ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0
⊢ I ≤ dual A K J ↔ I * J ≤ dual A K 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D E).obj F).obj G = F.comp G
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
Fintype ι
M : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
v : V
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
⊢ (Real.fourierIntegral f v) m = Real.fourierIntegral (fun x => (f x) m) v
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
⊢ a ≤ b / c ↔ b ≤ a * c
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∃ s q, p = (MvPolynomial.rename Subtype.val) q
x y : Bool
⊢ x ≤ y ↔ x = true → y = true
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
⊢ [x, y].formPerm = Equiv.swap x y
ι : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
⊢ eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) 1 μ
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im < 0
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ z.im < 0
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (f * f')
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : m < l
⊢ range (f ^ l) ≤ range (f ^ m)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ ∀ x ∈ LinearMap.range (ι R), x ∈ 1 → x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a b : α
⊢ (l ++ [a, b]).formPerm = (l ++ [a]).formPerm * Equiv.swap a b
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedCommRing 𝕜
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 (Set.Ici 0) fun x => x ^ n
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ ∀ x ∈ n.factorization.support, (fun x x_1 => x ^ x_1) x (n.factorization x) = x ^ padicValNat x n
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
i : σ
n : ℕ
⊢ (X i ^ n).IsHomogeneous n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α
⊢ a ⊔ 1 = (fun x x_1 => x ⊔ x_1) 1 a
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ
hn : n > 0
⊢ m / n ≤ m
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
self : A × B
⊢ (StarAlgHom.snd R A B) self = self.2
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : Memℒp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
DecidableEq β
u : α → Finset β
x : α
xs : x ∈ s
⊢ u x ⊆ s.biUnion u
E : Type u_2
NNNorm E
x : Eᵒᵈ
⊢ ‖OrderDual.ofDual x‖₊ = ‖x‖₊
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
⊢ Supermartingale f 𝒢 μ
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ range (continuousLinearMapOfBilin B) = ⊤
𝕜 : Type u_4
Semiring 𝕜
Algebra ℝ≥0 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (⇑(algebraMap ℝ≥0 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ∪ l₂ = List.insert a (l₁ ∪ l₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
X : C
n : ℤ
self : t.IsGE X n
⊢ t.GE n X
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
SMul 𝕝 E
SMulCommClass 𝕜 𝕝 E
a : 𝕝
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 (a • s)
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f - g) =
  MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f - MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g
α : Type u_2
Mul α
⊢ ⇑Set.singletonMulHom = singleton
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rla : IsLeftRegular a
⊢ IsLeftRegular (a ^ n)
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
q : Bool
⊢ (l.all p || q) = l.all fun a => p a || q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Set.Icc 0 1
G : Type u
Mul G
self : IsLeftCancelMul G
a b c : G
⊢ a * b = a * c → b = c
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
Subsingleton ↥S
⊢ S = ⊥
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ Monotone (OrdinalApprox.lfpApprox f x)
α : Type u_2
CompletePartialOrder α
d : Set α
a : α
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
ha : ∀ b ∈ d, b ≤ a
⊢ sSup d ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.const abv (x - y) = CauSeq.const abv x - CauSeq.const abv y
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ ↑n ∣ t.sum
X : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.SpecΓIdentity.hom.app X = CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.toSpecΓ X)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
h : IsMaxOn (fun a => ‖a‖₊) (σ a) k
⊢ ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
f g : CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : c ⟶ f.left
w : S.map η ≫ f.hom = S.map η' ≫ f.hom
⊢ η = η'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪(ContinuousLinearMap.adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
⊢ (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ ⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩)
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ B.SeparatingRight
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ image compl (s ⊻ t) = image compl s ⊼ image compl t
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
β : Type u
⊢ ⇑(Equiv.piFinSucc n β).symm = fun f => Fin.cons f.1 f.2
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
NumberField k
NumberField K
IsGalois k K
IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
⊢ Fintype.card (NumberField.InfinitePlace K) = Fintype.card (NumberField.InfinitePlace k) * FiniteDimensional.finrank k K
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
α : Type u_1
⊢ ⊤.Rel = ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ 0 < hammingDist x y ↔ x ≠ y
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) - x) = Complex.cos x
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ ↑a.re + a.im = a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = f n / f 0
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ HasCompactSupport f → AEStronglyMeasurable f μ
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).hom
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
⊢ ∑ x ∈ s.disjSum t, f x = ∑ x ∈ s, f (Sum.inl x) + ∑ x ∈ t, f (Sum.inr x)
n : ℕ
⊢ (2 * (n + 1))‼ = ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), 2 * (i + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral (-f) = -MeasureTheory.L1.integral f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
B₂ : BilinForm R₂ (n → R₂)
⊢ ((BilinForm.toMatrixAux fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) B₂).toBilin'Aux = B₂
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
R : Type v
CommSemiring R
i : n
w : n → R
⊢ LinearMap.proj i ∘ₗ Matrix.toLin' (Matrix.diagonal w) = w i • LinearMap.proj i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 ⊆ s
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o.pred = o ↔ ¬∃ a, o = Order.succ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Ico 1 (p / 2).succ
⊢ ↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x✝¹).valMinAbs.natAbs
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
hl : l.bRiemann = false
this : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y
α : Type u
s t u : Set α
h : t ⊆ u
⊢ s \ u ⊆ s \ t
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.pi f) = ⨅ i, LinearMap.ker (f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
⊢ (CoheytingHom.id β).comp f = f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f g : Arrow C
inst✝³ : HasImage f.hom
inst✝² : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
inst✝¹ : HasImageMap sq
inst✝ : HasImageMap (𝟙 f)
⊢ HasImageMap.imageMap (𝟙 f) = imageMapId f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
hi : Nonempty ι
s : ι → Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.BijOn f (s i) (t i)
Hinj : Set.InjOn f (⋃ i, s i)
⊢ Set.BijOn f (⋂ i, s i) (⋂ i, t i)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ℕ
ω : Ω
⊢ ω ∈ {ω | (τ + π) ω ≤ i} ↔ ω ∈ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ i), {ω | π ω = k} ∩ {ω | τ ω + k ≤ i}
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn Q (↑e) e.source
α : Type u_2
Sub α
g : Filter α
a : α
⊢ pure a - g = Filter.map (fun x => a - x) g
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true
⊢ 0 < Real.log (↑n / ↑d)
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]
this : d - c = b + d - (a + c) - (b - a)
⊢ n ∣ b + d - (a + c) - (b - a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : 0 = (μ s)⁻¹ • μ.restrict s
h : ¬AEMeasurable X ℙ
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ f (↑n * c) = f 0
R : Type u_1
CommRing R
⊢ CliffordAlgebra.reverse = LinearMap.id
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0
⊢ ⟨n✝ + 1, hi⟩.cycleRange.IsCycle
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I J : Ideal S
h : J ≤ I
⊢ Ideal.absNorm I ∣ Ideal.absNorm J
F : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
FunLike G N M
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoidHomClass G N M
f : F
x : M
g : G
hfg : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
h : IsAddUnit (f x)
⊢ IsAddUnit x
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ ∀ (X_1 : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))), (CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X).obj X_1 = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))).obj X_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
T2Space M
One M'
U : TopologicalSpace.Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : Smooth I I' f
⊢ Smooth I I' (Function.extend Subtype.val f 1)
α : Type u_1
LE α
S : Set (UpperSet α)
⊢ (sInf S).compl = ⨅ s ∈ S, s.compl
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
L' : CategoryTheory.Functor C D'
L'.IsLocalization W
G : CategoryTheory.Functor D D'
e : L.comp G ≅ L'
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L') ((CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L).symm f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map f) (e.hom.app Y))
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
⊢ X.isoSpec.hom ≫ Spec.map (Hom.app f ⊤) = f ≫ Y.isoSpec.hom
R : Type u_3
CommRing R
r : R
a : ℍ[R]
⊢ a * ↑r = r • a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
⊢ LinearMap.rTensor M 0 = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x =
  ∑ w : NumberField.InfinitePlace K, ↑w.mult * (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
⊢ a - b - c = a - c - b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
s : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦s⟧}.Pairwise Commute
⊢ a * s.prod = s.prod * a
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
x : ℕ
⊢ x ∈ nth p '' Set.Iio hf.toFinset.card ↔ x ∈ Set.range ⇑(hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯)
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
SupSet α
Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddAbove t
h : sSup (Subtype.val '' t) ∈ s
⊢ sSup (Subtype.val '' t) = ↑(sSup t)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
LinearOrder α
Ixx : α → α → Set α
p : α → α → Prop
Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b
Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ i j, p (f i) (g j) ∧ Ixx (f i) (g j) = S}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
⊢ ∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᵀ = circulant fun i => v (-i)
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
f : γ →C₀ δ
g : CocompactMap β γ
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
a n n' : ℤ
hn' : a + n = n'
⊢ CategoryTheory.PredicateShift (t.LE n) a = t.LE n'
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b = a ∆ c ↔ b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Under X),
  (CategoryTheory.Under.mapPushoutAdj f).unit.app X_1 =
    CategoryTheory.Under.homMk (CategoryTheory.Limits.pushout.inl X_1.hom f) ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) = prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Z) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.map (𝟙 Y) (prod.lift prod.snd prod.fst)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
i : ι
m : M
⊢ AddMonoidAlgebra.toDirectSum (Finsupp.single i m) = (DirectSum.of (fun i => M) i) m
K : Type u_1
Field K
NeZero 2
a b c : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = -b / (2 * a)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
⊢ log (c⁻¹.toReal * (μ.rnDeriv ν x).toReal) = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ Continuous ⇑p