ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (LinearMap.ker (dx ^ (k + 1))) (LinearMap.range (dx ^ (k + 1)))
⊢ ⊤ ≤ Submodule.comap N.subtype ((engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → E
x : E
⊢ ⟪∑ i ∈ s, f i, x⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪f i, x⟫_𝕜
G : Type u_1
Group G
IsKleinFour G
x y z : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
hz : z ≠ 1
hzx : z ≠ x
hzy : z ≠ y
⊢ z = x * y
V : Type u
Quiver V
V' : Type u'
Quiver V'
V'' : Type u''
Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''
⊢ CategoryTheory.freeGroupoidFunctor (φ ⋙q φ') =
  (CategoryTheory.freeGroupoidFunctor φ).comp (CategoryTheory.freeGroupoidFunctor φ')
R : Type u_1
Field R
StarRing R
q : ℚ
⊢ ↑↑q = ↑q
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ ((zpowersHom G) g).range = Subgroup.zpowers g
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t u v : Set α
⊢ s ⊼ t ⊼ (u ⊼ v) = s ⊼ u ⊼ (t ⊼ v)
M : Type u_3
Add M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousAdd M
h₂ : ContinuousAdd M
⊢ ContinuousAdd M
X Y : SemilatInfCat
a : InfTopHom X.X Y.X
⊢ SemilatInfCat.dual.map a = InfTopHom.dual a
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) volume
α : Type u_1
⊢ ↑(-0) = -↑0
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
b : List α
hnil : b ≠ []
c' a' b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
hlen : a'.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b = M.evalFrom M.start a'
hx : x = a' ++ b ++ c'
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') c' = M.evalFrom M.start x
⊢ a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ u (τ y) y = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s, u i y
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel s) fun s => UniformSpace.ball x s
F : Type u → Type v
α β γ : Type u
Functor F
LawfulFunctor F
f : α → β
g : β → γ
⊢ ((fun x => g <$> x) ∘ fun x => f <$> x) = fun x => (g ∘ f) <$> x
α : Type u_1
x : α
y : Nat
⊢ ↑(x, y).snd = ↑y
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.reverse.Nodup
x : α
hx : x ∈ s.reverse
⊢ s.reverse.next hs x hx = s.prev ⋯ x ⋯
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ Inducing ⇑(productOfMemOpens X)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ‖∑' (n : ↑t), f ↑n‖ < ε
⊢ ∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.range Sum.inr = {x | x.isRight = true}
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ∈ slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun i => -I / 2 * ((-1) ^ (i + 1) * (z * I) ^ i / ↑i + (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * (log (1 + z * I) + -log (1 - z * I)))
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hg : StrongLT 0 g
⊢ Monovary f g⁻¹ ↔ Antivary f g
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.toNat < 2 ^ w
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
x y : α
⊢ x ∈ s(x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ∑' (n : ℕ), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
⊢ ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ f.valuation = g.valuation ↔ f.norm = g.norm
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : ¬C (c * d) = 0
u : Rˣ
h1 : C (c * d) * (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart * (integerNormalization R⁰ a).primPart) = C (c * d) * p
hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content
h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ a).primPart
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ LowerSet.Iic a ×ˢ LowerSet.Iic b = LowerSet.Iic (a, b)
μ : YoungDiagram
i : ℕ
⊢ μ.transpose.rowLen i = μ.colLen i
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |min a b| ≤ max |a| |b|
G : Type u
AddMonoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ∃ g, addOrderOf g = p ^ (AddMonoid.exponent G).factorization p
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α).obj c).pt = c.pt
α : Type u
a : α
⊢ ¬a ∈ Stream'.Seq.nil
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
f : α → β
⊢ (FreeAddGroup.lift f).range = AddSubgroup.closure (Set.range f)
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
hs : IsAddSubgroup s
⊢ IsSubgroup s
α : Type u_1
l : List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ x ∈+ l ↔ 2 ≤ count x l
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup M
⊢ ↑(Subsemigroup.map f S) = ⇑f '' ↑S
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (x + ↑m)
⊢ Irrational x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
f₁ f₂ : F ⟶ G
h : CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f₁ = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f₂
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ (insert a s).diag = insert (a, a) s.diag
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ c.QFactorsThroughHomotopy C
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
a : Aˣ
n : ℤ
⊢ spectrum R ↑a ⊆ {0}ᶜ
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (coeff A (n + 1, 0).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (n + 1, 0).2) (exp A - 1) + ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff A (p.1, p.2 + 1).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (p.1, p.2 + 1).2) (exp A - 1) = (coeff A (n + 1)) (exp A * X)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
N N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
⊢ M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (Submodule.inclusion hN) = M.mulMap N'
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
r✝ : 𝕜
a✝ : A
hx : (splitMul 𝕜 A) (inl r✝) + (splitMul 𝕜 A) ↑a✝ = 0
⊢ inl r✝ + ↑a✝ = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
⊢ b ∈ s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n → (n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b)
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
SemilatticeInf β
OrderBot β
f g : BotHom α β
a : α
⊢ (f ⊓ g) a = f a ⊓ g a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
⊢ g.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (RatFunc.liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p) /
    (RatFunc.liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) =
  φ p / φ q
R : Type u
AddGroup R
StarAddMonoid R
x : R
n : ℤ
⊢ star (n • x) = n • star x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, r a b ∧ r b a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape I A
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedCone F).pt.snd =
  CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedConeElement F
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico (0 + 1) (n + 1), (↑x)⁻¹ = ∑ i ∈ Finset.Icc 1 n, (↑i)⁻¹
p q✝ q : ℚ≥0
⊢ ↑(↑q).num / ↑q.den = ↑q
b n : ℕ
h : b ≠ 1
⊢ (b.digits n).head! = n % b
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
this : p.support.Nodup → p.edges.Nodup
⊢ (s(u, v) ∉ p.edges ∧ p.edges.Nodup) ∧ cons h p ≠ nil ∧ p.support.Nodup ↔ p.support.Nodup ∧ s(u, v) ∉ p.edges
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A B : Set E
hA : Convex 𝕜 A
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
⊢ Convex 𝕜 (A \ B)
X : Type u_2
EMetricSpace X
ι : Sort u_4
Countable ι
s : ι → Set X
⊢ dimH (⋃ i, s i) = ⨆ i, dimH (s i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
g : N → N'
y : N
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt J J' n g y
⊢ ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (x, y)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
i : ι
⊢ (b.repr ↑(Zspan.floor b m)) i = ↑⌊(b.repr m) i⌋
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L
⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
n✝ n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ∣ n
k : ℕ
⊢ k ∈ filter (fun x => x ∣ m) n.divisors ↔ k ∈ m.divisors
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
f' a : 𝕜
hg : ContinuousAt g a
hf : HasStrictDerivAt f f' (g a)
hf' : f' ≠ 0
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasStrictDerivAt g f'⁻¹ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
⊢ ∀ {S : WSeq (WSeq α)}, a ∈ S.join → ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ ≤ S₂
x : ↥S₁
⊢ ↑((AffineSubspace.inclusion h) x) = ↑x
α : Type u_1
CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p
⊢ ∏ x ∈ (p ^ k).divisors, f x = ∏ x ∈ Finset.range (k + 1), f (p ^ x)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.sepDegree F ↥⊤ = Field.sepDegree F K
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
y : Set β
⊢ y = y ∩ range ⇑f.toRelEmbedding
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).unitIso.hom.app X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.pt
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_4
CommRing K
Algebra R K
S : Subalgebra R K
IsIntegrallyClosed ↥S
IsFractionRing (↥S) K
x : K
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n ∈ S
⊢ ∃ y, (algebraMap (↥S) K) y = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑N
⊢ ((toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) c b
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ Continuous ⇑f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
⊢ a ≤ u (l a)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
x : AddMonoid.Coprod N M
⊢ (AddMonoid.Coprod.lift f g) ((AddMonoid.Coprod.swap N M) x) = (AddMonoid.Coprod.lift g f) x
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
⊢ C f.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b
⊢ b ⇨ a ⊓ b = a
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
⊢ LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (B + B') = Q'' - Q
α : Type u
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ⊓ g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, s = t₁ ∩ t₂
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ (n₁ * ↑d₂ * n₃ * ↑d₃ + n₂ * ↑d₁ * n₃ * ↑d₃) /. (↑d₁ * ↑d₂ * ↑d₃ * ↑d₃) = (n₁ * n₃ * (↑d₂ * ↑d₃) + n₂ * n₃ * (↑d₁ * ↑d₃)) /. (↑d₁ * ↑d₃ * (↑d₂ * ↑d₃))
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : SlashInvariantForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f + g) z = f z + g z
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ f^[n + minimalPeriod f x] x = f^[n] x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
p : AffineSubspace ℝ P
hp : c ∈ p
⊢ Set.MapsTo (EuclideanGeometry.inversion c R) ↑p ↑p
r : ℝ
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
⊢ HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
s t : Set X
hd₁ : Disjoint (closure s) t
hd₂ : Disjoint s (closure t)
⊢ Disjoint (comap e (𝓝ˢ (e '' s))) (comap e (𝓝ˢ (e '' t)))
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ Filter.map (fun a => a / k) Filter.atTop = Filter.atTop
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
(k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
⊢ IsOpenMap (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap (f₂ i)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
h : ↑(FiniteDimensional.finrank K L) ≤ Cardinal.mk K
⊢ ∃ x, (LieSubalgebra.engel K x).IsCartanSubalgebra
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
⊢ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s) = interior s
m n : Nat
⊢ m.succ = n.succ → m = n
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid M
Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : Submodule.map f K ≤ Submodule.map i K
n : ℕ
⊢ f.iterateMapComap i n K ≤ f.iterateMapComap i (n + 1) K
G : Type u_1
Group G
H : Type u_5
Group H
f : G ≃* H
⊢ ∀ (H_1 : Subgroup G), (RelIso.symm f.comapSubgroup) H_1 = Subgroup.comap (↑f.symm) H_1
m n : ℕ
NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
⊢ a.cast = 0 ↔ a = 0
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a = -b ↔ a + b = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
⊢ ∑ j : J, CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j = 𝟙 (⨁ f)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Monotone L.distinctConstantsTheory
x y z : ℤ
k : ℤ
hk : k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (k * x) (k * y) (k * z) ↔ PythagoreanTriple x y z
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊
hn : 0 < ↑(n + 1)
⊢ ↑‖k‖₊ = (fun x => x ^ (1 / ↑(n + 1))) ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1))
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1)).re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ Indep (⋃₀ Is)
R : Type u
CommRing R
A : Type u_3
CommRing A
I : Ideal A
Algebra R A
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ Ideal.comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I))
s : Set ℝ
h : s.OrdConnected
⊢ (NNReal.toReal ⁻¹' s).OrdConnected
ι : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : ι → TopologicalSpace.Closeds α
s : Finset ι
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup (SetLike.coe ∘ f)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)
⊢ Disjoint (g x) (g (t • x))
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[≥] a = (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Set.Iio u)) ⊓ 𝓟 (Set.Ici a)
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
f : ι → β
⊢ ∏ i ∈ s, (↑t).mulIndicator f i = ∏ i ∈ s ∩ t, f i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x' y' : NormedSpace.Dual 𝕜 E
⊢ NormedSpace.Dual.toWeakDual x' = NormedSpace.Dual.toWeakDual y' ↔ x' = y'
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ ↑(LinearEquiv.rTensor M f) = LinearMap.rTensor M ↑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I
⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
⊢ ↑(e.transHomeomorph f') = ⇑f' ∘ ↑e
n : ℕ
⊢ List.Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (List.finRange n)