ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hf : u = fun i => g.symm (g (u i))
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g.symm (g (u x))
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (s • t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
⊢ s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph' (Order.succ o) = Order.succ (Cardinal.aleph' o)
x y : UInt64
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt64.size
X Y : TopCat
f : X ≅ Y
x : ↑X
⊢ f.inv (f.hom x) = x
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
x : ↑R
⊢ (f ≫ g) x = g (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
⊢ m ∈ s.sym2 ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
C : ℝ
Cpos : C > 0
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n
⊢ ∃ C r, ∃ (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.reverse.natDegree ≤ f.natDegree
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
⊢ R.card = H.index
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ List.modifyNth f n l = l₁ ++ f a :: l₂
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
r : ℝ
hr : 0 < r
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ < r
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : Nat.succ 1 ≤ finrank ℚ K
⊢ 2 < |↑(discr K)|
f : CircleDeg1Lift
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x ≤ x + z
⊢ f.translationNumber ≤ z
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
s : β → α
b : β → ℝ
h : ∀ (n m : β), n ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b n
h₀ : Filter.Tendsto b Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq s
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : r ≠ 0
⊢ C r ≠ 0
α : Type u_1
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
p : l₁.Perm l₂
⊢ (Multiset.powersetCardAux n l₁).Perm (Multiset.powersetCardAux n l₂)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u_1
(FirstOrder.Language.constantsOn α).Structure M
a : α
x : Fin 0 → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inr a) x = ↑(L.con a)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
self : HereditarilyLindelofSpace X
⊢ IsHereditarilyLindelof Set.univ
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : Ordinal.IsNormal f
ι : Type u
g : ι → Ordinal.{max u v}
Nonempty ι
⊢ f (Ordinal.sup g) = Ordinal.sup (f ∘ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : ¬(s = ∅ ∨ t = ∅)
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s = s₁ ∧ t = t₁
G₀ : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G₀
MeasurableSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
MeasurableSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ (MeasurableEquiv.smul₀ c hc).symm = MeasurableEquiv.smul₀ c⁻¹ ⋯
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a < c ↔ a < c * b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.hi.lift (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)) self.π = 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
c : R
x : M
⊢ { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id R) c • { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_add' := ⋯ }.toFun x
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯
⊢ ℱ.val.map (G.map (c'.π.app left).right).op (eqToHom ⋯ (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map (G.map (c'.π.app right).right).op (eqToHom ⋯ (x g₂ hg₂))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
h : a * b ∈ I ^ (n✝ + 1)
hI0 : ¬I = ⊥
⊢ a ∈ I ∨ b ∈ I ^ (n✝ + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ self.presheaf.IsSheaf
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
⊢ (setoid ↑H ↑⊥).Rel a b ↔ (QuotientGroup.rightRel H).Rel a b
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
⊢ Filter.limsup (fun x => ⊥) f = ⊥
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a < a * b ↔ 1 < b
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
P : C
π : Y ⟶ P
w : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₁) π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₂) π
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J),
  (CategoryTheory.Limits.Cotrident.ofπ π w).ι.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.casesOn X_1
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f (Classical.arbitrary J)) π) π
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : ℤ
⊢ count K v (↑v.asIdeal ^ n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j
⊢ False
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
⊢ IsCoprime x.num x.denom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
⊢ e.symm.homotopyInvHomId = e.homotopyHomInvId
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ y✝ : ↑X
⊢ s • g (x✝ + y✝) = s • g x✝ + s • g y✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2 = setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) + setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), IsSplitEpi (h.unit.app X)
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ L.map (section_ (h.unit.app Y)) = h.counit.app (L.obj Y)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
⊢ s ∩ ⋂ i, ⋂ i_1 ∈ i, t i_1 = ∅
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
α : Type u_5
s : Finset α
f : α → A
h : ∀ x ∈ s, IsIntegral R (f x)
⊢ IsIntegral R (∑ x ∈ s, f x)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
⊢ ¬mk f < mk x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a c : R
dvd : a ∣ c
⊢ c ∈ ↑(span R {a})
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ 1 < s.card ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
α : Type u
f g : α → α
x : α
hf : Function.IsFixedPt f x
hg : Function.IsFixedPt g x
⊢ Function.IsFixedPt (f ∘ g) x
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
f : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ f.vars, D (MvPolynomial.X i) = 0
⊢ D f = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
j k : N →* P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
⊢ j = k
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (ofFn f).get i = f i
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1
hp0 : p ≠ 0
⊢ False
y : ℝ
h✝ : 0 < y
⊢ 0 * 0 = 0
α : Sort u
s : Setoid α
⊢ Quotient.mk' = Quotient.mk s
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n] i0)
m : ℕ := (toZ i0 (succ^[n] i0)).toNat
h_eq : succ^[m] i0 = succ^[n] i0
hmn : ¬m = n
⊢ IsMax (succ^[n] i0)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
⊢ Finmap.lookup a (Finmap.singleton a b) = some b
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : 0 < a
⊢ a • b₁ < a • b₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e₁ e₂ : ENorm 𝕜 V
h : ∀ (x : V), ↑e₁ x = ↑e₂ x
⊢ e₁ = e₂
R : Type u
CommSemiring R
f g : R[X]
ha : Associated f g
h : f.Separable
⊢ g.Separable
α : Type u_1
n : ℕ
Add α
v : Fin n.succ → α
y : α
w : Fin n → α
⊢ v + Matrix.vecCons y w = Matrix.vecCons (Matrix.vecHead v + y) (Matrix.vecTail v + w)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
⊢ μ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} = 1
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w
⊢ w ∉ {v}
x y z : Bool
⊢ x ≤ z → y ≤ z → (x || y) ≤ z
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (TwoSidedIdeal R)
x : R
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ I ∈ S, x ∈ I
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
F : Type u_2
AddGroup F
AddAction F G
AddAction.QuotientAction F H
f : F
T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
g : G
⊢ f +ᵥ ↑(AddSubgroup.MemLeftTransversals.toFun ⋯ g) = ↑(AddSubgroup.MemLeftTransversals.toFun ⋯ (f +ᵥ g))
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j ≫ (leftDistributor X f).inv = X ◁ biproduct.ι f j
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.map (Algebra.Generators.Hom.id P) = LinearMap.id
α : Type u_2
Bornology α
BoundedSpace α
⊢ Bornology.cobounded α = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
n : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
⊢ b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l) ↔ k ≤ l.castSucc
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (s₁ ∪ s₂) s' μ ↔ ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s' μ ∧ ProbabilityTheory.IndepSets s₂ s' μ
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
CategoryTheory.Epi p
i : σ.I
⊢ (σ.ofEpi p).s i = SheafOfModules.sectionsMap p (σ.s i)
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁
⊢ ↑(S.moduleCatToCycles x) = S.f x
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
SMulZeroClass R α
r : R
d : n → α
⊢ Matrix.diagonal (r • d) = r • Matrix.diagonal d
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra S A
IsScalarTower R S A
x : Aᵐᵒᵖ ⊗[R] Bᵐᵒᵖ
⊢ (Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R S A B) x =
  MulOpposite.op ((TensorProduct.map ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ sSup (image2 f s t) = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f a b
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s₁ s₂ : Finset α
hs : Disjoint s₁ s₂
t : Finset α
⊢ Disjoint (G.interedges s₁ t) (G.interedges s₂ t)
α : Type u
e : Computability.Encoding α
⊢ Cardinal.lift.{v, u} #α ≤ Cardinal.lift.{u, v} #(List e.Γ)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring R
x : R × S
⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (RingHom.fst R S) s
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
g : ULift.{u, v} ι → Set (ULift.{v, u} α) := (fun x => ULift.down ⁻¹' x) ∘ f ∘ ULift.down
l' : Filter (ULift.{u, v} ι) := Filter.map ULift.up l
this : l'.NeBot
⊢ ∀ x ∈ ULift.down ⁻¹' t, ∀ᶠ (i : ULift.{u, v} ι) in l', x ∈ g i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleInvRotateIso.inv.app X).hom₁ = (F.commShiftIso (-1)).hom.app X.obj₃
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q
β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'
E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor
α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor
α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
γ : G' ⋙ E₂ ≅ E₁ ⋙ G := liftNatIso W₁.Q W₁ (W₁.Q ⋙ G' ⋙ E₂) (W₁.Q ⋙ E₁ ⋙ G) (G' ⋙ E₂) (E₁ ⋙ G) ((W₁.Q.associator G' E₂).symm ≪≫ isoWhiskerRight β.symm E₂ ≪≫ Φ.functor.associator W₂.Q E₂ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor α₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight α₁.symm G ≪≫ W₁.Q.associator E₁ G)
hγ : ∀ (X : C₁), γ.hom.app (W₁.Q.obj X) = E₂.map (β.inv.app X) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X)
⊢ γ.hom.app (W₁.Q.obj X) ≫ G.map (α₁.hom.app X) ≫ e.inv.app X ≫ α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X ≫ G'.map g ≫ β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = E₂.map (G'.map g) ≫ γ.hom.app (W₁.Q.obj Y) ≫ G.map (α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
β : Type u_4
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : Sub β
inst✝² : OrderedSub β
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSub₂ β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {a | f a = g a} = {a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0}
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ HasDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α
⊢ (f'.π.app { as := j }).op = (f.π.app { as := j }).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc (Cofan.mk (op f'.pt) fun a => (f'.proj a).op)
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
h3 : |x| = x
h4 : |x| ≤ 1
h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))
⊢ rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l' : List α
f : α → Option β
⊢ List.filterMap f (l ++ l') = List.filterMap f l ++ List.filterMap f l'
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf (Type u) X
Fsh : F.IsSheafUniqueGluing
⊢ F.IsSheaf
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
hH : H.index ≠ 0
hK : K.index ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).index ≠ 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
ι' : Type u_1
⊢ ⇑(MultilinearMap.currySumEquiv R ι M₂ M' ι').symm = MultilinearMap.uncurrySum
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ (Pell.xn a1 n).Coprime (Pell.yn a1 n)
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ 0 ∈ σ a ↔ ¬IsUnit a
x y : UInt64
⊢ (x % y).toNat = x.toNat % y.toNat
r : ℝ
⊢ r ≤ ‖r‖
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : x ~ᵤ y
⊢ x ∣ y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
⊢ LipschitzWith (Kα + Kβ) (Function.uncurry f)
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s : Set σ
⊢ MvPolynomial.supported R s = (MvPolynomial.rename Subtype.val).range
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ ((a.gcd b / ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ((a * b / ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = ((a / ∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ((b / ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
F₁.CommShift ℤ
F₂.CommShift ℤ
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIso e).hom.app X).hom₁ = e.hom.app X.obj₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).counitIso.hom.app X).app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E ≫ CategoryTheory.Limits.colim.map α =
  CategoryTheory.Limits.colim.map (CategoryTheory.whiskerLeft E α) ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.pre G E
α : Type u_1
p q : Prop
s : p ∧ q → Set α
⊢ ⋃ (h : p ∧ q), s h = ⋃ (hp : p), ⋃ (hq : q), s ⋯