ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
h : ker (f.domRestrict S) = ⊥
⊢ S ⊓ ker f ≤ ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
a : α
s : Multiset ι
f : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f i * a) s).sum = (Multiset.map f s).sum * a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)
m k : ℕ+
⊢ ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ LowerSet.Iic a ≠ LowerSet.Iic b ↔ a ≠ b
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR ≤ SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR ↔
  (∀ (i : xl), (xL i).LF (SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR)) ∧ ∀ (j : yr), (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR).LF (yR j)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s
⊢ MonovaryOn (f₁ / f₂) g s
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeInf α
Preorder β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atTop ↔ ∀ (b : β), ∃ i, ∀ a ≤ i, b ≤ f a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
heq : (fun f => f.comp (algebraMap F E)) f = (fun f => f.comp (algebraMap F E)) g
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
⊢ f x = g x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_4
V₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₂
self : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ Continuous (↑self).toFun
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
x : P₂
⊢ e (e.symm x) = x
α : Type u_3
DivisionSemiring α
a : α
q : ℚ≥0
⊢ Commute a ↑q
α : Type u_6
β : Type u_7
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α →ᵈ β
h : ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y
⊢ Dilation.mkOfDistEq (⇑f) h = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)
⊢ ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n✝ : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup L
inst✝¹³ : Module R L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : Fintype ιM
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι'
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
x : L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).fst = b.π CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ
⊢ (image g s).gcd f = s.gcd (f ∘ g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
SMul 𝕜 β
f : F → β
g : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
⊢ ConvexOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
x y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
⊢ x ^ y < x ^ z ↔ z < y
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop (𝓝 0) ↔ P.degree < Q.degree
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
h✝ : x✝ ∈ ↑S
⊢ (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
⊢ AnalyticSet (range fun x => f ↑x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.MonoidalClosed.internalHom.map f = CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f.unop
α : Type u_1
a : α
⊢ (Sym2.diag a).IsDiag
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a < b ∧ grade 𝕆 a ⋖ grade 𝕆 b
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict ∅) m = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G' : Type u_8
Monoid G'
TopologicalSpace G'
ChartedSpace H G'
SmoothMul I G'
g' : G'
⊢ (smoothLeftMul I g') 1 = g'
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ∃ q, q ≠ 0 ∧ x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ ⊥.Realize v xs ↔ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
x : α
hx : x ∈ carrier
y : α
hy : y ∈ carrier
⊢ x ⊔ y = sSup {x, y}
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x
H : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x := fun x hx => h x (Ioc_subset_Icc_self hx)
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
h₁ : ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s' μ
h₂ : ProbabilityTheory.IndepSets s₂ s' μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (s₁ ∪ s₂) s' μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
h₁ : e.toBasis.orientation = o
⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
ExpChar F q
x : E
⊢ x ∈ perfectClosure F E ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
S : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} S
F : CategoryTheory.Functor S T
X : T
f : (Y : S) → X ⟶ F.obj Y
h : ∀ {Y Z : S} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f Y) (F.map g) = f Z
Y : S
⊢ ((F.toUnder X f h).obj Y).right = F.obj Y
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ projectiveSeminormAux (p + q) ≤ projectiveSeminormAux p + projectiveSeminormAux q
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)
i : ℤ
hi : (fun x => a ^ x) i = ↑b
⊢ ↑b ^ orderOf a = 1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a = 0 ∧ y.coeff a = 0
⊢ x.coeff a + y.coeff a = 0
N : ℕ
hn : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
⊢ (LSeries.abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) = 1
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30188
s✝ t s : Finset α
⊢ s.powerset = (range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => powersetCard i s) ⋯
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
S : Set L
x✝ : PT L
⊢ x✝ ∈ { toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) ↔ x✝ ∈ sSup ({ toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r ε : ℝ
L : F
x y z : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)
hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
⊢ ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (ρ_ (𝟙_ C)).hom
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
⊢ ↑k ≠ 0
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
g : (a : α) → a ∈ s → α
⊢ (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a + f (g a ha) = 0) →
  (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 0 → g a ha ≠ a) →
    ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∑ x ∈ s, f x = 0
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (J ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C)
  (a :
    (CategoryTheory.yoneda ⋙
          (CategoryTheory.whiskeringLeft Jᵒᵖ Cᵒᵖ (Type v)).obj (Opposite.unop X).op ⋙ CategoryTheory.Limits.lim).obj
      X_1)
  (j : J),
  (((CategoryTheory.Limits.opHomCompWhiskeringLimYonedaIsoCocones J C).hom.app X).app X_1 a).app j =
    CategoryTheory.Limits.limit.π ((Opposite.unop X).op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X_1) (Opposite.op j) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a₁✝ g : α → β
h : graph a₁✝ = graph g
x : α
h2 : graph a₁✝ x (g x) = graph g x (g x)
⊢ a₁✝ x = g x
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter Sym2.IsDiag (Finset.image Sym2.mk (s ×ˢ s)) = Finset.image Sym2.mk s.diag
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ t.eta.inv.hom = 𝟙 t.pt
α₁ : Sort u_1
α₂ : Sort u_2
β₁ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
p : α₁ → β₁ → Prop
q : α₂ → β₂ → Prop
eα : α₁ ≃ α₂
eβ : β₁ ≃ β₂
h : ∀ {x : α₁} {y : β₁}, p x y ↔ q (eα x) (eβ y)
⊢ (∀ (x : α₁) (y : β₁), p x y) ↔ ∀ (x : α₂) (y : β₂), q x y
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
φ : C(↑(spectrum R a), R) →⋆ₐ[R] A
hφ₁ : Continuous ⇑φ
hφ₂ : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
⊢ cfcHom ha = φ
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : r₁ ≤ 1
h₂ : r₂ ≤ 1
⊢ log b r₁ ≤ log b r₂
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ Submodule.comap f q
⊢ (p.mapQ q f h).comp p.mkQ = q.mkQ.comp f
R : Type u_1
CommRing R
d : DualNumber (Quaternion R)
⊢ TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv.symm d).imI = (TrivSqZeroExt.fst d).imI
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Add R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
U V : R
hU : ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≥ U
hV : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≥ V
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, u a + v a ≥ U + V
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α
h : f x ≤ f y
⊢ x ≤ y
R : Type u_1
Field R
StarRing R
x : ↥(selfAdjoint R)
z : ℤ
⊢ ↑(x ^ z) = ↑x ^ z
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
f g : α → M
h : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
⊢ (Function.support f).indicator (f + g) = f
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, n ≤ (Finset.filter (fun x => a ∈ x) B).card
⊢ s.card * n ≤ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
⊢ ⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
x : PartENat
n : ℕ
h : x < ↑n + 1
⊢ x ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
x : α
x✝ : x ∈ s
⊢ Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x)) ↔ ∀ t ∈ T, f x ∈ t → f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ a1 : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ ap : 0 < ↑e
⊢ False
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
⊢ (x * (HahnSeries.single b) r).coeff (a + b) = x.coeff a * r
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Nontrivial ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ χ.IsZero ↔ χ = 0
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
hs : IsGreatest s a
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ s = {a}
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial S₂ R), (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) → (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q) → (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P : D → Prop
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : ∀ (X : C), P (F.obj X)
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.FullSubcategory.lift P F hF).map f = F.map f
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
l : List α
s : Stream' α
⊢ corec (fun x => match x with | (a, snd) => a) (fun p => match p with | (l', s') => (l' ++ [s'.head], s'.tail)) (l, s) = l :: corec (fun x => match x with | (a, snd) => a) (fun p => match p with | (l', s') => (l' ++ [s'.head], s'.tail)) (l ++ [s.head], s.tail)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.comap f (MeasureTheory.Measure.map f μ) = μ
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : last N ≤ i
⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊-a⌋ = -⌈a⌉
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : s₁ = s₂
⊢ (∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₂.prod f = s₂.prod g
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A ≃ₐc[R] B
⊢ f.toCoalgEquiv = ↑f
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ spectrum S a
⊢ f s ∈ spectrum R a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p => p.1 • p.2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s₁ s₂ : AddSubsemigroup M
t₁ t₂ : AddSubsemigroup N
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field L
ζ✝ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsDomain A
ζ : A
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K A
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
⊢ minpoly K (ζ - 1) = (cyclotomic (↑n) K).comp (X + 1)
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
G : Type u_1
Group G
IsKleinFour G
x : G
⊢ x⁻¹ = x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
α : Type u_12
l : Filter α
l.NeBot
f : E' → F
g : α → E' →SL[σ₁₂] F
hf : Filter.Tendsto (fun a x => (g a) x) l (𝓝 f)
hg : Bornology.IsBounded (Set.range g)
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.ofTendstoOfBoundedRange f g hf hg) = f
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
⊢ (∃ s, x ∈ I.splitCenterBox s) ↔ x ∈ I
f : ℕ → NNReal
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } '' ↑t ×ˢ ↑s = ↑s ×ˢ ↑t
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
b : Dual K (V₁ ⧸ W')
a' : ↥(dualAnnihilator W)
⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', b))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.rightHomologyData.p = S.g
n : Nat
i : Nat
x : BitVec n
⊢ (BitVec.zeroExtend i x).toNat = x.toNat % 2 ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂ρ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s f : R
g : ↥(Submonoid.powers s)
⊢ const R f 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯ = const R (↑g) 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯ * const R f (↑g) (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ Function.Injective ⇑e
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
i : ι
⊢ Function.support ⇑(fs.toSmoothPartitionOfUnity i) ⊆ Function.support ↑(fs.toFun i)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
⊢ AEMeasurable g ν
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
w : c.Rel (c.prev j) j
⊢ f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f (c.prev j) ≫ (C₂.xPrevIso w).inv
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.truncateFun n (x + y) = WittVector.truncateFun n x + WittVector.truncateFun n y
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y
⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j
α : Type u_1
Primcodable α
f : α → ℕ
h₁ : Primrec.PrimrecBounded f
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
⊢ Primrec f
α : Type u
Infinite α
n : ℕ
⊢ ∃ s, s.card = n
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).degree = ↑n