ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
h : Fintype.card β < Fintype.card α
⊢ IsEmpty (α ↪ β)
K : Type u_4
NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Monotone (Finset.filter p)
p : ℝ≥0∞
K : Type uK
V : Type uV
Semiring K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ ⇑(WithLp.linearEquiv p K V).symm = ⇑(WithLp.equiv p V).symm
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊓ S₂).unop = S₁.unop ⊓ S₂.unop
k m n : Nat
⊢ k < m → k < n → m - n < m - k
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
s : Set P
hst : s ⊆ t
h_tot : affineSpan k s = affineSpan k t
h_ind : AffineIndependent k Subtype.val
⊢ ∃ s ⊆ t, ∃ b, ⇑b = Subtype.val
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ x / √x = √x
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ Codisjoint ⊤ a
V W : SemiNormedGrp
i : V ≅ W
h1 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.hom
h2 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.inv
v : ↑V
⊢ ‖i.hom v‖ = ‖v‖
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
t : Finset α
⊢ ∅.diffs t = ∅
a b c : Int
h₁ : a < b
h₂ : 0 < c
⊢ a * c < b * c
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ (pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g = pullback.fst g f
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : X.Opens
⊢ (f.appIso U).inv ≫ f.app (f.opensFunctor.obj U) = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (γ i)
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : (i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
hk : ∀ (i : ι), IsSMulRegular (β i) k
x : (i : ι) → β i
i : ι
⊢ (fun i c => k • c) i 0 = 0
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s
b : α
b_in_orbit : b ∈ orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a
⊢ b ∈ s
R : Type u_1
n : ℕ
CommRing R
x y p : R
h : p ∣ x - y
⊢ p ∣ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * y ^ (n - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ (CategoryTheory.Functor.opUnopEquiv C D).functor = CategoryTheory.Functor.opHom C D
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : f m ∈ ↑↑(weightSpace M₂ χ)
⊢ ∃ m_1, f m_1 ∈ weightSpace M₂ χ ∧ f m_1 = f m
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g1 g2 : widePushout B objs arrows ⟶ X
h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g1 = ι arrows j ≫ g2
h2 : head arrows ≫ g1 = head arrows ≫ g2
⊢ ∀ (j : WidePushoutShape J), colimit.ι (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows) j ≫ g1 = colimit.ι (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows) j ≫ g2
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : ℝ
hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ici x) x
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Set.Ioo 0 R, x ∈ RightDerivMeasurableAux.A f (derivWithin f (Set.Ici x) x) r ε
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
p.NeBot
T2Space β
g : α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : TendstoLocallyUniformlyOn F g p s
⊢ Set.EqOn f g s
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ 1 = 0 ↔ n = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
⊢ l.formPerm.SameCycle a b
h_diff : ∀ {s : ℝ}, 0 < s → DifferentiableAt ℝ Gamma s
h_diff' : ∀ {s : ℝ}, 0 < s → DifferentiableAt ℝ (fun s => Gamma (2 * s)) s
⊢ HasDerivAt Gamma (-√π * (γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
⊢ RingSubgroupsBasis fun i => (B i).toAddSubgroup
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a } = 1 ↔ a = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A 0)) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry 0) 1) x✝
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
GroupWithZero G₀
MeasurableMul G₀
g : G₀
hg : g ≠ 0
⊢ (MeasurableEquiv.mulLeft₀ g hg).symm = MeasurableEquiv.mulLeft₀ g⁻¹ ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : γ → α
g : γ → β
hα : WellFounded (rα on f)
hβ : ∀ (a : α), (f ⁻¹' {a}).WellFoundedOn (rβ on g)
⊢ WellFounded (Prod.Lex rα rβ on fun c => (f c, g c))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
⊢ (l ++ [a]).reverse = a :: l.reverse
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s.val ↔ a ∈ s
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
K : Type u
Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : K
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ p ^ n - Polynomial.C a) ↔ ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = Ordering.eq ↔ a = b
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f x - x ≤ f y - y
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), f x - x ≤ f x_1 - x_1
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝⁵ : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Nonempty γ
f✝ : γ → α
inst✝³ : Finite β
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
f : β → α
M : α
hM : ∀ (i : β), M ≤ f i
⊢ BddBelow (Set.range f)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ (u ^ 4 * W'.dblU P) ^ 2 - W'.a₁ * (u ^ 4 * W'.dblU P) * (u * P z) * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) - W'.a₂ * (u * P z) ^ 2 * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 2 - 2 * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 2 = (u ^ 4) ^ 2 * (W'.dblU P ^ 2 - W'.a₁ * W'.dblU P * P z * (P y - W'.negY P) - W'.a₂ * P z ^ 2 * (P y - W'.negY P) ^ 2 - 2 * P x * (P y - W'.negY P) ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic x) ≠ ⊤
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a : α
B : ¬P → α
h : ∀ (h : ¬P), a ≠ B h
⊢ dite P (fun x => a) B ≠ a ↔ ¬P
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Isometry ⇑f
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
this : k < d
⊢ False
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
R : Type u
Ring R
n : ℕ
k : ℤ
⊢ ↑(Polynomial.eval k (descPochhammer ℤ n)) = Polynomial.eval (↑k) (descPochhammer R n)
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨⟨S, x⟩, a⟩
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] {x_1 : G}
  {s : Set α}, x_1 +ᵥ s =ᵐ[μ] s → -x_1 +ᵥ s =ᵐ[μ] s
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0
⊢ ((monomial n) a).support = {n}
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
⊢ ∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯ = x
R : Type u
Zero R
⊢ Tropical.untrop 1 = 0
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C).t = φ C.t
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : z ≠ y
⊢ x ∈ ⇑(AffineMap.lineMap z y) '' Set.Ici 1
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
i j : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
⊢ M i i = M j j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (CategoryTheory.forget C)
X : C
h : Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsInitial X)
⊢ IsEmpty ((CategoryTheory.forget C).obj X)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
⊢ (g.comp f).range = Subalgebra.map g f.range
z : ℂ
⊢ z.re ≤ √(Complex.normSq z)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
⊢ eVariationOn (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) = eVariationOn f s
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁵ : Countable G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝² : MeasurableSMul G α
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
μ μ' : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
⊢ μ = μ'
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (orbitZMultiplesEquiv a b).symm ↑k = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
hw : Reduced φ w
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (f (a, t)) Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible t) ∧ ↑s = ⋃₀ S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a - b * b = (a + b) * (a - b)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1))) ≤ degreeLE R ↑n
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ ∏ x ∈ s.biUnion t, f x = ∏ x ∈ s, ∏ i ∈ t x, f i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
i j : ι
ha : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j
hij : p i = p j
hij' : ¬i = j
⊢ False
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w x : K
⊢ 0 ≤ x ↔ ∃ s, x = star s * s
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : ∃ x y, x ≠ y
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
⊢ ‖bernsteinApproximation n f - f‖ < ε
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ toLaurent (X ^ n) = T ↑n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
a : L
⊢ (D1 + D2) a = D1 a + D2 a
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupHom α β
hf : f.toFun ⊥ = ⊥
⊢ ⇑{ toSupHom := f, map_bot' := hf } = ⇑f
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
h₁ : R (f i) (f' i)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
a₁ : F.A
f₁ : F.B a₁ → F.M
h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩
⊢ (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(n • B).card ≤ (↑(A + B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
H1 : p.degree < ↑(n + 1)
⊢ (X ^ (n + 1) + p).coeff (n + 1) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
b : β
⊢ map ((fun g => g b) ∘ Prod.mk) f = map (fun a => (a, b)) f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
⊢ Independent f ↔ Finset.univ.SupIndep f
F : Type u
Field F
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
α : Type u
Preorder α
NoTopOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ Disjoint (𝓝 a) Filter.atTop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A = s.ι (Opposite.unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
⊢ (A * B).FermatPsp b
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (Set.range f)
⊢ ∃ c, ∀ (z : E), f z = c
R : Type u
Semiring R
k : ℕ
h : 1 < k
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] Polynomial.X = 0
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
e₁ : Sym2 V
h₁ : e₁ ∈ G.edgeSet
e₂ : Sym2 V
h₂ : e₂ ∈ G.edgeSet
⊢ Sym2.map (⇑f) e₁ = Sym2.map (⇑f) e₂ → e₁ = e₂
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
a : NonemptyInterval α
⊢ (NonemptyInterval.map f a).toProd.2 = f a.1.2
X : Type u_3
Y : Type u_5
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (Function.eval x₀ ∘ u)
⊢ EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : w.IsReal
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ seminormFromConst_seq c f 1 =ᶠ[atTop] fun x => 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : Tendsto ns atTop atTop
⊢ ∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s t : Set α}, Bornology.IsCobounded (s ∩ t) ↔ Bornology.IsCobounded s ∧ Bornology.IsCobounded t
X : Type u_1
Y : Type u_2
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ ClosedEmbedding f ↔ Embedding f ∧ IsClosed (Set.range f)
n : ℕ
⊢ (↑n + 1).sign = 1
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ OrderDual.toDual (s.max' hs) = (Finset.image (⇑OrderDual.toDual) s).min' ⋯
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
ι : Type v
inst✝¹⁰ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁷ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
G' : ι → Type v'
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →ₗ[R] G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →ₗ[R] G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) j ∘ₗ f i j h = f'' i j h ∘ₗ (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
b : β
hb : b ∈ Multiset.map f s.val
⊢ p b
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.CliqueFree (r + 1) ∧ ∀ (H : SimpleGraph V) [inst : DecidableRel H.Adj], H.CliqueFree (r + 1) → H.edgeFinset.card ≤ G.edgeFinset.card
hn : ¬G.Adj s t
⊢ G.degree s = G.degree t
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a ≤ c ∨ c < b
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (p.mod q).degree < q.degree
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
E_nullbdry' : ↑μ (frontier E) = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
⊢ g ∘ ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b✝ c d b : α
⊢ b ≤ ⊤ ⇨ a ↔ b ≤ a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
hpq : p ≤ q
x : ↥(comap q.subtype p)
⊢ (fun x => ⟨⟨↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ({ toFun := fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ M.X ◁ N₁.actLeft ≫ M.X ◁ f.hom = M.X ◁ Y.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft