ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
s : Finset ι
f : ι → ℝ
h : ∀ x ∈ s, 0 ≤ f x
⊢ a ^ ∑ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ s, a ^ f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
⊢ StableUnderGeneralization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
a✝ : HasLiftingProperty i' p
⊢ HasLiftingProperty i p
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
⊢ ∀ (x : E' × ℝ), HasLineDerivAt ℝ (fun x => g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
p : Fin n → Polynomial R
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
⊢ (Matrix.of fun i j => (p j).coeff ↑i).det = 1
x : ℝ
hx : 0 < Real.cos x
⊢ Real.tan x / √(1 + Real.tan x ^ 2) = Real.sin x
n m l : ℕ
⊢ ∀ (a : ℕ), a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜✝ : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E✝
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜✝
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α✝ → E✝
g : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Tendsto v l (𝓝 y)
⊢ u =o[l] fun _x => 1
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume
⊢ s.re < -1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Ring R
AddCommGroup α
StarAddMonoid α
Module R α
c : ℤ
M : Matrix m n α
⊢ (↑c • M)ᴴ = ↑c • Mᴴ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ ∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ ≤ edist 0 f * μ Set.univ
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (-a).re = -a.re
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Antitone negPart
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
⊢ IsUnit Aᵀ ↔ IsUnit A
R : Type u
Semiring R
I J : Ideal R
⊢ I + J = I ⊔ J
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
w : m → α
v : n → α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ vecMulVec w v i✝ j✝ = (col ι w * row ι v) i✝ j✝
α : Type u_3
Inf α
Top α
⊢ InfTopHom.dual (InfTopHom.id α) = SupBotHom.id αᵒᵈ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : 𝕎 R
⊢ ∃ a, (truncate hm) a = (WittVector.truncate n) x
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
A : outParam (Type u_3)
B : outParam (Type u_4)
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
FunLike F A B
self : CoalgHomClass F R A B
f : F
⊢ TensorProduct.map ↑f ↑f ∘ₗ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul ∘ₗ ↑f
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
z : S
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
M : Type u_2
α : Type u_3
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable l.prod μ
a b : ℕ
hb : b ≠ 0
⊢ 0 < a / b ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (deriv f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p q : α × β
⊢ p = q ↔ p.fst = q.fst ∧ p.snd = q.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
h : IsUpperSet s
h' : DirSupInacc s
d : Set α
d₁ : d.Nonempty
d₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
x✝ : α
d₃ : IsLUB d x✝
ha : x✝ ∈ s
⊢ ∃ b ∈ d, Ici b ∩ d ⊆ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ ucs k ⊥ ≤ ucs k N₁
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
⊢ ∏ i : Fin (n + 1), f i = (∏ i : Fin n, f i.castSucc) * f (Fin.last n)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Sort ?u.95493
inst✝ : _root_.Finite ι
h : FinitePresentation R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : (LinearMap.ker l).FG
⊢ FinitePresentation R N
α : Type u
s : Set α
f : Filter α
⊢ 𝓟 s ≤ f ↔ ∀ V ∈ f, s ⊆ V
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* P
⊢ (fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) ((fun f => π.comp f) f) = f
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 : (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 = (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h h = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
⊢ B.polar Set.univ = {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
⊢ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) = s.indicator (fun a => (κ a) t) a
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
hne' : (-S).Nonempty
⊢ ∃ x, IsGLB S x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Mul α
k : α
hk : IsLeftRegular k
⊢ IsSMulRegular (Matrix m n α) k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
W.IsCompatibleWithShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ W ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map f) ↔ W f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
this : Submodule.comap p.subtype p = Submodule.comap p.subtype (⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k)
h_inj : Injective ⇑p.subtype
⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (genEigenspace (LinearMap.restrict f h) μ) k = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
Add β
Add γ
g : β → γ
hg : ∀ (x y : β), g (x + y) = g x + g y
f₁ f₂ : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map g (f₁ + f₂) = MeasureTheory.SimpleFunc.map g f₁ + MeasureTheory.SimpleFunc.map g f₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : C
⊢ ∀ (x : PUnit.{1}), ((CategoryTheory.Mat_.embedding C).obj X).X x = X
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
⊢ ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = R ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), f x ∂μ
R : Type u_2
Ring R
⊢ ⊥.op = ⊥
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ {a | p a ∧ q a} = {a | p a} ∩ {a | q a}
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Ioc (f p.1) (g p.1)} (μ.prod MeasureTheory.volume)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ ↑(I.transDiffeomorph e).symm = ↑I.symm ∘ ⇑e.symm
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → α × β → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (f n)) → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) fun x => ⨆ n, f n x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
a : α
f : α → ℝ≥0∞
x✝ : α
h : x✝ ≠ a
⊢ ⨆ (_ : a = x✝), f x✝ = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖y + x‖
ι : Type u_1
Fintype ι
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ J ∈ BoxIntegral.Prepartition.splitCenter I ↔ ∃ s, I.splitCenterBox s = J
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ F
⊢ (v.prod w).addHaar = v.addHaar.prod w.addHaar
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
p : α × β
⊢ (p ∈ s ×ˢ t) = (p.fst ∈ s ∧ p.snd ∈ t)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x : P
y z : P
⊢ Wbtw R x y z ∧ Wbtw R x z y ↔ y = z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_anti : Antitone f
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ StrictMono p.succAbove
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
⊢ (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
α : Type u_8
SMul G₀ α
g : G₀
hg : g ≠ 0
a : α
⊢ Units.mk0 g hg • a = g • a
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum μ) s = 0 ↔ ∀ (i : ι), (μ i) s = 0
θ : Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal + 2 * π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
σ : K[n√a] ≃ₐ[K] K[n√a]
this : Fact (Irreducible (X ^ n - C a))
⊢ ↑((autAdjoinRootXPowSubCEquiv hζ hn H).symm σ) • root (X ^ n - C a) = σ (root (X ^ n - C a))
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i
⊢ (pi Q) (Pi.single i m) = (Q i) m
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ ¬(M.Indep X ∧ X ⊆ R) ∧ X ⊆ R ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
f : α → β
hs : s.Countable
⊢ μ (f ⁻¹' s) = 0 ↔ ∀ x ∈ s, μ (f ⁻¹' {x}) = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
this : Mono (Fork.ι c) := mono_of_isLimit_fork i
⊢ (section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯)) ≫ Fork.ι c = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim * g.lim = (f * g).lim
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftToTerminal F hZ).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x => F.obj x
  | CategoryTheory.WithTerminal.star => Z
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
AddGroup G
AddGroup G'
AddGroup G''
f : G →+ G'
g : G' →+ G''
⊢ f.range ≤ g.ker ↔ g.comp f = 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (MvPolynomial.X i) = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : sSup {m | IsSimpleModule R ↥m} = ⊤
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
α : Type u_1
a : α
Decidable (Part.some a).Dom
⊢ (Part.some a).toOption = some a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ S
y : E
hy : y ∈ S
⊢ x + y ∈ S
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
C : G'.ConnectedComponent
⊢ φ.connectedComponentEquiv.symm C = SimpleGraph.ConnectedComponent.map (RelIso.toRelEmbedding φ.symm).toRelHom C
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ Submodule.comap f (Submodule.map f p) = p ⊔ LinearMap.ker f
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
α : Type ua
u v : UniformSpace α
⊢ 𝓤 α = 𝓤 α ⊓ 𝓤 α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.op.Q = Opposite.op h.K
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x
⊢ Fintype.card { x // x ∈ b } ≤ finrank R M
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj Y))) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
⊢ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ -↑(a * b) = ↑a * -↑b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
h : s.Subsingleton
⊢ minimals r s = s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).WeaklyRegular
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
⊢ c 1 ≠ ⊥
n : ℕ
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = ZMod.χ₄ ↑(n % 4)
A : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
AddMonoid A
Monoid M
Monoid N
ψ : AddChar A M
hψ : Function.Surjective ⇑ψ
⊢ Function.Injective fun f => f.compAddChar ψ
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
s : Set α
hlim : ¬Order.IsPredLimit (sInf s)
⊢ sInf s ∈ s
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ I ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x ↔ p x
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
⊢ MeasureTheory.convolution f 0 L μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
⊢ f.toFun = ⇑f
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = p₀ ↔ p₀ = p₁ ∨ c = 0
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec ULower.down
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.CG ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (Set.range s) = N
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (a⁻¹ * b) r
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
Module.Free F ↥S
⊢ S = ⊥
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x
⊢ f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X
s : Set X
⊢ (closure ∘ image f) s = (image f ∘ closure) s
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G →+ G'
hf1 : Function.Surjective ⇑f
hf2 : f.ker ≤ H
⊢ (AddSubgroup.map f H).index = H.index