ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this✝ : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
hU' : π.iUnion = (π₀.biUnionTagged πi).iUnion
this : dist (integralSum f vol π) (integralSum f vol (π₀.biUnionTagged πi)) ≤ ε + δ'
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a a' : α
s' : Stream'.WSeq α
⊢ some (a', s') ∈ s.destruct → (a ∈ s ↔ a = a' ∨ a ∈ s')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
⊢ CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
ho : IsOpen s
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a, f a ∈ s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
A : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
inst✝¹ : HasShift D A
inst✝ : F.CommShift A
this : G.CommShift A := ofIso e A
a : A
⊢ (iso a).hom ≫ whiskerRight e.hom (shiftFunctor D a) = whiskerLeft (shiftFunctor C a) e.hom ≫ whiskerLeft (shiftFunctor C a) e.inv ≫ (iso a).hom ≫ whiskerRight e.hom (shiftFunctor D a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
f : α ↪o β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
a₁ a₂ : α
h : Disjoint (f a₁) (f a₂)
x : α
h₁ : f x ≤ f a₁
h₂ : f x ≤ f a₂
⊢ f x ≤ f ⊥
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ P.toPoly.coeff n = 0
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
Q : M
⊢ ↑Pᶜ * Q = Q - ↑P * Q
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ decomposeFin.symm (p, Equiv.refl (Fin n)) = swap 0 p
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = 1
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1
α : Type u
TopologicalSpace α
s u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsv : (s ∩ v).Nonempty
hs : IsPreconnected s
⊢ s ⊆ v
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ IsOpen {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y}
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
hv : 0 ∈ ball 0 r
⊢ 0 ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
b : β
a : α
⊢ ↑((MulAction.orbitEquivQuotientStabilizer α b).symm ↑a) = a • b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.post F G ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ G) j =
  G.map (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)
⊢ 𝓝 ⊤ = ⨅ r, 𝓟 (Set.Ioi ↑r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y
⊢ (x₁, y₁) ⤳ (x₂, y₂) ↔ x₁ ⤳ x₂ ∧ y₁ ⤳ y₂
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ →ₐ[R] B) (a_1 : A), (AlgHom.opComm.symm a) a_1 = MulOpposite.op (a (MulOpposite.op a_1))
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
hy : ¬f y = y
j : ℤ
hj : (f ^ (j - i)) x = y
⊢ False
M : Type u_1
Group M
S : Submonoid M
⊢ S.leftInv = S⁻¹
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : i > 0), f i = ⨅ i, f (i + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ f a b ∈ upperBounds (Set.image2 f s t)
α : Type u_1
s : Multiset α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Multiset.filter (fun a => p ↑a) s.attach = Multiset.map (Subtype.map id ⋯) (Multiset.filter p s).attach
α : Type u
f : Filter α
⊢ Monotone fun s => s ∈ f
n m : ℕ
⊢ n.pred - m = (n - m).pred
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
⊢ (ContinuousMap.id α) a = a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
⊢ a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a
α : Type u_1
l : List α
⊢ (Multiset.powersetAux l).revzip.Perm (Multiset.powersetAux' l).revzip
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A ≤ firstDiff x y
⊢ x ∈ cylinder y (Nat.find A)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
EquivLike F α β
Add α
Add β
AddEquivClass F α β
⊢ Function.Injective AddEquivClass.toAddEquiv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T S : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
hS : S.IsSymmetric
x y : E
⊢ ⟪(T + S) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (T + S) y⟫_𝕜
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hRA : FiniteType R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
⊢ ⊤.FG
b : Basis (Fin 1) ℤ (𝓞 ℚ) := (Basis.singleton (Fin 1) ℤ).map ringOfIntegersEquiv.toAddEquiv.toIntLinearEquiv.symm
⊢ discr ℚ = 1
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
x y : α
⊢ f x ≠ f y → x ≠ y
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Red L₂ (FreeGroup.reduce L₁)
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
this : ∀ (a : T), (C.d i j ≫ C.d j k).app a = NatTrans.app 0 a
⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ⊓ (b ⊓ c) = b ⊓ (a ⊓ c)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ s.center p₂ p₁
C : Type v
CommMonoid C
n : ℕ
NeZero n
ζ : C
hζ : ζ ^ n = 1
a : ZMod n
⊢ (AddChar.zmodChar n hζ) a = ζ ^ a.val
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, (z * k_1 + ↑↑k) • p = z • r
α : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
inst✝¹⁴ : Nonempty κ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : UniformSpace E
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : UniformAddGroup E
inst✝³ : UniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
⊢ ∀ (i : κ), BddAbove (range fun k => (q i).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k)))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) (traceDual A (FractionRing A) I) = (Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) I)ᵛ
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hb : orderOf b = n
hab : a ∈ ball b δ
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
NatCast α
m : ℕ
⊢ (Matrix.diagonal fun x => ↑m) = ↑m
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
⊢ Nat.card ↑(Subtype.val '' ↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))) = p ^ (n + 1)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1
⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → FiniteMeasure Ω
ν : FiniteMeasure Ω
lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(νs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν))
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ ∀ (f_1 : Ω' →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑((νs i).map f)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑(ν.map f)))
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : CuspForm Γ k
z : ℍ
⊢ (-f) z = -f z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α
⊢ p ∈ P.parts → (¬p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ p.card = s.card / P.parts.card)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.content = 0 ↔ p = 0
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => HurwitzZeta.hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
NormalSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ (x : X), {i | x ∈ u i}.Finite
uU : ⋃ i, u i = Set.univ
⊢ ∃ v, Set.iUnion v = Set.univ ∧ (∀ (i : ι), IsClosed (v i)) ∧ ∀ (i : ι), v i ⊆ u i
α : Type u_1
Preorder α
x : α
s : Set α
⊢ x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, y < x → y ∉ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq R
⊢ IsArtinian R ↥N
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, circumcenterWeightsWithCircumcenter n i = 1
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm
this : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r
⊢ ∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : ↥(ideal R S)
⊢ ∃ a, (D R S).tensorProductTo a = (ideal R S).toCotangent x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
h : f =ᶠ[ae (μ.restrict U)] g
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
⊢ EqOn f g U
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddCommGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
MeasurableNeg G
MeasurableAdd G
NormedSpace ℝ 𝕜
f g : G → 𝕜
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜) μ x = ∫ (t : G), f (x - t) * g t ∂μ
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ ≤ induced (Pullback.lift f) inst✝
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ Set.univ = ⋃ x, ⋃ (h : p x), {⟨x, h⟩}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List (List M)
⊢ l.join.prod = (map prod l).prod
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ max (-a) (-b) = -min a b
⊢ 1 / 4 ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (List.permutations'Aux x s).length
⊢ (List.permutations'Aux x s).nthLe n hn = List.insertNth n x s
u : ℂ
hu : 0 < u.re
n : ℕ
⊢ u.betaIntegral (↑n + 1) = ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (u + ↑j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).f₁₂ = f.hom.left
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ s ⊆ ↑(Subsemiring.closure s)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
r : R
⊢ (Polynomial.C r).content = normalize r
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v).rnDeriv MeasureTheory.volume =ᵐ[MeasureTheory.volume]
  ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
⊢ μ (⋃ b, s b) = μ (⋃ b, t b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => f x - g x) s a
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
OrderTop β
l : Filter α
f g : α → β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, f x < g x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
⊢ AddSubgroup.IsComplement Set.univ {g}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ toLaurent X = T 1
α : Type ua
V : Set (α × α)
⊢ symmetrizeRel V ⊆ V
R Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
Algebra.FormallyUnramified R Sₘ
⊢ Algebra.FormallyUnramified Rₘ Sₘ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn✝ : n ≠ 0
hn : Odd n ∧ ¬Even n
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
⊢ ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 + v2 = p2 -ᵥ p1
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
Ring S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
h : IsArtinian R M
⊢ IsArtinian S M
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
inst✝ : IsEmpty ι
this : aeval x = (ofId R A).comp ↑(isEmptyAlgEquiv R ι)
⊢ Injective ⇑((ofId R A).comp ↑(isEmptyAlgEquiv R ι)) ↔ Injective (⇑(algebraMap R A) ∘ ⇑(isEmptyAlgEquiv R ι))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)
⊢ Measurable fun p => ⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
n : Fin (addOrderOf x)
⊢ (finEquivZMultiples x hx) n = ⟨↑n • x, ⋯⟩
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ AlgEquiv.refl.arrowCongr AlgEquiv.refl = Equiv.refl (A₁ →ₐ[R] A₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : UniformCauchySeqOn F p s
⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
L : Type u_1
TopologicalSpace L
Sup L
ContinuousSup L
⊢ Continuous fun p => p.1 ⊔ p.2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₂.τ₃ = -h.h₃ + (-h.h₂) ≫ S₂.g + φ₁.τ₃
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ℕ
⊢ ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 ≡ x [MOD p]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)
⊢ Type ?u.329268
k : Type u
Field k
z : AlgebraicClosureAux k
⊢ ∃ n x, (AlgebraicClosureAux.ofStep k n) x = z
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ.compProd η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a
⊢ Real.arctan 2⁻¹ + Real.arctan 3⁻¹ = Real.pi / 4
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₐc[R] B
e₂₃ : B ≃ₐc[R] C
⊢ ∀ (a : A), (e₁₂.trans e₂₃) a = ↑e₂₃ (↑e₁₂ a)
n k : ℕ
⊢ 0 < (n + 1).ascFactorial k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ < ⊤
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
⊢ (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) a = 0
ι : Type u_2
α : Type u_3
AddCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
DecidableEq ι
a : ι
h : a ∈ m
⊢ f a + (Multiset.map f (m.erase a)).sum = (Multiset.map f m).sum
α : Type u_1
n : ℤ
⊢ ↑↑n.natAbs = ↑↑n.natAbs
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
⊢ I ⊔ J = (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
⊢ (p + Polynomial.C a).degree = p.degree
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Finite ∨ s.Infinite
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! ≤ o
h : ord I (term I ho) ≤ ord I (↑↑l).head!
⊢ o ≤ ord I (↑↑l).head!
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
ι : Sort u_3
f : L.Hom M N
s : ι → L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f (iSup s) = ⨆ i, FirstOrder.Language.Substructure.map f (s i)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioc a c
⊢ Set.Ioc a c ∈ 𝓝[<] b
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Nat.Coprime on s) l
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
⊢ ↑(Nat.chineseRemainderOfList a s l co) < (List.map s l).prod
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : HasGroupoid M (contDiffGroupoid 0 I)
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ LocallyCompactSpace M