ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : γ ≃o α
y : β
⊢ IsLUB (⇑e ⁻¹' {x | f x ≤ y}) (e.symm (g y))
ε : ℝ
l : ℕ
⊢ SzemerediRegularity.initialBound ε l ≤ SzemerediRegularity.bound ε l
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z
⊢ swap y z * swap x y * (swap y z)⁻¹ = swap z x
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
⊢ g (f.sec (f.toMap x)).1 = g (↑(f.sec (f.toMap x)).2 * x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
s t : Set M
h : UniqueMDiffWithinAt I s x
st : s ⊆ t
⊢ UniqueMDiffWithinAt I t x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
⊢ ∏' (x : β), 1 = 1
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.map (CategoryTheory.inv (prodComparison F X Y)) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F (X ⨯ Y) Z) ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
x : ℝ
hx : x ∈ Iic a
⊢ f a - f x = ∫ (x : ℝ) in id x..a, f' x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
⊢ ↑(s.inf' H f) = s.inf (WithTop.some ∘ f)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a • m ∈ p
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ min a b ≤ a
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
CompleteLattice α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
h_anti : Antitone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (⨅ i, f i))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid N'
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R N'
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
e : N ≃ₗ[R] N'
⊢ Function.Exact ⇑(↑e ∘ₗ f) ⇑(g ∘ₗ ↑e.symm) ↔ Function.Exact ⇑f ⇑g
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s
⊢ Group.rank ↥(closure ↑s.toFinset) ≤ s.toFinset.card
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W.Nonsingular (u • P) ↔ W.Nonsingular P
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : v ∈ Kᗮ
⊢ v - ↑0 ∈ Kᗮ
R : Type u
CommSemiring R
I J K L : Ideal R
hik : I ≤ K
hjl : J ≤ L
⊢ I * J ≤ K * L
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
H : BddAbove (Set.range f)
⊢ IsLUB (Set.range f) (⨆ i, f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b \ a = b \ a
n : ℕ
⊢ fib (n + 2) = 0 ↔ n + 2 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
z : M
F' : Type u_11
NormedRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') p z p'
hq : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') q z q'
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) z (p z • q' + p'.smulRight (q z))
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
x : A
hx : x ∈ M ^ n
⊢ C n x hx
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
i : ℕ
⊢ (CategoryTheory.Abelian.DoldKan.comparisonN.inv.app X).f i =
  ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex A ℕ)).inverse.map
          ((AlgebraicTopology.DoldKan.N₁_iso_normalizedMooreComplex_comp_toKaroubi A).hom.app X)).f
      i ≫
    ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex A ℕ)).unitIso.inv.app
          (CategoryTheory.Abelian.DoldKan.N.obj X)).f
      i
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
⊢ S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app (F.obj x) = adj2.unit.app x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ max a b - max c d ≤ max (a - c) (b - d)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
n : ℕ
⊢ (mul R A).flip a ^ n = (mul R A).flip (a ^ n)
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(X : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X : CategoryTheory.GradedObject J D
⊢ (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap p
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x : A
⊢ (AlgHom.restrictScalars R f) x = f x
α : Type u_1
Preorder α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
f_strict_mono : StrictMono f
t : Ordnode α
a₁ : WithBot α
a₂ : WithTop α
h : Ordnode.Valid' a₁ t a₂
⊢ Ordnode.Valid' (Option.map f a₁) (Ordnode.map f t) (Option.map f a₂) ∧ (Ordnode.map f t).size = t.size
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hw : w ∈ M.verts
ha : M.Adj v w
⊢ h.toEdge ⟨v, hv⟩ = h.toEdge ⟨w, hw⟩
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ∃ r', r = (algebraMap A K) r' ∧ r' ∣ p.coeff 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
TopologicalSpace δ
Preorder δ
h : EsakiaHom γ δ
g : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
α : Type u_1
Monoid α
LinearOrder α
⊢ ⇑Units.orderEmbeddingVal = Units.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t u : Finset α
hf : 0 ≤ f
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t
⊢ f t ≤ f t + if insert a t ∈ 𝒜 then f (insert a t) else 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.support.length = p.length + 1
a b : Prop
⊢ Xor' a b = Xor' b a
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) (q, b₀)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ Injective ⇑(rTensor.inverse Q hfg hg)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
DecidableEq M
x : DirectSum M fun i => ↥(MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i)
m : M
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m)
    ((DirectSum.coeLinearMap fun i => MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i) x) =
  ↑(x m)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
⊢ Set.range ⇑(s.orderEmbOfFin h) = ↑s
n : ℕ
⊢ 0 < n.sqrt ↔ 0 < n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : CategoryTheory.Functor C D
T : D
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimits S
A : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
P : CategoryTheory.Subobject (Opposite.op A)
q :
  S.obj (Opposite.unop (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (CategoryTheory.CostructuredArrow.projectQuotient P))) ⟶
    (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map (CategoryTheory.CostructuredArrow.projectQuotient P).arrow.unop) q = A.hom
⊢ CategoryTheory.CostructuredArrow.liftQuotient (CategoryTheory.CostructuredArrow.projectQuotient P) hq = P
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal (MvPolynomial σ R)
p : MvPolynomial σ R
hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I
m : σ →₀ ℕ
a✝ : m ∈ p.support
⊢ C (coeff m p) * (monomial m) 1 ∈ I
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}
⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
⊢ 0 < 1 - ↑K
d : ℤ
z : ℤ√d
⊢ (star z).re = z.re
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : Y ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
i : Option 𝒰.J
⊢ (𝒰.add f).obj i = Option.rec Y 𝒰.obj i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : EReal → α
h : Measurable fun p => f ↑p
⊢ Measurable f
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
h : δ < 1
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a : N ⋊[φ] G
⊢ a⁻¹.right = a.right⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' '' (f '' s) = s
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
⊢ f ∈ ⊥
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s → U ⊆ t
⊢ ⋃₀ {s_1 | s_1 ∈ B ∧ s_1 ⊆ s} ⊆ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u v : E
⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) u), v⟫_𝕜 = ⟪u, ↑((orthogonalProjection K) v)⟫_𝕜
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hac : AddLECancellable (a - c)
h : c ≤ a
⊢ a + b - (a - c) = b + c
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_pos : 0 < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
half_ε_pos : 0 < ε / 2
half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤
r : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist μ ν + ε / 2
s : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist ν κ + ε / 2
⊢ μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
⊢ p ^ n.factorization p = n
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
NormedRing 𝕜
(i : α) → Module 𝕜 (E i)
∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
⊢ (lpSubmodule E p 𝕜).toAddSubgroup = lp E p
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ ↑|n| * -S ≤ ↑n * z.im
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.trim hm) s = μ s
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ : AddSubgroup G
⊢ Disjoint H₁ H₂ ↔ ∀ {x y : G}, x ∈ H₁ → y ∈ H₂ → x + y = 0 → x = 0 ∧ y = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Submartingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (f ⊔ g) ℱ μ
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (x ^ (OfNat.ofNat n)⁻¹) ^ OfNat.ofNat n = x
p n b k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico 1 b, (k + (n - k)) / p ^ i = ∑ i ∈ Ico 1 b, (k / p ^ i + (n - k) / p ^ i + if p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i then 1 else 0)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1
hfst : (sec M x).1 = 0
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
α : Type u_1
⊢ ↑(PartialEquiv.refl α) = id
n : ℕ
⊢ n.multichoose 0 = 1
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (star c * star b * a) = star (star c * (star b * a))
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
⊢ ⊤ ≤ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
α : Type v
Preorder α
a b c : α
⊢ Disjoint (Set.Ico a b) (Set.Ico b c)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f g : M [⋀^ι]→L[R] N
ContinuousAdd N
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ 1 ≤ I * (1 / I)
d : ℤ
a₁ : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a₁
a : Pell.Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 < (a * a₁⁻¹).x
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ s • 1 = s
n : ℕ
hn : Odd n
a : ZMod n
⊢ a + a = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ p.toMeasure s = 1 ↔ p.support ⊆ s
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
⊢ e.transHomeomorph f' = e.trans f'.toPartialHomeomorph
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.sup singleton = s
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
⊢ ∀ b ∈ Gᶜ.neighborFinset v, (bipartiteBelow G.Adj (G.neighborFinset v) b).card = μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
⊢ IsOpen (range toContinuousLinearMap)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝² : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝¹ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝¹.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝¹
b_eq : b = Basis.extend this✝¹
i1 : Fintype ↑(this✝¹.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this✝ : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝¹.extend ⋯
this : span K (Set.range ⇑bS) = ⊤
⊢ S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
x : ℝ
n : ℕ
⊢ 1 / 2 * 2 ^ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4 * 2 ^ 2 = 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x, -y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
x y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
he : y₁ ≈ y₂
⊢ x * y₁ ≈ x * y₂
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : α → β
⊢ List.map (fun i => f ↑i) l.attach = List.map f l
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
h : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ b ≤ MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero S.rightHomology
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
this✝ : Fintype α
this : Fintype β
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
self : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((self.add (m₁ + m₂) m₃).hom.app X) ((self.F m₃).map ((self.add m₁ m₂).hom.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((self.add m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X)
      ((self.add m₂ m₃).hom.app ((self.F m₁).obj X)))
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(LieAlgebra.SpecialLinear.sl n R)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (a ^ n).totalDegree ≤ n * a.totalDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ u : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊆ u → s₁ ⊆ s₂ ∩ u
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a ≠ ⊥
h : b < c
⊢ a + b < a + c
α β : Type u
f : α → β
⊢ f <$> 0 = 0
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
f : α' → α
⊢ (DFA.comap f M).accepts = List.map f ⁻¹' M.accepts
α : Type u
x : α
sep : α
⊢ List.intersperse sep (x :: List.nil) = x :: List.nil
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
⊢ s +ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ (s +ᵥ t₁) ∩ (s +ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => Min.min (f a) (g a)
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ a < -a ↔ a < 0
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s t : Set β
a : α
⊢ a • s ⊆ t ↔ ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ s → a • b ∈ t
α : Type u_1
f : Filter α
CountableInterFilter f
u v : α → ℝ≥0∞
⊢ Filter.limsup (u * v) f ≤ Filter.limsup u f * Filter.limsup v f
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R n) (φ₁ * (φ₂ + φ₃)) = (coeff R n) (φ₁ * φ₂ + φ₁ * φ₃)
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ l.Subperm (a :: l)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
α : Type u
AddGroup α
⊢ ∀ (a : α) (a_1 : ULift.{u, 0} ℤ), ((AddMonoidHom.fromULiftIntEquiv α).symm a) a_1 = AddEquiv.ulift a_1 • a