ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹² : EMetricSpace X
inst✝¹¹ : EMetricSpace Y
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ μH[d] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x => c • x) '' (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).symm '' s))) = ‖c‖₊ ^ d • μH[d] s
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → (a + b < a + c ↔ b < c)
R : Type u_1
CommRing R
x : R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.quotientSpanXSubCAlgEquiv x) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.X - Polynomial.C x})) p) =
  Polynomial.eval x p
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
s : Set E
a b : E
r : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzOnWith C f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hr : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ‖f a / f b‖ ≤ ↑C * r
n : ℤ
⊢ Rat.ofInt n = ↑n
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f
s : Multiset K
h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
f : β → α
DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ
⊢ (Finset.image g s).gcd f = s.gcd (f ∘ g)
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
⊢ finrank K ↥V = (charpoly φ).natTrailingDegree
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ ↑θ.cos * (o.kahler x) y + ↑θ.sin * (-I * (o.kahler x) y) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * -I) * (o.kahler x) y
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ X⦄, (Sieve.coverByImage H X).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (imageSieve f a) ∈ K.sieves Y
x y : SetTheory.PGame
P : SetTheory.Game → Prop
⊢ (∀ (k : (x * y).LeftMoves), P ⟦(x * y).moveLeft k⟧) ↔
  (∀ (i : x.LeftMoves) (j : y.LeftMoves), P ⟦x.mulOption y i j⟧) ∧
    ∀ (i : (-x).LeftMoves) (j : (-y).LeftMoves), P ⟦(-x).mulOption (-y) i j⟧
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
Hf : Continuous f
C : ℝ
H : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
⊢ ⇑(BoundedContinuousFunction.ofNormedAddCommGroup f Hf C H) = f
R : Type u
CommRing R
R' : Type v
CommMonoid R'
Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r
⊢ ¬(e.mulShift r).IsPrimitive
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
⊢ (∀ x ∉ ∅, f x = 1) ↔ ∀ (a : α), f a = 1 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Nonempty β
LinearOrder β
Preorder γ
NoMinOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Antitone g
hg' : Filter.Tendsto g Filter.atTop Filter.atBot
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l (g ∘ f) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
⊢ a.toNNReal < b.toNNReal ↔ a < b
G : Type u
Group G
⊢ (MulEquiv.refl G).abelianizationCongr = MulEquiv.refl (Abelianization G)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
n : ℤ
⊢ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }) f‖ * (volume ↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }).toReal ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
α : Type u_2
One α
f : Filter α
h : f.NeBot
⊢ f ≤ 1 ↔ f = 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃
⊢ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ = 𝟙 (pullback f g)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : QuotientMap f
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace β
R : Type u
inst✝ : Ring R
hf : IsField R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∀ (y₁ y₂ : R), x * y₁ = 1 → x * y₂ = 1 → y₁ = y₂
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)
pos : 0 < p
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
ι : Type u_2
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset α
⊢ G.interedges s (t.biUnion f) = t.biUnion fun b => G.interedges s (f b)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x
⊢ b.card ≤ finrank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε
⊢ edist (f n) (f N) < ↑ε
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
A : Matrix m n α
⊢ 1 ᵥ* A = fun j => ∑ i : m, A i j
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
⊢ iterateFrobenius R p 1 = frobenius R p
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ (multiplicity p (n.choose k)).get ⋯ = 0
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
x : WithTop α
⊢ ↑⊤ < x ↔ x = ⊤
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a b : S
⊢ ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b • 1𝖣a
x : ℝ
h : x < 0
⊢ arctan x⁻¹ = -(π / 2) - arctan x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap F E)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] -f
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
AddGroup A
DistribMulAction M A
r : M
x y : A
⊢ r • (x - y) = r • x - r • y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
f' : ℕ → α → β := fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable f' p μ
hut' : UnifTight f' p μ
g' : α → β := AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
hg : StronglyMeasurable g'
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'' : Memℒp g' p μ
haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (g' x))
haefg : ∀ (n : ℕ), f n - g =ᶠ[ae μ] f' n - g'
hsnfg : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (f' n - g') p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f' n - g') p μ) atTop (𝓝 0)
M : Type u_1
Monoid M
a x y : Mˣ
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy ↑a ↑x ↑y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑(e'.symm ≫ₕ e).toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ (e'.symm ≫ₕ e).source)
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
n : ℕ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℕ
this : n ≠ 0
⊢ ↑(n * k / n) = ↑(n * k) / ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
⊢ StrictMono fun x => f x * g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Ioi ↑a})
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
⊢ ∀ (a : M) (b : M'), a ∈ p ⊔ p' → b ∈ q₁ ⊔ q₁' → (a, b) ∈ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
c : E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun a => ⟪c, f a⟫_𝕜) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this✝ : Nonempty γ
this : Nonempty δ
⊢ Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g
a : Ordinal.{u_1}
h : a < Ordinal.omega
⊢ a + Ordinal.omega = Ordinal.omega
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
y : α
hxy : x ≤ y
hy : y < ⊤
hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y
⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
h₁ : ∀ (i : ι), b ≤ f i
h₂ : ∀ (w : α), b < w → ∃ i, f i < w
⊢ ⨅ i, f i = b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ (∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0) ↔ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
CommMonoidWithZero γ
Nontrivial γ
NoZeroDivisors γ
(i : ι) → DecidableEq (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → γ
⊢ f.prod g ≠ 0 ↔ ∀ i ∈ f.support, g i (f i) ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X × Y
⊢ ContinuousAt Prod.snd p
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
m : ι → M
i : ι
x y : M
⊢ f (Function.update m i (x - y)) = f (Function.update m i x) - f (Function.update m i y)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
DecidableEq α
hf : (Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∑ i ∈ hf.toFinset.erase a, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑b * r ^ b = r / (1 - r) ^ 2
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Set.InjOn Sym2.mk ↑s.diag
R : Type u_1
Ring R
⊢ Polynomial.cyclotomic 0 R = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B) ≫ F.map CategoryTheory.Limits.prod.snd =
  CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ gcd a 0 = normalize a
M : Type u_11
α : Type u_12
SMul M α
SMul Mᵐᵒᵖ α
IsCentralScalar M α
m : Mᵐᵒᵖ
a : α
⊢ MulOpposite.unop m • a = m • a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : n < l₁.length
⊢ (l₁ ++ l₂)[n] = l₁[n]
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.TM2.Supports Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.codeSupp c k)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ p -ᵥ p = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
α : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ F
β : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) =
  β.app (Opposite.op X) (CategoryTheory.yonedaEquiv α)
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
SequentialSpace X
f : X → Y
⊢ SequentialSpace Y
n : ℕ
⊢ Nat.fib (n + 1) = ∑ k ∈ Finset.range n, Nat.fib k + 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ Set.Ico a b ⊆ closure (interior (Set.Ico a b))
X : Type u
TopologicalSpace X
f : Filter X
h : ∃ x, f ≤ 𝓝 x
⊢ f ≤ 𝓝 (lim f)
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
S S' : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
hS : S ≤ S'
⊢ IsDedekindDomain.selmerGroup ≤ IsDedekindDomain.selmerGroup
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
inst✝ : (j : Fin (n + 1)) → One (α j)
i : Fin (n + 1)
x : α i
⊢ x = Pi.mulSingle i x i ∧ 1 = fun i_1 => Pi.mulSingle i x (i.succAbove i_1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᵐ[μ] ν.rnDeriv μ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
⊢ IsOpen (⋃ i ∈ s, range (Sigma.mk i))
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b
⊢ { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
⊢ a * b = a * c ↔ b = c ∨ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + c - (b + c) ≤ a - b
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h₁ : g' =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ g' =ᶠ[𝓝[univ] x] g
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o : Ordinal.{u_1}
⊢ enumOrd (range f) o = f o
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)
⊢ M.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ∧ N.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
d : ℤ
n : ℤ
⊢ (↑n).im = 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
⊢ Injective ⇑(rTensor N M'.subtype)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (f + g) ≤ AddMonoidAlgebra.supDegree D f ⊔ AddMonoidAlgebra.supDegree D g
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
⊢ (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁) ≫ g₁ = (π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ + f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) ≫ app' φ 1 ⋯
α : Type u
s₁ : Stream' α
⊢ s₁.even ⋈ s₁.odd = s₁
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M
⊢ (Matrix.det fun i j => ((e.unitsSMul w).repr (f j)) i) = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • Matrix.det fun i j => (e.repr (f j)) i
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
TopologicalSpace δ₁
TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : Set.range ⇑φ₁ ∪ Set.range ⇑φ₂ = Set.univ
⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) =
  UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₂) inferInstance
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
⊢ Filter.liminf u f + Filter.liminf v f ≤ Filter.liminf (u + v) f
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
h : b ⟶ c
CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ▷ h
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ sign 0 = 0