ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : ℕ → Prop
u : ℕ → α
⊢ Filter.blimsup u Filter.atTop p = ⨅ i, ⨆ j, ⨆ (_ : p j ∧ i ≤ j), u j
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
⊢ s ∈ G.cliqueSet n ↔ G.IsNClique n s
α : Type u
LinearOrder α
l l' : List α
⊢ l.lt l' ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
c : Ordinal.{u_4}
⊢ (b * a + c) / b = a + c / b
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion (AlgebraicGeometry.Spec.map f)
S : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
M : Type u_3
SMul R M
SetLike S M
self : SMulMemClass S R M
s : S
r : R
m : M
⊢ m ∈ s → r • m ∈ s
a : ℂ
⊢ Complex.measurableEquivRealProd a = (a.re, a.im)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((X.X ◁ f.hom ≫ N.actLeft) ≫ (λ_ N.X).inv) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
⊢ ↑s ⊆ {I | IsAtom I} → ∀ I ≤ s.sup id, ∃ t ⊆ s, I = t.sup id
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a : α
s : Finset β
⊢ HasProd (fun x => f ↑x) a ↔ HasProd f (a * ∏ i ∈ s, f i)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
⊢ (DirectSum.linearEquivFunOnFintype R ι M) ((DirectSum.lof R ι M i) m) = Pi.single i m
α : Type u_2
ι : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
g : α → ENNReal
f : ι → α → ENNReal
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ^ q * ∏ i ∈ s, f i a ^ p i ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q * ∏ i ∈ s, (∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) ^ p i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ ContinuousMap.toNNReal 1 = 1
q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ 0 < ↑q ↔ 0 < q
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (let e := Classical.choice ⋯; (relabel (fun a => Sum.map id (⇑e) (f a)) φ).exs).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
SecondCountableTopologyEither X E
NormedSpace 𝕜 E
f : X → 𝕜
g : X → E
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => f x • g x) s μ
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ SeqContinuous toProbabilityMeasure
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' Metric.ball 0 1) = ‖f‖₊
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (1 - f i) = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
⊢ ∀ (x : E), (DilationEquiv.smulTorsor c hk) x = k • x +ᵥ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).unmop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z.unmop Y.unmop X.unmop).symm
α : Type u_6
T : TopologicalSpace α
self : Ctop.Realizer α
⊢ self.F.toTopsp = T
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n
⊢ x = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n ≤ 1 ↔ a ≤ 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π
⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).toBlocks₁₁ = A
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ Function.RightInverse ⇑e.symm ⇑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.f₃₄ = sq.f₂₄
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun N => term_sum s N) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl ↑I ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (𝓟 s).IsCountablyGenerated
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
s : Set ι
m : M
hm : m ∈ span R (⇑b '' s)
⊢ ↑(b.repr m).support ⊆ s
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
⊢ (if ∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true then 1 else 0) = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0
α : Type u_1
AddCancelCommMonoid α
s : AddSubmonoid α
b : ↥s
⊢ Function.Injective fun a => AddLocalization.mk a b
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
MulAction α β
c : α
x y : β
Invertible c
⊢ c • x = y ↔ x = ⅟c • y
n r : ℕ
⊢ SimpleGraph.turanGraph n r = ⊤ ↔ r = 0 ∨ n ≤ r
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
inst✝ : DecidableEq ι
f1 f2 : ι →₀ α
⊢ f1.support \ f2.support ⊆ (f1 - f2).support
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitorNatIso C).inv.app X = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
c x : ℝ
⊢ ↑(StieltjesFunction.const c) x = c
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec₂ fun a b => Encodable.encode (f a b)) ↔ Primrec₂ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Ioi (f x)) s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_5
L.Structure N
L[[M]].Structure N
(L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
N ⊨ L.elementaryDiagram M
⊢ ∀ (a : M),
  (FirstOrder.Language.ElementaryEmbedding.ofModelsElementaryDiagram L M N) a =
    (FirstOrder.Language.constantMap ∘ Sum.inr) a
α : Type u
x y : ULift.{v, u} α
Div α
⊢ (x / y).down = x.down / y.down
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
⊢ x ∈ Metric.thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, edist x z < ENNReal.ofReal δ
⊢ ⇑Real.sinhHomeomorph.symm = Real.arsinh
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∀ k ∈ Ico m m, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m m, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a m, f x ∂μ
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
i : ι
g : G i
⊢ ((con φ).lift (Coprod.lift (CoprodI.lift f) k) ⋯) (((con φ).mk'.comp (inl.comp CoprodI.of)) g) = (f i) g
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
M : o → Matrix m n α
⊢ (Matrix.blockDiagonal M).blockDiag = M
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
h : l ≠ []
ainl : a ∈ l
⊢ a ∈ l ++ₛ cycle l h
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ (∃ h, a ≠ b) ↔ ¬P ∧ a ≠ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
Y₁ Y₂ Y₃ : CochainComplex C ℤ
f' : Y₁ ⟶ Y₂
g' : Y₂ ⟶ Y₃
φ : CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ f g ⟶ CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ f' g'
⊢ CochainComplex.mappingCone.map g g' (φ.app 1) (φ.app 2) ⋯ ≫ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f' g').mor₃ =
  (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₃ ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.map f f' (φ.app 0) (φ.app 1) ⋯)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : a ∣ b
⊢ gcd a b = a
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Antivary f g₁
h₂ : Monovary f g₂
⊢ Antivary f (g₁ - g₂)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
n : ℕ
⊢ ⇑↑n = ↑n
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 (OrderDual.toDual x) = Filter.map (⇑OrderDual.toDual) (𝓝 x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
⊢ (s.face h).points = s.points ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
⊢ Continuous fun x => x.2.comp x.1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
⊢ x ⤳ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
f : α → σ → σ × β
as : List α
s : σ
⊢ List.mapAccumr f as s =
  List.foldr
    (fun a s =>
      let r := f a s.1;
      (r.1, r.2 :: s.2))
    (s, []) as
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →ₛₗ[σ] F
h : ∃ C, ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ↑(f.mkContinuousOfExistsBound h) = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
⊢ (b.coord i) q = 1 q
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq (-a) = Quaternion.normSq a
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0
this : k ∈ 𝓝 x
⊢ LocallyCompactSpace G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
⊢ (FilterBasis.ofSets s).filter = generate s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
⊢ s =ᶠ[ae μ] univ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.down α)
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).X.X n = (K.X n).X
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
s s' : ↥S
⊢ ↑s /ₒ s' * (↑s' /ₒ s) = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
n : Nat
x : BitVec n
y : Fin (2 ^ n)
⊢ x - { toFin := y } = { toFin := x.toFin - y }
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ (bind₁ fun n => (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)) (wittPolynomial p ℚ n) = wittPolynomial p ℚ (n + 1)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in atTop, p ↑n
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c
ha : a ≠ 0
⊢ b ∣ c / a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero S.homology
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a : n → R
⊢ ∀ (a_1 : m), (Matrix.toLin'OfInv hMM' hM'M).symm a a_1 = (Matrix.toLin' M) a a_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ T_gen p F a > 0
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ FractionalIdeal.dual A K I = FractionalIdeal.dual A K 1 * I⁻¹
f : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), deriv f x < 0
⊢ StrictAnti f
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X : C₁ × C₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.2 = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.2).inv
n m : ℕ
⊢ n ^^^ m = 0 ↔ n = m
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommSemiring S
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : NonUnitalSemiring A
inst✝¹¹ : Module R A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra S B
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : DistribMulAction S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B
inst✝ : AlgHomClass F S (Unitization R A) B
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)
⊢ φ = ψ
X✝ X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S
⊢ Continuous (CondensedSet.coinducingCoprod X)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
S : Set α
hS : S.OrdConnected
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ S ∈ 𝓝[<] y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : ι → Set α
⊢ (⋃ i, if p i then f i else g i) = (⋃ i, ⋃ (_ : p i), f i) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : ¬p i), g i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
⊢ HasFiniteIntegral f (μ'.trim hm)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ η.inv) (F.map₂ η.hom) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.map g)
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
⊢ f = const E c
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inl f g = g ≫ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inr f g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
⊢ Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1) = Finset.range (p.natDegree + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (1 + n) = a * a ^ n
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ opcyclesMap e.inv ≫ opcyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.opcycles
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u
u : Core α
x : α
⊢ 𝓝 x = comap (Prod.mk x) u.uniformity
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0 ↔ a = 0
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
p q : E × β
hp : p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2
hq : q.1 ∈ s ∧ f q.1 ≤ q.2
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • p + b • q ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.hom.app X).hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₃)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
f : ι → ℕ
⊢ (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ Multiset.card s_1 = n ∧ ∀ (a : ι), Multiset.count a s_1 = f a) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < a
⊢ a * b < a * 1
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.Localization.Lifting.iso' W = CategoryTheory.Iso.refl (L.comp F)
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l' l.size ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r.size r' ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ l.balanceL x r = l.balance' x r
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
⊢ IsCoprime I J ↔ gcd I J = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk inl inr)
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
⊢ CategoryTheory.IsPushout (t.to X) (t.to Y) inl inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
h : P.StableUnderInverse
⊢ P.op.StableUnderInverse
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.22516, u_3} E
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
G : C ⥤ D
e : F ≅ G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j, ∃ (_ : j ∈ Set.Icc n m), u j ω ∈ s
⊢ (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
a b c : Int
h : c < a + b
⊢ -b < a - c
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
a : Cardinal.{u}
e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S
α : Type u
e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S
⊢ False