ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.unop.right = ψ.left.unop
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
hS : ∅.Nonempty
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ Subsemiring.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(Subsemiring.center R)
V : Type u_1
W : Type u_2
v w : V ⊕ W
⊢ (completeBipartiteGraph V W).Adj v w = (v.isLeft = true ∧ w.isRight = true ∨ v.isRight = true ∧ w.isLeft = true)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε / 2 + ε / 2
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y L : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) =
  Polynomial.map (↑f) ((WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.addPolynomial x y L)
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
hnk : n ^ k ≠ 1
⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
⊢ (PresheafOfModules.toPresheaf R).obj P = P.presheaf
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).counitIso.inv.app X = 𝟙 X
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f g : α → β
s : Set α
a : α
l : Filter β
hfg : ∀ x ∈ s, f x = g x
hf : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) l
⊢ Filter.Tendsto g (𝓝[s] a) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s ∪ (t ∪ u) ↔ x✝ ∈ t ∪ (s ∪ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Bijective f
⊢ f '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ EMetric.diam (Set.range f) = EMetric.diam Set.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Sort u_4
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
f : ι → Set E
h : ∀ (i : ι), Balanced 𝕜 (f i)
⊢ Balanced 𝕜 (⋂ i, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
f : α ≃o β
⊢ upperClosure (⇑f '' s) = (UpperSet.map f) (upperClosure s)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : f ≈ 0
⊢ g ≈ 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
n✝ n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ∣ n
k : ℕ
⊢ (k ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ k ∣ m ↔ k ∣ m ∧ m ≠ 0
x : ℝ
⊢ ContinuousAt Real.smoothTransition x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0
α : Type u
f g : Filter α
⊢ ¬f ≤ g ↔ ∃ s ∈ g, s ∉ f
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ f b < nfpFamily (fun x => f) a ↔ b < nfpFamily (fun x => f) a
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
⊢ g (v ∘ ⇑1) = Equiv.Perm.sign 1 • g v
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑f x = g x
⊢ g =ᶠ[ae μ] 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f
⊢ ∃ f', f' ≫ g = f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
n : ℕ
f : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f ^ n = CauSeq.Completion.mk (f ^ n)
α : Type u
Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i) * (1 - x) = x ^ m - x ^ n
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
⊢ ∃ q', ‖q‖ = ↑q'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
s : Set M
N : Submodule R₂ M₂
⊢ ⇑f '' ↑(Submodule.span R s) ⊆ ↑N ↔ ∀ m ∈ s, f m ∈ N
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → (f * g) (m * n) = (f * g) m * (f * g) n
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
this : a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a * star a‖
⊢ a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1
this : Complex.abs (cexp ↑x - 1 - ↑x) ≤ Complex.abs ↑x ^ 2
⊢ |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y
e' : Y ≃ᵈ Z
⊢ Dilation.ratio (e.trans e') = Dilation.ratio e * Dilation.ratio e'
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (lift (g ∘ f)) x = (lift g) ((map f) x)
ε : Type u_1
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
x y : ExceptT ε m α
h : x.run = y.run
⊢ x = y
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
i : ι
this : f i ≤ g i
⊢ Nonempty (Quotient.out (f i) ↪ Quotient.out (g i))
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J) C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cotrident.ofCocone t).ι.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (t.ι.app j)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
ι : Type u_1
Nonempty ι
S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(iSup S) = ⋃ i, ↑(S i)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
Zero β
f : α → β
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
s : Finset (ι × ℝ)
h₁ : (π₁.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
h₂ : (π₂.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₂.boxes
⊢ ↑J ≤ I₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) h₂.homologyIso.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.hom γ.φH
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ (NNReal.orderIsoRpow y hy).symm = NNReal.orderIsoRpow (1 / y) ⋯
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin
⊢ ↑2 • Q₁ = ↑2 • Q₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ IsOpen (range toContinuousLinearMap)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : CategoryTheory.Over X
⊢ f.iteratedSliceEquiv.functor = f.iteratedSliceForward
p : ℝ
hp : 0 < p
x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = |p| * |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))|
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀
b : ℝ
lt_b : max a₀ b₀ < b
⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : R × R × R × R
⊢ ((QuaternionAlgebra.equivProd c₁ c₂).symm a).re = a.1
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
α : Type u
hα : Small.{v, u} α
⊢ Small.{max v w, u} α
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ≥0
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ ≤ r
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h₂ : finrank K ↥(range f) ≤ finrank K V₂
⊢ ker f ≠ ⊥
α : Type u
Group α
x : α
⊢ (MonoidHom.fromMultiplicativeIntEquiv α).symm x = (zpowersHom α) x
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit a
⊢ a⁻¹ * b = c ↔ b = a * c
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑μ G ≤ liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
x✝ : ℕ
⊢ ↑(μs x✝) G = (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) x✝
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : t ⊆ s
⊢ ⋃₀ insert t ↑(hC.diffFinset hs ht) = s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s :
  CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c))
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
τ : s ⟶ t.whisker (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)
⊢ (s.whiskerIdCancel τ).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ.right (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor t.extension).hom
α : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ 2 * s.card ≤ Fintype.card α
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : Surjective ⇑(f ^ (n + 1))
⊢ Surjective ⇑f
α : Type u
One α
β : Type u_1
f : α → β
⊢ WithBot.map f 1 = ↑(f 1)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
Invertible x
f : Polynomial R
⊢ Polynomial.eval₂ i (⅟x) f.reverse * x ^ f.natDegree = Polynomial.eval₂ i x f
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ ⟦a⟧ = ConjClasses.mk a
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this : IsScalarTower R S A
⊢ S' →ₐ[R] A
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
⊢ 𝓝 a = pure a ⊔ f
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
⊢ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I) ≤ I.closure
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x * f x ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.toBilin.symm = LinearMap.BilinForm.toLin
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')
⊢ i = i' → j = j' → c = 0
α : Type u_1
OrderedRing α
a b : α
a' b' : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → decide (a' ≤ b') = true → a ≤ b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y.left
Z : Over X
f : Z ⟶ Y
⊢ ((overEquiv Y).symm S).arrows f ↔ S.arrows f.left
α : Type u
self : OrderedSemiring α
⊢ 0 ≤ 1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ ⇑AffineIsometry.id = id
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
NormedAddCommGroup V₂
InnerProductSpace ℝ V₂
MetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ EuclideanGeometry.angle (f p₁) (f p₂) (f p₃) = EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
DistribLattice α
⊢ ↑(DistLat.of α) = α
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (NonUnitalSubring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
f g : α → M
h : Disjoint (Function.mulSupport f) (Function.mulSupport g)
⊢ (Function.mulSupport g).mulIndicator (f * g) = g
𝕜 : Type u_3
F : Type u_10
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
⊢ ↑(C * B ^ m).card * ↑(C * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
p₁ p₂ : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (Nat.SOM.Poly.add.go fuel p₁ p₂) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p₁ + Nat.SOM.Poly.denote ctx p₂
M : Type u_1
Monoid M
u : Mˣ
⊢ IsUnit ↑u
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a) ≠ 0
⊢ m = n
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → β
q : β → Prop
h : Computable f
⊢ (fun a => q (f a)) ≤₀ q
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ
⊢ ConcaveOn ℝ s f
k m n : ℕ+
h : (↑m).Coprime ↑n
⊢ ↑(k.gcd (m * n)) = ↑(k.gcd m * k.gcd n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
hg_eq : ∀ x ∈ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = ↑(hf.approx n) x
⊢ ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A
⊢ ⅟A * (A * B) = B
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime x y
⊢ x = 0 → y ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
a : R
J : Ideal R
ha : a ≠ 0
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0
hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0
a' : R
J' : Ideal R
ha' : a' ≠ 0
haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'
⊢ count K v (I * I') = count K v I + count K v I'
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ 0)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y z : M
hxy : x ≡ y [SMOD U]
hyz : y ≡ z [SMOD U]
⊢ x ≡ z [SMOD U]
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
One β
⊢ 1 = MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun x => 1) ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
⊢ iso.symm y ∈ ⇑iso ⁻¹' s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
c : F
⊢ (deriv fun y => f y + c) = deriv f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card
⊢ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card ≤ 𝒜.shatterer.card
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
⊢ Algebra.IsPushout R S R' S' ↔ IsBaseChange S (IsScalarTower.toAlgHom R R' S').toLinearMap
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup.Nodup
L : Type u_1
CompleteLattice L
U : Set (Locale.PT L)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ u, {x | x u} = U
α₁ : Type u_1
β₁ : Type u_2
e : α₁ ≃ β₁
f : α₁ → α₁ → α₁
⊢ Function.Semiconj₂ (⇑e) f ((e.arrowCongr e.conj) f)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
⊢ Sum.inr ⁻¹' (Sum.inl '' s) = ∅
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : Fˣ
ha : (quadraticChar F) ↑a = -1
⊢ quadraticChar F ≠ 1