity a b ↔ Multiset.replicate n (normalize a) ≤ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
this : map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m
⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
t : α → Finset β
f : β ↪ γ
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ Finset.map f (s.disjiUnion t h) = s.disjiUnion (fun a => Finset.map f (t a)) ⋯
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : AddLocalization S
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f) x = ((AddLocalization.addMonoidOf S).lift ⋯) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₂'.X₂ = S.L₃.X₁
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : N → M
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ (f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f = MulActionHom.id M
G : Type u_1
Group G
S : Set G
h : Submonoid.closure S = ⊤
⊢ Subgroup.closure S = ⊤
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftIsKan f g).desc s = CategoryTheory.Bicategory.lanLiftDesc s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i < n, f ↑i = a
i : ℕ
hi : i < n
ha : f ↑i = a
⊢ f (↑i % ↑n) = a
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAt inverse ↑x
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
A : Type u_1
NonUnitalNormedRing A
CompleteSpace A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
CstarRing A
NormedSpace ℂ A
StarModule ℂ A
SMulCommClass ℂ A A
IsScalarTower ℂ A A
a b : A
ha : 0 ≤ a := by cfc_tac
hab : a ≤ b
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
f f' : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ∀ a ∈ t.ite s s' ∩ frontier t, f a = f' a
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = K ⊔ J
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
hBI : f '' B ⊆ I
I₀ : Set α
hI₀ : M.Indep I₀
hbij : BijOn f I₀ I
⊢ f '' B = I
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
⊢ Tendsto (fun x => ⌈x⌉₊) atTop atTop
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝 x) (𝓝 x⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝² : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this✝¹ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
this✝ : SecondCountableTopology α
this : CompleteSpace α
⊢ PolishSpace α
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ
h₁ : ∀ (k : ℕ), log_stirlingSeq' k - log_stirlingSeq' (k + 1) ≤ 1 / 4 * (1 / ↑(k + 1) ^ 2)
⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
E : Type u_6
CommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalGroup E
⊢ ∀ (a : E × E), (ContinuousMonoidHom.mul E) a = a.1 * a.2
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hca : c ≤ a
h : a - b < a - c
⊢ c < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
Countable α
MeasurableSingletonClass α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨅ i, f i x') s x
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) * 2 ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℤ) in atBot, p ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis R S
y : S
a✝ : Nontrivial S
⊢ ∃ f, y = (aeval pb.gen) f
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
s : Set A
⊢ StarSubalgebra.map f (StarAlgebra.adjoin R s) = StarAlgebra.adjoin R (⇑f '' s)
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
δ' : α → Sort u_7
h : (i : α) → δ i → δ' i
x : α
⊢ h x (s.piecewise f g x) = s.piecewise (fun x => h x (f x)) (fun x => h x (g x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
hs : s.EquitableOn f
w : α
hw : w ∈ s
hwx : f w < f x
y : α
hy : y ∈ s
⊢ (f w).succ ≤ (f y).succ
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : UniformContinuous g
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformSpace.Completion.map g ∘ UniformSpace.Completion.map f = UniformSpace.Completion.map (g ∘ f)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℤ
⊢ (↑n).toProd.1 = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : Nonempty ι
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : g.Separable
⊢ IsSeparable F x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')
⊢ corec' (Corec.f f) (Corec.f f (some b)).2 = corec' (Corec.f f) (some b')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
⊢ BddBelow ↑(upperClosure s) ↔ BddBelow s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Even b
⊢ Odd (a - b)
α : Type u
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
⊢ BddBelow s ↔ ∀ (a : α), BddBelow (Function.eval a '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f f' : α → β
H : f =ᶠ[l] f'
g : γ → α
lc : Filter γ
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ f ∘ g =ᶠ[lc] f' ∘ g
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a.primeFactorsList.Perm b.primeFactorsList
⊢ a = b
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.aleph o) = ⊤
m n : ℕ+
⊢ (↑m).gcd ↑n = ↑m ↔ ↑(m.gcd n) = ↑m
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
H : a ∉ s
⊢ (Equiv.Set.insert H) ⟨a, ⋯⟩ = Sum.inr PUnit.unit
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.coclosedCompact X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) compl
α : Type u
β : α → Type v
x y : α
b : β y
⊢ x ∈ Finmap.singleton y b ↔ x = y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
⊢ seqClosure s = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
⊢ p ∣ c
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsAtomistic α
a b : α
⊢ a = b ↔ ∀ (c : α), IsAtom c → (c ≤ a ↔ c ≤ b)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c : C
⊢ c ∈ S.disconnect.objs ↔ c ∈ S.objs
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Set M
hs : Subsemigroup.closure s = ⊤
f g : M →ₙ* N
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ ⇑f.withTopMap = WithTop.map ⇑f
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ {x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise AddCommute
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
U : TopologicalSpace.Opens M
⊢ Smooth I I Subtype.val