ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
hs : ∀ i ∈ s, Continuous (f i)
⊢ Continuous (s.sup f)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
Monoid R
CommMonoid S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → R →* S
⊢ ⇑(f.prod g) = f.prod fun a b => ⇑(g a b)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
f : α → β
g : α → γ
h : Function.FactorsThrough g f
g' : γ → δ
⊢ Function.FactorsThrough (g' ∘ g) f
x y : ℝ
⊢ Real.exp x ≤ Real.exp y ↔ x ≤ y
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
H : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
AddGroup H
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup H
f : G →+ H →+ M
hf : ContinuousAt (fun x => (f x.1) x.2) (0, 0)
hl : ∀ (x : G), ContinuousAt (⇑(f x)) 0
hr : ∀ (y : H), ContinuousAt (fun x => (f x) y) 0
⊢ Continuous fun x => (f x.1) x.2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (Mathlib.Vector.cons a v).head = a
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
inst✝ : Fintype ι✝
f : ι✝ → R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
⊢ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x} = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ dist p₁ s.center = dist p₂ s.center
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
⊢ IsFixedPt f x
θ : Angle
⊢ (θ + ↑(π / 2)).sin = θ.cos
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
∀ (a : α), MeasureTheory.IsFiniteMeasure (κ a)
t : Set Ω
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet t t κ μα
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
n : Num
x : Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ x ∈ Turing.PartrecToTM2.trNum n → Turing.PartrecToTM2.natEnd x = false
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
a : R
hp : p ≠ 0
⊢ Polynomial.eval a (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ Polynomial.rootMultiplicity a p) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}
⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : Nonempty ι
this✝² : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI
b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI
ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI
ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i
e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))
f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'
f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl
ha : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), f (b' i) = a i • b' i
this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
this : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), NeZero (a i).natAbs
⊢ ∏ i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S, (a i).natAbs = Nat.card (S ⧸ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ
⊢ a✝ ∈ (s.biUnion f).biUnion g ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => (f a).biUnion g
p a b : ℕ
hpa : p ∈ a.primeFactorsList
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
n : ℕ
x : R
⊢ (ψ ^ n) x = (ψ.mulShift ↑n) x
α : Type u_1
r₁ r₂ : α → α → Prop
s : Set α
IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
⊢ minimals r₂ s ⊆ minimals r₁ s
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hz₁ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
hzn : 0 ≤ ↑n * (2 * z.re) + ↑n * ↑n
⊢ 1 < normSq ↑(T ^ n • z)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ cyclesMap' (φ + φ') h₁ h₂ = cyclesMap' φ h₁ h₂ + cyclesMap' φ' h₁ h₂
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ (A.updateColumn i fun k => A k i + A k j).det = A.det
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : RelSeries.head s₁ = RelSeries.head s₂
ht : RelSeries.last s₁ = RelSeries.last s₂
⊢ s₁.Equivalent s₂
⊢ Rat.castHom ℚ = RingHom.id ℚ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
⊢ ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 0 N N), ((q e.fst) fun i => (p (e.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N e he).snd) fun _j => z
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
⊢ z.arg ∈ Ioc (-π) π
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
OrderBot α
Nontrivial α
a : α
⊢ ⊥ < Order.succ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsReflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.IsReflexivePair g f
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
N₂ : Type u_10
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
g : N →ₗ[R] N₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
p : Submodule R N₂
h : ∀ (c : N), g c ∈ p
⊢ (LinearMap.codRestrict p g h).compAlternatingMap f = (g.compAlternatingMap f).codRestrict p ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hfg : (f - g).LimZero
⊢ (g - f).LimZero
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β
⊢ (⨅ i, f i) ×ˢ g = ⨅ i, f i ×ˢ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : Bornology.IsBounded (Set.image2 f s t)
⊢ Bornology.IsBounded s ∨ Bornology.IsBounded t
a b : Prop
ha : a
hb : b
⊢ a ↔ b
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
ι' : Type u_1
β' : Type u_2
UniformSpace β'
F' : ι' → α → β'
f' : α → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformlyOn F f p s
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' s
⊢ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i.1 a, F' i.2 a)) (fun a => (f a, f' a)) (p.prod p') s
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist x y ≤ ↑(2 ^ (1 / ⊤).toReal) * edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y)
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : ¬a = b
⊢ ¬stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
n : ℕ
ihn : ∀ m < n + 1, m# ≤ 4 ^ m
ho : Odd n
⊢ (n + 1)# ≤ 4 ^ (n + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
ContravariantClass M N μ r
m : M
a b : N
ab : r (μ m a) (μ m b)
⊢ r a b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C),
  ((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension C D).obj X).obj X_1 =
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence D).inverse.obj
      (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).obj X_1)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.uncurry.obj F)
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim)
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) j ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F.obj j) k =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.uncurry.obj F) (j, k)
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
c : R
n : ℕ
⊢ (C c * X ^ n).support.card ≤ {n}.card
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 0 ∨ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 1
a : Sort u_1
b c : Prop
⊢ a → b ∨ c ↔ (a → b) ∨ (a → c)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
h : 1 ≤ b
⊢ a * b ≤ a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : addOrderOf r • r = 0
⊢ False
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2) ≤ 2 ^ (r / 2) * (1 + ‖x‖) ^ (-r)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(-c).den = ↑c.den
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < c
h₂ : b < c
⊢ max a b < c
X : TopCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
α : Type u
β : α → Type v
a : α
s : AList β
⊢ a ∈ ⟦s⟧ ↔ a ∈ s
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (algebraMap A K) ((intNorm A B) x) = (norm K) ((algebraMap B L) x)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
this : Continuous fun f x => f ↑x
⊢ IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
H : (X ^ p ^ 1 - C y).roots = p ^ 1 • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}
⊢ (X ^ p - C y).roots = p • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
AddCommMonoid N
Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι
x : M i
⊢ (DirectSum.toModule R ι N φ) ((DirectSum.lof R ι M i) x) = (φ i) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
M.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap (φ ≫ ψ) i = HomologicalComplex.opcyclesMap φ i ≫ HomologicalComplex.opcyclesMap ψ i
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 0
⊢ ∑ i : ι, f i < 0 ↔ f < 0
n : ℕ
⊢ 4 ^ n ≤ (2 * n + 1) * (2 * n).choose n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬μ t = 0
h₀' : ¬μ tᶜ = 0
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = (μ t).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 E
y : F
⊢ y ∈ ConvexCone.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a ≤ b * c
hle : b ≤ d
c0 : 0 ≤ c
⊢ a ≤ d * c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ r
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc f a ≤ (algebraMap R A) r
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
OrderTopology ι
SecondCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
⊢ Measurable τ
A : Type u
AddCommGroup A
n : ℤ
⊢ AddEquiv.refl (A ⧸ (zsmulAddGroupHom n).range) = QuotientAddGroup.equivQuotientZSMulOfEquiv (AddEquiv.refl A) n
α : Type u_1
β : Type u_2
H : Infinite (α ⊕ β)
⊢ Infinite α ∨ Infinite β
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R ℍ[R])
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
self : VectorBundle R F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
⊢ Trivialization.IsLinear R e
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
h : AlgebraicIndependent R x
p : MvPolynomial ι R
⊢ (MvPolynomial.aeval x) p = 0 → p = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
⊢ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a : G
h : |1| = 1
⊢ orderOf 1 ≤ 2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (mul' R ↑A) (of R ↑A) ≫ mul' R ↑A = (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (of R ↑A) (of R ↑A) (of R ↑A)).hom ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (mul' R ↑A) ≫ mul' R ↑A
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp : 0 < p
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
⊢ (ωSup c₀) (ωSup c₁) = Prod.apply (ωSup (c₀.zip c₁))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
⊢ lcs k N ≤ N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J × D.J
⊢ (D.diagramIso F).hom.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((D.diagram.multispan.comp F).obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁) = ↑π - 2 • o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ
⊢ List.map f l₁ ~r (List.map f l₁).rotate n
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
l : Filter α
s : ι → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
i : ι
⊢ l.HasBasis (fun j => i ≤ j) s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ F.map ((evaluationEquivOfIsGalois F A.obj A.pt).symm (↑((endEquivSectionsFibers F) f) A)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt
a b c : ℤ
h2 : ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → c.natAbs ≤ c1.natAbs
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2
⊢ ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → (-c).natAbs ≤ c1.natAbs
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b
h : t₀ ≤ t'
⊢ f t' = g t'
a b c d✝ m n : ℤ
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℤ
hd : b / c = a * d
⊢ b = c * a * d
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a * b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
X : Type u
PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
⊢ Metric.thickening δ E = ⋃ x ∈ E, Metric.ball x δ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
hn : n < l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - n < l.length
⊢ l.reverse.nthLe n hn = l.nthLe (l.length - 1 - n) hn'
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : ClosedEmbedding g
⊢ ClosedEmbedding (g ∘ f) ↔ ClosedEmbedding f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet {a | ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α
⊢ -v ⬝ᵥ -w = v ⬝ᵥ w
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
h : φ.order.Dom
⊢ PowerSeries.X ^ φ.order.get h ∣ φ
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᵐ[MeasureTheory.volume] g
hg_int : MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f (MeasureTheory.volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ 0 < x ∧ x < 1 ∧ y < 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
⊢ c * a ≤ c * b
α : Type u_2
Monoid α
HasDistribNeg α
n : ℕ
h : Even n
⊢ (-1) ^ n = 1
K : Type u_1
RCLike K
n : ℚ
⊢ ↑↑n = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ γ.neg.φH = -γ.φH
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
α : Type u_5
Preorder ι₂
CompleteLattice α
l : Filter ι₁
l.NeBot
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
hf : Antitone f
hφ : Filter.Tendsto φ l Filter.atTop
⊢ ⨅ i, f i = ⨅ i, f (φ i)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ ((HomologicalComplex.single V c j).map f).f j =
  (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).hom ≫ f ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j B).inv
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ support R M
⊢ annihilator R M ≤ p.asIdeal
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
⊢ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ ≤ P