ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G
⊢ (iso G f).inv = cokernelComparison f G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ (c +ᵥ s) = μ s
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp : IntFractPair K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp
g : GenContFract K := of v
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
g_finite_correctness : v = GenContFract.compExactValue pred_conts conts ifp.fr
⊢ let g := of v; let B := (g.contsAux (n + 1)).b; let pB := (g.contsAux n).b; v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : ↥(lp E p)
⊢ ↑(f - g) = ↑f - ↑g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
r : R
⊢ (lineMap x z) r ∈ affineSpan R {x, z}
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f g : α → M
hf : BddBelow (Set.range f)
hg : BddBelow (Set.range g)
⊢ BddBelow (Set.range fun x => f x + g x)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s
h : ∀ (n : ℕ), IsNowhereDense (K n)
⊢ IsMeagre s
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a : A
s : ↥S
⊢ ∃ a_1 s_1, ∃ (hs : s_1 ∈ S), (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a s) = IsLocalization.mk' K a_1 ⟨s_1, ⋯⟩
α : Type u
p : α → Bool
⊢ List.find? p List.nil = none
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
b : B
x : F
hx : b ∈ e.baseSet
⊢ proj (↑e.symm (b, x)) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α
⊢ (Language.map f) R.matches' + (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.matches' + S.matches')
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG✝ : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3
h : ∀ G' ≤ G, ∀ (x : DecidableRel G'.Adj), ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) → ¬G'.CliqueFree 3
G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G'.Adj
hG : G' ≤ G
hG' : G'.CliqueFree 3
⊢ ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
⊢ ‖↑x‖ = |x|
G : Type u
self : SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ a + b = 0 → -a = b
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG
g : ↑t
⊢ (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) (ker f)).FG
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
s : Set α
⊢ s • 0 ⊆ 0
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
⊢ m.divisors ⊆ n.properDivisors
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Invertible 2
p : ι → P
i₁ i₂ : ι
⊢ Finset.centroid k {i₁, i₂} p = 2⁻¹ • (p i₂ -ᵥ p i₁) +ᵥ p i₁
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
this : (↑A).det = 1
⊢ ↑A 0 0 * ↑A 1 1 - ↑A 0 1 * ↑A 1 0 = 1
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
⊢ ∫ (x : E), -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t)) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.prod volume
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
f : α → β → γ
el : l ≃ l'
em : m ≃ m'
en : n ≃ n'
ep : p ≃ p'
M : Matrix l m α
N : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f ((Matrix.reindex el em) M) ((Matrix.reindex en ep) N) =
  (Matrix.reindex (el.prodCongr en) (em.prodCongr ep)) (Matrix.kroneckerMap f M N)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ MeasurableSet {a | (p a → q a) ∧ (q a → p a)}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ t * s ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.gammaCDFReal a r) x = (∫⁻ (x : ℝ) in Set.Iic x, ProbabilityTheory.gammaPDF a r x).toReal
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) + (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) = 2 • p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : ∑ a ∈ s, 1 < t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1 < b
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup.dedup = l.dedup
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
MulOneClass H
f : Additive G ≃+ Additive H
a : G
⊢ (MulEquiv.toAdditive.symm f) a = (MonoidHom.toAdditive.symm f.toAddMonoidHom) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : ε ≤ f x
⊢ ε ≤ |f x|
A : Type u_4
AddZeroClass A
S : AddSubmonoid A
⊢ ↑(AddSubmonoid.toSubmonoid S) = ⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' ↑S
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasurableAdd G
H : Type u_4
MeasurableSpace H
Add H
MeasurableAdd H
μ.IsAddLeftInvariant
f : AddHom G H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).IsAddLeftInvariant
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) h₁ h₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ₁ h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ₂ h₂ h₃)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.RespectsIso
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ P f ↔ P g
x y : ℂ
⊢ (exp' 0).lim = 1
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
n : μ
hn : n ≠ 0
⊢ ∅.finsuppAntidiag n = ∅
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
⊢ HasSum (fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) (b.repr.symm f)
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ -a = b ↔ a + b = 0
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ ∅, f x ≠ 0
⊢ log (∏ i ∈ ∅, f i) = ∑ i ∈ ∅, log (f i)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x
⊢ |x| = x
x : ℝ
⊢ deriv (fun x => √x * log x) x = (2 + log x) / (2 * √x)
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : Array α
h : a ∈ Array.filter p l 0
⊢ a ∈ l
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ (idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf) = idealFactorsFunOfQuotHom ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformLeft e x).1.card + (Finset.addETransformLeft e x).2.card +
    ((Finset.addETransformRight e x).1.card + (Finset.addETransformRight e x).2.card) =
  x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
v : E b
⊢ (Trivialization.linearEquivAt R e b hb) v = (↑e { proj := b, snd := v }).2
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
OrderBot ι
InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
⊢ MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N 0 = MeasureTheory.hitting f (Set.Iic a) ⊥ N
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
g : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Integrable g μ
hgtends : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) 1 μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
ht : Tendsto (fun m => eLpNorm (μ[f m - g|↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
hev : ∀ m ≥ n, eLpNorm (μ[f m - g|↑ℱ n]) 1 μ = eLpNorm (f n - μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
⊢ eLpNorm (f n - μ[g|↑ℱ n]) 1 μ = 0
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ p.sqrt → ¬m ∣ p
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N
⊢ n ≤ k
α : Type u
C : (s : Set α) → s.Finite → Prop
s : Set α
h : s.Finite
H0 : C ∅ ⋯
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → ∀ (h : s.Finite), C s h → C (insert a s) ⋯
⊢ C s h
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
ha : ContinuousAt f a
hb : ContinuousAt f b
⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x)
  ((ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight (f b) - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight (f a)) (a, b)
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
this : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2
⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) ((fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y) y) = y
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L
⊢ f x ∈ f.range
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqr : ¬q + r = 0
⊢ ↑p ^ (-padicValRat p (q + r)) ≤ ↑p ^ (-padicValRat p q)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
⊢ ↑((SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤
  ↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).card * (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
⊢ ((diagonal fun x => 1).map fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
⊢ ContMDiffAt I J n f x
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Over X
f g : U ⟶ V
h : f.left = g.left
⊢ f = g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
⊢ (b.reindexFinsetRange.repr (b i)) ⟨bi, hbi⟩ = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set V
⊢ G'.induce s' ≤ G'.induce (s ∪ s')
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
⊢ MeasurableSet (s \ u)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a
⊢ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop n a)) ⊆ FP a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r + s) - (nthHomSeq f_compat r + nthHomSeq f_compat s)) j) < ε
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
l' : List ℕ := List.map Coe.coe l
⊢ ↑(List.map Coe.coe l).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (Opposite.op PUnit.{u + 1})
⊢ CategoryTheory.eval S α (CategoryTheory.typesGlue S hs α f) = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢￢(a ⊔ b) ≤ ￢￢a ⊔ ￢￢b
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hmn : m ≤ m + k
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R)
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X✝ Y✝ : CommMon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝² x✝¹ : Discrete PUnit.{u + 1}
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
⊢ 𝟙 X✝.X ≫ f.hom = f.hom ≫ 𝟙 Y✝.X
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i
this : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
⊢ T.card = (B + 1) ^ n
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : X → M
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => n • f x) s
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ : Submonoid M
S₂ : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ S₁.op ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.unop
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
⊢ IsAtom a
α : Sort u_1
β : α → Sort u_4
f₁ f₂ : (a : α) → β a
⊢ f₁ ≠ f₂ ↔ ∃ a, f₁ a ≠ f₂ a
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hxy : x < y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z
R : Type u_2
StrictOrderedRing R
Archimedean R
⊢ Filter.comap Int.cast Filter.atTop = Filter.atTop
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q + x) ↔ Irrational x
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
CommMonoid α
e : ι → κ
he : Function.Bijective e
f : ι → α
g : κ → α
h : ∀ (x : ι), f x = g (e x)
⊢ ∏ x : ι, f x = ∏ x : κ, g x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
⊢ h.coeff z i = (h.basis.repr z) ⟨i, hi⟩
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (∏ x ∈ Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Ici a, f x
k : ℕ
⊢ Real.Wallis.W k ≤ π / 2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ T1Space E → ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : l = Finsupp.single i 1
⊢ ∃ a, f a = i
α : Type u_1
t₁ t₂ : List α
l : List α
⊢ t₁ ~ t₂ → l ++ t₁ ~ l ++ t₂
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ μ = map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
this : ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L' ↥(adjoin (↥L') S)) = f'
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F L ↥(adjoin L S)) = f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl
⊢ x ∈ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑f.den
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → IsIntegral F (α ^ n) → IsIntegral F α
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
Nonempty ι
f : ι → α
H : IsLUB (Set.range f) a
⊢ ⨆ i, f i = a