ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Antivary f g₂
⊢ Monovary f (g₁ / g₂)
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
x : K
⊢ (NumberField.mixedEmbedding K) x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f ↔
  ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w x < ↑(f w)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : 0 ≤ g₁
hg₂ : 0 ≤ g₂
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Monovary f g₂
⊢ Monovary f (g₁ * g₂)
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
α : Sort u
β : Sort v
f₁ f₂ : α → β
a₁ a₂ : α
h₁ : Eq f₁ f₂
h₂ : Eq a₁ a₂
⊢ Eq (f₁ a₁) (f₂ a₂)
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.optionEquivLeft R S₁) (MvPolynomial.X none) = Polynomial.X
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x => v') t) ((fun x => s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0
⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val
α : Type u_4
LinearOrder α
TopologicalSpace α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Set.Ioo y x) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : x ≤ y
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
⊢ ∀ r ∈ Ideal.span {(algebraMap R S) M}, ∀ s ∈ ↑I, r * s ∈ Ideal.span {b}
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
ι : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
⊢ Absorbs G₀ (⋂ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, Absorbs G₀ (s i) t
s : String
c : Char
⊢ (s.push c).data = s.data ++ c :: List.nil
⊢ Set.BijOn Real.cos (Set.Icc 0 Real.pi) (Set.Icc (-1) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β
⊢ f =O[map k l] g ↔ (f ∘ k) =O[l] (g ∘ k)
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
HasGroupoid M G
ClosedUnderRestriction G
⊢ let s := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ };
let t := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ };
∀ c' ∈ atlas H ↥t, e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas (↥s) G
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.sin (f x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)
aux' : (limsup xs F).toReal = b.truncateToReal (limsup xs F)
⊢ limsup (fun i => (xs i).toReal) F = (limsup xs F).toReal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ t ∈ s, weightedVSubVSubWeights k i j t = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → Option σ
⊢ (Primrec₂ fun a n => (Encodable.decode n).bind (f a)) ↔ Primrec₂ f
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s ×ˢ t = t.biUnion fun b => Finset.image (fun a => (a, b)) s
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : H
⊢ Disjoint (φ g • B) B → Disjoint (⇑j ⁻¹' (φ g • B)) (⇑j ⁻¹' B)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
ctx : Nat.Linear.Context
p₂ p₁ acc : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (Nat.SOM.Poly.mul.go p₂ p₁ acc) =
  Nat.SOM.Poly.denote ctx acc + Nat.SOM.Poly.denote ctx p₁ * Nat.SOM.Poly.denote ctx p₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : a⁻¹ ≤ b
⊢ b⁻¹ ≤ a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hT : T.Nonempty
⊢ ↑(⋂₀ T) = ⋂ x ∈ T, ↑x
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℤ
h : x * x = ↑d * y * y
⊢ x = 0 ∧ y = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
⊢ IsCompl (weightSpace M 0) (posFittingComp R L M)
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
f : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)) f‖ = ‖f‖
E : Type u_4
AddGroup E
p : NonarchAddGroupNorm E
⊢ ⇑p.toNonarchAddGroupSeminorm = ⇑p
f : ℝ → ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + Real.log y
hn : n ≠ 0
⊢ f ↑n = f 1 + Real.log ↑(n - 1)!
V : Type u
Fintype V
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v)
⊢ (G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v).toFinset.card = Fintype.card V - 1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖₊ = ‖x‖₊
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
h : p.degree ≤ 0
⊢ σ ((aeval a) (C (p.coeff 0))) = (fun k => eval k (C (p.coeff 0))) '' σ a
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1
h4 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) / 2 = x
⊢ (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.id C).toFunctor = 𝟭 C
G : Type u_1
Group G
⊢ ⊤.IsComplement' ⊥
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ ↑(LinearPMap.mkSpanSingleton' x y H) ⟨c • x, h⟩ = c • y
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p (μ.trim hm) = eLpNorm f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ (∑' (b' : β), if b' = b then a else 0) = a
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
⊢ IsPRadical i p ↔ (∀ (x : L), ∃ n y, i y = x ^ p ^ n) ∧ RingHom.ker i ≤ pNilradical K p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen s
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t)ᶜ = sᶜ ∩ tᶜ
V : Type u
G : SimpleGraph V
C D : G.ConnectedComponent
⊢ C.supp = D.supp ↔ C = D
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun p => p.1 :: p.2.eraseIdx n) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l.eraseIdx n))
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
IsLocalization S A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_4
AddCommMonoid M'
Module R M'
Module A M'
IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ IsBaseChange A f
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
q : S[X]
h : p.trailingDegree = q.trailingDegree
⊢ p.natTrailingDegree = q.natTrailingDegree
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior sᶜ = (closure s)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β
⊢ ((piecewise hs κ η) a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ
⊢ ((fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atBot] fun x => |x| ^ s) ∧ (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atTop] fun x => |x| ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T3Space β
ι : Type u_5
s : ι → Set α
p : ι → Prop
x : α
h : ∀ (t : Set α), t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
f : α → β
hf : DenseInducing f
⊢ ∀ (t : Set β), t ∈ 𝓝 (f x) ↔ ∃ i, p i ∧ closure (f '' s i) ⊆ t
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
P : Finpartition a
d : α
⊢ ¬d \ b = ⊥ ↔ ¬d ≤ b
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
ht : ↑s.card < t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) s).card < b
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →𝒄 β
x y : α
h : x = y
⊢ f x = f y
n : ℕ
⊢ n.descFactorial 1 = n
α : Sort u_1
p q : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, p a ∧ q a ∧ a = a') ↔ p a' ∧ q a'
a b : Int
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.Compacts.equiv (Homeomorph.refl α) = Equiv.refl (TopologicalSpace.Compacts α)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.snd.comp Monoid.Coprod.inl = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
h : xs ~ ys
⊢ xs.sym2 ~ ys.sym2
M : Type u
CommMonoid M
N : Type u
CommMonoid N
F : M →* N
X Y : CategoryTheory.Discrete M
⊢ (CategoryTheory.Discrete.braidedFunctor F).μ X Y = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : EsakiaHom α β
⊢ f.comp (EsakiaHom.id α) = f
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : Order.Coframe.MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊔ ⨅ i, ⨅ j, f i j = ⨅ i, ⨅ j, a ⊔ f i j
ι : Type u_1
k : ℕ
m : Multiset ℕ
⊢ k.Coprime m.prod ↔ ∀ n ∈ m, k.Coprime n
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') univ x
M : Type u_5
AddCommMonoid M
n : ℕ
⊢ ↑n = (DistribMulAction.toAddMonoidEnd ℕ M) n
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ hs.toFinset ×ˢ ht.toFinset = ⋯.toFinset
a : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.lift.{u, u} a = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = s.append nil ∧ s2 = s) (s.append nil).destruct s.destruct
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ((convexHull 𝕜) ↑(minCardFinsetOfMemConvexHull hx)).Nonempty
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 4
⊢ (n + 4) * (n + 4).centralBinom ≤ 2 * ((n + 4) * (n + 4).centralBinom)
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : y ∈ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset
⊢ y ∈ ↑⊥
α : Sort u_1
a : Erased (Erased α)
⊢ a.join = a.out
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then p else q) = (¬p → q)
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
hJ : J ∈ π
⊢ J ≤ I
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in -1 * 1 + 1 ..-1 * 0 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40064, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40068, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
kf : KernelFork S.g
hkf : IsLimit kf
⊢ Epi ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
x : ULift.{v, u} X
⊢ CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u}.map f x = { down := f x.down }
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
⊢ IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Set.Iio a ⊆ s
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ 0 ≤ dist a 1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∀ x ∈ f.source, HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
α : Type u
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
⊢ s.Nontrivial ↔ s ≠ {a}
z : ℂ
⊢ Complex.cos z = ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n * z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁴ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝³ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower A Aₘ K
this✝¹ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this : IsScalarTower B Bₘ L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) x = (ExteriorAlgebra.ι R) y ↔ x = y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M
⊢ LiftPropAt P f x ↔ ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w w' : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
h : ∀ (X : C₁), w.app X = w'.app X
⊢ w = w'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
h₁ : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ)
h₂ : CategoryTheory.Epi φ.τ₁
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : B × F
⊢ x ∈ e.target ↔ x.1 ∈ e.baseSet
l : List ℕ
⊢ l.ranges.join = List.range l.sum
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
StarAddMonoid α
A B : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
⊢ (A - B).IsHermitian
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
α' : Type u_5
CommMonoid α'
TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Function.Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
⊢ ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
AddCommGroup β
s : Set α
e : β ≃+ α
⊢ AddDissociated (⇑e ⁻¹' s) ↔ AddDissociated s
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M
⊢ Finsupp.single a (f a) + Finsupp.erase a f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α → Type u_11
s : (i : α) → γ i → Set β
⊢ ⋂ i, ⋂ a, s i a = ⋂ ia, s ia.fst ia.snd
G : Type u_2
CommGroup G
g : G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd f (g * ∏ i ∈ Finset.range k, f i)