ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
ContinuousStar A
CompleteSpace A
StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b
⊢ Commute (selfAdjoint.expUnitary a) (selfAdjoint.expUnitary b)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : 3 = f.degree + g.degree
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree
h : f.degree = 2 ∧ g.degree = 1
⊢ 1 < (f + g).degree
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f = 0
⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∀ z ∈ sphere c R, (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹ = (z - c) ^ (-↑n - 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
⊢ {M | M.E ⊆ E}.Finite
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
e' : B → A
h₁ : Function.LeftInverse e' ⇑e
h₂ : Function.RightInverse e' ⇑e
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun a)
⊢ { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, map_star' := h₅ } = e
n : ℕ
pn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n 0
⊢ List.range n = []
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
⊢ 1 - ↑K ≠ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
⊢ f 0 - f 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
⊢ s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = s.snd
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ ↑h.unit (↑h.unit⁻¹ (x • m')) = ↑h.unit m'
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑a ≠ ↑b ↔ a ≠ b
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : Module.Finite R ↥M'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
⊢ x = y
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e.invFun = ⇑e.symm
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
f : (α : Type u) → F α → G α
pp : ∀ {α : Type u} (x : α), f α (pure x) = pure x
ps : ∀ {α β : Type u} (x : F (α → β)) (y : F α), f β (Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq (f (α → β) x) fun x => f α y
⊢ (fun {α} => { app := f, preserves_pure' := pp, preserves_seq' := ps }.app α) = f
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = (foldl (fun acc a => foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂) #[] l₁).data
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
⊢ Set.range (Products.eval C) ⊆ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)))
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
x y : α
h : Mathlib.Tactic.Abel.smul n x = y
⊢ n • x = y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = ((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'
⊢ (b.reindex e).repr x i' = b.repr x (e.symm i')
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ e.toIntLinearEquiv.symm = e.symm.toIntLinearEquiv
G : Type w
TopologicalSpace G
MulOneClass G
ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, V * K ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hsc : s.Countable
hst : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ μ (⋃ i ∈ s, Iic i) = μ univ
R : Type u_17
M₁ : Type u_18
M₂ : Type u_19
M₂₁ : Type u_20
M₂₂ : Type u_21
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₂₁
AddCommMonoid M₂₂
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₂₁
Module R M₂₂
e₁ : M₁ ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₂₁ ≃ₗ[R] M₂₂
f : M₂ →ₗ[R] M₂₂
x : M₁
⊢ ((e₁.arrowCongr e₂).symm f) x = e₂.symm (f (e₁ x))
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
f : γ → α
inst✝² : MeasurableSpace.CountablySeparated α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : StandardBorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_meas : Measurable f
f_inj : InjOn f s
this : UpgradedStandardBorel γ := upgradeStandardBorel γ
tγ : TopologicalSpace γ := inferInstance
τ : TopologicalSpace α
left✝¹ : SecondCountableTopology α
left✝ : T4Space α
right✝ : OpensMeasurableSpace α
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
f_cont : Continuous f
t'_polish : PolishSpace γ
M : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M ≃[L] N
⊢ FirstOrder.Language.Structure.FG L M ↔ FirstOrder.Language.Structure.FG L N
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : IsLowerSet (Set.range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Iio a = Set.Iio (e a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ Type ?u.449349
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
f g : CircleDeg1Lift
G : Type u_1
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)
⊢ ∃ F, ∀ (g : G), Semiconj ⇑F ⇑(f₁ g) ⇑(f₂ g)
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α
⊢ (∀ (x : α), p x) → b ↔ ∃ x, p x → b
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ B₂ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
hB₁ : B₁.IsAlt
hB₂ : B₂.IsAlt
⊢ (B₁ - B₂).IsAlt
Ω : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ ↔
  ∀ (s : Set β) (t : Set β'),
    MeasurableSet s → MeasurableSet t → ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
⊢ dist p1 p2 ≠ 0
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
b c : α
⊢ b + ↑a = c + ↑a ↔ b = c
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a b : α
⊢ Setoid.r a b ↔ a ∈ AddAction.orbit G b
R : Type u_1
Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
⊢ f.ppow (k + 1) = f.pmul (f.ppow k)
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hq : q ≠ 0
⊢ q / gcd p q ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t : Set α
⊢ EqOn (s.piecewise f f') g t ↔ EqOn f g (t ∩ s) ∧ EqOn f' g (t ∩ sᶜ)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
hyy : span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (s.inf' hne f) t
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff d ((MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ) = if d.degree = n then MvPolynomial.coeff d φ else 0
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g sᶜ μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (s.piecewise f g) μ
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn ((fun i x => f i (eL.symm x)) i) (Set.Icc (eL a) (eL b))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ (𝓟 s).IsMeasurablyGenerated ↔ MeasurableSet s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
⊢ (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValNat p (p * (n / p))! = padicValNat p n !
M : Type u
self : AddMonoid M
n : ℕ
x : M
⊢ AddMonoid.nsmul (n + 1) x = AddMonoid.nsmul n x + x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
⊢ H.hom.c.app (op U) ≫ (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯
R : Type u_1
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := 0 }.toPoly = 0
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
r : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ Commute (↑r) a
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₂ ≤ a₁
h₂ : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ico a₁ b₁ ⊆ Set.Ico a₂ b₂
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F
⊢ (colimitCocone h).extend (homOfCocone h (coconeOfHom h (homOfCocone h s))) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)
z : ℂ
⊢ |z.arg| ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : ↥(MonoidHom.mrange f)), (MulEquiv.ofLeftInverse' f h).symm a = g ↑a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
inst✝ : DecidableEq A
α : Type u_1
s : Finset α
f : { x // x ∈ s } → Finset A
⊢ adjoin R ↑(s.attach.biUnion f) = ⨆ x, adjoin R ↑(f x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
⊢ AnalyticSet (⋃ n, s n)
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ Algebra.IsAlgebraic K ↥(IntermediateField.adjoin K S)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t
hw : w ⊆ w
⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
α : Type u_2
M : Matroid α
F : ↑(Set.Iic M.E)
⊢ M.subtypeClosure.IsClosed F ↔ M.Flat ↑F
q : ℍ
hq : q.re = 0
⊢ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) q = ↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.snd R M M₂ = LinearMap.coprod 0 LinearMap.id
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ.withDensityᵥ (f + g)) i = ↑(μ.withDensityᵥ f + μ.withDensityᵥ g) i
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ a * mabs a
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
h : p.natDegree = 0
this : p = C (p.coeff 0)
⊢ p = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : β' → α → δ
n' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n' b) a
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' (Filter.map n' g) f
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b ≤ 0
α : Type u
l : List α
n : Fin l.cyclicPermutations.length
⊢ l.cyclicPermutations.get n = l.rotate ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a a
x✝ : a ^ (1 + 1) ∣ a
b : α
hb : a = a ^ (1 + 1) * b
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Mod_.regular A).X = A.X
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
SemilatticeSup β
OrderBot β
Zero β
i : ℕ → β
f : α → β
⊢ Monotone (MeasureTheory.SimpleFunc.approx i f)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ ModularGroup.fdo
hg : g • z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ |↑g 1 0| ≤ 1
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : α
ha : a ≠ 0
b : WithBot α
⊢ ↑a * b = Option.bind b fun b => some (a * b)
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h₁ : b₁ < b₂
⊢ Set.Icc a b₁ ⊆ Set.Ico a b₂
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = -1
⊢ a < 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c : α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
h : AddLECancellable (c * b)
⊢ c * (a - b) = c * a - c * b
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a b = c ↔ a = c ∧ b ≤ a ∨ b = c ∧ a ≤ b
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : EsakiaHom α β
⊢ (EsakiaHom.id β).comp f = f
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t : Finset α
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.mulEnergy t ≤ s₂.mulEnergy t
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y x : Finset α × Finset α
hs : x.1.Nonempty
ht : x.2.Nonempty
⊢ ∀ y ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, (∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z y → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) y
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
x : R
inst✝ : Away x S
s : S
⊢ s * (algebraMap R S) (x ^ (sec x s).2) = (algebraMap R S) (sec x s).1
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (GenContFract.of v).partDens.get? n = some b
⊢ b * ((GenContFract.of v).contsAux (n + 1)).b ≤ ((GenContFract.of v).contsAux (n + 2)).b
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n) • g z) z₀
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
H : Function.Surjective ⇑f
x : S'
⊢ ∃ a, (IsLocalization.map S' f ⋯) a = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b t₀ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Set.Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ Set.EqOn f g (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Tendsto floor (𝓝[<] ↑n) (pure (n - 1))
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ ofInt' ↑(neg a) = neg a
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < y
hz : z ≤ x
⊢ x \ z < y \ z
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < x.orderTop ↔ 0 < x.order
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
⊢ 1 ≠ 0