ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ ↑(p ^ n) ≠ 0
a : Prop
b : Prop
⊢ ¬b → ¬(a ∧ b)
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
g : { a // ¬P a } →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain (fun x => ¬P x) (f.piecewise g) = g
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
hg : Antitone g
hf₀ : ∀ (x : β), f x ≤ 0
hg₀ : ∀ (x : β), g x ≤ 0
⊢ Monotone (f * g)
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
x : N ⋊[φ] G
⊢ SemidirectProduct.inl x.left * SemidirectProduct.inr x.right = x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℕ
⊢ (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n
x : ℝ
⊢ Real.arsinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
⊢ (↑__spread✝⁻⁰).toFun 0 = 0
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
⊢ ∀ (a : (Representation.ofMulAction k G G).asModule),
  Representation.ofMulActionSelfAsModuleEquiv a = (Representation.ofMulAction k G G).asModuleEquiv.toFun a
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b c : α
IsTrans α fun x x_1 => x ⊆ x_1
h₁ : a ⊂ b
h₂ : b ⊆ c
⊢ a ⊂ c
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
b : β
⊢ LocallyLipschitz fun x => b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V
hVtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure
⊢ Function.Surjective ⇑hVortho.linearIsometry
a : SetTheory.PGame
⊢ (0 + a).birthday = a.birthday
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
Decidable (a = 0)
⊢ (p.update n a).support = if a = 0 then p.support.erase n else insert n p.support
R : Type u
Rack R
a : Rack.PreEnvelGroup R
⊢ Rack.PreEnvelGroupRel R a a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (fun p => (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I p.1)) p.2) (Prod.fst ⁻¹' s)
a b c : Int
h : b ≤ -a + c
⊢ a + b ≤ c
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ x ∉ {y, 1}
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
β : ι → Type u_4
(i : ι) → UniformSpace (β i)
g : (i : ι) → α i → β i
hg : ∀ (i : ι), UniformContinuous (g i)
⊢ UniformContinuous fun f i => g i (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
One Y
⊢ ⇑1 = 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑(n₁ /. ↑d₁) = ↑(n₂ /. ↑d₂)
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. ↑d₁ = n₂ /. ↑d₂
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
⊢ ((hasseDeriv k ∘ₗ hasseDeriv l) ∘ₗ monomial i) 1 = (((k + l).choose k • hasseDeriv (k + l)) ∘ₗ monomial i) 1
n m : Nat
h : n + m = 0
⊢ n = 0
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ ⊤ - OfNat.ofNat a = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
p : ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x ^ p) s x
α : Type u_5
self : KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a * a∗ ≤ a∗
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
⊢ (((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝ = σ a✝
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
⊢ i * j ∈ I * J
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
x y : A
⊢ f (x * y) = f x * f y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.22117, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ -f.f = P.p ≫ (-f.f) ≫ Q.p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ 0 < a / b ↔ 0 < a
⊢ ⇑Nat.pairEquiv = Function.uncurry Nat.pair
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a✝ b✝ c k a b x y : α
hab : k ∣ a - b
hxy : k ∣ x - y
⊢ k ∣ a * x - b * y
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
⊢ Function.Injective2 Matrix.fromRows
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.FinitaryExtensive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions C
CategoryTheory.PreservesPullbacksOfInclusions F
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan F
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
⊢ CategoryTheory.FinitaryExtensive C
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
LocallyCompactSpace G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ K ⊆ U ∧ 1 ∈ interior K
N : ℕ
⊢ ZetaAsymptotics.term_sum 1 N = Real.log (↑N + 1) - ↑(harmonic (N + 1)) + 1
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
⊢ (∀ (x : V), ¬x = 0 → ∃ f, ¬f x = 0) ↔ ∀ (a : V), (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip a = 0 → a = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (concatRecAux Hnil Hconcat (cons ⋯ p.reverse))
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a x y
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M₀ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₀
s : Finset ι
f : ι → κ → M₀
⊢ (Function.support fun x => ∏ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋂ i ∈ s, Function.support (f i)
β : Type u_2
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
⊢ (a₀ + a₁) * (b₀ + b₁) ≤ (c₀ + c₁) * (d₀ + d₁)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
⊢ a * b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
x : α
i : ℕ
h : x ≤ c i
⊢ x ≤ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k✝ l k : ℕ+
ζ : Mˣ
⊢ ζ ^ ↑k = 1 ↔ ↑ζ ^ ↑k = 1
E : Type u_2
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup E
X : Type u_5
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => f x + g x
M : Type u_2
α : Sort u_4
CommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i.down
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
a : α i
⊢ (insert i s).sigma t = Sigma.mk i '' t i ∪ s.sigma t
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)
ha : 0 ≤ a
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F : I → C
i : CategoryTheory.Discrete I
f : i ⟶ i
⊢ (CategoryTheory.Discrete.functor F).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F i.as)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ IsCompl a b ↔ IsCompl ↑a ↑b
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)
⊢ ∀ (X : Symmetrify V), Φ.obj X = (lift (of ⋙q Φ)).obj X
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (ℙ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
F : Type u
Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
n : ℕ
hp : 0 < p
hf : ((Polynomial.expand F (p ^ n)) f).Separable
⊢ IsUnit f ∨ n = 0
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
⊢ ((fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val) x' = f x'
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
⊢ HEq ⟦H.evalAt x⟧ ((π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))))
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a / b < a ↔ 1 < b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : ℤ
⊢ ⌈↑n⌉ ≤ a ↔ ↑n ≤ a
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x y y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
hyy' : CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ CategoryTheory.forget MonCat) y y'
⊢ MonCat.FilteredColimits.colimitMulAux F x y = MonCat.FilteredColimits.colimitMulAux F x y'
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h_det : (mvPolynomialX m m R).det = 0
this : ((MvPolynomial.eval fun p => 1 p.1 p.2).mapMatrix (mvPolynomialX m m R)).det = det 1
⊢ False
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ⇑DomMulAct.mkHomeomorph.symm = ⇑DomMulAct.mk.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.bliminf u f p ⊔ Filter.bliminf u f q ≤ Filter.bliminf u f fun x => p x ∧ q x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
g : F → E
hg : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, g (f x) = x
⊢ HasStrictFDerivAt g (↑f'.symm) (f a)
α : Type u_1
CompleteLattice α
⊢ sSup ∅ = ⊥
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ ∀ (i : Fin 1), realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] i.succ
R : Type u
Ring R
⊢ Subring.closure Set.univ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
⊢ ⇑f.toRelEmbedding = ⇑f
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑π).tan = θ.tan
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
⊢ (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜) (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
H : StrictAntiOn f s
⊢ Set.InjOn f s
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
⊢ ⨅ r, f ↑r = ⨅ q, f ↑↑q
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
F'' : CategoryTheory.Functor D H
α' : F ⟶ L.comp F''
F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').inv = F''.descOfIsLeftKanExtension α' F' α
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μs : ι → MeasureTheory.Measure α
hμs : ∀ (i : ι), (μs i).AbsolutelyContinuous ν
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum μs).AbsolutelyContinuous ν
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
h : ker f ≤ r
hf : Surjective f
⊢ r.map f = EqvGen.Setoid Setoid.r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K L : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ L
HomologicalComplex.HasHomology K 0
HomologicalComplex.HasHomology L 0
(HomologicalComplex.sc' K 1 0 0).HasHomology
(HomologicalComplex.sc' L 1 0 0).HasHomology
⊢ QuasiIsoAt f 0 ↔
  CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C (ComplexShape.down ℕ) 1 0 0).map f)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ a ∈ l, p a
hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b
h : l.Nodup
⊢ (List.pmap f l H).Nodup
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
x✝ : Matrix n n R
⊢ x✝.det = const (Matrix n n R) 1 x✝
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
⊢ lift.{v, u} a < ↑n ↔ a < ↑n
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
T : Set G
hHT : Subgroup.IsComplement (↑H) T
g₁ g₂ : G
⊢ (hHT.equiv g₁).2 = (hHT.equiv g₂).2 ↔ RightCosetEquivalence (↑H) g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
m : α
hle : Associates.mk m ≤ Associates.mk p
⊢ Associates.mk m = 1 ∨ Associates.mk m = Associates.mk p
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ⇑(f i)
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
𝔖 : Set (Set ι)
⊢ UniformSpace.comap (⋃₀ 𝔖).restrict (Pi.uniformSpace fun i => α ↑i) =
  ⨅ S ∈ 𝔖, UniformSpace.comap S.restrict (Pi.uniformSpace fun i => α ↑i)
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
k : ℤ
⊢ z ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x + 2 * ↑Real.pi) = Complex.sin x
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖
R : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module.Finite R M
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ Module.Finite R N
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
⊢ DirectSum.Decomposition.decompose' = ⇑(DirectSum.decompose ℳ)
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (Localization.algEquiv M S).symm (IsLocalization.mk' S x y) = Localization.mk x y
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
Φ : κ → Finset ι := fun k => (b.repr (v k)).support
w₁ : #ι ≤ #↑(range Φ)
w₂ : lift.{w', w} #↑(range Φ) ≤ lift.{w, w'} #κ
⊢ lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #κ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.range f.rangeRestrict = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (∀ (c : CategoryTheory.Limits.Cone (S.arrows.diagram.op.comp P)), Subsingleton (c ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
  ∀ (E : Aᵒᵖ), CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor (P.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj E)) S.arrows
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Monotone Int.ceil
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ (S.map F).g = F.map S.g
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ (x - y).toFin = x.toFin - y.toFin
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
A : Matrix m n α
r_reindex : l → m
c_reindex : o → n
i : l
j : o
⊢ A.submatrix r_reindex c_reindex i j = A (r_reindex i) (c_reindex j)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
n_n : ℕ
n_ih : (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i) * ∏ x ∈ range (n_n + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (n_n + 1) - 1
⊢ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ (n_n + 1)) ^ i) * ((∏ x ∈ range (n_n + 1), cyclotomic (p ^ x) R) * ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i) = X ^ p ^ (n_n + 1 + 1) - 1