ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size
H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.balanceR x r) o₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
⊢ (normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x
α : Type u_1
z : Sym2 α
⊢ z.IsDiag ↔ z ∈ Set.range Sym2.diag
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ (α.app X).inv = α.inv.app X
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec Mathlib.Vector.get
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : (Polynomial.aeval f) p = 0
⊢ f.IsSemisimple
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
⊢ f.rOut ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal ≤ (K * f.rIn) ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x y : K
⊢ x * (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A y) = (algebraMap A K) (IsFractionRing.num A y) ↔ x = y
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y : α
⊢ (y :: l).formPerm x = y ↔ x = (y :: l).getLast ⋯
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
p : LocallyConstant ↑C ℤ
⊢ p ∈ range C ↔ p ∈ ⋃ e, smaller C ↑e
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
⊢ round ↑n = ↑n
α : Type u_1
Fintype α
IsEmpty α
⊢ Fintype.card α = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges
⊢ u ∈ p.support
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hpq : p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 ≠ 0
⊢ ↑(i, j).1 + ↑(i, j).2 = ↑n
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
this : IsWellOrder ι r
r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}
⊢ ∃ o f, a.IsFundamentalSequence o f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
s : Set A
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ ↑(adjoin R s)
x y : A
hx : D1 x = D2 x
hy : D1 y = D2 y
⊢ D1 (x + y) = D2 (x + y)
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ Cardinal.lift.{u, w} (iSup f) = ⨆ i, Cardinal.lift.{u, w} (f i)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_11
Z : VectorBundleCore 𝕜 B F ι
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
h : Z.IsSmooth IB
i j : ι
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (Z.coordChange i j) (Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
h : 2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ n) s = 0
⊢ (sFiniteSeq μ n) s = 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
x : A
⊢ IsAlgebraic R x ↔ ¬Function.Injective ⇑(Polynomial.aeval x)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ↔ Mono T.mor₁
⊢ T.mor₃ = 0 ↔ (CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ = 0
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n = 0
⊢ (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
u w : List (Symbol T g.NT)
huw : g.Derives u w
⊢ u = w ∨ ∃ v, g.Derives u v ∧ g.Produces v w
m k : ℕ
⊢ shiftLeft' true m (k + 1) + 1 = (m + 1) * 2 ^ (k + 1)
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
⊢ Functor.map h <$> traverse g x = traverse (Functor.map h ∘ g) x
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ≠ ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), f '' closure {x} = closure {f x}
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬q = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
x : α
hx : x ∈ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ ↑‖(fun x => ↑R) x‖₊ ≤ ↑‖(μ[f|m]) x‖₊
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
⊢ List.map₂Right' f (a :: as) (b :: bs) =
  let r := List.map₂Right' f as bs;
  (f (some a) b :: r.1, r.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hMpos : 0 < M
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
p : β → Prop
f : (b : β) → p b → α
a : β
l : List β
ihl : ∀ (h : ∀ (x : β), x ∈ l → p x), Pairwise R (pmap f l h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l
h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x
left✝ : p a
hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b
⊢ Pairwise R (pmap f (a :: l) h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) (a :: l)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X✝)
j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj Z✝)
⊢ MulOpposite.unop (∑ j : Y✝.ι, f i✝ j ≫ g j j✝) = ∑ j : ↑(FintypeCat.of Y✝.ι), MulOpposite.unop (f i✝ j) * MulOpposite.unop (g j j✝)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(CliffordAlgebra.evenOdd Q i')
⊢ ((CliffordAlgebra.lift Q) ⟨CliffordAlgebra.GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) ↑x' =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(CliffordAlgebra.evenOdd Q i)) i') x'
z : ZMod 4
⊢ z * z ≠ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f) fun x => f ⁻¹' x
x : X
s : Set Y
hs : (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f
⊢ IsCompact (f ⁻¹' s)
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
h₂ : succ 1 = 2
⊢ a * b ≤ 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length
⊢ l.formPerm.Disjoint l'.formPerm ↔ l.Disjoint l'
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
⊢ ((fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) x n) fun x => 1) = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n
⊢ (f.toMatrix * M) i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => M fi j
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ NoMaxOrder (Quotient.out c.ord).α
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
G : K ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
⊢ (P.coconePointsIsoOfEquivalence Q e w).hom =
  P.desc ((CategoryTheory.Limits.Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x - ↑Real.pi / 2) = -Complex.cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u ∨ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => max (u a) (v a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
I : Set α
N : Matroid β
⊢ (N.comap f).Dep I ↔ N.Dep (f '' I) ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬Set.InjOn f I
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
⊢ ⊥.nonUniforms G ε = ∅
G : Type u_1
Monoid G
Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ Monoid.exponent G = p ↔ ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ Measurable fun b => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (AddMonoidAlgebra.single a r) = D a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
⊢ (fun x => (X * p).coeff x.succ) = p.coeff
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
⊢ Module.IsTorsionBy R (M ⧸ r • ⊤) r
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ a ≤ wellOrderSucc a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
⊢ (ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ
k : Type u_2
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V2
AffineSpace V2 P2
Module k V2
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
(i : ι) → AddCommGroup (φv i)
(i : ι) → Module k (φv i)
Finite ι
DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f = g
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
δ : ℝ≥0
h1δ : Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
h2δ : ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hf' : ApproximatesLinearOn f (↑B) s δ
F : PartialEquiv E E := hf'.toPartialEquiv h1δ
⊢ μ (↑F.symm '' F.target) ≤ ↑m⁻¹ * μ F.target
α : Type u_1
G : Type u_9
DivisionMonoid G
f g : α → G
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x * (g x)⁻¹) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
⊢ AntitoneOn (derivWithin f S) S
n m : Nat
⊢ max n m = ite (n ≤ m) m n
R : Type u_2
Add R
Mul R
ι : Sort u_3
f : ι → RingCon R
⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ ↑e = ↑e
R : Type u
CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq :
  Polynomial.eval x (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C x) ^ Polynomial.rootMultiplicity x p) *
      Polynomial.eval x (q /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C x) ^ Polynomial.rootMultiplicity x q) ≠
    0
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x (p * q) = Polynomial.rootMultiplicity x p + Polynomial.rootMultiplicity x q
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖₊ ^ 2 = ‖a‖₊ ^ 2
⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
a : ℕ
⊢ List.count a n.primeFactorsList ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_3
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ R
a : ι
b : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsuppRid R M ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (a, b) = g b • f a
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ OrdinalApprox.gfpApprox f ⊤ (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord = OrderHom.gfp f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ Continuous ↑f
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
c1 : Computation (Stream'.WSeq α)
c2 : Computation (Stream'.WSeq β)
h : Computation.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRel R) c1 c2
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R (Stream'.WSeq.flatten c1) (Stream'.WSeq.flatten c2)
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
⊢ y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.snd R M M₂) = LinearMap.range (LinearMap.inl R M M₂)
r : ℝ
⊢ ¬(↑r).Infinite
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m ≠ n
⊢ (l.set m a).get? n = l.get? n
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
Subsingleton G
⊢ UniqueAdd A B a0 b0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R
⊢ spectrum R a + {r} = spectrum R (a + (algebraMap R A) r)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
⊢ (s.indicator fun a => r a • f a) = fun a => r a • s.indicator f a
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = ⊤
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
a b : ℤ
⊢ 0 ≤ a - b ↔ b ≤ a
α : Type u
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ = {a | a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂}
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
x : E
⊢ MeasureTheory.Martingale (fun x_1 x_2 => x) ℱ μ
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Red (FreeGroup.invRev L₁) (FreeGroup.invRev L₂)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
p : ℕ
hc : CharP R p
⊢ p ≠ 1
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a * c < b * d
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.toEssImage.map f = F.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun x => κ.density ν a x s) (ν a)
n : Nat
i j : Fin n
h : i ≠ j
⊢ ↑i ≠ ↑j
α : Type u
Monoid α
g h : α
⊢ IsConj g h ↔ IsConj h g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α
hg : ∀ (n : ℕ) (x : X × Y), dist (f x) (↑(g n) x) < u n
A : ∀ (x : X × Y), Tendsto (fun n => ↑(g n) x) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Measurable f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
⊢ (α ≪≫ β).symm = β.symm ≪≫ α.symm
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
s : Finset (ι × ℝ)
hs : ∀ π ∈ {π₁, π₂}, (π.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r →r s
⊢ f.toFun = ⇑f
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.toSum.comp AddMonoid.Coprod.inr = AddMonoidHom.inr M N
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f Set.univ μ ↔ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ Disjoint (Finset.filter IsPrimePow a.divisors) (Finset.filter IsPrimePow b.divisors)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Filter.comap Subtype.val (𝓝[<] a) = Filter.atTop
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n
⊢ (l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).get ⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + 1) % (l.rotate n).length, ⋯⟩
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : N
⊢ (f.lift ⋯) x = x
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I).comp (algebraMap R₁ A) = algebraMap R₁ (A ⧸ I)
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : RingQuot s →ₐ[S] B
⊢ (liftAlgHom S) ((liftAlgHom S).symm f) = (liftAlgHom S) ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
⊢ a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
Subsingleton α
⊢ Isometry f
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
κ : Type w
E : Type z
Field E
Algebra K E
Module.Finite K L
Algebra.IsSeparable K L
IsAlgClosed E
b : κ → L
⊢ (Algebra.traceMatrix K b).map ⇑(algebraMap K E) = Algebra.embeddingsMatrix K E b * (Algebra.embeddingsMatrix K E b)ᵀ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
x : α
⊢ (swap a b) x ∈ s ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
b : 𝕜
H : b = b → DifferentiableAt 𝕜 g b
⊢ dslope (⇑f ∘ g) b b = f (dslope g b b)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28046, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₃ ≫ S.v₁₂.τ₃ = 0
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ (G₁ ⊓ G₂).edgeSet = G₁.edgeSet ∩ G₂.edgeSet
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
⊢ Int.log b r = 0
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
hba : ¬a < b
⊢ a = b
x : ℝ
⊢ ∀ (k : ℤ), arctan x ≠ (2 * ↑k + 1) * π / 2
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ a₁ < a₂
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ ≤ d⁻¹ * c ↔ d * a ≤ c * b
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
⊢ ∀ (a : ℕ), List.count a n.primeFactorsList ≤ 1