ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α
⊢ Disjoint (mulSupport f) s ↔ EqOn f 1 s
S : Type u_1
CommRing S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
⊢ ∃ d, ∃ e ∈ P ^ (i + 1), a * d + e = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).f₃₄ = f.hom.right
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / x) 1
K : Type u
Field K
V : FGModuleCat K
f : ↑(FGModuleCat.FGModuleCatDual K V)
x : ↑V
⊢ (FGModuleCat.FGModuleCatEvaluation K V) (f ⊗ₜ[K] x) = f.toFun x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0, x ∉ thickening δ E
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
⊢ vectorSpan k (insert p ps) = vectorSpan k ps
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
this✝ : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
⊢ (⨆ ι, #↑↑ι) + ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).f₂₄ = f.hom.right
R : Type u_1
A : Type u_4
Monoid R
AddCommMonoid A
DistribMulAction R A
r : R
f : AddMonoid.End A
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
A : Finset ℕ
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 2
⊢ -(1728 * 2 ^ 6) = (-48) ^ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
u : Set ↑t
⊢ Subtype.val '' (t.restrictPreimage f ⁻¹' u) = f ⁻¹' (Subtype.val '' u)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Submodule.span R (Set.range fun x => (ExteriorAlgebra.ιMulti R x.fst) x.snd) = ⊤
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 0
n : ℕ
⊢ n • x ≤ 0
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).dens + s.dens = t.dens
a b : ℝ≥0∞
⊢ a < b ↔ ∃ q, 0 ≤ q ∧ a < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1322990) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ cfcₙ (fun x => -f x) a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ -f x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = (b == a)
a b : Int
⊢ a + b ≤ 0 ↔ a ≤ -b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.sum κ.seq = κ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ nndist x y ≤ nndist x z + nndist y z
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
a : α
⊢ f.toCompleteLatticeHom.toFun a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Function.Injective f
x : α →₀ M
a : α
⊢ (Finsupp.mapDomain f x) (f a) = x a
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).ord = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.Ioi a)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
g : M → F
i : ι
hg : ∀ x ∈ tsupport ⇑(f i), SmoothAt I 𝓘(ℝ, F) g x
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, F) fun x => (f i) x • g x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t - if 1 - a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w
⊢ LinearIndependent R (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w))
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support
⊢ ∑ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B' : LinearMap.BilinForm R M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
x : M
y : M'
⊢ (B' (f x)) y = (B x) (g y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
⊢ (r.comp s).preimage t = r.preimage (s.preimage t)
R : Type u_1
x : R
Ring R
h : IsNilpotent x
⊢ IsNilpotent (-x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A : Set E
⊢ IsExposed 𝕜 A (l.toExposed A)
n : ℤ
⊢ ↑(ModularGroup.T ^ n) = !![1, n; 0, 1]
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftZero C).hom.app X).f = (CategoryTheory.shiftFunctorZero C S).hom.app X.obj
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
⊢ ↑0 = 0
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U V : OpenSubgroup G
⊢ ↑U ≤ ↑V ↔ U ≤ V
z : ℝ≥0
⊢ nndist z 0 = z
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
SecondCountableTopology G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
⊢ μ' = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0
hμ : g = (algebraMap R (Module.End R M)) μ + n
this : f ∘ₗ (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) μ = μ • f
⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝
a✝ : α✝
h : l₁✝ <+ l₂✝
⊢ (a✝ :: l₁✝).reverse <+ (a✝ :: l₂✝).reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ≤ a \ b ⊔ b \ a ⊔ b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
ho : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c
h : o.blsub f = c
⊢ c.cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
m : ℕ
⊢ Gamma (-↑m) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ ∀ a ∈ Multiset.map (fun i => g i) s.val, p a
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type u_1
T : Type u_2
CommRing S
CommRing T
f : T →+* R
g : R →+* S
x : GL n T
⊢ ((Matrix.GeneralLinearGroup.map g).comp (Matrix.GeneralLinearGroup.map f)) x =
  (Matrix.GeneralLinearGroup.map g) ((Matrix.GeneralLinearGroup.map f) x)
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ β✝ : Type u
x✝¹ : α✝ → β✝
x✝ : t' α✝
⊢ pure (Equiv.map eqv x✝¹ x✝) = id.mk (Equiv.map eqv x✝¹ x✝)
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑(1 / 2) ≠ -↑m
α : Type u
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ List.take n.succ (a :: l) = a :: List.take n l
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
⊢ StrictMono fun s => FiniteDimensional.finrank K ↥s
n k : ℕ
this✝ : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
this : n + 1 + k < n + 1 + (k + 1)
⊢ (n + 1).multichoose k + n.multichoose (k + 1) = (n + k).choose k + (n + k).choose k.succ
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ o.card < OfNat.ofNat n ↔ o < OfNat.ofNat n
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
CompleteSpace G
H : Type u_2
NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
⊢ f.SurjectiveOnWith K.topologicalClosure (C + ε)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ g ≫ h ⊗ 𝟙 V = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
⊢ edist x y ≤ ⨅ i ∈ s, edist x i + diam s
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
α : Type u_4
SMul α R
SMul α A
IsScalarTower α R A
IsScalarTower α A A
n : α
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (n • y).val = n • y.val
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
⊢ AffineMap.lineMap p₀ p₁ = (AffineMap.lineMap p₁ p₀).comp (AffineMap.lineMap 1 0)
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
b : α
⊢ (∀ a ∈ s, b ≤ a) → (∀ (w : α), b < w → ∃ a ∈ s, a < w) → sInf s = b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
l : Filter α
hfg : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
hgk : ∀ (x : α), ‖g x‖ ≤ ‖k x‖
hc : 0 ≤ c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f k
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : b < a
h₂ : 0 < b
h : a - b = a
⊢ False
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s : Heap α
⊢ ((tail? le s).getD nil).realSize = s.realSize - 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : MeasureTheory.Integrable f μ
hν : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) =
  ((μ Set.univ).toReal / ((μ Set.univ).toReal + (ν Set.univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂μ +
    ((ν Set.univ).toReal / ((μ Set.univ).toReal + (ν Set.univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂ν
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan),
  c.op.π.app X_1 =
    (c.ι.app X_1).op ≫
      (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
          (fun val =>
            CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y))
              (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z)) val)
          X_1).inv
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
r : R
⊢ (MvPolynomial.optionEquivRight R S₁) (MvPolynomial.C r) = MvPolynomial.C (Polynomial.C r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C ↔ CategoryTheory.LocallySmall.{w, v', u'} D
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ W.isoClosure.IsInvertedBy F ↔ W.IsInvertedBy F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (uncurry fun a => f)
x y : ℂ
⊢ cosh x ^ 2 = sinh x ^ 2 + 1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
h : s.val ≤ t.val
⊢ (filterMap f s f_inj).val ≤ (filterMap f t f_inj).val
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α := fun n => Nat.recOn n ⋯.choose fun x a => ⋯.choose
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ s.Infinite
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Dial C)).src = ⊤_ C
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) '' Set.Ioi b = Set.Iio (a - b)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂
⊢ some h₁ + some h₂ = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
k : ℕ
hn : k + 1 ≠ 0
⊢ x ^ (k + 1) + y ^ (k + 1) ≤ (x + y) ^ (k + 1)
α : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
DecidableEq ι
Fintype ι
⊢ Finset.filter (fun x => ∃ a ∈ s, Function.const ι a = x) (Fintype.piFinset fun x => s) = s.piDiag ι
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0
⊢ 𝓝 x⁻¹ = (𝓝 x)⁻¹
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : Function.Injective ⇑f
hclo : IsClosed (Set.range ⇑f)
⊢ ⇑(f.equivRange hinj hclo) = ⇑f.rangeRestrict
α : Type u
CommSemiring α
IsDomain α
x y : α
⊢ Ideal.span {x} < Ideal.span {y} ↔ DvdNotUnit y x
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
IsDomain R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (b.toDual ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f)) (b i) = f i
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
⊢ x \ y < x
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
X Y : Rep k G
f : X ⟶ Y
⊢ (A.ihom.map f).hom = ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ ∀ (x : A), x ∈ 1 ↔ x ∈ span R {1}
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal r
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
⊢ a * ↑u = 1 ↔ a = ↑u⁻¹
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
P' : Type u_5
inst✝² : CommRing P'
inst✝¹ : Algebra R P'
inst✝ : IsLocalization S P'
x : P
⊢ (canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) = spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b
⊢ log b 0 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ dist c p₁ = dist c p₂
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
x : M₀
⊢ x ∈ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ ∀ (y : M₀), y * x = 0 → y = 0
a b : Prop
⊢ ¬(a ↔ b) ↔ (¬a ↔ b)
c d : ℕ
a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
⊢ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries (n + 1) ≤ z
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
⊢ map f I.radical = (map f I).radical
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : HasIntegral I l (f a) vol (g a) ∧ ∀ x ∈ s, HasIntegral I l (f x) vol (g x)
⊢ HasIntegral I l (fun x => f a x + ∑ i ∈ s, f i x) vol (g a + ∑ i ∈ s, g i)
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
⊢ LocallyFinite fun i => support ⇑(f i)
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ closure (Euclidean.ball x r) = Euclidean.closedBall x r
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯
⊢ volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) = ENNReal.ofReal ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * volume (fundamentalDomain (latticeBasis K))
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
⊢ spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsPreconnected (f '' s)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₁'
Semiring A₂'
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₁'
Algebra R A₂'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
⊢ (e.equivCongr e').symm = e.symm.equivCongr e'.symm
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) (1 - c) = (lineMap p₁ p₀) c
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g k : MulRingNorm R
c : ℝ
hcPos : 0 < c
hfg : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
d : ℝ
hdPos : 0 < d
hgk : (fun x => g x ^ d) = ⇑k
⊢ f.equiv k
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s t : Interval α
a : α
⊢ (s - t).length ≤ s.length + t.length