ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥
⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
hs : s.Finite
⊢ g (∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
⊢ False
n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ a * c ≡ b * d [MOD n]
n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k ≤ 0
⊢ 0 = ↑0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b
⊢ IsLeast (Set.image2 f s t) (f a b)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0
⊢ IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)
n m : Nat
⊢ n ≠ 0 → m ≠ 0 → n * m ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
f : α → β
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
⊢ Multiset.map (Subtype.restrict p f) univ.val = Multiset.map f (filter p univ).val
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
ι : Type u_1
G : Type u_9
LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ |∑ i ∈ s, f i| = ∑ i ∈ s, f i
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ
⊢ ↑(toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ (B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))).Nondegenerate
R : Type u
CommSemiring R
x : R
⊢ IsCoprime 0 x ↔ IsUnit x
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
⊢ f.comp (NonUnitalStarAlgHom.id R A) = f
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => x + a
α : Type u_1
I B X : Set α
M : IndepMatroid α
⊢ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
h₁ : UniformContinuous f₁
h₂ : UniformContinuous f₂
⊢ UniformContinuous fun a => (f₁ a, f₂ a)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ LinearEquiv.rTensor M (LinearEquiv.refl R N) = LinearEquiv.refl R (TensorProduct R N M)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.Forall₂ R l₁ l₂ → l₁.length = l₂.length
R : Type u
m : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.natDegree < m
⊢ p.support ⊆ Finset.range m
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))
⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsRightAdjoint
∀ (X : D), CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.Adjunction.ofIsRightAdjoint G).unit.app X)
∀ (Y : C), CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.Adjunction.ofIsRightAdjoint G).counit.app Y)
⊢ G.IsEquivalence
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
s : Set β
hf : AEMeasurable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (f ⁻¹' s) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
W : C
k : W ⟶ X
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k g
⊢ ∃! l, CategoryTheory.CategoryStruct.comp l s.ι = k
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j.contractNth op g k = g k.succ
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
N'₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup N'₂
inst✝² : Module R N'₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x => M) N'
x✝ : ι → M
⊢ (MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f)) x✝ = (g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)) x✝
α : Type u_1
a : α
⊢ (some a).toList = [a]
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ sᶜ ⊆ tᶜ ↔ t ⊆ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (↑s).destruct.destruct = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, ↑s.tail)) s.head)
α : Type u
a : α
⊢ Stream'.const a = Stream'.cons a (Stream'.const a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f
⊢ ∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)
α : Type u_2
β : Type u_3
Norm α
Norm β
f : WithLp 0 (α × β)
⊢ ‖f‖ = (if ‖f.1‖ = 0 then 0 else 1) + if ‖f.2‖ = 0 then 0 else 1
G : Type u_2
Group G
S T : Submonoid G
⊢ (S ⊓ T)⁻¹ = S⁻¹ ⊓ T⁻¹
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f g h : α → β
H₁ : f ≤ᶠ[l] g
H₂ : g =ᶠ[l] h
⊢ f ≤ᶠ[l] h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ
⊢ f.symm.toContinuousMap.comp f.toContinuousMap = ContinuousMap.id α
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
hδ : 0 < δ / 2
⊢ ∃ t, ↑(t 0) = ↑0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, ↑(t m) = ↑1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y z : X
γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
⊢ (γ.trans γ').map h = (γ.map h).trans (γ'.map h)
a : ℝ≥0∞
⊢ ⋃ n, Set.Ico a ↑n = Set.Ici a \ {⊤}
α : Type u_8
β : Type u_9
CompleteLattice α
CompleteLattice β
self : CompleteLatticeHom α β
s : Set α
⊢ self.toFun (sSup s) = sSup (self.toFun '' s)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ (κ.withDensity fun x x => 1) = κ
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im z * RCLike.im RCLike.I = RCLike.im z
α : Type u_1
DecidableEq α
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
⊢ (s.pi fun a => {f a}) = {fun a x => f a}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (Seq.map ret s).join = s
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : ↥(S.integer K)
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
hv : v ∉ S
⊢ v.valuation ↑x ≤ 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ A
⊢ (map f (s + replicate (n - m) a)).prod = (map f (t + replicate (n - m) a)).prod ↔ (s + replicate (n - m) a).prod = (t + replicate (n - m) a).prod
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
this : ⇑φ.symm ∘ ![x, y] = ![φ.symm x, φ.symm y]
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = (o.areaForm (φ.symm x)) (φ.symm y)
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, t ○ (t ○ t) ⊆ s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map j.toAddMonoidHom S = T
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations (f.addEquivOfAddEquiv k H)).toMap = k.toMap.comp j.toAddMonoidHom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
Zero β
Zero γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (f.pair g).FinMeasSupp μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ ‖(1 / 2) • (x + y)‖ < ‖x‖ ↔ x ≠ y
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
G.PreservesLeftHomologyOf S
F.PreservesRightHomologyOf S
G.PreservesRightHomologyOf S
S.HasHomology
τ : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (S.mapNatTrans τ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.mapHomologyIso F).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app S.homology) (S.mapHomologyIso G).inv)
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring
⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
b : γ
v : Π₀ (i : ι), β i
⊢ ⇑(b • v) = b • ⇑v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z : C
CategoryTheory.ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ Z ⊗ Y'
⊢ (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm (f ≫ g) =
  f ▷ Y ≫ (CategoryTheory.tensorRightHomEquiv X' Y Y' Z).symm g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ s * t ⊆ Set.range ⇑m
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ hfpB : FinitePresentation A B
n : ℕ
I : Ideal (MvPolynomial (Fin n) A)
e : (MvPolynomial (Fin n) A ⧸ I) ≃ₐ[A] B
hfg : I.FG
⊢ FinitePresentation R B
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso f
H : P (f ≫ g)
⊢ g = comp (f ≫ g) (asIso f).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ i) s ≤ (sum μ) s
a b : Prop
ha : a
hb : ¬b
⊢ a ≠ b
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ ↑(x.add t h) = ↑x + t
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
T2Space M
f : ℤ → M
hf₁ : Summable fun n => f ↑n
hf₂ : Summable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ ∑' (n : ℤ), f n = ∑' (n : ℕ), f ↑n + ∑' (n : ℕ), f (-(↑n + 1))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
h₀ : 0 ≤ b
h₁ : b < 1
z : ℤ
hz : a - b = ↑z
⊢ fract a = b
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
this✝ : MvFunctor.map g ∘ f = fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩
this : f = fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩
⊢ g <$$> ⟨WType.mk a fun i => (f i).fst, P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd⟩ = ⟨WType.mk a fun i => (f i).fst, P.wPathCasesOn (g ⊚ f') fun i => g ⊚ (f i).snd⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
⊢ Infinite (α × β) ↔ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
⊢ (cauSeqRe f).lim = f.lim.re
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
s : σ
f : α → β → σ → σ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s = Mathlib.Vector.mapAccumr₂ (flip f) ys xs s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
⊢ ∀ (x y : α × α), edist x.1 x.2 ≤ edist y.1 y.2 + 2 * edist x y
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : Finmap β
⊢ (Finmap.replace a b s).keys = s.keys
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
a : α
inst✝ : Finite ↑(orbit G a)
ϕ : ↑(orbit G a) ≃ G ⧸ stabilizer G a := orbitEquivQuotientStabilizer G a
this✝ : Finite (G ⧸ stabilizer G a)
this : (stabilizer G a).FiniteIndex
⊢ ∃ n, Nat.card (G ⧸ stabilizer G a) = p ^ n
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a ≤ 1 / b ↔ b ≤ a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderBot α
hs : IsLowerSet s
⊢ ⊥ ∈ s ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
h : b ≠ 0
⊢ a / b + 1 = (a + b) / b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x - x') (y - y')
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : c < b
⊢ (a * b + c) % b = c
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)
⊢ ∃ a_1, derivFamily f a_1 = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
Semiring Z
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant X Z
⊢ ∀ (a : Y), ((LocallyConstant.congrLeftRingEquiv e) g) a = g (e.symm a)
α : Type u_1
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ Multiset.Ico a b + Multiset.Ico b c = Multiset.Ico a c
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
m n : ℕ
h : m < n
⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => ‖x‖ ^ m
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
⊢ frontier s = closure s \ s
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ+
h : ∃ n, p n
hn : p n
⊢ PNat.find h ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] ∅
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
⊢ { toQuot := Quot.mk (Rel r) 1 } = RingQuot.one r
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ (Algebra.adjoin R s).op = Algebra.adjoin R (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Splitting
⊢ h.op.s = h.r.op
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ a ∈ support 1, coeff a 1 = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2
q : P
⊢ q ∈ ↑s1 ∩ ↑s2 ↔ q = p
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
r₁ : R
hr₁0 : 0 < r₁
hr₁1 : r₁ < 1
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁) (t.points i₃)
r₂ : R
hr₂0 : 0 < r₂
hr₂1 : r₂ < 1
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) ((lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂) (t.points i₃)
w : Fin (2 + 1) → R
hw : ∑ i ∈ {i₁, i₂, i₃}, w i = 1
hp : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R (Set.range t.points)
h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}
h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}
h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)
h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)
hss : SignType.sign (w i₃) = 1
hs' : SignType.sign (∑ i : Fin 3, w i) = SignType.sign (w i₃)
hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i
⊢ i₁ ∉ {i₂, i₃}
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ExponentExists G
⊢ exponent G = sSup (Set.range fun g => orderOf g)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
m : ↥(weightSpace M χ₂)
⊢ ↑((rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] m)) = ⁅↑x, ↑m⁆
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁶ : DecidableEq R
inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝⁴ : NormalizationMonoid R
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))
inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)
I J : Ideal R
hJ : J.IsPrime
hJ₀ : J ≠ ⊥
hI : Associates.mk I ≠ 0
hJ' : Irreducible (Associates.mk J)
⊢ ¬(Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors + 1 ≤ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y
y : α
hy : f y ≠ y
i : ℤ
h✝ : ((f ^ n) ^ i) x = y
⊢ f.SameCycle x y
R : Type u
self : EuclideanDomain R
⊢ WellFounded EuclideanDomain.r
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
ε δ : ℝ
s : Set α
⊢ Metric.thickening ε (Metric.thickening δ s) ⊆ Metric.thickening (ε + δ) s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v w : V
⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ G.degree v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
f : X ⟶ 0
⊢ f = 0
n p : ℕ
h : p < 5
⊢ Prime p → p ≠ 2 → p ≠ 3 → False
v : Sat.Valuation
c : Sat.Clause
p : Prop
self : Sat.Clause.reify v c p
⊢ ¬v.satisfies c → p
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
F : Type u_1
EquivLike F A₁ A₂
AlgEquivClass F R A₁ A₂
f : F
x : A₁
⊢ (↑f).symm (f x) = x
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
SMul S R
SMul S M
IsScalarTower S R M
p : SubMulAction R M
s : S
x : ↥p
⊢ ↑(s • x) = s • ↑x
ι✝ : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R
⊢ AlgebraicIndependent R fun x => g ↑x
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x x = 2 • Q x
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ + b₁ ≤ a₂ + b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
a : α ⧸ s
⊢ (Subgroup.quotientEquivProdOfLE h_le) a =
  (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(Quotient.mk'' g).out'⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) n (⇑L) x
β : Type u_2
α : Type u_5
r₁₂ : α → β → Prop
r₂₁ : β → α → Prop
hr : ∀ (a : α) (b : β), r₁₂ a b → r₂₁ b a
⊢ Relator.BiTotal r₁₂ → Relator.BiTotal r₂₁
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atBot atBot