ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : Subsemiring R
x : S
⊢ x ∈ map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NoncompactSpace X
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ NoncompactSpace Y
n x y : ℕ
h : ↑x + ↑y = ↑n
⊢ ↑x = ↑(n - (↑y).get ⋯)
n : Type u_1
DecidableEq n
Fintype n
K : Type u_2
Field K
Fintype K
M : Matrix n n K
⊢ (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ s.compl ≤ t.compl ↔ s ≤ t
m n✝ n : ℤ
⊢ ∃ k, n = 2 * k ∨ n = 2 * k + 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : ι → TopologicalSpace β
i : ι
h : Continuous f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
Semigroup α
a b : α
⊢ a ∣ a * b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ 0 < v.intValuationDef ↑x
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 + (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = (P y - W'.negY P) * Q z ^ 3
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitLower i x = ⊥ ↔ x ≤ I.lower i
α : Type u_2
I : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
s : I → α
t : Finset I
DecidableEq I
⊢ Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : EuclideanGeometry.OrthocentricSystem s
t : Affine.Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ s
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
⊢ ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁
⊢ φ ∈ LinearMap.range F.dualMap → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
a : α
⊢ a ∈ f.neLocus g ↔ f a ≠ g a
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t t' : Set β
ht : t ⊆ t'
⊢ Set.image2 f s t ⊆ Set.image2 f s t'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ↑⟪y, x⟫_ℝ + -(o.areaForm y) x • Complex.I = (starRingEnd ℂ) (↑⟪y, x⟫_ℝ + (o.areaForm y) x • Complex.I)
a b c d : Nat
hlt : a < b
hle : c ≤ d
⊢ a + c < b + d
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ Multiset.Ioo a b = 0 ↔ ¬a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
⊢ (μ.restrict A).WeaklyRegular
α : Type u_1
s t : Finset α
hst : s ⊆ t
hts : t.card ≤ s.card
⊢ t = s
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s₁ s₂ t : Set α
h : Absorbs M s₁ t
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ Absorbs M s₂ t
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
a b c : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet (⋂ e, ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e))
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddMonoid α
SMul γ α
self : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
⊢ 0 ∣[k;γ] g = 0
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
⊢ (fun q => C np q) = fun q => if p : P then A p else C p q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
s : Set M
f : M → M'
g : M → M''
hf : MDifferentiableOn I I' f s
hg : MDifferentiableOn I I'' g s
⊢ MDifferentiableOn I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
PreirreducibleSpace X
⊢ IsOpen s → IsOpen t → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).f ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).s = (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).s ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).f
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₁
⊢ Filter.map (⇑e.symm) (𝓝 (e x)) = 𝓝 x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ (if a ∈ f.support then f a else 0) = f a
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n % k = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomIsometric σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖f.toContinuousLinearMap.comp g‖ = ‖g‖
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ (π.biUnionTagged πi).IsSubordinate r ↔ ∀ J ∈ π, (πi J).IsSubordinate r
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
⊢ ⇑(MultilinearMap.alternatization m) = ⇑(∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ m)
K : Type u
CommRing K
p q : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := p - q } = { toFractionRing := p } - { toFractionRing := q }
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
⊢ S ∈ J₂.sieves X
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
⊢ ↑(1 / u) = 1 /ₚ u
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α
⊢ (lift f) (of x) = f x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) ((ιMulti R n) v) = (f n) v
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s : Finset α
⊢ Finset.image (fun x => -x) s = -s
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ List.Duplicate x l ↔ ∃ n m, ∃ (_ : n < m), x = l.get n ∧ x = l.get m
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
⊢ ∀ (a : FractionRing B), a ∈ I → (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * a) ∈ 1 ↔ a ∈ I → (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) a) ∈ 1
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c
⊢ False
x y : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioo x y) = Ioo ↑x ↑y
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
⊢ False
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
M₁' : Type u_10
AddCommGroup M₁'
Module R₁ M₁'
B₁' : LinearMap.BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
h : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁ g₁
h' : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁' g₁'
⊢ B₁.IsAdjointPair B₁' (f₁ - f₁') (g₁ - g₁')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape C E
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape D E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q
⊢ ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
w i : Nat
⊢ (0#w).getLsb i = false
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≤ 1
⊢ I ≤ I * I⁻¹
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
⊢ ⊤.edgeFinset = filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
⊢ ↑((i - l).choose k * i.choose l) = ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁ : i < n + 1
⊢ f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ ‖x⋆ * x‖₊ = ‖x‖₊ * ‖x‖₊
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ ⇑(Equiv.piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t = s.pi fun i => t (f i)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap R A) x)) p = (algebraMap R A) (Polynomial.eval x p)
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type uM'
AddCommMonoid M'
Module R M'
u : M →ₗ[R] M'
l : Module.Dual R M'
⊢ (Module.Dual.transpose u) l = l ∘ₗ u
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_5
CommRing R
StrongRankCondition R
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) R
⊢ A.rank ≤ m
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
⊢ multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
s : Finset ι
f : ι → R[A]
⊢ ∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), {a | f a ≤ 0}.indicator f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
Y : Type u_5
MeasurableSpace Y
g : X → Y
f : Y → E
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map g μ)
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫ (y : Y) in s, f y ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫ (x : X) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
f : α → E
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
α : Type u
C : Stream'.Seq α → Prop
a : α
s : Stream'.Seq α
M : a ∈ s
h1 : ∀ (b : α) (s' : Stream'.Seq α), a = b ∨ C s' → C (Stream'.Seq.cons b s')
⊢ C s
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ ContinuousSMul R α
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
Semiring α
Semiring β
Algebra R α
Algebra R β
f : α ≃ₐ[R] β
M : Matrix m m α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
⊢ (f.comp g).preimage s = g.preimage (f.preimage s)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
⊢ ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f) → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u ((P F).wMk a f' f)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Semiring 𝕜
AddCommGroup α
AddCommGroup β
Module 𝕜 α
Module 𝕜 β
⊢ ⇑(WithLp.prodContinuousLinearEquiv p 𝕜 α β).symm = ⇑(WithLp.equiv p (α × β)).symm
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ Metric.sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ AntilipschitzWith 1 ⇑f
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
⊢ (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' => p ii'.fst ii'.snd) fun ii' => s ii'.fst ii'.snd
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (F.map h))
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom))
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
⊢ IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
⊢ (s.indicator fun a => r a • f a) = fun a => s.indicator r a • f a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
AddGroup α
AddAction α β
ContinuousConstVAdd α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s +ᵥ t)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
is_prime : S.IsPrime
ne_bot : S ≠ ⊥
x✝¹ x✝ : R
⊢ generator S ∣ x✝¹ * x✝ → generator S ∣ x✝¹ ∨ generator S ∣ x✝
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace R F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝² : FiberBundle F E
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ ((continuousLinearEquivAt R e b ⋯).symm.trans (continuousLinearEquivAt R e' b ⋯)) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid M
hST : S ≤ T
Q : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝ : CommMonoid A
l : M →* A
hl : ∀ (w : ↥T), IsUnit (l ↑w)
x : M
⊢ ((k.lift hl).comp (f.lift ⋯)) (f.toMap x) = l x
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
⊢ (π.map g).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ ↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))
M : Type u_1
Add M
z : M
self : IsAddCentral z
b c : M
⊢ z + (b + c) = z + b + c
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent) = I ^ 2
α : Type u_4
Preorder α
IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ IsStronglyAtomic ↑s
n m : ℕ
h : optParam (¬last (n + 1) = 0) ⋯
⊢ (last (n + 1)).pred h = last n
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ StrictConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ n
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a (𝓝[s] a) la
intervalIntegral.FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (la ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 ca)
hb : Filter.Tendsto f (lb ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 cb)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x)
  ((ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (s ×ˢ t) (a, b)