ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
l₁ l₂ : List (AssocList α β)
h₁ : data.val.data = l₁ ++ data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val] :: l₂
left✝ : l₁.length = (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat
eq : (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂)) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, y⟫_𝕜 = ⟪T y, x⟫_𝕜
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f x = f x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e ↔ e default = 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ Continuous fun p => p x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A₁ A₂ : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
h₁ : A₁.fst = A₂.fst
h₂ : A₁.e ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = A₂.e
⊢ A₁ = A₂
x y z : ℝ
n : ℕ
hb : 1 ≤ 1
⊢ Monotone fun x => 1 ^ x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a✝ : α i
a : (i : ι) → α i
x : ι
y : α x
⊢ (⟨x, y⟩ ∈ s.sigma fun i => {a i}) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (fun i => ⟨i, a i⟩) '' s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
val✝ : Fintype β
⊢ ∀ (l : List (Perm β)), (∀ τ ∈ l, τ.IsCycle) → List.Pairwise Disjoint l → P l.prod
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) R.X P.X).inv ≫ (λ_ R.X).hom ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
X Y : Karoubi C ⥤ Karoubi D
φ : X ⟶ Y
P : Karoubi C
⊢ ((X.map (P.decompId_p ≫ P.decompId_i)).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f) ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i ≫ φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ Y.map P.decompId_p).f
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ δ i ≫ σ j = δ (i.pred ⋯).succ ≫ σ (j.castLT ⋯).castSucc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t x : ℝ
n : ℕ
⊢ HasDerivAt (fun y => (x - y) ^ (n + 1)) (-(↑n + 1) * (x - t) ^ n) t
α : Type u
One α
LT α
a : α
⊢ 1 < ↑a ↔ 1 < a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 ⋯) f = c • (setToL1 hT) f
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ deriv (circleMap c R) θ = 0 ↔ R = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
HeytingAlgebra γ
HeytingAlgebra δ
f : HeytingHom γ δ
g : HeytingHom β γ
h : HeytingHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖a - c‖ + ‖b - d‖
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : List.SublistForall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) l₁ l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 1 ≤ a
⊢ l₁.prod ≤ l₂.prod
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x.Fuzzy y
h₂ : y ≈ z
⊢ x.Fuzzy z
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : Filter β
⊢ pure a ×ˢ f = Filter.map (Prod.mk a) f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ map p.subtype (span R {x}) = span R {↑x}
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
hfg : ∀ (b : β), f b = g b
⊢ Summable f ↔ Summable g
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ cos (angle x y) = cos 0 ↔ angle x y = 0
x✝ y x : ℝ
⊢ (x + √(1 + x ^ 2) - (-x + √(1 + x ^ 2))) / 2 = x
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
d : ENNReal
⊢ s.einfsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < d
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'
⊢ l.reverse ~r l'.reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
c : Ordinal.{u_4}
e : a - b = succ c
⊢ b + (a - b) ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
⊢ (N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1
⊢ (Polynomial.C a * p).natDegree = p.natDegree
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
hs : MeasurableSet s
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
SMul R S
Module S M
Module R M
IsScalarTower R S M
h : IsNoetherian R M
⊢ IsNoetherian S M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
A : C
B : D
f : F.obj A ⟶ B
g : A ⟶ G.obj B
⊢ g = (adj.homEquiv A B) f ↔ (adj.homEquiv A B).symm g = f
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
this : g = (g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ ‖g‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
h : b ≠ 0
⊢ (a - b) / b = a / b - 1
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f g : AdicCompletion I M →ₗ[AdicCompletion I R] T
h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M), f ((mk I M) a) = g ((mk I M) a)
x : AdicCompletion I M
⊢ f x = g x
m n : Nat
⊢ m >>> n = m / 2 ^ n
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
⊢ (Finset.sumLift₂ f g a b).Nonempty ↔
  (∃ a₁ b₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ (f a₁ b₁).Nonempty) ∨
    ∃ a₂ b₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ (g a₂ b₂).Nonempty
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
⊢ (b.digits n).length = Nat.log b n + 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝³ y✝ : E
f : E → ℝ
x✝² : Convex ℝ s
x : E
x✝¹ : x ∈ s
y : E
x✝ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y + a * b * (fun r => m / 2 * r ^ 2) ‖x - y‖ ≤ f (a • x + b • y) ↔ a • (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) x + b • (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) y ≤ (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) (a • x + b • y)
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : Disjoint p q
Fintype { x // p x }
Fintype { x // q x }
Fintype { x // p x ∨ q x }
⊢ Fintype.card { x // p x ∨ q x } = Fintype.card { x // p x } + Fintype.card { x // q x }
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
ppredConts : Pair K
nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts
nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a
predConts : Pair K
succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = predConts
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predConts.a
⊢ g.nums (n + 2) = gp.b * predConts.a + gp.a * ppredConts.a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α → ℕ
p : Poly α
ps : List (Poly α)
⊢ 0 ≤ (p * p + sumsq ps) x
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ Filter.comap norm Filter.atTop = Bornology.cobounded E
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : S.LocalizationMap Q
A : Type u_5
AddCommMonoid A
l : M →+ A
hl : ∀ (w : ↥S), IsAddUnit (l ↑w)
⊢ (k.lift hl).comp (f.lift ⋯) = f.lift hl
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.11099, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ
⊢ (inr φ).f p ≫ (triangle φ).mor₃.f p = 0
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (↑l).get? n = l.get? n
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Finite α
f : α → M
⊢ (Finsupp.equivFunOnFinite.symm f).support = ⋯.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑(mk f hf)) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (g ∘ f)) <$$> g (f x)) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g)) <$$> (TypeVec.id ::: f) <$$> g (f x))
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.BraidedCategory V
⊢ ∀ {X Y : Action V G} (f : X ⟶ Y), (Action.forgetBraided V G).map f = f.hom
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n + 1 + (n + 1 - 1) = n + 1 + (n + 1) - 1
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
f g : α →₀ M
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N
this : IsReflexive R N
⊢ map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (map e p).dualCoannihilator
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ ⇑(Equiv.prodAssoc α β γ) ⁻¹' s ×ˢ t ×ˢ u = (s ×ˢ t) ×ˢ u
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ‖ -x ↔ 0 ‖ x
q : ℕ+
w : 1 < q
⊢ Fintype.card (LucasLehmer.X q)ˣ < ↑q ^ 2
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
⊢ ∃ p, p ∈ normalizedFactors x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
⊢ _root_.Disjoint (range a) (map (addLeftEmbedding a) (range b))
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
hab : ¬a = b
hbc : ¬b = c
⊢ ((b - a) / (c - a)) • slope f a b + ((c - b) / (c - a)) • slope f b c = slope f a c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.mapRange.linearMap LinearMap.id = LinearMap.id
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
⊢ ∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, Mᵀ (x i) i = ↑↑(sign x⁻¹) * ∏ i : n, M (x⁻¹ i) i
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.degrees 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b₁✝ b₁ : α
h : b₁✝ = b₁ ∨ a = b₁ ∧ b₁✝ = a
⊢ b₁✝ = b₁
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
⊢ (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) = (fun z => (z.2, z.2⁻¹ * z.1)) ∘ fun z => (z.2, z.2 * z.1)
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
⊢ PowerSeries.X.order = 1
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {p : α → Bool}, a ∈ l → p a = true → (List.eraseP p l).length = l.length.pred
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ 0 < Real.logb b x ↔ x < 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
hp_ne_one : ↑p ≠ 1
⊢ (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑0 x ≤ ↑(g - f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
⊢ IsUnit a
R : Type u_1
CommSemiring R
LocalRing R
a b : R
ha : a ∈ nonunits R
hb : b ∈ nonunits R
⊢ a + b ∈ nonunits R
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
VAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ μ ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s) = μ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
ι : Sort u_10
S : ι → Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (⨆ i, Submodule.comap f (S i)) = iSup S
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
⊢ W.Nonsingular (W.add P Q)
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
a n : ℕ
⊢ n.ceilRoot a ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ a ≠ 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Ioc a b).card = ↑b - ↑a
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
⊢ Nat.nth p '' Set.Iio hf.toFinset.card = setOf p
n k : ℕ
⊢ (hermite (n + 1)).coeff (k + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
hs : IsStrongAntichain r s
f : α → β
hf : Surjective f
h : ∀ (a b : α), r' (f a) (f b) → r a b
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : f a ≠ f b
c : α
⊢ ¬r' (f a) (f c) ∨ ¬r' (f b) (f c)
z w : ℂ
h₁ : 0 ≤ (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0
h₂ : 0 < (z, w).2.re
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (z, w)
M : Type u
AddMonoid M
N : Type u'
AddMonoid N
F : M →+ N
⊢ (CategoryTheory.Discrete.addMonoidalFunctor F).ε = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ (↑n + 3) / 2 / (2 * ↑n) = (↑n + 3) / (4 * ↑n)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
m : ℕ
h : ⋯.choose m = j
⊢ ∃ n, sequentialFunctor_obj J n ≤ j
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1
⊢ a = (↑x).1 • (↑x).2
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ Real.arccos x = Real.arcsin √(1 - x ^ 2)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
h : integral μ (A.indicator 1 ∘ f * B.indicator 1 ∘ g) = integral μ (A.indicator 1 ∘ f) * integral μ (B.indicator 1 ∘ g)
⊢ μ (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
χ : MulChar R R'
⊢ χ.ringHomComp f ≠ 1 ↔ χ ≠ 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p1 p2 = dist p1 p3
⊢ ∠ p1 p2 p3 = ∠ p1 p3 p2
α : Type ua
β : Type ub
Preorder β
f g : β → Set (α × α)
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => f x ○ g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t : Set α
h : Semiconj f fa fb
s : Set β
hb : InjOn fb s
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ f ⁻¹' s
H : fa x = fa y
this : fb (f x) = fb (f y)
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) → ((∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o) ↔ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : Z → X
g : Z → Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => (f x, g x)
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ Finmap.erase a ⟦s⟧ = ⟦AList.erase a s⟧
α : Type u_4
Infinite α
n : ℕ
⊢ ∃ s, s.card = n
α : Type u
n : ℕ
⊢ [].rotate n = []
n : ℕ+
⊢ n.factorMultiset.prod = n
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : BF ∈ upperBounds (norm ∘ F f ε '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x => x * g
⊢ ∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
f : α → β
⊢ Bijective f ↔ Surjective f ∧ Nat.card α = Nat.card β