ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
x✝ : A
⊢ ((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) x✝ = (map f ∘ fun a => X - C a) x✝
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g).comp (Monoid.Coprod.swap N M) = Monoid.Coprod.lift g f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
⊢ comap norm (𝓝 0) = 𝓝 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
⊢ minimalPeriod g x.2 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a ((x + y).num * (x.denom * y.denom)) = Polynomial.eval₂ f a ((x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
h : x.isRight = true
⊢ x = Sum.inr (x.getRight h)
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
⊢ x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
⊢ n + (i + 1) = i' + 1
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : IsCoprime ↑a ↑b
⊢ IsCoprime ↑a ↑b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
⊢ Balanced 𝕜 (Metric.ball 0 r)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))
⊢ Tendsto (fun x => l - s x) atTop (𝓝 0)
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s → a ∣ s.prod
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
x : α
⊢ x ∈ disjointed (MeasureTheory.spanningSets μ) (MeasureTheory.spanningSetsIndex μ x)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X
⊢ (f.comp g).comp C = C
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) (f * g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
⊢ (HomologicalComplex.opInverse V c).obj X = Opposite.op X.unopSymm
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o.card = 0 ↔ o = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
φ : F₁ ⟶ F₂
self : CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
X : Cᵒᵖ
x y : (CategoryTheory.forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
⊢ CategoryTheory.Presheaf.equalizerSieve x y ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
n : ↥N
⊢ (M.mulMap N) (m ⊗ₜ[R] n) = ↑m * ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
⊢ 4 ^ P.parts.card * m ≤ u.card
M' : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M'
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* M
h : Function.RightInverse ⇑φ ⇑ψ
χ : M →* M
inst✝ : IsId χ
⊢ _root_.id = ⇑(id M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝² : p ^ k ∣ a
x✝¹ : p ^ l ∣ b
x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
⊢ x * y = p * z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ Measurable fun x => ↑(f a x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, aeSeq hf p i a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg (g - f)
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ g
a : ℤ
b : ℤ
H : b ≠ 0
⊢ a % b < |b|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op
x : γ
xs : Finset γ
hx : x ∉ xs
ih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f ∘ g) xs
⊢ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f ∘ g) (cons x xs hx)
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatInfCat).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
x y : M
F : Type u_6
FunLike F M N
LinearMapClass F R M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ SameRay R (f x) (f y) ↔ SameRay R x y
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
⊢ log b r₂⁻¹ ≤ log b r₁⁻¹
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) ≤ mabs (a / b)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
i : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f g : ↥(lp E p)
hfg : ‖f - g‖ < ε
this : ‖↑f i - ↑g i‖ ≤ ‖f - g‖
⊢ (↑f i, ↑g i) ∈ {p | ‖p.1 - p.2‖ < ε}
α : Type u
Add α
x y z w : α
⊢ Quot.mk (AddMagma.AssocRel α) (x + (y + z + w)) = Quot.mk (AddMagma.AssocRel α) (x + (y + (z + w)))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
p : Finset σ × σ
hp : p.1.card = a.1
this : p.1.card ≤ k
⊢ p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
K S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (insert q K) S ↔
  Turing.TM2.SupportsStmt S (Turing.PartrecToTM2.tr q) ∧ Turing.PartrecToTM2.Supports K S
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → Option β
g : α → β
hf : Computable f
hg : Computable g
⊢ Computable fun a => (f a).getD (g a)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (F I)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
W : C
k l : W ⟶ t.pt
h₀ : k ≫ t.fst = l ≫ t.fst
h₁ : k ≫ t.snd = l ≫ t.snd
⊢ k ≫ t.π.app none = l ≫ t.π.app none
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ ↑z.num ∈ FromSpec.carrier f_deg x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm (I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f)) = I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Quotient.mk (map C I)) f)
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a + b < c
hle : 0 ≤ b
⊢ a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
a b : α
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc a b) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)
α : Type u_1
⊢ (Equiv.refl α).toPEquiv = PEquiv.refl α
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
ι : Type u_1
t : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, f i ∈ s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₃)
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
∀ (X : CategoryTheory.GradedObject I C₁) (Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂),
    (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
X : CategoryTheory.GradedObject I C₁
Y : CategoryTheory.GradedObject J C₂
⊢ ((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMap F p).obj X).obj Y = CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F p X Y
M : Type u
⊢ Function.Injective (@AddLeftCancelMonoid.toAddMonoid M)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ ↑(GradedMonoid.mk (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩)).snd = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd
ι : Type u_1
M : Type u_4
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∑ i ∈ s, f i = 0
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 0
⊢ ∃ i ∈ s, 0 < f i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ OpenEmbedding ⇑(pullback.snd f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b
⊢ a = b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
l : List α
⊢ ContinuousAt List.length l
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : Injective I
X Y : C
f : X ⟶ G.obj I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
w : F.obj Y ⟶ I
h : F.map g ≫ w = F.map f ≫ adj.counit.app I
⊢ adj.unit.app X ≫ G.map (F.map f ≫ adj.counit.app I) = f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β ⊕ γ → α
⊢ ⨅ x, f x = (⨅ i, f (Sum.inl i)) ⊓ ⨅ j, f (Sum.inr j)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
⊢ ((of R).symm ((x * y) • z)).coeff b = ((of R).symm (x • y • z)).coeff b
k n m : Nat
⊢ n + k < m + k ↔ n < m
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ HasFiniteIntegral f μ
M : Type u_1
Add M
a b : M
⊢ DomAddAct.mk (a + b) = DomAddAct.mk b + DomAddAct.mk a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ↑x = ∏ x : (ZMod p)ˣ, ↑x
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → it.i = { byteIdx := String.utf8Len l }
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ x ∈ Function.periodicPts f
m n : ℕ
x : Fin m
⊢ finSumFinEquiv.symm (Fin.castAdd n x) = Sum.inl x
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : star c * c + c * star c = 2 • (↑(ℜ c) * ↑(ℜ c) + ↑(ℑ c) * ↑(ℑ c))
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᶠ[ae μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable fun a => ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L
⊢ ↑t ^ (toFun n g).val = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
X Y : Pointed
self : X.Hom Y
⊢ self.toFun X.point = Y.point
α : Type u
Group α
f g : GroupTopology α
h : TopologicalSpace.IsOpen = TopologicalSpace.IsOpen
⊢ f = g
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => 0) s μ
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
⊢ ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail))
α : Type u_3
Fintype α
k : ℕ
Fintype (Sym α k)
⊢ Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α + k - 1).choose k
α : Type u_1
a b : α
⊢ Topology.WithUpperSet.toUpperSet a = Topology.WithUpperSet.toUpperSet b ↔ a = b
⊢ ⇑ENNReal.ofNNRealHom = some
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ico a b] b = 𝓝[<] b
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ (↑e x).1 = proj x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
s : Set Y
hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x)
⊢ s ∈ 𝓝 x.2
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
stream_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fr_eq_zero : ifp_n.fr = 0
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = none
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
S : Type u_1
CommRing S
⊢ PowerSeries.mk 1 * (1 - PowerSeries.X) = 1
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstSMul G α
MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hμK : μ K ≠ 0
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ 0 < μ U
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)
⊢ IsColimit (CokernelCofork.ofπ (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).g ⋯)
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {ζ}
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : m → α
⊢ Matrix.col ι (Matrix.vecMul v M) = (Matrix.row ι v * M).transpose
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (∀ (x : α), p x (Function.update f a b x)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Injective (List.map f) ↔ Function.Injective f
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
x : ℝ
⊢ deriv f x ≤ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T25Space X
x y : X
h : Disjoint ((𝓝 x).lift' closure) ((𝓝 y).lift' closure)
hxy : x = y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
Finite β
f : β → α
⊢ Summable f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
⊢ ∃ X₀ X₁ f, X = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₁ f
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ (fun n => AkraBazziRecurrence.smoothingFn (b i * ↑n) - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n) =Θ[Filter.atTop] fun n =>
  1 / Real.log ↑n ^ 2
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ schnirelmannDensity A = 1 ↔ {0}ᶜ ⊆ A
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
⊢ (pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s)).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
v : R
hu : f v = 0
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) v = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SheafOfTypes J), (CategoryTheory.CategoryStruct.id x).val = CategoryTheory.CategoryStruct.id x.val