ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : IsEmpty n
⊢ (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCochain G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ (G.map a.op) (α⁻¹ i) * γ₂.ev i j a b = γ₁.ev i j a b * (G.map b.op) (α⁻¹ j)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (e.extend I).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)
g : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
⊢ ∃ g, g • z ∈ 𝒟
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
⊢ False
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑s) (g : ↑s → R), ∑ x ∈ s_1, g x • ↑x ∈ M' → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, gauge s x_1 ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.toCycles ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
D : Type v₁
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Semiring C
inst✝⁴ : Semiring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
φ : A →ₐ[R] B
f : A →ₗ[R] B
map_one : f 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y
c : R
⊢ (↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := map_one, map_mul' := map_mul, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R A) c) = (algebraMap R B) c
n : ℕ
α : Type u_1
a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
v : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.insertNth b j.succ (Mathlib.Vector.insertNth a i v) =
  Mathlib.Vector.insertNth a i.castSucc (Mathlib.Vector.insertNth b j v)
K : Type u_2
Field K
P : RatFunc K
⊢ (Polynomial.idealX K).valuation P = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑P
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.card (Multiset.Ioo a b) = Multiset.card (Multiset.Ico a b) - 1
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.constantCoeff ((MvPolynomial.map f) φ) = f (MvPolynomial.constantCoeff φ)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (n : Nat), l₁[n]? = l₂[n]?
⊢ l₁ = l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
o : Option α
⊢ (¬∀ (x : α), some x ≠ o) ↔ ¬o = none
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Q' : Type u_11
AddCommMonoid Q'
Module R Q'
i : P →ₗ[R] Q →ₗ[R] Q'
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.lift i ∘ₗ TensorProduct.map f g = TensorProduct.lift ((i ∘ₗ f).compl₂ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁ a₂ : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < (algebraMap α β) a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁶ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω
⊢ IsStoppingTime ℱ σ
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑f.dualMap
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ).op =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₂.leftHomologyOpIso.inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ)) S₁.leftHomologyOpIso.hom)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsLowerModularLattice α
a b : α
⊢ b ⋖ b ⊔ a → b ⊓ a ⋖ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
H : CategoryTheory.Functor D E
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (α ◫ CategoryTheory.CategoryStruct.id H).app X = H.map (α.app X)
R : Type u
CommRing R
⊢ (KaehlerDifferential.polynomialEquiv R).compDer (KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) = Polynomial.derivative'
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
⊢ 1 ≤ |↑M * ↑n - ↑m|
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')
⊢ F.dualMap x ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
x y : ℝ
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
α : Type u_2
Mul α
IsCancelMul α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s * t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
c : R
⊢ (Polynomial.C c * Polynomial.X ^ n).support ⊆ {n}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₁.head ∈ toSubgroup A B (-u)
hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂
hw₂'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList
hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
⊢ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
m n k : Nat
⊢ Int.negSucc m * Int.subNatNat n k = Int.subNatNat (m.succ * k) (m.succ * n)
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ toBoolAlg (a + b) = toBoolAlg a ∆ toBoolAlg b
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
k : ℕ
hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k
this : a = (rfindOpt f).get h'
⊢ a ∈ rfindOpt f
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
⊢ HasDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (x * NormedSpace.exp 𝕂 (t • x)) t
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
Nonempty ι
⊢ f 0 = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
h : IsLieAbelian L
⊢ Subsingleton L
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
a : α
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
⊢ a ∉ t
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : a < 1
⊢ b * a < c
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + toIcoDiv hp a b • p + p
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ
⊢ ((A.compHahnSeries B (r • u)).coeff x✝¹).coeff x✝ = ((r • A.compHahnSeries B u).coeff x✝¹).coeff x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g
⊢ IsClosed {f | (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) f}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F.obj X)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y = ⊤ ↔ x = y
a b : ℝ≥0
h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → a ≤ b + ε
⊢ a ≤ b
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
α : ℝ≥0
α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_hyp : f ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x} ∧ Λ f = α
⊢ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
a b : Int
c : Nat
h : a * b = ↑c
⊢ a.natAbs * b.natAbs = c
X : Type u_1
EMetricSpace X
ι : Type u_2
I : Finset ι
s : ι → Set X
t : Set X
⊢ IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
CommSemiring β
l : Filter α
k : α → β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k 0
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = 1
hd : ↑g 1 1 = 1
⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Type u_3
Φ : MvPolynomial idx ℤ
f : idx → σ
n : ℕ
⊢ wittStructureInt p ((MvPolynomial.rename f) Φ) n = (MvPolynomial.rename (Prod.map f id)) (wittStructureInt p Φ n)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s : Set α
h : y ∈ s
⊢ EMetric.infEdist x s ≤ edist x y
N : Type u_2
α : Type u_3
Preorder α
Preorder N
f : N → α
μ : N → N → N
CovariantClass N N (Function.swap μ) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
m : N
⊢ Monotone fun x => f (μ x m)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {x_1 : α}, Bornology.IsBounded {x_1}
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X
⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : LeftInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (g₁.extendDomain f) ((g₂.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
DecidablePred p
f : β → α
s : Multiset β
⊢ Multiset.filter p (Multiset.map f s) = Multiset.map f (Multiset.filter (p ∘ f) s)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
x : S
hx : B.gen ∈ adjoin R {x}
⊢ adjoin R {B.gen} ≤ adjoin R {x}
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
s : Subfield L
⊢ ↑(Subfield.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple x0 y0 z0
hk : ↑k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑k) (y0 * ↑k / ↑k) (↑k * z0 / ↑k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α
⊢ (A - B) *ᵥ x = A *ᵥ x - B *ᵥ x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hfi : IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x ^ -[n+1]
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist s t = Metric.hausdorffDist t s
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
s : Set (α × α)
⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | edist p.1 p.2 < f i} ⊆ s
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l ⊆ l.dedup
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ (↑‖a‖₊)⁻¹ ≤ radius fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
hf₁ : Monotone f
hf₂ : ∀ (x : α), x ≤ f x
hf₃ : ∀ (x : α), f (f x) ≤ f x
x : α
⊢ (ClosureOperator.mk' f hf₁ hf₂ hf₃).IsClosed x = (f x = x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Type v₂
CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape X Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape X C
α : Type u_1
β : α → Type u_4
h : ∀ (a : α), Nonempty (β a)
⊢ Function.Surjective Sigma.fst
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
w₁ : Word G
h₁ : H
hw₁ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₁.toList → g ∈ d.set i
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
h : w₁ = ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂
⊢ { toWord := w₁, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset β
h : Fintype.card α ≤ s.card
⊢ ∃ f, Set.range ⇑f ⊆ ↑s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t)
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₃ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) x = 0
⊢ x = 0
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ H.normalCore ≤ K.normalCore
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
h' : f' = g'
⊢ HasDerivWithinAt f g' s x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)
this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ M.LinearDisjoint N
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
NeZero n
⊢ Nat.cast ∘ ZMod.val = ZMod.cast
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
U : Set α
xU : x ∈ U
Uop : IsOpen U
V : Set α
yV : y ∈ V
Vop : IsOpen V
hUV : Disjoint (closure U) (closure V)
⊢ (Perfect (closure (U ∩ C)) ∧ (closure (U ∩ C)).Nonempty) ∧ closure (U ∩ C) ⊆ C
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
inst✝ : Algebra R S
h : eval₂ (algebraMap R S) x p = 0
⊢ IsIntegral R (p.leadingCoeff • x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ ¬Nonempty ↑s ↔ s = ∅
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
n : ℕ
x : α
⊢ s ∩ replicate n x = replicate (min (count x s) n) x
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Finite ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
⊢ b.equivFun (b i) j = if i = j then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
v : NormedSpace.Dual 𝕜 E
x : E
⊢ ((NormedSpace.dualPairing 𝕜 E) v) x = v x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
⊢ ∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = ∑ p : Fin ((Opposite.unop (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).len + 1), Finsupp.single (x ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(range (π C fun x => ord I x < o))) ℤ ((fun p => ↑p) ∘ (range_equiv_smaller C o).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(smaller C o)) => ↑p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ ⋯) f =
  (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f + (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT') f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ filter p (s.erase a) ↔ x ∈ (filter p s).erase a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
h : Function.Periodic f c
hc : 0 < c
a : α
⊢ f '' Set.Ioc a (a + c) = Set.range f
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
h : ¬∃ d, g' = g + d
⊢ (x %ᵒᶠ g) g' = x g'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
r : 𝕜
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1