ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
Mul M
Pow M ℕ+
PNatPowAssoc M
m n : ℕ+
x : M
⊢ x ^ m * x ^ n = x ^ n * x ^ m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
this : 0 ≤ a
⊢ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n ≤ C * a ^ n
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
x : K
⊢ (mk (ComplexEmbedding.conjugate φ)) x = (mk φ) x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝² : Denumerable α✝
inst✝¹ : Denumerable β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Denumerable α
e : β ≃ α
n : ℕ
this : Denumerable β := ofEquiv α e
⊢ ofNat β n = e.symm (ofNat α n)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (fun m g => (A.ρ g) m - m) (x + y) g = ((fun m g => (A.ρ g) m - m) x + (fun m g => (A.ρ g) m - m) y) g
⊢ Set.range Nat.cast = Set.Iio Cardinal.aleph0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
⊢ (Summable fun a => MulOpposite.op (f a)) ↔ Summable f
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : R
m : M
s t : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' A x s • mk' f m t = mk' f (x • m) (s * t)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ::ₘ s = t ↔ a ∈ t ∧ s = t.erase a
R : Type u
CommSemiring R
LocalRing R
U : TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum R)
⊢ LocalRing.closedPoint R ∈ U ↔ U = ⊤
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ padicValNat p p = 1
p : ℕ
hp : Prime p
n k : ℕ
⊢ multiplicity p (n + 1) ≤ multiplicity p ((n + 1).choose (k + 1)) + multiplicity p (k + 1)
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
a : α
ha : a ∈ β
ha' : ⟨a, ha⟩ ∈ γ
⊢ a ∈ ↑γ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
⊢ { toFun := ⇑g ∘ ⇑f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } = (↑g).comp ↑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r : ℝ
this : ((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) =O[𝓝[>] 0] ((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹)
⊢ (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
X Y : C
CategoryTheory.Simple Y
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x
⊢ (filter p s).card + (filter (fun a => ¬p a) s).card = s.card
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)
s : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (E ⋙ F)
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone F
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.isoColimitCocone s).hom ≫
    s.isColimit.desc (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker E t.cocone) ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimit.isoColimitCocone t).inv
a b : Char
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
MulOneClass M
MulOneClass N
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
m n : ℕ
⊢ (Polynomial.dickson 1 1 m).comp (Polynomial.dickson 1 1 n) = (Polynomial.dickson 1 1 n).comp (Polynomial.dickson 1 1 m)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
β : (projectiveResolution X).complex ⟶ P.complex
hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map β = P.iso.hom
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app (projectiveResolution X).complex ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
NormedAddCommGroup β
Norm β₂
l : Filter α
f : α → β₂
g₁ g₂ : α → β
h : f =O[l] g₁
h₂ : g₁ ~[l] g₂
⊢ f =O[l] g₂
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.Cone.toCostructuredArrow F).map f = CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f.hom ⋯
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
i : x₂.LeftMoves
h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hl✝ : x₁ ≤ x₂.moveLeft i
hl : x₁ < x₂.moveLeft i
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
α : Type u_3
Monoid α
h : {x | x ∈ 0}.Pairwise Commute
⊢ Multiset.noncommProd 0 h = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) 0)) = 0
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.mk (α × β) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) * Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
H : ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b
u : F[X]
hu : Irreducible u
x✝¹ : u ∣ f
x✝ : u ∣ g
v : F[X]
hf : f = u * v
w : F[X]
hg : g = u * w
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
⊢ (map (fun x => x) l).zip (map f l) = l.zip (map f l)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b n
F : Type u → Type v
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : α → β
y : F α
⊢ (fun {α} => η.app α) (x <$> y) = x <$> (fun {α} => η.app α) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
ℱ : TopCat.Presheaf C X
⊢ (TopCat.Presheaf.pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ = ℱ
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α₁ : Type u_7
α₂ : Type u_8
e : α₁ ≃ α₂
v : α₁ →₀ M
⊢ (Finsupp.domLCongr e) v = (Finsupp.domCongr e) v
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
⊢ { toFun := ⇑f, map_add_const' := ⋯ } = f
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ closedBall (b * c) r ↔ a ∈ closedBall b r
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : MulOneClass M} {x_1 : MulOneClass N} {x_2 : CommMonoid P} (f : M →* N →* P), MonoidHom.flipHom f = f.flip
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p = C (p.coeff 0)
⊢ p.natDegree = 0
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a‖₊ + ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
R : Type u
Ring R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
⊢ (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)).coeff n =
  p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)).coeff (n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : N →₀ M
h : (TensorProduct.comm R M N) x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n
⊢ (TensorProduct.comm R M N) x = (TensorProduct.comm R M N) (S.sum fun n m => m ⊗ₜ[R] n)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra R S
N : Type u_4
inst✝² : Semiring N
inst✝¹ : Module N S
inst✝ : SMulCommClass R N S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι
⊢ ((↑(b.constr N)).toFun (Subtype.val ∘ ⇑(basisSpanSingleton b hx))) (b i) = ((Algebra.lmul R S) x) (b i)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝⁸ : Module ℝ E✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x y : E
s : Set E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
A : Continuous fun t => (1 - t) • x + t • y
⊢ (fun t => (1 - t) • x + t • y) '' unitInterval = [x-[ℝ]y]
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ∅
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveInv α
s : Finset α
⊢ s.preimage (fun x => x⁻¹) ⋯ = s⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ s₁ ≤ s₂ → t₁ ≤ t₂ → s₁ ×ˢ t₁ ≤ s₂ ×ˢ t₂
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
x : ↥(unop U)
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
m : ↑x ∈ V
i : V ⟶ unop U
j : ℕ
r : A
r_mem : r ∈ 𝒜 j
s : A
s_mem : s ∈ 𝒜 j
nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
y : ↥V
hy : ∀ (x : ↥V), val (a ⟨↑x, ⋯⟩) = Localization.mk r ⟨s, ⋯⟩
⊢ (fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨-r, ⋯⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
α : Type u
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
singleton : (a : α) → motive [a]
cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))
⊢ List.bidirectionalRec nil singleton cons_append [] = nil
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
e : X ≅ Y
p : I → J
X.HasMap p
⊢ Y.HasMap p
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
⊢ ((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁
α : Type u_1
E : Type u_3
TopologicalSpace α
CompactSpace α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_4
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : C(α, E)
a : α
⊢ ((ContinuousMap.linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜) f) a = f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
⊢ J.W =
  (CategoryTheory.MorphismProperty.isomorphisms (CategoryTheory.Sheaf J A)).inverseImage
    (CategoryTheory.presheafToSheaf J A)
n d : ℤ
⊢ Rat.divInt n (-d) = Rat.divInt (-n) d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.92128, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
⊢ φ ≫ 𝟙 L = 𝟙 K ≫ φ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ ⇑(algebraMap R (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletion K v)) = ↑K ∘ ⇑(algebraMap R K)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.leftOp
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isLimitConeOfCoconeLeftOp F hc).lift s =
  (hc.desc (CategoryTheory.Limits.coconeLeftOpOfCone s)).op
R : Type u
CommRing R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
r : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity r ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f) = p ^ n * Polynomial.rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.Iso.refl X ≪≫ α = α
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
a : R
⊢ (MvPolynomial.map f) (MvPolynomial.C a) = MvPolynomial.C (f a)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
⊢ (DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) = toDirectSum (Finsupp.single xi xv) * toDirectSum (Finsupp.single yi yv)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ⊓ J
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasStrictFDerivAt (fun f i' => f i') id' f → ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') f
⊢ HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (proj i) f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ Set.range f, g x = ⋂ y, g (f y)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
NormedStarGroup E
⊢ Isometry star
b : Bool
n : ℕ
⊢ (!!b) = b
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
CharZero α
a b : α
a' b' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.beq b' = false → ¬a = b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
hle : f ≤ g
heq : f.domain = g.domain
⊢ f = g
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
i : (ℕ × ℕ) × ℕ
⊢ ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1.1) s * ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2)) t
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
⊢ WellFoundedGT ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ν
hμ : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
this : large.card ≤ Fintype.card V
⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (Fintype.card V - small.card) - (Fintype.card V - large.card) - 1
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ [[a, a]] = {a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = a ∧ b ≤ a ∨ max a b = b ∧ a < b
R : Type u_1
CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
⊢ (I ⊓ J).IsPrimary
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B : Set E
hBA : B ⊆ A
⊢ B ∩ Set.extremePoints 𝕜 A ⊆ Set.extremePoints 𝕜 B
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' [[b, c]] = [[a * b, a * c]]
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subring R
x : R
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
⊢ normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = eval₂ ((eval₂Hom f g).comp C) (⇑(eval₂Hom f g) ∘ q) p
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
⊢ (-p).mirror = -p.mirror
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
r : S
x : P.Ring
⊢ (f.sub g) (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = r • Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
inst✝ : Decidable (a = 0)
⊢ (p.update n a).support = if a = 0 then p.support.erase n else insert n p.support
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q
⊢ Continuous ⇑p
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S ⊓ Subsemigroup.comap f T) = S ⊓ T
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : α →₀ β →₀ M
xy : α × β
⊢ ((Finsupp.finsuppProdLEquiv R).symm f) xy = (f xy.1) xy.2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ finInsepDegree F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0
⊢ Continuous (f / g)
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
⊢ ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ k + n ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : a = 0
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c