ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
⊢ Function.Injective (F.stalkToFiber x)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
t : Set α
⊢ (l ⊔ 𝓟 t).HasBasis p fun i => s i ∪ t
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ ↑(p.append p').support = {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
x : R
IsLocalization.Away x S
g : R →+* P
hg : IsUnit (g x)
⊢ (IsLocalization.Away.lift x hg).comp (algebraMap R S) = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ J.W (CategoryTheory.toSheafify J P)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
i : n
j : m
⊢ (((Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1))
    ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) =
  M i j
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
hS : RestrictGenTopology S
⊢ IsOpen t ↔ ∀ s ∈ S, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' t)
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑π).sign = -θ.sign
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x => b * x) ⁻¹' Metric.sphere a r = Metric.sphere (a / b) r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List ι
f : M → N → P
hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d
hf' : f 1 1 = 1
f₁ : ι → M
f₂ : ι → N
⊢ (map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) l).prod = f (map f₁ l).prod (map f₂ l).prod
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).degree = ↑(s.card - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
X : C
⊢ ∃ ι, ∃ (x : Finite ι), ∃ f x, ∀ (i : ι), CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected (f i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (Multiset.map f₁ ⟦a✝⟧).prod ⊆ (Multiset.map f₂ ⟦a✝⟧).prod
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M
this : (𝓝 c).HasBasis (fun x => True) fun f => ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
⊢ (𝓝 c).HasBasis (fun x => True) fun f => tsupport ↑f
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R 2 = 2 * Polynomial.X ^ 2 - 1
α : Type u_1
R S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b ↔ S a b
l : List α
⊢ List.Pairwise R l ↔ List.Pairwise S l
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.succ a ≤ b ↔ a < b
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v + w + s + t ∈ u
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
c : ℝ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hc : 0 < c
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => c ^ f x) ((c ^ f x * Real.log c) • f') s x
α : Type u_3
Monoid α
s : List α
⊢ Additive.ofMul s.prod = (List.map (⇑Additive.ofMul) s).sum
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
⊢ χ.FactorsThrough d
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ a ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
⊢ ContinuousOn f univ ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) univ
M : Type u_1
Monoid M
a : M
u : Mˣ
⊢ Commute (↑u) a → Commute (↑u⁻¹) a
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
M : Type u_4
AddMonoid M
L : List M
i : ℕ
⊢ (List.take i L).sum + (List.drop i L).sum = L.sum
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ContinuousAt jacobiTheta τ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
r : ℝ
⊢ MeasurableSet ((fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • t))
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f⁺ ℱ μ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ‖f.contLinear‖ ≤ ‖f‖
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ torsionBySet R M Set.univ = ⊥
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c d : α
⊢ a ⊔ b ≤ a ∧ a ≤ a ⊔ b ↔ b ≤ a
R : Type u_5
S : Type u_6
Ring R
LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ |abv a - abv b| ≤ abv (a - b)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree
⊢ 0 < 1
a b c : EReal
⊢ a * b⁻¹ * c⁻¹ = a * (b * c)⁻¹
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (y + x * z)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0
⊢ p = normalize p
s n : Nat
⊢ range' s n = map (fun x => s + x) (range n)
a b : ℕ
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
⊢ Set.range f = Set.range ⇑(s.orderEmbOfFin h)
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
⊢ a + -b + b = a
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ 1 ↔ r * ‖x‖ ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α
⊢ l∗.reverse = l.reverse∗
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T2Space α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.AnalyticSet s
ht : MeasureTheory.AnalyticSet t
h : Disjoint s t
⊢ MeasureTheory.MeasurablySeparable s t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hd : p.degree = q.degree
hp0 : p ≠ 0
hlc : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hp : (monomial p.natDegree) p.leadingCoeff + erase p.natDegree p = p
hq : (monomial q.natDegree) q.leadingCoeff + erase q.natDegree q = q
hd' : p.natDegree = q.natDegree
hq0 : q ≠ 0
⊢ (p - q).degree = (erase q.natDegree p + -erase q.natDegree q).degree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
⊢ s \ t.erase a = insert a (s \ t)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f ≫ g).val.base
⊢ ClosedEmbedding ⇑f.val.base
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluedLift 𝒰 f g s ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p2 𝒰 f g = s.snd
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
x : α
⊢ (M.corec g x).dest = P.map (M.corec g) (g x)
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
σ : α → Type u_1
l₂ : (a : α) → List (σ a)
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
x : (a : α) × σ a
h₁ : x ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)
h₂ : x ∈ map (Sigma.mk a₂) (l₂ a₂)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α
h : a₁ • b ≤ a₂ • b
⊢ a₁ ≤ a₂
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ i ∈ p.vars ↔ ∃ d ∈ p.support, i ∈ d.support
α : Type u
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f₁ f₂ : ι → α
p : Filter ι
a : α
h₁ : Filter.Tendsto f₁ p (𝓝 a)
h : Filter.Tendsto (fun x => dist (f₁ x) (f₂ x)) p (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f₂ p (𝓝 a)
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
v : n → α
⊢ (Matrix.circulant v).IsSymm ↔ ∀ (i : n), v (-i) = v i
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → F
TopologicalSpace F
hm : m ≤ mΩ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S T : StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) Z =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight g Z)
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
⊢ a - b < a
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
a : α
⊢ a +ᵥ Set.univ = Set.univ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
n : ι
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hσ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ σ
hσ_le_τ : σ ≤ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
hτ_countable_range : (Set.range τ).Countable
hσ_countable_range : (Set.range σ).Countable
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f σ =ᵐ[μ] μ[MeasureTheory.stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
p : R → Prop
x : R
h : x ∈ NonUnitalSubring.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
zero : p 0
add : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : R), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
⊢ (fun a => Ordinal.sup fun n => f^[n] a) = Ordinal.nfp f
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : C ⥤ Type v₁
hF : F.Corepresentable
X : C
f : F.coreprX ⟶ X
⊢ (F.coreprW.app X).hom f = F.map f F.coreprx
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b a : k
hb : 0 < b
⊢ a / b < ↑⌊a / b⌋ + 1
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
i : ℕ
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
x : S
⊢ Ideal.quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux f p P a_mem (Submodule.Quotient.mk x) =
  Submodule.Quotient.mk ⟨(Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (a * x), ⋯⟩
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ = ‖g‖
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t t' : Set β
hf : Function.Injective2 f
⊢ Set.image2 f s (t ∩ t') = Set.image2 f s t ∩ Set.image2 f s t'
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsAntisymm α r
a : α
⊢ r a a ∧ r a a
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁
⊢ (map f) ((map g) ((ι Q₁) m)) = (map (f.comp g)) ((ι Q₁) m)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J D
E : CategoryTheory.Functor D C
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasLimit K
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit (K.comp E)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
x : (i : ι) → φ i
⊢ f (∑ j : ι, Pi.single j (x j)) = f x
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I
⊢ False
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).tan = ‖y‖
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m
⊢ G + H ≈ nim ↑(n ^^^ m)
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
hv : ContinuousAt f v
⊢ 𝓕⁻ (𝓕 f) v = f v
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
⊢ toTensorAlgebra (DirectSum.GAlgebra.toFun r) = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => (f n) x) atTop (𝓝 ⇑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
this : Tendsto (fun m => ‖(f n) x - (f m) x‖) atTop (𝓝 ‖(f n) x - g x‖)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ‖(f n) x - (f m) x‖ ≤ b n * ‖x‖
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : ∀ (x y : R), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = MulOpposite.op ∘ ⇑f
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n
⊢ (m.sum fun x => id) < n.sum fun x => id
Y : AlgebraicGeometry.Scheme
U : Y.OpenCover
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.zariskiTopology.sieves Y
  (CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.Presieve.ofArrows U.obj U.map))
α : Type u
x : α
a : Set α
b : Set α
⊢ x ∈ a → x ∈ a ∪ b
o : Ordinal.{u_3}
x : (Quotient.out o).α
⊢ ↑((RelIso.symm o.enumIsoOut) x) = Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
hMN : ∀ (M' : Submodule R M), M'.FG → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N M'.subtype)
M' : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N M'.subtype)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
⊢ ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
⊢ essSup f μ ≤ essSup f (μ.restrict s)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
X Y : Type u
e : X ≃ Y
⊢ equivIsoIso.hom e = e.toIso
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
x : ↑I × X
⊢ F.symm x = F (σ x.1, x.2)
α : Type u_3
β : Type u_4
Add β
a : β
⊢ ∀ (a_1 : α), (Pi.constAddHom α β) a a_1 = Function.const α a a_1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
⊢ h.map (h.modByMonicHom x) = x
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : B ⟶ C
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
w : f ≫ g = 0
h : CategoryTheory.Limits.imageSubobject f ≤ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).ofLE (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g) h = imageToKernel f g w
α : Type u
β : Type u_1
SMul α β
a : α
b : ULift.{v, u_1} β
⊢ (a • b).down = a • b.down
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C
⊢ (F.mapComon.obj A).X = F.obj A.X
n : ℕ
⊢ ↑↑(n + 1) = n + 1
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ P (f.appLE U V e) ↔ P (f.appLE U V ⋯)
E : Type u_4
F : Type u_5
Group E
Group F
p : GroupSeminorm E
f : F →* E
x : F
⊢ (p.comp f) x = p (f x)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
ι : Type u_5
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
F : ι → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → ‖F n x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → Filter.Tendsto (fun n => F n x) l (nhds (f x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in a..b, F n x ∂μ) l (nhds (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ))
n : ℕ
m : ℝ
hm : 2 ≤ m
⊢ 2 / m ^ (n ! * (n + 1)) ≤ 1 / m ^ (n ! * n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
⊢ μ s = μ.trim s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
⊢ ‖a‖⁻¹ ≤ 1
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
H : Irreducible (X ^ (m * k) - C (b ^ m))
q : K[X]
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q
⊢ False