ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstSMul G α
MulAction.IsMinimal G α
U : Set α
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
⊢ 0 < μ U ↔ U.Nonempty
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
⊢ IsRegular A
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
⊢ g (↑x (k + n)) ∈ Submodule.map g (I ^ (k + n) • ⊤)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ min b c - min b d ≤ c - d
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ Submodule.span R {x} = LinearMap.range (LinearMap.toSpanSingleton R M x)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ Stream'.Seq.map (GenContFract.Pair.map Rat.cast) (GenContFract.of q).s = (GenContFract.of v).s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x y : L
⊢ x ∈ L' → y ∈ L' → x + y ∈ L'
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ Disjoint s (⋃ i, ⋃ j, t i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint s (t i j)
α : Type u_1
β : Type v
f : β → α → β
H : RightCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f b a)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
⊢ p (Multiset.foldl f H x s)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = MeasureTheory.L1.integral (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.BilinForm.flipHom ≪≫ₗ LinearMap.BilinForm.flipHom = LinearEquiv.refl R (LinearMap.BilinForm R M)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ max a b - max c d ≤ max (a - c) (b - d)
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
comm : Commute g h
j : ℤ
⊢ h ^ j • MulAction.fixedBy α g = MulAction.fixedBy α g
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
⊢ (dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
⊢ (Relation.Comp r fun x x_1 => x = x_1) = r
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ Arrow.mk (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ≅ Arrow.mk (imageToKernel S.f S.g ⋯)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
ContinuousMul G
H : Subgroup G
U : OpenSubgroup G
h : ↑U ≤ H
⊢ IsOpen ↑H
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsDirected α r
h : IsStrongAntichain r s
⊢ s.Subsingleton
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0
hx : ‖IsAlgClosed.lift.toRingHom x‖ = 1
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ : E
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ ↑(stereographic ⋯) (-v) = 0
α : Type u_1
s : Set α
a : α
⊢ ↑{a} ⊆ s ↔ a ∈ s
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsLUB s⁻¹ a⁻¹ ↔ IsGLB s a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂
⊢ ↑s₁ = ↑s₂
α : Type u_1
G : Type u_4
CompleteLattice α
Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
g : G
⊢ Function.Semiconj (fun x => ⨆ g', (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) ⇑(f₂ g) ⇑(f₁ g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E
⊢ ⟪(x, r • y).1, (x, r • y).2⟫_𝕜 = r • ⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).toBlocks₂₂ = D
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ₄.natDegree ≤ 6
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
⊢ ∃! φ,
  ∀ (n : ℕ),
    (MvPolynomial.bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
α : Type u_2
M : Matroid α
ι : Sort u_3
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)
⊢ M.closure (⋂ i, Is i) = ⋂ i, M.closure (Is i)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R
⊢ Continuous fun x => eval₂ f x p
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).sublists = do
  let x ← l₂.sublists
  List.map (fun x_1 => x_1 ++ x) l₁.sublists
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ ⇑(colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U) ≫ (forgetStalk IM I M R x).hom = ⇑(colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U) ≫ (forgetStalk IM I M R x).hom
V : Type u_2
Quiver V
self : Quiver.HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
⊢ Quiver.reverse (Quiver.reverse f) = f
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero M
CommMonoid N
CommMonoid P
H : Type u_16
FunLike H N P
MonoidHomClass H N P
h : H
f : α →₀ M
g : α → M → N
⊢ h (f.prod g) = f.prod fun a b => h (g a b)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
ha : HasDerivAt f f' x
⊢ f' ≤ slope f x y
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
⊢ Integrable (fun x => a i * ((L ∘ fderiv ℝ g) x * f x)) μ
s : Set ℕ
Infinite ↑s
dP : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
⊢ (Nat.Subtype.orderIsoOfNat s) n = Nat.Subtype.ofNat s n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
v : Set (β × β)
hv : v ∈ 𝓤 β
w : Set (β' × β')
hw : w ∈ 𝓤 β'
hvw : (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) '' v ×ˢ w ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ (a : α) (b : α'), a ∈ s → b ∈ s' → ((F m.1.1 a, F' m.1.2 b), F m.2.1 a, F' m.2.2 b) ∈ u
x : ℂ
⊢ (exp' x).lim = (fun x => ∑' (n : ℕ), x ^ n / ↑n !) x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
t : Set Ω
⊢ μ[|s] t = (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)
M : Type u_5
Zero M
α : Type u_13
Finite α
f : α →₀ M
⊢ Finsupp.equivFunOnFinite.symm ⇑f = f
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
n m : ℤ
⊢ a * b ^ n * b ^ m = a * b ^ (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : (κ a) (s ×ˢ t) = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) (s ×ˢ t)
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β), (κ.condKernel (a, b)) {c | (b, c) ∈ s ×ˢ t} ∂κ.fst a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → Finset β
h : (range f).Finite
⊢ (⋃ a, ↑(f a)).Finite
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)
τ : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ x✝ : J
α : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ data.mapZ { left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ } = data.mapZ { left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ }
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : BumpCovering ι X s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ⇑(self.toFun i)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a :: (l ++ []) ~ a :: l
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ ((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = φ ((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun (f + g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun f + { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun g
α : Type u_3
DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(p / q) = ↑p / ↑q
α : Type u
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
a : α
h : t₁ ≤ t₂
⊢ 𝓝 a ≤ 𝓝 a
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) x * (ExteriorAlgebra.ι R) y + (ExteriorAlgebra.ι R) y * (ExteriorAlgebra.ι R) x = 0
n : ℕ
⊢ Nontrivial (Fin n) ↔ 2 ≤ n
𝒮 : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
R S : 𝒮
a b : 𝒳.obj
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : 𝒴.p.IsHomLift f (F.map φ)
⊢ f = eqToHom ⋯ ≫ 𝒳.p.map φ ≫ eqToHom ⋯
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
π' : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (π.infPrepartition π').toPrepartition = π.toPrepartition ⊓ π'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o
⊢ (k = k' ∧ i = j) = (i = j ∧ k = k')
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝² : One β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : MetrizableSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ MeasurableSet (mulSupport f)
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f.hom ⊗ g) ≫ (f.inv ⊗ h) = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
P : RegularExpression α
x : List α
⊢ P.star.rmatch x = true ↔ ∃ S, x = S.join ∧ ∀ t ∈ S, t ≠ [] ∧ P.rmatch t = true
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
⊢ lineDeriv 𝕜 f x (c • v) = c • lineDeriv 𝕜 f x v
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ h₂ ≫ S₂.g + h₃ = h₃ + h₂ ≫ S₂.g
m n : ℕ
hn : Odd n
hm : m ∣ n
⊢ m ≠ 2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
⊢ comap (⇑(p i)) (𝓝 0) = 𝓝 0
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R B
DistribMulAction R C
f : (A →ₙₐ[R] B) × (A →ₙₐ[R] C)
⊢ NonUnitalAlgHom.prodEquiv f = f.1.prod f.2
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ η) (F.map₂ (CategoryTheory.inv η)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.map f)
R : Type u_4
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ⊥.toAddSubgroup = ⊥
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ Module.rank F ↥(IntermediateField.adjoin F S) = 1 ↔ S ⊆ ↑⊥
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
hf : f.Monic
⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).root = root f
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
a : ↑s
t : Set ↑s
⊢ t ∈ 𝓝 a ↔ Subtype.val '' t ∈ 𝓝[s] ↑a
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ s.Finite
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ l.length = List.countP p l + List.countP (fun a => decide ¬p a = true) l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : TensorProduct R M N
⊢ (LinearMap.lTensor M (g ∘ₗ f)) x = (LinearMap.lTensor M g) ((LinearMap.lTensor M f) x)
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
SMul 𝕜 E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
K : ConvexCone 𝕜 E
a : E
⊢ a ∈ K.closure ↔ a ∈ closure ↑K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 (z +ᵥ s)
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ Tendsto (fun x => b * x ^ (p - 1)) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
hxy : x ≠ y
⊢ a • x + b • y ∈ s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l <:+: [] ↔ l = []
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
e : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
v : ι → M
⊢ e.det (⇑f ∘ v) = LinearMap.det f * e.det v
R : Type u_1
A : Type u_3
CommRing R
Ring A
Algebra R A
x : R
⊢ IsIntegral R ((algebraMap R A) x)
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, log (f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)
bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
⊢ ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ 1 ≤ Fintype.card α
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
CompleteSpace F
R : ℝ
c : ℂ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hf : DiffContOnCl ℂ f (Metric.ball c R)
⊢ deriv f c = (2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-2) • f z
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ Set.InjOn f s ↔ Function.Injective (s.restrict f)
m n : Nat
⊢ m.lcm n = n.lcm m
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ioi b ⊆ Set.Ioi a
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ DirectSum.IsInternal fun p =>
  Submodule.torsionBy R M
    (Submodule.IsPrincipal.generator ↑p ^ Multiset.count (↑p) (UniqueFactorizationMonoid.factors ⊤.annihilator))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), ((borelMarkovFromReal Ω η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t} ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β), ((η.comapRight he) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t} ∂κ.fst a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
q : R[X]
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun a => eval a q) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f (eval x q)) a = cfc f ((aeval a) q)
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subsemiring R
x : R
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
e : PartialHomeomorph M H
h : e.source = Set.univ
⊢ SmoothManifoldWithCorners I M
a b : Rat
⊢ a + b = Rat.normalize (a.num * ↑b.den + b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 1
⊢ P.toPoly.Monic
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F : I → C
i : I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.functor F).obj { as := i } = F i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix m n R
i : n
b : m → R
x : m
y : n
⊢ A.updateColumn i b x y = (col (Fin 1) b).submatrix id (Function.const n 0) x y
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
hs : s ⊆ u
⊢ t ⊆ u → s ∪ t ⊆ u
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X
⊢ t = ⨅ u, TopologicalSpace.induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)
⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ (l₁.diff l₂).erase a = (l₁.erase a).diff l₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
x : α
⊢ x ∈ {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} ↔ x ∈ ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t s₁ s₂ : Set α
ht : MeasurableSet t
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (t.ite s₁ s₂)