ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → γ
f' : β → α
g' : γ → β
hf' : Set.LeftInvOn f' f s
hg' : Set.LeftInvOn g' g t
hf : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.LeftInvOn (f' ∘ g') (g ∘ f) s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ ∃ x, z + (↑self.toAddMonoidHom).toFun ↑x.2 = (↑self.toAddMonoidHom).toFun x.1
S : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
F : Type u_8
CommRing S
FunLike F N S
AddMonoidHomClass F N S
f : M → N
g : F
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑g ∘ f) x y = g (QuadraticMap.polar f x y)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), F.toLax.mapComp f g = (F.mapComp f g).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ f ⁻¹' e ∈ cofinite
G : Type u₂
k : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
AddMonoid G
H : Type u_5
F : Type u_6
AddMonoid H
FunLike F G H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
⊢ ∀ (a : G →₀ A), (AddMonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A f) a = Finsupp.mapDomain (⇑f) a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x =>
        match x with
        | (U, V) => G.interedges U V).card ≤
  ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
hg : ContDiffOn ℝ n g s
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => f x ^ g x) s
z : ℝ
f : ℝ → ℝ
u : ℝ
hf : HasDerivAt f u z
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑(f y)) (↑u) z
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ (0 < a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ a) ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.r S.f + CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g self.s =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head
⊢ ((singleton r newHead).append p rel).last = p.last
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hb : b ≤ c
⊢ c ∉ Set.Ico a b
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : ↑{ lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = ↑{ lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }
⊢ { lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = { lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ (-f) m = -f m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ StrictMonoOn log (Set.Ioi 1)
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x
⊢ 0 < MeasureTheory.volume {x | p x}
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree G ↔ NoZeroSMulDivisors ℤ G
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s, w x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s, w x • x = 0
x : V
⊢ x ∈ s → w x = 0
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
Algebra.IsSeparable K L
FiniteDimensional K L
x : L
hF : Polynomial.Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.norm K) x) = ((minpoly K x).aroots F).prod ^ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮x⟯) L
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ f - g = f + -g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ (f ×ˢ g ⊓ 𝓟 {x | p x.1 ∧ q x.2}).NeBot ↔ (f ×ˢ g ⊓ 𝓟 ({a | p a} ×ˢ {b | q b})).NeBot
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = -evalEval x₁ y₁ W.polynomialX / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤
R : Type u
Ring R
r : R
M : ModuleCat R
⊢ ((ModuleCat.smulNatTrans R) r).app M = M.smul r
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.divLeft x) b = x / b
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
s : σ
Inhabited α
f : α → β → σ → σ × γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (s : σ), f default b s = f a b s
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s = Mathlib.Vector.mapAccumr (fun b s => f default b s) ys s
f✝ f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially (-f)
⊢ GrowsPolynomially f
n : ℕ
⊢ n.ceilRoot 0 = 0
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < Real.pi / 2
⊢ 0 < Real.tan x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
X : TopCat
⊢ ∀ {X_1 Y : CompHausᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y) (g : C(↑(compHausToTop.obj (Opposite.unop X_1)), ↑X)),
  X.toCondensedSet.val.map f g = g.comp f.unop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
i : I
⊢ 1 i = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hfg : Function.RightInverse g f
⊢ Function.RightInverse (Filter.map g) (Filter.map f)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
d : D
⊢ L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {f * g} = ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {f} ∪ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {g}
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ⊂ Finset.cons a s h
α : Type u_1
ix : Fin 1
x : α
⊢ (x ::ᵥ Mathlib.Vector.nil).get ix = x
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a b : β
⊢ toLex (Sum.inr a) ≤ toLex (Sum.inr b) ↔ a ≤ b
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : x ∣ y * z
h : IsPrimal x
⊢ x ∣ y
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ a⁻¹.toReal = a.toReal⁻¹
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑(m * n) < ℵ₀
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : f.NeBot
⊢ map (Prod.snd ∘ fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f) = g
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) (succFn i)
⊢ succFn i ≤ j
f : StieltjesFunction
a : ℝ
u : ℕ → ℝ
u_mono : StrictMono u
u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a
L1 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (f.measure {a}))
⊢ f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)
a b : Prop
⊢ a = b → (a ↔ b)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d
⊢ a * gcd b c ∣ gcd (a * b) (a * c)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
CommRing T
LocalRing T
f : T →+* R
g : R →+* S
IsLocalRingHom f
IsLocalRingHom g
⊢ LocalRing.ResidueField.map (g.comp f) = (LocalRing.ResidueField.map g).comp (LocalRing.ResidueField.map f)
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
⊢ p.IsHamiltonianCycle ↔ p.IsCycle ∧ ∀ (a_1 : α), List.count a_1 p.support.tail = 1
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ Embedding ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
AddCommMonoid M₃
Module S M₃
Module R M₃
SMulCommClass R S M₃
Subsingleton ι
i : ι
⊢ ∀ (a : M₂ →ₗ[R] M₃), (MultilinearMap.ofSubsingletonₗ R S M₂ M₃ i) a = (MultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i) a
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
A : ∑ j ∈ range K, ∫ (x : ℝ) in ↑j..↑N, 1 ∂ρ ≤ (∫ (a : Ω), X a) + 1
⊢ ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap (-φ) i = -HomologicalComplex.homologyMap φ i
P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
self : P.IsLocal
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
f : X ⟶ Y
s : Finset ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)) → P f
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
m n : ℚ
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
TopologicalSpace α
f g : α → P
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (f -ᵥ g) s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => 1) = κ + η
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = p ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n
α : Type u
R : α → α → Prop
IsTrans α R
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l ↔ List.Pairwise R (a :: l)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : N → M × M'
hf : ContMDiff J (I.prod I') n f
⊢ ContMDiff J I n fun x => (f x).1
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : { a // p a }
h : p ↑a
⊢ ⟨↑a, h⟩ = a
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s : Set α
hf : Isometry f
⊢ EMetric.diam (f '' univ) = EMetric.diam univ
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
b0 : 0 ≤ b
⊢ 1 ≤ a * b
G✝ : PGame
inst✝ : G✝.Impartial
a✝ : ∀ (y : (G : PGame) ×' G.Impartial), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 y ⟨G✝, inst✝⟩ → y.1 ≈ nim y.1.grundyValue
G : PGame := G✝
i₁ : G✝.LeftMoves
⊢ (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 ⟨G.moveLeft i₁, ⋯⟩ ⟨G✝, inst✝⟩
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ?s).coeff p.natDegree * num A r ^ p.natDegree
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
⊢ ∀ t ∈ piiUnionInter (fun k => {s k}) S, MeasurableSet t
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Mul β
f g : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) (f * g) = (UniformOnFun.toFun 𝔖) f * (UniformOnFun.toFun 𝔖) g
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
x✝ : β → γ
⊢ Continuous' fun g_1 => x✝ <$> g g_1
A : Type u
CommRing A
K : Type v
Field K
Algebra A K
IsDomain A
ValuationRing A
IsFractionRing A K
⊢ (ValuationRing.valuation A K).integer = (algebraMap A K).range
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
⊢ X * (2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 1)).comp (C ⅟2 * X)) - 1 * (2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X)) = 2 * (↑2 * (C ⅟2 * X) * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
hS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
I : Ideal R
⊢ (IsLocalization.coeSubmodule S I).FG ↔ Submodule.FG I
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (b + p) = toIcoDiv hp a b + 1
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) x = (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) y
⊢ x = y
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s ⊻ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ⊻ t₁ ∩ s ⊻ t₂
α : Sort u_1
k l : ℕ
h : k = l
f : Fin k → α
g : Fin l → α
⊢ HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k), f i = g ⟨↑i, ⋯⟩
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ Wbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h : x ≠ ⊤
⊢ x * iInf f = ⨅ i, x * f i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ ∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L), ?a.f✝ x_1 = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
F : Type u_8
FunLike F M Nᵐᵒᵖ
MonoidHomClass F M Nᵐᵒᵖ
f : F
l : List M
⊢ MulOpposite.unop (f l.prod) = (List.map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp 0 β
⊢ edist f f = 0
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.leadingCoeff 0 = 0
M : Type u_2
AddZeroClass M
a : M
⊢ AddCommute a 0
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
h : m ≤ n
⊢ ∀ (f : H → H) (s : Set H), (contDiffPregroupoid n I).property f s → (contDiffPregroupoid m I).property f s
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
x : c ⟶ c
hx : x ∈ S.vertexSubgroup cS
y : c ⟶ c
⊢ y * (x * y⁻¹) ∈ S.vertexSubgroup cS
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht) = s \ t
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n = List.drop (n % l.length) l ++ List.take (n % l.length) l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f b
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → F β
h : β → G γ
x✝ : t α
⊢ traverse (Comp.mk ∘ map h ∘ g) x✝ = (Comp.mk ∘ map (traverse h) ∘ traverse g) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ Multiset.count a (toMultiset f) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
this : edist x y ≤ edist x (f x) + edist y (f y) + ↑K * edist x y
⊢ edist x y ≤ (edist x (f x) + edist y (f y)) / (1 - ↑K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
d : 𝔸'
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c y * d) x = d • fderiv 𝕜 c x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : f x ∈ u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : f y ∈ v
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
inst✝ : SigmaFinite μb
⊢ SigmaFinite (map f μa)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥
⊢ p ∣ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ F.map (cyclesMap φ) ≫ (S₂.mapCyclesIso F).inv = (S₁.mapCyclesIso F).inv ≫ cyclesMap (F.mapShortComplex.map φ)
⊢ StrictMonoOn (⇑Cardinal.toNat) (Set.Iio Cardinal.aleph0)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
S : StarSubalgebra R A
⊢ adjoin R s ≤ S ↔ s ≤ ↑S
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP p l = (filter p l).length
α : Sort u_1
β : Sort u_2
a b : α
c d : β
⊢ (a = b ↔ c ≠ d) → (a ≠ b ↔ c = d)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
hz : ∃ x > 0, ↑x = z
⊢ 0 < z⁻¹
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ wrepr ((P F).wMk a f' f) = (P F).wMk' (repr (abs ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)))
p : Turing.PartrecToTM2.Γ' → Bool
k : Turing.PartrecToTM2.K'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₁ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
o : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L₂ : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
S : Turing.PartrecToTM2.K' → List Turing.PartrecToTM2.Γ'
e : Turing.PartrecToTM2.splitAtPred p (S k) = (L₁, o, L₂)
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some (Turing.PartrecToTM2.Λ'.clear p k q), var := s, stk := S }
  { l := some q, var := o, stk := Function.update S k L₂ }
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ 0 ≤ a⁺