ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hsu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)
htu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)
⊢ MeasurableSet u
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : z = 0
⊢ x.toNNReal ^ z = (x ^ z).toNNReal
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 7).eval
    (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: a4 :: a5 :: a6 :: a7 :: t)) =
  a7
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ (1 / z) = y ↔ x = y ^ z
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1
⊢ ℕ
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
UX UY : Scheme
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
H : P f
⊢ P f'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ Measurable Prod.swap
α : Type u_2
Preorder α
OrderBot α
x : α
a : ↑(Set.Iic x)
ha : IsAtom a
⊢ IsAtom ↑a
α : Type u_1
Neg α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a
⊢ -ma ∈ -a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ CategoryTheory.WithInitial.down (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.WithInitial.of X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X
R : Type u
CommRing R
A : Type v
Ring A
Algebra R A
⊢ ⇑(LieAlgebra.ad R A) = LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
l✝ : RBNode α
v✝ : α
parent✝ : Path α
x✝ : RBNode α
⊢ Ordered cmp parent✝ ∧ (All (fun x => cmpLT cmp x v✝) l✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) x✝ ∧ RBNode.Ordered cmp l✝ ∧ RBNode.Ordered cmp x✝) ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) l✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝ ↔ (Ordered cmp parent✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp x v✝) l✝ ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) l✝ ∧ RBNode.Ordered cmp l✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (cmpLT cmp v✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
AddZeroClass α
AddCommGroup β
f : α → β
hf : IsAddMonoidHom f
⊢ IsAddMonoidHom fun a => -f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
K : CategoryTheory.Coverage C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
R : CategoryTheory.Presieve X
h : R ≤ S.arrows
hR : R ∈ K.covering X
⊢ S ∈ (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C K).sieves X
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
p₁ : R[X]
⊢ (mapRingHom f) (C r * p₁) = C (f r) * (mapRingHom f) p₁
s : Set Ordinal.{u}
⊢ BddAbove s ↔ Small.{u, u + 1} ↑s
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Image.lift F' ≫ F'.m = CategoryTheory.Limits.Types.Image.ι f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
R1Space α
μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ ↑(H.subgroupOf K) = ⇑K.subtype ⁻¹' ↑H
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.C a * Polynomial.X) = Polynomial.C a
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
predA : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA
ppredConts : Pair K
nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts
nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a
⊢ g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredConts.a
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ δ₀Functor.map (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) = δ₀Functor.map (𝟙 F)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
x : E
⊢ ContinuousWithinAt (↑I.symm) s x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ (map W f).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
x : ℝ
⊢ 0 ≤ x.smoothTransition
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : ZeroHom M N
hmul : ∀ (x y : M), f.toFun (x + y) = f.toFun x + f.toFun y
⊢ ⇑{ toZeroHom := f, map_add' := hmul } = ⇑f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal S
⊢ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) '' PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(Ideal.comap f I)
m n : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0
⊢ m.primeFactors ⊆ n.primeFactors
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ PowerSeries.derivativeFun 1 = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ a.leadingCoeff * ?refine_1.hf.b = 1
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
⊢ toPartENat #α = toPartENat #β
x y : ℝ
⊢ arsinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
k : ℕ
c : Nat.Partrec.Code
n x : ℕ
⊢ x ∈ Nat.Partrec.Code.evaln k c n → n < k
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = 0 → x = y
n : ℕ
⊢ n + n.pred = (2 * n).pred
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
ι : Sort u_7
f : G →+ N
s : ι → AddSubgroup N
⊢ ⨆ i, AddSubgroup.comap f (s i) ≤ AddSubgroup.comap f (iSup s)
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
x : ℝ
⊢ cos (arctan x) ^ 2 = 1 / (1 + x ^ 2)
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
s : Set R
x : R
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ γ, {y | Valued.v (y - x) < ↑γ} ⊆ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L.IsLocalization W
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C E
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D E
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₁ F₁'
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₂ F₂'
τ : F₁ ⟶ F₂
X : C
⊢ (CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' τ).app (L.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F₁ F₁').hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app X) ((CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F₂ F₂').inv.app X))
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ
⊢ s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y) (CategoryTheory.eId V Y))
      (CategoryTheory.eComp V X Y Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
⊢ (ContinuousLinearMap.flipₗᵢ 𝕜 E Fₗ Gₗ).symm = ContinuousLinearMap.flipₗᵢ 𝕜 Fₗ E Gₗ
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq H
f : AddHom G H
hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a + b = c + d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
h : UniqueAdd (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)
⊢ UniqueAdd A B a0 b0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ - -a = a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval 0 (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ κ a ⟂ₘ η a
n : ℕ
hk0 : 1 ≠ 0
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD 1]
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeInf T
inst✝¹ : Add T
inst✝ : OrderTop T
D : A → T
s : R[A]
hs : s.support.Nonempty
⊢ s.support.inf (WithTop.some ∘ D) = ↑(s.support.inf D)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : g⁻¹ • a = b
⊢ a = g • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (y : β), (∀ (i : ι) (i_1 : κ i), y ∈ t i i_1) → ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f x y ∈ image2 f s (t i i_1)
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : BumpCovering ι X s
x : X
⊢ x ∈ s → ∃ i, ⇑(self.toFun i) =ᶠ[𝓝 x] 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : μ ≪ ν
⊢ essInf f ν ≤ essInf f μ
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
⊢ dimH (Set.range f) ≤ dimH Set.univ / ↑r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.liftedCocone D c t).pt =
  CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.coconePoint D c t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f ↔ ∀ (x y : X), f x = f y
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
k n : ℕ
⊢ (FormalMultilinearSeries.fslope^[k] p).coeff n = p.coeff (n + k)
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑n ! ≠ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : G.Walk u v
i : ℕ
hi : i < w.length
⊢ G.Adj (w.getVert i) (w.getVert (i + 1))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
⊢ IsSeparable F x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
⊢ generateFrom (generateSetAlgebra 𝒜) = generateFrom 𝒜
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
⊢ FermatLastTheoremWith ℤ 3
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
⊢ Disjoint (a ⊔ b) c ↔ Disjoint a c ∧ Disjoint b c
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x = 1
⊢ prod ⟦l⟧ = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : BundledCorePresheafOfModules R
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ PresheafOfModules.restrictionApp f M.toPresheafOfModules = M.map f
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ (Associates.mk a).factors.prod = Associates.mk a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ μ (sphere x r) = 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
hV : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
⊢ hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV
R : Type u_1
One R
Neg R
a : R × R × R × R
⊢ ((Quaternion.equivProd R).symm a).imJ = a.2.2.1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Y : D
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Over Y) (CategoryTheory.Over X)
h : ∀ (f : CategoryTheory.MonoOver Y), CategoryTheory.Mono (F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)).hom
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : CategoryTheory.MonoOver Y} (k : X_1 ⟶ Y_1),
  (CategoryTheory.MonoOver.lift F h).map k = ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).comp F).map k
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
f : α' → β' → γ
g : α → α'
h : β → β'
⊢ Set.image2 f (Set.range g) (Set.range h) = Set.range fun x => f (g x.1) (h x.2)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r + s) j) - (↑(nthHom f r j) + ↑(nthHom f s j))) ≤ ↑p ^ (-↑n)
X : Type u_6
TopologicalSpace X
a : X
⊢ ↑((Homeomorph.Set.univ X).symm a) = a
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ Fintype.card { i // ↑i < m } = m
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : α → β
⊢ (∏ x ∈ s, if x = a then b x else 1) = if a ∈ s then b a else 1
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
⊢ sSup (s * t) = sSup s * sSup t
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
⊢ Metric.cthickening δ E ⊆ ⋃ x ∈ E, Metric.closedBall x δ'
δ : Type u_3
AddCommMonoid δ
f : ℕ → δ
n : ℕ
⊢ ∑ j ∈ Finset.range n, f (n - 1 - j) = ∑ j ∈ Finset.range n, f j
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u✝ v✝ ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' volume
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae volume) (𝓝 c)
u v : ι → ℝ
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
α : Type u_1
SeminormedRing α
NormOneClass α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ n
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
s : A
hs : s ∈ ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
⊢ s ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}))
α : Type u_1
⊢ Multiset.antidiagonal 0 = {(0, 0)}
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
x : α
xt : x ∈ t
⊢ infEdist x s ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Multiset α
d : s.Nodup
⊢ (Multiset.map f s).Nodup ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ x * y ∣ z * (y * gcdB x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : SurjOn f₁ s t
H : EqOn f₁ f₂ s
⊢ SurjOn f₂ s t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.tan (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x‖
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ Subtype.val ∘ Set.inclusion h = Subtype.val
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime k
h : Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ Affine.Simplex.altitude t i₁
h₂ : p ∈ Affine.Simplex.altitude t i₂
⊢ p = t.orthocenter
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLattice β
f g : α →o β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous g
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (f ⊔ g)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.one ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ orderOf x = 0 ↔ ∀ (n : ℕ), 0 < n → x ^ n ≠ 1
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y) ^ (1 / y) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ (x - x₀) ^ (n + 1) • (↑(n + 1)!)⁻¹ • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀ = ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
t : Finset α
⊢ G.edgeDensity ∅ t = 0
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊥ ∆ a = a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
N : ℕ
x : α
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e N) x ≤ N
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → γ
p : γ → Prop
⊢ (∃ c, (∃ a b, f a b = c) ∧ p c) ↔ ∃ a b, p (f a b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i : I₁
⊢ ∀ (i_1 : I₂), (((HomologicalComplex₂.flipEquivalenceUnitIso C c₁ c₂).hom.app X).f i).f i_1 = 𝟙 ((X.X i).X i_1)
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.swap M' N') ((Monoid.Coprod.map f g) x) = (Monoid.Coprod.map g f) ((Monoid.Coprod.swap M N) x)
G : Type u
Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < Monoid.exponent G
⊢ ∃ g, g ^ m ≠ 1
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⋃ n, Icc a ↑n = Ici a \ {⊤}
a b : USize
h : a.val = b.val
⊢ a = b
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun a => Polynomial.eval a Polynomial.X) a = a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2
h : g.support.card ≤ card (Fin 5)
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ I ⊆ M₁.E, M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I
h' : ∀ (I : Set α), M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I := fun I => Or.elim (em (I ⊆ M₁.E)) (h I) fun h' => iff_of_false (fun hi => h' (Indep.subset_ground hi)) fun hi => h' (LE.le.trans_eq (Indep.subset_ground hi) (Eq.symm hE))
B : Set α
x✝ : B ⊆ M₁.E
⊢ M₁.Base B ↔ M₂.Base B
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ (↑q).imJ = 0
α : Type u
DivisionCommMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a * (b / a) = b
p : ℕ
⊢ ↑(mersenne p) = 0
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ
⊢ x ∈ map valEmbedding (Ici a) ↔ x ∈ Icc (↑a) (n - 1)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor A C
X : A
⊢ (F.prod'CompFst G).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
α : Type u
β : Type v
Add β
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddMagma.lift f) (FreeAddMagma.of x) = f x
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last n
j : Fin n
⊢ (↑(SSet.horn.primitiveEdge h₀ hₙ j)).down = SimplexCategory.Hom.mk { toFun := ![j.castSucc, j.succ], monotone' := ⋯ }
T : Type u_4
CommRing T
IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
h : I ≤ J
hI : I ≠ ⊥
K : Ideal T
⊢ Multiset.count K (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors J) ≤
  Multiset.count K (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I)
α : Type u_1
n : ℕ
a✝ : PosNum
⊢ ↑(a✝ <<< n) = ↑a✝ <<< n