ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ blockDiagonal' 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
c : Char
cs : List Char
⊢ { data := c :: cs }.extract 0 { data := c :: cs }.endPos = { data := c :: cs }
m n : ZNum
⊢ m ∣ n ↔ n % m = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ Collinear k s ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
⊢ ⇑1 = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ∀ (x : X), 𝓝 (f x) ≤ Filter.map f (𝓝 x)
⊢ IsOpenMap f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ ((α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ M₁.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ p ⊔ q = LinearMap.range (p.subtype.coprod q.subtype)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P : D → Prop
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : ∀ (X : C), P (F.obj X)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.FullSubcategory.lift P F hF).obj X).obj = F.obj X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t
⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.Chebyshev.T R n) = ↑n * Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1)
R₁ R₂ : ℝ
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
hz : z ∈ Metric.ball c R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ K.pOpcycles j ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) = (K.sc' i j k).pOpcycles
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).antidiagonal =
  Multiset.map (Prod.map id (Multiset.cons a)) s.antidiagonal +
    Multiset.map (Prod.map (Multiset.cons a) id) s.antidiagonal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ ∀ (a : WellOrder), type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < ⟦a⟧}) = lift.{u + 1, u} ⟦a⟧
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocRing α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℤ
v : m → α
⊢ ↑x *ᵥ v = ↑x • v
m n : ℕ
NeZero m
NeZero n
⊢ OfNat.ofNat m ≤ OfNat.ofNat n ↔ OfNat.ofNat m ≤ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : ZNum
⊢ ↑(b + 0) = ↑b + ↑0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ min x y ≤ a • x + b • y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : C.Exact
⊢ (C.map (tensorLeft M)).Exact
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Rₚ : Type u'
CommRing Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type v'
CommRing Aₚ
Algebra R Aₚ
Algebra A Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type v'
CommRing Bₚ
Algebra R Bₚ
Algebra B Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
Algebra Rₚ Aₚ
Algebra Rₚ Bₚ
IsScalarTower R Rₚ Aₚ
IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
⊢ IsLocalizedModule (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) (AlgHom.toKerIsLocalization M Rₚ Aₚ Bₚ f)
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
⊢ √(2 + ↑a / ↑b) ≤ ↑c / ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Primrec₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)
this : Primrec₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)
a : α
n : ℕ
⊢ (List.map (f (a, n).1) (List.range (a, n).2.succ)).get? (a, n).2 = some (f a n)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den
⊢ ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
n : ℕ∞
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f₁ s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
⊢ Disjoint ((fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i) (T.sup fun i => torsionBySet R M ↑(p i))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
⊢ X.natSepDegree = 1
X Y : Type u
Mul X
Mul Y
e : X ≃* Y
⊢ ∀ (a : X), e.toMagmaCatIso.hom a = e.toFun a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N
⊢ map f N ≤ map f ⊤
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d
⊢ 0 ≤ -d * (n.im * n.im)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => p x m) s
s : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) atTop atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β
⊢ f.core (s ∩ t) = f.core s ∩ f.core t
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
T : ι' → Set (Set X)
hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t
hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable
hTs : ∀ (i : ι'), (fun i => ⋂₀ T i) i = ⋂₀ T i
⊢ ∀ t ∈ ⋃ i, T i, IsOpen t
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
⊢ -CauSeq.Completion.mk f = CauSeq.Completion.mk (-f)
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < [n].len + 1
⊢ ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk v w
hp : p.IsPath
hu : u ∉ p.support
h : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).IsPath
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {a b c : C} (α : a ≅ b) (β : b ≅ c), Trans.trans α β = α ≪≫ β
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
n : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, ‖f b‖ ≤ n b
⊢ ‖∏ b ∈ s, f b‖ ≤ ∑ b ∈ s, n b
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
hT' : T = iUnion S
c : ↑T
ci : (i : ι) → ↑(S i)
hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c
cβ : β
h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ
i : ι
hi : ↑c ∈ S i
⊢ iUnionLift S f hf T hT c = cβ
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ AntilipschitzWith ‖a‖₊⁻¹ fun x => x * a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
⊢ (κ.comapRight hf) a = MeasureTheory.Measure.comap f (κ a)
α : Type u_1
p : Multiset α → Sort u_3
s : Multiset α
H : (s : Multiset α) → ((t : Multiset α) → t < s → p t) → p s
⊢ s.strongInductionOn H = H s fun t _h => t.strongInductionOn H
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn
  (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, EisensteinSeries.eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑UpperHalfPlane.ofComplex)
  ((EisensteinSeries.eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑UpperHalfPlane.ofComplex) Filter.atTop {z | 0 < z.im}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g
⊢ Set.EqOn f g U
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk (mk x).dest = mk x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(nthHom f (r + s) j - (nthHom f r j + nthHom f s j)) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A → B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = (MonoidHom.id R) m • f x
h₂ : { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (a : A),
    { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ }.toFun (star a) =
      star ({ toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ }.toFun a)
⊢ ⇑{ toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄, map_star' := h₅ } = f
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
v : V
hv : v ∈ (M ⊔ M').verts
⊢ ∃! w, (M ⊔ M').Adj v w
α : Type u_1
s : Set α
⊢ 1 ≤ s.encard ↔ s.Nonempty
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
⊢ IsUnramified k (mk φ) ↔ σ = 1
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Set.Ioc a b) = b - a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ (s.sup' H fun x => a) ≤ a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.ball x ε = ∅ ↔ ε ≤ 0
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → v b * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c b = 0
α✝ : Type u_1
l : List α✝
a : α✝
⊢ l.Disjoint [a] ↔ ¬a ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b✝ : M
a₁ a₂ : α
b : M
⊢ (single a₁ b) a₂ = (single a₂ b) a₁
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
⊢ IsIntegral ℤ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
φ₁ φ₂ : A →ₗc[R] A
⊢ φ₁ * φ₂ = φ₁.comp φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, s i) ∪ t = ⋂ i, s i ∪ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
h : ContinuousAt (dslope f a) b
⊢ ContinuousAt f b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ + φ').τ₁ = φ.τ₁ + φ'.τ₁
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < firstDiff x y ∧ firstDiff x z < firstDiff y z
⊢ False
a b : Nat
h : b < a
⊢ a ≠ b
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
p : Set J
j₀ : J
h0 : j₀ ∈ p
h1 : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → (j₁ ∈ p ↔ j₂ ∈ p)
j : J
aux : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → { down := j₁ ∈ p } = { down := j₂ ∈ p } := fun j₁ j₂ f => congrArg ULift.up (Iff.eq (h1 f))
i : (j ∈ p) = (j₀ ∈ p)
⊢ j ∈ p
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
k : K
⊢ (Cocone.whisker E (cocone F)).ι.app k = ι F (E.obj k)
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ r * ↑n
x : α
hx : ↑n * max b 0 ≤ f x
⊢ b ≤ r * f x
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
⊢ G.IsClique s ↔ SimpleGraph.induce s G = ⊤
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ hurwitzZetaOdd a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * sinZeta a s
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ lim)
j : J
k : K
⊢ (limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫ limit.π (uncurry.obj F) (j, k) = limit.π (F ⋙ lim) j ≫ limit.π (F.obj j) k
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu Gu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
f : E → Fu
n : ℕ
s : Set E
t : Set Fu
x : E
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
CommSemiring S
Algebra S A
Algebra R S
Algebra S C
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S C
f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
ha : f.comp Algebra.TensorProduct.includeLeft = g.comp Algebra.TensorProduct.includeLeft
hb :
  (AlgHom.restrictScalars R f).comp Algebra.TensorProduct.includeRight =
    (AlgHom.restrictScalars R g).comp Algebra.TensorProduct.includeRight
⊢ f = g
α : Type u_2
self : LinearOrderedCommMonoidWithZero α
⊢ 0 ≤ 1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
⊢ ((LieModule.traceForm R L M) x) y = ((LieModule.traceForm R L M) y) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
⊢ f.natDegree = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f univ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (a • f) univ x = a • iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
a✝ : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩
⊢ a = a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∏ i ∈ s, f i‖ ≤ ∑ i ∈ s, ‖f i‖
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsUpperSet (Set.Ioi a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 b u p
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Finset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ (∏ i ∈ s, (X + C (r i))).coeff k = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ ‖x‖₊ < r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖₊ < r
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a
⊢ IsOpen (⋃ z, Ioo (a + z • p) (a + p + z • p))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ Subobject.mk (kernel.ι f.unop) ≤ Subobject.mk (kernel.ι g.unop)
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hbc : AddLECancellable (b - c)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ b
⊢ a = a - b + c + (b - c)
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
AddCommGroup β
f : α → β
hf : IsAddHom f
⊢ IsAddHom fun a => -f a
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ ↑(CoalgebraCat.of R X).toModuleCat = X
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
Subsingleton E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0
G : Type u_1
Group G
⊢ Subgroup.closure ∅ = ⊥
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
ContinuousSMul R A
⊢ ↑(algebraMapCLM R A) = Algebra.linearMap R A
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ x ∈ Metric.cthickening δ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
⊢ ∀ {x y z : β}, x > max y z ↔ x > y ∧ x > z
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s : Submonoid M
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsMinFilter f l a
g : α → γ
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => op (f x) (g x)) l a
γ : Type w
s : Set γ
l : Filter γ
h : l.NeBot
h' : l ≤ 𝓟 s
⊢ (Filter.comap Subtype.val l).NeBot
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIso (self.μ X Y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ Pairwise (Lex (swap R)) (a :: l).sublists'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedCommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
c : 𝕜
hs : StarConvex 𝕜 (c • x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun z => c • z) ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3 < 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
ha : x ∈ (tᶜ ∩ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent a
b : α
hbt : b ∈ t
hb : x ∈ (sᶜ ∩ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent b
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ ε ^ 5 ≤ (1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
ι : Type u_8
s : Finset ι
t : ι → Set E
⊢ (convexHull R) (∑ i ∈ s, t i) = ∑ i ∈ s, (convexHull R) (t i)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
⊢ SuperpolynomialDecay l k g