ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
A : C
⊢ Subsingleton (A ⟶ I)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α
⊢ dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) (birkhoffAverage 𝕜 f g n y) ≤
  (∑ k ∈ Finset.range n, dist (g (f^[k] x)) (g (f^[k] y))) / ↑n
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
⊢ Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) I = LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ LinearMap.snd R A B =
  TensorProduct.map (LinearMap.snd R A B) (LinearMap.snd R A B) ∘ₗ Coalgebra.comul
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) univ
hu : Continuous u
⊢ UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) univ
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
k : α
inst✝ : Invertible k
h : IsUnit A.det
⊢ ⅟k • A⁻¹ * k • A = 1
β : Type u_3
Finite β
P : Equiv.Perm β → Prop
σ : Equiv.Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Equiv.Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Equiv.Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
⊢ P σ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₂ : E → F × G
h : Differentiable 𝕜 f₂
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (f₂ x).2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.pOpcycles (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ S₂.pOpcycles
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection S
⊢ ‖x‖ ^ 2 = ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
⊢ f.augmentedCechConerve.right = f.cechConerve
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace) = genericPoint ↑↑Y.toPresheafedSpace
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeInf δ
g : γ → δ
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ (Finset.image₂ f s t).inf' h g = s.inf' ⋯ fun x => t.inf' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j
⊢ F ((of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) = F ((of A i) ai) * F ((of A j) aj)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ ∃ a, a • eval {fun x => false} nil = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
self : e.IsTruncGE
j : ι
k' : ι'
h : c'.Rel (e.f j) k'
⊢ ∃ k, e.f k = k'
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
⊢ 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ ((Yᘁ ⊗ Y) ◁ g ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ Y ◁ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ QuotientMap f ↔ Function.Surjective f ∧ ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : minpoly K f ≠ 0
⊢ Set.Finite f.HasEigenvalue
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∈ s
⊢ ∃ a, s.sup (WithBot.some ∘ f) = ↑a
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.addLeft g).symm = MeasurableEquiv.addLeft (-g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
hst : _root_.Disjoint (s.erase a) t
⊢ _root_.Disjoint s t
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : G i
h : i ≤ i
⊢ (f i i h) x = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
⊢ IsOpenMap (g ∘ f)
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioo 0 1)
⊢ ↑x < 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
U : CategoryTheory.Functor A B
V : B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : F.comp U ⟶ S.comp G
β : G.obj T ⟶ V
X Y : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map₂ α β).map φ).left = F.map φ.left
α : Type u_1
Monoid α
m n : ℕ
a : α
h : m ≤ n
⊢ a ^ m ∣ a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A
⊢ IsExposed 𝕜 (B ∩ A) C
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.mulIndicator f a ≠ 1 ↔ a ∈ s ∩ Function.mulSupport f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measurable ⇑e
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
K₀ : PositiveCompacts G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ ↑K₀ = 1
⊢ haarMeasure K₀ = μ
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
Nontrivial M
⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ : Type v
g₁ : AddCommGroup X₁
g₂ : AddCommGroup X₂
m₁ : Module R X₁
m₂ : Module R X₂
e : X₁ ≃ₗ[R] X₂
⊢ e.toModuleIso.hom = ↑e
n b m : ℕ
h : 1 < b
p : b.digits m ≠ []
q : b.digits (m / b) ≠ []
hm : ¬m = 0
⊢ (b.digits m).getLast p = (b.digits (m / b)).getLast q
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ { carrier := ↑U, is_open' := ⋯ } = U
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
p : LTSeries α
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ (p.map f hf).length = p.length
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
Group β
UniformGroup β
FunLike hom α β
MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Filter.Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
⊢ UniformContinuous ⇑f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K
⊢ ¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K) → a = b
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁' →ₐ[R] A₂'
⊢ (fun f => ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm) ((fun f => ((↑e₂.symm).comp f).comp ↑e₁) f) = f
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imJ 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : C ≌ D
P : C
⊢ CategoryTheory.Injective (F.functor.obj P) ↔ CategoryTheory.Injective P
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q₁.prod Q₂).polarBilin = LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
x₀ : X
hA : EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
hu : Continuous u
⊢ EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : Algebra.IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∀ (x : F →ₐ[K] E), x ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma x).fst pb.gen
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ List.oldMapIdx f (l ++ [e]) = List.oldMapIdx f l ++ [f l.length e]
M : Type u_1
Mul M
a b : M
⊢ DomMulAct.mk (a * b) = DomMulAct.mk b * DomMulAct.mk a
G : Type u_1
H : Type u_2
Mul G
Mul H
DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huH : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) aH bH
huG : UniqueMul (Finset.filter (fun x => f x = aH) A) (Finset.filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
⊢ UniqueMul A B aG bG
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (θ.app a) (H.mapComp g h))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapComp g h) (θ.app c)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (G.map g) (θ.naturality h)))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
          (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
              (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (θ.naturality g) (H.map h)))
            (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f
              (CategoryTheory.Bicategory.associator (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom)))))
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
I : ↥(Ideal S)⁰
⊢ ∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
t : PEmpty.{u_5} → α
⊢ CompleteLattice.Independent t
α : Type u
a : α
Group α
DecidableEq α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers a
⊢ Finset.image (fun i => a ^ i) (Finset.range (orderOf a)) = Finset.univ
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ ∀ (p_1 : ℕ), Nat.Prime p_1 → p_1 ∣ p ^ n → ∀ (b : K), b ^ p_1 ≠ a
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
f₁ : A →A[R] B
f₂ : A →A[R] C
x : A
⊢ (f₁.prod f₂) x = (f₁ x, f₂ x)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s
x : M
s : Set H
left✝ : s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x)
h₂ : IsCompact s
h₃ : s ⊆ (chartAt H x).target
⊢ IsCompact (↑(chartAt H x).symm '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f (μ + ν)
⊢ Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α
⊢ a ∈ restrict p o h ↔ p ∧ a ∈ o
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f univ
⊢ Continuous f
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
⊢ cderiv r (f - g) z = cderiv r f z - cderiv r g z
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h✝ : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
hχ₁ : χ ≠ 1
h : ↑((quadraticChar F') (χ (-1) * ↑(Fintype.card F))) = χ ↑(Fintype.card F')
⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ
h : Tendsto (f ∘ x) atTop l
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
⊢ (a +ᵥ f).NeBot → f.NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a
w✝ : Set α
Hw : w✝ ∈ 𝓝 a
hw : w✝ ∩ s ⊆ t
⊢ t ∈ 𝓝 a
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α
⊢ e'.symm ≫ₕ e'' ∈ G
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
ν : MeasureTheory.Measure α
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
hle : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.AECover ν l φ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬p %ₘ minpoly A x = 0
⊢ False
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
⊢ (∀ (a : E), BddAbove (range fun i => (DFunLike.coe ∘ p) i a)) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
mab : α → β
mba : β → α
f : Filter α
g : Filter β
h₁ : mab ∘ mba =ᶠ[g] id
h₂ : Tendsto mba g f
⊢ map mab (map mba g) ≤ map mab f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ b.repr.symm (lp.single 2 i 1) = (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0
⊢ IsIso 0
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
⊢ ⇑(Homeomorph.shearMulRight G).symm = fun z => (z.1, z.1⁻¹ * z.2)
x : EReal
⊢ x.exp = ⊤ ↔ x = ⊤
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
C : Type w
CommRing C
Algebra A C
Algebra B C
IsScalarTower A B C
hS : IsCyclotomicExtension S A B
hT : IsCyclotomicExtension T B C
h : Function.Injective ⇑(algebraMap B C)
⊢ IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A C
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
⊢ Ico a b \ Ico c b = Ico a (min b c)
α : Type u_1
Preorder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData C
i j k : self.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.t' i j k)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.t' j k i) (self.t' k i j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Limits.pullback (self.f i j) (self.f i k))
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A
⊢ (((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P)).val = ((sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)).val
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ Finset.image₂ f (s ∩ s') (t ∪ t') ⊆ Finset.image₂ f s t ∪ Finset.image₂ f s' t'
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
h : Set.EqOn f g ↑s
⊢ Finset.image f s = Finset.image g s
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b)) = (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ IsUnit (NormedSpace.exp 𝕂 x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h✝ : IsInternal N
κ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
s : Finset ι
h : IsInternal fun i => N ↑i
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥
i : { x // x ∈ s }
k : κ ↑i
⊢ ((toMatrix (h.collectedBasis b) (h.collectedBasis b)) f).diag ⟨i, k⟩ = 0 ⟨i, k⟩
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoZero F A).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c - f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x
n : ℤ
⊢ ‖↑n‖ = |↑n|