ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁴ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝² : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝¹ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower B Bₘ L
this : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
⊢ μ (⋃ b, t b) ≤ μ (⋃ b, s b)
n : ℕ
⊢ n ∉ n.primesBelow
α : Type u_1
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
⊢ s.encard = t.encard ↔ (s \ t).encard = (t \ s).encard
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πX)
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πY)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjLeft f πY)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πX)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorMap f πX πY φ hφ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f πY)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
h : a / d = b / d
⊢ a = b
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0)) atTop (𝓝 a)
h₁ : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0) + u (f 0)) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
x : P
⊢ 0 x = 0
D : GlueData
i : D.J
a : ↑(D.U i)
j : D.J
b : ↑(D.U j)
k : D.J
c : ↑(D.U k)
x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd
y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))
e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd
e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))
eq₁ : (D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z) = x
eq₂ : (pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z = y
⊢ (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z)) = ⟨i, a⟩.snd ∧ (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z))) = ⟨k, c⟩.snd
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun f => f i) s' f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsOpen s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
⊢ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' s)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.neg (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = ⇑f ∘ W'.neg P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.leftShift 0 a n' hn' = 0
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
inst✝² : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
X Y : C
⊢ F.map 0 = 0
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (Order.pred a)
a b : α
h : a ≤ b
⊢ p a ↔ p b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 ↑0)
⊢ ↑r < 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p
hE₂ : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∧ B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ → E =ᶠ[ae μ] C ↑p
hA : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ A ↑p =ᶠ[ae μ] univ
hB : ∀ (p : Nat.Primes), B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ B ↑p =ᶠ[ae μ] univ
hC : ∀ (p : Nat.Primes), u p +ᵥ C ↑p = C ↑p
⊢ E =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ E =ᶠ[ae volume] univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (y1 + y2).val = y1.val + y2.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
a b : Prop
⊢ a → ¬b ↔ b → ¬a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
⊢ A = adjoint B
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
r : T
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C r).aroots S = {(algebraMap T S) r}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ∃! d, ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ d = s.ι.app j
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : J = 0
⊢ False
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
ha₁ : IsSelfAdjoint (x * x)
ha₂ : QuasispectrumRestricts (x * x) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ 0 ≤ x * x
n m : Nat
⊢ n - m = 0 ↔ n ≤ m
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ s.mongePlane i₁ i₂ =
  AffineSubspace.mk' (Finset.centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points) (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓
    affineSpan ℝ (Set.range s.points)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
hf : DenseRange f
⊢ Nonempty α ↔ Nonempty X
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : CompleteSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
ha : p a
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ cfcₙHom ha = cfcₙHom_of_cfcHom R ha
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Field R
StarRing R
MetricSpace R
CompleteSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
Ring A
StarRing A
TopologicalSpace A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ f a = cfc f a
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Nonempty X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
s : Set X
inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s
hgm : NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
U : Set X
hU : MeasurableSet U
⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' U) =ᶠ[ae μ] g ⁻¹' U
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ ∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys ≤ levenshtein C xs (y :: ys)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t
this : (𝓝[s] x).NeBot
⊢ f x = g x
α : Type u_1
R : Type u_2
MeasurableSpace α
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
f : α → R
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ⌈f x⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
V D : Set α
Vct : V.Countable
Dperf : Perfect D
VD : C = V ∪ D
⊢ D ⊆ V ∪ D
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
i : Subtype p
v : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.subtypeDomain p v) i = v ↑i
n : ℕ
five_le_n : 5 ≤ n
⊢ n ≤ Nat.fib n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - c ≤ a + (b - c)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
⊢ Function.Injective OrderMonoidWithZeroHom.toMonoidWithZeroHom
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f g : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
⊢ f = g ↔ ∀ (m : M) (n : N), (f m) n = (g m) n
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
⊢ ∀ (x y : Cofix F α), (fun x y => x = mk y.dest) x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ ((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N) = ((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N)
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y
⊢ (f r • g y).toFun 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
α : Type u
β : Type v
s : Set (α → β)
t : Set α
⊢ s.seq t = Set.image2 (fun f a => f a) s t
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal
⊢ ¬q = 0 ∧ ¬q.leadingCoeff = 0
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
f : α → β
hcf : Continuous f
h : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
⊢ f a = f b
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
s : Set α
⊢ Metric.diam (f '' s) = Metric.diam s
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
⊢ LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (-B) = Q - Q'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
b : α
hb0 : 0 < ‖b‖
hbε : ‖b‖ < ε
⊢ ∃ b ∈ {x}ᶜ, dist x b < ε
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ
⊢ (algebraMap R A) (eval x (T R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (T A n)
α : Sort u
β : Sort v
Uncountable α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Uncountable β
α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h : ¬∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
⊢ False
X : Type u
s : Set (CofiniteTopology X)
⊢ IsOpen s ↔ s.Nonempty → sᶜ.Finite
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderBot α
⊢ Finset.Ico a b ⊆ Finset.Iio b
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x + y = (x.adc y false).snd
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →L[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ closedBall 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ 0 ≤ c / r
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖b / a‖ < r
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
c.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ c.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ) = c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₂ →L[𝕜] F₃
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n f
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n fun y => ContinuousLinearMap.postcomp F₁ (f y)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Function.Injective ⇑(ModuleCat.ofHom (πs C o))
α : Type u_2
CommGroup α
l : List α
⊢ l.reverse.alternatingProd = l.alternatingProd ^ (-1) ^ (l.length + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') s x
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => x - a
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass S R N
SMulCommClass R S N
a : S
B : LinearMap.BilinMap R M N
⊢ (a • B).toQuadraticMap = a • B.toQuadraticMap
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.Preadditive V
X Y : Action V G
ι : Type u_1
f : ι → (X ⟶ Y)
s : Finset ι
⊢ (s.sum f).hom = ∑ i ∈ s, (f i).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
h : Function.Periodic f c
hc : c ≠ 0
a : α
⊢ f '' Set.uIcc a (a + c) = Set.range f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
α : Type u_2
PartialOrder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
⊢ IsCoatom ⊥
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.cosh ↑x).re = Complex.cosh ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Iio b = Iio (b + a)
n : Type u_3
α : Type v
A : Matrix n n α
i : n
⊢ A.diag i = A i i
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeCommRing.map f) (FreeCommRing.of x) = FreeCommRing.of (f x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)).obj ((G.op.comp ℱ'.val).obj X_1)),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.isoOver α X).inv.app X_1 a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (α.inv.app X_1)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
⊢ False
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsUnit (X ^ 0 - 1)
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0
or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0
or_c : 0 ≤ c ∨ c ≤ 0
⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Embedding (g ∘ f)
⊢ Embedding f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
⊢ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h ≫ g.unop.left.op).unop = f.unop.left
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
hf : IsRingHom f
⊢ f 0 = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁
⊢ f (f_inv (f x)) = f x
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ S = ⊥ ∨ ∃ x ∈ S, x ≠ 0
α✝ β α : Type u
⊢ #(Option α) = #α + 1
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace P
MetricSpace P
NormedAddTorsor E P
BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ μH[d] (⇑(AffineMap.homothety x c) ⁻¹' s) = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • μH[d] s
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
TopologicalSpace B
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
TopologicalSemiring B
ContinuousStar B
s : StarSubalgebra R A
φ : A →⋆ₐ[R] B
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
⊢ (StarSubalgebra.map φ s).topologicalClosure = StarSubalgebra.map φ s.topologicalClosure