ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
hg : UpperSemicontinuousWithinAt g s x
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) s x
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : List ℚ
⊢ ↑s.sum = (List.map Rat.cast s).sum
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
hm : m.Nonempty
⊢ (restrict s) (sInf m) = sInf (⇑(restrict s) '' m)
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
⊢ AddMonoid.Coprod.inl.range ⊔ AddMonoid.Coprod.inr.range = ⊤
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddCommMonoidWithOne G
AddMonoidWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
n : ℕ
n.AtLeastTwo
x : G
⊢ f (OfNat.ofNat n + x) = f x + OfNat.ofNat n
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x - a) '' s = s - t
R : Type u
Ring R
p : R[X]
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (-p) = -Polynomial.eval₂ f x p
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ bᶜ ↔ b ≤ aᶜ
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M ≃ₗ[R] M₁
⊢ Module.rank R M = Module.rank R M₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
⊢ Preperfect C ↔ ∀ x ∈ C, ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ c < a → c < b → c ∉ [[a, b]]
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β
k✝ : ℕ
a✝ : k✝ < n
⊢ h (g (g^[k✝] x)) ≤ f (h (g^[k✝] x))
q' : Λ'
k✝ : K'
s✝ : Option Γ' → Option Γ'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ ↑(zpowers a)
⊢ image (fun i => a ^ i) (range (orderOf a)) = univ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ X.basicOpen 0 = ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ SetLike.coe '' Set.range basicOpen = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)
n : ℕ
⊢ (↑n).toNNRat = ↑n
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a : α
⊢ ¬a < 0
α : Type u
x : α
e : Equiv.Perm α
h : Function.IsFixedPt (⇑e) x
n : ℤ
⊢ Function.IsFixedPt (⇑(e ^ n)) x
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x
⊢ b.card ≤ FiniteDimensional.finrank R M
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a⁻¹⁻¹ + b⁻¹⁻¹ = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : C
⊢ ((adj1.natTransEquiv adj2) f).app X =
  F'.map ((adj1.unit ≫ CategoryTheory.whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ a ⋖ ⊤ ↔ IsCoatom a
γ : Type u_3
U : UniformSpace γ
m : MetricSpace γ
H : 𝓤 γ = 𝓤 γ
⊢ m.replaceUniformity H = m
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) univ = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
A : CommMon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj A).obj X).one = A.one.app X
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
a : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f a (𝓝 1) ↔ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) a (𝓝 0)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
x : ↥(Submodule.torsionBy R M a)
⊢ a • ↑x = 0
γ : Type w
EMetricSpace γ
x y : γ
⊢ edist x y = 0 ↔ x = y
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ
fs : (a : α) → j0 ⟶ j a := fun a => ⋯.some
gg : α → LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (Fin 2) := fun a => LocallyConstant.comap (F.map (fs a)) (g a)
ggg : LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (α → Fin 2) := LocallyConstant.unflip gg
a : α
x : ↑C.pt.toTop
⊢ (LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app j0 ≫ F.map (fs a)) x)
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ (PEquiv.ofSet s).symm = PEquiv.ofSet s
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ Function.Injective SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)) = W₀.sum fun i => ⇑(V i)
R : Type u_1
A : Type u_2
Mul R
Add A
Mul A
SMul R A
x₁ x₂ : Unitization R A
⊢ (x₁ * x₂).fst = x₁.fst * x₂.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : Filter α
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ 𝓟 t ↔ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s} ∈ f
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup → l₂.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
BorelSpace γ
SecondCountableTopologyEither β γ
MeasurableSpace δ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.comp₂Measurable g hg f₁ f₂ =
  MeasureTheory.AEEqFun.compMeasurable (Function.uncurry g) hg (f₁.pair f₂)
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (if h : ↑i + ↑i < n then v ⟨↑i + ↑i, ⋯⟩ else v ⟨↑i + ↑i - n, ⋯⟩) = v (i + i)
x y : USize
⊢ x = y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
u : ∀ m ∈ h :: t, IsUnit m
⊢ IsUnit (h * t.prod)
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
i : Bool
⊢ MeasurableSet (bif i then s₁ else s₂)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
Fintype ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ v.sum f = ∑ i : ι, f i (DFinsupp.equivFunOnFintype v i)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = Polynomial.eval (v i) g
⊢ f = g
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
⊢ ∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x ^ n < 1 ↔ x < 1
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card α ≤ 1 ↔ ∀ (a b : α), a = b
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : 1 < a
⊢ b < c * a
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
Ixx : α → α → Set α
p : α → α → Prop
Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b
Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
s t : Set α
l₁ : α
hls₁ : l₁ ∈ s
u₁ : α
hut₁ : u₁ ∈ t
left✝¹ : p l₁ u₁
l₂ : α
hls₂ : l₂ ∈ s
u₂ : α
hut₂ : u₂ ∈ t
left✝ : p l₂ u₂
⊢ (Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂)).Nonempty → Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂) ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, p l u ∧ Ixx l u = S}
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h' : Commute x y
h : x ≠ y
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ n) / (x - y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
G : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).inverse.obj G).obj X_1 =
    G.obj (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.inv).obj (Opposite.unop X_1)))
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
⊢ ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ w ○ V ⊆ w ○ w ○ w
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M ≃* N
⊢ f.toMonoidHom = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)) (κ a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (𝟙 (M.X ⊗ M.X) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom) ≫ (M.mul ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ CategoryTheory.Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Set.Ioo a b)
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ProbabilityTheory.gammaPDF a r x = 1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ x ∈ L'.toSubmodule ↔ x ∈ L'
ι : Type u_1
α : Type u_3
DecidableEq ι
AddCancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∑ i ∈ s \ t, f i ≠ ∑ i ∈ t \ s, f i ↔ ∑ i ∈ s, f i ≠ ∑ i ∈ t, f i
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a * b < c * d
hc : 0 < c
ha : a ≠ 0
hh : a⁻¹ ≤ c⁻¹
⊢ b < d
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖f‖ ^ p.toReal = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
τ : ℍ
h0 : ↑τ ≠ 0
⊢ jacobiTheta ↑(ModularGroup.S • τ) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * jacobiTheta ↑τ
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable (⇑g) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
⊢ IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Iic a ⊆ s
α : Type u_1
o : Part α
⊢ o ≠ Part.none ↔ ∃ x, o = Part.some x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)
⊢ I.radical = I.jacobson ↔ ⊥.radical = ⊥.jacobson
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
α : Fin 2 → Type u_2
(i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)
f : (i : Fin 2) → α i
⊢ (IsometryEquiv.piFinTwo α) f = (f 0, f 1)
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
h : u.prod ∣ n.factorMultiset.prod ↔ u ≤ n.factorMultiset := prod_dvd_iff
⊢ u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
ExpChar F q
IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (Polynomial.X - Polynomial.C x) ^ q ^ n
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.quotLeftToQuotSupₐ R I J) = DoubleQuot.quotLeftToQuotSup I J
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 ≤ p
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
PartialOrder N
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
x y : α →₀ N
hlt : x < y
⊢ Pi.Lex r (fun {i} x x_1 => x < x_1) ⇑x ⇑y
α : Type u_1
NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c
⊢ a ∣ b + c ↔ a ∣ b
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p ∣ n ^ k ↔ p ∣ n
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s
α : Type u_1
l m : Language α
⊢ (l + m).reverse = l.reverse + m.reverse
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
z : ℤ
a : ℕ
hq : ↑z / (↑a + 1) ∈ closedBall α ζ
⊢ 1 ≤ (↑a + 1) ^ f.natDegree * dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) (↑z / (↑a + 1)))
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ 1 < a ^ n ↔ 1 < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp t πX = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f i) b
t' : A i ⟶ Y
fac : CategoryTheory.CategoryStruct.comp t φ = t'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (CategoryTheory.SmallObject.functorObjSrcFamily f πX)
      { i := i, t := t, b := b, w := w })
    (CategoryTheory.SmallObject.functorMapSrc f πX πY φ hφ) =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (CategoryTheory.SmallObject.functorObjSrcFamily f πY)
    { i := i, t := t', b := b, w := ⋯ }
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
i j : ↥R⁰
⊢ (∃ a, a • ↑↑i = ↑↑i * ↑↑j) ∧ ∃ a, a • ↑↑j = ↑↑i * ↑↑j
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖-a‖₊ = ‖a‖₊
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ Multiset.count i (p * C c).degrees ≤ Multiset.count i p.degrees
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
⊢ (node size✝ l x✝ r).toList.length = (node size✝ l x✝ r).realSize
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)
⊢ HasShift.shift.map (eqToHom ⋯) = (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : Disjoint (g • B) (g' • B)
⊢ ⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))
M : Type u_2
Add M
⊢ ∀ (a : Mᵃᵒᵖᵃᵒᵖ), (AddEquiv.opOp M).symm a = AddOpposite.unop (AddOpposite.unop a)
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
K' : Type u_5
Field K'
Algebra R₁ K'
IsFractionRing R₁ K'
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'
⊢ FractionalIdeal.map (↑h) (I / J) = FractionalIdeal.map (↑h) I / FractionalIdeal.map (↑h) J
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
b : ↥M
hb : ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i
i : ℕ
⊢ (Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p)).coeff i = (↑b • p).coeff i
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ FormallyEtale R A ↔ FormallyUnramified R A ∧ FormallySmooth R A
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : X
⊢ (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) (f x) = x
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
S : Type u_10
CommRing R
Ring S
Nontrivial S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
⊢ m ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ Set.range ⇑(algebraMap R S)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
h_sum : Summable fun n => (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f
⊢ (∑' (n : ℕ), (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hβ : β.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ ∃ t, f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p 0)
⊢ ‖f‖ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofColimitCocone ht).inr = t.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
⊢ Function.Bijective ⇑(Polynomial.Gal.galActionHom p ℂ)
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g : ι → G
n : ℕ
⊢ ⇑f ∘ (g ^ n) = ⇑f ∘ g ^ n
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
l : List (Sigma β)
h : a ≠ a'
⊢ List.dlookup a (List.kinsert a' b' l) = List.dlookup a l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
s : Set ι
⊢ InjOn f s ↔ s.Pairwise fun x x_1 => f x ≠ f x_1
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u : U
e : Quiver.Star u
⊢ ((Quiver.starEquivCostar u) e).snd = Quiver.reverse e.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'
⊢ (ts.permutations'.bind fun y => (permutationsAux2 t [] [] y id).2) ++ map (fun x => x ++ [t]) ts.permutations' ~ ([t] ++ ts).permutations'
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
⊢ BddAbove (range fun y => ⨅ x, f (inl x, inr y) + C)
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β
x : m α
⊢ f <$> x = do
  let a ← x
  pure (f a)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
hf₁ : Monotone f
hf₂ : ∀ (x : α), x ≤ f x
hf₃ : ∀ (x : α), f (f x) ≤ f x
⊢ ∀ (a : α), (ClosureOperator.mk' f hf₁ hf₂ hf₃) a = f a