ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ ∀ (a : { V // V ≤ U }),
  ↑((AlgebraicGeometry.opensRestrict U).symm a) = ⇑U.ι.val.base ⁻¹' ↑↑((Equiv.subtypeEquivProp ⋯).symm a)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
K : Ideal S
f : F
⊢ RingHom.ker f ≤ Ideal.comap f K
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint (a ⊓ b) c ↔ Codisjoint a c ∧ Codisjoint b c
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a / b = a' / b
⊢ a = a'
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ (starRingEnd K) (r • z) = r • (starRingEnd K) z
R : Type u_1
S : Type u_4
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (LinearEquiv.extendScalarsOfSurjective h f).symm = LinearEquiv.extendScalarsOfSurjective h f.symm
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
hf : ∀ x ∈ f.support, p x
⊢ Finsupp.subtypeDomain p f = 0 ↔ f = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
H : ((expand R (p ^ n)) (X - C y)).roots = p ^ n • Multiset.map (⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm) (X - C y).roots
⊢ (X ^ p ^ n - C y).roots = p ^ n • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
ht : ν t ≠ 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔
  MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ ∧ MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s
c : α
hac : a ≤ c
hc_nhds : Icc a c ∈ 𝓝[≥] a
hcs : Icc a c ⊆ s
⊢ ∃ b c, a ∈ Icc b c ∧ Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Icc b c ⊆ s
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t = s ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
X Y : Grp
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget Grp).map f = ⇑f
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
i j : ι
⊢ (Homotopy.nullHomotopy' h).hom i j = dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0
η : Type u_1
α : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ
ι : Type
_inst : Fintype ι
l : Line { x // x ∈ S } ι
c : κ
hl : ∀ (x : { x // x ∈ S }), (fun v => C (∑ i : ι, ↑(v i))) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
s : Finset ι := Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
hs : s = Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
i : ι
⊢ { x // x ∈ S } → M
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n
⊢ ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGreatest s a
⊢ IsGreatest s b ↔ a = b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : CategoryTheory.Congruence r
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Quotient.CompClosure r f g ↔ r f g
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
⊢ ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
G : Type u
Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (Monoid.exponent G).factorization p
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
s : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ s.toSubfield ↔ x ∈ s
n : ℕ
this : ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i) = ∑ i ∈ n.divisors, (↑(μ i) * Real.log ↑i - ↑(μ i) * Real.log ↑n)
⊢ ↑(1 n) * Real.log ↑n = 0
M : Type u
AddZeroClass M
a : M
⊢ 0 + a = a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
⊢ n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ ((F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).inv.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).inv.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
r : R
⊢ (mapRingHom f) (C r) = C (f r)
X : Type u
TopologicalSpace X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, ⋂ i ∈ u, t i = ∅
⊢ CompactSpace X
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β
i : Cofix F α
⊢ corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: fun x => x) ∘ Sum.rec (fun val => (TypeVec.id ::: Sum.inl) <$$> val.dest) fun val => g val) (Sum.inl i) = i
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
x : τ → R
i : σ
⊢ MvPolynomial.comap f x i = (MvPolynomial.aeval x) (f (MvPolynomial.X i))
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R
⊢ {r} + spectrum R a = spectrum R ((algebraMap R A) r + a)
ι✝ : Type u'
ι'✝ : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => g ↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x
⊢ IsIntegral R ((norm K) x)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ gcd a a = normalize a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ s ∩ maximals r t ⊆ maximals r (s ∩ t)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : WithTop α → β
⊢ StrictAnti f ↔ (StrictAnti fun a => f ↑a) ∧ ∀ (x : α), f ⊤ < f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
N : Matroid α
hI : M.Basis I X
hNM : N.Restriction M
hX : X ⊆ N.E
⊢ N.Basis I X
V : Type u
Fintype V
⊢ ⊤.chromaticNumber = ↑(Fintype.card V)
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix'.symm = Matrix.toBilin'
ι : Type u_2
π : ι → Type u_5
(i : ι) → IntCast (π i)
n : ℤ
i : ι
⊢ ↑n i = ↑n
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.dropWhile p (List.dropWhile p l) = List.dropWhile p l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
x : α
⊢ x ∈ (↑f).core s ↔ x ∈ f ⁻¹' s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Bimod.regular A).actLeft = A.mul
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ t₁ ≤ t₂ → s ×ˢ t₁ ≤ s ×ˢ t₂
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a * a = ↑(Quaternion.normSq a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
s : Set Y
f g : Y → X
h : Set.EqOn f g s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Set.EqOn f g (closure s)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (t * s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
x✝ : α
ha : x✝ ∈ σ.support
⊢ (fun a x => π a) x✝ ha ∈ (π * σ * π⁻¹).support
α : Type u_1
l✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ (if b = a then 1 else 0) = if a = b then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
P : Set (α × β)
⊢ s ×ˢ t ⊆ P ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ P
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ span R (-s) ≤ -span R s
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddAbove s
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ (List.modifyNth f n l).get? n = f <$> l.get? n
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ CliffordAlgebra.map (QuadraticMap.Isometry.id Q₁) = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₁)
α : Type u_6
MeasurableSpace α
⊢ (MeasurableEquiv.refl α).symm = MeasurableEquiv.refl α
a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD 1]
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b ↔ Disjoint b a
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v
⊢ v ∈ p.support.tail
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Sort u
⊢ (Equiv.refl α).conj = Equiv.refl (α → α)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ ∑ a ∈ l.toFinset, count a l = l.length
α : Type u_1
LE α
MulOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a ≤ a * b ↔ 1 ≤ b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
R'_jacob : IsJacobson ↥R'
J : Ideal (↥R')[X] := map (mapRingHom i) I
h_surj : Function.Surjective ⇑(mapRingHom i)
this : J.IsPrime
⊢ ∀ (x : ↥R'), C x ∈ J → x = 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
a : α
s : Set α
Ha : IsGreatest s a
⊢ IsGreatest (f '' s) (f a)
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
hc : c ≠ 0
⊢ { a := 0, b := 0, c := c, d := d }.toPoly.natDegree = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
w : ℂ
⊢ (w ^ n • (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • w ^ n • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : (p * p.mirror).leadingCoeff = (q * q.mirror).leadingCoeff
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
a : α
⊢ frontier (Set.Iio a) = {a}
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true
⊢ List.rdropWhile p (l ++ [x]) = l ++ [x]
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
One B
a : A
b : B
⊢ Function.mulSupport (Pi.mulSingle a b) ⊆ {a}
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ ↑(comap f ⊤) = ↑⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ (a ∉ s → ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ ∀ z ∈ F.F.f b, z ∉ s) ↔ (∀ (b : F.σ), a ∈ F.F.f b → ∃ z, z ∈ F.F.f b ∩ s) → a ∈ s
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁ : s₁.length = 0
this : Fin.last s₂.length = 0
⊢ s₂.length = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a - b ≠ 0 ↔ a ≠ b
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ (fst F₁ F₂).app j ≫ f.app j = fst (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ f.app j
a b : ℕ+
⊢ Finset.Icc a b = Finset.subtype (fun n => 0 < n) (Finset.Icc ↑a ↑b)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Function.Injective ⇑(Polynomial.monomial n)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.lanCompIsoWhisker f g h).hom.right =
  CategoryTheory.Bicategory.lanDesc ((CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f g).whisker h)
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
t : Fin n → Fin (h.card ε)
ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(abv ((A ∘ ⇑e.symm) i₁ % b - (A ∘ ⇑e.symm) i₀ % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ Rel' f g (Sum.inl x₁) (Sum.inr x₂) ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
α : Type u
NonAssocRing α
a b : α
⊢ a * (1 - b) = a - a * b
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ s ⊼ ∅ = ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) x ∈ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J ⊔ I
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
⊢ (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b \ c = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R ≃+* S
K : Subring R
x : S
⊢ x ∈ Subring.map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ MulAction.period m a = 1 ↔ m • a = a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ∩ t) x
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (s.inf' hne f) l (𝓝 (s.inf' hne g))
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
v₁ v₂ : M
h : SameRay R v₁ v₂
⊢ ∃ u a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • u ∧ v₂ = b • u
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a : G
⊢ x * of' k G a /ᵒᶠ a = x
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
⊢ (p.smash q h).last = q.last
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ C
hμ : ¬μ = 0
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ ∏' (p : Nat.Primes), (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹ = riemannZeta s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H1 : UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α)
H2 : UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
⊢ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Subsingleton (R ⧸ I) ↔ I = ⊤
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ ∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s t : Finset α
hf : StrictMono f
⊢ { ofColex := Finset.image f s } ≤ { ofColex := Finset.image f t } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]
g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x
hdg : Differentiable ℂ g
hs : (g ⁻¹' s).Countable
h_maps : MapsTo g R A
hc : ContinuousOn (f ∘ g) R
hd : ∀ z ∈ Ioo (min a b) (max a b) ×ℂ Ioo (min 0 (2 * π)) (max 0 (2 * π)) \ g ⁻¹' s, DifferentiableAt ℂ (f ∘ g) z
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source)) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
⊢ x = y
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
⊢ volume = map (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume