ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (TypeVec.id ::: (Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
hdivn : D ∣ N.natAbs
⊢ False
k : ℕ
n2 : 2 < 2 ^ (k + 1 + 1)
⊢ 4 ∣ 2 ^ (k + 1 + 1) ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 2 ^ (k + 1 + 1) ∧ Odd p
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
d : ↥R⁰
r : R
hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x
⊢ absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : ¬T.IsSatisfiable
con : Formula.not φ ∈ T
⊢ False
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
xx : M
yy : M'
hxx : xx ∈ p ⊔ p'
hyy : yy ∈ q₁ ⊔ q₁'
⊢ (xx, yy) ∈ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑x * ↑((S.leftInvEquiv hS).symm x) = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ zariskiTopology = TopologicalSpace.induced (⇑(comap f)) zariskiTopology
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : (Multiset.map leadingCoeff 0).prod ≠ 0
⊢ (prod 0).leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff 0).prod
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0
h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0
htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
h0_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ 0
h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p
h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ)
⊢ 1 ≤ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
⊢ F.Initial ↔ ∀ (d : D), CategoryTheory.IsCofiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
x : S
p : R[X]
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x (p ^ n) = Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x p ^ n
x y : ℂ
⊢ cos x - cos y = 0 ↔ -2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2) = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ι m
i j : ι
s : Set Ω
DecidablePred fun x => x ∈ s
hij : i ≤ j
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 (s.piecewise (fun x => i) fun x => j)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d
⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < f d * ∏ x ∈ s.erase d, f x
a : ℤ
⊢ jacobiSym a 1 = 1
R : Type u
Ring R
s : Set R
t : Subring R
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ Subring.closure s
⊢ Subring.closure s = t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u_1
AddCommGroup α
⊢ AddDissociated ∅
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop l ↔ ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, f b ∈ s
x✝ y x : ℝ
this : 0 < π
⊢ π / 4 ∈ Ioc (-(π / 2)) (π / 2)
x : ℝ
⊢ (log ↑x).re = Real.log x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
a : α
⊢ a ∈ range f → a ∈ (type r).brange (bfamilyOfFamily' r f)
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ Real.log (abs z) ≤ ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
j : Fin (b.blocksFun i)
⊢ ((a.blocks.splitWrtComposition b).get ⟨↑⟨↑i, ⋯⟩, ⋯⟩).get ⟨↑j, ⋯⟩ = a.blocks.get ⟨↑((Fin.natAddOrderEmb (b.sizeUpTo ↑i)).toEmbedding j), ⋯⟩
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (({ app := fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ } ≫ { app := fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ }).app P).f = ((𝟙 ((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G)).app P).f
a : SignType
⊢ a ≤ 0 ↔ a ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.MapsTo f s Set.univ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c
⊢ (ofIsLimitKernelFork S hf c hc).f' = 0
α : Type u_1
Fintype α
IsEmpty α
⊢ Finset.univ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
hb : b ∈ f.fix a
ha' : Sum.inr a' ∈ f a
⊢ b ∈ f.fix a'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) s x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s \ t₁ = s \ t₂ ↔ s ∩ t₁ = s ∩ t₂
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
h : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 0
⊢ ∑ x : α, f x = f a
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
rRpos : 0 < r / R
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R
g : ℕ → E := fun n => c • f n
A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r
x : E
left✝ : x ∈ closedBall 0 r
φ : ℕ → ℕ
φmono : StrictMono φ
φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)
B : CauchySeq (g ∘ φ)
⊢ False
c : Char
⊢ (0 + c).byteIdx = c.utf8Size
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)
α : Type u
DecidableEq α
p : Prop
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeAddGroup.reduce L₁ = L₂ ++ (x, b) :: (x, !b) :: L₃ → p
r : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ r ≤ p.toNNReal ↔ ↑r ≤ p
R : Type u
Ring R
n : ℤ
f : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (↑n * f) = ↑n * Polynomial.derivative f
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U V : TopologicalSpace.Opens α
⊢ ↑U = ↑V ↔ U = V
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Continuous (f i)
⊢ Continuous (s.inf' hne f)
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
i : ι
inst✝⁴ : K.HasHomology i
inst✝³ : L.HasHomology i
inst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
⊢ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₂ c i).map ((F.mapHomologicalComplex c).map φ)) ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₁ c i).map φ)
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ ↑(Fintype.card ↑(Set.Ioc a b)) = b - a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).IsTrail ↔ p.IsTrail ∧ s(u, v) ∉ p.edges
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
hpq : (p * q).Monic
⊢ p.Monic
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0
claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty
claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty
⊢ ∀ (T : fsu), ι T ⊆ C1 → (⋂₀ ι T).Nonempty
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* R
m : PerfectionMap p π
f : Ring.Perfection R p
⊢ π (m.equiv.symm f) = (Perfection.coeff R p 0) f
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : IntermediateField F E
⊢ (S ⊓ T).toSubfield = S.toSubfield ⊓ T.toSubfield
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
⊢ CategoryTheory.HasExt C ↔
  ∀ (X Y : C) (n : ℤ),
    Small.{w, w'}
      ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶
        (CategoryTheory.shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
⊢ IsUnit p.leadingCoeff
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p x y : α
h : Prime p
i : ℕ
hxy : p ^ (i + 1) ∣ x * y
⊢ ¬p ∣ y → p ^ (i + 1) ∣ x
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin (List.ofFn f).length
⊢ (List.ofFn f).get i = f (Fin.cast ⋯ i)
R : Type u
CommRing R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ0 R).Δ = -27
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ
this : (fun x => (f x, g x)) = Prod.map f g ∘ fun x => (x, x)
⊢ (range fun x => (f x, g x)) ⊆ range f ×ˢ range g
α : Type u_1
Mul α
StarMul α
s t : Set α
⊢ star (s * t) = star t * star s
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedSemiring β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
⊢ s.EquitableOn f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
h : f.HasBasis p s
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), sSup (u '' s i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, u a
α : Type u
l : List α
i : Fin l.length
⊢ l.get i = (l.get? ↑i).get ⋯
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M₂ →ₗ[R] R
x : M
c : M₂
⊢ ((LinearMap.smulRightₗ f) x) c = f c • x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p
⊢ ComputablePred fun a => ¬p a
k : Type u_1
V1 : Type u_2
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AddCommGroup V2
Module k V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = ⇑f - fun x => f 0
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W
⊢ ∑ x_1 ∈ r.support, r x_1 • (ρV x_1) x ⊗ₜ[k] y = ∑ a ∈ r.support, (r a • (ρV a) x) ⊗ₜ[k] y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype ↑s
inst✝¹ : Fintype ↑t
inst✝ : Fintype ↑(s ∆ t)
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (s ∆ t).toFinset ↔ a✝ ∈ s.toFinset ∆ t.toFinset
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ (constantCoeff σ R) f ^ s.card = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₁ i
hg₂ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g₂ i
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ * g₂) s
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
x : E
⊢ ‖↑E x‖₊ = ‖x‖₊
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ c • x ≠ 0 ↔ c ≠ 0
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
a : G
b : α
n : ℕ
⊢ n • a +ᵥ b = b ↔ Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b ∣ n
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
⊢ Function.Injective OrderMonoidHom.toOrderHom
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ ⌈a⌉ + ⌈b⌉ ≤ ⌈a + b⌉ + 1
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ IsClosed {∞}
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b = EuclideanDomain.gcd (b % a) a
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ IsLocalization ?M ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.support = f.support.erase f.natDegree
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.count a (s - t) = Multiset.count a s - Multiset.count a t
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
q₁ q₂ : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
⊢ q₁ ∈ Turing.TM2.stmts₁ q₂ → Turing.TM2.stmts₁ q₁ ⊆ Turing.TM2.stmts₁ q₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (x : α) in s, (f * g) x ∂μ
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ Function.const β a ≤ 0
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
⊢ Disjoint a (b ⊔ c) ↔ Disjoint a b ∧ Disjoint a c
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Presentation R S
x : S
⊢ P.quotientEquiv.symm x = (Ideal.Quotient.mk P.ker) (P.σ x)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝² : TopologicalSpace X
Z B : C
π : Z ⟶ B
inst✝¹ : HasPullback π π
inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G
a : C(↑(G.obj Z), X)
ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.snd π π))
x y : ↑(G.obj Z)
hxy : (G.map π) x = (G.map π) y
xy : ↑(G.obj (pullback π π)) := (PreservesPullback.iso G π π).inv ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype (G.map π) (G.map π)).inv ⟨(x, y), hxy⟩)
ha' : a ((G.map (pullback.fst π π)) xy) = a ((G.map (pullback.snd π π)) xy)
h₁ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.fst π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.fst (G.map π) (G.map π)) y
⊢ a x = a y
C : Type u
X Y X✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ 𝟙 X✝ ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C
f : (coyoneda.obj X).obj Y
⊢ ((colimitCocone X).ι.app Y ≫ (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s) f = s.ι.app Y f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ (s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ s, x ∈ t
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
⊢ ∑ c : Weight K L M, (finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑c) • (Weight.toLinear K L M c).smulRight (Weight.toLinear K L M c)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.tan (x - ↑n * Real.pi) = Real.tan x
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card = G.degree s
S : SSet
S.Quasicategory
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h0 : 0 < i
hn : i < Fin.last n
σ₀ : SSet.horn n i ⟶ S
⊢ ∃ σ, σ₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (SSet.hornInclusion n i) σ
α : Type u_1
s t : Set α
DecidableEq α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(symmDiff s t)
⊢ (symmDiff s t).toFinset = symmDiff s.toFinset t.toFinset
n : ℕ
⊢ ↑n.succ = (↑n).succ
n m : ℕ
⊢ m ∈ Finset.range n ↔ m < n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
x : α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac x).MutuallySingular μ
G : Type u_3
Group G
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
s : Multiset α
⊢ s ∈ Multiset.powersetCardAux n l ↔ s ≤ ↑l ∧ Multiset.card s = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ f' (Option.map g' a) b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (bif b then 1 else 0) / 2 = 0
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ A ≤ ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
h : x ⤳ y
hs : IsClosed s
hx : x ∈ s
⊢ y ∈ s
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing F
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
⊢ iterate f a n = [] ↔ n = 0
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
b : α
hb : b ∈ (u, v).2
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0
⊢ norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map₂ f p ⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoCospan F).inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ ↑(⨆ i, f i).compl = ↑(⨆ i, (f i).compl)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
d : Transversal φ
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)
a₁✝ a₂✝ : H
h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(base φ)) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(base φ)) a₂✝
⊢ a₁✝ = a₂✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ X
⊢ α.hom = β.inv ↔ β.hom = α.inv
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[≤] a ↔ ∃ l ∈ Set.Iio a, Set.Ioc l a ⊆ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsInitial X) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑(ν.prod μ)
α : Type u_1
E : Type u_3
Norm E
f : α → E
l : Filter α
⊢ f =Θ[l] f
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + ↑1
⊢ False