ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, (RingHom.id R) (vi x) • (B (v x)) (v i) = 0
⊢ ∀ b ∈ vi.support, b ≠ i → (RingHom.id R) (vi b) • (B (v b)) (v i) = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
⊢ a < (b ^ a).ord.cof
i j : ℤ
⊢ i.gcd j = j.gcd i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
⊢ (∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)) ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : R (fx Fin2.fz i) (fy Fin2.fz i)
⊢ R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hfμ : MeasureTheory.Integrable f μ
hfν : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
h_int : MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.llr μ ν) μ
⊢ ∫ (x : α), MeasureTheory.llr μ (ν.tilted f) x ∂μ =
  ∫ (x : α), MeasureTheory.llr μ ν x ∂μ - ∫ (x : α), f x ∂μ + Real.log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f g : α →*₀o β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).unmop = CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.unmop
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ (CategoryTheory.BasedNatIso.id F).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id F
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊆ tᶜ ↔ Disjoint t s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
x : M₂
y : M
⊢ y = e.symm x ↔ e y = x
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x.1 * x.2 = n ∧ (1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 (x, y), p x
⊢ ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, p (x', y')
α : Type u_2
ι : Type u_5
s : ι → Set α
⊢ ⋃ i, s i = ⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
h_le : s ≤ t
a : (α ⧸ t) × ↥t ⧸ s.addSubgroupOf t
⊢ (AddSubgroup.quotientEquivSumOfLE h_le).symm a = Quotient.map' (fun b => Quotient.out' a.1 + ↑b) ⋯ a.2
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
GCDMonoid R
a b : R
z : R
⊢ gcd a b ∣ z ↔ ∃ x y, z = a * x + b * y
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
a : ℕ
⊢ a < n / d ↔ d * a < n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
One β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.const α 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i✝ : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → α
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i = ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ q • a
α : Type u_1
a b z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD z] ↔ a ≡ b [ZMOD z]
α β : Type u
n : ℕ
c : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑n + 1 ≤ c ↔ ↑n < c
α : Type u_1
R : Type u_2
MeasurableSpace α
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
f : α → R
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ⌊f x⌋
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
hz : (Associates.mk a).factors ⊓ (Associates.mk b).factors ≠ 0
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ S₂ : Subsemiring R
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (fun x => ‖f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.92908, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.93383, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F ⋙ coyoneda.obj (op X)).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ 𝟙 X ≫ ↑s j' = ↑s j ≫ F.map f
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h✝ : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂
h : tr b₁ ∈ eval f₂ (tr a₁)
⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
k : ℕ
hk : FiniteDimensional.finrank K V ≤ k
⊢ (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
a b m n p d : ℕ
⊢ d ∣ 0 ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot
⊢ s ∈ ofComapInfPrincipal h
n : Nat
x : BitVec n
⊢ BitVec.truncate n x = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
t : R
x : L
m : M
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s t : Set β
⊢ ⇑e ⁻¹' s ⊆ ⇑e ⁻¹' t ↔ s ⊆ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
hf : SmoothAt I I' f x
⊢ SmoothWithinAt I I' f s x
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑(ℑ (I • a)) = ↑(ℜ a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') s x
α : Type u_5
β : Type u_6
TopologicalSpace β
f : α → β
y : β
⊢ Filter.comap f (𝓝[Set.range f] y) = Filter.comap f (𝓝 y)
α : Sort u_2
⊢ ⨅ x, 0 = 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : HasSolidNorm K
val✝ : Fintype ι
⊢ IsBounded (fundamentalDomain b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (atTop ×ˢ atTop) atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ι), (μs i) s = 0
⊢ ν s = 0
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x
⊢ diracProbaInverse μ = x
G : Type u_1
Group G
S T : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) Filter.atTop (𝓝 (L (fun n => χ ↑n) s))
n a c : ℕ
⊢ ∃ n0, ∀ n ≥ n0, a * c ^ n < (n - 1)!
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) (toMeasurable μ s)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.filter p f).support = Finset.filter p f.support
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((MvPolynomial.bind₁ f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, j ∈ (f i).vars
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.trailingCoeff 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0 = 0
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_10
DecidableEq ι
Finite ι
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι
⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) = if j = i then 1 else 0
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ
⊢ ∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2 * z.coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 * (y.coeff x_1.snd.1 * z.coeff x_1.snd.2)
β : Type ub
V W : Set (β × β)
x y : β
h : x ∈ UniformSpace.ball y W
h' : W ○ W ⊆ V
⊢ UniformSpace.ball x W ⊆ UniformSpace.ball y V
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
⊢ ∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.toNat c = 0 ↔ c = 0 ∨ Cardinal.aleph0 ≤ c
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x : M
⊢ (lift S g h) (mk x 1) = g x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝¹⁰ : Category.{?u.100947, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.100951, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.100955, u_3} E
inst✝⁷ : Category.{?u.100959, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : HasShift D A
inst✝⁴ : HasShift E A
inst✝³ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G G' : D ⥤ E
e : G ≅ G'
inst✝² : G.CommShift A
inst✝¹ : G'.CommShift A
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ ((F.postcomp G).shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ e.hom.app ((F.functor a).obj X) = (shiftFunctor E n).map (e.hom.app ((F.functor a').obj X)) ≫ ((F.postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom.app X
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b ≠ a + z • p
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
⊢ Tendsto (fun N => ↑(nearestPt e N) x) atTop (𝓝 x)
a b : ℤ
⊢ a * -b = -(a * b)
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ eisensteinSeries a k ∣[k] γ = eisensteinSeries (a ᵥ* ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)) k
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ ‖p n‖ = ‖p.coeff n‖
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : k < i
⊢ j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
hn : 0 < n
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioi a) (Ioi (a + d))
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ (MeasureTheory.condexpInd G hm μ (s ∪ t)) x =
  (MeasureTheory.condexpInd G hm μ s) x + (MeasureTheory.condexpInd G hm μ t) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.inverse C).obj X = X.fromShrinkHoms
s : Set Cardinal.{u_1}
⊢ sInf s = 0 ↔ s = ∅ ∨ ∃ a ∈ s, a = 0
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
h : leftZigzag η.hom ε.hom = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ rightZigzag η.hom ε.hom = (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv
I : Type u
DecidableEq I
i : I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
a₁ a₂ : A i
⊢ (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A) ((DirectSum.lof R I A i) a₁) *
    (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A) ((DirectSum.lof R I A i) a₂) =
  (LinearAlgebra.FreeProduct.ι' R A) ((DirectSum.lof R I A i) (a₁ * a₂))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
⊢ ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
hfg : f = g
x x' : ↑X.toTopCat
hxx' : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x ≫ X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap g x'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (s.mulIndicator f) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)
⊢ HasProd (sᶜ.mulIndicator f) a₂
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring k
AddMonoid G
AddMonoid H
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃+ H
g : G
a : A
⊢ (AddMonoidAlgebra.domCongr k A e) (AddMonoidAlgebra.single g a) = AddMonoidAlgebra.single (e g) a
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E)
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
self : IsSl2Triple h e f
⊢ h ≠ 0
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b' : β
x : P (e.symm b')
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b') x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b' x b'
s : Set ℕ
Infinite ↑s
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Set.range (Nat.Subtype.ofNat s) = Set.univ
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
X : Set α
⊢ M.Indep (I ∩ X)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Sbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z
⊢ w ≠ y
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.functorEquivalence J C).inverse =
  CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f ⊥ = ⊥
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Iic b = Set.Ici (a - b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ENNReal
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
f : Fin n → α → β
hf : ∀ (i : Fin n), MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.UnifTight f p μ
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n
⊢ MeasurableSet {x | x ∈ s}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈0⌉ = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ (↑l).dedup = ↑l.dedup
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = ⨅ d, uncurry dist ↑d
M : Type u_1
B : Type u_3
AddMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
S : B
l : List ↥S
⊢ ↑l.sum = (List.map Subtype.val l).sum
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Initial
G.Full
G.Faithful
⊢ F.Initial ↔ (F.comp G).Initial
α : Type u_3
DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
CommMonoid M
f : α → M
⊢ (Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
⊢ G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ ((R₃ ⋙ G₂).map (β.app c) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c))) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : μ s ≠ 0
⊢ s.Nonempty
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Z : Type u_4
Quiver U
Quiver V
Quiver W
Quiver Z
F : U ⥤q V
G : V ⥤q W
H : W ⥤q Z
⊢ F ⋙q G ⋙q H = F ⋙q (G ⋙q H)
M : Type w
N : Type w'
FirstOrder.Language.empty.Structure M
FirstOrder.Language.empty.Structure N
⊢ Nonempty (FirstOrder.Language.empty.Equiv M N) ↔ Cardinal.lift.{w', w} #M = Cardinal.lift.{w, w'} #N
G : Type u_2
Group G
s : Set G
N : Subgroup G
hN : N.Normal
⊢ s * ↑N = ↑N * s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L'
y : L
hy₁ : ∃ y_1 ∈ I, ∃ z ∈ f.ker, y_1 + z = y
hy₂ : ↑f y = x
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
self : ChartedSpace H M
x : M
⊢ x ∈ (ChartedSpace.chartAt x).source
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
⊢ ∀ (a : R), starContinuousMap a = star a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ (CliffordAlgebra.toEven Q).comp (CliffordAlgebra.ofEven Q) =
  AlgHom.id R ↥(CliffordAlgebra.even (CliffordAlgebra.EquivEven.Q' Q))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (⇑(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) '' (((Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (((Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioi a \ Ioi b = Ioc a b
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
⊢ e ∉ M.closure I ↔ M.Indep (insert e I) ∧ e ∉ I