ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : ∀ i ∈ insert a s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)
⊢ HasIntegral I l (fun x => f a x + ∑ i ∈ s, f i x) vol (g a + ∑ i ∈ s, g i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0
⊢ ¬i < x.order
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
m : Type u_9
n : Type u_10
CommRing R
CommRing α
CommRing β
Algebra R α
Algebra R β
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A B).det = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ c = a / b ↔ c * b = a
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
⊢ |∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1) - 287209 / 414355| ≤ 1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
a : γ
l : List γ
x✝ : List β
⊢ Forall₂ R (map f (a :: l)) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) (a :: l) x✝
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
N₂ : Type u_14
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommGroup N₂
Module R₁ M
Module R₂ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
x : M
⊢ (-f) x = -f x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected
⊢ volume (frontier s) = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
⊢ Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ (∃ i, IsEmpty (α i)) ∨ f = ⊥
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
⊢ Part.fix ⇑f = ωSup (approxChain f)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H :
  ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S},
    (AddLocalization.r S) (a, b) (a', b') → (AddLocalization.r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
⊢ ((AddLocalization.addMonoidOf S).mk' a b).liftOn₂ ((AddLocalization.addMonoidOf S).mk' c d) f H = f a b c d
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
⊢ 1 ≤ x ^ z
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
h : T.IsFinitelySatisfiable
⊢ T.IsSatisfiable
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
x y : M
h : b.toDual x = b.toDual y
i : ι
⊢ (b.repr x) i = (b.repr y) i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ Set.range v ⊆ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
α : Type u_1
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → α
⊢ Set.range (o.familyOfBFamily f) = o.brange f
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (a_1 : ℝ), (Ioc 0 (f a)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) a_1 ∂volume ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ).leadingCoeff ≠ 0
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0
⊢ ↑a ∈ Ico 0 ↑n
α : Type u
β : Type v
Inf α
Inf β
p q : α × β
⊢ p ⊓ q = (p.1 ⊓ q.1, p.2 ⊓ q.2)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this✝ : IsIso (pullback.snd f g)
this : (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom ≫ pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g) = (pullback.fst f g).val.base
⊢ Set.range ⇑(pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g)) = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
n : ℕ
⊢ Finset.sort (fun x y => x ≤ y) Finset.univ = List.finRange n
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
SMul R M
SetLike S M
hS : SMulMemClass S R M
s : S
r : R
x : ↥s
⊢ r • x = ⟨r • ↑x, ⋯⟩
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
⊢ IsTopologicalBasis (⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
f : PartialHomeomorph H H
hf : f ∈ G
⊢ f.symm ≫ₕ PartialHomeomorph.refl H ∈ G ∧ (PartialHomeomorph.refl H).symm ≫ₕ f ∈ G
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle x (x - y)).sign = -(o.oangle x y).sign
M : Type u_1
Semigroup M
Nonempty M
s : Set (Set M)
sfin : s.Finite
scov : ⊤ ⊆ ⋃₀ s
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ a, Hindman.FP a ⊆ c
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
α : Type u_6
l : Filter α
g : α → C(Y, Z)
g₀ : C(Y, Z)
f : α → C(X, Y)
f₀ : C(X, Y)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 g₀)
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 f₀)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (g a).comp (f a)) l (𝓝 (g₀.comp f₀))
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (toFinsupp✝¹ + toFinsupp✝) n = toFinsupp✝¹ n + toFinsupp✝ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
this : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f
⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p μ → P f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - c - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico a (a + p)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (Matrix.toLin' (SimpleGraph.lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
y₁ y₂ : F
hy₁ : (a, y₁) ∈ g
hy₂ : (a, y₂) ∈ g
hy : (0, y₁ - y₂) ∈ g
⊢ y₁ = y₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
his : IsGLB (↑s) i
hs : s.Nonempty
⊢ i ∈ s
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
HopfAlgebra R X
HopfAlgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y
⊢ e.toHopfAlgebraCatIso.hom.toBialgHom = ↑e
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
L : List α
a : α
⊢ (List.orderedInsert r a L).length = L.length + 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
b : HilbertBasis ι 𝕜 ↥U
x : E
⊢ HasSum (fun i => ⟪↑((fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i), x⟫_𝕜 • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) ((orthogonalProjection U) x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0
⊢ ¬↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : 1 ≤ r₁
h₂ : r₂ ≤ 1
⊢ log b r₁ ≤ log b r₂
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffAverage R f g n (f x) - birkhoffAverage R f g n x = (↑n)⁻¹ • (g (f^[n] x) - g x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ φ.pt ∈ φ.toPartialHomeomorph.source
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion (star c) = star (CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion c)
α : Type u
⊢ (Equiv.refl α)⁻¹ = 1
α : Type u
AddGroup α
⊢ Function.Injective AddGroupTopology.toTopologicalSpace
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
S : Function.Surjective (f ∘ g)
⊢ Function.Surjective f
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a < 0
⊢ 0 < |a|
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
n : ℕ
⊢ (A * B) ^ -[n+1] = A ^ -[n+1] * B ^ -[n+1]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasColimit F.leftOp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X → Y
hsurj : Function.Surjective f
hcont : Continuous f
⊢ QuotientMap f
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = 1
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
s : AffineSubspace k P
⊢ Submodule.map (↑(AffineEquiv.constVAdd k P v)).linear s.direction = s.direction
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
p : R[X]
q : R[X]
_hq : q.Monic
⊢ (p %ₘ q).degree < q.degree
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ ∀ (x : E), (∃ a, (∃ a_1 ∈ s, ∃ b ∈ t, a ∈ segment 𝕜 a_1 b) ∧ ∃ b ∈ u, x ∈ segment 𝕜 a b) → ∃ a ∈ s, ∃ b, (∃ a ∈ t, ∃ b_1 ∈ u, b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ x ∈ segment 𝕜 a b
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a - 1 < ↑⌊a⌋
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
c_mem : c ∈ P ^ i
this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
⊢ a ∈ P ^ (i + 1)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
as : Array α
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
h : i ≤ as.size
b : β
j : Nat
⊢ j + i = as.size → Array.forIn.loop as f i h b = forIn (List.drop j as.data) b f
ι : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Mul S
t : RingCon S
s : Finset ι
f g : ι → S
h : ∀ i ∈ s, t (f i) (g i)
⊢ t (s.sum f) (s.sum g)
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
Ring R
Module R E
Module R F
f : E →ᵃ[R] F
⊢ Continuous ⇑f ↔ Continuous ⇑f.linear
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in {y | f y ≤ 0}, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback g f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Antitone f
hg : Antitone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ
⊢ a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) y → a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
a : ↑(M'.obj X)
⊢ ((M'.restrictScalarsBundledCore α).map f) a = (M'.map f) a
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ 𝓝ˢ (Set.Ici a) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Set.Ioi a)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f
⊢ HasKernel f
a : ℝ≥0∞
⊢ a * a < ⊤ ↔ a < ⊤
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)
x : Fix F
⊢ ∀ (x : F (Fix F)), rec g <$> x = h <$> x → rec g (mk x) = h (mk x)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : WeakDual 𝕜 E
y : E
⊢ (WeakDual.toNormedDual x) y = x y
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
Finite ι
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
Module R M
f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
⊢ f = g ↔ ∀ (i : ι), f ∘ₗ LinearMap.single i = g ∘ₗ LinearMap.single i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (↑x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = ↑x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
r : β → γ → Prop
f : α → β
g : α → γ
s : Finset α
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r b c → r (f a * b) (g a * c)
⊢ r (Multiset.map (fun x => f x) s.val).prod (Multiset.map (fun x => g x) s.val).prod
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Fintype σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
h : f.totalDegree < n * Fintype.card σ
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
⊢ ∃ i, d i < n
α : Type u
l s : List ℕ
hs : s ∈ l.ranges
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) (range (Nat.sum l))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n (⇑h) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Div Y
f g : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
hg : IsLocallyConstant g
⊢ IsLocallyConstant (f / g)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (affineCombination k s fun x => p) w = p
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
⊢ SimplexCategory.δ i.succ ≫ SimplexCategory.σ j.castSucc = SimplexCategory.σ j ≫ SimplexCategory.δ i
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
i₁ i₂ : Nat
⊢ { byteIdx := i₁ } ≤ { byteIdx := i₂ } ↔ i₁ ≤ i₂
z : ℍ
c : ℝ
d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
⊢ EisensteinSeries.r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
P Q : Ideal ↥A
P.IsPrime
Q.IsPrime
h : P ≤ Q
⊢ A.ofPrime Q ≤ A.ofPrime P
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_4
I : Ideal R
t : ι → Submodule R M
⊢ I • iInf t ≤ ⨅ i, I • t i
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
p : γ → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₁.length = l₂.length → (List.Forall p (List.zipWith f l₁ l₂) ↔ List.Forall₂ (fun x y => p (f x y)) l₁ l₂)
n : ℕ
⊢ Ordinal.lift.{u, v} ↑n = ↑n
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
g' : G'
hg' : ∀ (x : G'), x ∈ Subgroup.zpowers g'
h : orderOf g = orderOf g'
⊢ (mulEquivOfOrderOfEq hg hg' h).symm = mulEquivOfOrderOfEq hg' hg ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
⊢ IsProperMap f ↔ IsClosedMap f
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ IsRegular ⊥
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₁
s : AffineSubspace k P₁
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f x ∈ AffineSubspace.map f s ↔ x ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ LinearMap.toMatrixAlgEquiv' (Matrix.toLinAlgEquiv' M) = M
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
x : R
⊢ x ∈ quasispectrum R a ↔ x = 0 ∨ x ∈ spectrum R a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ.restrict h.nullSet = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f < 1
⊢ ∃ i ∈ Finset.univ, f i < 1
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : y ≤ x ⊔ z
⊢ x = y
μ : YoungDiagram
⊢ YoungDiagram.transposeOrderIso μ = μ.transpose
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
a : ℝ≥0∞
ha : a ∈ f.range
⊢ a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ s ≠ 0
α : Type u_1
Monoid α
n : ℕ∞
⊢ n ≤ Monoid.minOrder α ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ≠ 1 → IsOfFinOrder a → n ≤ ↑(orderOf a)
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
h : L ≤ M
⊢ Function.Injective ⇑(Sublattice.inclusion h)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
(𝓤 α).IsCountablyGenerated
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ SecondCountableTopology α
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
⊢ IsLUB s p ↔ IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
⊢ map valEmbedding (Iio i.castSucc) = map valEmbedding (map castSuccEmb (Iio i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ s.einfsep < ⊤ ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < ⊤
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)
n m : Nat
⊢ n ≠ 0 → m.gcd n ≠ 0
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : (a : α) → Acc r a → Sort v
intro : (x : α) → (h : ∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → (hr : r y x) → motive y ⋯) → motive x ⋯
a : α
h : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
⊢ Acc.recC intro ⋯ = intro a h fun y hr => Acc.recC intro ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
g : β → α
hg : Function.Injective g
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ Set.range g), f i = ∑ᶠ (j : β), f (g j)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inl M N) = ⊤.prod ⊥
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : ∀ (a b : C), HasProductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
F : C ⥤ D
d : D
f : F ⟶ (evaluationRightAdjoint D c).obj d
x : C
g : x ⟶ c
⊢ (Pi.lift fun g => F.map g ≫ f.app c ≫ Pi.π (fun x => d) (𝟙 c)) ≫ Pi.π (fun x => d) g = f.app x ≫ Pi.π (fun x => d) g
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).φ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.φ n)
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective AddOpposite.op
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.baseChange A ⁅I, N⁆ = ⁅LieSubmodule.baseChange A I, LieSubmodule.baseChange A N⁆
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors
⊢ a = b
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))
⊢ sequence (Comp.mk <$> x) = Comp.mk (sequence <$> sequence x)
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c).get ⟨i, hi⟩ = List.drop (c.sizeUpTo i) (List.take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)