ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
κ : ProbabilityTheory.Kernel Unit (α × ℝ)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelUnitReal = κ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
A : (coprodMonad X).Algebra
⊢ coprod.inr ≫ (coprodMonad X).map (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom ≫ ((algebraToUnder X ⋙ underToAlgebra X).obj A).a = coprod.inr ≫ ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).a ≫ (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
s : Set F
hsm : MeasurableSet s
hs : ν s = 0
this : μ (g ⁻¹' s) = 0
⊢ ∫⁻ (a : E) in g ⁻¹' s, pdf X ℙ μ a ∂μ = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
⊢ limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j = (limit.lift (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition = -s.toJordanDecomposition
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
this : ∀ (P : MorphismProperty Scheme) {Q : outParam AffineTargetMorphismProperty} [self : HasAffineProperty P Q], AffineTargetMorphismProperty.IsLocal Q := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty
⊢ AffineTargetMorphismProperty.StableUnderBaseChange fun X x x_1 x => IsAffine X
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' ↑(pbo ↑x.num))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s < ⊤ → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
M : Matrix n n α
⊢ M ∈ Set.range ⇑(Matrix.scalar n) ↔ ∀ (i j : n), Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
x : (i : ι) → Ms i
⊢ (∑ d : ι, ((p d).mapQ q (f d) ⋯ ∘ₗ proj d) fun i => Quotient.mk (x i)) = ∑ x_1 : ι, q.mkQ ((f x_1 ∘ₗ proj x_1) x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
z : ℂ
r : ℝ
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (Metric.sphere z r)
hg : ContinuousOn g (Metric.sphere z r)
⊢ Complex.cderiv r (f - g) z = Complex.cderiv r f z - Complex.cderiv r g z
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
X : Type u_1
f : X →₀ ℤ
⊢ toFinsupp (toFreeAbelianGroup f) = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K =
  (HomologicalComplex.shortComplexFunctor C (ComplexShape.up ℤ) a).map
      ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫
    (CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app
        ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫
      (CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
s : Set (ℕ → Bool)
f : α ≃ᵐ ↑s
this : TopologicalSpace α := induced (⇑f) inferInstance
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
n : Nat
h : n ≠ 0
⊢ 1 < 2 ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this : Nonempty ↑s
⊢ map Subtype.val atTop = atTop
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
⊢ ↑(Subsemigroup.comap f S) = ⇑f ⁻¹' ↑S
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ Monotone star
α : Type u
β : Type v
a₁ a₂ : α
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ l (a₁ ⊔ a₂) = l a₁ ⊔ l a₂
q : ℚ≥0
⊢ ↑q.num / ↑q.den = q
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part (β → γ)
g : α →𝒄 Part β
x : α
⊢ (f.seq g) x = Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Surjective ⇑((f' ^ n) ∘ₗ f')
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ∃ u, Monotone u ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ))) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ measurableLEEval ν μ
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X Y : C
⊢ F.toOplaxMonoidalFunctor.δ X Y = CategoryTheory.inv (F.μ X Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
S : Set (Set E)
hS : ∀ s ∈ S, StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃ i, ↑i)
x y : ℂ
⊢ cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ
⊢ p.coeff n * (algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff) ^ (p.natDegree - n) ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : Submodule R₂ M₂
h : q ≤ LinearMap.range f
⊢ Submodule.map f (Submodule.comap f q) = q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
f' : E →L[𝕜] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Complex.exp (f x)) (Complex.exp (f x) • f') x
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
a b : Γ
L R : ListBlank Γ
⊢ stepAux (write (enc a).toList q) v (Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc b).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
⊢ AddSubmonoid.centralizer s.addCentralizer.addCentralizer = AddSubmonoid.centralizer s
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_1
Fintype ι
b : Basis ι R M
ι' : Type u_2
Fintype ι'
v : ι' → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Fintype.card ι' ≤ Fintype.card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' (s ∩ Set.range f) = f ⁻¹' s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ∃ J,
  (∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Box.Icc (J n) ⊆ BoxIntegral.Box.Ioo I) ∧
    Filter.Tendsto (BoxIntegral.Box.lower ∘ ⇑J) Filter.atTop (𝓝 I.lower) ∧
      Filter.Tendsto (BoxIntegral.Box.upper ∘ ⇑J) Filter.atTop (𝓝 I.upper)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ
⊢ σ.IsCycle
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ False
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) = Q₁.tmul Q₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → α
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i = ∏ i ∈ s, f i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
⊢ (s.weightedVSub (v +ᵥ p)) w = (s.weightedVSub p) w
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ⇑DomAddAct.mkHomeomorph.symm = ⇑DomAddAct.mk.symm
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ ∑ x ∈ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < 0, a k = 0
⊢ ∃ t, z ^ 0 • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + 0)) t
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ ‖f i‖ ≤ ‖f‖
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(Opposite.unop U)) → HomogeneousLocalization.AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal
ha : (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred a
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred (-a)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ }).val ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).val ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) x
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
i : (𝒰.pullbackCover f).J
⊢ 𝒰.pullbackHom f i ≫ 𝒰.map i = (𝒰.pullbackCover f).map i ≫ f
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
⊢ v i ≠ 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : R
a : A
⊢ r ∈ resolventSet R a ↔ IsUnit (resolvent a r)
b m n : ℕ
h : m ≠ 0 ∨ 1 < b ∧ n ≠ 0
hbn : ¬(1 < b ∧ n ≠ 0)
⊢ log b n = m ↔ b ^ m ≤ n ∧ n < b ^ (m + 1)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Function.Bijective fun x => x + a
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x ≤ y ∨ ¬x ≤ y
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a * b
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
⊢ Measurable fun x => (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k x
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
R'' : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R''
φ : AddChar R R'
f : R' →* R''
hφ : φ.IsPrimitive
hf : Function.Injective ⇑f
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (f.compAddChar φ).mulShift a ≠ 1
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ + t₁ ⊆ s₂ + t₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s⁻¹ ↔ a⁻¹ ∈ s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι
⊢ IsClosed (⋃ i_1, s i_1 \ s i)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
α✝ : Type u_1
q : α✝ → Prop
f : α → α✝
inst✝¹ : Functor m
inst✝ : LawfulFunctor m
x : m α
hx✝ : SatisfiesM p x
hf : ∀ {a : α}, p a → q (f a)
x' : m { a // p a }
hx : Subtype.val <$> x' = x
⊢ Subtype.val <$> (fun x => match x with | ⟨a, h⟩ => ⟨f a, ⋯⟩) <$> x' = f <$> Subtype.val <$> x'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
FunLike F α β
ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
NeZero a
⊢ NeZero (f a)
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
⊢ coeff n a ∈ I
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
ι : Sort u_3
s : ι → Set M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (⋃ i, s i) =
  ⨆ i, (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (s i)
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.sup (Ordinal.typein fun x x_1 => x < x_1) = o
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
x y : R
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ p ^ n =
  x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 (p ^ n), x ^ k * y ^ (p ^ n - k) * ↑((p ^ n).choose k / p)
α : Type u_1
as : List α
⊢ as.reverse.length = as.length
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (l.zip l').length
⊢ (l.zip l').nthLe i h = (l.nthLe i ⋯, l'.nthLe i ⋯)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q
⊢ t_inv ^ Fintype.card n * p = invert q
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
k : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
g : τ → MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename k) (MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C (g ∘ k) p) =
  MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C (⇑(MvPolynomial.rename k) ∘ g) ((MvPolynomial.rename k) p)
a b d : Ordinal.{u}
h₁✝ : a ≤ b
h₁ : a < b
h₂ : 0 ≤ 0
⊢ 0 ⨳ a ≤ 0 ⨳ b
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : 1 = 0
⊢ False
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
c : E
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) μ a b ↔ c = 0 ∨ μ (Ι a b) < ⊤
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) L
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
h : ↑u = a
⊢ ↑(-u) + a = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range m, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
f : E →ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.map f ⊥ = ⊥
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
t : ℝ
⊢ P (F.extend t)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ - ν = sInf {d | μ ≤ d + ν}
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : S + 1 ≤ ‖x‖
⊢ ¬‖x‖ ≤ S
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Function.Injective TwoSidedIdeal.ringCon
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ p ^ (a + 1) - y ^ p ^ (a + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑(a + 1)
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
⊢ a ∈ List.eraseP p l ↔ a ∈ l
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
⊢ IsUnit t
x y : USize
⊢ (x - y).toNat = (USize.size - y.toNat + x.toNat) % USize.size
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂) ≠ 0
h : IsUnit g₂
⊢ n₁ = n₁ + k ∧ (expand F (p ^ k)) g₂ = g₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor D E
⊢ (F.comp G).ε = G.ε ≫ G.map F.ε
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β
⊢ corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g) = Sum.elim _root_.id (corec' g)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
hy_mem : ∃ y_1, ↑f y_1 = y
⊢ False
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u
AddCommGroup P
Module R P
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
x : AdicCompletion.AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
n : ℕ
⊢ g (↑x (k + n)) ∈ Submodule.map g (I ^ (k + n) • ⊤)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
x : n → R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s})