ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
H : m * n = 1
⊢ n * m = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t \ {a}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommSemiring S
Algebra S R
Module S M
IsScalarTower S R M
B : LinearMap.BilinForm R M
r : S
x y : M
⊢ (B (r • x)) y = r • (B x) y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
S : Type u_1
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.eval₂ f 1 p = f (Polynomial.eval 1 p)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : UpperSet α
⊢ ↑(s + t) = ↑s + ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 5 → β
⊢ ∏ i : Fin 5, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
a b : X
xab : x ∈ Icc a b
hab : Icc a b ∈ 𝓝 x
abU : Icc a b ⊆ U
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ Function.LeftInverse φ.invLHom.onBoundedFormula φ.toLHom.onBoundedFormula
x : ℂ
⊢ Complex.cos (2 * x) = Complex.cos x ^ 2 - Complex.sin x ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ (fun x_1 => y - x) = fun x_1 => x - x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
h : Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
f : α →+o β
⊢ OrderAddMonoidHom.comp 0 f = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderiv I I' f x)
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x < y ↔ x.toNat < y.toNat
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ (b \ a) ⊔ b \ a = a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D : Set β
⊢ (M.map f hf).Dep D ↔ ∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = f '' D₀
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
⊢ Filter.Tendsto (fun π => (BoxIntegral.integralSum f vol π.1, BoxIntegral.integralSum f vol π.2))
  (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}) (𝓤 F)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ Disjoint s.powerset (image (insert a) s.powerset)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b : α
hs : {a}.Nontrivial
⊢ False
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ≤ 1
t : ℝ
n : ℕ
this : ↑(Int.negSucc n) + a = -(↑n + (1 - a))
⊢ f_int k a t (Int.negSucc n) = f_nat k (1 - a) t n
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v w : V₁
⊢ AffineEquiv.constVAdd k P₁ (v + w) = (AffineEquiv.constVAdd k P₁ w).trans (AffineEquiv.constVAdd k P₁ v)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
hS : S.Nonempty
f : (i : { x // x ∈ s }) → α ↑i := hS.some
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Add M
Add N
Add P
g : AddHom N P
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.map g f.srange = (g.comp f).srange
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
⊢ |rexp x - expNear m x 0| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)
R : Type u_1
F : Type u_3
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
Ring R
Module R F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R F
p v : F
⊢ Continuous ⇑(AffineMap.lineMap p v)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
hJ : J ≤ I
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).IsPartition ↔ J = I
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ w ∈ G.neighborSet v ↔ G.Adj v w
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
⊢ e.toLinearMap x = e x
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.refl α) = 1
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ b + a / c = (b * c + a) / c
x : ℕ
d : Decidable (x % 2 = 1)
⊢ (bif decide (x % 2 = 1) then 1 else 0) = x % 2
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
x y : A
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜) (x * y) = (DirectSum.decompose 𝒜) x * (DirectSum.decompose 𝒜) y
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖
ι : Type u_1
β : Type u_3
UniformSpace β
α : Type u_4
UniformSpace α
g : α → β
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous fun x => g ∘ x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
⊢ (l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
f : C(A, B)
h1 : f 1 = 1
hmul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y
⊢ f ∈ Set.range toContinuousMap
n✝ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
n : ℕ
f : ℕ → α
hn : ¬n = 0
⊢ ∏ x ∈ image (HDiv.hDiv n) n.divisors, f x = n.divisors.prod f
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : DecidableEq R
⊢ ∑ a : R, 1 a = ↑(Fintype.card Rˣ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
⊢ ∀ (a : List α), (∀ x ∈ a, 1 ≤ x) → a.prod = 1 → ∀ x ∈ a, x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
⊢ x ∈ [x - y-[𝕜]x + y]
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥⊤ = FiniteDimensional.finrank F E
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
this : ¬∀ (i : ℕ), c i ≤ x
⊢ ∃ i, ¬c i ≤ x
x : ℝ*
h : x ≠ 0
⊢ x.Infinitesimal ↔ x⁻¹.Infinite
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
⊢ (Set.range f).Finite
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
a : α
⊢ a ∈ (Finsupp.onFinset s f hf).support ↔ f a ≠ 0
w : uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
α : Type (max u v)
a' : Type v
m : uliftFunctor.{u, v}.obj a' ≅ α
⊢ Small.{v, max u v} α
α : Type u
f : α → α
x : α
⊢ x ∈ Function.fixedPoints f ↔ Function.IsFixedPt f x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u
hsv : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s v ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (symmDiff u v) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
α : Type u_1
l : List α
m n : Nat
a : α
h : n < (l.set m a).length
⊢ (l.set m a).get ⟨n, h⟩ = if m = n then a else l.get ⟨n, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
y : F
x : E
hx : x ∈ {0}
⊢ 0 ≤ 1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : s ∩ o = t ∩ o
⊢ P f s x ↔ P f t x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1
⊢ SameRay R (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
f : Char → Char
s : String
⊢ map f s = { data := List.map f s.data }
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
i : Fin B.dim
⊢ B.gen ^ ↑i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ ker (toSpanSingleton R M m))
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
A : Type u_1
NonUnitalNormedRing A
CompleteSpace A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
CstarRing A
NormedSpace ℂ A
StarModule ℂ A
SMulCommClass ℂ A A
IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : IsSelfAdjoint b := by cfc_tac
⊢ star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
m n k : ℕ
h : k < m
hk : optParam (k < m + n) ⋯
hnk : optParam (n + k < n + m) ⋯
⊢ finAddFlip ⟨k, hk⟩ = ⟨n + k, hnk⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ x, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
Lattice α
f : ι → Sublattice α
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⋂ i, ↑(f i)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (𝟙 (F.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hne : y ≠ x
⊢ y ∈ cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
x✝ : ℝ
⊢ ↑x ^ (-(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)
α : Type u_2
LinearOrder α
DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
h₁ : a₂ ≤ a₁
h₂ : ∀ (a₃ : α), a₃ < a₁ → a₃ ≤ a₂
⊢ a₁ = a₂
x y : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).counitIso.hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hI : (M ↾ R).Base I
⊢ M.Basis I (M ↾ R).E
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)
⊢ (F.op ⋙ G.obj P).map (↑f).unop.op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm y.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))))))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
h : RestrictGenTopology 𝔖
f : α →ᵤ[𝔖] β
u : Filter (α →ᵤ[𝔖] β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous ((toFun 𝔖) f)}
huf : ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(toFun 𝔖) ∘ id) ((toFun 𝔖) f) u s
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
⊢ ContinuousOn ((toFun 𝔖) f) s
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x + y) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space X
f : X → Y
⊢ Embedding f ↔ Inducing f
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
J : Ideal S
r : R
s : S
⊢ (r, s) ∈ I.prod J ↔ r ∈ I ∧ s ∈ J
F : Type u_3
R : Type u_4
Semiring R
EquivLike F R Rᵐᵒᵖ
self : RingInvoClass F R
f : F
x : R
⊢ MulOpposite.unop (f (MulOpposite.unop (f x))) = x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ corootSpace ⇑α = ⊥ ↔ α.IsZero
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
this : ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
B : Type u_1
M : CoxeterMatrix B
i i' : B
⊢ M.M i i' = M.M i' i
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) 1 = n
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_7
κ : Type u_8
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
Fintype κ
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
⊢ (LinearMap.toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) =
  Matrix.submatrix 1 Prod.swap id
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton S
⊢ M.LinearDisjoint N
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ ((↑l₁).bind fun a => map (Sigma.mk a) ↑(l₂ a)) = (↑l₁).bind fun a => ↑(List.map (Sigma.mk a) (l₂ a))
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
e : G ≃+ G'
H : AddSubgroup G
g : ↥H
⊢ ↑((e.addSubgroupMap H) g) = e ↑g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ MapsTo (⇑(AffineMap.lineMap x y)) (Icc 0 1) s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
p : Ideal S
Hp : p.IsPrime
IsLocalization.AtPrime T p
⊢ IsLocalization.AtPrime T (Ideal.comap (algebraMap R S) p)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
⊢ ⊥.image s = ∅
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
⊢ e⁻¹ = e.symm
α : Type u_1
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ (s.disjUnion t h).card = s.card + t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : δ' ≃ δ
⊢ ∀ (a : δ), Measurable fun x => (piCongrLeft π f) x a
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 0
⊢ f.sum g = ∑ x ∈ s, g x (f x)
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
⊢ min (⋯.min ⋯) (⋯.min ⋯) ≤ ⋯.min ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
h : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.arsinh (f x)) s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
h : optParam (∀ (m : M) (hm : m ∈ ↑N), ((toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N) ⋯
x✝ : ↥↑N
⊢ ↑((LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x) h) x✝) = ↑(((toEnd R L ↥↑N) x) x✝)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
X : CategoryTheory.Functor A (B × C)
⊢ ∀ (X_1 : A),
  ((CategoryTheory.functorProdFunctorEquivCounitIso A B C).inv.app X).app X_1 =
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).1, CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).2)
a₁ : ℕ
a₂ : ℕ
h : 0 < a₁
⊢ 0 < a₁ + a₂
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U V : Y.Opens
e : U = V
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : ‖x‖ ≤ S
⊢ ‖x‖ < S + 1
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
hr : IsUnit r
x : M
⊢ Submodule.span R {r • x} = Submodule.span R {x}