ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx : x ∈ s ∧ (x ∈ s → ∀ (x_1 : ℕ), x ∉ notConvergentSeq f g x_1 (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg x_1))
⊢ dist (g x) (f n x) < δ
m n : ℕ
⊢ m.shiftRight n = m >>> n
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ upperBounds (Set.Ioc a b) = Set.Ici b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
⊢ ∀ {X_1 Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (θ : X_1 ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj X).map θ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.map X θ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ≤ a ∆ b
⊢ Disjoint a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
θ : Real.Angle
⊢ ↑θ.expMapCircle = ↑θ.cos + ↑θ.sin * Complex.I
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (f + Finsupp.single a b)
⊢ p f
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s • 0 = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m : σ →₀ ℕ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.lcoeff R m) p = MvPolynomial.coeff m p
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
G.IsEquivalence
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit (G.mapCocone c) ↔ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
⊢ ⊤.op = ⊤
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a ∣ ↑u * b ↔ a ∣ b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit r
i : r ≅ t
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (P.ofIsoColimit i).desc s = i.inv.hom ≫ P.desc s
ι : Type u
DecidableEq ι
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
i : ι
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.erase i (f - g) = DFinsupp.erase i f - DFinsupp.erase i g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x y : K
⊢ A.valuation x ≤ A.valuation y ↔ ∃ a, ↑a * y = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : a₁ ∈ f.symm b
h₂ : a₂ ∈ f.symm b
⊢ a₁ = a₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NonUnitalNormedRing A
StarRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hs : IsOpen s
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ ∀ t ∈ s, IsIntegralCurveAt γ v t
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
this : 0 < r
⊢ r * a ≤ b ↔ a ≤ r⁻¹ * b
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g k : MulRingNorm R
c : ℝ
hcPos : 0 < c
hfg : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
d : ℝ
hdPos : 0 < d
hgk : (fun x => g x ^ d) = ⇑k
⊢ (fun x => f x ^ (c * d)) = ⇑k
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0
⊢ n = 0
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).powerset = s.powerset + Multiset.map (Multiset.cons a) s.powerset
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
y : α
hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y
hdvdx : p ∣ x ^ n
⊢ p ^ 2 ∣ p * x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℕ
⊢ f (a ^ ↑n) = f a ^ ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : Y ≅ X
g g' : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.inv g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.inv g' ↔ g = g'
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor B C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.associator (CategoryTheory.Functor.id B) G).hom
    (CategoryTheory.whiskerLeft F G.leftUnitor.hom) =
  CategoryTheory.whiskerRight F.rightUnitor.hom G
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
x : ℕ → ι
hx_tendsto : Tendsto x atTop l
hx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
n_to_n : ℕ → ℕ
h_tendsto : Tendsto (fun n => x (n_to_n n)) atTop l
h_freq : ∀ (n : ℕ), p (x (n_to_n n))
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
a : α
⊢ ?m.3905 ^ 0 ≤ m ^ lift.{u, v} #(β a)
α : Type u
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l ↔
  (∀ (h : 0 < l.length), R a (l.get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < l.length - 1), R (l.get ⟨i, ⋯⟩) (l.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun a => (((ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) =ᵐ[μ]
  μ[(Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap X mβ]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)
n' : ℕ
r : s.Results a n'
e : n + 1 = n' + 1
⊢ s.Results a n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ) + ⨆ n, (eapprox g n).lintegral μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
X Y Z : CategoryTheory.RelCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = Rel.comp f g
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Ico a b ⊆ Set.Ico ↑a ↑b
n m l : ℕ
⊢ List.filter (fun x => decide (x < l)) (List.Ico n m) = List.Ico n (min m l)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : UpperSet α
⊢ ⋃ a ∈ Set.Ici 1, a • ↑s ⊆ ↑s
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖↑m‖ ≤ ‖m‖
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
a : α
ha : HasSum f a
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
⊢ Continuous fun gf => (compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ (LinearMap.fst R M M₂).prod (LinearMap.snd R M M₂) = LinearMap.id
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
hs : ∃ i ∈ s, f i < 1
⊢ ∏ i ∈ s, f i < 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
Preorder α
f g : ι →₀ α
⊢ f < g ↔ f ≤ g ∧ ∃ i, f i < g i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (frobenius x).coeff n = x.coeff n ^ p
α : Type u_1
OrderedCommMonoid α
s : Set α
x : α
hs : IsUpperSet s
hx : 1 ≤ x
⊢ x • s ⊆ s
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] t ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s ↔ x ∈ t
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => r, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ((algebraMap R C(↑(spectrum R a), R)) r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ t, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : x ∈ univ.pi s
y : (i : β) → π i
hy : y ∈ univ.pi s
hxy : x ≠ y
⊢ c ≤ edist x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t
⊢ exterior s ⊆ t
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
B : ℝ
h :
  NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K I ≤ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i = coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / g x) s x₀
m n : Nat
h : m < n
⊢ ∃ k, n = m + k + 1
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
F : PFilter P := ⋯.toPFilter
⊢ x ∉ I ∧ y ∉ I → x ⊓ y ∉ I
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ √↑a < ↑a.sqrt + 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : SeparatedNhds s t
⊢ Disjoint s t
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
f : BoxIntegral.Box ι → ι → ℝ
h : ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), f J ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ { toPrepartition := π, tag := f, tag_mem_Icc := h }.iUnion = π.iUnion
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
υ : Type u_6
f : τ → MvPolynomial υ R
g : σ → τ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ f).comp (MvPolynomial.rename g) = MvPolynomial.bind₁ (f ∘ g)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s} → t2 ∈ {t} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂).op =
  CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ) h₂.op h₁.op
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20231, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
f g : P ⟶ Q
⊢ f.f + g.f = P.p ≫ (f.f + g.f) ≫ Q.p
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a
⊢ ∃ b < a, f c ≤ enumOrd (range f) b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S 0 f = 0
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U✝ : Opens G
hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U✝
U : Compacts G
h1U : ↑U ⊆ ↑U✝
h2U : μ.innerContent U✝ - ↑ε < ↑(μ.toFun U)
⊢ μ.innerContent U✝ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U + ↑ε
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support ⊆ t
⊢ p.toMeasure s ≤ p.toMeasure t
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
⊢ ↑M * ↑N ⊆ ↑(M * N)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ LeftUnitorBimod.inv N
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m (g ⊓ 𝓟 (Set.range m)) = Filter.comap m g
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set (Set Ω)
hms : ∀ (n : ι), m n = MeasurableSpace.generateFrom (s n)
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep m μ
⊢ ProbabilityTheory.iIndepSets s μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x✝ x : X
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ (insert x s) = 𝓝 x ⊔ 𝓝ˢ s
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
⊢ ∀ ⦃a : α × β⦄, a ∈ interedges r s t → a ∉ interedges r s' t
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂
⊢ x₁ = x₂
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f vol (BoxIntegral.integral I l f vol)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hps : ∀ x ∈ s, p x
hp_prod : p s.prod
⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
⊢ gaugeRescale s t (c • x) = c • gaugeRescale s t x
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
DivInvMonoid G
DivInvMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℤ
⊢ f (a ^ n) = f a ^ n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Λ p = Real.log ↑p
α : Type u
β : Type v
Preorder α
f : α → β → α
H : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
l : List β
⊢ Monotone fun a => List.foldl f a l
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑π).cos = -θ.cos
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
f : Ultrafilter (OnePoint X)
⊢ ↑f ≤ 𝓝 ∞ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → some '' s ∉ f
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
⊢ (p * q).nextCoeff = p.nextCoeff + q.nextCoeff
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (x + ↑q) ↔ Irrational x
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ Function.Injective fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun x => Real.exp (f x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x
h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop
⊢ ¬IntegrableOn g k volume
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
⊢ (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
R : Type u
CommRing R
Nontrivial R
x : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x (Polynomial.X - Polynomial.C x) = 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i j : ι
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ ⟨i, m₁⟩ ∈ (Monoid.CoprodI.of m₂ • w).toList ↔
  ¬i = j ∧ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList ∨
    m₁ ≠ 1 ∧
      ∃ (hij : i = j),
        ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨
          (∃ m', ⟨j, m'⟩ ∈ w.toList.head? ∧ m₁ = ⋯ ▸ (m₂ * m')) ∨ w.fstIdx ≠ some j ∧ m₁ = ⋯ ▸ m₂
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Disjoint (Ico a₁ a₂) (Ico b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
a : G
aA : a ∈ A
b : G
bB : b ∈ B
ab : f a * f b = f a0 * f b0
⊢ f a = f a0 ∧ f b = f b0
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContDiffOn 𝕜 (↑m) f u
R : Type u
CommSemiring R
StarRing R
TrivialStar R
a : R
⊢ (starRingEnd R) a = a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
f : MeasureTheory.Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
hu : MeasureTheory.Adapted f fun n => u (n + 1)
hu0 : MeasureTheory.StronglyMeasurable (u 0)
⊢ MeasureTheory.Adapted f u
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
b : A
hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod
hbJ : b ∉ J
hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
⊢ gauge 0 x = 0 x
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * ↑b < 2 ^ n.succ
⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) < 2 ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝[≠] x, ↑e x' ≠ ↑e x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰
⊢ ∃ c, a * ↑↑⟨p, hp⟩ = ↑c