ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j
_oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric
_oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric
IHxl : ∀ (i : xl), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xL i)
IHxr : ∀ (i : xr), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xR i)
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
hy : ∀ (i : yl) (j : yr), yL i < yR j
oyl : ∀ (i : yl), (yL i).Numeric
oyr : ∀ (i : yr), (yR i).Numeric
_IHyl : ∀ (i : yl), mk xl xr xL xR ⧏ yL i → ¬yL i ⧏ mk xl xr xL xR
_IHyr : ∀ (i : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR i → ¬yR i ⧏ mk xl xr xL xR
⊢ mk xl xr xL xR ⧏ mk yl yr yL yR → ¬mk yl yr yL yR ⧏ mk xl xr xL xR
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ∃ n, ↑n = a then 1 else 0)
M : Type u_2
AddCommMonoid M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
⊢ ↑(Submodule.torsion'AddSubMonoid M S) = {x | ∃ a, a • x = 0}
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : α), a * f i = a * ∑' (i : α), f i
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
k m : J
mi : m ⟶ i
h : F.map (mi ≫ f) (↑s₀ m) = F.map (mi ≫ f) (↑s₁ m)
mk : m ⟶ k
h✝ : True
⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
N : Type u_2
r : N → N → Prop
Group N
⊢ Covariant N N (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) r ↔ Contravariant N N (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) r
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
⊢ ∃ a b, Polynomial.eval a f + Polynomial.eval b g = 0
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ ∑' (n : ℕ), term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ 0 < nilpotencyClass x ↔ IsNilpotent x
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
H : μ Set.univ < ∑' (i : ι), μ (s i)
⊢ ∃ i j, i ≠ j ∧ (s i ∩ s j).Nonempty
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : μH[↑d] (f '' s) ≤ ↑C ^ ↑d * μH[↑r * ↑d] s
⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : φ.IsCovering
u v : U
⊢ Function.Injective fun f => φ.map f
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
h : x < 1
⊢ x ^ n < 1
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'
⊢ ⨆ i, f ↑i.1 ⊓ g ↑i.2 = ⨆ x, f (↑x).1 ⊓ g (↑x).2
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ (limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ ((limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (𝟙 (X.obj j ⊗ Y.obj j) ⊗ limit.π Z j)) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
⊢ Associates.mkMonoidHom a = Associates.mk a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ univ ⊆ g ⁻¹' univ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p.support
⊢ (f (coeff d p) * d.prod fun i k => g i ^ k) = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K
⊢ (IntermediateField.adjoin F S).toSubfield ≤ K
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f') ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g')
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.image f (insert a s) = insert (f a) (Finset.image f s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
⊢ eLpNorm f_lim p μ < ⊤
α : Type u_2
AddGroup α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s + Set.univ = Set.univ
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ StrictMono NonUnitalSubring.toAddSubgroup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : μ (s ∪ t) < ⊤
⊢ μ t < ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
⊢ Function.Injective ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
Y : C
η : CategoryTheory.yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f) η = s
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows.yonedaArrow f hf).val = f
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝² : CommRing P
g✝ : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f i j hij x) = (g✝ i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (lift G f P g✝ Hg) ((of G f i✝) g) = 0
⊢ (of G f i✝) g = 0
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ ∀ (a b : S), ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h₀ : a ⊓ b = ⊥
h₁ : a ⊔ b = ⊤
⊢ aᶜ = b
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : α → F'
⊢ μ[f|⊥] = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ b ≤ max a b
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
⊢ IsLinearMap α fun b => A.cramerMap b i
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ 1 ≤ a ^ 2 ↔ 1 ≤ |a|
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M
c : M'
⊢ SmoothAt I I' (fun x => c) x
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
H : X = 0
⊢ False
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
f g : tsze R M →ₐ[S] A
hinl : f.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom S R M) = g.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom S R M)
hinr : f.toLinearMap ∘ₗ ↑S (TrivSqZeroExt.inrHom R M) = g.toLinearMap ∘ₗ ↑S (TrivSqZeroExt.inrHom R M)
⊢ f = g
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
V : TopologicalSpace.Opens ↥U
⊢ ⋯.adjunction.counit.app (⋯.functor.obj V) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
⊢ ∀ (x : γ), (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) x = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) x
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ μ s = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : α →Co β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α
⊢ M₁ = M₂ ↔ M₁.E = M₂.E ∧ ∀ I ⊆ M₁.E, M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
l : List R
⊢ l.sum ^ p ^ n = (List.map (fun x => x ^ p ^ n) l).sum
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
⊢ a ∈ (p.filter s h).support ↔ a ∈ s ∧ a ∈ p.support
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b - b = -toIcoDiv hp a b • p
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Algebra.discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis =
  (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y
⊢ g x = g y
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : t.Nonempty
⊢ image2 (fun x x_1 => x) s t = s
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ ‖f.curryLeft‖ = ‖f‖
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), 0 < r i n
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
Xs Ys : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)
⊢ M.closure (⋃ i, Xs i) = M.closure (⋃ i, Ys i)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M
x' y' : R
hx' : x = gcd x y * x'
hy' : y = gcd x y * y'
hu : IsUnit (gcd x' y')
⊢ y' * x = y' * (gcd x y * x')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l ⊆ i
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.Restriction M
⊢ ∃ R ⊆ M.E, N = M.restrict R
⊢ ⇑Cardinal.alephIdx.relIso = Cardinal.alephIdx
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι
a b : ι → ℕ → ℝ
ha_anti : ∀ (i : ι), StrictAnti (a i)
hb_mono : ∀ (i : ι), StrictMono (b i)
ha_mem : ∀ (i : ι) (k : ℕ), a i k ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
hb_mem : ∀ (i : ι) (l : ℕ), b i l ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
hab : ∀ (i : ι) (k l : ℕ), a i k < b i l
ha_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (a i) atTop (𝓝 (I.lower i))
hb_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (b i) atTop (𝓝 (I.upper i))
⊢ ∃ J, (∀ (n : ℕ), Box.Icc (J n) ⊆ Box.Ioo I) ∧ Tendsto (lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower) ∧ Tendsto (upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ f.toRingHom = ↑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (f.vComp ↑t) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
α : Type u
Add α
Preorder α
a b : WithZero (Multiplicative α)
⊢ WithZero.toMulBot a < WithZero.toMulBot b ↔ a < b
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
π : Prepartition I
f : Box ι → α
g : Box ι → M
⊢ ∑ y ∈ Finset.image f π.boxes, ∑ J ∈ (π.filter fun J => f J = y).boxes, g J = ∑ J ∈ π.boxes, g J
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Ico a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ico a b, f k) * f b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hgmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Af : Antitone f
bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝
⊢ sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i))
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i : ι
⊢ (comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle i = TensorProduct.map (lapply i ∘ₗ lsingle i) (lapply i ∘ₗ lsingle i) ∘ₗ comul
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
⊢ Integrable (f + g) μ ↔ Integrable f μ ∧ Integrable g μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atTop
hg : Tendsto g G atTop
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atTop
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
Semiring k
NonUnitalNonAssocSemiring R
f : k →+ R
g : G → R
a : G
b : k
⊢ (MonoidAlgebra.liftNC f g) (MonoidAlgebra.single a b) = f b * g a
x y : UInt16
h1 : x ≤ y
h2 : y ≤ x
⊢ x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : CategoryTheory.Subobject Z
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).obj x =
  (CategoryTheory.Subobject.pullback f).obj ((CategoryTheory.Subobject.pullback g).obj x)
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < a
⊢ b < 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ e.functor.obj (e.inverse.obj Y)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.counit.app Y) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (e.counit.app Y) ↔ f = f'
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
f : X' ⟶ Y'
⊢ (CategoryTheory.Localization.Preadditive.homEquiv eX eY) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp eX.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f eY.inv)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → upperCentralSeries G' n = ⊤
α : Type u
r : α → α → Prop
IsDirected α r
⊢ DirectedOn r Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α ↪ β
b✝ : ↑(Set.range ⇑f)
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
⊢ (Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩ = f.invOfMemRange ⟨b, h⟩
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
⊢ minpoly A x ≠ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).op = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (Opposite.op X) f.op
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ (AffineEquiv.refl k P₁).trans e = e
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
b₀ b : M
hb : b ∈ (trivializationAt E (TangentSpace I) b₀).baseSet
⊢ Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivializationAt E (TangentSpace I) b₀) b =
  (tangentBundleCore I M).coordChange (achart H b) (achart H b₀) b
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
⊢ ∃ (hx : 0 ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨0, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0
⊢ -a • b₁ < -a • b₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = (((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ zip f s₁ s₂ = f s₁.head s₂.head :: zip f s₁.tail s₂.tail
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
θ : ℂ
n : ℤ
⊢ eval (cos θ) (U ℂ n) * sin θ = sin ((↑n + 1) * θ)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
⊢ (if m < n then 0 else 0) = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n✝ : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq n✝
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
n : ℕ
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra
⊢ exp 𝕂 (n • A) = exp 𝕂 A ^ n
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Finset.Icc a₂ b ⊆ Finset.Icc a₁ b
n k : ℕ
⊢ n.choose k = n.descFactorial k / k !
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp i₁ f'
e₂ : g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp i₂ g'
⊢ P (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) ⋯ ⋯)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ] F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K ⇑f
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h₁ : a₁ = b₂
h₂ : b₁ = a₂
⊢ [b₂, a₂].Perm [a₂, b₂]
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
⊢ zeroLocus ∘ SetLike.coe '' minimalPrimes R = irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν a, ‖⨅ r, f (a, x) ↑r‖ ≤ 1