ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a
⊢ image (fun i => a ^ i) (range (Fintype.card α)) = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
⊢ ∀ ⦃a : ι × ι⦄, a ∈ s.offDiag → (a.1 < a.2 ↔ a.1 ≤ a.2)
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (Sum.inr ()) (Sum.inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((Matrix.Pivot.listTransvecCol M).prod * M) (Sum.inl i) (Sum.inr ()) = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Transitive (Relation.TransGen r)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ Function.IsFixedPt (⇑f) (OrderHom.lfp f)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
hr₁ : π.IsSubordinate r₁
h : ∀ J ∈ π, r₁ (π.tag J) ≤ r₂ (π.tag J)
⊢ π.IsSubordinate r₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] (π / 2), cos x ∈ Ioi 0
α : Type u_4
DecidableEq α
LE α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
x : Bool
⊢ IsSimpleOrder.equivBool.symm x = Bool.casesOn x ⊥ ⊤
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
DecidableEq ι
hp : Fact (1 ≤ p)
i : ι
b : β i
⊢ ‖(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b)‖₊ = ‖b‖₊
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ⇑e.toLieHom = ⇑e
m : ℕ
⊢ (2 * m + 1).choose (m + 1) = (2 * m + 1).choose m
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
a : G
n : ℤ
⊢ (n % ↑(Fintype.card G)) • a = n • a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
U : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ s, Uᶜ = zeroLocus s
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
ha : a ≤ c
hb : b ≤ c
⊢ a ∉ Ι b c → b ∉ Ι a c → a = b
α : Type u_1
s : Finset α
f : α ↪ α
hs : Finset.map f s ⊆ s
⊢ Finset.map f s = s
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ x✝ y✝ x' y' a x y : G₀
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy a (x ^ ↑n) (y ^ ↑n)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
f : α → α'
s : Set α'
⊢ Finsupp.supported M R (f ⁻¹' s) ≤ Submodule.comap (Finsupp.lmapDomain M R f) (Finsupp.supported M R s)
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
k : β → α
l : Filter β
⊢ f =O[Filter.map k l] g ↔ (f ∘ k) =O[l] (g ∘ k)
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
this : (map (Sigma.fst ∘ Sigma.mk a) (lookupAll a l)).Nodup
⊢ (lookupAll a l).length ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ
⊢ f.SameCycle x ((f ^ k) x)
E : Type u_2
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖MulOpposite.op a‖₊ = ‖a‖₊
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
i j : ι
i_ne_j : i ≠ j
hv : v i = v j
⊢ (∑ σ : Perm ι, Perm.sign σ • domDomCongr σ m) v = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (DFinsupp.mk s x) i = if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Comon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).counit.app X = (F.obj X).counit
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
x : ↑↑D.glued
⊢ ∃ i y, (D.ι i).base y = x
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ (fun x => g⁻¹ * (g * x)) '' K = K
α : Type u_3
DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ (Multiset.map f s).sum = ∑ m ∈ s.toFinset, Multiset.count m s • f m
R S Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R S
Algebra R Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Algebra.FormallySmooth R S
⊢ Algebra.FormallySmooth Rₘ Sₘ
G : Type u
inst✝² : Groupoid G
inst✝¹ : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
a b : Generators G
e : a ⟶ b
H : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b
⊢ loopOfHom T (of e) = 𝟙 (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α
⊢ map f (l₁.diff l₂) = (map f l₁).diff (map f l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
Nonempty β
Nonempty δ
f₁ : α → β
g₁ : γ → δ
f₂ : β → α
g₂ : δ → γ
⊢ Function.LeftInverse (Prod.map f₁ g₁) (Prod.map f₂ g₂) ↔ Function.LeftInverse f₁ f₂ ∧ Function.LeftInverse g₁ g₂
x : ℂ
hx : x.arg ≠ π
⊢ log x⁻¹ = -log x
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
⊢ i + (n + 1)! < (i + n) * (i + n)! + (i + n)!
α : Type u
UniformSpace α
⊢ Filter.comap (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk) (𝓤 (SeparationQuotient α)) = 𝓤 α
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : Rˣ
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
⊢ (fun x_1 => (x_1 - x) • (x_1 - x) ^ m • f x_1) =ᶠ[𝓝 x] fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t K : Set X
hK : IsCompact K
l : Filter X
⊢ l ⊓ 𝓝ˢ K = ⨆ x ∈ K, l ⊓ 𝓝 x
θ : ℂ
⊢ (∃ k, 2 * θ = ↑k * ↑π) ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (s i)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i)
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
y y' : E b
⊢ Bundle.TotalSpace.mk' F b y = Bundle.TotalSpace.mk' F b y' ↔ y = y'
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∀ (val val_1 : ιa), v (σ (Sum.inl val)) = v (σ (Sum.inl val_1)) → σ (Sum.inl val) ≠ σ (Sum.inl val_1) → swap (σ (Sum.inl val)) (σ (Sum.inl val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ dist f g = (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e) μa μb
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e.symm) μb μa
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk (if h : j = i then Eq.recOn h (↑x n) else 0) = ↑(if h : j = i then Eq.recOn h ((mk I (M j)) x) else 0) n
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
n i : ι
h : ¬i ≤ n
b : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = 0
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ min a b = a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
s : Set X
⊢ s ⊆ univ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ✝ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : α × β → γ
μ : Measure α
ν : Measure β
τ : Measure γ
hf : Measurable f
inst✝ : SFinite ν
h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
h2s : τ s = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' (f ⁻¹' s)) ∂μ = 0
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l : Line α✝ ι
i : ι
a x : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Fintype α
ihα : ∀ (κ : Type (max v u)) [inst : Finite κ], ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
κ : Type (max v u)
inst✝ : Finite κ
val✝ : Fintype κ
h : Nonempty α
⊢ ∃ ι x, ∀ (C : (ι → Option α) → κ), ∃ l, IsMono C l
x : ℝ
⊢ deriv^[2] (fun x => √x * log x) x = -log x / (4 * √x ^ 3)
α : Sort u
f : α → α
h : Function.Involutive f
x y : α
⊢ f x = y ↔ x = f y
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
AddCommMonoid M
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
Module S M
c : R
x : RestrictScalars R S M
⊢ c • x = (RestrictScalars.addEquiv R S M).symm ((algebraMap R S) c • (RestrictScalars.addEquiv R S M) x)
α : Type u
DivisionCommMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a / (a * b) = 1 / b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : CostructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
G : C
hG : G ∈ 𝒢
h : G ⟶ X.left
⊢ h ≫ f.left = h ≫ g.left
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent Gᵐᵒᵖ = Monoid.exponent G
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors n = n.primeFactorsList.length
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂ z τ = 0
n✝ b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ
IH : ∀ m < n, m ≠ 0 → (b.digits m).length = log b m + 1
hn : n ≠ 0
⊢ (b.digits n).length = log b n + 1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ p.support.Nonempty ↔ p ≠ 0
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.sin x
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J) ((DoubleQuot.quotQuotMk I J) x) = (DoubleQuot.quotQuotMk J I) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Multiset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) →
  Filter.Tendsto (fun b => (Multiset.map (fun c => f c b) s).sum) x (𝓝 (Multiset.map a s).sum)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
f : G →* H
g h : M →* G
x✝ : M
⊢ (f.comp (g / h)) x✝ = (f.comp g / f.comp h) x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
c : ZMod ↑n
hc : ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑t ^ c.val
⊢ c = ↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)
n : ℤ
⊢ ‖↑n‖₊ = ‖n‖₊
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.map f g = CategoryTheory.Limits.biprod.map' f g
l : List Prop
h : l.TFAE
n₁ n₂ : Nat
a b : Prop
h₁ : l.get? n₁ = some a := by rfl
h₂ : l.get? n₂ = some b := by rfl
⊢ a ↔ b
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f
⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → b < ⊤ → a ≤ b + ↑ε
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s + t ∩ u = (s + t) ∩ (s + u)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
⊢ CauSeq.const abv (-x) = -CauSeq.const abv x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : 0 < p.degree
⊢ ¬p.degree = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'
⊢ ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) x' = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeRight (RingHom.ker g))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝² : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝¹ : PerfectRing R p
inst✝ : DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
⊢ x ∈ Submodule.span R s ↔ ∀ (p : Submodule R M), s ⊆ ↑p → x ∈ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Abelian C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.shadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
Finite ι
Fintype ι'
DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
⊢ (Matrix.toLin v e) (e.toMatrix ⇑v) = LinearMap.id
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base ≫ α.app Z.base).map f.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯
C✝ : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C✝
X✝ Y✝ : PresheafedSpace C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
Y : TopCat
f : Y ⟶ TopCat.of ↑↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
U : Opens ↑↑(X.restrict h)
⊢ (X.restrict h).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv ((X.ofRestrict h).c.app (op ((opensFunctor (X.ofRestrict h)).obj U))) = 𝟙 ((X.restrict h).presheaf.obj (op U))
p : Prop
h : Decidable p
b c : Bool
⊢ (¬if p then b = true else c = true) ↔ if p then b = false else c = false
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y = 0
⊢ Real.tan (angle x (x - y)) * ‖x‖ = ‖y‖
s : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, x ^ s = 0
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'
⊢ a' * b⁻¹ ≤ a * b⁻¹
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Epi (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : L ⟶ Z✝
eq : φ ≫ g = φ ≫ h
i : ι
⊢ φ.f i ≫ g.f i = φ.f i ≫ h.f i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
this : A_compare = B_compare
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Γ' : Type u_5
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
NonAssocSemiring R
f : Γ →+ Γ'
hfi : Function.Injective ⇑f
hf : ∀ (g g' : Γ), f g ≤ f g' ↔ g ≤ g'
⊢ ∀ (a : HahnSeries Γ R),
  (HahnSeries.embDomainRingHom f hfi hf) a = HahnSeries.embDomain { toFun := ⇑f, inj' := hfi, map_rel_iff' := ⋯ } a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
⊢ s = ⊤ ↔ ∀ (x y : α), s.Rel x y
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s
⊢ s.card ≤ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a < 1
⊢ 1 < 1 / a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ↑(2 ^ m.1) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
α : Type u_5
SeminormedAddCommGroup α
One α
NormOneClass α
⊢ Nontrivial α
x : ℝ
⊢ |Real.cos x| = √(1 - Real.sin x ^ 2)
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∃ L L' D,
  (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M * (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod =
    Matrix.diagonal D
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
hF₁ : F.PreservesEpimorphisms
hF₂ : F.ReflectsEpimorphisms
⊢ CategoryTheory.Epi (F.map f) ↔ CategoryTheory.Epi f
B : Type u₁
inst✝⁴ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝³ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝² : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)
inst✝ : ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), IsIso (F.mapComp f g)
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ (F.map₂ (α_ f g h).hom ≫ F.mapComp f (g ≫ h)) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = (F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : N
⊢ ((f.coprod g).comp (inr M N)) x = g x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
⊢ (p * q).degree = (q * p).degree
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
⊢ (aeval α) p = 0
K : Type u_4
NormedDivisionRing K
ξ : K
⊢ (Summable fun n => ξ ^ n) ↔ ‖ξ‖ < 1
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
h4 : 0 < 4
H : 4 ≤ q
h4r : 4 ≤ r
hq : (↑↑q)⁻¹ ≤ 4⁻¹
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 4⁻¹
⊢ (↑↑2)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
h : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n + a = n'
m m' : ℤ
hm' : m + a = m'
γ' : Cochain K L n
⊢ δ n m ((γ'.leftShift a n' hn).leftUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' (γ'.leftShift a n' hn)).leftUnshift m hm'
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq N
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
hF : Function.Injective F
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) ↔ a✝ ∈ f.neLocus g
n : ℕ
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ n
a b : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑a, ↑b)