ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (((ofQuaternion.toLinearMap ∘ₗ toQuaternion.toLinearMap) ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inl R R R) 1 = (((AlgHom.id R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))).toLinearMap ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inl R R R) 1
m n k : ℕ
⊢ m.Coprime (n + k * m) ↔ m.Coprime n
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a : A
Invertible a
⊢ D ⅟a = -⅟a ^ 2 • D a
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : (TopologicalSpace.Opens ↑Z.toTopCat)ᵒᵖ
⊢ (f ≫ g).val.c.app U =
  g.val.c.app U ≫ f.val.c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj (Opposite.unop U)))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hb : 0 ≤ 0
h : a ≤ c * 0
⊢ a / 0 ≤ c
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite G
h : Nat.card G ≤ Nat.card ↥H
⊢ H = ⊤
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j j' : J
x : CategoryTheory.Limits.limit F
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f (CategoryTheory.Limits.limit.π F j x) = CategoryTheory.Limits.limit.π F j' x
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s
⊢ v i ≠ v j
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars) ≤ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
m : ℕ
⊢ ((monomial m) a).natDegree ≤ m
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual (min a b) = max (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
r : R
s' : S
h₁ : (r, s') ∈ I
r' : R
s : S
h₂ : (r', s) ∈ I
⊢ ((RingHom.fst R S) (r, s'), (RingHom.snd R S) (r', s)) ∈ I
R : Type u
a : R
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h : (p * q).IsRoot a
⊢ p.IsRoot a ∨ q.IsRoot a
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ≤ 1 * b ↔ a ≤ b
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ μ s ≠ 0 ↔ s.Nonempty
C : Type u_1
D : Type u_6
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_6} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} H
RF RF' : CategoryTheory.Functor D H
F F' : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
α' : F' ⟶ L.comp RF'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
τ : F ⟶ F'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L (RF.rightDerivedNatTrans RF' α α' W τ)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ α'
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
⊢ WellFoundedGT ↑s
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
i : ℕ
⊢ (p.update n a).coeff i = if i = n then a else p.coeff i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hs : i ∈ s
ht : t i = ∅
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ s.pi t ↔ f ∈ ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ t, n ≤ (filter (fun x => f x = a) s).card
⊢ ∑ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card = s.card
α : Type u_2
LE α
OrderBot α
⊢ BotHom.dual (BotHom.id α) = TopHom.id αᵒᵈ
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
⊢ IsIntegralCurveOn (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) v s
M : Type u_4
AddMonoid M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
⊢ (n - m) • a + m • a = n • a
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.36631, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.36635, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.36639, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.36643, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{?u.36647, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.36651, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.36655, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
g : L₂.obj X ⟶ L₂.obj Y
⊢ ((LocalizerMorphism.id W).comp (LocalizerMorphism.id W)).homMap L₂ L₂ g = g
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * k ^ n)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
⊢ IsLocalization.mk' S x y ∈ I ↔ (algebraMap R S) x ∈ I
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
l : List α
⊢ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l) ⊆ s → Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l) = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i (Quot.mk Setoid.r l)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ∀ (a : TopologicalSpace.Opens α),
  (TopologicalSpace.Opens.complOrderIso α) a = (⇑OrderDual.toDual ∘ TopologicalSpace.Opens.compl) a
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂ eB hF).unitIso =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂UnitIso eB hF
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Div β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f / g) = ↑f / ↑g
R : Type u_3
A : Type u_4
Zero R
Zero A
⊢ ↑0 = 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
TopologicalSpace β
hf : IsLocalExtrOn f s a
(𝓝[<] f a).NeBot
(𝓝[>] f a).NeBot
⊢ ¬𝓝 (f a) ≤ Filter.map f (𝓝[s] a)
x y : EReal
⊢ (∀ (z : ℝ), ↑z < y → ↑z ≤ x) ↔ y ≤ x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
i : X ⟶ Y
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Z
H : S.arrows (i ≫ f)
⊢ S.arrows f
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
Fintype ι
g : (i : ι) → α i → M₁ i
DecidableEq ι
(i : ι) → Fintype (α i)
⊢ (f fun i => ∑ j : α i, g i j) = ∑ r : (i : ι) → α i, f fun i => g i (r i)
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
⊢ False
a : SetTheory.PGame
⊢ (a + 0).birthday = a.birthday
R : Type u
InvolutiveStar R
r s : R
⊢ r = star s ↔ s = star r
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
⊢ ‖∑ y ∈ Finset.image (fun J => N (π.tag J)) π.boxes, integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun x => N (π.tag x) = y)‖ ≤ ↑c✝
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(e (-(L (v + v₀ - v₀)) w)) • f (v + v₀) ∂μ = ↑(e ((L v₀) w)) • ∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f v ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.cokernelOpOp f).inv =
  (CategoryTheory.Limits.kernel.lift f (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f.op).unop ⋯).op
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ (↑l).lists = l.permutations.toFinset
a : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume {a} = 0
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring R
t : Subsemiring S
⊢ s.prod ⊥ ⊔ ⊥.prod t = s.prod t
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ n = 0 ∨ a = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
h : Continuous f
⊢ Continuous fun x => √(f x)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
Zero α
f : ι → α
g : ι → α → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hg : ∀ (a : ι), g a 0 = 0
⊢ ∑ i ∈ t, g i ((↑s).indicator f i) = ∑ i ∈ s, g i (f i)
R : Type u
Ring R
DecidableEq R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a p = if h0 : p = 0 then 0 else (multiplicity (Polynomial.X - Polynomial.C a) p).get ⋯
k : Type u
inst✝¹ : Field k
K : Type v
inst✝ : Field K
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hsep : p.Separable
q : k[X]
hq : Irreducible q
hdvd : q ∣ p
hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹
hsep' : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Separable
hirr' : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)
⊢ q.degree = 1
F : Type u_1
R : Type u_2
Field F
Semiring R
Nontrivial R
Algebra F R
⊢ ∀ (a : F), (Algebra.botEquiv F R).symm a = (Algebra.ofId F ↥⊥) a
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
x : O
hx : IsUnit x
H : ∀ (x : O), v ((algebraMap O R) x) ≤ 1
u : Oˣ
hu : ↑u = x
⊢ v ((algebraMap O R) x) * v ((algebraMap O R) ↑u⁻¹) ≤ v ((algebraMap O R) x) * 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y (⨁ f)) ⟶ Z
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)))
        g =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X
          (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j)))
        h
⊢ g = h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => f x * g x) s μ
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a.castSucc < b.castSucc ↔ a < b
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ ↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n
⊢ CauchySeq f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
this : S.HasHomology
⊢ Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)) ≅ Arrow.mk S.fromOpcycles
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
h : 0 < 1
⊢ ⟨1, h⟩ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MulOneClass α
MulZeroOneClass β
f g : WithZero α →*₀ β
h : (↑f).comp WithZero.coeMonoidHom = (↑g).comp WithZero.coeMonoidHom
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → β
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae μ), n ≤ a} = sInf {a | μ {x | a < f x} = 0}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Continuous t2Quotient.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h : f = g
x : E
⊢ f x = g x
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p ≠ q
⊢ Nontrivial R
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a⁻¹ * b = c
⊢ b = a * c
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
⊢ (adjoint f) y ∈ K.dual
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf✝ : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
c : F[X]
hf : f = p ^ (multiplicity p f).get hF * c
H : ¬p ∣ c
⊢ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
k : Type u_2
Field k
⊢ PowerSeries.X = normalize PowerSeries.X
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
a : A
⊢ IsOpen ↑(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g
⊢ UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
i j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Function.update x i (y i) j = if j = i then y j else x j
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
BiheytingAlgebra γ
BiheytingAlgebra δ
f : BiheytingHom γ δ
g : BiheytingHom β γ
h : BiheytingHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R
⊢ U ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
r0 : r.size > 0
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
⊢ sq.unop.X₄ = Opposite.unop sq.X₁
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default
⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
I2 : s * b + t * d = 0
J1 : (a * d - b * c) * s = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
this : ∀ (i : Fin N), Summable fun x => ‖g x i‖
x : α
⊢ ∀ (i : Fin N), ‖g x i‖ ≤ ∑ i : Fin N, ‖g x i‖
n : ℕ
hn : 2 < n
this✝ : Fact (1 < n)
this : NeZero n
⊢ 2 = orderOf (-1)
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
T0Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ UniformSpace.Completion.extension f (↑α a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β
⊢ (mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f) ⊆ g '' ↑s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a₁ b₁ : R
a₂ b₂ : ↥M
H : b₁ * ↑a₂ = a₁ * ↑b₂
⊢ IsLocalization.mk' S a₁ a₂ = IsLocalization.mk' S b₁ b₂
α : Type u_1
Monoid α
a : α
u : αˣ
⊢ ↑u ∣ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
X : C
⊢ (HomologicalComplex.homologyFunctorSingleIso C c j).hom.app X = (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j X).hom
l r : List Char
⊢ String.Iterator.ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := String.utf8Len l.reverse } }
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
Inf L
ContinuousInf L
f g : X → L
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⊓ g)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) ↑x
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
⊢ c • MeasureTheory.ae μ = MeasureTheory.ae μ
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ 2 • (associated Q₁).tmul (associated Q₂) = ⅟2 • 2 • 2 • (BilinMap.tensorDistrib R A) ((associatedHom A) Q₁ ⊗ₜ[R] (associatedHom R) Q₂)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
i : η
⊢ lowerCentralSeries (Gs i) n = ⊥
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
⊢ ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α
i : Nat
acc : Array α
k : Nat
hki : k < n
hin : i ≤ n
hi : i = acc.size
hacc : ∀ (j : Nat) (hj : j < acc.size), acc[j] = f ⟨j, ⋯⟩
⊢ (Array.ofFn.go f i acc)[k] = f ⟨k, hki⟩
X : Type u_1
TopologicalSpace X
F : Set X
h : IsPathConnected F
x : X
⊢ x ∈ F → ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum fun x => 0) s = 0 s