ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂
⊢ prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ
⊢ dist (∑ i ∈ Finset.range n, f i) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) ≤ C * r ^ n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s.Nonempty
⊢ hausdorffDist s ∅ = 0
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
n : ℕ
⊢ 0 n = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0
⊢ ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r
a b : Fin 2
⊢ (a = 0 ↔ b = 0) → a = b
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1
this : hurwitzZetaEven a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
⊢ hurwitzZetaEven a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * cosZeta a s
α : Type u_1
RatCast α
q : ℚ
⊢ MulOpposite.unop ↑q = ↑q
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : M' →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ f = g
⊢ l ∘ₗ ↑(iso S f) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = l ∘ₗ f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₁ : ∀ (x : α), f x ≠ 0 ∨ g x ≠ ⊤
h₂ : ∀ (x : α), g x ≠ 0 ∨ f x ≠ ⊤
⊢ Continuous fun x => f x * g x
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
c_ne_top : c ≠ ⊤
μ : Measure (G ⧸ Γ) := c • haarMeasure K
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J
hbI : b ∈ I
right✝ : b ∈ J
⊢ IsInteger R (aI • b)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
x : 𝕜
⊢ deriv (fun y => star (f y)) x = star (deriv f x)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prodComparison (L ⋙ F) (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)
n : ℕ
x : ↑I
this : (Polynomial.aeval ↑x) (∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial ℝ n ν) = (Polynomial.aeval ↑x) 1
⊢ ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n ↑k) x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < 1
ha✝ : ↑r < 1
ha : r < 1
⊢ ↑r * (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).map f =
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofHom W f)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
I J : Submodule B L
⊢ I ≤ Submodule.traceDual A K J ↔ I * J ≤ Submodule.traceDual A K 1
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
q : ℕ
⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this✝ : (interior ↑U).Nonempty
s : Finset G
hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U
this : ↑K ⊆ ↑(⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U)
⊢ μ.innerContent (⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) ≤ ↑s.card * μ.innerContent U
α : Type u
l r : List α
i : ℕ
h1 : i + l.length < (l.reverseAux r).length
h2 : i < r.length
⊢ (l.reverseAux r).get ⟨i + l.length, h1⟩ = r.get ⟨i, h2⟩
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a₀ x : R
h : a₀ ≠ 0
hx : Irreducible x
⊢ ∃ n a, ¬x ∣ a ∧ a₀ = x ^ n * a
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
this : (normalizedFactors r).prod ~ᵤ r
⊢ p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
⊢ e.transPartialEquiv f' = e.toPartialEquiv.trans f'
x : SetTheory.PGame
⊢ x.LF 0 ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure E
ν : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddHaarMeasure
LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ MeasureTheory.Measure.map (⇑L) μ = (c * MeasureTheory.Measure.addHaar Set.univ) • ν
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
p₀ p₁ : P1 × P2
c : k
⊢ ((AffineMap.lineMap p₀ p₁) c).1 = (AffineMap.lineMap p₀.1 p₁.1) c
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g✝ : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g
⊢ IsCompact (closure (g ⁻¹' mulSupport f))
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ (Equiv.Set.sumCompl s) (Sum.inl x) = ↑x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g
⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
n : ℤ
⊢ |n|.negOnePow = n.negOnePow
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
CategoryTheory.HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
⊢ (X ◁ ᘁf) ≫ ε_ (ᘁX) X = f ▷ ᘁY ≫ ε_ (ᘁY) Y
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
A : Set G
⊢ μ (Inv.inv ⁻¹' A) = μ A
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M
⊢ (fun x => x * a) (y * ↑h.unit⁻¹) = y
X Y : CommMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget CommMonCat).map f = ⇑f
α : Type u
s₁ s₂ s₃ : Set α
hs₁s₂ : s₁ ⊂ s₂
hs₂s₃ : s₂ ⊆ s₃
⊢ s₁ ⊂ s₃
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
M'' : Type u_6
N'' : Type u_7
AddZeroClass M''
AddZeroClass N''
f' : M' →+ M''
g' : N' →+ N''
f : M →+ M'
g : N →+ N'
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.map f' g') ((AddMonoid.Coprod.map f g) x) = (AddMonoid.Coprod.map (f'.comp f) (g'.comp g)) x
α : Type u
β : Type v
a : α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictAntiOn f {a}
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • v ∈ U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑I.toPartialEquiv = ↑I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.comap f S ≤ Subsemigroup.comap f T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
a✝ : α
e₁ : f₁ a✝ = f₂ a✝
e₂ : g₁ a✝ = g₂ a✝
⊢ ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖ ↔ ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₂ a✝‖
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
⊢ Rat.divInt a b - Rat.divInt c d = Rat.divInt (a * d - c * b) (b * d)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
m : Type u_8
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n 𝕜
i j : m
⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (A i), (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (B j)⟫_𝕜 = (B * Aᴴ) j i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
P✝ Q✝ R✝ : T.Algebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c ∨ toIcoMod hp c b ≤ toIocMod hp c a
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 ≤ z.re
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im < 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ K.toPiFork.ι = CategoryTheory.Limits.Pi.lift K.ι
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x})
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : C.X 0 ⟶ X
w : C.d 1 0 ≫ f = 0
i : ℕ
⊢ (C.truncateAugment f w).inv.f i = 𝟙 ((ChainComplex.truncate.obj (C.augment f w)).X i)
G : Type u_1
G' : Type u_2
P : Type u_3
P' : Type u_4
AddGroup G
AddGroup G'
AddTorsor G P
AddTorsor G' P'
v : G
v' : G'
p : P
p' : P'
⊢ (v, v') +ᵥ (p, p') = (v +ᵥ p, v' +ᵥ p')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b
⊢ Icc a (pred b) = Ico a b
α : Type u_2
a b : MeasurableSpace.DynkinSystem α
⊢ a ≤ b ↔ a.Has ≤ b.Has
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
t : F.obj X
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv.symm (F.map f t) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map f.unop) (CategoryTheory.yonedaEquiv.symm t)
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
y : ↑X
⊢ ∀ (x : (TopologicalSpace.OpenNhds y)ᵒᵖ),
  (skyscraperPresheafCocone p₀ A y).ι.app x =
    CategoryTheory.Limits.terminal.from (((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion y).op ⋙ skyscraperPresheaf p₀ A).obj x)
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Set.range WithTop.some = Set.Iio ⊤
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p
⊢ 0 < x ^ p
N : Type u_2
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.FG N ↔ ⊤.FG
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleMap φ₁ φ₂ a b comm).hom₃ = CochainComplex.mappingCone.map φ₁ φ₂ a b comm
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y : E
h : SameRay ℝ x y
⊢ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
α : Type u_1
CircularPartialOrder α
a b c : α
h : btw a b c
⊢ btw c b a → a = b ∨ b = c ∨ c = a
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
⊢ den / g * g = den
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
x : M
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.refl L M) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some
hg_seq : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, aeSeq hf p i b = a} (g_seq b)
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u_1
m n : Num
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((((α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (L.X ⊗ U.X)) ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actRight) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ : ℝ → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
⊢ StrictConvexOn ℝ s f
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ |∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ| = |∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ|
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑(range f).subtype.dualMap
rr_surj : Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
this : range f.rangeRestrict.dualMap = (ker f.rangeRestrict).dualAnnihilator
⊢ range f.dualMap = (ker f).dualAnnihilator
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s) (v +ᵥ p) = -v +ᵥ p
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ g' = hg.lift (hf.lift i)
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
_m1 : (unpair m).1 < n + 4
_m2 : (unpair m).2 < n + 4
IH : (ofNatCode m).encodeCode = m
IH1 : (ofNatCode (unpair m).1).encodeCode = (unpair m).1
IH2 : (ofNatCode (unpair m).2).encodeCode = (unpair m).2
⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = bit n.bodd (bit n.div2.bodd n.div2.div2) + 4
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : Nonempty β
⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
inst✝ : IsEmpty J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
this : IsInitial c.pt
⊢ IsVanKampenColimit c
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.edist u v = sInf (Set.range fun w => ↑w.length)
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q p : ℝ≥0
right✝ h : ↑p < b
⊢ ∃ q, 0 ≤ q ∧ ↑p < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ MulOpposite.op x ◃ MulOpposite.op y = MulOpposite.op (x ◃⁻¹ y)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂
φ : K₂ ⟶ K₂'
i₁✝ i₁'✝ : I₁
i₂✝ : I₂
a✝ : c₁.Rel i₁✝ i₁'✝
⊢ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂'.X i₂✝) = (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁'✝)).map (φ.f i₂✝)
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
uγ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
⊢ 𝓤 α = 𝓤 α
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ S.disconnect ≤ S
f✝ g f : CircleDeg1Lift
h : Bijective ⇑f
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ f ((Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm x) ≤ f ((Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ (MeasureTheory.Measure.mapₗ f) μ ≠ 0 ↔ μ ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.IsCodetecting ∅
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Mathlib.Vector α n
⊢ ↑(Mathlib.Vector.scanl f b v) = List.scanl f b ↑v
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card
⊢ (t a).card + (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ insert a s, (t a).card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.MonoidalFunctor C E
⊢ (F.prod' G).toLaxMonoidalFunctor = F.prod' G.toLaxMonoidalFunctor