ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ p ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ ↑(s ⊼ t) = ↑s ⊼ ↑t
a b : Int
h : ¬a ∣ b
⊢ a = 0 ∨ 0 < b % a
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
q₁ q₂ : CategoryTheory.Functor ((i : I) × C i) D
h : (i : I) → (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp q₁ ≅ (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp q₂
⊢ (CategoryTheory.Sigma.natIso h).hom = CategoryTheory.Sigma.natTrans fun i => (h i).hom
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h✝ : Y ⟶ Z
w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝
inst✝³ : HasCoequalizer f g
inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
Z' : D
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
⊢ (q ≫ coequalizer.π f' g') ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h
G : Type u_5
G' : Type u_8
Norm G
SeminormedAddCommGroup G'
α : Type u_17
SemilatticeSup α
Nonempty α
f : α → G
g : α → G'
⊢ f =O[Filter.atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in Filter.atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖f n‖ ≤ ‖g n‖
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Iic (b i)) (μ.restrict (Ioi a))
⊢ IntegrableOn f (Ioi a) μ
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.natDegree 0 ≤ 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 4 = Polynomial.X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → CommMonoid (Z i)
Fintype I
f : (i : I) → Z i
⊢ ∏ i : I, Pi.mulSingle i (f i) = f
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, x ∈ s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
⊢ diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁.Fuzzy y ↔ x₂.Fuzzy y
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 0 < t
x : E
⊢ t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ ‖x‖ ≤ t ^ (-r⁻¹) - 1
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P
⊢ (↑n)⁻¹ * (↑n * g) ∈ N ⊔ (map N.subtype ↑P).normalizer
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : IsPeriodicPt f n x
hg : IsPeriodicPt g n x
⊢ IsPeriodicPt (f ∘ g) n x
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
G : SimpleGraph W
⊢ SimpleGraph.map f (SimpleGraph.comap (⇑f) G) ≤ G
n a : Nat
i : Fin (n + 1)
h : n = a + ↑i
⊢ i.rev = ⟨a, ⋯⟩
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs
⊢ p ∣ 1
a b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = b + 1 - a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
x : α
⊢ dist (f x) (g x) ≤ dist f g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ perpBisector p₁ p₂ = ⊤ ↔ p₁ = p₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ Localization.mk ↑(-y).num ⟨↑(-y).den, ⋯⟩ = Localization.mk (-↑y.num) ⟨↑y.den, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
CommRing R
IsDomain R
CommRing S
IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.Monic
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
⊢ Irreducible f
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
LinearOrder R
p : Polynomial R
hp : p ≠ 0
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : R), p.IsRoot x → x₀ ≤ x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => max (f x) (g x)) s
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ g ↑↑t = ↑(↑t ^ ModularCyclotomicCharacter_aux g n)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 / p.2) (μ.prod ν) μ
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
a b : M
⊢ f (a + b) = f a + f b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ∫⁻ (y : β) in t, f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫⁻ (a : α) in s, ∫⁻ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
⊢ p x ≤ (sSup s) x
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ 1 ^ padicValNat 1 n ∣ n
r : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) ↑r = ↑r
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
cond : DiscreteQuotient.LEComap f A B
x : X
⊢ DiscreteQuotient.map f cond (A.proj x) = B.proj (f x)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V
⊢ (fromEdgeSet ∅).Adj v w ↔ ⊥.Adj v w
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
x : ↑s
⊢ 𝓝[Subtype.val ⁻¹' t] x = ⊥ ↔ 𝓝[t] ↑x ⊓ 𝓟 s = ⊥
(P : Prop) → Decidable P
α β γ : Type u
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ f s t = Seq.seq (f <$> s) fun x => t
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
a : R
⊢ (MvPolynomial.sumToIter R S₁ S₂) (MvPolynomial.C a) = MvPolynomial.C (MvPolynomial.C a)
α β γ : Type u_5
f : β → γ
x : Option α
g : α → Option β
⊢ Option.map f (x >>= g) = do
  let a ← x
  Option.map f (g a)
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r b a
⊢ r a c
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₂
⊢ insert a s₁ ∩ s₂ = insert a (s₁ ∩ s₂)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |↑i| ^ s.re
n : ℤ
⊢ (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * c n * ↑(SignType.sign ↑n) / ↑|↑n| ^ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.coconeMorphism c).hom = CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
⊢ Normal F K ↔ ∀ (x : K), IsIntegral F x ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F x)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} + Metric.closedBall y δ = Metric.closedBall (x + y) δ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ‖cauchyPowerSeries f c (↑R) n‖ * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap R A) (f Polynomial.X) p = f p
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd (f ∘ Subtype.val) (a i)
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ i ∈ s, a i)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Set.range rexp = Set.Ioi 0
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
⊢ IsRingHom (g ∘ f)
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeAddGroup α
⊢ (-x).toWord = FreeAddGroup.negRev x.toWord
α : Type u
β : Type v
σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
n : ℕ
⊢ (σ * τ) ^ n = 1 ↔ σ ^ n = 1 ∧ τ ^ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
⊢ IsIntegral R x
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a : α
x : Quotient G α
⊢ a ∈ x.orbit ↔ Quotient.mk'' a = x
α : Type u_2
LinearOrder α
p q : α → Prop
⊢ (∃ i, ∀ (j : α), j ≥ i → p j) → (∃ i, ∀ (j : α), j ≥ i → q j) → ∃ i, ∀ (j : α), j ≥ i → p j ∧ q j
m✝ n : ℕ
x✝ : Even n
m : ℕ
hm : n = m + m
⊢ n % 2 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)
⊢ span R (⇑f ⁻¹' s) = comap f (span R₂ s)
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Embedding ⇑DomMulAct.mk.symm
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | b < a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s
p : ℕ → Prop
⊢ sInf {x | p x ∧ ∀ k < 0, nth p k < x} = sInf (setOf p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ ↑(⨅ i, f i).compl = ↑(⨅ i, (f i).compl)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
b : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP p (b ::ₘ s) = Multiset.countP p s + if p b then 1 else 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x : M
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight ((CliffordAlgebra.ι Q) x)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
h : f ≤ g
a : ι
ha : a ∈ f.support
⊢ a ∈ g.support
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)
UniformSpace F
UniformAddGroup F
h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁
⊢ UniformConvergenceCLM.instUniformSpace σ F 𝔖₁ ≤ UniformConvergenceCLM.instUniformSpace σ F 𝔖₂
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ n ≤ Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousOn (f i) s
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x' => ⨆ i, f i x') s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
c : ℝ≥0∞
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable f (c • μ) ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
ι : Type u_1
Finite ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ (μ π.iUnion).toReal = ∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsCoatom (LinearMap.ker f)
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ nndist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * Real.nnabs z.im
α : Type u_1
Lattice α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Interval α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α
⊢ ∀ (c_1 : β), ⊤ (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map ⊤) ≤ c_1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
⊢ (p.comp (X + C r)).Monic
C : FloatCfg
⊢ emin ≤ emin + (↑prec - 1)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : f.natDegree < 2
⊢ f.eraseLead = 0
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'
⊢ M ↾ R ≤r M ↾ R'
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
a✝ b✝ : G ⧸ φ.ker
a b : G
h : φ a = φ b
⊢ Setoid.r a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C n
self : S.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map' i (i + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (i + 1) (i + 2) ⋯ hi) = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ z)
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ s.WSameSide x z
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
y : M
h : ∀ x ∈ l, AddCommute y x
⊢ AddCommute y l.sum
M : Type u
CommMonoid M
TopologicalSpace M
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
⊢ ContinuousMul M
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (insert ∅ S) = MeasurableSpace.generateFrom S
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
e : M ≃+ N
⊢ Function.Injective fun f => f.comp ↑e
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
⊢ L.HasLeftKanExtension F
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
⊢ ∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p ≤ ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ (Set.Ioo a b).Nonempty ↔ a < b
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu_le : ∃ᶠ (x : α) in f, u x ≤ b
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf u f ≤ b
n : ℕ
x : ↑I
this : ∑ x_1 : Fin (n + 1), Polynomial.eval (↑x) (bernsteinPolynomial ℝ n ↑x_1) = 1
⊢ ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n ↑k) x = 1
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Monotone (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
ab : a ≤ b
h : ∀ (i : ι), f i b ≤ b
⊢ Ordinal.nfpFamily f a ≤ b
β : Sort v
α : Sort u_1
Uncountable α
e : α ≃ β
⊢ Uncountable β
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet t
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ Set.range ⇑(comap f) = zeroLocus ↑(ker f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).comp (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)) h = α
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
x y : ↑I × X
h : x = y
⊢ F x = F y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ : P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ (f p₁) (f p₂) (f p₃) = ∠ p₁ p₂ p₃
α : Type u_5
β : Type u_6
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
self : α →C_c β
⊢ HasCompactSupport self.toFun
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : AList β
⊢ s ∪ ∅ = s
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
⊢ ∃ s, s * r - 1 ∈ I
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ Nat.card ↑s = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → ∀ (x : σ), m x = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ W'.dblU P = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203239}
ι α : Type u
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ #↑(⋃ x ∈ s, A x) ≤ #↑s * ⨆ x, #↑(A ↑x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal • ‖x‖
x y : ℝ
h : 1 < -x * -y
hx : x < 0
k : arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π
α : Type u
L : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ FreeGroup.Red [(x1, !b1), (x2, b2)] L ↔ L = [(x1, !b1), (x2, b2)]
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (toFinsupp a) x ≠ 0 ↔ (coeff x) a ≠ 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[>] x) (𝓝[≥] Function.rightLim f x)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
e' : PartialHomeomorph X Y
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
Heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ Set.EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (e.target ∩ t)
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
h : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun x => X - C x) p.roots).prod)
⊢ ∃ k ∈ σ a, eval k p = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z (map f ℱ) g
⊢ ∃ x, (g ∘ f) x = z ∧ ClusterPt x ℱ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
t : Set α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] f
θ ψ : Angle
h : θ.toReal = ψ.toReal
⊢ θ = ψ
G : Type u_1
AddGroup G
s t : Set G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
h_mul : s 0
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier →
      -x ∈ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul }.carrier
h_one' : ∀ {a b : G}, a ∈ t → b ∈ t → a + b ∈ t
h_mul' : t 0
h_inv' :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := t, add_mem' := h_one', zero_mem' := h_mul' }.carrier →
      -x ∈ { carrier := t, add_mem' := h_one', zero_mem' := h_mul' }.carrier
⊢ { carrier := s, add_mem' := h_one, zero_mem' := h_mul, neg_mem' := h_inv } ≤
    { carrier := t, add_mem' := h_one', zero_mem' := h_mul', neg_mem' := h_inv' } ↔
  s ⊆ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j
⊢ m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) ∈ p.basisSets ∧ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
⊢ (∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget (Type u)).obj (F.obj (Opposite.op (U i)))
s : (CategoryTheory.forget (Type u)).obj (F.obj (Opposite.op (iSup U)))
⊢ F.IsGluing U sf s ↔
  ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ),
    (CategoryTheory.Functor.mapCone F (CategoryTheory.Pairwise.cocone U).op).π.app i s =
      TopCat.Presheaf.objPairwiseOfFamily sf i
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Nonempty ι
⊢ f 0 = 0