ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
⊢ ⇑f = 0 ↔ f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a * (a + b) * (1 / b) = 1 / a + 1 / b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : {x | EqOn (F x) (F' x) s} ∈ p
⊢ {x | F x.1 x.2 = F' x.1 x.2} ∈ p ×ˢ 𝓟 s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (update f b 1)
⊢ (∏' (x : β), if x = b then f x else 1) = if b = b then f b else 1
G : Type u_2
Group G
self : Group.IsNilpotent G
⊢ ∃ n, upperCentralSeries G n = ⊤
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
n m : ℕ
h_eq : Order.succ^[n] a = Order.succ^[m] a
h_ne : n ≠ m
⊢ IsMax (Order.succ^[n] a)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ z)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s t : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f s ⊂ Finset.image f t ↔ s ⊂ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
T2Space β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasurableSet hf.sigmaFiniteSet
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, ⨅ h, f i h a ∂μ ≤ ⨅ i, ⨅ h, ∫⁻ (a : α), f i h a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
x : α
⊢ x ∈ f.preimage s ↔ ∃ y ∈ s, y ∈ f x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
this : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base
⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C m₁).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m₁).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.shiftFunctor C m₃).map ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X))
      ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m₂).obj X)))
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.rdropWhile p l <+: l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
FirstCountableTopology α
x : α
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), x < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝[>] x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : α → Fin (n + 1)
hf : ∀ (a : α), f a ≠ Fin.last n
hf₂ : StrictMono f
⊢ StrictMono fun a => (f a).castPred ⋯
α : Type u
f : α → α
a : α
⊢ Stream'.iterate f (f a) = Stream'.map f (Stream'.iterate f a)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
g : ℕ → E := fun n => c • f n
A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r
x : E
left✝ : x ∈ closedBall 0 r
φ : ℕ → ℕ
φmono : StrictMono φ
φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)
⊢ False
q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ 0 ≤ ↑q ↔ 0 ≤ q
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(W₀.sum fun a b => hV.linearIsometryEquiv ((V a) b)) = ⇑W₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => ⟨v i, ⋯⟩
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' F'' : CategoryTheory.Functor D H
e : F' ≅ F''
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
α' : L.comp F'' ⟶ F
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L e.hom) α' = α
⊢ F'.IsRightKanExtension α ↔ F''.IsRightKanExtension α'
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
⊢ ∑ x ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose x.1 • (f₁ ^ x.1 * f₂ ^ x.2) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 ≠ 0
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)
⊢ f (r' * (a - b) + b) ≤ r' • (f a - f b) + f b ↔ (b - a)⁻¹ • (f b - f a) ≤ (b - (r' * (a - b) + b))⁻¹ • (f b - f (r' * (a - b) + b))
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf CommRingCat X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↑(F.val.obj (Opposite.op (U ⊔ V)))
⊢ (↑((F.objSupIsoProdEqLocus U V).hom x)).1 = (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) x
α : Type u_1
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
⊢ ↑(x.unbot hx) = x
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
⊢ Set.range ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) = {y | ∃ x, f x = g y}
z : ℂ
⊢ ↑(normSq z) = (starRingEnd ℂ) z * z
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (↑n).toNat = n
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊤
h : b < c
⊢ a + b < a + c
m : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
hmb : m ≤ n
hm : P m
⊢ m ≤ Nat.findGreatest P n
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1
⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atTop (𝓝 0)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : 1 / a ≠ 0
⊢ a ≠ 0
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a * b ∈ Metric.ball a r ↔ ‖b‖ < r
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝¹ : Submodule R N
hM : M' ≤ M₁
w✝ : w✝¹ ≤ N₁
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion w✝)))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)))
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
Setoid α
Setoid β
f : α → β → γ
h : ∀ (a₁ : α) (a₂ : β) (b₁ : α) (b₂ : β), a₁ ≈ b₁ → a₂ ≈ b₂ → f a₁ a₂ = f b₁ b₂
a : α
b : β
⊢ Quotient.lift₂ f h ⟦a⟧ ⟦b⟧ = f a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp G)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone.map f).hom = f.hom
α : Type u
Preorder α
t : Set α
⊢ Monotone Subtype.val
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
r' : NNReal
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c ↑r')
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ Dilation.ratio 1 = 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s : Set α
d : ℝ≥0∞
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hd : EMetric.diam s ≤ d
⊢ edist x y ≤ d
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * finrank K ↥K⟮x⟯
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq 0 = 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T) ∈ K.sieves (G.obj X)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
⊢ p.count (a * b).factors = p.count a.factors ∨ p.count (a * b).factors = p.count b.factors
self : Sequential
⊢ Sequential.sequentialToTop.obj self = self.toTop
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
f : ℕ → ONote
ihb : b.repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < b ∧ (b.NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a < b.repr, ∃ i, a < (f i).repr
e : b.fundamentalSequence = Sum.inr f
⊢ (a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), a.oadd m (f i) < a.oadd m (f (i + 1)) ∧ a.oadd m (f i) < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m (f i)).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (a.oadd m (f i)).repr
α : Type u_1
l : List (Option α)
x : α
⊢ (∃ i, l.get? i = some (some x)) ↔ ∃ i, l.reduceOption.get? i = some x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm
y : F
hy : y ∈ s
⊢ iso.symm y ∈ ⇑iso ⁻¹' s
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
AddMonoidWithOne β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : ℕ
d.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat d).map f = Matrix.diagonal fun x => f (OfNat.ofNat d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) < ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiff I' I n (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∏ i ∈ t, f i x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E
this : IsCompl K Kᗮ
⊢ (orthogonalProjection K) (↑((K.linearProjOfIsCompl Kᗮ this) x) + ↑((Kᗮ.linearProjOfIsCompl K ⋯) x)) = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x
α : Type u
x : α
⊢ Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd x) = x
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
⊢ x ∈ s.toAddSubgroup ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a ⊔ a⁻¹ ⊔ 1 = mabs a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ f ≤ 𝓟 s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬a ≤ f i
⊢ False
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Function.Injective ⇑(Equiv.Perm.subtypeCongrHom p)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R 0) φ = (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) φ
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ ModuleCat.image.lift F' ≫ F'.m = ModuleCat.image.ι f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.SSameSide x y}
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
h✝ : Nontrivial α
⊢ s.sup f = ⊤ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
h : ∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
r : ℝ
⊢ 1 < r.toNNReal ↔ 1 < r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj X).obj X_1),
  (CategoryTheory.Coyoneda.objOpOp X).inv.app X_1 a = (CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op X) X_1).symm a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
R S T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
q : G ⧸ H
x✝ : q ∈ univ
⊢ ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ * ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ = ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᵐ[ν] μ.rnDeriv ν
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_5
Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
⊢ f ⇑e = 0 ↔ f = 0
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hsg : t = generateFrom s
hsi : FiniteInter s
⊢ s = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSimple R L
⊢ IsAtom ⊤
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
S : Submonoid M
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ Submonoid.closure s
⊢ Submonoid.closure s = S
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
C : TensorAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((TensorAlgebra.ι R) x)
mul : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)
a : TensorAlgebra R M
⊢ C a
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
⊢ ∀ (a : R), (IsAbsoluteValue.toAbsoluteValue abv) a = abv a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ ⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)
q : ℚ≥0
⊢ q⁻¹ = NNRat.divNat q.den q.num
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → Norm (β i)
hp : 0 < p.toReal
f : PiLp p β
⊢ ‖f‖ = (∑ i : ι, ‖f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
Lattice α
a b x : α
h : x ∈ Set.uIcc a b
⊢ Set.uIcc a x ⊆ Set.uIcc a b
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Surjective fun x => a ⇔ x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hcs : μ s ≠ 0
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.cond μ s)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
h : j ≠ i
⊢ (stdBasisMatrix i j c).trace = 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ x + t • y ∈ interior s
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L₂ R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).inverse.map f).right = f.right
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
⊢ e ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert e I)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
h : Nonempty ι
⊢ Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
self : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.hom self.inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
⊢ μ {x | f x ≤ b} = 0
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
B : Type u_4
Semiring B
Algebra S B
Algebra S R
DistribMulAction S A
IsScalarTower S R A
F : Type u_6
FunLike F (Unitization R A) B
AlgHomClass F S (Unitization R A) B
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)
⊢ φ = ψ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
Φ.HasLeftResolutions
⊢ (Φ.functor.comp L₂).EssSurj
x y : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → ¬y.InfinitePos → (x + y).InfiniteNeg
G : Type u_3
Group G
P : Subgroup G
⊢ P.FG ↔ P.FG
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ 0 ≠ ⊥
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ insert a t ∈ 𝓝[insert a s] a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : MvQPF.IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (MvQPF.P F).A
f : (MvQPF.P F).B a ⟹ α
i : Fin2 n
⊢ MvFunctor.supp (MvQPF.abs ⟨a, f⟩) i = f i '' Set.univ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
⊢ (α + β).hom = α.hom + β.hom