ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ (b₁.toMatrix ⇑c₁)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * b₂.toMatrix ⇑c₂ = (toMatrix₂ c₁ c₂) B
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, HolderOnWith C r f t
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
⊢ IsIso (inv f ≫ f ≫ g)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
⊢ H.Preconnected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β
⊢ ∏ a : α, dite (p a) (f a) (g a) = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s t : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : y ≤ 0
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (s.indicator fun _x => y) t x
X : Type u
α : Type u_1
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
f : α → X
b : Filter α
hs : IsClosed s
h : ∃ᶠ (x : α) in b, f x ∈ s
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 x)
⊢ x ∈ s
α : Type u
AddCommMonoid α
a b : α
h : a + b = 0
⊢ ↑(AddUnits.mkOfAddEqZero a b h) = a
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
x y : (j : J) × F.obj j
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel F x y → EqvGen (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel F) x y
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this✝ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)
this : Finite R (N ⧸ torsion R N)
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R N) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ span R {p i ^ e i}
n : ℕ
g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
i : α
⊢ (ComplexShape.up α).next i = i + 1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥
hJ : derivedSeries R (↥↑J) l = ⊥
⊢ derivedSeries R (↥↑(I + J)) (k + l) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
p : β → Prop
⊢ (∃ y ∈ f.range, p y) ↔ ∃ x, p (↑f x)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ 0
⊢ eval 1 (cyclotomic 0 R) = 1
a b : Prop
h : Or (Not a) b
ha : a
⊢ b
α : Sort u_1
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
a : α
f : α → γ
h : ∀ (a₁ a₂ : α), r a₁ a₂ → f a₁ = f a₂
⊢ (Quot.mk r a).liftOn f h = f a
p x : ℝ
m : ℤ
h : LiouvilleWith p x
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑m)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
σ : Type u_5
CompleteSpace 𝕜
Fintype σ
p : MvPolynomial σ 𝕜
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.eval x) p) Set.univ
α : Type u
f : Filter α
s : Set (Set α)
hfin : s.Finite
⊢ ⋂₀ s ∈ f ↔ ∀ U ∈ s, U ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (fun _x => 0) =o[l] g'' ↔ 0 = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
x : L i
y : L j
hij : i ≠ j
⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = if hij : i = j then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0
⊢ 0 = ‖c‖ * ENNReal.toReal 0 ^ (1 / p.toReal)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ContinuousMap.compactOpen =
  TopologicalSpace.generateFrom (Set.image2 (fun K U => {f | Set.MapsTo (⇑f) K U}) {K | IsCompact K} {t | IsOpen t})
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
m : P.ker.Cotangent
⊢ p • m = 0
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : Set.univ ⊆ ↑I ∪ J
⊢ ⨅ i ∈ J, LinearMap.ker (LinearMap.proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis R φ i)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
HasOuterApproxClosed X
F : Set X
hF : IsClosed F
n : ℕ
x : X
⊢ (hF.apprSeq n) x ≤ 1
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Mul γ
ContinuousMul γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ (f * g).toGerm = f.toGerm * g.toGerm
α : Type u_1
MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
DenselyOrdered 𝕜
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
⊢ x ∈ Set.extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x})
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
h : IndepSets (s n) s' κ μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
h : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ C.dFrom i = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
p : ι → Prop
t : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hb : (𝓝 x).HasBasis p t
hx : x ∈ s
i : ι
hi : p i
hix : t i ∩ s ⊆ {x}
⊢ ∃ i, p i ∧ t i ∩ s = {x}
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.next x hx = l'.next x ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
⊢ ↑Q = ∅ ↔ Q = ⊥
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
l : List (Sigma β)
h : a ≠ a'
⊢ List.dlookup a (List.kerase a' l) = List.dlookup a l
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
⊢ x₁.IsOption x → x₂.IsOption x → y' = -y ∨ y'.IsOption (-y) → P24 x₁ x₂ y'
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
h : N ≤ N'
m : ↥N
⊢ (LieSubmodule.inclusion h) m = ⟨↑m, ⋯⟩
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ s) (𝓝[≠] ↑P.k) (𝓝 (P.ε • P.g₀))
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ‖c • f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).singularPart ν = (μ.singularPart ν).restrict s
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ C
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ span {x, y + x * z} = span {x, y}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : InfSet α
inst✝² : InfSet β
inst✝¹ : InfSet γ
inst✝ : InfSet δ
g : sInfHom β γ
f₁ f₂ : sInfHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
X : C
⊢ F.unop.obj X = Opposite.unop (F.obj (Opposite.op X))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : LocallyConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
h : OpenEmbedding f
x : β
⊢ (Filter.comap f (𝓝 (f x))).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ f x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ range f) x) ((fun x s => f ⁻¹' s) x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.leftOp
j : Jᵒᵖ
⊢ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeLeftOp s)).unop) s ≫ (coneLeftOpOfCocone c).π.app j).op = (s.π.app j).op
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex
⊢ finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)
α : Type u_1
⊢ ∅.powerset = {∅}
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
F : (i : I) → f i → g i
hF : ∀ (i : I), Function.Surjective (F i)
⊢ Function.Surjective fun x i => F i (x i)
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableVAdd G α
c : G
⊢ (MeasurableEquiv.vadd c).toEquiv = AddAction.toPerm c
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ + WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₂ = -WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
S : IntermediateField K L
f : L →ₐ[K] L'
⊢ ↑(IntermediateField.map f S) = ⇑f '' ↑S
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
⊢ (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = Quot.mk fun x y => x = mk y.dest
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
p : A
⊢ φ.toLinearMap p = φ p
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ Real.mk (a ⊔ b) = Real.mk a ⊔ Real.mk b
α β : Type u
α' β' : Type v
F : Type u → Type v → Type w
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
h : α ≃ β
h' : α' ≃ β'
y : F β β'
⊢ (Bifunctor.mapEquiv F h h').symm y = bimap (⇑h.symm) (⇑h'.symm) y
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
x : FreeAddMagma α
⊢ FreeAddMagma.traverse F x = traverse F x
a b c : Prop
h : a ↔ b
⊢ a ∨ c ↔ b ∨ c
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
K : Subsemiring R
x : S
⊢ x ∈ Subsemiring.map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
DecidableEq m
One α
⊢ Matrix.blockDiagonal 1 = 1
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
⊢ H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L = (H ⊓ K).relindex L
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
⊢ ∀ x ∈ Algebra.adjoin F S, x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S
α : Type u
Zero α
LT α
⊢ 0 < ⊤
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
⊢ Presieve.IsSeparated J (F₁.val ⋙ forget D)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
c d : α
cd : c ≠ d
ac : ¬a = c
h' : swap a b * swap c d = swap a b * swap a c * (swap c a * swap c d)
⊢ swap a b * swap a c * (swap c a * swap c d) ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m
⊢ ((toMatrix v₁ v₂) f *ᵥ ⇑(v₁.repr x)) i = (v₂.repr (f x)) i
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
r : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a * ↑r = r • a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : IsClosedMap g
hf : IsClosedMap f
⊢ IsClosedMap (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ ∀ (x : { q' // ↑r < ↑q' }), f a ↑(?refine_1 x) = f a ↑x
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ f) = (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) f
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
a0 : 0 ≤ a
⊢ 1 ≤ a * b
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N
⊢ ⇑e.inducedStructureEquiv.symm = ⇑e.symm
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
⊢ BoundedOrderHom.dual (BoundedOrderHom.id α) = BoundedOrderHom.id αᵒᵈ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ Set.SurjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal) ↑(m * n).divisorsAntidiagonal
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ (↑n).im = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
OrderBot α
LE β
OrderBot β
f : TopHom αᵒᵈ βᵒᵈ
a : αᵒᵈ
⊢ (BotHom.dual.symm f) a = f a
R : Type u_6
S : Type u_7
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
⊢ IsField R
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup G
h : f.ker ≤ H
⊢ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.map f H) = H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
g : A₂ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Mono g
i : A₁ ≅ A₂
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom g = f
⊢ CategoryTheory.Subobject.mk f = CategoryTheory.Subobject.mk g
α : Type u_1
p : α → Bool
as bs : List α
⊢ List.filterTR.loop p as bs = bs.reverse ++ List.filter p as
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ 0} = 0 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(s - t) = ⇑s - ⇑t
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j a : α
⊢ (swap i j) ((swap i j) a) = a
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
AddZeroClass H
f : Multiplicative G ≃* Multiplicative H
a : G
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative.symm f) a = (AddMonoidHom.toMultiplicative.symm f.toMonoidHom) a
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.Shatters ∅ ↔ 𝒜.Nonempty
n : ℕ
NeZero n
a b : ZMod n
⊢ (a + b).val = (a.val + b.val) % n
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S U : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toSubmodule = U.toSubmodule ↔ S = U
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (X - C a)).coeff (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : IsEmpty ι
⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
⊢ Function.Bijective Path.Homotopy.symm
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
i✝¹ i✝ : n
⊢ (((toBilin (Pi.basisFun R₂ n)) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1 = ((toBilin' M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Integrable f μ
c : E
⊢ Integrable (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
g : α → γ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith Kf f s
hg : LipschitzOnWith Kg g s
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s
y✝ : α
hy : y✝ ∈ s
⊢ edist ((fun x => (f x, g x)) x✝) ((fun x => (f x, g x)) y✝) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x✝ y✝
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsMeagre s
⊢ IsMeagre (s ∩ t)
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
i : ℕ
h : i < n + 1
⊢ i ≤ n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ (a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
n : ℕ
⊢ Finset.image Prod.snd n.divisorsAntidiagonal = n.divisors
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit sq.pushoutCocone
⊢ sq.IsPushout
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ a
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
⊢ MeasurableSet {a | κ a ⟂ₘ η a}
m : Type u → Type u_1
β α σ : Type u
Monad m
LawfulMonad m
x : m α
f : α → StateT σ m β
s : σ
⊢ (StateT.lift x >>= f).run s = do
  let a ← x
  (f a).run s
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ a = ⊤ ↔ ⊤ ≤ a
α : Type u_1
s : Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode α
n : Nat
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR.go s n = s.rank + n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n : ℕ
p q : R[X]
hp : (p • (single R i) m) n = if i ≤ n then p.coeff (n - i) • m else 0
hq : (q • (single R i) m) n = if i ≤ n then q.coeff (n - i) • m else 0
⊢ ((p + q) • (single R i) m) n = if i ≤ n then (p + q).coeff (n - i) • m else 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
LinearOrder n
IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
Fintype n
hS : S.PosDef
⊢ LDL.lower hS * LDL.diag hS * (LDL.lower hS).conjTranspose = S
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s