ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y z : E
⊢ ⟪x + y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 + ⟪y, z⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
⊢ (⨅ i, f i).sets = ⋃ t, (⨅ i ∈ t, f i.down).sets
a b c : Nat
⊢ max (a * b) (a * c) = a * max b c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
s t : Set E
h : ContDiffOn ℝ 1 f s
hc : Convex ℝ s
ht : t ⊆ s
htF : dimH t < ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ F)
⊢ Dense (f '' t)ᶜ
H : Type u_5
TopologicalSpace H
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ atlas H H ↔ e = PartialHomeomorph.refl H
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsBaseChange R' (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1)
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ TietzeExtension ↑(Metric.ball 0 r)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.IsTrail ↔ p.IsTrail
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : AddLocalization S → AddLocalization S → Prop
x y : AddLocalization S
H : ∀ (x y : M × ↥S), p (AddLocalization.mk x.1 x.2) (AddLocalization.mk y.1 y.2)
⊢ p x y
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex
⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
a b : Nat
⊢ a < b ∨ a = b ∨ b < a
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ [[a₂, b₂]] ↔ a₂ ⊓ b₂ ≤ a₁ ⊓ b₁ ∧ a₁ ⊔ b₁ ≤ a₂ ⊔ b₂
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x h, P x h) → b ↔ ∀ (x : α) (h : p x), P x h → b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.leftOp
X : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeLeftOp c).π.app X = (c.ι.app (Opposite.op X)).op
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι
⊢ StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => u (t i ω) ω) (↑p.1) p.2
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
V : OpenNhdsOf 1
this : ∀ (i : OpenNhdsOf 1), Classical.choose ⋯ ∈ clPrehaar (↑K₀) i
⊢ chaar K₀ ∈ clPrehaar (↑K₀) V
ι : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
g : β → γ
K : ℝ≥0
h : Isometry g
⊢ LipschitzWith K (g ∘ f) ↔ LipschitzWith K f
R : Type u
a b c : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).leadingCoeff = a
R : Type u_4
AddMonoidWithOne R
⊢ 1 = AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ 0
⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝¹ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝¹
this✝ : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : ↑c * ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * ↑(c ^ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * ↑(c ^ p) * (∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
⊢ x = a ∨ x ∈ s ↔ x ∈ s
k m n : ℕ+
h : (↑m).Coprime ↑n
⊢ k.gcd (m * n) = k.gcd m * k.gcd n
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → AddCommGroup (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f⁻ = fun i => (f i)⁻
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
⊢ ∀ (a_1 a'_1 : α), HEq a_1 a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ BddBelow (range fun q => f a ↑q)
α : Type u
self : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = dist y x
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ HasDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
h : s.Nonempty
⊢ x ∈ closure s ↔ Metric.infDist x s = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f‖ = ‖f‖
V : Type u
s t : Set (Sym2 V)
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet (s ∪ t) = SimpleGraph.fromEdgeSet s ⊔ SimpleGraph.fromEdgeSet t
G : SetTheory.PGame
⊢ G.Impartial ↔ G ≈ -G ∧ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).Impartial) ∧ ∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).Impartial
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (aeval x.coeff) (frobeniusPoly p n) = x.coeff n ^ p
ι : Sort u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField α
Module α ℝ
OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ a • ⨅ i, f i = ⨆ i, a • f i
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] (-(π / 2)), cos x ∈ Ioi 0
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
a : α
⊢ a ∈ s ⊔ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∏ i ∈ s, f i = (∏ x : { x // x ∈ s }, ⋯.choose) ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ (-γ).leftUnshift n hn = -γ.leftUnshift n hn
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Monotone fun a => ↑a
α : Type u_1
f : α → α
⊢ ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), Function.ptsOfPeriod f n = Function.periodicPts f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t
hf : t.Finite
⊢ ⋃ g ∈ hf.toFinset, ↑g • ↑D = ↑H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.isColimitCoconeUnopOfCone F hc).desc s =
  (hc.lift (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeUnop s)).unop
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : x ∉ range as
⊢ ⋃ i, Ici (as i) = Ioi x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toDFinsupp (s ∩ t) = Multiset.toDFinsupp s ⊓ Multiset.toDFinsupp t
a b : UInt32
⊢ a - b = { val := a.val - b.val }
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
f : β → α
b : β
⊢ {b}.sup' ⋯ f = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2
⊢ False
M : Type v
X : Type x
UniformSpace X
SMul M X
UniformContinuousConstSMul M X
c : M
x : X
⊢ ↑X (c • x) = c • ↑X x
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f 0 0 = 1
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ Function.Injective Set.Ioi
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
e : N ≃ₗ[R] M
f : ↥(skewAdjointLieSubalgebra B)
⊢ ↑((skewAdjointLieSubalgebraEquiv B e).symm f) = e.symm.lieConj ↑f
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 > x
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
i : ℕ
isLt✝ : i < n + 1 + m
⊢ (if h : i < n + 1 then cases a as ⟨i, ⋯⟩ else ⋯ ▸ bs (subNat (n + 1) ⟨i, ⋯⟩ ⋯)) = cases a (addCases as bs) ⟨i, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
α : Sort u
Countable α
⊢ ¬Uncountable α
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ lTensor P g ∘ₗ rTensor N f = map f g
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (prod (Quot.mk Setoid.r l)) μ
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
disc : TotallyDisconnectedSpace X
x y : X
h : ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Q.proj y
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
Preorder α
x y : α
h : x ≤ y
⊢ Set.Accumulate s x ⊆ Set.Accumulate s y
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf x / n ≠ 0
α : Type u_1
Denumerable α
n : ℕ
⊢ Encodable.encode (Denumerable.ofNat α n) = n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
ι : Type u_1
Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ
⊢ ¬Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
a : EReal
h : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
self : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Continuous ↑self.toPartialEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
hfs : ∀ b < f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioo b (f a)
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α
⊢ x = ⟦y⟧ ↔ ⟦x.out⟧ = ⟦y⟧
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ (f.cycleOf x).support.Nonempty ↔ f x ≠ x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : x ≠ 0
⊢ i = j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.AbsolutelyContinuous 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s
⊢ s = closure s
ι : Type u
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
DecidableEq ι
⊢ DFinsupp.sigmaUncurry 0 = 0
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : A × B
⊢ (ContinuousMonoidHom.snd A B) self = self.2
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ ⇑(LinearMap.inr R M M₂) = Prod.mk 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ ∀ t ∈ p2, (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : ↑S.objs
⊢ Function.Injective fun f => S.hom.map f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
MeasurableNeg G
MeasurableAdd G
⊢ MeasureTheory.convolution g f L.flip μ = MeasureTheory.convolution f g L μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = (MeasureTheory.Lp.const p μ) c
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, EisensteinSeries.eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => eisensteinSeries a k x)
  Filter.atTop
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
⊢ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl) = Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) (Ideal.comap (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)))
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < InnerProductGeometry.angle x (x + y)
R : Type u
Ring R
M : FGModuleCat R
⊢ ↑M.obj = ↑M
f : Nat.Partrec.Code → Nat.Partrec.Code
hf : Computable f
⊢ ∃ c, (f c).eval = c.eval
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : C
E : J.OneHypercover S
F : CategoryTheory.Sheaf J A
c : CategoryTheory.Limits.Multifork (E.multicospanIndex F.val)
i₀ : E.I₀
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GrothendieckTopology.OneHypercover.multiforkLift c)
    (F.val.map (E.f i₀).op) =
  c.ι i₀
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) ((toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
W : C
⊢ ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B), EffectiveEpiFamily X π → Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows X π)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ ⨅ i, f ↑i = ⨅ i, f i
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
a : M
⊢ (DirectSum.decomposeAddEquiv ℳ) a = (DirectSum.decompose ℳ) a
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : AddSubgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ.IsAddRightInvariant
f : G → E
hf₁ : MeasureTheory.Integrable f μ
hf₂ :
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (QuotientAddGroup.automorphize f)
    (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ =
  ∫ (x : G ⧸ Γ), QuotientAddGroup.automorphize f x ∂MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ.restrict 𝓕)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∀ (t : Set α), P t → (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t ∩ s) + (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t \ s) ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V
⊢ e ∈ p.edges ↔ e ∈ G.edgeSet
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
Monoid β
LipschitzMul β
p q : β × β
⊢ dist (p.1 * p.2) (q.1 * q.2) ≤ ↑(LipschitzMul.C β) * dist p q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), g (e j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : α → ℝ≥0
hg : Summable g
i : α
hi : 0 < g i
⊢ 0 < ∑' (b : α), g b
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi a ⊆ Set.Ioi ↑a