ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < 2 + 1
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
heq : (↑P).normalizer = ⊤
⊢ (↑P).normalizer = ⊤
a b : Int
H : a ≤ b - 1
⊢ a < b
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
r : R
Invertible r
Invertible (star r)
⊢ star ⅟r = ⅟(star r)
α : Type u_1
EDist α
ι : Type u_3
o : Option ι
s : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ o, s i).einfsep = ⨅ i ∈ o, (s i).einfsep
⊢ Filter.Tendsto Real.toNNReal Filter.atTop Filter.atTop
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp (prodComparisonNatIso F A).inv (prod.functor.map (F.map f))) = rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv) ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))
vcomp2 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp (prod.functor.map f) (prodComparisonNatIso F A').inv) = rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) ((mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv)
⊢ (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f))) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)
h : ∀ (a : α) (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
this : ∀ (a : α), ∫⁻ (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) ∂κ a = ⨆ n, ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a
n : ℕ
⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) {s : Set (α × β)} (hs : MeasurableSet s), (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (α × β) c) (SimpleFunc.const (α × β) 0))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => (f x).arg
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝
⊢ star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
i : Nat
⊢ Nat.testBit 0 i = false
α : Type u
R S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b ↔ S a b
a : α
l : List α
⊢ List.Chain R a l ↔ List.Chain S a l
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
f_neg : ∀ (x : R), f (-x) = f x
x : R
⊢ seminormFromBounded' f (-x) = seminormFromBounded' f x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
⊢ y i < z i
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card
this : Fintype (G ⧸ H)
⊢ Function.Bijective fun x => ↑(g ↑x)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
ρCond : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ρ.IsCondKernel ρCond
MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
k : ℕ
cf cg : Code
hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ cf.eval n
hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ cg.eval n
n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x
⊢ ∃ a ∈ cf.eval n, ∃ a_1 ∈ cg.eval n, Nat.pair a a_1 = x
M : Type u_11
α : Type u_12
VAdd M α
self : AddAction.IsPretransitive M α
x y : α
⊢ ∃ g, g +ᵥ x = y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ Metric.closedBall 0 1
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ↑a.sqrt ^ 2 ≤ ↑a
X : Scheme
ι : Sort u_1
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
hS' : ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
U : ↑X.affineOpens
⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) Filter.atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
⊢ ‖f z‖ ≤ C
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ (∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.degree < ↑n
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J × K) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.obj j) k ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) j ≫
      (CategoryTheory.Limits.colimitFlipCompColimIsoColimitCompColim F).inv =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫
    CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F.flip ⋙ CategoryTheory.Limits.colim) k
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
x : α
⊢ MeasurableEmbedding (Prod.mk x)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
⊢ ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : N ↪[L] P
f g : M →[L] N
hfg : h.toHom.comp f = h.toHom.comp g
x : M
⊢ f x = g x
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
f : α → G
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (s.indicator f) μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : (κ a) s = (η a) s
⊢ (κ a) s = (η a) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x : E
⊢ (k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) ((fun x => k • x +ᵥ c) x) = x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ (fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) a = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
⊢ p ∈ s +ᵥ t
R : Type u
CommRing R
M N : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Coalgebra R M
Coalgebra R N
⊢ Coalgebra.counit = Coalgebra.counit
α : Type u_1
as : Array α
⊢ as.size = as.data.length
f : ℝ → ℝ
p : ℕ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
R : Type u
CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ (CoalgebraCat.toComon R).obj X = X.toComonObj
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ filter (fun a => ¬p a) s ↔ a ∈ s \ filter p s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.range (s.restrict f) = f '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ ‖f₁ a✝‖ * ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
f : α → β
H : ∀ (a b : α), R a b → S (f a) (f b)
a : α
l : List α
p : List.Chain R a l
⊢ List.Chain S (f a) (List.map f l)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |f x|
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
h : ContDiff 𝕜 (↑n + 1) f
⊢ ContDiff 𝕜 1 f
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x * √x = x
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : Type v
AddCommGroup X₁
AddCommGroup X₂
AddCommGroup X₃
Module R X₁
Module R X₂
Module R X₃
f : X₁ →ₗ[R] X₂
g : X₂ →ₗ[R] X₃
hfg : g ∘ₗ f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMk f g hfg).X₁ = ModuleCat.of R X₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Comon_ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).X = F ⋙ Comon_.forget D
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
u : E → G
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => (c y) (u y)) s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s + t)
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
DecidableEq n
AddCommMonoidWithOne R
⊢ Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card n)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
L.IsAlgebraic
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.ofInjective hf).toHom = f
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ ‖x‖ = sInf (norm '' {m | ↑m = x})
R : Type u_4
AddMonoidWithOne R
⊢ 1 = AddSubmonoid.closure {1}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ (CategoryTheory.RightExactFunctor.of F).obj = F
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
hn : (fun x => a * x)^[n] 0 ≤ 0
⊢ (fun x => a * x)^[n + 1] 0 ≤ 0
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
hnk : n ^ k ≠ 1
⊢ n.minFac ≤ (n ^ k).minFac
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
⊢ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.equiv_range C).toFun =
  Set.rangeFactorization (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C)
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ π ≤ π * τ.im
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s) t = 0 ↔ μ (t ∩ s) = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S ι✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
ι' : Type w
x : ι → R
hi : ∀ (i : ι), x i ∈ I
f : (ι → R) →ₗ[R] ι' → R
i : ι'
⊢ f x i ∈ I
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ n ∈ (derivative p).support ↔ n + 1 ∈ p.support
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hca : c < a
⊢ (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
f : α ↪ β
⊢ (M.mapEmbedding f).Base (⇑f '' B)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
⊢ (map f (mk l)).nth n = f.f ((mk l).nth n)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
⊢ (μ.restrict A).WeaklyRegular
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ i ∈ s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ s, MeasureTheory.IntegrableOn f (t i) μ
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (φ * ψ) = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ s.inf WithTop.some = s.inf (WithTop.some ∘ fun x => x)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
m n : ℤ
⊢ m ⋖ n ↔ m + 1 = n
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-⇑α)
r : ℝ
⊢ Real.cos r = ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n * r ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a
⊢ x ≤ a
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ Pell.d a1 * yn a1 n * (xn a1 n * yn a1 j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Filter.Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
hc : 0 ≤ c
⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
R : ℝ
c w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ Metric.ball c R
f : ℂ → ℂ
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c R)
hd : ∀ z ∈ Metric.ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z / (z - w)) = 2 * ↑π * Complex.I * f w
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
⊢ Finsupp.domCongr (Equiv.refl α) = AddEquiv.refl (α →₀ M)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R K) ↔ IsField R
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
S : Type u_3
Monoid S
DistribMulAction S A
SMulCommClass 𝕜 S A
ContinuousConstSMul S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
s : S
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (s • a).toProd.2 = s • a.toProd.2
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.snd R M M₂ ∘ₗ LinearMap.inr R M M₂ = LinearMap.id
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X✝¹ Y✝ X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
X✝ Z : Quiver.Symmetrify V
f : X✝ ⟶ Z
XW : X✝¹ ⟶ Paths.of.obj X✝
WY : Paths.of.obj X✝ ⟶ Y✝
this : Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse WY ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ Quiver.Path.reverse XW) (Quiver.Path.reverse WY ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ Quiver.Path.reverse XW)
⊢ Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse (XW ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ WY)) (Quiver.Path.reverse (XW ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ WY))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f✝ : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝
n : ℕ
k : ℕ → ℕ
C : ℕ → ℝ
f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n
C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)
hC' : 0 ≤ C'
N : ℕ
hN : N ≤ n
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : ∑' (i : α), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤
⊢ (support fun i => ↑(f i)).Countable
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ b ::ₘ Multiset.Ico a b = Multiset.Icc a b
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
⊢ FiniteDimensional F E
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
l : List α
xl : ¬x ∈ l
yl : ¬y ∈ l
⊢ List.insert x (y :: l) ~ List.insert y (x :: l)
l r : List Char
it : String.Iterator
h : String.Iterator.ValidFor l r it
⊢ String.Iterator.ValidFor (r.reverse ++ l) [] it.toEnd
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
P : Algebra.Generators R S
⊢ P.baseChange.vars = P.vars
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
c c' : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c' ≠ ⊤
hμ_le : μ ≤ c • μ'
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = MeasureTheory.setToFun μ' T hT' f
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
p : α.Arrow (TypeVec.repeat n Prop)
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.toSubtype p) (TypeVec.ofSubtype p) = TypeVec.id
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (X ^ p ^ n - C a)
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)
⊢ Φ = lift (of ⋙q Φ)
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
o : (Fin 2 → D) → D
in_omega : o ∈ ω
equ : f ![a, b] = f ![(fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0, (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1]
asymm : (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0 ≠ (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1
⊢ (o fun j => ![![a, b], ![b, a]] j 0) = o fun j => ![![a, b], ![b, a]] j 1
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
⊢ succFn i ≤ j
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s
⊢ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → insert a t ∈ 𝒜 ∧ a ∉ t