ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
⊢ ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff (0 +ᵥ a) = r • ((of R).symm x).coeff a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs
⊢ L.map φ.s ≫ φ.map L hL = L.map φ.f
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ RingQuot.mul r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a * b) }
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
DecidableEq α
⊢ ↑(Finset.Icc
        (fun i =>
          ∑ j : β,
            ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ *
              -(A i j)⁻)
        fun i =>
        ∑ j : β,
          ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ *
            (A i j)⁺).card =
  ∏ i : α,
    ((fun i =>
            ∑ j : β,
              ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ *
                (A i j)⁺)
          i -
        (fun i =>
            ∑ j : β,
              ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ *
                -(A i j)⁻)
          i +
      1)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ lift b.fst b.snd ≫ desc b.inl b.inr = 𝟙 b.pt
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
p : R[X]
⊢ (PolyEquivTensor.toFunAlgHom R A) (a ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun n r => (Polynomial.monomial n) (a * (algebraMap R A) r)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ Neg.neg '' Set.Ioi a = Set.Iio (-a)
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
r : R
LinearOrderedAddCommGroup R
Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x • r) l Filter.atTop
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : g = (expand F (q ^ s)) g'
hm : m ≤ m + s
⊢ g.natDegree = g'.natDegree
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
⊢ F.ReflectsIsomorphisms
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ 0 ≤ (C 1).trailingDegree
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ StrictMonoOn (fun x => x ^ n) {a | 0 ≤ a}
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
⊢ ↑0 = 0
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ ⇑AddConstMap.toEnd = DFunLike.coe
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.IsEulerian ↔ p.IsTrail ∧ ∀ e ∈ G.edgeSet, e ∈ p.edges
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (2 * n + j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : (s.sup p).ball 0 r ∈ p.basisSets
⊢ (s.sup p).ball 0 r ∈ 𝓝 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ ¬↑(eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)) = 0
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
⊢ TendstoUniformly (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
w : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasColimit.isoOfNatIso w).hom ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc G t =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc F ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose w.hom).obj t)
β : Type u_2
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
ou : Ordinal.{u}
hu : ou < ↑(n ^^^ m)
⊢ ∃ i, ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue = ou
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.divX.coeff n = p.coeff (1 + n)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ 0 < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ cofinite ⊓ 𝓟 sᶜ = cofinite
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
⊢ ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n < FiniteDimensional.finrank F ↥L
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : α → β
a : α
s : Set α
⊢ Filter.map f (𝓝[s] a) = ⨅ t ∈ {t | a ∈ t ∧ IsOpen t}, 𝓟 (f '' (t ∩ s))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
p p' : L.Substructure M
x : M
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
⊢ π ^ 2 / 6 = (-1) ^ (1 + 1) * 2 ^ (2 - 1) * π ^ 2 * ↑(1 / 6) / ↑2!
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖₊ ↔ a ≠ 1
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g h i : a ⟶ b
Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom f
Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom g
Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom h
η : f ⟶ g
θ : g ⟶ h
ι : h ⟶ i
Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom₂ η
Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom₂ θ
⊢ η ≫ θ ≫ ι = (η ≫ θ) ≫ ι
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
R : P.M → P.M → Prop
h : ∀ (x y : P.M), R x y → ∃ a f f', x.dest = ⟨a, f⟩ ∧ y.dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), R (f i) (f' i)
x y : P.M
h' : R x y
this : Inhabited P.A
⊢ IsBisimulation R
R : Type u_1
inst✝ : Field R
f : R⟦X⟧
h : ¬(constantCoeff R) f = 0
⊢ f⁻¹ * f = 1
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.InitiallySmall J
⊢ ∃ s, ∃ (_ : Small.{w, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
H.FiniteIndex
g : G
Fintype (Quotient (MulAction.orbitRel (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)))
⊢ ϕ.transfer g =
  ∏ q : Quotient (MulAction.orbitRel (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)),
    ϕ ⟨(Quotient.out' q.out')⁻¹ * g ^ Function.minimalPeriod (fun x => g • x) q.out' * Quotient.out' q.out', ⋯⟩
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a + b - (a + c) = b - c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda F)ᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).obj X).fst = Opposite.op (Opposite.unop X).left
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
⊢ SeparatingDual R V ↔ Function.Injective ⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
f : ℕ → NNReal
hf : Summable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
CommRing R₁
Ring S
Algebra R₁ S
Fintype ι
DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
⊢ b.toMatrix (x • w) = (Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (F.comp G) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F G S).map f).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : 0 ≤ b
⊢ a ≤ b + a
α : Type u
BooleanAlgebra α
x : α
⊢ xᶜᶜ = x
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s t : Set β
a : α
⊢ s ⊆ t → a • s ⊆ a • t
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a : WithTop α
⊢ a - ⊤ = ⊤
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ distinguishedTriangles C ↔ T.rotate ∈ distinguishedTriangles C
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ (map (span ℤ s).mkQ (AddSubgroup.toIntSubmodule L)).FG
n : Nat
x : BitVec n
i j : Nat
⊢ (x >>> i).getLsb j = x.getLsb (i + j)
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a ≤ 0
hs : BddAbove s
⊢ BddBelow (a • s)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace E] [inst_1 : OpensMeasurableSpace E]
  [inst_2 : SecondCountableTopology E] {f g : α → E}, Measurable f → Measurable g → Measurable fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
F : ι → α × β
⊢ BddAbove (range F) ↔ BddAbove (range (Prod.fst ∘ F)) ∧ BddAbove (range (Prod.snd ∘ F))
i : String.Iterator
h : i.hasNext = true
⊢ sizeOf i.next < sizeOf i
R : Type u
AddMonoid R
x : R
n : ℕ
⊢ Tropical.trop (n • x) = Tropical.trop x ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ Function.support (ExistsContDiffBumpBase.w D) = Metric.ball 0 D
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{max (u + 1) v}
h : o < Ordinal.univ.{u, v}
this : ∃ a, lift.principalSeg.toRelEmbedding a = o
⊢ o.card < univ.{u, v}
a : ENNReal
h : a ≠ 0
⊢ a / 0 = ⊤
α : Type u
LE α
Semiring α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
a1 : 1 ≤ a
⊢ a + 1 ≤ 2 * a
m n : Nat
⊢ ↑(m % n) = (↑m).mod ↑n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)
this✝ : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'
this : map N.mkQ N' = J • map N.mkQ N'
⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.leadingCoeff = x.coeff x.order
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ ¬Disjoint s t ↔ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⋖ t
⊢ card s ⋖ card t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ s ⊆ interior t ↔ t ∈ 𝓝ˢ s
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : ∀ (a : M₀), x = 0 → a = 0
⊢ x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → 𝕜
g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
z : 𝕜
⊢ (z - x) ^ (m + n) • (f • g) z = ((z - x) ^ m • f z) • (z - x) ^ n • g z
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌈a⌉₊
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (x + y) = NormedSpace.exp 𝕂 x * NormedSpace.exp 𝕂 y
G : Type u_2
AddCommGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
f : ℕ → G
⊢ (CauchySeq fun s => ∑ n ∈ s, f n) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∑' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
s : L.Substructure M
⊢ s.CG → Countable ↥s
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
⊢ Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y) ≫ Hom.stalkMap e.inv y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s
⊢ a ≤ Ordinal.sup fun x => ↑((equivShrink ↑s).symm x)
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
hB : B.IsRefl
⊢ (-B).IsRefl
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
⊢ WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial (f x) (f y) (f L) =
  Polynomial.map f (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeAddGroup.reduce L₁ = FreeAddGroup.reduce L₂
⊢ FreeAddGroup.mk L₁ = FreeAddGroup.mk L₂
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →𝒄 β
⊢ Monotone ⇑f
a : ℂ
⊢ Complex.measurableEquivPi a = ![a.re, a.im]
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R
⊢ ↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f).symm
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f}))
      (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I)) ((AdjoinRoot.mk f) p)
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
⊢ bernoulliPowerSeries A * (PowerSeries.exp A - 1) = PowerSeries.X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
x : ↑s
⊢ ↑((restrict f s s h)^[n] x) = f^[n] ↑x
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
g : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e).symm g (e.symm b) = g b
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ abv x ≠ 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ↑(φ * ψ) = (PowerSeries.coeff R n) (↑φ * ↑ψ)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f
hf' : IsOpenMap f
s : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ ↑(TopologicalSpace.PositiveCompacts.map f hf hf' s) = f '' ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : (Set.range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Set.Icc x y = Set.Icc (e x) (e y)
α : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x < x_1) = fun x x_1 => x ⊂ x_1
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.nthLe n ⋯) = xs.nthLe (n + 1) hn
N k : ℕ
⊢ N.roughNumbersUpTo k =
  (N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p => Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
hS : S.Flat
⊢ S.Pointed
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : y = g i x
⊢ ⟨i, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝ = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ (Turing.TM2to1.addBottom L).head.1 = true
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)
h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
hi : k₁ ≤ (i, j).1
⊢ ((f₁ - μ₁ • 1) ^ i * (f₂ - μ₂ • 1) ^ j) m = 0
n k : ℕ
h : k < n
⊢ (finRotate (n + 1)) ⟨k, ⋯⟩ = ⟨k + 1, ⋯⟩
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
⊢ K.homologyπ i ≫ K.homologyι i = K.iCycles i ≫ K.pOpcycles i
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
k : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hk : IsCompact k
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f k μ
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ l → p x = q x) → List.filter p l = List.filter q l
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x : ℕ
⊢ x ∈ Icc 1 (n.factorization p) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
p : Prop
f g : p → M
hfg : ∀ (h : p), f ⋯ = g h
⊢ finprod f = finprod g
α : Type u_2
Sub α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ∪ s₂ - t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ - t₁ ∪ (s₂ - t₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ ∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ContinuousAt (fun x => f x a) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)
α : Sort u
self : Lean.Meta.FastSubsingleton α
⊢ Subsingleton α
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.prev hs (s.next hs x hx) ⋯ = x
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
this : ∀ k ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f (u (n + 1)) ≤ f k
⊢ (u (n + 1) - u n) • f (u (n + 1)) = ∑ i ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f (u (n + 1))
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''
⊢ (map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ') ≫ φ = φ''
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.length (cs.wordProd ω) ≤ ω.length
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
⊢ False
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.re 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
b₁ : Set (Set β)
hb₁c : b₁.Countable
b₂ : Set (Set β)
hb₂c : b₂.Countable
⊢ CountablyGenerated β
α : Type u_1
l : Filter α
p : Set α → Prop
⊢ (∃ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, p s) ↔ ∀ t ∈ l, ∃ s ⊆ t, p s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Reflexive (Relation.ReflTransGen r)