ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
MeasurableSpace V
BorelSpace V
SecondCountableTopology V
μ : MeasureTheory.Measure V
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hf' : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
⊢ fderiv ℝ (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) =
  VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (VectorFourier.fourierSMulRight L f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b : α
s : Finset α
x : α
h : x ∈ t
⊢ insert x s \ t = s \ t
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
⊢ s.carrier = ↑s
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ n • (0 - a) = 0 - n • a
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
p : ι → Prop
f g : (i : ι) → p i → α
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), f i hi = g i hi
⊢ ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), g i hi
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
x : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑↑((Ideal.associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (Associates.mk x)) = Ideal.span {↑x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).snd = f ≫ CategoryTheory.inv g
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
h : L.ElementarilyEquivalent M N
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
n : ℤ
⊢ ∀ (x : α), (zsmulAddGroupHom n) x = n • x
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
⊢ ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + 0 = 0 ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
x : ℝ
⊢ x ≤ Real.sinh x ↔ 0 ≤ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Preadditive D
F : C ⥤ D
F.Additive
K : CochainComplex C ℤ
n i : ℤ
⊢ (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso n).inv.app K).f i =
  𝟙
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) ⋙
              CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex D (ComplexShape.up ℤ)) n).obj
          K).X
      i)
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : Nat.ble 1 (LucasLehmer.norm_num_ext.sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true
⊢ ¬LucasLehmerTest p
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s - t + s ∩ t = s
ι : Type u
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
⊢ Summable fun i => (f i + g i) ^ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u
l : List α
⊢ l.enum.unzip = (List.range l.length, l)
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m
⊢ l.prod = m ^ l.length
a b : Int
H : a < b + 1
⊢ a ≤ b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ (cauchyPowerSeries f c R).sum w = (2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : ↑s i < 0
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
k : ℕ := Nat.find hn
hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
⊢ ↑s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) < 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ 2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
α : Type u
AddMonoid α
self : AddUnits α
⊢ self.neg + ↑self = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderBot α
s✝¹ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupBotHomClass F α β
f : F
s✝ : Finset ι
g : ι → α
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
h : f (s.sup g) = s.sup (⇑f ∘ g)
⊢ f ((cons i s x✝).sup g) = (cons i s x✝).sup (⇑f ∘ g)
x : ℝ
n : ℕ
⊢ sin (π / 2 ^ (n + 2)) ^ 2 = 1 / 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
⊢ x < tan x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsMinOn f s a
g : α → γ
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMinOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))
h : ∀ (n : ℕ), (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) = 1 - 1 / (2 * ↑n + 2)
⊢ Tendsto (fun i => 2 * ↑i) atTop atTop
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ t.orthocenter ∈ ↑(altitude t i) ∧ t.points i ∈ ↑(altitude t i)
z : ℂ
hz : 0 < z
⊢ StarConvex ℝ z Complex.slitPlane
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
AddMonoid β
LipschitzAdd β
⊢ ⇑(ContinuousMap.addEquivBoundedOfCompact α β) = BoundedContinuousFunction.mkOfCompact
⊢ (fun n => ↑n !) ~[Filter.atTop] fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ
⊢ (↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)) r) = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : N ≃+ G
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.comap (↑f) K = AddSubgroup.map (↑f.symm) K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.Exact ↔ S₂.Exact
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
P : Submodule R M
⊢ P.toAddSubgroup = ⊤ ↔ P = ⊤
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
⊢ Continuous Bundle.TotalSpace.proj
V : Type u
G : SimpleGraph V
m : ℕ
hc : G.Colorable m
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
r : ℝ
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0
⊢ r.toNNReal = p ↔ r = ↑p
n : ℕ
NeZero n
p : ℤ × Fin n
⊢ (Int.divModEquiv n).symm p = p.1 * ↑n + ↑↑p.2
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ (↑e).comp ↑e.symm = AlgHom.id R A₂
α β : Type u
a : Cardinal.{u_1}
⊢ lift.{v, u_1} (2 ^ a) = 2 ^ lift.{v, u_1} a
p q : ℤ[X]
hp : p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)
⊢ p.IsUnitTrinomial
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a ≠ 0 → a ∣ b → a * (b / a) = b
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limitConstTerminal.inv ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (⊤_ C)) j =
  CategoryTheory.Limits.terminal.from (⊤_ C)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
⊢ f '' ↑s ⊆ ↑B
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt f r
⊢ Hyperreal.IsSt (Filter.Germ.map f x) (f r)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
p : ι → Ideal R
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
⊢ ⨆ i, torsionBySet R M ↑(p ↑i) = ⊤
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsLeast s a
⊢ IsLeast s b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
hK : Dense ↑K
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
⊢ x = y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
⊢ μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
⊢ vandermonde v = Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * vandermonde (Fin.tail v) i j
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ s
⊢ infEdist x t ≤ hausdorffEdist s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
α : Type u
SemilatticeInf α
P : α → Prop
x₀ : α
hP : Antitone P
⊢ (∃ x, x ≤ x₀ ∧ P x) ↔ ∃ x, P x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.epimorphisms C f
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ (Metric.closedBall x δ)⁻¹ = Metric.closedBall x⁻¹ δ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.starClosure.toSubalgebra = S ⊔ star S
a b c d c' : List Γ'
x : K'
⊢ update (elim a b c d) aux c' x = elim a b c' d x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr' hr : r < 1
⊢ Tendsto (HPow.hPow r) atTop (𝓝 0)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
Group H
ϕ : G →* H
hϕ : Function.Surjective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.comp g hg (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf) = MeasureTheory.AEEqFun.mk (g ∘ f) ⋯
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
⊢ IsGalois F E
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : InfHom αᵒᵈ βᵒᵈ
a : αᵒᵈ
⊢ (SupHom.dual.symm f) a = f a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p = b
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
this : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1
g : Perm α
hg : s g = -1
l : List (Perm α)
hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap
⊢ False
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n : ℕ
α : F ⟶ G
⊢ T.map (n • α.f) ≫ G.a = F.a ≫ (n • α.f)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
⊢ Continuous (TotalSpace.mk b)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.209062, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
S : Set ℕ+
K : Type w
Field K
C : Type z
Finite ↑S
CommRing C
Algebra K C
IsDomain C
IsCyclotomicExtension S K C
⊢ FiniteDimensional K C
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
_hp : DecidablePred p
f g : α → γ
h : γ → β
⊢ ∑ x ∈ s, h (if p x then f x else g x) =
  ∑ x ∈ Finset.filter p s, h (f x) + ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, h (g x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ ↑(⌊a⌋₊ / n) ≤ a / ↑n ∧ a / ↑n < ↑(⌊a⌋₊ / n) + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : AntivaryOn f₁ g s
h₂ : MonovaryOn f₂ g s
⊢ AntivaryOn (f₁ / f₂) g s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
⊢ s.card ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
p : Cᵒᵖ × C
⊢ (CategoryTheory.Functor.hom C).obj p = (Opposite.unop p.1 ⟶ p.2)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ ↑(stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x)) = ↑x
a : Ordinal.{max u_3 u_4}
⊢ Ordinal.lift.{u_3, max u_3 u_4} a = a
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁UnitIso hF).hom.app X =
  eA.unitIso.hom.app X ≫
    eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X))
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
i : Function.Injective f
⊢ ⇑{ toFun := f, inj' := i } = f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α
⊢ f⁻¹.IsThreeCycle → f.IsThreeCycle
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
x : PiTensorProduct R fun i => s i
⊢ (PiTensorProduct.map fun i => f (e.symm i)) ((PiTensorProduct.reindex R s e) x) =
  (PiTensorProduct.reindex R t e) ((PiTensorProduct.map f) x)
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ ↑(Iic a * Iio b) ⊆ ↑(Iio (a * b))
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec Sum.inl
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
(x : X) → Decidable (x ∈ s)
(y : Y) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
Hs : e.source ∩ frontier s = e'.source ∩ frontier s
Heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ frontier s)
⊢ ↑(e.piecewise e' s t H H' Hs Heq) = s.piecewise ↑e ↑e'
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.log x ↔ x ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.Cone F)
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : 0 ∈ A
⊢ schnirelmannDensity A = 1 ↔ A = Set.univ
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
⊢ F⟮↑α⟯ = ⊤
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s
⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ (ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm
α : Type u_3
m m' : MetricSpace α
h : PseudoMetricSpace.toDist = PseudoMetricSpace.toDist
⊢ m = m'
x y : SetTheory.PGame
h : x ⧏ y
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x ≤ y
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
⊢ (∃ a0 b0, a0 ∈ A ∧ b0 ∈ B ∧ UniqueMul A B a0 b0) ↔ ∃ g, ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = g
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace
⊢ (D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) x) = D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι j) y)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)
⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length
⊢ (pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).nthLe (l.length - 1 - k) ?intro.intro = (l.rotate 1).nthLe k ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Set α
t t' : α → Set β
hs : s ⊆ s'
h : ∀ x ∈ s, t x ⊆ t' x
⊢ ⋂ x ∈ s', t x ⊆ ⋂ x ∈ s, t' x
A : Type u_1
Monoid A
⊢ 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
f : α →₀ M
⊢ (erase a f) a' = if a' = a then 0 else f a'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
⊢ ↑‖q.compAlongComposition p c‖₊ ≤ ↑(‖q c.length‖₊ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖₊)
h : Decidable (Dom 1)
⊢ toWithTop 1 = 1
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ≃ β
f₁ f₂ : α → α
⊢ e.conj (f₁ ∘ f₂) = e.conj f₁ ∘ e.conj f₂
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : tsze R M
⊢ (TrivSqZeroExt.sndHom R M) x = x.snd
m : ℕ
⊢ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) =
      2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 5) ∧
    WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) =
      WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) +
        2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) ∧
  (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) =
      WeierstrassCurve.expDegree (m + 4) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + if Even m then 2 * 3 else 0) ∧
    WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) =
      WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + if Even m then 0 else 2 * 3
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
htcard : 0 < ↑t.card
h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2
⊢ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊤ᗮ = ⊥
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ Continuous fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ‖(lift x✝.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖
α : Sort u_3
β : Sort u_4
⊢ Nonempty (PProd α β) ↔ Nonempty α ∧ Nonempty β
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
u : ℕ → α
hx : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
⊢ BddBelow (Set.range u)
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ p ⁻¹' {True} = {a | p a}
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → AddZeroClass (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalAddMonoidHom f i) g = g i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq m
a : α
⊢ MulOpposite.op a • 1 = diagonal fun x => a
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b b' : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : ⟨a, b'⟩ ∈ l
⊢ b = b'