ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f
⊢ lift.{v, u} (Module.rank R M) = lift.{u, v} (Module.rank R M') + lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f))
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J) C
B : C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete J) (CategoryTheory.Over B)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0
h : i ∉ ↑s
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : l.Germ β
g : l.Germ γ
p : l.Germ β → l.Germ γ → Prop
h : ∀ (f : α → β) (g : α → γ), p ↑f ↑g
⊢ p f g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
⊢ Summable fun b => (4 ^ b.fst)⁻¹
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M₄
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M₃
inst✝⁶ : Module R M₄
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝ : TopologicalSpace M₄
f✝ f'✝ f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ (∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f.toMultilinearMap x = f'.toMultilinearMap x) ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
Nontrivial α
⊢ Function.Injective Combinatorics.Subspace.toFun
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
a b c : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).toLoc = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.toLoc g.toLoc
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
S₂ : AddSubgroup G
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
this✝ : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)
this : IsIso f.c
⊢ IsIso f.base
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
p q : R[X]
x : S
⊢ (p - q).smeval x = p.smeval x - q.smeval x
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
val : α
hv : val = ↑u
inv : α
hi : inv = ↑(-u)
⊢ ↑(-u.copy val hv inv hi) = inv
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
⊢ f.FiniteType
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s t : Finset X
h : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds ↑s ↑t
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
r : R
n : ℕ
hn : -r ≤ ↑n
⊢ ↑(-↑n) ≤ r
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : LindelofSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ IsLindelof univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
X Y Z : C
f g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (f + g) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f + CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X g
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = s₁ * s₂
M : Type u_5
F : Type u_6
Zero M
FunLike F M M
ZeroHomClass F M M
f : F
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] 0 = 0
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
⊢ powersetCard n.succ s ∪ filter (fun x => x.card = n.succ) (image (insert x) s.powerset) = powersetCard n.succ s ∪ image (insert x) (powersetCard n s)
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ ⨅ x, ⨅ (_ : x ≠ ⊤), f x = ⨅ x, f ↑x
m n a b c : ℕ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [MOD c]
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsRightInversion (w * t) t ↔ ¬cs.IsRightInversion w t
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix (m × p) (n × p) R
hf : Summable f
⊢ Summable fun x => (f x).blockDiag
a b c d m n : ℤ
p : ℤ → Prop
i : ℤ
hz : p 0
hp : ∀ (i : ℕ), p ↑i → p (↑i + 1)
hn : ∀ (i : ℕ), p (-↑i) → p (-↑i - 1)
⊢ p i
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ 0 < s.ncard ↔ s.Nonempty
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
⊢ (ContinuousLinearEquiv.prodComm R₁ M₁ M₂).symm = ContinuousLinearEquiv.prodComm R₁ M₂ M₁
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ (a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = (a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ Multiset.card (s.sigma t) = (Multiset.map (fun a => Multiset.card (t a)) s).sum
α : Type u_1
n : ℕ
Neg α
a : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecHead (-a) = -Matrix.vecHead a
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : K
⊢ (normAtPlace w) ((mixedEmbedding K) x) = w x
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : List α
⊢ FreeMonoid.toList (List.traverse (Const.mk' ∘ FreeMonoid.of) xs) = xs
q : ℚ
⊢ ⌊q⌋ = q.num / ↑q.den
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ ((f a).succ + (f b).succ).choose (f a).succ = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
Φ.IsLocalizedEquivalence
W₁.IsMultiplicative
∀ (X₂ : C₂), CategoryTheory.IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
Φ.arrow.HasRightResolutions
W₂.ContainsIdentities
⊢ Φ.IsRightDerivabilityStructure
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : βᵒᵈ
a : α
⊢ OrderDual.ofDual b • a = b • a
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y
⊢ z \ x ≤ y
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
fn : 𝒰.J → ℕ
hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0
this : Fintype 𝒰.J
N : ℕ := Finset.univ.sup fn
hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N
i : ?h.𝒰.J
⊢ (Hom.app (?h.𝒰.map i) U) s ^ N = 0
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
Nontrivial α
h : A * B = 1
⊢ A.det ≠ 0
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ r * ⨆ i, f i = ⨆ i, r * f i
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
StarRing C
φ ψ : Unitization R A →⋆ₐ[R] C
h : (↑φ).comp (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A) = (↑ψ).comp (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A)
⊢ φ = ψ
M : Type u_2
N : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : Mᵃᵒᵖ →+ Nᵃᵒᵖ
⊢ ∀ (a : M), (AddMonoidHom.op.symm f) a = (AddOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.op) a
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
htGX : MulAction.IsPretransitive G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
⊢ MulAction.orbit (↥(MulAction.stabilizer G B)) a = B
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMinOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => f x - g x) s a
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f.translationNumber ≤ ↑⌈f x - x⌉
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : MeasureTheory.pdf X ℙ MeasureTheory.volume =ᵐ[MeasureTheory.volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => f x * (MeasureTheory.pdf X ℙ MeasureTheory.volume x).toReal)
  MeasureTheory.volume
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W' f).toJacobian.polynomialY = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialY
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
inst✝¹ : Infinite X
inst✝ : DiscreteTopology X
inhabited_h : Inhabited X
⊢ ∃ x, ¬Tendsto (⇑CofiniteTopology.of.symm) (𝓝 x) (𝓝 (CofiniteTopology.of.symm x))
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₐc[R] B
h : e = e'
x : A
⊢ e x = e' x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • r • f v ∂μ = ∫ (a : V), r • e (-(L a) w) • f a ∂μ
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ AdicCompletion.eval I M n ∘ₗ AdicCompletion.of I M = (I ^ n • ⊤).mkQ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (charpoly (φ x)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = 0
⊢ charpoly (φ x) ≠ 0
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ Set.InjOn ⇑(Behrend.map d) {x | ∀ (i : Fin n), x i < d}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
κ : Kernel Unit β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (Unit × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (dirac () ⊗ₘ κ) s = (map (Prod.mk ()) (κ ())) s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' s = (Function.graph f).core s
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
DecidablePred p
⊢ DFinsupp.filter p f + DFinsupp.filter (fun i => ¬p i) f = f
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n
⊢ f p n = f p (p.1 + p.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν
t : ℝ
⊢ (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) =ᶠ[atTop] fun x => (1 + t / x) ^ x
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
this : μ ^ orderOf μ = 1
⊢ False
s : ℝ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ DifferentiableAt ℝ Gamma s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
Nonempty γ
f : α → β
g : γ → α
Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i)
Af : Antitone f
H : BddAbove (Set.range g)
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
a b m n p : ℕ
⊢ ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then 1 else i ^ (a.lcm b).factorization i) ≠ 0
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
Monoid M
φ : G →* M
HN : N ≤ φ.ker
g : G
⊢ (QuotientGroup.lift N φ HN) ↑g = φ g
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w u : W
i : B
⊢ cs.IsReflection (w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).darts = { toProd := (u, v), adj := h } :: p.darts
x : ℝ
⊢ Complex.ofRealCLM x = ↑x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ FractionalIdeal.dual A K I = 0 ↔ I = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ Tendsto f (cocompact X) cofinite
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Sort u_5
f : F
s : ι → AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.comap f (iInf s) = ⨅ i, AddSubmonoid.comap f (s i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℂ n f s
⊢ ContDiffOn ℂ n (fun x => Complex.cos (f x)) s
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (g x).toReal
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E
⊢ X ∩ Y ⊆ M.E
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
⊢ (WittVector.wittNSMul p m n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A
⊢ f.f (X.str xs) = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z x✝ : R
⊢ x✝ ∈ span {x + y * z, y} ↔ x✝ ∈ span {x, y}
w x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (x ^ y).toNNReal = x.toNNReal ^ y
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Fintype R
p : ℕ
hn : card R = p
hR : ∀ i < p, ↑i = 0 → i = 0
n : ℕ
H : ↑p = 0
⊢ ↑n = 0 ↔ p ∣ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f g : X ⟶ Y
w : P.Factors (f + g)
wg : P.Factors g
⊢ P.Factors f
n m : ℕ
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range' n (m - n))
J : Type u
inst✝³ : Preorder J
inst✝² : IsDirected J fun x x_1 => x ≤ x_1
F : Jᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)
h✝ : IsEmpty J
⊢ F.sections.Nonempty
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card = 𝒜.card
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : μ s ≠ ⊤
⊢ μ.restrict (MeasureTheory.toMeasurable μ s) = μ.restrict s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (sum p fun s a => (monomial (s.sum fun a => Finsupp.single (f a))) a) = sum p fun a => Finsupp.single (a.sum fun a => Finsupp.single (f a))
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.monomial 0) a = Polynomial.C a
α : Type u_1
PartialOrder α
Finite α
⊢ Function.Surjective ⇑OrderEmbedding.infIrredUpperSet
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ 1 ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
P : RegularExpression α
⊢ RegularExpression.map g (RegularExpression.map f P) = RegularExpression.map (g ∘ f) P
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
F : ι → (a : α) → π a
⊢ BddAbove (range F) ↔ ∀ (a : α), BddAbove (range fun i => F i a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow C} (f : X ⟶ Y), (F.mapArrow.map f).right = F.map f.right
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ A ⊆ a • B ↔ a⁻¹ • A ⊆ B
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
⊢ ⋃ x ∈ s, Ici x = Ici a
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
⊢ (Finsupp.total M M R id).toFun ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R (g '' ↑t1)
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id V) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id V‖
⊢ 1 ≤ ‖id V‖
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
hA : MeasurableSet t
⊢ (ProbabilityTheory.cond μ s) t = (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ minkowskiBound K 1 < ↑(boundOfDiscBdd N)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f g : β → α
T2Space α
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ ∑' (b : β), (f b - g b) = ∑' (b : β), f b - ∑' (b : β), g b
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
⊢ 0 < ↑(Fintype.card ι).factorial * (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι