ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Function.Surjective (Set.imageFactorization f s)
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : Tendsto F p (𝓝 f)
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y : X × X
⊢ JordanHolderLattice.Iso x y → JordanHolderLattice.Iso y x
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
⊢ 0 < 1 - ↑K
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
hf : Function.RightInverse g f
b : β
⊢ (Setoid.quotientKerEquivOfRightInverse f g hf).symm b = Quotient.mk'' (g b)
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
⊢ i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a / 2) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
⊢ Balanced 𝕜 (insert 0 (interior A))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
TopologicalSpace ι
DiscreteTopology ι
SecondCountableTopology ι
MeasurableSpace ι
OpensMeasurableSpace ι
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
h : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f u
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
⊢ ∃ γ, range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)
⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
n : Nat
⊢ 1 <<< n = 2 ^ n
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.hasseDeriv n) p).natDegree ≤ p.natDegree - n
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ SimpleGraph.comap id G = G
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 0 = 1
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
h₁ : Set.InjOn f₁ s₁
h₂ : Set.InjOn f₂ s₂
⊢ Set.InjOn (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (s₁ ×ˢ s₂)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hγ : IsIntegralCurve γ v
a : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ b ≤ (a.pred ha).castSucc ↔ b < a
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f
⊢ ↑x = ι f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f : A ⟶ B
h : CategoryTheory.Epi f.left
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ ¬Irreducible a
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : SMulCommClass R A M₁
inst✝² : SMulCommClass A R M₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : Module R M₂
B₁ : BilinMap A M₁ A
B₂ : BilinMap R M₂ R
hB₁ : IsSymm B₁
hB₂ : IsSymm B₂
⊢ B₁.tmul B₂ = flip (B₁.tmul B₂)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
coe_two : ↑2 = 2
h : ↑p = 2
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ 0 ≤ max 0 δ
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
Unique ι
⊢ stdSimplex 𝕜 ι = {fun x => 1}
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
ι : Type u_2
s : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval f) (∏ i ∈ s, φ i) = ∏ i ∈ s, (MvPolynomial.aeval f) (φ i)
b n : ℕ
⊢ Nat.ofDigits b (b.digits n) = n
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
m : M i
⊢ Monoid.CoprodI.of m = (conGen (Monoid.CoprodI.Rel M)).mk' (FreeMonoid.of ⟨i, m⟩)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => z ^ n / ↑n) (-Complex.log (1 - z))
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3
p q : ℕ
hp : Nat.Prime p
hq : q ∣ n → q % 4 ≠ 3
hpq : p * q ∣ n
⊢ p * q % 4 ≠ 3
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.10354
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
⊢ φ.symmetrify.IsCovering
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
⊢ h₁₁ ≫ v₁₂ = t.lift (h₁₁ ≫ v₁₂) v₃₁ ⋯ ≫ h₂₁
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (((match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 1 + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 1 = (((match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
f : β → α
⊢ ∅.gcd f = 0
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
⊢ ↑⊥ = 0
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R' A
f g : tsze R' M →ₐ[R'] A
h : ∀ (m : M), f (TrivSqZeroExt.inr m) = g (TrivSqZeroExt.inr m)
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
htμ : t.totalVariation ⟂ₘ VectorMeasure.equivMeasure.toFun (VectorMeasure.equivMeasure.invFun μ)
⊢ s.HaveLebesgueDecomposition μ
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ normalClosure F K L = ⨆ x, IntermediateField.adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
r : R
⊢ (expand R p) f = C r ↔ f = C r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ topologicalSpace α β 𝔖 = ⨅ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) β)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a x y : α
⊢ dirac x ≠ dirac y ↔ ∃ A, MeasurableSet A ∧ x ∈ A ∧ y ∉ A
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
h : dist x y < (1 / 2) ^ n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hne : x ≠ y
⊢ x i = y i
x : ℕ
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((MvPolynomial.rename f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, f i = j
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ (∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ ⊥) ↔ ∀ x ∈ S, x = 1
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x * y).num ∣ x.num * y.num
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S
hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)
hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c
k : (c' : S ⧸ P ^ i.succ) → c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i) → S
hk_mem : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), k c' hc' ∈ P ^ i
hk_eq : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), (mkQ (P ^ i.succ)) (k c' hc') = c'
⊢ ↥(map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)) ≃ S ⧸ P
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x✝ : L
φ : R
k : ℕ
x : L
⊢ MapsTo (⇑((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) φ))^[k] ↑N ↑N
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
x : ℕ
hx : ↑x = 0
⊢ ringChar R ∣ x
S : Set ℍ
⊢ S ∈ atImInfty ↔ ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → z ∈ S
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ Function.Surjective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))
M : Type u_1
Nonempty M
Semigroup M
TopologicalSpace M
CompactSpace M
T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
⊢ ∃ m, m * m = m
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
this : ∀ (t : S ⊗[R] S), (TensorProduct.lmul' R) t = 1 ↔ 1 - t ∈ KaehlerDifferential.ideal R S
⊢ (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ 1 - t ∈ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : 1 < a
⊢ b < a • b
α : Type u_1
LinearOrder α
AddZeroClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
hb : 0 ≤ b
⊢ min a b ≤ a + b
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} (f : α →+* α) (n : ℕ), ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x % x_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (TruncatedWittVector.truncate hm) =
  (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))).comp (TruncatedWittVector.zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
f : ℕ → R
⊢ (WittVector.truncate n) { coeff := f } = TruncatedWittVector.mk p fun k => f ↑k
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.177771, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
φ₁✝ φ₂✝ φ₃ φ₄ : S₁✝ ⟶ S₂✝
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
b : β
hf : Function.Injective fun a => f a b
⊢ (Finset.image₂ f s {b}).card = s.card
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
⊢ (Finset.filter (fun d => d.edge = e) Finset.univ).card = 2
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
X : Action V G
⊢ (Action.FunctorCategoryEquivalence.unitIso.inv.app X).hom = 𝟙 X.V
f : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
⊢ Nat.Partrec
  (Nat.unpaired fun a m =>
    Part.map (fun x => x + m) (Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + m))))
ι✝ : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R
this : InjOn f s
⊢ AlgebraicIndependent R fun x => g ↑x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Finset α
h : ∀ (a : α), a ∈ s ↔ f a ≠ 0
⊢ ⇑{ support := s, toFun := f, mem_support_toFun := h } = f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → LowerSet α
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⋃ i, ↑(f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
AddCommGroup E
AddCommGroup F
AddCommGroup G
AddCommGroup H
NontriviallyNormedField 𝕜
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
Module 𝕜 H
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalSpace G
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup G
TopologicalAddGroup H
ContinuousConstSMul 𝕜 G
ContinuousConstSMul 𝕜 H
e₁ : E ≃L[𝕜] F
e₂ : H ≃L[𝕜] G
⊢ (e₁.arrowCongr e₂).symm = e₁.symm.arrowCongr e₂.symm
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofInv s hs).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Iio a)
⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[<] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] a)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ x ∈ affineSpan R {z, y}
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
c : R
x : M i
⊢ (DirectSum.of M i) (c • x) = c • (DirectSum.of M i) x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ a
⊢ (s.sup p) x ≤ a
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
⊢ ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
r : ℝ
hr : 1 < r
⊢ Nat.cast =o[atTop] fun n => r ^ n
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i
K : Type u_1
Field K
Fintype K
p : ℕ
CharP K p
⊢ ∃ n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f j - f k) < ε / 2 + ε / 2
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(Ring.DirectLimit.of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
⊢ ∀ (a : α), (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, ρ a < ↑(u n) * μ a) → (∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, 0 < μ a) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
∀ (K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂), K.HasTotal c₁₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
⊢ (HomologicalComplex₂.totalFunctor C c₁ c₂ c₁₂).obj K = K.total c₁₂
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c
n : ℕ
nm : some c ∈ S.get? n
c' : Computation α
h' : some c' ∈ S.head
⊢ False
g : SL(2, ℤ)
hc : ↑g 1 0 = 1
⊢ g = ModularGroup.T ^ ↑g 0 0 * ModularGroup.S * ModularGroup.T ^ ↑g 1 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : Prop
⊢ IsEmpty p ↔ ¬p
M : Type u_1
α : Type u_7
SMul M α
MulAction.IsPretransitive M α
x : α
⊢ Function.Surjective fun c => c • x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
y : L
hy : y ∈ H
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det
⊢ f (A • x) * g (A • x) * d ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = d * (f (A • x) * d ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * d ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_15, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_16, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{?u.292327, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{u_14, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
F₁₂ : ?m.294682
G : ?m.294685
ρ₁₂ : ?m.294688
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
j : J
A : C₄
f g : mapBifunctorMapObj F ρ₂₃.q X₁ (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃) j ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ ∀ (i : ↑(r ⁻¹' {j})), Cofan.inj (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ f = Cofan.inj (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ g
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
j : ι
hj : 0 < n j
this : addOrderOf (u j) = n j
huj : IsOfFinAddOrder (u j)
huj' : 1 ≤ ↑(n j)
hI₀ : μ (I j) ≠ 0
⊢ μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (x : α), g (f x) ≤ ∑' (y : β), g y
α : Type u
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
⊢ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
a : EReal
h : 0 < a
h' : a ≠ ⊤
⊢ 0 < a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Add α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Add β
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : OrderedSub β
f : AddHom α β
hf : Monotone ⇑f
a b : α
⊢ f a - f b ≤ f (a - b)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
h : K.IsStrictlySupportedOutside e
⊢ K.IsSupportedOutside e
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
⊢ SignType.sign θ.toReal = θ.sign
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
p : F
⊢ (e.preimageSingletonHomeomorph hb).symm p = ⟨↑e.symm (b, p), ⋯⟩
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x y : α
⊢ (𝓝 (x, y)).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel s) fun s => ball x s ×ˢ ball y s