ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2) = p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ (p - 1) / log x ^ 2
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ (ENNReal.ofReal p)⁻¹ + (ENNReal.ofReal q)⁻¹ = 1
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ 0 < Monoid.exponent G
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
this : (derivative p).natDegree < p.natDegree
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hc : s.Countable
hs : s.Nonempty
f : ℕ → ↑s
hf : Surjective f
⊢ s = range (Subtype.val ∘ f)
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ (↑l₁).ndunion ↑l₂ = ↑(l₁ ∪ l₂)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.Integrable (F i) μ
hF : Filter.Tendsto (fun i => MeasureTheory.eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f
⊢ ωSup (approxChain f) = ωSup ((approxChain f).map f)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
hG : W.IsInvertedBy G
a : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.Localization.Construction.relations W)
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.lift G hG).obj a = G.obj a.as.obj
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), x + a = y ↔ a = z
⊢ (AddMonoidAlgebra.single x r * f) y = r * f z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : ContinuousOn f ((fun x => -x) '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
h0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f (-x)) a = cfcₙ f (-a)
ι : Sort u_1
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_2
f : ι → α → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (t : Finset α) (i j : ι), ∃ k, ∀ a ∈ t, f k a ≤ f i a ∧ f k a ≤ f j a
⊢ ⨅ i, ∑ a ∈ ∅, f i a = ∑ a ∈ ∅, ⨅ i, f i a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x
⊢ f' < slope f x y
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Iic b)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g h : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hh : AEStronglyMeasurable h μ
a : α
⊢ edist (f a) (g a) ≤ edist (f a) (h a) + edist (g a) (h a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
s : Set β
H : ∀ t ∈ iInf f, ⨅ i, (f i).lift g ≤ g t
⊢ ∀ x ∈ iInf f, s ∈ g x → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (NormedSpace.exp 𝕜 a)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocRing α
NonAssocRing β
f : α →+* β
x y : α
⊢ f (x - y) = f x - f y
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Sym α n
⊢ a ∈ a ::ₛ s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys))).minimum
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
⊢ a * b ∈ H ↔ (a ∈ H ↔ b ∈ H)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (f (a, t)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
⊢ ↑(s.toComplexMeasure t) i = { re := ↑s i, im := ↑t i }
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
m : Submodule R M
⊢ IsSimpleModule R (M ⧸ m) ↔ IsCoatom m
R : Type u_1
Semigroup R
a : R
b : R
ha : IsRightRegular a
⊢ IsRightRegular (b * a) ↔ IsRightRegular b
x : ℂ
⊢ Complex.tan x = Complex.sin x / Complex.cos x
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ I ≠ 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
h : Surjective ⇑f
K L : Subgroup N
⊢ comap f K = comap f L → K = L
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α
⊢ s ⊆ ht.toFinset ↔ ↑s ⊆ t
R : Type x
Semiring R
a : Rˣ
b : R
⊢ ↑a + b = ↑a * (1 + ↑a⁻¹ * b)
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x : G
⊢ ∀ (g : G), g * x = x * g
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
⊢ ↑(p.maxPowDiv n) = multiplicity p n
α : Type u_1
β : Type u_7
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero β
AddMonoid N
AddCommMonoid P
f : α →₀ β
g : α → β → N →+ P
⊢ ⇑(f.sum g) = f.sum fun i fi => ⇑(g i fi)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r
⊢ ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r.toNNReal
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree = p.support.min' ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
⊢ [x-[𝕜]x] = {x}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ :
  ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d),
    ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s'
⊢ F.Initial
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
⊢ f - g =ᶠ[l] 0
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a < b * (a / b) + b
x y : ZFSet
⊢ (insert x y).toSet = insert x y.toSet
n m : ℕ
hm : n ∣ m
a : (ZMod m)ˣ
⊢ IsUnit (↑a).cast
⊢ ¬BddAbove (Set.range fun x => ↑x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ s₃ : AffineSubspace k P
h₁₂ : s₁ ∥ s₂
h₂₃ : s₂ ∥ s₃
⊢ s₁ ∥ s₃
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (OrderIso.addRight a).toEquiv = Equiv.addRight a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, s.indicator (μ.restrict s[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, s.indicator f x ∂μ
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
h : (NumberField.InfinitePlace.mk φ).IsReal
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁸ : Ring R✝
inst✝¹⁷ : Ring R'✝
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R✝ M
inst✝¹² : Module R✝ M'
inst✝¹¹ : Module R✝ M₁
inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'
inst✝⁹ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
R' : Type w'
S'✝ : Type v'
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : Ring S'✝
inst✝³ : Algebra R' S'✝
S' : Type v
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
⊢ Module.rank R S ≤ Module.rank R' S'
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
⊢ Nontrivial ↥p ↔ p ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₀ f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ (ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map ((Nonempty.some hf).lift ≫ (Nonempty.some hf).map).op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf
R : Type u
⊢ (√2 * √2)⁻¹ = 2⁻¹
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
⊢ (Finsupp.cons y s).tail = s
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
num✝¹ num✝ : ℤ
denom✝¹ denom✝ : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat denom✝) = num✝.mul (Int.ofNat denom✝¹)) = false
⊢ ¬↑num✝¹ * ↑denom✝ = ↑num✝ * ↑denom✝¹
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsNoetherianRing R
⊢ FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) ≤ 1 ↔
  Submodule.IsPrincipal (LocalRing.maximalIdeal R)
α : Type u_1
CommMonoid α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ S.join.prod = (Multiset.map Multiset.prod S).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
f g : α → β
⊢ (Set.range fun x => if p x then f x else g x) ⊆ Set.range f ∪ Set.range g
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
T0Space α
f : α → β
h : UniformInducing f
⊢ Function.Injective f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
obj : C → D
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
G_obj : D → E
map✝¹ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)
map_id✝¹ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝¹ }.obj X)
map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map g
inst✝¹ : { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful
map✝ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → ((G_obj ∘ obj) X ⟶ (G_obj ∘ obj) Y)
map_id✝ : ∀ (X : C), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.obj X)
map_comp✝ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map g
inst✝ : { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful
h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj (obj X) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj X
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map (map f)) ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map f)
⊢ (fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f)) = map✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 0 < p
hf : eLpNorm (↑↑f) p μ = 0 ∨ eLpNorm (↑↑f) p μ = ⊤
⊢ f = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f (f p.leadingCoeff * x) (normalizeScaleRoots p) = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f x p
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ ∅ ⊆ s ∧ ∅ ≠ s
b : ℕ
hb : 1 < b
⊢ Int.gcd 0 ↑b ≠ 1
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
⊢ (↑(↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑g 0 1)) * ((↑(↑g 1 0) ^ 2 + ↑(↑g 1 1) ^ 2) * ((↑(↑g 1 0) ^ 2 + ↑(↑g 1 1) ^ 2) * (↑(↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑g 1 1)))) = ((↑(↑g 1 0) * ↑(↑g 0 0) + ↑(↑g 1 1) * ↑(↑g 0 1)) * ((↑(↑g 1 0) ^ 2 + ↑(↑g 1 1) ^ 2) * (↑(↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑g 1 1))) + (↑(↑g 1 1) * ↑z - ↑(↑g 1 0)) * (↑(↑g 0 0) * ↑(↑g 1 1) - ↑(↑g 0 1) * ↑(↑g 1 0)) * (↑(↑g 1 0) ^ 2 + ↑(↑g 1 1) ^ 2)) * (↑(↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑g 1 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
⊢ (S.opcyclesIsoX₂ hf).inv = S.pOpcycles
x y : Bool
⊢ (x && y) = false ↔ x = true → y = false
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
One M
One N
One P
f : OneHom N P
⊢ f.comp 1 = 1
a b c : Nat
⊢ a + b ≤ c + b → a ≤ c
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
Semiring R
Semiring S
SMul R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[S] N
⊢ LinearMap.ker (↑R f) = Submodule.restrictScalars R (LinearMap.ker f)
m n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α →ᵈ β
h : ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
⊢ { toFun := ⇑f, edist_eq' := h } = f
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ'
μ.IsAddHaarMeasure
μ'.IsAddHaarMeasure
⊢ μ' = μ
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ∀ (r : ℚ), ProbabilityTheory.preCDF ρ r a ≤ 1
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i
⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ ¬(mulSupport ((fun i => g i) ∘ PLift.down)).Finite
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
h₁ : MeasureTheory.Integrable f μ
h₂ : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ↑(nndist (∫ (x : α), f x ∂μ) (∫ (x : α), f x ∂(μ + ν))) ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
⊢ spanFinset R₁ s f = 0 ↔ ∀ j ∈ s, f j = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ dist p ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) = 0 ↔ p ∈ s
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
this : boundOfDiscBdd N - 1 < boundOfDiscBdd N
⊢ minkowskiBound K 1 ≤ ↑(boundOfDiscBdd N - 1)
a : UInt16
⊢ sizeOf a = a.toNat + 2
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f s x
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝[s] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivAt f 0 x₀
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
hr : ∃ r, ∀ p1 ∈ Set.range fun i => s.points i, dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range fun i => s.points i))) p) = r
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
habc : lcm a b ∣ c
hcab : c ∣ lcm a b
⊢ lcm a b = normalize c
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
Fintype β
DecidableEq β
e : α ≃ β
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueFinset n =
  Finset.map { toFun := Finset.map e.toEmbedding, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∑ k ∈ Finset.range 0, f k = 0
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
m : α
⊢ l.minimum = ↑m → m ∈ l
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊥ ⇔ a = aᶜ
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
ya yc : ℝ
ya₀ : 0 ≤ ya
yc₀ : 0 < yc
yac : ya + yc = 1
hfy : f a ≤ f (ya * a + yc * c)
hy_ac : ya * a + yc * c ∈ Ioc a c
⊢ f a ≤ f c
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid S
p : R[X]
f g : ℕ → R → S
⊢ p.sum (f + g) = p.sum f + p.sum g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F Y
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f p).yonedaEquivFst = A.map f.op p.yonedaEquivFst
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
⊢ ∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯
⊢ (f a).Dom
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
⊢ (e₁.arrowCongr e₂) f = ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm