ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ MeasureTheory.volume (parallelepiped ⇑b) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
h : 𝒜 ⊆ ℬ
h𝒜 : 𝒜.Shatters s
⊢ ℬ.Shatters s
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l : List (Sigma β)
a : α
s : Sigma β
⊢ a ≠ s.fst → List.lookupAll a (s :: l) = List.lookupAll a l
R : Type u_2
Field R
g : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
hg : ↑g 1 0 = 0
⊢ ∃ a b, ∃ (h : a ≠ 0), g = ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
n : ℤ
⊢ ‖a ^ n‖₊ = ‖a‖₊ ^ n
x : ℝ
⊢ (Complex.tan ↑x).re = Real.tan x
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ logb b x < logb b y
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (MonoidalCategory.leftUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerRight h.zero.inv (__src✝.obj { as := n }) ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) (𝟙_ (Discrete A)) { as := n } ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.leftUnitor { as := n }).hom).app X
m : ℤ
hm : 0 < m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
Hpv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % 2 = 1
⊢ Irrational √↑m
α : Type u_6
β : Type u_7
Mul α
Mul β
Add α
Add β
LE α
LE β
self : α ≃+*o β
a b : α
⊢ self.toFun a ≤ self.toFun b ↔ a ≤ b
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0
⊢ b ^ logb b x = -x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 (⊤⁻¹ * ρ s))
⊢ μ s ≤ 0
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
R : Type u_13
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedRing R
c : ℝ
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f' g
c' : R
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (‖c'‖ * c) l (fun x => c' • f' x) g
G : Type uG
E' : Type uE'
NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ E'
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
HasContDiffBump G
CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
BorelSpace G
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
FiniteDimensional ℝ G
μ.IsAddLeftInvariant
x₀ : G
ε : ℝ
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ φ.rOut, dist (g x) (g x₀) ≤ ε
⊢ dist ((φ.normed μ ⋆[ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) (g x₀) ≤ ε
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (𝓟 s).smallSets = 𝓟 (𝒫 s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) * dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) =
  dist p1 p2 * dist p1 p2 + (r1 - r2) * (r1 - r2) * (‖v‖ * ‖v‖)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : AEMeasurable f (μ.restrict t)
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
α : F ≅ G
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit G
m n k : ℕ
⊢ m.gcd (n + k * m) = m.gcd n
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addIndex ((fun h => g + h) '' K) V = MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K V
E : Type u_5
P : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace P
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
BorelSpace P
x y : P
⊢ μH[1] (affineSegment ℝ x y) = edist x y
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
n : ℤ
⊢ (σ ^ n).support ≤ σ.support
M : Type u_1
m₁ m₂ : AddCancelMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
⊢ m₁ = m₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ Function.Surjective (CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f) → CategoryTheory.Epi f
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card ≤ ↑k - 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
v : α → M
⊢ LinearMap.range ((Fintype.total R S) v) = Submodule.span R (Set.range v)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D} (α : X ⟶ Y) (A : Mon_ C),
  (((CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.mapMonFunctor C D).map α).app A).hom = α.app A.X
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
⊢ a✝ ∈ f.support \ {x, y} → a✝ ∈ (swap x y * f).support
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Nonempty α
One β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.range 1 = {1}
α : Type u_1
Finite α
f : α → α
hinj : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective f
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
h : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, ⊥ ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
⊢ ((∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)) ∧ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)) ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h : f = g
x : (CategoryTheory.forget C).obj X
⊢ f x = g x
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Sup α
Sup β
FunLike F α β
self : SupHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ≠ 0
⊢ IntervalIntegrable f μ a b
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f
⊢ (quotEquivOfEq ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (span {f})) (Ideal.map C I))) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) x
α : Type u_1
Semiring α
n : ℕ
⊢ ↑(SzemerediRegularity.stepBound n) = ↑n * 4 ^ n
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ ⊥
n : R
hn : n ∈ S
⊢ m * n ∈ ⊥
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ s = Multiset.replicate n a ↔ Multiset.card s = n ∧ ∀ b ∈ s, b = a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ a • lowerBounds s ⊆ upperBounds (a • s)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P
⊢ x ∈ ⟨span R {y}, ⋯⟩ ↔ ∃ z, z • y = x
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ Set.SurjOn f (Set.Icc a b) (Set.Icc (f a) (f b))
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0
⊢ jacobiSym a (b₁ * b₂) = jacobiSym a b₁ * jacobiSym a b₂
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
⊢ exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), g ^ n = 1
R : Type u_1
p m n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) x = (iterateFrobeniusEquiv R p m) ((iterateFrobeniusEquiv R p n) x)
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ x ∈ LinearMap.ker I.toCotangent ↔ ↑x ∈ I ^ 2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ P
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ sInf S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) f.source
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Monotone (Submonoid.map f)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι
⊢ OpenEmbedding ⇑(colimit.ι F i).base
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint G.edgeSet (s ∩ {e | e.IsDiag})
α : Type u_5
TopologicalSpace α
_m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
NoMinOrder α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ioc a b) = ν (Set.Ioc a b)
⊢ μ = ν
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
⊢ Monoid.PushoutI.NormalWord.empty.prod = 1
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
hy : Odd y
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
w : V
h : G.Adj w u
⊢ SimpleGraph.Walk.map f (SimpleGraph.Walk.cons h p) = SimpleGraph.Walk.cons ⋯ (SimpleGraph.Walk.map f p)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ
⊢ z ≤ ⌊-a⌋ ↔ z ≤ -⌈a⌉
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime
⊢ Prime P
a : Int
b : Int
c : Int
H : 0 < b
⊢ a * b / (c * b) = a / c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
⊢ Function.Surjective ⇑(b.coord i)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ (constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ↔ φ.Realize v xs
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
self : ModuleFilterBasis R M
m₀ : M
U : Set M
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ U
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : M
a : Module.Dual R M
⊢ ((Module.Dual.eval R M) v) a = a v
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
B₂ : ℕ
hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2
⊢ ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i + ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 2
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
⊢ Cardinal.mk ↑(insert a s) = Cardinal.mk ↑s + 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c
⊢ Rel R X (a - b) (a - c)
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
h : funMap f (⇑φ ∘ x) = φ (funMap f x) ↔ funMap f x = funMap f x
⊢ φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α × β →. σ
hf : Partrec f
⊢ Partrec₂ fun a b => f (a, b)
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M →+ N
g : α → M
h : (Function.support (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ f (∑ᶠ (x : α), g x) = ∑ᶠ (x : α), f (g x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
R : Type u_1
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ ∀ (x : M), r • x ∈ N → x ∈ N
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyInjective f ↔ IsOpenMap (toPullbackDiag f)
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
z : ℤ
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(q ^ z) = ↑q ^ z
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ab : a ≤ b
⊢ max a b / min a b = mabs (a / b)
⊢ IsHomeomorphicTrivialFiberBundle ℝ Complex.re
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a.mod b = a % b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
⊢ K.toSubalgebra = (adjoin F S).toSubalgebra
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ f m' * f' m = f' m * f m'
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
(F.comp G).Faithful
⊢ F.Faithful
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G))
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f : Module.End R M
⊢ Matrix.Represents b A f ↔ ∀ (x : ι → R), ((Fintype.total R R) b) (A *ᵥ x) = f (((Fintype.total R R) b) x)
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G E' F P : Type uP
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => MeasureTheory.convolution f (g q.1) L μ q.2) (s ×ˢ Set.univ)
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x' ≤ x
hy : ∀ (y' : β), y' ≤ y
⊢ f x = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
a : ℤ
⊢ ↑p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValInt p a
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : MeasureTheory.Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
⊢ MeasureTheory.Memℒp (s.piecewise f g) p μ
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
q : K[X]
h : q ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.C q.leadingCoeff⁻¹).natDegree = p.natDegree
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
hs : (𝓓 a 𝒜).Shatters s
u : Finset α
hu : u ∈ 𝓓 a 𝒜
ht : s ∩ u ⊆ s
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝒜, s ∩ u_1 = s ∩ u
α : Type u_1
Infinite α
⊢ #α * ℵ₀ = #α