ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r : R'
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
this : Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r) = update (fun i => 1) i (r • 1)
⊢ r • (tprod R) 1 = (tprod R) (Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r))
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C MvPolynomial.X p = p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ∈ Iic n
k : ℕ
ih : succ^[k + 1] x ∈ Iic n → x < succ^[k + 1] x → ψ x < ψ (succ^[k + 1] x)
hy : succ^[k + 1 + 1] x ∈ Iic n
hxy : x < succ^[k + 1 + 1] x
⊢ ψ x < ψ (succ^[k + 1 + 1] x)
M : Type u_11
N : Type u_12
AddZeroClass N
VAdd M N
VAddAssocClass M N N
x : M
y : N
⊢ x +ᵥ 0 + y = x +ᵥ y
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier
t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
i j : ↑(insert ⊥ c)
h : t' i ≤ t' j
⊢ (fun i => (↑i).emb) i = ((fun i => (↑i).emb) j).comp (Subalgebra.inclusion h)
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
⊢ ((parallelPair f 0).map WalkingParallelPairHom.left ≫ colimit.ι (parallelPair f 0) one) ≫ cokernel.desc f g h = 0
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a (max b c) = max b (max a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosReflectLT α β
h : a₁ • b < a₂ • b
hb : 0 ≤ b
⊢ a₁ < a₂
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a - b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ Joined x y
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
X : V
⊢ (HomologicalComplex.singleCompEvalIsoSelf V c j).inv.app X = (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j X).inv
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j + 1 < ↑k + 1 + (↑m + 1)
⊢ False
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ ‖Polynomial.eval a F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₐc[R] B
h : ∀ (x : A), e x = e' x
⊢ e = e'
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : Finset σ × σ
ha : a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)
hacard : a.1.card < k ∨ a.1.card = k
⊢ a ∈ univ ∧ ((a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k ∨ (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
⊢ ↑M.nonUnitalSubsemiringClosure = ↑(AddSubmonoid.closure ↑M)
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z
⊢ (lift f hi a b w ≫ snd f hi) z = b z
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s₁ ∪ s₂).pi t = s₁.pi t ∩ s₂.pi t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a c : α
⊢ Relation.TransGen r a c ↔ ∃ b, r a b ∧ Relation.ReflTransGen r b c
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ↑k * ω ^ 2 ^ p'
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁
W : OpenSubgroup K
hW : ↑W ⊆ U₂
⊢ ∃ W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
⊢ ¬s.SOppSide x x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ (a : ℕ), s.nondegComplex.X a = s.N a
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
⊢ (YoungDiagram.ofRowLens w hw).rowLens = w
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ |a - b| * |a - b| = a * a + b * b - (1 + 1) * a * b
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
a c : ℕ
⊢ a.choose c ≤ a.succ.choose c
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f = 0
α : Type u_1
l : Filter α
f : ℝ → α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f (Real.exp x)) Filter.atBot l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[>] 0) l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
G' : Type u_8
TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
N' : Type u_12
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
h₁ : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
h₂ : N ≃ₘ^n⟮J, J'⟯ N'
⊢ (h₁.prodCongr h₂).symm = h₁.symm.prodCongr h₂.symm
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
t : Finset α
b : α
⊢ Finset.image (fun x => x + b) t = t.preimage (fun x => x + -b) ⋯
M : Type u_1
AddZeroClass M
A : Type u_4
SetLike A M
hA : AddSubmonoidClass A M
S' : A
⊢ ⇑(AddSubmonoidClass.subtype S') = Subtype.val
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : WeakFEPair E
⊢ 0 < self.k
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.Substructure M
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → ↥S) (a : M),
    φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)
⊢ ↑(S.toElementarySubstructure htv) = S
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s < t ↔ ∃ a, a ::ₘ s ≤ t
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.commonNeighbors v w = G.commonNeighbors w v
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (map (fun x => 1) m).prod = 1
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a b ∩ Set.Ioi c = Set.Ioc (a ⊔ c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂κ a
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
One β
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.toGerm 1 = 1
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ ⇑(normGroupSeminorm E) = norm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
p : ℝ≥0
hp : ↑p ∈ s
q : ℝ≥0
hq : ↑q ∈ s
hpq : ↑p < ↑q
⊢ ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
σ : Type u_1
τ✝ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
τ : Type u_6
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ constantCoeff ((rename f) φ) = constantCoeff φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Nontrivial E
⊢ ‖ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F‖ = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ((s * t).disjiUnion (fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)) ?h).card
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ (fun x => f x.2) =ᶠ[ae (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)] fun x => AEStronglyMeasurable.mk f hf x.2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α
h : 0 < (scanl f b l).length
⊢ (scanl f b l).get ⟨0, h⟩ = b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ (homogeneousComponent n) φ = ∑ d ∈ Finset.filter (fun d => d.degree = n) φ.support, (monomial d) (coeff d φ)
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
⊢ ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : MeasureTheory.IntegrableOn (u * v') (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
hu'v : MeasureTheory.IntegrableOn (u' * v) (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
h_zero : Filter.Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Filter.Tendsto (u * v) Filter.atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, u' x * v x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : ChartedSpace HB B
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E
x : B
⊢ (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) =ᶠ[𝓝 x] fun x => 0
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
⊢ (replicate 0 a).Nodup ↔ 0 ≤ 1
x y : ZFSet
H : {x} = {y}
this : ⋃₀ {x} = ⋃₀ {y} := congr_arg sUnion H
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
⊢ (S.cyclesIsoLeftHomology hf).hom = S.leftHomologyπ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.universally.StableUnderBaseChange
b : Bool
x n : ℕ
⊢ Nat.bit b x < 2 ^ (n + 1) ↔ x < 2 ^ n
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
⊢ H.index ≠ 0
α : Type u_1
σ : Type u_2
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
hf : Computable f
⊢ Partrec ↑f
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 0 < x
⊢ x + 1 ≤ rexp x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R y x z ↔ x = y
n : ℕ
a : ZMod n
⊢ a.val ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
_b : α
hb₁ : _b ∈ s
hb₂ : _b ∉ s
right✝ : a ≤ _b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
inst✝ : BooleanAlgebra α
S : Set α
⊢ compl '' (compl '' S) = S
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
⊢ (f z).re = z.re
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : BijOn f ∅ t
⊢ t = ∅
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ H.coe ≤ (H'.copy H.verts hv H'.Adj ⋯).coe
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommMonoid P
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
h : β → N → P
h_zero : ∀ (a : β), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : β) (b₁ b₂ : N), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ (f.sum g).prod h = f.prod fun a b => (g a b).prod h
a b : Prop
⊢ a ∨ a ∨ b ↔ a ∨ b
R : Type u
CommSemiring R
x : R
f : R →+* R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] ((frobenius R p) x) = (frobenius R p) ((⇑f)^[n] x)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ volume (EMetric.ball a r) = 2 * r
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
⊢ QuotientGroup.mk '' ↑N = 1
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
CommRing S
IsDomain S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
η : ↥(rootsOfUnity n S)
⊢ f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm η) = ↑↑η
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : Setoid β
⊢ Setoid.comap f r = Setoid.ker (Quotient.mk'' ∘ f)
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.366230
S'' : Type ?u.366233
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x✝ : P.vars
m✝ : P'.vars →₀ ℕ
⊢ coeff m✝ (((Hom.id P').comp f).val x✝) = coeff m✝ (f.val x✝)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
j : S →+* P
⊢ IsLocalization.lift ⋯ = j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g = update (s.piecewise f g) j (f j)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
CommSemigroup β
f : α → β
a b : α
⊢ f (min a b) * f (max a b) = f a * f b
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
MulDistribMulAction α β
x : α
⊢ ∀ (a : β), (MulDistribMulAction.toMulEquiv β x).symm a = x⁻¹ • a
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
⊢ LinearMap.range W.mkQ.dualMap = W.dualAnnihilator
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 ≤ f
⊢ 1 < ∏ i : ι, f i ↔ 1 < f
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U)
a b : ℕ
⊢ Polynomial.eval (↑a + ↑b) (descPochhammer ℤ b) = ↑((a + 1).ascFactorial b)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ IsHomogeneous 𝒜 (InfSet.sInf ℐ)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ Set.EqOn f₂ f₁ s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
hf : Summable f
b : β
DecidableEq β
a : α
⊢ Summable (Function.update f b a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : M → E'
hf : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') f
⊢ MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') (-f)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (lcm a b) (lcm b a)
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s.erase b → a ∈ s
x y : UInt32
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % UInt32.size
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M
⊢ p ≤ p' → Submodule.map f p ≤ Submodule.map f p'
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
fg : { fg // ∀ (x : A) (y : B), Commute (fg.1 x) (fg.2 y) }
⊢ Algebra.TensorProduct.liftEquiv fg = Algebra.TensorProduct.lift (↑fg).1 (↑fg).2 ⋯
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ G.degree v ≤ G.maxDegree
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Finset β
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
x : α
⊢ x ∈ s.preimage f hf ↔ f x ∈ s
γ : Type u
f : Listβ γ Listα.nil → WType (Listβ γ)
⊢ ofList γ (toList γ (mk Listα.nil f)) = mk Listα.nil f
a : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑(Cardinal.toENat a) = a ↔ a ≤ Cardinal.aleph0
G : Type u_7
Group G
self : GroupSeminorm G
⊢ self.toFun 1 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ frontier (Set.Ioi a) = {a}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (p * X).comp r = p.comp r * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : ∃ (h : (f a).Dom), b ∈ match e : (f a).get h with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a' ⋯
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
⊢ Finsupp.single a 0 = 0
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ normEDS b c d (2 * (↑m + 3)) * b =
  normEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 5) -
    normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 4) ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.Splitting
⊢ h.unop.r = h.s.unop
α : Type u_2
Neg α
f : Filter α
⊢ Filter.map Neg.neg f = -f
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atBot ↔ ∀ (b : β), ∃ i, ∀ (a : α), i ≤ a → f a ≤ b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
lt : WellOrderingRel s t
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s t then (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 else (G.nonuniformWitnesses ε t s).2) (if WellOrderingRel t s then (G.nonuniformWitnesses ε t s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s t).2) - G.edgeDensity s t|
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l ↔ ∀ (i j : ℕ) (h₁ : j < l.length) (h₂ : i < j), R (l.nthLe i ⋯) (l.nthLe j h₁)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
f : (fun x x_1 => x < x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
⊢ Function.Injective ⇑f.toRelHom.toOrderHom
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ (PartialHomeomorph.refl X).toPartialEquiv = PartialEquiv.refl X
R : Type u_6
R₂ : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_9
ι : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
γ : ι → Type u_11
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (γ i)
f : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
t : Π₀ (i : ι), γ i
g : (i : ι) → γ i →+ M
⊢ f ((DFinsupp.sumAddHom g) t) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => f.toAddEquiv.toAddMonoidHom.comp (g i)) t
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (emptyOn α)✶ = emptyOn α