ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ Function.LeftInverse AddSubmonoid.addUnits AddSubgroup.ofAddUnits
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Submodule.span R s) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
v : V
⊢ G.Adj v v → (fun x => 0) v ≠ (fun x => 0) v
α : Type u_2
f : Filter α
⊢ f.ker = ⋂ s ∈ f, s
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
Fintype ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∑ i : ι, f i) '' Set.univ.pi S = ∑ i : ι, S i
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ ∃ L L',
  ((List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M *
      (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < (A i₀).card
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((γ ∘ fun x => x + dt) t)))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
⊢ Function.Injective f ↔ Function.Injective (f ∘ some) ∧ f none ∉ Set.range (f ∘ some)
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
⊢ HasConstantSpeedOnWith f s l ↔
  ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Set.Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
a x✝ y✝ : ℂ
x y : ℝ
⊢ angle (cexp (↑x * I)) (cexp (↑y * I)) = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) (x - y)|
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
h : ¬ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ κ.compProd η = 0
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (fun a => s.inf' hne fun x => f x a) l (𝓝 (s.inf' hne g))
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hf : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.IsFixedPt f^[n] x
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
a : G
b : α
n : ℤ
⊢ a ^ (n % ↑(Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b)) • b = a ^ n • b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
⊢ p.leftInv i 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 F E).symm ↑i.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
⊢ s.encard < ⊤
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
⊢ c ≠ 0
a b : UInt16
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
NormedAlgebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
⊢ CFC.log 0 = 0
α : Type u_1
LT α
⊢ ∅.chainHeight = 0
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s : Set A
⊢ ↑(StarSubalgebra.centralizer R s) = (s ∪ star s).centralizer
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x ~ᵤ y ↔ normalizedFactors x = normalizedFactors y
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
Quiver.HasInvolutiveReverse U
Quiver.HasInvolutiveReverse V
φ.MapReverse
h : ∀ (u : U), Function.Bijective (φ.star u)
⊢ φ.IsCovering
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
x : V
hx : x ∈ ↑K
⊢ 0 ∈ K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).preΨ n = Polynomial.map f (W.preΨ n)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]
⊢ (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum x fun a m => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (f a + a₂) (m * b₂)
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
a : G
⊢ (x * AddMonoidAlgebra.of' k G a).divOf a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n
this : Primcodable { a // id a < n } := Primcodable.subtype ⋯
⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
⊢ f = 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) Filter.atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Set α
h : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ Sym.map Subtype.val s.attach = s
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p
inst✝ : HasOrthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)
x : E
y : E'
hy : y ∈ Submodule.map f.toLinearMap p
⊢ ⟪f x - f ↑((orthogonalProjection p) x), y⟫_𝕜 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
A : Finset ℕ
hs₁ : A ⊆ range n
hs₂ : A.card = rothNumberNat n
hs₃ : ThreeAPFree ↑A
⊢ ¬ε * ↑n < ↑A.card
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
⊢ QuotientAddGroup.mk '' Set.Icc a (a + p) = Set.univ
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
⊢ slope f x y < f'
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
IsAlgClosed k
Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ MvPolynomial.vanishingIdeal (MvPolynomial.zeroLocus I) = I.radical
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b
⊢ ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L) ∘ f) s x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
z : G
zs : z ∈ interior s
⊢ openSegment ℝ x z ⊆ interior s
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
U : ℕ → Set (X × X)
hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)
hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)
n : ℕ
x✝ : n ∈ fun i => True
⊢ IsOpen (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U n)))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ span R s
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)
⊢ p x
R : Type u
a b c : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).degree < (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2).degree
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange A l) = Submodule.span A ↑(LinearMap.range l)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ (F.mapBiprod X Y).inv ≫ F.map (desc f g) = desc (F.map f) (F.map g)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
⊢ (W.Φ n).natDegree = n.natAbs ^ 2
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
⊢ ((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) ((LocalizedModule.divBy s) p) = p
R : Type u_2
M : Type u_1
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
φ : M →ₗ[R] M
⊢ Module.AEval' φ = Module.AEval R M φ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hn : card α = n
⊢ P α
R : Type u
m n : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
h : a ∉ s
⊢ Multiset.card (Multiset.ndinsert a s) = Multiset.card s + 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x
hi' : i ≤ l.length
⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h₀ : 0 < R₁
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ R₂ / R₁
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b + m • p) = toIocMod hp a b
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioc (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Ico b a
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors n = n.primeFactorsList.dedup.length
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
f₂ : N ≃ P
hf₂ : f₂ 0 = 0
hf₂' : f₂.symm 0 = 0
⊢ Finsupp.mapRange.equiv (f.trans f₂) ⋯ ⋯ = (Finsupp.mapRange.equiv f hf hf').trans (Finsupp.mapRange.equiv f₂ hf₂ hf₂')
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
⊢ IsOpenMap f
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ vars 0 = ∅
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Function.Surjective ⇑Monoid.Coprod.toProd
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
hW : W ≤ CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms C
L.IsEquivalence
⊢ L.IsLocalization W
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ
⊢ Nonnegg c d (-↑(a + 1)) ↑b ↔ SqLe (a + 1) d b c
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : 1 ≤ b
⊢ a ≤ a * b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
h : Algebra.EssFiniteType R T
⊢ Algebra.EssFiniteType S T
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsSubgroup t
⊢ Group.closure s ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
u : αˣ
hu : a * ↑u = b
x✝ : IsUnit a
v : αˣ
hv : ↑v = a
⊢ ↑(v * u) = b
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L
⊢ F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index Q) a) = F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) a) ≫ F.map (η.app (op a.Y))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_nonpos : p ≤ 0
⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
h₀ : Continuous C₀C
C₁C : ↑(π (C1 C ho) fun x => ord I x < o) → ↑C := fun x => ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0
⊢ p < q ↔ p.num * q.den < q.num * p.den
P Q : Prop
⊢ IsCompl P Q ↔ ¬(P ↔ Q)
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
this : {c' | c < c'}.Nonempty
⊢ c + 1 ≤ succ c
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
h₂ : ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n} = ∅
⊢ MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b
⊢ s (f a) (f (f.symm b))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
v✝ w✝ : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝
⊢ s(v, w) ∈ G.edgeSet
X : CompHaus
⊢ ↑(CompHaus.toProfinite.obj X).toTop = ConnectedComponents ↑X.toTop
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
k : ℕ
a✝ : Nontrivial α
a0 : α
hz : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count ↑(factors' a0)
hk' : ∀ p ∈ factors' a0, k ∣ Multiset.count p (factors' a0)
u : Multiset { a // Irreducible a }
hu : factors' a0 = k • u
⊢ (Associates.mk a0).factors = (FactorSet.prod ↑u ^ k).factors
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x y : β
hxy : ∀ (i : ι), (F i (x, y).1, F i (x, y).2) ∈ V
hxS : (x, y).1 ∈ S
hyS : (x, y).2 ∈ S
⊢ (x, y) ∈ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b
⊢ lcm a b = b ↔ a ∣ b
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map X✝.d ≫ η.app X✝.obj) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.f) = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p x y : 𝕜
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊔ b ⇨ a ⇔ b = a ⇔ b
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
h : i < l.length
⊢ l.reverse.get? i = l.get? (l.length - 1 - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
⊢ ((P ⇒ R ⇒ P) ⇒ P ⇒ List.Forall₂ R ⇒ P) List.foldl List.foldl
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → Set X
ho : ∀ (i : α), IsOpen (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ
h : ∀ (i : α), IsOpen (f i ∩ s)
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ DirectedOn (Iio ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) fun γ => γ = 0 → False
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
Y : ι → Type u_4
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f₀ f₁ : (i : ι) → C(X i, Y i)
F : ∀ (i : ι), (f₀ i).Homotopic (f₁ i)
⊢ (ContinuousMap.piMap f₀).Homotopic (ContinuousMap.piMap f₁)
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a : α
ha : 1 ≤ a
⊢ Monotone fun n => a ^ n
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
t : τ
ht : t ∈ u
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ϕ t x ∈ n
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ
⊢ (Algebra.adjoin R s).unop.toSubsemiring = (Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)).toSubsemiring
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
⊢ ↑I * (↑I)⁻¹ = 1
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ (fun a => sup fun n => f^[n] a) a
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hx0 : x < 0
n : ℕ
hmn✝ : 2 ≤ n
ihn : if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ if ¬Even n then x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1 < 0 else 1 < x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (WittVector.ghostComponent (n + 1)) (WittVector.verschiebung x) = ↑p * (WittVector.ghostComponent n) x
α : Type u
lsize rsize : Nat
self : Lean.Diff.Histogram.Entry α lsize rsize
⊢ self.leftCount = 0 ↔ self.leftIndex = none
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
⊢ normalize 0 = 0
R : Type u_1
K : Type u_4
CommSemiring R
Field K
Algebra R K
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
p : Polynomial R
r s : R
hr : (Polynomial.aeval ((algebraMap R K) r / (algebraMap R K) s)) p = 0
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap R K) r)) (p.scaleRoots s) = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.basis ⟨1, hdeg⟩ = h.root
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
⊢ N.μ.app X ≫ f.inv.app X = (N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G
⊢ a * b / b = a