ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
A : C
f g : A ⟶ (CochainComplex.mappingCone φ).X i
⊢ f = g ↔
  f ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij = g ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij ∧
    f ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯ = g ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯
α : Type u
⊢ Cardinal.mk ↑∅ = 0
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.sin (x + ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.sin x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.ΨSq n).natDegree ≤ n.natAbs ^ 2 - 1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
⊢ (if IsUnit 1 then 1 else 0) = 1
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
⊢ f.toMulHom = ↑f
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (f' i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ ∅, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ ∅, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
n : ℕ
s : ℕ := n.sqrt
⊢ pair (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).1 (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).2 = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => x) (p.sum x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ Continuous (s.restrict f)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y z : R
⊢ f ((x + y) * z) / f z ≤ f (x * z) / f z + f (y * z) / f z
n : Nat
k : Fin (n + 1)
⊢ k < k + 1 ↔ k < Fin.last n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
⊢ orderOf f = f.support.card
m : ℕ∞
⊢ Cardinal.aleph0 + ↑m = Cardinal.aleph0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
a : α ⊕ Computation α
b : β ⊕ Computation β
⊢ Computation.LiftRelAux (Function.swap R) (Function.swap C) b a = Computation.LiftRelAux R C a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop
⊢ (∀ s ⊆ range f, p s) ↔ ∀ (s : Set α), p (f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f t.π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g t.π
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = ⋃ a ∈ s, (fun b => (a, b)) '' t
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
f'' : α → E''
l : Filter α
⊢ (f'' =O[l] fun _x => 0) ↔ f'' =ᶠ[l] 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ (f + g) m = f m + g m
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsNowhereDense s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ IsNowhereDense t ∧ IsClosed t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
hr : Symmetric r
⊢ {a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Pell.yz a1 (m - n) = Pell.xz a1 n * Pell.yz a1 m - Pell.xz a1 m * Pell.yz a1 n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T (-f) = -MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N
⊢ stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n
⊢ A ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
⊢ 0 < μ n
α : Type u_1
n : ℕ
Zero α
⊢ Matrix.vecTail 0 = 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
⊢ ((sheafYonedaHom α).app (G.op.obj X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
⊢ (aleph' (ω + (a - ω))).ord = o
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F c ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j = c.π.app j
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
i : ι
hi : (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i = v
⊢ ‖(fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i‖ ≤ ‖f‖
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 0 ≤ a + |a|
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.coconeOfRepresentable P).pt = P
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this : Nontrivial K
s : Type v
hs : Basis s K V
⊢ lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ p₃' : P
h₁ : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
h₃ : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m₁ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₂ m₃)).app X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m₁ m₂ m₃).inv).app X)
        ((F.μIso (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₁ m₂) m₃).inv.app X)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f : X ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj P
⊢ P.Factors (f ≫ P.arrow)
⊢ ∀ {X Y : Preord} (f : ↑X →o ↑Y), alexDiscEquivPreord.inverse.map f = Topology.WithUpperSet.map f
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableAdd₂ M
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun a => f a + g a) μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx_eq : rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
⊢ rexp (llr μ ν x) = (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : β → γ
g : α → β
x : Filter α
y : Filter γ
⊢ Tendsto f (map g x) y ↔ Tendsto (f ∘ g) x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsLocallyFaithful K
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f
⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = ι f x
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
ι : Sort u_10
f : F
p : ι → Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.comap f (⨅ i, p i) = ⨅ i, Submodule.comap f (p i)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
a : ↥(Algebra.adjoin ℤ {ζ})
⊢ hζ.adjoinEquivRingOfIntegers a = (IsIntegralClosure.lift ℤ (𝓞 K) K) a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : YonedaCollection F Y
⊢ op (CostructuredArrow.mk (yoneda.map f ≫ p.fst)) = op (CostructuredArrow.mk (map₂ F f p).fst)
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2
⊢ 3 ≤ n.minFac
R : Type u_1
Ring R
S : NonUnitalSubring R
h1 : 1 ∈ S
⊢ (S.toSubring h1).toNonUnitalSubring = S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.Mono S.fromOpcycles
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ { q' // ↑r < ↑q' } ≃ ↑(Ioi r)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h₁ : MeasurableSet (A ∩ {a | f a ≤ g a})
h₂ : MeasurableSet (A ∩ {a | g a < f a})
⊢ ν (A ∩ {a | f a ≤ g a}) + ν (A ∩ {a | g a < f a}) = ν A
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
r : ℝ
hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r
A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r
⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
self : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X) (CategoryTheory.Functor.id T)
⊢ (CategoryTheory.Under.forgetCone X).π.app self = self.hom
α : Type u
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → α
⊢ Matrix.vecAlt1 ⋯ (Matrix.vecAppend ⋯ v v) = v ∘ fun n_1 => n_1 + n_1 + 1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
CategoryTheory.IsIso f
⊢ P (f ≫ g) ↔ P g
K : Type u_2
M : Type u_3
Field K
AddCommGroup M
Module K M
Module.Finite K M
φ : Module.End K M
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(φ.maxGenEigenspace 0) = (LinearMap.charpoly φ).natTrailingDegree
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
g' : G
hg' : g' ∈ V
hy : g' • x ∈ interior (V • {x})
J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x
this : (g'⁻¹ • V) • {x} ⊆ U • {x}
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b = a
e : b = a := x✝
⊢ indexOf b (b :: l) = 0
a b : ℤ
h : a < b
⊢ ↑(Ioo a b).card = b - a - 1
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
f : M →* P
⊢ MonoidHom.mrange (Con.kerLift f) = MonoidHom.mrange f
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l ≤ BoxIntegral.IntegrationParams.Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0),
    ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I ∩ s,
      ∀ ε > 0,
        ∃ δ > 0,
          ∀ J ≤ I,
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ →
              x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0),
    ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I \ s,
      ∀ ε > 0,
        ∃ δ > 0,
          ∀ J ≤ I,
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ →
              x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f vol (g I)
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < l.length) (h₂ : j < l.length), l.nthLe i h₁ = l.nthLe j h₂ → i = j
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Disjoint a (sSup (s \ {a}))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ UniformFun.toFun (UniformFun.ofFun f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioo a b) (Set.Ioo (f a) (f b))
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : FiniteMeasure Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ.toFiniteMeasure.normalize s = μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d e : CategoryTheory.Factorisation f
self : d.Hom e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp d.ι self.h = e.ι
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
this✝ : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this : IsScalarTower L (↥L') E
⊢ f'.comp (algebraMap L ↥L') = f.toRingHom
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E : IntermediateField K L
σ : L ≃ₐ[K] L
⊢ σ ∈ E.fixingSubgroup ↔ ∀ x ∈ E, σ x = x
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑(A * B) = ↑A * ↑B
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec₂ Mathlib.Vector.cons
p r : ℕ
i : ℕ
hr : ¬p ∣ r
⊢ (p * i + r).factorization p = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ (t ∪ u) = s ∪ t ∪ (s ∪ u)
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
x : R
⊢ Quot.mk (⇑c) x = ↑x
F : Type u_1
NormedField F
CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
s : Finset ℕ
⊢ ∏ p ∈ Finset.filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(Nat.factoredNumbers s)), f ↑m
α : Type u_2
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ↑(m a)) f (𝓝 ↑a) ↔ Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ ↑(AddOreLocalization.oreSubtra r s) + r = AddOreLocalization.oreMin r s + ↑s
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
f : G → F
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf : Integrable f μ
g : G
⊢ Integrable (fun t => f (t / g)) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
R₃ : Type u_5
M₃ : Type u_6
Ring R
Ring R₂
Ring R₃
AddCommMonoid M
AddCommGroup M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ LinearMap.ker g ≤ LinearMap.range f ↔ (LinearMap.range f).mkQ ∘ₗ (LinearMap.ker g).subtype = 0
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ ((map (_root_.frobenius R p)) ((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) f)).coeff n = f.coeff n
α : Type u_1
Unique α
One α
⊢ default = 1
α : Type u_1
CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x.2 ∈ s ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 * x.1 = a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K
⊢ (toLin' (vecMulVec w v)).rank ≤ 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
⊢ (∃ x y, ∀ b ≥ x, r b y) ↔ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∃ b_1, ∀ a ≥ b, r a b_1
n : Type u_1
DecidableEq n
Fintype n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
⊢ (M ^ p).charpoly = M.charpoly
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ s
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₂
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).counitIso.inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
⊢ ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hsub : MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤
  ENNReal.ofReal
    (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω},
      MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgunif : UniformIntegrable g p μ
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K✝ : Multifork I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I
⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) X ≫ (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap).map f
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
AddCommMonoid M
f g : α → M
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ ∑ a : α, f a = ∑ a : α, g a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f' : Y → X
h : Continuous f'
l_inv : LeftInverse f f'
r_inv : Function.RightInverse f f'
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f' ⁻¹' s)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x = 0 ∨ x ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * X).coeff (n + 1) = p.coeff n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)
dz : f.degree = 0
⊢ IsUnit f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ ((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(canonicalEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i