ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Nonempty Z
MetricSpace Z
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
⊢ Metric.toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ = Metric.toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRightIso η h).hom = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η.hom h
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f f' : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h : ∀ z ∈ Metric.sphere c |R|, HasDerivWithinAt f (f' z) (Metric.sphere c |R|) z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f' z) = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
⊢ μ ↑s = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : EsakiaHom β γ
f₁ f₂ : EsakiaHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
w : Nat
x y : BitVec w
a b : Bool
⊢ BitVec.cons a x ||| BitVec.cons b y = BitVec.cons (a || b) (x ||| y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Z
f : W ≅ Y
g : X ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.mapIso f g).hom = CategoryTheory.Limits.prod.map f.hom g.hom
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
MulPosStrictMono α
MulPosReflectLT α
h : 0 < b
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume {a} = 0
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
q₁ q₂ : Λ'
q₁_ih : Λ'.Supports S q₁ → trStmts₁ q₁ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₁) S
q₂_ih : Λ'.Supports S q₂ → trStmts₁ q₂ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₂) S
H₁ : Λ'.Supports S (q₁.pred q₂)
HS₁ : insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂)) ⊆ S
⊢ Supports (insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂))) S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β],
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → ∀ {b : β}, TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {b})
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
Decidable (IsField A)
⊢ Submodule.traceDual A K ⊤ = if IsField A then ⊤ else ⊥
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B
x : A
⊢ e.symm (e x) = x
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
z : ℤ
⊢ ↑z = 1 ⊗ₜ[R] ↑z
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Nat.Coprime on s) l
z : ℕ
hz : ∀ i ∈ l, z ≡ a i [MOD s i]
⊢ z ≡ ↑(Nat.chineseRemainderOfList a s l co) [MOD (List.map s l).prod]
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
⊢ Function.RightInverse (fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x) { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s ⊻ (t₁ ∪ t₂) = s ⊻ t₁ ∪ s ⊻ t₂
R : Type u_1
m : ℕ
this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i
⊢ ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ Ico (m + 1) (2 * m + 2), (2 * m + 1).choose i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ MeasureTheory.cylinder s S ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a + b < c
hle : d ≤ a
⊢ d + b < c
α : Type u_1
as : Array α
x : α
⊢ as.push x = as ++ #[x]
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g|m]) x = f x * (μ[g|m]) x
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i = ∑ i ∈ s, w i ^ (1 - p⁻¹) * (w i ^ p⁻¹ * f i)
α : Type u_1
x : α
xs : List α
⊢ FreeMonoid.ofList (x :: xs) = FreeMonoid.of x * FreeMonoid.ofList xs
n : ℕ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi) - Real.pi) = -1
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n.succ
⊢ v.toList.head? = some v.head
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Finite α
f : ↥(lp E p)
⊢ Equiv.lpPiLp f = ↑f
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖₊ ≤ g i
⊢ Summable f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ), (X * p.divX + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
s : Finset ι
ι' : Type u_9
DecidableEq ι'
t : Finset ι'
g : ι → ι'
f : ι → N
h : ∀ y ∉ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x ≤ 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x ≤ ∑ y ∈ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
IsRightCancelMul α
s t : Set α
⊢ (s * t).Infinite ↔ s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
⊢ ↑(Subgroup.map f K) = ⇑f '' ↑K
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ s, IsLUB s x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.33491, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
iter₁ iter₂ iter₃✝ iter₃ : Iteration ε j
f : iter₁.Hom iter₂
g : iter₂.Hom iter₃
i : J
hi : i < j
⊢ (f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨wellOrderSucc i, ⋯⟩ = (iter₁.isoSucc i hi).hom ≫ whiskerRight ((f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨i, ⋯⟩) Φ ≫ (iter₃.isoSucc i hi).inv
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
h : HolderWith C r f
hr : 0 < r
s : Set X
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
x✝¹ : Ω
x✝ : x✝¹ ∈ s (n + 1)
⊢ ‖1 x✝¹‖ ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.unop.h₂ = h.h₁.unop
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : ↥p
⊢ (p.linearProjOfIsCompl q h) ↑x = x
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
h : Set.EqOn u v ↑(range E.order)
u' : ↥E.solSpace := ⟨u, hu⟩
v' : ↥E.solSpace := ⟨v, hv⟩
⊢ u' = v'
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a ≤ b + c
hle : c ≤ 0
⊢ a ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
x : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsIntegral R (x ^ n)
⊢ ∃ y, (algebraMap R A) y = x
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
⊢ Irreducible (c 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial
⊢ s.Infinite
R : Type u
inst✝² : Ring R
cR : Type u
inst✝¹ : CommRing cR
s✝ : Set R
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
s : Set R
⊢ ⇑f '' closure s ≤ closure (⇑f '' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(μ Set.univ)⁻¹ • μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ h.triangleMorphism₁.hom₃ = h.m₁
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
⊢ ((fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) (fun x x_1 => x ↔ x_1) fun x x_1 => x ↔ x_1
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x
x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i
⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
⊢ Continuous DFunLike.coe
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
⊢ finrank K ↥v.submodule = 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
⊢ Monotone F
ι : Sort u_1
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : ι → Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
α : Type u_3
SemilatticeInf α
⊢ (InfHom.id α).withBot = InfHom.id (WithBot α)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
ha : μ {a} ≠ ⊤
hb : μ {b} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ A.unitsModPrincipalUnitsEquivResidueFieldUnits.toMonoidHom.comp
    (QuotientGroup.mk' (Subgroup.comap A.unitGroup.subtype A.principalUnitGroup)) =
  A.unitGroupToResidueFieldUnits
α : Type u_1
ι : Type u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
self : Filter.IsCountableBasis p s
⊢ (setOf p).Countable
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
⊢ ∃ J, mk0 I = mk0 J ∧ (algebraMap R S) M ∈ ↑J
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : D
⊢ F.map ((adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x) ≫ adj2.counit.app x = adj1.counit.app x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
X₀ : C
f : X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ⟶ X₀
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f
⊢ (X.augment X₀ f w).right = X₀
α : Type u_1
CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g
⊢ ⨆ n, f n ≤ ⨆ n, g n
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I ((j : ι) → M j)
⊢ (piEquivOfFintype I M) x = (pi I M) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
⊢ ContinuousOn (dslope f a) s ↔ ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
m : Multiset β
f : β → Multiset α
a : α
⊢ Multiset.count a (m.bind f) = (Multiset.map (fun b => Multiset.count a (f b)) m).sum
G : Type u_1
AddGroup G
s t : Set G
⊢ AddSubgroup.closure (s ∪ t) = AddSubgroup.closure s ⊔ AddSubgroup.closure t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p : P
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
hp : p ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, (lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁}
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ LinearMap.ker (mkLinearMap S M) = ⊤
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h1 : μ.AbsolutelyContinuous ν
ν' : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.AbsolutelyContinuous (ν + ν')
a b : ℕ+
⊢ (Finset.Ico a b).card = ↑b - ↑a
F : PFunctor.{u}
x : PFunctor.Approx.CofixA F 0
y : PFunctor.Approx.CofixA F 1
⊢ PFunctor.Approx.Agree x y
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
p : Z.TotalSpace
⊢ ↑(Z.localTrivAt p.proj) p = (p.proj, p.snd)
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c ≠ Composition.ones n ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Div β
ContinuousDiv β
f g : C(α, β)
x : α
⊢ (f / g) x = f x / g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ ⋃ i, t i
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
AddCommGroup M
LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
Module R M
LieModule R L₂ M
⊢ LieModule R L₁ M
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β
⊢ { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝) x✝ = ({ toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ (-a).val = if a = 0 then 0 else n - a.val
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
⊢ Continuous extension
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (total.map ((shiftFunctor₂ C y).map f) (up ℤ)).f n ≫ (L.totalShift₂Iso y).hom.f n = ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f n ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
⊢ (N.comap f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I)
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ f 1 ≠ 0
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a * b).toNNReal = a.toNNReal * b.toNNReal
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ
⊢ (n + 1).zeckendorf.IsZeckendorfRep
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).leadingCoeff = a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 ↑r
⊢ ↑‖(fun x => c • x) y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
h : a > b
⊢ ¬a < b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
Nontrivial α
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, Prime x
⊢ s.prod ≠ 0
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
g : ℝ → F
⊢ ∫ (x : ℝ) in f '' s, g x = ∫ (x : ℝ) in s, |f' x| • g (f x)
R : Type u_1
Bornology R
Add R
BoundedAdd R
s t : Set R
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s + t)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V
r : k
⊢ (((linearization k G).obj X).ρ g) (Finsupp.single x r) = Finsupp.single (X.ρ g x) r
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : ContinuousMonoidHom A B
⊢ Continuous (↑self.toMonoidHom).toFun
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.sup f = ⨆ a ∈ s, f a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_7
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
L : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : α → E
g : α → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (L (f x)) (g x)) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Multifork I
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x : c.pt
i : I.L
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Multifork.IsLimit.sectionsEquiv hc).symm x).val i = c.ι i x
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
l : List α
⊢ l₁ ++ l <+~ l₂ ++ l ↔ l₁ <+~ l₂
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
⊢ p.toOuterMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s
α : Type u_1
LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
a : α
⊢ (s.addAntidiagonal t a).Finite