ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ (S.mapHomologyIso' F).hom = (S.mapHomologyIso F).hom
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
⊢ HNNExtension.toSubgroup A B 1 = A
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : l.length % 2 = 1
⊢ count (!b) (x :: l) = count b (x :: l)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
g : G
r : k
⊢ r • (MonoidAlgebra.of k G) g = MonoidAlgebra.single g r
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v f g : ι → F
h : (fun x => C (f x) * Lagrange.basis s v x + C (g x) * Lagrange.basis s v x) = fun x => C ((f + g) x) * Lagrange.basis s v x
⊢ ∑ i ∈ s, C ((f + g) i) * Lagrange.basis s v i = ∑ x ∈ s, (C (f x) * Lagrange.basis s v x + C (g x) * Lagrange.basis s v x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
t : Set γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
g : γ → α
hg : MapsTo g t s
cg : ContinuousOn g t
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : γ
hx : x ∈ t
a : Set α
ha : a ∈ 𝓝[s] g x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ a, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t_1 ∈ 𝓝[t] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t_1, ((f ∘ g) y, (fun n => F n ∘ g) n y) ∈ u
q q' : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ q' ∈ Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ q → Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ q' ⊆ Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ q
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
⊢ (μ.restrict A).Regular
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Ring A
Algebra R A
CharZero A
⊢ {x | IsAlgebraic R x}.Infinite
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ
hx : x ∈ s
⊢ q • x ∈ s
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ ↑x * ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∉ closure s
⊢ ContinuousWithinAt f s x
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h :
  ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y),
    (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
⊢ UCompactlyGeneratedSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty
⊢ ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s) ≤ EMetric.diam s
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
⊢ a ∈ conjugatesOf b ↔ IsConj b a
obj : Type u
self : CategoryTheory.Category.{v, u} obj
X Y : obj
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f = f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ (Algebra.Generators.self R S).vars = S
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) / ↑s.card
G : Type u_1
Add G
IsRightCancelAdd G
a b c : G
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v ≤ w ↔ ∀ (i : Set α), ↑v i ≤ ↑w i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
x : α
⊢ (fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊) x ≤ (fun x => ↑‖f x‖₊) x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H α
⊢ Set.MapsTo ⇑((LieModule.toEnd R L M) x) ↑(LieModule.weightSpace M χ) ↑(LieModule.weightSpace M (α + χ))
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Martingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale (f + g) ℱ μ
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.involute.toLinearMap (CliffordAlgebra.evenOdd Q n) = CliffordAlgebra.evenOdd Q n
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
hu : IsUnit u
this : ∀ (u : R) {P : Fin 3 → R}, W'.Equation P → W'.Equation (u • P)
h : W'.Equation (u • P)
⊢ P = hu.unit.inv • u • P
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hK : K.ExactAt i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ L.ExactAt i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedDivisionRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
⊢ Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, Set.MapsTo (fun x => c • x) t s
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
⊢ IsNoetherian K V ↔ (Basis.ofVectorSpaceIndex K V).Finite
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : ∀ ⦃x : L⦄, x ∈ I₁ → x ∈ I₂
⊢ map f I₁ ≤ map f I₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
s : Set γ
x₀ : γ
⊢ BddAbove s ↔ ∃ x, x₀ ≤ x ∧ ∀ y ∈ s, y ≤ x
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
⊢ S.Solution'_descent.multiplicity < S.multiplicity
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
H₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, x ∈ r • s ∧ 0 < r ∧ r < 1
r : ℝ
hxr : x ∈ r • s
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b
⊢ a / b ≤ c
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∑ x ∈ s, f x ≠ ⊤
a : α
ha : a ∈ s
⊢ f a < ⊤
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[>] a) (𝓝[<] a⁻¹)
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ (σ • w).IsComplex ↔ w.IsComplex
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
n : M
h : ∀ x ∈ l, n ≤ x
⊢ n ^ l.length ≤ l.prod
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
⊢ P.f =O[atTop] fun x => x ^ r
α : Type u
s : Set α
hs : s.Countable
⊢ {t | t.Finite ∧ t ⊆ s}.Countable
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
⊢ map (eval i) (pi f) = f i
m n k : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : n ∣ k
⊢ m.lcm n ∣ k
p : Turing.PartrecToTM2.Γ' → Bool
k₁ k₂ : Turing.PartrecToTM2.K'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.move p k₁ k₂ q) =
  Turing.PartrecToTM2.pop' k₁
    (Turing.TM2.Stmt.branch (fun s => s.elim true p) (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q)
      (Turing.PartrecToTM2.push' k₂ (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => Turing.PartrecToTM2.Λ'.move p k₁ k₂ q)))
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ Function.Injective ⇑H.subtype
S : Type u_3
AddGroup S
Mul S
t : RingCon S
z : ℤ
x y : S
hx : t x y
⊢ t (z • x) (z • y)
G : Type u_6
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : (Nat.card ↥H).Coprime (Nat.card ↥K)
⊢ H ⊓ K = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c d a b : K
h : b ≠ 0
⊢ (b - a) / b = 1 - a / b
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
H : Irreducible (X ^ (m * k) - C (b ^ m))
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
One β
One γ
f : α → β
f' : α → γ
hf : HasCompactMulSupport f
hff' : Function.mulSupport f' ⊆ Function.mulSupport f
⊢ HasCompactMulSupport f'
K : Type u
L : Type v
CommRing L
ζ : L
Field K
Algebra K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 2
IsDomain L
⊢ (Algebra.norm K) ζ = (-1) ^ FiniteDimensional.finrank K L
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.length ≤ c.blocks.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
CommMonoid β
ContinuousMul β
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → C(α, β)
a : α
⊢ (∏ i ∈ s, f i) a = ∏ i ∈ s, (f i) a
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
hJ : J ∈ π
⊢ I.lower ≤ J.lower
α : Type u_1
xs : List α
p : α → Bool
i : Nat
⊢ List.findIdx? p xs (i + 1) = Option.map (fun i => i + 1) (List.findIdx? p xs i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (F.obj X)
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 +
    ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 =
  ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) *
    ((hζ.toInteger - 1) ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
l : g.LimZero
⊢ f.LimZero
⊢ BoxIntegral.IntegrationParams.Henstock ≤ BoxIntegral.IntegrationParams.Riemann
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
rra : IsRightRegular a
rrb : IsRightRegular b
⊢ IsRightRegular (a * b)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ (eLpNorm (↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ).toReal ≤ (eLpNorm (↑↑f) 2 μ).toReal
M : Type u_1
TopologicalSpace M
Monoid M
⊢ Continuous fun u => ↑u⁻¹
X Y : BoolAlg
f : BoundedLatticeHom ↑X.toBddDistLat.toBddLat.toLat ↑Y.toBddDistLat.toBddLat.toLat
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.map f = f.asBoolRing
m n : ZNum
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e' : R
h₁ : IsIdempotentElem e'
h₂ : e' * e₂ = 0
he : f e' ∈ f.range
he₁ : IsIdempotentElem (f e')
he₁e₂ : f e' * f e₂ = 0
he₂e₁ : f e₂ * f e' = 0
⊢ ∃ e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e' ∧ e'_1 * e₂ = 0 ∧ e₂ * e'_1 = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.toWeakDualBCNN f = (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toNNReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.toTransported e).ε =
  e.symm.unit.app (e.functor.obj (𝟙_ C)) ≫ CategoryTheory.inv (e.functor.map (e.unitIso.hom.app (𝟙_ C)))
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.toNat c = 1 ↔ c = 1
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hv₀ : 0 < ↑v
⊢ 0 < fract ξ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑↑↑f' =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f')
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
x₀ : M
⊢ 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
⊢ (List.drop i L)[j]? = L[i + j]?
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type v
CategoryTheory.SmallCategory I
CategoryTheory.IsFiltered I
F : CategoryTheory.Functor I C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.ofCocone c hc).F = F
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Inducing f
h : StableUnderSpecialization (Set.range f)
x y : X
e : flip (fun x x_1 => x ⤳ x_1) (f y) (f x)
⊢ ∃ a', flip (fun x x_1 => x ⤳ x_1) a' x ∧ f a' = f y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
⊢ Metric.diam (Set.range ⇑f) = Metric.diam Set.univ
⊢ LipschitzWith 1 fun p => max p.1 p.2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
b o✝ o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
IH : foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b (o % b ^ log b o)) = o % b ^ log b o
⊢ foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b o) = o
α : Type u_2
Group α
t : Set α
a : α
⊢ (fun x => a * x) '' t = (fun x => a⁻¹ * x) ⁻¹' t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤
h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M N : Matrix n n R
⊢ (M * N).det = M.det * N.det
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
S : Type u_4
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → ↥(A (fι a))
l : List α
⊢ ↑(l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => ↑(fA a)) l).prod
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(adjoin (↥L) S)) = f
α : Type u_1
s : α → α → Bool
l t : List α
⊢ List.merge.loop s l [] t = t.reverseAux l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ h.toComonad.toFunctor = R.comp L
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
ι : Type v
x : ι → α
⊢ x ∈ I.pi ι ↔ ∀ (i : ι), x i ∈ I
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h : minpoly A pb.gen = minpoly A pb'.gen
⊢ (pb.equivOfMinpoly pb' h) pb.gen = pb'.gen
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j
⊢ X.σ j ≫ X.σ i.castSucc = X.σ i ≫ X.σ j.succ
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
h3 : |x| = x
h4 : |x| ≤ 1
h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
⊢ rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)
⊢ bipointedToPointedFst ⋙ CategoryTheory.forget Pointed = CategoryTheory.forget Bipointed
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
n : ℕ
this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(u (k + 1) - u k)
⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
⊢ ⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + dist y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ)))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
i j : J
f : i ⟶ j
X : Cᵒᵖ
⊢ Hom.app (limitConeπApp F i ≫ F.map f) X = Hom.app (limitConeπApp F j) X
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
f : α → β → β
xs : t α
x : β
⊢ Traversable.foldr f x xs = List.foldr f x (Traversable.toList xs)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
this : TopologicalAddGroup F
⊢ ContinuousAt (⇑f) 0
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f g : A[ε] →ₐ[R] B
hinl : f.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom R A A) = g.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom R A A)
hinr :
  f.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε) = g.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε)
⊢ f = g
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : φ = χ ∘ₗ p.subtype
hψ : ψ = χ ∘ₗ q.subtype
⊢ LinearMap.ofIsCompl h φ ψ = χ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.comp g).f₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₂ g.f₂
α : Type u_1
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : Bool → α
⊢ ∑' (i : Bool), f i = f false + f true