ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ ∏ _k : { w // w.IsComplex }, (2⁻¹ • !![1, 1; -I, I]).det = ∏ _k : { w // w.IsComplex }, 2⁻¹ * I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsLUB (range Rat.cast ∩ Iio a) a
⊢ MeasurableSet (Iio a)
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
ι : Type u_1
Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.flip.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
f' : E →L[𝕜] ℂ
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => Complex.exp (f x)) (Complex.exp (f x) • f') x
A : Type u_2
CommRing A
a : A
⊢ (PowerSeries.rescale a) PowerSeries.X = (PowerSeries.C A) a * PowerSeries.X
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
⊢ (multiplicity (↑p) z).Dom
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : HoldsForLocalizationAway fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hf : Function.Bijective ⇑f
this : Algebra R S := f.toAlgebra
⊢ P f
x : SetTheory.PGame
i : (-x).RightMoves
⊢ x.moveLeft (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg.symm i) = -(-x).moveRight i
α : Sort u
β : Type v
b : β
⊢ (PLift.rec fun x => b) = fun x => b
α : Type u_1
NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[Filter.atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, g i) Filter.atTop Filter.atTop
⊢ (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) =o[Filter.atTop] fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, g i
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
∀ (n : β), Countable (ι n)
d : ℝ
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Filter.Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), EMetric.diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
⊢ μH[d] s ≤ Filter.liminf (fun n => ∑' (i : ι n), EMetric.diam (t n i) ^ d) l
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) ≤ U
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.oangle x y).cos = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)
X : Type u
s₁ s₂ : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s₁ → IsClosed s₂ → IsClosed (s₁ ∪ s₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (mk ⁻¹' (mk '' s))
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
μ : MeasureTheory.Measure E
X : Ω → E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, MeasureTheory.pdf X ℙ μ x < ⊤
s : List Char
i p : String.Pos
c : Char
⊢ String.utf8GetAux s (i + c) (p + c) = String.utf8GetAux s i p
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : s = ∅ ∨ t = ∅
⊢ False
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ CategoryTheory.Limits.image φ
CategoryTheory.Epi e
i : CategoryTheory.Limits.image φ ⟶ Δ''
CategoryTheory.Mono i
fac : e ≫ i = φ
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage φ = e
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R
⊢ IsRelPrime x (z * x + y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk (𝟙 Y) (𝟙 Y) ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Y ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ Function.Injective ⇑AddMonoid.Coprod.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = Filter.comap Prod.swap (g ×ˢ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α
⊢ sSup (f '' s) = ⨆ a ∈ s, f a
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = c -ᵥ p
hnot : k₂ = 1
⊢ False
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β₀ β₁ β₂ : Type u
g : β₀ → F β₁
g' : β₁ → G β₂
⊢ Functor.Comp.mk ∘ Functor.map (Bitraversable.tsnd g') ∘ Bitraversable.tsnd g =
  Bitraversable.tsnd (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map g' ∘ g)
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ B → 1 ∈ U
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
s : Finset β
f : β → Matrix m n α
M : Matrix l m α
⊢ M * ∑ a ∈ s, f a = ∑ a ∈ s, M * f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A ≠ ⊤
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type
w✝¹ : Field K
w✝ : CharP K p
H : Infinite K
⊢ dickson 1 ((ZMod.castHom ⋯ K) 1) p = X ^ p
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
⊢ l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ u • a • x + v • a • y ∈ (convexHull ℝ) s
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
Y : C
f : X ⟶ Y
j : J
t : h.hom.app Y { down := 𝟙 X ≫ f } = F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })
⊢ (h.hom.app Y { down := f }).app j = (h.hom.app X { down := 𝟙 X } ≫ (const J).map f).app j
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : ℚ
⊢ ⌈↑x⌉ = ⌈x⌉
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E
K_pos : 0 < K
⊢ f.normed μ x ≤ K ^ finrank ℝ E / (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
Subsingleton S
self : R × S
⊢ (RingEquiv.prodZeroRing R S).symm self = self.1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : X → M
x : X
hf : ContinuousAt f x
n : ℕ
⊢ ContinuousAt (fun x => n • f x) x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G
⊢ N.ρ g = ((Action.forget V G).mapIso f).conj (M.ρ g)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure X
Y : Type u_5
MeasurableSpace Y
e : X ≃ᵐ Y
f : Y → E
s : Set Y
⊢ ∫ (y : Y) in s, f y ∂MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ = ∫ (x : X) in ⇑e ⁻¹' s, f (e x) ∂μ
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[x, y]] ⊆ s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
CommRing T
LocalRing T
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* T
⊢ LocalRing.ResidueField.mapEquiv (e₁.trans e₂) =
  (LocalRing.ResidueField.mapEquiv e₁).trans (LocalRing.ResidueField.mapEquiv e₂)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
⊢ ∃ y, i y.2 = x ^ p ^ y.1
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
i : n
⊢ 1 i i = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ AEMeasurable g μ
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
h : MultilinearMap R t E
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((lift h ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((lift (h.compLinearMap f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
α : Type u_1
s₁ : Set α → Prop
has_empty✝¹ : s₁ ∅
has_compl✝¹ : ∀ {a : Set α}, s₁ a → s₁ aᶜ
has_iUnion_nat✝¹ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₁ (f i)) → s₁ (⋃ i, f i)
s₂ : Set α → Prop
has_empty✝ : s₂ ∅
has_compl✝ : ∀ {a : Set α}, s₂ a → s₂ aᶜ
has_iUnion_nat✝ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₂ (f i)) → s₂ (⋃ i, f i)
h : ∀ (s : Set α), { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ }.Has s ↔ { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }.Has s
this : s₁ = s₂
⊢ { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ } = { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a / b * (c / a) = c / b
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a * star a = ↑(a * star a).re
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
⊢ dist Q.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov ≤ 2 * (ε / 3)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = -⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 + ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = 2 * (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ t ∪ ⋂ i, s i = ⋂ i, t ∪ s i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
h : (I.prod J).boundary (M × N) = (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ := Trans.trans (Trans.trans (Trans.trans rfl (boundary_eq_complement_interior (I.prod J))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _aᶜ = (I.interior M ×ˢ J.interior N)ᶜ) (interior_prod J))) (Eq.refl (I.interior M ×ˢ J.interior N)ᶜ))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a = (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ) (compl_prod_eq_union (I.interior M) (J.interior N)))) (Eq.refl ((I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ)))
⊢ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ ∪ (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ = univ.prod (J.interior N)ᶜ ∪ (I.interior M)ᶜ.prod univ
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommGroup γ
f : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
⊢ (f.prod fun i b => (h i b)⁻¹) = (f.prod h)⁻¹
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
x y : UInt8
⊢ (x % y).toNat = x.toNat % y.toNat
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
⊢ Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) x
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
b : k
a : k
hb : 0 < b
⊢ a - ↑⌊a / b⌋ * b < b
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective (Function.invFun f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.scMap φ h₁ h₂ i hi).τ₂ = φ.app ⟨i + 1, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.iCycles S.pOpcycles = 0
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁.tail ⋈ s₂.tail = (s₁ ⋈ s₂).tail.tail
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
c : 𝕜
hc : 0 < c
y : E
hy : y ∈ s
hx : c • y ∈ toCone s hs
⊢ c • y ∈ t
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
this : f (g * g⁻¹, g) * f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) * f (g, g⁻¹ * g)
⊢ g • f (g⁻¹, g) / f (g, g⁻¹) = f (1, 1) / f (g, 1)
α : Sort u
β : Sort v
q : β → Prop
e : α ≃ β
⊢ (∀ (a : α), q (e a)) ↔ ∀ (b : β), q b
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
⊢ StrictAnti fun x => f x + g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => f y - g y) x = fderiv 𝕜 f x - fderiv 𝕜 g x
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α × β) = Filter.map (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β)
α : Type u
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
z : α × β
i : ℕ
⊢ (l₁.zip l₂).get? i = some z ↔ l₁.get? i = some z.1 ∧ l₂.get? i = some z.2
a : ℤ
n : ℕ
⊢ (succ ∘ succ^[n]) a = a + ↑n + 1
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A B : Matrix n' n' R
h : Commute A B
m : ℤ
⊢ Commute A (B ^ m)
α : Type u_1
LE α
⊢ ⊤.compl = ⊤
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
⊢ ∃ a, θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' : Box ι
Hne : J₁' ≠ J₂'
x : ι → ℝ
hx₁ : x ∈ ↑J₁'
hx₂ : x ∈ ↑J₂'
hJ₂ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₁).boxes
⊢ J₁' = J₂'
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
a : 𝓞 K
⊢ hζ.adjoinEquivRingOfIntegers'.symm a = (IsIntegralClosure.lift ℤ (↥(Algebra.adjoin ℤ {ζ})) K) a
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
β : Type u_4
s : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β s
wf : ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})
b : β
f : Subrel s {b_1 | s b_1 b} ≺i s := PrincipalSeg.ofElement s b
b' : ↑{b_1 | s b_1 b}
hb' : s (f.toRelEmbedding b') b
⊢ Acc s (f.toRelEmbedding b')
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ x ∈ Metric.cthickening δ E
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ Summable fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
⊢ s.card ≤ t.card
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
x : ↑s
⊢ ↑((s.embeddingOfSubset t h) x) = ↑x
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
⊢ Multiset.card (map i p).roots = (map i p).natDegree
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
y : N
⊢ y ∈ f.range ↔ ∃ x, f x = y
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Mathlib.Vector α n
f : α → β
⊢ (Mathlib.Vector.map f v).toList = List.map f v.toList
M : Type u_1
Mul M
S : Set M
⊢ S.centralizer.centralizer.centralizer = S.centralizer
α : Type u_2
Monoid α
p : { p // p.1 * p.2 = 1 ∧ p.2 * p.1 = 1 }
⊢ ↑((unitsEquivProdSubtype α).symm p)⁻¹ = (↑p).2
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X : Set α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.Basis J (J ∪ X)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hfv : AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
⊢ AlgebraicIndependent R x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)
⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index P).L
⊢ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 𝟙 (P.obj (op i.Y)) = Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i