ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
c : ℂ
R : ℝ
⊢ Measurable (circleMap c R)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
⊢ ¬n + 1 ≤ n
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
CommSemiring A
Algebra R A
B : Type u
Semiring B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.FormallySmooth R A
Algebra.FormallySmooth A B
⊢ Algebra.FormallySmooth R B
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist x y = ‖x -ᵥ y‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.RespectsIso
f g : CategoryTheory.Arrow C
e : f ≅ g
⊢ P f.hom ↔ P g.hom
w : Nat
x : BitVec w
⊢ -x = ((BitVec.iunfoldr (fun i c => (c, !x.getLsb ↑i)) ()).snd.adc (1#w) false).snd
α : Type u_1
l : List α
is : List (Fin l.length)
h : List.Pairwise (fun x x_1 => ↑x < ↑x_1) is
⊢ List.map l.get is <+ l
α : Type u_2
β : Type u_3
o : Option α
f : α → Set β
⊢ ⋃ x ∈ o.toFinset, f x = ⋃ x ∈ o, f x
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
n : ℕ
this : ∑ x ∈ Finset.range n, m (s x) = m (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ m (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i) ≤ m (⋃ i, s i)
α : Type u_3
DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p * q) = ↑p * ↑q
α : Type u_1
r : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0
h : HasSum f r
⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) = ↑r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ (b.coord i) (b i) = 1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) ↑φ = φ.coeff 0
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f
s : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
⊢ CategoryTheory.Mono s.inr
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
functor : CategoryTheory.Functor C D
inverse : CategoryTheory.Functor D C
unit_iso : CategoryTheory.Functor.id C ≅ functor.comp inverse
counit_iso : inverse.comp functor ≅ CategoryTheory.Functor.id D
f :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (functor.map (unit_iso.hom.app X)) (counit_iso.hom.app (functor.obj X)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.id (functor.obj X)
⊢ { functor := functor, inverse := inverse, unitIso := unit_iso, counitIso := counit_iso,
      functor_unitIso_comp := f }.unitInv =
  unit_iso.inv
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set α
hf : IsLocalMaxOn f t a
h : s ⊆ t
⊢ IsLocalMaxOn f s a
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R
⊢ (Q.basisRepr v) w = Q (∑ i : ι, w i • v i)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑((f * g) a) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑(g a) ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) (f + g)).toMvPolynomial i) = (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial i) + fun i => ((toMatrix b₁ b₂) g).toMvPolynomial i
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
κ : Type v
b : Basis κ K V
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f : FreeMonoid α →* M
⊢ FreeMonoid.lift (⇑f ∘ FreeMonoid.of) = f
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ InnerProductSpace.Core.normSq x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
⊢ a + b /ₚ u = (a * ↑u + b) /ₚ u
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ Real.log x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => x⁻¹) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)) s x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
H.IsCartanSubalgebra
⊢ H ≠ ⊥
α : Type u
x y : FreeSemigroup α
⊢ (x * y).length = x.length + y.length
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = Ordering.eq ↔ a = b
a b : UInt64
⊢ (a / b).toNat = a.toNat / b.toNat
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
hd : p ∣ C (i f.leadingCoeff)
⊢ p.degree = 1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ↑H ∈ 𝓝 1
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
a : α
ha : 0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a
⊢ 0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
CategoryTheory.Balanced C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsCodetecting 𝒢 ↔ CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hn : 1 ≤ n
⊢ ?m.1078222 + 1 ≤ n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
⊢ ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ |(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤ ε ^ 5 / 49
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s
y : ↑s
hyt : y ∈ t
hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)
⊢ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => f x * g x) s μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f q μ * MeasureTheory.eLpNorm g r μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ g ≤ f ⊔ g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
H : ContinuousOn f (s \ {x})
z : X
hzx : z ≠ x
hzs : z ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (update f x y) s z
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (g ⊗ f.inv) ≫ (h ⊗ f.hom) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (∃ a, s = {a}) → ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
⊢ (Finsupp.cons y s) 0 = y
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
⊢ f (x, y) ≤ f (x, t) + f (t, y)
a : ℤ
b : ℕ
⊢ jacobiSym a b = jacobiSym (a % ↑b) b
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hn : n < f.natDegree
i : ℕ
⊢ (if hi : i < f.natDegree then (h.basis.repr (h.root ^ n)) ⟨i, hi⟩ else 0) = Pi.single n 1 i
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ Lean.Omega.Coeffs.dot (-xs) ys = -Lean.Omega.Coeffs.dot xs ys
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ none ∈ range l.get?
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
(L'.sum L).Structure M
FirstOrder.Language.LHom.sumInr.IsExpansionOn M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inr f) x = FirstOrder.Language.Structure.funMap f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
M N : PresheafOfModules R
φ : M ⟶ N
⊢ PresheafOfModules.restrictionApp f M ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (PresheafOfModules.Hom.app φ Y) =
  ModuleCat.ofHom (PresheafOfModules.Hom.app φ X) ≫ PresheafOfModules.restrictionApp f N
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ u, a < u
⊢ 𝓝[≥] a = ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Ico a u)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
a b c : ℝ
hf : ‖f‖ ≤ a
hx : ‖x‖ ≤ b
hy : ‖y‖ ≤ c
⊢ ‖(f x) y‖ ≤ a * b * c
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf CommRingCat X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x :
  ↥((RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
          (RingHom.fst ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))).eqLocus
      (RingHom.comp (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
        (RingHom.snd ↑(F.val.obj (Opposite.op U)) ↑(F.val.obj (Opposite.op V)))))
⊢ (F.val.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op) ((F.objSupIsoProdEqLocus U V).inv x) = (↑x).1
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 = 0
⊢ ∃ u v, (fun x => g • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
⊢ a ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ s = 𝓝ˢ (s ∩ t ∪ s ∩ tᶜ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E
⊢ LinearIndependent 𝕜 ![t • y - x, s • y - x]
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), (fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
⊢ homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s)) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ I ∈ associatedPrimes R M ↔ IsAssociatedPrime I M
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ∑ i : Fin n, d * (2 * d + 1) ^ ↑i = ((2 * d + 1) ^ n - 1) / 2
α : Type u
Preorder α
a : α
s : Set α
⊢ upperBounds (insert a s) = Set.Ici a ∩ upperBounds s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
⊢ M.rTensorOne' (m ⊗ₜ[R] 1) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x ≤ y ∧ Disjoint x z
⊢ x ≤ y \ z
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SetLike S A
NonUnitalSubsemiringClass S A
hSR : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ ⇑(NonUnitalSubalgebraClass.subtype s) = Subtype.val
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
M' : Submonoid M
x : ↥M'
⊢ ↑((f.submonoidMap M') x) = f ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (l₁.zip l₂).length = min l₁.length l₂.length
o : Ordinal.{u_3}
a : (Quotient.out (Order.succ o)).α
⊢ a ≤ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) o ⋯
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ Subgroup.comap H.normalizer.subtype H)
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Sylow p G
⊢ MulAction.stabilizer G P = (↑P).normalizer
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
h : I ≤ J
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h) ((DoubleQuot.quotQuotMk I J) x) = (Ideal.Quotient.mk J) x
α : Type u_6
β : Type u_7
Unique α
Preorder β
f : (i : α) → (fun a => β) i
⊢ (OrderIso.funUnique α β) f = f default
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ AddSubgroup.centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h + g = g + h
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
s : Set α
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Set.InjOn fa s
hf : Set.InjOn f (fa '' s)
⊢ Set.InjOn fb (f '' s)
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n = n'
h1 : a * (2 * b - a) = a'
h2 : a * a + b * b = b'
⊢ fib n' = a'
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ≥0
⊢ ↑(∏ a ∈ s, f a) = ∏ a ∈ s, ↑(f a)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ s ∈ MeasureTheory.ae μ ↔ μ s = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ id 𝕜 E = adjoint (id 𝕜 E)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
Zero β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (s i).indicator f a) Filter.atTop (pure ((⋃ i, s i).indicator f a))
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ Antitone (lowerCentralSeries G)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x : R
⊢ (algebraMap R S) x = h.map (Polynomial.C x)
α : Type u_1
β : Type u_2
data : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
⊢ data.size = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
a : α
⊢ a ∈ (onFinset s f hf).support ↔ f a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
y z : E
θ : 𝕜
hθ₀ : 0 ≤ θ
hθ₁ : θ ≤ 1
⊢ SameRay 𝕜 ((fun θ => y + θ • (z - y)) θ - y) (z - (fun θ => y + θ • (z - y)) θ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
b : β
K : ℝ≥0
x y : α
⊢ edist ((fun x => b) x) ((fun x => b) y) ≤ ↑K * edist x y
x : ℝ
⊢ 0 < √x ↔ 0 < x
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ c.toProd.2 ⊆ d.toProd.2 ↔ d ≤ c
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)
h₄ : ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)
⊢ f m • g m + (f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
m n : PosNum
⊢ Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ 0 ⊆ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticAt 𝕜 f x
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
α : Type u
a b : Set α
h : ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
⊢ a = b
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
⊢ ↑a.re + ↑b.re + (↑a.im + ↑b.im) * ↑r = ↑a.re + ↑a.im * ↑r + (↑b.re + ↑b.im * ↑r)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
⊢ ↑2 ≤ multiplicity q p
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
t : ↑(F.obj X)
⊢ Pi.π (fun b => F.obj X) t ((PreservesProduct.iso F fun x => X).hom (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X)) = t