ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
⊢ HEq (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R 1
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ Subsingleton (CotangentSpace R) ↔ IsField R
α : Type u_1
AddCommGroup α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
zl : ℤ
tr t : α
prl₁ : l = tl
prl₂ : ↑tl = zl
prr : r = tr
prt : Mathlib.Tactic.Abel.smulg zl tr = t
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smul l r = t
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → δ
s : Set α
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ae (μ.restrict s) ≤ ae μ
ι : Type u_1
Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Set.Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
f : A →ₙₐ[R] B
⊢ NonUnitalAlgHom.range f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
⊢ (fun x => (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k x) = (range (n + 1)).sup' ⋯ f
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
h : IsIntegral F α
⊢ (IntermediateField.adjoinRootEquivAdjoin F h) (AdjoinRoot.root (minpoly F α)) = IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
H : ∀ (x : ι → ℝ), x ∈ I ↔ x ∈ J
⊢ I = J
m n : ℕ
⊢ n - 1 = m + 1 ↔ n = m + 2
Δ : SimplexCategory
⊢ (SSet.Augmented.standardSimplex.obj Δ).right = ⊤_ Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
⊢ g '' s ∩ mulSupport f = g '' (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Metric.closedBall 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.closedBall 0 (r₁ * r₂)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
hp : ¬p = 0
⊢ multiplicity (X - C x) p ≤ 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁' p₁ p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : ChainComplex V ℕ
e : P ⟶ Q
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 1
comm_zero : e.f 0 = zero ≫ Q.d 1 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 2
comm_one : e.f 1 = P.d 1 0 ≫ zero + one ≫ Q.d 2 1
succ :
  (n : ℕ) →
    (p :
        (f : P.X n ⟶ Q.X (n + 1)) ×'
          (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' e.f (n + 1) = P.d (n + 1) n ≫ f + f' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1)) →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 3)) ×' e.f (n + 2) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst + f'' ≫ Q.d (n + 3) (n + 2)
⊢ Homotopy.mkInductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ 0 = ⟨0, ⟨zero ≫ (HomologicalComplex.xPrevIso Q ⋯).inv, ⋯⟩⟩
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ count p (n + 1) = count p n ↔ ¬p n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ 125 < (2 * (π ^ 2 / 4 ^ 2) * (4 ^ 4 / 24)) ^ 2
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S ≤ T
s : ↥S
⊢ ↑((NonUnitalSubalgebra.inclusion h) s) = ↑s
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x
i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'
s' : range v' ≤ ↑(span R w)
⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w
z : ℂ
⊢ z.arg = π / 2 ↔ z.re = 0 ∧ 0 < z.im
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
v : E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
hf : Continuous f
⊢ Measurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.632038
Bₘ : Type ?u.632041
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) 0 ↔ (algebraMap B (FractionRing B)) x = (algebraMap B (FractionRing B)) 0
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
⊢ ∀ x_1 ∈ s, ¬(x_1 ∈ SimpleGraph.badVertices G ε s t ∨ x_1 ∈ SimpleGraph.badVertices G ε s u) → ∀ (x_2 x_3 : α), x_2 ∈ t → G.Adj x_1 x_2 → x_3 ∈ u → G.Adj x_1 x_3 → G.Adj x_2 x_3 → x_1 = x → x_2 = y → x_3 = z → x ∈ s ∧ y ∈ t ∧ z ∈ u ∧ G.Adj x y ∧ G.Adj x z ∧ G.Adj y z
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s t : Finset α
⊢ mulRothNumber (s ∪ t) ≤ mulRothNumber s + mulRothNumber t
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
s : Finset S
hs : Submonoid.closure ↑s = invSubmonoid M S
⊢ Algebra.adjoin R ↑s = ⊤
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ
⊢ evariance X μ = 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.log (f x)) s x = (f x)⁻¹ • fderivWithin ℝ f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n
⊢ (∃ i, ∃ (h : i < v.toList.length), v.toList.get ⟨i, h⟩ = a) ↔ ∃ i, ∃ (h : i < n), v.toList.get (Fin.cast ⋯ ⟨i, h⟩) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ᶠ (j : β), g j
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h
⊢ f < h
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
F : CategoryTheory.Functor C A
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma (F.comp L) R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preLeft F L R).obj X).right = X.right
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.b = u.a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff x) * PowerSeries.X ^ x = coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.neg' W f = φ.neg.map L ⋯
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (b : β), p (e.symm b) ↔ q b
⊢ (∃! a, p a) ↔ ∃! b, q b
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this✝ : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
this : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hf : (mulSupport f).Finite
hg : (mulSupport g).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i / g i = (∏ᶠ (i : α), f i) / ∏ᶠ (i : α), g i
α : Type u_5
E : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : AddGroup E] [inst_1 : TopologicalSpace E] [inst_2 : MeasurableSpace E]
  [inst_3 : BorelSpace E] [inst_4 : ContinuousAdd E] [inst_5 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace E] {g f : α → E},
  Measurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable (f + g)
n : ℤ
⊢ cos (↑n * (2 * ↑π) - ↑π) = -1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : E
hx : x ∈ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source
⊢ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[Set.range ↑I] x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
Fintype V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
c : G.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
⊢ Even (Fintype.card ↑c.supp)
α : Type u_1
BooleanRing α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊓ c = a ⊓ (b ⊓ c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ =
  c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
f : M → M' × N'
x : M
⊢ ContMDiffAt I (I'.prod J') n f x ↔ ContMDiffAt I I' n (Prod.fst ∘ f) x ∧ ContMDiffAt I J' n (Prod.snd ∘ f) x
α : Type u
h✝ : Infinite α
⊢ #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D
⊢ F.map g ≫ F.map q.rightRetraction = 𝟙 (F.obj X)
Ω : Type u_1
s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
⊢ |MeasureTheory.BorelCantelli.process s (n + 1) ω - MeasureTheory.BorelCantelli.process s n ω| ≤ ↑1
r n : ℕ
h : r < n / 2
⊢ r + 1 ≤ n - r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
E : Set α
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsColimitCokernelCofork S hf hg c hc).φQ =
  CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
⊢ a < a * b
n : ℕ+
⊢ gcd 1 n = 1
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (↑f) (Ici x) x
α : Type u_1
l : List α
x : α
h : x ∈ l
⊢ List.Duplicate x (x :: l)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ (o.oangle y (y - x)).sin = ‖x‖ / ‖y - x‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n
s t : WSeq α
h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t
⊢ ∀ {a b : Option (α × WSeq α)}, a ∈ s.destruct → b ∈ t.destruct → LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) a b
z w : ℂ
⊢ nndist ((starRingEnd ℂ) z) w = nndist z ((starRingEnd ℂ) w)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (2 * X ^ 6 + C W.b₂ * X ^ 5 + 5 * C W.b₄ * X ^ 4 + 10 * C W.b₆ * X ^ 3 + 10 * C W.b₈ * X ^ 2 + C (W.b₂ * W.b₈ - W.b₄ * W.b₆) * X + C (W.b₄ * W.b₈ - W.b₆ ^ 2)).natDegree ≤ 6
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
⊢ μ.withDensity ((r • ν).rnDeriv μ) = μ.withDensity (r • ν.rnDeriv μ)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddZeroClass α
f : α → β
x : α
⊢ f (x + 0) = f x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : (a • s) • c = (a • s) • d
⊢ c = d
X Y : AddCommGrp
e : ↑X ≃+ ↑Y
⊢ e.toAddCommGrpIso.hom = e.toAddMonoidHom
A : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
AddMonoid A
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
φ : AddChar A M
⊢ ⇑(f.compAddChar φ) = ⇑f ∘ ⇑φ
R : Type u
Semiring R
StrongRankCondition R
n m : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R
⊢ Function.Injective ⇑f → n ≤ m
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval Polynomial.X) p = p
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
⊢ (h.coeffs (lc e l)) i = l i
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α
⊢ (g ∘ f) (x + y) = (g ∘ f) x + (g ∘ f) y
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
v : AddValuation K Γ₀
x y : K
⊢ v (x / y) = v x - v y
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_re : 0 < x.re
⊢ ContinuousAt arg x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.zeroProdIso X).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = 𝟙 X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
a b c : α
⊢ Finite a (b * c) → Finite a c
α : Type u_1
Div α
a b : Part α
⊢ a / b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y / x) b
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
this✝ : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this : IsScalarTower L (↥L') E
⊢ IsIntegral (↥L') s ∧ Splits f'.toRingHom (minpoly (↥L') s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x - f 0 x + f 0 x) atTop (𝓝 l)
a : Bool
x : ℕ
⊢ Nat.bit a x % 2 = if a = true then 1 else 0
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x
⊢ ∑ k ∈ Sᶜ, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x < ε / 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
s t : Set X
hd₁ : Disjoint (closure s) t
hd₂ : Disjoint s (closure t)
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m
hij : i ≠ j
⊢ (diagonal d).blockDiag k i j = diagonal (fun i => d (i, k)) i j
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ≤ t
u : Multiset α
⊢ u ∪ s ≤ u ∪ t
α : Type u_1
x : α
⊢ x ∈ LazyList.nil ↔ False
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hyz : y ≠ 0
⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U V : Submodule R M
⊢ U.dualAnnihilator ⊔ V.dualAnnihilator ≤ (U ⊓ V).dualAnnihilator
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Monotone g
hf : Antitone f
⊢ Antitone (g ∘ f)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
g : ℕ → α
hg : StrictAnti g
hg₀ : g 0 = default
⊢ ∃ f, StrictMono f
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : IsOpen s
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : α
⊢ x ∈ s → StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 x) μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
⊢ sInf {a | ∃ ι_1 f_1, lsub f_1 = lsub f ∧ #ι_1 = a} ≤ #ι
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ DihedralGroup.sr i * DihedralGroup.sr i = 1
n : ZNum
⊢ -n.bitm1 = (-n).bit1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f i + ∑ x ∈ s \ {i}, f x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
hy : a✝.1 ∈ s' ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
⊢ False
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
n : ℕ
⊢ Function.Commute f^[n] g
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s⁻¹.Finite
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) ((PowerSeries.C R) a) = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).unitIso.hom.app X_1).app X_2 =
    X_1.map ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.unit.app X_2) ≫
      X_1.map
          ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).map
              ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.counitInv.app
                  (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_2)))).unop).op ≫
        X_1.map
          ((TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).symm.op.unitInv.app
            (Opposite.op
              ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).obj ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_2)))))
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a - b = c ↔ a = b + c
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 ≤ n
h : a ≤ b
⊢ n • a ≤ n • b
α : Type u
s : Finset α
⊢ (↑s).Finite
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ab : a < b
⊢ variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → M →+ N
a : α
b : M
⊢ (Finsupp.liftAddHom f) (Finsupp.single a b) = (f a) b
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ iterateFrobeniusEquiv R p 0 = RingEquiv.refl R
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOn F f p s
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' s'
⊢ TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (s ×ˢ s')
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
⊢ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ≤ Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => ((mk R M N) m) n) ↑⊤ ↑⊤)