ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β
g₁ : γ → β
hgm₁ : StronglyMeasurable g₁
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₁
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ↑(∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i * (fun i => (g i).toNNReal) i) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ q) ^ (1 / q))
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g (f x) ≤ c
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ I * dual A K I = dual A K 1
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
l : List α
⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∨ x = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, x ∈ s ∧ p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, p x ∧ x ∈ s
a b m n : ℤ
hmn : m.natAbs.Coprime n.natAbs
⊢ a ≡ b [ZMOD m] ∧ a ≡ b [ZMOD n] ↔ a ≡ b [ZMOD m * n]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
P : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra P
x✝ : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
h : ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
x y : P
hxy : x ⊓ y ∈ I
hxI : x ∉ I
hxcI : xᶜ ∈ I
⊢ y ∈ I
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx✝ : x ∈ f.domain
y : E
hx : y ∈ f.domain
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y
⊢ ↑f ⟨x, hx✝⟩ = ↑f ⟨y, hx⟩
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
S : Set ι
s : ι → Set α
hc : S.Countable
hs : ⋃ i ∈ S, s i = univ
⊢ μ = ν ↔ ∀ i ∈ S, μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
α : Type u_1
MonoidWithZero α
HasDistribNeg α
a : SignType
k : ℕ
⊢ ↑(a ^ k) = ↑a ^ k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
a : ↑s
⊢ ((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = (μ {↑a}).toReal • f ↑a
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.span p l = (List.takeWhile p l, List.dropWhile p l)
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
x : CoeSort.coe (Rep.ofDistribMulAction k G A)
hx : (dZero (Rep.ofDistribMulAction k G A)) x = ↑↑f
⊢ IsOneCoboundary ↑↑f
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M
⊢ RelMap ((L.lhomWithConstants α).onRelation ((Equiv.sumEmpty (L.Relations n) ((constantsOn α).Relations n)) R)) xs = RelMap R xs
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ choose (↑n) k = ↑(n.choose k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β → γ → α
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j = ⨅ x, f x.1 x.2
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ b ≤ c → min a b ≤ c
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ q
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i * g i)
H₂ : Summable fun i => f i * g i
⊢ (Summable fun i => f i * g i) ∧ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Ioc a b) = b - a
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.simple i * (cs.simple i * w) = w
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
⊢ f.prodMap g x = { Dom := (f x.1).Dom ∧ (g x.2).Dom, get := fun h => ((f x.1).get ⋯, (g x.2).get ⋯) }
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
this : Countable ↑t
⊢ ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)) = ⨆ i ∈ t, ae (μ.restrict (s i))
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ✝ : a ⟶ b
inst✝³ : p.IsCartesian f φ✝
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
ψ ψ' : a' ⟶ a
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) ψ
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 R) ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ
⊢ ψ = ψ'
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 ≤ ε n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsPreirreducible ∅
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : Stmt₂
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
f : σ → Option (Γ k) → σ
⊢ TM2.stepAux (stRun (StAct.peek f) q) v S = TM2.stepAux q (stVar v (S k) (StAct.peek f)) (update S k (match StAct.peek f with | StAct.push f => f v :: S k | StAct.peek a => S k | StAct.pop a => (S k).tail))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
U V : C
f : G.obj U ⟶ G.obj V
⊢ G.imageSieve f ∈ J.sieves U
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s : Finset α
⊢ s ⊼ s ⊆ s ↔ InfClosed ↑s
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.5921, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.5928, u_2} D
F F' : Discrete WalkingPair ⥤ C
α : F ⟶ F'
⊢ IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := WalkingPair.right }) (α.app { as := { as := WalkingPair.right }.as }) (F'.map { down := { down := ⋯ } })
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
⊢ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
p : α → Prop
hst : s ⊆ t
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ Nonempty α
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ a ⊓ Filter.limsup u f = Filter.limsup (fun x => a ⊓ u x) f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
⊢ x ^ w = x ^ y * x ^ z
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs, if (fun a => ↑a.fst) b = a then ↑((fun a => sign (f ↑a.fst)) b) else 0) = f a
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddGroup R
x : HahnSeries Γ R
⊢ (-x).coeff = -x.coeff
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))).sum fun i xi => ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => xi •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ a + (0 - a) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : TruncatedWittVector p n R
h : ∀ (n_1 : ℕ), x.out.coeff n_1 = y.out.coeff n_1
i : Fin n
⊢ coeff i x = coeff i y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ Bornology.cobounded (Unitization 𝕜 A) = Bornology.cobounded (Unitization 𝕜 A)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
(i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : N
⊢ x ∈ iSup p ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥
x✝¹ : M₁
hx : B.flip x✝¹ = 0
x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = 0 x✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ X.presheaf.map (homOfLE e).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommGroup N₂
AddCommGroup N₃
Module R₁ M
Module R₂ N₂
Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
g : N₂ →ₛₗ[σ₂₃] N₃
⊢ g.comp (-f) = -g.comp f
V : Type u
G : SimpleGraph V
H₁ H₂ : G.Subgraph
⊢ (H₁ ⊓ H₂).edgeSet = H₁.edgeSet ∩ H₂.edgeSet
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ f ≫ 0 = 0
α : Type u
l r : List α
i : ℕ
h1 : l.length - 1 - i < (l.reverseAux r).length
h2 : i < l.length
⊢ (l.reverseAux r)[l.length - 1 - i] = l[i]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
c : F
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (fun x => f x + c) s
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (a + m • p) b = toIcoMod hp a b + m • p
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ (Rack.envelAction ((Rack.toEnvelGroup R) x)) y = x ◃ y
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
⊢ Antitone compl
m n : ℕ
i : Fin n.succ
⊢ ↑((finRotate n.succ) i) = if i = Fin.last n then 0 else ↑i + 1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2
⊢ p ∈ upperBounds s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y x : α
hx : f x ≠ x
h : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
⊢ (g * f * g⁻¹).IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β
a : α
ha : a ∈ o
hb : b ∈ f a
⊢ b ∈ f (o.get h)
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ⨆ i, f i < ℵ₀
⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
α : Type u_1
Primcodable α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
hp : PrimrecPred p
hq : PrimrecPred q
⊢ PrimrecPred fun a => p a ∨ q a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
K : Type u_1 := FractionRing R
L : Type u_2 := FractionRing S
x✝ : Algebra K L := FractionRing.liftAlgebra R L
this✝ : IsScalarTower R (FractionRing R) L
this : minpoly R s ∣ p %ₘ minpoly R s
⊢ minpoly R s ∣ p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
h : Function.Bijective f
⊢ Finite α ↔ Finite β
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℕ → G
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ Multiset.card m.dedup = Multiset.card m ↔ m.Nodup
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a✝ b✝ c✝ d✝ : α
m n : ℕ
a b c d : α
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ ≤ c * d⁻¹ ↔ a * d ≤ c * b
x✝ : ℕ
⊢ 1 x✝ = δ x✝
α : Type u
β : Sort v
b : β
⊢ (ULift.rec fun x => b) = fun x => b
α : Type u_4
Add α
a : αᵃᵒᵖ
a' : α
⊢ a +ᵥ a' = a' + AddOpposite.unop a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
E : A
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
S : J.Cover X
e₁ e₂ : E ⟶ P.obj (Opposite.op X)
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₁ (P.map I.f.op) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₂ (P.map I.f.op)
⊢ e₁ = e₂
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
n : ℕ
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) = n
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ y < x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
la : Filter α
lb : Filter β
⊢ sᶜ ∈ la.coprod lb ↔ (Prod.fst '' s)ᶜ ∈ la ∧ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ lb
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤
ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0
⊢ infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
r : R
⊢ (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) r = { re := r, imI := 0, imJ := 0, imK := 0 }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ (map f (range n.succ)).prod = (map f (range n)).prod * f n
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
⊢ (Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (μ + y) v) s'
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
h : ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i
⊢ s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ f' x ≤ 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
⊢ ∃ S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H, g ∈ S
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLUB (Set.Iic a) a
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
⊢ (PMF.ofFinset f s h h').support = ↑s ∩ Function.support f
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
CompleteLattice α
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨆ a, ⨅ b, f a b ≤ ⨅ g, ⨆ a, f a (g a)
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ |Real.exp x - ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g : X₂✝ ⟶ Y₂✝
⊢ { as := X₁✝.as * X₂✝.as } = { as := Y₁✝.as * Y₂✝.as }
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ
⊢ ↑(toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = 0
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ a) (volume.restrict (Ioi c))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ Multiset.card (s.disjSum t) = Multiset.card s + Multiset.card t
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ Set.uIcc a b = Set.uIcc b a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H1 : UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α)
H2 : UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
H3 : ∀ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α) = UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
⊢ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ (lift R) (g.toLinearMap ∘ₗ ι R) = g
a a' : Fin 2 → ZMod 1
⊢ EisensteinSeries.gammaSet 1 a = EisensteinSeries.gammaSet 1 a'
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Neg α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (-s).sup f = s.sup fun x => f (-x)
k : Type u
inst✝⁵ : Field k
G : Grp
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype ↑G
inst✝² : Invertible ↑(Fintype.card ↑G)
V W : FDRep k ↑G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W
⊢ ⅟↑(Fintype.card ↑G) • Finset.univ.sum (of (linHom W.ρ V.ρ)).character = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] h (g q)) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
γ : Type w
inst✝ : AddZeroClass γ
f g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ
H : ∀ (i : ι) (y : β i), f (single i y) = g (single i y)
⊢ f = g
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ opcyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ - opcyclesMap' φ' h₁ h₂