ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
⊢ x ∈ map h.toLinearMap (I / J) ↔ x ∈ map h.toLinearMap I / map h.toLinearMap J
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g
⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑f = ↑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) volume
ha : Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => -∫ (x : ℝ) in b..u, f x) (-c) s a
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃ₗ[𝕜] F
⊢ ↑↑e.toContinuousLinearEquiv = ↑e
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : s.Finite
⊢ (∀ t ∈ s, IsOpen t) → IsOpen (⋂₀ s)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
⊢ Polynomial.map f p = 0 ↔ ∀ (x : R), f x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
m : F
hm : Function.Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ ⇑m ⁻¹' (s + t) = ⇑m ⁻¹' s + ⇑m ⁻¹' t
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ Tendsto (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i)) atTop (𝓝 (∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x y : P
⊢ x ∈ FractionalIdeal.spanSingleton S y ↔ ∃ z, z • y = x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set β
⊢ Metric.diam (⇑h ⁻¹' s) = Metric.diam s
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
Sₘ : Type u_5
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R S
⊢ Algebra.discr Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ) (Algebra.discr R ⇑b)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
u : Set α
huI : u ∈ I
hu_diffFinset₀ : u ∈ hC.diffFinset₀ hs hI
h_disj : u ≤ ⊥
⊢ False
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ((PadicInt.toZModPow n) x).cast = (PadicInt.toZModPow m) x
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₀
D : J → Type u₁
(j : J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (D j)
X : (i : I) → C i
Y Y' : (j : J) → D j
f : Y ⟶ Y'
s : I ⊕ J
⊢ ((CategoryTheory.Pi.sum C).obj X).map f s =
  match s with
  | Sum.inl i => CategoryTheory.CategoryStruct.id (X i)
  | Sum.inr j => f j
z : ℂ
⊢ Complex.imCLM z = z.im
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0
m n : ℕ
h : m * g * (m * g) = d * (n * g) * (n * g)
co : m.Coprime n
hx : x = m * g
hy : y = n * g
this : m * m = d * (n * n)
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
p : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ), (map g (map f p)).coeff n = (map (g.comp f) p).coeff n
α : Type u_1
EMetricSpace α
⊢ T4Space α
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
R : Type x
Ring R
n : ℕ
⊢ (-1) ^ n = (-1) ^ (n % 2)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.negY (u • P) = u ^ 3 * W'.negY P
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
⊢ Module.Free (MonoidAlgebra k G) (Representation.ofMulAction k G (Fin (n + 1) → G)).asModule
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
⊢ (rhs a) ↑p = legendreSym p ↑a
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
⊢ ‖a⁻¹‖₊ = ‖a‖₊⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (s t : Finset α), f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
n d : Num
⊢ ↑(n % d) = ↑n % ↑d
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
⊢ l.formPerm.toList (l.get k) ~r l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P).obj X)
      ((CategoryTheory.fullSubcategoryInclusion P).obj Y))
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0
this : Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 x)
⊢ mk f = 0
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
f'' : α → E''
l : Filter α
⊢ (f'' =o[l] fun _x => 0) ↔ f'' =ᶠ[l] 0
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ hA.sqrt ^ 2 = A
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = ↑⟨s, s0⟩ • r
⊢ p ∣ q
R : Type u_7
S : Type u_8
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f g : R ≃+* S
⊢ f = g ↔ ↑f = ↑g
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (b : β), p (e.symm b) ↔ q b
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ b, q b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ∈ Iic n
i : ℕ
hy : succ^[i] x ∈ Iic n
hxy : x < succ^[i] x
⊢ ψ x < ψ (succ^[i] x)
k : ℕ
⊢ (π / 2)⁻¹ * Real.Wallis.W k = (∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ (2 * k + 1)) / ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ (2 * k)
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).tail? = some l
R : Type u
Ring R
⊢ Polynomial.eval 0 (descPochhammer R 0) = 1
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
hx : IsOfFinAddOrder x
hy : IsOfFinAddOrder y
⊢ IsOfFinAddOrder (x + y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.op = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.op X)).hom
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 1 < a
⊢ b < c * a
θ : Real.Angle
⊢ |θ.toReal| ≤ π
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ NoncompactSpace (X × Y) ↔ NoncompactSpace X ∧ Nonempty Y ∨ Nonempty X ∧ NoncompactSpace Y
α : Type u_2
r s : α → α → Prop
⊢ Subrelation r s ↔ r ≤ s
x ε : ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
ε0 : ε ≠ 0
⊢ Set.Icc (x - ε) (x + ε) ∈ 𝓝 x
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ (Filter.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) 0))).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
hpq : Polynomial.Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
⊢ IsSolvable q.Gal
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalMin f (g b)
hg : ContinuousAt g b
⊢ IsLocalMin (f ∘ g) b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : (if q = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p q)) = 0
hq : ¬q = 0
⊢ False
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
ι : Type u_3
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
r : ι ↪ M
c : ι → Dual R M
hfin : (range ⇑r).Finite
h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2
h_mapsTo : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (r i) (c i))) (range ⇑r) (range ⇑r)
i j : ι
hij : (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c i) = (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c j)
⊢ ∀ (k : ι), (c i) (r k) = (c j) (r k)
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Set.Iio x)
⊢ Measurable f
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this✝ : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g
this : map preStoneCechUnit ↑g ≤ 𝓝 (Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g)
⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
a b : α
h : a ∈ s
⊢ a ∈ b ::ₛ s
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ Fintype.card α ∣ exponent α
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : abs x ≠ 0
⊢ log (↑r * x) = ↑(Real.log r) + log x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
j : J
⊢ data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ ({ left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ })
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j k : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t' j k i) (D.t' k i j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (D.f j k) (D.f j i)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t' j i k) (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry (D.f i k) (D.f i j)).hom)
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : α → α
g : α → M
⊢ birkhoffAverage R f g 1 = g
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ Disjoint (MeasureTheory.addFundamentalInterior G s) (MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s)
n n' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (Int.ofNat n) n'
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
this : ∀ {a b c d e f : Matrix n n 𝕜}, a * b * c * (d * e * f) = a * (b * (c * d) * e) * f
⊢ { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun g
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
CommRing R
CommRing S
Ring A
Algebra R A
Algebra R S
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : S
h : Function.Injective ⇑(algebraMap S A)
⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap S A) a) ↔ IsAlgebraic R a
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.rightTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g + -↑s ∈ T
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad R ↥H) x)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
⊢ (∀ (i : ProjectiveSpectrum 𝒜), f ∈ (⨅ (_ : i ∈ t), i.asHomogeneousIdeal).toIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
CommMonoid M
CommMonoid N
g : M ≃* N
f : α → M
⊢ g (∏ᶠ (i : α), f i) = ∏ᶠ (i : α), g (f i)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : S.LocalizationMap P
x : M
⊢ (f.ofMulEquivOfLocalizations (f.mulEquivOfLocalizations k)).toMap x = k.toMap x
f : ℍ → ℂ
z : ℍ
⊢ (f ∘ ↑UpperHalfPlane.ofComplex) ↑z = f z
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
a : α
⊢ PLift.map f { down := a } = { down := f a }
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
b : Rˣ
hb : χ ↑b ≠ 1
⊢ χ ↑b * ∑ a : R, χ a = ∑ a : R, χ a
α : Type u_4
self : CompletePartialOrder α
d : Set α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB d (sSup d)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
a : A
n : ℕ
⊢ Coalgebra.comul (a ^ n) = Coalgebra.comul a ^ n
α : Type u_1
n : ℕ
s : Finset α
⊢ Finset.powersetCard n s = ∅ ↔ s.card < n
θ : ℂ
⊢ Complex.sin θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ ↑k * ↑Real.pi
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
w₁ : Word G
h₁ : H
hw₁ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₁.toList → g ∈ d.set i
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
h : CoprodI.of ((φ i) h₁) • w₁ = CoprodI.of ((φ i) h₂) • w₂
⊢ { toWord := w₁, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : { y // (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0 }
⊢ pb.liftEquiv.symm y = pb.lift ↑y ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
is ts : List α
⊢ (is ++ ts).permutations = map (fun x => x ++ ts) is.permutations ++ ts.permutationsAux is.reverse
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
TopologicalSpace α
f : α → E
s : Set α
⊢ ContinuousOn (⇑e ∘ f) s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
t : Set β
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔
  MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ ∧ MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν ∨ μ s = 0 ∨ ν t = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.RightHomologyData
⊢ h.unop.i = h.p.unop
f : Type u → Type v
Applicative f
self : LawfulApplicative f
α β : Type u
g : f (α → β)
x : α
⊢ (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g
R : Type u_1
CommRing R
p q : Polynomial R
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
⊢ (p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddMonoid G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x + n • a) = f x + n • b
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ ∑ a ∈ s, f a < ⊤
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ 0 < countP p l ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ x * y ∈ I * J
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c 0 x = c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivAt f 0 x₀
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
⊢ ∀ (a : E), (∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) a v) → DifferentiableAt ℝ f a
α : Sort u
p : α → Prop
hex : ∃ x, p x
hunique : ∀ (y₁ y₂ : α), p y₁ → p y₂ → y₁ = y₂
⊢ ∃! x, p x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : X.AffineOpenCover
x : self.J
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion (self.map x)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
⊢ ((C.fromSingle₀Equiv X).symm f).f 0 = f
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
NoZeroDivisors M₀
Nontrivial M₀
⊢ ↑(nonZeroDivisorsRight M₀) = {x | x ≠ 0}
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
⊢ TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne = M.rTensorOne
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + dist x y
⊢ LipschitzWith 1 f
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
⊢ N.LinearDisjoint M
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ span R ↑M * span R {1} = M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
X : Cᵒᵖ
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F₁.obj X)
h : CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve ((φ.app X) x) ((φ.app X) y) ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
⊢ CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y ∈ J.sieves (Opposite.unop X)