ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
H : ∀ (a : α), a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂
⊢ l₁ ~ l₂
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
⊢ alternatingGroup α = Equiv.Perm.sign.ker
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
c' : List α
hc' : c' = c
a' : List α
ha' : a' = a
b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
⊢ a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Nat.card (Aut A) ≤ Nat.card ↑(F.obj A)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ (closedBall x a) * (μ (closedBall x a) / μ ({x} + a • u)) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
⊢ s.card ∣ (image₂ f s t).card
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β
⊢ maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ ∅ = s ∩ ∅
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
LinearOrder n
IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
Fintype n
hS : S.PosDef
⊢ LDL.diag hS = LDL.lowerInv hS * S * (LDL.lowerInv hS).conjTranspose
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ - n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ - n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (Function.leftLim f x))
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m : (i : ι) → E i
⊢ [(1, m)] ∈ (⨂ₜ[𝕜] (i : ι), m i).lifts
α : Type u
lt : α → α → Prop
self : IsOrderConnected α lt
a b c : α
⊢ lt a c → lt a b ∨ lt b c
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ f.toFun = ⇑f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x y : α} {zs : List α}, (x :: y :: zs).dropLast = x :: (y :: zs).dropLast
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 1
⊢ Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s✝ t : Set α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β
⊢ d ≤ (f '' s).einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≠ f y → d ≤ edist (f x) (f y)
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ ∀ {x : Invertible b}, a * b * ⅟b = a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
TopologicalSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace E
One E
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Function.mulSupport f) μ
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
⊢ Epi f
a b : UnitAddCircle
z : ℂ
hz : z ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) z
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
⊢ range s ⊆ ⋃ y ∈ s '' {k | k ≤ n}, {x | (x, y) ∈ a}
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
a : α
hsf : s.Finite
hs : 1 < hsf.toFinset.card
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (T⁻¹ • z).re = z.re - 1
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
⊢ map LinearMap.id = AlgHom.id R' (tsze R' M)
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ BddAbove {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
b₀ b : M
hb : b ∈ (trivializationAt E (TangentSpace I) b₀).baseSet
⊢ Trivialization.symmL 𝕜 (trivializationAt E (TangentSpace I) b₀) b =
  (tangentBundleCore I M).coordChange (achart H b₀) (achart H b) b
α : Type u_1
a : α
z : Sym2 α
ha : a ∈ z
hb : Sym2.Mem.other ha ∈ z
⊢ Sym2.Mem.other hb = a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (fourier (-i + j)) x ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure (s ∪ t) = closure s ∪ closure t
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ MapsTo (⇑g) (insert x (⇑g ⁻¹' s)) (insert (g x) s)
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots = p ^ n • f.roots
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
⊢ 0 < Polynomial.eval (-1) (Polynomial.cyclotomic n R)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.functor C).map f = (equivShrink (X ⟶ Y)) f
n : ℕ
a : UInt64
⊢ n • a = { val := n • a.val }
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
f : R → R
a : A
ha : ¬p a
⊢ cfc f a = 0
K : Type u
DivisionRing K
S : Subfield K
s : Set K
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.bind₁ g) ((MvPolynomial.bind₁ f) φ) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.bind₁ g) (f i)) φ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this✝¹ : Nontrivial β
this✝ : NoZeroDivisors α
this : NoZeroDivisors β
⊢ IsDomain β
R : Type u
S : Type v
ι : Type y
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
s : Finset ι
g : ι → R[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (∏ i ∈ s, g i) = ∏ i ∈ s, Polynomial.eval₂ f x (g i)
α : Sort u
b c : Prop
dec_b : Decidable b
dec_c : Decidable c
x : b → α
u : c → α
y : ¬b → α
v : ¬c → α
h_c : b ↔ c
h_t : ∀ (h : c), x ⋯ = u h
h_e : ∀ (h : ¬c), y ⋯ = v h
⊢ dite b x y = dite c u v
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (Q - Q') x = Q x - Q' x
a b c : Int
h : a ≤ c - b
⊢ a + b ≤ c
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
SMul G P
self : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c : P
⊢ a • c ≤ b • c → a ≤ b
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
R : Type u_2
Ring R
S₁ S₂ : Subring R
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L ↑N = N
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.op.f = φ.f.op
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico ↑a ↑b
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
f : α → M
⊢ Set.univ.indicator f = f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀
α : Type u
d : α
n : ℕ
⊢ [d][n]?.getD d = d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').source = ↑e.symm '' (e.target ∩ e'.source)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℤ
⊢ map (fun i => f i ^ n) m = map (⇑(zpowGroupHom n)) (map f m)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
A : Matrix m n α
b : n → α
x✝ : m
⊢ ((a • A) *ᵥ b) x✝ = (a • A *ᵥ b) x✝
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ ∅.shadow = ∅
G : Type u_1
CommMonoid G
tG : Monoid.IsTorsion G
a : G
⊢ tG.torsionMulEquiv.symm a = ⟨↑(Submonoid.topEquiv.symm a), ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
h : Function.Surjective f
⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ 2 ^ (1 / p - 1) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
⊢ SecondCountableTopology α
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
⊢ (fun i => Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i))) = fun i => ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) P.roots).prod.nextCoeff = -P.roots.sum
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p + q).coeff n = p.coeff n + q.coeff n
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
⊢ Quiver.Hom.cast hu hv e = cast ⋯ e
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop
A_meas : MeasurableSet A
E : Set α
hE₁ : MeasurableSet E
hE₂ : E ⊆ A
hE₃ : ↑0 E < ↑s E
k : ℕ
hk₁ : 1 ≤ bdd k
hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E
hA' : A ⊆ i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
⊢ False
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
this : Countable ↑b
T : ↑b → TopologicalSpace α
Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t
Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α
h✝ : ∀ (s : ↑b), IsClosed (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
Topen : ∀ (s : ↑b), IsOpen (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
t' : TopologicalSpace α
t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ (((𝓤 α).lift' gen).lift' fun s => s ○ s) = (𝓤 α).lift' fun s => gen s ○ gen s
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
R : Type u_7
DivisionRing R
v : Valuation R Γ₀
x : R
⊢ v x⁻¹ = (v x)⁻¹
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
x : α
hI : M.Indep I
⊢ x ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert x I) ∨ x ∈ I
α : Type u_1
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
⊢ (s.product t).SupIndep f ↔
  (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
F.IsEquivalence
⊢ (CategoryTheory.monoidalInverse F h).toLaxMonoidalFunctor = CategoryTheory.monoidalAdjoint F h
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ spectrum R (((↑(cfcHom ha)).comp ((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom)) f) ∪ {0} = range ⇑f
Δ Δ' : SimplexCategory
f : Δ ⟶ Δ'
CategoryTheory.Epi f
⊢ (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.mk f).fst = Opposite.op Δ'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
h : a ∈ lowerClosure ↑s
⊢ ((filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ fun x => e x) = (map e.toEmbedding (filter (fun x => a ≤ x) s)).sup' ⋯ fun x => x
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
B : LightProfinite
f g : LightProfinite.finiteCoproduct X ⟶ B
h :
  ∀ (a : α),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a) g
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M
y : M'
f : M → M'
hf : ContinuousOn f s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n
α : Type u_1
LinearOrder α
r : ℕ
⊢ Finset.Colex.IsInitSeg ∅ r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ₁ ψ₂ : S₂ ⟶ S₃
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy ψ₁ ψ₂
⊢ (h.comp h').h₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₃ ψ₁.τ₃ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₂.τ₃ h'.h₃
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
⊢ ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x✝ = f x✝
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ (A.one ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ LieModule.maxTrivSubmodule R L M ↔ ⁅⊤, N⁆ = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
Monoid M
IsScalarTower R M M
SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → ↑(p ^ n) = ↑p ^ n
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
⊢ (M.toMvPolynomial i).totalDegree ≤ 1
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝[s] x, m u = 0
⊢ m s = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct I X
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ (CategoryTheory.Limits.isInitialMul X hI).hom = CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ range toPrimeSpectrum = {x | x.asIdeal.IsMaximal}
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n ∈ ⊥
⊢ m * n ∈ ⊥
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u
l : List α
⊢ List.filter (fun x => true) l = l
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
S : IntermediateField K L
⊢ IntermediateField.comap f (IntermediateField.map f S) = S
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ h.comp (f + g) = h.comp f + h.comp g
α : Type u_1
M : Matroid α
R : Set α
⊢ (M.restrict R).restrict R = M.restrict R
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
⊢ LSeriesSummable f s
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ K * closure {1} = closure K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x
c d : ℝ
hcd : c ≤ d
⊢ (fun t => rexp (-d * t)) =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-c * t)