ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n
⊢ (Equiv.Perm.sign c • ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ (AlgebraicGeometry.disjointGlueData f).J = ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ (s \ t) = 0
⊢ μ (s ∩ t) = μ s
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.37850, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
⊢ IsSheaf (Coverage.toGrothendieck C (extensiveCoverage C ⊔ regularCoverage C)) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F
α : Type u_1
Add α
v w : Fin 0 → α
⊢ v + w = ![]
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β
⊢ (List.ofFn f).prod = ∏ i : Fin n, f i
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
⊢ StrictMono f
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
⊢ Summable f ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
lc : Filter γ
g : lc.Germ α
hg : g.Tendsto l
⊢ (↑f).compTendsto' g hg = Filter.Germ.map f g
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
StrongRankCondition R
StrongRankCondition S
Module S M
Module S M'
Module.Free S M'
Algebra S R
Module R M
IsScalarTower S R M
Module.Free R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R (TensorProduct S M M') = FiniteDimensional.finrank R M * FiniteDimensional.finrank S M'
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
x : R
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.topEquiv.symm x) = x
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
f.NeBot
c : β
⊢ Filter.map (fun x => c) f = pure c
G : Type u
Ring G
H : RingCat
f : G →+* ↑H
⊢ RingHom.comp (𝟙 H) f = f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
⊢ log (μ Set.univ).toReal + log (rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
q : ℚ
⊢ inducedMap α β ↑q = ↑q
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤
⊢ μ (t ∩ s) = μ (u ∩ s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S : SimplicialObject.Split C
n : ℕ
⊢ (𝟙 S).f n = 𝟙 (S.s.N n)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g
h : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ ¬∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ g x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
⊢ False
a b : Int
h1 : 0 ≤ a
h2 : a ≤ b
⊢ a * a ≤ b * b
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
m n : ℕ
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
s : Finset α
right✝ : s.card = n
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hst : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ s
h₂ : s.erase a ∈ 𝒜 # m
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f)
⊢ f = 0
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ √x < √y ↔ x < y
α : Type u_1
A : Set (Finset α)
r : ℕ
hA : Set.Sized r A
⊢ ∅ ∈ A ↔ A = {∅}
G : Type u_1
AddCommMagma G
a b : G
⊢ a + b = b + a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
⊢ ∃ k < n, χ a = μ ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) ↑n) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ ¬(s ∩ Set.Icc x y).OrdConnected ↔ ∃ z ∉ s, z ∈ Set.Ioo x y
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ (n.choose k).factorization p = 0
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
⊢ Squarefree x ↔ ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
α : Type u
m n : ℕ
hm : m + 2 = n + 1 + (n + 1)
v : Fin (m + 2) → α
⊢ Matrix.vecHead (Matrix.vecAlt0 hm v) = v 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
this : m = fun i => m i • 1
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = (∏ i : ι, m i) • f fun i => 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ
⊢ 1 ≤ ↑n + 1
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hl : (monomial n) s ∈ lifts f
hzero : ¬s = 0
⊢ ∃ q, map f q = (monomial n) s ∧ q.degree = ((monomial n) s).degree
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
n✝ p : ℕ
hp : Prime p
h2 : p ≠ 2
n : ℕ
hn : p = 2 * n + 1
⊢ p - 1 = n + n
R : Type u_3
y : PUnit.{u_4 + 1}
r : R
⊢ r • y = PUnit.unit
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ constantCoeff (W_ R n) = 0
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
e : (K →+* ℂ) ≃ ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := equivReindex K
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (fun i => (integralBasis K) (e i)) RingHom.equivRatAlgHom
⊢ N.det ^ 2 = (algebraMap ℚ ℂ) (Algebra.discr ℚ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑e.symm.symm))
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a
⊢ Function.Injective fun n => let_fun this := Nat.recOn n (mk b he.elim') fun x ih => mk a fun x => ih; this
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α
⊢ ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2) * ‖1‖₊
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ DifferentiableAt ℂ (jacobiTheta₂ z) τ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
ConditionallyCompleteLattice M
Nonempty ι
f : ι → α → M
⊢ (Function.support fun x => ⨅ i, f i x) ⊆ ⋃ i, Function.support (f i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ = s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃)
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s ⋖ a ::ₘ s
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map β) ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L I J P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ (∀ r ∈ I, ∀ s ∈ J, r * s ∈ P) ↔ J ≤ P ∨ I ≤ P
s : Set Ordinal.{u}
⊢ IsOpen s ↔ ∀ o ∈ s, o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
inst✝¹ : IsIso (coprodComparison F A B)
inst✝ : IsIso (coprodComparison F A' B')
⊢ inv (coprodComparison F A B) ≫ coprod.map (F.map f) (F.map g) = F.map (coprod.map f g) ≫ inv (coprodComparison F A' B')
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
⊢ ∀ I ⊆ ((N.comap f).map f hf).E, ((N.comap f).map f hf).Indep I ↔ N.Indep I
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) = (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₃ p₂ p₁ = ↑π
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, IsCompl (ker (f ^ b)) (range (f ^ b)) ∧ ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ b) ∧ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ b)
⊢ IsCompl (⨆ n, ker (f ^ n)) (⨅ n, range (f ^ n))
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ |(fun n => (↑f n).re) j - (fun n => (↑f n).re) i| ≤ abs' (↑f j - ↑f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
f : R ≃+* S
x : ResidueField S
⊢ (map ↑f) ((map ↑f.symm) x) = x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
x : (forget C).obj (widePushout B X f)
⊢ (∃ y, (head f) y = x) ∨ ∃ i y, (ι f i) y = x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.194755} {β : Type ?u.194754} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)
⊢ ∀ ⦃f g : α × β → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) (f + g)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (trunc n φ).coeff m = if m < n then (coeff R m) φ else 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
R : Type u_1
L : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
x : L
⊢ LieAlgebra.IsRegular R x ↔
  (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (((↑(LieAlgebra.ad R L)).polyCharpoly b).coeff (LieAlgebra.rank R L)) ≠ 0
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : M 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M i.succ) M₂
⊢ f.uncurryLeft.curryLeft = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g : C(X, Z)
h : FactorsThrough ⇑g ⇑f
a✝ : X
⊢ ((hf.lift g h).comp f) a✝ = g a✝
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x✝ : (F ⨿ G).obj a
⊢ (fun z => (binaryCoproductIso F G).inv.app a z) ((fun z => (binaryCoproductIso F G).hom.app a z) x✝) = x✝
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a✝ b c a : α
⊢ ⋃ b, Ioc a b = Ioi a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : A ⨯ X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry (CategoryTheory.CartesianClosed.curry f) = f
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
IsNoetherianRing R
⊢ Algebra.FiniteType R A ↔ Algebra.FinitePresentation R A
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨆ i, ⨆ j, s i j).toIdeal = ⨆ i, ⨆ j, (s i j).toIdeal
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝¹⁰ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁷ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝⁴ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝¹ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L
⊢ (algebraMap Aₘ K) ((algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x)) = (algebraMap Aₘ K) ((intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x))
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
n : ℕ
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
⊢ G.CliqueFree n → H.CliqueFree n
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Add Y
f g : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
hg : IsLocallyConstant g
⊢ IsLocallyConstant (f + g)
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
⊢ R →+* A
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M N : Matrix m n α
⊢ (M + N)ᴴ = Mᴴ + Nᴴ
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ = toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂.obj P).X.X n = P.X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n))
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
hi : optParam (i.succ ≠ last n) ⋯
⊢ p.predAbove i.succ = i.succ.castPred hi
a b c : Prop
⊢ a ∧ b ∨ (a → c) ↔ a → b ∨ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
bindList_primrec : Primrec₂ bindList
⊢ Primrec f
α : Type u
Preorder α
t : Set α
⊢ StrictMono Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
⊢ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[≥] a = 𝓝 a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
z : ℤ
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(z • f) = z • ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ u =O[l] v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
Algebra.IsSeparable F ↥L
IsPurelyInseparable (↥L) E
⊢ L = separableClosure F E
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 < j2
hcell : (i, j2) ∈ μ
⊢ T i j1 ≤ T i j2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x =
  (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
⊢ map (fun x => count x (map ⇑e ↑s)) (map ⇑e ↑s).dedup = map (fun x => count x ↑s) (↑s).dedup
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
h : ∀ (x y : R⟦X⟧), x = y
⊢ ∀ (x y : R), x = y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
m₁ m₂ : M
n : N
⊢ (m₁ - m₂) ⊗ₜ[R] n = m₁ ⊗ₜ[R] n - m₂ ⊗ₜ[R] n
n : ℕ
m : ℝ
m1 : 1 < m
m0 : 0 < m
mi : 1 / m < 1
⊢ (∑' (i : ℕ), (1 / m) ^ i) * (1 / m ^ (n + 1)!) = (1 - 1 / m)⁻¹ * (1 / m ^ (n + 1)!)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > (map (⇑f) μ) A
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
h : IsLeftRegular (abv 1)
⊢ abv 1 = 1
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ ↑e (↑e.symm x) = x
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]
⊢ d.compAEval a = (mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a
h₂ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω
⊢ False
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableAt 𝕜 f₂ x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (f₂ x).1) x