ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
⊢ (b - a) • dslope f a b = f b - f a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
M₂ : Type u_3
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
g : M₂ →L[R] M
⊢ (ContinuousLinearMap.pi f).comp g = ContinuousLinearMap.pi fun i => (f i).comp g
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
⊢ ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L
r : ℝ
hp : r.sign = 1
⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
f : F ⟶ G
g : G ⟶ K
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (f ≫ g) =
  (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom g) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ Icc a₁ a₂ ×ˢ Icc b₁ b₂ ↔ (x, y) ∈ Icc (a₁, b₁) (a₂, b₂)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a)
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
t : Finset α
⊢ t ⊆ s → ((insert x t).card = n.succ ↔ t.card = n)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')
hx : ↑x ∈ p
⊢ (LinearMap.quotientInfEquivSupQuotient p p').symm (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk ⟨↑x, hx⟩
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a✝ x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ exterior {a}
⊢ exterior {b} ⊆ exterior {a}
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this✝ : UniformInducing (const ι)
this : Pi.topologicalSpace ≤ Pi.topologicalSpace
⊢ IsComplete (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 : ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧ (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (f a * ∏ x ∈ s, f x).Separable
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
x : L
⊢ x ∈ killingCompl R L I ↔ ∀ y ∈ I, ((killingForm R L) y) x = 0
n : ℕ+
⊢ n ≠ 1 → ∃ k, n = k + 1
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
K : Subsemigroup M
x : N
⊢ x ∈ Subsemigroup.map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.IsSplitMono f
hf' : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.retraction f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α β : Type u
⊢ ⇑(prodEquivPiFinTwo α β) = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ Module.IsReflexive R M
α : Type u_2
PartialOrder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
⊢ IsAtom ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainBotCoeff 0 β = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α
⊢ ⋃ x, ⋃ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∪ ⋃ x, ⋃ (h : p x), s x ⋯
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ Continuous (⇑f ∘ fun a => a⁻¹)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
⊢ w.head ∈ toSubgroup A B u → ∀ (x : G), ¬w.toList.head? = some (-u, x)
x y : Nat
⊢ 0 < y ∧ y ≤ x → x - y < x
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty β
⊢ Set.range Prod.fst = Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * 0 ^ p.toReal))
⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ update y i (a.1 • x₁ + a.2 • x₂) = a.1 • update y i x₁ + a.2 • update y i x₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X₁ X₂) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj X₁ × (CategoryTheory.forget C).obj X₂
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.snd ((CategoryTheory.Limits.Concrete.prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.2
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
a : α
⊢ Set.Icc ⊥ a = Set.Iic a
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
⊢ ⇑((FreeAlgebra.lift R) f) ∘ FreeAlgebra.ι R = f
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
Star A
Star B
f : A ≃⋆ₐ[S] B
⊢ ∀ (a : B), (StarAlgEquiv.restrictScalars R f).symm a = f.invFun a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
⊢ StronglyMeasurable (deriv f)
α : Type u_1
C : {n : ℕ} → Mathlib.Vector α n → Sort u_2
nil : C Mathlib.Vector.nil
cons : {n : ℕ} → {x : α} → {w : Mathlib.Vector α n} → C w → C (x ::ᵥ w)
⊢ (Mathlib.Vector.nil.inductionOn nil fun {n} {x} {w} => cons) = nil
α : Type u_1
Monoid α
x y : α
⊢ x ~ᵤ y → y ~ᵤ x
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ
⊢ (fun i => g (x.coeff i)) = ((WittVector.map g) x).coeff
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (List.kerase a l).Sublist l
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M✝
w✝ w₁ w₂ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
s : Set α
hs : s ⊆ u
⊢ ↑(-v) s = 0
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Multiset.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
⊢ ∀ (i : Bool), (bif i then f else g).lift' s = bif i then f.lift' s else g.lift' s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : ClusterPt (x, y) (𝓤 α)
⊢ ∀ (i : Set (α × α)), (i ∈ 𝓤 α ∧ ∀ (a : α × α), ClusterPt a (𝓟 i) → a ∈ i) → (x, y) ∈ id i
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0
⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMin a → C (Order.pred a)
hl : (a : α) → Order.IsPredLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMin b
⊢ Order.isPredLimitRecOn (Order.pred b) hs hl = hs b hb
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
i : ι
⊢ res F U ≫ limit.π (Discrete.functor fun i => F.obj (op (U i))) { as := i } = F.map (leSupr U i).op
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ ⋃ q, Doset.quotToDoset H K q = Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
c : E
hc : c ∈ Cᶜ
h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅
⊢ False
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (algebraMap (↥S) A).rangeS = S.toSubsemiring
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
H : (↑s).Nontrivial ↔ s.offDiag.Nonempty
⊢ (↑s).infsep = if hs : s.offDiag.Nonempty then s.offDiag.inf' hs (uncurry dist) else 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (PolynomialModule.eval r) (p • q) = Polynomial.eval r p • (PolynomialModule.eval r) q
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)
⊢ s ∈ Filter.map (toIcoMod hp a) (𝓝[≥] x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ orthogonalProjection ⊥ = 0
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t : Set X
h : IsMetricSeparated s t
⊢ IsMetricSeparated t s
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℕ
⊢ ↑k = ↑(k % p + p * (k / p))
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ n.ceilRoot (a ^ n) = a
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ ComplementedLattice α
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ++ l₂ ~ l₂ ++ l₁
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b
⊢ a < Order.succ b ↔ a = b ∨ a < b
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ padicValNat 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = padicValNat 2 (x + y) + padicValNat 2 (x - y) + padicValNat 2 n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x
⊢ ContinuousAt f x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
⊢ ∀ (v w : V), (G.connectedComponentMk v).supp = (G.connectedComponentMk w).supp → G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk w
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = if n ≤ m then (coeff R (m - n)) φ * a else 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K
⊢ comap (a • f) p = ⨅ (_ : a ≠ 0), comap f p
α : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ 1
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
BorelSpace E
T2Space E
ContinuousSMul ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ μ {x | g x < 1} =
  ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) / p + 1))
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ ∃ L R, T = Turing.Tape.mk' L R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f g : α → E
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
⊢ IsIso f
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤
this : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ S (n + 1)
⊢ μ (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, μ (S n)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
hv : v ≠ 0
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ SameRay R v (r • v) ↔ 0 < r
M : Type u_3
N : Type u_4
G : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommGroup G
f g : N →+ G
h : M →+ N
⊢ (f - g).comp h = f.comp h - g.comp h
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
⊢ Function.Injective QuadraticMap.Isometry.toLinearMap
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ ⊤.comp r = fun x y => y ∈ r.codom
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, Tendsto (fun n => ↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))) (𝓝[>] 0) (𝓝 ↑(μ {a_1 | a ≤ f a_1}))
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
r : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (r • f) v = r • f v
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (b : Y) in map (↑e) (𝓝[s] x), p b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
self : Mod_ A
⊢ A.mul ▷ self.X ≫ self.act = (α_ A.X A.X self.X).hom ≫ A.X ◁ self.act ≫ self.act
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (Set.range ↑I)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).iUnion = π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ ((fun y => y + x) '' (r • (fun y => y + -x) '' s)) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝ : IsCompact s
this : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCircuit
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsCircuit
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ε
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℂ
hl : b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → b.re = 0 → b = 0) ↔ b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' i j i = pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : Multiplicative A →* M
⊢ ⇑(AddChar.toMonoidHomEquiv.symm ψ) = ⇑ψ ∘ ⇑Multiplicative.ofAdd
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
⊢ ∃ N, 0 < N ∧ ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ N * ‖x‖
α : Type
ds₁ ds₂ : List ℕ
eq : ds₁ = ds₂
a : Holor α ds₁
⊢ cast ⋯ a = fun t => a (cast ⋯ t)
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ (g.comp f).range = AddSubgroup.map g.toAddMonoidHom f.range
k : Type u₁
G : Type u₂
ι : Type ui
CommSemiring k
CommMonoid G
s : Finset ι
a : ι → G
b : ι → k
⊢ ∏ i ∈ s, MonoidAlgebra.single (a i) (b i) = MonoidAlgebra.single (∏ i ∈ s, a i) (∏ i ∈ s, b i)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X → Prop
x : X
h : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
y : Y
⊢ ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 (x, y), p x.1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ (deriv fun x => x ^ p * (1 - ε x)) =ᶠ[atTop] fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜