ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
e : β → α
a : α
⊢ a ∈ closure (Set.range e) ↔ ∀ ε > 0, ∃ k, dist a (e k) < ε
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]
⊢ ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_le : μ.restrict s ≤ ν.restrict s
h_meas_s : MeasurableSet s
⊢ (μ - ν) s = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(c1 * c2).num = ↑c1.num * ↑c2.num
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
⊢ AntilipschitzWith (2 ^ (1 / p).toReal) ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }
α : Type u_1
LinearOrderedField α
⊢ Archimedean α ↔ ∀ (x : α), ∃ q, x ≤ ↑q
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →+* MvPolynomial σ R := (rename Subtype.val).toRingHom
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
s : Submodule R M
c : R
⊢ Set.MapsTo (fun x => c • x) (closure ↑s) (closure ↑s)
α : Type u
Nonempty α
⊢ Cardinal.mk α ≠ 0
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l
⊢ (if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯) ≈ f j h
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a : α
⊢ a ⩿ Order.succ a
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
ι : Type u_4
x : N
f : ι → R
⊢ (TensorProduct.piScalarRightHom R S N ι) (x ⊗ₜ[R] f) = fun j => f j • x
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : Module.Dual R M
m : M
g : Module.Dual R N
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
v : α
hv : v ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
w : α
hw : w ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
⊢ (induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj M N = ModuleCat.MonoidalCategory.tensorObj M N
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
a : α
⊢ HasSum (⇑g ∘ f) (g a) ↔ HasSum f a
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a b : G
hb : b ∈ Doset.doset a ↑H ↑K
⊢ Doset.doset b ↑H ↑K = Doset.doset a ↑H ↑K
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (y : β), ↑μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂↑ν).toNNReal
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A
⊢ Prime (span {a}) ↔ Prime a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ Function.Injective (col ι)
τ : Type u
a : Function.FromTypes ![] τ
⊢ (Function.fromTypes_nil_equiv τ) a = a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
⊢ ¬q.degree ≤ p.degree → (0, p).2.degree < q.degree
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌈a + 1⌉₊ = ⌈a⌉₊ + 1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology C) A
⊢ ∀ {X Y : Dᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), ((e.sheafCongrPreregular A).functor.obj F).val.map f = F.val.map (e.inverse.map f.unop).op
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
⊢ s.ordConnectedComponent x = ∅ ↔ x ∉ s
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (s + t)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x y : R
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
α : Type u_1
LE α
AddZeroClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x + x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ b + a ≤ a ↔ b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
α' : Type u_5
β' : Type u_6
MeasurableSpace α'
TopologicalSpace β'
μ' : MeasureTheory.Measure α'
f : α →ₘ[μ] β
f' : α' →ₘ[μ'] β'
p : (α →ₘ[μ] β) → (α' →ₘ[μ'] β') → Prop
H :
  ∀ (f : α → β) (hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ) (f' : α' → β')
    (hf' : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f' μ'),
    p (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf) (MeasureTheory.AEEqFun.mk f' hf')
⊢ p f f'
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ
⊢ IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y < 1 ↔ x = y
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool
⊢ (if p x = true then 0 :: foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1 else foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1) = if p x = true then 0 :: map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs) else map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N
⊢ ↑(dValue N) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
n : ℕ∞
x : E
hg : ContDiffAt 𝕜 n g (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
inst✝ : p.NeBot
h : Tendsto φ p F
H : Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)
this✝ : map (u ∘ φ) p ≤ map u F
this : map (u ∘ φ) p ≤ 𝓝 x ⊓ map u F
⊢ MapClusterPt x F u
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategory
e : Δ' ⟶ Δ
inst✝ : Epi e
⊢ ((splitting K).cofan (op Δ)).inj (Splitting.IndexSet.id (op Δ)) ≫ (obj K).map e.op = ((splitting K).cofan (op Δ')).inj (Splitting.IndexSet.mk e)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Div γ
MeasurableDiv γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => f x / c) (fun x => g x / c) μ ν
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ List.drop n l = l.get ⟨n, h⟩ :: List.drop (n + 1) l
G : Type u_3
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
h : ↥H
⊢ MulAut.conjNormal ↑h = MulAut.conj h
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sInf (s / t) = sInf s / sSup t
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : IsNoetherian R M
s : Submodule R M
⊢ s.FG
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
l : List α
⊢ filter (fun x => x = b) ⟦l⟧ = replicate (count b ⟦l⟧) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ s
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.addHaarMeasure K₀) s =
  (MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).outerMeasure s /
    (MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).measure ↑K₀
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.symm e * e = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
⊢ killingForm R ↥↑(ad R L).idealRange = killingForm R ↥(lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : s ∈ iInf f
p : Set α → Prop
uni : p Set.univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
⊢ p s
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
pkg'' : AbstractCompletion γ
f : α → β → γ
⊢ UniformContinuous₂ (pkg.map₂ pkg' pkg'' f)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
⊢ (π₁ ⊓ π₂).IsPartition
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ν (s i) ≠ ⊤
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
t : IsSeparatedFor P R
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
h₁ : ∀ ⦃c : 𝕜⦄, 0 < c → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → c • x ∈ s
h₂ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x + y ∈ s
⊢ ↑{ carrier := s, smul_mem' := h₁, add_mem' := h₂ } = s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
⊢ IsCountablySpanning (Set.univ.pi '' Set.univ.pi C)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hk : ¬Function.IsPeriodicPt f (p ^ k) x
hk1 : Function.IsPeriodicPt f (p ^ (k + 1)) x
⊢ Function.minimalPeriod f x = p ^ (k + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).right.left = sq.X₃
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f : R'[A]
⊢ supDegree D (-f) = supDegree D f
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ (a ⊔ a⁻¹) * a⁻¹ ⊔ a ^ 2 ⊔ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
h : (Sum.inl x).isLeft = true
⊢ (Sum.inl x).getLeft h = x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAt f f' x
x✝ : E
⊢ (fderiv 𝕜 f x) x✝ = f' x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ∈ Ioc a b ↔ False
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
e' : PartialHomeomorph X Y
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
Heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ e.target ∩ t = e'.target ∩ t
α₁ : Type u_1
β₁ : Type u_2
DecidableEq α₁
a : α₁
e : Equiv.Perm β₁
ab : α₁ × β₁
⊢ ((Equiv.Perm.prodExtendRight a e) ab).1 = ab.1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot
⊢ φ y ∈ V'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) t
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ StrictMonoOn id s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
⊢ 2 < card α ↔ ∃ a b c, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
R : Type u
Semiring R
c : R
⊢ (Polynomial.C c * Polynomial.X).support ⊆ {1}
α : Type u_2
β : Type u_3
EDist α
EDist β
f g : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist f g = edist f.1 g.1 ⊔ edist f.2 g.2
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1 < ↑(dValue N)
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
bij : Function.Bijective ⇑f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
x : α
hx : llr ν μ x = -llr μ ν x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : B.SeparatingLeft
x : Mₗ₁'
y : Mₗ₂
hx : (B (e₁.symm x)) y = 0
⊢ (B (e₁.symm x)) y = 0
R : Type u
Semiring R
h : 0 = 1
p : R[X]
⊢ p = 0
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ s
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
p : ℝ
m : ℕ
hf : ContDiffAt ℝ (↑m) f x
h : ↑m ≤ p
⊢ ContDiffAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
⊢ {a}.ncard = 1
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
SMulZeroClass S R
s : S
r : R
⊢ ↑(s • r) = s • ↑r
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : SpectralMap β γ
g : SpectralMap α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
m n : ℕ
⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
AddCommMonoid γ
f : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i
⊢ (DFinsupp.liftAddHom f) (DFinsupp.single i x) = (f i) x
G : Type u
AddMonoid G
n : ℕ
⊢ AddMonoid.exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), n • g = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
d : s.Nodup
h : a ∈ s
⊢ Multiset.count a s = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j k : ι
hk : P.root k = (P.reflection i) (P.root j)
⊢ P.coroot k = (P.coreflection i) (P.coroot j)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α
i₀ : ι
hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀
u : UniformSpace α
hcomp : CompleteSpace α
hcount : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
htop : UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i
this✝ : SecondCountableTopology α
this : T1Space α
⊢ PolishSpace α
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x
⊢ slope f x y ≤ derivWithin f (Set.Ioi x) x
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
⊢ a % 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1
⊢ MeasurableSet i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Finset (Set X)
⊢ (∀ u ∈ t, IsOpen u) → (∀ u ∈ t, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑t).Nonempty ↔ (∀ u ∈ t, IsOpen u) → s ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, xᶜ → ∃ a ∈ t, s ⊆ aᶜ
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h1 : a ≤ b
h2 : b ≤ a
⊢ a ⩿ b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ Isometry id
R : Type u_1
CommRing R
NoZeroSMulDivisors ℕ R
f g : PowerSeries R
hD : (PowerSeries.derivative R) f = (PowerSeries.derivative R) g
hc : (PowerSeries.constantCoeff R) f = (PowerSeries.constantCoeff R) g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : α
y : β
⊢ r.inv.inv x y ↔ r x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Fork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k s.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l s.ι
⊢ k = l
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
s : Set F
hsm : MeasurableSet s
hs : ν s = 0
⊢ (map g (μ.withDensity (pdf X ℙ μ))) s = 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
⊢ HasGradientWithinAt f f' Set.univ x ↔ HasGradientAt f f' x
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G
⊢ ¬IsTorsionFree G ↔ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
Q : Type u_4
Monoid Q
h : P →* Q
⊢ h.comp (f.noncommCoprod g comm) = (h.comp f).noncommCoprod (h.comp g) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (EMetric.ball x r)
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (g (x + y))
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p 1)) ((expand R p) f).roots ≤ p • f.roots