ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁸ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁶ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁴ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝³ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower B Bₘ L
this✝¹ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower Aₘ K L
this : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((mk R M N).compr₂ (map (r • f) g)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (r • map f g)) x✝¹) x✝
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a - b + (c - a) = c - b
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n x✝ : ℕ
ihn : (a ^ x✝) ⤳ (b ^ x✝)
⊢ (a ^ x✝.succ) ⤳ (b ^ x✝.succ)
n n' : Nat
i : Fin n
h : n = n'
⊢ (Fin.cast h i).succ = Fin.cast ⋯ i.succ
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i j : ℕ
hi : i < b.length
hj : j < b.blocksFun ⟨i, hi⟩
⊢ a.sizeUpTo (b.sizeUpTo i + j) = (a.gather b).sizeUpTo i + (a.sigmaCompositionAux b ⟨i, ⋯⟩).sizeUpTo j
a b c : Nat
⊢ min (a * b) (a * c) = a * min b c
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R✝ M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R✝ P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R✝ M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R✝ N'
ι✝ : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f✝ f' : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N
g g₂ : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
g' : M' [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
v✝ : ι✝ → M
v' : ι✝ → M'
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
v : ι → M₁
i j : ι
h : v i = v j
hne : i ≠ j
⊢ __src✝.toFun v = 0
n : ℕ
⊢ Real.sqrtTwoAddSeries 0 n < 2
G : Type u_1
Group G
G₂ : Type u_7
Group G₂
f : G →* G₂
s : Subgroup G₂
⊢ AddSubgroup.comap (MonoidHom.toAdditive f) (Subgroup.toAddSubgroup s) = Subgroup.toAddSubgroup (Subgroup.comap f s)
n a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ image Prod.fst n.divisorsAntidiagonal ↔ a✝ ∈ n.divisors
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = 0
β : Type u_4
CommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ ∏ r ∈ Finset.range (n + 1), f (n - r) = ∏ k ∈ Finset.range (n + 1), f k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r f.top f.top
⊢ False
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hf : Continuous f
hcf : HasCompactSupport f
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ↑↑a.sqrt ≤ √↑a ∧ √↑a < ↑↑a.sqrt + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → MeasureTheory.Measure β
⊢ MeasureTheory.Measure.bind 0 f = 0
x y : Ordinal.{u_4}
⊢ x * y % x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets) id
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ a ∈ f.support ↔ f a ≠ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
R I : Set α
h : M.Indep I
hIR : I ⊆ R
⊢ (M.restrict R).Indep I
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
finiteCovol : ν s ≠ ⊤
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
⊢ (μ ↑K' • haarMeasure K').IsHaarMeasure
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ (leftHomologyMap' φ h₁ h₂).op = rightHomologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Subsingleton
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycleOn _root_.Set.univ
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a ≠ b
⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Coverage C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Presieve X
⊢ S ∈ self.covering X → ∃ T ∈ self.covering Y, T.FactorsThruAlong S f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsDedekindDomain R
Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 ↔ IsPrincipalIdealRing R
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atTop l
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
j : ℕ
⊢ diam (u j) ≤ ε
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h : x ∈ S.units
⊢ ↑x⁻¹ ∈ S
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a : α
g : G
⊢ Function.minimalPeriod (fun x => g +ᵥ x) a = 1 ↔ a ∈ AddAction.fixedBy α g
α : Type u_1
DecidableEq α
m1 m2 : Multiset α
⊢ Disjoint m1.toFinset m2.toFinset ↔ m1.Disjoint m2
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.count s ≠ 0
q' : Λ'
p✝ : Γ' → Bool
k₁✝ k₂✝ : K'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)
J : Type
Finite J
K : Type
Finite K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : ⨁ f ⟶ ⨁ g
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.matrixEquiv m j k = CategoryTheory.Limits.biproduct.components m j k
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
inst✝¹ : Infinite X
inst✝ : DiscreteTopology X
inhabited_h : Inhabited X
⊢ ¬Tendsto (⇑CofiniteTopology.of.symm) (𝓝 (CofiniteTopology.of ↑default)) (𝓝 (CofiniteTopology.of.symm (CofiniteTopology.of ↑default)))
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : m ≤ n
⊢ IsPeriodicPt f (m - n) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
a : { x // x ∈ s }
x✝¹ : a ∈ ↑s.attach
b : { x // x ∈ s }
x✝ : b ∈ ↑s.attach
hab : a ≠ b
x : γ
hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a
hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b
xa : β
hfa : xa ∈ f ↑a
hga : x ∈ g xa
hfb : xa ∈ f ↑b
hgb : x ∈ g xa
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
BorelSpace β
Preorder ι
MulZeroOneClass β
Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ MeasureTheory.filtrationOfSet hsm = MeasureTheory.Filtration.natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
x✝ : Set X
⊢ x✝ ∈ b ∧ x ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ b ∧ y ∈ x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
E : A
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
S : J.Cover X
x : (I : S.Arrow) → E ⟶ P.obj (Opposite.op I.Y)
hx :
  ∀ ⦃I₁ I₂ : S.Arrow⦄ (r : I₁.Relation I₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (x I₁) (P.map r.g₁.op) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (x I₂) (P.map r.g₂.op)
I : S.Arrow
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (hP.amalgamate S x hx) (P.map I.f.op) = x I
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
a b m n✝ p n : ℕ
⊢ n.factorization = 0 ↔ n = 0 ∨ n = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∉ s → s.erase a = s
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
⊢ g i = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.ι (I.fstTo b)) (I.fst b)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).support.card ≤ p.support.card * q.support.card
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
t : List α
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.diff t ~ l₂.diff t
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0
s : ℕ → E := denseSeq E
hs : DenseRange s
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0
⊢ f x = 0 x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
⊢ ↑r ≤ (q.comp p).radius
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom
hx : Decidable ⊤.Dom
⊢ ⊤.toWithTop ≤ (↑n✝).toWithTop ↔ ⊤ ≤ ↑n✝
α : Type u
p : Prop
Decidable p
s : p → Set α
t : ¬p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then s h else t h) ↔ (∀ (h : p), x ∈ s h) ∧ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
⊢ dist I.lower I.upper ≤ ↑I.distortion * (I.upper i - I.lower i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Finset.Ico s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ 2 * z.im * w.im + ((z.re - w.re) * (z.re - w.re) + (z.im - w.im) * (z.im - w.im)) = (z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : seqClosure s = s
⊢ IsSeqClosed s
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
⊢ Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f ∈ S.arrows c' c'
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin (fun t => f (t ^ 0)) s = |0|⁻¹ • mellin f (s / ↑0)
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
⊢ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
f : E → F
x : E
s : Set E
t : Set F
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
v : E
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)
⊢ (fderivWithin 𝕜 g t (f x)) ((fderivWithin 𝕜 f s x) v) = (fderivWithin 𝕜 (g ∘ f) s x) v
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ h.aequiv h = AlgEquiv.refl
α : Type u_1
LinearOrder α
b : α
⊢ Set.projIic b b = ⟨b, ⋯⟩
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h₁ : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h₂ : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx✝ : x ∈ quasispectrum S a
hx : x ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u
⊢ NullMeasurableSet t ν
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : FunLike 𝓕 E F
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
⊢ ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
⊢ s ≤ u ∧ u < t ↔ ∃ a ⊂ t \ s, s ∪ a = u
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
this : IsCompact K
⊢ closedBall x₀ r = f '' K
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.productUniqueIso f).inv =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (CategoryTheory.Discrete.functor f) (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).cone
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
p : A → Prop
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)
x✝ : ContinuousOn (exp 𝕜) (spectrum 𝕜 a)
⊢ cfc (exp 𝕜) a = exp 𝕜 ((cfcHom ha) { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ })
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.sum μ)
⊢ HasSum (fun i => ∫ (a : α), f a ∂μ i) (∫ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.sum μ)
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
hφ : ¬IsUnramified k (mk φ)
⊢ False
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ 4 * C X ^ 3 + (C (C W.a₁) ^ 2 + 4 * C (C W.a₂)) * C X ^ 2 + 2 * (2 * C (C W.a₄) + C (C W.a₁) * C (C W.a₃)) * C X + (C (C W.a₃) ^ 2 + 4 * C (C W.a₆)) = (2 * Y + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃))) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.toAffine.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.toAffine.a₄) * C X + C (C W.toAffine.a₆)))
n : Nat
⊢ n.nextPowerOfTwo.isPowerOfTwo
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ X.ρ (g * x₁) x₂ = X.ρ g (X.ρ x₁ x₂)
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
ρ ν : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
x✝ : ν s < ⊤
U : Set α
sU : s ⊆ U
U_open : IsOpen U
νU : ν U ≤ ν s + ↑ε
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | ρ a ≤ ν a ∧ a ⊆ U}
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ ρ s ≤ ν s + ↑ε
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ insert a s
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C}}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ ∫ (a : α), (f a).toReal ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ).toReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f t x
hs : s ⊆ t
⊢ ContinuousWithinAt f s x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule.IsIrreducible R L M
⊢ Nontrivial M
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)
⊢ Measurable fun p => ⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_neg : a < 0
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ JoinedIn F y x
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)) Real.cos
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hlt : p.degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
⊢ p / q = 0