ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
⊢ Nat.card ↑(-s) = Nat.card ↑s
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord =
  HNNExtension.of g * HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type v
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
x : F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F s (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x) = s.ι.app j x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω
⊢ (f 0 - ((f + g) 0 - predictablePart (f + g) ℱ μ 0)) ω = 0 ω
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a✝ b✝ c✝ : α
f : α → β
a b c : α
H : b ∈ Ico a c
⊢ Ioo b c ⊆ Ioo a c
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A
⊢ (β.map f.f ≫ Y.a) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set A
H : ∀ t ⊆ s, t.Finite → AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r (m + m') =
  PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r m + PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r m'
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (Sum.inr ()) (Sum.inr ()) ≠ 0
⊢ ∃ L L',
  ((List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M *
      (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
x : ℝ
⊢ Real.tan x = Real.sin x / Real.cos x
R : Type u_1
r : R
s : ℝ≥0
SMul R ℝ≥0
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
⊢ ↑(r • s) = r • ↑s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
⊢ pb.minpolyGen.Monic
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hp : ¬map i p = 0
q : L[X]
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
this : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ (OrderIso.mulRight₀' ha).toEquiv = Equiv.mulRight₀ a ha
N✝ N : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
⊢ g • Gamma N = Gamma N
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan * dist p₁ p₂ = dist p₃ p₂
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ ((insert a s).pi t).val = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val
M : Type u_1
MulOneClass M
x : ↥⊤
⊢ Submonoid.topEquiv x = ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ c.toCocone.pt = c.pt
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : r ≤ 0
⊢ clog b r⁻¹ = -log b r
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
hp : p > 0
this : IsLocalRingHom ↑(expand F p)
⊢ f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
Add P
f : AddHom M N
g : AddHom M P
⊢ (AddHom.snd N P).comp (f.prod g) = g
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
⊢ sInf s = 0 ↔ lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
⊢ False
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
n : ℕ+
h : ζ ^ ↑n = 1
⊢ ↑↑(rootsOfUnity.mkOfPowEq ζ h) = ζ
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
⊢ x ^ n * x < 1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
⊢ ∀ (x : 𝕜), 0 < x → (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι
⊢ ↑↑a✝¹ ⊆ ↑↑a✝ ↔ ↑a✝¹ ≤ ↑a✝
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
f : β → φ
b : β
⊢ f ∘ Function.const α b = Function.const α (f b)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : E
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => C) s μ ↔ C = 0 ∨ μ s < ⊤
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellFounded α r
C : α → Prop
a : α
⊢ (∀ (x : α), (∀ (y : α), r y x → C y) → C x) → C a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (𝟙 (of R R)) (x, 1).2 • f (x, 1).1 = 1 • f x
R : Type u_3
Zero R
TopologicalSpace R
s : Set R
Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
⊢ ∀ (a : ↑s), (ContinuousMapZero.id h0) a = ↑a
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h : ∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ (z.IsOption y → P24 x₁ x₂ z)
z : PGame
⊢ (-z).IsOption x₁ → P24 (-x₂) z y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : range f ⊆ range g
⊢ range (succ ∘ f) ⊆ range (succ ∘ g)
n : ℕ
⊢ ack 0 n = n + 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atTop
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
⊢ ⨆ i, ↑‖g i‖₊ < ⊤
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α
⊢ Setoid.r x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base ⁻¹' ↑(sbo HomogeneousLocalization.mk t) = ↑((Opens.comap { toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }) (pbo ↑t.num))
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k
⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j
⊢ SimplexCategory.δ i ≫ SimplexCategory.δ j.succ = SimplexCategory.δ j ≫ SimplexCategory.δ i.castSucc
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
⊢ f.SameCycle x (f⁻¹ y) ↔ f.SameCycle x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a
⊢ multiplicity p (a + b) ≤ multiplicity p b
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β → β
s : Multiset α
a : α
h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
b : β
⊢ Multiset.noncommFoldr f (a ::ₘ s) h b = f a (Multiset.noncommFoldr f s h' b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen ∈ adjoin K {ζ - 1}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
y : ↥(LinearMap.ker f')
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) (↑y + a) = (f (↑y + a), y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.op.h₂ = h.h₁.op
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = Real.cos |(x / y).arg|
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
h : (Set.range ⇑f).OrdConnected
⊢ f a ⋖ f b ↔ a ⋖ b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ
x : D
⊢ ‖f x‖ = ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x‖
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.truncation f A x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
i : Set α
⊢ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i = 0
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
ht : t.Nonempty
h_bdd : BddBelow t
⊢ sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i})
a : ℕ
⊢ Nat.floorRoot 0 a = 0
n : ℕ
⊢ n.succ.superFactorial = (n + 1).factorial * n.superFactorial
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
self : CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
⊢ P (𝟙_ C)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫ (x : α), (g - f) x ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
(y : α) → Decidable (y ∈ {x})
DecidableEq α
f g : α → β
⊢ {x}.piecewise f g = Function.update g x (f x)
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ⁻¹ = ((MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ)⁻¹
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ 0 ≤ ‖x‖ * ‖y‖
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
DivisionRing K
AddCommGroup V
AddCommGroup V'
Module K V
Module K V'
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ ∃ g, f ∘ₗ g = LinearMap.id
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
b : G₀
a : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ b * (a / b) = a
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
x : M
⊢ (LinearMap.inl R M M₂) x = (x, 0)
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
hf : Summable f
h : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ ∑' (i : ι), f i ≤ a₂
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K
⊢ FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ (α_ V (FGModuleCatDual K V) V).hom ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V = (λ_ V).hom ≫ (ρ_ V).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
⊢ ∫ (x : γ) in u, ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ∂ν a = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
self : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
⊢ ⋃₀ s = Set.univ
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ (x * y).support ⊆ x.support + y.support
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ι →₀ R
⊢ { toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun x => 0) f) = f
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
B : M →ₗ[R] M' →ₗ[R] R
x : M'
⊢ x ∈ (range B).dualCoannihilator ↔ x ∈ ker B.flip
a : ℤ
n : ℕ
⊢ succ^[n + 1] a = a + ↑(n + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
⊢ ∀ x ∈ s, Irreducible x
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → Add (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ Hamming.toHamming (x + y) = Hamming.toHamming x + Hamming.toHamming y
K : Type u_1
A : Type u_2
Field K
NumberField K
Field A
Algebra ℚ A
IsAlgClosed A
x : K
⊢ (Set.range fun φ => φ x) = (minpoly ℚ x).rootSet A
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)
⊢ Disjoint (a ⊔ b) c
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
⊢ Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)) = Multiset.count J (Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
h_fin : μ s₂ ≠ ⊤
⊢ μ (s₁ \ s₂) = μ s₁ - μ s₂
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n)) m ≤ (fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n)) n
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).functor.obj X).right = X.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α → γ
b : β → γ
Neg γ
⊢ Sum.elim (-a) (-b) = -Sum.elim a b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ ↑l.formPerm.support = ↑l.toFinset
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
⊢ ⇑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h x) r
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A
⊢ a * b * a = a * (b * a)
z : ℂ
⊢ dist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * |z.im|
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (Euclidean.closedBall x)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0
⊢ J ≠ ⊥
b : ℝ
hb : b ≤ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
this : b % 8 < 8
⊢ (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a | b) else J(a | b)) = (if b % 8 = 1 ∨ b % 8 = 7 then 1 else -1) * J(a | b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : univ.pi s = ∅
⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
α : Type u_1
GroupWithZero α
Fintype α
DecidableEq α
⊢ Fintype.card αˣ = Fintype.card α - 1
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d (rTensorAlgHom (p ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
ι' : Type u_5
Fintype ι'
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e).symm = LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e.symm
G : Type u
M✝ : Type v
α✝ : Type w
s : Set α✝
M : Type uM
N : Type uN
α : Type uα
β : Type uβ
inst✝⁷ : MeasurableSpace M
inst✝⁶ : MeasurableSpace N
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : SMul M α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : MeasurableSMul M β
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a
hf : Measurable f
m : M
S : Set β
hS : MeasurableSet S
⊢ μ ((fun x => f (m • x)) ⁻¹' S) = μ ((fun x => m • x) ⁻¹' (f ⁻¹' S))
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
⊢ ¬Disjoint ↑I ↑J ↔ (↑I ∩ ↑J).Nonempty