ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
⊢ Function.Injective HomogeneousLocalization.val
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
⊢ ⊥.unop = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
s : Set β
hf : Summable (f ∘ Subtype.val)
⊢ Summable (f ∘ Subtype.val) ↔ Summable f
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), (Polynomial.monomial i) (p.coeff i)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ (canonicalEmbedding K) x ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν : MeasureTheory.Measure α
μ₁.HaveLebesgueDecomposition ν
μ₂.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ (μ₁ + μ₂).singularPart ν = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν
α β : Type u_2
inst : Mathlib.Tactic.Ring.CSLift α β
a b : α
a' b' : β
h1 : Mathlib.Tactic.Ring.CSLiftVal a a'
h2 : Mathlib.Tactic.Ring.CSLiftVal b b'
h : a' = b'
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
y : EReal
hy : y ≠ ⊤
x : ℝ
h : ↑x ≤ y
hx : ↑x ≠ ⊥
⊢ (↑x).toReal ≤ y.toReal
obj : Type u
self : CategoryTheory.Groupoid obj
X Y : obj
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Groupoid.inv f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
⊢ 0∗ = 1
α : Type u
m : ℕ
a : Fin m → α
n : ℕ
⊢ List.ofFn (Fin.repeat n a) = (List.replicate n (List.ofFn a)).join
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : ∀ (u : Set ι), u.Countable ∧ (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty
⊢ (s ∩ ⋂ i, t i).Nonempty
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), t i ≠ ∅
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t ∧ ∀ (i : ι), (t i₀ ∩ t i).Nonempty
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
⊢ p (cfc f a)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ (l.all fun a => decide (p a)) = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible
⊢ (FamilyOfElements.pullback f x).SieveCompatible
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)
𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ QuasiSeparated f
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 1 = Polynomial.C Polynomial.X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 1 / a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
M₀ : Type u_5
MonoidWithZero M₀
f g : ℚ →*₀ M₀
h : f.comp ↑(Int.castRingHom ℚ) = g.comp ↑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ (s₁ ∪ s₂).pi t = s₁.pi t ∩ s₂.pi t
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c
h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }
⊢ (if p c = true then some { byteIdx := utf8Len l } else { data := l.reverse ++ c :: r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len l }) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsNoetherian R M ↔ ∀ (s : Submodule R M), s.FG
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s ⊻ t₁ ⊆ s ⊻ t₂
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ Nontrivial ↥H ↔ H ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
n : ℕ
IsCancelAdd α
hn : Odd n
hab : a + b = 0
⊢ a ^ n + b ^ n = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
p : R[X]
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
r : R
hr : (Polynomial.aeval ((algebraMap R S) r)) p = 0
⊢ p.IsRoot r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
x : WittVector p k
hx : x.coeff 0 ≠ 0
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ Ioc a b \ Ioo a b = {b}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx : (dZero A) x = 0
g : G
⊢ (A.ρ g) x - x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
δ : Type u_6
MeasurableSpace δ
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight δ κ).fst = ProbabilityTheory.Kernel.prodMkRight δ κ.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f Set.univ x ↔ ContinuousAt f x
F : Type u_4
CommSemiring F
E : Type u_5
CommSemiring E
Algebra F E
K : Subalgebra F E
S : Set E
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin (↥K) S) = Algebra.adjoin F (↑K ∪ S)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : y ≤ x
⊢ variationOnFromTo (f ∘ φ) t x y = variationOnFromTo f (φ '' t) (φ x) (φ y)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
R : Type u_1
CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M
Module R M₁
Module R M₂
Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
h : IsTensorProduct f
⊢ ↑h.equiv = TensorProduct.lift f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : α → γ
e' : β → γ
a : α
⊢ Function.extend f g e' (f a) = g a
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (Order.succ a) ⋯
⊢ o.bsup f = o.blsub f
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : F.PseudoCore
a : B
⊢ (self.mapIdIso a).hom = F.mapId a
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists α
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₂ ~ l₁
n✝ m n : ℕ
j k : Fin n
⊢ ↑↑j < ↑↑k ↔ j < k
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n
⊢ log b (n / b) = log b n - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
TopologicalSpace α
Group α
TopologicalGroup α
TopologicalSpace β
Group β
FunLike hom β α
MonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t.2 / t.1) (Filter.comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 1)
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ IsOfFinAddOrder (-x) ↔ IsOfFinAddOrder x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
ProperSpace 𝕜
a : A
⊢ IsCompact (spectrum 𝕜 a)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ (AddMonoidHom.fst M N).comp AddMonoid.Coprod.toSum = AddMonoid.Coprod.fst
α : Type u_2
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ Finset.falling 0 𝒜 ⊆ {∅}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
hq_pos : 0 < q
⊢ eLpNorm' (0 • f) q μ = ‖0‖₊ • eLpNorm' f q μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁
⊢ (∃ y, F.dualMap y = φ) → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
⊢ p₁ ~ᵤ p₂
α : Type u
s : Set α
⊢ Disjoint Set.univ s ↔ s = ∅
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
w✝ : Ideal A
hPZ' : w✝ ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : w✝ ≤ M
⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
α : Type u_1
Encodable α
⊢ Encodable.decode 0 = some none
r n : ℕ
⊢ n * Polynomial.eval (n + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (n + r) * Polynomial.eval n (ascPochhammer ℕ r)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
x y : α✝
r : ℝ≥0∞
α : ι → Type u
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)
inst✝ : Fintype ι
i : ι
f g : (x : ι) → α x
⊢ edist (eval i f) (eval i g) ≤ edist f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g = f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inl + g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inr
a b c : ENNReal
⊢ a / c + b / c = (a + b) / c
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (b * a) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (c * a) + L (c * b) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f
⊢ F.map (adj.unit.app P ≫ G.map f) ≫ adj.counit.app X✝ = f
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
⊢ ∃ h, Function.Bijective h
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.Monic 0 ↔ Subsingleton R
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ Metric.infDist x (closure s) = Metric.infDist x s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
⊢ ∫ (y : G), (L (f y)) (∫ (x : G), g x ∂μ) ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = limsup (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
h : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0∞
hd : edist x y ≤ d
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Add β
ContinuousAdd β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
hv : MeasureTheory.Adapted f v
⊢ MeasureTheory.Adapted f (u + v)
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
⊢ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc = (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x < 0 ↔ x < 0
G : Type u
Group G
⊢ ⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G) = commutatorSet G
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousAdd M
f : ℤ → M
hf₁ : HasSum (fun n => f (↑n + 1)) m
hf₂ : HasSum (fun n => f (-(↑n + 1))) m'
⊢ HasSum f (m + f 0 + m')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
self : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp g self.rightRetraction = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
f2 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2
f_test_function_union : ∀ x ∈ K1 ⊔ K2, 1 ≤ (f1 + f2) x
⊢ Λ f1 + Λ f2 < rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
⊢ HEq (p j) (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
⊢ map norm (-f).posPart = (-f).posPart
q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ (q ^ n).num = q.num ^ n
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+~ l₂ → List.countP p l₁ ≤ List.countP p l₂
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
⊢ False
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃
n : Nat
x : BitVec n
⊢ BitVec.zeroExtend n x = x
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : c.sizeUpTo ↑i ≤ ↑j
⊢ False
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
⊢ ∑ m ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ m * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - m) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose m) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
h : LinearMap.ker f ≤ p
⊢ comap f (map f p) = p
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
c : ℝ≥0
⊢ (c • μ').addHaarScalarFactor μ = c • μ'.addHaarScalarFactor μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : Nonempty β
⊢ AnalyticSet (range f)
F : Type u
K : Type v
A : Type w
Ring F
Ring K
AddCommGroup A
Module F K
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
StrongRankCondition F
StrongRankCondition K
Module.Free F K
Module.Free K A
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F K) * Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank K A) = Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank F A)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
a b : G
h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε
hf' : ∀ x' ∈ ball x ε, ‖f' x' - f' x‖ ≤ c
⊢ ‖f (a, b).1 - f (a, b).2 - (f' x) ((a, b).1 - (a, b).2)‖ ≤ c * ‖(a, b).1 - (a, b).2‖
α : Type u
l₁ l₂ : Batteries.DList α
⊢ (l₁ ++ l₂).toList = l₁.toList ++ l₂.toList
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
s : Set S
⊢ NonUnitalSubring.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ NonUnitalSubring.comap f (NonUnitalSubring.closure s)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
⊢ ((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
η : ℝ≥0∞
hη_pos : 0 < η
hη : ∀ (f g : α → β), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ (P.toLin (P.root i)) (P.coroot j) = P.pairing i j
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
⊢ EMetric.diam t = ⊤ → EMetric.diam (s ∪ t) = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : { a // s a } × { b // t b }
⊢ ↑((Homeomorph.Set.prod s t).symm x) = (↑x.1, ↑x.2)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)
g : G
r : k
⊢ p (Finsupp.single g r)
α : Type u
l : List α
⊢ (List.equivSigmaTuple l).fst = l.length
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t₁ t₂ : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ (a +ᵥ t₁) ∩ (a +ᵥ t₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : B ⟶ A
CategoryTheory.Exponentiable B
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id B) ((CategoryTheory.pre f).app X))
    ((CategoryTheory.exp.ev B).app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.prod.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⟹ X)))
    ((CategoryTheory.exp.ev A).app X)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
this : ∃ c_1, ↑c_1 * (↑⟨d, ⋯⟩ * a) = ↑c_1 * (↑⟨b, ⋯⟩ * c)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
α : Type u_3
AddMonoid α
s : List (Multiplicative α)
⊢ Multiplicative.toAdd s.prod = (List.map (⇑Multiplicative.toAdd) s).sum