ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, u₂} A
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
s.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (P.comp s)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
⊢ (if (f * g) a ≤ (f * g) b then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt Real.log x⁻¹ x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
⊢ 2 = orderOf (-1)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
x : S
⊢ (aeval x) p = ∑ x_1 ∈ range (p.natDegree + 1), (algebraMap R S) (p.coeff x_1) * x ^ x_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
⊢ m = n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Fintype l
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
x : l ⊕ m → α
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D *ᵥ x = Sum.elim (A *ᵥ x ∘ Sum.inl + B *ᵥ x ∘ Sum.inr) (C *ᵥ x ∘ Sum.inl + D *ᵥ x ∘ Sum.inr)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.29669, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.29676, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.29683, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : M
ha : a = 0
d : M
h : ShiftedHom Z T d
⊢ d + a = d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤
hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
r : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqr : q < r
hr : ∀ (x : ↥r.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑r x
⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β
u : Set β
hu : u ∈ lb
⊢ (∃ s ∈ la, f '' s ⊆ u) ↔ u ∈ map f la
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
⊢ (f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal =
  (-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L'' : FirstOrder.Language
g : L' →ᴸ L''
f : L →ᴸ L'
_n : ℕ
F : L.Functions _n
⊢ (g.comp f).onFunction F = g.onFunction (f.onFunction F)
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
n : ℕ
⊢ multiplicity a b = ↑n ↔ a ^ n ∣ b ∧ ¬a ^ (n + 1) ∣ b
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c
this : (a + b) % c = a % c + b % c
⊢ False
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 ∈ Set.Ioo 0 k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Nat.card (G ⧸ K) < Nat.card G
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
⊢ Summable fun b => Cq * (4 ^ b.fst)⁻¹
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
⊢ IsLindelof (⋃₀ S)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
s : Set (BoxIntegral.Prepartition I)
hs : s.Finite
⊢ ∃ t,
  ∀ π ∈ s,
    π ⊓ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I t = (BoxIntegral.Prepartition.splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
n : ℕ
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c x ^ n) s x = ↑n * c x ^ (n - 1) * derivWithin c s x
α : Type v
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Set.Icc a b ⊆ s
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ 0 • (A.ρ 1) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
⊢ b + (a - b) ≤ a
x y : ℝ≥0
⊢ sqrt x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
r : R
⊢ Coalgebra.comul ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (A ⊗[R] A)) r
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ s.addEnergy t = 0 ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ orderOf f ∣ 1
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ y ∣ EuclideanDomain.lcm x y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ setToFun μ T hT (f - g) = setToFun μ T hT f - setToFun μ T hT g
α : Type u_1
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∉ s
⊢ s = ∅
f : ℕ → NNReal
k : ℕ
⊢ (Summable fun i => f (i + k)) ↔ Summable f
n : ℕ
NeZero n
⊢ ⊥.rev = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ ∑ x ∈ s.biUnion t, f x = ∑ x ∈ s, ∑ i ∈ t x, f i
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback f g).str =
  TopologicalSpace.induced (⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)) X.str ⊓
    TopologicalSpace.induced (⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)) Y.str
R : Type u
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
(i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
⊢ f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
x : X
hx : x ∈ s
i : ι
hi : x ∈ W i
⊢ ∃ i, ⇑(f i) =ᶠ[𝓝 x] 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
hI : IsSolvable R ↥↑I
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
hne : s ≠ ∅
⊢ sInf s = 0 ↔ I = ⊥
α : Type u_1
c₀ : RBColor
n₀ : Nat
c : RBColor
n : Nat
t : RBNode α
path : Path α
hp : Path.Balanced c₀ n₀ path c n
ht : RedRed (c = red) t n
⊢ ∃ n, (path.ins t).Balanced black n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : ¬IsOfFinOrder x
⊢ orderOf x = 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ ↑(n ! / (x ! * (n - x)!)) = ↑n ! / (↑x ! * ↑(n - x)!)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ preNormEDS ((mapRingHom f) W.Ψ₂Sq ^ 2) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n = preNormEDS ((mapRingHom f) (W.Ψ₂Sq ^ 2)) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
self : CategoryTheory.ArtinianObject X
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ - f x ∂μ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x : Filter α
g : Filter (α → β)
h : Filter (β → γ)
⊢ h.seq (g.seq x) = ((Filter.map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g).seq x
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ (∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable (fun x => (L (f y)) (g (x - y))) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a + b - a = b
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).L₁ =
  (HomologicalComplex.opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
⊢ (Nat.rfindOpt f).Dom ↔ ∃ n a, a ∈ f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
b : M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ b :: l
comm : ∀ x ∈ b :: l, ∀ y ∈ b :: l, x * y = y * x
ne : a ≠ b
h : a ∈ l
⊢ a * ((b :: l).erase a).prod = (b :: l).prod
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
⊢ C S
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (frobeniusEquiv R p).symm ((frobenius R p) x) = x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(BialgHom.id R A) = CoalgHom.id R A
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
n : M
r : R
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) (MvPolynomial.C r * φ) =
  MvPolynomial.C r * (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ
n : ℕ
a : ZMod n
h : IsUnit a
⊢ a * a⁻¹ = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Integrable g μ
α : Type ua
UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α
⊢ symmetrizeRel V ∈ 𝓤 α
p : ℕ
⊢ (2 ^ p - 1).minFac ∣ 2 ^ p - 1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.pullbackCover f).J
⊢ P (𝒰.pullbackHom f i ≫ 𝒰.map i) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
⊢ ↑(padicNormE q) = ‖q‖
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
ctx : Nat.Linear.Context
c : Nat.Linear.PolyCnstr
cs : Nat.Linear.Certificate
h : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx (Nat.Linear.Certificate.combineHyps c cs) → False
⊢ Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c → Nat.Linear.Certificate.denote ctx cs
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ
⊢ Set.range (succAbove 0) = {0}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₂ a)
⊢ s.Nonempty → BddAbove s → t.Nonempty → BddBelow t → sSup (Set.image2 l s t) = l (sSup s) (sInf t)
F : Type u_1
Field F
⊢ PerfectField F ↔ ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Polynomial.Splits (RingHom.id F) f
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
f : L.Functions n
s t : Set M
hs : FirstOrder.Language.ClosedUnder f s
ht : FirstOrder.Language.ClosedUnder f t
⊢ FirstOrder.Language.ClosedUnder f (s ⊓ t)
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
v : V
⊢ v ∈ H.support ↔ ∃ w, H.Adj v w
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
⊢ ∀ᶠ (w : ℂ) in l, w ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ≅ Y
g : X ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.mapIso f g).hom = CategoryTheory.Limits.biprod.map f.hom g.hom
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
β γ : Type u
f : β → γ
⊢ traverse (pure ∘ f) = pure ∘ Functor.map f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.coimageIsoImage' f).hom =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f) ⋯
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs₁ rs₂ : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (rs₁ ++ rs₂) ↔
  RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs₁ ∧ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₁ • ⊤) rs₂
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) = 𝓕 fun x => 𝓕 f (-x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
f : α → β
g : β → γ
⊢ MeasurableSpace.map g (MeasurableSpace.map f m) = MeasurableSpace.map (g ∘ f) m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
μ' : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ'
F : Type u
Field F
K : Type v
Field K
Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Polynomial.Splits (algebraMap F K) p
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet K) = p.natDegree
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
⊢ x ∈ ⊥
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
r : A → A → Prop
k : S
a b : A
h : RingQuot.Rel r a b
⊢ RingQuot.Rel r (k • a) (k • b)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
h : ∀ a ∈ s, a ∈ t
⊢ False
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, f i
R : Type u_1
DivisionSemiring R
NeZero 2
a : R
⊢ (a + a) / 2 = a
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
na nb : ℤ
da db : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a na da →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b nb db → decide (na.mul (Int.ofNat db) ≤ nb.mul (Int.ofNat da)) = true → a ≤ b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
⊢ f.lintegral (μ + ν) = f.lintegral μ + f.lintegral ν
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∏ t ∈ (insert a s).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset, f (insert a t)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : NonUnitalSubring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun T => 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
⊢ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ WittVector.frobeniusPolyAux p n =
  MvPolynomial.X (n + 1) -
    ∑ i ∈ Finset.range n,
      ∑ j ∈ Finset.range (p ^ (n - i)),
        (MvPolynomial.X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * WittVector.frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) *
          MvPolynomial.C
            ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - WittVector.pnat_multiplicity p ⟨j + 1, ⋯⟩) *
                p ^ (j - WittVector.pnat_multiplicity p ⟨j + 1, ⋯⟩))
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)
⊢ v.reverse.toList.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
i : J
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict (fun j => j ≠ i) f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelBiproductπIso f i).hom =
  (CategoryTheory.Limits.biproduct.isLimitFromSubtype f i).lift
    (CategoryTheory.Limits.limit.cone (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f i) 0))
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
⊢ False
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + dist x y + diam t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
ht : (s.pi t).Nonempty
i : ι
⊢ t i ⊆ Function.eval i '' s.pi t