ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hyf : y ∈ f.range
hf_eLpNorm : ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
p : α → Prop
h : (μ.restrict s) {a | ¬p a} = 0
⊢ μ {a | ¬(a ∈ s → p a)} = 0
X Y : Type u
Monoid X
Monoid Y
f : X →* Y
x : X
⊢ (MonCat.ofHom f) x = f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
⊢ ∑ a : { s // s.card = l }, ‖p.changeOriginSeriesTerm k l ↑a ⋯‖₊ = ∑' (x : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
h't : ∀ x ∉ s, f x = 0
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}
⊢ a ≤ sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
X Y : β → C
h : X = Y
b : β
⊢ CategoryTheory.eqToHom h b = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
h : RestrictGenTopology 𝔖
⊢ IsClosed {f | Continuous ((toFun 𝔖) f)}
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α
⊢ (l ++ l').eraseIdx k = l ++ l'.eraseIdx (k - l.length)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ n = n + 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
xs : List α
⊢ (Multiset.sym2 ⟦xs⟧).dedup = (dedup ⟦xs⟧).sym2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Countable
hd : s.PairwiseDisjoint f
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (p : ↑s), μ (f ↑p)
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.X.intDegree = 1
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
ha : G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - ℓ
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
R : Type u
CommRing R
f : CommRingCat.of R ⟶ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)
⊢ (AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (Opposite.op (CommRingCat.of R))) (Opposite.op f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.identityToΓSpec.app X)
    (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
⊢ a ∉ ∅
α : Type u_2
Monoid α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ n ∈ s ^ n
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h).symm = (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h).symm
a b : Nat
⊢ compare a b ≠ Ordering.gt ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
PartialOrder 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Set.Ici x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝[≤] Function.leftLim f x)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ b \ a ⊔ a = b ⊔ a
γ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
c : γ
⊢ Sum.elim (Function.const α c) (Function.const β c) = Function.const (α ⊕ β) c
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hs : s.Nonempty
⊢ infDist x s < r ↔ ∃ y ∈ s, dist x y < r
L : FirstOrder.Language
α : Type w'
β : Type u_1
f : α → β
⊢ (L.lhomWithConstantsMap f).comp FirstOrder.Language.LHom.sumInl = L.lhomWithConstants β
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∏ a ∈ s, f a‖₊ ≤ ∑ a ∈ s, ‖f a‖₊
K : Type u_1
NormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
self : IsZlattice K L
⊢ Submodule.span K ↑L = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Filter β
m : γ → β
l : Filter γ
⊢ Filter.Tendsto m l (f.lift g) ↔ ∀ s ∈ f, Filter.Tendsto m l (g s)
a : ℤ
b : ℕ
NeZero b
⊢ jacobiSym a b = 0 ↔ a.gcd ↑b ≠ 1
α : Type u_1
f g : Poly α
x : α → ℕ
⊢ (f * g) x = f x * g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ Icc x y ⊆ s
γ : Type w
SemilatticeSup γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ lowerBounds (Set.Ioc a b) = Set.Iic a
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ (x, y) ∈ f.graph
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
u : β → α
v : γ → β
f : Filter γ
⊢ Filter.liminf (u ∘ v) f = Filter.liminf u (Filter.map v f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
hx : ¬x = 0
⊢ False
E : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
x y z : P
h : Wbtw ℝ x y z
⊢ dist x y + dist y z = dist x z
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f g : R[X]
I : Ideal R
⊢ (quotEquivQuotMap f I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ∀ x ∈ s, w x • (p x -ᵥ b) ≠ 0 → pred x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((colimit.ι F i).base y) = (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x))
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n Complex.exp
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
M : Type w
L.Structure M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
Countable M
self : FirstOrder.Language.IsFraisseLimit K M
⊢ L.IsUltrahomogeneous M
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((CategoryTheory.forget₂ Grp MonCat).obj H)
CategoryTheory.LeftRigidCategory V
h : ↑H
⊢ (ᘁX).ρ h = ᘁX.ρ h⁻¹
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
s : Set (Sigma σ)
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Sigma.mk i ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (f (Order.succ n)) (f n))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⇨ b ⇔ c = (a ⊓ c ⇨ b) ⊓ (a ⊓ b ⇨ c)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.neg (u • P) = u • W'.neg P
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ HurwitzKernelBounds.F_int 1 a =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-p * t)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t
⊢ t✝.card ≤ t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a∗ = a
⊢ a * a = a
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsStrictWeakOrder α r
a : α
⊢ StrictWeakOrder.Equiv a a
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε * δ
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
⊢ dist (Complex.cderiv δ f z) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n z) < ε
R A : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ #R[X] * ℵ₀
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
IsLocalization S P
h : S ≤ R⁰
I J : Ideal R
⊢ ↑I ≤ ↑J ↔ I ≤ J
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
⊢ f.norm = ↑p ^ (-f.valuation)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
⊢ AList.insert a b (s₁ ∪ s₂) = AList.insert a b s₁ ∪ s₂
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
h : ⊤ ⊔ radical α = ⊤
⊢ ⊤ = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ Submodule.restrictScalars R (map includeRight I) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
p : Set β
f : r ≼i s
H : ∀ (a : α), f a ∈ p
a : α
⊢ (InitialSeg.codRestrict p f H) a = ⟨f a, ⋯⟩
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M
⊢ ∑ j : α, (single i m) j = m
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z✝ : ι → E
s : Set E
x : E
inst✝ : Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x
⊢ Finset.univ.centerMass w z ∈ (convexHull R) s
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ₄.coeff 6 = 2
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
⊢ DiscreteValuationRing R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ IsSelfAdjoint ((adjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁
⊢ μ (s₁ ∪ t₁) = μ (s₂ ∪ t₂)
M : Type u_1
Add M
x : M
⊢ ↑(AddSubsemigroup.topEquiv.symm x) = x
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm AddSubgroup.opEquiv) H = H.unop
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F ⊥ = K
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => (f x).log
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν
⊢ F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α
⊢ Fin.append xs (Fin.cons y ys) = Fin.append (Fin.snoc xs y) ys ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.range (Set.projIcc a b h) = Set.univ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
n : ℤ
⊢ logDeriv (fun x => x ^ n) x = ↑n / x
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Submodule.comap (Module.Dual.eval K V) (Submodule.dualAnnihilator W).dualAnnihilator = W
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M
⊢ (∃ x_1, (algebraMap R S) x * (algebraMap R S) ↑x_1.2 = (algebraMap R S) ↑x_1.1) ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
h : r < dimH s
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ t ∈ 𝓝[s] x, r < dimH t
R : Type u
S : Type v
Ring R
SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
x : M
SMulCommClass R R ↥N
⊢ x ∈ sR • N ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ sR ∧ x = ↑(c.sum fun r m => r • m)
K : Type u_5
LinearOrderedField K
q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Set.Iio ↑q = Set.Iio q
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
a : F
⊢ ↑(Z.localTrivAt b) { proj := b, snd := a } = (b, a)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α → β → γ
hr : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), s b₁ b₂ → f a b₁ = f a b₂
hs : ∀ (a₁ a₂ : α) (b : β), r a₁ a₂ → f a₁ b = f a₂ b
a : α
b : β
⊢ Quot.lift₂ f hr hs (Quot.mk r a) (Quot.mk s b) = f a b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : LowerSemicontinuousAt f y
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app = ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ n • a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
⊢ (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
u : Set δ
inst✝ : MeasureSpace δ
p : δ → Prop
hu : NullMeasurableSet u volume
⊢ volume (Subtype.val '' univ) = volume u
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (AddSubsemigroup.comap f)
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
⊢ SameRay R (-x) y ↔ SameRay R x (-y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → Sub (α i)
∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ f.support \ g.support ⊆ (f - g).support
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₁.hom S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f e₂.hom := by
  aesop_cat
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₂.hom S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g e₃.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.isoMk e₁ e₂ e₃ comm₁₂ comm₂₃).hom.τ₁ = e₁.hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ f a = 0 → 0 = f a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < type r), f i h < o) ↔ ∀ (i : α), f (typein r i) ⋯ < o
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μ → AEMeasurable g (Measure.map f μ)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
boxes : Finset (WithBot (Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
H : ∀ J ∈ boxes, J ≠ ⊥ → ∃ J' ∈ π, J ≤ ↑J'
⊢ ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint ≤ π
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι
⊢ (update f i (f₁ + f₂) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i) + f₂ (x i)) j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t)
X Y : CommMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ CommMonCat.uliftFunctor.map f =
  CommMonCat.ofHom (MulEquiv.ulift.symm.toMonoidHom.comp (MonoidHom.comp f MulEquiv.ulift.toMonoidHom))
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree