ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (∀ (xs : Fin (Classical.choose ⋯) → M), Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
i : ι
⊢ ∀ (a : WithLp 2 (ι → 𝕜)), (EuclideanSpace.projₗ i) a = a i
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.lcm = s.lcm
h : a ∈ s
⊢ fold GCDMonoid.lcm 1 s = GCDMonoid.lcm a (fold GCDMonoid.lcm 1 s)
x : ℝ
⊢ ↑x ≠ ⊥
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : a ∈ Multiset.filter p s
⊢ a ∈ s
n : ℕ
r : ℝ
⊢ ↑n < ENNReal.ofReal r ↔ ↑n < r
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsMinOn f s a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0
M : Type u_2
AddMonoid M
u : (AddUnits M)ᵃᵒᵖ
⊢ ↑(AddUnits.opEquiv.symm u) = AddOpposite.op ↑(AddOpposite.unop u)
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsFixedPt (f^[n] ∘ f^[m]) x
hm : IsPeriodicPt f m x
⊢ IsPeriodicPt f n x
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
Nontrivial R
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = p ↔ p.degree < q.degree
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
x : X
hx : x ∈ {x | 0 ≤ f x}
⊢ ‖f x‖ = f x
z : ℤ
⊢ normalize z = z ↔ 0 ≤ z
α : Type u_2
Mul α
t : Set α
a : α
⊢ {a} * t = (fun x => a * x) '' t
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
g : Y → X
N : Type u_5
SMul N Y
TopologicalSpace N
f : N → M
hg : Inducing g
hf : Continuous f
hsmul : ∀ {c : N} {x : Y}, g (c • x) = f c • g x
⊢ ContinuousSMul N Y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
⊢ v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f g : β → UniformSpace.Completion α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => dist (f x) (g x)
α : Type u_3
CommGroup α
x : α
n : Multiplicative ℤ
⊢ ((zpowersMulHom α) x) n = x ^ Multiplicative.toAdd n
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ (m + s))) g'
hm : m ≤ m + s
⊢ g.natDegree = g'.natDegree
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • x = r • x
G H : Grp
g : ↑G
⊢ 1 g = 1
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x : WithLp p V
⊢ (WithLp.equiv p V) (-x) = -(WithLp.equiv p V) x
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
⊢ LinearMap.toMatrix' 1 = 1
α : Type u_1
E' : Type u_6
R : Type u_13
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedRing R
f' : α → E'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
c' : R
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖c'‖ l (fun x => c' • f' x) f'
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : X
⊢ 1 ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)
⊢ (DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯ ∘ₗ DirectLimit.of R ι G f i) x = (s.ι.app i) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
v : V
⊢ (s.weightedVSubOfPoint (v +ᵥ p) b) w = (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ b)) w
α : Type u_1
a : α
n m : ℕ
⊢ n • Multiset.replicate m a = Multiset.replicate (n * m) a
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : α → M
⊢ ⇑(FreeMonoid.lift f) ∘ FreeMonoid.of = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
⊢ (∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i) ↔ (∃ t ∈ Icc 0 1, x.1 = ∑ i : ι, t i • v i) ∧ ∃ t ∈ Icc 0 1, x.2 = ∑ i : ι', t i • w i
G : Type u_1
Group G
s : Set G
self : IsSubgroup s
a : G
⊢ a ∈ s → a⁻¹ ∈ s
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ (↑0)⁻¹.toNNReal = (↑0).toNNReal⁻¹
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
⊢ data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = data.mapZ (𝟙 (Arrow.mk (f.hom.app j)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.yoneda.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : B ⥤ C ⥤ D
h : F₁.flip = F₂.flip
⊢ F₁ = F₂
n d : ℕ
R : Type u_2
DivisionRing R
⊢ Rat.rawCast (Int.negOfNat n) d = (Int.negOfNat n).rawCast / d.rawCast
R : Type u
M : Type v₁
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R P
Module R Q
Module.Free R M
Module.Finite R M
x : TensorProduct R (M →ₗ[R] P) Q
⊢ (rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) x = (TensorProduct.rTensorHomToHomRTensor R M P Q) x
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H : Set (X → α)
x₀ : X
h : H.EquicontinuousAt x₀
f : X → α
hf : f ∈ H
⊢ ContinuousAt f x₀
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
One X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Continuous f
⊢ IsOpen (Function.mulSupport f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
i : R →+* S
⊢ algebraMap R S = i
i : ℤ
R : Type u_1
Ring R
⊢ (↑i).coeff 0 = ↑i
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
N : ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹)
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b
⊢ a.toPGame ⧏ b.toPGame
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Square C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f₁₂ self.f₂₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.f₁₃ self.f₃₄
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0
⊢ ↑m * ℵ₀ = ℵ₀
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n id
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ'
⊢ ⇑e.symm ∘ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = f ∘ ⇑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (Matroid.emptyOn β).comap f = Matroid.emptyOn α
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Nodup → l₁ ⊆ l₂ → l₁ <+~ l₂
α : Type u_1
a b : α
DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ {a, b}.card = 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.cyclesIso.inv S.iCycles = h.i
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m → f ((insert a s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert a s, c i) • f m
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
p : E × F
fa : AnalyticAt 𝕜 f p
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun y => f (p.1, y)) p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), (f a * g) a_1 ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f a b * g b ∂κ a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 2 * (B (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SecondCountableTopology H
inst✝ : SigmaCompactSpace M
⊢ SecondCountableTopology M
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : b = 0 → a = 0
⊢ a * b / b = a
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
h1 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = c
h2 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
x : α
⊢ x ∈ s.toList ↔ x ∈ s
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
y : M
b : Basis (Fin n) R ↥N
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N
⊢ ⇑(Basis.mkFinCons y b hli hsp) = Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
⊢ IsLocalization.IsInteger A x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ms : Set (MeasurableSpace α)
s : Set α
⊢ GenerateMeasurable (⋃₀ ((fun m => {t | MeasurableSet t}) '' ms)) s ↔ GenerateMeasurable {s | ∃ m ∈ ms, MeasurableSet s} s
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))
α : Type u
cmp : α → α → Ordering
self : Lake.EqOfCmp α cmp
a a' : α
⊢ cmp a a' = Ordering.eq → a = a'
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊥ ↔ α ∈ ⊥
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
inst✝² : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : MulAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ^ (k % ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b)) • ⟨b, ⋯⟩ = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y Z : CategoryTheory.Arrow T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.left g.left
n : ℕ
⊢ n.properDivisors = {1} ↔ Nat.Prime n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
h : 1 < |n|
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
⊢ Ergodic f volume
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.integralNormalization.support ⊆ f.support
R : Type u
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
P : Type w
AddCommGroup P
Module R P
Q : Type w'
AddCommGroup Q
Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
c : ↥(LinearMap.ker g)
⊢ ↑((LinearMap.toKerIsLocalized p f f' g) c) = f ↑c
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → VAdd M (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
FaithfulVAdd M (α i)
⊢ FaithfulVAdd M ((i : ι) → α i)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.Indep J
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.close (J₁.close S) = J₁.close S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
z : { z // ofHom φ₁ = δ (-1) 0 z + ofHom φ₂ }
p : ℤ
eq : (ofHom φ₁).v p p ⋯ = (δ (-1) 0 ↑z + ofHom φ₂).v p p ⋯
⊢ φ₁.f p = (((dNext p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + (prevD p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + φ₂.f p
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)
⊢ (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m * (k + 1 - m))) = (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m * (k + 1)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ (∀ ⦃x y : SeparationQuotient X⦄, x ⤳ y → x = y) ↔ Symmetric Specializes
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
motive : t2Quotient X → t2Quotient Y → Prop
q : t2Quotient X
q' : t2Quotient Y
h : ∀ (x : X) (y : Y), motive (t2Quotient.mk x) (t2Quotient.mk y)
⊢ motive q q'
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : MvPolynomial σ R
⊢ (expand 1) f = f
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
⊢ (a != a) = false
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
x : CoeSort.coe (Rep.ofMulDistribMulAction G M)
hx : (dZero (Rep.ofMulDistribMulAction G M)) x = ↑↑f
⊢ IsMulOneCoboundary (⇑Additive.ofMul ∘ ↑↑f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
⊢ s = s ∪ t ↔ t ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s✝ : Set α
hf : Isometry f
s : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ d ↔ EMetric.diam s ≤ d
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.232884}
⊢ 2 ≤ #α ↔ ∃ x y, x ≠ y
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E₁ : Type u_9
E₂ : Type u_10
UniformSpace E₁
UniformSpace E₂
AddCommGroup E₁
AddCommGroup E₂
Module R₁ E₁
Module R₂ E₂
UniformAddGroup E₁
UniformAddGroup E₂
e : E₁ ≃SL[σ₁₂] E₂
⊢ UniformEmbedding ⇑e
M : Type u_1
Monoid M
b : M
h : IsUnit b
⊢ Function.Injective fun x => x * b
m k : ℕ
⊢ m.psub 0 = some k ↔ k + 0 = m
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
hx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0
⊢ x' ∈ ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
⊢ Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s) ↔ ∃ x, ∀ (n : ℕ), x n ∈ s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
α : Type u_1
l : List α
ns : List ℕ
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtCompositionAux ns).length
⊢ (l.splitWrtCompositionAux ns).get ⟨i, hi⟩ = List.drop (List.take i ns).sum (List.take (List.take (i + 1) ns).sum l)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ TopologicalSpace.induced (⇑h) inst✝ = inst✝¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
Fintype ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
i : ι
⊢ ⟪v i, ∑ i : ι, l i • v i⟫_𝕜 = l i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 f
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ x ∈ finsetApprox bS adm ↔ ∃ i j, i ≠ j ∧ (distinctElems bS adm) i - (distinctElems bS adm) j = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∫⁻ (x : α), preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) univ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
⊢ (cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
n0' : 0 < ↑n
n0 : 0 < n
⊢ x < ↑(z + 1) / ↑n ∧ ↑(z + 1) < y * ↑n
R : Type u
S : Type v
Ring R
p q : R[X]
Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
⊢ Polynomial.map f (p /ₘ q) = Polynomial.map f p /ₘ Polynomial.map f q
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
m : ℕ
hm : m ≠ 0
h : m ≠ 0 → 0 ≠ 0 → m.Coprime 0 → f (m * 0) = f m * f 0
hmn : m.Coprime 0
⊢ f (m * 0) = f m * f 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
⊢ (monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) (↑((k + l).choose k) * ↑(i.choose (k + l)))
α : Type u
LE α
OrderTop α
a : α
⊢ a ≤ ⊤
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
Monoid β
_i : LipschitzMul β
⊢ LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p => p.1 * p.2
α : Type u_2
β : Option α → Type u_1
x : β none × ((a : α) → β (some a))
a : Option α
⊢ Equiv.piOptionEquivProd.symm x a = Option.casesOn a x.1 x.2
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R[X]
n : ℕ
h : (f ^ n * f * f).Separable
⊢ IsUnit f ∨ f.Separable ∧ n + 2 = 1 ∨ n + 2 = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
⊢ DirectedOn r Set.univ ↔ IsDirected α r
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (HahnSeries.addOppositeEquiv.symm x).orderTop = (AddOpposite.unop x).orderTop
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ
⊢ IsDetecting 𝒢.unop ↔ IsCodetecting 𝒢
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β
⊢ (List.ofFn f).prod = ∏ i : Fin n, f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X
⊢ 𝓝ˢ (⋃ i, s i) = ⨆ i, 𝓝ˢ (s i)
R : Type u
M₂ : Type w
M₃ : Type y
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
g : M₃ →ₗ[R] M₂
⊢ LinearMap.pi f ∘ₗ g = LinearMap.pi fun i => f i ∘ₗ g
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)
hk : IsCompact (closedBall 0 1)
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (↿w) (Ioo 0 1 ×ˢ univ)
R : Type u
CommRing R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
n : ℕ
hp : IsUnit ↑p
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
⊢ gaussSum χ ψ ^ p ^ n = χ (↑p ^ n) * gaussSum χ ψ
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
d : N
hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)
hd : g d = g (↑x (k + n))
y : M
hdy : f y = ↑x (k + n) - d
⊢ ∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : M ≃ₗ[R] ι →₀ R
⊢ ⇑{ repr := e } = fun i => e.symm (Finsupp.single i 1)
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
A B : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hb : B.IsDiag
⊢ (A - B).IsDiag
ι : Type u_1
G : Type u_9
LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
⊢ |∑ i ∈ s, f i| ≤ ∑ i ∈ s, |f i|
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (reverse ∘ₗ involute.toLinearMap) x = (involute.toLinearMap ∘ₗ reverse) x