ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r { str := s.str, startPos := s.startPos + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := s.stopPos }
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this✝ : toAddCommGroup = toAddCommGroup
this : toAddGroupWithOne = toAddGroupWithOne
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β
⊢ z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : ¬⊥ < ker f
⊢ ¬LinearMap.det f = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T ≅ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).hom.τ₃ = e.hom.hom₃
a b : PUnit.{u + 1}
⊢ a ⇨ b = PUnit.unit
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
⊢ s.get ∈ s
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ f.comp (AddMonoidHom.id M) = f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
CommRing A
Algebra R A
Module.Finite A (TensorProduct R A M)
Module.Free A (TensorProduct R A M)
x : ι → A
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) =
  ((LinearMap.tensorProduct R A M M ∘ₗ LinearMap.baseChange A φ)
      ((Algebra.TensorProduct.basis A b).repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x))).charpoly
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
AddCommMonoid α
i : m
j : n
s : Finset β
g : β → Matrix m n α
⊢ (∑ c ∈ s, g c) i j = ∑ c ∈ s, g c i j
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
t : Set A
z : A
⊢ z ∈ Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (↥(toAlgHom R S A).range) A) ∪ t) ↔ z ∈ Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap S A) ∪ t)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (a / c) (b / c)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
self : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ Function.RightInverse self.invFun (↑self.toLieModuleHom).toFun
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : CategoryTheory.ComposableArrows Cᵒᵖ n
⊢ ∀ (X_1 : Fin (n + 1)),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).counitIso.inv.app X).app X_1 =
    X.map
      (((CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).symm.trans Fin.revOrderIso.equivalence).symm.counit.app
          (Opposite.op X_1)).unop
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
⊢ s.SOppSide y ((AffineEquiv.pointReflection R x) y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : F' ⟶ F
g : F'' ⟶ F'
⊢ (adj1.natTransEquiv adj3) ((adj1.natTransEquiv adj2).symm f ≫ (adj2.natTransEquiv adj3).symm g) = (adj1.natTransEquiv adj3) ((adj1.natTransEquiv adj3).symm (g ≫ f))
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
⊢ x ∈ Ioo 0 ⊤ ↔ x ∈ ⋃ n, Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
a b : ℕ
h : a - b ≤ a / 2
⊢ a / 2 ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.Γ.obj X).obj Δ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.obj₂ X Δ
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ Filter.comap pure (𝓝 b) ≤ ↑b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R
⊢ MeasurableSet (floor ⁻¹' {⌊n⌋₊})
R : Type u
CommRing R
X Y : QuadraticModuleCat R
e : X ≅ Y
⊢ e.symm.toIsometryEquiv = e.toIsometryEquiv.symm
X : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ Function.support f ⊆ tsupport f
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
⊢ χ₄ ↑1 = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ (map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (map (fun r => X + C r) (map (fun t => -t) s)).prod.coeff ?convert_1
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
I : Ideal R
a : (R ⧸ I)[X] ⧸ Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f}
⊢ (AdjoinRoot.quotEquivQuotMap f I).symm a = (AdjoinRoot.quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f).symm a
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Iic a ∪ Set.Ici a = Set.univ
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) φ = (PowerSeries.constantCoeff R) φ
G : Type u_3
Group G
u v : UniformSpace G
hu : UniformGroup G
hv : UniformGroup G
⊢ u = v ↔ 𝓝 1 = 𝓝 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b
⊢ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ (insert a s).subchain, l.length + 1 ≤ l'.length + 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_tendsto' : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
h_ℒp_lim : Memℒp f_lim p μ
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ K⁻¹ * nndist x y ≤ nndist (f x) (f y)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : b = 0 ∧ a = 0
⊢ False
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
a : M
ha : a ∈ S
⊢ ⟨a, ha⟩ = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ (List.filter p l).length ≤ l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
⊢ ↑(filterNe a (fill a m.fst m.snd)).snd = ↑m.snd
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Icc (min a b) (max a b) = [[a, b]]
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
⊢ neg' W f = φ.neg.map L ⋯
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
h : ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1
⊢ ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
fst_i : α
snd_i : β fst_i
⊢ a ∈ (⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs).toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ ⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ Set.range f ⊆ insert 1 (f '' mulTSupport f)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ (f a + f b).succ * (f a + f b).choose (f a) = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ * (f a).succ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
hf : IsLocalExtr f a
⊢ IsLocalExtr (fun x => -f x) a
X : Type u_1
⊢ Set.range OnePoint.some ∩ {OnePoint.infty} = ∅
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
T2Space α
ProperSpace α
⊢ IsCompact s ↔ IsClosed s ∧ Bornology.IsBounded s
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ ≠ 0 → a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
α β : AlexDisc
e : ↑α ≃ₜ ↑β
⊢ (AlexDisc.Iso.mk e).hom = e.toContinuousMap
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
⊢ v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
G : Type u_1
g₁ g₂ : AddGroup G
h_mul : Add.add = Add.add
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n
⊢ 2⁻¹ < 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
x : ↥(A i)
n : ℕ
⊢ ↑(GradedMonoid.GMonoid.gnpow n x) = ↑x ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
⊢ k.lcm k' = orderOf (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k'))
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ ((ChainComplex.single₀ V).map f).f 0 = f
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ ↑(↑(p.length + ↑i) + 1) = p.length + 1 + ↑i
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
h : a ⊂ b
⊢ ¬b ⊆ a
R : Type u_1
n : Type u_3
CommRing R
Fintype n
DecidableEq n
⊢ (Matrix.charpoly.univ R n).coeff (Fintype.card n) = 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesSummable (fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsLimitKernelFork S hf hg c hc).φQ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).Q
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
⊢ minpoly ℤ μ ∣ cyclotomic n ℤ
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
⊢ dimH Set.univ = dimH Set.univ
m n : ℕ
hb : 2 ≤ n
h : n * m ≤ m
⊢ m = 0
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑Polynomial.derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
⊢ n < Polynomial.rootMultiplicity t p
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
P : F[X]
⊢ (ofPowerSeries ℤ F) ↑P = ↑↑P
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
ha : a ≠ 0
h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c < 0
⊢ ∀ (x : K), 0 < -a * x * x + -b * x + -c
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : MeasureTheory.IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ s.card ≤ t.card
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯
n : ℕ
a : ZMod n
⊢ a.val = 0 ↔ a = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Module.IsTorsionBySet R M s ↔ Module.IsTorsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u u' : V
hu : u = u'
⊢ SimpleGraph.Walk.nil.copy hu hu = SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
⊢ a ∈ lowerBounds t → a ∈ t → f a ∈ upperBounds (f '' t)
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
⊢ i.rev.modNat = i.modNat.rev
p n : ℕ
R : Type u_1
x : TruncatedWittVector p n R
⊢ (TruncatedWittVector.mk p fun i => TruncatedWittVector.coeff i x) = x
z : ℂ
⊢ Complex.abs z ^ 2 - z.im ^ 2 = z.re ^ 2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
f : PartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) a
hf : ContDiffAt 𝕜 (↑n.succ) (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑n.succ) (↑f.symm) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g : G
p₁ p₂ : P
⊢ g +ᵥ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₂ = g + (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
n : Type u_1
R : Type u₂
self : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ self.i ≠ self.j
α : Type u_1
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι), p j → ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i ∧ s k ⊆ s j
ne : ∃ i, p i
⊢ (⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (s i)).HasBasis p s
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => f y + c) s x = derivWithin f s x
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ Equiv.subLeft a = Equiv.trans (Equiv.neg G) (Equiv.addLeft a)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ ∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ ↑fs then Function.const (Fin (n + 1)) (↑fs.card)⁻¹ x else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯ = ∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯
p : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.takeWhile p).Valid
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
f' : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ f.comp g = f'.comp g ↔ f = f'
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] 0)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] 0 k
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ (Presieve.ofArrows (fun c => Y_n c.fst c.snd) fun c => π_n c.fst c.snd ≫ π c.fst).EffectiveEpimorphic
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHomotopy h) =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₁ - CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
f g : CategoryTheory.MonoOver X
h : f.obj.left ≅ g.obj.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.hom g.arrow = f.arrow := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.isoMk h w).hom = CategoryTheory.MonoOver.homMk h.hom w
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.131591
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (directSumLeft R M₁ M₂').symm ((lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)) = (lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Sbtw R x y z ↔ z ≠ y ∧ x ∈ ⇑(AffineMap.lineMap z y) '' Set.Ioi 1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ IsIntegral ℤ x
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
⊢ Filter.Tendsto (fun z => |z.re|) l Filter.atTop
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a b : A
s : Set A
hb : b ∈ Algebra.adjoin R s
h : ∀ b ∈ s, Commute a b
⊢ Commute a b
α : Type u
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : a < c
h₂ : b < d
⊢ max a b < max c d
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : Measurable f := hf.measurable
⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
p q : Prop
⊢ ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q
α : Type u_1
xs : List α
⊢ xs.sym2.length = (xs.length + 1).choose 2
⊢ (fun N => ↑(rothNumberNat N)) =o[Filter.atTop] fun N => ↑N
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommGroup β
DecidableEq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase a, f x = ∑ x ∈ s, f x - f a
n : ℕ
⊢ ∀ x < n, antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
o : Ordinal.{u_1}
i : o.toPGame.LeftMoves
⊢ o.toPGame.moveLeft i = (↑(Ordinal.toLeftMovesToPGame.symm i)).toPGame
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i j : ι
h : j ≠ i
b : φ i
⊢ (LinearMap.stdBasis R φ i) b j = 0