ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
n : ℕ
i : α
⊢ count i (replicate n a) = (DFinsupp.single a n) i
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : ¬p a = true
⊢ List.eraseP p (a :: l) = a :: List.eraseP p l
a b c : ℤ
⊢ a ∣ b → b ∣ c → b / a ∣ c / a
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ IsGalois F ↥⊤ ↔ IsGalois F E
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), x' < x.moveRight j
⊢ (x.insertLeft x').Numeric
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
X : CategoryTheory.GradedObject I C₁
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂} (φ : X_1 ⟶ Y) (ij : I × J),
  ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).map φ ij = (F.obj (X ij.1)).map (φ ij.2)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c✝ : α
n : ℤ
c : α
⊢ toIcoMod hp c a = toIcoMod hp c b ↔ a ≡ b [PMOD p]
M : Type u_2
AddCommGroup M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'
⊢ b'.det (⇑f ∘ ⇑b) = LinearMap.det (f ∘ₗ ↑(b'.equiv b (Equiv.refl ι)))
ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ
h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ ↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.drop = ↑(drop ⟨is, h⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) (𝓝[>] a) (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
n p : ℕ
⊢ p ^ n.factorization p * (n / p ^ n.factorization p) = n
α : Sort u_2
β : Sort u_1
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
f : (a : α) → W a
⊢ (h₁.piCongr' h₂) f = fun b => (h₂ b) (f (h₁.symm b))
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} A'
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} B'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} T'
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
L' : CategoryTheory.Functor A' T'
R' : CategoryTheory.Functor B' T'
F₁ : CategoryTheory.Functor A A'
F₂ : CategoryTheory.Functor B B'
F : CategoryTheory.Functor T T'
α : F₁.comp L' ⟶ L.comp F
β : R.comp F ⟶ F₂.comp R'
X Y : CategoryTheory.Comma L R
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Comma.map α β).map φ).right = F₂.map φ.right
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
⊢ a • s = Finset.image (fun x => a • x) s
A : Type u_3
Semiring A
Algebra ℝ A
f : ℂ →ₐ[ℝ] A
x : ℝ
⊢ f ↑x = (algebraMap ℝ A) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x y : α
⊢ normalize x = normalize y ↔ x ∣ y ∧ y ∣ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b a : α
⊢ ↑a < ⊤
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
self : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
m : ℕ
⊢ ↑m < n → ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x => p x m) (p x m.succ).curryLeft s x
α : Type u_1
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).tail = as
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v v✝ : V
h : G.Adj u v✝
p' : G.Walk v✝ v
d : G.Dart
hd : d = { toProd := (u, v✝), adj := h } ∨ d ∈ p'.darts
⊢ d.toProd.1 = u ∨ d.toProd.1 ∈ p'.support
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ (coeff R n) ((C R) a) = if n = 0 then a else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯
⊢ s.WellFoundedOn fun a b => r a b ∧ ¬r b a
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y
⊢ x < Real.logb b y ↔ b ^ x < y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContinuousOn (tangentMapWithin I I' f s) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f g : A →⋆ₙ+* B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
⊢ M✶.Base B ↔ M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
a : I.L
⊢ K.ι.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left a) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (K.π (I.sndFrom a))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
p' : ℤ
hp' : p + n' = p'
⊢ q = p' + a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
⊢ f₂ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
Fintype α
C : G.Coloring α
⊢ G.chromaticNumber ≤ ↑(Fintype.card α)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x x✝¹ : G
x✝ : k
⊢ (sum g fun a₁ b => (single (x✝¹ * a₁) (x✝ * b)) x) = sum g fun a₂ b₂ => if x✝¹ * a₂ = x then x✝ * b₂ else 0
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
⊢ p * b ~ᵤ p * (factors b).prod
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
b : α
⊢ (Set.Iio b).Finite
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ μ.restrict (⋃ i, s i) ≤ MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ.restrict (s i)
n : ℕ
h : n ≠ 0
d : ℕ
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in Filter.atTop, m ≡ d [MOD n]
M : Type u_1
CommSemigroup M
⊢ Subsemigroup.center M = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
R : Type u_11
AddMonoid M
AddCommMonoid N
DistribSMul R M
g : α →₀ M
b : R
h : α → M →+ N
⊢ ((b • g).sum fun a => ⇑(h a)) = g.sum fun i c => (h i) (b • c)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddLeftCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
b : A
a : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) (i + j)) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) j)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
a b : α
⊢ Quotient.mk' a = Quotient.mk' b ↔ ⊤ → s.Rel a b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, ⨅ h, f i h a ∂μ ≤ ⨅ i, ⨅ h, ∫⁻ (a : α), f i h a ∂μ
K : Type u_1
DivisionRing K
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
h : s.head = none
n : ℕ
⊢ GenContFract.convs'Aux s (n + 1) = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ ¬M.RkPos ↔ M = Matroid.loopyOn M.E
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
⊢ φ (d * x / d) = (filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))).card
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ + WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₂ = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = edist K L
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
NormalizationMonoid R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r : R
hr : r ≠ 0
I : ↑{I | I ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {r})}
⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr).symm I)) r = multiplicity (↑I) (Ideal.span {r})
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)) = Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l : AList β
k k' : α
v : β k
⊢ AList.lookup k' (AList.insert k v l) = none ↔ k' ≠ k ∧ AList.lookup k' l = none
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G
⊢ ∃ g, g • x = y
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.dens = 0 ↔ s = ∅
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s).symm = EuclideanGeometry.reflection s
p q : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : p.factorization q ≠ 0
⊢ p = q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) A
X : Dᵒᵖ
⊢ ((e.sheafCongrPrecoherent A).functor.obj F).val.obj X = F.val.obj (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X)))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun μ => ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset (f ⊔ g) = DFinsupp.toMultiset f ∪ DFinsupp.toMultiset g
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s t : Finset α
hf : StrictMono f
⊢ { ofColex := Finset.image f s } < { ofColex := Finset.image f t } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }
α : Type u_1
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
tl : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
hwf : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.tail? le s = some tl → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le 0 tl
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
P : Ideal S
Algebra R S
Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
⊢ Ideal.inertiaDeg (algebraMap R S) p P = FiniteDimensional.finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s +ᵥ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
⊢ ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
h : Projective R P
f : M →ₗ[R] N
g : P →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
φ : (P →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total P M R fun p => Function.surjInv hf (g p)
s : P →ₗ[R] P →₀ R
hs : Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s
⊢ ∃ h, f ∘ₗ h = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
ν : Measure β
μ : Measure α
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) ≪ μ
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
Y : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyEquivNormalizedMooreComplexAlternatingFaceMapComplex.hom =
  AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap Y
A : Type u
B : Type v
ι : Type w
DecidableEq ι
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Fintype ι
IsDomain A
b : ι → B
hli : ¬LinearIndependent A b
⊢ Algebra.discr A b = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto f (pure a) (pure (f a))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑f a ∂μ = f.lintegral
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α ℂ
⊢ MeasureTheory.ComplexMeasure.re v = v.mapRange Complex.reLm.toAddMonoidHom Complex.continuous_re
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
s : Set (M × N)
⊢ SmoothOn (I.prod J) I Prod.fst s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasStrictFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
⊢ (∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁ l₂ : List α
this : ∀ (l₁ l₂ : List α), (∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) → ∀ (x : α), x ∈ l₂ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → R x y
⊢ (Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₂ → ∀ (b : α), b ∈ l₁ → R a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ IsPiSystem (⋃ a, {Ioi ↑a})
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = l.prod
⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑(A * C).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
⊢ normalize s.gcd = s.gcd
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.adjoin R ∅ = ⊥
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ fib a + (map fib l).sum < fib n
n : ℕ
⊢ Even (n * (n - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (t b) μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ b ∈ s, t b, f a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α) in t b, f a ∂μ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toLinearEquiv = g.toLinearEquiv ↔ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
⊢ minimals r s = minimals r t
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
⊢ Function.HasTemperateGrowth ⇑f
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D
h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
⊢ F₁ = F₂
n : Nat
⊢ Subsingleton (Fin n) ↔ n ≤ 1
α : Type u
Ring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a * b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯) = 0
h : (CategoryTheory.ShortComplex.mk (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯) w).Exact
⊢ S.Exact
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
g : R →+* ℤ_[p]
hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n
r : R
⊢ ∀ ε > 0, dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ε
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
⊢ (Action.functorCategoryEquivalence V G).inverse = Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ∈ AddAction.orbit G a₂ ↔ a₂ ∈ AddAction.orbit G a₁
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
a : α
s : Set α
⊢ (∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s) ↔ ∃ i, (i ∈ b ∧ a ∈ i) ∧ i ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
hrs : b j < b i
⊢ False
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g 0 = 0
R : Type u_1
AddGroup R
Fintype R
R' : Type u_2
CommRing R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ = 1
⊢ ∑ a : R, ψ a = ↑(Fintype.card R)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x : R₁
⊢ σ₂₃ (σ₁₂ x) = σ₁₃ x
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.LF y ↔
  (∃ i,
      (∀ (i' : x.LeftMoves), (x.moveLeft i').LF (y.moveLeft i)) ∧
        ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x.LF ((y.moveLeft i).moveRight j)) ∨
    ∃ j,
      (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), ((x.moveRight j).moveLeft i).LF y) ∧
        ∀ (j' : y.RightMoves), (x.moveRight j).LF (y.moveRight j')
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X : (i : I) → C i
i : I
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapId I C).inv.app X i = CategoryTheory.CategoryStruct.id X i
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
⊢ x = p ∧ y = p
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : (algebraMap R K) ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u) = 0
⊢ False
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ List.dlookup a (List.kinsert a b l) = some b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.contractibleTriangle X).obj₁ = X
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C n
hS : S.IsComplex
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map' i j ⋯ ⋯) (S.map' j k ⋯ hk) = 0
F : Type u_2
α : outParam (Type u_3)
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
self : MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
f : F
s : ℕ → Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on s) → f (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), f (s i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
l : Filter E
x : E
⊢ (fun x' => f (x' - x)) =O[l] fun x' => x' - x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
⊢ S.op.Exact
a b : Int
H : b ∣ a
⊢ a.div b * b = a
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
⊢ x.valMinAbs - y = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Disjoint s t ∨ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α × β × γ
⊢ (Equiv.prodAssoc α β γ).symm p = ((p.1, p.2.1), p.2.2)
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Involutive f
hne : f ≠ id
H : f^[n] = id
hn : Odd n
⊢ f = id
a b c p q : ℚ
⊢ p ≠ q ↔ p.num * ↑q.den ≠ q.num * ↑p.den