ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 (-f) ⋯ = -MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
hU : (π₁, π₂) ∈ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}
h₁ : (π₁, π₂).1 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
h₂ : (π₁, π₂).2 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
⊢ (integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
z : PiLp p fun x => E
x✝ : ι
⊢ (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e).symm z x✝ = (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e.symm) z x✝
α : Type u
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₁.length ≤ l₂.length → (l₁.zip l₂).unzip.1 = l₁
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).support = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ g.compMeasurePreserving f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (↑g ∘ f) ⋯
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
β : Type u_4
s : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β s
wf : ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})
b b' : β
hb' : s b' b
f : Subrel s {b_1 | s b_1 b} ≺i s := PrincipalSeg.ofElement s b
⊢ Acc s b'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : { f // AEStronglyMeasurable f μ } := Quotient.out' f
this : g = ⟨↑g, ⋯⟩
⊢ mk ↑f ⋯ = Quotient.mk'' g
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.16903
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ IsOpen (Set.range (toPullbackDiag f)) ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n
⊢ IsAddFundamentalDomain (↥G) I volume
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : φ₁ = φ₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq h).h₁ = 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ f ∈ reesAlgebra I ↔ ∀ i ∈ f.support, f.coeff i ∈ I ^ i
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u
this : IsUnit (a * ↑u * ↑u⁻¹)
⊢ IsUnit a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f 1 μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
⊢ U ∈ map (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso snd
CategoryTheory.IsIso f
sq : CategoryTheory.CommSq fst snd f g
⊢ CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
n : ℕ
⊢ (List.finRange n).length = n
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
f : PolynomialModule R M
⊢ f ∈ F.submodule ↔ ∀ (i : ℕ), f i ∈ F.N i
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.any List.isEmpty = true → L.sections = []
m : Num
n : ℕ
⊢ ↑(m <<< n) = ↑m <<< n
α : Type u_4
f : Set α → α
⊢ ¬Function.Injective f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.terminal.from X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
α : Type u_2
M : Matroid α
F : Set α
⊢ M.Flat F ↔ (∀ ⦃I X : Set α⦄, M.Basis I F → M.Basis I X → X ⊆ F) ∧ F ⊆ M.E
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.preimage s = {x | ∃ y ∈ s, y ∈ f x}
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
⊢ (AddMonoidHom.compHom (of β i)) f = (of β i).comp f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), κ.compProdFun (η.seq n) a s
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun x => b ^ x) Filter.atBot Filter.atTop
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q
⊢ P.p ≫ f.f = f.f ≫ Q.p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : C), (F.commTensorRight X).inv.app X_1 = (F.μIso X_1 X).inv
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Multiset.Ico a b ∩ Multiset.Ico c d = Multiset.Ico (max a c) (min b d)
α : Type u
s : Stream' α
k n : ℕ
⊢ k < n → (Stream'.take n s).get? k = some (s.get k)
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → lowerCentralSeries G n = ⊥
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ ∃ x, z * (↑self.toMonoidHom).toFun ↑x.2 = (↑self.toMonoidHom).toFun x.1
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K
hf : ContinuousOn f (sphere z δ)
⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
H K L : S
⊢ ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L ↔ H ≤ K ∨ H ≤ L
θ : Real.Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / 2) (π / 2)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝¹ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
⊢ ↑(NonUnitalSubring.topEquiv.symm x) = x
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : G →L[𝕜] G'
this : Unique ι := uniqueOfSubsingleton i
⊢ ‖(ofSubsingleton 𝕜 G G' i) f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
a : α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (a +ᵥ s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
One M'
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n 1 s x
R : Type u
Ring R
p : R[X]
q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ (p %ₘ q).degree ≤ q.degree
M : Type u_4
G : Type u_7
Group G
MulOneClass M
f : M → G
map_mul : ∀ (a b : M), f (a * b) = f a * f b
⊢ ⇑(MonoidHom.mk' f map_mul) = f
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.126128, u_3} E
F : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
⊢ EqualizerCondition F ↔ Presheaf.IsSheaf (Coverage.toGrothendieck C (regularCoverage C)) F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.WellPowered Cᵒᵖ
𝒢 : Set C
Small.{v, u} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimits C
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 ≤ a * a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
⊢ K.toPiFork.pt = K.pt
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ ⇑f.toNonUnitalAlgHom = ⇑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ [[f a, f b]] ⊆ f '' [[a, b]]
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j✝ j : ι
⊢ (P.coreflection i) (P.coroot j) ∈ range ⇑P.coroot
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
h : ∀ (A B : C), ∃ c x, CategoryTheory.Mono c.inl
⊢ CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
n : ℕ+
⊢ n.natPred.succPNat = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : C
⊢ CategoryTheory.Injective J ↔ (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj J).PreservesEpimorphisms
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
a : α
b : ℂ
hf : ContinuousAt f a
h : b ≠ 0 ∨ f a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => b ^ f x) a
M : Type u_1
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
⊢ a ∈ AddSubmonoid.nonneg M ↔ 0 ≤ a
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x : ⨂[R] (x : ι), M
this : ∀ (f : ι → M) (z : M), (fun x => z) = update f i₀ z
⊢ ∀ (r : R) (f : ι → M), ((tprod R) fun x => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) (r • (tprod R) f)) = r • (tprod R) f
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ (σ • w).IsReal ↔ w.IsReal
α : Type u_1
LT α
a b : WithBot α
⊢ a < b ↔ ∃ p, b = ↑p ∧ a < ↑p
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s t : Set β
a : α
⊢ s ⊆ t → a +ᵥ s ⊆ a +ᵥ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
⊢ min t x ≠ ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_3
f : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (⨆ i, f i) s = ⨆ i, (f i) s
R : Type x
Mul R
Add R
RightDistribClass R
a b c d : R
⊢ (a + b + c) * d = a * d + b * d + c * d
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso (PreservesCoequalizer.iso (SheafedSpace.forget CommRingCat) f.val g.val)) ∘ ⇑(colimit.ι (parallelPair ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val) ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map g.val)) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))
α : Type u_1
l : Lists' α true
⊢ ofList l.toList ⊆ nil → ofList l.toList = nil
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SSameSide x y
⊢ x ∉ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
⊢ ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
SemilatticeSup B
OrderBot B
Semiring R
degb : A → B
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ (f + g).support.sup degb ≤ f.support.sup degb ⊔ g.support.sup degb
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
ι : Type u_11
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_12
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
C : ℝ
L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i
hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖pi L‖ ≤ C
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x * (FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = 1
α : Sort u_1
x : α
h : ∀ (y : α), y = x
⊢ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
Add α
VAdd γ β
h : Function.Periodic f c
a : γ
⊢ Function.Periodic (a +ᵥ f) c
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
f : ι → α
⊢ ⋃ i, Set.Iio (f i) = Set.univ ↔ ¬BddAbove (Set.range f)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z * f.toMap ↑y = f.toMap x
⊢ z = f.mk' x y
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ (μ.restrict s) univ ≠ ⊤
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
⊢ f ⊗ g ⊗ h = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').hom
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x y) = 0 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : b < ℵ₀
⊢ b = c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
⊢ HomologicalComplex.restrictionMap (𝟙 K) e = 𝟙 (K.restriction e)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
s : Set ℝ
hs₀ : s ⊆ Set.Ioi 0
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Set.Ioc 0 ε).Nonempty
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, Metric.thickening δ E
α : Type u_1
RatCast α
q : ℚ
⊢ AddOpposite.unop ↑q = ↑q
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ LinearMap.mulLeft R (a * b) = LinearMap.mulLeft R a ∘ₗ LinearMap.mulLeft R b
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
h : N.FG
⊢ N.CG
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v)
ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
α : G.op.comp ℱ ⟶ G.op.comp ℱ'.val
X : D
Y : C
f : Opposite.op X ⟶ Opposite.op (G.obj Y)
x : ℱ.obj (Opposite.op X)
⊢ ℱ'.val.map f (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom α X x) = α.app (Opposite.op Y) (ℱ.map f x)
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableAdd M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => f x + c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
h_le_iff : ∀ (x y : R), x ≤ y ↔ ∃ s, y = x + star s * s
⊢ StarOrderedRing R
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩
⊢ Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ ↑U) ≅ Γ(Y, ↑V)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ s
this : 0 < ‖f x‖
n : ℕ
hn : u n < ‖f x‖
⊢ x ∈ ⋃ n, v n
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
n : ℕ
x : ↑I
⊢ ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n ↑k) x = 1
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
h : a < c
⊢ a ⊓ b < c
E : Type u_2
F : Type u_3
Norm E
Norm F
x : E × F
r : ℝ
⊢ ‖x‖ ≤ r ↔ ‖x.1‖ ≤ r ∧ ‖x.2‖ ≤ r
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
⊢ s.card ≤ t.card
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
n : ℕ
hn : n ≤ LieModule.chainTopCoeff α β
⊢ LieModule.weightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
⊢ Filter.rmap s ∘ Filter.rmap r = Filter.rmap (r.comp s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
⊢ ⇑(f ⌈/⌉ a) = fun i => f i ⌈/⌉ a
N : Type u_2
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.FG N ↔ Monoid.FG (Multiplicative N)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op