ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)))) m₁) m₂)) m₁') m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂))) m₁) m₂)) m₁') m₂'
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
gp : GenContFract.Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
⊢ g.dens 1 = gp.b
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c : C
⊢ c ∈ S.objs → CategoryTheory.CategoryStruct.id c ∈ S.arrows c c
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
c : AddCon M
f : N →+ M
⊢ AddCon.comap ⇑f ⋯ c = AddCon.ker (c.mk'.comp f)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a (b i)) μ
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
h : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) μ
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α
⊢ xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ Function.Periodic f ((2 * n) • c)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s (μ.restrict t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ f x ⤳ f y ↔ x ⤳ y
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
b : β
h : b ∈ t
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ R a b
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : Batteries.RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ ∃ c' n', (Batteries.RBNode.insert cmp t v).Balanced c' n'
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
⊢ AmpleSet ∅
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).length = l.length
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso' e h₁ h₂).inv = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' e.inv h₂ h₁
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ preserving_snd → ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = 0
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
a✝ : i ∈ s.toFinset
⊢ (φ i) (f i) = if f i ≠ 0 then (φ i) (f i) else 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
x : M × M₂
⊢ x ∈ f.graph ↔ x ∈ range (id.prod f)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : ↥(integralClosure R A)
p : R[X]
hpm : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R A) (↑x) p = 0
⊢ ↑(eval₂ (algebraMap R ↥(integralClosure R A)) x p) = ↑0
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : U ≤ V
⊢ f.opensFunctor.map (CategoryTheory.homOfLE e) = CategoryTheory.homOfLE ⋯
x y p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
⊢ x * y = p ^ 2 ↔ x = p ∧ y = p
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
Nonempty β
hb : ∑ x : α, w x ≤ Fintype.card β • b
⊢ ∃ y, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ, w x ≤ b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x y : ↥f.domain
⊢ ↑f (x + y) = ↑f x + ↑f y
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ℤ
⊢ (H.quotientEquivSigmaZMod g) (g ^ k • Quotient.out' q) = ⟨q, ↑k⟩
a x✝ z x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ (x * y).arg = x.arg + y.arg ↔ x.arg + y.arg ∈ Ioc (-π) π
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.19515, u_1} D
P : MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
hf' : P f'
e : Arrow.mk f' ≅ Arrow.mk f
⊢ P f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᶠ[ae μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
⊢ Antitone fun n a => ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a
G : Type u_1
Group G
H : Type u_3
Group H
IsSimpleGroup G
Nontrivial H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsSimpleGroup H
b k : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L ≡ Nat.ofDigits (b % k) L [MOD k]
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (MeasureTheory.fundamentalFrontier G s) μ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ P.parts.sup id
⊢ ∃ t ∈ P.parts, a ∈ t
n : ℕ
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.Gamma (↑n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformRight e x).1 = x.1 ∪ MulOpposite.op e • x.1
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
hu : ∀ (u : α), IsUnit u → P u
hi : ∀ (a i : α), a ≠ 0 → Irreducible i → P a → P (i * a)
⊢ P a
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
p q : Submodule R M
⊢ Submodule.comap f (Submodule.map f p ⊓ Submodule.map f q) = p ⊓ q
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
Nontrivial R
x y : R
h : E.toAffine.Equation x y
⊢ E.toAffine.Nonsingular x y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
self : CategoryTheory.Bicategory.Strict B
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f = CategoryTheory.eqToIso ⋯
l : List Bool
b : Bool
⊢ count b l + count (!b) l = l.length
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Additive.ofMul a < Additive.ofMul b ↔ a < b
o : Ordinal.{u}
⊢ o.cof = 1 ↔ ∃ a, o = Order.succ a
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
⊢ (TopCat.isoOfHomeo f).inv = f.symm.toContinuousMap
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
⊢ ContinuousOn f s
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}
⊢ (p.sum fun n a => a • X ^ n) ∈ S
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), aeSeq hf p i a = f i a
α : Type u
L : List α
i : Fin L.attach.length
⊢ ↑(L.attach.get i) = L.get ⟨↑i, ⋯⟩
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Unique J
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).bicone.pt = f default
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering E).obj c = CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker E c
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ f = 0 ↔ ↑f = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a b : α
as : List α
h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []
h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true
h : (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)) ≠ []
ha : p a = false
⊢ (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)).getLast ⋯ = (b :: as).getLast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : Nonempty ι
⊢ iSup f ≤ iSup g
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
FiniteDimensional K L
⊢ (minpoly K x).natDegree ≤ FiniteDimensional.finrank K L
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
⊢ (⋂ n, s n).Nonempty
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (MeasureTheory.SimpleFunc.const α x) = (T Set.univ) x
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0
this : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x = last s₁
⊢ s₁ = s₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
⊢ False
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2
⊢ ∃ r s, ↑a * ↑b = ↑r ^ 2 + ↑s ^ 2
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ
z : K
a✝ : z ∈ primitiveRoots n K
⊢ Splits (RingHom.id K) (X - C z)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (A.leftRegularHomEquiv.symm x).hom (Finsupp.single g 1) = (A.ρ g) x
G : Type u
CategoryTheory.Groupoid G
IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G))
Quiver.Arborescence (WideSubquiver.toType (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G)) T)
a : G
p : Quiver.Path (Quiver.root (WideSubquiver.toType (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G)) T)) a
⊢ IsFreeGroupoid.SpanningTree.treeHom T a = IsFreeGroupoid.SpanningTree.homOfPath T p
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
⊢ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) = ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
m : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
hm : m = 𝒜.card
ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), 𝒜.card < m → 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
⊢ supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
this : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢.op
⊢ HasTerminal C
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g ↔ LinearMap.ker S.g = LinearMap.range S.f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≤ μ s
α : Type u
Order.Frame α
s : Set α
b : α
⊢ sSup s ⊓ b = ⨆ a ∈ s, a ⊓ b
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ Real.arctan x + Real.arctan y < Real.pi / 2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
⊢ ∀ (n : ℕ) (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ IsLimit (ShortComplex.π₁.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ sphere n d k
⊢ √(∑ i : Fin n, |↑(x i)| ^ 2) = √↑k
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R
⊢ Polynomial.eval 0 (A + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det = Polynomial.eval 0 A.det
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Function.Bijective ⇑(Monoid.Coprod.swap M N)
R : Type u_1
MulZeroClass R
a : R
Nontrivial R
la : IsLeftRegular a
⊢ a ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.composableArrowsFunctor.obj S = S.composableArrows
R : Type u_1
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a) ↔ IsNilpotent a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
n : ℕ
x : Fin n → 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x (List.finRange n)).prod)
  (∑ i : Fin n,
    (List.map x (List.take (↑i) (List.finRange n))).prod •
      (ContinuousLinearMap.proj i).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ (List.finRange n))).prod)
  x
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ log (x * ↑r) = ↑(Real.log r) + log x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e ∘ ⇑e.symm = id
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (s.indicator (const X c) * f) μ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (-x) = -WittVector.ghostFun x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ ∀ x ∈ s, f x = ↑(f x).toNNReal
i j : ℕ
h : j + 1 = i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.c.Rel i j
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ span R (⋃ s_1 ∈ ↑I, ⋃ t ∈ s, {s_1 • t}) ↔ x ∈ span R (⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ s, {a • b})
R : Type u
NonAssocSemiring R
ι : Sort u_1
s : ι → Set R
⊢ Subsemiring.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, Subsemiring.closure (s i)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ a, s = {a}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
n : ℕ
a : M
b : ↥S
⊢ n • AddLocalization.mk a b = AddLocalization.mk (n • a) (n • b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.down α))} (f : X ⟶ Y) (n : α),
  (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).functor.map f).f n).f = f.f.f n
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : β →ₙ+* γ
⊢ g.comp 0 = 0
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
l : Module.Dual R M
i : ι
⊢ b.dualBasis.equivFun l i = l (b i)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) MeasureTheory.volume 0 Y
p : ℝ[X]
⊢ Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | 0 < x}) (𝓝 0)
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ Profinite.pullback.fst f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullbackIsoPullback f g).hom (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
x : ℝ
⊢ Real.arccos x = π ↔ x ≤ -1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x)‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝³ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝² : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddSemigroup α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a + x)) c
β : Type v
r : β → β → Prop
IsRefl β r
IsTrans β r
f : ℕ → β
h : ∀ (n : ℕ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℕ
hab : a ≤ b
⊢ r (f a) (f b)
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) ⋯ ∈ MeasureTheory.Lp 𝕜 1 μ
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : f.rOut ≤ dist x c
⊢ ↑f x = 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n
⊢ ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ (RelSeries.toList s).Nodup
α : Type u
δ : Type u_3
f : α → α → δ
l : List α
⊢ List.zipWith f l l = List.map (fun a => f a a) l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : Comon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ (x : C), (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.unitIso.inv.app X).hom.app x = 𝟙 (X.X.obj x)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
⊢ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s (V i))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f a b)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
⊢ p (foldr f H x s)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
s : Set A
⊢ NonUnitalStarAlgebra.adjoin R s = (NonUnitalAlgebra.adjoin R s).starClosure
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
⊢ 0 ∈ I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
X : D
F : CategoryTheory.Functor C D
f : (Y : E) → X ⟶ F.obj (G.obj Y)
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f Y) (F.map (G.map g)) = f Z
⊢ ∀ {X_1 Y : E} (g : X_1 ⟶ Y), (G.toStructuredArrow X F f h).map g = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk (G.map g) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α
b : β
h : inl a < inr b
⊢ ∃ b, a < b
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
⊢ p < q ↔ p ≤ q ∧ ∃ x ∈ q, x ∉ p
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (f : α → F) (μ : MeasureTheory.Measure α),
  ∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ↑‖f x_1‖₊ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ