ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³¹ : Semiring R₁
inst✝³⁰ : Semiring R₂
inst✝²⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝²¹ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R₄
inst✝⁵ : Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝³ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
x : M₂
⊢ ((fun f => (↑e₄₃).comp (f.comp ↑e₁₂.symm)) ((fun f => (↑e₄₃.symm).comp (f.comp ↑e₁₂)) f)) x = f x
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.get? 0 = l.head?
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x
hg : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n g s x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ e.coordChange e' (f x) (g x) = ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f x)) (g x)
α : Type u_2
β : Type u_3
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
hf : Filter.Tendsto f l₁ l₂
hg : Filter.Tendsto g l₁ l₂
⊢ Filter.Tendsto (fun a => if p a then f a else g a) l₁ l₂
a b c : Int
⊢ a + b + c = a + c + b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
⊢ (map g f).lintegral μ = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
α : Sort u_1
A : Sort u_2
B : Sort u_3
inst✝¹ : Unique A
inst✝ : Unique B
f : A → B
⊢ ∃ g, Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ Set.image2 Div.div s t = s / t
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometry.toLinearMap
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
H : ∀ (x y : α), R x y
⊢ List.Pairwise R l
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
K : Type u_4
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
⊢ IsIntegrallyClosed R ↔ ∀ {x : K}, IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R K) y = x
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a
⊢ a / c ≤ b / c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.whisker E c).π = CategoryTheory.whiskerLeft E c.π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑Y)ᵒᵖ
⊢ α.c.app U = β.c.app U ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
⊢ ⇑(algebraMap ℝ≥0 ℝ) = NNReal.toReal
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S₁ : Type u_2
SMulZeroClass S₁ R
a : S₁
f : MvPolynomial σ R
⊢ (a • f).support ⊆ f.support
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊤⁻¹ = ⊤
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
hf : HasDerivAt f 0 (g a)
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝 a] id
hg : DifferentiableAt 𝕜 g a
⊢ False
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4
⊢ (bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code n.div2.div2, F a (ofNat Code n.div2.div2)) else pc a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else pr a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2))) = F a (ofNat Code (n + 4))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (φ i).vars)
⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars = t.biUnion fun i => (φ i).vars
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x
⊢ ↑g ≤ 𝓝 x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
DecidableEq α
h : G.CliqueFree n
s t : α
⊢ (G.replaceVertex s t).CliqueFree n
M : Type u_1
Monoid M
ι : Sort u_2
f : ι → Submonoid M
⊢ (iInf f).units = ⨅ i, (f i).units
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
adj : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.IsRightAdjoint g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
h : IsNoetherian R M
⊢ IsNoetherian R ↥N
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
⊢ Cardinal.lift.{max v m, w} #ι = Cardinal.lift.{max w m, v} (Module.rank R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
g : s →r t
f : r →r s
x : α
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ (HNNExtension.NormalWord.unitsSMulEquiv φ).symm w = HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ (-1) w
⊢ borel ℝ = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Set.Ioo ↑a ↑b})
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (b.toDual (b i)) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f) = f i
R : Type u_1
S : Type ?u.132402
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.132867
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.134007
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι k (k ⊗[R] M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i
⊢ Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f g : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hm : m ∈ (f.genEigenspace μ) k
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
⊢ g m = μ • m
α : Sort u_1
p q : α → Prop
H : ∀ (x : α), p x
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
⊢ q x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
f : M →ₗ[R] N
x : L
m : M
⊢ ⁅x, f⁆ m = ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
ν : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ∫ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • s, f x ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x y : α
⊢ (Setoid.ker f).Rel x y ↔ x ∈ f ⁻¹' {f y}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
η : Type u_5
ε : Type u_6
e : PartialEquiv α β
f : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv δ η
f' : PartialEquiv η ε
x : α
y : δ
⊢ (x ∈ e.source ∧ y ∈ e'.source) ∧ ↑e x ∈ f.source ∧ ↑e' y ∈ f'.source ↔ (x ∈ e.source ∧ ↑e x ∈ f.source) ∧ y ∈ e'.source ∧ ↑e' y ∈ f'.source
x y : ℝ*
⊢ x.Infinite → ¬y.Infinitesimal → (x * y).Infinite
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₃ b₃ ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₂ b₂ ⋯).inv.app ((shiftFunctor (OppositeShift C ℤ) b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1)) a₂).map ((pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₁ b₁ ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)
β : Sort u_2
α : Sort u_1
P : β → Sort v
e : α ≃ β
f : (a : α) → P (e a)
b : β
⊢ (Equiv.piCongrLeft P e) f b = cast ⋯ (f (e.symm b))
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
k : Set G
⊢ Subgroup.closure k ≤ K ↔ k ⊆ ↑K
α : Type u_2
Div α
a b : α
⊢ {a} / {b} = {a / b}
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
⊢ f '' {M | M.E ⊆ E} ⊆ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
Finite α
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => f a) μ
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H χ₁
hm : m ∈ LieModule.weightSpace M χ₂
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ LieModule.weightSpace M (χ₁ + χ₂)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
Nonempty ↑s
Fintype ↑s
lin_ind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
card_eq : s.toFinset.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ⇑(setBasisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind card_eq) = Subtype.val
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c : C
x y : c ⟶ c
⊢ x * y = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x y
i j : Nat
h : i < j
⊢ j - 1 - (i + 1) < j - i
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
m : ℕ
h1 : n ≤ m
h2 : n + 1 ≤ m
⊢ Nat.leRec (le_succ_of_le ⋯ refl) (fun k h ih => le_succ_of_le ⋯ ih) h2 = Nat.leRec refl le_succ_of_le h1
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
⊢ l.minimum ≤ ↑a ↔ ∃ b, b ∈ l ∧ b ≤ a
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ SigmaFinite μ
R : Type u_1
Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
⊢ f.degree = ⊥ ↔ f = 0
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ∀ (a : L'.Term α), (FirstOrder.Language.Lequiv.onTerm φ).symm a = φ.invLHom.onTerm a
α : Type u_1
x : α
xs : List α
n : Nat
h : n = xs.length
⊢ (x :: xs)[n] = (x :: xs).getLast ⋯
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (toStalk R y) = toStalk R x
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Function.Surjective ⇑(f' ^ n)
⊢ Function.Surjective ⇑f'
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f ((condexpKernel μ m) ω)
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
⊢ (CliffordAlgebra.map f).comp (CliffordAlgebra.map g) = CliffordAlgebra.map (f.comp g)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
⊢ (X - C a).Monic
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring T
f : R →+* S
g : R →+* T
⊢ (RingHom.fst S T).comp (f.prod g) = f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
p : R[X]
⊢ (polyEquivTensor R A).symm (a ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun n r => (Polynomial.monomial n) (a * (algebraMap R A) r)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
BorelSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
⊢ μ = ν
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x < ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
iso : E ≃L[𝕜] F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑iso) s
r : ℝ≥0
⊢ ¬⊤ ≤ ↑r
α β ι : Type u
c : ι → Cardinal.{v}
⊢ lift.{w, max v u} (prod c) = prod fun i => lift.{w, v} (c i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' sᶜ = (f ⁻¹' s)ᶜ
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t
h : ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1 = ∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1
this : (t.biUnion fun i => (Finsupp.single i 1).support) = (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1).support
⊢ ∀ (i₁ i₂ : σ), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (Finsupp.single i₁ 1).support (Finsupp.single i₂ 1).support
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
b' : R[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) (a' * b')
hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b
this : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ ¬IsUnit a'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
⊢ (h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖x + y‖
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) μ
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0
⊢ a ^ k = 1
M : Type u_4
AddMonoid M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ (n - 1) • a + a = n • a
α : Type u_2
Preorder α
a b c : α
⊢ b = c → a < b → a < c
α : Type u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
⊢ Equiv.trans 1 e = e
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc 0 f = 0
M : Type u_1
α : Type u_7
SMul M α
MulAction.IsPretransitive M α
x y : α
⊢ ∃ m, m • x = y
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ H.IsComplement' K ↔ AddSubgroup.IsComplement ↑H ↑K
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hg : HasDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat
⊢ (Array.shrink.loop n a).size = a.size - n
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
U : TopologicalSpace.Opens X
hU : Nonempty ↥U
⊢ Set.EqOn (↑e.symm) (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) (e.subtypeRestr hU).target
⊢ RingHom.StableUnderComposition fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u
x y : F α
h : x = y
⊢ (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η.app α) y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'') (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'')
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 : ℤ_[p]
⊢ ↑(-z1) = -↑z1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ upperCrossingTime a b f N N ω = N
D : TopCat.GlueData
i j : D.J
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' Set.range ⇑(D.ι i) = Set.range ⇑(D.f j i)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ico a c ⊆ Set.Ico a b ∪ Set.Ico b c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : One α
s : Finset α
a : α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
f : F
⊢ image (⇑f) 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
⊢ (∑ x ∈ B, ∑ a ∈ s, if a ∈ x then 1 else 0) ≤ ∑ x ∈ s, ∑ a ∈ B, if x ∈ a then 1 else 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Finite ι
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs :
  ∀ (i : ι),
    Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (Set.range ⇑root) (Set.range ⇑root)
hsp : Submodule.span R (Set.range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
hk : root k = (Module.preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) (root j)
⊢ coroot k = (Module.preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ 𝓝 1 = toFilterBasis.filter
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
I : Submodule R N
x : TensorProduct R (↥I) M
⊢ ∃ J, ∃ (_ : J.FG) (hle : J ≤ I), ∃ y, x = (LinearMap.rTensor M (Submodule.inclusion hle)) y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₕ Y
⊢ ⇑h.toFun = ↑h
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ Antitone (intentClosure r)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s ⊼ t₁ ⊆ s ⊼ t₂