ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imJ 0 = 0
a b : NONote
⊢ (a + b).repr = a.repr + b.repr
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
val✝ : Fintype α
⊢ orderOf g = Fintype.card α
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ ↑(↑m)⁻¹.val * ↑m = 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ Sieve.pullback f R ∈ J.sieves Y
R : Type u
Semiring R
p q : ℕ
hp : CharP R p
hq : ExpChar R q
⊢ p = q ↔ Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
a : ℕ
x✝¹ : a > 0
x✝ : a ∈ s
x : ℕ × ℕ
_hx : x ∈ a.divisorsAntidiagonal
⊢ μ x.1 • g x.2 = ↑(μ x.1) * g x.2
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
⊢ (toProd x).2 = ((MonoidHom.snd M N).comp toProd) x
α : Type u
Mul α
x y : α
⊢ FreeAbelianGroup.of x * FreeAbelianGroup.of y = FreeAbelianGroup.of (x * y)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
V₂ : Type v'
AddCommGroup V₂
Module K V₂
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂
hf : LinearMap.range f = ⊤
⊢ FiniteDimensional K V₂
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : Set.MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : Set.MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : Set.MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : Set.MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ Set.range φ₁ ∪ Set.range φ₂
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α β 𝔖 =
  UniformSpace.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
      (UniformOnFun.uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓
    UniformSpace.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
      (UniformOnFun.uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
hl' : k ≤ k₂
⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑(t * x)}) = |t| * sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑x})
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ commutatorSet G ⊆ ⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E
f : ι → F
⊢ ↑(v.constrL f) = (v.constr 𝕜) f
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hne : i ≠ j
⊢ {i, j}.centerMass w z = (w i / (w i + w j)) • z i + (w j / (w i + w j)) • z j
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesEqualizer.iso G f g).hom = CategoryTheory.Limits.equalizerComparison f g G
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
w : f ≫ C.d 0 1 = 0
⊢ (C.augment f w).d 0 1 = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
⊢ fromRel ⋯ = Set.univ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x₀ : hat K
h : x₀ ≠ 0
⊢ ∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x₀)) (𝓝 c)
q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ
⊢ (mkRat a b)⁻¹ = ↑b /. a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.reverse <+: l₂.reverse ↔ l₁ <:+ l₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
a : S
i j : ι
⊢ (algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a) i j = (leftMulMatrix (Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) ((algebraMap S Sₘ) a) i j
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
⊢ p (if h : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, f i.down else 1)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) (a ^ 2) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f' ≫ f) g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (f' ≫ f) g
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'
b : B
hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet
v₁ : F₁
v₂ : F₂
⊢ (coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) (v₁, v₂) = ((coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b) v₁, (coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b) v₂)
α : Type u_1
SDiff α
a b : Part α
⊢ a \ b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y \ x) b
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Set.range (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.sum_to C ho) =
  Profinite.NobelingProof.GoodProducts (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ∪
    Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
Normal F L
x : IntermediateField F L
⊢ (IntermediateField.closureOperator F L).IsClosed x = (normalClosure F (↥x) L = x)
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ μ.restrict (⋃ i, s i) = MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ.restrict (s i)
α : Type u_2
Distrib α
f g h : Filter α
⊢ f * (g + h) ≤ f * g + f * h
α : Type u_3
h : TopologicalSpace α
self : PolishSpace α
⊢ ∃ m, UniformSpace.toTopologicalSpace = h ∧ CompleteSpace α
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
⊢ x ^ (y + 1) = x ^ y * x
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ x ∈ l.closed ↔ u (l.toFun x) ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
head✝ : α
l : List α
⊢ (head✝ :: l) ×ˢ [] = []
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
ι : Type u_4
t : Finset ι
ht : t.Nonempty
f : ι → α
hf : ∀ i ∈ t, f i ∈ s
⊢ t.inf' ht f ∈ infClosure s
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
this : Ioo a b ∈ 𝓝[s] x
⊢ f =ᶠ[𝓝[s] x] g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x✝ x : E
⊢ x ∉ tsupport f → fderiv 𝕜 f x = 0
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
⊢ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l) = eval (π C fun x => ord I x < o₂) l
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A[X]
⊢ (PolyEquivTensor.toFunAlgHom R A) (PolyEquivTensor.invFun R A x) = x
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R s E
⊢ PiTensorProduct.lift φ ∘ₗ ↑(PiTensorProduct.reindex R s e).symm =
  PiTensorProduct.lift ((MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv' R R s E e) φ)
X Y : CompHaus
Z : Stonean
e : Z.compHaus ⟶ Y
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ CompHaus.lift e f ≫ f = e
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ (x ||| y).msb = (x.msb || y.msb)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Group α
MulDistribMulAction α G
a : α
S : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) (↑t₁ ∩ ↑t₂) = (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ (↑s).Nonempty ↔ s ≠ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : Mon_ C
⊢ self.mul ▷ self.X ≫ self.mul = (α_ self.X self.X self.X).hom ≫ self.X ◁ self.mul ≫ self.mul
ι : Type u_1
R : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
F : Filter ι
F.NeBot
Add R
ContinuousAdd R
CovariantClass R R (Function.swap fun x y => x + y) fun x y => x ≤ y
f : ι → R
c : R
bdd_above : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
⊢ Filter.limsup (fun i => f i + c) F = Filter.limsup f F + c
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
hne : Nonempty α
h : (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard = s.encard
⊢ Function.invFunOn f s '' (f '' s) = s
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ::ₘ s < a ::ₘ t ↔ s < t
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
⊢ 1 ≤ 1ᵛ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid β
DistribSMul α β
r : α
s : Multiset β
⊢ r • s.sum = (Multiset.map (fun x => r • x) s).sum
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
b : P.obj (op X)
hb : P.map c.fst.op b = P.map c.snd.op b
h₁ : ((pullbackIsPullback π π).conePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ c.fst = pullback.fst π π
⊢ ∃! x, P.map π.op x = b
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
us : s ⊆ ⋃ i, u i
uc : ⋃ i, Option.elim' sᶜ u i = univ
⊢ ∃ v, (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, v i ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (i : ι), v i ⊆ u i
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
⊢ ‖0‖ = 0
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
⊢ (prevD (i + 1)) f = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source
⊢ IsOpen (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : CategoryTheory.Over X
⊢ ((CategoryTheory.overToCoalgebra X).obj f).A = f.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Functor.empty C) F
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
X Y : C
⊢ F.toMonoidalFunctorOfHasFiniteProducts.μ X Y = (CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F X Y)).inv
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
this : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ ∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (x i) i = ↑↑(sign (e.permCongr x)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr x) i) i
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
e : α
⊢ 1 = PartENat.withTopEquiv.symm 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
t : ↑I
⊢ γ (σ (σ t)) = γ t
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y z w : ℤ
h1✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0
h2 : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0
h1 : x * z = -(↑d * y * w)
⊢ { re := x, im := y } = 0 ∨ { re := z, im := w } = 0
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝¹⁰ : Ring F
inst✝⁹ : Ring K
inst✝⁸ : AddCommGroup A
inst✝⁷ : Module F K
inst✝⁶ : Module K A
inst✝⁵ : Module F A
inst✝⁴ : IsScalarTower F K A
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : StrongRankCondition K
inst✝¹ : Module.Free F K
inst✝ : Module.Free K A
⊢ toNat (Module.rank F K) * toNat (Module.rank K A) = toNat (Module.rank F A)
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
⊢ (lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) = o
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * MeasureTheory.eLpNorm' f p μ
m n : ℕ
⊢ m.succPNat < n.succPNat ↔ m < n
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero β
SMulPosReflectLE α β
⊢ SMulPosStrictMono α β
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : Polynomial R
⊢ (Polynomial.taylor r) f = f.comp (Polynomial.X + Polynomial.C r)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsSplitEpi f
hf : R f
⊢ (generate R).arrows (𝟙 X)
n : ℕ
α : Type u
p : Fin n → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes (Matrix.vecCons α p) τ
⊢ (Function.fromTypes_cons_equiv α p τ) a = a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Function.Surjective f
⊢ Function.Surjective (List.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
⊢ ∀ (a : δ), a ∈ ↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys)) → (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ ↑a
α : Type u_1
l l₁✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
head✝ : α
tail✝ : List α
h : ¬a ∈ head✝ :: tail✝
⊢ (a :: l₁).bagInter (head✝ :: tail✝) = l₁.bagInter (head✝ :: tail✝)
α : Type u
R : α → α → Prop
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Chain' R (l₁ ++ a :: l₂) ↔ List.Chain' R (l₁ ++ [a]) ∧ List.Chain' R (a :: l₂)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
base : ↑X ⟶ ↑Y
c c' : Y.presheaf ⟶ (Presheaf.pushforward C base).obj X.presheaf
h : c ≫ whiskerRight (𝟙 (Opens.map base).op) X.presheaf = c'
⊢ { base := base, c := c } = { base := base, c := c' }
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
h_X : C₁.X = C₂.X
h_d : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → C₁.d i j ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ C₂.d i j
⊢ C₁ = C₂
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)
this : TopologicalAddGroup F
⊢ ∀ (i : ι'), Tendsto (⇑(q i) ∘ ⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
x : M ⧸ I ^ k • ⊤
⊢ (AdicCompletion.transitionMap I M hmn) ((AdicCompletion.transitionMap I M hnk) x) =
  (AdicCompletion.transitionMap I M ⋯) x
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (Orientation.map ι f) positiveOrientation = positiveOrientation
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ (a ⊓ b) = a ⊓ b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p : Submodule R E
p' : Submodule R F
x : ↥(p.prod p')
⊢ ↑(LinearPMap.snd p p') x = (↑x).2
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝ : B
f : B →ₐ[A] B'
x : B
⊢ (Polynomial.aeval (f x)) (minpoly A x) = 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E₁ E₂ : Set α
h : E₁ ⊆ E₂
⊢ Metric.cthickening δ E₁ ⊆ Metric.cthickening δ E₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖(p.1 m, p.2 m).1‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖ ∧ ‖(p.1 m, p.2 m).2‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
⊢ (∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l) ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
α : Type u_2
DecidableEq α
CommMonoid α
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → Finset α
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ‖∑' (x_1 : { x // x ∉ t }), f (↑x_1) x‖ < ε
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
h : ∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)
⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
x✝¹ : 0 ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
x✝ : IsClosed C
hsC : contained C 0
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C)