ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
(i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
⊢ r • Set.univ.pi t = Set.univ.pi (r • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α
⊢ (FreeAbelianGroup.lift (g ∘ f)) x = (FreeAbelianGroup.lift g) ((FreeAbelianGroup.map f) x)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : y ≤ x
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr 0 0 ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutZeroZeroIso X Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
a✝ : Nontrivial α
C' : α
hC' : C' < C
⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
⊢ ¬G.Adj t u
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
x : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac x).prod ν = MeasureTheory.Measure.map (Prod.mk x) ν
M : Type u_4
N : Type u_5
Zero M
Zero N
f g : ZeroHom M N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α →. γ
g : β →. δ
⊢ (f.comp ↑Prod.fst).prodLift (g.comp ↑Prod.snd) = f.prodMap g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : Set.univ ⊆ s ∪ t
hc : MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => f ↑a
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r
h₁ : u.r - 1 + 1 < u.bp + 1
⊢ u.r - 1 < u.bp
n : ℕ
x✝ : ℕ × ℕ
⊢ x✝ ∈ Prod.swap ⁻¹' ↑n.divisorsAntidiagonal ↔ x✝ ∈ ↑n.divisorsAntidiagonal
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
⊢ ↑(s ∩ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∪ t).card
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N
⊢ upperCrossingTime a b f M n ω = upperCrossingTime a b f N n ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
this : prod.snd = uncurry (t.to (A ⟹ I))
⊢ t.to (A ⟹ I) ≫ (exp A).map (t.to (A ⨯ I)) = curry (𝟙 (A ⨯ I))
⊢ Set.InjOn Real.sin (Set.Icc (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
⊢ ∀ (x : Q ⊗[R] N), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) x = (range (lTensor Q f)).mkQ x
f : Code
k : Cont'
⊢ codeSupp f.fix k = trStmts₁ (trNormal f.fix k) ∪ codeSupp f (Cont'.fix f k)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat b a = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r :
  (CategoryTheory.InducedCategory
      (TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))))
      PrimeSpectrum.basicOpen)ᵒᵖ
⊢ X.toΓSpecCBasicOpens.app r = X.toΓSpecCApp (Opposite.unop r)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h_int : MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.llr μ ν) μ
hfμ : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ ∫ (x : α), MeasureTheory.llr (μ.tilted f) ν x ∂μ =
  ∫ (x : α), MeasureTheory.llr μ ν x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂μ - Real.log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).Q = S.X₂
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I)) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I)
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
⊢ ↑L = ↑M ↔ L = M
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (Prod.swap '' s)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y : α
⊢ 0 = 1 ↔ f 1 = 0
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop ⟹ α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : splitFun f g = splitFun f' g'
⊢ f = f' ∧ g = g'
m : ℕ∞
⊢ 0 = ↑m ↔ m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length
⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ x ≠ ↑m
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[m * (n + 1)] = f^[m]^[n + 1]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
j : J
I : CategoryTheory.Limits.IsInitial j
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
x : α
hx : ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤
⊢ ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal = ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x ≤ y
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a * b = b * a
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).φ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) (W.φ n)
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
a : M
h : a ∈ Monoid.Closure s
⊢ ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s) ∧ l.prod = a
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < ↑n
R : Type u
CommRing R
X Y : CoalgebraCat R
e : X ≅ Y
⊢ e.symm.toCoalgEquiv = e.toCoalgEquiv.symm
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
⊢ StrictAnti fun x => a ^ x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
⊢ False
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
hr : r ≠ 0
⊢ ((C σ k) r)⁻¹ = (C σ k) r⁻¹
m n : ℤ
⊢ Even (m + n) ↔ (Even m ↔ Even n)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ M.Basis' I X
α : Sort u_1
p : α → Prop
Decidable (∃ x, p x)
⊢ (¬∀ (x : α), ¬p x) ↔ ∃ x, p x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : E → F
f₂ : G → G'
p : E × G
hf : DifferentiableAt 𝕜 f p.1
hf₂ : DifferentiableAt 𝕜 f₂ p.2
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun p => (f p.1, f₂ p.2)) p
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
x : R
⊢ (AdjoinRoot.mk f) (Polynomial.C x) = (AdjoinRoot.of f) x
n a b : ℕ
ha' : 1 < a
hb' : 1 < b
hab : a.Coprime b
ha : ∑ a ∈ filter IsPrimePow a.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑a
hb : ∑ a ∈ filter IsPrimePow b.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑b
⊢ ∑ a ∈ filter IsPrimePow (a * b).divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑(a * b)
s : ℝ
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD 1]
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β
l : Filter (α →ᵇ β)
⊢ TendstoUniformly (fun i => ⇑(id i)) (⇑f) l ↔ TendstoUniformly (⇑UniformFun.toFun ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (UniformFun.toFun ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) f)) l
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
W W' : Subspace K V₁
⊢ Submodule.dualAnnihilator (W ⊓ W') = Submodule.dualAnnihilator W ⊔ Submodule.dualAnnihilator W'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : p %ₘ q = 0
⊢ q ∣ q * (p /ₘ q)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
f : CategoryTheory.End F
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ ↑((CategoryTheory.PreGaloisCategory.endEquivSectionsFibers F) f) A = f.app A.obj A.pt
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ ⊥.ball x r = Set.univ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
n : ℕ
⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot
⊢ ∀ b ∈ f '' Iio x, b ≤ f y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i]) x ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
i : X ⟶ Y
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Z
H : S.arrows (i ≫ f)
⊢ f = inv i ≫ i ≫ f
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
this : Nonempty { t // s ⊆ ⋃ i, t i }
⊢ (c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
⊢ ∃ b ≤ a, Set.Icc b a ∈ 𝓝[≤] a ∧ Set.Icc b a ⊆ s
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
W : Type u_3
Quiver W
F : U ⥤q V
G : V ⥤q W
X : U
⊢ (F ⋙q G).obj X = G.obj (F.obj X)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k)) = fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * 0)
n : ℕ
a : ZMod n
⊢ a * a⁻¹ = ↑(a.val.gcd n)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → α
h : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ t =ᵐ[μ] s ∧ f ⁻¹' t = t
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
s : Set M₀
⊢ 0 ∈ s.centralizer
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
r : R
k : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial k) r).content = normalize r
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
⊢ (adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f = (adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f + toSimpleFunc g)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
⊢ (trace R M) f = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ 𝟙 (e.inverse.obj (e.functor.obj ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
a b : Int
⊢ -a = -b ↔ a = b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
⊢ t.ite s s' ∩ closure t = s ∩ closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
γ : Type u_3
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
f : γ → C(α, β)
g : C(α, β)
hf : HasSum f g
x : α
⊢ HasSum (fun i => (f i) x) (g x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑r = f a r
a : String
⊢ Levenshtein.stringLogLengthCost.delete a = (a.length + 1).log2
R : Type u
CommRing R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson
⊢ IsUnit r
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑g
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ ∀ (a : L'.BoundedFormula Empty 0), φ.onSentence.symm a = φ.invLHom.onBoundedFormula a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t u : Finset β
⊢ s • t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a • b ∈ u
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
⊢ ¬∃ M, M.IsMaximal ∧ Submodule.colon J (span {x}) ≤ M
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : ν ≪ μ
hμ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
A B : FintypeCat
e : ↑A ≃ ↑B
a : ↑A
⊢ (FintypeCat.equivEquivIso e).hom a = e a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ comap f (cocompact Y) ≤ cocompact X
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
⊢ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ ⇑(Homeomorph.shearAddRight G).symm = fun z => (z.1, -z.1 + z.2)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor F).inv.app j = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj j)).inv
⊢ Filter.Tendsto (fun s => (s - 1) * completedRiemannZeta s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Set.Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Set.Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, Metric.thickening ε E
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i j : σ
h : j ≠ i
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (MvPolynomial.X j) = 0
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
Subsingleton ι
i : ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x : M
⊢ ((AlternatingMap.ofSubsingleton R M N i).symm f) x = f fun x_1 => x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε
⊢ F n ∈ Metric.closedBall f ε
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsNoetherian R ↥⊤ ↔ IsNoetherian R M
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
⊢ engel K ↑v ≤ engel K x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ Disjoint aᶜᶜ b ↔ Disjoint a b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
⊢ s.card < t.card
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ (Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) + Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) / ↑n ^ s = Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s + I * (Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : X
⊢ dist x y = dist (inl x) (inl y)
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α
⊢ uniqueBaseOn ∅ I = loopyOn I
G : Type u_1
Monoid G
⊢ ¬Monoid.IsTorsionFree G ↔ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
f : A₁ ≃ₐ[R] A₁
⊢ (↑f).symm = ↑f.symm
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
t : Set β
⊢ (fun x => a • x) ⁻¹' t = a⁻¹ • t
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (Perfection.coeff R p n) ((Perfection.pthRoot R p) f) = (Perfection.coeff R p (n + 1)) f
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ Module.rank R ↥(span R s) ≤ #↑s
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this : Inhabited M
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ ‖f p‖ < 1
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R
⊢ (eval 0 (matPolyEquiv A) + eval 0 (matPolyEquiv ((algebraMap R[X] (Matrix n n R[X])) X) * matPolyEquiv (M.map ⇑C))).det = (eval 0 (matPolyEquiv A)).det
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0
⊢ ↑(⨆ i, s i) = ⨆ i, ↑(s i)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ 0 ≤ NumberField.mixedEmbedding.norm x