ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.fst (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imJ = TrivSqZeroExt.fst q.imJ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
CommSemiring R
a : MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R
⊢ (MvPolynomial.sumAlgEquiv R S₁ S₂) a = (MvPolynomial.sumToIter R S₁ S₂) a
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_4}
H : Ordinal.IsNormal f
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a ≤ f a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜'
NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜₂ G'
NormedSpace 𝕜' G'
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x : M
y : F
⊢ (f (-x)) y = -(f x) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasCofilteredLimitsOfSize.{v₂, u₂, v₁, u₁} Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{v₂, u₂, v₁, u₁} C
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
hs : s = ∅
⊢ s = ∅ ∧ t = ∅ ∨ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
DecidableEq β
⊢ (Finset.Icc 0 fun x =>
      ↑⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊).card =
  (⌊(↑(Fintype.card β) * max 1 ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))⌋₊ + 1) ^
    Fintype.card β
M : Type u_1
S : Set M
AddMonoid M
⊢ ↑(AddSubmonoid.centralizer S) = S.addCentralizer
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField β
u v : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] v ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Filter.Tendsto φ l (nhds 1)), u =ᶠ[l] φ * v
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
⊢ ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ a.gcd b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
⊢ s = ∅ ∨ s.encard = ⊤ ∨ ∃ a ∈ s, (s \ {a}).encard < s.encard
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β
⊢ lowerBounds (u '' s) = l ⁻¹' lowerBounds s
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} * Metric.closedBall 1 δ = Metric.closedBall x δ
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x
this : PreconnectedSpace ↑s
⊢ (f ∘ i) ⟨x, x_in⟩ = (f ∘ i) ⟨x', x'_in⟩
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (algebraMap R A).rangeS ≤ S.toSubsemiring
α : Type u_2
Add α
a b : α
⊢ {a} + {b} = {a + b}
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
hc : IsClosed s
hb : IsBounded s
x : α
⊢ IsCompact s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.mop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator { unmop := Z } { unmop := Y } { unmop := X }).inv
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Fintype P
Fintype L
⊢ ∑ p : P, Configuration.lineCount L p = ∑ l : L, Configuration.pointCount P l
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
⊢ OpenEmbedding (⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ HasCompactSupport (ExistsContDiffBumpBase.w D)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
MulAction G α
Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ MulAction.fixedPoints G α
⊢ ∃ b ∈ MulAction.fixedPoints G α, a ≠ b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
⊢ x ∈ Set.range ⇑b
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ fixingSubgroup M) ((fun P => MulAction.fixedPoints (↥P) α) ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : O
hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)
hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1
u : Rˣ
hu : ↑u = (algebraMap O R) x
h1 : v ↑u ≤ 1
h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1
r1 : O
hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u
r2 : O
hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹
⊢ (algebraMap O R) (r2 * r1) = (algebraMap O R) 1
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitCocone F).ι.app j ≫
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.ColimitCoconeIsColimit.desc F s =
  s.ι.app j
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z) = (prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 ≤ z.re
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this : b ≠ 0
h : (-↑π * b).re < 0
t : ℝ
⊢ 𝓕 (fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x)) t = 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + I * c) ^ 2)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ ↑(f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U) = ↑(f.opensRange ⊓ U)
X Y : Type u
CommMonoid X
CommMonoid Y
f : X →* Y
x : X
⊢ (CommMonCat.ofHom f) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
hd : (↑s).Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on t)
hm : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (t b) μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ b ∈ s, t b, f a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α) in t b, f a ∂μ
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a b : Γ
r : R
h : b ≠ a
⊢ ((HahnSeries.single a) r).coeff b = 0
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (a * b) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (a * c) + L (b * c) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (a * c) + 2 • L (b * c)⁆
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ b ≤ a⁻¹ * c ↔ a * b ≤ c
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑(x, e).1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ (x, e).2 i
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
f : k →+* K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ (w.comap f).mult ≤ w.mult
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : J
⊢ c.toStructuredArrowCompProj.hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
d x y : ℤ
⊢ { re := x, im := y } = ↑x + Zsqrtd.sqrtd * ↑y
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
m : ↥M
⊢ M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] 1) = m
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
i : σ
⊢ (MvPolynomial.rename f) (MvPolynomial.X i) = MvPolynomial.X (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.restrict hs).compProd η = (κ.compProd η).restrict ⋯
n : ℕ
⊢ (Nat.bit true n).fastFibAux =
  let p := n.fastFibAux;
  (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α
a : α
l : List α
⊢ modifyLast f (l ++ [a]) = l ++ [f a]
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b : α
h : ∀ i ∈ s, Commute (f i) b
⊢ Commute (∑ i ∈ s, f i) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.IsIso f
⊢ ∃ inv,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp inv f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t
F : α → ℝ
F_mble : Measurable F
F_nn : 0 ≤ F
f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F
eq₁ : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)
eq₂ : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..F ω, G t)
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..F a, G t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)
ι : Type u_1
κ : Type u_6
DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
⊢ ∑ j ∈ t, (Finset.filter (fun i => g i = j) s).card = (Finset.filter (fun i => g i ∈ t) s).card
α : Type u_2
NonAssocRing α
Nontrivial α
a : α
⊢ a + 1 ≠ a
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
htendsto : Tendsto f atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
NoMinOrder α
⊢ Order.pred b = a ↔ a ⋖ b
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x : L
⊢ 0 ≤ norm x
α : Type
Finite α
B : Profinite
X : α → Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
surj : ∀ (b : ↑B.toTop), ∃ a x, (π a) x = b
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ.extend 1 = y
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
⊢ ∃ u v, u • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑u * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)
α : Type u
n : ℕ
x : α
u : Fin n → α
⊢ Set.range (Matrix.vecCons x u) = {x} ∪ Set.range u
V : Type u
Quiver V
a b c d : V
p : Quiver.Path a b
p' : Quiver.Path a c
e : b ⟶ d
e' : c ⟶ d
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ HEq e e'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
⊢ σ.support.card = (π * σ * π⁻¹).support.card
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
⊢ (AffineSubspace.mk' p direction).direction = direction
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a✝ : Nontrivial R
h : IsField R[X]
this : Field R[X] := h.toField
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
⊢ ∀ (x_1 : R), x ∣ x_1 ^ 2 → x ∣ x_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ S.Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ico (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ico b₁ b₂)
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ AddMonoidHom.range f = ⊤
K : Type u
inst✝ : Field K
n m : ℕ
a : K
hm : Irreducible (X ^ m - C a)
hn : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = X ^ m - C a → Irreducible (X ^ n - C (AdjoinSimple.gen K x))
⊢ Irreducible (X ^ (n * m) - C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
b : β
⊢ f ×ˢ pure b = Filter.map (fun a => (a, b)) f
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
f : α → β
n : ℕ
⊢ IsMulFreimanIso n ∅ ∅ f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
I : Ideal S
T : Type u_3
inst✝ : CommRing T
f : R →+* T
⊢ span ((fun x => f ((Algebra.norm R) x)) '' ↑I) = span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ ↑(map (fun x => x) s) = ↑s
θ : Real.Angle
⊢ (↑π + θ).sign = -θ.sign
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s : Finset α
⊢ s ⊆ s ⊻ s
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ = ↑h.unit⁻¹ • A.adjugate
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.of g • w = g • w
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).val = s.val ∪ t.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable Y μ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieModule R L N
t : R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(t • f) = t • ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
x : α
ι : Type u_2
f g : ι → ℝ
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
⊢ ∑ i ∈ s, √(f i) * √(g i) ≤ √(∑ i ∈ s, f i) * √(∑ i ∈ s, g i)
ι : Type u
X : ι → Type
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
h : ∀ (i : ι), J i → K i
⊢ ⇑(Profinite.IndexFunctor.map C h) ∘ ⇑(Profinite.IndexFunctor.π_app C K) = ⇑(Profinite.IndexFunctor.π_app C J)
a b : UInt8
h : a.val ≠ b.val
⊢ a ≠ b
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
⊢ cons y s ≠ 0 ↔ y ≠ 0 ∨ s ≠ 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Zero (β i)
⊢ Hamming.ofHamming 0 = 0
x : ℝ
⊢ cos (x - π / 2) = sin x
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
j : N →* P
y : ↥S
⊢ IsUnit ((j.comp f.toMap) ↑y)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : EuclideanGeometry.Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
e : β ≃ γ
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.comapEquiv C e).counitIso =
  CategoryTheory.Pi.comapComp (fun x => C) ⇑e.symm ⇑e ≪≫ CategoryTheory.GradedObject.comapEq C ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x => ![p₁, p₂, p₃] ↑x
h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
⊢ False
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ((i : ι) → π (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → π (Sum.inr i'))
⊢ (∀ (i : ι ⊕ ι'), Sum.rec x✝.1 x✝.2 i ∈ t i) ↔ (∀ (i : ι), x✝.1 i ∈ t (Sum.inl i)) ∧ ∀ (i : ι'), x✝.2 i ∈ t (Sum.inr i)
c : ℝ
f : ℕ → Bool
n : ℕ
h : f n = true
⊢ Cardinal.cantorFunctionAux c f n = c ^ n
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
H.FiniteIndex
g : G
key : ∀ (k : ℕ) (g₀ : G), g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ H → g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
⊢ ϕ.transfer g = ϕ ⟨g ^ H.index, ⋯⟩
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).lift' interior = 𝓝 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ Function.Injective CategoryTheory.MonoidalClosed.curry
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.IsNormal f ↔
  (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (Order.succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ G
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F X
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η p).snd =
  G.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (η.app (Opposite.op (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk p.fst)) p.snd)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝
⊢ T.map (h.inv ≫ h.hom) ≫ B.a = B.a
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0
A : ℝ
hA : 0 < A
h : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|x - ↑a / (↑b + 1)| * A)
r : ℕ
hn : A < (1 + 1) ^ r
a b : ℤ
b1 : 1 < b
a1 : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (r + f.natDegree)
⊢ False
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ (↑(x.appr n)).cast = 0 ↔ ↑(x.appr m) = 0
α : Type u_1
Add α
Semigroup α
LeftDistribClass α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c
⊢ a ∣ b + c
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ (s -ᵥ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ nodal (insert i s) v = (X - C (v i)) * nodal s v
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
hg : ∑ i ∈ ⋯.toFinset, (s i).coeff g ≠ 0
a : α
left✝ : a ∈ ⋯.toFinset
h2 : (s a).coeff g ≠ 0
⊢ g ∈ ⋃ a, (s a).support
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : R
⊢ Submodule.Quotient.mk x = (Ideal.Quotient.mk I) x
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (∏ _x ∈ range m, x) y
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_5 u_4}
ha : a < o.bmex f
⊢ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = a
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
i : ι
⊢ f i < Ordinal.lsub f
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S S' : NonUnitalSubsemiring R
h : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
h' : ∀ {x : R}, x ∈ S'.carrier → -x ∈ S'.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := S, neg_mem' := h } ≤ { toNonUnitalSubsemiring := S', neg_mem' := h' } ↔ S ≤ S'
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] f