ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Monad C
f : T₁ ⟶ T₂
g : T₂ ⟶ T₃
X : T₃.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomComp f g).hom.app X).f =
  (CategoryTheory.Iso.refl
      ((CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).obj X).A).hom
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ ¬G.Adj v v
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)
⊢ FreeAbelianGroup.of (a :: m) = FreeAbelianGroup.of (FreeMonoid.of a * m)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x‖
s : ℂ
⊢ (Complex.Gamma s)⁻¹ = s * (Complex.Gamma (s + 1))⁻¹
β : Type u_2
ι : Sort u_4
p : ι → β → Prop
⊢ {x | ∀ (i : ι), p i x} = ⋂ i, {x | p i x}
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }
f : ↥(sSup (domain '' c)) → F := fun x => ↑↑↑(P x) ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
⊢ C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) 1 • C (f.coeff n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s) → x ∈ s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
c : M₂
⊢ e (e.symm c) = c
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x y : ↥I
⊢ I.toCotangent x = I.toCotangent y ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.den ∈ x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
hS : S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
q : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H)
⊢ Quotient.mk'' ↑((AddSubgroup.MemRightTransversals.toEquiv hS) q) = q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : a₁ < c.1
h₂ : c.1 < a₂
this : c.2 = b
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α
n : ℕ
⊢ ‖dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n))‖ ≤ dist a b
n a : ℕ
⊢ (n.floorRoot a).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
X X' Y Y' : C
g : X ⟶ Y
g' : X' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map (g ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl) (g' ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr) ≫
    CategoryTheory.Limits.codiag (Y ⨿ Y') =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map g g'
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
f : α → M
s t : Set α
a : α
⊢ (s ∪ t).indicator f a + (s ∩ t).indicator f a = s.indicator f a + t.indicator f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
n : ℕ
x : Rˣ
⊢ (v.valuationOfNeZeroMod n) ↑((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1
α : Type u_1
LT α
a : WithBot α
⊢ ¬a < ⊥
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ (↑(quotKerTotalEquiv R S).symm).compDer (D R S) = derivationQuotKerTotal R S
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (coclosedLindelof X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsLindelof s) compl
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ homologyMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjHomologySelfIso c j B).hom = (singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ f
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ s
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
⊢ l₁ ++ l₂ ⊆ l ↔ l₁ ⊆ l ∧ l₂ ⊆ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A B : Set α
hB : MeasurableSet B
hAB : Disjoint A B
⊢ ∫⁻ (a : α) in A ∪ B, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in A, f a ∂μ + ∫⁻ (a : α) in B, f a ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0
⊢ b ^ Real.logb b x = -x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOn F f p s
g : γ → α
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (g ⁻¹' s)
F : Type u_1
Field F
x : F
⊢ (Lagrange.basisDivisor x x).natDegree = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ.withDensityᵥ (f + g) = μ.withDensityᵥ f + μ.withDensityᵥ g
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
⊢ Polynomial.X.smeval x = x ^ 1
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
⊢ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
G : Type u
CategoryTheory.Groupoid G
IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G))
Quiver.Arborescence (WideSubquiver.toType (Quiver.Symmetrify (IsFreeGroupoid.Generators G)) T)
X : Type u_1
Monoid X
f : CategoryTheory.End (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T) →* X
⊢ ∀ (x : G), (IsFreeGroupoid.SpanningTree.functorOfMonoidHom T f).obj x = ()
m : Type u_2
α : Type u_12
β : Type u_13
M : Matrix m m α
b : m → β
k : β
⊢ M.toSquareBlock b k = Matrix.of fun i j => M ↑i ↑j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
j : J
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.π T j).hom₂ = CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
hnf : eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
hng : eLpNorm (t.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
hlt : eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (-t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k)
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im < 0
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y ⊔ y \ x ⊔ x ⊓ y = (x \ y ⊔ y \ x ⊔ x) ⊓ (x \ y ⊔ y \ x ⊔ y)
α : Type u
app : List α → List α
inv : ∀ (l : List α), app l = app [] ++ l
⊢ (fun x => app [] ++ x) = app
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β
⊢ ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = (⋃ n, s n) ×ˢ ⋃ n, t n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
R : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
⊢ ∀ (a : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (CategoryTheory.End (s i))),
  o.matrixDecompositionLinearEquiv.symm a = o.matrixDecompositionAddEquiv.invFun a
f : Type u₀ → Type u₁
inst✝ : EquivFunctor f
α β : Type u₀
e : α ≃ β
γ : Type u₀
ab : α ≃ β
bc : β ≃ γ
x : f α
⊢ ((mapEquiv f ab).trans (mapEquiv f bc)) x = (mapEquiv f (ab.trans bc)) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
m : ℕ → Measure α
hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤
hμ : μ = sum m
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
⊢ μ (toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0
hb : b ≠ 0
⊢ b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.count = ∑' (a : α), f a
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.lcm b).factorization = a.factorization ⊔ b.factorization
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []
⊢ cs.length (cs.wordProd ω') < (i :: ω').length
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Finset V
C : G.ComponentCompl ↑K
⊢ C.supp.Infinite ↔ ∀ (L : Finset V) (h : K ⊆ L), ∃ D, SimpleGraph.ComponentCompl.hom h D = C
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
h : N ≤ 1
Module.Flat R ↥M
⊢ M.LinearDisjoint N
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
SMul R α
r : R
A : Matrix n n α
⊢ (r • A).diag = r • A.diag
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
this : setOf p ⊆ ↑(range n)
⊢ nth p n = 0
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
x y : M'
⊢ (f fun i => Sum.elim (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl).symm i)) =
  f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero)
α : Type u
Semiring α
a b : α
Invertible a
Invertible b
⊢ ⅟a + ⅟b = ⅟a * (a + b) * ⅟b
m n✝ n : ℕ
⊢ (bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = ((bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2).succ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
⊢ derivative (p ^ 2) = C 2 * p * derivative p
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
⊢ (𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (((𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).hom) ≫ (α_ X Y' Z).inv
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
j : J
⊢ lift f fs w ≫ π arrows j = fs j
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
f : M 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M i.succ) M₂
m : M 0
x : (i : Fin n) → M i.succ
⊢ (f (cons m x 0)) x = (f m) x
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
N : LieSubmodule R L M
hN : ∀ y < N, P y
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
hN' : N' < ⊤
⊢ IsCompl (weightSpace (↥↑(LieSubmodule.map N.incl N')) 0) (posFittingComp R L ↥↑(LieSubmodule.map N.incl N'))
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
DecidablePred fun n => p n ≠ 0
hp : ∃ n, p n ≠ 0
⊢ p.order = Nat.find hp
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Function.Injective fun x₀ => Fin.cons x₀ x
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ Disjoint s (map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s)
V : Type u
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
⊢ e ∈ G.edgeSet → ¬e.IsDiag
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ (bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ Fintype.card α - r + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
h : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K I < MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w a < ↑(f w)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
⊢ (f.lift hg) (f.toMap x) = g x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Nontrivial L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
⊢ Nontrivial ↥↑(LieAlgebra.center R L)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ((s.erase i).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f✝ : M → B
g : M → F
x : M
f : M → TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : (f x).proj ∈ e.baseSet
he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet
⊢ (↑e' (f x)).2 = e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) x) (↑e (f x)).2
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra ℂ B
CompleteSpace B
StarRing B
CstarRing B
EquivLike F A B
NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖φ a‖ = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
Zero M
Zero M'
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : β →₀ M'
h : α → M → β → M' → N
⊢ (f.sum fun x v => g.sum fun x' v' => h x v x' v') = g.sum fun x' v' => f.sum fun x v => h x v x' v'
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous ⇑DomAddAct.mk.symm
α : Type u
f : Filter α
f.NeBot
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
h : P = Q
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
M : Type w
L.Structure M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
Countable M
self : FirstOrder.Language.IsFraisseLimit K M
⊢ L.age M = K
c : Char
cs₁✝ cs₂✝ : List Char
i₁✝ i₂✝ : Pos
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
a✝² : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true
a✝¹ : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true
a✝ : ¬{ data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂
⊢ (if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.involute (CliffordAlgebra.involute a) = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
h : (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0
u : E
hu : u ∈ U
v : E
hv : v ∈ V
⊢ ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
α : Type u_4
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Metric.diam (closure s) = Metric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Set α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ g₂
⊢ f₁.lift g₁ ≤ f₂.lift g₂
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n
⊢ ψ a = 1
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ Disjoint hs.toFinset ht.toFinset ↔ Disjoint s t
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ ↑PartialHomeomorph.univUnitBall.symm 0 = 0