ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx : y' • (algebraMap S S') x ∈ y' • Submodule.span R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C → D
self : CategoryTheory.Functorial F
X : C
⊢ CategoryTheory.Functorial.map' (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F X)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)
⊢ ∃ a, autMap f a = σ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
this : ProperSpace ↥K₁
hd : finrank 𝕜 ↥(K₁ ⊔ K₁ᗮ ⊓ K₂) + finrank 𝕜 ↥(K₁ ⊓ (K₁ᗮ ⊓ K₂)) = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
R : Type u
Ring R
P : Type v
AddCommGroup P
Module R P
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module.Projective R M
e : M ≃ₗ[R] P
⊢ Module.Projective R P
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
Fintype ↑G.edgeSet
s : Finset (Sym2 V)
Fintype ↑(G.deleteEdges ↑s).edgeSet
⊢ (G.deleteEdges ↑s).edgeFinset = G.edgeFinset \ s
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁ ≅ C₂
i : ι
⊢ (HomologicalComplex.Hom.isoApp f i).inv = f.inv.f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
s t : α → Set β
ht : ∀ t_1 ∈ lb, ∀ᶠ (x : α) in la, t x ⊆ t_1
hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x
⊢ ∀ t ∈ lb, ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ c / a / (c / b) = b / a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp : ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = s.indicator (fun x => 1) y • x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) volume
ha : Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) s a
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α
⊢ MulAction.orbit (↥s) a = MulOpposite.op a • ↑s
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ (StarAlgHom.id R B).comp f = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y✝ : M
b✝ : Basis ι R M
n : ℕ
N : Submodule R M
y : M
b : Basis (Fin n) R ↥N
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N
⊢ ⇑(let_fun span_b := ⋯; Basis.mk ⋯ ⋯) = Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)
x p : ℝ
n : ℕ
h : ↑n ≤ p
⊢ ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x => x ^ p) x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (s.indicator f) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c * f x
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ ∀ (a : List R[X]), (prod ⟦a⟧).natDegree ≤ (Multiset.map natDegree ⟦a⟧).sum
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
f : E →ₗ[ℝ] E := r • 1
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.inits = l.initsTR
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x y : α
ys : y ∈ s
hy : y < x
z : α
zs : z ∈ s
hz : x < z
⊢ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
f : ↑(Set.Icc a b) → β
⊢ Continuous (Set.IccExtend h f) ↔ Continuous f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
X : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.counitIso J K e A).hom.app X).val.app X_1 =
    X.val.map (e.counitIso.inv.app (Opposite.unop X_1)).op
x : SimplexCategory
f : x ⟶ x
CategoryTheory.IsIso f
⊢ f = 𝟙 x
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₄
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h2 : rs ~ rs'
h3 : IsWeaklyRegular M rs
h4 : ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤
⊢ ⊤ ≠ Ideal.ofList rs' • ⊤
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
Zero M₁
hA : ZeroMemClass A M₁
S' : A
⊢ 0 = ⟨0, ⋯⟩
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ H₁ ⊓ H₂ ≤ ⊥ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1
α : Type u_1
Semigroup α
a b c : α
h : a * b ∣ c
⊢ a ∣ c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ ↑(map id ⟨s, al⟩) = ↑⟨s, al⟩
k : Type u
Field k
IsAlgClosed k
x : k
⊢ ∃ z, x = z * z
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
⊢ μH[d] (f '' s) = μH[d] s
m : ℕ
⊢ WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 3)) =
    WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 2 * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 5) -
      WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) ^ 2 ∧
  WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 2) + 1) =
    (WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 3 * if Even m then 4 ^ 2 else 1) -
      WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else 4 ^ 2
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i : I
f : (i : I) → C i
⊢ (CategoryTheory.Pi.eval C i).obj f = f i
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ ⇑(b.map f) = ⇑f ∘ ⇑b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2
⊢ mβ ≤ MeasurableSpace.map (Prod.fst ∘ f) m
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇔ c ⊓ b ⇔ c ≤ c
n : ℕ
k : ℕ
⊢ QuaternionGroup.a 1 ^ k = QuaternionGroup.a ↑k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
f' : E ≃L[𝕜] F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') x
⊢ (fun p => p.1 - p.2) =O[𝓝 (x, x)] fun p => f p.1 - f p.2
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Set.Iic b, f x ∂μ))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
r : Set (Set α)
hsg : t = TopologicalSpace.generateFrom r
hsi : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ r → ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ r → s ∩ t ∈ r
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (insert Set.univ r)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
⊢ Fin.cons x (Function.update p i y) = Function.update (Fin.cons x p) i.succ y
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
⊢ comap (lsingle a₁) (⨅ a ∈ t, ker (lapply a)) = ⊤
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ⋖ b ↔ a ⩿ b ∧ a ≠ b
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ Real.arccos x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ Function.Surjective ⇑(RingQuot.mkRingHom r)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
⊢ 𝓝 f = ⨅ s, ⨅ (_ : IsCompact s), Filter.comap (ContinuousMap.restrict s) (𝓝 (ContinuousMap.restrict s f))
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n * ↑n * ↑n
α : Type u
β : Type v
m : α → β
F G : Filter α
h : F ≤ G
⊢ Filter.map m F ≤ Filter.map m G
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ * w = z ↔ w = f ↑y * z
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type v
j j' : J
x : CategoryTheory.Limits.limit F
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f (CategoryTheory.Limits.limit.π F j x) = CategoryTheory.Limits.limit.π F j' x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Finset.Ioi a ↔ a < x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
I : Finset ι
hI_ss : I ⊆ s
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset ι
hI_ss_J : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ s
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂ x ∈ fun a => a ∈ J.val, F x).Nonempty
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Set.BijOn (fun x => x + a) (Set.Iio b) (Set.Iio (b + a))
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => g (f x)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
x : ι → α
⊢ f (⨆ i, x i) = ⨆ i, f (x i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : ℵ₀ ≤ b
⊢ b ≤ a * b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
⊢ (∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i) ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
m n✝ n : ℕ
⊢ n % 2 + 2 * n.div2 = n
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : Embedding ⇑f
H₂ : Embedding ⇑g
⊢ Embedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
τ : Ω → ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.stoppedValue u τ = ∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
j : ι
s : Finset ι
j_not_mem_s : j ∉ s
Hrec : f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
A : update (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) j (m j) = s.piecewise (fun i => c i • m i) m
⊢ c j • (∏ i ∈ s, c i) • f m = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
CategoryTheory.Preregular C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.regularTopology C) F
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Icc a b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S I
h : LocalRing S := ⋯
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (LocalRing.maximalIdeal S) = I
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∈ l
y : α
⊢ ∀ (h : x ∈ y :: l), x ≠ y → x = (y :: l).getLast ⋯ → l.Nodup → (y :: l).next x h = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.leftUnitorEquivalence C).functor = CategoryTheory.prod.leftUnitor C
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ p₃ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hmg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
s : Set α
hms : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in sᶜ, g x ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Ioi a ∪ {a} = Set.Ici a
a b c : Int
⊢ a + b ≤ c ↔ a ≤ c - b
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
⊢ CategoryTheory.Abelian.DoldKan.equivalence.functor = CategoryTheory.Abelian.DoldKan.N
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
j : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).ι j =
  CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).diagram j
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
⊢ IsGδ {x | ContinuousAt f x}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).tail? = Option.map (List.map f) l.tail?
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
⊢ Equivalence f.SameCycle
α : Type u_1
DecidableEq α
t : Finset α
a : α
ha : a ∈ t
s : Finset α
⊢ s.erase a ∪ t = s ∪ t
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ i j k : ι
hk : P.root k = (P.reflection i) (P.root j)
⊢ P.coroot k = (P.coreflection i) (P.coroot j)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b⁻¹ = 1
⊢ a = b
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
A : e.symm ≫ₕ f ∈ G
B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G
C : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ∈ G
⊢ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ dist (μ.testAgainstNN f₁) (μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
⊢ ↑a / ↑b < ↑c / ↑d ↔ a * d < c * b
x : ℝ
⊢ abs (cexp ↑x) = Real.exp x
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
SemilatticeSup B
OrderBot B
Semiring R
AddMonoid A
AddMonoid B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
l : List (AddMonoidAlgebra R A)
⊢ l.prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) l).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
⊢ (s ∪ {x}).encard ≤ s.encard + {x}.encard
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
this : ↑(chainLength α β) • x = ⁅coroot α, x⁆
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
⊢ Associates.mk p ∈ (Associates.mk a).factors
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (⇑Complex.abs ∘ Complex.circleTransformBoundingFunction R z) (Metric.closedBall z r ×ˢ Set.univ)
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M
⊢ (LHom.sumInl.substructureReduct S).IsElementary
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderTop β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (f a) (f b)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α₁ α₂ : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ ((α₁ + α₂).comp β h).hom = (α₁.comp β h + α₂.comp β h).hom
M : Type u_1
Add M
x : ↥⊤
⊢ AddSubsemigroup.topEquiv x = ↑x
R : Type u_3
CommRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a = a ↔ a = ↑a.re
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
⊢ (e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f' ∈ G₁
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
t : Subsemiring R
⊢ Subsemiring.closure s ≤ t ↔ s ⊆ ↑t
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
this : ∀ (i : m), ker (proj i ∘ₗ toLin' (diagonal w)) = comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i))
⊢ ⨅ i, comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
x : H
s : Set H
⊢ (insert x s).innerDualCone = {x}.innerDualCone ⊓ s.innerDualCone
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := s } ≤ { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ sSup {m | IsSimpleModule R ↥m} = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : R
hy : y ∈ ↑N
⊢ (algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩ = (algebraMap R T) ↑⟨y, hy⟩