ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
G : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.StructuredArrow X F)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.fromStructuredArrow F G).pt = X
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
⊢ 𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) w = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / b)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}
⊢ S.Nonempty
a b : ℤ
h : a * b = 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
x : USize
⊢ x.toUInt64.toNat = x.toNat
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
⊢ a = 0 ∨ b = 0
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ≤ y ^ z ↔ log x ≤ z * log y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄, (∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ ((fun x => rexp (f x)) =Θ[l] fun x => rexp (g x)) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x - g x|
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ c * d' = 0 * d x + c * d'
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ (a ⊔ b) / c = a / c ⊔ b / c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.braiding Y).inv.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ComplementedLattice ↑(Set.Iic (p i))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
Z : D
U : C
iUY : U ⟶ Y
iZU : Z ⟶ G.obj U
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
⊢ Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves (G.obj U)
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
⊢ (x + (b + 2) * (n✝ + 1)) % (b + 2) :: (b + 2).digitsAux ⋯ ((x + (b + 2) * (n✝ + 1)) / (b + 2)) = x :: (b + 2).digitsAux ⋯ (n✝ + 1)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m β
arr : Array α
init : β
i : Nat
h : i ≤ arr.size
⊢ List.foldlM (fun x y => f y x) init (List.take i arr.data).reverse = Array.foldrM.fold f arr 0 i h init
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
s : Set G
MeasurableNeg G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsAddLeftInvariant
ν'.IsAddLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ μ' = (μ' s / ν' s) • ν'
α : Fin 2 → Type u_4
(i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
(i : Fin 2) → EMetricSpace (α i)
∀ (i : Fin 2), BorelSpace (α i)
∀ (i : Fin 2), SecondCountableTopology (α i)
d : ℝ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving ⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α) μH[d] μH[d]
f : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → s.any f = s.toString.data.any f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
⊢ w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ
⊢ Φ = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
⊢ s ∈ atBot
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M
⊢ equivMapDomain f (single a b) = single (f a) b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ s, a i ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a c))
t x : ℝ
n : ℕ
⊢ HasDerivAt (fun y => (x - y) ^ (n + 1)) (-(↑n + 1) * (x - t) ^ n) t
R : Type u
Semiring R
⊢ Function.Injective Polynomial.coeff
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0
⊢ (𝓝 x⁻¹)⁻¹ ≤ 𝓝 x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₁ i
hf₂ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₂ i
h₁ : AntivaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s
⊢ AntivaryOn (f₁ * f₂) g s
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ
n m : Nat
h : n < m
k : Nat
⊢ n + k < m + k
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
DecidableEq α
s : Finset α
h : Codisjoint p q
⊢ Finset.filter p s ∪ Finset.filter q s = s
τ : Type u_1
TopologicalSpace τ
AddMonoid τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
self : Flow τ α
x : α
⊢ self.toFun 0 x = x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Nat.floor ⁻¹' {n} = Set.Ico (↑n) (↑n + 1)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra R Q
inst✝ : IsLocalization M Q
f : S →+* Q
hf : f.comp (algebraMap R S) = algebraMap R Q
⊢ f = ↑(algEquiv M S Q)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
⊢ Function.Injective HomogeneousIdeal.toIdeal
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ × Dᵒᵖ} (x : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.prodOpEquiv C).inverse.map x =
    match x with
    | (f, g) => Opposite.op (f.unop, g.unop)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (Filter.liminf s Filter.atTop)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, IsOpen t ∧ SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s
X : CommRingCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
⊢ s.WSameSide x y ↔ s.WSameSide y x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ⊥.toSubmodule = ⊥
s : ℂ
X : ℝ
hs : 0 < s.re
hX : 0 ≤ X
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) volume 0 X
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
⊢ Indep (⨆ n, s n) (limsup s f) κ μα
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
y : M₂
x : M₁
hx : f x = y
⊢ (map f) ((ι Q₁) x) = (ι Q₂) y
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : (κ a) (s ×ˢ t) = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) (s ×ˢ t)
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → IsSolvable (minpoly F (α ^ n)).Gal → IsSolvable (minpoly F α).Gal
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)
⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x
z : ℂ
⊢ z ∈ circle ↔ Complex.normSq z = 1
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc (n + 1) 1 = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom ▷ Y
α : Type u_1
g : Set (Set α)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (generatePiSystem g) = MeasurableSpace.generateFrom g
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
Nonempty α
⊢ (Set.range ⇑f).restrict (Function.invFun ⇑f) = f.invOfMemRange
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
⊢ B.orthogonal W = ⊤ ↔ W = ⊥
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
⊢ Turing.ListBlank.append l₁ (Turing.ListBlank.mk l₂) = Turing.ListBlank.mk (l₁ ++ l₂)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Iio b = Set.Ioi (a - b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_2
LinearOrder α
OrderBot α
s : Finset α
⊢ s.min = ⊥ ↔ ⊥ ∈ s
α : Type u_1
ι : Sort u_11
f : ι → α
⊢ Set.range f = ⋃ i, {f i}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (𝓝 OnePoint.infty).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) fun s => OnePoint.some '' sᶜ ∪ {OnePoint.infty}
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
l : List (tsze R M)
⊢ l.prod.fst = (List.map TrivSqZeroExt.fst l).prod
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i
⊢ ⋃ i ∈ ↑(Finset.image f' t), b i ≤ U
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ ⇑e.toHomeomorph = ⇑e
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
⊢ T.entry = ⇑T
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
⊢ False
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Tendsto ((fun y => (y, a)) ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ ¬s.SSameSide x y
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ : ι → Set α
self : MeasureTheory.AECover μ l φ
i : ι
⊢ MeasurableSet (φ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
x v✝ : α
y : G.Adj a v✝
p : G.Walk v✝ a
hp : (cons y p).IsHamiltonianCycle
⊢ (List.count x (cons y p).support - if f x = (List.map (⇑f) (cons y p).support).head ⋯ then 1 else 0) = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
⊢ h.onDiag (lfp (lfp.comp h)) = lfp (lfp.comp h)
m : ℕ
ihn : ∀ m_1 < m + m + 1, m_1# ≤ 4 ^ m_1
⊢ (m + m + 1)# ≤ 4 ^ (m + m + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ f =ᵐ[μ.restrict s] g ↔ s.indicator f =ᵐ[μ] s.indicator g
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M
a✝ : ι
⊢ ((basisAux A b) (a ⊗ₜ[R] m)) a✝ = (a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)) a✝
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => -f x) x
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
g : M
S : Submodule R M
⊢ g ∈ -S ↔ -g ∈ S
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
⊢ (φ ⊔ ψ).Realize v ↔ φ.Realize v ∨ ψ.Realize v
a k n : ℕ
a_pos : 0 < a
i : ℕ
ih : (filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * i)))).card ≤ φ a * (i + 1)
⊢ (filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + (a * i + a))))).card ≤ φ a * i + φ a + φ a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ MonoidHom.mrange f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
self : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
⊢ m ∈ (↑self).carrier → ⁅x, m⁆ ∈ (↑self).carrier
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ Submonoid.closure s = MonoidHom.mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
⊢ StrictConvexOn ℝ s f
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ∀ (b : α), ¬Acc r b → ¬r b a
b : α
hr : r b a
⊢ Acc r b
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
k : ℕ
f : LaurentSeries V
x✝ : ℤ
h_lt : x✝ < order f - ↑k
⊢ Ring.choose (x✝ + ↑k) k • f.coeff (x✝ + ↑k) = 0
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ (const abv (f.lim * g.lim) - f * g).LimZero
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
b : β
v : Mathlib.Vector α n
f : α → β
⊢ b ∈ (Mathlib.Vector.map f v).toList ↔ ∃ a ∈ v.toList, f a = b
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ CompleteSpace α
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n
⊢ (aeval (zeta n A B)) (cyclotomic (↑n) A) = 0
R : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
StarRing R
S : NonUnitalStarSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s
⊢ f '' s₁ ⊂ f '' s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)
N : ℕ
hN : ∀ (p q : ℕ), p ≥ N → q ≥ N → (u (φ p), u (φ q)) ∈ V
⊢ False
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a
ι : Type u_2
s : ι → ↑(Iic a)
hb : ↑b ≤ iSup (Subtype.val ∘ s)
⊢ ∃ t, b ≤ ⨆ a_1 ∈ t, s a_1
α : Type u_1
l : List α
⊢ Quiver.SingleObj.pathToList (Quiver.SingleObj.listToPath l) = l
m n : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' true m n + 1 = (m + 1) * 2 ^ n
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
⊢ HasProd (fun n => f ↑n * f (-↑n)) (m * f 0)
n k : ℕ
⊢ n ^ k ≤ n.ascFactorial k
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h).inv)
    (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g).inv (F.map h))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).inv
        (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom)))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F✝ : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
F : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∃ s C, (normSeminorm 𝕝₂ F).comp f ≤ C • s.sup p
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
⊢ Submodule.comap f ⊤ = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
x y : PrimeSpectrum R
e : x ⤳ y
H : ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ x.asIdeal
⊢ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ y.asIdeal
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → R
⊢ ∏ i ∈ s, Ideal.span {I i} = Ideal.span {∏ i ∈ s, I i}
A✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedRing A✝
inst✝⁹ : StarRing A✝
inst✝⁸ : CstarRing A✝
inst✝⁷ : CompleteSpace A✝
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝⁵ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
x : ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ ↑x ∈ σ ℂ a ↔ x ∈ σ ℝ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : StrongLT 0 g
i j : ι
⊢ g⁻¹ j < g⁻¹ i → f i ≤ f j ↔ g i < g j → f i ≤ f j
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
inst✝ : IsIso f
⊢ f ≫ g = 0 ↔ g = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X Y : Set α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.Basis (I ∪ J) (X ∪ Y)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Iio x, 0 = 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : p
⊢ ⨅ (h : p), f h = f hp
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
g✝ : M
⊢ g✝ * a⁻¹ = a⁻¹ * g✝
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ x.1 ∈ e.baseSet