ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E
h₁ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W D
h₂ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W W.Localization
⊢ L ⋙ h₂.lift W.Q ⋯ ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ = L ⋙ 𝟭 D
G : Type u
AddMonoid G
H : AddMonCat
f : G →+ ↑H
⊢ AddMonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
R : Type u_1
A : Type u_2
AddMonoid R
StarAddMonoid R
Star A
a : A
⊢ ↑(star a) = star ↑a
α : Type u_1
Zero α
⊢ MulOpposite.unop 0 = 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hRA : FiniteType R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
⊢ ⊤ = Subalgebra.map f ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
x : Y
⊢ e (e.symm x) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : C
⊢ (𝟙_ (C ⥤ D)).obj X = 𝟙_ D
X : Type u_1
α : Type u_4
TopologicalSpace X
x : X
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (SeparationQuotient.lift f hf) (𝓝[s] SeparationQuotient.mk x) l ↔
  Filter.Tendsto f (𝓝[SeparationQuotient.mk ⁻¹' s] x) l
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
⊢ (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Monotone AddSubgroup.toAddSubmonoid
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
P : ((i : Fin (n + 1)) → α i) → Sort u_1
h : (x : (i : Fin n) → α i.castSucc) → (x₀ : α (Fin.last n)) → P (Fin.snoc x x₀)
x : (i : Fin n) → Fin.init α i
x₀ : α (Fin.last n)
⊢ Fin.snocCases h (Fin.snoc x x₀) = h x x₀
p : Prop
Decidable p
h : decide p = true
⊢ p = True
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ x.verschiebungFun.coeff n = if n = 0 then 0 else x.coeff (n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ N
⊢ id 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ (⨅ i, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ (Int.clog b r - 1) < r
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal
k : Type u
Field k
G : Type u
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
Group G
V : Type u
AddCommGroup V
Module (MonoidAlgebra k G) V
p : Submodule (MonoidAlgebra k G) V
⊢ ∃ q, IsCompl p q
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
⊢ (-p).roots = p.roots
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
exp_pos : 0 < AddMonoid.exponent M
m : M
a : α
⊢ 0 < AddAction.period m a
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
ι' : Sort u_2
inst✝ : UniformSpace β
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
ha : (𝓤 α).HasBasis p s
q : ι' → Prop
t : ι' → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis q t
f : α → β
⊢ (∀ (ib : ι'), q ib → ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (f x.1, f x.2) ∈ t ib) ↔ ∀ (i : ι'), q i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ t i
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq β
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α → γ
g : β → γ
i : β
x : γ
⊢ Function.update (Sum.elim f g) (Sum.inr i) x = Sum.elim f (Function.update g i x)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
⊢ ∀ (a : R[X] ⧸ Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {minpoly R x})),
  (AdjoinRoot.Minpoly.toAdjoin R x) a =
    (QuotientAddGroup.lift (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {minpoly R x}))
        ↑(Polynomial.eval₂RingHom (algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R {x})) ⟨x, ⋯⟩) ⋯)
      a
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
⊢ c ≤ d ↔ ∀ {x y : M}, c x y → d x y
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a ⊓ b = b ⊓ a
α : Type u_1
CommMonoid α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ∏ i : Fin n, f ↑i = ∏ i ∈ Finset.range n, f i
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 l)
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
K : Type u_3
Group K
f : G →* K
g : H →* K
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g).range = f.range ⊔ g.range
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Icc a b)
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ‖derivWithin f (Set.Icc a b) x‖ ≤ C
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
g₁ g₂ : α →₀ M
a : α
⊢ (g₁ + g₂) a = g₁ a + g₂ a
α : Type u
β : Type v
OrderedSemiring β
l : Filter α
f g : α → β
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ 0 ≤ᶠ[l] f * g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
⊢ IsOpen (range toContinuousLinearMap)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s)
⊢ (∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph) a ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}, ∃ a, (ord ∘ aleph) a = b
α : Type u
Group α
x : α
⊢ Function.Injective fun g => x * g * x⁻¹
x : { x // 0 < x }
z : ℍ
⊢ (x • z).im = ↑x * z.im
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ (Polynomial.map (AdjoinRoot.of f) f).IsRoot (AdjoinRoot.root f)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
⊢ MeasureTheory.Measure.count s < ⊤ ↔ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t : Set α
S : Set (Set α)
hs : t ∈ S
h : s ∩ ⋃₀ S = ∅
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ ⋃₀ S
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
CategoryTheory.Epi S.g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g (hS.desc k hk) = k
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
⊢ a - c ≡ b - c [PMOD p] → a ≡ b [PMOD p]
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H : Ordnode.BalancedSz l.size r.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.node' x r) o₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Y''
g'' : X'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout f' g'
CategoryTheory.Limits.HasPushout f'' g''
e₁ : f ≫ i₂ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₁ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₂ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₁ ≫ g''
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.map f g f' g' i₂ i₃ i₁ e₁ e₂ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.map f' g' f'' g'' j₂ j₃ j₁ e₃ e₄ =
  CategoryTheory.Limits.pushout.map f g f'' g'' (i₂ ≫ j₂) (i₃ ≫ j₃) (i₁ ≫ j₁) ⋯ ⋯
θ ψ : Real.Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π
⊢ |θ.cos| = |ψ.sin|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+
⊢ x ^ (n * m) = (x ^ n) ^ m
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun x => -x.2 + x.1) (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f ⋯) = MeasureTheory.Integrable.toL1 (↑f) hf
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
Nontrivial α
⊢ s.lcm f = 0 ↔ 0 ∈ f '' ↑s
α : Type u
l : List α
⊢ l.revzip.reverse = l.reverse.revzip
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s t : Finset δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hst : Disjoint s t
⊢ ∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ∂μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a : α
x : β
s : Set β
⊢ ⋃ g, g • s = {a | ∃ g, g • a ∈ s}
E : Type u_3
SeminormedGroup E
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set ℝ
h : Filter.atTop.HasBasis p s
⊢ (Bornology.cobounded E).HasBasis p fun i => norm ⁻¹' s i
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
⊢ m.WF ↔ m.size = m.buckets.size ∧ m.buckets.WF
k : ℕ
⊢ descFactorial 0 (k + 1) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : Function.Injective g
⊢ LocallyFinite (f ∘ g)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
m n : ℕ
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
s : Finset α
h₁ : s ∈ ∂ (falling n 𝒜)
h₂ : s ∈ 𝒜 # m
⊢ False
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ SimpleGraph.map (Function.Embedding.refl V) G = G
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ b ⇔ (c ⇔ d) = a ⇔ c ⇔ (b ⇔ d)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
Mul β
ContinuousMul β
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hv : MeasureTheory.ProgMeasurable f v
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => u i ω * v i ω
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)
⊢ f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom = g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
⊢ (fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (ρ.fst a)] ⇑(ρ a).condKernel
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c, Asymptotics.IsBigOWith c l f g
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans G H
⊢ ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b),
  ((η.vcomp θ).naturality f).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) (θ.app b)).inv
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f).hom (θ.app b))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) (θ.app b)).hom
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (θ.naturality f).hom)
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (H.map f)).inv)))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R
⊢ toMatrix' (f ∘ₗ g) = toMatrix' f * toMatrix' g
𝕜' : Type u_2
SeminormedRing 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
NormedAlgebra ℝ 𝕜'
x : ℝ≥0
⊢ ‖(algebraMap ℝ≥0 𝕜') x‖ = ↑x
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ (FreeGroup.mk L)⁻¹ = FreeGroup.mk (FreeGroup.invRev L)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
x : α → M
⊢ x ∈ s \ t ↔ x ∈ s ∧ x ∉ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
⊢ Small.{max v w, u} (CategoryTheory.FullSubcategory (CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosure f))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 n f = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDeriv n f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ mfderivWithin I I' f (s ∩ t) x = mfderivWithin I I' f s x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → 𝕜
g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + n) • (f • g) z) x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) (toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a) ↔ Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder α
l : Filter ι
l.NeBot
f : ι → α
x : α
hf : ∀ (i : ι), x ≤ f i
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s
this : ⇑h.symm '' connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ connectedComponentIn (⇑h.symm '' (⇑h '' s)) (h.symm (h x))
⊢ connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ ⇑h '' connectedComponentIn s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f₁ s x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
⊢ ↑(m.gcd n) = ↑m
α : Type u_6
β : Type u_7
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
self : α →+*o β
⊢ Monotone (↑↑self.toRingHom).toFun
n : Nat
⊢ range (n + 1) = 0 :: map succ (range n)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist a✝ b✝ < ε
⊢ dist |a✝| |b✝| ≤ dist a✝ b✝
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : B
y : Ω[A⁄R]
⊢ x • (mapBaseChange R A B) (1 ⊗ₜ[A] y) = x • (map R R A B) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
B : Type u₀
CategoryTheory.Category.{v₀, u₀} B
CategoryTheory.MonoidalCategory B
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor B C
G : CategoryTheory.MonoidalFunctor D E
⊢ (F.prod G).toLaxMonoidalFunctor = F.prod G.toLaxMonoidalFunctor
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
⊢ (PresheafOfModules.forgetToPresheafModuleCat X hX).obj M = PresheafOfModules.forgetToPresheafModuleCatObj X hX M
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.δ i = X.δ i.succ ≫ X.δ i
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ StrictAntiOn (deriv f) S
n : ℕ
⊢ List.Ico 0 n = List.range n
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
p : β → Prop
hf : Filter.Tendsto f l₁ l₂
h : ∃ᶠ (x : α) in l₁, p (f x)
⊢ ∃ᶠ (y : β) in l₂, p y
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalStarSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
hh₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜' h₂ s' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : Set.MapsTo h s s'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (h₂ ∘ h) s x = derivWithin h₂ s' (h x) * derivWithin h s x
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C
⊢ of ⋙q (lift φ).toPrefunctor = φ
p m : Nat
n : Nat
i : Fin n
⊢ Fin.castAdd p (Fin.natAdd m i) = Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m (Fin.castAdd p i))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (G.map P.decompId_i).f = (((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).obj P).p ≫ (G.map P.decompId_i).f ≫ ((((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).obj P).p
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKc : IsCompact K
hK : μ A < μ K + ε
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ (A \ K) < ε
α : Type u_2
Zero α
OfNat α 2
NeZero 2
⊢ 2 ≠ 0
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
x y z : Finmap β
⊢ (x ∪ y).Disjoint z ↔ x.Disjoint z ∧ y.Disjoint z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ finrank 𝕜 E = finrank 𝕜 ↥⊤
⊢ volume (⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : 0 = ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
⊢ m ∈ Ico 0 ↑n
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
self : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
⊢ FirstOrder.Language.ClosedUnder f ↑self
k : Type u₁
G : Type u₂
ι : Type ui
CommSemiring k
AddCommMonoid G
s : Finset ι
a : ι → G
b : ι → k
⊢ ∏ i ∈ s, AddMonoidAlgebra.single (a i) (b i) = AddMonoidAlgebra.single (∑ i ∈ s, a i) (∏ i ∈ s, b i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
i : P ≅ P'
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R → CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P' R
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).card + (s \ t).card = s.card