ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.leftUnshift n hn
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
⊢ P.parts = ∅ ↔ a = ⊥
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ eLpNorm (stoppedValue f (leastGE f r i)) 1 μ ≤ ↑(2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)).toNNReal
Fq F : Type
Field Fq
Fintype Fq
Field F
Algebra (Polynomial Fq) F
Algebra (RatFunc Fq) F
IsScalarTower (Polynomial Fq) (RatFunc Fq) F
FunctionField Fq F
Algebra.IsSeparable (RatFunc Fq) F
⊢ FunctionField.classNumber Fq F = 1 ↔ IsPrincipalIdealRing ↥(FunctionField.ringOfIntegers Fq F)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ (P.toLin.flip (P.coroot i)) (P.root j) = P.pairing j i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f✝ : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
cond : ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
x : X
f : Ultrafilter X
hx : f.lim ∈ U
h : ↑f ≤ 𝓝 x
⊢ U ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ⊆ u →
  ∀ ⦃t : Finset α⦄,
    t ⊆ u → collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₐc[R] B
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_2
Sub α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ - t ⊆ (s₁ - t) ∩ (s₂ - t)
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (⇑p) 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ closedBall a r ↔ ‖a / b‖ ≤ r
z : Complex.UnitDisc
⊢ z.conj.re = z.re
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
v : F
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => v) x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ (AList.replace a b s).keys = s.keys
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₂
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ I ≤ LieIdeal.comap f (LieIdeal.map f I)
α : Type u_1
f : α → NNReal
r : NNReal
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
⊢ (B.restrict W).Nondegenerate
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
f g : α → δ
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i))] g ↔ ∀ i ∈ t, f =ᶠ[ae (μ.restrict (s i))] g
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
⊢ (IsometryEquiv.constVAdd c) x = c +ᵥ x
n : Nat
z : Int
h : 0 ≤ z
⊢ n ≤ z.toNat ↔ ↑n ≤ z
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' y
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ↑s.direction = (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
A : p.c (p.index y) ∉ ball (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x))
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
⊢ ∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
R : Type u
ι : Type v
M : Type u_1
Fintype ι
CommRing R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
ContinuousMul R
ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂
F : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring F
Semiring E
Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Bijective ⇑b
⊢ Function.Bijective ⇑(algebraMap F E)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
a' : α
ha' : a' ≥ a
ha'' : b' ≤ u a'
⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : IsDomain R₁
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
d : R₁
J : Ideal R₁
left✝ : d ≠ 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) d)⁻¹ * ↑J)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ =O[l] g₁ ↔ f₂ =O[l] g₂
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
⊢ D f K ⊆ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
⊢ ¬(fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) = 0
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n ↔ φ.IsHomogeneous n
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
u' : ℤˣ
g' : G
h' : u' = u ∧ g' = w.head ∨ (u', g') ∈ w.toList
⊢ g' ∈ d.set u'
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' ↑g
⊢ Partrec' fun v => Part.map (fun a => g (a ::ᵥ v)) (f v)
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
h : p ↔ q
⊢ decide p = decide q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
G.Initial
⊢ (F.comp G).Initial
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ frontier (s ∪ t) ⊆ frontier s ∩ closure tᶜ ∪ closure sᶜ ∩ frontier t
R : Type u
CommSemiring R
x : R
I J : Ideal R
⊢ I ≤ Ideal.span {x} * J ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J
⊢ (lambda c t ≫ T.δ.app c.pt) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j = (lambda c t ≫ T.map (lambda c t)) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
⊢ (RingHom.id α).mapMatrix = RingHom.id (Matrix m m α)
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
⊢ ℑ ∘ₗ (selfAdjoint.submodule ℝ A).subtype = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖ ≤ ‖q c.length‖ * ∏ x : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun x)‖
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
a b : R
f g : R[X]
hf : f.coeff n = a
hg : g.coeff n = b
⊢ (f - g).coeff n = a - b
α : Type u
f : Ultrafilter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in ↑f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a \ b) \ b = a \ b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : Option (Option α)}, ¬x.join = none ↔ ∃ z, x = some (some z)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
⊢ (Dilation.id β).comp f = f
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ x ∈ (e ≫ₕ e').source
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
a b : α
⊢ f a = f b ↔ a = b
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i
j : ι
hj : j ∉ s
⊢ j ≠ i
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitUpper i x = ⊥ ↔ I.upper i ≤ x
s : ℝ
hs : s ≠ 0
⊢ ↑s ≠ 0
α : Type u
t : Set α
s₁ s₂ : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
⊢ t.ite s₁ s₂ = s₁ ∩ t ∪ s₂
b x✝ y✝ : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ logb b |x| < logb b |y|
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
⊢ (A.mulMap B).range = A ⊔ B
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ HasMellin ((Set.Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
⊢ eval (x + y) (3 - ↑1) = 1 + 1
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ↑(∑ i : n, ‖v i‖₊) = ∑ i : n, ‖v i‖
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.η.app (self.obj X)) (self.μ.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Functor.id C).obj (self.obj X))
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝¹ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x✝ : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x✝ ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t
open_t : IsOpen t
st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty
x : E
xt : x ∈ closure t
xs : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ s
⊢ x ∈ t
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
NoZeroDivisors R
⊢ ¬IsPrimePow 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
z : 𝕜
⊢ ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ * ‖z‖ ≤ q * ‖z‖
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y).1 • g (x, y).2‖ ∂ν) μ
α : Type u
LinearOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (min a b) = max (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b)
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt
⊢ c.snd ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).2
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Set.Ioo a b).Finite
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
⊢ ADEInequality.Admissible ADEInequality.E8
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetRing C
⊢ ∅ ∈ C
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h₁ : l₁.length ≤ n
h₂ : n < (l₁ ++ l₂).length
⊢ n - l₁.length < l₂.length
a : UnitAddCircle
this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
s : ℂ
⊢ ((fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = s * completedHurwitzZetaEven a s
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : Nat.Prime p
N : ℕ
ih : ∀ m < N, ∀ {f : F[X]}, Irreducible f → f.natDegree = m → ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
f : F[X]
hf : Irreducible f
hn : f.natDegree = N
h1 : ¬f.Separable
g : F[X]
hg : Irreducible g
hgf : (expand F p) g = f
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
b : ℂ
hb : 0 < b.re
this : HasFiniteIntegral (fun a => ‖a * rexp (-b.re * a ^ 2)‖) volume
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖↑a * cexp (-b * ↑a ^ 2)‖) volume
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map f ⊥ = ⊥
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : α → Sort u_2
intro : α
a : Acc r intro
t : (x : α) → (∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → r y x → motive y) → motive x
⊢ a.ndrecOn t = Acc.ndrecOnC a t
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t✝ : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
⊢ t ∈ 𝓝ˢ (exterior s) ↔ t ∈ 𝓝ˢ s
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n * (2 - 1) < ↑i * 2
⊢ { f := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g, g := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f, k := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.k, ε := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.ε⁻¹, f₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g₀, g₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f₀, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := ⋯, hε := ⋯, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯ * XYIdeal' h) = 1
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
this : (p : Prop) → Decidable p
h : ¬a = 0
⊢ ¬a ≺ 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t✝ : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ
⊢ (if i ∈ s ∧ j ∈ t then 1 (i, j) else 0) = (if i ∈ s then 1 i else 0) * if j ∈ t then 1 j else 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
S T : AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b : ℝ≥0
⊢ a ≤ b + nndist a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hpf : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto f (𝓝[{x | p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hpg : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto g (𝓝[{x | ¬p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hf : ContinuousOn f {x | p x}
hg : ContinuousOn g {x | ¬p x}
⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι ⊕ ι' → Set X
⊢ LocallyFinite f ↔ LocallyFinite (f ∘ Sum.inl) ∧ LocallyFinite (f ∘ Sum.inr)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
b : β
hb : b ∈ t
⊢ (fun a => (a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = s
R : Type u_1
M : Type u_2
x y : M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.Quotient.mk (x + y) = Submodule.Quotient.mk x + Submodule.Quotient.mk y
a : ℝ≥0
⊢ ∀ (a_1 : ↑(Set.Iic ↑a)), ↑((ENNReal.orderIsoIicCoe a) a_1) = (↑a_1).toNNReal
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
a b : Lean.Data.AC.Expr
h : (Lean.Data.AC.norm ctx a == Lean.Data.AC.norm ctx b) = true
⊢ Lean.Data.AC.eval α ctx a = Lean.Data.AC.eval α ctx b
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
⊢ (P ∅) univ < ⊤
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g j k i ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g k i j =
  𝟙
    (CategoryTheory.Limits.pullback (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g
lift : (s : Fork f g) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : Fork f g), lift s ≫ t.ι = s.ι
uniq : ∀ (s : Fork f g) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ t.ι = s.ι → m = lift s
s : Cone (parallelPair f g)
j : WalkingParallelPair
⊢ ι s ≫ (parallelPair f g).map left = s.π.app zero ≫ (parallelPair f g).map left