ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F.toFunctor ⊣ G
F.IsEquivalence
CategoryTheory.MonoidalClosed D
X Y Z : C
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f =
  (adj.homEquiv Y ((CategoryTheory.ihom (F.obj X)).obj (F.obj Z)))
    (CategoryTheory.MonoidalClosed.curry
      ((adj.toEquivalence.symm.toAdjunction.homEquiv (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (F.obj X) (F.obj Y)) Z)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commTensorLeft X).compInverseIso.hom.app Y) f)))
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
⊢ map f (H ⊓ K) = map f H ⊓ map f K
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J K : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ Profinite.NobelingProof.π (Profinite.NobelingProof.π C K) J = Profinite.NobelingProof.π C J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 - (⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(if h : s.toProd.1 ≤ t.toProd.2 ∧ t.toProd.1 ≤ s.toProd.2 then ↑{ toProd := (s.toProd.1 ⊔ t.toProd.1, s.toProd.2 ⊓ t.toProd.2), fst_le_snd := ⋯ } else ⊥) = Icc (s.toProd.1 ⊔ t.toProd.1) (s.toProd.2 ⊓ t.toProd.2)
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ ↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
⊢ Finsupp.liftAddHom Finsupp.singleAddHom = AddMonoidHom.id (α →₀ M)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
⊢ Measurable fun x => Metric.infDist (f x) s
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist ((homothety p₁ c) p₂) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ c = b ⊔ c ↔ a ≤ b ⊔ c ∧ b ≤ a ⊔ c
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
x : α
⊢ x ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a → Prime x
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i, f i)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ edist a b = ↑‖a - b‖₊
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ Continuous fun x => -b * ↑x ^ 2
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι
⊢ (biprod.lift α β).f i ≫ biprod.snd.f i = β.f i
a b : UInt8
h : a < b
⊢ a ≠ b
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ K.index ∣ H.index
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
c : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.mgf (fun x => c) μ t = rexp (t * c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
x : E
u : ↥U
⊢ ⟪(orthogonalProjection U) x, u⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL u⟫_𝕜
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
ha : (Set.Ioi a).Nonempty
⊢ frontier (Set.Iic a) = {a}
a b : Prop
⊢ ¬a → b ↔ ¬b → a
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
⊢ (↑(Polynomial.aeval a)).comp hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom =
  ↑(MvPolynomial.aeval fun o => o.elim a x)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℤ
⊢ 0 < a ^ n
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
⊢ HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
nd : s.Nodup
⊢ a ∈ { val := s, nodup := nd } ↔ a ∈ s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
⊢ (mkMetric' m) (s ∪ t) = (mkMetric' m) s + (mkMetric' m) t
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ adjoin F ↑T
R : Type u_1
Semiring R
f : ℕ → R
⊢ 1 ⍟ f = (fun x => ↑(ArithmeticFunction.zeta x)) ⍟ f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : 0 < a
⊢ b < c + a
b✝ b : ℂ
c T : ℝ
⊢ rexp (-(b.re * ((T + (c * 0 - 0 * 1)) * (T + (c * 0 - 0 * 1)) - (0 + (c * 1 + 0 * 0)) * (0 + (c * 1 + 0 * 0))) - b.im * ((T + (c * 0 - 0 * 1)) * (0 + (c * 1 + 0 * 0)) + (0 + (c * 1 + 0 * 0)) * (T + (c * 0 - 0 * 1))))) = rexp (-(b.re * (T * T) - 2 * b.im * c * T - b.re * (c * c)))
x y : ℂ
⊢ Complex.cos (x + y * Complex.I) = Complex.cos x * Complex.cosh y - Complex.sin x * Complex.sinh y * Complex.I
ι : Type u_1
R : Type u_5
One R
AddGroup R
f : ι → R
⊢ Function.mulSupport (1 - f) = Function.support f
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
⊢ g⁻¹ ∈ connectedComponent 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
hA : CategoryTheory.IsSubterminal A
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.terminal.from A)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.coprod g = f ×ˢ ⊤ ⊔ ⊤ ×ˢ g
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
b : n → α
DecidableEq m
i' : m
i_ne : i' ≠ i
⊢ M.updateRow i b i' = M i'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.ofIsClosedGraph hg) = g
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ε ^ 5 / 50 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2
G : Type u_1
A : Type u_2
Monoid G
AddCommGroup A
MulAction G A
f : G × G → A
hf : groupCohomology.IsTwoCocycle f
g : G
⊢ f (1, g) = f (1, 1)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
r : R
⊢ e ((algebraMap R A₁) r) = (algebraMap R A₂) r
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → y < 0 → (x * y).InfiniteNeg
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst snd f g ↔ CategoryTheory.IsPullback snd fst g f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ {x_1 | (fun n => x + d n ∈ s) x_1} ⊆ {x_1 | (fun n => f x + (fun n => f (x + d n) - f x) n ∈ f '' s) x_1}
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
R' : Type u_6
Ring R'
Invertible 2
Module R' V
x y : P
⊢ midpoint R x y = midpoint R' x y
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScott α
U : Set α
⊢ IsOpen U ↔ (∃ a, U = (Set.Iic a)ᶜ) ∨ U = Set.univ
α : Type u_2
β : Type u_3
HNot α
HNot β
a : α × β
⊢ (￢a).1 = ￢a.1
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h₁ : (↑x).1 ≤ (↑y).1
h₂ : (↑x).2 ≤ (↑y).2
⊢ x = y
α : Type u_2
Zero α
LinearOrder α
⊢ Finset.max 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_4
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (ContinuousMap.linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜).toEquiv = ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α E
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ
hx' : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤
x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'⟩
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U = V
⊢ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom i).op = CategoryTheory.eqToHom ⋯
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : Subgroup.closure ↑S = ⊤
⊢ Subgroup.closure ↑(Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)) = ⊤
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝² : Applicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse (Comp.mk ∘ (fun x => f <$> x) ∘ g) x = Comp.mk (Sum.traverse f <$> Sum.traverse g x)
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(map I f) ⇑(map I g)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s✝ : List α
a : α
t : List α
o : s✝ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝
s r : List α
hr : r ∈ t.inits
hs : a :: r = s
⊢ s <+: a :: t
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Basis I (X ∩ M.E)
⊢ ∃ I, M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ M.Basis I (M.closure X)
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ A.cramer b = A.adjugate.mulVec b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => s1 = s2 ∨ ∃ a s S, s1 = (cons (a, s) S).join ∧ s2 = cons a (s.append S.join)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Function.Commute ⇑CliffordAlgebra.reverse ⇑CliffordAlgebra.involute
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
x : α
ys : Fin m → α
⊢ Fin.append (Fin.snoc xs x) ys = Fin.append xs (Fin.cons x ys) ∘ Fin.cast ⋯
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm = MulOpposite.unop
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ logb b x ↔ x ≤ 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ a ∉ s → (s + t).erase a = s + t.erase a
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ (fun x => (MeasureTheory.Measure.map f μ).rnDeriv (MeasureTheory.Measure.map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] μ.rnDeriv ν
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (ContractingWith.efixedPoint f hf x hx) < ⊤
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0
hf : f ≈ const abv 0
⊢ f.LimZero
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ C
h : Homotopy f (𝟙 C)
g : C ⟶ D
i j : ι
⊢ (h.compRightId g).hom i j = h.hom i j ≫ g.f j
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
f : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
ht : t ∈ 𝒜
hu : u ∈ 𝒜
hts : t = s
hus : u = insert a s
⊢ collapse 𝒜 a f s = f t + f u
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
w : V
⊢ 𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2)) w = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / b)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop ⟹ α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : splitFun f g = splitFun f' g'
⊢ dropFun (splitFun f' g') = f' ∧ lastFun (splitFun f' g') = g'
X : Type u_1
TopologicalSpace X
U V : Set X
hU : IsPathConnected U
hV : IsPathConnected V
hUV : (U ∩ V).Nonempty
⊢ IsPathConnected (U ∪ V)
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ Pell.pellZd a1 (m + n) = Pell.pellZd a1 m * Pell.pellZd a1 n
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
Fintype ι
h : Basis ι R M
⊢ Module.rank R M = ↑(Fintype.card ι)
L : Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ Quotient.lift (RelMap r) ⋯ (Quotient.finChoice fun i => ⟦x i⟧) ↔ RelMap r x
α : Type u
L : List α
⊢ L.attach.length = L.length
a b : Ordinal.{u}
⊢ Order.succ a ♯ b = Order.succ (a ♯ b)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹ = (↑n !)⁻¹
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.FormallySmooth R A ↔
  ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B),
    I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (￢a) = (OrderDual.ofDual a)ᶜ
a b : ℕ
⊢ Finset.Ioo a b = { val := ↑(List.range' (a + 1) (b - a - 1)), nodup := ⋯ }
x p : ℝ
hx : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {cut : α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {path : Batteries.RBNode.Path α}
  {t' : Batteries.RBNode α} {path' : Batteries.RBNode.Path α},
  Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path') → path.fill t = path'.fill t'
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)
α : Type u_1
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ (Equiv.Set.sumCompl s).symm ↑x = Sum.inl x
⊢ ∀ {X Y : LinOrd} (a : ↑X →o ↑Y), LinOrd.dual.map a = OrderHom.dual a
α : Sort u_1
p q : α → Prop
a' : α
⊢ (∀ (a : α), a = a' ∨ q a → p a) ↔ p a' ∧ ∀ (a : α), q a → p a
α : Type u
a : α
as : List α
BEq α
⊢ (a :: as).isPrefixOf List.nil = false
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p ⟨q, ⋯⟩ }
α : Type u_2
DecidableEq α
AddCommSemigroup α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t + s ∩ t ⊆ s + t
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑s₁ ⊆ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)
hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)
l : cokernel (F.map S.f) ⟶ F.obj (cokernel S.f)
hl : cokernel.π (F.map S.f) ≫ l = F.map (cokernel.π S.f)
⊢ F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → G i
s₁ s₂ : Finset ι
F : (i : ι) → G i := fun i => if i ∈ s₁ then f i else -f i
hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i
hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i
hF : ∀ (i : ι), ‖F i‖ = ‖f i‖
⊢ ‖∑ x ∈ s₁ \ s₂, (V x) (f x) + ∑ x ∈ s₂ \ s₁, -(V x) (f x)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
x : M
⊢ (AddCon.kerLift f) ↑x = f x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
x✝ : ↑s
⊢ s.restrict f x✝ = s.restrict (⇑f') x✝ + (f ↑x✝ - ↑f' ↑x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableSet (Set.range f)
X : Type u
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
h : ∀ (i : ι), Continuous fun a => f a i
⊢ Continuous f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial
⊢ s.Infinite
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
x : α
⊢ f^[m + n] x = f^[m] (f^[n] x)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictAntiOn f s
h₂ : StrictAntiOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
⊢ StrictAntiOn f (s ∪ t)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Even n
h₀ : n ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.InvOn (⇑e) (⇑e.symm) t s
ι : Type u_1
⊢ Function.Injective BoxIntegral.Box.toSet
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_mp : minpoly K x = minpoly K y
⊢ (minpoly.algEquiv hx h_mp) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x) = IntermediateField.AdjoinSimple.gen K y
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
StrongRankCondition R
DecidableEq n
A : Matrix n n R
h : IsUnit A
⊢ A.rank = Fintype.card n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β
hf : Function.Bijective f
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ f '' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f '' s i j
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : IsFractionRing A K
inst✝⁸ : Algebra B L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsGalois K L
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ (algebraMap B L) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
T2Space α
⊢ Finite α
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (p q : K[X]), ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
H : ∀ (x : V₁), f x = g x
⊢ f = g