ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : ↥p
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
one_mem : 1 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s
a : G
ha : a ∈ s
this : 1 * a⁻¹ ∈ s
⊢ a⁻¹ = 1 * a⁻¹
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
i : ι
x : α
hx : x ∈ s i
j : ι
hx' : (fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ∈ s j
⊢ ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ = ⟨j, ⟨(fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩, hx'⟩⟩
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ ⊥ < ↑a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
hvw : G.Adj v w
hv : u ≠ v
hw : u ≠ w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β
⊢ IsUpperSet (⇑↑f '' s)
α : Type u
Neg α
a : α
⊢ ↑(-a) = -↑a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
n : ℕ
hn : n < x.length
⊢ x[n] = y[n]
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.comap ϕ.toMonoidHom H = H
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ f.toBoundedContinuousFunction x = f x
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
x y z : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x ≤ y
hyz : y < z
h : f z ≤ f y
⊢ f y ≤ f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s ⇑f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : InjectiveResolution Y
J : InjectiveResolution Z
⊢ J.cocomplex.d 0 1 ≫ descFOne f I J = descFZero f I J ≫ I.cocomplex.d 0 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ derivative (p ^ Nat.zero) = C ↑Nat.zero * p ^ (Nat.zero - 1) * derivative p
b x : ℝ
hb : 1 < b
h₁ : 0 < x
h₂ : Real.logb b x = 0
⊢ x = 1
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ (z1 - z2) = A ^ z1 / A ^ z2
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ
⊢ AEMeasurable (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
⊢ ((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0) a✝ = 0 a✝
M : Type u_1
Add M
z : M
⊢ z ∈ Set.addCenter M ↔ IsAddCentral z
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
hx : x ∉ s
⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → MeasureTheory.eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
m : Type u → Type v
Monad m
MonadCont m
self : LawfulMonadCont m
α β : Type u
dummy : m α
⊢ (MonadCont.callCC fun x => dummy) = dummy
α : Type u
xs : List α
n m : ℕ
⊢ List.dropSlice n m xs = List.take n xs ++ List.drop (n + m) xs
X : Type u_1
EDist X
a b : X
⊢ edist (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = edist a b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : ∃ c ∈ Icc a b, f c < g c
⊢ (volume.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedGENhdsClass α
a : α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (𝓝 a)
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l
z : ℂ
⊢ z - (starRingEnd ℂ) z = ↑(2 * z.im) * Complex.I
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball 1 δ / {x} = ball x⁻¹ δ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T
⊢ ↑(hST.equiv g).1 = ↑⟨1, h1⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ periodicOrbit f x = Cycle.nil ↔ x ∉ periodicPts f
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B₁ : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
H : B₁.IsAlt
x y : M₁
⊢ B₁.IsOrtho x y ↔ B₁.IsOrtho y x
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
hao : a < o
H : IsNormal (op a)
ho : Principal op o
ho' : o.IsLimit
⊢ op a o = o
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
n : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr S.f).f n ≫ (CochainComplex.mappingCone.descShortComplex S).f n = S.g.f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m m' : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
h_mono : m' ≤ m
⊢ StronglyMeasurable f
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n A
M' : Matrix n m A
N : Matrix n n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
⊢ (M * N * M').det = N.det
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk v w
⊢ u ∈ p.support ↔ ∃ n, p.getVert n = u ∧ n ≤ p.length
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
⊢ IsOpenMap (Function.eval i)
x : ℝ
⊢ Real.cosh x ^ 2 = 1 + Real.sinh x ^ 2
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char
⊢ mapAux f { byteIdx := utf8Len l + (f c).utf8Size } { data := l ++ f c :: r } = { data := l ++ f c :: List.map f r }
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε : ε ≤ 1
⊢ 0 ≤ ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Monotone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | f x ≤ r}
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One M
s t : Set α
f g : α → M
a : α
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t
x : α
hst : x ∈ s ↔ x ∈ t
hfg : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∈ s
⊢ s.mulIndicator f x = t.mulIndicator g x
n : ℕ
⊢ FermatLastTheoremFor n ↔ FermatLastTheoremWith ℤ n
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
n : ℕ
s : Finset α
⊢ Finset.powersetCard n (Finset.map f s) = Finset.map (Finset.mapEmbedding f).toEmbedding (Finset.powersetCard n s)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0
⊢ StrictAntiOn f D
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
self : CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W E
F : CategoryTheory.Functor C E
hF : W.IsInvertedBy F
⊢ L.comp (self.lift F hF) = F
z : ℂ
⊢ Complex.orientation.rightAngleRotation z = Complex.I * z
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
p : Polynomial T
⊢ (-p).aroots S = p.aroots S
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R
⊢ Injective ⇑(quotientInfToPiQuotient I)
α : Type u_1
Preorder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
⊢ Function.Surjective ⇑(ZMod.unitsMap h)
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card (Lex α) = Fintype.card α
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Real.cos (f x)
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
m : M
⊢ m ∈ f.maxGenEigenspace μ ↔ ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
F : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
FunLike F A B
CoalgHomClass F R A B
f : F
x : A
⊢ (TensorProduct.map ↑f ↑f) (Coalgebra.comul x) = Coalgebra.comul (f x)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n.succ, ↑(((k, n - k).1 + (k, n - k).2).choose (k, n - k).2) / (↑(k, n - k).2 + 1) * bernoulli' (k, n - k).1 = ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint t ↔ ∀ {a : α}, a ∈ s → a ∉ t
α : Type u_1
DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ Multiset.toFinsupp (Finsupp.toMultiset f) = f
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ (SimpleGraph.induce H.verts G).Connected
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
ha : IsSuccLimit (succ a)
⊢ IsMax a
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x y : X
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl y) = 0
⊢ Sum.inl x = Sum.inl y
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
⊢ IsGδ k
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂
G' : D₂ ⥤ D₃ := Ψ.localizedFunctor L₂ L₃
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G
e' : Ψ.functor ⋙ L₃ ≅ L₂ ⋙ G' := CatCommSq.iso Ψ.functor L₂ L₃ G'
⊢ e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ G'.map (e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y) = (𝟙 (L₃.obj (Ψ.functor.obj (Φ.functor.obj X))) ≫ e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ 𝟙 (G'.obj (L₂.obj (Φ.functor.obj X))) ≫ G'.map (e.hom.app X) ≫ 𝟙 (G'.obj (G.obj (L₁.obj X)))) ≫ G'.map (G.map f) ≫ (((𝟙 (G'.obj (G.obj (L₁.obj Y))) ≫ G'.map (e.inv.app Y)) ≫ 𝟙 (G'.obj (L₂.obj (Φ.functor.obj Y)))) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y)) ≫ 𝟙 (L₃.obj (Ψ.functor.obj (Φ.functor.obj Y)))
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
h_le1 : ∀ (x : ℝ), ↑f (x - 1) ≤ leftLim (↑f) x
h_le2 : ∀ (x : ℝ), leftLim (↑f) x ≤ ↑f x
⊢ Tendsto (leftLim ↑f) atTop (𝓝 l)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a = c * b → a / b = c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
this : CompleteSpace F
⊢ implicitFunction f f' hf hf' (f a) 0 = a
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.diffs ∅ = ∅
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P✝ : PrelocalPredicate T
P : LocalPredicate T
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
sf : (i : ι) → (forget (Type v)).obj ((subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).obj (op (U i)))
sf_comp : (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsCompatible U sf
sf' : (i : ι) → (X.presheafToTypes T).obj (op (U i)) := fun i => ↑(sf i)
sf'_comp : (X.presheafToTypes T).IsCompatible U sf'
⊢ ∃! s, (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsGluing U sf s
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
p : α → Prop
x : m α
q : β → Prop
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
hx : SatisfiesM p x
hf : ∀ (a : α), p a → SatisfiesM q (f a)
⊢ SatisfiesM q (x >>= f)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : Part α →o Part α
hc : Continuous f
x✝ : Chain (Unit → Part α)
⊢ f (Part.ωSup (x✝.map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup ((x✝.map (toUnitMono f)).map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : { x // x ∈ s }), (fun i => (↑i).2) i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : { x // x ∈ s } → κ → R
y : κ → N
j : κ
⊢ ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = 0 ↔ ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => (↑i).1) i = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Submodule.torsionBy R (↥(Submodule.torsionBy R M a)) a = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.InjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
φ : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.ι.f 0) (φ.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (Q.ι.f 0)
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (Q.toRightDerivedZero' F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.toRightDerivedZero' F)
    (HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ⊓ g ≤ g
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s✝ : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : s.topologicalClosure = ⊤
⊢ (Subgroup.map f s).topologicalClosure = ⊤
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ kernel.lift g.unop (kernel.ι f.unop) ?refine_1 ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι f.unop
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖m‖
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ i, t i) < c
i : ι
⊢ #↑(t i) < c
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
k : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map k.symm.toAddMonoidHom T = S
x : M
⊢ (f.ofAddEquivOfDom H).toMap (k x) = f.toMap x
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
⊢ { toSubmodule := ⊤, lie_mem := ⋯ } = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((Orientation.map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = (o.areaForm (φ.symm x)) (φ.symm y)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s → ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, x ∈ s → p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s → p x
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set ι
hs : AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val)
⊢ AlgebraicIndependent R (s.restrict x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
E₂ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), g x = A n
x : E
hx1 : nndist (f' x) (A n) ≤ δ
hx2 : g x = A n
⊢ dist (f' x) (A n) ≤ ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι
⊢ range (Sigma.mk i) = Sigma.fst ⁻¹' {i}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
q₁ : Path.Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Path.Homotopic.Quotient b₁ b₂
⊢ Path.Homotopic.projRight (Path.Homotopic.prod q₁ q₂) = q₂
n : Int
⊢ ↑n.toNat - ↑(-n).toNat = n
p : ℕ
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ padicNorm p q = ↑p ^ (-padicValRat p q)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ ((((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b = (((((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
ht : IsLowerSet t
⊢ IsUpperSet (s / t)
V : Type u
G : SimpleGraph V
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
⊢ (⊤.induce {u, v} ⊔ H ⊔ K).Connected
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n
⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (n * m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
α : Type u_1
s : Set α
hs : 0 < s.ncard
⊢ s.Finite
α : Type u
ι : Sort w
CompleteBooleanAlgebra α
p : ι → Prop
f g : (i : ι) → p i → α
⊢ symmDiff (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) (⨆ i, ⨆ (h : p i), g i h) ≤ ⨆ i, ⨆ (h : p i), symmDiff (f i h) (g i h)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
h : I ≠ ⊤
⊢ ↑I ⊆ nonunits α
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
Y : D
⊢ (E.coneAt Y).pt = E.left.obj Y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ l₁ → Filter.Tendsto f (↑g) l₂
x : ℝ
⊢ expMapCircle (x + 2 * π) = expMapCircle x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1