ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ ‖x‖ ≤ convexBodySumFun x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ‖↑↑g x‖
⊢ ‖f‖ ≤ ‖g‖
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hp : BddAbove s
x : E
⊢ (sSup s) x = ⨆ p, ↑p x
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b⁻¹ < a / c ↔ c < a * b
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.FormallyEtale R A ↔
  ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B),
    I ^ 2 = ⊥ → Function.Bijective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
⊢ (ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
⊢ ‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ ≤ ↑q
ι : Sort u_4
α : ι → Type u_6
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
⊢ Set.range (Function.eval i) = Set.univ
α : Type w
Finite α
X : α → Profinite
a : α
⊢ Function.Injective ⇑(Profinite.finiteCoproduct.ι X a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
γ : Type u_7
MeasurableSpace γ
f : β → α
hf : Measurable f
g : γ → β
hg : Measurable g
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn (f ∘ g) ⋯ s y₀ h₀ n = (MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n).comp g hg
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
p : R[X]
x : S
⊢ (Polynomial.aeval x) p = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
h : a * b = 1
⊢ a = b⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst p hs hμs c) = MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
f : ℕ → α
H : ∀ (n : ℕ), r (f n) (f (n + 1))
⊢ ⇑(RelEmbedding.natLT f H) = f
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : const J ⊣ L
F : J ⥤ C
s : Cone F
j : J
eq : L.map s.π ≫ (adj.counit.app F).app j = (adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j ≫ s.π.app j
eq' : adj.unit.app s.pt ≫ (adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j = 𝟙 s.pt
⊢ (adj.homEquiv s.pt F) s.π ≫ (adj.counit.app F).app j = s.π.app j
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis I X ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ X
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ K.d (n + 1) n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑0 • (Γ₀.obj K).δ 0) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ MDifferentiableAt I I id x
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
k n : ℕ
⊢ Nat.nth p k < Nat.nth p n ↔ k < n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
⊢ g ∈ H
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x
⊢ StrictMonoOn f D
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x)⁻¹) s
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Zero M
Zero N
Zero P
g : ZeroHom N P
f₁ f₂ : ZeroHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
⊢ CauchySeq u ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)
x : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
σ : Aut X
⊢ (f ≫ (autMap f σ).hom) ≫ g = σ.hom ≫ f ≫ g
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d
⊢ False
x y z : Bool
⊢ x < y → y < z → x < z
S : Type u_1
CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S
⊢ x ∈ Ideal.span {y} ⊔ I ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a b : α
ContinuousMul α
s : Set β
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasProd f (a * b)
α : Type u_1
I B✝ X✝ E : Set α
Base : Set α → Prop
base_exchange : ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
B : Set α
hB : Base B
hfin : B.Finite
X : Set α
x✝¹ : X ⊆ E
Y : Set α
x✝ : ∃ B, Base B ∧ Y ⊆ B
B' : Set α
hB' : Base B'
hYB' : Y ⊆ B'
⊢ Y.encard ≤ ↑B.ncard
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
n : ℕ
a : A
⊢ PolyEquivTensor.invFun R A ((Polynomial.monomial n) a) = a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] Polynomial.X ^ n
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
Φ : Paths V ⥤ C
⊢ ∀ (X : Paths V), Φ.obj X = (lift (of ⋙q Φ.toPrefunctor)).obj X
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
S T : Set A
⊢ Submodule.span R S * Submodule.span R T = Submodule.span R (S * T)
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
⊢ map (𝟙 Y) = 𝟭 (Under Y)
q : ℍ
⊢ Quaternion.normSq (NormedSpace.exp ℝ q) = NormedSpace.exp ℝ q.re ^ 2
A : Type u
TopologicalSpace A
ExtremallyDisconnected A
U₁ U₂ : Set A
h : Disjoint U₁ U₂
hU₁ : IsOpen U₁
hU₂ : IsOpen U₂
⊢ Disjoint (closure U₁) (closure U₂)
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
i : ι
⊢ (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s = (s + 1).Gammaℝ * (a i * ↑(r i)) / ↑|r i| ^ (s + 1)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.truncate 1 1 = (Path.refl b).cast ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g : ι → α
s : Set α
⊢ sSup s = ⨆ a, ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ⇑(PowerSeries.monomial R 0) = ⇑(PowerSeries.C R)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
D : Type u_6
Semiring D
TopologicalSpace D
Algebra R D
f₁ : A →A[R] B
f₂ : C →A[R] D
⊢ ↑(f₁.prodMap f₂) = (↑f₁).prodMap ↑f₂
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : (LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f - (LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f = 0
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ 1 < card α ↔ Nontrivial α
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ¬p x
⊢ Finset.filter p s = ∅
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree = 1 ↔ (minpoly A x).natDegree < 2
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
hP : Splits (algebraMap K L) P
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic
⊢ (aeval r) (derivative P) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ 1 - r ≠ 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hB : M.Base B
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Basis (B ∩ X) X ↔ M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
s : Set G
s_op : IsOpen s
⊢ IsOpen (mk ⁻¹' (mk '' s))
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
⊢ (map f p).Separable ↔ p.Separable
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x ↔ AnalyticAt 𝕜 g x
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
h : IsAffine Y
⊢ IsAffine X
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
this : ⊥.Colorable 1
⊢ ⊥.chromaticNumber = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0
⊢ (r • μ).singularPart ν = r • μ.singularPart ν
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
⊢ memPartitionSet f n a ∈ memPartition f n
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
x : M
hf : SmoothAt I' I f x
hg : SmoothAt I' I g x
⊢ SmoothAt I' I (f * g) x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
a R : ℝ
x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c (a * R) x = (AffineMap.homothety c (a ^ 2)) (EuclideanGeometry.inversion c R x)
V : Type u₁
Quiver V
W : Type u₂
Quiver W
F : V ⥤q W
a b c : V
p : Quiver.Path a b
e : b ⟶ c
⊢ F.mapPath (p.cons e) = (F.mapPath p).cons (F.map e)
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
⊢ ↑↑0 = ↑0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(I * J) = ↑I * ↑J
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ Fᶜ
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
⊢ f.toBilinAux = f
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
⊢ -S ≤ -T ↔ S ≤ T
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom
α : Type u
Infinite α
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
⊢ s.Infinite
f : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
m : ℤ
⊢ f.translationNumber = ↑m ↔ ∃ x, f x = x + ↑m
G : Type u_1
Group G
s : Set G
x : G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
h_mul : s 1
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier →
      x⁻¹ ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier
⊢ x ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul, inv_mem' := h_inv } ↔ x ∈ s
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α
⊢ σ⁻¹.support = σ.support
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
⊢ ∃ ψ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.f ψ.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.s ψ.f
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ t₁ ≤ TopologicalSpace.induced f t₂
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → SemilatticeSup (f i)
(i : I) → One (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.mulSingle i (x ⊔ y) = Pi.mulSingle i x ⊔ Pi.mulSingle i y
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : S →ₐ[R] TensorProduct R S S ⧸ KaehlerDifferential.ideal R S ^ 2
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R (KaehlerDifferential.ideal R S).cotangentIdeal).comp f =
    IsScalarTower.toAlgHom R S
      ((TensorProduct R S S ⧸ KaehlerDifferential.ideal R S ^ 2) ⧸ (KaehlerDifferential.ideal R S).cotangentIdeal) ↔
  (Algebra.TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f = AlgHom.id R S
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
h : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
⊢ EMetric.diam Set.univ = ⊤ ↔ NoncompactSpace α
q : ℚ
⊢ (-(q.num /. ↑q.den))⁻¹ = -(q.num /. ↑q.den)⁻¹
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ b.repr v i = ⟪b i, v⟫_𝕜
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)
R : Type u_1
CommSemiring R
b₁ b₂ : R
a₁ a₂ : ℕ
⊢ ↑a₁ = b₁ → ↑a₂ = b₂ → ↑(a₁ + a₂) = b₁ + b₂
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : DecidableEq G
a b : MonoidAlgebra k G
⊢ (sum a fun a₁ b₁ => sum b fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)).support ⊆ a.support * b.support
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0
⊢ 0 i = 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₁ p₃
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
h : s ⊆ t
⊢ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t ≤ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal s
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
⊢ t₀ ∈ Set.Icc tMin tMax
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : LeftOrdContinuous g
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x
⊢ IsLUB (g ∘ f '' s) ((g ∘ f) x)
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR
⊢ ∀ (i : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveLeft i⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveLeft (?refine_1 i)⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
x : X
I : Type u_3
TopologicalSpace I
h : IsEvenlyCovered f x I
⊢ IsEvenlyCovered f x ↑(f ⁻¹' {x})
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
s : β → α
b : β → ℝ
h : ∀ (n m N : β), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N
h₀ : Filter.Tendsto b Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
w : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f w
⊢ (∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] w, f z = 0) ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 w, f z = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
⊢ g' • a = a
G : Type u_1
AddGroup G
H : Type u_3
AddGroup H
IsSimpleAddGroup G
Nontrivial H
f : G →+ H
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsSimpleAddGroup H
α : Type u_5
d : α
⊢ WithTop.untop' d ⊤ = d
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s t : Set α
⊢ s⁻¹ ⊆ t⁻¹ ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
⊢ (μ.prod ν).map Prod.swap = ν.prod μ
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ cosh (dist z w) = 1 + dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 * z.im * w.im)