ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Neg β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α
⊢ ↑(-f) x = -↑f x
α β : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x <$> x_1) = Erased.map
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
p : Set β → Prop
⊢ (∀ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∀ t ⊆ s, p (f '' t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a • (s \ t) = a • s \ a • t
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)
nextConts_b_ineq : ↑(fib (n + 2)) ≤ pred_conts.b + gp.b * conts.b
conts_b_ineq : ↑(fib (n + 1)) ≤ conts.b
zero_lt_conts_b : 0 < conts.b
⊢ 0 < den ∧ den ≤ den'
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E
⊢ (((iteratedFDeriv 𝕜 0 (fun y => fderiv 𝕜 (fun y => fderiv 𝕜 f y) y) z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (nim o).birthday = o
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
μ' : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₃ = 0 ↔ CategoryTheory.Mono T.mor₁
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
⊢ ((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = ((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => sin y ^ (n + 1)) (↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (-cos) (sin x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2) = (sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)
α : Type u
x : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.map fun z => z) x = x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {n})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = spanSingleton R⁰ (mk' K n d)
R : Type u
CommSemiring R
n k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.X ^ n) = ↑(n.descFactorial k) • Polynomial.X ^ (n - k)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
s : Finmap β
h : a ≠ a'
⊢ Finmap.lookup a (Finmap.erase a' s) = Finmap.lookup a s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
s : Finset β
⊢ (s.sup fun x => ⊥) = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
this : ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
⊢ c = d ↔ ∀ (x y : M), c x y ↔ d x y
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
⊢ Submodule.toAddSubgroup (a • S) = a • Submodule.toAddSubgroup S
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P
⊢ ((v +ᵥ b).coord i) p = ((b.coord i).comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P v).symm) p
α : Type u_3
Preorder α
NoMinOrder α
x : α
⊢ Disjoint (pure x) Filter.atBot
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h : (∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i) ^ p ≤ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i ^ p
⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
α : Type u
MulOneClass α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ -1 * a = -a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 p, ↑x = -1
α : Type u
FinEnum α
⊢ (FinEnum.toList α).Nodup
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑I ↔ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L 1 I = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β
hI : (M.mapSetEmbedding f).Indep I
⊢ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed (frontier s)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
x : E
⊢ f.normed μ (c - x) = f.normed μ (c + x)
q : ℚ≥0
r : ℝ
⊢ ↑(q • r) = q • ↑r
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ ↑(g • z) = UpperHalfPlane.num g z / UpperHalfPlane.denom g z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
⊢ {a}ᶜ ∈ 𝓝[s] b
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).darts ⊆ p.darts
ι : Type u_1
Fintype ι
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
u : (ι → ℝ) → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
⊢ ∫⁻ (x : ι → ℝ), ↑‖u x‖₊ ^ p ≤ (∫⁻ (x : ι → ℝ), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊) ^ p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
⊢ IsBounded {x}
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
⊢ Injective fun x => a ^ x
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
⊢ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.toSubsemiring = ⊤ ↔ S = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
ι : Type u_5
a : α
t : ι → Set β
⊢ a +ᵥ ⋂ i, t i = ⋂ i, a +ᵥ t i
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool
⊢ List.dropWhile p (x :: xs) = if p x = true then List.dropWhile p xs else x :: xs
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_14, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_13, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_15, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
⊢ ((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor (CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj
      X₃).HasMap
  r
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
x : P
⊢ (f.mulEquivOfLocalizations k).symm x = (k.lift ⋯) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.think.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
W₃ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
(L₁.comp L₂).IsLocalization W₃
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ = W₃.map L₁
⊢ L₂.IsLocalization W₂
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).sin = ‖x‖ / ‖y - x‖
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
⊢ s.prod.totalDegree ≤ (Multiset.map MvPolynomial.totalDegree s).sum
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractRight ((contractRight x) d)) d = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : HasOuterApproxClosed X
F : Set X
⊢ IsClosed F →
  ∃ fseq,
    (∀ (n : ℕ) (x : X), (fseq n) x ≤ 1) ∧
      (∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ F, 1 ≤ (fseq n) x) ∧
        Filter.Tendsto (fun n x => (fseq n) x) Filter.atTop (𝓝 (F.indicator fun x => 1))
α : Type u_1
a : α
⊢ OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual a) = a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsCompact s ↔ ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
W X Y Z : T
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.inv.left (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f e.hom.right)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₗc[R] B
⊢ φ.comp (CoalgHom.id R A) = φ
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
Field K
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
Fintype ι₁
Fintype ι₂
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K
⊢ (Matrix.toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ = Module.Dual.transpose ((Matrix.toLin B₂ B₁) M)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).natDegree < a.natDegree + b.natDegree
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ ⇑LowerSet.iicsInfHom = LowerSet.Iic
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set (Submodule R M)
m : M
⊢ m ∈ sSup S ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
i : α → ℕ
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ P (∏ p ∈ ∅, p ^ i p)
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
⊢ univ.pi s = {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
t s : Set M
h : t ⊆ s
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) → LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
M : Type u_1
Mul M
S : AddSubsemigroup (Additive M)
⊢ ↑((RelIso.symm Subsemigroup.toAddSubsemigroup) S) = ⇑Additive.ofMul ⁻¹' ↑S
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1
⊢ 1 / (↑k + 1) ^ 2 + 1 / (↑k + 1) ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
α : Type u_1
d₁ d₂ : MeasurableSpace.DynkinSystem α
⊢ (∀ (s : Set α), d₁.Has s ↔ d₂.Has s) → d₁ = d₂
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
DecidableEq α
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset.erase a, f i
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
hsSupJ : sSup c = J
hs : ¬(Submodule.span R {x}).IsPrincipal
⊢ False
α : Type u_1
a : α
s t : List α
⊢ a ∈ s ++ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Over A} (ε : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYoneda A).map ε =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObjMap₁ ε.left ⋯
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a : α
⊢ Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₁ ≫ Sigma.desc e) = Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₂ ≫ Sigma.desc e)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).edges ⊆ p.edges
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
⊢ Subfield.comap f ⊤ = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p
⊢ a.leadingCoeff ∣ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 1
a✝ : Nontrivial R
⊢ P.toPoly.Monic
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
K L : CategoryTheory.Coverage C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_1)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C (K ⊔ L)) P ↔
  CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C K) P ∧
    CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C L) P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
cc' : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f'
hf : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
hf' : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.mapIsoOfIsColimit hf hf' φ).inv =
  CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.mapOfIsColimit hf' cc φ.inv
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < v x
vyx : v y < v x
⊢ v x < v x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ f ∈ closure (Set.range Subtype.val)
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
h : (adjoin E ↑L.toSubalgebra).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra
⊢ Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
⊢ coborder s ∩ closure s = s
a✝ b a : Ordinal.{u}
h : b ≤ b
⊢ a ♯ b ≤ a ♯ b
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
this✝² : DecidableEq R := Classical.decEq R
i j : ℕ
hij : (fun x => a ^ x) i = (fun x => a ^ x) j
this✝¹ : Nontrivial R := { exists_pair_ne := Exists.intro a (Exists.intro 0 ha0) }
this✝ : NormalizationMonoid R := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
p' : R
hp' : Irreducible p'
dvd' : p' ∣ a
p : R
mem : p ∈ normalizedFactors a
right✝ : p' ~ᵤ p
this : i * Multiset.count p (normalizedFactors a) = j * Multiset.count p (normalizedFactors a)
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
⊢ ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V → False
b : Ordinal.{u_2}
o : Ordinal.{u_2}
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
ho : o ≠ 0
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ Ordinal.log b o) → C o
⊢ b.CNFRec H0 H o = H o ho (b.CNFRec H0 H (o % b ^ Ordinal.log b o))
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f v + f (v ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ s, a = a
⊢ polarCoord.source =ᵐ[MeasureTheory.volume] Set.univ
α : Type u_1
⊢ Function.Injective (@MeasurableSet α)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a ⊆ spectrum S a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ ⊥.jacobson
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ⇑(f i)