ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
ne : S.Nonempty
t : Set α
⊢ DirectedOn ((fun i => 𝓟 (s i)) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ s ⊆ latticeClosure s
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ ∃ π, v.valuation π = ↑(ofAdd (-1))
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.SpecΓIdentity.hom.app R = (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).hom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : 𝕎 (ZMod p)
⊢ ((WittVector.fromPadicInt p).comp (WittVector.toPadicInt p)) x = (RingHom.id (𝕎 (ZMod p))) x
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
x_real : 0 < x.toReal
⊢ (if x = 0 then ⊥ else if x = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log x.toReal)) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (Function.swap u b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l₂ a) (u a)
⊢ s.Nonempty → BddBelow s → t.Nonempty → BddBelow t → sInf (Set.image2 u s t) = u (sInf s) (sInf t)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
self : NonarchimedeanAddGroup G
U : Set G
⊢ U ∈ 𝓝 0 → ∃ V, ↑V ⊆ U
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsLinearOrder β s], IsLinearOrder α r
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ ∅, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (∅.sup f) l (𝓝 (∅.sup g))
G₀ : Type u_3
MulZeroClass G₀
a : G₀
⊢ Commute a 0
α : Type u_4
LinearOrderedCommRing α
FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
⊢ |a - b| < 1
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
x : SetTheory.PGame
⊢ (-x).LF 0 ↔ SetTheory.PGame.LF 0 x
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
IsPredArchimedean α
h : Order.IsPredLimit a
⊢ IsMax a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
⊢ (Finset.filter p Finset.univ)ᶜ = Finset.filter (fun x => ¬p x) Finset.univ
x y : SetTheory.PGame
⊢ y.LF (-x) ↔ x.LF (-y)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Zero R
LinearOrder Γ
Nonempty Γ
⊢ BddBelow (Function.support 0)
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel r)
x : R
toQuot✝ : Quot (Rel r)
y : R
⊢ { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel r) x } * { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }) = { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) x } * { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
⊢ (aeval x) p ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Subsingleton (Submodule R M) ↔ Subsingleton M
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
a : Y
⊢ ((fun g => hf.lift ↑g ⋯) ((fun g => ⟨g.comp f, ⋯⟩) g)) a = g a
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Intersecting ↔ s = ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
t : X → Set X
h : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝 x
⊢ ⋃ x ∈ s, t x ∈ 𝓝ˢ s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
⊢ P ∣ span {x}
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
⊢ lastFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = lastFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ (TensorAlgebra.equivFreeAlgebra b).symm (FreeAlgebra.ι R i) = (TensorAlgebra.ι R) (b i)
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
Nontrivial R
x : X
r : R
⊢ FreeAlgebra.ι R x ≠ (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid N
Module R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.rTensor ((MvPolynomial.monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
Monoid R
StarMul R
Monoid S
StarMul S
FunLike F R S
StarHomClass F R S
MonoidHomClass F R S
f : F
⊢ ∀ (a : ↥(unitary R)), (unitary.map f) a = Subtype.map ⇑f ⋯ a
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
CompletelyDistribLattice α
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨆ a, ⨅ b, f a b = ⨅ g, ⨆ a, f a (g a)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
self : ENorm 𝕜 V
x : V
⊢ ↑self x = 0 → x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
self : CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
⊢ K = e.inverse.inducedTopology J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s ∧ Balanced 𝕜 s) id
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
z : ℤ
⊢ (↑z).imJ = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasurableSpace Ω
_m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₂ κ μ ↔
  ∀ (s t : Set Ω), MeasurableSet s → MeasurableSet t → ProbabilityTheory.Kernel.IndepSet s t κ μ
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.map f) x = (FreeGroup.lift (FreeGroup.of ∘ f)) x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven 0 = riemannZeta
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥W + FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.dualCoannihilator W) =
  FiniteDimensional.finrank K V
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
w : Nat
x : BitVec w
i : Fin w
⊢ x.getMsb ↑i.rev = x.getLsb ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
x✝ : ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
J : Set α
hJ : M.Base J
hIJ : B = J
⊢ M.Base B
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ 𝓘(𝕜, E).toPartialEquiv = PartialEquiv.refl E
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E
h : M ↾ R = M
⊢ False
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (eqToHom ⋯) = eqToHom ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
a : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s a
ha : f a ≠ 0
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => (f x)⁻¹) s a
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0
⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
g : L.Equiv N P
f : L.Equiv M N
x : M
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ (p * q).toNNReal = p.toNNReal * q.toNNReal
a : ℝ≥0∞
⊢ a.toReal ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ a ≠ ⊤
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₁ : 𝕜 → F
f₁' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
G : Type w
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₂ : 𝕜 → G
f₂' : G
hf₁ : HasDerivAtFilter f₁ f₁' x L
hf₂ : HasDerivAtFilter f₂ f₂' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁', f₂') x L
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
⊢ (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧ ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
⊢ Rat.maybeNormalize num den g den_nz reduced =
  { num := num.div ↑g, den := den / g, den_nz := den_nz, reduced := reduced }
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
⊢ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i : m
j : n
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j 1 = Matrix.vecMulVec (fun i' => if i = i' then 1 else 0) fun j' => if j = j' then 1 else 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
⊢ Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K
⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ A < μ K + ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ a ⊔ (b ⊔ c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.unop.X₂ = Opposite.unop S.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R✝ → R✝ → Prop
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ RingQuot.sub r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a - b) }
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
h : {p | S ⊆ ↑p} = ⋂₀ ((fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S)
⊢ {p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)
n : ℕ
⊢ (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s = -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
F' : Type u_11
NormedRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
hp : MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, F') p s
hq : MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, F') q s
⊢ MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, F') (p * q) s
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
ζ : L
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
⊢ Algebra.discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
g : α → E
h : Bornology.IsBounded (Set.range g)
f : α → α
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
⊢ Prime p ↔ Prime q
l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ utf8Len l + utf8Len m = utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) + utf8Len (List.dropWhile p m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset
⊢ l ~ l'
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) (ν a)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝[>] 0) Filter.atTop
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}
h_ne_zero : ∀ (i : ι), Ideal.torsionOf R M (v i) = ⊥
⊢ LinearIndependent R v
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E✝ : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E✝
E : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan = ‖x‖
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.92908, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.93383, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F ⋙ coyoneda.obj (op X)).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ ↑s j' = ↑s j ≫ F.map f
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ici b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi b) μ
X : Type u
TopologicalSpace X
self : T0Space X
x y : X
⊢ Inseparable x y → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : C(α, β)
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
A : Set (Set α)
F : (s : Set α) → s ∈ A → C(↑s, β)
hF : ∀ (s : Set α) (hs : s ∈ A) (t : Set α) (ht : t ∈ A) (x : α) (hxi : x ∈ s) (hxj : x ∈ t), (F s hs) ⟨x, hxi⟩ = (F t ht) ⟨x, hxj⟩
hA : ∀ (x : α), ∃ i ∈ A, i ∈ 𝓝 x
s : Set α
hs : s ∈ A
x : ↑s
x' : ↑↑⟨s, hs⟩ := x
⊢ (let S := Subtype.val; let F_1 := fun i => F ↑i ⋯; liftCover S F_1 ⋯ ⋯) ↑x = (F s hs) x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ ((NumberField.canonicalEmbedding.latticeBasis K).repr ((NumberField.canonicalEmbedding K) x)) i =
  ↑(((NumberField.integralBasis K).repr x) i)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ : ℕ
⊢ (p₁ ^ n₁).Coprime (Nat.card ↥H₂)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ Set.image2 f s (Set.image2 g t u) = Set.image2 g' t (Set.image2 f' s u)
M : Type u_1
AddZeroClass M
p p' : AddSubmonoid M
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
R : Type u
CommRing R
S : Submonoid R
L : Type u
CommRing L
Algebra R L
IsLocalization S L
⊢ #L ≤ #R
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
Fintype m
DecidableEq m
e₁ e₂ : n ≃ m
A : Matrix n n α
⊢ ((Matrix.reindex e₁ e₂) A)⁻¹ = (Matrix.reindex e₂ e₁) A⁻¹
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc G p μ)
⊢ ↑↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑↑g ↔ f ≤ g
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a < min b c ↔ a < b ∧ a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
DecidableEq α
l : List α
m : α
⊢ m ∈ List.argmax f l → ∀ {a : α}, a ∈ l → f m ≤ f a → List.indexOf m l ≤ List.indexOf a l
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
⊢ (π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J) → π' ≤ π.biUnion πi
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ (f.extend I).target = ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ Set.range ↑I
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
AddAction G X
SigmaCompactSpace G
BaireSpace X
T2Space X
ContinuousVAdd G X
AddAction.IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 0
x : X
⊢ U +ᵥ {x} ∈ 𝓝 x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inr M N) = Submonoid.comap (MonoidHom.fst M N) ⊥
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ ↑n ^ 2 * T + -(2 * S * ↑|n|) ≤ ↑n ^ 2 * τ.im + 2 * ↑n * z.im
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
x : List α
y : List β
⊢ x.length = y.length →
  (∀ (i : ℕ) (h₁ : i < x.length) (h₂ : i < y.length), R (x.get ⟨i, h₁⟩) (y.get ⟨i, h₂⟩)) → List.Forall₂ R x y
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
normalizer_P : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer = ⊤
P_normal_in_G : (map (frattini G).subtype ↑P).Normal
⊢ (↑P).Normal
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
t : Finset α
⊢ ∅ ⊼ t = ∅
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
F : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
α β γ : Type u
g : α → F β
f : β → γ
x : t α
⊢ Functor.map f <$> traverse g x = traverse (Functor.map f ∘ g) x
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
bij : Function.Bijective ⇑f
E : (forget (CompHausLike P)).obj X ≃ (forget (CompHausLike P)).obj Y := Equiv.ofBijective (⇑f) bij
hE : Continuous ⇑E.symm
⊢ IsIso f
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : ι → α
⊢ ∑ j ∈ t, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f i = ∑ i ∈ s, f i
A : Type u_1
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℂ A
IsScalarTower ℂ A A
SMulCommClass ℂ A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
IsStarNormal a
⊢ IsSelfAdjoint a
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → β
h : ∀ (x : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {x})
h' : (Set.range f).Finite
x : α
⊢ ↑{ toFun := f, measurableSet_fiber' := h, finite_range' := h' } x = f x
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
t : Set α
⊢ (PMF.ofFinset f s h h').toOuterMeasure t = ∑' (x : α), t.indicator f x
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ φ (p ^ n) = p ^ (n - 1) * (p - 1)
R : Type u_1
MulZeroClass R
a : R
Nontrivial R
la : IsRegular a
⊢ a ≠ 0