ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : ∃ y, (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val) y = r
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hne : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : lieSpan R L {m} ≤ sSup s
⊢ ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
n : ℚ
⊢ ↑n⁻¹ = (↑n)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
DistribLattice α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
f g μ : α → β
Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf : 0 ≤ f
hg : 0 ≤ g
hμ : Monotone μ
hfg : ∑ a : α, f a = ∑ a : α, g a
h : ∀ (a b : α), f a * g b ≤ f (a ⊓ b) * g (a ⊔ b)
⊢ ∑ a : α, μ a * f a ≤ ∑ a : α, μ a * g a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => -f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) c = p₁ ↔ p₀ = p₁ ∨ c = 1
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (p : ℕ), b.factorization p ≤ a.factorization p
⊢ b ≤ a
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.relindex ⊤ = H.index
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree
⊢ (p - q).degree = q.degree
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4
⊢ IsEmpty (PLift α) ↔ IsEmpty α
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
AddCommMonoidWithOne A
Module R A
AddCommMonoidWithOne B
Module R B
⊢ 1 = 1 ⊗ₜ[R] 1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype n
Fintype m
v : m → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ v ᵥ* M ᵥ* N = v ᵥ* (M * N)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun a => ‖p a‖ * ↑r ^ a
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal S
r : S
hr : r ∈ I
p : Polynomial R
hp : Polynomial.eval₂ f r p ∈ I
⊢ p.coeff 0 ∈ Ideal.comap f I
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
⊢ ∀ (p q : R[X]), trunc (toLaurent p) = p → trunc (toLaurent q) = q → trunc (toLaurent (p + q)) = p + q
α : Type u_2
SupSet α
⊢ sSupHom.dual (sSupHom.id α) = sInfHom.id αᵒᵈ
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k
⊢ Summable fun i => r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
f g : ContinuousAddMonoidHom A B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
MulAction A M
⊢ IsScalarTower R A M
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet a)
⊢ (incMatrix R G * (incMatrix R G)ᵀ) a a = ↑(G.degree a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f q μ * eLpNorm g r μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
x : α
r : ℝ
⊢ μ (Metric.closedBall x r) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) l ↔ Filter.Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b
⊢ a = b * c
α : Type u_2
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (s.erase ⊥).sup id = s.sup id
R : Type u_1
Zero R
n : R
self : NeZero n
⊢ n ≠ 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
⊢ (Summable fun x => (starRingEnd 𝕜) (f x)) ↔ Summable f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel i).fst = CategoryTheory.retraction f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ s ×ˢ (t₁ ⊓ t₂) = s ×ˢ t₁ ⊓ s ×ˢ t₂
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
⊢ m + n = m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ setToSimpleFunc T (f + g) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) (x.1 + x.2)
α : Type u_1
LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
a : α
⊢ (s.mulAntidiagonal t a).Finite
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ π
hxy : x < y
⊢ sin (π / 2 - y) < sin (π / 2 - x)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
h : N ≤ AddSubgroup.comap (AddMonoidHom.id G) N := ⋯
⊢ QuotientAddGroup.map N N (AddMonoidHom.id G) h = AddMonoidHom.id (G ⧸ N)
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
⊢ ({Finsupp.single s 1}.sup fun s => s.sum fun x e => e) = 1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn f 1 l s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, ‖f i x‖ < ε
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv^[2] negMulLog x = -x⁻¹
α : Type u_2
β : Type u_3
a : α
s : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ {a}, s x = s a
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 a) (𝓝 a.toReal)
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) ~[Filter.atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftUnit f g)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftDesc s) f) =
  s.unit
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsPath
⊢ p.IsHamiltonian ↔ ∀ (w : α), w ∈ p.support
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : (Filter.generate s).sets = s
⊢ Filter.mkOfClosure s hs = Filter.generate s
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) ϖ = 1
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ A * B = 1 ↔ B * A = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
A : Set α
hA₀ : MeasurableSet A
hA : ∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' A = A
this : ∫⁻ (x : α) in s, A.indicator 1 x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, A.indicator 1 x ∂μ
⊢ μ (A ∩ s) = μ (A ∩ t)
α : Type u_1
s : ℕ → Set α
H : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ s n
(x : α) → (n : ℕ) → Decidable (x ∈ s n)
n : ℕ
⊢ (fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {n} = disjointed s n
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
I : PrimeSpectrum R
⊢ f ∉ ↑I.asIdeal ↔ f ∉ I.asIdeal
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
hf1 : (map f atTop).NeBot
hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : Set β
htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}
ht : ∃ a, ∀ b ≥ a, f b ∈ t
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, ‖f j - f i‖ < ε
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
inst✝ : (i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)
f g : (i : I) → B i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤
⊢ Memℓp (f * g) ⊤
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) (μ.trim hm)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ ⊤.arrows f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
o : Option (α × WSeq α)
om : o ∈ (s.drop n).destruct
⊢ ∃ s', some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ ⇑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h x) r
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X
⊢ comap F (𝓝 (F x)) ≤ 𝓝 x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.add P Q = addZ P Q • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s ×ˢ s \ s.offDiag = s.diag
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
h : f'' =Θ[l] g''
⊢ Filter.Tendsto f'' l (𝓝 0) ↔ Filter.Tendsto g'' l (𝓝 0)
α : Type u_1
p : α → Bool
x : α
⊢ List.rdropWhile p [x] = if p x = true then [] else [x]
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0
p k : ℕ
hk0 : 0 < k
h1 : n.factorization = Finsupp.single p k
pp : ¬Nat.Prime p
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
hn : 0 < ↑n + 1
⊢ ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (φ.invOfUnit u) =
  if n = 0 then ↑u⁻¹
  else
    -↑u⁻¹ *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (φ.invOfUnit u) else 0
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
h : ∀ (x : α), 0 ≤ f x
⊢ ProbabilityTheory.truncation f A = (Set.Ioc 0 A).indicator id ∘ f
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
⊢ n < Polynomial.rootMultiplicity t p ↔ ∀ m ≤ n, ((⇑Polynomial.derivative)^[m] p).IsRoot t
x : ℝ
⊢ Real.cos (x - Real.pi) = -Real.cos x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
⊢ μ (symmDiff s (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (symmDiff s (f ⁻¹' s))
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x = x_1) s t ↔ s = t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
f : P ⟶ Q
n : ι
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.map f).f n).f = f.f.f n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Ring K
IsDomain K
Algebra F K
FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0
⊢ ∃ y, x * y = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ Function.Surjective ⇑f.srangeRestrict
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Lattice β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
p q : α × β
⊢ Finset.uIcc p q = Finset.uIcc p.1 q.1 ×ˢ Finset.uIcc p.2 q.2
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
RingHomSurjective σ₁₂
p : Submodule R E
⊢ IsComplete ↑(Submodule.map f p) ↔ IsComplete ↑p
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v v' : V₁
p : P₁
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap v v') c +ᵥ p = (AffineMap.lineMap (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p)) c
a b : Nat
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≤ b
⊢ a - 1 < b
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Set.Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t r,
  t.Countable ∧
    t ⊆ s ∧
      (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
        s ⊆ ⋃ x ∈ t, Metric.closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (Metric.closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ
⊢ sMod p i % (2 ^ p - 1) < 2 ^ p - 1
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
x✝ : (expand R p) ((expand R q) (C r * X ^ n)) = (expand R (p * q)) (C r * X ^ n)
⊢ (expand R p) ((expand R q) (C r * X ^ (n + 1))) = (expand R (p * q)) (C r * X ^ (n + 1))
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0
k : ℕ
hk : (φ x ^ k) m₀ = 0
⊢ (B m₀) m₁ = 0
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : ι → M), f x = g x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
α : Type u
Semiring α
x y : α
n : ℕ
h : Commute x y
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = ∑ i ∈ Finset.range n, y ^ i * x ^ (n - 1 - i)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c (x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ
hd : d ≠ 0
⊢ (∃ f, f.degree < ↑d ∧ y = (aeval x) f) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (aeval x) f
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c < Cardinal.aleph0 ↔ ∃ n, c = ↑n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
h : a ≠ 0
⊢ a * a⁻¹ = 1
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))
h5 : 0 < x
h : ConcaveOn ℝ (Set.Ioi 0.5) f
⊢ f x ≤ 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ a + b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
y : E
hys : y ∈ closure sᶜ
hyd : infDist x sᶜ = dist x y
⊢ ∃ y ∈ frontier s, infDist x sᶜ = dist x y
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Ring R
AddCommGroup N
Module R N
NoZeroSMulDivisors R N
v : ι → N
h_ne_zero : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
⊢ (CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}) ↔ LinearIndependent R v
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
c : R
a : α
⊢ (Finsupp.total α M R v) (Finsupp.single a c) = c • v a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∪ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓝 a ⊓ 𝓟 t
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ Injective ⇑(fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v))
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
AddGroupWithOne R
⊢ (SimpleGraph.lapMatrix R G).IsSymm
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors)) = ofAdd (-1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : X ≅ Z
⊢ α ≪≫ α.symm ≪≫ β = β
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : t.Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t \ s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ Gᶜ.IsRegularOfDegree (Fintype.card V - 1 - k)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Inv β
ContinuousInv β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1
⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
hSup : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sSup s)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
⊢ p (lfp f)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
c : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (a ⊓ c) b
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
h : IsSMulRegular M r
⊢ IsSMulRegular (↥N) r
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : Polynomial.eval₂ f x p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p * q) = 0