ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x y : ℝ
hxy : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
⊢ (fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y) ∈ Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π
X : Type u
⊢ CategoryTheory.typeToCat.obj X = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Discrete X)
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
⊢ Stonean.pullback.fst f hi ≫ f = Stonean.pullback.snd f hi ≫ i
m : Type u → Type u_1
α β : Type u
Monad m
LawfulMonad m
mf : m (α → β)
x : m α
⊢ (Seq.seq mf fun x_1 => x) = do
  let f ← mf
  f <$> x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
⊢ f = g
o₁ o₂ : Ordinal.{u_3}
⊢ (o₁ + o₂).card = o₁.card + o₂.card
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ IsOpenMap (Prod.fst ∘ ⇑e)
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : IsDomain R
inst✝¹⁰ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁹ : IsDomain S
inst✝⁸ : Finite ι✝
F : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing F
inst✝⁶ : Algebra F R
inst✝⁵ : Algebra F S
inst✝⁴ : IsScalarTower F R S
b✝ : Basis ι✝ R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
ι : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝² : Nontrivial F
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ I) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Finsupp.some 0 = 0
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (2 ^ n), f k ≤ f 0 + ∑ k ∈ Finset.range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
⊢ Injective ⇑B.flip ↔ Surjective ⇑B
α : Type u_1
Ring α
Nontrivial α
C : Ring.PositiveCone α
⊢ C.pos 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T T' : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
g : T ⟶ T'
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.map g).obj (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f) =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))
a b : Nat
⊢ ¬a ≤ b → b < a
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h0 : ∀ y ∈ s, ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), y = (fun i x => f i) x hx
y2 : α
hy2 : y2 ∈ s
heq : y = (fun i x => f i) y2 hy2
⊢ f⁻¹ ((fun i x => f i) y2 hy2) = y2
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂) = dist c₁ c₂ * dist p₂ p₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ∅
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x : P
⊢ Function.Involutive ⇑(AffineIsometryEquiv.pointReflection 𝕜 x)
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ (∀ (i : ι), f i < c) → Cardinal.sum f < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s t : NonemptyInterval α
x : α × α
a b : α
⊢ b ∈ pure a ↔ b = a
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hp : 0 < x
hy : y.InfiniteNeg
⊢ (x * y).InfiniteNeg
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
i : n
j : l
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D (Sum.inl i) (Sum.inl j) = A i j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
t : MeasureTheory.SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ f =ᵐ[μ] s.rnDeriv μ
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ⩿ b ↔ a = b ∨ a ⋖ b
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
μ.InnerRegularCompactLTTop
μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
⊢ x + 1 ≤ y ↔ x < y
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s : Finset α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
⊢ m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
⊢ ∀ (a : ι), e.op.f a = e.f a
α : Type u_1
P Q : α → Prop
H : ∀ (a : α), P a → Q a
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.Any P t → Ordnode.Any Q t
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ weightedTotalDegree 1 φ = φ.totalDegree
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
a : α
⊢ (pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂ρ
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
g : I → Type u_4
(i : I) → One (g i)
op : (i : I) → f i → g i
h : ∀ (i : I), op i 1 = 1
i : I
x : f i
⊢ Pi.mulSingle i (op i x) = fun j => op j (Pi.mulSingle i x j)
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s => star s * s)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable (fun x => ↑(ArithmeticFunction.zeta x)) s ↔ 1 < s.re
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
hf : Set.MapsTo f s t₁
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ Set.MapsTo f s t₂
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮α⟯
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h✝ : a ≠ 0
p q : ℚ
h : a < 0
⊢ volume (Ioo ↑p ↑q) = (ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume) (Ioo ↑p ↑q)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {b | toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b} ↔ x✝ ∈ ⋃ z, Set.Ioo (a + z • p) (a + p + z • p)
α : Type u_1
⊢ (Set.range fun x => (x, x)) = Set.diagonal α
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Finite ι₂
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι₂
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
b₁ : Basis ι R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
i✝ : ι₂
j✝ : ι
⊢ (toMatrix (basis A b₁) (basis A b₂)) (baseChange A f) i✝ j✝ = ((toMatrix b₁ b₂) f).map (⇑(algebraMap R A)) i✝ j✝
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : cons y s ≠ 0
⊢ y ≠ 0 ∨ s ≠ 0
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
m n : ℕ
⊢ constantCoeff (m • X 0) = 0
M : Type v
X : Type x
Y : Type y
UniformSpace X
UniformSpace Y
SMul M X
SMul M Y
UniformContinuousConstSMul M Y
f : X → Y
hf : UniformInducing f
hsmul : ∀ (c : M) (x : X), f (c • x) = c • f x
⊢ UniformContinuousConstSMul M X
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
⊢ x ≤ y ↔ ∀ (q : ℚ), y < ↑q → x ≤ ↑q
α : Type u_1
m : Multiset α
a b : α
⊢ s(a, b) ∈ m.sym2 ↔ a ∈ m ∧ b ∈ m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
n : ℕ
⊢ LipschitzWith (K ^ n * K) f^[n + 1]
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => r) a = (algebraMap R A) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
⊢ WellFounded r ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
T : CategoryTheory.Monad C
T.Additive
F G : T.Algebra
⊢ CategoryTheory.Monad.Algebra.Hom.f 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length
this : (take i L').prod * L[i] = (take i L').prod * L'[i]
⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
b : M i
⊢ (DirectSum.component R ι M i) ((DirectSum.lof R ι M i) b) = b
α : Type u
s : Set α
Subsingleton α
⊢ s.Nonempty → s = Set.univ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ deriv f₁ x = deriv f x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ FiniteDimensional.finrank ℤ ↥(NumberField.Units.unitLattice K) = NumberField.Units.rank K
x✝¹ x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝¹ + ↑x✝).sin = (↑x✝¹).sin * (↑x✝).cos + (↑x✝¹).cos * (↑x✝).sin
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
v : Option α → M
f : Option α →₀ R
⊢ (Finsupp.total (Option α) M R v) f = f none • v none + (Finsupp.total α M R (v ∘ Option.some)) f.some
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 12 * 0.6931471808 < 16
⊢ 12 * log 2 < 16
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom) ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
s : Finset (n × n) := Finset.map { toFun := fun i => (i, i), inj' := ⋯ } Finset.univ
⊢ (∑ x ∈ s, ‖diagonal v x.1 x.2‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖₊ ^ 2)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
α : Type u
β : Type v
f : α → Option β
a : α
l : List α
⊢ List.filterMap f (a :: l) =
  match f a with
  | none => List.filterMap f l
  | some b => b :: List.filterMap f l
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x y : K
⊢ y * (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x) = (algebraMap A K) (IsFractionRing.num A x) ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
⊢ a ⩿ b ↔ a ⋖ b ∨ a = b
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_8
s : Set ι
f : ι → M
hf : Set.InjOn f s
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => f ↑x) ↔ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝¹ : Finset α
t✝ : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
f : β → γ
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x✝ : a ∉ s
ih : image f (s.biUnion t) = s.biUnion fun a => image f (t a)
⊢ image f ((insert a s).biUnion t) = (insert a s).biUnion fun a => image f (t a)
X : Type u_1
R : Type u_5
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
NormedRing R
SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => g x * f x) s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
⊢ liminf f v = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g'✝ : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
f' : E →L[𝕜] E'
hf' : HasFDerivWithinAt (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) f' (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
F : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
g' : E' →L[𝕜] E''
hg' : HasFDerivWithinAt (↑I'' ∘ (↑(chartAt H'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(chartAt H' (f x)).symm) ∘ ↑I'.symm) g' (↑I'.symm ⁻¹' (↑(chartAt H' (f x)).symm ⁻¹' u) ∩ range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f x)))
⊢ MDifferentiableWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
a : α
⊢ (CentroidHom.id α) a = a
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoUniformlyOn F f p s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
A : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ u * (t / t)
⊢ -SetTheory.PGame.star = SetTheory.PGame.star
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
⊢ IsCauSeq abv (-f) ↔ IsCauSeq abv f
F : Type u_2
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
FunLike F ℍ ℂ
self : CuspFormClass F Γ k
f : F
A : SL(2, ℤ)
⊢ UpperHalfPlane.IsZeroAtImInfty (SlashAction.map ℂ k A ⇑f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso f.val.base → Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.pre (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ihom A)
u : PNat.XgcdType
⊢ u.reduce.IsReduced'
a b c : Prop
⊢ a ∧ b ∧ c ↔ (a ∧ b) ∧ a ∧ c
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R[X] A
D : Derivation R R[X] A
a : R
f : R[X]
this : C a • D f = D (C a * f)
⊢ C a • D f = a • D f
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) MeasureTheory.volume
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
i : F' ≅ F
⊢ ((adj1.natIsoEquiv adj2).symm i).hom = (adj1.natTransEquiv adj2).symm i.hom
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (t : G), (φ i).normed μ (x₀ - t) • g t ∂μ) l (𝓝 (g x₀))
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ ⇑(Ordinal.typein.principalSeg r).toRelEmbedding = Ordinal.typein r
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p + q).support ⊆ p.support ∪ q.support
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
x : α
⊢ List.rtakeWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then List.rtakeWhile p l ++ [x] else []
P : Type u_1
Preorder P
F : Order.PFilter P
self : F.IsPrime
⊢ Order.IsIdeal (↑F)ᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.mapComp F G).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithInitial.of (G.obj (F.obj x)))
    | CategoryTheory.WithInitial.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithInitial.star).inv
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ (S.a + S.b) * ((S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)) = ↑S.u * (λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} D₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.CatCommSq G L₁ L₂ G'
CategoryTheory.CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').counit.app (L₂.obj X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G'.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂))
      (L₂.map (adj.counit.app X₂)))
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) (c • x) = |c| * (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
hK : (primitiveRoots (FiniteDimensional.finrank K L) K).Nonempty
a : K
α : L
ha : α ^ FiniteDimensional.finrank K L = (algebraMap K L) a
hα : K⟮α⟯ = ⊤
⊢ Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank K L - Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)
a : UInt32
n : ℕ
⊢ a ^ n = { val := a.val ^ n }
α : Type u_1
InvolutiveStar α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (star s).Finite
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
self : BoundarylessManifold I M
x : M
⊢ I.IsInteriorPoint x
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
B : ι → AddSubgroup A
self : RingSubgroupsBasis B
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
G : Type u_1
CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
g : ↥(CommMonoid.primaryComponent G p)
⊢ ∃ n, orderOf g = p ^ n
M : Type u_1
MulOneClass M
x : M
⊢ x ∈ ⊤