ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
h : π.IsSubordinate r
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnionPrepartition πi).IsSubordinate r
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ f.Separable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
h : (↑f).IsConstant
⊢ (↑(g ∘ f)).IsConstant
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ s.mongePlane i₁ i₂ = s.mongePlane i₂ i₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
⊢ (a.blocks.splitWrtComposition b)[↑i].length = b.blocksFun i
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f (R • x)) μ
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum
⊢ ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
h : N ≤ AddSubgroup.comap (AddMonoidHom.id G) N := ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientAddGroup.map N N (AddMonoidHom.id G) h) x = x
R : Type u
CommSemiring R
P : R[X]
⊢ P ∈ nonZeroDivisors R[X] ↔ ∀ (a : R), a • P = 0 → a = 0
n : Nat
i j : Fin n
h : ¬i < j
⊢ j ≤ i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F F' G' : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X : C
⊢ (F ◁ β).app X = F.obj X ◁ β.app X
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
X : Type u_4
TopologicalSpace X
a : X
s : Set X
f : X → G₀
hf : ContinuousWithinAt f s a
m : ℤ
h : f a ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x ^ m) s a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
⊢ s.drop (1 + n) = s.tail.drop n
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ H
⊢ H.index ∣ H.index * f.range.index
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1
h3 : (2 * ↑k).Gammaℂ ≠ 0
⊢ Complex.cos (↑π * (2 * ↑k) / 2) * (-1) ^ (k + 1) = -1
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
⊢ ∀ (t : Set α), (⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ a ∈ closure s ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ Polynomial.C (a * b) = Polynomial.C a * Polynomial.C b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
h : y = p₂
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a ≠ 0 → b ≠ 0 → a * b ≠ 0
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g).comp (AddMonoid.Coprod.swap N M) = AddMonoid.Coprod.lift g f
α : Type u_1
β : Type u_5
f : α → β
NormedAddCommGroup β
NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
hp : (x, y) ∈ {p | p ≠ (⊤, ⊤)}
⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p | p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ
⊢ range ⇑(γ.truncate t₀ t₁) ⊆ range ⇑γ
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s = ∅ ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬p x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ↑F.vars ⊆ s
⊢ ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
CompleteSpace E
I.Boundaryless
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ analyticGroupoid I ↔
  AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ ↑e ∘ ↑I.symm) (↑I '' e.source) ∧ AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I '' e.target)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
⊢ (↑ArithmeticFunction.zeta).pmul f = f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
hle : f ≤ᶠ[𝓝 a] g
hfga : f a = g a
h : IsLocalMin f a
⊢ IsLocalMin g a
l : List Bool
⊢ List.count true l + List.count false l = l.length
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
ι : Type u_11
A : X → n → R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => Matrix.row ι (A x)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).natDegree ≤ n * p.natDegree
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
b : K
nth_partDenom_eq : (GenContFract.of v).partDens.get? n = some b
⊢ b * (GenContFract.of v).dens n ≤ (GenContFract.of v).dens (n + 1)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
⊢ v (x + y) = v x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')
⊢ stdBasisMatrix i j c i' j' = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
b : α
⊢ Multiset.filter (Eq b) s = Multiset.replicate (Multiset.count b s) b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s ≤ f (insert a s)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsSigmaCompact Set.univ ↔ SigmaCompactSpace X
R : Type u_1
Semiring R
r : Rᵐᵒᵖ
n : ℕ
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R).symm (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n) =
  MulOpposite.op (Polynomial.C (MulOpposite.unop r) * Polynomial.X ^ n)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : F.IsEquivalence
inst✝¹ : SplitEpiCategory C
X Y : D
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
⊢ IsSplitEpi (F.inv.map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ 0 ≫ f = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows
t : x.Compatible
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ (⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)).Nonempty
α : Type u_1
LinearOrder α
b x : α
⊢ Set.projIic b x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioo (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (∃ c, IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ dist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, dist (f i) (f (i + 1))
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}.IsPWO
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
MeasurableSpace E
BorelSpace E
SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
⊢ ∃ t A,
  Pairwise (Disjoint on t) ∧
    (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)) ∧
      s ⊆ ⋃ n, t n ∧
        (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
⊢ DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c → DifferentiableOn ℂ f s
X : Type u
x y : X
⊢ CategoryTheory.homOfElement x = CategoryTheory.homOfElement y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
g : Set α → Filter β
s : Set α
hg : Monotone g
⊢ (𝓟 s).lift g = g s
α : Type u_4
β : Sort u_5
f : α → β
g : β → Option α
H : Function.IsPartialInv f g
x : α
⊢ g (f x) = some x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
x : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ q ≤ Fin.cons x p ↔ q 0 ≤ x ∧ Fin.tail q ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
t : Set β
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
ht : ν t ≠ 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f.f
U : C
⊢ inv f.f ▷ U ≫ (X.snd.β U).hom = (Y.snd.β U).hom ≫ U ◁ inv f.f
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (y + x * z) x
⊢ IsRelPrime y x
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens + t.dens
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a b : α
H : a ≤ b
⊢ (𝓝[Set.Iic b] a).NeBot
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
self : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ self.coroot j - (self.toLin (self.root i)) (self.coroot j) • self.coroot i = self.coroot ((self.reflection_perm i) j)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ Polynomial.eval 0 (Polynomial.map f p) = f (Polynomial.eval 0 p)
R : Type u_1
CommRing R
s : Subring R
m : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
NormedAddCommGroup β
Norm β₂
l : Filter α
f g₁ : α → β
g₂ : α → β₂
h : f ~[l] g₁
h₂ : g₁ =Θ[l] g₂
⊢ f =Θ[l] g₂
α : Type u_1
ι : Sort u_4
⊢ ⋃ x, ∅ = ∅
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ι → κ
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 1
⊢ ∏ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∏ x ∈ s, g x
α : Type u_1
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_3
NormedRing 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℓp f p
c : 𝕜
⊢ Memℓp (fun x => c * f x) p
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i
⊢ ∀ u_1 ∈ u '' T, IntegrableOn f (u_1 ∩ s) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J
⊢ (D.diagramIso F).app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i) =
  CategoryTheory.Iso.refl ((D.diagram.multispan.comp F).obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ closure s
x : R
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure s)
l : List R
hl : ∀ y ∈ l, y ∈ s
h : l.prod = x
⊢ ∀ y ∈ l, y ∈ s ∨ y = -1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
h : 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
⊢ Fintype.card α / P.parts.card - Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card - 1 + 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
⊢ (a * b).factors = a.factors + b.factors
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ Real.pi / 2
⊢ 2 / Real.pi * x ≤ Real.sin x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ add W eX eY ((homEquiv eX eY).symm f₁) ((homEquiv eX eY).symm f₂) ≫ (homEquiv eY eZ).symm g = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f₁ ≫ (homEquiv eY eZ).symm g) ((homEquiv eX eY).symm f₂ ≫ (homEquiv eY eZ).symm g)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det
⊢ Aᵀ * J l R * A = J l R
α : Type u_1
⊢ ⊥.Rel = fun x x_1 => x = x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
α : Type u_2
Inv α
f : Filter α
⊢ f⁻¹ = ⊥ ↔ f = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β
⊢ R.rightDual I ∈ R.leftFixedPoints
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c : 𝕜 → 𝔸
c' : 𝔸
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢  ⊗𝟙 = (λ_ f).hom ≫ ⊗𝟙
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l }
⊢ (FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv s).snd = ↑s.snd.snd
α : Type u_1
LE α
p : Interval α → Prop
⊢ (∃ s, p s) ↔ p ⊥ ∨ ∃ s, p ↑s
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)
⊢ ↑x = (ι f) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.6198, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.6202, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (F.map (f.base ≫ g.base)).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
x : Sym2 α
⊢ Sym2.map g (Sym2.map f x) = Sym2.map (g ∘ f) x
n : ℕ
f g : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (f * g).signAux = f.signAux * g.signAux
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.rightOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeRightOp c).ι = CategoryTheory.NatTrans.removeRightOp c.π
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : NormedCommRing α
inst✝ : NormOneClass α
f : ι → α
val✝ : Multiset ι
l : List ι
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
⊢ ‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢 ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0) → f = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = ↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
this : ∀ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ = ↑⟨(f x).toReal, ⋯⟩
x : α
⊢ ↑⟨(f x).toReal, ⋯⟩ ≤ f x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.vars 0 = ∅
⊢ WellFounded fun x x_1 => x ∈ x_1
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : α
h : p a
a' : α
h' : p a'
⊢ ⟨a, h⟩ = ⟨a', h'⟩ ↔ a = a'
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.toProd x).1 = Monoid.Coprod.fst x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ↑⊥ = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
y : α
s : Set α
sc : s ∈ c
ys : y ∈ s
⊢ ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
b : Bool
⊢ ContinuousSMul M X
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (HurwitzZeta.cosKernel a) (Set.Ioi 0)
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
val✝ : Encodable β
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
AddGroup α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
MeasurableNeg α
MeasurableSup₂ α
⊢ Measurable fun x => |f x|
R : Type u
S : Type v
DivisionRing R
p : R[X]
Semiring S
Nontrivial S
f : R →+* S
⊢ (Polynomial.map f p).natDegree = p.natDegree
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ IsIntegral F (IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α) ↔ IsIntegral F α
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformly f g l
hf' : TendstoUniformly f' g' l
⊢ TendstoUniformly (f - f') (g - g') l
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
κ : Type u_6
s : Finset ι
t : Set κ
f : ι → κ → β
⊢ t.mulIndicator (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, t.mulIndicator (f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ b ≤ a + (toIocDiv hp a b + 1) • p
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j k : D.J
⊢ (D.t' i j k ≫ (pullbackSymmetry (D.f j k) (D.f j i)).hom ≫ D.t' j i k ≫ (pullbackSymmetry (D.f i k) (D.f i j)).hom) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i k) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i k)) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ.toUnitHom = MulChar.equivToUnitHom χ