ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂
G' : D₂ ⥤ D₃ := Ψ.localizedFunctor L₂ L₃
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G
e' : Ψ.functor ⋙ L₃ ≅ L₂ ⋙ G' := CatCommSq.iso Ψ.functor L₂ L₃ G'
⊢ e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ G'.map (e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y) = (Φ.functor.associator Ψ.functor L₃ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e' ≪≫ (Φ.functor.associator L₂ G').symm ≪≫ isoWhiskerRight e G' ≪≫ L₁.associator G G').hom.app X ≫ (G ⋙ G').map f ≫ (Φ.functor.associator Ψ.functor L₃ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e' ≪≫ (Φ.functor.associator L₂ G').symm ≪≫ isoWhiskerRight e G' ≪≫ L₁.associator G G').inv.app Y
⊢ volume {x | ∃ i, 2 < i ∧ LiouvilleWith i x} = 0
M : Type u_2
Monoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
⊢ (IsPerfectClosure.equiv i j p).symm = IsPerfectClosure.equiv j i p
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : Memℒp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
x : α
hx : x ∈ Function.support f
⊢ x ∈ k
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ Function.support f).Finite
ht : (t ∩ Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i + ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
R : Type u_1
MulZeroClass R
a b : R
hb : IsRightRegular b
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r r' : R'
hr : r' ∈ span R' s
hr' : r' • n ∈ s • N
⊢ (r • r') • n ∈ s • N
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F s ∘ CategoryTheory.OverPresheafAux.counitBackward F s = id
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
x : α
hx : x ∈ l
this : x ≠ b
⊢ elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
⊢ ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
b : M i
⊢ (DirectSum.lof R ι M i) b = (DirectSum.of M i) b
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s✝ : Finmap β
s : AList β
⊢ (erase a (erase a' ⟦s⟧)).entries = (erase a' (erase a ⟦s⟧)).entries
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (⋂ ε_1, ⋂ (_ : max 0 ε < ε_1), thickening ε_1 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ UnifTight f p μ ↔ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 2 * a * b ≤ a ^ 2 + b ^ 2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)
⊢ b ((↑(t * y), t * y) * (p, q)) (1 * (x, y))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
⊢ ⇑f.antisymmetrization = Quotient.map' ⇑f ⋯
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a
⊢ ∃ f, f a = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m
⊢ ∀ᶠ (l : ℕ) in Filter.atTop, ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (Metric.closedBall x r)
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : Multiset.card s = n
ht : Multiset.card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map f t).prod
α : Type u
⊢ Set.univ.Finite ↔ Nonempty (Fintype α)
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ (X ^ n - C a).degree = ↑n
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
⊢ x = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g
h : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = g x
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ |‖a‖ - ‖b‖| ≤ ‖a - b‖
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (star c * star (b * star a)) = star (star c * (a * star b))
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
a b : α
h : {a} ≠ {b}
⊢ (Disjoint on id) {a} {b}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
s : Set α
⊢ (∀ i ∈ 𝓝 1, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ id i}}) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, y • U
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (∫ (x : ℝ), ↑(rexp (-b * x ^ 2))) ^ 2 = ↑π / ↑b
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
b : β
f : α → β
s : Set α
f_mble : NullMeasurable f (μ.restrict s)
hs : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] fun x => b
t : Set β
t_mble : MeasurableSet t
ht : b ∉ t
⊢ μ (f ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' t ∩ s)
α : Type u
β : Type v
self : α ≃. β
a : α
b : β
⊢ a ∈ self.invFun b ↔ b ∈ self.toFun a
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
i : ι
⊢ (b.repr ↑(floor b m)) i = ↑⌊(b.repr m) i⌋
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame ≤ b.toPGame ∧ b.toPGame ≤ a.toPGame ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
l.NeBot
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ ¬Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ha : ¬Polynomial.eval a F = 0
⊢ ∃ z, Polynomial.eval z F = 0 ∧ ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ‖Polynomial.eval z (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ∀ (z' : ℤ_[p]), Polynomial.eval z' F = 0 → ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ → z' = z
p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).factorization p = a.factorization p + b.factorization p
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
s : Finset ℕ
m n p k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : 0 ≠ 1
h : Squarefree (0 ^ k)
⊢ Squarefree 0 ∧ k = 1
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, t ∩ f i = t ∩ ⋂ i ∈ s, f i
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ Function.Surjective ⇑e
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V n
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P
⊢ v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ -v₁ + v₂ = p₁ -ᵥ p₂
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
⊢ ∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), Function.Surjective ⇑e.toRingHom
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔
  p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
α : Type
X : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X c.inj).hasPullbacks
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor fun x => Opposite.op (X x)) F
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor F (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X c.inj)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.SurjOn f s t ↔ ∃ s' ⊆ s, Set.BijOn f s' t
G : Type u_1
H : Type u_2
AddMonoid G
x : G
AddMonoid H
f : G →+ H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsOfFinAddOrder (f x) ↔ IsOfFinAddOrder x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) μ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (CauSeq.Completion.mk f)⁻¹ = CauSeq.Completion.mk (f.inv hf)
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
h : f ≤ id
n : ℕ
⊢ f^[n] ≤ id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ (Bimod.isoOfIso f f_left_act_hom f_right_act_hom).inv.hom = f.inv
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
⊢ s.secondInter p (-v) = s.secondInter p v
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ z / I = -(z * I)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
CompleteSpace E
f : SchwartzMap V E
⊢ ⇑((SchwartzMap.fourierTransformCLE 𝕜) f) = 𝓕 ⇑f
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : AddMonoid.Coprod M N →+ P
⊢ AddMonoidHom.mrange f =
  AddMonoidHom.mrange (f.comp AddMonoid.Coprod.inl) ⊔ AddMonoidHom.mrange (f.comp AddMonoid.Coprod.inr)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).gcd = gcd s₁.gcd s₂.gcd
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ CategoryTheory.Epi φ.τ₂
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x => b + x) ⁻¹' Metric.ball a r = Metric.ball (a - b) r
S : Type u_5
Semiring S
M : Type u_6
AddCommMonoid M
Module S M
f : M →ₗ[S] M
⊢ (∃ p, LinearMap.IsProj p f) ↔ f ∘ₗ f = f
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : Module.End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f}
⊢ a.IsSemisimple
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c p : P1
⊢ (homothety c 0) p = (const k P1 c) p
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.cond μ ∅ = 0
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₂
Invertible 2
Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.associated (QuadraticForm.baseChange A Q) = LinearMap.BilinMap.baseChange A (QuadraticMap.associated Q)
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
h : ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b y : α
hya : y ∈ Ici a
z : α
hzb : z ∈ Ici b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ici (a * b)
α : Type u
Monoid α
⊢ 1 = FreeAbelianGroup.of 1
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
Nontrivial Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
⊢ v x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ AntilipschitzWith 1 Subtype.val
M : Type u
AddMonoid M
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Discrete M)).as = 0
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
⊢ (ω ^ succ e.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M
⊢ (fun x => x + a) '' Set.Ioo b c = Set.Ioo (b + a) (c + a)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
l : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
⊢ fold max ⊥ l ≤ n
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
this : 0 < p
⊢ 1 < p ∧ 0 < p * n ∧ p * n % p = 0
a✝ b c p q a : ℚ
⊢ a.num ≤ 0 ↔ a ≤ 0
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
h : IsUnit b
⊢ a / b = 1 ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
⊢ Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d < b
⊢ Iio b ∪ Ioo c d = Iio (max b d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ (Iio ⊤).OrdConnected
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
⊢ G.adj.unit = { app := fun X => { f := X.a, h := ⋯ }, naturality := ⋯ }
a x✝ z x : ℂ
⊢ ((starRingEnd ℂ) x).arg = if x.arg = π then π else -x.arg
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w' : InfinitePlace K
e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)
e' : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯
⊢ |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (fundSystem K (e' i)))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(fundSystem K (e i))))).det|
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!
⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y * z + x) y
⊢ IsCoprime x y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ c ∈ s ○ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.i self.p = CategoryTheory.Arrow.leftToRight
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 ⇑f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ LinearMap.rTensor Q f ∘ₗ LinearMap.lTensor M g = TensorProduct.map f g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Fintype ι
b : Basis ι R M
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : Fintype M
⊢ card M = card R ^ card ι
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p n) = 0
ι : Sort u_1
V : Type u
a b : V
f : ι → SimpleGraph V
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ (∀ (i : ι), (f i).Adj a b) ∧ a ≠ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)
n' : ℕ
e'' : f (↑r ^ (n' + n)) * x = f (↑r ^ n' * b)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
R : Type u_1
σ : Type u_2
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Function.LeftInverse
  (MvPolynomial.eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map MvPolynomial.C I)).comp MvPolynomial.C) ⋯)
    fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map MvPolynomial.C I)) (MvPolynomial.X i))
  ⇑(Ideal.Quotient.lift (Ideal.map MvPolynomial.C I)
      (MvPolynomial.eval₂Hom (MvPolynomial.C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) MvPolynomial.X) ⋯)
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
s : σ
a : α
⊢ s ∈ M.stepSet S a ↔ ∃ t ∈ S, s ∈ M.εClosure (M.step t (some a))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ (isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b
⊢ a ≤ a * b