ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ (map (⇑f) l).prod = f l.prod
K : Type u
Field K
R : Type u_1
F : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
FunLike F K[X] R[X]
MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
f : RatFunc K
⊢ (RatFunc.map φ hφ) f = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ f.num) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ f.denom)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
m : Sym α n
⊢ m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ Integrable (t.indicator fun a_1 => φ i a_1 • a) (μ.restrict s)
s : Set ℝ
⊢ Set.MapsTo Real.cos s (Set.Icc (-1) 1)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
⊢ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
mass_lim : Filter.Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra.Etale R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.Etale R B
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ IsPiSystem (Set.range Set.Ici)
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
⊢ ⋃ n, disjointed f n = ⋃ n, f n
α : Type u_3
DecidableEq α
s : Finset α
m : Multiset α
hms : ∀ a ∈ m, a ∈ s
⊢ ∑ a ∈ s, Multiset.count a m = Multiset.card m
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋂₀ s)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
hp : ∀ J ∈ π, p J
⊢ π.filter p = π
β : Sort u_1
δ : Sort u_2
α : Sort u_3
f : β → δ
g : α → β
x : α
⊢ (f ∘ g) x = f (g x)
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ LinearIndependent R v ↔ Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι M R v)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s (closure t) = EMetric.hausdorffEdist s t
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
a b : ℝ
hf : ‖f‖ ≤ a
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖f x‖ ≤ a * b
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
Module R M
Module S M₂
RingHomInvPair σ' σ
RingHomInvPair σ σ'
⊢ Function.Bijective LinearEquiv.symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (f + g)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Nonempty M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M
⊢ ∃ N, Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∧ #↑N = κ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
C : ℝ
h0 : 0 ≤ C
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
n : ℕ
⊢ ↑n + 1 = 0
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
⊢ f = g
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : NormalizationMonoid α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
M : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : Unique Mˣ
x x✝ : M
a✝ : x✝ ∈ factors x
⊢ ⇑normalize = id
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
S : IntermediateField E K := separableClosure E K
h : adjoin E (Subtype.val '' ↑(separableClosure F ↥S)) = S
⊢ adjoin E ↑(separableClosure F K) = S
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ ¬p a → Multiset.countP p (a ::ₘ s) = Multiset.countP p s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n > 0
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_3
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → β → α_1} {x : α} {y : β},
  Mathlib.Vector.map₂ f (xs.snoc x) (ys.snoc y) = (Mathlib.Vector.map₂ f xs ys).snoc (f x y)
M : Type u_1
Monoid M
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
a : A
⊢ 1 a = a
a b : ℕ
hba : b ∣ a
⊢ a / b ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
k : Type u₁
G : Type u₂
A : Type u_3
CommSemiring k
AddMonoid G
Semiring A
Algebra k A
⊢ AddMonoidAlgebra.domCongr k A (AddEquiv.refl G) = AlgEquiv.refl
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
f g : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ (f + g).toAlternatingMap = f.toAlternatingMap + g.toAlternatingMap
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
d : n → α
i j : n
h : j ≠ i
⊢ Matrix.diagonal d i j = 0
α : Type u
l : List α
h : l ≠ []
⊢ Stream'.cycle l h = l ++ₛ Stream'.cycle l h
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
y : L₂
hy✝ : y ∈ f.range
hy : ∃ y_1, f y_1 = y
⊢ ∃ a, f.rangeRestrict a = ⟨y, hy✝⟩
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
n : ℕ
⊢ ↑n < c
E : Type u_2
NNNorm E
x : Additive E
⊢ ‖Additive.toMul x‖₊ = ‖x‖₊
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
Fintype ι
DecidableEq ι
Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) ↔ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (Set.range p) = ⊤
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f 0 x r
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, f z = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
s : Set α
⊢ BddAbove (closure s) ↔ BddAbove s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
⊢ sSup (a • s) = a • sSup s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ StableUnderSpecialization Set.univ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (X ⊗ Y).one ≫ (β_ X.X Y.X).hom = (Y ⊗ X).one
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t } ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t → ∃ b ∈ t, b ∉ s ∧ a ≤ b
M : Type u
LeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a ≠ a * b ↔ b ≠ 1
n✝ m n : ℕ
hb : 0 < succ 0
⊢ (succ 0).digits n ++ (succ 0).digits m = (succ 0).digits (n + succ 0 ^ ((succ 0).digits n).length * m)
G : Type u_6
AddGroup G
H : AddSubgroup G
H.Normal
g : G
⊢ H.index • g ∈ H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e).ε = e.unitIso.hom.app (𝟙_ C)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ a • s = s
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b = ⊤ ↔ ¬multiplicity.Finite a b
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z : ι✝ → E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ t, w i • (p i -ᵥ 0) = ∑ i ∈ t, w i • p i
n : ℕ
P : ℤ[X]
h : map (Int.castRingHom ℂ) P = cyclotomic' n ℂ
⊢ P = cyclotomic n ℤ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
x : α
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range u)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ MeromorphicAt (-f) x
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ 1 / r ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
⊢ ‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ^ 2 ≤ ‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra G
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransEq h).inv.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (adjoin R t)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
m : M
hx : x ∈ I
hm : m ∈ N
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ ⁅I, N⁆
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
d : M.Derivation φ
X : Dᵒᵖ
⊢ d.d 1 = 0
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
P : PresheafOfModules R₀
F : SheafOfModules R
g : P ⟶ (PresheafOfModules.restrictScalars α).obj ((SheafOfModules.forget R).obj F)
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map ((PresheafOfModules.sheafificationHomEquiv α).symm g) =
  ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm
    g.hom
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ -(o.rotation ↑(-π / 2)) x = (o.rotation ↑(π / 2)) x
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
L : List (Matrix.TransvectionStruct n R)
⊢ (List.map (Matrix.TransvectionStruct.toMatrix ∘ Matrix.TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod *
    (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod =
  1
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
⊢ List.findIdx p xs = xs.length ↔ ∀ x ∈ xs, ¬p x = true
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 ↑n cexp
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.ceilRoot 1 = 1
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
⊢ ∃! w, (⨆ i, f i).Adj v w
K : Type u
Field K
V : FGModuleCat K
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (FGModuleCat.FGModuleCatCoevaluation K V) V ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator V (FGModuleCat.FGModuleCatDual K V) V).hom ≫
      CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft V (FGModuleCat.FGModuleCatEvaluation K V) =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor V).hom ≫ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor V).inv
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), (centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - circumcenterWeightsWithCircumcenter n + centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) (pointIndex i) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i) -ᵥ Classical.choice ⋯) + (centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - circumcenterWeightsWithCircumcenter n + centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) circumcenterIndex • (s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex -ᵥ Classical.choice ⋯) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
self : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι g
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
⊢ Filter.map (Prod.map m₁ m₂) (f₁.coprod f₂) ≤ (Filter.map m₁ f₁).coprod (Filter.map m₂ f₂)
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
Subsingleton G
⊢ UniqueMul A B a0 b0
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
⊢ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet) ∩ e.target = e.target
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsLowerSet (s - t)
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖0‖⁻¹ • 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌊a * x⌋₊ / x) atTop (𝓝 a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ (K.isoHomologyι i j hj h).inv ≫ K.homologyι i = 𝟙 (K.opcycles i)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
hf : ∀ b ∉ s, f b = 0
⊢ Summable f
z : ℂ
⊢ sin z = 0 ↔ cos z = 1 ∨ cos z = -1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
⊢ Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
u : L
x✝ : ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = u
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
z : L
hz : z ∈ rootSpace H (-α)
hyz : ⁅y, z⁆ = u
⊢ u ∈ H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.close S = ⊤ ↔ S ∈ J₁.sieves X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
⊢ (fun x => ‖f x‖) = fun x => ‖‖f x‖ ^ q.toReal‖ ^ q⁻¹.toReal
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun w => ∑' (i : ι), F i w) U
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.atTop, ‖f i‖ ≤ g i
⊢ Summable f
α : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne α
inst✝ : CharZero α
n✝¹ n✝ : ℕ
h : n✝¹.beq n✝ = false
⊢ ¬↑n✝¹ = ↑n✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l tl : List α
hd : α
ih : (a :: tl).maximum = max (↑a) tl.maximum
⊢ (a :: (tl ++ [hd])).maximum = max (↑a) (tl ++ [hd]).maximum
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
Nonempty α
h : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.BijOn f (Function.invFunOn f s '' t) t
G : Type u
CommMonoid G
⊢ Monoid.exponent G = if ∃ g, orderOf g = 0 then 0 else ⨆ g, orderOf g
X Y Z : Type u
CommSemiring X
CommSemiring Y
CommSemiring Z
f : X →+* Y
g : Y →+* Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑(g.comp f)
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : a ≤ 1
hb : b < 1
a0 : 0 < a
⊢ a * b < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ IndepFun X' Y' μ'
f : CircleDeg1Lift
⊢ f.transnumAuxSeq 0 = f 0
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
⊢ pkg.map pkg id = id
G : Type u_3
Group G
a : G
m n : ℤ
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p
⊢ (SimplexCategory.mk 0).const (SimplexCategory.mk 0) 0 = 𝟙 (SimplexCategory.mk 0)
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
⊢ ↑P ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
c : F
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (fun x => c) s
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t u : Finset α
⊢ s - t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x - y ∈ u