ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ discr K ≠ 0
α : Type u
s : Multiset α
⊢ {x | x ∈ s}.Finite
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
p : Filter ι
g : ι → β
b : β
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝 b)
s : Set α
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n x => g n) (fun x => b) p s
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
x : κ
⊢ (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f x = ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b
c : β
ha : inr a < inr c
hb : inr c < inr b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : 1 ≤ a
⊢ a⁻¹ ≤ a
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, ↑i ≠ k ∧ l.get i = x
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty
⊢ ∑ i : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n, Affine.Simplex.centroidWeightsWithCircumcenter fs i = 1
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c • Metric.sphere x r = Metric.sphere (c • x) r
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ Q (x - y) = Q (y - x)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
N : ℕ
⊢ ∏ p ∈ N.primesBelow, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) ≫ (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso G f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (G.map f) (G.map g)
M : Type u_2
MonoidWithZero M
NoZeroDivisors M
x y : M
hnx : x ≠ 0
hxy : x * y = 0
⊢ y = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
NormalizationMonoid R
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r d : R
hr : r ≠ 0
hd : d ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors r
⊢ multiplicity d r = multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨d, hd⟩)) (Ideal.span {r})
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ c
h₂ : b ≤ c
⊢ max a b ≤ c
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
(n : β) → Fintype (ι n)
d : ℝ
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Filter.Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), EMetric.diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
⊢ μH[d] s ≤ Filter.liminf (fun n => ∑ i : ι n, EMetric.diam (t n i) ^ d) l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℂ
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h0 : ∀ (a : α), f a ∈ Complex.slitPlane
⊢ Continuous fun x => f x ^ g x
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
this : IsCofiltered J
u : (j : J') → F'.obj j
hu : u ∈ F'.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
h : { down := F.map f (u { down := j }).down } = u { down := j' }
⊢ F.map f ((fun j => (u { down := j }).down) j) = (fun j => (u { down := j }).down) j'
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
(k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h₁ : Function.Injective f₁
⊢ Inducing (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), Inducing (f₂ i)
α : Type u
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk α = ↑n ↔ ∃ t, ↑t = Set.univ ∧ t.card = n
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
hk : 2 * n + 1 ≠ 0
⊢ hurwitzZeta (↑x) (-↑(2 * n + 1)) = -1 / (↑(2 * n + 1) + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * n + 1 + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
r : A
hr : r ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
⊢ r ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z : Q
⊢ ∃ a, (f.map ⋯ k) a = z
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]
q : ↥K[X]⁰
⊢ RatFunc.mk p ↑q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p q }
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
s : Set A
h : Algebra.adjoin R s = ⊤
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
hs : Set.EqOn (⇑φ₁) (⇑φ₂) s
⊢ φ₁ = φ₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : LocalRing R
h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
p : ℕ
p_pos : p ≠ 0
p_char : CharP R p
p_ppow : IsPrimePow p
⊢ P
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
y : A
⊢ (D S B) ((algebraMap A B) y) ∈ ↑(LinearMap.range (map R S A B))
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → f ⁻¹' s ∈ l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIso e h).iso = h.iso
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ￢￢￢a = ￢a
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).inv.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).hom.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
h : NullMeasurableSet s μ
⊢ μ sᶜ = 1 - μ s
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan @RingHom.Finite
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, f' x = f a - m
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
⊢ ↑(LinearMap.range f) = Set.range ⇑f
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
t₁ t₂ : List α
p : t₁ ~ t₂
⊢ l ∩ t₁ = l ∩ t₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂0, f x = f y
⊢ AEMeasurable f 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
α : Type u_1
Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma % mb ∈ a % b
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
⊢ ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f = (𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
⊢ (cs.rightInvSeq ω).Nodup
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddSemigroup.map f) (FreeAddSemigroup.of x) = FreeAddSemigroup.of (f x)
N : Type u_1
DecidableEq N
i : N
t₀ : ↑I
t : { j // j ≠ i } → ↑I
H : (t₀ = 0 ∨ t₀ = 1) ∨ t ∈ Cube.boundary { j // j ≠ i }
⊢ (Cube.insertAt i) (t₀, t) ∈ Cube.boundary N
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ⊔ J ^ n = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (x - a)) c
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ici a ∈ 𝓝ˢ (Set.Ici b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
X Y Z : C
f g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (f + g) X =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X + CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight g X
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c d : α
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ (a * d - b * c) / (c * d) ≤ 0 ↔ a / c ≤ b / d
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
m : ℕ
hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m
⊢ (↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))))).toFinset.card ≤ n
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
⊢ Continuous fun x => sSup (f x '' K)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
DecidableEq ι
i j : ι
⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s 0 = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑0 ^ s
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S
⊢ x • K ∩ L ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a, b) ∈ L ×ˢ K ∧ a / b = ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᵐ[μ.restrict t] 0
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯ ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerRight (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂)
        (CategoryTheory.shiftFunctor C a₃) ≪≫
      (CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).associator (CategoryTheory.shiftFunctor C a₂)
        (CategoryTheory.shiftFunctor C a₃) =
  CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯ ≪≫
    CategoryTheory.isoWhiskerLeft (CategoryTheory.shiftFunctor C a₁) (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Free R M
ι : Type w
⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = Cardinal.lift.{v, w} #ι * Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi : (↑i').natAbs.gcd (↑k).natAbs = 1
hi' : ↑i' = -i
⊢ i'.Coprime k
p : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ENNReal.ofReal p < OfNat.ofNat n ↔ p < OfNat.ofNat n
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a⁻¹ * a = a⁻¹ * a * a⁻¹ * a⁻¹⁻¹
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * Complex.I) * Complex.I) • f (torusMap c R θ))
  (Set.Icc 0 fun x => 2 * π) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hfi : HasFiniteIntegral f μ
⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖f a‖) μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ ⟂ₘ ν ↔ ν ⟂ₘ μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
this : ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ = ∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ
⊢ ∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α), s.indicator (fun x => |f x|) x ∂μ
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
⊢ ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
g : β → α
hfg : Function.RightInverse f g
hcard : Fintype.card β ≤ Fintype.card α
⊢ Function.LeftInverse f g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
h_nulldiff : μ (t \ s) = 0
⊢ μ s = μ t
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
x y : C
h : (algebraMap C L) x = (algebraMap C L) y
⊢ ↑1 * x = ↑1 * y
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (divisors 0).sup id
α : Type u_1
Preorder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
a : α
hf : StrictAnti f
ha : f 0 < a
⊢ StrictAnti (Matrix.vecCons a f)
R : Type u_3
CommRing R
n : ℤ
⊢ (MvPolynomial.counit R) (MvPolynomial.C n) = ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g inl inr ↔ CategoryTheory.IsPushout g f inr inl
α : Type u_1
s : Set α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {s} = MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ s) ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
⊢ (map (map g ∘ f) s).join.join ~ʷ (map join (map (map g ∘ f) s)).join
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comonad.comparison h).map f).f = L.map f
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ volume (Metric.closedBall a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangleIsoBinaryBiproductTriangle X₁ X₂).inv.hom₃ = 𝟙 X₂
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p u : R[X]
h₂ : p.leadingCoeff = (p * u).leadingCoeff
hq : ¬p * u = 0
h₁ : p.natDegree = (p * u).natDegree
⊢ p = p * u
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
s : Finset ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ K
m n✝ n : ℕ
⊢ n.div2 = n / 2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring R
f : R →+* S
⊢ ↑f.range = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g₁ g₂ : β → γ
hf : Set.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s
hf' : Set.SurjOn f s t
⊢ Set.EqOn g₁ g₂ t
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
H : AddSubgroup α
h : s ≤ t
g : ↥H
⊢ AddSubgroup.quotientAddSubgroupOfMapOfLE H h ↑g = ↑g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)
gi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → E →L[𝕜] 𝕜
hgf : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) (x : ↥p), (gi i) ↑x = (fi i) x
a✝ : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))), ‖gi i‖ = ‖fi i‖
⊢ f = ((LinearMap.range f).subtypeL.comp ((↑e.symm).comp (pi gi))).comp p.subtypeL
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (CategoryTheory.Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
W : A
f g : W ⟶ R.obj (Opposite.op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
⊢ f = g
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
StarMul A
a : A
u : ↥(unitary A)
⊢ spectrum R (star ↑u * a * ↑u) = spectrum R a
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
⊢ finrank K ↥(Submodule.span K {v.rep}) = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.associator X (⊥_ C) Y).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 X) (CategoryTheory.Limits.coprod.leftUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map (CategoryTheory.Limits.coprod.rightUnitor X).hom (𝟙 Y)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
y : E
x : E
⊢ convexJoin 𝕜 {x} {y} = segment 𝕜 x y
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
⊢ a.gcd b = 1
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
⊢ ∑ d ∈ (m * n).divisors, d = (∑ d ∈ m.divisors, d) * ∑ d ∈ n.divisors, d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
h : (Y : C) → Unique (Y ⟶ X)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : f.NeBot
⊢ map Prod.snd (f ×ˢ g) = g
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
k l m n : α
u v : M
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ Finsupp.single k u + Finsupp.single l v = Finsupp.single m u + Finsupp.single n v ↔
  k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Subsingleton M
Subsingleton M₂
⊢ ∀ (x : M₂), (LinearEquiv.ofSubsingleton M M₂).symm x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj :
  ∀ (t : (CategoryTheory.forget C).obj (G.val.obj (Opposite.op U))) (x : ↥U),
    ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (Opposite.op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
⊢ Function.Surjective ⇑(f.val.app (Opposite.op U))
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * (k + 1) + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range (k + 1), (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
α : Type u_1
p : Prop
n : Nat
c : Batteries.RBColor
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
hl : Batteries.RBNode.RedRed p l n
hr : r.Balanced c n
⊢ ∃ c, (l.balance1 v r).Balanced c (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ha : Summable f
⊢ HasSum f (∑' (b : β), f b)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
⊢ M.Base B
v : PrimeMultiset
⊢ v.prod.factorMultiset = v