ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
⊢ comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) = (Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃
α : Type u_2
AddGroup α
b : α
⊢ (fun x => x + b) ⁻¹' 0 = {-b}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
y : ↥(LinearMap.ker f')
⊢ ↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) (↑y + a) = (f (↑y + a), y)
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
x y : M
FunLike F M N
AddHomClass F M N
h : AddCommute x y
f : F
⊢ AddCommute (f x) (f y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
⊢ l.formPerm.SameCycle (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) (l.get ⟨indexOf b l, hb⟩)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.IsIntegral X ↔ IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ∧ AlgebraicGeometry.IsReduced X
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x, y + z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : 0 ≤ re 0
hz_im : 0 ≤ im 0
⊢ ‖f 0‖ ≤ C
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
⊢ NonUnitalRingHom.srange (NonUnitalRingHom.fst R S) = ⊤
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (Metric.thickening R s) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (Metric.thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
⊢ pointedToBipointedSnd ⋙ Bipointed.swap = pointedToBipointedFst
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
n : ℕ
⊢ χ.ringHomComp f ^ n = (χ ^ n).ringHomComp f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f g)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.lanDesc s)) =
  s.unit
⊢ polarCoord.target = Set.Ioi 0 ×ˢ Set.Ioo (-Real.pi) Real.pi
α : Type u_3
LinearOrder α
⊢ NoTopOrder α ↔ NoMaxOrder α
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f S ⊔ AddSubsemigroup.map f T) = S ⊔ T
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s s'
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ (Stream'.take n.succ s).get? n = some (s.get n)
m n : ℤ
⊢ Odd (m + n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = 0
⊢ a = 0 ∧ b = 0
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ
v' : Finset ℕ
hv' : u.preimage Nat.cast ⋯ ∪ u.preimage Int.negSucc ⋯ ⊆ v'
x : ℤ
hx : x ∈ u
⊢ x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v'
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
hb' : Odd (b % (4 * a))
e a' : ℕ
ha₁' : ¬2 ∣ a'
ha₂ : a = 2 ^ e * a'
⊢ J(↑a | b) = J(↑a | b % (4 * a))
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
β : OreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r /ₒ s)
⊢ ∀ (q : OreLocalization S X), β q
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] fun x => rexp (t * X x)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ Finset.powersetCard n s, ¬ThreeAPFree ↑t
⊢ addRothNumber s < n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.snd = k ≫ t.snd
⊢ h ≫ t.snd ≫ g = k ≫ t.snd ≫ g
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.63403, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.63407, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ mn + a = a''
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇨ b ⊓ c = (a ⇨ b) ⊓ (a ⇨ c)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
x y : M₂'
⊢ ((((toLinearMap₂ b b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = ((((toLinearMap₂ b b) M).compl₁₂ ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m✝ : Language α
a b x : List α
l m : Language α
⊢ (l * m).reverse = m.reverse * l.reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
x : α
⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E
⊢ Balanced 𝕜 s ↔ Metric.closedBall 0 1 • s ⊆ s
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm =ᶠ[𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x] ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
a b : X
⊢ a ≈ b → f a = f b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N
⊢ Surjective ⇑?refine_1
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => μ ((fun y => y + x) ⁻¹' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ X
n : ℕ
⊢ (⇑(toPerm e))^[n] = (⇑e)^[n]
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
h : ε₁ ≤ ε₂
⊢ EMetric.ball x ε₁ ⊆ EMetric.ball x ε₂
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ 𝓝 (↑e.symm (↑e x)) = 𝓝 x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h
i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
⊢ IsPreirreducible S ↔ S.Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l k₁ k₂
⊢ IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
b : β
⊢ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} ↔ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map v f, n ≤ a}
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
CompleteSpace β
T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)
⊢ pkg.extend f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
e : α → β
ν : MeasureTheory.Measure β
h₁ : MeasureTheory.MeasurePreserving e μ ν
h₂ : MeasurableEmbedding e
f : β → E
s : Set α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (e '' s) ν ↔ MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) s μ
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
this : StrongEpi e
⊢ image.ι φ = i
a b : ℕ+
⊢ (uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u + 1, w} C
CategoryTheory.HasWeakSheafify (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (Condensed.discrete C).map f =
    (CategoryTheory.presheafToSheaf (CategoryTheory.coherentTopology CompHaus) C).map
      ((CategoryTheory.Functor.const CompHausᵒᵖ).map f)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
hs : (FirstOrder.Language.Substructure.map f.toHom s).FG
⊢ s.FG
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
⊢ Continuous f → Continuous fun x => ‖f x‖
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x : L₂
⊢ e (e.symm x) = x
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
H : Subgroup α
⊢ ∀ (a₁ a₂ : ↥H), (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂
M : Type u_2
N : Type u_3
CommMonoid M
CommMonoid N
p : Prop
f : M →* N
g : p → M
⊢ f (∏ᶠ (x : p), g x) = ∏ᶠ (x : p), f (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ 0 < (↑3 * (69 / 50)) ^ 2
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
⊢ ↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K
⊢ (ComponentCompl.supp C).Infinite ↔ C ∈ G.componentComplFunctor.eventualRange K
x : ℝ
⊢ Real.arctan x < Real.pi / 2
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
o : Ordinal.{u_1}
h : o < type s
⊢ o < type r
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
⊢ ∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i • (fun g i => f i (g i)) i = x
α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ l₁ l₂✝ : List α✝
a✝ : α✝
h : l₁ <+ l₂✝
⊢ l₁.reverse <+ (a✝ :: l₂✝).reverse
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∃ x y, p x y) ↔ ∃ y x, p x y
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSMul G α
c : G
⊢ (MeasurableEquiv.smul c).symm = MeasurableEquiv.smul c⁻¹
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1
⊢ a = 1 ∨ a = -1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hsum : Summable fun n => ‖(riemannZetaSummandHom ⋯) n‖
⊢ ∑' (b : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) (b + 1) = ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X} ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E}
p : ℕ+
pp : p.Prime
⊢ ¬p ∣ 1
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : Set.MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ ∃ y ∈ s,
  Function.IsFixedPt f y ∧
    Filter.Tendsto (fun n => f^[n] x) Filter.atTop (𝓝 y) ∧
      ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0
heq : ∀ x ∈ [[a, b]], x * x⁻¹ = 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E
⊢ (uniqueBaseOn I E).Basis (X ∩ I) X
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : MonoidAlgebra R M
ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f
ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = g
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f + g
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
⊢ ((f fun x_1 => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) = (f fun x_1 => x) fun x => y
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
⊢ ((traceForm K L) x) y ∈ 1
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
⊢ ‖x ⊓ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
r : R
⊢ p * Polynomial.X ^ n * Polynomial.C r = p * Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing B
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsFractionRing R S
⊢ S
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a < b → beth a < beth b
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
hr : edist x y ≤ r
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑K * r
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
p : α × α
h : typein s p < type s
⊢ typein s p < type r
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f (v + v₀) ∂μ = ↑(e ((L v₀) w)) • ∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f v ∂μ
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A
⊢ a * b * (a * a) = a * (b * (a * a))
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)
⊢ Disjoint ↑I ↑J ↔ Disjoint I J
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : Semiring R₁
inst✝²⁰ : Semiring R₂
inst✝¹⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R₁ M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M'₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝³ : Module R₁ M₂
inst✝² : TopologicalSpace R₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝ : ContinuousMul R₁
x : M₂
c : R₁
⊢ ((smulRight 1 x).comp (smulRight 1 c)) 1 = (smulRight 1 (c • x)) 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
h_int_eq : ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ = ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)) =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (g x) / ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous ⇑(∑ i ∈ s, (C • p) i)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.subtype.ker = ⊥
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a / (a / a) = a
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Q : QuadraticForm K V
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (associated Q)
⊢ ∃ w, Equivalent Q (weightedSumSquares K w)
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
VAdd M α
VAdd M β
a : M
c : β
⊢ a +ᵥ Sum.inr c = Sum.inr (a +ᵥ c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
h : Fintype.card α ∣ i
⊢ x = y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure (c • μ)