ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
⊢ (charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0 ↔ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = φ.nilRank
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
x : ↥p
⊢ let map := Submodule.inclusion ⋯;
(LinearMap.quotientInfEquivSupQuotient p p') (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (map x)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ) ↔ a✝ ∈ n.divisors
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N
⊢ x ∈ Set.range f → (g' ∘ g) x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Ioc a b = Ioc (e a) (e b)
ι : Type u_1
R : Type u_5
Zero R
One R
NeZero 1
⊢ Function.support 1 = Set.univ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
⊢ Ico a c ⊆ Ico a b ∪ Ico b c
α : Type u
f g : Filter α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hfin : s.Finite
⊢ ⋂₀ s ∈ f ↔ ∀ U ∈ s, U ∈ f
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f g : RingQuot s →ₐ[S] B
w : f.comp (mkAlgHom S s) = g.comp (mkAlgHom S s)
x : RingQuot s
⊢ f x = g x
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
Nonempty α
SemilatticeSup α
u : α → E
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : α), N ≤ m → ∀ (n : α), N ≤ n → ‖u m / u n‖ < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.ContainsIdentities
X : C
⊢ W (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
S : Subalgebra F E
this✝ : FiniteDimensional F E
this : FiniteDimensional F ↥S
⊢ S = ⊥ ∨ S = ⊤
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∃ a b, 0 < a ∧ 0 < b ∧ b ^ 2 * a = n ∧ Squarefree a
x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : 0 ≤ 0
⊢ x ^ 0 ≤ y ^ 0
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
pa : p a
⊢ 0 < Multiset.countP p s
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ ≡ b₁ [PMOD p] → (a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ [PMOD p] ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p])
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : ArithmeticFunction M
⊢ 1 • b = b
n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ Even p ↔ p = 2
n b : ℕ
l : List ℕ
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ x✝ * b ^ (x✝¹ + 1) = b * (x✝ * b ^ x✝¹)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
⊢ Tendsto (fun i => (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2) * (π / 2)) atTop (𝓝 (π / 2))
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
hball : MapsTo e (ball 0 1) (ball z r)
⊢ ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
⊢ g⁻¹ • s ⊆ s ↔ s ⊆ g • s
n m : Nat
p : n = m
⊢ n ≤ m
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ 1 = 1
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ EqOn (⇑↑starAddEquiv) (⇑(AddMonoidHom.id R)) (range fun s => star s * s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ
⊢ edist x y ≤ ↑δ
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J
⊢ IsOpen ↑U
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ ∃ fsymm, 0 < fsymm.nnnorm
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ < 1 ↔ x ≠ y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ ⁅I₁, I₂⁆ ≤ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆
G : Type u
Mul G
UniqueProds G
⊢ IsCancelMul G
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
i j :
  (TopCat.GlueData.MkCore.mk (fun i => (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i))
      (fun i j => (TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j))
      (fun i j => { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).J
⊢ (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).f i j = ((TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j)).inclusion
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =o[l] g'
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C D : G.ComponentCompl K
ne : C ≠ D
⊢ ↑C ∩ ↑D ⊆ ∅
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
L : F
LK : L ∈ K
hL₁ : x ∈ A f L r ε
hL₂ : x ∈ A f L s ε
y : ℝ
hy₁ : y ∈ A f L r ε
hy₂ : y ∈ A f L s ε
⊢ ∃ i ∈ K, y ∈ A f i r ε ∧ y ∈ A f i s ε
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 ^ 2 * (z.im * w.im)) = sinh (r / 2) ^ 2 ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * (z.im * w.im)) = sinh (r / 2) ^ 2
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ List.kreplace a b l = l
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g
⊢ OpenEmbedding ⇑(pullback.fst f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
⊢ cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ↑⌊a + b⌋ - 1 - a ≤ b - 1
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
c : ℝ≥0
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ (c • μ).testAgainstNN f = c • μ.testAgainstNN f
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) =
  1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + Complex.I * b) ^ 2)
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
⊢ ↑1 = 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ Filter.liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) Filter.atTop
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J K : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
(i : I) → Decidable (K i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ ∀ (a : ↑(Profinite.NobelingProof.π C K)) (a_1 : I),
  ↑(Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C h a) a_1 = Profinite.NobelingProof.Proj J (↑a) a_1
α : Type u_1
γ : Type u_2
Ring α
Ring γ
g : α →+* γ
⊢ IsRingHom ⇑g
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
⊢ ord I i < o
x y z : Bool
⊢ xor (xor x y) z = xor x (xor y z)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
k : ℕ
hnk : n.succ ≤ n + k + 1
hk : g.contsAux (n + k + 1) = g.contsAux (n + 1)
⊢ g.contsAux (n + k + 1 + 1) = g.contsAux (n + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
⊢ (l.concat a).prod = l.prod * a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
I : Submodule B L
x : L
⊢ x ∈ Submodule.traceDual A K I ↔ ∀ a ∈ I, ((Algebra.traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : ∀ x ∈ s, x = 1
⊢ s.prod = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
h0 : f x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun y => ‖f y‖) s x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ 1 / (↑m + 1) ≤ 1 / (↑n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
T : Set β
hT : IsClosed T
hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)
hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)
hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))
hxT : f y ∈ T
z : β
⊢ z ∈ range f → (z ∈ closure (T ∩ range f) ↔ z ∈ T)
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Icc (-(π / 2)) (π / 2)) cos
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
c : G
⊢ (Continuous fun x => c • f x) ↔ Continuous f
G : Type u_2
MeasurableSpace G
SubtractionMonoid G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun t => -(g + t)) μ = μ
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A + C).card * B.card ≤ (A + B).card * (B - C).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G 0
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom z.homOf = ↑z
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ∏ j ∈ s.erase i, eval (v i) (basisDivisor (v i) (v j)) = 1
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A
⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial 0) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial 0) 1
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
hb : b ≠ ⊤
hab : a ≤ b
⊢ a ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.snd CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫
    CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.snd CategoryTheory.Limits.biprod.fst =
  𝟙 (P ⊞ Q)
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
U : (AlgebraicGeometry.Spec S).Opens
V : (AlgebraicGeometry.Spec R).Opens
e : U ≤ (TopologicalSpace.Opens.map (AlgebraicGeometry.Spec.map f).val.base).obj V
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE (AlgebraicGeometry.Spec.map f) V U e = AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f V U e
⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2 + 1 / 2))
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf : ∀ (i : ℕ), d ∈ Y₁ (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ Ici i
⊢ False
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
OrderBot α
a : α
⊢ a = ⊥ ∨ (∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a) ∨ IsWellOrderLimitElement a
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
⊢ (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y
hf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x = pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y
x : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCover.ι x ≫ 𝒰.fromGlued ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p₁ p₂ : P₁
⊢ e p₁ = e p₂ ↔ p₁ = p₂
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ Memℒp f p μ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
MulOneClass H
f : G ≃* H
a : Additive H
⊢ (MulEquiv.toAdditive f).symm a = (MonoidHom.toAdditive f.symm.toMonoidHom) a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a ⊂ insert a s
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α
⊢ c (c x) = c x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
this : 0 < ε
UVl : 4 / 5 * ε * (4 / 5 * ε) ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card)
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card) * (9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ ¬Inseparable (↑x) OnePoint.infty
α : Type u
f : α → α
hf : Function.Injective f
x : α
⊢ Function.IsFixedPt f (f x) ↔ Function.IsFixedPt f x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B
⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A K 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
a : α
hf : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
h : ∀ᶠ (n : β) in f, a ≤ u n
⊢ a ≤ Filter.liminf u f
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
⊢ (o'.blsub fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.blsub f
M : Type u_1
Monoid M
s : Submonoid M
⊢ s ≤ Submonoid.centralizer ↑(Submonoid.centralizer ↑s)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ (MeasureTheory.condexpInd G hm μ s) c = MeasureTheory.indicatorConstLp 1 ⋯ hμs c
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α
⊢ a ⊔ ⨅ i, f i = ⨅ i, a ⊔ f i
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
LinearOrder β
x y : β
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ (z + τ) τ = ∑' (c : ℤ), cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂_term ((Equiv.addRight 1) c) z τ
r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞
⊢ (r • s).toReal = r • s.toReal
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.drop n l <:+ l
α : Type u
Add α
a : WithTop α
⊢ a + ⊤ = ⊤
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
p : M → Prop
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
x : M
H1 : p 0
Hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → p x → p (x + y)
⊢ p x
α : Type u
SubtractionMonoid α
c : α
h : IsAddUnit c
a b : α
⊢ a + c - (b + c) = a - b
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ ∀ (x : X × ℝ), ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) x
α : Type u_1
DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ a ::ₘ m → δ a'
⊢ (Multiset.Pi.cons m a (f a ⋯) fun a' ha' => f a' ⋯) = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I n id
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖
f : ℝ →+* ℂ
h : Continuous ⇑f
⊢ f = Complex.ofReal
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (-f) p μ
E : Type u_3
SeminormedGroup E
⊢ UniformContinuous fun a => ‖a‖₊
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a ⊓ b ∈ s ⊼ t
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ m₁' : M₁
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (m₁, 0) (m₁', 0) ↔ Q₁.IsOrtho m₁ m₁'
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
⊢ ↑η ^ 2 = -↑η - 1
a b : UInt64
⊢ a + b = { val := a.val + b.val }
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
h : Filter.Tendsto f l (𝓝[>] 0)
⊢ Filter.Tendsto f⁻¹ l Filter.atTop
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ S.a + ↑⋯.unit * S.b = (hζ.toInteger - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ Measurable fun y => MeasureTheory.Measure.map (fun x => (x, y)) μ