ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ Set.MapsTo f s t
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = p₁ ↔ p₀ = p₁ ∨ c = 1
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
FiniteDimensional k V
b : AffineBasis ι k P
⊢ Finite ι
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ ∀ x ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * x = z * x * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b✝ : α
s : Finset β
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ a = if b = b then a else 1
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ
⊢ ∃ g, (Function.LeftInverse g fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse g fun a => ↑m • a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
AddGroup G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
self : LieAddGroup I G
⊢ Smooth I I fun a => -a
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen s) fun x => x
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
Div M₀
MulDivCancelClass M₀
b : M₀
a : M₀
hb : b ≠ 0
⊢ a * b / b = a
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite ν
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientAddGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
r : ℝ≥0∞
⊢ a ∈ EMetric.ball 1 r ↔ ↑‖a‖₊ < r
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : ¬p i
⊢ (DFinsupp.filter p f) i = 0
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
y z : ℝ
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝³ : X₃.HasTensor X₄
inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A
inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g
i₁ i₂₃₄ : I
h' : i₁ + i₂₃₄ = j
⊢ ∀ (i₁_1 i₂ i₃ : I) (h : i₁_1 + i₂ + i₃ = i₂₃₄), X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₁_1 i₂ i₃ i₂₃₄ h ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₁_1 i₂ i₃ i₂₃₄ h ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
h : f x = x
y : α
⊢ (if f.SameCycle x y then f y else y) = y
n m : Nat
k : Nat
h : n ≤ m
⊢ n * k ≤ m * k
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
x : G
⊢ (IsometryEquiv.addRight x).symm = IsometryEquiv.addRight (-x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
⊢ f.preimage Set.univ = f.Dom
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
h : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) 1
n : ℕ
⊢ (if n ∈ {n | ↑n = 1} then 1 / ↑n else 0) ≤ if n = 0 then 0 else ‖χ ↑n‖ / ↑n
f g : ℕ → ℝ
⊢ Hyperreal.ofSeq f < Hyperreal.ofSeq g ↔ ∀ᶠ (n : ℕ) in ↑(Filter.hyperfilter ℕ), f n < g n
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
x : MonoidAlgebra k G
y : (Representation.ofMulAction k G G).asModule
⊢ x • y = x * y
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
nop : ∀ {n : ℕ}, n % 4 = 3 → (-1) ^ (n / 2) = -1 := @neg_one_pow_div_two_of_three_mod_four
⊢ J(↑a | b) = -J(↑b | a)
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.prev x hx = l'.prev x ⋯
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ - (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
f : Type u₀ → Type u₁
self : EquivFunctor f
α β γ : Type u₀
k : α ≃ β
h : β ≃ γ
⊢ EquivFunctor.map (k.trans h) = EquivFunctor.map h ∘ EquivFunctor.map k
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
⊢ (l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨0, ⋯⟩) ~r l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan Δ).inj A ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).map θ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (CategoryTheory.Limits.image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫
    ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan Δ').inj (A.pull θ)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Ioc b c = Set.Ioc (b + a) (c + a)
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix m₁ n R
B₂ : Matrix m₂ n R
⊢ A₁.fromRows A₂ = B₁.fromRows B₂ ↔ A₁ = B₁ ∧ A₂ = B₂
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
Zero R
Zero S
SMulWithZero S R
SMul S M
r : S
m : M
⊢ TrivSqZeroExt.inr (r •> m) = r •> TrivSqZeroExt.inr m
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0
⊢ C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d
this✝ : ↑n % ↑d = ↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
this : d.Coprime n
⊢ (↑n % ↑d).natAbs.Coprime d
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
⊢ ↑s v = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α
n : ℕ
⊢ count a (replicate n b) = if a = b then n else 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).gcd = gcd s₁.gcd s₂.gcd
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
Star A
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
⊢ Function.Injective (NonUnitalStarAlgHom.restrictScalars R)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
x y : R × ↥M
⊢ (IsLocalization.lift hg) (IsLocalization.mk' S x.1 x.2) = (IsLocalization.lift hg) (IsLocalization.mk' S y.1 y.2) ↔
  g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2)
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, |v - (of v).convs n| < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : β → γ
g : α → β
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
⊢ LocallyLipschitz (f ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid β
f : α → β
a b : α
⊢ ∏ i : Fin (Nat.succ 0).succ, f (![a, b] i) = f a * f b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
⊢ ((fun f => { app := fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun f => { app := fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X), naturality := ⋯ }) f)).app X = f.app X
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : ⌊(triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹⌋₊ < Fintype.card G
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d
⊢ Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ self.inl ≫ self.fst = 𝟙 P
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
IsRightCancelAdd α
ZeroLEOneClass α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x : α
⊢ {x}ᶜ.Nonempty
α : Type u_2
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(s - t) = ↑s - ↑t
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd α α
s t : Set α
⊢ s + interior t ⊆ interior (s + t)
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
p₁ p₂ : Pullback f g
he : (p₁, p₂).1.snd = (p₁, p₂).2.snd
⊢ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' {p | p.fst = p.snd} ↔ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 ∧ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
s : Finset { a // a ∈ S }
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
⊢ m ∈ ⨆ i ∈ Finset.map (Function.Embedding.subtype S) s, i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) ⊆ ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a b : α
ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (a * b)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ IsSeparating 𝒢.unop ↔ IsCoseparating 𝒢
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
f : p.obj a ⟶ p.obj b
h : CommSq (p.map φ) (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯) f
⊢ p.IsHomLift f φ
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖2 * ↑i * Real.sin (2 * π * a * ↑i) * rexp (-π * ↑i ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t i
α : Type u
a b c : α
LT α
h₁ : a = b
h₂ : b < c
⊢ a < c
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
⊢ IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (F.rightOp ⋙ coyoneda) A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
a : α
c : γ
⊢ (Equiv.prodSumDistrib α β γ) (a, Sum.inr c) = Sum.inr (a, c)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ (Ordinal.type fun x y => r x.down y.down) = Ordinal.lift.{v, u} (Ordinal.type r)
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
val : α
hv : val = ↑u
inv : α
hi : inv = ↑u⁻¹
⊢ u.copy val hv inv hi = u
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ IsIntegral A ((↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x))
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
n m : ι
⊢ (HomologicalComplex.coconeOfHasColimitEval F).pt.d n m =
  CategoryTheory.Limits.colimMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : V ↪ W
inst✝ : Subsingleton V
⊢ SimpleGraph.map f G ≤ G'
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.coeffs 0 = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
N : ℕ
hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε
F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n
hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hFε : ∀ (i : Fin N), eLpNorm (sᶜ.indicator (F i)) p μ ≤ ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ℕ), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
ψ θ : Angle
⊢ 2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π
C : Type u_2
D : Type ?u.34421
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.34429, ?u.34421} D
X Y : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ S.arrows f
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1
hy : y ≠ 0
z : R
hzy : z * y = 1
⊢ IsUnit x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ Submodule.span k (↑(s1 ⊓ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊓ s2)) ≤ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊓ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M
⊢ ∀ (g : G), ((ofModule M).asAlgebraHom ((of k G) g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((of k G) g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_10
V : ι → Type u_11
P : ι → Type u_12
(i : ι) → AddCommGroup (V i)
(i : ι) → Module k (V i)
(i : ι) → AffineSpace (V i) (P i)
i : ι
f : (i : ι) → P i
⊢ (AffineMap.proj i) f = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Set α
t : α → Set β
h : s ⊆ s'
⊢ ⋃ x ∈ s, t x ⊆ ⋃ x ∈ s', t x
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
u : Set τ
hu : u ∈ f₂
⊢ closure (image2 ϕ (m '' (m ⁻¹' u)) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
this : Finsupp.total ι A R x = (aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X
⊢ Injective ⇑(Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
inst✝ : Fintype R
⊢ ↑(card R) = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Ioo a b).card = ∏ i : ι, (Finset.Icc (a i) (b i)).card - 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ N
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
⊢ (f.map hy k) (f.toMap x) = k.toMap (g x)
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ Matrix.J l R * Matrix.J l R = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a b : α
⊢ toLex (Sum.inl a) ≤ toLex (Sum.inl b) ↔ a ≤ b
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
M : Type u_4
Monoid M
L : List M
i : ℕ
p : i < L.length
⊢ (List.take (i + 1) L).prod = (List.take i L).prod * L[i]
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ dist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ r
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 < n
h : a < b
⊢ a ^ n < b ^ n
ι : Type u_2
Fintype ι
x : ι → ℝ
⊢ MonotoneOn (dist x) (Set.Ici x)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : ↥S.op), S.mopAlgEquivOp.symm a = MulOpposite.op (S.addEquivOp.symm a)
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
k : ℕ
h2 : 1 ≤ 2 * k
h3 : 2 * k ≤ 3
⊢ 2 * k = 2
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : OrderedCommMonoid α
hβ : OrderedCommMonoid β
f : α →*o β
⊢ f.toOrderHom = ↑f
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ Real.nnabs x = x.toNNReal
p : ℝ
⊢ (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (-φ).τ₁ = -φ.τ₁
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.IH4 x₁ x₂ y → Surreal.Multiplication.IH4 (-x₂) (-x₁) y ∧ Surreal.Multiplication.IH4 x₁ x₂ (-y)
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
UX : AlgebraicGeometry.Scheme
H : P f
i : UX ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion i
⊢ P (i ≫ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ ENNReal.ofReal M ≠ 0
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n
h2 : n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1)
⊢ False
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p
⊢ ∀ (a b : ZMod 4), a ^ 2 + b ^ 2 ≠ ↑3
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
hf : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearIndependent 𝕜 g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
f : K ⟶ L
⊢ HomologicalComplex.quasiIso C c f ↔ QuasiIso f
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → AddMonoid (M i)
j : ι
hj : AddMonoid.exponent (M j) = 0
⊢ AddMonoid.exponent ((i : ι) → M i) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
⊢ {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : IsOpenMap ⇑f
U : Opens ↑X
S : Sieve U
hU : S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
x : ↑X
hx : x ∈ ↑U
V : Opens ↑X
i : V ⟶ U
hV : S.arrows i
hxV : x ∈ V
⊢ ∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward hf.functor S).arrows f_1 ∧ f x ∈ U_1
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ IsClosed (eval ⁻¹' Ici 0)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
x y : E
⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y