ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
C : ℝ
hC : C > 0
fsymm : F → E
h : ∀ (y : F), f (fsymm y) = y ∧ ‖fsymm y‖ ≤ C * ‖y‖
⊢ 0 < { toFun := fsymm, nnnorm := ⟨C, ⋯⟩, bound' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.nnnorm
α : Type u
β : Type v
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β
⊢ {y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite
R : Type u_1
Semiring R
r : R
n : ℤ
⊢ Finsupp.single n r = LaurentPolynomial.C r * LaurentPolynomial.T n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type w
CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
⊢ f M.det = (f.mapMatrix M).det
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ ⊆ s₂
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
⊢ AEMeasurable f μa
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
hwf : w ≫ f = 0
n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt
hn : n ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 ⋯) = w
⊢ u = v
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
hj : Monoid.exponent (M j) = 0
⊢ Monoid.exponent ((i : ι) → M i) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ → ℕ
hu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a
hu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)
⊢ (StrictMono fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) ∧ ∀ (n : ℕ), P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.δ) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map (D.φ₁ ≫ D.v₂₃.τ₁) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
α : Type u_6
CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
⊢ (∏ k ∈ Finset.range (n + m), f k) / ∏ k ∈ Finset.range n, f k = ∏ k ∈ Finset.range m, f (n + k)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hxy : x + y ≠ 0
⊢ min x.valuation y.valuation ≤ (x + y).valuation
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f.symm (a • f x' + b • f y') < a • x' + b • y'
R : Type u
Semiring R
OrzechProperty R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
N : Type w
AddCommMonoid N
Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Function.Injective ⇑i
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν = μ
θ : Angle
⊢ -θ ≠ θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
n : Type u_1
R : Type u₂
CommRing R
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ t.inv.j = t.j
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
b✝ : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∀ (a : P.obj (op B)), (∀ (i : I), P.map (π i).op a = x i) ↔ forkMap P X π a = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
⊢ ∃ a, #α < #↑(f ⁻¹' {a})
a b : UInt16
⊢ a + b = { val := a.val + b.val }
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hμs_compl : μ sᶜ = 0
⊢ μ = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Submonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s
⊢ orderOf x ≤ Nat.card ↥s
V : Type u
G : SimpleGraph V
H₁ H₂ : G.Subgraph
h : H₁ ≤ H₂
⊢ H₁.edgeSet ≤ H₂.edgeSet
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this : (f a).IsPrime
⊢ False
R : Type u
CommRing R
f g : R
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hv : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
⊢ ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map (CategoryTheory.homOfLE hv).op)
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g V hv
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
f : WithLp p (α × β)
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑((‖f.1‖₊ ^ p.toReal + ‖f.2‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
n : ℕ
⊢ 2 ^ (n + 1) = 2 ^ n + 2 ^ n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
⊢ ((ad R L) x ^ (m + n)) ⁅y, z⁆ = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ⨆ i, range (stdBasis R φ i) = ⊤
⊢ 0 ∈ Real.cos '' Set.Icc 1 2
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
K : Type u_5
SMul K β
c : K
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(c • f) = c • ↑f
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
l : List M
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x ∈ S
⊢ l.prod ∈ S
α : Type u
UniformSpace α
s : Set α
⊢ CompleteSpace ↑s ↔ IsComplete s
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g.compContinuousLinearMap f‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ IsAddUnit 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
x : E
f₂ : E → G
hf₁ : DifferentiableAt 𝕜 f₁ x
hf₂ : DifferentiableAt 𝕜 f₂ x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (f₁ x, f₂ x)) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsReflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.commonSection f g) f = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ⟪x, (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : CategoryTheory.Functor C D
T : D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma S (CategoryTheory.Functor.fromPUnit T)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CostructuredArrow.proj S T).map f = f.left
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
AddCommMonoid M''
Module R M''
ι'' : Type u_10
b'' : Basis ι'' R M''
e : ι ≃ ι'
e' : ι' ≃ ι''
⊢ b.equiv b' e ≪≫ₗ b'.equiv b'' e' = b.equiv b'' (e.trans e')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ univ = Finset.cons 0 (map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ) ⋯
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
halg : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1 ∨ Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
h : s.Nonempty
⊢ EMetric.infEdist x s ≠ ⊤
n : Nat
⊢ n.Coprime 0 ↔ n = 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
⊢ μ (W ∩ B j) / μ (B j) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
⊢ (LeftFraction.mk (α.f + 0) α.s ⋯).map L ⋯ = α.map L ⋯
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
A : CompleteSpace ℝ
⊢ 0 ≤ if hf : Integrable (fun a => f a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0
ι : Type u_1
Fintype ι
α' : ι → Type u_4
β' : ι → Type u_5
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (α' i)
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (β' i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
f : (i : ι) → α' i → β' i
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.MeasurePreserving (f i) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun a i => f i (a i)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
⊢ j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
U V : C
f₁ f₂ : U ⟶ V
Y : C
i : Y ⟶ U
⊢ (CategoryTheory.Sieve.equalizer f₁ f₂).arrows i =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp i f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp i f₂)
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
a b : Rˣ
⊢ ↑(chartAt R a) b = ↑b
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ ∑' (i : ℕ), ((2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ)⁻¹ • sFiniteSeq μ i) s = ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) s
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m β
x : β
xs : t α
⊢ Traversable.foldrm f x xs = List.foldrM f x (Traversable.toList xs)
G : Type u_11
P : Type u_12
AddMonoid G
self : AddAction G P
p : P
⊢ 0 +ᵥ p = p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.image.ι g.unop).op (CategoryTheory.imageUnopOp g).hom =
  CategoryTheory.Limits.factorThruImage g
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m₁ : MeasurableSpace α
m₂ : MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ Measurable f ↔ MeasurableSpace.comap f m₂ ≤ m₁
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y z w : α
⊢ (swap x y) z = w ↔ z = (swap x y) w
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f)
⊢ integral f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(toSimpleFunc f) a) ∂μ).toReal
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus 𝒜 s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : CommSemiring S'
inst✝⁶ : Algebra S' R
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom ≤ (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.IsStableUnderComposition
P.RespectsIso
hP'' : P.StableUnderBaseChange
⊢ P.diagonal.IsStableUnderComposition
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
⊢ (∀ (x_1 : α), (if f.SameCycle x x_1 then f x_1 else x_1) = x_1) ↔ f x = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2
this : φ a.1 * φ ↑a'.2 = φ a'.1 * φ ↑a.2
⊢ ↑(a'.1, a'.2).2 * (a.1, a.2).1 = ↑(a.1, a.2).2 * (a'.1, a'.2).1
a b : String
h : a.data ≠ b.data
⊢ a ≠ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arctan (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂))
m : ℕ
⊢ schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD m]} = (↑m)⁻¹
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
i : m
hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0
⊢ v i = 0 i
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x x✝ : E
⊢ 0 = ⊥ x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
Module.Finite K L
R : Type z
CommRing R
Algebra R K
Algebra R L
IsScalarTower R K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed R
IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
⊢ Algebra.discr K ⇑B.basis • z ∈ Algebra.adjoin R {B.gen}
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
⊢ M.LinearDisjoint N ↔ N.LinearDisjoint M
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (GenContFract.of v).TerminatedAt n ↔ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = none
x : ℝ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[<] x, Icc i x ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E
⊢ HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
o : Ordinal.{u}
⊢ ∃ ι f, Ordinal.lsub f = o ∧ #ι = o.cof
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
⊢ f (a * b⁻¹) = 1
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun g => μ.restrict (g +ᵥ s)) = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioc a b) (Set.Ioc (f a) (f b))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulZeroOneClass Y
U : Set X
Nontrivial Y
x : X
hU : IsClopen U
⊢ (LocallyConstant.charFn Y hU) x = 0 ↔ x ∉ U
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
c c' : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
l : Filter α
hfg : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
hgk : Asymptotics.IsBigOWith c' l g k
hc : 0 ≤ c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (c * c') l f k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : G.obj X ⟶ Z
⊢ α.hom.app X ≫ g = α.hom.app X ≫ g' ↔ g = g'
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a ⩿ b ∧ a < b
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
k : K
⊢ ((algebraMap K (DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K)) k).IsFiniteAdele
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0
⊢ m.primeFactors ⊆ n.primeFactors
R : Type u_1
S : Type u_2
MonoidWithZero R
MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
FunLike F R S
MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsNilpotent (f r) ↔ IsNilpotent r
R : Type u_2
Add R
Mul R
⊢ ⇑⊤ = ⊤
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Epi f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
H : Type u_4
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
ChartedSpace H H'
x : M'
⊢ extChartAt I x = (chartAt H' x).toPartialEquiv ≫ extChartAt I (↑(chartAt H' x) x)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ closure (↑s ∪ ↑t)
⊢ ∀ (x y : C), (∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) → (∃ y_1 ∈ s, ∃ z ∈ t, y_1 * z = y) → ∃ y_1 ∈ s, ∃ z ∈ t, y_1 * z = x * y
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (iUnion s).mulIndicator f a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : α →ᵇ E
⊢ (ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f.toContinuousMap = (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) f