ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
α : Type u_1
β : Type u_2
n k : ℕ
⊢ Fintype.card (Sym (Fin 0) (k + 1)) = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
⊢ G.Connected ↔ ∃ v, ∀ (w : V), G.Reachable v w
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
ha : ContinuousAt f a
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (cocompact X).coprod (cocompact Y) ≤ cocompact (X × Y)
M : Type u_1
Zero M
x : M
DecidablePred fun x_1 => [x].getD x_1 0 ≠ 0
⊢ [x].toFinsupp = Finsupp.single 0 x
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
⊢ #↑s = #E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ β
u : Filter (α →ᵤ β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}
huf : u ≤ 𝓝 f
⊢ f ∈ {f | Continuous (toFun f)}
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail) = L.tail
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ↔ x✝ ∈ ⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f_Lp) s μ
α : Type u_1
Mul α
a b : Part α
hab : (a * b).Dom
⊢ b.Dom
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
hy : y ∈ I
⊢ x + y ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
f : β → α
⊢ ∏' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∏ x ∈ s.attach, f ↑x
V : Type u
K : Set V
G : SimpleGraph V
v : V
vK : v ∉ K
⊢ v ∈ G.componentComplMk vK
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
⊢ B.orthogonal W = ⊥ ↔ W = ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ (RelIso.refl r) a = a
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
J : FractionalIdeal S P
hIJ : I ≤ ↑J
⊢ IsFractional S I
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic
⊢ A ⋖ B ↔ IsSimpleModule R (↥B ⧸ Submodule.comap B.subtype A)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
φst : Set.MapsTo φ t s
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t ≤ eVariationOn f s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv '' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U))) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
α : Type u
β : Type v
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : a ∈ s
h2 : b ∈ f a
⊢ b ∈ s.bind f
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ Integrable (φ i) ((μ.restrict s).restrict t)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f₁ s
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ lowerBounds (infClosure s) = lowerBounds s
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I
⊢ 0 = ↑↑0
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
⊢ m + n = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), IsSplitEpi (h.unit.app X)
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ L.map (section_ (h.unit.app Y)) ≫ 𝟙 (L.obj ((𝟭 C).obj Y)) = h.counit.app (L.obj Y)
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
U : ↑X.affineOpens
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑U ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (z : α × β) ∂μ.prod ν, z ∈ s) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᵐ (y : β) ∂ν, (x, y) ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
h : I ≤ ⊥.jacobson
⊢ IsLocalRingHom (Ideal.Quotient.mk I)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ ⊤ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : f x ∈ Ioo (f a) (f b)
⊢ f x ∈ f '' Ioo a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Set α → Set β
h : l.HasBasis p s
hf : Monotone f
⊢ ⋂ t ∈ l, f t = ⋂ i, ⋂ (_ : p i), f (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α ≃ᵐ β
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support
h : 0 < n.factorization p
⊢ φ (p ^ n.factorization p) = p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
⊢ (LinearMap.toMatrixₛₗ₂' R) ((Matrix.toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) = M
x y : EReal
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
⊢ x + y < ⊤ + ⊤
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : (f a)⁻¹ * f b = 1
⊢ f (a⁻¹ * b) = 1
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ edist (a / b) (a / c) = edist b c
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ ⇑f = ⇑g ↔ f = g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.support 0 = ∅
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeGroup.reduce L₁ = FreeGroup.reduce L₂
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊) ≤ N
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ {x | a ≤ x} = Set.Ici a
R : Type u_1
Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (1 + r)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Set ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ ↑f.support ⊆ s ↔ ∀ i ∉ s, f i = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x
⊢ HasFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U ∆ s) < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
t : Finset ι
f : ι → E → 𝔸'
h : ∀ i ∈ t, ContDiff 𝕜 n (f i)
⊢ ContDiff 𝕜 n (∏ i ∈ t, f i)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
⊢ Nonempty (Transversal φ)
⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ⊥) = univ
⊢ Filter.Tendsto Real.arctan Filter.atBot (nhdsWithin (-(Real.pi / 2)) (Set.Ioi (-(Real.pi / 2))))
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
g : R →+* S₁
X : σ → S₁
f : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ g X f = ∑ d ∈ f.support, g (MvPolynomial.coeff d f) * ∏ i ∈ d.support, X i ^ d i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ ‖f - g‖ = (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ).toReal
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 0 < 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ (f a + ∑ x ∈ s, f x).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a - m • p) b = toIocMod hp a b - m • p
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict sᶜ + μ.restrict s = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (-t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε
w : Nat
x y : BitVec w
h : x.msb ≠ y.msb
⊢ x.ult y = y.msb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
⊢ s ⊆ ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • t
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ici a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
⊢ ContMDiff (I.prod J) J n Prod.snd
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
α : Type u
s : Set α
⊢ Finite ↑s ↔ s.Finite
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : NeZero a
⊢ f a ≠ 0
R : Type u_4
NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
⊢ (fun n => ↑n ^ k) =o[Filter.atTop] fun n => r ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
x : G
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ≠ 0), i • x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime (y * x) (z * x) ↔ IsCoprime y z
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ (s ⊓ t).compl = s.compl ⊓ t.compl
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
a : S
⊢ D.liftKaehlerDifferential ((KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent ⟨1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩) = D a
N : Type u_2
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
IsTrans N r
i : CovariantClass N N mu r
i' : CovariantClass N N (Function.swap mu) r
a b c d : N
ab : r a b
cd : r c d
⊢ r (mu a c) (mu b d)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α
D : Set α
hD : Perfect D
Dnonempty : D.Nonempty
hDC : D ⊆ C
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ∣ n
hb : b ∣ n
⊢ n / a = n / b ↔ a = b
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
self : CategoryTheory.InitiallySmall J
⊢ ∃ S x F, F.Initial
F : Type u
E : Type v
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field E
inst✝⁹ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁸ : Field K✝
inst✝⁷ : Algebra F K✝
inst✝⁶ : Algebra E K✝
inst✝⁵ : IsScalarTower F E K✝
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ sepDegree F E * sepDegree E K = sepDegree F K
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
g : t2Quotient X → Y
hfg : g ∘ mk = f
⊢ g = lift hf
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout g f
m n : ℕ
⊢ max m n ^ 2 + min m n ≤ Nat.pair m n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ ∀ {X Y : J} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.colimit.toCostructuredArrow F).map f = CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f ⋯
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ 0 < p.pred
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t ⊆ t
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a * b = 1
⊢ a = b⁻¹
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
x✝ : E
⊢ (∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ Icc (0 i) (1 i)) ∧ x✝ = ∑ i : ι, t i • v i) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, g i ∈ (fun a => a • v i) '' Icc 0 1), ∑ i : ι, g i = x✝
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.unitIso J C).hom.app X).τ₂.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.X₂.obj X_1)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b₁ < a • b₂
ha : a ≤ 0
⊢ b₂ < b₁
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ ∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (f i)) → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (⋃ i, f i)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
inst✝⁶ : Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝⁵ : F.Additive
inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
j j' : J
h : ¬c.Rel j' j
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).totalDesc fun i₁ i₂ x => c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j') = (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫ 0
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p : P1
⊢ (AffineMap.id k P1) p = p
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ ((latticeBasis K).repr ((canonicalEmbedding K) x)) i = ↑(((integralBasis K).repr x) i)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f g : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i = g i
⊢ ⨆ i, f i = ⨆ i, g i
α : Type u
DistribLattice α
x y z : α
h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z
h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z
⊢ x ≤ y
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ^ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G)
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
y : E
v : Fin 0 → E
i : Fin (0 + 1)
⊢ snoc 0 y i = cons y v i