ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_5
β : Type u_6
Ω : Type u_7
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace β] (Y : α → Ω) (X : α → β) (μ : MeasureTheory.Measure α)
  [inst_1 : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ],
  ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ = (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ A.EqId ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ edist (Memℒp.toLp (s.indicator fun x => c) ⋯) (Memℒp.toLp (t.indicator fun x => c) ⋯) = ↑‖Memℒp.toLp ((s ∆ t).indicator fun x => c) ⋯‖₊
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
s : Set G
h : ν s = μ univ
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ⊤
meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0
⊢ μ univ ≠ 0
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.Balanced → t.dual.Balanced
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun y => gronwallBound δ K y (x - a)) (Ioi ε) ε
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (L₃ ⋙ K).map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ gauge s (x + y) < gauge s x + gauge s y + ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor A B
J.HasSheafCompose F
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf J A} (η : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.sheafCompose J F).map η).val = CategoryTheory.whiskerRight η.val F
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
⊢ X ∣ p - C (p.coeff 0)
Ω : Type u_2
PseudoMetricSpace Ω
TopologicalSpace.SeparableSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ ∃ As,
  (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧
    (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧
      (∀ (n : ℕ), Metric.diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = Set.univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
⊢ P ^ i ≤ I
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x
⊢ IsIntegral R (finrank (↥L⟮x⟯) F • ((minpoly L x).aroots (AlgebraicClosure F)).sum)
R : Type u_4
S : Type u_5
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ IsLocalization.Away e S
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
ι : Sort u_10
S : ι → Submodule R M
⊢ Submodule.comap f (⨆ i, Submodule.map f (S i)) = iSup S
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : EckmannHilton.IsUnital m₁ e₁
h₂ : EckmannHilton.IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
⊢ Std.Associative m₂
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω
⊢ ∑ c ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (c + 1) - u c) ω = ∑ c ∈ Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1)), (u (c + 1) - u c) ω
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.add n 0).inv.app X = h.zero.hom.app ((h.F n).obj X) ≫ eqToHom ⋯
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b‖₊ ≤ ‖b‖₊
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), g i ≤ 1
ha : HasProd g a
⊢ a ≤ 1
R : Type u
CommRing R
M N U : CoalgebraCat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ U
⊢ (f ≫ g).toCoalgHom = g.toCoalgHom.comp f.toCoalgHom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
f₂ : E → G
f₂' : E →L[𝕜] G
hf₁ : HasFDerivWithinAt f₁ f₁' s x
hf₂ : HasFDerivWithinAt f₂ f₂' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁'.prod f₂') s x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ 0 ∈ s.measureOfNegatives
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)
⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
⊢ insertNth k x s = insertNth (k + 1) x s
M : Type u_1
Zero M
x : M
xs : List M
n : ℕ
DecidablePred fun x_1 => (x :: xs).getD x_1 0 ≠ 0
DecidablePred fun x => xs.getD x 0 ≠ 0
⊢ (x :: xs).toFinsupp n.succ = xs.toFinsupp n
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
⊢ ‖x‖ ≤ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
⊢ ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s1 s2 : Affine.Simplex k P n
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), s1.points i = s2.points i
⊢ s1 = s2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y
⊢ ¬s.SSameSide x y
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0
⊢ P.toPoly = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Filter.EventuallyConst f ⊥
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y z : P
⊢ nndist (x -ᵥ z) (y -ᵥ z) = nndist x y
k : Type u_1
V1 : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
p₀ p₁ : V1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • p₀ + c • p₁
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ f.hom ▷ (Y.X ⊗ N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ (α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p₁ : P₁
p₂ : P₂
⊢ e p₁ = p₂ ↔ p₁ = e.symm p₂
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
f : j ⟶ j'
w : F.map f x = x'
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' x'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.f = CategoryTheory.Limits.prod.snd
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.det ⇑f ≠ -1
⊢ e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ ⇑S.subtype = Subtype.val
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ
h : 1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n
⊢ i ≤ log m n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ CategoryTheory.CommSq i.op h.op g.op f.op
X : Scheme
U : X.Opens
⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom = Scheme.Hom.app (Spec.map U.topIso.inv) ⊤ ≫ Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U) ⊤ ≫ U.topIso.hom
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
⊢ ¬IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ¬∃ p > 0, MixedCharZero R p
H : Type u
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℂ H
CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
⊢ S.commutant.commutant = S
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h⁻¹) μ μ
R : Type u
Add R
x y : Tropical R
⊢ Tropical.untrop (x * y) = Tropical.untrop x + Tropical.untrop y
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hs : s ⊆ t
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x r
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) x) ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ Set.Iic x)
p : ℕ
R : Type u_1
x : WittVector p R
n k : ℕ
⊢ (x.shift n).coeff k = x.coeff (n + k)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G
⊢ (fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Reflective i
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
ι : Type w
R : Type u
CommRing R
Nontrivial R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
x : ι → A
i : AlgebraicIndependent R x
⊢ IsTranscendenceBasis R x ↔
  ∀ (κ : Type v) (w : κ → A), AlgebraicIndependent R w → ∀ (j : ι → κ), w ∘ j = x → Function.Surjective j
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J
h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
⊢ FinallySmall J
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : Nonempty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.rightHomologyIso.hom h.homologyIso.inv = S.rightHomologyIso.hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m₁ m₂ : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ m₁ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (𝟙_ M) m₂)).app X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X)
        ((F.μIso (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₁ (𝟙_ M)) m₂).inv.app X))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m₂).hom).app ((F.obj m₁).obj X))
      ((F.obj m₂).map ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m₁).inv).app X)))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f =
  F.map₂Iso (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f) ≪≫
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).symm ≪≫
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRightIso (F.mapId a) (F.map f)).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
a : α
⊢ a ∈ {a | IsRatStieltjesPoint f a} ↔ a ∈ {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
hs : IsClopenable s
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ
⊢ MeasurableSet s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
⊢ (M ⊔ M').IsMatching
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
m : α → β
⊢ Set.InjOn (Filter.map m) (Set.Iic (𝓟 s)) ↔ Set.InjOn m s
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
dνκ_finite : levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤
⊢ levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤
b : Bool
n : ℕ
⊢ (2 * -[n+1] + bif b then 1 else 0) = -[2 * n + bif !b then 1 else 0+1]
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ s - t = Finset.image (fun p => p.1 - p.2) (s ×ˢ t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
H : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ T.invRotate ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
η : Type u_8
Fintype η
ι : η → Type u_9
(i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_10
RCLike 𝕜
E : η → Type u_11
(i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
x : (i : η) → E i
j : (i : η) × ι i
⊢ (Pi.orthonormalBasis B).repr x j = (B j.fst).repr (x j.fst) j.snd
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ
g : α → ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ[↑f * g|m] =ᵐ[μ] ↑f * μ[g|m]
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E
⊢ 0 ≤ ‖T x‖ ^ 2
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
⊢ PowerSeries.X ≠ 0
α : Type u
self : LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = if a ≤ b then b else a
α : Type u
Infinite α
⊢ ↑(Filter.hyperfilter α) ≤ Filter.cofinite
a x z✝ z : ℂ
hz : z ≠ 0
⊢ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)
⊢ (Measure.sum fun n => μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) = Measure.sum (sFiniteSeq μ)
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ (∏ i ∈ s, f i).divisors = ∏ i ∈ s, (f i).divisors
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun a => k a ^ z * f a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
this : torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i) ⊓ OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i))) = torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i))) ⊓ torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i)))
⊢ (fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0
h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g)
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ sSup s = t.sup id
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0
⊢ cokernel.π f = 0