ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
N : LieSubmodule R L M
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥
⊢ LieSubmodule.comap f (LieSubmodule.map f N) = N
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
SMul M X
ContinuousSMul M X
K : Set M
L : Set X
⊢ closure K • closure L ⊆ closure (K • L)
f : ℂ → ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
h : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c ^ f x) (c ^ f x * Complex.log c * f') x
α : Type u_1
DivisionSemiring α
CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
m n : ℕ
(a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
hm : ∀ a ∈ s, (Finset.bipartiteAbove r t a).card = m
hn : ∀ b ∈ t, (Finset.bipartiteBelow r s b).card = n
⊢ s.card * m = t.card * n
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s : Set (α → M)
hf : A.Definable L s
⊢ A.Definable L sᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.bicone X Y).fst = CategoryTheory.Limits.biprod.fst
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
⊢ MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
⊢ (A * B).FermatPsp b
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal
⊢ (x + y).Infinitesimal
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (Bornology.cobounded α) (𝓝 0)
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
g₁ : I → Type u_4
g₂ : I → Type u_5
(i : I) → One (g₁ i)
(i : I) → One (g₂ i)
op : (i : I) → g₁ i → g₂ i → f i
h : ∀ (i : I), op i 1 1 = 1
i : I
x₁ : g₁ i
x₂ : g₂ i
⊢ Pi.mulSingle i (op i x₁ x₂) = fun j => op j (Pi.mulSingle i x₁ j) (Pi.mulSingle i x₂ j)
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ'
AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
OrderedAddCommMonoid Γ
AddAction Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
MulZeroClass R
SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
⊢ ((HahnModule.of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff a = r • ((HahnModule.of R).symm x).coeff a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
n : ℕ
ih : ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖
⊢ ‖a ^ (n + 1)‖ ≤ ↑(n + 1) * ‖a‖
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
⊢ Pell.IsPell { re := ↑x, im := ↑y } ↔ x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf✝ : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β
hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z
hf' : { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf } (ωSup c) = ωSup (c.map { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf })
⊢ { toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s t : Set α
⊢ ⇑e '' s ⊆ ⇑e '' t ↔ s ⊆ t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
hy : y ∈ Metric.sphere x ε
⊢ 0 ≤ ε
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ → A₂
f' : A₂ → A₁
h₁ : Function.LeftInverse f' f
h₂ : Function.RightInverse f' f
h₃ :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun ((algebraMap R A₁) r) = (algebraMap R A₂) r
⊢ { toFun := f, invFun := f', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ }.symm =
  let __src := AlgEquiv.symm_mk.aux f f' h₁ h₂ h₃ h₄ h₅;
  { toFun := f', invFun := f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i < ∑ i ∈ s, f i * g i ↔ ¬MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
self : CategoryTheory.StrongMono f
⊢ CategoryTheory.Mono f
n : PosNum
⊢ ↑n.pred' = (↑n).pred
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.inclLiftToInitial F hZ).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (match CategoryTheory.WithInitial.incl.obj X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => F.obj x
    | CategoryTheory.WithInitial.star => Z)
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : ↑F ≤ 𝓝 x
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
⊢ Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ Subgroup.normalClosure ↑(Subgroup.normalClosure s) = Subgroup.normalClosure s
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose
K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }
S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K
Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
h : x.isLeft = true
⊢ Sum.inl (x.getLeft h) = x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
⊢ False
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
δ : Type u_2
UniformSpace δ
g : C(β, δ)
hg : UniformContinuous ⇑g
⊢ UniformContinuous g.comp
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
n : ℤ
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ FractionalIdeal.count K v (I ^ n) = n * FractionalIdeal.count K v I
α : Type ua
u : UniformSpace α
p : α → Prop
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = instTopologicalSpaceSubtype
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
i₁✝ i₁'✝ i₂✝ i₂'✝ : I
h : c.Rel i₁✝ i₁'✝
x✝ : c.Rel i₂✝ i₂'✝
⊢ c.ε i₁✝ * 1 = -1 * c.ε i₁'✝
ι : Type u_1
N : Type u_4
TopologicalSpace N
AddMonoid N
ContinuousAdd N
T2Space N
f : ι → AddUnits N
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
l.NeBot
h₁ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(-f x)) l (𝓝 r₂)
⊢ ↑(-h₁.addUnits h₂) = r₂
⊢ Set.InjOn Real.log (Set.Ioi 0)
R : Type u
CommSemiring R
x : R
f : R →* R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] ((frobenius R p) x) = (frobenius R p) ((⇑f)^[n] x)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Function.LeftInverse ⇑(Monoid.CoprodI.lift (Pi.mulSingle i (MonoidHom.id (M i)))) ⇑Monoid.CoprodI.of
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
v : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v)⁻¹ = Matrix.diagonal (Ring.inverse v)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
⊢ f.LimZero ↔ g.LimZero
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X : T
U V : Over X
f g : U ⟶ V
left✝¹ : U.left ⟶ V.left
b : U.right ⟶ V.right
w✝¹ : (𝟭 T).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map b
left✝ : U.left ⟶ V.left
e : U.right ⟶ V.right
w✝ : (𝟭 T).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map e
h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.left = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.left
⊢ b = e
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b
⊢ succ 0 ∈ {o | 0 < b ^ o}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
⊢ l.length ! + l.length * l.length ! = l.length * l.length ! + l.length !
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2
⊢ a ≤ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
i n : ℕ
⊢ i + (n + 1).factorial ≤ (i + (n + 1)).factorial
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
i j : Fin 2
⊢ A.adjugate i j = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0] i j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N O : Mon_ C
f : M.Hom N
g : N.Hom O
⊢ (Mon_.comp f g).hom = f.hom ≫ g.hom
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ Monotone u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
g : α → β
f : ι → α
⊢ Set.range (g ∘ f) = g '' Set.range f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 0 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
a : α
ha : m a ∈ s
b : α
hb : m b ∈ t
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) (m a) (m b) ∈ range ⇑m
n : ℕ
⊢ n.fastFibAux = (Nat.fib n, Nat.fib (n + 1))
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∃ (x : b ∈ adjoin R s), p ⟨b, x⟩
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
this : ↑p ∣ r.num ∧ ↑p ∣ ↑r.den
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)
⊢ l.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ↑l, b.Disjoint a
a b n : Int
⊢ (a + b) % n = (a % n + b % n) % n
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l
this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) ∘ Neg.neg) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ ⟪r₂ • x, r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
⊢ Fintype.card (α ⊕ β) = Fintype.card α + Fintype.card β
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).ncard = (B₂ \ B₁).ncard
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0
hp : Nat.Prime p
⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a b : M₂
⊢ (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i (a + b)) = (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i a) + (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i b)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
gmon : Monotone g
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) s x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x ≤ star y ↔ x ≤ y
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ ↑(hU.fromSpec ⁻¹ᵁ U) = ↑⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
CovariantClass M N μ r
IsTrans N r
m : M
a b c : N
ab : r a b
rl : r (μ m b) c
⊢ r (μ m a) c
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
self : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ self.c ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : Cᵒᵖ
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.unop g.unop = (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).unop
w k l : Nat
x : BitVec w
h : k ≤ l
⊢ BitVec.zeroExtend k (BitVec.zeroExtend l x) = BitVec.zeroExtend k x
α : Type u
β : Type v
f g : α ≃. β
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ ⟂ₘ μ ↔ μ = 0
α : Type u_1
ts is : List α
⊢ (ts.permutationsAux is).length + is.length ! = (ts.length + is.length)!
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
n : ℤ
⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i j : ι
w : c.Rel i j
⊢ f.next i = (C₁.xNextIso w).hom ≫ f.f j ≫ (C₂.xNextIso w).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist x z < δ
hzy : dist z y < ε
⊢ False
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
R : Type u_2
CommSemiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.toLaurent p.reverse = LaurentPolynomial.invert (Polynomial.toLaurent p) * LaurentPolynomial.T ↑p.natDegree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X : C
I J : CategoryTheory.InjectiveResolution X
⊢ J.ι ≫ (I.homotopyEquiv J).inv = I.ι
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a
⊢ ∃ a ∈ factors' a0, ↑a = p
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD n]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
M : Mod_ A
⊢ A.X ◁ M.act ≫ M.act = (α_ A.X A.X M.X).inv ≫ A.mul ▷ M.X ≫ M.act
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
IsDomain R
p q : R[X]
⊢ ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y)).degree =
  max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0
⊢ Splits (algebraMap F (X ^ n - C x).SplittingField) (X ^ n - 1)
R : Type u
CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ (ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.inverseObj A).X = ModuleCat.of R ↑A
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a \ (a ⊓ b) = a \ b
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.negRev (FreeAddGroup.negRev L₁) = L₁
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
⊢ #↑s = #E
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
⊢ f ∈ s.piAntidiag n ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => ‖f x‖ ^ 2
a b c : Char
⊢ a < b → b < c → a < c
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a n → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n 1
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : ι
H : Ordinal.IsNormal (f i)
o : Ordinal.{max u v}
⊢ f i (Ordinal.derivFamily f o) = Ordinal.derivFamily f o
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ -Metric.ball x δ = Metric.ball (-x) δ
x : ℝ
⊢ 𝓝 (sin (π * x)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * ↑x)).re
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∀ (val : ιb) (val_1 : ιa), v (σ (Sum.inr val)) = v (σ (Sum.inl val_1)) → σ (Sum.inr val) ≠ σ (Sum.inl val_1) → swap (σ (Sum.inr val)) (σ (Sum.inl val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ i x ∈ separableClosure F K ↔ x ∈ separableClosure F E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f g : X ⟶ Y
h : f = g
ℱ : TopCat.Presheaf C X
⊢ (TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj ℱ = (TopCat.Presheaf.pushforward C g).obj ℱ
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
p q : PrimeSpectrum S
h : (fun x => Ideal.map (algebraMap R S) x.asIdeal) ((comap (algebraMap R S)) p) = (fun x => Ideal.map (algebraMap R S) x.asIdeal) ((comap (algebraMap R S)) q)
⊢ p = q
α : Type u_1
β : Type u_2
SeminormedAddGroup α
SeminormedAddGroup β
SMulZeroClass α β
BoundedSMul α β
s : α
⊢ LipschitzWith ‖s‖₊ fun x => s • x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
HB : Type u_9
TopologicalSpace HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
y₀ y : LE₁E₂
⊢ ↑(chartAt (ModelProd HB (F₁ →L[𝕜] F₂)) y₀) y =
  (↑(chartAt HB y₀.proj) y.proj, ContinuousLinearMap.inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ y₀.proj y.proj y₀.proj y.proj y.snd)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ Fin 0 → y - x = x - x
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra ℂ B
CompleteSpace B
StarRing B
CstarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F ℂ A B
StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖φ a‖ ≤ ‖a‖
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)
i : ℕ
⊢ i ∈ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars → i ∈ range n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ ⊥.toConvexCone = 0
a b : ℝ
⊢ 0 < a → 0 < b → 0 < a * b
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
⊢ (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ A
t : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (1 + t / ↑x) ^ x) Filter.atTop (𝓝 (rexp t))
X : Lat
⊢ Lat.dual.obj X = Lat.of (↑X)ᵒᵈ
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume
hG : CompleteSpace G
I : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 0)
J : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = -∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ P y = W'.negY P