ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
Functor m
x : m α
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f <$> x = g <$> x
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom f)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone (WithBot.map f) ↔ Monotone f
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
⊢ ((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.mapMonFunctor C D).obj F = F.mapMon
G : Type u_2
AddGroup G
S T : AddSubmonoid G
⊢ -(S ⊔ T) = -S ⊔ -T
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
⊢ List.map (Function.uncurry f) (l.zip l') = List.zipWith f l l'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, ∀ (x : F), 0 ≤ i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
h₁ : a ≤ b
c : α
⊢ c ⊔ a ≤ c ⊔ b
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : LocalRing S := ⋯
⊢ (algebraMap R S) x ∈ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∈ I
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ α → List (α × β)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
x : { x // x ∈ l }
⊢ ↑((List.Nodup.getEquiv l H).symm x) = List.indexOf (↑x) l
⊢ CliffordAlgebraComplex.ofComplex Complex.I = (CliffordAlgebra.ι CliffordAlgebraComplex.Q) 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a s = Multiset.card s ↔ ∀ x ∈ s, a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∉ s
⊢ ∀ (x : α), x ∉ {a} ∩ s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
k : ℕ
R : L.Relations k
ts : Fin k → L.Term α
⊢ (R.formula ts).Realize v ↔ FirstOrder.Language.Structure.RelMap R fun i => FirstOrder.Language.Term.realize v (ts i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)
⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
e : Y ≃ Z
g : LocallyConstant X Z
⊢ (LocallyConstant.congrRight e).symm g = LocallyConstant.map (⇑e.symm) g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation f
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ CategoryTheory.StrongEpi F'.e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
i : E.I₀
⊢ (E.multicospanIndex F).left i = F.obj (Opposite.op (E.X i))
α : Type u_1
Bornology α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded (s ×ˢ s) ↔ Bornology.IsBounded s
a b : ℕ
w : a ∣ b
h : b < a
⊢ b = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a : α
⊢ variationOnFromTo f s a a = -variationOnFromTo f s a a
n : ℕ
self : CompositionAsSet n
⊢ Fin.last n ∈ self.boundaries
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.mapSnakeInput φ hS₁ hS₂ i j hij).f₀ =
  (HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).mapShortComplex.map φ
a n k : ℕ
⊢ (2 ^ k).bitIndices = [k]
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
x : β
hx : x ∈ s
hy : (image f s).max = ↑(f x)
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
f : α → γ
g : β → δ
⊢ Function.Injective (Sum.map f g) ↔ Function.Injective f ∧ Function.Injective g
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∑ i ∈ ∅, f i).degree ≤ ∅.sup fun b => (f b).degree
C : Type u₁
Quiver C
X Y : C
⊢ Function.Injective Quiver.Hom.op
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Ico a b * Set.Ioc c d ⊆ Set.Ioo (a * c) (b * d)
R' : Type u_1
α : Type u_2
NonAssocSemiring R'
SMul R' α
S : Subsemiring R'
g : ↥S
m : α
⊢ g • m = ↑g • m
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M N : Matrix n n A
⊢ invFun R A n (M + N) = invFun R A n M + invFun R A n N
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => Set.Ioc (f x) (g x)) s
d : ℤ
a : ℤ
b : ℤ√d
⊢ (↑a * b).re = a * b.re
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure α
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = μ
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h
⊢ Set.InjOn Int.natAbs (Set.Ici 0)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ ∃ y ∈ S, ↑y = x
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n
ha₁ : a = a.val • 1
⊢ ψ a = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ (AffineSubspace.topEquiv k V P).linear = (LinearEquiv.ofEq ⊤.direction ⊤ ⋯).trans Submodule.topEquiv
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y \ x = y \ z ↔ y ⊓ x = y ⊓ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
CategoryTheory.Epi S.g
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.IsIso S.fromOpcycles
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (z * z⁻¹) < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
M : Type u_2
Monoid M
a : M
n : ℕ
⊢ Commute (a ^ n) a
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
j : J
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(F.obj j))ᵒᵖ
⊢ (F.map (𝟙 j)).c.app U =
  (TopCat.Presheaf.Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app U ≫
    (TopCat.Presheaf.pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom.app U
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
a : R
⊢ (γ.smul a).left = γ.left.smul a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
z : 𝕜
⊢ (f - g) z = (f + -g) z
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ
this : ↑z1 = ↑z2 ↔ z1 = z2
⊢ ↑z1 = ↑z2 ↔ ↑z1 = ↑z2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
p q : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F X
h : p.fst = q.fst
h' : F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) q.snd = p.snd
⊢ p = q
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → M →+ N
a : α
⊢ (Finsupp.liftAddHom f).comp (Finsupp.singleAddHom a) = f a
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
X Y : Submodule R M × Submodule R M
⊢ JordanHolderModule.Iso X Y → JordanHolderModule.Iso Y X
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
e' : β → γ
b : β
hb : ¬∃ a, f a = b
⊢ extend f g e' b = e' b
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ (κ.prod η).snd = η
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f f' : ι → 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (Filter.map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
α : Type u_1
Nonempty α
Finite α
⊢ 0 < Nat.card α
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
a : α
⊢ a ∈ h • fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α (h * g * h⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ∀ {X Y : Quiver.SingleObj α} (a : α), (Quiver.SingleObj.toPrefunctor f).map a = f a
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ Set.range ConnectedComponents.mk = Set.univ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w : { w // w.IsComplex }
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.indexEquiv K) (Sum.inr (w, 0)) = (↑w).embedding
α : Type u_1
a b c : α
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
α : Type u_1
AddCommGroup α
n : ℤ
x y : α
h : Mathlib.Tactic.Abel.smulg n x = y
⊢ n • x = y
A : Type u
B : Type v
AddCommGroup A
AddCommGroup B
f : A →+ B
h : ∀ (u v : B →+ B ⧸ f.range), u.comp f = v.comp f → u = v
⊢ f.range = ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ t ∩ u = (s ∪ t) ∩ (s ∪ u)
N i : ℕ
⊢ Polynomial.revAtFun N i = (Polynomial.revAt N) i
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
y : ℕ
⊢ round (x + ↑y) = round x + ↑y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Ι a b) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
f g : β → γ
h : f = g
X : CategoryTheory.GradedObject γ C
b : β
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.comapEq C h).inv.app X b = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
⊢ BddBelow (Set.range f)
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
h : univ ⊆ {i, k}
⊢ False
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca
⊢ a = 0 ∧ b = 0
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg ↔ x.Infinite ∧ x < 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s : ClopenUpperSet α
⊢ IsUpperSet ↑s
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P✝ : Ideal S
P_prime✝ : P✝.IsPrime
hP✝ : P✝ ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : ¬P ^ i * P ∣ span {a}
ab_mem : P ^ i * P ∣ span {a} * span {b}
⊢ P ∣ span {b}
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ∀ (a : TopologicalSpace.Closeds α),
  (TopologicalSpace.Closeds.complOrderIso α) a = (⇑OrderDual.toDual ∘ TopologicalSpace.Closeds.compl) a
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ b < c + a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝¹ : Mono S.f
this✝ : Epi S.g
this : Mono (F.map S.f)
⊢ (S.map F).ShortExact
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∪ t \ s = s ∪ t
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
fl z : ℤ
h₁ : ↑fl ≤ x
h₂ : ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl
⊢ z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ x * y ∣ z
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ ↑p < ↑q ↔ p < q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this✝ : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ a
x : α
hx : a = p * x
hn0 : 0 < n
hpx : ¬p ^ (n - 1 + 1) ∣ x
this : 1 ≤ n + m
⊢ x * b * p = p ^ (n - 1 + m + 1) * s * p
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i < x.moveLeft j
⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
V : C
iVZ : G.obj V ⟶ Z
⊢ ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x))) = ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x)))
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'
⊢ (adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L
R : Type u
CommRing R
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (Opposite.op (CommRingCat.of R)) =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R ⊤).op
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).left.H = h.left.H
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
r : ℝ≥0
⊢ (r • s).toJordanDecomposition = r • s.toJordanDecomposition
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : ℤ
⊢ (↑a).coeff n = ↑(if n = 0 then a else 0)
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
⊢ (√(2 + ↑a / ↑b)).sqrtTwoAddSeries n ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
habc : f a * c = b * b
⊢ f a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
U : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace ↥U
⊢ ContinuousLinearMap.adjoint U.subtypeL = orthogonalProjection U
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
⊢ (p - q).degree ≤ max p.degree q.degree
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = setToSimpleFunc T f
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ l.sum % n = (List.map (fun x => x % n) l).sum % n
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
⊢ Independent f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
DecidableRel f.SameCycle
DecidableEq α
Fintype α
⊢ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ D₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
x y : M₁
⊢ ((B₁ - D₁) x) y = (B₁ x) y - (D₁ x) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : Y ⟶ (CategoryTheory.ihom A).obj X
⊢ ((CategoryTheory.ihom.adjunction A).homEquiv Y X).symm f = CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
h : sSup s ≤ lfp f
hmem : f (sSup s) ∈ s
⊢ sSup s = lfp f
x y : ℝ
⊢ Real.sin x - Real.sin y = 2 * Real.sin ((x - y) / 2) * Real.cos ((x + y) / 2)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ s ⊆ {a} ↔ ∀ b ∈ s, b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Memℒp (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a)
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x
⊢ (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) 1 = 1
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ 3 = W.Ψ₃
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T 0 = 0