ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
⊢ QuasiIsoAt (descShortComplex S) n
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hcont : ContinuousWithinAt g (Set.Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : IsEmpty ι
⊢ iSup f ≤ iSup g
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]
n : ℕ
r : R
⊢ (aeval ↑x) ((monomial n) r) = ↑((aeval x) ((monomial n) r))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ⨅ i, ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i.succ] a = (⨅ i, ⨅ (_ : 0 < i), ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i] a) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : ¬0 < i), ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i] a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f g : α → β
hf : EventuallyMeasurable m l f
hgf : g =ᶠ[l] f
⊢ EventuallyMeasurable m l g
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
e : J ≃ I
⊢ (CategoryTheory.Pi.equivalenceOfEquiv C e).functor =
  CategoryTheory.Functor.pi' fun i =>
    (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C (e j)) (e.symm i)).comp (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalence C ⋯).functor
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =O[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a
⊢ 0 < 2 ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : x ∈ s
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
e : Lean.Data.AC.Expr
⊢ e.toList ≠ []
R : Type u
M : Type v
Monoid R
AddMonoid M
DistribMulAction R M
DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
⊢ (x ^ n).snd = (List.map (fun i => x.fst ^ (n.pred - i) •> x.snd <• x.fst ^ i) (List.range n)).sum
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v w : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ (vandermonde v * (vandermonde w)ᵀ) i j = ∑ k : Fin n, (v i * w j) ^ ↑k
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o ↔ o ≠ 0
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x y : AddMonoidAlgebra k G
g : G
⊢ (x + y).divOf g = x.divOf g + y.divOf g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f
unit : F.ε ≫ (app (𝟙_ C)).hom = G.ε
tensor :
  ∀ (X Y : C),
    F.μ X Y ≫ (app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (app X).hom (app Y).hom ≫ G.μ X Y
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalNatIso.ofComponents app naturality unit tensor).hom.app X = (app X).hom
α : Type u_7
β : Type u_8
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
⊢ (s.sup f).toFinset = s.sup fun x => (f x).toFinset
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x
⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk ↑(Set.range f)) ≤ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)
x : ℂ
⊢ (Complex.log x).im = x.arg
k : ℕ
⊢ Nat.multichoose 0 (k + 1) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
OrderClosedTopology M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
⊢ v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
ts' : ι → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι), TopologicalGroup G
⊢ TopologicalGroup G
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
⊢ dist p3 p2 ≠ 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun t => t / x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
f : β → α → m β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → SatisfiesM (motive (↑i + 1)) (f b as[i])
i j : Nat
b : β
h₁ : j ≤ as.size
h₂ : as.size ≤ i + j
H : motive j b
⊢ SatisfiesM (motive as.size) (Array.foldlM.loop f as as.size ⋯ i j b)
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f g : X → α
⊢ (∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f =ᶠ[𝓝 y] g) ↔ f =ᶠ[𝓝 x] g
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (-n) = Polynomial.Chebyshev.T R n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
hμν : μ ≤ ν
⊢ f.lintegral μ ≤ g.lintegral ν
R : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
⊢ ⇑(NonUnitalStarAlgHom.id R A) = id
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y
h : x ≠ ⊤
⊢ x ^ y ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
e : b ⟶ a
⊢ p.cons e ≠ Quiver.Path.nil
α : Sort u_1
β : α → Sort u_3
⊢ (∀ (a : α), β a → True) ↔ True
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => Complex.exp (x * Complex.I)) ↑Real.pi
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
⊢ lift f fs w ≫ base arrows = f
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
OrderedAddCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_one : f 0 = 0
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x + y) ≤ f x + f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) ≤ ∑ i ∈ s, f (g i)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
⊢ φ₁ = φ₂
f g : CircleDeg1Lift
⊢ ⌊f (g 0)⌋ ≤ ⌊f 0⌋ + ⌈g 0⌉
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝² : (i : ι) → Sub (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
a b : α i
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
⊢ (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
⊢ AEMeasurable f μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 ≤ π
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
a : α
has : a ∈ s
a' : α
has' : a' ∈ s
h₁ : φ a ≠ φ a'
h₂ : r' (φ a) (φ a')
⊢ False
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0
⊢ (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = 0
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.normalCore.normalCore = H.normalCore
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x - y = x + -y
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ ↑⊥ = {0}
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.re 0 = 0
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a
⊢ 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ sqrtTwoAddSeries 0 n
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
⊢ a < o
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
p : α.Arrow (TypeVec.repeat n Prop)
f : β.Arrow (TypeVec.Subtype_ p)
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.toSubtype p) (TypeVec.comp (TypeVec.ofSubtype p) f) = f
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 f')
R : Type u_2
Add R
Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ sSup S = ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
s : Set α
⊢ TotallyBounded (insert a s) ↔ TotallyBounded s
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ∃ x_1, ¬Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(x_1 ω) ∂↑(diracProba i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(x_1 ω) ∂↑(diracProba x)))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω = i})
n : ℕ
self : Fin n
⊢ Fin.valEmbedding self = ↑self
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
x : σ → R
⊢ MvPolynomial.comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ HasSum f r ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 r)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Set.Iio x) x}.Countable
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Integrable (fun x => rexp (-b.re * x ^ 2)) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
h : Bornology.IsBounded ∅
⊢ Bornology.IsBounded (thickening δ ∅)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
G' : Type u_8
TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
N' : Type u_12
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
h₁ : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
h₂ : N ≃ₘ^n⟮J, J'⟯ N'
⊢ ⇑(h₁.prodCongr h₂) = Prod.map ⇑h₁ ⇑h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
⊢ τ ((g x) ((Equiv.symm τ) ∞)) = ∞
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 (f 0)
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
z : ℤ
⊢ (↑z).re = ↑z
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Subsingleton M
Subsingleton M₂
x : M
⊢ 0 x = 0
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α (n + 1)
⊢ v.toList.isEmpty = false
α : Type u_1
Star α
n : ℕ
v : Fin n → α
⊢ (Matrix.circulant v).conjTranspose = Matrix.circulant (star fun i => v (-i))
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.ListBlank.map f l).tail = Turing.ListBlank.map f l.tail
F : Type u_1
Field F
Finite F
R : Type u_2
CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜✝ : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E✝
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜✝
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α✝ → E✝
g : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Tendsto v l (𝓝 y)
⊢ Tendsto u l (𝓝 0)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
⊢ φ₁.τ₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) ≫ S₂.g + φ₃.τ₃
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • (x + y) ^ n = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
x y : Nat
ys : List Nat
h : x ≠ y
⊢ Lean.Data.AC.mergeIdem (x :: y :: ys) = x :: Lean.Data.AC.mergeIdem (y :: ys)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1
⊢ x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
n : ι
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = s n
x : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt Complex.log x
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel r)
x : R
toQuot✝ : Quot (Rel r)
y : R
⊢ (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel r) x } + { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }) = (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) x } + (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }
α : Type u_2
TopologicalSpace α
a : α
⊢ (ContinuousOpenMap.id α) a = a
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : G.Preconnected
⊢ Subsingleton G.ConnectedComponent
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ
⊢ ↑(ofDigits b' (b'.digits n)) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.IsEquivalence
(F.comp G).IsEquivalence
⊢ F.IsEquivalence
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
⊢ Continuous (_root_.toContinuousMap ∘ toNNReal)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j₁ j₂ : MeasureTheory.JordanDecomposition α
hj : j₁.posPart = j₂.posPart
hj' : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
⊢ j₁ = j₂
R : Type u_2
Semiring R
self : RingInvo R
x : R
⊢ MulOpposite.unop (self.toFun (MulOpposite.unop (self.toFun x))) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in g '' s, f b ∂ν
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : 1 ≤ r
⊢ log b r = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
⊢ xs.formPerm xs[n] = xs[n + 1]
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ (μ₁ + μ₂).AbsolutelyContinuous ν ↔ μ₁.AbsolutelyContinuous ν ∧ μ₂.AbsolutelyContinuous ν
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃ₗ[𝕜] F
⊢ ↑↑e.toContinuousLinearEquiv.symm = ↑e.symm
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b / c
⊢ a * c < b
α : Type u_6
β : Type u_7
Bot α
Bot β
self : BotHom α β
⊢ self.toFun ⊥ = ⊥
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h) = DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ico a b = Set.Ico (a / c) (b / c)