ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ W.ΨSq n ≠ 0
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
R : CommRingCat
this : adjunction.unit.app (Scheme.Spec.obj (op R)) ≫ Scheme.Spec.map (adjunction.counit.app (op R)) = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op R))
⊢ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
⊢ Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ r < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : 𝓞 K
P : Polynomial ℤ
hPm : P.Monic
hP : Polynomial.eval₂ (algebraMap ℤ K) ((algebraMap (𝓞 K) K) x) P = 0
⊢ IsIntegral ℤ x
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup N
h : H ≤ f.range
⊢ AddSubgroup.map f (AddSubgroup.comap f H) = H
a b : Ordinal.{u_4}
h : a + b = 0
⊢ b = 0
α : Type u
a : α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ a ∉ t → a ∉ s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a - b ∈ Set.Icc c d ↔ a ∈ Set.Icc (c + b) (d + b)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ q.lift (x * y) = q.lift x * q.lift y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
⊢ ¬IsUnit p
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) → ∀ᶠ (x : α) in ↑f, q x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 a
⊢ ‖k‖ ≤ ‖a‖ * ‖1‖
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀
⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
x y z : ℝ
⊢ sinh x = 0 ↔ x = 0
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p
⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.isRight = false ↔ x.isLeft = true
M : Type u_12
M₂ : Type u_13
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
f : M →+ M₂
⊢ LinearMap.range f.toIntLinearMap = AddSubgroup.toIntSubmodule f.range
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β
⊢ Tendsto m f (𝓝 b) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a : α
i : Fin 1
⊢ ({a}.orderEmbOfFin ⋯) i = a
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (FreeRing.of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
⊢ C z
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α
⊢ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a * b = hs.min hns * ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β
⊢ p.1 ∈ s → p.2 ∉ t ↔ p.1 ∉ s ∨ p.2 ∉ t
R : Type u
Ring R
p : R[X]
q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
b : Ordinal.{u_2}
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o
⊢ ⋯.mpr H0 = H0
α : Type u_1
a : α
⊢ Finset.cons a ∅ ⋯ = {a}
R : Type u_6
S : Type u_7
CommRing R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
⊢ IsField S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = if 1 ≤ a⁻¹ then a⁻¹ else 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (M.tensorBimod N).actLeft = Bimod.TensorBimod.actLeft M N
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.homologyι i ≫ K.opcyclesToCycles i j = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
⊢ (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • b) =o[li] m
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ Integrable (gaussianPDFReal μ v) (ℙ.restrict s)
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
⊢ (P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).sup id = a
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ μ = ν
a b : Bool
⊢ (a && b && b) = (a && b)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z ⊓ z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊔ b ≤ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ a) ⊓ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ b)
α : Type u
s : Set α
⊢ s \ s = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ {X Y : C} {f g : X ⟶ Y}, CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
⊢ f 1 = 1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ y ∈ LieSubmodule.ucs 1 ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ Set.univ} ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
M : Type u_3
Monoid M
u : Mˣ
a : M
⊢ IsUnit (↑u * a) ↔ IsUnit a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = Polynomial.X ^ orderOf σ - Polynomial.C 1
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
Nontrivial M
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Nontrivial R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts D
A : C
∀ (B : C), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprodComparisonNatIso F A).hom = CategoryTheory.Limits.coprodComparisonNatTrans F A
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Functor K TypeMax)
k : K
x : (CategoryTheory.Limits.colimit F).obj k
⊢ ∃ j y, x = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j).app k y
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
SecondCountableTopology α
⊢ h.index.Countable
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
h : Equicontinuous F
i : ι
⊢ Continuous (F i)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s))
hs : insert i s ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
n : ℕ
⊢ ZMod.χ₈ ↑n = ZMod.χ₈ ↑(n % 8)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * (∑ i ∈ s, X i) ω)) μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
TopologicalSpace E
T2Space E
F : ι → Set E
h_card : ↑(FiniteDimensional.finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i, F i).Nonempty
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ (succ o).cof ≤ 1
α : Type u
Group α
a : α
Invertible a
⊢ ⅟a = a⁻¹
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp2 : p = 2
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = x
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : α
⊢ toLex (b • a) = b • toLex a
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)
⊢ ∀ (i : α) (j : β), a i j = 0 i j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
𝕜 : Type u_2
NormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
L : E →L[𝕜] F
φ : α → E
φ_meas : Measurable φ
⊢ Measurable fun a => L (φ a)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
t' : Batteries.RBNode α
path' : Batteries.RBNode.Path α
t : Batteries.RBNode α
path : Batteries.RBNode.Path α
ht : Batteries.RBNode.Ordered cmp t
hp : Batteries.RBNode.Path.Ordered cmp path
tp : Batteries.RBNode.All (Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path) t
pz : Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path
eq : Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path')
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t' ∧
  Batteries.RBNode.Path.Ordered cmp path' ∧
    Batteries.RBNode.All (Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path') t' ∧ Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path'
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Finset ↑s
ht : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ t, (U i)ᶜᶜ
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑J ↔ J ≤ I.radical
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
⊢ μ t = μ (toMeasurable (μ + ν) t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (List.zipWith f l₁ l₂).length = min l₁.length l₂.length
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
⊢ ⇑c = ⇑d ↔ c = d
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddAbove (insert a s) ↔ BddAbove s
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : ¬1 = 0
n : ℕ
⊢ X ^ n = (monomial n) 1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors (p ^ k) = k
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖g a‖ ^ q
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
t : Set E := toMeasurable μ s
⊢ HasPDF X ℙ μ
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 1 < a
⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
h : a * b ≠ ⊤
ha : a ≠ 0
⊢ b * a ≠ ⊤
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
u' : ℤˣ
g' : G
h' : (u', g') ∈ { head := g, toList := (u, w.head) :: w.toList, chain := ⋯ }.toList
⊢ g' ∈ d.set u'
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ ∀ x ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p, 0 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X
⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep I
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : ↥V → M'
x : ↥U
⊢ LiftPropAt P f (inclusion hUV x) ↔ LiftPropAt P (f ∘ inclusion hUV) x
z : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.abs (z ^ n) = Complex.abs z ^ n
α : Type u_1
Mul α
AddCommSemigroup α
One α
OfNat α 2
Invertible 2
a b : αˢʸᵐ
⊢ a * b = b * a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Star R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : StarAddMonoid A
r : R
⊢ (inl (star r)).snd = (star (inl r)).snd
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
m n : ℕ
⊢ Int.fract (↑m / ↑n) = ↑(m % n) / ↑n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ (fun x => Pure.pure (Option.rec nil Prod.snd x) >>= destruct) = tail.aux
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)
hk : IsCompact (closedBall 0 1)
⊢ ∀ (p : ℝ) (x : E), p ∈ Ioo 0 1 → x ∉ closedBall 0 1 → w p x = 0
n : ℕ
x : Fin n → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑n
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
⊢ ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)))
⊢ μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
MulPosMono α
h : a * b < 0
b0 : 0 ≤ b
⊢ a < 0
n m : Nat
h : ¬n ≤ m
⊢ n > m
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ (PushoutCocone.unop (colimit.cocone (span f.op g.op))).π.app WalkingCospan.left = (pushout.inl f.op g.op).unop
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i ∈ s.circumsphere
A : Type u_2
Field A
CharZero A
N : ℕ
⊢ {K | |NumberField.discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
R : Type u_2
CommSemiring R
f : Polynomial R
r s : R
⊢ (Polynomial.taylor r) ((Polynomial.taylor s) f) = (Polynomial.taylor (r + s)) f
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ ↑f₁ = ↑f₂
n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
⊢ (↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ (sInf S).toSubalgebra = sInf (IntermediateField.toSubalgebra '' S)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleInvRotateIso.hom.app X).hom₁ = (F.commShiftIso (-1)).inv.app X.obj₃
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this✝ : Nontrivial R
this : (minpoly R pb.gen).Monic
⊢ ((algebraMap R F) (-1) * -1) ^ (minpoly R pb.gen).natDegree * (Polynomial.map (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)).roots.prod = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ n * p).Monic
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (s.prod f).totalDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
⊢ (aeval x) p = ∑ x_1 ∈ range n, (algebraMap R S) (p.coeff x_1) * x ^ x_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
e : K ≅ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
⊢ (HomologicalComplex₂.total.mapIso e c₁₂).hom = HomologicalComplex₂.total.map e.hom c₁₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
⊢ ↑p ^ i ∣ nthHom f r j - nthHom f r i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
⊢ Inseparable = Eq
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⋃₀ {s} = s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T2Space α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (Set.range f) (Set.range g)
⊢ MeasureTheory.MeasurablySeparable (Set.range f) (Set.range g)
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : y ≤ 0
⊢ arctan x + arctan y < π / 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ
⊢ ConcaveOn ℝ s f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ MeasurableSet (Ioc b c)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
x : P
I : Ideal R
⊢ x ∈ ↑I ↔ ∃ x' ∈ I, (algebraMap R P) x' = x