ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
a : α
s : Set β
ha : 0 ≤ a
⊢ a • lowerBounds s ⊆ lowerBounds (a • s)
m n k : ℕ+
⊢ k.Coprime n → (m * k).gcd n = m.gcd n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U
U : Set Y
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen (f ⁻¹' U ∩ s ∪ g ⁻¹' U)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedOrderHom β γ
g : BoundedOrderHom α β
⊢ ↑(f.comp g) = (↑f).comp ↑g
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (μ[f|m]) s_1 (μ.restrict s)
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ c.inl x₁ = c.inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
t : Set β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, 0 < ia ∧ ∀ x ∈ ball a ia ∩ s, f x ∈ ball b ib ∩ t) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ t ∧ dist (f x) b < ε
α : Type u_1
Mul α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b c : α
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
x y : ZFSet
⊢ y ∈ ⋃₀ {x} ↔ y ∈ x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_6
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i → Set β
⊢ ⋂ i ∈ s, ⋂ j ∈ t i, f i j = ⋂ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv =
  (Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X
⊢ IsClosed s
α : Type u
xs : List α
x : α
DecidableEq α
⊢ [x].intercalate (List.splitOn x xs) = xs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ ≫
    CategoryTheory.Limits.cokernelComparison g G =
  CategoryTheory.Limits.cokernelComparison f G ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.cokernel.map f g p q hpq)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) ≫ (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
⊢ hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
(i : ι) → AddGroup (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →+ G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), AddCommute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
Finite ι
(i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range
C : Type u_1
D : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ (∀ (E : D) {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, Presieve.IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj (Opposite.op E)) R) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.covering X, ∀ (E : Dᵒᵖ), Presieve.IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj E) R
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
⊢ (∃! a, p a) ↔ ∃! b, q b
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → IsSMulRegular M b
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
⊢ torsionBy R M b ≤ a • torsionBy R M b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
h : pNilradical R p = ⊥
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun x => x ^ p ^ n
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
K : ℝ≥0
hK : ‖f' x‖₊ < K
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : s ∩ ball x ε ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ μ s ≤ 1 * μ {x | 1 ≤ f x}
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).trailingDegree = ↑n
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b
⊢ HEq (match z - 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj X))) ≫ R.map (h.counit.app X) = R.map (L.map (R.map (h.counit.app X))) ≫ R.map (h.counit.app X)
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) 0 = 0
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n
⊢ (Aᵀ.updateColumn j (A i)).det = if j = i then A.det else 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ ↑p ≠ 0
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
Top α
Top β
FunLike F α β
self : TopHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊤ = ⊤
M₀ : Type u_2
MulZeroClass M₀
a b : M₀
⊢ a * b ≠ 0 → b ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)
f g : α →ᵤ β
hfg : (f, g) ∈ ⋂ i, Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (δ ↑i) β (⟨I, fun x => U⟩.snd i)
i : ι
hi : i ∈ I
y : δ i
⊢ (toFun (f, g).1 (φ i y), toFun (f, g).2 (φ i y)) ∈ U
x✝ y✝ : ℝ
x y : ℚ
⊢ ↑x < ↑y ↔ x < y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).inv
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv i)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n m : ℕ
hn : 0 < n
⊢ m.gcd n * addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p) = n
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
Φ : Submodule R (Module.Dual R M)
x : M
⊢ x ∈ Φ.dualCoannihilator ↔ ∀ φ ∈ Φ, φ x = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
StrictOrderedSemiring Γ
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R[X] (HahnSeries Γ R))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G H : CategoryTheory.Functor C D
α : G ⟶ H
K : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerLeft F α) K =
  CategoryTheory.whiskerLeft F (CategoryTheory.whiskerRight α K)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint (s.erase a) t ↔ _root_.Disjoint s (t.erase a)
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
⊢ Filter.comap Neg.neg Filter.atTop = Filter.atBot
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) ↔ ∀ (g : G), g • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (g • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompactlySupportedContinuousMapClass F α β
G : Type u_5
inst✝² : FunLike G α β
inst✝¹ : ContinuousMapClass G α β
inst✝ : CompactSpace α
f : G
⊢ HasCompactSupport ⇑f
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
⊢ ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g
⊢ g * C f.leadingCoeff * (f * C g.leadingCoeff) = p
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
v : Option α → M
f : Option α →₀ R
⊢ (f none • v none + f.some.sum fun a r => r • v (Option.some a)) = f none • v none + f.some.sum fun i a => a • (v ∘ Option.some) i
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact E) (Filter.cocompact F)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hG :
  ⦃Y : C⦄ →
    (f : Y ⟶ X) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (G.mapCone (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor (CategoryTheory.presheafHom F G) S.arrows
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
p : R[X]
hs : s.Nonempty
hp : p ∈ Submodule.span R s
h : ∀ p' ∈ s, p'.degree < p.degree
⊢ False
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : A.IsSymm
k : ℤ
⊢ (A ^ k).IsSymm
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m ≤ μ.toOuterMeasure ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m s ≤ μ s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n
⊢ b i * ↑n ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → Complex.abs (g ε w) ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
⊢ ∀ (w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))), T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
α : Type u_1
LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
⊢ μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod)
  (∑ i : Fin l.length,
    (List.map x (List.take (↑i) l)).prod •
      (ContinuousLinearMap.proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod)
  x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ
⊢ ↑x ∈ I ↔ ↑x = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulStrictMono α ↔ MulPosStrictMono α
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
y : L
⊢ y ∈ LieModule.ker R L L ↔ y ∈ center R L
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
ht : m t = 0
⊢ m s = 0
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f' φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift g χ ∧ χ ≫ φ = φ'
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Fintype.card { x // p x } = (Finset.filter p Finset.univ).card
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
⊢ ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map (ιMapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃ 0 i₃ i₃ ⋯) ≫ (G.map (𝟙 (X₁ i₁))).app ((((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).mapObj τ.p₂₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n < if h : x ≠ y then Nat.find ⋯ else 0
⊢ x n = y n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝¹ : 0 ∈ C
this✝ : Convex ℝ C
this : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
a : Cardinal.{u_1}
ha : Cardinal.aleph0 ≤ a
⊢ a.toENatAux = ⊤
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
hs : s.Nonempty
hs' : 0 < s.card
hlt : ∀ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < (↑s.card)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, (↑s.card)⁻¹ = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ ![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 1 2) = ![p₁, p₃, p₂]
M : Type u_6
AddMonoid M
u : AddUnits M
⊢ ⇑u.addRight = fun x => x + ↑u
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
⊢ ‖0 s‖ ≤ C * (μ s).toReal
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)
⊢ IsRelPrime x y
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
R : Type u_10
S : Type u_11
Semiring R
Semiring S
Module R M₁
Module R M₂
Module R S
Module S M₂
IsScalarTower R S M₂
TopologicalSpace S
ContinuousSMul S M₂
c : M₁ →L[R] S
f : M₂
x : M₁
⊢ (c.smulRight f) x = c x • f
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : M), x ∈ S