ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance1 x b))
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
g : ℂ →L[ℝ] E
f : ℂ → E
map : ℂ →L[ℂ] E
nonzero : map ≠ 0
minor₁ : ‖map 1‖ ≠ 0
⊢ IsConformalMap (restrictScalars ℝ map)
f : ℝ → ℝ
p : ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 ≤ f x
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
⊢ (algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
⊢ SimpleGraph.Walk.map (SimpleGraph.Hom.mapSpanningSubgraphs ⋯) (SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s p hp) = p
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e₁ e₂ : A ≃ₗc[R] B
⊢ ↑e₁ = ↑e₂ ↔ e₁ = e₂
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
⊢ (Matrix.map 1 fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
J : Ideal R
v : Valuation (R ⧸ J) Γ₀
⊢ J ≤ (Valuation.comap (Ideal.Quotient.mk J) v).supp
f : Bool → Bool → Bool
⊢ Nat.bitwise (Function.swap f) = Function.swap (Nat.bitwise f)
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : y + 1 ≠ 0
⊢ x ^ (y + 1) = x ^ y * x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' f univ x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f univ x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
⊢ ⇑(D1 - D2) = ⇑D1 - ⇑D2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ = ‖y‖
x : ℂ
n : ℤ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ (h.smul a).h₀ = a • h.h₀
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ‖p‖ * ‖‖x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖(innerSL ℝ) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
⊢ ∃ x, ¬coeff x ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff x 0
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BaireSpace X
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ
⊢ ∃ i, (interior (f i)).Nonempty
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
⊢ x ∈ s.toList ↔ x ∈ s
X : FinBoolAlg
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.obj X = FinPartOrd.of ↑X.toBoolAlg
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
n✝ : ℕ
t✝ : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n✝)
xs✝ : Fin n✝ → M
⊢ Term.realize (Sum.elim (fun a => ↑a) (Sum.elim x✝ xs✝) ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc (↑A) α (Fin n✝))) t✝ = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs✝) t✝
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
a : A
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ spectrum 𝕜 (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' spectrum 𝕜 a
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (l : List ι), List.foldr f a l ≤ b) → Ordinal.nfpFamily f a ≤ b
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
r : R
⊢ (Quotient.mk I) (g' (f r)) = (Quotient.mk I) (f' (g r))
α : Type u_2
DecidableEq α
GroupWithZero α
s : Finset α
⊢ s / 0 ⊆ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.antidiagonal k, k.choose x_1.1 • (x ^ x_1.1 * y ^ x_1.2) = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
⊢ ((coyoneda.map (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : 1 < a
h : b < c
hc : 0 < c
⊢ b < a * c
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F x = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F y
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_int : Integrable X μ
⊢ centralMoment X 1 μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k (Set.range p) ≤ sp
hc : Fintype.card ι = finrank k ↥sp.direction + 1
⊢ affineSpan k (Set.range p) = sp
V : Type u_2
P : Type u_10
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedSpace ℝ V
x y : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)) y = x
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
⊢ ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
⊢ ↑(adjoin R s) ⊆ ↑(adjoin S s)
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
z : ℤ
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (z • A) = NormedSpace.exp 𝕂 A ^ z
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
ha : a ≠ ⊤
hab : Codisjoint a b
⊢ a ≠ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
⊢ ∃ r, r • (r₂ • v +ᵥ p₁ -ᵥ p₁) = r₃ • v
n : Num
⊢ n.bit1.succ = n.succ.bit0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε ε' : 𝕜
h : ε ≤ ε'
⊢ P.sparsePairs G ε ⊆ P.sparsePairs G ε'
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ mellin (fun t => f (t * a)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsNClique n (Finset.map f s)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
u : Rˣ
⊢ invUnitsSub u * ((C R) ↑u - X) = 1
o₁ o₂ : ONote
⊢ o₁.cmp o₂ = Ordering.eq → o₁ = o₂
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousAt (F i) x₀
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ Subsemiring.closure Set.univ = ⊤
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ degrees 1 ⊔ ((X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) = ⊥
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a ≤ 1
⊢ mabs a = a⁻¹
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ μ ≪ MeasureTheory.Measure.map (fun h => g - h) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = (Filter.map Prod.mk f).seq g
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x : P.Ring
i : P.vars
⊢ (P.cotangentSpaceBasis.repr (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = (aeval P.val) ((pderiv i) x)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
n : ℕ
⊢ LipschitzWith (K ^ (n + 1)) f^[n + 1]
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.115347, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ cyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ cyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.K
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ a ∆ b = a ⊔ b
a b c : Nat
⊢ a ≤ b → a * c ≤ b * c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
⊢ (s.destruct >>= fun x => tail.aux x >>= drop.aux n) = s.destruct >>= drop.aux (n + 1)
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
⊢ LinearMap.ker b.toDual = ⊥
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.support.Nodup
hp' : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hp').support.Nodup
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ dist (f x) (f y) = dist x y
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
N : ℕ
hN : N ∈ Finset.range n.succ
x : E
⊢ k N ≤ (Finset.range (n + 1)).sup k
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R
⊢ n < rootMultiplicity t p
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s = ⊤
⊢ ↑d ≤ dimH s
r : ℝ
⊢ ‖|r|‖₊ = ‖r‖₊
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward (CategoryTheory.Functor.id C) R = R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
u v : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows η s
⊢ u.val = v.val → u = v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
m : Type u → Type v
Monad m
α : Type u_1
β ω : Type u
EmptyCollection ω
x : ContT.Label (α × ω) m β
i : α
⊢ ContT.goto (WriterT.mkLabel x) i = monadLift (ContT.goto x (i, ∅))
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
U : (Matrix m m 𝔸)ˣ
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (↑U⁻¹ * A * ↑U) = ↑U⁻¹ * NormedSpace.exp 𝕂 A * ↑U
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
⊢ I.pi s ∈ Filter.pi f
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Finite ι
O : Type u_4
AddCommGroup O
Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
⊢ ∃ y ∈ M,
  ∃ a,
    a • y ∈ N ∧
      ∃ M' ≤ M,
        ∃ N' ≤ N,
          N' ≤ M' ∧
            (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
                  ∃ bN,
                    ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
                      ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
                        ∃ bM,
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
⊢ SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) = SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i)
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
inst✝ : P.IsFinite
⊢ Ideal.span ↑⋯.toFinset = P.ker
α : Type u_2
One α
Mul α
Inv α
a : α
⊢ [a].alternatingProd = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop W).index Q).R
⊢ Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index P).sndTo i) ≫ ((unop W).index P).snd i ≫ η.app (op i.r.Z) = Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ P.map i.r.g₂.op ≫ η.app (op i.r.Z)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.comap ϕ H)
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
s : Finset α
⊢ -s = ∅ ↔ s = ∅
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S T : Submonoid M
⊢ Submonoid.map f S ≤ Submonoid.map f T ↔ S ≤ T
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
T : Set (TopologicalSpace β)
⊢ Continuous f ↔ ∀ t ∈ T, Continuous f
α : Type u
β : Type v
m : α → β
F G : Filter β
h : F ≤ G
⊢ Filter.comap m F ≤ Filter.comap m G
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
l : Filter α
c : F''
⊢ (f'' =O[l] fun _x => c) ↔ (c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0) ∧ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ 1 = BialgHom.id R A
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup N
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.comap f H) ≤ H
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : Ω), X x ^ 2 ∂μ = ∫ (x : Ω), (X ^ 2) x ∂μ
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
⊢ ⋂ n, V n * k ⊆ k
m k n : Nat
⊢ n + m ≤ n + k ↔ m ≤ k
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p - 1 ≠ 0
P : TopCat → Prop
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproducts P
hP' : ∀ ⦃X Y B : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ B) (g : Y ⟶ B), OpenEmbedding ⇑f → CompHausLike.HasExplicitPullback f g
⊢ CategoryTheory.FinitaryExtensive (CompHausLike P)
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩) = stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) V ⟨fV, hV⟩)
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) V ⟨fV, hV⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ 0 < Real.pi ∧ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod)
⊢ (σ a).Nonempty
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
⊢ f ((Equiv.swap x y) z) = (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z)
m n : Nat
⊢ ↑m * Int.negSucc n = -↑(m * n.succ)
α : Type u_1
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm (Option α)
⊢ Equiv.Perm.decomposeOption σ = (σ none, Equiv.removeNone σ)