ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
a b : { x // x ∈ s }
⊢ P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagonalObjPullbackFstIso f g).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g g ≫ g) f ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst g g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
⊢ Balanced 𝕜 (Metric.ball 0 r)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x y z : α
hxy : y ∈ s.ordConnectedComponent x
hyz : z ∈ s.ordConnectedComponent y
⊢ z ∈ s.ordConnectedComponent x
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s ⊆ exterior t ↔ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
α : Type u
a : α
ha : {a}.Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset ha = {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hf : SmoothAt I I' f x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
⊢ ContinuousWithinAt f (TotalSpace.proj ⁻¹' s) z
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.of v).s.tail = (GenContFract.of (Int.fract v)⁻¹).s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
a : (i : ι) → α i
⊢ IsWeakAntichain (insert a s) ↔ IsWeakAntichain s ∧ ∀ ⦃b : (i : ι) → α i⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬StrongLT a b ∧ ¬StrongLT b a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K pb.gen)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K S) pb.gen) = ((minpoly K pb.gen).aroots F).sum
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ (1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) * edgeDensity r s₂ t₂
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
⊢ ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p3 -ᵥ p1 = -(-r • (p1 -ᵥ p2)) + 1 • -(p1 -ᵥ p2)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a b : α
⊢ a ∣ normalize b ↔ a ∣ b
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → AddSubmonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : ∀ {a b : V}, G.Adj a b → a ≠ b
⊢ w ∈ G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v ↔ w ∈ {v}ᶜ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y
⊢ ((x₁, y₁) ~ᵢ (x₂, y₂)) ↔ (x₁ ~ᵢ x₂) ∧ (y₁ ~ᵢ y₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi₂ : v.restrict i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ ↑v i ≤ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁'.map f).τ₂ = f.f₀.τ₃
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ joinM (g <$> f t) = (f ≫ g) t
n : ℕ
⊢ fib n * fib n + fib (n + 1) * fib (n + 1) = fib (n + 1) ^ 2 + fib n ^ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x ^ 2 / y ^ 2 = -y ^ 2 / y ^ 2
⊢ (x / y) ^ 2 = -1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
p : 𝕜[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) s x =
  ContinuousLinearMap.smulRight 1 (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ
⊢ (if m < n then (coeff R m) (φ + ψ) else 0) = (if m < n then (coeff R m) φ else 0) + if m < n then (coeff R m) ψ else 0
⊢ |rexp 1 - expNear 21 1 ((((((((((((((((((((((363916618873 / 133877442384 - 1) * 1 - 1) * 2 - 1) * 3 - 1) * 4 - 1) * 5 - 1) * 6 - 1) * 7 - 1) * 8 - 1) * 9 - 1) * 10 - 1) * 11 - 1) * 12 - 1) * 13 - 1) * 14 - 1) * 15 - 1) * 16 - 1) * 17 - 1) * 18 - 1) * 19 - 1) * 20 - 1) * 21)| ≤ |1| ^ 21 / ↑(Nat.factorial 21) * (1 / 10 ^ 20 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21)
α : Type u_1
s : Set α
f : α → ℚ≥0
a : α
⊢ ↑(s.indicator f a) = s.indicator (fun x => ↑(f x)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
i : ℕ
hi : i ≥ ia ⊔ ib
⊢ εa ⊓ εb ≤ ↑(c - a ⊔ b) i
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
a b : α
⊢ |a| = |b| ↔ a = b ∨ a = -b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
⊢ v i ≠ 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
⊢ eval₂ (mapRingHom f) (C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y)) W.polynomial = eval₂ (mapRingHom f) ((mapRingHom f) (C L * (X - C x) + C y)) W.polynomial
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ Bool.ofNat n ≤ Bool.ofNat m
α : Type u_1
DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Finset α
⊢ (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep ↑I ↔ Indep I
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
this : HasPDF X ℙ μ
⊢ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥
y : R
hy : y ∈ Jac ^ n
⊢ x • y ∈ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
h : T.IsFormalAdjoint S
x✝² : ↥S.domain
x✝¹ : ↥T†.domain
hxy : ↑x✝² = ↑x✝¹
x✝ : ↥T.domain
⊢ ⟪↑S x✝², ↑x✝⟫_𝕜 = ⟪↑x✝¹, ↑T x✝⟫_𝕜
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.gaussianPDF μ v)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(I + J) = ↑I + ↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
this : Icc a b \ {a, b} ∪ {a, b} = Icc a b
⊢ Ioo a b ∪ {a, b} = Icc a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
⊢ False
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
hg : CircleIntegrable g c R
⊢ CircleIntegrable (f + g) c R
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0)) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
k : ℕ
x : ℕ
⊢ x ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), x = p ^ j
e : ONote
n : ℕ+
a₁ a₂ : ONote
h : a₁ < a₂
⊢ (e.oadd n a₁).repr < (e.oadd n a₂).repr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x
y : Y
hyb : (g - dg) y < b
xu : X
hyxu : (g - dg) y < f xu
right✝ : f xu ≤ b
⊢ ∃ x₁ x₂, (g - dg) y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
⊢ inst₁ = inst₂
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
⊢ T3Space X ↔ T0Space X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
p : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => f x ^ p) s
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
x : V
hx : x ∈ ↑K
⊢ (1 / 2) • x + (1 / 2) • -x ∈ K
α : Type u_5
γ : Type u_6
MeasurableSpace α
AddMonoid γ
P : MeasureTheory.SimpleFunc α γ → Prop
h_ind :
  ∀ (c : γ) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s),
    P
      (MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs (MeasureTheory.SimpleFunc.const α c)
        (MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0))
h_add :
  ∀ ⦃f g : MeasureTheory.SimpleFunc α γ⦄, Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g) → P f → P g → P (f + g)
f : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
⊢ P f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ LieSubmodule.ucs k N₂
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b * c
⊢ a < b / c⁻¹
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.take l.length l = l
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
a : α
f : (a : α) → β a
⊢ Function.update f a (f a) = f
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
⊢ (Option.map f.f (l.get? n)).iget = f.f (l.get? n).iget
α : Type u
m' : Type uₘ
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m' → α
w : Fin 0 → α
⊢ Matrix.vecMulVec v w = Matrix.of fun x => ![]
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
⊢ f.IsIntegralElem (x * y)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax F F').mapComp f g = F'.mapCompIso f g
α : Type u_1
x : α
z : Sym2 α
⊢ x ∈ z ↔ ∃ y, z = s(x, y)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Continuous ⇑h
α : Type u_2
DivisionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ IsSquare a → IsSquare (a ^ n)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ (↑n).imI = 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
⊢ Isometry ⇑(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i))
n : ℕ
hi : 3 ≤ n
⊢ n < n.factorial
β : Type ub
V : Set (β × β)
hV : SymmetricRel V
x : β
⊢ UniformSpace.ball x V = {y | (y, x) ∈ V}
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
f : β → α
s t : Set β
z : β
ht : IsCompact t
hst : s ⊆ t
hf : ContinuousOn f t
hz : z ∈ t
hfz : ∀ z' ∈ t \ s, f z' < f z
hs : IsOpen s
⊢ ∃ x ∈ s, IsLocalMax f x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f
G : Type u_1
Group G
⊢ ↑(Subgroup.center G) = Set.center G
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c b : G
⊢ (IsometryEquiv.subLeft c).symm b = -b + c
R : Type u
Ring R
A : AddCommGrp
φ : R →+* CategoryTheory.End A
r : R
⊢ (ModuleCat.mkOfSMul φ).smul r = φ r
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
a b c : R
⊢ abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
⊢ (a / b)⁻¹ = (c / d)⁻¹ ↔ b / a = d / c
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ rightHomologyMap φ = rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹
⊢ IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] volume
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup f = s₁.sup f ⊔ s₂.sup f
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
⊢ m = n
M : Type u_3
N : Type u_4
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
f g : M →+ N
x : M
⊢ (f + g) x = f x + g x
M : Type u
Monoid M
F : Type v
Field F
MulSemiringAction M F
S : Subfield F
self : IsInvariantSubfield M S
m : M
x : F
⊢ x ∈ S → m • x ∈ S
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
⊢ IsSeqClosed ↑g.graph
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
AddZeroClass R
ContinuousAdd R
f g : ContinuousMapZero X R
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
S : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
⊢ (Stream'.WSeq.cons s S).join = (s.append S.join).think
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p : RingSeminorm R
⊢ p ≠ 0 ↔ ∃ x, p x ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
a b : α × β
⊢ a.1 < b.1 ∧ a.2 ≤ b.2 ∨ a.1 ≤ b.1 ∧ a.2 < b.2 → (Prod.map f g b).1 < (Prod.map f g a).1 ∧ (Prod.map f g b).2 ≤ (Prod.map f g a).2 ∨ (Prod.map f g b).1 ≤ (Prod.map f g a).1 ∧ (Prod.map f g b).2 < (Prod.map f g a).2
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ (ofProd Q₁ Q₂) ((ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, m₂)) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (x : α), (r • ν).rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
t s : Set M
h : t ⊆ s
⊢ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id)) → Disjoint (Finsupp.supported R R t) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id))
α : Type u_1
DivInvMonoid α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (x / y) = (MulOpposite.unop y)⁻¹ * MulOpposite.unop x
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)
⊢ ⨆ n, (partialSups f) n = ⨆ n, f n
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
⊢ (f ^ S.sup g) 0 = 0 0
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
⊢ ∀ (j : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).RightMoves), powHalf n ⧏ (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveRight j
α : Type u
CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ
⊢ x /ₚ ux = y /ₚ uy ↔ x * ↑uy = y * ↑ux
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ r < μ' s
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ (Multiset.map f s).sum < (Multiset.map g s).sum
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Function.Surjective Submonoid.units
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
g : LatticeHom β γ
f : LatticeHom α β
⊢ LatticeHom.dual (g.comp f) = (LatticeHom.dual g).comp (LatticeHom.dual f)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
hs : s ∉ 𝒜
h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜
h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial
ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card
h𝒜 : 𝒜.Nonempty
⊢ univ ∉ 𝒜
a b : ℤ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ 4 ∣ a + b ∨ 4 ∣ a - b