ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : μ s = 0
⊢ T s = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
f : α → α
l₁ l₂ : List α
x✝ : l₂ ≠ []
⊢ modifyLast f (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ modifyLast f l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : ‖A i j‖ < 1
⊢ A i j = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hfy : f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) ≤ f x
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (F.interUnionPullbackCone U V).fst = F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Neg α
SemilatticeInf β
s : Finset α
hs : (-s).Nonempty
f : α → β
⊢ (-s).inf' hs f = s.inf' ⋯ fun x => f (-x)
b : Bool
n : ℤ
⊢ Int.bit b n = 2 * n + bif b then 1 else 0
R : Type u_3
SeminormedCommRing R
I : Ideal R
r : R
⊢ ‖(Ideal.Quotient.mk I) r‖ ≤ ‖r‖
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
OrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosMono α β
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ (algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - (↑1 - ↑0) * fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = Set.univ
⊢ ‖S.normedMk‖ = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsLowerSet (Set.Iic a)
R : Type u_1
CommRing R
Ideal.IsJacobson R
P : Ideal (Polynomial R)
hP : P.IsMaximal
⊢ ((Ideal.Quotient.mk P).comp Polynomial.C).IsIntegral
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x L
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ round 0 = 0
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
q : ℕ
inst✝ : ExpChar R q
⊢ 0 < q
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : Set.InjOn f s
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ t.ncard
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
t : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
⊢ Antitone t.GE
n : ℕ
β : Type v
x : β
p : Fin n → β
⊢ Fin.insertNth 0 x p = Fin.cons x p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
⊢ ∀ {X Y : Mod_ B} (g : X ⟶ Y), ((Mod_.comap f).map g).hom = g.hom
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), g i * h ≤ a
⊢ iSup g * h ≤ a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α
⊢ x * ↑(sign x) = |x|
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (e.extend I).source
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f (↑e.symm x)) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑e.symm (↑I.symm x_1))))) (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x)) ↔ ContinuousWithinAt (fun x => f (↑e.symm x)) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑(e.extend I).symm x_1)))) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.symm.h₀ = -h.h₀
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq β'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' s (Finset.image g' t)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W.addY P Q = WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q ^ 3
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ Y - W.polynomialY = W.negPolynomial
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x✝ y✝ : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
x : X
hx : x ∈ s ∪ s'
y : X
hy : y ∈ t
⊢ x ∈ s' → min r r' ≤ edist x y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ D f K ⊆ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
α : Sort u_4
R : Type u_7
OrderedCommSemiring R
f : α → R
hf : ∀ (x : α), 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ ∏ᶠ (x : α), f x
o₁ o₂ : ONote
o₁.NF
o₂.NF
⊢ (o₁ + o₂).repr = o₁.repr + o₂.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
c : γ
⊢ (OrderIso.sumLexAssoc α β γ).symm (Sum.inr (Sum.inr c)) = Sum.inr c
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
⊢ (∃ b, b ⋖ a) ↔ ∃ b, ¬IsMax b ∧ succ b = a
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
⊢ egauge 𝕜 s x = ⊤ ↔ ∀ (c : 𝕜), x ∉ c • s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : CategoryTheory.Center C
⊢ (α_ X Y Z).hom.f = (α_ X.fst Y.fst Z.fst).hom
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
BorelSpace E
f : β → E
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : MeasureTheory.Measure β
fmeas : Measurable f
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ Filter.Tendsto
  (fun n => MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯)
  Filter.atTop (𝓝 (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf))
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
con : (∃ M, ¬↑M ⊨ φ) ∧ ∃ M, ¬↑M ⊨ Formula.not φ
⊢ False
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∑ k ∈ Finset.range 1, f k = f 0
α : Type u
NonAssocSemiring α
Invertible 2
⊢ ⅟2 + ⅟2 = 1
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑Pᶜ = 1 - ↑P
α : Type u_2
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
AddZeroClass M₁
AddZeroClass M₂
ContinuousAdd M₂
F : Type u_8
FunLike F M₁ M₂
AddMonoidHomClass F M₁ M₂
l : Filter α
f : M₁ → M₂
g : α → F
l.NeBot
h : Filter.Tendsto (fun a x => (g a) x) l (𝓝 f)
⊢ ⇑(addMonoidHomOfTendsto f g h) = f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x * g x) μ a b
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ℕ → Prop
u : ℕ → α
⊢ blimsup u atTop p = ⨅ i, ⨆ j, ⨆ (_ : p j ∧ i ≤ j), u j
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
p : α → Prop
x✝ : m α
q : β → Prop
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → m β
hx : SatisfiesM p x✝
hf : ∀ (a : α), p a → SatisfiesM q (f a)
x : m { a // p a }
g : (a : α) → p a → { x // Subtype.val <$> x = f a }
⊢ (fun x => do let a ← (g x.val ⋯).val pure a.val) = fun x => f x.val
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι
⊢ (update f i f₀ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₀ (x i)) j
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesEqualizer.iso G f g).inv ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) =
  CategoryTheory.Limits.equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
IsRightCancelMul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
⊢ (f * MonoidAlgebra.single x r).support = Finset.map (mulRightEmbedding x) f.support
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
⊢ (deriv fun y => -f y) = fun x => -deriv f x
G : Type u_2
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.closure s⁻¹ = Subgroup.closure s
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.full Set.univ = ⊤
c : Cardinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ c ↔ ∃ o, c = Cardinal.aleph o
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯
⊢ s = f' '' univ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
X : α → β
Y : α → γ
μ : MeasureTheory.Measure α
hX : AEMeasurable X μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).snd = MeasureTheory.Measure.map Y μ
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ -xs * ys = -(xs * ys)
S : Type u'
M : Type v
N : Type u_1
α : Type u_2
SetLike S α
VAdd M N
VAdd M α
AddMonoid N
AddAction N α
VAddMemClass S N α
VAddAssocClass M N α
s : S
r : M
x : ↥s
⊢ ↑(r +ᵥ x) = r +ᵥ ↑x
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
⊢ IsUnit f
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a b : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume a b ↔ a = b ∨ 0 ∉ [[a, b]]
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ 0 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (0, y)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
h : μ.FiniteSpanningSetsIn C
⊢ IsCountablySpanning C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
hs : s.Nonempty
j : J
⊢ Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ addOrderOf (-x) = addOrderOf x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
self : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
⊢ ∅ ∉ self.faces
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
n : ℕ
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S x ^ n = FractionalIdeal.spanSingleton S (x ^ n)
α : Type ua
u : UniformSpace α
⊢ u.toCore.toTopologicalSpace = UniformSpace.toTopologicalSpace
n : Nat
x : BitVec n
⊢ x.toNat < 2 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
⊢ Filter.Tendsto (↑(f p)) Filter.atTop (𝓝 1)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
⊢ MonoidAlgebra.single a₁ b₁ * MonoidAlgebra.single a₂ b₂ = MonoidAlgebra.single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
⊢ IsIso (Q.map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))
α : Type u
UniformSpace α
⊢ T0Space α ↔ ∀ (x y : α), (∀ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∈ r) → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
l₁ l₁' l₂ l₂' : Filter α
Ixx : α → α → Set α
h : TendstoIxxClass Ixx l₁ l₂
h' : TendstoIxxClass Ixx l₁' l₂'
⊢ Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) ((l₁ ⊓ l₁') ×ˢ (l₁ ⊓ l₁')) (l₂ ⊓ l₂').smallSets
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : Differentiable 𝕜 a
b : 𝔸
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => a y * b
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
f : α → β
Fintype β
DecidablePred fun y => y ∈ Set.range f
DecidableEq β
⊢ Finset.filter (fun y => y ∈ Set.range f) Finset.univ = Finset.image f Finset.univ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c
⊢ ∀ x ∈ (swap a b).support ⊔ (swap a c).support, x ∈ {a, b, c}
p : ℕ
x✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = fastLegendreSym p a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
V : ι → Submodule 𝕜 E
⊢ (OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) ↔ Pairwise ((fun x x_1 => x ⟂ x_1) on V)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
s : Set α
x : ↑s
⊢ (ContinuousMap.restrict s f) x = f ↑x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' :
  MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s i ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hj' :
  MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s j ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s jᶜ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 jᶜ
⊢ ↑s (symmDiff i j) = 0 ∧ ↑s (symmDiff iᶜ jᶜ) = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ↑(LieModule.maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom.symm f) = ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsCompact s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Metric.cthickening δ s ⊆ t
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
f : ι → Set β
⊢ extentClosure r (⋃ i, f i) = ⋂ i, extentClosure r (f i)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ Mono S.fromOpcycles
α ι : Type u
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #↑t ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).inv
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).inv Z)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ ∀ (i : MeasurableSet s₂), extend m s₁ ≤ m s₂ i
X : Type u
TopologicalSpace X
self : T1Space X
x : X
⊢ IsClosed {x}
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, deriv g x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, z ≤ b
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddAbove s
⊢ ↑((Classical.choose ⋯).greatestOfBdd ⋯ ⋯) = ↑(b.greatestOfBdd Hb Hinh)
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s ≤ᶠ[l] t ↔ t ∈ l ⊓ 𝓟 s
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
⊢ DenseRange f ↔ ∀ (x : α), ∀ r > 0, ∃ y, dist x (f y) < r
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
⊢ Tendsto (fun x => ((f ^ 2 ^ x) 0 + (g ^ 2 ^ x) 0) / 2 ^ x) atTop (𝓝 (τ (f * g)))
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
⊢ (NonUnitalSubsemiring.unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)
a b : Int
⊢ a + b ≤ 0 ↔ b ≤ -a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
self : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ HasStrictFDerivAt self.leftFun self.leftDeriv self.pt
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
p : ℕ
hp : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow
hp₁ : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow.val
hp₂ : p ∉ k.primesBelow
hpp : Nat.Prime p
⊢ 1 / ↑p = ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) p
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
AddCommGroup N
AddCommGroup N'
Module R N
Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
⊢ ((IsLocalizedModule.map S f g) h) (IsLocalizedModule.mk' f x s) = IsLocalizedModule.mk' g (h x) s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ N.X).hom) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom