ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
⊢ sSup s = ⊥ ↔ s = ∅ ∨ s = {⊥}
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <:+: l₂ ↔ ∃ t, l₁ <+: t ∧ t <:+ l₂
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : CharZero R
f : α → α
x : α
h : IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ↑s n ∈ (↑s).get? n
α : Type u_1
as bs cs : List α
⊢ (as ++ bs = as ++ cs) = (bs = cs)
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x
⊢ 1 < x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.finSepDegree F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
s : Set α
t : Set β
⊢ s.chainHeight ≤ t.chainHeight ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length = l'.length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)
inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
⊢ Multipliable f ↔ ∀ (x : α), Multipliable fun i => f i x
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ ∀ (x : α →ᵇ β), 𝓝 x = comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) x))
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
hp : ¬p.Nil
⊢ (p.firstDart hp).edge = s(v, p.sndOfNotNil hp)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen ((chartAt H x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : Y ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
i : Option 𝒰.J
⊢ (𝒰.add f).map i = Option.rec f 𝒰.map i
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ (F.toEssImage.obj X).obj = F.obj X
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
⊢ (G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
ι : Type u_1
Fintype ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
I : BoxIntegral.Box ι
x : E
⊢ (BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume I) x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ x : α
hx : f x ≠ x
h : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
y : α
hy : (g * f * g⁻¹) y ≠ y
⊢ (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) y
α : Type u_2
⊢ Filter.cofinite = ⊥ ↔ Finite α
x : ℚ
n : ℕ+
⊢ x.pnatDen = n ↔ x.den = ↑n
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f)) ((TensorProduct.lid k k).symm a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ Opposite.unop (𝟙_ Cᵒᵖ) = 𝟙_ C
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ n • m • a = m • n • a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_mono : Monotone S
⊢ f univ ≤ C
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} = ⨆ i, ↑(p i)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty
⊢ (𝓟 s).limsSup = sSup s
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
h : ∀ (j : n), A i j = 0
⊢ A.det = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Ici a
y : α
hy : y ∈ Ici a
hxy : x < y
⊢ projIci a x < projIci a y
x y : ℂ
⊢ (exp' ((starRingEnd ℂ) x)).lim = (starRingEnd ℂ) (exp' x).lim
α : Type u_1
σ : Type u_3
τ : Type u_4
E : σ ≃ τ
F : Ctop α σ
a : τ
⊢ (Ctop.ofEquiv E F).f a = F.f (E.symm a)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
⊢ False
α : Type u
n : ℕ
⊢ map (fun a => a) (range n) = range n
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
⊢ (x - 1) * (x - ↑η) * (x - ↑η ^ 2) = x ^ 3 - 1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G M N : Comonad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_ε : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.ε.app X = M.ε.app X) _auto✝
f_δ : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.δ.app X = M.δ.app X ≫ f.hom.app (M.obj X) ≫ N.map (f.hom.app X)) _auto✝
X : C
⊢ f.hom.app X ≫ f.inv.app X ≫ M.δ.app X = f.hom.app X ≫ N.δ.app X ≫ f.inv.app (N.obj X) ≫ M.map (f.inv.app X)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
x y : ℕ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
u : Set α
hu : IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ IsClosed (s ∩ f ⁻¹' t)
α : Type u_1
a : Finset α
b : Multiset α
⊢ a.val ≤ b ↔ a.val ⊆ b
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ integralSum f vol π ∈ Metric.closedBall (g I) ε
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial S
⊢ map f (p /ₘ q) = map f p /ₘ map f q ∧ map f (p %ₘ q) = map f p %ₘ map f q
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
a : G
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ a ∈ AddAction.stabilizer G s ↔ a +ᵥ s ⊆ s
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
hv : v ∈ ρ.invariants
⊢ ρ.averageMap v = v
x : ℝ
⊢ ↑(↑x).abs = ↑|x|
α : Type u_1
DecidableEq α
MonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
a : α
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Equiv.refl α).arrowCongr' (Equiv.refl β) = Equiv.refl (α → β)
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ UniformSpace.ball x V ⊆ s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o✝ : Orientation ℝ E (Fin 2)
w z : ℂ
o : Orientation ℝ ℂ (Fin 2) := Complex.orientation
⊢ w.re * z.im - z.re * w.im = w.re * z.im + -w.im * z.re
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
left✝ : ifp_n.fr ≠ 0
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
⊢ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ (↑I).IsPrincipal ↔ ∃ x, I = FractionalIdeal.spanSingleton S x
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
R : Type u_1
OrderedRing R
x : R
⊢ Sbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
⊢ IsClosed (DFunLike.coe '' NormedSpace.polar 𝕜 s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
h : Set.range f ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x ↔ ContinuousAt g (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
hc : IsComplete ↑(iSup V)
this : CompleteSpace ↥(iSup V)
⊢ DirectSum.IsInternal V ↔ (iSup V)ᗮ = ⊥
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fintype.card (QuaternionGroup n) = 4 * n
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
⊢ ↑p ^ (n + 1) ∣ x - (↑(x.appr n) + ↑p ^ n * ↑(toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val)
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
x : R
⊢ ((quotientMap I f H).comp (Quotient.mk J)) x = ((Quotient.mk I).comp f) x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
s : Multiset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
l : List α
⊢ countP p (filter (fun a => ¬q a) (Quot.mk Setoid.r l)) = List.countP (fun x => decide (p x)) (List.filter (fun a => !decide (q a)) l)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N
⊢ ⇑e.inducedStructureEquiv = ⇑e
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m = LocalizedModule.mk m 1
α : Type u_1
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.Commute g f
ι : Type u_1
⊢ ⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm = ⇑(WithLp.equiv 2 (ι → ℝ)).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
hf : f.NeBot
hg : g.NeBot
⊢ (f ×ˢ g).NeBot
⊢ HasDerivAt Real.Gamma (-√Real.pi * (γ + 2 * Real.log 2)) (1 / 2)
a b : ℕ
⊢ (Finset.uIcc a b).card = (↑b - ↑a).natAbs + 1
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ ↑(Finset.Ioo a b) = Set.Ioo a b
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
Ring A
StarRing A
Algebra 𝕜 A
TopologicalSpace A
T2Space A
s : Set 𝕜
CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X) = ψ ((Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom s) Polynomial.X)
⊢ φ = ψ
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass N
a : (i : ι) × η i →₀ N
⊢ sigmaFinsuppAddEquivDFinsupp a = sigmaFinsuppEquivDFinsupp a
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h
⊢ a ≤ iInf g * h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
h : ¬ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ κ.compProd η = 0
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∑ j : κ, ∑ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∑ i : ι, f i
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocRing R
NonAssocRing S
f : R ≃+* S
⊢ f (-1) = -1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
x : R
hx : x ∈ σₙ R 0
⊢ x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ ↑((List.Nodup.getEquiv l H) i) = l.get i
p : Prop
h : Decidable p
⊢ true = decide p ↔ p
A : Type v
Ring A
x y : A
⊢ ⁅x, y⁆ = x * y - y * x
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Filter.Tendsto δs Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((thickenedIndicator ⋯ F) ω) ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (μ F))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f⁻¹ g⁻¹ ↔ Antivary f g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ Antitone (LieModule.lowerCentralSeries R L M)
α β : Type u
(P : Prop) → Decidable P
s : Finset α
f : α → β
⊢ f <$> s = Finset.image f s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)
⊢ μ' s ≤ ν s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝ : Lattice α
s t : Interval α
⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
α : Type u_2
Div α
s : Set α
⊢ s / ∅ = ∅
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H χ₁
hm : m ∈ LieModule.weightSpace M χ₂
n : ℕ
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x ^ n) m ∈ LieModule.weightSpace M (n • χ₁ + χ₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤
hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
app : (a : B) → η.app a ≅ θ.app a
naturality :
  ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (app b).hom) (θ.naturality f) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.naturality f)
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (app a).hom (G.map f))
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.ModificationIso.ofComponents app naturality).hom.app a = (app a).hom
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ (e.oadd n a).repr
this : ¬(e.oadd n a).repr = repr 0
⊢ b ≤ e.repr ∧ ω ^ b ∣ a.repr
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
U : (Opens ↑↑(F.obj j))ᵒᵖ
⊢ (F.map (𝟙 j)).c.app U = (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom.app U
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : 1 < a
⊢ mabs a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a
⊢ b ∈ f.fix a
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (⨆ μ, Module.End.eigenspace T (↑T μ))ᗮ = ⊥
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • (1 / s) • P.f₀) (𝓝 ↑P.k) (𝓝 0)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Subgroup G
⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.comap K.subtype H)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
⊢ 1 ∈ I
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
hc' : c ≠ 0
⊢ ↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs).cast
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
g : G
x : AddMonoidAlgebra k G
g' : G
⊢ (x.divOf g) g' = x (g + g')
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ : List α} {a : α} {l₂ : List α}, l₁ <:+: a :: l₂ ↔ l₁ <+: a :: l₂ ∨ l₁ <:+: l₂
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t₁.Bounded o₁ ↑x
H : Ordnode.Valid' (↑x) t₂ o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ t₂ o₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m
⊢ l.prod = m ^ l.length
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ (fun t => f (x + t • v) - f x - t • f') =o[𝓝 0] fun t => t
R : Type u_3
NonAssocSemiring R
f : ℕ →+* R
⊢ f = Nat.castRingHom R
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ a ∈ n • s ↔ n ≠ 0 ∧ a ∈ s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' i₂'' : I₂
⊢ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂' i₂'') = 0
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
⊢ map f I = ⊤ ∨ (map f I).IsMaximal
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
u : Set E
hu : x ∈ u ∧ u ∈ 𝓝[s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0) f p u
⊢ ContinuousWithinAt f s x