ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max v2 (stationaryPoint hf))))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
x : α
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)
⊢ mk (l.dProdIndex fι) (l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => mk (fι a) (fA a)) l).prod
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictAnti (∑ c : α, fun p => a c * b c ^ p)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p
⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
h : t ⊆ u
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ u
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : (x : β) → x = b → Set α
⊢ ⋃ x, ⋃ (h : x = b), s x h = s b ⋯
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
α : Type u_1
E I : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E).Indep I ↔ I = ∅
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj a b
⊢ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b = {s(a, b)}
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
⊢ a ^ 2 < 1 ↔ |a| < 1
M : Type u_2
CommMonoid M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ (∏ i ∈ Finset.Ioc m n, f i) * ∏ i ∈ Finset.Ioc n k, f i = ∏ i ∈ Finset.Ioc m k, f i
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
⊢ ∫ (v : ι → ℝ), ∏ x : ι, cexp (-b x * ↑(v x) ^ 2 + c x * ↑(v x)) = ∏ i : ι, (↑π / b i) ^ (1 / 2) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
⊢ D.diagram.right = D.U
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ coborder (f ⁻¹' s) ⊆ f ⁻¹' coborder s
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S T : L.Substructure M
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f (S ⊔ T) =
  FirstOrder.Language.Substructure.map f S ⊔ FirstOrder.Language.Substructure.map f T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → MeasureTheory.SimpleFunc α γ
a : α
⊢ ↑(f.bind g) a = ↑(g (↑f a)) a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q
u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)
f' : α → β := fun x => ⨅ i, (u' ↑i).piecewise (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x
f'_meas : Measurable f'
t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
m : ℤ
hle : y ^ m ≤ x⁻¹
hlt : x⁻¹ < y ^ (m + 1)
hyp : 0 < y
⊢ y ^ (-(m + 1)) < x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Field.sepDegree F E) = Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree F K)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y : C
α : F ⟶ G
x✝ : IsIso α
X : C
⊢ (inv α).app X = inv (α.app X)
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.FG ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
α : Type u_1
E : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E).E = E
G : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
s : Set G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasurePreserving ?m.119417 ?m.119413 (?m.119343.prod ?m.119344)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (i : 𝒰.J), pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰 g f).pushforwardIso (pullbackSymmetry g f).hom).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup.Nodup
α : Type u_1
E'' : Type u_9
NormedAddCommGroup E''
f'' : α → E''
l : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, f'' x ≠ 0
⊢ ¬f'' =o[l] f''
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
f : A₂ → A₁
h₁ : Function.LeftInverse (⇑e) f
h₂ : Function.RightInverse (⇑e) f
h₃ :
  ∀ (x y : A₂),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A₂),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun ((algebraMap R A₂) r) = (algebraMap R A₁) r
⊢ { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ } = e.symm
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Add γ
ContinuousAdd γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ (f + g).toGerm = f.toGerm + g.toGerm
α₁ : Type u_1
α₂ : Sort u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Sort u_4
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
⊢ ∀ (a : PProd α₂ β₂), (ea.prodPProd eb).symm a = (ea.symm a.fst, eb.symm a.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
hb : b₁ < b₂
⊢ a • b₁ < a • b₂
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b c a : G
⊢ a * a⁻¹ = 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∃ᶠ (c : β) in x, f c ≤ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =O[l] g
h₂ : f₂ =O[l] g
⊢ (fun x => f₁ x + f₂ x) =O[l] g
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p = 0
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
h₂ : RingHom.LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
h₃ : RingHom.OfLocalizationSpan fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ (AlgebraicGeometry.sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).IsLocal
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • MeasureTheory.eLpNorm f p μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
⊢ ¬IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < Ordinal.omega ^ Ordinal.omega ^ b
⊢ a * Ordinal.omega ^ Ordinal.omega ^ b = Ordinal.omega ^ Ordinal.omega ^ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
s : Set β
t : Set γ
⊢ ↑(f.pair g) ⁻¹' s ×ˢ t = ↑f ⁻¹' s ∩ ↑g ⁻¹' t
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : (i : ι) → A i →ₗ[R] B
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
r : R
⊢ (toModule R ι B f) ((algebraMap R (⨁ (i : ι), A i)) r) = (algebraMap R B) r
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑(num ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) / ↑(den ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) = ↑a / ↑b
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
⊢ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h : ∀ (x : E), f x = g x
⊢ f = g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.33376, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.33380, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.map S.f ≫ F.map S.g = 0
α : Type u_1
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy 0 = 0
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a * (f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) + b * (f y - m / 2 * ‖y‖ ^ 2) + m / 2 * ‖a • x + b • y‖ ^ 2 =
  a * f x + b * f y - m / 2 * a * b * ‖x - y‖ ^ 2
α : Type u_1
⊢ Topology.WithLower.toLower.symm = Topology.WithLower.ofLower
α : Type u_1
L : List (List α)
f : List α
⊢ f ∈ L.sections ↔ List.Forall₂ (fun x x_1 => x ∈ x_1) f L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hm : Monotone g
⊢ (f.lift g).NeBot ↔ ∀ s ∈ f, (g s).NeBot
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * a * b + b * b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
p : h₂₁ ≫ v₂₂ = v₂₁ ≫ h₃₁
t : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
F : (α →₀ M) →+ N
x : α
y : M
⊢ (Finsupp.liftAddHom.symm F x) y = F (Finsupp.single x y)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.rightAngleRotation (o.rightAngleRotation x) = -x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Set β
hs : IsOpen s
⊢ IsUpperSet (f ⁻¹' s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity a p = rootMultiplicity (f a) (map f p)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
h : Subgroup.IsComplement S T
⊢ Nat.card ↑S * Nat.card ↑T = Nat.card G
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ Function.support ↑f = (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : Type u_1
g : (a : P.A) → P.drop.B a ⟹ α → (P.last.B a → P.W α) → (P.last.B a → C) → C
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ (g a f' (fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩) fun i => P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (f i).fst (f i).snd) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : αᵃᵒᵖ
b : β
⊢ AddOpposite.unop (a ^ b) = AddOpposite.unop a ^ b
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ (Finset.filter p s).val = Multiset.filter p s.val
α : Type u_1
DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁.Disjoint t₂
⊢ (l ∩ (t₁ ++ t₂)).Perm (l ∩ t₁ ++ l ∩ t₂)
R : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
self : Q₁.IsometryEquiv Q₂
m : M₁
⊢ Q₂ ((↑self.toLinearEquiv).toFun m) = Q₁ m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ mulRothNumber (map (mulRightEmbedding a) s) = mulRothNumber s
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
hi : DirectSum.IsInternal A
⊢ IsCompl (A i) (A j)
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜) 1 = 1
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
⊢ IsUnit f ↔ LinearMap.ker f = ⊥
w k : Nat
x y : BitVec w
⊢ BitVec.truncate k (x ||| y) = BitVec.truncate k x ||| BitVec.truncate k y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝² : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal) μ
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ * b < 1 ↔ b < a
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.degree ≤ 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ 2 • ⁅e, m⁆ = 0
R : Type u_1
AddMonoid R
f g : ArithmeticFunction R
n : ℕ
⊢ (f + g) n = f n + g n
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} {S : Finset ι} {s : ι → Set Ω},
  ProbabilityTheory.iIndep m μ → (∀ i ∈ S, MeasurableSet (s i)) → μ (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, μ (s i)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (List.map f s.toList).prod = s.prod f
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : ⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {f ^ n} = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {f}
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)
hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ⊆ coborder s
l m r : List Char
⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.next { byteIdx := utf8Len m } = { byteIdx := utf8Len m }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
W : C
inl : Y ⟶ W
inr : Z ⟶ W
eq : f ≫ inl = g ≫ inr
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk inl inr eq).ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = f ≫ inl
n m l : ℕ
⊢ l ∈ List.Ico n m ↔ n ≤ l ∧ l < m
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
p : α → Prop
DecidablePred p
hp : ∀ ⦃x y : α⦄, x < y → p y → p x
hfg : ∀ ⦃x y : α⦄, p x → ¬p y → x < y → g y < f x
⊢ StrictAnti fun x => if p x then f x else g x
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
DecidableEq R
x : { x // x ∈ ((Polynomial.expand R p) f).roots.toFinset }
⊢ ↑((Polynomial.rootsExpandEquivRoots p f) x) = ↑x ^ p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (-o).oangle x y = -o.oangle x y
α : Type u_1
m n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector α m
x : α
i : Fin (n + m)
h : ↑i + 1 < n.succ + m
⊢ ((x ::ᵥ xs).append ys).get ⟨↑i + 1, h⟩ = (xs.append ys).get i
α : Type u_2
β : Type u_3
Dist α
Dist β
f g : WithLp 0 (α × β)
⊢ dist f g = (if dist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if dist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c
⊢ (ofIsLimitKernelFork S hf c hc).g' = S.g
q : ℕ+
n : ℕ
⊢ (↑n).2 = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
Mul α
s t : SetSemiring α
⊢ s * t = Set.up (SetSemiring.down s * SetSemiring.down t)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ f a * ∏ x ∈ Ioi a, f x = ∏ x ∈ Ici a, f x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : x ∈ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)
⊢ x ∈ ↑f.support
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
h : f ≠ 1
⊢ 2 ≤ f.support.card
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
Zero Γ
h : r ≠ 0
⊢ ((HahnSeries.single a) r).order = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
W : C
i j : W ⟶ CategoryTheory.Limits.multiequalizer I
h :
  ∀ (a : I.L),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp i (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp j (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I a)
⊢ i = j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
⊢ s.Nonempty → (∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) < t) → padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) < t
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.exp (↑n * x) = Real.exp x ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ (L.pointwiseLeftKanExtension F).map f =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc ((CategoryTheory.CostructuredArrow.proj L Y₁).comp F)
    { pt := CategoryTheory.Limits.colimit ((CategoryTheory.CostructuredArrow.proj L Y₂).comp F),
      ι :=
        {
          app := fun g =>
            CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.CostructuredArrow.proj L Y₂).comp F)
              ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map f).obj g),
          naturality := ⋯ } }
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
StrictOrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosMono α β
SMulPosReflectLE α β
a₁ a₂ : α
⊢ (algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ ≤ a₂
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
R : Type u
Ring R
⊢ StrictMono Subring.toAddSubgroup
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → ↥⊤
xs : Fin n → ↥⊤
⊢ φ.Realize v xs ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)