ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))
⊢ zpowers g = ⊤
α : Type u_1
OrderedRing α
Nontrivial α
a b : α
a' b' : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → decide (a' < b') = true → a < b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ 0 < ε ^ 5
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α
⊢ pred a ≤ b ∧ b ≤ a ↔ b = a ∨ b = pred a
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
⊢ QuasiIso
  (((CategoryTheory.forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map
    (groupCohomology.resolution.εToSingle₀ k G))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
a : α
u : Set α
au : a ∈ u
ou : IsOpen u
⊢ ∃ v ∈ b, a ∈ v ∧ v ⊆ u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ s.append nil = s
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A : Set β
x : β
⊢ a • x ∈ a • A ↔ x ∈ A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (A B A' : C) (f : A ⟶ A') (g : A ⟶ B), P f → P (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g)
⊢ P.StableUnderCobaseChange
X : Type u_1
⊢ FreeAbelianGroup.support 0 = ∅
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
⊢ P (algebraMap R' S')
a : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Ioi a = Set.Ioi ↑a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap (𝟙 K) i = 𝟙 (K.homology i)
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap R A) a - (algebraMap R A) b ∈ I
⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
h : a < 0
⊢ a ≤ -1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Monotone Int.floor
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.convs m = g.convs n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
⊢ ContinuousAt φ b
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌈a⌉₊ = ⌈a⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : n + n < X.card + (Y \ X).card
h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0
h₂ : (X ∪ Y).card = X.card + (Y \ X).card
h : n < X.card
⊢ ∃ C, n < C.card ∧ (C ⊆ X ∨ C ⊆ Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
h₂ : μ t = μ s
ht : μ s ≠ ⊤
⊢ μ (t \ s) = 0
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A
⊢ ∀ (m_1 : m → K), A.vecMulLinear m_1 = 0 → m_1 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits T
A : CategoryTheory.StructuredArrow S T
P : CategoryTheory.Subobject A
⊢ ∃ q, CategoryTheory.CategoryStruct.comp q (T.map (CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject P).arrow) = A.hom
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Icc a b] a = 𝓝[≥] a
u v m n : ℤ
⊢ Even (n - 1) ↔ ¬Even n
K : Type u_5
LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.Ioi ↑q = Set.Ioi q
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] fun ω => (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t t₁ : Set β
f : α → β
h : Set.SurjOn f s t
ht : t₁ ⊆ t
⊢ f '' (f ⁻¹' t₁) = t₁
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ : E
⊢ p.ball x₁ r₁ + p.ball x₂ r₂ ⊆ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
⊢ (p ^ k).minFac ^ (p ^ k).factorization (p ^ k).minFac = p ^ k
α : Type u_1
x : WithBot α
⊢ x ≠ ⊥ ↔ ∃ a, ↑a = x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
f : P → P₂
hf : Isometry f
p : P
g : V → V₂
hg : ∀ (v : V), g v = f (v +ᵥ p) -ᵥ f p
⊢ Isometry g
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
c : G.Walk u u
hc : c.IsTrail
he : s(v, w) ∈ c.edges
hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support
hv : v ∈ c.support
puw : G.Walk u w := (c.takeUntil v hv).takeUntil w hw
pwv : G.Walk w v := (c.takeUntil v hv).dropUntil w hw
pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv
this : c = (puw.append pwv).append pvu
hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges
hpq' : s(v, w) ∈ pwv.reverse.edges
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ card p.roots
⊢ (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ Metric.ball 0 (1 + D)
⊢ ExistsContDiffBumpBase.y D x = 0
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ ⇑e ∘ ⇑e.symm = id
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1 + 2)‼ = (2 * n + 1 + 2) * (2 * n + 1)‼
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) t
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.negAddY P P = 0
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
ra : IsRegular a
⊢ IsRegular (a ^ n)
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : Polynomial R
⊢ ((Polynomial.taylor r) f).coeff 0 = Polynomial.eval r f
S : Set ℕ
⊢ S = Set.univ ↔ 0 ∈ S ∧ ∀ k ∈ S, k + 1 ∈ S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ↔ f =ᶠ[ae μ] g
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
h : IsMinFilter f l a
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓟 (Set.Ici (f a)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
V : Submodule 𝕜 E
⊢ ⊤ ⟂ V ↔ V = ⊥
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * (Polynomial.X + ↑n)).comp q = p.comp q * (q + ↑n)
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.14976
s t : Finset α
n : ℕ
⊢ (↑(powersetCard n ∅)).Subsingleton
n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ k ! * (n - k)! ∣ n !
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ List.argmin f (l ++ [a]) = Option.casesOn (List.argmin f l) (some a) fun c => if f a < f c then some a else some c
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
a b : ZMod n
⊢ (a * b).cast = a.cast * b.cast
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target = ↑s
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
⊢ ∀ (a : G), IsOpen {a}
α : Sort u
p : α → Prop
self : Subtype p
⊢ p self.val
α : Type u_1
Append α
a b : α
⊢ Part.some a ++ Part.some b = Part.some (a ++ b)
R : Type
CommRing R
CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
⊢ Function.Injective ⇑(Zsqrtd.lift r)
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
⊢ ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))
r : ℝ≥0
⊢ 0 < ↑r ↔ 0 < r
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g : G
p q : P
⊢ g +ᵥ p -ᵥ q = g - (q -ᵥ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c • f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a b : G
⊢ a / b = a * b⁻¹
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).natDegree < a.natDegree + b.natDegree
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)
B : MeasurableSet (f '' (Subtype.val '' u))
⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace R
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
TopologicalRing R
A : Matrix n n R
h : ContinuousAt Ring.inverse A.det
⊢ ContinuousAt Inv.inv A
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
hx : x ∈ S.ofUnits
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
⊢ f.comp (Dilation.id α) = f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ p₁ ≠ p₂
a c b : Prop
⊢ (a ∧ c ↔ b ∧ c) ↔ c → (a ↔ b)
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
⊢ IsCompact (⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
q : ℕ
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.natTransP q).app X = AlgebraicTopology.DoldKan.P q
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
x : M
n : ℕ
h' : x ∈ φ.maxGenEigenspace 0
⊢ ↑((restrict φ hφV ^ n) ⟨x, h'⟩) = (φ ^ n) x
α : Type u_1
x y : α
LT α
Decidable (x < y)
DecidableEq α
⊢ compareOfLessAndEq x y = Ordering.lt ↔ x < y
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R✝
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R✝ A
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f✝¹ : R✝ →+* S
f✝ : R✝ →+* B
f : R✝ →+* S
R : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : B
r : R
hx : IsIntegral S x
⊢ r • x ∈ Algebra.adjoin S {x}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (uIcc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, ((↑(count i t) - ↑(count i s)).natAbs + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Function.Injective ⇑(PowerSeries.C R)
⊢ LinOrd.dualEquiv.functor = LinOrd.dual
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ t ⊆ U ∧ U ⊆ s
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
a : α
f₁ f₂ : α →₀ G
⊢ Finsupp.erase a (f₁ - f₂) = Finsupp.erase a f₁ - Finsupp.erase a f₂
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s
α : Type u
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ Matrix.vecCons x u = fun x_1 => x
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : SMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u
⊢ IsCompact ((fun x => x.1 • x.2) '' k ×ˢ u)
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
ν : MeasureTheory.Measure β
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (g ∘ f) p μ = MeasureTheory.eLpNorm g p ν
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
j✝ : K
⊢ ι (E ⋙ F) j✝ ≫ pre F E ≫ colim.map α = ι (E ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerLeft E α) ≫ pre G E
k n✝ : ℕ
⊢ k ! * (n✝ + k).choose k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
φ : A →⋆ₐ[R] B
⊢ φ.range = StarSubalgebra.map φ ⊤
n : ℕ
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x ≤ x_1) n.primeFactorsList
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
⊢ GaloisConnection (IntermediateField.map f) (IntermediateField.comap f)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
⊢ FiniteDimensional F E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p
⊢ (range fun h => f h) = ∅
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : V) in cocompact V, dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / ⊤).toReal) * edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y)
M : Type u_1
CommSemigroup M
⊢ Set.center M = Set.univ
α : Type u_1
IsEmpty α
_m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ = 0
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
f : P1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
x : EReal
⊢ SignType.sign (-x) = -SignType.sign x
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → s ∩ t = s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
⊢ False
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
⊢ 0 < d
R : Type u
inst₁ inst₂ : CommRing R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f g : AddHom M N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
A : ι → S
i : ι
x : ↥(A i)
⊢ SetLike.Homogeneous A ↑x