ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
OpensMeasurableSpace α
μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
⊢ μ.everywherePosSubset s =ᵐ[μ] s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
f g : Filter α
⊢ Filter.map (⇑m) (f / g) = Filter.map (⇑m) f / Filter.map (⇑m) g
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
⊢ HasFiniteIntegral X μ
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1
⊢ 0 ≤ 1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇔ b = a ⊔ b ⇨ a ⊓ b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)
⊢ equiv.symm (equiv (↑↑x⁻¹).snd * equiv (↑↑x).snd) = equiv.symm 1
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
hn : 0 < n
h₀ : x 0 ≤ y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n < y n
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J ⥤ C
X : C
f : F.obj none ⟶ X
ι : (j : J) → F.obj (some j) ⟶ X
w : ∀ (j : J), F.map (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.init j) ≫ ι j = f
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.mkCocone f ι w).pt = X
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
⊢ ∀ (l : List α), p l
x : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
⊢ (⋃₀ x).IsTransitive
α : Type u_1
Add α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x ∈ s.addAntidiagonal t a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 + x.2 = a
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : l₁ ⊆ l₂
h₂ : l₂ ⊆ l₃
⊢ l₁ ⊆ l₃
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
⊢ cocompact ((d : ι) → X d) ≤ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ wittMul p 0 = X (0, 0) * X (1, 0)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
x y : P
⊢ spanSingleton S x = spanSingleton S y ↔ ∃ z, z • x = y
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingPair.swap CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
this : Multiset.card (map (algebraMap F f.SplittingField) f).roots ≤ (map (algebraMap F f.SplittingField) f).natDegree
⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Antivary f g
⊢ Antivary g f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Embedding N P
f g : L.Embedding M N
⊢ h.comp f = h.comp g ↔ f = g
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c c' : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
e : c ≅ c'
x₁ : X₁
x₂ : X₂
h : c.inl x₁ = c.inr x₂
⊢ c'.inl x₁ = c'.inr x₂
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ Metric.closedBall (b * c) r ↔ a ∈ Metric.closedBall b r
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
self : SchwartzMap E F
⊢ ContDiff ℝ ⊤ self.toFun
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : α → E
hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0
s : ℕ → E := denseSeq E
hs : DenseRange s
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Injective f
p : ↑s
⊢ (Equiv.Set.image f s H) p = ⟨f ↑p, ⋯⟩
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
comm : AddCommute a b
h : G
⊢ AddCommute (h + a + -h) (h + b + -h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
p : M × N
⊢ ContMDiffAt (I.prod J) I n Prod.fst p
aux' : (fun t => ((1 - rexp (-π * t)) ^ 2)⁻¹) =O[atTop] fun x => 1
ha : 0 ≤ 0
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => rexp (-π * (0 ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + 0 * rexp (-π * 0 ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsAntisymm α r
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y
y : α
hys : y ∈ s
hxy : r x y
⊢ r y x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
⊢ (AlgHom.fst R B C).comp (f.prod g) = f
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ K : Subgroup G
⊢ H₁.subgroupOf K = H₂.subgroupOf K ↔ H₁ ⊓ K = H₂ ⊓ K
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1
⊢ p.degree < (-q).degree
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Function.Bijective e
⊢ ∏ᶠ (i : α), g (e i) = ∏ᶠ (j : β), g j
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LT α
ha : 1 < a
hb : 1 < b
⊢ 1 < if p then a else b
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ IsUnit a ↔ IsUnit b
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
a b : α
⊢ Order.succ (min a b) = min (Order.succ a) (Order.succ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : (a₁, b) < c
h₂ : c < (a₂, b)
this : c.2 = b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t : Set α
h : s ⊆ t
hs : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
u : Set α
hu : MeasurableSet u
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ inclusion h '' (Subtype.val ⁻¹' u) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' u ∩ Subtype.val ⁻¹' s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂
⊢ (lineMap x (r₂ • v +ᵥ x)) (r₁ / r₂) = r₁ • v +ᵥ x
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
f : α → β
s : Multiset α
t : Multiset β
b : β
⊢ (∃ a ∈ s, f a = b ∧ Multiset.map f (s.erase a) = t) ↔ Multiset.map f s = b ::ₘ t
b : Bool
n : ℕ
⊢ (2 * ↑n + bif b then 1 else 0) = ↑(2 * n + bif b then 1 else 0)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c) ↔ Function.Bijective (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.desc c)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set E
hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
w : Set E
hws : w ⊇ s
hw_ortho : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hw_max : ∀ u ⊇ w, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = w
⊢ (span 𝕜 (Set.range Subtype.val))ᗮ = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : ↥(Unitization.unitsFstOne R A)
⊢ ↑((Unitization.unitsFstOne_mulEquiv_quasiregular R) x)⁻¹ = PreQuasiregular.equiv (↑↑x⁻¹).snd
s : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => ↑π ^ (-s / 2)) s
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
⊢ ⋂ x, s = s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : IsPreconnected U
⊢ Preperfect U
α : Type u_2
β : Type u_3
GeneralizedHeytingAlgebra α
GeneralizedHeytingAlgebra β
a b : α × β
⊢ (a ⇔ b).1 = a.1 ⇔ b.1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ GaloisConnection (Ideal.homogeneousHull 𝒜) HomogeneousIdeal.toIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLinearOrder β
f g : α → β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' g
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' (f ⊓ g)
α : Type u_6
Preorder α
β : Type u_7
Preorder β
b : β
⊢ ⇑((OrderHom.const α) b) = Function.const α b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
⊢ snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ fst (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₁ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯)
t : ℝ
ht : 0 ≤ t ∧ t ≤ 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 1 - ‖z‖ ≤ abs (1 + ↑t * z)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
hK : K.ExactAt i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ L.ExactAt i
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
S : Type u_1
SetLike S γ
AddSubmonoidClass S γ
s : S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ γ
h : ∀ (c : ι), f c ≠ 0 → (g c) (f c) ∈ s
⊢ (DFinsupp.sumAddHom g) f ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E
⊢ (adjoint (adjoint A)) v = A v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
m : Fin 2 → E × F
⊢ f.uncurryBilinear m = (f (m 0).1) (m 1).2
X : Pointed
⊢ (pointedToTwoPSnd.obj X).toTwoPointing.toProd = (none, some X.point)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.sheafification D).obj P = J.sheafify P
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
i : CategoryTheory.FinCategory.AsType α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id i = (Fintype.equivFin (i ⟶ i)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id i)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] V2
g : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
⊢ (f +ᵥ g) p = f p +ᵥ g p
α : Type u_1
x : α
l r : List α
s : α → α → Bool
h : x ∈ l
⊢ x ∈ List.merge s l r
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂]
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ Filter.Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ ⊤) (𝓤 β)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
⊢ Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
G : Type u_1
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
CompactSpace G
RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
X : Type u_2
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => f x ^ n) μ' μ
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
hf : ↑f x - l = ↑g x - l
⊢ ↑f x = ↑g x
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
⊢ DenselyOrdered (α ⊕ β) ↔ DenselyOrdered α ∧ DenselyOrdered β
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j
this : ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i K = X ^ n - 1
⊢ False
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
X✝ Y✝ : C ⥤ D
η : X✝ ⟶ Y✝
A : Augmented C
n : SimplexCategory
⊢ η.app A.left ≫ 𝟙 (Y✝.obj A.left) ≫ Y✝.map (A.hom.app n) = (𝟙 (X✝.obj A.left) ≫ X✝.map (A.hom.app n)) ≫ η.app (A.right.obj n)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
h : x ∉ Function.periodicPts f
⊢ Function.periodicOrbit f x = Cycle.nil
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : (i : ι) → G i
s : Finset ι
⊢ ‖∑ i ∈ s, (V i) (l i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s, ‖l i‖ ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : C
j : Jᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.const.opObjOp X).inv.app j = 𝟙 (((CategoryTheory.Functor.const J).obj X).op.obj j)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this✝ : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
hSx : IsIntegral (↥S) x
Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})
MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx
this : Module.Finite ↥S ↥Sx
⊢ IsIntegral R x
α : Type u_1
G : Type u_9
NegZeroClass G
g : α →₀ G
a : α
⊢ (-g) a = -g a
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < ε ^ 5 / (50 * 2)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.functorialityEquivalence F e).inverse =
  CategoryTheory.Limits.Cones.functoriality (F ⋙ e.functor) e.inverse ⋙
    (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeEquivalence
        (F.associator e.functor e.inverse ≪≫ CategoryTheory.isoWhiskerLeft F e.unitIso.symm ≪≫ F.rightUnitor)).functor
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
right✝ : ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s
hf_left : ↑i ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x : Y
y : X
⊢ 1 ≤ dist (inl x) (inr y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f ≤ M
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
⊢ (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f (insert x s ∩ u)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (s \ {a}).encard = s.encard - 1
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ (Measure.map f ↑μ).prod (Measure.map g ↑ν) = Measure.map (Prod.map f g) ((↑μ).prod ↑ν)
a b : Prop
⊢ (a → b) → b ∨ ¬a
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map f x.snd = (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map g y.snd
⊢ (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W'.addY P Q * (P z * Q z) ^ 3 = (-(P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3)) ^ 3
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀
h : γ ≠ 0
⊢ {γ} ∈ 𝓝 γ
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
⊢ IsClopenable (⋃ n, s n)
R : Type u_1
CommSemiring R
R₂ : Type u_2
CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
CommSemiring R₃
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R₂ N
Module R₃ P
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
m : M
n : N
⊢ ((LinearMap.lflip f) n) m = (f m) n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o
⊢ (M * -N) i✝ j✝ = (-(M * N)) i✝ j✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableOn 𝕜 (dslope f a) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
x : ↑I
⊢ 1 - ↑x ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
N : ℕ
x : α
⊢ ↑(nearestPtInd e (N + 1)) x = if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ (∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (y : FirstObj P X), firstMap P X π y = secondMap P X π y → ∃! x, forkMap P X π x = y
r p q a b x✝¹ : ℝ≥0
ac : ↑a < ↑x✝¹
x✝ : ℝ≥0
bd : ↑b < ↑x✝
⊢ ↑a + ↑b < ↑x✝¹ + ↑x✝
⊢ ⋃ n, Set.Iio ↑n = {⊤}ᶜ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuous (f i)
⊢ UpperSemicontinuous fun z => ∑ i ∈ a, f i z
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
h : {x | p.IsRoot x}.Infinite
⊢ p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
⊢ ∑' (i : β), g • f i = 0
n : ℕ
⊢ (bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2 = n
m n✝ n : ℕ
nz : NeZero n
a : ZMod n
na : NeZero a
⊢ (-a).val = n - a.val