ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 => f (x.1, x_1.2 - x.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : SmoothWithinAt I' I'' g t (f x)
hf : SmoothWithinAt I I' f s x
st : Set.MapsTo f s t
⊢ SmoothWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ (HNNExtension.NormalWord.unitsSMulEquiv φ) w = HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ 1 w
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α
PosSMulReflectLT α β
⊢ PosSMulMono α β
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Iic a ∩ Set.Ici b = Set.Icc b a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z = 0
⊢ W'.add P Q = -(Q x * P z) • P
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ log x < log y
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
a b : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X a b
⊢ (FreeLieAlgebra.liftAux R f) a = (FreeLieAlgebra.liftAux R f) b
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedRing 𝔹
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔹
CompleteSpace 𝔸
F : Type u_4
FunLike F 𝔸 𝔹
RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf : Continuous ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ f (NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
⊢ IsBigOWith c l (fun x => (g x)⁻¹) fun x => (f x)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α
hgx : g x = x
⊢ (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x * g.cycleOf x
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ l ≠ []
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ o.cof = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
⊢ ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), induced (restrict K) compactOpen ≤ compactOpen
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
⊢ s ⊆ t
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(φ i)
⊢ Nonempty (Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ LinearMap.range (PiTensorProduct.map f) = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
s✝ : Finset ι
f : ι → Set α
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hs : (s.sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
⊢ ((cons a s ha).sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l₀ l₁ : List (Sigma β)
nd₀ : l₀.NodupKeys
nd₁ : l₁.NodupKeys
h : ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x l₀ ↔ y ∈ dlookup x l₁
x✝ : Sigma β
a : α
b : β a
⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₀ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₁
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap T (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' T a s) = LocalizedModule.mk ((algebraMap R A) a) s
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂
⊢ MeasureTheory.Measure.mkMetric m₁ ≤ MeasureTheory.Measure.mkMetric m₂
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ log 2 * ↑(nValue N) ≤ log ↑N
α : Type u
⊢ FreeRing.castFreeCommRing = Functor.map fun l => ↑l
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ dist f g = (eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf✝ : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β
hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z
hf' : (¬f (ωSup c) ≤ z) = ωSup (c.map { toFun := fun x => ¬f x ≤ z, monotone' := ⋯ })
⊢ ¬{ toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ¬ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
⊢ ProperSMul G X ↔
  ContinuousSMul G X ∧
    ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X),
      Filter.Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) →
        ∃ g, g • x₂ = x₁ ∧ Filter.Tendsto Prod.fst (↑𝒰) (𝓝 g)
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n
⊢ (range fun x => x ^ n) = ⇑NNRat.coeHom '' range fun x => x ^ n
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Preorder M
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → M
hf : Monotone f
⊢ Monotone fun a => f a ^ 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ ⇑(pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ∘ ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsOpenMap ⇑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
s : Finset α
f : α → Set β
x : α
h : x ∈ s
⊢ f x ≤ ⨆ (_ : x ∈ s), f x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
u : Set ι
h : ∃ n ∈ u, ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s n) s' κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (⋂ n ∈ u, s n) s' κ μ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L
⊢ (__spread✝⁻⁰.toFun ⁅x, y⁆) z = ⁅__spread✝⁻⁰.toFun x, __spread✝⁻⁰.toFun y⁆ z
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x} ⊆ (convexHull R) (Set.range v)
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Lattice β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.uIcc (a₁, b₁) (a₂, b₂) = Finset.uIcc a₁ a₂ ×ˢ Finset.uIcc b₁ b₂
α : Type u_1
Zero α
a : α
⊢ SymAlg.sym a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ Subalgebra.map f ⊤ = f.range
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ Set.range ⇑e = Set.univ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n
hn : nth p (count p a) < a
⊢ False
θ : Real.Angle
⊢ (↑(π / 2) - θ).sin = θ.cos
X Y : BoolRing
f : ↑X →+* ↑Y
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.map f = f.asBoolAlg
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ Set.SurjOn P.part ↑s ↑P.parts
α : Sort u_1
p : α → Prop
a' : α
⊢ (∀ (a : α), a' = a → p a) ↔ p a'
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
δ : Type u_1
inst✝ : Monad m
f : α × β → δ → m (ForInStep δ)
key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : ∀ (init : δ), tail✝.forIn init f = List.forIn.loop f tail✝.toList init
init : δ
⊢ (fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₂
hf : f ≫ T.mor₂ = 0
a : (contractibleTriangle X).obj₁ ⟶ T.obj₁
ha₁ : (contractibleTriangle X).mor₁ ≫ f = a ≫ T.mor₁
right✝ : (contractibleTriangle X).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = 0 ≫ T.mor₃
⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
this : ContinuousOn f (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo a b) → Tendsto f (𝓝[⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Iio b] b) (𝓝 lb) → ContinuousOn (extendFrom (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo a b) f) (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc a b)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ioc a b)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i =>
      ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ =
  ‖g‖
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
x : L
m : M
n : N
⊢ ⁅x, m ⊗ₜ[R] n⁆ = ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] n + m ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
⊢ (HomologicalComplex₂.flipEquivalence C c₁ c₂).inverse = HomologicalComplex₂.flipFunctor C c₂ c₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
hx₂ : x₁ ∈ s₂
heq : f x₁ = f x₁
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n
⊢ CauchySeq f
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑x = ↑(Exists.choose ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₁ : α → γ
hgm₁ : Measurable g₁
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₁
⊢ AEMeasurable g (Measure.map f μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
⊢ (uniformOfFintype α).toOuterMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.rightAngleRotation (o.rightAngleRotation x) = -x
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
ys : Fin m → α
n' : ℕ
h : n' = n
⊢ Fin.append (xs ∘ Fin.cast h) ys = Fin.append xs ys ∘ Fin.cast ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X : C
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).obj (Sum.inl (Sum.inl X)) = Sum.inl X
n : ℕ
⊢ Complex.exp (↑n * (2 * ↑Real.pi * Complex.I)) = 1
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (-2) = 2 * Polynomial.X ^ 2 - 1
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ i : ℕ
hi : i ∈ range (n✝ + 1)
⊢ x ^ (n✝ - i) * y ^ (n✝ - (n✝ - i)) = y ^ i * x ^ (n✝ - i)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
F G : L →ᴸ L'
h_fun : F.onFunction = G.onFunction
h_rel : F.onRelation = G.onRelation
⊢ F = G
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAnti f
⊢ f '' Set.Ioc a b ⊆ Set.Ico (f b) (f a)
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : ↥s
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi (f ≫ g)
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : f ≫ g ≫ a = f ≫ g ≫ b
⊢ a = b
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalAddHom f i) g = g i
α : Type u
ι : Type v
MetricSpace α
ProperSpace α
c : ι → α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
uf : ∀ (x : α), {i | x ∈ Metric.ball (c i) (r i)}.Finite
uU : ⋃ i, Metric.ball (c i) (r i) = Set.univ
⊢ ∃ r', ⋃ i, Metric.ball (c i) (r' i) = Set.univ ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Set.Ioo 0 (r i)
α : Type u_2
⊢ CompleteLatticeHom.setPreimage id = CompleteLatticeHom.id (Set α)
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ IsClosed {x | a ≤ x}
n : ℕ
⊢ ∀ (a : Fin n), Fin.castSuccOrderEmb a = a.castSucc
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ inr ≫ map f g = g ≫ inr
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
x✝ : c.Rel i j
⊢ P.p.f i ≫ P.X.d i j = (P.p.f i ≫ P.X.d i j) ≫ P.p.f j
G : Type u
Group G
s : Subgroup G
t : Set (G ⧸ s)
⊢ Nat.card ↑(QuotientGroup.mk ⁻¹' t) = Nat.card ↥s * Nat.card ↑t
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ {1} ⊆ coeffs 1
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.divX_hom p = p.divX
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ ⇑χ = 0 ↔ χ.IsZero
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cocone F.rightOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeRightOp c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeRightOp c).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeRightOpOfCone s)).unop) s
k n : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.pow k) n = if k = 0 ∧ n = 0 then 0 else n ^ k
F : Type u → Type u
self : QPF F
α β : Type u
f : α → β
p : ↑(QPF.P F) α
⊢ QPF.abs ((QPF.P F).map f p) = f <$> QPF.abs p
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
ha : IsTop a
h : a ≤ b
⊢ IsTop b
n : ℕ
⊢ Nat.card (DihedralGroup n) = 2 * n
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
T3Space M
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
g : κ → M
s : R
t u : M
hf : HasSum f s
hg : HasSum g t
hfg : HasSum (fun x => f x.1 • g x.2) u
⊢ s • t = u
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Stream'.WSeq α
t : Stream'.WSeq β
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R s t →
  Computation.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRelO R (Stream'.WSeq.LiftRel R)) s.destruct t.destruct
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
⊢ powersetCard 1 ⟦l⟧ = map singleton ⟦l⟧
B : Type u_4
F : Type u_5
x : B × F
⊢ ((Bundle.TotalSpace.toProd B F).symm x).proj = x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
x : α
hx1 : g x = g' x
hx2 : f x = f' x
⊢ f x - g x = f' x - g' x
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
count_ℬ : ℬ.Countable
⊢ (generateSetAlgebra 𝒜).Countable
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (Finsupp.single b 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) b) = 0
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.map p =
  p j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι g j
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ ∀ (a : G), ∀ i ∈ toFilterBasis, a ∈ (fun y => a * y) '' id i
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ b.equiv b (Equiv.refl ι) = LinearEquiv.refl R M
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
⊢ (erase n p).coeff n = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).counitIso.inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) = InnerProductGeometry.angle y (y - x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ PresheafOfModules.Hom.app 0 X = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬IsSuccLimit x
⊢ x ∈ s
n d : ℕ
a : Fin n.succ → ℕ
⊢ (Behrend.map d) a % d = a 0 % d
X : AddCommGrp
⊢ AddCommGrp.uliftFunctor.obj X = AddCommGrp.of (ULift.{v, u} ↑X)
S : Type v
CommRing S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
⊢ MvPolynomial.eval₂ c (⇑f ∘ MvPolynomial.X) x = f x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
o : Type u_3
Fintype o
DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (Matrix.blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α
⊢ x ∈ l.reduceOption ↔ some x ∈ l
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p.content = 0
⊢ p.primPart.content = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
⊢ f.invFun = ⇑f.symm
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Set.Ioc a₂ b ⊆ Set.Ioc a₁ b
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x + g) μ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
⊢ f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = 𝟙 W
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.Icc 1 n, x.factorial = n.superFactorial