ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x) = 0 then 0 else (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).coeff (⋯.min ⋯)) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
⊢ (WellFounded fun x x_1 => x < x_1) → WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'
⊢ ((ts.permutations'.bind fun y => (permutationsAux2 t [] [] y id).2) ++ ts.permutations'.bind fun x => [x ++ [t]]) ~ ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
⊢ IsNilpotent ⊥.jacobson
L R : List SetTheory.PGame
⊢ (SetTheory.PGame.ofLists L R).RightMoves = ULift.{u_1, 0} (Fin R.length)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
⊢ (∃ i, True ∧ ∀ y ∈ Ici i, f y = f i) ↔ ∃ i, ∀ (j : α), i ≤ j → f j = f i
n : ℕ
⊢ (0, n + 1 + 1) ::ₘ ((n + 1).succ, id 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ id ∘ Prod.map id Nat.succ) (antidiagonal n) = (0, n + 2) ::ₘ (n + 2, 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ Nat.succ) (antidiagonal n)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
hn : Even n
⊢ χ ^ n = 1
G : Type u_5
Group G
H : Subgroup G
hH : H.Normal
g : ConjAct G
⊢ g • H = H
M : Type u_1
AddMonoid M
c : AddCon M
p : AddUnits c.Quotient → Prop
u : AddUnits c.Quotient
H : ∀ (x y : M) (hxy : c (x + y) 0) (hyx : c (y + x) 0), p { val := ↑x, neg := ↑y, val_neg := ⋯, neg_val := ⋯ }
⊢ p u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hf : f.HasBasis p s
hh : Monotone h
t : Set β
⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, True ∧ h (s i) ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ (h ∘ s) i ⊆ t
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
⊢ (∃ y, (inr R M M₂) y = x) ↔ (fst R M M₂) x = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s = ⊤
⊢ ↑d ≤ ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
α : Type u_2
X Y : Set α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ X ⊆ M.closure Y
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
a : α
h_sup : SupClosed s
h_inf : InfClosed s
⊢ a ∈ { carrier := s, supClosed' := h_sup, infClosed' := h_inf } ↔ a ∈ s
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) univ a
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t
u : Set E
huo : IsOpen u
hxu : x ∈ u
hut : u ∩ insert x s ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f (insert x s ∩ u)
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
e : S₁ ≃+* S₂
a : MvPolynomial σ S₁
⊢ (MvPolynomial.mapEquiv σ e) a = (MvPolynomial.map ↑e) a
G : Type u_7
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
g : ↥H
⊢ ↑↑((AddSubgroup.addSubgroupOfEquivOfLe h).symm g) = ↑g
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ a.cof.ord ≤ o
n : Nat
hn : n ≠ 0
⊢ (↑n).sign = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s.biUnion fun x => x +ᵥ t) = s +ᵥ t
a x✝ z x : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (↑r * x).arg = x.arg
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (fun x => x.1 • x.2) '' s ×ˢ t = s • t
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
f : α → F
hf : Memℒp f p (μ.trim hm)
⊢ ↑↑↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm (Memℒp.toLp f hf)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Memℒp.toLp f ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a b : R
dvd : a ∣ b
⊢ torsionBySet R M ↑(span R {a}) ≤ torsionBySet R M {b}
a b : Prop
ha : ¬a
hb : ¬b
⊢ a ↔ b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ integral f = ∫ (a : α), ↑↑f a ∂μ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ A ^ (↑n + 1) = A ^ ↑n * A
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
this✝ : IsProperMap ⇑f
h : IsProperMap (Prod.map ⇑f fun x => x)
this : (fun hx => (hx.1 • hx.2, hx.2)) = fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)
⊢ IsProperMap fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
⊢ lineCount L p = lineCount L q
α : Type u_1
Preorder α
a : Thunk α
ε : Type u_3
self : Estimator a ε
e : ε
⊢ EstimatorData.bound a e ≤ a.get
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
⊢ (f ^ n) 0 ≤ (g ^ n) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
hf : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f) _auto✝
h : ∀ᶠ (x : α) in f, x ≤ a
⊢ f.limsSup ≤ a
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded ((convexHull ℝ) s) ↔ Bornology.IsBounded s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
E' : IntermediateField (↥F) L
⊢ E' ≤ IntermediateField.extendScalars h ↔ IntermediateField.restrictScalars K E' ≤ E
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝ : Fintype m
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ ⇑(MvPowerSeries.coeff R 0) = ⇑(MvPowerSeries.constantCoeff σ R)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
x y : S
⊢ (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single (r • x) y) =
  r • (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single x y)
a b : ℝ
⊢ { re := a, im := b } = ↑a + ↑b * Complex.I
⊢ MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure TopologicalSpace.PositiveCompacts.Icc01 = MeasureTheory.volume
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
⊢ (∃ i, ∀ (j : ℕ), i ≤ j → f j = f i) ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : AntitoneOn f s
⊢ Antitone (f ∘ Subtype.val)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↥U
⊢ (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι).val.base (((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base x) = ↑x
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
b : β
⊢ ι f b ≫ desc p = p b
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Af : Antitone f
ftop : f ⊤ = ⊥
⊢ f (iInf g) = iSup (f ∘ g)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ map (fun x => r • x) μ ≪ μ
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Embedding ⇑DomAddAct.mk
n : ℕ
I J : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
h : I ≤ J
i : Fin (n + 1)
⊢ I.face i ≤ J.face i
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
⊢ (∀ (i : Set (Ultrafilter α)), (x ∈ i ∧ i ∈ range fun s => {u | s ∈ u}) → i ∈ ↑u) ↔ ∀ s ∈ x, {v | s ∈ v} ∈ u
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₂).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hle : map f p ≤ P ^ n
hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)
Q : ℕ → Prop := fun m => ∀ (k : ℕ), map f p ≤ P ^ k → k ≤ m
this : Q n
h : Nat.find ⋯ < n
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖f b‖ ≤ ε / 2 * g b
this : (fun x => ∑ i ∈ range N, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range x, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range x, g i‖
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
Monad m
f : α → OptionT m β
⊢ (x >>= f).run = do
  let x ← x.run
  match x with
    | some a => (f a).run
    | none => pure none
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
L : List (List α)
⊢ List.filterMap f L.join = (List.map (List.filterMap f) L).join
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ↑U
⊢ x ∈ ↑(X.basicOpen f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
p' : ℕ
R' : Type u_2
x y : WittVector p' R'
i : Fin 2
⊢ (![x, y] i).coeff = ![x.coeff, y.coeff] i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s t : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ
f : t ⟶ s
x : F.obj t
⊢ counitForward F (unop s) (F.map f x) = (counitForward F (unop t) x).map₂ f.unop.left ⋯
α : Type u
⊢ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) = fun x x_1 => x ∩ x_1
a : Nat
b c : Nat
h : b > c
⊢ (a + b ≤ c) = False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
⊢ homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s)) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
G'' : G'.coe.Subgraph
⊢ SimpleGraph.Subgraph.restrict (SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph G'') = G''
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ (range f)ᶜ.restrict (extend f g g') = g' ∘ Subtype.val
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t₁ t₂ : Set β
a : α
⊢ a • (t₁ ∪ t₂) = a • t₁ ∪ a • t₂
x✝ y x : ℂ
n : ℕ
⊢ cexp (↑n.succ * x) = cexp x ^ n.succ
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : VectorPrebundle.IsSmooth IB a
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (VectorPrebundle.smoothCoordChange IB a he he') (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
⊢ (φ + φ').τ₃ = φ.τ₃ + φ'.τ₃
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
R₄ : Type u_17
M₄ : Type u_18
Semiring R₄
AddCommMonoid M₄
Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
h : M₃ →ₛₗ[σ₃₄] M₄
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
f : s ⟶ t
⊢ CategoryTheory.IsIso f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
⊢ Q = ⊥ ∨ (↑Q).Nonempty
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
⊢ Summable fun i => ‖a i * ↑(r i)‖ / |r i| ^ (s + 1).re
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Filter α
⊢ μ.FiniteAtFilter (f ⊓ MeasureTheory.ae μ) ↔ μ.FiniteAtFilter f
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x + MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ t x
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasTerminal (CategoryTheory.CostructuredArrow G A)
B : D
A : C
g : G.obj B ⟶ A
⊢ (CategoryTheory.rightAdjointOfCostructuredArrowTerminalsAux G B A) g =
  (CategoryTheory.Limits.terminal.from (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk g)).left
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 n g
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : ∀ x ∉ k, g x = 0
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (f ⋆[L, μ] g) univ
α : Type u_1
DivInvMonoid α
x y : α
⊢ MulOpposite.op (x / y) = (MulOpposite.op y)⁻¹ * MulOpposite.op x
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
A : Subalgebra K L
Algebra.IsAlgebraic K L
⊢ IsField ↥A
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ a ∆ b = a \ b
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (i : β), p i → 0 < f i
hf : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ i, p i ∧ f i ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {p | dist p.1 p.2 < f i}
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ (2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι = ∫ (x : ι → ℝ), rexp (-((∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)) ^ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
⊢ (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
i : Ordinal.{u}
hi : i < (mk yl yr yL yR).birthday
j : (mk yl yr yL yR).RightMoves
hj : i ≤ ((mk yl yr yL yR).moveRight j).birthday
⊢ (mk xl xr xL xR).birthday ♯ i < max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
⊢ ↑(G.cliqueFinset n) = G.cliqueSet n
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
a : ι
⊢ Nonempty (Quotient.out (f a) ≃ Quotient.out ((fun i => lift.{w, v} (f i)) a))
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < 1