ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
R : Type u_11
⊢ ∀ {x : Monoid R} [inst : AddCommMonoid M] [inst_1 : DistribMulAction R M] {f : α → β} (b : R) (v : α →₀ M),
  Finsupp.mapDomain f (b • v) = b • Finsupp.mapDomain f v
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
N₃ : Type u_15
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommGroup N₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] N₃
⊢ (-g).comp f = -g.comp f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv = Scheme.Hom.app f U
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
⊢ λ ^ 2 ∣ S'.c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) ≤ n
R : Type u_4
TopologicalSpace R
LinearOrderedField R
OrderTopology R
FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) Filter.atTop (𝓝 a)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
⊢ Commute φ ((MvPowerSeries.monomial R n) a) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((MvPowerSeries.coeff R m) φ) a
s : Set ℕ
h : s.Nonempty
⊢ sInf s ∈ s
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
e : M ≃+ N
⊢ (↑e).comp ↑e.symm = AddMonoidHom.id N
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
n m : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p
⊢ q ^ (n - m) ∣ (⇑derivative)^[m] p
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this✝ : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
this : ∀ U ∈ 𝓤 C(Unit, R), (0, 0) ∈ U
⊢ Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R)) = ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)
⊢ ∀ (a : R), (C a).natDegree = 0 ∨ M (C a)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
n : ℕ
hn : Even n
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ n ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ LinearMap.ker f
x : M
⊢ (p.liftQ f h) (Submodule.Quotient.mk x) = f x
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x.swap ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x ∈ n.divisorsAntidiagonal
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T, M ⊨ φ
h' : ∀ φ ∈ T', M ⊨ φ
⊢ ∀ (φ : L.Sentence), φ ∈ T ∨ φ ∈ T' → M ⊨ φ
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)
⊢ ↑x ⊔ ↑y ≤ f (↑x ⊔ ↑y)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ HasDerivAt (fun x => |x| ^ p) (p * |x| ^ (p - 2) * x) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
hG : G.Preconnected
⊢ G'.Preconnected
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
⊢ stdSimplex R ι ⊆ (convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0)
a b : ℤ
⊢ (Finset.Ioc a b).card = (b - a).toNat
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
this : Finite ↑s
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
M : Turing.TM0.Machine Γ Λ
S : Set Λ
ss : Turing.TM0.Supports M S
c c' : Turing.TM0.Cfg Γ Λ
⊢ c' ∈ Turing.TM0.step M c → c.q ∈ S → c'.q ∈ S
G : Type u_1
InvolutiveNeg G
a : G
⊢ - -a = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
X : D
⊢ (e.changeInverse iso).counitIso.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.counitIso.inv.app X) (e.functor.map (iso.hom.app X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : C
a : (CategoryTheory.Subobject (Opposite.op X))ᵒᵈ
⊢ (RelIso.symm (CategoryTheory.Abelian.subobjectIsoSubobjectOp X)) a =
  CategoryTheory.Subobject.lift (fun A f x => CategoryTheory.Subobject.mk (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f.unop)) ⋯ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
Finite ι
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
i j : CategoryTheory.Discrete ι
e : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj j))
  (c.ι.app i) (c.ι.app j)
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ I ⊆ ⋃₀ Is
m n : ℕ
hm : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
⊢ a.cast.cast = a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℕ
s : Set β
hs : IsOpen s
hs0 : 0 ∈ s
x : α
hx : x ∈ (fun a => k a ^ (z + 1) * f a) ⁻¹' s
⊢ x ∈ (fun a => k a ^ z * (k * f) a) ⁻¹' s
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u_1
AddMonoid γ
f g : (DirectSum ι fun i => β i) →+ γ
H : ∀ (i : ι), f.comp (DirectSum.of β i) = g.comp (DirectSum.of β i)
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
⊢ ↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩ then (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).pred ⋯ else (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯) = j
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
⊢ EqOn f g S ∨ EqOn f (-g) S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ ∃ r, (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
n : ℕ
⊢ eval 1 (bernoulli n) = bernoulli' n
n : ℤ
m : ℕ
⊢ m < n.toNat ↔ ↑m < n
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
g : G
U : Opens G
⊢ μ.innerContent ((Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
⊢ ℵ₀ ≤ (succ o).cof ↔ (succ o).IsLimit
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
TopologicalSpace α
h : OrderTopology α
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (Set.range f).OrdConnected
⊢ Embedding f
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
g : Y → X
hf : LocallyFinite f
hg : Continuous g
⊢ LocallyFinite fun x => g ⁻¹' f x
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ sin x < x
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ IsGLB (upperBounds s) a ↔ IsLUB s a
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : M ≃ₗ[R] M
n : ℕ
m : M
⊢ (e ^ n) m = (⇑e)^[n] m
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : T.obj₂ ⟶ X
hf : T.mor₁ ≫ f = 0
g : T.obj₃ ⟶ (mk 0 (𝟙 X) 0).obj₃
hg₁ : T.mor₂ ≫ g = f ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₂
right✝ : T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map 0 = g ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₃
⊢ ∃ g, f = T.mor₂ ≫ g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R
⊢ (v.sum fun i vi => b.repr.symm (Finsupp.single i vi)) = (Finsupp.total ι M R ⇑b) v
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (nhdsWithin x₀ S).HasBasis p₁ s₁
hα : (uniformity α).HasBasis p₂ s₂
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'
⊢ ↑n ≤ f.rank ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
⊢ ((e.restr s).trans e').source = ((e.trans e').restr s).source
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x ⊗ₜ[R] y)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → X → E
hf : ∀ i ∈ s, LocallyIntegrable (f i) μ
⊢ LocallyIntegrable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
r : R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.C r ∣ φ ↔ ∀ (i : σ →₀ ℕ), r ∣ MvPolynomial.coeff i φ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsReduced X
U : X.Opens
⊢ IsReduced ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
α : Type u
l✝ l' l : List α
n : ℕ
h : n < l.cyclicPermutations.length
⊢ l.cyclicPermutations[n] = l.rotate n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
h : E → R
z : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 h z
hz : h z ≠ 0
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) z
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
⊢ (fun r => { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) ((fun f => ⟨f sqrtd, ⋯⟩) f) = f
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
⊢ IsCoatomic α ↔ ∀ (x : α), IsCoatomic ↑(Set.Ici x)
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q a : R[X]
⊢ a.toFinsupp = 1 ↔ a = 1
α : Type u_1
SubNegMonoid α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (x - y) = -AddOpposite.unop y + AddOpposite.unop x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (𝓓 a 𝒜).shatterer ⊆ 𝒜.shatterer
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
h : Set α → Set β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hf : f.HasBasis p s
hh : Monotone h
⊢ (f.lift' h).HasBasis p (h ∘ s)
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
CompactSpace α
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 β) fun V => {fg | ∀ (x : α), (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V}
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
r r' : X
s s' : ↥S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' =
  (OreLocalization.oreDenom (↑s) s' • r + OreLocalization.oreNum (↑s) s' • r') /ₒ (OreLocalization.oreDenom (↑s) s' * s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₁ = φ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
a : USize
⊢ sizeOf a = a.toNat + 2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑(-g) ⁻¹' {y}) < ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ IsGLB (↑s) i ↔ IsLeast (↑s) i
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s t : Set α
f : α → M
⊢ (symmDiff s t).mulIndicator f = (s \ t).mulIndicator f * (t \ s).mulIndicator f
S : Type u
Semiring S
⊢ Polynomial.eval 0 (ascPochhammer S 0) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x : M
y : F
⊢ (f (-x)) y = -(f x) y
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto c (𝓝[Ioo a b] a) (𝓝[>] a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
Add α
Monoid γ
AddGroup β
DistribMulAction γ β
h : Function.Antiperiodic f c
a : γ
⊢ Function.Antiperiodic (a • f) c
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f = (λ_ Y).hom ≫ f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n.succ =
  MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s
    (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
α : Type u_2
Sub α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s - t₁ ⊆ s - t₂
a b : ℝ
c : ℂ
hc : c ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.exp (c * ↑x) = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β →. σ
ho : Computable o
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)
a : α
⊢ (Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)) = Option.casesOn (o a) (Part.some (f a)) (g a)
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (p - 1) = 1
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
h₂ : P (Nat.find h₁)
⊢ n < Nat.find h₁
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 0
hy : y % 2 = 0
⊢ x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1 ∨ x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
a : Aˣ
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x⁻¹) '' spectrum R ↑a)) _auto✝
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f x⁻¹) ↑a = cfc f ↑a⁻¹
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
⊢ μ.restrict (⋃₀ S) = ν.restrict (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, μ.restrict s = ν.restrict s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 (C * 0))
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r', dist (f (x + x_1)) (p.partialSum n x_1) < ε
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (p + a) b = p + toIocMod hp a b
X : Type u
_G : AddZeroClass X
⊢ EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => x + x_1) 0
X : Pointed
⊢ (pointedToTwoPSnd.obj X).X = Option X.X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
p : ℝ
hf : Differentiable ℝ f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ Differentiable ℝ fun x => f x ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
⊢ (LTSeries.longestOf α).length = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul M α
SMul β α
SMulCommClass M β α
g : N → M
⊢ SMulCommClass N β α
a b c : ℤ
⊢ a + b ≤ c ↔ a ≤ c - b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ∀ (v : E), ⟪v, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪v, -x⟫_ℝ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
hn : n < l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - n < l.length
⊢ l.nthLe (l.length - 1 - n) hn' = l.reverse.nthLe n hn
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S.FG
⊢ (map S.val ⊤).FG
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.SeparatingLeft ↔ LinearMap.ker B = ⊥
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ l.bind (List.ret ∘ f) = List.map f l
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hl : (Polynomial.monomial n) s ∈ Polynomial.lifts f
⊢ ∃ q, Polynomial.map f q = (Polynomial.monomial n) s ∧ q.degree = ((Polynomial.monomial n) s).degree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val