ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
f : S → R
⊢ QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts (↑a) f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Set.Iic ↑q)).toReal
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : x < -1
⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₁
h₁ : q₁ ∈ stmts₁ q₂
⊢ some q₂ ∈ stmts M S → some q₁ ∈ stmts M S
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
q : Submodule R ↥p
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.map p.subtype q) = FiniteDimensional.finrank R ↥q
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
⊢ (↑I).FG
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree
⊢ (q + X ^ p.natDegree).degree = p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] s ↔ μ (t \ s) = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ c.inj j ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
⊢ birkhoffSum f g 1 = g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence
⊢ ↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants α) (M.subtheoryModel ⋯)) ⊨ φ ↔ ↑M ⊨ φ
α : Type u_6
CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.noncommProd ⋯ = s.prod
M : Type u_1
Monoid M
S T : Subgroup Mˣ
⊢ (S.ofUnits ⊔ T.ofUnits).units = S ⊔ T
q rx ry : ℚ
⊢ ↑rx + ↑ry ∈ Set.range Rat.cast
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed (characterSpace 𝕜 A ∪ {0})
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
self : IsNormalAddSubgroup s
n : A
⊢ n ∈ s → ∀ (g : A), g + n + -g ∈ s
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
⊢ Multiset.map f 0 = 0
t : Type u → Type u
Traversable t
self : LawfulTraversable t
α : Type u
x : t α
⊢ traverse pure x = x
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M
⊢ x = 0
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
G : Type u_5
Group G
MeasurableSpace G
MulAction G β
MeasurableSMul G β
c : G
⊢ (Measurable fun x => c • f x) ↔ Measurable f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
f : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ intentClosure r (⋃ i, ⋃ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, intentClosure r (f i j)
F : Type u
Field F
f : F[X]
q : ℕ
ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
⊢ ∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = Polynomial.X ^ q ^ n - Polynomial.C y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {a | f a < g a} μ
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ (f.comp (NormedAddGroupHom.incl ⊤)).range = f.range
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} * Metric.ball y δ = Metric.ball (x * y) δ
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
a : R
h : a ≠ 0
⊢ (∀ b ∈ PrincipalIdealRing.factors a, Irreducible b) ∧ Associated (PrincipalIdealRing.factors a).prod a
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
g : Multiset G
comm : {x | x ∈ g}.Pairwise Commute
⊢ (∀ a ∈ g, a ∈ K) → g.noncommProd comm ∈ K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
⊢ 0 ≤ T_gen p F a
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b d : M
⊢ Set.BijOn (fun x => x + d) (Set.Ico a b) (Set.Ico (a + d) (b + d))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : p %ₘ q = 0
⊢ q ∣ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ K ⊓ Kᗮ = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
this : r ∈ Ioc (r / 2) r
y : E
hy : y ∈ ball x r
z : E
hz : z ∈ ball x r
⊢ ‖f z - f y - (fderiv 𝕜 f x) (z - y)‖ < ε * r
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : S →+* MvPolynomial σ T
g : R →+* S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.bind₂ f) ((MvPolynomial.map g) φ) = (MvPolynomial.bind₂ (f.comp g)) φ
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ √(r1 ⟨{ re := A, im := B }, h⟩) ≤ √(r1 z)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S T : Subsemigroup M
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.map f (S ⊔ T) = Subsemigroup.map f S ⊔ Subsemigroup.map f T
b : ℕ
l : List ℕ
⊢ (List.zipWith (fun i a => a * b ^ (i + 1)) (List.range l.length) l).sum =
  b * (List.zipWith (fun i a => a * b ^ i) (List.range l.length) l).sum
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ h.op.i = h.p.op
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
h : I = ⊤
⊢ ⊤ = I * ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
⊢ map (⇑e) atTop = atTop
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
t : TopologicalSpace 𝕜
h₁ : TopologicalAddGroup 𝕜
h₂ : ContinuousSMul 𝕜 𝕜
h₃ : T2Space 𝕜
⊢ nhds 0 ≤ nhds 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Sort u_11
f : ι → α
a : α
⊢ a ∈ range f ↔ a ∈ ⋃ i, {f i}
n m : ℕ
hn : Squarefree n
hm : Squarefree m
⊢ n = m ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → (p ∣ n ↔ p ∣ m)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • (bI + bJ))
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ ⨆ i, f i ⊓ g i = (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ i, g i
𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
p : Submodule 𝕜 E := span 𝕜 {x}
f : ↥(span 𝕜 {x}) →L[𝕜] 𝕜 := ↑‖x‖ • coord 𝕜 x h
g : E →L[𝕜] 𝕜
hg : (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ = 1 ∧ g x = ↑‖x‖
q : ℚ≥0
⊢ NNRat.divNat q.num q.den = q
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ (s ⊼ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ s
⊢ a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
R : CommRingCat
f : ↑((AlgebraicGeometry.Spec R).presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec R).basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).hom f)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : ↥(lp E p)
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
H : Set ι
i : ι
l : ι →₀ R
supp_l : l ∈ Finsupp.supported R R H
hmem : (Finsupp.total ι M R e) l ∈ Submodule.span R (e '' H)
hi : (ε i) ((Finsupp.total ι M R e) l) ≠ 0
⊢ ¬l i = 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ HasFDerivWithinAt f f' t y ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ ((LinearEquiv.ofBijective (DirectSum.coeLinearMap A) h).symm ↑x) i = x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s✝ : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : Dense ↑s
⊢ Dense ↑(Subgroup.map f s)
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Chain' R l ↔ ∀ (i : ℕ) (h : i < l.length - 1), R (l.get ⟨i, ⋯⟩) (l.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ¬IsUnit b → ((∀ (a_2 b_1 : α), ↑a * b = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔ ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.precomposeWhiskerLeftMapCocone α c).inv.hom = α.inv.app c.pt
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √(x ^ 2) = x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
⊢ cgf (fun x => c) μ t = log (μ Set.univ).toReal + t * c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.swapRight.fst a) s = (κ.snd a) s
ι✝ : Type u
γ : Type w
β✝ : ι✝ → Type v
β₁✝ : ι✝ → Type v₁
β₂✝ : ι✝ → Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → Zero (β✝ i)
inst✝⁹ : (i : ι✝) → (x : β✝ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝⁸ : (i : ι✝) → Zero (β₁✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → Zero (β₂✝ i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → (x : β₁✝ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → (x : β₂✝ i) → Decidable (x ≠ 0)
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i
i : ι
⊢ (zipWith f hf g₁ g₂) i = (mk (g₁.support ∪ g₂.support) fun i => f (↑i) (g₁ ↑i) (g₂ ↑i)) i
x i : Nat
lt : x < 2 ^ i
⊢ x.testBit i = false
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ μ[f + -g|m] =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + -μ[g|m]
R : Type u_2
OrderedSemiring R
⊢ ↑(Subsemiring.nonneg R) = Set.Ici 0
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑x) (-(2 * ↑π * Complex.I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x = 𝓝[t] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x ↔ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
α : Type ua
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⊥
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
I_ne_top : I ≠ ⊤
homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
x y : A
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ C * (μ s).toReal
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
x : ↑(C' C ho)
i : I
⊢ ord I i < o → ord I i = o → true = ↑x i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ (algebraMap (↥S) L) x = ↑x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ i ∈ S, m i) (⨆ i ∈ T, m i) κ μ
α : Type u_7
β : Type u_8
Add β
VAdd α β
VAddAssocClass α β β
r : α
x y : β
⊢ r +ᵥ x + y = r +ᵥ (x + y)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c 0, R 0), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ Fin.succ, R ∘ Fin.succ), f (Fin.cons x y)
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)) * y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.tail.length
⊢ i + 1 < l.length
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ n ≤ n + n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f ≫ f = 0
R : Type u
LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)
⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'
⊢ AffineIndependent k p
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : IsClopen s
hs' : BddAbove s
⊢ IsClopen ↑(lowerClosure s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
f : S.functor ⟶ P
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.functorInclusion (h.extend f) = f
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
⊢ r < μ L
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
CommSemiring R
Semiring k
Algebra R k
AddMonoid G
⊢ ∀ (a : k), AddMonoidAlgebra.singleZeroAlgHom a = Finsupp.single 0 a
m s step n : Nat
h : ∀ (i : Nat), i ≤ n ↔ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ ∧ j < n
⊢ (m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ a x, a = x + 1 ∧ x < n ∧ m = s + step * a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ x ∈ ⇑(AffineMap.lineMap z y) '' Set.Ioi 1
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
IsDomain β
e : α ≃+* β
⊢ IsDomain α
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
⊢ (ofPowerSeries ℤ F) PowerSeries.X = (single 1) 1
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0
hx : 0 = 1
⊢ False
X : ℕ → Type u
(n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
⊢ Metric.toInductiveLimit I n.succ ∘ f n = Metric.toInductiveLimit I n
x y : ℂ
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg ↔ ↑(x / y).arg = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ HasFPowerSeriesAt g p x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R (of' R M '' S)
⊢ m ∈ S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] E
⊢ star A = ContinuousLinearMap.adjoint A
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
⊢ ((⊤.induce {u, v} ⊔ H) ⊓ K).verts.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ sᶜ.card + s.card = Fintype.card α
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) (n + 1) = (partialSups f) n ⊔ f (n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
CompleteSpace E
⊢ ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Set.Icc v.tMin v.tMax) t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (↑↑f) μ
α : Type u
a : α
n : ℕ
⊢ ((Computation.pure a).thinkN n).Results a n
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n = !![OfNat.ofNat n, 0, 0; 0, OfNat.ofNat n, 0; 0, 0, OfNat.ofNat n]
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
⊢ ⇑(f.sum g) = f.sum fun a₁ b => ⇑(g a₁ b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ Preorder.topology α ≤ induced f inst✝¹
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ P.map (g₂ ≫ f₂).op t = P.map g₂.op (P.map f₂.op t)
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
SMulZeroClass S R
s : S
r : R
⊢ s • Polynomial.C r = Polynomial.C (s • r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
D : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Dep D ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)
K : Type u_3
DivisionRing K
a : ℤ
b : ℕ
h1 : b ≠ 0
h2 : a.natAbs.Coprime b
⊢ ↑{ num := a, den := b, den_nz := h1, reduced := h2 } = ↑a / ↑b
α : Type u_1
a : α
o : Part α
⊢ (a ∈ o) = ∃ (h : o.Dom), o.get h = a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α : Ext X Y n
⊢ (-α).hom = -α.hom
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι
x : σ i
⊢ 𝓝 ⟨i, x⟩ = Filter.map (Sigma.mk i) (𝓝 x)