ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint l₂ ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l₂ → ¬a ∈ l₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
rp : p.radius > 0
n : ℕ
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => p.changeOrigin x n) 0
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValNat p p = 1
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ m.divisors → x ∈ n.properDivisors
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
⊢ (p.append q connect).head = p.head
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
z : k
⊢ ∃ z_1, z ^ 2 = z_1 * z_1
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Finset V
hs : s.Nonempty
lin_ind : LinearIndependent K Subtype.val
card_eq : s.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ⇑(finsetBasisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank hs lin_ind card_eq) = Subtype.val
R : Type u
Semiring R
RankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R
i : Function.Surjective ⇑f
⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Adapted ℱ f
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.subtypeVal p) = Subtype.val
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p
⊢ ⨅ (h : p), f h = sInf ∅
α : Type u_2
Preorder α
a : α
⊢ {a}.IsWF
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.join₁ ((MvPolynomial.rename f) φ) = (MvPolynomial.bind₁ f) φ
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
z : DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h)
i : ι
x : G i
h : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = z
⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x) = C z
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
x✝ : a :: l₁ <+~ a :: l₂
l : List α
p : l ~ a :: l₁
s : l <+ a :: l₂
⊢ l₁ <+~ l₂
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A * A⁻¹ = 1
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
hab : G ≤ G'
h : ¬G.IsAcyclic
⊢ G'.girth ≤ G.girth
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
⊢ (CategoryTheory.Functor.RightExtension.mk F' α).left = F'
K : Type u_3
V : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : V →ₗ[K] K
x : V
hx : f x ≠ 0
⊢ Submodule.span K {x} ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
a : R
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (a • φ).τ₂ = a • φ.τ₂
α : Type u_1
self : CircularOrder α
a b c : α
⊢ btw a b c ∨ btw c b a
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
Semiring C
StarRing C
Algebra R C
StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
g : B →⋆ₐ[R] C
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ StarSubalgebra.map g (StarSubalgebra.map f S) = StarSubalgebra.map (g.comp f) S
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
AddGroup G₁
AddGroup G₂
AddGroup G₃
f : G₁ →+ G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →+ G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →+ G₃
hh : h.comp f = g
⊢ h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨g, hg⟩
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ - ν ≤ μ
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ 1 / a * (1 / b) = 1 / (b * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (t \ s).ncard = t.ncard - s.ncard
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add W eX eY f₁ f₂ = CategoryTheory.Localization.Preadditive.add W eX' eY' f₁ f₂
l : ℕ
hl : Squarefree l
⊢ |ArithmeticFunction.moebius l| = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ∈ n.primeFactors.powerset
⊢ (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ t, g i = f t.val.prod * g (n / t.val.prod)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ⊥ < a
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
e : α
he : e ∈ M.E \ M.closure X
⊢ e ∉ X
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
PartialOrder 𝕜
StarRing 𝕜
StarOrderedRing 𝕜
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star (Sum.elim x y)) (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D)) (Sum.elim x y) =
  Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star (x + (A⁻¹ * B).mulVec y)) A) (x + (A⁻¹ * B).mulVec y) +
    Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star y) (D - B.conjTranspose * A⁻¹ * B)) y
b c : SetTheory.Game
⊢ b.LF c → ∀ (a : SetTheory.Game), (b + a).LF (c + a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p
⊢ ContinuousAt (fun x => p * x ^ (p - 1)) 0
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
x✝ : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
⊢ False
R S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FormallyUnramified R S
inst✝ : EssFiniteType R S
s : S
⊢ 1 ⊗ₜ[R] s * elem R S = s ⊗ₜ[R] 1 * elem R S
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ edist { down := x } { down := y } = edist x y
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
⊢ ∏ _x ∈ s, 1 = 1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v₁ v₂ : V
x : P
⊢ dist (v₁ +ᵥ x) (v₂ +ᵥ x) = dist v₁ v₂
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ ∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < b ♯ c → j < b ♯ c → i ≤ j → a ♯ i ≤ a ♯ j
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
g : G
q : MulAction.orbitRel.Quotient (↥(Subgroup.zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
⊢ (H.quotientEquivSigmaZMod g).symm ⟨q, k⟩ = g ^ k.cast • Quotient.out' q
z : ℂ
hz : 0 < z.im
⊢ Complex.arg =ᶠ[𝓝 z] fun x => Real.arccos (x.re / Complex.abs x)
n : ℕ
α : Type u_1
v : Fin n → α
a : α
⊢ Fin.snoc v a = fun i => Fin.cons a v ((finRotate (n + 1)) i)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β → γ
hg : Measurable g
hf : MeasureTheory.NullMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurable (g ∘ f) μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : FunLike F ℚ≥0 α
inst✝ : RingHomClass F ℚ≥0 α
f : F
q : ℚ≥0
⊢ f q = ↑q
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ WithBot.map f ↑a = ↑(f a)
R : Type u
CommRing R
σ : Type u_1
x : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ ((KaehlerDifferential.mvPolynomialBasis R σ).repr ((KaehlerDifferential.D R (MvPolynomial σ R)) x)) i =
  (MvPolynomial.pderiv i) x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
⊢ rootMultiplicity x p ≤ 1
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
T0Space H
CompleteSpace H
f : NormedAddGroupHom G H
g : NormedAddGroupHom (UniformSpace.Completion G) H
hg : ∀ (v : G), f v = g (↑G v)
⊢ f.extension = g
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ - a⁺ = -a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α + β)).Gal
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
⊢ ∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
⊢ P (IntermediateField.adjoin F ↑S)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : Unique J
f : J → C
j : J
⊢ default = j
x : ℝ
⊢ Real.cos x = 1 ↔ ∃ n, ↑n * (2 * Real.pi) = x
C✝ : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C✝
inst✝⁹ : MonoidalCategory C✝
inst✝⁸ : BraidedCategory C✝
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
inst✝⁵ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : MonoidalCategory E
inst✝² : BraidedCategory E
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
i : SymmetricCategory C
⊢ (fun X Y => (β_ Y X).symm) = β_
α : Type u_1
Preorder α
NoTopOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ ∃ t₁ ∈ 𝓟 s, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, s ∩ t = t₁ ∩ t₂
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel a x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
⊢ sInf m = MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy (MeasureTheory.OuterMeasure.sInfGen m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : CPolynomialAt 𝕜 g x
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (f - g) x
α : Type u
s : Set α
⊢ s ⊆ ∅ ↔ s = ∅
α : Type u
x y : FreeCommRing α
s : Set α
hxs : x.IsSupported s
hys : y.IsSupported s
⊢ (x - y).IsSupported s
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i * w) ≠ cs.length w
ι : Type u_2
α : Type u_3
AddCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
DecidableEq ι
i : ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ m → f i' = 0
⊢ (Multiset.map f m).sum = Multiset.count i m • f i
m : ℕ∞
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑m ≤ OfNat.ofNat n ↔ m ≤ OfNat.ofNat n
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
⊢ ((OuterMeasure.comap f) (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d)) s = (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d) s
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ (MvPolynomial.finSuccEquiv R n) ((MvPolynomial.rename ⇑(e.optionCongr.trans (finSuccEquiv n).symm)) φ) =
  Polynomial.map (MvPolynomial.rename ⇑e).toRingHom ((MvPolynomial.optionEquivLeft R σ) φ)
α : Type u
β : Type v
e✝ : α ≃ β
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
e : α ≃ β
inst✝¹ : Semiring β
inst✝ : Algebra R β
r : R
semiring✝ : Semiring α := e.semiring
algebra✝ : Algebra R α := Equiv.algebra R e
⊢ r • 1 = e.symm (r • 1)
α : Type u
l l' : List α
hd : α
tl : List α
h : hd :: tl ≠ []
⊢ (hd :: tl).cyclicPermutations = (zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (hd :: tl).tails (hd :: tl).inits).dropLast
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset, f i
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ s ⊆ exterior s
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Nonempty
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
this : Nonempty ↑I
⊢ (map f) (⨅ i ∈ I, (comap f) (m i)) = ⨅ i ∈ I, (map f) ((comap f) (m i))
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hgi : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖g x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ
α : Type w
Finite α
X : α → LightProfinite
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι X a) (LightProfinite.coproductIsoCoproduct X).inv =
  LightProfinite.finiteCoproduct.ι X a
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f s
hs : s₁ ⊆ s
⊢ f ⁻¹' (f '' s₁) ∩ s = s₁
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ e.toPartialHomeomorph.target = Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) s ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
AddCommGroup V3
Module k V3
AffineSpace V3 P3
AddCommGroup V4
Module k V4
AffineSpace V4 P4
f₃₄ : P3 →ᵃ[k] P4
f₂₃ : P2 →ᵃ[k] P3
f₁₂ : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ (f₃₄.comp f₂₃).comp f₁₂ = f₃₄.comp (f₂₃.comp f₁₂)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
B : K
nth_denom_eq : g.dens n = B
⊢ ∃ conts, g.conts n = conts ∧ conts.b = B
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y
c : ℝ
⊢ HasIntegral I l (c • f) vol (c • y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
β : ι → Type u_7
g : (i : ι) → β i → α i
⊢ (s.sigma fun i => g i ⁻¹' t i) = (fun p => ⟨p.fst, g p.fst p.snd⟩) ⁻¹' s.sigma t
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List ι
f : α → β → γ
op₁ : α → ι → α
op₂ : β → ι → β
op₃ : γ → ι → γ
a : α
b : β
h : ∀ (a : α) (b : β) (i : ι), f (op₁ a i) (op₂ b i) = op₃ (f a b) i
⊢ List.foldl op₃ (f a b) l = f (List.foldl op₁ a l) (List.foldl op₂ b l)
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (Localization.mk a s) = mk ((algebraMap R A) a) s
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (Cubic.toPoly 0).natDegree = 0
x : ℝ
⊢ InnerProductGeometry.angle (Complex.exp (↑x * Complex.I)) 1 = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) x|
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ |↑(Equiv.Perm.sign f)| = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
⊢ (LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
x : ℝ
⊢ ↑(Complex.cos ↑x).re = Complex.cos ↑x
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit a
⊢ a = 1
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ deriv (LSeries f) s = -LSeries (LSeries.logMul f) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ
⊢ MeasurableSet iᶜ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a b : α
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
⊢ normalize a = normalize b
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s • t).Nonempty → s.Nonempty
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝¹ : Fintype V
G' : G.Subgraph
inst✝ : Fintype ↑G'.verts
h : G'.IsSpanning
⊢ G'.verts.toFinset.card = Fintype.card V
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LT α
ha : ∀ (h : p), 0 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 0 < b h
⊢ 0 < dite p a b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type w
AddCommMonoid M'
Module R M'
B₁ B₂ : LinearMap.BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ⇑l
hᵣ : Function.Surjective ⇑r
⊢ B₁.comp l r = B₂.comp l r ↔ B₁ = B₂
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ basicOpen 𝒜 (f * g) ≤ basicOpen 𝒜 g
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
f : γ → α
⊢ (fun a => (f a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if b ∈ t then f ⁻¹' s else ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁
⊢ ∑ j_1 : ι₂, stdBasisMatrix i j 1 j_1 k • b₂ j_1 = if (i, j).2 = k then b₂ (i, j).1 else 0
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
ha : ⊥ < a
⊢ s.sup f < a ↔ ∀ b ∈ s, f b < a
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
D : TopCat.GlueData
⊢ Equivalence D.Rel
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree
⊢ (p - q).degree = p.degree
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable f s
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'