ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
F G : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
α : F ≅ G
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i : ι
⊢ ((CategoryTheory.NatIso.mapHomologicalComplex α c).inv.app C).f i = α.inv.app (C.X i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β
⊢ s • Neg.neg '' t = Neg.neg '' (s • t)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R
⊢ f (a * (algebraMap R A) r) = f a * (algebraMap R B) r
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h0 : P.a ≠ 0 ∨ P.b ≠ 0 ∨ P.c ≠ 0 ∨ P.d ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_5
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_6
CommRing B
Algebra R B
Aₚ : Type u_7
CommRing Aₚ
Algebra A Aₚ
Algebra R Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
CommRing Bₚ
Algebra B Bₚ
Algebra R Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
IsLocalization.Away a Aₚ
IsLocalization.Away (f a) Bₚ
x : Aₚ
⊢ (IsLocalization.Away.mapₐ Aₚ Bₚ f a) x = (IsLocalization.Away.map Aₚ Bₚ f.toRingHom a) x
X : Compactum
uux : Ultrafilter (Ultrafilter X.A)
⊢ (β.map X.a ≫ X.a) uux = X.str (Ultrafilter.map X.str uux)
l : List ℕ
a m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.greatestFib - 1 ≠ 0
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L₂ R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).inverse.map f).left = f.left
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ s.sup' H f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
⊢ IsLocalization.mk' S x 1 = (algebraMap R S) x
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
⊢ ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ Set.univ ↔ c.ι.app j x ∈ ⋃ x, descSet hc {x}
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f : R[X]
I : Ideal R
x : R
this : (algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) (C x))
⊢ (quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f) ((algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Iic a)
l : Filter β
⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p' + n = q
⊢ (γ.leftShift a n' hn').v p q hpq =
  (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p p' ⋯).hom ≫ γ.v p' q hp'
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.ihom.coev F).app G = F.closedUnit.app G
R : Type u_4
X : Type u_5
AddZeroClass R
f : R → X
c : R
hf : Function.Periodic f c
hc : c ≠ 0
⊢ ¬Function.Injective f
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + ↑(finrank K ↥t)
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ Gᶜ.IsRegularOfDegree (n - k - 1)
γ : Type w
PartialOrder γ
OrderTop γ
⊢ upperBounds Set.univ = {⊤}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
⊢ (fun i => if MeasurableSet i then μ i else 0) ∅ = 0
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a b : E
⊢ dist (a / b) a = ‖b‖
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℤ
⊢ m • a + n • a = n • a + m • a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ Continuous ⇑(toWOT 𝕜 E F)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
⊢ addOrderOf x ∣ n ↔ n • x = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
⊢ min r s ≤ (p.prod q).radius
α : Type u
β : Type v
Mul β
f g : FreeMagma α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ FreeMagma.of = ⇑g ∘ FreeMagma.of
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
X : P.I
⊢ (P.toCostructuredArrow.obj X).right.as = PUnit.unit
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E
X : C
Y : D
⊢ ((CategoryTheory.curry.obj F).obj X).obj Y = F.obj (X, Y)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0
⊢ (minpoly A x).degree = p.degree
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : Filter.IsBasis p s
U : Set α
⊢ U ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ U
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.1345, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ φ.f' + φ.f = φ.f + φ.f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι
      (CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) k ≫
    CategoryTheory.Limits.colimitLimitToLimitColimit F ≫
      CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.curry.obj F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π ((CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.curry.obj F).obj j) k
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
⊢ FiniteDimensional.finrank K V = 1 ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
n : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.ε.app ((F.obj n).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ n (𝟙_ M)).app X)
      ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor n).hom).app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)).obj ((F.obj n).obj X))
X : Type u
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
hf : ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
⊢ Continuous f
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
h : f.IsSwap
⊢ Equiv.Perm.sign f = -1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Function.Periodic f T
n : ℤ
t : ℝ
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume t₁ t₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + n • T, f x = n • ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ ⇑(Trivialization.linearMapAt R e b) = fun y => if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid n I
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.zeroLocus {f} = (X.basicOpen f).carrierᶜ
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.taylor 0 = LinearMap.id
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * |↑R|⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hc : 0 ≤ c
hfg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hgk : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * c' * ‖k x‖
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) ≤ π / 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : CPolynomialAt 𝕜 f x
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
A✝ : Type u_1
inst✝⁹ : AddCommGroup A✝
inst✝⁸ : Module ℂ A✝
inst✝⁷ : StarAddMonoid A✝
inst✝⁶ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℂ A
inst✝² : IsScalarTower ℂ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
a_eq : a = ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)
⊢ ↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + -(I • (↑(ℑ a) * ↑(ℜ a))) + (I • (↑(ℜ a) * ↑(ℑ a)) + ↑(ℑ a) * ↑(ℑ a)) + (↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + I • (↑(ℑ a) * ↑(ℜ a)) + (↑(ℑ a) * ↑(ℑ a) + -(I • (↑(ℜ a) * ↑(ℑ a))))) = ↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + ↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + (↑(ℑ a) * ↑(ℑ a) + ↑(ℑ a) * ↑(ℑ a))
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : 0 < a
⊢ -a < a
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
ha : a ≠ 0
⊢ a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i
hb : Function.Bijective i.hom
y' : ↑X.V
g : G
hg : g • x = y'
hy' : y' = y
⊢ g • x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ✝ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2
⊢ HasStrictFDerivAt g (↑f'.symm) a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalStarSubalgebra ⋯ = S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.unmop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z.unmop Y.unmop X.unmop).hom
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
Group G
MulAction G X
self : ProperSMul G X
⊢ IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
⊢ count K v 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
i : F ≅ F'
⊢ F'.Final
ι : Type u_1
α : Type u_3
AddCommMonoid α
DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
⊢ ∑ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∑ j ∈ s.erase ↑i, f j
α : Type u_1
IntCast α
n : ℤ
⊢ MulOpposite.op ↑n = ↑n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x y : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
h' : IsGenericPoint y S
⊢ Inseparable x y
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
y : Q
hy : y ∈ t
⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
p q : G
⊢ ⁅p, q⁆ ∈ ↑f.ker
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n1 n2 k e1 e2 t1 : α
h1 : n1 * e1 = t1
h2 : n2 / e2 = 1
h3 : n1 * n2 = k
⊢ k * (e1 / e2) = t1
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
hm : m ≤ m0
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.trim hm).restrict s = (μ.restrict s).trim hm
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
⊢ AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom = (AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑(Subalgebra.toSubmodule S) = ↑S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
z₃ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L 0
h₁₂ : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (z₁.comp z₂ h₁₂).comp z₃ ⋯ = z₁.comp (z₂.comp z₃ ⋯) h₁₂
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ (𝒰.pullbackCover f).f x = 𝒰.f (f.val.base x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B = F.map CategoryTheory.Limits.coprod.inl
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
⊢ (a.wronskian b).natDegree < a.natDegree + b.natDegree
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b = toIcoDiv hp 0 (b - a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
h : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ ∀ (Y_1 : C) (sl : Y_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Sieve.pullback h S).arrows sl = S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp sl h)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Set.Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im), HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun z => Complex.I • (f' z) 1 - (f' z) Complex.I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
    MeasureTheory.volume
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * Complex.I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * Complex.I)) +
      Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * Complex.I)) -
    Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * Complex.I) =
  ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
    ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, Complex.I • (f' (↑x + ↑y * Complex.I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * Complex.I)) Complex.I
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f‖₊ = ⨆ x, ‖f x‖₊
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))
⊢ DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
self : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
i : ι
⊢ IsOpen (self.toFun i)
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
⊢ (¬∃ x h, P x h) ↔ ∀ (x : α) (h : p x), ¬P x h
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Field.finSepDegree F E = FiniteDimensional.finrank F E
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s * closure t = s * t
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
⊢ 0 < μ (support fun i => w D i * φ (x - i))
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n + 1 = n'
h1 : a * a + b * b = a'
h2 : b * (2 * a + b) = b'
⊢ fib n' = a'
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
s : Set α
h : IsCompact s
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P
X : C
hX : IsZero X
mem : S.P X
⊢ S.P 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.lanLiftCompIsoWhisker f g h).hom.right =
  CategoryTheory.Bicategory.lanLiftDesc ((CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f g).whisker h)
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ Continuous fun p => Path.delayReflRight p.1 p.2
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f₁ f₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
⊢ (f₁ + f₂).compLinearMap g = f₁.compLinearMap g + f₂.compLinearMap g
𝕜 : Type u_4
NormedDivisionRing 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖x⁻¹‖) (𝓝[≠] 0) Filter.atTop
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] F
hf : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, L (f x) ∂μ = L (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)