ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
⊢ (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I x) = id (↑I x)
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
⊢ rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))
G : Type u
Group G
self : IsFreeGroup G
⊢ ∃ ι, Nonempty (FreeGroupBasis ι G)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
g₁ g₂ : StructuredArrow Y₂ L
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ ((const (StructuredArrow Y₂ L)).obj (limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F))).map φ ≫ (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F).map φ
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq α
⊢ s₁ ∩ s₂ +ᵥ (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ +ᵥ t₁ ∪ (s₂ +ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
⊢ (map f s.dedup).dedup = (map f s).dedup
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ sSup s ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
⊢ χ.coeff 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
v : ℕ → Set γ
v_meas : ∀ (i : ℕ), v i ∈ l' ∧ MeasurableSet (v i)
hv : l'.HasAntitoneBasis fun i => id (v i)
⊢ MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ (CoalgEquiv.refl R X).toCoalgebraCatIso = CategoryTheory.Iso.refl (CoalgebraCat.of R X)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ W'.dblZ P ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ s✝ : Set α
ε✝ r : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h0 : p ∅
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hεs : ε + ε ≤ μ s
hr : μ s - (ε + ε) < μ s
U : Set α
hsU : U ⊇ s
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ s) < ε
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ μ s - (ε + ε) < μ K
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : A * B = 1
⊢ IsUnit A
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U
s : Finset X
hsK : ∀ x ∈ s, x ∈ K
hKs : ⋃ x ∈ s, V x ∈ 𝓝ˢ K
⊢ ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) 1) x = x
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ⁅g, 1⁆ = 1
α : Type u_2
Sub α
f : Filter α
b : α
⊢ f - pure b = Filter.map (fun x => x - b) f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
⊢ (fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) = fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : Algebra R A
h : ∀ (x : R), (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)
x : R
y : S
z : A
⊢ (x • y) • z = x • y • z
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
NumberField K
Algebra k K
NumberField k
IsGalois k K
⊢ Fintype.card (NumberField.InfinitePlace K) =
  (Finset.filter (NumberField.InfinitePlace.IsUnramifiedIn K) Finset.univ).card * FiniteDimensional.finrank k K +
    (Finset.filter (NumberField.InfinitePlace.IsUnramifiedIn K) Finset.univ)ᶜ.card * (FiniteDimensional.finrank k K / 2)
x k n : Nat
h₁ : n * k ≤ x
⊢ (x - n * k) % n = x % n
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) (↑↑p ^ ↑p ^ s)
⊢ (toComplex.comp ofComplex) Complex.I = (AlgHom.id ℝ ℂ) Complex.I
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
⊢ Liouville (liouvilleNumber ↑m)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.compls = ∅ ↔ s = ∅
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.trailingDegree = 0 ↔ p.coeff 0 ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel i).inr =
  let c' := CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c) ⋯;
  let i' := CategoryTheory.Limits.isCokernelEpiComp i (CategoryTheory.retraction f) ⋯;
  let i'' := CategoryTheory.Preadditive.isColimitCoforkOfCokernelCofork i';
  (CategoryTheory.Limits.splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
Nonempty ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
v : ι → M
⊢ |(e.adjustToOrientation x).det v| = |e.det v|
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ ∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x y p : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ x * y
⊢ p ^ k ∣ x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
⊢ S.cyclesIsoKernel.hom = CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.iCycles ⋯
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.homology ≅ S.opcycles
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r r' : ι → F
hrr' : ∀ i ∈ s, r i = r' i
⊢ (Lagrange.interpolate s v) r = (Lagrange.interpolate s v) r'
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsGδ s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
⊢ Dense (⋂₀ S)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i j : ℤ
hij : ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel i j
⊢ n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n) = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
r k : ℕ
ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜
t : Finset α
⊢ t ∈ ∂ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
⊢ map singleton ⟦l⟧ ≤ powerset ⟦l⟧
α : Type u_1
CompleteLattice α
Zero α
⊢ sInf 0 = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ normEDS b c d 2 = b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : β → Filter α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in ⨆ b, fs b, p x) ↔ ∃ b, ∃ᶠ (x : α) in fs b, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (Prod.map f g)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = g
⊢ LocalizedModule.lift S g h = l
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.ball 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
⊢ ‖a‖ * p y < r
α : Type u
a : α
s t : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).append t = Stream'.WSeq.cons a (s.append t)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ∀ (x : M), ∃ y ∈ ker (f ^ m), ∃ z ∈ range (f ^ n), y + z = x
a : ℂ
⊢ CliffordAlgebraComplex.equiv.symm a = CliffordAlgebraComplex.ofComplex a
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
f : α → β
a : α
b : Subtype p
⊢ b ∈ PFun.toSubtype p f a ↔ ↑b = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
x : α
a✝ : x ∈ s
⊢ MeasurableSet {x}
R : Type u
Semiring R
⊢ Function.Injective Polynomial.toFinsupp
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
w : CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m n : ℤ
z₂ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((ofHom (𝟙 F)).comp z₂ ⋯).v p q hpq = z₂.v p q hpq
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
δ : Type u_3
inst✝ : CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (∏ k ∈ Ico m n, f k) * ∏ k ∈ range m, f k = ∏ k ∈ range n, f k
⊢ Function.LeftInverse (⇑expMapCircle) (Complex.arg ∘ Subtype.val)
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Inv (γ a b)
x : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry x⁻¹ = (Sigma.curry x)⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α
⊢ s.bind (pure ∘ f) = map f s
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝²² : NontriviallyNormedField R
inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace R F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace B'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F
inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
F' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'
E' : B' → Type u_9
inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)
inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E
inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)
inst✝¹ : FiberBundle F' E'
inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'
ι : Type u_10
ι' : Type u_11
Z : VectorBundleCore 𝕜₁ B F ι
Z' : VectorBundleCore 𝕜₂ B' F' ι'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : F →SL[σ] F'
hx : x ∈ Z.baseSet (Z.indexAt x₀)
hy : y ∈ Z'.baseSet (Z'.indexAt y₀)
⊢ inCoordinates F Z.Fiber F' Z'.Fiber x₀ x y₀ y ϕ = (Z'.coordChange (Z'.indexAt y) (Z'.indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp (Z.coordChange (Z.indexAt x₀) (Z.indexAt x) x))
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
a b : α
⊢ l a ≤ l b ↔ a ≤ b
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
⊢ IsPGroup (Nat.card ↥N).minFac ↥N
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : ∃ p q, v = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w = p ++ r.output ++ q
p : List (Symbol T N)
⊢ ∃ p_1 q, v ++ p = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w ++ p = p_1 ++ r.output ++ q
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ 𝓝[s] x = pure x
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ 4 ^ n = (1 + 1) ^ (2 * n)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (g • z).im = z.im / Complex.normSq (UpperHalfPlane.denom (↑g) z)
α : Type u
p : α → Prop
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f⁻¹ x)
⊢ f⁻¹.subtypePerm hf = (f.subtypePerm ⋯)⁻¹
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.type r).bsup (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f) = Ordinal.sup f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
⊢ s ∈ f * ⊤ → s ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a✝ : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a✝, (a✝, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}
a : β
ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0
⊢ ((piecewise ⋯ η (deterministic (fun x => Exists.choose ⋯) ⋯)) (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t}) = (η (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t})
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ s \ t ∪ s ∩ t = s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ (AffineEquiv.refl k P₁).toEquiv = Equiv.refl P₁
R : Type u_1
CommRing R
⊢ CliffordAlgebraDualNumber.equiv.symm DualNumber.eps = (CliffordAlgebra.ι 0) 1
α : Type u_1
l : Filter α
⊢ l.Subsingleton ↔ l = ⊥ ∨ ∃ a, l = pure a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
⊢ ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
h3 :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : TopologicalSpace.Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : TopologicalSpace.Opens G
hU : (↑U).Nonempty
⊢ 0 < μ.innerContent U
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ Iio a ⊆ Iic a
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I
⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
htu : t ~[l] u
hvw : v ~[l] w
⊢ t * v ~[l] u * w
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : proj x ∈ e.baseSet
⊢ (proj x, (↑e x).2) = ↑e x
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
c : Con M
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, c (f x) (g x)
⊢ c (List.map f l).prod (List.map g l).prod
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
h : x ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
⊢ s.WSameSide ((AffineMap.lineMap x y) t) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
β : Type w
X Y : CategoryTheory.GradedObject β C
b : β
⊢ 0 b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (Function.mulSupport fun a => f a b).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors = b.factors
⊢ a = b
a b : ℕ
⊢ (a + 1) / (b + 2) < a + 1
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
⊢ μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ (SimpleGraph.induce H.verts G).Connected
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).hom.app X).τ₃ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a / b = c / b * (a / c)
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ENNReal.ofReal (b i - a i)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (-↑(n + 1)) = (a ^ (n + 1))⁻¹
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
hJ : J ∈ π
J' : BoxIntegral.Box ι
hJ' : J' ∈ πi J
⊢ (π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi J).tag J'
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) n = ⨆ i, f ↑i