ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
inst✝ : DecidableEq G
hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ (graph (Corners.triangleIndices A)).FarFromTriangleFree (ε / 9)
a : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^< 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂ - CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ' h₁ h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nontrivial ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} ⊆ s
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
q : ℕ → Prop
DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k
⊢ Nat.count p n ≤ Nat.count q n
a : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ (HurwitzZeta.completedSinZeta a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
key : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ edist (f x) (f y) = ↑⋯.choose * edist x y
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (PartialEquiv.ofSet s).target = s
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a - c < b
⊢ a < b + c
R : Type u_2
Ring R
S : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm Subring.opEquiv) S = S.unop
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R n) ((φ₁ + φ₂) * φ₃) = (coeff R n) (φ₁ * φ₃ + φ₂ * φ₃)
⊢ SemilatInfCat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ SemilatSupCat PartOrd =
  CategoryTheory.forget₂ SemilatInfCat PartOrd ⋙ PartOrd.dual
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
y : ↥I.primeCompl
h : optParam (LocalRing S) ⋯
⊢ mk' S x y ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b c d : Associates α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
x : Associates α
hx : b = a * x
y : Associates α
hy : d = c * y
⊢ b * d = a * c * (x * y)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B
⊢ A⁻¹ + B⁻¹ = A⁻¹ * (A + B) * B⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
m : Module.AEval R M a
⊢ (Module.AEval.of R M a).symm (Polynomial.X • m) = a • (Module.AEval.of R M a).symm m
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
  ω ∈ Filter.limsup s Filter.atTop ↔
    Filter.Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
a b : α
⊢ SymAlg.sym a = SymAlg.sym b ↔ a = b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
⊢ (join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map join (Seq.map (map g ∘ f) s))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
⊢ ((HahnSeries.single a) r).leadingCoeff = r
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a - a = 0
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.opEquiv S = S.op
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
⊢ ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M
x' y' : R
hx' : x = gcd x y * x'
hy' : y = gcd x y * y'
hu : IsUnit (gcd x' y')
⊢ mk' A (y' * x) ⟨y, hy⟩ = (algebraMap R A) x'
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGreatest s a
⊢ IsLeast (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) (OrderDual.toDual a)
α : Type u
f : Filter α
⊢ (pure f).join = f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x y : M₁
⊢ e (x + y) = e x + e y
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableSMul M β
hf : Measurable f
y : β
⊢ Measurable fun x => f x • y
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
⊢ (e₁.trans e₂).toLinearEquiv = e₁.toLinearEquiv ≪≫ₗ e₂.toLinearEquiv
G : Type u_6
AddCommGroup G
⊢ Module.Finite ℤ G ↔ AddGroup.FG G
𝕜 : Type u_1
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₁' : Type u_9
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁'
NormedSpace 𝕜 V₁'
MetricSpace P₁'
NormedAddTorsor V₁' P₁'
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P₁'
h : x ≠ y
⊢ f₁ x ≠ f₁ y
n d : PosNum
⊢ ↑(n.div' d) = ↑n / ↑d
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
g₀ g₁ : C(Z, Z')
⊢ f₀.Homotopic f₁ → g₀.Homotopic g₁ → (f₀.prodMap g₀).Homotopic (f₁.prodMap g₁)
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (volume.restrict (Icc 0 fun x => 2 * π))
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
A B : SpecialLinearGroup n R
inst✝ : Nontrivial R
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ 1 ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (-f) μ
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddCommMonoid ι
self : GradedMonoid.GCommMonoid A
a b : GradedMonoid A
⊢ a * b = b * a
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ (j.castLT ⋯).castSucc < i.pred ⋯
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
h : 0 ∈ interior A
⊢ Balanced 𝕜 (insert 0 (interior A))
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s t : Set A
H : s ⊆ t
⊢ Algebra.adjoin R s ≤ Algebra.adjoin R t
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℝ → α
⊢ ⨅ n, ⨅ (_ : 0 < n), f n = ⨅ n, ⨅ (_ : 0 < n), f ↑n
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
⊢ oscillationWithin f D x = 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
s : Set Z
x : Z
hx : f x ∈ e.source
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x
fe_cont : ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e.source) x
this : ContinuousWithinAt (↑e.symm ∘ ↑e ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e.source) x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' e.source) x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
b : β
hb : b ∈ s
⊢ s.gcd f ∣ f b
α : Type u_3
TopologicalSpace α
⊢ exterior Set.univ = Set.univ
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f / g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ / t₂ ⊆ s
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
h : (adjoin E ↑L.toSubalgebra).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra
this : Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra) ≤ Module.rank F ↥L.toSubalgebra
⊢ Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
t : ↑I
⊢ P (F.curry t)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥q
⊢ (p.quotientEquivOfIsCompl q h).symm x = Submodule.Quotient.mk ↑x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
h : ¬Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)
⊢ ¬InjOn f s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
p q : R[X]
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[n] (p * q) =
  ∑ k ∈ Finset.range n.succ, n.choose k • ((⇑Polynomial.derivative)^[n - k] p * (⇑Polynomial.derivative)^[k] q)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤
⊢ ⟨J₂.close S, ⋯⟩ = ⟨⊤, this⟩
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ ¬Order.IsPredLimit (Order.pred a)
a b : Nat
⊢ compare a b = if a ≤ b then if b ≤ a then Ordering.eq else Ordering.lt else Ordering.gt
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ (fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν) =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (y : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y) ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
f : Equiv.Perm β
⊢ Equiv.symm (e.sumCongr f) = Equiv.Perm.sumCongr (Equiv.symm e) (Equiv.symm f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e✝ : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf : (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : ℝ
f : ℕ → ℕ
hm : 1 < m
fi : ∀ (i : ℕ), i ≤ f i
a : ℕ
⊢ 1 / m ^ f a ≤ 1 / m ^ a
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
⊢ Subsingleton ι
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
⊢ d ⊓ a = ⊥
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
Nontrivial n
⊢ Matrix.cramer 0 = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ G)
h : CategoryTheory.Limits.HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.post (E ⋙ F) G ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.pre (F ⋙ G) E ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.post F G
M : Type u_2
Monoid M
a : M
⊢ a ^ 0 = 1
α : Type u
a : α
n m : ℕ
as : List α
⊢ n < as.length → m ≤ n → List.insertNth m a (as.eraseIdx n) = (List.insertNth m a as).eraseIdx (n + 1)
α : Type u_1
a : Part α
h : ¬a.Dom
Decidable a.Dom
d : α
⊢ a.getOrElse d = d
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Multiset ι
F : Type u_6
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f (g i)) s).prod = f (Multiset.map g s).prod
f : ℝ → ℝ
p : ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hfnew : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hc₁p : 0 < c₁ ^ p
hc₂p : 0 < c₂ ^ p
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x ^ p) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x ^ p) x) (c₂ * (fun x => f x ^ p) x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ 0 - μ = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (P.X ⊗ Q.X) ◁ L.actRight ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ ‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
n i : ℕ
h : i < (List.finRange n).length
⊢ (List.finRange n).nthLe i h = ⟨i, ⋯⟩
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val = f.val ≫ g.val
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Monoid G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
hn : n ≠ 0
x : G
⊢ orderOf x ≤ n ∧ orderOf x ∣ n ↔ x ^ n = 1
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
TopologicalSpace α
f : α → G
h : Continuous f
z : ℤ
⊢ Continuous fun b => z • f b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.comp (FormalMultilinearSeries.id 𝕜 E) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
⊢ (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f g h : C(X, Y)
h₀ : f.Homotopic g
h₁ : g.Homotopic h
⊢ f.Homotopic h
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
⊢ JoinedIn sᶜ a b
b : Int
a c : Int
h : c ∣ a
⊢ a * b / c = a / c * b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] E
hA : (↑A).IsSymmetric
⊢ IsSelfAdjoint A
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α
⊢ {b}.preimage (fun x => a * x) ⋯ = {a⁻¹ * b}
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Function.LeftInverse ⇑ExteriorAlgebra.ιInv ⇑(ExteriorAlgebra.ι R)
m : Nat
u : USize
⊢ m > 0 → (u % m).toNat < m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t)ᶜˢ = sᶜˢ ⊻ tᶜˢ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
Invertible (NormedSpace.exp 𝕂 x)
⊢ ⅟(NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 (-x)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ￢a \ a = ￢a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : X ⟶ Y
hf : J.W f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this : Nonempty α
⊢ (G □ H).Connected
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : ∀ x ∈ s, ∃ i ∈ c, (f x, f i) ∈ t
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ c, {a | (f a, f i) ∈ t}
l m r : List Char
c : Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.contains c = true ↔ c ∈ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j a = (⨆ i, ⨆ j, f i j) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ ⊕ α
hf : Partrec f
F : α → ℕ →. σ ⊕ α := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n
hF : Partrec₂ F
⊢ Partrec f.fix
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
⊢ (f.map hy k).comp f.toMap = k.toMap.comp g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a ≤ b
hfab : f a ≤ f b
hf_c : ContinuousOn f (Icc a b)
hf_i : InjOn f (Icc a b)
this : CompleteLinearOrder ↑(Icc a b) := Icc.completeLinearOrder hab
g : ↑(Icc a b) → δ := (Icc a b).restrict f
hgab : g ⊥ ≤ g ⊤
⊢ StrictMono g