ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₃
f : L₂ →ₗ⁅R⁆ L₃
g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L₁
⊢ (f.comp g) x = f (g x)
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s t : Set (α → M)
hs : A.Definable L s
ht : A.Definable L t
⊢ A.Definable L (s ⇨ t)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
h : Disjoint s t
⊢ G.edgeDensity s t + Gᶜ.edgeDensity s t = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x
⊢ Splits (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (minpoly K x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)
this : (n + 1) * m = l - k
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝) = { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x✝¹ x✝ : Fin (n + 1)
h : x✝¹.succAbove = x✝.succAbove
⊢ x✝¹ = x✝
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ Neg.neg '' Set.Iic a = Set.Ici (-a)
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : n = 0
⊢ (-a).valMinAbs = -a.valMinAbs
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base y = x
z : ↑↑((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)).toPresheafedSpace
hz : ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).val.base z = y
⊢ ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).val.base z = x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x✝ : M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
y : M'
f : M → M'
hf : ContinuousOn f s
z : M
hz : z ∈ s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source
⊢ UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source) z
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ { data := l ++ c :: (m ++ r) }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = m.any p
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : w1 * w2⁻¹ ∈ H
⊢ False
⊢ ∀ {α : Type u_1} {γ : Type u_2} {r : α → γ → Prop} {β : Type u_3} {δ : Type u_4} {s : β → δ → Prop} {b : β} {c : γ},
  ¬Sum.LiftRel r s (Sum.inr b) (Sum.inl c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : i ≤ j
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
⊢ abv (↑f k) < ε
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
⊢ IsUnit f
α : Type u_2
LinearOrder α
a₁ a₂ : α
⊢ (∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂) ∨ (∀ (a : α), a₁ < a → a₂ ≤ a) ∧ ∀ (a : α), a < a₂ → a ≤ a₁
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
inst✝ : ProperSpace α
⊢ EMetric.diam univ = ⊤ ↔ NoncompactSpace α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
⊢ (if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = sSup univ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
⊢ 0 < EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f i a) Filter.atTop (𝓝 (F a))
X Y Z : Bipointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ ∀ (a : X.X), (f.comp g).toFun a = (g.toFun ∘ f.toFun) a
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow F S} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CostructuredArrow.post F G S).map f = CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f.left ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α
x : α
⊢ range f ⊆ {x} ↔ f = const ι x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : F.obj X),
  ↑((CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAuxAux η).inv.app X a).snd =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows.val ⟨a, ⋯⟩
α : Type v
s t : Set α
hts : t ⊆ s
Small.{u, v} ↑s
⊢ Small.{u, v} ↑t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s : Set α
h : μ s ≠ ⊤
⊢ (μ s).toReal • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c d : α
hac : a ≤ c
hbd : d < b
c0 : 0 < c
d0 : 0 < d
⊢ a / b < c / d
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
⊢ StrictMonoOn f (s ∩ Set.Ici y)
a : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n
this : τ f * ↑n = ↑m
⊢ ↑n ≠ 0
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsConj φ 1 ∧ ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp (algebraMap k K))
this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
y : α
hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x
⊢ a⁻¹ * b ≠ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
U : Cᵒᵖ
x : F'.obj U
⊢ ↑((G.lift f hf).app U x) = f.app U x
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsLUB s⁻¹ a ↔ IsGLB s a⁻¹
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
Fintype m
Fintype n
x : Matrix m n α
⊢ x = ∑ i : m, ∑ j : n, Matrix.stdBasisMatrix i j (x i j)
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝³ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝² : 0 ≤ ε₂
this✝¹ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝¹
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }
⊢ Function.Surjective ⇑(gelfandTransform ℂ A)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ ↔ AEMeasurable f μ
α : Type u
MulOneClass α
Preorder α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ExistsMulOfLE α
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ c, 1 < c ∧ a * c = b
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ Summable fun n => ‖∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.functorPushforward F (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows =
  CategoryTheory.Presieve.functorPushforward F R
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p q : k[X]
hq : Irreducible q
a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p
this : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)
x : k
hx : eval x (q * C q.leadingCoeff⁻¹) = 0
⊢ q.degree = 1
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∃ᶠ (x : α) in f, q x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T
⊢ sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
s t : Set M
hs : IsOpen s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ Set.range f ⊆ Set.Icc 0 1 ∧ Function.support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s ∩ ⋂ i, t i = ⋂ i, s ∩ t i
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
⊢ IsAtom p ↔ Irreducible p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : β → α
hf : Function.mulSupport f ⊆ Set.range g
⊢ ∏' (c : γ), f (g c) = ∏' (b : β), f b
R : Type u
E : Type v
AddCommGroup E
Ring R
Module R E
Nontrivial E
NoZeroSMulDivisors R E
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk R) ≤ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk E)
α : Type u
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ ¬Set.Bounded r s ↔ Set.Unbounded r s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
w✝ : ι
hf : f w✝ = sup f
⊢ f w✝ < lsub f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ‖f x‖) μ a b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ (Associates.mk a).factors = ↑(Associates.factors' a)
α : Type u
s : Set (Filter α)
⊢ (𝓟 s).join = sSup s
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi✝ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
hi : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋
⊢ ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 K
⊢ (norm K) ((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) x) = x ^ finrank K L
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x ∈ s, f x * μ {x}
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
⊢ IsOpen (closure U)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Ici b = Set.Iic (a - b)
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)
⊢ ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h : a ≤ Order.succ b
⊢ Set.Icc a (Order.succ b) = insert (Order.succ b) (Set.Icc a b)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
this : ∀ J ∈ π₀, ∃ πi, πi.IsPartition ∧ dist (integralSum f vol πi) (integral J l f vol) ≤ δ' ∧ l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πi
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
𝕂 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕂
CompleteSpace 𝕂
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ HasStrictDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O R
x : O
hx : IsUnit x
H : ∀ (x : O), v ((algebraMap O R) x) ≤ 1
⊢ v ((algebraMap O R) x) = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < c * b
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a
⊢ f b⁻¹ = a⁻¹
R : Type u
Field R
u : R[X]ˣ
n : ℕ
⊢ ((↑u).coeff n)⁻¹ = (↑u⁻¹).coeff n
M : Type u_1
AddMonoid M
a b : M
h : AddCommute a b
⊢ IsAddUnit (a + b) ↔ IsAddUnit a ∧ IsAddUnit b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
x : CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois F
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois.π F A) x = ↑x A
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
f : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ extentClosure r (⋃ i, ⋃ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, extentClosure r (f i j)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
⊢ ⇑h.basis = e
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)
this : abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(v, y1), ⋯⟩) * abs (f (circleMap z R y1)) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩) * abs (f X)
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y1‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
⊢ (X.restrictStalkIso h x).inv = Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
R : Type u
CommRing R
R' : Type v
CommMonoid R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ Function.Injective ψ.mulShift
α : Type u
a : α
n m : ℕ
⊢ List.replicate n a = List.replicate m a ↔ n = m
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α
⊢ ‖col ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
⊢ Function.Injective SetLike.coe
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ (↑n).natDegree ≤ 0
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
⊢ A *ᵥ (x + y) = A *ᵥ x + A *ᵥ y
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' EMetric.ball b r = EMetric.ball (b / a) r
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
⊢ IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ x ≤ c y ↔ c x ≤ c y
α : Type u_1
β : Type u_3
ma : MeasureTheory.OuterMeasure α
mb : MeasureTheory.OuterMeasure β
f : α → β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ma ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict (Set.range f)) mb ↔
  (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ma ≤ mb
z : ℂ
⊢ Complex.equivRealProdAddHom z = (z.re, z.im)
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
⊢ Function.Injective ⇑(X.presheaf.germ x)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsIntegral X
⊢ Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
i : ℕ
⊢ (minpolyDiv R x).coeff i ∈ Algebra.adjoin R {x}
z w : ℂ
hz : 0 ≤ z.re ∨ z.im ≠ 0
hw : 0 < w.re
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ w) z
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂ * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = c₂.ε₂ c₁ c₁₂ (i₂, i₁) * c₁.σ c₂ c₁₂ i₁' i₂
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ IsComplement S univ ↔ ∃ g, S = {g}