ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
⊢ homogeneousSubmodule σ R n = supported R R {d | (weight 1) d = n}
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪(o.rotation ↑(π / 2)) x, r • x⟫_ℝ = 0
X Y : BoolAlg
a : BoundedLatticeHom ↑X.toBddDistLat.toBddLat.toLat ↑Y.toBddDistLat.toBddLat.toLat
⊢ BoolAlg.dual.map a = BoundedLatticeHom.dual a
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a : R
b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i (a • b)) = a • (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i b)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
h : ω ≤ o
⊢ (succ (aleph' o)).IsRegular
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v₁, u_1} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Mat_ C} (f : X ⟶ Y) (i : ((fun M => CategoryTheory.Mat_.mk M.ι fun i => F.obj (M.X i)) X).ι)
  (j : ((fun M => CategoryTheory.Mat_.mk M.ι fun i => F.obj (M.X i)) Y).ι), F.mapMat_.map f i j = F.map (f i j)
F : Type u
Γ₀ : Type v
Field F
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
⊢ v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y) ↔ y ∣ x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p = v2 +ᵥ p2
⊢ v +ᵥ p ∈ spanPoints k s
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
r : S
s : Set S
⊢ Ideal.absNorm (Ideal.span (insert r s)) ∣ gcd (Ideal.absNorm (Ideal.span s)) ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
⊢ (r /ₒ s * if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A
⊢ IsSelfAdjoint ↑a ↔ IsSelfAdjoint a
α : Type u_4
self : Bornology α
⊢ Bornology.cobounded' ≤ Filter.cofinite
m : ℤ
n k : ℕ
⊢ 2 ^ n * powHalf (n + k) = powHalf k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β
⊢ (fst✝¹, snd✝¹) ⋖ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⋖ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⋖ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (ShrinkingLemma.PartialRefinement u s)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ i ∈ (ShrinkingLemma.PartialRefinement.find c ne i).carrier ↔ i ∈ ShrinkingLemma.PartialRefinement.chainSupCarrier c
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤ ↔ ∃ r, ↑r • x = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
A B : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBiconeMorphism A B
⊢ A.inl ≫ self.hom = B.inl
α : Type u_1
OrderedRing α
a : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C
⊢ ((CategoryTheory.Abelian.extFunctor n).map f).app Y =
  AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
⊢ IsOpenMap Z.proj
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Inducing ⇑(TopologicalSpace.productOfMemOpens X)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
SupSet α
f : ι → α
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
h : ∀ (x : ι), g (e x) = f x
⊢ ⨆ x, f x = ⨆ y, g y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
hJK : J ≤ K
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
h : CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective K f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
F : CategoryTheory.Functor C E
X : C
⊢ (e.funInvIdAssoc F).hom.app X = F.map (e.unitInv.app X)
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ DenseRange fun x => ⟦preStoneCechUnit x⟧
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
x : δ
hx : x ∉ Set.range ⇑f
g : BoundedContinuousFunction α β
h : BoundedContinuousFunction δ β
⊢ (BoundedContinuousFunction.extend f g h) x = h x
F : Type u
Field F
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0
⊢ f.natSepDegree ≠ 0
α : Sort u_1
a b : α
⊢ ite True a b = a
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id
x : F
⊢ ContinuousAt (fun y => g (y - f x) + x) (f x)
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ Even (∑ i ∈ s, f i) ↔ Even (Finset.filter (fun x => Odd (f x)) s).card
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n + 1) f p s ↔
  HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) f p s ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y => p y n) (p x n.succ).curryLeft s x) ∧ ContinuousOn (fun x => p x (n + 1)) s
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ ≤ ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
⊢ ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
t : xn a1 n * 1 < xn a1 n * a
⊢ xn a1 n < xn a1 n * a
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
x : m α
⊢ x >>= pure = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hle : ν.AbsolutelyContinuous μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s ν
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ mk' f m s = 0 ↔ ∃ s', s' • m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ ‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → α
g : κ → β
⊢ (s.sup' hs f, t.sup' ht g) = (s ×ˢ t).sup' ⋯ (Prod.map f g)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a ≠ 1
⊢ Injective fun x => a ^ x
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
s : Set M
a : M
h : a ∈ Closure s
⊢ ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s) ∧ l.prod = a
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
s : Set β
⊢ ((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s ≤ m (f '' s)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q✝ : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
ι : Type u_8
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ ij ∈ s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij - ∑ i ∈ s, Q (f i)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N
⊢ i b ^ (N - n + n - n) * (i r * (i a * (bi * i b)) ^ n) = i b ^ (N - n + n) * (i r * (i a * bi) ^ n)
L : FirstOrder.Language
⊢ (FirstOrder.Language.LEquiv.refl L).toLHom = FirstOrder.Language.LHom.id L
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α
c : γ
⊢ (f.trans g) a = some c ↔ ∃ b, f a = some b ∧ g b = some c
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.abLeftHomologyData.H = AddCommGrp.of (↥(AddMonoidHom.ker S.g) ⧸ S.abToCycles.range)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (mappingConeCompTriangleh f g).mor₂ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (mappingConeCompTriangle f g).mor₁)
M : Type u_1
AddZeroClass M
c : AddCon M
x y : M
⊢ (x, y) ∈ ↑c ↔ (x, y) ∈ c
x : PartENat
h : x.Dom
⊢ ↑(x.get h) = x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ legendreSym p 1 = 1
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hKU : closure K ⊆ ⋃ i, U i
t : Finset ι✝
ht : K ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ∃ t, closure K ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
n k : ℕ
⊢ k + 2 ≤ n → (n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
⊢ b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hbc : b ≤ c
⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : s.card ≤ Fintype.card α / 2
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..d, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..b, f x ∂μ
R : Type u
AddGroupWithOne R
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ((a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (a ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ ￢(a ⊔ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ b ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (b ⊔ ￢(a ⊓ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v f : E
is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w
⊢ f = B♯ v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.BijOn f (s i) (t i)
Hinj : Set.InjOn f (⋃ i, s i)
⊢ Set.BijOn f (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
r : A
⊢ r ∈ integralClosure R A ↔ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ r ∈ M
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)
y : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f ↑x) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) y) =
  (X.presheaf.germ x) ((f.val.c.app (Opposite.op U)) y)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ ↑(dual A K 1) = 1ᵛ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ ⋯ = ⋯
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ ↑1 ≤ span R ↑T * span R ↑T'
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S), D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x + (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) → D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) → D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) + (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R✝
r : R✝
p✝ : R✝[X]
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid S✝
inst✝³ : Pow S✝ ℕ
inst✝² : MulActionWithZero R✝ S✝
x✝ : S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_4
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
this : Module R S := f.toModule
⊢ eval₂ f x p = p.smeval x
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
⊢ l.formPerm x ∈ l ↔ x ∈ l
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.card s = 2 ↔ ∃ x y, s = {x, y}
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS
k : ℕ
hk : ¬k = n
i : R
hi : f i = p.coeff k
⊢ f i = (erase n p).coeff k
α : Type u_1
E : Set α
Base : Set α → Prop
exists_finite_base : ∃ B, Base B ∧ B.Finite
base_exchange : Matroid.ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
⊢ (Matroid.ofExistsFiniteBase E Base exists_finite_base base_exchange subset_ground).Base = Base
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
⊢ Matrix.toLinAlgEquiv'.symm = LinearMap.toMatrixAlgEquiv'
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
⊢ C x hx
a b c : ENNReal
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : j ≠ i
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{max v w, u} a = Cardinal.lift.{max u w, v} b ↔ Cardinal.lift.{v, u} a = Cardinal.lift.{u, v} b
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s t : Set α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ (s ∪ t).PartiallyWellOrderedOn r
R : Type u
⊢ Function.LeftInverse Tropical.trop Tropical.untrop
F : Type u
K : Type v
A : Type w
DivisionRing F
DivisionRing K
AddCommGroup A
Module F K
Module K A
Module F A
IsScalarTower F K A
Nontrivial A
FiniteDimensional F A
⊢ FiniteDimensional F K
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
⊢ a = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
⊢ p = s.mongePoint
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
⊢ ∀ x_1 ∈ {x}, ∃ n, x ^ n = x_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
⊢ {x | gauge s x < a} = ⋃ r, ⋃ (_ : 0 < r), ⋃ (_ : r < a), r • s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
this : (fun x => g x - g a - f'.symm (x - a)) =O[𝓝 a] fun x => f' (g x - g a) - (x - a)
⊢ (fun x => f' (g x - g a) - (x - a)) =o[𝓝 a] fun x' => x' - a
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
h✝ : Subsingleton R
⊢ rootMultiplicity a (C r) = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ a.toProd ∈ {lr | ∀ (x y : A), lr.2 x * y = x * lr.1 y}
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
n : Fin 2 →₀ ↥N := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hn : (mulLeftMap N m) n = 0
⊢ False
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) κ μ
M : Type u_1
AddMonoid M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ AddMonoid.Closure s ⊆ AddMonoid.Closure t
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
l : List M
inst✝⁴ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : AddZeroClass R
l₁ l₂ : List R
inst✝² : DecidablePred fun x => (l₁ ++ l₂).getD x 0 ≠ 0
inst✝¹ : DecidablePred fun x => l₁.getD x 0 ≠ 0
inst✝ : DecidablePred fun x => l₂.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
⊢ (l₁ ++ l₂).getD n 0 = l₁.getD n 0 + (Finsupp.embDomain (addLeftEmbedding l₁.length) l₂.toFinsupp) n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ (∃ S, S.Finite ∧ span R S = N) ↔ ∃ n s, span R (range s) = N
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)
s : O
hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ v ↑p < v ((algebraMap O K) r) * v ((algebraMap O K) s)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |z.re + ↑n| < 1 / 2
⊢ |↑n| < 1
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
pos : 0 < x
⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.IsPath ↔ p.IsPath
α : Type u
Group α
Finite α
⊢ IsCyclic α ↔ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Mon_.equivLaxMonoidalFunctorPUnit C).inverse = Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.monToLaxMonoidal C