ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
n : ℕ
hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ
α : Type u_1
LE α
s : Set α
⊢ Subtype.val '' maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) Set.univ = maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
X : Type u_1
LinearOrder X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
⊢ s.ordT5Nhd t ∈ 𝓝ˢ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
hg : HolderWith Cg rg g
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith Cf rf f
⊢ HolderWith (Cg * Cf ^ ↑rg) (rg * rf) (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
f.NeBot
⊢ Filter.map₂ (fun x y => y) f g = g
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.closure ∅ ∪ M.closure X = M.closure X
m n✝ n : ℤ
⊢ Xor' (Even n) (Odd n)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f k
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
q : G.Walk v w
hadj : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons hadj q).sndOfNotNil ⋯ = v
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
⊢ deriv (fun y => c y * d y) x = deriv c x * d x + c x * deriv d x
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
PosMulMono α
⊢ PosMulStrictMono α
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderBot α
OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
x : { x // p x }
⊢ ↑x = ⊥ ↔ x = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Function.Injective (EuclideanGeometry.inversion c R)
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ Function.Injective (Set.inclusion h)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
a : π i
⊢ x ≤ Function.update x i a ↔ x i ≤ a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
DecidableEq M
d : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff d ((MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ) =
  if (Finsupp.weight w) d = n then MvPolynomial.coeff d φ else 0
z : ℍ
⊢ ↑z ≠ 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x ∈ doset a ↑H ↑K, x ∈ doset b ↑H ↑K
⊢ b ∈ doset a ↑H ↑K
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
g : α → β
γ : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace α} {f : γ → α} {μ : MeasureTheory.Measure γ},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) →
    AEMeasurable f μ → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
⊢ ↑(FractionalIdeal.dual A K I) = Submodule.traceDual A K ↑I
R : Type u_1
CanonicallyOrderedCommSemiring R
Nontrivial R
m : Multiset R
⊢ 0 < m.prod ↔ ∀ x ∈ m, 0 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
l₁ l₂ : Filter α
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l₁ l₂
lb : Filter β
u₁ u₂ : β → α
h₁ : Filter.Tendsto u₁ lb l₁
h₂ : Filter.Tendsto u₂ lb l₁
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Set.Ioc (u₁ x) (u₂ x)) lb l₂.smallSets
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ (fun x => (x, y)) '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (x₁, y) (x₂, y)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
W X Y Z : C
⊢ (ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom)) = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
n m k : Nat
⊢ n + (m + k) = m + (n + k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v f : E
is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
⊢ ∀ (v_1 : E), ⟪f, v_1⟫_𝕜 = ⟪B♯ v, v_1⟫_𝕜
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : M), x ∈ S
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
x : ℤ × ℤ
⊢ x ∈ SetTheory.PGame.Domineering.left b ↔ x ∈ b ∧ (x.1, x.2 - 1) ∈ b
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
c : ℝ
hc : c < 1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, c < 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n
z : ↥circle
⊢ expMapCircle (↑z).arg = z
α : Type u_1
β : Type u_2
SeminormedAddGroup α
SeminormedAddGroup β
SMulZeroClass α β
BoundedSMul α β
r : α
x : β
⊢ ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L
⊢ y ∈ coeSubmodule L (conductor R x) ↔ ∀ (z : S), y * (algebraMap S L) z ∈ adjoin R {(algebraMap S L) x}
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
s t : Multiset α
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
h : Rel r s t
⊢ countP (r x) s = countP (r x) t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
⊢ p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f : α → ℝ≥0
⊢ (Continuous fun a => ↑(f a)) ↔ Continuous f
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume a b
α : Type u_1
A : Type u_4
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
NormedRing A
NormOneClass A
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 A
f : BoundedContinuousFunction α A
⊢ ↑((AlgEquiv.lpBCF α A 𝕜).symm f) = ⇑f
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun b => ⨆ i ∈ s, f i b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
⊢ P.symm.Λ₀ s = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ CategoryTheory.GrothendieckTopology.dense.sieves X ↔
  ∀ {Y : C} (f : Y ⟶ X), ∃ Z g, S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
M : Type u_1
CancelMonoidWithZero M
Finite M
a : M
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun b => a * b
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : |a - b| = 0
⊢ a = b
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
⊢ (l.rotate n)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.75369, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ
⊢ objD X n ≫ objD X (n + 1) = 0
M : Type u_1
AddMonoid M
x : ↥(IsAddUnit.addSubmonoid M)
⊢ ↑(-x) = ↑(-IsAddUnit.addUnit ⋯)
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun x => 0) = 0
R : Type u
CommSemiring R
IsDomain R
⊢ T1Space (PrimeSpectrum R) ↔ IsField R
x y r r' : ℕ
⊢ ∀ {s t s' t' : ℤ}, Nat.P x y (r, s, t) → Nat.P x y (r', s', t') → Nat.P x y (r.xgcdAux s t r' s' t')
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Ring E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional F ↥⊥
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) e (min r s)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Subsingleton α
⊢ 0⁻¹ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2
⊢ (fun p => f' (g p.1 - g p.2) - (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (a, a)] fun p => p.1 - p.2
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f : Π₀ (a : α), N a
⊢ DFinsupp.neLocus 0 f = f.support
α : Type v
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set α
h : IsPreconnected s
⊢ s.OrdConnected
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.disconnect.IsTotallyDisconnected
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ (fun x => (x, y)) '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (x₁, y) (x₂, y)
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
h : IsAddUnit b
a : α
⊢ a + b + -b = a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
S : L.Substructure P
g : L.Hom N P
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (FirstOrder.Language.Substructure.comap g S) =
  FirstOrder.Language.Substructure.comap (g.comp f) S
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi f
⊢ Epi (G.map f)
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x : ↑(obj' f M₁)
⊢ (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ ↑↑↑(c • f) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ Set.univ < ↑n * μ s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Set.Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = Mathlib.Vector.map₂ (fun x x_1 => (f x x_1 s₀).2) xs ys
x y c : ℝ
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, log x = 0 → c = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
n : ℕ
⊢ Measurable fun a => ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors
nmem : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors < 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
⊢ (∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ∑ b ∈ t, f b ∈ ball 0 i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
⊢ ‖Real.log (abs z)‖ ≤ 1 * ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ b ^ (2 * p) - 1 - (b ^ 2 - 1) = b ^ (2 * p) - (1 + (b ^ 2 - 1))
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤)))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))) U)
    (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X) U) =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
n : ℕ
h : Nat.Prime n
⊢ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
x : α
⊢ f (x - c) = -f x
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ioi a) = Finset.Ioi ↑a
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s • Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) a ∂μ
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
q : α → Prop
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {p : α_1 → Prop} {a : α_1} [inst : Functor m] [inst_1 : LawfulFunctor m] {x : m α},
  SatisfiesM q x → (∀ {b : α}, q b → p a) → SatisfiesM p (Functor.mapConst a x)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (ρ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n x : ℕ
hx : x ∈ range n.succ
⊢ ↑(((x, n - x).1 + (x, n - x).2).choose (x, n - x).2) / (↑(x, n - x).2 + 1) * bernoulli' (x, n - x).1 = ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s s' : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
Nonempty ↥s'
HasOrthogonalProjection s.direction
HasOrthogonalProjection s'.direction
h : s = s'
p : P
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s) p = (EuclideanGeometry.reflection s') p
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ Function.Bijective TopologicalSpace.Opens.compl
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
⊢ min a b ≠ c
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
t : Set E
x : E
hx : gauge t x ≠ 0
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ n / 2 * 2 ≤ n
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M
l : e.symm ≫ₕ e'' ∈ G
r : e''.symm ≫ₕ e ∈ G
⊢ e'.symm ≫ₕ e'' ∈ G ∧ e''.symm ≫ₕ e' ∈ G
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
⊢ Normal F K → ∀ (x : K), IsIntegral F x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.Integrable g μ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]
⊢ invFun R A ((toFunAlgHom R A) x) = x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
s : Finset R
heval : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval i p = 0
hcard : p.natDegree < s.card
⊢ p = 0
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
⊢ IsUnit f ↔ LinearMap.range f = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a * Nat.rawCast 1 = a
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Function.Involutive f
hne : f ≠ id
⊢ f^[n] = f ↔ Odd n
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
N : Subgroup G
N.Normal
⊢ N.topologicalClosure.Normal
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ 1 < s.encard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.degree < (p * X).degree
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (⋃ i, t ∩ s i) = ∑' (i : ι), μ (t ∩ s i)
G : Type u
AddMonoid G
g : G
⊢ AddMonoid.exponent G • g = 0
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ (Summable fun i => f i * a) ↔ Summable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
⊢ IsOpen (Set.range f)
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n = -c ^ n
hn : n ≠ 0
⊢ p ∣ -c ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ (𝟙 (N₂ ⋙ Γ₂)).app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X) ≫ Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
PartialOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iio a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
n : N
f : M →* N
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ f ((MulEquiv.ofBijective f hf).symm n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ f '' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f '' s i j
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
b : β
⊢ Monovary f (Function.const ι b)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (map (fun x => a * x) 0).gcd = normalize a * gcd 0
α : Type u_1
a : α
s : Set α
MeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ (PMF.pure a).toMeasure s = if a ∈ s then 1 else 0
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
b : (x : α) → a = x → β
⊢ (∏ x ∈ s, if h : a = x then b x h else 1) = if a ∈ s then b a ⋯ else 1
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : CommRing M
inst✝⁵ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f✝ : L →+* M
g✝ : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : ExpChar N p
inst✝ : IsPRadical i p
h : pNilradical M p = ⊥
f g : L →+* M
heq : (fun f => f.comp i) f = (fun f => f.comp i) g
x : L
n : ℕ
y : K
hx : i y = x ^ p ^ n
⊢ f x = g x
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
⊢ {b | b ⊆ a}.Finite