ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
⊢ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp p (α × β)
⊢ edist f f = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
⊢ ∫ (x : E), (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * (g (x + t • -v) - g x) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
f : E → 𝕜
hf1 : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
hf2 : ∀ ⦃c : 𝕜⦄ (x : E), 0 ≤ c → f (c • x) ≤ c * f x
B : 𝕜
⊢ Convex 𝕜 {x | f x ≤ B}
α : Type u
CommRing α
x y : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ n + y * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
self : CategoryTheory.Pretriangulated C
X : C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
a b c d m n✝ : ℤ
P : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → P n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n
n : ℤ
x✝ : n ≥ m
ih : ∀ (k : ℤ), k < n → ∀ (hn : m ≤ k), Int.strongRec lt ge k = ge k hn fun k_1 x => Int.strongRec lt ge k_1
hn : m ≤ n
⊢ ge n ⋯ (n.inductionOn' m lt (fun _n a ih l a => if hlm : l < m then lt l hlm else ge l ⋯ fun k x => ih k ⋯) fun n_1 x hn l x => hn l ⋯) = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
h : s.prod = t.prod
hmn : 0 ≤ n
hs : card s = 0
ht : card t = 0
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod
x y : ℝ≥0
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure
⊢ ∫ (a : α) in p.support, f a ∂p.toMeasure = ∑' (a : ↑p.support), (p.toMeasure {↑a}).toReal • f ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α ≃ β
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.map f.toEmbedding (Finset.filter p s) = Finset.filter (p ∘ ⇑f.symm) (Finset.map f.toEmbedding s)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ GaloisConnection (Set.image f) (Set.preimage f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)
⊢ MeasurableSet (⋂ a ∈ s, eval a ⁻¹' t a)
⊢ ↑circle.argPartialEquiv.symm = ⇑expMapCircle
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ I.ι.f (n + 1) = 0
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
⊢ A i₁ = A i₀
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).sin = ‖x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
y : β
⊢ y ∈ r.image Set.univ ↔ y ∈ r.codom
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
⊢ ∃ f', f' ≫ g = f
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ (LinearEquiv.neg R).symm = LinearEquiv.neg R
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card
ht' : ∅ ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑∅.card
⊢ |↑(G.edgeDensity {a} ∅) - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRight L r).obj X).right = X.right
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ (PowerSeries.rescale 0) PowerSeries.X = (PowerSeries.C R) ((PowerSeries.constantCoeff R) PowerSeries.X)
α : Type u_1
Sub α
a b : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (a - b) = SymAlg.unsym a - SymAlg.unsym b
c : ℂ
r : ENNReal
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : HasFDerivAt f f₀' x
h₁ : HasFDerivAt f f₁' x
⊢ f₀' = f₁'
m n : ℕ
⊢ m.Coprime (n + m) ↔ m.Coprime n
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ IsCompact ((convexHull ℝ) s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Epi f
⊢ Function.Surjective (CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (∃ s, IsOpen s ∧ y ∈ s ∧ x ∉ s) ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruKernelSubobject f h w ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).arrow = h
x : ℝ≥0
⊢ ↑↑x = ↑↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ tangentMap I I (↑(chartAt H p.proj).symm) q = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((Bundle.TotalSpace.toProd H E) q)
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
⊢ r ⊔ s = sInf {s_1 | ∀ ⦃x y : α⦄, r.Rel x y ∨ s.Rel x y → s_1.Rel x y}
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
AddCommGroup E
NormedField 𝕝
Module 𝕝 E
AddCommGroup F
NormedField 𝕝₂
Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
RingHomIsometric τ₁₂
Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
⊢ Continuous ⇑f
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 Real.pi
⊢ 0 ≤ Real.sin x
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ ↑W.dualEquivDual = W.dualLift.rangeRestrict
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)
⊢ IsIso (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.toPresheafedSpace.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op) x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖f.iteratedFDeriv n x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)
x y : UInt32
⊢ (x % y).toNat = x.toNat % y.toNat
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.map involute.toLinearMap (evenOdd Q n) = evenOdd Q n
θ : Angle
⊢ -3 * π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ -π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (f k) κ μ
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
CompleteLattice β
⊢ ⇑⊤ = ⊤
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.d ≫ (shiftComm Y✝.obj 1 n).hom = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.d ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
⊢ s.Countable
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Finite ι
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
⊢ P₁ = P₂
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j' = (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
Fintype β
s : Finset α
hs : ¬s ⊆ 0
⊢ s • Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
K : Type u_6
RCLike K
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ↑(f x)) p μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ∑ᶠ (m : M), (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) φ = φ
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ
⊢ (closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ IsLUB (f '' s) b
α : Type u_2
One α
⊢ ⇑Finset.singletonOneHom = singleton
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ (if p.2 = 0 then 0 else if p.1 = 0 then 0 else f p.1 * g p.2) = f p.1 * g p.2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ (∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x i) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
h : Set.EqOn f g ↑s
a✝ : β
⊢ (∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), f x = a✝) ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), g x = a✝
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
a : S
⊢ 1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1 ∈ ideal R S
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑x * ↑(S.fromLeftInv x) = 1
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
i : MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t ν
⊢ μ = MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (ν.restrict t)
u v m n : ℤ
⊢ Even (m + n) ↔ (Even m ↔ Even n)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap hom).f k₀ = 0
a b : ℝ
G : Type u_6
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
α : Type u
R : α → α → Prop
⊢ List.Chain' R []
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
disj : x ∉ s
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < f x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde v).det
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
⊢ {χ | LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥}.Finite
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v₁ v₂ : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
T2Space N
ContinuousAdd M
h₁ : v₁ ⟂ᵥ w
h₂ : v₂ ⟂ᵥ w
⊢ v₁ + v₂ ⟂ᵥ w
n : ℕ
⊢ Cardinal.toPartENat ↑n = ↑n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
⊢ Function.support (ExistsContDiffBumpBase.y D) = Metric.ball 0 (1 + D)
n : ℕ
Fintype (ZMod n)
⊢ Fintype.card (ZMod n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
h₁ : Embedding f
h₂ : MeasurableSet (Set.range f)
⊢ MeasurableEmbedding f
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : jacobiSymNat ab b = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
i : ℕ
w : i < l.length
h : optParam (0 < l.length) ⋯
⊢ l[i] ∈ l
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s ⊻ t₁ ⊆ s ⊻ t₂
ι : Type u_4
Fintype ι
⊢ μH[↑(Fintype.card ι)] = MeasureTheory.volume
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
⊢ clPrehaar ↑K₀ { carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ } ⊆ eval ⁻¹' {0}
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Zspan.fundamentalDomain (NumberField.mixedEmbedding.stdBasis K) =
  (Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1) ×ˢ
    Set.univ.pi fun x => ⇑Complex.measurableEquivPi ⁻¹' Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : (0 < x ∧ x < 2) ∧ x < 1
⊢ x ∈ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (Cardinal.aleph 1).ord).α
⊢ #↑(MeasurableSpace.generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ ↑(sInf S) = sInf ((fun x => ↑x) '' S)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
h : s.Nodup
⊢ s.reverse.formPerm ⋯ = (s.formPerm h)⁻¹
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
x : α
h : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun y => Complex.exp (f y)) x
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
self : c.TensorSigns
p q r : I
hpq : c.Rel p q
⊢ c.Rel (p + r) (q + r)
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt sinh ((cexp x + cexp (-x)) * 2⁻¹) x
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
Fintype ι
b : AffineBasis ι k P
⊢ Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ (π.filter p).distortion ≤ π.distortion
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.equivalence.functor = CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.N
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
⊢ ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
X Y : AddGrp
a : ↑X →+ ↑Y
⊢ AddGrp.toGrp.map a = AddMonoidHom.toMultiplicative a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α
⊢ p x ∧ Forall p l → q x ∧ Forall q l
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
hc : b / 2 = 0
hr : jacobiSymNat a 0 = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀ + b • T x₀) = (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) 0
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
h : a - b = 0
⊢ a = b
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n).obj T =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map T.mor₁)
    (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map T.mor₂)
    (n.negOnePow •
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map T.mor₃)
        ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁))
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
e : α ≃ β
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t
⊢ s.card = t.card
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ IsCoatomic α ↔ ∀ (b : α), b = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ b ≤ a
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
MulPosMono α
hf : Monotone f
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => f x * a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
⊢ f ≫ e.unit.app Y = f' ≫ e.unit.app Y ↔ f = f'
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F✝ G F' G' : C ⥤ D
α : F✝ ⟶ G
β✝ : F' ⟶ G'
F : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (tensorObj F F').map f ≫ (𝟙 (F.obj Y) ⊗ β.app Y) = (𝟙 (F.obj X) ⊗ β.app X) ≫ (tensorObj F G').map f
ι : Type u_4
PartialOrder ι
DecidableEq ι
DecidableRel LE.le
DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
⊢ Finset.filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag = Finset.filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
⊢ (List.Forall₂ (List.Forall₂ r) ⇒ List.Forall₂ (List.Forall₂ r)) List.sections List.sections
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ f '' s = t
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Epi (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : L ⟶ Z✝
eq : φ ≫ g = φ ≫ h
i : ι
⊢ g.f i = h.f i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =o[l] v ↔ ∃ φ, Filter.Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
N : Submodule R S
ι : Type u_1
DecidableEq ι
m : ι → ↥M
⊢ Submodule.mulLeftMap N m =
  M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)
⊢ Fintype.card ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v) = Fintype.card ↑(G'.neighborSet v)
c : ℝ
f : ℕ → Bool
⊢ Cardinal.cantorFunctionAux c f 0 = bif f 0 then 1 else 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p → 2 ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Ioi a) = Ioi ↑a