ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving id μ μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
⊢ (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) m).sum ≤ m.prod.support.inf degt
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a • m = a ⊗ₜ[R] 1 • m
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
f : ι → Sublattice α
⊢ a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
⊢ ContDiff 𝕜 n Φ ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => Φ x i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ↑2⁻¹ = 2⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f
⊢ IsLUB (Set.range ⇑(c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ })) (f (ωSup c))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α
⊢ ((fun a x => f a x - g a x) + g) a =ᶠ[ae (κ a)] f a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (Set.range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Ici a = Set.Ici (e a)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
n : ℤ
⊢ f n = 0 n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0
⊢ HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ hζ✝.toInteger - 1 ∣ ↑↑p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : ℕ
⊢ x ∈ (map f p).support → x ∈ p.support
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
α : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
⊢ ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧ = Ordinal.type r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (↑↑f) μ
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ ⇑(FrameHom.id α) = id
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
x y : α
⊢ dist (f x) (f y) ≤ 2 * ‖f‖
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : R
a : A
⊢ r ∈ resolventSet R a ↔ IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ 1 x = x
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = RingHom.ker (aeval (Generators.localizationAway r).val)
α : Type u_1
Preorder α
a b : Topology.WithUpperSet α
⊢ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet a ≤ Topology.WithUpperSet.ofUpperSet b ↔ b ⤳ a
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
⊢ StrictMono Order.pred
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G
⊢ of' k G g * (x /ᵒᶠ g) + x %ᵒᶠ g = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.formPerm.IsCycleOn {a | a ∈ l}
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsLeftRegular b
⊢ b * a = 0 ↔ a = 0
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
⊢ (∃ a, x.getRight? = some a) ↔ ∃ y, x = inr y
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋂ i, s i =ᶠ[l] ⋂ i, t i
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
V : TopCat.Presheaf.SheafCondition.OpensLeCover U
⊢ ((TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U hY).obj V).obj.right.as = PUnit.unit
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)
⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
e : α
he : e ∈ {x | M.Basis I (insert x I)} \ I
hu : M.Indep (insert e I)
⊢ e ∈ I
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
⊢ 𝓝 = Function.update pure 0 (⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio γ))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
⊢ ((G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K).unit.app F).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (C a * p).natDegree = p.natDegree
X Y : Type u
AddCommMonoid X
AddCommMonoid Y
e : X ≃+ Y
⊢ e.toAddCommMonCatIso.hom = AddCommMonCat.ofHom e.toAddMonoidHom
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c + a ⊔ b = (c + a) ⊔ (c + b)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ioi (a + d)
⊢ x✝ ∈ (fun x => x + d) '' Ioi a
α : Type u_1
Encodable α
a : α
l : List α
⊢ Encodable.encode (a :: l) = (Nat.pair (Encodable.encode a) (Encodable.encode l)).succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
⊢ Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ : Finmap β
⊢ s₁ ∪ ∅ = s₁
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => 2 * ↑n * Real.sin (2 * π * a * ↑n) * rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) (sinKernel (↑a) t)
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.imLm = ⇑RCLike.im
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
⊢ HasSmallLocalizedHom W X Y
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X : C
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.singleCompEval C j).inv.app X = (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j X).inv
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p ≠ 0
⊢ p p.order ≠ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set (Set A)
hsn : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val
this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype hsn
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
w : ι
hw : ¬(x' w < a w ∧ a w < y' w)
⊢ (True ∧ a w ≤ x' w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∨ (y' w ≤ a w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∧ True
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
⊢ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) = (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
e : σ ≃ τ
f : τ ≃ α
⊢ (MvPolynomial.renameEquiv R e).trans (MvPolynomial.renameEquiv R f) = MvPolynomial.renameEquiv R (e.trans f)
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b c d : α
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b + c / d = (a * d + b * c) / (b * d)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ Field.finSepDegree F E = 1
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
⊢ n < 2 * k * (n / k)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
Nonempty M
L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M
⊢ ↥S.elementarySkolem₁Reduct = ↥S
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y
⊢ x ^ (-z) ≤ y ^ (-z)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i =
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.pointsWithCircumcenter) (Affine.Simplex.pointWeightsWithCircumcenter i)
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
N : Type u_3
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
m : M
⊢ (NormedAddGroupHom.lift S f hf) (S.normedMk m) = f m
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C
⊢ sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J} ≤ toGrothendieck C K
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.GradedObject.single j).map f j)
    (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j Y).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j X).hom f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
⊢ Complex.circleTransformDeriv R z w f = fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹ • Complex.circleTransform R z w f θ
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A B : Set β
⊢ A ⊆ a • B ↔ a⁻¹ • A ⊆ B
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ 0
⊢ p.succAbove (p.pred h) = (p.pred h).castSucc
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω
⊢ Measure.count s / Measure.count Set.univ = Measure.count s / ↑(Fintype.card Ω)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
⊢ ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (induce p.toSubgraph.verts G).Connected
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
M : Matrix n n α
v : n → α
⊢ M = (diagonal v)ᵀ ↔ M = diagonal v
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ⇑L '' (convexHull ℝ) (connectedComponentIn s x) = univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
x : H
⊢ ((adjoint u).comp u) x = 1 x
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ 0 •> 0 + m <• r = m <• r
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
i : P.vars
j : P'.vars
⊢ (P'.cotangentSpaceBasis.repr ((Algebra.Generators.CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i))) j =
  (MvPolynomial.aeval P'.val) ((MvPolynomial.pderiv j) (f.val i))
α : Type u_1
self : CompleteBooleanAlgebra α
a : α
s : Set α
⊢ ⨅ b ∈ s, a ⊔ b ≤ a ⊔ sInf s
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
this : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
⊢ IsNilpotent (x * y) ↔ IsNilpotent y
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
⊢ ∀ (a : β × α), (RelIso.symm (G.boxProdComm H)) a = a.swap
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
n : ℤ
⊢ ‖a ^ n‖ = ‖a‖ ^ n
ι : Type u_1
R : Type u_2
CanonicallyOrderedCommSemiring R
f g h : ι → R
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h2i : g i + h i ≤ f i
hgf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j ≤ f j
hhf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j ≤ f j
⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i ≤ ∏ i ∈ s, f i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ F.mapShortComplex.obj S = S.map F
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j j' : n
h : ¬j' = j
⊢ (stdBasis R (fun x => R) j) 1 j' = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y : α
hxy : x ∈ y :: l
hx : x = y
⊢ (y :: l).prev x hxy = (y :: l).getLast ⋯
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
⊢ ContinuousAt f b ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝 b) (𝓤 α)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyι j = (K.sc' i j k).homologyι ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α
⊢ x ∈ (res f s).core t ↔ x ∈ s → f x ∈ t
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₗ[R] M
n m : ℕ
w : n ≤ m
x : M
h : x ∈ (fun n => ker (f ^ n)) n
⊢ x ∈ (fun n => ker (f ^ n)) m
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
⊢ m.IsCaratheodory (s₁ ∩ s₂)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMinOrder α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ (𝓝[≤] a).HasBasis (fun x => x < a) fun x => Set.Icc x a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t : Set β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((κ.restrict hs) a) t = (κ a) (t ∩ s)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree
this : p.coeff q.natDegree = 0
⊢ (p + q).leadingCoeff = q.leadingCoeff
z : ℤ
⊢ ¬z * z % ↑4 = 2 % ↑4
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : ZeroHom N P
f₂ : ZeroHom M N
⊢ (⇑f ∘ ⇑f₂) 0 = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ
⊢ cs.IsReduced (List.drop j ω)
α : Type u_4
β : Type u_5
PseudoEMetricSpace α
EMetricSpace β
CompleteSpace α
f : α → β
K : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith K f
hfc : UniformContinuous f
⊢ IsClosed (Set.range f)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.liftAux f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
R : Type u_1
CommRing R
a b : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct a) b = ![a 1 * b 2 - a 2 * b 1, a 2 * b 0 - a 0 * b 2, a 0 * b 1 - a 1 * b 0]
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s : Finset α
⊢ s.addEnergy ∅ = 0
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a b : α
m n : ℕ
h : a ≠ b
⊢ l ⊆ [a, b] ↔ ∀ (c : α), c ≠ b → c ≠ a → c ∉ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
⊢ μ (liminf s atTop) = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
D : Set α
hD : M.Dep D
⊢ ¬M.Indep D
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
n : ℤ
⊢ (homOfDegreewiseSplit S σ).f n = (↑(cocycleOfDegreewiseSplit S σ)).v n (n + 1) ⋯
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Subgroup G
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : G
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
hunion : filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) ∪ filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) = Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ
⊢ (Ico 1 (p / 2).succ).card * (Ico 1 (q / 2).succ).card = p / 2 * (q / 2)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f g : α → M
h : Set.EqOn f g s
⊢ s.mulIndicator f = s.mulIndicator g
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
f : ArithmeticFunction ℕ
⊢ ↑↑f = ↑f
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s → Finset.image (fun x => a \ x) t ⊆ s.diffs t
ι : Type u_1
α : Type u_3
DecidableEq ι
CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i ≠ ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i ≠ ∏ i ∈ t, f i
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
⊢ d ≤ m
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasCoequalizer f g
inst✝ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
⊢ coequalizerComparison f g G ≫ G.map (coequalizer.desc h w) = coequalizer.desc (G.map h) ⋯
α : Type u_1
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
⊢ ∃ a, closure (e '' {a' | (a, a') ∈ s}) ∈ 𝓝 b