ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
n : ℤ
⊢ ∃ k, n = 2 * k ∨ n = 2 * k + 1
x y : EReal
⊢ -x * y = -(x * y)
R : Type u_1
CommRing R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
X : CategoryTheory.Free R C
⊢ (CategoryTheory.Free.lift R F).obj X = F.obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m : α
hm : m ∈ argmax f (hd :: tl)
a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
⊢ indexOf m (hd :: tl) ≤ indexOf a (hd :: tl)
c : Char
cs : List Char
b e : String.Pos
⊢ String.extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) = String.extract.go₁ cs 0 b e
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q ≠ 0
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
h : ∑ u ∈ {s}, m u ≤ m t
⊢ m s ≤ m t
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this : LocallyCompactSpace H
⊢ MetrizableSpace M
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
E : Type u_7
Field E
Algebra K E
Algebra L F
IsScalarTower K L F
IsAlgClosed E
Algebra.IsSeparable K F
FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ FiniteDimensional.finrank L F
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ ⊤ ≤ J
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
f f' : s ⟶ t
⊢ f = f'
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioo ⊥ ↑y = Set.Iio y
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a b : α
⊢ List.destutter' R a [b] = if R a b then [a, b] else [a]
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ) 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(quotTensorEquivQuotSMul M I) ∘ₗ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I) M) 1 = (I • ⊤).mkQ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
⊢ Reflexive (Relation.Join r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : D), (CategoryTheory.Functor.constCompEvaluationObj D X).hom.app X_1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id X_1
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
⊢ False
θ : Angle
h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal
⊢ -(π / 2) ≤ θ.toReal ∧ θ.toReal ≤ π / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
One β
s : Set α
c : β
hc : c ≠ 1
⊢ Filter.EventuallyConst (s.mulIndicator fun x => c) l ↔ Filter.EventuallyConst s l
α : Type u
c : α
⊢ (ofFn fun x => c) = replicate 0 c
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
I J : Submodule B L
⊢ I ≤ Submodule.traceDual A K J ↔ J ≤ Submodule.traceDual A K I
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ W.preΨ n ≠ 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p
⊢ J.centerMass w f ∈ (convexHull 𝕜) (f '' (↑I)ᶜ)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).IsTrail
G : Type u_1
H : Type u_2
AddCommGroup G
AddCommGroup H
a : G
b : H
⊢ AddConstMap.conjNeg.symm = AddConstMap.conjNeg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist (f.toFun t) v.x₀ = dist (f.toFun t) (f.toFun v.t₀)
x y : ℂ
⊢ Complex.sin x + Complex.sin y = 2 * Complex.sin ((x + y) / 2) * Complex.cos ((x - y) / 2)
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = 1 ↔ ∃ θ, Complex.exp (↑θ * Complex.I) = z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : Mon_ C} (f : X ⟶ Y), (Mon_.forget C).map f = f.hom
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a✝ a : ℕ
⊢ ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑(∏ i ∈ range a.succ, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
a : Aˣ
n : ℤ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => x ^ n) ↑a = ↑(a ^ n)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j : Subtype p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π (Subtype.restrict p f) j =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.π f ↑j
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥
key : p ∣ Nat.card ↥↑P
⊢ p ∣ 1
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
a b c d : R
hdet : a * d - b * c = 1
⊢ !![a, b; c, d].det = 1
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
s : Set α
⊢ upperBounds (closure s) = upperBounds s
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ 2
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : FreeAddMonoid (M ⊕ N) →+ P
hM₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl 0)) = 0
hN₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr 0)) = 0
hM :
  ∀ (x y : M), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inl y))
hN :
  ∀ (x y : N), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inr y))
x : N
⊢ (AddMonoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN) (AddMonoid.Coprod.inr x) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr x))
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n
⊢ (Polynomial.map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
⊢ e = e' ↔ (∀ (x : X), ↑e x = ↑e' x) ∧ (∀ (x : Y), ↑e.symm x = ↑e'.symm x) ∧ e.source = e'.source
X Y : CommRingCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
⊢ IsClosed {y | ‖(B x) y‖ ≤ 1}
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
WellFoundedLT β
f : α ↪o β
⊢ WellFoundedLT α
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q
v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail ∧ ¬c = nil ∧ c.support.tail.Nodup
⊢ False
m n k : ℕ
⊢ (m + n) % k = if k ≤ m % k + n % k then m % k + n % k - k else m % k + n % k
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.coconeAtFunctor L F Y).map φ).hom = φ.right.app Y
K : Type u_1
RCLike K
⊢ OrderedSMul ℝ K
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a - (a - b) = b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_aJ : ↑(J₁ * Ideal.span {a}) = ↑(J * Ideal.span {a₁})
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0
h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (x + y) = truncateFun n x + truncateFun n y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₀ p : P
⊢ EuclideanGeometry.angle p₀ p₀ p = π / 2
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V
⊢ lift.{u, v} #ι < lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} #ι
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)) o₂
this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr
h : Valid' (↑x) (rl.node' rx rr).eraseMax ↑(findMax' rx rr)
e : (rl.node' rx rr).size = (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1
⊢ (l.node' x (rl.node' rx rr)).size = l.size + (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1 + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e
⊢ I ^ e < I
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
u' : (ZMod n)ˣ := { val := ↑u, inv := (↑u)⁻¹, val_inv := this, inv_val := ⋯ }
⊢ (↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
⊢ ⊥ < ∑ i ∈ s, f i ↔ ∀ i ∈ s, ⊥ < f i
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
x y : ↑s
h : y < x
⊢ Nat.Subtype.succ y ≤ x
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ Sym.map id s = s
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
a : Int
n : Nat
⊢ a.toNat' = some n ↔ a = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f₁ f₂ : α → β
h₁ : Set.BijOn f₁ s t
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.BijOn f₂ s t
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htsub : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
⊢ (∀ x ∈ Subtype.val '' t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ Subtype.val '' t, U x
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) r ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] (algebraMap R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) r
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ max a ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
f : ι →₀ ↥I
⊢ (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.mapRange Subtype.val ⋯ f) = f.sum fun i x => ↑x • v i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app X
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal
g : R
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asIdeal
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
⊢ f + g ∈ x.asIdeal
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ τ : Aut A
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)
⊢ (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f (σ * τ)) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f σ * autMap f τ)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
n : ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset (DFinsupp.single a n) = Multiset.replicate n a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.graph.toList.Nodup
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (T⁻¹ • z).im = z.im
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x' y' : V
⊢ (WithLp.equiv p V).symm (x' - y') = (WithLp.equiv p V).symm x' - (WithLp.equiv p V).symm y'
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∉ periodicPts f
⊢ minimalPeriod f x = 0
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
x : R
⊢ IsQuasiregular x ↔ ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ
⊢ f ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
CompactSpace α
f : C(α, ℝ)
x : α
⊢ f x ≤ ‖f‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r'_pos : 0 < r'
hr : r' ≤ r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f p x r'
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableAt I I' f p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
v w : n → R
⊢ (∀ (u : n → R), Matrix.dotProduct v u = Matrix.dotProduct w u) ↔ v = w
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g
⊢ ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLEMk g h₂ = ofMkLEMk f g ⋯
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ (List.take n l).get? m = none
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖s • x‖
⊢ r • x = s • x
B : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
TopologicalSpace B
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
TopologicalSpace B'
NormedSpace 𝕜₁ F
F' : Type u_8
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜₂ F'
ι : Type u_10
ι' : Type u_11
Z : VectorBundleCore 𝕜₁ B F ι
Z' : VectorBundleCore 𝕜₂ B' F' ι'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : F →SL[σ] F'
hx : x ∈ Z.baseSet (Z.indexAt x₀)
hy : y ∈ Z'.baseSet (Z'.indexAt y₀)
⊢ ContinuousLinearMap.inCoordinates F Z.Fiber F' Z'.Fiber x₀ x y₀ y ϕ =
  (Z'.coordChange (Z'.indexAt y) (Z'.indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp (Z.coordChange (Z.indexAt x₀) (Z.indexAt x) x))
p : Prop
d : Decidable p
h : p
⊢ toBoolUsing d = true
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ last n
x : { x // x ≠ p }
⊢ some ((finSuccAboveEquiv p).symm x) = some ((p.castLT ⋯).predAbove ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
inst✝ : Finite ι
t : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on t)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i, t i), f a = ∏ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ t i), f a
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f 0 = f' 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
M' : Subsemigroup M
⊢ Function.Surjective ⇑(f.subsemigroupMap M')
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
⊢ ComplementedLattice ↥L ↔ ∀ a ∈ L, ∃ b ∈ L, IsCompl a b
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
h0 : ∀ (f : R → R), ∀ c ≥ 0, (∀ (x : R), norm (f x) ≤ c * norm x) → Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x₀ * x) (𝓝 0) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
f' : E →L[𝕜] ℂ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Complex.exp (f x)) (Complex.exp (f x) • f') s x
ι : Type u_2
Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ 0 ≤ ↑f x
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
p : R[X]
hp : g = EuclideanDomain.gcd f g * p
⊢ eval₂ ϕ α g = 0
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
hj : j ≠ Fin.last n
⊢ i.castPred hi ≤ j.castPred hj ↔ i ≤ j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
⊢ {a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤} ⊆ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}