ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
⊢ (∃ a, a + j = k ∧ a + (n - k) = i) → i + j = n ∧ j ≤ k
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ 𝟙 ((unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).obj (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ })) ≫ (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
⊢ Injective f ↔ ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
γ : Type u_2
s : TopologicalSpace β
B₁ : Set (Set α)
B₂ : Set (Set β)
h₁ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₁
h₂ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₂
f₁ : γ → α
f₂ : γ → β
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.image2 (fun x x_1 => f₁ ⁻¹' x ∩ f₂ ⁻¹' x_1) B₁ B₂)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p
a : Set α
ha : ρ a / μ a < ↑p
⊢ ρ a ≤ (p • μ) a
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ⊓ Booleanisation.comp b = Booleanisation.lift (a \ b)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ x ∈ 1 ↔ ∃ y, (algebraMap R A) y = x
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
⊢ a * b < 0
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup
π : ↥A →+* ↥A ⧸ LocalRing.maximalIdeal ↥A := Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)
⊢ ↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ π ↑(A.unitGroupMulEquiv x) = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x : E
s : Set F
f : E → F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
hf : IsLinearMap 𝕜 f
⊢ StarConvex 𝕜 x (f ⁻¹' s)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs₀ : s ⊆ Ioi 0
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, thickening δ E
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)
dz : (map φ f).degree = 0
⊢ IsUnit f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => ∑' (i : ι), f i x
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
v w : V
⊢ G'.Adj (f v) (f w) ↔ G.Adj v w
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
t₁ t₂ : Set β
⊢ extentClosure r (t₁ ∪ t₂) = extentClosure r t₁ ∩ extentClosure r t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ lsub f = 0 ↔ IsEmpty ι
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc : IsUnit c
h : f =O[l] g
⊢ f =O[l] fun x => c * g x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
⊢ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) = RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
h₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj n m ≅ 𝟙_ M
H :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight h₁.hom m)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m n m).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m h₂.hom)
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).hom)
⊢ (CategoryTheory.equivOfTensorIsoUnit F m n h₁ h₂ H).unitIso = (CategoryTheory.unitOfTensorIsoUnit F m n h₁).symm
S : Type u_3
Semigroup S
a b c : S
hab : Commute a b
hac : Commute a c
⊢ Commute a (b * c)
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p2.2.1, p2.1.1).1 ∈ A✝
S✝ : Type u
inst✝¹ : Semiring S✝
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
k : S
⊢ eval k (ascPochhammer S (n + 1)) = eval k (ascPochhammer S n) * (k + ↑n)
α : Type u_1
a : NNReal
f : α → NNReal
⊢ ∑' (x : α), a * f x = a * ∑' (x : α), f x
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
i : ι
⊢ (basisSingleton ι h v hv) i = v
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β
⊢ b ∈ (map f.symm).symm s ↔ f.symm b ∈ s
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (Ordnode.node s l x r).Sized
⊢ 0 < s
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) 1 μ
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α
i : Nat
h : i < (Array.ofFn f).size
⊢ (Array.ofFn f)[i] = f ⟨i, ⋯⟩
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
⊢ a ^ 1 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Reflexive r
x y : α
⊢ ReflGen r x y ↔ r x y
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n))
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (Metric.cthickening ε s)
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
𝕜 : Type u_14
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
NormedField 𝕜
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
NormedSpace 𝕜 F'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =Θ[l] fun x => c • g' x) ↔ f =Θ[l] g'
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
ha : μ {a} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ico a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
f : α →₀ ℕ
⊢ Multiset.toFinsupp s = f ↔ s = Finsupp.toMultiset f
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Add M
Add N
Add P
S : AddSubsemigroup M
g : AddHom N P
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map g (AddSubsemigroup.map f S) = AddSubsemigroup.map (g.comp f) S
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
⊢ ∀ (s : Set E), IsOpen s → IsOpen (⇑e.symm ⁻¹' s)
α : Type u
a b c : α
⊢ a ∈ [b, c] ↔ a = b ∨ a = c
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g
g' : G'
hg' : ∀ (x : G'), x ∈ AddSubgroup.zmultiples g'
h : addOrderOf g = addOrderOf g'
⊢ (addEquivOfAddOrderOfEq hg hg' h) g = g'
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubalgebra.map f (S ⊔ T) = NonUnitalSubalgebra.map f S ⊔ NonUnitalSubalgebra.map f T
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
⊢ (IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r) = RingHom.id S
a b : Prop
Decidable a
h : a → b
⊢ ¬a ∨ b
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
⊢ (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Set.Icc 0 1
R : Type u_3
M : Type u_4
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup M
x : tsze R M
⊢ ‖x‖ = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsConnected (Set.univ.pi s) ↔ ∀ (i : ι), IsConnected (s i)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
⊢ Matrix.diag 1 = 1
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
Decidable p
a : α
⊢ ⨆ (_ : p), a = if p then a else ⊥
G : Type u_1
Mul G
IsRightCancelMul G
g h : G
⊢ (mulRightEmbedding g) h = h * g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
γ : Type u_7
f : E → γ
OrderedCancelAddCommMonoid γ
Module 𝕜 γ
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
b : γ
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (f + fun x => b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
⊢ ∀ (a : α), ¬(a ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] a ∉ s) → a ∈ s → ∃ b ≥ n, f^[b] a ∈ s
p : Nat.Partition 1
⊢ p.parts = {1}
α : Type u_2
AddCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
⊢ ThreeAPFree (a +ᵥ s) ↔ ThreeAPFree s
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ Primrec (Function.uncurry f) ↔ Primrec₂ f
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d
xz : c * (x * z) ≤ d * (y * w)
⊢ SqLe (x + z) c (y + w) d
n : ℕ
this : 3 ≤ n + 3
⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 1 ∨ n + 3 = 2
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
⊢ f = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
o : Set X
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : o ∩ s ⊆ t
⊢ t ∈ 𝓝[insert y s] x
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ s ∩ s' ⊆ t.ite s s'
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Nonempty ι
⊢ Function.Injective (Matrix.row ι)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 1 < t
⊢ t ^ (-r⁻¹) < 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X : CategoryTheory.Grothendieck F
⊢ X.id.base = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.base
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (x * a)) (c / a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ 𝓝 [] = pure []
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
l : Filter α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ ⁅LieIdeal.comap I.incl I₁, LieIdeal.comap I.incl I₂⁆ = LieIdeal.comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
b : Bool
⊢ 2 * count b l = l.length
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt Inv.inv (-(x ^ 2)⁻¹) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ UniformInducing (g ∘ f)
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b : ℕ
⊢ (b ∈ (Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 - f (n_1 ::ᵥ v) = 0))).bind fun a => ↑pred (f (a ::ᵥ v))) ↔ b ∈ Nat.rfindOpt fun a => ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.26109, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.26113, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C
⊢ (isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape J G
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J D
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
X : CategoryTheory.Functor J C
⊢ (CategoryTheory.preservesLimitNatIso G).hom.app X = (CategoryTheory.preservesLimitIso G X).hom
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Semiring α
Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
a : α
⊢ (Matrix.of fun i j => a * M i j) * N = a • (M * N)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.unop.map f = (F.map f.op).unop
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ coborder s = (frontier s)ᶜ ↔ IsOpen s
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
SemilatticeInf β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X : C
Y Z : C
n : ℕ
m : ℕ
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
⊢ CategoryTheory.Abelian.Ext.comp 0 β h = 0
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖(tprod 𝕜) x‖ ≤ ∏ i : ι, ‖x i‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x f' ↔ HasFDerivAt f f' x
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
l : List α
⊢ List.pwFilter R l ⊆ l
α : Type u
β : Type v
Semigroup β
f : α → β
⊢ ⇑(FreeSemigroup.lift f) ∘ FreeSemigroup.of = f
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S y
z x y : Nat
⊢ z * x % (z * y) = z * (x % y)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ Relation.ReflTransGen (Function.swap r) a b ↔ Relation.ReflTransGen r b a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
⊢ x ^ (n / a.minFac) = 1
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ ↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (FreeAbelianGroup.lift ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l)) x
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
⊢ 0 < eval (↑(-1)) (cyclotomic n ℝ)
R : Type u_1
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : ℕ
⊢ |↑a| = ↑a
α : Type u
self : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∀ (c : α), c * a ≤ c * b
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
DecidablePred p
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j =
  if h : p j then CategoryTheory.Limits.biproduct.π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p}, (∀ x ∈ s, ¬p x) → ∀ (f g : α → β), (∏ x_1 ∈ s, if p x_1 then f x_1 else g x_1) = ∏ x ∈ s, g x
R : Type u_2
M : Type u_1
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
⊢ IsSMulRegular M r ↔ Submodule.torsionBy R M r = ⊥
α : Sort u_1
h✝ : IsEmpty α
⊢ ⨅ x, 0 = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
Finite α
a : α
⊢ OrderIso.infIrredUpperSet a = ⟨UpperSet.Ici a, ⋯⟩
α : Type u_1
Add α
Mul α
One α
OfNat α 2
Invertible 2
a b : αˢʸᵐ
⊢ a * b = SymAlg.sym (⅟2 * (SymAlg.unsym a * SymAlg.unsym b + SymAlg.unsym b * SymAlg.unsym a))
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
A : p.r (p.index y) ≤ 0
⊢ x = y
x y : ℕ∞
⊢ PartENat.withTopEquiv.symm x < PartENat.withTopEquiv.symm y ↔ x < y
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β
⊢ (∃ a ∈ s₁, x ∈ t₁ a) ↔ ∃ a ∈ s₂, x ∈ t₂ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
a b : Int
H1 : 0 ≤ a
H2 : 0 ≤ b
⊢ a ∣ b → b ∣ a → a = b
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
x : TensorProduct R (Module.Dual R M) N
⊢ (dualTensorHomEquivOfBasis b) x = (dualTensorHom R M N) x
⊢ Cardinal.lift.{u_2, u_1} 1 = 1
p q : ℤ
⊢ TotalComplexShapeSymmetry.σ (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ) p q = (p * q).negOnePow
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝¹ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
f : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter f c
hc : 2 < c
h : g ⊆ f.sets
s : Set α
hs : s ∈ cardinalGenerate g hc
⊢ s ∈ f
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ (minpoly R B.gen).coeff 0
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ (Summable fun i => f i / a) ↔ Summable f
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithTop.some '' Set.Icc a b = Set.Icc ↑a ↑b
⊢ Pairwise fun x y => 1 ≤ dist ↑x ↑y
x : ℂ
⊢ HasDerivAt Complex.exp (Complex.exp x) x
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
m : (i : ι) → E i
⊢ PiTensorProduct.injectiveSeminorm (⨂ₜ[𝕜] (i : ι), m i) ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_1
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g
⊢ IsPoly (f + g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits CategoryTheory.ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
V : TopologicalSpace.Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (Opposite.op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
⊢ s = t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
hc : Differentiable ℂ f
⊢ Differentiable ℂ fun x => Complex.cos (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Module ℝ E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
TopologicalSpace E
LocallyConvexSpace ℝ E
ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ e.IsImage s t ↔ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ t) = e.source ∩ s
α : Type ua
UniformSpace α
a b : α
⊢ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * (ε * ↑(Fintype.card α ^ 2))
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
P : Type u_1
SemilatticeInf P
x y : P
F : Order.PFilter P
⊢ x ⊓ y ∈ F ↔ x ∈ F ∧ y ∈ F
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
Nonempty ι
f : (i : ι) → Filter (α i)
H : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot