ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J) → ∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α
⊢ ‖row ι v‖₊ = ‖v‖₊
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
⊢ IsOpen (Sigma.fst ⁻¹' s)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
r : R
n : Γ
⊢ (embDomain { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ } (toPowerSeries.symm ((PowerSeries.C R) r))).coeff n = if n = 0 then r else 0
a b : Prop
⊢ (a ↔ ¬b) ↔ (b ↔ ¬a)
α : Type u_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
Mul α
p₁ : a₁ = b₁
p₂ : a₂ = b₂
⊢ a₁ * a₂ = b₁ * b₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α
⊢ a ∈ ↑(upperClosure (s ⊻ t)) ↔ a ∈ ↑(upperClosure s ⊔ upperClosure t)
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a : α
b : β
⊢ a ∈ f.symm b ↔ b ∈ f a
K L : Type
Field K
Field L
IsAlgClosed K
IsAlgClosed L
CharZero K
CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ p.support
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial n) (coeff n p)) = (map f) ((monomial n) (coeff n p))
α : Type u
β : Type v
P : α ⊕ β → Sort u_3
f : (i : α) → P (Sum.inl i)
g : (i : β) → P (Sum.inr i)
x y : α ⊕ β
h : x = y
⊢ Sum.rec f g x = cast ⋯ (Sum.rec f g y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.flipEquivalence.inverse = CategoryTheory.Square.flipFunctor
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr y) I.2 * ((B.basis.repr x) I.1 * (B.basis.repr (B.basis I.1 * B.basis I.2)) i))
α : Type u_5
Preorder α
self : IsStronglyCoatomic α
a b : α
⊢ a < b → ∃ x, a ≤ x ∧ x ⋖ b
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
H K : S
hH : H ≤ K
⊢ (↑K).comp (AddSubgroupClass.inclusion hH) = ↑H
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
w : n ≠ 0
⊢ a = b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25858, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
⊢ CharP (R ⧸ I) p
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
R : Type u_13
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedRing R
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
h : f' =O[l] g
c : R
⊢ (c • f') =O[l] g
X : LinOrd
⊢ LinOrd.dual.obj X = LinOrd.of (↑X)ᵒᵈ
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
n : ℕ
f : R[A]
⊢ OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
Group X
TopologicalGroup X
UniformSpace Y
CommGroup Y
UniformGroup Y
T0Space Y
CompactSpace Y
LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
this : Epi c.π := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ i.desc (Cofork.ofπ f ⋯) ≫ c.π = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj one)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ iteratedDeriv (n + 1) f = iteratedDeriv n (deriv f)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.342, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ f ≫ g = 𝟙 X₁ ≫ f ≫ g
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ I = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
x : Finset α × Finset α
hx : x.1 = s ∧ x.2 = t
⊢ min (minOrder α) ↑(s.card + t.card - 1) ≤ ↑(s * t).card
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
⊢ ∃ q, (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q = p ∧ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (PiTensorProduct.mul x) ((PiTensorProduct.tprod R) 1) = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ N ≤ sSup ((fun x => lieSpan R L {x}) '' ↑N)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℂ), f p
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
⊢ multiplicity (↑p) (∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - 1 - i)) = 1
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ⌈a + b⌉ ≤ ⌈a⌉ + ⌈b⌉
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
⊢ derivedSeries R L 1 < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
s : Set R
x : R
hx : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∀ (t : Set α), m t = m (t ∩ s) + m (t \ s)
α : Type u
π : α → Type u_1
(a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
⊢ BddAbove s ↔ ∀ (a : α), BddAbove (Function.eval a '' s)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_1
Finite ι
ι' : Type w
x : ι → R
hi : ∀ (i : ι), x i ∈ I
f : (ι → R) →ₗ[R] ι' → R
i : ι'
⊢ f x i ∈ I
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype α
x : α
hx : f x ≠ x
hy : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
⊢ ∃! s, ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
⊢ b ∈ B ∧ f b = bH
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
⊢ ∃ a, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f'' =Θ[l] g''
⊢ Tendsto f'' l (𝓝 0) ↔ Tendsto g'' l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ ∑ i ∈ hs.toFinset, μ (f i) < ⊤
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
DecidableEq α₁
a : α₁
e : Equiv.Perm β₁
b : β₁
⊢ (Equiv.Perm.prodExtendRight a e) (a, b) = (a, e b)
f : ℕ → ℕ
m : ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ Nat.Primrec fun x => Nat.casesOn x m f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ x_1, I ≤ x_1.asIdeal ∧ (comap f) x_1 = x) ↔ Ideal.comap f I ≤ x.asIdeal
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(-x).arg = ↑x.arg + ↑π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.inclLift F M hM).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (match CategoryTheory.WithTerminal.incl.obj X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => F.obj x
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => Z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toLinAlgEquiv v₁) ((toMatrixAlgEquiv v₁) f) = f
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
n : ℕ
⊢ Submodule.span R s ^ n = Submodule.span R (s ^ n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : a < 0
⊢ 0 ≤ sign a ↔ 0 ≤ a
⊢ ∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1} {x : Option α}, f <$> x = none ↔ x = none
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
h : v x < 1
⊢ v (1 - x) = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ ↑r
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = y • deriv f x
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
⊢ UniformSpace.ball x V ∈ 𝓝 x
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
m n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ (↑m / ↑n).den = 1 ↔ n ∣ m
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l.reverse } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }
⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : (unpair n).1 = x
⊢ x = (unpair n).1
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
T0Space X
⊢ Continuous ⇑MeasureTheory.diracProbaEquiv
⊢ ∀ {a b : CategoryTheory.Cat} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g),
  CategoryTheory.WithInitial.prelaxfunctor.map₂ η = CategoryTheory.WithInitial.map₂ η
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
⊢ range (enumOrd S) = S
P : Type u_2
MetricSpace P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical (Metric.sphere s.center s.radius)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderCobaseChange
⊢ P.RespectsIso
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
⊢ ‖verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iio b) = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hg : AnalyticAt 𝕜 g x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (f + g) x
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
⊢ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ⊤ s ≤ ⊤ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
f : ι → α
x : α
hf : IsGLB (Set.range f) x
hx : ¬Order.IsPredLimit x
⊢ ∃ i, f i = x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
AddCommMonoid β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (∑ j ∈ s, f j) (f i) μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ StrictMono ⇑f ↔ ∀ (a : α), a < 0 → f a < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
b : β
(a : α) → Decidable (r a b)
⊢ Finset.bipartiteAbove (Function.swap r) s b = Finset.bipartiteBelow r s b
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t : Finset β
hs : s ⊆ s'
⊢ Finset.image₂ f s t ⊆ Finset.image₂ f s' t
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Monoid S
DistribMulAction S R
a : S
ha : IsSMulRegular R a
⊢ IsSMulRegular R[X] a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ β (LieAlgebra.IsKilling.coroot α) = ↑(↑(LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β) - 2 * ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β))
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + 1 ≠ 0
⊢ x ^ (y + 1) = x ^ y * x
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
start stop : Nat
⊢ as.all p start stop = true ↔ ∀ (i : Fin as.size), start ≤ ↑i ∧ ↑i < stop → p as[i] = true
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 / b ≤ a
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
F' : 𝕜 → α → E
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
⊢ Integrable (F' x₀) μ ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.Coprime n
⊢ m.gcd n ∣ 1
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i j : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ≠ j
⊢ MvPolynomial.degreeOf i (f * MvPolynomial.X j) = MvPolynomial.degreeOf i f
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ succ c = c + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ succ a ≤ b * succ a
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
hb : b ≠ ⊥
hab : b ≤ a
⊢ a ≠ ⊥
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i → β₁ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf₂ : ∀ (i : ι), f₂ i 0 = 0
h : ∀ (i : ι), (f i ∘ f₂ i) 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι
⊢ (f i✝ ∘ f₂ i✝) (g i✝) = f i✝ (f₂ i✝ (g i✝))
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = Polynomial.eval (v i) g
⊢ f = g
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
⊢ ‖1‖₊ = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ (⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
u v : List (Symbol T N)
⊢ r.Rewrites u v ↔ ∃ p q, u = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ v = p ++ r.output ++ q
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
k : ℕ
⊢ MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
⊢ G.map₂ (F.map₂ (λ_ f).inv) = (λ_ (G.map (F.map f))).inv ≫ (G.mapId (F.obj a✝) ≫ G.map₂ (F.mapId a✝)) ▷ G.map (F.map f) ≫ G.mapComp (F.map (𝟙 a✝)) (F.map f) ≫ G.map₂ (F.mapComp (𝟙 a✝) f)
G₀ : Type u
self : GroupWithZero G₀
⊢ 0⁻¹ = 0
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
α : Type u_1
β : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
⊢ UniqueFactorizationMonoid α ↔ UniqueFactorizationMonoid β
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n
⊢ 0 + k = k
M : Type u_2
AddZeroClass M
⊢ ⊤.unop = ⊤
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisInsertion l u
⊢ StrictMono u
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
⊢ IsSeparable F x
α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ
⊢ 1 * 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
⊢ ⋯.min {b | ∀ (a_1 : α), r a_1 a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a_1)) b} ⋯ ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a')) b}