ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ((fun j k => if h : j = b then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : b = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset γ
f : γ → α
⊢ ∀ (a : γ) (s : Multiset γ), (∀ {t : Multiset β}, Rel r (map f s) t ↔ Rel (fun a b => r (f a) b) s t) → ∀ {t : Multiset β}, Rel r (map f (a ::ₘ s)) t ↔ Rel (fun a b => r (f a) b) (a ::ₘ s) t
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = f.natDegree + k
⊢ x ^ i ∈ 𝓟
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᵃ[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ ↑{ toAffineMap := f, cont := h } = { toFun := ⇑f, continuous_toFun := h }
x y : ℝ
a✝ : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) ((fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y)) = (x, y)
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
hsSupJ : sSup c = J
hs : J ∈ nonPrincipals R
⊢ False
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
⊢ a.pair b ∈ (x ∪ y).powerset.powerset
F : Type u_1
α : Type u_3
DivisionSemiring α
FunLike F ℚ≥0 α
RingHomClass F ℚ≥0 α
f : F
q : ℚ≥0
⊢ f q = ↑q
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
x : (i : δ) → π i
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : K
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G.Additive
H.Additive
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightDerived (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) n =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.NatTrans.rightDerived α n)
    (CategoryTheory.NatTrans.rightDerived β n)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
  ∀ (i : ℕ), |MeasureTheory.martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - MeasureTheory.martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
⊢ IsLocalizedModule S (↑e ∘ₗ f)
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ Finset.weightedVSubVSubWeights k i j i = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s
⊢ x ∈ s
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.val = a.valMinAbs + ↑(if a.val ≤ n / 2 then 0 else n)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.comap (↑e.symm) s = AffineSubspace.map (↑e) s
n : ℕ
⊢ n‼ ≤ n !
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x : α
h : (#α).ord = type r
⊢ (typein r x).card < #α
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
⊢ IsMax i
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r r₂ : ℝ
hr₂ : ¬y < ↑r₂
⊢ ↑r = ↑(r + -r₂) + ↑r₂
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
b : B.Nondegenerate
ψ φ : V →ₗ[K] V
⊢ B.IsAdjointPair B ψ φ ↔ ψ = B.leftAdjointOfNondegenerate b φ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LinearOrder β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
hs : s.Nonempty := ⋯
⊢ f (Function.argminOn f h s hs) ≤ f a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
e : J ≌ K
CategoryTheory.IsConnected J
⊢ CategoryTheory.IsConnected K
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.cdf μ)) Filter.atBot (𝓝 0)
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ x ◃ x ◃⁻¹ y = y
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f : (i : I) → (j : J) → p (i, j) = k → ((F.obj (X i)).obj (Y j) ⟶ A)
i : I
j : J
hij : p (i, j) = k
⊢ ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ mapBifunctorMapObjDesc f = f i j hij
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => ∫⁻ (μ : Measure α), μ s ∂b
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
⊢ Classical.choose h = e
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).tan = ‖y‖ / ‖x‖
α : Type u
R : Type v
Ring R
f : α → R
x : α
⊢ (FreeRing.lift f) (FreeRing.of x) = f x
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
⊢ f.range.FG
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 y, Disjoint U V
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
Subsingleton S
self : S × R
⊢ (RingEquiv.zeroRingProd R S).symm self = self.2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E) n (↑I) x
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α
⊢ x ∈ l₁ ∪ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∨ x ∈ l₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ
⊢ (x✝² + x✝¹) * (x✝² - x✝¹) * x✝ ^ 2 = (x✝² + x✝) * (x✝² - x✝) * x✝¹ ^ 2 - (x✝¹ + x✝) * (x✝¹ - x✝) * x✝² ^ 2
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a + 1⌋ = ⌊a⌋ + 1
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s.re
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ s ⊆ insert a (s.erase a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : mk f = ⊥
⊢ f = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : r ≺i r
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
ht : ∀ b ∈ t, ∃ a ∈ s, r a b
hs : ∀ a ∈ s, {b | b ∈ t ∧ r a b}.Subsingleton
⊢ t.card ≤ s.card
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
⊢ (extendIdealTo i f h y) (r - r') = 0
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (Ideal.comap f)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
W : C
⊢ Presieve.IsSheaf (coherentTopology C) (yoneda.obj W)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
⊢ ‖z1‖ = ‖z2‖
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
⊢ (∃ x, x ∈ a :: l ∧ p x) → p a ∨ ∃ x, x ∈ l ∧ p x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ inversion c R (inversion c R x) = x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y
⊢ Sbtw R y x ((AffineEquiv.pointReflection R x) y)
x y : ℝ
h : Irrational (x / y)
⊢ Irrational x ∨ Irrational y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A B : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
f g : A ⟶ B
w : f.f = g.f := by aesop_cat
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
a : α
hsl : {a} ∈ l
hs : {a}.Subsingleton
⊢ ∃ a, l = pure a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (n • α).f = n • α.f
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.Perm.decomposeOption.symm (none, e)) = Equiv.Perm.sign e
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
n : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R L (n + 1) = ⊤ ↔ LieAlgebra.derivedSeries R L 1 = ⊤
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 ∣ a → a ≠ 0 → IsPrimePow a_1 → a_1 ∣ b → b ≠ 0 → ¬IsPrimePow a_1
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Function.Surjective List.toFinset
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
⊢ sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
n : ℕ
⊢ (↑n)⁻¹ ≤ 1
m n : Num
⊢ ↑(m.ldiff n) = (↑m).ldiff ↑n
R : Type u_2
StrictOrderedRing R
Archimedean R
⊢ Filter.comap Int.cast Filter.atBot = Filter.atBot
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ dist a 0 = ‖a‖
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ : QuasiIsoAt φ i
hφφ' : QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i
⊢ QuasiIsoAt φ' i
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp0 : p ≠ 0
⊢ (normalize p).Monic
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.uIcc a 1 = Set.uIcc (Pi.mulSingle i a) 1
α : Type u_1
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
Zero M
Zero M'
AddCommMonoid N
f : M → M'
hf : f 0 = 0
g : α →₀ M
h : α → M' → N
h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 0
⊢ (Finsupp.mapRange f hf g).sum h = g.sum fun a b => h a (f b)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥f.domain
⊢ (↑x, ↑f x) ∈ f.graph
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : WittVector p k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (WittVector p k)
⊢ let b := WittVector.frobeniusRotation p hr' hq';
(IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (WittVector.frobeniusEquiv p k))
      ((algebraMap (WittVector p k) (FractionRing (WittVector p k))) b) *
    Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ =
  ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (WittVector p k) (FractionRing (WittVector p k))) b
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
a : S
x : M
⊢ (fun x => Q x) (a • x) = (a * a) • (fun x => Q x) x
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
α : Type u_2
LE α
OrderBot α
⊢ BotHom.dual.symm (TopHom.id αᵒᵈ) = BotHom.id α
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
⊢ addOrderOf y ∣ (addOrderOf x).lcm (addOrderOf (x + y))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ (𝓝ˢ K).lift' closure = 𝓝ˢ K
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom
n : ℕ∞
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑PartialHomeomorph.univUnitBall.symm) (Metric.ball 0 1)
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
Div G₀
self : MeasurableDiv₂ G₀
⊢ Measurable fun p => p.1 / p.2
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
⊢ (↑m).gcd ↑n = ↑m
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
S : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
f : ι → M
g : ι → R
⊢ ((LinearEquiv.piRing R M ι S).symm f) g = ∑ i : ι, g i • f i
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
f : L ≃ₐ[K] L
⊢ ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
⊢ ∀ (m₀ : H) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
P₀ : Path x₀ x₁
f : C(X, Y)
⊢ ⟦P₀.map ⋯⟧ = Path.Homotopic.Quotient.mapFn ⟦P₀⟧ f
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
h : a < 0
⊢ ↑a ≤ -1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g
⊢ ⋯.HasLift
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N
⊢ (filter p f).prod g * (filter (fun a => ¬p a) f).prod g = f.prod g
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g g' : ℝ → ℝ
hf : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
hg : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt g (g' (f x)) (f x)
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg' : Continuous g'
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f s
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
⊢ (↑s • mk m t).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t
α : Type u_1
l l₁ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₂ : List α
⊢ a ∈ [].bagInter l₂ ↔ a ∈ [] ∧ a ∈ l₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v
this : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x
Z : ∃ u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec ULower.up
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} {a : α}, l₁ <:+: l₂ → l₁ <:+: a :: l₂
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex x < toLex (update x i a) → x i < a
c : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.lift.{u, v} c) = Cardinal.toNat c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ S.toComposableArrows.Exact
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : LocallyBoundedVariationOn (f ∘ φ) s ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → variationOnFromTo (f ∘ φ) s x y = ↑l * (y - x)
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
⊢ (y - x) * ↑l = (φ y - φ x) * ↑l'