ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
⊢ s.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ A
HA : μ A < ⊤
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
z : ℍ
⊢ ∃ g, ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g • z).im
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
F : Set X
h : IsPathConnected F
x_in : x ∈ F
⊢ F ⊆ pathComponent x
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a
⊢ Injective fun x => a ^ x
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) '' Iio b = Iio (a + b)
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : ℵ₀ ≤ b
⊢ a * b = max a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R
⊢ f = 0
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
hb : b ≤ x
ha : x ≤ a
⊢ x ∈ [[a, b]]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
this : dist (a -ᵥ a) (b -ᵥ a) + dist (b -ᵥ a) (c -ᵥ a) = dist (a -ᵥ a) (c -ᵥ a) ↔ b -ᵥ a ∈ [a -ᵥ a-[ℝ]c -ᵥ a]
⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ ‖(Lp.const p μ) c‖ ≤ ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : CochainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : zero ≫ Q.d 0 1 = P.d 0 1 ≫ one
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f ≫ Q.d n (n + 1) = P.d n (n + 1) ≫ f') →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' p.snd.fst ≫ Q.d (n + 1) (n + 2) = P.d (n + 1) (n + 2) ≫ f''
n : ℕ
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 2) =
  (succ n ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f n, ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 1), ⋯⟩⟩).fst
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Indep I ∧ ⇑f '' I ⊆ range ⇑f
x n m : ℕ
⊢ x ∣ x.gcd n * m ↔ x ∣ n * m
α : Sort u_1
Nonempty α
q : Prop
p : α → Prop
⊢ (∀ (x : α), q ∧ p x) ↔ q ∧ ∀ (x : α), p x
⊢ sign 0 = -1 ∨ sign 0 = 0 ∨ sign 0 = 1
α : Type u_1
a b : α
⊢ (Sym2.mkEmbedding a) b = s(a, b)
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Antitone fun s => T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
⊢ (↑(abs z) * (cos (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) + sin (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) * I)).arg ∈ Ioc (-π) π
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
s : Set X
⊢ μH[d] (⇑e '' s) = μH[d] s
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-1) 1
⊢ sin (arcsin x) = x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0
⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)
m : ℤ
hm : 2 * π / T * z✝ = 2 * π / T * z✝¹ + ↑m * (2 * π)
⊢ -z✝¹ + z✝ ∈ AddSubgroup.zmultiples T
Γ : Type u_1
R : Type u_3
Zero Γ
PartialOrder Γ
Zero R
One R
a : Γ
⊢ HahnSeries.coeff 1 a = if a = 0 then 1 else 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
x₀ : G
h : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ) μ
hmf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l)
hb : b ∈ l
⊢ R a b
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ ∑ᶠ (_ : a ∈ s), f a = s.indicator f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Adhesive C
CategoryTheory.Mono g
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
⊢ H.IsVanKampen
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
X : D
⊢ (CategoryTheory.evaluationAdjunctionRight D c).unit.app X =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun x => X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C
⊢ F.map 0 = F.map 0 ≫ F.map 0
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Module R V2
inst✝ : SMulCommClass k R V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
p✝ : V1
⊢ ((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) ({ toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) p✝ = f p✝
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
⊢ a ≤ Order.succ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 i fun x => ∑ j ∈ u, f j x) = ∑ j ∈ u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
⊢ 0 < MeasureTheory.measureUnivNNReal μ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
H : ∀ {x : α}, p x → q (f x)
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p t → Batteries.RBNode.All q (Batteries.RBNode.map f t)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
⊢ M.toAddSubmonoid ^ n ≤ (M ^ n).toAddSubmonoid
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
X Y Z : D
r : R
f : Y ⟶ Z
⊢ F.map (X ◁ (r • f)) = F.map (r • X ◁ f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
⊢ ∃ ι, ∃ (x : Finite ι), ∃ f x, ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Ioc a b)
R : Type u_1
DivisionSemiring R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.pdiv ↑ArithmeticFunction.zeta = f
S : Type u_1
Ring S
n : ℕ
k : S
⊢ Polynomial.eval k (descPochhammer S (n + 1)) = Polynomial.eval k (descPochhammer S n) * (k - ↑n)
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x x = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ (f.pmul g) (m * n) = (f.pmul g) m * (f.pmul g) n
G : outParam (Type u_1)
P : Type u_2
AddGroup G
self : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₂ = p₁
R : Type u_1
CommRing R
r₁ r₂ : R
⊢ (CliffordAlgebra.ι 0) r₁ * (CliffordAlgebra.ι 0) r₂ = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransId.hom.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ span A S = ⊤
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
b : n → α
DecidableEq m
⊢ M.updateRow i b i = b
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
δ K ε x a : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => gronwallBound δ K ε (y - a)) (K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε) x
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
⊢ F.eventualRange j = range (F.map f) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
α : Type u
β : Type v
OrderedRing β
l : Filter α
f g : α → β
⊢ 0 ≤ᶠ[l] g - f ↔ f ≤ᶠ[l] g
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
⊢ (GrpWithZero.Iso.mk e).hom = ↑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
    (F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).comp (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ))).map φ)
    (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Fintype α
i : α
m : M
⊢ ∑ j : α, (Finsupp.single j m) i = m
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Finset E
⊢ IsCompactElement (S.sup fun a => F⟮a⟯)
n k : ℕ
h : k ≤ n
aux₁ : (fun a => a.1 ≤ k) = (fun a => a.2 ≤ k) ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).symm
aux₂ : ∀ (i j : ℕ), (∃ a b, a + b = k ∧ b = i ∧ a + (n - k) = j) ↔ ∃ a b, a + b = k ∧ a = i ∧ b + (n - k) = j
⊢ map (({ toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }.prodMap (Embedding.refl ℕ)).trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) (antidiagonal k) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (antidiagonal k)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
i : ιB
xi : M i
⊢ ((smulAddMonoidHom A M) ((of A 0) GOne.one)) ((of M i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) xi)
𝕜 : Type u
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
Ei : Fin n → Type u_1
(i : Fin n) → SeminormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i
b : ℝ
hm : ‖m‖ ≤ b
⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * b ^ n
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
inst✝ : P.IsFinite
⊢ P.ker.FG
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a : G₀
b : G₀
h : a ≠ 0
⊢ 1 / (a * b) * a = 1 / b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
InvolutiveStar R
StarRing A
StarModule R A
a : A
⊢ spectrum R (star a) = star (spectrum R a)
α : Type u_1
f : α → α
m n : Nat
l : List α
h : m ≠ n
⊢ (List.modifyNth f m l)[n]? = l[n]?
α : Type u_1
m n : Nat
l : List α
⊢ l.Nodup → m ≤ n → (List.take m l).Disjoint (List.drop n l)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
H : AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ H.ofAddUnits ≤ S ↔ H ≤ S.addUnits
a : UInt64
⊢ sizeOf a = a.toNat + 2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
i : Fin n
⊢ (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm (some i)) = e ((finSuccEquiv n).symm (some i))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
f : { x // p x } → β
g : α → β
h : ∀ x ∈ s, g ↑x = f x
⊢ ∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => p x) s, g x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsPreconnected s ↔ ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 1
⊢ Int.clog b r = -↑(Nat.log b ⌊r⁻¹⌋₊)
a b c : ℤ
⊢ a % (b * c) % c = a % c
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
MulActionWithZero R S
x : S
⊢ p.smeval x = p.sum (Polynomial.smul_pow x)
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (range f)
w : ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
⊢ lift.{u, w} (iSup f) ≤ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (⋃ x ∈ s, {x})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Submodule.span 𝕜 (Set.range (gramSchmidtNormed 𝕜 f)) = Submodule.span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f))
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocRing R
NonAssocRing S
f : R ≃+* S
x : R
⊢ f x = -1 ↔ x = -1
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary = Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent✝ : Path α
v✝ : α
r✝ x✝ : RBNode α
⊢ Ordered cmp parent✝ ∧ (All (fun x => cmpLT cmp x v✝) x✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) r✝ ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ RBNode.Ordered cmp r✝) ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) r✝ ↔ (Ordered cmp parent✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) r✝ ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) r✝ ∧ RBNode.Ordered cmp r✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp x v✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b
h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c
h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
b : (i : ι) → β i
h : ∀ (i : ι), b i ≠ 0
⊢ Function.Injective fun i => DFinsupp.single i (b i)
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
he : e ∈ M.E := by aesop_mat
⊢ e ∉ M.closure I ↔ M.Indep (insert e I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
s : Finset ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
a : ι → ι → 𝕜
⊢ ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, a i j • ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, a k k
E : Type u_1
V : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalAddGroup V
T2Space V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
Module ℝ V
ContinuousSMul ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Filter.Tendsto (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ (topDualPairing ℝ V).flip f) (Filter.cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
PartialOrder 𝕜
StarRing 𝕜
StarOrderedRing 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.PosDef
Invertible D
⊢ (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * B.conjTranspose).PosSemidef
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ ¬k.gcd l < k
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ isometryOfOrthonormal (v.map f) = (isometryOfOrthonormal v).trans f
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.min = ↑a
α✝ : Type u_1
α : Type u
r : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
⊢ SeparationQuotient α = (α ⧸ ⊥.closure)
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
h : y ∈ x
⊢ ↑(ZFSet.map f x) ′ ↑y = ↑(f y)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X : C₁ × C₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.1 = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.1).inv
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
x : R
⊢ (Polynomial.aevalTower g y) (Polynomial.C x) = g x
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
hd : Disjoint s t
hs : IsOpen s
⊢ Disjoint s (closure t)
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h :
  ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω),
    δ < ε →
      ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (Metric.thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (Metric.thickening ε.toReal B) + ε
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep m μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.Indep (m i) (m j) μ
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p < i.succ
⊢ p.succAbove i = i.succ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ (Finset.map (Embedding.subtype s) t).card ≤ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
A : C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Over A} (k : X ⟶ Y) (g : CategoryTheory.Over A),
  (CategoryTheory.Over.coprod.map k).app g =
    CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.Limits.coprod.map k.left (𝟙 ((𝟭 C).obj g.left))) ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
⊢ P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) ((structuredArrowEquiv W W.Q L).symm g))
α : Type u_2
Div α
a b : α
⊢ pure a / pure b = pure (a / b)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).toFinsupp = (∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (monomial (i + j)) (p.coeff i * a)).toFinsupp
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory I
F : CategoryTheory.Functor I C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (c.toCostructuredArrow.comp (CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F CategoryTheory.yoneda c.pt)).Final