ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P R) ⋯))
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing R
inst✝² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : C(X, 𝕜)
⊢ spectrum 𝕜 f = Set.range ⇑f
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring S
x : R × S
⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
h : f ≫ g = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.image.ι f ≫ g = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
SMulZeroClass R M
k : R
hk : IsSMulRegular M k
⊢ IsSMulRegular (α →₀ M) k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ F ⊆ A, IsClosed F ∧ μ (A \ F) < ε
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin X.len
⊢ (h.inv { down := (fun x => (h.hom { down := x }).down) a }).down = a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
g : B →ₐ[R] C
f : A →ₐ[R] B
hg : g.FinitePresentation
hf : f.FinitePresentation
⊢ (g.comp f).FinitePresentation
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ ⊥.ringCon = ⊥
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
U : Set (ι → ℝ)
hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z
hU : ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
⊢ False
S : Type u_3
AddSemigroup S
b c : S
hbc : AddCommute b c
a d : S
⊢ a + b + (c + d) = a + c + (b + d)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsMax x
⊢ IsMax x.2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ I.pi s ∈ 𝓝 a ↔ ∀ i ∈ I, s i ∈ 𝓝 (a i)
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
c : ℕ
a✝ : c ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ a ^ c * b ^ (k - c) ∈ I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
⊢ ↑(z₁ - z₂) = ↑z₁ - ↑z₂
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
⊢ Antitone fun n => ⋃ i, t (i + n)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
l : Language α
⊢ (Language.map g) ((Language.map f) l) = (Language.map (g ∘ f)) l
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : IsEmpty ι
v : ι → M
⊢ e.det v = (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) v
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.toCocycles A 1 2 ≫ (groupCohomology.isoTwoCocycles A).hom =
  (groupCohomology.oneCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫
    ModuleCat.ofHom (groupCohomology.shortComplexH2 A).moduleCatToCycles
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
self : Φ.IsRightDerivabilityStructure
⊢ Φ.HasRightResolutions
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝ : HasZeroObject C
this : Mono S.f
⊢ IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g : α → F
hΘ : f₁ =Θ[l] g
ho : f₂ =o[l] g
⊢ (f₁ + f₂) =Θ[l] g
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ LinearMap.range f.inverse.toFun = f.domain
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y a b : R
h : a * x + b * y = 1
⊢ -a * -x + b * y = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
⊢ data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = 𝟙 (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → CommSemiring (A i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (A i)
x✝ y✝ : ⨂[R] (i : ι), A i
x y : (i : ι) → A i
⊢ (mul ((tprod R) x)) ((tprod R) y) = (mul ((tprod R) y)) ((tprod R) x)
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : BoundedContinuousFunction (↑s) E
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f : BiheytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
⊢ s ∩ f ⁻¹' interior t ⊆ s ∩ interior (f ⁻¹' t)
α : Type u_1
l : Filter α
G : Type u_6
Inv G
f : α → G
⊢ ↑f⁻¹ = (↑f)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : IsUnit x
⊢ a * x ∣ a
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }
⊢ rng = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
⊢ ∑ i : Fin n, A i i = ∑ i : ι, B i i
n : ℕ
h : 0 + 2 ≤ n
⊢ (n - (0 + 1)) * (n - (0 + 1)) < (n - 1) * n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ↑(s.biUnion t) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
j : J
u : ((CategoryTheory.Functor.const J).obj ↑F.sections).obj j
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.limitCone F).π.app j u = ↑u j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o₁ : Ordinal.{u_4}
o₂ : Ordinal.{u_5}
op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6}
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_5}
ha : a < o₁
hb : b < o₂
⊢ op ha hb = (fun {a} => op) ⋯ ⋯
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α
⊢ a < x✝ ↔ ¬x✝ ≤ a
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C
⊢ (0 ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.Exact
⊢ S₂.Exact
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ℕ → Set X
su : s ⊆ ⋃ n, u n
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
⊢ ‖(↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 1 * π * ↑|n| ^ 2
R : Type u_1
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
SMulCommClass R R N₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
i : n
j : m
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' R) M) ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) j) 1) =
  M i j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
Kf Kg : ℝ≥0
f : β → γ
g : α → β
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf * Kg) (f ∘ g)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
v : V
n : ℕ
m : Fin n → W
⊢ ‖(fourierPowSMulRight L f v n) m‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
x y : R
n : ℕ
⊢ ∃ r, (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ OpenEmbedding ⇑𝒰.fromGlued.val.base
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hB : ∃ c < π / (a + b - (a - b)), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
inst✝² : HasEqualizer f g
inst✝¹ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f g) G
⊢ 𝟙 (G.obj (equalizer f g)) ≫ G.map (equalizer.ι f g) = (iso G f g).hom ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) * rexp (t * Y x) ∂μ = (∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ) * ∫ (x : Ω), rexp (t * Y x) ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ (∏ i ∈ n.divisors, if h : 0 < i then Units.mk0 (f i) ⋯ else 1) = if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = b ↔ a ≤ b
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ P ^ i ≤ I
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
ν.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1, z.2 - z.1)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
g : G
P : Sylow p G
⊢ g • P = P ↔ g ∈ (↑P).normalizer
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f g : Filter X
H : ClusterPt x f
h : f ≤ g
⊢ ClusterPt x g
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p q : X → Prop
hp : IsOpen {x | p x}
hq : IsClosed {x | q x}
⊢ IsClosed {x | p x → q x}
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
c : ↥M
hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b
this : ↑c * ↑s * a ∈ I
⊢ a ∈ I
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ ((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card + ((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card = (𝒜.truncatedInf s).card + (ℬ.truncatedInf s).card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → G i
s₁ s₂ : Finset ι
⊢ ‖∑ i ∈ s₁, (V i) (f i) - ∑ i ∈ s₂, (V i) (f i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
as : List α
bs : List β
⊢ List.zipWith (flip f) bs as = List.zipWith f as bs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
g : β →ᵈ γ
f₁ f₂ : α →ᵈ β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
⊢ associatedPrimes R (R ⧸ I) = {I.radical}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
I : C
B : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
CategoryTheory.CartesianClosed C
⊢ CategoryTheory.Mono (t.to B)
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ e.trans e.symm = OrderIso.refl α
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s + t).sup f = t.sup fun y => s.sup fun x => f (x + y)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
u : ℝ → E
a b : ℝ
h : a ≤ b
hu : ContinuousOn u (Set.Icc a b)
⊢ IntervalIntegrable u μ a b
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty
h₁ : ball x r = ball h.some r
h₂ : ball y r = ball h.some r
⊢ ball x r = ball y r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
(S.map F).HasHomology
⊢ (S.map F).Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero (F.obj h.H)
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
ω : Cardinal.{v}
hω : ¬ω.IsLimit
h : ⨆ i, f i = ω
e : ¬ω ≠ 0
⊢ f hι.some = ω
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation
⊢ ¬e.toBasis.det ⇑f = -1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens
⊢ ∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = D.π x'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
b : ℝ≥0∞
h : ∑ x ∈ insert b (f.range \ {0}), x * μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ μ (↑f ⁻¹' {b}) < ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
S' : Type u_7
Semiring S'
Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
f g : S →ₐ[R] S'
h : f pb.gen = g pb.gen
⊢ f = g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t U : Set X
ht : IsPreirreducible t
hU : IsOpen U
hU' : U ⊆ t
⊢ IsPreirreducible U
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generateSingleton f).arrows.cocone
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s < ⊤ ∧ ν s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a}
⊢ μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f_dom : Submodule R E
f : ↥f_dom →ₗ[R] F
h' : ∀ ⦃x y : ↥{ domain := f_dom, toFun := f }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := f } y
⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := f }
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Finite α
f : α → β
h : Function.Bijective f
⊢ Finite β
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
⊢ IsCauSeq abs fun m => (abv x ^ m - 1) / (abv x - 1)
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ egauge 𝕜 s 0 = 0
n : Nat
x y : Int
⊢ BitVec.ofInt n (x * y) = BitVec.ofInt n x * BitVec.ofInt n y
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * b ≤ a * (a⁻¹ * c) ↔ a * b ≤ c
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ ((Multiset.toFinsupp s).sum fun x => id) = Multiset.card s
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
a b n : ℤ
c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a - n * c ≡ b [ZMOD n]
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaOdd (-a) s = -HurwitzZeta.completedHurwitzZetaOdd a s
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ μ s ≤ m s ↔ s.Nonempty → μ s ≤ m s
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j : n
⊢ f ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.partDens.get? n = none
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
Zero ι
GradedMonoid.GOne A
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
⊢ 1 = (DirectSum.of A 0) GradedMonoid.GOne.one
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (⨆ i, f i))
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}
a b : NatOrdinal
⊢ NatOrdinal.toOrdinal (max a b) = max (NatOrdinal.toOrdinal a) (NatOrdinal.toOrdinal b)
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Finset α
t : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ ↑s, t x = ⋃ x ∈ s, t x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ ↑PartialHomeomorph.univUnitBall 0 = 0
N : ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ ↑N ^ (↑(Behrend.nValue N))⁻¹ / rexp 1 < ↑(Behrend.dValue N)