ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
I : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' J)
i : ι
J : Set (α i)
hJI : J ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' I
hJ : J.Finite
⊢ J = Sigma.mk i ⁻¹' (Sigma.mk i '' J)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
⊢ ∀ (a : Subgroup G), a < ⊤ → a < a.normalizer ↔ a.normalizer = a → a = ⊤
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
h : x ◃ x ◃ y = (x ◃ 1) ◃ x ◃ y
⊢ x ◃ x ◃ y = x ◃ y
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
Finite α
x : α
m : M
⊢ Finsupp.equivFunOnFinite (Finsupp.single x m) = Pi.single x m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ (CategoryTheory.Monad.comparisonForget h).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Monad.comparison h).comp h.toMonad.forget).obj X)
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
DecidableEq α
NonAssocSemiring α
⊢ 1 + SimpleGraph.adjMatrix α G + (SimpleGraph.adjMatrix α G).compl = Matrix.of fun x x => 1
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a b : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Ioc ↑a ↑b = Set.Ioc a b
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑u - ↑n
⊢ u = 1 ∨ u = -1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
hx : x ≠ 0
⊢ ∏ p ∈ (factors x).toFinset, p ^ count p (factors x) = (∑ a ∈ (factors x).toFinset, count a (factors x) • {a}).prod
α : Type u_2
t₁ t₂ : FirstOrder.Language.ring.Term α
⊢ t₁ + t₂ = FirstOrder.Ring.addFunc.apply₂ t₁ t₂
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.Unramified R A
⊢ Algebra.FormallyUnramified R A
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
f : α → β
g : α' → β'
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
⊢ Function.Injective (Sum.map f g)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
Fintype β
a : Matrix α β (NumberField.RingOfIntegers K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), NumberField.house ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) (a k l)) ≤ A
Apos : 0 ≤ A
l : β
⊢ NumberField.house ↑(NumberField.house.ξ K x l) ≤
  NumberField.house.c₁ K * (NumberField.house.c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
⊢ IsOpen (closure U)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
h : 0 ≤ c
⊢ convexBodySumFun (c • x) ≤ c * convexBodySumFun x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
inst✝⁹ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁷ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : Nontrivial 𝕜
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed (characterSpace 𝕜 A)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).Q = c.pt
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
x : E
hf✝ : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
left✝ : 0 < M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
e : E
⊢ ‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) (e - x)‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : a ≤ c
⊢ a ∆ b = c ↔ a ∆ c = b
a : ℝ
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, deriv g x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝 a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f
⊢ (ShortComplex.mk (L.map f) 0 ⋯).Exact
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
N : Type u_5
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
M : Type u_6
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
⊢ -v ⟂ᵥ w ↔ v ⟂ᵥ w
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ (LinearMap.baseChangeHom R A M N) f = LinearMap.baseChange A f
α : Type u
One α
a : α
LE α
⊢ ↑a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.LeftInvOn f' f s
hf : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.MapsTo f' t s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → α
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ Filter.liminf (fun n => (Set.preimage f)^[n] s) Filter.atTop =ᵐ[μ] s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
⊢ (sum fun g => ν.restrict (g • s)) = ν
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
self : PseudoEpimorphism α β
a : α
b : β
⊢ self.toFun a ≤ b → ∃ c, a ≤ c ∧ self.toFun c = b
𝒪 : Type u
K : Type v
CommRing 𝒪
IsDomain 𝒪
Field K
Algebra 𝒪 K
ValuationRing 𝒪
⊢ IsFractionRing 𝒪 K ↔
  (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : α → Prop
inst✝ : DecidablePred q
s : Multiset α
⊢ countP p (filter q s) = countP (fun a => p a ∧ q a) s
M : Type u_3
ι' : Sort u_6
Mul M
ts : ι' → TopologicalSpace M
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousMul M
⊢ ContinuousMul M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f fmeas s 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => b) s a
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ (List.destutter' R a l).Sublist (a :: l)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
⊢ ∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝.toAddMonoidHom (x * y) = __src✝.toAddMonoidHom x * __src✝.toAddMonoidHom y
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x
⊢ Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ f) ↔ Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ g)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a < 1
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ a ^ (n + 1) < 1
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(Subsemigroup.closure s)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioi a ∩ Iic b) (Ioi (a + d) ∩ Iic (b + d))
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
a b : ℕ
⊢ Nat.count p (a + b) = Nat.count p a + Nat.count (fun k => p (a + k)) b
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b c d : α
⊢ Set.Icc a b + Set.Ico c d ⊆ Set.Ico (a + c) (b + d)
G : Type u_1
CommSemigroup G
IsCancelMul G
g : G
⊢ mulLeftEmbedding g = mulRightEmbedding g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t u : Finset α
⊢ (filter (fun x => match x with | (a, b) => a * b ∈ u) (s ×ˢ t)).card ^ 2 ≤ u.card * Eₘ[s, t]
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ ∃ k, ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
Sub α
Bot α
Sub β
Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x y : WithTop α
⊢ WithTop.map f (x - y) = WithTop.map f x - WithTop.map f y
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
this : (fun p => p.1 * p.2⁻¹) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
⊢ ↑u ≤ 𝓝 x ↔ ↑(joinM u) ≤ ↑x
z : ℍ
⊢ EisensteinSeries.r1 z = 1 / ((z.re / z.im) ^ 2 + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = {g} ↔ f.IsCycle ∧ f = g
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
⊢ f^[n.succ] = f ∘ f^[n]
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
e : J ≌ K
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected J ↔ CategoryTheory.IsPreconnected K
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
⊢ G.map f ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c) = 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ (b, e₁.coordChange e₂ b x) = ↑e₂ (↑e₁.symm (b, x))
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
DecidableRel R
⊢ List.pwFilter R (List.pwFilter R l) = List.pwFilter R l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
h : ContMDiffAt I I' ⊤ f x
⊢ SmoothAt I I' f x
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
⊢ MeasureTheory.Measure.comap f (μ.restrict s) = (MeasureTheory.Measure.comap f μ).restrict (f ⁻¹' s)
x : ℝ
hl : -(Real.pi / 2) ≤ x
hu : x ≤ Real.pi / 2
⊢ Real.cos x = √(1 - Real.sin x ^ 2)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ toSubmodule (S ⊔ T) ≤ toSubmodule S * toSubmodule T
α : Type u_1
β : Type u_2
f : αᵒᵈ → βᵒᵈ
a : WithBot α
⊢ WithTop.map f (WithBot.toDual a) = WithBot.map (⇑OrderDual.toDual ∘ f) a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x y : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Icc (x i) (y i)) = Set.Icc x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X Y : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Epi f.f
⊢ CategoryTheory.Epi f
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ h.finpartition.parts.card = min (Fintype.card V) r
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
b : Bool
⊢ b.toNat = 0 ↔ b = false
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
⊢ HasProd f ((∏ b ∈ s, f b) * a) ↔ HasProd f (a * ∏ i ∈ s, f i)
K : Type u
Field K
L : Type u
Field L
f : K →+* L
a : L
⊢ RatFunc.eval f a 0 = 0
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n
⊢ k + 0 = k
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
⊢ legendreSym p (a * b) = legendreSym p a * legendreSym p b
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p.castSucc
hi : i ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ p.predAbove i = i.castPred hi
n : ℕ
w : 0 < n
h : ¬Nat.Prime n
⊢ n.minFac ^ 2 ≤ n
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
⊢ BddAbove s
α : Type u_1
Ring α
LinearOrder α
a b : α
⊢ |a| ∣ |b| ↔ a ∣ b
R : Type u_1
Zero R
f f' : ℕ → R
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = f' n
⊢ toArithmeticFunction f = toArithmeticFunction f'
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0
⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
count_ℬ : ℬ.Countable
f : Set (Set (Set α)) → Set α := fun A => ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
𝒞 : Set (Set (Set α)) := {a | a.Finite ∧ a ⊆ ℬ}
count_𝒞 : 𝒞.Countable
𝒟 : Set (Set (Set (Set α))) := {A | A.Finite ∧ A ⊆ 𝒞}
⊢ (generateSetAlgebra 𝒜).Countable
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
S : Subalgebra R A
⊢ P S
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n a b : ℕ
f g : R⟦X⟧
ha : n < a
hb : n < b
⊢ (coeff R n) (↑(trunc a f) * ↑(trunc b g)) = (coeff R n) (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder γ
f : γ → Filter α
g : γ → Set α → Filter β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun c => (f c).lift (g c)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence
⊢ (F ⋙ G.asEquivalence.functor ⋙ G.asEquivalence.inverse).IsEquivalence
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)
⊢ ∀ (s : Finset ℕ) (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
cc : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
hf : CategoryTheory.Limits.IsColimit cc
cc' : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π cc ≫ CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.mapOfIsColimit hf cc' φ =
  φ.right ≫ CategoryTheory.Limits.Cofork.π cc'
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
h : ¬Order.IsSuccLimit a
⊢ a ∈ Set.range Order.succ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hsm : MeasurableSet s
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ ↑a - x
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b
this : ↑p ^ n ∣ ↑a - x + (x - ↑b)
⊢ ↑p ^ n ∣ a - b
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s → AntivaryOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) g s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Factorisation.terminal.ι = f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.WSameSide x y ↔ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
a b : ℤ
⊢ a.gcd b = a.natAbs.gcd b.natAbs
R : Type u
CommRing R
A B C D : ModuleCat R
x : ↑A
y : ↑B
z : ↑C
w : ↑D
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ (ModuleCat R) (A, B) (C, D)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z ⊗ₜ[R] w) = (x ⊗ₜ[R] z) ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] w
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ ⟪f, lp.single 2 i a⟫_𝕜 = ⟪↑f i, a⟫_𝕜
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
x : ℂ
⊢ ⇑(SlashInvariantForm.const x) = Function.const ℍ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
h : g.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ (g.extendDomain f).SameCycle ((Subtype.val ∘ ⇑f) a) ((Subtype.val ∘ ⇑f) b)
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁵ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : Algebra R Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
y : ↥M
⊢ IsUnit ((algebraMap R Sₘ) ↑y)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A ≤ firstDiff x y
⊢ y ∈ cylinder x (Nat.find A)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x‖ ≤ c * ‖k₂ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c' * ‖g' x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖k₁ a✝‖ ≤ c * ‖k₂ a✝‖
hx₂ : ‖f' a✝‖ ≤ c' * ‖g' a✝‖
⊢ ‖k₁ a✝‖ * ‖f' a✝‖ ≤ c * c' * ‖k₂ a✝ • g' a✝‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
inst✝ : HasDerivedCategory C
f : X ⟶ Y
⊢ (mk₀ f).hom = ShiftedHom.mk₀ ↑0 ⋯ ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G
⊢ a / c / (b / c) = a / b
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M
⊢ v ∈ ⊤.dualAnnihilator → v ∈ ⊥
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
IsSymm α r
s t : Multiset α
x : α
DecidablePred (r x)
h : Multiset.Rel r s t
⊢ Multiset.countP (r x) s = Multiset.countP (r x) t
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1 + ↑((↑x⁻¹).val + (↑x).val + (↑x).val * (↑x⁻¹).val)
α : Type u_1
Semiring α
Invertible 2
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (a * a) = SymAlg.unsym a * SymAlg.unsym a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : J
⊢ c.toStructuredArrowCompToUnderCompForget.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
P✝ Q✝ R✝ : T.Algebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ∪ ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ R.one ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom