ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
⊢ ∃! k, 0 ≤ g - k • a ∧ g - k • a < a
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f
⊢ x ∈ (toPartialHomeomorph f h).target
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : g₁ a * g₂ a ≠ 0
⊢ ¬(g₁ a = 0 ∨ g₂ a = 0)
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Mul (f i)
x y : (i : I) → f i
⊢ Commute x y ↔ ∀ (i : I), Commute (x i) (y i)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11466, u_1} D
P : MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
h : P (f ≫ g)
⊢ P g
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
⊢ 𝟭 (FreeGroupoid V) = lift (𝟭q V ⋙q of V)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hα : IsIntegral F x
⊢ IsAlgebraic F x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x y) = 1 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
⊢ (Filter.comap m f ⊓ 𝓟 s).NeBot
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {f : α → Option α_1} {n : Nat} {a : α},
  List.findSome? f (List.replicate n a) = if n = 0 then none else f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
⊢ (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ (fun x => (id x.1, f x.2)) '' t} = ((η.comapRight hf) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : ¬MeasurableSet s
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x = 0
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ f' y ≤ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).inv.app X =
  (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫
      (CategoryTheory.shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act ≫ g.hom
M : Type u_1
Monoid M
DecidableEq M
n : M
h : Function.Injective fun m => n ^ m
m : Multiplicative ℕ
⊢ (Submonoid.powLogEquiv h) m = Submonoid.pow n (Multiplicative.toAdd m)
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }
⊢ card { x // p x ∨ q x } ≤ card { x // p x } + card { x // q x }
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ ⇑(normAddGroupSeminorm E) = norm
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
p₁ : α → Prop
hp₁ : p₁ ∈ l
p₂ : α → Prop
hp₂ : p₂ ∈ l
⊢ (∃ a, p₁ a) ↔ ∃ a, p₂ a
x : ℝ
hx : Irrational x
a b : ℤ
p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0
x_is_root : (aeval x) (C a * X + C b) = 0
this : ↑a * x = -↑b
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
⊢ f x * f x ^ k = (f.pmul (f.ppow k)) x
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Complex.sinh (f x)) (Complex.cosh (f x) * f') x
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
h : ∃ n, P n
⊢ (PartENat.find P).Dom
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
⊢ (s.mulIndicator fun a => f a * g a) = fun a => s.mulIndicator f a * s.mulIndicator g a
X : Type u
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f a i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
h : Continuous f
⊢ UpperSemicontinuous f
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ ∏' (n : ι), f n < ∏' (n : ι), g n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
n : ℕ
⊢ (if false = true then ((fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2, (fib 0, fib 1).2 * (2 * (fib 0, fib 1).1 + (fib 0, fib 1).2)) else ((fib 0, fib 1).1 * (2 * (fib 0, fib 1).2 - (fib 0, fib 1).1), (fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2)) = (fib 0, fib 1)
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
⊢ CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) x = x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l = l.reverse.reverse
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
t : Set ↑s
⊢ #↑t = c ↔ #↑(Subtype.val '' t) = c
m : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑m * powHalf (Submonoid.log (Submonoid.pow 2 n)) = ↑m * powHalf n
F : Type u_1
Field F
x : F
⊢ Lagrange.basisDivisor x x = 0
α : Type u_4
r : α → α → Prop
a : α
b : ↑{b | r b a}
⊢ (PrincipalSeg.ofElement r a).toRelEmbedding b = ↑b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
⊢ (s.pi fun i => Set.univ) = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D)ᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).functor.obj F).map f = ((Opposite.unop F).map f.op).op
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β = chainLength α β
b a : Prop
Decidable b
⊢ ¬(a ↔ b) ↔ (¬a ↔ b)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ W.Equation 0 0 ↔ W.a₆ = 0
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R
z : R
⊢ z ∈ NonUnitalSubsemiring.centralizer s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Under X
hr : f.right ≅ g.right
hw : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom hr.hom = g.hom
⊢ (CategoryTheory.Under.isoMk hr hw).hom.right = hr.hom
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
e : ℤ ≃ ℤ := Involutive.toPerm Neg.neg ⋯
⊢ weightSpaceChain M (-χ₁) χ₂ (-q) (-p) = weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
w : FreeMonoid (G ⊕ H)
⊢ (Monoid.Coprod.mk w)⁻¹ =
  Monoid.Coprod.mk (FreeMonoid.ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (FreeMonoid.toList w)).reverse)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Mono f
⊢ Function.Injective (CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f)
x : ℝ
⊢ (Complex.exp ↑x).re = Real.exp x
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ f a = f b ↔ a = b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
c : ℂ
hf : Differentiable ℂ f
h0 : c ≠ 0 ∨ ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ Differentiable ℂ fun x => c ^ f x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
b c : α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
⊢ (b :: c :: l₁ ++ a :: l₂).getLast? = (a :: l₂).getLast?
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
Q' : M → N
h : Q' = ⇑Q
⊢ ⇑(Q.copy Q' h) = Q'
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
t : Affine.Triangle R P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p₁ p₂ p : P
h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)
h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)
h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}
h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}
⊢ Sbtw R (t.points i₁) p p₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
ι : Type u_3
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
i : CategoryTheory.Discrete ι
⊢ CategoryTheory.Mono (c.ι.app i)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ ∫ (a : α), (f + g) a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p
hp' : ↑p ≠ 0
⊢ ↑(p - 1) = (1 - (↑p)⁻¹) * ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : AddCommute a b
m : ℤ
⊢ AddCommute a (m • b)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsCycle
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ ↑p.toSubMulAction = ↑p
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α
⊢ M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ range f
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (s.gcd fun x => a * f x) = normalize a * s.gcd f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
⊢ IsClosed (s ∩ a)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).c₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * W.c₆
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ Metric.closedBall x ε ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
J : Set α
x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hYJ : Y ⊆ J
hJ : P J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hJfin : J.Finite
⊢ J ⊆ Y
P : Type u_1
SemilatticeInf P
I : Order.Ideal P
I.IsProper
⊢ I.IsPrime ↔ ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ IsOpen {L | Function.Injective ⇑L}
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
MulPosReflectLE α
⊢ MulPosStrictMono α
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ (A * B).FermatPsp b
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
self : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ ∑ i : I, e i = 1
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
a : α
f : α →₀ G
⊢ Finsupp.erase a (-f) = -Finsupp.erase a f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : a = s.fst
⊢ List.kerase a (s :: l) = l
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : X ⟶ G.obj Y
⊢ (adj.homEquiv X Y).symm f = (adj.homEquiv X ((𝟭 D).obj Y)).symm (f ≫ 𝟙 (G.obj Y))
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
h₃ : a - b = a - c
⊢ b = c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
ht : IsAntichain r t
h : maximals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ maximals r s, r b a
⊢ maximals r s = t
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint s sᶜ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : OfLocalizationSpanTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set S
hs : Ideal.span s = ⊤
hT✝ : ∀ (r : ↑s), ∃ T x x_1, ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑r) T), P ((algebraMap S T).comp f)
r : ↑s
T : Type u
w✝² : CommRing T
w✝¹ : Algebra S T
w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T
hT : P ((algebraMap S T).comp f)
⊢ P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
i : Fin n
⊢ (⇑(snf.bM.repr ↑m) ∘ ⇑snf.f) i = (snf.a • ⇑(snf.bN.repr m)) i
R : Type u
CommRing R
⊢ CategoryTheory.LaxMonoidal.ε = ModuleCat.Free.ε R
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
⊢ Monotone f
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
C : M ∗ N → Prop
m : M ∗ N
one : C 1
inl_mul : ∀ (m : M) (x : M ∗ N), C x → C (inl m * x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : M ∗ N), C x → C (inr n * x)
⊢ C m
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
m : Type u_1 → Type u_2
⊢ ∀ {α : Type u_3} {a : α} {as : List α} {f : α → m PUnit} [inst : Monad m],
  (a :: as).forM f = do
    f a
    as.forM f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Iio a = Set.Iio (a / c)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s n = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s
M : Type u_1
AddZeroClass M
c : AddCon M
⊢ AddMonoidHom.mrange c.mk' = ⊤
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ Polynomial.X ^ n * p = p * Polynomial.X ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
h : T.IsFormalAdjoint S
⊢ S.IsFormalAdjoint T
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇔ ⊤ = a
α : Type u_1
Preorder α
⊢ ∅.OrdConnected
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
j✝ : J
⊢ ∑ x : J, (biproduct.π f x ▷ X ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ ▷ Y = (α_ (⨁ f) X Y).hom ≫ biproduct.π f j✝ ▷ (X ⊗ Y) ≫ (α_ (f j✝) X Y).inv
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ ↑(stereoInvFun hv w) ≠ ↑⟨v, ⋯⟩
K : Type u_1
Field K
x : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ IsIntegral ℤ x
n : ℕ
s : Finset ℕ
h : ∀ m ∈ s, m < n
a : Fin n
⊢ a ∈ s.attachFin h ↔ ↑a ∈ s
V : Type u
Quiver V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F : V ⥤q C
X : CategoryTheory.Paths V
⊢ (CategoryTheory.Quiv.lift F).obj X = F.obj X
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : whiskerLeft (functor r) τ₁ = whiskerLeft (functor r) τ₂
X : C
⊢ τ₁.app { as := X } = τ₂.app { as := X }
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v w : V
⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ G.degree w
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b
⊢ 1 < (a ^ b - 1) / (a - 1)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : β
⊢ IsGLB (⇑f ⁻¹' s) (f.symm x) ↔ IsGLB s x
β : Type u_1
ι : Type u_2
t : ι → TopologicalSpace β
T : ι → Set (Set β)
h_basis : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
x✝ : TopologicalSpace β := ⨅ i, t i
⊢ ∀ (a : β) (u : Set β), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
n : ℕ
⊢ eulerMascheroniSeq n < eulerMascheroniConstant
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
l : List M
F : Type u_8
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ (List.map (⇑f) l).prod = f l.prod
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
m : P := midpoint ℝ a b
hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ m -ᵥ p + (m -ᵥ a) = k • (m -ᵥ p - (m -ᵥ a))
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ‖m -ᵥ p - (m -ᵥ a)‖ * ‖m -ᵥ p + (m -ᵥ a)‖ = |‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖ ^ 2 - ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ p)‖ ^ 2|
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
ha : 0 < ⅟↑da
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract a = a ↔ 0 ≤ a ∧ a < 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k
hf : ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
U : CategoryTheory.Functor B C
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor A B
adj₁ : F ⊣ U
(X : B) → CategoryTheory.RegularEpi (adj₁.counit.app X)
CategoryTheory.Limits.HasReflexiveCoequalizers A
(R.comp U).IsRightAdjoint
⊢ R.IsRightAdjoint
R : Type u
ι : Type y
CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic
⊢ (∏ i ∈ s, f i).nextCoeff = ∑ i ∈ s, (f i).nextCoeff
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f_inv : L₂ → L₁
f : L₁ → L₂
map_add'✝¹ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun y⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : L₂ → L₁
g : L₁ → L₂
map_add'✝ : ∀ (x y : L₁), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun y⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
⊢ f = g