ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
v : V
⊢ v ∈ (s₁ ⊓ s₂).direction ↔ v ∈ s₁.direction ⊓ s₂.direction
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
⊢ s = empty α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology j
⊢ K.toCycles i j ≫ K.iCycles j = K.d i j
K : Type u_1
σ : Type u_2
CommSemiring K
p : MvPolynomial σ K
e : σ → K
⊢ (MvPolynomial.evalₗ K σ) p e = (MvPolynomial.eval e) p
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
⊢ [x].formPerm = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (y i - y₂ i).toNNReal ≤ (y i - y₁ i).toNNReal
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U ∈ MeasureTheory.Measure.haar.addHaarProduct ↑K₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
a : L
D1 D2 : LieDerivation R L M
⊢ (D1 - D2) a = D1 a - D2 a
ι : Type u
α : ι → Type v
DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ List.TProd.elim' h ⁻¹' Set.univ.pi t = Set.tprod l t
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Localization S → Localization S → Prop
x y : Localization S
H : ∀ (x y : M × ↥S), p (Localization.mk x.1 x.2) (Localization.mk y.1 y.2)
⊢ p x y
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1
p : ℕ
hp : Prime p
hpdvd : p ∣ m.gcd n
⊢ m.gcd n ∣ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T'' f =
  MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f + MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₁ : 𝕜 → F
f₁' : F
x : 𝕜
G : Type w
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₂ : 𝕜 → G
f₂' : G
hf₁ : HasStrictDerivAt f₁ f₁' x
hf₂ : HasStrictDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁', f₂') x
a : ℤ
⊢ a.natAbs ≤ a.natAbs * a.natAbs
G : Type u_1
Group G
⊢ lowerCentralSeries G 0 = ⊤
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
x y : RingCat.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r (x.mul y) = Quot.mk Setoid.r x * Quot.mk Setoid.r y
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
⊢ (Sequential.isoOfHomeo f).hom = { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj)).comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a / c = b / c ↔ a = b
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorZero C).inv.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).inv.app X.obj₃
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
δ' : α → Sort u_7
δ'' : α → Sort u_8
f' g' : (i : α) → δ' i
h : (i : α) → δ i → δ' i → δ'' i
⊢ (s.piecewise (fun x => h x (f x) (f' x)) fun x => h x (g x) (g' x)) = fun x =>
  h x (s.piecewise f g x) (s.piecewise f' g' x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
LinearOrder α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
a b : α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧
    MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Set.Ioc b a))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Set.Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Set.Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Set.Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Set.Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Set.Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
t : ℝ
⊢ t ∈ Set.Icc a b → dist (f t) (g t) ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)
n : Type u_3
α : Type v
Zero α
⊢ Matrix.diag 0 = 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ a + b = a - -b
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
n : ℕ
h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
PartialOrder α
GradeOrder 𝕆 α
⊢ Monotone (grade 𝕆)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasDerivAt f (deriv f x) x
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : cd ≠ 0
⊢ ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β
⊢ (BoundedOrderHom.id β).comp f = f
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Icc b c = Set.Ioc a c
m : Type u_1
A : Type u_3
Fintype m
CommRing A
IsDomain A
DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
⊢ M.Nondegenerate
k : Type u
Field k
G : Grp
IsAlgClosed k
Fintype ↑G
Invertible ↑(Fintype.card ↑G)
V W : FDRep k ↑G
CategoryTheory.Simple V
CategoryTheory.Simple W
⊢ ⅟↑(Fintype.card ↑G) • ∑ g : ↑G, V.character g * W.character g⁻¹ = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
⊢ ((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) = 𝟙 (Cone F)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n✝ : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ f 1 + log ↑n ! + x * log (↑n + 1) = f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + (x * log ↑n + log ↑n !)
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
f : α → β
⊢ Multiset.map (fun i => f ↑i) s.attach = Multiset.map f s
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x
⊢ x.insertLeft x' ≈ x
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ normEDS b c d 4 = d * b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
hab : a < b
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ (LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (univ.pi s) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ ∅, IsBounded ∅
⊢ IsBounded ∅
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x ∈ s₂
⊢ s₁ = s₂
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h : ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q] [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
⊢ Function.Bijective ⇑f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : CochainComplex.HomComplex.Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'
⊢ (γ.comp γ' h).leftShift a t' ht' = (a * m).negOnePow • (γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
K : CategoryTheory.Coverage C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_1)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C K) P ↔
  ∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : S →+* T
g : σ → T
h : R →+* MvPolynomial σ S
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g).comp (MvPolynomial.bind₂ h) = MvPolynomial.eval₂Hom ((MvPolynomial.eval₂Hom f g).comp h) g
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ im 1 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), UpperSemicontinuous (f i hi)
⊢ UpperSemicontinuous fun x' => ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi x'
n : ℕ
⊢ fib (2 * n + 1) = fib (n + 1) ^ 2 + fib n ^ 2
α : Type u_2
Add α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ + t = s₁ + t ∪ (s₂ + t)
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Reflexive R
⊢ Reflexive (Stream'.WSeq.LiftRel R)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = sum f fun a b => (single a b * g) x
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ J * I ⊔ I = I
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ ∀ (a : QuadraticMap R M N) (a_1 : M), QuadraticMap.coeFnAddMonoidHom a a_1 = a a_1
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
this✝ : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)
key : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ι → K) ∧ lift.{v, u} #K ≤ Module.rank K (ι → K)
this : Infinite ιK
⊢ lift.{v, u} #K ≤ Module.rank K (ι → K)
α : Type u
Nonempty α
s : Set α
⊢ s.Countable ↔ ∃ f, s ⊆ Set.range f
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I ≤ ↑J ↔ I ≤ J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'
this : μ.toOuterMeasure ≤ sInf (toOuterMeasure '' m)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s ≤ (sInf m) s
self : IncidenceGeometry
a b : IncidenceGeometry.Point
α β : IncidenceGeometry.Circle
⊢ IncidenceGeometry.onCircle b α →
  IncidenceGeometry.onCircle a β →
    IncidenceGeometry.inCircle a α → IncidenceGeometry.inCircle b β → IncidenceGeometry.circlesInter α β
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (f x✝).bind ⇑f.symm ↔ a✝ ∈ (ofSet {a | (f a).isSome = true}) x✝
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup
π : ↥A →+* ↥A ⧸ LocalRing.maximalIdeal ↥A := Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)
⊢ ↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.valuation ↑(↑(A.unitGroupMulEquiv x) - 1) < 1
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ r.toNNReal < OfNat.ofNat n ↔ r < OfNat.ofNat n
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X : DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) = 0
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
y : E b
hb : b ∈ e'.baseSet
⊢ (↑e' { proj := b, snd := y }).1 = b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
K : ℝ≥0
hK : ‖f' x‖₊ < K
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ∩ s ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.log (x ^ n) = ↑n * Real.log x
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
⊢ log b (b ^ u * v + w) = u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range
⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
s : Set Z
h : MeasurableSet (f ⁻¹' s)
τ : TopologicalSpace Z
left✝¹ : SecondCountableTopology Z
left✝ : T4Space Z
right✝ : OpensMeasurableSpace Z
⊢ AnalyticSet sᶜ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : Closed A
inst✝³ : Closed B
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Closed A₁
inst✝¹ : Closed A₂
inst✝ : Closed A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
⊢ pre (f ≫ g) = pre g ≫ pre f
ι : Type u_4
DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
k : ι
h'k : k ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hk : k ∈ Set.range ⇑e
⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h'k⟩).succ = e.toEquivRange.symm ⟨k, hk⟩
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : HasSolidNorm K
m : E
⊢ ‖fract b m‖ ≤ ∑ i : ι, ‖b i‖
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ ↑φ E.Δ = φ E.Δ
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
m : ℕ
hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m
hm0 : 0 < m
⊢ Fintype.card α / (Fintype.card α).gcd (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α)) ≤ n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝² : Mono S.f
this✝¹ : Epi S.g
this✝ : Mono (F.map S.f)
this : Epi (F.map S.g)
⊢ (S.map F).ShortExact
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ModularForm Γ k
z : ℍ
⊢ (-f) z = -f z
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
s : ↥M
⊢ mk' S x s = 0 ↔ ∃ m, ↑m * x = 0
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (normAtPlace w) (-x) = (normAtPlace w) x
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set ι
⊢ ¬LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ ∃ f ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) f = 0 ∧ f ≠ 0
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ P y ≠ W'.negY P
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ m b, a = ↑p ^ m * ↑b
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (y + z * x)
α : Sort u_1
⊢ ⨆ x, 0 = 0
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : IsConnected s
⊢ IsConnected (closure s)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
x y : E
hne : x ≠ y
⊢ r ≤ ‖x / y‖
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) o ↔ o = 0 ∨ ∃ a, o = Ordinal.omega ^ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ X.δ j ≫ X.δ i = X.δ i.castSucc ≫ X.δ (j.pred ⋯)
f : CircleDeg1Lift
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_6
f : Filter α
R : Type u_7
Preorder R
κ : Type u_8
AddCommMonoid R
CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u : κ → α → R
s : Finset κ
⊢ (∀ k ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (u k)) →
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)
f g : ℕ → ℂ
h : f =ᶠ[Filter.atTop] g
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f = LSeries.abscissaOfAbsConv g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
⊢ ↑s = ↑(empty α)
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf CommRingCat X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↑(F.val.obj (Opposite.op (U ⊔ V)))
⊢ (↑((F.objSupIsoProdEqLocus U V).hom x)).2 = (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) x
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R N₁
Module R N₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
Q₃ : QuadraticMap R N₁ P
Q₄ : QuadraticMap R N₂ P
mmnn : (M₁ × N₁) × M₂ × N₂
⊢ (QuadraticMap.IsometryEquiv.prodProdProdComm Q₁ Q₂ Q₃ Q₄).invFun mmnn = ((mmnn.1.1, mmnn.2.1), mmnn.1.2, mmnn.2.2)
α : Type u_1
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∃ M, ∀ i ∈ s, M ≤ i
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
C : G.ComponentCompl K
⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ C ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α
⊢ (Set.range fun n => Nat.casesOn n x f) = {x} ∪ Set.range f
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p.coeff p.natDegree = 0
⊢ p.natDegree ≤ 0
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s : Set α}, Bornology.IsCobounded sᶜ ↔ Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c
⊢ (swap a b * swap a c).IsThreeCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
⊢ ∀ (a : ℕ), Measurable fun x => mapNatBool α x a
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → β
b : β
as : List α
⊢ foldrIdx f b as = foldr (uncurry f) b as.enum
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
⊢ ∫ (a : ℝ) in t..t + T, f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
f : StieltjesFunction
hf_bot : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf_top : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)
⊢ f.measure univ = 1