ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : ChainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : one ≫ Q.d 1 0 = P.d 1 0 ≫ zero
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f' ≫ Q.d (n + 1) n = P.d (n + 1) n ≫ f) →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' f'' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f 1 = one
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Multiset (Associates α)
⊢ ∀ (a : Associates α) (s : Multiset (Associates α)), (s.prod = 1 ↔ ∀ a ∈ s, a = 1) → ((a ::ₘ s).prod = 1 ↔ ∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, a_2 = 1)
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type v
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ (ModuleCat.directLimitCocone G f).ι.app i = Module.DirectLimit.of R ι G f i
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
⊢ τ f < z
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : CommSemiring R
⊢ IsRadical y ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (Type v) X
x : ↑X
⊢ Function.Surjective (F.stalkToFiber x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop
⊢ 0 < c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
hne : image f s = ∅
⊢ p s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K
⊢ Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 (↑K x))) (𝓝 (v x))
α : Sort u
Unique α
β : α → Sort u_1
⊢ ⇑(Equiv.piUnique β).symm = uniqueElim
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
⊢ |y - x - ↑(round (p⁻¹ * (y - x))) * p| ≤ ε ↔ ∃ i, |y - x - ↑i * p| ≤ ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor X).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 (⊤_ C)) f =
  f ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor Y).inv
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X : Action V G
Y Z : Action V G
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).hom = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X.V f.hom
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
s : Set X
⊢ IsLindelof s
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ (clog b r - 1) < r
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ Set.Iic (sInf s) = ⋂ a ∈ s, Set.Iic a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R
⊢ closure {x} = zeroLocus ↑x.asIdeal
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
this : MeasurePreserving (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' μ' ↔ MeasurePreserving f μ μ
⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p m : Associates α
hp : Prime p
hle : m ≤ p
⊢ m = 1 ∨ m = p
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
⊢ g.toLinearPMap.domain = Submodule.map (LinearMap.fst R E F) g
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ s.WellFoundedOn r ↔ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' (⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ) = Set.univ
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
r r' : X
s : ↥S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s = (r + r') /ₒ s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s \ intrinsicFrontier 𝕜 s = intrinsicInterior 𝕜 s
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ a / 2 + a / 2 = a
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A : Matrix (m₁ ⊕ m₂) n R
i : m₂
j : n
⊢ A.toRows₂ i j = A (Sum.inr i) j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n
⊢ m = n
α : Sort u
p q : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a ↔ q a
⊢ (∃! a, p a) ↔ ∃! a, q a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto length (𝓝 l) (pure l.length) → Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).length) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (pure (a :: l).length)
α : Type u_1
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : 𝕜
f : α → F'
⊢ μ[c • f|m] =ᵐ[μ] c • μ[f|m]
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s t : Set β
⊢ s ⊆ t → ⨅ x ∈ t, f x ≤ ⨅ x ∈ s, f x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.coeffs 1 ⊆ {1}
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
f g : ℕ → R
⊢ (fun x => χ ↑x) * f ⍟ ((fun x => χ ↑x) * g) = (fun x => χ ↑x) * (f ⍟ g)
⊢ Complex.liftAux Complex.I Complex.I_mul_I = AlgHom.id ℝ ℂ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b < ⊤ ↔ Finite a b
γ : Type u_3
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
⊢ borel γ = borel γ
r x : ℝ
⊢ (fun a => -rexp (-(r * a))) = fun y => -1 * rexp (-r * id y)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ 0 ≤ max 0 (max Bf Bg)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A → B
h₁ : f 1 = 1
h₂ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun x * { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun y
h₃ : (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x + y) =
      (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x +
        (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    (↑↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ }).toFun ((algebraMap R A) r) =
      (algebraMap R B) r
⊢ ⇑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ } = f
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ
fac : A.e ≫ 𝟙 (unop A.fst) = (𝟙 Δ).unop ≫ A.e
⊢ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) (Splitting.IndexSet.mk A.e) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A }
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c ≤ d
⊢ Set.Icc a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico b c)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
⊢ G.map f ≫ G.map (Cofork.π c) = 0
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ abs ((fun i t => (↑t).2) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f₁⟩
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H).hom₁ = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a
G : Type u_1
AddGroup G
tG : AddMonoid.IsTorsion G
bounded : (Set.range fun g => addOrderOf g).Finite
⊢ AddMonoid.ExponentExists G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖
⊢ map (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) ≤ 𝓤 (↑s →ᵤ β)
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / 2 / 2 ^ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : SheafOfTypes (J.over Y)
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : Over Y
f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯
g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯
e : (Over.map f).obj W' ≅ W := Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map f).obj W').left) ⋯
⊢ F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}
⊢ BddAbove (range (g ∘ f))
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℤ
⊢ WittVector.ghostFun i.castDef = ↑i
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ K
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ K
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s : Set M
⊢ Submodule.span R s ≤ ↑(LieSubmodule.lieSpan R L s)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
⊢ (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ f.comp (ContinuousLinearMap.id R₁ M₁) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
⊢ (∃ b, ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1) ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
x : ℝ
⊢ ContinuousAt Real.tan x ↔ Real.cos x ≠ 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x✝¹ x✝ : R
⊢ (sInf S) x✝¹ x✝ ↔ sInf (DFunLike.coe '' S) x✝¹ x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : AntivaryOn f₁ g s
h₂ : MonovaryOn f₂ g s
⊢ AntivaryOn (f₁ - f₂) g s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
m : MeasurableSpace α
f : α → β
⊢ HasFiniteIntegral f 0
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℕ
⊢ (fun z => z ^ m * Complex.exp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * Complex.exp (↑b₂ * z)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
⊢ TotallyBounded (Set.range s)
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
s t : Subgroup α
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : α →* H
hf : Injective ⇑f
⊢ Nat.card α ∣ Nat.card H
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), (h.lift g) (s • f m) = s • g m
⊢ (h.lift g) (f x) = g x
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s t : Set β
a : α
⊢ a • (s \ t) = a • s \ a • t
α : Type w
Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (CategoryTheory.forget Profinite).obj (X a)
⊢ (Profinite.finiteCoproduct.desc X π) ((Profinite.finiteCoproduct.ι X a) x) = (π a) x
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure s ≤ NonUnitalSubsemiring.closure t
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
h : ∅.Infinite
⊢ False
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
this : map f p /ₘ map f q = map f (p /ₘ q) ∧ map f p %ₘ map f q = map f (p %ₘ q)
⊢ map f (p /ₘ q) = map f p /ₘ map f q ∧ map f (p %ₘ q) = map f p %ₘ map f q
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
A B : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f g : A ⟶ B
w : f.f = g.f := by aesop_cat
⊢ f = g
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤
⊢ conductor A x * differentIdeal A B ≤ differentIdeal A B
x : ℝ
⊢ Real.cosh x = (Real.exp x + Real.exp (-x)) / 2
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.ndinter t = 0 ↔ s.Disjoint t
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some '' Set.Ici a = Set.Ici ↑a
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
⊢ False
R : Type u
CommRing R
⊢ (WeierstrassCurve.ofJ1728 R).c₄ = -48
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
⊢ s ⊆ {a}ᶜ ↔ a ∉ s
α : Type u
β : Type v
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
e e' : Equiv.Perm α
⊢ e.extendDomain f * e'.extendDomain f = (e * e').extendDomain f
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x
⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.roots 1 = ∅
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ (fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) ↑z✝) = ↑z✝
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
i : ι
x : β i
⊢ DFinsupp.filter p (DFinsupp.single i x) = if p i then DFinsupp.single i x else 0
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = MeasurableSpace.generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ Set.univ = ν Set.univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = ν s
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
n : ℕ
x : α
⊢ f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify K A
G.IsCocontinuous J K
G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
⊢ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val =
  CategoryTheory.sheafifyLift J (CategoryTheory.whiskerLeft G.op (CategoryTheory.toSheafify K F)) ⋯
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
path : Batteries.RBNode.Path α
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (path.fill t) ↔
  Batteries.RBNode.Path.Ordered cmp path ∧
    Batteries.RBNode.Ordered cmp t ∧ Batteries.RBNode.All (Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path) t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hne : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)
⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
⊢ s ×ˢ ∅ = ∅
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
⊢ ∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
⊢ (comap C P).IsMaximal
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n✝ n : ℕ
a : α
⊢ IsSquare ((a * a) ^ n)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : 1 + { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 } = { re := ↑a, im := 1 } * (2 * ↑a)
⊢ pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f ⊥ = ⊥
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : (i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
p : Ring.DirectLimit G f
hp : p ≠ 0
⊢ p * inv G f p = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : Filter β
⊢ (Filter.comap f l).HasBasis (fun s => s ∈ l) fun s => f ⁻¹' s
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
⊢ p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValNat p a
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
start stop : Nat
⊢ as.all p start stop = !as.any (fun x => !p x) start stop
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
⊢ ∃ t ⊆ s, affineSpan k t = affineSpan k s ∧ AffineIndependent k Subtype.val
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
x : E
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M
⊢ ∑ j : α, (single j m) i = m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set β
a : α
⊢ (a +ᵥ s).Infinite → s.Infinite
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e✝ e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ range ⇑e.toIsometryEquiv = univ
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iSup f).toNNReal = ⨆ i, (f i).toNNReal
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c
⊢ False
α : Type u_2
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜 # k ∪ ∂ (Finset.falling (k + 1) 𝒜) = Finset.falling k 𝒜
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
CompleteSpace β
⊢ UniformContinuous (pkg.extend f)