ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
⊢ r ≤ (-pf).radius
n m : ℕ
h : m = n
k : ℕ
hk : k < m
⊢ (finCongr h) ⟨k, hk⟩ = ⟨k, ⋯⟩
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
⊢ xn a1 1 ≡ xn b1 1 [MOD c] ∧ yn a1 1 ≡ yn b1 1 [MOD c]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ (-2 * (r * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / r / r / ⟪v, v⟫_ℝ * r) • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p
m c : ℤ
⊢ 1 = (2 * c + 1) % 2
X : Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
⊢ U ≤ ⨆ i ∈ s, X.basicOpen i
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
a b : n
h : a ≠ i
M : Matrix n n α
⊢ (Matrix.stdBasisMatrix i j c * M) a b = 0
G : Type u_1
Group G
S : Set G
⊢ Subgroup.centralizer ↑(Subgroup.closure S) = ⨅ g ∈ S, Subgroup.centralizer ↑(Subgroup.zpowers g)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Martingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (f - g) ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulMono α β
a : α
b : β
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a • b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
x : M
c : G
hf : SmoothAt I' I f x
⊢ SmoothAt I' I (fun x => f x - c) x
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range x, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range x, g i‖
f g : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hfg : g =o[Filter.atTop] f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => f x + g x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = H.map (𝟙 ((mappingCone φ).X n))
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
h : Disjoint (f '' U) (f '' V)
a : α
a_in_U : a ∈ U
g : G
g_in_V : g • a ∈ V
⊢ (fun m => m • g • a) g⁻¹ = a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
⊢ Submodule.Quotient.mk (h (g n) ⊗ₜ[R] q) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)
x y : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, x ∈ Set.Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (((ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ P.actRight ▷ 𝟙_ C) ≫ P.X ◁ S.one) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, f x = (Multiset.map f s.val).sum
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
f g : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
hi : f (QuaternionAlgebra.Basis.self R).i = g (QuaternionAlgebra.Basis.self R).i
hj : f (QuaternionAlgebra.Basis.self R).j = g (QuaternionAlgebra.Basis.self R).j
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex.toCone ((convexHull 𝕜) s) ⋯ = sInf {t | s ⊆ ↑t}
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Finset.image (fun x => p ^ x) (Finset.range (padicValNat p n + 1)) ⊆ n.divisors
K : Type u
CommRing K
self : RatFunc K
⊢ (RatFunc.toFractionRingRingEquiv K) self = self.toFractionRing
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Star α
⊢ ∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᴴ = circulant (star fun i => v (-i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ico a b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.iso.inv ((CategoryTheory.projectiveResolutions C).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ) Q.iso.inv
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Prod.GameAdd rα rβ (a₁, b₁) (a₂, b₂) ↔ Prod.GameAdd rβ rα (b₁, a₁) (b₂, a₂)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)
⊢ ⊥ ⋖ b ↔ a ⋖ ↑b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₂) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₂)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f ≫ (shiftFunctorComm C i j).hom.app Y ≫ (shiftComm Y i j).symm.hom
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h✝ : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }
h : ∀ (y : ℕ), SqLe y d (d * y) 1
⊢ { re := ↑x + ↑d * ↑(y + 1) - ↑x, im := 0 - ↑(y + 1) }.Nonneg
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A (CategoryTheory.Functor B C)
a : A
X : B
⊢ (CategoryTheory.flipCompEvaluation F a).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj a).obj X)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ (f 0 * s.prod fun n e => g n ^ e) = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
⊢ IsConnected C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤
⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
⊢ -(p / q) ∈ closure S
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : IsEmpty β
⊢ AnalyticSet (range f)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : V1
c : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • p₀ + c • p₁
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * 0 + b * (0 + 1) = s.card
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = 0 ∨ x.card = 0 + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ 0) ∧ (filter (fun i => i.card = 0 + 1) Q.parts).card = b
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
⊢ (List.sym n (x :: xs)).length + (List.sym (n + 1) xs).length = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddCommGroup α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ f (n • c - x) = f (-x)
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n
⊢ closure (range fun x => x ^ n) = nonneg ℚ
n : Nat
a : Fin n
⊢ a.castSucc < a.succ
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{u}
⊢ a < c.ord → Ordinal.derivFamily f a < c.ord
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) a = (μ[g|↑ℱ i]) a
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∪ t = s - t + t
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
R' : Type u_10
Semiring R'
Module R' M
f : R ≃+* R'
h : ∀ (c : R) (x : M), f c • x = c • x
⊢ ⇑(b.mapCoeffs f h) = ⇑b
α : Type u_1
SemigroupWithZero α
a : α
⊢ 0 ∣ a ↔ a = 0
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g✝ : E✝ → G
C : ℝ
s : Set E✝
x✝ y : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : Differentiable 𝕜 g
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = fderiv 𝕜 g x
x : E
hfgx : f x = g x
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E
⊢ EqOn f g univ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R
H₁ : ∀ (m : M), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
H₂ : ∀ (m : P), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
m : N
r : R
hr : r ∉ x.asIdeal
m' : M
hm' : f m' = r • m
s : R
hs : s ∉ x.asIdeal
e₁ : s • m' = 0
⊢ ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ t ≤ μ (s ∪ t)
α : Type u_1
a : α
s : Set α
⊢ (PMF.pure a).toOuterMeasure s = if a ∈ s then 1 else 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ mgf (-X) μ t = mgf X μ (-t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum (fun b => e (f b)) y
⊢ HasSum f (e.symm y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hf : ∀ (j : ι), j ≠ i → f j ∈ t j
⊢ Function.update f i ⁻¹' Set.univ.pi t = t i
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
h₀ : ∀ (x : ℝ), 0 < g x
hT : 0 < T
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) Filter.atBot Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ (s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard + t.encard
α : Type u_1
s : Finset α
ι : Type u_3
DecidableEq (ι → α)
Nonempty ι
⊢ (s.piDiag ι).card = s.card
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
U : ι → Set X
h : f.IsSubordinate U
⊢ f.toPartitionOfUnity.IsSubordinate U
n : ℕ
p : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p ^ n.factorization p ≤ n
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.obj X).X n =
  CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X n)
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
i : ι
b : β₁ i
⊢ DFinsupp.mapRange f hf (DFinsupp.single i b) = DFinsupp.single i (f i b)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
N : Submodule R S
ι : Type u_1
DecidableEq ι
n : ι → ↥N
⊢ M.mulRightMap n =
  M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarRight R (↥M) ι).symm
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ UpperSet.Ici a < ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ (ad R L).range = ⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
⊢ (pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).base = s.snd.base
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit r
i : r ≅ t
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (P.ofIsoLimit i).lift s = P.lift s ≫ i.hom.hom
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
a : α
s : Set α
Ha : a ∈ upperBounds s
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
h : F ≅ F'
⊢ F.essImage = F'.essImage
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
I : Ideal S
f : R →+* S
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.quotientMap I f ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
x y : α
h : Set.InjOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x ≠ f y ↔ x ≠ y
α : Type u
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk α = ↑n ↔ ∃ h, Fintype.card α = n
R : Type u
M : Type v
M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
Nontrivial R
⊢ Module.rank R M + Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R (M × M₁)
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace K G
f : E → F
n : ℕ∞
g : F → G
hg : ContDiff K n g
hf : ContDiff K n f
⊢ ContDiff K n fun x => g (f x)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
l : Filter Y
y : X
f : Y → X
hs : IsCompact s
hmem : ∀ᶠ (x : Y) in l, f x ∈ s
h : ∀ x ∈ s, MapClusterPt x l f → x = y
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 y)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Function.RightInverse ⇑e.symm ⇑e
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
⊢ p w
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ χ 0 ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasurableSet s
h : Set.EqOn f g s
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C ∘ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.sum_equiv C hsC ho).toFun =
  Sum.elim (fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l) fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁ < y ↔ x₂ < y
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
⊢ Nat.evenOddRec h0 h_even h_odd 0 = h0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f : M → N
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
v₁ v₂ : α →₀ M
x✝ : α
⊢ (mapRange f hf (v₁ + v₂)) x✝ = (mapRange f hf v₁ + mapRange f hf v₂) x✝
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = μ'.haarScalarFactor μ • ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
h : Splits (j.comp i) f
lift : (a : F) → a ∈ (map (j.comp i) f).roots → L
lift_eq : ∀ (a : F) (a_1 : a ∈ (map (j.comp i) f).roots), j (lift a a_1) = a
⊢ C ((j.comp i) f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (j.comp i) f).roots).prod = map j (C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.pmap lift (map (j.comp i) f).roots ⋯)).prod)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (s ∩ t) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R), (eval x) (eval₂ f g (C a)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (C a)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
⊢ x ∈ (X ^ ↑n - 1).rootSet L ↔ x ∈ {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range n, (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x - ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x) = 0
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
⊢ 1 < 𝔠
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ ∀ (i : m), b i = k → ∀ (j : m), ¬b j = k → M i j = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ
⊢ (algebraMap R A) (eval x (U R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (U A n)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ = z ↔ ↑z ≤ a ∧ a < ↑z + 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.den * q.den) ≠ 0
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝
Z : C × C
⊢ __src✝.map f ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C Y✝ Z = tensor_μ C X✝ Z ≫ __src✝.map (f ▷ Z)
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
⊢ n ∈ p.support ↔ p.coeff n ≠ 0