ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 + ε z) - z ^ (p - 1) / log z ^ 2) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ
⊢ IsWeightedHomogeneous w (X i) (w i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)
S.HasHomology
⊢ S.Exact
α β : Type u
s : Set Cardinal.{v}
⊢ lift.{u, v} (sInf s) = sInf (lift.{u, v} '' s)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
h : x ≤ y
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint y
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
q : ℕ
hq : Nat.Prime q
hq' : q ∣ p ^ n
⊢ ∀ (b : K), b ^ q ≠ a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
x : α
hx : (-llr ν μ) x = llr μ ν x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
x y : Int
h₁ : y < x
h₂ : x ≤ y
⊢ False
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
b : Associates M
hb : b < c 1
⊢ b = ⊥
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
hF : ExpChar F q
S : Set E
⊢ IsPurelyInseparable F ↥(IntermediateField.adjoin F S) ↔ ∀ x ∈ S, ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
⊢ ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
x : B
hx : IsIntegral R x
⊢ IsIntegral A x
α : Type u_1
⊢ 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α ∧ Finite α
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (star a).imJ = -a.imJ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j✝ = ↑j
h₂ : ¬j✝ = j
⊢ eqToHom ⋯ = 0
L : Type v
M : Type w
Bracket L M
Zero M
self : LieModule.IsTrivial L M
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
u : Finset α
hucard : u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
⊢ (4 ^ P.parts.card - a) * m + a * (m + 1) = u.card
α : Type u_1
AddCommGroup α
self : AddCommGroup.PositiveCone α
a : α
⊢ self.nonneg a → self.nonneg (-a) → a = 0
k m n : Nat
H : (k * m).Coprime n
⊢ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
f : α → β
⊢ Array.map f as = Array.foldl (fun r a => r.push (f a)) #[] as 0
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
hx' : x ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
i : idx
hx'' : x ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
⊢ x.2 < n + 1
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ factorization (a * b) = factorization a + factorization b
α : Type u
β : Type u_1
Pow α β
a : ULift.{v, u} α
b : β
⊢ (a ^ b).down = a.down ^ b
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e e' : Pretrivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ Set.univ
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ x ◃⁻¹ x ◃ y = y
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ a.val * b.val % n ≤ a.val * b.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α × β → γ
a : Option α
b : Option β
⊢ Option.map₂ (Function.curry f) a b = Option.map f (Option.map₂ Prod.mk a b)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
T : Triangle C
⊢ (1 • (CategoryTheory.shiftFunctor C 0).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 0).hom.app T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₁) = (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₃ ≫ T.mor₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.homologyIso.hom h.rightHomologyIso.inv = S.rightHomologyIso.inv
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f
g : F[X]
hf : IsSeparableContraction q f g
⊢ ∃ m, g.natDegree * q ^ m = f.natDegree
X Y : CommRingCat
i : X ≅ Y
⊢ i.commRingCatIsoToRingEquiv.symm.toRingHom = i.inv
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
m n : ZNum
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_bot : limsup v f = ⊥
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F
⊢ ‖(fst 𝕜 E F) (e, f)‖ ≤ 1 * ‖(e, f)‖
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
U : TopologicalSpace.OpenNhdsOf x
⊢ x ∈ U
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ Set.range DoubleCentralizer.toProdMulOpposite = {lr | ∀ (x y : A), (MulOpposite.unop lr.2) x * y = x * lr.1 y}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h✝ : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → 𝕜
h : ContDiff 𝕜 (↑n) f
c : 𝕜
⊢ (iteratedDeriv n fun x => f (c * x)) = fun x => c ^ n * iteratedDeriv n f (c * x)
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
MulPosReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a < b * a ↔ 1 < b
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 1 (2 ^ n), f k ≤ ∑ k ∈ Finset.range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
c : C
⊢ G.map (adj₁.unit.app c) ≫ α.app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ¬a ≤ b ∨ ¬b ≤ a
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
⊢ vectorSpan k (Set.range p) = Submodule.span k (Set.range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
a b : α
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
⊢ a ~ᵤ b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (↑↑f) p μ ≠ ⊤
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
⊢ Primrec fun a => F a (c a)
m₁ m₂ n : ℕ
⊢ ack m₁ n = ack m₂ n ↔ m₁ = m₂
D : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.GlueData
x : ↑D.glued.toTopCat
⊢ ∃ i y, (D.ι i).val.base y = x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
⊢ (∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b) ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
self : L.Equiv M N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ self.toFun (FirstOrder.Language.Structure.funMap f x) = FirstOrder.Language.Structure.funMap f (self.toFun ∘ x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
b : 𝔸
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => a y * b) s x = (fderivWithin 𝕜 a s x).smulRight b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
⊢ cycleFactorsFinset 1 = ∅
x y : PartENat
Decidable x.Dom
Decidable y.Dom
⊢ x.toWithTop < y.toWithTop ↔ x < y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
a : A
n : ℕ
⊢ Coalgebra.counit (a ^ n) = Coalgebra.counit a ^ n
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
B : Type u_2
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
⊢ IsAlgebraic R (f a) ↔ IsAlgebraic R a
n k : ℕ
h : 0 < n
⊢ (n - 1).factorial * n.ascFactorial k = (n + k - 1).factorial
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
x : α
Nonempty ι
SemilatticeSup ι
hf : UniformCauchySeqOn F Filter.atTop s
hx : x ∈ s
⊢ CauchySeq fun i => F i x
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R S : CategoryTheory.Sieve X
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), R.arrows f ↔ S.arrows f
⊢ R = S
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
h : a₁ % ↑b = a₂ % ↑b
⊢ jacobiSym a₁ b = jacobiSym a₂ b
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set B
hb : s ⊆ e.baseSet
⊢ proj ⁻¹' s ⊆ e.source
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
hk : k > 0
⊢ (cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
e : α
he : e ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
f : α
hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)
hfB' : f ∉ B
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {e}))
x : α
hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {e})))
hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = e)
⊢ False
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ ∃ a, (quadraticChar F) ↑a = -1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.toDFinsupp {a} = DFinsupp.single a 1
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a c p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ ∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star c * (a + p) * c = star c * a * c + p_1
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
h : p.isZero = true
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx p = 0
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
⊢ (⋂ i, s i)ᶜ = ⋃ i, (s i)ᶜ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Sheaf J A} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).val = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.val g.val
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))
⊢ -(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) ≠ 0
e : ℂ → ℂ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℂ n e
⊢ ContDiff ℝ n fun x => (e ↑x).re
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Set.Ico x y = Set.Ico ↑x ↑y
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
⊢ (Matrix.conjTransposeAddEquiv m n α).symm = Matrix.conjTransposeAddEquiv n m α
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : X → Type u_4
p : (x : X) → ι x → Prop
s : (x : X) → ι x → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
hc : ∀ (x : X) (i : ι x), p x i → IsCompact (s x i)
⊢ LocallyCompactSpace X
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
m : ℕ∞
⊢ 1 = m ↔ m = 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
f : G →* G'
inst✝ : IsSimpleGroup G
n : ℕ
ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G
⊢ ⁅⁅⊤, ⊤⁆, ⁅⊤, ⊤⁆⁆ = ⁅⊤, ⊤⁆
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm = ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e' e b)
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
⊢ Module.rank R M = #(Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y
⊢ ∀ (x y : Cofix F α), r' x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> y.dest
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.divisors.card = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.Spec.map f) ⊤ ≫ (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso S).hom =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).hom ≫ f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
CompactSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
PreconnectedSpace M
f : M → F
hf : MDifferentiable I 𝓘(ℂ, F) f
a b : M
⊢ f a = f b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ (latticeBasis K).det (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) = (algebraMap ℚ ℝ) ((integralBasis K).det (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))
α : Type u
a b : α
s : Stream'.Seq α
⊢ a ∈ Stream'.Seq.cons b s → a = b ∨ a ∈ s
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence
⊢ {p | φ ∈ p}ᶜ = {p | FirstOrder.Language.Formula.not φ ∈ p}
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s ×ˢ t).Nonempty
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅
⊢ filter (fun x => compress u v x ∈ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) ∪ filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
⊢ T ≤ S ⊔ T
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
t : (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (inv (biprod.map f g) ≫ biprod.map f g) = (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (𝟙 (Y ⊞ Z))
⊢ (biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst) ≫ f = 𝟙 Y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g b c ∂η (a, b) ∂κ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f g : α → β
⊢ ∀ (y : α), (if p y then f y else g y) ∈ range f ∪ range g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : CategoryTheory.Injective I
⊢ CategoryTheory.Injective (G.obj I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + (b - d) - c ≤ a - c + (b - d)
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
c c' : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
f : α → 𝕜
g : α → R
h : Asymptotics.IsBigOWith c l (f ^ n) (g ^ n)
hn : n ≠ 0
hc : c ≤ c' ^ n
hc' : 0 ≤ c'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c' l f g
α β : Type u
f : α → Option β
x : Option α
⊢ x >>= f = x.bind f
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
f : α → E
hf : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter (-f) l μ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥f.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ ↑f z₁ = ↑(f.sup g h) z₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed s
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)