ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ ((α_ (X₁ ⊗ X₂) X₃ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Y₃)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂) Y₃).inv ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (β_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Y₃ ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).inv) ≫ ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷ (X₃ ⊗ Y₃) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom = ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫ ((α_ X₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₁ ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁).hom ▷ (Y₂ ⊗ Y₃) ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).inv) ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ ((α_ X₂ X₃ (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ X₂ ◁ (α_ X₃ Y₂ Y₃).inv ≫ X₂ ◁ (β_ X₃ Y₂).hom ▷ Y₃ ≫ X₂ ◁ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom ≫ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)
k : Type u
Field k
n : ℕ
z : AlgebraicClosure.Step k n
⊢ IsIntegral k z
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
x : ↥U
⊢ (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0
α : Type u_4
Finite α
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
t : X → Set X
htx : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
htr : ∀ x ∈ s, dimH (t x) ≤ r
S : Set X
hSs : S ⊆ s
hSc : S.Countable
hSU : s ⊆ ⋃ x ∈ S, t x
⊢ dimH s ≤ r
G : Type w
Group G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalGroup G
h₂ : TopologicalGroup G
⊢ TopologicalGroup G
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
⊢ lfpApprox f x c ∈ fixedPoints ⇑f
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup N
p : G × N
⊢ p ∈ H.prod K ↔ p.1 ∈ H ∧ p.2 ∈ K
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIocDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Z : C
f : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.IsPullback f (𝟙 X) (𝟙 Z) f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (X - C a)).coeff (n + 1)
m k : Int
⊢ m.mod k + m.div k * k = m
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬x ^ p ^ n = 1
hfin : x ^ p ^ (n + 1) = 1
⊢ orderOf x = p ^ (n + 1)
α : Sort u
β : Sort v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
b : β
acb : Acc s b
aca : ∀ (a : α), Acc r a
a : α
⊢ Acc (PSigma.RevLex r s) ⟨a, b⟩
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.103744}
h0 : 0 < o
a : (Quotient.out o).α
⊢ 0 < type fun x x_1 => x < x_1
R : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
a : A
⊢ 1 a = a
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
⊢ (M.disjointSum N h).Indep I ↔ M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E
α : Sort u_1
a : α
⊢ a = a ↔ True
α : Type u_2
Preorder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Interval α
⊢ s + ⊥ = ⊥
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x : X
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsClopen (Metric.sphere x r)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∣ s.gcd ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ b
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
i : ℕ
⊢ (p.append q).getVert i = if i < p.length then p.getVert i else q.getVert (i - p.length)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
hL : L ≤ 𝓝 x
⊢ HasDerivAtFilter f f' x L
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Add (f i)
x y z : (i : I) → f i
h : ∀ (i : I), AddSemiconjBy (x i) (y i) (z i)
⊢ AddSemiconjBy x y z
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (HurwitzZeta.cosZeta (↑a) s)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ fst (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) = fst f g ≫ f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun sq => sq.map F) X✝).f₂₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₂ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₂₄
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
⊢ MeasurableSet (t n)
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
⊢ (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f))) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ s }), ∀ᶠ (y : { x // x ∈ s }) in 𝓝 x, Q x y ∧ Q y x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α
⊢ (∃ (h_1 : p), o.get ⋯ = a) ↔ p ∧ ∃ (h : o.Dom), o.get h = a
ι : Type u_5
Finite ι
α : ι → Type u_6
(i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f + g = 0 ↔ f = 0 ∧ g = 0
m n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ m → Mathlib.Vector ℕ n
⊢ Nat.Primrec'.Vec f ↔ Primrec f
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A
⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial m) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial m) 1
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨅ i, ↑(f i) = ⊤ ↔ IsEmpty ι
s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial = s (n + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ (∏ x ∈ Ico a b, f x) * f b = ∏ x ∈ Icc a b, f x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0
⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ log √x = log x / 2
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
h : TotallyBounded s₂
⊢ TotallyBounded s₁
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
R : Type u_1
Semiring R
cf cg N O : ℕ
f g : Polynomial R
⊢ f.support.card ≤ cf.succ →
  g.support.card ≤ cg.succ →
    f.natDegree ≤ N →
      g.natDegree ≤ O → Polynomial.reflect (N + O) (f * g) = Polynomial.reflect N f * Polynomial.reflect O g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ a ≤ s.truncatedInf a
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
H : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
v w₁ : V
h₁ : w₁ ∈ G.neighborSet v
w₂ : V
h₂ : w₂ ∈ G.neighborSet v
h : (fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) ⟨w₁, h₁⟩ = (fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) ⟨w₂, h₂⟩
⊢ ⟨w₁, h₁⟩ = ⟨w₂, h₂⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsPullback
  (CategoryTheory.Limits.initial.to
    ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
  (CategoryTheory.Limits.initial.to
    ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }))
  c.inl c.inr
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (x : G), (∀ (b : Gᵐᵒᵖ), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.unop
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
⊢ ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ HasTrivialRadical R L ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitEpiOfKernel i).fst =
  let c' := CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c) ⋯;
  let i' := CategoryTheory.Limits.isKernelCompMono i (CategoryTheory.section_ f) ⋯;
  let i'' := CategoryTheory.Preadditive.isLimitForkOfKernelFork i';
  (CategoryTheory.Limits.splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ i'').retraction
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
E : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
hC : C < ⊤
f : α → E
hf_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
h : μ ≠ 0
⊢ μ s = μ.mass * μ.normalize s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set β
s : β → Set α
ht : t.Countable
hm : ∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)
hd : t.PairwiseDisjoint s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f a ∂μ = ∑' (i : ↑t), ∫⁻ (a : α) in s ↑i, f a ∂μ
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f g : sSupHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_1
Infinite α
s t : Set α
hs : #↑s < #α
ht : #↑t < #α
⊢ #↑sᶜ = #↑tᶜ
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ range (lTensor Q (range g).subtype ∘ₗ lTensor Q g.rangeRestrict) = range (lTensor Q (range g).subtype)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
⊢ a < x ∧ x < b ∨ c < x ↔ a < x ∨ c < x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
MulPosMono α
PosMulMono α
u : αˣ
⊢ ↑u⁻¹ < 0 ↔ ↑u < 0
α✝ : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
s : Set α✝
α : Type u_2
⊢ IsOpen ∅
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Div β
inst✝¹ : MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
this : IndepFun (fun ω => (f i ω, f j ω)) (f k) κ μ
⊢ IndepFun (f i / f j) (f k) κ μ
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f g : ι → α
⊢ ⨅ x, f x ⊓ g x = (⨅ x, f x) ⊓ ⨅ x, g x
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ (convexHull 𝕜) (insert x s) = convexJoin 𝕜 {x} ((convexHull 𝕜) s)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ AddSubmonoid.comap f ⊤ = ⊤
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M
⊢ (∃ x_1, φ.Realize x_1 ∧ x_1 ∘ Sum.inl = x) ↔ ∃ xs, BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim x xs) (xs ∘ Fin.natAdd m)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero M
SMulZeroClass R M
s : Set α
r : R
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator (fun x => r • f x) a = r • s.indicator f a
α : Type u_3
Preorder α
self : SuccOrder α
a b : α
⊢ a < SuccOrder.succ b → a ≤ b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
t : Set γ
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hsub : s ⊆ closure t
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Ring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
TopologicalAddGroup M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f - f') m = f m - f' m
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
⊢ (Polynomial.X ^ n).divX = if n = 0 then 0 else Polynomial.X ^ (n - 1)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ RatFunc.ofFractionRing = ⇑(IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K))
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.deleteEdges ∅ = G
G : Type u_1
Group G
A A' B : Subgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B
⊢ (A ⊔ A').subgroupOf B = A.subgroupOf B ⊔ A'.subgroupOf B
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' s ∩ Ico 0 1)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) = ↑n ^ 2
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ v x
⊢ Filter.blimsup u f p ≤ Filter.blimsup v f p
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I
⊢ IsFractional S (0 • I)
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b
x : α
hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g x).im| b
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(f x).arg * (g x).im| (π * b)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsLowerSet (f i j)
⊢ IsLowerSet (⋃ i, ⋃ j, f i j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.IsPullback (𝟙 X) 0 0 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
f : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c y • f) s x
α : Type u_3
CommMonoid α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
p_one : p 1
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.prod
H : Type u
TopologicalSpace H
α : Type u_5
TopologicalSpace α
Nonempty α
f : α → H
h : OpenEmbedding f
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
⊢ HasGroupoid α G
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
g' : G
⊢ (of' k G g * x %ᵒᶠ g) g' = 0
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
s : Set α
hs : s = ↑L
⊢ L.copy s hs = L
A B : Class
⊢ A ∈ B ↔ ∃ x, ↑x = A ∧ B x
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ ∃ B, M.Base B ∧ I ⊆ B
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A✝ B C A X Y : Rep k G
f : X ⟶ Y
g : ↑(MonCat.of G)
x : ↑((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) X).V
y : CoeSort.coe A
⊢ (Y.ρ g) (f.hom ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ (of (A.ρ.linHom Y.ρ)).ρ g) x) y
a b c : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
M : Type u_5
Monoid M
f g : ℤ →* M
h_neg_one : f (-1) = g (-1)
h_nat : f.comp ↑Int.ofNatHom = g.comp ↑Int.ofNatHom
⊢ f = g
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
⊢ b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
K : Type u_2
DivisionRing K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
y : β
⊢ Measurable fun x => (x, y)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : (M →ₗ[R] M) × (M₂ →ₗ[R] M₂)
i : M × M₂
⊢ ((LinearMap.prodMapAlgHom R M M₂) f) i = (f.1 i.1, f.2 i.2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v p p ⋯ = 𝟙 (G.X p)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n < x
h'n : x ≤ y ^ (n + 1)
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f Set.univ x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R
⊢ A.det = A 0 0 * A 1 1 * A 2 2 - A 0 0 * A 1 2 * A 2 1 - A 0 1 * A 1 0 * A 2 2 + A 0 1 * A 1 2 * A 2 0 + A 0 2 * A 1 0 * A 2 1 - A 0 2 * A 1 1 * A 2 0
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
⊢ lift.{v, u} (2 ^ #ι) ≤ prod fun i => lift.{u, v} (c i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b i : α
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i
hin : ¬IsMax (succ^[n] i)
h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)
⊢ pred^[n] (succ^[n] i) = i