ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ LinearMap.trace R M ∘ₗ dualTensorHom R M M = contractLeft R M
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ Topology.lower α
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
IsCancelAdd R
a b c : M
H : B.IsAlt
hAdd : a + b + c = 0
⊢ (B a) b = (B b) c
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
ihb : b = 0
e : b.fundamentalSequence = Sum.inl none
⊢ match match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero) with | Sum.inl none => a.oadd m b = 0 | Sum.inl (some a_1) => (a.oadd m b).repr = succ a_1.repr ∧ ((a.oadd m b).NF → a_1.NF) | Sum.inr f => (a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (f i).repr
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalExtrOn f s a
⊢ IsLocalExtrOn (fun x => -f x) s a
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
i : ι
x : X
hx : x ∈ K i
⊢ closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f✝ f : R[X]
⊢ (taylor 0) f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β
⊢ (M.mapSetEmbedding f).Indep I ↔ M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ Set.range ⇑f
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ ((¬∀ (i : y.LeftMoves), y.moveLeft i ⧏ x) ∨ ¬∀ (j : x.RightMoves), y ⧏ x.moveRight j) ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : L
⊢ IsAlgebraic K x
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C
⊢ f ⊗ 𝟙 Y = f ▷ Y
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
ho : (x + y).orderTop = x.orderTop
⊢ (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
α : Type u_1
l₂ : List α
a : α
DecidableEq α
l₁ : List α
h : a ∈ l₂
⊢ (a :: l₁).bagInter l₂ = a :: l₁.bagInter (l₂.erase a)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
self : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangleMorphism₂.hom₃ = h.m₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).obj X).X = X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map (X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id
⊢ n ∈ Finset.image (fun x => match x with | (s, m) => m ^ 2 * s.prod id) (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b
R : Type u_1
MulZeroClass R
nR : Nontrivial R
⊢ ¬IsLeftRegular 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsCompact (⇑h '' s) ↔ IsCompact s
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsPushout R R' S S'
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖
⊢ f =O[l] g
R : Type u
CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
ha : ¬IsUnit a
hap : a ∣ p
⊢ 0 < a.natDegree
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
U : Set α
s : Set M
a : M
⊢ (U.indicator fun x => a) ⁻¹' s ∈ {Set.univ, U, Uᶜ, ∅}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hf : MeromorphicOn f U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U
⊢ MeromorphicOn g U
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ Set.Icc a ⊤ = Set.Ici a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α), (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s).prod f
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R l₁.reverse l₂.reverse ↔ List.Forall₂ R l₁ l₂
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
a : π i
⊢ Function.update x i a < x ↔ a < x i
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hfv : LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ t ∈ T, f x ∈ t → f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
i : ℕ
⊢ CategoryTheory.Functor.OfSequence.map f i (i + 1) ⋯ = f i
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
m : M
hm : ∀ (x : Dual R M), x m = 0
⊢ m = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : X ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (⨁ f) Y
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) Y) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp h
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) Y)
⊢ g = h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ [x-[𝕜]y]
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ Behrend.box n d
⊢ ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ≤ n * (d - 1) ^ 2
p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
K : Type u_1
Field K
Fintype K
Algebra (ZMod p) K
h : Fintype.card K = p ^ n
⊢ Polynomial.IsSplittingField (ZMod p) K (Polynomial.X ^ p ^ n - Polynomial.X)
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l : List α
h : Sorted r (a :: b :: l)
⊢ insertionSort r (a :: b :: l) = a :: b :: l
α : Sort u
x y : αᵒᵖ
⊢ Opposite.unop x = Opposite.unop y ↔ x = y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.ΨSq n).leadingCoeff = ↑n ^ 2
M : Type u_1
Monoid M
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
f : (i : ι) → κ i → Submonoid M
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).units = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).units
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
n : ℕ
Nonempty β
hn : Fintype.card β * n ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ y, n ≤ (Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card
α : Type u
β : Type v
LE β
l : Filter α
f f' g g' : α → β
H : f ≤ᶠ[l] g
hf : f =ᶠ[l] f'
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ f' ≤ᶠ[l] g'
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit P
⊢ IsUnit (P.coeff 0) ∧ ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₄
h : M →ₗ[R] M₂
⊢ f.prod g ∘ₗ h = (f ∘ₗ h).prod (g ∘ₗ h)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G
⊢ a * b / a = b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
TotallyDisconnectedSpace X
⊢ Countable (TopologicalSpace.Clopens X) ↔ SecondCountableTopology X
x : ℝ≥0
⊢ ‖x‖₊ = x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V₁
inst✝¹¹ : Module k V₁
inst✝¹⁰ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁹ : AddCommGroup V₂
inst✝⁸ : Module k V₂
inst✝⁷ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₃
inst✝⁵ : Module k V₃
inst✝⁴ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AffineSpace V₄ P₄
inst✝ : Invertible 2
x y : V₁
h : 2 • x = 2 • y
⊢ x = y
α : Type u_1
Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Ordnode.nil.Bounded o₁ o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ Ordnode.nil o₂
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (fun x => ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
k : ℕ
n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
impos : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum < ω.size • 2 • f ![a, b]
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ s
z : F
hz : z ∈ ball y (ε / C)
⊢ z ∈ ⇑f '' s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] F
t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)
st : s ⊆ ⋃ n, t n
t_approx : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))
ht : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ∃ t A, Pairwise (Disjoint on t) ∧ (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
⊢ ↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a) ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a')) b}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.epimorphisms C f ↔ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S (T + T') f =
  MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f + MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
x : ℝ
⊢ ↑(Real.tanh x) = Complex.tanh ↑x
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = a * b
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
b' : R[X]
hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b
this : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ IsUnit b
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
⊢ ↑(ℜ z) = ?m.419985
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
zero : T.mor₃ = 0
this✝ : Epi T.mor₂
this : IsSplitEpi T.mor₂
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
hfst : 𝟙 T.obj₂ - T.mor₂ ≫ section_ T.mor₂ = fst ≫ T.mor₁
d : BinaryBiproductData T.obj₁ T.obj₃ := binaryBiproductData T hT zero (section_ T.mor₂) ⋯ fst ⋯
⊢ ∃ e, T.mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl ∧ T.mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
NonAssocSemiring R
v : V
vec : V → R
⊢ (SimpleGraph.degMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
this : Fintype ι
s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)
s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl
j : ι
z : (forget FintypeCat).obj ((Discrete.functor f ⋙ F).obj { as := j })
h : (s.ι.app { as := j }) z = x
⊢ F.map (g j) z = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
⊢ #(α → α) ≤ #(α ≃ α)
a b m n✝ p✝ p n : ℕ
hn : (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range n)).card = n / p
⊢ (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range (n + 1))).card = (n + 1) / p
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ I ≤ J ↔ ∀ x ∈ I, x ∈ J
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
⊢ factors' a = factors' b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
⊢ (eval₂Hom f g) (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = f (constantCoeff p)
⊢ StrictMonoOn Real.Gamma (Set.Ici 2)
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝
⊢ b⁻¹ ∈ MonoidHom.range f
G : Type u
H : Type v
Mul G
Mul H
f : H →ₙ* G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
TwoUniqueProds G
⊢ TwoUniqueProds H
m n : Nat
h : m < n
⊢ (List.range n)[m]? = some m
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
⊢ p ≤ n
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a ≤ b ↔ Codisjoint a b
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈ ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 7 then 1 else -1
⊢ χ₈ ↑(n % ↑8) = if n % 8 % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 7 then 1 else -1
α : Type u_1
⊢ StrictMono Finset.sym2
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : omegaLimit f ϕ s ⊆ v
⊢ ∃ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ u s) ⊆ v
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (List.map f₁ a✝).prod ⊆ (List.map f₂ a✝).prod
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ log (1 + a⁻¹) = log ((1 + 1 / (2 * a + 1)) / (1 - 1 / (2 * a + 1)))