ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
h : dist x y < (1 / 2) ^ n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hne : x ≠ y
this : n < firstDiff x y
⊢ x i = y i
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (∃ x, p x (update f a b x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).darts
⊢ x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ UniformContinuous f ∧ Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ lowerClosure {a} = LowerSet.Iic a
A : Type u_4
B : Type u_5
CommSemiring A
LocalRing A
CommSemiring B
e : A ≃+* B
⊢ LocalRing B
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : x ≠ y
⊢ z ∈ affineSpan R {x, y}
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
⊢ Nat.Prime (n + 1) → Even n
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v
h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (Fin.cons x₀ x)
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.consCases h (Fin.cons x₀ x) = h x₀ x
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ a ∉ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
h : I = 0
⊢ ⟪T x, y⟫_𝕜 = (⟪T (x + y), x + y⟫_𝕜 - ⟪T (x - y), x - y⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • y), x + I • y⟫_𝕜 + I * ⟪T (x - I • y), x - I • y⟫_𝕜) / 4
α : Type u_1
Monoid α
LinearOrder α
a b : αˣ
⊢ ↑(max a b) = max ↑a ↑b
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ],
  AddAction.aestabilizer G μ ∅ = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
x y : X ⟶ Y
hf : x.f = y.f
hF : x.F = y.F
⊢ x = y
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.57581, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.57588, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.57595, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.57647, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α✝ α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ℱ.obj X
⊢ (ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x = ((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)
G : Type u_1
Group G
⊢ 1 ∈ commutatorSet G
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : V
p : P
⊢ (fun x => x +ᵥ p) '' affineSegment R x y = affineSegment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p)
α : Type u_1
s : Finset α
DecidableEq α
⊢ Finset.image (fun x => x) s = s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom)) x = ((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)) x
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
a : S
ha : a ≠ 0
hI : Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {a}))
⊢ Prime a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ IsLowerSet s
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f g : ℕ → ℕ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), ((u ∘ f ∘ φ) n, (u ∘ g ∘ φ) n) ∈ V n
V : Type u
G : SimpleGraph V
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
f : G ↪g G'
⊢ G.chromaticNumber ≤ G'.chromaticNumber
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
h₁₂ : v₁.IsEquiv v₂
h₂₃ : v₂.IsEquiv v₃
⊢ v₁.IsEquiv v₃
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (Order.pred^[n] i0)
⊢ toZ i0 (Order.pred^[n] i0) = -↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ a * s.prod
⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero X
⊢ biprod.snd ≫ biprod.inr = 𝟙 (X ⊞ Y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.δ i = X.δ i.succ ≫ X.δ i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R
h : IsUnit p
⊢ False
x : ℤ × ℤ
⊢ ∃! n, x ∈ Finset.box n
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f
this : ⇑(rename f) = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f)
⊢ Injective ⇑(rename f)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic
hP : Splits (RingHom.id L) (map (algebraMap K L) P)
⊢ (aeval r) (derivative P) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
ha'b : ⊥ ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨⊥, ha'b⟩
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Sub α
A B : Matrix m n α
⊢ (A - B).submatrix = A.submatrix - B.submatrix
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
⊢ (PresheafOfModules.sheafifyMap α φ φ' τ₀ τ fac).val.hom = τ.val
n k : Nat
⊢ n < k + n ↔ 0 < k
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
Y.HasMap p
φ₁ φ₂ : X ⟶ Y
h : φ₁ = φ₂
⊢ CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ₁ p = CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ₂ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
s : ℂ
X : ℝ
hs : 0 < s.re
hX : 0 ≤ X
⊢ IntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) (Ioc 0 X) volume
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
One M
One N
FunLike F M N
OneHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ f '' s = (fun x => f x) '' s
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) Set.univ = minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
h : List.Sorted r l
a b : ℕ
ha : a < l.length
hb : b < l.length
hab : a < b
⊢ r (l.nthLe a ha) (l.nthLe b hb)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
⊢ projRight (prod q₁ q₂) = q₂
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
⊢ ∃ l, List.Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ DomAddAct.mkHomeomorph.toEquiv = DomAddAct.mk
n : ℕ
s : Finset ℕ
a : Fin n
⊢ a ∈ Finset.fin n s ↔ ↑a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → γ
g' : β → γ
hg : Measurable g
hg' : Measurable g'
⊢ Measurable (Function.extend f g g')
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesSummable f s
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
n : ℕ
h : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ (f' ^ n) x ∈ p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt Neg.neg (-1) s x
R : Type uR
CommSemiring R
ι : Type u_1
Finite ι
⊢ Algebra.FiniteType R (MvPolynomial ι R)
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x - g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) - ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (cosh z)
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_4
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (ContinuousMap.linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜).toIsometryEquiv = ContinuousMap.isometryEquivBoundedOfCompact α E
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ε * (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ normEDS b c d 2 = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
⊢ Ioc a a ⊆ closure (interior (Ioc a a))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ p ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ Iio a ⊆ Iic b ↔ a ≤ b
A : Type u_4
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ (spectralRadius ℝ a).toNNReal ∈ spectrum ℝ≥0 a
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
⊢ l.rotate ↑k ~r l
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a * b ≤ c
hle : d ≤ b
a0 : 0 ≤ a
⊢ a * d ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ 0 < 2 / (1 - 2 / rexp 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ = ⨍ (x : α), (f x, (g ∘ f) x) ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (Finset.image f s).Nonempty
g : β → α
⊢ (Finset.image f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ f)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
W X Y Z : C
f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z
inst✝ : IsIso f
nz : 𝟙 W ≠ 0
a₁ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst = 0
a₂ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd = 0
x : W ⟶ W := biprod.inl ≫ f ≫ inv f ≫ biprod.fst
h₁ : x = 𝟙 W
h₀ : x = 0
⊢ False
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∀'φ) (∀'ψ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
n : l.Nodup
⊢ (↑l).Nodup
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
M₁'' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M₁'' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
hf : ∀ (i : ι), Surjective ⇑(f i)
g₁ g₂ : MultilinearMap R M₁' M₂
h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂
x : (i : ι) → M₁' i
⊢ g₁ x = g₂ x
m n : Num
⊢ (m + n).toZNum = m.toZNum + n.toZNum
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ b.reindexRange ⟨b i, ⋯⟩ = ↑⟨b i, ⋯⟩
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
⊢ mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
N : ℕ
hN : N ∉ Finset.range m
⊢ ((p N) fun x => y) = 0
α : Type u_1
LT α
a : α
x : WithTop α
⊢ ↑a < x ↔ ∀ (b : α), x = ↑b → a < b
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
⊢ Metric.glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl (Φ p)) (Sum.inr (Ψ p)) = ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ delayReflLeft 1 γ = γ
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ ¬φ.all.IsAtomic
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a b : α
hb : b ∈ s
h : b ≤ a
⊢ sInf s ≤ a
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : R[X]
self : IsAdjoinRoot S f
⊢ RingHom.ker self.map = Ideal.span {f}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ range f ≤ p ↔ comap f p = ⊤
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
⊢ underlying.obj (sInf s) ⟶ underlying.obj f
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔
  ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree
⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃
p : ℕ
q : ℚ
hp : p ≠ 1
hq : q ≠ 0
⊢ q.num ≠ 0
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u, w} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C} (f : X ⟶ Y),
  (LightCondensed.underlying C).map f = f.val.app (Opposite.op (LightProfinite.of PUnit.{u + 1}))
α : Type u_1
p : Finset α → Sort u_4
H : (s : Finset α) → ((t : Finset α) → t ⊂ s → p t) → p s
s : Finset α
⊢ Finset.strongInduction H s = H s fun t x => Finset.strongInduction H t
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ M.det = (-1 • eval ((scalar n) 0) (X - C M)).det
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
⊢ ContinuousAt γ t₀
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : UniformGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1
⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : Finite α
f : α → σ
l : List α
left✝ : l.Nodup
m : ∀ (x : α), x ∈ l
this : DecidableEq α
a : α
⊢ (List.map f l).get? (List.indexOf a l) = some (f a)
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
X' : Type u_6
TopologicalSpace X'
g : X' → C(Y, Z)
f : X' → C(X, Y)
hg : Continuous g
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => (g x).comp (f x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
S : Type u_6
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Monoid S
DistribMulAction S M₂
SMulCommClass R₂ S M₂
a : S
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(a • f) = a • ⇑f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : ↑F.val.sections
h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Opposite.unop W⦄, (Sieve.ofObjects Y (Opposite.unop W)).arrows f → F.val.map f.op (↑x W) = F.val.map f.op (↑y W)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ ↔ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn Set.univ)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
Nonempty α
h : ¬BddBelow s
⊢ s.Nonempty
α : Type u
l : List α
k : Nat
⊢ l.eraseIdx k = l ↔ l.length ≤ k
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
⊢ (rename ⇑e.symm) ((rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ)) = (rename ⇑e.symm) ((rename ⇑e) φ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ‖z‖ = 1 → z * z.inv = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
Fintype α
Fintype β
Fintype γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
⊢ ((SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).cliqueFinset 3).card = t.card
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
⊢ False
α : Type u_1
CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
init : Fin E.order → α
⊢ E.IsSolution (E.mkSol init)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(nthHom f (r * s) j - nthHom f r j * nthHom f s j) = 0