ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ ⋃ n, Metric.ball x (↑n + 1) = Set.univ
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊Int.fract a⌋ = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasStrictFDerivAt l l' (f x)
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasStrictDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
h : a ∈ s
⊢ memPartitionSet f n a = s
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
z : M
⊢ z ∈ center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M'
f✝ f'✝ : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
M₁'' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M₁'' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂
f : (i : ι) → M₁ i ≃ₗ[R] M₁' i
f' : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i := fun i => ↑(f i)
⊢ g.compLinearMap f' = 0 ↔ g = 0
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subsemiring R
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → NNReal
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
h : ∃! x, ∃! hx, q x hx
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
⊢ y₁ = y₂
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
α : Type u_2
β : Type u_3
g : Equiv.Perm α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ g.IsCycle → (g.extendDomain f).IsCycle
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
⊢ ↑n.superFactorial ∣ (Matrix.vandermonde v).det
n : ℤ
⊢ Even n.natAbs ↔ Even n
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node3R x m y r).size = l.size + m.size + r.size + 2
ι : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℕ
⊢ iInf f = 0
α : Type u_4
f : Equiv.Perm α
a : α
⊢ f • a = f a
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
h : b ≠ 0
⊢ 1 - a / b = (b - a) / b
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ b • c < b • d
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α n
f : α → β
⊢ b ∈ (map f v).toList ↔ ∃ a ∈ v.toList, f a = b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
hcnz : c ≠ 0
⊢ σ₁₂ c⁻¹ • K ⊆ U
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
r : ℝ
n : ℕ
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.leastGE f r n)
q a b c : ℚ
⊢ a + b = b + a
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : Set α
x : α
⊢ (x ∈ if p then ∅ else t) ↔ ¬p ∧ x ∈ t
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
⊢ ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ ∃ u n, Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
l : List (L.BoundedFormula α n)
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l).Realize v xs ↔ ∀ φ ∈ l, φ.Realize v xs
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.IsSkeletonOf C (CategoryTheory.ThinSkeleton C) (CategoryTheory.ThinSkeleton.fromThinSkeleton C)
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ v.last = v.get (Fin.last n)
α : Type u_1
CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p
⊢ ∏ x ∈ p.divisors, f x = f p * f 1
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ Function.mulSupport f ⊆ mulTSupport f
α : Type u
r₁ r₂ : Set (α × α)
x y : α
⊢ (x, y) ∈ r₁ ○ r₂ ↔ ∃ z, (x, z) ∈ r₁ ∧ (z, y) ∈ r₂
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β : κ
⊢ ∑ y : κ, ∑ x : κ, ((traceForm A B) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x α)) (b y * P.map (⇑(algebraMap A B)) y β) = ∑ j : κ, (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
r : R
⊢ Ring.choose r 1 = r ^ 1
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{u, v} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
y : ↑X
h : p₀ ⤳ y
U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ
inc : U ⟶ V
⊢ (if h : p₀ ∈ unop ((OpenNhds.inclusion y).op.obj V) then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((fun U => if p₀ ∈ unop U then A else ⊤_ C) ((OpenNhds.inclusion y).op.obj U))) ≫ (fun U => eqToHom ⋯) V = (fun U => eqToHom ⋯) U ≫ ((Functor.const (OpenNhds y)ᵒᵖ).obj A).map inc
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
⊢ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = h.choose
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t z₁ z₂ : Set X
x✝¹ : IsClosed z₁
x✝ : IsClosed z₂
⊢ ¬s ⊆ z₁ → ¬s ⊆ z₂ → ¬s ⊆ z₁ ∪ z₂ ↔ s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ (r • a), 0 ≤ x
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ t ∩ u = s ∩ u ∩ (t ∩ u)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α
⊢ (a * b).factors.prod.factors = (a.factors + b.factors).prod.factors
G : Type u_3
SubNegMonoid G
a : G
⊢ 0 - a = -a
α : Type
ds₁ ds₂ : List ℕ
Distrib α
x : Holor α ds₁
y z : Holor α ds₂
⊢ x.mul (y + z) = x.mul y + x.mul z
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
LinearOrderedSemiring R
Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ (y₁ + c)
⊢ ↑m₁ * powHalf (y₁ + c) = ↑m₂ * powHalf y₁
ι : Type u_4
F : Filter ι
F.NeBot
f : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
⊢ Filter.limsup (fun i => f i - c) F = Filter.limsup f F - c
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ P y ↑g
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
hf : Antitone f
k : ℕ
⊢ ⨅ n, f (n + k) = ⨅ n, f n
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S
f₁ f₂ : MvPolynomial σ R →+* S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
hC : f₁.comp MvPolynomial.C = f₂.comp MvPolynomial.C
hv : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₂.vars → f₁ (MvPolynomial.X i) = f₂ (MvPolynomial.X i)
hp : p₁ = p₂
⊢ f₁ p₁ = f₂ p₂
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y
⊢ f (-y) < f (-x)
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ y < x ^ z
α : Type u_8
β : Type u_9
Unique α
MeasurableSpace β
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.funUnique α β).symm = uniqueElim
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.concat h = SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ
⊢ (∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, x ∈ s ∩ Ioi a) ↔ ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, x ∈ s ∧ x ∈ Ioi a
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
c_ne_top : c ≠ ⊤
μ : Measure (G ⧸ Γ) := c • haarMeasure K
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ (interior ↑K).Nonempty
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
⊢ k ≤ l₂.length → (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ ≤ 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
e : Equiv.Perm α
f : α ↪ β
a : α
⊢ (e.viaFintypeEmbedding f) (f a) = f (e a)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ comap f (map f I) = I ⊔ f.ker
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
GCDMonoid R
x y : R
⊢ IsUnit (gcd x y) ↔ IsCoprime x y
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
(Φ.functor.comp L₂).IsLocalization W₁
⊢ Φ.IsLocalizedEquivalence
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
⊢ M.toεNFA.accepts = M.accepts
x y : ℂ
h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, y * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2
⊢ tan (x + y * I) = (tan x + tanh y * I) / (1 - tan x * tanh y * I)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
u v : PrimeMultiset
h : u.prod.factorMultiset ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod := PNat.factorMultiset_le_iff'
⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ (aleph (succ o)).IsRegular
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Subgroup G
⊢ (⨅ i, f i).index ≤ ∏ i : ι, (f i).index
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a ⊆ b → b ⊆ a → b = a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {ω | ↑c.toNNReal ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizers C
T : C
hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial C
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬∀ (a : G), f a = 0
⊢ LocallyCompactSpace G
α : Type u
f : Ultrafilter α
g : Filter α
h : g ≤ ↑f
hne : g.NeBot := by infer_instance
⊢ g = ↑f
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
f : BoxIntegral.Box ι → M
h :
  ∀ (J : BoxIntegral.Box ι), ↑J ≤ I₀ → ∀ (π : BoxIntegral.Prepartition J), π.IsPartition → ∑ Ji ∈ π.boxes, f Ji = f J
⊢ ⇑{ toFun := f, sum_partition_boxes' := h } = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
⊢ Periodic f (-c)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : a ≤ 0
⊢ b + a ≤ c
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
n : ℕ
⊢ inverse r ^ (n + 1) = inverse (r ^ (n + 1))
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ WeakDual.instTopologicalSpace = TopologicalSpace.induced (fun x' => toWeakDual x') WeakDual.instTopologicalSpace
M : Type u_1
Monoid M
n : M
m : ℕ
⊢ ↑(Submonoid.pow n m) = n ^ m
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ ContinuousOn (↑e.symm) e.target
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mker (AddMonoid.Coprod.swap M N) = ⊥
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
⊢ VanishesTrivially R m n
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
Φ : Quotient r ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ Φ).map f₁ = (functor r ⋙ Φ).map f₂
⊢ Φ = lift r (functor r ⋙ Φ) H
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
w : Function.Injective ⇑f
FiniteDimensional K V₂
⊢ FiniteDimensional K V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg (a ∆ b) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
⊢ x ^ n.natAbs = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R
hp : p 0
⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) = {r}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
η : Type u_5
ε : Type u_6
e : PartialEquiv α β
f : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv δ η
f' : PartialEquiv η ε
⊢ (e.prod e').trans (f.prod f') = (e.trans f).prod (e'.trans f')
α : Type u_1
s : Setoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ≈ x_1
Encodable α
q : Quotient s
⊢ ⟦q.rep⟧ = q
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm
⊢ ∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
⊢ ¬e.BoundaryGE k
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k
⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹⁻¹ k
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (f₁ + f₂) = μ.testAgainstNN f₁ + μ.testAgainstNN f₂
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι₂ : Sort u_6
f : ι → ι₂
hf : Function.Surjective f
g : ι₂ → Set α
⊢ ⋃ x, g (f x) = ⋃ y, g y
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Set.Ioi (Order.pred a) = insert a (Set.Ioi a)
α ι : Type u
f : ι → Set α
⊢ Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i) ≤ Cardinal.mk ι * ⨆ i, Cardinal.mk ↑(f i)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
⊢ LiftRel R nil nil
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : Commute (f x) (f y)
⊢ f (x * y) = f (y * x)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier
⊢ { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊤ ↔ N = ⊤
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.simple i * (cs.simple i * w) = w
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.log x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, integral J l f vol = ∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
e : α
he : e ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
f : α
hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)
hfB' : f ∉ B
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {e}))
⊢ False
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c d : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hca : c ≤ a
hdb : d ≤ b
hc : c ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ c * d
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ f.FiniteType
R : Type u
CommRing R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
⊢ gaussSum χ ψ ^ p = gaussSum (χ ^ p) (ψ ^ p)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x : ↥H
n : ℕ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ x ∈ M.closure I ↔ x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
hf : SmoothOn I' I f s
hg : SmoothOn I' I g s
⊢ SmoothOn I' I (f + g) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ
⊢ range (g ∘ f) ⊆ range g
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f = 0 ∨ f ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofInv s hs).Y' = X
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I J : Ideal α
⊢ I ≤ J ∧ ¬J ≤ I → J = ⊤ ↔ ∀ (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J