ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ x.frobeniusFun.coeff n = (MvPolynomial.aeval x.coeff) (WittVector.frobeniusPoly p n)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.univ → HasDerivWithinAt (rexp ∘ Neg.neg) (-rexp (-x)) Set.univ x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (s.noncommProd f comm)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
B : D
⊢ (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.counitCofork adj B).pt = B
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ ¬n = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P.Hom Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f Q.p = f.f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
x : E
⊢ ContDiffAt 𝕜 n id x
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
a : α
h : ContinuousWithinAt f s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ‖f x‖) s a
x y : ℕ
⊢ x.ble y = false ↔ y < x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Ioi a = Ioi ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β
⊢ HasProd f 1
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Module.Free R M₁
cond : Module.rank R M = Module.rank R M₁
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M₁)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
la : List α
lb : List β
lc : List γ
⊢ List.zipWith f la (List.zipWith g lb lc) = List.zipWith3 (fun a b c => f a (g b c)) la lb lc
K : Type u_1
DivisionRing K
TopologicalSpace K
ContinuousMul K
a : K
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x * a) (Filter.cocompact K) (Filter.cocompact K)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
A : (CategoryTheory.prodComonad X).Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.coalgebraToOver X).obj A =
  CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a CategoryTheory.Limits.prod.fst)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i : ι
⊢ h.basis i = e i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
⊢ IsClosedMap (update x i)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
⊢ (G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁸ : Ring R✝
inst✝¹⁷ : Ring R'✝
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R✝ M
inst✝¹² : Module R✝ M'
inst✝¹¹ : Module R✝ M₁
inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'
inst✝⁹ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
R' : Type w'
S'✝ : Type v'
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : Ring S'✝
inst✝³ : Algebra R' S'✝
S' : Type v
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
⊢ Module.rank R S ≤ Module.rank R' S'
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ IsIso (homologyMap f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
⊢ ↑((v.trim hle).restrict i) j = ↑((v.restrict i).trim hle) j
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
SMulZeroClass S R
a : S
b : R[X]
⊢ (a • b).toFinsupp = a • b.toFinsupp
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
⊢ Summable (f_nat k a t)
V : Type u
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
self : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ G.IsRegularOfDegree k
R : Type u
Ring R
p : R[X]
g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (p %ₘ g).natDegree ≤ g.natDegree
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
g₁ : I → Type u_4
g₂ : I → Type u_5
(i : I) → Zero (g₁ i)
(i : I) → Zero (g₂ i)
op : (i : I) → g₁ i → g₂ i → f i
h : ∀ (i : I), op i 0 0 = 0
i : I
x₁ : g₁ i
x₂ : g₂ i
⊢ Pi.single i (op i x₁ x₂) = fun j => op j (Pi.single i x₁ j) (Pi.single i x₂ j)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
hyp' : (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x
⊢ rec g (mk x) = h (mk x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
⊢ (𝓝 b).HasBasis (?m.187297 b) (?m.187298 b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ t.to Y ≫ f = t.to Z
α : Type u_1
β : Type u_2
Unique α
Fintype β
Fintype (α ↪ β)
⊢ ‖α ↪ β‖ = ‖β‖
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior (⇑f '' s)
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).Monic ↔ p.Monic
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ (s ∪ t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
⊢ ∀ (i : (powHalf n).LeftMoves), (powHalf n).moveLeft i ⧏ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)
q : ℕ+
x y z : LucasLehmer.X q
⊢ x * (y + z) = x * y + x * z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
H : AEMeasurable (g ∘ f) μ
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s₁ s₂ : Subring R
hs : s₁ ≤ s₂
t₁ t₂ : Subring S
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
i : α
⊢ i ∈ image Prod.fst (s ×ˢ t) → i ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U V : Set X
hU : IsPathConnected U
hV : IsPathConnected V
x : X
xU : x ∈ U
xV : x ∈ V
⊢ ∀ {y : X}, y ∈ U ∪ V → JoinedIn (U ∪ V) x y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ Continuous convexBodySumFun
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
MeasurableAdd₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (f + g)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑a ^ (p / 2) = ↑((-1) ^ (Finset.filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ)).card)
E : Type u_3
SeminormedGroup E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ R > 0, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ R
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b / a‖ ≤ r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)
⊢ s.Results a n
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E F G : IntermediateField K L
hEF : E ≤ F
hFG : F ≤ G
x : ↥E
⊢ (IntermediateField.inclusion hFG) ((IntermediateField.inclusion hEF) x) = (IntermediateField.inclusion ⋯) x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
(a : α) → DecidableEq (δ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
x : δ a
hx : x ∉ t a
⊢ Finset.filter (fun x_1 => x_1 a = x) (Fintype.piFinset t) = ∅
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
hd : 0 ≤ d
⊢ (fun a => a ^ n) a + (c ^ n + d ^ n) < (fun a => a ^ n) b + (c ^ n + d ^ n)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i
⊢ MeasurableSet (τ ⁻¹' ⋃ j, {k | k ≤ seq j})
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : 1 • x = x
ihy : 1 • y = y
⊢ 1 • (x + y) = x + y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ map f (comap f J) = f.idealRange ⊓ J
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ √(‖(x - y).1‖ ^ 2 + ‖(x - y).2‖ ^ 2) = √(‖x.1 - y.1‖ ^ 2 + ‖x.2 - y.2‖ ^ 2)
x y : ℝ
h : 1 < -x * -y
hx : x < 0
k : -(arctan (-x) + arctan (-y)) = -(arctan (-((x + y) / (1 - x * y))) + π)
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Set.EqOn (⇑f) 1 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0
⊢ (match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) = {n}
α : Type u_1
l : List α
this : DecidableEq α
⊢ List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux l) ~ List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux' l)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : Module.rank K ↥(s ⊔ t) + Module.rank K ↥(s ⊓ t) = Module.rank K ↥s + Module.rank K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
R : Type u_2
K : Type ?u.21569
L : Type ?u.21572
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ eval x (minpolyDiv R x) = (aeval x) (derivative (minpoly R x))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
StandardBorelSpace α
⊢ inst✝ = borel α
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
h₃ : y ∈ V
h₄ : f y = f y
⊢ (f ⁻¹' t ∩ (U ∩ V)).Nonempty
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
⊢ (piQuotientLift p q f hf) (Pi.single i x) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ Commensurable H K ↔ Commensurable K H
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ 0
⊢ (aeval s) p.primPart = 0
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
⊢ s / 2 ≠ 0 ∨ (hurwitzEvenFEPair a).f₀ = 0
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
⊢ (∃ x, x ∈ a :: l ∧ p x) ↔ p a ∨ ∃ x, x ∈ l ∧ p x
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
c_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν (c • haarMeasure K)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
c : α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => dist x c) (Bornology.cobounded α) Filter.atTop
n m k : Nat
h : n + k ≤ m
⊢ n ≤ m
R : Type u
CommSemiring R
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.natDegree ≤ (Multiset.map Polynomial.natDegree t).sum
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f.rangeRestrict = ⊤
b : Bool
⊢ ~~~BitVec.ofBool b = BitVec.ofBool !b
α : Type u_1
β : Type u_2
cmpα : α → α → Ordering
cmpβ : β → β → Ordering
f : α → β
Batteries.RBSet.IsMonotone cmpα cmpβ f
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmpα t → Batteries.RBNode.Ordered cmpβ (Batteries.RBNode.map f t)
α✝² : Type u_1
α✝¹ : Type u_2
α✝ : Type u_3
f : α✝² → α✝¹ → α✝
l : List α✝²
l' : List α✝¹
⊢ drop 1 (zipWith f l l') = zipWith f l.tail l'.tail
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
k : ℕ
hk : k ∈ p.support
⊢ IsUnit (p.coeff k)
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a = b + -c ↔ a + c = b
α : Type u_1
RatCast α
q : ℚ
⊢ MulOpposite.op ↑q = ↑q
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨅ i, ↑‖a ^ (i + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(i + (N + 1))) * ε⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf✝ : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
c : ℝ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
hf : ∀ x ∈ s, c ≤ f x
hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s μ
⊢ c * (μ s).toReal ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
CommMonoid N
f : M →* N
n : ℕ
x : M
⊢ (f ^ n) x = f x ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
CompactIccSpace α
g' : α → F
Filter.atBot.IsMeasurablyGenerated
Filter.atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[Filter.atBot] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atBot μ
ho' : f =O[Filter.atTop] g'
hg' : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g' Filter.atTop μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
g : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
hne : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ Dilation.ratio (g.comp f) = Dilation.ratio g * Dilation.ratio f
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet ∅ μ
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖a⁻¹‖₊ = ‖a‖₊
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
(x : α) → OmegaCompletePartialOrder (β x)
OmegaCompletePartialOrder γ
f : γ → (x : α) → β x
hf : ∀ (x : α), OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun g => f g x
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ ∀ {X Y : ChainComplex V ℕ} (f : X ⟶ Y) (i : ℕ), (ChainComplex.truncate.map f).f i = f.f (i + 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ ↑(f.extend I) '' (f.source ∩ f'.source) = ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h_pi : IsPiSystem S
⊢ IsPiSystem (insert Set.univ S)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map Prod.snd (μ.prod ν)) s = (μ univ • ν) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
⊢ map m (ofComapInfPrincipal h) = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
⊢ (Nat.rfind fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = Nat.rfind (p a)
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
OrderTop α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ⊤ ∈ s ↔ s = {⊤}
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
r : R
⊢ r ∈ v.integer ↔ v r ≤ 1
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
m : ↥M
⊢ (algebraMap R S) ↑m * ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid M S) m) = 1
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
φ : Module.Dual K V
⊢ W.quotAnnihilatorEquiv (Submodule.Quotient.mk φ) = (Submodule.dualRestrict W) φ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
h₁ : a'' ≠ a
h₂ : a'' ≠ a'
⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
x : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioo ↑x ⊤ = Ioi x
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ⇑b = ⇑(b.reindex e) ∘ ⇑e
⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
N₂ : Type u_9
TopologicalSpace N₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N₃ : Type u_10
TopologicalSpace N₃
AddCommMonoid N₃
Module R N₃
f : (M →L[R] N₂) × (M →L[R] N₃)
⊢ ContinuousLinearMap.prodEquiv f = f.1.prod f.2
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ p₁ 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ c * b
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0
⊢ ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1