ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
Group M
c : Con M
w x y z : M
⊢ c w x → c y z → c (w / y) (x / z)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α) ≤ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
⊢ H n
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
hb : IsRegular b
⊢ Disjoint a bᶜ ↔ a ≤ b
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
⊢ Function.Injective ⇑e
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
s : Set α
FunLike F β α
SupHomClass F β α
hs : SupClosed s
f : F
⊢ SupClosed (⇑f ⁻¹' s)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ((X.toRingedSpace.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) r)
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁴ : CommRing 𝒪
inst✝³ : IsDomain 𝒪
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra 𝒪 K
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
a b : 𝒪
h : v ((algebraMap 𝒪 K) b) ≤ v ((algebraMap 𝒪 K) a)
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x
⊢ ∀ (x y : S'), (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) (x * y) = (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) x * (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) y
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ IsAtom aᶜ ↔ IsCoatom a
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
⊢ μ (sphere x 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s t : Set α
⊢ ⇑e '' s = ⇑e '' t ↔ s = t
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
S✝ T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : Submodule R S
y : S
hx : x ∈ nonZeroDivisors S
⊢ (∃ a ∈ ↑p, (DistribMulAction.toLinearMap R S x) a = x * y) ↔ y ∈ p
X : TopCat
U V : Opens ↑X
⊢ V.1 ∩ Set.range ⇑U.inclusion = ↑(V ⊓ U)
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 ⊤) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
⊢ (↑f.toMonoidWithZeroHom).toFun = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hvw : v =ᶠ[l] w
⊢ u ~[l] w
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
⊢ φ.comp (eval₂Hom f g) = eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
⊢ (∃ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥) ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
⊢ ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f₁ f₂ : β →o γ
g : α →o β
⊢ (f₁.comp g).prod (f₂.comp g) = (f₁.prod f₂).comp g
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ (a : ZMod n), (zmodChar n ⋯) a = 1 → a = 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ' : Δ'' ⟶ Δ'
θ : Δ' ⟶ Δ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')
A : Splitting.IndexSet Δ''
fac : factorThruImage (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e) = (θ' ≫ θ).unop ≫ A.e
⊢ Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) (Splitting.IndexSet.mk (factorThruImage (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)))) = Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ (A.pull θ').e) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) ((A.pull θ').pull θ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
self : CategoryTheory.Pretriangulated C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z g h, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑↑(MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) = MeasureTheory.setToFun μ T hT f
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ p.subtype x = ↑x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupPrime ⊥
⊢ False
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℝ
hz : 0 ≤ ↑z
⊢ ↑z = ↑‖↑z‖
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Surjective (⇑f' ∘ ⇑(f' ^ n.pred))
⊢ Surjective ⇑f'
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
e : σ →₀ ℕ
⊢ coeff e (((AlgebraTensorModule.curry rTensorAlgHom.toLinearMap ∘ₗ monomial d) 1) n) = coeff e (((AlgebraTensorModule.curry ↑rTensor ∘ₗ monomial d) 1) n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft G adj.unit) (CategoryTheory.whiskerRight adj.counit G) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.comp (CategoryTheory.Functor.id C))
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts f ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Set.range ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
⊢ (Lagrange.nodal s v).Monic
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
n m : ℕ
ha : a ≤ 0
h : n ≤ m
⊢ m • a ≤ n • a
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
x y : OnePoint X
⊢ Inseparable x y ↔ x = ∞ ∧ y = ∞ ∨ ∃ x', x = ↑x' ∧ ∃ y', y = ↑y' ∧ Inseparable x' y'
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
U : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑(X.basicOpen i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ ‖↑(stereoInvFun hv w)‖ = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ (Finset.image₂ f s t).sup' h g = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ opcyclesMap' φ h₁ h₂ ≫ h₂.g' = h₁.g' ≫ φ.τ₃
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this : Unique ι
⊢ (⇑b = fun x => 1) ∨ ⇑b = fun x => -1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ StarConvex 𝕜 x ∅
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₃ ⟶ S₄
e : CategoryTheory.Arrow.mk φ ≅ CategoryTheory.Arrow.mk φ'
hφ : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ'
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'
⊢ l' ~r l
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLattice β
NeZero μ
c : β
⊢ essInf (fun x => c) μ = c
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
⊢ SqLe (d * y) 1 x d
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
S : IntermediateField E K := separableClosure E K
h : adjoin E (Subtype.val '' ↑(separableClosure F ↥S)) = S
this : IsScalarTower F (↥S) K
⊢ adjoin E ↑(IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F (↥(separableClosure E K)) K) (separableClosure F ↥(separableClosure E K))) = adjoin E (Subtype.val '' ↑(separableClosure F ↥S))
α : Type u_1
Nonempty α
SemilatticeSup α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
b : β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 b) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → ‖f n - b‖ < ε
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ Prime ↑(d ⟨p, ⋯⟩)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).mor₃ ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).mor₁ =
  0
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ⊔ b + c = (a + c) ⊔ (b + c)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
Y : CategoryTheory.Over X
S : CategoryTheory.Sieve Y.left
Z : CategoryTheory.Over X
f : Z ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y).symm S).arrows f ↔ S.arrows f.left
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖ = ‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ⊥
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.insepDegree F ↥⊥ = 1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable (∏ i ∈ s, f i)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ ↑‖x‖ = c * x
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
⊢ σ (k • a) = k • σ a
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ici 0) negMulLog
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.degree < ↑n
⊢ p.coeff n = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ T0Space α ↔ Pairwise fun x y => ∃ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∉ r
x : ℝ
hx0 : x ≤ 0
hpx : -(Real.pi / 2) ≤ x
⊢ Real.tan x ≤ 0
R : Type u
Ring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
⊢ (Subring.mk' s sm sa hm ha).toAddSubgroup = sa
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoidWithOne (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
⊢ 1 = (PiTensorProduct.tprod R) 1
α : Type u_1
β : Type u_3
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 Prod.mk s t = s ×ˢ t
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
⊢ a - b < c → a < b + c
α : Type u_1
xs ys : List α
n : ℕ
⊢ List.enumFrom n (xs ++ ys) = List.enumFrom n xs ++ List.enumFrom (n + xs.length) ys
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
⊢ rec g (mk x) = g (rec g <$> x)
α : Type u
β : Type v
Mul α
Mul β
e : α ≃* β
⊢ e.withOneCongr.symm = e.symm.withOneCongr
n : ℕ
m : ℝ
hm : 2 ≤ m
⊢ 0 < m ^ (n ! * n)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, ⋯⟩ = 0
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this✝ : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
hf_maps_to : MapsTo f s s
c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z
this : c ≤ 0
e : PE ≃ᵢ PE
hx : e x = x
hy : e y = y
⊢ dist (e z) z ≤ c
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ stoppedValue f τ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (addOppositeEquiv.symm x).leadingCoeff = AddOpposite.op (AddOpposite.unop x).leadingCoeff
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x : CliffordAlgebra Q'
⊢ (changeForm h) ((changeForm ⋯) x) = x
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
v : π i
⊢ Function.update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise f (Function.update g i v)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ g₁ ≤ g₂ → f • g₁ ≤ f • g₂
α : Type u
TopologicalSpace α
ConnectedSpace α
⊢ IsConnected Set.univ
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
SmoothManifoldWithCorners I M
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
g : M → G
hg : SmoothOn I 𝓘(ℝ, G) g (chartAt H c).source
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, G) fun x => ↑f x • g x
a : ℤ
n : ℕ
⊢ Int.succ^[n] a = a + ↑n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
μ : Measure α
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
As_mble : ∀ (i : ι), AEMeasurable ((As i).indicator fun x => 1) μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (As n).indicator (fun x => 1) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => 1) x))
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ ord I (term I ho) = o
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.Realize (FirstOrder.Language.Formula.iAlls f φ) v v' ↔
  ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
WellFoundedLT β
hf : StrictAnti f
⊢ WellFoundedGT α
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)
h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)
⊢ ∑ c ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), ((k₁ + k₂ - 1).choose c.1 • ((f₁ - μ₁ • 1) ^ c.1 * (f₂ - μ₂ • 1) ^ c.2)) m = 0
n : Nat
x : Nat
⊢ (BitVec.ofNat n x).toInt = (↑x).bmod (2 ^ n)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ ⇑f ⁻¹' ↑s.topologicalClosure = closure (⇑f ⁻¹' ↑s)
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
ha : a ∈ l
⊢ l.head! ≤ a
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (Cardinal.aleph0 ≤ a ∨ Cardinal.aleph0 ≤ b)
M : Type u_2
Mul M
⊢ ∀ (a : M), (MulEquiv.opOp M) a = MulOpposite.op (MulOpposite.op a)
α : Type u
Neg α
x : α
⊢ Multiplicative.ofAdd (-x) = (Multiplicative.ofAdd x)⁻¹
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f Set.univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ Function.Surjective ⇑f
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
a b c : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ SkyscraperPresheafFunctor.map' p₀ (f ≫ g) = SkyscraperPresheafFunctor.map' p₀ f ≫ SkyscraperPresheafFunctor.map' p₀ g