ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).hom ≫ TopCat.prodSnd = CategoryTheory.Limits.prod.snd
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0
⊢ ⟨n✝ + 1, hi⟩.cycleRange.cycleType = {↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1}
α : Type u
self : UniformSpace.Core α
⊢ Filter.Tendsto Prod.swap self.uniformity self.uniformity
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
n : ℕ
x y : R
⊢ (x - y) ^ n = (x - y) ^ (n % p) * (x ^ p - y ^ p) ^ (n / p)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ antidiagonal n.succ
⊢ bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n.succ ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSemisimple R L
⊢ IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators {I | IsAtom I}
R : Type u
Semiring R
p q : ℕ
hp : ExpChar R p
hq : ExpChar R q
⊢ p = q
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z ≤ y ^ z ↔ y ≤ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪x, (ContinuousLinearMap.adjointAux A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝 x = pure x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
ι : Type u_1
Finite ι
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
b₁ b₂ : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
⊢ b₁.val.data = b₂.val.data → b₁ = b₂
α : Type u
l : List α
h : l.Nodup
x : α
⊢ l ≠ [x] ↔ l = [] ∨ ∃ y ∈ l, y ≠ x
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
C : Type u_6
CommGroup C
x y z : C
⊢ z ∈ Subgroup.closure {x, y} ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z
u v : ℤ
h : u * v = 1
⊢ u = v
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set G.Subgraph
v : V
⊢ (sSup s).neighborSet v = ⋃ G' ∈ s, G'.neighborSet v
C : Type u_3
D : Type ?u.25151
inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C
inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D
X : C
S T : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
H : S.FactorsThru T
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
⊢ IsSeparatedFor P T ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P T), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ↑(LinearEquiv.refl R M) = LinearMap.id
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ 0 ≤ 2 * ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Continuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ Prod.fst ∘ Prod.mk x = Function.const β x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
SMul R β
SMul R γ
f : α → β → γ
r : R
hf : ∀ (a : α) (b : β), f a (r • b) = r • f a b
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f A (r • B) = r • Matrix.kroneckerMap f A B
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ T = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x✝¹ : { w // w.IsComplex }
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ (2⁻¹ • !![1, 1; -I, I]).det = 2⁻¹ * I
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i j : ι
⊢ (comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle j = (TensorProduct.map (lapply i) (lapply i) ∘ₗ comul) ∘ₗ lsingle j
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x, f (↑e.symm y) ∈ t ∧ f (↑e.symm y) ∈ e'.source
⊢ (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e x) = ((↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑e x)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0
⊢ (⟦f⟧)⁻¹ * ⟦f⟧ = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn (-f) (-g) s ↔ MonovaryOn f g s
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α
⊢ M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range (s.reindex e).points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n < b ^ n ↔ a < b
α : Type u_1
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter γ
p : (α × α) × γ → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : (α × α) × γ) in (f ×ˢ f) ×ˢ g, p x) → ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p ((x.1, x.1), x.2)
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 k % xn a1 n = (xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)) % xn a1 n
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
⊢ ↑h' • g • B = g • h • B
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : M ⊨ Formula.not φ
⊢ N ⊨ Formula.not φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Inv γ
MeasurableInv γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib f⁻¹ g⁻¹ μ ν
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..a + 1, b = b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
t : α
⊢ MeasurableSet (MeasurableSpace.countablePartitionSet n t)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ opcyclesMap φ = opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : c ≠ 0
heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4
⊢ a ^ 4 + b ^ 4 = (c ^ 2) ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).card + (s ∩ t).card = s.card + t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter β
⊢ ⊥.coprod l = Filter.comap Prod.snd l
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
hk' : I.lcs M k = ⊥
⊢ ∀ (l : ℕ), lowerCentralSeries R L M (l * n) ≤ I.lcs M l
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q
r : ℝ
hr : r > 0
⊢ IsOpen (q.ball 0 r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
α : F₁ ⟶ F₂
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.map α).comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π F₂) =
  CategoryTheory.CategoryOfElements.π F₁
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i j : I
h : i = j
⊢ (CategoryTheory.Pi.evalCompEqToEquivalenceFunctor C h).inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max a⁻¹ 1 = a⁻¹ * max a 1
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
⊢ n < Nat.find h₁
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some '' Set.Ici a = Set.Ico ↑a ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
c : R
m : ℕ
⊢ derivative ((X + C c) ^ m) = C ↑m * (X + C c) ^ (m - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
hg : Antitone g
⊢ StrictAnti fun x => f x * g x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x) (m 0)) (Fin.tail m)
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
α' : Sort u_1
g : (a : α) → β a
f : α' → α
i : α
a : β i
h : ∀ (x : α'), f x ≠ i
⊢ (fun j => Function.update g i a (f j)) = fun j => g (f j)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L ∅ = ⊥
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ sInf (setOf p) = Nat.find h
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
M : Type u_4
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ s.mulIndicator f =ᵐ[μ] 1 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorP.map f =
    CategoryTheory.Limits.pullback.map X.L₁.g X.v₀₁.τ₃ Y.L₁.g Y.v₀₁.τ₃ f.f₁.τ₂ f.f₀.τ₃ f.f₁.τ₃ ⋯ ⋯
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
x y : R
x✝ : A
hx : x✝ ∈ x • M * y • N
⊢ ∀ m ∈ x • M, ∀ n ∈ y • N, m * n ∈ (x * y) • (M * N)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K L : S
h : ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L
⊢ (∃ x ∈ H, x ∉ K) → H ≤ L
r : ℝ
hr : Irrational r
⊢ {x | ∃ k > 0, beattySeq' r k = x} = {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x}
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ colimit.ι (X✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G X✝).inv ≫ G.map (colimMap f) = (whiskerRight f G).app j ≫ colimit.ι (Y✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G Y✝).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
f : β → Set α
R : LocallyFinite.Realizer F f
⊢ LocallyFinite f
R : Type u
Monoid R
StarMul R
x : R
n : ℕ
⊢ star (x ^ n) = star x ^ n
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
f : A →+* B
hf : f.FinitePresentation
⊢ f.FiniteType
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ
⊢ (s.sup' H p).closedBall e r = s.inf' H fun i => (p i).closedBall e r
α : Type u_1
BEq α
l : List α
a : α
⊢ l.contains a = l.any fun x => a == x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
hΔ : Δ W ≠ 0
h : W.a₆ = 0
⊢ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)
n : Nat
m : Nat
⊢ n < m.pred → n.succ < m
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : Mᵐᵒᵖ →+ Nᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : M), (AddMonoidHom.mulOp.symm f) a = (MulOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.op) a
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
⊢ 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
⊢ False
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
⊢ p2 -ᵥ p ∉ s1.direction
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
⊢ Smooth I I' f ↔ ∀ (n : ℕ), ContMDiff I I' (↑n) f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a✝ : α
h : ScottContinuous f
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ IsLUB {a, b} b
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
x y : R
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ (x * y) • (M * N) → x✝ ∈ x • M * y • N
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Set ↑s
ht : t.Countable
h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a b : A
h : a * b = 1
⊢ D a = -a ^ 2 • D b
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
⊢ (adjoin R s).toSubmodule = span R ↑(Subsemigroup.closure s)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ a * star a = ↑(normSq a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R : Type u_1
Ring R
u : Rˣ
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (PowerSeries.invUnitsSub u) = 1 /ₚ u ^ (n + 1)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : IsBigOWith c atTop ⇑f fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n✝ d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
n : ℕ
this : Invertible ↑n
⊢ IsRat (↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => map f (g x)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ ‖Polynomial.eval (soln_gen hnorm) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
α : Type u_1
⊢ (Num.ofNat' 0).toZNum = -(Num.ofNat' 0).toZNum
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ
⊢ ∃ k, Xor' (n = 2 * k) (n = 2 * k + 1)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] W
⊢ (-f).contLinear = -f.contLinear
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ closure (↑s ∪ ↑t)
⊢ ∀ x ∈ ↑s ∪ ↑t, ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
hi : i < a.pop.size
⊢ a.pop[i] = a[i]
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : μ.innerContent U ≤ ↑ε
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
G : Type u
self : DivisionMonoid G
a b : G
⊢ a * b = 1 → a⁻¹ = b
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
y : ↑(⇑e '' s)
⊢ ↑((e.image s).symm y) = e.symm ↑y