ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
i₁₂ : I
h' : i₁ + i₂ = i₁₂
⊢ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ i₁₂ h')
      (X₃ i₃))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂) X₃ i₁₂ i₃ j
      ⋯)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
f : ℕ → α
⊢ ∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C
⊢ f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X' Y Z).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Filter.Tendsto f F Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g G Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1
R : ℕ → α := Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
hR : R = Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
this : ∀ (i j : ℕ), j ≤ i → abv (f j) ≤ R i
j : ℕ
⊢ abv (f j) < R i + 1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ ¬(u = v ∨ ¬G.Reachable u v) ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addRightEmbedding c) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc (a + c) (b + c)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (m + 1), f x.snd (x.fst - x.snd) = ∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (n - m), f x.fst x.snd
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b
x✝ : σ
h : x✝ ∈ eval f a
⊢ x✝ ∈ eval f b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ici a)
l : Filter β
⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
i : Nat
⊢ List.take (l₁.length + i) (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ List.take i l₂
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.support.card = 1 ↔ ∃ k x, ∃ (_ : x ≠ 0), f = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame ≤ b.toPGame ↔ a ≤ b
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
K : Type v
Field K
f : F →+* K
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) = f (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)
m n : Nat
⊢ m ∈ iota n ↔ 1 ≤ m ∧ m ≤ n
m n : ℕ
⊢ (m * n).divisors = m.divisors * n.divisors
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso γ.φH
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this : abs x ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = (x / y).re / abs (x / y)
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
u : Set X
hu : u ∈ s
this : ⋃ v ∈ t, u ×ˢ v = Prod.fst ⁻¹' u
⊢ TopologicalSpace.IsOpen (⋃ v ∈ t, u ×ˢ v)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ((t₁ - t₂ * t₁ - (t₁ - t₂ * t₁) * (t₂ * t₁)) / (1 - t₂ * t₁) + t₂ * t₁) • (z -ᵥ w) = t₁ • (z -ᵥ w)
R : Type u_1
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 0, d := 0 }.toPoly.degree = ⊥
G : Type u_1
AddMonoid G
H : AddSubmonoid G
y : ↥H
⊢ addOrderOf ↑y = addOrderOf y
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
⊢ (fun n_1 => χ ↑n_1) * δ = δ
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
GCDMonoid R
a b : R
⊢ ∃ x y, gcd a b = a * x + b * y
x : ℝ
⊢ |Real.cos x| ≤ 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ Integrable (X ^ 2 + (fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
h : B →A[R] C
f : A →A[R] B
⊢ ⇑(h.comp f) = ⇑h ∘ ⇑f
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty
⊢ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iio ↑y) = Iio y
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x = f y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ Scheme.Hom.app f U ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β
⊢ Continuous f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
H.Additive
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (CochainComplex.mappingCone.mapHomologicalComplexXIso' φ H n m hnm).inv =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫
      H.map ((CochainComplex.mappingCone.inl φ).v m n ⋯) +
    (CochainComplex.mappingCone.snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫
      H.map ((CochainComplex.mappingCone.inr φ).f n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
z : Z
⊢ ContinuousAt (⇑h ∘ f) z ↔ ContinuousAt f z
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ (Finsupp.erase n p).support.max ≤ p.support.max
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : Multiplicative A →* M
a : A
⊢ (AddChar.toMonoidHomEquiv.symm ψ) a = ψ (Multiplicative.ofAdd a)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b = 0
⊢ a + b ≤ 0
α : Type u_1
d : MeasurableSpace.DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁
⊢ d.Has (s₁ \ s₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F G : TopCat.Presheaf C X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥U
f : F ⟶ G
⊢ F.germ x ≫ (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f = f.app (Opposite.op U) ≫ G.germ x
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit a
ha : a ≠ 0
⊢ a = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsClosed s
⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) ⊆ s
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₃, x'⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a✝ b✝ c d : α
p : β → β → Prop
a b : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → ReflTransGen p (f a) (f b)
hab : ReflTransGen r a b
⊢ ReflTransGen p (f a) (f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Prod.swap ∘ Prod.swap = id
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I * J = J * I
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : z = x
⊢ z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
GroupWithZero α
Zero β
MulActionWithZero α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
s : Set β
a : α
ha : 0 < a
⊢ lowerBounds (a • s) = a • lowerBounds s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) x = (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) y
⊢ x = y
a : Ordinal.{u_3}
⊢ Ordinal.lift.{w, max v u_3} (Ordinal.lift.{v, u_3} a) = Ordinal.lift.{max v w, u_3} a
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = Ordinal.type r
⊢ #{ s // Set.Bounded r s } = #α
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ upperBounds t
⊢ sSup (Subtype.val '' t) ≤ ↑B
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖₊ = ‖x.fst‖₊ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A) x.snd‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a b : α
l : List α
x✝ : a :: b :: l ≠ []
⊢ ‖(a :: b :: l).prod‖ ≤ (map norm (a :: b :: l)).prod
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ Disjoint N N' ↔ Disjoint ↑N ↑N'
a b c : Int
H1 : a ≠ 0
H2 : a * b = c
⊢ b = c.div a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x
⊢ slope f x y ≤ f'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.darts = []
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary f (g ^ n)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
M : Matrix n n R
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) ((toLinAlgEquiv v₁) M) = M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
g : ι → G
n : ℤ
x✝ : ι
⊢ (⇑f ∘ (g ^ n)) x✝ = (⇑f ∘ g ^ n) x✝
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₂
g : J → I
j : J
X : C (g j)
⊢ (CategoryTheory.Sigma.map C g).obj ⟨j, X⟩ = ⟨g j, X⟩
α : Type u_1
f g : Poly α
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Mod_.regular A).act = A.mul
α : Type u_4
β : Type u_5
Monoid α
Monoid β
a : α
b : β
⊢ IsOfFinOrder a → IsOfFinOrder b → IsOfFinOrder (a, b)
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ∈ Set.center G₀
hb : b ∈ Set.center G₀
⊢ a / b ∈ Set.center G₀
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (-x) < v 1
⊢ v (1 + -x) = 1
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
⊢ p.roots = 0 ↔ p = C (p.coeff 0)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a \ b) ∆ b = a ⊔ b
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ 1 ∈ f ⁻¹' s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ (infEdist x s).toReal ≤ (infEdist y s).toReal + (edist x y).toReal
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
⊢ a * b ≤ c ↔ ∀ b' < b, a * b' ≤ c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct P Q
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Q P
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫
    CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  𝟙 (P ⨯ Q)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
⊢ t.orthocenter = Affine.Simplex.mongePoint t
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : Set.range u ⊆ s
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
S : Set E
q : ℕ
inst✝¹ : ExpChar F q
n : ℕ
L : IntermediateField F E := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
M : IntermediateField F E := adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
hi : M ≤ L
this✝¹ : Algebra ↥M ↥L := (inclusion hi).toAlgebra
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥M ↥(extendScalars hi)
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥(extendScalars hi)
⊢ L = M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
c : R
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c • f y) s
C : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} C
R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M' : PresheafOfModules R'
α : R ⟶ R'
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
r : ↑(R.obj X)
x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)
⊢ { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ
⊢ univ = s ∪ univ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R), a ≠ 0 → Prime p → (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) → p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
z : ℤ
⊢ (↑z).imI = 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ≤ n.sqrt ↔ m ^ 2 ≤ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = M.one
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set (E × F)
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun p => p.1) s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ n
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω = m
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
this : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree
⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
hc' : c ≠ 0
hc0 : c.valuation.natAbs = 0
⊢ ↑p ∣ c - (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ c.valuation.natAbs).cast
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
i : ι
j : κ
k k' : τ
i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix ((bM.tensorProduct bN).tensorProduct bP) (bM.tensorProduct (bN.tensorProduct bP))) ↑(TensorProduct.assoc R M N P) (i, j, k) ((i', j'), k') = submatrix 1 _root_.id ⇑(Equiv.prodAssoc ι κ τ) (i, j, k) ((i', j'), k')
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, (fun b => f a b) '' t ⊆ u
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ -(π / 2) < arctan x + arctan y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingProd = a * (b :: l).alternatingProd⁻¹
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ (s.erase a).erase a = s.erase a
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a < 0
hbc : b < c
⊢ a + b < c
α : Type u_1
β : α → Type u_4
⊢ Function.Injective Sigma.fst ↔ ∀ (a : α), Subsingleton (β a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ filter (fun a => p a ∨ q a) s ↔ x✝ ∈ filter p s ∪ filter q s
R : Type u_3
A : Type u_7
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a : A
⊢ QuadraticMap.sq a = a * a
R : Type u
Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
A : ι → Submodule R M
⊢ DirectSum.IsInternal A ↔ CompleteLattice.Independent A ∧ iSup A = ⊤
G H : SetTheory.PGame
G.Impartial
H.Impartial
⊢ G.grundyValue = H.grundyValue ↔ G ≈ H
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ (𝟙 (F.obj X ⊗ F.obj (𝟙_ C)) ≫ F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.map (ρ_ X).hom
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
Group α
SMulCommClass G α α
a b : α
⊢ MulAction.stabilizer G (a * b) = MulAction.stabilizer G b
α : Type u_1
NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (Metric.thickening ε s)
M : Type u
self : Monoid M
n : ℕ
x : M
⊢ Monoid.npow (n + 1) x = Monoid.npow n x * x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
b : β i
⊢ (DFinsupp.single i b) i = b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m
a : α
⊢ Unbounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Unbounded r s
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))