ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
m : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))
y : V
hy : y ∈ Submodule.span K {x}
z : V
hz : z ∈ B.orthogonal (Submodule.span K {x})
this : y + z ∈ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x})
hm : ((domRestrict₁₂ B (B.orthogonal (Submodule.span K {x})) (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) ⟨z, hz⟩ = 0
⊢ (B ↑m) (y + z) = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
x : α
s : Finset α
⊢ (s.erase x).min ≠ ↑x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : Num
⊢ ↑n.succ' = ↑n + 1
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i) ^ p) ≤ ↑(↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p)
⊢ (∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)
this : Finite ↑I
i : ↑I
j₁ j₂ : ι'
h : j₁ ≤ j₂
⊢ eval ↑i ⁻¹' s (↑i) j₁ ≤ eval ↑i ⁻¹' s (↑i) j₂
C : ℕ → Sort u
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (Nat.bit b n)
h : f false 0 z = z
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.binaryRec z f (Nat.bit b n) = f b n (Nat.binaryRec z f n)
X Y : Type u
s : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ ∀ (a : X ⊕ Y), (CategoryTheory.Limits.Types.binaryCoproductColimit X Y).desc s a = Sum.elim s.inl s.inr a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
n : ℕ
IH : ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n
hle : ↑n.succ ≤ s.encard
⊢ ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n.succ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor.id C).η = 𝟙 ((𝟭 C).obj (𝟙_ C))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
e : T₂ ≅ T₁
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α
⊢ ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M : SheafOfModules R
self : M.GeneratingSections
⊢ CategoryTheory.Epi (M.freeHomEquiv.symm self.s)
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
m : Nat
⊢ (List.modifyNth f n l).get? m = (fun a => if n = m then f a else a) <$> l.get? m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
a b : α
⊢ (x :: y :: l ++ [a, b]).formPerm = (x :: y :: l ++ [a]).formPerm * swap a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
⊢ (if h0 : p = 0 then 0 else Nat.find ⋯) = Nat.find ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen U
x✝¹ : α × α
x₁ x₂ : α
x✝ : (x₁, x₂) ∈ Prod.map mk mk ⁻¹' (Prod.map mk mk '' id U)
y₁ y₂ : α
hyU : (y₁, y₂) ∈ id U
hxy : Inseparable y₁ x₁ ∧ Inseparable y₂ x₂
⊢ (x₁, x₂) ∈ id U
G H K : Type u_1
AddGroup G
AddGroup H
AddGroup K
f : G →+ H
g : H →+ K
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ⇑(AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f) ⁻¹' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (HomogeneousLocalization.mk z)) =
  Subtype.val ⁻¹' ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑z.num)
x✝ y x : ℝ
⊢ rexp |x| ≤ rexp x + rexp (-x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D E
G : C ≌ D
i : F ≅ G.functor.comp H
X : D
⊢ i.inverseCompIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (i.hom.app (G.inverse.obj X)) (H.map (G.counitIso.hom.app X))
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ traverse pure x = pure x
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
h : ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ φ⁻¹ = 0 ↔ (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ = 0
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
α : Type u
β : Type v
Mul α
MulOneClass β
f : α →ₙ* β
⊢ (WithOne.lift f) 1 = 1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (s : G), ∫ (u : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ ∂ν = ∫ (s : G), (L₃ (f s)) (∫ (u : G), (L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ) ∂ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.image.compIso f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f =
  CategoryTheory.Limits.image.ι (f ≫ g) ≫ CategoryTheory.inv g
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
⊢ productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
this : (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd g = (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd (ad * (-b).den)
⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map f).app j).f = f.f.app j
R : Type u_8
N : Type u_10
CommRing R
AddCommGroup N
Module R N
Q : Submodule R N
⊢ Function.Exact ⇑Q.subtype ⇑Q.mkQ
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) *
        (hζ.toInteger - 1) ^ (3 * S.multiplicity - 2) +
      FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) *
          (hζ.toInteger - 1) *
        ↑⋯.unit +
    FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * (hζ.toInteger - 1) *
      ↑⋯.unit ^ 2 =
  0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S) = S ⊓ f.srange
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure ↑S = ⊤
⊢ closure ((fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (↑R * ↑S)) = ⊤
X : Type u
⊢ autoParam (∀ (X_1 Y : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)) (f : X_1 ⟶ Y), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
α : Type u_1
LE α
a b : WithBot α
⊢ WithBot.toDual a ≤ WithBot.toDual b ↔ b ≤ a
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ici a = Set.Iic (a / c)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ : α → β
f : Set α → Set β
hf : Injective f
h2 : f ∅ = ∅
s : Set α
⊢ (f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_2
DivisionMonoid α
⊢ Set.univ / Set.univ = Set.univ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = ((⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
𝓕 : TopCat.Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
⊢ StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.fromStalk p₀ (StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.toSkyscraperPresheaf p₀ f) = f
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
self : HomologicalComplex V c
i j k : ι
⊢ c.Rel i j → c.Rel j k → self.d i j ≫ self.d j k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0
⊢ ↑f i ≤ K
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hq : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)
this : Fintype (R ⧸ I) := Fintype.ofFinite (R ⧸ I)
⊢ ↑(Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)) = 0
α : Type u_1
LE α
NoBotOrder α
a : α
⊢ ¬IsBot a
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
l : List α
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)
⊢ GradedMonoid.mk (l.dProdIndex fι) (l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => GradedMonoid.mk (fι a) (fA a)) l).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ ∫⁻ (a : α), ?intro.refine_1 a ∂μ ≠ ⊤
α✝ β α : Type u
h : Fintype α
⊢ ∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β] (e : α ≃ β), (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : β → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : β, f i)
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Filter.Tendsto r Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ Filter.blimsup (fun i => Metric.cthickening (M * r i) (s i)) Filter.atTop p =ᵐ[μ]
  Filter.blimsup (fun i => Metric.cthickening (r i) (s i)) Filter.atTop p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n a m : ℕ
ha : n = a + q
hnm : AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel m n
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n m hnm = ((-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩) ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α ≃ᵐ β
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑f) μ ν
g : β → G
⊢ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ = ∫ (y : β), g y ∂ν
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
⊢ (x.rotateLeft r).getLsb i =
  bif decide (i < r % w) then x.getLsb (w - r % w + i) else decide (i < w) && x.getLsb (i - r % w)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra.IsAlgebraic K L
S : Subalgebra K L
x : L
⊢ x ∈ subalgebraEquivIntermediateField S ↔ x ∈ S
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
TopologicalSpace γ₂
MeasurableSpace γ₂
BorelSpace γ₂
h : γ ≃ₜ γ₂
⊢ ⇑h.toMeasurableEquiv.symm = ⇑h.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidablePred fun l => l ≠ []
L : List (List α)
⊢ (filter (fun l => decide (l ≠ [])) L).join = L.join
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)
⊢ f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
q : ℚ
q_pos : 0 < q
⊢ (Int.fract q⁻¹).num < q.num
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ AddSubgroup.map f ⊤ = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
h : UpperSemicontinuousOn f s
hst : t ⊆ s
⊢ UpperSemicontinuousOn f t
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
⊢ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i < p ^ i
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A B C : DiscreteQuotient X
h₁ : A ≤ B
h₂ : B ≤ C
⊢ DiscreteQuotient.ofLE h₂ ∘ DiscreteQuotient.ofLE h₁ = DiscreteQuotient.ofLE ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
n : ℤ
⊢ (CochainComplex.homOfDegreewiseSplit S σ).f n = (↑(CochainComplex.cocycleOfDegreewiseSplit S σ)).v n (n + 1) ⋯
n : ℕ
⊢ n.totient = 0 ↔ n = 0
R : Type u
CommRing R
IsBezout R
p n : R
hp : Irreducible p
⊢ p ∣ n ↔ ¬IsCoprime p n
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) =
  MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
⊢ iteratedDeriv n f x = deriv^[n] f x
α : Type u
CommRing α
x y : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x - y) * ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
x : K[X]
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s t : Set α
h : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hst : t ⊆ s
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f t x
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Finset.image i.succAbove Finset.univ = {i}ᶜ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : MvQPF.IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
⊢ MvFunctor.supp (g <$$> x) i = g i '' MvFunctor.supp x i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
⊢ IsOpen {x}
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
z✝ : DirectLimit G f
ind : ι
z p q : DirectSum ι fun i => G i
x✝¹ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p
x✝ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' q
i : ι
x : G i
ihx : (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p
j : ι
y : G j
ihy : (of R ι G f j) y = Quotient.mk'' q
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (of R ι G f k) ((f i k hik) x + (f j k hjk) y) = Quotient.mk'' (p + q)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
this : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
hSA : ↑⋯.toSelfAdjoint ∈ selfAdjoint (E →L[ℝ] E) := Subtype.prop (LinearMap.IsSymmetric.restrictScalars (isSymmetric hT)).toSelfAdjoint
⊢ T x₀ = ↑(T.rayleighQuotient x₀) • x₀
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ⊆ s
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH s
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ TopologicalSpace.GenerateOpen {t | ∃ a, (Set.Ici a)ᶜ = t} s
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
⊢ s +ᵥ ∅ = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
⊢ y = T x
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b x < y ↔ x < b ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
⊢ ((R ⇒ Option.Rel P) ⇒ List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ P) List.filterMap List.filterMap
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv
h : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal (n • x) = n • ENNReal.ofReal x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x - y) = v (y - x)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f = b
hb' : ¬b = ⊤
⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ (f.sup g h).domain = f.domain ⊔ g.domain
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype ι
x y : ι → 𝕜
⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (ι → 𝕜)).symm x, (WithLp.equiv 2 (ι → 𝕜)).symm y⟫_𝕜 = Matrix.dotProduct (star x) y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E) (↑I) x
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
⊢ f a < f b
F : Type u
Field F
DecidableEq F
h3 : 3 = 0
⊢ EllipticCurve.ofJ 1728 = EllipticCurve.ofJ1728 F
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∪ ∅ = s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
⊢ (Computation.pure none).bind (aux n) = Computation.pure none
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → Finset α
g : κ → Finset β
⊢ interedges r (s.biUnion f) (t.biUnion g) = (s ×ˢ t).biUnion fun ab => interedges r (f ab.1) (g ab.2)