ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).tan = ‖y‖ / ‖x‖
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : a₁ ≠ a₂
⊢ a₁ ∈ (List.kerase a₂ l).keys ↔ a₁ ∈ l.keys
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Set.Icc (a - ε) (a + ε)
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
as : List α
⊢ List.indexesValues (fun b => decide (p b)) as = List.filter ((fun b => decide (p b)) ∘ Prod.snd) as.enum
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ α₂ β : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : α₁ → G α₂
x : t α₀ β
⊢ Comp.mk (tfst f' <$> tfst f x) = tfst (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s : AddSubsemigroup M
⊢ s.prod ⊤ = AddSubsemigroup.comap (AddHom.fst M N) s
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
f : K →ₐ[F] L
⊢ f.fieldRange ≤ normalClosure F K L
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
R : Type u_2
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c • f y) (c • f') x
ι : Type u_1
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfPrime a
⊢ s.inf f ≤ a ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ a
α : Type u_1
l : List α
h : l = [] ∨ ∃ a, l = [a]
⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ Quot.mk Setoid.r l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ Quot.mk Setoid.r l → x = y
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))) = NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
x : ℝ*
r : ℝ
h : x.IsSt r
⊢ ¬x.Infinite
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this : Algebra B C := (↑f).toAlgebra
⊢ IsCyclotomicExtension S A C
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
this : IntegrableOn f (↑I) μ
⊢ ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
this : SecondCountableTopology α
⊢ SeparableSpace α
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
s : S
y : ↑Y
t : S
⊢ ({ toFun := fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (s • y)) t = ((RingHom.id S) s • { toFun := fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun y) t
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hnmcp : n.gcd m = 1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
a : ℤ
lt : a < 0
⊢ (↑a)⁻¹.num = a.sign
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ 1 i j = ⟪b i, b j⟫_𝕜
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (coeff R p (n + 1)) ((frobenius (Ring.Perfection R p) p) f) = (coeff R p n) f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
SemilatticeInf α
h : Filter.atBot.IsCountablyGenerated
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => μ (Set.Ici x)) Filter.atBot (nhds (μ Set.univ))
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
R : ListBlank Γ
a : Γ
L : ListBlank Γ
⊢ (Tape.move Dir.left)^[n] (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯)) = Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc a).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
⊢ (∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)) ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a
this : gp.a = 1
⊢ a = 1
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
⊢ f.closure ≤ g.closure
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
s : Set G
⊢ s ⊆ {x | x ∈ ↑(closure s)}
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔
  ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω},
    (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) →
      μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L₂
hst : L₁ ≤ L₂
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L₁
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
⊢ IsLocalHomeomorphOn f (f ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsOpen {b | f b < g b}
n m : ℕ
⊢ n ∈ m.properDivisors ↔ n ∣ m ∧ n < m
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT IsCompact fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
n : ℕ
i : Fin (n + 4)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 3)
k : ℕ
h : k < n + 2
⊢ Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.triangle ⟨k, ⋯⟩ ⟨k + 1, ⋯⟩ ⟨k + 2, ⋯⟩ ⋯ ⋯)) ∪ {i} ≠ Set.univ
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData).op = rightHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.leftHomologyData.op S₂.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.rightHomologyData S₁.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.rightHomologyData S₁.leftHomologyData.op
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
α : Type u_1
s : Setoid α
x y : α
⊢ s.Rel x y ↔ s.Rel y x
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I
hc : IsLimit c
s : I.sections
i : I.L
⊢ c.ι i ((sectionsEquiv hc) s) = s.val i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, IsRatStieltjesPoint f (a, t)
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
IsDomain A
IsDomain B
p : Polynomial A
f : A →+* B
h : Polynomial.map f p ≠ 0
⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (Polynomial.map f p).roots
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ a • S ↔ x✝ ∈ comap (RingEquiv.symm ((MulSemiringAction.toRingAut M R) a)) S
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsCompact ↑(X.basicOpen f)
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap} = ⊤
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj β
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
a b : ℝ≥0∞
h : a * b ≠ ⊤
ha : a ≠ 0
⊢ b < ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
⊢ Function.HasTemperateGrowth fun x => 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : γ), κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[≠] a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
CategoryTheory.CategoryWithHomology D
F.Additive
F.PreservesHomology
⊢ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoLocalizerMorphism c).functor = F.mapHomologicalComplex c
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (μ.tilted f).rnDeriv μ =ᵐ[μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b
⊢ a ⊓ b ≈ a
t : ℝ
⊢ 2 * t - 1 ∈ unitInterval ↔ t ∈ Set.Icc (1 / 2) 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
⊢ round (-2⁻¹) = 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
f : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I₀
I : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
hI : I ≤ I₀
a : BoxIntegral.Box ι
⊢ (f.restrict I hI) a = f a
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.24226, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.symm.Rel i j
⊢ (fun i => (f.unop.f i).op) i ≫ ((fun X => (unop X).op) Y✝).d i j = ((fun X => (unop X).op) X✝).d i j ≫ (fun i => (f.unop.f i).op) j
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : ((galActionHom p E) ϕ) ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩) = 1 ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)
⊢ ϕ x = 1 x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₁
hni : i ∉ fs₂
⊢ False
α : Type u_1
⊢ WithBot.some ⁻¹' {⊥} = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ b : α
a : α × α
h : a ∈ s.offDiag
⊢ ¬a.1 = a.2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
Zero β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (f ⊔ g) μ
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ p.succAboveOrderEmb.toEmbedding = { toFun := p.succAbove, inj' := ⋯ }
α : Type u_1
a : α
r : α → α → Prop
h : ¬Acc r a
⊢ ∃ b, ¬Acc r b ∧ r b a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
f : Y → Path x y
g : Y → Path y z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous ↿fun t => (f t).trans (g t)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
a n✝ n : ℕ
⊢ (2 * n).bitIndices = map (fun x => x + 1) n.bitIndices
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : b ≤ c \ a
hac : a ≤ c
⊢ a ⊔ b ≤ c
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.WF cmp t ↔ Batteries.RBNode.Ordered cmp t ∧ ∃ c n, t.Balanced c n
v : PrimeMultiset
h : ↑v.prod = (Multiset.map Coe.coe (Multiset.map Coe.coe v)).prod := MonoidHom.map_multiset_prod PNat.coeMonoidHom v.toPNatMultiset
⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
⊢ (ofFn f).toList = List.ofFn f
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
φ : Module.Dual K ↥W
w : V
hw : w ∈ W
⊢ (W.dualLift φ) w = φ ⟨w, hw⟩
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.869645) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ cfc (fun x => -f x) a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ -f x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
Finite α
f : PiLp p E
⊢ ↑(Equiv.lpPiLp.symm f) = f
α : Type u_1
i : Nat
a : α
h : i < 1
⊢ [a][i] = a
α : Type u_1
s t : Set α
Star α
⊢ star (s ∩ t) = star s ∩ star t
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³¹ : Semiring R₁
inst✝³⁰ : Semiring R₂
inst✝²⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝²¹ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R₄
inst✝⁵ : Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝³ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₄] M₄
x : M₁
⊢ ((fun f => (↑e₄₃.symm).comp (f.comp ↑e₁₂)) ((fun f => (↑e₄₃).comp (f.comp ↑e₁₂.symm)) f)) x = f x
α : Type u_1
EDist α
x : α
⊢ {x}.infsep = 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ IH24 x₁ x₂ y → IH24 (-x₂) (-x₁) y ∧ IH24 x₁ x₂ (-y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ ⇑(AddMonoid.MulEquiv.coprodComm M N) = ⇑(AddMonoid.Coprod.swap M N)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R M
x✝ : M₂
⊢ x✝ ∈ map (↑e) K ↔ x✝ ∈ comap (↑e.symm) K
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
A : Finset α
r : ℕ
⊢ A ∈ 𝒜 # r ↔ A ∈ 𝒜 ∧ A.card = r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.symm.trans e = Equiv.refl β
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (NonUnitalSubring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
hf1 : (map f atTop).NeBot
hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : Set β
htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, f b ∈ t
j : ℕ
hj : j ≥ N
⊢ (f j, f N) ∈ t ×ˢ t
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
hf : f.NeBot
hg : g.NeBot
⊢ (Filter.map₂ m f g).NeBot
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
⊢ x ∈ {x | gauge s x ≤ a} ↔ x ∈ ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), r • s
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩
lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z
h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x
W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}
W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x
xs : Finset X := ⋯.choose
xs_w : ⋃ x ∈ xs, W x = ⊤ := Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover W W_nhd)
xs_nonempty : xs.Nonempty
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
h : m < n + 1
⊢ foldl.loop (n + 1) f x m = foldl.loop n (fun x i => f x i.succ) (f x ⟨m, h⟩) m
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ‖(MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f‖ ≤ ‖f‖
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
⊢ 0 < ↑m + 1