ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
⊢ Ideal.span {minpoly 𝕜 f} = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M✝ M N : Comon_ C
f : M.X ≅ N.X
f_counit : autoParam (f.hom ≫ N.counit = M.counit) _auto✝
f_comul : autoParam (f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) _auto✝
⊢ f.inv ≫ M.comul = N.comul ≫ (f.inv ⊗ f.inv)
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
⊢ ‖x‖⁻¹ • x ∈ closedBall 0 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' univ) x
R : Type u_1
AddCommMonoid R
s : Multiset (Tropical R)
⊢ Tropical.untrop s.prod = (Multiset.map Tropical.untrop s).sum
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x
⊢ derivWithin f₁ s x = derivWithin f s x
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (f + g) p μ < ⊤
α : Type u_1
a : Topology.WithLawson α
⊢ Topology.WithLawson.toLawson (Topology.WithLawson.ofLawson a) = a
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s =ᶠ[l] t
h' : s' =ᶠ[l] t'
⊢ s \ s' =ᶠ[l] t \ t'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f : β → β
hf : StrictMono f
h₁ : ∃ n, f n < n
⊢ False
a b m n✝ p✝ d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p
p : ℕ
hp : ¬Prime p
⊢ 0 ≤ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ (f' i ∪ s.biUnion f').card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
R1Space α
BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < μ K + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ < 1 - p
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : α x = 0
⊢ x = 0
d : ℤ
⊢ Zsqrtd.re 0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x✝ : E
x : E × E
⊢ 0 = e x.1 - e x.2 - e (x.1 - x.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
x : E
⊢ ‖(p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x‖₊ ≤ ∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
CompleteSpace E
hT : ¬Dense ↑T.domain
y : ↥T.adjoint.domain
⊢ ↑T.adjoint y = 0
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ WeierstrassCurve.VariableChange.map φ WeierstrassCurve.VariableChange.id = WeierstrassCurve.VariableChange.id
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0
hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}
hg : Memℒp g 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal
hCpos : 0 < C
this : ∀ (n : ι), μ {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ
n : ι
⊢ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ n])) 1 μ ≤ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g) 1 μ
a : Nat
b c : Nat
h : a ≤ c
⊢ (a ≤ b + c) = True
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
φ : Quotient s₁ → Sort u_5
f : (a : α) → φ (Quotient.mk'' a)
c : ∀ (a₁ a₂ : α), a₁ ≈ a₂ → HEq (f a₁) (f a₂)
x : α
⊢ (Quotient.mk'' x).hrecOn' f c = f x
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Add M
Add N
FunLike F M N
AddHomClass F M N
f : F
g h : ι → M
⊢ ⇑f ∘ (g + h) = ⇑f ∘ g + ⇑f ∘ h
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.neg.h₂ = -h.h₂
V : Type u_4
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ (∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ S = T
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : α
hx : x ∈ F m
⊢ x ∈ F n
α : Type u_3
β : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec Prod.fst
α : Type u_3
SemilatticeSup α
Nonempty α
NoMaxOrder α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.atTop, p x) ↔ ∀ (a : α), ∃ b > a, p b
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} D₁
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₁.IsLocalization W₁
L₂.IsLocalization W₂
F : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
h : Φ.IsRightDerivabilityStructure
e : Φ.functor.comp L₂ ≅ L₁.comp F
⊢ CategoryTheory.TwoSquare.GuitartExact e.hom
s : ℝ
b p : ℝ
hp : 1 < p
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ p)) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
l : Filter α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f l μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
⊢ ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = (g₁ x).lift fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
l₂ : Type u_10
o₂ : Type u_11
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
eₘ₂ : l ≃ l₂
eₙ₂ : o ≃ o₂
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).trans (Matrix.reindex eₘ₂ eₙ₂) = Matrix.reindex (eₘ.trans eₘ₂) (eₙ.trans eₙ₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
⊢ f =ᵐ[μ] MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.mk f hfm
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : s.ncard ≤ t.ncard
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ a₁ = a₂
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Iic b = Iic (b + a)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
a✝ : Nontrivial S
f : R[X]
_hf : f.natDegree < pb.dim
⊢ (liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) ((aeval pb.gen) f)) = (aeval pb.gen) f
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : ℕ
⊢ (↑d).map f = Matrix.diagonal fun x => f ↑d
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ Mono c.inr
M : Type u_1
Monoid M
a x y : Mˣ
⊢ SemiconjBy ↑a ↑x ↑y ↔ SemiconjBy a x y
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
⊢ ∀ (a : ZMod n), (castHom ⋯ R) a = 0 → a = 0
α : Type u_2
MulOneClass α
s : Set α
t : Set α
ht : 1 ∈ t
⊢ s ⊆ s * t
β : Type u_2
AddGroup β
γ : Type u_3
AddGroup γ
UniformSpace γ
UniformAddGroup γ
UniformSpace β
F : Type u_4
FunLike F β γ
AddMonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
⊢ UniformAddGroup β
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f
⊢ image2 f (s ∩ s') t = image2 f s t ∩ image2 f s' t
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
⊢ P₁ = P₂
V : Type u₁
Quiver V
W : Type u₂
Quiver W
F : V ⥤q W
a : V
⊢ F.mapPath Quiver.Path.nil = Quiver.Path.nil
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a : WSeq α
b : WSeq β
ab : LiftRel R a b
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R S a b
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hgw : w ∈ g.reverse.language
⊢ w.reverse ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w).reverse
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
⊢ Tendsto (fun n => (eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ).toReal) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
⊢ Nonempty (InnerProductSpace 𝕜 E)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖1‖
m : Type u → Type v
α β σ : Type u
x : ContT.Label (α × σ) m (β × σ)
i : α
⊢ ContT.goto (StateT.mkLabel x) i = StateT.mk fun s => ContT.goto x (i, s)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Compacts α
h : s.carrier.Nonempty
⊢ ↑{ toCompacts := s, nonempty' := h } = ↑s
A : Type u
AddCommGroup A
DivisibleBy A ℤ
⊢ Module.Baer ℤ A
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ G.map ((Q q).f n) = (Q q).f n
T : Type u_4
CommRing T
IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
⊢ J ^ n ⊔ I = J ^ min (Multiset.count J (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I)) n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
A : LinearMap.BilinForm R M
⊢ LinearMap.BilinForm.flipHomAux (LinearMap.BilinForm.flipHomAux A) = A
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ -ₒ s₁ +ᵥ (r₂ -ₒ s₂) = AddOreLocalization.oreMin r₁ s₂ +ᵥ r₂ -ₒ (AddOreLocalization.oreSubtra r₁ s₂ + s₁)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
n : ℕ
hf : PreErgodic f^[n] μ
⊢ PreErgodic f μ
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
y : α
hy : y ∈ Classical.choose ⋯
hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
⊢ Prime y
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (2 * n + bif b then 1 else 0).bodd = b
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0
⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation g = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑⟨↑g, ⋯⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
f : G.toPresheaf ⟶ F'
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F'
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h = f
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
⊢ nodalWeight s v i = (eval (v i) (nodal (s.erase i) v))⁻¹
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ (Γ₂N₁.inv ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom).app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (CongruenceSubgroup.Gamma N) k
z : ℍ
⊢ f (↑N * ↑n +ᵥ z) = f z
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
IsEmpty ι
SupSet α
f : ι → WithBot α
⊢ ⨆ i, f i = ⊥
α : Type u
r r' : α → α → Prop
s : Set α
h : DirectedOn r s
H : ∀ ⦃a b : α⦄, r a b → r' a b
⊢ DirectedOn r' s
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)) ⋯
⊢ LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.toGerm = ↑↑f
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
⊢ (p.smash q h).toFun (Fin.natAdd p.length i).succ = q.toFun i.succ
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ ↑‖x‖ = c * x
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
B : Bicone F
j j' : J
h : j ≠ j'
⊢ B.ι j ≫ B.π j' = 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
⊢ map (fun x => (f x, x)) l = (map f l).zip l
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsTrail
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ UniformContinuous norm
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U V : Set X
hU : IsPathConnected U
hV : IsPathConnected V
x : X
xU : x ∈ U
xV : x ∈ V
⊢ IsPathConnected (U ∪ V)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 V ⊗ g ≫ h = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ F₁.map (Hom.mk f) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map (Hom.mk f) ≫ eqToHom ⋯
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
z : ℂ
hz : 0 < z.im
hc : ↑c ≠ 0
h_denom : ↑c * z + ↑d ≠ 0
⊢ (↑a * z + ↑b) / (↑c * z + ↑d) = ↑a / ↑c - (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z)⁻¹
α : Type u_1
n : Nat
a : α
p : α → Bool
⊢ List.dropWhile p (List.replicate n a) = List.filter (fun a => !p a) (List.replicate n a)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
c : γ
⊢ c ∈ Finset.image₂ f s t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, f a b = c
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
h : Monotone (↑f).toFun
⊢ ⇑{ toMonoidHom := f, monotone' := h } = ⇑f
x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
h₁ : Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₁ y₂
h₂ : Surreal.Multiplication.P3 x₂ x₃ y₁ y₂
⊢ Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₃ y₁ y₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z
r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ 1 ↔ r ≤ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
⊢ TendstoUniformlyOn F (F x) (𝓝[U] x) V
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}
t : R
ht : t ∈ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}
this : μ {a | t < g a} < μ {a | t ≤ g a}
⊢ t ∈ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_meas_ae : AEStronglyMeasurable f (μ'.trim hm)
hf : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ'.trim hm < ⊤
⊢ AEMeasurable (fun a => ↑‖f a‖₊) (μ'.trim hm)
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ ↑((n + 3) / 2) / ↑(2 * n) = (↑n + 3) / (4 * ↑n)
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (f x).toReal) =ᵐ[μ] f
α : Type u_1
⊢ Cardinal.mk α = 1 ↔ Subsingleton α ∧ Nonempty α
α : Type u_1
l m : Language α
x : List α
⊢ x ∈ l + m ↔ x ∈ l ∨ x ∈ m
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
x : α
⊢ Continuous fun f => f x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z w : S
⊢ ∃ z' w' d, z * (algebraMap R S) ↑d = (algebraMap R S) z' ∧ w * (algebraMap R S) ↑d = (algebraMap R S) w'
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
StrongRankCondition R
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
Module.Finite R ↥p
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.map f p) ≤ FiniteDimensional.finrank R ↥p
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
β : Type u_2
t : L.Term β
x : β → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (fun i => ⟦x i⟧) t = ⟦FirstOrder.Language.Term.realize x t⟧
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c : ℝ
hc_mem : c > 0
hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c * f x ≤ f u
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
x : α
hx : x ∈ carrier
y : α
hy : y ∈ carrier
⊢ x ⊓ y = sInf {x, y}
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
⊢ H.Connected ↔ H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
I : (S.bind T).Arrow
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.toMiddleHom I.fromMiddleHom = I.f