ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset ι
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ map (fun i => f (g i)) s = map (⇑f) (map g s)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
inst✝ : MonoCoprod C
c : BinaryCofan A B
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit (BinaryCofan.mk c.inr c.inl)
⊢ Mono c.inr
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β
⊢ ⨆ x ∈ insert a s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank K V = 1 ↔ Submodule.span K {v} = ⊤
θ : Angle
⊢ θ.sign = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁ : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
S.HasLeftHomology
φ : S ⟶ S₁
S₁.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k hk) (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ) =
  S₁.liftCycles (CategoryTheory.CategoryStruct.comp k φ.τ₂) ⋯
R : Type u
⊢ Function.Injective (@CommRing.toRing R)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Subsingleton M
Subsingleton M₂
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_7
MulZeroOneClass α
x : α
⊢ (MonoidWithZeroHom.id α) x = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : C
⊢ CategoryTheory.Injective J ↔ CategoryTheory.Projective (Opposite.op J)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ici a = Iic (a / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
hl : (pure x).Subsingleton
⊢ (pure x).IsCountablyGenerated
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
⊢ Set.InvOn f g (Function.fixedPoints (f ∘ g)) (Function.fixedPoints (g ∘ f))
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
⊢ SecondCountableTopology α
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ (p * q).IsPrimitive
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(map (algebraMap ℤ K) i).roots.toFinset
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.reverse.join = (List.map List.reverse L).join.reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
⊢ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ ‖∫ (a : G), (L (f a)) (g (x₀ - a)) - (L (f a)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
α : Type u_1
f g h : Perm α
l : List (Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
a✝ h_mem : σ ∈ l
h_disjoint : σ.Disjoint σ
⊢ σ = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
⊢ ∑ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x + ∑ x ∈ s₁ ∩ s₂, f x = ∑ x ∈ s₁, f x + ∑ x ∈ s₂, f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ.leftShift a n' hn').rightShift a n hn').v p q hpq = ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : a.fst ≠ x.fst
⊢ ¬∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
ι : Type u_3
DecidableEq ι
⊢ ⇑Finsupp.orderIsoMultiset = ⇑Finsupp.toMultiset
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ^ y < ⊤ ↔ x < ⊤
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x₁ x₂ : Orientation R M ι
h : Fintype.card ι = finrank R M
e : Basis ι R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
orientation_neg_neg : ∀ (f : Basis ι R M), - -f.orientation = f.orientation
⊢ x₁ = x₂ ∨ x₁ = -x₂
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y Z : CategoryTheory.Arrow T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).right = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.right g.right
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
⊢ MulAction.orbitRel R ↥p = Setoid.comap Subtype.val (MulAction.orbitRel R M)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C × C × C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associatorNatIso C).inv.app X =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.1 X.2.1 X.2.2).inv
R✝ : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℕ
h : p ∣ b - a
hle : a ≤ b
⊢ ↑a = ↑b
α : Type u_1
l m r : List Char
f : α → Char → α
init : α
⊢ Substring.foldl f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldl f init m
α : Type u_1
⊢ Function.Injective Matroid.dual
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n
⊢ l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ X.δ i.succ = 𝟙 (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
self : DirectedSystem G f
i : ι
x : G i
h : i ≤ i
⊢ f i i h x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s (map f μa)
⊢ μa (f ⁻¹' s) = (map f μa) s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
⊢ (∃ i₁ i₂ i₃ j₂ j₃,
    i₁ ≠ i₂ ∧
      i₁ ≠ i₃ ∧
        i₂ ≠ i₃ ∧
          (∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃) ∧
            p i₁ = t.orthocenter ∧ j₂ ≠ j₃ ∧ t.points j₂ = p i₂ ∧ t.points j₃ = p i₃) ∨
  Set.range p = Set.range t.points
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (-(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁) ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃ ≫ (-(shiftFunctor C (-1)).map Y✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁)
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < Real.pi / 2
⊢ x < Real.tan x
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
⊢ Monotone fun n => Icc (-↑n) ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ 1 < s.card ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
⊢ (fun i => (fastGrowing 0)^[i] i) = fun n => 2 * n
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.uIcc a b)
⊢ Set.uIcc (f a) (f b) ⊆ f '' Set.uIcc a b
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
⊢ (List.eraseP p l).length + 1 = l.length
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
⊢ ∀ b ∈ Cardinal.lift.{max u v, v} '' {c | ∃ S, (∀ (a : β), ∃ b ∈ S, s a b) ∧ #↑S = c}, sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ b
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ⊔ b ⊔ b = a ⊔ b
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((Spec Γ(X, U)).presheaf.stalk y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.f₁₃ ≫ (evaluation₃.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁.op z₂.op
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : P.p.app j ≫ P.p.app j = P.p.app j
⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a b : A
⊢ nndist ↑a ↑b = nndist a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (a : Quotient (CategoryTheory.isIsomorphicSetoid C)),
  (CategoryTheory.ThinSkeleton.map F).obj a = Quotient.map F.obj ⋯ a
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p
n : ℕ
hn : n < p
hnz : n ≠ 0
⊢ succ 0 ≤ n
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hle : map f p ≤ P ^ n
hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)
Q : ℕ → Prop := fun m => ∀ (k : ℕ), map f p ≤ P ^ k → k ≤ m
this : Q n
⊢ Nat.find ⋯ = n
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
U V : TopologicalSpace.Opens ↑Y
e : U ≤ V
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f).map (CategoryTheory.homOfLE e) = CategoryTheory.homOfLE ⋯
C : Type u_1
A : CategoryTheory.ULiftHom C
⊢ CategoryTheory.ULiftHom.objUp A.objDown = A
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ x ∈ Metric.sphere y ε ↔ y ∈ Metric.sphere x ε
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.IsPath ↔ p.support.Nodup
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M✶.Indep I ↔ I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ PFun.res f Set.univ = ↑f
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
p : R → R → Prop
x y : R
hx : x ∈ NonUnitalSubsemiring.closure s
hy : y ∈ NonUnitalSubsemiring.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p x y
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : (fun s => ↑s j) s₀ = (fun s => ↑s j) s₁
k : J
⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
α : Type u_1
β : Type u_2
Semiring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β
⊢ PosSMulReflectLE α β ↔ PosSMulReflectLT α β
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid α
SMul 𝕜 α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 Set.univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 Set.univ ⇑f.symm
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
⊢ (comap f K).IsMaximal
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
⊢ integral μ f = ∫ (x : α), ↑f x ∂μ
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hI : I.IsPrimary
hJ : J.IsPrime
x : R
this : (Ideal.Quotient.mkₐ R I) x ≠ 0
e : ∀ {y : R}, y ∈ J ↔ x * y ∈ I
⊢ J = I.radical
M : Type u_4
AddCommMonoid M
x y z : M
hy : x + y = 0
hz : x + z = 0
⊢ y = z
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
k : ℕ
⊢ t ∈ Finset.shadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + k
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
⊢ ¬v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
⊢ (pmap f l h).get? n = Option.pmap f (l.get? n) ⋯
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
h : a ≡ b [PMOD p]
⊢ a - c ≡ b - c [PMOD p]
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt cos (-sin x) x
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
h : e.symm none = none
⊢ e none = none
α : Type v
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
DenselyOrdered α
⊢ Disjoint (Set.Ioo a₁ a₂) (Set.Ioo b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ m ^ (n + period m a) • a = m ^ n • a
M₀ : Type u_6
CommMonoidWithZero M₀
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M₀
⊢ (powMonoidWithZeroHom hn) a = a ^ n
M : Type u_1
Mul M
z : M
self : IsMulCentral z
a : M
⊢ z * a = a * z
α : Type u
β : Type v
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop
⊢ (∃ fab, p fab) ↔ ∃ fa fb, p fun t => Sum.rec fa fb t
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n n' : ℕ
⊢ coeff (Finsupp.single s' n') (X s ^ n) = if s = s' ∧ n = n' ∨ n = 0 ∧ n' = 0 then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
t : Set β
⊢ ∫ (b : β) in t, g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫ (b : β) in t, g b ∂η a
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
f g : (i : ι) → π i
(i : ι) → Decidable (i ∈ ∅)
⊢ ∅.piecewise f g = g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
this : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ MeasurableSet {p | LineDifferentiableAt 𝕜 f p.1 p.2}
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
i₀ : β
⊢ f i₀ = ⨆ i, ⨆ (_ : i = i₀), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∃ t, TopologicalSpace.IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
MulZeroClass β
ContinuousMul β
f g : α →C₀ β
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
⊢ a⁻¹ • b ∈ s ↔ b ∈ a • s
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
MulPosStrictMono α
h : 0 ≤ a * b
ha : a < 0
⊢ b ≤ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) ((ι R) m * x) 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0
n : ℕ
this : ((fun x => Complex.exp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) ∘ Complex.ofReal') =O[𝓝 0] ((fun x => x ^ n) ∘ Complex.ofReal')
⊢ (fun x => rexp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n
M : Type u_2
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
Monoid M
DistribMulAction M α
SMulCommClass M α α
IsScalarTower M α α
m : M
x : CentroidHom α
⊢ (m • x).toEnd = m • x.toEnd
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
f : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
⊢ ∏ i ∈ f.support, (f i).card = f.prod fun i => ↑(f i).card
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : P3 x₃ x₂ y₂ y₃
h₂ : P3 x₁ x₃ y₂ y₁
⊢ P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.MapsTo f s (f '' s)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
s : Set α
a ε : α
h : IsGLB s a
h₂ : a ∉ s
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ s, a < b ∧ b < a + ε
α : Type u_1
l : List α
a : α
p : α → Bool
h₁ : a ∈ l
h₂ : p a = true
⊢ l.any p = true
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.natDegree ≤ 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : Invertible 2
p : Fin 2 → P
⊢ centroid k {0, 1} p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M
⊢ M.mk x.dest = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT✝ : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
hT : ¬Dense ↑T.domain
y : ↥T†.domain
⊢ (if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = 0
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
s : Set (CategoryTheory.Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ (sInf s).IsNormal
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
⊢ 1 * M = M
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ Filter.liminf u f = sSup {a | ∀ᶠ (n : β) in f, a ≤ u n}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
⊢ f.nextCoeff = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
Zero V
SMul R V
x y : HahnModule Γ R V
h : ((HahnModule.of R).symm x).coeff = ((HahnModule.of R).symm y).coeff
⊢ x = y
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G
⊢ ∀ ⦃s₁ s₂ : Set G⦄ (hs₁ : IsOpen s₁) (hs₂ : IsOpen s₂), s₁ ⊆ s₂ → μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ } ≤ μ.innerContent { carrier := s₂, is_open' := hs₂ }
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ π.filter p ≤ π