ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ ⇑(LieModule.chainBot α β) = -↑(LieModule.chainBotCoeff α β) • α + ⇑β
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (a : X ⟶ X), (CategoryTheory.Functor.mapEnd X f) a = f.map a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
⊢ Measurable fun x => map (Prod.mk x) ν
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ a⁻ᵐ
a : ℤ
⊢ |a| = ↑a.natAbs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
W : C
fst : W ⟶ X
snd : W ⟶ Y
eq : fst ≫ f = snd ≫ g
j : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd eq).π.app j =
  Option.casesOn j (fst ≫ f) fun j' => CategoryTheory.Limits.WalkingPair.casesOn j' fst snd
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0 * g
α : Type u_1
s✝ t : Multiset (Multiset α)
a : Multiset α
s : Multiset (Multiset α)
ih : (s + t).Sections = s.Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections
⊢ (a ::ₘ s + t).Sections = (a ::ₘ s).Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPushouts C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (A B A' : C) (f : A ⟶ A') (g : A ⟶ B), P f → P (pushout.inr f g)
A A' B B' : C
f : A ⟶ A'
g : A ⟶ B
f' : B ⟶ B'
g' : A' ⟶ B'
sq : IsPushout g f f' g'
hf : P f
⊢ P f'
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
⊢ ∀ (a : R[X]), (h.ofEquiv e).map a = e (h.map a)
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
P : 1 ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime 1
hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑1 ≠ 0
c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0
hdivn : 1 ∣ N.natAbs
⊢ ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑N
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) Filter.atTop < ⊤
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ (Function.Injective fun v => Matrix.vecMul v A) ↔ IsUnit A
α : Type u
β : Type v
⊢ ⊥.symm = ⊥
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
⊢ (Substructure.closure L).toFun ((fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i a⟧) '' range y) = S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
⊢ MDifferentiableOn I I (↑e) e.source
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β
⊢ IsSeparable (f '' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
d_pos : 0 < pb.dim
⊢ (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
a : Prop
⊢ ¬¬(a ∨ ¬a)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a (Order.succ b) = Set.Ioc a b
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : Set S
⊢ NonUnitalSubring.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ NonUnitalSubring.comap f (NonUnitalSubring.closure s)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ hU.fromSpec.val.c.app (op U) ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.germ ⟨y, hy⟩ = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y
α : Type u_4
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ⌊x⌋₊) Filter.atTop Filter.atTop
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
u : V
⊢ G.connectedComponentMk (φ.symm v') = G.connectedComponentMk u ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom (G.connectedComponentMk u)
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
x : G
u : α → G
A : Tendsto (fun x_1 => x) l (𝓝 x)
h : Tendsto (fun x_1 => u x_1 / x) l (𝓝 1)
⊢ Tendsto u l (𝓝 x)
ι : Type u_4
α : Type u_5
NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ ‖∏ i ∈ s, f i‖₊ ≤ ∏ i ∈ s, ‖f i‖₊
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x₀ : M
g : ι → M → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
T2Space M₂
s : Set M₁
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) (closure ↑(Submodule.span R₁ s))
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
⊢ Tendsto ((fun p => p.2 / p.1) ∘ (fun x => (x.1.1 / x.1.2, x.2.1 / x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ max a b = b
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Injective ⇑(rTensor M f)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Ioc (n • p) ((n + 1) • p) = univ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
x : α
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ Metric.infDist x t ≤ Metric.infDist x s + Metric.hausdorffDist s t
M : Type u_1
N : Type u_2
σ : Type u_4
Mul M
Mul N
SetLike σ N
MulMemClass σ N
f : M →ₙ* N
S : σ
h : ∀ (x : M), f x ∈ S
n : M
⊢ ↑((f.codRestrict S h) n) = f n
m : Type u_1 → Type u_2
α ε β : Type u_1
e : ε
Monad m
LawfulMonad m
f : α → ExceptT ε m β
⊢ throw e >>= f = throw e
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ ↑g.toLinearPMap ⟨x_fst, hx_fst⟩ = (x_fst, x_snd).2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 1
u v : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
α : Type v
LinearOrder α
s : Set α
a : α
h : IsGLB s a
⊢ ⋃ x ∈ s, Set.Ioi x = Set.Ioi a
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
g : β → α
l : Function.LeftInverse g f
r : Function.RightInverse g f
⊢ ⇑{ toFun := f, invFun := g, left_inv := l, right_inv := r } = f
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ Finset ι
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
x : ↑(Set.Ici a)
⊢ Set.IciExtend f ↑x = f x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
b : A
hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod
hbJ : b ∉ J
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
a b k m n p : ℕ
⊢ p ∈ n.primeFactors ↔ p ∈ n.primeFactorsList
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s ⊼ (t₁ ∪ t₂) = s ⊼ t₁ ∪ s ⊼ t₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₁ : a = x ⊔ a
⊢ x ≤ a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s : Set α
a : α
⊢ lowerClosure (a +ᵥ s) = a +ᵥ lowerClosure s
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <:+ l₂ ↔ l₁ = List.drop (l₂.length - l₁.length) l₂
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : β
h₁ : LiftRel r s (inr w✝) y
h₂ : (inr w✝).isRight = true
⊢ ∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (-1).toNNReal = 0
p a b : ℕ
hpa : p ∈ a.primeFactorsList
hb : b ≠ 0
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList
M : Type u_1
Semigroup M
z : M
⊢ z ∈ Subsemigroup.center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f (a, t)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
h : UniformEquicontinuous F
u : κ → ι
⊢ UniformEquicontinuous (F ∘ u)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a ^ n).toProd.1 = a.toProd.1 ^ n
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β
⊢ x ∈ s.sup f ↔ x ∈ s.sup fun x => (f x).val.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
hf : Continuous f
x✝ b : α
hab : x✝ ≤ b
h : ¬f x✝ ≤ f b
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
⊢ (f.flip y) x = (f x) y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
k : ℕ
ih : ucs k N₁ ≤ ucs k N₂
⊢ (ucs k N₁).normalizer ≤ (ucs k N₂).normalizer
X : Scheme
⊢ ⨆ i, ↑i = ⊤
A : Type u_1
NonUnitalRing A
PartialOrder A
StarRing A
StarOrderedRing A
TopologicalSpace A
Module ℝ A
IsScalarTower ℝ A A
SMulCommClass ℝ A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
f : F →ₗ[𝕜] 𝕜
g : E →ₗ[𝕜] F
⊢ f.toSeminorm.comp g = (f ∘ₗ g).toSeminorm
ι : Type u_1
β : ι → Type u_3
DecidableEq ι
x : (i : ι) → β i
i : ι
s : Set (β i)
⊢ Function.update x i '' s = Set.univ.pi (Function.update (fun j => {x j}) i s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
S : Set (Set E)
hS : S.Finite
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
⊢ M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
hν : IsProjectiveLimit ν P
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ μ = ν
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p + q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
α : Type u
One α
a : α
LT α
⊢ 1 < ↑a ↔ 1 < a
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
VAdd M X
ts : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousVAdd M X
⊢ ContinuousVAdd M X
p : ℝ
h : 1 < p
⊢ p.IsConjExponent p.conjExponent
α : Type u
l : List α
⊢ List.filter (fun x => false) l = []
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
⊢ μ' = μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval id) ((MvPolynomial.rename f) p) = (MvPolynomial.aeval f) p
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
y : ℕ
⊢ round (x - ↑y) = round x - ↑y
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g
⊢ ∀ (a : α), (OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.copy f g h) a = f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection S
⊢ ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ * ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ = ‖(orthogonalProjection S) x‖ * ‖(orthogonalProjection S) x‖ + ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖ * ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
⊢ (CentroidHom.toEndRingHom α) f = f.toEnd
A : Type u_1
NormedAddCommGroup A
CompactSpace A
ConnectedSpace A
MeasurableSpace A
BorelSpace A
μ : MeasureTheory.Measure A
μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
hδ : μ Set.univ ≤ (n + 1) • μ (Metric.closedBall 0 (δ / 2))
⊢ ∃ j ∈ Set.Icc 1 n, ‖j • ξ‖ ≤ δ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : t ⊆ s
⊢ ⋃₀ insert t ↑(hC.diffFinset hs ht) = t ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
e : ϖ = 0
⊢ maximalIdeal R = ⊥
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } ≤ dist ↑z ↑w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : ∀ i ∈ l, ∃ i_2, (p i_2 ∧ i_2 ∈ i) ∧ x ∈ u i_2
⊢ ∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
h : (Set.Ioi a).Nonempty
⊢ closure (Set.Ioi a) = Set.Ici a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
s t : Set α
⊢ ⇑m '' (s * t) = ⇑m '' s * ⇑m '' t
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s : Set β
⊢ ⋃ g, g • s = {a | ∃ g, g • a ∈ s}
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2))
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
CategoryTheory.Category.{v₇, u₇} X
CategoryTheory.Category.{v₈, u₈} Y
CategoryTheory.Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : CategoryTheory.Functor A D
H₁ : CategoryTheory.Functor B E
K₁ : CategoryTheory.Functor C F
G₂ : CategoryTheory.Functor D X
H₂ : CategoryTheory.Functor E Y
K₂ : CategoryTheory.Functor F Z
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor B C
R₂ : CategoryTheory.Functor C B
L₃ : CategoryTheory.Functor D E
R₃ : CategoryTheory.Functor E D
L₄ : CategoryTheory.Functor E F
R₄ : CategoryTheory.Functor F E
L₅ : CategoryTheory.Functor X Y
R₅ : CategoryTheory.Functor Y X
L₆ : CategoryTheory.Functor Y Z
R₆ : CategoryTheory.Functor Z Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁.comp L₃ ⟶ L₁.comp H₁
β : H₁.comp L₄ ⟶ L₂.comp K₁
γ : G₂.comp L₅ ⟶ L₃.comp H₂
δ : H₂.comp L₆ ⟶ L₄.comp K₂
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (CategoryTheory.leftAdjointSquare.comp α β γ δ) =
  CategoryTheory.rightAdjointSquare.comp ((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₃) α)
    ((CategoryTheory.mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((CategoryTheory.mateEquiv adj₃ adj₅) γ)
    ((CategoryTheory.mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
hn : f ^ n = 0
⊢ X.toRingedSpace.basicOpen f = ⊥
α : Type u_1
a : Array α
x : α
i : Nat
h : i < (a.push x).size
⊢ (a.push x)[i] = if h : i < a.size then a[i] else x
a b : Prop
l : List Prop
h_chain : Chain (fun x x_1 => x → x_1) a (b :: l)
h_last : l.getLastD b → a
⊢ (a :: b :: l).TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b
⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofiltered J
F : CategoryTheory.Functor J Profinite
C : CategoryTheory.Limits.Cone F
hC : CategoryTheory.Limits.IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
p : ℝ
hf : HasFDerivAt f f' x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x ^ p) ((p * f x ^ (p - 1)) • f') x
E : Type u_4
F : Type u_5
CommGroup E
CommGroup F
p : GroupSeminorm E
f g : F →* E
⊢ p.comp (f * g) ≤ p.comp f + p.comp g
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
⊢ egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ egauge 𝕜 (c • s) x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
C : AddMonoid.Coprod M N → Prop
m : AddMonoid.Coprod M N
inl : ∀ (m : M), C (AddMonoid.Coprod.inl m)
inr : ∀ (n : N), C (AddMonoid.Coprod.inr n)
mul : ∀ (x y : AddMonoid.Coprod M N), C x → C y → C (x + y)
⊢ C m
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
this : { re := ↑x, im := ↑y } * a = ↑x * a + sqrtd * (↑y * a)
⊢ (↑x * a + sqrtd * (↑y * a)).Nonneg