ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = 0
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
y : M
⊢ SameRay R 0 y
s step : Nat
m n : Nat
h : m < n
⊢ (List.range' s n step).get? m = some (s + step * m)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval x) p = Polynomial.eval₂ (algebraMap R A) x p
x y : ℂ
⊢ Complex.sin x - Complex.sin y = 2 * Complex.sin ((x - y) / 2) * Complex.cos ((x + y) / 2)
u : ZFSet
⊢ u.Nonempty ↔ ∃ x, x ∈ u
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
x : A
⊢ 1 x = x
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
⊢ ∀ (i : I), Continuous fun a => if J i then a i else false
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔
  ∀ a' < a,
    ∀ b' < b,
      ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : CommMon_ C
⊢ ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.counitIso C).inv.app X).hom = 𝟙 X.X
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.comap I.incl I = ⊤
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
h1 : Set.MapsTo f s t
h2 : Continuous f
⊢ Continuous (Set.MapsTo.restrict f s t h1)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b) =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (CliffordAlgebra.contractLeft d) b
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
⊢ span {r} ∈ (Ideal R)⁰ ↔ r ∈ R⁰
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋂ i, ⋂ x ∈ s i, t x
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
⊢ IsClosed (s +ᵥ t)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
self : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι → M
i j : ι
⊢ v i = v j → i ≠ j → (↑self).toFun v = 0
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
t s : Set M
h : t ⊆ s
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) → LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
xs : List α
⊢ (x :: (xs ++ [y])).formPerm y = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Set.Icc 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x + c
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s n
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Lattice β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
p q : α × β
⊢ (Finset.uIcc p q).card = (Finset.uIcc p.1 q.1).card * (Finset.uIcc p.2 q.2).card
R : Type u
NonUnitalRing R
PartialOrder R
StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ ∃ s, x = star s * s
⊢ StarOrderedRing R
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ b, (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
s : Set β
a : α
⊢ s ∈ a • f ↔ (fun x => a • x) ⁻¹' s ∈ f
G : Type u_10
H : Type u_11
AddGroup G
SubtractionMonoid H
h : G ≃+ H
x : G
⊢ h (-x) = -h x
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
a : α
⊢ -{a} = {-a}
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), (∃ a_1, (a_1 <+ l ∧ a_1.length = n) ∧ a_1 ~ a) ↔ (∃ l_1, l_1 ~ a ∧ l_1 <+ l) ∧ a.length = n
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f i + g i) s).prod =
  (Multiset.map (fun p => (Multiset.map f p.1).prod * (Multiset.map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft j⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n m : ℕ
inst✝⁵ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R M
f : ℕ → A →ₗ[R] M
c : R
p : A[X]
⊢ ∑ n ∈ p.support, (f n) ((c • p).coeff n) = (RingHom.id R) c • p.sum fun x x_1 => (f x) x_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ
⊢ (trace A B) (P y α • b y * (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β)) = Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ AntitoneOn (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ MonotoneOn f s
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → b < c → a + b < a + c
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'
⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z)
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid M
f : α → M
a b : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : ∀ (x : α), x ≠ a ∧ x ≠ b → f x = 0
⊢ ∑ x : α, f x = f a + f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.trivial C).X = 𝟙_ C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preregular C
⊢ CategoryTheory.Sheaf.Subcanonical (CategoryTheory.regularTopology C)
x : ℝ
⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ↑↑x = Ioi x
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ
⊢ schnirelmannDensity A ≤ x ↔
  ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card / ↑n < x + ε
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}
hS : MeasurableSet S
⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
⊢ ChartedSpace.LiftProp Q id
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 < n
⊢ a ^ n ≤ b ^ n ↔ a ≤ b
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • φ₁.τ₃ = a • h.h₃ + (a • h.h₂) ≫ S₂.g + a • φ₂.τ₃
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ ⌈a⌉₊ ≤ ⌊a⌋₊ + 1
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)
xl xr : Type u
L R : List PGame
⊢ (HEq (fun j => -R[↑j.down]) fun i => -R[↑i.down]) ∧ HEq (fun i => -L[↑i.down]) fun j => -L[↑j.down]
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
H₁ : Continuous fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)
⊢ MapsTo (fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ) ((e₁.baseSet ×ˢ univ) ×ˢ e₂.baseSet ×ˢ univ)
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p : T[X]
a : S
⊢ a ∈ p.aroots S ↔ p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
⊢ (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) 1 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : ↑G'.verts
Fintype ↑(G'.coe.neighborSet v)
Fintype ↑(G'.neighborSet ↑v)
⊢ G'.coe.degree v = G'.degree ↑v
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R n - Polynomial.Chebyshev.T R (n - 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ∑ i_1 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i_1‖ ≤ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
⊢ F.toOplaxMonoidalFunctor.η = CategoryTheory.inv F.ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelZeroIsoTarget.inv = CategoryTheory.Limits.cokernel.π 0
X Y : Type u
AddCommMonoid X
AddCommMonoid Y
f : X →+ Y
x : X
⊢ (AddCommMonCat.ofHom f) x = f x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal = (μ {ω | -ε ≤ (-X) ω}).toReal
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n
⊢ ¬B.flip.IsOrtho (v i) (v i)
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : TopCat.Presheaf C (TopCat.of PUnit.{u_1 + 1})
⊢ F.IsSheaf ↔ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsTerminal (F.obj (Opposite.op ⊥)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
⊢ ∃ γ t, ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y
⊢ ratio e.symm * ratio e = 1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = (∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}).toReal
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ LinearIndependent ℤ (SumEval C ho')
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ Continuous ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
β : Type v
AddGroup β
f : α → β
H : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Lift.aux f L₁ = FreeAddGroup.Lift.aux f L₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : List I
a : I
hla : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: l)
⊢ eval C ⟨a :: l, hla⟩ = e C a * eval C ⟨l, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0
⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ (DFinsupp.mk s x) i = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ Filter.cofinite.coprod Filter.cofinite = Filter.cofinite
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.orthogonal W = ⊥
⊢ W = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ s.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y) (g : Opposite.unop X ⟶ X_1),
  (CategoryTheory.coyoneda.obj X).map f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f
d : ℤ
a : Solution₁ d
⊢ a.x ^ 2 = 1 + d * a.y ^ 2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
x✝ : Nonempty (IsColimit (pUnitCocone C))
h : IsColimit (pUnitCocone C)
colimitCocone : ColimitCocone (constPUnitFunctor C) := { cocone := pUnitCocone C, isColimit := h }
this : HasColimit (constPUnitFunctor C)
⊢ Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ s.toJordanDecomposition.toSignedMeasure = s
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
a : ℝ
h : HasSum f a
⊢ HasProd (Real.exp ∘ f) (Real.exp a)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ castNum <$> ofZNum' (ZNum.pos p) = (↑↑p).toNat'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
x : ℝ
hC' : x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
hx : 0 < x
⊢ ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖
G : Type u_1
AddGroup G
K : Set (AddSubgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
α : Type u_1
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.Kernel.Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
NormedAddCommGroup D
NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤
  ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
a : ℕ
IH : ∀ m < a, ∀ {b : ℕ} {flip : Bool} {ha0 : m > 0}, b % 2 = 1 → b > 1 → fastJacobiSymAux m b flip ha0 = if flip = true then -J(↑m | b) else J(↑m | b)
b : ℕ
flip : Bool
ha0 : a > 0
hb2 : b % 2 = 1
hb1 : b > 1
ha4 : ¬a % 4 = 0
ha2 : ¬a % 2 = 0
ha1 : ¬a = 1
hba : ¬b % a = 0
⊢ (if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = if flip = true then -J(↑a | b) else J(↑a | b)
α : Type u_1
β : Type u_7
p : α → β → Prop
x₀ x₁ : (a : α) × Subtype (p a)
⊢ x₀ = x₁ ↔ x₀.fst = x₁.fst ∧ x₀.snd.val = x₁.snd.val
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ List.mapIdx f (l ++ [e]) = List.mapIdx f l ++ [f l.length e]
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
f : U ⟶ U'
⊢ (X.fst ⊗ Y.fst) ◁ f ≫ (α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ f ▷ (X.fst ⊗ Y.fst)
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊂ s₂
⊢ ∃ x ∈ s₂, x ∉ s₁
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
i : ι
x : X
⊢ (f i) x ≤ 1
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset.Colex α
hst : s ≠ t
⊢ (symmDiff s.ofColex t.ofColex).Nonempty
x : ℂ
⊢ x ^ 2 = x ^ 2
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x : α
h : IsCompl ⊤ x
⊢ x = ⊥
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
Q : Type v
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
inj : Injective R (ULift.{v', v} M)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
g : X →ₗ[R] M
eX : ULift.{v', v} X ≃ₗ[R] X := ULift.moduleEquiv
⊢ Function.Injective ⇑(↑ULift.moduleEquiv.symm ∘ₗ f ∘ₗ ↑eX)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x - c)) MeasureTheory.volume (a + c) (b + c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ a ≤ d ⇨ c ∧ b ≤ d ⇨ c ↔ d ≤ a ⇨ c ∧ d ≤ b ⇨ c
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z : DirectLimit G f
ind : ι
x✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s✝ : Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i))
a : (i : ι) × G i
s : Multiset ((i : ι) × G i)
ih : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
i : ι
x : G i
j : ι
y : G j
hs : (of G f j) y = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ FreeAbelianGroup.of (⟨i, x⟩ ::ₘ s) = (fun x x_1 => x * x_1) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩) (FreeAbelianGroup.of s)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b = a ↔ a ∣ b
P : ℤ → Prop
m : ℤ
h0 : P m
h1 : ∀ (n : ℤ), m ≤ n → P n → P (n + 1)
n : ℤ
⊢ m ≤ n → P n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ≌ D
P : C
⊢ CategoryTheory.Projective (F.functor.obj P) ↔ CategoryTheory.Projective P
n : ℤ
x : ℝ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
w : f = g
i : ι
⊢ f.f i = g.f i
R : Type x
Ring R
a b : R
NoZeroDivisors R
h : Commute a b
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s - t = s - t
α : Type u_1
Preorder α
a x : α
h : x ∈ Set.Ioi a
⊢ x ∈ Set.Ici a
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 (n + 1) = Pell.xn a1 n + Pell.yn a1 n * a
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b : α
hab : a < a + b
d : α
hcd : c < c + d
⊢ a * (c + d) + (a + b) * c < a * c + (a + b) * (c + d)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
Module R M
Module R P
IsNoetherian R P
f : M →ₗ[R] P
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ IsNoetherian R M
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
⊢ SzemerediRegularity.star hP G ε hU V ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv^[2] Real.negMulLog x = -x⁻¹
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
⊢ ∃ x ∈ s, x ≠ z