ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
TopologicalSpace α
f : α → R
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => star (f x)) s
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
s : Set α
h : a ∉ s → f a = 0
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃⋆+* B
x : A
⊢ e.symm (e x) = x
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Function.Injective ⇑h
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
⊢ p.natDegree = 0 ↔ p.degree ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤
⊢ (μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s ∪ t)).toReal - (μ t).toReal - ((μ (s ∪ t)).toReal - (μ s).toReal)
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : IsSymm α r
a b : α
⊢ r a b → r b a
l l' : List Char
⊢ l.asString = l'.asString ↔ l = l'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a
x : α
⊢ (OrderIso.mulRight₀ a ha) x = x * a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalNonAssocRing R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
α : Type u_3
β : Type u_4
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ s.card = ∑ a ∈ Finset.image f s, (Finset.filter (fun x => f x = a) s).card
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
y : P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S y ≠ 0 ↔ y ≠ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
⊢ IsCoseparating ((proj S T).obj ⁻¹' 𝒢)
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₁ : σ₁
⊢ (∀ ⦃a₂ : σ₂⦄, (fun a b => tr a = b) a₁ a₂ → match f₁ a₁ with | some b₁ => ∃ b₂, (fun a b => tr a = b) b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ a₂ b₂ | none => f₂ a₂ = none) ↔ FRespects f₂ tr (tr a₁) (f₁ a₁)
a0 a1 a2 a3 a4 a5 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 5).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: a4 :: a5 :: t)) = a5
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Bicone f
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t.toCone
j : J
⊢ t.ι j = ht.lift (CategoryTheory.Limits.Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0)
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
x : ↑(C' C ho)
⊢ (((e C (term I ho)) ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ * if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ i = true then 1 else 0) - (e C (term I ho)) ⟨↑x, ⋯⟩ * if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑⟨↑x, ⋯⟩ i = true then 1 else 0) = if ∀ i ∈ ↑(Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩), ↑x i = true then 1 else 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ bernoulli' 0 = 1
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b < c
hle : 1 ≤ a
⊢ b < c
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G
⊢ (hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (Nat.card ↥(Subgroup.zpowers g)).gcdB n
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s • t₁ ⊆ s • t₂
α : Type u_3
⊢ PartENat.card α = 0 ↔ IsEmpty α
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Algebra (ZMod p) α := ZMod.algebra α p
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α } (ZMod p) α := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) α
⊢ IsPrimePow p
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_6
AddGroup G'
AddAction G' α
MeasurableSpace G'
MeasurableVAdd G' α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G' α μ
VAddCommClass G' G α
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
g : G'
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G (g +ᵥ s) μ
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ∪ s₂ = s₂ ∪ s₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A A' A'' : G.Coalgebra
f : A ⟶ A'
g : A' ⟶ A''
⊢ CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
x✝¹ x✝ : M
⊢ 1 * (x✝¹ * x✝) = 1 * x✝¹ * x✝
x : ℝ
⊢ ↑(-x) = -↑x
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b < max a b ↔ a ≠ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
Preorder α
Zero α
Preorder β
Zero β
OrderHomClass F α β
ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ f a ≤ 0
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊓ m.factorMultiset).prod = n.gcd m
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {f g : α →+* β}, f = g ↔ ∀ (x_2 : α), f x_2 = g x_2
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Profinite.NobelingProof.spanFinBasis C s))
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : y ≠ z
⊢ x ≠ z
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
⊢ (AddSubgroup.inclusion h).ker = ⊥
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f g : M ≃+ N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
G : Type u_1
Group G
N : Type u_3
Group N
f : G →* N
x : G
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.zpowers x) = Subgroup.zpowers (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f ⊤ μ
⊢ Integrable f μ
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
⊢ χ ^ 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ v.ennrealToMeasure s = ↑v s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
hs : s ⊆ e.source
ht : ↑e '' s = t
⊢ ∀ (a : ↑t), (e.homeomorphOfImageSubsetSource hs ht).symm a = Set.MapsTo.restrict (↑e.symm) t s ⋯ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s
⊢ r.preimage s = r.preimage Set.univ
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
⊢ (f ⊗ g) ⊗ h = (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
E : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} E
⊢ ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D E).obj L).Full
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.map η).left =
    (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.map η).app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0))
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ UV.compress (a \ b) (b \ a) b = a
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iic ↑y) = Ici x ∩ Iic y
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => x + t) f f
t : τ
⊢ ω f ϕ.toFun s = ω f ϕ.toFun (ϕ.toFun (-t) '' (ϕ.toFun t '' s))
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
h : a ∈ parallel S
⊢ ∀ (C : Computation α), a ∈ C → ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), corec parallel.aux1 (l, S) = C → ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
⊢ IsLocalRingHom ↑(Polynomial.expand R p)
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z
⊢ r * y = r * x * z
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ False
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
⊢ j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.op.IsMultiplicative
⊢ W.IsMultiplicative
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : List (α × Bool) → β
H : ∀ (L₁ L₂ : List (α × Bool)), FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ → f L₁ = f L₂
⊢ Quot.liftOn (FreeAddGroup.mk L) f H = f L
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s = e.target ∩ t
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : ⁅y, x⁆ ∈ engel R x
⊢ y ∈ engel R x
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
fs : ℕ → α → F'
f : α → F'
bound_fs : α → ℝ
hfs_meas : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_int_bound_fs : MeasureTheory.Integrable bound_fs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => fs n x) Filter.atTop (𝓝 (f x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.condexpL1 hm μ (fs n)) Filter.atTop (𝓝 (MeasureTheory.condexpL1 hm μ f))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Subsingleton (Ω[S⁄R])
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
⊢ ↑0 = 0
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
⊢ CompactSpace ↑(σₙ R a)
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x * y).denom ∣ x.denom * y.denom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (𝟙_ Cᴹᵒᵖ).unmop = 𝟙_ C
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ prod.snd ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.snd
a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ
⊢ NNRat.divNat (n * a) (d * a) = NNRat.divNat n d
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Monovary f g₂
⊢ Monovary f (g₁ * g₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ l₁ b) (Function.swap u b ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ l₂ a) (u a ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
⊢ s.Nonempty → BddAbove s → t.Nonempty → BddAbove t → sInf (Set.image2 u s t) = u (sSup s) (sSup t)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
f : { f // ∀ (i : α), (f.2 i).isSome = true ↔ i ∈ f.1 }
a : α
⊢ Finmap.lookup a (Finmap.keysLookupEquiv.symm f) = (↑f).2 a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (-γ).rightShift a n' hn' = -γ.rightShift a n' hn'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (μ i) (s i)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx : g (y' • x) ∈ Submodule.map (↑g).toLinearMap (Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b = b \ a ↔ a = b
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Semiring S
f : R →+* S
s : Submonoid S
a : R
ha : a ≠ 0
h : ∀ b ∈ PrincipalIdealRing.factors a, f b ∈ s
hf : ∀ (c : Rˣ), f ↑c ∈ s
⊢ f a ∈ s
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b c : E
⊢ ‖a - c‖ ≤ ‖a - b‖ + ‖b - c‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
x : R
a : ↥A
⊢ A.rTensorBot (a ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) x) = x • a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
HopfAlgebra R A
a : A
⊢ (LinearMap.mul' R A) ((LinearMap.lTensor A HopfAlgebra.antipode) (Coalgebra.comul a)) =
  (algebraMap R A) (Coalgebra.counit a)
X : Compactum
S : Set X.A
⊢ IsOpen Sᶜ ↔ ∀ (F : Ultrafilter X.A), S ∈ F → X.str F ∈ S
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : μ s = 0
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
g : G
n : N
⊢ inl ((φ g)⁻¹ n) = inr g⁻¹ * inl n * inr g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
s : AddSubmonoid M
hs : s ∈ S
x : M
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.unop.ι = h.π.unop
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m = f n
⊢ m = n
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
h : a * b ≤ 0
ha : 0 < a
⊢ b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ MeasureTheory.Measure.fst 0 = 0
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s₁ s₂ s₃ : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s₂ μ
h31 : s₃ ⊆ s₁
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₃ s₂ μ
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
⊢ ↑(Subsemiring.centralizer s) = s.centralizer
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
hφ : (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) φ ∈ nonZeroDivisors R
⊢ φ ∈ nonZeroDivisors (MvPowerSeries σ R)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
⊢ B.mor₁ ≫ iso₂.inv = iso₁.inv ≫ A.mor₁
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ i ≤ 2 * n
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
ψ : G →* H
x : G
⊢ ψ 1 = 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x'
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired fun x x_1 => x - x_1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH : ∀ m ≤ n, ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}, ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s → (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) → (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s
hC : ∀ i ≤ n.succ, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n.succ → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n.succ ! * C * D ^ n.succ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.inv f) = f
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ M.Basis I (X ∩ M.E)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
α : Type u_7
f : α → α
a : α
n : ℕ
⊢ iterate f a n = iterateTR f a n
α : Type u_1
AddCommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p
⊢ ∑ x ∈ p.divisors, f x = f p + f 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ fourierSubalgebra.SeparatesPoints
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
hfin : FiniteDimensional K ↥E
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank K ↥E ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥F
⊢ F = E
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ ⇑g ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Function.Injective f
x : α
⊢ Multiset.count (f x) (Multiset.map f s) = Multiset.count x s
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Filter.Tendsto Complex.arg (𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z) (𝓝 π)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasBinaryBiproducts C
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
n : ℤ
⊢ G.map ((triangle φ).mor₃.f n) ≫ 𝟙 (G.obj (K.X (n + 1))) = (G.map ((↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯) ≫ (inl ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v (n + 1) n ⋯ + G.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ (triangle ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).mor₃.f n
x y : PartENat
n : ℕ
h : x + y = ↑n
⊢ x = ↑(n - y.get ⋯)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
⊢ -x ∈ S.addUnits ↔ x ∈ S.addUnits
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
Module B M
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
AddCommMonoid N
Module R N
Algebra A B
IsScalarTower A B M
m : M
n : N
a : A
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R A B M N) (m ⊗ₜ[A] a ⊗ₜ[R] n) = (a • m) ⊗ₜ[R] n
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ IsConnected s) id
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f
    (FirstOrder.Language.Substructure.comap f S ⊓ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T) =
  S ⊓ T