ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftId L R).inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
M : Type u_6
N : Type u_7
Monoid M
Monoid N
h : M ≃* N
⊢ (Units.mapEquiv h).symm = Units.mapEquiv h.symm
U : Type u_1
Quiver U
u u' : U
hu : u = u'
⊢ Quiver.Path.cast hu hu Quiver.Path.nil = Quiver.Path.nil
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Subobject X
⊢ P.Factors P.arrow
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {xs : List α} {d : α}, (x :: xs).getD 0 d = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l.reverse ↔ List.Pairwise (fun a b => R b a) l
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : CommRing C
p : K[X]
⊢ integerNormalization (nonZeroDivisors A) p = 0 ↔ p = 0
α : Type u_1
as : Array α
n : Nat
hsz : as.size = n
i : Nat
hi : i ≤ as.size
⊢ as.toListLitAux n hsz i hi (List.drop i as.data) = as.data
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
⊢ {x | gauge s x ≤ a} = ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), r • s
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h1 : 1 < x
⊢ Real.logb b x < 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
R : Sieve Z
W : C
h : W ⟶ X
x✝ : (pushforward f (pushforward g R)).arrows h
y : W ⟶ Y
hy : y ≫ f = h
z : W ⟶ Z
hR : z ≫ g = y
hz : R.arrows z
⊢ y ≫ f = h ∧ R.arrows z
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ 1 ⊗ₜ[R] n * coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det.coeff 1 = M.trace
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 ⊆ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
l : List α
a m : α
⊢ m ∈ List.foldl (List.argAux r) (some a) l → m ∈ a :: l
n : Nat
i : Fin n
⊢ ↑i.castSucc = ↑i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ F.rightOp.leftOp = F
p : Prop
Decidable p
⊢ ¬p → decide p = false
α : Type u_3
s : Finset α
M : Type u_6
CommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (∏ x ∈ s, f x)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
U : Opens α
this : TopologicalSpace α := ⊤
⊢ IsOpen ↑U
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R A)
⊢ (sSup S).op = sSup (Subalgebra.unop ⁻¹' S)
a₁ a₂ : ℕ
n : ℕ
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < a₂
⊢ 0 < a₁ ^ n * a₂
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
MulPosMono α
h : a * b < 0
a0 : 0 ≤ a
⊢ b < 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s + t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' + t'
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(n + 1) ≠ 0
R✝ : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
I : ι → ℕ
hI : Pairwise fun i j => (I i).Coprime (I j)
⊢ ⨅ i, span {↑(I i)} = span {↑(∏ i : ι, I i)}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
⊢ Continuous' (s ∘ f)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A ≤ firstDiff x y
⊢ (s ∩ cylinder x (Nat.find A)).Nonempty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
m : α → β → ℕ
l : α → β → List β
g : α → β × List σ → Option σ
hm : Primrec₂ m
hl : Primrec₂ l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (a : α) (b b' : β), b' ∈ l a b → m a b' < m a b
H : ∀ (a : α) (b : β), g a (b, List.map (f a) (l a b)) = some (f a b)
⊢ Primrec₂ f
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R ↑(Finset.image g t1 ∪ t2) = s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ n) (↑n * x ^ (n - 1)) x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x : ↥P.ker
⊢ P.cotangentComplex (Algebra.Generators.Cotangent.mk x) = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) ↑x
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : x ∣ y * z
⊢ x ∣ y
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
hr1 : 1 ≤ r
⊢ r < ↑b ^ (log b r + 1)
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k
⊢ sInf (range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}) = f a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
self : IsHilbertSum 𝕜 G V
⊢ OrthogonalFamily 𝕜 G V
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a - b * b = (a - b) * (a + b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
hf : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
⊢ s.card ≤ (s.biUnion f).card
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).diag = s.diag ∩ t.diag
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
a a' : α
b b' : β
inst✝² : DecidablePred (r a)
inst✝¹ : (a : α) → Decidable (r a b)
m n : ℕ
inst✝ : (a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
⊢ (∑ x ∈ s, ∑ a ∈ t, if r x a then 1 else 0) = ∑ x ∈ t, ∑ a ∈ s, if r a x then 1 else 0
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : R b a
⊢ destutter' R b (a :: l) = b :: destutter' R a l
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
⊢ { toQuot := Quot.mk (Rel r) 0 } = RingQuot.zero r
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
x : M
n : ℕ
hx : (φ ^ n) x = 0
⊢ (restrict φ hφV ^ n) ⟨x, ⋯⟩ = 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
k : Filter δ
⊢ comap ((Prod.fst ∘ Prod.fst) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) f ⊓ comap ((Prod.snd ∘ Prod.fst) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) g ⊓ (comap ((Prod.fst ∘ Prod.snd) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) h ⊓ comap ((Prod.snd ∘ Prod.snd) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) k) = comap (Prod.fst ∘ Prod.fst) f ⊓ comap (Prod.snd ∘ Prod.fst) h ⊓ (comap (Prod.fst ∘ Prod.snd) g ⊓ comap (Prod.snd ∘ Prod.snd) k)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0
⊢ IsSolvable ?q.Gal
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ schnirelmannDensity A ≤ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card / ↑n
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddZeroClass M
f : G →+ M
⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u
SemilatticeInf α
P : α → Prop
Pinf : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊓ y)
x y : α
hx : P x
hy : P y
⊢ ⟨x, hx⟩ ⊓ ⟨y, hy⟩ = ⟨x ⊓ y, ⋯⟩
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Add α
Add β
f : α ≃+ β
M : Matrix m n α
⊢ f.mapMatrix M = M.map ⇑f
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ (t ∪ u) = t ∪ (s ∪ u)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
G'' : SimpleGraph X
f' : G' ≃g G''
f : G ≃g G'
⊢ ⇑(f'.comp f) = ⇑f' ∘ ⇑f
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ ↑s.compl = (↑s)ᶜ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Equiv M N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
m n : ZMod 0
⊢ (m * n).val = m.val * n.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖A‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
F : ι → (a : α) → π a
⊢ (∀ (a : α), BddAbove (range (eval a ∘ F))) ↔ ∀ (a : α), BddAbove (range fun i => F i a)
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
⊢ P (pullback.fst f g)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
s t : AffineSubspace k P₁
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ AffineSubspace.map f (s ⊔ t) = AffineSubspace.map f s ⊔ AffineSubspace.map f t
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
⊢ LSeriesSummable f s
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 1 + z ∈ Complex.slitPlane
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ (f ^ n).support = f.support ↔ ¬f ^ n = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)
⊢ M.LinearDisjoint N
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : β → Set α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => f x ∪ g x
α : Type u_1
M' : Type u_6
N : Type u_7
One N
f : α → M'
g : α → N
hf : Function.Injective f
⊢ Function.mulSupport (Function.extend f g 1) = f '' Function.mulSupport g
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a : α
⊢ a ~ᵤ 0 ↔ a = 0
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ x ^ 2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) ≠ 0
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c ≫ (L₁ ⋙ H).map (adj₁.unit.app c)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
h_J_ne_zero : J ≠ 0
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : basisDivisor x y = 0
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (max Kf Kg) fun x => (f x, g x)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p}, (∀ x ∈ s, ¬p x) → ∀ (f g : α → β), (∑ x_1 ∈ s, if p x_1 then f x_1 else g x_1) = ∑ x ∈ s, g x
n m : ℕ
h : n < m
⊢ Ico n m = n :: Ico (n + 1) m
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
⊢ VanishesTrivially R m n
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ partialSups (disjointed f) = partialSups f
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => f y + c) x = deriv f x
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
⊢ MvPowerSeries.monomial R n = LinearMap.stdBasis R (fun x => R) n
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
R : Type u
inst₁ inst₂ : CommSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
m : ℤ
⊢ a * b * b ^ m = a * b ^ (m + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊓ b = a / (a / b)⁺ᵐ
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal ≤ ⊥
α : Type u
ι : Sort w
CompleteBooleanAlgebra α
f : ι → α
⊢ (iInf f)ᶜ = ⨆ i, (f i)ᶜ
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ Nat.card ↑s = hs.toFinset.card
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval ↑x) p = 0
⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
F : Type u_1
Field F
Finite F
Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ b, (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) ≠ 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
⊢ (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
this✝ : IsIso f
this : IsIso g
⊢ f = g
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
⊢ (fun f => T.η.app X ≫ f.f) ((fun f => { f := T.map f ≫ Y.a, h := ⋯ }) f) = f
α : Type u_1
l : Filter α
CountableInterFilter l
Nonempty α
p : Set α → Prop
HasCountableSeparatingOn α p Set.univ
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
⊢ ∃ x, {x} ∈ l
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ Coe.coe <$> Functor.map h <$> Traversable.traverse g a✝ = Coe.coe <$> (Functor.map (Functor.map h) ∘ Traversable.traverse g) a✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
hf : f.IsIdealMorphism
⊢ lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
q : ℚ
⊢ Irrational √↑q ↔ ¬IsSquare q ∧ 0 ≤ q
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
⊢ RF.IsLeftKanExtension α
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
hm : ∀ (i : β), P (f i)
val✝ : Encodable β
⊢ extend m ∅ = 0
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
⊢ Function.Bijective StarAlgEquiv.symm
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ ⇑(Homeomorph.mulRight a) = fun x => x * a
X : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ Set.range f = f '' tsupport f ∨ Set.range f = insert 0 (f '' tsupport f)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = seminormFromConst' hf1 hc hpm c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x