ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l f₁ g₁
⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
⊢ (∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ s = 0
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_pos : a > 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
⊢ ∀ x < o, x ≤ c.alephIdx
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
⊢ (toProd Q₁ Q₂) ((ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1) = (ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, 0)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂)
n : ℕ
⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) = []
ι : Type u_7
ι₁ : Type u_10
Finite ι
R' : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
Module R' N₁
Module R' N₂
f g : N₁ [⋀^ι]→ₗ[R'] N₂
e : Basis ι₁ R' N₁
h : ∀ (v : ι → ι₁), Function.Injective v → (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)
⊢ f = g
x : PSet
⊢ ⟦x⟧ = ZFSet.mk x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ (Homeomorph.prodComm X Y).symm = Homeomorph.prodComm Y X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasCoproduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun i => ∐ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.sigmaSigmaIso f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun x =>
    match x with
    | ⟨i, x⟩ => CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (g i) x ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun i => ∐ g i) i
x y : EReal
⊢ x ≤ y ↔
  SignType.sign x < SignType.sign y ∨
    SignType.sign x = SignType.neg ∧ SignType.sign y = SignType.neg ∧ y.abs ≤ x.abs ∨
      SignType.sign x = SignType.zero ∧ SignType.sign y = SignType.zero ∨
        SignType.sign x = SignType.pos ∧ SignType.sign y = SignType.pos ∧ x.abs ≤ y.abs
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ
⊢ m / (n✝ + 1) * (n✝ + 1) ≤ m
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
⊢ 0 < findGreatest P k ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : ¬s ⊆ 0
⊢ ↑(s • univ) = ↑univ
ι✝ : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
ι : Type u_2
δ : ℝ
f : ι → Set α
I : Set ι
⊢ thickening δ (⋃ i ∈ I, f i) = ⋃ i ∈ I, thickening δ (f i)
n : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + 1) → α
⊢ Set.range f = insert (f 0) (Set.range (Fin.tail f))
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
a : M
⊢ (l.concat a).sum = l.sum + a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : MeasurableSet s
⊢ r ∈ ↑f '' s
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I X : Set (ι × α)
⊢ (Matroid.sum' M).Basis I X ↔ ∀ (i : ι), (M i).Basis (Prod.mk i ⁻¹' I) (Prod.mk i ⁻¹' X)
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin (toList s).length
h : i < j
⊢ (List.ofFn s.toFun).get i < (List.ofFn s.toFun).get j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
Neg β
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
⊢ (fun x => k.factorial • x) (multichoose (-↑n) k) = (fun x => k.factorial • x) 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter f f' x L ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - (x' - x) • f'‖) L (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
b x : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
hx : b ≤ x
⊢ Set.IicExtend f x = f ⟨b, ⋯⟩
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
⊢ LinearMap.ker f = ⊥ ↔ ∀ (m : M), f m = 0 → m = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ).symm 1 = 1
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
x : AddAction.orbitRel.Quotient G α
⊢ x.orbit.Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b n : ℤ
h : a + b = n
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b n h).hom.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b n h).hom.app X.obj₃
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
⊢ krullDim α = krullDim β
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
α : Type u_1
Zero α
Small.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm 0 = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ ↑(f ⊓ g) = ↑f ⊓ ↑g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
i : Fin n.succ
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖v i‖ = ‖b i‖ * ‖v i‖
α : Type u_1
v : Vector3 α 0
⊢ v = []
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ≥0∞
hfi : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤
hgi : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≠ ⊤
hfg : (fun x => (f x).toReal) =ᶠ[l] fun x => (g x).toReal
⊢ f =ᶠ[l] g
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x ≤ f x₀
⊢ ∃ x ∈ s, IsMaxOn f s x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] f
α : Type u_1
Ring α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a
⊢ multiplicity p (a + b) = multiplicity p b
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬Order.IsSuccLimit (sSup s)
⊢ sSup s ∈ s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
s : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable
⊢ ∀ (a : R) (t : Multiset R), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).map φ).τ₂ =
    CategoryTheory.whiskerRight φ CategoryTheory.ShortComplex.π₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
⊢ ↑(g ∘ f) = (↑g).comp ↑f
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
h : f I = -I
⊢ f I = ↑conjAe I
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (chartAt H x).source ∈ 𝓝 x
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (Function.support f ∩ Set.Ioc a b)
α : Type u_2
Fintype α
⊢ Monotone Finset.dens
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ ↑(S.abToCycles x) = S.f x
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
x : M₁
⊢ (ContinuousLinearMap.id R₁ M₁) x = x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
⊢ (Action.forgetMonoidal V G).ε = 𝟙 (𝟙_ V)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = { app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n
hprime : Fact (Nat.Prime (↑n).minFac) := { out := minFac_prime (IsPrimePow.ne_one hn) }
k : ℕ
hk : (↑n).factorization (↑n).minFac = k + 1
⊢ ↑(eval 1 (cyclotomic ((↑n).minFac ^ (↑n).factorization (↑n).minFac) ℤ)) = ↑(↑n).minFac
α : Type u_1
p : α → Bool
⊢ List.rtakeWhile p [] = []
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ ‖x * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖
R : Type u
CommRing R
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : ModuleCat R} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g = TensorProduct.map f g
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ Summable fun n => r ^ n
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else false) = (c :: m).any p
m : ℤ
⊢ Int.natAbsHom m = m.natAbs
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
⊢ ↑u⁻¹ = 1 /ₚ u
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b c : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f g) (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.map₂ η))
    (self.mapComp f g')
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
hab : Commute a b
⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
w : Nat
α : Type u_1
f : Fin w → α → α × Bool
state : Nat → α
ind : ∀ (i : Fin w), (f i (state ↑i)).fst = state (↑i + 1)
⊢ (∀ (i : Fin w), (BitVec.iunfoldr f (state 0)).snd.getLsb ↑i = (f i (state ↑i)).snd) ∧
  (BitVec.iunfoldr f (state 0)).fst = state w
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ 0 < a * a
G : Type u_2
Group G
Fintype G
R : Type u_3
CommRing R
MulSemiringAction G R
x : R
g : G
⊢ g • prodXSubSMul G R x = prodXSubSMul G R x
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
⊢ -1 = 1 ↔ ringChar R = 2
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ WithBot.unbot' 0 ↑n.totient = n.totient
A : Type uA
AddCommGroup A
a : A
h : ∀ (c : CharacterModule A), c a = 0
⊢ a = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
StarRing 𝔸
ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
h : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint (NormedSpace.exp 𝕂 x)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R S✝
inst✝ : IsLocalization M S✝
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R
⊢ ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I) ≤ I
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → CategoryTheory.Limits.IsColimit (D.obj j)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.uncurry.obj F)
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfCoconeUncurry Q c).pt = c.pt
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ IsClosed {x | 0 ≤ x}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n = 0
⊢ p.content ∣ 0
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
DecidableEq P.A
Inhabited α
Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst
⊢ (P.map f x).iget i = f (x.iget i)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j
ham : a ≤ m
⊢ φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y → x < y ∨ x.Fuzzy y
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : (-q).degree < p.degree
⊢ (p - q).degree = p.degree
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
⊢ {v | v.intValuationDef d < 1}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ
hρ' : ρ'.fst = ρ.fst
hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x
s : Set (α × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map (Prod.map id f) (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)) s = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.coprodMonad X).obj Y = (X ⨿ Y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
⊢ Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (comap f G ⊓ F) = G ⊓ map f F
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : CategoryTheory.Functor C D
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₂, u₂} D
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v, u, v₁, u₁} C
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.Prod.swap C D).obj X = (X.2, X.1)
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.map f) (univ R n) = univ S n
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
⊢ l.revzip.length = l.length
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
⊢ |a ^ n| = 1 ↔ |a| = 1
x : SetTheory.PGame
⊢ x.Numeric → (-x).Numeric
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b
⊢ a / b = 1
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ∈ l₂.permutations
⊢ l₁.Perm l₂
α : Type u
AddGroup α
IsAddCyclic α
Infinite α
⊢ AddMonoid.exponent α = 0
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
⊢ StrictMono f
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ I * span {x} = J * span {x} ↔ I = J
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
this : α.app x✝ = α.app x✝¹
⊢ (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
⊢ Continuous (update x i)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 g' (image2 f' ↑s ↑u) ↑t
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
q : S[X]
hpq : p.degree ≤ q.degree
⊢ p.natDegree ≤ q.natDegree
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ ⟪r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x, r₂ • x⟫_ℝ = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : NeZero 2
a : R
⊢ a / 2 + a / 2 = a
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ b + -a ≤ 0 ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
⊢ False
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)
⊢ liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f) = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (α ≫ β).c.app (Opposite.op U) =
  β.c.app (Opposite.op U) ≫ α.c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map β.base).obj U))
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)
⊢ H.prod K ≤ J ↔ Subgroup.map (MonoidHom.inl G N) H ≤ J ∧ Subgroup.map (MonoidHom.inr G N) K ≤ J
α : Type
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
β σ₁ γ σ₂ : Type
ys : Mathlib.Vector β n
f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h :
  ∃ R, R s₁ s₂ ∧ ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ xs ys s₁).2 = (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2
α : Type u
a : α
s t : Set α
⊢ ¬s.Subsingleton ↔ s.Nontrivial
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂