ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto Int.ceil (𝓝[≤] x) (pure ⌈x⌉)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • g') x
p : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal p < ↑n ↔ p < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
i j : β
⊢ Equiv.Perm.sumCongr 1 (Equiv.swap i j) = Equiv.swap (Sum.inr i) (Sum.inr j)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
α : Type u
β : Type v
Unique α
MeasureTheory.MeasureSpace β
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.funUnique α β)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
l r : Type u
b : Bool
L : l → SetTheory.PGame
R : r → SetTheory.PGame
IHl : l → SetTheory.PGame
IHr : r → SetTheory.PGame
i : SetTheory.PGame.InvTy l r b
x : SetTheory.PGame
IsEmpty l
IsEmpty r
⊢ SetTheory.PGame.invVal L R IHl IHr x i = 0
l m : ℕ
α : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix (Fin l) (Fin m) α
v : Fin m → α
⊢ A.mulVecᵣ v = A *ᵥ v
ε : ℝ
hε : 0 < ε
l : ℕ
⊢ 100 < 4 ^ SzemerediRegularity.initialBound ε l * ε ^ 5
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ Fintype.card n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
α : Type u
ι : Sort w
Order.Coframe α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨅ i, f i) ⊔ a = ⨅ i, f i ⊔ a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Cycle.map f Cycle.nil = Cycle.nil
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ Cardinal.toENat a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : S
⊢ a ∈ p.rootSet S ↔ p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
⊢ Function.Injective TensorProduct.curry
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f (a, b)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝² : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
this : ∃ x, x ∈ p
⊢ ∀ (x : M₂), x ∈ map 0 p ↔ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = Finset.map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (s.prod f).totalDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = r i
⊢ f = (Lagrange.interpolate s v) r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
⊢ (comap f) (⨅ i, m i) = ⨅ i, (comap f) (m i)
x : ℚ
x✝ : ∃ q, q * q = x
n : ℚ
hn : n * n = x
⊢ sqrt x * sqrt x = x
α : Type u
TopologicalSpace α
Group α
ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
⊢ interior s * t ⊆ interior (s * t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : T2Space M₂
inst✝² : Mul M₁
inst✝¹ : Mul M₂
inst✝ : ContinuousMul M₂
⊢ IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
this : f.support ⊆ g.support
⊢ f = g
n n' : Nat
m : Nat
i : Fin n'
h : n' = n
⊢ Fin.natAdd m (Fin.cast h i) = Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
⊢ f = g
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Ioo b c = Set.Ioo (a + b) (a + c)
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(a 0) * z + ↑(a 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ {k, m, n}
⊢ ↑k ≤ ↑i
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K₁
inst✝¹¹ : Field K₂
inst✝¹⁰ : Field K₃
inst✝⁹ : Algebra F K₁
inst✝⁸ : Algebra F K₂
inst✝⁷ : Algebra F K₃
ϕ✝ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K₁ E
inst✝³ : Algebra K₂ E
inst✝² : IsScalarTower F K₁ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₂ E
inst✝ : Normal F K₁
h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)
h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)
f : (E ≃ₐ[K₁] E) →* E ≃ₐ[F] E := { toFun := fun ϕ => AlgEquiv.ofAlgHom (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ) (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ.symm) ⋯ ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
ϕ : E ≃ₐ[F] E
hϕ : ϕ ∈ (AlgEquiv.restrictNormalHom K₁).ker
x : K₁
⊢ ϕ.toFun ((algebraMap K₁ E) x) = (algebraMap K₁ E) x
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ν' A⁻¹ = ∫⁻ (x : G), A.indicator (fun j => ν' ((fun y => y * j) ⁻¹' s)) x ∂μ'
⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
k : Set G
x : G
⊢ x ∈ AddSubgroup.closure k ↔ ∀ (K : AddSubgroup G), k ⊆ ↑K → x ∈ K
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd2 : p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs
⊢ ↑(p ^ (l + 1)) ∣ n
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
hp : p ≠ 0
a : S
⊢ a ∈ p.rootSet S ↔ (Polynomial.aeval a) p = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ (p.prodEquivOfIsCompl q h) ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x) ∈ p
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
Field F
Field K₁
Algebra F K₁
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra K₁ E
IsScalarTower F K₁ E
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₁
Normal F K₁
Normal F E
⊢ (ϕ.liftNormal E).restrictNormal K₁ = ϕ
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
⊢ ∀ (m : M), (map LinearMap.id) (inr m) = (AlgHom.id R' (tsze R' M)) (inr m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x 0
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
⊢ IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) volume 0 X
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle x (f⁻¹ y) ↔ f.SameCycle x y
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
Semiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
f : α ≃ₗ[R] β
⊢ f.mapMatrix.symm = f.symm.mapMatrix
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
⊢ (List.lookupAll a l).length ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Comonad.comparison h).obj X).A = L.obj X
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
h : IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing S
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ : W.FunctorsInverting D
τ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ W.Q ⋙ (fun G => lift G.obj ⋯) X✝ = X✝.obj
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.Quotient.lift I f H)
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ (Polynomial.taylor r) Polynomial.X = Polynomial.X + Polynomial.C r
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
i j : ι
hij : v i = v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
⊢ i = j
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ
this : 0 < (s + 1).re
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 / (s + 1).Gammaℝ
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
⊢ StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.support.card = 0 ↔ p = 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
U : Set (CofiniteTopology X)
⊢ (∃ t ⊆ U, IsOpen t ∧ x ∈ t) ↔ U ∈ pure x ⊔ cofinite
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
⊢ Matrix.vecMul v (A.conjTranspose * A) = 0 ↔ Matrix.vecMul v A.conjTranspose = 0
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ S ∈ 𝓝[<] y
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -(a ⊔ b) = -a ⊓ -b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ ↑(γ.rightShift a n' hn') = (↑γ).rightShift a n' hn'
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
l' : BoxIntegral.IntegrationParams
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hle : l' ≤ l
⊢ BoxIntegral.Integrable I l' f vol
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s
⊢ IsClosed ↑{↑x}.innerDualCone
α : Type u_1
DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ Multiset.count a (Finsupp.toMultiset f) = f a
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a
h₂ : r < b'
⊢ ↑r / ↑b' + q = q
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
V : X.Opens
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a : α
b : αˣ
⊢ a * ↑b * ↑b⁻¹ = a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree
⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t u : Finset α
⊢ s.disjSups t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → a ⊔ b ∈ u
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
⊢ ↑↑(hg.compLp g0 0) =ᶠ[ae μ] 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
self : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ self.i * self.i = c₁ • 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ProbabilityTheory.cond μ s = 0 ↔ μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f s
⊢ Nat.card ↑(f '' s) = Nat.card ↑s
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
⊢ (LocalizedModule.lift S (g ∘ₗ h) ⋯) ((iso S f).symm (mk' f x s)) = mk' g (h x) s
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - min a b = a - b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (⨅ s, ⨅ (_ : IsClosed s ∧ IsCompact s), 𝓟 sᶜ).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) compl
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
⊢ ∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.inf f = sInf (f '' ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
⊢ (∑' (a : α → β), q a * ∑' (a_1 : α), if b = a a_1 then p a_1 else 0) = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ x ∈ s, 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
G : Type u_3
H : Type u_4
Inv G
Inv H
a : G
b : H
⊢ (a, b)⁻¹ = (a⁻¹, b⁻¹)
K : Type u_1
S : Type u_2
Field K
CommRing S
Algebra K S
R : Type u_3
CommRing R
Algebra R S
Algebra R K
IsScalarTower R K S
B B' : PowerBasis K S
P : Polynomial R
h : (Polynomial.aeval B.gen) P = B'.gen
hB : IsIntegral R B.gen
hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
j : Fin B'.dim
⊢ IsIntegral R (B.basis.toMatrix (⇑B'.basis) i j)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => g + x) μ = μ
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
r : R
⊢ IsUnit ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r) ↔ IsUnit r
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(c1 * c2).den = ↑c1.den * ↑c2.den
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 (ZMod p)
⊢ verschiebung x = x * ↑p
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜
h𝒜 : Set.Sized r ↑(∂ 𝒜)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑𝒜
⊢ s.card = r + 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s : Set ι
i : ι
DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
⊢ (s.pi fun j => t j (Function.update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ (s \ {i}).pi fun j => t j (f j)
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert (f e) (f '' I) = f '' J
⊢ False
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n
x : ℝ
⊢ Real.log (-x) = Real.log x
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
⊢ ⌊logb (↑b) r⌋ = Int.log b r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) 1 μ
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ UpperHalfPlane.denom (x * y) z = UpperHalfPlane.denom x (UpperHalfPlane.smulAux y z) * UpperHalfPlane.denom y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N
hf : f 0 = 0
a : α
b : M
a' : α
⊢ (mapRange f hf (single a b)) a' = (single a (f b)) a'
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ I.IsPrime ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : α}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
R : Type u_2
Ring R
S : Set (Subring R)
⊢ (sSup S).op = sSup (Subring.unop ⁻¹' S)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
Add X
ContinuousAdd X
x : X
⊢ ⇑(ContinuousMap.addRight x) = fun y => y + x
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ choose r 1 = r ^ 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L L' L'' : C
g : L ⟶ L'
g' : L' ⟶ L''
⊢ (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (λ_ (𝟙_ SSet)).inv ≫ sHom K L ◁ ((homEquiv L L') g ⊗ (homEquiv L' L'') g') ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K L) (EnrichedCategory.Hom L L') (EnrichedCategory.Hom L' L'')).inv ≫ eComp SSet K L L' ▷ EnrichedCategory.Hom L' L'' ≫ eComp SSet K L' L'' = (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L') g ≫ sHomComp K L L' ≫ (ρ_ (sHom K L')).inv ≫ sHom K L' ◁ (homEquiv L' L'') g' ≫ sHomComp K L' L''
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t) ⊆ closure t
R : Type u_1
CommRing R
x : CliffordAlgebra 0
⊢ CliffordAlgebra.reverse x = x
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : P.toProperty.RespectsIso
X Y X' Y' : Scheme
f : X ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk f'
h : IsAffine Y
⊢ P f ↔ P f'
α : Type u_1
as : Array α
start stop : Nat
⊢ (as.extract start stop).size = min stop as.size - start
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
⊢ Antitone (Stirling.stirlingSeq ∘ Nat.succ)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
x : α
⊢ (f.extendSubtype * σ) x = (τ * f.extendSubtype) x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
Countable α
MeasurableSingletonClass α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun a => μ {a} • MeasureTheory.Measure.dirac a) = μ
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))
⊢ (Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) a = (f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) a
R : Type u
CommSemiring R
s s' : Set R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus s ∪ PrimeSpectrum.zeroLocus s' = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')