ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
⊢ ∀ (x y : Cofix F), r' x y → Quot.mk r' <$> x.dest = Quot.mk r' <$> y.dest
M : Type u_2
Mul M
e : MulAut M
m : M
⊢ e⁻¹ (e m) = m
α : Type u
CommSemiring α
s : Set α
hs : Ideal.span s = ⊤
n : ℕ
⊢ Ideal.span ((fun x => x ^ n) '' s) = ⊤
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
R' : Type u_1
A : Type u_3
Monoid R'
Semiring A
(i : ι) → Module A (M₁ i)
Module A M₂
DistribMulAction R' M₂
ContinuousConstSMul R' M₂
SMulCommClass A R' M₂
f : ContinuousMultilinearMap A M₁ M₂
c : R'
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (c • f) m = c • f m
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
W W' : Subspace K V₁
h : IsCompl W W'
⊢ IsCompl (Submodule.dualAnnihilator W) (Submodule.dualAnnihilator W')
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hx : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => Real.log (f x)) x
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hlm : l ≤ m
⊢ filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
z : ℤ
n : ℕ
⊢ constantCoeff (z • X 0) = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ C (p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) = (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) * C q ^ 2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ image2 f (image2 (fun a b => g b a) t s) u = image2 (fun a b => g' b a) t (image2 f' s u)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ StableUnderGeneralization ∅
M : Type u_1
AddSemigroup M
a : Stream' M
s : Set (Set M)
sfin : s.Finite
scov : Hindman.FS a ⊆ ⋃₀ s
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ b, Hindman.FS b ⊆ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.conesEquiv F G).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c =>
      CategoryTheory.Limits.Cones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp G))).obj c).pt) ⋯)
    ⋯
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ HEq (F.map (f ≫ g)) (G.map (f ≫ g))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im.im = a.im
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (α × β)
⊢ l.toAssocList.length = l.length
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.addLeft a)) = fun x => -a + x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : ∀ (r : ℝ≥0), Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
⊢ p.radius = ⊤
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
h : (f i) x = 0
⊢ (f.toPartitionOfUnity i) x = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
hT₁ : IsClosed T₁
hT₂ : IsClosed T₂
T_decomp : connectedComponent t ⊆ T₁ ∪ T₂
T_disjoint : Disjoint T₁ T₂
h : connectedComponent t ⊆ T₁
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ico a b
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.tensorBimod Q).X L.X).inv ≫ (P.tensorBimod Q).actLeft ▷ L.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
⊢ (∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : (f x - f y) / (x - y) < (f u - f y) / (u - y)
⊢ slope f x y < f'
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
⊢ ({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ }).hom = (𝟙 (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 })).hom
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ : ↥s
⊢ EuclideanGeometry.angle ↑p₁ ↑p₂ ↑p₃ = EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.negPolynomial = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) W.negPolynomial
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ Profinite.pullback f g
hfst :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (Profinite.pullback.fst f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (Profinite.pullback.fst f g)
hsnd :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (Profinite.pullback.snd f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (Profinite.pullback.snd f g)
⊢ a = b
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : ∃ a ∈ Finset.range n, m - ↑a = 0
⊢ m ∈ Ico 0 ↑n
α : Type u_1
a : α
⊢ Measurable fun s => a ∈ s
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
x : ↥U
⊢ ↑x ∈ X.basicOpen f ↔ IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
⊢ (𝓝 x).bind 𝓝 = 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(-f) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ s ⊆ upperBounds (lowerBounds s)
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
⊢ CG L M ↔ Countable M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.ConcreteCategory C
⊢ CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.Faithful
n m : ℕ
h : n < m
⊢ List.Ico n m = n :: List.Ico (n + 1) m
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul M α
SMul N α
SMul M β
SMul N β
SMulCommClass M N α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x
⊢ SMulCommClass M N β
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
μ : MeasureTheory.Measure β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ↑‖f a‖₊) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : sInfHom α β
⊢ (sInfHom.id β).comp f = f
J : Type u₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.piEquivalenceFunctorDiscrete J C).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun F =>
      CategoryTheory.NatIso.ofComponents
        (fun j =>
          CategoryTheory.Iso.refl
            ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯,
                          map_comp := ⋯ }.comp
                      { obj := fun F => CategoryTheory.Discrete.functor F,
                        map := fun {X Y} f => CategoryTheory.Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯,
                        map_comp := ⋯ }).obj
                  F).obj
              j))
        ⋯)
    ⋯
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1
B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ cons a s ha \ cons b s hb = {a}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ WittVector.wittOne p n = 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : Set.MapsTo f S T
hne : T.Nonempty
⊢ ∃ y ∈ T, Set.EqOn f (Function.const α y) S
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η : ApplicativeTransformation F G
⊢ η.comp ApplicativeTransformation.idTransformation = η
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s
R₂ : ℝ
hR₂ : 0 < R₂
hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1
⊢ ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x * ↑m)
⊢ Irrational (x * ↑↑m)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖Complex.log (1 - z)⁻¹ - z‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2
ι : Type u
α : ι → Type v
i : ι
l : List ι
DecidableEq ι
v : List.TProd α (i :: l)
⊢ v.elim ⋯ = v.1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (f =O[l] fun x => ‖g' x‖) ↔ f =O[l] g'
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ ∀ (c : idx × ℕ →₀ ℕ), ↑(p ^ n) ∣ coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y z : α
f : x ⟶ z
g : y ⟶ z
⊢ limit (cospan f g) = Finset.univ.inf (cospan f g).obj
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
⊢ Sbtw R x y z ↔ y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
h : ∃ n, ∀ (k : ℕ), Ideal.map f p ≤ P ^ k → k ≤ n
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = Nat.find h
M : Type u_1
S T : Set M
Semigroup M
h : S ⊆ T
⊢ Subsemigroup.centralizer T ≤ Subsemigroup.centralizer S
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finset α
h : a ∈ s₁ ∩ s₂
⊢ a ∈ s₂
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : s ⊆ t
⊢ Continuous (Set.inclusion h)
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
s : Finset ι
hs : ∀ i ∉ s, 0 ≤ f i
hf : Summable f
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑' (i : ι), f i
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : SimplicialObject.Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
n : ℕ
⊢ (SimplicialObject.Split.nondegComplexFunctor.map Φ).f n = Φ.f n
α : Type u
ι : Type u_1
⊢ Matrix.row ι ![] = Matrix.of fun x => ![]
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
AddZeroClass H
f : G ≃* Multiplicative H
a : Additive G
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative'.symm f) a = (AddMonoidHom.toMultiplicative'.symm f.toMonoidHom) a
M : Type u_2
MulOneClass M
H : Submonoid M
b : { b // (fun x => x ∈ H.op) b }
⊢ ↑(H.equivOp.symm b) = MulOpposite.unop ↑b
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
d₁ : l → α
d₂ : m → α
⊢ Matrix.fromBlocks (Matrix.diagonal d₁) 0 0 (Matrix.diagonal d₂) = Matrix.diagonal (Sum.elim d₁ d₂)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⩿ b
h2 : a < b
⊢ a ⋖ b
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousAt f x}.Countable
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ closure s = s ∧ interior s = s ↔ closure s ⊆ interior s
X Y : AddMonCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)
⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : R
n : ℕ
hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0
P : Polynomial ℤ := 1 - (1 - Polynomial.X ^ n) ^ n
this✝ : (Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n ∣ P - P ^ 2
this : 1 - (1 - x ^ n) ^ n - (1 - (1 - x ^ n) ^ n) ^ 2 = 0
⊢ IsIdempotentElem (1 - (1 - x ^ n) ^ n)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
⊢ (A * B).FermatPsp b
x y : Nat
⊢ ↑(x >>> y) = ↑x / ↑(2 ^ y)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n✝ : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ f x ≤ f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + logGammaSeq x n
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
⊢ s.SOppSide x y ↔ s.SOppSide y x
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
⊢ κ.swapRight.fst = κ.snd
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = Set.univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = Set.univ
⊢ ((s₁ ∪ s₂).pi fun i => t₁ i ∩ t₂ i) = s₁.pi t₁ ∩ s₂.pi t₂
α : Type u_1
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
⊢ p.toFinset = s
s₁ s₂ : String
⊢ s₁ = s₂ ↔ s₁.data = s₂.data
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsSepClosed E
⊢ separableClosure F E = ⊥ ↔ IsSepClosed F
α : Type u
AddMonoid α
x y : α
h₁ : x + y = 0
h₂ : y + x = 0
⊢ -{ val := x, neg := y, val_neg := h₁, neg_val := h₂ } = { val := y, neg := x, val_neg := h₂, neg_val := h₁ }
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ mk (f * f.inv ⋯) = 1
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω < n
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω = N
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
s : Set α
⊢ (sSupHom.setImage f) s = f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
⊢ UniformEquicontinuous F
n : ℕ
l : Multiset ℕ
hl : l.sum = n
⊢ (Nat.Partition.ofSums n l hl).parts = Multiset.filter (fun x => x ≠ 0) l
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
⊢ (algebraMap E K₁) ((((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
⊢ n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
M : Type u_1
AddSemigroup M
Nonempty M
s : Set (Set M)
sfin : s.Finite
scov : ⊤ ⊆ ⋃₀ s
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ a, Hindman.FS a ⊆ c
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
a : α
⊢ (l.all fun a => decide (p a)) = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (G.obj X) (G.obj Y)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesColimitPair.iso G X Y).hom = CategoryTheory.Limits.coprodComparison G X Y
α : Type u
a : α
⊢ (a :: List.nil).length = 1
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
hc : ContinuousOn f A
R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]
g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → α
i : ↑(mulSupport g) → β
hi : Injective i
hf : mulSupport f ⊆ Set.range i
hfg : ∀ (x : ↑(mulSupport g)), f (i x) = g ↑x
⊢ ∏' (x : β), f x = ∏' (y : γ), g y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
⊢ (N.comap f).Basis I X
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ 0
⊢ AntitoneOn f D
G : Type u_1
Group G
⊢ Equivalence Commensurable
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
⊢ WithBot.recBotCoe True p ↑(s.sup' H f)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Iic (x i)) = Set.Iic x
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
d : ℕ
a : ℤ√↑d
⊢ a.Nonneg ∨ (-a).Nonneg
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
Ω : Type u_1
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
h_indep : ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ProbabilityTheory.IndepSet s t μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∑ x_1 : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), (canonicalEmbedding K) (((integralBasis K).repr x) x_1 • (integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))