ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h : (fun P => {f | P.Factors f.snd}) P = (fun P => {f | P.Factors f.snd}) Q
⊢ ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, P.Factors f ↔ Q.Factors f
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
hi : i ≥ w - r
⊢ (x.rotateRightAux r).getLsb i = (decide (i < w) && x.getLsb (i - (w - r)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n₁₂
X : CochainComplex C ℤ
i : ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftFunctorAdd' C n₁ n₂ n₁₂ h).inv.app X).f i = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι✝ → Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
ι : Type u_4
α : Type u_5
β : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (β i)
inst✝ : Preorder α
f : α → (i : ι) → β i
⊢ Antitone f ↔ ∀ (i : ι), Antitone fun x => f x i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P
⊢ ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p b) (-w) = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
r : R
hr : ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑m ∧ p.leadingCoeff = r
⊢ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = r
M : Type u_1
Monoid M
x : ↥(IsUnit.submonoid M)
⊢ ↑(Submonoid.unitsTypeEquivIsUnitSubmonoid.symm x)⁻¹ = ↑(Classical.choose ⋯)⁻¹
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u v : Set α
h : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
hu : u ≤ᵐ[μ] s
hv : v ≤ᵐ[μ] t
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ u v
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ IsOpenMap ⇑(TopCat.GlueData.fromOpenSubsetsGlue U)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃ ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a₁ a₂) (shiftFunctor C a₃) ≪≫ (shiftFunctor C a₁).associator (shiftFunctor C a₂) (shiftFunctor C a₃)).hom.app X = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯ ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a₁) (shiftFunctorAdd C a₂ a₃)).hom.app X
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
IsDomain B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : x ≠ 0
⊢ (minpoly A x).coeff 0 ≠ 0
R : Type u
Semiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ 1 ≤ star x ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ IsOpen (range f) ↔ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
B : LinearMap.BilinForm R M
a : M
⊢ ∀ (a_1 : CliffordAlgebra Q),
  ((CliffordAlgebra.changeFormAux Q B) a) a_1 = (CliffordAlgebra.ι Q) a * a_1 - (CliffordAlgebra.contractLeft (B a)) a_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ∆ (c ∆ d) = a ∆ c ∆ (b ∆ d)
a b c : Int
⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ (NumberField.Units.logEmbeddingQuot K) ⟦x⟧ = (NumberField.Units.logEmbedding K) x
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ p.toAddSubmonoid ≤ q.toAddSubmonoid ↔ p ≤ q
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
c : ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (const Ω c) = c * μ.mass
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) a } * { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) b } =
  { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) (a * b) }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α × β
⊢ (∑ c ∈ s, f c).1 = ∑ c ∈ s, (f c).1
α : Type u
CommSemiring α
a : α
h2 : IsUnit a
x : α
⊢ Ideal.span {x * a} = Ideal.span {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
w : P.ker.Cotangent
⊢ (Algebra.Generators.Cotangent.of w).val = w
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x
t : ℕ → Finset X
ht : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, x ∈ compactCovering X n ∩ s
hsub : ∀ (n : ℕ), compactCovering X n ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ t n, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x}
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ⋃ n, ↑(t n)), x ∈ f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔ ∀ᶠ (y : β × α) in g ×ˢ f, p y.swap
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
hs : UniqueMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) s x
⊢ mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x = ↑f
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
⊢ (pderiv 2) (X 1 ^ 2 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * X 2 + C W.a₃ * X 1 * X 2 ^ 2 - (X 0 ^ 3 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * X 2 + C W.a₄ * X 0 * X 2 ^ 2 + C W.a₆ * X 2 ^ 3)) = X 1 ^ 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 + C (2 * W.a₃) * X 1 * X 2 - (C W.a₂ * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₄) * X 0 * X 2 + C (3 * W.a₆) * X 2 ^ 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.ReflectsColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (CategoryTheory.forget C)
X : C
h : IsEmpty ((CategoryTheory.forget C).obj X)
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsInitial X)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ f.toFun = ⇑f
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : { α // α.IsNonZero }
⊢ (LieAlgebra.IsKilling.rootSystem H).pairing β α = ↑β (LieAlgebra.IsKilling.coroot ↑α)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0
hfi : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤ ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x)) μ
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪r • x, (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
⊢ (bind (a, s) f).bind g = bind (a, s) fun x => (f x).bind g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ ContinuousOn (fun x => x) s
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
⊢ Polynomial.X ∣ f ↔ f.coeff 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ L : CompleteSublattice α
t : Set α
ht : t ⊆ ↑L
hs : ⇑f '' t ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
⊢ sSup (⇑f '' t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
i : ι
l : List ι
a : α i
f : (j : ι) → j ∈ l → α j
⊢ Multiset.Pi.cons (↑l) i a f = List.Pi.cons i l a f
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Ring A₁
Ring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
⊢ e (-x) = -e x
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₙₐ[R] C
c : Subalgebra R C
⊢ (lift f).range ≤ c ↔ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ≤ c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ 1 / p.toReal = (1 / p).toReal
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ Set.uIcc x' y'
hy : y ∈ Set.uIcc x' y'
⊢ dist x y ≤ dist x' y'
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
x : ℝ
⊢ x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2) → x ∈ {x | cos x ≠ 0}
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n.succ
v' : Vector α n
⊢ v ≠ a ::ᵥ v' ↔ v.head ≠ a ∨ v.tail ≠ v'
a b c d : ℕ
h : a + c = b + d - 1
⊢ b ≤ a ∨ d ≤ c
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cocone F✝
F : J ⥤ C
s : Cocone F
G : K ⥤ C
t : Cocone G
P : IsColimit s
Q : IsColimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
⊢ Q.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = 𝟙 t.pt
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 < q.degree
hq0 : q ≠ 0
⊢ (p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹)).degree < p.degree
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a b : List α} {x : α} {c : List α},
  a ++ b = x :: c ↔ a = [] ∧ b = x :: c ∨ ∃ a', a = x :: a' ∧ c = a' ++ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
F : D ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
hF : CategoryTheory.Limits.IsZero F
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero c.pt
α : Type u_1
x : α
t : Set α
S : Set (Set α)
hx : x ∉ ⋃₀ S
ht : t ∈ S
⊢ x ∉ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n : ℕ
h : IsPeriodicPt f n x
m : ℕ
⊢ f^[m % n] x = f^[m] x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n
⊢ Multiset.card (toMultiset m) < Multiset.card (toMultiset n)
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊔ m.factorMultiset).prod = n.lcm m
N : ℕ
a u v : Fin 2 → ZMod N
huv : u ≠ v
⊢ (Disjoint on gammaSet N) u v
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊥), 𝓟 (Iio a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ r * ⨆ (_ : ↑s ≤ fun a => f a), s.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
l.IsCountablyGenerated
l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (φ i))
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
β : Type u_9
f : β → Multiset α
z : β
i : Finset β
hz : z ∉ i
hr : i.sum f = i.sup f ↔ ∀ x ∈ i, ∀ y ∈ i, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)
⊢ (Finset.cons z i hz).sum f = (Finset.cons z i hz).sup f ↔ ∀ x ∈ Finset.cons z i hz, ∀ y ∈ Finset.cons z i hz, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
⊢ G.Colorable n
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
DecidableEq β
s₁ s₂ : Finset β
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
f : β → α
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup' ⋯ f = s₁.sup' h₁ f ⊔ s₂.sup' h₂ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β
⊢ kernImage f (f ⁻¹' s) = s ↔ (range f)ᶜ ⊆ s
α : Type u_1
m : Nat
n : Nat
a : α
⊢ (List.replicate m a).rotateLeft n = List.replicate m a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
a✝¹ : k ∈ Ico 2 (n + 1)
c : Composition k
a✝ : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = r ^ c.length * (a ^ k * ∏ x : Fin c.length, p (c.blocksFun x))
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x v₁ v₂ : M
hx : x ≠ 0
h : SameRay R x 0
⊢ ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.cokernel.π 0)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ t) = ν.restrict (s ∪ t) ↔ μ.restrict s = ν.restrict s ∧ μ.restrict t = ν.restrict t
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
r : R
c : CharacterModule (A ⊗[R] B)
x✝¹ : A
x✝ : B
⊢ (({ toFun := fun c => { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) x✝¹) x✝ = (((RingHom.id R) r • { toFun := fun c => { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun c) x✝¹) x✝
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
⊢ IsAddRegular (a + b) ∧ IsAddRegular (b + a) ↔ IsAddRegular a ∧ IsAddRegular b
α : Type u_1
LE α
a : α
h : IsTop a
⊢ IsMax a
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeSup β
f g : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (f ⊔ g) s
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))
hcomp1 : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)
hcomp2 : (mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
⊢ MeasurableSet j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan (CategoryTheory.forget C)
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
IH : ∀ m < 0, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : 0 ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = 0) univ).card
⊢ (filter (fun a => orderOf a = 0) univ).card = φ 0
c : Type u → Type u
hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → Type u
self : CategoryTheory.BundledHom hom
α β γ : Type u
Iα : c α
Iβ : c β
Iγ : c γ
f : hom Iα Iβ
g : hom Iβ Iγ
⊢ self.toFun Iα Iγ (self.comp Iα Iβ Iγ g f) = self.toFun Iβ Iγ g ∘ self.toFun Iα Iβ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofAbelian S).H =
  CategoryTheory.Abelian.image
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f))
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ StrictMono fun a => a ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl y z
⊢ x ⊓ y = ⊥ ↔ x ≤ z
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
L.NeBot
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Filter.Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ Filter.limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U V : Opens α
i : U ≤ V
⊢ IsOpen {x | ↑x ∈ ↑U}
α : Type u_1
Inv α
a : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop a⁻¹ = (AddOpposite.unop a)⁻¹
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den
⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = Rat.normalize num den nz
q₁ q₂ : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
v : List ℕ
c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ ∃ s',
  Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
    { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList v) [] c d }
    (Nat.rec { l := some q₁, var := s', stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList v.tail) [] c d }
      (fun n x =>
        { l := some q₂, var := s',
          stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList (n :: v.tail)) [] c d })
      v.headI)
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : SMul M N
H : ∀ (x : M) (y : N), y * x • 1 = x • y
x : M
y z : N
⊢ x • y • z = y • x • z
F : Type u_1
Field F
n : ℕ
⊢ IsSolvable (Polynomial.X ^ n - 1).Gal
n : ℕ+
T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
⊢ IsCyclotomicExtension ∅ A B ↔ IsCyclotomicExtension (∅ ∪ {1}) A B
m n : Nat
h : m < n
⊢ ↑⟨m, h⟩ = m
a b : UInt64
h : a.val ≠ b.val
⊢ a ≠ b
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ s⁻¹.toProd.2 = s.toProd.1⁻¹
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p a < ⊤
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ (f - g).degree < ↑s.card
h : ↑(0 - 1)! = -1
h1 : 0 ≠ 1
⊢ Prime 0
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
R : Type u_6
Fintype m
Fintype n
Fintype p
NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R
⊢ (A * (B * C)).trace = (C * (A * B)).trace
α : Type u
Finite α
DistribLattice α
⊢ ∃ β x x_1 f, Function.Injective ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → W ⟶ f j
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun j => F.map (g j)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ Function.RightInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'
⊢ All P (l.balanceR x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r