ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R s = ⊥ ↔ ∀ x ∈ s, x = 0
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e.symm).reindex e = s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x, f (↑e.symm y) ∈ t ∧ f (↑e.symm y) ∈ e'.source
⊢ ↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm =ᶠ[𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x] (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f
α : Type u_1
s t : List α
⊢ (s ++ t).tails = List.map (fun l => l ++ t) s.tails ++ t.tails.tail
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x => 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Add R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
U : R
hU : ∀ᶠ (x : R) in map u f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x U
V : R
hV : ∀ᶠ (x : R) in map v f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x V
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u + v)
M : Type u_1
AddMonoid M
u₁ u₂ : AddUnits M
⊢ AddCommute u₁ u₂ → AddCommute ↑u₁ ↑u₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ C X p = p
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.disc = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : Mathlib.Vector G n
⊢ ↑((Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.vectorEquiv G n) v) = v.toList.prod⁻¹ ::ᵥ v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ MeromorphicAt f x
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.shortComplexH2Iso A).hom =
  { τ₁ := ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A),
    τ₃ := ↑(groupCohomology.threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
β : Type u_2
N : Matroid β
⊢ N.comap id = N
x : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Iic x) = Ioc ⊥ ↑x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (MeasureTheory.pdf X ℙ μ x).toReal • f x) μ ↔
  MeasureTheory.Integrable (fun x => f (X x)) ℙ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = FiniteDimensional.finrank R M
Nontrivial R
⊢ ((φ.polyCharpoly b).coeff i).IsHomogeneous j
X : Type u
Preorder X
a b c : X
hab : a = b
hbc : b ≤ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom hab) (CategoryTheory.homOfLE hbc) = CategoryTheory.homOfLE ⋯
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ c + a < b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
l' : Type u_5
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
⊢ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂'))
R : Type u_4
S : Type u_5
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* S
a : R
n : ℕ
⊢ f (a ^ n) = f a ^ n
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ Finset.filter p (insert a s) = if p a then insert a (Finset.filter p s) else Finset.filter p s
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
t : CategoryTheory.Limits.Fan f
lift : (s : CategoryTheory.Limits.Fan f) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Fan f) (j : β), lift s ≫ t.proj j = s.proj j := by aesop_cat
uniq : ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Fan f) (m : s.pt ⟶ t.pt), (∀ (j : β), m ≫ t.proj j = s.proj j) → m = lift s := by
  aesop_cat
s : CategoryTheory.Limits.Fan f
⊢ (CategoryTheory.Limits.mkFanLimit t lift fac uniq).lift s = lift s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f'
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
Top β
a : α
⊢ ⊤ a = ⊤
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
hp : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, C x
h0 : C 0
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
i : ι'
⊢ (List.map (fun p => p i) [fun k => EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, fun k => Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun k => UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun i => ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, fun i => BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))]).TFAE
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt Q (↑e) x
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₂
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom φ g) ((MvPolynomial.map f) p) = (MvPolynomial.eval₂Hom (φ.comp f) g) p
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
g f₁ f₂ : CentroidHom α
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n : Primrec Prod.snd
⊢ Primrec fun p => (fun a n => Nat.casesOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).1 Option.none fun k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).2 (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair n).1; Nat.casesOn (unpair n).2 (Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair n).1; let m := (unpair n).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
r : R
hf' : ∀ (i : ι) (x : β₁ i), f i (r • x) = r • f i x
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
i✝ : ι
⊢ (mapRange f hf (r • g)) i✝ = (r • mapRange f hf g) i✝
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
q₁ : ℚ
h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num
hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
⊢ 𝓝[<] a ⊔ 𝓝[>] a = 𝓝[≠] a
n : Nat
m : Nat
h : 0 < n
⊢ 0 < n ^ m
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, Disjoint (LinearMap.ker (f ^ n)) (LinearMap.range (f ^ n))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
⊢ TotallyBounded s
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : Submodule R P
⊢ IsFractional S I → IsFractional S J → IsFractional S (I * J)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g
⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v : V₁
⊢ (AffineEquiv.constVAdd k P₁ v).linear = LinearEquiv.refl k V₁
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder α
f : ι → α
⊢ Monovary f f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
B✝ : PowerBasis S A
hB✝ : IsIntegral R B✝.gen
B B' : PowerBasis K S
P : R[X]
h : (aeval B.gen) P = B'.gen
hB : IsIntegral R B.gen
hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)
i✝ : Fin B.dim
j : Fin B'.dim
i : Fin B.dim
n : ℕ
x✝ : n ∈ Finset.range (P.natDegree + 1)
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (P.coeff n • B.gen ^ n)) i)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson
s : R
hs : r * s = 1
⊢ IsUnit r
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
a : α
ha : a ∈ β
ha' : ⟨a, ha⟩ ∈ γ
⊢ a ∈ do
  let a ← γ
  pure ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
a : α
⊢ r (f a) (f (Classical.choose ⋯))
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n + Cardinal.continuum = Cardinal.continuum
C : Type u_1
C' : Type ?u.94612
D : Type u_2
D' : Type ?u.94618
H : Type u_3
H' : Type ?u.94624
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.94632, ?u.94612} C'
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.94640, ?u.94618} D'
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H
inst✝² : Category.{?u.94648, ?u.94624} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
n : ℕ
⊢ ∀ {a : ℕ}, (∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ n → a ≤ p) → List.Chain (fun x x_1 => x ≤ x_1) a n.primeFactorsList
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
F : CategoryTheory.Functor A B
X : A
⊢ F.leftUnitor.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
x : x✝¹.pt
⊢ ↑(x✝ x) = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x)
R : Type u
CommSemiring R
X : Type u_3
g : R[X]
f : X → R
x : X
⊢ (Polynomial.aeval f) g x = (Polynomial.aeval (f x)) g
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id q.toFinsupp ≤ id n
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' x'
α : Type u_1
One α
⊢ SymAlg.sym 1 = 1
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ ↑(OreLocalization.oreDenom r s) * r = OreLocalization.oreNum r s * ↑s
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
U : Set G
h : IsClosed U
x : G
⊢ IsClosed (AddOpposite.op x +ᵥ U)
A : Type u_1
B' : Type u_3
CommRing A
Ring B'
Algebra A B'
B : Type u_4
CommRing B
Algebra A B
Algebra B B'
IsScalarTower A B B'
h : Function.Injective ⇑(algebraMap B B')
x : B
⊢ minpoly A ((algebraMap B B') x) = minpoly A x
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
e : X ≅ Y
p : I → J
X.HasMap p
Y.HasMap p
i : J
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapIso e p).inv i = CategoryTheory.GradedObject.mapMap e.inv p i
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f g : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ s ∈ 𝓤 (X ⊕ Y) ↔ ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), Metric.glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Add β
a b : β
⊢ Function.const α a + Function.const α b = Function.const α (a + b)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r
⊢ Absorbent 𝕜 (Metric.ball x r)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsTerminal c
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ hc.from s = (c.isLimitEquivIsTerminal.symm hc).liftConeMorphism s
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ a ^ (n - 1) = a ^ n * a⁻¹
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L), (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x (x - y) = InnerProductGeometry.angle y (y - x)
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≠ π
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a == b) = decide ((a == b) = true)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ orderOf (x ^ n) = orderOf x / (orderOf x).gcd n
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
β : Type u_4
Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
c : α
hc : 0 < c
⊢ StrictMono fun x => f x / c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
htff' : HasFDerivAt (↑f) (↑f') (↑f.symm a)
⊢ HasFDerivAt (↑f.symm) (↑f'.symm) a
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
⊢ Nonempty ((α → Bool) ↪ Perm (α × Bool))
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ
⊢ p.restriction.coeff i = 0 ↔ ↑(p.restriction.coeff i) = 0
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt Real.cosh (Real.sinh x) x
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ c⁻¹ * a < b ↔ a < b * c
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial S₂ R) (n : S₂), (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) → (map f) (eval₂ C g (p * X n)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X n))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
⊢ 1 < a ^ 2 ↔ 1 < |a|