ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s✝¹ t : Set α
p q : α → Prop
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
a✝ : Set α
s✝ : Set (Set α)
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
his : ⋃₀ s✝ ∈ f ↔ ∃ t ∈ s✝, t ∈ f
⊢ ⋃₀ insert a✝ s✝ ∈ f ↔ ∃ t ∈ insert a✝ s✝, t ∈ f
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ ∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set b), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P ((algebraMap b (Localization.Away ↑r)).comp e)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset b), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P ((algebraMap b (Localization.Away ↑r)).comp e)) → P e
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b : B
f : Discrete (Path a b)
down✝ : f.as = f.as
⊢ (preinclusion B).map₂ { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯
α : Type u_1
Finite α
Nonempty α
b : α → ℝ
i : α
⊢ b i ≤ b (AkraBazziRecurrence.max_bi b)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι
⊢ vectorSpan k (Set.range p) = Submodule.span k (Set.range fun i => p i -ᵥ p i0)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.const abv x = CauSeq.const abv y ↔ x = y
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
n : ℕ
k : S
⊢ eval k (descPochhammer S (n + 1)) = eval k (descPochhammer S n) * (k - ↑n)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.Φ n).coeff (n.natAbs ^ 2) = 1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Fintype m
A : Matrix m m R
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).rank = A.rank
θ : Real.Angle
⊢ Real.sin θ.toReal = θ.sin
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X X
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y X
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (equiv W W.Q) ((mkInv f hf).comp (mk W f)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 X))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set α
⊢ MeasurePreserving f (μa.restrict s) (μb.restrict (f '' s))
n m : ℕ
⊢ n * m = 0 → n = 0 ∨ m = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ s.WSameSide x z
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x
⊢ ((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : NormedAddGroupHom H K
x : Completion G
⊢ (g.completion.comp f.completion) x = (g.comp f).completion x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage f ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
b c : β
⊢ c ∈ Finset.image (Function.const α b) s ↔ s.Nonempty ∧ b = c
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ (m * n).divisors.card = m.divisors.card * n.divisors.card
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ioc a (a + p)
⊢ liftIoc p a f ↑x = f x
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.xor y = x ^^^ y
R : Type u_3
NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 2), ↑((n + 1).choose i) * f i (n + 1 - i) =
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * f i (n + 1 - i) +
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * f (i + 1) (n - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Antitone f
hg : Antitone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ
⊢ ∀ x_1 ∈ f y, a ∈ g y x_1 → ∃ a_3 ∈ f x, a ∈ g x a_3
m n : Nat
⊢ m ∈ List.iota n ↔ 1 ≤ m ∧ m ≤ n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop
⊢ (∃ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∃ t ⊆ s, p (f '' t)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
⊢ Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f (g i)) Filter.atTop = Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f i) Filter.atTop
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1
⊢ arctan ((x + x) / (1 - x * x)) = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
h : IsUnit x
⊢ IsRelPrime x y
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ x < y ∨ y < x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁ := by aesop_cat
comm₂ : A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂ := by aesop_cat
comm₃ : A.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃ := by aesop_cat
⊢ (A.isoMk B iso₁ iso₂ iso₃ comm₁ comm₂ comm₃).hom = A.homMk B iso₁.hom iso₂.hom iso₃.hom comm₁ comm₂ comm₃
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
l : Filter X
⊢ (𝓝 (f x) ⊓ map f l).NeBot ↔ (𝓝 x ⊓ l).NeBot
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B C : Set E
hC : IsExposed 𝕜 A C
hCB : C ⊆ B
⊢ IsExposed 𝕜 (A ∩ B) C
n : ℕ
⊢ (hermite n).leadingCoeff = 1
⊢ 2 * π - 0 = 2 * π * ↑1
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton β
f : α → β
x : β
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' {x})
K : Type u_1
inst✝ : Field K
k : ℤ
⊢ ↑↑(2 * k).negOnePow = (-1) ^ (2 * k)
x : ℝ
h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0
h : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 = 0
⊢ cos (π / 3) = 1 / 2
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
⊢ Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) = Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₂₃ : p₂ = p₃
⊢ (K.XIsoOfEq h₂₁).inv ≫ (K.XIsoOfEq h₂₃).hom = (K.XIsoOfEq ⋯).hom
R : Type u
CommRing R
f : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f f U hu = 1
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ g • w =
  (Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i).symm
    (let __src := (Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i) w;
    { head := g * ((Monoid.PushoutI.NormalWord.equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯,
      normalized := ⋯ })
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
x : M × M'
this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) = (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).1
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h : IsUnramified k w
⊢ Stab w = ⊥
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ a ∈ s, Irreducible a) → normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s
hs : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Irreducible a_1
⊢ normalizedFactors (a ::ₘ s).prod = Multiset.map (⇑normalize) (a ::ₘ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
⊢ ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
⊢ L.join.length = (map length L).sum
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
φ : L.Sentence
⊢ Formula.Realize φ default = Formula.Realize φ fun i => Quotient.mk' fun a => default i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (M.tensorBimod N₁).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ (M.tensorBimod N₂).actLeft
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
k : α → G
hfg : f =o[l] g
hgk : g =o[l] k
⊢ f =o[l] k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
inst✝ : Fintype ι
f : α → ι → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : Part α →o Part α
hc : Continuous f
x✝ : Chain (Unit → Part α)
⊢ ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit)))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : HEq y (g i x)
⊢ ⟨i, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
s : Set M
f : M → N
hs : Submonoid.closure s = ⊤
h1 : f 1 = 1
hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → f (x * y) = f x * f y
⊢ ⇑(MonoidHom.ofClosureMEqTopRight f hs h1 hmul) = f
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 1
⊢ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2
X : Type u
self : TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ TopologicalSpace.IsOpen s → TopologicalSpace.IsOpen t → TopologicalSpace.IsOpen (s ∩ t)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
i j : n
⊢ diagonal ((Pi.constRingHom n α) (Algebra.toRingHom r)) i j = if i = j then Algebra.toRingHom r else 0
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ ∈ {n}
⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ h.symm.symm = h
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
r s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ
f : r ⟶ s
e_1✝ : (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).obj s) = (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen (unop s))))
⊢ X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop r) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f = X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop s)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
this : Nonempty n
⊢ ↑↑A i i ^ ↑(Fintype.card n).toPNat' = 1
s : ℝ
⊢ Complex.Gamma ↑s = ↑(Gamma s)
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
⊢ (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
this : (𝓤 G).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ b i}
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
x : P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 {x} = {x}
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
⊢ ⊤ = Scheme.Hom.opensRange (𝟙 X)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
a : α
h : a ∈ ⟦l⟧
⊢ a ∣ prod ⟦l⟧
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ f) (MvPolynomial.X i) = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q
⊢ id a ∈ q
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ↑ξ
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ∀ (a : L'.BoundedFormula α n), φ.onBoundedFormula.symm a = φ.invLHom.onBoundedFormula a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), dist ((L (f t)) (g (x₀ - t))) ((L (f t)) z₀) ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ dist (∫ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ) (∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.MapsTo f (s i) (t i)
⊢ Set.MapsTo f (⋂ i, s i) (⋂ i, t i)
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a ∈ t, t.erase a = s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ (Finset.Icc a b).card = if h : a.fst = b.fst then (Finset.Icc (h ▸ a.snd) b.snd).card else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α
⊢ x ≤ succ^[k] x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure α
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = ν
G : Type u
Monoid G
Fintype G
⊢ Finset.univ.lcm orderOf ∣ Monoid.exponent G
n : ℕ
⊢ n.succ.primesBelow = if Prime n then insert n n.primesBelow else n.primesBelow
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (Polynomial.aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
⊢ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
S : ι → Set X
hc : s.Countable
hcomp : ∀ i ∈ s, IsSigmaCompact (S i)
this : Countable ↑s
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i ∈ s, S i)
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
a b : ℤ√↑d
⊢ a * b = 0 → a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
h : a + b = 0
⊢ b = 0 - a
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ sphere n d k
⊢ √(∑ i : Fin n, ‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x) i‖ ^ 2) = √↑k
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν = MeasureTheory.levyProkhorovEDist ν μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Submodule 𝕜 E
hvs : ∀ (i : ι), v i ∈ s
⊢ Orthonormal 𝕜 (Set.codRestrict v (↑s) hvs)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_4
SMul R Y
r : R
f : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
⊢ (∃ n, (coeff R n) φ ≠ 0) ↔ φ ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
⊢ (fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨sb * ra + sa * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
o : Ordinal.{u_1}
⊢ aleph (succ o) = succ (aleph o)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasCokernelOfHasKernel S).p = CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Finmap β
⊢ x.Disjoint (y ∪ z) ↔ x.Disjoint y ∧ x.Disjoint z
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → α → Prop
⊢ (∀ (a b : α), r a b → p a b) → Relation.TransGen r a b → Relation.TransGen p a b
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
inst✝¹ : Ring R
α : Type u_3
inst✝ : Group α
a : α
⊢ Nat.card ↥(zpowers a) = orderOf a
n : ℕ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
f✝ f : { f // f ↑n = 0 }
⊢ Injective ⇑((lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0