ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d y z : F
r R : ℝ
x : F
hx : (fun x => c + x) x ≠ c
⊢ HasFDerivAt (inversion c R) ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) ((fun x => c + x) x)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
inst✝ : HasImage f
⊢ ι f = 0
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
⊢ D f K ⊆ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
o : Ordinal.{u}
⊢ o.cof.ord ≤ o
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε
R Rₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
M : Submonoid R
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
⊢ Algebra.FormallyEtale R Rₘ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
b : α
hb : b ∈ u
c : α
hc₁ : a⁻¹ • c ∈ t
hc₂ : b⁻¹ • c ∈ t
⊢ a / b ∈ t / t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f' x‖ ≤ (C + ε) * ‖x‖
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
f₁ : X₁ ⟶ X₂
f₂ : X₂ ⟶ X₃
g₁ : Y₁ ⟶ Y₂
g₂ : Y₂ ⟶ Y₃
X₁.HasTensor Y₁
X₂.HasTensor Y₂
X₃.HasTensor Y₃
⊢ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ g₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₁ g₁)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₂ g₂)
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
⊢ (Filter.comap m f).NeBot ↔ ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ ↑I ⁻¹' (↑I '' s) = s
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part β
g : α →𝒄 β → Part γ
x : α
⊢ (f.bind g) x = (f x).bind (g x)
α : Type u
f g : Filter α
⊢ (f ⊔ g).NeBot ↔ f.NeBot ∨ g.NeBot
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
⊢ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x} ⊆ (convexHull R) s
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x < y ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
x : F (α → β)
f : γ → α
y : F γ
⊢ (Seq.seq ((fun x x_1 => x (f x_1)) <$> x) fun x => y) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun x x_1 => x (f x_1)) fun x_1 => x) fun x => y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h : x ~ᵢ y
⊢ y ~ᵢ x
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ ↑⊥ = ⊥
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ ∃ x, z * f.toMap ↑x.2 = f.toMap x.1
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R
S1 S2 : R
p1 : isSumSq S1
p2 : isSumSq S2
⊢ isSumSq (S1 + S2)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
⊢ (∀ (k : Opens α), CompleteLattice.IsCompactElement k) ↔ ∀ (s : Opens α), IsCompact ↑s
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg
⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => f₁ x - f₂ x) g ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => f₂ x - f₁ x) g
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e e' : Trivialization F proj
h₁ : e.toPartialHomeomorph = e'.toPartialHomeomorph
h₂ : e.baseSet = e'.baseSet
⊢ e = e'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Zero β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (s.indicator f) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : Type u_4
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
⊢ ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) ∩ 𝓕) = ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' A ∩ g • 𝓕)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
c : R
⊢ (c • μ) {a | ¬p a} = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : Nonempty ι
⊢ Fintype.card ι - 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ X ⊆ M.closure Y
a b : ℤ
⊢ a = b ∨ a = -b ↔ Associated a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ
⊢ Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => g x * (f x).toReal) μ
m n : ℤ
k : ℕ
⊢ (m.xor n).testBit k = xor (m.testBit k) (n.testBit k)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.IrreducibleCloseds α
⊢ IsClosed ↑s
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
x : Y
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
⊢ (Hyperreal.ofSeq f).IsSt r ↔ Filter.Tendsto f (↑(Filter.hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ ContinuousOn (↑(PartialHomeomorph.univBall c r).symm) (Metric.ball c r)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.kernImage f (f ⁻¹' t ∪ s) = t ∪ Set.kernImage f s
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (x : X), 𝓝 (f x) ≤ Filter.map f (𝓝 x)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this✝ : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume 0 (min 1 t)
⊢ False
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := Localization.mk p ⟨q, ⋯⟩ }
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ range (some ∘ l.get) ⊆ range l.get?
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
hs : s.Nonempty
⊢ s = ∅ ∧ t = ∅ ∨ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ {a}.compls = {aᶜ}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s✝ t : Set α
s : Set (α ⊕ β)
⊢ Sum.inl '' (Sum.inl ⁻¹' s) ∪ Sum.inr '' (Sum.inr ⁻¹' s) = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ ContMDiffOn I' I n (f / g) s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
a b : CliffordAlgebra Q
⊢ ((foldl Q f hf) n) (a * b) = ((foldl Q f hf) (((foldl Q f hf) n) a)) b
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) η)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E
⊢ gauge s (x + y) ≤ gauge s x + gauge s y
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk f =
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 ↑u
⊢ ‖k‖ ≤ 1
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
⊢ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ ((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ y : V, ∑ x_1 : V, if G.Adj y x_1 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x y else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
θ : Real.Angle
⊢ (-θ).sign = -θ.sign
x : ℝ
n : ℕ
⊢ π / 2 ^ (n + 2) ≤ π
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
F : Type u_6
Field F
Algebra K F
FiniteDimensional K L
x : L
hF : Polynomial.Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K L) x) = FiniteDimensional.finrank (↥K⟮x⟯) L • ((minpoly K x).aroots F).sum
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (p x 0).uncurry0
l : List ℝ≥0
⊢ ↑l.prod = (List.map NNReal.toReal l).prod
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a : π i
⊢ x ≤ Function.update y i a ↔ x i ≤ a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j
α : Type u_1
m : Nat
n : Nat
a : α
⊢ (List.replicate m a).rotateRight n = List.replicate m a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[s] a ≤ 𝓝[univ] a
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ↑α
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s✝ : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s✝ li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s✝ i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s✝ i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
s : Set X
hμs : μ s < ⊤
h_integrable : IntegrableOn f s μ
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
h_norm : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε
⊢ ‖∫ (a : X) in s, f a - b ∂μ‖ ≤ ε * (μ s).toReal
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
h : x ∈ Set.Ioo a b
⊢ x ∈ Set.Ico a b
n : ℕ
α : Type u_1
v w : Mathlib.Vector α n
⊢ (∀ (m : Fin n), v.get m = w.get m) → v = w
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph' c.alephIdx = c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
(i : ι) → DecidableEq (α i)
⊢ f ∈ s.dfinsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
h : f✝.Separable
⊢ f✝.Separable
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (y * z + x) y
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
this✝ : DecidableEq ι
disj : Disjoint s (image (fun z => ↑z) s')
this : s'.card = (s ∪ image (fun z => ↑z) s').card - s.card
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_1
SetLike A M
AddSubmonoidClass A M
SMulMemClass A R M
S' : A
⊢ ⇑(SMulMemClass.subtype S') = Subtype.val
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g
⊢ Set.BijOn g (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.map f).right =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id { as := PUnit.unit }
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : InitialMonoClass C
I X : C
hI : IsInitial I
f : I ⟶ X
⊢ Mono (hI.to X)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsUpperSet (f i j)
⊢ IsUpperSet (⋂ i, ⋂ j, f i j)
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
X : Type u_2
TopologicalSpace X
NoncompactSpace X
⊢ ¬IsCompact Set.univ
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
Group G
TopologicalGroup G
MulAction G X
SigmaCompactSpace G
BaireSpace X
T2Space X
ContinuousSMul G X
MulAction.IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (M ⧸ N) ↔ ∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
NoMaxOrder α
⊢ IsConnected (Set.Ioi a)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.chaar K₀ ⊥ = 0
θ : Real.Angle
⊢ (2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hn : ¬n = 0
hm : ¬m = 0
⊢ multiplicity p m ≤ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)
⊢ g.Derives (p ++ v) (p ++ w)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
H2 : ∀ y ∈ s, x ≤ y
⊢ x ≤ s.min' H
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
h₁ : s.Nonempty
h₂ : ∀ b ∈ s, a ≤ b
⊢ a ≤ sInf s
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).toWeierstrassCurve = E.variableChange C
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
⊢ (P.nonUniforms G 1).card ≤ P.parts.card * (P.parts.card - 1)
α : Type u_2
AddGroup α
DecidableEq α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ t.card ≤ (s - t).card
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ b ∈ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet
G : Type w
TopologicalSpace G
AddZeroClass G
ContinuousAdd G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, K + V ⊆ U
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
⊢ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1
hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t
⊢ f (z₀ + z₁) - f z₀ = (f ∘ γ) 1 - (f ∘ γ) 0
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S
⊢ ?m.411653 ^ card G ∈ S ^ card G
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : Type u_1
⊢ (α ::: β).drop = α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
hq : q ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q) = q
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Mul M
Mul N
Mul P
e₁ : M ≃* N
e₂ : N ≃* P
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁