ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅
this✝ : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)
this : ∀ i ∈ s, ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, f i b = g i b
⊢ (fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i ∈ s, g i b
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
i : ι
⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v i) = 1
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
⊢ (divBy s) (((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) (mk m t)) = mk m t
α : Type u_1
l : List α
i : Fin l.length
⊢ l.get i :: List.drop (↑i + 1) l = List.drop (↑i) l
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₁ ≠ p₂
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ ⇑MulEquiv.prodComm = Prod.swap
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ deriv f x < C
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
i : X ≅ Y
e : ↑(F.obj X) ≃ ↑(F.obj Y)
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℤ
hm : m < 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖x ^ m‖) (𝓝[≠] 0) atTop
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
⊢ Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
⊢ UniqueMul (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) A) (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) B) (op (op a0)) (op (op b0))
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
a : α
⊢ Function.Injective ⇑(CompHaus.finiteCoproduct.ι X a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ s.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g s.π
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z x : α
hx : x ∈ s
hzx : edist z x < ↑(r / 2)
y : α
hy : y ∈ t
hzy : edist z y < ↑(r / 2)
⊢ edist x y ≤ ↑r
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
⊢ z ∈ affineSegment R x y ↔ z ∈ affineSegment R y x
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder β
PartialOrder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N P Q : Bimod Y Z
f : N ⟶ P
g : P ⟶ Q
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft (f ≫ g)).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.down α)
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).p.f n = (K.X n).p
R : Type u
CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (ModuleCat.Free.μ R X Y).hom (𝟙 ((ModuleCat.free R).obj Z)) ≫
    (ModuleCat.Free.μ R (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom ≫
      CategoryTheory.map (ModuleCat.free R).obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator ((ModuleCat.free R).obj X) ((ModuleCat.free R).obj Y)
        ((ModuleCat.free R).obj Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 ((ModuleCat.free R).obj X)) (ModuleCat.Free.μ R Y Z).hom ≫
      (ModuleCat.Free.μ R X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : ↑J ≤ ↑I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) → Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) + Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) = (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) 0).sum
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) (i v) = v
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f g : Equiv.Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ (g * f⁻¹).cycleType = g.cycleType - f.cycleType
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ (Algebra.Presentation.localizationAway r).dimension = 0
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ x.prod y ↔ ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
h_le : s ≤ t
a : α ⧸ s
⊢ (AddSubgroup.quotientEquivSumOfLE h_le) a =
  (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨-(Quotient.mk'' g).out' + g, ⋯⟩) ⋯ a)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
⊢ (x, y) ∈ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ → (x, y) ∈ ⊥
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a * c ∣ b * c ↔ a ∣ b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
⊢ IsUnit (fromBlocks A 0 C D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
⊢ ⅟2 • (x + star x) ∈ selfAdjoint A
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
m₁ m₂ : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : ↑m₁.snd = ↑m₂.snd
⊢ ↑m₁.fst = ↑m₂.fst
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
DecidableEq n
Zero α
Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : n → α
⊢ (Matrix.diagonal d).map f = Matrix.diagonal fun m => f (d m)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Option β → γ
as : List α
⊢ List.map₂Left' f as [] = (List.map (fun a => f a none) as, [])
ξ : ℝ
n : ℕ
⊢ (GenContFract.of ξ).convs n = ↑(ξ.convergent n)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny
⊢ (∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal) ∨ ∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s₁
Nonempty ↥s₂
HasOrthogonalProjection s₁.direction
HasOrthogonalProjection s₂.direction
p : P
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s₁) p = (EuclideanGeometry.reflection s₂) p ↔
  ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s₁) p) = ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s₂) p)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ 1 • s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ 1
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom Z)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A = B ↔ A.unitGroup = B.unitGroup
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ Real.sin (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) = 0
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
⊢ a.prod ≤ b.prod ↔ a ≤ b
n : ℕ
⊢ ∀ (x : Fin (n + 1)), ↑((Finset.Nat.antidiagonalEquivFin n).symm x) = (↑x, n - ↑x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
V : Type u
G : SimpleGraph V
s s' : Set (Sym2 V)
⊢ (G.deleteEdges s).deleteEdges s' = G.deleteEdges (s ∪ s')
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
h : Q.Anisotropic
x : M
⊢ Q x = 0 ↔ x = 0
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
⊢ W₁.IsInvertedBy (Φ.functor.comp L₂)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
Group H
ϕ : H →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x = y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c
⊢ (algebraMap S L) b ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α
⊢ ↑(⌈x⌉ - 1) < x
N : Type u_2
Monoid N
p : N
n : ℕ
h : IsIdempotentElem p
⊢ p ^ (n + 1) = p
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (g ∘ f '' s)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Set α
w₁ : ⊥ ∈ s
w₂ : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ⊔ y ∈ s
ι : Type u_7
t : Finset ι
p : ι → α
h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ t.sup p ∈ s
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap' h).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x => (s n).comp (Prod.mk x) ⋯
f' : ℕ → α → E := fun n => {x | Integrable (f x) ν}.indicator fun x => SimpleFunc.integral ν (s' n x)
hf' : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f' n)
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ (norm '' {m | (QuotientAddGroup.mk' S) m = x}).Nonempty
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y : α
h : [[x, y]] ⊆ s
⊢ s.ordConnectedComponent x = s.ordConnectedComponent y
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ (ad R L).range.toSubmodule = ⊤.toSubmodule
α : Type u
r : α → α → Prop
s₁ s₂ : List α
t : List α
⊢ List.Lex r s₁ s₂ → List.Lex r s₁ (s₂ ++ t)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
h : ∫ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
V₀ V₁ V₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
⊢ p %ₘ Polynomial.X = Polynomial.C (Polynomial.eval 0 p)
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : Mᵈᵐᵃ
a : E
⊢ c • (MeasureTheory.Lp.const p μ) a = (MeasureTheory.Lp.const p μ) a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0
v : M₁
⊢ f v = 0 v
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addXYZ P Q = -(Q x * P z) • P
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addRightEmbedding c) (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc (a + c) (b + c)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ LieModule.weightSpace M (α + ⇑(LieModule.chainTop α β)) = ⊥
x : ℝ
⊢ x < Real.sinh x ↔ 0 < x
R : Type u
CommSemiring R
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (F.mapFunctor a b).obj f = F.map f
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
f : ↑Γ(X, U)
hf₁ : X.basicOpen f ≤ V
hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f
g : ↑Γ(X, V)
hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f
hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g
f' : ↑Γ(X, U)
hf' : X.basicOpen f' = X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE hf₁).op) g)
⊢ ∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
⊢ b⁻¹ • D a + -((a * (b ^ 2)⁻¹) • D b) = ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a + -(((b ^ 2)⁻¹ * a) • D b)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.trailingDegree = ↑n
⊢ p.natTrailingDegree = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).inv =
  ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homologyπ j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
CategoryTheory.HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z
⊢ (ᘁf) ≫ g = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (g ⊗ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ)
  (μ.toSphere.prod (MeasureTheory.Measure.volumeIoiPow (dim E - 1)))
α : Type u_1
DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
a : α
b : δ a
s : Multiset α
hs : a ∉ s
⊢ Function.Injective (Multiset.Pi.cons s a b)
R : Type w₁
CommRing R
A : Type w₂
CommRing A
Algebra R A
B : Type w₃
CommRing B
Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id B B) f)
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ
⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
α : Type u
β : Type v
f : β → α ⊕ β
b : β
⊢ (Computation.corec f b).destruct = Computation.rmap (Computation.corec f) (f b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : H
hx : x ∈ (f.symm ≫ₕ f').source
⊢ ↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑I x
x y : ℂ
⊢ Complex.sinh (x + y) = Complex.sinh x * Complex.cosh y + Complex.cosh x * Complex.sinh y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X Y : Ω → E} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E},
  X =ᵐ[ℙ] Y → ∀ [hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ], MeasureTheory.HasPDF Y ℙ μ