ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖f y‖₊
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖f x‖₊
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
Module 𝕜' F'
BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Function.Surjective ⇑I.toCotangent
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : SupHom α β
⊢ ∀ (a : WithTop α), f.withTop a = WithTop.map (⇑f) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioi b ⊆ Ioi a ↔ a ≤ b
L : Type u_2
Field L
F : Subfield L
⊢ Function.Injective fun E => Subfield.extendScalars ⋯
a b : Ordinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} (a + b) = Ordinal.lift.{u, v} a + Ordinal.lift.{u, v} b
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X
⊢ (M.restrictSubtype X).Base B ↔ M.Basis' (↑B) X
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
f : DirectSum ι fun i => M i
⊢ (DirectSum.linearEquivFunOnFintype R ι M).symm ⇑f = f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
s' : Set X
t' : Set Y
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s ∩ s') (t ∩ t')
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Word M
⊢ ⟨i, m₁⟩ ∈ (of m₂ • w).toList ↔ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn').v p q hpq = ((a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ s ⊻ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).degree ≤ ↑n
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
p : α → ι → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p x i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i
x y : SetTheory.PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), ⟦x.moveLeft i⟧ = ⟦y.moveLeft (L i)⟧
hr : ∀ (j : x.RightMoves), ⟦x.moveRight j⟧ = ⟦y.moveRight (R j)⟧
⊢ ⟦x⟧ = ⟦y⟧
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ↔ ¬AntivaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
b : β
hb : b ∈ s
⊢ f b ≤ s.sup f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
φ₀ φ₁ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₀ φ₁
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.X i) (F.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 F) (-𝟙 F))
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
H : HomologicalComplex C c ⥤ D
hH : (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H
⊢ H.map φ₀ = H.map φ₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
α : Type u
t s : Set α
⊢ t.ite s ∅ = s ∩ t
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
b : B
hf : ∀ (a : A), Commute (f a) b
p : A[X]
⊢ (Polynomial.eval₂AlgHom' f b hf) p = Polynomial.eval₂ (↑f) b p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)
⊢ ∫ (b : β), f b ∂(κ.withDensity fun a b => ↑(g a b)) a = ∫ (b : β), g a b • f b ∂κ a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm
h2 : g.norm = 0
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
⊢ IsAlgebraic F α
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ sign a = 0 ↔ a = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (colimitHomIsoLimitYoneda' F A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
Nonempty F
⊢ Set.SurjOn proj e.source e.baseSet
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
X : J
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ CategoryTheory.IsIso (c.ι.app X)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ 1 ≤ μH[0] {x}
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ choose (r + 1) (k + 1) = choose r k + choose r (k + 1)
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : (rTensor N M'.subtype) (∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2) = 0
⊢ ∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2 = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ Irreflexive G'.Adj
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y * d) (d • c') x
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
s : NonUnitalSubsemiring S
⊢ ⊤.prod s = NonUnitalSubsemiring.comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.one.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ ((BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0
a i : Nat
⊢ a - i ≤ a.succ - i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
x : X
y : Y
ys : y ∈ s
fxy : y ∈ f x
t : Set X
h : f.preimage s ⊆ t
h' : ∀ s ∈ 𝓝 y, f.preimage s ∈ 𝓝 x
⊢ f.preimage s ∈ 𝓝 x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ ∀ (i : ι), Measurable (f i)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℤ
x✝² : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝⁵ x✝⁴
x✝¹ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : ↑((fun i => AddCommGrp.of (Cochain F G i)) x✝⁵)
⊢ ((fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝⁵ x✝⁴ ≫ (fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝⁴ x✝³) x✝ = 0 x✝
n : ℕ
f : C(↑I, ℝ)
x : ↑I
⊢ (bernsteinApproximation n f) x = ∑ k : Fin (n + 1), f k/ₙ * (bernstein n ↑k) x
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β✝
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β✝
β : Type u_5
f : α → β
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s
⊢ IsOpen (⋂₀ S)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ Fintype.card { a // a.IsDiag } = Fintype.card α
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ f = g ↔ ∀ (x : L₁), f x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel η
⊢ (κ.compProd η).fst = κ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
TopologicalSpace R
B : ι → Submodule R A
hB : SubmodulesRingBasis B
hsmul : ∀ (m : A) (i : ι), ∀ᶠ (a : R) in 𝓝 0, a • m ∈ B i
⊢ SubmodulesBasis B
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.evariance 0 μ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t✝ : Set α
t : Set γ
tsets : t ∈ l
ht : r.preimage (s.preimage t) ⊆ t✝
⊢ ∃ t, (∃ t_1 ∈ l, s.preimage t_1 ⊆ t) ∧ r.preimage t ⊆ t✝
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
⊢ LieSubmodule.baseChange A ⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_5
P₁ : Type u_8
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁
NormedSpace 𝕜 V₁
PseudoMetricSpace P₁
NormedAddTorsor V₁ P₁
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P₁ → P₂
e' : V₁ ≃ₗᵢ[𝕜] V₂
p : P₁
h : ∀ (p' : P₁), e p' = e' (p' -ᵥ p) +ᵥ e p
⊢ ⇑(AffineIsometryEquiv.mk' e e' p h) = e
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ Fin.last n
h' : i.rev ≠ 0 := ⋯
⊢ (i.castPred h).rev = i.rev.pred h'
α : Type u_1
x : Option α
hx : x ≠ none
y : α
⊢ some (x.getD y) = x
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
⊢ f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.114018, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ rightHomologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.H
n : ℕ
⊢ (List.Nat.antidiagonal n).Nodup
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ P x * P x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z * P z + P x ^ 2 * P x * P z ^ 2 - W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 2 * P z - W'.a₁ * P y * P x * P z * P z ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P x * P z ^ 2 * P z ^ 2 - W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z - W'.a₃ * P y * P z * P z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * P z ^ 4 + 2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * P z ^ 4 = (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3))) ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : ℕ
⊢ ↑↑a = ↑a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms S.P
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ S.W T.mor₁ ↔ S.P T.obj₃
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
_t : ↑I
⊢ (Path.refl x) _t = x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) / ∏ x ∈ s₁ \ s₂, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x
a : UnitAddCircle
this : Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ℕ
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω + i = j}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ s.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f s.π
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y z : M
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
⊢ SameRay R (x + y) z
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (image f)
x x' : α
hx : f x = f x'
⊢ x = x'
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
x y z : LocalizedModule S M
⊢ x + y + z = x + (y + z)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J✝ : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
F₁ : C ⥤ D
F₂ : D ⥤ E
F₁₂ : C ⥤ E
e : F₁ ⋙ F₂ ≅ F₁₂
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
inst✝¹ : F₁.IsContinuous J K
inst✝ : F₂.IsContinuous K L
this : (F₁ ⋙ F₂).IsContinuous J L
⊢ F₁₂.IsContinuous J L
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = ⋃ b ∈ t, (fun a => (a, b)) '' s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t
⊢ f ⁻¹' (f '' t)ᶜ ⊆ tᶜ
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2
⊢ fromBlocks (1 * 1 + 0 * 0) (1 * 0 + 0 * ⅟(PD l R)) (0 * 1 + PD l R * 0) (0 * 0 + 1) = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : IsEmpty α
s : Finset α
⊢ ∏ i ∈ s, f i = 1
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z
h : explicitCokernelπ f ≫ e₁ = explicitCokernelπ f ≫ e₂
g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂
w : f ≫ g = 0
this : e₂ = explicitCokernelDesc w
⊢ e₁ = explicitCokernelDesc w
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
p : Submodule R₁ M₁
x✝¹ x✝ : ↥p
⊢ (B ↑x✝¹) ↑x✝ = 0 → (B ↑x✝) ↑x✝¹ = 0
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ j ∈ t, g j
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ
A : ∀ (n : ℕ), ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ List.drop l₁.length (l₁ ++ l₂) = l₂
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
⊢ M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I (M.closure (X ∩ M.E)) ∧ I ⊆ X
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
val✝ : Fintype ι
⊢ ¬LinearIndependent ℝ (Option.elim' φ' f')
X Y Z : Type u
f g : X ⟶ Y
π : Y ⟶ Z
e : f ≫ π = g ≫ π
h : IsColimit (Cofork.ofπ π e)
U : Set Y
H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U
lem : ∀ (x y : Y), CoequalizerRel f g x y → (x ∈ U ↔ y ∈ U)
⊢ π ⁻¹' (π '' U) = U
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Nontrivial E
⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
α : Type u_3
LE α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : α
⊢ (cmpLE x y).swap = cmpLE y x
α : Type u
Add α
a b c d : WithTop α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊤
hab : a ≤ b
hcd : c < d
⊢ a + c < b + d
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
⊢ succ (derivFamily f o) ≤ nfpFamily f (succ (derivFamily f o))
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : s ≤ᵐ[μ] t
⊢ μ.restrict s ≤ μ.restrict t
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
h₁ : DifferentiableAt ℂ f x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ deriv (log ∘ f) x = logDeriv f x
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : NeZero p
⊢ Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : M
⊢ Monoid.Coprod.snd (Monoid.Coprod.inl x) = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
⊢ (∅.sup fun x => ⊥) = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
y : M
hy : y ∈ ⇑h ⁻¹' t
⊢ (fun x => c • x) y ∈ ⇑h ⁻¹' (σ c • t)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ ∀ (m : AdicCompletion I M), (map I f) m = 0 → m = 0
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ Lagrange.nodal (insert i s) v = (Polynomial.X - Polynomial.C (v i)) * Lagrange.nodal s v
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ s.sup f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
h : f = g
⊢ F.map₂ (CategoryTheory.eqToHom h) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
⊢ Topology.WithLawson.ofLawson.symm = Topology.WithLawson.toLawson
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h : ∃ i ∈ s, Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a