ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
x : ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
a✝ : x ∈ ⊤
⊢ ∃ c, ∑ i : G.ConnectedComponent, c i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = x
α : Type u_1
s : Finset α
n : ℕ
f : ℕ → α
hf : ∀ i < n, f i ∈ s
f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j
⊢ n ≤ s.card
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = pB.gen ^ ↑⟨1, hdim⟩
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor.id C).δ X Y = 𝟙 ((𝟭 C).obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y))
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite
hst : s ⊆ t
hts : t.encard ≤ s.encard
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
⊢ x₁ i = x₂ i
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ matPolyEquiv.symm (Polynomial.C M) = M.map ⇑Polynomial.C
w i : Nat
x y : BitVec w
h : i ≤ w
⊢ BitVec.truncate i (x + y) = BitVec.truncate i x + BitVec.truncate i y
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b
⊢ a.toPGame < b.toPGame
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
u v : V
⊢ (G'.deleteVerts s).Adj u v ↔ u ∈ G'.verts ∧ u ∉ s ∧ v ∈ G'.verts ∧ v ∉ s ∧ G'.Adj u v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
T2Space M
a b : ℝ
BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
heq : γ a = γ b
⊢ Function.Periodic γ (a - b)
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : α
J : Order.Ideal α
⊢ b ∈ J ⊔ Order.Ideal.principal a ↔ ∃ j ∈ J, b ≤ j ⊔ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
a : α
ha : a ≤ sSup S
⊢ ∃ T ⊆ S, a = sSup T
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i
x : ↑(directLimitCocone G f).pt
⊢ m x = (DirectLimit.lift R ι G f (fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i) ⋯) x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R (-n) = T R n
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₁
Module A M₁
SMulCommClass R A M₁
IsScalarTower R A M₁
Module R M₂
Invertible 2
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.associated (Q₁.tmul Q₂) = (QuadraticMap.associated Q₁).tmul (QuadraticMap.associated Q₂)
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : β
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => c + f y) s x = derivWithin f s x
a : ENNReal
h0 : a ≠ 0
ht : a ≠ ⊤
⊢ a * a⁻¹ = 1
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι
⊢ ∃ J, (∀ (n : ℕ), Box.Icc (J n) ⊆ Box.Ioo I) ∧ Tendsto (lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower) ∧ Tendsto (upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule
⊢ ((Representation.ofModule ρ.asModule) g) x =
  (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm
    (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x))))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ app' (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) 0 ⋯ = app' (𝟙 G) 0 ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
⊢ ∃ x, ⨅ t ∈ B, f t = ⨅ i, f (x i)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
⊢ Type ?u.49244
α : Type u_1
l : List α
⊢ (l.bind fun x => [x]) = l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
n : ι × α
h : (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ∧ F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
⊢ (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.Γ.map f.op = f.c.app (Opposite.op ⊤)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y z : α
h : (x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ ¬False) ∧ y ≠ z ∧ ¬False
⊢ (swap x y * swap y z).support = {x, y, z}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π) ↔
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (Opposite.op (X i))),
    CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : C(β, γ)
f : C(α, β)
⊢ Specialization.map (g.comp f) = (Specialization.map g).comp (Specialization.map f)
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ π
hxy : x < y
⊢ cos y < cos x
α : Type u_1
p✝ : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p✝
l✝ : List α
a✝ : α
p : α → Bool
a : α
l : List α
ih : l.any p = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true
⊢ (a :: l).any p = true ↔ ∃ a_1, a_1 ∈ a :: l ∧ p a_1 = true
α : Type u_1
β : Type u_2
Semigroup α
Semigroup β
F : Type u_3
EquivLike F α β
MulEquivClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ∣ f b ↔ a ∣ b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ AffineIndependent k p ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
⊢ b ^ y < x ↔ y < Nat.clog b x
X : Type u_1
x : X
⊢ FreeAbelianGroup.toFinsupp (FreeAbelianGroup.of x) = Finsupp.single x 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
f : yoneda.obj X ⟶ P
⊢ yonedaEquiv (f ≫ presheafHom φ P) = (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : K
⊢ v.valuation x = (v.intValuation.extendToLocalization ⋯ K) x
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ ‖x.1‖ + ‖x.2‖ = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ Nontrivial α ∨ ¬Nontrivial α
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup M
x : M
hx : x ∈ S
⊢ f x ∈ Subsemigroup.map f S
α : Type u
as bs : List α
⊢ as.append bs = as ++ bs
S : Type v
T : Type w
CommSemiring S
CommSemiring T
Algebra S T
p q : S[X]
h₁ : p ∣ q
a : T
h₂ : (Polynomial.aeval a) p = 0
⊢ (Polynomial.aeval a) q = 0
(P : Prop) → Decidable P
α β : Type u_1
⊢ (fun x x_1 => x >>= x_1) = Finset.sup
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0
⊢ z.arg = -Real.arccos (z.re / abs z)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Icc x y = Icc (e x) (e y)
G : Type u_1
Monoid G
H : Type u_6
Monoid H
ψ : G →* H
x : G
⊢ orderOf (ψ x) ∣ orderOf x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
α : Type
Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj (X a)) fun a => F.map (π a)) → CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : CeilDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β
⊢ ∀ (c : β), a • b ⌈/⌉ a ≤ c ↔ b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
x : α
⊢ x ∈ support ↑f ↔ x ∈ ⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (C a * p).natDegree = p.natDegree
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term f s n = LSeries.term g s n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (blimsup u f fun x => p x ∨ q x) = blimsup u f p ⊔ blimsup u f q
α : Type u_5
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
s : Set α
hd : Dense s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Set.Ioc l u = S}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : α
Subsingleton αˣ
h : ∀ (c : α), a ∣ c ↔ b ∣ c
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {α_1 : Type u_3} {f : Option α → Option β → α_1} {a : α} {b : β} {n : Nat},
  List.zipWithAll f (List.replicate n a) (List.replicate n b) = List.replicate n (f (some a) (some b))
C' : Type u_1
X : C'
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.toShrinkHoms X).fromShrinkHoms = X
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype m
Fintype n
L : Matrix l m α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ L * M * N = L * (M * N)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s) = e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
⊢ PiTensorProduct.reindex R s e ≪≫ₗ PiTensorProduct.reindex R (fun i => s (e.symm i)) e' =
  PiTensorProduct.reindex R s (e.trans e')
α : Type u_1
Mul α
⊢ ↑AddOpposite.opMulEquiv = AddOpposite.opEquiv
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X : D × C
⊢ (CategoryTheory.uncurryObjFlip F).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj X.2).obj X.1)
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
h : ∀ i ∈ s, (t i).OrdConnected
⊢ (s.pi t).OrdConnected
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ ⊆ s₂.disjSum t₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x v
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
η : Type u_8
s : Set η
t : η → Set M
hs : DirectedOn (t ⁻¹'o fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent R fun (x : ↑(t a)) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ a ∈ s, t a)) => ↑x
M : Type u_1
Monoid M
R : Type v
Semiring R
MulSemiringAction M R
x : M
⊢ ∀ (x_1 : R), (MulSemiringAction.toRingHom M R x) x_1 = x • x_1
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ IntegrableOn f (Ioc a₀ b₀) volume
α : Type u
β : Type v
Semigroup β
f : FreeSemigroup α →ₙ* β
⊢ FreeSemigroup.lift (⇑f ∘ FreeSemigroup.of) = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
x : E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') x
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ (∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m * n) ↔ ∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m ∧ ¬x ^ 2 ∣ n
ι : Type u_1
Fintype ι
β : Option ι → Type u_4
(i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : Option ι) → MeasureTheory.Measure (β i)
∀ (i : Option ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm)
    ((MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none)) =
  MeasureTheory.Measure.pi μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (a : M), (CategoryTheory.shiftFunctor C a).Additive
a b c : M
α : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
β : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ α.comp (-β) h = -α.comp β h
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } }
⊢ { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } } = { data := m }
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
Nonempty β
Zero α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
⊢ (FractionRing.algEquiv B L).symm x ∈ ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)).dualSubmodule (restrictScalars A I)).toAddSubmonoid ↔ x ∈ ((traceForm K L).dualSubmodule (restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I))).toAddSubmonoid
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist x z < δ
hzy : dist z y ≤ ε
⊢ False
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s ⊼ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ⊼ t₁ ∩ s ⊼ t₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
hu : ∃ t₁ ∈ 𝓤 β, ∃ t₂ ∈ 𝓤 β', t₁ ×ˢ t₂ ⊆ (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ x ∈ s ×ˢ s', ((fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.1 x, (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.2 x) ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x * ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
G : AddCommMonCat
H : Type u
AddCommMonoid H
f : ↑G →+ H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsNat (a ^ nb) ne
⊢ IsNat (a ^ b) ne
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (↑n)⁻¹ * a < b
⊢ ∃ n > 0, ↑n * a < b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ filter (fun x => x ≠ 0) f.range → (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0
⊢ ∃ b ∈ ↑I, dist f b < ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hab : ReflTransGen r a b
hbc : TransGen r b c
⊢ TransGen r a c
R : Type u
ι : Type y
CommSemiring R
DecidableEq ι
s : Multiset ι
f : ι → R[X]
⊢ Polynomial.derivative (Multiset.map f s).prod =
  (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * Polynomial.derivative (f i)) s).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≺i s
b : ↑{b | s b f.top}
⊢ f.toRelEmbedding (f.subrelIso b) = ↑b
x : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1
⊢ Real.log x < x - 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
Fintype ι
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => EuclideanSpace.single i 1
α : Type u_1
BEq α
cmp : α → α → Ordering
self : Batteries.BEqCmp cmp
x y : α
⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ (x == y) = true
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X Y : G.Coalgebra
f g : X ⟶ Y
h : f.f = g.f
⊢ f = g
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
DecidableEq ι
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
Semiring B
DirectSum.GAlgebra R A
Algebra R B
f g : (DirectSum ι fun i => A i) →ₐ[R] B
h : ∀ (i : ι), f.toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ι A i = g.toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ι A i
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
h : Disjoint s (Set.range f)
⊢ f ⁻¹' s = ∅
α : Type u_1
Rₐ : α → α → Prop
IsRefl α Rₐ
l : List α
⊢ List.Forall₂ Rₐ l l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftStar F M hM).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
G : Type u_1
Group G
H N : Subgroup G
h : H.normalizer ≤ N
⊢ H.normalizer.subgroupOf N = (H.subgroupOf N).normalizer
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) atBot atTop
ι : Type u_1
⊢ Antitone fun I => I.lower
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
v' : ι' → M'
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'
⊢ Disjoint (span R (Set.range (⇑(inl R M M') ∘ v))) (span R (Set.range (⇑(inr R M M') ∘ v')))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
F : J ⥤ C
∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), CategoryTheory.IsIso (F.map f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfDiagramTerminal hX F).pt = F.obj X
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
v₁ v₂ : V
⊢ midpoint R v₁ v₂ - v₂ = ⅟2 • (v₁ - v₂)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-↑n) * ↑p ^ (-c.valuation)
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0
⊢ ↑p ≠ 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Iic ↑a = Set.Iic a
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
⊢ Dependent ![u, v] ↔ u = v
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
⊢ Smooth (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB Bundle.TotalSpace.proj
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-a)
⊢ (fun t => Real.log t • f t) =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-b)