ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
left✝ : x ∈ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)}
⊢ ↑x ∈ ↑U
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ convexBodySumFun x = ∑ w : { w // w.IsReal }, ‖x.1 w‖ + 2 * ∑ w : { w // w.IsComplex }, ‖x.2 w‖
α : Type u
l : Filter α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, p x) ↔ (l ⊓ 𝓟 {x | p x}).NeBot
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d
this : ↑n % ↑d = ↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
⊢ (↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋).natAbs.Coprime d
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y J : Set α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
⊢ M.Basis I Y
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ traverse h (map g ⟦a✝⟧) = traverse (h ∘ g) ⟦a✝⟧
k : Type u
Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ (AlgebraicClosure.toAdjoinMonic k) x f = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ μ.restrict s = ν.restrict s ∧ μ.restrict t = ν.restrict t → μ.restrict (s ∪ t) = ν.restrict (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u =O[l] 0
⊢ ∃ s ∈ l, Set.EqOn u 0 s
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
a b : α
hf : Monotone f
h : a ≤ b
⊢ f a ≤ f b
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x : G
n : ℕ
hxn : x ∈ lowerCentralSeries G n
g : G
⊢ x * g * x⁻¹ * g⁻¹ ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
⊢ M.Basis I X
R : Type u_1
N₁ : Type u_10
Semiring R
z : ℤ
AddCommGroup N₁
Module R N₁
⊢ ↑z = (Module.toModuleEnd R N₁) z
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
DET : 0 < ↑(GeneralLinearGroup.det ↑g)
⊢ False
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s) x} ∈ 𝓝 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
r : NNReal
⊢ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) ↑r).toNNReal = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
x : α
hs : s.Nonempty
⊢ s ⊆ {x} ↔ s = ∅ ∨ s = {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
⊢ AEMeasurable g μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_4
f : α → X
h : DenseRange f
⊢ closure (Set.range f) = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1⁻¹ * x.2 ∈ U i}
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n N✝ : ℕ
a✝ : n < N✝
⊢ (if N✝ < n + 1 then (coeff R N✝) f else 0) = 0
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
⊢ f ≤ 𝓝 x
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (condCount s) t = 0 ↔ s ∩ t = ∅
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ
⊢ ↑a ! = Polynomial.eval 1 (ascPochhammer S a)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {x_1 : MeasurableSpace β'},
  ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ → ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun g f κ μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
f f' g h : C
η : f ⟶ f'
η₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f' g
η₂ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) h ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f' g) h
η₃ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f g) h ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f' (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h)
η₄ :
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h) ⟶
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj f' (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h)
pf_η₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η g = η₁
pf_η₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η₁ h = η₂
pf_η₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp η₂ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f' g h).hom = η₃
pf_η₄ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator f g h).inv η₃ = η₄
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight η (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj g h) = η₄
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
⊢ ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail) = ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
a : G
b₁ b₂ : k
⊢ MonoidAlgebra.single a (b₁ + b₂) = MonoidAlgebra.single a b₁ + MonoidAlgebra.single a b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
⊢ AEMeasurable (r • ν.rnDeriv μ) μ
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
h : whiskerLeft F (add F s i a b).inv = (i (a + b) ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a b) F ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (shiftFunctor C b) F ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (i b).symm ≪≫ ((shiftFunctor C a).associator F (s b)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (i a).symm (s b) ≪≫ F.associator (s a) (s b)).inv
⊢ (add F s i a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X
α : Type u
β : Type v
m : Type v → Type w
Monad m
as : List α
init : β
f : α → β → m (ForInStep β)
⊢ (forIn' as init fun a x b => f a b) = forIn as init f
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
t : Set β
⊢ 0 • t ⊆ 0
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ upperBounds (supClosure s) = upperBounds s
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : BraidedFunctor C D
X Y : C
⊢ F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
α : Type u_1
γ : α → Type u_3
⊢ Nonempty ((a : α) × γ a) ↔ ∃ a, Nonempty (γ a)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖ * ‖1‖
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) 0 = 0
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ e.symm b y = cast ⋯ (↑e.symm (b, y)).snd
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝¹ x✝ : A
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝¹ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝ → ∃ c, c • x✝¹ = c • x✝) ↔ (algebraMap A Aₛ) x✝¹ = (algebraMap A Aₛ) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ max #↑s ℵ₀ ^ c
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ s.mongePlane i₁ i₂ = s.mongePlane i₂ i₁
α : Type u
β : Type v
f : α → Option β
⊢ List.filterMap f List.nil = List.nil
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization → d ∣ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (canonicalEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
⊢ ((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(canonicalEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : IsClopen s
hs' : BddBelow s
⊢ IsClopen ↑(upperClosure s)
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+ P
x : DirectLimit G f
⊢ F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤
⊢ (aeval x) (derivative (minpoly A x)) ∈ differentIdeal A B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : D
⊢ X ⊗ Y = e.functor.obj (e.inverse.obj X ⊗ e.inverse.obj Y)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
J : Ideal R
hv : Irreducible J
hJv : Associates.mk J = v
⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card
h_deg_eq : degree 0 = g.degree
hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) 0 = eval (v i) g
⊢ 0 = g
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' s t μ ↔ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ
⊢ Continuous fun a => a ^ (k + 1)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → β
⊢ (∑ x ∈ s, if p x then f x else g x) = ∑ x ∈ Finset.filter p s, f x + ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, g x
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
TopologicalSpace R₁
f g : R₁ ≃L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ 0 -ᵥ x = y -ᵥ (x + y)
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
x : M
⊢ x ∈ AddSubsemigroup.comap f S ↔ f x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
δ : Type u_6
f : α → γ
g : β → δ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
d : Filter δ
hf : Tendsto f a c
hg : Tendsto g b d
⊢ map f a ×ˢ map g b ≤ c ×ˢ d
α : Type u_2
Subsingleton α
f : Equiv.Perm α
s : Set α
⊢ f.IsCycleOn s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
h : IsComplete ↑K
this✝ : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
this : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
K' : Submodule ℝ E := Submodule.restrictScalars ℝ K
⊢ ∀ (u : E), ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
x y : α
h : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (x, y) ∈ V
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ
x : α
hx : f x ≠ 0
⊢ x ∈ s
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p2.2.1, p2.1.1).2 ∈ B✝
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hμs : μ s = ⊤
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arcsin (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
n : ℕ
⊢ n.pred + n = (2 * n).pred
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : A ⊆ range n ×ˢ range n
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
⊢ False
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R B
DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
i : A
⊢ (f.prod g) i = Pi.prod (⇑f) (⇑g) i
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
ContinuousStar A
CompleteSpace A
StarModule ℂ A
a : ↥(selfAdjoint A)
⊢ ↑(selfAdjoint.expUnitary a) = NormedSpace.exp ℂ (Complex.I • ↑a)
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
⊢ normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)
r' : ℝ
hr' : r' ^ k < r
h1 : 1 < r'
⊢ (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => r ^ n
R : Type u_1
r : R
Semiring R
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsNilpotent (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n)
a b : Int
ha : a ≤ 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ AmpleSet Set.univ
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m
⊢ Epi (skeletalEquivalence.functor.map f) ↔ Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom f)
α : Type u_1
l : List α
x y : α
⊢ List.Duplicate x (y :: l) ↔ y = x ∧ x ∈ l ∨ List.Duplicate x l
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ z ≠ y
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
R' : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R'
Semiring A
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
(i : ι) → Module A (M₁ i)
ι' : Type u_3
M' : ι' → Type u_4
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousAdd (M' i)
(i : ι') → Module R' (M' i)
(i : ι') → Module A (M' i)
∀ (i : ι'), SMulCommClass A R' (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousConstSMul R' (M' i)
⊢ ∀ (a : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap A M₁ (M' i)),
  ContinuousMultilinearMap.piLinearEquiv a = ContinuousMultilinearMap.pi a
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Neg (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => -s i) = -Fintype.piFinset s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
I : Ideal R
S✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra S✝ R
inst✝⁹ : Module S✝ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S✝ R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R' M'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : IsScalarTower R R' M'
S : Type u_6
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra S R
f : PolynomialModule S S
x : R
⊢ ∀ (a : ℕ) (b : S), (aeval x) (equivPolynomial ((single S a) b)) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) ((single S a) b))
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
l l' : List α
h : l' ≤ l
⊢ a :: l' ≤ a :: l
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
P : β
hP : P ∉ l.toFun s
⊢ P ∉ s
a : ℝ
⊢ Isometry fun x => a +ᵥ x
R : Type u_1
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0
y : ↥(Submodule.span R {x})
⊢ (LinearEquiv.coord R M x h) y • x = ↑y
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
⊢ ((F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) ≫ ((F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) = ((F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) ≫ ((F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
x : γ
⊢ x ∈ κ.mutuallySingularSetSlice η a ↔ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x
α : Type u_1
p : α → Prop
x : α
⊢ VectorAllP p [x] = p x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) < ⊤ ↔ μ s < ⊤ ∧ μ t < ⊤
n : ℕ
⊢ map Prod.swap (antidiagonal n) = antidiagonal n
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsCartesian (p.map φ) φ
⊢ IsCartesian.map p (p.map φ) φ φ = 𝟙 a✝
m n : ℕ+
⊢ (m.gcd n).factorMultiset = m.factorMultiset ⊓ n.factorMultiset
t : Type u → Type u
Traversable t
self : LawfulTraversable t
α β : Type u
f : α → β
x : t α
⊢ traverse (pure ∘ f) x = id.mk (f <$> x)
ι : Type u_2
Fintype ι
β : ι → Type u_5
(i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
x y : PiLp ⊤ β
⊢ nndist x y = ⨆ i, nndist (x i) (y i)
α : Type u
a b : Set α
⊢ a = b ↔ a ⊆ b ∧ b ⊆ a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzWith C f
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (-x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α
⊢ x✝ ∈ Ioo a b ∩ Ioi c ↔ x✝ ∈ Ioo (max a c) b
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}
⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' range g)
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
r : R
⊢ tprodCoeff R 1 ((MonoidHom.mulSingle A i) ((algebraMap R (A i)) r)) = r • tprodCoeff R 1 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0