ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
⊢ ↑((closure L).toFun s) = ↑S
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
⊢ sSup (-s) = -sInf s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this✝ : Mono f
this : IsSplitEpi f
⊢ IsIso f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K {x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊥
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
DistribLattice α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
f g μ : α → β
Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
⊢ (∑ a : α, μ a * f a) * ∑ a : α, μ a * g a ≤ (∑ a : α, μ a) * ∑ a : α, μ a * (f a * g a)
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
⊢ (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • match j with | ⟨(fst, yj), property⟩ => yj) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
a : Prop
h : a = True
⊢ (¬a) = False
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ IsCoseparator G ↔ (preadditiveYoneda.obj G).Faithful
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
p : Fq[X]
hp : (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p = 0
⊢ p = 0
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁ l₂ : List α
this : ∀ (l₁ l₂ : List α), (∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) → ∀ (x : α), x ∈ l₂ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → R x y
⊢ Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R (l₂ ++ l₁)
n : ℕ
⊢ n.size = 0 ↔ n = 0
α : Type u
β : Type v
a : α
f : α → ULift β
⊢ { down := a }.bind f = f a
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
x : V
hx : x ∈ ↑K
⊢ 0 < 1 / 2
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
⊢ ∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j = 𝟙 (Biproducts.bicone F).pt
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
R R' : Φ.RightResolution X₂
self : R.Hom R'
⊢ W₁ self.f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
⊢ factorization 0 = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
⊢ (lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
a b : ℕ+
⊢ a = a.gcdA' b * a.gcd b
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
a b : ℤ
⊢ (EuclideanDomain.gcd a b).natAbs = a.gcd b
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
DecidableEq ι
κ : Type u_6
Fintype ι
s : Finset κ
g : ι → κ → α
⊢ ∑ f ∈ Fintype.piFinset fun x => s, ∏ i : ι, g i (f i) = ∏ i : ι, ∑ j ∈ s, g i j
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x y : ℕ → α
n : ℕ
ih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n
h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m
⊢ res x (n + 1) = res y (n + 1)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[a, b]] μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[a, b]]
R : Type u
Monoid R
StarMul R
u : Rˣ
⊢ ↑(star u) = star ↑u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
k : σ → τ
g : τ → S
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) ((MvPolynomial.rename k) p) = (MvPolynomial.eval₂Hom f (g ∘ k)) p
a s b c : ℝ
h : Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s
⊢ Tendsto ((fun n => 1 / |↑n + c| ^ s) / fun n => 1 / |↑n + b| ^ s) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocalHomeomorph g
hf : IsLocalHomeomorph f
⊢ IsLocalHomeomorph (g ∘ f)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
s : Set α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ u ∈ 𝓝 1, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ t, F i a / f a ∈ u
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
carrier : TopCat
presheaf : TopCat.Presheaf C carrier
⊢ ↑{ carrier := carrier, presheaf := presheaf } = carrier
l m₁ m₂ r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l (m₁ ++ m₂) r s →
  ∀ (n : Nat),
    s.nextn n { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ + String.utf8Len (List.take n m₂) }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f ⊤ μ * MeasureTheory.eLpNorm g p μ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
F : C ⥤ D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : J), ((CategoryTheory.Functor.compConstIso J F).inv.app X).app X_1 = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
U_op : IsOpen U
⊢ PathConnectedSpace ↑U ↔ ConnectedSpace ↑U
d : ℤ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).re = ↑n
n m k : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 1) m (k + 1) = hyperoperation n m (hyperoperation (n + 1) m k)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
⊢ MeasurePreserving (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (Measure.pi μ)
α : Type u
Zero α
⊢ Multiplicative.toAdd 1 = 0
p a b✝ : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
cpm : p.Coprime m
b : ℕ
dvd : m ∣ b
⊢ padicValNat p (b / m) = padicValNat p b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ toDirectSum ((tprod R M n) x) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ IntervalIntegrable f μ b a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : Kleisli T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ T.map (f ≫ T.map g ≫ T.μ.app Z) ≫ T.μ.app Z = { obj := fun X => T.obj X, map := fun {x Y} f => T.map f ≫ T.μ.app Y }.map f ≫ { obj := fun X => T.obj X, map := fun {x Y} f => T.map f ≫ T.μ.app Y }.map g
G : Type u_1
Group G
⊢ Subgroup.closure Set.univ = ⊤
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
nod : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
hs : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, s i ≠ 0
pp : {x | x ∈ Quot.mk Setoid.r l}.Pairwise (Coprime on s)
⊢ ↑(Quotient.recOn (motive := fun x => x.Nodup → (∀ i ∈ x, s i ≠ 0) → {x_1 | x_1 ∈ x}.Pairwise (Coprime on s) → { k // ∀ i ∈ x, k ≡ a i [MOD s i] }) (Quot.mk Setoid.r l) (fun l nod x co => chineseRemainderOfList a s l ⋯) ⋯ nod hs pp) < (Multiset.map s (Quot.mk Setoid.r l)).prod
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Finset.Ioo a b ↔ a < x ∧ x < b
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ b, q b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
beq1 beq2 : α → α → Bool
h : ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)
⊢ beq1 = beq2
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
AddCommMonoid β
g : α → M → β
⊢ (f1 + f2).sum g = f1.sum g + f2.sum g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Filter.Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 S
β α : Type u_2
x : Part α
f : α → Part β
y : Part β
⊢ x >>= f ≤ y ↔ ∀ a ∈ x, f a ≤ y
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
CharZero R
⊢ P.root i ≠ 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
Kφ : (K : Submodule R M) × ↥K ≃ₗ[R] M
⊢ Function.Injective ⇑(f.tunnelAux Kφ)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁.compls ⊆ s₂.compls ↔ s₁ ⊆ s₂
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M
⊢ (∀ (b : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → span R {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsClosed (Set.range Sum.inr)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
⊢ (sum fun p => (dirac x).prod (sFiniteSeq ν p)) = sum fun i => map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsSeparator (Opposite.unop G) ↔ CategoryTheory.IsCoseparator G
z w : ℂ
⊢ Complex.normSq (z + w) = Complex.normSq z + Complex.normSq w + 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
⊢ Nonempty ι
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
U : ι → Set M
g : ι → M → F
hf : f.IsSubordinate U
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hg : ∀ (i : ι), SmoothOn I 𝓘(ℝ, F) (g i) (U i)
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, F) fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x
α : Type u
s : Stream' α
n : ℕ
⊢ Stream'.take (n + 1) s = Stream'.take n s ++ [s.get n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
⊢ ∃ l, ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
⊢ {a | IsRatStieltjesPoint f a} = {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ a * m t = a * m (t ∩ s) + a * m (t \ s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hg : LipschitzWith c g✝
g0 : g✝ 0 = 0
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ dist (hg.compLp g0 f) (hg.compLp g0 g) ≤ ↑c * dist f g
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : Monoid N
s : Set M✝
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a : M
⊢ a ∈ setOf IsUnit ↔ IsUnit a
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : Submonoid N
⊢ Submonoid.map f (Submonoid.comap f S ⊓ Submonoid.comap f T) = S ⊓ T
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivWithinAt (fun x => f i x) (f' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod)
  (∑ i : Fin l.length,
    (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod •
      (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod)
  s x
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (p - q).Monic
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : a % c + b % c < c
hc0 : ¬c = 0
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-2 / 2)) volume
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
⊢ Monoid.exponent ↥H.toSubmonoid = Monoid.exponent ↥H
α : Type u_1
l : List α
⊢ [] <:+: l
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
Y : D
h : E.IsPointwiseLeftKanExtensionAt Y
⊢ L.HasPointwiseLeftKanExtensionAt F Y
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f g : A →A[R] B
⊢ ↑f = ↑g ↔ f = g
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : WeierstrassCurve.Jacobian.PointClass F
hP : W.NonsingularLift P
⊢ W.NonsingularLift (W.negMap P)
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ IsLimit (ShortComplex.π₂.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) a) ∈ f'.source
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : 1 = 0
⊢ X.support = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.ThinSkeleton C
⊢ ∀ (a : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ThinSkeleton.map F).map a =
    Quotient.recOnSubsingleton₂ (motive := fun x x_1 => (x ⟶ x_1) → (Quotient.map F.obj ⋯ x ⟶ Quotient.map F.obj ⋯ x_1))
      X Y (fun x y k => CategoryTheory.homOfLE ⋯) a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hb : 0 < b
hc : 0 < c
⊢ a / b < c ↔ a / c < b
M : Type u_1
Monoid M
⊢ IsSubmonoid Set.univ
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α ≃ β
⊢ PartENat.card α = PartENat.card β
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
⊢ v (-y) < v x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
⊢ ‖z - soln‖ = ‖z - a + (a - soln)‖
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w
⊢ z ∈ ⋃₀ x
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ Multiset.powersetCard n s ≤ s.powerset
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g : G
hg : g ∈ closure k
⊢ ⟨g, hg⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨g⁻¹, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsNoetherian R L
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R L ↔ ∀ (x : L), IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R L) x)
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1
c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1
x : ℝ
hf_pos : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
h_lb : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → c₁ * ‖g y‖ ≤ ‖f y‖
h_ub : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖f y‖ ≤ c₂ * ‖g y‖
hg_bound✝ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
hg_bound : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g x‖) (c₄ * ‖g x‖)
⊢ c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x ≤ f u
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : ¬s.card ≤ 1
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ e.toEquiv.symm = ↑e.symm
R : Type u_2
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
⊢ ⊥.IsRadical
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑ x ∈ t, g x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set β → Prop
s : Set β
h' : HasCountableSeparatingOn β p s
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ∈ s
h : ∀ (U : Set β), p U → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U ↔ g x ∈ U
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hSp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
H : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ s ∈ S, f x ∈ s ↔ g x ∈ s
⊢ f =ᶠ[l] g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : NormedCommRing α
inst✝ : NormOneClass α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
NormedLatticeAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑f⁺ = (⇑f)⁺
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Div β
ContinuousDiv β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hv : MeasureTheory.Adapted f v
⊢ MeasureTheory.Adapted f (u / v)
α : Type u_1
EuclideanDomain α
x y : α
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ z ∈ nonunits α, z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y
⊢ IsCoprime x y
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
NonAssocRing α
NonAssocRing β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
n : ℤ
⊢ f ↑n = ↑n