ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ IsSimpleModule R (M ⧸ m) ↔ IsCoatom m
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
⊢ y ^ m ∣ (x - y) ^ p
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group N✝
f✝ : G →* N✝
N : Type u_6
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ H.normalizer = map f (comap f H).normalizer
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ 0 < multiplicity a b ↔ a ∣ b
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
⊢ y ∈ ball x (dist y x)
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ
⊢ (↑b % ↑(pos a)).gcd ↑(pos a) = (↑b % ↑a).gcd ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
C : Matrix n m R
D : Matrix n n R
⊢ (fromBlocks A 0 C D).det = A.det * D.det
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
p : M → Prop
h_zero : p 0
h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m
h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')
⊢ ∀ (m : M), p m
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.Ici ↑p = Set.Ici p
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * (Polynomial.X - ↑n)).comp q = p.comp q * (q - ↑n)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AddTorsor V₃ P₃
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
TopologicalSpace P₃
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
e' : P₂ ≃ᵃL[k] P₃
p : P₁
⊢ (e.trans e') p = e' (e p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramNatTrans η X).app W =
  CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.lift ((Opposite.unop W).index Q) ((J.diagram P X).obj W)
    (fun i =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι ((Opposite.unop W).index P) i)
        (η.app (Opposite.op i.Y)))
    ⋯
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n
⊢ b.flag i.castSucc ⋖ b.flag i.succ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℕ
d.AtLeastTwo
⊢ Mᴴ = OfNat.ofNat d ↔ M = OfNat.ofNat d
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalSemiring α
u : m → α
w : n → α
v : Matrix m n α
⊢ (fun j => u ⬝ᵥ fun i => v i j) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ fun i => v i ⬝ᵥ w
X : Type u_1
⊢ FreeAbelianGroup.toFinsupp.comp Finsupp.toFreeAbelianGroup = AddMonoidHom.id (X →₀ ℤ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : 0 = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
⊢ False
X : TopCat
U : Opens ↑X
V : Opens ↥U
⊢ ⋯.functor.obj ((map U.inclusion).obj (⋯.functor.obj V)) = ⋯.functor.obj V
R : Type u
CommSemiring R
r s : R
⊢ Ideal.span {r} * Ideal.span {s} = Ideal.span {r * s}
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D
⊢ P.inverseImage E.functor ≤ P.map E.inverse
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ ⊥ = generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c +ᵥ Metric.ball x r = Metric.ball (c +ᵥ x) r
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
DecidablePred p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun j => if p j then 𝟙 (f j) else 0
n✝ b n : ℕ
⊢ (b + 2).digits (n + 1) = (n + 1) % (b + 2) :: (b + 2).digits ((n + 1) / (b + 2))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ t
⊢ Disjoint (s.erase a) (insert a t) ↔ Disjoint s t
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
α : Type u_5
Preorder ι₂
CompleteLattice α
l : Filter ι₁
l.NeBot
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
hf : Monotone f
hφ : Filter.Tendsto φ l Filter.atBot
⊢ ⨅ i, f i = ⨅ i, f (φ i)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
⊢ s.Finite
R : Type u_1
CommMonoid R
StarMul R
U : R
⊢ U ∈ unitary R ↔ star U * U = 1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node size✝ l x r).Valid
⊢ (node size✝ l x r).eraseMin.Valid
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
x : E
f₂ : E → G
hf₁ : DifferentiableAt 𝕜 f₁ x
hf₂ : DifferentiableAt 𝕜 f₂ x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (f₁ x, f₂ x)) x = (fderiv 𝕜 f₁ x).prod (fderiv 𝕜 f₂ x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : l
j✝ : m
⊢ (M * N)ᵀ i✝ j✝ = (Nᵀ * Mᵀ) i✝ j✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ t, g i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (μ.withDensity f).restrict s = (μ.restrict s).withDensity f
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
⊢ dropSlice n m xs ~ ys ∩ dropSlice n m xs
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} (n + 1)
f : α.Arrow β
f' : α'.Arrow β'
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.prod.map f f') = Prod.map (TypeVec.lastFun f) (TypeVec.lastFun f')
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ rightTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j = 0
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u₁
AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
⊢ DirectSum.fromAddMonoid ((DirectSum.of (fun i => γ →+ β i) i) f) = (DirectSum.of β i).comp f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.NonsingularLift ⟦P⟧ ↔ W.Nonsingular P
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
ι : Sort u_1
s : ι → Set M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L (⋃ i, s i) = ⨆ i, LieSubmodule.lieSpan R L (s i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : C
self : CategoryTheory.Projective P
E X : C
f : P ⟶ X
e : E ⟶ X
CategoryTheory.Epi e
⊢ ∃ f', f' ≫ e = f
G : Type u_3
Group G
⊢ (MulAction.orbitRel (ConjAct G) G).Rel = IsConj
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → y.InfinitePos → (x * y).InfinitePos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasLimit (parallelPair f 0)
w : kernel.ι f = 0
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
h : g ≫ f = 0
⊢ g = 0
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
ι : Type u_1
Finite ι
DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : s.Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.unop X) (Opposite.unop Y) (Opposite.unop Z)).symm
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M
⊢ (exp 𝕜 x).snd = exp 𝕜 x.fst • x.snd
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : ↑(a / ↑n) * p + (a % ↑n) • p / ↑n = k
h0 : ↑n ≠ 0
han : ↑(a % ↑n).toNat = a % ↑n
he : ↑(↑(a % ↑n).toNat / ↑n * p) = ↑k
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure s = (interior sᶜ)ᶜ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι) ≤ ((fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) ∘ ε) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∉ t
⊢ insert x (s \ insert x t) = s \ t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (Module.support R M)ᶜ
⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
x : ℝ
⊢ ∑' (n : ℕ), x ^ (2 * n) / ↑(2 * n)! ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x ^ 2 / 2)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
a : R
CommSemiring R
CommSemiring S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p * MvPolynomial.C a) = MvPolynomial.eval₂ f g p * f a
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
h0 : 0 < r
⊢ Continuous f
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.boundary ⟨c.length, ⋯⟩ = Fin.last n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ False
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
y : List α
hy : ∃ a_1 ∈ {a} * {b}∗, ∃ b ∈ {c}, a_1 ++ b = y
⊢ y ∈ M.accepts
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
⊢ M.det = N.det
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Computation α
⊢ (Computation.map f s).Terminates ↔ s.Terminates
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : r ≤ 1
⊢ ↑b ^ log b r ≤ r
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
ht : t ⊆ s
d : ℝ≥0∞
hd : EMetric.diam t ≤ d
⊢ EMetric.diam (f '' t) ≤ ↑C * d ^ ↑r
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ
x : α
⊢ { val := n } +ᵥ x = f^[n] x
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioo (Order.pred a) b = Set.Ico a b
n : ℕ
⊢ Real.log ↑(n + 1) ≤ ↑(harmonic n)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
x✝ : a ∈ s ∧ a ∈ t
h₁ : a ∈ s
h₂ : a ∈ t
⊢ a ∈ s ∩ t
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_4
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
x : E'
⊢ (reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K)) x = f ((reflection K) (f.symm x))
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Set.range WithBot.some = Set.Ioi ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
S : SimplicialObject.Split C
⊢ (SimplicialObject.Split.evalN C n).obj S = S.s.N n
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
val✝ : Multiset α
l : List α
h : Multiset.card (Quot.mk Setoid.r l) = 1
⊢ (fun a => ⟨{a}, ⋯⟩) ((fun s => ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun x => x.length = 1) (fun x => Multiset.card x = 1) ⋯ ⋯) s).liftOn (fun l => (↑l).head ⋯) ⋯) ⟨Quot.mk Setoid.r l, h⟩) = ⟨Quot.mk Setoid.r l, h⟩
n✝ p n : ℕ
h : p < 1
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ 0 ≤ ‖a‖
p : ℝ × ℝ
⊢ (Complex.equivRealProdAddHom.symm p).re = p.1
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ (∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Ioi y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : G
ha : a • s = s
⊢ f a • ⇑f '' s = ⇑f '' s
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
⊢ IsNormalSubgroup (IsGroupHom.ker f)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M
⊢ (algebraMap R A) (Q (a + b)) - (algebraMap R A) (Q a) - (algebraMap R A) (Q b) = (algebraMap R A) (Q (a + b) - Q a - Q b)
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s - t).Nonempty
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.desc (pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) (pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) ⋯
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[s] a ⊓ 𝓝[t] a
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G'.Subgraph
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.comap f H).verts = ⇑f ⁻¹' H.verts
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → NNReal
hf : Summable f
i : β → α
hi : Function.Injective i
⊢ Summable (f ∘ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hinj : Injective f
z z' : Sym2 α
x y x' y' : α
⊢ map f s(x, y) = map f s(x', y') → s(x, y) = s(x', y')
M : Type u_1
Zero M
⊢ DomAddAct.mk.symm 0 = 0
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + ↑(π / 2)).cos = -(↑x✝).sin
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
w✝ : α
hc : filter (Setoid.r w✝) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
this : Setoid.r w✝ a
⊢ Setoid.r w✝ b ↔ Setoid.r a b
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ r ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ≤ r z
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x ≤ y ∨ y ⧏ x
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
⊢ ClosedUnderRestriction G ↔ idRestrGroupoid ≤ G
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
CompleteSpace E
hv : ContDiff ℝ 1 v
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Set.Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖0 • f‖ = ‖0‖ * ‖f‖
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Unique ι
h : FiniteDimensional.finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
i : ι
⊢ (FiniteDimensional.basisSingleton ι h v hv) i = v
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
⊢ (k = n) = (n = k)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
n : ℕ
x : α
⊢ f.cycleOf ((f ^ n) x) = f.cycleOf x