ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (CategoryTheory.forget D).obj (P.obj (Opposite.op X))),
    (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
⊢ Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (Opposite.op X))
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (𝟙 { unmop := X }).unmop = 𝟙 X
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³² : CommRing A
inst✝³¹ : CommRing B
inst✝³⁰ : Algebra A B
inst✝²⁹ : Field K
inst✝²⁸ : Field L
inst✝²⁷ : Algebra A K
inst✝²⁶ : IsFractionRing A K
inst✝²⁵ : Algebra B L
inst✝²⁴ : Algebra K L
inst✝²³ : Algebra A L
inst✝²² : IsScalarTower A B L
inst✝²¹ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.571927
Bₘ : Type ?u.571930
inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Bₘ
inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B
inst✝³ : Module.Finite A B
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) x = (norm A) x
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
⊢ (eval a) (indicator b) = 0
n : ℕ
Nonempty (Fin n)
⊢ 0 < n
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f : CategoryTheory.Arrow T
X Y : T
g : X ⟶ Y
sq : f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom sq.right
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g + h) ⁻¹' V ∧ t.card = MeasureTheory.Measure.haar.addIndex K V
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ List.map f l.dropLast = (List.map f l).dropLast
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y
⊢ U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.toPrefunctor.1 X)) ≫ F.map (U.map (R.map f)) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj ((𝟭 B).obj X)) ≫ (R ⋙ U).map f ↔ U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.obj X)) ≫ F.map ((R ⋙ U).map f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj X) ≫ (R ⋙ U).map f
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2 ∧ |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2
H₂ : |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2
this : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| + |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2 + ε / 2
⊢ |(↑f j).re - (cauSeqRe f).lim| + |(↑f j).im - (cauSeqIm f).lim| < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ σ.cycleType.sum = σ.support.card
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothWithinAt I' I (f i) s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (∑ i ∈ t, f i) s x
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ b ≤ l, b ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l✝
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range Set.Ici)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f g ↔ Monovary g f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋃ n, s n
⊢ AnalyticSet (⋃ n, s n)
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ ↑(-x) = -↑x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X : C
⊢ app τ (W.Q.obj X) = τ.app X
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
⊢ cthickening ε (thickening δ s) ⊆ cthickening (ε + δ) s
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
⊢ (F.map f ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).hom) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i = ((additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫ biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk b ↔ IsConj a b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
α : Type u
s : Set α
h : s.Countable
default : α
h_mem : default ∈ s
⊢ Set.range (Set.enumerateCountable h default) = s
α : Type u
β : Type v
x : α
y : β
xs : List (α × β)
⊢ (y, x) ∈ List.map Prod.swap xs ↔ (x, y) ∈ xs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i
⊢ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrCompHomotopy φ hc).hom i j = 0
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
CategoryTheory.IsIso α
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c) ↔
  CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfLeftIso f g).inl = CategoryTheory.inv f ≫ g
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
⊢ log b r = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₂ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles
⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
⊢ LieModule.traceForm R ↥↑I ↥↑N = (LieModule.traceForm R L M).restrict (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ vec ⬝ᵥ SimpleGraph.adjMatrix α G v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
K : Type u_1
Field K
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ closure (↑K '' {x | Valued.v x < ↑γ}) = {x | Valued.extensionValuation x < ↑γ}
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ φ.Realize ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) ↔ φ.Realize x
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
m : ℕ
h : v p ⟨j + 1, ⋯⟩ = m
⊢ m ≤ n - i ∧ m ≤ j
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subsemiring R := Subsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯
⊢ ⨆ i, S i ≤ U
a b : USize
⊢ (a % b).toNat = a.toNat % b.toNat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ U.topIso.inv = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α ∨ Infinite α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
SecondCountableTopologyEither β γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace δ
SecondCountableTopology δ
MeasurableSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.comp₂Measurable g hg f₁ f₂).toGerm = Filter.Germ.map₂ g f₁.toGerm f₂.toGerm
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ
⊢ (Complex.isometryOfOrthonormal v) z = z.re • v 0 + z.im • v 1
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ Function.Injective fun c => c.toProd.1
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g h : G
comm : AddCommute g h
j : ℤ
⊢ j • h +ᵥ (AddAction.fixedBy α g)ᶜ = (AddAction.fixedBy α g)ᶜ
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ
⊢ (F.map (f ≫ g)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map (f ≫ g)).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U = ((F.map g).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₂).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₂).presheaf).hom.app U) ≫ (F.map f).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map f).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C (Type w)
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
x : C
y : F.obj x
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.lift τ₁ τ₂).app x y = (τ₁.app x y, τ₂.app x y)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ g ≫ h ⊗ 𝟙 W = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
i : ι
⊢ f i ≠ Ordinal.mex f
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den
⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) (c * q.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (c * ↑q.den)).get ⋯)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
n : ℕ
x : E
⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x = (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s) x
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
a : α
⊢ IsBot a ∨ ∃ b, b < a
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α
⊢ ∀ I_1 ⊆ E, I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ E ↔ I_1 ⊆ I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r
⊢ ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r ∨ f ω ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
DecidableEq o
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
M : Matrix o n R₂
N : Matrix n o R₂
⊢ M * LinearMap.BilinForm.toMatrix' B * N =
  LinearMap.BilinForm.toMatrix' (B.comp (Matrix.toLin' M.transpose) (Matrix.toLin' N))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ IsTorsionBySet R M {a} ↔ IsTorsionBy R M a
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ∑ x : κ, (Finsupp.single x 1) j * (Finsupp.single b 1) i * ((Finsupp.single i' 1) b * (Finsupp.single j' 1) x) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.op.Final
⊢ F.Initial
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Monoid N
a₁ a₂ : M
⊢ (a₁, 1) * (a₂, 1) = (a₁ * a₂, 1)
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x
α β✝ : Type u
c b : Cardinal.{u}
β γ : Type u
this : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty
hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β
⊢ Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.diagram.fstFrom (i, j) = i
M : Type u_2
σ : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
hw : MvPolynomial.NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ castSucc 0 = 0
m n k : Nat
⊢ Int.subNatNat (m + k) (n + k) = Int.subNatNat m n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ edist x y = ↑(nndist x y)
k✝ : Type u
inst✝³ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Field K
f : K →+* k
p : K[X]
⊢ Splits f p ↔ Splits (RingHom.id k) (map f p)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i g✝
⊢ g ∣ map i f * map i g✝
K : Type u_1
Field K
Fintype K
i : ℕ
h : i < q - 1
⊢ ∑ x : K, x ^ i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.dedup = t.dedup ↔ ∀ (a : α), a ∈ s ↔ a ∈ t
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
⊢ ‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * ((mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) x)) ((fun x => ‖g x‖) (x₀ - x))
x : UInt64
⊢ ↑x.val = x.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
WellFoundedGT β
hf : StrictAnti f
⊢ WellFoundedLT α
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
i : idx
j : ℕ
hj : j < k + 1
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
⊢ (i, j).2 < n + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
n : ℕ
⊢ f ≫ (n • g) = n • f ≫ g
K : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : LieAlgebra K L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : LieModule K L M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
h_dim : finrank K M = n
⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
⊢ Ex ≤ Ey
x y : ℂ
x✝ : ℕ
⊢ ↑(exp' ((starRingEnd ℂ) x)) x✝ = ↑(cauSeqConj (exp' x)) x✝
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ quadraticChar F ≠ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsClosedMap f
s : Set X
⊢ closure (f '' s) ⊆ f '' closure s
a b c : ℝ≥0∞
⊢ max a b * c = max (a * c) (b * c)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ (CategoryTheory.functorProdFunctorEquiv A B C).unitIso = CategoryTheory.functorProdFunctorEquivUnitIso A B C
n : ℕ
⊢ 0 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 0