ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
s : σ
f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ
h : ∀ (x : α) (y : β) (s : σ), let s' := (f x y (s, s)).1; s'.1 = s'.2
⊢ (match (s, s) with | (s₁, s₂) => s₂ = s ∧ s₁ = s) ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α) (b : β), (match s with | (s₁, s₂) => s₂ = q ∧ s₁ = q) → (match (f a b s).1 with | (s₁, s₂) => s₂ = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).1 ∧ s₁ = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).1) ∧ (f a b s).2 = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).2
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hv : v ∈ Subtype.val '' ↑c
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
⊢ w ∈ Subtype.val '' ↑c
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).max = max (↑a) s.max
G : Type u_1
R : Type u_2
Group G
Semiring R
MulSemiringAction G R
x : G
⊢ (MulSemiringAction.toRingAut G R) x = MulSemiringAction.toRingEquiv G R x
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable f (μ + ν) ↔ AEMeasurable f μ ∧ AEMeasurable f ν
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
⊢ limsup u f ≤ liminf u f
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
u : ↥circle
v : E
⊢ ‖u • v‖ = ‖v‖
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤
⊢ infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε
α : Type u
β : Type v
Finite α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
a' : α
e : a = a'
⊢ e ▸ x = cast ⋯ x
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1
⊢ A.cramer b = (of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
hx : IsIntegral R (x * y)
⊢ IsIntegral R x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α
⊢ IsStronglyAtomic αᵒᵈᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (dNext k₁) hom + (prevD k₁) hom = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasRightKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((L.ranAdjunction H).unit.app G).app (L.obj X))
    ((L.ranCounit.app (L.comp G)).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Functor D H)).obj G).obj (L.obj X))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun t => u t - x) Filter.atTop (nhds 0)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.cosh (f x)) (Real.sinh (f x) • f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop
⊢ (∃ s ∈ l, ∀ᶠ (x : α) in l', x ∈ s → p x) ↔ ∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t : Set X
h : IsMetricSeparated s t
⊢ Disjoint s t
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : a + b = 0
⊢ -a = b
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A
x' : S
hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring
hx'' : ↑g x' = ↑y ^ n • (algebraMap S S') x
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.bsize = utf8Len x✝.toString.data
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
F : Realizer α
this : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (range F.F.f)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (range F.F.f)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a - a.im = ↑a.re
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : IsIrreducible s
⊢ IrreducibleSpace ↑s
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ (G.mapCocone (cocone F)).ι.app j = G.map (ι F j)
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.mulRight a)) = fun x => x * a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
Fintype β
DecidableEq β
f : α ↪ β
hn : n ≠ 1
⊢ (SimpleGraph.map f G).cliqueFinset n = Finset.map { toFun := Finset.map f, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂) t).imJ = t.imI
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ (FractionalIdeal.coeSubmoduleHom S P) I = ↑I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
g : Γ₀
hx : g ≤ v x
hy : g ≤ v y
⊢ g ≤ v (x + y)
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖g x' - g x - (g' x) (x' - x)‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Sub α
Sub β
f : α → β
hf : ∀ (a₁ a₂ : α), f (a₁ - a₂) = f a₁ - f a₂
M N : Matrix m n α
⊢ (M - N).map f = M.map f - N.map f
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ v ᵥ* M = 0) ↔ M.det = 0
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
Module B P
IsScalarTower R A P
IsScalarTower R B P
SMulCommClass A B P
f : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.uncurry R A B M N P) f = TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift f
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
⊢ (a + b).Nonneg
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
⊢ (idealX K).intValuationDef X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Finset β
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
val✝ : Fintype Mˣ
⊢ 0 < orderOf χ
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries (-f) s = -LSeries f s
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ⇨ a = a ⊔ b
α : Type u_3
Preorder α
NoMaxOrder α
x : α
⊢ Disjoint Filter.atTop (𝓟 (Set.Iic x))
Y : Type w'
TopologicalSpace Y
⊢ ∀ {X Y_1 : TopCatᵒᵖ} (f : X ⟶ Y_1) (g : C(↑(Opposite.unop X), Y)),
  (ContinuousMap.yonedaPresheaf' Y).map f g = g.comp f.unop
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x✝ : IsUnit 0
a : M₀
a0 : 0 * a = 1
inv_val✝ : a * 0 = 1
⊢ 0 = 1
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 3 = Polynomial.C W.Ψ₃
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : Fintype V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
⊢ p.support.length ≤ Fintype.card V
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
σ' : outParam (R₂ →+* R₁)
self : RingHomInvPair σ σ'
⊢ RingHom.comp σ' σ = RingHom.id R₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
⊢ (CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
R : Type u_3
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
IsDomain T
DecidableEq T
x : S
y : T
σ : S →+* T
hy : Polynomial.eval₂ (σ.comp (algebraMap R S)) y (minpoly R x) = 0
⊢ Polynomial.eval₂ σ y (minpolyDiv R x) =
  if σ x = y then σ ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly R x))) else 0
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b c : α
⊢ b ≤ c → Disjoint a c → Disjoint a b
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.logb b (x * y) = Real.logb b x + Real.logb b y
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f : C(N → ↑I, X)
H : f ∈ Ω^ N X x
y : N → ↑I
⊢ ⟨f, H⟩ y = f y
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G R
inst✝¹ : SMulCommClass G R R
inst✝ : IsScalarTower G R R
x : G
y z : R
x✝ : IsCoprime (x • y) z
a b : R
h : a * x • y + b * z = 1
⊢ x • a * y + b * z = 1
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : Zero Γ
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ orderTop 1 = 0
n : ℕ
⊢ (OfNat.ofNat n).num = OfNat.ofNat n
a b : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ a < b
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V =
  MeasureTheory.Measure.haar.index K₁.carrier V + MeasureTheory.Measure.haar.index K₂.carrier V
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
⊢ (aeval ((algebraMap R A) r * a)) (p.scaleRoots r) = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIocDiv hp a a = -1
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
c : M
hc : IsUnit c
⊢ IsClosedMap fun x => c • x
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : (i : m) → Matrix (n' i) (n' i) 𝔸
⊢ exp 𝕂 (blockDiagonal' v) = blockDiagonal' (exp 𝕂 v)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
t : Finset α
a : α
⊢ Finset.image (fun b => -a + b) t = t.preimage (fun b => a + b) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
SecondCountableTopology β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* P
⊢ (PerfectionMap.lift p R S P π m).symm f = π.comp f
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
⊢ b ∈ s.erase a → b ≠ a
α : Type u_1
f : α → ENNReal
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
a : α
⊢ (PMF.normalize f hf0 hf) a = f a * (∑' (x : α), f x)⁻¹
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
h : Filter.limsup u f = ⊥
h' : Filter.limsup v f ≠ ⊤
⊢ Filter.limsup (u + v) f = ⊥
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
⊢ Finsupp.toMultiset (f ⊓ g) = Finsupp.toMultiset f ∩ Finsupp.toMultiset g
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskeringEquivalence e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering e.inverse ⋙
                    CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose
                      (F.leftUnitor.inv ≫
                        CategoryTheory.whiskerRight e.counitIso.inv F ≫ (e.inverse.associator e.functor F).inv)) ⋙
                  CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering e.functor).obj
              s).pt)
        ⋯)
    ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : ⟨X, hX⟩ ≤ ⟨Y, hY⟩
⊢ (fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨X, hX⟩ ≤ (fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
⊢ (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : ↥s
⊢ ↑(x / y) = ↑x / ↑y
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
⊢ ⇑⊥ = ⊥
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 G‖ ≤ 1
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
⊢ hζ.toInteger ^ 3 = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ ⇑h.symm = ⇑h.symm
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
f : k ≃+* K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ (w.comap ↑f).IsReal ↔ w.IsReal
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ hurwitzZetaEven a s = (hurwitzZeta a s + hurwitzZeta (-a) s) / 2
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H
⊢ r * (↑⟨1, hR1⟩)⁻¹ ∈ ↑H
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α
t : Set α
tT : t ∈ range f
xt : x ∈ t
⊢ x ∈ ⋃ i, f i
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : LatticeHom α β
hf : f.toFun ⊤ = ⊤
hf' : f.toFun ⊥ = ⊥
⊢ ⇑{ toLatticeHom := f, map_top' := hf, map_bot' := hf' } = ⇑f
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ ∃ c, ↑c * (↑b₂ * a₁) = ↑c * (↑a₂ * b₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
h : (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f
i : ι'
hi : i ∈ t
j : ι'
hj : j ∈ t
hij : i ≠ j
i' : ι
hi' : i' ∈ s
j' : ι
hj' : j' ∈ s
⊢ Disjoint (f (i', i)) (f (j', j))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (List.kerase a l).keys = l.keys.erase a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
I : MulticospanIndex C
inst✝¹ : HasMultiequalizer I
inst✝ : PreservesLimit I.multicospan (forget C)
x y : (forget C).obj (multiequalizer I)
h : ∀ (t : I.L), (Multiequalizer.ι I t) x = (Multiequalizer.ι I t) y
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
n : Nat
⊢ (OfNat.ofNat n).toNat = n % UInt32.size
ι : Type u_11
α : Type u_12
Preorder ι
IsDirected ι (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
s t : ι → Set α
hs : Monotone s
ht : Monotone t
⊢ ⋂ i, s i ∪ t i = (⋂ i, s i) ∪ ⋂ i, t i
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hp' : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hp').IsPath
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
Algebra R P
h : S ≃ₐ[R] P
⊢ IsLocalization M S ↔ IsLocalization M P
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
self : HomologicalComplex V c
i j : ι
⊢ ¬c.Rel i j → self.d i j = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
ne : s.Nonempty
H : BddAbove s
⊢ IsLUB (f '' s) (f (sSup s))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} A
inst✝ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
⊢ J.PreservesSheafification F ↔ ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), J.W (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)
α : Type u_1
Mul α
s : Set α
⊢ Equivalence (LeftCosetEquivalence s)
ι : Type u_1
X : Type u_5
TopologicalSpace X
M : Type u_6
CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
x : X
⊢ ∃ s, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
C₁ : Type u₁
inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.49815
X Y Z : C₁
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)
f : SmallHom W₁ X Y
g : SmallHom W₁ Y Z
⊢ (SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) (Φ.smallHomMap (f.comp g)) = (SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) ((Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g))
M : Type u_6
AddCommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (f i - f (i + 1)) = f 0 - f n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ε : ℝ
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
hs : IsOpen s
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : Metric.closedBall b ε ⊆ s
⊢ Metric.closedBall (f b) ((↑‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - ↑c) * ε) ⊆ (ApproximatesLinearOn.toPartialHomeomorph f s hf hc hs).target
α : Type u_1
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (Set.range Sum.inr)
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
f : M ∗ N →* P
⊢ MonoidHom.mrange f = MonoidHom.mrange (f.comp inl) ⊔ MonoidHom.mrange (f.comp inr)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
h : a ∉ s
⊢ (insert a s).card = s.card + 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → ℝ
p : ι → P
h₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
h₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ dist ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₁) ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₂) * dist ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₁) ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₂) = (-∑ i₁ ∈ s, ∑ i₂ ∈ s, (w₁ - w₂) i₁ * (w₁ - w₂) i₂ * (dist (p i₁) (p i₂) * dist (p i₁) (p i₂))) / 2
α : Type u
s : Set α
h : ∀ (x : α), x ∉ s
⊢ s = ∅