ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
⊢ MeasureTheory.stoppedValue u π - MeasureTheory.stoppedValue u τ = fun ω =>
  (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
α : Type u_1
P Q : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(P ∪ Q) ≤ Cardinal.aleph0 ↔ Cardinal.mk ↑P ≤ Cardinal.aleph0 ∧ Cardinal.mk ↑Q ≤ Cardinal.aleph0
M : Type u
DivInvMonoid M
PseudoMetricSpace M
IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ dist (a / c) (b / c) = dist a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
v'' : Basis ι'' 𝕜 E''
hv'' : Orthonormal 𝕜 ⇑v''
e' : ι' ≃ ι''
i : ι
⊢ ((hv.equiv hv' e).trans (hv'.equiv hv'' e')) (v i) = (hv.equiv hv'' (e.trans e')) (v i)
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1
⊢ ack m (ack (m + 1) n₁) < ack m (ack (m + 1) n₂)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.FG
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.map f s).FG
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ Submonoid.closure s ↔ ∀ (S : Submonoid M), s ⊆ ↑S → x ∈ S
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 1
⊢ P.toPoly.Monic
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toLinearMap = g.toLinearMap ↔ f = g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
⊢ (limitOpIsoOpColimit F).hom ≫ (colimit.ι F i).op = limit.π F.op (op i)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β
MeasurableNeg β
hfg : ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (-f) g κ μ
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2) ≤ 1 / (4 * (↑n + 1) ^ 2)
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
⊢ n < S.reverse.length
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α × β → σ
⊢ Primrec₂ (Function.curry f) ↔ Primrec f
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f g : (n → R) →ₗ[R] n → R
⊢ LinearMap.toMatrixAlgEquiv' (f * g) = LinearMap.toMatrixAlgEquiv' f * LinearMap.toMatrixAlgEquiv' g
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
a : α
as : a ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
ac : a ≤ c
⊢ variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a c + variationOnFromTo f s c b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
f : α → β
g : α → Multiset β
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f s + s.bind g → ((a ::ₘ s).bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f (a ::ₘ s) + (a ::ₘ s).bind g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
U V : TopologicalSpace.Opens M
h : U ≤ V
⊢ ContMDiff I I n (Set.inclusion h)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : InvolutiveInv G
inst✝ : ContinuousInv G
s : Set G
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (Inv.inv '' s)
M : Type w'
Preorder M
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.order.denselyOrderedSentence ↔ DenselyOrdered M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
h : o.bsup f = 0
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
⊢ f i hi = 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Filter.Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (nhds f)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
α : Type u_1
s : Set (Set α)
h : (⋃₀ s).Nonempty
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u
⊢ l' ≤ u
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
⊢ 0 < μ n
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R
⊢ (x + y) ^ n = (x + y) ^ (n % p) * (x ^ p + y ^ p) ^ (n / p)
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S
⊢ IsLocalRingHom f ↔ (PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S) = closedPoint R
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
h : p = ⊤
x : ↥p
⊢ (LinearEquiv.ofTop p h) x = ↑x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (image₂ f {a} t).card ≤ (image₂ f s t).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝³ : p ^ k ∣ a
x✝² : p ^ l ∣ b
x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
hpd : p ∣ x * y
x✝ : p ∣ x
d : α
hd : x = p * d
⊢ a = p ^ (k + 1) * d
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsRelPrime (x ^ m) y
⊢ IsRelPrime x y
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformRight e x).1 * (Finset.mulETransformRight e x).2 ⊆ x.1 * x.2
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i)) ≤ Cardinal.sum fun i => Cardinal.mk ↑(f i)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
d : ℕ
⊢ (↑d)ᵀ = ↑d
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Tendsto f L'' L'
⊢ HSMul.hSMul h₂' = (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
⊢ sum f ≤ lift.{v, u} #ι * iSup f
n x : ℕ
hx : x < n + 2
⊢ ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ (X.ρ (g * x₁)⁻¹ * X.ρ g) x₂ = X.ρ (x₁, x₂).1⁻¹ (x₁, x₂).2
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
DecidableEq α
f : α → M
x : α
⊢ Function.mulSupport (Function.update f x 1) = Function.mulSupport f \ {x}
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
w : f ≫ g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f ≫ imageToKernel f g w =
  CategoryTheory.Limits.factorThruKernelSubobject g f w
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : _root_.Disjoint s t
⊢ (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
h : Equiv.Perm α
⊢ (h * f * h⁻¹).Disjoint (h * g * h⁻¹) ↔ f.Disjoint g
R : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
M : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ IsNilpotent ((LinearMap.toMatrix b b) f) ↔ IsNilpotent f
α : Type u
a : α
s : Set α
h : a ∈ s
⊢ insert a s = s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖) t
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
⊢ (1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
⊢ span R (v '' s) ≤ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
⊢ ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => -f x) s
a b : ℕ
ha : a % 4 = 1
hb : Odd b
⊢ J(↑a | b) = J(↑b | a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ M.actRight ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom = (M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom ≫ M.actRight ▷ N₂.X
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ Set.range f
ht : t ⊆ Set.range f
⊢ f ⁻¹' s = f ⁻¹' t ↔ s = t
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
q : MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
⊢ (p - q).vars ⊆ p.vars ∪ q.vars
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ comap f (map f H) ≤ H ⊔ f.ker
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ ∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β], α ≃ β → P α → P β
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h : x < y
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ x ^ (n + 1) < y ^ (n + 1)
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
G : Type u_3
AddGroup G
P : AddSubgroup G
⊢ P.FG ↔ P.FG
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0
⊢ 1 < x ^ z
X Y Z : AddCommMonCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
⊢ 0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) Set.univ
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
hc : c ≠ 0
⊢ LSeriesSummable (c • f) s ↔ LSeriesSummable f s
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : ∀ (α β : Type u), Functor.mapConst = Functor.map ∘ Function.const β
⊢ LawfulFunctor F
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ 0 ≤ ‖a‖
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
⊢ (algebraMap R P) ↑I.den • ↑I = ↑↑I.num
a b c : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = b - a
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ = 0
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ -[n+1].toNat = 0 ↔ -[n+1] ≤ 0
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.fst f (𝒰.map x)) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base
E : Type u_2
SeminormedAddGroup E
a : Eᵐᵒᵖ
⊢ ‖MulOpposite.unop a‖₊ = ‖a‖₊
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
s : Set (Ideal R)
⊢ Ideal.map f (sSup s) = ⨆ I ∈ s, Ideal.map f I
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀
⊢ ∏ᶠ (x : α), f x = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ Ici x = {x} ↔ IsTop x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
x : M
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N) (AddMonoid.Coprod.inl x) = AddMonoid.Coprod.inr x
G : Type u_3
CommGroup G
L : List G
⊢ L.alternatingProd = ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₀⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₁⟩
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
SeminormedGroup G
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 1)
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
op : E → F → G
h_op : ∃ A, ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ Filter.Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X' : Type u_4
α : Type u_7
uα : UniformSpace α
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
k : κ
hk : Equicontinuous F
⊢ Equicontinuous F
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
x : { x // x ≠ p }
⊢ (finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x
α : Type u_1
f : ℕ → α
⊢ {f 0} ∪ range (f ∘ succ) = range f
M : Type u_1
α : Type u_7
VAdd M α
AddAction.IsPretransitive M α
x y : α
⊢ ∃ m, m +ᵥ x = y
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
y : Y
s : Set X
⊢ ⇑(ContinuousMap.coev X Y y) '' s = {y} ×ˢ s
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) = Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (m.bind 0) s = 0 s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
x : P
⊢ ContinuousAt (⇑e) x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k + 1) = 2
⊢ False
α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card ↑(derangements (Fin (card α))) = numDerangements (card α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Injective f
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' sᶜ)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).support = List.map (⇑f) p.support
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
t : Set X
⊢ (∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t) → ContinuousOn (fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) s).prod) t
α : Type u
f : Filter α
p q : α → Prop
h' : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictAntiOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f a ≤ f b ↔ b ≤ a
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
α : δ ⊕ δ' → Type u_8
(i : δ ⊕ δ') → MeasurableSpace (α i)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi α) = ⇑(Equiv.sumPiEquivProdPi α)
x : ℝ
⊢ x.sqrtTwoAddSeries 0 = x
α : Type u
self : OrderedRing α
⊢ 0 ≤ 1
n : ℕ
⊢ Complex.sin (↑n * ↑Real.pi) = 0
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
a : M
⊢ Continuous fun b => a + b
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i.rev ≤ p.castSucc
⊢ p.rev.predAbove i = (p.predAbove i.rev).rev
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s = interior s ∪ frontier s
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x y : (n : ℕ) → E n
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
H : longestPrefix x s < firstDiff x y
xs : x ∉ s
ys : y ∉ s
l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s
⊢ cylinder x (longestPrefix x s) = cylinder y (longestPrefix y s)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))