ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
Group G
k : Set G
p : (x : G) → x ∈ Subgroup.closure k → Prop
mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : G) (hx : x ∈ Subgroup.closure k) (y : G) (hy : y ∈ Subgroup.closure k), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ Subgroup.closure k), p x hx → p x⁻¹ ⋯
x : G
hx : x ∈ Subgroup.closure k
⊢ p x hx
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ p ≠ 0
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hi : 1 ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
⊢ k % p ^ 1 + (n - k) % p ^ 1 < p ^ 1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
CategoryTheory.Limits.HasImages V
Z : V
h : Z ⟶ A
CategoryTheory.Epi h
w : (h ≫ f) ≫ g = 0
⊢ imageToKernel (h ≫ f) g w =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject (h ≫ f)).ofLE (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f) ⋯ ≫ imageToKernel f g ⋯
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n t : ℕ
⊢ eval n (ascPochhammer ℕ (t + 1)) = n.ascFactorial (t + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
inst✝¹ : Invertible ((ι Q) a)
inst✝ : Invertible (Q a)
⊢ ⅟((ι Q) a) * (ι Q) b * (ι Q) a = (ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)
n x : ℕ
hx : x ≤ n
⊢ (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x)) = (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli (n - (n - x)) * ↑(n.choose (n - x)))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin (fun t => f t⁻¹) s = mellin f (-s)
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : α → β
⊢ ⇑(FreeAddSemigroup.lift f) ∘ FreeAddSemigroup.of = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ S₂.HasHomology
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ Nonempty (CategoryTheory.SplitMono f)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
J : Box ι
x✝ : ↑J ≤ ⊤
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => (μ ↑J).toReal) Ji = (fun J => (μ ↑J).toReal) J
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
⊢ IsNilpotent f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
⊢ i ∈ ((finSuccEquiv R n) f).support ↔ i ∈ Finset.image (fun m => m 0) f.support
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
r : (g x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = (h x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f g : AddHom M N
s : Set M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(AddSubsemigroup.closure s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₂ : S.P T.obj₂
h₃ : S.P T.obj₃
⊢ CategoryTheory.isoClosure S.P T.obj₁
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a + ↑n⌋ = ⌊a⌋ + ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
G : CategoryTheory.Functor D E
hG : G.FullyFaithful
⊢ ∀ {X Y : C} (f : (F.comp G).obj X ⟶ (F.comp G).obj Y), (hF.comp hG).preimage f = hF.preimage (hG.preimage f)
n b x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
hxb : x.succ < b
⊢ b.digits x.succ = [x.succ]
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
DenselyOrdered X
a b : X
hne : a ≠ b
f g : X → Y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict (Set.Icc a b)] g
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
⊢ Set.EqOn f g (Set.Icc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
n : ℕ
⊢ iterate f (f a) n = map f (iterate f a) n
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ (algebraMap (Polynomial K) (RatFunc K)) Polynomial.X = RatFunc.X
α : Type u_1
β : α → Type u_3
Fintype α
⊢ Nat.card ((a : α) → β a) = ∏ a : α, Nat.card (β a)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
c : ℂ
hc : c ∈ {c | 0 < c.re}
⊢ (↑π / c) ^ (1 / 2) ≠ 0
x : ZFSet
⊢ x.IsTransitive ↔ x ⊆ x.powerset
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
⊢ a * (b - 1) = a * b - a
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d
⊢ 0 ≤ n.norm
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)} (f : X ⟶ Y),
  ↑((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatFunctor G).map f) = f.base
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ a ~ᵤ 1 ↔ IsUnit a
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁵ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝⁴ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝³ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝² : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'
this : IsScalarTower ↑A ↑B ↑B'
⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
s : Set G
MeasurableInv G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsMulLeftInvariant
ν'.IsMulLeftInvariant
hμs : μ' s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x
⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (-↑1 + 1)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ (H ⊓ K).index ≤ H.index * K.index
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : Dense s
⊢ Dense (c • s)
n : PosNum
⊢ -ZNum.pos n = ZNum.neg n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
⊢ single a b = 0 ↔ b = 0
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (Mathlib.Vector.scanl f b v).toList = List.scanl f b v.toList
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s✝ t s : Finset α
n : ℕ
⊢ (↑(npowRec n.succ s))⁻¹ = ↑s ^ Int.negSucc n
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ sSup (o.brange f) = o.bsup f
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
γ₁ : Sort u_3
α₂ : Sort u_4
β₂ : Sort u_5
γ₂ : Sort u_6
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
ec : γ₁ ≃ γ₂
f : α₁ → β₁
g : β₁ → γ₁
⊢ (ea.arrowCongr ec) (g ∘ f) = (eb.arrowCongr ec) g ∘ (ea.arrowCongr eb) f
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p.update n 0).support = p.support.erase n
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : x + ↑m ≤ f x
n : ℕ
⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Complex.normSq (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n * OfNat.ofNat n
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommSemiring R
Nontrivial R
LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
f : ι → R
s : Finset ι
⊢ abv (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, abv (f i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
this : S.HasHomology
⊢ Cofork.π cc ≫ (hcc.coconePointUniqueUpToIso S.opcyclesIsCokernel).hom ≫ (Arrow.mk S.fromOpcycles).hom = Cofork.π cc ≫ (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).hom ≫ (Iso.refl (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).right).hom
M : Type u_10
N : Type u_11
Zero M
Zero N
self : ZeroHom M N
⊢ self.toFun 0 = 0
X : SemilatInfCat
⊢ ↑((CategoryTheory.forget₂ SemilatInfCat PartOrd).obj X) = X.X
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α ⊕ Fin n → M
⊢ φ.toFormula.Realize v ↔ φ.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
x a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
hx : 0 < x
⊢ 0 < gammaPDFReal a r x
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U
⊢ ∀ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n
this : ↑(n - k) + 1 ≠ 0
⊢ (↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) = ↑(n.succ.choose k)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset α
e : α ↪ γ
f : γ → β
⊢ ∑ x ∈ Finset.map e s, f x = ∑ x ∈ s, f (e x)
R : Type u_1
K : Type u_3
S : Type u_2
CommRing R
Field K
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
IsDomain R
IsIntegrallyClosed R
IsDomain S
Algebra R K
Algebra K S
IsScalarTower R K S
IsFractionRing R K
⊢ minpolyDiv R x = minpolyDiv K x
R' : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_5
Ring R'
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
f g : AddMonoidAlgebra R' A
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (f - g) ≤ AddMonoidAlgebra.supDegree D f ⊔ AddMonoidAlgebra.supDegree D g
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
⊢ i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ Ico 0 a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ ≤ c • eLpNorm' g p.toReal μ
m n✝ n : ℕ
⊢ ↑(-1) = n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} = 0
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
⊢ ↑1 = 1
R : Type u
CommRing R
q : R[X]
c : R
p : R[X]
⊢ c • p %ₘ q = c • (p %ₘ q)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
h : FirstOrder.Language.Structure.FG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f
⊢ FirstOrder.Language.Structure.FG L N
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C
p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) X
⊢ ((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).fst = (id p).fst
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
a₁ a₂ : A
b₁ b₂ : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.mul (a₁ ⊗ₜ[R] b₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] b₂) = (a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)
α : Type u_1
Fintype α
n : ℕ
⊢ Fintype.card (Mathlib.Vector α n) = Fintype.card α ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂μ = μ s
n k : Nat
hLtN : 0 < n
hLtK : 1 < k
⊢ n / k < n
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
μ : Type u_5
f : γ → δ → μ
g : α → γ
h : β → δ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.zipWith f (List.map g l₁) (List.map h l₂) = List.zipWith (fun a b => f (g a) (h b)) l₁ l₂
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a ≤ a⁺
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
⊢ Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ 0 < ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ↔ 0 < μ (support f ∩ s)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : 0 = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ ((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
α : Type u_1
s : Set α
h : s.Finite
⊢ s.encard = ↑h.toFinset.card
M : Type u_7
AddCommGroup M
A : Type u_8
CommRing A
Module A M
⊢ LinearMap.det = if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then LinearMap.detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : Module.Ray R M
⊢ x ≠ -x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
⊢ ∀ (x : E), ‖0 x‖ ≤ 0 * ‖x‖
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (p ^ k).factorization = Finsupp.single p k
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((comap (𝟙 R) U✝ ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝) ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
G : Type u_1
AddGroup G
s₁ s₂ : Set G
hs₁ : IsAddSubgroup s₁
hs₂ : IsAddSubgroup s₂
⊢ IsAddSubgroup (s₁ ∩ s₂)
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D
h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
⊢ ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ F₂).map f₁ = (functor r ⋙ F₂).map f₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.EnoughProjectives Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.EnoughInjectives C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
Infinite 𝕜
NormedAddCommGroup E
Nontrivial E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ NoncompactSpace E
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsIrreducible s ↔ ∀ (U : Finset (Set X)), (∀ u ∈ U, IsOpen u) → (∀ u ∈ U, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑U).Nonempty
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : IsOpen K
⊢ μ.innerContent { carrier := K, is_open' := h2K } = (fun s => ↑(μ.toFun s)) { carrier := K, isCompact' := h1K }
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
⊢ n < 2 * k * (n / k)
r : Type u
m : Type u → Type v
α β : Type w
f : (β → m r) → α → m r
x : ContT r m α
⊢ (ContT.withContT f x).run = x.run ∘ f
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
⊢ Sym2.map (⇑f) e ∈ G'.edgeSet ↔ e ∈ G.edgeSet
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Set β
⊢ Summable (f ∘ Subtype.val) ↔ Summable (s.indicator f)
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
⊢ (PrimeMultiset.ofPNatMultiset v h).toPNatMultiset = v
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)
⊢ IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
Fq F : Type
inst✝⁹ : Field Fq
inst✝⁸ : Field F
Fqt : Type u_1
inst✝⁷ : Field Fqt
inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt
inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt
inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝³ : Algebra Fqt F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
e : RatFunc Fq ≃ₐ[Fq[X]] Fqt := IsLocalization.algEquiv Fq[X]⁰ (RatFunc Fq) Fqt
⊢ FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F
p : Num
n : ℕ
⊢ p.shiftl n = p <<< n
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type w
s : Set ι
h : Basis (↑s) K V
hs : s.Finite
⊢ FiniteDimensional K V
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
⊢ pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd = s.snd
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : ∀ (i : β), f x ≤ f i
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ↑J
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
α : Type u_2
l : Set (Set α)
hunion : ∀ (S : Set (Set α)), S.Countable → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋃₀ S ∈ l
hmono : ∀ t ∈ l, ∀ s ⊆ t, s ∈ l
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.ofCountableUnion l hunion hmono ↔ l sᶜ
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (Monoid.PushoutI.base φ) h • w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
⊢ (fun a => a / b) a < (fun a => a / b) a'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
⊢ ContinuousWithinAt (dslope f a) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
s : ι → Set M
⊢ AddSubsemigroup.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, AddSubsemigroup.closure (s i)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
x : E
⊢ Metric.cthickening ε (Metric.ball x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
n : ℕ∞
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f x
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, V) n g x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, V) n (fun p => f p • g p) x
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ 1
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
x : α
hxs : x ∈ s
hxl : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ ∀ (X_1 : TopologicalSpace.OpenNhds (f x)),
  (TopologicalSpace.OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv.app X_1 =
    𝟙 ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).obj ((TopologicalSpace.OpenNhds.map f x).obj X_1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α
⊢ ratio f ≠ 0
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
⊢ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } ≤ Nat.card (M × M)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofColimitCocone ht).snd = ht.desc (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y))
α : Type u_2
β : Type u_1
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
L : List α
h' : ∀ (a : α), a ∈ L → p a
⊢ pmap f L h' = List.pmapImpl f L h'
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
h : μ.FiniteAtFilter g
⊢ μ.FiniteAtFilter (f ⊓ g)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(p - 1)! = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
⊢ g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ ↑v (j ∩ i) ≤ ↑w (j ∩ i)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
s : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.f₁ ≫ g.f₁) ≫ S₃.v₁₂ = S₁.v₁₂ ≫ f.f₂ ≫ g.f₂
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank R M = n.succ
⊢ Module.Finite R M
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ x + 1 ≤ rexp x
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
⊢ x ∈ s.toSubsemiring ↔ x ∈ s
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
c : R
⊢ 0 ≤ star c * a * c
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x ^ x_1) Ordinal.omega