ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
⊢ dist p₁ ((EuclideanGeometry.reflection s) p₂) = dist p₁ p₂
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
⊢ logb b x < 0 ↔ x < 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0
⊢ f ≠ 0 ∧ (aeval (rootOfSplits (algebraMap F f.SplittingField) ⋯ ⋯)) f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
p : β → Bool
⊢ (List.map f l).any p = l.any (p ∘ f)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hf : Integrable f volume
hE : CompleteSpace E
A : Tendsto f atBot (𝓝 0)
⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
⊢ ↑f 0 + ↑g z₁ = ↑(f.sup g h) z₂
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ TorusIntegrable (-f) c R
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
D : LieDerivation R L L
⊢ (LieDerivation.ad R L) (D x) = -⁅x, D⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ (a b : ℚ), μ (Ioo ↑a ↑b) = ν (Ioo ↑a ↑b)
⊢ ∀ (s : Set ℝ), (∃ i i_1, ∃ (_ : i < i_1), s = Ioo ↑i ↑i_1) → μ s = ν s
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ ↑(min p q) = min ↑p ↑q
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n > 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i / n * n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₁ : S
he : e₁ ∈ f.range
he₁ : IsIdempotentElem e₁
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
he₁e₂ : e₁ * f e₂ = 0
he₂e₁ : f e₂ * e₁ = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e₁ ∧ e' * e₂ = 0 ∧ e₂ * e' = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
x y : Set E
⊢ EMetric.diam (x + y) ≤ EMetric.diam x + EMetric.diam y
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
X✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
Y✝ Y'✝ : Sheaf J D
η : (plusPlusSheaf J D).obj X✝ ⟶ Y✝
γ : Y✝ ⟶ Y'✝
⊢ J.toSheafify X✝ ≫ η.val ≫ γ.val = (J.toSheafify X✝ ≫ η.val) ≫ γ.val
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
one : C 1 ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = f x
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.toMatrix fun x => (basisFun p 𝕜 ι) x) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Aᵀ j))) i
⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c R)
hw : w ∈ Metric.ball c R
⊢ ((2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
m : Type → Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
p : α → m Bool
as : Array α
start stop : Nat
hstart : start ≤ min stop as.size
tru : Prop
fal : Nat → Prop
h0 : fal start
hp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])
⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM.loop p as (min stop as.size) ⋯ start)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K
g : Set G → G
hg : ∀ (L : Set G), IsCompact L → Disjoint L (g L • K)
L : ℕ → Set G := fun n => (fun T => T ∪ g T • K)^[n] K
Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)
Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)
M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K
N : Tendsto (fun n => μ (L n)) atTop (𝓝 ⊤)
⊢ ⊤ ≤ μ univ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ (ProbabilityTheory.cdf μ).measure = μ
n : ℕ
i j : Fin n
⊢ i < j.rev ↔ j < i.rev
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a u' : α
s : Set α
hu' : a < u'
⊢ s ∈ 𝓝[≥] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ico a u ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ comp 1 ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
⊢ φ (p * n) = p * φ n
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a b : α
⊢ min a b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ b = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
Y : C
n : ℕ
X₁ X₂ : C
α β : CategoryTheory.Abelian.Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
h₁ :
  (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ CategoryTheory.Limits.biprod.inl).comp α ⋯ =
    (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ CategoryTheory.Limits.biprod.inl).comp β ⋯
h₂ :
  (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ CategoryTheory.Limits.biprod.inr).comp α ⋯ =
    (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ CategoryTheory.Limits.biprod.inr).comp β ⋯
⊢ α = β
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
    (let_fun this := Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.g f;
    this) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
    (let_fun this := Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f;
    this)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ Set.EqOn f g s
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b
h₁ : a - 1 ∣ a ^ b - 1
⊢ 1 < (a ^ b - 1) / (a - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsAntisymm α r
⊢ x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
st : s ≤ t
⊢ t ≤ s
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Iic a = Set.Iic (a / c)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, t.rnDeriv μ x = ρ.rnDeriv μ x
C : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.rnDeriv μ x))
a✝ : α
Ax : Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 0)
Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝
Cx : Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (t.rnDeriv μ a✝))
⊢ Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
h₂ : HasFDerivAt (fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v) (4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
⊢ ContinuousLinearMap.id ℝ E = (‖0‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E + ContinuousLinearMap.smulRight 0 (4 • 0 + (‖0‖ ^ 2 - 4) • v)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ ∃ fsymm, 0 < fsymm.nnnorm
α : Type u_1
a : α
r : α → α → Prop
⊢ {a}.Pairwise r
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (Set.range f)
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ lightToProfinite.map (S.proj n) =
  (lightToProfinite.obj S).asLimitCone.π.app
    ((CategoryTheory.Limits.sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑(lightToProfinite.obj S).toTop)).obj (Opposite.op n))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hc : 0 < c
h : c ≤ b
⊢ a / b ≤ a / c
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Grp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F ↔ Small.{u, max u v} ↑(F ⋙ CategoryTheory.forget Grp).sections
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (?neg✝ * 0))
α : Type u_1
L : List α
i : Nat
j : Fin (List.drop i L).length
⊢ (List.drop i L).get j = L.get ⟨i + ↑j, ⋯⟩
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 ≤ ⌊a⌋ ↔ 0 ≤ a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ (∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∩ b = u) → u ⊆ s ∩ t
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
⊢ a ≤ o.cof ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), Ordinal.lsub f = o → a ≤ #ι
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r
⊢ IsUnit (1 - hr.unit⁻¹ • a) ↔ IsUnit (r • 1 - a)
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
R : Type u
Ring R
I J : Ideal R
⊢ I ≤ J → I.jacobson ≤ J.jacobson
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
u : PartialHomeomorph H H
a✝ : u ∈ ⊤.members
⊢ ContinuousOn (↑I ∘ ↑u ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u.source ∩ range ↑I) ∧ ContinuousOn (↑I ∘ ↑u.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u.target ∩ range ↑I)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.ball 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace ≤ WeakDual.instTopologicalSpace
x : ℝ
⊢ 0 < Real.arsinh x ↔ 0 < x
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imI 1 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π / 2 * ‖x - y‖
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
TopologicalSpace β
a b : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iic b) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f
α : Type u
⊢ (fun x x_1 => x < x_1) = fun x x_1 => x ⊂ x_1
b : Int
a c : Int
h : c ∣ a
⊢ (a * b).div c = a.div c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ∑' (i : { x // x ∈ s }), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑i = ∑' (x : ↑↑s), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑x
α : Type u_2
Div α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s / (t₁ ∩ t₂) ⊆ s / t₁ ∩ (s / t₂)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
r : R
⊢ IsUnit (Polynomial.C r).primPart
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
m n : ℕ
⊢ Even (n + 1) ↔ ¬Even n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M Nᵐᵒᵖ
inst✝ : MonoidHomClass F M Nᵐᵒᵖ
f : F
l : List M
⊢ MulOpposite.unop (f l.prod) = (map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ (Finsupp.indicator s f).prod h = ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ ⇑1 = id
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x + y) (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v) =
  ProbabilityTheory.gaussianReal (μ + y) v
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
K.IsSupported e
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ K.ExactAt i'
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j
⊢ SimplexCategory.σ i.castSucc ≫ SimplexCategory.σ j = SimplexCategory.σ j.succ ≫ SimplexCategory.σ i
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi b = Set.Ioc (↑b) a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝
⊢ sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
n m : Int
⊢ min n m = if n ≤ m then n else m
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ IsCauSeq abs fun n => (↑f n).im
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ Sigma.map id (fun i a => ↑a) ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sym.filterNe a (Sym.fill a (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).fst (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).snd)
E : Type u_6
NormedAddGroup E
⊢ Filter.comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit).op = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit.op
α : Type u_1
x : α
xs : List α
⊢ ∀ {α_1 : Sort u_2} {f : Nat → α → α_1 → α_1} {i : α_1} {s : Nat},
  List.foldrIdx f i (x :: xs) s = f s x (List.foldrIdx f i xs (s + 1))
G₀ : Type u_1
E : Type u_3
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
(Bornology.cobounded G₀).NeBot
AddMonoid E
DistribMulAction G₀ E
s : Set E
hs : Absorbent G₀ s
⊢ 0 ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a < c ↔ a < c * b
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
⊢ exterior {a} ⊆ t ↔ t ∈ 𝓝 a
α : Type u
NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
t : Closeds α
ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s}
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ p.swap.toProd = (p.snd, p.fst)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : Injective P
X✝ Y✝ : C
g : X✝ ⟶ Q
f : X✝ ⟶ Y✝
mono : Mono f
h : Y✝ ⟶ P
h_eq : f ≫ h = g ≫ i.inv
⊢ ∃ h, f ≫ h = g
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.root i = 0
⊢ False
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
M : Type u_6
Fintype α₁
Fintype α₂
CommMonoid M
f : α₁ → M
g : α₂ → M
⊢ ∏ x : α₁ ⊕ α₂, Sum.elim f g x = (∏ a₁ : α₁, f a₁) * ∏ a₂ : α₂, g a₂
R : Type u
CommRing R
a b mod : R[X]
⊢ (a - b) %ₘ mod = a %ₘ mod - b %ₘ mod
x : ℝ
⊢ Real.arcsin x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ G.IsNClique n {a} ↔ n = 1
α : Type u
Add α
MulOneClass α
LeftDistribClass α
a b : α
⊢ a * (b + 1) = a * b + a
α : Type u_1
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
hwf : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le 0 (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.tail le s)
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ (pathGraph n).chromaticNumber = 2
α : Type u
p : α → Prop
fs : Set (Filter α)
⊢ (∃ᶠ (x : α) in sSup fs, p x) ↔ ∃ f ∈ fs, ∃ᶠ (x : α) in f, p x
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ
⊢ (Multiset.prod ⟦a✝⟧).Coprime k ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, n.Coprime k
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
⊢ ⊤ ≤ F⟮↑α⟯
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded p q f
s' : Finset ι'
⊢ ∃ C s, (s'.sup q).comp f ≤ C • s.sup p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
⊢ F.map (strInv h ≫ A.str) ≫ A.str = A.str ≫ strInv h ≫ A.str
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α
⊢ dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) ≤ ∑ k ∈ Finset.range n, dist (g (f^[k] x)) (g (f^[k] y))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + (toIcoDiv hp a b + 1) • p
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ (l.lift' (Iic ∘ 𝓟)).HasBasis p fun i => Iic (𝓟 (s i))
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ ≠ 0 ↔ a ≠ ⊤
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ (LieAlgebra.Orthogonal.PD l R).transpose * LieAlgebra.Orthogonal.JD l R * LieAlgebra.Orthogonal.PD l R =
  2 • LieAlgebra.Orthogonal.S l R
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
⊢ (frobenius (ZMod p) p) a = (RingHom.id (ZMod p)) a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
⊢ x ≤ limsup u f
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : b ≤ c
a0 : 0 ≤ a
⊢ b * a ≤ c * a
x y : SetTheory.PGame
h₁ : ∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).LF y
h₂ : ∀ (j : y.RightMoves), x.LF (y.moveRight j)
⊢ x ≤ y
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
⊢ ¬(p = 0 ∧ q = 0)
x y : Nat
⊢ (x.ble y = true) = (x ≤ y)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
⊢ ∀ (x : σ → R), (aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group N✝
f✝ : G →* N✝
N : Type u_6
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ comap f H.normalizer = (comap f H).normalizer
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j
⊢ X.δ i ≫ X.δ j.succ = X.δ j ≫ X.δ i.castSucc
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
⊢ Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0
R : Type u_1
Ring R
p n : ℕ
CharP R p
Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p ^ n = -1