ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
n : ℕ
this : ((pure a).thinkN n).Results a (0 + n)
⊢ ((pure a).thinkN n).Results a n
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
j : Fin n
h : i.castPred hi = j
⊢ i = j.castSucc
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i j : Ordinal.{u}
hij : i ≤ j
⊢ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ≤ ⋃ j_1, ball (p.c (p.index ↑j_1)) (p.r (p.index ↑j_1))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
h5 : Integrable B μ
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
r : ↥p
⊢ f ↑r ∈ Submodule.map f p
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
d : G.Dart
⊢ f.mapDart d = { toProd := Prod.map (⇑f) (⇑f) d.toProd, adj := ⋯ }
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : Set.MapsTo f s t
ht : t.Finite
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x < y ∧ f x = f y
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V
⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
α : Type u
a : α
n k : ℕ
⊢ (List.replicate n a).rotate k = List.replicate n a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ ∀ (N : ℕ), n < N → (trunc (n + 1) f).coeff N = 0
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
x y : R
⊢ (∃ a b, y ∣ b ∧ a * x + b = 1) ↔ IsCoprime x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →WOT[𝕜]F
c : 𝕜
x : E
⊢ (c • f) x = c • f x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddMonoid G
a : G
b : k
n : ℕ
⊢ AddMonoidAlgebra.single a b ^ n = AddMonoidAlgebra.single (n • a) (b ^ n)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
⊢ SmoothOn I I (↑f) f.source
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
TopologicalSpace α
f : α → P
⊢ Continuous (⇑e ∘ f) ↔ Continuous f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X : J
tX : IsTerminal X
F : J ⥤ C
j j' : J
k : j ⟶ j'
⊢ F.map k ≫ F.map (tX.from j') = F.map (tX.from j) ≫ 𝟙 (F.obj X)
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)
x : A ⊗[R] M₂
⊢ Q₁ x = Q₂ x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
ha : (Set.Iio a).Nonempty
⊢ interior (Set.Ici a) = Set.Ioi a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
⊢ ⨅ q, f a ↑q ≤ ⨅ q, f a ↑q
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
h : x ∈ Set.Ioc a b
⊢ x ∈ Set.Icc a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
as : List α
⊢ ∀ (a : List α), ∀ s ∈ traverse 𝓝 a, ∀ᶠ (y : List α) in traverse 𝓝 a, s ∈ traverse 𝓝 y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
⊢ OpenEmbedding ⇑(D.ι i).base
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
p'' : Filter ι
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hp : p'' ≤ p
⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p'' p'
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
⊢ s.Nonempty → ¬BddBelow s
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ take n l ++ modifyHead f (l[n] :: drop (n + 1) l) = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
⊢ p % 4 = 3
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z : ℂ
⊢ Complex.orientation.rightAngleRotation z = I * z
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : V → W
inst✝ : Subsingleton V
v w : V
⊢ G.Adj v w → (SimpleGraph.comap f G').Adj v w
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ (affineSpan k s).direction = vectorSpan k s
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
z : M
hz : z ∈ (fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
⊢ z ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
hp : p ≠ 0
⊢ moment 0 p μ = 0
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
⊢ Function.RightInverse ⇑(lTensor (↥I) i) ⇑(lTensor (↥I) r)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
⊢ spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I = ↑I.num
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
n : ℕ
⊢ spectrum ℂ (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' spectrum ℂ a
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.map (RingHom.id R) = W
α : Type u_8
Monoid α
⊢ Function.Injective ⇑(Units.embedProduct α)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p * q).nextCoeff = p.nextCoeff + q.nextCoeff
s : ℂ
⊢ ↑π ^ ((s - 1) / 2) * ↑π ^ ((-1 - s) / 2) * (↑π / sin (↑π * ((1 - s) / 2))) = ↑π ^ ((s - 1) / 2) * ↑π ^ ((-1 - s) / 2) * ↑π / sin (↑π / 2 - ↑π * s / 2)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
f✝ : α → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_int : ∫ (x : α), ⟪∫ (x : α), f x ∂μ, f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ (l.balanceL x r).size = l.size + r.size + 1
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
l : Filter α
g₁ g₂ : α → F
h : f =o[l] g₁
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x
⊢ f =o[l] g₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑C
l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)
⊢ l.prod x = (LocallyConstant.evalMonoidHom x) l.prod
α : Type u
RatCast α
q : ℚ
⊢ (↑q).down = ↑q
R : Type u_10
V : Type u_11
P : Type u_12
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AffineSpace V P
p : P
t : Rˣ
⊢ ⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom p) t) = ⇑(AffineMap.homothety p ↑t)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g✝ : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x
x✝ : ι
⊢ f x✝ = g (h x✝)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) + (-x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + (x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) + -x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)))) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + (-x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + -x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y)))))
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P✝ : α → Sort w
e✝ : α ≃ β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
g : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
⊢ ∀ (hZa : e.symm b = e.symm b), hZa ▸ g b = g b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁₂ : S₁.Hom S₂
φ₂₃ : S₂.Hom S₃
⊢ (φ₁₂.comp φ₂₃).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₂ φ₂₃.τ₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
⊢ y ∈ interior s
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
s : Set X
f g : X → Y
h : f =ᶠ[𝓝ˢ s] g
⊢ Set.EqOn f g s
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
hc : ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ c.val)
⊢ c = χ₀ n g
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H.relindex K = 1 ↔ K ≤ H
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : ℝ≥0∞
⊢ (x✝ ^ 0)⁻¹ = x✝⁻¹ ^ 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ ⇑(LieModule.chainTop α β) = LieModule.chainTopCoeff α β • α + ⇑β
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
⊢ a ∈ MulAction.orbit M a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : ∏ k ∈ range n, (X - C (μ ^ (k + 1) * 1)) = ∑ i ∈ range (n + 1), X ^ i
⊢ ∏ k ∈ range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
f : α → β
⊢ Filter.map f Filter.atBot = ⨅ a, 𝓟 (f '' {a' | a' ≤ a})
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
⊢ l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
h : (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
⊢ (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ = s.max' H
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
a : α
inst✝ : Finite ↑(orbit G a)
ϕ : ↑(orbit G a) ≃ G ⧸ stabilizer G a := orbitEquivQuotientStabilizer G a
this : Finite (G ⧸ stabilizer G a)
⊢ ∃ n, Nat.card ↑(orbit G a) = p ^ n
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ (f.domRestrict p) x = f ↑x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ ¬x ∈ {y}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝³ : LinearOrder γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderClosedTopology γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ MeasurableSet {a | ¬f a ≤ g a}
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
⊢ |∑ x ∈ range 0, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1) + 2⁻¹ ^ (0 + 1) / (↑0 + 1) + 2⁻¹ ^ (1 + 1) / (↑1 + 1) + 2⁻¹ ^ (2 + 1) / (↑2 + 1) + 2⁻¹ ^ (3 + 1) / (↑3 + 1) + 2⁻¹ ^ (4 + 1) / (↑4 + 1) + 2⁻¹ ^ (5 + 1) / (↑5 + 1) + 2⁻¹ ^ (6 + 1) / (↑6 + 1) + 2⁻¹ ^ (7 + 1) / (↑7 + 1) + 2⁻¹ ^ (8 + 1) / (↑8 + 1) + 2⁻¹ ^ (9 + 1) / (↑9 + 1) + 2⁻¹ ^ (10 + 1) / (↑10 + 1) + 2⁻¹ ^ (11 + 1) / (↑11 + 1) + 2⁻¹ ^ (12 + 1) / (↑12 + 1) + 2⁻¹ ^ (13 + 1) / (↑13 + 1) + 2⁻¹ ^ (14 + 1) / (↑14 + 1) + 2⁻¹ ^ (15 + 1) / (↑15 + 1) + 2⁻¹ ^ (16 + 1) / (↑16 + 1) + 2⁻¹ ^ (17 + 1) / (↑17 + 1) + 2⁻¹ ^ (18 + 1) / (↑18 + 1) + 2⁻¹ ^ (19 + 1) / (↑19 + 1) + 2⁻¹ ^ (20 + 1) / (↑20 + 1) + 2⁻¹ ^ (21 + 1) / (↑21 + 1) + 2⁻¹ ^ (22 + 1) / (↑22 + 1) + 2⁻¹ ^ (23 + 1) / (↑23 + 1) + 2⁻¹ ^ (24 + 1) / (↑24 + 1) + 2⁻¹ ^ (25 + 1) / (↑25 + 1) + 2⁻¹ ^ (26 + 1) / (↑26 + 1) + 2⁻¹ ^ (27 + 1) / (↑27 + 1) + 2⁻¹ ^ (28 + 1) / (↑28 + 1) + 2⁻¹ ^ (29 + 1) / (↑29 + 1) + 2⁻¹ ^ (30 + 1) / (↑30 + 1) + 2⁻¹ ^ (31 + 1) / (↑31 + 1) + 2⁻¹ ^ (32 + 1) / (↑32 + 1) + 2⁻¹ ^ (33 + 1) / (↑33 + 1) - 287209 / 414355| ≤ 1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.Etale R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R A
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup G
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
n : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ (v.trim hle).restrict i = (v.restrict i).trim hle
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ ε * ‖x_1‖
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
F : α →𝒄 β
C : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ F (OmegaCompletePartialOrder.ωSup C) = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (C.map ↑F)
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
⊢ x ∉ I ∧ y ∉ I → x ⊓ y ∉ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
G : C ⥤ D
G.Additive
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = G.map (AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ derivWithin f S y < derivWithin f S x
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul β α
p : Prop
Decidable p
a : α
b c : β
⊢ (if p then b else c) • a = if p then b • a else c • a
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s t : ↥S
⊢ Localization.mk r s • mk m t = mk (r • m) (s * t)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
x : N
⊢ (f.mulEquivOfLocalizations k) x = (f.lift ⋯) x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β
⊢ (SpectralMap.id β).comp f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
H : ¬x = 0
⊢ x ≠ 0 ∨ x ^ n ≠ ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ₁ = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ₂
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
n : ℕ
⊢ l.Nodup → List.take n l = List.filter (fun a => List.elem a (List.take n l)) l
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
F : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (MvPolynomial.eval r) F = 0
⊢ F = 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
DecidableEq α
Fintype ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = s.offDiag.toFinset.inf' ⋯ (Function.uncurry dist)
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
K : Type u
V : Type v
Field K
Field V
Algebra K V
FiniteDimensional K V
⊢ Fintype.card (V →ₐ[K] V) ≤ FiniteDimensional.finrank V (V →ₗ[K] V)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
U : Set X
⊢ Preperfect U ↔ U ⊆ derivedSet U
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
⊢ Memℓp (f + g) p
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
⊢ Function.Injective LieHom.toNonUnitalAlgHom
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s
⊢ ∃ a, #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsOpen s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' s)
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ∈ Finset.Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Finset.Icc a₂ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Finset.Icc a₂ b₂
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4)) / ↑P.parts.card ^ 2 ≤ (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card) / ↑P.parts.card ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s.Disjoint t
⊢ (s + t).dedup = s.dedup + t.dedup