ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Sup L
ContinuousSup L
f g : X → L
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun a => f a ⊔ g a) s
R : Type u_2
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p ≠ 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasDerivWithinAt f (derivWithin f s x) s x
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) 1 * x).modMonomial s = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Function.Surjective SeparationQuotient.mk
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
x dx y dy : α
h : dy < dx
hx : 0 < dx
h' : x < y
⊢ Nonempty ↑(Ico x (x + dx) \ Ico y (y + dy))
α : Type u_1
s : Cycle α
l✝ l : List α
⊢ l✝ ∈ ↑l.cyclicPermutations ↔ ↑l✝ = Quotient.mk'' l
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF (ProbabilityTheory.toRatCDF f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n < m
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
α : Type u_2
x : ℕ → α
n : ℕ
⊢ PiNat.res x n.succ = x n :: PiNat.res x n
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : LinearIndependent R m
hn : LinearIndependent R n
⊢ LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
h_ne : i ≠ j
⊢ IsOpen (s j \ s i)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (tensorRight L.X ⋙ tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ R.X (P.tensorBimod Q).X L.X).inv ≫ (P.tensorBimod Q).actLeft ▷ L.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = (tensorRight L.X ⋙ tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
s : Set α
hsc : s.Countable
y : α → α
hys : ∀ (x : α), y x ∈ s
hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε'
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized (r - k) ↑(∂ ^[k] 𝒜)
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ Finset.weightedVSubVSubWeights k i j j = -1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
h : ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C), S.ShortExact → (S.map F).Exact ∧ CategoryTheory.Epi (F.map S.g)
⊢ F.PreservesEpimorphisms
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousAddMonoidHom A B
g : ContinuousAddMonoidHom A C
i : A
⊢ (f.sum g) i = (f.toAddMonoidHom i, g.toAddMonoidHom i)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
DecidableEq J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
j j' : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j' =
  if h : j = j' then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.map (RingHom.id R) p = p
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
⊢ minpoly A (x + (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (X - C a)
α : Type u_2
LT α
p : α → Prop
x y : α
hx : p x
hy : p y
⊢ ⟨x, hx⟩ < ⟨y, hy⟩ ↔ x < y
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.cos (x + ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
hne : μ ≠ 0
⊢ Integrable f ((μ univ)⁻¹ • μ)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
⊢ N.mulMap M = M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℤ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
DecidableEq ι
Fintype ι
AddCommMonoid α
f : κ → α
s : Finset κ
i : ι
⊢ ∑ g ∈ Fintype.piFinset fun x => s, f (g i) = s.card ^ (Fintype.card ι - 1) • ∑ b ∈ s, f b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
l : Filter β
f : β → ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] b)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
x : { x // x ∈ s }
⊢ map val (s.attach.erase x) = s.erase ↑x
R : Type u
a b c : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).natDegree = 2
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K
⊢ (LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) ((toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ) = (LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) (Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
x : α × α
h : x ∈ Prod.map Sum.inl Sum.inl ⁻¹' (Prod.map Sum.inl Sum.inl '' s ∪ range (Prod.map Sum.inr Sum.inr))
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
p : α → Bool
i : Nat
⊢ List.findIdx? p [] i = none
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
x : X
left✝ : x ∈ univ
hfg : f x ≤ g x
hgf : g x ≤ f x
⊢ ∃ x, f x = g x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E
⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
α : Type u_1
LE α
s : Set αᵒᵈ
⊢ IsLowerSet (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ IsUpperSet s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom
⊢ liftQuotient (projectQuotient (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
⊢ (lift f f_compat) x = g x
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ (∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 + (x x_2 * x x_2 - x x_2 * x x_1) else 0 + 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
m : Multiset α
f : { x // x ∈ m } → β
g : α → β
hfg : ∀ (x : { x // x ∈ m }), f x = g ↑x
⊢ ∏ x : { x // x ∈ m }, f x = ∏ x ∈ m.toFinset, g x
n m : Nat
h : m < n
⊢ n.pred < n
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, y ≤ x
α : Type u_2
Zero α
⊢ 0 ∈ 0
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α []
h : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)
⊢ CPRankMax 1 x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
⊢ ∀ (b : β), (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ ι b)) b ≫ π₁ (i b) = (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ τ₂ b)) b ≫ f
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
f✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f : ι →₀ α
i : ι
⊢ i ∈ f.support ↔ (fun i => {f i}) i ≠ 0
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X
⊢ (∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = ∫ (x : X), ↑(f x) ∂μ
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ ⊤ = ⊥
a : UnitAddCircle
⊢ ∀ (a_1 : ℝ), (HurwitzZeta.hurwitzOddFEPair a).g a_1 = (Complex.ofReal' ∘ HurwitzZeta.sinKernel a) a_1
α : Type u_1
x : α → ℕ
l : List (Poly α)
⊢ 0 ≤ (Poly.sumsq l) x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f Set.univ ↔ ContDiff 𝕜 n f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U
⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
M' : Type u_5
N' : Type u_6
Add M'
Add N'
f : AddHom M N
g : AddHom M' N'
S : AddSubsemigroup N
S' : AddSubsemigroup N'
⊢ AddSubsemigroup.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (AddSubsemigroup.comap f S).prod (AddSubsemigroup.comap g S')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.sub h').h₂ = h.h₂ - h'.h₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
⊢ Monotone fun s => s ○ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] f
⊢ 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
s : AList β
h : a ≠ a'
⊢ AList.lookup a (AList.erase a' s) = AList.lookup a s
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.Monic
⊢ ¬(p * q).Monic
x : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily (ULift.{w, 0} Bool)
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.functor.obj x =
  CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.rec CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one x
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn +ᵥ ht.min htn
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ eval₂ i x (h.repr (h.map z)) = eval₂ i x z
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x₁ x₂ y z : V
hx₁yne : x₁ ≠ y
hx₁zne : x₁ ≠ z
hx₂yne : x₂ ≠ y
hx₂zne : x₂ ≠ z
r : ℝ
hx₁ : ‖x₁‖ = r
hx₂ : ‖x₂‖ = r
hy : ‖y‖ = r
hz : ‖z‖ = r
⊢ 2 • o.oangle (y - x₁) (z - x₁) = 2 • o.oangle (y - x₂) (z - x₂)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
Encodable ι
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi' μ) (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
M : Type u_2
MulOneClass M
⊢ ⊤.op = ⊤
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c) ∨ f c = 0
X Y : CommSemiRingCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget CommSemiRingCat).map f = ⇑f
x y : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ x ^ (y * OfNat.ofNat n) = (x ^ y) ^ OfNat.ofNat n
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
⊢ (↑I).IsPrincipal
E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : MeasurableSpace E
inst✝¹² : BorelSpace E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹⁰ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
v : Fin n → G
⊢ ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |ω v|
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)
⊢ (shiftFunctorAdd (PullbackShift C φ) a₁ a₂).inv.app X = (shiftFunctorAdd C (φ a₁) (φ a₂)).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
DecidableEq n
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ ∀ (a : n → α), (Matrix.diagonalLinearMap n R α) a = (↑(Matrix.diagonalAddMonoidHom n α)).toFun a
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ OrderDual.toDual (⨅ i, f i) = ⨆ i, OrderDual.toDual (f i)
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.Restriction M
hne : N ≠ M
⊢ N.StrictRestriction M
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ ((κ.singularPart η) a) univ = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l
⊢ Dioph {v | List.Forall (fun S => v ∈ S) l}
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q : Stmt₁
ss : Supports M S
⊢ ∀ x ∈ S, q ∈ stmts₁ (M x) → SupportsStmt S q
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
⊢ Nontrivial (Dual K V) ↔ Nontrivial V
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
DecidableEq η
I : Set η
H : (i : η) → Subgroup (f i)
i : η
x : f i
⊢ Pi.mulSingle i x ∈ Subgroup.pi I H ↔ i ∈ I → x ∈ H i
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
this : ¬↑k < ↑j
⊢ j.contractNth op g k = op (g k.castSucc) (g k.succ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π (hs.desc t) = t.π
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 = fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ ⋃ i, ↑(S i)
⊢ C x₂
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
g : β → α
surjf : Function.Surjective f
rfg : Function.RightInverse f g
⊢ Function.LeftInverse f g
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 2 = W.ψ₂
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
p : R[X]
⊢ (normalize p).roots = p.roots
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ ContinuousLinearMap.id 𝕜 E = K.subtypeL.comp (orthogonalProjection K) + Kᗮ.subtypeL.comp (orthogonalProjection Kᗮ)
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ ⟦mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)⟧ = ⟦mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR⟧ + ⟦mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR⟧
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
hs : s ⊆ e.source
ht : ↑e '' s = t
⊢ ∀ (a : ↑s), (e.homeomorphOfImageSubsetSource hs ht) a = Set.MapsTo.restrict (↑e) s t ⋯ a
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ H
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hp_nonneg : 0 ≤ p
⊢ 0 < x ^ p
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }
⊢ sSup (toAddSubmonoid '' s) ≤ (sSup s).toAddSubmonoid
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
χ : MulChar R ℤ
hχ : χ.IsQuadratic
χ' : MulChar R' ℤ
hχ' : χ'.IsQuadratic
Nontrivial R''
hR'' : ringChar R'' ≠ 2
a : R
a' : R'
h : ↑(χ a) = ↑(χ' a')
⊢ χ a = χ' a'
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ Ioc a b \ Ioi c ↔ x ∈ Ioc a (min b c)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : CategoryTheory.Functor.const J ⊣ L
F : J ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfAdj adj F).pt = L.obj F
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R✝
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R✝ A
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f✝¹ : R✝ →+* S
f✝ : R✝ →+* B
f : R✝ →+* S
R : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : B
r : R
hx : IsIntegral S x
⊢ x ∈ Algebra.adjoin S {x}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ ((ℬ Y X).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X Y).isLimit.swapBinaryFan).hom) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j = 𝟙 (tensorObj ℬ X Y) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂])
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) ℝ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
hη :
  (κ.map (Prod.map id (MeasureTheory.embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η =
    κ.map (Prod.map id (MeasureTheory.embeddingReal Ω)) ⋯
⊢ κ.fst ⊗ₖ ProbabilityTheory.Kernel.borelMarkovFromReal Ω η =
  ((κ.map (Prod.map id (MeasureTheory.embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
n : ℕ
F : Type (max u v)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f p x r → (n.factorial • (p n) fun x => y) = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
t₁ t₂ : List β
p₁ : l₁.Perm l₂
p₂ : t₁.Perm t₂
⊢ (l₁.product t₁).Perm (l₂.product t₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f
⊢ (fun g => g a) '' s ∈ f.seq (pure a)
α : Type u_1
DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card
⊢ (Finset.powersetCard n.succ u).sup id = u
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
e : α ≃ β
f : β → γ
g : α → γ
⊢ g ∘ ⇑e.symm = f ↔ g = f ∘ ⇑e