ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
⊢ ContinuousOn (fun t => taylorWithinEval f n s t x) s
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a + -b = 0 ↔ a = b
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c : R
⊢ a * (b * c) = a * b * c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ (M.tensorBimod N₁).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M.tensorBimod N₂).actRight
⊢ circle.argPartialEquiv.target = Set.Ioc (-π) π
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
⊢ sSup (T₁ ∩ T₂) ≤ sSup T₁ ⊓ sSup T₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (F.mapIso (η.app X)).hom ≫ (F.mapIso (η.app X)).inv = 𝟙 (F.obj ((𝟭 C).obj X))
⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
μs : ℕ → Measure Ω
f : Ω → ℝ
f_cont : Continuous f
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
⊢ ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
q : ℚ≥0
⊢ ¬↑q < 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
⊢ f = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ × α → β
⊢ ∏ x ∈ s ×ˢ t, f x = ∏ y ∈ t, ∏ x ∈ s, f (x, y)
R : Type u
CommRing R
X Y : Type u
⊢ CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X Y = (ModuleCat.Free.μ R X Y).hom
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
⊢ ((sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) + sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))) = sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n m : ℕ
ih : m ≤ n → Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
hm : m + 1 ≤ n
⊢ Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ) ∧ Disjoint (d (m + 1)) (d n.succ)
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : (∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j) ∧ (∀ (i : xl), (xL i).Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric
⊢ ((∀ (a : xl) (j : xr), xL a < xR j) ∧ ∀ (j : xr), x' < xR j) ∧ ((∀ (a : xl), (xL a).Numeric) ∧ x'.Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ : V
⊢ (∃ w, u = x✝ ∧ v = w ∨ u = w ∧ v = x✝) → x✝ ∈ {u, v}
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
n : ℕ
⊢ ↑n = AddMonoidAlgebra.single 0 ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : f ≤ f'
hg : g ≤ f'
⊢ f ⊔ g ≤ f'
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c₁ c₂ b₁ : R
b₂ : ℕ
⊢ a * (b₁ ^ b₂ * b₃) = b₁ ^ b₂ * (a * b₃)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hg : MeasureTheory.UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable (f - g) p μ
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
h2 : a < b
⊢ a - c < b - c
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
hf : ¬f = 0
i : ℕ
⊢ i ∈ f.support → i ∈ f.integralNormalization.support
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioo (f a) (f b)
X : Type u
s : Set X
t : TopologicalSpace X
⊢ TopologicalSpace.IsOpen s = IsOpen s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a < b * c
⊢ b⁻¹ * a < c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₂ -ᵥ p₁}
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
r : R₁
x : A ⧸ RingHom.ker f
⊢ f.kerLift (r • x) = r • f.kerLift x
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
⊢ f ≤ 𝓝 (lim f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
b : β
c : γ
f : β → γ → δ
⊢ Filter.Germ.map₂ f ↑b ↑c = ↑(f b c)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)
⊢ M.Basis I (⋃ i, X i)
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : 𝕜), ‖deriv f x‖₊ ≤ C
⊢ LipschitzWith C f
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
⊢ Equiv.constVAdd P (v₁ + v₂) = Equiv.constVAdd P v₁ * Equiv.constVAdd P v₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1
L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
α : Type u_1
s t : Set α
e : ℕ → α
he : ∀ (n : ℕ), e n ∈ s ∪ t
⊢ ∃ g, (∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ s) ∨ ∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ t
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.UniversallyClosed f
⊢ (AlgebraicGeometry.topologically @IsClosedMap).universally f
α : Type u_1
β : Type u_2
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α × β)
⊢ (Prod.ωSup c).1 = OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map OrderHom.fst)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
⊢ (s \ t).erase a = s.erase a \ t.erase a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a a' : α
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
b : δ a''
h : a'' ≠ a'
ha₁ : a'' ∈ a'' ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a'' ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a'' b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a'' ::ₘ m) a' b' (cons m a'' b f) a'' ha₂)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g✝ : G
H K : Subgroup G
g : G
this : mk H K g = mk H K g ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k
h : G
h_h : h ∈ H
k : G
hk : k ∈ K
T : g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k
⊢ h * (Quotient.out' (mk H K g) * k) = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
⊢ a ∉ sᶜ ↔ a ∈ s
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
⊢ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (e.hom ≫ f) x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₂
TopologicalSpace R₁
ContinuousSMul R₁ M₂
c : R₁ →L[R₁] M₂
⊢ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (c 1) = c
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M₂
q : Submodule R M₃
⊢ Submodule.comap (f.prod g) (p.prod q) = Submodule.comap f p ⊓ Submodule.comap g q
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R
⊢ ∀ b ∈ univ, b ≠ 1 → ↑↑(sign b) * ∏ i : n, diagonal d (b i) i = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 : ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧ (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x).Separable
ι : Type u_7
R : ι → Type u_8
S : ι → Type u_9
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (R i)
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (S i)
e : (i : ι) → R i ≃+* S i
x : (i : ι) → R i
j : ι
⊢ (RingEquiv.piCongrRight e) x j = (e j) (x j)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
⊢ IsOpenImmersion x✝ ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f) x✝
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ⇑(coeff R 0) = ⇑(constantCoeff R)
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty
h₁ : closedBall x r = closedBall h.some r
⊢ closedBall x r = closedBall y r
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
a : A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace ℂ A)
⊢ ((gelfandStarTransform A) a) φ = φ a
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α
⊢ Functor.Liftp p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
⊢ (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
n : Type u
R : Type v
DecidableEq n
Fintype n
LinearOrderedCommRing R
Fact (Even (Fintype.card n))
g : ↥(Matrix.GLPos n R)
⊢ ↑↑(-g) = -↑↑g
α : Type u_5
β : Type u_6
LE α
LE β
⊢ ∀ (a : α ⊕ β), (OrderIso.sumComm α β) a = a.swap
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
SuccOrder α
a : α
⊢ Order.succ ↑a = ↑(Order.succ a)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
g : ι → α
h : α
H : ∀ (i : ι), g i + h ≤ a
⊢ iSup g + h ≤ a
α : Type u_1
Top α
a : α
⊢ ↑a = ⊤ ↔ a = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ S.arrows f ↔ CategoryTheory.Sieve.pullback f S = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
m : β → α
f : Filter β
F : f.Realizer
R : Ctop.Realizer α
a : α
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 a) ↔ ∀ (t : R.σ), a ∈ R.F.f t → ∃ s, ∀ x ∈ F.F.f s, m x ∈ R.F.f t
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id K) (map (algebraMap F K) f)
⊢ (f.aroots K).Nodup ↔ f.Separable
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
q : ℚ
⊢ LinearOrderedField.inducedMap α β ↑q = ↑q
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - (c + d) ≤ a - c + (b - d)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
⊢ derivWithin (fun z => c + f z) s y = derivWithin f s y
n : ℕ
⊢ 0 < Stirling.stirlingSeq (n + 1)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ e.symm.trans e = AffineEquiv.refl k P₂
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom S
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ toDual (s.max' hs) = (image (⇑toDual) s).min' ⋯
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0
t : Set (α × β)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' t)) =ᶠ[ae μ] 0
⊢ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S
⊢ 1 • mk m s = mk m s
T z✝ : ℝ
⊢ (fourier 0) ↑z✝ = 1
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict s)] gaussianPDFReal μ v
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
Semiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
Module A M
Module A N
Module R N
ContinuousConstSMul R N
SMulCommClass A R N
⊢ ⇑ContinuousAlternatingMap.toAlternatingMapLinear = ContinuousAlternatingMap.toAlternatingMap
α : Type u_3
Sup α
⊢ ⇑(SupHom.id α) = id
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
NormedField R
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
NormedSpace R M
NormedSpace R N
f' : M →ₗᵢ[R] N
⊢ IsConformalMap f'.toContinuousLinearMap
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
x : R
⊢ x ∈ ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Real.sinh (f x)) (Real.cosh (f x) • f') x
K : Type u_1
Ring K
NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
Fintype ↥G
hg : G ≠ ⊥
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
⊢ ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
f : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
⊢ Filter.Tendsto (fun n => x (2 ^ n) / 2 ^ n) Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
Y Z : Type u
f : Y ⟶ Z
X : Type u
p : Y ⊗ X
⊢ (f ▷ X) p = (f p.1, p.2)
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ ∂μ
α : Type u_1
Mul α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b c : α
⊢ a * b < a * c ↔ b < c
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z₁.comp (ofHom (𝟙 G)) ⋯).v p q hpq = z₁.v p q hpq
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f)) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∑ x ∈ s ×ˢ t, f x.1 x.2 = ∑ y ∈ t, ∑ x ∈ s, f x y
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
p : ℕ
ExpChar R p
ExpChar S p
Algebra R S
n : ℕ
x : S
⊢ (LinearMap.iterateFrobenius R S p n) x = x ^ p ^ n
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ Metric.ball c R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹) = 2 * ↑π * Complex.I
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
⊢ Continuous fun p => dist p.1 p.2
x : ENNReal
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤
m n : ℤ
⊢ x ^ (m + n) = x ^ m * x ^ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v.mapRange (AddMonoidHom.id M) ⋯ = v
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
g : A →ₐ[R] B
⊢ ∀ (x : A[X]), ((mapAlgHom f).comp (mapAlgHom g)) x = (mapAlgHom (f.comp g)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (↑n * c - x) = f (-x)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X
⊢ M.Basis I (⋃₀ Xs)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t : Set β
a : α
⊢ {a} • t = a • t
p : ENNReal
h : p ≤ 1
⊢ ∫ (b : Bool), bif b then 1 else 0 ∂(PMF.bernoulli p h).toMeasure = p.toReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢.op ↔ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
U : Subalgebra R B
⊢ Subalgebra.map f S ≤ U ↔ S ≤ Subalgebra.comap f U
α : Type u_4
Preorder α
c : ClosureOperator α
⊢ c.conjBy (OrderIso.refl α) = c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝ : DiscreteTopology X
hf : Tendsto f (cocompact X) (cocompact Y)
⊢ cofinite = cocompact X
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hin : i ≤ n
⊢ μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x = i}] f i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ
⊢ ↑((sum I M) (∑ i : ι, (DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) i))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.trans (AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P₂) = e
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h :
  UniqueAdd (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := AddOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
    (AddOpposite.op b0) (AddOpposite.op a0)
⊢ UniqueAdd A B a0 b0
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
w w' : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w' ∈ MulAction.orbit (K ≃ₐ[k] K) w ↔ w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)
⊢ Num.ofNat' ↑1 = Num.pos 1