ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞
e' : PartialHomeomorph H H
h : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
⊢ ContMDiffOn I I n (↑e') e'.source
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in Filter.atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)
y₁ y₂ : ℕ
h : y₁ ≤ y₂
m₁ m₂ : ℤ
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ y₂
⊢ ↑m₁ * powHalf y₂ = ↑m₂ * powHalf y₁
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ (modifyNth f n l).get? n = f <$> l.get? n
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥A
Module.Free R ↥B
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(A ⊔ B) ≤ FiniteDimensional.finrank R ↥A * FiniteDimensional.finrank R ↥B
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommMonoid P} (f : M →+ N →+ P) (x_3 : M) (y : N),
  (f.flip y) x_3 = (f x_3) y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
⊢ (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ (Multiset.map Subtype.val m).prod ∈ S
R : Type u_1
Bornology R
Add R
self : BoundedAdd R
s t : Set R
⊢ Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded t → Bornology.IsBounded (s + t)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P_max : P.IsMaximal
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
⊢ ∃ Q, Q.IsMaximal ∧ Ideal.comap (algebraMap R S) Q = P
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u v : UniformSpace α
⊢ u ≤ v ↔ UniformContinuous id
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tprod R) fun i => Sum.elim a b i) = (tprod R) (Fin.append a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, f (t.centerMass w p) ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset (ι →₀ M)
hs : (↑s).PairwiseDisjoint Finsupp.support
⊢ (s.sum id).support = s.sup Finsupp.support
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝ : Mono f
X Y : Subobject B
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ Y
⊢ ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLE Y h₂ = ofMkLE f Y ⋯
a : ℤ
h : a = ↑a.natAbs
⊢ ∃ u, ∃ (_ : IsUnit u), ↑a.natAbs = u * a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor (OppositeShift C A) (a + b)).obj X) = 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C (a + b)).obj (Opposite.unop X)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
hst : s ⊆ t
⊢ (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
⊢ Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a b : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
⊢ |a| ≤ |b|
x : Int
n : Nat
k : Int
⊢ (x + ↑n * k).bmod n = x.bmod n
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((ι Q) m * (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (f m) (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
h : ∀ (q : ℚ), y < ↑q → x ≤ ↑q
⊢ x ≤ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • p.coeff n) (f z)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
⊢ (∀ J ∈ map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal}, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
h : (TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x
⊢ mk ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x) = mk x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ (t.biUnion fun a => filter (fun c => f c = a) s) = s
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M N O : Bimod A B
f : M.Hom N
g : N.Hom O
⊢ (Bimod.comp f g).hom = f.hom ≫ g.hom
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Add M
Add N
AddCommSemigroup P
g₁ g₂ : AddHom N P
f : AddHom M N
⊢ (g₁ + g₂).comp f = g₁.comp f + g₂.comp f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsRefl α r
⊢ Reflexive r
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
P : Type u_3
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : M →* P
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
T : Type u_14
Semiring T
MulSemiringAction P T
g : S →ₑ+*[ψ] T
f : R →ₑ+*[φ] S
φ.CompTriple ψ χ
x : R
⊢ (g.comp f) x = g (f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
f : R →* S
p : ℕ
ExpChar R p
ExpChar S p
x : R
n : ℕ
⊢ f ((⇑(frobenius R p))^[n] x) = (⇑(frobenius S p))^[n] (f x)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : n < 0
⊢ Injective fun x => x ^ n
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
⊢ Measurable fun p =>
  ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2).toNNReal * κ.rnDeriv η p.1 p.2
R : Type u
CommSemiring R
x : PrimeSpectrum R
⊢ IsClosed {x} ↔ x.asIdeal.IsMaximal
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
h : ↥H
⊢ ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * toConjAct.toMonoidHom g = g⁻¹ * ↑h * g
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (f' • 1) s x
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A
⊢ M * N ≤ P ↔ ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, m * n ∈ P
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
T1Space β
b : β
NeZero b
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x)) ↔
  ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t * a)))).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a))
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0
⊢ μ.haarScalarFactor μ = 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h₁ : s ≤ u
h₂ : t ≤ u
⊢ s ∪ t ≤ u ∪ t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
a : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ (Finsupp.mapDomain (α_ X Y Z).hom ((finsuppTensorFinsupp' R (X ⊗ Y) Z) ((finsuppTensorFinsupp' R X Y) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single y 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1))) a = ((finsuppTensorFinsupp' R X (Y ⊗ Z)) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] (finsuppTensorFinsupp' R Y Z) (Finsupp.single y 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1))) a
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A - C).card * B.card ≤ (A + B).card * (B + C).card
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).index ≤ H.index * K.index
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ ⇑e = ⇑e' ↔ e = e'
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
hs : IsOpen (e.source ∩ s)
⊢ (h.restr hs).toPartialEquiv = ⋯.restr
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q
this : x ∈ ⊤
⊢ P x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∑ x : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x))) • φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
h : minpoly A x = 1
⊢ False
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ (𝟙 (F.obj (𝟙_ C ⊗ X)) ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X)) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
α : Type u
UniformSpace α
⊢ DenseInducing CauchyFilter.pureCauchy
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule.IsNilpotent R L M
h : LieModule.nilpotencyLength R L M ≤ 1
⊢ LieModule.IsTrivial L M
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx h2x : x ∈ e.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
DecidableEq α
Finite α
S : Set G
hS1 : ∀ σ ∈ S, ((MulAction.toPermHom G α) σ).IsSwap
hS2 : Subgroup.closure S = ⊤
h : MulAction.IsPretransitive G α
⊢ Function.Surjective ⇑(MulAction.toPermHom G α)
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
R : Type u_2
Field R
A : Matrix n n R
hAps : Polynomial.Splits (RingHom.id R) A.charpoly
⊢ A.det = A.charpoly.roots.prod
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
p q : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c ↔ q a b c
⊢ (∃ a b c, p a b c) ↔ ∃ a b c, q a b c
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
T3Space M
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
g : κ → M
s : R
t : M
hf : HasSum f s
hg : HasSum g t
hfg : Summable fun x => f x.1 • g x.2
⊢ HasSum (fun x => f x.1 • g x.2) (s • t)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ ↑C.u⁻¹ * ↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * (↑C'.u * C.s + C'.s)) = ↑C.u⁻¹ * (↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C'.s) + 2 * C.s)
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
e : J ≃ I
⊢ (CategoryTheory.Pi.equivalenceOfEquiv C e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.pi' fun i =>
    ((CategoryTheory.Functor.pi' fun i' => CategoryTheory.Pi.eval C (e i')).associator
          (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm i))
          (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor).symm ≪≫
      CategoryTheory.isoWhiskerRight
          (CategoryTheory.Functor.pi'CompEval (fun i' => CategoryTheory.Pi.eval C (e i')) (e.symm i))
          (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor ≪≫
        CategoryTheory.Pi.evalCompEqToEquivalenceFunctor C ⋯ ≪≫ (CategoryTheory.Pi.eval C i).leftUnitor.symm
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod) (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) l).sum x
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : 2 ≤ n
hx : 0 < x
npos : 0 < ↑n - 1
c : f ↑n - f (↑n - 1) ≤ (f (↑n + x) - f ↑n) / x
this : f (↑n - 1) = f ↑n - log (↑n - 1)
⊢ f ↑n + x * log (↑n - 1) ≤ f (↑n + x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
s : Set X
hs : IsSigmaCompact s
⊢ IsSigmaCompact (f '' s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (insert i s).pi t = Function.eval i ⁻¹' t i ∩ s.pi t
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.prodMap 1 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖1‖ + ‖∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
I : Type w
Group I
f : G →* H
f.range.Normal
g : H →* I
⊢ g.ker ≤ f.range ↔ (QuotientGroup.mk' f.range).comp g.ker.subtype = 1
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hv₀ hv₁ : 0 < ↑v
hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ 0 < fract ξ
R : Type u_10
CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k : Type u_16
Fintype n
p : m → Prop
q : k → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k R
⊢ (A * B).toBlock p q = A.toBlock p ⊤ * B.toBlock ⊤ q
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ -[[a, b]] = [[-a, -b]]
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (Set.range f)
ω : Cardinal.{v}
hω : ¬ω.IsLimit
h : ⨆ i, f i = ω
⊢ ∃ i, f i = ω
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Set α
h : s.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun f => F.obj f.fst.1
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cofan F.obj
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ s = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 }
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ t = c₂.ι.app { as := f.fst.1 }
i : CategoryTheory.Limits.Cofork s t
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasColimitOfHasCoproductsOfHasCoequalizers.buildColimit s t hs ht i).pt = i.pt
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ Function.Surjective ⇑f.mrangeRestrict
n : ℕ
x : Fin (n + 1)
⊢ (∃ y, y.succ = x) ↔ x ≠ 0
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H H' : Set (X → α)
S : Set X
h : H.EquicontinuousOn S
hH : H' ⊆ H
⊢ H'.EquicontinuousOn S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯) ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
self : OreLocalization.OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ ↑(OreLocalization.OreSet.oreDenom r s) * r = OreLocalization.OreSet.oreNum r s * ↑s
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
⊢ j + i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b
s : Finset α
hs : G.IsNClique 3 s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ f a ∈ s ∧ f b ∈ s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => g * x) μ = μ
α : Type u_5
self : NonUnitalNormedCommRing α
x y : α
⊢ x * y = y * x