ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x = 0
ind i j : ι
hij : i ≤ j
y : G i
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
x✝ : (DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y) ∈ {a | ∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, (DirectSum.lof R ι G i) x - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j H) x) = a}
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) ((DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y)) = 0
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s
⊢ a ∈ s ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
Star A
Star B
⊢ Function.Injective (StarAlgHom.restrictScalars R)
f : CircleDeg1Liftˣ
g : CircleDeg1Lift
⊢ (↑f⁻¹ * g * ↑f).translationNumber = g.translationNumber
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
⊢ (𝟙 B).hom = 𝟙 B.pt
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
⊢ ∃ g, g • z ∈ 𝒟
α : Type u_2
AddMonoid α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ n • a ∈ n • s
R : Type u_1
CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h ≫
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R y ≫
    let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h;
    this
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
n : l.Nodup
⊢ { val := ↑l, nodup := n } = l.toFinset
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X
⊢ K.shiftr.find x = K.find x + 1
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.toFin = y.toFin → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ Ι a b = Ioc a b ∪ Ioc b a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
⊢ (f + f') v = f v + f' v
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic E K
⊢ finSepDegree F E * finSepDegree E K = finSepDegree F K
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ AdicCompletion.map I f ∘ₗ AdicCompletion.ofTensorProduct I M =
  AdicCompletion.ofTensorProduct I N ∘ₗ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f
α : Type u_4
Fintype α
e : α ↪ α
⊢ Finset.map e Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (s ∩ A) ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) s
K : Set α
K_subs : K ⊆ toMeasurable μ (s ∩ A) ∩ s
pK : p K
rK : r < μ K
⊢ r < (μ.restrict A) K
α : Type u_4
M : Type u_5
AddZeroClass M
VAdd α M
VAddAssocClass α M M
c : AddCon M
a : α
x : M
⊢ ↑(a +ᵥ x) = a +ᵥ ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
⊢ U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ ∃ b, A.det * b = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
Group G
TopologicalGroup G
h3 :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : TopologicalSpace.Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Set G
h1U : IsOpen U
h2U : U.Nonempty
⊢ 0 < μ.outerMeasure U
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ A.cramer b = A.adjugate *ᵥ b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i.snd⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Function.Surjective (Set.MapsTo.restrict f s t h) ↔ Set.SurjOn f s t
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.exp (f x)) (Real.exp (f x) • f') s x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ‖x + y‖ = ‖x - y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : ∃ m, x = 0
⊢ x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ R
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppScalarRight R M ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = p i • m
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : ⊥ = ⊤
⊢ IsCyclotomicExtension {1} A B
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑1 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
w : V
q : G.Walk v w
hpq : ∀ e ∈ (p.append q).edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.append q).transfer H hpq = (p.transfer H ⋯).append (q.transfer H ⋯)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ edist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ↑‖(s ∆ t).mulIndicator f x‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ ∀ (a₁ : ℝ≥0∞) (h₁₁ : a₁ ∈ f.range) (h₁₂ : a₁ * μ (↑f ⁻¹' {a₁}) ≠ 0) (a₂ : ℝ≥0∞) (h₂₁ : a₂ ∈ f.range) (h₂₂ : a₂ * μ (↑f ⁻¹' {a₂}) ≠ 0), (fun r x x => r) a₁ h₁₁ h₁₂ = (fun r x x => r) a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖
a b c d d' : List Γ'
⊢ update (elim a b c d) stack d' = elim a b c d'
α : Type u_1
Preorder α
SupSet α
s : Set (WithBot α)
hs : ¬s ⊆ {⊥}
h's : BddAbove s
⊢ sSup s = ↑(sSup (WithBot.some ⁻¹' s))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (cons a s).destruct (cons b t).destruct ↔ R a b ∧ LiftRel R s t
x y : Class
⊢ x ∈ y → y ∉ x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
s : S
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i ((truncate n) (liftFun f s)) = TruncatedWittVector.coeff i ((f n) s)
⊢ Encodable.encode = Nat.Partrec.Code.encodeCode
α : Type u
AddZeroClass α
Preorder α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ExistsAddOfLE α
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ a + c = b
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.map f ⊥ = ⊥
α : Type u_1
MeasurableSpace α
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ : α → F →L[𝕜] E
hφ : Measurable φ
v : F
⊢ Measurable fun a => (φ a) v
a b : Prop
h : b = False
⊢ (¬a → b) = a
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
AddMonoid M
⊢ ⇑(Filter.Germ.coeAddHom l) = Filter.Germ.ofFun
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.succ a = Order.succ b ↔ a = b
R : Type u
Ring R
G : FGModuleCat R
H : Type u
AddCommGroup H
Module R H
f : ↑G →ₗ[R] H
⊢ f ∘ₗ 𝟙 G = f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = ((w.structuredArrowDownwards X₂).map φ.left ≫ f₂.hom).right
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
a : α
⊢ mapIdx f (a :: l) = f 0 a :: mapIdx (fun i => f (i + 1)) l
a : Nat
b c : Nat
h : b > c
⊢ (a + b = c) = False
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ (Equiv.refl α).equivCongr (Equiv.refl β) = Equiv.refl (α ≃ β)
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_5
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
z : ℤ
x : M
⊢ f ((↑z)⁻¹ • x) = (↑z)⁻¹ • f x
X : Type u
TopologicalSpace X
t : ℕ → Set X
htd : ∀ (i : ℕ), t (i + 1) ⊆ t i
htn : ∀ (i : ℕ), (t i).Nonempty
ht0 : IsCompact (t 0)
htcl : ∀ (i : ℕ), IsClosed (t i)
⊢ (⋂ i, t i).Nonempty
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ Squarefree (Polynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ))
a b : Int
h : 0 < a - b
⊢ b < a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (f.update a 0).support = f.support.erase a
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup M
x : ↥S
⊢ f ↑x ∈ AddSubsemigroup.map f S
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ μ (ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.indexOf a l = l.length ↔ ¬a ∈ l
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
⊢ s / 2 ≠ ↑(hurwitzEvenFEPair a).k
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
⊢ 1 ≤ f.natDegree
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.lift φ) ((PiTensorProduct.tprod R) f) = φ f
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
⊢ Balanced ℝ s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂).op =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₂.iso.inv.op
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ) h₂.op h₁.op) h₁.iso.hom.op)
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
Module R α
StarModule R α
⊢ ∀ (a : Matrix m n α), (Matrix.conjTransposeLinearEquiv m n R α) a = (Matrix.conjTransposeAddEquiv m n α).toFun a
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : Nat.Prime p
N : ℕ
ih : ∀ m < N, ∀ {f : F[X]}, Irreducible f → f.natDegree = m → ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
f : F[X]
hf : Irreducible f
hn : f.natDegree = N
h : f.Separable
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s
⊢ MeasurableSet t
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ x ∈ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i), x = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ t ^ (a - b) • t ^ (-a) = t ^ (-b)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊥.op = ⊥
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∈ ⋃ i, ⋃ s, ⋃ (_ : IsOpen s), {(Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' s}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ {x | gauge s x < 1} = interior s
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G.CommShift A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ ((F.postcomp G).shiftIso n a a' ha').hom.app X =
  (G.commShiftIso n).inv.app ((F.functor a').obj X) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)
α : Type u
a : α
⊢ 𝓝 a = ⊤
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
k : Turing.PartrecToTM2.K'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
H : Turing.PartrecToTM2.Λ'.Supports S q
⊢ Turing.PartrecToTM2.Λ'.Supports S (Turing.PartrecToTM2.head k q)
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso γ.φH
p k n : ℕ
pp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ p ^ k ∣ n ↔ k ≤ n.factorization p
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑(a.bit1.sub' b.bit1) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
φ : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ≥0
h_above : ∀ (x : E), ‖φ x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊
h_below : ∀ (N : ℝ≥0), (∀ (x : E), ‖φ x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊) → M ≤ N
⊢ ‖φ‖₊ = M
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
⊢ -x ∈ convexBodySum K B
α : Type u_2
f g : Equiv.Perm α
s : Set α
h : f.IsCycleOn s
⊢ (g * f * g⁻¹).IsCycleOn (⇑g '' s)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
Y_sq : (mk W) Y ^ 2 = (mk W) (C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y)
⊢ (p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) Y = (q * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) • 1 + (p - q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)) • (mk W) Y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
⊢ 0 < 1 / gcd
X : Scheme
⊢ ⋃ i, ↑↑i = ↑⊤
a b : PUnit.{u_5 + 1}
⊢ ¬a < b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (map g) ((bind₂ f) φ) = (bind₂ ((map g).comp f)) φ
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
AddCommMonoid S
p q : R[X]
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
h_add : ∀ (a : ℕ) (b₁ b₂ : R), f a (b₁ + b₂) = f a b₁ + f a b₂
⊢ (p + q).sum f = p.sum f + q.sum f
α : Type u
a₁ a₂ : α
s : Stream' α
⊢ (Stream'.cons a₁ (Stream'.cons a₂ s)).even = Stream'.cons a₁ s.even
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
IsEmpty σ
⊢ #(MvPolynomial σ R) = Cardinal.lift.{u, v} #R
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ b / c ≤ a ↔ a * c ≤ b
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
⊢ ∃ x ∈ (↑I)⁻¹, x ∉ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
h : (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }
this : { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ Set.EqOn f g (spectrum R a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.PreservesOneHypercovers J K
J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf K P
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (F.op.comp P)
α : Type u_1
SeminormedRing α
l : List α
hl : l ≠ []
⊢ ‖l.prod‖₊ ≤ (List.map nnnorm l).prod
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ (0 < -a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝⁸ : AddMonoid A
inst✝⁷ : HasShift C A
inst✝⁶ : W.IsCompatibleWithShift A
inst✝⁵ : W.HasLocalization
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
inst✝⁴ : Lifting L W F F'
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : L.CommShift A
inst✝ : F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (F'.commShiftIso a).inv.app (L.obj X) = (shiftFunctor E a).map ((Lifting.iso L W F F').hom.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (Lifting.iso L W F F').inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F'.map ((L.commShiftIso a).hom.app X)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r = 0
⊢ v.intValuationDef r = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f g : M → E'
hf : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') f
hg : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') g
⊢ MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') (f - g)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
a : Localization.Away ↑r
e' : (Localization.awayMap f ↑r) a = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
⊢ φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
⊢ f.cycleOf a = (c * (f * c⁻¹)).cycleOf a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
a : α
⊢ ⟨‖a‖, ⋯⟩ = ‖a‖₊
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
⊢ AnalyticSet (f '' s)
q : ℚ≥0
⊢ q * ↑q.den = ↑q.num