ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
⊢ Primrec fun a => F a (c a)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
⊢ IsUnit ((CliffordAlgebra.ι Q) m)
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x✝ y : M
u : Rˣ
x : M
⊢ -u • x = -(u • x)
n : ℕ
α : Type u_1
v : Fin n → α
⊢ Fin.append Fin.elim0 v = v ∘ Fin.cast ⋯
k : Type u_1
E : Type u_2
DivisionRing k
Infinite k
AddCommGroup E
Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
⊢ ⋃ p ∈ s, ↑p ≠ Set.univ
n : Nat
⊢ 0 < n ↔ Nonempty (Fin n)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
r : S
hr : r ∈ I
p : R[X]
hp : eval₂ f r p ∈ I
⊢ p.coeff 0 ∈ comap f I
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 0) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ≤ ε
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ H.mapConePostcompose.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
f : AdicCompletion I M
⊢ (AdicCompletion.eval I M n) f = ↑f n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ (cons g w hmw hgr).prod = (of i) g * w.prod
α : Type u_1
n : ℕ
p : Finset α → Sort u_4
H : (t₁ : Finset α) → ({t₂ : Finset α} → t₂.card ≤ n → t₁ ⊂ t₂ → p t₂) → t₁.card ≤ n → p t₁
s : Finset α
⊢ Finset.strongDownwardInduction H s = H s fun {t} ht x => Finset.strongDownwardInduction H t ht
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ ker (subToSupQuotient p p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).LF (SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR) ↔
  (∃ i, SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m i : ℤ
z : Cochain F G 0
hz : δ 0 1 z = 0
⊢ z.v i i ⋯ ≫ G.d i (i + 1) = F.d i (i + 1) ≫ z.v (i + 1) (i + 1) ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : CategoryTheory.IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g h i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
f : R →* S
p : ℕ
ExpChar R p
ExpChar S p
x : R
⊢ f ((frobenius R p) x) = (frobenius S p) (f x)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
h : hζ.toInteger - 1 = 0
⊢ False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongMono g
⊢ StrongMono f
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
f : α → α'
l : α →₀ M
⊢ (Finsupp.lmapDomain M R f) l = Finsupp.mapDomain f l
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
⊢ ∀ {α_1 : Type u_4} {p : Set ι → Prop} {f : Filter ι} {ns : α_1 → Set ι},
  (∀ (n : ι), s n ≤ m0) →
    ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα →
      (∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f) →
        Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns →
          (∀ (a : α_1), p (ns a)) →
            (∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a) → ProbabilityTheory.Kernel.Indep (Filter.limsup s f) (Filter.limsup s f) κ μα
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
x : G
⊢ x * x = 1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ↑(p / r) ≤ ↑p / ↑r
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
fg : (α →₀ M) × (β →₀ M)
y : β
⊢ (Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.symm fg) (Sum.inr y) = fg.2 y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Iso.refl X).homCongr (CategoryTheory.Iso.refl Y)) f = f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋂ n, s n
⊢ AnalyticSet (range F)
s b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
⊢ ((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) x = rexp (b * x) / x ^ s
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
Fintype ι
DecidableEq ι
⊢ AdicCompletion.ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ ↑(AdicCompletion.ofTensorProductInvOfPiFintype I ι) = LinearMap.id
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b
⊢ b⁻¹ * a ≤ 1
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => ↑n * (π * T * ↑n - (2 * π * S + 1))) atTop atTop
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{v}
ha : a < Cardinal.aleph0
hb : b < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.lift.{v, u} a + Cardinal.lift.{u, v} b) = Cardinal.toNat a + Cardinal.toNat b
m : Type u → Type v
Monad m
self : LawfulMonad m
α β γ : Type u
x : m α
f : α → m β
g : β → m γ
⊢ x >>= f >>= g = x >>= fun x => f x >>= g
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommSemiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
α : Type u_1
Zero α
ι : Type u_2
f : ι →₀ α
g : ι → α → A
⊢ φ (f.prod g) = f.prod fun i a => φ (g i a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ o.card = OfNat.ofNat n ↔ o = OfNat.ofNat n
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
n : ℕ
hn : ¬Disjoint s (cylinder x n)
y : (n : ℕ) → E n
ys : y ∈ s
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ n ≤ longestPrefix x s
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Iio b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ IntegrableOn (deriv f) (Iic b) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f g : β → α
CompleteSpace α
hf : Multipliable f
h : ∀ (b : β), g b = 1 ∨ g b = f b
⊢ Multipliable g
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
hm : monotonicSequenceLimitIndex a < m
⊢ a m ≤ monotonicSequenceLimit a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
σ : Type u_5
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : σ → E →ₗ[𝕜] B
p : MvPolynomial σ B
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.eval fun x_1 => (f x_1) x) p) Set.univ
a b : ℝ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
n p : ℕ
⊢ (n / p ^ n.factorization p).factorization = Finsupp.erase p n.factorization
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s t : Set α
⊢ Metric.cthickening δ (s ∪ t) = Metric.cthickening δ s ∪ Metric.cthickening δ t
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
⊢ mkRat n d = 0 ↔ n = 0
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ((toLin (EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis (EuclideanSpace.basisFun m 𝕜).toBasis) A))‖ = ‖A‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : ℤˣ
⊢ S.W (n • f) ↔ S.W f
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₂₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_13, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_15, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_14, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_12, u_6} C₂₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂₃ C₄)
G₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₂₃)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap
    ρ₂₃.q
H : CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
((((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor (CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj
        X₃).HasMap
    r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorComp₂₃MapObjIso F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).inv j) =
  CategoryTheory.GradedObject.ιMapTrifunctorMapObj (CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
M : Type u_2
Mul M
e₁ : MulAut M
⊢ e₁⁻¹ = MulEquiv.symm e₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
h : s ⊆ 0
⊢ gauge s = 0
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹
⊢ x ^ 4 ≤ x ^ 3
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
⊢ TensorProduct.lift f ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R N M) = TensorProduct.lift f.flip
ι : Type u_2
Encodable ι
F : ι → Type u_3
(i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
⊢ dist x y = ∑' (i : ι), min ((1 / 2) ^ Encodable.encode i) (dist (x i) (y i))
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ d₃ → of p✝¹ ≤ d₃
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x y : α
s : Multiset α
ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
hxy : y ≠ x
h : x ∈ s
⊢ map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
ih : ∀ (a : Fin (m ^ n)), ⟨∑ i : Fin n, ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
a : Fin (m ^ (n + 1))
⊢ ⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
i : ι
l : List ι
t : (j : ι) → List (α j)
⊢ (i :: l).pi t = (t i).bind fun b => List.map (List.Pi.cons i l b) (l.pi t)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
hf : Q.diagonal (pullback.snd f (𝟙 Y))
⊢ P.diagonal f
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable (fun x => rexp (f x)) μ
this : f = fun x => log (rexp (f x))
⊢ AEMeasurable (fun x => log (rexp (f x))) μ
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
h : ∀ (x : R), (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)
⊢ IsScalarTower R S A
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
⊢ (ofFinsupp f).hsum.coeff g = (f.sum fun x => id).coeff g
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.contSupp (Turing.PartrecToTM2.Cont'.fix f k) =
  Turing.PartrecToTM2.codeSupp f (Turing.PartrecToTM2.Cont'.fix f k)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⋃ i, {↑i} = s
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
z : M₁ ⊗[R] N₁
this✝ : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z) = 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
⊢ IsSplittingField F E p ↔ Splits (algebraMap F E) p ∧ Algebra.adjoin F (p.rootSet E) = ⊤.toSubalgebra
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Over X
⊢ U.right = { as := PUnit.unit }
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddSubgroup.closure (⇑(AddSubgroup.closure s).subtype ⁻¹' s) = ⊤
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1
⊢ log x < x - 1
R : Type u
Ring R
hf : IsField R
x : R
⊢ x ≠ 0 → ∃! y, x * y = 1
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
⊢ (∀ (a : C) (b : (d : C) × (a ⟶ d)), ⟨a, b⟩ ∈ S → ⟨a, b⟩ ∈ T) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
this : F = s.restrict f
⊢ Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A B : Set X
⊢ derivedSet (A ∪ B) = derivedSet A ∪ derivedSet B
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α
hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α
τ : Perm α
hτ : τ ∈ alternatingGroup α
hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩
π : Perm α
hπ : π * σ * π⁻¹ = τ
⊢ IsConj ⟨σ, hσ✝⟩ ⟨τ, hτ⟩
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n
S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i
u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊
u_mono : Monotone u
I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a
C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)
I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C
I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)
I4 : ∑' (i : ℕ), ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} < ⊤
ω : Ω
hω : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ c ∈ range (u n), Y c ω - ∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range (u n), Y c a| < ε * ↑(u n)
x✝¹ : ℕ
x✝ : Ω
⊢ (range ⌊c ^ x✝¹⌋₊).sum Y x✝ = ∑ c ∈ range (u x✝¹), Y c x✝
α : Type u
inst✝³ : Monoid α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a * b)
⊢ a * b * (⅟b * ⅟a) = 1
a x z : ℂ
⊢ ↑(abs 0) * cexp (↑(arg 0) * I) = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ≫ RightUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ RightUnitorBimod.inv N
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
A : ContDiffOn 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
B : ContDiffOn 𝕜 m ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) ∘ Prod.fst) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) p.1) p.2) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : ∀ (x y : β), f x = f y
⊢ Measurable f