ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1 ∘ Subtype.val) x
R : Type u_2
E : Type u_4
Group E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : GroupSeminorm E
x : E
⊢ (r • p) x = r • p x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
⊢ (LinearMap.trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (LinearMap.trace R M) f + (LinearMap.trace R N) g
l : List Char
c : Char
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l (c :: r) it
⊢ ValidFor (c :: l) r it.next
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.EqOn f f s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set X
h : IsClosed (f '' s)
⊢ IsClosed s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{max u_2 u_3}
f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c
⊢ o.card < c.ord.cof
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ ((HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → β
⊢ Subtype.val ∘ Set.rangeFactorization f = f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
w : f ≠ 0
⊢ kernel.ι f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) atTop (𝓝 (Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a) x))
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
B : (ι → R₁) →ₗ[R₁] (ι → R₁) →ₗ[R₁] R₁
⊢ ((LinearMap.toMatrix₂' R₁) B).Nondegenerate ↔ B.SeparatingLeft
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ
⊢ IsDetector (unop G) ↔ IsCodetector G
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
⊢ ∃ S, Unbounded r S ∧ type (Subrel r S) = (type r).cof.ord
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a b : α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ⇑(BialgHom.id R A) = id
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Iic b
y : α
hy : y ∈ Iic b
hxy : x < y
⊢ projIic b x < projIic b y
x : EReal
⊢ x = ⊥ ↔ ∀ (y : ℝ), x < ↑y
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
Module R₁ M₄
e : M₁ ≃L[R₁] M₂
e' : M₃ ≃L[R₁] M₄
⊢ (e.prod e').symm = e.symm.prod e'.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ η : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n => κ n + η n) a) s = ((Kernel.sum κ + Kernel.sum η) a) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.BraidedFunctor.id C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
x : M
⊢ f x ∈ Submonoid.map f S ↔ x ∈ S
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
⊢ #κ ≤ #ι
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
a : A
⊢ (BialgEquiv.refl R A) a = a
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n 0 τ) (jacobiTheta₂ 0 τ)
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
n : ℕ
α : Type u_1
a : Fin n → α
⊢ Fin.repeat 1 a = a ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.take n l <+: l
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hq0_lt : 0 < q
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.centralMoment X 1 μ = 0
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
h : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
x : { x // p x }
⊢ (f.subtypePerm h) x = ⟨f ↑x, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
hp : ¬p = 0
⊢ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})
⊢ ∀ (x : A) (h : x ∈ {a}), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : IsBigOWith c l f g
⊢ ∃ c, IsBigOWith c l f g
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 1 + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
l : α →₀ M
⊢ Finsupp.embDomain f l = 0 ↔ l = 0
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p a → β✝
x✝ : Option α✝
α β γ : Type u_5
f : β → γ
x : Option α
g : α → Option β
⊢ Option.map f (x >>= g) = do let a ← x Option.map f (g a)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ico a b ∈ 𝓝[>] a
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
hn : z ≠ x
⊢ (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq
⊢ (cons a ⟨f, al⟩).tail = ⟨f, al⟩
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x z : V
r : ℝˣ
⊢ 2 • o.oangle x z = 2 • o.oangle (r • x) z
R : Type u_1
Semiring R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.ppow 0 = ↑ArithmeticFunction.zeta
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ + s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
⊢ (r • μ).bind ⇑κ = r • μ.bind ⇑κ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ ((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x) + ∫ (x : ℝ) in ε..Int.fract (t / T) * T + ⌊t / T⌋ • T, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal) ↔ (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f = AlgHom.id R S
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
VAdd M X
ContinuousVAdd M X
f : Y → M
g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x +ᵥ g x
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => -u i ω
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min
π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val
π₂_cont : Continuous π₂
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.conts 0 = { a := g.h, b := 1 }
α : Type u_1
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ = ⋃ b, bif b then s₁ else s₂
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : G.LocallyFinite
n : ℕ
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p ∈ {p | p.length = n}.toFinset ↔ p ∈ G.finsetWalkLength n u v
R : Type u_1
CommSemiring R
r : R
⊢ Associates.mk (Ideal.span {r}) ≠ 0 ↔ r ≠ 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
AddCommGroup H
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NontriviallyNormedField 𝕜₄
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
Module 𝕜₃ G
Module 𝕜₄ H
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup G
TopologicalAddGroup H
ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
RingHomIsometric σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
L : F →SL[σ₂₃] G
⊢ (e₁₂.arrowCongrSL e₄₃).symm L = (↑e₄₃.symm).comp (L.comp ↑e₁₂)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hcf : ContinuousOn f (Set.Ioc a b)
hcg : ContinuousOn g (Set.Ioc a b)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : f b = 0
hgb : g b = 0
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace R
B : ι → Submodule R M
self : SubmodulesBasis B
m : M
i : ι
⊢ ∀ᶠ (a : R) in 𝓝 0, a • m ∈ B i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
a b : ↑(F.obj A)
⊢ F.map ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.evaluationEquivOfIsGalois F A a).symm b).hom a = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → ℝ
⊢ ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
f' : E → E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
K : ℝ≥0
hK : ‖f' x‖₊ < K
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
s : Multiset ι
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
⊢ fold op (fold op b₀ (map b s)) (s.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) s)
M : Type u_5
N : Type u_6
Monoid M
Monoid N
x z : M × N
⊢ x ~ᵤ z ↔ x.1 ~ᵤ z.1 ∧ x.2 ~ᵤ z.2
b : Bool
i : Nat
⊢ b.toNat.testBit i = (decide (i = 0) && b)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(mulLeftMap N ⇑m)
⊢ M.LinearDisjoint N
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}
⊢ lift.{u, v} a = lift.{u, v} b ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : StrictAntiOn g t
hf : StrictAntiOn f s
hs : Set.MapsTo f s t
⊢ StrictMonoOn (g ∘ f) s
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }
⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
a : ℂ
⊢ ↑Complex.polarCoord a = (√(a.re ^ 2 + a.im ^ 2), a.arg)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ {a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
R : Type u
Ring R
IsDomain R
⊢ ∃! q, ExpChar R q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderTop α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atBot μ
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
f : α →+ β
s : Multiset α
⊢ f s.sum = (Multiset.map (⇑f) s).sum
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ
⊢ dist ((R / ‖x -ᵥ c‖) ^ 2 • (x -ᵥ c)) ((R / ‖y -ᵥ c‖) ^ 2 • (y -ᵥ c)) = R ^ 2 / (‖x -ᵥ c‖ * ‖y -ᵥ c‖) * dist x y
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in 𝓝 f, x ∈ ↑A.toSubsemiring
⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
α β γ✝ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (α ⊕ β → ℕ)
γ : Type u
p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)
pe : ∀ (v : α ⊕ β → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, v ⊗ x ∈ S} v
x : β → ℕ
hx : v ⊗ x ∈ S
t : γ → ℕ
ht : p ((v ⊗ x) ⊗ t) = 0
⊢ p ((v ⊗ x ⊗ t) ∘ ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr)) = 0
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (↑f).comp (algebraMap R A) = algebraMap R B
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
x : F
⊢ (μ s).toReal • x = (μ t).toReal • x
α : Type u_3
PartialOrder α
a : α
⊢ {a}.OrdConnected
R : Type u_7
Add R
Mul R
⊢ ∀ (a : Rᵐᵒᵖᵐᵒᵖ), (RingEquiv.opOp R).symm a = MulOpposite.unop (MulOpposite.unop a)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
ν : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) (μ + ν)
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral (μ + ν) f =
  MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f + MeasureTheory.SimpleFunc.integral ν f
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m : ℤ
n_dvd : 0 ∣ m
⊢ ↑(m / 0) = ↑m / ↑0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s u ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 u
hsv : MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s v ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (symmDiff u v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ ((N.X ⊗ Y.X) ◁ Y.one ≫ N.actRight ▷ Y.X) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 ⊆ t
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : s ⊆ ↑x.asIdeal
x_prime : x.asIdeal.IsPrime
⊢ False
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (QuaternionAlgebra.equivProd c₁ c₂) a = (a.re, a.imI, a.imJ, a.imK)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
⊢ p = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 1 ≤ p.toReal
α : Type u
PseudoMetricSpace α
self : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
⊢ IsCompact (Metric.closedBall x r)
α : Type u
f : α → α → α
hassoc : Associative f
a b : α
l : List α
⊢ List.foldl f a (l ++ [b]) = List.foldr f b (a :: l)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn f s ((μ.restrict t).trim hm)