ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_4
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
l : A ⊗[R] M →ₗ[A] N
x : M
⊢ ((LinearMap.liftBaseChangeEquiv A).symm l) x = l (1 ⊗ₜ[R] x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι
⊢ (i, j) ∈ s.offDiag → ((i, j).1 < (i, j).2 ↔ (i, j).1 ≤ (i, j).2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
U : ℕ → Set (Y × Y)
left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)
hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)
⊢ IsGδ {x | Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 Y)}
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
this : ¬⋯.toFinset < m
⊢ ¬(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ < (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
a b : ENNReal
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
⊢ fibRec.IsSolution fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (aeval f) f.charpoly = 0
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom
α : Type u_2
CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
⊢ m.prod = 1 ↔ ∀ x ∈ m, x = 1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
𝕜 : Type u_2
OrderedRing 𝕜
Fintype ↑G.edgeSet
p : SimpleGraph V → Prop
r₁ r₂ : 𝕜
h : G.DeleteFar p r₂
hr : r₁ ≤ r₂
⊢ G.DeleteFar p r₁
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) 0) = 0
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2
⊢ P3 (x₁, x₂).1 (x₁, x₂).2 y₁ y₂
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
f : R →+* S₂
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f fun x => 0) = f.comp MvPolynomial.constantCoeff
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
x : β i
⊢ erase i (single i x) = 0
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
⊢ BddBelow {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ c}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl
⊢ x ∈ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑f.den
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
⊢ CharP R 0 ↔ CharZero R
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
h : LocallyBoundedVariationOn f univ
x : ℝ
hx : x ∈ univ → DifferentiableAt ℝ f x
⊢ DifferentiableAt ℝ f x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ SimpleGraph.induce {v} G = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.SmallHom.equiv W L) (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W f) = L.map f
α : Type u
Group α
a : α
n : ℤ
⊢ Equiv.mulRight a ^ n = Equiv.mulRight (a ^ n)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : Filter.limsup (fun i => (μs i) Eᶜ) L ≤ μ Eᶜ
⊢ μ E ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) E) L
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph W
e : V ≃ W
⊢ SimpleGraph.map e.symm.toEmbedding G = SimpleGraph.comap (⇑e.toEmbedding) G
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ m • w = Monoid.CoprodI.of m • w
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ HasDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ p) (p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) ≤ ↑(δ' i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
j i : ι
hij : i ≤ j
k : ι
hk : k ∈ Finset.Iio i
hkj : k < j := LT.lt.trans_le (Finset.mem_Iio.mp hk) hij
⊢ (⟪gramSchmidt 𝕜 f k, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f k‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f k ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V ≃ₗ[K] V₂
FiniteDimensional K V
⊢ FiniteDimensional K V₂
R : Type u_1
CommRing R
Invertible 2
n : ℕ
⊢ Polynomial.dickson 1 1 n = 2 * (Polynomial.Chebyshev.T R ↑n).comp (Polynomial.C ⅟2 * Polynomial.X)
α : Type u_2
Lattice α
⊢ Monotone ⇑latticeClosure
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ C * ‖v‖
α : Type u
Mul α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ -a * -b = a * b
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : √(r1 z) ≤ √((c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2)
⊢ r z ≤ Complex.abs (↑c * ↑z + ↑d)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom = Action.Hom.hom 0
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) ↔ (b ↔ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
⊢ ∃ f, Measurable f ∧ Injective f
B : Type u
Quiver B
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
⊢ Quot.mk CategoryTheory.FreeBicategory.Rel (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.id f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id f
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H ≤ f.range
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
z : X × Y
hzs : z ∈ s
hzV : z.2 ∈ V
⊢ False
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'
⊢ ({ toFun := fun x => (x.1, (φ x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ x.1).symm x.2), source := U ×ˢ univ, target := U ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ { toFun := fun x => (x.1, (φ' x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ' x.1).symm x.2), source := U' ×ˢ univ, target := U' ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ }).target = (U ∩ U') ×ˢ univ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
⊢ r • a ∈ Set.center A
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ
⊢ T (m + n) = T m * T n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
opens : Set (Set X) := {U | Sᶜ ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ Uᶜ.Nonempty}
U : Set X
h : ∀ a ∈ opens, U ⊆ a → a = U
Uc : Sᶜ ⊆ U
Uo : IsOpen U
Ucne : Uᶜ.Nonempty
⊢ ∃ V ⊆ S, V.Nonempty ∧ IsClosed V ∧ ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
⊢ F.map 0 = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f : A →A[R] A
⊢ ContinuousAlgHom.toAlgHomMonoidHom f = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α → β
hf : Function.Surjective f
o : ∀ {a b : α}, r a b ↔ s (f a) (f b)
⊢ WellFounded r ↔ WellFounded s
R : Type u
Field R
p q : R[X]
⊢ p % q = p %ₘ (q * Polynomial.C q.leadingCoeff⁻¹)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
x : ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
a✝ : x ∈ ⊤
j : V
⊢ ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, Quot.lift ↑x ⋯ i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) j = ↑x j
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x
c : ℝ
hc : c ∈ f ⁻¹' closedBall x (dist y x)
⊢ c ∈ Icc (-1) 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddAbove (Set.range f)
hg : Monotone g
⊢ BddAbove (Set.range fun x => g (f x))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * g) μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
⊢ (FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv.symm ((Algebra.trace K L) ((FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y))) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
⊢ ‖g a‖ ≤ B a
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c
⊢ ⋂₀ range s ∈ l ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{v}
⊢ (lift.{u, v} c).ord ≤ Ordinal.lift.{u, v} c.ord
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
Ring R
self : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ (↑self.toMonoidWithZeroHom).toFun (x + y) ≤
  max ((↑self.toMonoidWithZeroHom).toFun x) ((↑self.toMonoidWithZeroHom).toFun y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a
⊢ succ o.pred = o
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
⊢ ∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card))
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 0 < o ↔ o ≠ 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ
n : ℕ
ihn : a ^ (m + ↑n) = a ^ m * a ^ ↑n
⊢ a ^ (m + (↑n + 1)) = a ^ m * a ^ (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.preimage s ⊆ f.core s
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
⊢ H.Preconnected
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ (p.toSubgraph.neighborSet w).Finite
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
S : Subalgebra R A
⊢ Algebra.adjoin R s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Semiring β
TopologicalSemiring β
TopologicalSpace γ
Semiring γ
TopologicalSemiring γ
g : β →+* γ
hg : Continuous ⇑g
f : C(α, β)
⊢ ∀ (a : α), ((RingHom.compLeftContinuous α g hg) f) a = g (f a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
⊢ HasSum (fun i => ∫ (a : α), f a ∂μ i) (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ)
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
⊢ StrictMono Nat.cast
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hlt : padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
h : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) ≠ padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
hi : N ≤ i
hN' : padicNorm p (↑(f - g) i) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) - padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen ↑(lowerClosure s)
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
Nontrivial E
U : E
hU : U ∈ unitary E
⊢ ‖U‖ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ + ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = 2 * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] fun x => g x - f x
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
DecidableEq ι
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
(m : R) → Decidable (m ≠ 0)
p : ι → Submodule R N
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
⊢ ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) ∘ₗ
    (DFinsupp.mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) ∘ₗ ↑(finsuppLequivDFinsupp R) =
  Finsupp.total ι N R v
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).verts = G'.verts
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
φ : L.Sentence
h : T ⊨ᵇ φ
M : Type u_1
L.Structure M
M ⊨ T
Nonempty M
⊢ M ⊨ φ
p : ℕ
hp : Prime p
n k : ℕ
⊢ n + 1 ∣ n.succ * n.choose k
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
a b c : Int
h : a + b < c
⊢ a < c - b
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (n • b) ((n + 1) • b))
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (Q₁.prod Q₂).PosDef ↔ Q₁.PosDef ∧ Q₂.PosDef
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ (Equiv.symm i.cycleRange) j.succ = i.succAbove j
n : ℕ
NeZero n
i : Fin n
h : 0 < i
⊢ 0 < i.castSucc
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
h : Multiset.Rel r s t
⊢ Multiset.card s = Multiset.card t
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
⊢ IsLocalizedModule S f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
⊢ Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r r)
X Y : Type u
AddSemigroup X
AddSemigroup Y
f : AddHom X Y
x : X
⊢ (AddSemigrp.ofHom f) x = f x
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣
    ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
p m : ℕ+
pp : p.Prime
⊢ m ∣ p ↔ m = 1 ∨ m = p
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Semiring α
TopologicalSemiring α
s : Subsemiring α
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
α : Type u
Preorder α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
h : IsMin a
⊢ IsBot a
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
⊢ z = 0 ∨ w = 0
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 6).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: a4 :: a5 :: a6 :: t)) = a6
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Set.Ioi ↑a})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ
i : Bool
⊢ uniformSpace α γ = bif i then uniformSpace α γ else uniformSpace α γ
G : Type u_1
H : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : Add G
inst✝¹ : AddZeroClass H
a : G
b : H
inst✝ : DistribSMul K H
c : K
f : G →+c[a, b] H
x : G
⊢ (c • ⇑f) (x + a) = (c • ⇑f) x + c • b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.f₁₂ = sq.f₂₄.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ Irreducible (b * ↑a) ↔ Irreducible b