ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
s : List Char
i b e n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := b } → go₁ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := b + n } then go₂ (c :: cs) { byteIdx := i.byteIdx + n } { byteIdx := e + n } else go₁ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := b } then go₂ (c :: cs) i { byteIdx := e } else go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e }
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
u : α
hu : a < u
⊢ ∃ u' ∈ Set.Ioc a u, Set.Ico a u' ⊆ s
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
FiniteDimensional F E
Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
α : Type u
LinearOrder α
a b c d : α
⊢ min (min a b) (min c d) = min (min a c) (min b d)
x : ℝ≥0∞
⊢ ↑x = ⊤ ↔ x = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
self : M ≃SL[σ] M₂
⊢ Continuous (↑self.toLinearEquiv).toFun
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Fin.orderIsoSubtype a = ⟨↑a, ⋯⟩
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ Disjoint N N' ↔ Disjoint ↑N ↑N'
m n : Nat
⊢ m.Coprime n ↔ m.gcd n = 1
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).head =
  if h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i then ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd else 1
α : Type u
R : Stream' α → Stream' α → Prop
bisim : Stream'.IsBisimulation R
s₁ s₂ : Stream' α
n : ℕ
⊢ R s₁ s₂ → s₁.get n = s₂.get n ∧ R (Stream'.drop (n + 1) s₁) (Stream'.drop (n + 1) s₂)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)
hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)
h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)
h₁ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (M * r' i) (s i)
h₂ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ r i ≤ 0 → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (r i) (s i)
hp : p = fun i => p i ∧ 0 < r i ∨ p i ∧ r i ≤ 0
⊢ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b → Disjoint b a
n : ℕ
⊢ Finset.map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors = n.divisorsAntidiagonal
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
⊢ factorThruImage φ = e
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set ↑s
ht : IsOpen t
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (Subtype.val '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hf : Tendsto f l atTop
b : β
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a) b
b' : β
h : b < b'
hb' : ∀ᶠ (a : α) in l, b' ≤ f a
this : {x | f x ≤ b} ∩ {x | b' ≤ f x} = ∅
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
⊢ Continuous f
n : ℤ
⊢ n.toNat = 0 ↔ n ≤ 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
m : M
⊢ TensorAlgebra.toExterior ((TensorAlgebra.ι R) m) = (ExteriorAlgebra.ι R) m
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
⊢ Irreducible ϖ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
⊢ MeasureTheory.FinMeasAdditive μ 0
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b
⊢ Set.Ico a (Order.succ b) = Set.Icc a b
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
⊢ a / 2 < a
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
m : M
a' : ↑(MulAction.orbit M a)
⊢ ↑(m • a') = m • ↑a'
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter β
a : α
⊢ f.NeBot → (a +ᵥ f).NeBot
α : Type u_2
⊢ ⊥.ker = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape J G
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
X : CategoryTheory.Functor J C
⊢ (CategoryTheory.preservesColimitNatIso G).hom.app X = (CategoryTheory.preservesColimitIso G X).hom
α : Type u_1
as bs : List α
cs ds : Array α
h : as.toArrayAux cs = bs.toArrayAux ds
hlen : cs.size = ds.size
⊢ as = bs ∧ cs = ds
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
hd : P.d ≠ 0
⊢ P.toPoly ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
CompleteSpace E
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral (c • f) = c • MeasureTheory.L1.integral f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ContinuousOn (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) '' s) ↔ ContinuousOn g s
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
TopologicalSpace HB
ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
⊢ e ∈ smoothFiberwiseLinear B F IB ↔
  ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen U) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U) (h2φ :
      SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : HasDerivAt e e' ↑z
⊢ HasDerivAt (fun y => e ↑y) e' z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.εIso.inv.app X) (F.ε.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj (𝟙_ M)).obj X)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (changeForm h') ((changeForm h) m) = (changeForm ⋯) m
⊢ (changeForm h') ((changeForm h) ((ι Q) x * m)) = (changeForm ⋯) ((ι Q) x * m)
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ∀ {X_1 Y : (TopologicalSpace.Opens ↑U)ᵒᵖ} (f_1 : X_1 ⟶ Y),
  (X.restrict h).presheaf.map f_1 = X.presheaf.map (⋯.functor.map f_1.unop).op
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
⊢ x ∈ integralClosure R A
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime x (z * x + y)
⊢ IsRelPrime x y
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ nonZeroDivisors A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
IsLocalization S B
x : K
⊢ x ∈ (Localization.mapToFractionRing K S B hS).range ↔
  ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : (f.genEigenspace μ) m = ⊥
⊢ (f.genEigenspace μ) k ≤ (f.genEigenspace μ) m
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z
z' : α
mem5 : z' ∈ s
H3 : r z z'
H4 : r c z'
⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }
⊢ HEq (insertRec H0 IH { entries := c :: l, nodupKeys := ⋯ }) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s
⊢ MeasurableSet (u ∪ s \ u)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ
⊢ IntegrableOn f t μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.FiniteAtFilter ⊥
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
⊢ IsPrimePow q
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ a ∈ List.destutter' R a l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
this✝ : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V
this : finrank K ↥W ≤ finrank K V
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W
G : Type u
Group G
hnc : NormalizerCondition G
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ (↑P).Normal
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
J : LieIdeal R L
k l : ℕ
D₁ : LieIdeal R L →o LieIdeal R L := { toFun := fun I => ⁅I, I⁆, monotone' := ⋯ }
⊢ D (k + l) (I + J) ≤ D k I + D l J
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s - t ≤ u ↔ s ≤ u + t
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 OnePoint.infty) l ↔
  ∀ s ∈ l, f OnePoint.infty ∈ s ∧ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ Set.MapsTo (f ∘ OnePoint.some) tᶜ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : α
⊢ x ∈ ↑f.extendDomain.support → x ∈ {x | P x}
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T2Space Y
WeaklyLocallyCompactSpace Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact X) (Filter.cocompact Y)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
⊢ ⊤ = (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
i : ℕ
h : i < l.enum.length
⊢ i < l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
⊢ (a, b₁) ⋖ (a, b₂) ↔ b₁ ⋖ b₂
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n = b ^ n ↔ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Fintype ↑s
f : α → β
Fintype ↑(f '' s)
H : Function.Injective f
⊢ Fintype.card ↑(f '' s) = Fintype.card ↑s
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j
⊢ imageSubobject (C.d i j) = imageSubobject (C.d i' j)
α : Type u_3
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] ⇑f
hf : MeasureTheory.HasFiniteIntegral (⇑f) μ
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 0 < o.card ↔ 0 < o
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.υ hF).hom.app X =
  e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X) ≫ e'.inverse.map (hF.hom.app X)
G : Type u_1
M : Type u_2
Group G
Monoid M
f : G →* M
g : G
⊢ ↑(f.toHomUnits g) = f g
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
x : ℝ
⊢ x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsmul : ∀ (c : M), c +ᵥ s ⊆ s
⊢ Dense s
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ a ∈ AddAction.orbit G (g +ᵥ a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
⊢ ↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Submonoid.closure s))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c'.smulRight (f x)) s x
d a : ℤ
b c : ℤ√d
ha : a ≠ 0
h : ↑a * b = ↑a * c
⊢ b = c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
⊢ Set.exposedPoints 𝕜 A ⊆ Set.extremePoints 𝕜 A
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
f g : A ≃⋆+* B
h : ∀ (a : A), f a = g a
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x : α
hxy : p ^ (i + 1 + 1) ∣ x * y
⊢ p ^ (i + 1 + 1) ∣ x
a b : EReal
⊢ -a < b ↔ -b < a
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
⊢ (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
x y : ℝ
⊢ ↑(sin x ^ 2 + cos x ^ 2) = ↑1
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }
g : { g // ↑g 1 = cd }
hg : ∀ (a : { g // ↑g 1 = cd }), |(↑g • z).re| ≤ |(↑a • z).re|
⊢ ∃ g, ↑g 1 = cd ∧ ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
rlt : α → α → Prop
inst✝ : IsNonstrictStrictOrder α r rlt
⊢ x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt x y → y ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : Karoubi (ChainComplex C ℕ)
n : ℕ
⊢ ((((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).preimage (N₁Γ₀.inv ≫ N₂Γ₂ToKaroubiIso.inv)).app X).f.f n = X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
⊢ x ∈ torsionBySet R M {a} ↔ x ∈ torsionBy R M a
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
⊢ (HahnSeries.single 0) r * x = r • x
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻ᵐ = a⁻¹ ↔ 1 ≤ a⁻¹
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op = 𝟙 (X _[n])
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : ¬a = 0
⊢ p / (C a * q) = C a⁻¹ * (p / q)
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
⊢ sign f⁻¹ = sign f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ range n, (↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ j.contractNth op g k = op (g k.castSucc) (g k.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
Unique β
f : β → α
⊢ HasSum f (f default)
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
s t : Set G
⊢ mk '' s = mk '' t ↔ mk ⁻¹' (mk '' s) = mk ⁻¹' (mk '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
⊢ l (sSup s) = sSup (l '' s)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊a + OfNat.ofNat n⌋ = ⌊a⌋ + OfNat.ofNat n
a b c : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
⊢ a ⨳ c ≤ b ⨳ c
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 M
⊢ ⊥ < ker f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N O : Comon_ C
f : M.Hom N
g : N.Hom O
⊢ (Comon_.comp f g).hom = f.hom ≫ g.hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
𝒢 : Set C
Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial C
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = Real.sup { cauchy := ⟦a⟧ } { cauchy := ⟦b⟧ }
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : α → Set β
g : α → Set γ
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => f x ×ˢ g x