ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤
w : Finset ↑v
hw : ∑' (a : { a // a ∉ w }), μ (B ↑↑a) < ε / ↑C
M : (s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x) ⊆ ⋃ a, closedBall (c ↑↑a) (3 * r ↑↑a)
⊢ μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε
H : Type u
TopologicalSpace H
t : TopologicalSpace.Opens H
ht : Nonempty ↥t
e' : PartialHomeomorph (↥t) H
he' : e' ∈ atlas H ↥t
⊢ ∃ x, e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr ht
α : Type u
LinearOrderedCommGroup α
a : α
h : a⁻¹ = a
⊢ a = 1
M : Type u_1
Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
α : Type u_2
One α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ s ⊆ 1 ↔ s = 1
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
CommRing Aₘ
IsDomain Aₘ
Algebra A Aₘ
IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ IsDedekindDomain Aₘ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun c => f (a, c) (seq n)) (ν a)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
⊢ x ≠ y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : PMF α
b : β
⊢ b ∈ (PMF.map f p).support ↔ ∃ a ∈ p.support, f a = b
x y : ℂ
⊢ tanh (x * I) = tan x * I
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesColimit (span f g) F
s : IsPushout f g h i
⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = ⋯.cocone.ι.app WalkingCospan.left
α : Type u_1
n : ℕ
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
a : α
⊢ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) (vecCons a f) (vecCons a f) ↔ r a (f 0) ∧ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set (Subfield K)
x : K
⊢ x ∈ (sInf s).toSubring ↔ x ∈ ⨅ t ∈ s, t.toSubring
α : Type u_1
LinearOrder α
a c : α
⊢ c ∉ Set.Ioi a ↔ c ≤ a
α : Type u
TopologicalSpace α
self : TotallySeparatedSpace α
⊢ IsTotallySeparated Set.univ
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
a : α
⊢ Finset.singletonAddMonoidHom a = {a}
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ finrank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)
⊢ False
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
⊢ MeasurableSpace.countablePartitionSet n a = s ↔ a ∈ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
SeminormedAddCommGroup E₄
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
Module R₄ E₄
f : E₃ →ₛₗᵢ[σ₃₄] E₄
g : E₂ →ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
h : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
⊢ K₁ᗮ ⊓ K₂ᗮ = (K₁ ⊔ K₂)ᗮ
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
DecidableEq β
t : Finset β
ht : t.Nonempty
⊢ 0 • t = 0
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
⊢ (∫⁻ (a_1 : ℝ) in Iic x, gammaPDF a r a_1).toReal = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f
⊢ ClosedEmbedding ⇑f.val.base
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
⊢ {f | ∀ (i : ι), f i ∈ t i}.Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
φ : ↥W.dualAnnihilator
x : M
⊢ (W.dualCopairing φ) (Submodule.Quotient.mk x) = φ x
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
x : G
u : α → G
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => u x_1 / x) l (𝓝 1) ↔ Filter.Tendsto u l (𝓝 x)
o : Ordinal.{u_4}
f : (b : Ordinal.{u_4}) → b < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u_4}) (h : i < o), f i h < a) → o.blsub f ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
F.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F
⊢ (F.mapBiproduct f).hom = CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun j => F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
s : AList β
⊢ AList.erase a' (AList.erase a s) = AList.erase a (AList.erase a' s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p)
a r x : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gammaPDF a r x =
  ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then r ^ a / Real.Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)) else 0)
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
⊢ s.sdiff t = s ↔ Disjoint (↑s) t
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero β
SMulPosReflectLT α β
⊢ SMulPosMono α β
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.forget C D).obj (CategoryTheory.LeftExactFunctor.of F) = F
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C
⊢ ((α.inv ≫ α.hom) ◫ (β.inv ≫ β.hom)).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
i : ι
his : i ∈ S
⊢ π i ⊆ piiUnionInter π S
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
FunLike F α β
Monoid α
Monoid β
MonoidHomClass F α β
f : F
l : List (Set α)
⊢ ⇑f '' l.prod = (List.map (fun s => ⇑f '' s) l).prod
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
g : C(X, ↑t)
hg : restrict s g = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ restrict s g = f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x y : M'
hx : IsLocalizedModule.IsInteger f x
hy : IsLocalizedModule.IsInteger f y
⊢ IsLocalizedModule.IsInteger f (x + y)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).natTrailingDegree = n
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
l : Filter β
f : β → α
y : α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Filter.Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂ᵒᵖ
L : Φ.op.RightResolution X₂
⊢ L.unop.X₁ = Opposite.unop L.X₁
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ Zero.zero = Zero.zero
M : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
x y : M
h : x < y
⊢ NeZero y
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b✝ : α
f : β → α
b : β
l : List β
⊢ Chain R (f b) (map f l) ↔ Chain (fun a b => R (f a) (f b)) b l
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
⊢ a ∣ b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : Polynomial R
h : {x | Polynomial.eval x p = Polynomial.eval x q}.Infinite
⊢ p = q
α : Type u
Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ 1 - x ∣ 1 - x ^ n
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U : Y.Opens
⊢ f.app U = f.appLE U ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U) ⋯
α : Type u_1
Denumerable α
γ : α → Type u_3
(a : α) → Denumerable (γ a)
n : ℕ
⊢ Denumerable.ofNat (Sigma γ) n =
  ⟨Denumerable.ofNat α (Nat.unpair n).1, Denumerable.ofNat (γ (Denumerable.ofNat α (Nat.unpair n).1)) (Nat.unpair n).2⟩
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p
⊢ RePred p
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 W
h : e ∈ G'.edgeSet
⊢ Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f).toRelHom (Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f.symm).toRelHom ⟨e, h⟩) = ⟨e, h⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
hst : s ⊆ t
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) univ x.2
R : Type u
CommSemiring R
Z : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsClosed Z ↔ ∃ I, I.IsRadical ∧ Z = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
MeasurableMul G
μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (↑n * r)
⊢ l ∣ 2 * ↑n
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
⊢ f x = g x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂ν
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ ∀ (x : IndexSet (op [n])), x ≠ IndexSet.id (op [n]) → (s.πSummand x ≫ (s.cofan (op [n])).inj x) ≫ PInfty.f n = 0
p n k : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p ∣ (p ^ n).choose k ↔ k ≠ 0 ∧ k ≠ p ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2
⊢ eLpNorm (↑↑f) 2 μ ^ 2 = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ (algebraMap ℤ_[p] ℚ_[p]) x = ↑x
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Neg β
ContinuousNeg β
f : C(α, β)
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
m n : Nat
H : 0 < m.gcd n
⊢ (m / m.gcd n).Coprime (n / m.gcd n)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a : α
DecidableEq β
hf : HasSum f a
b : β
⊢ HasSum (fun n => if n = b then 0 else f n) (a - f b)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
z : ℂ
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (1 - z.re) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ z.re
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ ∃ s', ∀ (a : α), a ∈ s' ↔ a ∈ s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : Algebra R S
f : τ → S
g : σ → MvPolynomial τ R
i✝ : σ
⊢ ((aeval f).comp (bind₁ g)) (X i✝) = (aeval fun i => (aeval f) (g i)) (X i✝)
E : Type u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable
H : ¬interior s = ∅
⊢ ℵ₀ < ℵ₀
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
β : Type u_6
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
α : Type u_2
self : Ultrafilter α
⊢ (↑self).NeBot
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ IsLUB (lowerBounds s) a ↔ IsGLB s a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a
⊢ dist (g (↑↑f a)) (g (↑↑f' a)) ≤ ↑c * dist (↑↑f a) (↑↑f' a)
b : ℕ
⊢ Nat.factorizationLCMRight 0 b = 1
α : Type u_1
MetricSpace α
s : TopologicalSpace.Opens α
x y : s.CompleteCopy
⊢ dist x y = dist ↑x ↑y + |1 / Metric.infDist (↑x) (↑s)ᶜ - 1 / Metric.infDist (↑y) (↑s)ᶜ|
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.π₃.obj T = T.obj₃
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ Exact ⇑(lTensor Q f) ⇑(lTensor Q g)
a b : String
⊢ Levenshtein.stringLogLengthCost.substitute a b = max (a.length + 1).log2 (b.length + 1).log2
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e : σ ≃ τ
⊢ ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, X (e i) = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ (mapEmbedding e.toEmbedding) x, X i
R : Type u
CommRing R
x y z : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
hx : z ∣ x
hy : z ∣ y
⊢ z ∣ IsBezout.gcd x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
s : Set P
e : P ≃ᵃ[k] P₂
⊢ AffineIndependent k Subtype.val ↔ AffineIndependent k Subtype.val
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet Δ), ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).X.map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥⊤ = FiniteDimensional.finrank F ↥⊤
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K
⊢ μ univ = ⊤
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.bind₂ (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) = MvPolynomial.join₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ HasFDerivWithinAt b (h.deriv p) u p
K : Type u_1
CommRing K
IsDomain K
Fintype Kˣ
⊢ ∏ x : Kˣ, x = -1
m n : Nat
⊢ m ∣ n → n ∣ m → m = n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
⊢ SeparableSpace α
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyInjective f
g : Y → A
hg : Function.Injective g
⊢ IsLocallyInjective (g ∘ f)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AffineSpace V₃ P₃
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
e' : P₂ ≃ᵃ[k] P₃
⊢ ↑(e.trans e') = (↑e').comp ↑e
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
h : ∀ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V → ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y V
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ id V}
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) (op ⊤)) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app x✝ = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
self : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (self.toFun x) (self.toFun y) ≤ C
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
CommMonoid β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (∏ j ∈ s, f j) (f i) μ
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227632}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ range f
⊢ lift.{u, v} #↑s ≤ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s)
G : Type u_3
Group G
⊢ Group.FG G ↔ ∃ S, Subgroup.closure S = ⊤ ∧ S.Finite
ctx : Nat.Linear.Context
m₁ m₂ : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (m₁.cancel m₂) = Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (m₁, m₂)
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (r : R) (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : r • x ∈ adjoin R s), p ⟨r • x, x_1⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
⊢ IsCompl W (B.orthogonal W)