ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ ↑(LieAlgebra.corootSpace ⇑α) = Submodule.span K {LieAlgebra.IsKilling.coroot α}
ι : Type u_1
Finite ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ ∃ s, BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s ≤ π
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x
⊢ c (w ^ n.succ) (x ^ n.succ)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
⊢ μ s = 0
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ ψ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
h : φ.realContinuousMapOfNNReal = ψ.realContinuousMapOfNNReal
f : C(X, ℝ≥0)
⊢ φ f = ψ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ⊆ t \ s
v : Finset α
hv : v ⊆ t \ s
huv : s ⊔ u = s ⊔ v
⊢ u = v
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : f.Monic
⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).root = AdjoinRoot.root f
x y : ℝ≥0
z : ℝ
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+~ l₂
x : α
hx : List.count x l₁ < List.count x l₂
⊢ x :: l₁ <+~ l₂
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ 3 ≤ ℵ₀
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
m : ℕ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : ↑P (α ::: P.W α)
⊢ P.wDest' (P.wMk' x) = x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
⊢ Multiset.sort r 0 = []
x : ℝ≥0
y z : ℝ
h : y - z ≠ 0
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ○ t ⊆ s
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
f₁ f₂ : G ≃* G'
⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ g = f₂ g
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
⊢ ∀ (r : ↑↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
⊢ (if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
⊢ (Matrix.of fun i j => v j * A i j).det = (∏ i : n, v i) * A.det
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g hfg).g = g
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
⊢ Subsingleton (Quot fun x y => x⁻¹ * y ∈ ⊤)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
h : ((rename f) φ).IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ (weight 1) d = n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, Continuous (F n)
p.NeBot
⊢ Continuous f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.AsSmall.equiv.counitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).toOuterMeasure = ((MeasureTheory.OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure).trim
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : 0 ≤ g₁
hg₂ : StrongLT 0 g₂
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Antivary f g₂
⊢ Monovary f (g₁ / g₂)
α : Type u_1
⊢ Set.up ∅ = 0
R : Type u
M : Type v
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
i j : ι
x : φ i
⊢ (f j) (Pi.single i x j) = Pi.single i ((f i) x) j
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 1
a✝ : Nontrivial R
⊢ P.toPoly.Monic
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Set.Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : FunLike 𝓕 E F
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
𝕜' : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ ‖(c • f) x✝‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x✝‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
x : α
hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x
⊢ ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x = ↑(f x) • g x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 0 ≤ OfNat.ofNat n
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
J : Type
inst✝³ : Fintype J
f✝ : J → C
inst✝² : HasBiproduct f✝
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
P : C
x : (j : J) → P ⟶ f j
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
j✝ : K
⊢ (lift x ≫ matrix m) ≫ π g j✝ = (lift fun k => ∑ j : J, x j ≫ m j k) ≫ π g j✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
Nonempty γ
f : α → β
g : γ → α
Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i)
Mf : Monotone f
H : BddAbove (Set.range g)
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
a : Ordinal.{u_1}
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
⊢ a ≤ a ^ b
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : multiplicity.Finite a 1
⊢ (multiplicity a 1).get ha = 0
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n
H₂ : ↑i / n < m
⊢ (m * n - (↑i + 1)) % n = n - (↑i % n + 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
i : ι
⊢ f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥ ↔ i ∈ I ∧ f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u v : U
p : Quiver.Path u v
⊢ φ.pathStar u (Quiver.PathStar.mk p) = Quiver.PathStar.mk (φ.mapPath p)
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i : ι
w : NeWord H i i
k : ι
hk : k ≠ i
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : p = 0
hq : q = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s + t₁ ⊆ s + t₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ ↑(p.append p').support = ↑p.support + ↑p'.support - {v}
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s t : α → Prop
hst : s =ᶠ[ae μ] t
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
x y nx ny : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt x nx → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt y ny → ¬IsCoprime nx ny → ¬IsCoprime x y
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ sin (arcsin x) / √(1 - x ^ 2) = x / √(1 - x ^ 2)
α : Sort u
β : α → Sort v
f g : (x : α) → β x
h : Eq f g
a : α
⊢ Eq (f a) (g a)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ IsLocalMax f a ↔ IsLocalMax g a
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
a : α
⊢ (OrderIso.sumLexDualAntidistrib α β).symm (Sum.inr (OrderDual.toDual a)) = OrderDual.toDual (Sum.inl a)
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
this✝ : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}
f : TopCat.FiniteDiagramArrow G
a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val
this : T2Space ((forget TopCat).obj (F.obj f.snd.fst))
⊢ Continuous fun y => (F.map f.snd.snd.snd.snd) (y f.fst)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⌈a⌉₊ = n ↔ ↑(n - 1) < a ∧ a ≤ ↑n
a b : UnitAddCircle
⊢ Differentiable ℂ fun s => HurwitzZeta.hurwitzZeta a s - HurwitzZeta.hurwitzZeta b s
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Monotone (Set.projIcc a b h)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
c d : C
⊢ X c d ⊆ (CategoryTheory.Subgroupoid.generated X).arrows c d
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
b a c : α
⊢ b - a - c = b - (a + c)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ i : ι
⊢ (∀ (x : α i), i ∈ s ∧ x ∉ t i) ↔ IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅
α : Type u_4
DecidableEq α
LE α
BoundedOrder α
IsSimpleOrder α
x : α
⊢ IsSimpleOrder.equivBool x = decide (x = ⊤)
q : ℚ
⊢ 0 < q.num ∨ 0 = q.num → ¬q = 0 → q.num < 0 ∨ q = 0 → 0 < q.num ∨ 0 = q.num
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
⊢ Ordinal.type (Sum.Lex r s) = Ordinal.type r + Ordinal.type s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (b : β), g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a
a b : Prop
h : b = True
⊢ (a ∨ b) = True
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ DirectedOn (𝓟 ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {s | a ∈ s ∧ s ∈ b}
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
L : ι → Sublattice β
⊢ ⨆ i, Sublattice.comap f (L i) ≤ Sublattice.comap f (⨆ i, L i)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ a ≤ s.truncatedSup a
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ ≠ 0 → a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, a * f i = ⨆ i, f i * a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopEquiv C).inverse = CategoryTheory.unmopFunctor C
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
⊢ Filter.liminf f v = sSup (⋃ j, ⋂ i, Set.Iic (f ↑i))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
x : α
⊢ ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (fun h => exp 𝕂 (x + h) - exp 𝕂 x - (exp 𝕂 x • 1) h) =o[𝓝 0] fun h => h
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑(x ^ (s - 1))
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
hs : IsNormalAddSubgroup s
a b : G
⊢ a + b ∈ s ↔ b + a ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter γ
m : α → β
n : β → γ
inj₀ : Injective n
large₀ : range n ∈ f
inj₁ : Injective m
large₁ : range m ∈ f.comap inj₀ large₀
inj₂ : optParam (Injective (n ∘ m)) ⋯
⊢ n '' range m ∈ f
n i : ℕ
⊢ (Composition.ones n).sizeUpTo i = min i n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (μ i) (s i) = (μ (e (e.symm i))) (s' (e.symm i))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ (⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i}))ᗮ
hu : ⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i} = (fun x => s.points i₁ -ᵥ x) '' (s.points '' (Set.univ \ {i₁}))
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
V : Type u_1
G₁ G₂ : SimpleGraph V
Fintype ↑G₁.edgeSet
Fintype ↑G₂.edgeSet
DecidableEq V
⊢ (G₁ ⊓ G₂).edgeFinset = G₁.edgeFinset ∩ G₂.edgeFinset
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + (k + 1) + 1)).smeval (-↑n) = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
⊢ (type r).blsub f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) ⋯) ≤ o
n : ℕ
⊢ 1 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ (fun θ => Complex.exp (↑θ * Complex.I)) '' Set.Ioc (-π) π = Metric.sphere 0 1
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
E' : Type u_4
Field E'
Algebra F E'
Algebra F E
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ IsGalois F E ↔ IsGalois F E'
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)
⊢ f ((lineMap b a) r') ≤ (lineMap (f b) (f a)) r' ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap b a) r') b
α : Type u
R : Stream' α → Stream' α → Prop
bisim : Stream'.IsBisimulation R
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ R s₁ s₂ → s₁ = s₂
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
⊢ Function.Injective B.compLeft
ι : Type u_14
α : ι → Type u_15
β : ι → Type u_16
γ : ι → Type u_17
DecidableEq ι
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (γ i)
f : (i : ι) → α i → β i → γ i
s : (i : ι) → Finset (α i)
t : (i : ι) → Finset (β i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => Finset.image₂ (f i) (s i) (t i)) =
  Finset.image₂ (fun a b i => f i (a i) (b i)) (Fintype.piFinset s) (Fintype.piFinset t)
n m : ℕ
⊢ Nontrivial (Fin n) ↔ 2 ≤ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ e.symm.symm = e
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ ↑(QuotSMulTop.equivTensorQuot r M') ∘ₗ (QuotSMulTop.map r) f =
  LinearMap.rTensor (R ⧸ Ideal.span {r}) f ∘ₗ ↑(QuotSMulTop.equivTensorQuot r M)
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
⊢ Isometry ⇑(algebraMap 𝕜 𝕜')
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : (i : I) → C(A, X i)
⊢ (ContinuousMap.piEquiv A X) f = ContinuousMap.pi f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
⊢ ⨆ n, ↑(ProbabilityTheory.partitionFiltration ht) n = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range t)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
⊢ g '' (f '' s) = (fun x => g (f x)) '' s
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
f : α → δ
s : Set α
s.OrdConnected
hs : s.Nonempty
hf : ContinuousOn f s
hbot : Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot Filter.atBot
htop : Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Set.SurjOn f s Set.univ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
x y : X
⊢ Inseparable x y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α → Type u_11
s : Sigma γ → Set β
⊢ ⋂ ia, s ia = ⋂ i, ⋂ a, s ⟨i, a⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.RightOreCondition C
α : Type u
a : α
n m : ℕ
as : List α
⊢ n < as.length → n ≤ m → List.insertNth m a (as.eraseIdx n) = (List.insertNth (m + 1) a as).eraseIdx n
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
NormedRing 𝔹
NormedAlgebra 𝕂 𝔹
CompleteSpace 𝔸
CompleteSpace 𝔹
x : 𝔸 × 𝔹
⊢ (NormedSpace.exp 𝕂 x).2 = NormedSpace.exp 𝕂 x.2
p : Prop → Prop
⊢ (∀ (h : Prop), p h) ↔ p False ∧ p True
a b : Int
⊢ (a * b).natAbs = a.natAbs * b.natAbs
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed sᶜ ↔ IsOpen s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α
⊢ f (s.sup' hs g) = s.sup' hs (⇑f ∘ g)