ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)
⊢ x ∈ lowerCentralSeries G n
a : ℕ
IsWellOrderLimitElement a
⊢ False
motive : Nat → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (n : Nat) → motive (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.casesAuxOn (n + 1) zero succ = succ n
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ Function.RightInverse ⇑e.symm ⇑e
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
m : Set (Measure α)
hm : m.Nonempty
ht : MeasurableSet t
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((sInf m).restrict t) s = (sInf ((fun μ => μ.restrict t) '' m)) s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
⊢ (aeval x) p.divX ≠ 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Module.rank E ↥(IntermediateField.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulMono α β
SMulPosMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 ≤ a₁
h₂ : 0 ≤ b₂
⊢ a₁ • b₁ ≤ a₂ • b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedAddCommGroup 𝕜
SMulZeroClass 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ → MeasureTheory.HasFiniteIntegral (c • f) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
c : 𝕜
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v)
α : Sort u
Setoid α
a : α
⊢ a ≈ a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (gcd a b) (gcd b a)
p : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k
⊢ count p n ≤ count q n
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientAddGroup.mk
a : (α ⧸ t) × ↥t ⧸ s.addSubgroupOf t
⊢ (AddSubgroup.quotientEquivSumOfLE' h_le f hf).symm a = Quotient.map' (fun b => f a.1 + ↑b) ⋯ a.2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
h : ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ ∃ a_1, a a_1 ≠ b a_1
⊢ ∃ i, (∃ a b, a ∈ image (fun x => x i) s ∧ b ∈ image (fun x => x i) s ∧ a ≠ b) ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
ι : Type u_7
Finite ι
Nonempty ι
b : Basis ι A M
⊢ LinearMap.det 0 = 0
α : Type u_1
l l' : List α
⊢ l <+ l' ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
val : α
hv : val = ↑u
inv : α
hi : inv = ↑(-u)
⊢ u.copy val hv inv hi = u
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b✝ : α
m n : ℕ
b : α
⊢ a = 2 * b + 1 ↔ a = 2 * b + 1
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
v : V₁
hv : f v ≠ 0
⊢ ⊤ ≤ LinearMap.range f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
⊢ List.dlookup a (List.kerase a l) = none
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
⊢ ∃ y, (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ) ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_13, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₂ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorObj F X₁ I₂ I₃).map φ).app X₃ x =
  ((F.obj (X₁ x.1)).map (φ x.2.1)).app (X₃ x.2.2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
N : Mon_ C
f g : CategoryTheory.Conv M N
⊢ f * g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp M.comul
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f M.X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft N.X g) N.mul))
R : Type u_2
CommSemiring R
d n : ℕ
f g : PowerSeries R
h : d < n
⊢ (PowerSeries.coeff R d) (f * g) = (PowerSeries.coeff R d) (↑(PowerSeries.trunc n f) * ↑(PowerSeries.trunc n g))
α : Type u
β : Type v
Preorder β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ IsMinOn (fun x => b) s a
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
a b : M
inst✝ : Unique Mˣ
x : M
x✝ : IsUnit x
u : Mˣ
hu : ↑u = x
⊢ x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 \ a = ma \ mb
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
⊢ c.PairwiseDisjoint id
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
⊢ SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
a b : ℝ
n : ℕ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ n) μ a b
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (f ⊔ g) s
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
f : Multiset α
hi : ∀ b ∈ f, Irreducible b
u : αˣ
hn0 : f.prod * ↑u ≠ 0
hnu : ¬IsUnit (f.prod * ↑u)
b : α
h : b ∈ f
⊢ ∃ f_1, (∀ b ∈ f_1, Irreducible b) ∧ f_1.prod = f.prod * ↑u ∧ f_1 ≠ ∅
f : ℝ → ℝ
c : ℝ
hf : f ~[Filter.atTop] fun x => c
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
n : ℕ
x y : WittVector p k
⊢ (x * y).coeff (n + 1) =
  x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) +
    WittVector.nthRemainder p n (WittVector.truncateFun (n + 1) x) (WittVector.truncateFun (n + 1) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
a b : β
⊢ ⨆ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊔ f b
R : Type u_1
Field R
StarRing R
x : ↥(selfAdjoint R)
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.truncateFun n (m • x) = m • WittVector.truncateFun n x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in -b..-a, f x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0
⊢ (normalizeScaleRoots p).coeff p.natDegree = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z : C → Prop
X : CategoryTheory.FullSubcategory Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj
M : Type u_2
Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ Commute a (b ^ n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
⊢ (F.μIso X Y).hom = F.μ X Y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
x : M
⊢ x ∈ Submodule.torsionBySet R M s ↔ ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)
⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).functor = CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
c : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT') f = c • (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
h : b ∈ Metric.closedBall a r
⊢ ‖b‖ ≤ ‖a‖ + r
n : ℕ
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, ↑(ArithmeticFunction.moebius d) * ArithmeticFunction.log d = -ArithmeticFunction.vonMangoldt n
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hxy : x ≠ y
⊢ (edist x y ⊓ edist y x).toReal ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
h : σ ≠ 1
⊢ (Finset.filter (fun x => σ x = x) Finset.univ).card < Fintype.card α - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set (α × β)
⊢ MeasurableSet (Prod.swap ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
u : Nˣ
hu : ↑u = f.toMap ↑c
⊢ f.toMap x = f.toMap y
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
S : Type u_10
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass R S N
c : S
⊢ ↑(c • f) = c • ↑f
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hgf : f =o[l] g
⊢ f =O[l] g
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → ∃ y, Metric.closedBall y (δ / 4) ⊆ Metric.closedBall x δ ∧ Metric.closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s
⊢ ¬Filter.Tendsto
    (fun r => MeasureTheory.volume (closure s ∩ Metric.closedBall x r) / MeasureTheory.volume (Metric.closedBall x r))
    (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 1)).card / ↑1 ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((adj.homEquiv X Y') g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X' Y) h) (G.map k) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
⊢ LipschitzWith 2 fun p => p.1 - p.2
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
⊢ ∀ (i : n), (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hs : s.gcd f = 0
⊢ ∀ x ∈ s, f x = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f 0 = f p
hc : ContinuousOn f (Icc 0 p)
⊢ ContinuousOn f (Icc 0 (0 + p))
α : Type u
s : Set α
⊢ {x | x ∈ s ∧ False} = ∅
α : Type u
s₁ s₂ s₃ : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ ∪ s₃ = s₁ ∪ s₃ ∪ s₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q
h✝ : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1
h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)
⊢ P ιv ⋯
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ -0 = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (C 2 * X y + C W'.a₁ * X x * X z + C W'.a₃ * X z ^ 3) = 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ Filter.liminf u f = ⨆ s ∈ f, ⨅ a ∈ s, u a
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G
⊢ a * b * c = b * c * a
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).trailingDegree = ↑n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
⊢ IsIso (Cofork.π c)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : HasSum (fun n => f (n + k)) m
⊢ HasSum f (∑ i ∈ Finset.range k, f i + m)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k
⊢ ↑p ^ (-↑k) < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0).radius = ⊤
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i, f i)
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
⊢ t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ i ∈ s, F i x ≤ m i
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup fun i => F i a) ≤ s.sup m
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
⊢ powers a ⊆ s
s : Set ℕ
h : s.Nonempty
⊢ sInf s = Nat.find h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s ↔ ContinuousOn f s
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp p β
⊢ edist f f = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
t : W
ht : t ∈ cs.rightInvSeq ω
⊢ cs.IsRightInversion (cs.wordProd ω) t
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
x : OreLocalization S X
⊢ 1 • x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β → γ
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ Set.image2 f s (⋃ i, ⋃ j, t i j) = ⋃ i, ⋃ j, Set.image2 f s (t i j)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f g : α → β → γ
h : Function.uncurry f =ᵐ[μ.prod ν] Function.uncurry g
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x =ᵐ[ν] g x
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
AddCommGroup M''
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑((QuotSMulTop.map r) f) ⇑((QuotSMulTop.map r) g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
this : l₁ <+~ l₂.diff l₁ ++ l₁
⊢ l₁ <+~ l₂
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ l.all p = !l.any fun x => !p x
n x : Nat
⊢ (2 ^ (n + 1) - (x + 1)) / 2 = 2 ^ n - (x / 2 + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ s.drop (1 + n) = s.tail.drop n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
AddMonoid β
LipschitzAdd β
⊢ ⇑(ContinuousMap.addEquivBoundedOfCompact α β).symm = ⇑(BoundedContinuousFunction.toContinuousMapAddHom α β)
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toPresheafedSpace.obj (Opposite.op R) =
  (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
⊢ Pairwise fun c c' => ∀ ⦃a : V⦄, a ∈ c.supp → a ∉ c'.supp
y : ℝ
⊢ 0 ^ ↑y = ↑(abs 0 ^ y) * (↑(Real.cos (arg 0 * y)) + ↑(Real.sin (arg 0 * y)) * I)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hM : M.M i i' ≠ 0
hm : m > M.M i i'
⊢ ¬cs.IsReduced (CoxeterSystem.alternatingWord i i' m)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
IsNoetherian R M
NoZeroSMulDivisors R M
IsDomain R
CharZero R
⊢ ∃ n, μ = ↑n
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
⊢ IsOpen (⋃ i, ⋃ (_ : i.card = n), {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑i) => ↑x ↑x_1})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = id
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
⊢ multiplicity (↑p) (∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)) = 1
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 1 = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
h''f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
A : Matrix l m α
B₁ B₂ : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A (B₁ + B₂) =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A B₁ + Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A B₂
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblU P ≠ 0
R : Type u_2
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
AddCommGroup M₁
Module R M₁
LieRingModule L M₁
LieModule R L M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₃
LieRingModule L M₃
LieModule R L M₃
g : TensorProduct R M₁ M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
⊢ LinearMap.range
    (↑g ∘ₗ
      TensorProduct.mapIncl (((LieModule.toEnd R L M₁) x).maxGenEigenspace χ₁)
        (((LieModule.toEnd R L M₂) x).maxGenEigenspace χ₂)) ≤
  ((LieModule.toEnd R L M₃) x).maxGenEigenspace (χ₁ + χ₂)