ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
g : β → γ
f : α → β
x✝¹ : α
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ ↑(g ∘ f) x✝¹ ↔ x✝ ∈ (↑g).comp (↑f) x✝¹
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ
⊢ a ^ n • b = b ↔ minimalPeriod (fun x => a • x) b ∣ n
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
a : α
⊢ (fun x => a +ᵥ x) '' t = a +ᵥ t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
x : E
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x ↑f
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ fourierCoeffOn hab f n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - ↑(b - a) * fourierCoeffOn hab f' n)
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
d : ℕ
hdvd : ∃ e, p = d * e
e : ℕ
hmul : p = d * p
this✝³ : ↑p = 0
this✝² : ↑d * ↑e = 0
he : ↑e = 0
this✝¹ : p ∣ e
this✝ : e ∣ p
this : e = p
h₀ : 0 < p
⊢ d * p = p
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.closedBall x ε = ⋂ δ, ⋂ (_ : δ > ε), Metric.ball x δ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (f '' s)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ ¬s.WSameSide x y
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n
⊢ ∃ p, p.Prime ∧ p ∣ n
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
Semiring A
Module A V
AddCommGroup W
Module K W
Module A W
LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : FiniteDimensional.finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑f
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ p ≤ q ↔ ∀ (x : E), p x ≤ q x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
CommRing A
Algebra R A
GCDMonoid R
M : Submonoid R
IsLocalization M A
z : A
⊢ ∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ z * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α β : E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F (↥F⟮α⟯)⟮β⟯ = IntermediateField.restrictScalars F (↥F⟮β⟯)⟮α⟯
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) {x_2 y : α}, x_2 = y → f x_2 = f y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
hx : eval₂ f x p = 0
hx' : eval₂ f x (derivative p) = 0
a b : R[X]
e : eval₂ f x (a * p + b * derivative p) = eval₂ f x 1
⊢ False
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
⊢ lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
h : ¬Disjoint (f i) (f j)
⊢ i = j
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
⊢ (-a).valMinAbs = -a.valMinAbs
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (n → R)
this : Module.Free R (n → R)
⊢ A.rank ≤ Fintype.card n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.count s < ⊤ ↔ s.Finite
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (φ₁ + φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ + h'.h₂) + (h.h₁ + h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ + φ₄).τ₂
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
SMul M G
n : M
f : α → G
⊢ ↑(n • f) = n • ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β
⊢ G.Connected
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
⊢ s.Finite
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
m : M
⊢ m ∈ LieModule.posFittingComp R L M ↔ m ∈ ⨆ x, LieModule.posFittingCompOf R M x
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Even (2 * a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => (f x).toReal) μ
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
a✝ : δ < ⊤
ε_top : ¬↑ε = ⊤
⊢ δ + ↑ε ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ ↑0 y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
n m : Nat
h : n = m
x : Nat
⊢ BitVec.cast h (BitVec.ofNat n x) = BitVec.ofNat m x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)
⊢ 0 * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
self : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
x : E
⊢ x ∈ s → (p x 0).uncurry0 = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm = ⇑(Bundle.TotalSpace.toProd H E).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1) = ∑' (i : ℕ), x ^ i - 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hfμ : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfν : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ Integrable (llr μ (ν.tilted f)) μ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ multiplicity p 1 = 0
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.powerset.Nodup ↔ s.Nodup
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U = U
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_4
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
TopologicalAddGroup M
f₁ : M →SL[σ₁₂] M₂
f₂ : M₂ →SL[σ₂₁] M
h : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
x : ↥(LinearMap.ker f₁)
⊢ (f₁.projKerOfRightInverse f₂ h) ↑x = x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
p₁ p₂ p : P
⊢ p -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a
α : Type u_1
β : Type u_2
cmpα : α → α → Ordering
cmpβ : β → β → Ordering
f : α → β
inst✝ : IsMonotone cmpα cmpβ f
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
b : RBNode α
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmpα x_1 x) a
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmpα x x_1) b
ha : Ordered cmpα a
hb : Ordered cmpα b
⊢ Ordered cmpβ (map f (node c✝ a x b))
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioo ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Ioo a b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ (↑φ).comp (algebraMap R A) = algebraMap R B
α : Type u_1
a : α
⊢ a ∉ Cycle.nil
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
ν : MeasureTheory.Measure δ
g : δ → β
f : α → δ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable g ν
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : ContinuousNeg β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
⊢ l.ZeroAtFilter (-f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
hp : p < ⊤
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ p ≤ ker f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (G.obj (op U))
V W : C
i : V ⟶ U
t : (forget A).obj (F.obj (op V))
ht : (f.app (op V)) t = (G.map i.op) s
j : W ⟶ V
⊢ (f.app (op W)) ((F.map j.op) t) = (G.map (j ≫ i).op) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α
⊢ [a₁, b₁].Perm [a₂, b₂] → a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ a₁ = b₂ ∧ b₁ = a₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Mono f
abar abar' : Pseudoelement P
a a' : Over P
ha : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
⊢ ⟦a⟧ = ⟦a'⟧
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator f a + sᶜ.indicator f a = f a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, y ^ n ≤ x ∧ x < y ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : ℕ → ℝ≥0∞
h✝ : Monotone g
hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ
hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n
ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k
hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν
hξm : Measurable ξ
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s * ball 1 δ = thickening δ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∃ (x : a ∈ closure s), p a x
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
⊢ IsSimpleOrder (Submodule A V)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
i : Fin n
v : Vector α n
⊢ v.get i ∈ v.toList
R : Type u
Semiring R
H : ¬1 = 0
⊢ Polynomial.X.support = {1}
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α
⊢ (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) → ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A
x' : S
hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring
hx'' : ↑g x' = (algebraMap S S') (↑y ^ n * x)
a : ↥M
ha₂ : ↑a * x' = ↑a * (↑y ^ n * x)
⊢ (a * y ^ n) • x ∈ A
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ⊤ s ≤ ⊤ s
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
⊢ f 0 = 0
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat b a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = -r
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
H : AddSubgroup G
hH : IsCompact ↑H
⊢ IsClosedMap QuotientAddGroup.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty
hs : 𝒜.sup' h𝒜₀ toColex ∈ ofColex ⁻¹' ↑𝒜
⊢ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
h : ℕ → ℕ → ℕ
d : Dioph.DiophFn fun v => h (v (Fin2.ofNat' 0)) (v (Fin2.ofNat' 1))
⊢ Dioph.DiophFn fun v => h (f v) (g v)
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
Zero α
⊢ Matrix.blockDiag' 0 = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ PInfty.f i) ≫ K[X].d i j = ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ PInfty.f j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ RCLike.im ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x - RCLike.I • y‖ * ‖x - RCLike.I • y‖ - ‖x + RCLike.I • y‖ * ‖x + RCLike.I • y‖) / 4
α : Type u_1
f : α → ℝ
r : ℝ
h : HasSum f r
⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N P : Submodule R M
⊢ I • (N ⊔ P) = I • N ⊔ I • P
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : CategoryTheory.ULiftHom C
⊢ CategoryTheory.ULiftHom.down.obj A = A.objDown
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ pi Set.univ p ≤ ⨆ i, map (single i) (p i)
b m n : ℕ
h₁ : b ^ m ≤ n
h₂ : n < b ^ (m + 1)
hm : m ≠ 0
⊢ log b n = m
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
⊢ ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • s, f x ∂μ.restrict t = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in t ∩ g • s, f x ∂μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompletePartialOrder α
inst✝ : Preorder β
f✝ : ι → α
d✝ : Set α
a✝ : α
f : α → β
h : ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB (f '' d) (f (sSup d))
d : Set α
hne : d.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
⊢ IsLUB (f '' d) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 < C
⊢ dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
hz : ∀ᶠ (x : α) in l, v x = 0 → u x = 0
huv : Tendsto (u / v) l (𝓝 1)
⊢ u ~[l] v
α : Type u
OrderedCommGroup α
a : α
⊢ 1 < a → a⁻¹ < 1
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n
⊢ ∀ (j : n), Pi.single i 1 j = 1 j i
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
⊢ gaugeRescale s s = id
R : Type u
CommSemiring R
s : Multiset R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x s.prod = (Multiset.map (Polynomial.eval x) s).prod
n : ℕ
p : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ n.factorization p ≤ 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K) i = (NumberField.mixedEmbedding K) ((NumberField.integralBasis K) i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalCounitIso e).hom =
  CategoryTheory.inv (CategoryTheory.monoidalUnit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction)
X✝ Y✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
r : ↑Γ(Y, U)
⊢ Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯ = IsLocalization.Away.map (↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) (↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r))) (Scheme.Hom.appLE f U V e) r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
self : StandardBorelSpace α
⊢ ∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α
R : Type u
S : Type v
T : Type w
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Ideal.IsJacobson S
Algebra R S
Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : Polynomial S ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
α : Type u_1
M : Type u_8
G : Type u_12
Zero M
AddCommGroup G
f : α →₀ M
h : α → M → G
⊢ (f.sum fun a b => -h a b) = -f.sum h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cofan fun k => X ↑k
hc₂ : IsColimit c₂
⊢ Mono (Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))
α : Type u_1
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = Set.univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
⊢ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ = ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n : ℕ
⊢ ((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = f.coeff (Int.negSucc n)
b m n : ℕ
hb : 0 < b
⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
⊢ ∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * 0 ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
⊢ j = k
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' (pullback.fst f g)
inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g
⊢ (pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.snd f' (pullback.fst f g) ≫ pullback.fst f g = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A)
⊢ Function.Injective ⇑(Unitization.splitMul 𝕜 A)