ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Set.Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : MeasureTheory.IntegrableOn (u * v') (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
hu'v : MeasureTheory.IntegrableOn (u' * v) (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
h_zero : Filter.Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')
h_infty : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic a, u x * v' x = a' - b' - ∫ (x : ℝ) in Set.Iic a, u' x * v x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
Algebra R S
hφ : φ.IsHomogeneous m
g : σ → MvPolynomial τ S
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
⊢ ((MvPolynomial.aeval g) φ).IsHomogeneous (n * m)
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
g : ℕ → α
hg : StrictAnti g
hg₀ : g 0 = default
⊢ ∀ (n : ℤ), (Int.casesOn n f fun n => g (n + 1)) < Int.casesOn (n + 1) f fun n => g (n + 1)
p : ℝ[X]
⊢ p.roots.toFinset.card ≤ ((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension S A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S ∪ {n}
⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑s
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
x : R
m n : ℕ
h : (x ^ m) ^ n = 0
⊢ x ^ (m * n) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ n ⊗ₜ[R] (h (g q) - q) ∈ range (lTensor Q f)
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
h : IsDedekindDomainInv A
⊢ IsNoetherianRing A
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
self : FiberBundle F E
b : B
⊢ b ∈ (FiberBundle.trivializationAt' b).baseSet
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
a✝ a : α
ha : a ∈ t
⊢ t \ {a} ⋖ t
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (z * x + y)
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝² : DecidableEq ι
P : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P
inst✝ : DecidableEq { a // ¬P a }
x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i
z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i
i : { a // ¬P a }
c : M₁ ↑i
⊢ (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else update z i c ⟨j, h⟩) = update (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩) (↑i) c
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ 2 ∣ x ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h - y ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h
α : Type u_1
LE α
s : Set α
a : α
hs : IsLowerSet s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a
⊢ IsLowerSet (s \ {a})
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β
⊢ ‖f‖ = sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
this : ↑n ! ≠ 0
⊢ (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
hn : ((πs C o) n + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ
hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ False
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (f ≫ g) x =
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫
    AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
⊢ HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L
n : ℕ
⊢ ↑(catalan n) = ↑n.centralBinom / (↑n + 1)
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f : α → G
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ BddBelow (Set.range fun x => (f x)⁻¹)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Finite ι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : ι → M
⊢ Function.Surjective ⇑((Module.piEquiv ι R M) v) ↔ Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.span R {m} ≤ p ↔ m ∈ p
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
⊢ s.mulIndicator (fun a => f a * g a) x✝ = s.mulIndicator f x✝ * s.mulIndicator g x✝
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
⊢ ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id S).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
m n : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
⊢ (x + y) ^ (m + n - 1) = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
self : CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ k < n, χ a = μ ^ k
G : Type u_2
self : InvOneClass G
⊢ 1⁻¹ = 1
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
Ns : η → Type u_14
Ps : η → Type u_15
(j : η) → Mul (Ms j)
(j : η) → Mul (Ns j)
(j : η) → Mul (Ps j)
es : (j : η) → Ms j ≃* Ns j
fs : (j : η) → Ns j ≃* Ps j
⊢ (MulEquiv.piCongrRight es).trans (MulEquiv.piCongrRight fs) = MulEquiv.piCongrRight fun i => (es i).trans (fs i)
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Antitone fun x => c - x
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : Set.range f = Set.range g
⊢ Ordinal.sup f = Ordinal.sup g
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
u : Set ι
left✝ : u.Countable
husub : s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
⊢ ∃ u, u.Countable → s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
δ : ℝ
⊢ frontier (Metric.thickening δ E) ⊆ {x | EMetric.infEdist x E = ENNReal.ofReal δ}
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f : M₁ →ₗ[R₁] M₁
hf : IsCompactOperator ⇑f
V : Submodule R₁ M₁
hV : ∀ v ∈ V, f v ∈ V
h_closed : IsClosed ↑V
⊢ IsCompactOperator ⇑(f.restrict hV)
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
⊢ μ' s ≤ ν s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ ↑((Equiv.sigmaFiberEquiv f).symm x).snd = x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
IsRightCancelAdd G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
⊢ (f * AddMonoidAlgebra.single x r).support = Finset.map (addRightEmbedding x) f.support
w : Nat
x y : BitVec w
h : x.msb ≠ y.msb
⊢ x.slt y = !x.ult y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g a).toReal} \ {x | g x = ⊤})
⊢ {a | ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g a).toReal} \ {x | g x = ⊤} ⊆ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
E : Type u_7
Field E
Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Polynomial.Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) pb.gen) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.Word M
m : M i
⊢ ⟨i, m⟩ ∈ ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair j) w).tail.toList → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n
h : listDecode ([φ].bind fun φ => φ.snd.listEncode) = [φ]
⊢ (fun l => (listDecode l)[0]?) ((fun φ => φ.snd.listEncode) φ) = some φ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
h : 𝓝[<] x ≠ ⊥
⊢ Function.leftLim f x = sSup (f '' Set.Iio x)
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsAsymm α r
a b : α
⊢ r a b → ¬r b a
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
⊢ ∫ (x : X), f x ∂μ = ∫ (x : X), ↑(f.nnrealPart x) ∂μ - ∫ (x : X), ↑((-f).nnrealPart x) ∂μ
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set (AddSubgroup G)
s : AddSubgroup G
hs : s ∈ S
x : G
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] {f : α → β} {μ : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
s : Set M
N : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (Submodule.span R s) ≤ N ↔ ∀ m ∈ s, f m ∈ N
α : Type u_1
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Finset.uIcc a b ↔ a ⊓ b ≤ x ∧ x ≤ a ⊔ b
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
a b : α
f : α → β
hcf : Continuous f
h : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
⊢ f a = f b
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
this✝ : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)
h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s
this : Subtype.val ⁻¹' s ⊆ connectedComponent ⟨x, ⋯⟩
⊢ s ⊆ connectedComponentIn F x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ ↑(t \ s).ncard + ↑s.ncard = ↑t.ncard
R : Type u
Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
⊢ (ModuleCat.HasLimit.productLimitCone f).cone.π = CategoryTheory.Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as
R : Type u_1
A : Type u_2
Field R
DivisionRing A
Algebra R A
q : ℚ
⊢ ↑↑q = ↑q
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p.swap = ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
x : R
⊢ (Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J ⊔ I
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖Complex.log (1 + z) - Complex.logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
DecidableEq (δ a)
⊢ Finset.image (fun f => f a) (Fintype.piFinset t) ⊆ t a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ (x.lcm y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p j : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
F : ℕ → ℚ
S : Finset ℕ
hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i
s : ℕ
S' : Finset ℕ
Hnot : s ∉ S'
Hne : S'.Nonempty
Hind : (∀ i ∈ S', padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)) → padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ S', F i)
hF : ∀ i ∈ Finset.cons s S' Hnot, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)
⊢ padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ Finset.cons s S' Hnot, F i)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
e : A ≃ₐ[R] A
⊢ (AlgEquiv.toLinearMapHom R A) e = e.toLinearMap
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0, x ∉ Metric.cthickening δ E
n m : ℕ
⊢ ↑n ∣ ↑m ↔ n ∣ m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
⊢ ⇑f ⁻¹' Ici b = Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
H : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
i j : n
⊢ (M.charmatrix i j).natDegree ≤ if i = j then 1 else 0
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
⊢ ⋃ i, ⋃ (hi : p i), Ico (f i hi) a = Iio a ↔ ∀ x < a, ∃ i, ∃ (hi : p i), f i hi ≤ x
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
Y : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace Y
f : X → Y
hf : MeasurableEmbedding f
g : Y → E
s : Set Y
⊢ ∫ (y : Y) in s, g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : X) in f ⁻¹' s, g (f x) ∂μ
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
h : Nonempty α
b : β
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.const α b‖ = ‖b‖
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
⊢ StrictMonoOn (Nat.nth p) (Set.Iio hf.toFinset.card)
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
MeasurableMul₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (f * g)
α : Type u
l l' : List α
x : α
⊢ [x] ~r l ↔ [x] = l
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b + b = max a b
x : CliffordAlgebra CliffordAlgebraComplex.Q
⊢ CliffordAlgebra.reverse x = x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
⊢ t • x ∈ s
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝
⊢ ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).Exact
x y : Class
⊢ (∀ (z : ZFSet), x z ↔ y z) → x = y
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
e : G ≃+ G'
⊢ H.equivMapOfInjective ↑e ⋯ = e.addSubgroupMap H
X : Type u_1
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
TopologicalSpace X
NormedField 𝕜
NormedDivisionRing R
Algebra 𝕜 R
CompleteSpace R
f : C(X, R)
⊢ spectrum 𝕜 f = ⇑(algebraMap 𝕜 R) ⁻¹' Set.range ⇑f
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
hn : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω = N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N m ω = N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : D
X : CategoryTheory.Comma (F.comp G) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S)
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F G S).obj X).left = F.obj X.left
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f g : R →ₙ+* S
s : Set R
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(NonUnitalSubring.closure s)
M : Type u_10
A : Type u_11
Monoid M
Monoid A
self : MulDistribMulAction M A
r : M
⊢ r • 1 = 1
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
⊢ powersetCard n.succ (insert x s) = powersetCard n.succ s ∪ image (insert x) (powersetCard n s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})
⊢ ∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = 0 then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
I : Type u
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
⊢ Continuous (Profinite.NobelingProof.Proj J)