ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ (single V c j ⋙ eval V c j).map f ≫ (singleObjXSelf c j B).hom = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ (𝟭 V).map f
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
a b : G
h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε
hf' : ∀ x' ∈ ball x ε, ‖f' x' - f' x‖ ≤ c
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
⊢ ‖f (a, b).1 - f (a, b).2 - (f' x) ((a, b).1 - (a, b).2)‖ ≤ c * ‖(a, b).1 - (a, b).2‖
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
this : ↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 } ∨ ↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
GroupWithZero K
(i : ι) → MulAction K (R i)
r : K
S : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
hr : r ≠ 0
⊢ r • S.pi t = S.pi (r • t)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f‖ = sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜
⊢ A = B
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n
⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i k : ι
inst✝ : K.HasHomology i
h : K.d i (c.next i) = 0
⊢ IsIso (K.iCycles i)
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
a b : G
h : ∀ (g : G), g ^ 2 = 1
⊢ a * (a * b) * b = a * (b * a) * b
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Finite ι
Semiring R
TopologicalSpace R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly, d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly.degree = 2
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ LinearMap.id.mapMatrix = LinearMap.id
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
⊢ take (n + 1) (b :: l) = List.filter (fun a => elem a (take (n + 1) (b :: l))) (b :: l)
α : Sort u_1
⊢ ¬IsEmpty α ↔ Nonempty α
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : a = g • b
⊢ g⁻¹ • a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this : (𝓝[<] x).NeBot
⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ re z < 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x < 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable Y μ
⊢ ProbabilityTheory.mgf (X + Y) μ t = ProbabilityTheory.mgf X μ t * ProbabilityTheory.mgf Y μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.toFun)
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
⊢ HasCompactMulSupport f ↔ f =ᶠ[Filter.coclosedCompact α] 1
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
⊢ ⇑(MonoidHom.toAdditive f) = ⇑Additive.ofMul ∘ ⇑f ∘ ⇑Additive.toMul
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u
hsv : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 v ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (symmDiff u v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
k seed : ℕ
hk : 1 < k
hs : P seed.succ
hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (k * x)
n x✝ : ℕ
hl : seed.succ ≤ x✝
hP✝ : P x✝
⊢ x✝ < (fun x => k * x) x✝
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2
⊢ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ≤ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2)
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)
⊢ (sSup S).compl = ⨆ s ∈ S, s.compl
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
a : Nat
⊢ a ≠ 0 → a.pred ≠ a
α : Type u_1
x : α
n : ℕ
⊢ List.enumFrom n [x] = [(n, x)]
R : Type u_2
CommSemiring R
ι : Type u_3
DecidableEq ι
f : ι → PowerSeries R
d : ℕ
s : Finset ι
⊢ (PowerSeries.coeff R d) (∏ j ∈ s, f j) = ∑ l ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ s, (PowerSeries.coeff R (l i)) (f i)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
k : ℕ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ‖rexp (-r)‖ < 1
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1
⊢ ack m₁ (ack (m₁ + 1) n) < ack m₂ (ack (m₂ + 1) n)
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a - (a - b) = min a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φH h₂.homologyIso.inv)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
⊢ ↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) = ∏ i : Fin n, ↑(↑i)!
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
⊢ x.snd <• x.fst ^ n = x.fst ^ n •> x.snd
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
m : ℕ := Q.natDegree
i j : ℕ
hij : i + j = l + m
H : i = l → ¬j = m
⊢ P.coeff i * Q.coeff j = 0
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsUniversalColimit c
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : ∃ x, B' \ B = {x}
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Finset α
H : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ s.max' H ≤ t.max' ⋯
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b c d : G
hbc : AddCommute b c
hbd : AddCommute (-b) d
hcd : AddCommute (-c) d
⊢ a - b - (c - d) = a - c - (b - d)
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ φ.order = ↑n ↔ (PowerSeries.coeff R n) φ ≠ 0 ∧ ∀ i < n, (PowerSeries.coeff R i) φ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
self : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ self.obj U ⊆ F.map i ⁻¹' self.obj V
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I ⊔ J * I = I
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝ : Fintype ι
⊢ fundamentalDomain b ⊆ parallelepiped ⇑b
r : ℝ≥0
⊢ ↑r⁻¹ ≤ (↑r)⁻¹
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
UniqueFactorizationMonoid N
UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors n
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 :
  ∀ (s t : Set X),
    IsClosed s →
      IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ (BilinForm.toMatrix b) (traceForm R S) i j = (trace R S) (b i * b j)
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)
𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
i : Z.affineCover.J
j : (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.J
⊢ QuasiSeparated ?mk.refine_1
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
s : A → CategoryTheory.Functor C C
i : (i : A) → (s i).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D i)
X : C
⊢ F.map ((CategoryTheory.Functor.FullyFaithful.hasShift.zero hF s i).hom.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i 0).hom.app X) ((CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X))
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p} (h : ∀ i ∈ s, p i) (f : (i : α) → p i → β) (g : (i : α) → ¬p i → β),
  (∑ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∑ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑n)
a : UnitAddCircle
hs' : 1 ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (cosZeta a) 1
α : Type u_1
r : Setoid α
x y : α
⊢ r.Rel x y ↔ ∃ c ∈ r.classes, x ∈ c ∧ y ∈ c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F F' : 𝕜 → ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn (F' x₀) (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀
M : Type u_2
α : Sort u_4
CommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
⊢ p (∏ᶠ (i : α), f i)
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k')) (k.lcm k')
H : Type u_3
TopologicalSpace H
LocallyCompactSpace H
T2Space H
TotallyDisconnectedSpace H
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
b c d : B
a : B
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associatorNatIsoLeft a g h).inv.app X = (CategoryTheory.Bicategory.associator X g h).inv
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
⊢ z.arg ∈ Ioc (-π) π
α β : Type u
n : ℕ
⊢ #(ULift.{u, 0} (Fin (n + 1))) = #(ULift.{u, 0} (Fin n)) + 1
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (Set.Ioo a b).OrdConnected
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
IsDomain R
Infinite R
⊢ ∃ x, LieAlgebra.IsRegular R x
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃ j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.AsSmall C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.AsSmall.down.map f = f.down
a b : ℕ
⊢ a % b + a / b * b = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.φ₂ f.f₂.τ₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorP.map f) S₂.φ₂
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
f₁ f₂ : M ≃ₗ[A] M
g₁ g₂ : N ≃ₗ[R] N
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr (f₁ * f₂) (g₁ * g₂) =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f₁ g₁ * TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f₂ g₂
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.f i j) ⁻¹' U = (fun x => (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i)) ((forget TopCat).map (D.t i j) x)) ⁻¹' U
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (p - q).Monic
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ ι Q = f ↔ (lift Q).symm g = ⟨f, cond⟩
Y : Type w'
TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
⊢ (CategoryTheory.Limits.piComparison (ContinuousMap.yonedaPresheaf' Y) fun x => Opposite.op (X x)) =
  (ContinuousMap.yonedaPresheaf' Y).map
      ((CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫
    (equivEquivIso (ContinuousMap.sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv ≫
      (CategoryTheory.Limits.Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).inv
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (Icc a b).erase a = Ioc a b
x y : ℝ≥0∞
⊢ (x * y).log = x.log + y.log
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ s.Nonempty → upperBounds s ⊆ s
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
⊢ (closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t) = s
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : HasGroupoid M (contDiffGroupoid 0 I)
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝ : ProperSpace E
this : LocallyCompactSpace H
⊢ LocallyCompactSpace M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ ContMDiff I J n f
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ (o.oangle x (r₁ • x + r₂ • y)).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign
n : ℕ+
a : ℕ
h : a ∣ ↑n
⊢ 0 < a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set γ
f : γ → α
g : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ f '' s, g x = ⋃ y ∈ s, g (f y)
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n) =
  (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : Fin L.length
⊢ drop (take (↑i) (map length L)).sum (take (take (↑i + 1) (map length L)).sum L.join) = L.get i
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
⊢ (HomologicalComplex.unopFunctor V c).obj X = (Opposite.unop X).unop
M : Type u_1
Mul M
⊢ commProb M = ↑(Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }) / ↑(Nat.card M) ^ 2
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity 0) s = 0 s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 (- -U) (-s)
m : ℕ
⊢ ¬Irrational ↑m
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.δ (𝟙_ C) X ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight F.η (F.obj X) ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj X)).hom =
  F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.flipₗᵢ' E F G σ₂₃ σ₁₃) = ContinuousLinearMap.flip
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
x : α
y : β
⊢ Function.uncurry f (x, y) = f x y
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R✝ : 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
g : p.obj a' ⟶ R✝
f : R✝ ⟶ p.obj b✝
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
hf' : p.map φ' = g ≫ f
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ') φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift g χ ∧ χ ≫ φ = φ'
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.fract (a + b) ≤ Int.fract a + Int.fract b
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ t ∪ u = (s ∪ u) ∩ (t ∪ u)
A : Type u_1
Ring A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
TopologicalSpace A
Algebra ℝ A
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal