ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular M r → (IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : s.Nonempty
⊢ ⊤.preimage s = Set.univ
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
f g : X → M
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x * g x
p q : Prop
⊢ (p ↔ q ∧ p) ↔ p → q
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.236298}
α : Type u_1
l : List α
h : ↑l.length < #α
⊢ ∃ z, z ∉ l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.op.φQ = ψ.φK.op
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ LinearMap.ker S.f = ⊥
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ (¬∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0) ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
p : P
⊢ A p = if q : Q then B q else if p : P then A p else C p q
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Base (M.E \ B) ↔ (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ p * q = ∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (Polynomial.monomial (i + j)) (p.coeff i * a)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : (x : α) → a = x → β
⊢ (∑ x ∈ s, if h : a = x then b x h else 0) = if a ∈ s then b a ⋯ else 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ (fun m => m • Q) u y * Q z ^ 3 = Q y * (fun m => m • Q) u z ^ 3
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
⊢ Monotone J₁.close
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
⊢ IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → nndist x y ≤ C
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
Nontrivial S
Algebra R S
p : R[X]
h : p.Separable
x : S
hx : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative p) ≠ 0
τ : Type u_1
AddMonoid τ
TopologicalSpace τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ₁ ϕ₂ : Flow τ α
⊢ (∀ (t : τ) (x : α), ϕ₁.toFun t x = ϕ₂.toFun t x) → ϕ₁ = ϕ₂
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (Metric.sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ T x₀ = ↑(T.rayleighQuotient x₀) • x₀
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
A : ρ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ
a✝¹ : α
a✝ : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a✝¹))
h'x : ρ.rnDeriv μ a✝¹ = v.limRatioMeas hρ a✝¹
⊢ Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝¹))
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
CommSemiring R
CommSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
Algebra R α
⊢ ∀ (a : (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ),
  (Matrix.transposeAlgEquiv m R α).symm a = ((Matrix.transposeAddEquiv m m α).trans MulOpposite.opAddEquiv).invFun a
M : Type u_5
F : Type u_6
Mul M
FunLike F M M
MulHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x y : M
⊢ (⇑f)^[n] (x * y) = (⇑f)^[n] x * (⇑f)^[n] y
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.getLeft? = none ↔ x.isRight = true
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
⊢ integralSum (f + g) vol π = integralSum f vol π + integralSum g vol π
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
⊢ ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = volume
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖f x‖ ≤ d * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 1 → i ∈ s
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ i : ι, f i
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ addOrderOf (Additive.ofMul x) = orderOf x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
a b : 𝕜
H : a = b → DifferentiableAt 𝕜 g a
hne : b ≠ a
⊢ dslope (⇑f ∘ g) a b = f (dslope g a b)
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ 0
⊢ a * ⊤ = ⊤
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Icc a b) = Finset.Icc ↑a ↑b
n : ℕ
a : Fin (n + 2)
h : a ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ a.succAbove (Fin.last n) = Fin.last (n + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ 𝓝ˢ s = 𝓟 s ↔ IsOpen s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
⊢ f.lintegral 0 = 0
α : Type u_1
l✝ : List α
p q : α → Bool
l : List α
⊢ (filter p l).length < l.length ↔ ∃ x, x ∈ l ∧ ¬p x = true
R : Type u
Ring R
f : R[X]
g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Set.Iic (Order.pred a) = Set.Iio a
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Complex.cos (f x)) (-Complex.sin (f x) * f') x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
f✝ : Arrow C
inst✝² : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f✝.left (fun x => f✝.right) fun x => f✝.hom
f g : Arrow C
inst✝¹ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
n : SimplexCategory
i : Fin (n.len + 1)
⊢ f.hom ≫ (fun i => F.right ≫ WidePushout.ι (fun x => g.hom) i) i = F.left ≫ WidePushout.head fun x => g.hom
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → edist (u m) (u n) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Sub γ
MeasurableSub γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => c - f x) (fun x => c - g x) μ ν
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj ⊤ = U
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
⊢ succ^[0] i0 = i0
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m
⊢ A ^ (m - n) = A ^ m * (A ^ n)⁻¹
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
Fintype α
⊢ Finset.univ * Finset.univ = Finset.univ
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ : LieModule.Weight R L M
⊢ χ₁ = χ₂ ↔ ⇑χ₁ = ⇑χ₂
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
⊢ (∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a_1 i), p (f_1 i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommRing Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup Mₛ
Module R M
Module R Mₛ
Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
IsLocalizedModule S f
IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(Basis.ofIsLocalizedModule Rₛ S f b)) = LinearMap.range f
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
CompleteLattice α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ u (l.toFun (⨆ i, ⨆ j, u (l.toFun (f i j)))) = u (l.toFun (⨆ i, ⨆ j, f i j))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => x) s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X : D
⊢ (F.closedCounit.app G).app X = (CategoryTheory.ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X)
m n✝ a b c d n : ℕ
⊢ n % 4 = 3 → n % 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))
⊢ Tendsto f l (𝓝 x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ μ.withDensityᵥ ((-s).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (-s.rnDeriv μ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
head✝ : M
tail✝ : List M
tail_ih✝ : (∀ x ∈ tail✝, 1 ≤ x) → ∀ x ∈ tail✝, x ≤ tail✝.prod
hl₁ : 1 ≤ head✝ ∧ ∀ x ∈ tail✝, 1 ≤ x
⊢ ∀ x ∈ tail✝, x ≤ head✝ * tail✝.prod
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ ¬v.toList.isEmpty = true
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* N
g : M' →* N'
⊢ MonoidHom.mker (f.prodMap g) = (MonoidHom.mker f).prod (MonoidHom.mker g)
p : Char → Bool
s : String
⊢ s.revFind p =
  Option.map (fun x => { byteIdx := String.utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) s.data.reverse).tail?
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.SeparatingRight ↔ ∀ (y : M₂), B.flip y = 0 → y = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ 𝟙 (E.left.obj Y) ≫ E.left.map g₂.hom ≫ E.hom.app g₂.right = (E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right) ≫ F.map φ.right
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.Nodup ↔ ∀ (a : α) (t : Multiset α), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ b ∣ ofDigits b' (b'.digits n) ↔ b ∣ ofDigits 1 (b'.digits n)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
ha : p.obj a = R
hb : p.obj b = S
h : f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ CategoryTheory.eqToHom hb
⊢ p.IsHomLift f φ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ k, orderOf x = p ^ k
k : ℕ
hk : orderOf x = p ^ k
⊢ x ^ p ^ k = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Module.IsTorsionBy R (↥(Submodule.torsionBy R M a)) a
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ (X ^ ↑n - 1).rootSet L = {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : J
⊢ B.toCocone.ι.app { as := j } = B.ι j
x : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ici x) = Ico ↑x ⊤
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : EuclideanGeometry.Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α
⊢ (mapDomain f x) (f a) = x a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
⊢ 𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y)) = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < c.ord → derivFamily f a < c.ord
β : Type u_2
OrderedRing β
x : ↑(Set.Ioo 0 1)
⊢ 0 < 1 - ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
m n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiff I.tangent I'.tangent m (tangentMap I I' f)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
h : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤
⊢ (Function.support f).Countable
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E
⊢ y ∈ ⊥
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
b : α
⊢ -a + (a + b) = b
a b c : ℕ
dvd : b ∣ a
dvd2 : a ∣ c
⊢ c / (a / b) / b = c / a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : Comon_ (Mon_ C)
⊢ ((Bimon_.toComon_ C).obj A).counit = A.counit.hom
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ (∀ i < n, m.IsCaratheodory (s i)) → m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'
⊢ x ⊔ x' ⊔ y ⊓ y' = ⊤
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x
hs : (isLocallyFraction R).pred s
p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hpV : p ∈ V
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W
iWU : W ⟶ U
a b : R
q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hqW : q ∈ ↑((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) W)
hqV : q ∈ ↑V
h_frac : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩).asIdeal ∧ (fun x => s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩ * (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) b = (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) a
⊢ (fun x => comapFun f U V hUV s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨q, ⋯⟩ * (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f b) = (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_7
π : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : α → (i : ι) → π i
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (i : ι), ContinuousOn (fun y => f y i) s
s : ℂ
⊢ s.Gammaℂ = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ ({ toFun := fun t => ⟨((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1) t = const t
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
⊢ f ^ S.sup g = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ (↑s).Nonempty
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ GaloisConnection TopologicalSpace.Closeds.closure SetLike.coe
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
r s : R
m : PolynomialModule R M
⊢ ∀ (i : ℕ), r ^ i • 0 = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * 1 ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = a₁ ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε
q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i
r : R := μ k - μ j
r_eq : r = μ k - μ j
⊢ abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ taylorWithinEval f (n + 1) s x₀ x = taylorWithinEval f n s x₀ x + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
f : α → α'
g : β → β'
x : α
⊢ Sum.map f g (Sum.inl x) = Sum.inl (f x)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
u : V
v : V'
⊢ G.Reachable (φ.symm v) u ↔ G'.Reachable v (φ u)