ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x
hle : (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G) ≤ injectiveSeminorm
⊢ ‖((toDualContinuousMultilinearMap ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap))) x) f'‖ ≤ ‖f'‖ * ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
y_pos : 0 < y
⊢ log x * x ≤ log y * y
G : Type u
Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (Action.leftRegular G) X).V
⊢ (Action.leftRegularTensorIso G X).hom.hom g = (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsUnit ↑(IsFractionRing.den A 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : (CategoryTheory.Functor.id C).obj X ⟶ (CategoryTheory.Functor.id C).obj Y),
  (CategoryTheory.Functor.FullyFaithful.id C).preimage f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
f : α ≃o β
⊢ lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f) (lowerClosure s)
x : ℝ
hx : x ≤ -1
⊢ Real.arccos x = π
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
w : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasColimit.isoOfNatIso w).inv ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F t =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc G ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose w.inv).obj t)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)
hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤
r : R
hr : r ∈ s
⊢ (algebraMap S (Localization.Away ↑⟨f r, ⋯⟩)).comp f = (Localization.awayMap f ↑⟨r, hr⟩).comp (algebraMap R (Localization.Away r))
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
⊢ b ∈ Turing.eval f a ↔ Turing.Reaches f a b ∧ f b = none
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
AddCommMonoid T
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
Module R T
f : M →ₗ[R] P →ₗ[R] Q
g : N →ₗ[R] S →ₗ[R] T
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.map₂ f g) (m ⊗ₜ[R] n) = TensorProduct.map (f m) (g n)
q : ℍ
hq : q.re = 0
⊢ NormedSpace.exp ℝ q = ↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q
α : Type u_1
OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
ha : Disjoint a c
hb : Disjoint b c
⊢ Disjoint (a ⊔ b) c
θ : Real.Angle
⊢ |θ.toReal| = π / 2 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ x - ↑x.zmodRepr ∈ LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p]
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
⊢ dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = (s.ι i ≫ R.map h.op) ≫ α.app (op W)
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
z : ℂ
⊢ z ∈ spectrum ℂ ((gelfandTransform ℂ A) a) ↔ z ∈ spectrum ℂ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι
i : ι
⊢ p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s) ↔ i ∈ s
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
t : ℝ
⊢ γ t = ((γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt) t
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ ContinuousWithinAt f (TotalSpace.proj ⁻¹' s) z
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
Fintype α
⊢ Finset.univ.compls = Finset.univ
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ ∑ j : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n, Affine.Simplex.pointWeightsWithCircumcenter i j = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
a : α
s : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ a • ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, a • s i j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedRing 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • y ∈ interior s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n
hg_cau : CauchySeq g
this : Tendsto (fun n => (g n).compContinuous e) atTop (𝓝 ((limUnder atTop g).compContinuous e))
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) l₁ l₂
⊢ l₁.sum ≤ l₂.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
h_ne_top : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≠ ⊤
⊢ preCDF ρ r a ≤ preCDF ρ r' a
n : ℕ
⊢ 0 < fib n ↔ 0 < n
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet
L : F₁ →SL[σ] F₂
⊢ (Pretrivialization.continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L =
  (Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ b).comp (L.comp (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ b))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
hpq : p ≤ Submodule.comap f q
hqr : q ≤ Submodule.comap g r
⊢ Function.Exact ⇑(p.mapQ q f hpq) ⇑(q.mapQ r g hqr) ↔ LinearMap.range g ⊓ r ≤ Submodule.map g q
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
⊢ X.isoSpec.hom = AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Add M
Add N
Add P
g : AddHom N P
f₁ f₂ : AddHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.X - 1)
n : Nat
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i ≤ j.castSucc ↔ i < j.succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : { x // x ∈ s }
⊢ Multiset.count a s.attach = Multiset.count (↑a) s
G : Type u_3
AddGroup G
G' : Type u_5
AddGroup G'
AddGroup.FG G
AddGroup.FG G'
f : G ≃+ G'
⊢ AddGroup.rank G = AddGroup.rank G'
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
r : R
⊢ (algebraMap R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)) r = (algebraMap R A) r ᵍ⊗ₜ[R] 1
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ￢a = ⊤ ↔ ∃ b, ∂ b = a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (((α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.one) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hs : s.Nonempty
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, f i
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
U : E
A : E
hU : U ∈ unitary E
⊢ ‖U * A‖ = ‖A‖
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
k : 𝕜
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
⊢ ((↑↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap 𝕜 A) k)) a✝ = ((algebraMap 𝕜 C(↑(characterSpace 𝕜 A), 𝕜)) k) a✝
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
⊢ MvPolynomial.join₂.comp (MvPolynomial.map f) = MvPolynomial.bind₂ f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
⊢ Group.IsNilpotent ↥(frattini G)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} E
L' : CategoryTheory.Functor C E
eq : D ≌ E
L.IsLocalization W
e : L.comp eq.functor ≅ L'
⊢ L'.IsLocalization W
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.PullbackCone.fst (CategoryTheory.Limits.limit.cone (CategoryTheory.Limits.cospan f g)) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
p : α → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂MeasureTheory.Measure.dirac a, p x) ↔ p a
⊢ Cardinal.univ.{u, u + 1} = #Ordinal.{u}
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
f g : α → σ
hf : Primrec f
H : ∀ (n : α), f n = g n
⊢ Primrec g
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ a = (↑x).1 • (↑x).2
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
t : Set β
⊢ intentClosure (Function.swap r) t = extentClosure r t
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ (mkMetric' m) s = ⨆ i, (pre m (↑i)⁻¹) s
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ J = ⊥
α : Sort u
r : α → α → Prop
motive : Quot r → Prop
p : ∀ (a : α), motive (Quot.mk r a)
a : α
⊢ ⋯ = ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
P : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ (CategoryTheory.sheafComposeNatIso J U (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J A)
            (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J B)).hom.app
      ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).obj P) ≫
    (CategoryTheory.sheafCompose J U).map ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J A).counit.app P) =
  (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J B).counit.app ((CategoryTheory.sheafCompose J U).obj P)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.ball 0 r ↔ p y < r
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
hS : adjoin F S = ⊤
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
y : K
hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0
this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F S)
ix : IsIntegral F ↑⟨x, hx⟩
φ : ↥(adjoin F S) →ₐ[F] K
hφ : φ.comp (inclusion ⋯) = (algHomAdjoinIntegralEquiv F ix).symm ⟨y, ⋯⟩
⊢ ∃ φ, φ ⟨x, hx⟩ = y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ f a < f (EquivLike.inv f b) ↔ f a < b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y : Subobject B
f : underlying.obj X ⟶ underlying.obj Y
w : f ≫ Y.arrow = X.arrow
⊢ X ≤ Y
R : Type u_1
EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
n : ℕ
h : abv.IsAdmissible
ε : ℝ
_hε : 0 < ε
b : R
_hb : b ≠ 0
A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
⊢ fderiv 𝕜 f (x + y) = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)
Fq F : Type
inst✝⁹ : Field Fq
inst✝⁸ : Field F
Fqt : Type u_1
inst✝⁷ : Field Fqt
inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt
inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt
inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝³ : Algebra Fqt F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
e : RatFunc Fq ≃ₐ[Fq[X]] Fqt := IsLocalization.algEquiv Fq[X]⁰ (RatFunc Fq) Fqt
this : ∀ (c : RatFunc Fq) (x : F), e c • x = c • x
⊢ FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : |a - b| < c
⊢ b - c < a
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop ↔
  0 < r ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ∨ r < 0 ∧ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.yoneda.obj X ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.coneOfHom h (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.homOfCone h s) = s
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ False
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
x y : AddUnits M
h : AddSemiconjBy a ↑x ↑y
m : ℤ
⊢ AddSemiconjBy a ↑(m • x) ↑(m • y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
α : Type u_1
i : Nat
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = some i
⊢ match xs.get? i with | some a => p a = true | none => false = true
R : Type u_1
CommRing R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
P : Ideal (Polynomial R)
pX : Polynomial R
hpX : pX ∈ P
Algebra (R ⧸ Ideal.comap Polynomial.C P) Rₘ
IsLocalization.Away (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
Algebra (Polynomial R ⧸ P) Sₘ
IsLocalization
    (Submonoid.map (Ideal.quotientMap P Polynomial.C ⋯)
      (Submonoid.powers (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P)) pX).leadingCoeff))
    Sₘ
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (Ideal.quotientMap P Polynomial.C ⋯) ⋯).IsIntegral
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.14125, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex (Karoubi C) c
f : K ⟶ L
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (fun n => (f.f n).f) i ≫ (obj L).X.d i j = (obj K).X.d i j ≫ (fun n => (f.f n).f) j
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
⊢ TransGen r n m
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F
g : C(Y, ℝ) := { toFun := ⇑h.symm ∘ Set.codRestrict (⇑G) (Ioo (-1) 1) ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J
⊢ b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ ↑F ∧ b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ Jset
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
h : a ∈ l₁.keys
⊢ List.dlookup a (l₁.kunion l₂) = List.dlookup a l₁
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Function.Injective (Submodule.map (Module.Dual.eval K V))
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x : A
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((algebraMap A S) x) = (algebraMap A S') x
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : P.RespectsIso
restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : X.Opens), P f → P (U.ι ≫ f)
of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → X.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
i : 𝒰.J
⊢ P ((Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i)).ι ≫ f)
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite ν
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hasFun : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : MeasureTheory.addCovolume (↥Γ.op) G ν = μ Set.univ
⊢ MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
α : Type u_1
a : α
⊢ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet (Topology.WithUpperSet.toUpperSet a) = a
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : 0 < c
d : ℕ
⊢ b * c = a * c * d ↔ b = a * d