ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a
⊢ limsup (u + v) f < a + b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f + L'.compLp f)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ : Set α
⊢ μ s₁ - μ s₂ ≤ μ (s₁ \ s₂)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ = h.h₀ + S₁.f ≫ h.h₁ + φ₂.τ₁
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ d, ↑(f ↑d) < r
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : AddMonoid G
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : k[G] →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ F f = sum f fun a b => b • F (single a 1)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.psum σ R n = ∑ i : σ, MvPolynomial.X i ^ n
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
⊢ EquivLike.inv f = ⇑f.symm
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
ht : IsLowerSet t
⊢ IsUpperSet (s - t)
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
VAdd M α
VAdd M β
a : M
x : α × β
⊢ (a +ᵥ x).swap = a +ᵥ x.swap
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x
α : Type u
a b : α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s ⊆ {a, b} ↔ s = {a} ∨ s = {b} ∨ s = {a, b}
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n
⊢ n = n - k + k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Iic)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
μ'.IsAddHaarMeasure
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b
⊢ μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix n n 𝕜
e : n ≃ Fin (Fintype.card n)
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
u : Set Z
hf : Continuous (Function.uncurry f)
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ closure t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b ∈ u
⊢ f x y ∈ closure u
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
⊢ MeasurableSet s
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * x) z
⊢ IsCoprime y z
x y : PSet
⊢ ZFSet.mk x = ZFSet.mk y → x.Equiv y
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ commutator G = Subgroup.closure (commutatorSet G)
α : Type u_1
f : ℕ → α
a : ℕ
hf : Periodic f a
n : ℕ
⊢ f (n % a) = f n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν s : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
⊢ s = μ.singularPart ν
R : Type u
CommRing R
Nontrivial R
ι : Type u_1
Fintype ι
f : ι → R
hfs : (∏ i : ι, (Polynomial.X - Polynomial.C (f i))).Separable
⊢ Function.Injective f
a b : ℤ
⊢ a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (bind₁ onePoly) (C (↑p ^ 0) * X 0 ^ p ^ (n - 0)) = 1
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Multiset.Icc a b ↔ a ≤ b
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
⊢ a ∈ grade R m ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) i = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ
G₀ : Type u
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a * a⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : Fintype ι'
f : ι' ≃ ι
s : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) (Measure.pi fun i' => μ (f i'))) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * b / c ≤ d
hc : 0 < c
⊢ b * a ≤ d * c
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
⊢ i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
R : Type u_1
CommRing R
g : SL(2, R)
⊢ IsCoprime (↑g 1 0) (↑g 1 1)
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∃ c, ∀ (x : X), ↑(f x) ≤ ↑c
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).K = F.obj h.K
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
h0 : R ≠ 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : CommMonoid N
v : α →₀ M
h : α → M → N
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
⊢ ((subtypeDomain p v).prod fun a b => h (↑a) b) = v.prod h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
self : Affine.Simplex k P n
⊢ AffineIndependent k self.points
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (insert a s).ncard = s.ncard + 1
step : Nat := 1
s n m : Nat
⊢ List.range'TR.go step n (s + step * n) (List.range' (s + step * n) m step) = List.range' s (n + m) step
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b c : α
⊢ a / (b / c) = a * c / b
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J
h_prM : ¬M.IsPrime
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}
x : R
hx : x ∉ M
y : R
hy : y ∉ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}
⊢ span R {x} * span R {y} ≤ M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
⊢ μ t ≠ ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ mabs a = mabs b ↔ a = b ∨ a = b⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ (∀ (a b : α), (∀ s ∈ 𝓤 α, (a, b) ∈ s) → a = b) → ∀ (x : α), ∀ s ∈ 𝓤 α, (x, x) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ∀ (a : α), e a ∈ t ↔ a ∈ s
⊢ Set.BijOn (⇑e) s t
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℂ E
⊢ FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2 * FiniteDimensional.finrank ℂ E
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g +ᵥ x) = f x
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
b : α
hb : b ≠ 0
a : WithTop α
⊢ a * ↑b = Option.bind a fun a => some (a * b)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : 0 < n
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
α : Type u
⊢ Cardinal.mk ↑Set.univ = Cardinal.mk α
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ
x : ↑(Metric.sphere 0 r)
⊢ ‖↑x‖ = r
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
c : 𝕜
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
⊢ IntegrableAtFilter (c • f) l μ
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
⊢ 2 • x = x + x
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
⊢ ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ ∀ {X_1 Y : PresheafOfModules R} (f : X_1 ⟶ Y),
  (PresheafOfModules.forgetToPresheafModuleCat X hX).map f = PresheafOfModules.forgetToPresheafModuleCatMap X hX f
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) S
ι : Type u
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
⊢ (DFinsupp.single i (DFinsupp.single j x)).sigmaUncurry = DFinsupp.single ⟨i, j⟩ x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.one ⊗ N.one) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).index ≤ H.index * K.index
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
h : p.1 = q.1
⊢ q.1 + p.2 = q.1 + q.2
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
s : Set α
h : s.Finite
⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : Basis.SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
⊢ ⇑(snf.bM.repr ↑m) ∘ ⇑snf.f = snf.a • ⇑(snf.bN.repr m)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
P : Prop
Decidable P
m n : ℕ
⊢ ↑(if P then m else n) = if P then ↑m else ↑n
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a / b ≤ c ↔ a / c ≤ b
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
n : ℕ
⊢ SignType.sign (x ^ n) = SignType.sign x ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ LinearIndependent 𝕜 v
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
h₁' : ↑n / ↑d < 0
h₂' : -1 < ↑n / ↑d
⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
a b n : ℕ
⊢ (if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k => p ^ ((k + n - 1) / n)) = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1
α : Type u_1
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
h1 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h2 : orderOf σ = Fintype.card α
⊢ σ.IsCycle
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (algebraMap (HomogeneousLocalization 𝒜 x) (at x)) y = y.val
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.65248, u_3} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
hW : W ≤ MorphismProperty.isomorphisms C
inst✝ : L.IsEquivalence
⊢ L.IsLocalization W
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s ⊆ closure s
α : Type u_1
f : α → α
s : Set α
h : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ (Set.MapsTo.restrict f s s h)^[n] = Set.MapsTo.restrict f^[n] s s ⋯
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0
x y : α
h' : k * x = k * y
⊢ k * (x - y) = 0
R : Type u
CommSemiring R
p q : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R (p ^ q)) f = (⇑(Polynomial.expand R p))^[q] f
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
h : IsTorsionFree α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s * t).card
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ A ^ (↑m * ↑n) = (A ^ ↑m) ^ ↑n
K : Type u_2
M : Type u_3
Field K
AddCommGroup M
Module K M
Module.Finite K M
φ : Module.End K M
⊢ [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, Polynomial.constantCoeff (LinearMap.charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0,
    LinearMap.ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
⊢ Continuous p.sum
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
⊢ False
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
this✝ : IsWellOrder ι r
r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
this : IsWellOrder (↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}) r'
⊢ ∃ o f, a.IsFundamentalSequence o f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ι
this : {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | τ ω ≤ min i j}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ min i j}
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊔ S₂).unop = S₁.unop ⊔ S₂.unop
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hfi : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
a b c : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ b * a = c * a ↔ b = c
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
⊢ g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup G
AddAction G β
g : G
f : α ↪ β
⊢ g +ᵥ f = f.trans (Equiv.toEmbedding (AddAction.toPerm g))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsMaxOn (g ∘ f) s a
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
⊢ (CategoryTheory.Over.forgetCocone X).pt = X
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
f₁ f₂ : G ≃+ G'
⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ g = f₂ g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
x : E
u : ↥U
⊢ ⟪x, ↑u⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL u⟫_𝕜
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0
δ : ι → 𝕜
hδ0✝ : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0
hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i
hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖
a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖
hδ0 : 0 < ∏ i : ι, ‖δ i‖
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
w : f ≠ 0
⊢ ¬CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
τ₁ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
τ₂ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₂
τ₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₁ S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f τ₂
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ₂ S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homMk τ₁ τ₂ τ₃ comm₁₂ comm₂₃).τ₃ = τ₃
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
h : a ^ 2 ≤ b ^ 2
hb : 0 ≤ b
⊢ |a| ≤ b
R : CommRingCat
⊢ identityToΓSpec.app (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)) ≫ Spec.toLocallyRingedSpace.map (SpecΓIdentity.inv.app R).op = 𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
⊢ (mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
w✝ : b :: l ≠ []
h₂ : x = (b :: l).getLast w✝
⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring E✝
inst✝⁸ : Semiring K✝
inst✝⁷ : SMul F✝ E✝
inst✝⁶ : Algebra E✝ K✝
inst✝⁵ : CommSemiring F✝
inst✝⁴ : Algebra F✝ K✝
inst✝³ : IsScalarTower F✝ E✝ K✝
L : Subalgebra F✝ K✝
F : Type u_4
inst✝² : CommSemiring F
E : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring E
inst✝ : Algebra F E
K : Subalgebra F E
S : Set E
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U V : Y.Opens
e : U = V
⊢ f.val.c.app (op V) ≫ ((Presheaf.pushforward CommRingCat f.val.base).obj X.presheaf).map (inv (eqToHom ⋯).op) = Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op