ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i
⊢ (DFinsupp.sumAddHom φ) (DFinsupp.single i x) = (φ i) x
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Monotone (Set.projIic a)
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
h : ¬gcd x y = 0
⊢ ∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')
M : Type u_1
CommMonoid M
R : Type u_2
CommMonoidWithZero R
Finite Mˣ
χ : MulChar M R
⊢ 0 < orderOf χ
θ : Real.Angle
⊢ θ ≠ -θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
⊢ finrank (↥(subfield G F)) F ≤ Fintype.card G
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ WithBot.map (⇑OrderDual.toDual) s.max = (Finset.image (⇑OrderDual.toDual) s).min
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
a : E
this : ∀ (x y : E), ⇑f '' openSegment 𝕜 x y = openSegment 𝕜 (f x) (f y)
⊢ f a ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ f a ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
⊢ (fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) p ∧ ∀ (y : ℕ), (fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) y → y = p
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
⊢ x ∈ e.source ↔ proj x ∈ e.baseSet
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁
h₂ : IsOpen s₂
⊢ IsOpen (s₁ ∪ s₂)
a : Int
⊢ a.NonNeg ∨ (-a).NonNeg
m✝ n✝ m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
this : (1 &&& bit b n >>> (m + 1) != 0) = (1 &&& n >>> m != 0)
⊢ (bit b n).testBit m.succ = n.testBit m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s : Set α
⊢ (sum f) s ≤ ∑' (i : ι), (f i) s
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a⁻¹ * (b * a) = b
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup f ≤ Ordinal.lsub f
k : Type u_3
DivisionRing k
CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
⊢ ↑(↑m / ↑n) = ↑m / ↑n
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (Perfection.coeff R p (n + 1)) f ^ p = (Perfection.coeff R p n) f
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₁.product l₂ = l₁.productTR l₂
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Cardinal.univ.{u, v} ≤ univ.{u, v}.cof
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ (g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm =ᶠ[𝓝 (↑e' x)] ?m.19557
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
r : R
x : ↑X
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ g ((algebraMap R R) r • 1 ⊗ₜ[R] (RestrictScalars.addEquiv R R ↑X) x) = g (f r • 1 ⊗ₜ[R] x)
M : Type u_1
SubtractionMonoid M
a : M
ha : a ∈ Set.addCenter M
⊢ -a ∈ Set.addCenter M
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ⨅ r, f (a, t) ↑r ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).hom.app X).τ₃ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
⊢ ∑ s : Finset α, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
⊢ False
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
⊢ m = n
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
hf : Function.Surjective ⇑f
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k (⇑f '' s) = ⊤
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra.Smooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.Smooth R B
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℤ
⊢ a ^ (n % ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b)) • b = a ^ n • b
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring k✝
inst✝⁸ : Monoid G
inst✝⁷ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra k A
x✝ : MonoidAlgebra A G
⊢ (mapDomainAlgHom k A (MonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k (MonoidAlgebra A G)) x✝
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a : Heyting.Regular α
⊢ Heyting.IsRegular ↑a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α
⊢ ∃ s_1 t_1 u_1, (s.append t).append u = (s_1.append t_1).append u_1 ∧ s.append (t.append u) = s_1.append (t_1.append u_1)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! m, b + m • a ∈ Set.Ioc c (c + a)
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
f : α → F'
hm : m ≤ m0
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm 0 f = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₂ -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p₂ -ᵥ p₁)
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
S_nonempty : S.Nonempty
m : ℕ := Nat.find S_nonempty
m_mem : m ∈ S
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
⊢ MeasureTheory.Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
x y : α
e : f x = f y
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
k : ℕ
s t : Set ℝ
ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y
hs : s ∈ 𝓝[t] y
hf : HasDerivWithinAt (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) (iteratedDerivWithin (k + 2) f s y) t y
this : HasDerivWithinAt (fun t => ((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) (-((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k)) t y
⊢ (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y = (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y + -((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
tS : t ∈ S
⊢ t ⊆ ⋃₀ S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT : T ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
⊢ T.rotate ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
α : Type u
Mul α
x y : FreeAbelianGroup α
⊢ x * y = (FreeAbelianGroup.lift fun x₂ => (FreeAbelianGroup.lift fun x₁ => FreeAbelianGroup.of (x₁ * x₂)) x) y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S
⊢ map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J) = J.prod I
D : Type u_1
C : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
mcf : Function.HasMaxCutProperty f
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
⊢ ¬Function.AdmitsFractional f ω
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
hS : S ∈ J.sieves X
R : CategoryTheory.Sieve X
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → CategoryTheory.Sieve.pullback f R ∈ J.sieves Y
⊢ R ∈ J.sieves X
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
S : Type u_1
UnitalShelf S
x y : S
⊢ x ◃ x ◃ y = x ◃ y
α : Type u_1
InvolutiveStar α
s t : Set α
⊢ star s ⊆ t ↔ s ⊆ star t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
𝕜 : Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝔸
inst✝¹ : Module 𝕜 𝔸
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 𝔸
l : Filter ι
ε : ι → 𝕜
f : ι → 𝔸
hε : Tendsto ε l (𝓝 0)
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
⊢ Tendsto (ε • f) l (𝓝 0)
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
Inf M
MeasurableInf₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => f a ⊓ g a
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)ᶜ)ᶜ.Finite
⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
x : R ⧸ I * J
⊢ ((I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) x).2 = (Ideal.Quotient.factor (I * J) J ⋯) x
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
inst✝² : CharZero R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑q ^ n = 1 ↔ q = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
this : A_max = B_max
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c • (f + g) = c • f + c • g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.totalVariation i = 0
⊢ ↑s i = 0
R : Type u_1
Semiring R
r : R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
⊢ (Polynomial.C r).smeval x = r • x ^ 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
this : ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) •> (if j = j' then 1 else 0) •> f i' j' = f i j
⊢ ∑ i_1 : n, ∑ j_1 : m, σ₂ ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) •> σ₁ ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) •> f i_1 j_1 = ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) •> (if j = j' then 1 else 0) •> f i' j'
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
⊢ Module.rank R (η → R) = ↑(Fintype.card η)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
left : a ⟶ b
self : CategoryTheory.Bicategory.IsLeftAdjoint left
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Bicategory.RightAdjoint left)
α : Type u
EMetricSpace α
s t : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ edist s t = EMetric.hausdorffEdist ↑s ↑t
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
H : t.IsKan
⊢ CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * 0 = ↑t * 1
htz : ↑t = 0
⊢ False
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : Fintype ι✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ F✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ F✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace F✝
inst✝⁶ : BorelSpace F✝
ι : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ b.toBasis.addHaar = volume
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
l : Filter β
f : β → ↑(Set.Ioi a)
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
x : ↑Γ(X, U)
h✝ : x ∈ s
⊢ X.basicOpen x ≤ U
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
self : Filter.IsBasis p s
i j : ι
⊢ p i → p j → ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i ∩ s j
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ y ⤳ x
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n
⊢ p ^ (k + 1) ≠ 1
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (f ↑y)
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
⊢ f x₁ + ↑(-(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₁) = f x₂ + ↑(-(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₂) ↔
  f (x₁ + ↑y₂) = f (x₂ + ↑y₁)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsExtrOn f s a
⊢ IsLocalExtrOn f s a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ ↑C
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖f‖ =
  MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.map norm (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f))
x : ENNReal
⊢ x.log = ⊤ ↔ x = ⊤
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
f g : DirectSum ι fun i => M i
⊢ f = g ↔ ∀ (i : ι), (DirectSum.component R ι M i) f = (DirectSum.component R ι M i) g
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ zmultiples p
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : Polynomial (Ring.DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))
⊢ ∃ i p, Polynomial.map (Ring.DirectLimit.of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j
⊢ 1 • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
i : S
x✝¹ : i ∈ ⇑f '' ↑I
r : R
hri : r ∈ ↑I
hfri : f r = i
j : S
x✝ : j ∈ ⇑f '' ↑J
s : R
hsj : s ∈ ↑J
hfsj : f s = j
⊢ f (r * s) ∈ ↑(map f (I * J))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
aA : a0 ∈ A
bB : b0 ∈ B
h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = a0 * b0
x1 x2 : G
a✝ : (x1, x2) ∈ A ×ˢ B ∧ (x1, x2).1 * (x1, x2).2 = a0 * b0
J : ∀ (y : G × G), y ∈ A ×ˢ B ∧ y.1 * y.2 = a0 * b0 → y = (x1, x2)
x y : G
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
l : x * y = a0 * b0
⊢ x = a0 ∧ y = b0
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
h0 : ∀ (f : R → R), ∀ c ≥ 0, (∀ (x : R), norm (f x) ≤ c * norm x) → Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x * x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
χ : LieAlgebra.LieCharacter R L
x y : L
⊢ ⁅χ x, χ y⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
⊢ {a}.biUnion t = t a
α✝ : Type u
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i * x ^ (n - 1 - i) = ∑ i ∈ range n, x ^ (i + (n - 1 - i))
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x