ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base = ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ ↑s (op j') = ↑s (op j)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space X ↔ Pairwise fun x y => Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
⊢ (span ℂ (range (fourierLp p))).topologicalClosure = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ of' R M '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
ℋ : Set C
h𝒢ℋ : 𝒢 ⊆ ℋ
⊢ CategoryTheory.IsDetecting ℋ
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i + c ∧ c ≤ ⨆ i, f i + c
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι
⊢ f i ≤ Cardinal.sum f
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
⊢ image (fun t => univ ∩ t) 𝒜 = univ ↔ 𝒜 = univ
n : ZNum
⊢ ↑(Num.ofZNum n) = (↑n).toNat
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι
S : Type u_9
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : Algebra R₂ S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : IsScalarTower R₂ S M₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R₂ S
b : Basis ι S M₂
v : ι → ↥(span R₂ (Set.range ⇑b))
i✝ j✝ : ι
⊢ (algebraMap R₂ S).mapMatrix ((restrictScalars R₂ b).toMatrix v) i✝ j✝ = b.toMatrix (fun i => ↑(v i)) i✝ j✝
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this✝ : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
this : (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l) = (Linear_CC' C hsC ho) (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod)
hse : (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
⊢ id = (c f)^[0]
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N
⊢ (k.map hl j) ((f.map hy k) x) = (f.map ⋯ j) x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ StrictMonoOn (Set.projIcc a b h) (Set.Icc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
⊢ ⟪r • x, x⟫_ℝ = r * (‖x‖ * ‖x‖)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
⊢ s • ∅ = ∅
α : Type u_1
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
x : α
⊢ (xs.snoc x).reverse = x ::ᵥ xs.reverse
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f (b' • a + b • a')) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a) + ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
G : Type u_1
AddGroup G
H H' : AddSubgroup G
⊢ H ⊔ H' = AddSubgroup.closure (↑H ∪ ↑H')
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ Function.const β a < 1 ↔ a < 1
α : Type u_6
β : Type u_7
PartialOrder α
LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : Set.RightInvOn ψ φ s
ψts : Set.MapsTo ψ s t
⊢ MonotoneOn ψ s
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ 1 / ↑(n + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : 1 ≤ r
⊢ Int.log b r = ↑(Nat.log b ⌊r⌋₊)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α
⊢ (a ≤ x ∧ x < c) ∧ x < b ↔ a ≤ x ∧ x < c
r : ℝ
⊢ imaginaryPart ↑r = 0
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : ↑P α
⊢ (g ⊚ f) <$$> x = g <$$> f <$$> x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))
K : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
Field K
LieAlgebra K L
Module K M
LieModule K L M
LieAlgebra.IsNilpotent K L
FiniteDimensional K M
LieModule.IsTriangularizable K L M
⊢ ⨆ χ, LieModule.weightSpace M ⇑χ = ⊤
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Algebra R S
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Module R A
IsScalarTower R S A
a : A
⊢ quasispectrum R a = spectrum R ↑a
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0
hg : Summable g
h : f < g
⊢ ∑' (n : α), f n < ∑' (n : α), g n
α : Type u_4
Preorder α
⊢ IsStronglyAtomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyCoatomic α
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) =
  (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q)
α : Type u_1
a b : α
s : Finset α
hb : b ∉ s
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ Finset.cons b s hb
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, μ (s ∩ v i)
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
z w : ℂ
⊢ Complex.normSq (z - w) = Complex.normSq z + Complex.normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
this : ⊥.IsMaximal
⊢ (comap (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M)) (map (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M)) ⊥)).IsMaximal
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}
s : ℝ
hs : 0 < s
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ 0 < y.doublingGamma
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
hfe : MeasurableEmbedding f
s : Set β
⊢ μa (f ⁻¹' s) = μb s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
c : 𝕜
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
R : Type u_1
Monoid R
a b : R
h : b * a = 1
⊢ IsLeftRegular a
a x z : ℂ
θ : ℝ
⊢ (cexp (↑θ * I)).arg = toIocMod ⋯ (-π) θ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h : ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₂ κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₂ m₁ κ μ
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
a : α
⊢ (Equiv.ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α
⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
⊢ ↑f' y = v y
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute
⊢ noncommFold (fun x x_1 => x * x_1) (↑l) comm 1 = l.prod
α : Type u
β : Type v
f₁ f₂ : Filter α
m : α → β
⊢ Filter.map m (f₁ ⊔ f₂) = Filter.map m f₁ ⊔ Filter.map m f₂
q₁ q₂ : ℚ
⊢ { num := q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)), den := q₁.den * q₂.den / (q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }.den ∣ q₁.den * q₂.den
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ StandardBorelSpace ↑s
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
⊢ supSum {s} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
s₁ s₂ : Finset α
b₁ b₂ : β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ Finset.fold op (op b₁ b₂) f (s₁.disjUnion s₂ h) = op (Finset.fold op b₁ f s₁) (Finset.fold op b₂ f s₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → γ
g : β → γ
i : β
c : γ
⊢ Sum.elim f (Function.update g i c) = Function.update (Sum.elim f g) (Sum.inr i) c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
S : Type u_2
CommRing S
K : Type u_4
Field K
Algebra K S
Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
⊢ (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
i : ℤ
⊢ (f ^ i) x = x ∨ (f ^ i) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
h✝ : ¬∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x
⊢ ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N + 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x y : M
⊢ B.IsOrtho x y ↔ (B x) y = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ ∀
  (a :
    (TopCat.GlueData.MkCore.mk (fun i => (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i))
        (fun i j => (TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j))
        (fun i j => { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).J),
  (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).U a = (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U a)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
⊢ ⇑f.toHom = ⇑f
ξ : ℝ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite
a b : ℤ
H : ξ = ↑a / ↑b
q : ℚ
⊢ |↑a / ↑b - ↑q| < ↑(1 / ↑q.den ^ 2) ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
l : List α
⊢ powersetCard n ⟦l⟧ ≤ powerset ⟦l⟧
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
x : E
hx : x ∈ s
hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}
ht₀ : {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}.Nonempty
hyt : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → x ∈ openSegment ℝ x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
y : E
hy : y ∈ s
z : E
hz : z ∈ s
hxyz : x ∈ openSegment ℝ y z
this : (fun a => f a) '' openSegment ℝ y z = openSegment ℝ (f y) (f z)
⊢ y = x ∧ z = x
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
⊢ dimH s = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ LinearMap.range (M.mulMap N) ≤ M * N
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
α : Type u_3
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : DistribMulAction α R
inst✝¹ : IsScalarTower α R R
inst✝ : SMulCommClass α R R
c : α
A : Matrix n n R
⊢ (c • A).det = c ^ Fintype.card n • A.det
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : List ((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n)
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.listDecode (l.bind fun φ => φ.snd.listEncode) = l
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ f ∈ (full D).arrows c d → f ∈ (full E).arrows c d
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ e.trans e.symm = AffineEquiv.refl k P₁
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
⊢ ⇑((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) = ⇑(AddMonoidAlgebra.liftNC ↑(algebraMap k A) ⇑F)
M : Type u_4
Monoid M
L : List M
n : ℕ
a : M
⊢ (L.set n a).prod = ((List.take n L).prod * if n < L.length then a else 1) * (List.drop (n + 1) L).prod
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
i : ι
⊢ f i ≤ sum f
α : Type u
x y : ℕ
⊢ x.ble y = false ↔ y < x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ SmoothAt I I id x
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x • x_1) f g = f • g
α : Type u
Monoid α
a b : αˣ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
ctx : Nat.Linear.Context
a b : Nat.Linear.Expr
h : a.toNormPoly = b.toNormPoly
⊢ Nat.Linear.Expr.denote ctx a = Nat.Linear.Expr.denote ctx b
α : Type u_3
Preorder α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α
⊢ cmpLE x y = cmp x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.val.obj X)
m : ↑(A.val.obj X)
self : PresheafOfModules.Sheafify.SMulCandidate α φ r m
Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
r₀ : ↑(R₀.obj Y)
hr₀ : (α.app Y) r₀ = (R.val.map f) r
m₀ : ↑(M₀.obj Y)
hm₀ : (φ.app Y) m₀ = (A.val.map f) m
⊢ (A.val.map f) self.x = (φ.app Y) (r₀ • m₀)
G : Type u_2
TopologicalSpace G
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderTopology G
⊢ Filter.Tendsto abs (𝓝[≠] 0) (𝓝[>] 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α
h : ∀ (x : α), x ∈ (fun b => Ι b a) b ↔ x ∈ (fun b => Ι b a) c
ha : a < b
⊢ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
x v : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ⊔ (b ⊔ c) = b ⊔ (a ⊔ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
o o' : Ordering
⊢ o.swap = o' ↔ o = o'.swap
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ s.card ≤ t.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R
⊢ IsClosed (range _root_.toContinuousMap)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
H : FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ L₂.Sublist L₁
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
⊢ Inseparable x y ↔ x / y ∈ closure 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
s : Set β
hsf : s.Finite
hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}
⊢ IsBounded (range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
⊢ Measurable fun x => EMetric.infEdist (f x) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
c : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp G)
d : D
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone.obj c).π.app d =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (c.π.app (CategoryTheory.Functor.Initial.lift F d))
    (G.map (CategoryTheory.Functor.Initial.homToLift F d))
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
o : Ordinal.{u}
⊢ Continuous (Profinite.NobelingProof.SwapTrue o)
A : Type u
B : Type v
AddGroup A
AddGroup B
f : A →+ B
h : ∀ (u v : ↥f.ker →+ A), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ f.ker = ⊥
α : Type u_3
⊢ PartENat.card (PLift α) = PartENat.card α
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z g h, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ L.essImageDistTriang
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)
this : Red (invRev (invRev w)) (invRev (reduce (invRev w)))
⊢ Red w (invRev (reduce (invRev w)))
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
x y : X
l : List X
ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])
hL_len : L.length = l.length + 1
hd₀ : d x y ≠ 0
s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}
hs₀ : 0 ∈ s
hsne : s.Nonempty
⊢ ∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ Real.tan (angle x (x + y)) * ‖x‖ = ‖y‖
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
self : Φ.RightResolution X₂
⊢ W₂ self.w
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ f 0 = 0
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
h0K : K.Nonempty
hf : ContinuousOn f K
y : α
h : ∀ x ∈ K, f x < y
x : β
hx : x ∈ K
h2x : IsMaxOn f K x
⊢ sSup (f '' K) < y
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible b
h : Commute a b
⊢ Commute a ⅟b
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑(LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv N) = Φ.orthogonal ↑N
ι : Type u_6
M : Type u_7
CommMonoid M
s t : Finset ι
f : ι → M
h : s ⊆ t
⊢ ∏ i ∈ s, f i ∣ ∏ i ∈ t, f i