ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
⊢ IsPathConnected (Subtype.val ⁻¹' W)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f
A : Type u_1
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℂ A
IsScalarTower ℂ A A
SMulCommClass ℂ A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) 1 = Polynomial.X ^ n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
e : Sym2 V
⊢ e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges → e ∈ G.edgeSet
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a = b - c ↔ c + a = b
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sSup (s - t) = sSup s - sInf t
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
K : Subgroup N
p : G × N
⊢ p ∈ H.prod K ↔ p.1 ∈ H ∧ p.2 ∈ K
M : Type u_2
MonoidWithZero M
r : M
⊢ r ∉ M⁰ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)
this : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'
⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
⊢ Filter.Tendsto Real.arctan Filter.atTop (nhdsWithin (Real.pi / 2) (Set.Iio (Real.pi / 2)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
⊢ (insert x s).einfsep = (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
⊢ lineCount L p = lineCount L q
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
⊢ (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = (algebraMap R S) 0
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w * trinomial k (n - m + k) n ↑w ↑v ↑u).toFinsupp }
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a x : α
hx : x ∈ factors a
ane0 : a ≠ 0
⊢ Prime x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t)ᶜ = sᶜ ∩ tᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
A : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk f hf a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Set.Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Set.Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Set.Icc a c)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n
⊢ 0 < ↑n + 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (ofEven Q) ⟨e0 Q * (v Q) m, ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
r : R
f : ι →₀ M
⊢ (r • f).toDFinsupp = r • f.toDFinsupp
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
T : Type u_1
CommSemiring T
Algebra R T
IsLocalization S T
x : T
⊢ x • 0 = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
⊢ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s) ≤ span R (v '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum κ) a) s = ∑' (n : ι), ((κ n) a) s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
p q : PMF α
⊢ p.toMeasure = q.toMeasure ↔ p = q
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map norm f.negPart = f.negPart
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n
⊢ edist (f n) a ≤ 2 * C * 2⁻¹ ^ n
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
⊢ X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = ((bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (X n) - ∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C (⅟↑p ^ n)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G H : C ⥤ Type w
X Y Z : C
σ : F ⟶ G
τ : G ⟶ H
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : F.obj X
⊢ F.map (f ≫ g) a = F.map g (F.map f a)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
⊢ CharP R (p ^ n)
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
⊢ span K ↑(span ℤ (Set.range ⇑b)) = ⊤
M : Type u_2
MonoidWithZero M
NoZeroDivisors M
Nontrivial M
x : M
⊢ x ∈ M⁰ ↔ x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso G f g).hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst (G.map f) (G.map g) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ ChainClosure r ∅
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Under X
f : A ⟶ B
⊢ A.hom ≫ f.right = B.hom
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
x : { x // x ≠ p }
⊢ (finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.comp 0 = Polynomial.C (Polynomial.eval 0 p)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
WellFoundedGT β
hf : StrictMono f
⊢ WellFoundedGT α
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
⊢ cderiv r (f - g) z = cderiv r f z - cderiv r g z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
hL : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ mfderivWithin I I' f₁ s x = mfderivWithin I I' f s x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasProduct fun x => G
⊢ IsCoseparator G ↔ ∀ (A : C), Mono (Pi.lift fun f => f)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι' ≃ ι
m : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.sum (m ∘ ⇑e) = MeasureTheory.Measure.sum m
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
x : α
⊢ x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ t ∩ mulSupport f
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → SDiff (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ (x \ y) i = x i \ y i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
r : ℝ
hr : r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
⊢ ((∡ p₂ p₁ s.center).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
fa : AnalyticAt ℂ f x
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => cexp (f z)) x
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred ↑a = ↑(Order.pred a)
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → E
t : Set α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in t ∩ g • s, f x ∂μ
n : ℤ
⊢ Even n ↔ ¬Odd n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hfi : Integrable f μ
h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ = -∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, f x ∂μ
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : ∀ (u : Finset ι), (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty
⊢ (s ∩ ⋂ i, t i).Nonempty
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
⊢ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
m : M
⊢ ⁅0, m⁆ = 0
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Nat.count p (n + 1) = Nat.count p n + 1 ↔ p n
⊢ Tendsto tan (𝓝[>] (-(π / 2))) atBot
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖
⊢ ∀ i ∈ 𝔗, ∀ i_2 ∈ 𝓤 β, Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 i i_2))
X : Type u
TopologicalSpace X
l : Filter X
⊢ l.lift' closure = ⊥ ↔ l = ⊥
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x
⊢ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.NatTrans.id G) F = CategoryTheory.NatTrans.id (G.comp F)
p : Char → Bool
s : String
⊢ s.find p = { byteIdx := utf8Len (List.takeWhile (fun x => !p x) s.data) }
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s • t).Nonempty
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
α : Type u
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a : α
l : List α
⊢ List.foldl f a l = List.foldr f a l
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0
⊢ ↑(divNat q.num q.den) = mkRat (↑q).num (↑q).den
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
⊢ ↑(lp.single p i (-a)) j = ↑(-lp.single p i a) j
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
⊢ Injective (⇑↑(Polynomial.aeval a) ∘ ⇑hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom) ↔ Injective ⇑(Polynomial.aeval a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ Complex.normSq ((o.kahler x) y) = ‖x‖ ^ 2 * ‖y‖ ^ 2
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
⊢ Set (Set α)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑0).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑0).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑0)) / 2 / ↑0 ^ s
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
AddCommGroup P
Module R P
LieRingModule L P
LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
⊢ ⇑((TensorProduct.LieModule.liftLie R L M N P) f) = ⇑((TensorProduct.LieModule.lift R L M N P) ↑f)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.egirth = ⊤ ↔ G.IsAcyclic
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
k : M ≃* P
H : Submonoid.map k.symm.toMonoidHom T = S
x : M
⊢ (f.ofMulEquivOfDom H).toMap (k x) = f.toMap x
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
f : ℕ → δ → α
hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => Filter.liminf (fun i => f i x) Filter.atTop
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : Set α
a : α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (a • s)
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
x✝ : α
h : ∀ n ∈ 𝓝 x✝, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝 x✝
u : Set τ
hu : u ∈ f
o : Set α
ho₁ : o ⊆ n
ho₂ : IsOpen o
ho₃ : x✝ ∈ o
⊢ ∃ x ∈ u, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ (∑ i : ι, f i) • ∑ i : ι, g i ≤ Fintype.card ι • ∑ i : ι, f i • g i
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ wittStructureRat p Φ n =
  MvPolynomial.C (1 / ↑p ^ n) *
    ((MvPolynomial.bind₁ fun b => (MvPolynomial.rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ -
      ∑ i ∈ Finset.range n, MvPolynomial.C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ N₁
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).OrdConnected ↔ s.OrdConnected
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
⊢ ↑↑1 = ↑1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ closure {y} ⊆ closure {x}
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
hs : MeasurableSet s
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ.restrict s] f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ MeasurableSet {a | p a ↔ q a}
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : Nonempty ι
⊢ Function.Injective ⇑(lift R ι G f g Hg)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
⊢ Summable fun l => ‖p.changeOriginSeries k l‖₊ * r ^ l
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
i : ι
⊢ i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ support fun i => (ρ i) x₀
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasPushouts C
F : WalkingParallelPair ⥤ C
⊢ pushoutInl F = pushout.inr (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l' ++ take (n % l'.length) l'
hle : l.length = l'.length
⊢ l = l'
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
⊢ Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ E)) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)
n : ℕ
hn : upperCentralSeries (G ⧸ center G) n = ⊤
⊢ upperCentralSeries G n.succ = ⊤