ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTopology γ
inst✝ : ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousAt (f i) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ
⊢ cexp (↑(2 * π / 1 * (↑j / ↑N)) * I) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖k‖
⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 a
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ minpoly A x ∣ p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
s t : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
ht : Set.EqOn f₁ f t
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ t x v
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
⊢ f ∈ I.radical
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk P p).pt = P
H : Type u
TopologicalSpace H
self : StructureGroupoid H
⊢ PartialHomeomorph.refl H ∈ self.members
E : Type u_6
SeminormedGroup E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(Metric.sphere 1 r)
⊢ ↑x ≠ 1
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
⊢ γ ≤ -deriv f 1
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.range (LinearMap.rTensor Q g) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor Q (LinearMap.range g).subtype)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • (s \ t) = a • s \ a • t
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1
h3 : (2 * ↑k).Gammaℂ ≠ 0
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ Set.MapsTo (↑e.symm) (e.target ∩ t) (e.source ∩ s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
X : CategoryTheory.Subterminals C
⊢ ((CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).functor.obj X).obj =
  CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.Limits.terminal.from X.obj)
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
⊢ #{ s // Bounded r s } = #α
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ toPartENat c = ⊤ ↔ ℵ₀ ≤ c
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ ∏ μ ∈ primitiveRoots 2 R, (X - C μ) = X + 1
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hbc : Commute b c
hbd : Commute b⁻¹ d
hcd : Commute c⁻¹ d
⊢ a / b / (c / d) = a / c / (b / d)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
⊢ ((mulHom A) ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ (List.take n l).length ≤ l.length
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 ≤ x * ↑b - 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
⊢ { proj := p.proj.1, snd := (mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s p.proj) p.snd } = { proj := p.proj.1, snd := p.snd.1 }
a b : Int
h : a ≤ b
c : Int
⊢ a + c ≤ b + c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X A : C
f : A ⟶ X
hf : CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.mk' f).obj = CategoryTheory.Over.mk f
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑(a ⊔ b) = (↑a ⊔ ↑b)ᶜᶜ
G : Type u
CancelCommMonoid G
Fintype G
⊢ Monoid.exponent G = (Finset.image orderOf Finset.univ).max' ⋯
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A ≃ₐ[S] B
x : A
⊢ (AlgEquiv.restrictScalars R f) x = f x
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a < c ∨ c ≤ b
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
e : M ≃* N
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SingleObj N} (a : N), e.toSingleObjEquiv.inverse.map a = e.symm a
R : Type u_1
CommRing R
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ Polynomial.dickson k a n =
  Polynomial.X * Polynomial.dickson k a (n - 1) - Polynomial.C a * Polynomial.dickson k a (n - 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ μ[fun a => f (X a, Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᵐ[μ] fun a =>
  ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
u v w : E
⊢ ‖u / w‖ - ‖v / w‖ ≤ ‖u / v‖
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : ∀ (x y : M), AddCommute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ AddOpposite.unop
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}
⊢ MeasurableSet (⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j})
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map z))
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map x)) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map z) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ c d : ℝ
μ✝ ν : Measure ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
⊢ Integrable (fun t => ‖f t‖) (μ.restrict (Ι a b)) ↔ Integrable f (μ.restrict (Ι a b))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K₁.carrier V
⊢ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
⊢ s.unop.op = s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfLeftIso f g).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left =
  g ≫ CategoryTheory.inv f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0
⊢ p = 0
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
⊢ (f, g) ∈ ⇑(piEquivPiSubtypeProd p β).symm ⁻¹' univ.pi s ↔ (f, g) ∈ (univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ univ.pi fun i => s ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n = C / 2 ^ n
a : Int
b : Int
H : b ≠ 0
⊢ (a * b).fdiv b = a
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ a.re = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioc a b ↔ x✝ ∈ Ioc ⌊a⌋ ⌊b⌋
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
⊢ limsup (fun a => max (u a) (v a)) f = max (limsup u f) (limsup v f)
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (map π (μ.restrict 𝓕)) s = 0
⊢ (map π μ) s = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_15, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_16, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{?u.292327, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{u_14, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
F₁₂ : ?m.294682
G : ?m.294685
ρ₁₂ : ?m.294688
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
j : J
A : C₄
f g : mapBifunctorMapObj F ρ₂₃.q X₁ (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃) j ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ f = g
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
α : Sort u_1
q : Prop
p : α → Prop
Decidable q
⊢ (∀ (x : α), q ∨ p x) ↔ q ∨ ∀ (x : α), p x
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
x : L
hf : Polynomial.Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs
⊢ x ∉ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toTopCat
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk (↑(CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f)))
      ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base x))
    (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f) x) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.awayToΓ 𝒜 f)
    (((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).presheaf.Γgerm x)
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hp : m.primeFactors ⊆ Finset.range n
⊢ m ∈ n.smoothNumbers
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
p r : α
u : αˣ
h' : r * ↑u ~ᵤ r
hp : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x ∧ r * ↑u = p * x
⊢ r = p * (x * ↑u⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
⊢ a = b / c ↔ c * a = b
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ RatFunc.toFractionRing = ⇑(IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (RatFunc K) (FractionRing K[X]))
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f✝ f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ‖{ toFun := mapL, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ 1 * ∏ i : ι, ‖f i‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : CategoryTheory.FullSubcategory P} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ y * x ∈ H ↔ y ∈ H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ cg • cf • lig.toContinuousLinearMap.comp lif.toContinuousLinearMap = cg • cf • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hx : x ^ p ≠ 0
hy : y ^ p ≠ 0
⊢ x * y ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ toUnitHom ((changeLevel ⋯) χ) = toUnitHom χ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f (s \ {x}) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
⊢ (e.restr s).trans e' = (e.trans e').restr s
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ≤ b
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
α β : K
⊢ house (α * β) ≤ house α * house β
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x✝ y z x : α
⊢ ⇑ofDual ⁻¹' [[x✝, x]] ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : ↑{m} ⊆ S
⊢ m ∈ S
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.eraseLast s).last (RelSeries.last s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
a : G
⊢ Smooth I I fun b => a * b
α : Type u_1
AddGroup α
DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ min (AddMonoid.minOrder α) ↑(s.card + t.card - 1) ≤ ↑(s + t).card
R : Type u
CommSemiring R
self : PrimeSpectrum R
⊢ self.asIdeal.IsPrime
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
⊢ Monotone (SimpleGraph.comap ⇑f)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((ι Q) m)
val✝ : Invertible ((ι Q) m)
⊢ IsUnit (Q m)
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
M : Type u_4
CommMonoid M
a b : M
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
⊢ s ⊆ t
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, op y ^ (n - 1 - i) * op x ^ i = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v
⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
a : Prop
⊢ ¬(a ∧ ¬a)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ ∃ a,
  a ≠ 0 ∧
    ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤
      (4 / Real.pi) ^ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K * ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K).factorial /
          ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K *
        √|↑(NumberField.discr K)|
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ ↑(realPart x) = x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
a : α
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ
⊢ m + f n ≤ f (m + n)
I : Type w₀
J✝ : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X Y : (i : I) → C i
f' : X ⟶ Y
x✝ : K
⊢ ((fun i => f' (g (f i))) ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) x✝ = ((fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ ({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f') x✝
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s • ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s • t i j
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ dropWhile p l.reverse <:+ l.reverse
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K 0
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z₁.comp z₂ ⋯).v p q hpq = z₁.v p q hpq ≫ z₂.v q q ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b✝ b : α
x✝ : b ∈ s
⊢ ¬b = a → a ∉ s ∧ b ≤ a ↔ b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
kpos : 0 < k
⊢ { toFun := fun x => f x ^ k, map_zero' := ⋯ } x = f x ^ k
x : ℝ
i : ℕ
⊢ (x ^ 2) ^ i / ↑(2 * i)! ≤ (x ^ 2) ^ i / (2 ^ i * ↑i !)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
φ : β → γ := di.extend f
this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot
V' : Set γ
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)
V'_closed : IsClosed V'
V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
P : ((i : Fin (n + 1)) → α i) → Sort u_1
h : (x : (i : Fin n) → α i.castSucc) → (x₀ : α (last n)) → P (snoc x x₀)
x : (i : Fin n) → init α i
x₀ : α (last n)
⊢ snocCases h (snoc x x₀) = h x x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
h : ∀ (X : C), CategoryTheory.Mono (hI.to X)
⊢ CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.InjOn f ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r ε : ℝ
L : E →L[𝕜] F
x y z : E
hy : y ∈ closedBall x (r / 2)
hz : z ∈ closedBall x (r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
⊢ ‖f z - f y - L (z - y)‖ ≤ ε * r
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ + a⁺ = |a|
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume
⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
b : φ i
⊢ (LinearMap.stdBasis R φ i) b = Function.update 0 i b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ici ↑a)) = Ici ↑a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ fract (a + b) ≤ fract a + fract b