ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ Filter.coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ‖1‖ = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
M : Type u_6
Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ↑hx.unit⁻¹ = x ^ (orderOf x - 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
⊢ h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ a * (x * x') = y * y' * a
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ ↑f.range = Set.range ⇑f
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ mabs a
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3
h2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑ k ∈ T, f x k) (T.sum g) < ε
n : α
hn : dist (∑ k ∈ T, f n k) (T.sum g) < ε / 3
h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖
h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ‖∑' (x : ↑(↑T)ᶜ), (f n ↑x - g ↑x)‖ < ε / 3 + ε / 3
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ f ∣_ U ≫ U.ι = ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U).ι ≫ f
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ] μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]
⊢ MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
k : ℕ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x => bernoulliFun (k + 1) x / (↑k + 1)) (bernoulliFun k x) x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x : P₁
⊢ Function.Involutive ⇑(AffineEquiv.pointReflection k x)
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
⊢ v ∉ W → v ∉ (dualAnnihilator W).dualCoannihilator
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
l : FreeAddMonoid α
⊢ (FreeAddMonoid.count x) l = List.count x l
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = p.leadingCoeff
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
⊢ Order.pred a < b → a ≤ b
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ HasSum f 0 ↔ f = 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a : ℕ
⊢ ↑(a.choose 2) = ↑a * (↑a - 1) / 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPullback CategoryTheory.Limits.biprod.inr 0 CategoryTheory.Limits.biprod.fst 0
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val) ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map g.val)) WalkingParallelPair.one ≫ (PreservesCoequalizer.iso (SheafedSpace.forget CommRingCat) f.val g.val).hom) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i
⊢ (if h : Δ = Δ' then eqToHom ⋯ else if h : Isδ₀ i then K.d Δ.len Δ'.len else 0) = K.d Δ.len Δ'.len
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
⊢ (↑U).presheaf.obj (Opposite.op V) = X.presheaf.obj (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V))
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ (fun x => Polynomial.eval x P) ~[Filter.atTop] fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
p : ℝ
m : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑m) f s
h : ↑m ≤ p
⊢ ContDiffOn ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ μ (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.closedBall 0 1)
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
i : V
⊢ (adjMatrix α G * adjMatrix α G) i i = ↑(G.degree i)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
⊢ Filter.coprodᵢ ⊥ = ⊥
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ
⊢ M.toεNFA.accepts = M.accepts
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ upperCentralSeries G 1 ↔ x✝ ∈ center G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g
⊢ Continuous (EquivLike.inv mul_g)
u : PNat.XgcdType
⊢ u.IsReduced ↔ u.IsReduced'
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
⊢ HasGradientAt f f' x ↔ HasFDerivAt f ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) f') x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) s x
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
h :
  ∀ (x y : P.M α),
    R x y →
      (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> MvPFunctor.M.dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> MvPFunctor.M.dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Preregular C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Z ⟶ Y
CategoryTheory.EffectiveEpi g
⊢ ∃ W h,
  ∃ (_ : CategoryTheory.EffectiveEpi h),
    ∃ i, CategoryTheory.CategoryStruct.comp i g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ ¬Irreducible (x ^ n)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C U : Set α
hC : Preperfect C
hU : IsOpen U
x : α
xU : x ∈ U
xC : x ∈ C
⊢ AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
⊢ span K {v} = ⊤ ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.pullback.lift f g a b w) (CompHausLike.pullback.snd f g) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρ.IicSnd r) s = ρ (s ×ˢ Iic r)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
self : H.IsCartanSubalgebra
⊢ H.normalizer = H
n : ℕ∞
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
⊢ ContDiff ℝ n ↑PartialHomeomorph.univUnitBall
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ s.ncard = n + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n
α : Type u
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ {x, y}.Nontrivial
M G : Type
Monoid M
CommGroup G
MulDistribMulAction M G
g : M
a : Additive G
⊢ ((Rep.ofMulDistribMulAction M G).ρ g) a = Additive.ofMul (g • Additive.toMul a)
α : Type u_1
⊢ Num.toZNum 0 = -Num.toZNum 0
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G
v : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ ((continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 Ei G) f) v = (f (v 0)) (Fin.tail v)
n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
⊢ Squarefree (n ^ k) ↔ Squarefree n ∧ k = 1
n k : ℕ
⊢ n.choose k = 0 ↔ n < k
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
v : G × G'
p : P × P'
⊢ (v +ᵥ p).2 = v.2 +ᵥ p.2
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
this : Inhabited M
⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x✝ : M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
⊢ UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) '' (s ∩ (chartAt H x).source))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ α.hom.app X ≫ α.inv.app X = 𝟙 (F.obj X)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ ∃ l, l.length ≤ FiniteDimensional.finrank ℝ F ∧ φ = (List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
w : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan
⊢ (CategoryTheory.Limits.span f g).map (CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.id w) =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g).obj w)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Module.Free ℤ S
I J : Ideal S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
this : Infinite S
⊢ cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
s : Set α
t : Set β
⊢ [s.chainHeight ≤ t.chainHeight, ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length = l'.length,
    ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length ≤ l'.length].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.snd a) s = (κ a) {p | p.2 ∈ s}
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y : x},
  cmp x_1 y = Ordering.lt → cmp y x_1 ≠ Ordering.lt
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (i : (S : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op S)), Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨i, a⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a a' : α
x✝ : f a' ≠ 0
H : a' ≠ a
⊢ f a' * Multiset.count a {a'} = 0
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
⊢ Measure.map (fun ω => X ω * c) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
a : α
b : β a
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
⊢ ∃ i, b ∈ approx (⇑f) i a
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a : α
hf : StrictAnti f
ha : IsMin (f a)
⊢ IsMax a
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
⊢ IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ Fintype.card (ChooseBasisIndex R M))
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.right).app X.left = G.hom.app X.left
⊢ (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
n m step : ℕ
i : ℕ
H : i < (List.range' n m step).length
⊢ (List.range' n m step).nthLe i H = n + step * i
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y ↔ ⟦x⟧ ≤ ⟦y⟧
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
x : M × M'
⊢ HasMFDerivAt (I.prod I') I' Prod.snd x (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
φ : R[X] →ₐ[R] A
p : R[X]
⊢ φ p = Polynomial.eval₂ (algebraMap R A) (φ Polynomial.X) p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ‖(o.kahler x) y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
R : Type u
NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
⊢ M.subsemiringClosure = Subsemiring.closure ↑M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).unitIso.inv.app X).unmop = 𝟙 X.unmop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub f ∉ Set.range f
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
f : α ≃o β
⊢ f ⊤ = ⊤
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha1 : a % 4 = 1
⊢ (if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = J(↑a | b)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.sinh (f x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (Submodule.comap f)
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f : ι → Set α
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen sᶜ
⊢ IsOpen (⋂₀ (compl '' S))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = 1 ↔ 1 ≤ a
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B B' : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
h : B ≤ B'
a : Quotient A.toSetoid
⊢ DiscreteQuotient.ofLE h (DiscreteQuotient.map f cond a) = DiscreteQuotient.map f ⋯ a
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)
⊢ b.ι WalkingPair.right ≫ b.π WalkingPair.right = 𝟙 Y
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a : M₀
⊢ 0 ≠ a * a ↔ a ≠ 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
⊢ Tendsto (fun e => ‖‖e - x‖⁻¹ • (f e - f x - f' (e - x)) - 0‖) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 s ∪ intrinsicFrontier 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α × α
h : a ∈ s.diag
⊢ (Sym2.mk a).IsDiag
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a ≤ b ↔ Codisjoint b a
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
c : G.Walk u u
hc : c.IsTrail
he : s(v, w) ∈ c.edges
hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support
hv : v ∈ c.support
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
R : C
g : Q ⟶ R
h : f ≫ g = 0
⊢ CategoryTheory.Abelian.image.ι f ≫ g = 0
α : Type u_1
Finite α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
⊢ e.extendSubtype x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f g : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn g s μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (f + g) s μ
G : SetTheory.PGame
⊢ G.Impartial ↔ G.ImpartialAux
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ ↑n = a ^ n
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
h : ∀ i < n + 1, m.IsCaratheodory (s i)
⊢ m.IsCaratheodory ((⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k) ∪ s n)
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' s) MeasureTheory.volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f (MeasureTheory.volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n
φ : ℕ → ℕ
hφ : ∀ (n m : ℕ), m ∈ φ '' Iio n → m < φ n ∧ r m (φ n)
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝
⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
⊢ Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Iio a)) (𝓟 (Ioi a⁻¹))
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L' ⟶ L.comp G
F : CategoryTheory.Functor C H
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')
φ : X ⟶ Y
⊢ ∀ (X_1 : D), ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).map φ).right.app X_1 = φ.right.app (G.obj X_1)
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
⊢ p.Homotopic p
n : ℕ
⊢ (↑n).toWithTop = ↑n
z : ℂ
⊢ -z.re = Complex.abs z ↔ z ≤ 0
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : i < j
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)
⊢ i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.pred ⋯))
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
⊢ Measurable fun x => EMetric.infEdist x s
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ (∀ ⦃c : α⦄, a < c → b < c) ↔ b ≤ a