ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ (eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / (eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * 1 i) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹
x y z : ℤ
⊢ PythagoreanTriple x y z ↔
  ∃ k m n,
    (x = k * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = k * (2 * m * n) ∨ x = k * (2 * m * n) ∧ y = k * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧
      (z = k * (m ^ 2 + n ^ 2) ∨ z = -k * (m ^ 2 + n ^ 2))
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x
⊢ (f / g) x = 1 x
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
⊢ N = ⊥
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
⊢ N = M ∨ N <r M
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W ≫ colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.IsSeparating ∅
α : Type u_1
x : α
as : List α
⊢ x ∈ as.reverse ↔ x ∈ as
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
NonAssocSemiring α
DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : ℕ
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A ↑b = Matrix.blockDiagonal fun x => b • A
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
s : Set (Bundle.TotalSpace F E)
p : Bundle.TotalSpace F E
⊢ ContMDiffWithinAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n Bundle.TotalSpace.proj s p
k : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonalTuple k 0 = {0}
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∀ (x : PProd α β), p x.fst x.snd) ↔ ∀ (a : α) (b : β), p a b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
x : M
r : R
⊢ (tensorQuotEquivQuotSMul M I) (x ⊗ₜ[R] (Ideal.Quotient.mk I) r) = Submodule.Quotient.mk (r • x)
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n.pred] ∘ f = f^[n]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
ι : Sort u_3
x : X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => closure (s i)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
cM : Con M
cN : Con N
φ : cM.Quotient → cN.Quotient → Sort u_4
a : M
b : N
f : (x : M) → (y : N) → φ ↑x ↑y
h : ∀ (x : M) (y : N) (x' : M) (y' : N), cM x x' → cN y y' → HEq (f x y) (f x' y')
⊢ Con.hrecOn₂ (↑a) (↑b) f h = f a b
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
hy : y ≠ 0
⊢ b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ k.toMap (g x) = k.toMap (g ↑y) * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ centralMoment X 2 μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
⊢ ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
i : J
⊢ { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.obj i)
z : ↥circle
⊢ ↑(circle.argEquiv z) = (↑z).arg
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y
⊢ t.truncateToReal x ≤ t.truncateToReal y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
g : X' ⟶ Z'
⊢ (tensorLeftHomEquiv (X ⊗ X') Y Y' (Z ⊗ Z')).symm ((f ⊗ g) ≫ (α_ Y Z Z').hom) = (α_ Y' X X').inv ≫ ((tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z).symm f ⊗ g)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : G.chromaticNumber ≠ ⊤
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f ≫ SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' C A).comul = A.mul.unop
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
this : Preregular C
⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ ∃ Y π, EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
⊢ f x < f y
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : α
h_a : a ∈ Function.fixedPoints ⇑f
h_le_init : x ≤ a
i : Ordinal.{u}
⊢ OrdinalApprox.lfpApprox f x i ≤ a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1
y : A
_hy : y ∈ ⊤
hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
z : A
hzM : z ∈ M
hzp : z ∉ P
zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y) ∈ ↑P
zy : A
hzy : zy ∈ P
zy_eq : (algebraMap A (FractionRing A)) zy = (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y)
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b ∈ Set.Ico a (a + p)
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
α : Type u
R : Type u_1
SMul R α
x : R
a₀ a₁ a₂ : α
⊢ x • ![a₀, a₁, a₂] = ![x • a₀, x • a₁, x • a₂]
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn' : ↑n = 0
⊢ False
p : ℝ[X]
⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, rootMultiplicity x (derivative p) + (((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1) ≤ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
ho' : f =O[atTop] g'
hg' : IntegrableAtFilter g' atTop μ
⊢ Integrable f μ
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
⊢ MeasureTheory.Martingale f 𝒢 μ
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
h : b ≠ 0
⊢ (b + a) / b = 1 + a / b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝 y) = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ p ≤ LinearMap.ker f ↔ Submodule.map f p = ⊥
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
k : ℕ+
CommMonoid R
CommMonoid S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
⊢ ↑↑((restrictRootsOfUnity σ k) ζ) = σ ↑↑ζ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
V₀ V₁ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
h : V₀.V ≅ V₁.V
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp V₀.str (F.map h.hom) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.hom V₁.str := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.isoMk h w).hom.f = h.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Sort u_17
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h✝ : f =O[l] g'
hb : l.HasBasis p s
c : ℝ
h : c > 0 ∧ IsBigOWith c l f g'
⊢ c > 0 ∧ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖
i : ℤ
⊢ Int.lcm 0 i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f g : β × γ → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a =
  ∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ ¬Nat.Prime n ↔ ∃ m, m ∣ n ∧ 2 ≤ m ∧ m < n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : Integrable f μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
⊢ EuclideanGeometry.angle p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
α : Type u_1
Add α
s : Set α
x : α
a : α
hxS : x ∈ s
⊢ x + a ∈ AddOpposite.op a +ᵥ s
α : Type u_1
o : Part α
h : o.Dom
⊢ o.get h ∈ o
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y
⊢ p ++ v = p ++ x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ p ++ w = p ++ x ++ r.output ++ y
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable β
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
⊢ ∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ Encodable.decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∈ ⊤ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
hg_mono : StrictMono g
⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map f ⊤ = NonUnitalStarAlgHom.range f
b o : Ordinal.{u}
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
h : x ∈ Ordinal.CNF b o
⊢ x.1 ≤ o
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
⊢ ‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ x✝ ∈ comap (mk' H) (center (G ⧸ H))
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M
⊢ f a * f b + f b * f a = f (a + b) * f (a + b) - f a * f a - f b * f b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset.erase a, f i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r✝ : ℝ
s : Set α
c : α
r : ℝ
⊢ sᶜ ⊆ closedBall c r ↔ (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
a b : ℝ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
a₁ a₂ : M
b : α
⊢ a₁ +ᵥ (a₂ +ᵥ b) = a₁ + a₂ +ᵥ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
w : α.base = β.base
h : α.c ≫ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom ⋯) X.presheaf = β.c
⊢ α = β
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.shortComplexH1Iso A).hom =
  { τ₁ := ↑(groupCohomology.zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A),
    τ₃ := ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t
⊢ t ∈ m
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
s : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.ball x (r i)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩ ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecBase X.presheaf ↑⟨x, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq).f p ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v p q hpq = β.v p q hpq
α : Type u_1
f : Bool → α
⊢ (Equiv.boolArrowEquivProd α) f = (f false, f true)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
One R
Zero ι
A : ι → S
SetLike.GradedOne A
⊢ 1 ∈ A 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn (norm ∘ f) (Function.const M ‖f c‖) U
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
⊢ IsSheafFor P ⊤.arrows
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ -x ‖ 0 ↔ x ‖ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
n m : ℕ
h : n < m
⊢ Tendsto (fun x => ‖x - x₀‖) (𝓝 x₀) (𝓝 0)
a✝ b c d m n a : ℤ
⊢ (-a.succ).succ = -a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
G : Type u
Monoid G
⊢ (Action.leftRegular G).V = G
b p : ℕ
w : 0 < b
this : 1 ≤ b ^ p
⊢ ↑(b ^ p - 1) = ↑b ^ p - 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
⊢ x * x * x ^ n + x ^ n + (y ^ n + y * y * y ^ n) - (x ^ n + y ^ n) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
⊢ x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.card (s.erase a) ≤ Multiset.card s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
⊢ Measurable fun a => κ.compProdFun (η.seq n) a s
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (-↑n)) atTop (𝓝 0)
a✝ b c a n : ℕ
ih : Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico n (n + a))
k l : ℕ
hkl : k % a = l % a
ha : 0 < a
hk : k ≠ n ∧ (k = n + a ∨ k ∈ Ico n (n + a))
hl : l ≠ n ∧ (l = n + a ∨ l ∈ Ico n (n + a))
⊢ k = l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
h'x : g x = AEStronglyMeasurable.mk g Hg x
⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D
⊢ (F.map (e.inv j)).app Y ≫ (F.map (e.hom j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (Y✝ j)).obj Y)
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)