ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∉ ∅
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
φ' : S →* R
f : A →ₛₙₐ[φ] B
g : B → A
k : Function.RightInverse ⇑φ' ⇑φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ⇑(f.inverse' g k h₁ h₂) = g
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ↔ SetTheory.Game.LF ⟦x⟧ ⟦y⟧
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ Function.Injective (G.dartOfNeighborSet v)
⊢ ∀ {β : Type u_1} {β_1 : Type u_2} {s : β → β_1 → Prop} {α : Type u_3} {α_1 : Type u_4} {r : α → α_1 → Prop} {x : α ⊕ β}
  {y : α_1 ⊕ β_1}, Sum.LiftRel s r x.swap y.swap ↔ Sum.LiftRel r s x y
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
⊢ Substructure.map (of L ι G f i).toHom ((Substructure.closure L).toFun (range y)) = S
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, orderOf b ∣ exponent G
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Finset.image₂ f s t).card ≤ s.card * t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
⊢ filter (fun x => a ≠ x) (↑m.snd + ↑(replicate (↑m.fst) a)) = ↑m.snd
α : Type u_2
Mul α
s t u : Set α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, a • t ⊆ u
α : Type u_1
E B : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E).Base B ↔ B = ∅
α : Type u_1
LE α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ ↑{ carrier := s, upper' := hs } = s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
i j : J
f : i ⟶ j
X : Cᵒᵖ
⊢ Hom.app (F.map f ≫ colimitCoconeιApp F j) X = Hom.app (colimitCoconeιApp F i) X
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
⊢ Subsingleton N
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ s⁻¹ = Finset.image (fun x => x⁻¹) s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H
⊢ ∀ (x : G), x • s = s → f x = a → a • ⇑f '' s = ⇑f '' s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : C × CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
α : P ⟶ Q
x : (CategoryTheory.coyonedaEvaluation C).obj P
⊢ ((CategoryTheory.coyonedaEvaluation C).map α x).down = α.2.app Q.1 (P.2.map α.1 x.down)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
⊢ Differentiable ℂ P.Λ₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
α : F.leftOp ⟶ G.leftOp
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.removeLeftOp α).app X = (α.app (Opposite.op X)).op
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
⊢ x ≤ a
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent G = 0 ↔ ∀ n > 0, ∃ g, n • g ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : StrictAnti g
hf : StrictAnti f
⊢ StrictMono (g ∘ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Sum.swap C D).obj (Sum.inl X) = Sum.inr X
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
t : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod.Separable
⊢ (X - C a) * (X - C a) ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
u : Set α
ku : k ⊆ u
u_open : IsOpen u
⊢ μ (closure k) ≤ μ u
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Antitone f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f b ≤ f a
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : Kˣ
⊢ ↑(v.valuationOfNeZero x) = v.valuation ↑x
α : Type u_2
DecidableEq α
SubtractionMonoid α
s : Finset α
⊢ IsAddUnit s ↔ ∃ a, s = {a} ∧ IsAddUnit a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b : α
s : Finset α
x : α
h : x ∈ t
⊢ insert x ↑s \ ↑t = ↑s \ ↑t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
a b : α
xs : List α
⊢ s(a, b) ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ a ∈ ⟦xs⟧ ∧ b ∈ ⟦xs⟧
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.addLeft g) = fun x => g + x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
⊢ ψ⁻¹ = ψ.mulShift (-1)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
CharZero R
a : R
⊢ a + a = 0 ↔ a = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R
⊢ { u := (Units.map ↑φ) 1, r := φ 0, s := φ 0, t := φ 0 } = { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).lift' closure ≤ 𝓝 x
⊢ RegularSpace X
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
⊢ S ∈ J.sieves X ↔ J.Covers S (𝟙 X)
X : TopCat
⊢ TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 X) = 𝟭 (TopologicalSpace.Opens ↑X)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p q : P
⊢ dist p ((Equiv.pointReflection p) q) = dist p q
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : P f
U : ↑Y.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U
⊢ Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t u : Set α
⊢ u ∈ 𝓟 s ⊔ 𝓟 t ↔ u ∈ 𝓟 (s ∪ t)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ lcm m n ∣ lcm m (n * k)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
s : Set α
h : G.IsClique s
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
n : ℕ
⊢ (Prod.map f g)^[n] = Prod.map f^[n] g^[n]
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G✝
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T
h : x✝.Compatible
hF₁ : CompatiblePreserving K F
hF₂ : CoverPreserving J K F
G : SheafOfTypes K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : FamilyOfElements (F.op ⋙ G.val) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∀ (y₁ y₂ : (F.op ⋙ G.val).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 ∅ = ∅
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
⊢ ↑(PartialEquiv.pi ei) = fun f i => ↑(ei i) (f i)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
a : A
b : B
c : C
⊢ (Algebra.TensorProduct.assoc R A B C) ((a ⊗ₜ[R] b) ⊗ₜ[R] c) = a ⊗ₜ[R] b ⊗ₜ[R] c
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a : R
H : -1 ≤ a
n : ℕ
⊢ 1 + ↑n * (a - 1) ≤ a ^ n
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
n : γ → δ
m' : β → α' → δ
n' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' b (n' a)
⊢ Filter.map n (Filter.map₂ m f g) = Filter.map₂ m' g (Filter.map n' f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
f : α → β
f' : γ → δ
g : β → ε
g' : δ → ζ
x : α × γ
⊢ Prod.map g g' (Prod.map f f' x) = Prod.map (g ∘ f) (g' ∘ f') x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y : Action V G
g : ↑G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).ρ g = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (X.ρ g) (Y.ρ g)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt Subtype.val S x₀
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ f = 1
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, (f p x, f q x) ∈ u
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
f : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
w : W
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => Real.fourierChar (-(L v) w) • f v) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize (↑a * n) (a * d) ⋯
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
⊢ EMetric.diam (⇑e '' s) = EMetric.diam s
α : Type u_1
l : Language α
n : ℕ
⊢ (l ^ n).reverse = l.reverse ^ n
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
x : A ⊗[R] B
⊢ (GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ).symm ((GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ) x) = x
H : Type u_2
MulOneClass H
a : Multiplicative (Additive H)
⊢ (MulEquiv.multiplicativeAdditive H) a = Additive.toMul (Multiplicative.toAdd a)
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1
⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
hlt : a < b
⊢ r (l.get a) (l.get b)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
φ : ↥W.dualAnnihilator
x : M
⊢ (W.dualQuotEquivDualAnnihilator.symm φ) (Submodule.Quotient.mk x) = φ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ᵐ = (a ⊓ 1)⁻¹
α : Type u
LinearOrder α
a : α
l l' : List α
h : l' ≤ l
⊢ a :: l' ≤ a :: l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Function.Periodic f T
hT : 0 < T
t s : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
x : α
l : List α
⊢ Forall p (x :: l) ↔ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l → p x_1
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
hb : t.card • b < ∑ x ∈ s, w x
⊢ ∑ i ∈ t, b < ∑ i ∈ t, ∑ x ∈ filter (fun x => f x = i) s, w x
G : Type u
AddMonoid G
n : ℕ
g : G
⊢ n • g = (n % AddMonoid.exponent G) • g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ HasFDerivWithinAt f₀ f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f₁ f' s x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f g : β → α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ Multipliable fun b => f b / g b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
⊢ Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ((fun p => min p.1 p.2) ∘ fun y => (t, y)) x ∈ {a | a ≠ ⊤}
α : Type u
GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x \ y ⊔ x ⊓ y = x
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n✝ k : ℕ
e : Perm α
s : Set α
h : IsFixedPt (Set.preimage f) s
n : ℕ
⊢ IsFixedPt (Set.preimage f)^[n] s
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : β), ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 a, dist (f x) (f a) < ε
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Multifork I
⊢ ⇑I.sectionsEquiv.symm ∘ CategoryTheory.Limits.Types.sectionOfCone c = c.toSections
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsCodetecting 𝒢.op ↔ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ s.prod f < s.prod g
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : Filter X✝
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X✝
x : X✝
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace (X × X)
⊢ sSup (range (𝓝 ∘ fun x => (x, x))) = ⨆ x, 𝓝 (x, x)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K
⊢ a / -b = -(a / b)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ↑n fun y => fderiv 𝕜 f y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
⊢ ∀ {P : C} (g : P ⟶ R₁.obj' 2 ⋯), g ≫ app' φ 2 ⋯ = 0 → g = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c (dist c x) x = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor D C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
G.IsCoverDense J
G.IsContinuous K J
G.Full
(G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
G.IsCocontinuous K J
hG : CategoryTheory.CoverPreserving K J G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
K.WEqualsLocallyBijective A
⊢ J.WEqualsLocallyBijective A
l : List ℕ
m n : ℕ
⊢ m < n → List.Chain (fun x x_1 => x < x_1) m (Denumerable.raise' l n)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
⊢ Nat.card ↥↑P = p ^ (Nat.card G).factorization p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
E' : Type u_4
AddCommGroup E'
Module 𝕜 E'
f : E → F
f' : F
x : E'
L : E' →ₗ[𝕜] E
v : E'
hf : HasLineDerivAt 𝕜 (f ∘ ⇑L) f' x v
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' (L x) (L v)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v.restrict Set.univ = v
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
r : Set α
hrs : r ⊆ ↑s
hr : Set.BijOn P.part r ↑P.parts
⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
U : TopologicalSpace.OpenNhdsOf x
⊢ IsOpen ↑U
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ a ∣ s.gcd f ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : a * b ≠ 0
⊢ a ≤ a * b
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ 0 < f.rIn
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
X : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPrecoherent A).unitIso.hom.app X).val.app X_1 = X.val.map (e.unitIso.inv.app (Opposite.unop X_1)).op
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
self : VectorBundle R F E
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL R e e' b)) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
⊢ G.CliqueFree (r + 1) → ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0
⊢ edist y z ≤ edist x z
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ Function.Injective A.mulVec ↔ IsUnit A
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZeta (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
n : ℕ
⊢ ComplexShape.embeddingDownNat.f n = -↑n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ normalize p.content = p.content
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
f : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ (↑f).symm = ↑f.symm
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
h : x < y
⊢ cmp x y = Ordering.lt
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ * m₂, s₁ * s₂).1 = ↑(m₁ * m₂, s₁ * s₂).2 • (mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable ↔ f ∈ MeasureTheory.Lp β 1 μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < mex f
⊢ ∃ i, f i = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
⊢ P.universally = P
r : ℝ
⊢ Complex.normSq ↑r = r * r
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s s' : Set (Sym2 V)
⊢ (G.deleteEdges s).deleteEdges s' = G.deleteEdges (s ∪ s')
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
l' r' : List Char
h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)
⊢ (x✝.extract b e).Valid
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hst : _root_.Disjoint s (t.erase a)
⊢ _root_.Disjoint s t
a b c d : ENNReal
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤
⊢ c / b = d / a ↔ a * c = b * d
x : ℝ≥0∞
⊢ x ^ 1 = x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯
z : R
⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = f ((Ideal.Quotient.mk (∏ i ∈ s, P i ^ e i)) z) ⟨i, hi⟩
α : Type u_1
Sub α
a b : Part α
hab : (a - b).Dom
⊢ a.Dom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => ‖f x‖ ^ 2) x