ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ (W.Φ ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 ∧ (W.Φ ↑n).coeff (n ^ 2) = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
g : Y → X
h : Function.LeftInverse f g
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Embedding g
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.29822
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ∅ ∈ measurableCylinders α
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ν : MeasureTheory.Measure α
h' : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint ν s t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
c : M'
⊢ MDifferentiableAt I I' (fun x => c) x
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
_instM : Module ℚ M
_instM₂ : Module ℚ M₂
F : Type u_3
FunLike F M M₂
AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
c : ℚ
x : M
⊢ f (c • x) = c • f x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ insert a s, t x = t a ∩ ⋂ x ∈ s, t x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : IsBigOWith C l u v
⊢ (fun x => φ x • u x - v x) =o[l] v
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)
⊢ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ≤ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r) ≤ slope f a b
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
⊢ Monotone fun n => ∑ i ∈ range n, X i ω
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
⊢ H.Connected ↔ H.verts.Nonempty ∧ ∀ {u v : V}, u ∈ H.verts → v ∈ H.verts → ∃ p, p.toSubgraph ≤ H
α : Type u_1
i : Nat
as bs : List α
h : i < as.length
h' : i < (as ++ bs).length
⊢ (as ++ bs)[i] = as[i]
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
⊢ (1 + s) ^ p < 1 + p * s
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r
⊢ Ordered cmp (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h₁ : X ≃ₜ Y
h₂ : Y ≃ₜ Z
x : X
⊢ (h₁.trans h₂) x = h₂ (h₁ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
a : α
n : ℕ
x : α
xs : List α
z : Sym α (n + 1)
ha : a ∈ z
hz : (∃ a ∈ List.sym n (x :: xs), x ::ₛ a = z) ∨ z ∈ List.sym (n + 1) xs
⊢ a ∈ x :: xs
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ (s + 1).GammaIntegral = s * s.GammaIntegral
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ J.W f ↔ IsIso (G.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length
x : α
hx : x ∈ l.getLast?
y : α
hy : y ∈ l'.head?
⊢ x < y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1 = Fintype.card ι
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₁ ∘ fun x => ⟦f x⟧) = splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₂ ∘ fun x => ⟦f x⟧)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → List β
g : α → β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => List.map (g a) (f a)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (l ⊓ l').NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃i' : ι'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Subsingleton ↥p ↔ p = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hxs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
a b c : α
⊢ min a (b + c) = min a (min a b + min a c)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
NoMaxOrder α
⊢ Order.IsSuccLimit a ↔ IsMin a
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
⊢ (BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑Term.constantsVarsEquivLeft.symm) (fun n => ⇑(Equiv.sumEmpty (L.Relations n) (Sequence₂ PEmpty.{1} PEmpty.{1} PEmpty.{1} n)).symm) (fun x => id) φ).Realize x✝ default ↔ φ.Realize (Sum.elim Subtype.val x✝) default
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
⊢ MeasurableSet (j ∩ i)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x - ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : ℝ
f : UnitAddCircle → E
⊢ ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc t (t + 1), f ↑a = ∫ (b : UnitAddCircle), f b
α : Type u
f g : α → α
hg : Function.LeftInverse g f
n : ℕ
⊢ Function.LeftInverse g^[n] f^[n]
p : ℕ → Prop
h₀ : ¬p 0
a b : ℕ
hab : a ≤ b
ha : nth p a = 0
⊢ nth p b = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ StarConvex 𝕜 x Set.univ
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
i : α
hi : i ∈ t
⊢ f i ∈ ↑V
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F G : C ⥤+ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.AdditiveFunctor.forget C D).map α = α
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M
⊢ ∏ i ∈ Ioi 0, v i = ∏ j : Fin n, v j.succ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
g : G
x : α
⊢ f.symm ((fun x => e.symm g • x) (f x)) = (fun x => g • x) (f.symm (f x))
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
x u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ b * x ≤ u ∧ u ≤ x
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ r₁ r₂ : List α
e' : l₂.append r₂ = l₁.append r₁
ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: l₂).length
⊢ a :: l₁ <+: a :: l₂
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange U.ι = U
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → (weight w) a = 0
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
⊢ (Finpartition.empty α).parts = ∅
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ a ≤ 0 → 0 ≤ -a
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).dProd fι fA = GradedMonoid.GMul.mul (fA a) (l.dProd fι fA)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
c d : ℝ≥0
hcd : c < d
s : Set α
hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a
hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a
x : α
x✝ : x ∈ s
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
s' : Set α := s ∩ o
h : ¬μ (s ∩ o) = 0
⊢ ρ s' < ρ s'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ULiftHom C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ULiftHom.down.map f = f.down
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
⊢ MonoidHom.range 1 = ⊥
α : Type u_1
Ω : Type u_2
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, MeasureTheory.Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R
⊢ (M.updateRow j (u + v)).det = (M.updateRow j u).det + (M.updateRow j v).det
α : Type u_1
x : α
xs : List α
n : Nat
a : α
⊢ (x :: xs).set (n + 1) a = x :: xs.set n a
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
⊢ Bifunctor.fst f ∘ Bifunctor.snd f' = bimap f f'
M₀ : Type u_1
CommSemigroup M₀
Zero M₀
IsLeftCancelMulZero M₀
⊢ IsRightCancelMulZero M₀
α : Type u
γ : Type u_1
TopologicalSpace γ
T2Space γ
CompactSpace γ
f : α → γ
⊢ Continuous (Ultrafilter.extend f)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f : α → β
⊢ (FreeAbelianGroup.liftAddGroupHom β a) f = (FreeAbelianGroup.lift f) a
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
ι' : Type u_8
φ : ι' → ι
⊢ TopologicalSpace.induced (fun f j => f (φ j)) Pi.topologicalSpace =
  ⨅ i', TopologicalSpace.induced (Function.eval (φ i')) (T (φ i'))
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
x : α
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ eVariationOn f (s ∪ t) = eVariationOn f s + eVariationOn f t
α : Type u
β : Type v
Nonempty α
f : Filter β
f.NeBot
⊢ (Filter.comap Prod.snd f).NeBot
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1) ≤ 𝓝[stolzSet M] 1
⊢ Real.sin (Real.pi / 32) = √(2 - √(2 + √(2 + √2))) / 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i ≤ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∀ i ∉ s, g i = 0
hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
⊢ ∑ i : ι, g i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hA : A ∈ (chunk hP G ε hU).parts
⊢ A.card = m ∨ A.card = m + 1
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (Cardinal.aleph o).ord.IsLimit
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
⊢ (∃ x, xᶜ ∈ f ∧ kernImage m xᶜ = s) ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = sᶜ
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
f f' : Filter α
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ f), ↑g ≤ f' ↔ f ≤ f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ Commute a b⁻¹ ↔ Commute a b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s : ↥M
e : ∃ c, ↑c * (↑1 * (x * a)) = ↑c * (↑(s * 1) * 0)
⊢ mk' S x s = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i x
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
⊢ f ≫ toPushforwardStalk f p = (toOpen ↑R ⊤ ≫ (structureSheaf ↑R).presheaf.germ ⟨p, True.intro⟩) ≫ (TopCat.Presheaf.stalkFunctor CommRingCat p).map (Spec.sheafedSpaceMap f).c
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length
hnl' : n ≤ (l ++ [a]).length
⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Even (m - n) ↔ ((Even (m - n) ↔ Even n) ↔ Even n)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (-a).imJ = -a.imJ
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ↑(n.choose k) * bernoulli' k = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
self : α →ᵈ β
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), edist (self.toFun x) (self.toFun y) = ↑r * edist x y
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b : α
⊢ Finset.Icc a b \ {a, b} = Finset.Ioo a b
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ a✝¹ : σ
a✝ : a✝¹ ∈ S
⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.step a✝¹ (some s) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) (s ∩ {b | ¬a < b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ico a b = ∅ ↔ ¬a < b
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
b : β
f : α → β
s : Set α
f_mble : NullMeasurable f (μ.restrict s)
hs : μ ({a | ¬f a = b} ∩ sᶜ) = 0
t : Set β
t_mble : MeasurableSet t
ht : b ∉ t
⊢ μ (f ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' t ∩ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : p.radius < ↑‖x‖₊
⊢ ¬Summable fun n => ‖p n‖ * ‖x‖ ^ n
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ ⇑f.toAffineMap = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s) ↔ μ s = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ * x✝ = a0 * b0
⊢ x✝¹ = a0 ∧ x✝ = b0
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
⊢ ↑(mkAlgHom S s) = mkRingHom s
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : α → MeasureTheory.Measure β
⊢ Measurable μ ↔ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → Measurable fun b => (μ b) s
α : Type u_1
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable σ
Finite α
f : α → σ
⊢ Primrec f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
⊢ Summable fun b => (4 ^ b.fst)⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
s : Set ι
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Submodule.map f (N i) ≤ N i
⊢ Submodule.map f (⨆ i ∈ s, N i) ≤ ⨆ i ∈ s, N i
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
⊢ 0⁻¹ = 0
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ gauge t (gaugeRescale s t 0) = gauge s 0
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ρ : MeasureTheory.Measure (α × β)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map Prod.swap ρ).fst = ρ.snd
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
⊢ levyProkhorovDist μ ν ≤ δ
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : Finmap β
⊢ Finmap.insert a b (s₁ ∪ s₂) = Finmap.insert a b s₁ ∪ s₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ (F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X)) ≫ (𝟭 D).map f = f
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (Order.pred a)
a b : α
⊢ p a ↔ p b
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a * b < a ↔ b < 1
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactSpace (X × Y)
⊢ Continuous curry
α : Type u_5
r₁₁ : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), r₁₁ a a
⊢ Relator.LeftTotal r₁₁
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
⊢ Function.Surjective f.invOfMemRange
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)
⊢ f ≫ ι₁ ≫ c = g ≫ ι₂ ≫ c
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ
⊢ ((WittVector.map g) (f x)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x)).coeff n
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
CompactSpace G
⊢ UniformAddGroup G
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop (x + y) = min (Tropical.untrop x) (Tropical.untrop y)
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this✝ : Epi (σ i ≫ θ')
this : Epi θ'
⊢ θ = σ i
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∀ (i : ι), (g i) x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.RespectsIso
⊢ P.map (𝟭 C) = P
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
⊢ HasFDerivAt (fun x i => φ i x) (ContinuousLinearMap.pi φ') x ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivAt (φ i) (φ' i) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
x y : ℝ
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
⊢ False
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
a : G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
ha : a ^ k = 1
⊢ orderOf a ≤ k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 Set.univ