ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.natTrailingDegree ≠ 0 ↔ p ≠ 0 ∧ p.coeff 0 = 0
α : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ≃ β') = 0 ↔ Cardinal.lift.{v, u} #α ≠ Cardinal.lift.{u, v} #β'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b✝ : α
n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
b : α
hb : b ∈ Sym.replicate n a
⊢ b ∈ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
m : ℤ
f : E → 𝕜
t : Set E
a : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t a
h : f a ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x ^ m) t a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
⊢ TopCat.Presheaf.pushforward C (𝟙 X) = 𝟭 (TopCat.Presheaf C X)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
⊢ HasStrictDerivAt (h₂ ∘ h) (h' * h₂') x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ s ∈ Filter.coprodᵢ f ↔ ∀ (i : ι), ∃ t₁ ∈ f i, Function.eval i ⁻¹' t₁ ⊆ s
α : Type u_1
Primcodable α
p q : α → Prop
hp : RePred p
H : ∀ (a : α), p a ↔ q a
⊢ RePred q
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ (⨆ i, f i) / a = ⨆ i, f i / a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
DenselyOrdered X
a b : X
f g : X → Y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict (Set.Ico a b)] g
hf : ContinuousOn f (Set.Ico a b)
hg : ContinuousOn g (Set.Ico a b)
⊢ Set.EqOn f g (Set.Ico a b)
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o.card ↔ 1 ≤ o
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
hf : Computable₂ f
this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)
⊢ Computable₂ fun a n => (decode n).bind (f a)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
he : MapsTo f s e.source
⊢ (∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x) ↔ ∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e (f x)).2) s x
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ (Polynomial.mapRingHom f).range ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.range
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (i : Fin n) → motive i.succ
i : Nat
h : i + 1 < n + 1
⊢ Fin.cases zero succ ⟨i.succ, h⟩ = succ ⟨i, ⋯⟩
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
b : β i
⊢ ⇑(DFinsupp.single i b) = Pi.single i b
α : Type u
a : α
s : Stream' α
⊢ ↑(Stream'.cons a s) = Stream'.Seq.cons a ↑s
α : Type u_1
LinearOrder α
x : α
⊢ Set.univ.ordConnectedComponent x = Set.univ
R : Type u_1
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a) ↔ IsNilpotent a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.toFinset.Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h✝ : s.Terminates
a : α
h : s.get = a
⊢ s.get ∈ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) p μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).edges = p.edges
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ∑' (i : ι), f i x) μ
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
f g : AddMonoidAlgebra k G
⊢ f * g = Finsupp.sum f fun a₁ b₁ => Finsupp.sum g fun a₂ b₂ => AddMonoidAlgebra.single (a₁ + a₂) (b₁ * b₂)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s₁
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
hle : s₁ ≤ s₂
p : P
hp : p ∈ s₂
ho : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₂
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
⊢ Irreducible p ↔ Prime p
X Y : BddLat
a : BoundedLatticeHom ↑X.toLat ↑Y.toLat
⊢ BddLat.dual.map a = BoundedLatticeHom.dual a
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
x : ℤ√d
u : (ℤ√d)ˣ
⊢ x.norm = (x * ↑u).norm
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta₀ (-a) s = HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a s
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op ((y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = MulOpposite.op (y ^ n - x ^ n)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set 𝕜
f f' : 𝕜 → F
hderiv : ∀ x ∈ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ContinuousOn f s
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
⊢ 0 = (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k
α : Type u_2
β : Type u_3
Bornology α
Bornology β
f g : LocallyBoundedMap α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u * ↑u = 1 * ↑u ↔ a = ↑u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤
⊢ ∏ c ∈ s, a✝ c ≠ 0 ∨ a✝ a ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ ↑n + Cardinal.continuum = Cardinal.continuum
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
⊢ z = w
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk g
h : CategoryTheory.StrongEpi f
⊢ CategoryTheory.StrongEpi g
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
self : IsNormalClosure F K L
x : K
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ ∀ (a : Bᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.op f).symm a = MulOpposite.op ((↑↑f).symm (MulOpposite.unop a))
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
⊢ (Filter.comap (Function.eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
x : M
c : G
hf : SmoothWithinAt I' I f s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (fun x => f x / c) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n
dvd_pow : p ∣ a ^ n
⊢ p ∣ a
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
f : A →⋆ₐ[R] B
y : B
⊢ y ∈ StarSubalgebra.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
c : ℝ
⊢ cgf (fun x => c) μ t = t * c
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ n ≤ Multiset.count a s ↔ Multiset.replicate n a ≤ s
τ : Type u
a : Function.FromTypes ![] τ
⊢ (Function.fromTypes_nil_equiv τ).symm a = a
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (GenContFract.of v).dens n = ↑q
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
e : α ≃ β
f : β → M
⊢ ∏ᶠ (i : α), f (e i) = ∏ᶠ (i' : β), f i'
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
⊢ ker (f.coprod g) ≤ (ker f).prod (ker g)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l ⊆ l
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑(f p) x
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Monoid G
⊢ ∀ (a : (G →₀ k)ᵐᵒᵖ),
  MonoidAlgebra.opRingEquiv a =
    Finsupp.equivMapDomain MulOpposite.opEquiv (Finsupp.mapRange MulOpposite.op ⋯ (MulOpposite.unop a))
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a : ℤ
x✝ : a ∈ Iic 0
b : ℤ
hb : b ∈ Iic 0
hab : a < b
⊢ b.natAbs < a.natAbs
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ 0 < r
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a (b - p) = toIocMod hp a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun b => g b / f b
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ closure (f i), ContinuousWithinAt g (f i) x
⊢ ContinuousOn g (⋃ i, f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
c : RBColor
α✝ : Type u_1
t : RBNode α✝
n : Nat
h : match c with | black => ∃ n', n = n' + 1 ∧ RedRed True t n' | red => ∃ c, t.Balanced c n
⊢ ∃ n', RedRed (c = black) t n'
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
he : f x₀ ∈ e.source
⊢ ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x₀ ↔
  ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e (f x)).2) s x₀
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ Submonoid.centralizer s.centralizer.centralizer = Submonoid.centralizer s
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i)) ≤
  Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ι) * ⨆ i, Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(f i))
x : USize
n : Nat
⊢ (x.modn n).toNat = x.toNat % n
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
NoMinOrder α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, y ≤ x
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
⊢ (fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
h : a ∈ UV.compression u v s
ha : a ∉ s
⊢ u ≤ a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0
⊢ (⟨k, property✝⟩ * match ⟨k, property✝⟩ with | ⟨k, property⟩ => if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
α : Type u_6
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.noncommSum ⋯ = s.sum
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
⊢ ↑w.mult * Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)) = 0 ↔ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M
y : N
⊢ (LinearMap.snd R M N) (x, y) = 0 ↔ (x, y) ∈ Set.range ⇑(LinearMap.inl R M N)
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a + b ∈ Metric.ball a r ↔ ‖b‖ < r
r s : ℝ
⊢ ↑(r - s) = ↑r - ↑s
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : WittVector p R
i : ℕ
⊢ (⇑WittVector.verschiebung)^[i] x * y = (⇑WittVector.verschiebung)^[i] (x * (⇑WittVector.frobenius)^[i] y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ (S.asIsoHomologyπ hf).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.cycles
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
Module.Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Function.Surjective ⇑p
⊢ Module.Flat R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
⊢ (fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
X Y : Type u
AddCommMonoid X
AddCommMonoid Y
e : X ≃+ Y
⊢ e.toAddCommMonCatIso.inv = AddCommMonCat.ofHom e.symm.toAddMonoidHom
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
S : Type u_5
Ring S
Module S M₂
ContinuousConstSMul S M₂
SMulCommClass A S M₂
SMulCommClass R S M₂
TopologicalAddGroup M₂
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.restrictScalarsₗ A M M₂ R S) = ContinuousLinearMap.restrictScalars R
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ f (sInf s) ≤ ⨅ a ∈ s, f a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
n : ℤ
⊢ a ≠ 0 → a ^ n ≠ 0
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯
x : G
h : x ∈ closure s
m : Gᵐᵒᵖ
hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
⊢ MulOpposite.unop m ∈ closure s
a : Ordinal.{u_4}
h : 0 < a
⊢ Ordinal.IsNormal fun x => a * x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g
⊢ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ (↑s).Subsingleton ∧ s.card = n ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i = ∑' (a : α), f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
j : J
⊢ CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.γ.app j = (D.obj j).a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : WittVector p k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ (WittVector.RecursionMain.succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree = ↑p
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCodetector G →
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h' = h) → CategoryTheory.IsIso f
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableMul M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c * f x) μ
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ OpenEmbedding ⇑(f ≫ g) ↔ OpenEmbedding ⇑g
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
⊢ ‖0‖ = 0
x : ℝ
h : x ∈ Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
⊢ HasDerivAt Real.tan (1 / Real.cos x ^ 2) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor D E
X : C
⊢ (F.comp G).obj X = G.obj (F.obj X)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Ioc a b = Ioc ↑a ↑b