ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ ↑(g.compQuasiMeasurePreserving f hf) =ᵐ[μ] ↑g ∘ f
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b
h₁ : a - 1 ∣ a ^ b - 1
⊢ a < a ^ b
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).trailingDegree ≤ p.trailingDegree + q.trailingDegree
α : Type u_1
M : Matroid α
M.FiniteRk
⊢ ¬M.InfiniteRk
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I ⊔ I * J = I
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B
⊢ ↑v A + ↑v (B \ A) = ↑v B
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := fun g => toFun hR g
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ ∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y ∈ ↑(closure U) * R
x y : ℝ
⊢ sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
hf : UpperSemicontinuousWithinAt f univ x
hg : UpperSemicontinuousWithinAt g univ x
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) univ x
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
S : Set G
hS1 : ∀ σ ∈ S, ((toPermHom G α) σ).IsSwap
hS2 : closure S = ⊤
h : IsPretransitive G α
⊢ (toPermHom G α).range = ⊤
α : Type u
p : α → Prop
⊢ ¬∃ᶠ (x : α) in ⊥, p x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(pullback (D.f i j) (D.f i k))
e : invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) (unop (op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(unop (op U)), is_open' := ⋯ }))
⊢ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) (unop (op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(unop (op U)), is_open' := ⋯ })) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)) ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'
⊢ ∃ s_1, (map ret s).join.destruct = (map ret s_1).join.destruct ∧ s.destruct = s_1.destruct
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
inst✝ : PreservesFiniteLimits F
X : D
⊢ ∀ (J : Type v₁) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasLimitsOfShape J (StructuredArrow X F)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
⊢ 0 < μ {x | ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr : 0 ≤ r
⊢ ⌊Real.logb (↑b) r⌋ = Int.log b r
α : Type u_1
r : Rel α α
IsTrans α r
x : RelSeries r
i j : Fin (x.length + 1)
h : i < j
⊢ r (x.toFun i) (x.toFun j)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
⊢ ⋃ i ∈ Set.Ico m n, Set.Ioc (f i) (f (Order.succ i)) = Set.Ioc (f m) (f n)
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelAddCommMonoid M
⊢ StrictMono fun f => ∑ x : ι, f x
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x : α
h : IsCompl x ⊤
⊢ x = ⊥
X : Bipointed
⊢ (Bipointed.swapEquiv.functor.obj X).toProd = X.toProd.swap
r x : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then r ^ 1 / Gamma 1 * x ^ (1 - 1) * rexp (-(r * x)) else 0) = ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then r * rexp (-(r * x)) else 0)
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ Cardinal.toPartENat c ≤ ↑n ↔ c ≤ ↑n
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
B : ∀ (s : Set G), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ' s < ⊤ → μ' s = (c • μ) s
t : Set G := toMeasurable μ' s ∩ toMeasurable μ s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
R : Type u_1
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Function.Injective ⇑(f.restrict hf) ↔ Disjoint p (LinearMap.ker f)
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
α : Type u_1
x : α
Min α
xs : List α
⊢ (x :: xs).minimum? = some (List.foldl min x xs)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
y✝ : β
h : ∀ x ∈ s, Commute y✝ (f x)
y : β
⊢ (∃ a ∈ s.val, f a = y) → Commute y✝ y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n q : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : n + 1 ≤ ↑i + q
⊢ X.σ i ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f (n + 1) = 0
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)
⊢ x' ∈ closedBall 0 r⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
Ring 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Submodule 𝕜 E
x : ↥s
⊢ ‖x‖ = ‖↑x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
⊢ x ∉ s
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
⊢ Function.Injective Matrix.diagonal
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
A : Matrix n n α
⊢ A.transpose.IsDiag ↔ A.IsDiag
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in 0 ..↑x, x ^ n) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
p : Prop
f : M →+ N
g : p → M
⊢ f (∑ᶠ (x : p), g x) = ∑ᶠ (x : p), f (g x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
DecidableEq V
Semiring α
n : ℕ
u v : V
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(Fintype.card ↑{p | p.length = n})
b a : Prop
⊢ b → a ↔ a ∨ ¬b
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym (Option α) n
⊢ SymOptionSuccEquiv.decode (Sum.inl s) = none ::ₛ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
⊢ MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i)) (Measure.pi μ) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
⊢ ∀ z ∈ nonunits ℤ, z ≠ 0 → z ∣ b.re → ¬z ∣ b.im
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
Mul R
Mul S
Add R
Add S
Mul S'
Add S'
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* S'
a : R
⊢ (e₁.trans e₂) a = e₂ (e₁ a)
n : ℕ
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (a : Fin n), (I.face i).upper a = I.upper (i.succAbove a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
⊢ parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i : ι, {0, v i})
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y < Real.pi / 2
hxy : x < y
⊢ Real.tan x < Real.tan y
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Icc b₁ b₂)
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
self : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ m = MeasurableSpace.generateFrom b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : OrthonormalBasis (Fin n) ℝ E
⊢ |o.volumeForm ⇑v| = 1
R : Type u
CommRing R
x y : R
⊢ IsCoprime (-x) (-y) ↔ IsCoprime x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.29963}
⊢ o < type fun x x_1 => x < x_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) atBot atBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F₁ F₂ : W.FunctorsInverting D
h : F₁.obj = F₂.obj
⊢ F₁ = F₂
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs : (i : ι) → X i
p : Path.Homotopic.Quotient as bs
⊢ (Path.Homotopic.pi fun i => Path.Homotopic.proj i p) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
⊢ ⇑f.toEmbedding = ⇑f
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ W, IsOpen W ∧ 1 ∈ W ∧ ∀ g ∈ W * W, μ (g • k \ k) < u n
⊢ IsGδ k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ
⊢ 1 < a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 < a ∨ 0 < 0 ∧ a < 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν μ : Measure α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ b = f (EquivLike.inv f b)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : ι → M₂
⊢ (fun x_1 => x i) = x
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ ((single 0) r * x).coeff a = r * x.coeff a
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₂ \ s₁ ∪ s₁ = s₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : F ⊣ G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ (self.homEquiv X Y).symm g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (self.counit.app Y)
R : Type u
Field R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
n p : ℕ
⊢ p ^ n.factorization p ∣ n
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ MvPowerSeries.map σ (RingHom.id R) = RingHom.id (MvPowerSeries σ R)
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k
⊢ ↑p ∣ x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h - y ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h
α : Type u_1
Preorder α
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ upperClosure) (SetLike.coe ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p
hE₂ : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∧ B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ → E =ᶠ[ae μ] C ↑p
hA : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ A ↑p =ᶠ[ae μ] univ
hB : ∀ (p : Nat.Primes), B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ B ↑p =ᶠ[ae μ] univ
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x
α : Type u
s : Set α
a : α
⊢ pure a ≤ 𝓟 s ↔ a ∈ s
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
R : ListBlank Γ
a : Γ
L : ListBlank Γ
L'✝ R'✝ : ListBlank Bool
b : Bool
l₁ : List Bool
IH : ∀ {l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)
l₂ : List Bool
e : (enc a).toList = (b :: l₁).reverseAux l₂
⊢ (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.move Dir.left (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝))) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e✝ : Perm α'
p : β' → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
e e' : Perm α'
⊢ Equiv.trans (e.extendDomain f) (e'.extendDomain f) = extendDomain (Equiv.trans e e') f
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : ∀ k < n, ∀ᶠ (a : ℕ) in Filter.atTop, p (n * a + k)
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in Filter.atTop, p a
n : ℕ
⊢ map ({ toFun := fun i => (i, n - i), inj' := ⋯ }.trans { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (range (n + 1)) = map { toFun := fun i => (n - i, i), inj' := ⋯ } (range (n + 1))
B : Type u
Quiver B
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
⊢ Quot.mk CategoryTheory.FreeBicategory.Rel (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.left_unitor f) =
  (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
⊢ (Equiv.pointReflection x) y -ᵥ x = x -ᵥ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Bimod.regular A).actRight = A.mul
n : Nat
⊢ n ∈ List.range (n + 1)
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
⊢ Monotone fun a => n • a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.symm.symm = f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
⊢ s ⊆ t
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∀ ⦃s t : Set G⦄, s ⊆ t → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : α
⊢ IsComplemented a → IsComplemented b → IsComplemented (a ⊓ b)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
h : x ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0
⊢ s.WOppSide y ((AffineMap.lineMap x y) t)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
h : UpperSemicontinuous f
x : α
⊢ UpperSemicontinuousAt f x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l✝ : ℝ≥0
f : ℝ → E
s : Set ℝ
hs : s.Subsingleton
l : ℝ≥0
x : ℝ
hx hy : x ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x x) = ENNReal.ofReal (↑l * (x - x))
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.21309, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.21316, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.21323, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
g : Y ⟶ Z
⊢ m₀ + a = a
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ (-a).val + a.val ≡ n - a.val + a.val [MOD n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Q 0 = 0
G : Type u_3
Group G
s : Set G
Finite ↑s
⊢ Group.rank ↥(Subgroup.closure s) ≤ Nat.card ↑s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ Measurable fun a => p a ∧ q a
A : Type u_1
p : A → Prop
NormedRing A
StarRing A
TopologicalRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc Complex.exp a = NormedSpace.exp ℂ a
m n : Nat
⊢ ↑(m / n) = (↑m).fdiv ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
h : a * b = 1
⊢ b = 1 / a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ insert b (Ioo a b) = Ioc a b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.right = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.right
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ a = bᶜ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ μ (⋃ g, g • s) ≤ 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ IsOpen ((s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ)