ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤
hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)
hj₂ : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (b j)
hj₃ : ↑C⁻¹ * μ (B j) + μ (W ∩ B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
h : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
h₁ : Filter.Tendsto f₁ l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f₂ l Filter.atTop
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑-[n+1]
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
⊢ v +ᵥ ⊥ = ⊥
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
s.OrdConnected
⊢ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s).OrdConnected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
⊢ subtypeDomain p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → β
q : β → Prop
h : Computable f
i : Function.Injective f
⊢ (fun a => q (f a)) ≤₁ q
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.index = Nat.card (G ⧸ H)
h₁ : BddBelow ∅
h₂ : BddAbove ∅
⊢ sInf ∅ ≤ sSup ∅
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsModularLattice α
IsCompactlyGenerated α
⊢ ComplementedLattice α ↔ IsAtomistic α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hp : ⊤ ≠ 0
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) ⊤ μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ⊤.toReal)
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
ht : IsLowerSet t
⊢ Disjoint (↑(upperClosure s)) t ↔ Disjoint s t
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ ↑e.symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑e x)] e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ (↑(frobeniusEquiv R p).symm).comp (frobenius R p) = RingHom.id R
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x1 y1 : G
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0
x2 y2 : G
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0
⊢ (x1, y1) = (x2, y2)
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : M
hv : v ≠ 0
⊢ u • rayOfNeZero R v hv = rayOfNeZero R v hv ↔ 0 < ↑u
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
⊢ bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * Complex.I * ↑n) ^ k
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f
⊢ ωSup ((approxChain f).map f) ≤ ωSup (approxChain f)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
⊢ S.map ((Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).inv ≫ (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow).unop ≫ (unop P).hom = A.hom
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ B → ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x
⊢ Real.mk f ≤ x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
β : Type u_6
γ : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
μ : Measure Ω
⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ
⊢ f ∈ (cons i s hi).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p => map (addRightEmbedding fun t => if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f g : AdicCompletion I M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ AdicCompletion.mk I M = g ∘ₗ AdicCompletion.mk I M
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
l₁ : List α
l₃ : List β
⊢ (Forall₂ r ∘r Perm) l₁ l₃ = (Perm ∘r Forall₂ r) l₁ l₃
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hP : ¬BddAbove {x | P x}
n : ℕ
⊢ P n
M : Type u_1
σ : Type u_4
Add M
N : Type u_5
Add N
SetLike σ M
AddMemClass σ M
f : AddHom M N
S : σ
x : ↥S
⊢ (f.restrict S) x = f ↑x
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.X ^ n + Polynomial.C r).natDegree = n
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f f' : a ⟶ b
η : f ⟶ f'
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η g) h)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f' g h).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
Fintype ι
E : ι → Type u_6
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun p => p.1.prod p.2
α : Type u_1
E' : Type u_2
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
⊢ ↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑g
⊢ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) = fun x x_1 => x ∧ x_1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + (k + 1)) - x.appr m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
neZero : NeZero (f a)
h : a = 0
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : Unique α
f : α → E
x : α
⊢ x = default
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a + b = b ↔ max ℵ₀ a ≤ b ∨ a = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : 0 < n
⊢ (if h : 1 ∈ periodicPts fun x_1 => x * x_1 then Nat.find h else 0) = n ↔ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → ¬IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) m 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 1 1 ⋯ = F.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨0, ⋯⟩)
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ Sublattice.inclusion ⋯ = LatticeHom.id ↥L
p : ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) x‖
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductCone X Y).pt = (X × Y)
R : Type u_1
CommRing R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
x : K
⊢ IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R K) y = x
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ f.toAList.keys.toFinset ↔ a✝ ∈ f.support
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
⊢ (-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v + (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p = p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this✝ : Invertible (M.toBlock p p)
this : (fun i => k ≤ b i) = q
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a ≤ b
Nonempty ι
S : ι → ↑(Set.Icc a b)
⊢ ↑(iSup S) = ⨆ i, ↑(S i)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
c : M
⊢ (g.comp 0) c = 0 c
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (q / gcd p q) ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x y : α
⊢ edist (f y) (f y) = edist y y
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0
⊢ ¬f.roots.Nodup
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiHomologicalComplexEquivalence C c).counitIso =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.counitIso
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ ((∃ i, x = (-y).moveRight i) ∨ ∃ i, x = (-y).moveLeft i) ↔ (∃ i, -x = y.moveLeft i) ∨ ∃ i, -x = y.moveRight i
α : Type u
One α
a : α
LE α
⊢ 1 ≤ ↑a ↔ 1 ≤ a
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) = ↑0
h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)
⊢ ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
G : Type u_5
Group G
DistribMulAction G M
SMulCommClass G R M
g : G
v : ι → M
⊢ (g • e).det v = e.det (g⁻¹ • v)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a
⊢ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.ε.app X) (F.εIso.inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)).obj X)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ENNReal.ofReal (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
M : Type u_2
CommMonoid M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ico a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Finset.Ico a b, f k) * f b
θ : Angle
⊢ θ.sign ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : α
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
R : Type u_1
CommSemiring R
a₂ b c : R
a₁ : R
⊢ a₂ + b = c → a₁ + a₂ + b = a₁ + c
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set X
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_union : univ ⊆ ⋃ n, u n
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ univ) μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ ⋃ n, u n = univ ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s
⊢ (infEdist x s).toReal ≤ (edist x y).toReal
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < |2 ^ (n + 1)|
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) = dist ((f ^ 2 ^ n) 0 + (f ^ 2 ^ n) 0) ((f ^ 2 ^ n) ((f ^ 2 ^ n) 0)) / |2 ^ (n + 1)|
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a
ι : Type u_2
s : ι → ↑(Iic a)
hb : b ≤ iSup s
⊢ ∃ t, b ≤ ⨆ a_1 ∈ t, s a_1
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
b : β
⊢ ¬Sum.inr b ≤ Sum.inl a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
⊢ (ReflTransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
e : (K →+* ℂ) ≃ ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := equivReindex K
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (fun i => (integralBasis K) (e i)) RingHom.equivRatAlgHom
⊢ N.det ^ 2 = (algebraMap ℚ ℂ) (Algebra.discr ℚ ⇑(integralBasis K))
k : Type u_1
K : Type u_2
Field k
Field K
IsAlgClosed k
Algebra k K
L : IntermediateField k K
Algebra.IsAlgebraic k ↥L
⊢ L = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∀ a ∈ (toSimpleFunc f).range, ↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
⊢ (↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
β : Type u_3
Ring β
s : List ℤ
⊢ ↑s.prod = (List.map Int.cast s).prod
α : Type u
s t : Set α
p : α → Prop
⊢ {x | (x ∈ s ∨ x ∈ t) ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ p x} ∪ {x | x ∈ t ∧ p x}
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ p < q ↔ p ≤ q ∧ ∃ x, p x < q x
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω
⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
X Y : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
g : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.id X).comp g = g
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom := by aesop_cat
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.Hom.isoOfComponents f hf).inv.f i = (f i).inv
α : Type u_1
Inv α
a : α
⊢ SymAlg.sym a⁻¹ = (SymAlg.sym a)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂
i : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ν₁.restrict (spanningSets μ i)) s = (ν₂.restrict (spanningSets μ i)) s
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
S T : A
⊢ ↑S ⊂ ↑T ↔ S < T
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
⊢ BddBelow s → ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
a b k✝ m n p k : ℕ
⊢ (0 ^ (k + 1)).primeFactors = primeFactors 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
s : Finset ι
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
x : E
⊢ ↑(s.sup fun i => ⟨(q i) (f x), ⋯⟩) = ↑(s.sup fun i => ⟨(q.comp f i) x, ⋯⟩)
R : Type u
Semiring R
⊢ Subsingleton R[X] ↔ Subsingleton R
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ ↑⊤ = Set.univ
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
r : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (Y.basicOpen r) = X.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U) r)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a < b
⊢ sInf (Set.Ico a b) = a
a b : UInt32
⊢ a < b ↔ a.val < b.val
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
P : CategoryTheory.MorphismProperty W.Localization
P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : W.Localization⦄ (e : X ≅ Y), P e.hom → P e.inv
⊢ P = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2}
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
h : y - z ≠ 0
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
e : α → β
he : DenseRange e
p : β → Prop
b₀ : β
hp : IsClosed {b | p b}
ih : ∀ (a : α), p (e a)
⊢ p b₀
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
⊢ 0 < finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => hb.deriv y
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
x : X
y : Y
⊢ ContinuousWithinAt (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf)) s
    (SeparationQuotient.mk x, SeparationQuotient.mk y) ↔
  ContinuousWithinAt (Function.uncurry f) (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk ⁻¹' s) (x, y)
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit b
⊢ b - (a + b) = 0 - a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ ⋯.HasLift ↔ sq.HasLift
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1
⊢ (p * 1).natDegree = (p * C a * C ai).natDegree
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
⊢ A.topologicalClosure = ⊤
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
DiscreteTopology δ
IsEmpty α
f : α ↪ δ
g : BoundedContinuousFunction α β
h : BoundedContinuousFunction δ β
⊢ BoundedContinuousFunction.extend f g h = h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ RCLike.im ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y
h : x ≠ ⊤
⊢ x ^ y < ⊤