ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
hl : l.Sized
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hr : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized
⊢ (l.rotateL x (node size✝ l✝ x✝ r✝)).Sized
α : Type u_1
a : Array α
⊢ a.pop.data = a.data.dropLast
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsExtrOn f s a
hg : Set.MapsTo g t s
ha : g b = a
⊢ IsExtrOn (f ∘ g) t b
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ nndist (s.indicator f x) (t.indicator f x) = ‖(symmDiff s t).indicator f x‖₊
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
x : σ → k
⊢ x ∈ MvPolynomial.zeroLocus I ↔ ∀ p ∈ I, (MvPolynomial.eval x) p = 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ dist ‖a‖ ‖b‖ ≤ ‖a / b‖
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
a : α
hmin : ∀ (p : β), f a ≤ p
x : α
⊢ x ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
F'' : Type u_10
Norm E
Norm F
NormedAddCommGroup F''
f : α → E
l : Filter α
One F
NormOneClass F
c : F''
hc : c ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun _x => c) ↔ f =o[l] fun _x => 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
⊢ x✝ ∈ extremePoints 𝕜 (s ×ˢ t) ↔ x✝ ∈ extremePoints 𝕜 s ×ˢ extremePoints 𝕜 t
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (insert e I)
⊢ M.Basis (insert e I) (insert e X)
M : Type u_1
MulOneClass M
p₁ p₂ : Submonoid M
⊢ Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x y : M}, x ∈ p₁ → y ∈ p₂ → x = y → x = 1
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : ↥(MeasureTheory.Lp F' 1 μ)
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
⊢ (MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p ∅
hs : ∅ ∈ l
⊢ ∃ a, {a} ∈ l
β α : Type u
f : β → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
⊢ ∃ a, θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.48731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d : ℤ
γ : Cochain G K d
he : 0 + d = d
⊢ (Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((snd φ).comp γ he) ⋯ = γ
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c : R
b₁ b₂ : ℕ
⊢ a ^ (b₁ + b₂) = a ^ b₁ * a ^ b₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ Specialization.map (ContinuousMap.id α) = OrderHom.id
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x : α
⊢ ∃ b ∈ range f, swap rᶜ x b
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ (proj x, (↑e x).2) = ↑e x
a b : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → b < ⊤ → a ≤ b + ↑ε
⊢ a ≤ b
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ l r) i j = ((toMatrix' l)ᵀ * (toMatrix₂' R) B * toMatrix' r) i j
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S A'
⊢ Polynomial.aevalTower (Algebra.ofId S A') = Polynomial.aeval
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Inf α
Inf β
FunLike F α β
self : InfHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ⊓ b) = f a ⊓ f b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ card (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = card m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a✝ : A
u✝ : Aˣ
a : A
u : Aˣ
μ : R
hμ : μ ∈ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹)
⊢ μ ∈ spectrum R a
V : Type u
G : SimpleGraph V
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber ≤ G'.chromaticNumber
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a - m • p) b = toIocMod hp a b - m • p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
hY : CategoryTheory.Limits.IsZero Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoBiprodZero hY).inv = CategoryTheory.Limits.biprod.fst
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ x ∈ ⊤
⊢ Function.LeftInverse Computability.sectionΓ'Bool Computability.inclusionBoolΓ'
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
⊢ TypeVec.dropFun TypeVec.fromAppend1DropLast = TypeVec.id
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : CommRing α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
i k : n
⊢ f.mapMatrix M.adjugate i k = (f.mapMatrix M).adjugate i k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n y) (fun y => f (x + y)) Filter.atTop (EMetric.ball 0 r)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ HasDerivWithinAt f (f' 1) s x
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
H : c.toSetoid = d.toSetoid
⊢ c = d
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
⊢ ν (toMeasurable μ s)ᶜ = 0
x : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt Complex.arg x
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K
⊢ R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + 1, (frobenius K p) x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n + 1, (frobenius K p) x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) x).1] y.2)
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
⊢ Submodule.span R s ≤ Submodule.span R t ↔ s ⊆ t
α : Type u
s : Set α
⊢ ∅ \ s = ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
⊢ ∀ {a b : Opens α}, ↑({ toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a) ⊆ ↑({ toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b) ↔ ↑a ⊆ ↑b
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hp : IsPrimitive 0
⊢ False
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
Nontrivial α
IsCoatomic α
⊢ ∃ a, IsCoatom a
i : ℤ
⊢ i.natAbs.lcm (natAbs 1) = i.natAbs
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : (μ i) s = 0
t : Set (α i)
hst : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : (μ i) t = 0
⊢ (μ i) (update (fun j => univ) i t i) = 0
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ C.dFrom i ≫ (C.xNextIso r).hom = C.d i j
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
hf : ∀ (x : α), x ≤ f x
hmin : ∀ ⦃x y : α⦄, x ≤ f y → f x ≤ f y
⊢ ∀ (a : α), (ClosureOperator.mk₂ f hf hmin) a = f a
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ Ico 0 ↑2
⊢ False
n m k : ℕ
⊢ n ^^^ m ^^^ k = n ^^^ (m ^^^ k)
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
x y : Matrix n m α
⊢ A * x = A * y ↔ x = y
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
⊢ i ≤ List.findIdx p xs
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible
⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (x (𝟙 X) ⋯)
s : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, ↑x ^ s = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a a₁ a₂ b : α
h₁ : r a₁ a
h₂ : r a₂ a
⊢ Relation.CutExpand r {a₁, a₂, b} {a, b}
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCones F
j : J
⊢ D.conePoints.obj j = (D.obj j).pt
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⋆[L, μ] g)
a b q q' : ℤ
h : IsInt (a / -b) q
hq : -q = q'
⊢ a / b = ↑q'
α β : Type u
⊢ lift.{u, v} 2 = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
t' : TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
⊢ TopologicalSpace.coinduced f t ≤ t'
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
⊢ AddAction.stabilizer G ∅ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
⊢ s ∩ r.inv.dom ⊆ r.inv.preimage (r.preimage s)
p x : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
⊢ x ∈ ⋂ i, ⋂ j, s i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), x ∈ s i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ (b : α × γ), Cauchy (map (fun p => (φ p.1) p.2) (comap (fun p => (e p.1, f p.2)) (𝓝 b)))
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : ∀ (x y : A), Commute (f x) (f y)
⊢ ↑(f.toOpposite hf) = (↑f).toOpposite hf
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (-a✝ + a✝).f = Algebra.Hom.f 0
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
v : α →₀ M
f : α ↪ β
g : β → M → N
⊢ (Finsupp.embDomain f v).sum g = v.sum fun a b => g (f a) b
o : Ordinal.{u_1}
ho₁ : 1 < o
ho : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
⊢ o.IsLimit
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
ht : a.leadingCoeff * (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0
⊢ (a * t.prod).natDegree = (a.natDegree ::ₘ Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
K : Type u_1
Field K
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K
⊢ Valued.v (↑K x) = Valued.v x
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
N : AddSubgroup G
AddGroup H
f : G →+ H
hf : Function.Surjective ⇑f
hN : N = f.ker
tN : AddMonoid.IsTorsion ↥N
⊢ AddMonoid.IsTorsion H ↔ AddMonoid.IsTorsion G
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
n : ℕ
hp : 0 < p
hf : ((expand F (p ^ n)) f).Separable
hn : n ≠ 0
⊢ IsUnit f
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x y : α → Σˣ f
xy : x ≈ y
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (x a).fst) ∩ upperBounds (range fun a => (y a).fst)
⊢ ∃ i, ∃ (hx : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ y))), unify f x i hx = unify f y i hy
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module S M₂
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M as ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M₂ bs
α : Type u_1
a : α
⊢ ofBoolAlg (toBoolAlg a) = a
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
x : α
a b : ↑(AddAction.orbit G x)
⊢ a ∈ AddAction.orbit (↥H) b ↔ ↑a ∈ AddAction.orbit ↥H ↑b
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
t : Set E
hst : 𝓝[s] x = 𝓝[t] x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f t x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
⊢ deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ a
n p : ℕ
p2 : 2 ≤ p
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ p.sqrt → ¬m ∣ p
this : ∀ {m k : ℕ}, m ≤ k → 1 < m → p ≠ m * k
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
l : m < p
x✝ : m ∣ p
k : ℕ
e : p = m * k
⊢ False
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0
⊢ ⊤ * m = ⊤
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Epi (cyclesMap φ)
this : Epi (S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ)
⊢ Epi (homologyMap φ)
a b c : UInt16
⊢ a < b → b < c → a < c
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i.rev = (p.rev.succAbove i).rev
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ IsGLB s a ↔ sInf s = a
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (contract p f).coeff n = f.coeff (n * p)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ ⨅ i, (edist x ↑i).toReal = ⨅ y, dist x ↑y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiff I' I n (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∑ i ∈ t, f i x
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
⊢ (LinearIndependent F fun (x : ↑↑s) => (toFun G F) ↑x) ∧ (toFun G F) a ∉ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
hI : IsCoatom I
⊢ I.IsProper
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P
x : V
⊢ x ∈ LinearMap.ker ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)) ↔ x ∈ (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
ι : P ⟶ X
w : ι ≫ f = ι ≫ g
⊢ CategoryTheory.Preadditive.kernelForkOfFork (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι ι w) =
  CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι ι ⋯
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
hC : ∀ (v : V₁), ‖f v‖ ≤ C * ‖v‖
⊢ ⇑(f.mkNormedAddGroupHom C hC) = ⇑f
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp r f = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
rg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp r g = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
g : α → β
q : Fin n → α
y : α
⊢ g ∘ Fin.snoc q y = Fin.snoc (g ∘ q) (g y)
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
hf : f' =O[l] k'
hg : g' =O[l] k'
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =O[l] k'
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G ⧸ stabilizer G s
⊢ a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ a ∈ ⊥
n : ℕ
⊢ catalan n = n.centralBinom / (n + 1)
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α
⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (i : ι) (x : ↑(t i)), f ↑x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
G : Type u_8
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 G
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
L : E ≃ₗᵢ[𝕜] G
⊢ (b.map L).toBasis = b.toBasis.map L.toLinearEquiv
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
T2Space α
ContinuousAdd α
s : Set β
hs : Summable (f ∘ Subtype.val)
hsc : Summable (f ∘ Subtype.val)
⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x + ∑' (x : ↑sᶜ), f ↑x = ∑' (x : β), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (p.toMeasure.restrict p.support) s = p.toMeasure s
α : Type u_1
Preorder α
a : α
PredOrder α
ha : ¬IsMin a
⊢ ¬Order.IsPredLimit (Order.pred a)
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : ↑z ≤ x
⊢ fract x ≤ |x - ↑z|
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ 0 < p.toReal
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ b ∈ Set.Icc a b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (Metric.ball x₀ ε)
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
⊢ MeasureTheory.Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : Nonempty ι
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : Set.EqOn (p ∘ g₁) (p ∘ g₂) s
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ Set.EqOn g₁ g₂ s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ s.Infinite
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
SMulCommClass R R ↥N
⊢ sR • N = Submodule.map (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) (Finsupp.supported (↥N) R sR)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ^ n = ∑ i ∈ s, f i ^ p ^ n