ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ 2 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃ + C.r * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) + 6 * C.r ^ 2)
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : M 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M i.succ) M₂
m : (i : Fin n.succ) → M i
⊢ f.uncurryLeft m = (f (m 0)) (Fin.tail m)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set (Set A)
hsn : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
S : L.Substructure M
y : N
⊢ y ∈ FirstOrder.Language.Substructure.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun p => dist x (Φ p) + dist z (Ψ p))
n : ℕ
⊢ (fun b => succ.comp b)^[n] zero = Code.const n
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j = ↑j✝
h₂ : ¬j = j✝
⊢ 0 = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type w'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inl f) x = FirstOrder.Language.Structure.funMap f x
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
R : Type u_5
NonUnitalSemiring R
a : R
l : List R
h : ∀ x ∈ l, a ∣ x
⊢ a ∣ l.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'
x : α
h₀ : g'' x ≠ 0
⊢ ‖f x‖ ≤ max C C' * ‖g'' x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
I : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
AddMonoidWithOne R
⊢ (SimpleGraph.degMatrix R G).IsSymm
R : Type u_2
Semiring R
f : RingInvo R
x : R
⊢ f x = 0 ↔ x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = m ⊗ₜ[R] p i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K
⊢ x ∈ I / J ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
n : ℕ
⊢ F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
⊢ x ∈ ⋃ i, ⋃ j, s i j ↔ ∃ i j, x ∈ s i j
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ f.inverse.closure = f.closure.inverse
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
⊢ (M ↾ X).Base I
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f
⊢ f.Separable
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
U : M → Set M
h : fs.IsSubordinate U
i : ι
⊢ Function.support ↑(fs.toFun i) ⊆ U (fs.c i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ Metric.sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
⊢ ‖(2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
⊢ vectorSpan k (Set.range p) = Submodule.span k (Set.range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s = ∅ ↔ Dense sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ Periodic f ((2 * n) • c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ nndist f g < r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) < r
R : Type u
Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
A : ι → Submodule R M
⊢ (DirectSum.IsInternal fun i => A ↑i) ↔ DirectSum.IsInternal A
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
h : IsBigOWith c l f g
hc : 0 ≤ c
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
x : α
hgx : 0 x ≤ g x
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ ‖f x ^ r‖ ≤ c ^ r * ‖g x ^ r‖
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
⊢ LocallyLipschitz fun x => max (f x) a
α : Type u_1
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ ↑(a ⊓ b) = ↑a ⊓ ↑b
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x y : 𝔸
h : Commute x y
⊢ Commute x ((fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) y)
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ↑⊤ → x ∈ ↑(⨆ i, Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i))
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : ⊤ = Ideal.ofList [] • ⊤
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
⊢ (e.extendDomain f.toEquivRange) b = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
I J : Ideal (MvPolynomial σ k)
h : I ≤ J
⊢ MvPolynomial.zeroLocus J ≤ MvPolynomial.zeroLocus I
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
t : MeasureTheory.SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ t = s.singularPart μ
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ (minpoly A x).degree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun c => bif c then a else b) ↔ Disjoint a b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : Disjoint f.domain g.domain
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑f x = ↑g y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
m n : ℕ
h : m < n
⊢ K m ⊆ interior (K n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ Differentiable 𝕜 ⇑iso
F : Type u_1
Norm F
One F
NormOneClass F
⊢ (fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) =O[𝓝 1] fun x => 1
n : ℕ
⊢ (finSuccEquiv n) 0 = none
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ min a b = b
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w.IsReal ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
R : Type u_2
Ring R
a b : R
⊢ a * -b = -(a * b)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.reverse (a * b) = CliffordAlgebra.reverse b * CliffordAlgebra.reverse a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
⊢ ⊥ ∥ s ↔ s = ⊥
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x - r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
⊢ sInf S ≤ 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
r : R
⊢ Coalgebra.counit ((algebraMap R A) r) = r
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op V ⟶ op V'
⊢ f.app U ≫ X.presheaf.map ((homOfLE e).op ≫ i) = f.appLE U V' ⋯
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (mk s (x - y)) i = (mk s x - mk s y) i
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x
a : Set α
⊢ ∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
f : 𝕜 → E
w : 𝕜
⊢ ‖Fourier.fourierIntegral e μ f w‖ ≤ ∫ (x : 𝕜), ‖f x‖ ∂μ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ
⊢ z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V₁
inst✝¹² : Module k V₁
inst✝¹¹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₂
inst✝⁹ : Module k V₂
inst✝⁸ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝⁴ : AddCommGroup V₄
inst✝³ : Module k V₄
inst✝² : AffineSpace V₄ P₄
R' : Type u_10
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Module R' V₁
c p : P₁
⊢ (homothety c (-1)) p = (pointReflection R' c) p
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (j : J), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s t : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x
⊢ sSup s = sSup t
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun i c => c) ≤ φ.support.sup fun s => ∑ x ∈ s.support, s x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.GradedAlgebra.ι Q) m * (CliffordAlgebra.GradedAlgebra.ι Q) m =
  (algebraMap R (DirectSum (ZMod 2) fun i => ↥(CliffordAlgebra.evenOdd Q i))) (Q m)
α : Type u
MulZeroClass α
P : Prop
Decidable P
a b : α
⊢ (if P then a else 0) * b = if P then a * b else 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
a₂✝ : W.Point
hP : toClass zero = toClass a₂✝
⊢ toClass (-zero) + toClass zero = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo a b
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc a b
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W'.polynomialZ = W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5)
w : Nat
x y : BitVec w
pred : ∀ (i : Fin w), x.getMsb ↑i = y.getMsb ↑i
⊢ x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ cfc (fun x => -f x) a = -cfc f a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
⊢ U ∈ map f (𝓝[S] x₀)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).LeftMoves = (Quotient.out o).α
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K L
inst✝ : Infinite K
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
TopologicalSpace M₁
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₃ M₃
f : M₁ → M₂
hf : IsCompactOperator f
g : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
⊢ IsCompactOperator (⇑g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ≃o β)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) L.X U.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actRight ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e₁ e₂ : Basis ι R M
⊢ SameRay R e₁.det e₂.det ↔ SameRay R (e₁.det ⇑e₂ • e₂.det) e₂.det
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Subsingleton
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v✝ w v : V
p : G.Walk v v
hp✝ : p.IsCycle
hp : p.IsTrail
hp' : p ≠ nil
support_nodup✝ : p.support.tail.Nodup
⊢ 3 ≤ p.length
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsPeriodicPt f n x
⊢ minimalPeriod f x ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.range Sum.inr ∩ Set.range Sum.inl = ∅
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
I : Set η
H : (i : η) → Subgroup (f i)
p : (i : η) → f i
⊢ p ∈ Subgroup.pi I H ↔ ∀ i ∈ I, p i ∈ H i
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ y ∈ p.ball x r ↔ y ∈ {x_1 | x_1 ∈ (fun z => -x + z) ⁻¹' univ ∧ (⇑p ∘ fun z => z + -x) x_1 < r}
c₁ c₂ : Cardinal.{u_3}
⊢ c₁.ord ≤ c₂.ord ↔ c₁ ≤ c₂
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
x : E
⊢ ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ egauge 𝕜 (closedBall 0 ↑r) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x✝¹ x✝ : α
⊢ (sInf s).Rel x✝¹ x✝ ↔ ∀ i ∈ s, i.Rel x✝¹ x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
⊢ κ.densityProcess κ.fst n a x Set.univ = if (κ.fst a) (MeasurableSpace.countablePartitionSet n x) = 0 then 0 else 1
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
⊢ count p (a + b) = count (fun k => p (k + b)) a + count p b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u t s s' : Set α
⊢ t.ite s s' ∩ tᶜ = s' ∩ tᶜ
x : ℂ
⊢ Complex.cosh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.cosh x)
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
this : ∀ (i : ι), μH[↑d] (s i) = 0
⊢ 0 ≠ ⊤
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
⊢ ⊤.degree v = Fintype.card V - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
R : Type u_11
AddMonoid M
Monoid R
DistribMulAction R M
f : α → β
hf : Function.Injective f
r : R
v : β →₀ M
⊢ Finsupp.comapDomain f (r • v) ⋯ = r • Finsupp.comapDomain f v ⋯
R θ : ℝ
⊢ circleMap 0 R θ = ↑R * cexp (↑θ * Complex.I)
x✝ y x : ℝ
n : ℕ
ih : log (x ^ n) = ↑n * log x
⊢ log (x ^ (n + 1)) = ↑(n + 1) * log x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
⊢ s.ncard = 1 ↔ ∃ a, s = {a}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
p : ℕ
i : ℕ
hpos : 0 < p
digits : List ℕ
w₁ : ∀ l ∈ digits, l < p
⊢ Nat.ofDigits p digits / p ^ i = Nat.ofDigits p (List.drop i digits)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
h₀ : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∀ (a : NonemptyInterval α) (a_1 : NonemptyInterval β),
  (NonemptyInterval.map₂ f h₀ h₁ a a_1).toProd.2 = f a.toProd.2 a_1.toProd.2