ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
s : Set α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ μ s < ⊤
m : ℕ
⊢ ↑(m + 1) = ↑(succ m)
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b c : α
⊢ a - (b - c) = a + c - b
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
⊢ gaugeRescale s t (c • x) = c • gaugeRescale s t x
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget (ModuleCat R)) x y
⊢ ModuleCat.FilteredColimits.colimitSMulAux F r x = ModuleCat.FilteredColimits.colimitSMulAux F r y
⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, 0 < k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
down : C
⊢ (CategoryTheory.ULift.upFunctor.obj down).down = down
α β : Type u
⊢ Cardinal.mk α + Cardinal.mk β = Cardinal.mk (α ⊕ β)
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
⊢ IsUnit p.trailingCoeff
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
y✝ : M
hy✝ : y✝ ∈ span R ↑S
a✝¹ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
a✝ : (f ^ S.sup g) y✝ = 0 y✝
⊢ (f ^ S.sup g) (x✝ + y✝) = 0 (x✝ + y✝)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ
⊢ p.restriction.coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = if b ≤ a then a else b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ ∃ s' ⊆ s, Set.BijOn f s' (f '' s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
inst✝ : SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))
a b : K
f : a ⟶ b
⊢ (E.π.app a ≫ Multiequalizer.lift (W.index (F.obj b)) (multiequalizer (W.index (F.obj a))) (fun i => Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none
⊢ (match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = a :: lookmap.go f l #[]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
⊢ IsPiSystem (Set.univ.pi '' Set.univ.pi C)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ
⊢ derivative (C ↑n) = 0
G : Type u_3
P : Type u_4
VAdd G P
self : IsCancelVAdd G P
a b : G
c : P
⊢ a +ᵥ c = b +ᵥ c → a = b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
⊢ H n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
ι : Type u_3
b : ι → Set E
p : ι → Prop
hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b
hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
⊢ (iterateFrobenius R p (m * n)) x = (⇑(iterateFrobenius R p m))^[n] x
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ SemidirectProduct.rightHom.comp SemidirectProduct.inl = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℤ
⊢ f (x + (2 * k) • c) = ↑(2 * k).negOnePow • f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
h : Function.Semiconj f ga gb
h' : Function.Semiconj f ga' gb'
⊢ Function.Semiconj f (ga ∘ ga') (gb ∘ gb')
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
R' S' : Type u
CommRing R'
CommRing S'
f : R →+* S
Algebra R R'
Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : RingHom.LocalizationPreserves P
r : R
IsLocalization.Away r R'
IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
⊢ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
α : Type u_1
Sup α
Inf α
sup_comm : ∀ (a b : α), a ⊔ b = b ⊔ a
sup_assoc : ∀ (a b c : α), a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ (b ⊔ c)
sup_idem : ∀ (a : α), a ⊔ a = a
inf_comm : ∀ (a b : α), a ⊓ b = b ⊓ a
inf_assoc : ∀ (a b c : α), a ⊓ b ⊓ c = a ⊓ (b ⊓ c)
inf_idem : ∀ (a : α), a ⊓ a = a
sup_inf_self : ∀ (a b : α), a ⊔ a ⊓ b = a
inf_sup_self : ∀ (a b : α), a ⊓ (a ⊔ b) = a
⊢ SemilatticeSup.toPartialOrder = SemilatticeInf.toPartialOrder
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
FiniteDimensional k V
s : Set ι
b : AffineBasis (↑s) k P
⊢ s.Finite
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x : P₁
⊢ (AffineEquiv.pointReflection k x) x = x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
a : L
⊢ 0 a = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : IsStrongAntichain r s
h : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a ≠ b → ∀ (c : α), ¬r a c ∨ ¬r b c
⊢ IsStrongAntichain r (insert a s)
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
l₁.NeBot
l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
ht₁ : Filter.Tendsto f l₁ Filter.atBot
ht₂ : Filter.Tendsto f l₂ Filter.atTop
⊢ Set.univ ⊆ f '' s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l
ha : ⊥ < o
hslt : ((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o
he : eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) '' {m | m < l})
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)
⊢ eval (π C fun x => ord I x < o) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o) '' {m | m < l})
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p * b ^ 2 - p < (b ^ 2) ^ (p - 1 + 1) - 1
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M : Action V G
⊢ (𝟙 M).hom = 𝟙 M.V
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)
⊢ Indep (limsup s atTop) (limsup s atTop) κ μα
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ W.Ψ ↑n = Polynomial.C (W.preΨ' n) * if Even n then W.ψ₂ else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
⊢ Acc r x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∫⁻ (x : β), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂Measure.map f μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hg : Measurable g
c : γ
g' : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (b : β), g' b ∂(κ.comap g hg) c = ∫⁻ (b : β), g' b ∂κ (g c)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree
⊢ p.natDegree = q.natDegree
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ n ≤ m.succ
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
⊢ ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
R : Type u
I : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : Nonempty I
inst✝ : DecidableEq I
⊢ Pairwise (IsCoprime on s) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ (pointReflection R (midpoint R x y)) y = x
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ⇑(f (f.ind x hx)) =ᶠ[𝓝 x] 1
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
nM : Nontrivial M
⊢ ¬IsSMulRegular M 0
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ : CategoryTheory.Functor J C
F₂ F₂' : CategoryTheory.Functor J C
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft F₁ g).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁.obj j) (F₂'.obj j)) =
  CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (F₁.obj j) (F₂.obj j)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.Nonempty → Nonempty α
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
f : α → β → PMF γ
b : γ
⊢ (p.bind fun a => q.bind (f a)) b = (q.bind fun b => p.bind fun a => f a b) b
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
this : Countable ↑b
T : ↑b → TopologicalSpace α
Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t
Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α
h✝ : ∀ (s : ↑b), IsClosed (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
Topen : ∀ (s : ↑b), IsOpen (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
t' : TopologicalSpace α
t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
⊢ Continuous f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
self : IsHilbertSum 𝕜 G V
⊢ Function.Surjective ⇑⋯.linearIsometry
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ a / r < b ↔ a < b * r
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
⊢ x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ico a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ico ↑a ↑b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (f ⊓ map u atTop).NeBot
⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f
F : Type u
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
f : K[X]
Polynomial.IsSplittingField K L f
i : L →ₐ[K] F
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet F) = i.range
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖f x‖₊ = ‖x‖₊
n a b : ℤ
⊢ -a ≡ -b [ZMOD n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
n m✝ m : ℕ
a b : Fin n
⊢ (fun x => x.addNat m) a = (fun x => x.addNat m) b → a = b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))
n : ℕ
NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ (a + b).val = a.val + b.val - n
r : ℝ
⊢ (↑r).Infinitesimal → r = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)
r : R
hr : ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a != b) = false ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ G.edgeFinset.card ≤ 3 * (G.cliqueFinset 3).card
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T25Space Y
f : X → Y
hinj : Function.Injective f
hcont : Continuous f
⊢ T25Space X
x : ℂ
⊢ Complex.exp ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.exp x)
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {a : R}, a ≠ 0 → f (C a * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) (C a * X))) l atTop
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x = ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
hf : Function.Surjective f
hg : Function.Surjective g
⊢ Function.Surjective (Prod.map f g)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
hs₁ : p ∈ s₁
hs₂ : p ∈ s₂
h : s₁.center = s₂.center
⊢ s₁.radius = s₂.radius
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
s : Set X
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ IsCompact (closure s)
R : Type u_1
K : Type u_3
L : Type ?u.74540
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : IsScalarTower R K S
inst✝ : IsFractionRing R K
⊢ map (algebraMap R S) (minpoly R x) /ₘ (X - C x) = map (algebraMap K S) (minpoly K x) /ₘ (X - C x)
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.Restriction M
⊢ N.E ⊆ M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : StrictAnti f
⊢ f '' Set.Iio b ⊆ Set.Ioi (f b)
R : Type u_1
Ring R
IsDomain R
hS : IsEmpty (OreLocalization.OreSet R⁰)
⊢ ℵ₀ ≤ Module.rank R R
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
h : v x ≠ 0
⊢ {y | v y = v x} ∈ 𝓝 x
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
IsEmpty ι
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑f
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
⊢ f ∈ ⊤
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
v : α
h : i < a.size
⊢ a.swapAt! i v = (a[i], a.set ⟨i, h⟩ v)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M → N
hf : Injective f
⊢ (mapDomain f s).prod h = s.prod fun a b => h (f a) b
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
x✝ : ↥(torsion G)
x : G
n : ℕ
npos : n > 0
hn : Function.IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1
⊢ ↑(⟨x, ⋯⟩ ^ n) * 1 = 1
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
⊢ #(R × R × R × R) = #R ^ 4
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g) ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ univ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : TopologicalSpace.Compacts X), Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (F i)‖
⊢ Summable F
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * (ρ.fst ⊗ₘ ρCond) ({x} ×ˢ s)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * ((cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * (cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹)))) = 1
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₁
⊢ e * e' = e'.trans e
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < ↑n + b
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
h₁ : ν ≤ μ
⊢ μ - ν + ν = μ
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
Fintype ι
i : ι
m : β i
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype.symm (Pi.single i m) = DFinsupp.single i m
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
⊢ IsUnit (LaurentPolynomial.T n)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ b ⇨ a ⇔ b = b ⇨ a
α✝ : Type u_1
α : Type u
r : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
⊢ Quotient (Submodule.quotientRel ⊥.closure) = (α ⧸ ⊥.closure)
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
Preorder α
DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
⊢ (Matrix.blockDiagonal d).BlockTriangular Prod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq 0 n) s = 0
⊢ (sFiniteSeq 0 n) s = 0 s