ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁸ : Ring R✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : CharZero R
z : ℤ
x : M
h : z • x = 0
⊢ z = 0 ∨ x = 0
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ⟦a⟧ = ⟦b⟧
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ μ.restrict (MeasureTheory.toMeasurable μ s) = μ.restrict s
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < 1
⊢ rexp x ≤ 1 / (1 - x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
s : Set N
⊢ ⇑h '' (⇑h.symm '' s) = s
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (uniformity β ⊓ Filter.principal (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (uniformity α).HasBasis p₂ s₂
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔
  ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
α : Type u
⊢ Function.Surjective FreeRing.castFreeCommRing
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C
⊢ Memℒp f ⊤ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ g ∈ closure (Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s t : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f t
st : s ⊆ t
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.tensorObj Y).tgt = (X.tgt ⨯ Y.tgt)
x✝ y x : ℝ
⊢ arccos x = 0 ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : l ∈ ↑(ker (lmapDomain M R f))
⊢ l ∈ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.unopMap φ).τ₃ = φ.τ₁.unop
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ
⊢ Set.range succ = {0}ᶜ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F₁ : CategoryTheory.Functor C D
F₂ : CategoryTheory.Functor D E
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
L : CategoryTheory.GrothendieckTopology E
F₁.IsContinuous J K
F₂.IsContinuous K L
⊢ (F₁.comp F₂).IsContinuous J L
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : finrank F ↥S = 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ Module.rank F ↥S ≤ 1
I : Type u_5
A : Type u_6
X : I → Type u_7
TopologicalSpace A
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
f : C((i : I) × X i, A)
i : I
⊢ (ContinuousMap.sigmaEquiv A X).symm f i = f.comp (ContinuousMap.sigmaMk i)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ ((f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ P.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
⊢ sInf s ∈ s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁
⊢ B.counitIso.inv.app (R.obj (T.functor.obj X)) ≫ B.functor.map (B.inverse.map (R.map (T.functor.map (T.unit.app X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ 𝟙 (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X)))) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ MonotoneOn f s ↔ Monotone fun a => f ↑a
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J
⊢ ¬Disjoint (↑F) Jset
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Inducing f
⊢ (f x ~ᵢ f y) ↔ (x ~ᵢ y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
⊢ A = B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
DecidableEq α₁
e : Equiv.Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : (Equiv.Perm.prodExtendRight a e) (a', b) ≠ (a', b)
⊢ a' = a
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
h : 0 < a
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : α → E × F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).2) μ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l
⊢ (a • M * N) i✝ j✝ = (a • (M * N)) i✝ j✝
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y
⊢ (∃ g, y = g • x) ↔ ∃ g, g • x = y
m n : ℕ
⊢ m ≤ n.sqrt ↔ m * m ≤ n
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : BddAbove s
⊢ Set.Iio (sSup s) ⊆ s
α : Type u_1
CommGroup α
⊢ MulDissociated ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_7
inst✝ : Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
c : ↥M
h : (algebraMap R S) (x * ↑c) = (algebraMap R S) (y * ↑c)
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInftyToNormalizedMooreComplex X ≫ AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap X =
  AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id
α : Type u
a : Set α
⊢ a ∩ ∅ = ∅
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (AlgebraicGeometry.toSpecΓ S) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.toSpecΓ R)
    (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.map (AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s t : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f s = Finset.image f t ↔ s = t
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
CommRing R
⊢ (Polynomial.expand R p) (Polynomial.cyclotomic n R) = Polynomial.cyclotomic (n * p) R
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
⊢ ↑(n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)) ≤ ↑(4 ^ n)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
⊢ LeftInverse ⇑(funLeft R M g) ⇑(funLeft R M f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L
⊢ IsCompact (closure (interior L))
α : Type u_1
β : Type u_2
t a : α
ts : List α
ih : permutations'Aux t ts = (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2
⊢ map (cons a) ((permutationsAux2 t [] [] ts id).2 ++ [ts ++ [t]]) = (permutationsAux2 t [] [] ts fun x => a :: x).2 ++ [a :: (ts ++ [t])]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autGaloisSystem F).obj A = Grp.of (CategoryTheory.Aut A.obj)
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
hφ : φ.NormNoninc
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.lift φ h).NormNoninc
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
ι : Type w
Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
⊢ (Algebra.norm R) ((algebraMap R S) x) = x ^ Fintype.card ι
n : ℕ
hn : n ≥ 1
⊢ (2 + 1 / ↑n)⁻¹ = (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) n
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ k.gcd l ≤ k ∧ ¬k.gcd l < k
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
inst✝ : e.IsTruncGE
k : ι
hk : e.f k = c'.next (e.f j)
⊢ False
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
Inhabited Λ
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
ss : Turing.TM2.Supports M S
⊢ some q ∈ Turing.TM2.stmts M S → Turing.TM2.SupportsStmt S q
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (x - ↑r) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h₁ : MeasurableSet s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ μ sᶜ = μ Set.univ - μ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb
⊢ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b'
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.toCotangent ⟨x, hx⟩
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N' N₂' : LieSubmodule R L M'
⊢ LieSubmodule.comap f (N' ⊓ N₂') = LieSubmodule.comap f N' ⊓ LieSubmodule.comap f N₂'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ Algebra.adjoin S τ
⊢ ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ Algebra.adjoin R τ
α : Type u
n : ℕ
v : Mathlib.Vector α n
⊢ v.toList.length = n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a b : α
hb : b ∈ s
h : a ≤ b
⊢ a ≤ sSup s
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
⊢ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ∨ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ IsOfFinAddOrder (Additive.ofMul x) ↔ IsOfFinOrder x
α : Type u_1
a b : α
LE α
⊢ some a ≤ some b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Finset β
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑' (x : β), (↑s).indicator f x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ init n x + tail n x = x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
⊢ univ.encard = PartENat.withTopEquiv (PartENat.card α)
α : Type u_1
Encodable α
⊢ Function.IsPartialInv Encodable.encode (Encodable.decode₂ α)
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.total ι (↥N) R n)
i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total κ (↥M) R m)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : A * star A = 1
⊢ star A * A = 1
x : SetTheory.PGame
⊢ ¬x.LF x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ W.polynomial ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
Group G
DistribMulAction G M₂
SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ (g • v₂)) f = (LinearMap.toMatrix v₁ v₂) (DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f)
R : Type u_3
A : Type u_4
Zero R
Zero A
⊢ Unitization.inl 0 = 0
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
ζ : Rˣ
hζ₁ : ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R
hζ₂ : ↑ζ = χ a
hζ' : ↑ζ ^ n = 1
⊢ ∃ k < n, χ a = μ ^ k
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ cyclotomic (↑n) K ∣ X ^ ↑n - C 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ[R] N
h : ∀ {x : L} {m : M}, f.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, f.toFun m⁆
⊢ ↑{ toLinearMap := f, map_lie' := h } = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, P n k
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
⊢ l.BoundedAtFilter (f + g)
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset β
b : β
⊢ Finset.filter (Eq b) s = if b ∈ s then {b} else ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
⊢ Semiconj h ⇑(f₂ g) ⇑(f₁ g)
K : Type u_1
RCLike K
p : Polynomial ℝ
x : ℝ
⊢ (Polynomial.aeval ↑x) p = ↑(Polynomial.eval x p)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ StableUnderSpecialization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Finset α
⊢ 0 * s ⊆ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
x : α
⊢ ((f.cycleOf x).IsCycle ∧ ∀ a ∈ (f.cycleOf x).support, (f.cycleOf x) a = f a) ↔ x ∈ f.support
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L
⊢ ι F (E.obj (D.obj j)) = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
⊢ IsNilpotent M.trace
x : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt Complex.log (x⁻¹ • 1) x
T : Type u
CommRing T
LocalRing T
x : PrimeSpectrum (LocalRing.ResidueField T)
⊢ (PrimeSpectrum.comap (LocalRing.residue T)) x = LocalRing.closedPoint T
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (C 2 * X 1 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 2 + C W.a₃ * X 2 ^ 2) = 2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑m + x)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
⊢ (ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).g' ≫ φ.τ₃ = h.g'
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
f : Bool → Bool → Bool
x y n : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ n
⊢ Nat.bitwise f x y < 2 ^ n
M : Type u_1
CommMonoid M
Subsingleton M
x : M
⊢ IsPrimitiveRoot x 1
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑(ofZNum (ZNum.pos p)) = (↑p).toNat
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
⊢ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
α : Sort u_1
A : Sort u_2
B : Sort u_3
inst✝¹ : Unique A
inst✝ : Unique B
f : A → B
⊢ Function.Bijective f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ univ
⊢ (latticeBasis K) i ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
⊢ a ^ 3 = a * (a * a)
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ → t.Bounded ⊥ o₂