ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (n + 2) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1) - Polynomial.Chebyshev.T R n
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.ε.app (T.forget.obj (D.obj j)) = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L a, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 0 ⟨0 + 1, ⋯⟩ ⋯ = f
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →L[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ Metric.closedBall 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ ‖f‖ ≤ c / r
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
f.NeBot
h : s ∈ f
⊢ sᶜ ∉ f
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
⊢ 0 ≤ FractionalIdeal.count K v ↑J
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
t : NonUnitalSubring R
⊢ NonUnitalSubring.closure s ≤ t ↔ s ⊆ ↑t
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
NoZeroDivisors R
hpq : p ∣ q
⊢ p.scaleRoots r ∣ q.scaleRoots r
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ (fun x => x -ᵥ p) '' s ⊆ s -ᵥ s
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ f.dualMap = Module.Dual.transpose f
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk
⊢ Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y)) = Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y)))
x : ℂ
⊢ cexp x = NormedSpace.exp ℂ x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : L →ₐ[K] L
x : B
⊢ (algebraMap B L) (((galRestrictHom A K L B) σ) x) = σ ((algebraMap B L) x)
α : Sort u_1
Nonempty α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ (x : α), p x ∧ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∧ q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a ∂μ = ⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ + (eapprox g n).lintegral μ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : (fun x => ‖f x‖) =ᶠ[l] fun x => ‖g x‖
⊢ f =Θ[l] g
R : Type u
CommRing R
X Y Z : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
AddCommGroup Z
Module R Z
Coalgebra R X
Coalgebra R Y
Coalgebra R Z
e : X ≃ₗc[R] Y
f : Y ≃ₗc[R] Z
⊢ (e.trans f).toCoalgebraCatIso = e.toCoalgebraCatIso ≪≫ f.toCoalgebraCatIso
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits i f
n : ℕ
⊢ Splits i (∏ _x ∈ Finset.range n, f)
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a).Separable
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso P
h₂ :
  ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S]
    [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
⊢ RingHom.StableUnderBaseChange P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
LocallyCompactSpace α
CompactSpace β
UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ Set.univ)
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
CategoryTheory.IsIso g
⊢ P (f ≫ g) ↔ P f
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (x : AlgebraicGeometry.IsAffine X), (AlgebraicGeometry.AffineScheme.mk X x).obj = X
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a * c = b → a = b / c
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_13, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_15, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_16, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_14, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap
    ρ₂₃.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
j : J
A : C₄
f g :
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F ρ₂₃.q X₁
      (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃) j ⟶
    A
h :
  ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h) g
⊢ f = g
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)!)) ^ 2
k : Type u
Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯ = (AlgebraicClosure.toStepSucc k n).comp (AlgebraicClosure.toStepOfLE k 0 n h)
α : Type u
f : Ultrafilter α
g : Filter α
hg : (↑f ⊓ g).NeBot
⊢ ↑f ≤ g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ s ^ n ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
f : Sigma σ → β
⊢ ∑ x ∈ s.sigma t, f x = ∑ a ∈ s, ∑ s ∈ t a, f ⟨a, s⟩
M : Type u_3
AddMonoid M
s : AddSubmonoid M
⊢ ↑s + ↑s = ↑s
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B C : Matrix n n α
Invertible A
⊢ B * A⁻¹ = C ↔ B = C * A
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ji : j' + i = 4 * n
⊢ 4 * n ≡ 0 [MOD 4 * n]
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ (α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv = (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
P : Prop
Decidable P
x : β → P → α
⊢ (∏' (b : β), if h : P then x b h else 1) = if h : P then ∏' (b : β), x b h else 1
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.rotateR x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, DifferentiableAt 𝕜 f y
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ ¬(mulSupport ((fun i => f (g i)) ∘ PLift.down)).Finite
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
h : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
⊢ (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = (Seq.map ret s).join ∧ s2 = s) (Seq.map ret s).join.destruct s.destruct
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
⊢ ⊤.FG
a : Ordinal.{u_1}
b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b < a ♯ c ↔ b < c
G : Type u
Monoid G
Fintype G
⊢ Finset.univ.lcm orderOf = Monoid.exponent G
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
C D E : CategoryTheory.Cat
F : C ⟶ D
G : D ⟶ E
X : ↑C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp F G).obj X = G.obj (F.obj X)
R : Type u_6
LinearOrderedSemiring R
a : R
⊢ ∃ x ≥ 0, a ≤ x * x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
x : M
⊢ ((((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) ((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x = ((F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x
R : Type u
CommGroup R
StarMul R
x y : R
⊢ star (x / y) = star x / star y
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
r : R
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * (algebraMap R A) r ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * (algebraMap R A) r) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
j : κ i
h : a ≤ f i j
⊢ a ≤ ⨆ i, ⨆ j, f i j
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(cosKernel (↑a) t)
α : Type u
β : outParam (Type u)
self : Mathlib.Tactic.Ring.CSLift α β
⊢ Function.Injective Mathlib.Tactic.Ring.CSLift.lift
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
self : LieAlgebra R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅x, t • y⁆ = t • ⁅x, y⁆
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
⊢ sign (Equiv.trans f g) = sign g * sign f
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
F : Type u_3
Field F
Algebra K F
Algebra.IsSeparable K F
FiniteDimensional K F
Algebra.IsSeparable K L
Algebra F L
Algebra.IsSeparable F L
FiniteDimensional F L
IsScalarTower K F L
x : 𝓞 L
⊢ (RingOfIntegers.norm K) ((RingOfIntegers.norm F) x) = (RingOfIntegers.norm K) x
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
s : α → Set β
⊢ (⋃ i ∈ t, s i).Nonempty ↔ ∃ i ∈ t, (s i).Nonempty
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
AddCommGroup E
NormedField 𝕝
Module 𝕝 E
AddCommGroup F
NormedField 𝕝₂
Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
RingHomIsometric τ₁₂
Nonempty ι
Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
⊢ ∀ {x : TopologicalSpace E},
  WithSeminorms p →
    ∀ {x_1 : TopologicalSpace F}, WithSeminorms q → ∀ (f : E →ₛₗ[τ₁₂] F), Seminorm.IsBounded p q f → Continuous ⇑f
α : Type u
ι : Sort w
minAx : Order.Frame.MinimalAxioms α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.X.roots = {0}
a b c : Ordinal.{u}
⊢ a < max (b.blsub fun a' x => a' ♯ c) (c.blsub fun b' x => b ♯ b') ↔ (∃ b' < b, a ≤ b' ♯ c) ∨ ∃ c' < c, a ≤ b ♯ c'
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
f : ι → Set α
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on f)
h : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (f i) μ
⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℕ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑a = ↑b
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
C : TensorAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((TensorAlgebra.ι R) x)
mul : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)
a : TensorAlgebra R M
s : Subalgebra R (TensorAlgebra R M) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : M →ₗ[R] ↥s := LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (TensorAlgebra.ι R) ι
⊢ C a
α : Type u_1
P : α → Prop
t : Ordnode α
x : α
⊢ Ordnode.All P t → P x → P (t.findMin' x)
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
e_1✝ : (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ X) = (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ X)
⊢ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.snd (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ≫ pullback.snd (𝒰.map i.fst) f
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ
⊢ ↑x = 0 ↔ p ∣ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α
hx : x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s
this : x ∈ s ∧ x ∈ t := Eq.mp Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.138 hx
⊢ (if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0) = (↑s.card)⁻¹
s : ℂ
⊢ term δ s 0 = if 0 = 1 then 1 else 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
G : Type u_1
Group G
⊢ (Subgroup.center G).toSubmonoid = Submonoid.center G
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(MeasurableSpace.countablePartition α n)
⊢ Measurable fun a => ⟨MeasurableSpace.countablePartitionSet n a, ⋯⟩
x y : ℝ*
⊢ (-x).InfinitePos → ¬(-y).InfiniteNeg → (-x + -y).InfinitePos
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ (n + 1)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.reverse = l.reverse.rotate (l.length - (l.length - n % l.length) % l.length + (l.length - n % l.length))
x y : ℝ
⊢ rexp (x - y) = rexp x / rexp y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
⊢ S.oneHypercover.toPreOneHypercover = S.preOneHypercover
X : Type u
TopologicalSpace X
K : Set X
l : Filter X
s : Set X
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ⊓ l
⊢ s ∈ 𝓝ˢ K ⊓ l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}
⊢ 1 y.1 • b y.2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α →ₘ[μ] β
H : f.toGerm = g.toGerm
⊢ ↑↑f = ↑↑g
α : Type u_3
Preorder α
self : PredOrder α
a b : α
⊢ a < b → a ≤ PredOrder.pred b
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
a b : ℕ
inst✝ : IsRightCancelAdd R
hle : a ≤ b
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [MOD p]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ f y = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc c b) μ
m n : ℕ
⊢ 1 < ack (m + 1) (ack (m + 1 + 1) n)
G : Type u_8
α : Type u_9
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
g : G
h_qmp : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => -g +ᵥ x) μ μ
h_ae_eq : s =ᵐ[μ] t
⊢ g +ᵥ s =ᵐ[μ] g +ᵥ t
α : Type u_1
s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
⊢ ⇑σ '' s = s
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → VAdd M (α i)
s : Set ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
c : M
f₁ g₁ : (i : ι) → α i
⊢ s.piecewise (c +ᵥ f₁) (c +ᵥ g₁) = c +ᵥ s.piecewise f₁ g₁
n : ℕ
⊢ Equiv.Perm.signAux 1 = 1
f : Bool → Bool
x : Bool
⊢ f (f (f x)) = f x
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
Zero Γ
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x + y ≠ 0
⊢ min x.order y.order ≤ (x + y).order
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
G.IsEquivalence
e : L.comp G ≅ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
F' : CategoryTheory.Functor D' H
α : F ⟶ L'.comp F'
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔
  (G.comp F').IsLeftKanExtension
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight e.inv F') (L.associator G F').hom))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k : ℕ
hk : 0 < k
b : ℕ
x✝ : b ≥ 1
⊢ b = b * k / k
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
⊢ (∀ (x : G), f₁ x = f₂ x) ↔ f₁ g = f₂ g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ
this : 2 * ↑π ≠ 0
⊢ ↑u * -↑s.im = ↑(u * (s.im / (2 * π)) * (-2 * π))
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ Nat.find ?hc ≤ n
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ lookup a (insert a b s) = some b
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ x ≤ limsup u f ↔ ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
⊢ MonoidHom.ker f = ⊥
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
S : Type u_7
Ring S
f : S →+* R
v : Valuation R Γ₀
s : S
⊢ (Valuation.comap f v) s = v (f s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α
⊢ {x} = Ici x
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1
⊢ ↑(spanSingleton S w) = ↑↑I⁻¹⁻¹
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
H : ∃ n, p n
m : ℕ
h : p m
⊢ Nat.find H ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
a b : α
⊢ s (f a) (f b) ↔ r a b