ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : MulOneClass M} {x_1 : MulOneClass N} (f : M →* N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s t : Set V
ht : t.Finite
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ ↑(Submodule.span K t)
⊢ ∃ (h : s.Finite), h.toFinset.card ≤ ht.toFinset.card
ι : Type u_1
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Finset.Ico f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card - 1
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
x : α
⊢ x ∈ s + t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y + z = x
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
ih' :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P24 x₁ x₂ y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃' + ↑π
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
⊢ ApproximatesLinearOn f f' s c ↔ LipschitzOnWith c (f - ⇑f') s
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
⊢ P (pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g))
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
IsLeftCancelAdd α
ha : a ≠ ⊥
h : a + b = a + c
⊢ b = c
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
Nonempty ι
S : ι → Submodule R M
H : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(iSup S) = ⋃ i, ↑(S i)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
h : p.IsCycle
⊢ p.IsCircuit
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffineOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj U)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
⊢ μ = ν
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasLines P L
Fintype P
Fintype L
h : Fintype.card P = Fintype.card L
⊢ ∃ f, Function.Bijective f ∧ ∀ (l : L), Configuration.pointCount P l = Configuration.lineCount L (f l)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ StrictMono Subgroup.ofUnits
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right = iZ
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
this : -(↑n + 1) + a = -(↑n + 1 - a)
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + -(↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s / 2) = ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + ↑(SignType.sign (-(↑n + 1) + a)) / ↑|-(↑n + 1) + a| ^ s / 2
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
⊢ (filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card ≤ 2 ^ Fintype.card ι
α : Type u_3
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Filter.atBot = Filter.comap Subtype.val Filter.atBot
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho y x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
h :
  NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 ≤ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B)
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (B / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
this : (m / m.gcd n).Coprime (m.gcd n)
⊢ (m / m.gcd n).Coprime n
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.expand 1) f = f
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
⊢ Irreducible p ↔ Prime p
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
Finite α
⊢ P α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
⊢ HasFDerivAt Φ Φ' x ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
y : α
h : ∃ y_1, r y y_1
⊢ r y (⋯.succ y)
a b c : ℕ
hba : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < b + c
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
⊢ RegularSpace X
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
⊢ f = g
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x * y) = WittVector.ghostFun x * WittVector.ghostFun y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ c⁻¹ • y ∈ sphere x r ↔ y ∈ sphere (c • x) (‖c‖ * r)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (↑n).natDegree = 0
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
Order.Frame α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j) ⊓ a = ⨆ i, ⨆ j, f i j ⊓ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
⊢ Set.range Prod.snd = Set.univ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h✝ : a ≠ 0
p q : ℚ
h : a > 0
⊢ volume (Ioo ↑p ↑q) = (ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume) (Ioo ↑p ↑q)
α : Type u
⊢ Nonempty (Field α) ↔ IsPrimePow #α
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
this : ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < k
⊢ c.blocksFun j < n
α : Type u_1
E I J : Set α
hIE : I ⊆ E
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).Indep J ↔ J ⊆ I
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
f : ArithmeticFunction ℤ
x : ℕ
⊢ ↑f x = ↑(f x)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
⊢ hausdorffEdist s t ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
⊢ IsCobounded r ⊤ ↔ Nonempty α
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
i : γ → β
hf : Multipliable f
hi : Function.Injective i
⊢ Multipliable (f ∘ i)
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f : ↑(Ω^ N X x)
g : (N → ↑I) → X
h : g = ⇑f
⊢ ⇑(GenLoop.copy f g h) = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : CategoryTheory.Over Y
h : CategoryTheory.Over Y
k : g ⟶ h
⊢ ((CategoryTheory.Over.pullback f).map k).left =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.fst g.hom f) k.left)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g.hom f) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
⊢ S.isoClosure.W = S.W
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ ((α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b u v : ℤ
H : u * a + v * b = 1
⊢ ↑1 = 1
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ (⨆ i, f i) * r = ⨅ i, f i * r
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
⊢ sInf (s - t) = sInf s - sSup t
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
⊢ ∃ n, Disjoint s (PiNat.cylinder x n)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
⊢ ↑(Subsemiring.mk' s sm hm sa ha) = s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t✝ : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x
this : Disjoint (𝓝ˢ k ⊓ 𝓟 s) (comap f (cobounded α))
U : Set β
hUo : IsOpen U
hkU : k ⊆ U
t : Set α
ht : t ∈ cobounded α
hd : Disjoint (U ∩ s) (f ⁻¹' id t)
⊢ f '' (U ∩ s) ⊆ tᶜ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ Ideal.span s = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ≤ g (∫ (x : α), f x ∂μ)
A : Type u_1
NonUnitalNormedRing A
CompleteSpace A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
CstarRing A
NormedSpace ℂ A
StarModule ℂ A
SMulCommClass ℂ A A
IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : IsSelfAdjoint b := by cfc_tac
⊢ a * b * star a ≤ ‖b‖ • (a * star a)
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : M → ι
i : ι
a : R[M]
⊢ a ∈ gradeBy R f i ↔ ↑a.support ⊆ f ⁻¹' {i}
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
⊢ ∀ (x y_1 : S), x • y ∈ span R (s • t) → y_1 • y ∈ span R (s • t) → (x + y_1) • y ∈ span R (s • t)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
⊢ ↑((n + 1).choose (ν + 1)) * (↑(ν + 1) * X ^ ν) * (1 - X) ^ (n - ν) = ↑(n + 1) * (↑(n.choose ν) * X ^ ν * (1 - X) ^ (n - ν))
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ
⊢ (∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (∑ _i ∈ Finset.range n, m)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : R
⊢ star U ∈ unitary R ↔ U ∈ unitary R
α : Type u_2
AddCommSemigroup α
a b : α
⊢ Even a → Even b → Even (a + b)
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 < o.card ↔ 1 < o
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
⊢ UpperSet.Ici ⊥ = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Collinear ℝ {p₃, p₂, p₃'}
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
hp₃'p₂ : p₃' ≠ p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ico (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ico a₁ a₂)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 • a = a * ↑0
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i
⊢ F.eventualRange i ⊆ F.map f '' F.eventualRange j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ (fun x => (id x.1, f x.2)) '' t} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ((η.comapRight hf) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t} ∂κ a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
⊢ Set.IciExtend f a = f ⟨a, ⋯⟩
G : Type u_2
Group G
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ Subgroup.closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ Subgroup.closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ Subgroup.closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯
x : G
h : x ∈ Subgroup.closure s
⊢ p x h
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
q : ℚ
hb : q ∈ {t | ↑t < a * a}
q' : ℚ
hq' : 0 < q'
hqq' : ↑q < ↑q' ^ 2
hqa : ↑q' ^ 2 < a * a
⊢ ↑q ≤ inducedMap α β a * inducedMap α β a
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
inst✝ : Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₁.boxes
⊢ Box.Icc J ⊆ closedBall ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J) ↑(r ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : WellFounded r
⊢ WellFounded (Relation.TransGen r)
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv
⊢ (SemiNormedGrp₁.mkIso f i i').inv = SemiNormedGrp₁.mkHom f.inv i'
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁
⊢ S.moduleCatHomologyπ (((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x) = 0 x
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
μ : MeasureTheory.Measure G
self : μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => g + x) μ = μ
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, v} #↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Continuous ⇑f
this : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 (f 1))
⊢ Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
m : Type u_1 → Type u_2
ρ : Type u_1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Prop} {x : ReaderT ρ m α} [inst : Monad m], SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ρ), SatisfiesM p (x s)
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2✝ : k < n.minFac
h2 : k.succ = n.minFac
⊢ k + 2 ≤ n.minFac
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
⊢ F.IsMittagLeffler ↔ ∀ (j : J), ∃ i f, F.eventualRange j = Set.range (F.map f)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ f.SameCycle x x
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))) = ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))))))
eq₃ : ((F ⋙ yoneda).map (↑f).unop ≫ φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))) = (φ.app (Opposite.unop y.fst) ≫ (yoneda ⋙ G).map (↑f).unop).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)))))
eq₄ : ∀ (a : ((F ⋙ yoneda).obj (Opposite.unop x.fst)).obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))), (((F ⋙ yoneda).obj (Opposite.unop x.fst)).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) a = ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ ((yoneda ⋙ G).obj (Opposite.unop x.fst)).map (F.map (↑f).unop).op) a
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f + g).NeBot
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
f : K ⟶ L
x : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
L.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
⊢ HomologicalComplex₂.total.map ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).map f) (ComplexShape.up ℤ) ≫
    (L.totalShift₁Iso x).hom =
  (K.totalShift₁Iso x).hom ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) x).map
      (HomologicalComplex₂.total.map f (ComplexShape.up ℤ))
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
⊢ ⊤ ≤ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)