ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
OrderedRing 𝕜
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑((stdSimplexEquivIcc 𝕜).symm x) = ![↑x, 1 - ↑x]
n : ℕ
h : ∀ (i : ℕ), n.testBit i = false
⊢ n = 0
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
a b : α
⊢ (a, b) ∈ G.interedges s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ G.Adj a b
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η
⊢ F.map₂ η ≫ F.map₂ (inv η) = 𝟙 (F.map f)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
hx : ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
⊢ Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_5
β : Type u_6
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ Function.support ↑f ∈ 𝓝 c
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
t : Set β
⊢ upperClosure (s ×ˢ t) = upperClosure s ×ˢ upperClosure t
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
⊢ b ≤ 1
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
Group H
TopologicalSpace H
TopologicalGroup H
f : G →* H
emb : OpenEmbedding ⇑f
⊢ NonarchimedeanGroup H
a b c : Nat
h : a + b ≤ a + c
⊢ b ≤ c
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
f : ι₁ → ↥M'
hf : LinearIndependent R f
g : ι₂ → M
hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)
x : M
h₁ : x ∈ span R (range fun x => ↑(f x))
h₂ : x ∈ span R (range g)
this : x ∈ M'
⊢ x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
Z : C
h : { h // CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h }
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.homIso ht Z).symm h = ↑(CategoryTheory.Limits.Cofork.IsColimit.desc' ht ↑h ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty
hs : 𝒜.sup' h𝒜₀ toColex ∈ ofColex ⁻¹' ↑𝒜
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜 ↔ t ∈ initSeg (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Ι a b
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
x y : ℝ
⊢ Set.Ioo x y = Metric.ball ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
q : ℕ+
n : ℤ
⊢ (↑n).1 = ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
k : D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (F.flip.obj k).map f = (F.map f).app k
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
CommRing Aₘ
Algebra A Aₘ
IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ ¬IsField Aₘ
n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑n = 0
α : Type u
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
z : α × β
i : ℕ
⊢ (l₁.zip l₂)[i]? = some z ↔ l₁[i]? = some z.1 ∧ l₂[i]? = some z.2
ε : Type u_1
⊢ ∀ {α : Type u_2} {p : α → Prop} {x : Except ε α}, SatisfiesM p x ↔ ∀ (a : α), x = Except.ok a → p a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
DecidableEq M
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ =
  ∑ d ∈ Finset.filter (fun d => (Finsupp.weight w) d = n) φ.support, (MvPolynomial.monomial d) (MvPolynomial.coeff d φ)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
One M
ConditionallyCompleteLattice M
Nonempty ι
f : ι → α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => ⨆ i, f i x) ⊆ ⋃ i, Function.mulSupport (f i)
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ y
⊢ ContinuousAt (fun z => z ^ y) x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
s : Set A
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ ↑(adjoin R s)
x y : A
hx : D1 x = D2 x
hy : D1 y = D2 y
⊢ D1 (x * y) = D2 (x * y)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
⊢ LinearIndependent R (v ∘ f)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1
⊢ P.f_modif (1 / 1) = (P.ε * ↑(1 ^ P.k)) • P.g_modif 1
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)
⊢ ∀ (y : Y₂), g₂₃ y = 0 → y ∈ Set.range ⇑g₁₂
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b < 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 < a
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Red L₂ (FreeAddGroup.reduce L₁)
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
e : { j // j ∈ Finset.univ } ≃ δ := subtypeUnivEquiv ⋯
x : (i : δ) → π i
⊢ (∫⁻ (y : (i : { x // x ∈ Finset.univ }) → π ↑i), f fun i => if hi : i ∈ Finset.univ then y ⟨i, hi⟩ else x i ∂Measure.pi fun i => μ ↑i) = ∫⁻ (a : (b : { j // j ∈ Finset.univ }) → π (e b)), f ((MeasurableEquiv.piCongrLeft π e) a) ∂Measure.pi fun i' => μ (e i')
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1
⊢ orderOf (f ζ) ∣ l
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (y - r • x)).sign = (o.oangle x y).sign
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified K w
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
e : M ≃+ M₂
e₂ : M₂ ≃+ M₃
⊢ e.toNatLinearEquiv ≪≫ₗ e₂.toNatLinearEquiv = (e.trans e₂).toNatLinearEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
c : Option γ
δ' : Type u_7
ε : Type u_8
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ Option.map₂ f (Option.map₂ g a b) c = Option.map₂ g' (Option.map₂ f' a c) b
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ nndist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ‖(symmDiff s t).mulIndicator f x‖₊
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x < ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'
⊢ map (↑h) I⁻¹ = (map (↑h) I)⁻¹
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b
⊢ sSup {a_1 | IsAtom a_1 ∧ a_1 ≤ a} ≤ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b}
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 1 ≤ c ↔ c ≠ 0
n : ℕ
⊢ fib (n + 2) - fib (n + 1) = fib n
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist ((f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) z₀ ≤ ε
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ gcd x y ∈ {gcd x y}
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.content = (Finset.range p.natDegree.succ).gcd p.coeff
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
n : ℕ
h : (-1) ^ n = -1
⊢ (-1) ^ (n + 1) = 1
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Tendsto (fun x => x ^ y) atTop atTop
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s + closure t = s + t
X : Type u
Y₁ Y₂ : Type u
f : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk Prod.fst (Prod.snd ≫ f)).pt),
  (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductFunctor.obj X).map f a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimit X Y₂).lift
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk Prod.fst (Prod.snd ≫ f)) a
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Finset α
a : α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b < a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
c : M'
x : M
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' c) ∘ (fun x => c) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ map f ⊤ = 𝓟 (range f)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ re ⁻¹' {0, 1}
⊢ ‖F f ε z‖ ≤ 1
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W
⊢ HasFDerivAt (fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))) ((-2 * ↑π * Complex.I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • Complex.ofRealCLM.comp (L.flip w)) v
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
⊢ ∀ (a : ↥S.leftInv), S.fromCommLeftInv a = S.fromLeftInv a
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
⊢ n ∈ Finset.image (fun x => match x with | (s, m) => m ^ 2 * s.prod id) (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
X : C
⊢ F.leftOpRightOpIso.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
K : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
faces : Set (Finset E)
subset : faces ⊆ K.faces
down_closed : ∀ {s t : Finset E}, s ∈ faces → t ⊆ s → t ∈ faces
⊢ (K.ofSubcomplex faces subset down_closed).faces = faces
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (range ↑I) (f t)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ i x ∈ perfectClosure F K ↔ x ∈ perfectClosure F E
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : IsOfFinOrder a
⊢ ‖a‖ = 1
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
⊢ IsCompact t
⊢ BddDistLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddDistLat DistLat = CategoryTheory.forget₂ BddDistLat DistLat ⋙ DistLat.dual
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β
⊢ (List.ofFn f).sum = ∑ i : Fin n, f i
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
⊢ (σ ↑a)⁻¹ = σ ↑a⁻¹
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G
key : 1 * g * φ g = 1
⊢ φ g = g⁻¹
b : ℕ
hb : b > 0
a : ℕ
ha : a + 1 + 1 ≠ 0
h : (a + 1 + 1).primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList
⊢ b = (a + 1 + 1).primeFactorsList.prod * (b.primeFactorsList.diff a.succ.succ.primeFactorsList).prod
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
this : ∀ (x : AddCircle T), ‖(fourier n) x‖ = 1
⊢ ⨆ x, 1 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring 𝕜
StarRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
NormedStarGroup E
Module 𝕜 E
StarModule 𝕜 E
⊢ (starₗᵢ 𝕜).toContinuousLinearEquiv = starL 𝕜
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l' ++ take (n % l'.length) l'
hle : l.length = l'.length
hd : drop (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l'
ht : take (n % l.length) l = take (n % l'.length) l'
⊢ l = l'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : CategoryTheory.GradedObject (I₁ × I₂) C
d₁ : (i₁ i₁' : I₁) → (i₂ : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁', i₂)
d₂ : (i₁ : I₁) → (i₂ i₂' : I₂) → X (i₁, i₂) ⟶ X (i₁, i₂')
shape₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁), ¬c₁.Rel i₁ i₁' → ∀ (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ = 0
shape₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), ¬c₂.Rel i₂ i₂' → d₂ i₁ i₂ i₂' = 0
d₁_comp_d₁ : ∀ (i₁ i₁' i₁'' : I₁) (i₂ : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₁ i₁' i₁'' i₂ = 0
d₂_comp_d₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' i₂'' : I₂), d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₂ i₁ i₂' i₂'' = 0
comm : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ i₂' : I₂), d₁ i₁ i₁' i₂ ≫ d₂ i₁' i₂ i₂' = d₂ i₁ i₂ i₂' ≫ d₁ i₁ i₁' i₂'
⊢ (HomologicalComplex₂.ofGradedObject c₁ c₂ X d₁ d₂ shape₁ shape₂ d₁_comp_d₁ d₂_comp_d₂ comm).toGradedObject = X
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → BddAbove c
⊢ ∃ m, ∀ (a : α), m ≤ a → a ≤ m
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
x : AdicCompletion I (DirectSum ι fun j => M j)
j : ι
⊢ (DirectSum.component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((AdicCompletion.sumInv I M) x) =
  (AdicCompletion.map I (DirectSum.component R ι M j)) x
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(sInf s) = sInf (toReal '' s)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
hconn : G.Preconnected
u v : V
⊢ Nonempty (G.Walk u v)
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
hv : v ∈ Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ ‖v‖ ≤ ‖f‖
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)
i j : ι
y : L i
x : L j
⊢ (toAddMonoid fun i => (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : PreOneHypercover S
inst✝ : E.HasPullbacks
mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S
mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂
⊢ E.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves W
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ μ (f ⁻¹' s) = ν (g ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ (f.extend I).target ∈ 𝓝[Set.range ↑I] ↑(f.extend I) y
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
V : Type u
Quiver V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F : V ⥤q C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Paths V} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Quiv.lift F).map f = CategoryTheory.composePath (F.mapPath f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
x y : Class
h : Set.Nonempty x
⊢ y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z