ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ (c • μ) s = ⊤
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, ((-1) ^ ↑x.2 • X.δ x.2) ≫ ((-1) ^ ↑x.1 • X.δ x.1) = 0
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ a, s = {a}
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : 1 < a
⊢ b < c * a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊤ * b = ⊤
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
ProperSpace E
k : ℤ
⊢ ⇑f =O[Filter.cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ k
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
⊢ φ a * φ b ≤ φ (a * b)
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
n : ℕ
⊢ ∑ a ∈ Finset.range n, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)
f : ℝ → ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = y * f y
hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y
hf_one : f 1 = 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ∀ {y : ℝ}, 0 < y → (log ∘ f) (y + 1) = (log ∘ f) y + log y
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : M
⊢ IsLprojection X P ↔ IsLprojection X (1 - P)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (Int.negSucc m * Int.negSucc n) = (a ^ Int.negSucc m) ^ Int.negSucc n
α : Type u
n m : ℕ
s : Stream' α
⊢ (Stream'.drop m s).get n = s.get (n + m)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = C * B
⊢ C.det * B.det = B.det
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
n : σ
⊢ Multiset.count n (∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ Fintype.card K - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
DecidableEq β
H : (Finset.image f s).card = s.card
⊢ Set.InjOn f ↑s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι₂ : Sort u_6
f : ι → ι₂
hf : Function.Surjective f
g : ι₂ → Set α
⊢ ⋂ x, g (f x) = ⋂ y, g y
M : Type u_1
m₁ m₂ : AddCancelCommMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
⊢ m₁ = m₂
a b c : Int
hcab : c ∣ a - b
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, f i • g i = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Disjoint s (t \ s)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a✝ : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
a : α
⊢ (s ×ˢ t).sup f ≤ a ↔ (s.sup fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ≤ a
a b m n p : ℕ
⊢ a.factorizationLCMLeft b ≠ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Add M
Add N
Add P
S : AddSubsemigroup P
g : AddHom N P
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.comap g S) = AddSubsemigroup.comap (g.comp f) S
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
m : MeasureTheory.Measure α
μ : α → MeasureTheory.Measure β
f : β → ℝ≥0∞
hμ : Measurable μ
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂m.bind μ = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (x : β), f x ∂μ a ∂m
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
CommRing β
CommRing γ
Module R α
Module R β
Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (((Matrix.kroneckerMapBilinear f) A) B).det =
  (A.map fun a => (f a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => (f 1) b).det ^ Fintype.card m
R : Type u_1
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0
t : R
⊢ (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton R M x h) t = ⟨t • x, ⋯⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
c : ℝ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ⊆ t \ u ↔ s ⊆ t ∧ Disjoint s u
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Ioc a₁ b₁ ⊆ Ioc a₂ b₂
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this : Nontrivial (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
x y : ℂ
⊢ Complex.sin x = Complex.sin y ↔ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑Real.pi + x ∨ y = (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi - x
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ 0 < b (AkraBazziRecurrence.min_bi b) / 2
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn f g Set.univ ↔ Antivary f g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s x₀
hg : SmoothWithinAt I' I g s x₀
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => f x - g x) s x₀
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
⊢ r z ≤ Complex.abs (↑c * ↑z + ↑d)
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (μ₁ + μ₂).toOuterMeasure = μ₁.toOuterMeasure + μ₂.toOuterMeasure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : n - k ≤ m
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s
x y : X
hys : y ∈ s
hxy : mk y = mk x
⊢ x ∈ s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
⊢ IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsRefl
h : LinearMap.ker B = ⊥
⊢ LinearMap.ker B.flip = ⊥
M : Type u_2
Mul M
S T : Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
⊢ J = ⊥ ∨ J = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
r : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ∈ ↑(basicOpen 𝒜 r) ↔ x ∈ (zeroLocus 𝒜 {r})ᶜ
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).inv =
  (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint (insert a s) t ↔ a ∉ t ∧ _root_.Disjoint s t
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
h : PowerBasis R S
⊢ (BilinForm.toMatrix h.basis) (Algebra.traceForm R S) = Matrix.of fun i j => (Algebra.trace R S) (h.gen ^ (↑i + ↑j))
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α → α
x : α
⊢ Fin.foldr n f x = List.foldr f x (Fin.list n)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ 1 - ↑p ^ (-s) ≠ 0
x y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ Surreal.Multiplication.P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
M : Type u_1
AddMonoid M
u : AddUnits M
x : M
⊢ AddSemiconjBy (↑u) x (↑u + x + ↑(-u))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h1 : ∀ i ∈ Set.Ioc m n, r i (Order.pred i)
h2 : ∀ i ∈ Set.Ioc n m, r (Order.pred i) i
hnm : n ≠ m
⊢ Relation.TransGen r n m
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → β
a : ι
⊢ ↑(Set.rangeFactorization f a) = f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) = i₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.ιTotal c₁₂ i₁' i₂ i₁₂ h'
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 K
⊢ (RingOfIntegers.norm K) ((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) x) = x ^ FiniteDimensional.finrank K L
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (L.age M).Nonempty
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f f' : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
x y : 𝕜
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this : (f + g - 0).LimZero
⊢ f.norm = g.norm
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
⊢ b < n + 1 + 1
m✝ n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
⊢ a.cast = cast 0 ↔ a = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
⊢ ∃ N K, ContractingWith K PicardLindelof.FunSpace.next^[N]
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (s.indicator fun x => c)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = ((((α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ (P.X ⊗ Q.X)) ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
h3 : |x| = x
h4 : |x| ≤ 1
h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
h'' : rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
t : rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
⊢ rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
⊢ Module.rank (↥(FixedPoints.subfield G F)) F ≤ ↑(Fintype.card G)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ n) Filter.atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
⊢ (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A))) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
⊢ ∀ (a : α), (if h' : f a ∈ range f then g (Classical.choose h') else 1) = g a
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
⊢ Dioph {v | Vector3.cons (f v) v ∈ S}
a : Int
b : Int
H : b ≠ 0
⊢ a / b * b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K
⊢ -a⁻¹ = (-a)⁻¹
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Continuous (f i)) → Continuous fun a => ∏ i ∈ s, f i a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : CategoryTheory.Functor D C
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v, u, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v, u, v₂, u₂} D
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
⊢ g.comp ↑e₁₂.symm = f ↔ g = f.comp ↑e₁₂
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
x✝ : E
⊢ ‖x✝‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑0) x✝‖ ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
MeasureTheory.SigmaFinite μb
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μa
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Zero α
Zero γ
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), f 0 b = 0
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f 0 B = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Set.preimage ⇑h.symm = Set.image ⇑h
x : UInt8
⊢ x.toNat < 2 ^ 8
G M : Type
Group G
CommGroup M
MulDistribMulAction G M
f : ↥(groupCohomology.twoCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
⊢ groupCohomology.IsMulTwoCoboundary (⇑Additive.toMul ∘ ↑↑f)
⊢ ∀ {w : Nat} {x : BitVec w} {b : Bool} {i : Nat}, (x.concat b).getLsb (i + 1) = x.getLsb i
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
⊢ IsOpen (closure U)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑Monoid.Coprod.inl ∪ Set.range ⇑Monoid.Coprod.inr) = ⊤
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h_meas : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h_ae_covers : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g +ᵥ x ∈ s
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 0 → MeasureTheory.AEDisjoint μ (g +ᵥ s) s
h_qmp : ∀ (g : G), MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g +ᵥ x) μ μ
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α
⊢ Tendsto (fun x => f (rexp x)) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : A →⋆ₙₐ[R] C
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.fst R B C).comp (f.prod g) = f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous (F i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : Kˣ
⊢ spanSingleton R⁰ ↑x * spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
⊢ (v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
h : {x | eval x p = eval x q}.Infinite
⊢ p = q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))
⊢ (fun a => ↑‖f_lim a‖₊ ^ p) a = (fun a => liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop) a
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ (∀ n ∈ S, ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ Algebra.adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
⊢ ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
x : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) x ≠ 1
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
n : ℕ
c : ℂ
⊢ (iteratedDeriv n fun s => Complex.exp (c * s)) = fun s => c ^ n * Complex.exp (c * s)