ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
ha : a ≠ 0
eq_zero_of_ne : ∀ (q : Associates α), Irreducible q → q ≠ p → q.count a.factors = 0
q : Associates α
hq : Irreducible q
⊢ q.count a.factors = q.count (p ^ p.count a.factors).factors
α : Type u_1
DecidableEq α
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ n ≤ List.count a l ↔ List.replicate n a <+ l
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n
⊢ (a ::ᵥ v).get 0 = a
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
Zero α
One α
i j : V
⊢ A.compl i j = 0 ∨ A.compl i j = 1
n : ℕ
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ
⊢ Nat.find hₘ + n = Nat.find hₙ
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
a : α
⊢ a ∈ L.carrier ↔ a ∈ L
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
⊢ n ≤ (n - 1) / m * m + m
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im < 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in -b..-a, f x
b c : Prop
α : Sort u_1
⊢ α → b ∧ c ↔ (α → b) ∧ (α → c)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable α
MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), f a * μ {a}
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌈-a⌉ = -⌊a⌋
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
z : ℝ≥0∞
hz : z > 0
w : ℝ≥0
w_pos : 0 < ↑w
w_lt : ↑w < z
⊢ ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
l u : ι → ℝ
⊢ BoxIntegral.Box.mk' l u = ↑I ↔ l = I.lower ∧ u = I.upper
y z : ℝ
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
x✝ : ℝ≥0
⊢ ↑x✝ ^ (y + z) = ↑x✝ ^ y * ↑x✝ ^ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles f₂
⊢ f₁ = f₂
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (π i)
a b : (i : ι) → π i
Nonempty ι
h : StrongLT a b
⊢ a < b
A : Type u_1
B : outParam (Type u_2)
self : SetLike A B
⊢ Function.Injective SetLike.coe
α : Type u_2
Preorder α
⊢ ⇑(PseudoEpimorphism.id α) = id
α : Type u_1
a b : α
s : Multiset α
⊢ a ::ₘ b ::ₘ s = b ::ₘ a ::ₘ s
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
⊢ SchwartzMap.seminormAux k n 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsSplitMono f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ Integrable (fun ω => rexp (-t * (-X) ω)) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
⊢ lfp (lfp.comp h) = lfp h.onDiag
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ⌊a + b⌋ - 1 ≤ ⌊a⌋ + ⌊b⌋
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) ↑φ = MvPolynomial.coeff n φ
a b : ENNReal
⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = ⊤
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a ∈ l.sublists.revzip, Prod.map ofList ofList a = x
⊢ x.1 + x.2 = ↑l
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
⊢ (f.cycleOf x).IsCycle ↔ f x ≠ x
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
⊢ |a| = |b| ↔ a * a = b * b
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g.toLinearMap b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
α : Type u_1
n : Type u_4
RCLike α
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n α
⊢ A.IsHermitian ↔ (Matrix.toEuclideanLin A).IsSymmetric
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ op a₁ (op (l <*> a) a₂) = op a₁ (op a (foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ l))
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' Metric.closedBall b r = Metric.closedBall (b / a) r
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : Submodule R M
S : Set (Submodule R M) := {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}
⊢ p = sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}
α : Type u_1
DecidableEq α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s \ (t₁ ∪ t₂) = s \ t₁ ∩ (s \ t₂)
F : Type u
Field F
f g : RatFunc F
⊢ ↑(f / g) = ↑f / ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s : Set α
h : r.dom ⊆ s
⊢ r.image s = r.codom
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (m → R)
this : Module.Free R (m → R)
⊢ A.rank ≤ Fintype.card m
a b : Prop
ha : ¬a
hb : ¬b
⊢ a = b
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ c + a ≡ b [PMOD p] ↔ a + c ≡ b [PMOD p]
x : ℝ
⊢ tan (π / 2 - x) = (tan x)⁻¹
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R →ₙ+* S
g : R →ₙ+* T
⊢ (NonUnitalRingHom.fst S T).comp (f.prod g) = f
r s : ℝ
⊢ (↑r).IsSt s → r = s
R : Type u_1
V : Type u_2
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
x y : V
⊢ affineSegment R x y = segment R x y
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
⊢ s ∩ t ∈ f ⊓ g
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
y : ℝ
hy : y ∈ S
⊢ 0 ≤ sSup S
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : ∃ a, ↑a = weightedTotalDegree' w p
⊢ weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝
x✝ y z : α✝
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ IsOpen {x} ↔ ∃ ε > 0, ∀ (y : α), dist y x < ε → y = x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l : List (Equiv.Perm α)
x : α
hx : x ∈ l.prod.support
⊢ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
PartialOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ≤ p.2}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
⊢ vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
AddCommMonoid C
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
φ₁ : B →ₗc[R] C
φ₂ : A →ₗc[R] B
⊢ ∀ (a : A), (φ₁.comp φ₂) a = φ₁ (φ₂ a)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
S : Type u_5
R : Type u_6
N : Type u_7
M : Type u_8
SetLike S R
SetLike N M
SMul R M
VAdd ιA ιB
A : ιA → S
B : ιB → N
self : SetLike.GradedSMul A B
i : ιA
j : ιB
ai : R
bj : M
⊢ ai ∈ A i → bj ∈ B j → ai • bj ∈ B (i +ᵥ j)
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ 0 ≤ x * Real.log x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ≅ Y
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom g = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
⊢ g = f.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ (∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, (⟨a, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd) ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop
⊢ (∀ x ∈ {a | ¬p a}, μ {x} = 0) ↔ ∀ (x : α), μ {x} ≠ 0 → p x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
⊢ IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
⊢ k ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = k
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : IsEmpty m
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Semiring 𝕜
AddCommGroup α
AddCommGroup β
Module 𝕜 α
Module 𝕜 β
⊢ ⇑(WithLp.prodContinuousLinearEquiv p 𝕜 α β) = ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom = (X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β → β
s : Multiset α
h : LeftCommutative f
b : β
⊢ Multiset.noncommFoldr f s ⋯ b = Multiset.foldr f h b s
x y : ℝ
⊢ Irrational (x + y) → Irrational x ∨ Irrational y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddGroup G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
⊢ f (n • a) = f 0 + n • b
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
this : ExpChar E q
⊢ DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (cIcc a b)ᶜ ↔ x✝ ∈ cIoo b a
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
⊢ ∀ i < a, i ♯ 1 < succ a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid N
Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.rTensor (MvPolynomial.X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then 1 ⊗ₜ[R] n else 0
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g
⊢ Classical.choose ⋯ ≡ 1 [ZMOD ↑(orderOf g')]
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ Monotone fun i => ⋃ i_1 ∈ i, s i_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
⊢ (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2
R : Type u
ι : Type y
CommSemiring R
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
ht : ∀ i ∈ t, (f i).Monic
⊢ (Multiset.map f t).prod.Monic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
⊢ (sphere x r).Nonempty ↔ 0 ≤ r
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s.disjSups (t₁ ∪ t₂) = s.disjSups t₁ ∪ s.disjSups t₂
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I
hc : IsLimit c
i : I.L
x : c.pt
⊢ c.ι i ((sectionsEquiv hc) ((sectionsEquiv hc).symm x)) = ((sectionsEquiv hc).symm x).val i
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ Real.log =o[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
⊢ ∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → update c k 0 i = 0
n : ℤ
z τ : ℂ
⊢ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖ ≤ 3 * π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑I ⊆ ↑J ↔ I ≤ J
z : ℂ
h : ((∀ (k : ℤ), ↑z.re ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), ↑z.im * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, ↑z.re = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, ↑z.im * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2
⊢ tan z = (tan ↑z.re + tanh ↑z.im * I) / (1 - tan ↑z.re * tanh ↑z.im * I)
b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b)
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ abs (cexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
a : R
⊢ f a ∈ nonunits S ↔ a ∈ nonunits R
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : G ≃L[𝕜] E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : G
hx : g x ∈ s
i : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x =
  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)).compContinuousLinearMap fun x => ↑g
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
⊢ nhdsAdjoint a f ≤ t ↔ ∀ (s : Set α), a ∈ s → IsOpen s → s ∈ f
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
Countable ι
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ε' i < ε
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
⊢ DenseRange fun x => (↑α x.1, ↑β x.2.1, ↑γ x.2.2)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
a : R
⊢ IsCoprime (X + C a) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
⊢ ↑(s ∪ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∩ t).card
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
ι : Type u
α : Type v
DecidableEq α
t : ι → Finset α
Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ Finset.univ → s.card < (s.biUnion t).card
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S
⊢ f x = g x
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
⊢ Function.Surjective ⇑(A.mulMap' B)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ ⊤.FG
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ≤ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ↔
  slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r) ≤ slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_6
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i) (f j) μ
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
h : ∀ (a b : R), IsUnit (a + b) → IsUnit a ∨ IsUnit b
⊢ LocalRing R
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
Q : (j : J) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (D.obj j)
c : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.uncurry.obj F)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfConeUncurry Q c).π.app j =
  (Q j).lift { pt := c.pt, π := { app := fun k => c.π.app (j, k), naturality := ⋯ } }
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
f : Module.End K V
FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (f x) ∂μ < ⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
⊢ Presieve.IsSheafFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
⊢ p /ₘ 0 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
n : ℕ∞
Zero M'
⊢ ContMDiffOn I I' n 0 s
S : Type u_1
Semiring S
a : ℕ
⊢ ↑a ! = Polynomial.eval 1 (ascPochhammer S a)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G n
h : ∀ (p q : ℤ) (hpq : p + n = q), z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq
⊢ z₁ = z₂
α : Type u
a : α
c₂ : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse (Computation.pure a) fun x => c₂) = Computation.pure a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ integralCLM (-f) = -integralCLM f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
h₀ : a ∈ s
h₁ : IsOpen s
h₂ : t ∩ s = u ∩ s
⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : ∑ x : Fin 2, f x = 1
⊢ f ∈ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
j : κ i
⊢ f i j ≤ ⨆ i, ⨆ j, f i j
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
v₁ v₂ : RayVector R M
⊢ v₁ ≈ v₂ ↔ SameRay R ↑v₁ ↑v₂
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
DecidableEq α
γ : Type u_4
t : L.Term (α ⊕ γ)
s : Set α
h : ↑t.varFinsetLeft ⊆ s
v : α → M
xs : γ → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim (v ∘ Subtype.val) xs) (t.restrictVarLeft (Set.inclusion h)) =
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t