ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Profinite.NobelingProof.Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
⊢ (c.sum fun a_1 b =>
    Profinite.NobelingProof.e (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) a *
      b • Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) a_1) ∈
  Submodule.span ℤ
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
m n : ℤ
⊢ (a ^ m).y < (a ^ n).y ↔ m < n
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
f : α →+ H
a b : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f b})
⊢ ↑((f.fiberEquiv a b).symm g) = a + (-b + ↑g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖x‖
α : Type u_1
LE α
a : α
b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.toDual a ≤ b ↔ OrderDual.ofDual b ≤ a
R : Type u_1
MonoidWithZero R
k : ℕ
hk : 1 < k
⊢ IsReduced R ↔ ∀ (x : R), x ^ k = 0 → x = 0
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, c * u k ≤ u (k + 1)
⊢ c ^ n * u 0 ≤ u n
R✝ : Type u_1
inst✝² : Mul R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : ExistsAddOfLE R
S : R
pS : isSumSq S
⊢ 0 ≤ S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
⊢ Nonempty (X ≃ₕ Y)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
L.IsAlgebraic
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ⇑(FirstOrder.Language.Embedding.ofInjective hf) = ⇑f
P : Type u_1
Preorder P
x y : P
⊢ x ∈ Order.Ideal.principal y ↔ x ≤ y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Function.Bijective ⇑h
K : Type u
inst✝ : CommRing K
P : Sort v
n : K[X]
d : ↥K[X]⁰
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
⊢ { toFractionRing := Localization.mk n d }.liftOn f H = f n ↑d
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ S = {a | IsAtom a}
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A⁻¹⁻¹⁻¹ = A⁻¹
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation φ
f : M ⟶ N
X✝ Y✝ : Dᵒᵖ
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : ↑(R.obj X✝)
⊢ (fun {X} => (Hom.app f X).toAddMonoidHom.comp d.d) ((R.map x✝¹) x✝) = (N.map x✝¹) ((fun {X} => (Hom.app f X).toAddMonoidHom.comp d.d) x✝)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
s : Finset ℕ
m n p✝ p : ℕ
hn : Squarefree 0
⊢ (factorization 0) p ≤ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
ht : IsOpen t
⊢ frontier (s ∩ t) ∩ t = frontier s ∩ t
α : Type u_1
i : Nat
a : Array α
h : i < a.size
⊢ a[i] = a.data.get ⟨i, h⟩
m n k : Nat
H : m.Coprime (n * k)
⊢ m.Coprime n
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
⊢ xn a1 m < xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).f ≫ β.s = (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
n : ℕ
⊢ n ≡ (Nat.digits 10 n).sum [MOD 3]
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ ((limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom) ≫ limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.hom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ.φH h₂.homologyIso.inv)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)
this : Mono (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
⊢ F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs✝ : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
r : Set ↑s
hr : r.Countable
hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i
⊢ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
x : G'
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 G x‖ = ‖x‖
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
⊢ eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f p
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t).card ≤ s.card * t.card
α : Type u
s : Set α
x : α
h : x ∈ sᶜ
⊢ x ∉ s
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ a ∈ v.toList ↔ ∃ i, v.get i = a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hM : M.E = E
⊢ (M.restrictSubtype E)✶ = M✶.restrictSubtype E
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
⊢ (∏ x ∈ s, f (Embedding.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Embedding.inr x) = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝ : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
S : J.Cover X
⊢ IsIso (S.toMultiequalizer P) → Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddMonoid α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ Function.Periodic f (2 • c)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
⊢ sx.circumcenter = c
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
x : V
hx₁ : ¬B.IsOrtho x x
⊢ x ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
CommRing L
Nontrivial L
Algebra R L
Algebra S L
Algebra K L
IsScalarTower R K L
IsScalarTower R S L
IsIntegrallyClosed R
IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ minpoly K ((algebraMap S L) s) = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
m n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hmn : m ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕜 m f x
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f g : M₁ →L[R₁] M₁
x : M₁
⊢ (f * g) x = f (g x)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.rightHomologyIso.inv ≫ rightHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.rightHomologyIso.inv
n p : ℕ
⊢ eval (↑n) (bernoulli p.succ) = _root_.bernoulli p.succ + (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R), (∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0) → p = 0
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => True) fun γ => {x | v x < ↑γ}
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ⊆ ↑(range ((mk R S M) 1))
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
V : α → Set Y
hVo : ∀ (i : α), IsOpen (V i)
heV : range e ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : α), V i ⊆ U i
⊢ ⋃ b, (fun a => e ⁻¹' V a) b = univ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.next hs x hx ∈ s
M : Type u_1
Add M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(AddSubsemigroup.closure s)
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
K : ℝ≥0
K_pos : K > 0
H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀
this : ∀ᶠ (φ : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, ‖φ - φ₀‖₊ < K⁻¹
φ : E →L[𝕜] F
hφ : ‖φ - φ₀‖₊ < K⁻¹
⊢ Injective ⇑φ
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }
⊢ eqToHom ⋯ ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = ι f (ε b)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
x : α
⊢ ↑(SignType.sign x) * x = |x|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (extChartAt I x).target
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 M
⊢ range f < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
x : αs i
⊢ (comapDomain (Sigma.mk i) l ⋯) x = l ⟨i, x⟩
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
r s : R
x y : (i : ι) → A i
⊢ r • (tprod R) x * s • (tprod R) y = (r * s) • (tprod R) (x * y)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
hS : Algebra.adjoin F S = ⊤
⊢ IntermediateField.adjoin F S = ⊤
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
self : CategoryTheory.Bicategory.HasAbsLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ c * b
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
CategoryTheory.Category.{v₇, u₇} X
CategoryTheory.Category.{v₈, u₈} Y
CategoryTheory.Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : CategoryTheory.Functor A D
H₁ : CategoryTheory.Functor B E
K₁ : CategoryTheory.Functor C F
G₂ : CategoryTheory.Functor D X
H₂ : CategoryTheory.Functor E Y
K₂ : CategoryTheory.Functor F Z
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
R₂ : CategoryTheory.Functor C B
R₃ : CategoryTheory.Functor E D
R₄ : CategoryTheory.Functor F E
R₅ : CategoryTheory.Functor Y X
R₆ : CategoryTheory.Functor Z Y
α : R₁.comp G₁ ⟶ H₁.comp R₃
β : R₂.comp H₁ ⟶ K₁.comp R₄
γ : R₃.comp G₂ ⟶ H₂.comp R₅
δ : R₄.comp H₂ ⟶ K₂.comp R₆
⊢ CategoryTheory.rightAdjointSquare.comp α β γ δ =
  CategoryTheory.rightAdjointSquare.hcomp (CategoryTheory.rightAdjointSquare.vcomp α γ)
    (CategoryTheory.rightAdjointSquare.vcomp β δ)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ round 1 = 1
α : Type u_1
Mul α
s : Set α
x : α
a : α
hxS : x ∈ s
⊢ a * x ∈ a • s
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
ha₀ : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a - b < a
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
m : ℕ
n : ℕ∞
⊢ ↑m < ↑n ↔ ↑m < n
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.cons s.head s.tail = s
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
hkp : k < p
⊢ p ∣ p.choose k
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball (0 + 0) (r / 2 + r / 2) ⊆ U
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop
⊢ Exists P ↔ ∃ x, P x
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ i.castSucc = SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ i.succ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
n : ℤ
X : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
i : ℤ
⊢ ((F.mapCochainComplexShiftIso n).inv.app X).f i = 𝟙 (F.obj (X.X (i + n)))
Z : Type u_1
N : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace R
d : N → ℝ
j : Z → N → R
f : R → R
α : R
ε M : ℝ
d0 : ∀ (a : N), 1 ≤ d a
e0 : 0 < ε
B : ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ closedBall α ε → dist (f α) (f y) ≤ dist α y * M
L : ∀ ⦃z : Z⦄ ⦃a : N⦄, j z a ∈ closedBall α ε → 1 ≤ d a * dist (f α) (f (j z a))
me0 : 0 < max (1 / ε) M
⊢ ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (z : Z) (a : N), 1 ≤ d a * (dist α (j z a) * A)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ pb.minpolyGen.degree = ↑pb.dim
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ fun x => -x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
k : 𝕜
⊢ ↑(k • X) = k • ↑X
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
r' : R₂ ⟶ R₃
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightComp L r r').hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ (Matrix.vecCons a fun x => a) = fun x => a
α : Type u
l : List α
p q : α → Bool
h : ∀ (a : α), p a = true → q a = true
⊢ (List.filter p l).Sublist (List.filter q l)
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x : FreeCommRing α
⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (-1) = f (-1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.toRatCDF f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ f + g = CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc (𝟙 Y) (𝟙 Y)
N✝ : ℕ
N M : ℤ
hNM : N ∣ M
⊢ ↑M = 0
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
h : IsMaxFilter f l a
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓟 (Set.Iic (f a)))
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C 0).map f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.shiftZero A X).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.shiftZero A Y).inv)
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
⊢ x.swap ∈ s.mulAntidiagonal t a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
NormedLatticeAddCommGroup β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
⊢ multiplicity.Finite p a → multiplicity.Finite p b → multiplicity.Finite p (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ⊕ β → γ
⊢ Set.range f = Set.range (f ∘ Sum.inl) ∪ Set.range (f ∘ Sum.inr)
G : Type u_1
AddGroup G
x y : G
h : y ∈ AddSubgroup.zmultiples x
⊢ addOrderOf y ∣ addOrderOf x
α β : Type u
f : α → β
s : Set α
h : Set.InjOn f s
⊢ Cardinal.mk ↑(f '' s) = Cardinal.mk ↑s
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.counitIso W D).hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ζ : ℂ
n : ℕ
h : ζ ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ ‖ζ‖ = 1
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Subsingleton R
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
c : E
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s.pi t = ∅ ↔ ∃ i, IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, BddBelow (Set.range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousAt (f i) x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x' => ⨅ i, f i x') x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ ((α_ R.X (P.tensorBimod Q).X L.X).inv ≫ (P.tensorBimod Q).actLeft ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)