ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Surjective (⇑(lTensor P g') ∘ ⇑(rTensor N' g))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).map s)
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Qinv s hs) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).obj X)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hk : k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (k * x) (k * y) (k * z) ↔ PythagoreanTriple x y z
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : α →o β
⊢ ⇑f ≤ ⇑g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : β → σ
g : α → β
hf : Computable f
hg : Computable g
⊢ Computable fun a => f (g a)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
x : ↑C
⊢ (∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true) → False
n✝ m n : ℕ
⊢ unitsMap ⋯ = MonoidHom.id (ZMod n)ˣ
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
M : Sublattice β
e : β ≃o α
⊢ Sublattice.map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L = M ↔
  L = Sublattice.map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
⊢ h.coeff z i = (h.basis.repr z) ⟨i, hi⟩
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
a : G
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ a ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
n a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
G : Grp
Subsingleton ↑G
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero G
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)
this : ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))
⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
⊢ IsTotallyDisconnected s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Set.Ioo x y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
m : M
n₁ n₂ : N
⊢ m ⊗ₜ[R] (n₁ - n₂) = m ⊗ₜ[R] n₁ - m ⊗ₜ[R] n₂
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ NormedAddGroupHom.IsQuotient (SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : a < 0
k : ℕ
⊢ a ^ (2 * k) * a < 0
a✝ b n✝ n a : ℕ
⊢ (if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ Metric.closedBall x δ * s = x • Metric.cthickening δ s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ ContinuousAlternatingMap.toContinuousMultilinearMap 0 = 0
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑⟨(Classical.choose ⋯).inv, ⋯⟩ * ↑x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_6
Group G
g : G → β
hg : ∀ (x : G), g x⁻¹ = g x
s t : Set α
f : α → G
x : α
⊢ g ((symmDiff s t).mulIndicator f x) = g (s.mulIndicator f x / t.mulIndicator f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.zero h₁ h₂).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.zero h₁.right h₂.right
G : Type u_1
Group G
s : Subgroup G
⊢ MulAction.stabilizer G ↑s = s
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ Monotone fun t => s.prod t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : HasFiniteIntegral f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ HasFiniteIntegral f (c • μ)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, |f i + g i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, |g i| ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : m ≤ k
⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : (i : ι) → G i
s : Finset ι
this : ↑‖∑ i ∈ s, (V i) (l i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s, ↑‖l i‖ ^ 2
⊢ ‖∑ i ∈ s, (V i) (l i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s, ‖l i‖ ^ 2
α β : Sort u
h₁ : Subsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
⊢ HEq a b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
⊢ LocallyFinite f ↔ ∀ (x : X), ∀ᶠ (s : Set X) in (𝓝 x).smallSets, {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
s : Finset ℕ
⊢ ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U V : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
hV : V ∈ p.basisSets
⊢ ∃ z ∈ p.basisSets, z ⊆ U ∩ V
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) x = (TensorAlgebra.ι R) y ↔ x = y
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
⊢ Ideal.absNorm I = 0 ↔ I = ⊥
n m : ℕ+
⊢ ↑(n.lcm m) = (↑n).lcm ↑m
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
⊢ s.SSameSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
y : G
⊢ μ ((fun x => x * y) ⁻¹' s) = 0 ↔ μ ((fun x => y⁻¹ * x) ⁻¹' s⁻¹)⁻¹ = 0
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f g : R →ₙ+* S
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ f.toFun = ⇑f
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
G' : Subgroup G
H' : Subgroup H
G'.Normal
H'.Normal
e : G ≃* H
he : Subgroup.map (↑e) G' = H'
x : G
⊢ (QuotientGroup.congr G' H' e he) ↑x = (QuotientGroup.mk' H') (e x)
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
⊢ ContinuousOn (invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ ↑(tensorTensorTensorComm R M M ↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat ↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)
p x : ℝ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑n + x) ↔ LiouvilleWith p x
n : ℕ
⊢ ↑n.succ • bernoulli n = (monomial n) ↑n.succ - ∑ k ∈ range n, ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k
⊢ riemannZeta 4 = ↑π ^ 4 / 90
R : Type u_1
Rack R
G : Type u_2
Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
⊢ (Quandle.Conj.map (Rack.toEnvelGroup.map f)).comp (Rack.toEnvelGroup R) = f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
⊢ min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ (W.negY x₂ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (y₂ - W.negY x₂ y₂) / (x₂ - x₁) ^ 2
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
s' : Set α
⊢ (𝓟 s' ⊓ l).HasBasis p fun i => s' ∩ s i
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
x : G'
⊢ (∫ (a : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)) a ∂μ) • x = (μ (t ∩ s)).toReal • x
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ IsClosed (closure (orbit M x✝))
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ cyclotomic p R = ∑ i ∈ range p, X ^ i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (α_ N.X Y.X (𝟙_ C)).hom ≫ N.X ◁ (ρ_ Y.X).hom ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : IsInternal A
⊢ iSup A = ⊤
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Monotone (f ∘ ⇑(Tuple.sort f))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree
this : q.natDegree = q.natDegree * p.natDegree + (1 * p.natDegree + r.natDegree)
⊢ False
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x * x⁻¹ = 1
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
⊢ Localization.mk 1 1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
y : W
⊢ ((-2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • ofRealCLM.comp (L v)) y = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)) y
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
⊢ x₁ = x₂
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hp' : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hp').IsPath
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ f p.1}
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ ⟦a⟧ = Associates.mk a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜 Fₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖f.extend e h_dense ⋯‖ ≤ ↑N * ‖f‖
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (↑ζ + f) p) n = ∑ d ∈ n.divisors, f d
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α✝ β✝ γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq1 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝¹ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝¹ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F
seqLeft_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y
seqRight_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y
pure_seq2 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x
seq_pure✝ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
seq_assoc✝ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x
α β : Type u
x : F α
y : Unit → F β
⊢ sr1 x y = sr2 x y
a b c : Nat
⊢ a ≤ c → b ≤ c → max a b ≤ c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)
⊢ False
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B B' : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
h : B ≤ B'
⊢ DiscreteQuotient.ofLE h ∘ DiscreteQuotient.map f cond = DiscreteQuotient.map f ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ List.instBEq = instBEqOfDecidableEq
R : Type u_1
MulOneClass R
StarMul R
⊢ IsSelfAdjoint 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ (∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ ∀ (x : V), ⟪(S - T) x, x⟫_ℂ = 0
c : ℝ
f : ℕ → Bool
n : ℕ
h : f n = false
⊢ Cardinal.cantorFunctionAux c f n = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ s ∪ t \ s = t
α : Type u_9
ι : Sort u_10
SupSet α
IsEmpty ι
f : ι → α
⊢ iSup f = sSup ∅
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ map f s ⊆ t ↔ s ⊆ t.preimage ⇑f ⋯
α : Sort u_1
cmp : α → α → Ordering
self : Batteries.TransCmp cmp
x y z : α
⊢ cmp x y ≠ Ordering.gt → cmp y z ≠ Ordering.gt → cmp x z ≠ Ordering.gt
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hca : c ≤ a
hbd : b ≤ d
ha : 0 ≤ a
hd : d ≤ 0
⊢ a * b ≤ c * d
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
⊢ StronglyMeasurable (uncurry u)
α : Type u_1
β : Type u_2
ks : Array α
vs : Array β
h : ks.size = vs.size
k : α
v : β
⊢ (ks.push k).size = (vs.push v).size
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
v : V
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
⊢ (Real.fourierIntegral f v) a = Real.fourierIntegral (fun x => (f x) a) v
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (A₁.fromColumns A₂).toColumns₁ = A₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
⊢ κ.fst a = MeasureTheory.Measure.map Prod.fst (κ a)
R : Type u
NonAssocSemiring R
r : R
⊢ ↑(Subsemiring.topEquiv.symm r) = r
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
y : X
y_in : y ∈ F
⊢ ContinuousOn f (range ⇑⋯.somePath)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
hx : s ∈ 𝓝 x
hy : t ∈ 𝓝 y
⊢ s ×ˢ t ∈ 𝓝 (x, y)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ Disjoint (LinearMap.ker ((aeval f) p)) (LinearMap.ker ((aeval f) q))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → E
x : E
⊢ ⟪x, ∑ i ∈ s, f i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪x, f i⟫_𝕜
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P2 x₁ x₂ y ↔ Surreal.Multiplication.P2 (-x₂) (-x₁) y