ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Algebra (ZMod p) α := ZMod.algebra α p
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α } (ZMod p) α := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) α
⊢ IsPrimePow ‖α‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
⊢ x default = x i
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Subsingleton ι
i : ι
s : ι → α
⊢ ⨆ i, s i = s i
K : Type u_2
Field K
φ : { φ // ¬NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ }
⊢ ↑(NumberField.InfinitePlace.mkComplex φ) = NumberField.InfinitePlace.mk ↑φ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 ≤ a
m n : ℤ
h : m ≤ n
⊢ a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ : Set α
v₁ : Trunc ↑s✝¹
s✝ : Set α
v₂ : Trunc ↑s✝
h : { s := s✝¹, val := v₁ }.s = { s := s✝, val := v₂ }.s
⊢ HEq v₁ v₂
a b : Bool
⊢ a = (a || b) ↔ b = true → a = true
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ Convex.toCone s hs = sInf {t | s ⊆ ↑t}
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
⊢ filter (fun x => a ≠ x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a) = ↑m
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)
h_le : k ≤ n
⊢ (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k)) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ conts, (of v).contsAux (n + 1) = Pair.map Rat.cast conts
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m : ℕ
⊢ m / 0 ≤ m
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0∞
H : ∀ (d' : ℝ≥0), μH[↑d'] s = ⊤ → ↑d' ≤ d
⊢ dimH s ≤ d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
p : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToIso p).hom = CategoryTheory.eqToHom p
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
a : Aˣ
⊢ spectrum R ↑a ⊆ {0}ᶜ
a : ENNReal
ha : a ≠ 0
h'a : a ≠ ⊤
n : ℤ
⊢ a ^ n < ⊤
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ μ (closedBall x r) = μ (ball x r)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)
xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * ((x - x) ^ (n + 1) - (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ |im z| ≤ ‖z‖
α : Type u_3
TopologicalSpace α
self : QuasiSober α
S : Set α
⊢ IsIrreducible S → IsClosed S → ∃ x, IsGenericPoint x S
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} / Metric.closedBall 1 δ = Metric.closedBall x δ
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsmul : ∀ (c : M), c • s ⊆ s
⊢ Dense s
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.unitIso W D).inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulZeroOneClass Y
U : Set X
Nontrivial Y
x : X
hU : IsClopen U
⊢ (LocallyConstant.charFn Y hU) x = 1 ↔ x ∈ U
a b : ℤ
⊢ Finset.Ico a b = Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding a)) (Finset.range (b - a).toNat)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (GaussianFourier.verticalIntegral b c) Filter.atTop (𝓝 0)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (swap a b) x ∈ s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f (sum m)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map f (sum m)) s = (sum fun i => map f (m i)) s
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
(↑I).IsPrincipal
⊢ I = FractionalIdeal.spanSingleton S (Submodule.IsPrincipal.generator ↑I)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
⊢ f.cycleOf a = c.cycleOf a
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
Subsingleton ↥p
⊢ p = ⊥
α : Type u_1
Mul α
x y : α
⊢ MulOpposite.op (x * y) = MulOpposite.op y * MulOpposite.op x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation α
⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse c₂ fun x => empty α) = c₁
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → SMul α (β i)
r : α
x : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.toHamming (r • x) = r • Hamming.toHamming x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Monotone (Submonoid.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : γ), κ.density κ.fst a a_1 (seq i) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 (∫ (a : γ), 1 ∂κ.fst a))
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ W.ρ g = (isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g)
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
NumberField K
⊢ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f) =
  ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑(∏ w : NumberField.InfinitePlace K, f w ^ w.mult)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑n
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : x.castSucc < y
h' : optParam (y.succAbove x ≠ last n) ⋯
⊢ (y.succAbove x).castPred h' = x
α : Type u
R : α → α → Prop
x y : α
l : List α
h₁ : R x y
h₂ : List.Chain' R (y :: l)
⊢ List.Chain' R (x :: y :: l)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ IsNilpotent
  ((LieModule.toEnd R L ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)) x -
    (algebraMap R (Module.End R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ))) (χ x))
x : ℝ
⊢ ↑(sign ↑x) * ↑(↑x).abs = ↑x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Fintype α
𝕜 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : α) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fact (1 ≤ p)
f : PiLp p E
⊢ ↑((lpPiLpₗᵢ E 𝕜).symm f) = f
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
AddCommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → i = j → α
⊢ (∑ j : ι, if h : i = j then f j h else 0) = f i ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂
⊢ s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ (t₁ ∪ t₂)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ IsPiSystem {s | IsClosed s}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
⊢ (A * B * C) i j = A i ⬝ᵥ B *ᵥ Cᵀ j
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X
v : Sat.Valuation
l : Sat.Literal
p : Prop
self : Sat.Literal.reify v l p
⊢ v.neg l → p
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
K.Normal
⊢ K.relindex (K ⊔ H) = K.relindex H
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ dist x y ≠ 0 ↔ x ≠ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ((p.changeOriginSeries k).sum x) x✝ = ((p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x) x✝
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : ι → TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β
i : ι
⊢ Continuous f → Continuous f
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
h : m + 1 ≤ n + 1
⊢ foldr.loop (n + 1) f ⟨m + 1, h⟩ x = f 0 (foldr.loop n (fun i => f i.succ) ⟨m, ⋯⟩ x)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
⊢ LieAlgebra.radical R L = ⊥
G : Type w
TopologicalSpace G
AddZeroClass G
ContinuousAdd G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, V + K ⊆ U
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
x y : M × N
⊢ Commute x y ↔ Commute x.1 y.1 ∧ Commute x.2 y.2
R : Type u
Semiring R
s : Set R[X]
p : R[X]
hs : s.Nonempty
hp : p ∈ Submodule.span R s
⊢ ∃ p' ∈ s, p.degree ≤ p'.degree
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a
⊢ Function.update (Function.update f a v) b w = Function.update (Function.update f b w) a v
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
⊢ x✝.reduce.IsSpecial
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
h : b * a = 1
⊢ b = 1 / a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
X : D
s t : ℱ.val.obj (Opposite.op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
⊢ s = t
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
⊢ (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
f : α → β
f' : γ → δ
g : β → ε
g' : δ → ζ
⊢ Prod.map g g' ∘ Prod.map f f' = Prod.map (g ∘ f) (g' ∘ f')
a b : ℕ
⊢ (Finset.Icc a b).card = b + 1 - a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j ≤ I ^ i
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
Group G
TopologicalGroup G
h :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
g : G
U : TopologicalSpace.Opens G
⊢ μ.innerContent ((TopologicalSpace.Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h' : (e'.oadd n' a').NFBelow b
this : (e.cmp e').Compares e e'
⊢ (e.addAux n (e'.oadd n' a')).NFBelow b
m n k : Nat
⊢ m <<< (n + k) = m <<< n <<< k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 univ fun x => (x ^ 2) ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)],
  Fintype.card G = p → ∀ {g : G}, g ≠ 0 → AddSubgroup.zmultiples g = ⊤
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
h_empty : t = ∅
⊢ s ∈ atBot
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b c : α
⊢ Disjoint (Ici a) (Iic b) ↔ ¬a ≤ b
n a : ℕ
⊢ a ≡ 0 [MOD n] ↔ n ∣ a
R : Type u
CommSemiring R
s t : Ideal R
h : s ≤ t
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑t ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑s
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g ↔ Monovary f g
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
n : ↑N
hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))
⊢ (g.toEmbedding.comp PM) (NP n) = g (PM (NP n))
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ ↑(StarSubalgebra.map f S) = ⇑f '' ↑S
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (a : α) in s, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) a ∂μ = 0
a b c d e f : Int
h₁ : a ≤ d
h₂ : b ≤ e
h₃ : c ≤ f
⊢ a + b + c ≤ d + e + f
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
f : A → B
f' : B → A
h₁ : Function.LeftInverse f' f
h₂ : Function.RightInverse f' f
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun a)
h₆ :
  ∀ (r : R) (a : A),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun (r • a) =
      r • { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ }.toFun a
⊢ { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, map_star' := h₅,
      map_smul' := h₆ }.symm =
  let __src := StarAlgEquiv.symm_mk.aux f f' h₁ h₂ h₃ h₄ h₅ h₆;
  { toFun := f', invFun := f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, map_star' := ⋯,
    map_smul' := ⋯ }
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
⊢ ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.toSheafify J Q) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.toSheafify J P) (CategoryTheory.sheafifyMap J η)
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ orderOf (a 1) = 2 * n
α : Type u_2
BEq α
LawfulBEq α
a : α
n : Nat
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {b : α_1} {k : α}, (!k == a) = true → List.lookup k (List.replicate n (a, b)) = none
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.liftSupQuotQuotMkₐ R I J) = DoubleQuot.liftSupQuotQuotMk I J
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
S : Type u_4
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ b' a ab', ∀ (i : ι), ↑(ab' i) = a i • b' i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝² : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝¹ : PreservesColimit F G
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
j✝ : J
⊢ colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ (preservesColimitIso G F).inv ≫ G.map (colimit.desc F t) = colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ colimit.desc (F ⋙ G) (G.mapCocone t)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x' : S
f : A[X]
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f * x') = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
b : β
⊢ a • {b} = {a • b}
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ volume (Metric.ball a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
R : Type u_1
Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (g x)) μ
⊢ (μ.tilted f).tilted g = (μ.tilted g).tilted f
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Group G
MulAction G β
g : G
f : α ↪ β
⊢ g • f = f.trans (Equiv.toEmbedding (MulAction.toPerm g))
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
⊢ S ≤ μ.outerMeasure.caratheodory
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (y * x) (z * x) ↔ IsRelPrime y z
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : s.Nonempty
⊢ s.inf' hs (g ∘ ⇑f) = (Finset.map f s).inf' ⋯ g
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = f₂.hom.left
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
c : List ℕ
hc : c.sum ≤ Fintype.card α
klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩
klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl
hc'_lt : ∀ l ∈ c.ranges, ∀ n ∈ l, n < Fintype.card α
⊢ ∃ o, map length o = c ∧ (∀ s ∈ o, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint o
α : Type u_1
n : ℕ
Add α
x : α
v : Fin n → α
y : α
w : Fin n → α
⊢ Matrix.vecCons x v + Matrix.vecCons y w = Matrix.vecCons (x + y) (v + w)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f : α → β
_m0 : MeasurableSpace α
hf : Measurable f
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ (MeasureTheory.Measure.map f μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Countable ι'
x : ι' → Set α
⊢ ⨅ i, 𝓟 (x i) = generate (range x)
y : ℝ≥0∞
h : 0 < y
⊢ (if 0 = 0 then ⊥ else if 0 = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log (ENNReal.toReal 0))) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X
⊢ ∞ ∈ (some '' s)ᶜ