ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y : α
inst✝ : Nontrivial β
h : 1 = 0
⊢ f 1 = 0
L : FirstOrder.Language
_n : ℕ
a : L.Relations _n
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.id L).onRelation a = id a
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rdrop n = (List.drop n l.reverse).reverse
R : Type u_2
Ring R
a a' b : R
⊢ a = a' → -a' = b → -a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ (I.prod J).interior (M × N) = I.interior M ×ˢ J.interior N
m n : Nat
⊢ n * (m / n) ≤ m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (φ + φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ + CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ'
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasureTheory.OuterMeasure (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ MeasureTheory.piPremeasure m (Set.univ.pi fun i => Function.eval i '' s) = MeasureTheory.piPremeasure m s
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ SupIrred (OrderDual.toDual a) ↔ InfIrred a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)
⊢ (appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x = 𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : Module.Dual R M × M
⊢ ∀ (a_1 : Module.Dual R M × M), ((LinearMap.dualProd R M) a) a_1 = a_1.1 a.2 + a.1 a_1.2
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
a : α
⊢ a • f = ⊥ ↔ f = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).H = c.pt
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ ψ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap (φ + ψ) i = HomologicalComplex.homologyMap φ i + HomologicalComplex.homologyMap ψ i
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ (√↑v)⁻¹ * (√(2 * π))⁻¹ * rexp (-(c⁻¹ * x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = |c| * ((√(2 * π * (c ^ 2 * ↑v)))⁻¹ * rexp (-(x - c * μ) ^ 2 / (2 * (c ^ 2 * ↑v))))
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) (n + 1) = (expand p) (W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) n)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
a : Finset α
ha : a ∈ powersetCard n s
⊢ f a.card = f n
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c + c = c
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set ((a : ι) → π a)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a + b).toProd = a.toProd + b.toProd
R : Type u
Semiring R
A : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
B : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
a₁ a₂ : A
⊢ (LinearMap.inl R A B) (a₁ * a₂) = (LinearMap.inl R A B) a₁ * (LinearMap.inl R A B) a₂
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
⊢ ∃ n, ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z ∈ UpperHalfPlane.verticalStrip (↑N) z.im
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ z ≤ 0 ↔ ∃ x ≤ 0, ↑x = z
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ 𝟙 (X.presheaf.obj (op U)) = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)))) ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
⊢ Cauchy f ↔ f.NeBot ∧ ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).Φ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).Φ n)
α : Type u_1
m n : Num
⊢ m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
n : ℕ
⊢ Nat.nth (fun x => False) n = 0
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ ∃ a l', l = Turing.ListBlank.cons a l'
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
x : G
⊢ x ∈ ⊤
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
⊢ (if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ ∑' (n : ℕ), { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = ∑' (n : ℕ), if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ ∀ (x x_1 : CategoryTheory.Dial C) (f : x ⟶ x_1),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f).f =
    CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.src) f.f
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
h : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i] - μ[f i|↑ℱ i]
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
Fintype ↑s
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.span R s) = s.toFinset.card
⊢ (starRingEnd ℂ) (-Complex.I) = Complex.I
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
⊢ LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : CochainComplex.HomComplex.δ (-1) 0 α = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f p ≫ (CochainComplex.mappingCone.desc φ α β eq).f p = β.f p
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
this : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass G ≤ Group.nilpotencyClass H + 1
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V₁
inst✝ : Module K V₁
p : Submodule K V
⊢ Module.rank K (V ⧸ p) + Module.rank K ↥p = Module.rank K V
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
r : ℝ≥0
⊢ (r • s).toJordanDecomposition = r • s.toJordanDecomposition
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ EMetric.diam ∅ = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ p.toAddSubgroup ↔ x ∈ p
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∉ s
⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = C * integral μ (map norm f)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
hI_tendsto : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i))
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{max u_1 u}
⊢ derivFamily f o ≤ a ↔ ∀ b < o, derivFamily f b ≤ a
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
PartialOrder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
⊢ Function.Injective l
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
hab : a * b ∈ s
⊢ b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
i : ι
⊢ bfamilyOfFamily' r f (typein r i) ⋯ = f i
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
F : DirectLimit G f ↪[L] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ((fun i => F.comp (of L ι G f i)) j) ((f i j hij) x) = ((fun i => F.comp (of L ι G f i)) i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
⊢ (ofMultiset s hs).toOuterMeasure t = (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g) = TopologicalSpace.Opens.map g ⋙ TopologicalSpace.Opens.map f
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
h₁ : b ≠ 1
h₂ : a * b = a
⊢ a = 0
n p : ℕ
h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
h1 : 1 < p
⊢ Prime p
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ IsUnit A.transpose.det
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)₀
⊢ φ f - φ 0 = φ f
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
rla : IsLeftRegular a
⊢ IsLeftRegular (a ^ n)
K L : Type
Field K
Field L
IsAlgClosed K
IsAlgClosed L
p : ℕ
CharP K p
CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
⊢ Nonempty (K ≃+* L)
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < Ordinal.type r, Order.succ a < Ordinal.type r
x : α
⊢ ∃ y, r x y
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E
y : α
yE : y ∈ E
hy : infEdist x E = edist x y
D1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
D2 : dist x y ≤ δ
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ ∀ (x : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).J), ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.lift (pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)) (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A : T.Algebra
⊢ T.forget.obj A = A.A
α : Type u_1
⊢ Cycle.nil.toMultiset = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)
⊢ generateFrom (insert univ S) = generateFrom S
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ a.factors ≠ ⊤ ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ ∀ (hl : 0 < (dropWhile p l).length), ¬p ((dropWhile p l).get ⟨0, hl⟩) = true
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V✝ : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV✝ : OrthogonalFamily 𝕜 G V✝
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ CompleteLattice.Independent V
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}
⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Bialgebra R A
a b : A
⊢ Coalgebra.comul (a * b) = Coalgebra.comul a * Coalgebra.comul b
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ IsUnit ((X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ SmoothWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ SmoothWithinAt I 𝓘(𝕜, E') (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
SMul R ℝ≥0
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
PseudoMetricSpace R
Zero R
BoundedSMul R ℝ≥0
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
c : R
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (c • f) = c • μ.testAgainstNN f
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h
⊢ f ◁ η.hom ≫ f ◁ η.inv = 𝟙 (f ≫ g)
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∉ s), Finset.cons a s ha = t
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ
h_univ_empty : ¬univ = ∅
i : ℕ
hsi : s i = univ
⊢ μ (s i) < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : Preorder α
hα' : MulZeroOneClass α
hβ : Preorder β
hβ' : MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
⊢ f.toMonoidWithZeroHom = ↑f
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
F : L →ᴸ L'
⊢ F.comp (FirstOrder.Language.LHom.id L) = F
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
AddCommMonoid S
Pow S ℕ
Module R S
x : S
r : R
⊢ (r • p).smeval x = r • p.smeval x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : {x} ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
α : Type u_1
s : Set α
LE α
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R
⊢ LinearMap.det ((Matrix.toLin b b) f) = f.det
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
x y : ℤ
h : x * x = ↑d * y * y
⊢ x = 0 ∧ y = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
⊢ StrictAntiOn (fun x => 1 / x) (Set.Ioi 0)
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
H : IsCoprime x y
d : x ∣ y
⊢ IsUnit x
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o ↔ o = 0 ∨ ∃ a, o = ω ^ a
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
x : AdicCompletion I M
⊢ (map I g ∘ₗ map I f) x = (map I (g ∘ₗ f)) x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h₁.IsPreservedBy F
h₂.IsPreservedBy F
⊢ (ψ.map F).φQ = F.map ψ.φQ
G : Type u_1
⊢ Function.Injective (@AddCommGroup.toAddGroup G)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
j : ι
⊢ j ∈ (update i f b).support ↔ j ∈ insert i f.support
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Topology.WithLowerSet.map OrderHom.id = ContinuousMap.id (Topology.WithLowerSet α)
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
r : R
⊢ 0 ≤ star r * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun m => κ.density ν a x (seq m)) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid N
⊢ s.prod ⊥ ⊔ ⊥.prod t = s.prod t
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.log x ≤ x - 1
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
z : ℝ
hz : ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
⊢ ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
h : M.Nondegenerate
⊢ (Matrix.toBilin' M).Nondegenerate
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val).app x✝ = ({ app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val).app x✝