ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
AddGroup α
One α
i : α
⊢ (ComplexShape.down α).next i = i - 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx✝ : x ∈ I ⊔ J
hx : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = x
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, y + z = m
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
DecidableEq ι
i j : ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)
h : i ≠ j
⊢ (insert j s).piecewise f g i = s.piecewise f g i
R : Type u
CommRing R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
IsDomain R
GCDMonoid R
⊢ Associated (IsBezout.gcd x y) (gcd x y)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A B : Set X
x : X
⊢ x ∈ derivedSet (A ∪ B) ↔ x ∈ derivedSet A ∪ derivedSet B
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s • t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤
⊢ f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dOne A ∘ₗ groupCohomology.dZero A = 0
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
⊢ ↑x ∈ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μ ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
hf : ∀ (a b : α) (c : β), f a (f b c) = f b (f a c)
a : β
b : α
l : List α
⊢ List.foldr f a (b :: l) = List.foldr f (f b a) l
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ (Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)
α : Type u_2
Mul α
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, MulOpposite.op b • s ⊆ u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r (f '' ((s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t))
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ s₁ ∧ BijOn f s' t'
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
ι : Sort u_1
f : R →+* S
s : ι → Subsemiring S
⊢ Subsemiring.comap f (iInf s) = ⨅ i, Subsemiring.comap f (s i)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ ρ.asAlgebraHom = (MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
x : E
⊢ LipschitzWith ‖x‖₊ fun f => f x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length
⊢ n + k + 1 < (insertNth n x l).length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : OneOneEquiv q r
⊢ OneOneEquiv p q ↔ OneOneEquiv p r
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ ↑I.symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑I x)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : |a| ≤ b
⊢ -b ≤ a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), BddBelow t → tᶜ ∈ atBot
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g x y : Equiv.Perm α
h : f.Disjoint g
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support
⊢ x.Disjoint y
b : ℕ
L : List ℕ
⊢ ↑(Nat.ofDigits b L) = Nat.ofDigits (↑b) L
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
Algebra k K
Algebra k F
Algebra K F
IsScalarTower k K F
w : NumberField.InfinitePlace F
h : NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified K w
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
⊢ a.natDegree < a.natDegree + c.natDegree
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
⊢ 2 = 1 + 1
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
x : α
h : #β ≤ #↑(f ⁻¹' {x})
⊢ ∃ p, #↑p = #↑(f ⁻¹' {x})
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).PreservesMonomorphisms
⊢ (forget C).PreservesMonomorphisms
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
v : Fin2 2 → ℕ
⊢ v &0 = v &1 ↔ (Poly.proj &0 - Poly.proj &1) v = 0
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑x
y : ℝ
h : 0 ≤ y
⊢ Continuous fun x => x ^ y
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g
⊢ ∀ (j : WalkingParallelPair), (cokernelCocone f).ι.app j ≫ e = (Cofork.ofπ g ⋯).ι.app j
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
Y₁ Y₂ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
Y₁.HasTensor Y₂
(CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₁ f₂) f₃ j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f₁ i₁) (f₂ i₂)) (f₃ i₃))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃' Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜₂ (E₂ x)
he₁ : MemTrivializationAtlas e₁
he₂ : MemTrivializationAtlas e₂
p : Bundle.TotalSpace (F₁ →SL[σ] F₂) (Bundle.ContinuousLinearMap σ E₁ E₂)
⊢ ↑(Trivialization.continuousLinearMap σ e₁ e₂) p =
  (p.proj,
    (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₂ e₂ p.proj).comp
      (ContinuousLinearMap.comp p.snd (Trivialization.symmL 𝕜₁ e₁ p.proj)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
this : b ∈ closure (e '' {x | p x})
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
R : Type u_1
Ring R
S : Subring R
⊢ 1 ∈ S.toNonUnitalSubring
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ ((y - z) / (y - x)) • x + ((z - x) / (y - x)) • y = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ insert a (insert b s) ↔ x ∈ insert b (insert a s)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
h : g.comp f = 0
x : M₂
hx : x ∈ range f
y : M
hy : f y = x
⊢ g x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(comp g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M
⊢ (ι R) x = 0 ↔ x = 0
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
hμU : μ U ≠ ⊤
x : α
g : G
hg : g • x ∈ U
⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' U) ≠ ⊤
θ : Angle
⊢ θ.sin = sin 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(interedges G.Adj x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Div α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s / t).sup f = t.sup fun y => s.sup fun x => f (x / y)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
hs : InfClosed s
ht : InfClosed t
⊢ InfClosed (s ∩ t)
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t
⊢ ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), e ≠ b
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x z : Z
hz : z ∈ e.source
⊢ 𝓝 z = comap proj (𝓝 (proj z)) ⊓ comap (Prod.snd ∘ ↑e) (𝓝 (↑e z).2)
α : Sort u_6
β : Type u_7
γ : Sort u_8
DecidableEq β
g : β → γ
f : α → β
i : β
a : γ
h : i ∉ Set.range f
⊢ Function.update g i a ∘ f = g ∘ f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∫⁻ (b : β), ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) Set.univ ∂ν a = (κ a) Set.univ
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
U : CategoryTheory.Over X
⊢ ((CategoryTheory.Over.map f).obj U).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp U.hom f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
⊢ (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β
⊢ f.lim * x = (f * CauSeq.const abv x).lim
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
c : β
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s fun x => c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
DecidableEq ι
Fintype ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, x i) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, x j) • ContinuousLinearMap.proj i) x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S ≤ T
⊢ Function.Injective ⇑(NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
⊢ ∀ (x : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
Nonempty ι
⊢ f 0 = 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
CompleteLattice β
ι : Sort u_1
f : ι → α →o β
h : ∀ (i : ι), OmegaCompletePartialOrder.Continuous (f i)
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (⨆ i, f i)
R : Type u
CommSemiring R
p m n : ℕ
ExpChar R p
⊢ ⇑(iterateFrobenius R p (m * n)) = (⇑(iterateFrobenius R p m))^[n]
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop l₂.length = l₁
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
⊢ derivedSeries G' n ≤ Subgroup.map f (derivedSeries G n)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h✝ : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1
h : 1 < |x|
⊢ False
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G
⊢ (mk' N) (g⁻¹ • x) = (mk' N) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
p : Homotopic.Quotient (a₁, b₁) (a₂, b₂)
⊢ prod (projLeft p) (projRight p) = p
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ interior s
⊢ False
f : StieltjesFunction
x : ℝ
hx : Tendsto (fun a => f.measure a / volume a) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x))
h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤
h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x
L1 : Tendsto (fun y => (↑f y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)
⊢ HasDerivAt (↑f) (f.measure.rnDeriv volume x).toReal x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)
⊢ ⊤ ≤ ⨆ i, bif i then K else Kᗮ
F : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ ⇑(StarAlgEquiv.ofBijective f hf) = ⇑f
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
G' : Type u_8
N' : Type u_9
Group G'
Group N'
f : G →* N
g : G' →* N'
S : Subgroup N
S' : Subgroup N'
⊢ Subgroup.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (Subgroup.comap f S).prod (Subgroup.comap g S')
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ f ∣[k] γ = f ∣[k] ↑γ
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
one : C 1 ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : M
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : M
⊢ (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) x → (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) y → (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) (x * y)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv✝ : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
hTv : ⇑v '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
⊢ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ U
R : Type u_7
S : Type u_8
F : Type u_9
G : Type u_10
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
FunLike F R S
FunLike G S R
RingHomClass F R S
RingHomClass G S R
hom : F
inv : G
hom_inv_id : (↑inv).comp ↑hom = RingHom.id R
inv_hom_id : (↑hom).comp ↑inv = RingHom.id S
a : R
⊢ (RingEquiv.ofHomInv hom inv hom_inv_id inv_hom_id) a = hom a
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ {n | G.Colorable n}.Nonempty
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
f' : X₂ ⟶ X₃
Y : C
α : ↑(({ obj := fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n, map := fun {X₁ X₂} f => { app := fun Y => AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯), naturality := ⋯ } }.obj X₁).obj Y)
⊢ 0 + 0 + n = n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
ht : IsQuasiSeparated t
h : s ⊆ t
⊢ IsQuasiSeparated s
α : Type u
x : α
s : Set α
⊢ insert x s = {x} ∪ s
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
z : ↥(NonUnitalSubsemiring.center α)
a : α
⊢ (CentroidHom.centerToCentroidCenter z) a = ↑z * a
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
x y : M × ↥S
h : ↑y.2 * x.1 = ↑x.2 * y.1
⊢ (Localization.r S) x y
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
CompactSpace M
⊢ ∃ n e,
  Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
    ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Function.Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A
ha : a ≠ 0
⊢ Prime (span {a}) ↔ Prime a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
FiniteDimensional k V
Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
hc : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
⊢ vectorSpan k (Set.range p) = ⊤
α : Type u_1
⊢ Multiset.powerset 0 = {0}
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
⊢ LiouvilleWith (↑⌈p⌉₊) x