ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ ∃ n s, Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
β : Type u_2
EMetricSpace β
a : β
r : ℝ≥0∞
x y : ↑(EMetric.ball a r)
⊢ edist ↑x ↑y ≠ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R s = ⨆ x ∈ s, Submodule.span R {x}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ s.secondInter p (r • v) = s.secondInter p v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑I.symm ∘ ↑I = id
A : Type u_3
AddZeroClass A
f : Multiplicative A →* Multiplicative A
a : A
⊢ ((addMonoidEndToMultiplicative A).symm f) a = Multiplicative.toAdd (f (Multiplicative.ofAdd a))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c) =ᵐ[μ] s.indicator fun x => c
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹ = x
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h₁ : 0 < x
h₂ : Real.logb b x = 0
⊢ x = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2 μ)
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 E'' 𝕜' hm) (T.compLp f)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) x ∂μ
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
⊢ ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose)
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
⊢ z.arg ∈ Ioc (-π) π
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
⊢ (-1).cast = ↑n - 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).unitIso.hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ a) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobject f g).arrow ≫ f = (CategoryTheory.Limits.equalizerSubobject f g).arrow ≫ g
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl
⊢ IsNilpotent x ↔ x ∈ nonunits (Localization I.primeCompl)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) l (𝓝 0)
L2 : Tendsto (fun n => f' (c n • d n)) l (𝓝 (f' v))
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α × β
⊢ ContinuousMap.prodSwap x = (x.2, x.1)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
h : image (fun t => s ∩ t) 𝒜 = s.powerset
t : Finset α
ht : t ⊆ s
⊢ ∃ u ∈ 𝒜, s ∩ u = t
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
s : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j) (s.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one) =
  s.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
i : n
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
x✝ : j ∈ Finset.univ
a b : n
⊢ (if i = a ∧ j = b then M i j else 0) = M i j • (algebraMap R A) (if i = a ∧ j = b then 1 else 0)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
x✝ : ℝ≥0
⊢ ‖f.prod g‖₊ ≤ x✝ ↔ max ‖f‖₊ ‖g‖₊ ≤ x✝
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
V W : SemiNormedGrp
f : V ⟶ W
hf : NormedAddGroupHom.NormNoninc f
⊢ NormedAddGroupHom.NormNoninc (SemiNormedGrp.completion.map f)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Iic a = Set.Iic ⌊a⌋
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X).left =
  (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.obj X).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
x i : ℤ
⊢ ∀ (x_1 : ℤ),
  ((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).inv.f i).f x_1 = 𝟙 ((F.obj (K₁.X (i + x))).obj (K₂.X x_1))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y z : X
⊢ Continuous fun ρ => ρ.1.trans ρ.2
h : Decidable (Dom 0)
⊢ toWithTop 0 = 0
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
IsDomain R
Infinite R
⊢ ∃ x, LieModule.IsRegular R M x
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.swap.getLeft? = x.getRight?
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : s.Subsingleton
⊢ StrictMonoOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X Y : C
g : Y ⟶ X
α : (CategoryTheory.presheafHom F G).obj (Opposite.op X)
⊢ ((CategoryTheory.presheafHom F G).map g.op α).app
    (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y))) =
  α.app (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk g))
R : Type u_4
NonUnitalCommSemiring R
r : Rᵐᵒᵖ
⊢ (RingEquiv.toOpposite R).symm r = MulOpposite.unop r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V
hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 E), Submodule.comap f.toLinearIsometry (Submodule.map f p) = p
⊢ U ⟂ V
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ b ≠ 0 → a ∣ b → a ≤ b
α : Type u_1
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
u v a : α
ha : a ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}
b : α
hb : b ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}
hab : (fun x => (x ⊔ u) \ v) a = (fun x => (x ⊔ u) \ v) b
h : ((a ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v = ((b ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v
⊢ a = b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R
h : q.totalDegree < p.totalDegree
⊢ (q + p).totalDegree = p.totalDegree
F : Type u_1
A : outParam (Type u_7)
B : outParam (Type u_8)
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
FunLike F A B
self : ContinuousMonoidHomClass F A B
f : F
⊢ Continuous ⇑f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), M x ≫ F.map f = M y
x : C
⊢ (liftStar F M hM).hom ≫ (lift F M hM).map (starInitial.to (incl.obj x)) = M x ≫ (inclLift F M hM).hom.app x
x : ℂ
h : Complex.cos x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt Complex.tan (1 / Complex.cos x ^ 2) x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ ¬p ∣ q.den → ‖↑q‖ ≤ 1
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s✝ : Finmap β
h : a ≠ a'
s : AList β
⊢ insert a' b' (insert a b ⟦s⟧) = insert a b (insert a' b' ⟦s⟧)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
b : β
hb : CategoryTheory.IsSeparator (f b)
⊢ CategoryTheory.IsSeparator (∐ f)
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
this : (fun p h => Coe.coe ⟨↑p, h⟩) = fun p x => id p
⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨↑p, hp⟩) v h) = v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : IsEmpty α
⊢ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (algebraMap A K) (num A x) / (algebraMap A K) ↑(den A x) = x
M : Type u_2
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, Measurable f
⊢ Measurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).sum
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
Semiring S
Algebra R S
x : S
p : Polynomial R
⊢ (Polynomial.aeval x) p = p.smeval x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
c : G
hf : SmoothOn I' I f s
⊢ SmoothOn I' I (fun x => f x / c) s
b a : Nat
h₁ : 0 < b
h₂ : b ≤ a
⊢ a / b = (a - b) / b + 1
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
IsAddCyclic H
f : G →+ H
hf : f.ker ≤ AddSubgroup.center G
a b : G
⊢ a + b = b + a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ sᶜ ∈ Filter.coclosedCompact X ↔ IsCompact (closure s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(f.extend I) x
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
ns : List ℕ
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtCompositionAux ns).length
⊢ (l.splitWrtCompositionAux ns).get ⟨i, hi⟩ = drop (take i ns).sum (take (take (i + 1) ns).sum l)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b : α
a : ↑(Iic b)
⊢ (range ⇑(OrderEmbedding.subtype fun c => c ≤ b)).OrdConnected
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
n : ℤ
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ FractionalIdeal.count K v (I ^ (-n)) = -FractionalIdeal.count K v (I ^ n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
⊢ IsPathConnected (f '' F)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ (pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.snd f g).op.unop
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
⊢ colimit.ι (D.diagram.multispan ⋙ F) (WalkingMultispan.right i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso F)).hom = (D.mapGlueData F).ι i
M : Type u_2
Mul M
⊢ ∀ (a : Mᵐᵒᵖᵐᵒᵖ), (MulEquiv.opOp M).symm a = MulOpposite.unop (MulOpposite.unop a)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
e : M ≃+ N
S : AddSubmonoid M
g : ↥S
⊢ ↑((e.addSubmonoidMap S) g) = e ↑g
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ ≤ ↑C
R : Type u
DivisionSemiring R
StarRing R
x : R
⊢ star x⁻¹ = (star x)⁻¹
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Con M)
⊢ (sInf S).toSetoid = sInf (Con.toSetoid '' S)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ Epi (app' φ 0 ⋯)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
y : X
⊢ ContinuousAt (fun x => x) y
α : Type u_2
β : Type u_3
Semigroup α
CommSemigroup β
f g : α → β
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
⊢ IsMulHom fun a => f a * g a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
f : 𝕜 → ℂ
f' : ℂ
x : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Complex.exp (f x)) (Complex.exp (f x) * f') x
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this✝ : IsScalarTower k A W
this : IsScalarTower k A V
φ : W →ₗ[k] V
hφ : φ ∘ₗ ↑k f = LinearMap.id
⊢ ∀ (x : V), (LinearMap.equivariantProjection G φ ∘ₗ f) x = LinearMap.id x
α : Type u_1
LE α
S : Set (Set α)
hf : ∀ s ∈ S, IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (⋃₀ S)
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
⊢ a ♯ 1 = succ a
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
s t : SetSemiring A
M N : Submodule R A
h₁ : SetSemiring.down s ⊆ SetSemiring.down t
h₂ : M ≤ N
⊢ s • M ≤ t • N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a + b ≤ c
⊢ b + a ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x (max n m) r
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
t : Set α
h₁ : t ⊆ ↑s
h₂ : ∀ x ∈ t, p x
⊢ t ⊆ ↑(Finset.filter p s)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
l : List α
e : ⟦l⟧ = univ.val
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ l
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace Y
K : Set Y
hK : IsCompact K
l : Filter X
⊢ l ×ˢ 𝓝ˢ K = ⨆ y ∈ K, l ×ˢ 𝓝 y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.inv h)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.hom h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
⊢ a.get i * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)
β : Type u_1
x : Nat
y : β
⊢ ↑(x, y).fst = ↑x
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_8
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f : E → A
z : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
n : ℕ
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x ^ n) z
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x
n : ¬∃ y_1, y_1 ∈ y
⊢ ∅ ∈ x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | 𝓝[<] x = ⊥}.Countable
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
⊢ (basisDivisor x x).natDegree = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
h : Function.Injective ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M r)
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ (⋂₀ S)ᶜ = ⋃₀ (compl '' S)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Subsingleton ι
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ Filter.Tendsto Stirling.stirlingSeq Filter.atTop (𝓝 a)
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
X : C
⊢ F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), CategoryTheory.Limits.IsZero ((F.shift n).obj X)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]
⊢ (∀ (x : M), ((aeval f) x✝) x = 0 x) ↔ ∀ (m : Module.AEval' f), x✝ • m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁ <+~ l₂ → ∃ l, l ~ l₂ ∧ l₁ <+ l
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasurePreserving ?m.126550 ?m.126546 (?m.126476.prod ?m.126477)
M : Type u_2
AddCommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b + 1
f : ℕ → M
⊢ ∑ k ∈ Finset.Icc a (b + 1), f k = ∑ k ∈ Finset.Icc a b, f k + f (b + 1)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
hS : S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
g : G
⊢ g + -↑(AddSubgroup.MemRightTransversals.toFun hS g) ∈ H
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ star ↑U * ↑U = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G 0
i : ℤ
⊢ z.homOf.f i = (↑z).v i i ⋯
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
m : ↥M
⊢ m • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid M S) m) = 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) = X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ)
α : Type u_1
β : ?m.16439
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ GenerateOpen {t | ∃ a, (Iic a)ᶜ = t} s
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Subsingleton (PowerSeries R) ↔ Subsingleton R
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.inv = app₄.inv ≫ f.map' 4 5 ⋯ ⋯
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
⊢ f = 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ⊤)
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
⊢ PreTilt.valAux K v O hv p (f * g) = PreTilt.valAux K v O hv p f * PreTilt.valAux K v O hv p g
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ (fun x' => f x' - f x - (x' - x) • f') =o[𝓝[s] x] fun x' => x' - x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 * n ≠ 0
⊢ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * n)) = ↑(2 * n) ^ 2 - if Even (2 * n) then 4 else 1