ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
⊢ Valid' o₁ (l.node' x r).eraseMax ↑(findMax' x r) ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMax.size + 1
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
x : β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous ((OrderHom.const α) x)
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Reflexive OneOneReducible
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
⊢ univ.ncard = Nat.card α
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V
⊢ (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(Fintype.card ↑{p | p.length = n})
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
s : Finset β
h : Fintype.card α ≤ s.card
⊢ ∃ f, Set.range ⇑f ⊆ ↑s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Nonempty ((i : ι) → α i)
s t : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ t }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ Disjoint (cylinder s S) (cylinder t T) ↔ Disjoint ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
n : ℤ
hn : n < 0
⊢ selfZPow x B n = IsLocalization.mk' B 1 (Submonoid.pow x n.natAbs)
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ b < c / a ↔ a * b < c
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hf_int : Integrable f μ
hX : Measurable id
⊢ μ[f|m ⊓ mΩ] =ᶠ[ae μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id ω)
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
t : Set V
⊢ ∃ b ⊆ t, Submodule.span K b = Submodule.span K t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
IsNoetherian K V
⊢ ↑(IsNoetherian.finsetBasisIndex K V) = Basis.ofVectorSpaceIndex K V
α : Type u_3
Sup α
Bot α
⊢ SupBotHom.dual.symm (InfTopHom.id αᵒᵈ) = SupBotHom.id α
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
this : cmpLE x y = cmpLE y x
⊢ (match cmpLE x y with | Ordering.lt => (Ordnode.insert x l).balanceL y r | Ordering.eq => node size✝ l x r | Ordering.gt => l.balanceR y (Ordnode.insert x r)).dual = match (cmpLE x y).swap with | Ordering.lt => (Ordnode.insert x r.dual).balanceL y l.dual | Ordering.eq => node size✝ r.dual x l.dual | Ordering.gt => r.dual.balanceR y (Ordnode.insert x l.dual)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p + q) = MvPolynomial.eval₂ f g p + MvPolynomial.eval₂ f g q
a✝ a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
h : c ≤ b
habc : a ≤ b * c
⊢ a ∣ b
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ s ≠ 0
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h₀ : f ≠ 0
h₁ : f.eraseLead = 0
⊢ f.support.card = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α
⊢ (∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime x y
⊢ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s \ frontier s = interior s
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ (ad R L) x = 0 ↔ ∀ (m : L), ⁅x, m⁆ = 0
x : ℝ≥0∞
⊢ x.toNNReal = 1 ↔ x = 1
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c = Composition.ones n ↔ c.length = n
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
f : Γ → Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
n : ℕ
⊢ Turing.Tape.write (f (R.nth n)) ((Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[n] (Turing.Tape.mk' L R)) =
  (Turing.Tape.move Turing.Dir.right)^[n] (Turing.Tape.mk' L (Turing.ListBlank.modifyNth f n R))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).functor.obj F).map f = ((Opposite.unop F).map f.op).op
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : ker f = ⊥
p p' : Submodule R M
⊢ map f p ≤ map f p' ↔ p ≤ p'
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y✝ : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x y : M
⊢ -x + y ∈ p.toAddSubgroup ↔ -x + y ∈ p
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.lift.{w, max v u_1} (Cardinal.lift.{v, u_1} a) = Cardinal.lift.{max v w, u_1} a
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K
⊢ (2 * (3 ^ 2 / 4 ^ 2) * (4 ^ 4 / 24)) ^ 2 < (2 * (π ^ 2 / 4 ^ 2) * (4 ^ 4 / 24)) ^ 2
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Neg Y
f : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (-f) x = -f x
α : Type u_1
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm (Option α)
⊢ (Equiv.removeNone σ).optionCongr = Equiv.swap none (σ none) * σ
α : Type u_1
n : Type u_3
Fintype n
CommSemiring α
A : Matrix n n α
⊢ (A * A.transpose).IsSymm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) =ᶠ[𝓝[s] y] id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
x' : M
h : x = x'
⊢ mfderiv I I' f x = mfderiv I I' f x'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
i j : ℕ
h : i = j
⊢ f i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (trunc n f).coeff m = 0
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
h : S.Finite
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (IntermediateField.adjoin F S)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
n : Type u_19
Field K
AddCommGroup V
Module K V
Field K₁
AddCommGroup V₁
Module K₁ V₁
I₁ I₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] V
v : n → V₁
hv₁ : B.IsOrthoᵢ v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ LinearIndependent K₁ v
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
t : Set α
ht : t ∈ T
s : Set α
hs : s ∈ S
H : (s ∩ t).Nonempty
⊢ μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ cs.lengthParity w = Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length w)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts
⊢ (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = ∑ i ∈ filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts, i.card
m : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < ↑n
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) 1 + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) 1 - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 + (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) ((algebraMap A B) x.1) + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) ((algebraMap A B) x.2) - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 * (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun y => (x, f y)) '' s = {x} ×ˢ (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
i : Nat
cs : Array γ
⊢ i ≤ as.size →
  i ≤ bs.size →
    (Array.zipWithAux f as bs i cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
x : HahnSeries (Lex (Γ × Γ')) R
⊢ HahnSeries.iterateEquiv.symm x = x.toIterate
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights i j c i = 1 - c
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ μ.outerMeasure (interior ↑K) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace K G
x : E
n : ℕ∞
f : E → F
g : F → G
hg : ContDiffAt K n g (f x)
hf : ContDiffAt K n f x
⊢ ContDiffAt K n (fun x => g (f x)) x
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ (∃ U Z, (∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = U) ∧ (∃ t, IsClosed t ∧ f ⁻¹' t = Z) ∧ s = U ∩ Z) ↔ ∃ s', (∃ U Z, IsOpen U ∧ IsClosed Z ∧ s' = U ∩ Z) ∧ f ⁻¹' s' = s
m n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
g : Fin n → Mathlib.Vector ℕ m →. ℕ
hf : ∃ c, ∀ (v : Mathlib.Vector ℕ n), c.eval ↑v = pure <$> f v
hg : ∀ (i : Fin n), ∃ c, ∀ (v : Mathlib.Vector ℕ m), c.eval ↑v = pure <$> g i v
⊢ ∃ c, ∀ (v : Mathlib.Vector ℕ m), c.eval ↑v = pure <$> ((Mathlib.Vector.mOfFn fun i => g i v) >>= f)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (t * X x)) Set.univ μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i) = s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
⊢ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ∩ s₂ ×ˢ t
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
y : β
h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)
⊢ Commute y (s.noncommProd f comm)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
h : Differentiable 𝕜 f
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => star (f y)
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
⊢ ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ↔ a * d ≤ c * b
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotLeftToQuotSupₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.quotLeftToQuotSup I J)
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
⊢ (s \ ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Set.Ioo x y).Finite
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w
hw : w ∈ P.partOfVertex v
⊢ False
z : ℂ
n : ℕ
⊢ (z / ↑n).im = z.im / ↑n
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q
e_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ 1 = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₁ : ¬↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ = γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) 1 μ
⊢ Memℒp (stoppedProcess u τ n) 1 μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, (u i - l)) =ᶠ[atTop] fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f‖₊ = ‖f‖₊
G : Type u_1
Group G
x : G
p : G → Prop
⊢ (∃ g ∈ Subgroup.zpowers x, p g) ↔ ∃ m, p (x ^ m)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
Y₁ Y₂ Y₃ : CochainComplex C ℤ
f' : Y₁ ⟶ Y₂
g' : Y₂ ⟶ Y₃
φ : mk₂ f g ⟶ mk₂ f' g'
n : ℤ
⊢ (map g g' (φ.app 1) (φ.app 2) ⋯ ≫ (mappingConeCompTriangle f' g').mor₃).f n = ((mappingConeCompTriangle f g).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (map f f' (φ.app 0) (φ.app 1) ⋯)).f n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedSemifield 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y z : E
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z] ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ 0 < a + b ∧ (a / (a + b)) • y + (b / (a + b)) • z = x
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
x y x✝ : α
⊢ x✝ * y = x ↔ x = y * x✝
X : Pointed
a : ((pointedToBipointed ⋙ bipointedToPointedSnd).obj X).X
⊢ (pointedToBipointedCompBipointedToPointedSnd.hom.app X).toFun a = a
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ 0 < logb b x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ l.ker = ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).tan = ‖y‖ / ‖x‖
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1
hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n
hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n
hU4 : ∀ (f : X →* Y), Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0) → ∀ (n : ℕ), Set.MapsTo (⇑f) (U n) (V n)
⊢ ∀ (k : ℕ), True → ∀ᶠ (x : X) in nhds 1, ∀ (i : ↑{f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}), (↑i 1, ↑i x) ∈ {x | x.2 / x.1 ∈ V k}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ gcd m n ∣ gcd m (k * n)
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
FunLike F α β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddMonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
ContinuousAdd β
f : F
⊢ ContinuousAdd α
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ sᶜ ≠ Finset.univ ↔ s.Nonempty
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
d : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
b n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits m).length
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ (-f) = -MeasureTheory.condexpL1 hm μ f
α : Sort u_1
a b : α
⊢ (∀ {c : α}, a = c ↔ b = c) ↔ a = b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : F' ⟶ F
g : F'' ⟶ F'
⊢ (adj1.natTransEquiv adj2).symm f ≫ (adj2.natTransEquiv adj3).symm g = (adj1.natTransEquiv adj3).symm (g ≫ f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Functor C D)ᵒᵖ} (α : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Functor.opHom C D).map α).app X_1 = (α.unop.app (Opposite.unop X_1)).op
R : Type u_1
Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (LaurentPolynomial.C a).degree = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α × α → β
⊢ ∏ i ∈ s.diag, f i = ∏ i ∈ s, f (i, i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiff 𝕜 n (f i)
⊢ ContDiff 𝕜 n fun y => ∏ i ∈ t, f i y
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
⊢ Function.Injective fun f x => f x
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ z.im ≤ w.im * rexp (dist z w)
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)
⊢ HasSum (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term x (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
n : ℕ
⊢ ZMod.val 1 = 1 % n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ ↑(NumberField.discr K) = Algebra.discr ℚ ⇑(NumberField.integralBasis K)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0
δ : ℝ≥0
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hδ : ↑δ < ε
I : ∀ (x : E) (r : ℝ), x ∈ s → 0 ≤ r → μ (f '' (s ∩ closedBall x r)) ≤ ↑m * μ (closedBall x r)
J : ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝[>] 0, μ (f '' s) ≤ ↑m * (μ s + a)
L : Tendsto (fun a => ↑m * (μ s + a)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (↑m * (μ s + 0)))
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s