ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).π = CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt
α : Type u
β : Type v
f : α → β → α
hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b
a : α
b : β
l : List β
⊢ List.foldl f a (b :: l) = f (List.foldl f a l) b
β : Type v
f : β → Type v
P : Type v
s : (b : β) → P ⟶ f b
b : β
x : P
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.π f b (CategoryTheory.Limits.Pi.lift s x) = s b x
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ Function.Injective ⇑e.toLieHom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
self : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ self.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (self.obj X)
α : Type u
Preorder α
f : ℤ → α
hf : ∀ (n : ℤ), f (n + 1) < f n
⊢ StrictAnti f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g - h) = f ≫ g - f ≫ h
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α
⊢ n = 1 ∨ n = Fintype.card α
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ supClosure s = s ↔ SupClosed s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
⊢ (f.support.erase f.natDegree).card < f.support.card
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
hf : Function.Periodic f c
a : ↥(AddSubgroup.zmultiples c)
x : α
⊢ f (a +ᵥ x) = f x
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
⊢ (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = 0
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
hI : IsCoatom I
⊢ I.IsMaximal
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁
this : t.dual.dual.Bounded o₁ o₂
⊢ t.Bounded o₁ o₂
M : Type u_1
AddMonoid M
N : Type u_3
AddMonoid N
f : M → N
hf : IsAddMonoidHom f
s : Set N
hs : IsAddSubmonoid s
⊢ IsAddSubmonoid (f ⁻¹' s)
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y
⊢ x = 0 ∧ y < 0 ∨ x = ⊤ ∧ 0 < y → x = ⊤
K : Type u_1
Field K
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑1 = 1
n : ℕ
⊢ ¬ComputablePred fun c => (c.eval n).Dom
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2
key : φ g = g
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : LowerSemicontinuous f
gmon : Antitone g
⊢ UpperSemicontinuous (g ∘ f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ 𝟙 ((e.functor ⋙ e.inverse).obj ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ico a₁ b₁ ∩ Ico a₂ b₂ = Ico (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
G : Type u_4
AddCommGroup G
Module R G
f : E →ₗ[R] F
g : E →ₗ[R] G
hf : LinearMap.range f = ⊤
hg : LinearMap.range g = ⊤
hfg : IsCompl (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
⊢ ↑(f.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl g hf hg hfg) = f.prod g
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Finset Y
f : Y → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋂ i ∈ s, f i)
a : Cardinal.{u_1}
⊢ a ≠ 0 → 0 ^ a = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y
⊢ insert x s ∈ 𝓝[s] x
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : a < 0
⊢ b + a < c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : IsEmpty β
⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
⊢ star χ = χ⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.comap (⇑e.symm) μ) s = (Measure.map (⇑e) μ) s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
⊢ ↑((n + 1).choose (ν + 1)) * (↑(ν + 1) * X ^ ν) * (1 - X) ^ (n - ν) - ↑((n + 1).choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (↑(n - ν) * (1 - X) ^ (n - ν - 1)) = ↑(n + 1) * (↑(n.choose ν) * X ^ ν * (1 - X) ^ (n - ν) - ↑(n.choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (1 - X) ^ (n - (ν + 1)))
X Y : Type u
Semiring X
Semiring Y
f g : X →+* Y
h : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ f = g
x y : UInt64
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % UInt64.size
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSemisimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(LinearMap.range f)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g₁ g₂ : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).dedup = Multiset.ndinsert a s.dedup
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
h : a ∉ t
⊢ (a ::ₘ s).ndinter t = s.ndinter t
α : Type u_2
Group α
s : Finset α
⊢ (∃ a, s = {a} ∧ IsUnit a) ↔ ∃ a, s = {a}
ι : Type v
M : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
DecidableEq ι
DecidableEq M
A : ι → S
x : DirectSum ι fun i => ↥(A i)
⊢ (Function.support fun i => ↑(x i)) ⊆ ↑(DFinsupp.support x)
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ ∀ (x : FreeMonoid α), ↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) (FreeAbelianGroup.of x) = ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l) x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (β × β)
hV : SymmetricRel V
x y : β
⊢ y ∈ ball x V ↔ y ∈ {y | (y, x) ∈ V}
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
Y : Scheme
g : Y ⟶ S
H : Q (Scheme.Hom.app g ⊤)
hX : IsAffine Y
⊢ Q (Scheme.Hom.app (pullback.fst f g) ⊤)
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)
m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1
q : Tendsto (fun x => x ^ 2) (𝓝[<] 1) (𝓝[<] 1)
abel : Tendsto (fun x => ((fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) ∘ fun x => x ^ 2) x * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ TensorAlgebra.toDirectSum.comp TensorAlgebra.ofDirectSum = AlgHom.id R (⨁ (n : ℕ), ⨂[R]^n M)
R : Type u
S : Type v
Star R
Star S
x : R × S
⊢ (star x).1 = star x.1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionFunctor A).map η =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafMap₁ η
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)
⊢ HasSum (fun n => ((p n) fun x => y, (q n) fun x => y)) (f (e + y), g (e + y))
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)
⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
α : Type u
Fintype α
CommGroup α
⊢ IsSimpleGroup α ↔ IsCyclic α ∧ Nat.Prime (Fintype.card α)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : NonUnitalSubsemiring R
x : R
h : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
⊢ x ∈ { toNonUnitalSubsemiring := S, neg_mem' := h } ↔ x ∈ S
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2
⊢ x ≤ tan x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
DenselyOrdered X
a b : X
⊢ μ (Set.Ioo a b) = 0 ↔ b ≤ a
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ ValidFor (r.reverse ++ l) [] it.toEnd
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
f g : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ (f + g) x = f x + g x
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
fst_i : α
snd_i : β fst_i
⊢ (a = fst_i ∨ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs) ↔ (a = fst_i ∧ ∃ x, HEq x snd_i) ∨ ∃ x, ⟨a, x⟩ ∈ xs
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a b : α
⊢ List.destutter R (a :: b :: l) = if R a b then a :: List.destutter' R b l else List.destutter' R a l
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
T2Space α
DecidableEq β
hf : Summable f
b : β
⊢ ∑' (n : β), f n = f b + ∑' (n : β), if n = b then 0 else f n
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
⊢ UniformCauchySeqOn F p s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse f f' a hf) (↑f'.symm) (f a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∃ F, ContinuousAt F x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F univ x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = n.choose k
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
x : M
⊢ LieModuleHom.id x = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₁ : 𝕜 → F
f₁' : F
x : 𝕜
G : Type w
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₂ : 𝕜 → G
f₂' : G
hf₁ : HasDerivAt f₁ f₁' x
hf₂ : HasDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasDerivAt (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁', f₂') x
α : Type
ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
⊢ (x.mul y).mul z = (x.mul (y.mul z)).assocLeft
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
⊢ ‖x‖ = √(∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2)
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ((fun x => ↑x) '' ↑A)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : 0 < a • b
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 • b < a • b
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
α : Type u_1
a b c : α
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
h : a - c < b - c
⊢ a < b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
⊢ p x fun n => f n x
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball x δ * {y} = ball (x * y) δ
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
⊢ μ k ≤ ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ
x : α
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
h : f x ≠ 0 ∨ 0 < g x
⊢ ContinuousAt (fun t => f t ^ g t) x
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ ≃+* A₂
hf : ∀ (x : R), f ((algebraMap R A₁) x) = (algebraMap R A₂) x
a : A₁
⊢ (AlgEquiv.ofRingEquiv hf) a = f a
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ (G.incidenceFinset x).card = Multiset.card (Multiset.filter (Membership.mem x) ↑p.edges)
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
⊢ (ZMod.ringEquivCongr hab).trans (ZMod.ringEquivCongr hbc) = ZMod.ringEquivCongr ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor C D
iso : e.functor ≅ G
⊢ (e.changeFunctor iso).functor = G
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ map I₁.incl (comap I₁.incl I₂) = I₁ ⊓ I₂
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
⊢ finsuppTensorFinsuppRid R R ι κ = finsuppTensorFinsupp' R ι κ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (⇑f.symm '' K)
x y : ℝ
⊢ ↑(sin x - sin y) = ↑(2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2))
M : Type u_12
N : Type u_13
Add M
Add N
h : M ≃+ N
x y : N
⊢ h.symm (x + y) = h.symm x + h.symm y
a b : ℝ
n : ℕ
hab : b < a
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ι a b, |x - a| ^ n = |b - a| ^ (n + 1) / (↑n + 1)
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ (Bornology.cobounded E).HasBasis (fun x => True) fun x => {x_1 | x ≤ ‖x_1‖}
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
⊢ FiniteDimensional K ↥⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ
H : ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m
⊢ s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
⊢ GaloisConnection (adjoin R) ?u
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat
⊢ (fun a => if n = m then f a else a) <$> l[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
f g : ι → M₀
⊢ (Function.support fun x => f x * g x) = Function.support f ∩ Function.support g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ tᶜ = 0
⊢ μ (s ∩ t) = μ s
ι : Type u_1
α : Type u_3
DecidableEq ι
CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i = ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ t, f i
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ = Set.range ⇑hU.fromSpec.val.base
L : FirstOrder.Language
M : Type w'
L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, (Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∨ Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)) ∧ #↑N = κ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
x : E
⊢ f.toSeminorm x = ‖f x‖
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
⊢ xs.sym2.dedup = xs.dedup.sym2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
μ.IsOpenPosMeasure
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f)
⊢ HasSum g f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ (∀ (g : G), g • B ∩ B ≠ ∅ → g • B = B) ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type u_18
⊢ LinearEquiv.funCongrLeft R M (Equiv.refl n) = LinearEquiv.refl R (n → M)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ (f.map ⋯ f) z = z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ X₃ Y₃ : C
α₁ : X₁ ≅ X₂
β₁ : Y₁ ≅ Y₂
α₂ : X₂ ≅ X₃
β₂ : Y₂ ≅ Y₃
f : X₁ ⟶ Y₁
⊢ ((α₁ ≪≫ α₂).homCongr (β₁ ≪≫ β₂)) f = ((α₁.homCongr β₁).trans (α₂.homCongr β₂)) f
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H ⇑(LieModule.chainTop (⇑α) β)
⊢ ∃ n, n • x = ⁅LieAlgebra.IsKilling.coroot α, x⁆
G : Type u_1
Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), (f₁ g).translationNumber = (f₂ g).translationNumber
⊢ ∃ F, ∀ (g : G), Function.Semiconj ⇑F ⇑(f₁ g) ⇑(f₂ g)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded (closure s) ↔ Bornology.IsBounded s
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.basicOpen (f * g) = X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Even (m ^ n) ↔ Even m ∧ n ≠ 0
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x < √y ↔ x ^ 2 < y
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → M
Sup M
MeasurableSup M
hf : AEMeasurable f μ
c : M
⊢ AEMeasurable (fun x => c ⊔ f x) μ
x : ℝ
⊢ Real.exp x - Real.cosh x = Real.sinh x
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R
⊢ X * (monomial n) r = (monomial (n + 1)) r
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f s (t ∩ t') ∪ image2 f s' (t ∩ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'
α : Type u_1
Ring α
a b : α
⊢ a ∣ b - a ↔ a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
⊢ ∏ i ∈ t, s.mulIndicator f i = ∏ i ∈ t, f i
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0
⊢ (fun n => f (0 * c ^ n) / f c ^ n) = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x
a : Set α
⊢ (fun a => ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ a - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict a)] fun a => ↑‖f a - f x‖₊
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Add M₁
Add M₂
ContinuousAdd M₂
⊢ IsClosed {f | ∀ (x y : M₁), f (x + y) = f x + f y}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂
h : (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod
⊢ (map f₁ (map Prod.fst s)).prod = (map f₁ (map Prod.fst t)).prod ∧ (map f₂ (map Prod.snd s)).prod = (map f₂ (map Prod.snd t)).prod