ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).ι = F.map h.ι
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
this : ∀ y ∈ t1, ∃ x ∈ s, f x = y
⊢ s.FG
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
⊢ T2Space X ↔ T0Space X
p : ℝ≥0∞ → Prop
⊢ (∀ (a : ℝ≥0∞), p a) ↔ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1
⊢ a • b ≤ b
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
m n : ℕ
hm : 0 < m
hn : 0 < n
⊢ IsRelPrime (x ^ m) (y ^ n) ↔ IsRelPrime x y
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ s = Filter.comap f (𝓝ˢ (f '' s))
p : ℕ
z : ℤ
_h : 0 ≤ z
⊢ ↑z.toNat = ↑z
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
S : Set G
hSK : Subgroup.IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G
⊢ (hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ LeftCosetEquivalence (↑K) g₁ g₂
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 - ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ
⊢ (‖lsmul ℝ ℝ‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε ≤ ε
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : ℝ
ht : 0 ≤ t
x : E
⊢ ‖t • x‖ = t * ‖x‖
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ x.denom ∣ q ↔ ∃ p, x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : (-x₁).IsOption x
h₂ : (-x₂).IsOption x
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y
⊢ P24 x₁ x₂ y'
β : TypeVec.Arrow Fin2.elim0 Fin2.elim0 → Sort u_1
f : β TypeVec.nilFun
⊢ TypeVec.typevecCasesNil₂ f TypeVec.nilFun = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β → γ
f : α → β
hg : Measurable g
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.Measure.map g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.Measure.map (g ∘ f) μ
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
ha : HasSum g a
⊢ 0 ≤ a
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
c : α
MulPosMono α
a b : α
hc : 0 ≤ c
⊢ max a b * c = max (a * c) (b * c)
ι : Type u
X : ι → Type
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J : ι → Prop
⊢ Function.Surjective ⇑(Profinite.IndexFunctor.π_app C J)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ ∅.truncatedSup a = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α
⊢ s ○ t ○ (u ○ v) = s ○ u ○ (t ○ v)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0
⊢ v x ≤ v (1 * y) ↔ v' x ≤ v' (1 * y)
n : ℕ
⊢ (hermite (2 * (n + 1) + 0)).coeff 0 = (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + 0).choose 0)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (r • s).toJordanDecomposition = r • s.toJordanDecomposition
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Complex.abs (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
n : ℕ
c : Composition n
h : 0 < n
⊢ 0 < c.blocks.sum
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
J : Type v₂
CategoryTheory.SmallCategory J
X : C
K : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (K ⋙ CategoryTheory.Limits.prod.functor.obj X)
⊢ (CategoryTheory.ProdPreservesConnectedLimits.forgetCone s).pt = s.pt
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
⊢ indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c + c')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b
V₂ : Set β
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b
V₂_op : IsOpen V₂
hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'
x : β
x_in₁ : x ∈ V₁
x_in₂ : x ∈ V₂
hV₂x : V₂ ∈ 𝓝 x
⊢ V₂ ∈ 𝓝 x ∧ i ⁻¹' V₂ ⊆ {x | (fun x => f x ∈ V') x}
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
this : Finite ↑s
⊢ (⋃ x, t ↑x ⋯).Finite
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
α : Type u_1
t : Set α
s : Finset ↑t
⊢ ↑(Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => x ∈ t) s) ⊆ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι
⊢ (b.toBasis.repr x) i = b.repr x i
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
j : N →+ P
⊢ f.lift ⋯ = j
k : ℕ
⊢ Nat.ascFactorial 0 k.succ = 0
α : Type u
LinearOrder α
a : α
⊢ min a a = a
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
⊢ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ∨ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)
α : Type u_1
β : Type u_2
b : Array β
as : Array α
f : α → β
i : Nat
⊢ Array.mapM.map f as i b = Array.foldl (fun r a => r.push (f a)) b as i
f f' : Sat.Fmla
self : f.subsumes f'
x : Sat.Clause
⊢ x ∈ f' → x ∈ f
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
⊢ essSup f (μ.restrict s) = essSup f μ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ((-o).areaForm x) y = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
x : ↑(Set.Ico a (a + p))
⊢ (QuotientAddGroup.equivIcoMod hp a).symm x = ↑↑x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ContinuousMap.toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h✝ : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
pa : α → Prop
ha : ∀ᶠ (x : α) in la, pa x
pb : β → Prop
hb : ∀ᶠ (y : β) in lb, pb y
h : ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
M : Type u_1
hom : Type u_2
AddZeroClass M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
FunLike hom G M
AddMonoidHomClass hom G M
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 0
⊢ Continuous ⇑f
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
i : ιA
j : ιB
x : A i
y : M j
⊢ (DirectSum.of A i) x • (DirectSum.of M j) y = (DirectSum.of M (i +ᵥ j)) (GradedMonoid.GSMul.smul x y)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
DecidableEq β
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (s +ᵥ t).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = hs.toFinset +ᵥ ht.toFinset
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
α : Type u'
v : α → M
t : L.Term α
g : L.Equiv M N
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (⇑g ∘ v) t = g (FirstOrder.Language.Term.realize v t)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
h' : ∀ (y : E), f₀' y = f₁' y
⊢ HasStrictFDerivAt f₀ f₀' x ↔ HasStrictFDerivAt f₁ f₁' x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
g : Filter β
⊢ g ≤ kernMap m (𝓟 s) ↔ g ≤ 𝓟 (kernImage m s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⇑Monoid.AddEquiv.punitCoprod.symm = ⇑AddMonoid.Coprod.inr
Ω : Type u_1
TopologicalSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω → ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs i) ω) ∂μ) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂μ))
w v : Nat
x : BitVec w
y : BitVec v
⊢ ~~~(x ++ y) = ~~~x ++ ~~~y
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a ∉ s, insert a s = t
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app hU.fromSpec U =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).inv ≫
    (AlgebraicGeometry.Spec (X.presheaf.obj (Opposite.op U))).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a s = (HurwitzZeta.hurwitzZeta a s - HurwitzZeta.hurwitzZeta (-a) s) / 2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = μ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ f ∉ ↑I.asHomogeneousIdeal ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b₁) w = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
ψ : G →* H
x : G
⊢ ψ x ^ orderOf x = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).one ≫ f.hom.op).unop = (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).one.unop
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
⊢ ↑⟨span R {x}, ⋯⟩ = span R {x}
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg ↔ ∀ (r : ℝ), x < ↑r
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ¬↑f b = 0
⊢ ↑f b * μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑f b}) = ↑f b * μ (↑f ⁻¹' {↑f b} ∩ s)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ (cyclotomic n R).Monic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (polyOfInterest p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
Φ : Set M
h : f x = 2
h' : Set.MapsTo (⇑(Module.reflection h)) Φ Φ
⊢ Set.BijOn (⇑(Module.reflection h)) Φ Φ
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
self : IsSublattice s
⊢ InfClosed s
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Equiv.symm (Equiv.addRight a) = Equiv.addRight (-a)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
u : f.left ⟶ g.left
v : f.right ⟶ g.right
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom v
⊢ (CategoryTheory.Arrow.homMk w).left = u
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
i j : n
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) f i j = (v₁.repr (f (v₁ j))) i
α : Type u_1
xs : List α
n : ℕ
a : α
⊢ (List.sym n xs).Sublist (List.sym n (a :: xs))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E
hmzero : Fin.init m 0 = m 0
⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (f.rangeIcc g).support = f.support ∪ g.support
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ AddSubmonoid.closure (univ • s)
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)
⊢ ∀ x ∈ univ • s, p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
k : ℕ
x : α
hx : x ∈ f^[k] ⁻¹' s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s
hk : f^[k] x ∈ s
⊢ ∃ᶠ (a : ℕ) in atTop, f^[a + k] x ∈ s
X Y : Type u
Mul X
Mul Y
e : X ≃* Y
⊢ ∀ (a : Y), e.toMagmaCatIso.inv a = e.symm.toFun a
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
y : B
⊢ y ∈ NonUnitalAlgHom.range φ ↔ ∃ x, φ x = y
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
⊢ B.N 1 = GroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f
⊢ Countable ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.IdempotentOp ga
h : Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Surjective f
x : α
⊢ gb (f x) (f x) = f x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y + θ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b))
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s t u : Set M
H K : Submonoid M
⊢ closure ↑H ⊔ closure ↑K ≤ H ⊔ K
p : ℕ →. Bool
p0 : p 0 = Part.none
⊢ Nat.rfind p = Part.none
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝⁴ : Primcodable α✝
inst✝³ : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable γ
f : α → β
g : α → γ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
n : ℕ
⊢ (Nat.casesOn (encode (decode n)) 0 fun n => (Nat.pair (encode (Option.map f (decode n))).pred (encode (Option.map g (decode n))).pred).succ) = encode (Option.map (fun a => (f a, g a)) (decode n))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
f g : MonoOver X
h : f.obj.left ≅ g.obj.left
w : autoParam (h.hom ≫ g.arrow = f.arrow) _auto✝
⊢ h.inv ≫ f.arrow = g.arrow
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
AddCommMonoid M
DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ ↑((DirectSum.Decomposition.decompose' φ) m) = (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) φ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n m : ℕ
⊢ ↑n ≤ s.chainHeight + ↑m ↔ ∃ l ∈ s.subchain, n ≤ l.length + m
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ LieIdeal.map f I ≤ J ↔ ⇑f '' ↑I ⊆ ↑J
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
I : Function.Injective f
a b : α
c : β
h : f b = c
⊢ f a = c ↔ a = b
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapComp f (𝟙 b)).inv = F.map f ◁ (F.mapId b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (ρ_ f).inv
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ integralSum f vol π₁ - integralSum f vol π₂ = ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, ((vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
r : R
⊢ r ∈ I.radical ↔ ∃ n, r ^ n ∈ I
ι : Type u_1
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ (l.eraseIdx i).length + 1 = l.length
n m : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ m → ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ n → Mathlib.Vector ℕ m
hf : Nat.Primrec' f
hg : Nat.Primrec'.Vec g
⊢ Nat.Primrec' fun v => f (g v)
i n : Nat
r : Std.Range
h₁ : i ∈ r
h₂ : r.stop = n
⊢ i < n
a : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑(Cardinal.toENat a) ≤ a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
M : Type u_1
Monoid M
u : Mˣ
x : M
n : ℕ
⊢ (↑u⁻¹ * x * ↑u) ^ n = ↑u⁻¹ * x ^ n * ↑u
a₃ c₂ k : ℕ
a₁ a₂ : ℕ
⊢ a₃ = c₂ * k → a₁ ^ a₂ * a₃ = a₁ ^ a₂ * c₂ * k
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ levyProkhorovEDist μ μ = 0
R : Type u_1
CommRing R
H : Ideal.IsJacobson R
I : Ideal R
⊢ I.radical = I.jacobson
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, N i
hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y
h0 : C 0
hadd : ∀ (y z : M), C y → C z → C (y + z)
⊢ C x