ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
⊢ G.cliqueSet n = ∅ ↔ G.CliqueFree n
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a₁ a₂ a₃ : ℝ
h : a₂ ∈ Set.Icc a₁ a₃
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..a₃, {x | x ≤ a₂}.indicator f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a₁..a₂, f x ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
a✝ b✝ : A
r : R
inst✝³ : OrderedCommRing R
inst✝² : OrderedRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : OrderedSMul R A
a b : R
h : a ≤ b
⊢ (algebraMap R A) a ≤ (algebraMap R A) b
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
G : Type u_3
Group G
s : Finset G
⊢ Group.rank ↥(Subgroup.closure ↑s) ≤ s.card
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this✝ : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U
A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U
z : E
hz : z ∈ U
this : e (f z) = e 0
⊢ f z = 0 z
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.SubmersivePresentation R S
⊢ self.IsFinite
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v : α
DecidableEq α
⊢ Disjoint (Finset.filter (fun x => UV.compress u v x ∈ s) s)
  (Finset.filter (fun x => x ∉ s) (Finset.image (UV.compress u v) s))
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : btw a b c
⊢ ¬sbtw c b a
α : Type u
x : α
⊢ FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup (FreeAddMagma.of x) = FreeAddSemigroup.of x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ s ⊆ a +ᵥ t ↔ -a +ᵥ s ⊆ t
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
h : (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = { toFun := _root_.id, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ((trace R M) f) + { toFun := _root_.id, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ((trace R N) g)
⊢ (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
f : { x // x ∈ tris } → Sym2 α := fun t => s(fx ⋯, fy ⋯)
hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
t₁ : Finset α
ht₁ : t₁ ∈ tris
t₂ : Finset α
ht₂ : t₂ ∈ tris
tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩
t : s(fx ⋯, fy ⋯) = s(fx ⋯, fy ⋯)
i : (fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) t₁ t₂
⊢ False
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven (↑a) s)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - toIcoMod hp a b = toIcoDiv hp a b • p
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval y) g_poly = 0 → (aeval (x * y)) g_poly = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : Algebra.IsSeparable L F
⊢ ∑ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = finrank L F • ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n
⊢ ↑d ≠ 0
S : Type u_1
R : Type u_3
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).re = s • a.re
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocallyConstant g
hf : Continuous f
s : Set Z
⊢ IsOpen (g ∘ f ⁻¹' s)
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a : α
s' s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α
eq : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.deleteMin le s = some (a, s')
⊢ s.realSize = s'.realSize + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : β → α
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
⊢ (∃ i, p i ∧ s i ⊆ {y | ∀ ⦃x : β⦄, f x = y → x ∈ t}) ↔ ∃ i, p i ∧ f ⁻¹' s i ⊆ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
⊢ Function.Injective fun f => Finsupp.indicator s f
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : ↥(Matrix.unitaryGroup n α)
⊢ ↑(Matrix.UnitaryGroup.toGL A) = Matrix.UnitaryGroup.toLin' A
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
h : (swap x x).support = {x, x}
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
PartialOrder 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[>] 0) (𝓝 f')
R : Type u_1
Ring R
⊢ ↑ArithmeticFunction.moebius * ↑ArithmeticFunction.zeta = 1
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this✝ : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E
this : FiniteDimensional ℝ E := trans ℝ K E
⊢ ProperSpace E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ⊤
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Nontrivial (Module.Dual K V) ↔ Nontrivial V
m n : Nat
h : 0 < m
⊢ n ≤ m - 1 → n < m
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
⊢ (if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (Fintype.card F / 2)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
a : S
⊢ 1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1 ∈ KaehlerDifferential.ideal R S
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
⊢ ↑(CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeX F) = CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
x : α
hf_ne_zero : f x ≠ 0
hf_ne_top : f x ≠ ⊤
⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) x = 1 x
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ {D | M.Dep D} = {I | M.Indep I}ᶜ ∩ Set.Iic M.E
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ IsUnit (cfc f a) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
x : M
k : ℕ
hk : x ∈ (f.genEigenspace μ) k
⊢ ∃ i, g x ∈ (f.genEigenspace μ) i
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZeta (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
inst✝ : Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
h : v x < v y
⊢ v (x + y) = v x
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
⊢ σ 1 = σ (↑ₐ 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ 0 + 0 + 0 + 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
b : E
hb : b ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
habc : a + c = b + b
⊢ a = b
α : Type u_1
DenselyNormedField α
r₁ r₂ : ℝ
h₀ : 0 ≤ r₁
h : r₁ < r₂
⊢ ∃ x, r₁ < ‖x‖ ∧ ‖x‖ < r₂
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
⊢ μ[-f|m] =ᵐ[μ] -μ[f|m]
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(CliffordAlgebra.map f)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X × Y
⊢ Filter.map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x) = 𝓝 x.1
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B u → u = u'
⊢ ¬HNNExtension.NormalWord.Cancels u w
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ
⊢ (hom f g ≫ inv f g).f n = (𝟙 (mappingCone g)).f n
α : Type u_2
DivInvMonoid α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingProd = a / b * l.alternatingProd
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
hb : 1 < b
⊢ n < a * b ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
h : Infinite ↑(s ∪ t)
⊢ Nat.card ↑(s ∪ t) ≤ Nat.card ↑s + Nat.card ↑t
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
⊢ ((MvPolynomial.rename f) φ).IsHomogeneous n ↔ φ.IsHomogeneous n
p : ℝ≥0∞
K : Type uK
V : Type uV
Semiring K
AddCommGroup V
Module K V
c : K
x : WithLp p V
⊢ (WithLp.equiv p V) (c • x) = c • (WithLp.equiv p V) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
w✝ : ι
hf : f w✝ = sup f
⊢ succ (sup f) ≤ lsub f
ι : Type u_1
l u x : ι → ℝ
H : ∀ (i : ι), l i < u i
⊢ x ∈ { lower := l, upper := u, lower_lt_upper := H } ↔ ∀ (i : ι), x i ∈ Set.Ioc (l i) (u i)
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
⊢ (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.snd f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.snd f i
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c
⊢ b ≠ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q
u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)
f' : α → β := fun x => ⨅ i, (u' ↑i).piecewise (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x
⊢ AEMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : m.gcd n = 1
⊢ addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p) = n
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
⊢ ⇑(e₁.coordChangeHomeomorph e₂ h₁ h₂) = e₁.coordChange e₂ b
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then ∅ else t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
S₂ : Type u_2
CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ k (MvPolynomial.eval₂ f g p) = MvPolynomial.eval₂ (k.comp f) (⇑k ∘ g) p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
f_intble : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
f g h : β → α
b : Filter β
a : α
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a)
hh : Filter.Tendsto h b (𝓝 a)
hgf : g ≤ f
hfh : f ≤ h
⊢ Filter.Tendsto f b (𝓝 a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
Ring 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 G
f : E → G
h_add : ∀ (x y : E), f (x + y) = f x + f y
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (x : E), f (c • x) = c • f x
C : ℝ
h_bound : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ Continuous f
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
⊢ Subgroup.normalClosure ↑H = H
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ univ \ s → f x = 0
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ ⇑(AlgEquiv.ofBijective f hf) = ⇑f
α : Type u_1
F : Type u_4
Norm F
g : α → F
l : Filter α
u : α → ℝ
⊢ (fun x => |u x|) =O[l] g ↔ u =O[l] g
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Over X
k : f ⟶ g
hk : CategoryTheory.Mono k.left
⊢ CategoryTheory.Mono k
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
i : Fin2 n
⊢ (prod.snd ⊚ (f ⊗' g)) i = (g ⊚ prod.snd) i
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hp1✝ : 0 ≤ 1
hp2 : 1 ≤ 1
hp1 : 0 < 1
⊢ (1 + s) ^ 1 ≤ 1 + 1 * s
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
⊢ Function.Injective ⇑f
x : ℝ
⊢ Real.sin (3 * x) = 3 * Real.sin x - 4 * Real.sin x ^ 3
m : Type u_1 → Type u_2
α β ρ : Type u_1
Monad m
f : α → β
x : ReaderT ρ m α
ctx : ρ
⊢ (f <$> x).run ctx = f <$> x.run ctx
x : ℂ
hx : x.arg ≠ Real.pi
⊢ Complex.log x⁻¹ = -Complex.log x
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
h : Order.IsPredLimit a
⊢ a < b → a < Order.pred b
⊢ FinPartOrd.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ FinPartOrd PartOrd = CategoryTheory.forget₂ FinPartOrd PartOrd ⋙ PartOrd.dual
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
I : Set ι
μ : F
hI : I.Countable
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i ∈ I, s i) ≤ ∑' (i : ↑I), μ (s ↑i)
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : Associates α
⊢ x * y = 1 ↔ x = 1 ∧ y = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).E = E
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f t ↔ ∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x i) t
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
F : ℂ → E := dslope f w
hws : (insert w s).Countable
hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)
hdF : ∀ z ∈ ball c R \ insert w s, DifferentiableAt ℂ F z
HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P ≃ₐ[R] P'
⊢ ⇑(FractionalIdeal.mapEquiv g) = FractionalIdeal.map ↑g
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso n A B f
⊢ IsMulFreimanHom n A B f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (x + -↑y) = round x - y
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₀ eA e').functor = eA.functor ⋙ e'.functor
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ f ≫ (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso S).inv =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).inv ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (AlgebraicGeometry.Spec.map f) ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den
⊢ q.num / ↑q.den = n / ↑d
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
CommSemiring B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
x : B
hx : x ∈ Algebra.adjoin R s
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, r ^ n • x ∈ B'
α : Type u
l : List α
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop l.length (l ++ₛ s) = s
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
⊢ ∀ (s : Set β), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ Set.univ → MeasurableSet (g ⁻¹' s)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
b : β
⊢ ∏ x ∈ s, update f i b x = b * ∏ x ∈ s \ {i}, f x
a b c : Int
h : a + b ≤ c + b
⊢ a ≤ c
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ (↑e).toFun = ⇑e
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
v : Nat.Linear.Var
⊢ Nat.Linear.Expr.denote ctx (Nat.Linear.monomialToExpr k v) = k * Nat.Linear.Var.denote ctx v
⊢ -5 / 4 + √5 ^ 2 * (1 / 4) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
⊢ ∀ t ∈ {∅}, MeasurableSet t
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
⊢ (additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f = (biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).inv
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
⊢ Nat.find h₁ = Nat.find h₂ + 1
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint (a ⊔ b) c ↔ Codisjoint a (b ⊔ c)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
⊢ φ ∈ T
θ : Angle
⊢ θ.cos < 0 ↔ π / 2 < |θ.toReal|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
⊢ filter p s = s ↔ ∀ x ∈ s, p x
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
⊢ abv (∑ x : ι, (bS.repr a) x • (LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS x))).det ≤ (Fintype.card ι).factorial • (Fintype.card ι • ((Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯ * y)) ^ Fintype.card ι
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
x : E
hb : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact E) (𝓝 c)
⊢ f x = c
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
Fintype ι
f : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent f ↔ Finset.univ.SupIndep f