ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (s.sup f) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x => c) s x) m = 0 m
R : Type u_1
Semiring R
⊢ IsNoetherianRing R ↔ ∀ (I : Ideal R), I.FG
x : ℝ
⊢ ↑(Real.fourierChar x) = Complex.exp (↑(2 * π * x) * Complex.I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ (F i)) _auto✝
⊢ limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) ⊥ = s.sup fun i => limsup (F i) ⊥
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) (↑x * I)‖ ≤ C
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact E) (𝓝 c)
⊢ f = Function.const E c
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : m ∈ posFittingCompOf R M y
⊢ m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α
⊢ countP p (l₁ ++ l₂) = countP p l₁ + countP p l₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
i' : ι
x : K.X i' ⟶ A
hx : k = K.d i i' ≫ x
⊢ K.homologyι i ≫ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s := { prf := fun y x => match x with | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = image (f ∘ Subtype.val) t
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
⊢ (a ^ n)⁻¹ < (a ^ m)⁻¹
α : Type v
β : Type w
⊢ Cardinal.lift.{max u w, v} (Cardinal.mk α) ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} (Cardinal.mk β) ↔ Nonempty (α ↪ β)
M : Type u_1
Mul M
x : M
⊢ ↑(Subsemigroup.topEquiv.symm x) = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
h : x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ x ∈ k a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (coimage.π α ≫ coimageImageComparison α ≫ image.ι α).app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a : X ≃ Y
b : Continuous a.toFun
c : Continuous a.invFun
⊢ ⇑{ toEquiv := a, continuous_toFun := b, continuous_invFun := c }.symm = ⇑a.symm
G : Type w
Inv G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : ContinuousInv G
h₂ : ContinuousInv G
⊢ ContinuousInv G
n : Num
⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal A
⊢ Submodule.restrictScalars R (Ideal.map Algebra.TensorProduct.includeLeft I) =
  LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∃ᶠ (c : β) in x, b ≤ f c
⊢ b ≤ a
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ ⇑f.toNonUnitalStarAlgHom = ⇑f
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
⊢ ω.measure = ‖ω ⇑(FiniteDimensional.finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯)‖₊ • (FiniteDimensional.finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯).addHaar
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ V ↔ V ⟂ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a
h' : s(a, Mem.other h) = z
⊢ z.IsDiag
ww : { w // List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w ∧ ∀ x ∈ w, 0 < x }
⊢ YoungDiagram.equivListRowLens.symm ww = YoungDiagram.ofRowLens ↑ww ⋯
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hq : q.natDegree ≠ 0
⊢ (p.comp q).leadingCoeff = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ ¬a ∈ b :: l → ¬a ∈ l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
hHK : H ≤ K.normalizer
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
Nontrivial α
⊢ ⊥ ≠ ⊤
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ✝
inst✝² : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝¹ : Zero Γ
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ min x.order y.order ≤ (x + y).order
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
⊢ (l.rotate' n).rotate' m = l.rotate' (n + m)
x : ℝ
lx : Liouville x
⊢ Transcendental ℤ x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ico a b = Ico (a / c) (b / c)
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
IsDomain S
Nontrivial R
⊢ ⇑abv.toMonoidWithZeroHom = ⇑abv
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ K, 1 ≤ f x) ∧ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_neg_one : H (-1)
⊢ H n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ ↑(padicValNat 2 (x ^ n - y ^ n)) + ↑1 = ↑(padicValNat 2 (x + y)) + ↑(padicValNat 2 (x - y)) + ↑(padicValNat 2 n)
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).a₄ =
  ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (E.a₄ - C.s * E.a₃ + 2 * C.r * E.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * E.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
⊢ Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) (Measure.map (fun x => g * x) μ)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
Module R S
x : S
n : ℕ
⊢ (↑n).smeval x = n • x ^ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖(2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι
⊢ z i ≤ w i
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
p : L.Substructure N
f : L.Embedding M N
h : ∀ (c : M), f c ∈ p
x : M
⊢ ↑((FirstOrder.Language.Embedding.codRestrict p f h) x) = f x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ IsLinearMap R fun x => (↑e { proj := b, snd := x }).2
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
n : ZMod 2
⊢ CliffordAlgebra.involute x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n ↔ x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents fun x => 1 - e x
⊢ Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {e i}))
X : Type u_7
TopologicalSpace X
⊢ ↑(PartialHomeomorph.refl X) = id
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (i_1 j : ι), IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i_1 j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
X : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitIsoFlipCompColim F).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F X).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → 𝕜
g₁ g₂ : α → 𝕜'
h₁ : f₁ =Θ[l] g₁
h₂ : f₂ =Θ[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x / f₂ x) =Θ[l] fun x => g₁ x / g₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
c : ENNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (c • μ) = c • MeasureTheory.Measure.map f μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ
h : (Metric.closedBall x ε₁ ∩ Metric.closedBall y ε₂).Nonempty
⊢ dist x y ≤ ε₁ + ε₂
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasStrictDerivAt Real.arccos (-(1 / √(1 - x ^ 2))) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
c : ℝ
f : α →ₘ[μ] E
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.addETransformRight 0 x = x
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
⊢ ↑n * ⅟↑d ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
V : C
f : V ⟶ Opposite.unop U
⊢ (G.sieveOfSection s).arrows f = (F.map f.op s ∈ G.obj (Opposite.op V))
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝[s] x)
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
a : α
⊢ M.stepSet ∅ a = ∅
α : Sort u
φ : α → Sort v
a a' : α
p₁ : φ a
p₂ : φ a'
e : a' = a
h₂ : p₁ = e ▸ p₂
⊢ HEq p₁ p₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ (μ.withDensity f) s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n
⊢ ∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ Codisjoint (￢￢a) b ↔ Codisjoint a b
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ico ↑a ⊤ = Ici a
X Y : CommGrp
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget CommGrp).map f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Injective g
x : α
⊢ (g '' s).mulIndicator f (g x) = s.mulIndicator (f ∘ g) x
R : Type u_1
LinearOrderedField R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq a⁻¹ = (Quaternion.normSq a)⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
x : G
⊢ ↑((AddMonoidHom.ofInjective hf) x) = f x
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
k : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
Semiring k
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear k C
X Y W Z : C
f₁ : X ≅ Y
f₂ : W ≅ Z
f : X ⟶ W
⊢ (CategoryTheory.Linear.homCongr k f₁ f₂) f = (f₁.inv ≫ f) ≫ f₂.hom
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
N : Type u_6
M' : Type u_13
P' : Type u_15
AddCommMonoid N
AddCommGroup M'
AddCommGroup P'
Module S N
Module R M'
Module R₂ P'
Module S₂ P'
SMulCommClass S₂ R₂ P'
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M' →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P'
x y : M'
z : N
⊢ (f (x - y)) z = (f x) z - (f y) z
b c : Cardinal.{u}
a : Cardinal.{u}
h : c < b
⊢ a ^ c ≤ a ^< b
x : SetTheory.PGame
o : x.Numeric
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).Numeric
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
⊢ interior s - interior t ⊆ interior (s - t)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
huv : (u - v) =o[l] v
⊢ u ~[l] v
α : Type u_1
Add α
a x y : α
⊢ AddSemiconjBy (AddOpposite.op a) (AddOpposite.op y) (AddOpposite.op x) ↔ AddSemiconjBy a x y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
AddCommMonoid C
Module R C
AddCommMonoid D
Module R D
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
CoalgebraStruct R D
φ₁ : C →ₗc[R] D
φ₂ : B →ₗc[R] C
φ₃ : A →ₗc[R] B
⊢ (φ₁.comp φ₂).comp φ₃ = φ₁.comp (φ₂.comp φ₃)
z : ℂ
hz : z ≠ 0
⊢ Complex.abs ((starRingEnd ℂ) z / z) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ Finset.cons a s ha \ Finset.cons b s hb = {a}
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥(Subring.closure ↑p.coeffs)) R) p.restriction = p
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iic ↑y) = Ioi x ∩ Iic y
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a * a∗ ≤ a∗
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
⊢ Associated p q
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m
a : α
⊢ Bounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Bounded r s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
CharZero k
s : Finset ι
p : ι → P
n : ℕ
h : s.card = n + 1
⊢ Finset.centroid k s p ∈ affineSpan k (Set.range p)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
a : A
⊢ a ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q ↔
  ∀ (i : ℕ),
    HomogeneousLocalization.mk
        { deg := m * i, num := ⟨(GradedAlgebra.proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈
      q.asIdeal
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set (NonUnitalSubring R)
⊢ (sInf s).toSubsemigroup = ⨅ t ∈ s, t.toSubsemigroup
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
⊢ Module.FinitePresentation R M ↔ Module.Finite R M
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
⊢ Memℒp f p μ
α : Type u_2
Add α
a : Multiplicative α
⊢ Even (Multiplicative.toAdd a) ↔ IsSquare a
a b : ℕ
⊢ a.divisors = b.divisors ↔ a = b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
y : Y
⊢ (ContinuousMap.const X y).Nullhomotopic
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
β : Type u_5
CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u
⊢ u * a ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
u : R[X]ˣ
⊢ (↑u).degree = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι
⊢ ∀ (x y : Interval α), (x + y).length ≤ x.length + y.length
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => Finset.univ.sup fun j => ‖A i j‖₊)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' < a
h : s = ∅
⊢ a' ∈ univ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero N
n : N
i : ι
a : η i
j : ι
b : η j
h : ¬i = j
⊢ ((sigmaFinsuppEquivDFinsupp (single ⟨i, a⟩ n)) j) b = ((DFinsupp.single ⟨i, a⟩.fst (single ⟨i, a⟩.snd n)) j) b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.42329, u_1} C₁
inst✝² : Category.{?u.42333, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{?u.42337, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
inst✝ : ∀ (X : GradedObject I C₁) (Y : GradedObject J C₂), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
X₁ X₂ : GradedObject I C₁
φ : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : GradedObject J C₂
ψ : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₁)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₁).map ψ) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₂)) p = mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₁)) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map ψ) p
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
inst✝ : DecidableEq G
hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
⊢ (sInf S).toSubmodule = sInf (NonUnitalSubalgebra.toSubmodule '' S)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ (G.cofree.obj X).a = G.δ.app X
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : n < 1
⊢ Associated p ϖ
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
U : ι → Set M
⊢ f.toPartitionOfUnity.IsSubordinate U ↔ f.IsSubordinate U