ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)
hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2
⊢ ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun p => (g p.1, g p.2)) =O[𝓝 (a, a)] fun p => p.1 - p.2
𝕜 : Type u_1
OrderedRing 𝕜
f : ↑(stdSimplex 𝕜 (Fin 2))
⊢ ↑((stdSimplexEquivIcc 𝕜) f) = ↑f 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
⊢ (0 x) y = 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂
⊢ ∀ (i : (x₁ * y).LeftMoves), ⟦(x₁ * y).moveLeft i⟧ < ⟦x₂ * y⟧
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
⊢ Module.Flat R ↑M ↔
  ∀ (C : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)),
    C.Exact → (C.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight M)).Exact
a b c : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
⊢ c * a ≤ c * b
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra 𝕜 A
Nontrivial 𝕜
⊢ WeakDual.characterSpace 𝕜 A = {φ | φ 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), φ (x * y) = φ x * φ y}
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ cons g w hmw hgr = (of i) g • w
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
h : f x = 2
⊢ x - (x + x) = -x
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
u : Set α
⊢ ((restrict s) m) u ≤ ((restrict t) m') u
n m : Nat
h : n.succ ≤ m
⊢ n ≤ m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
b₁ : β
hb₁ : b₁ ∈ t
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
b₂ : β
hb₂ : b₂ ∈ t
⊢ edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
a' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R
iDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
hxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)
s_eq' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ OpenEmbedding (e.source.restrict ↑e)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0
⊢ (mulSupport fun v => ↑v.asIdeal ^ exps v) ⊆ ↑(Finite.toFinset h_exps)
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
s : Set α
h : s ⊆ ↑L
⊢ sInf s ∈ L
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
r : R
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr Q f hf) n) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = r • n
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
this : Nonempty ↑I
⊢ (restrict s) (⨅ i, m ↑i) = ⨅ i, (restrict s) (m ↑i)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤
⊢ μ (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, μ (S n)
α : Type u
UniformSpace α
⊢ ⇑(UniformEquiv.punitProd α) = Prod.snd
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
⊢ (HeytingHom.id β).comp f = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
S : Set α
hSf : S.Finite
x y : α
hy : x ≤ y
hS : ∀ ⦃x : α⦄, (∀ i ∈ S, x ∈ Ici i) → p x
hx : ∀ (i : ↑S), x ∈ Ici ↑i
⊢ p y
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
s.OrdConnected
x y : ↑s
⊢ Subtype.val '' Set.Ioc x y = Set.Ioc ↑x ↑y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν
B : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : (fun x => ↑x % ↑p) ↑(r.den.gcd p) = (fun x => ↑x % ↑p) (↑r.den * r.den.gcdA p + ↑p * r.den.gcdB p)
⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
α : Type u
n : ℕ
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ Matrix.vecCons x u (i + i + 1) = Matrix.vecAlt1 ⋯ (Matrix.vecAppend ⋯ (Matrix.vecCons x u) (Matrix.vecCons x u)) i
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Ultrafilter γ
m : α → β
n : β → γ
inj₀ : Function.Injective n
large₀ : Set.range n ∈ f
inj₁ : Function.Injective m
large₁ : Set.range m ∈ f.comap inj₀ large₀
inj₂ : Function.Injective (n ∘ m) := ⋯
large₂ : Set.range (n ∘ m) ∈ f := ⋯
⊢ (f.comap inj₀ large₀).comap inj₁ large₁ = f.comap inj₂ large₂
J : Type w₁
C' : Option J → Type u₁
(i : Option J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C' i)
⊢ (CategoryTheory.Pi.optionEquivalence C').functor =
  (CategoryTheory.Pi.eval C' none).prod' (CategoryTheory.Functor.pi' fun i => CategoryTheory.Pi.eval C' (some i))
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
h : f'' =Θ[l] g''
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f'' x = 0 ↔ g'' x = 0
α : Type u_1
l : Filter α
⊢ l.smallSets.HasBasis (fun t => t ∈ l) Set.powerset
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi (b * a), g x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ QuadraticMap.comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁) = Q₁.tmul QuadraticMap.sq
p q : Prop
⊢ p ⇨ q ↔ p → q
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i
⊢ c 0 ≤ c i
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : m = n
⊢ n ∈ rfind p
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
e : M ≃* N
S : Submonoid M
g : ↥S
⊢ ↑((e.submonoidMap S) g) = e ↑g
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t = t ↔ s ⊆ t
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs
⊢ (↑a / ↑b).num = a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]⟧
α : Type u_1
⊢ Subgroup.closure (Set.range FreeGroup.of) = ⊤
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
H.IsCommutative
H.FiniteIndex
H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α : H.QuotientDiff
h : ↥H
⊢ h • α = α → h = 1
α : Type u_2
Monoid α
s : Set α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ s ^ n ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : αᵒᵈ
⊢ SupPrime (OrderDual.ofDual a) ↔ InfPrime a
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p) ≤ a + b
m n : ℕ
⊢ m / n = (m - m % n) / n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
⊢ (((((lhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c = (((((rhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
a : α
s : Set β
⊢ Nat.card ↑(a +ᵥ s) = Nat.card ↑s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k b : ℕ
hab : Coprime 0 b
⊢ Finset.filter IsPrimePow (0 * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (divisors 0 ∪ b.divisors)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ (sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
CompleteLattice α
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨆ g, ⨅ a, f a (g a) ≤ ⨅ a, ⨆ b, f a b
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ (s + t).Nodup ↔ s.Nodup ∧ t.Nodup ∧ s.Disjoint t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) ≤ MeasurableSpace.pi
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
⊢ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)) = s
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = C (f.coeff 0)
hf2 : f.coeff 0 = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
⊢ f a < f b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (n : ι), (0 a) s = (0 a) s
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
⊢ ‖fourier n‖ = 1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
n : ℕ
⊢ (PadicInt.toZModPow n).comp (PadicInt.lift f_compat) = f n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ K m ⊆ K n
α : Type u_1
AddMonoid α
s : Set α
⊢ 0 +ᵥ s = s
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∏ a ∈ s, f a).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
⊢ z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
m : ℕ
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit b n).testBit m.succ = n.testBit m
n : ℕ
⊢ eulerMascheroniConstant < eulerMascheroniSeq' n
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal k
⊢ ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = ↑(k.choose x.1) * ↑x.1.factorial * (choose r x.1 * x.2.factorial • choose s x.2)
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j ∈ range n
⊢ op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = op y ^ j * op x ^ (n - 1 - j)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0
this : e j = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj)
⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj), ⋯⟩).succ = j
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ⊓ g ≤ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry (CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f) = f
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ w ∈ G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v ↔ w ∈ {v}ᶜ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
b : Option (α × WSeq α)
hb : b ∈ t.destruct
t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b
⊢ LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ
this : op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) = op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))
⊢ (F.map (f ≫ g)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map (f ≫ g)).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U = ((F.map g).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₂).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₂).presheaf).hom.app U) ≫ (F.map f).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map f).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq l
DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r = (A.updateRow (e i) fun j => r (f.symm j)).submatrix ⇑e ⇑f
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ s ⊆ s.mulSpan
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ S
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
Preorder β
SemilatticeSup γ
Nonempty γ
f : β → α
hf : CauchySeq f
g : γ → β
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop Filter.atTop
⊢ CauchySeq (f ∘ g)
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
⊢ n✝ + 1 + 1 ≤ ↑a + (n✝ + 1)
M : Type u_2
X : Type u_3
TopologicalSpace M
VAdd M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
ContinuousVAdd M X
ContinuousVAdd M X
⊢ ContinuousVAdd M X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT) f ≤ (setToL1 hT') f
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ ∃ i, b ∈ Ioc (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ ↑(Finset.Ici a) = Set.Ici a
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ A.conjTranspose.IsHermitian
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)
⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
⊢ ↑P = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul β
a b : β
⊢ Function.const α a * Function.const α b = Function.const α (a * b)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c : 𝕜 → 𝔸
c' : 𝔸
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
R : Type u_2
Field R
A : Matrix n n R
hAps : Polynomial.Splits (RingHom.id R) A.charpoly
⊢ A.trace = A.charpoly.roots.sum
n : ℤ
⊢ n.negOnePow = 1 ↔ Even n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hmeas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, MeasureTheory.eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
U : Opens ↑X
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ ⋯.functor.obj U
⊢ (c' : Opens ↑X) × (⋯.functor.obj c' ≅ V)