ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g
⊢ IsClosed {f | (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) f}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
s : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S 0 s = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq α'
DecidableEq β'
DecidableEq γ
DecidableEq δ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ f' (Finset.image g₁ t) (Finset.image g₂ s)
α : Type u
β : Type u_1
Preorder α
LinearOrder β
a b : α
c d : β
H : d < c → b < a
h : a ≤ b
⊢ c ≤ d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
⊢ F.IsLeftAdjoint
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
p : Prop
hp : Decidable p
f g : α → β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' g
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun x => if p then f x else g x
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : Num
⊢ ↑n.succ' = ↑n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
y z : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * (p * z)
hbdiv : p ∣ (p * (p * z)) ^ n
hy : a ^ n.succ * (p * (p * z)) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * (p * z) ^ n = p * y
hdvdx : p ∣ (p * z) ^ n
⊢ p * p ∣ p * p * z
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
⊢ (interedges r s t).card = ∑ ab ∈ P.parts ×ˢ Q.parts, (interedges r ab.1 ab.2).card
X Y : Type u
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
x : s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductLimit X Y).lift s x = (s.fst x, s.snd x)
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
⊢ Irreducible ϖ
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
x : R
⊢ 0 ≤ seminormFromConst_seq c f x
α : Type u_1
H : SemilatticeSup α
⊢ OrderDual.instSemilatticeSup αᵒᵈ = H
α✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_5
l : Filter α
f : α → ↥(Lp E p ν)
f₀ : ↥(Lp E p ν)
g : α → C(X, Y)
g₀ : C(X, Y)
hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)
hgm : ∀ (a : α), MeasurePreserving (⇑(g a)) μ ν
hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν
hp : p ≠ ⊤
this : Tendsto (fun gf => (Lp.compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1) (𝓝 (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩)) (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving ⇑↑(f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).2 ⋯) (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).1))
hg : Tendsto (fun a => ⟨g a, ⋯⟩) l (𝓝 ⟨g₀, hgm₀⟩)
⊢ Tendsto (fun a => (Lp.compMeasurePreserving ⇑(g a) ⋯) (f a)) l (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving (⇑g₀) hgm₀) f₀))
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L).FG
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bot α
Bot β
Bot γ
g : BotHom β γ
f₁ f₂ : BotHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : x ∉ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}
⊢ x ∉ ((of R).symm (x✝ • y)).support
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_9
β : Type u_10
A : α → M
B : β → α →₀ R
f : β →₀ R
⊢ (Finsupp.total α M R A) ((Finsupp.total β (α →₀ R) R B) f) =
  (Finsupp.total β M R fun b => (Finsupp.total α M R A) (B b)) f
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.span K {v}) = 1
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
⊢ (CategoryTheory.Comma.limitAuxiliaryCone F c₁).pt = L.obj c₁.pt
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s t : Set α
⊢ EMetric.infEdist x (s ∪ t) = EMetric.infEdist x s ⊓ EMetric.infEdist x t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : J
⊢ c.toStructuredArrowCompProj.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ✝ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_le_μ : eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ
A B : CommRingCat
f : A ⟶ B
M : ModuleCat ↑B
D : M.Derivation f
b : ↑B
this✝ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this : Module ↑A ↑M := Module.compHom (↑M) f
⊢ D.desc (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) = D.d b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0
hfi : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
b : ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b ↔ ∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c) = c
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
z : TotalSpace F E
hz : z.proj ∈ e.baseSet
⊢ e.symm z.proj (↑e z).2 = z.snd
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom
⊢ (unop Y).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
N : Type u_5
Monoid N
f : M →* N
φ : AddChar A M
⊢ ⇑(f.compAddChar φ) = ⇑f ∘ ⇑φ
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hf : IsSpectralMap f
h₀ : IsCompact s
h₁ : IsOpen s
⊢ IsCompact (f ⁻¹' s)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
⊢ (if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : n' k, (if h : k = k then M k i (cast ⋯ x) else 0) * if h : k = k' then N k x (cast ⋯ j) else 0
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1
hx : ¬IsOrtho B x x
B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
⊢ Polynomial.evalRingHom 0 = Polynomial.constantCoeff
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
h : w.IsReal
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n (x * y) = init n (init n x * init n y)
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ IsUpperSet ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g ^ (-↑n - 1))
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
x : R
⊢ (lift i a h) ((of f) x) = i x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ BddBelow s → BddAbove t → BddBelow (Set.image2 f s t)
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
⊢ Function.Bijective ⇑e
α : Type u_1
a b b' : α
LinearOrder α
h : a < b
eq : b = b'
⊢ ¬b' ≤ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun a => f a b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
⊢ Bornology.IsBounded (Set.image2 f s t)
a x✝ z x : ℂ
⊢ (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
⊢ UniformCauchySeqOn (f + f') l s
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableVAdd M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable g μ
c : M
⊢ AEMeasurable (c +ᵥ g) μ
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
⊢ Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀, s ≤ span K {v₀}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () 1 + single () n)) (X * φ) = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Ioo 0 1)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : Filter X
f.NeBot
⊢ ∃ x, ClusterPt x f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
⊢ vectorSpan k {p} = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.mapAddHom f = F.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊂ t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ ⊂ s₂.disjSum t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ a, {a} ∈ l
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cone F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ ((const J).obj c.pt).map f ≫ c.π.app j' = c.π.app j'
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
ε : ℝ
hε : ε > 0
hs : Metric.ball 0 ε ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
⊢ ∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
ht : IsOpen t
hte : t ⊆ e.target
⊢ IsOpen (↑e.symm '' t)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
key : ↑↑(hζ.toRootsOfUnity ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val) = ↑↑(hζ.toRootsOfUnity ^ (↑x).val)
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf this : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : ↑s = ∅
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝¹ : ℕ
f : Fin (n✝¹ + 1) → α
a : α
n✝ n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ∀ {a b : Fin n}, { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y z : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul ∘ₗ mul = (((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f.toPartitionOfUnity i)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Multiset.filterMap (Option.guard p) = Multiset.filter p
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℝ 2 μ)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
⊢ SimplyConnectedSpace Y ↔ PathConnectedSpace Y ∧ ∀ {x y : Y} (p₁ p₂ : Path x y), p₁.Homotopic p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
ha : a ≠ 1 := succ_succ_ne_one n
⊢ n + 2 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+: l₂ ↔ l₁ ++ List.drop l₁.length l₂ = l₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist ((AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2 • (x -ᵥ y)‖
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |Real.sin x - (x - x ^ 3 / 6)| ≤ |x| ^ 4 * (5 / 96)
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm g p μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y), (F.mapShortComplex.map φ).τ₃ = F.map φ.τ₃
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u_3
φ : L.Formula α
v : α → ↥⊤
⊢ φ.Realize v ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v)
ι : Type u_1
Small.{u, u_1} ι
f : ι → SetTheory.Game
⊢ BddBelow (Set.range f)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ XYIdeal W x (C (W.negY x y)) * XYIdeal W x (C y) = XIdeal W x
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
p : ℕ
C : CharP R p
⊢ ringChar R = p
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
η : Type u_8
ιs : η → Type u_9
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ⋃ a, range fun b => f ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd }) R Subtype.val
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
g₁ g₂ : SupBotHom β γ
f : SupBotHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
H₂ : T.rotate.rotate ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0
M : Type u_2
Mul M
⊢ 1 = MulEquiv.refl M
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
⊢ ↑v (A ∪ B) = ↑v A + ↑v B
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ E.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = E
α : Type u_3
β : Type u_4
MulOneClass α
CommMonoid β
g : α →* β
a : α
⊢ (MonoidHom.coeFn α β) g a = g a
α : Type u
C : FreeGroup α → Prop
z : FreeGroup α
C1 : C 1
Cp : ∀ (x : α), C (pure x)
Ci : ∀ (x : α), C (pure x) → C (pure x)⁻¹
Cm : ∀ (x y : FreeGroup α), C x → C y → C (x * y)
⊢ C z
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf✝ : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
c : F[X]
h : c.natDegree = 0
hf : f = p ^ (multiplicity p f).get hF * c
H : ¬p ∣ c
⊢ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂
x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₂)
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₂)) x
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace V
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
f : V →L[R] W
⊢ f.toContinuousAffineMap 0 = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
⊢ Function.Injective (HahnSeries.embDomain f)
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
h : ∃ r, x.IsSt r
⊢ Classical.choose h = r
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
⊢ List.filter p (a :: l) = List.filter p l
R : Type u
Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
⊢ (f * g).coeff (df + dg) = f.coeff df * g.coeff dg
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ W ◁ (f ≫ g) = W ◁ f ≫ W ◁ g
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f
x : β
s : Multiset β
ih : ∃ a, map f a = s
⊢ ∃ a, map f a = x ::ₘ s
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
⊢ ∀ x_1 ∈ connectedComponentIn F x, connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x_1
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ AddAction.stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a +ᵥ b ∈ s ↔ b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ