ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace B
b : B
⊢ Trivialization.coordChangeL 𝕜 (Bundle.Trivial.trivialization B F) (Bundle.Trivial.trivialization B F) b =
  ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F
β : Type u_4
AddCommGroup β
f : ℤ →+ β
⊢ (zmultiplesAddHom β).symm f = f 1
α : Type u_7
β : Type u_8
VAdd α β
a : Multiplicative α
b : β
⊢ Multiplicative.toAdd a +ᵥ b = a • b
m n : ℤ
⊢ bitwise or m n = m.lor n
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ 0 ≤ 0 y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y = Z
x : F.obj X
⊢ F.map (CategoryTheory.eqToHom q) (F.map (CategoryTheory.eqToHom p) x) = F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
WeaklyLocallyCompactSpace α
CompactSpace β
UniformSpace γ
f : α → β → γ
h : Continuous ↿f
x : α
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) (x - x') y = QuadraticMap.polar (⇑Q) x y - QuadraticMap.polar (⇑Q) x' y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsColimitCokernelCofork S hf hg c hc).φH =
  CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ (ContinuousAffineEquiv.refl k P₁).trans e = e
a b c : Int
w : b * a ≤ c * a
h : 0 < a
⊢ b ≤ c
z w : ℍ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * z.im * w.im) = Real.sinh (r / 2) ^ 2
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.reduce L₁ = FreeAddGroup.reduce L₂
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ LinearMap.ker (KaehlerDifferential.map R R A B) =
  Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(KaehlerDifferential.D R A))
    (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)))
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ s ≤ s.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
self : SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
⊢ (a', b, c) ∈ t → (a, b', c) ∈ t → (a, b, c') ∈ t → a = a' ∨ b = b' ∨ c = c'
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α
⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ E.charPoly.IsRoot q
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α
⊢ cocompact α ≤ atBot ⊔ atTop
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b : α
P : Prop
h₁ : a ∣ b
h₂ : ∀ (c : α), b = c * a → P
⊢ P
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedRing 𝕜
DenselyOrdered 𝕜
PseudoMetricSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
ProperSpace 𝕜
CompactIccSpace 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
T2Space E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ closure (openSegment 𝕜 x y) = [x-[𝕜]y]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.isoProd X Y).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd
n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a * b).val ≤ a.val * b.val
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
⊢ Cardinal.cantorFunction c f ≤ Cardinal.cantorFunction c g
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
⊢ corec id id a = const a
α : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
PartialOrder X
OrderTopology X
NoMinOrder X
f : α → X
l : Filter α
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (𝓝 ∘ f) l (𝓝 Filter.atBot)
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : Gˣ
⊢ x ∈ H.units ↔ ↑x ∈ H
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ eval x (derivative p) = p.sum fun n a => a * ↑n * x ^ (n - 1)
ι : Sort u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
u : ι → UniformSpace γ
f : α → γ
⊢ UniformSpace.comap f (⨅ i, u i) = ⨅ i, UniformSpace.comap f (u i)
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ μ (sphere x r) = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Module.Free R M
Module.Finite R M
Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ φ.nilRankAux b = (φ.polyCharpoly b').natTrailingDegree
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ closure K = ⋃ x ∈ K, closure {x}
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
a : R ⧸ J
ha : (quotientMap I f H) a = 0
⊢ a = 0
x y : ℝ≥0
⊢ x ≤ NNReal.sqrt y ↔ x ^ 2 ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Icc a b
y : α
hy : y ∈ Icc a b
hxy : x < y
⊢ projIcc a b h x < projIcc a b h y
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
Preorder α
CovariantClass M α HSMul.hSMul LE.le
m : M
a b : α
h : a ≤ b
⊢ m • a ≤ m • b
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun T => b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2) atTop atTop
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
n : ℕ
⊢ n.ascFactorial 0 = 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = (↑(t ^ (a - 1)) * ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1)) • f (t ^ a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : ManyOneEquiv p q
⊢ p ≤₀ r ↔ q ≤₀ r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable I' I e.symm
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
f g h : ι → R
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h2i : g i + h i ≤ f i
hgf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j ≤ f j
hhf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j ≤ f j
⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i ≤ ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae μ] μ.rnDeriv ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
X : TopCat
F : J ⥤ TopCat.Presheaf C X
H : ∀ (j : J), (F.obj j).IsSheaf
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ c.pt.IsSheaf
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
h_eq : (fun x => g (f x)) =ᶠ[ae μ] fun x => AEMeasurable.mk g hg (f x)
⊢ AEMeasurable.mk g hg ∘ f =ᶠ[ae μ] g ∘ f
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
h1 : 1 ∉ I
⊢ I ≤ ⊥
α : Type u
β : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis t
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis ((fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ↑↑s = { x // x ∈ s }
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.AlternatingCofaceMapComplex.objD X n ≫ AlgebraicTopology.AlternatingCofaceMapComplex.objD X (n + 1) =
  0
x : ZFSet
⊢ ⋂₀ {x} = x
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝ : IsReduced R
this : FiniteDimensional K R
⊢ f.IsSemisimple
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 3) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 1) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 3) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 4) ^ 2 = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)
⊢ (l₁.bind fun a => map (Sigma.mk a) (l₂ a)) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
⊢ asympBound g a b n = ↑n ^ p a b * (1 + ∑ u ∈ range n, g ↑u / ↑u ^ (p a b + 1))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : Comon_ (Mon_ C)} (f : X ⟶ Y), ((Bimon_.toComon_ C).map f).hom = f.hom.hom
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x y : P
I : FractionalIdeal S P
⊢ y ∈ FractionalIdeal.spanSingleton S x * I ↔ ∃ y' ∈ I, y = x * y'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ Continuous ⇑T
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range ⇑(φ i)
⊢ ⨅ i, ⨅ i_1 ∈ 𝔗 i, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun (𝔗 i))) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ ⇑(φ i)) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β) = ⨅ i, ⨅ i_1 ∈ {K | IsCompact K}, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun {K | IsCompact K})) ∘ toUniformOnFunIsCompact) ∘ fun x => x.comp (φ i)) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β)
n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Nat.Prime p
⊢ f = n.factorization ↔ (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
⊢ (PFun.Dom fun x => { Dom := p x, get := f x }) = {x | p x}
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
LinearOrder α
a b : α
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict (Ι a b)) =
  MeasureTheory.ae (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ⊔ MeasureTheory.ae (μ.restrict (Set.Ioc b a))
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type w
AddCommMonoid M'
Module R M'
r : R
N : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ Submodule.map f (r • N) = r • Submodule.map f N
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
n : γ → δ
m' : α' → β' → δ
n₁ : α → α'
n₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ a) (n₂ b)
⊢ map n (map₂ m f g) = map₂ m' (map n₁ f) (map n₂ g)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ (singleObjHomologySelfIso c j A).inv = ((single C c j).obj A).homologyπ j
ι : Type u_1
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : LinearLocallyFiniteOrder.succFn i ≤ i
⊢ IsMax i
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
S : Set (MvPolynomial σ k)
⊢ MvPolynomial.zeroLocus (Ideal.span S) = {x | ∀ p ∈ S, (MvPolynomial.eval x) p = 0}
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ' : (PiTensorProduct R fun i => s i) →ₗ[R] E
⊢ PiTensorProduct.lift.symm φ' = φ'.compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
a : α
b : σ a
⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₁.sigma l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂ a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x y : M × R
⊢ (CliffordAlgebra.ofEven Q) (((CliffordAlgebra.even.ι (CliffordAlgebra.EquivEven.Q' Q)).bilin x) y) =
  ((CliffordAlgebra.ι Q) x.1 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) x.2) *
    ((CliffordAlgebra.ι Q) y.1 - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) y.2)
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₁.comp ↑e) = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₂.comp ↑e)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
⊢ (CochainComplex.triangleOfDegreewiseSplit S σ).mor₁ = S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ
⊢ ↑(e.prod e') = fun p => (↑e p.1, ↑e' p.2)
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)
⊢ (M.sum N).Base B ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group H✝
H : Type u_6
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg1 sg2 : Subgroup G
h : { toFun := Subgroup.map ↑f, invFun := Subgroup.map ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg1 ≤ { toFun := Subgroup.map ↑f, invFun := Subgroup.map ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg2
⊢ sg1 ≤ sg2
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hy : y ≠ 0
⊢ Set.InjOn Norm.norm {x | SameRay ℝ x y}
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra A B
x : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))
⊢ (KaehlerDifferential.kerCotangentToTensor R A B) ((RingHom.ker (algebraMap A B)).toCotangent x) =
  1 ⊗ₜ[A] (KaehlerDifferential.D R A) ↑x
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
AddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
Preorder β
AddCommMonoid β
Sub β
OrderedSub β
f : α →+ β
hf : Monotone ⇑f
a b : α
⊢ f a - f b ≤ f (a - b)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
C : (⨁ (i : ι), β i) → Prop
x : ⨁ (i : ι), β i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : β i), C ((of β i) x)
H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), β i), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
⊢ Metric.diam (s ∪ t) ≤ Metric.diam s + Metric.diam t
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.basicOpen 1 = ⊤
α : Sort u
f g : Equiv.Perm α
h : f = g
x : α
⊢ f x = g x
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
i : ι
⊢ μ ((fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i) = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
⊢ (y, ↑f ⟨x, hx⟩) ∈ f.graph
m n✝ n x : ℕ
h : (x % n).gcd n = 1
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α β γ : Type u₀
ab : α ≃ β
bc : β ≃ γ
⊢ (EquivFunctor.mapEquiv f ab).trans (EquivFunctor.mapEquiv f bc) = EquivFunctor.mapEquiv f (ab.trans bc)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : ∀ a < o, succ a < o
⊢ ∀ a < type LT.lt, succ a < type LT.lt
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : AddHom M N
hmul : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := hmul } = f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ ⇑f.toAlternatingMap = ⇑f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ‖↑r.den‖ = 1
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t : Set X
h : IsMetricSeparated s t
⊢ s ⊆ tᶜ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
⊢ (germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = (germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ e (x - y) = e x - e y
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x ⊓ g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s
⊢ ⋃ x, f ↑x ≤ᶠ[l] ⋃ x, g ↑x
α : Type u_1
M : Type u_4
AddMonoid M
f : α → M
x : α
⊢ (FreeAddMonoid.lift f) (FreeAddMonoid.of x) = f x
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
n : ι
h : ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = ⨆ (_ : ∃ i, n ∈ ns i), s n
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = s n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
⊢ (Continuous fun a => ↑(f a)) ↔ Continuous f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft (𝟙 N)).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀
⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀