ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ univ) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)
hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)
e : α
he : e ∈ B ∩ (R ∩ M.E) ∧ e ∉ I
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a : α
⊢ μ.restrict (Set.Iio a) = μ.restrict (Set.Iic a)
α : Type u_2
t t' : Bornology α
h_cobounded : Bornology.cobounded α = Bornology.cobounded α
⊢ t = t'
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ map (Int.castRingHom ℚ) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom ℚ) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im
⊢ x.arg ≤ 2 * π
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
arr : Array α
⊢ (Array.map f arr).data = List.map f arr.data
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
⊢ (c • μ').haarScalarFactor μ = c • μ'.haarScalarFactor μ
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
⊢ Nat.card G ∣ Monoid.exponent G ^ Group.rank G
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a + y.coeff a ≠ 0
⊢ a ∈ x.support ∪ y.support
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
c : β
⊢ Filter.Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOn F (fun x => c) p s
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s =ᶠ[l] t ↔ l ⊓ 𝓟 s = l ⊓ 𝓟 t
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r₁ r₂ : R
⊢ TrivSqZeroExt.inl r₁ * TrivSqZeroExt.inl r₂ = TrivSqZeroExt.inl (r₁ * r₂)
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsInt (a ^ nb)⁻¹ (Int.negOfNat ne)
⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
A : Type u_17
B : Type u_18
R : Type u_19
Semiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R B
f : A →+ B
⊢ (addMonoidHomLequivNat R) f = f.toNatLinearMap
m n : Nat
⊢ n.gcd (n * m) = n
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : LinearMap.ker f ⊔ LinearMap.ker g = ⊤
⊢ LinearMap.range (f.prod g) = (LinearMap.range f).prod (LinearMap.range g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
⊢ HasStrictFDerivAt T.reApplyInnerSelf (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) x₀
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Set.Ioo a b → p x
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
⊢ RegularSpace X
α : Type u_1
SupSet α
s : Set α
⊢ sSup s = ⨆ a, ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
η : ℝ≥0∞
hη_pos : 0 < η
hη : ∀ (f g : α → β), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ↑ε
hη_top : ¬η = ⊤
s : Set α
hμs : s ∈ μ.cofinite
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ η
hgs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ η
i : ι
⊢ eLpNorm (sᶜᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α
⊢ MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized
⊢ 0 < s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
d : G.Dart
h : d ∈ p.darts
⊢ d.toProd.2 ∈ p.support
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
n : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
x✝ : Fin n
⊢ b.flag x✝.castSucc < b.flag x✝.succ
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
⊢ (MvPolynomial.pUnitAlgEquiv R).symm p = Polynomial.eval₂ MvPolynomial.C (MvPolynomial.X PUnit.unit) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
self : sq.HasLift
⊢ Nonempty sq.LiftStruct
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (Matrix.vandermonde v).det ≠ 0 ↔ Function.Injective v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.sheafificationIsoPresheafToSheafCompSheafToPreasheaf D).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (J.sheafify X)
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
r✝ n r k : ℕ
⊢ (k + 1) * eval (k + 1 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (k + 1 + r) * eval (k + 1) (ascPochhammer ℕ r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
M : Type w'
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
⊢ CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ (algebraMap A B) (mk' A (x + y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx + mk' A y hy)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S.a + S.b = (hζ.toInteger - 1) ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.moebius n ≠ 0 ↔ ArithmeticFunction.moebius n = 1 ∨ ArithmeticFunction.moebius n = -1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x y : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 y) = 𝓝 (x + y)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
t : RingHomSurjective σ
⊢ Function.Surjective ⇑σ
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
h : f < g
⊢ sf < sg
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Units.val ⁻¹' Set.center M ⊆ Set.center Mˣ
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.ndinsert a s ≤ t ↔ s ≤ t ∧ a ∈ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
c : F
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => c - f x) (-f') s x
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b)⁻¹ = a⁻¹ ⊔ b⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a
⊢ a / c ≤ b / c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso F).inv = (S₁.mapHomologyIso F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : ↑b * a = c
⊢ a = ↑b⁻¹ * c
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x y : G
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H
⊢ x / y ∈ H
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
⊢ (p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree
x : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ x.moveLeft i = -(-x).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg i)
F✝¹ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F✝ : IntermediateField K L
x : L
int : IsIntegral K x
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)
⊢ x ∈ F.val.fieldRange
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0
⊢ χ a ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hst : Set.EqOn f g s
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ LinearIndependent F fun (x : ↑{1}) => ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.swap.getRight? = x.getLeft?
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : Sheaf J E
Y : Sheaf J D
A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj
η : (composeAndSheafify J G).obj X ⟶ Y
⊢ toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val = (A.homEquiv X.val Y.val).symm ((A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν₁ ν₂ μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν₁
MeasureTheory.SigmaFinite ν₂
MeasureTheory.SigmaFinite μ
h : ν₂ ⟂ₘ μ
⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᵐ[μ] ν₁.rnDeriv μ
z : ℤ
a : USize
⊢ z • a = { val := z • a.val }
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N n : ℕ
hn : n ≥ N
hg : dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε
⊢ dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : s.Nonempty
⊢ s.sup' hs (g ∘ ⇑f) = (Finset.map f s).sup' ⋯ g
r₁ r₂ : ℝ≥0
⊢ ↑r₁ ≤ ↑r₂ ↔ r₁ ≤ r₂
a b : ENNReal
⊢ a * (b / a) ≤ b
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Over X
hl : f.left ≅ g.left
hw : CategoryTheory.CategoryStruct.comp hl.hom g.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Over.isoMk hl hw).inv.left = hl.inv
b x : ℕ
hb : 1 < b
⊢ Nat.clog b (b ^ x) = x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
⊢ ↑(conductor R x) ⊆ ↑(Algebra.adjoin R {x})
n : ℕ
⊢ numDerangements (n + 2) = (n + 1) * (numDerangements n + numDerangements (n + 1))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1 : Computation α
s2 : Computation β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1 s2
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
⊢ LiftRel S (map f1 s1) (map f2 s2)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
⊢ IsOpen {f | ↑n ≤ (↑f).rank}
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }
h : rng.topologicalClosure = rng
⊢ rng = ⊤
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ ((κ.singularPart η) a) s = 0
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
⊢ Algebra.FinitePresentation R (AdjoinRoot f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : ∀ (n : ℤ), jacobiTheta₂'_term n (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂'_term (n + 1) z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂_term (n + 1) z τ)
⊢ cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * ∑' (c : ℤ), (jacobiTheta₂'_term ((Equiv.subRight 1) c + 1) z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂_term ((Equiv.subRight 1) c + 1) z τ) = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)
e : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
⊢ ↑(rotationOf e) = e 1 / ↑(Complex.abs (e 1))
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
n : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C r).natDegree = n
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a x : α
b : M
⊢ (Finsupp.single a b) x ≠ 0 ↔ x = a ∧ b ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
F : Type u_5
FunLike F α β
ContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_3
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α
⊢ a.Disjoint (i.sum f) ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint (f b)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Continuous fun μ => μ.testAgainstNN f
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
ι : Sort u_5
f : ι → α
⊢ -Set.range f = Set.range fun i => -f i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
⊢ truncateFun n (m • x) = m • truncateFun n x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
⊢ PerfectionMap p (Perfection.coeff R p 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
f : β → α
γ : Type u_5
Group γ
DistribMulAction γ α
ContinuousConstSMul γ α
T2Space α
g : γ
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
γ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
c : γ
⊢ (Sum.elim (fun x => c) fun x => c) = fun x => c
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrans α R
a b : α
l : List α
h : R a b
hb : Chain R b l
⊢ ∀ (a' : α), a' ∈ b :: l → R a a'
G : Type u_4
F : Type u_6
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
f : G → F
μ.IsNegInvariant
μ.IsAddLeftInvariant
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
g : G
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun t => f (g - t)) μ
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ((monomial (n + 1)) a).coeff 0 = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c : V
⊢ s(b, c) ∈ G.incidenceSet a ↔ G.Adj b c ∧ (a = b ∨ a = c)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.toSubsemiring = S.unop
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n
h : v.toList.length = n
⊢ ⟨v.toList, h⟩ = v
α : Type u
s : Set α
t : α → Prop
⊢ Cardinal.mk ↑{x | x ∈ s ∧ t x} = Cardinal.mk ↑{x | t ↑x}
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
h : separableClosure F E ≤ L
this : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E
⊢ IsPurelyInseparable (↥L) E
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ edist x y = (edist x.1 y.1 ^ 2 + edist x.2 y.2 ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α ↪ β
x y z : α
⊢ (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z) = f ((Equiv.swap x y) z)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ a₂ : α
⊢ Finset.Ico (Sum.inlₗ a₁) (Sum.inlₗ a₂) = Finset.map (Function.Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Ico a₁ a₂)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n) * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))
⊢ wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
⊢ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ = minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ I + J = 1
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g d : G
⊢ (x.modOf g) (d + g) = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
⊢ natSepDegree 1 = 0
M : Type u_3
α : Type u_5
Monoid M
SMul M α
m : Mˣ
a : α
⊢ m • a = ↑m • a
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h✝ h₁ h₂ g : Set α → Set β
h : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
hh : Monotone h
⊢ (f.lift fun s => (𝓟 (g s)).lift h) = f.lift fun s => h (g s)
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsTotallySeparated {x}
R : Type u_1
Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
m n : ℤ
⊢ f * LaurentPolynomial.T m * LaurentPolynomial.T n = f * LaurentPolynomial.T (m + n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
U V W X Y Z : C
f : U ⟶ X
g : V ⟶ Y
h : W ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.map f (CategoryTheory.Limits.biprod.map g h) ≫
    (CategoryTheory.Limits.biprod.associator X Y Z).inv =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.associator U V W).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.biprod.map (CategoryTheory.Limits.biprod.map f g) h
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
h : IsNormal f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Subsingleton ι
i : ι
s : ι → α
⊢ ⨅ i, s i = s i
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)
bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_max : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).sup' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max
hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
⊢ ‖T n‖ ≤ C * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖