ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (↑t).Pairwise (IsRelPrime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
⊢ Continuous fun x => 1 + x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
i : ι
⊢ eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : ∅ ⊆ 0
⊢ gauge ∅ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ μ (Metric.sphere x r) = 0
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hk : Commensurable H K
⊢ Commensurable.commensurator H = Commensurable.commensurator K
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (⟦p⟧)⁻¹ = ⟦GenLoop.symmAt i p⟧
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 𝒜ᶜ.card * ℬ.card
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
f : Module.Dual K ↥H
x : ↥H
⊢ ((LieAlgebra.IsKilling.rootSystem H).toLin f) x = f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝[s] x)
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Codisjoint a c → Codisjoint b c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs f f = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑↑f) p μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
R : ℝ
h : ∀ (x : α) (r : ℝ), R ≤ r → IsCompact (Metric.closedBall x r)
⊢ ProperSpace α
a b : ℝ
h : a < b
⊢ #↑(Set.Icc a b) = 𝔠
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
Nontrivial R
CharP R p
⊢ ↑p ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Multiset α
hs : s.Nodup
f : α → β
⊢ { val := s, nodup := hs }.sum f = (Multiset.map f s).sum
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.wittMul p 0 = MvPolynomial.X (0, 0) * MvPolynomial.X (1, 0)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
comm : Commute g h
⊢ MulAction.fixedBy α g ∈ MulAction.fixedBy (Set α) h
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
⊢ ¬f < x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
⊢ a + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => fs n x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => gs n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : MeasureTheory.Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : MeasureTheory.Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᵐ[μ] μ[gs n|m]
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] μ[g|m]
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
⊢ selfZPow x B 0 = 1
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0
⊢ (map i h).roots = {i x}
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (mul x) ((tprod R) 1) = x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ |b| - |a| ≤ |a - b|
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : Finmap β
h : a' ≠ a
⊢ Finmap.lookup a' (Finmap.insert a b s) = Finmap.lookup a' s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
⊢ ClusterPt (f x) l
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X))) (j : J),
  ((CategoryTheory.Limits.limitCompCoyonedaIsoCone F X).hom a).app j =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)) j a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
⊢ N = H
α : Type u_1
LinearOrderedField α
x y : α
⊢ CauSeq.const abs x < CauSeq.const abs y ↔ x < y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesFunctor C).map φ = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a b : A
n i : ι
a_mem : a ∈ 𝒜 i
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = 0
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
⊢ J⁻¹ ≤ I⁻¹
a b : ℕ+
⊢ ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcd b)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle x (-x) = ↑π
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
⊢ (fun k => (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k)) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.addEquiv e).symm = DFinsupp.mapRange.addEquiv fun i => (e i).symm
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ (a ⊔ b) \ c = a \ c ⊔ b \ c
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.symm.trans e ≈ PartialHomeomorph.ofSet e.target ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
⊢ Set.MapsTo (⇑(LinearMap.single i)) (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)) (tangentConeAt 𝕜 (Set.univ.pi s) x)
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
⊢ a < wellOrderSucc a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
n : ℕ
h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))
h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)
⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ S ^ (n + 1) → x * a * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
ht : t ⊆ s ∪ u
hu : u ⊆ s ∪ t
⊢ s ∪ t = s ∪ u
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq.coeff 3 ≠ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n
⊢ ↑m + 1 ≤ ↑n
α : Sort u
⊢ (Equiv.refl α).symm = Equiv.refl α
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, ¬Unbounded r x
⊢ False
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b
⊢ c ≠ 0
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M
I : Ideal R
max : I.IsMaximal
e : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ (Module.annihilator R M).IsMaximal
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
⊢ ↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf✝ : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : IntegrableOn g s μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, ‖f a‖ ≤ ‖C * ‖g a‖‖
n : ℕ
⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝ : IsIntegralClosure B A L
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this✝ : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
⊢ ∀ (x : β × α), (prodComm β α) ((prodCongrLeft σ) x) = (prodCongrRight σ) ((prodComm β α) x)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
f₁ : F → 𝕜
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ ∇ f₁ =ᶠ[𝓝 x] ∇ f
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, u (n * a + r) / ↑(n * a + r) < L
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ((LinearMap.toMatrix b b) f).trace
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
⊢ s ×ˢ t ⊆ s₁ ×ˢ t₁ ↔ s ⊆ s₁ ∧ t ⊆ t₁ ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : Subsingleton ι
i : ι
f : M₂ →ₗ[R] M₃
inst✝ : DecidableEq ι
m✝ : ι → M₂
i✝ : ι
c✝ : R
x✝ : M₂
⊢ (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ (c✝ • x✝)) = c✝ • (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ x✝)
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ ∃ d, (f d).NeBot
α : Type u_1
γ : Type u_3
u₁ u₂ : UniformSpace γ
hu : u₁ ≤ u₂
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set α)
h𝔖 : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖₁ ≤ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖₂
G : Type u_3
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (n - 1) = a ^ n * a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ lower' (raise' (m :: l) n) n = m :: l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
htU : ⋃ i, t i = univ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : StronglyMeasurable fun x => g (f x)
⊢ Measurable f
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles ↔ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
e : Sym2 V
⊢ e ∈ p.edges → e ∈ G.edgeSet
n : ℕ
n2 : 2 < n
⊢ 4 ∣ n ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n ∧ Odd p
α : Type u
x y : Option α
⊢ (∀ (z : α), x = some z ↔ y = some z) → x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
h : s ⊆ t
⊢ s -ᵥ s ⊆ t -ᵥ t
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 + ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
ContinuousAdd M₂
f g : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ (f + g).toMultilinearMap = f.toMultilinearMap + g.toMultilinearMap
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
Countable ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Monoid β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f ^ n)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ d ≤ a ⊔ b ⇨ c ↔ d ≤ (a ⇨ c) ⊓ (b ⇨ c)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
⊢ ⇑(StarAlgHom.id R A) = id
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Nontrivial R
Module R M
ι : Type w
b : Basis ι R M
Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
⊢ Cardinal.lift.{w', w} (Cardinal.mk ι) ≤ Cardinal.lift.{w, w'} (Cardinal.mk κ)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f (s₁ ∪ s₂) t ↔ Set.MapsTo f s₁ t ∧ Set.MapsTo f s₂ t
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
A : Type uA
AddCommGroup A
a : A
ne_zero : a ≠ 0
⊢ ∃ c, c a ≠ 0
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J
⊢ (λ_ F).inv.app j = (λ_ (F.obj j)).inv
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ (Set.Ioo a b).Infinite
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
Zero E
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
SMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ 0 ∈ ↑s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
e : ι ≃ ι'
⊢ ⇑(b.reindex e) = ⇑b ∘ ⇑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set β
⊢ r.core s ∪ r.core t ⊆ r.core (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
⊢ (of fun i j => (p j).coeff ↑i).det = 1
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
this : List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse) = cs.rightInvSeq ω.reverse
⊢ (List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse)).prod = cs.wordProd ω
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
h : MeasureTheory.Memℒp f 2 μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x ^ 2) μ
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < n
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 < (W.preΨ' n).natDegree
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
Monoid α
ExistsMulOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
⊢ a ≤ b
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
comm : ∀ (m : M) (n : N), AddCommute (f m) (g n)
⊢ (f.noncommCoprod g comm).comp (AddMonoidHom.inr M N) = g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ I ∈ (ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ ∃ x, IsGreatest s x
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L = (H ⊓ K).relindex L
R : Type u
Add R
x y : Tropical R
⊢ x * y = Tropical.trop (Tropical.untrop x + Tropical.untrop y)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ R.leftDual) (R.rightDual ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
ι : Type u
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → AddZeroClass (δ i j)
f g : Π₀ (i : (x : ι) × α x), δ i.fst i.snd
⊢ (f + g).sigmaCurry = f.sigmaCurry + g.sigmaCurry