ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i xy.1, (u ∘ Subtype.val) i xy.2) ∈ U
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
g : G
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (g +ᵥ s) μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas
⊢ IsOpen e.source
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
p : AddMonoidAlgebra R A
b : B
h : ¬AddMonoidAlgebra.supDegree D p ≤ b
⊢ p ≠ 0
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
hb : 0 ≤ b
⊢ a * a < b * b → a < b
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : PredOrder ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi_min : ¬IsMin i
this : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iic (pred i)
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
l : List ι
fs : (i : ι) → List (α i)
f : (i : ι) → i ∈ l → α i
⊢ f ∈ l.pi fs ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ l), f i hi ∈ fs i
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
⊢ ((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x y : A
hy : y ∈ elementalStarAlgebra R x
P : (u : A) → u ∈ elementalStarAlgebra R x → Prop
self : P x ⋯
star_self : P (star x) ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u + v) ⋯
mul : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u * v) ⋯
closure : ∀ (s : Set A) (hs : s ⊆ ↑(elementalStarAlgebra R x)), (∀ (u : A) (hu : u ∈ s), P u ⋯) → ∀ (v : A) (hv : v ∈ _root_.closure s), P v ⋯
⊢ P y hy
⊢ Set.SurjOn Real.log (Set.Ioi 0) Set.univ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set M
h₁ : ∀ {a b : M}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S
h₂ : S 0
h₃ :
  ∀ (c : R) {x : M},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier
h₄ :
  ∀ {x : L} {m : M},
    m ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      ⁅x, m⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier
⊢ ↑{ carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem := h₄ } = S
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : PosMulMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
h1 : a < c
h2 : b < d
h3 : 0 ≤ a
h4 : 0 ≤ b
b0 : 0 = b
⊢ 0 < c * d
α : Type u_1
Subsingleton α
p : Set α → Prop
h0 : p ∅
h1 : p Set.univ
s : Set α
⊢ p s
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c = OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.ωSup c
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ q.IsConjExponent p
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁷ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace T
inst✝⁵ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : DistribMulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
s : Set α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c • s ∈ 𝓝 0 ↔ s ∈ 𝓝 0
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : abs z < R
⊢ abs (f z) ≤ abs z
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulRightInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
α : Type u_1
l₁ l₂ l₂' : List α
s : l₁ <+ l₂
p : l₂ ~ l₂'
⊢ ∃ l₁', l₁' ~ l₁ ∧ l₁' <+ l₂'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
h : a ≠ i
M : Matrix n n α
⊢ (stdBasisMatrix i j c * M) a b = 0
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ S
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ s / 2 ≠ ↑(hurwitzEvenFEPair a).symm.k ∨ (hurwitzEvenFEPair a).symm.g₀ = 0
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
⊢ append (l₁ ++ l₂) l₃ = append l₁ (append l₂ l₃)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
⊢ IsZero (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
OrderClosedTopology 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsClosed A
⊢ IsClosed B
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
⊢ forIn as b f = forIn as.data b f
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
⊢ (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₂).boxes
Hne : J₁' ≠ J₂'
⊢ (Disjoint on Box.toSet) J₁' J₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : 0 < (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ x
hx2 : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ x = ν.rnDeriv μ x
⊢ 0 < ν.rnDeriv μ x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s = ⊤
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), FirstOrder.Language.ClosedUnder f (setOf p)
⊢ p x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f g : α → β
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ essSup f μ ≤ essSup g μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)
⊢ IsHilbertSum 𝕜 (fun b => ↥(bif b then K else Kᗮ)) fun b => (bif b then K else Kᗮ).subtypeₗᵢ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.coconesEquiv F G).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp G))).obj c).pt) ⋯)
    ⋯
a b : Int
⊢ a.gcd (-b) = a.gcd b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ addOrderOf u = n ↔ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u - b = (a - b * ↑u) /ₚ u
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
l : List M
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.prod ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Iio a = Iio ↑a
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g (n + 1) x = birkhoffSum f g n x + g (f^[n] x)
a b : Nat
⊢ a.succ + b = a + b.succ
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
⊢ StrictAnti fun x => a ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s ∩ mulSupport f = ↑hs.toFinset ∩ mulSupport f
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x x' : ↑X.toTopCat
h : x ⤳ x'
⊢ Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x =
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x' ≫ X.presheaf.stalkSpecializes h
R : Type u
M : Type v
Zero R
m : M
⊢ (TrivSqZeroExt.inr m).snd = m
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R (m + n)) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) φ * a
m s step n : Nat
⊢ m ∈ range' s (n + 1) step ↔ ∃ i, i < n + 1 ∧ m = s + step * i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.inv.hom₁ ≫ e.hom.hom₁ = 𝟙 B.obj₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
s : Finset ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
p : Submodule R M
hp : p = ⨆ i ∈ s, N i
hp' : optParam (MapsTo ⇑f ↑p ↑p) ⋯
⊢ (trace R ↥p) (restrict f hp') = ∑ i ∈ s, (trace R ↥(N i)) (restrict f ⋯)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hs : a ∈ s ↔ x ∈ s
⊢ x ∈ ⇑(swap a x) '' s
R : Type u_1
CommRing R
a : R[X]
⊢ Polynomial.wronskian 0 a = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.WSameSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (NonUnitalStarSubalgebra.map f)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η
i : ι
hi : l.idxFun i = Sum.inr e
⊢ ∃ i, (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) i = Sum.inr e
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : X' ⟶ Y'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Localization.Preadditive.add W eY eZ g₁ g₂) =
  CategoryTheory.Localization.Preadditive.add W eX eZ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g₂)
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this✝ : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ
this : QuasiMeasurePreserving (Inv.inv ∘ (fun h => h * g⁻¹) ∘ Inv.inv) μ μ
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (k ^ n * f)
x y a b : ℕ
h : y * b = x * a + 1
⊢ x.gcd y = 1
ι : Type u_2
R : Type u_3
CommMonoid R
s : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ i ∈ s, IsLeftRegular (f i)
⊢ IsLeftRegular (∏ i ∈ s, f i)
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
a : A
IsStarNormal a
h : IsUnit a
⊢ IsUnit ⟨a, ⋯⟩
α : Sort u_1
β : Sort u_2
op : α → α → β
IsSymmOp α β op
⊢ flip op = op
a b : Int
⊢ a.mod b + b * a.div b = a
E : Type u_1
V : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
NormedAddCommGroup V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
⊢ Filter.Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (Filter.cocompact V) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
s : Stream'.WSeq α
f : α → Stream'.WSeq β
b : β
h : b ∈ s.bind f
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ b ∈ f a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
⊢ 0 < (Fintype.card α).choose (r - 1)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁ / t₁ ⊆ s₂ / t₂
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
S : Set (Set α)
hSc : S.Countable
⊢ ⋂₀ S ∈ l ↔ ∀ s ∈ S, s ∈ l
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |0|
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, 0), (z - w) ^ n) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousWithinAt f s x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
this : m₂ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
⊢ m₁ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i
⊢ Set.InjOn π fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.insepDegree F E = Module.rank F E
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
i : Fin l.length
⊢ (l.formPerm ^ n) (l.get i) = l.get ⟨(↑i + n) % l.length, ⋯⟩
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
this : b ≤ a
⊢ max a b ≤ a * b
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂ eB hF).inverse = eB.functor ⋙ e'.inverse ⋙ eA.inverse
α : Type u_1
M : Type u_7
OrderedAddCommMonoid M
i : α
f : α → M
hf : (Function.support f).Finite
h : ∀ (j : α), 0 ≤ f j
⊢ f i ≤ ∑ᶠ (j : α), f j
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
hf : ¬f = 0
i : ℕ
⊢ i ∈ f.integralNormalization.support ↔ i ∈ f.support
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Countable α ↔ Countable β
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
x : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (QuaternionAlgebra.equivTuple c₁ c₂) x = ![x.re, x.imI, x.imJ, x.imK]
α : Type u_1
a b : α
m : Multiset α
⊢ {a} = b ::ₘ m ↔ a = b ∧ m = 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : Subsingleton E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : C(X, AddUnits M)
x : X
⊢ ↑(ContinuousMap.addUnitsLift f) x = ↑(f x)
G : Type u_3
AddCommGroup G
L : List G
⊢ L.alternatingSum = ∑ i : Fin L.length, (-1) ^ ↑i • L.get i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
g : PolynomialModule R M
n f_n : ℕ
f_a : R
⊢ ((monomial f_n) f_a • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, ((monomial f_n) f_a).coeff x.1 • g x.2
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (⇑f)^[n] x ≤ x + ↑n * ↑m ↔ f x ≤ x + ↑m
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
⊢ Embedding ⇑f.val.base
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : p → l ⊕ m
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).submatrix Sum.swap f = (Matrix.fromBlocks C D A B).submatrix id f
n : ℕ
NeZero n
i : Fin n
⊢ i.succ.succAbove 0 = 0
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
φ₁ φ₂ : f ⟶ g
h : φ₁ = φ₂
⊢ φ₁.right = φ₂.right
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ ¬a < b → ¬a.toPGame < b.toPGame
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addLeftEmbedding c) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ∂ a ≤ a
α : Type u
l : List α
k : Nat
⊢ l.eraseIdx k ⊆ l
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
u : ℕ → X
p : X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → u b ∈ s
w : Nat
x : BitVec w
n : Nat
⊢ x.shiftLeft n = x <<< n
a b : ℝ
⊢ (a - b).cauchy = a.cauchy - b.cauchy
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ (p.append p').support = p.support ++ p'.support.tail
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ w₀ }
r : NNReal
h : ∀ b ∈ univ, ↑‖(logEmbedding K) x b‖₊ ≤ ↑r
⊢ |(logEmbedding K) x w| ≤ ↑r
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b
⊢ ↑(expUnitary (a + b)) = ↑(expUnitary a * expUnitary b)
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul G α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : G
h : Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a))
⊢ Tendsto f l (𝓝 a)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ Finset.range n, (l - ∑ j ∈ Finset.range (i + 1), f j) * z ^ i) Filter.atTop
  (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.fst
⊢ I ⨯ X ≅ I
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ Injective ⇑f.rangeRestrict ↔ Injective ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪x, (adjoint A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf).toGerm = ↑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.GlueData' C
i j : self.J
hij : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.t i j hij) (self.t j i ⋯) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.V i j hij)
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
⊢ Mono i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
g : Stream' (Option (Option α))
al : g.IsSeq
h : b ∈ map f ⟨g, al⟩
o : Option α
om : o ∈ ⟨g, al⟩
oe : Option.map f o = some b
⊢ ∃ a, a ∈ ⟨g, al⟩ ∧ f a = b
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ ↑(↑r * (↑(↑θ).cos + ↑(↑θ).sin * I)).arg = ↑θ
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ S : L.Substructure M
x : M
⊢ (∃ y, ↑y = x) ↔ x ∈ S
m n a b c d : ℤ
h : a / c ≡ b / c [ZMOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ a ≡ b [ZMOD m]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
A : C
f : A ⟶ I
⊢ CategoryTheory.IsIso f
⊢ ArithmeticFunction.moebius * ↑ArithmeticFunction.zeta = 1