ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g ≫ g) f ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
⊢ ∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → ‖x - 1‖ < ε / 4 / (F + 1) → ‖∑' (n : ℕ), f n * x ^ n - l‖ < ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = if k = j then (e.repr x) i' else (e.repr (v k)) i'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
hiu : (i, i') ∉ u
j' : ι'
hij : (i, i') ≠ (i, j')
hj : (i, j').1 ∈ s ∧ (i, j').2 ∈ t
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (i, j'))
α : Type u
One α
d : α
⊢ WithTop.untop' d 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
x : β →o γ
⊢ ∀ (a : α →o β), ⇑((OrderHom.compₘ x) a) = ⇑x ∘ ⇑a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst
⊢ ¬∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
⊢ (PreTilt.val K v O hv p) f = 0 ↔ f = 0
G : Type u_1
g₁ g₂ : Group G
h_mul : Mul.mul = Mul.mul
h₁ : One.one = One.one
f : G →* G := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
⊢ g₁ = g₂
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ 2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * (τ + 2))) = 2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ))
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
ι : Sort x
f : ι → α
⊢ u (⨅ i, l (f i)) = ⨅ i, f i
R : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R
inst✝ : Sub R
K : ℝ≥0
lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
⊢ s - t = (fun p => p.1 - p.2) '' s ×ˢ t
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ f ∈ degreeLT R n ↔ f.degree < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
c : α
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
hac : r a c
h : b ∈ tl
⊢ ¬r b a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p : Subspace 𝕜 E
⊢ Submodule.ClosedComplemented p ↔ IsClosed ↑p ∧ ∃ q, IsClosed ↑q ∧ IsCompl p q
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ edist (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) 0 = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace CommRingCat
Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSchemeHom Y f).val = f
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
x : E
⊢ (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
⊢ ((sheafIsoOfIso (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm).app (op U) ≪≫ limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm.hom.base).op.obj (op U)) ≪≫ Limits.lim.mapIso (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯)).inv ≫ (colimit.ι F j).c.app (op U) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x y : A
⊢ φ (x - y) = φ x - φ y
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n
⊢ (last n).succAbove i = i.castSucc
α : Type u_1
AddCommGroupWithOne α
CharZero α
a b z : ℤ
⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑z] ↔ a ≡ b [PMOD z]
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ‖↑p‖ = (↑p)⁻¹
S : Type u_5
G : Type u_6
Neg G
SetLike S G
self : NegMemClass S G
s : S
x : G
⊢ x ∈ s → -x ∈ s
a : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 - a = 0
r : ℝ
z : ℂ
⊢ (↑r * z).im = r * z.im
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
hd₀ : d x y ≠ 0
s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}
hs₀ : 0 ∈ s
hsne : s.Nonempty
M : ℕ
hMl : M ≤ l.length
hMs : IsGreatest s M
hM_lt : M < L.length
hM_ltx : M < (x :: l).length
⊢ ∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
hxz : f z ≤ f x
⊢ f y ≤ f z
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image f s ⊆ t ↔ ∀ x ∈ s, f x ∈ t
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op ((appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x) = ℱ.val.map f.op (𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x)
a b : ℕ
⊢ (Finset.Ioc a b).card = b - a
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
g : B →+* C
f : A →+* B
hg : g.FinitePresentation
hf : f.FinitePresentation
⊢ (g.comp f).FinitePresentation
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
h : a ^ (Fintype.card (ZMod p) - 1) = 1
⊢ a ^ (p - 1) = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
S : Finset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
⊢ S.prod g1 ∣ S.prod g2
G : Type u_1
Group G
x y : G
α : Type u_6
MulAction G α
hx : x ∈ Subgroup.zpowers y
a : α
hs : y • a = a
⊢ x • a = a
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
h₁ : Sum.LiftRel r s x y
h₂ : x.isLeft = true
⊢ ∃ a c, r a c ∧ x = Sum.inl a ∧ y = Sum.inl c
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ MulOpposite.unop ↑n = ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
G : Type u_1
Monoid G
x : G
H : Type u_6
Monoid H
y : H
⊢ orderOf x = orderOf y ↔ ∀ (n : ℕ), x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun n => I.leadingCoeffNth n
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃ N
hf : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
⊢ ⇑{ toEquiv := f, map_mul' := hf } = ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
f_cont : Continuous f
x✝ : IsClosedMap f
H : ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
y : Y
K : Set X
hK : IsCompact K
hKy : Kᶜ ⊆ (f ⁻¹' {y})ᶜ
⊢ IsCompact (f ⁻¹' {y})
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
j : J
x : F.obj j
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.TypeMax.colimitCocone F).ι.app j x =
  Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel F) ⟨j, x⟩
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Fintype R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
a : R
x✝ : a ∈ image (fun x => eval x p) univ
⊢ filter (fun x => eval x p = a) univ = (p - C a).roots.toFinset
α : Type u_1
t t' : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ t' ↔ ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
N k m p : ℕ
H₁ : m ≠ 0 → p ∣ m → m < N.succ → p < N.succ
H₂ : m ≠ 0 → p ∣ m → ¬m < p
⊢ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
x : G
DecidableEq G
⊢ Finset.image (fun i => i • x) (Finset.range (addOrderOf x)) = (↑(AddSubgroup.zmultiples x)).toFinset
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ g ≤ f.sup g h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝¹ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ x ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤
hdfma : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul (c • μ)) c.toReal
⊢ setToFun (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) ⋯ f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
⊢ d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ioc a b)
hcg : ContinuousOn g (Ioc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : f b = 0
hgb : g b = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
c₀ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan T T
hc₀ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₀
⊢ CategoryTheory.FinitaryExtensive C ↔ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c₀
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
u : Submonoid (M × N)
⊢ s.prod t ≤ u ↔ Submonoid.map (MonoidHom.inl M N) s ≤ u ∧ Submonoid.map (MonoidHom.inr M N) t ≤ u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
L.PreservesMonomorphisms
adj : L ⊣ R
J : D
CategoryTheory.Injective J
⊢ CategoryTheory.Injective (R.obj J)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ HasProd ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
f : LocallyBoundedMap β γ
g : LocallyBoundedMap α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
⊢ mk x = mk y
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ ⇑e.toEquiv = ⇑e
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
⊢ S.LeftHomologyData
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b ab : ℤ
h : a + b = ab
n : ℤ
⊢ n + ab = n + b + a
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : IsNilpotent n
⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : UniformSpace K
inst✝² : TopologicalDivisionRing K
inst✝¹ : CompletableTopField K
inst✝ : UniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space (hat K)
f : hat K → hat K := fun x => x * x.hatInv
c : K → hat K := fun x => ↑K x
cont : ContinuousAt f x
⊢ f x = 1
R : Type u_4
CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
Ring A
Ring B
Ring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ RingHom.ker (Algebra.TensorProduct.map f (AlgHom.id R C)) = Ideal.map Algebra.TensorProduct.includeLeft (RingHom.ker f)
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra ℂ B
CompleteSpace B
StarRing B
CstarRing B
EquivLike F A B
NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
⊢ Isometry ⇑φ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : centroid k fs₁ s.points = centroid k fs₂ s.points
⊢ fs₁ = fs₂
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t
⊢ x ∈ s
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Inf α
Inf β
Top α
Top β
FunLike F α β
self : InfTopHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊤ = ⊤
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)
hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)
h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)
h₁ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (M * r' i) (s i)
⊢ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
K : Type u_1
Field K
x : K
hx : x ∈ integralClosure ℤ K
⊢ (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) ⟨x, hx⟩ = x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hz : p.count a.factors = 0
⊢ p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.AsSmall.equiv.inverse = CategoryTheory.AsSmall.down
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
⊢ R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
Decidable s.Nontrivial
⊢ s.infsep = if s.Nontrivial then ⨅ d, Function.uncurry dist ↑d else 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ (fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₂ y₂ : F
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
⊢ { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (zero + some h₂) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₂)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ addOrderOf x = 0 ↔ ∀ (n : ℕ), 0 < n → n • x ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ Multiset.map Prod.fst s.val ≤ m
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in (g +ᵥ t) ∩ s, f (-g +ᵥ x) ∂μ
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : β₁ → α₁
m₂ : β₂ → α₂
⊢ Filter.comap m₁ f₁ ×ˢ Filter.comap m₂ f₂ = Filter.comap (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) (f₁ ×ˢ f₂)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (Equiv.refl X).toHomeomorph ⋯ = Homeomorph.refl X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t : Set X
⊢ IsMetricSeparated s t ↔ IsMetricSeparated t s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∀ x ∈ s.powerset, ∀ y ∈ s.powerset, insert a x = insert a y → x = y
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set EReal
⊢ (∃ i, True ∧ Iio ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Iio ↑y ⊆ s
x : SetTheory.PGame
h : x ≈ 0
⊢ x⁻¹ = 0
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
e : divNat a b = ⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩
⊢ ↑⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
α : Type u
⊢ Set.univ.Finite ↔ Finite α
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
a : α
⊢ Interval.map f (Interval.pure a) = Interval.pure (f a)
α : Type u
self : Rack α
x : α
⊢ Function.LeftInverse (Rack.invAct x) (Shelf.act x)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : Preadditive D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (J.plusMap 0).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_lt : n < k
⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F Y
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f p).fst =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f) p.fst
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
⊢ x ≤ y
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ x✝¹ * x✝ * (-1 + -↑n) = x✝¹ * (x✝ * (-1 + -↑n))