ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁸ : AddMonoid M
inst✝⁷ : HasShift C M
inst✝⁶ : HasShift D M
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁴ : L.IsLocalization W
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : L.CommShift M
X Y Z T : C
a : M
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y
f : SmallShiftedHom W X Y a
n a' : M
h : a + n = a'
⊢ ((L.commShiftIso a').app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (f.shift n a' h)) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map (((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f)) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
k : ℕ
μ : K
hx : f.HasEigenvalue μ
hk : 0 < k
⊢ 0 = finrank K ↥⊥
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, x ≤ ↑(↑f j)
⊢ x ≤ mk f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
⊢ IsField R
s : String
p : Pos
h : Pos.Valid s p
h₂ : p < s.endPos
⊢ Pos.Valid s (s.next p)
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x ⧏ y → ¬y ⧏ x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
w✝ : Submodule R M
N' : Submodule R N
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N') w✝.subtype))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded E)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
PartialOrder 𝕜
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x)) (𝓝[<] 0) (𝓝 f')
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a < b ∨ a > b
k : ℕ
⊢ derivative (bernoulli (k + 1)) = (↑k + 1) * bernoulli k
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ QuasiIsoAt φ.τ₃ i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op) = X.presheaf.map ((eqToHom ⋯).op ≫ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s
⊢ IsCompact (⇑f ⁻¹' s)
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ RCLike.re (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
⊢ range (const α) = {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
n : ℕ
x : α
⊢ p x ↔ p ((f ^ n) x)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ o.nfpBFamily f a ≤ b
n guess : ℕ
⊢ Nat.sqrt.iter n guess * Nat.sqrt.iter n guess ≤ n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall c ↑R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}
⊢ AnalyticAt ℂ f c
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
⊢ (List.iterate f a n).length = n
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (Filter.map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
⊢ Subtype.val ∘ lastFun c ∘ h = Prod.map f g ∘ lastFun prod.diag
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
⊢ (f.sum fun n a => C a * X ^ n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c + f y) s x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p.natDegree ≤ n
⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = ∑ i ∈ Icc (n + 1) p.natDegree, a ^ (i - (n + 1)) * p.coeff i
G : Type u_7
AddGroup G
self : NonarchAddGroupNorm G
x : G
⊢ self.toFun x = 0 → x = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (s.formPerm h) x = s.next h x hx
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁ + μ₂ ⟂ₘ ν ↔ μ₁ ⟂ₘ ν ∧ μ₂ ⟂ₘ ν
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Set (Submodule R M)
⊢ ↑(sInf P) = ⋂ p ∈ P, ↑p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ T.η.app c.pt ≫ lambda c t = 𝟙 c.pt
α : Type u_1
C : FreeMonoid α → Sort u_6
x : α
xs : FreeMonoid α
h0 : C 1
ih : (x : α) → (xs : FreeMonoid α) → C xs → C (FreeMonoid.of x * xs)
⊢ (FreeMonoid.of x * xs).recOn h0 ih = ih x xs (xs.recOn h0 ih)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x).toAffineEquiv = AffineEquiv.pointReflection 𝕜 x
F : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring F
Semiring E
Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Injective ⇑b
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap F E)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b
x : α
hx : x = a ∨ x = b
y : α
hy : y = a ∨ y = b
⊢ (swap a b).SameCycle x y
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 1
hn' : ↑n ≠ 0
A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n
B : (↑x * ↑n) ^ (s - 1) = ↑x ^ (s - 1) * ↑n ^ (s - 1)
⊢ ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) = ↑n * ((1 - ↑x) ^ n * (↑x * ↑n) ^ (s - 1))
x✝ y✝ x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ |y| < |x|
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
⊢ ⊥.prod ⊥ = ⊥
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C✝ : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C✝
C : Type u₁
𝒞 : EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : EnrichedCategory (Type v) D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : EnrichedCategory.Hom X Y
g : EnrichedCategory.Hom Y Z
⊢ (eComp (Type v) X Y Z ≫ (fun X Y f => F.map f) X Z) (f, g) = (((fun X Y f => F.map f) X Y ⊗ (fun X Y f => F.map f) Y Z) ≫ eComp (Type v) ((fun X => F.obj X) X) ((fun X => F.obj X) Y) ((fun X => F.obj X) Z)) (f, g)
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => ((NormedSpace.expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd)
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1
⊢ a * b ≤ b
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I
⊢ (fromLoop i (toLoop i p)) y✝ = p y✝
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ⊔ d = sInf {s | ∀ (x y : R), c x y ∨ d x y → s x y}
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ Ideal.comap f ⊤ = ⊤
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a : α
g : G
⊢ g +ᵥ a ∈ AddAction.fixedBy α g ↔ a ∈ AddAction.fixedBy α g
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ SupSet.sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬SupSet.sSup s < k
sSup' : SupSet.sSup s ≤ k
sSup : SupSet.sSup s = k
⊢ False
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
⊢ (fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re
α : Type u_1
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel Unit (α × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelUnitBorel = κ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
⊢ PathConnectedSpace X ↔ ∃ x, pathComponent x = univ
R : Type u_1
CommMonoid R
Fintype R
R' : Type u_2
CommRing R'
IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
⊢ ∑ a : R, χ a = 0
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₁
s : AffineSubspace k P₁
h : x ∈ s
⊢ f x ∈ AffineSubspace.map f s
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
⊢ c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : -ε < ↑f j ∧ ↑f j < ε
H₂ : -ε < ↑g j ∧ ↑g j < ε
⊢ -ε < ↑(f ⊔ g) j ∧ ↑(f ⊔ g) j < ε
n : ℕ
⊢ (n + 1 - 0) * (n + 1).descFactorial 0 = (n + 1) * n.descFactorial 0
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ IsSemisimpleModule R ↥p → IsSemisimpleModule R ↥q → IsSemisimpleModule R ↥(p ⊔ q)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
⊢ 𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a) = 𝓝 ((∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a) - ∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
hfg : f ≈ g
hgh : g ≤ h
⊢ f ≤ h
β : Type u_2
f : β → ℝ≥0
⊢ ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ↔ Summable f
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
i : Fin 1
⊢ ({a}.orderEmbOfFin ⋯) i = a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ (p ^ (n + 1)).smeval x = p.smeval x ^ (n + 1)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
⊢ φ ≫ X.δ j.succ + (φ ≫ (Hσ q).f (n + 1)) ≫ X.δ j.succ = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
Add C
Mul C
Star C
e₁ : A ≃⋆+* B
e₂ : B ≃⋆+* C
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = FiniteDimensional.finrank R M₂
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
⊢ (ε i) (lc e l) = l i
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : FiniteMeasure Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ.toFiniteMeasure.normalize s = μ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ Filter.comap (Prod.map mk mk) (map (Prod.map mk mk) (𝓤 α)) ≤ 𝓤 α
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ Cardinal.aleph o
m n a b c d : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD 0] ↔ a = b
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
⊢ (Polynomial.expand R p) Polynomial.X = Polynomial.X ^ p
R : Type u_1
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
m : M
⊢ 0 • m = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ (Differentiable ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) ∧ Continuous (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (NumberField.RingOfIntegers K)
l : β
k : α
r : K →+* ℂ
⊢ a k l * (NumberField.house.newBasis K) r =
  ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary (-f) g ↔ Antivary f g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
⊢ ¬Summable f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
F.IsTriangulated
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ F.mapTriangle.obj T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X).sections
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfSectionCompYoneda F X s).π = (CategoryTheory.Limits.compYonedaSectionsEquiv F X) s
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subsemiring R
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
f : (b : Ordinal.{u_2}) → b < 0 → Ordinal.{u_2}
⊢ Ordinal.IsFundamentalSequence 0 0 f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ min |a| |b| ≤ |max a b|
α : Type u_2
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (n • s).toProd.1 = n • s.toProd.1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : ¬Injective f'
⊢ x = y
α : Type u_1
s : Set (Setoid α)
⊢ (sInf s).Rel = sInf (Setoid.Rel '' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
⊢ (μ univ)⁻¹ • μ ≪ μ
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
hs : IsCoatom s
⊢ IsClosed ↑s ∨ Dense ↑s
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ (forgetStalk IM I M R x).hom ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)
a b : ℝ
n : ℕ
c : ℂ
hc : c ≠ 0
D : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun y => Complex.exp (c * ↑y) / c) (Complex.exp (c * ↑x)) x
⊢ ContinuousOn (fun x => Complex.exp (c * ↑x)) [[a, b]]
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
a : α
⊢ a ⊔ ⊥ = a
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
⊢ e ∈ G.edgeSet → (e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
x : β
h : x ∈ e.target
⊢ ↑e.symm x ∈ e.source
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ Group.conjugatesOfSet s ⊆ Group.conjugatesOfSet t
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → ∃ ub ∈ S, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
⊢ ∃ m ∈ S, ∀ a ∈ S, m ⊆ a → a = m
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this✝ : IsEmpty κ
this : Subsingleton ↥S
⊢ S = ⊥
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Set.Ico (Order.succ a) b = Set.Ioo a b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : B
y : Ω[A⁄R]
⊢ (mapBaseChange R A B) (1 ⊗ₜ[A] y) = (map R R A B) y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
⊢ chaar K₀ K₁ ≤ chaar K₀ K₂
α : Type v
Preorder α
a : α
⊢ ⋃ b, Set.Ioc a b = Set.Ioi a
α : Type u
x : ULift.{v, u} α
Neg α
⊢ (-x).down = -x.down
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Injective fun x => x ^ n
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β
⊢ ∀ (x : Option α), ((fun f => f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯) ((fun f => ⟨coeWithTop.trans f, ⟨f none, ⋯⟩⟩) f)) x = f x