ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : AddGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
φ : ℕ → α →ₛ E
hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))
this : Tendsto (fun n x => g x + ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (g + f))
n : ℕ
⊢ Measurable fun x => g x + ↑(φ n) x
s : Set ℝ
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = 0
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap ((f.sec (f.mk' x y)).1 * ↑y) = f.toMap (x * ↑(f.sec (f.mk' x y)).2)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
x : ↥(S ⊓ f.domain)
y : ↥f.domain
h : ↑x = ↑y
⊢ ↑(f.domRestrict S) x = ↑f y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, gauge s x ∈ Icc 0 ε
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ c ≤ a ∆ b ⊔ b ∆ c
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ (↑s).ncard = s.card
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑(stereographic hv) x = (2 / (1 - ⟪v, ↑x⟫_ℝ)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
α : Type u_2
s : Finset (Set α)
⊢ s.sup id = ⋃₀ ↑s
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2
⊢ False
α β : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
f : ι → Cardinal.{w}
f' : ι' → Cardinal.{w'}
hf : BddAbove (range f)
hf' : BddAbove (range f')
g : ι → ι'
h : ∀ (i : ι), lift.{w', w} (f i) ≤ lift.{w, w'} (f' (g i))
⊢ ⨆ i, lift.{w', w} (f i) ≤ ⨆ i, lift.{w, w'} (f' i)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts f ↔ p ∈ (Polynomial.mapRingHom f).rangeS
M : Type u
AddCommGroup M
Module ℤ M
Module.Finite ℤ M
hM : Module.IsTorsion ℤ M
⊢ Finite M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughProjectives C
Z : C
⊢ (CategoryTheory.ProjectiveResolution.ofComplex Z).d 1 0 = CategoryTheory.Projective.d (CategoryTheory.Projective.π Z)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
g : G
⊢ p₁ -ᵥ (g +ᵥ p₂) = p₁ -ᵥ p₂ - g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ f.val.c.app (op ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f.val).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.app (f ''ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (dNext k₀) hom + (prevD k₀) hom = hom k₀ k₁ ≫ D.d k₁ k₀
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂
⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₁
z w : ℝ
⊢ z = w → ↑z = ↑w
m a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
⊢ a.gcd m = b.gcd m
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom M = T
x : R
y : ↥M
⊢ (ringEquivOfRingEquiv S Q j H) (mk' S x y) = mk' Q (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β
x : β
⊢ p.2 = x ↔ p = (p.1, x)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s ×ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α
⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), x ∈ f n ↔ y ∈ f n) → (x ∈ ⋃ i, f i ↔ y ∈ ⋃ i, f i)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ f.idealRange ⊓ J ≤ map f (comap f J)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
⊢ List.count (x :: l) (List.permutations'Aux x l) = (List.takeWhile (fun x_1 => decide (x = x_1)) l).length + 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
s t : List α
hf : Injective f
h : s.Disjoint t
⊢ (map f s).Disjoint (map f t)
n : ℕ
⊢ (finRotate (n + 2)).cycleType = {n + 2}
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
c : CategoryTheory.Limits.Cofan f
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc c.inj) ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
CompactSpace X
T2Space Y
hf : Continuous f
⊢ IsProperMap f
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a ≤ 1
hbc : b ≤ c
⊢ a * b ≤ c
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
⊢ ¬IsCorner ∅ x₁ y₁ x₂ y₂
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ (λ_ X₂).hom
⊢ (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Preorder α
s : Finset α
c : α
hcs : c ∈ s
this : WellFounded LT.lt
m : α
hms : m ∈ s
H : ∀ x ∈ Set.univ, ¬x < ⟨m, hms⟩
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
h : v x < 1
⊢ v (1 + x) = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
x : L
⊢ ⁅D, (ad R L) x⁆ = (ad R L) (D x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
l : Filter α
⊢ Tendsto (lift f hf) (𝓝 (mk x)) l ↔ Tendsto f (𝓝 x) l
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type v
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ #ι ≤ Module.rank R M
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
h₁ : Sum.LiftRel r s x y
h₂ : y.isLeft = true
⊢ ∃ a c, r a c ∧ x = Sum.inl a ∧ y = Sum.inl c
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (π.restrict J).boxes = π.boxes
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
⊢ ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0
⊢ mkRat (↑a * n) (a * d) = mkRat n d
α : Type u
Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ x - 1 ∣ x ^ n - 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) = id
α : Type u
Semiring α
x : α
⊢ ∑ i ∈ Finset.range 2, x ^ i = x + 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ ContinuousWithinAt f univ ↑x ∧ P (↑(chartAt H' (f ↑x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H ↑x).symm) (↑(chartAt H ↑x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H ↑x) ↑x) ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ Subtype.val) univ x ∧ P (↑(chartAt H' ((f ∘ Subtype.val) x)) ∘ (f ∘ Subtype.val) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 p5 : P
hapc : ∠ p1 p5 p3 = π
hbpd : ∠ p2 p5 p4 = π
⊢ ∠ p1 p5 p2 = ∠ p3 p5 p4
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f : α → E
a : α
⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖) a ≤ ‖f a‖
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ ∃ c, (c.sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
⊢ ⇑f.embeddingPiTangent = fun x i => (↑(f.toFun i) x • ↑(extChartAt I (f.c i)) x, ↑(f.toFun i) x)
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices
⊢ 2 ^ a ≤ (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioo a b)
g : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Set.Ioo a b)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, (g b - g a) * deriv f c = (f b - f a) * deriv g c
α : Type u
GroupWithZero α
a b : α
Invertible a
Invertible b
Invertible (a / b)
⊢ ⅟(a / b) = b / a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (self.obj X)).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (self.obj X) self.ε ≫
    self.μ X (𝟙_ C) ≫ self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
⊢ (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
G : Type u_1
Group G
⊢ lowerCentralSeries G 1 = commutator G
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
α : Sort u_2
⊢ ⨅ i, ↑0 = ↑0
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝¹ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x✝ : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x✝ ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t
open_t : IsOpen t
st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty
x : E
xt : x ∈ closure t
xs : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ s
y : E
yt : y ∈ t
hxy : dist x y < ε / 2
⊢ x ∈ t
n : ℕ
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.IsStandardSmoothOfRelativeDimension n R S
⊢ ∃ P, P.dimension = n
⊢ Function.Periodic (fun x => Complex.exp (x * Complex.I)) (2 * ↑Real.pi)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ x \ y = x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
n k : ℕ
hk : k < l.length
⊢ (l.formPerm ^ n) (l.nthLe k hk) = l.nthLe ((k + n) % l.length) ⋯
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {n : Nat}, List.drop (n + 1) (a :: l) = List.drop n l
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
Module.FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ Module.FinitePresentation R M
ι : Type u_1
R : Type u_5
CommSemiring R
Fintype ι
b : Basis ι R (ι → R)
A : Matrix ι ι R
⊢ b.toMatrix ⇑(Pi.basisFun R ι) * A = Matrix.of fun i j => (b.repr (Aᵀ j)) i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
⊢ Set.EqOn f 0 U
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Set.Icc a b)
⊢ CompactIccSpace α
M : Type u_1
AddMonoid M
n : ℕ
a : M
ha : n • a = 0
hn : n ≠ 0
⊢ IsAddUnit a
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ Tendsto f (map (fun a => (a, x.2)) (𝓝 x.1 ⊓ 𝓟 ((fun a => (a, x.2)) ⁻¹' s))) (𝓝 (f (x.1, x.2))) ↔ Tendsto (fun x_1 => f (x_1, x.2)) (𝓝 x.1 ⊓ 𝓟 {a | (a, x.2) ∈ s}) (𝓝 (f (x.1, x.2)))
n : ℕ∞
⊢ n.toNat = 0 ↔ n = 0 ∨ n = ⊤
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
⊢ 0 ^ log 0 x ≤ x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.Exact
⊢ S.unop.Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
⊢ a ~ᵤ a * c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft ≫ P.actLeft = R.X ◁ P.actLeft ≫ P.actLeft
n : ℤ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
⊢ s.head.Terminates
α : Type u_1
a : List α
l : List (List α)
⊢ (↑(↑a :: List.map (fun l => ↑l) l)).Sections = ↑(List.map (fun l => ↑l) (l.sections.bind fun s => List.map (fun a => a :: s) a))
n a : ℕ
hn : Even n
ha : Even a
⊢ Even (n % a)
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
⊢ 1 ≤ (↑(x 0) / ‖x‖) ^ 2 ∨ 1 ≤ (↑(x 1) / ‖x‖) ^ 2
x : SimplexCategory
y z : SimplexCategory
f : y ⟶ z
i : Fin (y.len + 1)
⊢ x.const y i ≫ f = x.const z ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom f) i)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a c d : α
⊢ -a ∈ Set.Icc c d ↔ a ∈ Set.Icc (-d) (-c)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
⊢ ∀ ⦃b : Set α⦄, b ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x → Disjoint b x → I' ⊆ b → b ⊆ X → X \ B' ∩ M.E ⊆ b → b ⊆ X \ B' ∧ b ⊆ M.E
r : ℝ≥0
⊢ ↑r = 0 ↔ r = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
AddGroupWithOne α
One β
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
OneHomClass F α β
f : F
s : SignType
⊢ f ↑s = ↑s
α : Type u
x : α
p : α → Prop
⊢ (x ∈ {y | p y}) = p x
R : Type u
Group R
StarMul R
x : R
z : ℤ
⊢ star (x ^ z) = star x ^ z
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
⊢ CharP R (p ^ n)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
X : J
⊢ CategoryTheory.Zigzag X X
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f₁ f₂ : M →ₗ[R] M
g₁ g₂ : N →ₗ[R] N
⊢ TensorProduct.map (f₁ * f₂) (g₁ * g₂) = TensorProduct.map f₁ g₁ * TensorProduct.map f₂ g₂
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num = C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ (↑‖a‖₊).toReal = ‖a‖
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
⊢ (((alternatingFaceMapComplex (Rep k G)).obj (classifyingSpaceUniversalCover G ⋙ (Rep.linearization k G).toFunctor)).d (n + 1) n).hom (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y✝ : E
r✝ : ℝ
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ y ∈ p.closedBall x r ↔ y ∈ ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ
⊢ Set.range Real.cos = Set.Icc (-1) 1
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ ↑(RCLike.re z) = (z + (starRingEnd K) z) / 2
z : Complex.UnitDisc
⊢ (-z).conj = -z.conj
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
⊢ sInf s⁻¹ = (sSup s)⁻¹
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ
⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a ^ y
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite G
⊢ IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.29963}
⊢ o < succ o
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i = f a₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
⊢ ↑(weightedTotalDegree w p) ≤ weightedTotalDegree' w p
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
Y : C
⊢ prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ (MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj Y)).hom = prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (terminalComparison F)).inv (F.obj Y) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (𝟙_ C) Y ≫ F.map (MonoidalCategory.leftUnitor Y).hom
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p t x
hs : s ⊆ t
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : p.natDegree ≠ 0
⊢ 0 ≤ B
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
p : α → Prop
⊢ (∃ᵐ (a : α) ∂μ, p a) ↔ μ {a | p a} ≠ 0