ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ ⇑b.toBasis = ⇑b
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff + y.coeff) ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • z) + (of R).symm (y • z)).coeff a
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
⊢ ∀ (acc : Array (List α)) (a : List α), (foldl (fun acc' a_1 => acc'.push (a_1 :: a)) acc l).data = acc.data ++ ?h.h.false.cons.G a
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
this : CompleteSpace ↑↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
⊢ range (continuousLinearMapOfBilin B) = ⊤
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
i : E.I₀
⊢ (E.map F).f i = F.map (E.f i)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ Module.support R M = Module.support R N
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ MeasureTheory.eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
k : ℕ
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype (Sym α k)
⊢ Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α).multichoose k
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
NormedSpace ℝ F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
⊢ (s1 ⊔ s2).direction ≤ s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
⊢ Function.Injective StarSubalgebra.toSubalgebra
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : 𝓞 K
i : K →+* ℂ
⊢ ((basisMatrix K)ᵀ⁻¹ *ᵥ fun j => (canonicalEmbedding K) ((algebraMap (𝓞 K) K) α) j) i = ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr ↑α) i)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
Q R : C
f : Q ⟶ R
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ ∀ (P : C) (g : P ⟶ Q), g ≫ f = 0 → g = 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ 1 ≤ ‖↑↑r.den‖
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : IsClosed s
H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hss : s ⊆ u ∪ v
huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅
H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
⊢ Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a)) Filter.atTop (𝓝 1)
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s : Set α
ι : Type u_3
t : ι → Set α
I : Finset ι
⊢ Absorbs M s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, Absorbs M s (t i)
α₁ : Sort u_1
α₂ : Sort u_2
α₃ : Sort u_3
β₁ : Sort u_4
β₂ : Sort u_5
β₃ : Sort u_6
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₁' : β₁ ≃ β₂
e₂ : α₂ ≃ α₃
e₂' : β₂ ≃ β₃
⊢ (e₁.trans e₂).arrowCongr (e₁'.trans e₂') = (e₁.arrowCongr e₁').trans (e₂.arrowCongr e₂')
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
⊢ (log ∘ Gamma) (a • x + (1 - a) • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + (1 - a) • (log ∘ Gamma) y
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ g i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
hμ'ν : μ' ≪ ν
h : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ'.rnDeriv ν x
h1 : μ'.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
h2 : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
e : CategoryTheory.Bicategory.Equivalence a b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag e.unit.hom e.counit.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor e.inv).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor e.inv).inv
n : ℤ
hn : n ≠ -1
c w : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
X : Type u
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
x : X
hf : ∀ (i : ι), ContinuousAt (fun y => f y i) x
⊢ ContinuousAt f x
R : Type u_1
G : Type u_4
Group G
MulAction G R
g : G
⊢ IsSMulRegular R g
θ : Real.Angle
⊢ (-θ).expMapCircle = θ.expMapCircle⁻¹
X : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
⊢ ∀ (X_1 : Type uᵒᵖ) (a : X.val.obj X_1),
  (CategoryTheory.typeEquiv.counitIso.inv.app X).val.app X_1 a =
    (CategoryTheory.evalEquiv X.val ⋯ (Opposite.unop X_1)) a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ minimals r {a} = {a}
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
ι : Type u
Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hmn : TensorProduct.VanishesTrivially R m n
⊢ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c✝ d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a
ba : ¬a ≤ b
c : α
bc : b < c
ca : c < a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
⊢ 0 < 2 / (1 - 2 / rexp 1)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f p₂ -ᵥ f y)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Add β
g : α → β
hf : Filter.EventuallyConst f l
hg : Filter.EventuallyConst g l
⊢ Filter.EventuallyConst (f + g) l
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ ↑(s.sigma t) = (↑s).sigma fun i => ↑(t i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
a b : X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
hmono : MonotoneOn f ∅
ha : IsLeast ∅ a
hb : IsGreatest ∅ b
hs : μ ∅ ≠ ⊤
h's : MeasurableSet ∅
⊢ IntegrableOn f ∅ μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (sSup s) = sInf (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel i).snd = CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
p : ℝ
x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ Metric.closedBall x (|p| / 2)
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then Metric.closedBall x ε ∩ s else s
G : Type u_3
InvolutiveInv G
a b : G
⊢ a⁻¹ = b ↔ a = b⁻¹
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
self : Topology.IsScott α
⊢ inst✝ = Topology.scott α
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map φ.s) (φ.map L hL) = L.map φ.f
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ψ 0 = 0
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
h't : μ t ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : μ (t \ closedBall 0 ↑n) < ε / 2 * μ t
L : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ (a : ℝ), μ (s ∩ ({x} + a • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + a • t) < ε / 2 → a ∈ Ioi 0 → μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t) < ε
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)
h : Function.Surjective ⇑↑e
⊢ (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) ∘ₗ ↑e = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) ∘ₗ ↑e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ Nonempty (CategoryTheory.SplitEpi f)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
r : R
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
i : ℕ
⊢ ↑(CauSeq.const abv x) i = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A A' A'' : G.Coalgebra
f : A ⟶ A'
g : A' ⟶ A''
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a + (b - a) = max a b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (uniformity β).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ U ∈ uniformity α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
c : Char
cs : List Char
⊢ { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } } = { data := c :: cs }
α : Type u_1
M : Matroid α
R I X : Set α
⊢ (M.restrict R).Basis I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ X ⊆ R
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => a - x) '' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : α
⊢ ∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
⊢ ¬Summable f
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
h : H.index = 2
a : G
⊢ a ^ 2 ∈ H
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
⊢ (if h : False then n else { data := l ++ c :: (m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } (n + 1)) = n + (c :: m).length
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
w : List.map f l ≠ []
⊢ (List.map f l).head w = f (l.head ⋯)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
⊢ (mk fun p q hpq => γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv).v p q hpq = γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblXYZ P = P x ^ 2 • ![1, 1, 0]
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
hw : w ∈ ⋃₀ S
⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
S₂ : Type u_9
Monoid S₂
DistribMulAction S₂ M₂
SMulCommClass R₂ S₂ M₂
ContinuousConstSMul S₂ M₂
c : S₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑(c • f) = c • ↑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ ∃ y, f = const X y
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* S
⊢ (fun f => π.comp f) ((fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) f) = f
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.inl R₁ M₁ M₂) = LinearMap.inl R₁ M₁ M₂
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w + ↑u = ↑z + ↑x
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = Set.univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Filter.Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) Filter.atTop (𝓝 ((κ a) Set.univ).toReal)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : ModuleCat R
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat R
Z : ModuleCat R
⊢ whiskerRight (associator W X Y).hom Z ≫ (associator W (tensorObj X Y) Z).hom ≫ whiskerLeft W (associator X Y Z).hom = (associator (tensorObj W X) Y Z).hom ≫ (associator W X (tensorObj Y Z)).hom
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h : ∀ (i : n), 0 ≤ hA.eigenvalues i
⊢ A.PosSemidef
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
⊢ (-1) ^ 2 = 1
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
Nontrivial S
⊢ minpolyDiv R x ≠ 0
R : Type u
Monoid R
StarMul R
a : R
⊢ IsUnit a → IsUnit (star a)
n : ℕ
⊢ (↑n).repr = ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g✝ : β →o γ
g : α →o β
h : f ≤ g
i : ℕ
⊢ ∃ j, (c.map f) i ≤ (c.map g) j
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
LinearOrderedCommMonoidWithZero β
f g : α →*₀o β
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
⊢ 0 < ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f ∩ s)
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ AddAction.orbit (↥s) a = ↑s
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).leadingCoeff = f.leadingCoeff
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
⊢ LinearOrderedField.inducedMap α β 0 = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε
h₂ : QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall 0 ε ∩ I = if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I
⊢ volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
self : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
x : B
⊢ x ∈ self.baseSet i → ∀ (v : F), (self.coordChange i i x) v = v
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
⊢ ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : Filter X
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ s ≤ f ↔ ∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Bimod.regular A).X = A.X
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
⊢ p < (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
⊢ Tendsto (abs ∘ fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ |r| < 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
hf : f 1 = 1
r : R
h : IsUnit ((algebraMap R A) r)
⊢ IsUnit ((algebraMap R B) r)
R : Type u_1
n k : ℕ
⊢ (pow (k + 1)) n = if k + 1 = 0 ∧ n = 0 then 0 else n ^ (k + 1)
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ evenKernel a x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel a (1 / x)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
⊢ ∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), ↑__src✝ (x * y) = ↑__src✝ x * ↑__src✝ y
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
⊢ mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR ≤ mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y₁ y₂ : Filter β
⊢ Tendsto f x (y₁ ⊓ y₂) ↔ Tendsto f x y₁ ∧ Tendsto f x y₂
n : ℕ
α : Type u
p : Fin n → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes (Matrix.vecCons α p) τ
⊢ (Function.fromTypes_cons_equiv α p τ).symm a = a
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly = C P.d
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → MetricSpace (E i)
x y z : (i : ι) × E i
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
⊢ (s.smulAntidiagonal t a).Finite
α : Type
n : ℕ
xs ys : Mathlib.Vector α n
σ γ : Type
s : σ
f : α → α → σ → σ × γ
comm : ∀ (a₁ a₂ : α) (s : σ), f a₁ a₂ s = f a₂ a₁ s
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s = Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f ys xs s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂).obj₂ = (X₁ ⨯ X₂)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.t i j ≫ D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((expand R p) f).coeff (n * p) = f.coeff n
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
hx : 0 < x
⊢ x ^ z < y ^ z