ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
f : M → M'
g : M → M''
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I I'' g x
⊢ mfderiv I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x = (mfderiv I I' f x).prod (mfderiv I I'' g x)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
⊢ rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) f) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᶠ[ae μ] t
this : Fintype G
⊢ μ t = Nat.card G • μ (t ∩ s)
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
ht : ∃ t, T2Space X ∧ ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace ≤ t
⊢ CompleteSpace X
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
DivisionRing F
DivisionRing K
AddCommGroup A
Module F K
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
FiniteDimensional F K
FiniteDimensional K A
⊢ FiniteDimensional F A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g ∘ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f =
  CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply (f ≫ g)
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (y * x) z ↔ IsRelPrime y z
a b : ℕ
h : b ∣ a
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
G : Type u_1
LinearOrderedRing G
x : G
h : |x| ≠ 1
⊢ orderOf x = 0
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n
m n : ℕ
⊢ Nat.bitwise (fun x y => !xor (!x) y) m n = Nat.bitwise xor m n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
⊢ x ≤ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f - g)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ s) hf.toFinset, f i
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
K_le : K ≤ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup
⊢ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup = K
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖₊ ^ 2 = ‖x.1‖₊ ^ 2 + ‖x.2‖₊ ^ 2
α : Type u_1
s : Setoid α
⊢ Set.range Quotient.mk' = Set.univ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
⊢ p ∈ s
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m✝ n✝ : A
I : Submodule R A
m : A
hm : m ∈ I
n : A
hn : ∀ y ∈ I, n * y ∈ 1
⊢ n * m ∈ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ⊓ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
z : S
⊢ z ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) ↑x.1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ s.WellFoundedOn fun a b => r a b ∧ ¬r b a
M : Type u_4
AddMonoid M
Preorder M
L : List M
h : 0 < L.sum
⊢ 0 < L.length
m n✝ k i n : ℕ
⊢ m >>> i.succ = Nat.shiftLeft' true m n >>> (n + i + 1)
c : ℝ
f✝ g✝ : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
h1 : 0 < c
h2 : c < 1 / 2
h3 : c < 1
n : ℕ
ih : ∀ {f g : ℕ → Bool}, (∀ k < n, f k = g k) → f n = false → g n = true → cantorFunction c f < cantorFunction c g
f g : ℕ → Bool
hn : ∀ k < n + 1, f k = g k
fn : f (n + 1) = false
gn : g (n + 1) = true
⊢ ((bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < (bif g 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => g (n + 1)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ : P
⊢ midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p₂ = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p₂)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x : OreLocalization S R
⊢ x * 1 = x
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
U : Subalgebra S A
⊢ ↑(Subalgebra.restrictScalars R U) = ↑U
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x : ⨂[R] (x : ι), M
this : ∀ (f : ι → M) (z : M), (fun x => z) = update f i₀ z
⊢ ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x) = x
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
f g : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ f = g ↔ ∀ (a : A), f a = g a
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
l : Filter X
f : X → Y × Z
p : Y × Z
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 p)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (f a).1) l (𝓝 p.1)
m n k : Nat
⊢ m.gcd n ∣ (m * k).gcd n
x : ℝ
h : Irrational x
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (r • j).posPart = r.toNNReal • j.posPart
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
c : β
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => c + f x) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
n p : ℕ
hp : p ∈ n.primeFactors
⊢ Nat.Prime p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f t → x ∈ B
α : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
x : X
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
⊢ Filter.Tendsto (𝓝 ∘ f) l (𝓝 (𝓝 x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
l : Filter α
f g : α → ℝ≥0∞
hfi : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤
hgi : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≠ ⊤
hfg : (fun x => (f x).toReal) =ᶠ[l] fun x => (g x).toReal
⊢ f =ᶠ[l] g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g t
hf : ContMDiffOn I I' n f s
⊢ ContMDiffOn I I'' n (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t)
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + 1))) = ↑(↑a + 1 + (-↑b + -↑b))
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) + 1 = ↑a.bit1 - ↑b.bit0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
s : Set α
⊢ BddAbove s → BddAbove (f '' s)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
x : ↥K
⊢ (LieSubalgebra.equivOfLe h) x = ⟨(LieSubalgebra.inclusion h) x, ⋯⟩
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ I • N
p : (x : M) → x ∈ I • N → Prop
smul : ∀ (r : R) (hr : r ∈ I) (n : M) (hn : n ∈ N), p (r • n) ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ I • N) (y : M) (hy : y ∈ I • N), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ I • N), p x x_1
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H
⊢ b * a ∈ H
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base y = x
z : ↑↑((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)).toPresheafedSpace
hz : ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).val.base z = y
⊢ (𝒰.map (𝒰.f x)).val.base (((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).val.base z) = x
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a ≤ b * c
hle : c ≤ d
b0 : 0 ≤ b
⊢ a ≤ b * d
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
Nontrivial A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a := by cfc_tac
⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a ∨ -‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Ioi b = Set.Ioi (b - a)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g h i j : C
α : g ⟶ h
η : h ⟶ i
ηs : i ⟶ j
θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f i ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f j
pf_θ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f ηs = θ
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η ηs)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f α)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f η) θ)
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type ?u.136040
inst✝¹ : MulAction R X
T : Type u_2
inst✝ : Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
⊢ (universalMulHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
x y : V → α
⊢ x ⬝ᵥ SimpleGraph.adjMatrix α G *ᵥ y = ∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then x i * y j else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
⊢ (∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)) ↔ SuperpolynomialDecay l (fun a => |k a|) fun a => |f a|
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((Polynomial.expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : j = i.castSucc
⊢ SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ i.succ
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 ≤ s
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => -(z ^ n / ↑n)) (log (1 - z))
K K' L L' : SSet
f : K ⟶ K'
g : L ⟶ L'
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (K ⊗ L).obj Δ
⊢ (f ⊗ g).app Δ x = (f.app Δ x.1, g.app Δ x.2)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : c ≤ a
⊢ a ⊔ b \ c = a ⊔ b
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Surjective ⇑b
x y z : F
hz : b z = 1
hy : x • z • b y = x • z • (b 1 * b 1)
⊢ (algebraMap F E) (x * y) = b x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝¹ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs✝ : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s
a : α
h : a < b
hs : Ioo a b ⊆ s
⊢ comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
⊢ ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) * ↑n ! ^ 2 / ((∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (z + ↑j)) * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z + ↑j)) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M
⊢ (∀ x ∈ N₁, ∀ y ∈ N₂, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B y) x) ↔ ∀ x ∈ N₂, ∀ y ∈ N₁, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B x) y
K : Type u
Field K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).numDenom =
  (Polynomial.C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q), Polynomial.C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
⊢ f⁻¹.Disjoint g ↔ f.Disjoint g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
right : CategoryTheory.Functor D C
self : right.IsRightAdjoint
⊢ ∃ left, Nonempty (left ⊣ right)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g)
i :
  CategoryTheory.Bicategory.lanLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) ≅
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (CategoryTheory.Bicategory.lanLift f g)
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftUnit f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g))
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight i.hom f) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft h (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftUnit f g))
      (CategoryTheory.Bicategory.associator h (CategoryTheory.Bicategory.lanLift f g) f).inv
⊢ CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.toEnumFinset.card = Multiset.card m
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
g' : Q →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ LinearMap.lTensor P g' ∘ₗ TensorProduct.map f g = TensorProduct.map f (g' ∘ₗ g)
n : ℕ
⊢ StrictMono fun m => ack m n
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizer f
⊢ (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.trident f).ι = CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ‖birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x‖ ≤ C / ↑n
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + -1))) = ↑(↑a + -1 + (-↑b + -↑b))
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) - 1 = ↑a.bit0 - ↑b.bit1
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.StrictRestriction M
⊢ N.E ⊂ M.E
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
σ : ι ≃ ι'
⊢ ↑(AlternatingMap.domDomCongr σ f) = MultilinearMap.domDomCongr σ ↑f
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
a : K
⊢ (algebraMap (Polynomial K) (RatFunc K)) (Polynomial.C a) = RatFunc.C a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
m n : Lean.Name
⊢ (m == n) = true ↔ m = n
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x : A
n : ℕ
⊢ φ (x ^ n) = φ x ^ n
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn :
  FiniteDimensional.finrank ℝ
      ↥(LinearMap.ker
            (ContinuousLinearMap.id ℝ F -
              ↑{ toLinearEquiv := φ.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }))ᗮ ≤
    n
⊢ ∃ l, l.length ≤ n ∧ φ = (List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l).prod
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ B → ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => x⁻¹) ⁻¹' U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : StronglyMeasurable f
h : StronglyMeasurable (f * g)
⊢ g = f * g * f⁻¹
R : Type u_1
Field R
StarRing R
q : ℚ
x : ↥(selfAdjoint R)
⊢ ↑(q • x) = q • ↑x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
hα : IsIntegral F α
⊢ F⟮α⟯.toSubalgebra = Algebra.adjoin F {α}
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c
⊢ (Equiv.swap a b * Equiv.swap a c).IsThreeCycle
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∇ f x = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a b : α
DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ { ofColex := insert a s } ≤ { ofColex := insert b s } ↔ a ≤ b
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β
h : 0 < p.toReal
⊢ edist f g = edist g f
x : ℕ
y : PartENat
h : (↑x + y).Dom
⊢ (↑x + y).get h = x + y.get ⋯
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a + (b - a) = b
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
e' : S → R
h₁ : Function.LeftInverse e' ⇑e
h₂ : Function.RightInverse e' ⇑e
h₃ :
  ∀ (x y : R),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : R),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄ } = e
c : Code
v : List ℕ
i : Cfg'
h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i
h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i
x : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')
⊢ x ∈ eval (TM2.step tr) i ↔ x ∈ halt <$> c.eval v
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ r < dist z w ↔ w.im * Real.sinh r < dist ↑z ↑(w.center r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
h : pred a < b
⊢ Ico (pred a) b = insert (pred a) (Ico a b)
R : Type u_2
StrictOrderedSemiring R
Archimedean R
⊢ Filter.comap Nat.cast Filter.atTop = Filter.atTop
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Under X
f g : U ⟶ V
h : f.right = g.right
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
⊢ ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
⊢ (-p).comp q = -p.comp q
α : Type u_1
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ t.ncard
α : Type u_1
AddGroup α
ι : Type u_2
f : ι → AddSubgroup α
g : α
i : ι
⊢ (AddSubgroup.quotientiInfEmbedding f) (↑g) i = ↑g