ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α ≃ β
x : α →₀ M
a : β
⊢ (Finsupp.mapDomain (⇑f) x) a = x (f.symm a)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ b - a + a = b ↔ a ≤ b
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
⊢ IsPathConnected (↑E)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, κ.densityProcess ν n a x s ≤ 1
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K₁ ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ K₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (a : M), (CategoryTheory.shiftFunctor C a).Additive
a b c : M
α : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
β₁ β₂ : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ α.comp (β₁ + β₂) h = α.comp β₁ h + α.comp β₂ h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Balanced C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
CategoryTheory.Mono S₁.f
CategoryTheory.Mono S₂.f
CategoryTheory.Mono φ.τ₁
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.Mono φ.τ₂
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
s : Set β
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) s
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) s
a0 a1 a2 a3 a4 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 4).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: a4 :: t)) = a4
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
⊢ ↑(rothNumberNat n) ≤ ε * ↑n
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
⊢ ↑u /ₚ u = 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous (circleTransform R z w f)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
s : Set α
x : F
⊢ (weightedSMul μ s) (c • x) = c • (weightedSMul μ s) x
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ Complex.abs ↑r = r
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ hausdorffDist s t ≤ diam (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g✝ : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
g : sSupHom α γ
⊢ g (blimsup u f p) ≤ blimsup (⇑g ∘ u) f p
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₐc[R] B
⊢ φ.comp (BialgHom.id R A) = φ
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β₀ β₁ β₂ : Type u
g : β₀ → F β₁
g' : β₁ → G β₂
x : t α β₀
⊢ bitraverse (fun x => Comp.mk (pure (pure x))) (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x = tsnd (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ (Equiv.Set.congr e) s = ⇑e '' s
M : Type u
X : Type w
PseudoMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
s : Set X
⊢ Metric.diam (c +ᵥ s) = Metric.diam s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi S.g
⊢ CategoryTheory.IsIso h.g'
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasShift C ℤ
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : Category.{?u.5817, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroObject D
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Category.{u_5, u_3} A
inst✝¹ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
hF : ∀ (T : Triangle C) (hT : T ∈ distinguishedTriangles), ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C
e : T ≅ T'
h' : ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
⊢ ((shortComplexOfDistTriangle T hT).map F).Exact
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedLENhdsClass α
a : α
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (𝓝 a)
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
H : Subgroup G
x : ↥H.toSubmonoid
⊢ ↑((f.subgroupMap H) x) = f ↑x
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t * x)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpEquiv J).inverse = CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOp J
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ IsProj ?m.418555 f
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
hP' : Presheaf.IsSheaf J (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)
⊢ Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
M : Type u_5
Zero M
ι : Type u_13
Unique ι
⊢ ∀ (a : M), (Equiv.finsuppUnique.symm a).support.val = Multiset.map Subtype.val Finset.univ.val
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, ContDiff 𝕜 n fun x => f i x
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => ∑ i ∈ s, f i x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
z : ↥M
⊢ (algebraMap R S) x * IsLocalization.mk' S y z = IsLocalization.mk' S (x * y) z
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
i : LocallyConnectedSpace Y
h : X ≃ₜ Y
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ h x ∈ s ∧ IsConnected s) fun x => ⇑h.symm '' x
x✝¹ : X
x✝ : Set Y
hs : IsOpen x✝ ∧ h x✝¹ ∈ x✝ ∧ IsConnected x✝
⊢ IsPreconnected (⇑h.symm '' x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
⊢ MonotoneOn f (s ∪ t)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
⊢ IsOpenMap ⇑(toWeakSpace 𝕜 E).symm
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, p n'
⊢ count p n = n
α : Type u_1
a : Array α
x : α
i : Nat
h : i < a.size
⊢ (a.push x)[i]? = some a[i]
⊢ RingHom.LocalizationPreserves fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
this : ↑(2 * k + 1)! = (2 * ↑k + 1) * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1)
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / (2 * ↑(2 * k + 1) * Complex.Gamma ↑(2 * k + 1)) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / (↑(2 * k + 1) * 2 * Complex.Gamma ↑(2 * k + 1))
a b : UInt8
h : 0 < b
⊢ a % b < b
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
U : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ ∀ {x : C} (f : X ⟶ x),
  (CategoryTheory.Cokleisli.Adjunction.toCokleisli U).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (U.ε.app X) f
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : B × F
⊢ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).target ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂UnitIso eB hF).inv.app X =
  eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.hom.app (F.obj X))) ≫
    eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.inv.app X)) ≫
      eA.inverse.map (e'.unitIso.inv.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.unitIso.inv.app X
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
h : b < c
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc a b
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
CommRing K
Ring M
Algebra K M
Module.Free K M
Module.Finite K M
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
⊢ Nat.card (M →ₐ[K] L) ≤ FiniteDimensional.finrank K M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
⊢ ↑((Finset.range n).sup fun k => (const α (i k)).restrict {a | i k ≤ f a}) a = (Finset.range n).sup fun k => if i k ≤ f a then i k else 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : α
⊢ (fun x => x * a) '' [[b, c]] = [[b * a, c * a]]
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
⊢ μ ∅ = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s = t ∪ s ↔ t ⊆ s
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Fin.succAbove 0 i = i.succ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
hfn : (coeff R p n) f ≠ 0
k✝ k : ℕ
ih : (coeff R p (n + k)) f ≠ 0
h : (coeff R p (n + k.succ)) f = 0
⊢ (coeff R p (n + k)) f = 0
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = b ↔ a = ⊥
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
hs : t ∈ 𝒜.shadow
⊢ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : TopologicalSemiring A
inst✝⁴ : ContinuousStar A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : StarRing B
s : Subalgebra R A
⊢ ∀ (t : Subalgebra R A), (star t).topologicalClosure ≤ star t.topologicalClosure
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, RingHom.ker f ≤ J
⊢ sInf (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}) ≤ sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ (t.biUnion fun a => Finset.filter (fun c => f c = a) s) = s
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
⊢ dist a (a + b) = ‖b‖
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ (a : α), (∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 c)) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddGroup R
Zero Γ
f : HahnSeries Γ R
⊢ (-f).order = f.order
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
⊢ ∑ x ∈ A ×ˢ B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card))
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ
x : L
this : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
h : IsUnit b
⊢ a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ a ∈ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S)))
p n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
⊢ WittVector.truncateFun n x.out = x
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
g : M → F
i : ι
hg : ∀ x ∈ tsupport ⇑(f i), ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n g x
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, F) n fun x => (f i) x • g x
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Rel.interedges r s t).card ≤ s.card * t.card
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 Ring.inverse ↑x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
⊢ MeasurableSet h.nullSet
n : ℕ
⊢ Finset.range (n + 1) \ {0} = Finset.image Nat.succ (Finset.range n)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
⊢ ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((F₂.map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom).app (X₃ i₃) ≫ e₂.hom.app (X₃ i₃)) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom ≫ e₁.hom.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℤ
⊢ Commute (A ^ n) A
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
DecidableEq ι
h : DirectSum.IsInternal N
∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 1
⊢ |x| ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q
h_dir_prod : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => s ×ˢ Iic ↑q
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun i b => ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic ↑i)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b✝ c b : α
⊢ ⋃ a, Icc a b = Iic b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this : IsSeparable (closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n)))
x : α
n : ℕ
⊢ ↑(hf.approx n) x ∈ ⋃ n, range ↑(hf.approx n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ AddMonoidHom.mrange f = AddSubmonoid.map f ⊤
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones.mkOfHasColimits F).obj j = CategoryTheory.Limits.colimit.cocone (F.obj j)
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ (Matrix.Pivot.listTransvecRow M).length = r
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ a
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
⊢ L.FG
a b c d m n k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k x y : ℕ
h : x ≤ y / k
⊢ x * k ≤ y
M : Type u_5
N : Type u_6
One M
One N
⊢ 1.1 = 1