ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ f '' Set.Ioc a b ⊆ Set.Ioc (f a) (f b)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
Ω : Type u_5
Nonempty Ω
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
η : ProbabilityTheory.Kernel α ℝ
a : α
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.borelMarkovFromReal Ω η) a =
  if (η a) (Set.range (MeasureTheory.embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then
    MeasureTheory.Measure.comap (MeasureTheory.embeddingReal Ω) (η a)
  else MeasureTheory.Measure.comap (MeasureTheory.embeddingReal Ω) (MeasureTheory.Measure.dirac (Exists.choose ⋯))
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
CompleteSpace A
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv : MeasureTheory.Integrable (u' * v + u * v') MeasureTheory.volume
h_bot : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atBot (𝓝 a')
h_top : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ), u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : E
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ((SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 m) f) x = (fderiv ℝ (⇑f) x) m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hts : t ⊆ s
⊢ ContMDiffOn I I' n f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : T2Space M₂
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
⊢ e (∑' (z : ι), f z) = ∑' (z : ι), e (f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a
⊢ (⇑ofDual ⁻¹' insert a s).chainHeight = (⇑ofDual ⁻¹' s).chainHeight + 1
n p : ℕ
⊢ 0 < p ^ n.factorization p
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iic b ∪ Set.Ici a = Set.univ
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedAddGroup E
Nonempty ι
a : E
⊢ ‖fun _i => a‖ = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Set.InjOn f {x | x ∈ s}
x : α
H : x ∈ s
⊢ count x (filter (fun a => f x = f a) s) = card (filter (fun a => f x = f a) s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
x : α
hx : x ∈ s.toFinset
⊢ f x ^ count x s = f x ^ count x (a :: s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'
⊢ s.ncard = t.ncard
m n : ℕ
⊢ (Int.subNatNat m n).bodd = xor m.bodd n.bodd
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ≤ᶠ[ae (μ.trim ⋯)] μ[f j|↑ℱ i]
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier (interior s) ⊆ frontier s
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
⊢ Normal F E
α : Type u_2
self : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on s) → self.measureOf (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), self.measureOf (s i)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z
⊢ rexp (log x * y) ≤ rexp (log x * z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
⊢ s.erase x = s.erase y ↔ x = y
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : N ≃* G
K : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap (↑f) K = Subgroup.map (↑f.symm) K
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p = 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
b : R
⊢ AddMonoidHom.mulRight b = AddMonoidHom.mulLeft b ↔ ∀ (a : R), Commute a b
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
h : m i = 0
⊢ f m = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
x : FreeMonoid (G ⊕ H)
⊢ (Monoid.coprodCon G H) (FreeMonoid.ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (FreeMonoid.toList x)).reverse * x) 1
X : Type u_1
ι' : Sort u_4
TopologicalSpace X
Finite ι'
f : ι' → Set X
h : ∀ (i : ι'), IsGδ (f i)
⊢ IsGδ (⋃ i, f i)
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Subsingleton ∨ s.Nontrivial
F : Type u
Field F
⊢ Polynomial.natSepDegree 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.up α))
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).unitIso.hom.app P).f.f n = P.p.f n
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : ContinuousMul N
inst✝¹ : T2Space N
f : ι → Nˣ
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h₁ : Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)
⊢ 1 = r₂ * r₁
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (Cardinal.aleph 1).ord).α
h : j < i
t : Set α
ht : t ∈ MeasurableSpace.generateMeasurableRec s j
⊢ tᶜ ∈ MeasurableSpace.generateMeasurableRec s i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
LinearOrderedField β
FloorRing α
FloorRing β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ round (f a) = round a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIdIso C).inv.app X).hom₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₃
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
ι' : Type u_5
Fintype ι'
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
v : PiLp p fun x => E
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) v = (Equiv.piCongrLeft' (fun x => E) e) v
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ ↑e.symm '' e.target = e.source
R : Type u
n : ℕ
Ring R
p q : R[X]
df : p.natDegree < n
⊢ (p - q).coeff n = -q.coeff n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C 1).det = (A - B * C).det
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
⊢ b.reindex (Equiv.refl ι) = b
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Zero M
i : ι
m : M
⊢ (Finsupp.single i m).toDFinsupp = DFinsupp.single i m
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x y : CliffordAlgebra 0
hx : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) x = g ((liftAlternating f) x)
hy : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) y = g ((liftAlternating f) y)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) (x + y) = g ((liftAlternating f) (x + y))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ range f = ⊥ ∨ range f = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
ε : Type u_9
DecidableEq β'
DecidableEq γ'
DecidableEq δ
DecidableEq ε
s : Finset α
t : Finset β
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
⊢ Finset.image₂ f s (Finset.image₂ g t u) ⊆ Finset.image₂ g' (Finset.image₂ f₁ s t) (Finset.image₂ f₂ s u)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ b / c < a ↔ a * c < b
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
a : α
⊢ ↑(OrderEmbedding.birkhoffFinset a) = OrderEmbedding.birkhoffSet a
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1
⊢ -log ↑π / 2 / ↑√π * Gamma (1 / 2) + f 1 * (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => f x ⊔ g x) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.braiding Y).inv.f = CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
RingHomSurjective σ₂₃
RingHomSurjective σ₁₃
⊢ LinearMap.range (h.comp ↑e) = LinearMap.range h
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
hs' : s.Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.count s ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ ∀ m ∈ toSubmodule S, ∀ n ∈ toSubmodule T, m * n ∈ toSubmodule (S ⊔ T)
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
⊢ ∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
⊢ b ∈ map f K → ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ
h₂ : Even n
⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
f : F
s : Set R
⊢ map f (span s) ≤ Submodule.span S (⇑f '' s)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
⊢ ⁅f, ((LieModule.toEnd R L M) f ^ n) m⁆ = ((LieModule.toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ of ↑b * t = of ↑(φ (φ.symm b)) * t
G : Type u_3
Monoid G
a : G
n : ℕ
⊢ (fun x => a * x)^[n] = fun x => a ^ n * x
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
⊢ ↑(Classical.choose h).symm = ↑e.symm
n : ℕ
⊢ (φ ^ (n + 1) - ψ ^ (n + 1) - (φ ^ (n + 1) - φ * ψ ^ n)) / √5 = ψ ^ n
α : Type u_1
⊢ Sym2.fromRel ⋯ = ∅
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hμf : μ {x | f x = ⊤} ≠ 0
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ⊤
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
⊢ AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P (AlgebraicGeometry.sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : ¬i < (ofFn f).length
⊢ (ofFn f)[i]? = ofFnNthVal f i
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
p₁ : P₁
p₂ : P₂
⊢ e p₁ = p₂ ↔ p₁ = e.symm p₂
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}
hd : Disjoint (I s) (I t)
⊢ μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
⊢ Symmetric (G.IsUniform ε)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ mapRange f hf (c • v) = c • mapRange f hf v
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α
⊢ ((hf.lift f').op.unop ≫ f.π.app { as := j }).op = (((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc f'.op).unop ≫ f.π.app { as := j }).op
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R
⊢ ↑(Matrix.GeneralLinearGroup.det A) = (↑A).det
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s t : Multiset α
⊢ Rel (flip fun x x_1 => x = x_1) s t ↔ s = t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂
⊢ All (fun y => All (fun z => y < z) t₂) t₁
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℝ
h : -1 < r ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
h' : -1 < (↑r).re ∨ ↑r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ ↑r = (↑b ^ (↑r + 1) - ↑a ^ (↑r + 1)) / (↑r + 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ r = (b ^ (r + 1) - a ^ (r + 1)) / (r + 1)
α : Type u_1
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
⊢ t.Nonempty
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a a₁ a₂ : α
h₁ : r a₁ a
h₂ : r a₂ a
⊢ r a₁ a ∧ r a₂ a
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det
h1 : d ^ (k1 + k2 - 1) = d * d ^ (k1 - 1) * d ^ (k2 - 1)
h22 : denom A x ^ (-(k1 + k2)) = denom A x ^ (-k1) * denom A x ^ (-k2)
⊢ f (A • x) * g (A • x) * d ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = d * (f (A • x) * d ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * d ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s +ᵥ t ∈ f +ᵥ g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.lift F M hM).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x => F.obj x
  | CategoryTheory.WithTerminal.star => Z
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrichotomous α r
⊢ IsTrichotomous α (Function.swap r)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
⊢ n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ F.map ((shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
x : α
⊢ #{ y // r y x } = (Ordinal.typein r x).card
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ μ (Function.support ↑(hf.approx n)) < ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ Filter.map f (F ⊓ Filter.comap f G) = Filter.map f F ⊓ G
R : Type u_1
IntCast R
n : ℤ
⊢ ofLex ↑n = ↑n
x : ℝ*
hx : ¬x.Infinite
⊢ (x - ↑x.st).Infinitesimal
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t : Finset β
hs : s ⊆ s'
⊢ s ×ˢ t ⊆ s' ×ˢ t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ closure K = ⋃ x ∈ K, closure {x}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
⊢ ⇑(e.toContinuousLinearEquivOfContinuous h) = ⇑e
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
IsEmpty ι
m : M₂
⊢ ∀ (a : (i : ι) → M₁ i), (ContinuousMultilinearMap.constOfIsEmpty R M₁ m) a = m
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ↔ a ∣ n.floorRoot b
α : Type u_2
β : α → Type u_1
(a : α) → Unique (β a)
⊢ ⇑(Equiv.sigmaUnique α β) = Sigma.fst
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ [].prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree []).sum
α : Type u_1
n : Nat
a : α
p : α → Bool
⊢ List.takeWhile p (List.replicate n a) = List.filter p (List.replicate n a)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.Measure.map X MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal μ v
y : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun ω => X ω + y) MeasureTheory.volume = ProbabilityTheory.gaussianReal (μ + y) v
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
a : α
h₁ : p a
h₂ : P a h₁
⊢ ∃ x h, P x h
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
st : s ⊆ t
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
mab : α → β
mba : β → α
f : Filter α
g : Filter β
h₁ : mab ∘ mba =ᶠ[g] id
h₂ : Tendsto mba g f
⊢ g ≤ map mab f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ ((coyoneda.map (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.productUniqueIso f).hom =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Discrete.functor f) default
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }
this : ReducedWord.prod φ w = ReducedWord.prod φ w'
⊢ w.toList = []
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
i j : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ i j).app X) ((F.μIso i j).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (F.obj i) (F.obj j)).obj X)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z
⊢ ContinuousAt F c
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ⧏ x ↔ ∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
p : Partition 1
⊢ p.parts = {1}
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ m ((⋃ n, s n) \ s n) ≤ ∑' (k : ℕ), m (s (k + n + 1) \ s (k + n))