ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (F.obj ∘ f)
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (F.splitEpiBiproductComparison f).section_ = F.biproductComparison' f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g x • f x) μ
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), f x = ∑ x ∈ Finset.range n, f x + f n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
W : C
k : W ⟶ X
h : k ≫ f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.lift f k h ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = k
α : Type u
Semiring α
⊢ 0 ∈ nonunits α ↔ 0 ≠ 1
x y : ZFSet
⊢ (x \ y).toSet = x.toSet \ y.toSet
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
CategoryTheory.Mono h
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = h
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
a✝¹ : Path a₁ a₂
b✝¹ : Path b₁ b₂
a✝ : Path a₂ a₃
b✝ : Path b₂ b₃
⊢ prod ⟦a✝¹⟧ ⟦b✝¹⟧ ⬝ prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧ = prod (⟦a✝¹⟧ ⬝ ⟦a✝⟧) (⟦b✝¹⟧ ⬝ ⟦b✝⟧)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
i j : l
⊢ of (fun i j => diagonal v (Sum.inl i) (Sum.inl j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inl i)) i j
α : Type u
Order.Frame α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ j, g j = ⨆ i, f i.1 ⊓ g i.2
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g₁ g₂ : G
p : P
h : g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p
⊢ g₁ = g₂
𝕜 : Type u_4
NormedAddCommGroup 𝕜
⊢ Filter.Tendsto norm (𝓝[≠] 0) (𝓝[>] 0)
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h : b ≤ a
⊢ a - c - (a - b) = b - c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
b' : αᵒᵈ
hb' : b' < toDual a
⊢ ∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt
⊢ IsOpen x✝ ↔ IsOpen x✝
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
⊢ (ofSet s hs).restr (↑(ofSet s hs) ⁻¹' s') = ofSet (s ∩ s') ⋯
M : Type u_3
OrderedCommMonoid M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ l, 1 ≤ x
x : M
⊢ x ∈ l → x ≤ l.prod
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
f : α₁ → α₂
g : α₂ → β → β
l : List α₁
init : β
⊢ List.foldr g init (List.map f l) = List.foldr (fun x y => g (f x) y) init l
a b c : ℕ
h : c ≤ b
⊢ a - c - (b - c) = a - b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_11
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
n : ℕ∞
g : F → F'
f : M → F
x : M
hg : ContDiffAt 𝕜 n g (f x)
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F') n (g ∘ f) x
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
h : s.Subsingleton
⊢ s.formPerm ⋯ = 1
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f (s.piecewise a v) - f (s.piecewise b v) =
  ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
I : Function.Injective (f ∘ g)
hg : Function.Surjective g
⊢ Function.Injective f
R : Type u
M : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Nontrivial R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ f.charpoly.natDegree = finrank R M
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (verticalIntegral b c) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K L : HomologicalComplex C c'
e' : K ≅ L
e : c.Embedding c'
h : K.IsStrictlySupportedOutside e
i : ι
⊢ K.ExactAt (e.f i)
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ commProb (DihedralGroup n) = (↑n + 3) / (4 * ↑n)
a : Prop
⊢ (a ↔ True) ↔ a
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
Coalgebra R M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CoalgebraCat.of R M)).hom.toCoalgHom.toLinearMap =
  ↑(TensorProduct.rid R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α
A : ∀ (i : ι) (c : α), MeasurableSet {x | f i x ≤ c}
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : (x : α) → p x → Prop
⊢ (∃ x h, q x h) ↔ ∃ x, q ↑x ⋯
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ Ideal.map (↑f.symm) (Ideal.map (↑f) I) = I
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ContinuousOn rexp [[a, b]]
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
V W : CategoryTheory.Pairwise ι
i : V ⟶ W
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafCondition.pairwiseToOpensLeCover U).map i =
  TopCat.Presheaf.SheafCondition.pairwiseToOpensLeCoverMap U i
α : Type u
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {U | IsOpen U}
M : Type u_2
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, Measurable f
⊢ Measurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod
α : Type u_2
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ a - b ∈ s - t
x i : Nat
⊢ x % 2 ^ (i + 1) = 2 ^ i * (x.testBit i).toNat + x % 2 ^ i
α : Type u_1
One α
a : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop a = 1 ↔ a = 1
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)
lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
⊢ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)
⊢ ⊤ ≤ (⨆ i, bif i then K else Kᗮ).topologicalClosure
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
x : C n
h1 : n ≤ m
h2 : n + 1 ≤ m
⊢ Nat.leRecOn h2 (fun {k} => next) (next x) = Nat.leRecOn h1 (fun {k} => next) x
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)
⊢ (F.map f.1 ≫ α.app fst✝, H.map f.2 ≫ β.app snd✝) = (α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1, β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
⊢ m = n
α : Sort u
b : α → Sort v
p : (x : α) → b x → Prop
⊢ (∀ (x : α), ∃ y, p x y) ↔ ∃ f, ∀ (x : α), p x (f x)
α β : Type u
f g : FreeAbelianGroup (α → β)
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (Seq.seq (f - g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) - Seq.seq g fun x_1 => x
R : Type u_1
Zero R
One R
⊢ 1 1 = 1
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : R[X]
x : R
⊢ p.toContinuousMap x = Polynomial.eval x p
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOp.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one =
  Opposite.op CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ (evariance g ν).toReal = variance g ν
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => truncation f n a) atTop (𝓝 (f a))
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s.Nodup → t.Nodup → (s = t ↔ ∀ (a : α), a ∈ s ↔ a ∈ t)
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x : ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') s x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
⊢ log ((μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ ⊥ < a ↔ a ≠ ⊥
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace
⊢ (D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ D.Rel ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X ↔ ∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian (𝒰.obj i)
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ StrictMono f ↔ Function.Injective f
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.leftUnitor η).hom.app a = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (η.app a)).hom
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
a i j : α
⊢ (ComplexShape.down' a).Rel i j = (j + a = i)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f, naturality := ⋯ } } = h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f', naturality := ⋯ } }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
hm : ∃ a, a ∈ s
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedAddCommGroup W₂
MetricSpace Q₂
NormedAddTorsor W₂ Q₂
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
NormedSpace R W₂
f : P →ᴬ[R] Q
g : Q →ᴬ[R] Q₂
⊢ (g.comp f).contLinear = g.contLinear.comp f.contLinear
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
⊢ (algebraMap A B) y = x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
⊢ MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
⊢ Monotone ⇑f ↔ ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
K : Type u
Field K
c : K
⊢ (RatFunc.C c).denom = 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (cons h p).IsTrail → p.IsTrail
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.prod f = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
k : ℕ
h : ∀ (v : V), G.degree v ≤ k
⊢ G.maxDegree ≤ k
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
i : A ≅ underlying.obj X
w : i.hom ≫ X.arrow = f
⊢ i.symm.hom ≫ f = X.arrow
α : Type u
SemilatticeSup α
P : α → Prop
Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)
x y : α
hx : P x
hy : P y
⊢ ⟨x, hx⟩ ⊔ ⟨y, hy⟩ = ⟨x ⊔ y, ⋯⟩
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioi 0), 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ =
  ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
hn : Odd 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (t ×ˢ s) = s ×ˢ t
α : Type u_2
Sub α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s - t₁ ∩ t₂ ⊆ (s - t₁) ∩ (s - t₂)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
⊢ ↑(↑n * (p / ↑n)) = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ w i • (p i -ᵥ p i) = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
⊢ ν B ≤ μ (thickening c.toReal B) + c
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ b * c * star a = star (a * star (b * c))
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d
⊢ a.gcd c * b.gcd c ∣ c
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Wbtw R x y z
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ ⟪r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x, r₂ • x⟫_ℝ = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ R (m (s₁ ⊔ s₂)) (m s₁ * m s₂)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hx : (x, x') ∈ f.graph
hy : (y, y') ∈ f.graph
hxy : x = y
⊢ x' = y'
⊢ (√2)⁻¹ * (√2)⁻¹ = 2⁻¹
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this✝ : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj✝ : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree
hj : b.natDegree - j.succ < d
this : j = b.natDegree - (b.natDegree - j.succ).succ
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
α : Type u
n : ℕ
AddCommMonoid α
Mul α
x : α
v : Fin n → α
w : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.dotProduct (Matrix.vecCons x v) w = x * Matrix.vecHead w + Matrix.dotProduct v (Matrix.vecTail w)
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red L₁ L₂ → FreeGroup.Red L₁ L₃ → Relation.Join FreeGroup.Red L₂ L₃
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
a : α
⊢ (𝓝[≤] a).HasBasis (fun l => l < a) fun l => Set.Ioc l a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).inv.app X).τ₁ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 0 g t
hf : ContDiffOn 𝕜 0 f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 (g ∘ f) s
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b => m (s b)) 1 n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g s.s =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂ - CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.r S.f
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) (((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y)) z =
  ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) x) (((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) y) z)
X : Scheme
R : CommRingCat
h : IsReduced (Spec R)
⊢ _root_.IsReduced ↑R
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a / b = b⁻¹ * a
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝² : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥L
this✝ : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)
this : IsGalois F ↥L
⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a /. b
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
DecidableEq β
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s • 0 = 0