ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih : ∀ (A : Fin n → Fq[X]), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' : ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ}, ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
exists_nonempty_j : ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
⊢ t' i = j
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b = ⌊(b - a) / p⌋
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
⊢ a ∈ (PEquiv.ofSet s) a ↔ a ∈ s
X : TopCat
Z B : LightProfinite
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π
⊢ QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : TopologicalSpace F
hm : m ≤ mΩ
hf : AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R l₁ l₂ → ∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh (x + y)) = ↑(cosh x * cosh y + sinh x * sinh y)
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 < b
⊢ 2 * a.succ ≤ a ^ b + 1
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b ≤ 0
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ : Set G
g : G
h : Gᵐᵒᵖ
s : Set G
⊢ (fun y => h • y) '' ((fun x => g * x) ⁻¹' s) = (fun x => g * x) ⁻¹' ((fun y => h • y) '' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯
α : Type u_1
a b : α
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Sym.replicate n a = Sym.replicate n b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ↑r ≤ p.radius
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree
hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) < 1
⊢ v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
⊢ AEMeasurable f (sum μ)
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L).FG
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + g y) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : l.Germ β
p : l.Germ β → Prop
h : ∀ (f : α → β), p ↑f
⊢ p f
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s t : Set ((i : ι) × G i)
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
hxs : x.IsSupported s
j k : ι
hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j
hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k
hjk : j ≤ k
hst : s ⊆ t
⊢ (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) x)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
H : Type u_2
AddGroup H
f : H →+ G
hf : Function.Injective ⇑f
hf' : DiscreteTopology ↥f.range
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
⊢ CategoryTheory.IsIso P.arrow ↔ P = ⊤
α : Type u_3
OmegaCompletePartialOrder α
self : LawfulFix α
f : α →o α
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous f → Fix.fix ⇑f = f (Fix.fix ⇑f)
k : Type u_1
E : Type u_2
DivisionRing k
Infinite k
AddCommGroup E
Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
⊢ ∃ p ∈ s, p = ⊤
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f g h : C(X, Y)
h₀ : f.HomotopicWith g P
h₁ : g.HomotopicWith h P
⊢ f.HomotopicWith h P
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
b : α
Nonempty ι
f : ι → α
h₁ : ∀ (i : ι), b ≤ f i
h₂ : ∀ (w : α), b < w → ∃ i, f i < w
⊢ ⨅ i, f i = b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ X.rightOp.left = Opposite.op X.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α
⊢ Irreducible (Associates.mk a) ↔ Irreducible a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J D
c : CategoryTheory.Limits.Cone (K.comp G)
⊢ ((adj.functorialityUnit' K).app c).hom = adj.unit.app c.pt
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
inst✝ : DecidableEq σ
⊢ (coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y'
h₁ : X ≃ₜ X'
h₂ : Y ≃ₜ Y'
⊢ ⇑(h₁.prodCongr h₂) = Prod.map ⇑h₁ ⇑h₂
α : Type u_1
⊢ ⇑MulOpposite.opEquiv.symm = MulOpposite.unop
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
h : c ⟶ d
X : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoMiddle f h).hom.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator f X h).hom
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
px : X → Prop
x : X
hx : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, px x
py : Y → Prop
y : Y
hy : ∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 y, py y
⊢ ∀ᶠ (p : X × Y) in 𝓝 (x, y), px p.1 ∧ py p.2
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π₁.iUnion = ∅ ↔ π₁ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a - 0 = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
R.hasPullbacks
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι (CategoryTheory.Equalizer.forkMap P R) ⋯))
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ LucasLehmer.X.ω ^ 2 ^ (p' + 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hgk : g =o[l] k
hc : 0 < c
⊢ f =o[l] k
α : Type u_4
UniformSpace α
⊢ ⇑(UniformEquiv.refl α) = id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
e : E
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => c) (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c) e ⊤
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Gamma s = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
α : Type u
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ = {a | a ∈ s₁ ∧ a ∈ s₂}
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
x : Perm α
x✝ : x ∈ ⊤
h1 : (↑x.truncSwapFactors.out).prod = x
h2 : ∀ g ∈ ↑x.truncSwapFactors.out, g.IsSwap
⊢ (↑x.truncSwapFactors.out).prod ∈ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap}
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
S₂ : AddSubmonoid M
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
H : X ^ (X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
T : ℝ
⊢ Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.Iic s = s.powerset
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
hx : ∃ i, ∃ (_ : ↑i ⊆ p '' s), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i
⊢ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
⊢ s ⊆ a • t
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l init tail : List α
⊢ (init, tail) ∈ l.inits.zip l.tails ↔ init ++ tail = l
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < 1
hb : b < 1
⊢ a * b < 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g
⊢ Sieve.pullback (g ≫ f) R ∈ J.sieves Z
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0
⊢ Finset.range n = ∅
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ 1
⊢ b * a ≤ a
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m n α
a : α
⊢ a • M = (Matrix.diagonal fun x => a) * M
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Infinite
a b : ℕ
⊢ Nat.count p a ≤ b ↔ a ≤ Nat.nth p b
b : Bool
n : ℕ
⊢ (Nat.bit b n).bodd = b
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace K
⊢ InfinitePlace.IsUnramified k w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M → M''
hf : MDifferentiable I I' f
hg : MDifferentiable I I'' g
⊢ MDifferentiable I (I'.prod I'') fun x => (f x, g x)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ
⊢ ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ ≤ ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i)) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
OrderClosedTopology 𝕜
T2Space E
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsCompact A
⊢ IsCompact B
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R
⊢ (xgcd 0 s).1 = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : Inhabited α
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
h : l₁.length = n
⊢ takeI l₁.length (l₁ ++ l₂) = l₁
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
j : ι
a✝ : WellOrderingRel j i
hj : (f j) y ≠ 0
⊢ j ∈ hf.toFinset
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
Semiring S
Module R S
Module S M
IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
⊢ ⇑(f.smulRight x) = fun c => f c • x
m n✝ a b c d n : ℕ
⊢ n % 4 = 1 → n % 2 = 1
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Odd a ↔ ∃ b, a = 2 * b + 1
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Irreducible p
⊢ Irreducible q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f p s
g : γ → α
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (g ⁻¹' s)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.snd.comp AddMonoid.Coprod.inr = AddMonoidHom.id N
c : ℂ
⊢ CliffordAlgebraComplex.equiv (ofComplex ((starRingEnd ℂ) c)) = CliffordAlgebraComplex.equiv (involute (ofComplex c))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l
hxy : x ≠ y
⊢ x * y = y * x
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP : Presieve.IsSheaf K P
⊢ Presieve.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP }.val)
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ioc a b * Finset.Ico c d ⊆ Finset.Ioo (a * c) (b * d)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
Module B P
IsScalarTower R A P
IsScalarTower R B P
SMulCommClass A B P
AddCommMonoid Q
Module R Q
b : B
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (b • f) g = b • TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set α
t : Set β
s_ae_univ : μ sᶜ = 0
t_ae_univ : ν tᶜ = 0
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t)ᶜ = 0
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (e.map f).orientation = (Orientation.map ι f) e.orientation
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
ε : ℝ≥0∞
hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖f x x_1 - g x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
n : ι
hn : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2
hε : 0 < ε
this : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ < ENNReal.ofReal δ
⊢ μ {x | δ ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ε
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.4270
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U
⊢ φ.symmetrify.star u = ⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ (fun x => ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal) =ᵐ[ν] fun x =>
  (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G
⊢ N.ρ g = ((forget V G).mapIso f).conj (M.ρ g)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.toFinsupp.support = p.support
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : y ∈ tsupport ⇑(ρ z)
⊢ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ z)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : ⟨f i, y⟩ = Sigma.map f g ⟨j, x⟩
⊢ ⟨j, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ sSup s ≤ sSup t
α : Type u
β : Type v
Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Function.Injective f
hf : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ s.Infinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
i : Fin n
⊢ (Fin.castLEOrderIso h) i = ⟨Fin.castLE h i, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
f : α → β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ (g.compMeasurePreserving f hf).toGerm = g.toGerm.compTendsto f ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ AnalyticAt 𝕜 f y
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker (MonoidHom.snd M N) = ⊤.prod ⊥