ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsLinearMap R fun z => -z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ X ◁ f ≫ (β_ X Z).hom = (β_ X Y).hom ≫ f ▷ X
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (n % card G) = a ^ n
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
⊢ False
α : Type u
l : List α
⊢ (List.map Prod.fst l.enum).Nodup
α : Type u_1
CommMonoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
u : αˣ
⊢ multiplicity a ↑u = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2
⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (S : { S // J₁.IsClosed S }),
  ↑((CategoryTheory.Functor.closedSieves J₁).map f S) = CategoryTheory.Sieve.pullback f.unop ↑S
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.finInsepDegree F ↥⊥ = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : F), IsIntegral F ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇔ b = c ⇔ b ↔ a = c
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ x : R, ψ b * ψ x = ∑ a : R, ψ a
h₂ : ∑ a : R, ψ a = Finset.univ.sum ⇑ψ
⊢ ∑ a : R, ψ a = 0
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (F.obj ∘ f)
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (F.obj ∘ f) j ≫ F.biproductComparison' f =
  F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
h : ↑p ∣ a - b
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
⊢ ↑p ∣ ∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.L₃ = S.L₀.op
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
⊢ ∀ (f g : κ →₀ N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] f)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] f k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] (f + g))) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (f + g) k
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hba : b ≤ a
hca : c ≤ a
⊢ a - b = a - c ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[≠] a ⊔ pure a = 𝓝 a
α : Type u_1
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ Finset.image₂ f (s ∩ t) (s ∪ t) ⊆ Finset.image₂ f s t
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ ⇑(MvPolynomial.eval₂Hom f g) = MvPolynomial.eval₂ f g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ IsZero X ↔ f = 0
m n k : ℕ
⊢ (m ||| n).testBit k = (m.testBit k || n.testBit k)
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (x * y) (x * z) ↔ IsRelPrime y z
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ ((((leftRegular G).ρ g ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }.ρ g) ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂)).2 = (((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ ((leftRegular G).ρ g ⊗ X.ρ g)) (x₁, x₂)).2
x y z : Bool
⊢ xor x y = xor x z ↔ y = z
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f g : K[X]
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
⊢ Polynomial.Splits i (f * g) ↔ Polynomial.Splits i f ∧ Polynomial.Splits i g
α : Type u_1
⊢ Topology.WithLower.ofLower.symm = Topology.WithLower.toLower
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
f : (i : ι) → α i → β i
⊢ (Set.range fun g i => f i (g i)) = Set.univ.pi fun i => Set.range (f i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α β : F ⟶ F'.val
he : ∀ (i : ι), α.app (op (B i)) = β.app (op (B i))
⊢ α = β
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
hK : K.IsRadical
⊢ (Ideal.comap f K).IsRadical
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Set ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ ↑f.support ⊆ s ↔ ∀ i ∉ s, f i = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
X : C
⊢ ∃ ι f g x, (∀ (i : ι), CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (f i)) ∧ Finite ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
self : f.HasCore S
⊢ S ≤ f.domain
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : Finite ↑↑H
x : G
hx : ∀ (n : G), n ∈ H ↔ x * n * x⁻¹ ∈ H
y✝ : G ⧸ H
y : G
hy : Quotient.mk'' y ∈ orbit ↥H ↑x
b : G
hb₁ : b ∈ H
hb₂✝ : (fun m => m • ↑x) ⟨b, hb₁⟩ = Quotient.mk'' y
hb₂ : x * ((b * x)⁻¹ * y) * x⁻¹ ∈ H
⊢ b⁻¹ * (x * (y⁻¹ * x)⁻¹ * x⁻¹) ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
f : C(β, γ)
n : ℕ
g : C(α, β)
⊢ (f ^ n).comp g = f.comp g ^ n
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
⊢ a :: l ~ l₁' ++ l₂'
a b : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Ico a b)
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl
⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) = (b + 2) ^ (l.length - 1) * succ 0
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ 0 < logb b x ↔ 1 < x
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
⊢ WfDvdMonoid (Associates α) → WfDvdMonoid α
b : Bool
n : ℕ
⊢ -[Nat.bit (!b) n+1].testBit 0 = b
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
⊢ ContinuousSMul M X
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
⊢ (g.comp f).toLinearMap = g.toLinearMap ∘ₗ f.toLinearMap
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K
hre : Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
him : Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
⊢ Memℒp f p μ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
f' : G →g G'
h : f = f'
⊢ SimpleGraph.Walk.map f p = (SimpleGraph.Walk.map f' p).copy ⋯ ⋯
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
⊢ M * N = N * M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
⊢ (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
S : Set (Sublattice α)
⊢ a ∈ ↑(sInf S) ↔ ∀ L ∈ S, a ∈ L
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
⊢ φ ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f (n + 1) = φ ↔ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0
this : max f.norm g.norm = g.norm
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Cubic.toPoly 0 = 0
n : ℕ
⊢ fib (n + 2) < fib (n + 2 + 1)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
hδ : 0 ≤ δ
x : α
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) f g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v = w ↔ ∀ (i : Set α), MeasurableSet i → ↑v i = ↑w i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : j + 1 = i
A : C
f g : (CochainComplex.mappingCone φ).X j ⟶ A
⊢ f = g ↔
  (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v i j ⋯ ≫ f = (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v i j ⋯ ≫ g ∧
    (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f j ≫ f = (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f j ≫ g
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
hζ' : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑⟨k, hk⟩
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ↑ξ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq α'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
s : Finset α
t : Finset β
f : α' → β → γ
g : α → α'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_left_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f (g a) b = g' (f' b a)
⊢ Finset.image₂ f (Finset.image g s) t = Finset.image g' (Finset.image₂ f' t s)
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
this : n ≤ l.length
⊢ n ≤ l.length
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
⊢ LSeriesSummable f s
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
x : ↑C
h' : (∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true) ∧ ¬False
⊢ ord I i < o
M : Type u_1
Semigroup M
z : M
⊢ z ∈ Set.center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
H : (𝓤 α).HasBasis p s
h : ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
i : γ
hi : p i
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, (u n, u N) ∈ s i
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
⊢ 0⁻¹ = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ LinearMap.toMatrix' (Matrix.toLin' M) = M
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
i : { x // x ∈ s }
⊢ ↑((OrthonormalBasis.span h s) i) = v' ↑i
q : ℍ
⊢ (exp ℝ q).re = exp ℝ q.re * Real.cos ‖q - ↑q.re‖
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 0).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | -x.2 + x.1 ∈ U i}
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ μ sᶜ = 0 ↔ μ s = 1
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a / b / (c / d) = a / c / (b / d)
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
⊢ a ∉ sᶜ ↔ a ∈ s
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α G
a : α
ha : a ≠ 0
S : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctorEquivalence C).functor =
  (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctor C).toFunctor
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
h : ∀ (t : Set γ), t.Finite → ∃ c, P c t
this : Nonempty γ
⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
Nontrivial n
⊢ Matrix.adjugate 0 = 0
G : Type u
inst✝ : Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
⊢ g ^ exponent ↥S = 1
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x z d : α
h : IsRelPrime (x * d) z
⊢ IsRelPrime x z
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T S : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
hS : S.IsSymmetric
⊢ (T + S).IsSymmetric
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X).right = X.right.obj (SimplexCategory.mk 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a ≤ b
⊢ [[a, b]] = Icc a b
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.toContinuousMapAlgHom p = p.toContinuousMap
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
⊢ A ∈ Matrix.symplecticGroup l R ↔ Aᵀ * Matrix.J l R * A = Matrix.J l R
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
⊢ G.left ≫ (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : Equiv.Perm α'
p : β' → Prop
DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
⊢ Equiv.symm (e.extendDomain f) = Equiv.Perm.extendDomain (Equiv.symm e) f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
⊢ IsPurelyInseparable F K
α : Type u_2
Monoid α
a : α
⊢ IsUnit a → IsUnit {a}
a b q q' : ℤ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a / -b) q
hq : -q = q'
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a / b) q'
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Div α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) / t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j / t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits T
A P : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject (CategoryTheory.Subobject.mk f) = CategoryTheory.Subobject.mk f.right
k m n : Nat
h : k ∣ m
⊢ k ∣ n ↔ k ∣ m + n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k hk) S.iCycles = k
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
p✝ : α✝ → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
α : Type u_4
p : α → Prop
inst✝¹ : Fintype { a // p a }
inst✝ : DecidableEq α
x y : { a // p a }
hy : (fun a => ↑a = ↑x) y
⊢ y = x
b n : ℕ
h₁ : b ^ 0 ≤ n
h₂ : n < b ^ (0 + 1)
⊢ log b n = 0
o : Ordinal.{u}
ho : ∀ a < o, Order.succ a < o
⊢ Ordinal.sup (Ordinal.typein fun x x_1 => x < x_1) = o
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b z : ℤ
⊢ (∃ z_1, ↑b - ↑a = ↑(z_1 * z)) ↔ ∃ z_1, b - a = z_1 • z
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0
⊢ p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
⊢ frontier (s ×ˢ univ) = frontier s ×ˢ univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
r : β
hx : (x, r).1 ∈ s
hr : f (x, r).1 ≤ (x, r).2
y : E
t : β
hy : (y, t).1 ∈ s
ht : f (y, t).1 ≤ (y, t).2
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • (x, r) + b • (y, t)).1 ≤ (a • (x, r) + b • (y, t)).2
M : Type u_1
Field M
IsAlgClosed M
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Algebra R M
NoZeroSMulDivisors R S
NoZeroSMulDivisors R M
Algebra.IsAlgebraic R S
⊢ IsAlgClosed.lift =
  let_fun this := ⋯;
  let_fun this_1 := ⋯;
  let f := IsAlgClosed.lift_aux (FractionRing R) (FractionRing S) M;
  (AlgHom.restrictScalars R f).comp (AlgHom.restrictScalars R (Algebra.ofId S (FractionRing S)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Over.star X).map f).left = CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
i : A ≅ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom X.arrow = f
⊢ CategoryTheory.Subobject.mk f = X
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
W.ContainsIdentities
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofHom W f).map L hL = L.map f
s : Set ℝ
⊢ MeasureTheory.volume s ≤ EMetric.diam s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
⊢ hf.order = ↑n ↔ ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ g x ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
hf : Inducing f
h : IsTopologicalBasis T
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ preimage f '' T ∧ a ∈ s ↔ s ∈ (preimage f ∘ fun t => t) '' {i | i ∈ T ∧ f a ∈ i}
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
hx : μ {x} = 0
⊢ ∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioc x y, f t ∂μ