ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ weightSpace M (-α + ⇑(chainBot α β)) = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork hf hg c hc).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork S hf hg c hc
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : CategoryTheory.Functor C D
T : D
X : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.proj S T).obj X = X.left
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a ≤ ↑b
⊢ a.toReal ≤ ↑b
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
x : N
y : M
⊢ e.symm x = y ↔ x = e y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s : Finset α
a : α
⊢ (image f s).erase (f a) ⊆ image f (s.erase a)
α : Type u_1
IsEmpty α
⊢ Fintype.card α = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
⊢ IsGroupHom.ker f = IsSubgroup.trivial G ↔ ∀ (x : G), f x = 1 → x = 1
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
⊢ LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q h = q.prodEquivOfIsCompl p ⋯
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
⊢ filter (Eq b) s = replicate (count b s) b
α : Type u_1
Preorder α
a : α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
NoMinOrder α
⊢ Order.IsPredLimit a ↔ IsMax a
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
⊢ A.Definable L Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
adj : L ⊣ R
i : L.comp R ≅ CategoryTheory.Functor.id C
⊢ CategoryTheory.IsIso adj.unit
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜' f x
⊢ fderiv 𝕜 f x = ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (fderiv 𝕜' f x)
a : Prop
H : ∀ (b : Prop), (a → b) → a
⊢ a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
l : List M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) (List.map (⇑(CliffordAlgebra.ι Q)) l).prod = List.foldr (fun m n => (f m) n) n l
R : Type u_2
AddZeroClass R
x : R
xs : List R
DecidablePred fun x_1 => (x :: xs).getD x_1 0 ≠ 0
DecidablePred fun x => xs.getD x 0 ≠ 0
⊢ (x :: xs).toFinsupp =
  Finsupp.single 0 x + Finsupp.embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } xs.toFinsupp
X✝ Y✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
r : ↑Γ(Y, U)
this : IsLocalization.Away r ↑Γ(Y, Y.basicOpen r) := isLocalization_basicOpen hU r
⊢ Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯ = IsLocalization.Away.map (↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) (↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r))) (Scheme.Hom.appLE f U V e) r
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hs : ⋃₀ S = univ
⊢ ⋃ i ∈ S, i = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
LE β
⊢ Relation.Fibration (fun x x_1 => x ≤ x_1) (fun x x_1 => x ≤ x_1) f ↔ ∀ (x : α), IsLowerSet (f '' Set.Iic x)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
⊢ ∑ x ∈ φ.support, (eval₂Hom f g) ((monomial x) (coeff x φ)) = 0
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
hn : IsInitial Y → False
this✝ : IsIso u
this : IsIso v
⊢ F.map ((asIso u).symm ≪≫ asIso v).hom a = b
a : Int
h : 0 < a
⊢ -a < 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone F) = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.colimit F)
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
DecidableEq ι
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i ≤ ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
⊢ (1 • b) x = b x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
⊢ ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : E →L[𝕜] 𝕜
Nontrivial Fₗ
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E Fₗ) c‖ = ‖c‖
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : (pullback.fst (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤).op (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤).op).unop ≫ (PreservesPullback.iso (AffineScheme.forgetToScheme.op ⋙ Scheme.Γ).rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom.unop = Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤
⊢ P (pushout.inl (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤) (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤))
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
⊢ (sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hx : 0 < x
hn : n ≠ 0
⊢ f 1 + Real.BohrMollerup.logGammaSeq x n ≤ f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelBiproductFromSubtypeIso f p).inv =
  (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.IsColimit.ofπ (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯
        (fun {W} g x => CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) ⋯ ⋯).desc
    (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone
      (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p) 0))
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
Monoid M
TopologicalSpace X
f : X → Mˣ
⊢ Continuous f ↔ Continuous (Units.val ∘ f) ∧ Continuous fun x => ↑(f x)⁻¹
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h : 0 < n
a₁ b₁ : ℕ
ha₁ : 0 < a₁
hb₁ : 0 < b₁
hab₁ : b₁ ^ 2 * a₁ = n
hab₂ : Squarefree a₁
⊢ ∃ a b, (b + 1) ^ 2 * (a + 1) = n ∧ Squarefree (a + 1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (∀ (n : ℕ), μ (s ∩ MeasureTheory.spanningSets μ n) = 0) ↔ μ s = 0
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
hf : ∀ (a : R), Commute (f a) x
p : R[X]
⊢ (Polynomial.eval₂RingHom' f x hf) p = Polynomial.eval₂ f x p
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy : (x, y) ∈ fst R M M₂
⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy⟩) = ⟨(x, y), hy⟩
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = ⊤)
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (↑(Real.log x)).im = (log ↑x).im
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
One β
One γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Function.Injective g
hg0 : g 1 = 1
⊢ g ∘ f = 1 ↔ f = 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
AddCommMonoid β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (∑ j ∈ s, f j) (f i) μ
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
β γ : Type u
f : β → γ
⊢ Functor.map f = traverse (pure ∘ f)
α : Type u_5
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
s : Set α
hd : Dense s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Set.Ico l u = S}
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
h : f a = 0
⊢ ∑ x ∈ insert a s, f x = ∑ x ∈ s, f x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
self : α ↪ β
⊢ Function.Injective self.toFun
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a
⊢ IsSuccLimit a → a ≤ b
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ p.pred.succ = p
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯
this✝² : IsIso φ.hom₁
this✝¹ : IsIso φ.hom₂
this✝ : IsIso φ.hom₃
this : IsIso φ
⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
t : Multiset M
⊢ sum 0 • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (0 ×ˢ t)).sum
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • o.oangle x y = 2 • o.oangle x z
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).Monic
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : b = a⁻¹ * c
⊢ a * b = c
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : { x // x ∈ s }), (fun i => (↑i).2) i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : { x // x ∈ s } → κ → R
y : κ → N
j : κ
⊢ ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = M'.subtype (∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => (↑i).1) i)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.floorRoot 1 = 1
G : Type u_1
Group G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)], Fintype.card G = p → ∀ {g : G}, g ≠ 1 → Subgroup.zpowers g = ⊤
α : Fin 2 → Type u_2
(i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)
p : α 0 × α 1
i : Fin (1 + 1)
⊢ (IsometryEquiv.piFinTwo α).invFun p i = Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim) i
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : (fun f => f.compAddChar ψ) f = (fun f => f.compAddChar ψ) g
⊢ f = g
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ
g' : C(X, ℝ≥0)
hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I
hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x
c : ℝ≥0
hc : c > 0
hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y
⊢ ∃ g, (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g ∈ I ∧ (∀ (x : X), g x ≤ 1) ∧ Set.EqOn (⇑g) 1 t
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ x - ↑a
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b
⊢ ↑a = ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β → β
b : β
⊢ List.foldr f b l.reverse = List.foldl (fun x y => f y x) b l
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Module S M₃
Module S M₄
SMulCommClass R S M₃
SMulCommClass R S M₄
s : S
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₄
⊢ (s • f).prodMap (s • g) = s • f.prodMap g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ↔ ¬AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) ((fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y) y) = y
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n
i : Fin n
⊢ repeat 1 a (cast ⋯ i) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
⊢ IsBounded sᶜ ↔ IsCobounded s
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ ¬IsMin a ↔ a ≠ ⊥
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
hμ : ¬μ = 0
⊢ log (mgf X μ t * mgf Y μ t) = log (mgf X μ t) + log (mgf Y μ t)
G : Type u_1
AddGroup G
p q : AddSubgroup G
⊢ p.toAddSubmonoid = q.toAddSubmonoid ↔ p = q
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ derivWithin f₁ s x = derivWithin f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ IsTop x ↔ IsTop x.1 ∧ IsTop x.2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ span R (of' R M '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → 𝕜
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1
hg' : eLpNorm g ⊤ μ ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => g x • f x) 1 μ < ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Function.Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ PathConnectedSpace Y
α : Type u_3
AddCommMonoid α
m : Multiset α
n : ℕ
⊢ (n • m).sum = n • m.sum
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
lin : IsLinearMap R f
⊢ f 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
⊢ ↑0 = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
⊢ 0 ∈ closure ↑S
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.arctan (f x)) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
s : Set H
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑I '' s ∈ 𝓝[Set.range ↑I] ↑I x
α : Type u_1
Fintype α
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card α
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk p q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg :
  ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F),
    Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) → Filter.Tendsto (⇑g ∘ u) Filter.atTop (𝓝 y) → y = g x
⊢ Continuous ⇑g
α : Type u_1
LinearOrder α
Ixx : α → α → Set α
p : α → α → Prop
Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b
Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
s t : Set α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, p l u ∧ Ixx l u = S}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ Filter.Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y)) ↔ Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
Finite { l // p ∈ l }
⊢ Configuration.pointCount P l ≤ Configuration.lineCount L p
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w w' : HNNExtension.NormalWord d
h1 : w.head = w'.head
h2 : w.toList = w'.toList
⊢ w = w'
M : Type u_1
Monoid M
a : M
Invertible a
ha : a ∈ Set.center M
⊢ ⅟a ∈ Set.center M
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set α
t : TopologicalSpace α
t_le : t ≤ inst✝
t_polish : PolishSpace α
h : IsClosed s
h' : IsOpen s
⊢ IsClopenable sᶜ
m : Type u_2
α : Type v
Semiring α
StarRing α
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m m α
k : ℕ
⊢ (M ^ k)ᴴ = Mᴴ ^ k
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : GCDMonoid α
a : α
⊢ lcm 0 a = 0
ι : Type u_1
l u : ι → ℝ
⊢ ↑(BoxIntegral.Box.mk' l u) = Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (l i) (u i)
o : Ordinal.{u_2}
ho : o.IsLimit
⊢ (Cardinal.aleph' o).ord.cof = o.cof
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
⊢ (Finsupp.mapRange.equiv f hf hf').symm = Finsupp.mapRange.equiv f.symm hf' hf
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasurableSingletonClass α
a : α
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a ⊗ₘ κ) s = (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
⊢ sInf s ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ l.formPerm.support = l.toFinset
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this : Complex.abs ↑x ≤ 1
⊢ |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
α : Type u
n : ℕ
v : Mathlib.Vector α n.succ
⊢ Mathlib.Vector.cons v.head v.tail = v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Balanced C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ CategoryTheory.Mono f ∧ CategoryTheory.Epi f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = (c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : 0 < FiniteDimensional.finrank K V
⊢ FiniteDimensional K V
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ∀ x ∈ closedBall z r ×ˢ univ, circleMap z R x.2 - x.1 ≠ 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ (ShortComplex.mk (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) (n + 1)).f ⋯).Exact
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
a b : Fin n
⊢ (turanGraph n 0).Adj a b ↔ ⊤.Adj a b
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
H : Type u_2
Group H
f : IsFreeGroup.Generators G → H
⊢ ∃! F, ∀ (a : IsFreeGroup.Generators G), F (IsFreeGroup.of a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x
⊢ IsPeriodicPt f m x