ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I J : Ideal S
⊢ spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = diagonal fun x => 0
i : n
hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A
⊢ f ⟨hA.eigenvalues i, hx⟩ = 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
⊢ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q h) = p.subtype.coprod q.subtype
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ⊤ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊤
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0
⊢ padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint h)) = 0
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
⊢ (∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
m : α → β
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto m f Filter.atBot ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, m a ≤ b
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ProbabilityTheory.preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s t : Subtype MeasurableSet
⊢ ↑(s \ t) = ↑s \ ↑t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn✝ : n ∈ N ⊔ N'
hn : ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = n
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn✝⟩⁆ = m
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, y + z = m
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.centralizer R s) = s.centralizer
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : OrderedAddCommMonoid α
hβ : OrderedAddCommMonoid β
f : α →+o β
⊢ f.toAddMonoidHom = ↑f
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
⊢ (q * ↑n + ↑r) / ↑n = q ∧ ↑↑((q * ↑n + ↑r).natMod ↑n) = r
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
k : 𝕜
⊢ ((algebraMap 𝕜 𝓜(𝕜, A)) k).toProd.2 = (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) k
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
NormalizationMonoid R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ normalize p = p
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1
x : ℝ
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, c ∈ Set.Icc (1 * c) (1 * c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝[≥] 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : μ ∈ m
this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sInf m) s ≤ μ s
α β : Type u
f : Type u → Type v
Functor f
LawfulFunctor f
h : α ≃ β
y : f β
⊢ (Functor.mapEquiv f h).symm y = ⇑h.symm <$> y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsProperMap id
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ ↑⌊f x - x⌋ ≤ f.translationNumber
ι : Type u_4
M : Type u_5
αs : ι → Type u_13
Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
x : αs i
⊢ (l.split i) x = l ⟨i, x⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ (interior ↑s).Nonempty
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ ‖soln - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.re ((starRingEnd K) z) = RCLike.re z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ici a₁ ∩ Iio b₁ ∩ (Ici a₂ ∩ Iio b₂) = Ici a₁ ∩ Ici a₂ ∩ (Iio b₁ ∩ Iio b₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (x : CategoryTheory.ComposableArrows C (Opposite.unop X).len),
  (CategoryTheory.nerve C).map f x = x.whiskerLeft (SimplexCategory.toCat.map f.unop)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V W : (↑U).Opens
e : (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V = (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj W
⊢ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom e).op = (↑U).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
X : Type u_1
Y : Type u_2
⊢ ∀ {x : TopologicalSpace X} {x_1 : TopologicalSpace Y} {f : X → Y},
  Continuous f ↔ ∀ (s : Set Y), IsOpen s → IsOpen (f ⁻¹' s)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
⊢ eval C l = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
h : Function.Surjective ⇑g
IsLocalization (Submonoid.map g M) Q
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalization.map Q g ⋯)
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
d : D
⊢ ∃ a, φ.obj a = d
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V
⊢ 𝓕 f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.fold op b s = Multiset.foldr op ⋯ b s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ
⊢ BoxIntegral.integral I l (fun x => c • f x) vol = c • BoxIntegral.integral I l f vol
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1
⊢ Ideal.map (mk W) (span {C (X - C x), Y - C (C y), Y - C (C (W.negY x y)), C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y}) = ⊤
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ μ = μ ↑K₀ • MeasureTheory.Measure.haarMeasure K₀
A B : Grp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Epi f
⊢ Function.Surjective ⇑f
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (↑(x, y).1, (x, y).2)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
z : α (Fin.last n)
⊢ Function.update (Fin.snoc p x) (Fin.last n) z = Fin.snoc p z
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ (Walk.cons h Walk.nil).IsPath
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
h : a ∉ s → f a = 1
⊢ ∏ x ∈ insert a s, f x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ≤ x
⊢ x \ (x \ y) = y
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
P : C
ι : P ⟶ X
w : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι (f j₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι (f j₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Trident.ofι ι w).pt = P
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.inr R A B) = Prod.mk 0
n : ℕ
⊢ φ ^ (n + 2) - φ ^ (n + 1) = φ ^ n
z : ℂ
⊢ ¬z < 0 ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im ≠ 0
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
CharZero k
Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1
⊢ ∑ i : ι, Finset.centroidWeightsIndicator k s i = 1
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓝 0) fun V => {f | ∀ (x : α), f x ∈ V}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback 0 0 b.inl b.inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
⊢ Measurable (upcrossingsBefore a b f N)
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi : i ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ (Fin.last n).predAbove i = i.castPred hi
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Antitone (Function.rightLim f)
α : Type u_1
p q : Sym2 α
h : ∀ (x : α), x ∈ p ↔ x ∈ q
⊢ p = q
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ
⊢ ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g))).app U = ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g)).app U
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
ha : a ≠ 0
h : a * b = c
⊢ b = c / a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
n : ℕ
h✝ : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
⊢ x.appr n ≤ x.appr n + p ^ n * (toZMod (↑(unitCoeff h✝) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
hnk : n ≤ k
hex : ∃ m, k = n + m
⊢ ‖newton_seq k - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ (∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂) ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieModule.IsTrivial L M ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Bijective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Bijective ⇑(f' ^ (n + 1))
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
⊢ ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
α : Type u_1
a : α
⊢ ↑(some a) = Part.some a
G : Type u_6
AddGroup G
x : G
⊢ IsOfFinAddOrder x ↔ ∃ n, n ≠ 0 ∧ n • x = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖₊ = Finset.univ.sup fun φ => ‖φ x‖₊
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
g : Γ₀
hx : v x < g
hy : v y < g
⊢ v (x + y) < g
f g : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk f = Real.mk g ↔ f ≈ g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
CategoryTheory.HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.tensorLeftHomEquiv (ᘁY) (ᘁX) X (𝟙_ C)) (f ▷ ᘁY ≫ ε_ (ᘁY) Y) = (ᘁf) ≫ (ρ_ ᘁX).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : α → β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.dirac (f a)) s = s.indicator 1 (f a)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ¬ClusterPt y l
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
x : M₁ i
⊢ f (Function.update m i (c • x)) = c • f (Function.update m i x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ≫ (α_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).hom
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : dist t 0 < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal
hF : ∀ i ∉ s, F i = 0
hF' : ∀ i ∈ s, F i = ‖↑f i‖ ^ p.toReal
this : HasSum F (∑ i ∈ s, F i)
⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ↔ toIcoMod hp 0 (x₂ - x₁) + toIcoMod hp 0 (x₁ - x₃) ≤ p
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ lcm a a = normalize a
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ (AddMonoidHom.snd M N).comp (AddMonoidHom.inl M N) = 0
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C × C × C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftAssocTensor C).obj X =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.1 X.2.1) X.2.2
R : Type u
M : Type v
Zero R
⊢ Function.Injective TrivSqZeroExt.inr
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
C : α ⧸ s → Prop
⊢ (∀ (x : α ⧸ s), C x) ↔ ∀ (x : α), C ↑x
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ IsUnit Aᵀ.det
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
NonarchimedeanRing R
U : OpenAddSubgroup R
r : R
⊢ ∃ V, r • ↑V ⊆ ↑U
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha hb : a ∈ sᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ a a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C).inv.app X).hom₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₂
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
a : ι → M
b : ι₂ → M
⊢ PiTensorProduct.tmul (((tprod R) fun i => a i) ⊗ₜ[R] (tprod R) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → β → α → m β
b : β
as : List α
⊢ foldlIdxM f b as = List.foldlM (fun b p => f p.1 b p.2) b as.enum
⊢ UniformContinuous ⇑CompareReals.compareEquiv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquiv F U).inverse =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivInverse F U
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Set.range ⇑(algebraMap R A) ≤ ↑S
x y : ℤ[i]
⊢ toComplex x / toComplex y - toComplex (x / y) = ↑(toComplex x / toComplex y).re - ↑(toComplex (x / y)).re + (↑(toComplex x / toComplex y).im - ↑(toComplex (x / y)).im) * I
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star (star c * a * star b) = b * (star a * c)
n : ℕ
h : n ≤ n / 2
⊢ n = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s • t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a✝ b✝ : α
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
⊢ r a b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ∧ Wbtw R x z y ↔ y = z
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
this : Countable ↑S
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)
R : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
e : M ≃L[R] M
⊢ Ring.inverse ↑e = (↑e).inverse
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ stereoToFun v ↑(stereoInvFun hv w) = w
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
⊢ (SimpleGraph.Subgraph.map f H).verts = ⇑f '' H.verts
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f g : F
h : f 1 = g 1
n : ℕ
⊢ f n = g n
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, Set.EqOn (F n) (F' n) s
⊢ TendstoUniformlyOn F' f p s
a : ℕ
l : List ℕ
x : Γ'
h : x ∈ trNat a ∨ x = Γ'.cons ∨ x ∈ trList l
⊢ x ≠ Γ'.consₗ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ [IsLocallyConstant f, ∀ (x : X), ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, f x' = f x, ∀ (x : X), IsOpen {x' | f x' = f x},
    ∀ (y : Y), IsOpen (f ⁻¹' {y}), ∀ (x : X), ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ ∀ x' ∈ U, f x' = f x].TFAE