ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i : ι
h₁ : CategoryTheory.Epi (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₁ i)
h₂ : CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₂ i)
h₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₁ j)
h₄ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → CategoryTheory.Mono (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₂ j)
⊢ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₃ i)
δ : ℝ
X : Type u
PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X
⊢ x ∈ Metric.thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_10
MulZeroClass α
f g : X → α
⊢ (tsupport fun x => f x * g x) ⊆ tsupport f
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m n : ℕ
v : Fin m → E
w : Fin n → E
h1 : m = n
h2 : ∀ (i : ℕ) (him : i < m) (hin : i < n), v ⟨i, him⟩ = w ⟨i, hin⟩
⊢ (p m) v = (p n) w
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
⊢ Matrix.toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ M = (Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < q.natDegree
⊢ p.natDegree = q.natDegree
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_12
Ring R'
Module R' E
p : Submodule R' E
⊢ LinearIsometryEquiv.ofEq p p ⋯ = LinearIsometryEquiv.refl R' ↥p
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ ¬Disjoint s t ↔ ∃ a ∈ s, a ∈ t
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
StrongRankCondition R
NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
Module.Finite R ↥S
⊢ 1 ≤ FiniteDimensional.finrank R ↥S ↔ S ≠ ⊥
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
⊢ Nat.Prime p
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y✝ : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
x : X
hx : x ∈ K
y : X
hy : y ∈ L
h : Inseparable x y
⊢ False
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
⊢ tsupport ↑f ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (Metric.closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ Set.range ↑I)
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.closure ↑S = S
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).degree = ↑n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (¬∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
⊢ ∀ (a : Set α), μ a ≤ ⨆ (_ : a.Nonempty), m a ↔ μ a ≤ m a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
⊢ ↑S₁ = id '' {x | x ∈ S₁}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
K : CochainComplex C ℤ
n i : ℤ
⊢ (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso n).hom.app K).f i =
  𝟙
    (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) n ⋙
              F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj
          K).X
      i)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' s) = s
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Algebra.FiniteType R S
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
Countable ι
f : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f ⊗ g) ≫ (inv f ⊗ h) = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ BddAbove (Set.range (norm ∘ ⇑f))
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ F.Stable ↔ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
n : ℕ
i j : ZMod n
⊢ DihedralGroup.sr i * DihedralGroup.r j = DihedralGroup.sr (i + j)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k
n : ℕ
⊢ single a b ^ (n + 1) = single (a ^ (n + 1)) (b ^ (n + 1))
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
⊢ p * Nat.card (G ⧸ center G) ∣ Nat.card ↥(center G) * (center G).index
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat c b = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = -r
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
⊢ let den := ad * b.den;
let num := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad;
num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ ↑(StarSubalgebra.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
⊢ y ^ m ∣ (y - x) ^ p
α : Type u_1
AddCommGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a - b ≤ b - a ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : ν (f ⁻¹' t) = 0
⊢ μ (f ⁻¹' t) = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
b : M
h : ¬p a
⊢ Finsupp.filter p (Finsupp.single a b) = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ (∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ t, insert a t = s) ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ContDiff 𝕜 0 f ↔ Continuous f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
a : I.L
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.multifork I).ι a = CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
g : G
r : k
⊢ r • (of k G) g = single g r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)) ≫ (shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)) = 𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ ∀ (a : X ⊗ Y ⊗ Z), (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1) a = (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1) a
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℕ
⊢ Mᴴ = ↑d ↔ M = ↑d
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
p : Set α
⊢ p ≤₀ toNat p
n m : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 3) m 0 = 1
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ (μ (closedBall c f.rIn)).toReal ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
⊢ v (x + y) ≥ min (v x) (v y)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x).toReal) μ
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
eq₂ : E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
⊢ E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom = E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.op.counitIso = (CategoryTheory.NatIso.op e.counitIso).symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
⊢ ‖lsmul 𝕜 𝕜'‖ ≤ 1
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑b + -↑a = -↑a + ↑b
K : Type u_1
RCLike K
x : K
⊢ (starRingEnd K) x⁻¹ = ((starRingEnd K) x)⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝 x) ↔ HasFDerivAt f f' x
x n : ℂ
⊢ (if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp ((if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)) * n)) = if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * n) else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f g : β → α
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ Summable fun b => f b - g b
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) f.derivativeFun = (PowerSeries.coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)
G : Type u_1
Group G
⊢ Function.Injective Subgroup.toSubmonoid
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
⊢ Subsingleton ι
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (e.symm x) ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)
xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * ((x - x) ^ (n + 1) - (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
⊢ (⨆ i, f i).NeBot ↔ ∃ i, (f i).NeBot
G : Type w
AddGroup G
ts : Set (TopologicalSpace G)
h : ∀ t ∈ ts, TopologicalAddGroup G
⊢ TopologicalAddGroup G
M : Type u_1
S T : Set M
a : M
b : ?m.797
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : HasDistribNeg M
ha : a ∈ S.centralizer
c : M
hc : c ∈ S
⊢ c * -a = -a * c
m n k : Int
i : Int
⊢ (m - i) % n = (k - i) % n ↔ m % n = k % n
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card + Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) + Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
ε : NNReal
hε : 0 < ε
x✝ : 0 < ⊤
this : ball (f x) (↑ε / 2) ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
⊢ oscillationWithin f D x ≤ ↑ε
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun ↑S = S
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n₂
α : Type u_1
LinearOrder α
a x : α
hx : x ≤ a
⊢ Set.projIci a x = ⟨a, ⋯⟩
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid M
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyInjective f ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
⊢ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (affineCombination k s p₁) w -ᵥ p₂
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
⊢ μH[↑d] s = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
h : φ ≠ 0
⊢ (φ.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑n
α : Type u_2
s : Set α
hs : s.Countable
⊢ ∃ f, f.IsCycleOn s ∧ {x | f x ≠ x} ⊆ s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure N
f : L.Hom M N
x : M
⊢ x ∈ FirstOrder.Language.Substructure.comap f S ↔ f x ∈ S
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E
⊢ ∀ (b_1 : ι'), (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1 ↔ (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
⊢ Filter.Tendsto f₁ l₁ l₂ ↔ Filter.Tendsto f₂ l₁ l₂
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D
⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ ((adjunction J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ ¬(a ↔ b) ↔ a ∧ ¬b ∨ ¬a ∧ b
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Y.X Q.X).hom ≫ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ : α
b₂ : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inl a₁) (Sum.inr b₂) = ∅
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
h : ↑n = 0
⊢ n ∣ m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q - r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
hlt : ↑(↑a).val < ↑n
⊢ ↑(↑a).val = a % ↑n
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
Preorder N
WellFoundedLT N
hbot : ∀ (n : N), ¬n < 0
⊢ WellFoundedLT (α →₀ N)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ∀ (v : F), ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), v⟫_ℝ
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
⊢ (cauSeqIm f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).im
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
e₁ e₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e₁.toEquiv = e₂.toEquiv ↔ e₁ = e₂
n : ℕ
⊢ List.Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (List.range n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv
n a : ℕ
⊢ (∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → a ≤ p) → List.Chain (fun x x_1 => x ≤ x_1) a n.primeFactorsList
n : ℤ
⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
n : ℕ
⊢ 1 ∈ n.divisors ↔ n ≠ 0
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ ‖S.normedMk‖ ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Equivalence.refl.inverse = CategoryTheory.Functor.id C
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
i : ι
⊢ i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ Function.support fun i => (ρ i) x₀
⊢ List.Nat.antidiagonal 0 = [(0, 0)]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (normAtPlace w) x = ‖x.2 ⟨w, hw⟩‖
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w 1 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (Subsemigroup.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I✝ : Set α
M : Matroid α
I : Set ↑X
⊢ (M.restrictSubtype X).Indep I ↔ M.Indep ↑I
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ fun s => hurwitzZeta a s - hurwitzZeta b s
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : PosNum
⊢ ↑(↑a - 1) = ↑a - ↑1