ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
x : ↑X
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y
hU : f x ∈ U
⊢ F.germ ⟨f x, hU⟩ ≫ TopCat.Presheaf.stalkPullbackHom C f F x =
  ((TopCat.Presheaf.pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (Opposite.op U) ≫
    ((TopCat.Presheaf.pullback C f).obj F).germ ⟨x, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
⊢ ‖f (cexp ζ)‖ ≤ C
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ✝.toInteger - 1})
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) ≃ L'.Term (β ⊕ Fin n)
fr : (n : ℕ) → L.Relations n ≃ L'.Relations n
n : ℕ
⊢ ∀ (a : L.BoundedFormula α n),
  (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRelEquiv ft fr) a =
    FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑(ft n)) (fun n => ⇑(fr n)) (fun x => id) a
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
⊢ (of' k G g * (x /ᵒᶠ g) + x %ᵒᶠ g) g' = x g'
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)) = ⨆ i ∈ t, MeasureTheory.ae (μ.restrict (s i))
G : Type u_3
AddGroup G
G' : Type u_5
AddGroup G'
hG : AddGroup.FG G
f : G →+ G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddGroup.FG G'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
X Y : C
α : F ≅ G
f : X ⟶ Y
⊢ α.hom.app X ≫ G.map f ≫ α.inv.app Y = F.map f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
x y : α
⊢ (x, y) ∈ closure s ↔ (x, y) ∈ ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ s ○ V
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
⊢ ↑(SymplecticGroup.symJ l R) = Matrix.J l R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)))
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : a ≤ c
⊢ b - a = c - a → b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N✝ : Matroid β
X I✝ : Set α
M N : Matroid α
hN : N.E = M.E
h : M.restrictSubtype M.E = N.restrictSubtype M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
⊢ M.Indep I ↔ N.Indep I
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
this : ‖term f s n‖ ≤ ∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet {a | ∀ (i : ι), p i a}
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
g0 : α → ℝ≥0∞
f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x
g0_cont : LowerSemicontinuous g0
g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
v : Fin n → G
x : G
⊢ (((continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n G G').symm f) v) x = f (Fin.snoc v x)
b c x y u v : Prop
Decidable b
Decidable c
h_c : b ↔ c
h_t : x ↔ u
h_e : y ↔ v
⊢ (if b then x else y) ↔ if c then u else v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R ↔ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows
w i : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x ||| y).getMsb i = (x.getMsb i || y.getMsb i)
ι : Type u_1
E : Type u_2
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc (a i) (b i)) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a₀ b₀) MeasureTheory.volume
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / g x) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => f y + c) f' x L
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑k.bit1 * ↑k.bit1 then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
⊢ SpectrumRestricts b f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ IsChain r ∅
α : Type u_3
γ : Type u_6
DecidableEq α
OrderedCommMonoid γ
CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d
⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ s, f m
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s ⊼ t).Nonempty
α : Type u_1
LT α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual a < OrderDual.toDual b ↔ b < a
n : ℕ
h : IsUnit ↑n
⊢ n = 1
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
⊢ (M.binaryProductLimitCone N).cone.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = LinearMap.snd R ↑M ↑N
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this✝¹ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this✝ : UniformAddGroup F
this : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F)
⊢ T2Space (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1
a✝ : Set α
ha : MeasurableSet a✝
⊢ μ (t ∩ a✝) / μ a✝ = μ (s ∩ a✝) / μ a✝
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : f ≫ 𝟙 Y = g
⊢ f = g
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
h : j ≠ i
⊢ (Matrix.stdBasisMatrix i j c).trace = 0
R : Type u_1
AddCommMonoid R
StarAddMonoid R
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → R
⊢ star (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, star (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
⊢ Monotone fun n => ↑(eapprox f n) a
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ
⊢ (inducedMap A).snd x ∈ A (res (↑x) n)
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.opEquivalence V c).unitIso = HomologicalComplex.opUnitIso V c
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
E : Type u_1
SeminormedGroup E
s t : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s * t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₀₁.τ₃ S.v₁₂.τ₃ = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ a • s ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ disjointed f (n + 1) = f (n + 1) \ f n
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop ↔ r < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max a b)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
x : X
⊢ 𝓝[OnePoint.some '' s] ↑x = Filter.map OnePoint.some (𝓝[s] x)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ f.graph = LinearMap.range (LinearMap.id.prod f)
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
i j : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).get j = if i = j then a else v.get j
f g : CircleDeg1Lift
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
f g : X ⟶ Y
⊢ (f + g).unop = f.unop + g.unop
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
q : ℚ
⊢ ↑q ∈ s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
s : Set A
hs : s ⊆ ↑S
⊢ NonUnitalAlgebra.adjoin R s ≤ S
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max (max a b) c = max a (max b c)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
m n : ℤ
h : m < n
⊢ a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
⊢ c > fold max b f s ↔ b < c ∧ ∀ x ∈ s, f x < c
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
T2Space β
f g : pkg.space → β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : ∀ (a : α), f (pkg.coe a) = g (pkg.coe a)
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a * (b / a) = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g
⊢ IsOpen (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
⊢ ((∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s') → ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : x < 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
x : ℤ × ℤ
⊢ x ∈ SetTheory.PGame.Domineering.right b ↔ x ∈ b ∧ (x.1 - 1, x.2) ∈ b
n : ℕ
⊢ (List.finRange n).toFinset = Finset.univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K
hre : Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
him : Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
x : α
⊢ f x = ((fun x => ↑(RCLike.re (f x))) + fun x => RCLike.I * ↑(RCLike.im (f x))) x
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t = 0 ↔ s.Disjoint t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ (∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s) ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0
K : Type u
inst✝ : Field K
⊢ denom 0 = 1
b u v w : Ordinal.{u_1}
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
⊢ b ^ succ u = b ^ u * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A'
s : CategoryTheory.Functor A' (Type (max v₁ u₁))
CategoryTheory.Limits.HasLimits A'
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits s
s.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P' ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (P'.comp s)
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ 0 < a - b ↔ b < a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse = CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.inverse C
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
h : M.BlockTriangular id
this : DecidableEq R
⊢ M.det = ∏ i : m, M i i
α : Type u_2
Sub α
a b : α
⊢ pure a - pure b = pure (a - b)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ ∀ (b : Associates R), ∀ x ∈ fx, Associates.mk x = b → b = Associates.mk ϖ
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! x, b - (Equiv.neg ℤ) x • a ∈ Ioc c (c + a)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
i j : Fin 2
⊢ (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0] i j
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G →* G'
K : Subgroup G
⊢ f.ker.relindex K = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ Function.Injective ⇑(TopCat.GlueData.fromOpenSubsetsGlue U)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 s
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.map m f ≤ g ↔ f ≤ Filter.comap m g
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPrecoherent A).functor.map f).val.app X_1 = f.val.app (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X_1)))
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.edist u v = G.edist v u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
this : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ μ ∈ primitiveRoots n R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
⊢ 1 * ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ σ a - {r} = σ (a - ↑ₐ r)
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = mabs b
⊢ a = b ∨ a = b⁻¹
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
f₁ f₂ : (i : ι) → E i →L[𝕜] E i
⊢ (PiTensorProduct.mapL fun i => f₁ i * f₂ i) = PiTensorProduct.mapL f₁ * PiTensorProduct.mapL f₂
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
A : Type u_3
TopologicalSpace A
g : A → E
PreconnectedSpace A
cont : Continuous g
he : ∀ (a a' : A), f (g a) = f (g a')
a a' : A
⊢ g a = g a'
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.erase a).diff l₂
d : ℤ
z w : ℤ√d
⊢ (z * w).im = z.re * w.im + z.im * w.re
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedLinearOrderedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ StrictConvex 𝕜 (Metric.closedBall x r)
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
S : ι → Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ (iSup S).unop = ⨆ i, (S i).unop
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.opEquiv S = S.op
α : Type u_1
p : α → Bool
xs ys : List α
⊢ List.dropWhile p (xs ++ ys) =
  if (List.dropWhile p xs).isEmpty = true then List.dropWhile p ys else List.dropWhile p xs ++ ys
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
⊢ 1 < ∏' (i : ι), g i
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (⋂ b, s b).indicator f x ∂μ))
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ adjoin F ((minpoly F x1).rootSet E) ≤ adjoin F ((minpoly F ⟨i, ⟨x1, hx1⟩⟩.snd).rootSet E)
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₂ : a₂ ∈ l.keys
b₁ : β a₁
l₁ l₂ : List (Sigma β)
a₁_nin_l₁ : a₁ ∉ l₁.keys
x✝ : a₂ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
ha₁ : a₁ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
h' : a₂ ∉ l₁.keys
⊢ kerase a₂ (l₁ ++ l₂) = kerase a₁ (kerase a₂ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂))
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), v k
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
x y : EReal
⊢ (x + y).exp = x.exp * y.exp
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
(i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange f hf g).support ⊆ g.support
R : Type u_2
NonUnitalNonAssocRing R
TopologicalSpace R
hadd : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hneg : Filter.Tendsto (fun x => -x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hmul_left : ∀ (x₀ : R), Filter.Tendsto (fun x => x₀ * x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hmul_right : ∀ (x₀ : R), Filter.Tendsto (fun x => x * x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : R), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
⊢ TopologicalRing R
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_lt_one : p < 1
⊢ 0 < ProbabilityTheory.geometricPMFReal p n