ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : ℕ →o Submodule R M
⊢ ↑(⨆ k, a k) = ⋃ k, ↑(a k)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : a < b
⊢ a + (b - a) / 2 < b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y
w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y
j✝ : J
⊢ g ≫ biproduct.π f j✝ ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j✝ ▷ Y
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
f : ι → α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ s.piDiag ι ⊆ Fintype.piFinset fun x => s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ (a :: l).toFinset = insert a l.toFinset
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed (frontier s)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.comap (LinearMap.inl R M M₂) (p.prod q) = p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, p (g x)
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (erase i f) i = (f - single i (f i)) i
w : Nat
x : BitVec w
r : Nat
⊢ x.rotateRight (r % w) = x.rotateRight r
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
⊢ (X.restrictRestrict U V).inv ≫ V.ι ≫ U.ι = ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V).ι
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
H : SeparatedNhds (f '' s) (f '' t)
⊢ SeparatedNhds s t
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : P), (Con.quotientKerEquivOfRightInverse f g hf).symm a = (Con.toQuotient ∘ g) a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Ioo b c = Set.Ioo (b - a) (c - a)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : f₁ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : f₂ = φ.snd.map L ⋯
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W f₁ f₂ = φ.add.map L ⋯
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
Ring R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower 𝕜 R M
IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).fst = (NormedSpace.expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst
G : Type u
inst✝¹ : CancelCommMonoid G
inst✝ : Fintype G
⊢ exponent G = iSup orderOf
R : Type u_1
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
h : ∀ (x : M), r • x = 0 → x = 0
⊢ IsSMulRegular M r
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
x : X
t : Set X
htx : t ∈ 𝓝 x
htf : {i | (f i ∩ t).Nonempty}.Finite
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((f ∘ g) i ∩ t).Nonempty}.Finite
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : a ≈ b
⊢ a ≈ b
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
⊢ Function.Injective fun a => SeparationQuotient.mk (CauchyFilter.pureCauchy a)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N
m' n' : ℕ
hm' : (m', n').1 ≥ n
hn' : (m', n').2 ≥ n
⊢ (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) (m', n') ≤ ε / 2
α : Type u_1
β : α → Type u_4
a₁ a₂ : α
b₁ : β a₁
b₂ : β a₂
⊢ ⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₂, b₂⟩ ↔ a₁ = a₂ ∧ HEq b₁ b₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (Set.range fun x => p ↑x)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (Set.range fun x => p ↑x)
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree
⊢ map f (q + X ^ p.natDegree) = p
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → F'
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ f = MeasureTheory.condexpL1 hm μ g
R : Type u_1
A : Type u_2
Field R
CommSemiring A
Nontrivial A
Algebra R A
a : R
⊢ ↑a = 0 ↔ a = 0
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (Cardinal.aleph 1).ord).α
h : i ≤ j
⊢ MeasurableSpace.generateMeasurableRec s i ⊆ MeasurableSpace.generateMeasurableRec s j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
c : ℝ≥0
f : α →ₘ[μ] E
g : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u
Field K
hv : Valued K Γ₀
⊢ IsOpen ↑Valued.v.valuationSubring
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
x : α
⊢ 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x ↔ t ∈ 𝓝[s] x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
self : F.ReflectsMonomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono (F.map f) → CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → WellFounded s → WellFounded r
α : Type u
n : ℕ
x : α
StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
⊢ if Even n then ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
A : Type u_1
CommSemiring A
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.counitNat A) (MvPolynomial.C n) = ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).inl = b.ι CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g' x = l - g a
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
φ : (single₀ V).obj X ⟶ C
⊢ φ.f 0 ≫ C.d 0 1 = 0
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
⊢ False
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
k : P ≃+ M
H : AddSubmonoid.map k.toAddMonoidHom T = S
x : M
⊢ (f.ofAddEquivOfDom H).toMap (k.symm x) = f.toMap x
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
x : K
⊢ (NumberField.InfinitePlace.mk φ) x = Complex.abs (φ x)
a b n : Int
⊢ a * b % n = a % n * (b % n) % n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a✝ : α
h : ScottContinuous f
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ IsLeast (Ici b) b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • p.coeff n) (f z)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R A)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ (fun x => (MeasureTheory.Measure.map f μ).rnDeriv (MeasureTheory.Measure.map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] μ.rnDeriv ν
X : Scheme
U : (Opens ↑↑((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ toOpen (↑(unop (Scheme.Γ.rightOp.obj X))) (unop U) ≫ (adjunction.unit.app X).val.c.app U = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
this : ⇑(D.f j i) ⁻¹' (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)) = ⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ∩ Set.range ⇑(D.f j i) = ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
j✝ : (OpenNhds (f y))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ ((pushforward C f).obj F).stalkSpecializes ⋯ ≫ colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) (OpenNhds.map f x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ (colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds y)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion y).op).obj F) (OpenNhds.map f y).op) ≫ F.stalkSpecializes h
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ p.bind PMF.pure = p
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ min 1 a = 1
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
x : ℝ
y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √(x / y) = √x / √y
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
f : E ≃ₐ[F] K
⊢ (↑f).fieldRange = ⊤
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
⊢ IsIso (J.toPlus P)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4
hz : x i + 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i + 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4
⊢ y i < z i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.terminal.from Q = CategoryTheory.Limits.terminal.from P
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (deriv f) volume
x : ℝ
I : Integrable (fun x => fderiv ℝ f x) volume
this : 𝓕 (deriv f) x = (𝓕 (fderiv ℝ f) x) 1
⊢ 𝓕 (deriv f) x = (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
x y : M × N
hm : Commute x.1 y.1
hn : Commute x.2 y.2
⊢ Commute x y
M : Type u_1
Monoid M
S T : Subgroup Mˣ
⊢ (S ⊔ T).ofUnits = S.ofUnits ⊔ T.ofUnits
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0
hp : m.primeFactors ⊆ s
⊢ m ∈ factoredNumbers s
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ 𝟙 (((Prod.braiding K J).functor ⋙ G).obj (k, j)) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : α → C
h : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
CategoryTheory.Limits.HasProduct h
p : β → α
q : (a : α) → f a ⟶ g a
q' : (b : β) → g (p b) ⟶ h b
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.map q ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.map' p q' =
  CategoryTheory.Limits.Pi.map' p fun b => q (p b) ≫ q' b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, b) ↑r = f (a, b) q
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
⊢ (Complex.orientation.areaForm z) w = ⟪I * z, w⟫_ℝ
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
⊢ (∀ (i : ι), ‖↑x i‖ < 1) ↔ x = 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : WithBot ℕ
b : ℕ
hp : p.degree ≤ a
⊢ (p ^ b).degree ≤ ↑b * a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α
⊢ ￢⊥ ≤ a ↔ ⊤ ≤ a
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f : α →ᵈ α
⊢ Dilation.ratioHom f = Dilation.ratio f
R : Type u
Field R
p : R[X]
a : R
⊢ p % (Polynomial.X - Polynomial.C a) = Polynomial.C (Polynomial.eval a p)
α : Type u_1
Inv α
x : α
⊢ MulOpposite.op x⁻¹ = (MulOpposite.op x)⁻¹
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[≤] b, s ∈ 𝓝[Set.Icc a b] b, s ∈ 𝓝[Set.Ioc a b] b, ∃ l ∈ Set.Ico a b, Set.Ioc l b ⊆ s,
    ∃ l ∈ Set.Iio b, Set.Ioc l b ⊆ s].TFAE
R : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
Field R
d : n → R
⊢ spectrum R (Matrix.diagonal d) = Set.range d
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
T0Space H
CompleteSpace H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ ⇑f.extension = UniformSpace.Completion.extension ⇑f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v
⊢ ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → m β
l₁ l₂ : List α
⊢ List.mapM f (l₁ ++ l₂) = do
  let __do_lift ← List.mapM f l₁
  let __do_lift_1 ← List.mapM f l₂
  pure (__do_lift ++ __do_lift_1)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
⊢ ∃ y, i y.2 = x ^ p ^ y.1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Y' : C
p : Y = Y'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Y'
h : f = g ≫ eqToHom ⋯
⊢ f ≫ eqToHom p = g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesLimit (cospan h i) F
s : IsPullback f g h i
⊢ IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
r s : R
y : M
⊢ (r - s) • y = r • y - s • y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
⊢ κ = η ↔ ∀ (a : α) (s : Set β), MeasurableSet s → (κ a) s = (η a) s
L R : List SetTheory.PGame
i : (SetTheory.PGame.ofLists L R).RightMoves
⊢ (SetTheory.PGame.ofLists L R).moveRight i = R.get (SetTheory.PGame.toOfListsRightMoves.symm i)
α : Type u
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
a : α
⊢ DirectedOn r {a}
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi c, rexp (-x) = rexp (-c)
α : Type u_1
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s = Finset.filter q s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → (p a ↔ q a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
⊢ IsOpen (A f L r ε)
α : Type u_1
Primcodable α
f : ℕ → ℕ →. α
⊢ Partrec (Nat.unpaired f) ↔ Partrec₂ f
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
SemilatticeInf γ
f : InfHom β γ
g : InfHom α β
⊢ (f.comp g).withBot = f.withBot.comp g.withBot
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
⊢ p ^ e * n ∈ factoredNumbers (insert p s)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (x : α), s.indicator (fun x => μ {x}) x = (sum fun a => μ {a} • dirac a) s
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
H₁ : ∀ (Q₁ Q₂ : DiscreteQuotient X), Q₁ ≤ Q₂ → Q₁.proj ⁻¹' {Qs Q₁} ⊆ Q₂.proj ⁻¹' {Qs Q₂}
⊢ ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
b : ℕ
r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
⊢ Nat.count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b = b / r + if v % r < b % r then 1 else 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type u_2
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Perm α
⊢ (g.extendDomain f).cycleType = g.cycleType
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
i i' : m
hi : i ≠ i'
j j' : n
a : α
⊢ Matrix.stdBasisMatrix i j a i' j' = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : Thunk α
ε : Type u_3
self : Estimator a ε
e : ε
⊢ match EstimatorData.improve a e with
| none => EstimatorData.bound a e = a.get
| some e' => EstimatorData.bound a e < EstimatorData.bound a e'
⊢ eval (1 / 4) (bernoulli 3) = 3 / 64
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : a < ω ^ b
h₂ : ω ^ b ≤ c
⊢ a + c = c
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B)) ≫ F.map (prod.map (h.counit.app A) (𝟙 (L.obj (F.obj B)))) ≫ F.map (prod.map (𝟙 A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)
s : String
p : String.Pos
⊢ s.get! p = s.get p
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
⊢ ↑x < 0 ↔ x < 0
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
this : DecidableEq α
⊢ (powersetAux l₁).revzip ~ (powersetAux l₂).revzip
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a + b ≤ b
⊢ a ≤ 0
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]
hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0
hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0
f : R[X]
⊢ MapsTo Subtype.val (g ⁻¹' {f}) (f.rootSet A)
k : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype n
DecidableEq k
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
a : m
b : n
c : k
⊢ (PEquiv.single a b).toMatrix * (PEquiv.single b c).toMatrix = (PEquiv.single a c).toMatrix
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
f : β → G
⊢ ∫ (y : β), f y ∂MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ = ∫ (x : α), f (e x) ∂μ
x : ℝ
⊢ 0 ^ x ≤ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
n : ℕ
this : (L.op.mapComposableArrows n).EssSurj
⊢ (L.mapComposableArrows n).EssSurj
θ : ℂ
⊢ Complex.cos θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : Set α
t : Set ↑s
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet t → MeasurableSet (Subtype.val '' t)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
x : R
⊢ (MvPolynomial.bind₁ f) (MvPolynomial.C x) = MvPolynomial.C x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint l₂ ↔ l₂.Disjoint l₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ MeasureTheory.Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
⊢ ⋃ x, CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {x} = Set.univ