ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (map f) (W_ R n) = W_ S n
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ ¬orderOf (ωUnit (p' + 2)) ∣ 2 ^ (p' + 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
a b : α
H : a ≤ b
⊢ (𝓝[Set.Iio b] a).NeBot
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
⊢ ↑a + ↑(-a) = 0
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
Module.Finite R M
⊢ Submodule.map (LocalRing.maximalIdeal R • ⊤).mkQ N = ⊤ ↔ N = ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
BorelSpace E
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f u g
⊢ AEMeasurable g μ
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
b : α
⊢ f.symm.symm b = f b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
s : Set α
hs : ∀ a ∈ s, IsAtom a
⊢ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ sSup s} = sSup s
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => x
m : Type u_1
Fintype m
K : Type u
Semifield K
DecidableEq m
w : m → K
⊢ LinearMap.ker (Matrix.toLin' (Matrix.diagonal w)) =
  ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
n p b : ℕ
pp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
⊢ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Finset.Ico 1 n) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Finset.Icc 1 b)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' (t ∩ s) = Subtype.val ⁻¹' t
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : Commute a b
m : ℤ
⊢ Commute a (b ^ m)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (⨆ i, I i).ringCon = ⨆ i, (I i).ringCon
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Nonempty ι'
s : ι → ι' → Set α
hs : ∀ (i : ι), Monotone (s i)
⊢ ⋂ j, ⋃ i, s i j = ⋃ i, ⋂ j, s i j
R : Type u_2
Ring R
n : ℕ
⊢ (HahnSeries.single ↑n) 1 = (HahnSeries.single 1) 1 ^ n
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
⊢ ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ < ⊤
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
⊢ Tendsto (fun i => support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
l : List α
⊢ prod ⟦l⟧ = 1 ↔ ∀ x ∈ ⟦l⟧, x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β × γ
b : Filter β
c : Filter γ
⊢ comap f (b ×ˢ c) = comap (Prod.fst ∘ f) b ⊓ comap (Prod.snd ∘ f) c
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁸ : AddMonoid M
inst✝⁷ : HasShift C M
inst✝⁶ : HasShift D M
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁴ : L.IsLocalization W
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : L.CommShift M
X Y Z T : C
a : M
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y
f : SmallShiftedHom W X Y a
n a' : M
h : a + n = a'
⊢ (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₁ = 0 ↔ CategoryTheory.Mono T.mor₂
a : ℕ
han : 0 < a
ha : a.totient ≤ 1
⊢ a ∣ 2
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.changeForm h) ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x) =
  (CliffordAlgebra.ι Q') m * (CliffordAlgebra.changeForm h) x -
    (CliffordAlgebra.contractLeft (B m)) ((CliffordAlgebra.changeForm h) x)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) 1 = p₁
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
⊢ log b n ≤ log c n
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
i : (Quotient.out o).α
⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) i < type fun x x_1 => x < x_1
s t : Set ℝ
⊢ ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) s ×ˢ (convexHull ℝ) t = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ (x - y)⁻¹ * (x - y) = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R1Space X
f : Y → X
⊢ R1Space Y
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
a : Module.End R M
⊢ ∀ (a_1 : A ⊗[R] M),
  ((Module.End.baseChangeHom R A M) a) a_1 =
    (TensorProduct.liftAux
        (↑R
          ({ toFun := fun h => h ∘ₗ a, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ
            TensorProduct.AlgebraTensorModule.mk R A A M)))
      a_1
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
⊢ esymm σ R n = ∑ t ∈ powersetCard n univ, (monomial (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1)) 1
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 3
⊢ univ = {0, 1, -1}
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
x : α
s : Set β
⊢ x ∈ r.preimage s ↔ ∃ y ∈ s, r x y
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
m n k : ℕ
⊢ (m + k * n).Coprime n ↔ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : a < x → b ≤ x
⊢ f x ∉ Ioo (f a) (f b)
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
⊢ |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x)| + |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y)| ≤ 2
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
J P : Matrix n n R
h : Invertible P
A : ↥(skewAdjointMatricesLieSubalgebra J)
⊢ ↑((skewAdjointMatricesLieSubalgebraEquiv J P h) A) = P⁻¹ * ↑A * P
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set E
t : Set E'
f : E → F
g : E' → F'
p : E × E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s p.1
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t p.2
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.map f g) (s ×ˢ t) p
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : ↑F ≤ 𝓝 x
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
⊢ Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ Denumerable.lower (Denumerable.raise l n) n = l
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ Function.Surjective ⇑(GradedRing.projZeroRingHom' 𝒜)
x : ENNReal
⊢ x.log = ⊥ ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs_l : ∀ b < f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioo b (f a)
hfs_r : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioo (f a) b
⊢ ContinuousAt f a
α : Type u_1
Preorder α
a b : Topology.WithUpperSet α
⊢ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet a ≤ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet b ↔ a ≤ b
x y : SetTheory.PGame
h₁ : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y
h₂ : ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j
⊢ x ≤ y
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ J ≤ ⊥
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
hfn : IsNilpotent f
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m
⊢ IsNilpotent μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ 0 < ↑q ↔ 0 < q
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2
even : cs.length w % 2 = 0
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R (nonZeroDivisors ℤ)) K
Algebra ℚ K
Module.Finite ℚ K
x : K
⊢ FractionalIdeal.absNorm (FractionalIdeal.spanSingleton (nonZeroDivisors R) x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.NormalMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ ⋃ i, s' i = univ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ s.pi t = ∅ ↔ ∃ i ∈ s, t i = ∅
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
a : α
s : Semiquot α
⊢ pure a ≤ s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a
⊢ a - b < a - c ↔ c < b
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Algebra R S
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Module R A
IsScalarTower R S A
a : A
r : R
⊢ (algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a ↔ r ∈ quasispectrum R a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - (succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)) = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : OrthonormalBasis (Fin n) ℝ E
⊢ |o.volumeForm ⇑v| = 1
α : Type u_1
Mul α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ min a b ≤ max c d
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
⊢ ↑(spanSingleton S x) = span R {x}
⊢ ∀ {X Y : CommRingCatᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.Spec.toSheafedSpace.map f = AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f.unop
α : Type u_2
Mul α
Add α
LE α
⊢ ↑(OrderRingIso.refl α) = RingEquiv.refl α
x : SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
⊢ (x + y).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesAdd (Sum.inl i)) = x.moveRight i + y
x : PSet
y : PSet
⊢ x.Equiv y ↔ y.Equiv x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt (toIcoMod hp a) (Set.Ici x) x
α : Type u_2
DecidableEq α
AddCancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ addRothNumber (Finset.map (addLeftEmbedding a) s) = addRothNumber s
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ ↑C
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Module.Free ℤ S
I J : Ideal S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
⊢ cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ mellin (fun t => f (a * t)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
FiniteDimensional k V
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ Finite ι
z : ℂ
hz : z ≠ 0
w : ℂ
⊢ Complex.abs (z ^ w) = Complex.abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ (latticeBasis K) i = (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) i)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ [].prod⁻¹ = (List.map Inv.inv [].reverse).prod
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ fderivWithin ℂ (fun x => Complex.cos (f x)) s x = -Complex.sin (f x) • fderivWithin ℂ f s x
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Subsemigroup M
x : M
h_one : 1 ∈ s.carrier
⊢ x ∈ { toSubsemigroup := s, one_mem' := h_one } ↔ x ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.mulEnergy t =
  (Finset.filter
      (fun x =>
        match x with
        | ((a, b), c, d) => a * b = c * d)
      ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑((-o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
⊢ upperCentralSeries G' n = ⊤
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
d : ℝ≥0∞
hd : EMetric.diam s ≤ d
⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ ↑C * d ^ ↑r
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
hn : 0 < n
⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
β : Type u_3
α' : Type u_7
LinearOrderedAddCommMonoid β
s : Finset α'
hs : s.Nonempty
f : α' → β
n : ℕ
⊢ (s.inf' hs fun a => n • f a) = n • s.inf' hs f
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ ψ : MvPowerSeries σ R
⊢ φ = ψ ↔ ∀ (n : σ →₀ ℕ), (MvPowerSeries.coeff R n) φ = (MvPowerSeries.coeff R n) ψ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ irreducibleComponent x ∈ irreducibleComponents X
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
M : Type u_1
Add M
S : Set (AddSubsemigroup M)
x : M
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 1 → R
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.negFunc x = -x 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ ∀ (i : (α × α) × α × α), i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔ (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈ filter (fun x => match x with | ((a, b), c, d) => a * b = c * d) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
⊢ c.index ((c.embedding i) j) = i
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ (yoneda.obj s.pt).map g₁.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₁ hf₁) = (yoneda.obj s.pt).map g₂.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₂ hf₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
this : 1 < 2
⊢ (fun h => cexp (x + h) - cexp x - h • cexp x) =o[𝓝 0] fun h => h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ [l.attach.formPerm].prod = l.attach.formPerm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) =ᶠ[ae μ] f n - f_lim
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 < ↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Div G
self : ContinuousDiv G
⊢ Continuous fun p => p.1 / p.2
α : Type u_3
CommRing α
m n : ℤ
h : m ∣ n
⊢ ↑m ∣ ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (K[X].X n) ≫ PInfty.f n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ (1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Pell.Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n) ↔ Pell.IsFundamental a
G : Type u_3
Group G
G' : Type u_5
Group G'
hG : Group.FG G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Group.FG G'
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ x.denom ≠ 0
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ t, ↑(t 0) = a ∧ Monotone t ∧ (∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(t n) = b) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 1 < p
α : Type u_1
Ring α
f : α → α
a : α
a' b : ℤ
⊢ f = Neg.neg → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → a'.neg = b → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (-a) b