ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n
hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n
hU4 : ∀ (f : X →* Y), Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0) → ∀ (n : ℕ), Set.MapsTo (⇑f) (U n) (V n)
⊢ EquicontinuousAt (fun f => ⇑↑f) 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
⊢ ∀ (a : Unitization 𝕜 A), (splitMul 𝕜 A) a = 0 → a = 0
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f
⊢ sign (↑l).prod = sign f
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ Codisjoint (H.subgroupOf (H ⊔ K)) (K.subgroupOf (H ⊔ K))
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ {y | 0 ≤ y}
z : ℝ
hz : z ∈ {y | 0 ≤ y}
hyz : y ^ x = z ^ x
⊢ y = z
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G ‖ 0
⊢ G ≈ 0 ∨ G ‖ 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
h : Unique ι
⊢ Set.range f = {f default}
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ f ≤ g ∨ g ≤ f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
R : Type u_1
SMul R ℝ
r : R
z : ℂ
⊢ (r • z).im = r • z.im
F : Type u_3
E : Type u_4
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
Field A
Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Polynomial.Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ Function.Injective fun φ => φ α
F : PFunctor.{u}
x : F.M
n : ℕ
⊢ PFunctor.Approx.head' (x.approx (n + 1)) = x.head
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ ∀ {x : Invertible b}, a * ⅟b * b = a
R : Type u
Ring R
X Y : Type u
AddCommGroup X
AddCommGroup Y
Module R X
Module R Y
i : ModuleCat.of R X ≅ ModuleCat.of R Y
⊢ linearEquivIsoModuleIso.inv i = i.toLinearEquiv
n : ℕ
⊢ Function.Surjective (Nat.Partition.ofComposition n)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.fst.comp AddMonoid.Coprod.inr = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
b : β
hb : b ∈ t
⊢ Finset.image (fun a => f a b) s ⊆ Finset.image₂ f s t
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (List.ofFn f).length = n
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
j k : N →+ P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
⊢ j = k
a : Int
h : 0 < a
⊢ ∃ n, a = ↑n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ ENNReal.ofReal ‖f - g‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ
U : Type ?u.16921
inst✝⁴ : Quiver U
V : Type ?u.16927
inst✝³ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.16949
inst✝² : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse U
inst✝ : HasInvolutiveReverse V
u : U
e : Costar u
⊢ (fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) ((fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) e) = e
m n : ℤ
⊢ bitwise xor m n = m.xor n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝¹ : Nontrivial P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (Algebra.linearMap R P) ↑((equivNum h_nz) x) = I.den • ↑x
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ
⊢ (↑u⁻¹).val + (↑u).val + (↑u).val * (↑u⁻¹).val = 0
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
z : Sym2 α
⊢ z = s(x, x) ∨ (∃ a ∈ xs, s(x, a) = z) ∨ z ∈ xs.sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2
z✝ w : ℍ
r✝ R : ℝ
z : ℍ
r : ℝ
⊢ dist ↑z ↑(z.center r) = z.im * (Real.cosh r - 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
H : IsPreirreducible s
⊢ ∃ t, IsPreirreducible t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ (u : Set X), IsPreirreducible u → t ⊆ u → u = t
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
I : Type u
LinearOrder I
Inhabited I
q l : Profinite.NobelingProof.Products I
h : q < l
hq : ↑q ≠ []
⊢ (↑q).head! ≤ (↑l).head!
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ x
⊢ xᶜ ≤ y
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ ↑((Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑↑(p ^ n)).num = (Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑↑(p ^ n)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
⊢ p = minpoly A x
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
x✝¹ x✝ : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)
⊢ (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (x✝¹ + x✝) = (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝¹ + (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)
⊢ IsIso f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.exp (f x)) s
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : ModularForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f - g) z = f z - g z
X : CompHaus
⊢ CategoryTheory.Projective X ↔ ExtremallyDisconnected ↑X.toTop
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
H : Type u_2
Group H
TopologicalSpace H
U : OpenSubgroup G
V : OpenSubgroup H
⊢ ↑(U.prod V) = ↑U ×ˢ ↑V
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ edist x y ≤ ↑c ↔ nndist x y ≤ c
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ a = ⊥ ↔ a ≤ ⊥
α : Type u
s t : Set α
h : s = t
a : { a // (fun x => x ∈ s) a }
⊢ (Equiv.Set.ofEq h) a = ⟨↑a, ⋯⟩
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
hU : ∃ t₁ ∈ 𝓝 1, ∃ t₂ ∈ 𝓝 1, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ U
⊢ ∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (RelMap R fun i => realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i)) = RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p
⊢ Prime p
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).num = ↑q.num
θ₁ θ₂ : Angle
⊢ (θ₁ + θ₂).cos = θ₁.cos * θ₂.cos - θ₁.sin * θ₂.sin
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
c : ℝ≥0∞
h : c ≠ 0
⊢ (c • μ).IsOpenPosMeasure
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ 1 ≤ ↑w.mult
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∈ J → a₁ ∈ J ∨ a₂ ∈ J
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
ιM' : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ιM'
inst✝ : DecidableEq ιM'
bₘ' : Basis ιM' R M
f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom
hf : Function.Injective f
_h1 : Module.Finite (MvPolynomial ι R) (TensorProduct R (MvPolynomial ι R) M) := Module.Finite.of_basis (basis (MvPolynomial ι R) bₘ)
_h2 : Module.Free (MvPolynomial ι R) (TensorProduct R (MvPolynomial ι R) M) := Module.Free.of_basis (basis (MvPolynomial ι R) bₘ)
⊢ f (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = f (φ.polyCharpolyAux b bₘ')
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ∈ s
⊢ (s \ {a}).encard + 1 = s.encard
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs₁ : MeasurableSet s
hs₂ : μ s = 0
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = 0
a b n : ℕ
a_le_n : a ≤ n
b_le_n : b ≤ n
⊢ (↑a - ↑b).natAbs ≤ n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p (x * y) x_1
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
⊢ (∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
h₁ : IsAddUnit x
h₂ : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ h₁.addUnit ∈ S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X₁ X₂ : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ X₁ X₂)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : 0 ≤ n
hm : m < 0
⊢ selfZPow x B (n + m) = selfZPow x B n * selfZPow x B m
α : Type u_1
Semigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ MulOpposite.op b • a • s = a • MulOpposite.op b • s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
a b : C
h : a = b
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).toLoc = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
S : Subalgebra R A
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ Algebra.adjoin R s
⊢ Algebra.adjoin R s = S
R : Type u
CommRing R
V W : BialgebraCat R
⊢ Function.Injective BialgebraCat.Hom.toBialgHom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
X : Type u_1
R : Type u_3
Zero X
Zero R
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
f g : ContinuousMapZero X R
h : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
l : List α
⊢ 0 < l.length ↔ ∃ h t, l = h :: t
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s x₀
R : Type u
CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g₁ U hu₁ * AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R g₁ g₂ U hu₂ =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g₂ U hu₂
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
⊢ x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientWithinAt f f' s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasGradientWithinAt f₁ f' s x
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖} ‖f‖
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.lift.{v, u_1} (2 ^ a) = 2 ^ Cardinal.lift.{v, u_1} a
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.augmentTruncate.hom.f (i + 1) = 𝟙 (C.X (i + 1))
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
a : P
⊢ ↑(PartialHomeomorph.unitBallBall c r hr).symm a = r⁻¹ • (a -ᵥ c)
M : Type u_1
MulOneClass M
x : M
⊢ ↑(Submonoid.topEquiv.symm x) = x
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ ¬G.CliqueFree n ↔ Nonempty (⊤ ↪g G)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ a < b / c ↔ a * c < b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Semiring α
TopologicalSemiring α
s : Subsemiring α
t : Subsemiring α
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 5 * 25⁻¹ * ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 * 25⁻¹
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd ω = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
⊢ ∀ i < r, χ.coeff i = 0
F : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalRingHomClass F A B
NonUnitalStarRingHomClass F A B
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
a : A
⊢ (StarRingEquiv.ofBijective f hf) a = f a
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
t : Set ↑s
⊢ μ (Subtype.val '' t) ≤ (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ) t
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 ℝ ℝ hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ ≤ μ (s ∩ t)
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
m : Nat.SOM.Mon
p : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (Nat.SOM.Poly.insertSorted k m p) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p + k * Nat.SOM.Mon.denote ctx m
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NeZero μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
a : α
x y : (forget CompHaus).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y
⊢ x = y
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α
⊢ (Array.filter p l 0).data = List.filter p l.data
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ f (p2.2.1, p2.1.1).2 ∈ map f B✝
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
v u : ι → 𝕜
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖g i - f i‖ * ‖v i - u i‖ ≤ ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
⊢ (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = (𝟙 ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf)).app (op U)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : i ≤ n
⊢ ↑((r * (DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r') n) = ↑(r (n - i)) * ↑r'
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y : R
⊢ Commute (star x) y ↔ Commute x (star y)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
x : WithTop α
⊢ x ∈ range some ↔ x ∈ Iio ⊤
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
∀ (x : ↑X), CategoryTheory.Mono ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f.val)
⊢ CategoryTheory.Mono f
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
f : α → β
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s
⊢ f a ∣ ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α
⊢ a < x ∧ x < b ∨ c < x ∧ x < d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x < b ∨ x < d)