ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ ({ toFun := fun s => HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯ } 1).toAddHom x = g x
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
a b : G
⊢ f (a / b) = f a / f b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompletePartialOrder α
inst✝ : Preorder β
f✝ : ι → α
d✝ : Set α
a✝ : α
f : α → β
h : ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB (f '' d) (f (sSup d))
d : Set α
hne : d.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
⊢ IsLUB (f '' d) (f (sSup d))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s.inf (WithTop.some ∘ fun x => toDual x) = s.inf ((WithTop.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)
α : Type u_7
MeasurableSpace α
self : DiscreteMeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalNonAssocCommRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
φ ψ : C(↑(σₙ R a), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h :
  φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } =
    ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ }
⊢ φ = ψ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ Ring.DimensionLEOne Aₘ
u : XgcdType
hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y
⊢ u.y * u.q + u.zp + u.wp + (u.y * u.q + u.zp) * u.wp = u.y * ((u.wp + 1) * u.q) + (u.wp + u.zp + u.wp * u.zp)
α : Type u
β : Type v
s1 s2 : Stream'.WSeq α
f1 f2 : α → Stream'.WSeq β
h1 : s1 ~ʷ s2
h2 : ∀ (a : α), f1 a ~ʷ f2 a
⊢ s1.bind f1 ~ʷ s2.bind f2
α : Type u_2
β : Type u_3
CommRing α
IsDomain α
CommRing β
f : β →+ α
h : ∀ (x : β), f (x * x) = f x * f x
h_two : 2 ≠ 0
h_one : f 1 = 1
⊢ ⇑(f.mkRingHomOfMulSelfOfTwoNeZero h h_two h_one) = ⇑f
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
α : δ ⊕ δ' → Type u_8
(i : δ ⊕ δ') → MeasurableSpace (α i)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi α).symm = ⇑(Equiv.sumPiEquivProdPi α).symm
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint s (Function.support f) ↔ Set.EqOn f 0 s
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Submodule R M
⊢ S.IsPrincipal ↔ ∃ a, S = Submodule.span R {a}
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
r u : R
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
n : ℕ
⊢ (r * u) ^ n = 0 ↔ r ^ n = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ ≠ 0 ↔ a ≠ 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x g ∈ tᶜ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Type u_1
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
⊢ TotallyBounded (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, TotallyBounded (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
H : ∃ m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, c ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, m ⊆ a → a = m
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)
n d : PosNum
⊢ ↑(n.mod' d) = ↑n % ↑d
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : ↑S.objs
p : c ⟶ d
⊢ ↑(inv p) = inv ↑p
n : ℕ
⊢ n.ppred = none ↔ n = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).darts ⊆ p.darts
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n)) = ζ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
⊢ Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
⊢ (A * (B * C)) i j = A i ⬝ᵥ B *ᵥ Cᵀ j
G : Type u_3
Group G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => x * c) fun x => x / c
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Iic b = Set.Iic (b - a)
n : ℕ
⊢ n ∈ Multiset.range (n + 1)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ ∀ (i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J), Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
⊢ Pairwise fun g₁ g₂ => MeasureTheory.AEDisjoint ν (g₁ • s) (g₂ • s)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
r : R
⊢ (TensorProduct.rid R M) (m ⊗ₜ[R] r) = r • m
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
x y : Pseudoelement P
a a' : Over P
h : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
R : C
p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left
q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left
ep : Epi p
w✝¹ : Epi q
comm : p ≫ ((fun g => app f g) a).hom = q ≫ ((fun g => app f g) a').hom
a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom
Z : C
g : P ⟶ Z
hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0
X : C
p' : X ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) a').left
q' : X ⟶ (Over.mk 0).left
ep' : Epi p'
w✝ : Epi q'
comm' : p' ≫ ((fun g_1 => app g g_1) a').hom = q' ≫ (Over.mk 0).hom
this : a'.hom ≫ g = 0
⊢ (fun g_1 => app g g_1) (Over.mk a'') ≈ (fun g_1 => app g g_1) a
R : Type u
σ : Type u_1
a a' : R
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C (a * a') = MvPolynomial.C a * MvPolynomial.C a'
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
e_2✝ : ↑(finiteCoproduct Z).toTop = (forget Stonean).obj (finiteCoproduct Z)
⊢ ⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a) = ⇑(finiteCoproduct.ι Z a)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f ≤ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : Nontrivial ι
h0 : 1 < ↑#ι
h1 : 0 < ↑#ι - 1
h2 : 0 ≤ 1 / (↑#ι - 1)
h3 : (↑#ι - 1) * (1 / (↑#ι - 1)) ≤ 1
h4 : p = 1 + 1 / (↑#ι - 1)
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + 1 / (↑#ι - 1))
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ (↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
φ ψ : A →ₐ[R] A
x : A
⊢ (φ * ψ) x = φ (ψ x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangleIso.hom.hom₂ = ((DerivedCategory.singleFunctorsPostcompQIso C).hom.hom 0).app S.X₂
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
⊢ False
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring B
DirectSum.GAlgebra R A
Algebra R B
f : (i : ι) → A i →ₗ[R] B
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
a : DirectSum ι fun i => A i
⊢ (DirectSum.toAlgebra R A f hone hmul) a = (DirectSum.toSemiring (fun i => (f i).toAddMonoidHom) hone hmul) a
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ Prod.swap <$> 𝓤 α
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Nat.card ↥H = 1 ↔ H = ⊥
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
a : Multiplicative A
⊢ (AddChar.toMonoidHomEquiv ψ) a = ψ (Multiplicative.toAdd a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ ⇑f '' s
a b : Prop
h : ¬a ∨ ¬b
⊢ ¬(a ∧ b)
a : ℤ
⊢ J(a | 0) = 1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor R i ∘ₗ rTensor N (Submodule.subtype I))
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p
⊢ ∏ x ∈ p.divisors, f x = f p * f 1
b : Bool
⊢ b = true ∧ b = false ↔ False
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
n : N
⊢ (finsuppScalarLeft R N ι).symm (Finsupp.single i n) = Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n
R : Type u
Semiring R
InvariantBasisNumber R
⊢ Nontrivial R
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
this : {⟨x, hx⟩} ∈ 𝓝 ⟨x, hx⟩
⊢ {x} ∈ 𝓝[s] x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ MeasurableSet (Set.Iic a)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
C : ℝ
hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C
θ : Fin n → ℝ
x✝ : θ ∈ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)‖ = (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R θ)‖
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f
⊢ (s.embDomain f) b = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b + a, c + a]]
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x - x = 0
⊢ (dZero A ∘ₗ (H0 A).subtype) ⟨x, hx✝⟩ g = 0 ⟨x, hx✝⟩ g
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
x : P
I : Order.Ideal P
hI : I.IsPrime
⊢ x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ (iInf f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
GroupWithZero S
Monoid R
MulAction R M
SMul S R
MulAction S M
IsScalarTower S R M
p : SubMulAction R M
s : S
x : M
s0 : s ≠ 0
⊢ s • x ∈ p ↔ x ∈ p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom) ▷ N.X) ≫ M₂.actLeft ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p ≠ q
⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
γ : Type w
MetricSpace γ
x : γ
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ (Metric.closedBall x r).Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ s.ncard = (Finite.toFinset hs).card
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ x
⊢ x / rexp 1 ≤ x / 2 - 1
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
⊢ ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ fromSubtype f p ≫ π f ↑j = ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ π (Subtype.restrict p f) j
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ (Polynomial.hasseDeriv k) 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t ↔ s ⊆ t
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ midpoint R ((Equiv.pointReflection x) y) y = x
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ChartedSpace.LiftPropAt P g x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ (s \ t).encard + t.encard = (s ∪ t).encard
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone fun x => Set.Iio (f x)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContinuousOn f s
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (φ.totalDegree + 1), (MvPolynomial.homogeneousComponent i) φ = φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ SurjOn f ∅ t ↔ t = ∅
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑f
x : ℝ
⊢ (↑x).exp = ENNReal.ofReal (Real.exp x)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
⊢ dist (BoxIntegral.integralSum f vol π) (∑ J ∈ π.boxes, BoxIntegral.integral J l f vol) ≤ ε
α : Type u_1
Monoid α
p : α
⊢ Irreducible p ↔ ¬IsUnit p ∧ ∀ (a b : α), p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
PerfectRing k p
⊢ DiscreteValuationRing (WittVector p k)
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
s : Finset L
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, IsIntegral A (y • x)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsNowhereDense s ↔ interior s = ∅
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ α ∈ F⟮α⟯
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
p : MvPolynomial ι R
⊢ (algebraMap (↥(Algebra.adjoin R (Set.range x))) A) (hx.aevalEquiv p) = (MvPolynomial.aeval x) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ ι)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun k => X ↑k
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (x ^ m) = WittVector.init n (WittVector.init n x ^ m)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
l : List α
⊢ l ∈ s.lists ↔ s = ⟦l⟧
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f
⊢ (lift F' ≫ F'.m) x = ι f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : Inseparable x y
⊢ 𝓝 (y, y) ≤ 𝓤 α
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, BoxIntegral.integral J l f vol = ∑ J ∈ π₂.boxes, BoxIntegral.integral J l f vol
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c d x a b : α
⊢ Ι a b = Ι b a
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk f < Real.mk g ↔ f < g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ (setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (T s) x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β
⊢ (Function.support fun b => (Finset.filter (fun a => g a = b) s).sum f) ⊆ ↑(Finset.image g s)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Multiset (Quot r)
⊢ ∃ t, s = Multiset.map (Quot.mk r) t
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
⊢ ∃ a, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.center G ≤ H.normalizer
x✝ y x : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ 0 < rexp x
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
size start : Nat
hge : i ≥ bs.size
h : i < (Array.extract.loop as size start bs).size
h' : start + i - bs.size < as.size := ⋯
⊢ (Array.extract.loop as size start bs)[i] = as[start + i - bs.size]
α : Type u
DecidableEq α
s : Finset α
xs : List α
⊢ s ∈ FinEnum.Finset.enum xs ↔ ∀ x ∈ s, x ∈ xs
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i)
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ≅ Y
a : ↑Y.toTop
⊢ (CompHausLike.homeoOfIso f).symm a = f.inv a