ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
h : X ^ n + C a = 1
⊢ n = 0
α : Type u
⊢ (#α).ord = ⨅ r, Ordinal.type ↑r
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
R : Type u_3
A : Type u_4
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ (NonUnitalSubalgebra.center R A).toNonUnitalSubring = NonUnitalSubring.center A
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
⊢ ∀ (x : P s), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s x
ι : Type u_3
M : Type u_7
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h' : ∃ i, 0 < f i
hf : (Function.support f).Finite
⊢ 0 < ∑ᶠ (i : ι), f i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Semiring T
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f : F
g : G
r : R
⊢ r ∈ ker f ↔ f r = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜
hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1
val✝ : Fintype ι
g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))
this✝ : CauchySeq g
a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
this : Tendsto (fun n => (g n) m) atTop (𝓝 (a m))
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a m))
m n : ℕ
⊢ Squarefree (m * n) ↔ m.Coprime n ∧ Squarefree m ∧ Squarefree n
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℕ
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
OrderTopology α
OrderTopology β
e : α ≃o β
⊢ ⇑e.toHomeomorph.symm = ⇑e.symm
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ (minpoly A pb.gen).degree = ↑pb.dim
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.StrongMonoCategory C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.StrongMono f
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ s ⊆ t → a ::ₘ s ⊆ a ::ₘ t
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
m : β i
x : ι
⊢ (single i m) x = if h : x = i then ⋯ ▸ m else 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
h : x ∈ adjoin R s
r : R
this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
⊢ f (r • 1) = r • f 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 ⊗ₜ[R] y))) = 0
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ
hR0 : 0 < R
hRs : closedBall z R ⊆ s
⊢ AnalyticAt ℂ f z
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet (a ⊔ b)) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet b)
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S
⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (tan ↑x) = tan ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
W X X' Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (e.unit.app Y)) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' (e.unit.app Y)) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g'
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
⊢ ¬Prime 1
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
this : Module ℝ (α → F') := Pi.module α (fun x => F') ℝ
⊢ μ[-f|m] =ᶠ[ae μ] -μ[f|m]
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
x : A
⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖₊ = ‖x‖₊
α : Type u_1
LE α
⊢ ∀ (a : NonemptyInterval α), NonemptyInterval.toDualProdHom a = a.toDualProd
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
⊢ Subgroup.map f (lowerCentralSeries G n) = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ₑ D
⊢ (CategoryTheory.RightExactFunctor.ofExact C D).obj F = { obj := F.obj, property := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}
⊢ (x, y) ∉ {(y, x)}
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} #↑↑⟨range v, ⋯⟩
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
m : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (x ^ m) y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ Limits.BinaryFan.snd (product (product X Y).cone.pt Z).cone = snd (X ⊗ Y) Z
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a = min a b
F : Type u_1
Field F
S₁ S₂ : Set F
hS₁ : IsSubfield S₁
hS₂ : IsSubfield S₂
⊢ IsSubfield (S₁ ∩ S₂)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
⊢ EMetric.diam (s ∪ t) ≤ EMetric.diam s + edist x y + EMetric.diam t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
⊢ DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : Group M} {x_1 : MulOneClass N} {x_2 : CommGroup P} (f : M →* N →* P) (m₁ m₂ : M) (n : N),
  (f (m₁ / m₂)) n = (f m₁) n / (f m₂) n
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ I.closure ≠ ⊤
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.center G ≤ H.normalizer
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ μ.withDensity f = μ.withDensity g
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : CompleteLattice.Independent p
⊢ #{ i // p i ≠ ⊥ } ≤ ↑(FiniteDimensional.finrank R M)
β : Type u_3
Finite β
⊢ Subgroup.closure {σ | σ.IsCycle} = ⊤
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a b : α
⊢ List.destutter' R a (b :: l) = if R a b then a :: List.destutter' R b l else List.destutter' R a l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
self : AffineSubspace k P
c : k
p1 p2 p3 : P
⊢ p1 ∈ self.carrier → p2 ∈ self.carrier → p3 ∈ self.carrier → c • (p1 -ᵥ p2) +ᵥ p3 ∈ self.carrier
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
⊢ Function.Injective CoeFun.coe
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Set ↑b
hd : d.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i
⊢ s ⊆ ⋃ y ∈ d, c ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
hf : Multipliable f
G : Type u_5
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f)
a b k m n p : ℕ
hk : k ≠ 0
hp : Prime p
⊢ (p ^ k).primeFactors = {p}
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ ⨅ i, ↑(f i) = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
R : Type u
Monoid R
StarMul R
u : Rˣ
⊢ (Units.embedProduct R) (star u) = star ((Units.embedProduct R) u)
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
⊢ TietzeExtension Y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
a : I.L
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicofork.ofSigmaCofork I c).ι.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left a) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.left a)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.fstSigmaMap c.π)
m n : ℕ
nzm : NeZero m
h : m ≤ n
⊢ Function.Injective ZMod.cast
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f 0 ↔ {i | f i ≠ 0}.Finite
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ (-1) ^ (n - ν) * eval (↑(n - (n - ν - 1))) (ascPochhammer R (n - ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : ¬a = b
⊢ True ↔ a > b
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ (∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 ≤ f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, f x ≤ 0
n : ℕ
α₀ : TypeVec.{u_1} n
α₁ : TypeVec.{u_2} n
α₂ : TypeVec.{u_3} n
β₀ : Type u_1
β₁ : Type u_2
β₂ : Type u_3
f₀ : α₀.Arrow α₁
f₁ : α₁.Arrow α₂
g₀ : β₀ → β₁
g₁ : β₁ → β₂
⊢ (TypeVec.comp f₁ f₀ ::: g₁ ∘ g₀) = TypeVec.comp (f₁ ::: g₁) (f₀ ::: g₀)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₂ m₂' : M₂
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (0, m₂) (0, m₂') ↔ Q₂.IsOrtho m₂ m₂'
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeInf δ
g : γ → δ
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ (Finset.image₂ f s t).inf' h g = t.inf' ⋯ fun y => s.inf' ⋯ fun x => g (f x y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t s' t' : Set α
h : s =ᵐ[μ] t
h' : s' =ᵐ[μ] t'
⊢ s ∪ s' =ᵐ[μ] t ∪ t'
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
⊢ (∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.Presieve.singleton f) = CategoryTheory.Sieve.generateSingleton f
o b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ o)
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
DecidableEq ι
Zero N
a : (i : ι) × η i
n : N
⊢ sigmaFinsuppEquivDFinsupp (Finsupp.single a n) = DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd n)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
r' : NNReal
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
α : Type u
Ring α
a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u - b = (a - b * ↑u) /ₚ u
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Sub (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.toHamming (x - y) = Hamming.toHamming x - Hamming.toHamming y
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R
ha : a = fun i => b.repr (b i * x)
⊢ (1 ⊗ₜ[R] x * f.sum fun i y => y ⊗ₜ[R] b i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support, (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (Finsupp.mapRange.linearEquiv f).symm = Finsupp.mapRange.linearEquiv f.symm
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (H.mapCocone c).pt = H.obj c.pt
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
f : M → Bundle.TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
⊢ ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x₀ ↔
  ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧
    ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
R S : CommRingCat
φ : R ⟶ S
⊢ P (Spec.map φ) ↔ Q φ
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module.Free R M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : SMulCommClass R S N
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : StrongRankCondition S
inst✝² : Module.Free S N
inst✝¹ : Module R S
inst✝ : SMulCommClass R S S
⊢ Module.rank S (M →ₗ[R] S) = lift.{u', v} (Module.rank R M)
n m : Nat
⊢ 0 < n - m ↔ m < n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : Type u_1
n : Type u_2
Fintype m
Finite n
DecidableEq m
DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i : n
⊢ (LinearMap.toMatrix bM bN) ((dualTensorHom R M N) (bM.coord j ⊗ₜ[R] bN i)) = Matrix.stdBasisMatrix i j 1
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
Finite ι
f : ι → Set X
⊢ LocallyFinite f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
h : Nonempty X
hf : DenseRange f
⊢ Nonempty α
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ (↑n).size + 1 = (2 * ↑n + 1).size
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableEq α
IsIrrefl α r
⊢ Relation.CutExpand r ≤ InvImage (Finsupp.Lex (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) fun x x_1 => x < x_1) ⇑Multiset.toFinsupp
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
F G : C ⥤ D
τ : F ⟶ G
S : ShortComplex C
inst✝⁶ : S.HasHomology
inst✝⁵ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝² : G.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : G.PreservesRightHomologyOf S
⊢ τ.app S.homology = (S.mapHomologyIso F).inv ≫ ShortComplex.homologyMap (S.mapNatTrans τ) ≫ (S.mapHomologyIso G).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
⊢ (↑t).PairwiseDisjoint fun a => Finset.filter (fun x => f x = a) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))}
  (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.drop.map f = f.right
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.filter (fun x => c ≤ x) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico (max a c) b
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b : A
⊢ LinearMap.mulRight R (a * b) = LinearMap.mulRight R b ∘ₗ LinearMap.mulRight R a
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.LpAddConst p = 1
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K
⊢ (toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ = Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M)
α : Type u_1
t : Set α
⊢ (𝓟 t).HasBasis (fun x => True) fun x => t
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
α : Type u_2
LE α
BoundedOrder α
⊢ IsSimpleOrder α ↔ IsSimpleOrder αᵒᵈ
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ MulAction.IsBlock (↥⊤) B
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ p₂ ≠ p₃