ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
i : Fin (n + 1 + m)
⊢ append (cons a as) bs i = (cons a (append as bs) ∘ cast ⋯) i
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
Module.Finite R M
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
⊢ ∃ p, p.Monic ∧ (∀ (k : ℕ), p.coeff k ∈ I ^ (p.natDegree - k)) ∧ (Polynomial.aeval f) p = 0
R : Type u_1
CommRing R
hR : DiscreteValuationRing.HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
⊢ Associated p q
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0
⊢ C (normalize r) * ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = C r
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α → β
f_bij : Function.Bijective f
⊢ Function.LeftInverse (Fintype.bijInv f_bij) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.monToLaxMonoidal C).obj A).ε = A.one
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
⊢ Pairwise (Disjoint on disjointed f)
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
v : Option α → ℕ
⊢ v ∈ {v | f (v ∘ some) = v none} ↔ v ∈ {v | (↑f).graph (v ∘ some, v none)}
w₁ w₂ w₃ p₁ p₂ p₃ : ℝ
hw₁ : 0 ≤ w₁
hw₂ : 0 ≤ w₂
hw₃ : 0 ≤ w₃
hp₁ : 0 ≤ p₁
hp₂ : 0 ≤ p₂
hp₃ : 0 ≤ p₃
hw : w₁ + w₂ + w₃ = 1
⊢ p₁ ^ w₁ * p₂ ^ w₂ * p₃ ^ w₃ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₂ f) ((MvPolynomial.monomial d) 1) = (MvPolynomial.monomial d) 1
K : Type u_1
Field K
Fintype K
⊢ ∃ p n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
Algebra S T
f : σ → T
g : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval f) ((MvPolynomial.bind₂ g) φ) = (MvPolynomial.eval₂Hom ((↑(MvPolynomial.aeval f)).comp g) f) φ
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.cocompact X).HasBasis IsCompact compl
x y : ℝ
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x
⊢ log x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
e : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K) ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
⊢ |(NumberField.integralBasis K).det ⇑((NumberField.basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm)| =
  FractionalIdeal.absNorm ↑I
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → SDiff (π i)
x y : (i : ι) → π i
⊢ x \ y = fun i => x i \ y i
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂
⊢ p₁ = p₂
α : Type u
L₁✝ L₂✝ L₃ L₄ L₁ L₂ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
h' : [] = L₁ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
hsq : sq.HasLift
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp i sq.lift = f
ι : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
f : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I₀
g : M →+ N
⊢ ⇑(f.map g) = ⇑g ∘ ⇑f
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
b : { b // (fun x => x ∈ S.op) b }
⊢ ↑(S.addEquivOp.symm b) = MulOpposite.unop ↑b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
F₂ : BilinForm R M
ι : Type u_9
b : Basis ι R M
x y : M
⊢ ((b.repr x).sum fun i xi => (b.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b i)) (b j)) = (B x) y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ 2 ^ (1 / p - 1) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ image id s ↔ x✝ ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : closure s = univ
⊢ closure (c • s) = univ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
b : α
⊢ (∀ (i : ι), b ≤ f i) → (∀ (w : α), b < w → ∃ i, f i < w) → ⨅ i, f i = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hm : Monotone s
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (s i)))
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
s : Set α
hs : s.Intersecting
a : α
ha : a ∈ s
⊢ aᶜ ∉ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
i : r ≅ t
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit r
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsColimit.equivIsoColimit i) P = P.ofIsoColimit i
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommGroup M
AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M
⊢ QuadraticMap.polar f (x + x') y = QuadraticMap.polar f x y + QuadraticMap.polar f x' y ↔
  f (x + x' + y) + (f x + f x' + f y) = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ (inv f).unop = inv f.unop
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
a : α
b : β
hb : a ∈ f b
⊢ ∀ᶠ (a_1 : β) in atTop, f a_1 ∈ Ici {a}
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f x * g y ∂ν ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
⊢ False
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
L : (ι → E × ℝ) →L[ℝ] E := (ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))
this : HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))
⊢ ⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent =ᶠ[𝓝 x] ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx)))
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
⊢ ⇑1 = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
⊢ Equiv.constVAdd P 0 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C f
α : Type u_1
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ ↑(Finset.uIcc a b) = Set.uIcc a b
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ 0 < a ^ 2
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x : V
⊢ ↑e (-x) = ↑‖-1‖₊ * ↑e x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.coprodComm M N).symm = ⇑(Monoid.Coprod.swap N M)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
⊢ s ⟂ᵥ μ ↔ s.totalVariation ⟂ₘ μ.ennrealToMeasure
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
K : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
⊢ LipschitzWith K.toNNReal f
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.exp ↑x).re = Complex.exp ↑x
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, A i j
⊢ A.det ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (Finset.map f s).Nonempty
⊢ (Finset.map f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ ⇑f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
fst✝⁴ : C
snd✝⁴ : C ⥤ D
fst✝³ : C
snd✝³ : C ⥤ D
fst✝² : (fst✝³, snd✝³).1 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).1
snd✝² : (fst✝³, snd✝³).2 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).2
fst✝¹ : C
snd✝¹ : C ⥤ D
fst✝ : (fst✝¹, snd✝¹).1 ⟶ (fst✝³, snd✝³).1
snd✝ : (fst✝¹, snd✝¹).2 ⟶ (fst✝³, snd✝³).2
⊢ snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝¹.map fst✝² ≫ snd✝.app fst✝⁴ ≫ snd✝².app fst✝⁴ = snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝.app fst✝³ ≫ snd✝³.map fst✝² ≫ snd✝².app fst✝⁴
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq o
DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : o
c : l → α
e : m ≃ l
f : n ≃ o
⊢ ((Matrix.reindex e f) A).updateColumn j c = (Matrix.reindex e f) (A.updateColumn (f.symm j) fun i => c (e i))
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
α : Type u
f : CategoryTheory.Limits.Types.Quot F → α
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.toCocone f).pt = α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
hs : NullMeasurableSet s (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯)
⊢ (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s = μ (f '' s)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic 0 R = 1
α : Sort u_1
x y z : α
h : x = y
⊢ z = x ↔ z = y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ s ⊆ {a, b} ↔ ∀ x ∈ s, x = a ∨ x = b
α : Type u
ι : Type w
Finite ι
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i, f i)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (⨆ a ∈ s, LinearMap.range (Finsupp.lsingle a)) (⨆ a ∈ t, LinearMap.range (Finsupp.lsingle a))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P
⊢ ∀ (b : Ideal R), P < b → b = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : ∀ x ∈ t, ¬x ≤ a
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ μ = c⁻¹ • c • μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
this : f ((integralBasis K) i) = (Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)) i
⊢ (↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)
α : Type u
Group α
a b : α
⊢ Equiv.mulRight (a * b) = Equiv.mulRight b * Equiv.mulRight a
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =O[l] k' ↔ f' =O[l] k' ∧ g' =O[l] k'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
hn : n < ↑⊥ ∧ n ∈ s
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Set.Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Set.Iic x)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
⊢ d ⊓ a ⋖ d
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.closedBall 1 δ / {x} = Metric.closedBall x⁻¹ δ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
⊢ Tendsto f fi (𝓝 f_lim) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
n p : ℕ
h : ¬p ∣ n
⊢ n.factorization p = 0
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackLimitCone f g).isLimit =
  (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackCone f g).isLimitAux (fun s x => ⟨(s.fst x, s.snd x), ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit
ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op
i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))
a : α
this : f.app (op (Y a)) (y a) = G.map (π a).op x
⊢ (G.map (π a).op) (f.app (op X) (i.hom y)) = (G.map (π a).op) x
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 1) = 𝓝 x
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f : Module.End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
⊢ (t • f).IsSemisimple
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
h : map f I = ⊤
⊢ ⊤ ≤ I
r : ℝ
⊢ HasSum (fun n => r ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) (Real.sinh r)
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime y x
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
j' : α i
⊢ ((single i (single j x)) i) j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i, j'⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
hu : u =o[l] w
hv : v ~[l] w
⊢ u + v ~[l] w
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
a b : R
h1 : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M [a, b]
h2 : Submodule.torsionBy R M b = a • Submodule.torsionBy R M b → Submodule.torsionBy R M b = ⊥
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M [b, a]
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s
t : List ↑s := List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
ht : t = List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯
hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩
wf : ∀ (m : ↑s), t.maximum = ↑m → ↑m < x
m : ↑s
hmax : t.maximum = ↑m
a : ℕ
ha : ofNat s a = ⟨↑m, ⋯⟩
⊢ succ (ofNat s a) ≤ ⟨x✝, hx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
hs_eq : s = f ⁻¹' (f '' s)
this : SigmaFinite (map f ν)
⊢ ∫⁻ (a : β), (map f μ).rnDeriv (map f ν) a ∂map f (ν.restrict s) = μ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l✝ : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}
l : E →L[𝕜] 𝕜
hl : {x} = {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ClosedEmbedding f
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (f '' s)
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
⊢ Int.fract (-x) = 0 ↔ Int.fract x = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
hφ : ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') s x
⊢ HasFDerivWithinAt Φ Φ' s x
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]
⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
h : ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
t : TransvectionStruct n R
⊢ Commute t.toMatrix M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
X_1 : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{1}
⊢ (CategoryTheory.Limits.asEmptyCocone X).ι.app X_1 = id (CategoryTheory.Discrete.casesOn X_1 fun as => ⋯.elim)
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : X → M
x : X
s : Set X
hf : ContinuousWithinAt f s x
n : ℕ
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => n • f x) s x
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
i : ℕ
hi : i ≤ d.blocks.length
⊢ (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum
G : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
self : ContinuousInv G
⊢ Continuous fun a => a⁻¹
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
σ : K[n√a] ≃ₐ[K] K[n√a]
this : Fact (Irreducible (X ^ n - C a))
⊢ (if a = 0 then 1 else σ (root (X ^ n - C a)) / root (X ^ n - C a)) * root (X ^ n - C a) = σ (root (X ^ n - C a))
⊢ ConcaveOn ℝ (Set.Ici 0) Real.negMulLog
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) =
  FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
n : ℕ
⊢ Continuous fun a => a ^ Int.ofNat n
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
⊢ ∀ (x : R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (Submodule.span R {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : findEntryP? p tail✝ = List.find? (fun x => match x with | (a, b) => p a b) tail✝.toList
⊢ (bif p key✝ value✝ then some (key✝, value✝) else findEntryP? p tail✝) = match p key✝ value✝ with | true => some (key✝, value✝) | false => List.find? (fun x => p x.fst x.snd) tail✝.toList
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAsymm α r
⊢ IsAntisymm α r
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio b ⊆ Set.Iic a ∪ Set.Ioo a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ l.unop.l = l.l.unop