ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (tangentCoordChange I x x z) v = v
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} H
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
Φ.HasLeftResolutions
F G : CategoryTheory.Functor D₂ H
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.IsIso α ↔ ∀ (X₁ : C₁), CategoryTheory.IsIso (α.app (L₂.obj (Φ.functor.obj X₁)))
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g : G
⊢ AddMonoidAlgebra.of' k G g ∣ x ↔ x.modOf g = 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
hp : x > 0
⊢ x.Infinite
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b = cons b (Ico a b) ⋯
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ AntitoneOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ AntitoneOn f s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = KaehlerDifferential.ideal R S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
y : E
h : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ writtenInExtChartAt I I (↑(chartAt H x) x) (↑(chartAt H x).symm) y = y
n : ℕ
NeZero n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ Fin.predAbove 0 i = i.pred hi
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iic b) = ↑b + 1
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
⊢ b ∈ map f K
n : ℕ
c✝ c : Composition n
this : ∀ j ∈ c.blocks, j = 1 ↔ j ≤ 1
⊢ (¬∀ i ∈ c.blocks, i = 1) ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
L : List G
n : ℕ
a : G
⊢ ((take n L).prod * if n < L.length then a else 1) * (drop (n + 1) L).prod = L.prod * if hn : n < L.length then (L.get ⟨n, hn⟩)⁻¹ * a else 1
x : ℝ≥0
y : ℝ
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Exact ⇑(AdicCompletion.lTensorKerIncl I M f) ⇑(AdicCompletion.lTensorf I M f)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
α : Type u
p : α → Bool
a : α
⊢ List.filter p [a] = bif p a then [a] else []
α : Type u_1
l : List α
R S : α → α → Prop
H : ∀ {a b : α}, a ∈ l → b ∈ l → R a b → S a b
p : List.Pairwise R l
⊢ List.Pairwise S l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ X.leftOpRightOpIso.hom.left = 𝟙 X.left
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x + ↑n) ↔ Irrational x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p : P₁
⊢ e.symm (e p) = p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n✝ : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n✝) (powerSeriesPart 0) = (PowerSeries.coeff R n✝) 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃) S.δ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.φ₁ S.v₂₃.τ₁
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
⊢ ((Matrix.toLin v₁ v₂) M) (v₁ i) = ∑ j : m, M j i • v₂ j
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
⊢ ∏ k ∈ range 1, f k = f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ f ⟦a⟧.out = f a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ⇑S.val = Subtype.val
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
hj : k₂ ≤ (i, j).2
⊢ (f₁ ^ i * f₂ ^ j) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
SecondCountableTopology X
⊢ ∃ f, Inducing f
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)
n : ι
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {l : List α}, [x] ++ l = x :: l
m n : ℤ
h : Odd (m * n)
⊢ Odd n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.desc (g ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl) (g' ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inr) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map g g'
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((α_ (P.tensorBimod Q).X L.X U.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actRight ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ▷ U.X ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
this : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : Set.InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
⊢ LocallyFinite (f ∘ g)
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
l : Filter α
c₁ : E''
c₂ : F''
h₁ : c₁ ≠ 0
h₂ : c₂ ≠ 0
⊢ (fun x => c₁) =Θ[l] fun x => c₂
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
⊢ Continuous ⇑p
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hn : ‖f‖ = 0
x : V₁
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f✝ : I → Type v
x y : (i : I) → f✝ i
i j : I
η : Type v
R : Type w
s : ι → η
inst✝ : MulOneClass R
f g : ι → R
⊢ { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun g
x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ x ^ 1 = x
K : SSet
L L' : SSet
g : L ⟶ L'
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (K ⊗ L).obj Δ
⊢ (K ◁ g).app Δ x = (x.1, g.app Δ x.2)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.length (t * w) ≠ cs.length w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ ↑(filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∪ ↑(filter (fun s => a ∈ s) ℬ) ⊆ {s | a ∈ s}
α : Type u_1
Monoid α
⊢ 1 = Associates.mk 1
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
CommRing R
Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
(Submodule.map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ Submodule.IsPrincipal.generator (Submodule.map ϕ N) ∣ ϕ x
R : Type u
S : Type v
Ring R
SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
n : ℤ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u
⊢ Function.Injective FreeAbelianGroup.of
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
⊢ logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x
R : Type u
CommRing R
U V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap (RingHom.id R) U V ⋯ = (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map iVU.op
R : Type u_1
CommSemiring R
r : R
⊢ (PowerSeries.C R) r = (algebraMap R (PowerSeries R)) r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x + g x) s
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
this : 0 < ε
UVl : 4 / 5 * ε * (4 / 5 * ε) ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card)
⊢ 0 ≤ 9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : (Z B : C) → (π : Z ⟶ B) → [inst : EffectiveEpi π] → PreservesLimit (cospan π π) G
hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)
⊢ ∀ (X_1 B : C) (π : X_1 ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π] [inst : HasPullback π π], Function.Bijective (MapToEqualizer (yonedaPresheaf G X) π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
Nonempty M
Nonempty N
s : AddSubsemigroup M
t : AddSubsemigroup N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' {b} = {a⁻¹ * b}
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 {x} = {x}
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
k : ℕ
⊢ s ∈ Finset.upShadow^[k] 𝒜 ↔ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + k = s.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α β : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ CategoryTheory.Functor.id C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β = CategoryTheory.CategoryStruct.comp β α
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ s ⊼ t = t ⊼ s
⊢ (fun a => sup fun n => (HMul.hMul 0)^[n] a) = id
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
F : C ⥤ D
hF : CoverPreserving J K F
G : D ⥤ A
hG : CoverPreserving K L G
U✝ : C
S✝ : Sieve U✝
hS : S✝ ∈ J.sieves U✝
⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPushforward F S✝) ∈ L.sieves ((F ⋙ G).obj U✝)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s → p x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : QPF.Fix F
⊢ QPF.Fix.mk x.dest = x
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Add α
v w : m → α
⊢ Matrix.row ι (v + w) = Matrix.row ι v + Matrix.row ι w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν
⊢ Memℒp f 1 (μ + ν)
d : ℤ
h0d : 0 ≤ d
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
⊢ Function.Injective ⇑(Zsqrtd.toReal h0d)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
⊢ ⨆ i, basicOpen (f i) = ⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto I₂ atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ (CategoryTheory.Factorisation.Hom.id d).h = CategoryTheory.CategoryStruct.id d.mid
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₁ : L'
h₁ : z₁ ∈ map f I₁
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨z₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
δ : Type u_9
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : γ →o δ
⊢ (RelIso.symm (f.arrowCongr g)) p = (↑g.symm).comp (p.comp ↑f)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
⊢ ∀ x ∈ univ • s, r • x ∈ closure (univ • s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → β → Bool
hp : Primrec₂ p
a : β
l : List β
n : α
⊢ (bif p (id n) a then 0 else (List.findIdx (p n) l).succ) = List.findIdx (p n) (a :: l)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x✝ : ↑X.toTopCat
⊢ x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x✝, ⋯⟩) r)
n : ℕ
i : ℕ
H : i < (List.range n).length
⊢ (List.range n).nthLe i H = i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E →WOT[𝕜]F
x : E
⊢ (f - g) x = f x - g x
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{u, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
𝓕 : TopCat.Presheaf C X
c : C
f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.toSkyscraperPresheaf p₀ f).app U =
  if h : p₀ ∈ Opposite.unop U then 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
  else (⋯ ▸ CategoryTheory.Limits.terminalIsTerminal).from (𝓕.obj U)
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Monoid G
M : Type u_4
AddCommMonoid M
Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M
⊢ ((Representation.ofModule M).asAlgebraHom r) m =
  (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i ≤ ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ eval (-r) (ascPochhammer R 0) = (-1) ^ 0 * eval r (descPochhammer R 0)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g : α → F
ho : f₁ =o[l] g
hΘ : f₂ =Θ[l] g
⊢ (f₁ + f₂) =Θ[l] g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
p : X → Prop
s : Set { a // p a }
⊢ IsSigmaCompact s ↔ IsSigmaCompact (Subtype.val '' s)
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ 0 ≤ a⁻
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ ContinuousAt f x
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n
⊢ v ⬝ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c = v i * c
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
⊢ ∀ (x : ι), f x = g x
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff 0 = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, B (σ i) i
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
this : ↑(chainLength α β) = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) * 2 + β (coroot α)
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ {x | ↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 1}.Finite
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hw : w ∈ Metric.ball c R
θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ≠ w
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
t : ι → Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (⋃ i, t i) = ⋃ i, convexJoin 𝕜 s (t i)
x y : ℂ
⊢ cexp x = cexp y ↔ cexp (x - y) = 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2
⊢ M ⊨ r.transitive ↔ Transitive fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun t_1 => t_1 / t) (ae μ)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
comm : ∀ (m : M) (n : N), AddCommute (f m) (g n)
Q : Type u_4
AddMonoid Q
h : P →+ Q
⊢ h.comp (f.noncommCoprod g comm) = (h.comp f).noncommCoprod (h.comp g) ⋯
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))
f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))
⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)