ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
this : g' • g • a = g • a
⊢ g' • a = a
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.concat a ++ l₂ = l₁ ++ a :: l₂
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
hx : x ≠ 0
s : K[X]
hs : s ≠ 0
⊢ x.num * s * x.denom = x.num * (s * x.denom)
F : PFunctor.{u}
x : F.M
n : ℕ
⊢ PFunctor.Approx.truncate (x.approx (n + 1)) = x.approx n
α : Type u
Semiring α
Preorder α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ Antitone fun x => x * a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => c) s x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.count a s ≤ Multiset.count a (b ::ₘ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (c +ᵥ R • range fun θ => cexp (↑θ * I)) = sphere c |R|
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h₁ : AntitoneOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ AntitoneOn f₂ s
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a ≤ b * c
hc : c ≤ 1
hb : 0 ≤ b
⊢ a ≤ b
α : Type u
CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
⊢ I.IsPrime
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => f y + g y) (f' + g') x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
α : Type u
Zero α
⊢ 0 ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₁.zip l₂ = (List.take (min l₁.length l₂.length) l₁).zip (List.take (min l₁.length l₂.length) l₂)
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ x • ↑s = y • ↑s ↔ x⁻¹ * y ∈ s
α : Type u_1
n : Type u_5
DecidableEq n
MulZeroOneClass α
M : Matrix n n α
⊢ M.hadamard 1 = Matrix.diagonal fun i => M i i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
r : α → β → Prop
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y
this : Nonempty β
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (∃ y, r x y) → r x (f x)
⊢ ∃ f, ∀ᶠ (x : α) in l, r x (f x)
X : Pointed
⊢ (pointedToTwoPFst.obj X).X = Option X.X
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
M' : Type u_1
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(LinearMap.range f) ≤ FiniteDimensional.finrank R M
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
h : AddSubgroup.IsComplement S T
⊢ Nat.card ↑S * Nat.card ↑T = Nat.card G
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
⊢ inl.range ⊔ inr.range = ⊤
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
x : α
⊢ f.extendSubtype (σ x) = τ (f.extendSubtype x)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
⊢ ∃ D, Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ sᶜ ⊂ tᶜ ↔ t ⊂ s
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
J : Type v₂
CategoryTheory.SmallCategory J
K : J ⥤ C
X : C
Y : J
⊢ (CategoryTheory.ProdPreservesConnectedLimits.γ₂ X).app Y = CategoryTheory.Limits.prod.snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
x : E
⊢ 0 ≤ (T + S).reApplyInnerSelf x
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
n : ℤ
⊢ (n - 1) • a = n • a + -a
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ eLpNorm (g i) p μ ≤ ↑C
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A
this : (f.comp ↑g₁) x = (f.comp ↑g₂) x
⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₁) x = ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₂) x
o₁ o₂ : Ordering
⊢ (o₁.orElse o₂).swap = o₁.swap.orElse o₂.swap
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑s₁ = ↑s₂ ↔ s₁ = s₂
α : Type u
⊢ Stream'.Seq.nil.tail = Stream'.Seq.nil
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑fourierSubalgebra.toSubalgebra, f x ≠ f y
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv Real.negMulLog x = -Real.log x - 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
⊢ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W
⊢ (↑((L v) w') * (↑(𝐞 (-(L v) w)) * -(2 * ↑π * I))) • f v = (↑(-(L v) w') * (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))) • f v
a n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ a ∣ 0 ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ GradedMonoid.mk ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ✝.toInteger - ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : j ⟶ i
f' : j' ⟶ i
⊢ ∃ k g g', CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' f'
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : C
f : X ⟶ c.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F (c.extend f) = f ≫ CategoryTheory.Limits.limit.lift F c
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisCoinsertion l u
a : β
h : a ≤ l (u a)
⊢ self.choice a h = u a
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
h : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹) y
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S₁ : Type u_15
Semiring S₁
MulSemiringAction M S₁
f : R →+*[M] S₁
g : S₁ → R
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : S₁), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
x : M
xm : x ∈ ⊥
y : M
ym : y ∈ ⊥
⊢ x = y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
⊢ ⌈↑n⌉ = ↑n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₂ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
self : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g self.h₂ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.h₁ S₂.f + φ₂.τ₂
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
SemilatticeSup ι
NoMaxOrder ι
Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
α : Type u_2
β : Type u_1
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
L' : List α
hL' : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ L' → p x
⊢ List.pmap f L' hL' =
  List.map
    (fun x =>
      match x with
      | ⟨x, hx⟩ => f x hx)
    (List.pmap Subtype.mk L' hL')
a✝ b c n a : ℕ
⊢ Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = (image (fun x => x % a) (Finset.Ico n (n + a))).val
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
(i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type v''
(i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
(i : ι) → Module R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →ₗ[R] G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →ₗ[R] G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i
⊢ Module.DirectLimit.map g₂ hg₂ ∘ₗ Module.DirectLimit.map g₁ hg₁ = Module.DirectLimit.map (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) ⋯
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
α : Type u_1
l' : (Language α)ᵐᵒᵖ
⊢ (Language.reverseIso α).symm l' = (MulOpposite.unop l').reverse
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s
⊢ Group.rank ↥(closure s) ≤ Nat.card ↑s
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 2) = (ω ^ 2 ^ (p' + 1)) ^ 2
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
eX : PartialHomeomorph X X'
eY : PartialHomeomorph Y Y'
⊢ (eX.prod eY).symm = eX.symm.prod eY.symm
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ ∀ (a : ι), (a ∈ univ → x✝ a ∈ if a ∈ s then t a else univ) ↔ a ∈ s → x✝ a ∈ t a
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
⊢ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ e.hom) x)
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s ∪ t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ StableUnderGeneralization sᶜ ↔ StableUnderSpecialization s
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
⊢ IsIntegral (↥L') s ∧ Splits f'.toRingHom (minpoly (↥L') s)
α : Type u
OrderedCommGroup α
⊢ ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
N : ℕ
NeZero N
j : ZMod N
⊢ ZMod.toAddCircle j = ↑(↑j.val / ↑N)
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑↑p.pred'.succ' = ↑p
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
x : X
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
⊢ 0 < μ (EMetric.ball x r)
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a : M
⊢ z₂ * (z₁ * a) = a * z₁ * z₂
Ω : Type u_1
s : ℕ → Set Ω
⊢ MeasureTheory.BorelCantelli.process s 0 = 0
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) = Module.rank R M'
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ IntegrableOn (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : MeasureTheory.Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
s : Multiset α
⊢ s.prod = 0 ↔ 0 ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
self : ConvexCone 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ 0 < c → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ self.carrier → c • x ∈ self.carrier
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α
⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) a < ε
p n : ℕ
⊢ p ^ padicValNat p n ∣ n
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : (M →ₗ[R] M) × (M₂ →ₗ[R] M₂)
⊢ (LinearMap.prodMapRingHom R M M₂) f = f.1.prodMap f.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
l₁ l₂ : (i : ι) → G i
s : Finset ι
⊢ ⟪∑ i ∈ s, (V i) (l₁ i), ∑ j ∈ s, (V j) (l₂ j)⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪l₁ i, l₂ i⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m m' : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
h_mono : m' ≤ m
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
h : ¬P (n + 1)
⊢ Nat.findGreatest P (n + 1) = Nat.findGreatest P n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
h : Measurable fun x => ↑(f x)
⊢ Measurable f
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).degree ≤ p.degree + q.degree
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
⊢ a' / b < a / b
α : Type u_1
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
x y : Subtype p
⊢ Equiv.Perm.ofSubtype (Equiv.swap x y) = Equiv.swap ↑x ↑y
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖
huv : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c * ‖v x‖
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b
this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)
C : ℝ
hC : C > 0
hCuv : IsBigOWith C l u v
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal
⊢ generator S ∈ span R {generator S}
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
i : M₂
⊢ (QuadraticMap.Isometry.inr Q₁ Q₂) i = (0, i)
α β : Type u
f : α → FreeSemigroup β
x y : FreeSemigroup α
⊢ x * y >>= f = (x >>= f) * (y >>= f)
α : Type u_1
l l' : List α
a : α
⊢ l.concat a = l'.concat a ↔ l = l'
x : ℝ
⊢ -1 ≤ Real.cos x
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup N
⊢ ⊤.prod H = Subgroup.comap (MonoidHom.snd G N) H
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ (ENNReal.ofReal p)⁻¹ + (ENNReal.ofReal q)⁻¹ = 1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B
u : Set α
⊢ IsOpen u ↔ ∃ S ⊆ B, u = ⋃₀ S
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (⇑f) (f.linear 1) x
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D₁ D₂ : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
h : ∀ (i : σ), D₁ (MvPolynomial.X i) = D₂ (MvPolynomial.X i)
⊢ D₁ = D₂
n : ℕ
⊢ n.primeFactors.Nonempty ↔ 1 < n
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing B
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsFractionRing R S
⊢ ?x ≠ ?y
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
x : ForInStep β
⊢ (fun b => forIn.loop as f i ⋯ b) = fun b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
⊢ count p n.primeFactorsList = n.factorization p
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : β
x : γ
⊢ update f (inr i) x (inr j) = update (f ∘ inr) i x j