ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ algebraMap R₁ (A ⧸ I) = (algebraMap A (A ⧸ I)).comp (algebraMap R₁ A)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C × C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensor C).map f = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.1 f.2
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a * b * a⁻¹ = b
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Set.Iio x, ProbabilityTheory.gammaPDF a r y = 0
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosed
⊢ f.IsClosable
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : Presheaf C X
𝒢 : Presheaf C Y
H₂ : (pushforward C H₁.hom).obj ℱ ⟶ 𝒢
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (((presheafEquivOfIso C H₁).toAdjunction.homEquiv ℱ 𝒢) H₂).app U = ℱ.map (eqToHom ⋯) ≫ H₂.app (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : Perm α
⊢ (∀ (x : α), p (f⁻¹ x) ↔ p (f (f⁻¹ x))) ↔ ∀ (x : α), p x ↔ p (f⁻¹ x)
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
this : ∀ y ∈ ball 0 1, √(1 - ‖y‖ ^ 2) ≠ 0
⊢ ContinuousOn { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h✝ : a ∈ s
b : α
h : s.sup WithBot.some = ↑b
right✝ : a ≤ b
⊢ ∃ b, s.max = ↑b
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFiniteAux.AbsolutelyContinuous μ.toFinite
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
⊢ a = a / 2 * (1 - 1 / 2)⁻¹
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
y : F
⊢ (coordChangeL R e e' b) y = (↑e' (↑e.symm (b, y))).2
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : Codisjoint p p'
x : M
⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.map f ⊥ = ⊥
S : Type u_3
AddGroup S
Mul S
t : RingCon S
m : ℕ
x y : S
hx : t x y
⊢ t (m • x) (m • y)
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
OrderedAddCommMonoid β
GroupNormClass F α β
f : F
x : α
⊢ f x ≠ 0 ↔ x ≠ 1
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b
⊢ IsConj a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
⊢ interior (frontier s) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → Option σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => (f a).bind (g a)
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #↑{f | Surjective f} = 0 ↔ lift.{v, u} #α < lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ |v - (of v).convs n| < ε
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E₁ E₂ : Set α
subset : E₁ ⊆ E₂
⊢ thickenedIndicatorAux δ E₁ ≤ thickenedIndicatorAux δ E₂
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
⊢ φ k = (primitiveRoots k R).card
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Filter.Tendsto Int.floor Filter.atBot Filter.atBot
α✝ β α : Type u
⊢ Infinite α ↔ ℵ₀ ≤ #α
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ ¬(x = y ∨ x = z) ∧ ¬y = z ∧ {z}.Nodup
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ ClosedEmbedding (toPullbackDiag f)
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
v : W
⊢ (LinearMap.equivariantProjection G π) v = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) v
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
Hf : Monotone f
⊢ f '' upperBounds s ⊆ upperBounds (f '' s)
x y : Bool
⊢ x < y ↔ x = false ∧ y = true
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hz : z ≠ 0
h2 : y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2
⊢ x = 2 * m * n
X : LightCondSet
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ ∀ (i : (T : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => LightCondSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : b < 0
⊢ a * b < 0
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ |⟪x, r • x⟫_ℝ| / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
a b c : Prop
⊢ a ∧ b ∧ c ↔ b ∧ c ∧ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
x : G
hx : x ≠ 0
⊢ SmoothAt I I (fun y => y⁻¹) x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b c d : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
h : Ι c d ≤ᵐ[μ] Ι a b
⊢ IntervalIntegrable f μ c d
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
x : F
⊢ ((μ + ν) s).toReal • x = (μ s).toReal • x + (ν s).toReal • x
x : ℝ
⊢ -(π / 2) < Real.arcsin x ↔ -1 < x
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
t : Finset ι
f : ι → M
r : ι → R
hyp : ∀ c ∈ t, f c ∈ p
⊢ ∑ i ∈ t, r i • f i ∈ p
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
this : DecidableEq m := Classical.decEq m
⊢ span R (Set.range fun x x_1 => let j := x_1; Pi.single x 1 ⬝ᵥ fun i => M i j) = span R (Set.range M)
n : ℕ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi)) = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
w : V
⊢ Real.fourierIntegralInv f w = ∫ (v : V), Real.fourierChar ⟪v, w⟫_ℝ • f v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hf : MellinConvergent f ↑σ
hFf : Complex.VerticalIntegrable (mellin f) σ MeasureTheory.volume
hfx : ContinuousAt f x
⊢ mellinInv σ (mellin f) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ico (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ico b₁ b₂))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
z : A
⊢ z ∈ NonUnitalSubalgebra.centralizer R s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p (x * y) x_1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ dist (t.points i₁) (t.points i₃) / |(∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)).sin| =
  2 * Affine.Simplex.circumradius t
ι : Type u_1
a : Monoid.CoprodI fun x => FreeGroup Unit
⊢ freeGroupEquivCoprodI.symm a = (Monoid.CoprodI.lift fun i => FreeGroup.lift fun x => FreeGroup.of i) a
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)
hk : IsCompact (closedBall 0 1)
⊢ LocallyIntegrable φ μ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : (imageSieve (f₁ ≫ f₂) x).arrows g
⊢ (imageSieve f₂ x).arrows g
α : Type u_1
LinearOrderedField α
⊢ Archimedean α ↔ ∀ (x : α), ∃ q, x < ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homologyι j ≫ (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv =
  (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
a n' : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (γ.rightUnshift n hn').rightShift a n' hn' = γ
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
⊢ spanNorm R ⊤ = ⊤
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ {v | v.asIdeal ∣ I}.Finite
L : Type u_1
TopologicalSpace L
α : Type u_3
l : Filter α
f g : α → L
x y : L
Inf L
ContinuousInf L
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => f i ⊓ g i) l (𝓝 (x ⊓ y))
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ ↑x = (fun l => ↑l) <$> x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.mapComp F G).hom.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithTerminal.of (G.obj (F.obj x)))
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithTerminal.star).hom
α : Type u
l : List α
a : α
⊢ a ∈ l.getLast? → l.dropLast ++ [a] = l
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : IsTotal α r
inst✝ : IsTrans α r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length
⊢ Sorted r (merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) (mergeSort r l₁) (mergeSort r l₂))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => c - f y) ↔ Differentiable 𝕜 f
C : ℕ∞ → Sort u_1
d : C ⊤
f : (a : ℕ) → C ↑a
x : ℕ
⊢ ENat.recTopCoe d f ↑x = f x
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → n • ⊥ = ⊥
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}
hu : s' ⊆ s
hf : ∀ c ∈ s, c ∉ s' → f c = 1
⊢ ∏ x ∈ s', f x = f a * f b
β : Type u_2
α : Type u_4
Finite (α × β)
Nonempty α
⊢ Finite β
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
q : R[X]
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.contract p q) = Polynomial.contract p (Polynomial.map f q)
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
R1Space α
K : Set α
hK : IsCompact K
h : Function.mulSupport f ⊆ K
⊢ HasCompactMulSupport f
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
r p : ℝ≥0
⊢ ↑(r - p) = max (↑r - ↑p) 0
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
x y : α
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : α), Irreducible z → z ∣ x → ¬z ∣ y
⊢ IsRelPrime x y
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
w : ↑x' = x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
hab : (a \ b).Dom
⊢ (a \ b).get hab = a.get ⋯ \ b.get ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ (fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) = ⟨n, s⟩
α : Type u
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ Cardinal.mk α ↔ Infinite α
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
a b : MvPolynomial σ R
⊢ (a - b).totalDegree ≤ max a.totalDegree b.totalDegree
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
this : 1 ≤ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ (RingEquiv.refl L) ↑↑t = ↑(↑t ^ ZMod.val 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Preorder ι'
l : Filter α
s : ι' → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
φ : ι → ι'
φ_mono : Monotone φ
hφ : Filter.Tendsto φ Filter.atTop Filter.atTop
⊢ l.HasAntitoneBasis (s ∘ φ)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
Group H
M : Subgroup H
M.Normal
f : G →* H
h : N ≤ Subgroup.comap f M
x : G
⊢ (QuotientGroup.map N M f h) ((QuotientGroup.mk' N) x) = ↑(f x)
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
⊢ Nat.Prime p
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x ≈ y
⊢ y.LF z → x.LF z
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
⊢ ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.boundaries.min' ⋯ = 0
α : Type u
S : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
⊢ S.join.destruct = S.destruct.bind Stream'.WSeq.destruct_join.aux
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = π * Real.Gamma (2 / p + 1)
x z : Nat
⊢ (x + z) % x = z % x
n : Nat
h : Char.isValidCharNat n
⊢ isValidChar (UInt32.ofNat' n ⋯)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x : Unitization R A
⊢ (Unitization.lift φ) x = (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g' s x
Γ : Type u_1
T : Type u_2
TopologicalSpace T
VAdd Γ T
self : ContinuousConstVAdd Γ T
γ : Γ
⊢ Continuous fun x => γ +ᵥ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice β
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ ⨆ x ∈ ⋃₀ S, f x = ⨆ s ∈ S, ⨆ x ∈ s, f x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecompositionMonoid α
p : Associates α
⊢ Irreducible p ↔ Prime p
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y ≠ 0 ∧ o.oangle x y ≠ ↑π ↔ LinearIndependent ℝ ![x, y]
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ TopCat.pullbackFst f g = CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(LieSubmodule.map f N) = Submodule.map ↑f ↑N
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩
⊢ Disjoint (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
a b : Rat
⊢ a - b = Rat.normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ Disjoint ↑a ↑b ↔ Disjoint a b
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SFinite μ
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
h₁ : (fun y => ofReal ((g - f) y)) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun y => ofReal ((AEMeasurable.mk g hg - AEMeasurable.mk f hf) y)
h₂ : ((μ.restrict s).prod volume) (regionBetween f g s) = ((μ.restrict s).prod volume) (regionBetween (AEMeasurable.mk f hf) (AEMeasurable.mk g hg) s)
⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = (μ.prod volume) (regionBetween (AEMeasurable.mk f hf) (AEMeasurable.mk g hg) s)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
S : Type
CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ.Even
⊢ ψ (-x) = ψ x
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
⊢ i < j → j ≤ 2 * n → j ≠ n → ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2) → Pell.xn a1 i % Pell.xn a1 n < Pell.xn a1 j % Pell.xn a1 n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (𝟙 F)).app P).f = ((𝟙 ({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.obj F)).app P).f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a : α
b : β
h : s b (f a)
⊢ ∃ a', f a' = b ∧ r a' a
E : Type u_2
NNNorm E
x : Multiplicative E
⊢ ‖Multiplicative.toAdd x‖₊ = ‖x‖₊
n : ℕ
o : ONote
⊢ o.mulNat n = o * ↑n
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ