ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : (toSplittingField k v.support) ((Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) v) = (toSplittingField k v.support) 1
⊢ False
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
⊢ min x.orderTop y.orderTop ≤ (x + y).orderTop
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y) ↔ ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ insepDegree F F = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
⊢ Absorbent 𝕜 (p.ball x r)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ↑‖f a‖₊) μ
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : W.IsCompatibleWithShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ W ((shiftFunctor C a).map f) ↔ W f
α : Type u_1
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup F'
g' : α → F'
l : Filter α
ι : Type u_17
Fintype ι
E' : ι → Type u_18
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
⊢ Asymptotics.IsBigOWith C l f g' ↔ ∀ (i : ι), Asymptotics.IsBigOWith C l (fun x => f x i) g'
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    𝒰.gluedCoverT' y z x ≫
      𝒰.gluedCoverT' z x y ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
          (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
⊢ IsBaseChange S f
α : Type u_1
p : α → Bool
b✝ : α
l : List α
a : α
al✝ : a ∈ b✝ :: l
pa : p a = true
b : α
al : Mem a l
pb : ¬p b = true
c : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
h₂ : p c = true
h₃ : l = l₁ ++ c :: l₂
h₄ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
⊢ b :: l = b :: l₁ ++ c :: l₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
a b : ℝ
hz : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.HadamardThreeLines.verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
ha : ∀ z ∈ Complex.re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a
hb : ∀ z ∈ Complex.re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ‖f z‖ ≤ a ^ (1 - z.re) * b ^ z.re
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : V₁), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
⊢ AntilipschitzWith K ⇑f
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).trailingDegree = p.trailingDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ Measurable fun a => ‖f a‖₊
ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ t.assocRight.drop.take = t.take.drop
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.subtype.range = H
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
Fintype n
RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
⊢ M.closure I = F
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
h : a ≤ b
⊢ p.count a.factors ≤ p.count b.factors
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
SemilatticeInf β
OrderTop β
f : α → β
⊢ Finset.inf 0 f = f 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : N
⊢ Monoid.Coprod.toProd (Monoid.Coprod.inr x) = (1, x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0
⊢ (B m₀) m₁ = 0
α : Type u_1
Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom
⊢ (a ∪ b).get hab = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (o.bsup fun a ha => Order.succ (f a ha)) = o.blsub f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inlₗ a) (Sum.inrₗ b) = Finset.map toLex.toEmbedding ((Finset.Ici a).disjSum (Finset.Iic b))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ D₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
CategoryTheory.Localization.Lifting L₁ W₁ G G'
F : CategoryTheory.Functor C₂ D₁
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.Localization.Lifting L₂ W₂ F F'
α : G.comp F' ≅ L₁
β : F.comp G' ≅ L₂
X : C₂
⊢ (CategoryTheory.Localization.equivalence L₁ W₁ L₂ W₂ G G' F F' α β).counitIso.app (L₂.obj X) =
  (CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L₂ W₂ (F.comp G') (F'.comp G')).app X ≪≫ β.app X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
Y : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.representative.obj Y).obj.left = CategoryTheory.Subobject.underlying.obj Y
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
⊢ z i < y i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
a b : Prop
Decidable a
⊢ (a → b ↔ b) ↔ a ∨ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.equivalence C).unitIso.hom.app X = 𝟙 X
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.shadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : Subsingleton α
a b i j : α
⊢ (j ∈ if i = a then some b else none) ↔ j ∈ some i
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ
⊢ IsOpen (⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' U)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯
c' : G.Coloring Bool := (G.recolorOfEquiv finTwoEquiv) c
this : ¬c' u = true ↔ c' u = true
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card
⊢ (fun x => x + t.card) (s \ t).card = (fun x => x + t.card) (t \ s).card
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
s : Set X
x : X
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ 0 < μ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Presieve.functorPullback (CategoryTheory.Functor.id C) R = R
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : (x + a * y) * (x - a * y) = 1
⊢ False
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ
⊢ ⌈↑z⌉₊ ≤ a ↔ z.toNat ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
self : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F X)).hom =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F X) CategoryTheory.LaxMonoidal.ε ≫
    CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X (𝟙_ C) ≫ CategoryTheory.map F (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hψφ : ψ ≤ φ
hf : UniformConcaveOn s φ f
⊢ UniformConcaveOn s ψ f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
R : Type u
Ring R
x : R
⊢ x ∈ ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
⊢ 0 ≤ c * ‖z‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : F.Elementsᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).obj X =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.yonedaEquiv.symm (Opposite.unop X).snd)
M : Type u_2
OrderedAddCommMonoid M
Archimedean M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
ha : 0 < a
b : M
⊢ ∃ n, b < n • a
α : Type u_1
SizeOf α
x : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
⊢ sizeOf x < sizeOf s
α : Type u
Nonempty α
⊢ Set.univ.Nonempty
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : M →+ N
hf : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : -(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y = -(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z
⊢ f ↑y = f ↑z
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' closure s = closure (⇑h '' s)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
b : β
bs : Multiset β
⊢ Rel r as (b ::ₘ bs) ↔ ∃ a as', r a b ∧ Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
h : IsClosed s
⊢ MeasurableSet s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Zero E
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
SMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ Convex ℝ ↑s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
g : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
h : type r ≠ 0
⊢ f ((type r).bsup g) = (type r).bsup fun a h => f (g a h)
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ Function.Surjective (Polynomial.eval x)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x
n : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(derangements (Fin (n + 2))) =
  (n + 1) * Fintype.card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * Fintype.card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ nndist x z ≤ nndist x y + nndist y z
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
g : G
⊢ Disjoint (g • B) B ↔ Disjoint (⇑C.inclusion '' (g • B)) (⇑C.inclusion '' B)
m n k : Nat
⊢ m / n / k = m / (n * k)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
k : Type u_2
LinearOrderedField k
x : k
hx : 0 < x
⊢ (fun y => x * y) '' Set.Ioi 0 = Set.Ioi 0
γ : Type w
MetricSpace γ
s : Set γ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs : s.Pairwise fun x y => ε ≤ dist x y
⊢ IsClosed s
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ xᶜ
⊢ x ≤ y
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a - b‖ = 0 ↔ a = b
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ z (τ + 2) = jacobiTheta₂ z τ
C✝ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F : D ⥤ E
hF : F.FullyFaithful
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C
X✝ Y✝ : C ⥤ D
f : ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj X✝ ⟶ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj Y✝
x✝¹ x✝ : C
g : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ F.map (X✝.map g) ≫ f.app x✝ = f.app x✝¹ ≫ F.map (Y✝.map g)
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → of p✝ ≤ d₃
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₁ g₁
adj₂ : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f₂ g₂
⊢ CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂)).inv
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ Real.sin x < x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ (cyclotomic n R).coeff 0 = 1
α : Type u_2
CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ⨆ n, f n = (⨆ n, f ↑n) ⊔ f ⊤
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
⊢ ∃ S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H, g ∈ S
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
T : CategoryTheory.Subgroupoid D
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ (CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ T) ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β
⊢ Memℒp g 1 (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Memℒp (g ∘ ⇑f) 1 μ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
h : (↑s).EquitableOn f
ha : a ∈ s
⊢ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
w : Nat
x y z : BitVec w
⊢ x * y * z = x * (y * z)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.outer (Set.Ioc a b) = ENNReal.ofReal (↑f b - ↑f a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.obj).hom
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
self : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
⊢ ↑self (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * ↑self x
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimitCone G).hom =
  CategoryTheory.Limits.colim.map (CategoryTheory.Limits.limitIsoSwapCompLim G).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimit (CategoryTheory.uncurry.obj G) ≫
      CategoryTheory.Limits.lim.map
        (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.currying.unitIso.app G).inv CategoryTheory.Limits.colim)
G : Type u_3
P : Type u_4
SMul G P
self : IsCancelSMul G P
a b : G
c : P
⊢ a • c = b • c → a = b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeId.hom.app X).hom = 𝟙 X.pt
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (cmp a b).Compares a b
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a / a ≤ 1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
AddZeroClass M₁
AddZeroClass M₂
ContinuousAdd M₂
⊢ IsClosed (Set.range DFunLike.coe)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
hn : 0 < n
h : x ^ n = 1
⊢ orderOf x ≤ n
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ G.deleteEdges s ≤ G
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioi ↑a)) = Ioi ↑a
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ⊔ d = ringConGen (⇑c ⊔ ⇑d)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
⊢ (fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) ((fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) f) = f
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.map Subtype.val (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ) = μ.restrict s
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α), f.comp (Finsupp.singleAddHom x) = g.comp (Finsupp.singleAddHom x)
⊢ f = g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ op U = (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))
R : Type uR
Semiring R
T : Type uT
Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T
⊢ f = RingQuot.lift ⟨f.comp (RingQuot.mkRingHom r), ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
x : ↥(Submodule.torsion' R M S)
⊢ ↑(s • x) = s • ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
e : ι → β
he : Injective e
f : ι → α
⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : ∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i = ⨆ i, f i
α : Type u_1
a b c d : List α
⊢ a ++ b = c ++ d ↔ (∃ a', c = a ++ a' ∧ b = a' ++ d) ∨ ∃ c', a = c ++ c' ∧ d = c' ++ b
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
⊢ Supermartingale (f - g) ℱ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.mop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator { unmop := Z } { unmop := Y } { unmop := X }).hom
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
hc : c ≤ 0
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set (α × β)
⊢ sᶜ ∈ cofinite.coprod cofinite ↔ sᶜ ∈ cofinite
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
m : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.sum (Function.extend f m 0) = MeasureTheory.Measure.sum m
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
self : α →Co β
⊢ Continuous self.toFun
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ C * ‖f‖
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : C^⊤⟮I, M; I', M'⟯
x : M
v : PointDerivation I x
g : C^⊤⟮I', M'; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ ((𝒅 f x) v) g = v (g.comp f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.ConcreteCategory.HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
J.WEqualsLocallyBijective A
CategoryTheory.HasSheafify J A
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
CategoryTheory.Balanced (CategoryTheory.Sheaf J A)
F G : CategoryTheory.Sheaf J A
φ : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective φ ↔ CategoryTheory.Epi φ
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
⊢ ∀ b ∈ S, 0 * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
α : Type u_1
β : Type v
a : α
s : Multiset α
f : α → Multiset β
⊢ (a ::ₘ s).bind f = f a + s.bind f
G : Type u_1
P : Type u_2
Preorder G
Preorder P
VAdd G P
IsOrderedVAdd G P
a b : G
c d : P
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a +ᵥ c ≤ b +ᵥ d
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ PEquiv.ofSet s = PEquiv.refl α ↔ s = Set.univ