ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure E
ν : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddHaarMeasure
LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ MeasureTheory.Measure.map (⇑L) μ = c • ν
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.awayToΓ 𝒜 f)
    (((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).presheaf.Γgerm x) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
      ((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrictStalkIso ⋯ x).inv)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤
⊢ μ {x | ε ≤ f x} * ε ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
DecidableEq α
a : α
ha : a ∈ s.erase (s.max' H)
⊢ a < s.max' H
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]
⊢ (DualNumber.lift fe) (MulOpposite.op a • ad) = (DualNumber.lift fe) ad * (↑fe).1 a
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
q : ℚ
n : ℤ
⊢ ↑(q ^ n) = ↑q ^ n
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
V₀ V₁ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
CategoryTheory.IsIso f.f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ ↑I.num ≤ I * I⁻¹
G : Type u_1
AddMonoid G
y : G
m : ℕ
h : (addOrderOf y).Coprime m
⊢ addOrderOf (m • y) = addOrderOf y
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q
e_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ 1 = Localization.mk (f ^ m) ⟨f ^ m, ⋯⟩
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
H : t.IsKan
k : c ⟶ b
τ τ' : t.lift ⟶ k
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight τ f) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight τ' f)
⊢ τ = τ'
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
One β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm 1‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖1‖₊
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
π : ι → Type u
π' : ι' → Type u
⊢ ∀ (a : (i : ι ⊕ ι') → Sum.elim π π' i),
  (Equiv.prodPiEquivSumPi π π').symm a = (Equiv.sumPiEquivProdPi (Sum.elim π π')) a
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ 0 = -a ↔ a = 0
α : Type u_1
Monoid α
b c : α
a : α
h : b ∣ c
⊢ a * b ∣ a * c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B = ⊥
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsZero T.obj₁
h₃ : IsZero T.obj₃
⊢ IsZero T.obj₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : (u₂ ≫ v₅) ≫ w = (t₂ ≫ v₄) ≫ w
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
n a b n' a' b' : ℕ
H : Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux n a b
hn : 2 * n + 1 = n'
h1 : a * a + b * b = a'
h2 : b * (2 * a + b) = b'
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux n' a' b'
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Countable
⊢ μ (⋃₀ S) = 0 ↔ ∀ s ∈ S, μ s = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
⊢ M.LinearDisjoint N
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g
⊢ underlying.obj f ⟶ underlying.obj (sInf s)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ ((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ ↑I '' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a
⊢ Tendsto f (map Subtype.val (𝓝 ⟨a, ⋯⟩)) (𝓝 (f a))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
⊢ h.i ≫ h.liftK (𝟙 S.X₂) ⋯ = 𝟙 h.K
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
⊢ Icc x y = closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
α : Type u_1
n n' : ℕ
s : Sym α n
s' : Sym α n'
⊢ ↑(s.append s') = ↑s + ↑s'
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a
⊢ r ∈ resolventSet R (φ a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ CategoryTheory.Center.tensorUnit.fst = 𝟙_ C
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j✝ : J
⊢ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ biproduct.desc fun j => X ◁ biproduct.ι f j) = biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ ∑ j : J, biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j ≫ X ◁ biproduct.ι f j
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ
y : ℝ
⊢ ‖g n (↑y * I)‖ ≤ C
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ foldl (fun x y => x * f y) (f 1) l = f (foldl (fun x x_1 => x * x_1) 1 l)
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
⊢ K.flip.totalFlipIso c = (K.totalFlipIso c).symm
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
⊢ P α
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β < n
⊢ LieAlgebra.rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(LieModule.chainTop (⇑α) β)) = ⊥
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
NonUnitalNonAssocRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ⊤.toNonUnitalSubring = ⊤
b : ℕ
z : ℤ
hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯
⊢ z = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
⊢ f ≤ᶠ[l] g
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
i : Fin 2 → ℤ
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (↑(i 0) * ↑(A • z) + ↑(i 1)) ^ (-k) = denom (↑A) z ^ k * (↑(i 0 * ↑A 0 0 + i 1 * ↑A 1 0) * ↑z + ↑(i 0 * ↑A 0 1 + i 1 * ↑A 1 1)) ^ (-k)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ IntegrableOn (fun a_1 => φ i a_1 • a) t (μ.restrict s)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q
⊢ ⟨f.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
⊢ WellFoundedGT ↑s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I
hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
r m : R
hm : m ∈ M
⊢ ∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = (Ideal.Quotient.mk I) (mk' S r ⟨m, hm⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
⊢ s ×ˢ t \ s₁ ×ˢ t₁ = s ×ˢ (t \ t₁) ∪ (s \ s₁) ×ˢ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)
α : Type u_1
Mod α
a b : Part α
hab : (a % b).Dom
⊢ b.Dom
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
g : σ → R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ (RingHom.id R) g p = (MvPolynomial.eval g) p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
⊢ p (n * (b / n) + b % n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
⊢ sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (MeasureTheory.Measure.haar.haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, MeasureTheory.Measure.haar.clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) s ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
FunLike F M M₃
SemilinearMapClass F σ M M₃
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
key : ↑(↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ↑(↑x).val
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f
a' : α
a's : a' ∈ s
ba' : b' ∈ f a'
⊢ b = b'
α : Type u_1
Zero α
⊢ AddOpposite.op 0 = 0
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P
⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
ζ : (𝓞 K)ˣ := x * (∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x)) i)⁻¹
⊢ ∃! ζe, x = ↑ζe.1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ζe.2 i
ι : Sort u_3
f : ι → ℝ≥0
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ ↑(iSup f) = ⨆ a, ↑(f a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hcl : IsClosedMap f
hcont : Continuous f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ QuotientMap f
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Field R
StarRing R
Ring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
StarMemClass S A
s : S
h1 : 1 ∉ s
⊢ Function.Injective ⇑(NonUnitalStarSubalgebra.unitization s)
u v : PrimeMultiset
⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
⊢ x ∈ s • t
X : CategoryTheory.RelCat
x y : X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X x y ↔ x = y
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} A
ℱ : CategoryTheory.Sheaf K A
X : A
U : D
T : CategoryTheory.Sieve U
hT : T ∈ K.sieves U
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (ℱ.val.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X))) T.arrows
hx : x.Compatible
t : (ℱ.val.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X))).obj (Opposite.op U)
h : x.IsAmalgamation t
⊢ t = ⋯.amalgamate x hx
α : Type u_1
inst✝ : AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (↑n)⁻¹.val • n • a = a
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
s : AddSubgroup G
hx : x ∈ s
⊢ addOrderOf x ∣ Nat.card ↥s
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =O[l] g
h₂ : f₂ =o[l] g
⊢ (fun x => f₁ x + f₂ x) =O[l] g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (adj.unit.app X)
∀ (Y : D), CategoryTheory.IsIso (adj.counit.app Y)
⊢ adj.toEquivalence.functor = F
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hx : (x, y) ∈ snd R M M₂
⊢ (fun n => ⟨(0, n), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hx⟩) = ⟨(x, y), hx⟩
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.Word M
m : M i
⊢ ⟨i, m⟩ ∈ ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair j) w).tail.toList ↔
  ⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩
n : Nat
a b c : Fin n
⊢ a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
x : MeasurableSpace α
hx : x ∈ Set.range fun i => (p i • dirac i).caratheodory
y : α
hy : (fun i => (p i • dirac i).caratheodory) y = x
⊢ ⊤ ≤ x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → α
hr : Symmetric fun x x_1 => f x = x_1
h : ∀ (a : α), ∃! b, (fun x x_1 => f x = x_1) a b
⊢ ∃ f_1, Involutive f_1 ∧ (fun x x_1 => f x = x_1) = fun x x_1 => f_1 x = x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
⊢ (f₁ ⊔ f₂) ×ˢ g = f₁ ×ˢ g ⊔ f₂ ×ˢ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = ⋃ b ∈ t, (fun a => (a, b)) '' s
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ s \ ⋃₀ ↑I = ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{?u.1506, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.1510, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.2123, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
R R' : Φ.RightResolution X₂
φ : R ⟶ R'
⊢ L.map (Φ.functor.map φ.f) ≫ (isoOfHom L W₂ R'.w ⋯).inv ≫ y = (isoOfHom L W₂ R.w ⋯).inv ≫ y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝¹ x : 𝕜
x✝ : 𝕜 → F
⊢ deriv x✝ = derivWithin x✝ univ
β : Sort u_1
α : Sort u_2
P : β → Sort w
e : α ≃ β
g : (b : β) → P b
a : α
⊢ (Equiv.piCongrLeft P e).symm g a = g (e a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ) ((μ 0).prod (μ 1))
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • (S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁) = S₁.f ≫ (a • h.h₁) + a • h.h₀ + a • φ₂.τ₁
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
⊢ y ∈ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ stieltjesFunctionAux (fun p => f p.2) ((), a) = stieltjesFunctionAux f a
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
⊢ Complex.GammaAux n s = Complex.GammaAux (n + 1) s
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Con M)
⊢ sSup S = conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.isoMk t).hom.hom = 𝟙 t.pt
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
φ : L.Formula α
v : α → M
⊢ φ.not.Realize v ↔ ¬φ.Realize v
⊢ ‖↑(0 / 2)‖ = |0| / 2