ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.newCocone c).pt = c.pt
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ = ⟦s₁ ∪ s₂⟧
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
⊢ μ (⇑(f a) ⁻¹' s \ K) ≤ ε / 2
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn (-f) (-g) s ↔ AntivaryOn f g s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsEmpty α
β : α → Type u_5
m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)
μ : (a : α) → Measure (β a)
x : optParam ((a : α) → β a) fun a => isEmptyElim a
this : ∀ (a : α), SigmaFinite (μ a)
s : (i : α) → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : α), MeasurableSet (s i)
⊢ x ∈ univ.pi s
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖
⊢ r z * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) ≤ Complex.abs (↑(x 0) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) * ↑z + ↑(x 1) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)) * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
C : A → Prop
hr : ∀ (r : R), C ((algebraMap R A) r)
hadd : ∀ (x y : A), C x → C y → C (x + y)
hmul : ∀ m ∈ M, ∀ (x : A), C x → C (m * x)
x : A
n : ℕ
hx : x ∈ M ^ n
⊢ C x
α : Type u
Preorder α
a b c : α
h₁ : a ≥ b
h₂ : b > c
⊢ a > c
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
ι : Type u_8
AddCommGroup E
NormedField 𝕝
Module 𝕝 E
NormedField 𝕝₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
RingHomIsometric τ₁₂
Nonempty ι
F : Type u_10
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕝₂ F
TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∃ s C, (normSeminorm 𝕝₂ F).comp f ≤ C • s.sup p
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj)).comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)
N : ℕ+
⊢ CongruenceSubgroup.IsCongruenceSubgroup (CongruenceSubgroup.Gamma ↑N)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
⊢ (fun x => x / a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b * a, c * a]]
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ (Algebra.traceForm R S).IsSymm
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ 1 ≤ s.card ↔ s.Nonempty
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (A i)
DecidableEq ι
p : ℝ
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
x : (i : ι) → A i
⊢ MeasureTheory.GridLines.T μ p f ∅ x = f x ^ (1 + p)
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
⊢ Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * ↑a ^ n
⊢ ↑r < p.radius
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
⊢ ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
Group K
(i : ι) → MulAction K (R i)
r : K
S : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
⊢ r • S.pi t = S.pi (r • t)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.map p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π g j =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j ≫ p j
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
⊢ ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
⊢ J ^ n ⊔ I = J ^ (multiplicity J I).get ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.commMonToLaxBraided C).obj A).ε = A.one
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
⊢ Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) ℝ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
hη :
  (κ.map (Prod.map id (MeasureTheory.embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η =
    κ.map (Prod.map id (MeasureTheory.embeddingReal Ω)) ⋯
⊢ κ.fst ⊗ₖ ProbabilityTheory.Kernel.borelMarkovFromReal Ω η = κ
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
⊢ 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Subsingleton n
⊢ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R) = ⊥
a : Int
H : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
a : CategoryTheory.LocallyDiscrete C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id a).as = CategoryTheory.CategoryStruct.id a.as
n✝ m n : ℕ
i : Fin n.succ
hi : i ∈ Set.range castSucc
⊢ ↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩).castSucc = ↑i
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsHermitian ↔ A.IsHermitian ∧ B.conjTranspose = C ∧ C.conjTranspose = B ∧ D.IsHermitian
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ (toMultiset f).toFinset = f.support
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
⊢ (Function.mulSupport f).Nonempty ↔ f ≠ 1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ≠ 0
p q : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) ((rescale a) p) = (coeff R n) ((rescale a) q)
⊢ (coeff R n) p = (coeff R n) q
α : Type u_7
self : MeasurableSpace α
f : ℕ → Set α
⊢ (∀ (i : ℕ), self.MeasurableSet' (f i)) → self.MeasurableSet' (⋃ i, f i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
⊢ (induce (⋃₀ S) G).Connected
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0
hi : IsLimit ((KernelFork.ofι h.i ⋯).map F)
f' : F.obj S.X₁ ⟶ F.obj h.K := hi.lift (KernelFork.ofι (S.map F).f ⋯)
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ∈ C
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
⊢ ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm (o.rightAngleRotation x)) (o.rightAngleRotation y) = (o.areaForm x) y
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log 1 b = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.op.LeftFraction (Opposite.op Y) (Opposite.op X)
eq : f.op = φ.map L.op ⋯
⊢ ∃ φ, f = φ.map L ⋯
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
⊢ φ.totalDegree = n
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
hb : b < 1
b0 : 0 ≤ b
⊢ a * b < 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrder ι
OrderBot ι
TopologicalSpace ι
DiscreteTopology ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
MeasurableSpace E
BorelSpace E
SecondCountableTopology E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hσ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ (MeasureTheory.stoppedValue f fun x => min (σ x) (τ x)) =ᵐ[μ] μ[MeasureTheory.stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
⊢ MonotoneOn (derivWithin f S) S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e₁ : α ≃ β
e₂ : β ≃ γ
⊢ e₁.optionCongr.trans e₂.optionCongr = (e₁.trans e₂).optionCongr
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ (1 + ‖x‖) ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ 𝓝[s \ {y}] x = 𝓝[t \ {y}] x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : max 0 (-2 * R) < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c₁ c₂ : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : f₂ =o[l] g
hc : c₁ < c₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
z : ℂ
n : ℕ
⊢ z / ↑n = { re := z.re / ↑n, im := z.im / ↑n }
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
t : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
⊢ t.π = t.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : AntitoneOn f s
a : α
⊢ AntitoneOn (fun x => a + f x) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor C D
iso : e.functor ≅ G
X : D
⊢ (e.changeFunctor iso).counitIso.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.counitIso.inv.app X) (iso.hom.app (e.inverse.obj X))
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
⊢ x ∈ ⋃ n, Iio ↑n ↔ x ∈ {⊤}ᶜ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ (s ∪ t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u
α : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommSemigroup α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : AddLECancellable b
hca : c ≤ a
h : a - b < a - c
⊢ c < b
α : Type u_1
L : List α
i : ℕ
h : i < L.length
⊢ List.drop i (List.take (i + 1) L) = [L[i]]
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ f (x, y) - f (z, t) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) ∧ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
p q : ι → Prop
hpq : ∀ (i : ι), p i → q i
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : q i), f i ≤ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
xs : FreeAddMonoid α
⊢ FreeAddMonoid.toList ((FreeAddMonoid.map f) xs) = List.map f (FreeAddMonoid.toList xs)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hc' : ⊤.compl.distortion ≤ c
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a b : M
⊢ a * (b * z₁ * z₂) = a * (b * (z₁ * z₂))
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Icc a b
R : Type u
CommRing R
f : R
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R f).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : Fˣ
ha : (quadraticChar F) ↑a = -1
hχ : quadraticChar F = 1
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ Set.extremePoints 𝕜 ∅ = ∅
G : Type u_1
Group G
k : Set G
⊢ k ⊆ ↑(Subgroup.closure k)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
⊢ x ∈ p₂.asIdeal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β
⊢ (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ ∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ⁻¹' x✝¹
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : R
⊢ multiplicity (Ideal.span {a}) (Ideal.span {b}) = multiplicity a b
α : Type u_1
l : List α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (List.drop n l).Sublist (List.drop m l)
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
ht : t.Nonempty
⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ↔ s = s₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
⊢ ConformalAt f z ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0
α : Type u_1
s : List α
x : α
⊢ (List.permutations'Aux x s).length = s.length + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a
⊢ κ = η
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
⊢ 1 = 1 % (p.length + 1)
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
this : (circleMap c R ⁻¹' {w}).Countable
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z
X : Bipointed
⊢ (Bipointed.swap.obj X).toProd = X.toProd.swap
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ ⌈a⌉
a n✝ n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
hrw : ((fun i => 2 ^ i) ∘ fun x => x + 1) = fun i => 2 * 2 ^ i
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit true n).bitIndices).sum = bit true n
α : Type u
BEq α
a b : α
l : List α
⊢ (b :: l).erase a = ite ((b == a) = true) l (b :: l.erase a)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x y : G
⊢ x ∈ H → y ∈ H → x * y ∈ H
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s ⊼ t).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m n : ℕ
a : α
⊢ replicate (m + n) a = replicate m a ++ replicate n a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
h : H.normalizer = H
⊢ ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : Fin 0 → E
f : SchwartzMap E F
⊢ (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 m) f = f
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f φ'
ψ : a' ⟶ a
p.IsHomLift (𝟙 R) ψ
hψ : ψ ≫ φ = φ'
⊢ ψ = CategoryTheory.Functor.IsCartesian.map p f φ φ'
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝³ : NormedRing A✝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ N, f n z) c
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
CharZero R
p : R[X]
t : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t p - 1 ≤ Polynomial.rootMultiplicity t (Polynomial.derivative p)