ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α
m : ℕ
h : n ≤ n + m
⊢ modifyNthTail g (n + m) (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (n + m - n) (f l)) n l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).counitIso.inv =
  { app := fun X => (CategoryTheory.StructuredArrow.isoMk (CategoryTheory.Iso.refl X.right) ⋯).inv, naturality := ⋯ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ), (X.tensorLeftIso.inv.app X_1).unmop = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X_1.unmop X.unmop)
α : Type u_1
a : α
⊢ Multiset.replicate 0 a = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
⊢ s.disjSups t ⊆ s ⊻ t
α : Type u
CommSemiring α
p : α
hp : p ≠ 0
⊢ (Ideal.span {p}).IsPrime ↔ Prime p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHoms ψ).v p q hpq ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set 𝕜
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
f : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f ^ n)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
⊢ (y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h1 : Measurable fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2
⊢ Measurable ((fun c => ⟨countablePartitionSet n c, ⋯⟩) ∘ fun p => p.2)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜
⊢ (((toLinearMap₂' 𝕜) A) (star x)) x = 0 ↔ (toLin' A) x = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
⊢ ∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Set ι), t.Countable → ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ ∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x) = z * b i
α : Type u_4
β : Type u_5
σ : Type u_6
Denumerable α
Denumerable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ Primrec₂ f ↔ Primrec₂ fun m n => f (Denumerable.ofNat α m) (Denumerable.ofNat β n)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ 0
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
⊢ f y ≤ f x
x✝ : ℝ
⊢ -π < (↑x✝).toReal
a t : ℝ
ha : 0 < a
⊢ a * t ∈ unitInterval ↔ t ∈ Set.Icc 0 (1 / a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, μ {a | t < f a}
α : Type u_9
β : α → Type u_10
ι : Sort u_11
(i : α) → InfSet (β i)
f : ι → (a : α) → β a
a : α
⊢ (⨅ i, f i) a = ⨅ i, f i a
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.chromaticNumber ≤ ↑m
⊢ ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 1 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 1) - xz a1 1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.min = s.inf WithTop.some
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n m✝ : ℕ
a✝ : n ≤ m✝
⊢ (trunc n f).coeff m✝ = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
D : Set α
hD : ¬M.Indep D
hDE : D ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Dep D
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
H : Subgroup G
a b : α
h : Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b
⊢ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) volume ↔ Integrable ((Ioi (a * c)).indicator f) volume
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g
⊢ e = explicitCokernelDesc w
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p
⊢ b • m ∈ p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
h : X ⟶ Z
k : Y ⟶ Z
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
comm : f ≫ h = g ≫ k
inst✝² : PreservesColimit (span f g) G
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ G.map (pushout.inl f g) ≫ (iso G f g).inv = pushout.inl (G.map f) (G.map g)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Monotone f
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i ≠ 0
⊢ z i ^ w i = x ^ w i
a b : ℕ
h : a ≤ b + 1
⊢ insert (b + 1) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc a (b + 1)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X : C
inst✝ : Simple X
⊢ ¬IsZero X
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
x : N
P : N → Prop
h₁ : P 0
h₂ : ∀ (m : M), P (f m)
h₃ : ∀ (s : S) (n : N), P n → P (s • n)
h₄ : ∀ (n₁ n₂ : N), P n₁ → P n₂ → P (n₁ + n₂)
⊢ P x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c) s x = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = μ
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
hs : BddBelow s
sne : s.Nonempty
⊢ sInf (insert a s) = a ⊓ sInf s
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
a b : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
⊢ x.divMonomial (a + b) = (x.divMonomial a).divMonomial b
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
One B
a : A
b : B
h : b ≠ 1
⊢ Function.mulSupport (Pi.mulSingle a b) = {a}
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.conts m = g.conts n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
m : ℕ
hm : m < n - k
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
F : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct F
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor F) (CategoryTheory.forget C)
x : (j : J) → (CategoryTheory.forget C).obj (F j)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.π F j) ((CategoryTheory.Limits.Concrete.productEquiv F).symm x) = x j
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ CochainComplex.mappingCone.inr φ₁ ≫ CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H = b ≫ CochainComplex.mappingCone.inr φ₂
m n k : Nat
⊢ (m.lcm n).lcm k = m.lcm (n.lcm k)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
huv : ⟪u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
houv : ⟪u - v - (u - orthogonalProjectionFn K u), orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
s t : List α
⊢ (s ++ t).inits = s.inits ++ List.map (fun l => s ++ l) t.inits.tail
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Injective fun x => n • x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i : I₁
⊢ ∀ (i_1 : I₂), (((HomologicalComplex₂.flipEquivalenceUnitIso C c₁ c₂).inv.app X).f i).f i_1 = 𝟙 ((X.X i).X i_1)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
⊢ (Polynomial.X ^ (n + 1) - p).Monic
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) =o[⊥] fun x' => x' - x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
B : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
J.PreservesSheafification U
J.HasSheafCompose U
X : A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Sheaf.constantCommuteCompose J U).hom.app X).val.app X_1 =
    ((CategoryTheory.sheafComposeNatIso J U (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J A)
                    (CategoryTheory.sheafificationAdjunction J B)).inv.app
              ((CategoryTheory.Functor.const Cᵒᵖ).obj X)).val.app
        X_1 ≫
      ((CategoryTheory.presheafToSheaf J B).map ((CategoryTheory.Functor.compConstIso Cᵒᵖ U).inv.app X)).val.app X_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ μ {b} ≠ ⊤
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
σ : L ≃ₐ[K] L
⊢ (autEquivRootsOfUnity hζ hn H L) σ • α = σ α
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure s \ closure t = (closure t)ᶜ ∩ closure s
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E✝ : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E✝
E : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
CommRing K
Field L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
Field R
Algebra K R
Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] R
g : R →ₐ[K] L
⊢ Function.Bijective ⇑f ∧ Function.Bijective ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
x : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Iic (e x) = Set.Iic x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle x (x - y)).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
ge : w ≤ i
⊢ x.getLsb i = false
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
⊢ ∀ᶠ (r : 𝕜) in 𝓝 0, {x} + r • s ⊆ u
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
Module R α
Module R β
Module R γ
f : α ≃ₗ[R] β
g : β ≃ₗ[R] γ
⊢ f.mapMatrix ≪≫ₗ g.mapMatrix = (f ≪≫ₗ g).mapMatrix
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = Set.univ
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = Set.univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Ioc x y = Ioc (e x) (e y)
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ s * closedBall 1 δ = ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j : D.J
⊢ (D.mapGlueData F).f i j = F.map (D.f i j)
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ #↑s = #E
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ HasSum (fun i => (fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) (f i)) ((fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) (⋃ i, f i))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
⊢ (FirstOrder.Language.Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W U V : Submodule R M
⊢ U ⊓ V ≤ U.dualAnnihilator.dualCoannihilator ⊓ V.dualAnnihilator.dualCoannihilator
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ IsZero T.obj₃ ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
h : a ∈ U
⊢ (f.mulIndicator hU) a = f a
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
K : Subgroup ↥H
⊢ Subgroup.map H.subtype K ≤ H
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : b₂ ≤ b₁
⊢ Set.Ioc a₁ b₁ ∩ Set.Ioo a₂ b₂ = Set.Ioo (max a₁ a₂) b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
n : ℕ
h : Odd n
⊢ ¬2 ∣ n
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
⊢ ∀ ⦃i_1 : (i : ι) × β i⦄, i_1 ∈ t → Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f i_1)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioc a c
⊢ Set.Icc a c ∈ 𝓝[<] b
α : Type u
LinearOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ min ⊤ a = a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a
x : α
⊢ (RelIso.symm (OrderIso.mulLeft₀ a ha)) x = a⁻¹ * x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
LocalRing R
CommRing S
LocalRing S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
⊢ (LocalRing.ResidueField.map f).comp (LocalRing.residue R) = (LocalRing.residue S).comp f
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
⊢ ∀ (i : n ⊕ p) (j : l ⊕ m), Continuous fun a => fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) i j
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
n : ℕ
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ ∃ S, ↑S ⊆ memPartition t n ∧ s = ⋃₀ ↑S
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
⊢ quadraticCharFun F 0 = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝² : Ω
a✝¹ : f i a✝² ≤ (μ[f j|↑ℱ i]) a✝²
a✝ : g i a✝² ≤ (μ[g j|↑ℱ i]) a✝²
⊢ (f + g) i a✝² ≤ (μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a✝²
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X Y : C
X' : C
f : X ⟶ Y
⊢ self.δ X' X ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (self.obj X') (self.map f) =
  self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X' f) ≫ self.δ X' Y
R : Type u_1
Rack R
G : Type u_2
Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
g : Rack.EnvelGroup R →* G
h : f = (Quandle.Conj.map g).comp (Rack.toEnvelGroup R)
⊢ g = Rack.toEnvelGroup.map f
α : Type u
p : α → Bool
xs acc : List α
⊢ List.splitOnP.go p xs acc = List.modifyHead (fun x => acc.reverse ++ x) (List.splitOnP p xs)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
P : Submodule R M → Prop
hgt : ∀ (I : Submodule R M), (∀ J < I, P J) → P I
I : Submodule R M
⊢ P I
M : Type u_1
α : Type u_7
SMul M α
FaithfulSMul M α
⊢ Function.Injective fun x x_1 => x • x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x
⊢ ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
⊢ ∀ x ∈ univ, c x = if h : ↑x < n then c ⟨↑x, h⟩ else 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
⊢ (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #α ≤ a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).inverse.map f).hom = f.left
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
⊢ Function.Commute f^[n] f
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume
hG : CompleteSpace G
I : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 0)
⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = -∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
Invertible (NormedSpace.exp 𝕂 x)
⊢ ⅟(NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 (-x)
x x' : SetTheory.PGame
h : x.LF x'
⊢ x.insertRight x' ≈ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Ico a b ↔ False