ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : DistribMulAction R S
inst✝ : IsScalarTower R S S
M : Matrix n m S
b : R
v : n → S
i : m
⊢ ((b • v) ᵥ* M) i = (b • v ᵥ* M) i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }
⊢ ∃ φ, ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), φ ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : S4 = (U.pi fun x => W) ∩ Set.range DFunLike.coe
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).tan * ‖x‖ = ‖y‖
a b c d k m : ℕ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = k * m
ha : 2 * a < m
hb : 2 * b < m
hc : 2 * c < m
hd : 2 * d < m
⊢ 2 ^ 2 * (k * m) < 2 ^ 2 * (m * m)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
hg'' : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
⊢ 𝟙 R₁ = (conjugateEquiv adj₁ adj₁) (𝟙 L₁)
m : ℕ
⊢ ack (m + 1) 0 = ack m 1
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : ¬p j
⊢ Continuous fun a => a.2 ⟨j, h✝⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformlyOnFilter f g l l'
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l l'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (f / f') (g / g') l l'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
⊢ ∃ ι f g x, (∀ (i : ι), CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (f i)) ∧ Finite ι
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
⊢ multiplicity a b < ↑k ↔ ¬a ^ k ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ {a | a ∈ s ∧ a ∉ t} = 0 ↔ μ (s \ t) = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : s ∈ f
⊢ 1 ∈ f ^ 0
R : Type u
inst✝² : NonUnitalRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
x y : R
this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ x ≤ y ↔ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) φ s x ↔ ∀ (i : ι), SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, Fi i) (fun x => φ x i) s x
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
E : Set α
hx : x ∈ E
δ : ℝ
⊢ {x} ⊆ E
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : α × β × γ
⊢ x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u ↔ x✝ ∈ s ×ˢ t ×ˢ u
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)
R : Type u
CommRing R
⊢ (CoalgebraCat.comonEquivalence R).inverse = CoalgebraCat.ofComon R
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x n r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b))
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {ι : Type u} {t : ι → Finset α} [inst : Finite ι], (∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) → ∀ (val : Fintype ι), Fintype.card ι = m → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
ι : Type u
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
val✝ : Fintype ι
hn : Fintype.card ι = n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
w : V
⊢ Real.fourierIntegralInv f w = Real.fourierIntegral f (-w)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.comap f ⊥ = f.ker
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
⊢ ((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x ≠ 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
⊢ edist a⁻¹ b⁻¹ = edist a b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData C
i : self.J
⊢ self.t i i = CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.V (i, i))
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ b ⊔ c
hd : Disjoint a c
⊢ a ≤ b
ι : Type u_4
β₁ : ι → Type u_5
β₂ : ι → Type u_6
(i : ι) → UniformSpace (β₁ i)
(i : ι) → UniformSpace (β₂ i)
F : (i : ι) → β₁ i ≃ᵤ β₂ i
⊢ (UniformEquiv.piCongrRight F).symm = UniformEquiv.piCongrRight fun i => (F i).symm
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
i : ι
x✝ : i ∈ univ
⊢ (fun i => Classical.choose ⋯) i ∈ t i
p x : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ ‖↑x‖ = |x| ↔ |x| ≤ |p| / 2
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
h : a < b
⊢ Set.Ioo a (Order.succ b) = insert b (Set.Ioo a b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : (↑f'symm.nnnorm)⁻¹ ≤ ↑c
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
f : Sat.Fmla
c : Sat.Clause
H : f.subsumes (Sat.Fmla.one c)
⊢ f.proof c
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1) * cos π) / (↑(2 * k) + 2) + (↑(2 * k) + 1) / (↑(2 * k) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') s x
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2
⊢ sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeId.inv.app X).hom = 𝟙 X.pt
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f
⊢ Flat Rp Mp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ f = ∑' (b : β), g b
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3
⊢ 5 ≤ p
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
⊢ alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) = (SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
NoZeroDivisors R
⊢ (p * p.mirror).natDegree = 2 * p.natDegree
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
⊢ Hyperreal.IsSt (Filter.Germ.map₂ f x y) (f r s)
α : Type u_5
β : Type u_6
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Subsingleton β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
i : ℕ
⊢ MeasurableSet (MeasureTheory.spanningSets μ i)
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ f (↑↑γ • z) * ↑(↑↑↑↑γ).det ^ (k - 1) * denom (↑↑γ) z ^ (-k) = ((↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k)⁻¹ * f (γ • z)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : g 0 • x + g 1 • y = 0
⊢ ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), g i = 0
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U) = (pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ μ F = ν F
R : Type u
M : Type v
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₃
m : M
⊢ LinearMap.vecEmpty m = ![]
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer S (n + 1)).comp (X + 1) = ascPochhammer S (n + 1) + (n + 1) • (ascPochhammer S n).comp (X + 1)
α : Sort u
β : Sort v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
ha : WellFounded r
hb : WellFounded s
⊢ WellFounded (PSigma.lexNdep r s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ S.rightHomologyι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ S.rightHomologyι
⊢ f₁ = f₂
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Continuous' g
⊢ Continuous' fun x => pure ∘ f
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
hp₁ : p.1 ≠ 0
hp₂ : p.2 ≠ 0
⊢ f p.1 * g p.2 / ↑n ^ s = term f s p.1 * term g s p.2
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = ∏ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
hs : ↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑(Submodule.span R s)
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) = Submodule.span R s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m n : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hmnd : m + n = (p * q).natDegree
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hmn : 0 < m → 0 < n → False
hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0
hmp : m ≤ p.natDegree
hnq : n ≤ q.natDegree
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m
⊢ Mono (skeletalFunctor.map f) ↔ Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom f)
f g : MulRingNorm ℚ
x✝ : ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n
c : ℝ
hc : 0 < c
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n
x : ℚ
⊢ f x ^ c = g x
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 1)
m n k : ℤ
⊢ Xor' (2 * k + 1 = 2 * k) (2 * k + 1 = 2 * k + 1)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ ∑ x ∈ (filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card + ∑ x ∈ (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = stepBound P.parts.card
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Precoherent C
W X : C
α : Type
inst✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generateFamily Y π).arrows.cocone
⊢ Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) x = ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) y
⊢ (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ btw a a b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
φ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶ (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast := homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
this : IsIso ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (mappingCone S.f) ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
α : Type u
Finite α
κ : Type v
Finite κ
⊢ ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, Combinatorics.Line.IsMono C l
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
⊢ P.IsUniform G 1