ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
a : Aˣ
hf : ContinuousOn f ((fun x => x⁻¹) '' spectrum R ↑a) := by cfc_cont_tac
ha : p ↑a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f x⁻¹) ↑a = cfc f ↑a⁻¹
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).primeFactors = a.primeFactors ∪ b.primeFactors
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Finset.Ioc a b ⊆ Finset.Ioi a
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
⊢ dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
⊢ (↑↑l).head! = term I ho
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.val = Localization.mk f.num ⟨f.den, ⋯⟩
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1
n : ℕ
⊢ f (n + 1) = ↑(n + 1)
α : Sort u
β : Sort v
op : α → α → β
self : IsSymmOp α β op
a b : α
⊢ op a b = op b a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ (map f (a :: l)).sublists' = map (map f) (a :: l).sublists'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 1 ⨳ a = a
R : Type u
CommRing R
K L : CoalgebraCat R
⊢ Coalgebra.comul =
  ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ
    TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
α : Type u_1
AddCommGroup α
self : AddCommGroup.PositiveCone α
a b : α
⊢ self.nonneg a → self.nonneg b → self.nonneg (a + b)
G : Type u
LeftCancelMonoid G
Finite G
⊢ Monoid.ExponentExists G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
      (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd Y Z)) =
  CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y
⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ ⦃p : β → Prop⦄, (∀ᶠ (y : β) in l₂, p y) → ∀ᶠ (x : α) in l₁, p (f x)
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x : ↥H
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
α : Type u_1
n : Num
⊢ 0 + n.succ = (0 + n).succ
α : Type u_1
Ring α
f : α → ℕ → α
a : α
b : ℕ
a' : ℤ
b' : ℕ
c : ℤ
⊢ f = HPow.hPow →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.pow b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (f a b) c
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
f : ι → α
s : Set (Set ι)
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
⊢ (⋃₀ s).PairwiseDisjoint f ↔ ∀ ⦃a : Set ι⦄, a ∈ s → a.PairwiseDisjoint f
X : Type u_3
hX : 5 ≤ Cardinal.mk X
⊢ ¬IsSolvable (Equiv.Perm X)
n : Lake.Name
⊢ n.quickCmp n = Ordering.eq
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k
⊢ Disjoint (i ∩ k) (iᶜ ∩ k)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Comonad C
f g : T₁ ⟶ T₂
h : f.app = g.app
⊢ f = g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span 𝕜 (Set.range v)
⊢ ⇑(OrthonormalBasis.mk hon hsp) = v
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
⊢ W'.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Nonsingular X Y
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) + (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ = if a ∈ l₂ then l₁.diff (l₂.erase a) else a :: l₁.diff l₂
n ν : ℕ
x : ↑I
⊢ 0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β → α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun y => ∫ (x : β), f x y ∂κ y
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
⊢ a ∈ UV.compression u v s ↔ a ∈ s ∧ UV.compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, UV.compress u v b = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0
this : Fact (Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p)
⊢ Function.Surjective ⇑(let h := ⋯; restrict p (p.comp q).SplittingField)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
⊢ ⊥.jacobson ≤ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})
G : Type u_1
Group G
Fintype G
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (n % Fintype.card G) = a ^ n
a b : UInt8
⊢ (a % b).toNat = a.toNat % b.toNat
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
f : F
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) s x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
x : α
⊢ f.ltEmbedding x = f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
n k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ (y : E), ((p m) fun x => y) = 0
psum_eq : p.partialSum (k + 1) = fun y => (p k) fun x => y
⊢ ∀ (y : E), ((p k) fun x => y) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : f ≤ᶠ[ae μ] 0
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
⊢ span 1 = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β
⊢ (pure a).bind f = (pure a).bind f ∧ f a = f a ∨ (pure a).bind f = corec (Bind.f f) (Sum.inr (f a))
R : Type uR
CommSemiring R
⊢ Algebra.FiniteType R R
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ ∃ ι f g x, (∀ (i : ι), CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (f i)) ∧ Finite ι
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
hF : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔
  ∀ (x : E), ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (Polynomial.X - Polynomial.C x) ^ q ^ n
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x (y + y') = QuadraticMap.polar (⇑Q) x y + QuadraticMap.polar (⇑Q) x y'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsIrreducible s ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
h : s.Nodup
⊢ a ∉ s.erase a
x : ℝ
⊢ SignType.sign ↑x = SignType.sign x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
this : ↑f (1, 1) + ↑f (g, g⁻¹) = (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) + ↑f (g, 1)
⊢ (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) - ↑f (g, g⁻¹) = ↑f (1, 1) - ↑f (g, 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff (n + p.order)) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
⊢ (swap dslope z₀)^[p.order] f x = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β →. σ
h : α → γ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
hh : Partrec₂ h
⊢ Partrec fun a => Sum.casesOn (f a) (g a) (h a)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
⊢ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMap 0 = 0
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ p ∣ a
s : String
p : Char → Bool
⊢ s.any p = s.data.any p
n x y : Nat
hx : x < n
hy : y < n
⊢ ⟨x, hx⟩ ≤ ⟨y, hy⟩ ↔ x ≤ y
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Ico 1 (p / 2).succ
⊢ ↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then ↑a * ↑x✝¹ else -(↑a * ↑x✝¹)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
h : 1 < FiniteDimensional.finrank ℚ K
⊢ 4 / 9 * (3 * Real.pi / 4) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K ≤ ↑|NumberField.discr K|
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
S : IntermediateField E K := separableClosure E K
h : lift (adjoin E ↑(separableClosure F ↥S)) = lift ⊤
⊢ adjoin E ↑(separableClosure F K) = S
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
⊢ x.st = r
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
OrderBot α
LE β
⊢ toLex (Sum.inl ⊥) = ⊥
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v => e (-(L.toLinearMap₂ v) w) • f v) μ
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
⊢ ∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i
⊢ (addMonoidHom fun i => (f i).comp (f₂ i)) = (addMonoidHom f).comp (addMonoidHom f₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ α → List (List α) → List (List α)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
hc : t.ncard < s.ncard
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
hfs : s.Finite
hxs : x.IsSupported s
⊢ x.IsSupported ↑hfs.toFinset
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Balanced C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
⊢ CategoryTheory.IsIso φ.τ₁ → CategoryTheory.IsIso φ.τ₃ → CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑iso ∘ f) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c : 𝕜 → 𝔸
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
d : 𝔸
⊢ deriv (fun y => c y * d) x = deriv c x * d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ (f1 * g1 - f2 * g2).LimZero
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ takeWhile p l.reverse <+: l.reverse
f : C(↑I, ℝ)
⊢ ∀ (x : ℕ), bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.shortComplexH2Iso A).inv =
  CategoryTheory.ShortComplex.homMk ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A).symm
    ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A).symm ↑(groupCohomology.threeCochainsLequiv A).symm ⋯ ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝² : C
w✝¹ : X₂ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles
⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) < type fun x x_1 => x < x_1
⊢ False
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
this : IsAffine ↑U
⊢ IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c - f y) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G
⊢ 1 * a = x ↔ a = x
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
heq : succ (sup f) = lsub f
this : succ (sup f) < lsub f
⊢ False
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
this : chaar K₀ K ∈ (fun K => Icc 0 ↑(index ↑K ↑K₀)) K
⊢ 0 ≤ chaar K₀ K
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
z : ℤ
⊢ ⌈a + ↑z⌉ = ⌈a⌉ + z
a b : UInt64
⊢ a * b = { val := a.val * b.val }
n : ℕ
⊢ 0 ≤ Int.ofNat n
α : Type u
β : Type v
Inf α
Inf β
p q : α × β
⊢ (p ⊓ q).1 = p.1 ⊓ q.1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (EMetric.ball x r) (EMetric.ball (f x) (↑(Dilation.ratio f) * r))
R : Type u
CommSemiring R
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (t ∪ t') = PrimeSpectrum.vanishingIdeal t ⊓ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t'
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
⊢ ∀ (j : M.ι), ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : j.posPart S = 0
hS₃ : j.negPart Sᶜ = 0
⊢ ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : SurjOn f s s
this : Finite ↑s
⊢ InjOn f s
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.append Stream'.WSeq.nil = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f p = (HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯).hom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ n ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ⊆ Finset.range (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ generateFrom (range fun a => Ioi ↑a) = generateFrom (range fun a => Iic ↑a)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike K
z w : K
A : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Module K A
inst✝² : StarModule K A
inst✝¹ : IsScalarTower K A A
inst✝ : SMulCommClass K A A
x y : A
c : K
hxy : c • x < c • y
hc : 0 < c
this : c⁻¹ • c • x < c⁻¹ • c • y
⊢ x < y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f')
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
X✝ Y✝ : C ⥤ D
η : X✝ ⟶ Y✝
A : Augmented C
n : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ η.app (A.left.obj n) ≫ Y✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (Y✝.obj A.right) = (X✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (X✝.obj A.right)) ≫ η.app A.right
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ Finset.Ioi a = Finset.Ioc a ⊤
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
K : Set Y
hK : IsCompact K
Kf : K ⊆ Set.range f
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
⊢ ↑(AdicCompletion.piEquivOfFintype I fun x => R) ∘ₗ AdicCompletion.ofTensorProduct I (ι → R) =
  ↑(TensorProduct.piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic 0 ℤ ∣ X ^ 0 - 1
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : n < m
this : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → n ! < (n + 1)!
⊢ n ! < m !
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.inl R M N) ⇑(LinearMap.snd R M N)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
x : R
⊢ (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
⊢ ∀ ⦃a : Perm α⦄, a ∈ f.cycleFactorsFinset → a ∉ g.cycleFactorsFinset
self : IncidenceGeometry
a b : IncidenceGeometry.Point
L M : IncidenceGeometry.Line
⊢ a ≠ b →
  IncidenceGeometry.onLine a L →
    IncidenceGeometry.onLine b L → IncidenceGeometry.onLine a M → IncidenceGeometry.onLine b M → L = M
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ ∀ (i' : SmoothBumpFunction I c), True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁
⊢ C ≤ max C 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
Module.Finite R ↥S
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥S = 0 ↔ S = ⊥
x : EReal
h : 0 < x
⊢ x * ⊤ = ⊤