ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (κ a)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂κ.condKernel (a, x)) (κ.fst a)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ {x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
⊢ mk I = 1 ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : b = a⁻¹ * c
⊢ a ≠ 0
ι : Type u_2
α : Type u_3
CommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f i * g i) m).prod = (Multiset.map f m).prod * (Multiset.map g m).prod
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ Disjoint t (s.ordSeparatingSet t)
n : ℕ
⊢ (∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∃ a b, n = a ^ 2 * b ∧ IsSquare (-1)
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
a₁ a₂ : A i
⊢ (ι' R A) ((lof R I A i) a₁) * (ι' R A) ((lof R I A i) a₂) = (RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)) ((tprod R (⨁ (i : I), A i) 2) fun x => match x with | 0 => (lof R I A i) a₁ | 1 => (lof R I A i) a₂)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in Filter.atBot, p x
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, p b
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
⊢ adjoin S ↑(adjoin R s) = adjoin S s
X : Type u_1
MeasurableSpace X
x : X
A : Set X
A_mble : MeasurableSet A
⊢ ↑(MeasureTheory.diracProba x) A = A.indicator 1 x
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a b : A
i : ι
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ι
Decidable (i ≤ n)
b_mem : b ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = if i ≤ n then ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) a) (n - i)) * b else 0
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n * 2 + 1 = 0
⊢ ↑θ = ↑ψ
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ ∀ (n : ℕ), s.inits.get n = ([s.head] :: map (List.cons s.head) s.tail.inits).get n
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : α → M
l : FreeMonoid α
⊢ (FreeMonoid.lift f) l = (List.map f (FreeMonoid.toList l)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
s✝ : Multiset α
b a : α
s : Multiset α
IH : fold op b s.dedup = fold op b s
h : a ∈ s
⊢ fold op b s = op a (fold op b s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t : Finset β
hs : Disjoint s s'
⊢ s.disjUnion s' hs ×ˢ t = (s ×ˢ t).disjUnion (s' ×ˢ t) ⋯
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
H : c ≤ Con.ker f
⊢ (c.lift f H).comp c.mk' = f
α : Type u_1
Preorder α
InfSet α
s : Set (WithTop α)
hs : ¬s ⊆ {⊤}
h's : BddBelow s
⊢ sInf s = ↑(sInf (WithTop.some ⁻¹' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
⊢ projIic b x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
h : a ≠ ⊥
⊢ ⊥ < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
VAdd G P
self : IsOrderedCancelVAdd G P
a b : G
c : P
⊢ a +ᵥ c ≤ b +ᵥ c → a ≤ b
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ (∏ i ∈ s, f i).toNNReal = ∏ i ∈ s, (f i).toNNReal
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
h : a < b
⊢ Set.Ioo (Order.pred a) b = insert a (Set.Ioo a b)
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0
t : Option β → ℕ
ht : (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0
⊢ p (t none ::ₒ v ⊗ t ∘ some) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafUniqueGluing
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n * c) = f x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
⊢ a ⊓ b ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).φQ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).Q
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized (r - 1) ↑𝒜.shadow
A : Type u
AddCommGroup A
n : ℤ
⊢ QuotientAddGroup.homQuotientZSMulOfHom (AddMonoidHom.id A) n = AddMonoidHom.id (A ⧸ (zsmulAddGroupHom n).range)
α : Type u_1
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ : α
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ sign (f a) = sign a
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → F
NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
x : E
⊢ 0 ≤ reApplyInnerSelf 0 x
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : Finset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ ∏ i ∈ t, f₁ i ⊆ ∏ i ∈ t, f₂ i
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
⊢ Aᵀ ∈ Matrix.symplecticGroup l R ↔ A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
⊢ A.det ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
⊢ f = 0
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ homotopyCofiber.inrX φ i ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inrX φ i ≫ 0
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (g : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).obj X).map g = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ b ≤ a ∆ b ↔ Disjoint a b
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
inst✝ : Inhabited F.M
x y : F.M
H : ∀ (ps : Path F), iselect ps x = iselect ps y
⊢ ∀ (i : ℕ), x.approx i = y.approx i
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
⊢ ⇑e '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (e x) r
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a * max b c = max (a * b) (a * c)
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1
⊢ ¬¬IsSquare ↑a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C
⊢ (X.tensorObj tensorUnit).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.rightUnitor X.src).hom (prod.rightUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
⊢ L.HasLeftKanExtension F
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
h : ContDiff ℝ 1 f
⊢ dimH (Set.range f) ≤ ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
⊢ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card • m ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X : C
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.homOf W (CategoryTheory.eId W X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ForgetEnrichment.of W X)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv i)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).hom)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).inv
α : Type u
ι : Sort w
r : α → α → Prop
f : ι → α
⊢ Directed r f ↔ DirectedOn r (Set.range f)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a (b i)) μ
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing K
a b : K
A : Type u_4
inst✝ : DivisionRing A
m : ℚ
⊢ m • 1 = ↑m
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
Y₃ : C
g : Z₂ ⟶ Y₃
h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'
hT₃ : Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
s : Set F
hsm : MeasurableSet s
hs : ν s = 0
⊢ ∫⁻ (a : E) in g ⁻¹' s, pdf X ℙ μ a ∂μ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : C), (F.commTensorLeft X).hom.app X_1 = F.μ X X_1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred a ≠ Order.pred b ↔ a ≠ b
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
⊢ 1 < n / m
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
⊢ blimsup Y₁ atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup Y₂ atTop p
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x✝ : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (x✝ i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on x✝)
⊢ (∑' (b : ℕ), if MeasurableSet (x✝ b) then μ (x✝ b) else 0) = ∑' (i : ℕ), μ (x✝ i)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ x (g ≫ f) ⋯ = P.map g.op (x f hf)
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
⊢ IsOpen (closure U)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ y \ z = (x ⊔ y \ z) ⊓ y
α : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_4
C : Type u_6
AddCommMonoid A
AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
⊢ (∑ x ∈ s, f x).sum t = ∑ x ∈ s, (f x).sum t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
s : Set E
f g : E → 𝔸
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x * g x) s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup f ≤ c ↔ s₁.sup f ⊔ s₂.sup f ≤ c
α : Type u_2
Preorder α
a b c : α
⊢ b ≤ c → a ≤ b → a ≤ c
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z
⊢ 1 < x ^ z
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ RingHom.comp (localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)) = RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))
x y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x ≤ y₁ ↔ x ≤ y₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f✝ : β → α
s t : Set α
x y : α
f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
h : s.WellFoundedOn r
⊢ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 x, x_1 ∈ Ioi x → (f x_1 - f x) / (x_1 - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a * b) b = ‖a‖
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
⊢ (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * (s / 2)) * (s - 1).Gammaℝ⁻¹ = (s - 1).Gammaℂ * ((s - 1) / 2 / ↑π) * sin (↑π * (s / 2)) * ((s - 1).Gammaℝ⁻¹ * ((s - 1) / 2 / ↑π)⁻¹)
b : ℕ
hb : 1 < b
⊢ b ≠ 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X
t : F.map (adj.unit.app X) ≫ 𝟙 (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
⊢ F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
ι : Type u_1
NoZeroDivisors R
Nontrivial S
b : Basis ι R S
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
V : Type u
s t : Set (Sym2 V)
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet (s \ t) = SimpleGraph.fromEdgeSet s \ SimpleGraph.fromEdgeSet t
α : Type u
c✝ d c : Cardinal.{u}
h : c < ℵ₀
⊢ ↑(toNat c) = ↑(Classical.choose ⋯)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiable I J f
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i => f i ^ p
hg_sum : Summable fun i => g i ^ q
⊢ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
CategoryTheory.IsReflexivePair f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this✝ : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)
this : (p %ₘ (X - C a)).degree < ↑(n + 1)
⊢ q.coeff n = (p %ₘ (X - C a) + (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))).coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : Metric.sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
⊢ HasFDerivAt f L x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
⊢ Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count Polynomial.X (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors P)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f).arrow =
  CategoryTheory.Limits.kernel.ι f
M : Type u_3
Mul M
ts : Set (TopologicalSpace M)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousMul M
⊢ ContinuousMul M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
g : G →L[𝕜] E
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s)
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ 0 ≤ a.sqrt + 1
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t) = ∫ (x : ℝ) in ?convert_1..?convert_2, ↑x * (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑t
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
κ : Type u_6
VAdd α β
b : ι → α
c : κ → β
⊢ Set.range b +ᵥ Set.range c = Set.range fun p => b p.1 +ᵥ c p.2
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (4 * n + (j + 4 * n * q)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun T => 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))) atTop (𝓝 (2 * |c| * 0))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set (ULift.{u_6, u_1} α)
⊢ MeasurableSet (ULift.up ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformContinuous g
h : TendstoUniformly F f p
⊢ TendstoUniformly (fun i => g ∘ F i) (g ∘ f) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.cosimplicialToSimplicialAugmented C).obj X = Opposite.op X.leftOp
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ AddValuation.comap (Ideal.Quotient.mk J) (v.onQuot hJ) = v