ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ x : M
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) x
α : Type u
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
A : Matrix (Fin 0) n' α
v : n' → α
⊢ A.mulVec v = ![]
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → α
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⨅ i ∈ s, f i ≤ f i
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
⊢ Int.log b 1 = 0
a x✝ z x : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ≠ 0
⊢ (↑r * x).arg = x.arg
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r
⊢ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
C : Type w
CategoryTheory.Category.{v, w} C
X : Condensed C
⊢ (𝟙 X).val = 𝟙 X.val
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ μ.neg.InnerRegular ↔ μ.InnerRegular
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in φ i ∩ Iic b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, f x ∂μ
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β
⊢ unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝)) x✝ = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] 1, ↑x ∈ stolzSet M
R : Type u
CommRing R
X Y Z : Type v
Ring X
Ring Y
Ring Z
Bialgebra R X
Bialgebra R Y
Bialgebra R Z
e : X ≃ₐc[R] Y
f : Y ≃ₐc[R] Z
⊢ (e.trans f).toBialgebraCatIso = e.toBialgebraCatIso ≪≫ f.toBialgebraCatIso
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
hf2 : (expand R p) f = C (((expand R p) f).coeff 0)
⊢ IsUnit f
α β : LinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget LinOrd).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
γ : Type u_6
Preorder γ
f : α →o β
c : α
⊢ f.comp ((OrderHom.const γ) c) = (OrderHom.const γ) (f c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ edist (↑(nearestPt (fun k => Nat.rec y₀ (fun n n_ih => ↑(denseSeq (↑s) n)) k) n) (f x)) (f x) ≤ edist (↑(nearestPt (fun k => Nat.rec y₀ (fun n n_ih => ↑(denseSeq (↑s) n)) k) m) (f x)) (f x)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
f : R →+* S
⊢ ((MvPolynomial.map f) φ).IsHomogeneous n
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
⊢ Module.rank R M = 1
α : Type u_1
a b : Topology.WithUpperSet α
⊢ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet a = Topology.WithUpperSet.ofUpperSet b ↔ a = b
G : Type u
CommMagma G
IsLeftCancelMul G
⊢ IsCancelMul G
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ (flatten (Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) s.destruct)).destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
K : Type u_1
Field K
NeZero 2
a b c : K
ha : a ≠ 0
h : ∃ s, discrim a b c = s * s
⊢ ∃ x, a * x * x + b * x + c = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
m0 : MeasurableSpace Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h : IndepSets {s} {t} κ μ
u : Set Ω
hu : u ∈ {s}
⊢ MeasurableSet u
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
CompleteSpace E
e : E
s : Set X
s_meas : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X), s.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ s).toReal • e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Limits.cospan f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s : Finset α
⊢ ∅ + s = ∅
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => f ↑x
⊢ AlgebraicIndependent R fun x => ↑x
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : y ≤ 0
⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i
⊢ ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
r : R
rs : List R
f : M →ₗ[R] M₂
⊢ ↑(Submodule.quotOfListConsSMulTopEquivQuotSMulTopInner M₂ r rs) ∘ₗ
    (Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤).mapQ (Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤) f ⋯ =
  (Ideal.ofList rs • ⊤).mapQ (Ideal.ofList rs • ⊤) ((QuotSMulTop.map r) f) ⋯ ∘ₗ
    ↑(Submodule.quotOfListConsSMulTopEquivQuotSMulTopInner M r rs)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
Preorder β
s : Set α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
H : f ≤ g
⊢ f.restrict s ≤ g.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
s t : Set α
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : H
x✝ : x ∈ s
⊢ 0 ≤ ⟪x, 0⟫_ℝ
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
⊢ r < ↑b ^ (log b r + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ μ₁ μ₂ ν : Measure α
inst✝¹ : μ₁.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : μ₂.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ₁ + μ₂ = μ₁.singularPart ν + ν.withDensity (μ₁.rnDeriv ν) + ν.withDensity (μ₂.rnDeriv ν) + μ₂.singularPart ν
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioi a \ Set.Ici b = Set.Ioo a b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
c : P
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
h : ∀ p₁ ∈ Set.range t₂.points, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ l.lookupFinsupp a = x ↔ x ∈ AList.lookup a l
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → List β
g : α → β → List σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => (f a).bind (g a)
E : Type u_4
F : Type u_5
AddGroup E
AddGroup F
f : F →+ E
⊢ AddGroupSeminorm.comp 0 f = 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b
⊢ (c + b * d) / b = d ∧ (c + b * d) % b = c
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyOfFiniteType f ↔
  ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ↑U),
    RingHom.FiniteType (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
⊢ (i ∈ Set.range fun i => (yL i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xL i).birthday
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts.sup id = ⊥
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ ⊥ ∈ P.parts
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R s = sInf {p | s ⊆ ↑p}
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
⊢ IsAlgebraic K x → IsIntegral K x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ Associated (lcm (lcm m n) k) (lcm m (lcm n k))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
f : C(α, A)
a : α
⊢ (ContinuousMap.coeFnAlgHom R) f a = f a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ toSubmodule S * toSubmodule S ≤ toSubmodule S
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ P
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
n : ℤ
⊢ n ≠ 0 → 0 ^ n = 0
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, a ∈ f x
⊢ v.FineSubfamilyOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : β → β → Prop
h : Equivalence r
f : α → β
⊢ Equivalence (r on f)
m n k : Nat
⊢ (m * n).gcd (k * n) = m.gcd k * n
X : SemilatSupCat
⊢ ↑((CategoryTheory.forget₂ SemilatSupCat PartOrd).obj X) = X.X
R : Type v
CommRing R
A : Matrix (Fin 0) (Fin 0) R
⊢ A.det = 1
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ utf8Len l = utf8Len l + utf8Len r ↔ r = []
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : autoParam (∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f) _auto✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : (fun f => (app X).inv ≫ f ≫ (app Y).inv) ((app X).hom ≫ G.map f) = (fun f => (app X).inv ≫ f ≫ (app Y).inv) (F.map f ≫ (app Y).hom)
⊢ G.map f ≫ (fun X => (app X).inv) Y = (fun X => (app X).inv) X ≫ F.map f
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
⊢ dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))
b : ℕ
⊢ jacobiSym 1 b = 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
he : f x₀ ∈ e.source
⊢ SmoothWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) f s x₀ ↔
  SmoothWithinAt IM IB (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ SmoothWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (f x)).2) s x₀
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
x : α
⊢ x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ s.mongePoint -ᵥ Finset.centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points =
  (Finset.univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter)
    (Affine.Simplex.mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
this : mk ∘ dest = _root_.id
⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : b < 1
⊢ b * a < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
⊢ ∀ {X Y : ℰ} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj X).obj (A.op.obj X_1)),
  ((CategoryTheory.Presheaf.restrictedYoneda A).map f).app X_1 a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ a - b ≡ 0 [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂0 = 0 s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal
hF : ∀ i ∉ s, F i = 0
⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : M
hx : x ∈ p
⊢ x - y ∈ p ↔ y ∈ p
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
⊢ ∑ x ∈ univ.erase w, |v w x| < |v w w|
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
(i j : J) →
    (X : C) →
      (f : X ⟶ F.obj j) →
        (g : i ⟶ j) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f (F.map g)) G
(i : J) →
    (X : C) → (f : X ⟶ c.pt) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f (c.ι.app i)) G
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan G
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape J G
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimitsOfShape J G
H : CategoryTheory.IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
t_hij : i✝ ≠ j✝
c✝ : R
⊢ { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.toMatrix * { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.inv.toMatrix = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hc : Differentiable ℝ f
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.sin (f x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ Smooth I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) φ ↔ ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(𝕜, Fi i) fun x => φ x i
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ t.card * s.card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
l u : List α
v : List β
hlu : l.Perm u
huv : List.Forall₂ r u v
⊢ Relation.Comp (List.Forall₂ r) List.Perm l v
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s + t₁ ∩ t₂ ⊆ (s + t₁) ∩ (s + t₂)
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
⊢ Real.log e ≠ 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
x : M
⊢ (AdicCompletion.eval I M n) ((AdicCompletion.of I M) x) = (I ^ n • ⊤).mkQ x
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ⊓ a = a \ b
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f g : α →+o β
a : α
⊢ (f + g) a = f a + g a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
⊢ Real.sin (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
QuasiSober β
⊢ QuasiSober α
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
Algebra ℚ R
Algebra ℚ S
f : R →+* S
⊢ RingHom.equivRatAlgHom f = f.toRatAlgHom
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
rra : IsAddRightRegular a
rrb : IsAddRightRegular b
⊢ IsAddRightRegular (a + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Prod.map id id = id
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥ = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.toProd.comp Monoid.Coprod.inl = MonoidHom.inl M N
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ gcd p q ∣ q
s₁ s₂ : String
h₁ : ¬s₁ < s₂
h₂ : ¬s₂ < s₁
⊢ s₁ = s₂
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), w i • z i ∈ s
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableVAdd M β
hg : Measurable g
c : M
⊢ Measurable fun x => c +ᵥ g x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {R : α → α → Prop},
  (∀ (x : α), x ∈ l → R x x) →
    List.Pairwise R l → List.Pairwise (flip R) l → ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ l → R x y
x : Int
m : Nat
⊢ (x.bmod m).bmod m = x.bmod m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n) v‖ ≤
  (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
n : ℤ
⊢ χ₈ ↑n = χ₈ ↑(n % 8)
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ (toOpen R ⊤ ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ ⟨y, True.intro⟩) ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = toOpen R ⊤ ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ Red [(x1, !b1), (x2, b2)] L ↔ L = [(x1, !b1), (x2, b2)]