ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ContinuousAt f t₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
α : Sort u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a ↔ q a
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ a, q a
⊢ HasDerivAt Complex.Gamma (-↑√Real.pi * (↑γ + 2 * Complex.log 2)) (1 / 2)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
p : α ⟹ repeat n Prop
f : β ⟹ Subtype_ p
⊢ id ⊚ f = f
R : Type u_1
Semiring R
r : R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) r).smeval x = r • x ^ n
α β : Type u
f g : FreeMagma (α → β)
x : FreeMagma α
⊢ (Seq.seq (f * g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) * Seq.seq g fun x_1 => x
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ Monotone (Filter.comap m)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(CantorScheme.inducedMap A).fst
n : ℕ
⊢ (CantorScheme.inducedMap A).snd x ∈ A (PiNat.res (↑x) n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
x : M
y : M'
hs : s ⊆ (chartAt H x).source
h2s : Set.MapsTo f s (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
  ContinuousOn f s ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) '' s)
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)
l : d * (w * w) < c * (z * z)
zw : d * (y * y) ≤ c * (x * x)
⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
⊢ (a \ limsup u f)ᶜ = (liminf (fun b => a \ u b) f)ᶜ
α : Type u
DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
t : M ⊗[R] (ι →₀ N)
i : ι
⊢ ((finsuppRight R M N ι) t) i = (lTensor M (Finsupp.lapply i)) t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ edist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f i) (f (i + 1))
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : α
⊢ Finsupp.lapply a ∘ₗ Finsupp.lsingle a = LinearMap.id
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j
⊢ ∀ ⦃s t : Set (α × α)⦄, s ⊆ t → (∀ x ∈ K, ∃ i, ball x t ⊆ U i) → ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x s ⊆ U i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.map f ⊤ = ⊤
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < -b ↔ b < -a
n : ℕ
NeZero n
⊢ 1 < Fin.last (n + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (Submonoid.comap f)
m n a b c d : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD -n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
α : Type u_1
Preorder α
o : Ordering
a b : α
h : o.Compares a b
⊢ o ≠ Ordering.gt ↔ a ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
hs : s ∉ 𝒜
h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜
h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial
ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card
h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ univ ∉ image (fun x => s ⊓ x) 𝒜
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Seq α
⊢ join ((f a, nil), Seq.map ret (Seq.map f s)) = (f a, Seq.map f s)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a : Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ (move Dir.left { head := a, left := L, right := R }).nth (↑(n + 1) + 1) = { head := a, left := L, right := R }.nth ↑(n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
P : α → Prop
DecidablePred P
l : List α
a : α
⊢ List.count a l =
  List.count a (List.filter (fun b => decide (P b)) l) + List.count a (List.filter (fun x => decide ¬P x) l)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable
⊢ ∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom = (adj1.leftAdjointUniq adj3).hom
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ (DedekindDomain.FiniteIntegralAdeles.Coe.ringHom R K) x v = ↑(x v)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
k : ℕ
⊢ M ^ k = (Polynomial.aeval M) (Polynomial.X ^ k %ₘ M.charpoly)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
h : IsIntegralCurve γ v
s : Set ℝ
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s
α : Type u
m : ℕ
ι : Type u_1
x : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.col ι (Matrix.vecCons x u) = Matrix.of (Matrix.vecCons (fun x_1 => x) (Matrix.col ι u))
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Submonoid G
x : ↥H
⊢ IsOfFinOrder ↑x ↔ IsOfFinOrder x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
Fintype ι
i : ι
a b : 𝕜
⊢ dist (EuclideanSpace.single i a) (EuclideanSpace.single i b) = dist a b
α : Type u
l : List (Computation α)
S : Stream'.WSeq (Computation α)
c : Computation α
⊢ c ∈ l → c.Terminates → (Computation.corec Computation.parallel.aux1 (l, S)).Terminates
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
n : ι
x : α
hx : f n x = g n x
⊢ sᶜ.indicator (g n) x = sᶜ.indicator (f n) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
⊢ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → f.SameCycle x y) → (Set.BijOn (⇑f⁻¹) s s ↔ Set.BijOn (⇑f) s s)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Injective ⇑((forget₂ C Ab).map S.f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
i : ι
s : Set ι
⊢ p i ∈ affineSpan k (p '' s) ↔ i ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h :
  ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e.functor.map (π a₁)) =
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e.functor.map (π a₂)) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (ε a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (ε a₂)
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁
    ((fun a => CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.unit.app (X a)) (e.inverse.map (ε a))) a₁) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂
    ((fun a => CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.unit.app (X a)) (e.inverse.map (ε a))) a₂)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
⊢ BoxIntegral.integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, BoxIntegral.integralSum f vol (πi J)
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = -t.sum
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ X.basicOpen (f ^ n) = X.basicOpen f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f (↑x.snd).1 * g (↑x.snd).2
⊢ Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
R : Type u
M : Type v
Zero R
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.inr 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℕ
⊢ f (a ^ Int.negSucc n) = f a ^ Int.negSucc n
z : ℍ
⊢ (ModularGroup.T • z).re = z.re + 1
α : Type u
Infinite α
⊢ #(Finset α) = #α
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, p x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) (MeasureTheory.indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (T s) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero Y ↔ f = 0
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
x : α
y : β x
⊢ y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : b = 0 → a = 0
⊢ a / b * b = a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
x : L
⊢ ((LieModule.toEnd R L M) x).maxGenEigenspace 0 = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
⊢ IsDedekindDomain Aₘ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.tilted 0 = (μ Set.univ)⁻¹ • μ
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
hf : ∀ (x : M), IsAddUnit (f x)
x : M
⊢ ↑((IsAddUnit.liftRight f hf) x) = f x
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i : D.J
⊢ D.openCover.map i = D.ι i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : (CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).unitIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.Equivalence.adjointifyη
              (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
                (fun F =>
                  (((CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).symm.trans
                            Fin.revOrderIso.equivalence).symm.funInvIdAssoc
                      F).symm)
                ⋯)
              (CategoryTheory.NatIso.ofComponents
                (fun F =>
                  ((CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).symm.trans
                          Fin.revOrderIso.equivalence).symm.invFunIdAssoc
                    F)
                ⋯)).inv.app
        (Opposite.unop X)).op
    (CategoryTheory.whiskerLeft (⋯.functor.comp (CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).functor)
        (((CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).inverse.comp ⋯.functor).comp
              (Opposite.unop X)).rightOpLeftOpIso.hom).op
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = μ (t ∩ s)
I : Type u
β : Type u_2
DecidableEq I
Zero β
i : I
x : β
i' : I
⊢ Pi.single i x i' = Pi.single i' x i
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ (ModuleCat.kernelIsoKer f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = (LinearMap.ker f).subtype
α : Type u
Semiring α
⊢ IsSemiringHom id
α : Type u_3
SemilatticeSup α
Nonempty α
p : α → Prop
h : ∃ᶠ (x : α) in Filter.atTop, p x
a : α
⊢ ∃ b ≥ a, p b
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
x a : α
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.term n x a = n • x + a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M
a : L
⊢ D (-a) = -D a
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousAdd G
U : OpenAddSubgroup G
⊢ IsClosed ↑U
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
⊢ f₁.lift g₁ ×ˢ f₂.lift g₂ = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a✝ : Multiset α
s✝ : Multiset (Multiset α)
h : s✝.sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ s✝, a.Nodup
⊢ (a✝ ::ₘ s✝).sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ a✝ ::ₘ s✝, a.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l✝ l' : List α
a : α
val✝ : Multiset α
l : List α
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
a✝ : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl } ∈ Set.univ
⊢ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl } ∈ toFinset '' {l | l.Nodup}
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ Continuous fun x => dist (f x.1) (f x.2)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Ici a)
⊢ Monotone f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
hIJ : ¬I ⊔ J = ⊤
⊢ False
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
v : V
h : v ∈ e
⊢ Sym2.Mem.other h ≠ v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι
this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) i = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := i.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) i.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv
⊢ OpenEmbedding ⇑(((Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ c • μ[f j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (c • f) i
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≤ y
⊢ star x ≤ star y
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ((of i).comp (φ i)).range ≤ (of i).range
⊢ StrictAntiOn AkraBazziRecurrence.smoothingFn (Set.Ioi 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L
this : (ad R L) (D x) = 0
⊢ D x = 0 x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
hy : y ∈ ⨆ β, rootSpace H β
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.posFittingComp R L M = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
⊢ CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.functor.obj P =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.obj P
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
s t : TopologicalSpace.Opens β
h : s ≤ t
⊢ (TopologicalSpace.Opens.comap f) s ≤ (TopologicalSpace.Opens.comap f) t
α β : Type u
(P : Prop) → Decidable P
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (SeqRight.seqRight s fun x => t) = if s = ∅ then ∅ else t
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g h : α → β
H : g =ᶠ[l] h
⊢ f =ᶠ[l] g ↔ f =ᶠ[l] h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.op.L₁'.Exact
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ
⊢ ⌈↑(b - 1)⌉ ≤ b
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
B : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M × Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R (Module.End R M) := (Module.Free.chooseBasis R M).end
g : ι → MvPolynomial ι' R := toMvPolynomial b' b id
H : (MvPolynomial.bind₁ g) (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k)) = (MvPolynomial.bind₁ g) 0
⊢ ↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b' B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
hs : 0 < s.card
⊢ (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).coeff (s.card - 1) = -∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α
⊢ (∀ (b : α), b ∈ List.pwFilter R l → R a b) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
⊢ ∀ (a : ↑(inducedMap A).fst), ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 a, dist ((inducedMap A).snd x) ((inducedMap A).snd a) < ε
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ s ⊆ ↑(StarAlgebra.adjoin R s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
h : f = g
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f ≫ (CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq h).hom = CategoryTheory.Limits.cokernel.π g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫ pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) = pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : IsClopen s
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsClopen (f ⁻¹' s)