ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
hμ : f.HasGenEigenvalue μ k
⊢ f.HasEigenvalue μ
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑π).sin = -θ.sin
α : Type u_1
n : ℕ
f : α → α
a : α
⊢ List.map (fun x => f^[x] a) (List.range n) = List.iterate f a n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | ¬b < a}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x y : Kˣ
⊢ ↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun y)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.k * q.j = c₂ • q.i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇨ b = ⊤ ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α
⊢ s.bind (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, s.bind (pure ∘ f) = s_1.bind (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ lintegral (μ.restrict (X ⁻¹' t)) ((fun a => ((condDistrib Y X μ) a) s) ∘ X) = μ (X ⁻¹' t ∩ Y ⁻¹' s)
M : Type u_4
AddMonoid M
L : List M
⊢ (∀ m ∈ L, IsAddUnit m) → IsAddUnit L.sum
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
x : ↑(obj C J)
y : (i : ι) → X i
hy : y ∈ C ∧ (precomp Subtype.val) y = ↑x
⊢ ∃ a, (π_app C J) a = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 = p.radius
⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : ¬i = j
a✝ : HomotopyGroup N X x
a : ↑(Ω^ N X x)
b✝ : HomotopyGroup N X x
b : ↑(Ω^ N X x)
c✝ : HomotopyGroup N X x
c : ↑(Ω^ N X x)
d✝ : HomotopyGroup N X x
d : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv ((loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv d) ((loopHomeo j).toEquiv c)))) ((loopHomeo i).toEquiv ((loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv b) ((loopHomeo j).toEquiv a))))) = (loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv ((loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv d) ((loopHomeo i).toEquiv b)))) ((loopHomeo j).toEquiv ((loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv c) ((loopHomeo i).toEquiv a)))))
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
⊢ BddAbove s → s.WellFoundedOn fun x x_1 => x > x_1
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I
⊢ M.Base I
R : Type u_1
Mul R
AddMonoid R
⊢ AddSubmonoid.closure IsSquare = SumSqIn R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ ∀ (a b : A[X]), minpoly A x ∣ a * b → minpoly A x ∣ a ∨ minpoly A x ∣ b
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
a : α
Nontrivial α
⊢ Odd a → 0 < a
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hfg : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ f =O[l] g
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a₁ a₂ a₃ a₄ : R
⊢ -{ re := a₁, imI := a₂, imJ := a₃, imK := a₄ } = { re := -a₁, imI := -a₂, imJ := -a₃, imK := -a₄ }
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
⊢ s ⊆ t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ↑N = ⊥ ↔ N = ⊥
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x y : α
h₁ : x ⊓ y = ⊥
h₂ : x ⊔ y = ⊤
⊢ IsCompl x y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ 𝟙 (s.N n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x : ↥e.finiteSubspace
⊢ ‖x‖ = (↑e ↑x).toReal
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
⊢ (μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet = μ.restrict μ.sigmaFiniteSet
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
⊢ (IsometryEquiv.inv G).toEquiv = Equiv.inv G
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
N : AddSubgroup G
N.Normal
⊢ N.topologicalClosure.Normal
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ HNNExtension.of ↑a * HNNExtension.t⁻¹ = HNNExtension.t⁻¹ * HNNExtension.of ↑(φ a)
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → V
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i
E : Type u_4
AddCommGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
x : E
⊢ (p ⊓ q) x = ⨅ y, p y + q (x - y)
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
BaireSpace X
S : Set α
f : α → Set X
hc : ∀ s ∈ S, IsClosed (f s)
hS : S.Countable
hU : ⋃ s ∈ S, f s = Set.univ
⊢ Dense (⋃ s ∈ S, interior (f s))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂0 = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ∀ (I J : LieIdeal R L), ⁅I, J⁆ ≤ ⁅J, I⁆
q : ℚ
⊢ (GenContFract.of q).Terminates
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F × G
x : E
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x).2) x
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x y : R
I J : Ideal R
⊢ span {x} * I = span {y} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ) ∧ ∀ zJ ∈ J, ∃ zI ∈ I, x * zI = y * zJ
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
LocallyFiniteOrderTop α
hs : s.Finite
⊢ (↑(upperClosure s)).Finite
α : Type u
AddMonoid α
c : AddUnits α
a b : α
⊢ a = b + ↑(-c) ↔ a + ↑c = b
α : Type u
Mul α
β : Type v
Mul β
f : α →ₙ* β
x : α
⊢ (Magma.AssocQuotient.map f) (Magma.AssocQuotient.of x) = Magma.AssocQuotient.of (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
⊢ ∀ (x : β), p x → p x ∨ q x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0
h₂ : (aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S
⊢ (pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) x = e x
l m r : List Char
s : Substring
n : Nat
h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.stopPos.byteIdx = utf8Len (l ++ List.take n m) + utf8Len (List.drop n m)
G : Type u
self : DivInvMonoid G
n : ℕ
a : G
⊢ DivInvMonoid.zpow (Int.ofNat n.succ) a = DivInvMonoid.zpow (Int.ofNat n) a * a
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
⊢ ValidFor (c :: l) r { s := { data := l.reverseAux (c :: r) }, i := { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } }
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a
⊢ a % ↑b' = ↑r
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun n => 0 < n) fun n => Metric.ball x (1 / ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
β' : Type u_5
TopologicalSpace β'
g : β → β' → γ
f : α → β
f' : α → β'
hg : Continuous (Function.uncurry g)
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h'f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f' μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x) (f' x)) μ
R : Type u_2
AddMonoidWithOne R
Mul R
c : RingCon R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
i : ℕ
⊢ μ (MeasureTheory.spanningSets μ i) < ⊤
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((liftIsometry 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (tprodL 𝕜)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) x✝
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f g : R ≃+* S
h : ∀ (x : R), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ
⊢ Integrable g μ
x : ℝ
⊢ ↑x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ (Equiv.optionSubtypeNe a) none = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
∀ (x : α), (𝓝[>] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ interior s = ∅
α : Type u_1
m : Type u_3
CommRing α
StarRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian
⊢ A.adjugate.IsHermitian
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
h : 0 < b - a
h2 : #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a)) ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
⊢ 𝔠 ≤ #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a))
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s}
n k m : ℕ
⊢ (n * k).dist (m * k) = n.dist m * k
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l
this : Forall₂ (fun p s => p = (s, ↑l - s)) l'.revzip (List.map Prod.fst l'.revzip)
⊢ l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵃᵒᵖ
⊢ Filter.map AddOpposite.unop (𝓝 x) = 𝓝 (AddOpposite.unop x)
o : Ordinal.{u_3}
ho : 0 < o
⊢ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) 0 ⋯ = ⊥
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ (‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2) ^ (1 / ↑2) = (‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
⊢ Multipliable fun x => 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset
⊢ 0 < Multiset.count x (derivative p).roots
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
s_closed : IsClosed s
⊢ closure (interior s) ⊆ s
m n : ℕ
⊢ 1 < ack (m + 1) n
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s
t : List ↑s := List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
ht : t = List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩
wf : ∀ (m : ↑s), t.maximum = ↑m → ↑m < x
⊢ ∃ n, ofNat s n = ⟨x✝, hx⟩
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
a✝ : A
hx : (mul 𝕜 A) a✝ = 0
⊢ ↑a✝ = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) = ⅟2 • (x + star x)
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_3
Mul M₀
Zero M₀
Mul M₀'
Zero M₀'
f : M₀ → M₀'
hf : Function.Injective f
zero : f 0 = 0
mul : ∀ (x y : M₀), f (x * y) = f x * f y
NoZeroDivisors M₀'
⊢ NoZeroDivisors M₀
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s) = μ (t ∩ f ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
i : ι
⊢ (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K
h : a ≠ 0
b : V
⊢ b ∈ comap (a • f) p ↔ b ∈ comap f p
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g
X₁ : C₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
φ : CostructuredArrow.mk g ⟶ (w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)
⊢ ∃ X₁_1 a b_1, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), StructuredArrow.mk φ = mk w g X₁_1 a b_1 comm
Ω : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
h_indep : ProbabilityTheory.IndepSet t t μ
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsInitial X
⊢ 𝟙 X = 0
α : Type u_1
l : List α
DecidableEq α
a : { x // x ∈ l }
⊢ List.count a l.attach = List.count (↑a) l
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖) ρ.fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
α : Type u
β : Type v
s : Stream'.Seq α
t : Stream'.Seq β
n : ℕ
⊢ (s.zip t).get? n = Option.map₂ Prod.mk (s.get? n) (t.get? n)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere = s.circumsphere
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
h : J → I
j : J
X : (i : I) → C i
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapEvalIsoEval C h j).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X (h j))
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base '' (⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' ↑(X.basicOpen f)) = ↑(X.basicOpen f)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥
⊢ (f.genEigenspace μ) m ≠ ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
hs : IsClosed s
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
⊢ ¬x ⤳ y
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ a * c + (b * d + a * d) ≤ b * c + (b * d + a * d)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ n.ppred = some n.pred
X : Type u
Preorder X
⊢ ∀ {X_1 Y : Xᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y), (CategoryTheory.orderDualEquivalence X).inverse.map f = CategoryTheory.homOfLE ⋯
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : ⋯.unit⁻¹ • f (m, s).1 = x
⊢ f (m, s).1 ∈ ↑(span R (⇑f '' v))
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
CompleteSpace A
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : MeasureTheory.Integrable (u * v') MeasureTheory.volume
hu'v : MeasureTheory.Integrable (u' * v) MeasureTheory.volume
h_bot : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atBot (𝓝 a')
h_top : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ), u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ), u' x * v x
V : Type u_1
Quiver V
a b : V
⊢ Quiver.WeaklyConnectedComponent.mk a = Quiver.WeaklyConnectedComponent.mk b ↔ Nonempty (Quiver.Path a b)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Finset.Ico a b = Finset.cons a (Finset.Ioo a b) ⋯
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
⊢ IsLindelof t
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y ⟶ Z✝
W E X Z : C
c : BinaryCofan W E
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : HasPullbacks C
hc : IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : IsPushout f c.inl h i
⊢ H.IsVanKampen
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a < b ∧ b < c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
t : Set ↑s
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ)
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ
α : Type u_3
β : Type u_4
DecidableEq α
s : Finset β
a : α
f : β → Multiset α
⊢ Multiset.count a (∑ x ∈ s, f x) = ∑ x ∈ s, Multiset.count a (f x)
n : Nat
⊢ Fin.rev 0 = Fin.last n
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
⊢ s.sdiff t = s ↔ Disjoint (↑s) t