ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs12_eq : ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condexpKernel μ m') a) t1 * ((condexpKernel μ m') a) t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M✶✶ = M
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U ∆ s) < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ X (-f) = -X f
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ¬M.Indep X ↔ M.Dep X
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
⊢ s.sup f ⊓ t.sup g = (s ×ˢ t).sup fun i => f i.1 ⊓ g i.2
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ (map fib (a :: l)).sum < fib n
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
⊢ IsAlgebraic R 1
K : Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : T1Space 𝕜
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : NoZeroDivisors 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hsq : EqOn (f ^ 2) 1 S
this : DiscreteTopology ↑{1, -1}
⊢ EqOn f 1 S ∨ EqOn f (-1) S
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ CompleteSpace α ↔ IsComplete (Set.range f)
n : ℕ
⊢ n.factorial = 1 ↔ n ≤ 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) s x₀
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ deriv (fun x => (Polynomial.aeval x) q) x = (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
f : M ≃[L] N
⊢ FirstOrder.Language.Structure.CG L M ↔ FirstOrder.Language.Structure.CG L N
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
⊢ IsClosed ↑(ker l) ∨ Dense ↑(ker l)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).left.i = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.left.i e.hom.τ₂
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
⊢ R[X]
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
fst✝¹ : Perm α
snd✝¹ : Perm β
fst✝ : Perm α
snd✝ : Perm β
h : (sumCongrHom α β) (fst✝¹, snd✝¹) = (sumCongrHom α β) (fst✝, snd✝)
⊢ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
⊢ (Quot.mk Mcongr ∘ corecF g) <$> g x = corec g <$> g x
F : Type u → Type u
q : QPF F
⊢ LiftpPreservation ↔ IsUniform
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ioc a a = ∅
α : Type u_7
Fintype α
n : ℕ
⊢ Fintype.card (Fin n → α) = Fintype.card α ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
Y : Cᵒᵖ
⊢ S.functor.obj Y = { g // S.arrows g }
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
g : G
A : Set G
⊢ μ ((fun h => h + g) ⁻¹' A) = μ A
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
ι : Type u_3
Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V
⊢ Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (Set.range ⇑b))
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
g : ι → Set Y
⊢ LocallyFinite fun i => f i ×ˢ g i
α : Type u
f g : Filter α
⊢ f ⊓ g = ⊥ ↔ ∃ U ∈ f, ∃ V ∈ g, U ∩ V = ∅
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Ioo k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.involute ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = -(CliffordAlgebra.ι Q) m
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : i ≠ j
a b c d : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I
⊢ (if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then a (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) else b (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) else if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then c (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) else d (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1)))) = if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then a (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) else c (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) else if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then b (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) else d (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1)))
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.val = t.val ↔ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
⊢ 0 < s.card
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (Aᴴ * A).mulVecLin) = finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α ≃ᵐ β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑f) μa μb
s : Set β
⊢ μa (⇑f ⁻¹' s) = μb s
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ x✝ : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
x : M
y : N
⊢ (lift (x✝¹ + x✝)) (x ⊗ₜ[R] y) = (lift x✝¹ + lift x✝) (x ⊗ₜ[R] y)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
h : (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ∘ X) p
⊢ eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
⊢ x ∈ L
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
⊢ (Ideal.quotientMap I f H).comp (Ideal.Quotient.mk J) = (Ideal.Quotient.mk I).comp f
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(iSup K)
hx : ↑x ∈ K i
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : ι → Filter α
y : Filter β
⊢ Tendsto f (⨆ i, x i) y ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f (x i) y
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Odd (a + 1 + a)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
⊢ LinearMap.range (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i, ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
n n' : ι
h : n = n'
⊢ φ.f n ≫ (L.XIsoOfEq h).hom = (K.XIsoOfEq h).hom ≫ φ.f n'
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : ∃ i, 0 ≤ G.moveLeft i
⊢ ∃ i, G.moveLeft i ≈ 0
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⇑(algebraMap R A) = fun r => r • 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ μ.withDensity (s.indicator f) = (μ.restrict s).withDensity f
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → AddGroup (f i)
⊢ (AddSubgroup.pi Set.univ fun i => ⊥) = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.eraseLead + C f.leadingCoeff * X ^ f.natDegree = f
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, f x ≠ 0) → log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, log (f i)
hf : ∀ x ∈ Finset.cons a s ha, f x ≠ 0
⊢ log (∏ i ∈ Finset.cons a s ha, f i) = ∑ i ∈ Finset.cons a s ha, log (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderivWithin I I' f s x)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
⊢ EMetric.diam univ = EMetric.diam univ
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁴ : Semifield R
inst✝²³ : StarRing R
inst✝²² : MetricSpace R
inst✝²¹ : TopologicalSemiring R
inst✝²⁰ : ContinuousStar R
inst✝¹⁹ : Field S
inst✝¹⁸ : StarRing S
inst✝¹⁷ : MetricSpace S
inst✝¹⁶ : TopologicalRing S
inst✝¹⁵ : ContinuousStar S
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : NonUnitalRing A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : Module S A
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A
inst✝⁹ : SMulCommClass S A A
inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : IsScalarTower R S A
inst✝⁴ : StarModule R S
inst✝³ : ContinuousSMul R S
inst✝² : CompleteSpace R
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)
a : A
ha : p a
⊢ ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), σₙ R (φ f) = range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), p (φ f)
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ SupClosed ↑L
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfTopHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
⊢ (∀ (s : Set α), ∀ x ∈ f, m ⁻¹' x ⊆ s → s.Nonempty) ↔ ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
L' : Filter 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Filter.Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x L
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
a : α
ha : Filter.Tendsto (SequentiallyComplete.seq hf U_mem) Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ f ≤ 𝓝 a
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
⊢ (DFinsupp.mapRange.addEquiv fun i => AddEquiv.refl (β₁ i)) = AddEquiv.refl (Π₀ (i : ι), β₁ i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : f.left ⟶ f'.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f'.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ ⋯ = ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
X' Y' Z : C
f' g' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f' g'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
wf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p f'
wg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g'
h : Y' ⟶ Z
wh : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.colimMap (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom f g f' g' p q wf wg))
      (CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h wh)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp q h
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
h : IsClosed s
⊢ x ∈ s ↔ EMetric.infEdist x s = 0
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, p ⊓ ⨆ i, (f.genEigenspace μ) i
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
H : ∀ (i : ι), μ (U i) ≤ 0
⊢ μ (⋃ i, U i) = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ comap f ⁅I, map f (comap f N₂)⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ Subgroup.centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ Subgroup.centralizer ↑P
⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
P : X
hP : P ∉ closure s
⊢ P ∉ s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ Filter.Tendsto (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀)
  (𝓝 (∑ J ∈ π₀.boxes, BoxIntegral.integral J l f vol))
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → β
Zero β
hs : μ s = 0
⊢ s.indicator f =ᵐ[μ] 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x * (algebraMap A K) ↑(den A y) = (algebraMap A K) (num A y)
⊢ x = y
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
N : Matroid α
hX : N.Dep X
hNM : N.Restriction M
⊢ M.Dep X
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
f g : R →ₐc[R] A
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 hT = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun n => 0 < n) fun n => {p | dist p.1 p.2 < 1 / ↑n}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₗc[R] B
⊢ e = e' ↔ ∀ (x : A), e x = e' x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ
⊢ StrictAnti (HPow.hPow (b i))
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c
⊢ c * a * star c < c * b * star c
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
hf : IntegrableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
⊢ IntegrableAtFilter (f - g) l μ
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
⊢ f a ≤ f c
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 γ
ContinuousConstSMul 𝕜 γ
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ (c • f).toGerm = c • f.toGerm
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
⊢ ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
o : Ordinal.{u_1}
⊢ o.toPGame.RightMoves = PEmpty.{u_1 + 1}
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
⊢ EuclideanGeometry.angle p2 p1 p3 = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ 0 ≤ᵐ[μ.restrict t] f
α : Type u_1
l l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), l.get? ix = l'.get? (f ix)
⊢ l.Sublist l'
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
CharZero k
Fintype ι
h : s.Nonempty
⊢ ∑ i : ι, Finset.centroidWeightsIndicator k s i = 1
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ (-s).length = s.length
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f x = 1 ↔ x = 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).lcm = lcm a s.lcm
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
⊢ card s.antidiagonal = 2 ^ card s
R : Type u
K : Type v
CommRing R
Field K
Algebra R K
NoZeroSMulDivisors R K
self : IsAlgClosure R K
⊢ Algebra.IsAlgebraic R K
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
⊢ annIdealGenerator 𝕜 a = 0 ↔ annIdeal 𝕜 a = ⊥
α : Type u_1
ι : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SFinite μ] {As : ι → Set α},
  (∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (As i) μ) →
    Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on As) → {i | 0 < μ (As i)}.Countable
α : Type u_2
Monoid α
a : α
⊢ ThreeGPFree {a}