ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformly F f p
h' : TendstoUniformly F' f' p'
⊢ TendstoUniformly (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p')
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α M
a : α
ha : a ≠ 0
S : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ Splits ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).trans (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm).toRingHom f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).tan * ‖x‖ = ‖y‖
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ interior (sphere x r) = ∅
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).Regular
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑(chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (ContinuousMap.restrict s f) ⟨x, hx⟩ = f x
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
q p : R[X]
hp : (q * q * p).Separable
this : IsCoprime (q * (q * p)) (q * (derivative q * p + derivative q * p + q * derivative p))
⊢ IsCoprime q q
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
R' : Type u_7
A : Type u_9
Monoid R'
Semiring A
Module A M
Module A N
DistribMulAction R' N
ContinuousConstSMul R' N
SMulCommClass A R' N
f : M [⋀^ι]→L[A] N
c : R'
v : ι → M
⊢ (c • f) v = c • f v
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsRightInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsLeftInversion w t
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ (Polynomial.mapRingHom f).rangeS ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}
⊢ mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ ((fun x => t.points i₂ -ᵥ x) '' (t.points '' ({i₂, i₃} \ {i₂}))))ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points) = mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ {t.points i₂ -ᵥ t.points i₃})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
f g : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp (f.comp g) k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal (f.comp g) k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.codeSupp g (Turing.PartrecToTM2.Cont'.comp f k)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto ((fun p => dist p.1 p.2) ∘ fun x => (p x.1, p x.2)) (comap (fun x => x.1 - x.2) (𝓝 0)) (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteWidePullbacks C
B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts (CategoryTheory.Over B)
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
a : R
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (a • φ) = a • CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝ : R
⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝) = (algebraMap R ℍ[R,c₂,c₁]) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a = b + c
⊢ a = c + b
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ BddAbove s
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R' A
⊢ ∀ (a : { f // ∀ (x y : M), f x * f y = 0 }),
  TrivSqZeroExt.liftEquivOfComm a = TrivSqZeroExt.lift (Algebra.ofId R' A) ↑a ⋯ ⋯ ⋯
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
a : α
n : ℕ
⊢ G.CliqueFreeOn {a} n ↔ 1 < n
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.eval₂ f 0 p = f (p.coeff 0)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
AddCommMonoid M
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
Module S M
c : R
x : RestrictScalars R S M
⊢ (RestrictScalars.addEquiv R S M) (c • x) = (algebraMap R S) c • (RestrictScalars.addEquiv R S M) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
u v : V
h : G'.Adj u v
⊢ G'.Adj v u
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : D
⊢ (CategoryTheory.Prod.sectr Z D).obj X = (Z, X)
a b c : ENNReal
h0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : StrictMono g
hf : StrictMonoOn f s
⊢ StrictMonoOn (g ∘ f) s
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).coeff (p.natDegree + q.natDegree) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
⊢ ℜ (z • a) = z.re • ℜ a - z.im • ℑ a
a b c x : ℕ
⊢ x ∈ Ico a.succ b.succ ↔ x ∈ Ioc a b
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0
⊢ ((aeval f) (q * q')) v + ((aeval f) (p * p')) v = v
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)
S : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι), Bornology.IsBounded (S i)
⊢ Bornology.IsBounded (Set.univ.pi S)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ factorThruImage (θ.unop ≫ A.e) ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e) = θ.unop ≫ A.e
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
i : ι
hC : 0 ≤ C
_i : Fact (1 ≤ ⊤)
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E ⊤)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
hi : ‖F i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)
⊢ p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)
⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd f a
m n : ℕ
⊢ ↑(m ^ (n + 1)) = ↑m ^ ↑(n + 1)
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
⊢ ↑1 = 1
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))
mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)
δ : ℝ
B : Set Ω
δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ
x✝ : MeasurableSet B
JB : Set ℕ := {i | B ∩ Es i ≠ ∅ ∧ i ∈ Iio N}
B_subset : B ⊆ (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) ∪ (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ
subset_thickB : ⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i) ⊆ thickening δ B
⊢ ↑P.toLevyProkhorov (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ↑P.toLevyProkhorov (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
ιM' : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ιM'
inst✝ : DecidableEq ιM'
bₘ' : Basis ιM' R M
f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom
hf : Function.Injective f
_h1 : Module.Finite (MvPolynomial ι R) (TensorProduct R (MvPolynomial ι R) M) := Module.Finite.of_basis (basis (MvPolynomial ι R) bₘ)
⊢ f (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = f (φ.polyCharpolyAux b bₘ')
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s = {x | s ∈ 𝓝 x}
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.Equation (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
i j k : ℤ
⊢ (i * j).gcd (i * k) = i.natAbs * j.gcd k
R : Type u_1
CommRing R
v : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct v) v = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ ⊥ ≠ ⊤
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ (fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
⊢ CompleteSpace ((i : ι) × E i)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
w : Set ℝ≥0∞
w_count : w.Countable
w_dense : Dense w
left✝ : 0 ∉ w
w_top : ⊤ ∉ w
I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤
A : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)
⊢ ∀ (a : α), (∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, d < ρ a / μ a)) → ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 c)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ
⊢ (comapDomain' h hh' (r • f)) i✝ = (r • comapDomain' h hh' f) i✝
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ v.restrict i = 0
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
c : (j : J) → X.CofanMapObjFun p j
hc : (j : J) → CategoryTheory.Limits.IsColimit (c j)
⊢ X.HasMap p
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
q : α → Prop
DecidablePred q
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (Multiset.filter q s) = Multiset.filter q (Multiset.filter p s)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
x : E
hx : IsIntegral F x
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
m n✝ : ℕ
⊢ ↑(-1) = n✝ + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y Z : C
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f₂
small_k : CategoryTheory.IsKernelPair f₁ a b
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂) a b
x y z : Bool
⊢ xor (xor x y) z = xor (xor x z) y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
Fintype ι
m m' : ι → M
⊢ f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Ring α
I : Ideal α
a b x x✝ : α
⊢ (∃ a, a * -x = x✝) ↔ ∃ a, a * x = x✝
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} - Metric.ball y δ = Metric.ball (x - y) δ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
⊢ s.Pairwise r ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r a b
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
AddMonoid M
VAdd N α
AddAction M α
s : Set M
htop : AddSubmonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x +ᵥ (y +ᵥ z) = y +ᵥ (x +ᵥ z)
⊢ VAddCommClass M N α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ ∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (uIcc (f i) (g i)).card
q : ℍ
⊢ (exp ℝ q).im = (exp ℝ q.re * (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖)) • q.im
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ (Matrix.vecHead fun x => a) = a
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : s.Nonempty
B : BddAbove s
⊢ sSup s ∈ closure s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₂.τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + φ₁.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖) ≤ fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖
a b m n p✝ p : ℕ
hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support
q : ℕ
hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support
h : b.factorization p ≤ a.factorization p
h' : ¬b.factorization q ≤ a.factorization q
⊢ (p ^ (a.lcm b).factorization p).Coprime (q ^ (a.lcm b).factorization q)
R : Type u_1
CommSemiring R
a b : R
x : R
e : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a + b) 0 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (x ^ e * a + x ^ e * b) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
⊢ Measurable Prod.snd
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝
⊢ LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x✝.dest y✝.dest
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 f y
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
hs : IsClosed s
hc : c ≠ 0
⊢ IsClosed (c • s)
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
A : ℝ
hA : 0 < A
h : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|x - ↑a / (↑b + 1)| * A)
r : ℕ
hn : A < (1 + 1) ^ r
a b : ℤ
b1 : 1 < b
a1 : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (r + f.natDegree)
b0 : 0 < ↑b
⊢ False
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
⊢ ∃ a, #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
OrderBot ι
InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N 0 = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ (fun x => x.1 -ᵥ x.2) '' s ×ˢ t = s -ᵥ t
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
⊢ Finset.memberSubfamily a (Finset.image (fun x => x.erase a) 𝒜) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
K : TopologicalSpace.Compacts α
L : TopologicalSpace.Compacts β
⊢ ↑(K.prod L) = ↑K ×ˢ ↑L
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
⊢ ∃ x, ContinuousMap.setOfIdeal I = {x}ᶜ
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)
a : (mk α A).Type
ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)
H : (A a).Equiv (mk γ C)
⊢ Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) (mk γ C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ¬∃ b, μ (t b) = ⊤
⊢ μ (⋃ b, s b) = μ (⋃ b, t b)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
⊢ PadicInt.limNthHom f_compat 0 = 0
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ X P Q ◁ T.mul ≫ actRight P Q = (α_ (X P Q) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k : α → β
f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
n : ℕ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * k ^ n) ↔ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ Nonempty ↥U ↔ (↑U).Nonempty
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
a : α
b : M
h : a ∈ s
⊢ Finsupp.single a b ∈ Finsupp.supported M R s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.δ i.succ ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj (SimplexCategory.mk n))
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ l → a ≠ b → R a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ (CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).functor.comp
    ((CategoryTheory.MonoOver.forget (⊤_ C)).comp (CategoryTheory.Over.forget (⊤_ C))) =
  CategoryTheory.subterminalInclusion C
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk
⊢ z • ↑a✝¹ = z • ↑a✝ ↔ ∃ k, ↑a✝¹ = ↑a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, d = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ v = -v ↔ v = 0
p k n : ℕ
pp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ p ^ k ∣ n ↔ p ^ k ∣ p ^ n.factorization p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : SupClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
⊢ ((t ×ˢ u).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2) ∈ infClosure s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure α)
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂m.join = ∫⁻ (μ : MeasureTheory.Measure α), ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ∂m
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
BEq α
LawfulBEq α
Batteries.BEqCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ x = y
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
LinearOrder α
PosMulMono α
MulPosMono α
h : 0 < a * b
ha : b ≤ 0
⊢ a < 0
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f✝ f : R[X]
⊢ (Polynomial.map (of f) f).IsRoot (root f)