ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (x * y) = truncateFun n x * truncateFun n y
ι : Type u_1
⊢ ↑⊥ = ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ ((tprod R) fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = (tprod R) (Fin.append a b)
K : Type u
inst✝ : Field K
p✝ q : K[X]
hq : q ≠ 0
p : K[X]
⊢ (0, 1) = let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
G : Type u_1
Group G
φ : G →* G
Finite G
hφ : MonoidHom.FixedPointFree ⇑φ
⊢ Function.Surjective (MonoidHom.commutatorMap ⇑φ)
p q : NNReal
self : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
he' : e' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ G
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal (nonZeroDivisors R) K
⊢ FractionalIdeal.absNorm I = 0 ↔ I = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Type v₂
CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape X Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape X C
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Mul (f i)
x y z : (i : I) → f i
⊢ SemiconjBy x y z ↔ ∀ (i : I), SemiconjBy (x i) (y i) (z i)
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
⊢ f.eigenspace 0 = LinearMap.ker f
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ -a < a ↔ 0 < a
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
⊢ ↑⟨x', hx'⟩ + ↑⟨c • x, ?h⟩ = ↑⟨x' + c • x, ⋯⟩
c : ℝ
h1 : 0 < c
h2 : c < 1 / 2
⊢ Function.Injective (Cardinal.cantorFunction c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers
⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (b - m • p) = toIcoDiv hp a b - m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : Fin 1 → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 1 f x) m = (fderiv 𝕜 f x) (m 0)
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : Set.MapsTo f s t
ht : t.Finite
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
α : Type u_1
motive : (l₁ l₂ : List α) → l₁ ~ l₂ → Prop
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
nil : motive [] [] ⋯
cons : ∀ (x : α) {l₁ l₂ : List α} (h : l₁ ~ l₂), motive l₁ l₂ h → motive (x :: l₁) (x :: l₂) ⋯
swap' : ∀ (x y : α) {l₁ l₂ : List α} (h : l₁ ~ l₂), motive l₁ l₂ h → motive (y :: x :: l₁) (x :: y :: l₂) ⋯
trans : ∀ {l₁ l₂ l₃ : List α} (h₁ : l₁ ~ l₂) (h₂ : l₂ ~ l₃), motive l₁ l₂ h₁ → motive l₂ l₃ h₂ → motive l₁ l₃ ⋯
⊢ motive l₁ l₂ p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
hf : Differentiable ℂ f
c z : ℂ
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c = f z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
⊢ (Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) = Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)
⊢ S.iCycles (S.abCyclesIso.inv x) = ↑x
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).Compatible
l₁ l₂ r₁ r₂ : List Char
stop p : Nat
hl₁ : p = String.utf8Len l₁
hl₂ : p = String.utf8Len l₂
hstop : stop = min (String.utf8Len l₁ + String.utf8Len r₁) (String.utf8Len l₂ + String.utf8Len r₂)
⊢ String.firstDiffPos.loop { data := l₁ ++ r₁ } { data := l₂ ++ r₂ } { byteIdx := stop } { byteIdx := p } =
  { byteIdx := p + String.utf8Len (List.takeWhile₂ (fun x x_1 => decide (x = x_1)) r₁ r₂).fst }
x y : PSet
⊢ ZFSet.mk x ⊆ ZFSet.mk y ↔ x ⊆ y
a b : Int
⊢ b * a.fdiv b + a.fmod b = a
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n
h : lift.{max (max u v) w, max v w} #(m × n) = lift.{max v w, max (max u v) w} (Module.rank R (Matrix m n R))
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb μb' : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
ha : μb.AbsolutelyContinuous μb'
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb'
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x
⊢ b ^ Real.logb b x = x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
r : ι → ι → Prop
IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt : x < y
⊢ Pi.Lex r (fun {i} x x_1 => x < x_1) ⇑x ⇑y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure β
a : α
⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.const α μ) a = ∫⁻ (x : β), f x ∂μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrderBot (α i)
b : (i : ι) → α i
⊢ (Iio b).card = ∏ i : ι, (Iic (b i)).card - 1
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∀ (v : V), ‖(AddMonoidHom.id V) v‖ ≤ 1 * ‖v‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), Set.MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), Set.MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, Set.range (φ i)
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α β 𝔖 =
  ⨅ i,
    UniformSpace.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
      (UniformOnFun.uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
a : R ⧸ comap f (comap g' I)
⊢ ((quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯)) a = ((quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g ⋯)) a
ι : Type u_4
κ : Type u_5
G : Type u_8
SeminormedAddGroup G
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn f 0 l s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, ‖f i x‖ < ε
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
hg : Measurable g
hfg : Function.Semiconj g fa fb
⊢ Measurable g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ⇑(Homeomorph.prodComm X Y) = Prod.swap
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
i : Nat
z : Int
⊢ (xs.set i z).dot ys = xs.dot ys + (z - xs.get i) * ys.get i
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
⊢ (o.rotation θ) x = θ.cos • x + θ.sin • o.rightAngleRotation x
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addY P (W'.neg P) = -W'.dblZ P ^ 3
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
α : Sort u_2
β : Sort u_1
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (a : α) → W a ≃ Z (h₁ a)
⊢ ⇑(h₁.piCongr h₂).symm = fun f a => (h₂ a).symm (f (h₁ a))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ v ∉ G.neighborFinset v
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
h0 : a = 0 → Nonempty ι
⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
eq₁ : (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P)).f.f n = PInfty.f n ≫ P.p.app (op [n]) ≫ ((Γ₀.splitting (N₂.obj P).X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
eq₂ : ((Γ₀.splitting (N₂.obj P).X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ (N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = PInfty.f n ≫ P.p.app (op [n])
⊢ (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = (𝟙 (N₂.obj P)).f.f n
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
haj : a ∈ f j
⊢ i = j
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
⊢ ∃ b, H = closure {b}
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ ∀ (a : α), ↑(Equiv.Perm.equivUnitsEnd e)⁻¹ a = (Equiv.symm e).toFun a
x y : ℚ≥0
⊢ ↑(min x y) = min ↑x ↑y
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
⊢ t.prod ~ᵤ s.prod
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥⊥ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
k : ι
hk : k ∈ {i, j}
⊢ Disjoint (f k) (({i, j}.erase k).sup f)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₁
αβ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β = CategoryTheory.CategoryStruct.id R₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₂ adj₁).symm β)
    ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id L₁
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
h : Filter.limsup u f ≠ ⊥ ∨ Filter.limsup v f ≠ ⊤
h' : Filter.limsup u f ≠ ⊤ ∨ Filter.limsup v f ≠ ⊥
⊢ Filter.limsup (u + v) f ≤ Filter.limsup u f + Filter.limsup v f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p.support \ q.support ∪ q.support \ p.support ⊆ (p + q).support
G : Type u_7
AddGroup G
L : List G
⊢ L.reverse.sum = -(List.map (fun x => -x) L).sum
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M'
⊢ (IsLocalizedModule.iso S f).symm m = LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
k : ι
⊢ e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord k) (v k) = ↑e.det (update v k (v k))
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => x * log x) x
α : Type u
s t : Set α
⊢ ¬s ⊆ t ↔ ∃ a ∈ s, a ∉ t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : Differentiable 𝕜 c
hd : Differentiable 𝕜 d
hx : ∀ (x : 𝕜), d x ≠ 0
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => c x / d x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
n : ℕ
p q : PolynomialModule R M
hp : ((monomial i) r • p) n = if i ≤ n then r • p (n - i) else 0
hq : ((monomial i) r • q) n = if i ≤ n then r • q (n - i) else 0
⊢ ((monomial i) r • (p + q)) n = if i ≤ n then r • (p + q) (n - i) else 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ Embedding ⇑(prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂) ≫ prod.map i₁ i₂)
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.node4L x m y r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P m ∧ P y ∧ Ordnode.All P r
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
⊢ (((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) ⍟ fun n => χ ↑n) =
  (fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X
⊢ x ∈ thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hf : IsLimit f
c' : Cofan Z
x✝ : Discrete α
j : α
⊢ (c'.ι.app { as := j }).op = (Fan.mk (op c'.pt) fun a => (c'.inj a).op).π.app { as := j }
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : (↑y.1)⁻¹ * ↑x.1 * (↑x.2 * (↑y.2)⁻¹) = 1
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α × β
⊢ (∑ c ∈ s, f c).2 = ∑ c ∈ s, (f c).2
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f (Set.uIcc a b)
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ fourierCoeffOn hab f n =
  1 / (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - (↑b - ↑a) * fourierCoeffOn hab f' n)
F : Type u
Γ₀ : Type v
Field F
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
⊢ x ∣ y ↔ v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)
R : Type u
Monoid R
StarMul R
u : Rˣ
⊢ ↑(star u)⁻¹ = star ↑u⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
hC₂ : ↑s C < ↑0 C
D : Set α
hD₁ : MeasurableSet D
hD : D ⊆ C
hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D
hD₃ : ↑s D < 0
this : ↑s (A ∪ D) < sInf s.measureOfNegatives
⊢ restrict s (A ∪ D) ≤ restrict 0 (A ∪ D)
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
Applicative G
LawfulApplicative G
α β : Type u
η : ApplicativeTransformation F G
f : α → F β
⊢ traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) = (fun {α} => η.app α) ∘ traverse f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : CategoryTheory.AsSmall C
⊢ CategoryTheory.AsSmall.down.obj X = X.down
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.Epi ((F.shift n₀).map T.mor₂) ↔ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = 0
b : Ordinal.{u_1}
h : ¬1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ log b x = 0
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
x : R
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 (TrivSqZeroExt.inl x) = TrivSqZeroExt.inl (NormedSpace.exp 𝕜 x)
n : ℕ
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : β
p : Fin n → β
⊢ i.insertNth x p ∘ i.succAbove = p
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ ↑f i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
s : Set E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivWithinAt f 0 s x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b + a ≤ b + c + (a - c)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ X → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ I' \ I → a ≠ b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ (f * g).support = f.support ∪ g.support
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X).sections
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.opCompYonedaSectionsEquiv F X) s).app j = ↑s (Opposite.op j)
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
K : ℝ≥0
K_pos : K > 0
H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀
⊢ ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
⊢ ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(u * u⁻¹)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
hχ : χ.IsZero
⊢ ⇑χ = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(NumberField.mixedEmbedding.fractionalIdealLatticeBasis K I)) ↔
  x ∈ ⇑(NumberField.mixedEmbedding K) '' ↑↑I
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ Real.logb b x < Real.logb b y
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype (Sym2 α)
Semiring R
a b : α
h : G.Adj a b
⊢ (SimpleGraph.incMatrix R G * (SimpleGraph.incMatrix R G)ᵀ) a b = 1
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ √x = y ↔ y ^ 2 = x
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
x : E
I : Type u_3
TopologicalSpace I
h : IsEvenlyCovered f (f x) I
⊢ ContinuousAt f x
x y : ℝ
⊢ Tendsto log (𝓝[≠] 0) atBot