ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
Fintype ↑(AddAction.orbit M a)
⊢ a ∈ AddAction.fixedPoints M α ↔ Fintype.card ↑(AddAction.orbit M a) = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T
⊢ (C a).rootSet S = ∅
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
H : Type u_3
Group H
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.ActionCategory G X) (CategoryTheory.SingleObj H)
g : G
b : X
⊢ ((CategoryTheory.ActionCategory.curry F) g).left b = F.map (CategoryTheory.ActionCategory.homOfPair b g)
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c₀ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c₀.zip c₁) = (OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₀, OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₁)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
⊢ ∀ (i : ι × κ), (dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis i) = LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis i)
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
κ : Type w
E : Type z
Field E
Algebra K E
Module.Finite K L
Algebra.IsSeparable K L
IsAlgClosed E
b : κ → L
Fintype κ
e : κ ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (Algebra.traceMatrix K b).map ⇑(algebraMap K E) =
  Algebra.embeddingsMatrixReindex K E b e * (Algebra.embeddingsMatrixReindex K E b e)ᵀ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀
⊢ {x | f x = 0 x} ∈ 𝓝 x ↔ {x | f x = 0} ∈ 𝓝 x
α : Type u
s₁ s₂ : Stream'.Seq α
a : α
h : a ∈ s₁
⊢ a ∈ s₁.append s₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
this : s.indicator (const X c) * f = s.indicator (c • f)
⊢ Integrable (s.indicator (const X c) * f) μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : (f.cycleOf x).IsCycle
⊢ ¬f.cycleOf x = 1
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
m₁ m₂ : M
⊢ (CliffordAlgebra.changeForm h) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂) =
  (CliffordAlgebra.ι Q') m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q') m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q')) ((B m₁) m₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ : Measure α
κ : Kernel α β
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ ¬IsSFiniteKernel (Kernel.prodMkLeft Unit κ)
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
⊢ False
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ ↑(s.diffs t) = Set.image2 (fun x x_1 => x \ x_1) ↑s ↑t
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
h : Function.Injective m
⊢ Filter.comap m (Filter.map m f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (¬∃ n, 0 < μ (s ∩ spanningSets μ n)) ↔ ¬0 < μ s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toFinsupp (s ∪ t) = Multiset.toFinsupp s ⊔ Multiset.toFinsupp t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N
⊢ ((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ M R ⇑b₁) (b₁.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ N S ⇑b₂) (b₂.repr y))
R : Type u
CommRing R
P : Ideal R
H : P.IsPrime
⊢ (Ideal.map Polynomial.C P).IsPrime
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : ModularForm Γ k
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
⊢ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ'
AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
OrderedAddCommMonoid Γ
AddAction Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
MonoidWithZero R
MulActionWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
⊢ 1 • x = x
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
j : Fin n
⊢ i.insertNth x p (i.succAbove j) = p j
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set β
hf : Filter.Tendsto f l₁ l₂
h : s ∈ l₂
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l₁, f x ∈ s
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
s s' : ↥S
⊢ ↑s -ₒ s' + (↑s' -ₒ s) = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
S : Set E
Algebra.IsSeparable F ↥(IntermediateField.adjoin F S)
q : ℕ
ExpChar F q
⊢ IntermediateField.adjoin F S = IntermediateField.adjoin F ((fun x => x ^ q) '' S)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
p : Seminorm ℝ E
x : E
hp : {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1}.Nonempty
⊢ gauge (p.ball 0 1) x = p x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = ∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
self : A →ₗc[R] B
⊢ Coalgebra.counit ∘ₗ self.toLinearMap = Coalgebra.counit
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₁₂.τ₃ ≫ S.v₂₃.τ₃ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
f : β → α
s t : Set β
z : β
ht : IsCompact t
hf : ContinuousOn f t
hz : z ∈ t
hfz : ∀ z' ∈ t \ s, f z < f z'
⊢ ∃ x ∈ s, IsLocalMinOn f t x
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑I = Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) 0 ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
h : ↑p = ↑q
⊢ p = q
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U V : Submodule R M
⊢ (U ⊔ V).dualAnnihilator = U.dualAnnihilator ⊓ V.dualAnnihilator
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖
⊢ UniformContinuous fun g => (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) g ∘ f)
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
⊢ ∃ a, IsFundamental a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2
⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip (coroot l)
R : Type u
Ring R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
inj : Module.Injective R M
⊢ Module.Injective R (ULift.{v', v} M)
α : Type u_1
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
PartialOrder α
OrderBot α
f : ι → α
g : ι' → ι
s : Set ι'
h : Set.InjOn g s
⊢ (g '' s).PairwiseDisjoint f ↔ s.PairwiseDisjoint (f ∘ g)
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero A
r : R
⊢ (Unitization.inl r).snd = 0
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (Num.ofNat' (n + 1)).toZNumNeg = -(Num.ofNat' (n + 1)).toZNum
α : Type u_1
a : List α
l : List (List α)
⊢ ((↑(List.map (fun l => ↑l) l.sections)).bind fun b => map (fun a => a ::ₘ b) ↑a) = ↑(List.map (fun l => ↑l) (l.sections.bind fun s => List.map (fun a => a :: s) a))
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r (s.drop n)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α ↪ β
⊢ ((Function.Embedding.optionEmbeddingEquiv α β) f).fst = Function.Embedding.coeWithTop.trans f
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
e : G ≃+ G'
H : AddSubgroup G
g : ↥(AddSubgroup.map (↑e) H)
⊢ (e.addSubgroupMap H).symm g = ⟨e.symm ↑g, ⋯⟩
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hab : b ≤ a
hcb : c ≤ b
⊢ a - b + (b - c) = a - c
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
f : R →ₐ[S] A
g : M →ₗ[S] A
hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0
hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x
hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.lift f g hg hfg hgf) (TrivSqZeroExt.inl r) = f r
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a • b ≤ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ integralClosure (↑↑(integralClosure R A)) A = ⊥
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
s : ↥S
⊢ ↑s -ₒ s = 0
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ -⟦G⟧ = ⟦G⟧
α : Type u_5
TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Set.Iic a) = ν (Set.Iic a)
⊢ μ = ν
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
⊢ CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom = IsLocalization.Away.map R' S' f r
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
b' : ℝ := b (min_bi b)
hb_pos : 0 < b'
⊢ ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ < n
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : m < n
⊢ m + k < n + k
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
U : Set (ι → ℝ)
hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z
hU : ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
m : ℕ
hUm : Set.Icc (J m).lower (J m).upper ∈ 𝒫 U
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
⊢ sSup (Set.image2 l s t) = l (sInf s) (sSup t)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this : (μ.restrict v) v < ⊤
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
A : Set.Ico 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R
B : Set.Ioo 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R
⊢ [∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a < R, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < R) ∧ ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a < R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[∅] a = ⊥
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
x : ↥I
y : ↥I
⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup M
y : N
⊢ y ∈ AddSubsemigroup.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ ((c.takeUntil u h).darts ++ (c.dropUntil u h).darts) ~r c.darts
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
y : M
hy : LinearIndependent R (Fin.snoc ![x] y)
this : Fin.snoc ![x] y = ![x, y]
⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
R : Type u
Semiring R
a : R
f : R[X]
⊢ Polynomial.C a * f = a • f
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
b : β
x y : α
⊢ edist ((fun x => b) x) ((fun x => b) y) ≤ ↑0 * edist x y
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (if p x then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
H : ∀ (a : α), a ∈ none → p a
⊢ Option.pmap f none H = none
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
Module R M
⊢ ⇑(finsuppLequivDFinsupp R).symm = DFinsupp.toFinsupp
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : f x < x
⊢ StrictAnti fun n => f^[n] x
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 ↑1, ∃ᶠ (x : X) in L, ↑(f x) ∉ s
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
this : let den := ad * (-b).den; let num := a.num * ↑bd + (-b).num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => (o.kahler y.1) y.2) x
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
f g : SlashInvariantForm Γ k
h : ∀ (x : ℍ), f x = g x
⊢ f = g
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → Y
A : Set X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
h : ∀ (x : X), P x ↑f
x : X
⊢ RestrictGermPredicate P A x ↑f
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
b : A
x : ℝ
⊢ x ∈ spectrum ℝ (star b * b) → 0 ≤ x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
⊢ x ≤ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
s' : Set α
hsub : s ⊆ s'
hs' : μ s' = μ s
hs'm : NullMeasurableSet s' μ
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
M : Type uM
N : Type uN
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
y : M
x : M →+ N
⊢ (AddMonoidHom.eval y) x = x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ Filter.map SeparationQuotient.mk (𝓝ˢ s) = 𝓝ˢ (SeparationQuotient.mk '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, b)) atBot (𝓝 0)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
h : M.IsMatching
v : V
hv : v ∈ M.verts
⊢ v ∈ M.support
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, Polynomial.X ^ i).comp (Polynomial.X + 1) =
  ∑ i ∈ Finset.range n, ↑(n.choose (i + 1)) * Polynomial.X ^ i
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : l.rotate n = l'.rotate n
⊢ l = l'
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ H
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout 0 0 b.inl b.inr