ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
b : β
⊢ b ∈ s.biUnion t ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ s₁ ×ˢ t₁ ≤ s₂ ×ˢ t₂ ↔ s₁ ≤ s₂ ∧ t₁ ≤ t₂ ∨ s₁ = ⊥ ∨ t₁ = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ (skewAdjointPart R) x = 0
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℝ A
I' : A
hI' : I' * I' = -1
⊢ (Complex.liftAux I' hI') Complex.I = I'
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
Nonempty ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
i : ι
⊢ (e.adjustToOrientation x) i = e i ∨ (e.adjustToOrientation x) i = -e i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.unopFunctor C).map φ = (CategoryTheory.ShortComplex.unopMap φ).op
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := fun g => toFun hR g
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ 1 ∈ ↑(closure U) * R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f univ
⊢ ContinuousOn f univ
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : L
⊢ x ∈ LieIdeal.killingCompl R L I ↔ ∀ y ∈ I, ((killingForm R L) y) x = 0
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
x : (M₁ ⊗[R] M₂) ⊗[R] M₃
⊢ (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ((TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) x) = ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃) x
α : Type u_1
Preorder α
a b : Topology.WithLowerSet α
⊢ Topology.WithLowerSet.ofLowerSet a ≤ Topology.WithLowerSet.ofLowerSet b ↔ a ≤ b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε
⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ hA.eigenvalues i = RCLike.re (star ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i)) ⬝ᵥ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i))
x : EReal
⊢ EReal.expHomeomorph x = x.exp
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ ∀ (x y : FreeAbelianGroup α), (lift (g ∘ f)) x = (lift g) ((map f) x) → (lift (g ∘ f)) y = (lift g) ((map f) y) → (lift (g ∘ f)) (x + y) = (lift g) ((map f) (x + y))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.isSubperm l₂ = true ↔ l₁ <+~ l₂
a b d m n : ℤ
hb : b ≠ 0
k : ℤ
h : b * a = b * k * d
⊢ a = b * k / b * d
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.102730, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.102737, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.102744, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.102796, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
⊢ ({ val := (presheafIso i).inv } ≫ { val := (presheafIso i).hom }).val = (𝟙 ℱ').val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair ⥤ C
X : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoPair F).inv.app X =
  (CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec
      (CategoryTheory.Iso.refl (F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
      (CategoryTheory.Iso.refl (F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right })) X.as).inv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.unopMap φ).τ₁ = φ.τ₃.unop
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y ↔
  ∀ ε > 0,
    ∃ r,
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c : ℝ≥0) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (BoxIntegral.integralSum f vol π) y ≤ ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ∈ (s ∪ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊻ t.powerset
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t : (a : α) → Finset (δ a)
⊢ ↑(Fintype.piFinset t) = Set.univ.pi fun a => ↑(t a)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : e (some x) = none
⊢ some (e.removeNone x) = e none
α✝ : Type u_1
a : α✝
l : List α✝
p : α✝ → Bool
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α✝
l₁ l₂ : List α✝
left✝¹ : ∀ (b : α✝), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
⊢ l₁.length + l₂.length = l₁.length + (l₂.length + 1) - 1
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup → l₁.Nodup
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ cocompact α
k : Type u
Field k
G : Type u
Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
⊢ V.character = W.character
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r
⊢ q ∣ p
w : Nat
α : Type u_1
f : Fin w → α → α × Bool
state : Nat → α
value : BitVec w
a : α
init : state 0 = a
step : ∀ (i : Fin w), f i (state ↑i) = (state (↑i + 1), value.getLsb ↑i)
⊢ (BitVec.iunfoldr f a).snd = value
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
⊢ v ᵥ* -A = -(v ᵥ* A)
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ MulOpposite.op a • ↑s = ↑s
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
m : α → β
h : (Filter.comap m g).NeBot
⊢ g.NeBot
α : Type u_1
l : List α
x : α
h : List.Duplicate x l
y : α
⊢ List.Duplicate x (y :: l)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
⊢ LiftRel R (pure a) (pure b) ↔ R a b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P
⊢ affineSpan ℝ {p, s.points i} = s.altitude i ↔
  p ≠ s.points i ∧
    p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧
      p -ᵥ s.points i ∈ (affineSpan ℝ (s.points '' ↑(Finset.univ.erase i))).directionᗮ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
i : ℕ
⊢ (lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
⊢ ρ s ≤ ↑p * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → β
hg : Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
⊢ HasProd (f ∘ g) a ↔ HasProd f a
E : Type u_4
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
x y : E
s : Set E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
⊢ JoinedIn s x y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Iio a = Ioi (a / c)
m n : ℕ
⊢ ↑(-[m+1].gcd ↑n) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Int.log b (OfNat.ofNat n) = ↑(Nat.log b (OfNat.ofNat n))
α : Type u_1
AddCommMonoid α
c : ℕ
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smul c 0 = 0
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
⊢ Finset.image f s ⊆ t ↔ s ⊆ t.preimage f hf
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s t : Set α}, Bornology.IsCobounded s → Bornology.IsCobounded t → Bornology.IsCobounded (s ∩ t)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ algebraMap K (RatFunc K) = RatFunc.C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
t : C
ht : CategoryTheory.Limits.IsTerminal t
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
F : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ (CategoryTheory.sheafifyComposeIso J U ((CategoryTheory.Functor.const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (Opposite.op t)))).hom ≫
    ((CategoryTheory.sheafCompose J U).map ((CategoryTheory.constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val =
  ((CategoryTheory.presheafToSheaf J B ⋙ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B).mapIso
        (CategoryTheory.Functor.constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (Opposite.op t)) U)).hom ≫
    ((CategoryTheory.constantSheafAdj J B ht).counit.app ((CategoryTheory.sheafCompose J U).obj F)).val
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ τ f < ↑(⌊τ f⌋ + 1)
α : Type u_1
Countable α
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ.toPMF = p ↔ μ = p.toMeasure
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y Z : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 12 * log 2 < 16
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
x y : M₁ × M₂
⊢ QuadraticMap.polar (⇑(Q₁.prod Q₂)) x y = QuadraticMap.polar (⇑Q₁) x.1 y.1 + QuadraticMap.polar (⇑Q₂) x.2 y.2
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ AddSubmonoid.centralizer Set.univ = AddSubmonoid.center M
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
⊢ {x | (algebraMap K (K_hat R K)) k x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ support R M ⊆ support R N
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
H : ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊤
s : S
M : Ideal S
hM : M.IsMaximal
hIM : I ≤ M
⊢ ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
x✝¹ : α
x✝ : γ
⊢ κ.rnDeriv η x✝¹ x✝ = ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝)
α : Type u_1
LT α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ Order.IsSuccLimit a
α✝ β✝ : Type u
a b : Cardinal.{v}
α β : Type v
⊢ lift.{max v u, v} #α ≤ lift.{max v u, v} #β ↔ #α ≤ #β
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitPullbacks P
hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f
X Y Z : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
π : Z ⟶ Y
hπ : EffectiveEpi π
y : (forget (CompHausLike P)).obj X
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hz : π z = f y
⊢ ∃ a, (pullback.fst f π) a = y
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β✝
inst✝ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β✝
β : Type u_4
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
μa : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ
⊢ AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEStronglyMeasurable g μb
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
H : IsSuccLimit o
h : o ≠ 0
⊢ (beth o).IsStrongLimit
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
f : LatticeHom β γ
g : LatticeHom α β
⊢ (f.comp g).withTop = f.withTop.comp g.withTop
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1
⊢ (map (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ)) (s ×ˢ Iio r) = μ.toSphere s * (volumeIoiPow (dim E - 1)) (Iio r)
p : Lean.Name
s : String
⊢ sizeOf (p.str s) = 1 + sizeOf p + sizeOf s
o : Ordinal.{u}
o' : Ordinal.{v}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}
g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : o.brange f = o'.brange g
⊢ o.bsup f = o'.bsup g
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
m n : ℕ
⊢ Real.eulerMascheroniSeq m < Real.eulerMascheroniSeq' n
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' t ⊆ Subtype.val ⁻¹' u ↔ s ∩ t ⊆ s ∩ u
R : Type u
CommRing R
X Y : HopfAlgebraCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (HopfAlgebraCat R) (BialgebraCat R)).map f = BialgebraCat.ofHom f.toBialgHom
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_10, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₂
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_6} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
X : C₁
⊢ Φ.homMap L₁ L₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L₁.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L₂.obj (Φ.functor.obj X))
α : Type u_5
β : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : TopologicalSpace β] [inst_1 : One β],
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable 1 μ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c.smulRight f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
a : ℕ
⊢ Nat.ceilRoot 1 a = a
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} (f g : α →+* α), ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hf : Integrable f volume
hE : CompleteSpace E
⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
k : ℕ
⊢ ‖z ^ (k + 1)‖ = ‖z‖ ^ (k + 1)
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ q ∈ affineSpan k (Set.range p) ↔ ∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j
α : Type u_1
Inter α
a b : α
⊢ Part.some a ∩ Part.some b = Part.some (a ∩ b)
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
CommMonoid M
CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (Function.mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ f (∏ᶠ (x : α), g x) = ∏ᶠ (x : α), f (g x)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (cs.rightInvSeq ω).prod = (cs.wordProd ω)⁻¹
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap 0 = Q - Q
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A
⊢ Set.up {a} • span R ↑M = map (LinearMap.mulLeft R a) M
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
⊢ padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ ∀ i ∈ (↑G).toFinset, eval (↑i) (nodal (↑G).toFinset Units.val) = eval (↑i) (X ^ Fintype.card ↥G - 1)
a b : UInt16
⊢ (a / b).toNat = a.toNat / b.toNat
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun mβ f κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndep (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (mβ x)) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N
⊢ 2 ^ 2 < log ↑N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
P : Prop
Decidable P
f : P → (X ⟶ Y)
g : ¬P → (X ⟶ Y)
⊢ F.map (if h : P then f h else g h) = if h : P then F.map (f h) else F.map (g h)
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
σ τ : Equiv.Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
⊢ IsConj σ τ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Real.exp (f x)) (Real.exp (f x) • f') x
α : Type u_1
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (List.permutations'Aux x s).length
⊢ (List.permutations'Aux x s).get ⟨n, hn⟩ = List.insertNth n x s
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
R : xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
⊢ LipschitzWith 2 (uncurry dist)
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)
a : (mk α A).Type
ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)
⊢ Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) (mk γ C)
a b k : ℕ
h_ab_coprime : a.Coprime b
hka : k ∣ a
hkb : k ∣ b
⊢ k = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.totalVariation 0 = 0
n : Nat
i : Fin n.succ
h : i < Fin.last n
⊢ ↑(i + 1) = ↑i + 1
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
f g : α → M
⊢ s.indicator f + sᶜ.indicator g = s.piecewise f g
p : ℕ
⊢ p ^ padicValNat p 0 ∣ 0
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
⊢ χ⁻¹ a = χ (Ring.inverse a)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ l.toFinset = s
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a₁ a₂ a₃ a₄ b₁ b₂ b₃ b₄ : R
⊢ { re := a₁, imI := a₂, imJ := a₃, imK := a₄ } + { re := b₁, imI := b₂, imJ := b₃, imK := b₄ } =
  { re := a₁ + b₁, imI := a₂ + b₂, imJ := a₃ + b₃, imK := a₄ + b₄ }
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s = {a} ↔ a ∈ s ∧ ∀ x ∈ s, x = a
M : Type u_6
CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = f 0 * ∏ i ∈ Finset.range n, f (i + 1) / f i
z w : ℂ
⊢ Complex.abs (z ^ w) ≤ Complex.abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) ≤ a * ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) n)
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ VectorAllP p [] = True
⊢ ONote.fastGrowingε₀ 1 = 2
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a b : α
P : Finpartition a
parts : Finset α
subset : parts ⊆ P.parts
sup_parts : parts.sup id = b
⊢ (P.ofSubset subset sup_parts).parts = parts