ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α
⊢ ∀ (a b c : α), dist (↑α a) (↑α c) ≤ dist (↑α a) (↑α b) + dist (↑α b) (↑α c)
R : Type u_1
Monoid R
a : Rˣ
⊢ IsRegular ↑a
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
ι : Type u_1
Finite ι
a' b' x' : ι → α
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a' i < x' i
hb : ∀ (i : ι), x' i < b' i
⊢ Set.Ioo a' b' ∈ 𝓝 x'
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
_n : ℕ
val : L.Functions _n
⊢ FirstOrder.Language.LHom.sumInl.onFunction val = Sum.inl val
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
x : α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ∃ c, c • x ∈ U
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
f : ℕ → α
n : ℕ
x : α
⊢ Disjoint x ((partialSups f) n) ↔ ∀ k ≤ n, Disjoint x (f k)
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ t.noncommProd f comm ∈ S
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ f.compLinearMap LinearMap.id = f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)
⊢ (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).1 else 0) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ OpenEmbedding Sum.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hdvd : a ∣ b
heq : 0 = multiplicity a b
⊢ multiplicity a b < 1
x : PSet
y : PSet
z : PSet
⊢ x.Equiv y → z.Equiv y → x.Equiv z
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : Finset ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ ∏ i ∈ t, g i ∈ ∏ i ∈ t, f i
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
⊢ (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ▷ n)).app X
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (singleObjApplyIso j X).inv ≫ (single j).map f j = f ≫ (singleObjApplyIso j Y).inv
w : Nat
x y : BitVec w
a b : Bool
⊢ BitVec.cons a x &&& BitVec.cons b y = BitVec.cons (a && b) (x &&& y)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
a : α
⊢ {b | b ∈ s ⊼ t ∧ a ≤ b} = {b | b ∈ s ∧ a ≤ b} ⊼ {b | b ∈ t ∧ a ≤ b}
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec List.length
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Iio b = Set.Iio (b - a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.mkOfUnitCounit adj).unit = adj.unit
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ insert a s ≠ ∅
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U
⊢ 0 x • f x = 0
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Denumerable.raise l n)
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a
this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)
⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
U : α → Set α
t : Finset ↑univ
hU : ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ (i : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i, (f y, F x y) ∈ V
i : ι
hi : ∀ (i_1 : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i_1, (f y, F i y) ∈ V
x : α
ht : ∃ x_1, (∃ (x : x_1 ∈ univ), ⟨x_1, ⋯⟩ ∈ t) ∧ x ∈ U x_1
⊢ (f x, F i x) ∈ V
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n * 1 = 0
⊢ IsNilpotent f
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
n : ℤ
⊢ a ^ n = 1 ↔ n = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
hRS : ⊤.FG
hSA : ⊤.FG
⊢ ⊤.FG
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist x y = (edist x y).toNNReal
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ E ⊆ interior (Metric.cthickening δ E)
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ b
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
⊢ s.hsum.support ⊆ ⋃ a, (s a).support
n : Nat
a b : Fin n
h : a < b
⊢ ↑a + 1 ≤ ↑b
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁)).map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ (F.op.lan ⋙ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type v₁)).obj F.op).map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)
eq₁ : (((Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom).hom ≫ ((whiskeringLeft C (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) (Dᵒᵖ ⥤ Type v₁)).obj yoneda).map f.right).app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (((Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom).hom ≫ ((whiskeringLeft C (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) (Dᵒᵖ ⥤ Type v₁)).obj yoneda).map g.right).app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst)))
⊢ (coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = (coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
b c : α
a : α
⊢ a / b < a / c ↔ c < b
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : AdicCompletion.AdicCauchySequence I R
⊢ (AdicCompletion.evalₐ I n) ((AdicCompletion.mk I R) x) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ n)) (↑x n)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.φ (-n) = W.φ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → β
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) cofinite f
⊢ BddAbove (range f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ∏ i : ι, (μ i) (s i) ≤ (Measure.pi μ) (univ.pi s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 3 → β
⊢ f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (last 2) = f 0 * f 1 * f 2
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
⊢ c = d ↔ ∀ (x y : M), c x y ↔ d x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.monFunctorCategoryEquivalence C D).inverse =
  CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverse
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
⊢ ↑(s.erase a).card = ↑s.card - 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ 0 ≤ ‖f‖
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (fun x => ⟨(F.map x✝¹ ≫ F.map x✝) ↑x, ⋯⟩) = (fun x => ⟨F.map x✝¹ ↑x, ⋯⟩) ≫ fun x => ⟨F.map x✝ ↑x, ⋯⟩
x : ↑I × ↑I
⊢ Path.Homotopy.reflTransSymmAux x ∈ I
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ s = μ.mass * μ.normalize s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x
h : f x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x ^ g x) s x
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
h : ↑↑(sign σ) * ↑↑(sign (τ * σ⁻¹)) = ↑↑(sign τ)
⊢ (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset = ((G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}).toFinset
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x✝¹ : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑(MaxProducts C ho)
a : Products I
ha : a ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o)
b : Products I
hb : a ∈ MaxProducts C ho
hab : a = b
⊢ False
a : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ a + 1 = a
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (ball 1 ε * s)
n : ℤ
hn : n % 4 = 1
⊢ χ₄ ↑1 = 1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
hK : K ≠ ⊤
⊢ Ideal.comap f K ≠ ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
TotallyDisconnectedSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsClopen s) id
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ 0 < s.encard ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndSMul hm ⋯ ⋯ x = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ dist x y = dist y x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_ε : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.ε.app X) = M.ε.app X := by aesop_cat
f_δ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.δ.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.δ.app X)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app (M.obj X)) (N.map (f.hom.app X))) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.ComonadIso.mk f f_ε f_δ).hom.toNatTrans = f.hom
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ r ≤ ↑b ^ clog b r
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s = ∅
⊢ hausdorffDist s ∅ = 0
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
Archimedean α
y : α
x : α
hy : 0 < y
⊢ ∃ n, x < (y + 1) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ s✝ : Set α
ε✝ r : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h0 : p ∅
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hεs : ε + ε ≤ μ s
hr : μ s - (ε + ε) < μ s
U : Set α
hsU : U ⊇ s
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ s) < ε
U' : Set α
hU'o : IsOpen U'
hμU' : μ U' < ε
hsU' : U \ U' ⊆ s
K : Set α
hKU : K ⊆ U
hKc : p K
hKr : μ U < μ K + ε
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ μ s - (ε + ε) < μ K
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R
⊢ J = I.radical → J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
R : (μ.restrict A) V ≠ ⊤
⊢ ∃ K ⊆ V, IsCompact K ∧ r < (μ.restrict A) K
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
n : R_hat R K
⊢ Algebra.toRingHom (n * c) * ↑↑r = Algebra.toRingHom n * ↑c * ↑↑r
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).hom.app X).τ₂ =
  (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
⊢ (Mon_.limit F).one =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (F ⋙ Mon_.forget C)
    ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose
          (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).one).obj
      { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } })
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
⊢ s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃ ↔ s₁ = s₂
α : Type u_7
MeasurableSpace α
self : MeasurableSingletonClass α
x : α
⊢ MeasurableSet {x}
α : Type u_1
LE α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : α
⊢ cmpLE (OrderDual.toDual x) (OrderDual.toDual y) = cmpLE y x
P : Type u_2
MetricSpace P
ps : Set P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps ↔ ∃ s, ps ⊆ Metric.sphere s.center s.radius
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
⊢ bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n.succ ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
n : ℕ
⊢ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) = map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2
⊢ 4 * (↑n + 1) ^ 2 ≤ (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2 - 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c + f y) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
⊢ Set.preimage (g ∘ f) = Set.preimage f ∘ Set.preimage g
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
⊢ (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
s : Set M
t : Set M'
⊢ Submodule.span R (s ×ˢ t) ≤ (Submodule.span R s).prod (Submodule.span R t)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ ((match (s₁, s₂) with | (s₁, snd) => s₁.head) :: corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (match (s₁, s₂) with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail))).tail = corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (s₂, s₁.tail)
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
⊢ X.unop.d i j = (X.d j i).unop
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b - b = -toIocDiv hp a b • p
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
P : W.Point
⊢ P.neg = -P
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h :
  ∀ (x y : P.M α),
    R x y →
      ∃ a f f₁ f₂,
        MvPFunctor.M.dest P x = ⟨a, TypeVec.splitFun f f₁⟩ ∧
          MvPFunctor.M.dest P y = ⟨a, TypeVec.splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
x y : P.M α
r : R x y
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
⊢ (sec M x).1 ≠ 0
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
⊢ ∅ ∈ {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∧ ∅.card = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ ↑↑(MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf) =ᵐ[μ] f
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ edist (a / b) (a / c) = edist b c
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
AddCommGroup U
Module R U
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
g : Lex (Γ' × Γ)
⊢ (A.comp B).coeff g = A.coeff (ofLex g).2 ∘ₗ B.coeff (ofLex g).1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f_lim p μ ≤ Filter.liminf (fun n => MeasureTheory.eLpNorm' (f n) p μ) Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E
⊢ (∃ i, ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x - y = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
⊢ LinearMap.det 0 = 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
⊢ prodFst = (X.prodBinaryFan Y).fst
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ClosedEmbedding ⇑DomAddAct.mk
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
_h : v ≠ w
a✝ : V
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x ∈ ⊥.commonNeighbors v w) univ ↔ a✝ ∈ ∅
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
h : ¬⋃ k, ↑(b.repr (v k)).support = Set.univ
⊢ False