ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
T : L.Theory
⊢ M ⊨ T ↔ N ⊨ T
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ legendreSym p a = -1 ↔ ¬IsSquare ↑a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
h✝ : IsEmpty ι
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖ ≤ M
⊢ ‖u‖ ≤ Fintype.card ι • ‖↑v.equivFunL‖ * M
x : ℝ
⊢ Real.sin (Real.pi / 2 - x) = Real.cos x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ (x \ y)ᶜ = x ⇨ y
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
⊢ [] ++ List.sym (n + 1) xs <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
c : Option γ
δ' : Type u_7
ε : Type u_8
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ Option.map₂ f a (Option.map₂ g b c) = Option.map₂ g' b (Option.map₂ f' a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β
⊢ (∀ t ∈ lb, ∀ᶠ (x : Set α) in la.smallSets, f '' x ⊆ t) ↔ Tendsto f la lb
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
this : n.MinSqFacProp (some d)
⊢ d * d ∣ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (s.piecewise f g) p μ < ⊤
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
H1 : Nat.find ⋯ ∣ x
⊢ ↑x = 0
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.CategoryStruct.id g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
⊢ ↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
p : α → Prop
x : α
hx : ¬p x
this : Fintype α
⊢ Nat.card { x // p x } < Nat.card α
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j
⊢ (diagonal d).toBlock p q ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ = 0 ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t s : Set α
⊢ (∀ (x x_1 : { a // toDual a ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s }), ⇑ofDual ⁻¹' Icc ↑x_1 ↑x ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∀ (x x_1 : { a // a ∈ s }), Icc ↑x ↑x_1 ⊆ s
α : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
f : α → tsze R M
a : tsze R M
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => (f x).snd) a.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b
G : Type u_2
AddGroup G
A B C : AddSubgroup G
h : C ≤ A
⊢ ↑(A ⊓ B) + ↑C = ↑A ∩ (↑B + ↑C)
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑(Num.ofZNum n) = ↑(↑n).toNat
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H H'
ChartedSpace H' M
x : M
⊢ chartAt H x = chartAt H' x ≫ₕ chartAt H (↑(chartAt H' x) x)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ HigherFacesVanish (q + 1) ((P q ≫ (𝟙 K[X] + Hσ q)).f (n + 1))
R : Type u_1
CommRing R
f : (PowerSeries R)ˣ
⊢ (PowerSeries.derivative R) ↑f⁻¹ = -↑f⁻¹ ^ 2 * (PowerSeries.derivative R) ↑f
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
f : Module.Dual R M₁
⊢ LinearMap.range (LinearMap.dualMap f) = Submodule.span R {f}
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
x✝ : UniformSpace α := ⊥
⊢ ClosedEmbedding f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
⊢ ∃ γ, range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
m : ℕ∞
⊢ 0 = m ↔ m = 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
⊢ thickening δ ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ (f a).Dom ∨ (g a).Dom → (k' a).Dom
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ (FreeGroup.mk L₁).norm ≤ L₁.length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b
⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0
⊢ (if 1 = 0 + 1 then d₀ ≫ 𝟙 X₁ else 0) = d₀
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
⊢ (l.balance2 v r).reverse = r.reverse.balance1 v l.reverse
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
⊢ FinitePresentation R A
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
⊢ abs ((P F).wDest' x) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv x y
n : ℕ
⊢ bernoulli' n = 1 - ∑ k : Fin n, ↑(n.choose ↑k) / (↑n - ↑↑k + 1) * bernoulli' ↑k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
x : α
a✝ : x ∈ s
⊢ MeasurableSet {x}ᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
S.HasHomology
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x S.f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k ⋯) S.homologyπ = 0
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁.diff (l₂ ++ l₃) = (l₁.diff l₂).diff l₃
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : Prime f
⊢ IsDomain (AdjoinRoot f)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
⊢ (↑l).formPerm hl = l.formPerm
a b : Num
⊢ ↑(a.gcd b) = (↑a).gcd ↑b
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
⊢ #{ s // Bounded r s } = #α
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 (n + 2) + Pell.xn a1 n = 2 * a * Pell.xn a1 (n + 1)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq α
x : α
hx : x ≠ 0
⊢ ∏ p ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors x).toFinset, p ^ Multiset.count p (UniqueFactorizationMonoid.factors x) ~ᵤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
i : Fin c.length
⊢ ↑i + 1 < c.boundaries.card
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f
⊢ s.ι.app zero = 0
a : ℕ
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
⊢ addOrderOf ↑a = n / n.gcd a
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf1 : ¬IsUnit f
hf2 : ¬f = 0
⊢ Classical.choose ⋯ ∣ f
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u v : ℙ K V
h : map f hf u = map f hf v
⊢ u = v
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ (2 * d + 1) ^ n - 1 = (∑ i : Fin n, d * (2 * d + 1) ^ ↑i) * 2
G : Type u_1
P : Type u_2
Preorder G
Preorder P
SMul G P
IsOrderedSMul G P
a b : G
c d : P
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a • c ≤ b • d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))
⊢ Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
⊢ i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ Function.support fun i => (ρ i) x₀
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B⁻¹.card ≤ (A * B⁻¹).card * (B⁻¹ * C).card
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : eval M (matPolyEquiv (M.charpoly • 1)) = eval M (matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M))
⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }
fst✝ : (i : ι) → G i →* K
snd✝ : H →* K
property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2
⊢ (fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) = ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ (↑e.symm).comp ↑e = ContinuousLinearMap.id R₁ M₁
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t : Set α
a✝ a : α
s : Set α
⊢ (insert a s)⁻¹ = insert a⁻¹ s⁻¹
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
SemilatticeInf T
OrderTop T
Semiring R
Add A
Add T
CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degt : A → T
degtm : ∀ {a b : A}, degt a + degt b ≤ degt (a + b)
f g : AddMonoidAlgebra R A
⊢ f.support.inf degt + g.support.inf degt ≤ (f * g).support.inf degt
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter id 1 x L
E : Type u_4
F : Type u_5
AddGroup E
FunLike F E ℝ
NonarchAddGroupSeminormClass F E
f : F
x y : E
⊢ f (x - y) ≤ max (f x) (f y)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangle.mor₃ = hS.singleδ
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ (univ.pi s).Nonempty → (IsPreconnected (univ.pi s) ↔ ∀ (x : ι), IsPreconnected (s x))
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : f.IsIntegral
hR : Ideal.IsJacobson R
⊢ Ideal.IsJacobson S
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
ι : Sort u_1
S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ (⨅ i, S i).toNonUnitalSubalgebra = ⨅ i, (S i).toNonUnitalSubalgebra
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
⊢ X * 2 * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - 1 * 2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X) = 2 * (1 * X * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P
⊢ closure ↑(s.preimage ⇑e ⋯) = P
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree ≠ ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.Measure.comap f μ) s = μ (f '' s)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (cthickening δ s) (cthickening δ t)
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
⊢ ‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a₁ < a₂
⊢ Ico a₂ b ⊆ Ioo a₁ b
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) =
  (TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f)
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
⊢ -A ∈ Matrix.symplecticGroup l R
R : Type u
m n : ℕ
Semiring R
⊢ (↑m).coeff n = ↑(if n = 0 then m else 0)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
IsSuccArchimedean α
NoMinOrder α
⊢ ¬Order.IsSuccLimit a
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.IsLocal ↔ I.jacobson.IsMaximal
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)
uβ : β → β
h : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), f i (ui i x) = uβ (f i x)
u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hui : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), u (inclusion ⋯ x) = inclusion ⋯ (ui i x)
x : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
this : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, hi⟩
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (u x) = f i (ui i ⟨↑x, hi⟩)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''
⊢ map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ' = map p f φ ⋯ φ''
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, f (bernstein.z x) • bernstein n ↑x ∈ polynomialFunctions I
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
Fintype ι
i : ι
m : β i
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype (DFinsupp.single i m) = Pi.single i m
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R →₀ ℤ
⊢ ∀ i ∈ exps.support, ↑i.asIdeal ^ exps i ≠ 0
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
⊢ r (l.get a) (l.get b)
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
PG : Pregroupoid H
h :
  ∀ {e e' : PartialHomeomorph M H},
    e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → PG.property (↑(e.symm ≫ₕ e')) (e.symm ≫ₕ e').source
⊢ HasGroupoid M PG.groupoid
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
⊢ ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i
r : ℝ
hr0 : r > 0
hr : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i
⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).alternatingProd = a / l.alternatingProd
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : K.X j ⟶ A
hφ : ∀ (i : ι), c.Rel i j → K.d i j ≫ φ = 0
⊢ (HomologicalComplex.mkHomToSingle φ hφ).f j = φ ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).inv
k : Type u_2
Field k
⊢ PowerSeries.Unit_of_divided_by_X_pow_order 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ IsPiSystem (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t})
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.b = φ P.a * -(x + y + z)
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
f : α →* H
a : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f a})
⊢ ↑((f.fiberEquivKer a) g) = a⁻¹ * ↑g
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ
⊢ ((hasseDeriv k) ((monomial n) r)).coeff i = ((monomial (n - k)) (↑(n.choose k) * r)).coeff i
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
s : Set Y
⊢ μH[d] (⇑e ⁻¹' s) = μH[d] s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f g : α → α_1}, List.map f = List.map g ↔ f = g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ Complex.normSq ((o.kahler x) y) = ‖x‖ ^ 2 * ‖y‖ ^ 2
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso ((conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (frobeniusMorphism F h A))
⊢ IsIso (frobeniusMorphism F h A)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)) (P₁.root i) = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ filter p 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ 2 • v = 0 ↔ v = 0