ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ Surjective ⇑f.rangeRestrict
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
I₁ : CategoryTheory.Functorial F
I₂ : CategoryTheory.LaxMonoidal F
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.of F).ε = CategoryTheory.LaxMonoidal.ε
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : (Polynomial.aeval x) P = 0
⊢ Function.IsFixedPt P.newtonMap x
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
f : γ → α
e : α ≃o β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => e (f x)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : FiniteDimensional.finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
⊢ (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
α : Type u
f : Ultrafilter α
g : Filter α
⊢ Disjoint (↑f) g ↔ ¬↑f ≤ g
a : ℝ
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Set.Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 0)
hgbot : Filter.Tendsto g Filter.atBot (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) Filter.atBot l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atBot l
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : x ≠ y
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac x ≠ MeasureTheory.Measure.dirac y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j : CategoryTheory.ConnectedComponents J
⊢ (CategoryTheory.inclusion j).comp (CategoryTheory.decomposedTo J) = CategoryTheory.Component.ι j
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : IsOpen U
hK₀ : ↑K₀ ⊆ U
⊢ 1 ≤ (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
⊢ Set.RightInvOn f g (Set.range g)
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
h₁ : RePred p
h₂ : RePred fun a => ¬p a
k : α →. Bool
pk : Partrec k
hk : ∀ (a : α) (x : Bool), x ∈ k a ↔ x ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p a) fun x => Part.some ()) ∨ x ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) a) fun x => Part.some ())
n : α
⊢ (fun a => decide (p a)) n ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p n) fun x => Part.some ()) ∨ (fun a => decide (p a)) n ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) n) fun x => Part.some ())
a b c d : Prop
h₀ : c → a
h₁ : b → d
⊢ (a → b) → c → d
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a✝ : α
⊢ (toFinsupp (s ∩ t)) a✝ = (toFinsupp s ⊓ toFinsupp t) a✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.unop.φQ = ψ.φK.unop
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : ↥K →ₐ[F] L), σ.fieldRange ≤ K
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h' : Commute x y
h : x ≠ y
n : ℕ
this : x - y ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ n) / (x - y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : (i : ι) × α i
b : (i : ι) × β i
⊢ (sigmaLift f a b).Nonempty ↔ ∃ (h : a.fst = b.fst), (f (h ▸ a.snd) b.snd).Nonempty
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Mono (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 4 ⋯)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (Y _[n]) = 𝟙 (X _[n]) ≫ f.app (op [n])
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
i : P.vars
⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) ((Hom.id P).val i) = LinearMap.id (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) (X i))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b ⊔ a ∆ b = a ⊔ b
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.unop.left = ψ.right.unop
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source
⊢ (e.trans' e' h).source = e.source
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
a : α
h : i < (l.set i a).length
⊢ (l.set i a).get ⟨i, h⟩ = a
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
x✝ : ι
⊢ (b.repr (fract b (fract b m))) x✝ = (b.repr (fract b m)) x✝
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ((insert i s).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioi 0), 0 ≤ g t
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ =
  ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this✝ : abs x ≠ 0
this : abs y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = (x / y).re / abs (x / y)
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ((fun z => (1, z.1 * z.2)) ⁻¹' univ ×ˢ s)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
⊢ f (Function.update m i 0) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
⊢ HasProd f 1 ↔ f = 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f✝ f g : α → Option α
a : α
l : List α
H : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → f a_1 = g a_1
H₁ : f a = g a
H₂ : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x
⊢ lookmap f (a :: l) = lookmap g (a :: l)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hx : g x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) s x
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : SeparationQuotient α → β
⊢ UniformContinuous f ↔ UniformContinuous (f ∘ SeparationQuotient.mk)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
⊢ HasStrictFDerivAt Φ Φ' x ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') x
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ 0 * rexp (-x ^ p)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
⊢ (NonUnitalRingHom.id β).comp f = f
n : ℕ
⊢ IsClosed (preCantorSet n)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ F.interUnionPullbackConeLift U V s ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β
h : s ⊆ t
⊢ f.preimage s ⊆ f.preimage t
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
LT α
a b : WithBot α
ha : ⊥ < a
hb : ⊥ < b
⊢ ⊥ < a * b
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
hU : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π₁.unionComplToSubordinate π₂ hU r).iUnion = ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ
⊢ decode₂ α n ≠ none ↔ n ∈ Set.range encode
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ mrange (inl M N) ⊔ mrange (inr M N) = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
⊢ (ᘁ𝟙 X) = 𝟙 ᘁX
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t✝ : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
s t : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x ≤ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f‖ = ⨆ x, ‖f x‖
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'
_i5 : IsNoetherian R ↥L'
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : K ∈ s
hK₂ : ∀ x ∈ s, ¬x > K
hK₃ : K = ⊤
⊢ ⊤ ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f
⊢ ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.inv.hom₃ ≫ e.hom.hom₃ = 𝟙 B.obj₃
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0
⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = j
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
⊢ ∀ (n : ℕ), (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X Y : C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set ι
this : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)
⊢ AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅
⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
H : B.IsRefl
x y : M
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho y x
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ↑p ^ (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n = (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det
⊢ A'.det • A'.adjugate.adjugate = A'.det • A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s = s ∪ frontier s
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r : ℝ
⊢ y ∈ Metric.closedBall x r ↔ x ∈ Metric.closedBall y r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : CategoryTheory.Limits.kernel.ι f = 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
DecidableEq ι
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.det f = ∏ i : ι, ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f i⟫_𝕜
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
X : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ closure F
⊢ 1 ≤ (thickenedIndicator δ_pos F) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
⊢ IsBounded (∅ ×ˢ t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded ∅ ∧ IsBounded t
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p✝ : γ → δ → Prop
r p : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
hst : Rel r s t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, r a b → p a b
⊢ Rel p s t
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
⊢ ↑(map f (H ⊓ K)) = ↑(map f H ⊓ map f K)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ CompactSpace ↑(spectrum R a)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph (Fintype.card V) r
⊢ G.IsTuranMaximal r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ α.inv.app X ≫ α.hom.app X = 𝟙 (G.obj X)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
sol1 : y < a → False
sol2 : b < y → False
⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y
⊢ Real.negMulLog = fun x => -x * Real.log x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ σ.support.card = 3
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
s : SubMulAction M α
⊢ Function.Injective ⇑s.inclusion
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0
⊢ log x / log b * log b = log x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
⊢ (∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t) → ∀ ⦃a : α⦄, ∀ x ∈ s, x ≤ a → a ∉ t
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ (f / g).NeBot → f.NeBot
α : Type u
β : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : β → α
hf : Monotone f
⊢ Antitone fun x => -f x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
self : P₁ ≃ᵃ[k] P₁
⊢ AffineEquiv.linearHom self = self.linear
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
inst✝ : l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {c a b : List α}, x :: c = a ++ b ↔ a = [] ∧ b = x :: c ∨ ∃ a', a = x :: a' ∧ c = a' ++ b
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).deleteEdges s' = G'.deleteEdges (s ∪ s')
R : Type u_1
L : Type u_2
Field R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
⊢ (killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (LieDerivation.ad R L).range.toSubmodule =
  killingForm R ↥(LieDerivation.ad R L).range
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
h✝ : Nonempty α
⊢ ∀ (x : X → α), (∃ U, ↑U ≤ ⊤ ∧ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (↑U) (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) x))) → (⋃₀ 𝔖).restrict x ∈ (⋃₀ 𝔖).restrict '' range F
α β : Type u
m n : ℕ
⊢ ↑(m ^ n) = ↑m ^ ↑n
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
ι : Type
Fintype ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (AdicCompletion.secondRow I M f).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAnti f
⊢ f '' Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioo (f b) (f a)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.177771, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
φ₁✝ φ₂✝ φ₃ φ₄ : S₁✝ ⟶ S₂✝
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm