ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖(tprodL 𝕜) fun i => (f i) (m i)‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u v : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
hu : u =ᵐ[μ] s
hv : v =ᵐ[μ] t
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ u v
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ logDeriv (f ∘ g) x = logDeriv f (g x) * deriv g x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
⊢ ∀ {X Y : J ⥤ C} (α : X ⟶ Y), CategoryTheory.Limits.lim.map α = CategoryTheory.Limits.limMap α
K : Type u_5
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
Semifield K
AddCommMonoid V
Module K V
AddCommMonoid V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
⊢ LinearMap.ker (a • f) = ⨅ (_ : a ≠ 0), LinearMap.ker f
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {F : Type u_5} [inst : FunLike F α β]
  [inst_1 : RingHomClass F α β] (f : F) (p : Prop) [inst_2 : Decidable p], f (if p then 0 else 1) = if p then 0 else 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n ↑f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_14, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
∀ (X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂) (X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃),
    ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapFunctorObj F p X₁).obj X₂).obj X₃ =
  CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f g : X ⊞ Y ⟶ Z
h₀ : CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ f = CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ g
h₁ : CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ f = CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ g
⊢ f = g
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : a < b
⊢ 1 / b < 1 / a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
⊢ LipschitzWith (1 + 1) (uncurry dist)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀ μ
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ (f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀ = (f₀ ⋆[L, μ] fun a => (fderiv 𝕜 g₀ a) 1) x₀
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))) = (TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ((TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {f b}
j_property : f a = f b
⊢ eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = if ⟨b, ⋯⟩ = ⟨a, j_property✝⟩ then 𝟙 (s (f b)) else 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
⊢ ∏ i : ι, ∫ (x : ℝ), cexp (-b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x) = ∏ i : ι, (↑π / b i) ^ (1 / 2) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i))
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
⊢ False
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot
⊢ ↑(map m (ofComapInfPrincipal h)) ≤ ↑g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
v : V
DecidableRel G.Adj
⊢ G.neighborFinset v = Finset.filter (G.Adj v) Finset.univ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ 0 < f' x
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
⊢ Polynomial.Splits i 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
htf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ ⋃ i, t i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (iUnionLift t f htf T hT ⁻¹' s)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
hMq : M.toQuadraticMap'.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ M *ᵥ x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
t : biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst ≫ f = biprod.inl ≫ biprod.fst
⊢ (biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst) ≫ f = 𝟙 Y
p : ℚ → Prop
⊢ (∃ r, p r) ↔ ∃ a b, p (↑a / ↑b)
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ (List.filter p l₁).length ≤ (List.filter p l₂).length
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : R
x : Multiset R
IH : trop x.inf = (map trop x).sum
⊢ trop (s ::ₘ x).inf = (map trop (s ::ₘ x)).sum
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ mk (f + g) = mk f + mk g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ K ≤ Kᗮᗮ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |↑y| = ↑y
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
⊢ (pb.lift y hy) pb.gen = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.Prod.braiding C D).functor.obj X = (X.2, X.1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M
⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = (g ∘ₗ liftAlternating f) v
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α
b : WithBot αᵒᵈ
⊢ a < WithBot.ofDual b ↔ b < WithTop.toDual a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
⊢ P = span {x}
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(S i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : γ
⊢ (∃ f, (f.sum fun x => ⇑(S x).subtype) = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hyi : y ∈ I.radical
⊢ x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ J.radical
p : Prop
α : Sort u_1
Nonempty α
f : p → α
a : p
⊢ Function.sometimes f = f a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
h : ∀ (m : M) (hm : m ∈ ↑N), ((LieModule.toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N := ⋯
⊢ LinearMap.restrict ((LieModule.toEnd R L M) x) h = (LieModule.toEnd R L ↥↑N) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2
α : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
DecidableEq ι
Fintype ι
⊢ s.piDiag ι ⊆ Fintype.piFinset fun x => s
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
c : Con N
x y : M
⊢ (Con.comap f H c) x y ↔ c (f x) (f y)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (e.restrOpen s hs).source = e.source ∩ s
n : ℕ
⊢ Finset.Nat.antidiagonalTuple 0 n.succ = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter (⇑f.linear + fun x => f 0) (f.linear 1) x L
α : Type u_1
MeasurableSpace α
StandardBorelSpace α
⊢ ∃ f, MeasurableEmbedding f
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n✝ : ℕ
n : ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ (a ^ n)⁻¹ * a ^ n = 1
α : Type u_2
Div α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ / t ⊆ s₁ / t ∩ (s₂ / t)
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f g : Filter X
H : ClusterPt x (f ⊓ g)
⊢ ClusterPt x g
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (List.replicate n a).toFinset = {a}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
t : ↑(F.obj X)
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => X) t) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
r : R
x : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ q.lift (r • x) = r • q.lift x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
Nonempty ι
Nonempty ι'
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : ι' → α
H : ∀ (i : ι) (j : ι'), g i * h j ≤ a
⊢ iSup g * iSup h ≤ a
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
LinearOrder n
IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
Fintype n
hS : S.PosDef
i j : n
h₀ : i ≠ j
⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (LDL.lowerInv hS i),
    (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (S.transpose.mulVec (LDL.lowerInv hS j))⟫_𝕜 =
  0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =o[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
f : F
hf : Injective ⇑f
s t : Finset α
⊢ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊻ t) = map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊻ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
f g : M [⋀^ι]→L[R] N
TopologicalAddGroup N
m : ι → M
⊢ (f - g) m = f m - g m
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s t : ↥S
⊢ (r₁ * ↑s /ₒ t) • (r₂ /ₒ s) = r₁ • r₂ /ₒ t
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ P.d 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next 0) 0 = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm
s : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (⇑e) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i))) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
M : Type u_2
MulOneClass M
s : Set M
⊢ (Submonoid.closure s).op = Submonoid.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
a b : ℝ≥0∞
h : b ≤ a
ha : a ≠ ⊤
⊢ (a - b).toReal = a.toReal - b.toReal
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a b : X × Y
h : a ⤳ b
⊢ a.2 ⤳ b.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
Z : C
k : t.pt ⟶ Z
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso ht Z) k) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.π k
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
⊢ y + z ≠ 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Ring R
Ring R₂
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
⊢ LinearMap.ker f = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A₀ A₁ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
h : A₀.a ≅ A₁.a
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map h.hom) A₁.str = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A₀.str h.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.isoMk h w).inv.f = h.inv
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ ∀ (a b c : Finset α), a ○ b ○ c ≤ a ○ (b ○ c)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
x : F
⊢ x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ ⇑f.toEquiv '' fundamentalDomain b
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ term δ s n = if n = 1 then 1 else 0
X Y : CommGrp
a : ↑X →* ↑Y
⊢ CommGrp.toAddCommGrp.map a = MonoidHom.toAdditive a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f a = s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a
G : Type u
H : Type v
Mul G
Mul H
f : H →ₙ* G
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ UniqueProds G → UniqueProds H
m : ℕ
NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
l : ZMod m
hs : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
⊢ Summable ({n | ↑n = l}.indicator f)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)) s μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
c : M'
⊢ SmoothWithinAt I I' (fun x => c) s x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f
    (FirstOrder.Language.Substructure.map f S ⊓ FirstOrder.Language.Substructure.map f T) =
  S ⊓ T
α : Sort u
motive : α → Prop
a b : α
h₁ : Eq a b
h₂ : motive a
⊢ motive b
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddBelow s
⊢ sInf s = sInf Set.univ
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
⊢ range (p.liftQ f h) = range f
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x : (Quotient.out 1).α
⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) x = 0
a b : ℕ+
⊢ a < b → a + (b - a) = b
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
x : CoprodI G
⊢ (lift f) x ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
hd : discrim (⟪v, v⟫_ℝ) (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ)
⊢ 2 ≠ 0
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
IsPRadical g p
IsPRadical (g.comp i) p
⊢ (PerfectRing.liftEquiv M g p) ((PerfectRing.liftEquiv M i p) j) = (PerfectRing.liftEquiv M (g.comp i) p) j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A B : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ ∀ {C_1 : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F} (f : A ⟶ B) (g : B ⟶ C_1),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).val = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.val g.val
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl_im : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0
⊢ (fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
C : G.ConnectedComponent
⊢ φ.connectedComponentEquiv C = SimpleGraph.ConnectedComponent.map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
b : WithBot α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ↑a ≤ b
⊢ l.maximum ≤ b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (Accumulate f)
⊢ μ (⋃ x, Accumulate f x) = ⨆ i, μ (Accumulate f i)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
a : V
⊢ ↑((RelIso.symm G.induceUnivIso) a) = a
G : Type u_1
Group G
Fintype G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (n % ↑(Fintype.card G)) = a ^ n
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
⊢ L.FG
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => deriv (fun x => term f x i) s) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : ↥M
⊢ ↑((toInvSubmonoid M S) x) = mk' S 1 x
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))