ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
⊢ LinearEquiv.rTensor N f ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor P g = TensorProduct.congr f g
b : ℕ
h : 1 < b
x y : ℕ
hxb : x < b
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ b.digits (x + b * y) = x :: b.digits y
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X : DifferentialObject S C
⊢ autoParam ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (𝟙 X.obj) = 𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X.obj)) _auto✝
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
a : Ordinal.{u}
ha : ∀ b < o, (beth b).ord ≤ a
⊢ (beth o).ord ≤ a
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
⊢ (cauSeqConj f).lim.im = ((starRingEnd ℂ) f.lim).im
z : ℂ
⊢ (↑z).imJ = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, -C < deriv (fun y => -f y) x
⊢ f y - f x < C * (y - x)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
α : Type u_1
I B X E : Set α
M : Matroid α
hM : ∃ M_1, E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I
⊢ ∀ ⦃I J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → M.Indep I
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ sign (-a) = -sign a
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
i : 𝒰.J
⊢ CompactSpace ↑(Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
P P' : TopCat → Prop
h : ∀ (X : CompHausLike P), P X.toTop → P' X.toTop
⊢ ∀ {X Y : CompHausLike P} (f : X ⟶ Y), (CompHausLike.toCompHausLike h).map f = f
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : p x = true
⊢ List.takeWhile p (x :: l) = x :: List.takeWhile p l
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t
ht₂ : t ∈ image (fun v => G.degree v) univ
⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
h₁ : R a✝ b✝
h₂ : Forall₂ R l₁✝ l₂✝
⊢ Forall₂ R (l₁✝.reverse ++ [a✝]) (l₂✝.reverse ++ [b✝])
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : SMul.smul n (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ i ∈ univ, n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))
⊢ SMul.smul n (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.248221
S' : Type ?u.248224
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.250655
S'' : Type ?u.250658
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : { f // ∀ (x : P.Ring), (aeval P'.val) (f x) = (algebraMap S S') ((aeval P.val) x) }
i : P.vars
⊢ (aeval P'.val) ((fun i => ↑f (X i)) i) = (algebraMap S S') (P.val i)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
⊢ ↑(a /. b) = ↑a / ↑b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
p : ι → Prop
l : Filter α
h : ∀ {s : Set α}, s ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s ∈ f i
⊢ l = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
x : List α
⊢ x ∈ M.accepts ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
PartialOrder β
gi : GaloisInsertion l u
b : β
⊢ l (u b) = b
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
x : G
⊢ ↑x = 0 ↔ x ∈ N
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (Filter.limsup s Filter.atTop)
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0
⊢ ↑m * Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i
k : J
g : k ⟶ j
hg : F.eventualRange j = range (F.map g)
x : F.obj i
hx : x ∈ F.eventualRange i
⊢ x ∈ F.map f '' range (F.map g)
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝ } ^ n).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp ^ n
α : Sort u_1
Setoid α
a : α
⊢ ⟦a⟧.out ≈ a
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z < 0
⊢ 1 ≤ x ^ z
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ aleph' o = ⨆ a, aleph' ↑a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₂ : α
b₁ : β
⊢ Finset.Ioo (Sum.inr b₁) (Sum.inl a₂) = ∅
G : Type u_1
Monoid G
a : G
ha : IsOfFinOrder a
⊢ Nat.card ↑↑(Submonoid.powers a) ≤ orderOf a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
⊢ add' W (add' W f₁ f₂) f₃ = add' W f₁ (add' W f₂ f₃)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
⊢ generate (range Ici) = generate (Ici '' s)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S ^ 2 = 1
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
⊢ StrictMono SetLike.coe
n : ℕ
⊢ n < n.sqrt.succ * n.sqrt.succ
R : Type u_3
M : Type u_4
AddZeroClass R
AddZeroClass M
P : tsze R M → Prop
inl_add_inr : ∀ (r : R) (m : M), P (TrivSqZeroExt.inl r + TrivSqZeroExt.inr m)
x : tsze R M
⊢ P x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 Prod.snd p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ Tendsto f l atBot
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
s : Finset ι
⊢ s.piAntidiag 0 = {0}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove (norm ∘ f '' (re ⁻¹' {z.re}))
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : Z.TotalSpace
⊢ p ∈ (Z.localTriv i).source ↔ p.proj ∈ (Z.localTriv i).baseSet
α : Type u_1
Preorder α
⊢ StrictMono fun a => ↑a
n : ℕ
f : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Set.InjOn f.signBijAux ↑(Equiv.Perm.finPairsLT n)
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsPreconnected s ↔ ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
h : ↑n < f.translationNumber
x : ℝ
⊢ x + ↑n < f x
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
GradedMonoid.GMul A
x y : GradedMonoid A
⊢ (x * y).snd = GradedMonoid.GMul.mul x.snd y.snd
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ↑x = 0 ↔ ↑x = 0
α : Sort u
Subsingleton α
e : Equiv.Perm α
⊢ e = Equiv.refl α
R : Type x
Ring R
a : R
NoZeroDivisors R
⊢ a ^ 2 = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : M
⊢ Monoid.Coprod.toProd (Monoid.Coprod.inl x) = (x, 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Indep X ∨ M.Dep X
x : ↑unitInterval
⊢ ↑(unitInterval.symm x) = 1 - ↑x
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
⊢ Polynomial.eval 1 (Polynomial.cyclotomic n R) = 1
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
⊢ (f * g) ∣[k1 + k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ι⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ i ∈ u, s i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter = ⨅ i, Filter.comap (⇑(p i)) (𝓝 0)
M : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : α → M
l : Filter α
c : M
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
a : X
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • a) l (𝓝 (c • a))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ weightedVSubVSubWeights k i j j = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a
⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.relindex H = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
⊢ (κ + η).withDensity f = κ.withDensity f + η.withDensity f
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioi a ⊂ Set.Ici a
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : Fact (μ A < ⊤)
V : Set α
V_open : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
⊢ ∃ K ⊆ V, IsClosed K ∧ r < (μ.restrict A) K
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : Set E
t : ι → Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (⋃ i, t i) = ⋃ i, convexJoin 𝕜 s (t i)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
⊢ False
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
⊢ List.filter p l₁ ~ List.filter p l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane
⊢ ContinuousAt log x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : 𝓤 γ = 𝓤 γ
⊢ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
hX : M.Coindep X
⊢ M✶.Indep X
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f c) atTop (𝓝 (f c))
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ ⊥ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
⊢ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0) ↔
  Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x))) L (𝓝 0)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17959, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.17963, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X : Grothendieck F
⊢ (F.map (𝟙 X).base).obj X.fiber = X.fiber
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : PosNum
⊢ ↑↑n = ↑n
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ f x = max (f x) 0 - max (-f x) 0
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ (lift (constOfIsEmpty R s 1)) (r • x) = (RingHom.id R) r • (lift (constOfIsEmpty R s 1)) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedDivisionRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
h₀ : 0 ∈ s
⊢ Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x => c • x) t s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
hf : BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s
⊢ ↑(image f (s.preimage f ⋯)) = ↑s
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = π / 2
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
⊢ (b - a) • slope f a b = f b -ᵥ f a
α : Type u_1
G : Type u_9
DivisionMonoid G
f : α → G
⊢ (Function.mulSupport fun x => (f x)⁻¹) = Function.mulSupport f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis (range fun i => ↑i)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
hb' : b = range fun i => ↑i
s : Set ↑b
hs : s.Finite
hU : U = ⋃ i ∈ s, ↑i
this : Finite ↑s
x✝ : Fintype ↑s := Fintype.ofFinite ↑s
⊢ ∃ s, U = ⋃₀ (Subtype.val '' ↑s)
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fun y => 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T) = fun x => x * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.L
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.left a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.left a✝)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => f x / g x) x₀
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
Field K
LieAlgebra K L
Module K M
LieModule K L M
FiniteDimensional K M
LieAlgebra.IsNilpotent K L
LieModule.LinearWeights K L M
LieModule.IsTriangularizable K L M
⊢ LieModule.traceForm K L M =
  ∑ χ : LieModule.Weight K L M,
    FiniteDimensional.finrank K ↥↑(LieModule.weightSpace M ⇑χ) •
      (LieModule.Weight.toLinear K L M χ).smulRight (LieModule.Weight.toLinear K L M χ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
⊢ Multiset.map g (toMultiset 0) = toMultiset (mapDomain g 0)
x y : ℤ
x' y' d : ℕ
hx : x.natAbs = x'
hy : y.natAbs = y'
h : x'.lcm y' = d
⊢ x.lcm y = d
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
x y : M
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ SameRay R (e x) (e y) ↔ SameRay R x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
H : m.WF
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.mapVal f m).WF
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
⊢ Matrix.diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.min ∈ insert ⊤ (Finset.image WithTop.some s)
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
x : ↑X
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y
q : f x ∈ U
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.map f x).obj { obj := U, property := q } =
  { obj := (TopologicalSpace.Opens.map f).obj U, property := q }
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ BddBelow {a}
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₂ n₁ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
hn : n₁ ≤ n₂
⊢ n₂ = n₁
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : i0 ≤ pred^[n] i0
⊢ -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi c, t ^ a = -c ^ (a + 1) / (a + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : E → 𝔸
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
m : ℕ
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun y => f y ^ m) s
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
b : β
hb : IsAtom (u b)
⊢ IsAtom b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹) =o[atTop] fun x => (x * 1)⁻¹
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ e.counitInv.app (e.functor.obj X) ≫ e.functor.map (e.unitInv.app X) = 𝟙 (e.functor.obj X)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℕ
n : ℕ
⊢ s.sum % n = (map (fun x => x % n) s).sum % n
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
g : ι' → Cardinal.{v}
hg : BddAbove (range g)
⊢ (⨆ i, f i) + ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i + g j
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ -(J l R * Aᵀ * J l R * A) = -J l R * (Aᵀ * J l R * A)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
f : ι → Filter (Filter α)
x : Set α
⊢ x ∈ ⨆ x, (f x).join ↔ x ∈ (⨆ x, f x).join
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a : α
⊢ a - a = 0
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.intDegree 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
a : α
⊢ (if a ∈ s then f a else 0) ≤ f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
⊢ f.augmentedCechConerve.left = f.left
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
DecompositionMonoid R
x : R
hx : Squarefree x
⊢ IsRadical x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
Ixx : α → α → Set α
p : α → α → Prop
Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b
Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ i j, p (f i) (g j) ∧ Ixx (f i) (g j) = S}
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (g_nat 1 a t) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))