ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : w - v = ↑(x - y)
⊢ 2⁻¹ • 2 • w + 2⁻¹ • -(2 • v) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
a : δ
inst✝ : DecidableEq δ
⊢ Measurable fun p => update p.1 a p.2
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
F : Type u_3
Semiring S
FunLike F R[X] S[X]
AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((Polynomial.monomial n) c)).natDegree = n
⊢ (φ p).natDegree = p.natDegree
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field L
ζ✝ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsDomain A
ζ : A
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K A
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
⊢ minpoly K (ζ - 1) = (cyclotomic (↑n) K).comp (X + 1)
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
α₃ : Sort u_5
β₃ : Sort u_6
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₁' : β₁ ≃ β₂
e₂ : α₂ ≃ α₃
e₂' : β₂ ≃ β₃
⊢ (e₁.trans e₂).embeddingCongr (e₁'.trans e₂') = (e₁.embeddingCongr e₁').trans (e₂.embeddingCongr e₂')
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
h : IsNoetherian R M
⊢ IsNoetherian R ↥N
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} C₂
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
F.Additive
F.PreservesHomology
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ QuasiIsoAt ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ i
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖(PiTensorProduct.lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminorm x * ‖f‖
α : Type u_1
s t : Multiset (Multiset α)
⊢ (s + t).Sections = s.Sections.bind fun m => Multiset.map (fun x => m + x) t.Sections
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
g : α → γ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith Kf f s
hg : LipschitzOnWith Kg g s
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s
y✝ : α
hy : y✝ ∈ s
⊢ max (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).1 ((fun x => (f x, g x)) y✝).1) (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).2 ((fun x => (f x, g x)) y✝).2) ≤ max (↑Kf * edist x✝ y✝) (↑Kg * edist x✝ y✝)
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
this : (Matroid.sigma M).Finitary
⊢ (Matroid.sum' M).Finitary
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f' g x L μ
⊢ ((f + f') ⋆[L, μ] g) x = (f ⋆[L, μ] g) x + (f' ⋆[L, μ] g) x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i
⊢ Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
{X Y : Cᵒᵖ} →
    (f : X ⟶ Y) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)
        (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
∀ (X : Cᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
⊢ (PresheafOfModules.colimitCocone F).pt = (PresheafOfModules.colimitBundledCore F).toPresheafOfModules
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
f : F
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubsemiring.comap f s ↔ f x ∈ s
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X
⊢ (F.extend t) x = F (0, x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ∑ x ∈ Iio b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ ≠ 0 ↔ μ ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hj : (ComplexShape.up ℤ).next i = j
hf : f ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j = 0
i' : ℤ
hi' : n + i = i'
j' : ℤ
hj' : (ComplexShape.up ℤ).next i' = j'
⊢ HomologicalComplex.liftCycles ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) f j hj hf ≫
    HomologicalComplex.homologyπ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) i =
  HomologicalComplex.liftCycles K (f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) j' hj' ⋯ ≫
    HomologicalComplex.homologyπ K i' ≫
      ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftIso n i i' hi').inv.app K
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p + q) = Polynomial.eval₂ f x p + Polynomial.eval₂ f x q
R : Type u
Semiring R
OrzechProperty R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f
x y : SetTheory.PGame
h : x ≈ y
⊢ ¬y.Fuzzy x
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ ↑(Ico a b * Ioc c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C : G.ComponentCompl K
c : V
cC : c ∈ C
⊢ c ∉ K
M : Type u_4
Monoid M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ (List.map f (List.range n.succ)).prod = (List.map f (List.range n)).prod * f n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_neg : ∀ (x : R), f (-x) = f x
x y : R
⊢ f (-x * y) / f y = f (x * y) / f y
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous toProbabilityMeasure
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i).natDegree
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
m' : M'
⊢ m' ∈ LieSubmodule.map f N ↔ ∃ m ∈ N, f m = m'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
u : ι → UniformSpace α
hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α
hcount : ∀ (i : ι), (𝓤 α).IsCountablyGenerated
ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i ≤ t₀
hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i
⊢ (⨅ i, 𝓤 α).IsCountablyGenerated
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W f hf).inv (L.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj Y)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
N : Bundled L.Structure
hNκ : #↑N = κ
MN : Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)
⊢ ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanIso n B C g
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f s → x ∈ B
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
⊢ s \ t =ᵐ[μ] s
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
DenselyOrdered α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTopology β
f : α → β
a b : α
h : ContinuousOn f (Set.uIcc a b)
⊢ f '' Set.uIcc a b = Set.Icc (sInf (f '' Set.uIcc a b)) (sSup (f '' Set.uIcc a b))
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Field S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalRing S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
Algebra R S
Module R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(quasispectrum S a)
⊢ NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : (ENNReal.ofReal r₁).toReal = (ENNReal.ofReal r₂).toReal
⊢ r₁ = r₂
i : Int
m n : Nat
⊢ i >>> (m + n) = i >>> m >>> n
α : Type u
β : Type u
S : Set (α → ℕ)
f : α → β
⊢ Dioph S → Dioph {v | v ∘ f ∈ S}
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
⊢ sSup (Set.Iic a) = a
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
h : s.indicator f a ≠ 0
⊢ a ∈ s
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Finset.Ioi i.succ = Finset.map (Fin.succEmb n) (Finset.Ioi i)
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ Summable fun n => x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ c ≤ Finset.fold max b f s ↔ c ≤ b ∨ ∃ x ∈ s, c ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
ha' : a ≠ a'
⊢ f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
⊢ ∀ᵐ (c : α) ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a, (preCDF ρ r (a, c).2).toReal ≤ (preCDF ρ r' (a, c).2).toReal
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0
⊢ μ {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SigmaFinite μ
C : ℝ≥0∞
hC : C < ⊤
f : α → E
hf_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ C
⊢ SigmaFinite (μ.trim ?m.372407)
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
Nontrivial R
⊢ Function.Injective x
R : Type u_1
m n : ℕ
m0 : m ≠ 0
n0 : n ≠ 0
⊢ Ω (m * n) = Ω m + Ω n
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Tendsto log (𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z) (𝓝 (↑(Real.log (abs z)) + ↑π * I))
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a✝ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
i : ι
a : 𝒜 i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R →ₙ+* S
g : S → R
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : S), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
⊢ ∀ (i_1 : ℕ), ((M.mk ⟨a, x⟩).children i).approx i_1 = (x (cast ⋯ i)).approx i_1
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ MulOpposite.op '' (s * t) = MulOpposite.op '' t * MulOpposite.op '' s
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).inv.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) Y).inv ≫ (ρ_ X).hom ▷ Y = X ◁ (λ_ Y).hom
α : Type u
β : Type v
Div β
f f' g g' : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
h' : f' =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x / f' x) =ᶠ[l] fun x => g x / g' x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ update f i '' Icc (f i) b = Icc f (update f i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
a : { x // x ∈ s }
x✝¹ : a ∈ ↑s.attach
b : { x // x ∈ s }
x✝ : b ∈ ↑s.attach
hab : a ≠ b
x : γ
hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a
hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b
xa : β
hfa : xa ∈ f ↑a
hga : x ∈ g xa
xb : β
hfb : xb ∈ f ↑b
hgb : x ∈ g xb
⊢ xa ≠ xb
R : Type u_1
M : Type u_5
M₃ : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
I : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
f g f' g' : Module.End R M
h : B.IsAdjointPair B f g
h' : B.IsAdjointPair B f' g'
⊢ B.IsAdjointPair B (f * f') (g' * g)
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
H : UniformEquicontinuous F
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
s : Set α
hs : IsCompact s
hst : sᶜ ⊆ f ⁻¹' {y | (x, y) ∈ t}
⊢ symmetrizeRel {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ symmetrizeRel r} ⊆ {x | (f x.1, f x.2) ∈ r}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : γ → α
⊢ (f ⁻¹' s) ×ˢ t = (fun p => (f p.1, p.2)) ⁻¹' s ×ˢ t
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ a + ↑n = a
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass
⊢ Tendsto (fun b => ↑((μs b).testAgainstNN f)) F (𝓝 0)
α : Type u_3
β : Type u_4
One β
Nonempty α
⊢ Set.range 1 = {1}
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
⊢ Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
rpos : 0 < r
f : E → E := fun y => x + (r * ‖y‖⁻¹) • y
A : ContinuousOn f {0}ᶜ
B : IsPathConnected {0}ᶜ
⊢ IsPathConnected (sphere x r)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
⊢ Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E))
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
⊢ (∀ n > 0, ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S T : AddSubmonoid A
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraEquivOfIsoMonads h).inverse = CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom h.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
n : ℕ
H : ∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n
⊢ Nat.sum (map length L) = n * L.length
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
α : Type u
DistribLattice α
x y z : α
⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re
hle : z.re ≤ |z.im|
⊢ ↑n * ‖Real.log (max z.re |z.im|)‖ ≤ ‖z.re‖
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop (max x y) = max (Tropical.untrop x) (Tropical.untrop y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g) (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
q : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)
⊢ q x' = (Finsupp.mapDomain (ρ_ X).hom ((finsuppTensorFinsupp' R X (𝟙_ (Type u))) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single PUnit.unit 1))) x'
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
⊢ p = minpoly A x
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Localization S → Prop
H : ∀ (y : M × ↥S), p (Localization.mk y.1 y.2)
x : Localization S
⊢ p x
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ rexp (log (1 + p * s)) < rexp (log (1 + s) * p)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk w x
h : G.Adj w u
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).reverseAux q = p.reverseAux (SimpleGraph.Walk.cons ⋯ q)
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x