ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E) (↑I) x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
⊢ Countable ι
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ 1 ≤ a⁺ᵐ
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors (n + 1)) ↑(n + 1).primeFactorsList
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
a : X
⊢ A.proj ⁻¹' {A.proj a} ⊆ B.proj ⁻¹' {ofLE h (A.proj a)}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
⊢ 𝓝[<] a ≤ 𝓝[≠] a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
AddMonoid ι
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
SetLike.GradedMonoid A
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
⊢ (starRingEnd 𝕜) (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), (starRingEnd 𝕜) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
S : Set (Set α)
hs : S.Countable
hd : S.Pairwise (AEDisjoint μ)
h : ∀ s ∈ S, NullMeasurableSet s μ
⊢ μ (⋃₀ S) = ∑' (s : ↑S), μ ↑s
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg ↔ x⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹ < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Finset.map Function.Embedding.inl s).disjUnion (Finset.map Function.Embedding.inr t) ⋯ = s.disjSum t
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} A
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify J B
inst✝¹ : J.HasSheafCompose F
inst✝ : J.PreservesSheafification F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
⊢ whiskerRight (toSheafify J P) F ≫ (sheafifyComposeIso J F P).inv = toSheafify J (P ⋙ F)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x
hs : (isLocallyFraction R).pred s
p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hpV : p ∈ V
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W
iWU : W ⟶ U
a b : R
q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hqW : q ∈ ↑((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) W)
hqV : q ∈ ↑V
h_frac : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩).asIdeal ∧ (fun x => s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩ * (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) b = (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) a
⊢ (algebraMap S (Localization.AtPrime q.asIdeal)) (f a) = (algebraMap S (Localizations S q)) (f a)
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
⊢ ModularForm.slash k (A * B) f = ModularForm.slash k B (ModularForm.slash k A f)
n : Type u_3
α : Type v
AddCommMonoid α
s : Multiset (Matrix n n α)
⊢ s.sum.diag = (Multiset.map Matrix.diag s).sum
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (univ ∩ range ↑I) (↑I y)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ g₁ ≤ g₂ → f +ᵥ g₁ ≤ f +ᵥ g₂
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
a b : G
h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε
⊢ ‖f (a, b).1 - f (a, b).2 - (f' x) ((a, b).1 - (a, b).2)‖ ≤ c * ‖(a, b).1 - (a, b).2‖
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h : b < a
⊢ (a - b).IsLimit
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ weightSpace M ((chainTopCoeff α β + 1) • α + ⇑β) = ⊥
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ (frobenius R p).comp ↑(frobeniusEquiv R p).symm = RingHom.id R
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b \ a = b \ a
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ Polynomial.eval (soln_gen hnorm) F = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n
q : ℚ
conv_eq_q : (of v).convs n = ↑q
⊢ ∃ q, v = ↑q
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
⊢ a / 0 = 0
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ⊔ (a ⊔ b) = a ⊔ b
z : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.exp (↑n * z) = Complex.exp z ^ n
B C D E : CategoryTheory.Cat
F : B ⟶ C
G : C ⟶ D
H : D ⟶ E
X : ↑B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associator F G H).inv.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
G : Type u
Mul G
UniqueProds G
⊢ IsLeftCancelMul G
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.span R ↑s) = s.card
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
⊢ Submodule.map ((CliffordAlgebra.lift Q) ⟨f, cond⟩).toLinearMap (LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)) =
  LinearMap.range f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ 1 • (μ + μ')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
h : π.IsPartition
hi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
⊢ (π.biUnion πi).IsPartition
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
⊢ e₂.coordChange e₃ b (e₁.coordChange e₂ b x) = e₁.coordChange e₃ b x
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.toCycles ≫ S.moduleCatCyclesIso.hom = S.moduleCatToCycles
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
⊢ ∃ c, n = kl.2 + c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
c : F
⊢ Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ fun x => c)
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ
⊢ b % pos a ≤ pos a
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (RelIso.symm (OrderIso.subRight a)) b = b + a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : IsEmpty α
⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
ι : Type u_1
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Set ι
hs : s.Countable
t : ι → Set X
⊢ dimH (⋃ i ∈ s, t i) = ⨆ i ∈ s, dimH (t i)
k m n : Nat
⊢ k + n < m + n → k < m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z
⊢ M.comul ≫ (M.counit ⊗ f) = f ≫ (λ_ Z).inv
a b c : Int
H1 : b ≠ 0
H2 : a = b * c
⊢ a / b = c
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, ‖f x‖ ∂μ
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₃ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝ : Zero I₂
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
i₁ : I₁
i₃ : I₃
⊢ r (i₁, 0, i₃) = π (i₁, i₃)
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
self : NonarchimedeanRing R
U : Set R
⊢ U ∈ 𝓝 0 → ∃ V, ↑V ⊆ U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.map F).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x => CategoryTheory.WithTerminal.of (F.obj x)
  | CategoryTheory.WithTerminal.star => CategoryTheory.WithTerminal.star
A : Type u_4
AddGroupWithOne A
⊢ (Int.castAddHom A).range = AddSubgroup.zmultiples 1
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → ¬y.InfiniteNeg → (x + y).InfinitePos
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
hp0_lt : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ < ⊤
a : ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
Nonempty ι
⊢ a + iSup s = ⨆ b, a + s b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊
⊢ eLpNorm (fun x => ↑C) p μ = C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (star c * (star b * a)) = star (star b * a) * c
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Iio a ⊆ Set.Iio ↑a
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
n : ℤ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
DivInvMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiff I' I n f
⊢ ContMDiff I' I n fun x => f x / c
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p₁ : α → Prop
⊢ ∀ {a : Type u_1} {p₂ : a → Prop} {y : m a} {q : a → Prop} [inst : Applicative m] [inst_1 : LawfulApplicative m]
  {x : m α},
  SatisfiesM p₁ x →
    SatisfiesM p₂ y → (∀ {a_1 : α} {b : a}, p₁ a_1 → p₂ b → q b) → SatisfiesM q (SeqRight.seqRight x fun x => y)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set (Subsemiring R)
⊢ (sInf s).toAddSubmonoid = ⨅ t ∈ s, t.toAddSubmonoid
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i * f j) (f k * f l) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
⊢ (p.toDualRight.symm.dualMap (p.toDualLeft x)) f = ((Dual.eval R M) x) f
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
a b c d : R
h1 : a - b ∈ I
h2 : c - d ∈ I
⊢ a * c - b * d ∈ I
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
a✝ : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x
⊢ ωSup c ≤ x
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
⊢ Nonempty ↑{m | G.Colorable m} ↔ ∃ n, G.Colorable n
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
Monoid γ
f : α → β
g : β → γ
xs : t α
⊢ Traversable.foldMap g (f <$> xs) = Traversable.foldMap (g ∘ f) xs
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Icc a b = Set.Icc (Pi.mulSingle i a) (Pi.mulSingle i b)
α : Type u
a : Stream' α
n : ℕ
⊢ (Stream'.drop n a).head = a.get n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
hf : IsOpenMap (⇑h ∘ f)
⊢ IsOpenMap (⇑h.symm ∘ ⇑h ∘ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Comon_ C
⊢ (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' C A).mul = A.comul.op
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
⊢ choose r 0 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (CategoryTheory.inv f).unop = CategoryTheory.inv f.unop
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : αᵐᵒᵖ
⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = unop x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ ((((e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitIso.inv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
X : Type u_1
UniformSpace X
s : Set X
(𝓤 X).IsCountablyGenerated
⊢ IsCompact s ↔ IsSeqCompact s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.densityToFinite = fun a => ∑' (n : ℕ), (MeasureTheory.sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter R m
⊢ (χ.primitive_mul ψ).IsPrimitive
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (CategoryTheory.Abelian.imageStrongEpiMonoFactorisation f).e = CategoryTheory.Abelian.factorThruImage f
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * 0 + 1) * cos x ^ 2 = ∫ (u : ℝ) in cos b..cos a, u ^ 2 * (1 - u ^ 2) ^ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x ^ 2 = (cos a ^ 3 - cos b ^ 3) / 3
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
i j : ι
hij : i ≠ j
huniv : ∀ (k : ι), k = i ∨ k = j
⊢ CompleteLattice.Independent t ↔ Disjoint (t i) (t j)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ (convexHull R) s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ hs.toFinset, w y = 1 ∧ hs.toFinset.centerMass w id = x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasWidePullbacks C
B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProducts (CategoryTheory.Over B)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsClosed {f | f (term I ho) = false}
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.sym2.val = s.val.sym2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)
B : μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) (f * (g * h)) = (LinearMap.trace R M) (h * (f * g))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
⊢ s.chainHeight = ⊤
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ
⊢ Nat.fib m < Nat.fib n ↔ m < n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
⊢ 1 ≤ N
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M
⊢ [].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
⊢ IsTrichotomous ((i : ι) → β i) (Pi.Lex r s)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : T0Space E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 1
G : Type u_1
α : Type u_2
Zero G
VAdd G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
l : List (tsze R M)
⊢ l.prod.snd =
  (List.map
      (fun x =>
        (List.take x.1 (List.map TrivSqZeroExt.fst l)).prod •> x.2.snd <•
          (List.drop x.1.succ (List.map TrivSqZeroExt.fst l)).prod)
      l.enum).sum
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'
⊢ ↑(Nat.card { p // (p.1 * p.2).1 = (p.2 * p.1).1 ∧ (p.1 * p.2).2 = (p.2 * p.1).2 }) / (↑(Nat.card M) ^ 2 * ↑(Nat.card M') ^ 2) = ↑(Nat.card ({ p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 } × { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })) / (↑(Nat.card M) ^ 2 * ↑(Nat.card M') ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A : Matrix n n α
inst✝⁴ : AddMonoid α
inst✝³ : StarAddMonoid α
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : StarAddMonoid β
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
⊢ (diagonal d).IsHermitian ↔ ∀ (i : n), IsSelfAdjoint (d i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Finset α
⊢ 0 / s ⊆ 0
a : Bool
⊢ ((!a) = true) = (a = false)
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P
⊢ v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ -v₁ + v₂ = p₁ -ᵥ p₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g) =
  CategoryTheory.inv g ≫ f
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Projectivization.Independent f ↔ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)