ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map f.f ≫ F.map Y✝.d) ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f✝ : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
f : A₀ ⟶ A₁
inst✝ : IsIso f.f
⊢ F.map (inv f.f) ≫ A₀.str = A₁.str ≫ inv f.f
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ 2 ^ (p' + 2) < ↑(LucasLehmer.q (p' + 2)) ^ 2
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W : C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W g)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hdeg : ↑n ≤ p.degree
⊢ ↑n ≤ ↑p.natDegree
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n
⊢ b.flag i.castSucc ⋖ span K {b i} ⊔ b.flag i.castSucc
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
S : Set (Concept α β r)
⊢ (sSup S).toProd.2 = ⋂ c ∈ S, c.toProd.2
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
Semiring α
DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : ℕ
b.AtLeastTwo
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (OfNat.ofNat b) =
  Matrix.blockDiagonal fun x => MulOpposite.op (OfNat.ofNat b) • A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
s : Set E
x : E
self : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ x ∈ closure s
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
⊢ p ∣ q → q ∣ p
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
⊢ ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : ∀ ⦃s_1 : Set α⦄, s_1 ∈ 𝓟 s → ∃ t ∈ 𝓟 s, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s_1
t : Set α
ht : t ∈ 𝓟 s
htm : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
⊢ n.dist m ≤ 1
n : ℕ
h : n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
hn : n ≠ 1
⊢ IsPrimePow n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
⊢ (fun x => P.f x - P.f₀) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-P.k)
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1
⊢ a = 1
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.wordProd ω.reverse = (cs.wordProd ω)⁻¹
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ ↑H = Set.univ ↔ H = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
c✝ : G
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ NullMeasurableSet (c • s) μ
a b : Ordinal.{u_1}
hba : b ≤ a * ω
⊢ a + a * ω ≤ a * ω
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = sheafifyLift J (η ≫ γ) hR
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_3
CommRing T
Algebra R T
hf₂ : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
x : TensorProduct R S T
J : Ideal T
hJ : J.IsPrime
⊢ ∃ t r a, r • t ∉ J ∧ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
MetricSpace P
PseudoMetricSpace Q
NormedAddTorsor V P
NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
⊢ x.toFun (Fin.last x.length) = x.last
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ 1 ≤ ⌈a⌉ ↔ 0 < a
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
N : Submodule R M
⊢ Ideal.span s • N = s • N
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔
  Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : b < a * b
⊢ 1 < a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ∃ r < ↑n, x = ζ ^ r ∨ x = -ζ ^ r
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
d : ℝ
s : Set X
⊢ μH[d] s =
  ⨆ r,
    ⨆ (_ : 0 < r),
      ⨅ t,
        ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, t n),
          ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), EMetric.diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), EMetric.diam (t n) ^ d
α : Type u_3
AddCommMonoid α
⊢ ⇑Multiset.sumAddMonoidHom = Multiset.sum
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
⊢ ∀ (a : W.Point), WeierstrassCurve.Affine.Point.toClass a = a.toClassFun
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K
⊢ IsPGroup p ↥(ϕ.comp H.subtype).range
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} {f g : α → E},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ →
    MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
ha : a ≠ 0
⊢ (a • s)⁻¹ = op a⁻¹ • s⁻¹
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Ici a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi a
h'x : a ≤ id x
⊢ f x - f a = ∫ (x : ℝ) in a..id x, f' x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
SemilatticeSup B
OrderBot B
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
m : Multiset (AddMonoidAlgebra R A)
⊢ m.prod.support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) m).sum
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
A : C
i₁₂ : I₁₂
f g : (K.total c₁₂).X i₁₂ ⟶ A
h :
  ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (hi : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂),
    K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ f = K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ g
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
⊢ q.i * q.k = c₁ • q.j
α : Type u_1
i : Nat
l : List α
⊢ (List.take i l).length = min i l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero β
Zero γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Function.Injective g
hg0 : g 0 = 0
⊢ g ∘ f = 0 ↔ f = 0
m n : ℕ+
⊢ m.factorMultiset ≤ n.factorMultiset ↔ m ∣ n
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ ∀ (a : R), (of f) a = 0 → a = 0
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ (algebraMap (↥A) K) a = ↑a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
f f' : α → β
g g' : α → γ
l : Filter α
Hf : f =ᶠ[l] f'
h : β → γ → δ
Hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => h (f x) (g x)) =ᶠ[l] fun x => h (f' x) (g' x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b = b \ a ↔ a = b
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧ = ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup M
T : Subsemigroup N
⊢ Subsemigroup.map f S ≤ T ↔ S ≤ Subsemigroup.comap f T
α : Type u_6
β : Type u_7
Bornology α
Bornology β
self : LocallyBoundedMap α β
⊢ Filter.comap self.toFun (Bornology.cobounded β) ≤ Bornology.cobounded α
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
⊢ Function.Injective TopologicalSpace.OpenNhdsOf.toOpens
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I).arg = ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : β
hf : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => c
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
⊢ toNat c = 1 ↔ c = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s
⊢ Disjoint (f j) ⊥
x y : ℂ
⊢ cos x + sin x * I = cexp (x * I)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
n : ℕ
⊢ LinearMap.mulLeft R a ^ n = LinearMap.mulLeft R (a ^ n)
α : Type u_5
TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
NoMaxOrder α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ico a b) = ν (Set.Ico a b)
⊢ μ = ν
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
l : List G
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ K) → l.prod ∈ K
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.kernImage f s = (f '' sᶜ)ᶜ
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.OpenCover.pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫
    𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackHom f i =
  (𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackHom (𝒰.pullbackHom f i.fst) i.snd
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f : ι → α
⊢ { down := ⨆ i, f i } = ⨆ i, { down := f i }
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D
⊢ G.map (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝)) ≫ β.app (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app x✝)) = β.app x✝
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : N →+ G
⊢ AddSubgroup.comap f H.normalizer ≤ (AddSubgroup.comap f H).normalizer
R : Type u
a : R
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
⊢ (p * q).IsRoot a ↔ p.IsRoot a ∨ q.IsRoot a
x : ℝ
this : Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1
⊢ abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ Polynomial.eval t (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C t) ^ Polynomial.rootMultiplicity t p) =
  (p.comp (Polynomial.X + Polynomial.C t)).trailingCoeff
a : ENNReal
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ n, 2⁻¹ ^ n < a
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
AddCommGroup V₃
Module k V₃
AffineSpace V₃ P₃
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
e' : P₂ ≃ᵃ[k] P₃
⊢ ⇑(e.trans e') = ⇑e' ∘ ⇑e
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝¹ : SemilatticeSup F
inst✝ : Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E
⊢ (∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in atTop, (p i) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : C
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S F} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.StructuredArrow.post S F G).map f = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.right ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (Fin.last N) = 0
lastr : a.r (Fin.last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
α : Sort u_2
p : α → Prop
h : ∃ a, p a
q : α → Prop
hpq : ∀ (a : α), p a → q a
⊢ q (Classical.choose h)
α : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i ∈ s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ s, f i)
X : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : α → β
u : β → X
⊢ MapClusterPt x F (u ∘ φ) ↔ MapClusterPt x (Filter.map φ F) u
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'
⊢ (b'.toMatrix (⇑f ∘ ⇑b)).det = ((LinearMap.toMatrix b b') f).det
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
h : IsUnit a
⊢ Irreducible (a * b) ↔ Irreducible b
M N K : SemiNormedGrp
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ici a) = n - ↑a
n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
⊢ ¬Nat.Prime n ↔ n.minFac < n
t : ℝ
⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
α : Type u_1
p : Multiset α → Prop
empty : p 0
cons : ∀ (a : α) (s : Multiset α), p s → p (a ::ₘ s)
s : Multiset α
⊢ p s
K : Type u
Field K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num ∣ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.diagram.sndFrom (i, j) = j
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x✝ : X
⊢ (⇑((lift R) f) ∘ ι R) x✝ = f x✝
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ((of R).symm (x • y)).coeff a = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ IsLowerSet s
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
⊢ Partrec fun a => Part.assert (f a = true) fun x => Part.some ()
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Neg.neg μ μ
n m l a : ℕ
⊢ n ≤ a → a < m → m ≤ a → l ≤ a
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
g : ULift.{u, v} ι → Set (ULift.{v, u} α) := (fun x => ULift.down ⁻¹' x) ∘ f ∘ ULift.down
l' : Filter (ULift.{u, v} ι) := Filter.map ULift.up l
this : l'.NeBot
⊢ ∀ (i : ULift.{u, v} ι), #↑(g i) ≤ lift.{v, u} a
α : Type u_2
Zero α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in 0, p x) ↔ p 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R
⊢ f (a * (algebraMap R A) r) = f a * (algebraMap R B) r
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
F G : Paths V ⥤ C
h_obj : F.obj = G.obj
h : ∀ (a b : V) (e : a ⟶ b), F.map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.toPath ≫ eqToHom ⋯
⊢ autoParam (∀ (X Y : Paths V) (f : X ⟶ Y), F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
⊢ limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) S ≫ ((HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).inv) ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = (limit.isLimit (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))).lift S ≫ (limit.cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))).π.app k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ
n : ℕ
a : ZMod n
⊢ (-a).valMinAbs.natAbs = a.valMinAbs.natAbs
α : Sort u_1
⊢ ¬Infinite α ↔ Finite α
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ¬∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
⊢ limsup u f ≤ b
α : Type u_1
⊢ Nonempty (Encodable α) ↔ Countable α
α : Type u
CommSemiring α
I : Ideal α
H : I.IsMaximal
⊢ I.IsPrime
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
⊢ ∃ a, a.log = y
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (Set.IccExtend h f)
R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.X n).support = {Finsupp.single n 1}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x✝ x : E
hx : x ∈ extremePoints 𝕜 ((convexHull 𝕜) A)
⊢ x ∈ A
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
l : ι
hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)
hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2
⊢ coroot k = coroot l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι'
hj : j ∈ s
hjt : g j ∈ t
⊢ g j ∈ Finset.image g (s.erase i)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨅ i, f i).verts = ⋂ i, (f i).verts