ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : Aᵐᵒᵖ
⊢ (∃ y, (algebraMap R A) y = MulOpposite.unop x) ↔ ∃ y, MulOpposite.op ((algebraMap R A) y) = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn f (g ^ n) s
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
c : E
Fact (1 ≤ p)
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s : X → Set α
hs : ∀ (x : X), MeasurableSet (s x)
hμs : ∀ (x : X), μ (s x) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : ∀ (x : X), Filter.Tendsto (fun y => μ (s y ∆ s x)) (𝓝 x) (𝓝 0)
⊢ Continuous fun x => MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < c
h₂ : b < c
h : a > b
⊢ max a b < c
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
pkg'' : AbstractCompletion γ
a : α
b : β
f : α → β → γ
hf : UniformContinuous₂ f
⊢ pkg.map₂ pkg' pkg'' f (pkg.coe a) (pkg'.coe b) = pkg''.coe (f a b)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
e : y₁ = y₂
t : EqvGen (Types.Quot.Rel (F ⋙ coyoneda.obj (op d))) ⟨X₁, f₁⟩ ⟨X₂, f₂⟩
⊢ Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : C
h : ∀ (A : C) (f : I ⟶ A), IsIso f
I' A : C
f : I' ⟶ A
hI' : IsTerminal I'
this : IsIso (hI'.from I ≫ f)
⊢ (inv (hI'.from I ≫ f) ≫ hI'.from I) ≫ f = 𝟙 A
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc : IsUnit c
⊢ (f =O[l] fun x => c * g x) ↔ f =O[l] g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) 0 * ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
⊢ False
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, μ.densityToFinite x ≠ ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
h : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
V D : Set α
Vct : V.Countable
Dperf : Perfect D
VD : C = V ∪ D
⊢ ∃ D, Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc n f.derivativeFun = Polynomial.derivative (PowerSeries.trunc (n + 1) f)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p q : R[X]
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) (p * q) = (Polynomial.aeval x) p * (Polynomial.aeval x) q
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
⊢ LiouvilleWith p x
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → NonUnitalNonAssocSemiring (f i)
i : I
g : (i : I) → f i
⊢ (Pi.evalNonUnitalRingHom f i) g = g i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (𝟙_ (Mon_ C)).one = 𝟙 (𝟙_ C)
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) ≤ 1 / x - 1
⊢ |log x * x| < 1
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = absNorm I
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length
⊢ l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
v : F
s : Set E
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (fun x => v) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Antivary f g
n : ℕ
⊢ Antivary (f ^ n) g
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Countable ι'
m : Measure α
m' : ι' → Measure β
inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (m.prod (sum m')) s = (sum fun p => m.prod (m' p)) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
this : ProperSpace ↥K₁
hd : finrank 𝕜 ↥K₂ + 0 = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
h : Nonempty ↑(F.obj X)
⊢ ∃ A x, CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
m n : ℕ
h : 0 < m + 1
⊢ ack 0 (n + 1) < ack (m + 1) (n + 1)
M : Type u_1
S : Set M
AddGroup M
a : M
ha : a ∈ S.addCentralizer
⊢ -a ∈ S.addCentralizer
y : ℝ
hp : 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
c : ℝ≥0
ν : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω'
a✝ : MeasurableSet s
⊢ ↑((c • ν).map f) s = ↑(c • ν.map f) s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {f : α → Bool}, List.nil.all f = true
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j k : n
⊢ A i k * A.adjugate k j = Aᵀ.cramer (Pi.single k (A i k)) j
a b : ℕ+
⊢ (a.xgcd b).y + (a.xgcd b).zp + 1 = (a.xgcd b).y + ((a.xgcd b).zp + 1)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
⊢ (map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
⊢ a⁻¹ = 1 ↔ a = 1
a b : ℕ
hba : ¬b ∣ a + 1
⊢ (a + 1) / b = a / b
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((restrict s) μ.trim) t ≤ ((restrict s) μ) t
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
x : X
⊢ x ∈ (k • a).support ↔ x ∈ a.support
α : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring α
x : ↑(Icc 0 1)
⊢ x = 1 ↔ ↑x = 1
n : ℕ
⊢ n ∉ n.properDivisors
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c + f y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
m n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : m ≤ m / n
⊢ m = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ comap f ⁅I, N₂⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.map (fun x => x.toProd.2) p.darts = p.support.tail
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
j✝ : J
⊢ biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ h
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Field K
Field L
CommRing M
Algebra R K
Algebra R L
Algebra R M
Algebra K M
IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
Algebra K L
IsScalarTower R K L
h : Polynomial.Splits (algebraMap R L) (minpoly R x)
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K L) (minpoly K x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
x : α
⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
x : β
⊢ x ∈ s • t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y • z = x
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ∃ π,
  π.IsPartition ∧
    π.IsHenstock ∧
      π.IsSubordinate r ∧
        (∀ J ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = I.distortion
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
⊢ ⇑(Equiv.sumPiEquivProdPi π).symm ⁻¹' Set.univ.pi t =
  (Set.univ.pi fun i => t (Sum.inl i)) ×ˢ Set.univ.pi fun i => t (Sum.inr i)
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
⊢ H.Preconnected ↔ ∀ {u v : V}, u ∈ H.verts → v ∈ H.verts → ∃ p, p.toSubgraph ≤ H
X : Type u
s : Set (CofiniteTopology X)
⊢ IsOpen s ↔ s = ∅ ∨ sᶜ.Finite
q q' : Λ'
⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
hRS : R = S
a : 𝒳
ha : p.obj a = R
⊢ p.IsHomLift (CategoryTheory.eqToHom hRS) (𝟙 a)
V : Type u
Quiver V
a b : V
∀ (a b : V), Subsingleton (a ⟶ b)
p q : Quiver.Path a b
⊢ p.toList = q.toList ↔ p = q
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ ∀ (x : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G), ‖x.1.prod x.2‖ ≤ M * ‖x‖
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ 1 ≤ a ^ n ↔ 1 ≤ a
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts ν
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddRightInvariant
ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (-z + y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ (↑n !)⁻¹ • n.choose kl.1 • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω₁ : List B
hω₁ : ω₁.length = cs.length (cs.wordProd ω₁)
ω₂ : List B
hω₂ : ω₂.length = cs.length (cs.wordProd ω₂)
this : cs.length (cs.wordProd (ω₁ ++ ω₂)) ≤ (ω₁ ++ ω₂).length
⊢ cs.length (cs.wordProd ω₁ * cs.wordProd ω₂) ≤ cs.length (cs.wordProd ω₁) + cs.length (cs.wordProd ω₂)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
h : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).op = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
StarRing α
T : CentroidHom α
⊢ ↑(CentroidHom.starCenterIsoCentroid.symm T) = T 1
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
x y : α
⊢ f x = f y ↔ x = y
α : Type u_2
AddGroup α
t : Set α
a : α
⊢ (fun x => -a + x) '' t = (fun x => a + x) ⁻¹' t
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → f x = 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ whiskerRight (J.toPlus P) F ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight (J.toPlus P) F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → α
a : α
b : β
bs : List β
start : ℕ
⊢ List.foldlIdxSpec f a (b :: bs) start = List.foldlIdxSpec f (f start a b) bs (start + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem : v ∈ 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
f : ℕ → M
h : Summable f
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 (∑' (i : ℕ), f i))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
L.IsLocalization W
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C E
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D E
h₁ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₂ F₂'
e : F₁ ≅ F₂
⊢ (CategoryTheory.Localization.liftNatIso L W F₁ F₂ F₁' F₂' e).hom =
  CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' e.hom
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M
⊢ Filter.comap AddOpposite.unop (𝓝 x) = 𝓝 (AddOpposite.op x)
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
⊢ eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ ((addBottom L).nth (n + 1)).1 = false
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
CommRing R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R M
IsScalarTower 𝕜 R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
x : tsze R M
⊢ (NormedSpace.exp 𝕜 x).snd = NormedSpace.exp 𝕜 x.fst • x.snd
α : Type u
PseudoMetricSpace α
B : ℕ → ℝ
hB : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
H : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < B N) → ∃ x, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
⊢ CompleteSpace α
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
⊢ x.2 < n + 1
α : Type u_2
DistribLattice α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Function.Injective (Finset.uIcc a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
⊢ P σ
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
aux1 : ∀ (n : ℕ), ↑n = ↑n
aux2 : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree
⊢ (p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I.radical
R : Type u_1
CommSemiring R
R' : Type u_2
Monoid R'
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
DistribMulAction R' M
DistribMulAction R' N
self : TensorProduct.CompatibleSMul R R' M N
r : R'
m : M
n : N
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] n = m ⊗ₜ[R] (r • n)
a b : UInt16
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : IntervalIntegrable g μ a b
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
hle : (fun x => ‖f x‖) ≤ᵐ[μ.restrict (Ι a b)] g
⊢ IntervalIntegrable f μ a b
a : Prop
b : Prop
h : a
⊢ Or a b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ F.map f.unop.left.op ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) X).snd = ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd
x n m : ℕ
⊢ x ∣ n * x.gcd m ↔ x ∣ n * m
f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
H : Function.Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂
⊢ g₁.translationNumber = g₂.translationNumber
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α
⊢ ‖s.indicator f x‖₊ ≤ ‖f x‖₊
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ S
r : R
⊢ r • x ∈ S
G₀ : Type u
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
G₀' : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
inst✝¹ : Div M₀
inst✝ : MulDivCancelClass M₀
a b✝ b : M₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b / a = b
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun y => (f y, x)) '' s = (f '' s) ×ˢ {x}
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒜 ↔ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
⊢ ρ.finsupport x₀ ⊆ ρ.fintsupport x₀