ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : x ≤ y
⊢ f x ≤ f y
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
S : Type u_3
Field L
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S L
φ : K[X] →ₐ[S] L
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰ := ⋯
⊢ Function.Injective ⇑(RatFunc.liftAlgHom φ hφ')
α : Type u_2
TopologicalSpace α
T1Space α
x : α
⊢ ↑(TopologicalSpace.Closeds.singleton x) = {x}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable I J h.toHomeomorph.toPartialHomeomorph
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
a : ZMod n
ha : IsUnit a
⊢ χ a = ↑((MulChar.toUnitHom χ) ha.unit)
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c
f : Filter α
fct : CardinalInterFilter f c
hf : g ⊆ f.sets
⊢ f ≤ cardinalGenerate g hc
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ dist p1 (midpoint ℝ p1 p2) = dist p2 (midpoint ℝ p1 p2)
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a
⊢ f = g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
inst✝⁶ : MeasurableSpace ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : BorelSpace ι
inst✝¹ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝ : MetrizableSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)
m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace
s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}
hs : MeasurableSet s
h_meas_fst : ∀ (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)), Measurable fun x => ↑(↑x).1
⊢ Measurable (sᶜ.restrict fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2)
X : Pointed
⊢ pointedToPartialFun.obj X = { x // x ≠ X.point }
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ
⊢ dist ((f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) z₀ ≤ ε
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
b : α
Nonempty ι
f : ι → α
h₁ : ∀ (i : ι), f i ≤ b
h₂ : ∀ w < b, ∃ i, w < f i
⊢ ⨆ i, f i = b
α : Type u_1
Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
x : M
s : Set M
f : M → M'
g : M → M''
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hg : MDifferentiableWithinAt I I'' g s x
⊢ MDifferentiableWithinAt I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) s x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ↑(x.appr n) - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}
n : ℕ
⊢ n.descFactorial 0 ≤ n ^ 0
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∈ antidiagonal n ↔ x.1 + x.2 = n
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ t
hst : Disjoint (s.erase a) t
⊢ Disjoint s t
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
x y z : α
f : z ⟶ x
g : z ⟶ y
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout f g = x ⊔ y
θ ψ : Real.Angle
⊢ θ.toReal = ψ.toReal ↔ θ = ψ
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
self : r ≺i s
b : β
⊢ s b self.top ↔ ∃ a, self.toRelEmbedding a = b
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ Differentiable 𝕜 f ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => f x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hg : g ≤ᶠ[ae μ] 0
⊢ Integrable (-f + -g) μ ↔ Integrable (-f) μ ∧ Integrable (-g) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
⊢ Summable fun i => ∑' (y : Composition (i + 1)), (4 ^ ⟨i + 1, y⟩.fst)⁻¹
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : f ≠ 0
⊢ IsAlgebraic R (AdjoinRoot.root f)
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
⊢ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
a : A
FunLike F (↥(StarAlgebra.adjoin R {a})) B
AlgHomClass F R (↥(StarAlgebra.adjoin R {a})) B
StarAlgHomClass F R (↥(StarAlgebra.adjoin R {a})) B
f g : F
h : f ⟨a, ⋯⟩ = g ⟨a, ⋯⟩
⊢ f = g
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L₂
⊢ x ∈ f.range ↔ ∃ y, f y = x
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid α
s : Finset ι
p : Sym2 ι → α
⊢ ∀ i ∈ Finset.subtype (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s((↑i).1, (↑i).2) = p (Sym2.sortEquiv.symm i)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
this : TopologicalSpace H := TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑φ) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) E)
φ' : H →ₗ[𝕜] ↑s → E := { toFun := s.restrict ∘ ⇑φ, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
this : toComplex y ≠ 0
⊢ ↑(norm (x % y)) = normSq (toComplex x - toComplex y * toComplex (x / y))
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
z : ℂ
⊢ z.im * z.im ≤ Complex.normSq z
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
x : ↥P.ker
⊢ p • P.ker.toCotangent x = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
h0 : 0 ≤ C
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ ‖f.mkContinuous₂ C hC‖ ≤ C
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
x : E
⊢ f.normed μ (c - x) = f.normed μ (c + x)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).natTrailingDegree = 0
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
⊢ (PiTensorProduct.map fun i => 1) = 1
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑n * x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ t₁ t₂ : CompositionSeries X
hs : RelSeries.last s₁ = RelSeries.head s₂
ht : RelSeries.last t₁ = RelSeries.head t₂
h₁ : s₁.Equivalent t₁
h₂ : s₂.Equivalent t₂
⊢ CompositionSeries.Equivalent (RelSeries.smash s₁ s₂ hs) (RelSeries.smash t₁ t₂ ht)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
⊢ h.basis ⟨1, hdeg⟩ = h.root
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ↑RCLike.reCLM = RCLike.reLm
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : ¬0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
⊢ False
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
π : X → Y
SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
⊢ SecondCountableTopology Y
C : CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.WithTerminal.prelaxfunctor.obj C = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.WithTerminal ↑C)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞
⊢ AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => -f x * r) l atTop
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧
n : ℕ
e' : β ≃ Fin n
⊢ signAux2 t ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 s f
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (↑m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ↑m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1
this : (E2 ⊔ E1).toSubalgebra = E2.toSubalgebra ⊔ E1.toSubalgebra
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
⊢ (a.set i v)[↑i] = v
β : Type u_1
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (T i)
f : (i : ι) → β → X i
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i}
a b c : Nat
⊢ max a b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
x : DirectSum ι fun j => AdicCompletion I (M j)
⊢ (AdicCompletion.sumEquivOfFintype I M) x = (AdicCompletion.sum I M) x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set (Set α)
⊢ ⋂₀ ⋃ i, s i = ⋂ i, ⋂₀ s i
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
⊢ coeSubmodule S ⊤ = 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₂ : ((mk₀ biprod.inr).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inr).comp β ⋯).hom
h₁ : ((mk₀ biprod.inl).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inl).comp β ⋯).hom
⊢ α.hom = β.hom
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq β
⊢ Finset.image₂ f s (t ∩ t') ⊆ Finset.image₂ f s t ∩ Finset.image₂ f s t'
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ LinearMap.range p.mkQ = ⊤
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
p : α → Prop
⊢ (∀ x ∈ cons a s h, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝¹ : tα ⊆ univ
hfin✝ : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
val✝ : Fintype ↑tα
tβ : Set β
left✝ : tβ ⊆ univ
hfin : tβ.Finite
htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f g : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R p) f = (Polynomial.expand R p) g ↔ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
hmn : m + 1 ≤ n
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
this : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ m → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑k) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ p.carrier ↔ x ∈ ↑p
m n : ℕ
⊢ m + n = 2 ↔ m = 0 ∧ n = 2 ∨ m = 1 ∧ n = 1 ∨ m = 2 ∧ n = 0
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (fun x => (x, x)) ⁻¹' s ×ˢ s = s
α : Type u
Order.Frame α
a : α
s : Set α
⊢ Disjoint a (sSup s) ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint a b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : IsEmpty α
⊢ atTop = generate (range Ici)
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ
⊢ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ↑⟨p₀, ⋯⟩).op ⋙ 𝓕) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }) ≫ f = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ s), a a_1 h ∈ {f a_1}
i : α
hi : i ∈ s
⊢ a i hi = f i
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
S T : StarSubalgebra R A
⊢ StarSubalgebra.map f (S ⊔ T) = StarSubalgebra.map f S ⊔ StarSubalgebra.map f T
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
hn : p.degree = ↑n
⊢ p.coeff n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' (Set.range f ∩ s) = f ⁻¹' s
G : Type u_3
Group G
self : Group.FG G
⊢ ⊤.FG
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
ιM' : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ιM'
inst✝ : DecidableEq ιM'
bₘ' : Basis ιM' R M
f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom
hf : Function.Injective f
⊢ φ.polyCharpolyAux b bₘ = φ.polyCharpolyAux b bₘ'
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f a b)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
⊢ p (Multiset.foldr f H x s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ =
  ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ ⟪lp.single 2 i a, f⟫_𝕜 = ⟪a, ↑f i⟫_𝕜
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Fintype I
inst✝² : Fintype J
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
x✝¹ x✝ : Matrix I I (Matrix J J R)
i✝ j✝ : I × J
⊢ __spread✝⁻⁰.toFun (x✝¹ * x✝) i✝ j✝ = (__spread✝⁻⁰.toFun x✝¹ * __spread✝⁻⁰.toFun x✝) i✝ j✝
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ List.replicate n a ⊆ [a]
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
LocallyFiniteOrder α
f : ι →₀ α
⊢ (Finset.Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Finset.Iic (f i)).card - 1
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
k : ℕ
⊢ Ring.multichoose 2 k = ↑k + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
⊢ Option.map f = Option.map g ↔ f = g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ y ∈ {y | s.SSameSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) ↑s
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
⊢ ∀ (a : Set ↑s), #↑a = c ↔ #↑(Subtype.val '' a) = c
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
h : s(a, b) ∈ xs.sym2
⊢ b ∈ xs
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
self : c.TensorSigns
p q : I
hpq : c.Rel p q
⊢ (ComplexShape.TensorSigns.ε' c) q = -(ComplexShape.TensorSigns.ε' c) p
S : Type u_1
CommRing S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
IsDedekindDomain S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
⊢ d - d' ∈ P
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₂
⊢ (⇑e ∘ ⇑e.symm) x = id x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasStrictFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod)
  (∑ i : Fin l.length,
    (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod •
      (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod)
  x