ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ ∀ x_1 ∈ engel K x, engel K x ≤ engel K x_1
α : Type u
s : Set α
⊢ Set.univ ⊆ s ↔ s = Set.univ
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ Set.univ
⊢ ‖S.normedMk‖ = 1
α : Type u
s : Set α
⊢ ¬s.Nonempty ↔ s = ∅
Y : Scheme
U : Y.OpenCover
V : Y.OpenCover := { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯, IsOpen := ⋯ }
⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
i : ι
x : α
xs : x ∈ (fun i => s i) i
b : Set α
hb : b ∈ countableBasis α
xb : x ∈ b
bs : b ⊆ (fun i => s i) i
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, s i
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors J
a b : Nat
⊢ 0 < a → 0 < b → a.pred = b.pred → a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
⊢ hF.lift (CategoryTheory.Limits.Image.monoFactorisation f) ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f = F.m
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ι → κ
DecidablePred fun x => x ∈ Set.range f
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
⊢ ∑ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ Set.range f) s, g x
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑↑i
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
⊢ (∀ (y : G), x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ = 1) ↔ ∀ (g : G), g * x✝ = x✝ * g
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c✝ d✝ : C
p : d✝ ⟶ c✝
γ : c✝ ⟶ c✝
hs : γ ∈ S.arrows c✝ c✝
⊢ p ≫ γ ≫ Groupoid.inv p ∈ S.arrows d✝ d✝
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
⊢ ∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
⊢ IsPullback prod.fst prod.snd 0 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ X.restrictTopIso.inv = X.toRestrictTop
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
⊢ ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).functor.obj X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (i.hom.app X.right)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.unitIso C).hom.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj X_1)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.pre F (𝟭 J) = CategoryTheory.Limits.lim.map F.leftUnitor.inv
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
⊢ j ≤ i
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x : ↥H
⊢ (SubgroupClass.inclusion ⋯) x = x
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
⊢ φ ∈ ↑p ∧ Formula.not φ ∈ ↑p
M : Type u_10
Zero M
x : M
⊢ (ZeroHom.id M) x = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
hs : s.WellFoundedOn r
hx : x ∈ s
P : α → Prop
hP : ∀ y ∈ s, (∀ z ∈ s, r z y → P z) → P y
Q : ↑s → Prop := fun y => P ↑y
⊢ Q ⟨x, hx⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.unop.φK = ψ.φQ.unop
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = 1 • φ f
R : Type u_1
Ring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddCommGroup X
Module R X
n : ℤ
x : OreLocalization S X
⊢ n • x = n • x
α : Type u_1
s : Multiset α
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ s.Nodup → (∀ (a : α), (t a).Nodup) → (s.sigma t).Nodup
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ DirSupInacc s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → sSup d ∈ s → (d ∩ s).Nonempty
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
a : α
⊢ Filter.map (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (𝓤 α) = 𝓤 α
R✝ : Type u
S : Type v
A✝ : Type w
B : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R✝ B
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
P Q : Algebra R A
h : ∀ (r : R), (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r
⊢ P = Q
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ StableUnderGeneralization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < μ t'
t'top : μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • t')
this✝ : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
this : (s ∩ ({x} + r • t')).Nonempty
⊢ {x} + r • t' ⊆ {x} + r • t
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ioc a b + Set.Ico c d ⊆ Set.Ioo (a + c) (b + d)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
δ : d ⟶ d
⊢ (CategoryTheory.Groupoid.vertexGroupIsomOfMap f).symm δ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp δ (CategoryTheory.Groupoid.inv f))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ GenLoop.Homotopic p q → Path.Homotopic (GenLoop.toLoop i p) (GenLoop.toLoop i q)
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsLocalMinOn f (Icc a b) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
⊢ c ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
IntCast α
n : ℤ
⊢ Measurable ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedSemifield 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y z : E
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 y z ↔ ∃ a b, 0 < a ∧ 0 < b ∧ (a / (a + b)) • y + (b / (a + b)) • z = x
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
⊢ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ LinearMap.ker f
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0
hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0
hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0
habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n
⊢ False
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : ↥s
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
⊢ coeff (Finsupp.single s 1) (X s) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
Zero α
Zero β
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
f : α → β
hf : f 0 = 0
⊢ (A.map f).IsDiag
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a - b ≤ a
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
Finite ι
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ (b.map f).equivFun = f.symm ≪≫ₗ b.equivFun
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
⊢ scottHausdorff α ≤ inst✝¹
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b ↔ a ⊔ b = ⊤
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ RightDerivMeasurableAux.D f K ⊆ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x ∧ derivWithin f (Set.Ici x) x ∈ K}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
hrc : r < c⁻¹
z : E
hz : z ∈ u
hy : (fun x => c⁻¹ • x) z ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z)) < r⁻¹
⊢ (fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z) ∈ u
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Euclidean.closedBall x r ∈ 𝓝 x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure X
l : Filter X
l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Filter.Tendsto f (l ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Filter.Tendsto s li l.smallSets
m : ι → ℝ := fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : (fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m := by rfl
⊢ (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • b) =o[li] m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).eraseIdx 0) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx 0))
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
HEq : p.degree = q.degree
hlt : max p.degree q.degree > (p + q).degree
⊢ p.leadingCoeff + q.leadingCoeff = 0
R : Type u_1
Mul R
c : R
⊢ IsRegular c ↔ IsLeftRegular c ∧ IsRightRegular c
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ Neg.neg '' Set.Iio a = Set.Ioi (-a)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
C : ℝ≥0
hf : LipschitzWith C f
s : Set ℝ
⊢ LocallyBoundedVariationOn f s
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
H : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
h : sq.IsPullback
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan sq.f₂₄ sq.f₃₄) F
⊢ (sq.map F).IsPullback
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
n : ℕ
hn1 : n ≠ 0
hn2 : f ↑n ≠ 1
P : Set ℕ := {m | 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1}
⊢ ∃ p, (0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1) ∧ ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : x.norm ≤ 0
⊢ 1 = x * -star x
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
α : Type u_1
NNRatCast α
q : ℚ≥0
⊢ AddOpposite.op ↑q = ↑q
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
x✝ : G
⊢ (∃ x, (x ∈ ↑A ∧ x ∈ ↑B) ∧ ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝) ↔ x✝ ∈ ↑A ∧ ∃ x ∈ ↑B, ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ
this : ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ)
⊢ ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (g x) ∂μ ≤ μ s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionRing α
inst✝¹ : DivisionRing β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ
⊢ f ↑q = ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ProjectiveResolution.lift f P Q) Q.π =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.π ((ChainComplex.single₀ C).map f)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
this : ∀ ⦃x : G⦄ (x_1 : ↥H), x_1 ∈ lowerCentralSeries (↥H) n ∧ H.subtype x_1 = x → x ∈ ⊥
⊢ lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
⊢ o.toOption.isSome = true ↔ o.Dom
n m : ℕ
⊢ n ≤ m → ↑(m - n) = ↑m - ↑n
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, (fun x => ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)) (x / ↑n) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, (fun x => ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)) x
⊢ ↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
⊢ Complex.abs (Complex.cos ↑x + Complex.sin ↑x * Complex.I) = 1
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
p x : E × E
⊢ (fderivInnerCLM 𝕜 p) x = ⟪p.1, x.2⟫_𝕜 + ⟪x.1, p.2⟫_𝕜
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt u (u' x) [[a, b]] x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt v (v' x) [[a, b]] x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a * (a + b) * (1 / b) = 1 / a + 1 / b
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
q : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : CharP A q
⊢ ExpChar A q
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
⊢ Monotone (u ∘ l.toFun)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : Fintype ι
b b' : Basis ι ℤ A
⊢ ⇑b = ⇑b' ᵥ* (b'.toMatrix ⇑b).map ⇑(algebraMap ℤ A)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ Additive.ofMul s.prod = (Multiset.map (⇑Additive.ofMul) s).sum
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
α : Type u
PseudoMetricSpace α
β : Type u_3
f : β → α
hf : DenseRange f
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ y, dist x (f y) < ε
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₂.HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
j : I
A : C
f g : CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
h :
  ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi) g
⊢ f = g
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
ι : Type u_16
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
t : Finset ι
x : ι → M
y : N
⊢ (f (∑ i ∈ t, x i)) y = ∑ i ∈ t, (f (x i)) y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
U : ι → Set β
hU : Set.iUnion U = Set.univ
⊢ Function.Bijective f ↔ ∀ (i : ι), Function.Bijective ((U i).restrictPreimage f)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
DecidableEq ι
i : ι
c : R
u : s i →ₗ[R] t i
⊢ PiTensorProduct.map (Function.update f i (c • u)) = c • PiTensorProduct.map (Function.update f i u)