ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
b : M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ b :: l
comm : ∀ x ∈ b :: l, ∀ y ∈ b :: l, x * y = y * x
⊢ a * ((b :: l).erase a).prod = (b :: l).prod
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
⊢ False
B : Type u
Quiver B
a : B
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.of.obj a = id a
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(h.comp f) = ⇑h ∘ ⇑f
α : Type u
β : Type v
a : α
f : α → Computation β
⊢ (Computation.pure a).bind f = f a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
⊢ z = w
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.length = 0 → u = v
x k : Int
h : 0 < k
⊢ x < k * (x / k) + k
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
this : ∃ t, U ⊆ ⋃ i ∈ t, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
τ : Type u_1
AddCommGroup τ
TopologicalSpace τ
TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
s : Set α
⊢ IsInvariant ϕ.toFun s ↔ ∀ (t : τ), ϕ.toFun t '' s = s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
b : Γ
hr : ¬r = 0
⊢ ((of R).symm ((HahnSeries.single b) r • x)).coeff (b +ᵥ a) = r • ((of R).symm x).coeff a
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
R₁ : Type u_5
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
SMul R₁ R
IsScalarTower R₁ R R
SMul R₁ (s i)
IsScalarTower R₁ R (s i)
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R z (Function.update f i (r • f i)) = PiTensorProduct.tprodCoeff R (r • z) f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
self : CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.LimitCone F)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : IsBigOWith d atTop f fun x => x ^ (-a)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun x => ↑(∑ i ∈ range x, f i)) atTop (𝓝 ↑l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
z : β
⊢ LowerSemicontinuous fun _x => z
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ List.replicate n a ~ l ↔ List.replicate n a = l
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
⊢ (((((((compHom (mulHom A)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Injective ⇑(M.subtype ∘ₗ ↑M.rTensorOne)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_7
ι' : Type u_10
N : ι' → Type u_11
(i : ι') → AddCommMonoid (N i)
(i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→ₗ[R] N i
m : (i : ι) → (fun x => M) i
i : ι'
⊢ (AlternatingMap.pi f) m i = (f i) m
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
⊢ Function.Injective 𝓝ˢ
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
n : ℕ
⊢ toNatOrdinal (toOrdinal ↑n) = ↑n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ Continuous fun f => (L1.setToL1 hT) f
N k : ℕ
⊢ 2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt = (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0).card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c < b
⊢ Iio b ∪ Ioo c d = Iio (max b d)
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
Module.Finite K L
Algebra.IsSeparable K L
b : Basis ι K L
⊢ Algebra.discr K ⇑b ≠ 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
⊢ f (s.piecewise m m'') = f ((insert i s).piecewise m m')
R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
⊢ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span A X) = Submodule.span R X
ι : Type v
α : Option ι → Type w
(i : Option ι) → AddCommMonoid (α i)
f : (fun i => α i) none × Π₀ (i : ι), (fun i => α i) (some i)
i : Option ι
⊢ (DirectSum.addEquivProdDirectSum.symm f) i =
  match i with
  | none => f.1
  | some val => f.2 val
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory Profinite LightDiagram.toProfinite} (f : X ⟶ Y),
  lightDiagramToProfinite.map f = f
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
T2Space R
I : Ideal C(X, R)
⊢ IsOpen (ContinuousMap.setOfIdeal I)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ 1 - ∑ k ∈ range 2, ↑(Nat.choose 2 k) / (↑2 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1 / 6
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (∅ ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm (∅.lcm f) (s₂.lcm f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplex φ).X₂ = (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).rotate.obj₂
G : Type u_6
Group G
H : Type u_9
Group H
f : G → H
hf : ∀ (x y : G), f (x / y) = f x / f y
⊢ ⇑(MonoidHom.ofMapDiv f hf) = f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] f
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
⊢ (DilationEquiv.refl X).symm = DilationEquiv.refl X
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist x y ≤ ↑(2 ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (α → β)
t : Set α
⊢ s.seq t = ⋃ f ∈ s, f '' t
m n : ℤ
⊢ IsCoprime m n ↔ m.gcd n = 1
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a * ↑b⁻¹ = c
⊢ a = c * ↑b
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
s : Finset ι
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
h_ss : sᶜ ⊆ {a | (if a ∈ s then f a else g a) = g a}
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
f g : T₁ ⟶ T₂
h : f = g
X : T₂.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomEq h).hom.app X).f =
  (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom f).obj X).A).hom
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
_hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.SFinite (μ.withDensity f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ x
⊢ inversion x R x ∈ perpBisector x (inversion x R y) ↔ dist x y = dist y x ∧ x ≠ x
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ
⊢ ∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑x) * Pi.single i 1 x * (A.submatrix j.succAbove x.succAbove).det = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ vectorSpan k s = ⊤ → affineSpan k s = ⊤
m e : Nat
⊢ (if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 1 < a
⊢ a⁻¹ < 1
xl xr : Type u
xL : xl → SetTheory.PGame
i : xr
xR : xr → SetTheory.PGame
j : (xR i).RightMoves
⊢ ((xR i).moveRight j).Subsequent (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ σₙ R (cfcₙ f a) = f '' σₙ R a
M : Type u_1
Monoid M
u₁ u₂ : Mˣ
⊢ Commute ↑u₁ ↑u₂ ↔ Commute u₁ u₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
X : C
hc : ¬CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
hi : CategoryTheory.Limits.IsInitial X → False
⊢ ∃ Y v, (CategoryTheory.Limits.IsInitial Y → False) ∧ CategoryTheory.Mono v ∧ ¬CategoryTheory.IsIso v
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ⇑(ContinuousAlgHom.fst R A B) = Prod.fst
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.factorial ≤ n.factorial
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : M
⊢ (ι Q') m = ((changeFormAux Q' B) m) 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
h : ClusterPt x F
⊢ (𝓝 x ⊓ F).NeBot
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : CommSemiring A'
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R A'
inst✝³ : Algebra R B
p✝ q✝ : R[X]
x : A
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
inst✝ : Algebra S T
p q : S[X]
h₁ : p ∣ q
a : T
h₂ : (aeval a) p = 0
⊢ (aeval a) q = 0
a : Int
⊢ ↑a.natAbs = if 0 ≤ a then a else -a
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.outerMeasure ↑U'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
self : R.regular
⊢ ∃ Y f, (R = CategoryTheory.Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => f) ∧ CategoryTheory.EffectiveEpi f
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x₀ : M
g : ι → M → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀
i : ι
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (fun x => (f i) x • g i x) x₀
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ 0 ∉ spectrum R a ↔ IsUnit a
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ PiNat.firstDiff x y < PiNat.shortestPrefixDiff x s
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
hn : n₂ ≤ n₁
⊢ n₁ = n₂
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
⊢ M ⊨ L.nonemptyTheory ↔ Nonempty M
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ
⊢ P ↑↑(toLp f hf)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₀ : f = g
c : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsIso c.π
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a a₂ : α
hf : HasProd f a
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ a ≤ a₂
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ toBoolRing (a ⊓ b) = toBoolRing a * toBoolRing b
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h : α → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
CategoryTheory.Limits.HasProduct h
q : (a : α) → f a ⟶ g a
q' : (a : α) → g a ⟶ h a
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.map q ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.map q' = CategoryTheory.Limits.Pi.map fun a => q a ≫ q' a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
⊢ ⋂ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.selfAdjointSubmodule ↔ B.IsSelfAdjoint f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
x : R ⊗[R] M₂
⊢ Q₂.tensorLId x = (TensorProduct.lid R M₂) x
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ
⊢ (x * y * z).coeff b = (x * (y * z)).coeff b
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ < b₂
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ (ChainComplex.truncate.obj C).X i = C.X (i + 1)
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ
⊢ False
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hg : HasDerivWithinAt g g' Set.univ x
h : 0 < f x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) Set.univ x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
⊢ (mkMetric fun x => ⊤) = ⊤
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
x : α × β
⊢ addOrderOf x.1 ∣ addOrderOf x
P : TopCat → Prop
self : CompHausLike P
⊢ P self.toTop
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
a : α
⊢ a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑(ProbabilityTheory.cdf μ) x
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f₁ g
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f₂ g
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.IsImage e.source e.target
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.currying.functor.obj F).map f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map f.1).app X.2) ((F.obj Y.1).map f.2)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
hu : map f'e univ = s
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x