ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ (F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ ((isColimitOfPreserves F (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X)))).coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X) ⋙ F))).hom) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)).hom = (((isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm).hom) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1
⊢ ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 1
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
n : ℕ
⊢ f.fpowerSeries x (n + 2) = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
x : R
⊢ (aeval h.root) (C x) = h.map (C x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
⊢ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ ⊤ ≤ ⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g₁ g₂ : σ → S₁
h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → MvPolynomial.coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g₁ p = MvPolynomial.eval₂ f g₂ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : W f
⊢ W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) ↔ W g
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.105888, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ ((shiftFunctor C 1).map φ.hom₃.unop).op ≫ ((shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁ = (((shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁) ≫ φ.hom₁
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ (q * q⁻¹) * μ Set.univ ^ (1 / q)
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
⊢ t.Valid ↔ t.dual.Valid
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (f a) (f b)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X × Y
⊢ Filter.map Prod.snd (𝓝 x) = 𝓝 x.2
E : Type u_4
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ
⊢ IsPathConnected (↑q)ᶜ
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ
⊢ { pt := c, ι := { app := fun U => (toSkyscraperPresheaf p₀ f).app (op (unop U).obj) ≫ eqToHom ⋯, naturality := ⋯ } }.ι.app U = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ f
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f (-x) = -f x
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f : M →+ N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)
⊢ (desc φ α hα).f j = fstX φ j (c.next j) hjk ≫ hα.hom (c.next j) j + sndX φ j ≫ α.f j
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)
⊢ Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (g (t • x))
α : Type u_3
Preorder α
self : PredOrder α
a b : α
⊢ PredOrder.pred a < b → a ≤ b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
h : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.arctan (f x)) s
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M : Matrix m n R
i : m
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (M.toMvPolynomial i) = 0
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ Δ'
CategoryTheory.Epi e
i : Δ' ⟶ Δ''
CategoryTheory.Mono i
fac : e ≫ i = φ
⊢ CategoryTheory.Limits.image φ = Δ'
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ e.symm b (↑e { proj := b, snd := y }).2 = y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.651, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
j : ℕ
hj : j + 1 = 0
⊢ False
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso e).inv = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap e.inv
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
⊢ M.map ⇑ofReal = matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
a : α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ a • ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, a • t i j
R : Type u
LE R
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop x ≤ Tropical.untrop y ↔ x ≤ y
β : Type u_1
α : Type u_2
Unique β
⊢ ⇑(Equiv.prodUnique α β) = Prod.fst
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ x.modMonomial (Finsupp.single i 1) + MvPolynomial.X i * x.divMonomial (Finsupp.single i 1) = x
α : Type u_2
Distrib α
s t u : Set α
⊢ s * (t + u) ⊆ s * t + s * u
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ s, a = a
α : Type u_1
LinearOrder α
Group α
a : α
⊢ 1 < a⁺ᵐ ↔ 1 < a
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
⊢ (↑x).gcd ↑y = d
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq M
inst✝³ : Zero M
inst✝² : DecidableEq P
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f₁ f₂ : α →₀ M
g : α →₀ N
hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun f => F f g
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (zipWith F F0 f₁ g).neLocus (zipWith F F0 f₂ g) ↔ a✝ ∈ f₁.neLocus f₂
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
AddCommMonoid α
β : Type
i : ℕ
hid : i < d
s : Finset β
f : β → Holor α (d :: ds)
⊢ ∑ x ∈ s, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ s, f x).slice i hid
a : Int
⊢ 0 ≤ a ∧ ↑a.natAbs = a ∨ a < 0 ∧ ↑a.natAbs = -a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
this : L.mapArrow.EssSurj
φ : Arrow C
e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f
Z : C
g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((𝟭 C).obj φ.left)
H : Triangle.mk φ.hom g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ L.essImageDistTriang
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lip : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ_meas : ∀ x ∈ ball x₀ δ, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hδε : ∀ x ∈ ball x₀ δ, x ∈ ball x₀ ε
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
zero : F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero ≅ G.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
one : F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one ≅ G.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one
left :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left) one.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp zero.hom (G.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left)
right :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right) one.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp zero.hom (G.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right)
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair.ext zero one left right).inv.app X =
  (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec zero one X).inv
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
u : G₀ˣ
⊢ ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ Subalgebra.map e (adjoin R {x}) = adjoin R {e x}
n p : ℕ
pp : Prime p
i : ℕ
⊢ p.Coprime i ∨ p ∣ i
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ log (Gamma x ^ a * Gamma y ^ (1 - a))
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂) ⊻ t ⊆ s₁ ⊻ t ∩ s₂ ⊻ t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop
⊢ x.coeff i = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (φ i))
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s t✝ : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)
g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ MDifferentiableOn I I' f (s ∩ u)
x : M
xs : x ∈ s
t : Set M
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
ht : MDifferentiableOn I I' f (s ∩ t)
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) (((J.diagram P X).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
x : α
⊢ s \ insert x t = (s \ t).erase x
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
x✝ : TangentSpace I z
⊢ (q z • p') x✝ = (p'.smulRight (q z)) x✝
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t, f x y = ∏ y ∈ t, ∏ x ∈ s, f x y
α : Type u
β : Type v
Add α
Add β
f : AddHom α β
a : α
⊢ (WithZero.map f) ↑a = ↑(f a)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
r : ℕ
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a b : E
⊢ dist a (a / b) = ‖b‖
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
H₁ H₂ : FloorSemiring α
this : FloorSemiring.ceil = FloorSemiring.ceil
⊢ H₁ = H₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : { center := p, radius := r }.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere { center := p, radius := r }.center { center := p, radius := r }.radius → { center := p, radius := r } = s.circumsphere
⊢ p = s.circumcenter
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom S = T
⊢ (f.mulEquivOfMulEquiv k H).toMonoidHom = f.map ⋯ k
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atTop ↔ ∀ (b : β), ∃ a, b ≤ f a
X : Type u_2
EMetricSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m₁ ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m₂
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
x y z : M
⊢ c x y → c y z → c x z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0
⊢ c ^ (1 / p).toReal * eLpNorm f p μ < ⊤
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ
⊢ ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
⊢ s.ncard = 3 ↔ ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
IsWellFounded β s
⊢ IsWellFounded α r
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M
⊢ ‖↑x‖ = Metric.infDist x ↑S
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
⊢ Function.Injective ⇑LatticeHom.birkhoffFinset
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f (FirstOrder.Language.Substructure.comap f S) = S
F : Type u_1
Field F
S T : Set F
hT : IsSubfield T
H : S ⊆ T
⊢ Field.closure S ⊆ T
G : Type u_1
Monoid G
x : G
h : Function.Injective fun n => x ^ n
⊢ ¬IsOfFinOrder x
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
⊢ ∑ᶠ (j : ↑s), f ↑j = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun a => ‖f a‖) μ ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
α : Type u_1
s : Set α
PartialOrder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑(upperClosure s) = s
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α✝ : ι → Type u_4
β✝ : ι → Type u_5
γ : ι → Type u_6
x✝ y : (i : ι) → α✝ i
i : ι
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
inst✝ : SMul M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β
x : α
⊢ extend f (r • g) (r • e) x = (r • extend f g e) x
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
β : Type u_4
e : β ≃ α
f : σ → α
⊢ (Primrec fun a => e.symm (f a)) ↔ Primrec f
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ Group ?convert_1
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : Set β
f : β → α
⊢ DirectedOn r (f '' s) ↔ DirectedOn (f ⁻¹'o r) s
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C
⊢ (β_ (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
⊢ M ↾ R ≤r M
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * ‖v‖ * (|r1 - r2| * ‖v‖) = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖
α : Type u_1
l : Filter α
s : Set α
⊢ (∀ᶠ (t : Set α) in l.smallSets, t ⊆ s) ↔ s ∈ l
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
Y : D
g : CategoryTheory.StructuredArrow Y L
⊢ (E.coneAt Y).π.app g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (E.left.map g.hom) (E.hom.app g.right)
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x x_1, r x) ↔ (∃ x x_1, r x) ∨ ∃ x x_1, r x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.forget F).obj A = A.V