ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
a : A
⊢ a ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q ↔
  ∀ (i : ℕ),
    Localization.mk ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩ ∈
      ⇑(algebraMap (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f) (Localization.Away f)) '' {s | s ∈ q.asIdeal}
α : Type u_1
DecidableEq α
i : α
β : Type u_2
f : (fun a => β) i × ((j : { j // j ≠ i }) → (fun a => β) ↑j)
j : α
⊢ (Equiv.funSplitAt i β).symm f j = if h : j = i then f.1 else f.2 ⟨j, ⋯⟩
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
x y : (i : I) → f i
h : ∀ (i : I), AddCommute (x i) (y i)
⊢ AddCommute x y
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : 1 / a ≠ 0
ha : a = 0
⊢ False
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
X : 𝓞 K
hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X
Y : 𝓞 K
hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Y
Z : 𝓞 K
hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Z
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = ⇑g ∘ ⇑f
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearMap.ker hv.repr = ⊥
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ ⇑e.toEquiv = ⇑e
X : Type u
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.Functor.id (Type u)).obj X),
  CategoryTheory.typeEquiv.unitIso.hom.app X a =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.evalEquiv (CategoryTheory.yoneda.obj X) ⋯ PUnit.{u + 1}) fun x => a) fun f => f PUnit.unit
a b n : ℕ
⊢ ¬(n ≠ 0 ∧ a ≠ 0) ↔ n = 0 ∨ a = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
hl₁ : List.Chain r a l
hl₂ : (a :: l).getLast ⋯ = b
⊢ Relation.ReflTransGen r a b
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s
⊢ 0 = 0 • f a
C : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
h : CategoryTheory.Limits.IsTerminal (CategoryTheory.Limits.colimit (F.comp CategoryTheory.yoneda))
⊢ F.Final
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a (1 - s) =
  2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * HurwitzZeta.cosZeta a s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
e₁ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₂ : M₂ ≃SL[σ₂₃] M₃
c : M₁
⊢ (e₁.trans e₂) c = e₂ (e₁ c)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
⊢ Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : ‖x - y‖ < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
⊢ z i < y i
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
ζ : R
hζ : ζ ∈ (cyclotomic n R).roots
⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hy : y ∈ U
i : ι
hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y
⊢ i ∈ ↑hUf.toFinset
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x y : α → Σˣ f
xy : x ≈ y
⊢ ∃ i, ∃ (hx : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ y))), unify f x i hx = unify f y i hy
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
h : φ.totalDegree < n
⊢ (MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ = 0
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ f i hi (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a ↑r = f a r
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀✝ f₁✝ f₂ : C(X, Y)
S : Set X
f₀ f₁ g₀ g₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
h₀ : f₀ = g₀
h₁ : f₁ = g₁
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S
⊢ { toFun := fun x => (F.cast h₀ h₁).toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = g₀ x
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀
α : Type u_1
LT α
a b : α
⊢ some a < some b ↔ a < b
⊢ Set.InjOn (⇑Cardinal.toNat) (Set.Iio Cardinal.aleph0)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
⊢ ((Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m).bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
⊢ AnalyticOn ℂ cexp univ
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ ↑Submonoid.topEquiv = ⊤.subtype
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
⊢ List.Pairwise l.formPerm.SameCycle l
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
⊢ ‖NormedAddGroupHom.id V‖ ≤ 1
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).bits = true :: n.bits
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
TopologicalSpace R₁
f g : R₁ →L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))
gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i
i : ↥U
⊢ ((sheaf X).val.map (iVU i).op) (f * gl) = ((sheaf X).val.map (iVU i).op) 1
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c d : ℂ
this : (-b).re < 0
⊢ Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
⊢ ∀ (a : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), a.IsAmalgamation t₁ → a.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (a.Compatible → ∃ t, a.IsAmalgamation t) ↔ a.Compatible → ∃! t, a.IsAmalgamation t
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ‖↑p‖ = (↑↑p)⁻¹
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.cos (f x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊥ → (p x ↔ q x)
⊢ blimsup u f p = blimsup u f q
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
⊢ ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
d : ℤ
x : ℤ√d
⊢ (-x).norm = x.norm
a b c : Int
⊢ a ≤ min b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
s t : Set α
hst : s =ᶠ[l] t
t' : Set α
ht' : MeasurableSet t'
htt' : t =ᶠ[l] t'
⊢ EventuallyMeasurableSet m l s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
⊢ y ≤ gauge s (y • x₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
h₁ : Set.InjOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.InjOn f₂ s
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : r < 1
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < b ↔ a < b
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ 0 < s.infsep ↔ 0 < s.einfsep ∧ s.einfsep < ⊤
α : Type u
β : Type v
Group β
f : α → β
g : FreeGroup α →* β
hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = f x
x : FreeGroup α
⊢ g x = (FreeGroup.lift f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
⊢ s.Nontrivial
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
⊢ ∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι'))), ↑r • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
Rₘ✝ : Type u_4
Sₘ✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing Rₘ✝
inst✝¹² : CommRing Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R✝ Rₘ✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization M✝ Rₘ✝
inst✝⁹ : Algebra S✝ Sₘ✝
inst✝⁸ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S✝ M✝) Sₘ✝
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hf : eval₂ f x p = 0
M : Submonoid R
hM : p.leadingCoeff ∈ M
Rₘ : Type u_8
Sₘ : Type u_9
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) Sₘ
triv : ¬1 = 0
this : Nontrivial Rₘ
⊢ (IsLocalization.map Sₘ f ⋯).IsIntegralElem ((algebraMap S Sₘ) x)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map LieModuleHom.id N = N
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z
⊢ SameRay R x z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.EqOn (g ∘ f₁) (g ∘ f₂) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → ∃ b ≥ i, f^[b] a ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
⊢ ⇑(cast R M ⋯) = _root_.cast ⋯
α : Type u
β : Type v
b₁ b₂ : β
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ u (b₁ ⊓ b₂) = u b₁ ⊓ u b₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ MDifferentiableAt I I' (↑e) x
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic
w✝¹ : α
w✝ : G.Walk w✝¹ w✝¹
h✝ : w✝.IsCycle ∧ G.egirth = ↑w✝.length
⊢ ∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∉ s ∧ IsClosed s) compl
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ TrivSqZeroExt.inl r * TrivSqZeroExt.inr m = TrivSqZeroExt.inr (r •> m)
α : Type u_1
Ring α
f : α → α
a : α
n n' : ℤ
d : ℕ
⊢ f = Neg.neg → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → n.neg = n' → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (-a) n' d
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ρ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) Ω
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ρ.fst a, κ (a, x) = ρ.condKernel (a, x)
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a - b - (c - d) = a - c - (b - d)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ ?h.mk.b ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
⊢ ↑μ = ↑ν
x : ℝ
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x → x ≠ -1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t F : Set G
hF : IsClosed F
⊢ F * closure {1} ⊆ F
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
δ : Sort u_6
f : α → β → γ → δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ ∃ x y z, f x y z = f a b c
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S
this✝¹ : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra
this✝ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
⊢ Splits (φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier)) (minpoly (↥L) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ ∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n = L (fun n => χ ↑n) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E → E →L[𝕜] F
h : ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ fderiv 𝕜 f = f'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (h.liftK k hk) h.cyclesIso.inv = S.liftCycles k hk
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X
hfB : IsFixedBlock G B
⊢ IsBlock G B
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable μ s) = μ s
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
k : ℝ := ↑(2 * n)!
⊢ k⁻¹ • (-↑(normSq q)) ^ n = k⁻¹ • ↑((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n))
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = LieModule.posFittingComp R L M
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
⊢ ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
⊢ DiffContOnCl ℂ (Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f) (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
α : Type u_1
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
⊢ A.transposeᵣ = Aᵀ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, (RingHom.id R) (vi x) • (B (v x)) (v i) = 0
⊢ i ∉ vi.support → (RingHom.id R) (vi i) • (B (v i)) (v i) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc id a = a
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulReflectLT α
h : 0 < a * b
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConvexOn 𝕜 s f
a b n : ℤ
h : 0 ≤ 0
⊢ image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = Ico 0 0
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.diffs t.compls = s ⊼ t
m n✝ n : ℕ
⊢ (n + 1) * (n + 1) ^ n = (n + 1) ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
ha : a < 0
⊢ b₂ ≤ b₁
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
⊢ S₁.LeftHomologyData
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimits C
α : Type u
HasCompl α
a : α
⊢ { down := aᶜ } = { down := a }ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
a : Ordinal.{u}
⊢ ∀ (b : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a + x) b = a * ω + b
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.count K v (I * I') = FractionalIdeal.count K v I + FractionalIdeal.count K v I'
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ ∀ (a : Matrix n n α) (a_1 : n), (Matrix.diagLinearMap n R α) a a_1 = (↑(Matrix.diagAddMonoidHom n α)).toFun a a_1
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h : minpoly A pb.gen = minpoly A pb'.gen
a : S
⊢ (pb.equivOfMinpoly pb' h) a = (pb.lift pb'.gen ⋯) a
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Set (StarSubalgebra R A)
⊢ (sInf S).toSubalgebra = sInf (StarSubalgebra.toSubalgebra '' S)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrans α r
IsTrichotomous α r
a b c : α
⊢ r a b → ¬r c b → r a c
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.localizationToStalk R x) ((algebraMap R (Localization x.asIdeal.primeCompl)) f) =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R x) f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ (CategoryTheory.AdditiveFunctor.forget C D).obj (CategoryTheory.AdditiveFunctor.of F) = F