ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Iic b ∈ 𝓝ˢ (Set.Iic a)
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
x : UniformSpace.Completion G
⊢ f.completion x = UniformSpace.Completion.map (⇑f) x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Hom M N
h : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑⊤
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x) = ↑(extChartAt I' (f x)) (f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ G
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F (Opposite.unop X)),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafMap₁ η).app X a =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η a
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
δ' : α → Sort u_7
δ'' : α → Sort u_8
f' g' : (i : α) → δ' i
h : (i : α) → δ i → δ' i → δ'' i
x : α
⊢ h x (s.piecewise f g x) (s.piecewise f' g' x) = s.piecewise (fun x => h x (f x) (f' x)) (fun x => h x (g x) (g' x)) x
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ 2 * k
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
⊢ (1 - t / ↑n) ^ n ≤ rexp (-t)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
r : R → R → Prop
inst✝ : StarRing R
hr : ∀ (a b : R), r a b → r (Star.star a) (Star.star b)
a b : R
h : Rel r a b
⊢ Rel r (Star.star a) (Star.star b)
x✝ y x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(rexp (↑n * x)) = ↑(rexp x ^ n)
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : p ≤ 1
⊢ pNilradical R p = ⊥
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (MeasureTheory.volume (Set.univ.pi fun i => Set.Ico (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ s.card ≤ n
α : Type u_2
SubNegMonoid α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingSum = a - b + l.alternatingSum
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ a * log (Gamma x) + (1 - a) * log (Gamma y)
m n : ℕ
α : Fin (n + m + 1) → Type u_1
f : (i : Fin (n + m)) → α i.castSucc
a : α (Fin.last (n + m))
i : Fin n
⊢ Fin.snoc f a (Fin.castAdd (m + 1) i) = f (Fin.castAdd m i)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t
⊢ ν s = ν t
α : Type u_1
x : LazyList α
⊢ x.bind singleton = x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico i j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] 0
a : Cardinal.{u}
⊢ 1 = Cardinal.lift.{v, u} a ↔ 1 = a
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ Irreducible (p * C p.leadingCoeff⁻¹)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ StructureSheaf.toStalk (A⁰_ f) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫ (specStalkEquiv 𝒜 f x ?f_deg ?hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv = RingHom.comp ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv) (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t✝ : Set P
x : P
s : Set P
t : AffineSubspace 𝕜 P
ht : t = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
⊢ s.EquitableOn f ↔ ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ Joined x x
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜
⊢ (fun y => (y - b) / a) ((fun x => a * x + b) x) = x
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ G'.Adj (f v) (f w)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq α
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : α
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inl i) x ∘ Sum.inl = Function.update (f ∘ Sum.inl) i x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone
⊢ t.inr = ht.lift (BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y))
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m.toNat = n ↔ m = ↑n
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
⊢ F.toLax.toPrelaxFunctor = F.toPrelaxFunctor
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
⊢ ∃ x ∈ s, f x ≠ 1
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
CharZero R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ v = -v ↔ v = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f (μ.trim hm) = MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 4 → χ₄ ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 then 1 else -1
⊢ χ₄ ↑(n % ↑4) = if n % 4 % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
E : Set α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hδε : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.restrict E) s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p (μ.restrict E) ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : Tropical R
n : ℕ
h : y ≤ x
⊢ (x + y) ^ n = x ^ n + y ^ n
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n
⊢ m + 1 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, r * ⨆ (_ : ↑i ≤ fun a => f a), i.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
h : ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : E ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (E →L[𝕜] F) ≃L[𝕜] Fin d → F := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
⊢ ContinuousOn ((⇑e₂.symm ∘ ⇑e₂) ∘ f) s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)
⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
X : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ Integrable (⇑f) μ
M : Type u
Monoid M
x y z : CategoryTheory.SingleObj M
f : x ⟶ y
g : y ⟶ z
⊢ f ≫ g = g * f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : D
S : CategoryTheory.Sieve X
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward e.inverse S =
  CategoryTheory.Sieve.functorPullback e.functor (CategoryTheory.Sieve.pullback (e.counit.app X) S)
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
⊢ ¬Irreducible (map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p)
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
⊢ Function.Injective RingEquiv.toNonUnitalRingHom
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
h : (scale 1 a, n) = (o', m)
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n
⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ LieIdeal.map f I ≤ LieIdeal.map f ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'
⊢ dist x y ≤ dist x' y'
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' b' x' : ι → α
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a' i < x' i
hb : ∀ (i : ι), x' i < b' i
⊢ Set.Ico a' b' ∈ 𝓝 x'
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ (𝓝[I.pi s] x).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (𝓝[s i] x i).NeBot
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
⊢ t • x ∈ s
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))
⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Star α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D)ᴴ = Matrix.fromBlocks Aᴴ Cᴴ Bᴴ Dᴴ
α : Type u_1
LE α
⊢ IsLowerSet Set.univ
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, l < u ∧ Set.Ioo l u = S}
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ ∏' (i : ι), f i ≤ ∏' (i : ι), g i
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑h ∘ ⇑h.symm = id
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ ∀ (x : ProbabilityMeasure Ω), ContinuousAt toLevyProkhorov x
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
⊢ f (-x) = f (-x + x) - f x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : μ.toFiniteAux = 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0 s
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ↑(PartialEquiv.ofSet s) = id
x : ℝ*
hp : 0 < x
⊢ x.InfinitePos ↔ x.Infinite
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-(↑n + c.valuation))
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0
⊢ ↑p ≠ 1
R : Type u_2
S : Type u_3
MulZeroOneClass R
DecidableEq R
Nontrivial R
MulZeroOneClass S
DecidableEq S
Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ⇑(f.withTopMap hf) = WithTop.map ⇑f
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ l.any p = decide (∃ x, x ∈ l ∧ p x = true)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ j ⟶ A
h₁ : HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hij ≫ f = HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ j ≫ f = HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ j ≫ g
⊢ f = g
G : Type u_1
CommMonoid G
tG : Monoid.IsTorsion G
a : ↥(CommMonoid.torsion G)
⊢ tG.torsionMulEquiv a = ↑((MulEquiv.submonoidCongr ⋯) a)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ κ a ≪ η a
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
⊢ ↑(⋯.lift ↑(-n • z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift ↑(n • z✝))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α.Arrow γ
a : P.A
f' : (P.drop.B a).Arrow α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ MvFunctor.map (g ::: P.wMap g) (P.objAppend1 a f' f) = P.objAppend1 a (TypeVec.comp g f') fun x => P.wMap g (f x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : x ∈ V
iVU : V ⟶ U
f g : R
hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
hs : const R f g V hg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (const R f (↑⟨g, ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑⟨g, ⋯⟩) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ₁ E ⊆ Metric.cthickening δ₂ E
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ Nat.bit a m ^^^ Nat.bit b n = Nat.bit (a != b) (m ^^^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ IsBigOWith c l f g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.log (x * y) = Real.log x + Real.log y
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
hF : EqualizerCondition F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
∀ (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.IsIso (S.toMultiequalizer P)
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).hom =
  AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app (AlgebraicGeometry.Spec R)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e' : R
he₂ : IsIdempotentElem e'
he : f e' ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem (f e')
⊢ ∃! e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e'
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁ C D).map φ = CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.map φ
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : U₂ ⋙ R₁ ⟶ R₂ ⋙ U₁
⊢ (mateEquiv adj₄ adj₃) ((mateEquiv adj₁ adj₂) ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm ((mateEquiv adj₄ adj₃).symm α))) = α
F : Type u_3
Field F
Fintype F
⊢ ringChar F = 2 ↔ Fintype.card F % 2 = 0
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
⊢ (v ⬝ᵥ fun x => 0) = 0
n : ℕ
⊢ deriv Real.Gamma (↑n + 1) = ↑n ! * (-γ + ↑(harmonic n))
f : SimplexCategory.mk 0 ⟶ SimplexCategory.mk 0
⊢ f = 𝟙 (SimplexCategory.mk 0)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
self : L ≃ᴸ L'
⊢ self.invLHom.comp self.toLHom = FirstOrder.Language.LHom.id L
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map φ = AlgebraicGeometry.Spec.map ψ ↔ φ = ψ
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ y.Nonempty
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀) ∨ 𝓝 (f z₀) ≤ map f (𝓝 z₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
⊢ ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
⊢ n ≠ 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
⊢ legendreSym p ↑a = -1 ↔ ¬IsSquare ↑a
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ s.sup f = ⊤ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊤
α : Type u_1
a : Lists α
l₁ l₂ : Lists' α true
s : l₁ ⊆ l₂
⊢ a ∈ l₁ → a ∈ l₂
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
self : ContravariantClass M N μ r
⊢ Contravariant M N μ r
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
⊢ (map R' f) (p • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R i) m)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (((e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ G.map ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x) = adj2.unit.app x
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
hfg : f =O[l] g
hgk : g =O[l] k
⊢ f =O[l] k
z✝ w : ℍ
r✝ R : ℝ
z : ℍ
r : ℝ
⊢ |(↑(z.center r)).im - (↑z).im| = z.im * Real.cosh r - z.im
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
⊢ (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => if f b ≤ g b then f b else g b
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.opEquiv s = s.op
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun a => eval a (C r)) a = (algebraMap R A) r
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Ordinal.IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
⊢ f a ≤ a ↔ ∃ o, Ordinal.deriv f o = a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∉ l.dedup
⊢ (a :: l).dedup = a :: l.dedup