ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g'✝ : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
f' : E →L[𝕜] E'
hf' : HasFDerivWithinAt (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) f' (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
F : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
g' : E' →L[𝕜] E''
hg' : HasFDerivWithinAt (↑I'' ∘ (↑(chartAt H'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(chartAt H' (f x)).symm) ∘ ↑I'.symm) g' (↑I'.symm ⁻¹' (↑(chartAt H' (f x)).symm ⁻¹' u) ∩ range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f x)))
G : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
⊢ MDifferentiableWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
r p : ℝ
hr : 0 ≤ r
hp : 0 ≤ p
⊢ (r + p).toNNReal = r.toNNReal + p.toNNReal
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type v
l : List α
f : α → List β
⊢ ((↑l).bind fun a => ↑(f a)) = ↑(l.bind f)
R : Type u_1
CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdiv : p ∣ q
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ q = Polynomial.C q.leadingCoeff * p
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'
s : e.source = Set.univ
t : e.target = Set.univ
⊢ e = e'
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ
⊢ congr f g ^ n = congr (f ^ n) (g ^ n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
⊢ φ.prodFun x = (φ.leftFun x, φ.rightFun x)
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
l : List α
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), S (f a) (f b) → R a b
p : List.Pairwise S (List.map f l)
⊢ List.Pairwise R l
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
Zero B
a : A
b : B
DecidableEq B
⊢ Function.support (Pi.single a b) = if b = 0 then ∅ else {a}
α : Type u_1
x y : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ y :: x :: l₁ ~ x :: y :: l₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
H : x ∈ S
⊢ f.mk' x ⟨x, H⟩ = 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
h : IsNilpotent y
⊢ IsNilpotent (y * x)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
⊢ ∀ ⦃A_1 B : StructuredArrow S T⦄ (f : A_1 ⟶ A) (g : B ⟶ A) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ ConnectedSpace α ↔ ∃ x, connectedComponent x = Set.univ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
⊢ a ∣ b ∨ a ∣ c
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M ≃+ N
K : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.map f.toAddMonoidHom K = AddSubmonoid.comap f.symm.toAddMonoidHom K
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.op.ι = CategoryTheory.NatTrans.op c.π
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict s) t = 0 ↔ μ (t ∩ s) = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
⊢ ∃ x, c < ‖x‖
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A
⊢ 2⁻¹ • (↑f + ↑g - |↑g - ↑f|) ∈ A.topologicalClosure
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
h : ↥H
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
q : G ⧸ H
x✝ : q ∈ Finset.univ
⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = ↑((toEquiv ⋯) q) * ↑h
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
⊢ Submodule.map CliffordAlgebra.reverse (p ^ n) = Submodule.map CliffordAlgebra.reverse p ^ n
n : ℕ
b : Bool
⊢ Nat.bit b n = 0 ↔ n = 0 ∧ b = false
α : Type u_2
Mul α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s * (t₁ ∩ t₂) ⊆ s * t₁ ∩ (s * t₂)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
hu : DifferentiableAt 𝕜 u x
hv : DifferentiableAt 𝕜 v x
⊢ deriv (fun y => (B (u y)) (v y)) x = (B (u x)) (deriv v x) + (B (deriv u x)) (v x)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ range f
⊢ p = p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence'.unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Square C))
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁴ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝² : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝¹ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower B Bₘ L
this : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
B : Type w
CommRing B
ψ : A →+* B
⊢ WeierstrassCurve.VariableChange.map ψ (WeierstrassCurve.VariableChange.map φ C) =
  WeierstrassCurve.VariableChange.map (ψ.comp φ) C
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
⊢ ⇑(MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m) = ⇑(MeasureTheory.Measure.mkMetric m)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y ↔ Filter.Tendsto f x₁ y ∧ Filter.Tendsto f x₂ y
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
⊢ (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
this : ∀ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ f (u n)
⊢ (u (n + 1) - u n) • f (u n) = ∑ i ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f (u n)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T
⊢ (map (𝟙 S)).obj (mk f.hom) = mk f.hom
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
⊢ toStalk R x ≫ stalkToFiberRingHom R x = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
⊢ h.zmodEquivZPowers ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a b : ℤ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [ZMOD ↑p]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ ℝ
hf : Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f
⊢ integral μ f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑f a) ∂μ).toReal
α : Type u
a b : α
⊢ Disjoint {a} {b} ↔ a ≠ b
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
⊢ rexp (107 / 60) < 6
R S Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R S
Algebra R Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Algebra.FormallyUnramified R S
⊢ Algebra.FormallyUnramified Rₘ Sₘ
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousMul α
RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Multipliable f
hf : ∀ (b : β), Multipliable fun c => f ⟨b, c⟩
⊢ Multipliable fun b => ∏' (c : γ b), f ⟨b, c⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
hsq : sq.HasLift
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.lift p = g
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ ↑S.toSubalgebra = ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∩ filter p t = filter p (s ∩ t)
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.mulEnergy Finset.univ = Fintype.card α * s.card ^ 2
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x✝ : M
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
i : Injective ⇑f
p : Submodule R M
x : ↥(map f p)
⊢ f ↑((equivMapOfInjective f i p).symm x) = ↑x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
⊢ φ y ∈ V'
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ (∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, s ∈ 𝓝 x') ↔ s ∈ 𝓝 x
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
PseudoMetricSpace 𝕜
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero 𝕜
Zero β
SMul 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ (c • f) x = c • f x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a : ℝ
⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}
E : Sort u_1
α : outParam (Sort u_2)
β : outParam (Sort u_3)
self : EquivLike E α β
e : E
⊢ Function.RightInverse (EquivLike.inv e) (EquivLike.coe e)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ IsNormal (o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯))
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
⊢ (PMF.ofMultiset s hs).support = ↑s.toFinset
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
n : ℕ
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict (sets n))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (sets n), ‖(sets n).indicator f x‖ ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x => f x * (g x)⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.equivalence C).functor =
  CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S N N' : Submonoid M
⊢ N ⊔ N' = closure (↑N ∪ ↑N')
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L 1 s * L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) s = 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.WEquiv x x
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
Small.{v, u₂} K
j : J
G : J ⥤ K ⥤ Type v
x y : (G ⋙ CategoryTheory.Limits.lim).obj j
w : ∀ (k : K), CategoryTheory.Limits.limit.π (G.obj j) k x = CategoryTheory.Limits.limit.π (G.obj j) k y
⊢ x = y
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h) = ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h)
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ a * b ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ →o Submodule R M
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), i ≤ j → f i = f j
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Wbtw R w x y
⊢ Wbtw R w x z
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s : Set α
a : α
⊢ lowerClosure (a • s) = a • lowerClosure s
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
n.AtLeastTwo
m : M
⊢ (OfNat.ofNat n) m = OfNat.ofNat n • m
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
⊢ (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
s t : Set α
h : t ⊆ s
hs : s.Intersecting
⊢ t.Intersecting
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
f : ι → ι' → α
⊢ ⨆ i, ⨅ j, f i j ≤ ⨅ j, ⨆ i, f i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ
⊢ x ∈ ⋃ a, {Iio ↑a} ↔ x ∈ Iio '' (Rat.cast '' univ)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ Fintype.card ↑(G.neighborSet v) = G.degree v
σ K : Type u
Fintype K
Field K
Finite σ
⊢ LinearMap.ker (MvPolynomial.evalᵢ σ K) = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) id x_1 x) Filter.atTop
  (𝓝 ↑((orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) x))
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
ha : 1 < a
⊢ 1 < a ^ n
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
y : F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Equation 0 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.offDiag = ∅
⊢ (↑s).infsep = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} J
inst✝ : Category.{u_4, u_2} C
P Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
X : J
⊢ toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding J C = (whiskeringRight J C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
x : M
n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n f x
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F') n g x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : CategoryTheory.IsKernelPair f a b
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.IsIso a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ LinearMap.ker (orthogonalProjection K) = Kᗮ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
Group β
TopologicalGroup β
hu : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
hv : MeasureTheory.ProgMeasurable f v
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f fun i ω => u i ω / v i ω
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ (↑s).tail = ↑s.tail
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ GaloisConnection (FirstOrder.Language.Substructure.map f) (FirstOrder.Language.Substructure.comap f)
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ achart H x = ⟨chartAt H x, ⋯⟩
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.init n (WittVector.init n x) = WittVector.init n x
n : ℕ
⊢ Order.succ ↑n = ↑n + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
hG : IsClosed ↑G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ IsClosed ↑(LinearMap.range f)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
m : MeasurableSpace α
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSpace.generateFrom s ≤ m
a b : ℕ+
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = ↑b - ↑a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
hm : m > 0
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod