ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫ (a : α), g a ^ q ∂μ = ∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ
⊢ ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I') ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x))
⊢ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ⊆ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Over X
⊢ (CategoryTheory.Over.forget X).obj U = U.left
α : Type u_1
a : α
l : Lists α
⊢ Lists.atom a ~ l ↔ Lists.atom a = l
M : Type u_1
α : Type u_4
Monoid M
c : Con M
f : (x y : M) → c (x * y) 1 → c (y * x) 1 → α
Hf :
  ∀ (x y : M) (hxy : c (x * y) 1) (hyx : c (y * x) 1) (x' y' : M) (hxy' : c (x' * y') 1) (hyx' : c (y' * x') 1),
    c x x' → c y y' → f x y hxy hyx = f x' y' hxy' hyx'
x y : M
hxy : ↑x * ↑y = 1
hyx : ↑y * ↑x = 1
⊢ Con.liftOnUnits { val := ↑x, inv := ↑y, val_inv := hxy, inv_val := hyx } f Hf = f x y ⋯ ⋯
α : Type u_1
r : Setoid α
⊢ Setoid.IsPartition r.classes
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x) / (b - a)
m n : ℕ
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
⊢ Fin.append u v = u ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LT α
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ (if p then a else b) < 0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj)) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hf' : Memℒp f' p μ
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
α : Type u_1
Preorder α
⊢ (WellFounded fun x x_1 => x > x_1) ↔ ∀ (a : ℕ →o α), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ¬a n < a m
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
T : Type w
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Algebra.Flat R S
Algebra.Flat S T
⊢ Algebra.Flat R T
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Ici a * Ioi b ⊆ Ioi (a * b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ ((monomial n) a).roots = n • {0}
α : Type u
Semiring α
s : Set α
⊢ Ideal.span s = ⊤ ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ Ideal.span ↑s' = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
⊢ supported M R (bif true then s else t) ⊓ supported M R (bif false then s else t) = supported M R s ⊓ supported M R t
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r₁ r₂ : R
⊢ 0 = r₁ • 0 + r₂ • 0 + 0 * 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : CompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ IsCompact univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
this : Nonempty (Subtype p)
⊢ map m (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), map m (f i)
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoidWithZero N
self : S.LocalizationWithZeroMap N
⊢ (↑self.toMonoidHom).toFun 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ s.min' H ≤ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
W : Submodule R M
⊢ LinearMap.ker W.dualRestrict = W.dualAnnihilator
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
IsDomain β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ ¬CauSeq.const abv 1 ≈ CauSeq.const abv 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Finset X
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U x = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
x : E
h : ∀ i ∈ s, ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f i x) x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (Perm α)ᵈᵐᵃ
⊢ g ∈ stabilizer (Perm α)ᵈᵐᵃ f ↔ f ∘ ⇑(mk.symm g) = f
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.IsSymmetric 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).v₂₃ =
  S.mapNatTrans (HomologicalComplex.natTransHomologyπ C c j)
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ (r • φ)⁻¹ = r⁻¹ • φ⁻¹
n : ℕ
x : ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (MeasureTheory.Measure.volumeIoiPow n) (Set.Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
⊢ ⁅e, ((LieModule.toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((LieModule.toEnd R L M) f ^ n) m
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-f).LimZero
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card = Multiset.card s.val
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x : WittVector p R
⊢ WittVector.verschiebung (WittVector.frobenius x) = x * ↑p
α : Type u_2
β : Type u_3
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist f.1 g.1 ⊔ edist f.2 g.2 ≠ ⊤
P : Type u_1
SemilatticeInf P
x y : P
F : Order.PFilter P
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F
⊢ x ⊓ y ∈ F
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
hf : g₁ ≤ g₂
⊢ f ×ˢ g₁ ≤ f ×ˢ g₂
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
FiniteDimensional K V₁
f : Module.Dual K V₁
hf : f ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(LinearMap.ker f) + 1 = FiniteDimensional.finrank K V₁
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : ClusterPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A
this : A = A \ {a}
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).j = φ E.j
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
⊢ {c : Opens ↑X} → {d : Opens ↑Y} → (d ⟶ ⋯.functor.obj c) → (c' : Opens ↑X) × (⋯.functor.obj c' ≅ d)
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
MulPosMono α
hf : Antitone f
ha : 0 ≤ a
⊢ Antitone fun x => f x * a
n✝ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
n : ℕ
f : ℕ → α
hn : ¬n = 0
⊢ ∏ d ∈ n.divisors, f (n / d) = n.divisors.prod f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
R : CategoryTheory.Sieve ((F.comp G).obj X)
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback (F.comp G) R =
  CategoryTheory.Sieve.functorPullback F (CategoryTheory.Sieve.functorPullback G R)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
CommRing R
v : AddValuation R Γ₀
a : R
s : R
h : s ∈ v.supp
⊢ v (a + s) = v a
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
l : Combinatorics.Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
h : l.idxFun i = Sum.inl a
⊢ ↑l x i = a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < f' x
x : ℝ
⊢ 0 < f' x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
m : ℕ
⊢ Int.fract (a + ↑m) = Int.fract a
R : Type u
N : Type z
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
P : Type v
AddCommMonoid P
Module R P
⊢ Module.Free R P → (P ≃ₗ[R] N) → Module.Free R N
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hxb : x ≠ b
⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
P : Prop
Decidable P
x y : α
⊢ f (if P then x else y) = if P then f x else f y
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨅ i, m i) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict (Set.range f)) (⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (m i))
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ a < c → b < c → c ∉ [[a, b]]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (f ⊓ g)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∑' (n : ↑t), f ↑n ∈ Metric.ball 0 ε
⊢ ∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : α → β
x : ι → Filter α
y : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (⨆ i, x i) y ↔ ∀ (i : ι), Filter.Tendsto f (x i) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ ¬ν ≤ μ ↔ ∃ s, μ s < ν s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
hf : S.f = 0
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Mono S.g
B : Type u_3
S : B
ι : Type u_4
M : Type u_5
CommMonoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
f : ι → ↥S
s : Finset ι
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformContinuous g
hf : UniformCauchySeqOn F p s
⊢ UniformCauchySeqOn (fun n => g ∘ F n) p s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
⊢ eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b : ι
⊢ ∀ (x : ι), (∀ y < x, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0) → ∀ a < x, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
⊢ (affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = (affineSpan ℝ s).direction
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
h : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f h x
α : Type u_1
s : Set α
a b : α
Preorder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ ¬a < b
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
⊢ IsCoprime x y ↔ IsCoprime y x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp
hp₄ : (p₁, p₄, p₂) ∈ sp
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R
⊢ x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ ∀ x_1 ∈ ↑x.support, x_1 ∈ {d | (weight w) d = m}
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible ↑p
n : ℕ
⊢ xInTermsOfW p R n * MvPolynomial.C (↑p ^ n) =
  MvPolynomial.X n - ∑ i ∈ Finset.range n, MvPolynomial.C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : (CategoryTheory.forget C).obj X
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) x = g (f x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
w : F
hw : w ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x | x ∈ s ∧ f x = w}
⊢ w ∈ ⇑f '' extremePoints ℝ s
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
H : Subgroup G
y : ↑(⇑↑(MulDistribMulAction.toMulEquiv G a) '' ↑H.toSubmonoid)
⊢ ↑((Subgroup.equivSMul a H).symm y) = a⁻¹ • ↑y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s • -t = -(s • t)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R z (Function.update f i (r • f i)) = PiTensorProduct.tprodCoeff R (r * z) f
F : Type u → Type u
q : QPF F
x y : (QPF.P F).W
⊢ QPF.Wequiv x y → QPF.Wequiv y x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
h : IsOfFinAddOrder u
⊢ ∃ m, m.gcd (addOrderOf u) = 1 ∧ m < addOrderOf u ∧ ↑(↑m / ↑(addOrderOf u) * p) = u
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj
R : Φ.RightResolution (L₂.objPreimage X₂)
⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
α : Sort u_1
p : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, p a ∧ a' = a) ↔ p a'
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a
⊢ E ≃L[𝕂] F
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s t : (i : ι) → κ i → Set α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j = t i j
⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, t i j
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
⊢ ↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (n - 1))
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S ≤ CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ (CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ S)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Filter.cocompact X ≤ Filter.cofinite
α : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
PartialOrder X
OrderTopology X
NoMaxOrder X
f : α → X
l : Filter α
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (𝓝 ∘ f) l (𝓝 Filter.atTop)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
e : R ≃+* S
x : ↑↑s.toAddSubmonoid
⊢ ↑(e.subringMap x) = e ↑x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ⨆ i, N i = ⊤ ↔ ⨆ i, ↑(N i) = ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
A B : Set (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
f : ι → Set (Finset α)
⊢ Sized r (⋃ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Sized r (f i)