ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ eval₂ f x ((monomial n) 1) = x ^ n
M : Type u_6
Monoid M
u : Mˣ
⊢ ⇑u.mulRight = fun x => x * ↑u
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h✝ : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
x : E
hx : IsIntegral F x
x✝ : IsSeparable F x
y : F
h : (algebraMap F ↥F⟮x⟯) y = AdjoinSimple.gen F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
⊢ LowerSet.Iic ⊤ = ⊤
n : ℕ
i j : Fin n.succ
⊢ i.cycleRange j = if j < i then j + 1 else if j = i then 0 else j
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Af : Antitone f
bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
α : Type u
Preorder α
NoTopOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ 𝓝 a ⊓ Filter.atTop = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Sort u_4
f : ι → Cardinal.{u_5}
hf : BddAbove (range f)
⊢ range (ord ∘ f) = ord '' range f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Sub (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a b : α i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ f.support \ g.support ⊆ (f - g).support
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet Δ'), ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ
p : ℕ → Prop
⊢ (p 0 ∧ ∀ (n : ℕ), p (n + 1)) ↔ ∀ (n : ℕ), p n
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (map (g ∘ f) s).prod = (map (g ∘ f) t).prod
K : Type u_1
RCLike K
α : Type u_3
M : Type u_4
Zero M
f : α →₀ M
g : α → M → ℝ
⊢ ↑(f.prod fun a b => g a b) = f.prod fun a b => ↑(g a b)
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G
⊢ g ∈ orbit (ConjAct G) h ↔ IsConj g h
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
⊢ Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
IsGalois F E
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = FiniteDimensional.finrank F E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₂ : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ interior s
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Finset ι
f : (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }
⊢ ↑((DFinsupp.subtypeSupportEqEquiv s).symm f) = DFinsupp.mk s fun i => ↑(f i)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
⊢ a * b ∈ H ↔ b * a ∈ H
α : Type u_3
SemilatticeInf α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atBot = Filter.atBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫
    (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom =
  X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
s : Stream'.Seq (Pair K)
gcf_v_eq : of ↑q = { h := ↑⌊↑q⌋, s := s }
⊢ { h := ↑(of q).h, s := Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s } = { h := ↑⌊↑q⌋, s := s }
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N : ℕ
f : R[X]
⊢ reflect N f = 0 ↔ f = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
⊢ ¬(c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) ∧ ∀ (i : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))
G : Type u
inst✝ : Monoid G
⊢ exponent G = 1 ↔ Subsingleton G
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem x → includeLeftRingHom.IsIntegralElem y → includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x + y)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬addWellApproximable 𝕊 δ x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, addWellApproximable 𝕊 δ x
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
s : Set E
a b : E
r : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzOnWith C f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hr : ‖a - b‖ ≤ r
⊢ ‖f a - f b‖ ≤ ↑C * r
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
⊢ (∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
f : α →₀ β
g : α → β → ℝ
hg : ∀ (a : α), g a (f a) = 0 → f a = 0
⊢ Real.log (f.prod g) = f.sum fun a b => Real.log (g a b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofLimitCone ht).pt = t.pt
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M
⊢ tsupport ↑f ⊆ (chartAt H c).source
a : ℝ
⊢ ∑' (n : ℕ), a / 2 / 2 ^ n = a
F : Type u_1
FunLike F ℍ ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
SlashInvariantFormClass F Γ k
f : F
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z
α : Type u_1
b : PosNum
⊢ ↑(1 + b) = ↑1 + ↑b
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
k : ℕ
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
n : ℕ
⊢ f_int k a t (Int.ofNat n) = f_nat k a t n
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
⊢ MeasurableSet U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x ↔ MeromorphicAt f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms fun p => 0) = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun Set.univ = ⊤
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ¬Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom θ)
⊢ ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ≥0∞]⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
self : Bimod A B
⊢ A.one ▷ self.X ≫ self.actLeft = (λ_ self.X).hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus P) (J.plusLift η hQ) = η
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
h_glb : IsGLB (↑(Finset.Ioc i j)) i
hi_mem : i < i ∧ i ≤ j
⊢ False
α : Type u_1
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
MeasurableSpace α
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
f : α → (a : δ) → π a
hf : ∀ (a : δ), Measurable fun c => f c a
⊢ Measurable f
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b
ifp_n : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / den
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ zeroRootSubalgebra R L H ≤ H
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
r : R
⊢ Ring.choose r 1 = r
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
f : AddHom Mᵃᵒᵖ Nᵃᵒᵖ
⊢ ∀ (a : M), (AddHom.op.symm f) a = (AddOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.op) a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₂ = S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₂ + (ψ.τ₂ ≫ h.h₁) ≫ S₂.f + (ψ ≫ φ₂).τ₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ↔ angle x y = π
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (↑m * x)
⊢ Irrational x
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X.toSheafedSpace ⟶ Y.toSheafedSpace
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.homOfSheafedSpaceHomOfIsIso f).val = f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : ¬j ≤ m
⊢ ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = ⟨f ^ i, ⋯⟩ * ⟨f ^ i, ⋯⟩
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.IsCommutative
H.FiniteIndex
α β : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
H.Normal
h : ↥H
⊢ Subgroup.leftTransversals.diff (MonoidHom.id ↥H) α (MulOpposite.op ↑h • β) =
  Subgroup.leftTransversals.diff (MonoidHom.id ↥H) α β * h ^ H.index
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1
⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ 0
R : Type u_1
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ { a := a, b := b, c := c, d := d }.toPoly.leadingCoeff = a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)
⊢ (k + 1) * (n + k + 1).choose (k + 1) = (n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1)
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤
a n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑↑a = a % n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
⊢ Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : MulAction A M
inst✝ : SMul R M
h : ∀ (r : R) (x : M), (algebraMap R A) r • x = r • x
r : R
a : A
x : M
⊢ (r • a) • x = r • a • x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
⊢ (s.drop (n + 1)).destruct = s.destruct >>= drop.aux (n + 1)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
ha : a ∈ f.support
⊢ (a, f a) ∈ f.graph
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → α → β → γ
la : List α
lb : List β
⊢ List.zipWith3 f la la lb = List.zipWith (fun a b => f a a b) la lb
α : Type u_3
SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Set.Ici a ⊆ s
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = Filter.atTop
R : Type u_1
S : Type u_2
LinearOrder R
OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ Tropical.untrop (∑ i ∈ s, f i) = s.inf (Tropical.untrop ∘ f)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ comap rexp (𝓝[>] 0) = atBot
α : Type u_4
⊢ IsEmpty (Fintype α) ↔ Infinite α
α : Type u
Monoid α
c : αˣ
a b : α
⊢ a = b * ↑c⁻¹ ↔ a * ↑c = b
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
this : (minpolyDiv R x * (X - C x)).leadingCoeff = (map (algebraMap R S) (minpoly R x)).leadingCoeff
⊢ (minpolyDiv R x).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ ∀ (x : Sym2 α), x ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ ¬x.IsDiag
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
E₁ : A ≌ B
E₂ : C ≌ D
⊢ (E₁.prod E₂).functor = E₁.functor.prod E₂.functor
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler x) y ≠ 0 → x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
AddCommGroup G
Module 𝕜₃ G
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup F
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
L : F →SL[τ] G
f : E →SL[σ] F
⊢ (ContinuousLinearMap.postcomp E L) f = L.comp f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
h : IsExtrFilter f l a
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsExtrFilter g l a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₂.IsPushout
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Irreducible ϖ
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
Monoid R
Monoid S
Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction T C
ψ : S →* T
χ : R →* T
f : B →ₛₙₐ[ψ] C
g : A →ₛₙₐ[φ] B
φ.CompTriple ψ χ
x : A
⊢ (f.comp g) x = f (g x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
α : Type u_2
Add α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s + (t₁ ∪ t₂) = s + t₁ ∪ (s + t₂)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
α : Type v
⊢ ⇑Equiv.ulift = ULift.down
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : j ≤ 2 * n
h : Pell.xn a1 i ≡ Pell.xn a1 j [MOD Pell.xn a1 n]
ntriv : a = 2 → n = 1 → (i = 0 → j ≠ 2) ∧ (i = 2 → j ≠ 0)
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
⊢ ∀ (a : ι) (b : αs a), ⟨a, b⟩ ∈ l.support ↔ (∃ a_1 ∈ l.support, a_1.fst = a) ∧ ⟨a, b⟩ ∈ l.support
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ closure s ∩ coborder s = s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔ ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.PullbackCompatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G
⊢ x ∈ ⋃ k, op (a * ↑k) • ↑H ↔ x ∈ doset a ↑H ↑K
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
SMul 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
K : ConvexCone 𝕜 E
⊢ ↑K.closure = closure ↑K
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a < b * c
hle : b ≤ d
c0 : 0 ≤ c
⊢ a < d * c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
BooleanRing α
BooleanRing β
BooleanRing γ
g : β →+* γ
f : α →+* β
⊢ (g.comp f).asBoolAlg = g.asBoolAlg.comp f.asBoolAlg