ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s
⊢ LocallyIntegrableOn f s μ ↔ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
R : Type u
M : Type v
AddMonoidWithOne R
AddMonoid M
n : ℕ
⊢ TrivSqZeroExt.inl ↑n = ↑n
α : Type u_1
Zero α
One α
LE α
ZeroLEOneClass α
⊢ ↑1 = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.VAddAntidiagonal hs ht a).Nonempty} ⊆ s +ᵥ t
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R A
⊢ (S₁ ⊓ S₂).op = S₁.op ⊓ S₂.op
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
⊢ BddAbove (Set.range ⇑(partialSups f)) ↔ BddAbove (Set.range f)
x : ℝ
⊢ x + 1 ≤ Real.exp x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
m : M
n : N
⊢ (e.flip m) n = (e n) m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ
⊢ (-1) ^ n * a = 0 ↔ a = 0
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
⊢ ∃ k ∈ range (n * (d - 1) ^ 2 + 1), ↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(sphere n d k).card
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v)
⊢ (G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v).toFinset.card = Fintype.card V - 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q
⊢ ∃ q, (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q = p ∧ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ (α + β).f = α.f + β.f
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
A B : SpecialLinearGroup n R
inst✝ : Nontrivial R
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ (↑g).det ≠ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
w : G.Walk u v
⊢ w.toSubgraph.Adj u' v' ↔ ∃ i, s(w.getVert i, w.getVert (i + 1)) = s(u', v') ∧ i < w.length
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.Equation P ↔ P y ^ 2 = P x ^ 3
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, x = 1
⊢ s.prod = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
s : Compacts α
⊢ ↑(Compacts.map ⇑f.symm ⋯ (Compacts.map ⇑f ⋯ s)) = ↑s
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ countP (fun a => p ↑a) ↑l.attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l
F : Type u → Type u
q : QPF F
a : (P F).A
f : (P F).B a → (P F).W
this : mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦Wrepr (WType.mk a f)⟧
⊢ Setoid.r (Wrepr (WType.mk a f)) (WType.mk a f)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B 1)
⊢ ↑((toSubgroupEquiv φ (-1)) ((toSubgroupEquiv φ 1) a)) = ↑a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s
M₀ : Type u_2
MulZeroClass M₀
⊢ (fun x => 0 * x) = Function.const M₀ 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull hx)
S : Type u_2
CommRing S
R : Type u_3
CommRing R
Algebra R S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (x * y)) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Infinite (α ⊕ β) ↔ Infinite α ∨ Infinite β
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
y : Y
⊢ DiscreteTopology X ↔ IsLocallyInjective fun x => y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
n : ℕ
⊢ (map (natEmbedding α) (range n)).card = n
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
I : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
θ : G ⟶ H
ι : H ⟶ I
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associator η θ ι).hom.app a =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (ι.app a)).hom
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m : M
⊢ update (update v i m) j m i = update (update v i m) j m j
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsAlgebraic F x
⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
R : Type u_1
M : Type u_3
Zero R
Zero M
self : SMulWithZero R M
m : M
⊢ 0 • m = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
p : Set α
a : ↑p
⊢ (Subrel.relEmbedding r p) a = ↑a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
α : X ≅ Y
⊢ (CategoryTheory.Comma.rightIso α).hom = α.hom.right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
f : PointsWithCircumcenterIndex n → α
h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)
⊢ ∀ (x : Fin (n + 1)), ¬(x ∈ univ ∧ (pointIndexEmbedding n) x = circumcenterIndex)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
⊢ StrictConvex 𝕜 s
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c d : α
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
as : Array α
⊢ SatisfiesM (fun arr => arr.size = as.size) (Array.mapM f as)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
l tl : List α
hd : α
ih : ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) tl → m ∈ a :: tl
a m : α
⊢ m ∈ Option.rec (some hd) (fun val => if r hd val then some hd else some val) (foldl (argAux r) (some a) tl) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ 𝓝ˢ (s ×ˢ t) = 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ t
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Injective ⇑g
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ (lift hg) (mk' K x y) = g x / g ↑y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → Set β
⊢ ⋂ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⋂ i ∈ s, ⋂ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, Measurable f_1
⊢ Measurable (f :: l).prod
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E
⊢ ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₂ φ₃
⊢ (h₁₂.trans h₂₃).h₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
R : Type u_4
Semiring R
Nontrivial R
f : A →+* R
⊢ Polynomial.map f (minpoly A x) ≠ 1
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
⊢ minimalPeriod ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) 1 ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)
a : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Iic a) = ⊤
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ dist 0 = norm
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
a : Π₀ (i : ι), M i
⊢ ((DFinsupp.lsum S) F) a = (DFinsupp.sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
NormedSpace ℝ F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
g : Y → ℝ
l r : Y → X
γ : (y : Y) → Path (l y) (r y)
y : Y
hγ : ContinuousAt (↿γ) (y, Set.projIcc 0 1 ⋯ (g y))
hg : ContinuousAt g y
⊢ ContinuousAt (fun i => (γ i).extend (g i)) y
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
⊢ m.Coprime n
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ insert a' u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ insert a' u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ ||a| - |b|| ≤ |a - b|
α : Type u_1
a : Specialization α
⊢ Specialization.toEquiv (Specialization.ofEquiv a) = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
ι : Type u_1
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
f : ι → α
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ V₀
x y : ι
h : f x ≠ f y
⊢ (f x, f y) ∉ V₀
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : a = 0
⊢ False
G : Type u_2
α : Type u_3
AddGroup G
TopologicalSpace α
AddAction G α
AddAction.IsMinimal G α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ⋃ g, g +ᵥ U = Set.univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0
⊢ (⟨k, property✝⟩ * if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
α : Type u
β : Type v
f : Filter (α → β)
g : Filter α
h : Filter β
hh : ∀ t ∈ f, ∀ u ∈ g, t.seq u ∈ h
⊢ h ≤ f.seq g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Preorder Y
OrderClosedTopology Y
f : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsMinOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsMinOn f (closure s) a
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
⊢ x ^ 0 ∈ S
M : Type u_10
MulOneClass M
x : M
⊢ (MonoidHom.id M) x = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
⊢ p2 -ᵥ p1 ∉ s1.direction ⊔ s2.direction
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s t : Set α
f : α → M
⊢ (symmDiff s t).indicator f = (s \ t).indicator f + (t \ s).indicator f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 (μ.trim hm)) (hg : Memℒp g 1 (μ.trim hm)), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp g hg) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ coborder s = Set.univ ↔ IsClosed s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
ι : Type u_4
Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (Subalgebra.inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ T
⊢ (Subalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ((Subalgebra.inclusion h) x) = (f i) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubsemiring.map g (NonUnitalRingHom.srange f) = NonUnitalRingHom.srange (g.comp f)
M : Type u_1
S : Set M
Monoid M
z : M
⊢ z ∈ Submonoid.centralizer S ↔ ∀ g ∈ S, g * z = z * g
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
⊢ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra ℂ B
CompleteSpace B
StarRing B
CstarRing B
EquivLike F A B
NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖φ a‖₊ = ‖a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measure.map (⇑e) μ = ν ↔ Measure.map (⇑e.symm) ν = μ
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n✝ : ℕ
hf : Involutive f
n : ℕ
⊢ f^[2 * n + 1] = f
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeRingHom A) ((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) x) = ↑x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieAlgebra.HasTrivialRadical R L ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : Associates α
⊢ IsUnit a ↔ a = ⊥
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hf : Function.Bijective (SimplexCategory.Hom.toOrderHom f).toFun
⊢ CategoryTheory.IsIso f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
ht : t.Finite
hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x
hst : s ⊆ ↑(span K t)
this✝ : s ⊆ ↑(span K ↑ht.toFinset)
u : Finset V
_hust : ↑u ⊆ s ∪ ↑ht.toFinset
hsu : s ⊆ ↑u
Eq : u.card = ht.toFinset.card
this : s.Finite
⊢ this.toFinset.card ≤ u.card
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ toOpen R ⊤ = (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
α : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
Mul α
AddCommMonoid α
A : Matrix m n α
Fintype n
⊢ A.transpose.HasOrthogonalCols ↔ A.HasOrthogonalRows
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
p : CategoryTheory.Subobject X → CategoryTheory.Subobject X → Prop
h :
  ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : CategoryTheory.Mono f] [inst_1 : CategoryTheory.Mono g],
    p (CategoryTheory.Subobject.mk f) (CategoryTheory.Subobject.mk g)
P Q : CategoryTheory.Subobject X
⊢ p P Q
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
⊢ ∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ n.factorization p
n : ℤ
⊢ (-n).bodd = n.bodd
α : Type u_2
MeasureTheory.MeasureSpace α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val MeasureTheory.volume
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
α : Type u
CommMonoid α
⊢ Function.Injective ConjClasses.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (b : { x // x ∈ s }), μ (f ↑b)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
ι : Sort u_1
U : ι → Submodule R M
⊢ ∀ (i : ι), U i ≤ (U i).dualAnnihilator.dualCoannihilator
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (a : ℂ), Complex.equivRealProdLm a = (a.re, a.im)
ι : Type u_5
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
T2Space M₂
f : ι → M
φ : M →SL[σ] M₂
hf : Summable f
⊢ φ (∑' (z : ι), f z) = ∑' (z : ι), φ (f z)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
⊢ ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ ⇑(algebraMap K (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v)) = ↑K
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ Inseparable x y
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₂ \ s₁ ∩ s₁ = ∅
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ exterior s ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → s ⊆ U → a ∈ U
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∀ (x : α × β), p x.1 x.2) ↔ ∀ (a : α) (b : β), p a b
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
⊢ ∃! w, z.pair w ∈ ZFSet.map f x
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a < b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
hl : toLex a j ≠ toLex b j
⊢ ∃ x ∈ {i | a i ≠ b i}, x < i
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = ↑↑p
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : AddHom M N
g : AddHom N M
h₁ : g.comp f = AddHom.id M
h₂ : f.comp g = AddHom.id N
⊢ ⇑(f.toAddEquiv g h₁ h₂).symm = ⇑g
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ MvPolynomial.coeffs 1 = {1}
α : Type u_1
CompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
⊢ sSup s⁻¹ = (sInf s)⁻¹