ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πY)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πY)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorMap f πX πY φ hφ)
    (CategoryTheory.SmallObject.πFunctorObj f πY) =
  CategoryTheory.SmallObject.πFunctorObj f πX
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
S : Set (Sublattice α)
⊢ a ∈ sInf S ↔ ∀ L ∈ S, a ∈ L
p : ℝ × ℝ
⊢ HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) ((cos p.2 • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (-p.1 * sin p.2) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).prod (sin p.2 • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 * cos p.2) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) p
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)
hy : (algebraMap O F) y ≠ 0
⊢ v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) y)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
a : δ
DecidableEq δ
⊢ Measurable fun p => Function.update p.1 a p.2
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} ≤ I
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
⊢ ↑(𝒜.sup id).card ≤ ↑𝒜.card * ↑s.card * ((↑m + 1) / ↑m)
X : Type u
Preorder X
a b c : X
hab : a ≤ b
hbc : b = c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.homOfLE hab) (CategoryTheory.eqToHom hbc) = CategoryTheory.homOfLE ⋯
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Z ⟶ Y
g : Z ⟶ X
H : f ≫ α.inv = g
⊢ f = g ≫ α.hom
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide x (v +ᵥ y) ↔ s.WOppSide x y
R K : Type u
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv : IsTranscendenceBasis R v
⊢ #K ≤ max (max #R #ι) ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β → γ
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ Set.image2 f s (⋂ i, t i) ⊆ ⋂ i, Set.image2 f s (t i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Fork f g
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
CategoryTheory.Epi c.ι
⊢ CategoryTheory.IsIso c.ι
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
j : X.affineBasisCover.J
hx : ↑x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base
i : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base ⊆ ↑U
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
S : Submonoid M
⊢ S = ⊥ ∨ Nontrivial ↥S
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
⊢ (B (v i)) (v j) = 0
α : Sort u
β : Sort v
F : Sort u_1
EquivLike F α β
e : F
⊢ ⇑e ∘ ⇑(↑e).symm = id
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
⊢ Irreducible (p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ Irreducible p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (image f s).Nonempty
g : β → α
⊢ (image f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s
⊢ ↑((cons b s hb).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist a b ≤ ‖a‖ + ‖b‖
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
this : ‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ = (2 * π)⁻¹
⊢ ‖(2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ 0 m = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
f_cont : SeqContinuous f
K : Set X
K_cpt : IsSeqCompact K
ys : ℕ → Y
xs : ℕ → X
xs_in_K : ∀ (n : ℕ), xs n ∈ K
fxs_eq_ys : ∀ (n : ℕ), f (xs n) = ys n
a : X
a_in_K : a ∈ K
phi : ℕ → ℕ
phi_mono : StrictMono phi
xs_phi_lim : Tendsto (xs ∘ phi) atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ a ∈ f '' K, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (ys ∘ φ) atTop (𝓝 a)
ι₁ : Sort u_3
ι₂ : Sort u_4
κ₁ : ι₁ → Sort u_5
κ₂ : ι₂ → Sort u_6
p : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → Prop
⊢ (∀ (i₁ : ι₁) (j₁ : κ₁ i₁) (i₂ : ι₂) (j₂ : κ₂ i₂), p i₁ j₁ i₂ j₂) ↔
  ∀ (i₂ : ι₂) (j₂ : κ₂ i₂) (i₁ : ι₁) (j₁ : κ₁ i₁), p i₁ j₁ i₂ j₂
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle y (x + y)).tan = ‖y‖
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ (f ^ n).translationNumber = ↑n * f.translationNumber
N M : ℤ
hNM : N ∣ M
⊢ ModularGroup.T ^ M ∈ CongruenceSubgroup.Gamma N.natAbs
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝¹ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
x✝ : ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖
hx : ‖x‖ < ε
⊢ x ∈ ball 0 ε
M : Type u_3
N : Type u_6
R : Type u_8
S : Type u_9
Group R
Group S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_10
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
h : F
c : R
t : Set N
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
S : Set α
⊢ compl '' (compl '' S) = S
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ Function.LeftInverse ⇑e.symm ⇑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ ∀ {X₁ X₂ : CategoryTheory.Dial C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : CategoryTheory.Dial C),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y).f =
    CategoryTheory.Limits.prod.map f.f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y.src)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
⊢ r S M (m1, s1) (m3, s3)
α : Type u
β : α → Type v
s : AList β
⊢ ⟦s⟧.keys.val = ↑s.keys
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ WeierstrassCurve.VariableChange.id.comp C = C
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
⊢ j ≤ i.castPred hi ↔ j.castSucc ≤ i
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
β : Type u_5
Zero β
S : Submodule R M
f : ι →₀ β
g : ι → β → M
h : ∀ (c : ι), f c ≠ 0 → g c (f c) ∈ S
⊢ f.sum g ∈ S
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsPath
h : u ∈ p.support
⊢ ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsPath
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ {p₄} ⊆ {p₄, p₅}
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
b : ℝ
x : ℝ
⊢ Real.logb b x⁻¹ = -Real.logb b x
R : Type u_7
S : Type u_8
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f g : R ≃+* S
⊢ f = g ↔ ↑f = ↑g
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (completedHurwitzZetaEven a) s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
h : ¬AEMeasurable X ℙ
⊢ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d
d' : ℝ≥0
hsd' : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d'
hd'd : d' < d
⊢ μH[↑d] s = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
⊢ ↑p ^ (n + 1) ⊆ ↑(p ^ (n + 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
f : 𝕜 → ℂ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => Complex.exp (f x)) s x = Complex.exp (f x) * derivWithin f s x
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.coclosedLindelof X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsLindelof s) compl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis p fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 S (s i)
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ GroupAlgebra.average k G * Finsupp.single g 1 = GroupAlgebra.average k G
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
⊢ ∀ x ∈ p₁.support, (f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₁ i ^ k) = f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₂ i ^ k
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
l : List α
p : Pairwise R l
⊢ pwFilter R l = l
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (α i)
x : (i : ι) → α i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (Measure.pi μ) (Metric.closedBall x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.closedBall (x i) r)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun x => (μs x).mass⁻¹ * (μs x).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f))
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (MeasureTheory.Measure.haarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
⊢ ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (C (p.coeff x)) * f X ^ x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
⊢ map Subtype.val atTop = atTop
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (volume.restrict (Ioc 0 Y))
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FormallyUnramified R A
C : Type u
CommRing C
Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker ↑f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
⊢ g₁ = g₂
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ t ∈ tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ y ∈ hd, y ∈ s ∨ y = -1
⊢ C hd.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ (γ.leftShift a n' hn').leftUnshift n hn' = γ
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
r s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ
f : r ⟶ s
⊢ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) s = (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) r ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * f.symm (f.toEquiv a✝) * (f.symm x)⁻¹ ∈ H)
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ LinearIndependent R Subtype.val
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p q r : ℝ
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
φ : α → 𝕜
hφ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable φ μ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (φ • f) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' φ q μ * MeasureTheory.eLpNorm' f r μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
c : ℝ≥0∞
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable f (c⁻¹ • μ) ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : X
⊢ (∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨1 - x_1, ⋯⟩ = x) ↔ ∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨x_1, h⟩ = x
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
⊢ restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.associator Y Z).hom.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd))
a b : ℤ
⊢ ↑(a.gcd b) ∣ ↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Unique ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ uniqueElim ⁻¹' Set.univ.pi t = t default
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
⊢ typesGlue S hs α (eval S α s) = s
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz (f ^ n)
R : Type u_3
A : Type u_7
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
n : Type u_9
i j : n
x : n → A
⊢ (QuadraticMap.proj i j) x = x i * x j
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ LinearMap.mulRight R a = 0 ↔ a = 0
α : Type u
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.SeparableSpace α ↔ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.IsStableUnderComposition
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : W f
hg : W g
⊢ W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yz a1 (n + 1) = Pell.xz a1 n + Pell.yz a1 n * Pell.az a
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ (μ.trim hm).FiniteSpanningSetsIn Set.univ
a b : Int
h : -a ≤ b
⊢ -b ≤ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
t : Set Y
⊢ closure (f ⁻¹' t) ⊆ closure (f ⁻¹' closure t)
x : ℂ
⊢ Complex.tan (x * Complex.I) = Complex.tanh x * Complex.I
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A B : C
f : A ⟶ B
F : C ⥤ D
CategoryTheory.IsIso (F.map f)
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Sort u_1
a : α
⊢ (Erased.mk a).out = a
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
⊢ v ∩ t n ∈ {s | ∃ u ∈ memPartition t n, s = u ∩ t n ∨ s = u \ t n}
m n p : ℕ
α : Type u_1
a : Fin m → α
b : Fin n → α
c : Fin p → α
⊢ Fin.append (Fin.append a b) c = Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ diam (s ∪ t)
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι
hJ : ∃ a ∈ π, J ∈ πi a
⊢ J ≤ I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
α : Type u_1
AddMonoid α
Preorder α
a b : AddUnits α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ { re := 0, im := 0 } = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
⊢ CauchySeq f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
⊢ LocPathConnectedSpace X
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).natDegree = p.natDegree + n