ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
n : ℕ
⊢ ((monomial i) r • 0) n = if i ≤ n then r • 0 (n - i) else 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
e : m → n
⊢ (M.submatrix e e).PosSemidef
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformly F f p
g : γ → α
⊢ TendstoUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
α : Type u_1
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ (s ∪ t).card = s.card + t.card ↔ Disjoint s t
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
hs : s ∈ f
h : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ f
⊢ t ∈ f
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i ≤ ∑ j ∈ s, f j
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s * t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' * t'
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
hrw : ((fun i => 2 ^ i) ∘ fun x => x + 1) = fun i => 2 * 2 ^ i
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit b n).bitIndices).sum = bit b n
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : Ordinal.IsNormal f
⊢ Ordinal.sup (f ∘ Nat.cast) = f ω
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set α
⊢ f.image (s ∩ t) ⊆ f.image s ∩ f.image t
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
⊢ (∏ j : ι, if j = i then f j else 1) = f i
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
self : BoundedOrderHom α β
⊢ self.toFun ⊥ = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : ↥⊥
⊢ b = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
h : a * b ~ᵤ c * d
h₁ : a ~ᵤ c
ha : a ≠ 0
u : αˣ
hu : a * b * ↑u = c * d
v : αˣ
hv : c * ↑v = a
⊢ a * (b * ↑(u * v)) = a * d
n m : ℕ+
⊢ n.gcd m ∣ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.2
α : Type u
x : α
b : Set α
a : Set α
⊢ x ∈ b → x ∈ a ∪ b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
x : α
y : β
fxy : y ∈ f x
domx : x ∈ f.Dom
⊢ f.asSubtype ⟨x, domx⟩ = y
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Module.rank R M < ℵ₀
n x y : ℤ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : IsCoprime x y
u v : ℤ
huv : u * x + v * n = 1
H : u * y * (u * y) - -1 = n * (-v ^ 2 * n + u ^ 2 + 2 * v)
⊢ ↑(-1) = ↑(u * y * (u * y))
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
⊢ (Forall₂ fun x x_1 => x = x_1) = Eq
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
⊢ dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) → IsFixedPt f x
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f₁ f₂ : α → β
hs : s₁ ⊆ s₂
hf : Set.EqOn f₁ f₂ s₂
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ s₁
α : Type u
f : α → α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₂ ≠ [] → List.modifyLast f (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ List.modifyLast f l₂
V : Type u
Quiver V
W : Type u₂
Quiver W
F G : V ⥤q W
h_obj : ∀ (X : V), F.obj X = G.obj X
h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), F.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (G.map f))
⊢ F = G
n : Nat
a m : Fin n
⊢ a % m = ⟨↑a % ↑m, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s s' : Sym α n'
⊢ ↑(s.append s') = ↑((Sym.cast ⋯) (s'.append s))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
x✝ : 𝕜
⊢ x✝ = x✝ ^ 1
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ 0 < W.preΨ₄.natDegree
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : β
p : Fin n → β
⊢ (last n).insertNth x p = snoc p x
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
n : α
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x ≤ n
⊢ fold max ⊥ ⟦a✝⟧ ≤ n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
x : ℕ → ι
hx : Tendsto x atTop u
⊢ Measurable g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)
a : Set α
ha₁ : MeasurableSet a
ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n
⊢ ↑v a ≤ ↑w a
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : {a | a ∈ l}.Pairwise r
hn : l.Nodup
⊢ Pairwise r l
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
self : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ self.j * self.i = -self.k
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (p ^ n).totient = p ^ (n - 1) * (p - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n ≠ m
⊢ (Disjoint on MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i) n m
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (deriv f) φ U
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
⊢ s.Finite
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (⇑f)^[n] x ≤ x + ↑n * ↑m ↔ f x ≤ x + ↑m
n : ℕ
a : ZMod n
⊢ -a = a ↔ a = 0 ∨ 2 * a.val = n
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in Filter.atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (k : α) in Filter.atTop, ∀ᶠ (l : β) in Filter.atTop, p (k, l)
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsExtrOn f s a
hd : HasLineDerivWithinAt ℝ f f' s a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).inv.app X).τ₃.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₃.obj X_1)
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : Chain' R (l₁ ++ l₂)
h₂ : Chain' R (l₂ ++ l₃)
hn : l₂ ≠ []
⊢ ∀ (x : α), x ∈ (l₁ ++ l₂).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₃.head? → R x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
δ : Type u_2
PseudoEMetricSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Isometry f
hg : Isometry g
⊢ Isometry (Prod.map f g)
α : Type u
P : WithZero α → Prop
x : WithZero α
⊢ P 0 → (∀ (a : α), P ↑a) → P x
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s
c : Rˣ
hc : (factors a).prod * ↑c = a
⊢ (factors a).prod * ↑c ∈ s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
r : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj ((↑U).basicOpen (U.topIso.inv r)) = X.basicOpen r
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => √(f y)) (f' / (2 * √(f x))) s x
p : ENNReal
h : p ≤ 1
⊢ PMF.binomial p h 1 = PMF.map (fun x => bif x then 1 else 0) (PMF.bernoulli p h)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : R0Space X
x y : X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
a b : Y
⊢ a ⤳ b → b ⤳ a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
X : T
G : CategoryTheory.Functor A T
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks A
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan G
Y Z : CategoryTheory.StructuredArrow X G
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ CategoryTheory.Mono f.right
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
⊢ ∀ (a : Π₀ (i : ι), (fun i => M i) i) (a_1 : ι), (DirectSum.linearEquivFunOnFintype R ι M) a a_1 = a a_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
⊢ 0 ≤ gauge s x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ Subtype.val '' ↑d, c i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X Y Z : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.obj Y.obj Z.obj).inv
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ (p ^ k).factors.prod = FactorSet.prod ↑(replicate k ⟨p, hp⟩)
R : Type u
CommRing R
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj (CommRingCat.of R)).presheaf =
  (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C} (f : X ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.normalizedMooreComplex C).map f = AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.map f
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
f : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I
⊢ M.Indep (insert f I \ {e}) ↔ f ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ f ∈ I
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : R[X]
X : Set R
x : ↑X
⊢ (p.toContinuousMapOn X) x = p.toContinuousMap ↑x
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
k : ℕ
Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
h : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta (p ^ (k + 1)) K L - 1) = ↑↑p
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → Set α
hf : ∀ (i : ι), IsLowerSet (f i)
⊢ IsLowerSet (⋂ i, f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
i : ι
x : α
f : ι →₀ α
⊢ Finsupp.single i x ≤ f ↔ x ≤ f i
R : Type u
Semiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]
n : ℕ
⊢ (∑ b ∈ s, f b).coeff n = ∑ b ∈ s, (f b).coeff n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : L.IsLocalization W
⊢ W.IsInvertedBy L
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ star a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
α : Type u
β : Type v
r : α → β → Prop
l : Filter α
l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y
⊢ ∃ f, ∀ᶠ (x : α) in l, r x (f x)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
k n : ℕ
⊢ (coeff R n) ((C R) x * X ^ k) = if n = k then x else 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc✝ : Cospherical ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
c : P
hc : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
b x : ℕ
hb : 1 < b
z : ℕ
⊢ clog b (b ^ x) ≤ z ↔ x ≤ z
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i j : n
⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary i j = (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) i
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
hu : IsUnit (1 - z • a)
H₁ : Differentiable 𝕜 fun w => 1 - w • a
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
AddCommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (max a b) + f (min a b) = f a + f b
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (algebraMap A K) ((intTrace A B) x) = (trace K L) ((algebraMap B L) x)
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
I : Ideal R
⊢ x ∈ I * Ideal.span {y} ↔ ∃ z ∈ I, z * y = x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
⊢ derivative (C a) = 0
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i : ι
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioi i, i ≤ x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V
⊢ ((Action.functorCategoryMonoidalAdjunction V G).counit.app A).app PUnit.unit =
  𝟙
    ((((Action.functorCategoryMonoidalEquivalenceInverse V G).toFunctor ⋙
              (Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).toFunctor).obj
          A).obj
      PUnit.unit)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P
⊢ r • (p₂ -ᵥ p₁) ∈ vectorSpan k {p₁, p₂}
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
e : α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I (insert e I) ↔ M.Dep (insert e I) ∨ e ∈ I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopBraidedFunctor C).ε.unmop = 𝟙 (𝟙_ C)
x : ℝ
⊢ -(π / 2) < (↑(Real.arctan x)).re
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ (killingForm R L).restrict (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = LieModule.traceForm R (↥↑I) L
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U
⊢ ((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
X Y : Submodule R M
⊢ X ⋖ X ⊔ Y → JordanHolderModule.Iso (X, X ⊔ Y) (X ⊓ Y, Y)
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u
ι : Sort x
s : ι → Filter α
⊢ iInf s = Filter.generate (⋃ i, (s i).sets)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
⊢ (ν a) univ ≠ ⊤
P : Prop
α : Type u_1
Decidable P
x : P → α
y : α
⊢ (if h : P then some (x h) else none) = some y ↔ ∃ h, x h = y
k : ℕ
c : Nat.Partrec.Code
n : ℕ
⊢ ((Option.map (Nat.Partrec.Code.evaln k c) (List.range k)[n]?).bind fun b => b) = Nat.Partrec.Code.evaln k c n
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ eval 0 M.charpolyRev = 1
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
⊢ (sSup s).ord = sSup (Cardinal.ord '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₁.support
⊢ a ∈ (g₁ + g₂).support
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
hn : (↑↑q.num / ↑↑q.den).num = ↑q.num
⊢ ↑(↑q.num / ↑q.den).num / ↑(↑q.num / ↑q.den).den = ↑q.num / ↑q.den
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)
⊢ False
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (⨆ (_ : 0 < n + 1), u 0) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i + 1 < n + 1), u (i + 1) = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u (k + 1)
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
u : Set α
ou : IsOpen u
⊢ u = ⋃₀ {s | s ∈ B ∧ s ⊆ u}
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : K
⊢ ‖(embedding_of_isReal hw) x‖ = w x
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
⊢ FiniteDimensional F E
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x - y) x).cos = ‖x - y‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(restrictScalars R (Algebra.adjoin ↥A ↑B))
C : ℕ → Sort u_1
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (Nat.bit b n)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Nat.binaryRec z f n = ⋯ ▸ f n.bodd n.div2 (Nat.binaryRec z f n.div2)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | i < τ ω}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
p : ℕ → Bool
m : ℕ
pm : p m = true
this : true ∈ ↑p m
n : ℕ
hn : n ∈ rfind ↑p
h : m < n
⊢ False
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
⊢ False
a b : Nat
⊢ (¬a ≥ b) = (a + 1 ≤ b)