ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
⊢ IsOpen (⇑f '' s)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
α : Type u_2
ι : Type u_5
SemilatticeInf α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (s.sup' hs f) = s.inf' hs (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
hs : IsNormalAddSubgroup s
a b : G
hab : a + b ∈ s
⊢ b + a ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ IsNoetherian R ↥N ↔ ∀ s ≤ N, s.FG
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X
g : G
⊢ orbit (↥N) (g • a) = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (orbit (↥N) (g • a)) (orbit (↥N) a)
ι : Type u_1
E : Type u_2
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a (b i)) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc a (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a b₀) MeasureTheory.volume
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
a : F
i j : ι
⊢ { proj := b, snd := a } ∈ (Z.localTrivAt b).source
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
L : Tendsto g atTop (𝓝 (limUnder atTop g))
this : Tendsto (fun x => g (-x)) atBot (𝓝 (limUnder atTop g))
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 (limUnder atTop g))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys
⊢ xs.Disjoint ys.dedup
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5749, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
h✝ : ∀ (B : D), ∃ X f, Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B
B : D
X : C
f : G.obj X ⟶ B
h : Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B
⊢ Sieve.coverByImage G B ∈ K.sieves B
R : Type u_1
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x * x)
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)
⊢ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α) ↔ ∃ t ∈ 𝓤 α, ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor.id C).toFunctor = 𝟭 C
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card / ↑k ≤ (↑k - 1) / ↑k
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
⊢ SignType.sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a / (a / b) = b
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ ↑(divNat n₁ d₁) = ↑(divNat n₂ d₂) ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
α : Type u
DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1
this : v = ↑g 0
⊢ IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun x => c) ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
a : Quaternion ℝ
⊢ ‖star a‖ = ‖a‖
x : ℂ
⊢ -Real.pi < (Complex.log x).im
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
self : CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct P Q
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproductData P Q)
R : Type u_1
Zero R
n : R
⊢ ¬NeZero n ↔ n = 0
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t : ↑I × ↑I
⊢ (homotopyTo i H) t ∈ Ω^ { j // j ≠ i } X x
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.endPos ≤ { byteIdx := utf8Len cs } ↔ cs' = []
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquiv B F).inverse =
  CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivInverse B F
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ addOrderOf x = 1 ↔ x = 0
R : Type u_1
CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun t => Polynomial.X - Polynomial.C t) s).prod.coeff k =
  (-1) ^ (Multiset.card s - k) * s.esymm (Multiset.card s - k)
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.lt { cauchy := ⟦f⟧ } { cauchy := ⟦g⟧ } ↔ f < g
D : GlueData
i : D.J
⊢ (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i ≫ D.isoLocallyRingedSpace.inv).val.base = (D.ι i).val.base
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s.biUnion fun a => Finset.image (f a) t) = Finset.image₂ f s t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ (∏ i ∈ s, f i).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring 𝕜
StarRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
NormedStarGroup E
Module 𝕜 E
StarModule 𝕜 E
⊢ ⇑(starₗᵢ 𝕜) = star
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.map f) p).support ⊆ p.support
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
⊢ lowerClosure (s + t) = lowerClosure s + lowerClosure t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t : Set α
l : List α
a : α
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, x < y ↔ f x < f y
s : Set α
⊢ ∀ l ∈ (f '' s).subchain, ∃ l' ∈ s.subchain, l.length = l'.length
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ b ∈ a⁻¹ • s ↔ a • b ∈ s
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ b ≠ a → a ≤ b → a < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (closure K)
α : Type u_2
Sub α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ - t = s₁ - t ∪ (s₂ - t)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ncs_der_val : ∀ (n : ℕ), ‖Polynomial.eval (↑ncs n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
x✝ : ℕ
⊢ ‖Polynomial.eval (↑ncs x✝) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
⊢ (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ ¬FreeAddGroup.Red.Step [] L
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
⊢ Function.support ⇑(f.toPartitionOfUnity i) ⊆ Function.support ⇑(f i)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (Finset.Iic a).sup' ⋯ id = a
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ' μ ν : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂ν
Z : ↑(μ'.haarScalarFactor ν) * ∫ (x : G), g x ∂ν = ↑(μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν) * ∫ (x : G), g x ∂ν
⊢ μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν
R : Type u_1
r : R
Semiring R
n : ℕ
⊢ IsNilpotent ((Polynomial.monomial n) r) ↔ IsNilpotent r
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
X : Type u_3
TopologicalSpace X
c x : X → P
R : X → ℝ
a₀ : X
s : Set X
hc : ContinuousWithinAt c s a₀
hR : ContinuousWithinAt R s a₀
hx : ContinuousWithinAt x s a₀
hne : x a₀ ≠ c a₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s a₀
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
⊢ IsPiSystem (Set.Iic '' s)
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)
⊢ False
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
⊢ ∃ t ⊆ ∅, affineSpan k t = affineSpan k ∅ ∧ AffineIndependent k Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
⊢ (A * Aᴴ).IsHermitian
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ 0 ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂ - chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderBot α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ ⊥ = ⊥
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
LinearOrderedRing R
v : n → R
⊢ Matrix.dotProduct v v = 0 ↔ v = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : IsBigOWith c l f g
⊢ f =O[l] g
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
inst✝ : LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : List α
⊢ (fun {α} => η.app α) (List.traverse f x) = List.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
x y : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ √x = 0
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ < b ↔ 1 < b * a
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
n : ℕ
⊢ ↑(f ^ n) = ↑f ^ n
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x - g x) s x₀
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g
⊢ (fun x => f₂ x - f₁ x) =O[l] g
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n m k : ℕ
hmn : m ≤ m + k
⊢ k ≡ 0 [MOD orderOf x] ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd K) z * ↑(‖z‖ ^ 2)⁻¹
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set G
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ ↑(stabilizer G s) * s → x✝ ∈ s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
x✝ : IsUnit X
g : R[X]
_hfg : (monomial 1) 1 * g = 1
hgf : g * (monomial 1) 1 = 1
⊢ 0 = 1
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
X Y Z : D
r : R
f : Y ⟶ Z
⊢ inv (F.μ X Y) ≫ F.obj X ◁ F.map (r • f) ≫ F.μ X Z = F.map (r • X ◁ f)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Nonempty { x // x ∈ s } ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
⊢ 𝓤 (α →ᵤ β) = ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β))
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ f.hom ▷ Z ≫ f.inv ▷ Z = 𝟙 (X ⊗ Z)
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ (range n \ s).card = (range n \ s).card • 1
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ (norm ∘ f) w = (norm ∘ f) z
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (gaussianReal μ v) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, gaussianPDFReal μ v x)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤
⊢ ↑x ≤ liminf (u + v) f
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
β : (injectiveResolution X).cocomplex ⟶ P.cocomplex
hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map β = P.iso.hom
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app (injectiveResolution X).cocomplex ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β)
a b c : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c + (b - 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
⊢ psum σ R 1 = ∑ i : σ, X i
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x
α : Type u
l : List α
s : Stream' α
⊢ Stream'.initsCore l s = Stream'.cons l (Stream'.initsCore (l ++ [s.head]) s.tail)
q : ℕ+
i : ℕ
⊢ ↑(LucasLehmer.s i) = LucasLehmer.X.ω ^ 2 ^ i + LucasLehmer.X.ωb ^ 2 ^ i
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G
⊢ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a * b ≤ a ↔ b ≤ 1
α : Type u_1
ι : Sort v
l : ι → Language α
m : Language α
⊢ (⨆ i, l i) * m = ⨆ i, l i * m
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
⊢ upperClosure ↑s = s
step s n : Nat
⊢ range' s (n + 1) step = range' s n step ++ [s + step * n]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LocallyCompactSpace α
U : Set α
ho : IsOpen U
hn : U.Nonempty
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
b : F
⊢ b ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ b ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → MulOneClass (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalMonoidHom f i) g = g i
α : Type u
PseudoMetricSpace α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (i : β), p i → 0 < f i
hf : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ i, p i ∧ f i ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {p | dist p.1 p.2 < f i}
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.s.get? n = none
⊢ g.contsAux (n + 2) = g.contsAux (n + 1)
α : Type u_1
Group α
DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
mul : (x.1 * x.2).card ≤ (y.1 * y.2).card
hadd : y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card
⊢ DevosMulRel x y
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
⊢ ⊥.prod ⊥ = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Summable fun i => ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm f p μ' < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α
⊢ a.reverse ∈ l.reverse ↔ a ∈ l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
c : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c * f z) s x = c * iteratedDerivWithin n f s x
n m : Nat
h : n ≤ m
k : Nat
⊢ k - m ≤ k - n
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
hyp : ∀ (n : ι), ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (⋃ n, s n) s' μ
G : Type u_2
Group G
S : Set (Subgroup G)
⊢ (sSup S).op = sSup (Subgroup.unop ⁻¹' S)
X : Type u
TopologicalSpace X
self : PerfectlyNormalSpace X
h : Set X
⊢ IsClosed h → IsGδ h
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N : Type w
L.Structure N
MN : M ↪[L] N
⊢ L.age M ⊆ L.age N
x y : ℝ
⊢ √x = 0 ↔ x ≤ 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
hP : MeasureTheory.IsProjectiveMeasureFamily P
I J : Finset ι
⊢ (P I) Set.univ = (P J) Set.univ
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (A * B)⁻¹ = B⁻¹ * A⁻¹