ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = (b.repr 0) i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Add X
ContinuousAdd X
a₁ b₁ a₂ b₂ : X
γ₁ : Path a₁ b₁
γ₂ : Path a₂ b₂
t : ↑I
⊢ (γ₁.add γ₂) t = γ₁ t + γ₂ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
⊢ a = aG ∧ b = bG
α✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_5
l : Filter α
f : α → ↥(Lp E p ν)
f₀ : ↥(Lp E p ν)
g : α → C(X, Y)
g₀ : C(X, Y)
hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)
hg : Tendsto g l (𝓝 g₀)
hgm : ∀ (a : α), MeasurePreserving (⇑(g a)) μ ν
hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν
hp : p ≠ ⊤
this : Tendsto (fun gf => (Lp.compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1) (𝓝 (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩)) (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving ⇑↑(f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).2 ⋯) (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).1))
⊢ Tendsto (fun a => (Lp.compMeasurePreserving ⇑(g a) ⋯) (f a)) l (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving (⇑g₀) hgm₀) f₀))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
y : { x // x ∈ t }
⊢ (Equiv.Finset.union s t h) (Sum.inr y) = ⟨↑y, ⋯⟩
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : Monoid.PushoutI φ →* K
⊢ ↑(Monoid.PushoutI.homEquiv f) = (fun i => f.comp (Monoid.PushoutI.of i), f.comp (Monoid.PushoutI.base φ))
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (Matrix.toLin' (SimpleGraph.lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g : β →*₀ γ
f₁ f₂ : α →*₀ β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
⊢ (pullbackSymmetry ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.snd (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ≫ pullback.snd (𝒰.map i.fst) f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β' : Type u_10
uα : UniformSpace α
u : κ → UniformSpace β'
F : ι → β' → α
S : Set β'
k : κ
hk : UniformEquicontinuousOn F S
⊢ UniformEquicontinuousOn F S
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i → β i
x : (i : ι) → β i
hx : x ∈ univ.pi fun i => range (f i)
⊢ x ∈ range fun g i => f i (g i)
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
MulOneClass R
NatPowAssoc R
r : R
⊢ Ring.multichoose r 1 = r
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : μ j = 0
⊢ ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) j = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∉ p.support
⊢ p.content ∣ p.coeff n
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
a : Filter β
f : β → α
⊢ Filter.Tendsto f a 0 ↔ ∀ᶠ (x : β) in a, f x = 0
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ' : IsIso (homologyMap φ' i)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ') i)
⊢ IsIso (homologyMap φ i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ EMetric.diam (Set.range ⇑f) = EMetric.diam Set.univ
⊢ ∀ (x : ℝ),
  Real.inv' x =
    match x with
    | { cauchy := a } => { cauchy := a⁻¹ }
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
⊢ χ ↑x ^ p = χ ↑x
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ Memℒp f p μ'
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s
x : ↥s
this : e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs
⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs ∈ G ∧ ((chartAt H ↑x).subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ‖↑p‖ = (↑p)⁻¹
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ ∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) (f i)) → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) (⋃ i, f i)
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
s : ↥S
m : M
⊢ r • LocalizedModule.mk m s = LocalizedModule.mk (r • m) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
⊢ ⟪l.sum fun i a => a • v i, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).cauchy = ↑q
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite
⊢ (f '' s).Finite
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
⊢ (∀ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ ∀ b ∈ S, ∃ a, enumOrd S a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
⊢ insert a s ∪ t = s ∪ insert a t
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
this : normalize ?refine'_1 d d0 = 0 ↔ ?refine'_1 * ↑1 = 0 * ↑d
⊢ normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hu : x ≤ Real.pi
⊢ Real.sin x = √(1 - Real.cos x ^ 2)
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset (Multiset α)
t : Multiset (Multiset β)
h : Multiset.Rel (Multiset.Rel r) s t
⊢ Multiset.Rel r s.join t.join
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
⊢ ωSup (approxChain f) ≤ Part.fix ⇑f
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
⊢ IsOpen ↑(basicOpen f)
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
⊢ upperBounds s ∪ upperBounds t ⊆ upperBounds (s ∩ t)
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
⊢ (EuclideanSpace.basisFun ι 𝕜) i = EuclideanSpace.single i 1
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
⊢ a = b
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M
⊢ Embedding ⇑(AddUnits.embedProduct M)
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ r • x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : LocallyBoundedVariationOn (f ∘ φ) s ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → variationOnFromTo (f ∘ φ) s x y = ↑l * (y - x)
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
⊢ (φ y - φ x) * ↑l' = (y - x) * ↑l
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Nontrivial R
i : ι
s : Set ι
⊢ b i ∈ Submodule.span R (⇑b '' s) ↔ i ∈ s
θ : ↑I
⊢ ↑θ + 1 ≤ 1 + 1
γ : Type w
MetricSpace γ
x : γ
⊢ Metric.sphere x 0 = {x}
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
i j : J
φ : i ⟶ j
n : ι
⊢ (F.map φ).f n ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) i ≫ 𝟙 (colimit (F ⋙ eval C c n))
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)
hx' : IsUnit ⟨star x * x, ⋯⟩
⊢ ↑hx.unit⁻¹ = ↑↑hx'.unit⁻¹
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
⊢ 0 = Polynomial.eval (a + (z' - a)) F
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (cs.leftInvSeq ω).length = ω.length
J : Type u
inst✝⁴ : SmallCategory J
F✝ : J ⥤ TopCat
F : J ⥤ TopCat
inst✝³ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝² : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F.obj j)
inst✝¹ : ∀ (j : J), CompactSpace ↑(F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
⊢ Nonempty ↑(limitCone F).pt
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑m - x)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
x : ℝ
⊢ x.smoothTransition ≤ 1
R : Type u
Ring R
⊢ ↑⊥ = Set.range Int.cast
L : Language
L' : Language
M✝ : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M✝
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M✝
xs✝ : Fin l → M✝
inst✝ : Nonempty M✝
φ : L.BoundedFormula α n
M : ∅.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (φ ⇔ φ.toPrenex).Realize v xs
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => |x| ^ s * rexp (-a * |x| ^ 2)) (cocompact ℝ) (𝓝 0)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
⊢ ⋃ i, ⋃ (hi : p i), Ioc a (f i hi) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, ∃ (hi : p i), x ≤ f i hi
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddBelow s
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
h : ∏ x ∈ s, f x ≠ 1
⊢ ∃ a ∈ s, f a ≠ 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ p₃ ≠ p₂
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : P f
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
⊢ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α ⊕ β) = Filter.map (Prod.map Sum.inl Sum.inl) (𝓤 α) ⊔ Filter.map (Prod.map Sum.inr Sum.inr) (𝓤 β)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.offDiag.Nonempty
⊢ (↑s).infsep = s.offDiag.inf' hs (uncurry dist)
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
⊢ x.toReal = y.toReal ↔ x = y ∨ x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Zero R
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
g : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hgtends : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) 1 μ) Filter.atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ f n =ᵐ[μ] μ[g|↑ℱ n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
⊢ False
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
A : (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x ≤ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] 1) x
⊢ y D x ≤ 1
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup N
⊢ f.ker ≤ Subgroup.comap f H
⊢ ∀ {β : Type u_1} {s₁ s₂ : β → β → Prop} {α : Type u_2} {r : α → α → Prop} {x y : α ⊕ β},
  (∀ (a b : β), s₁ a b → s₂ a b) → Sum.Lex r s₁ x y → Sum.Lex r s₂ x y
x y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x.Fuzzy y₁ ↔ x.Fuzzy y₂
α : Type u
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
l : List α
⊢ List.Forall p l → List.Forall q l
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖f x‖ / ‖x‖ ≤ ‖f‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hf : Tendsto f l atTop
b : β
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a) b
⊢ False
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ (LieDerivation.ad R L).IsIdealMorphism
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iInf f).toReal = ⨅ i, (f i).toReal
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
i : ↑I
⊢ eval ↑i ⁻¹' s ↑i ∈ comap (eval ↑i) (f ↑i)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ρ.asAlgebraHom ((of k G) g) = ρ g
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q
s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}
o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)
u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n
w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n
m n : ℕ
⊢ μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : iIndep m κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ IsPiSystem (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ - φ').τ₃ = φ.τ₃ - φ'.τ₃
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr' : ↑r < 1
hr : ↑r < 1
⊢ Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 0)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ (p ^ n).natDegree = n * p.natDegree
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
hcont : ContinuousOn Real.log (Real.exp '' spectrum ℝ a)
⊢ log (exp ℝ a) = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.comonFunctorCategoryEquivalence C D).counitIso =
  CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.counitIso
⊢ ((fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) (fun x x_1 => x ∧ x_1) fun x x_1 => x ∧ x_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app (F.obj x) = adj2.unit.app x
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep f
⊢ s.attach.SupIndep fun a => f ↑a
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddMonoidWithOne α
d : ℕ
d.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat d)ᵀ = OfNat.ofNat d
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
⊢ Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) atTop (𝓝 (∑ x : α, 0))
n : Nat
i j : Fin n
⊢ i.rev = j.rev ↔ i = j
α : Type u_1
Mul α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ min a b ≤ max c d
k₁ k₂ : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : SlashInvariantForm Γ k₁
g : SlashInvariantForm Γ k₂
⊢ ⇑(f.mul g) = ⇑f * ⇑g
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
G : Type u_1
Group G
a b : G
n m : ℤ
⊢ a * b ^ n * b ^ m = a * b ^ (n + m)
a b : UInt64
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a