ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : K.X j ⟶ A
hφ : ∀ (i : ι), c.Rel i j → K.d i j ≫ φ = 0
⊢ (if hi : j = j then 𝟙 (K.X j) ≫ φ ≫ (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).inv else 0) = φ ≫ (singleObjXSelf c j A).inv
z : ℂ
n✝ n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' y
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n : ℕ
⊢ (coeff A n) ((rescale a) (exp A) * (rescale b) (exp A)) = (coeff A n) ((rescale (a + b)) (exp A))
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ (∀ b ∈ Sym2.diag a, b ∈ s) ↔ a ∈ s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
⊢ (TruncatedWittVector.truncate h1).comp (TruncatedWittVector.truncate h2) = TruncatedWittVector.truncate ⋯
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
⊢ |Real.log x * x ^ t| < 1 / t
a b : Int
c : Int
⊢ a + c < b + c ↔ a < b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x y : X
h : (𝓝 x ⊓ 𝓝 y).NeBot
⊢ x = y
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x + y = BitVec.ofNat n (x.toNat + y.toNat)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap SeparationQuotient.mk
G : Type u_1
Group G
Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Nat.card ↥(commutator G) ∣ (Subgroup.center G).index ^ ((Subgroup.center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ single (f ≫ g) 1 = single f 1 ≫ single g 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A B : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autGaloisSystem F).map f = CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMapHom f.val
α : Type u
a : α
t : Set α
s : Set α
h : a ∈ t
⊢ insert a s \ t = s \ t
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
⊢ a + b ≠ ⊤ ↔ a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ ⥤ C
X : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ
⊢ (((CategoryTheory.SimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).obj F).obj X = H.obj (F.obj X)
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖f‖
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ Integrable (stoppedValue f π) μ
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
⊢ a.Dom
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
⊢ s.card ≤ t.card
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ ∀ (a : { x // q ↑x }), ↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter p q) a) = ↑↑a
x : ℝ
i : ℕ
⊢ 2 ^ i * i ! ≤ (2 * i)!
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)
k : J
f' : k ⟶ i
⊢ F.map f x ∈ range (F.map f')
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja
⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ja, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ja jb
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f (Submodule.snd R M N))) ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : f = ⊥
⊢ map m f = ⊥
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
a b : α
o : Ordering
⊢ o.Compares (f a) (f b) ↔ o.Compares b a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
⊢ LinearMap.range (mapBaseChange R A B) = LinearMap.ker (map R A B B)
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Inducing ⇑DomMulAct.mk
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).support = p.support
α : Type u_2
M : Matroid α
⊢ Monotone M.closure
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulDysonETransform e x).1 = x.1 ∪ e • x.2
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e e' : Pretrivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).symm = e'.symm.trans e.toPartialEquiv
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v = 0
⊢ (of v).s.get? (n + 1) = (of (fract v)⁻¹).s.get? n
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
⊢ Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ support R M
m : M
hm : (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal
⊢ annihilator R M ≤ p.asIdeal
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ (fderiv 𝕜 f x) 1 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
Module.Free R S
Module.Finite R S
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj1).hom = 𝟙 G
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s✝ t✝ u✝ v s t u : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : Disjoint a b
c : α
hc : c ∈ u
habc : Disjoint (a ⊔ b) c
⊢ ∃ a_1 ∈ s, ∃ b_1, (∃ a ∈ t, ∃ b ∈ u, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = b_1) ∧ Disjoint a_1 b_1 ∧ a_1 ⊔ b_1 = a ⊔ b ⊔ c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ ↑(lowerClosure {a}) ≤ closure {a}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).hom ⊗ 𝟙 (M.X ⊗ M.X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ M.mul)) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : x ≠ 0
⊢ sin x ≠ 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
⊢ ∀ q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList, q = p
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ I ≤ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑I)
M : Type u_3
CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij.1 ij.2 = ∏ k ∈ Finset.range n.succ, f k (n - k)
α : Type w
Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
f g : Profinite.finiteCoproduct X ⟶ B
h :
  ∀ (a : α),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.finiteCoproduct.ι X a) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.finiteCoproduct.ι X a) g
⊢ f = g
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
n : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
σ : Equiv.Perm n
CommRing R
⊢ (Equiv.Perm.permMatrix R σ).det = ↑↑(Equiv.Perm.sign σ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : {x | ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → F x x_1 = F' x x_1} ∈ p
⊢ {x | F x.1 x.2 = F' x.1 x.2} ∈ p ×ˢ 𝓟 s
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ ∀ (x : W) (hx : x ∈ Set.range cs.simple) (y : W) (hy : y ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)), p' y hy → p' (x * y) ⋯
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ TopCat.pullbackSnd f g = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (x * z + y)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Zero M
Zero N
Zero P
f : ZeroHom N P
⊢ f.comp 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | (x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a) ∧ ¬IsBot x}.Countable
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
F : CategoryTheory.Functor C (Type u_1)
j : C
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun f => Set.range (F.map f.snd)
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
⊢ baseChange A ⊥ = ⊥
G : Type u_3
AddMonoid G
n j : ℕ
⊢ (fun x => n • x)^[j] = fun x => n ^ j • x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.torsion R M ↔ ∃ a, a • x = 0
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList
⊢ Prime 1
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
⊢ Chain' R [a].reverse ↔ Chain' (flip R) [a]
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.filter p l = List.foldr (fun a out => bif p a then a :: out else out) [] l
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support.Nonempty ↔ f ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
l l' : Filter α
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict univ)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
D : Type u_6
Semiring D
TopologicalSpace D
Algebra R D
f₁ : A →A[R] B
f₂ : C →A[R] D
⊢ ⇑(f₁.prodMap f₂) = Prod.map ⇑f₁ ⇑f₂
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t = 0 ↔ s.Disjoint t
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
f : ℤ → M
hf : HasSum f m
⊢ HasSum (fun n => f ↑n + f (-(↑n + 1))) m
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
⊢ affineSpan k (Set.range fun q => (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) = affineSpan k s
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d = update (update (update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main []) rev []) main ((update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main [] rev).reverseAux (update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main [] main))
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
h₁ : Set.MapsTo f₁ s₁ t₁
h₂ : Set.MapsTo f₂ s₂ t₂
⊢ Set.MapsTo (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (s₁ ×ˢ s₂) (t₁ ×ˢ t₂)
B : Type uR
CommRing B
r : B → B → Prop
x : B
⊢ (RingQuot.idealQuotientToRingQuot r) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x) = (RingQuot.mkRingHom r) x
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
I : Ideal R
hI : I.FG
h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)
⊢ Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I) ∘ₗ lTensor (↥I) i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) n φ ↔ ∀ (i : ι), ContMDiff I 𝓘(𝕜, Fi i) n fun x => φ x i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ Collinear ℝ {p₄, p₅, p₆}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : gauge s x ≤ a
r : ℝ
hr : a < r
⊢ x ∈ r • s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x z : Z
hz : z ∈ e.source
l : Filter Z
⊢ l ≤ 𝓝 z ↔ Tendsto proj l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (Prod.snd ∘ ↑e) l (𝓝 (↑e z).2)
X : Type u_4
PseudoEMetricSpace X
⊢ ⇑(DilationEquiv.refl X) = id
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S x₁ y₁ = IsLocalization.mk' S x₂ y₂ ↔ (algebraMap R S) (↑y₂ * x₁) = (algebraMap R S) (↑y₁ * x₂)
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hnk : n < k
⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
TopologicalSpace α
f : α → G
x : α
s : Set α
hf : ContinuousWithinAt f s x
z : ℤ
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x ^ z) s x
n m k : Nat
H1 : 0 < n
H2 : m = k * n
⊢ m / n = k
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype ι
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (EuclideanSpace 𝕜 ι) = Fintype.card ι
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : IsSuccLimit a
⊢ SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a ⊔ b ⇨ b = a ⇨ b
α : Type u_1
x : Option α
h : x.isSome = true
⊢ some (x.get h) = x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
IsDomain R
IsIntegrallyClosed R
IsDedekindDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : IsIntegral R x
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I) =
  Multiset.map (fun f => ↑((KummerDedekind.normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f))
    (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
⊢ ∀ (x y : ⨁ (i : ι), A i), { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
n : ℕ
x : X
⊢ Urysohns.CU.approx n c x ∈ Set.Icc (Urysohns.CU.approx n c.right x) (Urysohns.CU.approx n c.left x)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice β
DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → β
⊢ ⨆ y ∈ s.biUnion t, f y = ⨆ x ∈ s, ⨆ y ∈ t x, f y
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
t : Finset α
⊢ ∅.mulEnergy t = 0
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ g ≤ f ⊔ g
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
⊢ f.fieldRange = Subfield.map f ⊤
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v : α
DecidableEq α
⊢ Set.InjOn (UV.compress u v) ↑(Finset.filter (fun x => UV.compress u v x ∉ s) s)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
⊢ Integrable (fun i => w D i * φ (x - i)) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N
⊢ ((q ⟨k, blocks_fun⟩.fst) fun i => (p (⟨k, blocks_fun⟩.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd) fun _j => z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α
⊢ x ∈ Ioi (pred a) ↔ x ∈ insert a (Ioi a)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
⊢ x ∈ (inducedMap A).fst
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R
⊢ (TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N)) = (TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N)))
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
hx : x ∈ closure s
⊢ f x ∈ closure (f '' s)