ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.346325
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁
⊢ f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ (-B₁).IsAdjointPair B₁ f f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪y, x⟫_𝕜 = re ⟪x, y⟫_𝕜
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
h : ∀ (m : M), f m = g m
⊢ f = g
a : ENNReal
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : NFA α σ
M : DFA α σ
x : List α
⊢ x ∈ M.toNFA.accepts ↔ x ∈ M.accepts
x y : PartENat
⊢ (⊤ + ⊤).toWithTop = ⊤.toWithTop + ⊤.toWithTop
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
⊢ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g → ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.powersetCard (n + 1) (a ::ₘ s) =
  Multiset.powersetCard (n + 1) s + Multiset.map (Multiset.cons a) (Multiset.powersetCard n s)
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y, a < y ∧ r * y = x) ↔ r * a < x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 ≤ f
⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, f i = 1) ↔ f = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
CategoryTheory.Epi t.ι
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
J : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} J
F : CategoryTheory.Functor J (AlgebraicGeometry.SheafedSpace C)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
x : ↑↑c.pt.toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (c.ι.app i).base y = x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
⊢ p.support.card ≤ (range (p.natDegree + 1)).card
α : Type u_1
Monoid α
Preorder α
a b : αˣ
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ Submodule.toAddSubgroup (a • S) ↔ x✝ ∈ a • Submodule.toAddSubgroup S
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ
⊢ v ∘ (id ⊗ elim0) ∈ S ↔ (v ⊗ fun i => f i v) ∈ S
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ s.Nodup → (s.ndinter t).Nodup
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
this : S.HasHomology
⊢ IsZero h.H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g x
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyι (S.descOpcycles k ⋯) = 0
R : Type u_1
Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
Qf : ∀ (f : R[X]), Q (Polynomial.toLaurent f)
QT : ∀ (f : R[T;T⁻¹]), Q (f * LaurentPolynomial.T 1) → Q f
⊢ Q f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
⊢ (↑(s.toComplexMeasure t) i).re = ↑s i
α : Type u_1
LE α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a ≤ OrderDual.ofDual b ↔ b ≤ a
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c₁ : γ₁
⊢ Sum.inl c₁ ∈ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔
  (∃ a₁ b₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ c₁ ∈ f₁ a₁ b₁) ∨ ∃ a₁ b₂, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c₁ ∈ g₁ a₁ b₂
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ (Independent fun i => t ↑i) ↔ Independent t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop
A_meas : MeasurableSet A
E : Set α
hE₁ : MeasurableSet E
hE₂ : E ⊆ A
hE₃ : ↑0 E < ↑s E
k : ℕ
hk₁ : 1 ≤ bdd k
hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E
hA' : A ⊆ i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
⊢ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) - 1) + 1) < ↑s E
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {F G : C ⥤ D}, (F ≅ G) → P.map F ≤ P.map G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
⊢ ¬coeff ⟨i, hin⟩ ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff ⟨i, hin⟩ 0
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.subLeft x) b = x - b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f s → x ∈ B
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Inv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
⊢ μ.inv = μ
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ Int.negOfNat nb) ne
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
⊢ Independent ![u, v] ↔ u ≠ v
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ 0 ≤ ∫ (a : Ω), (fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (f (i + 1) - f i)) ω) a ∂μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ↑⌊a + b⌋ - 1 ≤ ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
O : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
S : Submodule R O
e : M ≃ₗ[R] N
f : N ≃ₗ[R] O
he : map e P = Q
hf : map f Q = S
hef : map (e ≪≫ₗ f) P = S
x✝ : M ⧸ P
⊢ (P.mapQ S (↑f ∘ₗ ↑e) ⋯) x✝ = (Q.mapQ S ↑f ⋯) ((P.mapQ Q ↑e ⋯) x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : AntitoneOn f s
a : α
⊢ AntitoneOn (fun x => a * f x) s
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
Monoid N
SMul M N
MulAction N α
SMul M α
IsScalarTower M N α
MulAction.IsPretransitive M α
⊢ MulAction.IsPretransitive N α
V : Type u
G : SimpleGraph V
x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
⊢ SimpleGraph.Walk.cons ⋯ (p.tail hp) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝² : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
t : ι → Set α
V : ι → Set (β × β)
ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖
hmono : Monotone t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V
this : Nonempty ι
⊢ Antitone fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)
m : Type u_2 → Type u_3
Monad m
α : Type u_4
β : Type u_2
f : α → m β
a : α
n : ℕ
v : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.mmap f (a ::ᵥ v) = do
  let h' ← f a
  let t' ← Mathlib.Vector.mmap f v
  pure (h' ::ᵥ t')
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s₁ s₂ : Stream' α
x✝ : a ∈ s₂
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s₂.get n)
⊢ (fun b => a = b) ((s₁ ⋈ s₂).get (2 * n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) ∅ = 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr.f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst.f i = 0
X : TwoP
⊢ X.toBipointed.X = X.X
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
⊢ (if H : ↑(Fin.natAdd p.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = q.toFun i.succ
M : Type u_2
AddZeroClass M
⊢ ⊥.unop = ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommMonoid P} (f : M →+ N →+ P) (m₁ m₂ : M) (n : N),
  (f (m₁ + m₂)) n = (f m₁) n + (f m₂) n
α : Type u_2
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : α) in Filter.cofinite, a ≠ x
E : Type u_1
SeminormedAddGroup E
s t : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s + t)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
⊢ ⇑f.toLatticeHom = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Nonempty α
f : α →₀ M
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a b, f = single a b
R : Type u_1
One R
Neg R
a : R × R × R × R
⊢ ((Quaternion.equivProd R).symm a).re = a.1
α : Type u_2
MulZeroClass α
s : Set α
⊢ 0 * s ⊆ 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ⊤.FG
⊢ (map S.val ⊤).FG
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).counitIso.hom.app X).left =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in f ⁻¹' s, μ.rnDeriv ν a ∂ν = ∫⁻ (x : α) in f ⁻¹' s, (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x) ∂ν
α : Type u_2
Lattice α
a : α
⊢ IsSublattice {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Zero E
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
SMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ IsOpen ↑s
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
p : R
hp : Irreducible p
hM : Module.IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
⊢ Ideal.torsionOf R M x = Ideal.span {p ^ Submodule.pOrder hM x}
X : Type u_1
x : OnePoint X
⊢ x ∉ range some ↔ x = ∞
α : Type u_1
ι : Type u_4
NonUnitalSeminormedRing α
f g : ι → α
l : Filter ι
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l (𝓝 0)
R : Type u_1
CommRing R
x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ y₇ y₈ : R
⊢ (x₁ ^ 2 + x₂ ^ 2 + x₃ ^ 2 + x₄ ^ 2 + x₅ ^ 2 + x₆ ^ 2 + x₇ ^ 2 + x₈ ^ 2) *
    (y₁ ^ 2 + y₂ ^ 2 + y₃ ^ 2 + y₄ ^ 2 + y₅ ^ 2 + y₆ ^ 2 + y₇ ^ 2 + y₈ ^ 2) =
  (x₁ * y₁ - x₂ * y₂ - x₃ * y₃ - x₄ * y₄ - x₅ * y₅ - x₆ * y₆ - x₇ * y₇ - x₈ * y₈) ^ 2 +
                (x₁ * y₂ + x₂ * y₁ + x₃ * y₄ - x₄ * y₃ + x₅ * y₆ - x₆ * y₅ - x₇ * y₈ + x₈ * y₇) ^ 2 +
              (x₁ * y₃ - x₂ * y₄ + x₃ * y₁ + x₄ * y₂ + x₅ * y₇ + x₆ * y₈ - x₇ * y₅ - x₈ * y₆) ^ 2 +
            (x₁ * y₄ + x₂ * y₃ - x₃ * y₂ + x₄ * y₁ + x₅ * y₈ - x₆ * y₇ + x₇ * y₆ - x₈ * y₅) ^ 2 +
          (x₁ * y₅ - x₂ * y₆ - x₃ * y₇ - x₄ * y₈ + x₅ * y₁ + x₆ * y₂ + x₇ * y₃ + x₈ * y₄) ^ 2 +
        (x₁ * y₆ + x₂ * y₅ - x₃ * y₈ + x₄ * y₇ - x₅ * y₂ + x₆ * y₁ - x₇ * y₄ + x₈ * y₃) ^ 2 +
      (x₁ * y₇ + x₂ * y₈ + x₃ * y₅ - x₄ * y₆ - x₅ * y₃ + x₆ * y₄ + x₇ * y₁ - x₈ * y₂) ^ 2 +
    (x₁ * y₈ - x₂ * y₇ + x₃ * y₆ + x₄ * y₅ - x₅ * y₄ - x₆ * y₃ + x₇ * y₂ + x₈ * y₁) ^ 2
p : ℤ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => x ^ p
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
⊢ ↑1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
Finite ι
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous (F i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.RightHomologyData
⊢ h.unop.H = Opposite.unop h.H
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : ¬padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hnlt : ¬padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subsemiring.map g f.rangeS = (g.comp f).rangeS
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
n : ℕ
F : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C
⊢ ∀ {X Y : Fin (n + 1)} (f : X ⟶ Y), ((G.mapComposableArrows n).obj F).map f = G.map (F.map f)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p q : α
hp : DvdNotUnit p q
⊢ ¬IsUnit q
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
⊢ (generateSetAlgebra 𝒜).Countable
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.cons x v)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
⊢ ↑((expand R p) f).natDegree = ↑(f.natDegree * p)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
⊢ liminf (u + v) f = ⊤
α : Type u
β' : Type v
Infinite α
lle : Cardinal.lift.{u, v} #β' ≤ Cardinal.lift.{v, u} #α
⊢ #(β' ↪ α) = #(β' → α)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x ≠ v y
⊢ v (x + y) = max (v x) (v y)
α : Type
Ring α
ds : List ℕ
x : Holor α ds
⊢ x.cprank ≤ ds.prod
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
x✝ : MeasurableSet s
⊢ μ.inv s = 0 → μ s = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : s(v, w) ∈ G.edgeSet
d : G.Dart := { toProd := (v, w), adj := h }
⊢ 2 = {d, d.symm}.card
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ f x
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ (algebraMap R A) r ≤ cfc f a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M', ∃ (hM : M' ≤ M₁), Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)))
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, -f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, -f ↑x
⊢ @List.modifyNth = @List.modifyNthTR
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inl
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inl
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ ∀ {X₁ X₂ : CategoryTheory.Dial C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : CategoryTheory.Dial C),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y).F =
    CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Limits.prod.map CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst) f.F)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α
⊢ append xs (cons y ys) = append (snoc xs y) ys ∘ cast ⋯
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
i₁ : I
φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁
i₂ : I
φ₂ : Y₂ ⟶ Y i₂
a✝ : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ F.map g₁.op (x.familyOfElements X f₁ ⋯) = F.map g₂.op (x.familyOfElements X f₂ ⋯)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : Cᵒᵖ
⊢ (e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X)).unop = (𝟙 (e.functor.op.obj X)).unop
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
PosSMulReflectLE α β
FloorDiv α β
CeilDiv α β
a : α
b : β
⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ Filter.Tendsto f (MeasureTheory.ae μ) (MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.map f μ))
ι : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
a b : ι → R
s : Finset ι
H : s.Nonempty
ha : ∀ i ∈ s, 0 ≤ a i
hb : ∀ i ∈ s, 0 ≤ b i
⊢ s.sup' H (a * b) ≤ s.sup' H a * s.sup' H b
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I✝ : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
⊢ ∃ M_1, (toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I
R : Type u_1
Add R
Mul R
c : RingCon R
x y : Rᵐᵒᵖ
⊢ c.op x y ↔ c (MulOpposite.unop y) (MulOpposite.unop x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
RF RF' : CategoryTheory.Functor D H
F F' : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
α' : F' ⟶ L.comp RF'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
τ : F ≅ F'
⊢ (RF.rightDerivedNatIso RF' α α' W τ).inv = RF'.rightDerivedNatTrans RF α' α W τ.inv
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
f : E →ₐ[F] K
⊢ (f.comp L.val).fieldRange.toSubalgebra = (map f L).toSubalgebra
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.insert' x t = Ordnode.insertWith id x t
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.AddContent C
⊢ self.toFun ∅ = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
⊢ Even (-2)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ ↑(symmDiff s t) = symmDiff ↑s ↑t
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : Pell.yn a1 n * Pell.yn a1 n ∣ Pell.yn a1 t
⊢ Pell.yn a1 n ∣ t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : ↥(Unitization.unitsFstOne R A)
⊢ ↑((Unitization.unitsFstOne_mulEquiv_quasiregular R) x) = PreQuasiregular.equiv (↑↑x).snd
x : ℂ
n : ℕ
⊢ Complex.tan (x + ↑n * ↑Real.pi) = Complex.tan x
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α ⊕ β → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ (∃ a, p (Sum.inl a)) ∨ ∃ b, p (Sum.inr b)
K : Type u_1
Field K
self : NumberField K
⊢ CharZero K