ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
⊢ k ∈ ρ a
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Ioc a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_6
LE γ
LE δ
la : Filter α
fa ga : α → γ
ha : fa ≤ᶠ[la] ga
lb : Filter β
fb gb : β → δ
hb : fb ≤ᶠ[lb] gb
⊢ Prod.map fa fb ≤ᶠ[la ×ˢ lb] Prod.map ga gb
M : Type u
CommMonoid M
N : Type u
CommMonoid N
F : M →* N
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Discrete M} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Discrete.braidedFunctor F).map f = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x✝ : UniformSpace α := ⊥
⊢ UniformEmbedding f
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ A.transposeInvertibleEquivInvertible.symm inst✝ = A.invertibleTranspose
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
Nonempty ↑s
Fintype ↑s
lin_ind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
card_eq : s.toFinset.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ∀ (a : V),
  (setBasisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind card_eq).repr a =
    lin_ind.repr ((LinearMap.codRestrict (Submodule.span K (Set.range Subtype.val)) LinearMap.id ⋯) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Equiv.Perm α
f : α ↪ β
a : α
⊢ f.toEquivRange.symm ⟨f a, ⋯⟩ = a
α : Type u_1
Mul α
AddCommMonoid α
m : ℕ
a b : Fin m → α
⊢ Matrix.dotProductᵣ a b = a ⬝ᵥ b
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ b ⊔ a \ b
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
b' : R[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) (a' * b')
hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b
this : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ p = a' * b'
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
f : F ⟶ G
g : G ⟶ K
⊢ ofHom (f ≫ g) = (ofHom f).comp (ofHom g) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁.unop z₂.unop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
h : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g h
⊢ t.asCofork.π = h
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
⊢ IsUnit (gcd a 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
SemilatticeInf β
f g : α →o β
⊢ ⇑(f ⊓ g) = ⇑f ⊓ ⇑g
⊢ √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ it.hasPrev = true ↔ l ≠ []
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Monad C
x✝ : C
⊢ (MonoidalCategory.whiskerRight M.μ M.toFunctor ≫ M.μ).app x✝ = ((MonoidalCategory.associator M.toFunctor M.toFunctor M.toFunctor).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft M.toFunctor M.μ ≫ M.μ).app x✝
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
p : UniformSpace.Completion α → UniformSpace.Completion β → Prop
a : UniformSpace.Completion α
b : UniformSpace.Completion β
hp : IsClosed {x | p x.1 x.2}
ih : ∀ (a : α) (b : β), p (↑α a) (↑β b)
⊢ p a b
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.324351, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.324358, u_2} D
inst✝¹ : HasInitial C
ι : Type u_3
X : ι → C
c : Cofan X
hc : IsVanKampenColimit c
i j : ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ IsPullback (if h : j = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i)) (if h : j = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.rotateL x r).Sized
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).MutuallySingular (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y),
  (HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).map f = HomologicalComplex.homologyMap f i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
l : Filter α
f : α → WeakDual 𝕜 E
x : WeakDual 𝕜 E
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 x) ↔
  ∀ (y : E), Filter.Tendsto (fun i => ((topDualPairing 𝕜 E) (f i)) y) l (𝓝 (((topDualPairing 𝕜 E) x) y))
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
S : DiscreteQuotient Z
⊢ DiscreteQuotient.comap (g.comp f) S = DiscreteQuotient.comap f (DiscreteQuotient.comap g S)
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a ↑(orderOf (a 1)) = 1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hst : Set.BijOn f s t
hf : Function.Bijective f
⊢ Set.BijOn f sᶜ tᶜ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
⊢ (ENNReal.toReal ∘ g) 0 = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n).natDegree = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s : Finset α
⊢ s ⊼ s = s ↔ InfClosed ↑s
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) ≫ D.d k₁ k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀
S₁ S₂ : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
f : S₁ ⟶ S₂
α : Type u
s : S₁.val.obj (Opposite.op α)
x : α
⊢ CategoryTheory.eval S₂.val α (f.val.app (Opposite.op α) s) x =
  f.val.app (Opposite.op PUnit.{u + 1}) (CategoryTheory.eval S₁.val α s x)
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddAbove S
⊢ ∃ x, IsLUB S x
n m m' : ℕ
⊢ m ^^^ n = m' ^^^ n ↔ m = m'
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
self : CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification η θ
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (self.app b)) (θ.naturality f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.naturality f) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.app a) (G.map f))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint {a} {b} ↔ a ≠ b
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q : Stmt₁
ss : Supports M S
⊢ some q ∈ stmts M S → SupportsStmt S q
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
Nonempty ι
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
⊢ (iInf f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
M : Matroid α
⊢ M ↾ M.E = M
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : b ∈ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
⊢ b ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq a = 0 ↔ a = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type u_3
TopologicalSpace β
TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
a : α
⊢ f '' connectedComponent a = {f a}
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
h : S ≤ f.srange
⊢ Subsemigroup.map f (Subsemigroup.comap f S) = S
p n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Function.Injective TruncatedWittVector.out
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β
⊢ dist g₁ g₂ ≤ dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂)
a b : ℚ
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Set.range (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C) =
  Set.range
    (Sum.elim (fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l) fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌈a - ↑n⌉ = ⌈a⌉ - ↑n
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
a : Q
⊢ (IsLocalization.algEquiv M S Q).symm a = (IsLocalization.map S (RingHom.id R) ⋯) a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
y : K
hx : (algebraMap K L) y ∈ ⊥
⊢ f • ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩ = ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
n : ℕ
⊢ ↑‖a‖₊ = ↑‖a‖₊ ^ (↑(2 ^ n) * (1 / ↑(2 ^ n)))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
j : ℕ
hj₁ : j ∈ Set.Icc (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) (upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω)
hj₂ : f j ω ∈ Set.Ici b
⊢ b ≤ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
⊢ cthickening δ (closure E) = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ (take n s).length = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V
⊢ Coplanar k s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B = F.map CategoryTheory.Limits.coprod.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
RegularSpace X
TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
⊢ RegularSpace Y
n : ℕ
⊢ (↑n).birthday = ↑n
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate' n ~ l
x : ℝ*
⊢ ¬x.Infinite → ¬(-x).Infinite
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t
hr' : r = ‖↑r‖ * 1
hr'' : ↑r ≠ 0
⊢ IsOpen ((gaugeSeminormFamily 𝕜 E S).ball 0 r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
⊢ IsClosed ↑(lowerClosure {a})
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
⊢ ∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : F) in ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm (eL x))) (eL.symm (e i))
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β₀ β₁ β₂ : Type u₁
g : β₀ → β₁
g' : β₁ → β₂
⊢ Bifunctor.snd g' ∘ Bifunctor.snd g = Bifunctor.snd (g' ∘ g)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x : (a : ι) → π a
hs : s ∈ 𝓝 x
y : (a : ι) → π a
⊢ ∃ I, I.piecewise x y ∈ s
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ (A.leftRegularHom x).hom (Finsupp.single 1 1) = x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
f : α → β
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
hf' : Antitone f
a b : α
⊢ f a = f b
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ b ∈ UpperSet.Ioi a ↔ a < b
β : Type u_2
OrderedRing β
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ 1 - ↑x ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => ↑t ^ a • f t) s ↔ MellinConvergent f (s + a)
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Neg γ
MeasurableNeg γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (-f) (-g) μ ν
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → β
⊢ pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩) l ⋯ = map f l
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
y : E × F
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source)
⊢ (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) y = y.1
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ ↑↑n * (x✝¹ * x✝) = ↑↑n * x✝¹ * x✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
⊢ IntegrableOn f K μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
P : Algebra.Generators R T
⊢ ∀ (a : P.vars), (Algebra.Generators.extendScalars S P).val a = P.val a
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ NNReal.toReal ∘ nnnorm = norm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
x✝ : WithBot α
⊢ map f ⊥ ≤ map f x✝ ↔ ⊥ ≤ x✝
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
n : ℕ
Nonempty β
hn : Fintype.card α ≤ Fintype.card β * n
⊢ ∃ y, (Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card ≤ n
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Function.RightInverse ⇑W.dualLift ⇑(Submodule.dualRestrict W)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
⊢ orderOf x ≤ 2
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n)
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
TrivialStar R
AddCommGroup A
StarAddMonoid A
Monoid R
DistribMulAction R A
StarModule R A
r : R
x : ↥(skewAdjoint A)
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card - 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
⊢ (deriv fun x => x ^ n) = fun x => ↑n * x ^ (n - 1)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ s.totalVariation ≪ μ ↔ s.toJordanDecomposition.posPart ≪ μ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart ≪ μ
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0
hab_0' : 0 < (a + b) ^ p
h_mul : (a + b) ^ p * (a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p) ≤ (a + b) ^ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A B : C
f : A ⟶ B
F : C ⥤ D
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.IsIso (F.map f) ↔ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly, d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly ≠ 0
s t : Set ℝ
⊢ closure (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ closure t
a b c : Prop
⊢ a → b → c ↔ b → a → c
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ gaussianPDFReal μ v (c * x) = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (extChartAt I x).target (↑(extChartAt I x) x)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
mn : M × N
⊢ (f.noncommCoprod g comm) mn = f mn.1 * g mn.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ range ↑I = ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
⊢ algebraMap Rₘ Sₘ = IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedDivisionRing α
SeminormedAddCommGroup β
Module α β
BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ nndist (s • x) (s • y) = ‖s‖₊ * nndist x y
G : Type u_1
Add G
a : G
f : AddConstMap G G a a
n : ℕ
x : G
⊢ (f ^ n) x = (⇑f)^[n] x
d : ℤ
n : ℕ
⊢ (↑n).re = ↑n
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = max (v (y - x)) (v x)
⊢ v y = v x