ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ -(p₁ -ᵥ p₂) = p₂ -ᵥ p₁
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ
⊢ (p.toList ((p ^ k) x)).length = ((p.toList x).rotate k).length
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 ^ ↑n = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
u : Set α
⊢ s -ᵥ t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x -ᵥ y ∈ u
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
s : Set G
⊢ ContinuousOn Neg.neg s
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
p : Set X → Prop
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, p s) → p (⋃₀ S)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
⊢ p s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
Ring R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
⊢ (HahnSeries.addVal Γ R) x = x.orderTop
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
⊢ maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ a ∣ a
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
p : S[X]
⊢ ∃ b, Polynomial.map (algebraMap R S) (IsLocalization.integerNormalization M p) = ↑b • p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : Kleisli T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ T.map f ≫ T.map (T.map g) ≫ T.μ.app (T.obj Z) ≫ T.μ.app Z = T.map f ≫ (T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map g ≫ T.μ.app (T.obj Z) ≫ T.μ.app Z
R : Type u_1
Semiring R
f g : PowerSeries R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) (f * g) = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) f * (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) g
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inlHom R M) r = TrivSqZeroExt.inl r
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
AddCommGroup P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (QuadraticMap.pi Q).polarBilin = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (Q i).polarBilin (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq (Option α)
s : Finset α
⊢ eraseNone (image some s) = s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
⊢ Set.range f = Set.univ ↔ Function.Surjective f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
⊢ x ∈ Iio b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Iio (max b d)
a b c : EReal
⊢ a / b * c = a * c / b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
⊢ (Matroid.sigma M).Basis I X ↔ ∀ (i : ι), (M i).Basis (Sigma.mk i ⁻¹' I) (Sigma.mk i ⁻¹' X)
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop Filter.atBot
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ ¬IsSuccLimit a ↔ a ∈ range succ
a x z : ℂ
⊢ (∃ θ, cexp (↑θ * I) = x) ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
G : Type u_2
AddGroup G
g : G
S : AddSubmonoid G
⊢ g ∈ -S ↔ -g ∈ S
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝¹ : Fintype ι
val✝ : Fintype κ
⊢ (trace R S) ((trace S T) x) = (trace R T) x
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) ≤ ⊥
n : Nat
x y : Nat
⊢ BitVec.ofNat n (x + y) = BitVec.ofNat n x + BitVec.ofNat n y
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ + b⁻¹ = (a + b) / (a * b)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁴ : Semifield R
inst✝²³ : StarRing R
inst✝²² : MetricSpace R
inst✝²¹ : TopologicalSemiring R
inst✝²⁰ : ContinuousStar R
inst✝¹⁹ : Field S
inst✝¹⁸ : StarRing S
inst✝¹⁷ : MetricSpace S
inst✝¹⁶ : TopologicalRing S
inst✝¹⁵ : ContinuousStar S
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : NonUnitalRing A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : Module S A
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A
inst✝⁹ : SMulCommClass S A A
inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : IsScalarTower R S A
inst✝⁴ : StarModule R S
inst✝³ : ContinuousSMul R S
inst✝² : CompleteSpace R
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)
a : A
ha : p a
⊢ ∀ (f_1 : C(↑(σₙ R a), R)₀), p ((nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) f_1)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ orderOf (r 1) = n
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
P : Type u₁
AddCommGroup P
Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(Module.DirectLimit.lift R ι G f g Hg)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
x : A
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
α : Type u
Add α
⊢ WithZero.toMulBot.symm (Multiplicative.ofAdd ⊥) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set M
h₁ : ∀ {a b : M}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S
h₂ : S 0
h₃ :
  ∀ (c : R) {x : M},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier
h₄ :
  ∀ {x : L} {m : M},
    m ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      ⁅x, m⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier
x : M
⊢ x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem := h₄ } ↔ x ∈ S
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
m n : ℕ
x y : K
H : (⇑(frobenius K p))^[m] x = y
⊢ PerfectClosure.mk K p (n, x) = PerfectClosure.mk K p (m + n, y)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
X Y : C₁
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
e : Φ.functor.comp L₂ ≅ L₁.comp G
f : CategoryTheory.Localization.SmallHom W₁ X Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W₂ L₂) (Φ.smallHomMap f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map ((CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W₁ L₁) f)) (e.inv.app Y))
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ sSup S = sInf {s | ∀ (x y : R), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V → W
G : SimpleGraph W
⊢ ∀ (a : V), (SimpleGraph.Hom.comap f G) a = f a
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ f.closure.inverse.graph = f.inverse.graph.topologicalClosure
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
Mul P
f : M →ₙ* N
g : M →ₙ* P
x : M
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
⊢ (t.centerMass w fun i => c • z i) = c • t.centerMass w z
d n : ℕ
⊢ d * (n / d) < n ↔ ¬d ∣ n
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic (n * p) R = cyclotomic n R ^ (p - 1)
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Real.exp x ≤ ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F
⊢ Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : TopologicalSpace A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMulZeroClass S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ (fun x => s • x) a = s • a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Disjoint (Finset.map Function.Embedding.inl s) (Finset.map Function.Embedding.inr t)
x y : ℂ
⊢ cosh x - sinh x = cexp (-x)
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
⊢ b ≤ a.castSucc.pred ha ↔ b < a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ ∀ (a_1 : α), Relation.TransGen r a a_1 ↔ r a a_1 ∨ ∃ b, Relation.TransGen r a b ∧ r b a_1
⊢ SurjOn cos (Icc 0 π) (Icc (-1) 1)
x : ℝ
⊢ cosh x ≤ rexp (x ^ 2 / 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ s.sup' H f ≤ a ↔ sSup (f '' ↑s) ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑↑↑(f + g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑↑(↑f + ↑g) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) + ↑(toSimpleFunc g)) a✝
K : Type u
Field K
p q : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num =
  Polynomial.C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h).mor₂ = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
⊢ Equivalence CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
⊢ BddBelow s⁻¹ ↔ BddAbove s
n : ℕ
⊢ Fin.castSuccOrderEmb.toEmbedding = { toFun := Fin.castSucc, inj' := ⋯ }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
u : ∀ m ∈ h :: t, IsUnit m
⊢ IsUnit (h :: t).prod
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
⊢ ContMDiff I I' n f
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
hT₁ : IsClosed T₁
hT₂ : IsClosed T₂
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
α : Type u_1
ι : Type u_5
_m : MeasurableSpace α
I : Finset ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ ⇑(∑ i ∈ I, μ i) = ∑ i ∈ I, ⇑(μ i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (compLpL p μ (c • L)) f = (c • compLpL p μ L) f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0
⊢ Set.Ioo a b =ᵐ[μ] Set.Ico a b
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
⊢ (List.take n l)[m]? = if m < n then l[m]? else none
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
TopologicalSpace γ
SMulZeroClass γ β
ContinuousSMul γ β
F : Type u_5
FunLike F α γ
ContinuousMapClass F α γ
f : F
g : α →C_c β
⊢ ⇑(f • g) = fun x => f x • g x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ ↑(e.subtypeRestr hs) = (↑s).restrict ↑e
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
M : Type u_1
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.mconv (MeasureTheory.Measure.dirac 1) = μ
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a / d < b / c
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ ↑n ! ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsMinOn (g ∘ f) s a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : (C (f.coeff 0)).eraseLead ≠ 0
h₂ : ¬0 < f.natDegree
⊢ False
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + φ a * (n / a + 1)
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card - G.degree t = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε
⊢ ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → q x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
⊢ V → ℝ
α : Type u_3
Preorder α
a : α
⊢ Set.Iic a ∈ Filter.atBot
x : ℝ
⊢ 0 < expNegInvGlue x + expNegInvGlue (1 - x)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, (RingHom.id R) (vi x) • (B (v x)) (v i) = 0
⊢ vi i = 0
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.modByMonicHom hg) ((AdjoinRoot.mk g) f) = f %ₘ g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
g : E →L[ℂ] ℂ
hg : ‖g‖ = 1
hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ levenshtein C (x :: xs) (y :: ys) =
  min (C.delete x + levenshtein C xs (y :: ys))
    (min (C.insert y + levenshtein C (x :: xs) ys) (C.substitute x y + levenshtein C xs ys))
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
MulPosMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ha : AddLECancellable a
h : a ≤ c
⊢ b ≤ c - a ↔ b + a ≤ c
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g ↔ (fun x => f₂ x - f₁ x) =o[l] g
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
g : Stream' (β → δ)
f : Stream' (α → β)
s : Stream' α
⊢ Stream'.pure Function.comp ⊛ g ⊛ f ⊛ s = g ⊛ (f ⊛ s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
⊢ M.comul ≫ M.comul ▷ M.X = M.comul ≫ M.X ◁ M.comul ≫ (α_ M.X M.X M.X).inv
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
⊢ span {x} ⊔ span {y} = ⊤ ↔ IsCoprime x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (i : ι) (i_1 : ι'), (μ i i_1) s = ∑' (i : ι') (i_1 : ι), (μ i_1 i) s
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
h : b i ∈ Set.range ⇑b := ⋯
⊢ b.reindexRange ⟨b i, h⟩ = b i
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
⊢ IsCoprime y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α
⊢ map f (insert a s) = insert (f a) (map f s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.L₀X₂ToP (CategoryTheory.Limits.pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃) = S.L₀.g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
⊢ iSup p = LinearMap.range ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
⊢ ∀ (x : F), (b, x) ∈ e₁.target
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Monoid α
DistribMulAction α A
m : A
a : α
S : AddSubgroup A
⊢ m ∈ a • S ↔ ∃ s ∈ S, a • s = m
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s)
⊢ (Profinite.NobelingProof.factors C s x).prod = Profinite.NobelingProof.spanFinBasis C s x
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
N₂ : Type u_9
TopologicalSpace N₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N₃ : Type u_10
TopologicalSpace N₃
AddCommMonoid N₃
Module R N₃
f g : M × N₂ →L[R] N₃
hl : f.comp (ContinuousLinearMap.inl R M N₂) = g.comp (ContinuousLinearMap.inl R M N₂)
hr : f.comp (ContinuousLinearMap.inr R M N₂) = g.comp (ContinuousLinearMap.inr R M N₂)
⊢ f = g