ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
y : β
h : ∀ x ∈ s, AddCommute y (f x)
⊢ AddCommute y (s.noncommSum f comm)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
DenselyOrdered 𝕜
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : M.Indep I
f : α ↪ β
⊢ (M.mapEmbedding f).Indep (⇑f '' I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₁.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) y * l₂ i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ closure s
⊢ infEdist x (closure s) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangle.obj₃ = Z₂₃
s : Set ℝ
⊢ closure (Complex.re ⁻¹' s) = Complex.re ⁻¹' closure s
α : Type u_1
s : Set (Set α)
f : Set α → Set α
hf : ∀ (t : Set α), t ⊆ f t
⊢ ⋃₀ s ⊆ ⋃₀ (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n * c) = (-1) ^ n * f x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
⊢ ε > 0 → ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, Metric.ball y ε
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
G : CategoryTheory.Pseudofunctor C D
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c),
  (F.comp G).mapComp f g = G.map₂Iso (F.mapComp f g) ≪≫ G.mapComp (F.map f) (F.map g)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
p : α × β → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, p (a, b)
⊢ ∀ᵐ (x : α × β) ∂μ ⊗ₘ κ, p x
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
b : B
v₁ : E₁ b
v₂ : E₂ b
hb₁ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₁.baseSet
right✝ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₂.baseSet
⊢ b = (↑e₁ { proj := b, snd := v₁ }).1
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : β → m γ
f : α → β
⊢ (x >>= fun x => pure (f x) >>= g) = x >>= g ∘ f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ (λ_ A.X).inv.op = (λ_ (op A.X)).hom
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
H : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a
⊢ p ∣ a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ c ^ 2 * (evariance X μ).toReal = c ^ 2 * variance X μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
f : Filter ((α × β) × γ × δ)
⊢ Filter.map (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) f = Filter.comap (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) f
α β : Sort u_3
h : α = β
⊢ Function.Bijective h.mp
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x y : ↥H
⊢ ↑(((LieAlgebra.ad R ↥H) x) y) = ((LieAlgebra.ad R L) ↑x) ↑y
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₃₁ b₃₂ b₃₃ : α
⊢ !![a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃] * !![b₁₁, b₁₂, b₁₃; b₂₁, b₂₂, b₂₃; b₃₁, b₃₂, b₃₃] =
  !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ + a₁₃ * b₃₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂ + a₁₃ * b₃₂, a₁₁ * b₁₃ + a₁₂ * b₂₃ + a₁₃ * b₃₃;
    a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁ + a₂₃ * b₃₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂ + a₂₃ * b₃₂, a₂₁ * b₁₃ + a₂₂ * b₂₃ + a₂₃ * b₃₃;
    a₃₁ * b₁₁ + a₃₂ * b₂₁ + a₃₃ * b₃₁, a₃₁ * b₁₂ + a₃₂ * b₂₂ + a₃₃ * b₃₂, a₃₁ * b₁₃ + a₃₂ * b₂₃ + a₃₃ * b₃₃]
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
S : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid S
inst✝ : DistribMulAction S M
x y : M
a : S
hx : a • x = 0
b : S
hy : b • y = 0
⊢ x + y ∈ {x | ∃ a, a • x = 0}
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X
BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y
⊢ ∃ x ∈ {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y}, hausdorffDist ↑x.1 ↑x.2 = hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Tendsto floor (𝓝[≥] ↑n) (pure n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
a a₁ a₂ : α
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
⊢ (algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ < a₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).g' φ.τ₃ =
  h.g'
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
⊢ Measurable (edist x)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Nat.find ⋯ = Group.nilpotencyClass G
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
⊢ G.Connected
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ ↑f x = ↑g x
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen sᶜ ↔ IsClosed s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => s k \ s i
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
y : M'
⊢ ∃ x, x.2 • y = f x.1
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.mulIndicator f = f ↔ Function.mulSupport f ⊆ s
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX : tX ∈ tas
hY : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
⊢ M p
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
hne : v ≠ w
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : v ∈ e ∧ w ∈ e
⊢ G.Adj v w
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
BooleanAlgebra α
BooleanAlgebra β
BoundedLatticeHomClass F α β
⊢ BiheytingHomClass F α β
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
z : P
⊢ Wbtw R x y z ∧ Wbtw R y x z ↔ x = y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ (P n).f n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
R : Type u
CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
AddCommMonoid X₁
AddCommMonoid X₂
AddCommMonoid X₃
Module R X₁
Module R X₂
Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
AddCommMonoid Y₁
AddCommMonoid Y₂
AddCommMonoid Y₃
Module R Y₁
Module R Y₂
Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ↑(TensorProduct.assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ TensorProduct.map (TensorProduct.map f₁ f₂) f₃ =
  TensorProduct.map f₁ (TensorProduct.map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R X₁ X₂ X₃)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g : CompleteLatticeHom β γ
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ CompleteLatticeHom.dual (g.comp f) = (CompleteLatticeHom.dual g).comp (CompleteLatticeHom.dual f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
hpx : ¬p ^ (m - 1 + 1) ∣ x
⊢ a * x * p = p ^ (n + m) * s * p
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ Submodule.span R ↑(invSubmonoid M S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ evariance g ν = ∫⁻ (x : β), ↑‖g x - ∫ (x : β), g x ∂ν‖₊ ^ 2 ∂ν
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
a b : G
⊢ f (a * b⁻¹) = f a * (f b)⁻¹
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s : Set α
f : α → G
⊢ (s.indicator fun a => -f a) = fun a => -s.indicator f a
p : Lean.Compiler.LCNF.Phase
⊢ p ≤ p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ Tendsto f (𝓝 x ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x ⊓ 𝓟 s)
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2
ho₁ : o < 2
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x
t : ℕ → Finset X
ht : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, x ∈ compactCovering X n ∩ s
hsub : ∀ (n : ℕ), compactCovering X n ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ t n, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x}
x : X
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : x ∈ compactCovering X n
y : X
hyt : y ∈ t n
hyf : x ∈ s → x ∈ f y
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ⋃ n, ↑(t n)), x ∈ f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂Measure.sum μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t
⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p2 -ᵥ p1) = π
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (φ i))
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
this : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, φ (u i)))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ ⋃ i, φ (u i)
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : A.det = 0
⊢ Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) 0
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ a, s = {a}
R : Type u
Semiring R
I : Ideal R
⊢ Ideal.comap (RingHom.id R) I = I
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)} = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ Sbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
h : EquicontinuousOn F S
u : κ → ι
⊢ EquicontinuousOn (F ∘ u) S
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.SFinite ν
hf : MeasureTheory.Integrable f ν
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x L ν
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ IsAtomistic α
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ s.Finite → t.Finite → (s + t).Finite
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
⊢ constantCoeff (xInTermsOfW p R n) = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
ha : a < c
hb : b < c
⊢ a ⊔ b < c
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
G : Type u_1
Group G
Finite G
x y : G
DecidableEq G
⊢ y ∈ Subgroup.zpowers x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range (orderOf x))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
x : α
⊢ Set.range f ⊆ {x} ↔ f = Function.const ι x
⊢ SetTheory.PGame.RightMoves 0 = PEmpty.{u_1 + 1}
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
a₁ : α
f₁ : β a₁ → WType β
a₂ : α
f₂ : β a₂ → WType β
h : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₂ f₂)
⊢ mk a₁ f₁ = mk a₂ f₂
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.balance' x r).Sized
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
l : ℕ
hl : l ∈ b.digits n ++ b.digits m
⊢ l < b
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ Real.arccos (Set.Iic x) x ↔ x ≠ 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → α
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ μ
k : ℕ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ f^[k] ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min
π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
α : Type u_1
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
n : Nat
l : List α
eq : l = l₁ ++ a :: l₂
h : l₁.length = n
⊢ l[n] = a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
h : s ∈ p.support
⊢ (s.sum fun x e => e) ≤ p.totalDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
⊢ (completeMultipartiteGraph V).CliqueFree n
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s \ frontier s = interior s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType
⊢ n ∣ orderOf σ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
⊢ A.topologicalClosure = ⊤
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
f : α → β
h : Isometry f
x y : Completion α
x✝¹ x✝ : α
⊢ dist (Completion.extension f (↑α x✝¹)) (Completion.extension f (↑α x✝)) = dist (↑α x✝¹) (↑α x✝)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
hr : IsUnit r
⊢ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • ↑a))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ F.map (homOfLE ⋯) ≫ 𝟙 (F.obj 1) = F.map (homOfLE ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
MulOneClass γ
f : α →* β
g : β →* γ
x : WithZero α
⊢ (WithZero.map' g) ((WithZero.map' f) x) = (WithZero.map' (g.comp f)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
h₁ h₂ : Set α → Set β
hf : f₁ ≤ f₂
hh : h₁ ≤ h₂
⊢ f₁.lift' h₁ ≤ f₂.lift' h₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : R
⊢ x ∈ map (RingHom.fst R S) (I.prod J) ↔ x ∈ I
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
α✝ : Type u₁
C : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} C
α : Type u₁
β : Type u₂
h : Discrete α ≌ Discrete β
a : α
⊢ (as ∘ h.inverse.obj ∘ mk) ((as ∘ h.functor.obj ∘ mk) a) = a
R : Type u_4
Semiring R
s : AddSubmonoid R
n : ℕ
⊢ ↑s ^ n ⊆ ↑(s ^ n)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ h₁.f' ≫ cyclesMap' φ h₁ h₂ = φ.τ₁ ≫ h₂.f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s