ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f 0 μ = 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Equiv M N
f g : L.Equiv N P
⊢ f.comp h = g.comp h ↔ f = g
X✝ X : LocallyRingedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsLocalRingHom (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.cycleType.sum = σ.support.card
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
⊢ variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a b + variationOnFromTo f s b c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (CategoryTheory.forget D).obj (P.obj (Opposite.op X))),
    (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj P)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x y : PrimeSpectrum R
⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
α : Type u
s : Set α
h : s.Infinite
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
⊢ TopologicalSpace.coinduced f tα ≤ tβ ↔ tα ≤ TopologicalSpace.induced f tβ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a + 0 = a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
⊢ (fun g i => f i (g i)) ⁻¹' s.pi t = s.pi fun i => f i ⁻¹' t i
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
hc : 1 < A✝.card * B✝.card
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : BooleanAlgebra α
inst✝² : BooleanAlgebra β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ∆ b) = f a ∆ f b
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s +ᵥ ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s +ᵥ t i j
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ↑e '' e.source = e.target
a : EReal
⊢ 1 < a.exp ↔ 0 < a
m n : ℕ
⊢ m ∣ n + m ↔ m ∣ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ 0 ≤ ExistsContDiffBumpBase.y D x
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ (-x)⁻¹ = -x⁻¹
θ : Angle
⊢ Real.tan θ.toReal = θ.tan
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
⊢ ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
x : R
⊢ f (-x) = f x
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
h : b < a
⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
⊢ ∃ᶠ (x' : S) in Filter.map f F, f l ≤ x'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (FreeMonoid.lift fun x => FreeMonoid.of (f x)) = FreeMonoid.map f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
f : E → E'
x : E
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ insert b (Finset.Ico a b) = Finset.Icc a b
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ K.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j = c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ BddBelow {n | G.Colorable n}
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).roots = n • {0}
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.extractP p l = (List.find? p l, List.eraseP p l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
⊢ Nonempty (α ≃ Unit) ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
α : Type u
β : Type v
s : Set β
hs : s.Countable
f : α → β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' s)
⊢ (f ⁻¹' s).Countable
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
x : ι
⊢ f x = g x
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
⊢ stabilizer G (a • b) = stabilizer G a
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_4
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ IsIntegrallyClosed R ↔ IsIntegrallyClosedIn R K
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑(𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)) ∘ FreeAlgebra.ι R
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder α
l : Filter ι
l.NeBot
f : ι → α
x : α
hf : ∀ᶠ (i : ι) in l, x ≤ f i
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : s • ∑ i ∈ t, g' i • v i = 0
⊢ g i = 0
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
n : ℕ
hz : n ≠ 0
⊢ n • ψ = n • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(p / ↑n)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
⊢ (basisFun p 𝕜 ι) i = (WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Pi.single i 1)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
⊢ ∫ (x : ι → ℝ), cexp (-b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E'✝ : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'✝
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
inst✝¹ : Fintype ι
E' : ι → Type u_18
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (i : ι), IsBigOWith c l (fun x => f x i) g') ↔ ∀ (i : ι) ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f x i) g'
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)
⊢ IsColimit (Gl.mapCocone ((Cocones.precompose (spanCompIso Gr f g).hom).obj (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)))
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
Y : TopCat
f : Y ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(X.restrict h).toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp (X.ofRestrict h) U =
  𝟙 ((X.restrict h).presheaf.obj (Opposite.op U))
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
⊢ ContinuousOn ((fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })) ∘ invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ s.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - s.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X) ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ CategoryTheory.Limits.IsColimit.OfNatIso.coconeOfHom h (CategoryTheory.Limits.IsColimit.OfNatIso.homOfCocone h s) = s
α : Type u_3
LE α
self : NoBotOrder α
a : α
⊢ ∃ b, ¬a ≤ b
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α
⊢ foldl f x xs = unop ((Foldl.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =Θ[l] g
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ (fun x => √(f x)) =Θ[l] fun x => √(g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
⊢ (s.disjiUnion f h1).disjiUnion g h2 = s.attach.disjiUnion (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) ⋯
G : AddGrp
H : Type u
AddGroup H
f : ↑G →+ H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
⊢ ↑1 = 1
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
sm : Subsemigroup R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubring.mk' s sm sa hm ha ↔ x ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a ≤ c ⊔ b
x b k : Nat
⊢ x % b ^ (k + 1) = x % b ^ k + b ^ k * (x / b ^ k % b)
X : Type u
x : X
⊢ (λ_ X).inv x = (PUnit.unit, x)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
Fintype ι
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → α i
⊢ (Trunc.finChoice fun i => Trunc.mk (f i)) = Trunc.mk f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : Array α
⊢ (a.isEqv a fun x y => decide (x = y)) = true
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ
⊢ ∃ a > 0, ∃ b c, ∀ s ∈ S, C (a • s + b) = c
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b ↔ IntervalIntegrable (fun x => f (-x)) MeasureTheory.volume (-a) (-b)
L : Type u
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R L
μ : L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
g : L ≃ₐ[R] L
⊢ (↑((autToPow R hμ) g)).val = (↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)).val
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ y * x ∈ I * J
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ insert a (Finset.Ioc a b) = Finset.Icc a b
G : Type u_1
Group G
⊢ Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ 1 ≤ w.mult
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
x : (CategoryTheory.forget D).obj (F.obj X)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x x = ⊤
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (Polynomial.C (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) =
  -(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XClass W x₁ * WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XClass W x₂ *
      WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuousAt f x ↔ f x ≤ liminf f (𝓝 x)
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
⊢ (b * b ^ (p - 1) - b) * (b ^ p + b) = (b * b ^ (p - 1) - b * 1) * (b ^ p + b)
R : Type u
CommRing R
⊢ (𝟙_ (FGModuleCat R)).obj = 𝟙_ (ModuleCat R)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
⊢ (of A (ai + bi + ci)) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) cx) = (of A (ai + (bi + ci))) (GradedMonoid.GMul.mul ax (GradedMonoid.GMul.mul bx cx))
n k : ℕ
⊢ (n + 1 - k) * (n + 1).descFactorial k = (n + 1) * n.descFactorial k
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
c : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑c * x) = (algebraMap R S) (↑c * y)
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x
y : ℚ
hxy : ↑↑y < x
⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x
G : Type u_4
CommGroup G
s t : Set G
x : G
⊢ x ∈ Group.closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ Group.closure s, ∃ z ∈ Group.closure t, y * z = x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p.support \ q.support ⊆ (p + q).support
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f g : α → β → σ
hg : Primrec₂ f
H : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g a b
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α × β
⊢ Equiv.pprodEquivProd.symm x = ⟨x.1, x.2⟩
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H.subgroupOf K = ⊥ ↔ Disjoint H K
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
H₁ : Summable fun i => f i * g i
H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ (Multiset.toFinsupp s) a = Multiset.count a s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓝ˢ tᶜ = 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
⊢ IsOpen {b | b < a}
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
⊢ ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Supermartingale f ℱ μ
⊢ Submartingale (-(-c • f)) ℱ μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
n : ℕ
⊢ MvPowerSeries.X s ^ n = (MvPowerSeries.monomial R (Finsupp.single s n)) 1
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
s : Set α
a ε : α
h : IsLUB s a
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ s, a - ε < b ∧ b ≤ a
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, FiniteDimensional K ↥(t i)
⊢ FiniteDimensional K ↥(⨆ i ∈ s, t i)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝ : Fintype V
v : V
⊢ ∅.card = 0
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
K : PointedCone 𝕜 E
⊢ (↑K).closure.Pointed
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieAlgebra.center R L ≤ LieAlgebra.radical R L
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : V
⊢ M ≤ max M 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
⊢ (map (ret ∘ f) s).join ~ʷ map f s
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r✝ : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
i : ι
r : Set α
⊢ ↑(Sigma.mk i ⁻¹' (⇑(sigmaSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s i
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Monoid A
MulDistribMulAction M A
r : M
x : A
n : ℕ
⊢ r • x ^ n = (r • x) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α × α → β
x : Filter α
y : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (x ×ˢ x) y ↔ ∀ W ∈ y, ∃ U ∈ x, ∀ (x x' : α), x ∈ U → x' ∈ U → f (x, x') ∈ W
⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ univ → z ∈ univ → x < y → y < z → (rexp y - rexp x) / (y - x) < (rexp z - rexp y) / (z - y)
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ c⁻¹ * a < b ↔ a < b * c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hop : t₁ = 0
hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s
hpc₁ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁
hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂
hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
⊢ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
a : G
x : AddMonoidAlgebra k G
⊢ (AddMonoidAlgebra.of' k G a * x).divOf a = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
a✝ : Nontrivial α
C' : α
hC' : C' < C
⊢ ∀ᶠ (x : β) in l, C' ≤ f x
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
P : Submodule R A
x y : A
⊢ x ∈ Submodule.span R {y} * P ↔ ∃ z ∈ P, y * z = x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : Module.Finite R ↥N'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ • t ⊆ s₂ • t
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
⊢ integralClosure R K = ⊥ ↔ IsIntegrallyClosed R
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
f : ℕ → α
hf : ∀ i < n, f i ∈ s
f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ n ≤ s.ncard
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.preimage (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f.val).hom ≫ (Y.ofRestrict ⋯).val = f.val
α : Type u_1
Encodable α
a b : α
⊢ Encodable.encode a = Encodable.encode b ↔ a = b
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty