ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
hx : f x = f 0
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u
Top α
⊢ OrderDual.toDual ⊤ = ⊥
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b) = y ^ m * (y ^ n * (y ^ (-m) * a)) * (y ^ (-n) * b)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderBot α
OrderTopology α
Nontrivial α
DenselyOrdered α
⊢ (𝓝 ⊥).HasBasis (fun a => ⊥ < a) Set.Iic
a b c : Nat
⊢ min a (max b c) = max (min a b) (min a c)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ p.linearProjOfIsCompl (LinearMap.ker f) ⋯ = f
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[Ioo a b] a, c b ≤ id b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
⊢ ↑(Bialgebra.counitBialgHom R A) = Coalgebra.counitCoalgHom R A
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanIso n B C g
hf : IsMulFreimanIso n A B f
⊢ IsMulFreimanIso n A C (g ∘ f)
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
g : E →ₗ.[R] F
hg : ∀ f ∈ c, f ≤ g
⊢ LinearPMap.sSup c hc ≤ g
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ ∫ (x : X) in ∅, f x ∂μ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
t : Set β
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ f
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ g
ht : m ⁻¹' t = s₁ ∩ s₂
⊢ t ∈ map m f ⊓ map m g
α : Type u_1
r : Rel α α
self : r.InfiniteDimensional
n : ℕ
⊢ ∃ x, x.length = n
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Fintype n
a b : n
hb : b ≠ j
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (M * Matrix.transvection i j c) a b = M a b
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ f.ker.index = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq n
i : n
⊢ (monomial (Finsupp.single i 1)) (1 i i) = X i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
⊢ D f K ⊆ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsNowhereDense s
⊢ IsNowhereDense (closure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
is l : List α
H : l ~ [] ++ is → (∃ ts', ∃ (_ : ts' ~ []), l = ts' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
⊢ l ~ is → l ∈ is.permutations
Ω : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ
⊢ a ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p → 0 ≤ a
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w.mult ≠ 0
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
⊢ a ^ 2 ≤ b ^ 2 ↔ |a| ≤ |b|
n : ℕ
h : 0 < n
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
⊢ ζ ^ n = 1 ↔ ∃ i ∈ n.divisors, (Polynomial.cyclotomic i R).IsRoot ζ
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ w ∉ G.commonNeighbors v w
n k m : Nat
⊢ m + n ≤ k → n ≤ k - m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
f : Bool → Measure α
⊢ sum f = f true + f false
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this✝ : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
this : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsSymm α r
⊢ maximals r s = s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ (Finset.image₂ f s t).Nonempty
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → AddSubgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
⊢ (⨅ i ∈ s, f i).FiniteIndex
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.mex f ≤ Ordinal.lsub f
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (x * y)) i)
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋂ k, ⋂ (_ : k < n + 1), u k = (⋂ k, ⋂ (_ : k < n), u k) ∩ u n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id P).f = P.p
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
h : Pairwise fun i j => Disjoint (f i) (f j)
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(⋃ i, f i)) = Cardinal.sum fun i => Cardinal.mk ↑(f i)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
FunLike F α β
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (symmDiff a b) = symmDiff (f a) (f b)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
w : Set ℝ≥0∞
w_count : w.Countable
w_dense : Dense w
left✝ : 0 ∉ w
w_top : ⊤ ∉ w
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ f.Pos → g.LimZero → (f + g).Pos
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Antitone leOnePart
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving J (CategoryTheory.Over.forget X)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSpace G
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
s : Set (Sigma σ)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Sigma.mk i ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* G'
g : G' →* G''
h : g.comp f = 1
y : G
⊢ f y ∈ g.ker
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ b a : α
u : αˣ
⊢ -(a /ₚ u) = -a /ₚ u
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 ≤ a_1} ∩ {a_1 | a_1 ≤ g a.1}})
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
v : ι' → M
⊢ (AlternatingMap.domDomCongr σ f) v = f (v ∘ ⇑σ)
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ : List α
f : α → List β
⊢ (l₁.bind f).Nodup ↔ (∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
⊢ ⋃ n, F n = U
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : (a / (a + b)) ^ p + (b / (a + b)) ^ p ≤ 1
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
α : Type u_1
MulOneClass α
⊢ ∀ (a : α), WithZero.coeMonoidHom a = ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
B : Set β
⊢ (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X) ↔ M.Basis I X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
g : β → γ
t : Set β
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzOnWith Kg g t
hf : LipschitzOnWith K f s
hmaps : Set.MapsTo f s t
⊢ LipschitzOnWith (Kg * K) (g ∘ f) s
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective AddOpposite.unop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).functor =
  CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ M ≅[L] N ↔ ∀ (φ : L.Sentence), M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ closure s ∩ closure t ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) = closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)
s : Finset ℕ
p e m : ℕ
hp : Nat.Prime p
hs : p ∉ s
hm : m ∈ Nat.factoredNumbers s
⊢ ↑((Nat.equivProdNatFactoredNumbers hp hs) (e, ⟨m, hm⟩)) = p ^ e * m
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ
⊢ x ^ (m * n) = (x ^ m) ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.closure (M.closure X) = M.closure X
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
⊢ l.prev (l.nthLe n hn) ⋯ = l.nthLe ((n + (l.length - 1)) % l.length) ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ cyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = cyclesMap' φ h₁ h₂ - cyclesMap' φ' h₁ h₂
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x y z : OreLocalization S R
⊢ (x + y) * z = x * z + y * z
α : Type u
Top α
⊢ OrderDual.ofDual ⊥ = ⊤
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (C 0).degrees = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Semiring R
Γ' : Type u_4
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
r : R
x : HahnSeries Γ R
⊢ HahnSeries.embDomain f (r • x) = r • HahnSeries.embDomain f x
n₂ : Int
d₂ : Nat
z₂ : d₂ ≠ 0
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝ * ↑g₁) (den✝ * g₁) z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } + normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (num✝ * ↑g₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑(den✝ * g₁)) (den✝ * g₁ * d₂) ⋯
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j
⊢ imageSubobject (eqToHom ⋯ ≫ C.d i' j) = imageSubobject (C.d i' j)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ GaloisConnection (AddSubgroup.map f) (AddSubgroup.comap f)
X : Type u
α : Type u_1
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
f : α → X
b : Filter α
b.NeBot
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 x)
h : ∀ᶠ (x : α) in b, f x ∈ s
⊢ x ∈ closure s
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x : WithLp p (α × β)
⊢ (-x).1 = -x.1
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ x ^ ↑(-1) = x⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
z : Sym2 α
⊢ z ∈ fromRel ⋯ ↔ z ∈ {z | ¬z.IsDiag}
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioo a b ∩ Set.Iio c = Set.Ioo a (min b c)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Icc A B)) l fun i => Set.Ico (a i) (b i)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α →CO β
⊢ ⇑f.toContinuousMap = ⇑f
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x => (f x, B x)) (Icc a b)
this : IsClosed s
⊢ Icc a b ⊆ {x | f x ≤ B x}
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Iic n)
us : ∀ i ≤ n, u i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1
⊢ ⁅x, ⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆⁆ ∈ ⁅⊤, ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α →ₘ[μ] β
hf : f.Integrable
hg : g.Integrable
⊢ (f - g).Integrable
α : Type u
l : List α
⊢ l ∈ l.cyclicPermutations
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => (Polynomial.aeval x) q) ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q)) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
x : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range f
⊢ ∑ a_1 ∈ x.support, (single (f a_1) (x a_1)) a = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i] - f i) x ∂μ.trim ⋯
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieRingModule L P
e₁ : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
e₂ : N ≃ₗ⁅R,L⁆ P
m : M
⊢ (e₁.trans e₂) m = e₂ (e₁ m)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y✝ Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y✝
z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
Y : C
t : z₄.Y' ⟶ Y
ht : W t
fac' : (z₃.f ≫ z₄.f) ≫ t = (z₃'.f ≫ z₄.s) ≫ t
⊢ LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
h : x ∈ p
⊢ ⟨x, h⟩ = 0 ↔ x = 0
R : Type u
Semiring R
f g : R[X]
⊢ (f * g).coeff (f.natDegree + g.natDegree) = f.coeff f.natDegree * g.coeff g.natDegree
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ : E
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ v = - -v
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ∀ i ≥ n, u i ≤ ⨆ i, u (i + n)
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1)
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist z (Φ q) + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsDetector G ↔
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', CategoryTheory.CategoryStruct.comp h' f = h) → CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ s ×ˢ (t ∪ t') = s ×ˢ t ∪ s ×ˢ t'
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = I ↔ ∃ M, (∀ J ∈ M, ∀ (K : Ideal R), J < K → K = ⊤) ∧ I = sInf M
α : Type u
x y : α
zs : List α
sep : α
⊢ List.intersperse sep (x :: y :: zs) = x :: sep :: List.intersperse sep (y :: zs)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (F.flip.obj k)
k₁ k₂ : K
f : k₁ ⟶ k₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.combineCones F c).pt.map f =
  (c k₂).isLimit.lift { pt := (c k₁).cone.pt, π := (c k₁).cone.π ≫ F.flip.map f }