ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'
hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
h₂ : L.map T₁'.mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
h₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝¹ f✝ : ℂ → E
hf✝ : Differentiable ℂ f✝
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
E : Type u_2
AddCommGroup E
F : Type u_3
AddCommGroup F
K : Type u_5
DivisionRing K
Module K E
Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
⊢ ↑(f.supSpanSingleton x y hx) ⟨x' + c • x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x', hx'⟩ + c • y
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).maximum = max (↑a) l.maximum
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.comap f (ℙ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
m : α
⊢ l.maximum = ↑m → m ∈ l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso S.iCycles
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a = Ioc (min a (min b c)) (max a (max b c))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
hf : f ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx' : IsIntegral R x
this✝ : IsDomain (AdjoinRoot (minpoly R x))
this : NoZeroSMulDivisors R (AdjoinRoot (minpoly R x))
⊢ minpoly R x = minpoly R (powerBasis' hx').gen
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
h₁ : ν₁ ⟂ₘ μ
h₂ : ν₂ ⟂ₘ μ
⊢ ν₁ + ν₂ ⟂ₘ μ
motive : Nat → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (n : Nat) → motive n → motive (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recAuxOn (n + 1) zero succ = succ n (Nat.recAuxOn n zero succ)
R : Type u_1
MulZeroClass R
a b : R
hb : IsLeftRegular b
⊢ b * a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure E
ν : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddHaarMeasure
LocallyCompactSpace E
LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (y : F), ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(BialgHom.id R A) = AlgHom.id R A
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : c ≤ b
h2 : a - c < b - c
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f g : α → M
hf : (Function.mulSupport f).Finite
hg : (Function.mulSupport g).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i * g i = (∏ᶠ (i : α), f i) * ∏ᶠ (i : α), g i
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
u : Finset α
hu : u ∈ 𝒜
htu : t ⊆ u
⊢ a ∉ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ Function.Injective p
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝ : IsTrans α r
a : α
l : List α
a✝ : Chain r ↑l → ∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b
b c : α
hs : (∀ (a' : α), a' ∈ l ∨ a' = a → r a a') ∧ List.Pairwise r l ∧ ∀ a_1 ∈ l, r a_1 a
hb : b = a ∨ b ∈ l
hc : c = a ∨ c ∈ l
⊢ r b c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑f.range = Set.range ↑f
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ a = ↑u⁻¹
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ⁅g, g⁆ = 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Semiring γ
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → Module γ (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
x : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.filterLinearMap γ β p) x = DFinsupp.filter p x
n : ℕ
a : Fin n
⊢ (Finset.Ioi a).card = n - 1 - ↑a
α : Type u
BooleanAlgebra α
⊢ compl ∘ compl = id
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Icc r s)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
y : α
s : Multiset α
ih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countP (r x) s = countP (r x) t
t : Multiset α
h : Rel r (y ::ₘ s) t
⊢ countP (r x) (y ::ₘ s) = countP (r x) t
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)
a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
c : γ
hc : c ∈ u
⊢ g' (f₁ a c) (f₂ b c) ∈ image2 g' (image2 f₁ s u) (image2 f₂ t u)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict s) = MeasureTheory.ae μ ⊓ 𝓟 s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
a : α
⊢ Finset.map f {a} = {f a}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α
⊢ f (⨅ i, ⨅ j, g i j) = ⨅ i, ⨅ j, f (g i j)
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0
⊢ |x| = -x
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ IsLeast {n | 0 < n ∧ ∃ x y, ↑n = a * x + b * y} (a.gcd b)
step : Nat
a s n : Nat
h : a ≤ s
⊢ List.map (fun x => x - a) (List.range' s n step) = List.range' (s - a) n step
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
⊢ G.CliqueFree m
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ o % 0 ^ log 0 o < o
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
⊢ x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
g : A ⨯ Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.curry g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.exp.coev A).app Y) ((CategoryTheory.exp A).map g)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β
⊢ ∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys₂ ≤ levenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO
⊢ ((of R).symm (y + z)).support ⊆ ((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
H : RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal
r : R
hr : r ∉ p.asIdeal
e : r • 1 = 0
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ico a b ∩ Finset.Ico c d = Finset.Ico (max a c) (min b d)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
x : R
⊢ (x • γ).rightShift a n' hn' = x • γ.rightShift a n' hn'
n m : ℕ
y : Fin n
h : y.castSucc ≠ last n
⊢ (y.castSucc.castPred h).castSucc = y.castSucc
Y : Scheme
U : Y.OpenCover
⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
v : V
⊢ v ∈ ρ.invariants ↔ ∀ (g : G), (ρ g) v = v
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Finset M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.span R ↑s ↔ ∃ f, ∑ i ∈ s, f i • i = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T,
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H → CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T mX) f = T mY
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ
⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = (s.bind f).bind g ∧ c₂ = s.bind fun x => (f x).bind g
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddMonoidWithOne G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
⊢ f ↑n = f 0 + n • b
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₁
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
n : ℕ
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsNClique n t ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ Finset.map f s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
this : ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ∈ tris → ∃ x y, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ x ≠ y ∧ s(x, y) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
Nontrivial α
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ s
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α × Stream'.WSeq α
h : some a ∈ s.tail.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ (f + g).neLocus f = g.support
m n : ℕ
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin m
⊢ Fin.append u v (Fin.castAdd n i) = u i
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : k < p ^ n
h : multiplicity p ((p ^ n).choose k) = 0
H : p ^ n ∣ k ∧ ¬p ^ (n + 1) ∣ k
⊢ p ^ n ∣ k
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
⊢ G.Colorable n
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Ring B
Algebra R B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a
⊢ r ∈ resolventSet R (φ a)
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ ↑Polynomial.X = PowerSeries.X
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 < ⌊a⌋ ↔ 1 ≤ a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
x : K
⊢ (φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B
⊢ F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm D a b).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a p₁ p₂ q₁ q₂ : α
⊢ (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (p₁, p₂) = (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (q₁, q₂) → (p₁, p₂) = (q₁, q₂)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
⊢ MvPolynomial.coeff (Finsupp.single i 1) (MvPolynomial.X i) = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ Stream'.Seq.map f S.join = (Stream'.Seq.map (Stream'.Seq1.map f) S).join
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), card (powersetCard n ⟦a⟧) = (card ⟦a⟧).choose n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
⊢ ∑ i ∈ univ.erase w, ‖B.toMatrix v i w‖ < ‖B.toMatrix v w w‖
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ \ yᶜ = y \ x
s : ℂ
⊢ Complex.Gamma s = Complex.GammaAux ⌊1 - s.re⌋₊ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
t : Set E
h : ∀ i ∈ s, ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f i x) t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
ε : ℝ≥0∞
h : μ s ≤ μ t + ε
⊢ μ tᶜ ≤ μ sᶜ + ε
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
hzero : Nat.card ↑(F.obj X) = 0
⊢ False
X : Compactum
S : Set X.A
⊢ IsClosed S ↔ ∀ (F : Ultrafilter X.A), S ∈ F → X.str F ∈ S
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ u₃ : UniformSpace β
h₁ : UniformContinuous f
h₂ : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
α : Type u_2
One α
a : α
⊢ Filter.pureOneHom a = pure a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
⊢ C.asFunctor.obj t = { X := fun i => (C.X i).obj t, d := fun i j => (C.d i j).app t, shape := ⋯, d_comp_d' := ⋯ }
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b c : G₀
a : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a / c / (b / c) = a / b
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : ↥(MeasureTheory.Lp F' 1 μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑((MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
⊢ (Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)) s'
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : CategoryTheory.CategoryStruct.id a ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.id b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftZigzagIso η ε).hom = CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag η.hom ε.hom
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
DecidableEq ι
⊢ MeasureTheory.cylinder s₁ S₁ ∪ MeasureTheory.cylinder s₂ S₂ =
  MeasureTheory.cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∪ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (r • μ).withDensity f = r • μ.withDensity f
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x ∈ u, ∀ y_1 ∈ v, y_1 = y → x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : UpperSet α
⊢ ↑(s / t) = ↑s / ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f (symmDiff s t) = symmDiff (Finset.image f s) (Finset.image f t)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ a.factors.prod = a
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ sSup s = ⊥ ↔ ∀ a ∈ s, a = ⊥
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
⊢ ↑Dᶜ = A \ ↑D
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g✝ : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ g ∈ aestabilizer G μ s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ Integrable I l f μ.toBoxAdditive.toSMul
m n : ℕ
⊢ ↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + (↑n + 1) * (↑m).natAbs.gcdB n.succ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
⊢ Isometry fun x => (WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x
τ : ℍ
this : ModularGroup.T ^ 2 = ModularGroup.T ^ 2
⊢ ↑↑2 + ↑τ = 2 + ↑τ
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ IsGalois (↥⊥) E ↔ IsGalois F E
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ
⊢ ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) = f v :: v
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Ι a b = Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc b a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z X' Y' Z' : C
f g : X ⟶ Y
f' g' : X' ⟶ Y'
p : X ⊗ Z ⟶ X'
q : Y ⊗ Z ⟶ Y'
wf : f ▷ Z ≫ q = p ≫ f'
wg : g ▷ Z ≫ q = p ≫ g'
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
⊢ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g ▷ Z ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight Z) f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.colimMap (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom (f ▷ Z) (g ▷ Z) f' g' p q wf wg) ≫
        CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h wh =
  q ≫ h
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.natDegree = 0
⊢ p = Polynomial.C (p.coeff 0)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite (G ⧸ H)
⊢ H.FiniteIndex
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
f g : β → γ
h : f = g
X : CategoryTheory.GradedObject γ C
b : β
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.comapEq C h).hom.app X b = CategoryTheory.eqToHom ⋯