ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ ∀ b ∈ {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}, o.cof ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i => m i • 1
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
l : List α
⊢ List.mergeSort r l = List.insertionSort r l
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X : C
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.singleCompEval C j).hom.app X = (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j X).hom
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Embedding Sum.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'
⊢ ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ 1 * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E''
⊢ (∃ C, ∀ (x : ℕ), ‖f x‖ ≤ C * ‖1‖) ↔ ∃ C, ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
x : E
⊢ (continuousLinearMapToWeakSpace 𝕜 E) x = (toWeakSpace 𝕜 E) x
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (AdicCompletion.transitionMap I R hmn) 1 = 1
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ bernoulli' 3 = 0
α : Type u
β : Type v
Nonempty α
LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h : s.Finite
⊢ ∃ a, ∀ b ∈ s, f a ≤ f b
a b c d : ℂ
⊢ (a - b) * (c + d) + (a + b) * (c - d) = 2 * (a * c - b * d)
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0
⊢ |x| ∈ Ioi 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = -1
hd : ↑g 1 1 = -1
⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
⊢ s = replicate n a ↔ ∀ b ∈ s, b = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ 𝓝[(extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) y = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) y
α : Type u
n : ℕ
v : Fin n → α
⊢ Matrix.vecAlt0 ⋯ (Matrix.vecAppend ⋯ v v) = v ∘ fun n_1 => n_1 + n_1
a : Ordinal.{u_1}
b c : Ordinal.{u_1}
⊢ b ♯ a < c ♯ a ↔ b < c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
⊢ iteratedDerivWithin n (f - g) s x = iteratedDerivWithin n f s x - iteratedDerivWithin n g s x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ i j, f i < g j ∧ Set.Ioc (f i) (g j) = S}
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
⊢ BddBelow s → s.WellFoundedOn fun x x_1 => x < x_1
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (a * x) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
s : Set G
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (-s)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : DivisionRing 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ
⊢ ((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = x ^ n / ↑n !
x : ↑(Set.Icc (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2))
⊢ ↑(Real.sinOrderIso x) = Real.sin ↑x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x : R
⊢ (algebraMap R S) x = h.map (C x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ (-a).val = if a = 0 then 0 else n - a.val
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set G.Subgraph
⊢ (sSup s).verts = ⋃ G' ∈ s, G'.verts
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
this : (↑e.symm (b, x)).proj ∈ e'.baseSet
⊢ (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x)).1 = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2).1
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ (f a + (f b).succ).choose (f a) + (f a + (f b).succ).choose (f a).succ = (f a + (f b).succ).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence
⊢ {p | φ ∈ p} = Set.univ ↔ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
⊢ ¬↑↑a - 1 = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
t : ℝ
⊢ ‖Complex.exp (↑t * Complex.I)‖ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => p x ∨ q x) ≤ Filter.bliminf u f q
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
⊢ f = g
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
CommSemiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (I * J).toIdeal = I.toIdeal * J.toIdeal
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M
⊢ Continuous AddUnits.val
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ f.trans f.symm = PEquiv.ofSet {a | (f a).isSome = true}
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b = f' a b
⊢ image2 f ↑s ↑t = image2 f' ↑s ↑t
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
l.NeBot
a b : β
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) ∪ t = ⋂ i, ⋂ j, s i j ∪ t
α : Type u
Monoid α
x y : α
h₁ : x * y = 1
h₂ : y * x = 1
⊢ { val := x, inv := y, val_inv := h₁, inv_val := h₂ }⁻¹ = { val := y, inv := x, val_inv := h₂, inv_val := h₁ }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopBraidedFunctor C).μ X Y = (β_ X.unmop Y.unmop).hom
G : Type u
Monoid G
h : Monoid.ExponentExists G
g : G
⊢ IsOfFinOrder g
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
l : List α
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), R a b → S (f a) (f b)
p : List.Pairwise R l
⊢ List.Pairwise S (List.map f l)
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
n : ℕ
⊢ ∀ (x : RingQuot r),
  RingQuot.npow r n x =
    match x with
    | { toQuot := a } => { toQuot := Quot.lift (fun a => Quot.mk (RingQuot.Rel r) (a ^ n)) ⋯ a }
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone Prod.snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F → G
hg : Differentiable 𝕜 g
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (g ∘ f) s
R : Type u
Ring R
p : R[X]
r : R
⊢ Polynomial.eval r (p * (Polynomial.X - Polynomial.C r)) = 0
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s
⊢ hitting u s n m₁ ω = hitting u s n m₂ ω
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
hg : MDifferentiable I' I'' g
hf : MDifferentiable I I' f
⊢ MDifferentiable I I'' (g ∘ f)
z : ℂ
⊢ |z.arg| < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
x : ℂ
h : ¬cos x = 0
⊢ (sin x ^ 2 + cos x ^ 2) / cos x ^ 2 = (cos x * cos x - sin x * -sin x) / cos x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
⊢ SigmaFinite (μ.trim ?m.540668)
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
⊢ q ≤₁ (q ∘ ⇑e)
ι : Type u
β : ι → Type v
α : Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (∑ a ∈ s, g a) i = ∑ a ∈ s, (g a) i
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
p : M → Prop
x : M
h : x ∈ Subsemigroup.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
ηlemma : h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prod.lift ((L ⋙ F).map prod.fst) ((L ⋙ F).map prod.snd) = prod.map (h.unit.app (F.obj A)) (h.unit.app (F.obj B))
⊢ prod.map (h.unit.app (F.obj A)) (h.unit.app (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
LinearOrder β
OrderTop β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (F i)
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun a => s.inf fun i => F i a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
⊢ ⟦CategoryTheory.Over.mk 0⟧ = 0
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → ‖(f n) t‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖
R : Type u
Field R
q : R[X]
p : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = p % q
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ f a = f b ↔ a = b
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_7
ι : Type u_16
CommRing R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
DecidableEq ι
Fintype ι
IsDomain R₁
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
b : Basis ι R₁ M₁
h : ((LinearMap.toMatrix₂ b b) B).det ≠ 0
⊢ B.SeparatingLeft
m✝ n✝ m n : ℕ
⊢ IsUnit ↑m ↔ m.Coprime n
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
V : Set (Set X)
hV : IsTopologicalBasis V
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
⊢ IsTopologicalBasis (image π '' V)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₁) ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : Integrable f (κ a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H
⊢ ({ toFun := fun p_1 => (p_1.proj, (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.coordChange ((tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.indexAt p_1.proj) (achart H p.proj) p_1.proj p_1.snd), invFun := fun p_1 => { proj := p_1.1, snd := (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.coordChange (achart H p.proj) ((tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.indexAt p_1.1) p_1.1 p_1.2 }, source := (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.proj ⁻¹' (↑(achart H p.proj)).source, target := (↑(achart H p.proj)).source ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ (chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)).source = (TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.source
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
a : α
hs : s.Finite
h : s.Nonempty
⊢ a < sInf s ↔ ∀ x ∈ s, a < x
G : Type u_2
SubtractionMonoid G
⊢ ⇑(AddEquiv.neg' G).symm = Neg.neg ∘ AddOpposite.unop
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
a : R
⊢ (f * Polynomial.C a).natDegree ≤ f.natDegree
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : outParam (R₁ →+* R₃)
self : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
⊢ σ₂₃.comp σ₁₂ = σ₁₃
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ normalize (gcd a b) = gcd a b
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
a₁ a₂ a₃ : A
b₁ b₂ b₃ : B
ha : SemiconjBy a₁ a₂ a₃
hb : SemiconjBy b₁ b₂ b₃
⊢ SemiconjBy (a₁ ⊗ₜ[R] b₁) (a₂ ⊗ₜ[R] b₂) (a₃ ⊗ₜ[R] b₃)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₐc[R] B
e₂₃ : B ≃ₐc[R] C
⊢ (↑e₁₂).trans ↑e₂₃ = ↑(e₁₂.trans e₂₃)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
R : Type u
Semiring R
⊢ StrongRankCondition R ↔ ∀ (n : ℕ) (f : (Fin (n + 1) → R) →ₗ[R] Fin n → R), ¬Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this✝ : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0
F_meas : Measurable F
this : ∀ (k : ι), (fun x => {x | C ≤ ‖f k x‖}.indicator (fun a => ‖f k a‖) x) = F ∘ f k
⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ Function.Injective toFun
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
⊢ z ≠ 0
⊢ DifferentiableOn ℝ Real.arccos {-1, 1}ᶜ
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (C × D) E} (T : X ⟶ Y) (X_1 : C) (Y_1 : D),
  ((CategoryTheory.currying.inverse.map T).app X_1).app Y_1 = T.app (X_1, Y_1)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnion πi).boxes = π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc : ChainClosure r c
⊢ IsChain r c
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ S = (⋃₀ (compl '' S))ᶜ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p * X n)
S : Type u
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ
⊢ eval a (ascPochhammer ℕ b) = (a + b - 1).descFactorial b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ A₁.str ≫ F.map (n • α.f) = (n • α.f) ≫ A₂.str
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t
⊢ range (deriv f) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))