ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMapIso' e h₁ h₂).inv = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j✝¹ j✝ : J
⊢ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹ = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹
R : Type u
Nontrivial R
Semiring R
x : R
⊢ (Polynomial.X + Polynomial.C x).natDegree = 1
x : SetTheory.PGame
⊢ (-x).RightMoves = x.LeftMoves
α β : Type u
f : β → Filter α
fs : List β
t : Set (List α)
⊢ t ∈ traverse f fs ↔ ∃ us, List.Forall₂ (fun b s => s ∈ f b) fs us ∧ sequence us ⊆ t
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Equiv.Perm.cycleFactorsFinset 1 = ∅
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
⊢ (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) = fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
⊢ ∑ i : R, χ ↑a * (χ i * ψ (↑a * i)) = ∑ a : R, χ a * ψ a
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s t : NonUnitalSubsemiring R
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.map f (s ⊔ t) = NonUnitalSubsemiring.map f s ⊔ NonUnitalSubsemiring.map f t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
hs : IsOpen s
⊢ (ApproximatesLinearOn.toPartialHomeomorph f s hf hc hs).target = f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
e : ↑s ↪ ↑t
⊢ ((fun a => ↑a) '' (⇑e '' univ)).encard ≤ t.encard
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ f.idealRange = LieIdeal.map f ⊤
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : sbtw a b c
⊢ ¬btw c b a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f
⊢ (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
V : Type u
inst✝ : Quiver V
a✝¹ b✝¹ c✝ d a b c x✝ : V
p : Path a b
q : Path b c
b✝ : V
r : Path c b✝
a✝ : b✝ ⟶ x✝
⊢ (p.comp q).comp (r.cons a✝) = p.comp (q.comp (r.cons a✝))
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a
⊢ ↑p ∣ x ^ p ^ a - y ^ p ^ a
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
T2Space α
h : IsCompact s
⊢ MeasurableSet s
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (p * C a).natDegree = p.natDegree
m n : ℕ
⊢ m ^ 2 < n → n < (m + 1) ^ 2 → ¬∃ t, t ^ 2 = n
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible a
Invertible b
h : a = b
⊢ ⅟a = ⅟b
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
x : β
⊢ X.d x ≫ X.d ((fun b_1 => b_1 + { as := 1 }.as • b) x) = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal (nonZeroDivisors R) K
⊢ FractionalIdeal.absNorm I = ↑(Ideal.absNorm I.num) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den|
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ x < sin (π / 2 * x)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0
⊢ logDeriv (fun z => a * f z) x = logDeriv f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R
⊢ (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2
β : Type v
rb : β → β → Prop
a₂ : Nat
b₂ : β
a₁ : Nat
b₁ : β
h₁ : a₁ ≤ a₂
h₂ : rb b₁ b₂
⊢ Prod.Lex Nat.lt rb { fst := a₁, snd := b₁ } { fst := a₂, snd := b₂ }
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
x y : R
⊢ (frobenius R p) (x + y) = (frobenius R p) x + (frobenius R p) y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.snd a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.2 ∂κ a
⊢ ⇑PNat.coeMonoidHom = Coe.coe
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
i : ℕ
⊢ l.toFinsupp i = l.getD i 0
α : Type u_1
d : MeasurableSpace.DynkinSystem α
a : Set α
⊢ d.Has aᶜ ↔ d.Has a
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
⊢ IsSeparatedMap f
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
hf : f ∈ closure S
⊢ (fixedBy α f)ᶜ.Finite
α : Type u_1
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.setRed.reverse = t.reverse.setRed
F : Type u_6
α : outParam (Type u_7)
β : outParam (Type u_8)
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
FunLike F α β
self : EsakiaHomClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ f a ≤ b → ∃ c, a ≤ c ∧ f c = b
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable β
f : β → Set α
⊢ ⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b = ⋃ b, f b
s : String
p : String.Pos
h : ¬s.atEnd p = true
⊢ s.next' p h = s.next p
M : Type u_13
N : Type u_11
A : Type u_12
Monoid N
AddMonoid A
DistribSMul M A
DistribMulAction N A
SMulCommClass M N A
c : M
⊢ ∀ (x : A), (SMulCommClass.toDistribMulActionHom N A c) x = c • x
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map γ) ⟨IsFiltered.max ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₃, x'⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t
this : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ BoxIntegral.Box.Ioo I ⊆ BoxIntegral.Box.Icc I
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
⊢ (Mathlib.Vector.ofFn f).head = f 0
x : ℝ
h : Irrational x⁻¹
⊢ Irrational x
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
g h : TensorProduct R M N →ₗ[A] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)
⊢ g = h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α
⊢ map (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) (𝓤 (α →ᵤ β)) ≤ 𝓤 β
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a < 0
⊢ 0 < a⁻
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k
⊢ WittVector.RecursionBase.solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
n : ℕ
⊢ ((X - C x) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ stoppedValue u (hitting u s n m) ω ∈ s
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
t : Finset α
⊢ s.toFinset ⊆ t ↔ s ⊆ ↑t
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
⊢ D (MvPolynomial.C a) = 0
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : SubtractionMonoid β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
n : ℕ
⊢ f (↑↑n * c) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
g : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ ∃! η, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map η) f.hom = g.hom
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
h₃ : a - b = a - c
⊢ a - b + b = a - b + c
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i : ι, f i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
this✝ this : s.Terminates
⊢ m = n
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
⊢ (n + 1)# = n#
R : Type u
CommSemiring R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun x_1 => Ideal.span {x} * x_1
m n : Nat
h : n ≤ m
⊢ m.succ - n = (m - n).succ
R : Type u
CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime x (z * x + y) ↔ IsCoprime x y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
f : G →* N
x : G
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.zpowers x) = Subgroup.zpowers (f x)
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
s : Set α
f g : α → M
hfg : ∀ a ∈ s, f a ≤ g a
⊢ s.mulIndicator f ≤ g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.Regular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
⊢ ∃ K ⊆ U, IsCompact K ∧ r < μ K
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
MulActionWithZero R M
h : IsSMulRegular M 0
⊢ Subsingleton M
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
⊢ ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝 b) (𝓤 α)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
e : Equiv.Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
⊢ (e.viaFintypeEmbedding f) b = f (e (f.invOfMemRange ⟨b, h⟩))
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
⊢ 0 < n.factorization p
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ t ∈ powersetCard n univ, (monomial (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1)) 1).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
hlt : j < i
⊢ i.succ.succAbove (i.cycleRange j) = (swap 0 i.succ) j.succ
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (-1) b = ZMod.χ₄ ↑b
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
a : ↥H
⊢ ↑((AddSubgroup.inclusion h) a) = ↑a
r p : ℝ≥0
h : p ≠ 0
⊢ r ≤ p⁻¹ ↔ r * p ≤ 1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.divisors.card = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
ha : a ≠ 0
⊢ normalize a = normalize (a * ↑u)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ (Finsupp.mapRange.linearMap f).toAddMonoidHom = Finsupp.mapRange.addMonoidHom f.toAddMonoidHom
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x✝ : α ⊕ β
hs✝ : s.Nodup
ht✝ : t.Nodup
x : α ⊕ β
hs : ∃ a ∈ s, inl a = x
ht : ∃ a ∈ t, inr a = x
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : CategoryTheory.InjectiveResolution X
n : ℕ
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.rightDerived α n).app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoRightDerivedObj F n).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map
        ((CategoryTheory.NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex))
      (P.isoRightDerivedObj G n).inv)
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
x : LocalizedModule S M
⊢ x + 0 = x
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
CommMonoid β
DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∏ t ∈ (insert a s).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset, f (insert a t)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
δ ε : ℝ
h : δ + ε < dist x y
⊢ Disjoint (Metric.closedBall x δ) (Metric.closedBall y ε)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
s : NonUnitalSubring R
t : NonUnitalSubring S
p : R × S
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
α : Type u_2
ι : Type u_5
BooleanAlgebra α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (s.inf f)ᶜ = s.sup fun i => (f i)ᶜ
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F₁ : CategoryTheory.Functor A C
U₁ : CategoryTheory.Functor C A
F₂ : CategoryTheory.Functor B D
U₂ : CategoryTheory.Functor D B
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : F₁.comp L₂ ⟶ L₁.comp F₂
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₄ adj₃) ((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α) =
  (CategoryTheory.conjugateEquiv (adj₁.comp adj₄) (adj₃.comp adj₂)) α
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty
⊢ s.sup' ⋯ (id ∘ f) = f (s.sup' ⋯ id)
α : Type u_2
AddCommMonoid α
A₁ A₂ : Set α
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
⊢ IsAddFreimanHom n A₁ A₂ id
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
⊢ A.IsHermitian ↔ (toEuclideanLin A).IsSymmetric
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖| ↔ angle x y = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∀ (r : S), ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (algebraMap S T) r ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ UniformContinuous ⇑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y
obs_x : min t x ≠ ⊤
⊢ t.truncateToReal x ≤ t.truncateToReal y
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
h : Summable f
⊢ (Function.support f).Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t✝ : Set α
f g : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ f
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hμ : μ (t ∩ u) < ⊤
⊢ μ t ≤ μ (t ∩ u)
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
i : J
⊢ ∃ c, Nonempty ((fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).obj c ⟶ i)
α : Type u_1
a : α
⊢ [a].getLast? = some a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.op.f
this✝¹ : Mono S₂.op.f
this✝ : Mono (opMap φ).τ₁
this : Mono (opMap φ).τ₃
⊢ Epi φ.τ₂
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : ArithmeticFunction M
x : ℕ
⊢ (↑ArithmeticFunction.zeta • f) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : Monotone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Icc a b) (Set.Icc (f a) (f b))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ List.kinsert a b l = ⟨a, b⟩ :: List.kerase a l
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ star ((ι Q) m) = -(ι Q) m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : E
f : Sum.inr (Sum.inr X) ⟶ Sum.inr (Sum.inr Y)
⊢ (CategoryTheory.sum.inverseAssociator C D E).map f = f
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑r)
M : Type u_2
Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ Commute (a ^ n) b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)
hs : ∀ (i : ι), ∀ x ∉ s i, f x = mk f ⋯ x
g : α → β := (⋂ i, s i).piecewise (const α default) f
⊢ AEMeasurable f (sum μ)
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < π / 2
⊢ 0 < tan x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ i : ι'
⊢ (Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inr i) = (Finsupp.single i✝ 1) i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
⊢ q = (q ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
p✝ p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x : α
hx : x ∈ Finset.filter p f.support
⊢ single x ((filter p f) x) = single x (f x)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.unitIso W D).hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ (UniformEquiv.prodComm α β).symm = UniformEquiv.prodComm β α
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
⊢ max a b * max a b < c
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ s → sInf s ≤ a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sign = (∡ p₁ p₂ p₃).sign
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
z τ : ℂ
⊢ ∑' (a : ℤ), (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term a (-z) τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
K : TopologicalSpace.Compacts G
U : TopologicalSpace.Opens G
h2 : ↑K ⊆ ↑U
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.innerContent U
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ Continuous ⇑UniformSpace.Completion.toCompl
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)
⊢ ⋃₀ (↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)