ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Iic b) = ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ AlgebraicGeometry.sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U) ↔
  ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f U (↑V) e)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ CategoryTheory.CommSq (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
α : Type u
β : Type v
f : α → Option β
g : α → β
l : List α
⊢ List.filterMap f l = List.map g l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : H₁.Normal
hH₂ : H₂.Normal
hdis : Disjoint H₁ H₂
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂
⊢ x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ H₁ ⊓ H₂
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 = RCLike.re ⟪y, x⟫_𝕜
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ ∀ (i j : Fin n.succ), of (fun i j => v i ^ ↑j) i j = of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) i j + vecCons 0 1 i * of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) 0 j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t
⊢ ¬IsBounded (image2 f s t)
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
h : ∀ (b : β), ∃ a, b ≤ f a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atTop
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ico a c
⊢ Set.Ioc a c ∈ 𝓝[>] b
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K
⊢ finrank F ↥K = 1 → K = ⊥
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
⊢ (rfindOpt f).Dom
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.outerMeasure ↑K
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f a < f b ↔ a < b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
h : M ≃+ N
⊢ IsAddMonoidHom ⇑h
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) = ball c f.rOut
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρV : Representation k G V
g : G
⊢ ρV.dual g = Module.Dual.transpose (ρV g⁻¹)
x : ℝ
⊢ (fun n => π * x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) = Complex.re ∘ fun n => ↑π * ↑x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - ↑x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : (Opposite.unop W).Arrow
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((J.diagramCompIso F P X).hom.app W)
    (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι ((Opposite.unop W).index (P.comp F)) i) =
  F.map (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι ((Opposite.unop W).index P) i)
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto Int.ceil (𝓝[>] x) (pure (⌊x⌋ + 1))
X : Type u_5
TopologicalSpace X
U : Set X
(x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
⊢ ⇑(LocallyConstant.ofIsClopen hU) ⁻¹' {1} = Uᶜ
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z => (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)
H : (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹
⊢ ‖z‖ * ‖∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ IsTorsionBySet R M s ↔ IsTorsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n ^ 3
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
⊢ ∀ (r : R), (Polynomial.aeval a) (hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (C r)) = (aeval fun o => o.elim a x) (C r)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
F : Type u_4
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
⊢ Subalgebra.toSubmodule (AlgHom.equalizer φ ψ) = LinearMap.eqLocus φ ψ
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ Set.range f = f '' mulTSupport f ∨ Set.range f = insert 1 (f '' mulTSupport f)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset (Additive α)
⊢ Additive.toMul s.sum = (Multiset.map (⇑Additive.toMul) s).prod
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
⊢ (∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → IndepFun f g μ
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
s : A → CategoryTheory.Functor C C
i : (i : A) → (s i).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D i)
a b : A
X : C
⊢ F.map ((CategoryTheory.Functor.FullyFaithful.hasShift.add hF s i a b).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((i b).hom.app ((s a).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map ((i a).hom.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X))
        ((i (a + b)).inv.app X)))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ IsLocalMin (fun x => b) a
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ≤ n ∨ m = n.succ → m ≤ n.succ
R : Type u
Semiring R
m n : ℕ
H : m ≤ n
⊢ Polynomial.degreeLT R m ≤ Polynomial.degreeLT R n
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom
k : ℕ
⊢ Nat.descFactorial 0 (k + 1) = 0
α : Type u
AddMonoid α
⊢ ⇑WithTop.addHom = WithTop.some
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : α → β
hl : l.HasBasis p s
⊢ (Filter.map f l).HasBasis p fun i => f '' s i
ι : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset β
f : ι → Finset α
⊢ Rel.interedges r (s.biUnion f) t = s.biUnion fun a => Rel.interedges r (f a) t
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
x y c : ℝ
⊢ (fun x => c) =o[atTop] log
Γ : Type u_1
StrictOrderedSemiring Γ
R : Type u_3
Semiring R
n : ℕ
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) (PowerSeries.X ^ n) = (HahnSeries.single ↑n) 1
M : Type u
AddMonoid M
X Y : CategoryTheory.Discrete M
⊢ (X ⊗ Y).as = X.as + Y.as
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
⊢ d.blocks = c.blocks
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u v : Finset α
⊢ s ∪ t ∪ (u ∪ v) = s ∪ u ∪ (t ∪ v)
ι : Type u_1
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Finset.Icc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t u : Finset α
⊢ (Finset.filter (fun x => Finset.addEnergy_eq_sum_sq'.match_1 (fun x => Prop) x fun a b => a + b ∈ u) (s ×ˢ t)).card ^
    2 ≤
  u.card * s.addEnergy t
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).PairwiseDisjoint (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.74494, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ
⊢ objD X n = (AlternatingFaceMapComplex.objD ((cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj (op X)) n).unop
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i
R : ℝ≥0∞
hR₀ : 0 < R
hR : closedBall x R ⊆ U i
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < ↑r
hrR : ↑r < R
⊢ ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, closedBall p.2 p.1 ⊆ U i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : T1Space G
hf : Multipliable f
⊢ (mulSupport f).Countable
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ¬⋯.order = ⊤
⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Monotone lowerClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) ⋯
⊢ o.bsup f = o.blsub f
α : Type
Finite α
B : CompHaus
X : α → CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ [CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π, CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π),
    ∀ (b : ↑B.toTop), ∃ a x, (π a) x = b].TFAE
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.Unramified R A
Algebra.Unramified A B
⊢ Algebra.Unramified R B
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n ~r l
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ (2 ^ c) ^ c ≤ 2 ^ c
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ { length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun (↑↑(Fin.natAdd p.length i) + 1) = q.toFun i
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 (r - p x)
⊢ y ∈ p.closedBall x r
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
x : 𝓞 K
⊢ x ^ 3 - 1 = (x - 1) * (x - ↑⋯.unit) * (x - ↑⋯.unit ^ 2)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
h₀ : Continuous C₀C
C₁C : ↑(π (C1 C ho) fun x => ord I x < o) → ↑C := fun x => ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩
h₁ : Continuous C₁C
⊢ (πs C o) (LocallyConstant.piecewise' ?refine_1 ⋯ ⋯ (LocallyConstant.comap { toFun := C₀C, continuous_toFun := h₀ } f) (LocallyConstant.comap { toFun := C₁C, continuous_toFun := h₁ } f) ?refine_2) = f
⊢ ONote.fastGrowing 2 = fun n => 2 ^ n * n
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.IsWide ↔ S.objs = Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ ‖x⋆⋆ * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i' : ι'
j : ι
hj : c'.Rel i' (e.f j)
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ e.BoundaryGE j
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.squashGCF n = g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign ≠ 0
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h
this : (h - g + -(f - g)).Pos
⊢ f < h
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ [∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C), S.ShortExact → (S.map F).Exact ∧ CategoryTheory.Epi (F.map S.g),
    ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C),
      S.Exact ∧ CategoryTheory.Epi S.g → (S.map F).Exact ∧ CategoryTheory.Epi (F.map S.g),
    ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y),
      Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0) F),
    Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F)].TFAE
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : x.im < 0
⊢ ↑(-x).arg = ↑x.arg + ↑π
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : Nonempty D
⊢ Nonempty C
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set A
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val ↔ ∀ p ∈ MvPolynomial.supported R s, (MvPolynomial.aeval id) p = 0 → p = 0
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : g ∈ (im φ hφ).arrows (φ.obj c) (φ.obj c')
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
⊢ l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
⊢ TendstoInMeasure μ f l g
R : Type u
CommSemiring R
p m n : ℕ
ExpChar R p
x : R
⊢ (iterateFrobenius R p (m + n)) x = (iterateFrobenius R p m) ((iterateFrobenius R p n) x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ t.to X = 𝟙 X
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
self : IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
⊢ x₁ + y₂ = x₂ + y₁
p : ℤ
n : ℕ
⊢ (ComplexShape.embeddingUpIntLE p).f n = p - ↑n
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ f ◁ (λ_ g).inv ≫ (α_ f (𝟙 b) g).inv = (ρ_ f).inv ▷ g
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
s : Set ι
t t' : (i : ι) → Set (α i)
(x : ι) → Decidable (x ∈ s)
⊢ Set.univ.pi (s.piecewise t t') = s.pi t ∩ sᶜ.pi t'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))
R : Type u
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map (f✝ ≫ g✝) = { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map f✝ ≫ { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map g✝
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cocone F
H : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c'
x y : ℝ
h : x < y
⊢ ∃ r, Irrational r ∧ x < r ∧ r < y
m n : ℕ
H : m * n = 1
⊢ m = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
⊢ ∀ (f_1 : C(↑(spectrum R a), R)), p ((starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) f_1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
r : α → α → Prop
⊢ Measurable (Quot.mk r)
F : Type u_12
A : outParam (Type u_13)
B : outParam (Type u_14)
Add A
Add B
EquivLike F A B
self : AddEquivClass F A B
f : F
a b : A
⊢ f (a + b) = f a + f b
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (↑H.unit).val.Coprime n
⊢ m.Coprime n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
x : F.obj (Opposite.op X)
Y : Cᵒᵖ
f : Opposite.unop Y ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.yonedaEquiv.symm x).app Y f = F.map f.op x
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ (inv (F.mapAction G).ε).hom = inv F.ε
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : Filter α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f a (pure b) ↔ ∀ᶠ (x : α) in a, f x = b
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
hf : IsNilpotent f
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M
⊢ IsNilpotent ((toMatrix b b) f).trace
p : Nat.Primes
⊢ (PrimeMultiset.ofPrime p).toNatMultiset = {↑p}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
⊢ StrictMono LinearPMap.domain
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / (↑(2 * k + 1) + 2) + (↑(2 * k + 1) + 1) / (↑(2 * k + 1) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = (2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ (p * q).IsPrimitive
n : ℕ
⊢ n.factorial ≤ n ^ n
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ η.hom) (F.map₂ η.inv) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.map f)
p n : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hn0 : n ≠ 0
⊢ p ∣ n ↔ padicValNat p n ≠ 0
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
l : List Γ
⊢ append (l₁ ++ l₂) ⟦l⟧ = append l₁ (append l₂ ⟦l⟧)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
CategoryTheory.MonoidalClosed C
CategoryTheory.MonoidalCategory.ClosedPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
Y Z : CategoryTheory.FullSubcategory P
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.ihom X).map f = (CategoryTheory.ihom X.obj).map f
xl xr : Type u
xR : xr → PGame
i : xl
xL : xl → PGame
j : (xL i).LeftMoves
⊢ ((xL i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
n : ℕ
⊢ fib (2 * n + 2) = fib (n + 1) * (2 * fib n + fib (n + 1))
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x z ≤ hammingDist x y + hammingDist y z
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp0 : IsUnit p.leadingCoeff
⊢ (normalize p).Monic
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hp : ¬p a
⊢ Finset.filter p (Finset.cons a s ha) = Finset.filter p s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
⊢ x₁ = x ∨ x₂ = x