ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
r : S
r_non_zero_divisor : ∀ {x : S}, x * r = 0 → x = 0
hr : r ∈ I
p : Polynomial R
⊢ p ≠ 0 → Polynomial.eval₂ f r p = 0 → ∃ i, p.coeff i ≠ 0 ∧ p.coeff i ∈ Ideal.comap f I
ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ t.assocRight.take = t.take.take
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Ioc 0 1)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b
⊢ a / ↑n < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
FloorRing K
terminatedAt_n : (GenContFract.of v).TerminatedAt n
⊢ v = (GenContFract.of v).convs n
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
⊢ (mapAlg R S) p = map (algebraMap R S) p
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x < y
h₂ : y ≈ z
⊢ x < z
v : PrimeMultiset
h : ↑v.prod = (Multiset.map (Coe.coe ∘ Coe.coe) v).prod
this : Coe.coe ∘ Coe.coe = Coe.coe
⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ n ∈ S, s n = t})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ k ∈ T, s k = t}) hm' μ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
⊢ a ≤ b ↔ b ∈ upperBounds s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
⊢ Forall₂ R (take l₁.length l) l₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map j.toAddMonoidHom S = T
x : M
⊢ (f.addEquivOfAddEquiv k H) (f.toMap x) = k.toMap (j x)
α : Type u_1
x y : α
h : x ≠ y
⊢ Nontrivial α
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
F : Type u → Type u
q : QPF F
a : (P F).A
f : (P F).B a → (P F).W
⊢ mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦WType.mk a f⟧
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ n + 1 ∉ p.support → (p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) * if n = n + 1 - 1 then 1 else 0) = 0
X Y : BoolAlg
f : BoundedLatticeHom ↑X ↑Y
a : ↑X
⊢ (CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.map f) a = f a
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (Ordnode.node s l x r).toList = l.toList ++ x :: r.toList
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.HasLeftHomology ↔ S.unop.HasRightHomology
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
⊢ ⨅ i, comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, y ≤ x
⊢ sInf t ≤ sInf s
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i
⊢ ((a ++ b).extract i j).size = (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size
G : Type u_1
AddGroup G
H' H : AddSubgroup G
h : H' ≤ H
⊢ ∃ S, S + ↑H' = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥H' = Nat.card ↥H
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ιX : Type u_5
ιY : Type u_6
pX : ιX → Prop
pY : ιY → Prop
sx : ιX → Set X
sy : ιY → Set Y
p : X × Y
hx : (𝓝 p.1).HasBasis pX sx
hy : (𝓝 p.2).HasBasis pY sy
⊢ (𝓝 p).HasBasis (fun i => pX i.1 ∧ pY i.2) fun i => sx i.1 ×ˢ sy i.2
α : Type u_1
xs : List α
α✝ : Sort u_2
f : Nat → α → α✝ → α✝
i : α✝
s : Nat
⊢ foldrIdx f i xs s = foldrIdx (fun i => f (i + s)) i xs
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ den / g ≠ 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i : ι
w : c.Rel i (c.next i)
⊢ f.next i = (C₁.xNextIso w).hom ≫ f.f (c.next i) ≫ (C₂.xNextIso w).inv
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
⊢ Localization.mk (ra * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (ra * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i✝ '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)
i : (P F).B a i✝
left✝ : i ∈ univ
hi : f i✝ i = u
⊢ p i✝ u
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ l.any p = true ↔ ∃ x, x ∈ l ∧ p x = true
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
⊢ f.lintegral (c • μ) = c • f.lintegral μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V✝ : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV✝ : OrthogonalFamily 𝕜 G V✝
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
hV_sum : IsInternal fun i => V i
α : ι → Type u_6
v_family : (i : ι) → Basis (α i) 𝕜 ↥(V i)
hv_family : ∀ (i : ι), Orthonormal 𝕜 ⇑(v_family i)
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑(hV_sum.collectedBasis v_family)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α × β)
p : α × β
⊢ ContinuousWithinAt Prod.fst s p
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
x.NeBot
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∀ (c : β), b ≤ f c
⊢ b ≤ a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
⊢ ⨆ y, f (x * y) / f y = f x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hs : S.FG
⊢ (Subalgebra.map f S).FG
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.liftedCone D c t).pt =
  CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.conePoint D c t
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := -↑x, im := ↑y } * { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.L₂ = S.L₁.op
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
x y : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s (x + y) = MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x + MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s y
M : Type u_1
AddMonoid M
n : ℕ
a : M
hn : n ≠ 0
⊢ IsAddUnit (n • a) ↔ IsAddUnit a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt (CategoryTheory.ProjectiveResolution.ofComplex Z) (n + 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x y : WithLp p (α × β)
⊢ (x + y).1 = x.1 + y.1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ (∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ t, t.erase a = s) ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a ∈ 𝒜
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
⊢ (starRingEnd K) ↑r = ↑r
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → τ
p : ℕ
⊢ (MvPolynomial.rename f).comp (MvPolynomial.expand p) = (MvPolynomial.expand p).comp (MvPolynomial.rename f)
a b q m a' : ℤ
b' r : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b'
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a'
h₂ : r.blt b' = true
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a % b) r
R : Type u
CommSemiring R
LocalRing R
S : Type v
CommSemiring S
LocalRing S
f : R →+* S
⊢ IsLocalRingHom f ↔ (PrimeSpectrum.comap f) (LocalRing.closedPoint S) = LocalRing.closedPoint R
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ a = ⊥
x : ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Set.Icc (x - ε) (x + ε)
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t ∪ s \ t = s
α : Type u_1
l : Language α
L : List (List α)
h : ∀ y ∈ L, y ∈ l
⊢ L.join ∈ l∗
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
CompleteSpace γ
T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ pkg'.extend f ∘ pkg.map pkg' g = pkg.extend (f ∘ g)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
m : M
hm : (∃ a, a • v i = m) ∧ m ∈ span R (range fun x => v ↑x)
⊢ m ∈ ⊥
a✝ b✝ c d m✝ n✝ a b : ℤ
m n : ℕ
Ha : -[m+1] < 0
Hb : 0 < ↑n.succ
⊢ -[m+1].ediv ↑n.succ = -((↑m + 1 - 1) / ↑n.succ + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ B ↑x = B ↑y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ HasSum (fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) ⟪a, ↑f i⟫_𝕜
α : Type u_1
Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : Ordnode.delta * ls < rs
v : Ordnode.Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ls + rl.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (∀ (a : α), a ∈ l₁ → ¬a ∈ l₂) ↔ l₁.Disjoint l₂
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ ∀ (x : Invertible a) (b : α) (x_1 : Invertible (a * b)), (x.mulLeft b).symm x_1 = invertibleOfInvertibleMul a b
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra A B
Algebra B C
Algebra A C
IsScalarTower A B C
IsNoetherianRing A
hAC : ⊤.FG
hBC : ⊤.FG
hBCi : Function.Injective ⇑(algebraMap B C)
⊢ ⊤.FG
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Sort u_3
EquivLike F Y X
f : F
p : X → X → Prop
⊢ Pairwise (p on ⇑f) ↔ Pairwise p
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℤ → β
h : ∀ (n : ℤ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℤ
hab : a < b
⊢ r (f a) (f b)
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => f z ^ g z) x
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ dist f g < r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) < r
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
⊢ MvPowerSeries.X s = (MvPowerSeries.monomial R (Finsupp.single s 1)) 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Square C)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.opFunctor.map φ).τ₂ = φ.unop.τ₂.op
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) = ⊤ ↔ μ s = ⊤ ∨ μ t = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
ι : Type u_5
fi : Filter ι
Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : MeasureTheory.Memℒp f_lim p μ
h_tendsto : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f fi (𝓝 (MeasureTheory.Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
hμ : ¬μ = 0
⊢ cgf (X + Y) μ t = cgf X μ t + cgf Y μ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
self : SimplicialObject.Augmented.ExtraDegeneracy X
⊢ self.s 0 ≫ X.left.δ 1 = X.hom.app (Opposite.op [0]) ≫ self.s'
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔
  ∀ ⦃A : C⦄ (y : A ⟶ Y),
    ∃ A' π,
      ∃ (_ : CategoryTheory.Epi π), ∃ x, CategoryTheory.CategoryStruct.comp π y = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
self : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
⊢ r ≤ p.radius
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x
⊢ y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] s ↔ t ≤ᶠ[ae μ] s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Grothendieck.forget F).map f = f.base
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
⊢ W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv = (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ici a) = Finset.Ici ↑a
a b m✝ n p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0
⊢ (m.gcd 0).primeFactors.prod f * (m * 0).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * (primeFactors 0).prod f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
⊢ (p.bindOnSupport f).bindOnSupport g = p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯
x y : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → y.InfiniteNeg → (x * y).InfinitePos
ι : Type u_1
E : Type u_2
Fintype ι
SeminormedGroup E
Nonempty ι
a : E
⊢ ‖fun _i => a‖₊ = ‖a‖₊
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).lcm = lcm s₁.lcm s₂.lcm
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : v ∉ f.vars
⊢ x v = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ MeasureTheory.volume (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, MeasureTheory.volume (s i)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s
c : α
hac : a ≤ c
hc_nhds : Icc a c ∈ 𝓝[≥] a
hcs : Icc a c ⊆ s
⊢ Icc b a ∪ Icc a c ∈ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[≥] a ∧ Icc b a ∪ Icc a c ⊆ s
α✝¹ : Type u_1
G : Type u_2
α✝ : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α✝
f✝ g✝ : α✝ → G
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_4
E : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
hm : m ≤ m0
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ f =ᶠ[ae (μ.trim hm)] g
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : β → σ
g : α → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
⊢ Primrec fun a => f (g a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
⊢ n * N (b % n) ≤ b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : ContinuousAt f b
⊢ deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) b = f b
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
q : ℚ≥0
⊢ 0 < ↑q ↔ 0 < q
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Odd (a + (a + 1))
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D₁
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
h : Φ.IsLocalizedEquivalence
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
⊢ G.IsEquivalence
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ AddCommute a (n • a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ (logb (a / b) c)⁻¹ = (logb a c)⁻¹ - (logb b c)⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
a✝¹ : α
ha : ¬↑a✝¹ = 0
a✝ : α
hb : ¬↑a✝ = 0
⊢ untop' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = untop' 0 ↑a✝¹ * untop' 0 ↑a✝
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ k ↔ ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) → False
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
this : DecidableEq ι
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Memℒp (f i) p μ) → Memℒp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p μ) → (∀ i ∈ insert a s, Memℒp (f i) p μ) → Memℒp (fun a_3 => ∑ i ∈ insert a s, f i a_3) p μ
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
f : α →* β
s : Multiset α
⊢ f s.prod = (Multiset.map (⇑f) s).prod
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n m : ℕ
⊢ (m + 1) % 2 + m % 2 = 1
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)
⊢ y ∈ I
θ : Angle
⊢ (θ - ↑(π / 2)).sin = -θ.cos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ f.lintegral μ = g.lintegral μ