ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_4
α : ι → Sort u_3
⊢ Nonempty ((i : ι) → α i) ↔ ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
⊢ M.one.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))
n : Nat
⊢ 0 :: List.map succ (list n) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]
α : Type u_5
σ : Type u_6
f : α →. σ ⊕ α
a : α
b : σ
⊢ let F := fun a n =>
  Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n;
(∃ n, ((∃ b', Sum.inl b' ∈ F a n) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → ∃ b, Sum.inr b ∈ F a m) ∧ Sum.inl b ∈ F a n) ↔ b ∈ f.fix a
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
hKL : ∀ (i : I), K i → L i
x : ↑(π C L)
i : I
⊢ (if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
⊢ StrictMono f ∧ Set.range f = S ↔ f = Ordinal.enumOrd S
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
i : I
x y : f i
⊢ Pi.mulSingle i x = Pi.mulSingle i y ↔ x = y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x : M
⊢ e.symm (e x) = x
ι : Type u_2
α : Type u_3
DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (Multiset.map (fun i => f i / g i) m).prod = (Multiset.map f m).prod / (Multiset.map g m).prod
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map (LinearMap.inl R M M₂) p = p.prod ⊥
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
⊢ x ∈ (thickening δ (thickening δ E)ᶜ)ᶜ
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
⊢ x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), C a * X ^ n ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → C a * X ^ (n + 1) ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})
A B : TopCat
x₀ x₁ : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))
p : x₀ ⟶ x₁
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.projRight A B).map p = Path.Homotopic.projRight p
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x x₀ : M
y₀ : M'
⊢ (mfderiv I' I (fun x => x₀) y₀).prod (mfderiv I' I' id y₀) = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ 0 < lift.{v, u} a ↔ 0 < a
α : Type u_1
Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom
⊢ b.Dom
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
⊢ (r' M) (↑b * c + ↑b * a, b * b) (a + c, b)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = v ⬝ᵥ (crossProduct w) u
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
l : List α
⊢ List.Sorted r (List.mergeSort r l)
R : Type u
CommRing R
σ : Type u_1
i : σ
⊢ (KaehlerDifferential.mvPolynomialBasis R σ).repr ((KaehlerDifferential.D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)) =
  Finsupp.single i 1
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (P a)
F : (a : α) → M a → N a → P a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 0 = 0
f : Π₀ (a : α), M a
g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
hF : ∀ (a : α) (f : M a), Function.Injective fun g => F a f g
a : α
⊢ a ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a ∈ g₁.neLocus g₂
A : Type u_1
M : Type u_2
AddGroup A
DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
n : ℤ
a : A
⊢ ψ (n • a) = ψ a ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ℱ.val.obj X),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafIso i).hom.app X a =
    CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom i.hom (Opposite.unop X) a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
him : (f ζ).im = 0
⊢ False
I : Type u
β : Type u_2
DecidableEq I
One β
i : I
x : β
i' : I
⊢ Pi.mulSingle i x i' = Pi.mulSingle i' x i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
τ : F₁ ⟶ F₂
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F₁.CommShift A
F₂.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift τ A
a : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F₁.commShiftIso a).hom.app X) ((CategoryTheory.shiftFunctor D a).map (τ.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)) ((F₂.commShiftIso a).hom.app X)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h✝ : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
h : ϕ.comp (of f) = algebraMap R S
⊢ (aeval (ϕ (root f))) f = 0
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr✝ hr : Symmetric r
s t : Finset α
⊢ edgeDensity r s t = edgeDensity r t s
x : Int
xs : List Int
⊢ Lean.Omega.IntList.get (x :: xs) 0 = x
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
DecidableEq n
v : n → R
i : n
⊢ Matrix.dotProduct v ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1) = v i
a b : Ordinal.{u}
i : (a.toPGame + b.toPGame).LeftMoves
⊢ (a.toPGame + b.toPGame).moveLeft i ⧏ (a ♯ b).toPGame
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.natDegree < p.natDegree
hc : ¬q = 0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ (T.free.obj X).a = T.μ.app X
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
⊢ AnalyticAt ℂ f z
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ a • b ≤ b ↔ a • b ≤ 1 • b
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X
⊢ IsClosed (some '' s) ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s
m : Type u → Type u_1
α β ε : Type u
Monad m
mf : ExceptT ε m (α → β)
x : ExceptT ε m α
⊢ (Seq.seq mf fun x_1 => x) = do
  let f ← mf
  f <$> x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
DecidableEq A
r : A
i : ι
⊢ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.decompose 𝒜) r) ↔ (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) r ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
⊢ κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTop α
a : α
⊢ Ioc a ⊤ = Ioi a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
⊢ f x < f y
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : AccPt x (𝓟 (closure C))
⊢ AccPt x (𝓟 C)
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x
⊢ Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 (-0))
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
hs : s ∈ l
ht : t ∈ m
⊢ s ×ˢ t ∈ l.curry m
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
⊢ c ⊔ d = conGen (⇑c ⊔ ⇑d)
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <:+: l₂
⊢ List.filter p l₁ <:+: List.filter p l₂
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
x y : R
h : (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
⊢ g x = g y
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ Cardinal.beth o
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackSnd f g = pullback.snd f g
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ dist a c ≤ dist a b + dist b c
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
⊢ p.support.toFinset = Finset.univ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f g : R⟦X⟧
hD : (d⁄dX R) f = (d⁄dX R) g
hc : (constantCoeff R) f = (constantCoeff R) g
n : ℕ
⊢ (coeff R n) f = (coeff R n) g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ (algebraMap R₁ K) ↑I.den * i ∈ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑(f * g) (stationaryPoint hfg)) = padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) * padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
⊢ (∀ (y : ℤ) (x : G), x ≠ 0 → y ≠ 0 → ¬y • x = 0) ↔ ∀ {c : ℤ} {x : G}, c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ (X s).degrees ⊔ (C (c s)).degrees ≤ {s}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ normEDS b c d 1 = 1
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j : ℤ
hj : 0 < j
hb₁ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
hb₂ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ j ∉ {x | ∃ k, beattySeq r k = x}
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
g : Y → Z
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : ι → Y
l : Filter ι
y : Y
hg : Embedding g
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Filter.Tendsto (g ∘ f) l (𝓝 (g y))
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b
⊢ a ≤ Ordinal.mex f
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
⊢ ∀ {x : CompleteLattice β} (a : α), ⊥ a = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, f i • g i =
  f (n - 1) • ∑ i ∈ Finset.range n, g i - f m • ∑ i ∈ Finset.range m, g i -
    ∑ i ∈ Finset.Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ Finset.range (i + 1), g i
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
⊢ ((expSeries ℝ ℍ (2 * n + 1)) fun x => q) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
α : Type u_9
ι : Sort u_10
InfSet α
IsEmpty ι
f : ι → α
⊢ iInf f = sInf ∅
n m k : Nat
H1 : 0 < n
H2 : m = n * k
⊢ m / n = k
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
m n : ℤ
h : a ≠ 0 ∨ m + n ≠ 0 ∨ m = 0 ∧ n = 0
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
Zero ι
Semiring S
AddCommMonoid R
Module S R
A : ι → Submodule S R
⊢ SetLike.Homogeneous A 0
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
p' : Submodule R ↥p
⊢ Submodule.map p.subtype p' ≤ p
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree < (minpoly R x).natDegree
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
a : M₀
ha : IsUnit a
⊢ a ≠ 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ((i : ι) × α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ s.sigma t = s.biUnion fun i => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)
M : Type u_4
CommMonoid M
l l' : List M
⊢ l.prod * l'.prod =
  (List.zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod * (List.drop l'.length l).prod * (List.drop l.length l').prod
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
b : ↑(Set.range f)
⊢ f ((Equiv.ofInjective f hf).symm b) = ↑b
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α₀ α₁ α₂ : Type u₀
β : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : α₁ → α₂
⊢ Bifunctor.fst f' ∘ Bifunctor.fst f = Bifunctor.fst (f' ∘ f)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ StarAlgebra.adjoin R s
hb : b ∈ StarAlgebra.adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
⊢ p a b
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r✝ : X
s✝ : ↥S
⊢ 0 + r✝ /ₒ s✝ = r✝ /ₒ s✝
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
⊢ f / g =ᶠ[ae μ] 1 ↔ f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology} (f : X ⟶ Y)
  (a :
    ((CategoryTheory.evaluation Type uᵒᵖ (Type u)).obj (Opposite.op PUnit.{u + 1})).obj
      ((CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology).obj X)),
  CategoryTheory.typeEquiv.inverse.map f a = f.val.app (Opposite.op PUnit.{u + 1}) a
α : Type u
n : ℕ
m' : Type uₘ
o' : Type uₒ
A : Matrix m' (Fin n.succ) α
v : m' → α
f : o' → m'
i : Fin n.succ
⊢ (A.updateColumn i v).submatrix f i.succAbove = A.submatrix f i.succAbove
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ'
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z
⊢ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (Y ◁ ε_ Y Y' ≫ f ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ (if x = 0 then if y + z = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * (y + z))) = if x = 0 then if z = 0 then if x = 0 then if y = 0 then 1 * 1 else 0 * 1 else cexp (log x * y) * 1 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * 0 else 0 * 0 else cexp (log x * y) * 0 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * cexp (log x * z) else 0 * cexp (log x * z) else cexp (log x * y) * cexp (log x * z)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
⊢ (⋂ i, ↑i).Nonempty
x y : ℤ[i]
⊢ { re := round (↑(x * star y).re * (↑(norm y))⁻¹), im := round (↑(x * star y).im * (↑(norm y))⁻¹) } = { re := round (↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round (↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }
a b c : ℕ
⊢ a * (b / c) ≤ a * b / c
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
x y : ↥S
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
hJ : J ≤ I
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).iUnion = ↑J
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
x : A
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) x)) p = (algebraMap A B) ((Polynomial.aeval x) p)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
⊢ ∃ a, f < CauSeq.const abs a
R : Type u_1
CommRing R
self : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ self.asIdeal.IsPrime
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hsum : Summable fun n => ‖(riemannZetaSummandHom ⋯) n‖
⊢ ∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n = riemannZeta s
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (c • φ) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) φ
R✝ S✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
inst✝ : CommRing S✝
e : R✝ ≃+* S✝
⊢ Function.Surjective ⇑e.toRingHom
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ η =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.id b))
      (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).hom)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝
⊢ LiftR' (α.RelLast' r) x✝.dest y✝.dest
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n k : ℕ
⊢ Xor' (2 * k + 1 = 2 * k) (2 * k + 1 = 2 * k + 1)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
x : ℝ
hx : x ∈ Iic a
⊢ IntervalIntegrable f' volume x a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ (↑f).preimage s = f ⁻¹' s
x : SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
⊢ (x + y).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesAdd (Sum.inl i)) = x.moveLeft i + y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ edist x y ≤ ↑c ↔ nndist x y ≤ c
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.ball x r ↔ p (y - x) < r
α : Type u
Group α
a b : α
⊢ IsConj a b ↔ ∃ c, c * a * c⁻¹ = b
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
⊢ (↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
w : V
⊢ Real.fourierIntegral f w = ∫ (v : V), Real.fourierChar (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
⊢ HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
⊢ [].prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) []).sum
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l : List α
⊢ List.Forall₂ R l [] ↔ l = []
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : Polynomial.eval₂ i a f = 0
x : R
⊢ (AdjoinRoot.lift i a h) ((AdjoinRoot.of f) x) = i x
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v w).coeff k = u
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
h : 0 < c
⊢ 0 ≤ b * c ↔ 0 ≤ b