ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
h : i ≠ j
⊢ (update i f b) j = (single i b + erase i f) j
α : Type u_1
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
h : ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
⊢ t₁ ≤ t₂
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ (filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card ≤ k - 1
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S T : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.comap f (S ⊓ T) = Subsemigroup.comap f S ⊓ Subsemigroup.comap f T
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 - ε z) + z ^ (p - 1) / log z ^ 2) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
α : Type u_1
self : CircularPartialOrder α
a b c : α
⊢ btw a b c → btw c b a → a = b ∨ b = c ∨ c = a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
x : E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (x +ᵥ s)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f x < x + ↑⌊τ f⌋ + 1
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.subtypeVal α.repeatEq) TypeVec.diagSub = TypeVec.prod.diag
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → (weight w) m = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
i✝ : n × o
j✝ : m × o
⊢ (blockDiagonal M)ᵀ i✝ j✝ = blockDiagonal (fun k => (M k)ᵀ) i✝ j✝
n : ℤ
r : ℝ
⊢ ↑(n • r) = n • ↑r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ leftHomologyMap' φ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.left S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData h₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
hdvd : ∀ (k : ℕ), ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, μ ^ k - 1 = z * (μ - 1)
Z : ℕ → R := fun k => Classical.choose ⋯
⊢ ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
TopologicalAddGroup M
f₁ : M →L[R] M₂
f₂ : M₂ →L[R] M
h : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
x : M
⊢ ((ContinuousLinearEquiv.equivOfRightInverse f₁ f₂ h) x).1 = f₁ x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP (fun x => false) l = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
h : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : D
f : X ⟶ Y
em : StrongEpiMonoFactorisation (F.inv.map f) := ⋯.some
⊢ Nonempty (StrongEpiMonoFactorisation f)
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
⊢ s.sum f = s.sup f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
a : R
x : M'
x' : M
hx : f x' = x
⊢ IsInteger f (a • x)
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z ↔ x ≤ y
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
e : σ ≃ τ
h : ((rename ⇑e) φ).IsSymmetric
⊢ φ.IsSymmetric
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
x✝ : Quotient r
x : α
⊢ (g ∘ Quotient.mk'') x = g (Quot.mk Setoid.r x)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
ih : (expand R (p ^ n)) f = (⇑(expand R p))^[n] f
⊢ (expand R (p ^ n.succ)) f = (⇑(expand R p))^[n.succ] f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ (x : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)),
  ((CategoryTheory.Monad.monadMonEquiv C).counitIso.hom.app x).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id
      (((CategoryTheory.Monad.monToMonad C).comp (CategoryTheory.Monad.monadToMon C)).obj x).X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔ MellinConvergent f (s / ↑a)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M → N → P
H1 : ∀ (m₁ m₂ : M) (n : N), f (m₁ + m₂) n = f m₁ n + f m₂ n
H2 : ∀ (c : R) (m : M) (n : N), f (c • m) n = ρ₁₂ c • f m n
H3 : ∀ (m : M) (n₁ n₂ : N), f m (n₁ + n₂) = f m n₁ + f m n₂
H4 : ∀ (c : S) (m : M) (n : N), f m (c • n) = σ₁₂ c • f m n
m : M
n : N
⊢ ((LinearMap.mk₂'ₛₗ ρ₁₂ σ₁₂ f H1 H2 H3 H4) m) n = f m n
R : Type u_3
A : Type u_4
Zero R
Zero A
⊢ Unitization.fst 0 = 0
k : ℕ+
m n : ℕ+
h : m.Coprime n
⊢ k.gcd (m * n) = k.gcd m * k.gcd n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
⊢ ContinuousOn f (closedBall c R)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hac : a ≤ c
hbd : b ≤ d
⊢ a * b = c * d ↔ a = c ∧ b = d
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
eg : g =ᶠ[𝓝[s] x] f'
⊢ ContinuousWithinAt g s x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ
⊢ m < replicate (n + 1) x ↔ m ≤ replicate n x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ card { x // p x } = (filter p univ).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
x : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.colimit F)
⊢ ∃ j y, (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) y = x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
s : Set X
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ s ⊆ K) ↔ IsCompact (closure s)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
⊢ M.toNFA.accepts = M.accepts
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
G : Type u_9
Group G
SMul G R
MulAction G M
IsScalarTower G R M
g : G
x : M
⊢ Submodule.span R {g • x} = Submodule.span R {x}
R : Type u
n : ℕ
Ring R
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
a b c : Int
H : 0 < c
H3 : a < b / c
⊢ a * c < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
K' : Set X
hK' : IsCompact K'
hKK' : K ⊆ interior K'
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.24510, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ u₁₂ ≫ u₂₃ = 𝟙 X₁ ≫ u₁₃
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ (mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
h : p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ p₁ = p₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ ContinuousAt (Mathlib.Vector.eraseIdx i) l
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hIE : I ⊆ E
⊢ (uniqueBaseOn I E).Indep J ↔ J ⊆ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork S hf hg c hc).φH =
  CategoryTheory.Limits.Fork.ι c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β
⊢ ⨅ x, comap Prod.fst (f x) ⊓ comap Prod.snd g = ⨅ i, (f i).prod g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuous f
hg : UpperSemicontinuous g
hcont : ∀ (x : α), ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ UpperSemicontinuous fun z => f z + g z
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : IsLocalRingHom f
a : Sˣ
b : R
hb : f b = ↑a
⊢ (Units.map ↑f) ⋯.unit = a
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
f : α ↪o β
OrderBot α
OrderBot β
a₁ a₂ : α
⊢ Disjoint (f a₁) (f a₂) → Disjoint a₁ a₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ (-s).totalVariation = s.totalVariation
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h : ∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))
i : Fin (n' + 1)
⊢ ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = Fin.cons a as i • ↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' ⋯) (Fin.castLE ⋯ i))
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
ia : ι
a : 𝒜 ia
ib : ι
b : ℬ ib
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) ((lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b) = r • (lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
⊢ ‖ContinuousLinearMap.compL 𝕜 E Fₗ Gₗ‖ ≤ 1
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar L p
IsPRadical i p
PerfectRing L p
⊢ PerfectRing.liftAux i i p = id
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
R : Type u_4
CommRing R
NoZeroDivisors R
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ 2
⊢ ζ = -1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_5
CompleteLattice β
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i → β
⊢ ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f i j = ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
cont : Type u_1
idx : Type u_2
elem : Type u_3
dom : cont → idx → Prop
GetElem? cont idx elem dom
LawfulGetElem cont idx elem dom
Inhabited elem
c : cont
i : idx
h : ¬dom c i
Decidable (dom c i)
⊢ getElem! c i = default
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts' : ι → TopologicalSpace E
h' : ∀ (i : ι), LocallyConvexSpace 𝕜 E
⊢ ∀ t ∈ range fun i => ts' i, LocallyConvexSpace 𝕜 E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedLinearOrderedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 ℝ
h : StrictConvex 𝕜 (Metric.closedBall 0 1)
⊢ StrictConvexSpace 𝕜 E
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m = Int.negSucc n ↔ m = n
⊢ ∀ (a : ℂ), Complex.equivRealProdCLM a = (a.re, a.im)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
⊢ f.IsSwap → f.IsCycle
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.toFinset.card = 1 ↔ Multiset.card s ≠ 0 ∧ ∃ a, s = Multiset.card s • {a}
a b : Nat
h : a ≤ b
⊢ a + (b - a) = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
⊢ CategoryTheory.IsSubterminal A ↔ ∀ ⦃Z : C⦄ (f g : Z ⟶ A), f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : β → Prop
DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
⊢ a = 0
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑μ G ≤ liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
⊢ ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
⊢ IsGδ (⋃₀ S)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : ι → ι' → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ i', s i i' = ⋂ i', ⋂ i, s i i'
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ (a ♯ b) ⨳ c = a ⨳ c ♯ b ⨳ c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)
hg0 : Function.extend Subtype.val (⇑f) g 0 = 0
⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b
⊢ k • (a - b) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
X : Type u_8
TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔
  ContinuousWithinAt (g ∘ ↑f.symm) (↑f.symm ⁻¹' s) (↑f x)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
⊢ S.LeftHomologyData
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
⊢ (∃ b, s = setOf (Formula.Realize (BoundedFormula.constantsVarsEquiv.symm b))) ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ / (1 / √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2)) = ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ + (∡ p₂ p₁ s.center).tan • (o.rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ (F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X) = (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ Disjoint (LinearMap.range (ι R)) 1
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ ((fun x => x.1 • x.2) '' s ×ˢ t).IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ι → ℝ
hpos : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hε'c : HasSum (fun i => ε' ↑i) c
hcε : c ≤ ε
t : Finset ι
ht : ↑t ⊆ s
⊢ ∑ i ∈ t, ε' i ≤ ε
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x y : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
⊢ Disjoint (Metric.ball x δ) (Metric.closedBall y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
α : Type u
x y : α
H : x = y
⊢ x ∈ {y}
α : Type u_1
One α
Add α
⊢ ↑PosNum.one = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ -φ W.b₂ ^ 2 * φ W.b₈ - 8 * φ W.b₄ ^ 3 - 27 * φ W.b₆ ^ 2 + 9 * φ W.b₂ * φ W.b₄ * φ W.b₆ = φ (-W.b₂ ^ 2 * W.b₈ - 8 * W.b₄ ^ 3 - 27 * W.b₆ ^ 2 + 9 * W.b₂ * W.b₄ * W.b₆)
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ p.toNNReal⁻¹ + q.toNNReal⁻¹ = 1
n a b n' a' b' : ℕ
H : Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux n a b
hn : 2 * n = n'
h1 : a * (2 * b - a) = a'
h2 : a * a + b * b = b'
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux n' a' b'
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ a ∈ s ∪ {a}
R : Type u
S : Type v
Semiring R
q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : Polynomial.eval₂ f x q = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p * q) = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S ⊔ Subsemigroup.comap f T) = S ⊔ T
α β ι : Type u
c : ι → Type v
⊢ #(ULift.{w, max u v} ((i : ι) → c i)) = #((i : ι) → ULift.{w, v} (c i))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLattice β
c : β
hμ : μ ≠ 0
⊢ essSup (fun x => c) μ = c
R : Type u
Semiring R
H : ¬1 = 0
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).support = {n}
z : ℍ
r : ℝ
w : ℂ
h : dist w ↑(z.center r) ≤ z.im * Real.sinh r
⊢ 0 < w.im
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
⊢ G.Reachable a b
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = sum g fun a b => (f * single a b) x
a b c : ℤ
h : IsCoprime a b
heq : a * b = c ^ 2
⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus {1} = ∅
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Subsingleton n
x : SpecialLinearGroup n R
x✝ : x ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
⊢ x ∈ ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ 2 + n
⊢ dickson k a (n + 2) = X * dickson k a (n + 2 - 1) - C a * dickson k a (n + 2 - 2)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ f = default
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Mathlib.Vector α n
x : α
⊢ Mathlib.Vector.scanl f b (x ::ᵥ v) = b ::ᵥ Mathlib.Vector.scanl f (f b x) v