ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
p r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n * p).comp r = ↑n * p.comp r
α : Type u_1
Neg α
v : Fin 0 → α
⊢ -v = ![]
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
self : Φ.IsRightDerivabilityStructure
⊢ CategoryTheory.TwoSquare.GuitartExact
  (CategoryTheory.CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
s : Set Y
hfg : Filter.Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑g) μ ν
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun a => μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s))) l (𝓝 0)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ (s.erase a).val = s.val.erase a
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ≤ 1 / (4 * ↑(n + 1) ^ 2)
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
⊢ (-a) ^ n = -a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set (β × γ)
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), (κ.seq n).compProdFun η a s
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i✝¹ : ι
x✝¹ : 𝒜 i✝¹
i✝ : ι
x✝ : ℬ i✝
⊢ (-1) ^ (i✝ * 0) • ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ i✝) x✝ * 1) = r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
hB : A ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨A, hB⟩ ⋯).parts
⊢ (Disjoint on id) a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β → γ
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t = ⋃ i, ⋃ j, Set.image2 f (s i j) t
⊢ Bornology.cobounded ℤ = atBot ⊔ atTop
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.SameCycle x y ↔ f.SameCycle y x
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf CommRingCat X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x :
  ↥((RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
          (RingHom.fst ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))).eqLocus
      (RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
        (RingHom.snd ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))))
⊢ (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) ((F.objSupIsoProdEqLocus U V).inv x) = (↑x).2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
α : Type u_4
SMul α R
SMul α A
IsScalarTower α R A
IsScalarTower α A A
i : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
m : α
⊢ HomogeneousLocalization.mk (m • i) = m • HomogeneousLocalization.mk i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ stereoInvFunAux v w ∈ Metric.sphere 0 1
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
⊢ A ∈ symplecticGroup l R ↔ Aᵀ * J l R * A = J l R
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
a b : α
⊢ f a = f b ↔ a = b
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
⊢ l[n] = x ↔ l[n]? = some x
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!
⊢ ((j ! * (j + 1) = (j + 1) * j ! ∨ i ! = 0) ∨ (i + j)! = 0) ∨ bernoulli' i = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
h : CountablyGenerated α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
⊢ generateFrom (⋃ n, countablePartition α n) = m
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))
hwT : ∀ (μ : Eigenvalues T), T ↑(w μ) = ↑T μ • ↑(w μ)
⊢ T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕂 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ a ∈ (ContDiffAt.toPartialHomeomorph f hf hf' hn).source
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑X.toTopCat
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (X.Γevaluation x) f = 0 ↔ x ∉ X.toRingedSpace.basicOpen f
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ fun s => HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a s - HurwitzZeta.hurwitzZetaEven b s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
q₁ q₂ : ℤ
hq₁ : q₁ = q - 1
hq₂ : p + 1 = q₂
⊢ p + n = q₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (b : β), f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a
M : Type u_1
AddMonoid M
M' : Type u_3
AddMonoid M'
P : AddSubmonoid M
h : P.FG
e : M →+ M'
⊢ (AddSubmonoid.map e P).FG
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a c : Ordinal.{u_2}
h : succ c ≠ 0
⊢ (a + succ c).cof = (succ c).cof
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj Q.complex) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
⊢ IsPrimePow ‖α‖ → Nonempty (Field α)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (Polynomial.aeval x) q
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
a0 : 0 ≤ a
b0 : 0 ≤ b
⊢ a * a = b * b ↔ a = b
α : Type u_3
SemilatticeInf α
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (a, a)) Filter.atBot Filter.atBot
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
r : R
x : ↑X
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ g (1 ⊗ₜ[R] (r • x)) = f r • g (1 ⊗ₜ[R] x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᵐ[ν] 0
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)
⊢ Surjective (Sigma.map f₁ f₂)
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x✝ : A
⊢ (∃ y, (algebraMap (↥S) A) y = x✝) ↔ ∃ y, (toSubmodule S).subtype y = x✝
⊢ Tendsto sin (𝓝[<] (π / 2)) (𝓝 1)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' y
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : Set.MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
h : m.trim s = 0
t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : MeasurableSet t
hm : m t = m.trim s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = 0
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
m : ℕ
hm : m ∣ p
⊢ m = 1 ∨ m = p
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
x : PiTensorProduct R fun i => s i
⊢ x.lifts.Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
⊢ ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ gauge s ↑x
α : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a + a - (b + b) = a - b + (a - b)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.symm.source = e.target
α : Type u
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝 a = 𝓝 a ⊓ 𝓝 a
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v₁ v₂ : V
x : P
⊢ dist (v₁ +ᵥ x) (v₂ +ᵥ x) = dist v₁ v₂
α : Type u_1
β : Type u_2
u : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ Set.univ, u x = ⋂ x, u x
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
m : M
⊢ m +ᵥ a ∈ AddAction.orbit M a
m s step n : Nat
h : ∀ (i : Nat), i ≤ n ↔ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ ∧ j < n
⊢ (m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ a, (∃ j, a = j + 1 ∧ j < n) ∧ m = s + step * a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t
⊢ limsup s atTop =ᶠ[ae μ] t
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
s t : Finset α
⊢ 1 ∉ s / t ↔ Disjoint s t
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
γ : Type u_11
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
u : α → γ
hu : UniformInducing u
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformEquicontinuousOn ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C
⊢ (F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.Smooth R A
⊢ Algebra.FormallySmooth R A
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
h5 : 5 ≤ Fintype.card α
σ τ : ↥(alternatingGroup α)
hσ : (↑σ).IsThreeCycle
hτ : (↑τ).IsThreeCycle
⊢ IsConj σ τ
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
⊢ PFun.id β = 𝟙 β
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
⊢ IsLindelof (s ∩ t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.id C).map f = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ ((monomial n) a).aroots S = n • {0}
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
y y' : γ
⊢ (fun y => (f y, x)) y = (fun y => (f y, x)) y' → y = y'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
y z : Ordinal.{u_4}
⊢ (0 * y + z) % 0 = z % 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hwx : Submodule.span ℝ {w} = Submodule.span ℝ {x}
hyz : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • o.oangle w y = 2 • o.oangle x z
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Zero (α i)
LinearOrder ι
(i : ι) → LinearOrder (α i)
⊢ DFinsupp.Lex.decidableLE =
  DFinsupp.lt_trichotomy_rec (fun {f g} h => isTrue ⋯) (fun {f g} h => isTrue ⋯) fun {f g} h => isFalse ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.sup (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.sup f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R (M ⧸ W)
x : M
⊢ (W.dualQuotEquivDualAnnihilator φ) x = φ (Submodule.Quotient.mk x)
α✝ : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0
⊢ vecAlt0 h ![] = ![]
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
h : k < (l.rotate n).length
⊢ (l.rotate n)[k] = l[(k + n) % l.length]
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
⊢ IsGδ (⋃₀ S)
x y z : ℝ
h : ↑x + ↑y ≤ ↑x + ↑z
⊢ ↑y ≤ ↑z
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (if p x = (true = true) then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
T2Space α
a : α
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : ι), f i * a = (∑' (i : ι), f i) * a
ι : Type u_1
α : Type u_2
One α
Nonempty ι
a : α
⊢ Function.const ι a ≠ 1 ↔ a ≠ 1
⊢ arctan 2⁻¹ + arctan 3⁻¹ = π / 4
x : ℝ*
h0 : ¬x = 0
h1 : ¬x.Infinitesimal
h2 : ¬x.Infinite
⊢ x⁻¹.st = x.st⁻¹
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
⊢ x ^ n * x < 1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
A B : J
f : A ⟶ B
⊢ (D.map f).f ≫ c.ι.app B = c.ι.app A ≫ 𝟙 c.pt
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x * 1#w = x
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
g : SupHom β γ
f₁ f₂ : SupHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
⊢ ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ ↑e { proj := b, snd := e.symm b y } = (b, y)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K I⁻¹ = dual A K 1 * I
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
l : f.left ≅ g.left
r : f.right ≅ g.right
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp l.hom g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom r.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Arrow.isoMk l r h).inv.right = r.inv
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
inst✝ : (i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)
f g : (i : I) → B i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖(f * g) i‖)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 0 = 1
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p j : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
F : ℕ → ℚ
S : Finset ℕ
hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i
k : ℕ
hF : ∀ i ∈ {k}, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)
⊢ padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ {k}, F i)
x y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x < y₁ ↔ x < y₂
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
g : ι' → ι
hg : Function.Surjective g
⊢ l.HasBasis (p ∘ g) (s ∘ g)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f univ x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f univ y) univ x) (init m)) (m (last n))