ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
l : List α
s : Stream'.WSeq α
⊢ Computation.corec
    (fun x =>
      match x with
      | (l, s) =>
        match Stream'.Seq.destruct s with
        | none => Sum.inl l.reverse
        | some (none, s') => Sum.inr (l, s')
        | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s'))
    (l, s.think) =
  (Computation.corec
      (fun x =>
        match x with
        | (l, s) =>
          match Stream'.Seq.destruct s with
          | none => Sum.inl l.reverse
          | some (none, s') => Sum.inr (l, s')
          | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s'))
      (l, s)).think
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ ThreeAPFree (sphere x r)
α : Type u_5
self : NonUnitalSeminormedRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ * ‖b‖
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hbdd : BddBelow (Set.range f)
⊢ BddBelow (Set.range g)
n m : Nat
⊢ n * (m - 1) = n * m - n
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 < a
⊢ 0 ≤ sign a ↔ 0 ≤ a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S = T
⊢ (S.equivOfEq T h).symm = T.equivOfEq S ⋯
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{?u.127948, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.127952, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.127956, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{?u.127960, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.127964, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.127968, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝¹ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ρ₁₂.I₁₂
h₁₂ : ρ₁₂.p (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ ρ₁₂.q (i₁₂, i₃) = j
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
inst✝¹ : IsMulLeftInvariant 0
inst✝ : Regular 0
⊢ 0 s = 0 ↔ s = ∅ ∨ 0 = 0
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
Coe α β
g : GenContFract α
⊢ ↑g = { h := Coe.coe g.h, s := Stream'.Seq.map GenContFract.Pair.coeFn g.s }
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G' →+ G
⊢ (AddSubgroup.comap f H).index = H.relindex f.range
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → SemilatticeInf (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ Function.update f i (a ⊓ b) = Function.update f i a ⊓ Function.update f i b
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ IsLeast (Function.fixedPoints ⇑f) (OrderHom.lfp f)
α : Type u_3
Ring α
a b : α
h : Commute a b
m n : ℤ
⊢ Commute (↑m * a) (↑n * b)
α : Type u_1
L : List (List α)
i : Fin L.length
⊢ List.drop (Nat.sum (List.take (↑i) (List.map List.length L)))
    (List.take (Nat.sum (List.take (↑i + 1) (List.map List.length L))) L.join) =
  L.get i
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
⊢ (rfindOpt f).Dom
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c u u₁ u₂ : αˣ
h : ↑u₁ = ↑u₂
⊢ ↑u₁ * ↑u₂⁻¹ = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ foldr ?g₂ #[[]].toList l = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ l₁.Perm l₂ → (List.kerase a l₁).Perm (List.kerase a l₂)
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (-c +ᵥ x) r
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0
⊢ (∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b) ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ Bimod.whiskerRight f (Bimod.regular Y) = M.rightUnitorBimod.hom ≫ f ≫ N.rightUnitorBimod.inv
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R : Type u_12
Ring R
Module R E
p : Submodule R E
hp : p = ⊤
self : ↥p
⊢ (LinearIsometryEquiv.ofTop E p hp) self = ↑self
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
α : Type u_2
Monoid α
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
n : ℕ
⊢ s ^ n ∈ f ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y✝) (p.sum y✝)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
⊢ ∃ n, (GenContFract.of ξ).convs n = ↑q
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformContinuousOn f Set.univ ↔ UniformContinuous f
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p
⊢ ((expand R p) f).leadingCoeff = f.leadingCoeff
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.classNumber K = 1 ↔ IsPrincipalIdealRing (NumberField.RingOfIntegers K)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Finmap β
a : α
b : β a
⊢ Finmap.lookup a s = some b ↔ ⟨a, b⟩ ∈ s.entries
G : Type u
LeftCancelMonoid G
Finite G
Nontrivial G
⊢ 1 < Monoid.exponent G
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atBot
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : CommRing L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 2
inst✝ : IsDomain L
⊢ (Algebra.norm K) ζ = (-1) ^ FiniteDimensional.finrank K L
𝕜 : Type u
ι : Type v
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
IsEmpty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = ‖1‖
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
j : β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk P p).inj j = p j
α : Type u_1
s : Finset α
x : α
hs : s ⊂ {x}
⊢ s = ∅
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure s \ closure t ⊆ closure (s \ t)
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ ≠ 0 ↔ a ≠ 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l m : List α}, a :: l ⊆ m ↔ a ∈ m ∧ l ⊆ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
Zero β
Zero γ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → γ
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g 0 = 0
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f).FinMeasSupp μ
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Ioo r s)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
self : ContDiffBumpBase E
R : ℝ
x : E
⊢ self.toFun R (-x) = self.toFun R x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ D₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
CategoryTheory.Localization.Lifting L₁ W₁ G G'
F : CategoryTheory.Functor C₂ D₁
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.Localization.Lifting L₂ W₂ F F'
α : G.comp F' ≅ L₁
β : F.comp G' ≅ L₂
⊢ G'.IsEquivalence
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)
⊢ (DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) ((DirectLimit.of R ι G f i) x) = (s.ι.app i) x
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : B
w₁ : F₁
w₂ : F₂
h₁ : x ∈ e₁.baseSet
h₂ : x ∈ e₂.baseSet
⊢ toFun' e₁ e₂ (invFun' e₁ e₂ (x, w₁, w₂)) = (x, w₁, w₂)
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (List.ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ List.ofFnRec h (List.ofFn f) = h n f
α : Type u
AddGroup α
g : AddGroupTopology α
⊢ Continuous fun p => p.1 + p.2
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (f i) (f j - f k) μ
K : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : LinearOrderedField K
c : ContFract K
n : ℕ
gp : Pair K
m : ℕ
a✝ : m < n
s_nth_eq : (↑↑c).s.get? m = some gp
⊢ 0 < gp.a ∧ 0 < gp.b
α : Type u
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α
⊢ MapsTo f (Iic a) (Ioi (f a))ᶜ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ Set.EqOn (derivWithin (fun z => c + f z) s) (derivWithin f s) s
R : Type u_3
M : Type u_4
UniformSpace R
UniformSpace M
⊢ UniformContinuous TrivSqZeroExt.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
ι : α ↪ β
⊢ (Equiv.Perm.viaEmbeddingHom ι) e = e.viaEmbedding ι
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).reverse = SimpleGraph.Walk.cons ⋯ p.reverse
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid
h_zero' : AddMonoid.toZero = AddMonoid.toZero
h_one' : toOne = toOne
⊢ inst₁ = inst₂
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
⊢ Ring.inverse 1 = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
m : M
s : ↥S
⊢ (LocalizedModule.lift S g h) (LocalizedModule.mk m s) = ↑⋯.unit⁻¹ (g m)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : m ∈ ⁅I, N⁆
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
i : ι
f : ι → α
⊢ {i}.PairwiseDisjoint f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0∞
a_mble : Measurable a
c : ℝ≥0∞
tsum_le_c : ∫⁻ (a_1 : α), a a_1 ∂count ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
ε_ne_top : ε ≠ ⊤
⊢ count {i | ε ≤ a i} ≤ c / ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ dist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ‖(symmDiff s t).mulIndicator f x‖
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ |(∡ p₂ p₁ s.center).toReal| < π / 2
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
x✝ : Sigma β
⊢ decide (a = x✝.fst) = decide (a = x✝.fst)
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
SMul M α
SMul M β
a : M
b : α
c : β
⊢ a • (b, c) = (a • b, a • c)
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (Set.range f)
⊢ ⋃ i, Set.Iic (f i) = Set.univ
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p m R
⊢ B * (A * A.conjTranspose) = 0 ↔ B * A = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : γ → β → δ
n : α → γ
⊢ map₂ m (map n f) g = map₂ (fun a b => m (n a) b) f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.Abelian.factorThruImage f ≫ CategoryTheory.Abelian.image.ι f = f
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
⊢ τ (f * g) = τ f + τ g
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
⊢ ↑↑f = (↑f).toMonoidHom
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
hab : a ≠ b
h : ¬G.Adj a b
⊢ e ∉ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b
α : Type u_1
Finite α
h : Nonempty α
⊢ 0 < Nat.card α
α : Type u_1
C : WithTop α → Sort u_5
d : C ⊤
f : (a : α) → C ↑a
x : α
⊢ WithTop.recTopCoe d f ↑x = f x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeInf α
⊢ Filter.atBot.NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
hl : ⊥.Subsingleton
⊢ ⊥.IsCountablyGenerated
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Setoid X
⊢ QuotientMap Quotient.mk'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.f =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.terminal.from X.src) (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.src)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_9
Preorder α
CompleteLattice β
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Antitone (f i)
⊢ Antitone (⨅ i, f i)
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑π).sin = -θ.sin
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ (φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a)) • x = (b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)) • x
ι : Type u_1
self : ComplexShape ι
i i' j : ι
⊢ self.Rel i j → self.Rel i' j → i = i'
⊢ 1 / 2 < Real.eulerMascheroniConstant
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 (ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑i)))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w x : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct u) v ⬝ᵥ (crossProduct w) x = u ⬝ᵥ w * v ⬝ᵥ x - u ⬝ᵥ x * v ⬝ᵥ w
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg Filter.atTop Filter.atBot
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : Pell.xn a1 i ≡ Pell.xn a1 j [MOD Pell.xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ r * f a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ sup f = max (sup fun a => f (Sum.inl a)) (sup fun b => f (Sum.inr b))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω
i : ℕ
⊢ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω) ↔ i ∈ Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1))
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ bernoulli' n = 1 - ∑ k ∈ range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
ν' : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.singularPart ν' ⟂ₘ ν
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton
⊢ eVariationOn f s = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B D : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B = D ↔ ∀ (x y : M), (B x) y = (D x) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
S : Set (Set E)
hS : ∀ s ∈ S, StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃₀ S)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I J : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I
⊢ Filter.Tendsto (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (BoxIntegral.Prepartition.single I J hJ))
  (𝓝 (BoxIntegral.integral J l f vol))
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∉ lowerClosure ↑s
ht : a ∉ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = ⊤
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ F.map (0 ▷ X✝) = F.map 0
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
⊢ Partrec' fun v => f v.head