ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f
⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
k : Type u
Field k
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ⇑(AlgebraicClosure.toStepOfLE k m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun n => ⇑(AlgebraicClosure.toStepSucc k n)) a
X : Type u_1
Y : Sort u_2
TopologicalSpace X
y : Y
⊢ T2Space X ↔ IsSeparatedMap fun x => y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.199007, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
A' : C
α : A' ⟶ A
⊢ (α ≫ k) ≫ S.g = 0
α : Type u_1
s : α → α → Bool
a b : α
l r : List α
⊢ (match s a b with | true => merge.loop s l (b :: r) [a] | false => merge.loop s (a :: l) r [b]) = if s a b = true then a :: merge.loop s l (b :: r) [] else b :: merge.loop s (a :: l) r []
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Pairwise ⊥ ↔ s.Subsingleton
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : M ≃[L] N
f g : N ≃[L] P
hfg : (fun f => f.comp h) f = (fun f => f.comp h) g
⊢ f = g
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
⊢ g.IsClosable
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E
⊢ finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
⊢ {↑v} ⊆ ↑(Submodule.span ℝ {-↑v})
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ : A →ₐc[R] B
⊢ (BialgHom.id R B).comp φ = φ
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
⊢ f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f
x y : Bool
⊢ ((!x) != !y) = (x != y)
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
LocalRing R
IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h1 : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
h2 : rs.Perm rs'
h3 : ∀ r ∈ rs, r ∈ LocalRing.maximalIdeal R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs'
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
a : K
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)
⊢ ((autAdjoinRootXPowSubC hn a) η) (AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)) =
  ↑↑η • AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S T : Set (Set X)
hS : RestrictGenTopology S
hT : ∀ s ∈ S, ∃ t ∈ T, s ⊆ t
⊢ RestrictGenTopology T
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
⊢ 1 < ↑n ↔ 1 < n
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
⊢ Measurable f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G✝ : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
G : Type u_9
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ |∑ i ∈ s, f i| = ∑ i ∈ s, f i
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁴ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
⊢ J.toSheafify (P ⋙ F) = whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.sheafifyCompIso F P).hom
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
I : Ideal R
h : I ≠ ⊤
⊢ I.jacobson = LocalRing.maximalIdeal R
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
e : f ≅ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.inv.left e.hom.left = CategoryTheory.CategoryStruct.id g.left
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt ⇑(equivIco p a) ↑z✝
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Ici a ⊆ Set.Ici ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (PFun.id α).prodMap (PFun.id β) = PFun.id (α × β)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : a • s • c = a • s • d
⊢ c = d
α : Type u_1
P : α → Prop
x : α
⊢ Ordnode.All P {x} ↔ P x
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
⊢ List.count false l ≤ List.count true l + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ {IsSimpleOrder.equivBool.symm true, IsSimpleOrder.equivBool.symm false} = {⊤, ⊥}
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
A : ∀ t ∈ Icc a x, HasDerivWithinAt (fun y => taylorWithinEval f n (Icc a b) y x) (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t
this : ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)
⊢ (↑n !)⁻¹ * (x - a) ^ n * C * (x - a) = C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
h : AlgebraicGeometry.IsAffine Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsAffine X
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
⊢ f * ⊤ = ⊤
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.subLeft x).symm b = -b + x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ a ∈ liminf s 𝓕 ↔ ∀ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
g : L.Equiv M N
⊢ g.comp (FirstOrder.Language.Equiv.refl L M) = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
self : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCochain G U
i j : I
T T' : C
φ : T ⟶ T'
a : T' ⟶ U i
b : T' ⟶ U j
⊢ (G.map φ.op) (self.ev i j a b) =
  self.ev i j (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ a) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ b)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
H : ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x
⊢ f = f'
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
⊢ mk (g i) ⋯ ≤ mk x ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Continuous ⇑h.symm
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ (ModuleCat.imageIsoRange f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι f = ModuleCat.ofHom (LinearMap.range f).subtype
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedSpace ℝ 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Module ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
⊢ LocallyConvexSpace ℝ E
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
⊢ IsRelPrime (x ^ m) y ↔ IsRelPrime x y
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
⊢ h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
b : Bool
⊢ (b.toNat != 1) = !b
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₁ ≤ aleph o₂
⊢ max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
⊢ ⋯.toGraph = h.toGraphᶜ
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
c : R
x : M (Fin.last n)
⊢ f (Fin.snoc m (c • x)) = c • f (Fin.snoc m x)
⊢ Filter.map Complex.exp (Filter.comap Complex.re Filter.atTop) = Bornology.cobounded ℂ
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ico ↑x ↑y = Set.Ico x y
α : Type
Finite α
X : α → Stonean
B : Stonean
e : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ Stonean.finiteCoproduct.ι X a ≫ Stonean.finiteCoproduct.desc X e = e a
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
⊢ σ ((aeval a) p) = (fun k => eval k p) '' σ a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
⊢ IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
x : α
⊢ t ∈ 𝓝[s] x ↔ s =ᶠ[𝓝 x] s ∩ t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ map (const α b₂) l
⊢ b₁ = b₂
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.up ℕ) 0 A).hom ≫ f ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.up ℕ) 0 B).inv = f
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ : Set α
⊢ m.IsCaratheodory s₁ → m.IsCaratheodory s₁ᶜ
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
a b : A
⊢ (PowerSeries.rescale a) (PowerSeries.exp A) * (PowerSeries.rescale b) (PowerSeries.exp A) =
  (PowerSeries.rescale (a + b)) (PowerSeries.exp A)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' : I₁
h : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ (K.d i₁ i₁').f i₂ = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
⊢ ¬rayOfNeZero ℝ (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
Preorder γ
Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
⊢ StrictAnti (Prod.map f g)
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m.succ.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x u 2 = Matrix.vecHead (Matrix.vecTail u)
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
n : ℕ
⊢ (fun x => f x ^ n) =O[l] fun x => g x ^ n
a b : ℤ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = (b - a - 1).toNat
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
⊢ ContinuousWithinAt g t x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' t) (↑(chartAt H x) x)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
TopologicalSpace α
h : TendstoUniformly F f p
hf : ContinuousAt f x
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝 x)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f g : K[X]
hfg : Polynomial.map i (f * g) ≠ 0
h : Polynomial.Splits i (f * g)
⊢ Polynomial.Splits i f ∧ Polynomial.Splits i g
s : ℂ
⊢ (Gamma s)⁻¹ = s * (Gamma (s + 1))⁻¹
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
ι : Type u_2
t : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, f i ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (r • α).f = r • α.f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.tan (angle x (x - y)) = ‖x‖
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : 1 = (↑g).det
⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
⊢ 𝒜.card * (Fintype.card α).choose (r - 1) ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α).choose r
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
p : α → Prop
f g : α → β
(a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun a => if p a then f a else g a
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
Group G
AddMonoid α
SMul γ α
self : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
z : γ
⊢ (z • a) ∣[k;γ] g = z • a ∣[k;γ] g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v p q hpq ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₃.f q =
  -(K.shiftFunctorObjXIso 1 q p ⋯).inv
α : Type u_1
rα C : α → α → Prop
⊢ WellFounded rα →
  (∀ (a₁ b₁ : α), (∀ (a₂ b₂ : α), Sym2.GameAdd rα s(a₂, b₂) s(a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁) → ∀ (a b : α), C a b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.constantCoeff x = x.coeff 0
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
r : R
m : M
⊢ (algebraMap R A) r • m = r • m
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : V
⊢ affineSegment R x y = segment R x y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : Infinite R
p : R[X]
h : ∀ (x : R), eval x p = 0
⊢ p = 0
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ (M.updateRow j (s • u)).det = s * (M.updateRow j u).det
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
⊢ DirectSum.IsInternal fun i => Submodule.torsionBy R M (q ↑i)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
h : ∀ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V → ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, UniformSpace.ball y V
⊢ TotallyBounded s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2
⊢ ∃ p, ↑s1 ∩ ↑s2 = {p}
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
AddGroup α
M N : o → Matrix m n α
⊢ Matrix.blockDiagonal (M - N) = Matrix.blockDiagonal M - Matrix.blockDiagonal N
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ∃! l, ∀ (j : J), l ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j = t.π.app j
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ t u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
empty : p ∅
cons : ∀ (a : α) (s : Finset α) (h : a ∉ s), p s → p (Finset.cons a s h)
s : Multiset α
nd : s.Nodup
⊢ p { val := s, nodup := nd }
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Iic b = Set.Ici (a - b)
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : (x : α) → x ∈ S → Set X
ho : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), IsGδ (f s H)
hS : S.Countable
hd : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), Dense (f s H)
this : Countable ↑S
⊢ Dense (⋂ x, f ↑x ⋯)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ] F
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
⊢ AntilipschitzWith K ⇑f
c : Cardinal.{u_2}
h : c.IsStrongLimit
⊢ c ≠ 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a / b
G : Type u_1
AddGroup G
L : AddSubgroup G
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → AddSubgroup G
⊢ (⨅ i, f i).relindex L ≤ ∏ i : ι, (f i).relindex L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ self.inl ≫ self.snd = 0
α✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α✝ → E
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α✝
α : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → G
⊢ ∫ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = ↑(a.re.gcd a.im) * re
Him : a.im = ↑(a.re.gcd a.im) * im
⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
z : L
x : ↥(integralClosure A L)
y : A
hy : y ≠ 0
hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x
⊢ z * (algebraMap C L) ((algebraMap A C) y) = (algebraMap C L) (mk' C ↑x ⋯)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g).hom (F.map h)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h).hom)
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).inv))
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
m₁ m₂ : M
⊢ 0 •> m₂ + m₁ <• 0 = 0