ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : (S.map F).HasHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S
⊢ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F) = (leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (hl.map F)) ≫ F.map (leftHomologyMap' (𝟙 S) hl S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left)
θ : Real.Angle
ψ : ℝ
⊢ θ.cos = Real.cos ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ = -↑ψ
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(x * y).arg = ↑x.arg + ↑y.arg
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (a b : ℚ), a < b → MeasureTheory.upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : MeasureTheory.Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
n : ℕ
x y : WittVector p k
⊢ WittVector.peval (WittVector.polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] =
  (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) -
      y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) -
    x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
⊢ canonicalEquiv S P P = (canonicalEquiv S P P).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (n - 1) * a * a⁻¹ = a ^ n * a⁻¹
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (Sum.inr ()) (Sum.inr ()) ≠ 0
⊢ ((Matrix.Pivot.listTransvecCol M).prod * M * (Matrix.Pivot.listTransvecRow M).prod).IsTwoBlockDiagonal
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.SSameSide x (v +ᵥ y) ↔ s.SSameSide x y
n : ℕ
x y z : PSet.Resp n
h1 : x.Equiv y
h2 : y.Equiv z
⊢ x.Equiv z
R : Type u_1
Semiring R
f : ℕ → R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) (PowerSeries.mk f) = f 0
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∉ closure s ↔ 𝓝[s] x = ⊥
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblZ (u • P) = u ^ 4 * W'.dblZ P
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑X.toTopCat
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk
      (↑(Opposite.unop (Opposite.op (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))))
      (X.toΓSpecSheafedSpace.base x))
    (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) =
  X.presheaf.Γgerm x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
⊢ Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s t : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f t
hst : s ⊆ t
⊢ AnalyticOn 𝕜 f s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g
⊢ inr ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inr f g
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)
⊢ ⨅ (_ : s ⊆ iUnion g), ⨅ (_ : MeasurableSet (iUnion g)), f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ (wittStructureRat p Φ)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ i)) (W_ ℚ n)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
Z : D
U₂ : C
iU₂U₁ : U₂ ⟶ U₁
iZU₂ : Z ⟶ G.obj U₂
e₃ : iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY ≫ iYX = iU₂U₁ ≫ iU₁W ≫ iWX
⊢ (Sieve.pullback iYX S).arrows (iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ (∀ (i : ι), Nonempty (α i)) ∧ ∃ d, (f d).NeBot
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ (p * q).mirror = p.mirror * q.mirror
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.skewAdjointSubmodule ↔ B.IsSkewAdjoint f
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : sbtw a b c
⊢ ¬sbtw c b a
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ TProd.mk (i :: l) ⁻¹' Set.tprod (i :: l) t ↔ f ∈ {i_1 | i_1 ∈ i :: l}.pi t
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
H : ↑n ≤ p.trailingDegree
⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
G₀ : Type u
GroupWithZero G₀
b : G₀
h : b ≠ 0
a : G₀
⊢ a * b * b⁻¹ = a
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup
⊢ a ∈ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.p.f n) (P.p.f n) = P.p.f n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Subsingleton M
⊢ Module.support R M = ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ Filter.comap SeparationQuotient.mk (𝓝 (SeparationQuotient.mk x)) = 𝓝 x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ IndepFun (f i * f j) (f k) κ μ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
FunLike F α β
self : HeytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ⇨ b) = f a ⇨ f b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommGroup M
TopologicalAddGroup M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ (-w).restrict i ≤ (-v).restrict i ↔ v.restrict i ≤ w.restrict i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
⊢ pure a ≤ 𝓝[s] a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s = {τ y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ (∑ k ∈ Finset.range 0, (pf k) fun x_1 => y - x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
l : Filter α
P : Set α → Prop
⊢ (∀ (t : Set α), t ∈ l ↔ ∃ i ∈ l, P i ∧ i ⊆ t) ↔ ∀ t ∈ l, ∃ r ∈ l, P r ∧ r ⊆ t
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : p ∣ n.natAbs ^ k
⊢ p ∣ n.natAbs
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ (n + 1)) (Classical.choose hσ), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommSemigroup α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (x + a)) c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - (a + c) ≤ b - c
α : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing α
m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℤ), ↑(-↑m * n) = ↑(-↑m) * ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
⊢ ∀ b ∈ (fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1, b ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
SMul M β
c : M
f : α → β
⊢ UniformFun.ofFun (c • f) = c • UniformFun.ofFun f
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Multiset.Ioo a a = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {1}) A B
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : InjOn f (loopyOn E).E
⊢ (loopyOn E).map f hf = loopyOn (f '' E)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ Multiset.map (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots = p • f.roots
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ Algebra.adjoin R (Set.range MvPolynomial.X) = ⊤
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
AddGroup α
OrderedAddCommMonoid β
AddGroupNormClass F α β
f : F
x : α
⊢ f x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
this : Group.IsNilpotent G
⊢ Subgroup.map f (lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass H)) = ⊥
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
⊢ Function.Injective f ↔ Pairwise ((fun x x_1 => x ≠ x_1) on f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : StrictConcaveOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg' : StrictAntiOn g (f '' s)
hf' : Set.InjOn f s
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (g ∘ f)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)
y : Y
ty : y ∈ t
hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)
⊢ ↑f ≤ 𝓝 x ×ˢ 𝓝 y
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : Fin (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c).get i = drop (c.sizeUpTo ↑i) (take (c.sizeUpTo (↑i + 1)) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : WithTop.toDual ↑a ≤ WithTop.toDual b✝
⊢ ↑a ≤ b✝
a b c : Int
h : a - c ≤ b
⊢ a ≤ b + c
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
hw : MvPolynomial.NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.weightedTotalDegree w p = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1
⊢ IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ ReflTransGen (ReflGen r) = ReflTransGen r
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u
⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Neg γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
⊢ Function.extend f (-g) (-e) = -Function.extend f g e
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ s / 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ P.diagonal f ↔ P (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
p : M × N
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
h : e.IsImage s t
⊢ e.symm.IsImage t s
name : Lake.Name
self : Lake.NPackage name
⊢ self.name = name
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
⊢ IsIso h.π
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ (p.append p').darts = p.darts ++ p'.darts
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph n r
⊢ G.IsTuranMaximal r
α : Type u
x y : FreeSemigroup α
⊢ (x * y).head = x.head
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a
⊢ IsRightRegular (a ^ n)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsRightInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsLeftInversion w t
α : Type u_2
PartialOrder α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ IsStronglyCoatomic α
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
x : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
x y : β
⊢ x = a⁻¹ • y ↔ a • x = y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ ((β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv = (X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ {X Y : F.Elements} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.CategoryOfElements.π F).map f = ↑f
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : 1 ≤ x
⊢ rexp x / x ^ n ≤ rexp x / x ^ s
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
⊢ Nonempty (Path (IsFreeGroupoid.symgen a) (IsFreeGroupoid.symgen b))
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
⊢ ((resolution k G).d (n + 1) n).hom = d k G (n + 1)
a b c : Nat
hle : b ≤ c
h : a ≤ c - b
⊢ a + b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)
⊢ ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ‖f i‖
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
ρCond : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ρ.IsCondKernel ρCond
MeasurableSingletonClass α
hρ : ∀ (a : α), ρ.fst {a} ≠ 0
⊢ ProbabilityTheory.IsMarkovKernel ρCond
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔ MellinConvergent f (s / ↑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
⊢ f.toEquivRange a = ⟨f a, ⋯⟩
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
⊢ (Function.support ↑f).Nonempty
z : ℍ
h : 1 < Complex.normSq ↑z
⊢ Complex.normSq ↑(ModularGroup.S • z) < 1
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
g' : α → F := (s_g \ s_f).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg'_Lp : Memℒp g' p μ
h_disj : Disjoint (Function.support f') (Function.support g')
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
Add ι
GradedMonoid.GMul A
x y : GradedMonoid A
⊢ (x * y).fst = x.fst + y.fst
K : Type u_1
Field K
u : (𝓞 K)ˣ
⊢ ↑↑u = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s * t⁻¹) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t⁻¹
α : Type u
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])
⊢ List.reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = append_singleton xs x (List.reverseRecOn xs nil append_singleton)
a : ℤ
⊢ (↑a)⁻¹.num = a.sign
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
h : MDifferentiableOn I I' f t
st : s ⊆ t
⊢ MDifferentiableOn I I' f s
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
H : Subgroup G
x : MulAction.orbitRel.Quotient G α
a b : ↑x.orbit
⊢ ↑a ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b ↔ a ∈ MulAction.orbit (↥H) b
x : Int
xs : List Int
y : Int
ys : List Int
⊢ Lean.Omega.IntList.dot (x :: xs) (y :: ys) = x * y + Lean.Omega.IntList.dot xs ys
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
x : X
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f y = f x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ C 4 * X ^ 3 + C (f W.b₂) * X ^ 2 + C (2 * f W.b₄) * X + C (f W.b₆) = Polynomial.map f (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆)
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0