ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g
i : Set α
hi : MeasurableSet i
x✝ : μ i < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in i, f x ∂μ = ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Semiring α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f (↑n * c)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_4
Semiring A
Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ f.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q → f = g
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.LeftMoves
⊢ x ≤ 0
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.exp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₂ = 0 ↔ CategoryTheory.Epi T.mor₁
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
self : M ≃SL[σ] M₂
⊢ Continuous self.invFun
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
a b : A
e₁ : (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D a)
e₂ : (CategoryTheory.shiftFunctor C b).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D b)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd e₁ e₂).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map (e₁.inv.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e₂.inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).inv.app X))))
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
L : Φ.LeftResolution X₂
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id L).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id L.X₁
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
AddCommMonoidWithOne A
Module R A
AddCommMonoidWithOne B
Module R B
n : ℕ
⊢ ↑n = ↑n ⊗ₜ[R] 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ derivative (C ↑n) = 0
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] a)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯
⊢ pbL.dim = finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2) (HurwitzZeta.hurwitzZetaEven (↑a) s)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : Set α
ht : t ∈ s
⊢ MeasurableSet t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₃ g₄ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄) ≫
      (CategoryTheory.Limits.pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
s : Finset ι
t : ι → Set α
⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i ∈ s, t i)), f ↑x ≤ ∑ i ∈ s, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' i₁'' : I₁
i₂ : I₂
⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.map (K₁.d i₁' i₁'')).app (K₂.X i₂) = 0
M : Type u_1
Monoid M
S T : Subgroup Mˣ
⊢ (S.ofUnits ⊓ T.ofUnits).units = S ⊓ T
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
p : Set J
j₀ : J
h0 : j₀ ∈ p
h1 : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → (j₁ ∈ p ↔ j₂ ∈ p)
j : J
⊢ j ∈ p
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≤ ↑I
⊢ (↑J).FG
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0
⊢ (∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
⊢ False
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
z : ℂ
h0 : 0 < Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0
h1 : 0 < Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1
⊢ Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f z =
  ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0) ^ (1 - z) * ↑(Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1) ^ z
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ ringChar R ∣ x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : m → α
⊢ Matrix.row ι (Matrix.vecMul v M) = Matrix.row ι v * M
α : Type u_1
x y : α
⊢ s(x, y).IsDiag ↔ x = y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist s (closure s) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμst 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ IsCoprime (-x) y
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : α → E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
K : ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ,
  ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ),
    Filter.Tendsto δ l (𝓝[>] 0) →
      (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ Metric.closedBall (w j) (K * δ j)) →
        Filter.Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in Metric.closedBall (w j) (δ j), f y ∂μ) l (𝓝 (f x))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
t : R
⊢ (C t + p).reverse = C t * X ^ p.natDegree + p.reverse
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
Module.Flat R M
r : R
h : IsSMulRegular M' r
⊢ IsSMulRegular (TensorProduct R M' M) r
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y
n : ℤ
⊢ Submodule.Quotient.mk (n • x) = Submodule.Quotient.mk (n • y)
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Lattice β
a b : α × β
⊢ Set.uIcc a b = Set.uIcc a.1 b.1 ×ˢ Set.uIcc a.2 b.2
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s.re ≤ -1
⊢ False
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' s ≤ μ'.haarScalarFactor μ • μ s
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
h : a < b * c
⊢ b⁻¹ * a < c
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
hQ : IsPGroup p ↥Q
hp : ↑P < comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
⊢ False
a : ℤ
b ab' : ℕ
ab r b' : ℤ
hb' : ↑b = b'
hab : a % b' = ab
h : ↑ab' = ab
hr : jacobiSymNat ab' b = r
⊢ jacobiSym a b = r
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ IsCoprime x (y ^ m) ↔ IsCoprime x y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃
⊢ (lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯) ≫ fst f g = 𝟙 (pullback f g) ≫ fst f g
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
V : Type u
Quiver V
a : V
⊢ Quiver.Path.nil.length = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
⊢ ↑e ↑x ∈ (e.subtypeRestr hs).target
α : Type u_3
⊢ Set.univ.encard = PartENat.withTopEquiv (PartENat.card α)
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
a : α
⊢ ‖|a|‖ = ‖a‖
i : Nat
r : Std.Range
h : i ∈ r
⊢ i < r.stop
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ⟪x, (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
α : Type u_2
Sub α
g : Filter α
⊢ ⊥ - g = ⊥
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => √(f x)) s x
R : Type x
Mul R
HasDistribNeg R
a b : R
⊢ Commute a b → Commute a (-b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : Set X) in l.smallSets, ‖∫ (x : X) in x, f x ∂μ - (μ x).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ x).toReal‖
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ico a (Order.succ b) = insert b (Set.Ico a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (a₁, b₁) = (a₂, b₂) ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i
⊢ ∀ᶠ (i : α) in f, p (i, i)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ 0 ↔ n = 0
F : Type u_1
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
FunLike G B A
f : F
g : G
h₁ : ∀ (x : A), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : B), f (g x) = x
a : B
⊢ (StarAlgEquiv.ofStarAlgHom f g h₁ h₂).symm a = g a
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : b ≤ a
⊢ p (a ⊔ b)
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ ↑u * a ∣ b ↔ a ∣ b
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.tail.tail.get (2 * n) = s.tail.get (2 * n + 1)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
u_mono : Monotone u
I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a
C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)
I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C
I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)
I4 : ∑' (i : ℕ), ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} < ⊤
ω : Ω
hω : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬↑(u n) * ε ≤ |S (u n) ω - ∫ (a : Ω), S (u n) a|
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ W.IsInvertedBy F ↔ W ≤ (CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms D).inverseImage F
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
LE β
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≥ x_1) (fun x x_1 => x ≥ x_1) f ↔ ∀ (s : Set α), IsUpperSet s → IsUpperSet (f '' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : R[X]
k : ℕ
h : Decidable ¬p.coeff k = 0
a : A
⊢ (if ¬p.coeff k = 0 then a * (algebraMap R A) (p.coeff k) else 0) = a * (algebraMap R A) (p.coeff k)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ default = RelIso.refl r
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ : MultilinearMap R s E
z : R
f : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.liftAux φ) (PiTensorProduct.tprodCoeff R z f) = z • φ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
𝕜' : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : ContDiffAt 𝕜' n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ F
⊢ integral μ f = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Set.Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Set.Ici a)
⊢ Monotone f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
Y : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Y} {f : X → Y},
  MeasurableEmbedding f →
    ∀ (g : Y → E) (s : Set Y), ∫ (y : Y) in s, g y ∂MeasureTheory.Measure.map f μ = ∫ (x : X) in f ⁻¹' s, g (f x) ∂μ
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(dualAnnihilator W) = finrank K V
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : IsNoetherian ↥(reesAlgebra I) ↥F.submodule
⊢ F'.submodule.FG
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a
⊢ #α ≤ a
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p.primeFactorsList = [p]
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ AffineSubspace.map f ⊥ = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
x : R
⊢ (taylor r) (C x) = C x
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ a + ↑(-h.addUnit) = 0
this : Primrec₂ fun x n => let a := ofNat (ℕ × Code) n; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1)
x✝ : (ℕ × Code) × ℕ
k : ℕ
c : Code
n : ℕ
⊢ (((let a := ofNat (ℕ × Code) (encode ((k, c), n).1); List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1)).get? ((k, c), n).2).bind fun b => (((k, c), n), b).2) = evaln ((k, c), n).1.1 ((k, c), n).1.2 ((k, c), n).2
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : Nonempty (⊤ ↪g G)
⊢ n ≤ Fintype.card α
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a c : α
DecidablePred fun x => x < c
h : a < c
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Iic a) = Finset.Iic a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ (coeff R (d + n)) (X ^ n * p) = (coeff R d) p
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
⊢ Set.range toContinuousMap = {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
⊢ ∏ _x ∈ s, 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set β
⊢ Sum.inl ⁻¹' (Sum.inr '' s) = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
a b c d m✝ n✝ : ℤ
this : 1 ≠ -1
m n : ℕ
⊢ (↑m + 1 + (↑n + 1)).sign = 1
d : ℤ
⊢ Pell.Solution₁.x 1 = 1
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this✝ : a * x⁻¹ < 1
this : a * x⁻¹ * x ≤ y
⊢ a ≤ y
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
self : ContDiffBumpBase E
R : ℝ
⊢ 1 < R → Function.support (self.toFun R) = Metric.ball 0 R
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ
⊢ d i * (f i).natDegree ≤ d i * n