ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D
⊢ P.map E.inverse ≤ P.inverseImage E.functor
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.X₁ = Opposite.op sq.X₄
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
f : Equiv.Perm α
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ l
⊢ f ∈ permsOfList l
⊢ riemannZeta (-↑0) = -↑(bernoulli' (0 + 1)) / (↑0 + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
LE β
x y : β
⊢ x ≤ y → ↑x ≤ ↑y
α : Type u_1
Preorder α
lo : WithBot α
t : Ordnode α
hi : WithTop α
self : Ordnode.Valid' lo t hi
⊢ t.Bounded lo hi
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ { a := g.app (op [n + 1]) ≫ f.a, b := fun i => g.app (op [n]) ≫ f.b i }.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X'.δ i.rev.succ ≫ { a := g.app (op [n + 1]) ≫ f.a, b := fun i => g.app (op [n]) ≫ f.b i }.b i.rev = g.app (op [n + 1]) ≫ (PInfty.f (n + 1) ≫ f.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
_h : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass (G ⧸ H) ≤ Group.nilpotencyClass G
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
M N P : Matrix m m R
⊢ (M * (N * P)).det = (N * (M * P)).det
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
k : ℕ
⊢ B ≤ k → f k = f B
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
⊢ Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det}) ≤ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
⊢ ⋃ n, Set.Ico (n • p) ((n + 1) • p) = Set.univ
R : Type u_1
Ring R
Fintype R
p : ℕ
CharP R p
hp : Nat.Prime p
hR : Fintype.card R = p
⊢ ZMod.ringEquivOfPrime R hp hR = ZMod.ringEquiv R hR
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ f a ∈ (HasStrictFDerivAt.toPartialHomeomorph f hf).target
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
t.HaveLebesgueDecomposition μ
(s + t).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s + t).rnDeriv μ =ᵐ[μ] s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t✝ : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x
this : Disjoint (𝓝ˢ k ⊓ 𝓟 s) (comap f (cobounded α))
U : Set β
hUo : IsOpen U
hkU : k ⊆ U
t : Set α
ht : t ∈ cobounded α
hd : Disjoint (U ∩ s) (f ⁻¹' id t)
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' (t ∩ s))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
this✝ : Module.Finite R S
this : Module.Free R S
i j : ι
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) (b i * b j)) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) (b i * b j))
α : Type u
l✝ l : List α
k : Fin l.cyclicPermutations.length
h : l.cyclicPermutations.get k ∈ l.cyclicPermutations
⊢ (l.cyclicPermutations.get k).length = l.length
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
⊢ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x}) = ⊥
γ : Type w
EMetricSpace γ
x y : γ
h : ∀ ε > 0, edist x y ≤ ε
⊢ x = y
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsDomain C
IsDedekindDomain A
⊢ IsDedekindDomain C
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
A B : Matrix m m 𝔸
h : Commute A B
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (A + B) = NormedSpace.exp 𝕂 A * NormedSpace.exp 𝕂 B
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ρ.fst s = ρ (Prod.fst ⁻¹' s)
G : Type u
Group G
Finite G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
K.Normal
hK : K ≤ N
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
m n : ℕ
nzm : NeZero m
a : ZMod m
h : a.val < n
⊢ a.cast.val = a.val
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s t : Set α
left✝¹ : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : ∀ (i : Option (PLift ι)), (Option.elim' (⨆ i, μ i.down) (μ ∘ PLift.down) i) t = (Option.elim' (⨆ i, μ i.down) (μ ∘ PLift.down) i).trim s
⊢ (⨆ i, μ i.down).trim s = (⨆ i, (μ i.down).trim) s
ι : Type u_1
Fintype ι
DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑(Matrix.toLin' M)) MeasureTheory.volume = ENNReal.ofReal |M.det⁻¹| • MeasureTheory.volume
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖p.1.prod p.2‖ ≤ ‖p‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂
hl : x₁ < x₂
i : x₂.LeftMoves
hi : x₁ ≤ x₂.moveLeft i
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
α : Type u_1
s : Set α
PartialOrder α
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ¬a < b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Icc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : Computation.LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
⊢ Computation.LiftRel S (Computation.map f1 s1) (Computation.map f2 s2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
q : α → PMF β
f : β → γ
⊢ PMF.map f (p.bind q) = p.bind fun a => PMF.map f (q a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑(f - g) j) < ε / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
jk : k ≥ j
h₁ : abv (↑(f - g) j) < ε / 2
h₂ : ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
this : abv (↑f j - ↑g j + (↑f k - ↑f j)) < ε / 2 + ε / 2
⊢ abv (↑f k - ↑g j) < ε
⊢ Denumerable.ofNat Nat.Partrec.Code = Nat.Partrec.Code.ofNatCode
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : MonotoneOn f t
⊢ a ∈ upperBounds t → a ∈ t → f a ∈ upperBounds (f '' t)
α : Type u_5
β : Type u_6
AddMonoid α
AddAction αᵃᵒᵖ β
b : β
a₁ a₂ : α
⊢ AddOpposite.op (a₁ + a₂) +ᵥ b = AddOpposite.op a₂ +ᵥ (AddOpposite.op a₁ +ᵥ b)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ BijOn (⇑(swap a b)) s s
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
⊢ ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, f t.card = s.card.choose n • f n
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l ↔ ∃ s t, l = s ++ a :: t
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0
⊢ a * (b / c * c) ≤ a * b
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b
⊢ gp_n.b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ ((of v).contsAux (n + 2)).b
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ -(x * y * (log x + log y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a (b - c) = toIcoMod hp (a + c) b - c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌈a⌉₊
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
AddAction.IsPretransitive M α
a : α
⊢ AddAction.orbit M a = Set.univ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
a✝ : A
hx : (mul 𝕜 A) a✝ = (mul 𝕜 A) 0
⊢ ↑a✝ = 0
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℤ
⊢ translate (Multiplicative.ofAdd x) ^ n = translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x))
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
m b : ℝ
hb : b ∈ s
hmb : m ≤ f' b
a : ℝ
ha : a ∈ s
hma : f' a ≤ m
⊢ ∃ x ∈ s, f' x = m
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝ : f.SameCycle x y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
⊢ f x = x ↔ f y = y
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
_RB : Algebra R B
Algebra.FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
g : A →ₐ[R] B ⧸ I
⊢ ∃ f, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f = g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0
⊢ IsIso f
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
h : IsUnit b
⊢ a * b = 1 ↔ a = b⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.opOp R A).symm a = MulOpposite.unop (MulOpposite.unop a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hab : a ≠ b
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase b } ↔ b ≤ a
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedCommRing β
OrderTopology β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (n : ℕ), Filter.Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (nhds 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
K.HasHomology i
⊢ K.fromOpcycles i j ≫ K.d j k = 0
n : ℕ
⊢ logTaylor (n + 1) = logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q
⊢ ∀ (x : R), eval x (p - q) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ ‖(adjoint A).comp A‖ ≤ ‖A‖ * ‖A‖
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
⊢ ↑(ρ.finsupport x₀) = Function.support fun i => (ρ i) x₀
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
n : ℕ
hn : ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
⊢ IsOpen (cylinder x n)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n
⊢ ∀ (g : ↥G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g +ᵥ x) volume volume
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv N) = {m | ∀ n ∈ N, Φ.IsOrtho n m}
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ⊓ J
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Div β
MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i / f j) (f k / f l) μ
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
⊢ ¬χ.IsPrimitive
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f g : α → G
⊢ (s.mulIndicator fun a => f a / g a) = fun a => s.mulIndicator f a / s.mulIndicator g a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
⊢ (s.bind f).bind g ~ʷ s.bind fun x => (f x).bind g
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x + ↑c) = f.toMap (y + ↑c)
⊢ f.toMap x = f.toMap y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hps : ps ⊆ ↑s
p : P
⊢ (ps.Pairwise fun p1 p2 => dist p1 p = dist p2 p) ↔
  ps.Pairwise fun p1 p2 =>
    dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) = dist p2 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
m n : ℕ
⊢ x ^ n = x ^ m ↔ n ≡ m [MOD orderOf x]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0
F_meas : Measurable F
⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ (∃ s, a.factors = ↑s) ↔ a ≠ 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ico (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] Set.Icc f g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = n)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : Fin n → F
⊢ ((Orientation.map (Fin n) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n l : ℕ
φ : L.BoundedFormula α l
h : l ≤ n
hφ : φ.IsQF
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h φ).IsQF
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
NormedAddCommGroup β
MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p 0
α : Type u
a : α
⊢ (Computation.pure a).Results a 0
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α
⊢ e.symm ≫ₕ e ∈ G
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
t : Set E
x : E
h : ∀ i ∈ s, ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f i x) t x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) t x
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ∀ a ∈ x.lifts, 0 ≤ projectiveSeminormAux a
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a + b ≡ b [PMOD p] ↔ a ≡ 0 [PMOD p]
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
⊢ a * b ∈ H ↔ (a ∈ H ↔ b ∈ H)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
t : Finset β
a : β
⊢ {a} -ᵥ t = Finset.image (fun x => a -ᵥ x) t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Tropical R
x : Multiset (Tropical R)
IH : untrop x.sum = (map untrop x).inf
⊢ untrop (s ::ₘ x).sum = (map untrop (s ::ₘ x)).inf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Antitone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | r ≤ f x}
V : Type u
G : SimpleGraph V
a : V
e : ↑G.edgeSet
⊢ ↑e ∈ G.incidenceSet a ↔ a ∈ ↑e
a b : Nat
h : a % b < a
⊢ b ≤ a
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
⊢ ContinuousOn Inv.inv {0}ᶜ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
M : ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - c‖₊)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x_1 : Set α) in v.filterAt x, (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ x_1 ≤ ε
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup N
h : S ≤ f.srange
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S) = S
α : Type u_1
AddMonoid α
⊢ AddMonoid.minOrder α = ⊤ ↔ AddMonoid.IsTorsionFree α
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ ⊥.jacobson
y z : R
hz : z * y * x + z - 1 ∈ ⊥
⊢ (x * y + 1) * z = 1