ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Submodule R M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R1Space α
BorelSpace α
μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
⊢ (μ.restrict A).Regular
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 x = TrivSqZeroExt.inl (NormedSpace.exp 𝕜 x.fst) + TrivSqZeroExt.inr (NormedSpace.exp 𝕜 x.fst • x.snd)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ V ≤ U
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s ∩ t).ncard ≤ s.ncard
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
r : R
x : A i
y : A j
⊢ ({ toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) y = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α ≃ᵐ β
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂MeasureTheory.Measure.map (⇑g) μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
One M
One N
FunLike F M N
OneHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑f ∘ 1 = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ
⊢ span R {r • x} = span R {x}
θ ψ : Angle
hs : θ.sign = ψ.sign
hr : θ.toReal = ψ.toReal ∨ θ.toReal = -ψ.toReal
⊢ θ = ψ
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
⊢ ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget Grp) x y
⊢ colimitInvAux F x = colimitInvAux F y
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
hne' : (-S).Nonempty
hbdd' : BddAbove (-S)
⊢ ∃ x, IsGLB S x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ a_1, ∑ i : α, a i * b i ^ a_1 ≤ 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ const R g₁ g₂ U hu₂ * const R f g₁ U hu₁ = const R f g₂ U hu₂
m n : ℕ
⊢ (ack m n + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 3) n
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ totalDegree 0 = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
h : x ≠ y
s : Set X
⊢ 𝓝[s \ {y}] x = 𝓝[s] x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ ‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ∈ Set.Ioc a b ↔ False
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
a : α
⊢ IsClosed {x | x ≤ a}
α : Type u_1
s t : Set α
LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn + ht.min htn
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
⊢ a / b = c / d ↔ a / c = b / d
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ ManyOneEquiv (p ∘ ULower.up) p
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⩿ b
⊢ Set.Ico a b ⊆ {a}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ Equicontinuous (S.restrict ∘ F) ↔ EquicontinuousOn F S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
⊢ ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p ht hμt c)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
R : Type u_11
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
DistribMulAction R M
DistribMulAction R N
f g : (α →₀ M) →+[R] N
h : ∀ (a : α), f.comp (Finsupp.DistribMulActionHom.single a) = g.comp (Finsupp.DistribMulActionHom.single a)
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α
⊢ sort r s ~ s.toList
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
ht : 0 < t
hF : ∀ i ∈ ∅, padicNorm p (F i) < t
⊢ padicNorm p (∑ i ∈ ∅, F i) < t
a b m n p : ℕ
⊢ 0 < a.factorizationLCMLeft b
α : Type u_1
Group α
StarMul α
s : Set α
⊢ star s⁻¹ = (star s)⁻¹
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ⊔ ∏ _x ∈ Finset.range n, J = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
x : α
⊢ t ∈ 𝓝[s] x ↔ ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s → y ∈ t
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
⊢ cfc (fun x => Real.exp (Real.log x)) a = cfc id a
d : ℤ
n : ℤ√d
⊢ n.norm = n.re * n.re - d * n.im * n.im
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f U V e ≫ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso f V).inv =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f g : α →C₀ β
⊢ IsClosed (range toBCF)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
w v : Nat
x : BitVec w
⊢ (BitVec.zeroExtend v x).msb = (decide (0 < v) && x.getLsb (v - 1))
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ Submodule.span R (Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R))) = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
α : Type u
s t : Set α
⊢ 𝓟 s = 𝓟 t ↔ s = t
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
h : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets π κ μ
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ -(e0 Q * (v Q) m) = (v Q) m * e0 Q
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ ⊤ ≤ adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support)
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
R : Type u
Semiring R
⊢ (Polynomial.monomial 0) 1 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F
⊢ ‖(LinearMap.fst 𝕜 E F) x‖ ≤ ‖x‖
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f ≫ (unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ Quiver.Hom.op { left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.left), right := f.unop.right, w := ⋯ }
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
c : R
x : M
⊢ f (c • x) = σ c • f x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.leftRightHomologyComparison = S.leftHomologyIso.hom ≫ S.rightHomologyIso.inv
x y z : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x ^ y < x ^ z ↔ y < z
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → α_1} [inst : Functor m] [inst_1 : LawfulFunctor m] {x : m α},
  SatisfiesM p x → SatisfiesM (fun b => ∃ a, p a ∧ b = f a) (f <$> x)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0
ps_zero : p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) = 0
this : p.coeff i = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
sz : Nat
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
buckets : Buckets α β
H : buckets.WF
x✝³ : AssocList α β
x✝² : x✝³ ∈ (Buckets.mk (buckets.val.size * 2) ⋯).val.data
x✝¹ : α × β
x✝ : x✝¹ ∈ x✝³.toList
⊢ (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat < 0) x✝¹.fst x✝¹.snd
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
h : s ≤ t
⊢ s.erase a ≤ t.erase a
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain B
IsNoetherianRing A
Finite ↑S
IsCyclotomicExtension S A B
⊢ Algebra.IsIntegral A B
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) =
  FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
r : α
h : 1 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ a • A ⊆ a • B ↔ A ⊆ B
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id (𝟙_ (CategoryTheory.Dial C))))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom f
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.copy ⋯ ⋯ = p
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
δ' : Type u_2
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
inst✝ : UniformSpace δ'
f : α × β → γ
⊢ UniformContinuous₂ (curry f) ↔ UniformContinuous f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
BoundedSpace 𝕜
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B
⊢ x✝ ∈ ↑(NonUnitalAlgHom.range φ) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ - ⊤ = 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
⊢ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x) = x
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ Function.Injective UniformEquiv.toEquiv
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
⊢ ⇑h '' (c • s) = σ c • ⇑h '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ ⨅ q, f a ↑q = ⨅ r_1, f a ↑r_1
R : Type u
CommSemiring R
A B : Type u
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Algebra.FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.FormallySmooth R B
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
s : Set α
a : α
hf : ContinuousWithinAt f s a
hg : ContinuousWithinAt g s a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContinuousWithinAt (f / g) s a
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
m : FiniteAdeleRing R K
hm : m ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑(r * b)})
⊢ (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) m ∈ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
s : Set M
g : N → N'
r : Set N
hf : SmoothOn I I' f s
hg : SmoothOn J J' g r
⊢ SmoothOn (I.prod J) (I'.prod J') (Prod.map f g) (s ×ˢ r)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : IsEmpty α
⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
α : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Set.Ioi a ∈ comap Real.toNNReal atTop
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map reverse (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)
m n : Nat
⊢ ↑m + Int.negSucc n = Int.subNatNat m n.succ
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ ↑A = ↑A.topologicalClosure
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
⊢ (Measure.map (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))) (univ.pi s) = ∏ i : Fin (n + 1), (μ i) (s i)
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
k : ℕ
Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta (p ^ (k + 1)) K L ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))
⊢ Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
⊢ ↑((quadraticChar F) a) = a ^ (Fintype.card F / 2)
σ : Type u_1
DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h : t.2 ∉ t.1
⊢ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t = (Finset.cons t.2 t.1 h, t.2)
α : Type u_5
β : Type u_6
b : β
⊢ Function.Injective fun a => (a, b)
R : Type u
CommRing R
⊢ Function.Injective MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum
θ : ℂ
⊢ tan θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), ↑k * ↑π / 2 ≠ θ
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0
p0 : Associates α
p0_irr : Irreducible p0
p0_mem : ⟨p0, p0_irr⟩ ∈ factors' a ∩ factors' b
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a - b).imK = a.imK - b.imK
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ
⊢ (s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i => (p i).ball e r
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ ⇑(pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) '' (⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S)) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
CompleteLattice γ
e : α ≃o γ
⊢ e (Filter.blimsup u f p) = Filter.blimsup (⇑e ∘ u) f p
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : FreeMonoid (M ⊕ N) →* P
hM₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inl 1)) = 1
hN₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inr 1)) = 1
hM : ∀ (x y : M), f (FreeMonoid.of (Sum.inl (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inl x) * FreeMonoid.of (Sum.inl y))
hN : ∀ (x y : N), f (FreeMonoid.of (Sum.inr (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inr x) * FreeMonoid.of (Sum.inr y))
w : FreeMonoid (M ⊕ N)
⊢ (Monoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN) (Monoid.Coprod.mk w) = f w
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
⊢ oscillationWithin f D x = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
h₂ : HasFDerivAt (fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v) (4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
G : Type u_3
AddGroup G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => x - c) fun x => x + c
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
p : LTSeries α
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ ∀ (a : Fin (p.length + 1)), (p.map f hf).toFun a = f (p.toFun a)
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
⊢ S * ⊥ = ⊥
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : FiniteDimensional.finrank F ↥S = 1
Module.Free F ↥S
⊢ S = ⊥
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : R
n : ℤ
⊢ (algebraMap R A) (Polynomial.eval x (Polynomial.Chebyshev.U R n)) =
  Polynomial.eval ((algebraMap R A) x) (Polynomial.Chebyshev.U A n)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.trailingCoeff = 0 ↔ p = 0
n : ℕ
h : n ≠ 1
⊢ Nat.Prime n ↔ ↑(n - 1)! = -1
M : Type u_1
AddCommMonoid M
x y : M
⊢ IsAddUnit (x + y) ↔ IsAddUnit x ∧ IsAddUnit y