ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
TopologicalSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
φ : α → β
hφ : ClosedEmbedding φ
f : β → G
⊢ ∫ (y : β), f y ∂MeasureTheory.Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : γ → α
t : Finset γ
⊢ R (m (⨆ d ∈ t, s d)) (∏ d ∈ t, m (s d))
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
⊢ (groupCohomology.resolution.forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom.f 0 =
  (CategoryTheory.forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (groupCohomology.resolution.ε k G)
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
h : Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
R' : Type u
CommSemiring R'
⊢ ⇑(algebraMap R'[X] (R' → R')) = fun p z => Polynomial.eval z p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : Nontrivial M
⊢ IsTrivial L M ∧ lowerCentralSeries R L M 0 ≠ ⊥ ↔ IsTrivial L M
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (ShrinkingLemma.PartialRefinement u s)
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
hU : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ShrinkingLemma.PartialRefinement u s
hv : v ∈ c
⊢ v ≤ ShrinkingLemma.PartialRefinement.chainSup c hc ne hfin hU
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject 0).arrow = 0
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (Set.range f)
h_ant : Antitone f
⊢ ∃ r, Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 r)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
a b : Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.Tape.write b (Turing.Tape.mk' L (Turing.ListBlank.cons a R)) = Turing.Tape.mk' L (Turing.ListBlank.cons b R)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
⊢ v x ∉ span R (v '' s)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
⊢ sInf (Subtype.val '' t) ≤ ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
b : β
(a : α) → Decidable (r a b)
⊢ ↑(Finset.bipartiteBelow r s b) = {a | a ∈ s ∧ r a b}
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : J ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
x : (fun F => ↑F.sections) F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ (F.map f ≫ φ.app j') (↑x j) = (fun j => φ.app j (↑x j)) j'
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0
⊢ edist x z = edist y z
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
X : C
Y : Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.linearYoneda R C).obj X).obj Y = ModuleCat.of R (Opposite.unop Y ⟶ X)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropAt P g x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
t : R
u : L
hu : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) u
⊢ (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) (t • u)
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
⊢ min p q ≤ p
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z
⊢ SameRay R (x + y) z
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
⊢ Preperfect C ↔ ∀ x ∈ C, ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
⊢ UpperHalfPlane.atImInfty.HasBasis (fun x => True) fun i => UpperHalfPlane.im ⁻¹' Set.Ici i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hps : ps ⊆ ↑s
p : P
⊢ (∃ r, ∀ p1 ∈ ps, dist p1 p = r) ↔ ∃ r, ∀ p1 ∈ ps, dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p) = r
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ Complex.exp (Complex.log x) = x
β : Type u_2
ι : Sort u_4
Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ s \ ⋃ i, t i = ⋂ i, s \ t i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
PseudoMetricSpace γ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
⊢ UniformContinuous (BoundedContinuousFunction.comp G H)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
b' : ℝ := b (min_bi b)
⊢ (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+: l₂ → l₁.length ≤ l₂.length
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
s_ae_univ : μ sᶜ = 0
t_ae_univ : ν tᶜ = 0
⊢ (μ.prod ν) (sᶜ ×ˢ univ) = 0 ∧ (μ.prod ν) (univ ×ˢ tᶜ) = 0
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ p.obj b = S
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t) ∩ s = s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌈a⌉ = 0 ↔ a ∈ Ioc (-1) 0
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
A : ValuationSubring L
f : K →+* L
⊢ ↑(A.comap f) = ⇑f ⁻¹' ↑A
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ ∀ (i : ιB) (y : M i), ((smulAddMonoidHom A M) 1) ((of M i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CoheytingAlgebra α
inst✝² : CoheytingAlgebra β
inst✝¹ : CoheytingAlgebra γ
inst✝ : CoheytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : CoheytingHom α β
g g₁ g₂ : CoheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
N : ℕ
hN : 2 ≤ N
⊢ (2 * Behrend.dValue N - 1) ^ Behrend.nValue N ≤ N
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
hIJ : I ≤ J
x : R
⊢ (Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J
α : Type u_1
C : Set (Set α)
ι : Type u_2
hC : MeasureTheory.IsSetRing C
s : ι → Set α
S : Finset ι
hS : S.Nonempty
hs : ∀ n ∈ S, s n ∈ C
⊢ ⋂ i ∈ S, s i ∈ C
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Set.range ⇑(comap (algebraMap R S)) = ↑(basicOpen r)
k : ℕ
x : ℝ
⊢ ↑k * bernoulliFun (k - 1) x = Polynomial.eval x (Polynomial.derivative (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α × β)
f : Filter α
g : Filter β
⊢ s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
p₁ p₂ : P₁
⊢ e p₁ = e p₂ ↔ p₁ = p₂
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
C : (ι → α) → κ
⊢ Subspace.IsMono C l.toSubspaceUnit ↔ IsMono C l
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.im z * RCLike.im RCLike.I = RCLike.im z
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
ha : 0 < ↑a
⊢ ↑a * b ≤ ↑a * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.ofLimitCone ht).inr = ht.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
l : List α
b : β
⊢ b ∈ List.filterMap f l ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ f a = some b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
⊢ MeasurableSet {a | r a (↑f a)}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
i j : l
⊢ (diagonal d).submatrix e e i j = diagonal (d ∘ e) i j
α : Type u_1
R : Set α
M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E
⊢ (M.restrict R).StrictRestriction M
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Affine.Simplex.mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ =
  Affine.Simplex.mongePointWeightsWithCircumcenter n - Affine.Simplex.centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S : SimplicialObject.Split C
⊢ (𝟙 S).F = 𝟙 S.X
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map (i ≫ eqToHom ⋯) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯ ≫ ((Opens.map f.base).map ((opensFunctor f).map i.unop)).op)
⊢ StrictMonoOn Real.log (Set.Ioi 0)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, (fun a => f a b) '' s ⊆ u
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
⊢ @Fin.succAboveCases = @Fin.insertNth
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
⊢ μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0
p x : ℝ
⊢ ‖↑x‖ = ‖↑x‖
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIdIso C).inv.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₁
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))
⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
m : E
⊢ m ∈ Zspan.fundamentalDomain b ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ Set.Ico 0 1
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
⊢ (sSup s).toNNReal = sSup (ENNReal.toNNReal '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀)) = abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) → WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f)
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B
⊢ e.symm.symm = e
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ {s | a ∈ s ∧ s ∈ b}.Nonempty
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s.sup (WithBot.some ∘ fun x => toDual x) = s.sup ((WithBot.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)
n p : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Nat.Prime p
⊢ p ∈ n.primeFactorsList ↔ p ∣ n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
m n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : IsOpen s
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMul R V
x y : HahnModule Γ R V
⊢ (HahnModule.of R).symm (x + y) = (HahnModule.of R).symm x + (HahnModule.of R).symm y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
⊢ a :: l ∈ s.subchain ↔ a ∈ s ∧ l ∈ s.subchain ∧ ∀ b ∈ l.head?, a < b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R
hf : WittVector.IsPoly₂ p f
hg : WittVector.IsPoly₂ p g
h :
  ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : WittVector p R) (n : ℕ),
    (WittVector.ghostComponent n) (f x y) = (WittVector.ghostComponent n) (g x y)
R : Type u
_Rcr : CommRing R
x y : WittVector p R
⊢ f x y = g x y
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ IsClosed self.carrier
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal (p - q) + ENNReal.ofReal q = ENNReal.ofReal p
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ y ∈ periodicOrbit f x ↔ ∃ n, f^[n] x = y
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G
⊢ x * of' k G g %ᵒᶠ g = 0
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ : HomologicalComplex C c
e✝ : HomotopyEquiv K✝ L✝
inst✝² : ∀ (i : ι), K✝.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L✝.HasHomology i
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
e : HomotopyEquiv K L
⊢ QuasiIso e.hom
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
⊢ P.a = Q.a
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
hw : ∑ i ∈ s, (a * w₁ i + b * w₂ i) = 1
⊢ a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z
R : Type u_1
CommRing R
a b c : R
NeZero 2
NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
F : Type u
Field F
Algebra R F
P : WeierstrassCurve.Affine.Point (WeierstrassCurve.baseChange W F)
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W (Algebra.ofId F F)) P = P
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s ⊂ t
⊢ s.card < t.card
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n
⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β✝
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β✝
β : Type u_5
f : α → β
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s
⊢ IsOpen (⋂ t ∈ S, f ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ↑(RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
b : α
h : 0 < l.length
⊢ List.minimum_of_length_pos h ≤ b ↔ l.minimum ≤ ↑b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
⊢ EMetric.diam (image2 f s t) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ s ⊆ interior s ↔ IsOpen s
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.toAlgHom 0) = Unitization.fst
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
⊢ f.extendDomain = Finsupp.embDomain (Function.Embedding.subtype P) f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Finite J
F : J → CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi.Biproducts.bicone F).pt.p = CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun j => (F j).p
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p - q).coeff n = p.coeff n - q.coeff n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (Orientation.map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = ((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).im
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p q r : Associates M
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
⊢ p = c 1
m n a : Nat
cmn : m.Coprime n
dvd : a ∣ n
⊢ m.Coprime (n / a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
i j k : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(D.U i)
X' : C
f' :
  ((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f j k).base).obj (D.V (j, k)).presheaf).obj
      (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U))) ⟶
    X'
⊢ D.opensImagePreimageMap i j U ≫
    (D.f j k).c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ f' =
  (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f j i) (D.f j k) ≫ D.t j i ≫ D.f i j).c.app (Opposite.op U) ≫
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (D.f j i) (D.f j k))
        (Opposite.unop
          (Opposite.op
            ((TopologicalSpace.Opens.map
                    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (D.f j i) (D.f j k) ≫ D.t j i ≫ D.f i j).base).toPrefunctor.1
              (Opposite.unop (Opposite.op U))))) ≫
      (D.V (j, k)).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) ≫ f'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0
⊢ K.Pointed
n : ℕ
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
hx₀ : x₀ ∉ Set.range x
hx : Function.Injective x
⊢ Function.Injective (Fin.cons x₀ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(↑s ⊓ ↑t) = ↑↑s ∩ ↑↑t
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ ↑e.symm = (↑e).symm
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.54716, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasCokernel S.f
⊢ S.Exact ↔ Mono (cokernel.desc S.f S.g ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a
h_sum : Summable fun n => f n
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∫⁻ (b : β) in s, ∑' (n : ι), (fun b => f n a b) b ∂κ a
n : ι
⊢ ∫⁻ (a_1 : β) in s, f n a a_1 ∂κ a = ((κ.withDensity (f n)) a) s