ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph ({v | const (Fin2 4 → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ({v | v &1 ≤ v &3} ∩ (((fun v => v &2 = const (Fin2 4 → ℕ) 1 v) ∩ fun v => v &3 = const (Fin2 4 → ℕ) 0 v) ∪ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ (fun v => v &7 * v &7 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &8 * v &8 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &4 * v &4 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &3 * v &3 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &1 * v &1 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ((fun v => v &0 ≡ const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]) ∩ ((fun v => v &0 ≡ v &5 [MOD v &4]) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 0 v < v &3} ∩ ((fun v => v &8 * v &8 ∣ v &3) ∩ ((fun v => v &2 ≡ v &7 [MOD v &4]) ∩ fun v => v &1 ≡ v &6 [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]))))))))}}}}})))
this : Dioph {v | 1 < v &0 ∧ v &1 ≤ v &3 ∧ (v &2 = 1 ∧ v &3 = 0 ∨ ∃ u w s t b, v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - 1) * v &3 * v &3 = 1 ∧ u * u - (v &0 * v &0 - 1) * w * w = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * v &3] ∧ b ≡ v &0 [MOD u] ∧ 0 < w ∧ v &3 * v &3 ∣ w ∧ s ≡ v &2 [MOD u] ∧ t ≡ v &1 [MOD 4 * v &3])}
⊢ Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
α : Type u_1
s : Set α
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h
⊢ ∀ (x : α), (∃ h, q x h) → (∀ (y : α), (∃ h, q y h) → y = x) → b
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ eval x ((interpolate s v) r) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : List α
bs : List β
i : Nat
f : Option α → Option β → γ
⊢ (List.zipWithAll f as bs).get? i =
  match as.get? i, bs.get? i with
  | none, none => none
  | a?, b? => some (f a? b?)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ hf.order = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ (⊤.induce H.verts).Connected
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s + -t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s✝ t : Set H
x : H
s : Set H
⊢ (insert x s).innerDualCone = {x}.innerDualCone ⊓ s.innerDualCone
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ (fun m => m • Q) u x * Q z ^ 2 = Q x * (fun m => m • Q) u z ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
⊢ l.get ⟨(indexOf a l + indexOf b l) % l.length, ⋯⟩ = l.get ⟨(indexOf b l + indexOf a l) % l.length, ⋯⟩
m n : ℕ
hc : m.Coprime n
hm : IsSquare (-1)
hn : IsSquare (-1)
this : IsSquare (-1)
⊢ IsSquare (-1)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Nontrivial A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
⊢ ∃ a, closure (e '' {a' | (a, a') ∈ s}) ∈ 𝓝 b
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
val✝ : Fintype τ
z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0
⊢ 𝟙 (S s) = 0
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑(P ⊓ Q) = ↑P * ↑Q
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
⊢ { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base
this : IsIso (forgetToPresheafedSpace.map f)
⊢ IsIso f
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iio a ∪ Set.Ico a b = Set.Iio b
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b ∆ c = a ∆ c ∆ b
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
d : 𝕜
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => 0 * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (0 = 0 ∨ n = 0) ∧ 0 = d
α : Type u
β : α → Type v
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ a ∉ l.keys ↔ ∀ (b : β a), ⟨a, b⟩ ∉ l
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
S : Type u_1
CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) ((MvPolynomial.map φ) f) = (MvPolynomial.map φ) ((MvPolynomial.pderiv i) f)
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c : ℝ
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l f' g
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ s.toAddSubgroup ↔ x ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
R' : Type u_2
Monoid R'
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
DistribMulAction R' M
SMulCommClass R R' M
r : R'
x y : TensorProduct R M N
⊢ r • (x + y) = r • x + r • y
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
⊢ 0⁻¹ = 0
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D C
Y : D
⊢ F.obj Y ∈ F.essImage
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (freeOn E).Basis' I X ↔ I = X ∩ E
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.cons m w hmw h1).fstIdx = some i
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ b = c
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
m n : Num
⊢ (m.cmp n).swap = n.cmp m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x < f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) < f y
α : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ m.sum = ∑ i ∈ s, List.count i m • i
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
a : α
ha : a ∈ ↑γ
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∈ γ
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.CG ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisCoinsertion l u
ι : Sort x
f : ι → α
⊢ u (⨆ i, l (f i)) = ⨆ i, f i
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
h : y ≠ 0
⊢ Finsupp.cons y s ≠ 0
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ Summable (f_int k a t)
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = n.choose k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ∈ s ^ (n + 1)
x : ℝ≥0∞
⊢ x.log.exp = x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α = 0 ↔ #α = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
LocalRing R
⊢ IsField R ↔ LocalRing.maximalIdeal R = ⊥
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
ht : IsAlgebraic R (r ^ n)
⊢ IsAlgebraic R r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f - g)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t : LowerSet β
⊢ (s₁ ⊓ s₂) ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ⊓ s₂ ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
f : C(α, β)
n : ℕ
x : α
⊢ (n • f) x = n • f x
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
a : M
⊢ F.shiftIso 0 a a ⋯ =
  CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorZero C M) (F.shift a) ≪≫ (F.shift a).leftUnitor
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
st : s ⊆ t
⊢ Finsupp.supported M R s ≤ Finsupp.supported M R t
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Subgroup.comap f H.normalizer = (Subgroup.comap f H).normalizer
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
⊢ Set.Icc a b ∈ 𝓝 x
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Polynomial.derivative (OfNat.ofNat n) = 0
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ (Polynomial.aeval pb.gen) pb.minpolyGen = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p : 𝕜
n : ℤ
x : 𝕜
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ
⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙 = f ≫ (ρ_ ᘁZ).inv
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⊥.addUnits = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
h : Primrec₂ fun a n => (decode n).bind (f a)
⊢ Primrec₂ f
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
⊢ CategoryTheory.HasShift.shift.ε = h.zero.inv
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
F : L →ᴸ L'
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.id L').comp F = F
a b c : ℝ≥0∞
hac : c ≤ a
h : a < b + c
⊢ a - c < b
R : Type u
CommSemiring R
p m n : ℕ
ExpChar R p
⊢ iterateFrobenius R p (m + n) = (iterateFrobenius R p m).comp (iterateFrobenius R p n)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
i j : K
f : i ⟶ j
⊢ (colimit F).map f ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F j).hom = (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F i).hom ≫ colimMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f))
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
ha : a ≠ 0
d : R
⊢ a * b * d / a = b * d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
f g : E → 𝔸
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x * g x
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ ((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i = ((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
⊢ P ⟶ Q
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ (x ^ 2⁻¹).im = -√((Complex.abs x - x.re) / 2)
n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
e : PartialHomeomorph M H
⊢ e.symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid n I
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s
⊢ ↑(μ.restrict A) s = ↑μ (s ∩ A)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g pg x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x r
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : M
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g) (Monoid.Coprod.inl x) = f x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ x.sieveExtend f ⋯ = x f hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ
this : (fun x => (f x, g x)) = Prod.map f g ∘ fun x => (x, x)
⊢ range (Prod.map f g ∘ fun x => (x, x)) ⊆ range (Prod.map f g)
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
ι : Type u_1
t : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∀ c ∈ t, f c ∈ I) → ∑ i ∈ t, f i ∈ I
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
α' : TypeVec.{u_2} n
β : Type u_1
β' : Type u_2
f f' : α.Arrow α'
g g' : β → β'
⊢ (f ::: g) = (f' ::: g') → f = f' ∧ g = g'
E : Type u_1
SeminormedGroup E
s t : Set E
hst : Bornology.IsBounded (s * t)
⊢ Bornology.IsBounded s ∨ Bornology.IsBounded t
α : Type u_1
p : Bool × α
⊢ (Equiv.boolProdEquivSum α) p = Bool.casesOn p.1 (Sum.inl p.2) (Sum.inr p.2)
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x z : α
h : x ∈ x :: z :: l
⊢ (x :: z :: l).prev x h = (z :: l).getLast ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset
⊢ l.Perm l'
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
⊢ f =O[l] g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X✝ Y P : C
f : Z ⟶ X✝
g : Z ⟶ Y
inl : X✝ ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
s : Cocone (span 0 (𝟙 X))
⊢ ∀ (j : WalkingSpan), (PushoutCocone.mk 0 0 ⋯).ι.app j ≫ (fun s => 0) s = s.ι.app j
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q : Submodule R[X] (AEval R M a)
m : M
hm : m ∈ (comapSubmodule R M a) q
⊢ m ∈ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) ((comapSubmodule R M a) q)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
⊢ ⇑(AffineEquiv.refl k P₁) = id
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
⊢ a = 0 ∨ padicValInt p a ≤ padicValInt p a
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : ContinuousAdd M₂
ι : Type u_9
t : Finset ι
f : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(∑ d ∈ t, f d) = ∑ d ∈ t, ⇑(f d)
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ Summable fun n => ‖(dirichletSummandHom χ ⋯) n‖
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : t ⊆ s
ht : t.Nonempty
⊢ s \ t ⊂ s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
⊢ False
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((CategoryTheory.forget₂ Grp MonCat).obj H)
CategoryTheory.RightRigidCategory V
⊢ Xᘁ.V = X.Vᘁ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
⊢ Set.EqOn (dslope f a) (slope f a) {a}ᶜ
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
F : A[ε] →ₐ[R] B
⊢ ↑(DualNumber.lift.symm F) = (F.comp (TrivSqZeroExt.inlAlgHom R A A), F ε)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.unitIso C).inv.app X).app X_1 =
    𝟙 (X.obj (𝟙_ (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1})))
n : Nat
⊢ Rat.num (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
hG : W.IsInvertedBy G
X : CategoryTheory.Paths (CategoryTheory.Localization.Construction.LocQuiver W)
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.liftToPathCategory G hG).obj X = G.obj X.obj
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.of F).obj = F
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittMul p n) = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a : α
⊢ {a}.OrdConnected
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
a : E
⊢ f a ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ f a ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ (f ≫ g).val.base x = g.val.base (f.val.base x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Γ.map f = f.unop.c.app (Opposite.op ⊤)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr₀ : 0 ≤ r
hr : r < ‖f‖
⊢ ∃ x, r * ‖x‖ < ‖f x‖
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b < c
⊢ Set.Iic c ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc a b)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ¬ExponentExists G
⊢ exponent G = sSup (Set.range fun g => orderOf g)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
I : Function.Injective f
a b : α
⊢ f a = f b ↔ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Irrational √(OfNat.ofNat n) ↔ ¬IsSquare (OfNat.ofNat n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
⊢ False
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
h : ∀ (a : α), p a → q (f a)
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Subtype.map f h)
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField α
inst✝⁴ : LinearOrderedField β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ round (f a) = round a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : eval₂ f x p = 0
⊢ eval₂ f x p * eval₂ f x q = 0