ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
i : ι
x : φ i
⊢ ((fun f i => f ∘ₗ single i) ({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) i) x = (f i) x
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
goal : PartialHomeomorph (↑e.source) H := e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this
⊢ e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this ∈ maximalAtlas (↥s) G
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
⊢ (killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule = killingForm R ↥(ad R L).range
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ 0 < (minpoly A x).degree
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, g x ∂μ
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ (inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (-F.d j k ≫ inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo b (a ⊔ b))
⊢ ↑((RelIso.symm (infIooOrderIsoIooSup a b)) c) = a ⊓ ↑c
a : EReal
h : 0 < a
h' : a ≠ ⊤
⊢ ⊥ / a = ⊥
ι : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
a b : ι → R
OrderBot R
s : Finset ι
ha : ∀ i ∈ s, 0 ≤ a i
hb : ∀ i ∈ s, 0 ≤ b i
⊢ s.sup (a * b) ≤ s.sup a * s.sup b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g
⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π (f ≫ g) = f ≫ 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨x, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨x, hx⟩ ∈ convexBodyLT' K f w₀
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h : SigmaCompactSpace X
⊢ IsSigmaCompact Set.univ
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, |↑i + a| ^ k ≤ (↑i + ↑i) ^ k
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0, x ∉ cthickening δ E
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
⊢ HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x)) BoxAdditiveMap.volume)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.symm ≪≫ α = CategoryTheory.Iso.refl Y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
ha : ∀ (i : Fin 3), i₃ ≠ i → p ∈ mongePlane t i₃ i
⊢ p = mongePoint t
G : Type u_6
α : Type u_7
Zero G
VAdd G α
MeasurableSpace α
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain G α ν
⊢ ∃ s, MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s ν
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
(v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)
⊢ M.IsPerfectMatching ↔ ∀ (v : V), M.degree v = 1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ (a : (ZMod p)ˣ) (ha : a ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a ha ∈ Ico 1 (p - 1).succ
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
⊢ μ.haarScalarFactor μ = 1
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
x : B
h : x ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.lanLiftCompIsoWhisker f g h).inv.right =
  (CategoryTheory.Bicategory.LanLift.CommuteWith.isKan f g h).desc
    (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftLeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g))
x : ℂ
h : Complex.cos x ≠ 0
⊢ HasDerivAt Complex.tan (1 / Complex.cos x ^ 2) x
α : Type u_2
Preorder α
MulZeroOneClass α
⊢ ⇑(OrderMonoidWithZeroHom.id α) = id
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : p a
⊢ Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
⊢ B₁.encard = B₂.encard
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.Localization ⥤ D
⊢ (𝟭 (W.Localization ⥤ D)).obj G = (functor W D ⋙ inverse W D).obj G
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
⊢ (φ + ψ).order = φ.order ⊓ ψ.order
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ] {x_1 : G}
  {s : Set α}, x_1 • s =ᵐ[μ] s → x_1⁻¹ • s =ᵐ[μ] s
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
⊢ HEq f f'
σ : Type u
G : Type u → Type u
Applicative G
α β γ : Type u
g : α → β
f : β → G γ
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse f (g <$> x) = Sum.traverse (f ∘ g) x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : ι → α
⊢ (⨅ i, if p i then f i else g i) = (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : ¬p i), g i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ).h₁ = 0
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ a = max a b
α : Type u
Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), x ^ i = x * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i + 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
x y : α × β
⊢ x < y ↔ x.1 < y.1 ∧ x.2 ≤ y.2 ∨ x.1 ≤ y.1 ∧ x.2 < y.2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.modify a f l).toList =
  List.replaceF
    (fun x =>
      match x with
      | (k, v) => bif k == a then some (a, f k v) else none)
    l.toList
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin f s = 𝓕 (fun u => rexp (-s.re * u) • f (rexp (-u))) (s.im / (2 * π))
α : Type u_1
Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0
⊢ (a ≠ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≠ 1 / gcd * (ad * b'))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : IsDomain (Localization M')
⊢ ⊥.IsMaximal
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
this : Prod.map f f '' A ⊆ t ×ˢ t
⊢ (∀ ⦃x₁ : H⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃y₁ : H⦄, y₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : H⦄, x₂ ∈ t → ∀ ⦃y₂ : H⦄, y₂ ∈ t → IsCorner (Prod.map f f '' A) x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂) ↔ ∀ ⦃x₁ : G⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃y₁ : G⦄, y₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : G⦄, x₂ ∈ s → ∀ ⦃y₂ : G⦄, y₂ ∈ s → IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
⊢ (∑ x ∈ s, if hx : p x then f x hx else g x hx) =
  ∑ x ∈ (Finset.filter p s).attach, f ↑x ⋯ + ∑ x ∈ (Finset.filter (fun x => ¬p x) s).attach, g ↑x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
n i : ℕ
⊢ ↑(f ^ n) i = ↑f i ^ n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
h✝ : (P.coeff l • Q).natDegree < Q.natDegree
⊢ P.coeff l • Q = 0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑ a ∈ s, f a < ⊤ ↔ ∀ a ∈ s, f a < ⊤
d a : ℤ
b c : ℤ√d
ha : a ≠ 0
h : (↑a * b).re = (↑a * c).re ∧ (↑a * b).im = (↑a * c).im
⊢ b.re = c.re ∧ b.im = c.im
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : 0 ≤ a
⊢ -a ≤ a
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
⊢ μ' s ≤ ν s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a + -a = 0
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
hac : c ∣ a
hc0 : c ≠ 0
hbd : 0 ∣ b
⊢ a * b / (c * 0) = a / c * (b / 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
NormedAddCommGroup β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (f : ι → α → β) (p : ENNReal) (μ : MeasureTheory.Measure α),
  MeasureTheory.UnifTight f p μ ↔
    ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
P : R[X]
r : R
f g : R[X]
hf : eval r ((expand R p) f) = eval (r ^ p) f
hg : eval r ((expand R p) g) = eval (r ^ p) g
⊢ eval r ((expand R p) (f + g)) = eval (r ^ p) (f + g)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Finite G
x y : G
DecidableEq G
⊢ y ∈ Submonoid.powers x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range (orderOf x))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f
hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
s : Set α
⊢ IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated (f '' s)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
⊢ Realize (Formula.iExs f φ) v v' = (Formula.iExs f φ).Realize v
α : Sort u_1
DecidableEq α
x y z w : α
⊢ (Equiv.swap x y) z = w ↔ z = (Equiv.swap x y) w
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
x : G
⊢ 0 < addOrderOf x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ f ≤ g ↔ ∀ i ∈ f.support, f i ≤ g i
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u_1
AddMonoid γ
f g : (DirectSum ι fun i => β i) →+ γ
H : ∀ (i : ι) (y : β i), f ((DirectSum.of β i) y) = g ((DirectSum.of β i) y)
⊢ f = g
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
IsAtomic β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisCoinsertion l u
h_atom : ∀ (b : β), IsAtom b → l (u b) = b
a : α
⊢ IsAtom (l a) ↔ IsAtom a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = x.2
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Iio 0)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
K : Ideal S
⊢ Ideal.map f I ≤ K → I ≤ Ideal.comap f K
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor D C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
G.IsCoverDense J
G.IsContinuous K J
G.Full
(G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
⊢ K.W.inverseImage ((CategoryTheory.whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) = J.W
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset α
⊢ s.val.prod = s.prod id
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Cardinal.mk ((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) = max Cardinal.aleph0 (Cardinal.mk (α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i))
a : Ordinal.{u_1}
b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b ≤ a ♯ c ↔ b ≤ c
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ minpoly A 1 = X - 1
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
s2 : ↑b = ↑a
⊢ 1 / ↑(b - a) * (f b * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑b) - f a * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a) - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (f' x * (fourier (-n)) ↑x)) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
CategoryTheory.Limits.HasPullback i₁ i₂
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.fst i₁ i₂ ≫ i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map i₁ i₂ (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
    (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) (𝟙 V₁) (𝟙 V₂) (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) ⋯ ⋯)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
    (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
    (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯)
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
⊢ (sᶜ.restrict fun a => if a ∈ s then f a else g a) = sᶜ.restrict g
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x a : α
hs : autoParam {a}.Finite _auto✝
hx : x ∈ {a}
⊢ ∀ {a_1 b : α}, a_1 ∈ {a} → b ∈ {a} → a_1 = b
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
s : UpperSet α
t : UpperSet β
⊢ x ∈ s ×ˢ t ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M
⊢ ContMDiff I' (I.transDiffeomorph e) n f ↔ ContMDiff I' I n f
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x x✝ : ↥H
h✝ : x✝ ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0
p : ℕ
hp : Prime p
n b : ℕ
hb : log p (n + 1) < b
⊢ ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i) + ↑(filter (fun i => p ^ i ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card = ↑(∑ x ∈ Ico 1 b, n / p ^ x + ↑(filter (fun x => p ^ x ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card)
α : Type u_1
β : Type u_2
Membership α β
s : β
a b : α
h : a ∈ s
⊢ ¬b ∈ s → a ≠ b
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
k : ℕ
a✝ : Nontrivial α
a0 : α
hz : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count (Associates.mk a0).factors
⊢ ∃ b, Associates.mk a0 = b ^ k
m n✝ n : ℤ
⊢ Even (n * (n - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : R[X]
self : IsAdjoinRoot S f
⊢ algebraMap R S = self.map.comp Polynomial.C
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
⊢ (μ.singularPart ν) Set.univ = 0
n : Num
⊢ ↑n.minFac = (↑n).minFac
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : ¬f.SameCycle x y
⊢ (f.cycleOf x) y = f y
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ (AddHom.id N).comp f = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inl)
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl)
      CategoryTheory.Limits.coprod.inr)
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Zero M
Zero N
FunLike F M N
ZeroHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ (e.restr s).target = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
i : ι
⊢ Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x✝ x y : FreeCommRing α
ihx : (lift (⇑f ∘ of)) x = f x
ihy : (lift (⇑f ∘ of)) y = f y
⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (x * y) = f (x * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.blimsup u f fun x => ¬p x) ⊔ Filter.blimsup u f p = Filter.limsup u f