ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
D : Type u_1
C : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : Function.HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : r ∈ ω.tt ![![a, b], ![b, a]]
⊢ f ![a, b] < f r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDeriv 0 f = f
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
Nonempty N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (fun x_1 x_2 => x_1 * x_2) ⟦p⟧ ⟦q⟧ = ⟦GenLoop.transAt i q p⟧
R : Type u_1
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
AddMonoid A
AddCommMonoid B
DistribMulAction R B
r : R
f : A →+ B
x : A
⊢ (r • f) x = r • f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
P : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.leftUnitor P).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (CategoryTheory.Limits.initial.to P) (𝟙 P)
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₂ = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
⊢ VanishesTrivially R m n
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
s : σ
f : α → σ × σ → (σ × σ) × β
h : ∀ (x : α) (s : σ), (f x (s, s)).1.1 = (f x (s, s)).1.2
⊢ ∃ R, R (s, s) s ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α), R s q → R (f a s).1 ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1 ∧ (f a s).2 = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).2
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
⊢ s₁.entries ~ s₂.entries → (AList.erase a s₁).entries ~ (AList.erase a s₂).entries
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : α
⊢ some a ++ some b = some (a ++ b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
X : C
p : X ⟶ X
⊢ p ≫ p = p → ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = (n + 3) / 2
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }
⊢ HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
t u : Finset α
a b : α
h : ∀ b ∈ {a}, b < a
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
⊢ φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x ≤ x - 1
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
m✝ m : Nat
⊢ dropSlice n m.succ l = dropSliceTR.go l m l n #[]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
⊢ Pi.constRingHom A R = algebraMap R (A → R)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a < 0
⊢ BddBelow (a • s) ↔ BddAbove s
m k n : ℕ+
⊢ ↑m ∣ ↑k → k.Coprime n → m.Coprime n
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s : Finset α
⊢ s.disjSups ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α × β → γ
x : α
y : β
⊢ Function.curry f x y = f (x, y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ≅ Z
⊢ f ≫ g.hom = f' ≫ g.hom ↔ f = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ → ∀ {H₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p a} {H₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p a}, List.pmap f l₁ H₁ ~ List.pmap f l₂ H₂
α : Type u_1
f : Poly α
x : α → ℕ
⊢ (-f) x = -f x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p p₀ : P
h : p ≠ p₀
⊢ EuclideanGeometry.angle p p₀ p = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_6
TopologicalSpace H
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ ↑(I.prod I').symm = Prod.map ↑I.symm ↑I'.symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
⊢ ∫⁻ (a : α), Filter.liminf (fun n => f n a) Filter.atTop ∂μ ≤ Filter.liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ) Filter.atTop
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).IsRoot x
hmo : f.Monic
⊢ x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
⊢ ∀ (j : StructuredArrow Y L), f₁.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app j = f₂.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app j
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsAtomistic α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
x : ℝ
⊢ deriv (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔
  ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
⊢ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ≤ {x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
g : α
⊢ Function.Surjective fun x => g • x
E : Type u_2
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖MulOpposite.op a‖ = ‖a‖
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallyUnramified R A
inst✝² : FormallyUnramified A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := (f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)).toAlgebra
F₁ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₁.toRingHom, commutes' := ⋯ }
F₂ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₂.toRingHom, commutes' := ⋯ }
x : B
⊢ F₁ = F₂
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [MOD n * c]
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
α : Type u_1
sep : List α
acc : Array α
x : List α
xs : List (List α)
⊢ List.intercalateTR.go (List.toArray sep) x xs acc = acc.data ++ (List.intersperse sep (x :: xs)).join
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff ℝ n fun y => √(f y)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯
⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
⊢ (∃ I u, (∀ a_1 ∈ I, IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ (↑I).pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (A i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.GridLines.T μ p f (insert i s) ≤ MeasureTheory.GridLines.T μ p (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) s
α : Type u_1
a : α
LE α
h : IsMax a
⊢ IsMax ↑a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : ULift.{u₂, u₁} C
⊢ CategoryTheory.ULift.downFunctor.obj self = self.down
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic f μ
⊢ ⇑e ∘ f = (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.of 0 = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P S.arrows) ⋯))
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G
⊢ (sum a fun i c => (t' • c) • f i) = sum a fun a b => (MonoidHom.id k) t' • b • f a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * (x - 1) = x ^ n - 1 ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
s : Set G
s_op : IsOpen s
⊢ IsOpen (⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s)
n : ZMod 9
⊢ (ZMod.castHom ⋯ (ZMod 3)) n ≠ 0 → n ^ 3 = 1 ∨ n ^ 3 = 8
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
a✝ : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x
⊢ ‖↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x‖ ≤ ‖f‖
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
aux₂ : (Function.uncurry fun x y => (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y) = {p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)
⊢ AEMeasurable ({p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)) (μ.prod volume)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
b : B
⊢ Bundle.TotalSpace.mk b ⁻¹' (a.pretrivializationAt b).source = Set.univ
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
P : C
k : (j : J) → P ⟶ f j
p : (j : J) → f j ⟶ g j
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.lift k ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.map p =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun j => k j ≫ p j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
⊢ μ (Filter.liminf s Filter.atTop) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
⊢ Filter.RTendsto r l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.core s ∈ l
α : Type u_1
xs : List α
n : ℕ
a : α
z : Sym α n
h : a ::ₛ z ∈ List.sym (n + 1) xs
⊢ a ∈ xs
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
⊢ ContinuousOn f ∅
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s : Set α
hy : y ∈ s
⊢ edist x y ≤ EMetric.infEdist x s + EMetric.diam s
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = (-1)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in -1 * 0 + 1 ..-1 * 1 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ (Continuous f ∧ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsCompact (f ⁻¹' K)) ↔ Continuous f ∧ ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
⊢ 𝕜
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (sinh ↑x).im = 0
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n (ν + 1)) =
  ↑n * (bernsteinPolynomial R (n - 1) ν - bernsteinPolynomial R (n - 1) (ν + 1))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hw : w ≠ 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle y z).sign
h : o.oangle w x = o.oangle y z
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H✝ : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length
H : k < n
⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ w₄ p₁ p₂ p₃ p₄ : ℝ≥0
⊢ w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ * p₄ ^ ↑w₄ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃ + w₄ * p₄
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Multiset.multinomial 0 = 1
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
⊢ CompleteSpace ↥(Lp E p μ)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target = s
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ mker 1 ↔ x✝ ∈ ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* MvPolynomial σ T
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.bind₂ g) ((MvPolynomial.bind₂ f) φ) = (MvPolynomial.bind₂ ((MvPolynomial.bind₂ g).comp f)) φ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s.erase a, f x = (∏ x ∈ s, f x) / f a
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
f : R → S
self : IsAbsoluteValue f
x : R
⊢ f x = 0 ↔ x = 0
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror
⊢ Irreducible p
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(X : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X : CategoryTheory.GradedObject J D
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
j : J
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).inv j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app (X j))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj (X j)).map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso 0 Y).inv)
      (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p X ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯))
a : SetTheory.PGame
n : ℕ
⊢ (a + ↑n).birthday = a.birthday + ↑n
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ (fun x => a + x) '' Ici b = Ici (a + b)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Nat.card ↥⊥ = 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (s ∩ ({x} + b • t)) / μ ({x} + b • t) < ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g
⊢ Monovary f⁻¹ g⁻¹ ↔ Monovary f g
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R
⊢ Polynomial.eval x (Lagrange.nodal s v) = ∏ i ∈ s, (x - v i)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.finsetCongr.toEmbedding = (Finset.mapEmbedding e.toEmbedding).toEmbedding
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Subsingleton ↥H
⊢ H = ⊥
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
this✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton (Fin 1 → R)
⊢ (Fin 0 → R) ≃ₗ[R] Fin 1 → R
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Star α
⊢ ((M.map star).updateRow i (star b))ᵀ = ((M.map star).updateRow i (star ∘ b))ᵀ
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ
⊢ IsRat (↑(Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ sInf t ≤ sInf s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
r : R
x : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ q.lift (r • x) = r • q.lift x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X L.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
h : ‖A‖ < 1
⊢ False
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 2 • (a ⊓ b) = a + b - |b - a|
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
r : ℝ
⊢ ∃ x, r < ‖x‖
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
i j k : A
h : i + j = k
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorComm C i j =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C i j k h).symm ≪≫ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C j i k ⋯