ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ((forget C).map f)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ μ.withDensity (f * g) = (μ.withDensity f).withDensity g
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
⊢ ((F.mapAction G).obj M).V = F.obj M.V
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }
⊢ (A * B).toBlock p q i k = (A.toBlock p ⊤ * B.toBlock ⊤ q) i k
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
this✝ : PreservesFiniteColimits (forget FintypeCat)
this : ReflectsColimit (empty FintypeCat) (forget FintypeCat)
⊢ Nonempty (IsInitial (F.obj X)) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
p : ι →₀ R
n : N
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppScalarLeft R N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = p i • n
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
⊢ ⋃ i, ⋃ (hi : p i), Set.Ioc a (f i hi) = Set.Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, ∃ (hi : p i), x ≤ f i hi
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ -↑(-r) < ofSeq f
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
self : AbsoluteValue R S
x y : R
⊢ self.toFun (x + y) ≤ self.toFun x + self.toFun y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * (X + ↑n)).comp q = p.comp q * (q + ↑n)
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
⊢ (if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = x.slice i hid
R : Type u_2
S : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
a b : S
hb : IsUnit ((Polynomial.aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)
⊢ IsUnit ((Polynomial.aeval a) P)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
L : Type v
self : LieRing L
x y z : L
⊢ ⁅x + y, z⁆ = ⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≠ ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p ≠ ⊤ → ((∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p).toNNReal
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = -(o.areaForm y) x
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : FreeAddMonoid α
⊢ (FreeAddMonoid.countP p) l = List.countP (fun b => decide (p b)) l
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁.reverse ++ m₂
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
⊢ v 0 = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).inverse = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).op
x y : ℝ
⊢ Ioc ↑↑x ↑↑y = Ioc ↑x ↑y
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this✝ : ↑n ≠ 0
this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1
⊢ ↑(n • x).toCircle * ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -(fourier n) x
x y : ℂ
⊢ sin ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sin x)
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
m n : ℚ
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
r : ℝ
⊢ IsCompact (closure (⇑f '' Metric.closedBall 0 r))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f 0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Set.Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Set.Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : A →+* C
hg : ker f ≤ ker g
h : B →+* C
hh : h.comp f = g
⊢ h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨h.comp f, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun b => s ×ˢ Iic ↑↑b
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g < ⊤
hf : ∀ i ∈ s, g < v (f i)
⊢ g < v (∑ i ∈ s, f i)
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ Set.range ⇑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.lift f g H').val.base =
  ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
K : Type u_1
LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
FloorRing K
nth_stream_eq_none : GenContFract.IntFractPair.stream v n = none
⊢ v = (GenContFract.of v).convs (n - 1)
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ f (Filter.liminf (fun n => (⇑f)^[n] a) Filter.atTop) = Filter.liminf (fun n => (⇑f)^[n] a) Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜
⊢ ∀ (x : E), A x = B x
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson R ↔ ∀ {I : Ideal R}, I.IsPrime → ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))).FG
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ evalEval 0 0 W.polynomial = -W.a₆
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ (algebraMap R S).SurjectiveOnStalks
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set X
⊢ μH[d] s ≤ ↑K ^ d * μH[d] (f '' s)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e.symm‖ * ‖↑e‖
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f +ᵥ g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
⊢ |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ fourierSubalgebra.topologicalClosure = ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}
ha : a.IsLimit
⊢ a.cof ≤ (f a).cof
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
s : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ ↑(Finset.filterMap f s f_inj) = {b | ∃ a ∈ s, f a = some b}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hμf : μ {x | f x = ⊤} ≠ 0
⊢ ⊤ = ⊤ * μ {x | ⊤ ≤ f x}
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : 0 ≤ x
⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1
⊢ (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => μ (s ∩ a) / μ a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : Z.TotalSpace
⊢ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) p = (p.proj, Z.coordChange (Z.indexAt p.proj) i p.proj p.snd)
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ l.concat a = (a :: l.reverse).reverse
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x → (liftAux φ) (r • y) = r • (liftAux φ) y → (liftAux φ) (r • (x + y)) = r • (liftAux φ) (x + y)
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
not_surj : ¬Function.Surjective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑f.dualMap
⊢ False
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : CommRing α
A✝ B : Matrix n n α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ IsUnit (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂) ↔ IsUnit A
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
g₁ g₂ : SupHom β γ
f : SupHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ 0 ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ (x, a.1 • y₁ + a.2 • y₂) = a.1 • (x, y₁) + a.2 • (x, y₂)
G : Type u_7
CommGroup G
A : Type u_8
DecidableEq A
l : List A
f g : A → G
a : A
⊢ (List.map (fun x => if x = a then f x else g x) l).prod = (f a / g a) ^ List.count a l * (List.map g l).prod
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
s : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : Set.MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, Set.EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
⊢ Set.MapsTo gb (omegaLimit f ϕ s) (omegaLimit f ϕ' s')
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : ↑↑X
⊢ Hom.stalkMap α x = eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
hpq : p.degree < q.degree
⊢ (p + q).Monic
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s
⊢ (EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) ↑p = p
α : Type u
f : Filter α
⊢ (∀ s ∈ f, s.Nonempty) ↔ f.NeBot
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred a ⩿ a
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R 2 = 4 * Polynomial.X ^ 2 - 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)
⊢ JoinedIn F x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
⊢ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ Aᶜ → ↑0 j ≤ ↑s j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor D C
R : CategoryTheory.Functor C D
h : L ⊣ R
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite ι
b : Basis ι R M
u : M
⊢ b.equivFun u = ⇑(b.repr u)
α : Type u_2
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
⊢ s.card ≤ (s / t).card
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec Encodable.decode
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ K.toPiFork.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Pi.lift K.ι) I.fstPiMap
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : IsPeriodicPt f n x
hg : IsPeriodicPt g n x
⊢ IsFixedPt (f^[n] ∘ g^[n]) x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Add β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hf : Summable fun x => ‖term (logMul 1) s x‖
⊢ Summable fun x => ‖term (fun n => ↑(Λ n)) s x‖
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
ε : Type u_9
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
⊢ Filter.map₂ m f (Filter.map₂ n g h) ≤ Filter.map₂ n' (Filter.map₂ m₁ f g) (Filter.map₂ m₂ f h)
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ AddAction.period (-g) a = AddAction.period g a
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : Module.End R M
g₂ : Module.End R₂ M₂
h : LinearMap.comp g₂ f = f.comp g
k : ℕ
⊢ LinearMap.comp (g₂ ^ k) f = f.comp (g ^ k)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Monoid.FG M ↔ ∃ S, Submonoid.closure S = ⊤ ∧ S.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔
  (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧
    MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
a : β × α
s : Set γ
⊢ (κ.swapLeft a) s = (κ a.swap) s
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
self : IsDedekindDomainDvr A
⊢ IsNoetherianRing A
α : Type v
Preorder α
NoMaxOrder α
⊢ ⋃ a, Set.Iio a = Set.univ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a : MvPolynomial σ R
⊢ (-a).totalDegree = a.totalDegree
G : Type u_2
Group G
⊢ ∀ (a : Submonoid G), ↑(Submonoid.invOrderIso a) = (↑a)⁻¹
s : Finset ℕ
⊢ ∃ n, s ⊆ Finset.range n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsCompact s
⊢ ↑{ carrier := s, isCompact' := h } = s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
b : β
i : ι
hb : ¬∃ i, e i = b
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ b) (extend e f ⊥ z)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (s.sup f).IsWF ↔ ∀ i ∈ s, (f i).IsWF
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec List.tail
F : Type u_3
K : Type u_4
CommRing F
NormedField K
p : Polynomial F
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Polynomial.Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (Polynomial.map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
⊢ ‖(Polynomial.map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * ↑(p.natDegree.choose i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a✝ : α
hs : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hb : a ∈ s
habc : a * c = a * a
⊢ a = c
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : S ≤ eqLocus f g
hT : T ≤ eqLocus f g
⊢ S ⊔ T ≤ eqLocus f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsReflexivePair f g
⊢ ∃ s,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f = CategoryTheory.CategoryStruct.id B ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp s g = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s t : Set α
⊢ f '' symmDiff s t = symmDiff (f '' s) (f '' t)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
x₁ : A ⟶ S₁.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S₁.f = x₂
⊢ x₂ = 0
n m : Nat
i : Fin n
⊢ m > 0 → ↑(i.modn m) < m
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
⊢ IsRadical 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : NoMinOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < a * b
⊢ 1 < b
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
AddMonoid α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 0 < ε → a < b + ε
⊢ a ≤ b
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ (∑ i ∈ s, (w i ^ (1 - p⁻¹)) ^ (1 - p⁻¹)⁻¹) ^ (1 / (1 - p⁻¹)⁻¹) * (∑ i ∈ s, (w i ^ p⁻¹ * f i) ^ p) ^ (1 / p) = (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
a b : ↑C
i : ι
h : (fun j => ↑a ↑j) = fun j => ↑b ↑j
⊢ ↑a i = ↑b i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
h : a.toNNReal ≤ b.toNNReal
⊢ a ≤ b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ⇑(monomial R 0) = ⇑(C R)
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.211873}
n : ℕ
⊢ #α = ↑n ↔ ∃ t, ↑t = univ ∧ t.card = n
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a * (a⁻¹ * b) = b