ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M N O : Mod_ A
f : M.Hom N
g : N.Hom O
⊢ (Mod_.comp f g).hom = f.hom ≫ g.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ Set.InjOn f s
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∑ i ∈ s, f i).toFinsupp = ∑ i ∈ s, (f i).toFinsupp
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
hpq : p ≤ comap f q
hqr : q ≤ comap g r
⊢ comap q.mkQ (ker (q.liftQ (r.mkQ ∘ₗ g) ⋯)) = comap q.mkQ (range (p.liftQ (q.mkQ ∘ₗ f) ⋯)) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
AddGroup H
AddAction H α
VAddCommClass H G α
g : H
⊢ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G (g +ᵥ s) = g +ᵥ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ 1} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)
⊢ IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X Y : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ↑(X + Y) = ↑X + ↑Y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k n : ℕ
⊢ ‖p.changeOriginSeries k n‖₊ * r ^ n ≤ (∑' (x : { s // s.card = n }), ‖p (k + n)‖₊) * r ^ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s✝ t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
⊢ cylinder s S ∈ measurableCylinders α
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ (κ.restrict hs).compProd (η.restrict ht) = (κ.compProd η).restrict ⋯
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
i : I
⊢ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
b : β
⊢ b ∈ pmap f l H ↔ ∃ a h, f a ⋯ = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ IsOpen {x | CPolynomialAt 𝕜 f x}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y * d) (d • c') x
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
⊢ Ordinal.sup f < c
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ : F
⊢ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range φ) = Set.range ⇑φ
m n₁ n₂ : ℕ
NeZero n₁
NeZero n₂
⊢ qrSign m (n₁ * n₂) = qrSign m n₁ * qrSign m n₂
α : Type u_1
δ : α → Type u_7
(i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ≤ g i
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ≤ g i
⊢ s.piecewise f₁ f₂ ≤ g
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ 0 < (MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
g' : (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt ⟶ (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt := hp.desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
hg' : g' = 𝟙 (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt
wι : 0 ≫ g' = 0
⊢ S.RightHomologyData
X : TopCat
x : ↑X
U : (TopologicalSpace.OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ (TopologicalSpace.OpenNhds.map (𝟙 X) x).op.obj U = U
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ Rat.ofScientific (OfNat.ofNat m) s (OfNat.ofNat e) = OfScientific.ofScientific m s e
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)
⊢ Disjoint (c ⊔ b) a
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N
⊢ x ∈ map f.toMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K
R : Type u
Ring R
r : R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C r).natDegree ≤ 1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
⊢ α.inv.app (op U✝) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ f x ≤ ‖f‖
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (a • h.h₂) + (a • h.h₁) ≫ S₂.f + a • φ₂.τ₂
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ (M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = ↑m * (algebraMap R S) y
n : ℕ
α₀ : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α₁ : TypeVec.{u_2} (n + 1)
α₂ : TypeVec.{u_3} (n + 1)
f₀ : α₀.Arrow α₁
f₁ : α₁.Arrow α₂
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.comp f₁ f₀) = TypeVec.lastFun f₁ ∘ TypeVec.lastFun f₀
c : Nat.Partrec.Code
n : ℕ
⊢ c.eval n = Nat.rfindOpt fun k => Nat.Partrec.Code.evaln k c n
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = none
⊢ List.replaceF p (a :: l) = a :: List.replaceF p l
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ (f ∘ f^[n]) x = f (f^[n] x)
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H K : Subgroup G
⊢ closure ↑H ⊔ closure ↑K ≤ H ⊔ K
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
⊢ Filter.map f Filter.atTop = Filter.atTop
R : Type u
Ring R
I J K : Ideal R
⊢ ↑I ⊆ ↑J ∪ ↑K ↔ I ≤ J ∨ I ≤ K
G H : AddGrp
g : ↑G
⊢ 0 g = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
hs : SetIndependent s
⊢ s.Finite
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_3
Finite ι
f : ι → AddSubgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ i, f i).FiniteIndex
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁ᶜ
h₂ : IsOpen s₂ᶜ
⊢ IsOpen (s₁ ∩ s₂)ᶜ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h : ¬Disjoint I (hC.diffFinset₀ hs hI)
⊢ False
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k
contra : ¬μ₁ = μ₂
⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k = ⊥
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c = Composition.ones n ↔ ∀ i ∈ c.blocks, i = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : β → α
a : α
s : Set α
l : Filter β
h : Tendsto f l (𝓝[s] a)
⊢ ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ s
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.ContainsIdentities
J : Type
Finite J
CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape J C
hW : W.IsStableUnderProductsOfShape J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape J D
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α' : Type u_8
tX : TopologicalSpace X
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
⊢ Equicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), Equicontinuous F
y : ℝ*
r s : ℝ
hys : y.IsSt s
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq x).IsSt r
⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) y) (f r s)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
ContinuousAdd α
DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Summable (Function.update f b 0)
⊢ ∑' (x : β), f x = f b + ∑' (x : β), if x = b then 0 else f x
n : ℕ
⊢ (List.map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
hM : IsNilpotent M
⊢ IsNilpotent (M.charpoly - Polynomial.X ^ Fintype.card n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)
hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m
⊢ (map Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction (fun s_1 => m (Subtype.val '' s_1)) ⋯) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ t = p.moduleFilterBasis.topology
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm (-f) p μ < ⊤
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : R
⊢ MulOpposite.op (inl x).fst • (inl x).snd = (inl x).fst • (inl x).snd
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
a b : α
hg : pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ π b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
SemilatticeSup F
Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε
ι : Sort u_2
α : ι → Sort u_3
⊢ ∀ {x : Unique ι} (x_1 : α default), uniqueElim x_1 default = x_1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m
hj₂ : u j ω ∈ s
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
⊢ induced (f ∘ Prod.fst) inst✝⁴ ⊓ induced (g ∘ Prod.snd) inst✝² = induced (Prod.fst ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝⁴ ⊓ induced (Prod.snd ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝²
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
MeasureTheory.NoAtoms μ
b : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun δ => μ (Set.Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝 0) (𝓝 0)
M : Type u_1
Monoid M
x : M
⊢ IsSubmonoid (powers x)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
⊢ ⇑f.toInfTopHom = ⇑f
m n : ℕ
⊢ m + 1 ≤ m + 3 + 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
OrderedCommSemiring R
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → R
hi : i ∈ s
h2i : g i + h i ≤ f i
hgf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j ≤ f j
hhf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j ≤ f j
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
hh : ∀ i ∈ s, 0 ≤ h i
⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i ≤ ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
G : Type u_1
H : Type u_2
AddCommMonoid G
AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
⊢ IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
σ : Perm α
m n : ℤ
x : α
⊢ (σ ^ m) ((σ ^ n) x) = (σ ^ n) ((σ ^ m) x)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
⊢ ∀ (y : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X), Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj y = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj y → ∃! x, Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = y
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
Invertible A
⊢ LinearIndependent K fun i => A.transpose i
t : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => (1 + t / x) ^ x) atTop (𝓝 (rexp t))
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (CommRingCat.Colimits.coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (CommRingCat.Colimits.coconeMorphism F j) x
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h : IsUnramified k w
⊢ ∀ ⦃x : K ≃ₐ[k] K⦄, x ∈ Stab (mk w.embedding) → x ∈ ⊥
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
i j : ι
hij : j ≠ i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hlt : 1 < f j
hle : ∀ k ∈ s, k ≠ i → 1 ≤ f k
⊢ f i < ∏ k ∈ s, f k
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
⊢ False
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : ν s = 0
⊢ μ s = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
this : HasCoproduct X
h : (Pi.lift fun i => F.map (c.inj i).op) = F.map (Pi.lift fun i => (c.inj i).op) ≫ piComparison F fun i => op (X i)
⊢ (piComparison F fun x => op (X x)) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Pi.lift fun i => (c.inj i).op) ≫ piComparison F fun i => op (X i)
α : Type u_2
Preorder α
AddZeroClass α
⊢ ⇑(OrderAddMonoidHom.id α) = id
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
f' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else f x, map_zero' := ⋯ }
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
⊢ 1 < a ^ n
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ Gamma (1 / p + 1) = 1 / p * Gamma ((0 + 1) / p)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
M : Type u_5
N : Type u_6
Pₗ : Type u_12
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module S N
Module R Pₗ
Module S Pₗ
SMulCommClass S R Pₗ
R' : Type u_16
S' : Type u_17
Semiring R'
Semiring S'
Module R' M
Module S' N
Module R' Pₗ
Module S' Pₗ
SMulCommClass S' R' Pₗ
SMul S' S
IsScalarTower S' S N
IsScalarTower S' S Pₗ
SMul R' R
IsScalarTower R' R M
IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
m : M
⊢ ∀ (x : N), ((LinearMap.restrictScalars₁₂ R' S' B) m) x = (B m) x
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
⊢ IsRelPrime x 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
α : Type u_1
LE α
a : α
h : IsBot a
⊢ IsMin a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+: l₂ → l₁ <+ l₂
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ ¬f = C (f.coeff 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
n : ℕ
⊢ ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) n = (ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)) n
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)
⊢ C (↑h.unit⁻¹ * (a - b)) = 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L (F.comp R)
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preRight L F R).obj X).right = F.obj X.right
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl)
x : m ⊕ n
l : m
hx : σ x = Sum.inl l
⊢ x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inr
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : (i2, μ.rowLen i1) ∈ μ
⊢ (i1, μ.rowLen i1) ∈ μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : S
⊢ g (eval₂ f x p) = eval₂ (g.comp f) (g x) p
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g : G
S : Set G
hS : closure S = ⊤
⊢ center G = ⨅ g, centralizer ↑(zpowers ↑g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a x : α
⊢ (fun x => f (a - x)) (x + c) = (fun x => f (a - x)) x
R : Type u
CommRing R
Nontrivial R
DecidableEq R
x y : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x (Polynomial.X - Polynomial.C y) = if x = y then 1 else 0
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
CompleteSpace E
l'.IsMeasurablyGenerated
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
huv : v ≤ᶠ[lt] u
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ + (μ (Set.Ioc (v t) (u t))).toReal • c) =o[lt] fun t =>
  (μ (Set.Ioc (v t) (u t))).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
b : WithBot α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ * b = ⊥
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j
h_lt : i < j
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif :
  ∀ (f g : Multiset α),
    (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
⊢ UniqueFactorizationMonoid α
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
h : OnePoint.infty ∉ s
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (OnePoint.some ⁻¹' s) ∧ IsCompact (OnePoint.some ⁻¹' s)