ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
x y : C
f : x ⟶ y
U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj ((skyscraperPresheafFunctor p₀).obj x)) U ≫ (skyscraperPresheafFunctor p₀ ⋙ Presheaf.stalkFunctor C p₀).map f ≫ (fun c => (skyscraperPresheafStalkOfSpecializes p₀ c ⋯).hom) y = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj ((skyscraperPresheafFunctor p₀).obj x)) U ≫ (fun c => (skyscraperPresheafStalkOfSpecializes p₀ c ⋯).hom) x ≫ (𝟭 C).map f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).leadingCoeff = -p.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
f : α → β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f) = f
α : Type u_4
β : Type u_5
Denumerable α
Primcodable β
f : α → β
⊢ Primrec f ↔ Primrec fun n => f (Denumerable.ofNat α n)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ (X ^ n + C a).degree ≠ ⊥
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
hrpq0 : (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ False
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S T : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ cylinder s S \ cylinder s T ↔ f ∈ cylinder s (S \ T)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
D : DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ (subtypeDomain p f).support = Finset.subtype p f.support
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0
n : ℕ
⊢ f (0 * c ^ n) / f c ^ n = 0 n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
⊢ P (g ^ (↑n + 1))
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
⊢ ↑(z1 + z2) = ↑z1 + ↑z2
n : PosNum
⊢ ↑n.size = (↑n).size
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
⊢ 0 < (c • μ) n
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g (R * x)) MeasureTheory.volume ↔ MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
⊢ (List.mapIdx f l).length = l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → ℝ≥0
hf : Summable fun i => ↑(f i)
g : β → ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b
⊢ Summable fun i => ↑(g i)
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ (xs + ys).sum = xs.sum + ys.sum
R : Type u_1
n : ℕ
this : μ n = 0 ∨ μ n = 1 ∨ μ n = -1
⊢ μ n ≠ 0 ↔ μ n = 1 ∨ μ n = -1
d : ℤ
b : ℤ√d
⊢ Pell.IsPell b ↔ b ∈ unitary (ℤ√d)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ M.toAddSubmonoid ^ 0 ≤ (M ^ 0).toAddSubmonoid
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Option β → α
⊢ ⨆ o, f o = f none ⊔ ⨆ b, f (some b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
⊢ DifferentiableOn 𝕜 Ring.inverse {x | IsUnit x}
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ
⊢ range ⇑(γ.truncate t₀ t₁) ⊆ range γ.extend
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s 0) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))
⊢ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.drop.obj X = X.right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
⊢ IsCofiltered C ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
(i : ι) → MeasurableSpace (π i)
∀ (i : ι), BorelSpace (π i)
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ borel ((i : ι) → π i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
⊢ Collinear ℝ {s.secondInter p (p' -ᵥ p), p, p'}
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
h✝ : IsRelPrime x y
z : R
h : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (x + y * z + y * -z) y
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → δ
s : Set α
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ μ.restrict s ≪ μ
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊔ x ⊓ yᶜ = x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Sub α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s - t).inf f = t.inf fun y => s.inf fun x => f (x - y)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (-a) b = -(toIocDiv hp a (-b) + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inl M N) ⊔ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inr M N) = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor C c i).obj K).X₁ = K.X (c.prev i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β
⊢ ⨅ i ∈ f, comap m (g i) = ⨅ s ∈ f, (comap m ∘ g) s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
K₁.HasMapBifunctor K₂ F
⊢ K₁.mapBifunctorShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) x).mapIso (K₁.mapBifunctorShift₂Iso K₂ F y) =
  (x * y).negOnePow •
    ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorShift₂Iso K₂ F y ≪≫
      (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).mapIso (K₁.mapBifunctorShift₁Iso K₂ F x) ≪≫
        (CategoryTheory.shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).app (K₁.mapBifunctor K₂ F)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
k : P ≃* M
H : Submonoid.map k.toMonoidHom T = S
⊢ (f.ofMulEquivOfDom H).toMap = f.toMap.comp k.toMonoidHom
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
⊢ Algebra.FinitePresentation R S
α : Type u_1
x : α
l : List α
⊢ ¬[] ~ x :: l
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : ¬BddAbove (range f)
⊢ IsSuccLimit ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)ᵒᵖ
X : SimplexCategory
⊢ ((CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).functor.obj F).obj X =
  Opposite.op ((Opposite.unop F).obj (Opposite.op X))
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
hs : s₁ = s₂
hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a
⊢ s₁.gcd f = s₂.gcd g
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ioo c d ↔ a ∈ Set.Ioo (c - b) (d - b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a✝ p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}
a : R
ha : a • P = 0
⊢ a = 0
R✝ : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : CommSemiring S✝
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Semiring B
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ A
inst✝⁸ : Algebra R✝ B
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R✝ M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
h : FiniteType R S
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R
⊢ ↑n < f.degree
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : 0 < r
⊢ a ≤ (lineMap a b) r ↔ (lineMap a b) 0 ≤ (lineMap a b) r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * ⟪v i, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
(i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
⊢ (Matrix.diagonal d).blockDiag' k = Matrix.diagonal fun i => d ⟨k, i⟩
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable 1 s ↔ 1 < s.re
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ IsAffineOpen (Scheme.Hom.opensRange f)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ ↑N ≤ sSup {x | ∃ s, (∃ x ∈ N, lieSpan R L {x} = s) ∧ ↑s = x}
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ 0 ≤ count K v ↑J'
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
p : α → Bool
⊢ List.Pairwise R l → List.Pairwise R (List.filter p l)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
s : Submonoid M
l : List ↥s
⊢ ↑l.prod ∈ s
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
a b : α
⊢ a ⊔ b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a‖₊ ≤ ‖a + b‖₊ + ‖b‖₊
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
⊢ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inl) ∧ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inr) ∧ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
⊢ Equivalence GenLoop.Homotopic
x : EReal
⊢ x < 0 → x * ⊥ = ⊤
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n < y n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_3
f : ι → OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (⨆ i, f i) s = ⨆ i, (f i) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y : X
r s : ℝ
⊢ Metric.ball x r ⊆ Metric.ball y s ∨ Metric.ball y s ⊆ Metric.ball x r ∨ Disjoint (Metric.ball x r) (Metric.ball y s)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R
v : n → R
⊢ (Matrix.GeneralLinearGroup.toLinear A).toLinearEquiv v = (↑A).mulVecLin v
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsAntisymm α r
⊢ x ∈ s → ((∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r x b → r b x) ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℕ
n : ℕ
⊢ s.prod % n = (map (fun x => x % n) s).prod % n
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
Zero N
f : (i : ι) × η i →₀ N
⊢ ⇑(sigmaFinsuppEquivDFinsupp f) = f.split
R : Type u_1
Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
kpos : 0 < k
⊢ (f.ppow k) x = f x ^ k
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
s : Set E
y : E
⊢ AmpleSet (y +ᵥ s) ↔ AmpleSet s
R : Type u_1
Ring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
Finite R
p : ℕ
CharP R p
⊢ Nat.Prime p
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SMul αᵐᵒᵖ β
SMul β γ
SMul α γ
a : α
s : Set β
t : Set γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (MulOpposite.op a • b) • c = b • a • c
⊢ (MulOpposite.op a • s) • t = s • a • t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ Relation.ReflGen r a b → Relation.ReflTransGen r a b
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
⊢ G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this : Invertible (M.toBlock p p)
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
⊢ nodal (↑G).toFinset Units.val = X ^ Fintype.card ↥G - 1
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
r : ℚ
⊢ ‖↑r‖ = |↑r|
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).g' = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.g' φ.τ₃
α : Type u_2
M : Type u_4
Monoid M
DecidableEq α
l : List α
a : α
f : α → M
hf : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ l → f a' = 1
⊢ (List.map f l).prod = f a ^ List.count a l
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem n ⊆ SequentiallyComplete.setSeq hf U_mem m
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
IsPRadical i p
⊢ Ideal.comap i (pNilradical L p) = pNilradical K p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hfl : f.leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < f.degree
h0 : f.coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : f.IsPrimitive
hf0 : f ≠ 0
hf : map (mk P) f = C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree
hfd0 : 0 < f.natDegree
h : f.degree = 0
⊢ False
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
H₁ H₂ : Subgroup G
h : H₁ ≤ H₂
h₁ : IsOpen ↑H₁
⊢ IsOpen ↑H₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : α → PMF β
b : β
this : ∀ (a : α), (if p a = 0 then 0 else p a * (f a) b) = p a * (f a) b
⊢ (p.bindOnSupport fun a x => f a) b = (p.bind f) b
n m : Nat
hlt : n < m
⊢ ↑n - ↑m = -(↑(m - 1 - n) + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsDetector G ↔ (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op G)).ReflectsIsomorphisms
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
TopologicalSpace β
AddGroup β
ContinuousSub β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (f - g) μ
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
⊢ x ∈ s ↔ closure {x} ⊆ s
𝕜 : Type u_5
M : Type u_7
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid M
SMulWithZero 𝕜 M
h : ∀ ⦃c : 𝕜⦄, 0 < c → StrictMono fun a => c • a
⊢ OrderedSMul 𝕜 M
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
f✝ f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
f_zero : ¬‖f‖ = 0
norm_f_pos : 0 < ‖f‖
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
⊢ limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P + δ
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.compls ⊆ t ↔ s ⊆ t.compls
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ≤ log x / x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F
⊢ { base := (𝟙 X).base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ } = 𝟙 { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }
x y : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (x * y).InfiniteNeg
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) 1 = 0
k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁹ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra k K
inst✝⁶ : Algebra k F
inst✝⁵ : Algebra K F
inst✝⁴ : IsScalarTower k K F
inst✝³ : NumberField k
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
⊢ Fintype.card (InfinitePlace K) = Fintype.card (InfinitePlace k) * finrank k K
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.unopEquivalence V c).inverse = HomologicalComplex.unopInverse V c
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0
⊢ Cardinal.aleph0 * ↑m = Cardinal.aleph0
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
⊢ 0 = PerfectClosure.mk K p (0, 0)
α β : Sort u_3
h : α = β
⊢ Function.Bijective (cast h)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a b : A
⊢ D (a + b) = D a + D b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l = l.length ↔ ¬a ∈ l
⊢ indexOf a (b :: l) = (b :: l).length ↔ ¬a ∈ b :: l
n : ℕ
⊢ orderOf ?x = Fintype.card (QuaternionGroup 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ((f ∘ u) n) ((f ∘ u) m) ≤ (fun n => ↑K * b n) N
n m : Nat
⊢ n ≠ 0 → n < m → n.pred < m.pred
x y : Bool
⊢ (x || y) = true ↔ x = true ∨ y = true
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
b n : ℕ
hb : 1 < b
⊢ log b (n / b) = log b n - 1
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) D
q : CategoryTheory.Functor ((i : I) × C i) D
h : (i : I) → (CategoryTheory.Sigma.incl i).comp q ≅ F i
i : I
X : C i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.descUniq F q h).inv.app ⟨i, X⟩ = (h i).inv.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
ys : List β
⊢ suffixLevenshtein C (x :: xs) ys = ⟨levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val, ⋯⟩
ι : Sort u_1
g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
f : ι → ℝ≥0
⊢ (⨆ i, ↑(f i)).toNNReal = ⨆ i, ((fun i => ↑(f i)) i).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[<] a) l
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x) = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ico a b = Set.Ico (c + a) (c + b)
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ (↑a * ↑b) ^ 0 = ↑a ^ 0 * ↑b ^ 0