ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
k : ℕ
hk : dist (c k) d < δ
⊢ dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.ae μ ≤ MeasureTheory.ae ν
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑↑⟨s, hs⟩) => M'.mkQ ↑x
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
x✝ : R
⊢ (h.symm.toMonoidHom.comp h.toMonoidHom) x✝ = (MonoidHom.id R) x✝
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)
⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.diffFinset₀ hs hI) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h1 : Measurable fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2
⊢ Measurable fun p => ⟨countablePartitionSet n p.2, ⋯⟩
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
⊢ DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image Finsupp.degree φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf))
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
Sub α
OrderedSub α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a - 1) * b = a * b - b
α : Type u_1
DecidableEq α
e : Equiv.Perm α
i : Option α
⊢ (Equiv.Perm.decomposeOption.symm (none, e)) i = Option.map (⇑e) i
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ l r) = (LinearMap.toMatrix' l)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂' R) B * LinearMap.toMatrix' r
α : Type u
a : α
⊢ 1 ≠ ↑a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b c : G₀
⊢ a / c * b = a * b / c
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy✝ : (x, y) ∈ fst R M M₂
hy : y = 0
⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy✝⟩) = ⟨(x, y), hy✝⟩
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
f' a : 𝕜
hg : ContinuousAt g a
hf : HasDerivAt f f' (g a)
hf' : f' ≠ 0
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasDerivAt g f'⁻¹ a
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
⊢ Free R M
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Set.Ico a b = ∅
n : ℕ
l : List ℕ
⊢ l.IsZeckendorfRep → (∀ a ∈ (l ++ [0]).head?, a < n) → (List.map Nat.fib l).sum < Nat.fib n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' y
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : Set.MapsTo h s s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
l : List α
⊢ l ++ l₁ ~ l ++ l₂ ↔ l₁ ~ l₂
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun r => Metric.closedBall x r) (𝓝[>] 0) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x)
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
⊢ 2 ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
val✝ : Infinite ι
⊢ IsSFiniteKernel (Kernel.sum κs)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : AddSubmonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
T : AddSubmonoid N
f : F
⊢ S ≤ AddSubmonoid.comap f T → AddSubmonoid.map f S ≤ T
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
⊢ lift b.π ≫ desc b.ι = 𝟙 b.pt
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇔ b ⊓ b ⇔ c ≤ a ⇔ c
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoParallelFamily F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = ((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).im
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
W : C
fst : W ⟶ X
snd : W ⟶ Y
eq : fst ≫ f = snd ≫ g
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd eq).fst = fst
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : ↑p ∣ a * b
⊢ ↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₂ ⊔ s₁ᶜ)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t : Multiset α
a✝ b : α
s : Multiset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ≤ a ::ₘ s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x
⊢ 0 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
⊢ im (z / w) = im z * re w / normSq w - re z * im w / normSq w
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ p.roots.toFinset
y : ℝ
hy : y ∈ p.roots.toFinset
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
⊢ ∃ z ∈ (derivative p).roots.toFinset, x < z ∧ z < y
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ log 2 n ≠ padicValNat 2 (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ b / a = c / a ↔ b = c
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R), Polynomial.eval x (eval₂ f g (C a)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (C a)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
⊢ A *ᵥ (x - y) = A *ᵥ x - A *ᵥ y
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((expand R p) f).coeff (p * n) = f.coeff n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Module R α
x : R
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ (if h : i✝.fst = j✝.fst then x • M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = x • if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v : α
DecidableEq α
h : UV.IsCompressed u v s
⊢ UV.compression u v s = s
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι
⊢ (Algebra.TensorProduct.basis A b).repr.symm (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : M
hx : x ∉ p
hp' : Free R (M ⧸ p)
⊢ ∃ f, f (p.mkQ x) ≠ 0
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n
⊢ i ∈ Fin.find p ↔ p i ∧ ∀ (j : Fin n), p j → i ≤ j
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : n
⊢ (PEquiv.refl n).toMatrix i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
θ : ℂ
hθ : cos θ ≠ 0
⊢ tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * ↑π = θ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
M' : AddSubmonoid M
x : ↥M'
⊢ ↑((f.addSubmonoidMap M') x) = f ↑x
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Ioc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s₁ s₂ : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s₁.sigma t₁ ∩ s₂.sigma t₂ = (s₁ ∩ s₂).sigma fun i => t₁ i ∩ t₂ i
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
γ : TypeVec.{u_3} n
δ : TypeVec.{u_4} n
h : γ.Arrow δ
g : β.Arrow γ
f : α.Arrow β
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.comp h g) f = TypeVec.comp h (TypeVec.comp g f)
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
⊢ ∀ {α β : Type u_1}, α ≃ β → (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : β → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
hs : IsAddSubmonoid s
l : List M
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.sum ∈ s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
⊢ ¬w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = -1
α : Type u
S : Set (Set α)
⊢ sInf S = ⋂₀ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
⊢ {a | a ≠ ⊤} ∈ 𝓝 0
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ span {x} * I = span {x} * J ↔ I = J
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : y ∈ Metric.ball ↑x ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ y ∈ {x | IsUnit x}
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f '' s = g '' s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x✝¹ : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑(MaxProducts C ho)
a : Products I
ha : a ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o)
b : Products I
hb : b ∈ MaxProducts C ho
hab : a = b
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.braiding Y).hom.f = CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
X✝ Y✝ : LocallyRingedSpace
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : RingedSpace
f g : X ⟶ Y
H : f = g
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap g x)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
SecondCountableTopology X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' (↑y + x) y = f.toMap x
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.msb = decide (2 ^ (w - 1) ≤ x.toNat)
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g
⊢ sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a b : K
⊢ -a / -b = a / b
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Monotone Submonoid.units
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * ∏ i ∈ s, f i ^ k i
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ 3 < (2 * (π / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ Set.image2 f (lowerBounds s) (upperBounds t) ⊆ upperBounds (Set.image2 f s t)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
⊢ f = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 < ENNReal.ofReal ((2 * (ε n / 4)) ^ Fintype.card ι) → ENNReal.ofReal ((2 * (ε n / 4)) ^ Fintype.card ι) < ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) → ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) ≠ 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
⊢ UniformConcaveOn s (φ + ψ) (f + g)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S
f₁ f₂ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
⊢ f₁ = f₂ →
  (∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₂.vars → g₁ i = g₂ i) →
    p₁ = p₂ → (MvPolynomial.eval₂Hom f₁ g₁) p₁ = (MvPolynomial.eval₂Hom f₂ g₂) p₂
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : AddSubmonoid M
x : M
h : ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ S.carrier → c • x ∈ S.carrier
⊢ x ∈ { toAddSubmonoid := S, smul_mem' := h } ↔ x ∈ S
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, Set.univ}
⊢ ⋃₀ S ∈ {∅, Set.univ}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
⊢ f.Pos ∨ f.LimZero ∨ (-f).Pos
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
⊢ ↑(↑(List.map Coe.coe l)).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)
A : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
Sub A
OrderedSub A
ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Finset.HasAntidiagonal A
n m : A
DecidablePred fun x => x = m
Decidable (m ≤ n)
⊢ Finset.filter (fun x => x.2 = m) (Finset.antidiagonal n) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift