ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
Monoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p x
⊢ p (s.noncommProd comm)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
K : Set α
hK₁ : IsCompact K
hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1
C : ℝ
hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
h_two : ENNReal.ofReal 2 = 2
⊢ eLpNorm (↑↑f) 2 μ ^ 2 < ⊤
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (C r * p).smeval x = r • p.smeval x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b = a + p - Int.fract ((a + p - b) / p) * p
m : ℕ
⊢ ↑(m / 0) = ↑m / ↑0
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ Antitone (seminormFromConst_seq c f x)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(G.nonuniformWitness ε U V).card ≤ ↑((SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id).card
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
⊢ (condCount s) t = 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).counitIso.hom.app X).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
⊢ ∑ r ∈ Finset.Iic (Fintype.card α), (𝒜 # r).card = 𝒜.card
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ c < a + -b ↔ c + b < a
o : Ordinal.{0}
h' : o < type fun x x_1 => x < x_1
h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω
⊢ (typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')).card < ℵ₀
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
F : Type u_3
FunLike F M M₂
AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_4
S : Type u_5
DivisionRing R
DivisionRing S
Module R M
Module S M₂
c : ℚ
x : M
⊢ f (↑c • x) = ↑c • f x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ ↑(e.restr s).symm = ↑e.symm
δ ε : ℝ
⊢ gronwallBound δ 0 ε = fun x => δ + ε * x
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
⊢ ↑(-π / 2) = ↑(π / 2) + ↑π
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ < Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
z w : (F ⨯ G).obj a
h1 : CategoryTheory.Limits.prod.fst.app a z = CategoryTheory.Limits.prod.fst.app a w
h2 : CategoryTheory.Limits.prod.snd.app a z = CategoryTheory.Limits.prod.snd.app a w
⊢ z = w
G : Type u_3
DivInvMonoid G
p : ConjAct G → Prop
⊢ (∀ (x : ConjAct G), p x) ↔ ∀ (x : G), p (ConjAct.toConjAct x)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f ⊤ ↔ BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => ∑ i ∈ s, f i a
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ (l.set n a)[n]? = some a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖ContinuousLinearMap.compSL E F G σ₁₂ σ₂₃‖ ≤ 1
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]
⊢ (∀ (m : M), (aeval a) p • m = 0) ↔ (aeval a) p = 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.C a) = if 0 = m then a else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ fderiv 𝕜 f x = h.toContinuousLinearMap
⊢ ∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1}, Functor.map f = Option.map f
α : Type u
β : Type v
as : List α
⊢ as.zipLeft [] = List.map (fun a => (a, none)) as
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝² : Category.{?u.10794, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{?u.10798, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D
W₂ : MorphismProperty C₂
E : C₁ ≌ C₂
hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor
hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W₁
iso : E.functor ⋙ L₂ ≅ L₁
h : W₁.IsInvertedBy (E.functor ⋙ W₂.Q)
⊢ L₂.IsLocalization W₂
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ (μ ↑K' • haarMeasure K').IsHaarMeasure
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), (mulHom A) ((of A i) y) = (mulHom A).flip ((of A i) y)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).hom ≫ prodSnd = prod.snd
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
⊢ (x ∪ y).IsTransitive
n x : ℕ
ih : ∀ (hx : x < n + 2), ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩
hx : x + 1 < n + 2
⊢ ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x + 1, hx⟩) 0) = ↑⟨x + 1, hx⟩
a : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Order.succ a) = Order.succ (Cardinal.lift.{v, u} a)
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app j ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app j
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
Subsingleton α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ ↑n ≤ (C a * X ^ n).trailingDegree
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
⊢ Symmetric R
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (x + y) ≤ max (seminormFromConst' hf1 hc hpm x) (seminormFromConst' hf1 hc hpm y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (Pi.single i a) (Pi.single i b)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
⊢ ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
this✝ : CharZero L
this : Module.Finite K L
⊢ FiniteDimensional ℚ L
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (ChainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 1 = X₁
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 + √↑5)
⊢ Irrational φ
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ ∀ (X_1 : (i : I) → ↑(π.obj (X i))), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).obj X_1 = (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).obj X_1
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f g : Fin n ↪o α
h : Set.range ⇑f = Set.range ⇑g
⊢ f = g
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
hn : n ≠ 1
hn' : n ≠ 0
⊢ 0 < n.factorization n.minFac
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
ContravariantClass M N μ fun x x_1 => x = x_1
PartialOrder N
CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
⊢ Polynomial.map (algebraMap R K) q ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) p ↔ q ∣ p
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n✝ : ℕ
a : M
n : ℕ
⊢ a ^ n * a = a * a ^ n
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : RatFunc K → Prop
x : FractionRing K[X]
f : ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → P (RatFunc.mk p q)
x✝ : K[X] × ↥K[X]⁰
p : K[X]
q : ↥K[X]⁰
⊢ P { toFractionRing := Localization.mk (p, q).1 (p, q).2 }
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ ker M.mulVecLin = ⊥ ↔ ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
this : f ^ n ≠ 0
⊢ HomogeneousLocalization.mk z = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
t : Set E
x : E
n : ℕ∞
g : F → G
f : E → F
h : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f t x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) t x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
⊢ s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
F : Type u → Type v
Applicative F
LawfulApplicative F
α β : Type u
f : α → β
⊢ (fun x => Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = fun x => f <$> x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
⊢ y ≤ x
n : Nat
i j : Fin n
h : i ≠ j
⊢ i < j ∨ i > j
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ abv (∑ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, abv (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : Filter α
k✝ f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
l : Filter α
k : α → β
z : ℕ
⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * 0 a) l (𝓝 0)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
x : α
p : ℝ
hf : ContinuousAt f x
h : f x ≠ 0 ∨ 0 ≤ p
⊢ ContinuousAt (fun x => f x ^ p) x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (L v) x v
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.functorEquivalence J C).counitIso =
  CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).head? = some a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Pretrivialization.linearEquivAt R e b hb) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ
⊢ IntegrableOn f (Iic 0) μ
a b c : Int
h : c < a + b
⊢ -a < b - c
α : Type u_2
Zero α
LinearOrder α
⊢ Finset.min 0 = 0
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
⊢ (QuotientGroup.mk' N).ker = N
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}
⊢ p ∈ S
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
⊢ Polynomial.content 0 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => star (f x)) ((↑(starL' 𝕜)).comp f') x L
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s ≤ f (cons a s ha)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
r s : R
i j : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial i) r ∣ (MvPolynomial.monomial j) s ↔ (s = 0 ∨ i ≤ j) ∧ r ∣ s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝
h : l₁ ++ l <+ l₂ ++ l
⊢ l₁ <+ l₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsSeqCompact s
x : ℕ → X
hx : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, x n ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
l₁ l₂ : Filter α
⊢ (diagonal α)ᶜ ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ Disjoint l₁ l₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ) → (∀ k ∈ Ico m (n + 1), IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m (n + 1), ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a (n + 1), f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ e⁻¹ = e.symm
R : Type u_1
S : Type u_2
MonoidWithZero R
MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
FunLike F R S
MonoidWithZeroHomClass F R S
hr : IsNilpotent r
f : F
⊢ IsNilpotent (f r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
b : β
s : Finset α
LinearOrder β
c : β
⊢ Finset.fold min b f s < c ↔ b < c ∨ ∃ x ∈ s, f x < c
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
⊢ ∑' (k : ℕ), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
hJ : J.IsPrime
f : R →+* P
h : I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl
x : R
hx : x ∉ I
⊢ x ∉ Ideal.comap f J
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs ys : List α
⊢ List.filter p l₁ <:+: List.filter p xs ++ List.filter p l₁ ++ List.filter p ys
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x
⊢ ∃ a ∈ factors C s x, (LocallyConstant.evalMonoidHom y) a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
self : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
m : t.pt ⟶ s.pt
⊢ (∀ (j : J), t.ι.app j ≫ m = s.ι.app j) → m = self.desc s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M' × N'
x : M
⊢ SmoothAt I (I'.prod J') f x ↔ SmoothAt I I' (Prod.fst ∘ f) x ∧ SmoothAt I J' (Prod.snd ∘ f) x
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x' ≤ x
⊢ (x.insertLeft x').Numeric
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a / c) (b / c)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j : n
⊢ LinearMap.toMatrix' f i j = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
⊢ (Sequential.isoOfHomeo f).inv = { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ
⊢ ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (𝟙 j))).app U = ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) (𝟙 ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j))).app U
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Path v u
h : G.Adj u v
he : s(u, v) ∉ (↑p).edges
⊢ (Walk.cons h ↑p).IsCycle
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
U : ↑Y.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
s : ℂ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ((starRingEnd ℂ) s - 1) = (starRingEnd ℂ) (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μα : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
SemilatticeSup ι
NoMaxOrder ι
Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep s κ μα
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ toMultiset f < toMultiset g ↔ f < g
R : Type u_3
CommRing R
x : R
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n