ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < ε_1
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
R : Type u
CommRing R
f : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.rightOp.obj X ⟶ Opposite.op (CommRingCat.of R)
U :
  (TopologicalSpace.Opens
      ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.obj (Opposite.op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R (Opposite.unop U))
    (((AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (Opposite.op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app
      U) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop (X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A = ⊤
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ a ⊔ Filter.liminf u f = Filter.liminf (fun x => a ⊔ u x) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Ring L
Algebra K L
F E : Subalgebra K L
hfin : FiniteDimensional K ↥E
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank K ↥E ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥F
⊢ F = E
A : Type u_2
self : InvolutiveNeg A
x : A
⊢ - -x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : β → γ
hg : Function.Injective g
⊢ HasProd (Function.extend g f 1) a ↔ HasProd f a
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
⊢ a ∣ b → Associates.mk a ≤ Associates.mk b
m : Type u → Type u_1
α σ : Type u
Monad m
x : m α
s : σ
⊢ (StateT.lift x).run s = do
  let a ← x
  pure (a, s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
j : I
⊢ Function.update g i x j = (g / mulSingle i (g i) * mulSingle i x) j
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
⊢ IsMulTwoCoboundary (⇑Additive.toMul ∘ ↑↑f)
M : Type uM
AddCommMonoid M
m : M
⊢ 0 m = 0
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₃).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).obj X))
b : ℝ
⊢ {b} = ⋂ r, ⋂ (_ : r > 0), Set.Icc (b - r) (b + r)
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.eraseNone (Finset.insertNone s) = s
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ 0 ≤ logb b x ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
b c : α
h : p c ∧ p b
hc : c ∈ s(c, b)
⊢ p c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ ↑f ⊓ ↑g ∈ A
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) (f - g) = 0
x : ℝ*
⊢ x.Infinitesimal → x ≠ 0 → ∀ (r : ℝ), x ≠ ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Set β
s : Set α
⊢ ⋃₀ (f '' s) = ⋃ x ∈ s, f x
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
U : TopologicalSpace.Opens G
K : TopologicalSpace.Compacts G
h2 : ↑U ⊆ ↑K
⊢ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
⊢ ∑ i ∈ f.support, 1 ⊗ₜ[R] x * f i ⊗ₜ[R] b i = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
A : outParam (Type u_3)
B : outParam (Type u_4)
Add A
Mul A
SMul R A
Star A
Add B
Mul B
SMul R B
Star B
EquivLike F A B
NonUnitalAlgEquivClass F R A B
self : StarAlgEquivClass F R A B
f : F
a : A
⊢ f (star a) = star (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ε * μ {x | f x + ε ≤ g x} ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
A₁ A₂ : Matrix l m α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (A₁ + A₂) B =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A₁ B + Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A₂ B
K : Type u
M : Type v
Field K
AddCommGroup M
Module K M
FiniteDimensional K M
f : M →ₗ[K] M
⊢ minpoly K f ∣ f.charpoly
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).map f).hom = A.X.map f
R : Type u
CommRing R
q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ LinearMap.ker q.modByMonicHom = Submodule.restrictScalars R (Ideal.span {q})
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s.biUnion fun a => Finset.image (fun x => a \ x) t) = s.diffs t
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
S : Type u_3
Field L
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S L
φ : K[X] →ₐ[S] L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (RatFunc.liftAlgHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p) /
    (RatFunc.liftAlgHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) =
  φ p / φ q
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Transitive OneOneReducible
m k n : Nat
H : (m * k).Coprime n
⊢ m.Coprime n
x✝ y z x : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
α : Sort u_3
β : Sort u_4
f : α → β
⊢ Nonempty α → Nonempty β
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l r : Batteries.RBNode α} {p : α → Prop},
  Batteries.RBNode.All p l → Batteries.RBNode.All p r → Batteries.RBNode.All p (l.append r)
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.innerContent { carrier := ↑U' \ ↑L', is_open' := ⋯ } ≤ μ.outerMeasure ↑U'
n : ℕ+
⊢ n ≤ 1 ↔ n = 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictMonoOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ StrictMonoOn f s
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocRing α
v w : m → α
⊢ -v ⬝ᵥ w = -(v ⬝ᵥ w)
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ ∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ s → a_1 ∉ {a}
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
r s : R
hr : r ∈ I
hs : s ∈ J
⊢ s * r ∈ I * J
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ Function.support (iteratedFDeriv 𝕜 n f) ⊆ tsupport f
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableVAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (MeasureTheory.addFundamentalInterior G s) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
⊢ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r = Metric.closedBall (x, y) r
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ (intrinsicClosure 𝕜 s).Nonempty ↔ s.Nonempty
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioo ⊥ ⊤ = Set.univ
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
self : Homotopy f g
i j : ι
⊢ ¬c.Rel j i → self.hom i j = 0
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
⊢ ↑(ℜ (↑z.re + ↑z.im * I)) = ↑z.re
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor M (Submodule.subtype I))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
n : ℕ
⊢ n.totient = (n / ∏ p ∈ n.primeFactors, p) * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring K
inst✝⁷ : CommSemiring L
inst✝⁶ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : PerfectRing M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L
⊢ liftAux i i p x = x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0)
M : Type u_5
AddCommMonoid M
R : Type u_9
Ring R
Module R M
r : R
m : M
⊢ r • m + (1 - r) • m = m
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : ↑x ≤ y
⊢ x ≤ y.toNNReal
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair} (h : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.inverse.map h =
    match X, Y, h with
    | x, .(x), CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.id .(x) =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.id
        (match x with
        | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero => CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero
        | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one => CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one)
    | .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero), .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one),
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left =>
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line { down := true }
    | .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero), .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one),
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right =>
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.line { down := false }
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
⊢ v = a⁻¹ • a • v
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ
⊢ (s.get? n).Equiv (t.get? n)
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
s_closed : IsClosed s
f : (ℕ → ℕ) → ↑s
f_surj : Surjective f
f_cont : Continuous f
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ ⨆ i, f i
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) (D i)
f : (i : I) → C i
i : I
⊢ (CategoryTheory.Functor.pi F).obj f i = (F i).obj (f i)
α : Type u_1
p : α → Bool
t : RBNode α
⊢ any p t = true ↔ Any (fun x => p x = true) t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ + ⟪T y, y⟫_ℂ) - (⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ - ⟪T y, y⟫_ℂ)) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ))) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ)))) / 4
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
CommRing R
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
NoZeroDivisors R
CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
⊢ B.IsAlt ↔ B = -B.flip
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
g : β × γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : β × γ), g c ∂(κ.prod η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g (b, c) ∂η a ∂κ a
p : ℕ
q : ℚ
hq : ¬q = 0
⊢ 0 ≤ ↑p ^ (-padicValRat p q)
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ ∏' (i : ι), f i ≤ a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ s = ⋃ i, ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto (f ∘ Subtype.val) (𝓝 ⟨a, h⟩) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
⊢ IsLocalRingHom (LocalRing.residue R)
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
l₁.NeBot
l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
v : α
ht₁ : Filter.Tendsto f l₁ Filter.atBot
ht₂ : Filter.Tendsto f l₂ (𝓝 v)
⊢ Set.Iio v ⊆ f '' s
N : ℕ
NeZero N
R : Type u_1
CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
hχ : χ.IsPrimitive
he : ¬e.IsPrimitive
⊢ gaussSum χ e = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ Injective f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
h_empty : {v | 0 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅
⊢ {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)
hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))
⊢ EqOn f g (Icc a b)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ e.IsImage (closure s) (closure t)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
β : Type u_4
CommMonoid β
f : ι → κ
s : Finset κ
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s
g : κ → β
⊢ ∏ x ∈ s.preimage f ⋯, g (f x) = ∏ x ∈ s, g x
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
⊢ (fun z => (z.1 * z.2, z.1⁻¹)) = (fun z => (z.2, z.1 / z.2)) ∘ fun z => (z.2, z.1 * z.2)
p : ℝ
⊢ 1 ≤ ENNReal.ofReal p ↔ 1 ≤ p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
n : ℕ
hn : q.degree ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∑ i : Fin n, (monomial ↑i) ((p %ₘ q).coeff ↑i) = p %ₘ q
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Sigma.mk i ⁻¹' s.sigma t = t i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x✝ : ℝ≥0
h : 0 < x✝
⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑0)⁻¹
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
DecidablePred p
⊢ (Finset.filter p Finset.univ).card = (if p 0 then 1 else 0) + (Finset.filter (p ∘ Fin.succ) Finset.univ).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
f' g' : E
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) s x
P : Type u_1
LE P
OrderBot P
s : Order.Ideal P
⊢ ⊥ ∈ s
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
v : n → α
⊢ (Matrix.circulant v).transpose = Matrix.circulant fun i => v (-i)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
⊢ Summable f ↔
  Summable (⇑UniformSpace.Completion.toCompl ∘ f) ∧
    ∑' (i : β), UniformSpace.Completion.toCompl (f i) ∈ Set.range ⇑UniformSpace.Completion.toCompl
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
⊢ ∀ (P : Ideal R), f a ^ e a ≤ P → ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P → ¬P.IsPrime
x : ℝ
⊢ Real.arctan x = 0 ↔ x = 0
n : ℕ
x a b : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
e : |1 - a| ≤ b - |x| / ↑m * ((↑m + 1) / ↑m)
⊢ |rexp x - expNear n x a| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)
m n : ℤ
⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
this : Continuous (Function.uncurry g)
⊢ StronglyMeasurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
M : Type u_3
Add M
ts : Set (TopologicalSpace M)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousAdd M
⊢ ContinuousAdd M
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ ¬1 = i + 2
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
i : n
r : R
hr : (scalar n) r = ↑A
⊢ (scalar n) (↑A i i) = ↑A
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
X : i.EssImageSubcategory
⊢ i.essImageInclusion.map (CategoryTheory.equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).inv =
  (CategoryTheory.reflectorAdjunction i).unit.app X.obj
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m ∈ n.properDivisors ↔ ∃ k > 1, n = m * k
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ f x ≤ f y + f (y / x)
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ a.re ^ 2 - d * a.im ^ 2 = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
R : Type u
A : Type v
DivisionRing A
Field R
Algebra R A
n : ℚ
⊢ IsAlgebraic R ↑n
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
l : α →₀ M
⊢ Finsupp.equivMapDomain (Equiv.refl α) l = l
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ l.erase (l.get i) = l.eraseIdx ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_5
SemilatticeSup α
LinearOrder β
FunLike F β α
RelHomClass F (fun x x_1 => x > x_1) fun x x_1 => x > x_1
a : F
m n : β
⊢ a (m ⊔ n) = a m ⊔ a n
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
H : f.Disjoint g
h : Equiv.Perm α
⊢ (h * f * h⁻¹).Disjoint (h * g * h⁻¹)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
d : ℝ
h : ∀ (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)), dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * d
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist (f₁.next.toFun t) (f₂.next.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)! * d
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ I ⊆ M.E
α : Type u_1
UniformSpace α
Y : Type u_4
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f g : UniformSpace.Completion α → Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : ∀ (a : α), f (↑α a) = g (↑α a)
⊢ f = g
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s
⊢ ofMeasurableSpace ((generate s).toMeasurableSpace ⋯) ≤ ofMeasurableSpace (generateFrom s)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
⊢ y.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors