ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
SemilatticeSup α
OrderBot α
F : J ⥤ α
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit F = Finset.univ.sup F.obj
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x z : Z
hz : z ∈ e.source
l : Filter Z
⊢ l ≤ 𝓝 z ↔ l ≤ comap proj (𝓝 (proj z)) ⊓ comap (Prod.snd ∘ ↑e) (𝓝 (↑e z).2)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S'
⊢ ((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) x = (AlgHom.id A S') x
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
x : ↑I × ↑I
hx : ↑x.2 = 1 / 2
⊢ ↑x.1 * 2 * ↑x.2 = ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
⊢ (mk ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).1 • m) ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).2 * t)).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
f : (n → R₂) →ₗ[R₂] n → R₂
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix' (B.compRight f) = LinearMap.BilinForm.toMatrix' B * LinearMap.toMatrix' f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : MvQPF.Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: MvQPF.Fix F α)), h (MvQPF.Fix.mk x) = g (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: h) x)
⊢ MvQPF.Fix.rec g = h
R : Type u_1
CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M₁
Module R M₂
Module R M
Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
h : IsTensorProduct f
f' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M'
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ (h.lift f') ((f x₁) x₂) = (f' x₁) x₂
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
⊢ p.eraseLast.last = p.toFun ⟨p.length.pred, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
R : Type u_1
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
h1 : IsSMulRegular (M ⧸ N) r
x : M
h2 : r • x ∈ N
⊢ x ∈ N
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Nontrivial M
⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1
⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1
⊢ False
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
⊢ #↑(Iio a ∪ {a}) + #↑(Ioi a) < 𝔠
R : Type u
Semiring R
x : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X).coeff n = if n = 1 then x else 0
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F
⊢ ((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
X : Type u_3
point : X
⊢ (Pointed.of point).X = X
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Set α
⊢ extentClosure (Function.swap r) s = intentClosure r s
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ legendreSym p (-2) = ZMod.χ₈' ↑p
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
⊢ ∀ (x y : V), (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) (x + y) = (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) x + (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) y
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (n : ℕ) → E n), dist x y < ε → y ∈ s
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M →[L] N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (φ.imp ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs → ψ.Realize v xs
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
a b : X
xab : x ∈ Icc a b
hab : Icc a b ∈ 𝓝 x
abU : Icc a b ⊆ U
ab : a ≤ b
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ s ⊆ f.source
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) ((Q c₁ c₂) ((0, 1) + (1, 0)) - (Q c₁ c₂) (0, 1) - (Q c₁ c₂) (1, 0)) = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : ι → Filter α
m : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
Nonempty ι
⊢ Filter.map m (iInf f) = ⨅ i, Filter.map m (f i)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup H
VAdd G α
VAdd G β
AddAction H α
VAdd H β
VAddCommClass G H β
VAddCommClass G H α
s : Set α
b : β
g : H
h : AddAction.Supports G s b
⊢ AddAction.Supports G (g +ᵥ s) (g +ᵥ b)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ disjointed f (n + 1) = f (n + 1) \ (partialSups f) n
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.equivBool CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right = false
r : ℝ
n : ℕ
⊢ r.toNNReal ≤ ↑n ↔ r ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hg : Measurable g
⊢ κ.comp (ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) = κ.comap g hg
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
⊢ π.biUnionIndex πi J ∈ π
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ μ₁ μ₂ ν : Measure α
inst✝¹ : μ₁.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : μ₂.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ (μ₁ + μ₂).singularPart ν = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ≤ ￢b
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
h : a ⊓ b ≤ c
hd : Codisjoint b c
⊢ a ≤ c
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
BiheytingAlgebra γ
f : BiheytingHom β γ
g : BiheytingHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : V
⊢ (adjMatrix α G)ᵀ i✝ j✝ = adjMatrix α G i✝ j✝
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
hto : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets ∧ IsOpen (t i) ∧ SymmetricRel (t i)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
Nonempty β
One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f y ≤ f x
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : i < findIdx p xs
⊢ p (xs.get ⟨i, h⟩) ≠ true
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
⊢ IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen)
R : Type u_1
M : Type u_2
x y : M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.Quotient.mk (x - y) = Submodule.Quotient.mk x - Submodule.Quotient.mk y
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
this : C.d i j ≫ C.d j k = 0
⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint g ↔ g.Disjoint f
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Multifork I
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : I.sections
i : I.L
⊢ c.ι i ((CategoryTheory.Limits.Multifork.IsLimit.sectionsEquiv hc) s) = s.val i
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
⊢ EqOn ((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) (Set.Ioi 0)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)
h : toMeasurable (comap f μ) s =ᶠ[ae (comap f μ)] s
⊢ f '' s =ᶠ[ae μ] f '' toMeasurable (comap f μ) s
R : Type u_2
StrictOrderedSemiring R
x : { x // 0 < x }
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))
F : Type u → Type u
q : QPF F
⊢ QPF.LiftpPreservation ↔ QPF.IsUniform
m k n : ℕ
⊢ (∃ y, n = k + m * y) ↔ ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeOrder 𝕆 α
a : αᵒᵈ
⊢ grade 𝕆 (OrderDual.ofDual a) = OrderDual.ofDual (grade 𝕆ᵒᵈ a)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.natDegree ≤ 0
⊢ p = Polynomial.C (p.coeff 0)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j : Fin 2
hij : 0 ≤ 1
hjk : 1 ≤ 1
⊢ map f 0 1 ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 1 hjk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ ↑(AlgHom.restrictScalars R f) = ↑f
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
X : ℕ → Ω → E
hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hmeas : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
hint : Integrable (X 0) ℙ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ) atTop (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ fixedPoints id ↔ x✝ ∈ Set.univ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
Module R α
Module R β
Module R γ
f : β →ₗ[R] γ
g : α →ₗ[R] β
⊢ f.mapMatrix ∘ₗ g.mapMatrix = (f ∘ₗ g).mapMatrix
R : Type u
Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
hpq : q.degree ≤ p.degree
⊢ q.degree + (p / q).degree = p.degree
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
⊢ IsCompact (univ.pi s)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H.IsComplement' K ↔ K.IsComplement' H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (y : β), (∀ (i : ι), y ∈ t i) → ∀ (i : ι), f x y ∈ image2 f s (t i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ (LieModule.traceForm R (↥H) L).Nondegenerate
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
x : β
g : α ⧸ MulAction.stabilizer α x
⊢ MulAction.ofQuotientStabilizer α x g ∈ MulAction.orbit α x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
g₁ g₂ : β → δ
hg : g₁ =ᵐ[μb] g₂
⊢ g₁ ∘ f =ᵐ[μa] g₂ ∘ f
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒵 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒴 𝒵
⊢ (F.comp G).toFunctor = F.comp G.toFunctor
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 = c0
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑I.symm ⁻¹' f.target ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
⊢ ⇑(c ⊓ d) = ⇑c ⊓ ⇑d
R : Type u
CommRing R
V W : FGModuleCat R
i : V ≅ W
f : CategoryTheory.End V
⊢ i.conj f = (FGModuleCat.isoToLinearEquiv i).conj f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
⊢ ContinuousOn ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
b : n
M : Matrix n n α
⊢ (stdBasisMatrix i j c * M) i b = c * M j b
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Group.closure s = Monoid.Closure (s ∪ Inv.inv ⁻¹' s)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝¹ : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
w : V
hw : (fun w => M.Adj w✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => M.Adj w✝ w) y → y = w
⊢ ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ 2 ^ (Fintype.card α + 1) * ((f' i).card + (s.biUnion f' ∩ (f' i)ᶜ).card) ≤ 2 ^ (Fintype.card α + 1) * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : f =o[l] g
hgk : IsBigOWith c l g k
hc : 0 < c
⊢ f =o[l] k
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ (M.updateColumn j (s • u)).det = s * (M.updateColumn j u).det
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).totalVariation = s.totalVariation
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
x : E
⊢ (⨆ i, p i) x = ⨆ i, (p i) x
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x y : R
h : x ^ p = y ^ p
⊢ x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
self : FloorDiv α β
a : α
⊢ 0 < a → GaloisConnection (fun x => a • x) fun x => x ⌊/⌋ a
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
h : IsEmpty ι
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
s : l₁ ⊆ l₂
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ a :: l₁ → x✝ ∈ a :: l₂
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
C D : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
f : (i j : ℕ) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (prevD i) f = f i (i - 1) ≫ D.d (i - 1) i
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
R : Type u
CommSemiring R
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ f.Separable
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
X : Type u_7
f : X → M
g : X →₀ R
⊢ ((Finsupp.lift M R X) f) g = g.sum fun x r => r • f x
f : ℝ → ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = y * f y
hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y
hf_one : f 1 = 1
⊢ EqOn f Gamma (Ioi 0)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn f (g ^ n) s