ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
a : M
X : C
⊢ (F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorZero C M).hom.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ
⊢ ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true}) = natGeneratingSequence α n
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Fintype σ
CommRing K
a : σ → K
⊢ (MvPolynomial.eval a) (MvPolynomial.indicator a) = 1
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
⊢ ⊥ < Subgroup.center G
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
g : R →+* S
p : ℕ
ExpChar R p
ExpChar S p
x : R
⊢ g ((frobenius R p) x) = (frobenius S p) (g x)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ IsOpen (Set.range ⇑f.val.base)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x < y
α : Type u_1
xs : List α
s : Nat
p : α → Bool
⊢ List.foldrIdx (fun i a is => if p a = true then (i + 1) :: is else is) [] xs s =
  List.map (fun x => x + 1) (List.foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs s)
a : CliffordAlgebra CliffordAlgebraComplex.Q
⊢ CliffordAlgebraComplex.equiv a = CliffordAlgebraComplex.toComplex a
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ (mapRingHom f).rangeS
x : SetTheory.PGame
⊢ -x + x ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.inr c.toCocone = c.inr
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
i : Nat
acc : Array α
⊢ (Array.ofFn.go f i acc).size = acc.size + (n - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∏ a ∈ s, f a).toNNRat = ∏ a ∈ s, (f a).toNNRat
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : (fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = 0 then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
g : β → γ
h : γ → δ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map h (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) = MeasureTheory.SimpleFunc.map (h ∘ g) f
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
b : α
⊢ b ∉ Finset.Iio b
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
n : ℕ
⊢ (↑n).toEnd = ↑n
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
⊢ FinStronglyMeasurable (-f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ ⨆ i ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s, (⇑ofDual ⁻¹' s ∩ Ici i).chainHeight = ⨆ i ∈ s, (⇑ofDual ⁻¹' (s ∩ Iic i)).chainHeight
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun x x_1 => L x
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
⊢ (I ⊔ J) * (I ⊓ J) = I * J
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.WellFoundedOn r
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x : A
⊢ IsUnit x ↔ Function.Bijective ⇑((Algebra.lmul R A) x)
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
A B : ℝ
hB : 0 < B
HABK : K ⊆ verticalStrip A B
⊢ TendstoUniformlyOn (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => ∑' (x_1 : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x_1) x) Filter.atTop K
M : Type u_3
N : Type u_4
G : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommGroup G
φ : N →+ G
ψ : M →+ N
⊢ (-φ).comp ψ = -φ.comp ψ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
f : β → α
l : Filter β
⊢ Tendsto (fun x => dist c (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α)
f g : ℝ → ℝ
hg : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
hf : f ~[Filter.atTop] g
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
⊢ A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ Filter.pi f
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ f i
a : Nat
⊢ 0 < ↑a ↔ 0 < a
ι : Type u_1
⊢ Monotone fun I => I.upper
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
⊢ c ∈ Finset.sumLift₂ f g a b ↔
  (∃ a₁ b₁ c₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ c = Sum.inl c₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁) ∨
    ∃ a₂ b₂ c₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c = Sum.inr c₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
⊢ (κ.fst a) {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
h : (C r).support = {0}
⊢ (C r).support.gcd (C r).coeff = normalize r
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ a = b ⊓ a
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ { app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ } ≫ whiskerRight (toSheafify J F.val) U = whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
⊢ (fun y => (x, y)) '' [y₁-[𝕜]y₂] = [(x, y₁)-[𝕜](x, y₂)]
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Complex.cosh (f x)) (Complex.sinh (f x) * f') x
m n : ℕ
hn : 1 < m
h : n ! = m !
hnm : m ! < m !
⊢ n = m
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasureTheory.OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.pi m) (Set.univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (‖f x‖ / ‖g x‖) c
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt n = 0 ↔ ¬IsPrimePow n
R : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
I : ι → R
hI : ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime (I i) (I j)
⊢ (↑Finset.univ).Pairwise (IsCoprime on I)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist (closure s) t = hausdorffEdist s t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
h : Nonempty ι
⊢ Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 (μ (⋂ i, s ∩ notConvergentSeq f g n i)))
⊢ Complex.sin (2 * ↑Real.pi) = 0
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace E
CompleteSpace (F × G)
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
hf : LinearMap.range f = ⊤
hg : LinearMap.range g = ⊤
hfg : IsCompl (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
⊢ (f.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl g hf hg hfg).toLinearEquiv = (↑f).equivProdOfSurjectiveOfIsCompl (↑g) hf hg hfg
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
⊢ (∀ (i : ι), IsCompact (s i)) → IsCompact {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).inv ≫ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homologyι j =
  (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α
a : α
⊢ (s.sup' hs fun b => t.sup' ht (f b)) ≤ a ↔ (t.sup' ht fun c => s.sup' hs fun b => f b c) ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).sym2 = image (fun b => s(a, b)) (insert a s) ∪ s.sym2
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
B : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ B
h : A = B
⊢ schnirelmannDensity A = schnirelmannDensity B
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f + -g)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
E' : Type u_3
Field E'
Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
⊢ IntermediateField.map f (IntermediateField.adjoin F S) = IntermediateField.adjoin F (⇑f '' S)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∏ x ∈ Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Ico (a + c) (b + c), f x
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s
f : Y✝ ⟶ i
⊢ F.map f (F.map g x) ∈ s ↔ x ∈ (F.map g ≫ F.map f) ⁻¹' s
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ ∃ k f g, F.map f xi = F.map g xj
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
x : ↑s
⊢ ↑((e.image s) x) = e ↑x
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Ici b = Set.Ici (b - a)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
⊢ D ↑n = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
a b x : α
hmem : x ∈ Set.Ioc a b
⊢ x = b ∨ x ∈ Set.Ioo a b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P
⊢ (homothety a (1 / 2)) b = midpoint k a b
M : Type u
SubNegMonoid M
PseudoEMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ edist (a - c) (b - c) = edist a b
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u✝ v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
⊢ deriv (fun y => u * v y) x = u * deriv v x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.sinh (f x)) s x = Real.cosh (f x) • fderivWithin ℝ f s x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop
this : Tendsto (fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree) atTop atTop
⊢ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ y ∈ affineSpan R {x, z}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ G) j ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.post F G =
  G.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
α : Type u
⊢ Filter.cocardinal α Cardinal.isRegular_aleph0 = Filter.cofinite
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : μ univ < ∑ i ∈ s, μ (t i)
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, ∃ (_ : i ≠ j), (t i ∩ t j).Nonempty
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he :
  ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y),
    (e X Y') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((e X Y) h) (G.map g)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjunctionOfEquivLeft e he).unit.app X =
  (e X (F_obj X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (F_obj X))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ η ≫ (sheafificationAdjunction J D).unit.app ((sheafToPresheaf J D).obj { val := Q, cond := hQ }) ≫ (sheafToPresheaf J D).map ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := Q, cond := hQ }) = η
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
CompleteSpace E
h : T.IsFormalAdjoint S
⊢ S ≤ T.adjoint
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
⊢ ClosedComplemented p
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ projectiveSeminorm ∈ upperBounds {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_15
Norm E
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → E
l : Filter α
g : α → 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : f =o[l] g
⊢ f =o[l] fun x => c * g x
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ Real.cos x.arg = x.re / Complex.abs x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.liftStar F M hM).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a (b + c) = toIcoMod hp (a - c) b + c
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc < i
⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) ≤ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
⊢ Irreducible f
α : Type u
a : α
S : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ (Stream'.Seq.cons (a, Stream'.Seq.nil) S).join = Stream'.Seq.cons a S.join
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α → β
⊢ PrimrecPred p → Primrec f → PrimrecPred fun a => p (f a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≤ a
hab : a < b
x : α
⊢ x ∈ filter (fun x => x ≤ a) (Ico a b) ↔ x ∈ {a}
α : Type u_1
ι : Sort u_6
m : MeasurableSpace α
Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b, f b)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype n
Fintype o
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : o → α
e₁ : l → m
e₂ : o ≃ n
⊢ M.submatrix e₁ ⇑e₂ *ᵥ v = (M *ᵥ v ∘ ⇑e₂.symm) ∘ e₁
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
w : ℝ
⊢ Real.fourierIntegral f w = ∫ (v : ℝ), Complex.exp (↑(-2 * π * v * w) * Complex.I) • f v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) x) = 0
α : Type u
⊢ Additive.ofMul.symm = Additive.toMul
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I
⊢ ¬J i → false = x i
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp f.fix k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal f.fix k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.codeSupp f (Turing.PartrecToTM2.Cont'.fix f k)
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ (⋃ i, t i) ∪ s = ⋃ i, t i ∪ s
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
⊢ ¬cd 0 ^ 2 + cd 1 ^ 2 = 0
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
⊢ (Finsupp.cons y s).support ⊆ insert 0 (Finset.map (Fin.succEmb n) s.support)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : ¬p a
⊢ ∀ (t : ℚ), ⨅ r, g a ↑r = g a t
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
x : α
h : (#α).ord = Ordinal.type r
⊢ (Ordinal.typein r x).card < #α