ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
⊢ (2 * n).factorial ≤ (2 * n) ^ n * n.factorial
x : (Quotient.out 1).α
⊢ x = Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) 0 ⋯
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Set.Ioi x = Set.Ioo ↑x ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f g : C
η : f ⟶ g
η₁ : f ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g (𝟙_ C)
η₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (𝟙_ C) ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g (𝟙_ C)
pf_η₁ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor g).inv = η₁
pf_η₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor f).hom η₁ = η₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η (𝟙_ C) = η₂
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ + hurwitzZetaOdd a s) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaEven a 1 + hurwitzZetaOdd a 1))
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
Mul M
IsScalarTower R M M
p q : SubMulAction R M
x : M
⊢ x ∈ p * q ↔ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ q, y * z = x
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : ∀ {a b : V}, G.Adj a b → a ≠ b
⊢ G.Adj v w ∨ v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w ↔ ¬w = v
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
self : c.Embedding c'
i₁ i₂ : ι
h : c.Rel i₁ i₂
⊢ c'.Rel (self.f i₁) (self.f i₂)
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
⊢ a + b + -b = a
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
t : Finset (ZMod n × ℕ)
hts : t ⊆ s.toEnumFinset
ht : t.card = n ∧ ∑ i ∈ t, i.1 = 0
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ TrivSqZeroExt.inr m * TrivSqZeroExt.inl r = TrivSqZeroExt.inr (m <• r)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
⊢ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hs : s.Nonempty
h's : BddBelow s
⊢ ↑(sInf s) = ⨅ a ∈ s, ↑a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ⊆ interior s
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = p
⊢ Prime p
n : ℤ
⊢ Xor' (Even n) (Odd n)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{v}
a : Ordinal.{max v u}
ha : a < Ordinal.lift.{u, v} c.ord
⊢ a < (lift.{u, v} c).ord
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
cd : Fin 2 → R
b₀ a : R
gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1
A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]
det_A_1 : A.det = 1
⊢ cd ∈ (fun g => ↑g 1) '' Set.univ
R : Type u
a b : R
m n✝¹ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n n✝ : ℕ
⊢ (p.update n 0).coeff n✝ = (erase n p).coeff n✝
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G
⊢ (Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Module.Free R M₁
Module.Finite R M₁
Module.Free R M₂
Module.Finite R M₂
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ (((LinearMap.BilinMap.tensorDistribEquiv R) (B₁ ⊗ₜ[R] B₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (B₁ m₁) m₁' * (B₂ m₂) m₂'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) m₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) m₂
⊢ m₁ = m₂
⊢ ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.Scheme.forgetToTop.map f = (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val
⊢ completedRiemannZeta₀ 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2 + 1
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
⊢ (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)) (eval₂ C (X ∘ f) p) = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g ∘ f)) p
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₁.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) y * l₂ i
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝¹ : RatFunc K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
⊢ { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 }.toFractionRing = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (RatFunc K) (FractionRing K[X])) { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 }
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
o : Ordinal.{u}
e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord
⊢ ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
a : α
Invertible a
Invertible (-a)
⊢ ⅟(-a) = -⅟a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂✝ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂
c₂ : ℝ
h₂ : IsBigOWith c₂ l f' g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : β
⊢ ↑(min x y) = min ↑x ↑y
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
K' : IntermediateField F L
⊢ normalClosure F K L ≤ K' ↔ ∀ (f : K →ₐ[F] L), f.fieldRange ≤ K'
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : DecidableEq K
i : ℕ
⊢ ∑ x : Kˣ, ↑x ^ i = if q - 1 ∣ i then -1 else 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ ⇑f.tosInfHom = ⇑f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a : Associates α
⊢ Associates.mk a.out = a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ (⋃ x ∈ t, U x)ᶜ ∈ l
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ I ^ n
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k
⊢ p ∣ p ^ k
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
a r : ℤ
hr : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (jacobiSym a p) r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (legendreSym p a) r
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : P f
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ (f ⁻¹ᵁ ⊤) ⋯)
M : Type u_4
AddMonoid M
c : AddCon M
n : ℕ
w x : M
⊢ c w x → c (n • w) (n • x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
F.Faithful
fData : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
X Y : D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.fromInduced F fData).μ X Y = (fData.μIso X Y).hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
⊢ f x < f y
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : ℕ
hi : i < n + 1 + 1
hb : c ⟨i, hi⟩ < c 1
⊢ c ⟨i, hi⟩ = ⊥
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : f ≫ g = h ≫ G.map k
⊢ F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
⊢ Irreducible f
X : TopCat
⊢ ∀ (X_1 : CompHausᵒᵖ), X.toCondensedSet.val.obj X_1 = C(↑(Opposite.unop X_1).toTop, ↑X)
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
Monoid M
s : Set G
hs : Subgroup.closure s = ⊤
f g : G →* M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
Z : D
U : C
iUY : U ⟶ Y
iZU : Z ⟶ G.obj U
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
⊢ Sieve.pullback (iZU ≫ G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Z
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p = v2 +ᵥ p2
⊢ v + v2 +ᵥ p2 ∈ spanPoints k s
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ log x ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : PosNum
⊢ ↑↑n = ↑n
a b : Int
⊢ a < b ∨ a = b ∨ b < a
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (Icc a b).card - 1 - 1 = (Icc a b).card - 2
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : ℕ → TopologicalSpace.Opens G
⊢ μ.innerContent (⨆ i, U i) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)
z w : ℂ
⊢ nndist ((starRingEnd ℂ) z) ((starRingEnd ℂ) w) = nndist z w
α : Type u_1
s : Set α
p : ↑s
⊢ ↑p ∈ s
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
n : ℕ+
⊢ ADEInequality.Admissible (ADEInequality.D' n)
a b : Nat
⊢ ((a == b) = true) = (a = b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : α), (preCDF ρ (s m) (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a) atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.intValuation r ≤ 1
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : Measure.count (s ∩ t) * (Measure.count s)⁻¹ = 1
hsf : s.Finite
⊢ s ⊆ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.Hom.τ₁ 0 = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : C
f : X ≅ s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.extendIso s f).hom.hom = f.hom
R : Type u_1
CommSemiring R
R' : Type u_2
Monoid R'
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
DistribMulAction R' M
SMulCommClass R R' M
DistribMulAction R' N
TensorProduct.CompatibleSMul R R' M N
r : R'
x : M
y : N
⊢ x ⊗ₜ[R] (r • y) = r • x ⊗ₜ[R] y
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.toFinset.card = 1 ↔ Multiset.card s ≠ 0 ∧ ∃ a, s = Multiset.card s • {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
M_cont : Continuous ⇑M
hM : Function.Surjective ⇑M
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / 1).toReal • eLpNorm f 1 μ = c * eLpNorm f 1 μ
α : Type u_1
β : Type u_2
oα : Ord α
oβ : Ord β
Batteries.OrientedOrd α
Batteries.OrientedOrd β
⊢ Batteries.OrientedOrd (α × β)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a - b).toProd.2 = a.toProd.2 - b.toProd.2
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
e : C ≌ C
⊢ e ^ 1 = e
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
f : A →ₙₐ[R] B
⊢ NonUnitalSubalgebra.map f ⊤ = NonUnitalAlgHom.range f
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer ℤ (n + 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) s = riemannZeta s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this✝ : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
hM : M ∈ hf.toFinset
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, (algebraMap R A) c = a * b
hmem : ∑ x ∈ s, u x • (a M * b x) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
⊢ a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ IsPrimitiveRoot a n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquiv F U).counitIso =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivCounitIso F U
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hconv : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
⊢ IsPathConnected s
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
DivInvMonoid β
z : ℤ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(f ^ z) a = ↑f a ^ z
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ n + 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ ↑n < a
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
b c : M
⊢ z₁ * z₂ * (b * c) = z₁ * (z₂ * (b * c))
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f✝ : M → B
g : M → F
x : M
f : M → TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : f x ∈ e.source
he' : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e' (f y)).2) s x
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
f g : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.trunc n (f * ↑(PowerSeries.trunc n g)) = PowerSeries.trunc n (f * g)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
⊢ ((algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ).IsIntegral
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
⊢ ∀ (x x_1 : D.J), D.oneHypercover.I₁ x x_1 = PUnit.{u + 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t ⊆ f '' (s ∩ t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G H : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ (α ≫ β).toNatTrans = α.toNatTrans ≫ β.toNatTrans
N : ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(Real.log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableAdd M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c + f x) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T2Space Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Filter.Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦f⟧ } < { cauchy := ⟦g⟧ } ↔ f < g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
hf : Smooth I I' f
⊢ SmoothOn I I' f s
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ -⊥ = ⊥