ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : Augmented C
F : Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
⊢ (𝟭 C).map (G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ WidePullback.π (fun x => F.hom) 0) ≫ F.hom = (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ (𝟭 C).map G.right
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
⊢ ‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| ^ 2
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ (a ≠ b ↔ a < b) ↔ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.rotate.obj₂ = T.obj₃
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ ∀ x ∈ (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = ?m.16115
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x y : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ (pi Q) (x + y) - (pi Q) x - (pi Q) y = ∑ i : ι, ((Q i) (x i + y i) - (Q i) (x i) - (Q i) (y i))
z : ℂ
this✝ : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)
A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))
this : ContinuousOn (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) (Icc 0 (π / 2))
⊢ 𝓝 1 = 𝓝 (Complex.cos (2 * z * ↑0))
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
⊢ (closure s ∩ u).Nonempty → (closure s ∩ v).Nonempty → (closure s ∩ (u ∩ v)).Nonempty ↔ (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M
⊢ c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
x : α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn F f p {x} ↔ Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (uncurry y) (Ioo 0 1 ×ˢ univ)
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
⊢ m.dist n ≤ 1
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜₂ (E₂ x)
x₀ : B
x : Bundle.TotalSpace (F₁ →SL[σ] F₂) (Bundle.ContinuousLinearMap σ E₁ E₂)
⊢ ↑(trivializationAt (F₁ →SL[σ] F₂) (fun x => E₁ x →SL[σ] E₂ x) x₀) x =
  (x.proj, ContinuousLinearMap.inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ x₀ x.proj x₀ x.proj x.snd)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hG : G.IsTuranMaximal r
hH : H.CliqueFree (r + 1)
⊢ G ≤ H ↔ G = H
X : Type u_1
x : X
⊢ toFinsupp (of x) = single x 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y✝) (p.sum (0 + y✝))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
x✝ : α
⊢ (s.inf' H f) x✝ = s.inf' H (fun i => ⇑(f i)) x✝
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x y : F
n : ℕ
hx : x ≠ 0
⊢ (C x * (X - C y) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
R : Type u
CommRing R
x y : R
z : R
⊢ Ideal.span {x + y * z, y} = Ideal.span {x, y}
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
⊢ deriv f c = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
⊢ kernImage f sᶜ = (f '' s)ᶜ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ (dualProd R M) ((((⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.fst R M M + (⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.snd R M M).prod (LinearMap.fst R M M - LinearMap.snd R M M)).toFun x) = (prod Q (-Q)) x
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
f✝ : F.B a → F.M
hp : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f✝⟩
⊢ IsPath xs (f i)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
h : ∀ (b : β), ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ b
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
θ : ℂ
⊢ Complex.tan θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), ↑k * ↑Real.pi / 2 ≠ θ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ AntisymmRel r a b → AntisymmRel r b a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt cos (-(cexp (-x * I) - cexp (x * I)) * I * 2⁻¹) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
⊢ ThreeGPFree (↑u ×ˢ ↑v)
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
U V : Set α
⊢ Quotient.mk' '' U ∩ Quotient.mk' '' V = ∅ ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g +ᵥ x ∉ V
R : Type u
CommRing R
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom = (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
⊢ minimalPeriod g x.2 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ |b| ≤ max |a| |c|
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
self : Module.Injective R Q
X Y : Type v
AddCommGroup X
AddCommGroup Y
Module R X
Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
⊢ Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] Q), ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) ((CliffordAlgebra.toBaseChange A Q) x) = x
α : Type u_1
⊢ Finsupp.toMultiset 0 = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ+
ζ : Mˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity k M ↔ ↑ζ ^ ↑k = 1
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
Field 𝕜
CharZero 𝕜
CommRing R
Algebra 𝕜 R
UniformSpace R
TopologicalRing R
T2Space R
r : R
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 (r • DualNumber.eps) = 1 + r • DualNumber.eps
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
r s t : Set (α × α)
a b : α
⊢ (∃ z, (∃ z_1, (a, z_1) ∈ r ∧ (z_1, z) ∈ s) ∧ (z, b) ∈ t) ↔ ∃ z, (a, z) ∈ r ∧ ∃ z_1, (z, z_1) ∈ s ∧ (z_1, b) ∈ t
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m
⊢ (a • p).coeff m = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : Monotone u
⊢ IntervalIntegrable u μ a b
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : β → α
⊢ f ⁻¹' {a | p a} = {a | p (f a)}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
H : ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l
s : Set β
hs : s ∈ l
⊢ s ∈ map f k
K : Type u_7
L : Type u_8
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
x : L
⊢ LieAlgebra.IsRegular K x ↔ FiniteDimensional.finrank K ↥(LieSubalgebra.engel K x) = LieAlgebra.rank K L
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iic ↑y) = Iic y
n i : Nat
⊢ (2 ^ n - 1).testBit i = decide (i < n)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ o.oangle x x = 0
C : Type (u + 1)
CategoryTheory.Category.{u_1, u + 1} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
D : Type (u + 1)
CategoryTheory.Category.{u_2, u + 1} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.HasForget₂ C D
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
⊢ (CategoryTheory.forget₂ C D).ReflectsIsomorphisms
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n
⊢ c • x ∈ K
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ IsClosed (⋂ i ∈ s, {x | ‖x i‖ ≤ 1})
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opEquiv C).functor = CategoryTheory.ShortComplex.opFunctor C
α : Type u_2
Neg α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ -s ↔ -a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
z : ℕ
x : α
hx : (abs ∘ g) x ≤ (abs ∘ f) x
⊢ |k x ^ z * g x| ≤ |k x ^ z * f x|
R : Type u
CommSemiring R
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ g.Separable
α : Type u_2
M : Type u_4
CommMonoid M
DecidableEq α
f : α → M
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l → f a * (List.map f (l.erase a)).prod = (List.map f l).prod
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.57581, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.57588, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.57595, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.57647, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α✝ α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ℱ.obj X
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : G.obj Y_1 ⟶ unop Y), ℱ'.val.map f_1.op ((ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x) = ℱ'.val.map f_1.op (((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E)
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
⊢ ↑a - 1 ≤ ↑(b.castPred ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ 0 ↔ x = 0
S : SheafOfTypes typesGrothendieckTopology
⊢ ({ val := (equivYoneda S.val ⋯).inv } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).hom }).val = (𝟙 (yoneda'.obj (S.val.obj (op PUnit.{?u.18004 + 1})))).val
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) = Module.rank R ((M × M') ⧸ ker (LinearMap.fst R M M'))
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ (ContinuousAlgHom.fst R A B).prod (ContinuousAlgHom.snd R A B) = ContinuousAlgHom.id R (A × B)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β → E
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μb
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving f hf) (MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg) = MeasureTheory.Memℒp.toLp (g ∘ f) ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Center C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Center.forget C).map f = f.f
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Submodule.LinearDisjoint 1 N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D} (τ : X ⟶ Y) (H : CategoryTheory.Functor D E) (c : C),
  (((CategoryTheory.whiskeringLeft C D E).map τ).app H).app c = H.map (τ.app c)
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
i j : α
h : j + 1 = i
⊢ (ComplexShape.down α).Rel i j
K : Type u_4
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
Semifield K
AddCommMonoid V
Module K V
AddCommMonoid V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
h : a ≠ 0
⊢ LinearMap.range (a • f) = LinearMap.range f
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.addLeft a) = fun x => a + x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
l : Filter ι
s : ι → Set α
hl : Filter.Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)
A : Class
⊢ (∀ (x : ZFSet), A x) → A = Class.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf' : DenseRange f
hf : Continuous f
hs : Dense s
t : Set Y
ht : Set.MapsTo f s t
⊢ Dense t
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < p.degree
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b = sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'}
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' h₁) *
    ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' h₂) =
  ClassGroup.mk (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal' ⋯)
p : ℕ
w : 1 < p
⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
V : Type u
x y : SimpleGraph V
v w : V
⊢ (x ⊔ y).Adj v w ↔ x.Adj v w ∨ y.Adj v w
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ (((leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂)).2 = (((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ X).ρ g) (x₁, x₂)).2
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ a / b * b = a
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑h.toEquiv = ⇑h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 f univ p.1) p.2) (univ ×ˢ univ)
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
⊢ ⨅ i, ⨅ i_1, Filter.comap ((fun a => (a.1 i_1, a.2 i_1)) ∘ fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
L.IsLocalization W
L'.IsLocalization W
X : C
f : CategoryTheory.StructuredArrow (L.obj X) L
⊢ (CategoryTheory.Localization.structuredArrowEquiv W L L') f =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk ((CategoryTheory.Localization.homEquiv W L L') f.hom)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ n * x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
I : Finset ι
hI_ss : I ⊆ s
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset ι
hI_ss_J : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ s
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
a b : α
hb : 0 ≤ b
h : a * a ≤ b * b
⊢ a ≤ b
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
⊢ comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 α) ⊓ comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β) = comap (Prod.fst ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α) ⊓ comap (Prod.snd ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β)
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
M N : ModuleCat R
φ : M ⟶ N
⊢ (ModuleCat.restrictScalars f).map φ ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf N).hom =
  (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf M).hom ≫ φ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
⊢ ∃ a, CauSeq.const abs a < f
x y : ℝ
f : Cauchy abs
⊢ (Real.inv' { cauchy := f }).cauchy = { cauchy := f }.cauchy⁻¹
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) r ∈ 1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
N : AddSubgroup G
⊢ IsOpenMap QuotientAddGroup.mk
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
N : s.Normal
g a : α
⊢ a ∈ g • ↑s ↔ a ∈ op g • ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ writtenInExtChartAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') x f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ o.bmex f < (succ #(Quotient.out o).α).ord
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousNeg G
⊢ Embedding AddUnits.val
G : Type u_1
Group G
⊢ ⊤.index = 1
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y - x‖))
α : Type u_1
a b : α
LE α
o : Option α
⊢ a ∈ o → (o ≤ ↑b ↔ a ≤ b)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ P.flip.flip = P
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ -b ≤ -a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b✝ : α
h : ∀ i ∈ s, Commute b✝ (f i)
b : α
hb : b ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
⊢ Commute b✝ b
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N
s : Submonoid N
⊢ MonoidHom.mrange (lift f) ≤ s ↔ ∀ (i : ι), MonoidHom.mrange (f i) ≤ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
self : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
⊢ ↑m ≤ n → Continuous fun x => p x m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
a : α
⊢ (fun f => ⇑f) (single a 0) = (fun f => ⇑f) 0
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
D✝ : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D✝
J : Type w
C : J → Type u
D : J → Type u'
inst✝¹ : (j : J) → Category.{v, u} (C j)
inst✝ : (j : J) → Category.{v', u'} (D j)
W : (j : J) → MorphismProperty (C j)
F : (j : J) → C j ⥤ D j
hF : ∀ (j : J), (W j).IsInvertedBy (F j)
X✝ Y✝ : (j : J) → C j
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : MorphismProperty.pi W f
⊢ IsIso ((Functor.pi F).map f)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hij : j ⊆ i
hi₂ : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ v.restrict i
⊢ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j ≤ v.restrict j
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε