ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
⊢ (do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = forIn (List.drop j as.data) x✝ f
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∃ y, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(t.erase ↑y)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRat (x + y) = CauSeq.Completion.ofRat x + CauSeq.Completion.ofRat y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ b ≤ a \ b ⊔ b \ a ⊔ a
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ ⇑(p + q) = ⇑p + ⇑q
A : Type u_5
Add A
S : Set A
⊢ AddSubsemigroup.toSubsemigroup (AddSubsemigroup.closure S) = Subsemigroup.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
r : ι → ι → Prop
hf : ∀ (x y : ι), r x y → f x = f y
⊢ Set.range (Quot.lift f hf) = Set.range f
G : Type u
Group G
TopologicalSpace G
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Filter.Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
⊢ TopologicalGroup G
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
y : ι → ℝ
⊢ c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y⟫_ℝ = ∑ i : ι, c * ↑(w i) * ↑(y i)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
t : Finset α
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ SzemerediRegularity.bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht : t ∈ (SimpleGraph.regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3
⊢ SimpleGraph.triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ CategoryTheory.StrongEpi f ↔ CategoryTheory.StrongEpi g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α → β
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
α : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.Conservative f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f^[n] x ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Bijective ⇑f
α : Type u
l : List α
x : α
n k : ℕ
hn : k < n
hk : k < l.length
hk' : k < (List.insertNth n x l).length := ⋯
⊢ (List.insertNth n x l).get ⟨k, hk'⟩ = l.get ⟨k, hk⟩
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
b0 : 0 < b
⊢ a * b ≤ b ↔ a * b ≤ 1 * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
X : T.Coalgebra
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.ι X)
    (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.topMap X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.ι X)
    (CategoryTheory.Comonad.CofreeEqualizer.bottomMap X)
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB s p
a : β
ha : a ∈ upperBounds (Prod.snd '' s)
⊢ p.2 ≤ a
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
ev : ℤ
bi : K
bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1
hF : (algebraMap ℤ K) ev = (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)
Fa : |↑ev| = ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a * (↑b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
F0 : ev = 0
⊢ eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) = 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B
⊢ b ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → γ
g : γ → δ
⊢ g '' image2 f s t = image2 (fun a b => g (f a b)) s t
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {0}
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Ideal R
h : S ≤ R⁰
⊢ ↑I ≠ 0 ↔ I ≠ ⊥
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ (B (v i)) (v.repr.symm vi) = 0
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =o[l] k' → f' =o[l] k'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
⊢ 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R) * cyclotomic n R = cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
R : Type u
M : Type v₁
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R P
Module R Q
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = TensorProduct.lTensorHomToHomLTensor R M P Q
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ Dense (closure s) ↔ Dense s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
⊢ ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
x : R
⊢ eval x p = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), p.coeff i * x ^ i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (Homeomorph.refl X).symm = Homeomorph.refl X
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).b₈ = φ W.b₈
n : Type u → Type u_1
m : Type u → Type u_2
ρ α : Type u
MonadFunctor n m
f : {β : Type u} → n β → n β
x : ReaderT ρ m α
ctx : ρ
⊢ (monadMap f x).run ctx = monadMap f (x.run ctx)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ s ∪ r ⊆ s₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤
ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0
this✝ : infEdist x s < infEdist x s + ↑ε / 2
y : α
ys : y ∈ s
dxy : edist x y < infEdist x s + ↑ε / 2
this : hausdorffEdist s t < hausdorffEdist s t + ↑ε / 2
⊢ infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
⊢ ⇑f = ⇑g ↔ f = g
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).val = s.val.ndunion t.val
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
f : Equiv.Perm α
h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)
x : α
h : f ∈ l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l)
hx : f x ≠ x
y : α
hy : y ∈ l
hy' : f ∈ List.map (fun f => Equiv.swap a y * f) (permsOfList l)
g : Equiv.Perm α
hg₁ : g ∈ permsOfList l
hg₂ : Equiv.swap a y * g = f
hxa : ¬x = a
hxy : ¬x = y
⊢ (if f x = a then y else if f x = y then a else f x) ≠ x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Finset α
⊢ e.finsetCongr s = Finset.map e.toEmbedding s
M : Type u_2
N : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = MulOpposite.op ∘ ⇑f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.fstTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) = K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x
⊢ ∃ p, p ∈ normalizedFactors x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ edist y₀ (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : p y ≤ r - p x
⊢ y ∈ p.closedBall x r
R : Type u_1
NonAssocRing R
p : ℕ
CharP R p
Finite R
⊢ p ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I' : C
e : X ⟶ I'
m : I' ⟶ Y
comm : e ≫ m = f
CategoryTheory.StrongEpi e
CategoryTheory.Mono m
⊢ (CategoryTheory.Limits.image.isoStrongEpiMono e m comm).inv ≫ m = CategoryTheory.Limits.image.ι f
n : ℕ
⊢ n + 1 ≤ (n.sqrt + 1) * (n.sqrt + 1)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S
⊢ x ∈ S.centralizer.centralizer
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ P.parts.Nonempty ↔ a ≠ ⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
⊢ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤ ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight (whiskerRight f (forget A)) (forget (Type w')))) = ⊤
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
z : ℂ
⊢ Complex.abs z ≤ |z.re| + |z.im|
s : ℝ
⊢ Complex.Gamma ↑s * Complex.Gamma (1 - ↑s) = ↑π / Complex.sin (↑π * ↑s)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ tangentConeAt ℝ s x ∈ 𝓝 (y - x)
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ Polynomial.eval x 1 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (𝟙 X.unmop).mop = 𝟙 X
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
TopologicalSpace β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (f + g) μ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
⊢ μ s = 0 ∨ μ s = ENNReal.ofReal T
R : Type u
S : Type v
Semiring R
AddCommMonoid S
p : R[X]
f : ℕ → R → S
h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0
⊢ p.sum f = ∑ a ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f a (p.coeff a)
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ ‖A i j‖₊ ≤ ‖A‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a * b < a ↔ a * b < a * 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : Cᴹᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopBraidedFunctor C).map f = f.unmop
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
⊢ q.smeval (-↑n) = ↑(q.smeval (-↑n))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
⊢ IsUnit (Matrix.fromBlocks A 0 C D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y : CategoryTheory.StructuredArrow PUnit.{w + 1} F
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).map f = ⟨f.right, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) (↑‖v‖ ^ 2 • w)) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ (n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₁ * ↑d₃ + n₃ * (↑d₁ * ↑d₂))) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃)) = (n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₃ * ↑d₁ + n₃ * ↑d₂ * ↑d₁)) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃))
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ bernsteinApproximation.S f ε h n x
⊢ |f k/ₙ - f x| < ε / 2
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, 0 ≤ g x
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
x y : UInt16
⊢ x = y ↔ x.toNat = y.toNat
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
E₁ : Type u_9
E₂ : Type u_10
UniformSpace E₁
UniformSpace E₂
AddCommGroup E₁
AddCommGroup E₂
Module R₁ E₁
Module R₂ E₂
UniformAddGroup E₁
UniformAddGroup E₂
f : E₁ →SL[σ₁₂] E₂
⊢ UniformContinuous ⇑f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).inits = (map reverse (a :: l).reverse.tails).reverse
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs : BddAbove s
⊢ ⇑(sSup s) = ⨆ p, ⇑↑p
α : Type u_1
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : f =Θ[l] g
⊢ (fun x => (f x)⁻¹) =Θ[l] fun x => (g x)⁻¹
a b c d : ℕ
lr₁ : 3 * a ≤ b + c + 1 + d
mr₂ : b + c + 1 ≤ 3 * d
mm₁ : b ≤ 3 * c
⊢ a + b + 1 ≤ 3 * (c + d + 1)
α : Type u_1
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b
c : ℝ≥0
ac : a < ↑c
cb : ↑c < b
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
ab : 1 < a * b
⊢ b ≤ 1
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
⊢ (Equiv.sigmaEquivProd α₁ β₁).symm.trans (Equiv.sigmaCongrRight e) =
  (Equiv.prodCongrRight e).trans (Equiv.sigmaEquivProd α₁ β₂).symm
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ = ‖w‖ ^ 2 + 4
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑(AdicCompletion.eval I M n)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (α.hom.app (unop x✝) ≫ α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]
a : S
⊢ a ∈ p.aroots S ↔ map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
t : Interval α
⊢ ⊥ / t = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
⊢ SurjOn f (Ioc a b) (Ioc (f a) (f b))
α : Type u_1
P Q : RegularExpression α
⊢ (P + Q).matches' = P.matches' + Q.matches'
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝¹ : Module.Free A C
this✝ : IsNoetherian A C
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1)) = (aeval t) (↑((n + 1).choose x) • bernoulli x)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
pkg'' : AbstractCompletion γ
g : β → γ
f : α → β
hg : UniformContinuous g
hf : UniformContinuous f
⊢ pkg'.map pkg'' g ∘ pkg.map pkg' f = pkg.map pkg'' (g ∘ f)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (gcd p q).degree ≤ q.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this✝ : (𝓝[<] x).NeBot
h : leftLim f x = f x
this : Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
Field F
Field K
Field A
Algebra F K
Algebra F A
Algebra.IsAlgebraic F K
L : Type u_4
Field L
Algebra F L
Algebra L A
IsScalarTower F L A
hL : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] L
x : K
⊢ ((Algebra.IsAlgebraic.algHomEquivAlgHomOfSplits A L hL) f) x = (algebraMap L A) (f x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.prod.etaIso X).inv = (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.1, CategoryTheory.CategoryStruct.id X.2)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → Set β
s : Set β
hx : x ∉ t
⊢ ⋃ i ∈ insert x t, Function.update f x s i = s ∪ ⋃ i ∈ t, f i
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
⊢ update i f b = f - single i (f i) + single i b
R : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup R
a b : R
⊢ IsRegular (a * b) ↔ IsRegular a ∧ IsRegular b