ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ ⊥.relindex H = Nat.card ↥H
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a * 0 = 0
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
⊢ toZ i0 i0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
NormOneClass 𝕜
h : Balanced 𝕜 s
x : E
⊢ -x ∈ s ↔ x ∈ s
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
M : Type u_1
Mul M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
a b : M
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ a * b ∈ upperBounds (s * t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
x : E
⊢ MDifferentiableAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : F.obj X), ((CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAuxAux η).inv.app X a).fst = η.app X a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
Nontrivial R
x y : S
hx : IsIntegral R x
hy : ∃ f, y = (Polynomial.aeval x) f
⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
G : CategoryTheory.PrelaxFunctor C D
⊢ (F.comp G).toPrelaxFunctorStruct = F.comp G.toPrelaxFunctorStruct
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
h : ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
⊢ ContinuousOn f s
x y : SetTheory.PGame
P : SetTheory.Game → Prop
⊢ (∀ (k : (x * y).RightMoves), P ⟦(x * y).moveRight k⟧) ↔
  (∀ (i : x.LeftMoves) (j : (-y).LeftMoves), P (-⟦x.mulOption (-y) i j⟧)) ∧
    ∀ (i : (-x).LeftMoves) (j : y.LeftMoves), P (-⟦(-x).mulOption y i j⟧)
α : Type u
NonAssocRing α
a b : α
⊢ a * (b - 1) = a * b - a
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Over.map f).comp (CategoryTheory.Over.forget Y) = CategoryTheory.Over.forget X
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
F.Full
F.Faithful
⊢ G.IsLocalization ((CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
⊢ { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
α : Type u_3
M : Type u_6
DecidableEq α
CommMonoid M
f : α → M
l : List α
_hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.prod f = (List.map f l).prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ h.toMonad.μ = CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerLeft L h.counit) R
α : Type u₁
β : Type u₂
MulZeroClass β
g₁ g₂ : α →₀ β
⊢ ⇑(g₁ * g₂) = ⇑g₁ * ⇑g₂
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasGradientWithinAt f (gradientWithin f s x) s x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ (Metric.closedBall x ε).Nonempty ↔ 0 ≤ ε
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ IsLowerSet s
R : Type u_1
Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(ArithmeticFunction.moebius x.1) * g x.2 = f n
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
⊢ x ∈ s → f x = g x
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x : L
y : L
hy : y ∈ I
LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
⊢ (LinearMap.trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = 0
a : ℝ
⊢ frontier {z | a < z.re} = {z | z.re = a}
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
x : Rᵐᵒᵖ
S : Subsemiring R
⊢ x ∈ S.op ↔ MulOpposite.unop x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < b
⊢ a * b < 1 * b
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : α → β
y : F α
⊢ (fun {α} => η.app α) (x <$> y) = x <$> (fun {α} => η.app α) y
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
⊢ IsGLB {b | a ≤ u b} (l a)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ Module.rank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ memPartition f (n + 1) = {s | ∃ u ∈ memPartition f n, s = u ∩ f n ∨ s = u \ f n}
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ dist a 1 = ‖a‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : Set.EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
⊢ Set.EqOn f g t
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ Coe.coe <$> Traversable.traverse h (List.map g a✝) = Coe.coe <$> Traversable.traverse (h ∘ g) a✝
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : Countable ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : ∀ (i : ι), MeasurableSet {ω | τ ω = i}
i k : ι
hk : k ∈ fun k => Preorder.toLE.1 k i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = k}
α : Type u
Preorder α
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n < f (n + 1)
⊢ StrictMono f
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hg : HasDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => f y + g y) (f' + g') x L
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
⊢ (∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z) ↔ ¬∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
i : ULift.{u, 0} ↑I
x : ↑X
⊢ H.uliftMap (i, x) = H (i.down, x)
R : Type u_4
TopologicalSpace R
LinearOrderedField R
OrderTopology R
FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊a * x⌋₊ / x) Filter.atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s
⊢ ↑t.card ≤ count s
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
c : Con M
w x : M
x✝ : c w x
⊢ c (w ^ 0) (x ^ 0)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x
⊢ slope f x y < f'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ f (iSup s) ≤ ⨅ i, f (s i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0
⊢ map (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
δ₁ : Type u_6
δ₂ : Type u_7
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
h_cover : range φ₁ ∪ range φ₂ = univ
⊢ 𝓤 (α →ᵤ β) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
PartialOrder α
PartialOrder β
PosSMulStrictMono α β
SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
⊢ a₁ • b₁ = a₂ • b₂ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nodup
⊢ s.Nontrivial ↔ ¬s.Subsingleton
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
n : ℕ+
IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Algebra.adjoin A ((Polynomial.cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = Algebra.adjoin A {ζ}
R : Type u_6
F : Filter R
LinearOrder R
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 5
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ jacobiSymNat a b = -r
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.coeff 0 n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
⊢ (𝓤 (α →ᵤ β)).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓤 β) (UniformFun.gen α β)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
M : Matrix m m R
p q : m → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : ∀ (x : m), q x ↔ p x
⊢ (M.toSquareBlockProp p).det = (M.toSquareBlockProp q).det
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
p : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε
⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - l‖ < ε
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
x : G
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
a b : α
hc : IsCompl a b
⊢ IsAtom a ↔ IsCoatom b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₅
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} C₆
T₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
T₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
V₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₄
V₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₅
V₃ : CategoryTheory.Functor C₃ C₆
B₁ : CategoryTheory.Functor C₄ C₅
B₂ : CategoryTheory.Functor C₅ C₆
CategoryTheory.CatCommSq T₁ V₁ V₂ B₁
CategoryTheory.CatCommSq T₂ V₂ V₃ B₂
X : C₁
⊢ CategoryTheory.CatCommSq.iso'.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T₂ V₂ V₃ B₂).hom.app (T₁.obj X))
    (B₂.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T₁ V₁ V₂ B₁).hom.app X))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = 𝓝[<] a
R : Type u_1
CommSemiring R
s : Subsemiring R
ι : Type u_2
t : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s
⊢ ∏ i ∈ t, f i ∈ s
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
x : E
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
p q : ℤ[X]
h : p * p.mirror = q * q.mirror
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ q.IsUnitTrinomial
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α
⊢ μ a * μ b * (f a * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b))
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
R : Type u_6
Fintype m
Fintype n
Fintype p
NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R
⊢ (A * B * C).trace = (C * A * B).trace
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
⊢ w * z = (x * y).succPNat ∧ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(Submodule.span R s)
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
hb' : 0 < ↑b
hd' : 0 < ↑d
⊢ (↑a / ↑b) ^ 2 ≤ 2 + ↑c / ↑d
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
M : Type u_1
X : Type u_2
VAdd M X
TopologicalSpace X
ProperConstVAdd M X
s : Set X
hs : IsCompact s
c : M
⊢ IsCompact ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s)
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
⊢ (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
⊢ MinFacHelper n k'
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ ↑(a ⊔ b) = ↑a ⊔ ↑b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.t • w = HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ 1 w
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support.card = 1 ↔ ∃ a b, b ≠ 0 ∧ f = Finsupp.single a b
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : True → (↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer = ⊤
⊢ Subgroup.map (↑P).normalizer.normalizer.subtype ((↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer) = (↑P).normalizer
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r s : R
⊢ v₁ r = v₁ s ↔ v₂ r = v₂ s
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ finrank K M = toNat (lift.{v, u_2} (Module.rank K M))
α : Type u
s : Computation α
n : ℕ
⊢ (s.thinkN n).Terminates → s.Terminates
a : ℕ
⊢ (↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : n < m
⊢ 0 ^ (m - n) = 0 ^ m * (0 ^ n)⁻¹
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
c : k
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights i i c = Finset.affineCombinationSingleWeights k i
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Add M
Add N
Add P
e₁ : M ≃+ N
e₂ : N ≃+ P
p : P
⊢ (e₁.trans e₂).symm p = e₁.symm (e₂.symm p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₁ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
⊢ ↑k ≤ multiplicity a b → a ^ k ∣ b
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Zero M
Zero N
Zero P
g₁ g₂ : ZeroHom N P
f : ZeroHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableAt 𝕜 f₂ x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (f₂ x).2) x = (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).comp (fderiv 𝕜 f₂ x)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → UpperSet α
⊢ (⨅ i, f i).compl = ⨅ i, (f i).compl
a : Prop
h : ¬a
⊢ a ↔ False
l r : List Char
⊢ { data := l ++ r }.offsetOfPos { byteIdx := utf8Len l } = l.length
G : Type u_1
Group G
a : G
⊢ a⁻¹ * a = 1
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
⊢ map Prod.fst l.revzip = l
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ ¬M.Indep (insert x I) ∧ x ∈ M.E ∨ x ∈ I ↔ x ∈ M.E ∧ (¬M.Indep (insert x I) ∨ x ∈ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ ↑f.support ⊆ s ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0