ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R →ₙ+* S × T
⊢ ((NonUnitalRingHom.fst S T).comp f).prod ((NonUnitalRingHom.snd S T).comp f) = f
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
z : ℤ
⊢ Additive.toMul (↑z • Additive.ofMul u) = u ^ z
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x : G × P
⊢ x ∈ Finset.SMulAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 • x.2 = a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
⊢ egauge 𝕜 s (c • x) = ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ ⊤.arrows c d
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ closedBall 0 1 = ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ H.mapConePostcompose.inv.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
M : Type u_1
AddZeroClass M
x : M
⊢ ↑(AddSubmonoid.topEquiv.symm x) = x
R : Type u_1
S : Type u_2
MonoidWithZero R
MonoidWithZero S
F : Type u_3
FunLike F R S
MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
IsReduced S
⊢ IsReduced R
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
finj : Function.Injective f
a : α
l : List α
⊢ List.map f (l.erase a) = (List.map f l).erase (f a)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ exp 𝕂 (x + y) = exp 𝕂 x * exp 𝕂 y
⊢ NonemptyFinLinOrd.dualEquiv.inverse = NonemptyFinLinOrd.dual
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hr : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S.HasRightHomology
F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ S.mapOpcyclesIso F = (hr.map F).opcyclesIso ≪≫ F.mapIso hr.opcyclesIso.symm
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2
⊢ n * (e1 + e2) = t1 + t2
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
hba : b ≤ a
hcb : c ≤ b
⊢ a \ b ⊔ b \ c = a \ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
huv : G.Adj u v
⊢ (⊤.induce {u, v}).Connected
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom t.ι = s.ι := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.ext i w).hom = CategoryTheory.Limits.Fork.mkHom i.hom w
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
⊢ Set.Finite f.HasEigenvalue
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
b : β
a : α
H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a
⊢ Acc r a
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearIndependent Rₛ (⇑f ∘ v)
α : Type u_1
Semiring α
a x y : α
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy (↑n * a) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ ¬x.isLeft = true ↔ x.isRight = true
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s t ⊆ (convexHull 𝕜) (s ∪ t)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
Preorder β
Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_2
l : Filter α
l.IsCountablyGenerated
h : Filter.cofinite ≤ l
⊢ l.kerᶜ.Countable
R : Type u
Semiring R
OrzechProperty R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
a : (ZMod m)ˣ
⊢ ((changeLevel hm) χ) ↑a = χ (↑a).cast
C : Type u_2
D : Type ?u.34421
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.34429, ?u.34421} D
X Y : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ T.arrows (g ≫ f)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s = cylinder s_1 S
⊢ ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ sᶜ = cylinder s_1 S
R : Type u
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).leadingCoeff = a
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k
⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k)! / (k ! * (n + k - k)!)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N p : Submodule R M
closed_under_smul : ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p
le : p ≤ s • N
⊢ s • N = p
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Stream'.WSeq α
t : Stream'.WSeq β
H : Stream'.WSeq.LiftRel R s t
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, b ∈ t ∧ R a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
val✝ : Fintype α
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x₀ ≤ f x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a a' : α
ha : a ≠ a'
b : M
⊢ Finsupp.erase a (f.update a' b) = (Finsupp.erase a f).update a' b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle x (x - y)).tan * ‖x‖ = ‖y‖
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ MulAction.orbit ↥H ↑b = MulAction.orbit ↥H ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a = b
⊢ a = b
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : Star.star x ∈ adjoin R s), p ⟨Star.star x, x_1⟩
x : ℝ*
⊢ x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ 0 < x⁻¹⁻¹ ↔ x.Infinitesimal ∧ 0 < x
α : Type u_1
Add α
x y : α
h : AddCommute x y
⊢ AddCommute (AddOpposite.op x) (AddOpposite.op y)
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
g : ℕ
hh : n = a.gcd n * g
⊢ 1 ≡ 0 [MOD a.gcd n]
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ (frontier s)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
w : ℕ
z : ℤ
x : BitVec w
⊢ (z • x).toFin = z • x.toFin
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (X ^ n - 1) = 0
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ (Polynomial.X ^ n).trailingDegree
P : ℕ → Prop
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, P n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
DivisionRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffAverage R f g n (f x) - birkhoffAverage R f g n x = (↑n)⁻¹ • (g (f^[n] x) - g x)
m : ℕ+
⊢ ↑m = 1 ↔ m = 1
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F : IntermediateField K L
⊢ Module.rank K ↥F.toSubalgebra = Module.rank K ↥F
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
⊢ (CliffordAlgebra.changeForm h) 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.map f (L ⊓ M) ≤ Sublattice.map f L ⊓ Sublattice.map f M
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
⊢ e ∉ I → ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ↔ ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ∨ e ∈ I
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ f + g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j : J
x : F.obj j
⊢ (colimitEquivQuot F) (colimit.ι F j x) = Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
x : M₁ (σ.symm (σ i))
⊢ (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x)
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ k.toMap (g x) = k.mk' (g ↑y * g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a'✝ : α
v : Vector α (n + 1)
a' : α
v' : Vector α n
h : v = a' ::ᵥ v'
⊢ a ∈ v.toList ↔ a = v.head ∨ a ∈ v.tail.toList
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f
⊢ lift.{v, u} #α ≤ lift.{u, v} #β
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
l : List ι
f : M → N → P
hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a + b) (c + d) = f a c + f b d
hf' : f 0 0 = 0
f₁ : ι → M
f₂ : ι → N
⊢ (List.map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) l).sum = f (List.map f₁ l).sum (List.map f₂ l).sum
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : x v ≠ 0
⊢ v ∈ f.vars
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R
⊢ ¬(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree = 0
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
x : A₁
⊢ (e₁.trans e₂) x = e₂ (e₁ x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
n : Nat
x y z : BitVec n
⊢ x + y + z = x + (y + z)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ x ∈ K.toLieSubmodule ↔ x ∈ K
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
a : α
l : List α
this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x
⊢ map f (l.erase a) = (map f l).erase (f a)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ (1 - Polynomial.X ^ 2) * Polynomial.Chebyshev.U R n =
  Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1) - Polynomial.Chebyshev.T R (n + 2)
R : Type u_3
CommSemiring R
X : Type u_4
m : X
⊢ FreeAlgebra.ι R m = Quot.mk (FreeAlgebra.Rel R X) (FreeAlgebra.Pre.of m)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f y -ᵥ f p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u a : αˣ
⊢ ↑a = 1 ↔ a = 1
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ SameRay R v (a • v)
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
⊢ ⋯.closureOperator = c
V : Type u_1
W : Type u_2
e : V ≃ W
G : SimpleGraph V
⊢ e.simpleGraph G = SimpleGraph.comap (⇑e.symm) G
M : Type u_1
Mul M
β : Sort u_4
c : Con M
f : M → β
h : ∀ (a b : M), c a b → f a = f b
x : M
⊢ Con.liftOn (↑x) f h = f x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π
⊢ ContinuousOn (sign ∘ f) s
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
x : S
⊢ (lift (algebraMap R S) h.root ⋯ h) x = x
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' x y + f.toMap ↑y = f.toMap x
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
⊢ ⨆ i, { carrier := s i, is_open' := ⋯ } = { carrier := ⋃ i, s i, is_open' := ⋯ }
z : ↥(selfAdjoint ℂ)
⊢ ↑(Complex.selfAdjointEquiv z) = ↑z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
f : M → E'
g : M → F'
hf : SmoothOn I 𝓘(𝕜, E') f s
hg : SmoothOn I 𝓘(𝕜, F') g s
⊢ SmoothOn I 𝓘(𝕜, E' × F') (fun x => (f x, g x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ a ∣ b ↔ a ∣ c
α : Type u
x : α
StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ
⊢ if Even n then ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ (a :: s.toList).Nodup
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f : M →+ N
⊢ AddSubmonoid.comap f (AddMonoidHom.mker g) = AddMonoidHom.mker (g.comp f)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
a b : M
h : a + b = 0
⊢ IsAddUnit b
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
⊢ IsReduced R
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ Integrable (fun a => (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖) μ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h₁ : IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
⊢ (∃ X, Associated (X ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S)) ∧ (∃ Y, Associated (Y ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)) ∧ ∃ Z, Associated (Z ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a - p) b = toIcoDiv hp a b + 1
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α β γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
F2 : Functor F
p2 : {α : Type u} → α → F α
s2 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
L1 : LawfulApplicative F
L2 : LawfulApplicative F
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
⊢ mk = mk
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ ↑(sInf S).toSubfield = ↑(sInf (toSubfield '' S))
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I
⊢ Proj J x i = x i
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
⊢ (comap C P).IsMaximal
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
h : 1 ∈ s
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s = ∅
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
fint : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a b : R
bi : K
N : ℕ
f g : R[X]
x✝¹ : DenomsClearable a b N f i
x✝ : DenomsClearable a b N g i
Df : R
bf : K
bfu : bf * i b = 1
Hf : i Df = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f)
Dg : R
bg : K
bgu : bg * i b = 1
Hg : i Dg = i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g)
⊢ i (Df + Dg) = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i (f + g))
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
t : Set β
ht : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
φ : α ↪o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ ⁻¹' t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding P Q).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.snd CategoryTheory.Limits.biprod.fst
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ b * star a * c = star (star c * star (b * star a))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0
⊢ (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Fintype ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
⊢ ∀ (a : ι₂ × ι₁ →₀ R),
  (b₁.linearMap b₂).repr.symm a =
    (Matrix.toLin b₁ b₂) ((Finsupp.total (ι₂ × ι₁) (Matrix ι₂ ι₁ R) R ⇑(Matrix.stdBasis R ι₂ ι₁)) a)
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
⊢ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support.card = 3
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ (a : α), f a ∈ t
ht : t.Finite
⊢ ∃ a b, a < b ∧ f a = f b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s t : HomogeneousIdeal 𝒜
h : s ≤ t
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝¹ : T2Space M
a b : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
heq : γ a = γ b
t : ℝ
⊢ γ (t + (a - b)) = γ t
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g h : ι → G
⊢ ⇑f ∘ (g * h⁻¹) = ⇑f ∘ g * (⇑f ∘ h)⁻¹
G : Type u_1
Group G
s : Set G
one_mem : 1 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s
⊢ IsSubgroup s
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
CharZero 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (x * NormedSpace.exp 𝕂 (t • x)) t
K : Type u_1
DivisionRing K
p : K[X]
⊢ (p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree = p.natDegree