ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : NonarchimedeanRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : TopologicalSpace S
inst✝ : NonarchimedeanRing S
U V : OpenAddSubgroup R
H : ↑V ×ˢ ↑V ⊆ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U
⊢ ↑V * ↑V ⊆ ↑U
K : Type u
DivisionRing K
x : K
s : Set K
⊢ x ∈ Subfield.closure s ↔ ∀ (S : Subfield K), s ⊆ ↑S → x ∈ S
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s t : Set α
hs : s = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ range f = s
ht : t = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ range f = t
h : Disjoint s t
⊢ MeasurablySeparable s t
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix ((i : l) × m' i) ((i : l) × n' i) R
a : Matrix ((i : l) × m' i) ((i : l) × n' i) R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x).blockDiag') a.blockDiag'
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
hc : ∀ i ∈ t, IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
this : Countable ↑t
⊢ Dense (⋃ i ∈ t, interior (f i))
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (Metric.cthickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ s))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ x ∈ s.offDiag ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ x.1 ≠ x.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ StrictConvex 𝕜 ∅
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
k : ℕ
self : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
⊢ ζ ^ l = 1 → k ∣ l
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ generator ↑I ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).obj₂ = CochainComplex.mappingCone (f ≫ g)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Neg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
⊢ μ.neg = μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_9
Group α
DistribMulAction α R
SMulCommClass R α R
a : α
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : B.IsRefl
⊢ (a • B).IsRefl
n : Nat
⊢ list (n + 1) = 0 :: List.map succ (list n)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.flip.Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.kernelOpOp f).hom =
  (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f.op).unop ⋯).op
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ Continuous ((f '' s).restrict ↑(hf.toPartialEquiv hc).symm)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
⊢ ∃ r, ∀ (i : ℕ), abv (f i) < r
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ ↑n.succ ≤ o ↔ succ ↑n ≤ o
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω : List B
⊢ cs.wordProd (i :: ω) = cs.simple i * cs.wordProd ω
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Subsingleton ι
i : ι
⊢ ⇑(b.coord i) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card = s.card / P.parts.card ∨ t.card = s.card / P.parts.card + 1
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E
α : Type u_3
β : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (pure (f ⊥))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
⊢ (hv.equiv hv' e).toLinearEquiv = v.equiv v' e
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
⊢ snoc p x i.castSucc = p i
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
⊢ IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap ((algebraMap B L) b)) a)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
⊢ C x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
t : Set α
hsub : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
hts : t =ᶠ[ae μ] s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
v : G
⊢ ⇑(Equiv.constVAdd P v) = fun x => v +ᵥ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G H : C ⥤ D
α : F ≅ G
β : G ≅ H
X : C
⊢ (α ≪≫ β).app X = α.app X ≪≫ β.app X
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.Nonempty → Nonempty { x // x ∈ s }
s : Set ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ s
⊢ Nat.find ⋯ ≤ m
q : ℚ
⊢ (q * q).den = q.den * q.den
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
H : ∀ (n : ℕ), ∏ p ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => (1 - f p)⁻¹) p = ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this✝ : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
this : (Products.eval C ↑l - m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) ∈ LinearMap.range (πs C o)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
⊢ False
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁ ≤ μ₂ ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s ≤ μ₂ s
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M
K : Type u_3
DivisionRing K
a b c : K
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s₁ s' : Set (Set Ω)
s₂ : Set (Set Ω)
h₁ : ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s' μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (s₁ ∩ s₂) s' μ
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ ∀ (r : ℝ), inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
α : Type u_1
l : List α
h : l ≠ []
⊢ ∃ x, x ∈ l
α : Type u
Preorder α
x : α
⊢ Antitone fun x_1 => x_1 ≤ x
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, f j ^ ↑i * v i = 0
⊢ v = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulReflectLE α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
⊢ a • f b₁ ≤ a • f b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard
⊢ ↑s.ncard ≤ ↑t.ncard
x : ℂ
⊢ (cexp x + cexp (-x)) * 2⁻¹ = (cexp x - cexp (-id x) * -1) * 2⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)
a b c d x y z w : ℕ
⊢ |↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w| ^ 2 + |↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z| ^ 2 + |↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y| ^ 2 + |↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x| ^ 2 = (↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + ↑c ^ 2 + ↑d ^ 2) * (↑x ^ 2 + ↑y ^ 2 + ↑z ^ 2 + ↑w ^ 2)
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f (fderiv 𝕂 f x) x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = ∑ i : ι, b.repr x i • b i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F : C ⥤ D
F.Full
F.Faithful
hF : {c : C} → {d : D} → (d ⟶ F.obj c) → (c' : C) × (F.obj c' ≅ d)
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving K F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
⊢ (CategoryTheory.rightDistributor f X).inv =
  ∑ j : J,
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j) X)
K : Type u_5
LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.Iic ↑q = Set.Iic q
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)
x : ι
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Set S
hs : IsSubring s
⊢ IsSubring (⇑f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ∀ (a : αᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.inv α)) a = (OrderDual.ofDual a)⁻¹
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ x.arg ≤ 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x ≠ 0 ↔ x.orderTop ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
IsAlgClosed K
FiniteDimensional K V
Nontrivial V
f : Module.End K V
⊢ ∃ c, f.HasEigenvalue c
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f = (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g
⊢ f = g
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
⊢ ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))) = ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ a < Ordinal.nfpFamily f b ↔ ∃ l, a < List.foldr f b l
M : Type u_2
MonoidWithZero M
a : M
ha : IsUnit a
⊢ a ∈ M⁰
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasProd f a₂ ↔ HasProd (f ∘ Subtype.val) (a₂ / a₁)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
⊢ (X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩ ≫ (X.restrictStalkIso h x).hom = X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree WithBot.some p.toFinsupp = p.degree
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => x ^ n
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ
⊢ 1 s ≠ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
⊢ (s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i
ι'' : Sort u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
π : ι'' → Type u_1
e : ι ⊕ ι' ≃ ι''
f : (i : ι) → π (e (Sum.inl i))
g : (i : ι') → π (e (Sum.inr i))
i : ι
⊢ (Equiv.piCongrLeft π e) ((Equiv.sumPiEquivProdPi fun x => π (e x)).symm (f, g)) (e (Sum.inl i)) = f i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D} (η : X_1 ⟶ Y), (J.diagramFunctor D X).map η = J.diagramNatTrans η X
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Lattice α
Lattice β
FunLike F α β
self : LatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ⊓ b) = f a ⊓ f b
f : ℕ → ℕ
m : ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ Nat.Primrec fun n => Nat.rec m (fun y IH => f (Nat.pair y IH)) n
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
T : Set E
H : T ⊆ S
⊢ T ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin F S)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
h : ∀ (x : α), x ∈ xs → ¬p x = true
sep : α
hsep : p sep = true
as : List α
⊢ splitOnP p (xs ++ sep :: as) = xs :: splitOnP p as
α : Type u_1
ts is l : List α
⊢ l ∈ ts.permutationsAux is → l.Perm (ts ++ is)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
h : ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
⊢ μ (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), Filter.Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝 b) (𝓤 α)
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ A • z = ↑A • z
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s₁ s₂ : (i : ι) → α i → α i → Prop
hs : ∀ (i : ι) (a b : α i), s₁ i a b → s₂ i a b
a b : (i : ι) × α i
h : Sigma.Lex r s₁ a b
⊢ Sigma.Lex r s₂ a b
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
q : ℕ+
w : 1 < q
this : Fact (1 < ↑q)
⊢ Fintype.card (X q)ˣ < ↑q ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
⊢ Transitive R
R : Type u_2
S : Type u_3
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
l : List R
⊢ f l.sum = (List.map (⇑f) l).sum
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
hρball : ∀ (c : 𝕜), ρ ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • Metric.ball 0 1
⊢ Bornology.IsBounded s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ AhlswedeZhang.supSum (𝒜 ∪ ℬ) + AhlswedeZhang.supSum (𝒜 ⊼ ℬ) = AhlswedeZhang.supSum 𝒜 + AhlswedeZhang.supSum ℬ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ Set.univ
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
c n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : smulg c a = a'
⊢ smulg c (termg n x a) = termg n' x a'
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
F : Type u
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
h : Polynomial.Splits (j.comp i) f
roots_mem_range : ∀ a ∈ (Polynomial.map (j.comp i) f).roots, a ∈ j.range
⊢ Polynomial.Splits i f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : ∃ a, a • u = w
⊢ ⟪w, v⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size
⊢ (self.update i d h).update i d' h' = self.update i d' h
this : ⇑sqrt = fun x => x ^ (1 / 2)
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ (1 / 2)
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
S : AddSubmonoid M
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ AddSubmonoid.closure s
⊢ AddSubmonoid.closure s = S
x y a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∀ ⦃a_1 : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ a_1 → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ b → a_1 ≤ b → log b / b ^ a ≤ log a_1 / a_1 ^ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
hF : F.Final
hFG : (F.comp G).Final
⊢ G.Final
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
self : p.IsHamiltonianCycle
⊢ (p.tail ⋯).IsHamiltonian
k : Type u_4
A : Type u_5
G₁ : Type u_6
G₂ : Type u_7
G₃ : Type u_8
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
Monoid G₁
Monoid G₂
Monoid G₃
f : G₁ →* G₂
g : G₂ →* G₃
⊢ MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A (g.comp f) =
  (MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A g).comp (MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A f)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s ⊂ s ↔ ∃ x ∈ s, ¬p x