ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
i j : ι
h : ¬i ≤ j
⊢ Module.DirectLimit.totalize G f i j = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ γ = γ'
α : Type u_1
Ring α
UniformSpace α
TopologicalRing α
UniformAddGroup α
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
ContinuousAdd α
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
⊢ HasSum (fun b => f b + g b) (a + b)
ι : Type u_1
Fintype ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
h : l₁ ≤ l₂
hc : c₁ ≤ c₂
⊢ l₁.toFilterDistortion I c₁ ≤ l₂.toFilterDistortion I c₂
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hlk : kl ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ kl.2 < n + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)
⊢ HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x f' ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
n : ℤ
⊢ (-1) ^ (-n) = (-1) ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift ↔ Nonempty sq.LiftStruct
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume (EMetric.ball a ⊤) = 2 * ⊤
α : Type u_1
a : α
⊢ ¬a ∈ #[]
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
i : ℤ := n % ↑↑k
hi0 : 0 ≤ i
⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ s : Set M
p : (x : M) → x ∈ (closure L).toFun s → Prop
Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f {x | ∃ (hx : x ∈ (closure L).toFun s), p x hx}
x : M
hx : x ∈ (closure L).toFun s
⊢ p x hx
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝¹ : l.length ≤ finrank ℝ F
x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hx : x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l
a : F
left✝ : a ∈ l
hax : reflection (Submodule.span ℝ {a})ᗮ = x
⊢ x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap φ = cyclesMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
hne' : ¬q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0
⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
h_liminf_pow : ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
rs : ℝ
hrs : s ⊆ closedBall ct rs
⊢ hausdorffEdist s t ≠ ⊤
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
ι : Type u_3
I : ι → FractionalIdeal R⁰ K
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hrec : (∀ i ∈ s, I i ≠ 0) → count K v (∏ i ∈ s, I i) = ∑ i ∈ s, count K v (I i)
hS : ∀ i_1 ∈ insert i s, I i_1 ≠ 0
⊢ count K v (∏ i ∈ insert i s, I i) = ∑ i ∈ insert i s, count K v (I i)
α : Type u_1
LinearOrder α
b x : α
hx : b ≤ x
⊢ Set.projIic b x = ⟨b, ⋯⟩
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(Ideal.span {x}) * (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist (dist x y) (dist x z) ≤ dist y z
D : GlueData
i : D.J
a : ↑(D.U i)
j : D.J
b : ↑(D.U j)
k : D.J
c : ↑(D.U k)
x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd
y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))
e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd
e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k)) := (pullbackIsoProdSubtype (D.f j i) (D.f j k)).inv ⟨((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x, y), ⋯⟩
⊢ D.Rel ⟨i, a⟩ ⟨k, c⟩
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]
⊢ ∃ a, (D R S).tensorProductTo a = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) s.think s
α : Type u_1
γ : Type u_3
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
⊢ ∀ {s : Set γ}, s ∈ f.lift g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A
⊢ p ∈ annIdeal 𝕜 a ↔ annIdealGenerator 𝕜 a ∣ p
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (-J).IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
Ha : ∀ (a : α), a ∈ ca → Computation.LiftRel R ca cb
Hb : ∀ (b : β), b ∈ cb → Computation.LiftRel R ca cb
⊢ Computation.LiftRel R ca cb
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrRight.inverse = (CategoryTheory.whiskeringRight E D C).obj e.inverse
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax' F).toPrelaxFunctor = F.toPrelaxFunctor
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
fst✝ : α
snd✝ : M
⊢ (fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ f (fst✝, snd✝).1 = (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝, snd✝).2 ≠ 0
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
AddCommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∑ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∑ x ∈ s, k (f x)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
Archimedean 𝕜
⊢ ⇑(AddCircle.equivIccQuot p a) ∘ Quotient.mk'' = fun x => Quot.mk (AddCircle.EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Function.Injective f
⊢ StrictMono f ∨ StrictAnti f
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = ⊤ ↔ a = b
α : Type u_1
Infinite α
s : Finset α
n : ℕ
hn : s.card ≤ n
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t.card = n
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
⊢ (sqrtd * { re := ↑x, im := -↑y }).Nonneg
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 0 < OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β
⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
c : α
Add α
Sub β
hf : Function.Periodic f c
hg : Function.Periodic g c
⊢ Function.Periodic (f - g) c
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N
w v : P
⊢ (f.lift hg) z * w = v ↔ g (f.sec z).1 * w = g ↑(f.sec z).2 * v
x r : ℝ
⊢ Real.expNear 0 x r = r
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1
this : ∀ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x = s.indicator (fun x => ↑‖x‖₊ * ind x) x
⊢ (∫⁻ (a : ℝ) in s, ↑‖a‖₊ ∂volume) * (volume s)⁻¹ ≠ ⊤
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f
⊢ Measurable fun x => (map (fun f => f x) l).prod
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
Y : Type v
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
⊢ GromovHausdorff.ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x
⊢ ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))
c : ℂ
⊢ CliffordAlgebraComplex.ofComplex ((starRingEnd ℂ) c) = CliffordAlgebra.involute (CliffordAlgebraComplex.ofComplex c)
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n { byteIdx := utf8Len [] } = { byteIdx := utf8Len [] + utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)
α : Type u_1
p : α → Prop
cmp : α → α → Ordering
x : α
t : Batteries.RBNode α
h₁ : p x
h₂ : Batteries.RBNode.All p t
⊢ Batteries.RBNode.All p (Batteries.RBNode.ins cmp x t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑b • f a' = ↑b' • f a
⊢ LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
α : Type u_3
f g : α → ℝ
t₀ : Filter α
hf : ∀ᶠ (t : α) in t₀, 0 ≤ f t
hft : ∀ᶠ (t : α) in t₀, f t ≤ g t
g0 : Filter.Tendsto g t₀ (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f t₀ (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : β → Set α
s : Set β
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => f x ∩ g x) s
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
Monoid α
Monoid β
f : α →* β
g : γ → α
x : t γ
⊢ f (Traversable.foldMap g x) = Traversable.foldMap (⇑f ∘ g) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.restrict s)
⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
R : CommRingCat
⊢ (CategoryTheory.forget TopCat).obj (AlgebraicGeometry.Spec.topObj R) = PrimeSpectrum ↑R
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ Filter.comap Neg.neg (𝓝 0) = 𝓝 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget D)
G : CategoryTheory.Functor (Type (max v₁ u₁)) D
adj : G ⊣ CategoryTheory.forget D
X : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ ((CategoryTheory.Sheaf.adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val =
  CategoryTheory.sheafifyLift J
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.1.associator (CategoryTheory.forget D) G).hom
      ((CategoryTheory.Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1))
    ⋯
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
⊢ ↑a - ↑a / 2 = ↑a / 2
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ IsAddSubgroup (IsAddSubgroup.addNormalizer s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
d : D
t : C
⊢ ((CategoryTheory.evaluationLeftAdjoint D c).obj d).obj t = ∐ fun x => d
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
c₀ : OmegaCompletePartialOrder.Chain (α →𝒄 β)
c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
z : β
⊢ (∀ (j i : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α → α
x : α
⊢ foldr n f x = List.foldr f x (list n)
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
⊢ HahnSeries.C r * x = r • x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 1 f ↔ ∃ f', Continuous f' ∧ ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x
k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ addRothNumber (Finset.Iio ↑k) ≤ rothNumberNat k
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_7
AddGroup N
f : G →+ N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.range = ⊤
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
⊢ PythagoreanTriple y x z
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥s + FiniteDimensional.finrank K ↥t ≤ FiniteDimensional.finrank K V
α : Type u_1
Neg α
x : α
⊢ MulOpposite.op (-x) = -MulOpposite.op x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
t : Set α
⊢ (l ⊓ 𝓟 t).NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → (s i ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
this : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u) \ v ∈ 𝒜
⊢ insert w s = (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u) \ v
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X' (F.obj X)) (F.map f) ≫ G.map g = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g
M : Type u_2
AddCommMonoid M
p : Prop
Decidable p
f : p → M
⊢ ∑ᶠ (i : p), f i = if h : p then f h else 0
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S₁ S₂ : StarSubsemiring R
⊢ S₁.toSubsemiring ≤ S₂.toSubsemiring ↔ S₁ ≤ S₂
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J
⊢ colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (colimit.ι F.flip a).app b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformContinuous f
g : SeparationQuotient α → SeparationQuotient β
comm : mk ∘ f = g ∘ mk
x✝ : SeparationQuotient α
a : α
⊢ map f (Quot.mk Setoid.r a) = g (Quot.mk Setoid.r a)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
a : S
t : R
k : ℕ
ha : a ^ k = 0
⊢ IsNilpotent (t • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : Integrable f ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
⊢ ↑r • j = r • j
α : Type u_1
β : Type u_2
LE β
Add β
One β
f : α → β
⊢ ∅.EquitableOn f
R : Type u
Ring R
n : ℤ
k : ℕ
f : R[X]
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (↑n * f) = ↑n * (⇑Polynomial.derivative)^[k] f
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m
this : Injective fun x => 2 * x
ho : HasProd (fun x => f ↑x) m'
⊢ IsCompl (Set.range fun x => 2 * x) (Set.range ((fun x => x + 1) ∘ fun x => 2 * x))
C : FloatCfg
this : prec ≤ 2 * emax
⊢ emin + ↑prec - 1 ≤ ↑emax
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.whiskerEquiv e w).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => (w j).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι g (e j)
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
ih : n.bits.length = n.size
⊢ (b :: n.bits).length = n.size.succ
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
Group G
Group G'
FunLike F G G'
MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ : G
⊢ f ⁅g₁, g₂⁆ = ⁅f g₁, f g₂⁆
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type z
Semiring C
Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
g : A →ₐ[R] B
⊢ (Polynomial.mapAlgHom f).comp (Polynomial.mapAlgHom g) = Polynomial.mapAlgHom (f.comp g)
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
this : Small.{u, v} M
⊢ Injective ⇑f
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
⊢ (sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X = α.app X