ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
C : ℝ≥0
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂MeasureTheory.volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a b : A
i : ι
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ι
Decidable (i ≤ n)
a_mem : a ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = if i ≤ n then a * ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) b) (n - i)) else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
x : M
⊢ Function.Surjective ⇑(smoothSheafCommRing.eval IM I M R x)
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : SemiNormedGrp.explicitCokernel f ⟶ Z
he : SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f ≫ e = g
⊢ e = SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ (rightHomologyMap' φ h₁ h₂).op = leftHomologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op
R : Type u
S : Type v
Semiring R
f : S → R[X]
s : Finset S
h : {i | i ∈ s ∧ f i ≠ 0}.Pairwise (Ne on Polynomial.degree ∘ f)
⊢ (s.sum f).degree = s.sup fun i => (f i).degree
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hpq : p.degree ≤ q.degree
hp : p ≠ 0
⊢ p.degree ≠ ⊥
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
Semiring α
Semiring β
Semiring γ
Algebra R α
Algebra R β
Algebra R γ
f : β →ₐ[R] γ
g : α →ₐ[R] β
⊢ f.mapMatrix.comp g.mapMatrix = (f.comp g).mapMatrix
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₃ }).map (((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ }).inv.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
a : δ
DecidableEq δ
x : π a
⊢ Measurable fun x_1 => Function.update x_1 a x
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
⊢ of' k G g * x %ᵒᶠ g = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SequentialSpace X
f : X → Y
⊢ Continuous f ↔ SeqContinuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
i : β → ℝ≥0∞
hi : Measurable i
h'i : i ≤ f
⊢ ∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ (_ : i ∘ g ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), (i ∘ g) a ∂μ
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x
⊢ (∑ k ∈ range (n % p + 1), ∑ k' ∈ range (n / p + 1), X ^ (k + p * k') * ↑((n % p).choose k * (n / p).choose k')).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a c : α
h₁ : ¬r a a
h₂ : r a c
⊢ r a c
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ H.relindex K * K.index = H.index
K : Type u_1
Field K
NumberField K
c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.norm (c • x) = |c| ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K * NumberField.mixedEmbedding.norm x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {γ : Type u_2} {r : α → γ → Prop} {β : Type u_3} {δ : Type u_4} {s : β → δ → Prop} {a : α} {c : γ},
  Sum.LiftRel r s (Sum.inl a) (Sum.inl c) ↔ r a c
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ (μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet = μ.restrict μ.sigmaFiniteSet
⊢ ∀ (x : ℝ),
  Real.neg x =
    match x with
    | { cauchy := a } => { cauchy := -a }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Comonad.comparison h).obj X).a = L.map (h.unit.app X)
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ gcd a c ∣ b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : x ∣ y * z
⊢ x ∣ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
One M'
f : M → M'
hf : ∀ x ∈ mulTSupport f, ContMDiffAt I I' n f x
⊢ ContMDiff I I' n f
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
X₂.HasTensor X₃
X₃.HasTensor X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄
X₂.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor
    X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)).HasTensor
    X₄
X₁.HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄)
X₁.HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄))
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄
X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)
X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₂ X₃ X₄).inv)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) X₄).inv
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ X₃).inv
        (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₄))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator X₁ X₂ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₃ X₄)).inv
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.associator (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).inv
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
h : AddCommute a b
n : ℤ
⊢ n • (a + b) = n • a + n • b
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H = K
x : ↥K
⊢ ↑((AddEquiv.addSubgroupCongr h).symm x) = ↑x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Finset α
⊢ List.Sorted r (Finset.sort r s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ (⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i}))ᗮ
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
m : M
v : Fin n → M
⊢ (ι R) (Matrix.vecCons m v 0) * (ιMulti R n) v = ((LinearMap.mulLeft R ((ι R) m)).compAlternatingMap (ιMulti R n)) v
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
One γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
⊢ (Function.mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) = c • Function.mulSupport f
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
⊢ exp ℝ (log a) = a
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
⊢ Antitone f
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
⊢ IsRat (↑(Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).degree = ↑n.totient
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
x y : ZFSet
h : ↑x = ↑y
z : ZFSet
⊢ ↑x z ↔ ↑y z
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K (V ⧸ s) + FiniteDimensional.finrank K ↥s = FiniteDimensional.finrank K V
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨆ i, s i).toIdeal = ⨆ i, (s i).toIdeal
R : Type u
S : Type v
Field R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (Polynomial.X ^ n).rootSet S = {0}
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this : (L ⋙ F).IsHomological
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
W : C
X Y Z : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ F.map (𝟙 W, f ≫ g) = F.map (𝟙 W, f) ≫ F.map (𝟙 W, g)
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a - c ≤ b
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
hab : a ⩿ b
hcb : c < b
⊢ c ≤ a
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
h : finrank ℚ K = 1
⊢ NrRealPlaces K = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ support R N ⊆ support R M
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
hf : HasDerivAt f 0 (g a)
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝 a] id
hg : DifferentiableAt 𝕜 g a
this : HasDerivAt id (0 * deriv g a) a
⊢ False
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
hs : s ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.prod
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
⊢ IsSeparable (range (deriv f))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
q : ℚ
⊢ 0 ≤ q.num ↔ 0 ≤ q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α
⊢ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) = dist a b
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => cexp (x * I)) ↑π
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph
x : E
⊢ x ∈ f.domain ↔ x ∈ g.domain
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
Module.Free R S
Module.Finite R S
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x✝³ x✝² : α
x✝¹ : ℤ
x✝ : ℕ
h : IsRat (x✝³ * x✝²⁻¹) x✝¹ x✝
⊢ IsRat (x✝³ / x✝²) x✝¹ x✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
x : X
⊢ Filter.map (⇑h) (𝓝[≠] x) = 𝓝[≠] h x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ι → κ
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 0
⊢ ∑ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∑ x ∈ s, g x
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ A₃ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝² : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝¹ : Mono g
h : A₃ ⟶ B
inst✝ : Mono h
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ mk h
⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso h).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso h).hom
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.offDiag.Finite
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D
⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom.app x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ a ∈ (HasStrictFDerivAt.toPartialHomeomorph f hf).source
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ ⇑f.contLinear = ⇑f.linear
M : Type u_1
Mul M
⊢ ↑⊥ = ∅
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in cocardinal α hreg, p x) ↔ c ≤ #↑{x | p x}
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f x - g x) a = cfcₙ f a - cfcₙ g a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
n : ℤ
X : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
i : ℤ
⊢ ((F.mapCochainComplexShiftIso n).hom.app X).f i = 𝟙 (F.obj (X.X (i + n)))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E → E →L[𝕜] F
⊢ Continuous x✝ ↔ ContDiff 𝕜 (↑Nat.zero) x✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I : Set (ι × α)
a✝ : ι
⊢ Prod.mk a✝ ⁻¹' I = Sigma.mk a✝ ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ ker f ≤ ker (g.comp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] β
_f : α → β
hfm : AEStronglyMeasurable _f μ
hfi : (mk _f hfm).Integrable
⊢ MeasureTheory.Integrable ((fun x => c • x) ∘ ↑⟨_f, hfm⟩) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
f : β → α
hf : Continuous f
x₀ : β
h : ∀ᶠ (x : β) in Filter.cocompact β, f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in c..id i, ↑x ^ a) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
α β : F ⟶ G
w : ∀ (X : C), α.app X = β.app X
⊢ α = β
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
p : MvPolynomial Unit R
⊢ (IsLocalization.Away.auxHom S r) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X () - 1})) p) =
  (MvPolynomial.aeval fun x => IsLocalization.Away.invSelf r) p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
⊢ (f '' s).Subsingleton ↔ s.Subsingleton
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
i : Ordinal.{u_4}
h : i < o
⊢ f i h ≤ o.bsup f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ ((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ LieSubmodule.map f ⊤ = f.range
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ Perfect Set.univ
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
⊢ (min a b).toReal = min a.toReal b.toReal
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Option β
g : β → α
H : ∀ (x : α), Option.map g (f x) = some x
s : Multiset α
⊢ Multiset.map g (Multiset.filterMap f s) = s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
⊢ t.sup' ht id ⊓ u.sup' hu id ∈ supClosure s
n : ℕ
h : n = n := ⋯
⊢ Fin.castOrderIso h = OrderIso.refl (Fin n)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
T0Space α
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ UniformInducing f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve α r).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r 0) = (A.val.map f.op) 0
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x : M
y : ↥S
⊢ mk (x * ↑y) (1 * y) = mk x 1