ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G₀ : Type u_1
R : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
CommRing R
Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰ := ⋯
⊢ Function.Injective ⇑(RatFunc.liftMonoidWithZeroHom φ hφ')
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
a b c d : Prop
h : a ∨ b ∨ c
ha : a → d
hb : b → d
hc : c → d
⊢ d
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x) / (b - a)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q✝ : ℝ≥0
q : ℝ≥0∞
hpq : 0 ≤ q
⊢ 0 = 0 ∧ q = 0 ∨ 0 = 0 ∧ q = ⊤ ∨ 0 = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ 0 = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < ENNReal.toReal 0 ∧ q = ⊤ ∨ 0 < ENNReal.toReal 0 ∧ 0 < q.toReal ∧ ENNReal.toReal 0 ≤ q.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ frontier (Ioc a b) = {a, b}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a
⊢ p1 -ᵥ p2 ∈ vectorSpan k s
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝⁵ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝⁴ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this✝³ : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝² : FiniteDimensional ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥(↥E')⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this : finSepDegree F ↥E' * finSepDegree ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯ = finSepDegree F ↥(↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
α : Type u_2
Lattice α
⊢ IsSublattice Set.univ
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
⊢ ∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))
m n k : Nat
⊢ (m * n).Coprime k ↔ m.Coprime k ∧ n.Coprime k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ (CategoryTheory.Monad.comparisonForget h).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (R.obj X)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) = {orthogonalProjectionFn s p}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
⊢ BoxIntegral.integral I l (fun x => 0) vol = 0
α : Type u_1
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hm : Antitone s
hf : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (⇑μ ∘ s) Filter.atTop (nhds (μ (⋂ n, s n)))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
⊢ e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s
V : Set ↑s
VisClopen : IsClopen V
Vx : x ∈ V
V_sub : V ⊆ u
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r * a) = (algebraMap R B) r * f a
α : Type u_1
AddCommGroupWithOne α
CharZero α
a b n : ℕ
⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑n] ↔ a ≡ b [MOD n]
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : M
h₁ : x ∈ p
h₂ : y ∈ p
⊢ x + y ∈ p
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ((B ⊆ M.E ∧ ∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ (I : Set α), M✶.Indep I → B ⊆ I → B = I) ↔ (B ⊆ M.E ∧ ∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, (y ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint y B) → B ⊆ y → B = y
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
⊢ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInftyToNormalizedMooreComplex X =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInftyToNormalizedMooreComplex X
G : Type u_2
u : UniformSpace G
Group G
UniformGroup G
⊢ TopologicalGroup.toUniformSpace G = u
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}
⊢ ℵ₀ < c.ord.cof
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x • g x + b • f y • g y ≤ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s u : Set α
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
hu : TopologicalSpace.IsSeparable u
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (s ∪ u)
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.rTensor Q g)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Submodule.comap f)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
this : Mono S.f
⊢ Epi S.op.g
X : Type u_1
x : X
⊢ (toFreeAbelianGroup.comp (singleAddHom x)) 1 = ((smulAddHom ℤ (FreeAbelianGroup X)).flip (of x)) 1
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeMaxOrder 𝕆 α
a : α
h : IsMax a
⊢ IsMax (grade 𝕆 a)
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
f : G → F
μ.IsAddRightInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (t - g)) μ
a : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ a ^ n = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ n ≠ 0
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A.principalUnitGroup
⊢ ↑↑↑(A.principalUnitGroupEquiv a) = ↑↑a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (↑s).head = Computation.pure s.head
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
n : Matrix (I × K) (J × L) R
i : I
j : J
k : K
l : L
⊢ (Matrix.comp I J K L R).symm n i j k l = n (i, k) (j, l)
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus g = (f - g).support
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : r ≤ 0
⊢ μ (closedBall x r) ≤ 0
α : Type u_1
β : α → Type u_2
(a : α) → AddCommMonoid (β a)
a : α
s : Multiset ((a : α) → β a)
⊢ s.sum a = (Multiset.map (fun f => f a) s).sum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.hom.hom₂ ≫ e.inv.hom₂ = 𝟙 A.obj₂
a b c : Int
h : c ≤ a + b
⊢ -b ≤ a - c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᴹᵒᵖ
⊢ (β_ X Y).unmop = β_ Y.unmop X.unmop
ι : Type u_1
DecidableEq ι
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
w : Monoid.CoprodI.Word G
⊢ ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).tail = (Monoid.CoprodI.of ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).head)⁻¹ • w
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
hik : i ≠ k
⊢ ⁅((of L i) x) k, ((of L j) y) k⁆ = 0 k
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t✝ : ι → α
a b : α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
⊢ sSup (g ∘ f '' t) = sSup ((fun b => g (f b)) '' t)
x : ℝ
⊢ Real.tanh (-x) = -Real.tanh x
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail = {u} + ↑p.support.tail + ({v} + ↑p'.support.tail) - {v}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
s t : Set α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ∧ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
⊢ ¬∃ j k m, ↑k < ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1 ∧ ↑m ≤ ↑j / s ∧ (↑j + 1) / s < ↑m + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : g₂ a ≠ 0
this : g₁ a = 0
⊢ (g₁ + g₂) a ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformly F f p
g : γ → α
cg : Continuous g
⊢ TendstoLocallyUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ ⊆ l₂
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 0 ≤ a + -b ↔ b ≤ a
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
⊢ a * b = max a b
α : Type u
f g : Filter α
⊢ f ≤ g ↔ ∀ x ∈ g, x ∈ f
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
⊢ ∀ (a : S), ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) a = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) a ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) a = (AlgHom.id R S) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (DerivedCategory.homologyFunctor C n₀).map T.mor₂ ≫ DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h = 0
K : Type u
inst✝ : CommRing K
P : Sort v
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
p q p' q' : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : q' ≠ 0
h : q' * p = q * p'
⊢ f (q' * p) (q' * q) = f (q * p') (q * q')
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hI : I.IsPrimary
hJ : J.IsPrime
x : R
e : J = (Submodule.span R {(Ideal.Quotient.mkₐ R I) x}).annihilator
this : (Ideal.Quotient.mkₐ R I) x ≠ 0
⊢ J = I.radical
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
hyp : ∀ (n : ι), ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s n) s' κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (⋃ n, s n) s' κ μ
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
S : Set G
hS : S ∈ 𝓝 0
⊢ -S ∈ 𝓝 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ f '' (lowerBounds s ∩ t) ⊆ lowerBounds (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s s' t : Set α
f f' : α → β
(x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : Set.EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ContinuousOn (t.piecewise f f') (t.ite s s')
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p
⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').symm = e'.symm.trans e.symm
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : C(A, (i : I) → X i)
i : I
⊢ (ContinuousMap.piEquiv A X).symm f i = (ContinuousMap.eval i).comp f
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'
⊢ ∀ (w1 w2 : ι' → k), ∑ i : ι', w1 i = 1 → ∑ i : ι', w2 i = 1 → (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w2 → w1 = w2
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
h : M ≃* N
⊢ IsMulHom ⇑h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
this : Iic ε ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, closedBall x r ⊆ u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
⊢ (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
x y z : α
⊢ (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z) = f ((Equiv.swap x y) z)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
y : ↥S
⊢ IsAddUnit ((↑self.toAddMonoidHom).toFun ↑y)
G : Type u_3
AddGroup G
u v : UniformSpace G
hu : UniformAddGroup G
hv : UniformAddGroup G
⊢ u = v ↔ 𝓝 0 = 𝓝 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R
a0 : a ≠ 0
this : (C a * T n).support = {n}
⊢ (C a * T n).support.max = ↑n
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = ⟪x, y⟫_ℝ
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
⊢ (SemidirectProduct.lift f₁ f₂ h).comp SemidirectProduct.inl = f₁
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M
⊢ (F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m * (F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m = (algebraMap R A) (Q m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
j j' : J
w : j = j'
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.π f j ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = CategoryTheory.Limits.Pi.π f j'
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
⊢ max (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) (lsub fun i => i.elim.birthday) = o
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ ≤ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
n : ℕ
⊢ Nat.fib (n + 2) = Nat.fib n + Nat.fib (n + 1)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n
⊢ lineCount L p = lineCount L q
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α ↪ β
⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z
hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hgn : ∀ (z : ℂ), ‖g z‖ = expR (ε * z.re) * ‖f z‖
y : ℝ
⊢ ‖g (↑y * I)‖ ≤ C
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ (∀ (ib : γ), p ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia ×ˢ Ici ia, Prod.map u u x ∈ s ib) ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
f : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∑' (i : ι), (f i) s ≤ (MeasureTheory.Measure.sum f) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α
⊢ (equivShrink α) x⁻¹ = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x))⁻¹
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.trailingDegree = ⊤ ↔ p = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
h : a ≠ a'
⊢ (Finsupp.single a b) a' = 0
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.IsMultiplicative ↔ f 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ m' = ↑h.unit⁻¹ (x • m')
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset (Multiset α)
⊢ m.sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ m, a.Nodup
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : W.Point
⊢ (P + Q).toAffineLift = P.toAffineLift + Q.toAffineLift
R : Type u
CommRing R
X Y : AlgebraCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).map f = ModuleCat.ofHom (AlgHom.toLinearMap f)
n : Nat
x y : Fin n
⊢ ↑↑(x - y) = (↑(n - ↑y) + ↑↑x) % ↑n
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ Equiv.Perm.decomposeFin.symm (p, 1) = Equiv.swap 0 p
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ 1 < PNat.find h ↔ ¬p 1
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ
⊢ succAbove 1 1 = 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ (∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ R.mul ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (α_ R.X R.X (X P Q)).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommGroup R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
a : α
⊢ (s - t) a = s a - t a
M : Type u_5
Zero M
ι : Type u_13
Unique ι
⊢ ∀ (a : ι →₀ M), Equiv.finsuppUnique a = a default
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioo ↑x ↑y = Set.Ioo x y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : closure (Ioc a b) ⊆ s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card + (G.commonNeighbors v w).toFinset.card = 2 * k
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ edist (c • f) (c • g) = edist f g
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 4 =
  Polynomial.C Polynomial.X * Polynomial.C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 -
      Polynomial.C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * Polynomial.C W.Ψ₃ +
    Polynomial.C W.Ψ₃ ^ 4
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ deriv (fun x => -x) x = -1