ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0
⊢ ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
d : Ordinal.{u_4}
⊢ a * (b - c) ≤ d ↔ a * b - a * c ≤ d
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c - x)) MeasureTheory.volume (c - a) (c - b)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
n : ℕ
f : α → Mathlib.Vector β n
⊢ (Primrec fun a => (f a).toList) ↔ Primrec f
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ EMetric.diam (closure s) = EMetric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
b : β
⊢ b ∈ Finset.map f s ↔ ∃ a ∈ s, f a = b
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
a : α
h : ∀ x ∈ s, a ≤ x
⊢ a ^ Multiset.card s ≤ s.prod
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
DecidableEq ιM
bₘ : Basis ιM R M
⊢ φ.polyCharpoly b =
  Polynomial.map (↑(MvPolynomial.bind₁ (LinearMap.toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (Matrix.charpoly.univ R ιM)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ⊥.parts.card = s.card
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Function.Injective Equiv.Perm.cycleFactorsFinset
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ (↑μ univ).toNNReal = μ.mass
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h2 : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b - a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ _root_.Disjoint f.cycleFactorsFinset g.cycleFactorsFinset
X : Type u_3
TopologicalSpace X
self : IrreducibleSpace X
⊢ Nonempty X
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 + ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)
R : Type u_6
F : Filter R
LinearOrder R
u : R
freq_le : ∃ᶠ (r : R) in F, r ≤ u
⊢ Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F
R : Type u_1
CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
⊢ (∀ n > 0, ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ ArithmeticFunction.moebius x.1 = f n
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ 1 < p.toNNReal
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric (c • m) = c • MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
G : Type u
Monoid G
⊢ Monoid.exponent G = 0 ↔ ¬Monoid.ExponentExists G
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ Function.Injective NormedAddGroupHom.toFun
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd
⊢ hd :: tl <+ l'
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
h : ∀ (n : ℕ), x.coeff n = 0 ∨ y.coeff n = 0
⊢ (x + y).coeff n = x.coeff n + y.coeff n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (cyclotomic' n R).degree = ↑n.totient
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
m : ℕ := Q.natDegree
i j : ℕ
hij : i + j = l + m
H : i = l → ¬j = m
hi : l < i
⊢ P.coeff i * Q.coeff j = 0
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ (1 + x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 2 * ∑' (i : ℕ), x ^ i - 1
x y z : ℤ
⊢ PythagoreanTriple x y z ∧ x.gcd y = 1 ↔
  ∃ m n,
    (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
      (z = m ^ 2 + n ^ 2 ∨ z = -(m ^ 2 + n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G'✝ : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
u : V
v : V'
⊢ G.Reachable (φ.symm v) u ↔ G'.Reachable v (φ u)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x
h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop
h'fg : deriv f' =O[l] g
⊢ ¬IntegrableOn g k volume
p : ℕ
hp : Prime p
m : ℕ
hn : 0 < m.succ
⊢ φ (p ^ m.succ) = p ^ (m.succ - 1) * (p - 1)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : Memℒp f p μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ (-f) ≫ (-g) = f ≫ g
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p f = 0 ↔ f = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
Norm E
l : Filter α
f : α → ℝ
g : α → E
⊢ (fun x => ↑(f x)) =o[l] g ↔ f =o[l] g
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set α
⊢ s.PairwiseDisjoint fun a => f ⁻¹' {a}
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily f)).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
⊢ Complex.Gammaℂ 1 = 1 / ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
n : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.sigma 1) n = ∑ d ∈ n.divisors, d
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
f g : CentroidHom α
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
F : Type u_1
Field F
S : Set F
a : F
ha : a ∈ S
⊢ a ∈ Field.closure S
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p (x + y) x_1
α : Type u
s : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] ∅ ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∉ s
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Over X
hl : f.left ≅ g.left
hw : CategoryTheory.CategoryStruct.comp hl.hom g.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ ⋯ = ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
⊢ ⨆ i_1, ∑ i ∈ insert i s, (↑i_1).lintegral (μ i) = ∑ i ∈ insert i s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ P.Λ s
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
⊢ Set.center G₀ˣ ⊆ Units.val ⁻¹' Set.center G₀
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.pmul ↑ArithmeticFunction.zeta = f
m n k : ℕ
⊢ m.gcd (m * k + n) = m.gcd n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.76698, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂ - s.r ≫ S.f
α : Type u_2
ι : Type u_5
BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ (s.sup fun b => f b ⇨ a) = s.inf f ⇨ a
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
α : Type u_2
self : IndepMatroid α
X : Set α
⊢ X ⊆ self.E → Matroid.ExistsMaximalSubsetProperty self.Indep X
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x) = C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
⊢ lift.{v, v'} (⨆ ι, #↑↑ι) ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
α : Type u_1
⊢ Equiv.optionCongr 1 = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v
⊢ H.coe.Adj ⟨u, ⋯⟩ ⟨v, ⋯⟩
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬AEMeasurable f μ
⊢ μ.tilted f = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ 0 < List.count a l ↔ a ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
e' : PartialEquiv α β
(i : α) → Decidable (i ∈ s)
(i : β) → Decidable (i ∈ t)
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
⊢ Set.LeftInvOn (t.piecewise ↑e.symm ↑e'.symm) (s.piecewise ↑e ↑e') (s.ite e.source e'.source)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : α
⊢ (fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae ρ.fst] ⇑ρ.condKernel
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
(x : α) → Decidable (x ∈ e.source)
(y : β) → Decidable (y ∈ e.target)
⊢ e.disjointUnion e' hs ht = e.piecewise e' e.source e.target ⋯ ⋯
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
t : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hws : 0 < ∑ i ∈ t, w i
z : ι → E
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ t.centerMass w z ∈ (convexHull R) s
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
y : α
yE : y ∈ closure E
hy : dist x y ≤ δ
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
ι : Type u_2
M : ι → Type u_6
(i : ι) → AddMonoid (M i)
Fintype ι
DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
⊢ Finset.univ.noncommSum (fun i => Pi.single i (x i)) ⋯ = x
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a / b = a' / b
⊢ False
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.normSq (z + w) = RCLike.normSq z + RCLike.normSq w + 2 * RCLike.re (z * (starRingEnd K) w)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Iic a) MeasureTheory.volume
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 (limUnder Filter.atBot f))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ (CategoryTheory.Limits.coprodZeroIso X).hom = 𝟙 X
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
s : Set α
h : f a = 0
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ (fun x => c ^ f x) s x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n
⊢ a ≤ n + b ∧ b ≤ n + a
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ mabs (a * b) ≤ mabs a * mabs b
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a ≤ b
hfab : f b ≤ f a
hf_c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf_i : Set.InjOn f (Set.Icc a b)
⊢ StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
α : Type u_1
Fintype α
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ Fintype.card ↑s = Fintype.card α ↔ s = Set.univ
i n m : Nat
hn : i < n
h : n ≤ m
⊢ Fin.castLE h ⟨i, hn⟩ = ⟨i, ⋯⟩
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H.relindex K = 0
⊢ H.index = 0
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
self : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
i : I₁ × I₂ × I₃
⊢ self.q (self.p (i.1, i.2.1), i.2.2) = r i
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
j : Nat
v : α
ne : ↑i ≠ j
⊢ (a.set i v)[j]? = a[j]?
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
inst✝ : IsIso (p.map φ)
φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)
⊢ φ ≫ φ' = 𝟙 a ∧ φ' ≫ φ = 𝟙 b
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den
⊢ 0 < c * ↑q.den
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
⊢ closure s = ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ s ○ V
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
⊢ False
R : Type u_2
AddZeroClass R
l₁ l₂ : List R
DecidablePred fun x => (l₁ ++ l₂).getD x 0 ≠ 0
DecidablePred fun x => l₁.getD x 0 ≠ 0
DecidablePred fun x => l₂.getD x 0 ≠ 0
⊢ (l₁ ++ l₂).toFinsupp = l₁.toFinsupp + Finsupp.embDomain (addLeftEmbedding l₁.length) l₂.toFinsupp
R : Type u_6
AddCommMonoid R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R
⊢ A.trace = A 0 0 + A 1 1 + A 2 2
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F)).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
m n : PosNum
⊢ m ≤ n ↔ m.cmp n ≠ Ordering.gt
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ (ν.withDensityᵥ fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) = μ.withDensityᵥ f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
a : M
⊢ (AddEquiv.ofLeftInverse f h) a = f.srangeRestrict a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
⊢ α.symm ≪≫ α ≪≫ β = β
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f) + SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc g)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
v : ι → M
⊢ e.det v = (e.toMatrix v).det
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim
root : ∑ x : Fin pb.dim, p.coeff ↑x • pb.basis x = 0
this : ∀ (i : Fin pb.dim), p.coeff ↑i = 0
⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
m : ℕ
m.AtLeastTwo
⊢ 1 + OfNat.ofNat m = Order.succ (OfNat.ofNat m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
A : Type v
inst✝ : Ring A
h₁ : (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ ∀ (a b : A), a * b = b * a
h₂ : IsLieAbelian A ↔ ∀ (a b : A), ⁅a, b⁆ = 0
⊢ (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m
⊢ x < 2 ^ (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α
⊢ map (map f) ts.permutations' = (map f ts).permutations'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
a x : α
⊢ (fun x => f (a - x)) (x + c) = -(fun x => f (a - x)) x
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a } + -{ cauchy := b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
R : Type u_1
CommRing R
a b : R[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).degree < a.degree + b.degree
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)
hs : Ideal.map f (Ideal.span s) = Ideal.map f ⊤
⊢ P f
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
⊢ Partrec₂ fun a m => Part.map (fun x => x + m) (Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + m)))
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (prodComparison F X Y)).inv (F.obj Z) ≫ (asIso (prodComparison F (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)).inv ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (prodComparison F Y Z)).inv ≫ (asIso (prodComparison F X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z))).inv
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
μ : MeasureTheory.Measure G
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => MeasureTheory.convolution f (g x) L μ (v x)) s
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c c' : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l l' : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
h' : Asymptotics.IsBigOWith c' l' f g'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (max c c') (l ⊔ l') f g'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
n : ℕ
ι : Type u_1
f : (e : Fin n ↪ ι) × { i // i ∉ Set.range ⇑e }
⊢ ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι).symm f) = Fin.cons ↑f.snd ⇑f.fst