ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.Γ.obj (Opposite.op X) = X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤)
α : Type u_1
s : α → α → Bool
l r : List α
⊢ (List.merge s l r).length = l.length + r.length
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ p₂ ≠ p₃
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f g : R →ₑ+*[φ] S
⊢ f = g ↔ ∀ (x : R), f x = g x
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ I * K ≤ J * K
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
m n : Nat
⊢ range m <+ range n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
xs : List α
Min α
⊢ xs.minimum? = none ↔ xs = []
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
n : ℕ
h : xs.Perm ys
h' : ys.Nodup
⊢ (List.take n xs).Perm (ys.inter (List.take n xs))
G : Type u_1
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ContinuousAdd G
ContinuousNeg G
x y : G
h : x ⤳ y
m : ℤ
⊢ (m • x) ⤳ (m • y)
F : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
InfSet α
InfSet β
FunLike F α β
self : sInfHomClass F α β
f : F
s : Set α
⊢ f (sInf s) = sInf (⇑f '' s)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S ≤ T
⊢ Function.Injective ⇑(NonUnitalSubalgebra.inclusion h)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂
hw₂'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₁.head • ↑(toSubgroup A B (-u))
hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₂.head • ↑(toSubgroup A B (-u))
u : ℤˣ
hu : u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?
⊢ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
g : β →*₀ γ
f : α →*₀ β
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s₁ ∪ s₂) s' μ ↔
  ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s' μ ∧ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₂ s' μ
a✝ b c d m n a : ℤ
⊢ (-a.pred).pred = -a
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ✝ ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
i j : ι
x✝ : i ≤ j
⊢ μ[0 j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0 i
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Monoid.CoprodI.Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1
⊢ Monoid.CoprodI.Word.cons m ls h1 h2 = Monoid.CoprodI.of m • ls
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ x ∈ ball y ε ↔ y ∈ ball x ε
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ W.IsInvertedBy W.Q
q✝ q : ℚ
n : ℕ
⊢ q ^ n = q.num ^ n /. ↑q.den ^ n
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ (Coe.coe ∘ Functor.map h) <$> Traversable.traverse g a✝ = Coe.coe <$> Traversable.traverse (Functor.map h ∘ g) a✝
α : Type u_1
s t r : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ↑(Sum.inl ⁻¹' (⇑(Function.Embedding.sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s
x y z : ℝ
h : y ∈ Set.uIcc x z
⊢ dist y z ≤ dist x z
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
⊢ closedBall x ε =ᶠ[ae volume] ball x ε
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
⊢ 𝒜.Shatters Finset.univ ↔ 𝒜 = Finset.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
⊢ StronglyMeasurable f
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
⊢ (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * s / 2) * (s - 1).Gammaℝ⁻¹ = (s - 1).Gammaℂ * (s - 1) / 2 / ↑π * sin (↑π * s / 2) * ((s - 1).Gammaℝ * (s - 1) / 2 / ↑π)⁻¹
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
⊢ {b | b ⊆ a}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
u : α → E
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : α), N ≤ m → ∀ (n : α), N ≤ n → ‖u m / u n‖ < ε
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
⊢ c +ᵥ MeasureTheory.ae μ = MeasureTheory.ae μ
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : 1 ≤ n
⊢ tangentMap I I' f = tangentMapWithin I I' f univ
α : Type u_2
AddCommMonoid α
ι : Type u_5
DecidableEq ι
InvolutiveNeg ι
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∑ i ∈ -s, f i = ∑ i ∈ s, f (-i)
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
F : Type u_1
Field F
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
⊢ IsSolvable s.prod.Gal
N✝ : ℕ
H K : Subgroup SL(2, ℤ)
h : H ≤ K
N : ℕ+
hN : Gamma ↑N ≤ H
⊢ IsCongruenceSubgroup K
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ Set.image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, (fun b => f a b) '' t ⊆ u
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
⊢ Triangle.mk 0 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) ≅ (Triangle.mk 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) 0).invRotate
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k s = ⊤
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[univ] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') univ x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hf' : ∀ x ∈ ∅, HasFDerivWithinAt f (f' x) ∅ x
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ ∅ ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (∅ ∩ t n) (r (A n))) ∧ (∅.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ ∅, A n = f' y)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Embedding N P
f g : L.Hom M N
⊢ h.toHom.comp f = h.toHom.comp g ↔ f = g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
⊢ μ.ennrealToMeasure.toENNRealVectorMeasure = μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (𝟙_ C)).hom
z : ℂ
⊢ Complex.exp (z + ↑Real.pi * Complex.I) = -Complex.exp z
α : Type u_1
M : Type u
Monoid M
DivisionMonoid α
F : Type u_2
FunLike F M α
MonoidHomClass F M α
f : F
u : Mˣ
⊢ f ↑u⁻¹ = (f ↑u)⁻¹
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ =
  ∑ d ∈ Finset.filter (fun d => d.degree = n) φ.support, (MvPolynomial.monomial d) (MvPolynomial.coeff d φ)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ
s : Set α
⊢ (μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ
X : TwoP
⊢ (TwoP.swapEquiv.functor.obj X).toTwoPointing.toProd = (X.toTwoPointing.toProd.2, X.toTwoPointing.toProd.1)
self : CategoryTheory.Bundled Fintype
⊢ FintypeCat.incl.obj self = ↑self
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b
this : TopologicalSpace α := induced f t
⊢ induced f t = generateFrom (preimage f '' b)
α : Type u_1
M✝ M : Matroid α
hE : M.E.Finite
⊢ M ∈ {M_1 | M_1.E ⊆ M.E}
R : Type u
Star R
self : TrivialStar R
r : R
⊢ star r = r
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f i * ∏ x ∈ s \ {i}, f x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤
hp1 : 1 ≤ p.toReal
h_cau' : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p.toReal μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
⊢ IsCompact (s ∩ t)
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s \ (t \ u) = s \ t ∪ s ∩ u
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (Function.support fun m => (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) φ).Finite
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 / s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑(↑s ⊓ ⊥) = ↑↑s ∩ ↑⊥
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
⊢ ∀ (b : pkg.space), ∃ c, Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 b)) (𝓝 c)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε
q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i
r : R := μ k - μ j
r_eq : r = μ k - μ j
this : r • a - b • q = ∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x)
i : ι
⊢ ↑(abv ((bS.repr (∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x))) i)) ≤ ↑(abv (rs k i - rs j i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
ι : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
Finite ι
X : C
j : ι
⊢ (CategoryTheory.CechNerveTerminalFrom.wideCospan.limitIsoPi ι X).hom ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => X) j =
  CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => CategoryTheory.Limits.terminal.from X) j
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q
⊢ Continuous ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ↑(eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), ↑(eapprox f n) a ∂μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R1Space α
LocallyCompactSpace α
U : Set α
ho : IsOpen U
hn : U.Nonempty
⊢ ∃ K, closure ↑K ⊆ U
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ hausdorffDist s t = 0 ↔ closure s = closure t
k : Type u_2
Field k
⊢ DiscreteValuationRing.HasUnitMulPowIrreducibleFactorization (PowerSeries k)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : p y < r - p x
⊢ y ∈ p.ball x r
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ f ∘ ⇑(Tuple.sort f) = Tuple.graph.proj ∘ ⇑(Tuple.graphEquiv₂ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
⊢ DecompositionMonoid (Associates α) ↔ DecompositionMonoid α
α : Type u_1
is is' ts : List α
⊢ (is ++ ts).permutationsAux is' =
  List.map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring Γ
σ : Type u_3
inst✝ : Finite σ
f g : HahnSeries (σ →₀ ℕ) R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (f * g).coeff = ∑ p ∈ antidiagonal n, (MvPowerSeries.coeff R p.1) f.coeff * (MvPowerSeries.coeff R p.2) g.coeff
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Ring α
⊢ IsDomain α ↔ NoZeroDivisors α ∧ Nontrivial α
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
z : ℤ
⊢ |x - ↑(round x)| ≤ |x - ↑z|
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r : List (List α)
⊢ foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r = (foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r).data).toList
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f q -ᵥ g p +ᵥ f q = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q +ᵥ f q
⊢ f q = g q
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ n.natSize = (↑n).size
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ (fun a => ‖a‖ ^ k * ‖f a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (deriv g x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op
⊢ (pullback.snd f.op g.op).unop ≫ (pushoutIsoUnopPullback f g).inv = pushout.inr f g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedSemiring α
OrderedSemiring β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₁ i
hf₂ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₂ i
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : MonovaryOn f₂ g s
⊢ MonovaryOn (f₁ * f₂) g s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (adj.unit.app X)
∀ (Y : D), CategoryTheory.IsIso (adj.counit.app Y)
⊢ adj.toEquivalence.inverse = G
α : Type u_1
Neg α
a : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (-a) = -OrderDual.ofDual a
y : ℝ
h : 0 < y
⊢ ⊤ ^ y = ⊤
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
i j : ι
hjk : c.Rel j i
⊢ inlX φ i j hjk ≫ (desc φ α hα).f j = hα.hom i j
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (Set.range p)
⊢ Continuous (⨆ i, ⇑(p i))
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ ℕ
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
⊢ AEMeasurable F' μ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
this : a = 0
⊢ False
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
inst✝ : MonoCoprod C
inl : c₁.pt ⟶ c.pt
hinl : ∀ (i₁ : I₁), c₁.inj i₁ ≫ inl = c.inj (Sum.inl i₁)
⊢ Mono inl
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)) ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)