ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
⊢ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂ ∈ zariskiTopology.sieves W
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
φ : α → 𝕜
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (φ • f) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm φ ⊤ μ * MeasureTheory.eLpNorm f p μ
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k
⊢ x ∈ mulSupport f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
(F.comp G).Initial
⊢ G.Initial
α : Type u_1
P : α → Prop
x : α
t : Ordnode α
⊢ P x → Ordnode.All P t → P (Ordnode.findMax' x t)
b c x y u v : Prop
Decidable b
h_c : b ↔ c
h_t : x ↔ u
h_e : y ↔ v
⊢ (if b then x else y) ↔ if c then u else v
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x ^ (- -(a.re + 1)) = (fun x => ‖↑x ^ (a + 1)‖) x
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ x + π / 2 ≤ π
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a : α
⊢ {a}.prod = a
n a : ℕ
h : n ∣ a
⊢ a ≡ 0 [MOD n]
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
l : List α
⊢ List.destutter R l = [] ↔ l = []
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ Cycle.Chain r (periodicOrbit f x) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
F : Type u_3
TopologicalSpace F
DiscreteTopology F
hf : ∀ (x : X), ∃ e, x ∈ e.baseSet
⊢ IsCoveringMap f
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (g • z).re = (UpperHalfPlane.num g z / UpperHalfPlane.denom g z).re
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
⊢ (γ₁ + γ₂).rightUnshift n hn = γ₁.rightUnshift n hn + γ₂.rightUnshift n hn
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f g : M₁ →L[R₁] M₁
⊢ f * g = f.comp g
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : R
a b c : A
h₁ : ((algebraMap R A) r - a) * b = 1
h₂ : c * ((algebraMap R A) r - a) = 1
⊢ r ∈ resolventSet R a
α : Type u
a : α
⊢ Stream'.cycle [a] ⋯ = Stream'.const a
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ h.finpartition.parts.card ≤ r
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
g : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapRange.equiv f hf hf') g = Finsupp.mapRange (⇑f) hf g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct Z
X : C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π).op ≫ (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct Z).hom =
  CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun a => (π a).op
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} \ ⋃ j ∈ Set.range τ, ⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ ⋃ j ∈ Set.range τ, ⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j})
n p a k : ℕ
hp : Prime p
⊢ a ^ k = p ↔ a = p ∧ k = 1
a : UInt32
b : Nat
⊢ (a.modn b).toNat = a.toNat % b
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
⊢ Finset.Nat.antidiagonalTuple 0 0 = {![]}
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (X i)), s i ∈ ↑f → ∃ x ∈ s i, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
x : (i : ι) → X i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i ∧ Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))
⊢ ∃ x ∈ {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}, ∀ (i : ι), Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as₀ as₁ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : ∀ {bs : Multiset β}, Rel r (s + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Rel r s bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁
bs : Multiset β
⊢ (∃ b bs', r a b ∧ (∃ bs₀ bs₁, Rel r s bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs' = bs₀ + bs₁) ∧ bs = b ::ₘ bs') ↔ ∃ bs₀ bs₁, (∃ b bs', r a b ∧ Rel r s bs' ∧ bs₀ = b ::ₘ bs') ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁
α : Type u
DecidableEq α
f : SlimCheck.InjectiveFunction α
⊢ Function.Injective f.apply
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
H : Function.Injective f
hs : s ⊆ range f
⊢ (f ⁻¹' s).ncard = s.ncard
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' s) = s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
a b : α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : DecidableEq α
f : α → β
inj : Injective f
inst✝ : Decidable (a < b)
⊢ compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq a b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
x y : X
h : x ⤳ y
⊢ y ⤳ x
n : ℕ
⊢ ↑n = ↑n /. 1
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
ec : Trivialization F TotalSpace.proj
hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑h.symm = ⇑h.symm
μ ν : YoungDiagram
⊢ (μ ⊔ ν).cells = μ.cells ∪ ν.cells
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F
⊢ StronglyMeasurable (deriv f)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f) _auto✝
⊢ μ {y | ¬essInf f μ ≤ f y} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1
R : ℕ → α := Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
hR : R = Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
this : ∀ (i j : ℕ), j ≤ i → abv (f j) ≤ R i
j : ℕ
hji : j ≤ i
⊢ abv (f j) < R i + 1
m n : PosNum
⊢ m + n.succ = (m + n).succ
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ Filter.comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) = 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ‖precompL Eₗ L‖ ≤ ‖L‖
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hI : M.Indep I
hBI : B ⊆ I
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hB'I : I ⊆ B'
⊢ I ⊆ B
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
x : ↑(C' C ho)
⊢ ((Linear_CC' C hsC ho) (e C (term I ho) * eval C ⟨↑l.Tail, ⋯⟩)) x = (eval (C' C ho) (Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩)) x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (CliffordAlgebra.GradedAlgebra.ι Q) m =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(CliffordAlgebra.evenOdd Q i)) 1) ⟨(CliffordAlgebra.ι Q) m, ⋯⟩
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ↑(ρ.asGroupHom g) = ρ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurve γ v
a : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
α : Type u_1
p : α → Bool
⊢ List.rdropWhile p [] = []
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
IsPurelyInseparable F K
⊢ IsPurelyInseparable F E
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Under.map f).comp (CategoryTheory.Under.forget X) = CategoryTheory.Under.forget Y
α : Type u_2
Group α
f : Filter α
⊢ IsUnit f ↔ ∃ a, f = pure a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasRightHomology
⊢ S₂.HasRightHomology
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.kernelUnopUnop g).inv =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift g.unop (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g).unop ⋯
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : ¬MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ f = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
g : X → F
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn g s μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty
⊢ Min.min (hs.min hsn) (ht.min htn) ≤ ⋯.min ⋯
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (zpowersEquivZPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (x - ↑q) ↔ Irrational x
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharP R 1
r : R
⊢ 1 * r = ↑1 * r
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e.toEquiv.symm = ↑e.symm
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x
⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f ν a b
h : μ ≤ ν
⊢ IntervalIntegrable f μ a b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsIrreducible (closure s) ↔ IsIrreducible s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : R[M]
⊢ ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : LowerSemicontinuousAt f x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f s x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ ∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ ∫ (a : D), 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂) ∂μ
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ ∀ {X Y : Quiver.Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor).map (Quiver.reverse f) = Quiver.reverse ((Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor).map f)
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α
⊢ a ∈ NonUnitalSubsemiring.center α ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)
⊢ ∀ (i : ℤ), volume ((fun x => x + ↑i) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
Fintype α
Fintype β
Fintype (Quotient (AddAction.orbitRel α β))
(b : β) → Fintype ↥(AddAction.stabilizer α b)
φ : Quotient (AddAction.orbitRel α β) → β
hφ : Function.LeftInverse Quotient.mk'' φ
⊢ Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (AddAction.orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(AddAction.stabilizer α (φ ω))
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
f : X →ₑ[φ] Y
⊢ f.comp (MulActionHom.id M) = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] E
⊢ star A = LinearMap.adjoint A
G : Type u_2
S : Type u_4
SetLike S G
DivisionMonoid G
SubgroupClass S G
H : S
⊢ ↑H / ↑H = ↑H
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => a + x
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d
⊢ c * (x * z) * (c * (x * z)) ≤ d * (y * w) * (d * (y * w))
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α
n : Set α
hn₁ : IsCompact n
hn₂ : n ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype α
hG : G.Colorable (card α)
⊢ G.chromaticNumber = ↑(card α) ↔ ∀ (C : G.Coloring α), Surjective ⇑C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ balancedCoreAux 𝕜 s ↔ ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → x ∈ r • s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ (AlgebraicGeometry.pullbackRestrictIsoRestrict f U).hom ≫ ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U).ι =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst f U.ι
G : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
ha : IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} a
⊢ H = AddSubgroup.closure {a}
i j : Nat
x : Nat
⊢ (x <<< i).testBit j = (decide (j ≥ i) && x.testBit (j - i))
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
⊢ star s ⊆ ↑(StarAlgebra.adjoin R s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval ((algebraMap R B) r * (x * y)))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ (R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = iso'.hom.app X ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
⊢ μ (s ∩ t) < ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ 𝓝 x = Filter.comap (↑e) (𝓝 (↑e x)) ⊓ 𝓟 e.source
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ (s ⊻ t).Nonempty → t.Nonempty
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(I ⊓ J) = ↑I ⊓ ↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ e ∈ Filter.map f cofinite
C : Type u_5
D : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
G : CategoryTheory.Functor D H
γ₁ γ₂ : RF ⟶ G
hγ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₁) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₂)
⊢ γ₁ = γ₂
α : Type u_2
One α
s : Set α
⊢ s ∈ 1 ↔ 1 ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x}ᶜ → max (f x) (g x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] (f.extend I).target ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s
α : Type u_1
β : α → Type u_2
⊢ Equiv.Perm.sigmaCongrRight 1 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizerComparison f g G)
    (G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h w)) =
  CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc (G.map h) ⋯
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I
⊢ M.Basis I M.E
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
t s : ℝ
hf : Periodic f 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + 0, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + 0, f x