ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
R'_jacob : IsJacobson ↥R'
J : Ideal (↥R')[X] := map (mapRingHom i) I
h_surj : Function.Surjective ⇑(mapRingHom i)
this : J.IsPrime
⊢ I.jacobson = I
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
M' : AddSubsemigroup M
x : ↥M'
⊢ ↑((f.subsemigroupMap M') x) = f ↑x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g✝ : G
H K : Subgroup G
g : G
⊢ ∃ h k, h ∈ H ∧ k ∈ K ∧ Quotient.out' (mk H K g) = h * g * k
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : α
⊢ IsComplemented a → IsComplemented b → IsComplemented (a ⊔ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Lattice α
a b c a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Ici a₁ ∩ Iic b₁ ∩ (Ici a₂ ∩ Iic b₂) = Ici a₁ ∩ Ici a₂ ∩ (Iic b₁ ∩ Iic b₂)
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommGroup α
⊢ Filter.comap abs Filter.atTop = Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hmg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
s : Set α
hms : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : ∀ i ∈ S ×ˢ T, x ∈ i.1 ×ˢ i.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ C ↑p ^ (j + 1) * (C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n)) = C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p
R : Type u
Semiring R
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (Polynomial.C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((Polynomial.monomial n) a)
⊢ M f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s
hxt : x ∈ t
⊢ x ∈ t
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u₁ u₂ : UniformSpace α
u₃ : UniformSpace β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous f
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ (leftDistributor X f).hom ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j = X ◁ biproduct.π f j
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
⊢ (a.cmp b).Compares ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
⊢ (∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V) → Disjoint (f '' U) (f '' V)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a - 0 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => ∫⁻ (a : β) in s, f a b ∂κ b
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
⊢ x ≤ Nat.log b y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.ThinSkeleton.map (CategoryTheory.Functor.id C) =
  CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.ThinSkeleton C)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
χ : L → R
⊢ LieSubmodule.map (LieModule.weightSpaceOf M (χ x) x).incl
    (LieModule.weightSpace (↥↑(LieModule.weightSpaceOf M (χ x) x)) χ) =
  LieModule.weightSpace M χ
α : Type u_1
f g h : Perm α
l : List (Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Disjoint l
⊢ l.Nodup
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
self : Path x y
⊢ self.toFun 0 = x
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
⊢ u = v
E : Type u_3
SeminormedGroup E
a b c : E
⊢ dist (a / b) c = dist a (c * b)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ eval x ((interpolate s v) r) = eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n✝ n : σ →₀ ℕ
hnn : n ≠ 0
a : R
m : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff m ((trunc R n) ((C σ R) a)) = MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.C a)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some '' Set.Ioo a b = Set.Ioo ↑a ↑b
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) } then { byteIdx := utf8Len m₁ } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
t : Set ℝ≥0
h : t.OrdConnected
⊢ (Real.toNNReal ⁻¹' t).OrdConnected
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).2 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true
⊢ List.takeWhile p (x :: l) = []
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
⊢ (ofRowLens w hw).rowLens.length = w.length
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
this : (sum fun a => #{ x // r x ↑a }) < prod fun x => #α
⊢ #α < #α ^ (type r).cof
v : ℤ
hv : 0 < v
⊢ 0 < ↑v ∧ 0 < 2 * ↑v - 1
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ ↑(Submonoid.closure s) = List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x : α
y : β
⊢ x ≤ e.symm y ↔ e x ≤ y
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom = RingHom.ker f.toRingHom
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red (FreeAddGroup.negRev L₁) (FreeAddGroup.negRev L₂) ↔ FreeAddGroup.Red L₁ L₂
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n
⊢ ⟨(append ⟨val✝, property✝⟩ ⟨[x], ⋯⟩).toList.reverse, ⋯⟩ = ⟨x :: val✝.reverse, ⋯⟩
⊢ Set.InjOn Int.natAbs (Set.Iic 0)
M : Type u
⊢ Function.Injective (@RightCancelMonoid.toMonoid M)
Y : Type v
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
DecidableEq ι
l : Filter Y
f : Y → (i : ι) → π i
x : (i : ι) → π i
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
i : ι
g : Y → π i
xi : π i
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 xi)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => Function.update (f a) i (g a)) l (𝓝 (Function.update x i xi))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h✝ : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
i : ι
_hi : i ∈ univ
j : ι
_hj : j ∈ univ
h : i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
⊢ ∃ i j, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
⊢ S.arrows fun x_1 => x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ ∀ {X_1 Y : Cᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y) (g : { g // S.arrows g }),
  ↑(S.functor.map f g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop ↑g
α : Type u
Add α
MulOneClass α
RightDistribClass α
a b : α
⊢ (a + 1) * b = a * b + b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Function.Injective ⇑(Algebra.lmul R A)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ {g | ∀ x ∈ s, ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f x, (UniformOnFun.toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ 𝓝 f
X : Type u_1
p : OnePoint X → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ p OnePoint.infty ∨ ∃ x, p ↑x
α : Type u_2
Add α
⊢ ⇑Set.singletonAddHom = singleton
M : Type u_1
X : Type u_2
SMul M X
TopologicalSpace X
self : ProperConstSMul M X
c : M
⊢ IsProperMap fun x => c • x
E : Type u_9
self : NormedAddCommGroup E
x y : E
⊢ dist x y = ‖x - y‖
α : Type u_3
β : Type u_4
Add α
Add β
f : AddHom α β
I : Type u_5
h : I → α
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
ι : Sort u_1
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X ↔ ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith 1 l g' fun x => (f' x, g' x)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑0) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑0) f s
hC : ∀ i ≤ 0, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ 0 → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑0! * C * D ^ 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s t : Set ι
f : ι → α
⊢ (s ∪ t).PairwiseDisjoint f ↔
  s.PairwiseDisjoint f ∧ t.PairwiseDisjoint f ∧ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → i ≠ j → Disjoint (f i) (f j)
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
⊢ q ∈ insert p s
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : Differentiable 𝕜 g
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = fderiv 𝕜 g x
x : E
hfgx : f x = g x
⊢ f = g
a : Ordinal.{u_1}
b c : Ordinal.{u_1}
⊢ b ♯ a ≤ c ♯ a ↔ b ≤ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.sub h').h₃ = h.h₃ - h'.h₃
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : M → Prop
hs : closure s = ⊤
x : M
H1 : p 1
Hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → p x → p (x * y)
this : x ∈ closure s
⊢ p x
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂
⊢ (m, 0) + (0, n) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
⊢ let_fun this := Part.noneDecidable;
⊤.toWithTop = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
i : ι
hi : t i ≠ ⊥
⊢ Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => Real.log (f x)) μ a b
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G →+ H
s : Set G
⊢ AddSubgroup.map f (AddAction.stabilizer G s) ≤ AddAction.stabilizer H (⇑f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Iio a)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ↑e.toPartialHomeomorph = ⇑e
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
p : X' × Y'
⊢ ↑(eX.prod eY).symm p = (↑eX.symm p.1, ↑eY.symm p.2)
n : ℕ
x r : ℝ
⊢ Real.expNear (n + 1) x r = Real.expNear n x (1 + x / (↑n + 1) * r)
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
k : ℤ
h : k + k ≠ 0
⊢ 0 < a ^ (k + k) ↔ a ≠ 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K₁ ≤ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
h : ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a a_1 univ = 1
x : γ
hx : ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a x univ = 1
⊢ κ.density κ.fst a x univ = 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
x : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → f ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i)) → single i b + f ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det = A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < finrank R M ↔ 0 < ↑(finrank R M)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d ((homogeneousComponent n) φ) = if (weight 1) d = n then coeff d φ else 0
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
⊢ ⁅x, 0⁆ = 0
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]
q : ↥K[X]⁰
⊢ RatFunc.mk p ↑q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p q }
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ QuotientMap ⇑DomMulAct.mk.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁ ×ˢ t ⊆ s₂ ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal
R : Type u_7
ι : Type u_8
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_9
ℬ : ι → Type u_10
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
⊢ TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ =
  TensorProduct.curry
    (TensorProduct.map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ
      ↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm ∘ₗ
        LinearMap.lTensor (⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            (↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ
              LinearMap.rTensor (⨁ (i : ι), ℬ i) ↑(TensorProduct.gradedComm R ℬ 𝒜) ∘ₗ
                ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ)).symm) ∘ₗ
          ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)))
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList
⊢ q ∈ insert p s
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α
⊢ ↑a⁻¹ * (↑a * b) = b
N : ℕ
hN : 2 ≤ N
⊢ 0 < Behrend.nValue N
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f₂ ↔ Differentiable 𝕜 f₂ ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ (deriv f₂)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : supDegree D p ≤ D ap
hq : supDegree D q ≤ D aq
⊢ (p * q) (ap + aq) = p ap * q aq
R : Type u
Field R
p : R[X]
h : p.degree = 1
⊢ ∃ x, p.IsRoot x
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
ϕ : τ → α' → β
f : Filter τ
g : α → α'
⊢ ω f ϕ (g '' s) = ω f (fun t x => ϕ t (g x)) s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
s : Finset α
i j : α → ℕ
is_prime : ∀ p ∈ s, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
⊢ f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialEquiv X Y
h : e.toPartialEquiv = e'
⊢ e.replaceEquiv e' h = e
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ (∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α ↪ β
DecidablePred fun x => x ∈ Set.range ⇑f
g : α → M
⊢ (∑ᶠ (b : β), if h : b ∈ Set.range ⇑f then g (Classical.choose h) else 0) = ∑ᶠ (a : α), g a
α : Type u
self : PseudoEMetricSpace α
x : α
⊢ edist x x = 0
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : f (p.coeff 0) = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
A : p = C (p.coeff 0)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
⊢ (a₁, a₂).2 ∈ ball (a₁, a₂).1 (T ↑a ⋯)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.normalCore = ⨆ N, ⨆ (_ : N.Normal), ⨆ (_ : N ≤ H), N
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ
⊢ StrongConvexOn s 0 f ↔ ConvexOn ℝ s f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V
⊢ (∀ (φ : Dual K V), φ v = 0) ↔ ∀ (x : Dual K V), ((eval K V) v) x = 0 x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
⊢ x ∈ PiNat.cylinder y (PiNat.firstDiff x y)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
⊢ k ≤ k * (n / k)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
x : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ ×ₖ η).snd x) s✝ = (η x) s✝
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
x : ↑(ofOpenSubsets U).glued
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) x ∈ t
z : ℂ
⊢ abs z ^ 2 - z.re ^ 2 = z.im ^ 2
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.reverse 0 = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230577, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ
⊢ (lift (inr φ) (-(Cocycle.ofHom φ).leftShift 1 1 rotateHomotopyEquiv.proof_3) (-(inl φ).leftShift 1 0 rotateHomotopyEquiv.proof_4) ⋯).f p ≫ (triangle (inr φ)).mor₃.f p = -φ.f (p + 1)
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
p : Polynomial K
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ((Polynomial.aeval f) p) x = Polynomial.eval μ p • x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
val✝ : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
property✝ : val✝ ∈ U
⊢ (stalkToFiberRingHom R ↑⟨val✝, property✝⟩) (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨val✝, property✝⟩) s) = ↑s ⟨val✝, property✝⟩
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
s t : Set α
⊢ (s + t)⋆ = s⋆ + t⋆