ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 1 ≤ log x
hx₀ : 0 ≤ log x
⊢ ‖log x ^ r‖ ≤ 1 * ‖log x ^ r'‖
α : Type u
n : ℕ
x : α
LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i = 0 ↔ x = -1 ∧ Even n
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
Nonempty β
hb : ↑(Fintype.card α) ≤ Fintype.card β • b
⊢ ∃ y, ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Finset.uIcc s t =
  Finset.map Multiset.equivDFinsupp.symm.toEmbedding (Finset.uIcc (Multiset.toDFinsupp s) (Multiset.toDFinsupp t))
G : Type u_1
Group G
x : G
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 1
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ 𝓝[>] a
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b ≤ b ↔ Codisjoint a b
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithTop α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ ↑a * ⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑c * μ (closedBall 0 R)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
cf : G.CliqueFree r
⊢ (G ⊔ edge x y).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card.succ
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
⊢ (Filter.map m f).NeBot → f.NeBot
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (if IsSquare a then 1 else -1) = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
K : Option Turing.PartrecToTM2.Γ' → Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (Finset.univ.biUnion K) S ↔
  ∀ (a : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'), Turing.PartrecToTM2.Supports (K a) S
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : TensorProduct R M N
⊢ (LinearEquiv.lTensor M (LinearEquiv.refl R N)) x = x
l : Filter ℂ
hre : Tendsto re l atTop
r : ℝ
hr : im =O[l] fun z => z.re ^ r
n : ℕ
z : ℂ
hz : 0 ≤ z.re
⊢ (fun z => (z.re ^ r) ^ n) z = (fun z => z.re ^ (r * ↑n)) z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : 𝕜 →ₗ[𝕜] E
x : 𝕜
⊢ f.toContinuousLinearMap₁ x = f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).inv.app (Opposite.unop X)).op
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 0 < a⁻¹ ↔ 0 < a
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
Fintype ι
DecidableEq ι
σ : Equiv.Perm ι
⊢ AlternatingMap.domDomCongr σ g = Equiv.Perm.sign σ • g
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j : CategoryTheory.Discrete J
⊢ B.toCone.π.app j = B.π j.as
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g ≫ f = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g ≫ g
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
⊢ (matPolyEquiv m).coeff k = 0 → (m i j).coeff k = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = h.toContinuousLinearMap
n m l : ℕ
⊢ n ≤ l ∧ l < n + (m - n) ↔ n ≤ l ∧ l < m
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ padicNorm p ↑p = (↑p)⁻¹
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x y : G
⊢ Inseparable x y ↔ x - y ∈ closure 0
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
⊢ map (𝟙 Y) = 𝟭 (Over Y)
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A
h : Subtype.val '' D ⊆ Subtype.val '' E
⊢ D ⊆ E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
⊢ ‖f.prod g‖₊ = ‖(f, g)‖₊
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x₀
hmn : m + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ) univ x₀
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, (f + g) p = (f * g) n
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
s : Set X
hs : IsCompact s
ι : Type u_3
t : Finset ι
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.coeff 1 n = if n = 0 then 1 else 0
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : Fin 2 → V
⊢ LinearIndependent K f ↔ f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (a : K), a • f 1 ≠ f 0
α : Type u_1
s : Finset α
a b : α
⊢ s(a, b) ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s ∧ b ∈ s
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf' : DifferentiableOn ℝ f D
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) D
hf''_nonneg : ∀ x ∈ D, 0 ≤ deriv^[2] f x
⊢ ConvexOn ℝ D f
R S : CommRingCat
f✝ : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) r ^ n) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s
f : ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ := ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩
⊢ f (s' * (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
h : z ≤ x
⊢ x \ (y \ z) = x \ y ⊔ z
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ↑(Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull hx) ⊆ s
α : Type u
f : α → Option α
h : ∀ (a b : α), b ∈ f a → a = b
l : List α
⊢ List.lookmap f l = l
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
⊢ Fintype.card G.ConnectedComponent =
  FiniteDimensional.finrank ℝ ↥(LinearMap.ker (Matrix.toLin' (SimpleGraph.lapMatrix ℝ G)))
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
⊢ (fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun n => ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((WeierstrassCurve.toAffine W).addY x₁ x₂ y₁ L)
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
self : OrthogonalIdempotents e
i j : I
⊢ i ≠ j → e i * e j = 0
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hg : ψ.comp g₁ = g₂.comp φ
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f₂ g₂).comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.map φ ψ hf hg) =
  φ.comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f₁ g₁)
x y z : ℝ
⊢ sinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : ¬IsMax b
⊢ Ioo a (succ b) = insert b (Ioo a b)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪y, x⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
x y : α
hr : x ≠ y → r x y
⊢ r x y
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
q : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
⊢ q ∈ Turing.TM1.stmts₁ q
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
⊢ 0 ≤ Real.cos x
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toScheme Y f.val = X
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x
hm : ↑0 ≤ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => p x 0) s
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : Type u_1
g : (a : P.A) → (P.drop.B a).Arrow α → (P.last.B a → P.W α) → (P.last.B a → C) → C
a : P.A
f' : (P.drop.B a).Arrow α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ P.wRec g (P.wMk a f' f) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (WittVector.wittZSMul p z n) = 0
α : Type u
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ ⋯.toFinset = s.toFinset
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (Fin.init v) ∧ v (Fin.last n) ∉ Submodule.span K (Set.range (Fin.init v))
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex (Function.update x i a) < toLex x ↔ a < x i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ ∀ (a : ι) (s : Finset ι), (∀ x ∈ s, x < a) → ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j → ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
s : ℂ
⊢ Complex.Gamma s * Complex.Gamma (s + 1 / 2) = Complex.Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * ↑√π
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)))))
S : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
Zero R
Zero S
SMulWithZero S R
SMul S A
r : S
m : A
⊢ ↑(r • m) = r • ↑m
R : Type u
CommRing R
⊢ IsBezout R ↔ ∀ (x y : R), Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
h : IsExtrOn f s a
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ lineDerivWithin ℝ f s a b = 0
n d nd : ℕ
⊢ (d, nd) ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors ↔ (d, nd) ∈ n.divisorsAntidiagonal
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2
⊢ ⟨(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩), ⋯⟩ = ⟨List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩), ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
f : E → β
hf : Monotone f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | r ≤ f x}
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.closure ↑S = S
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
M : Turing.TM0.Machine Γ Λ
⊢ Turing.Respects (Turing.TM0.step M) (Turing.TM1.step (Turing.TM0to1.tr M)) fun a b => Turing.TM0to1.trCfg M a = b
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ (-z) τ = jacobiTheta₂ z τ
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ac : a < c
bd : b < d
a' : ℝ≥0
aa' : a < ↑a'
a'c : ↑a' < c
⊢ a * b < c * d
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f) = -MeasureTheory.lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.fst.comp Monoid.Coprod.inr = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
⊢ IsIntegral F (gen F α) ↔ IsIntegral F ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (gen F α))
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ ψ : L.Formula α
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⊔ ψ) (φ.not ⊓ ψ.not).not
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2047, u_1} D
W W' : MorphismProperty C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f
⊢ W = W'
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < c.ord → o.derivBFamily f a < c.ord
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ (↑(s * t)).PairwiseDisjoint fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)
s t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 ≤ s
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi (max 1 t)) volume
this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi (max 1 t)) volume
⊢ False
⊢ |rexp 1 - expNear 13 1 (5 / 7)| ≤ |1| ^ 13 / ↑(Nat.factorial 13) * (243243 / 390625)
a b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
⊢ a + b - b = a
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
⊢ edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y) ≤ ↑1 * edist x y
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
⊢ (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
R : Type u_1
CommRing R
Ideal.IsJacobson R
S : Type u_2
Field S
f : Polynomial R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (f.comp Polynomial.C).IsIntegral
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1
⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
x : PGame
IHl : ∀ (i : x.LeftMoves) {y : PGame}, x.moveLeft i ≡r y → (x.moveLeft i).Numeric → y.Numeric
IHr : ∀ (j : x.RightMoves) {y : PGame}, x.moveRight j ≡r y → (x.moveRight j).Numeric → y.Numeric
y : PGame
r : x ≡r y
ox : x.Numeric
i : y.LeftMoves
⊢ (y.moveLeft i).Numeric
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t ts r ys f).1 = ys ++ ts
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
h : Summable f
b : α
⊢ Summable fun i => f i / b
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b
⊢ ⅟b * (a * b * ⅟b) = ⅟b * a
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
v : V
w : ↑(G.neighborSet v)
⊢ ↑((f.mapNeighborSet v) w) = f ↑w
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤ ∫ (a : V), (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖ ∂μ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁)
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ Set.MapsTo f K s
α : Type u_1
q : Semiquot α
p : q.IsPure
⊢ q = pure (q.get p)
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
⊢ Commute ↑a⁻¹ ↑a
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
h : Nat.card ↥H = 1
⊢ H = ⊥
α : Type u_1
Semigroup α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ a ∣ -b ↔ a ∣ b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inl M N) = AddSubmonoid.comap (AddMonoidHom.snd M N) ⊥
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hne : s.Nonempty
A : 0 < infDist x s
⊢ ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
⊢ (x :: y :: l) ~r (x' :: y' :: l')
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₀ : NumberField.InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : NNReal
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT'Factor K) * ↑B
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
irrefl : Irreflexive r
⊢ 0 < s.length ↔ {x | x ∈ s}.Nontrivial