ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
o₁ e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁
o₂ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂
h₁ : (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹).NF
h₂ : (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝).NF
⊢ (match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.eq.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
⊢ |(∡ p₂ p₃ p₁).toReal| < π / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ f '' s = f '' t ↔ s = t
P : Type u_1
SemilatticeSup P
OrderBot P
S : Set (Order.Ideal P)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s t : Set (α → M)
hs : A.Definable L s
ht : A.Definable L t
⊢ A.Definable L (s \ t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nontrivial
⊢ ↑s • Set.univ = Set.univ
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Set.Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 0)
hgbot : Filter.Tendsto g Filter.atBot (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) Filter.atBot l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) Filter.atBot l
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
⊢ f.FinMeasSupp μ ↔ f.lintegral μ < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
⊢ f =O[⊥] g
R : Type u
a : R
CommRing R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C a) * (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)) = p ↔ p.IsRoot a
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑n < ↑n + 1
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ∫ (x : E), w D x ∂μ = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : R[X]
inst✝ : Semiring S
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
f : R[X]
sub_eq : p₁ - p₂ = q * f
⊢ p₁ %ₘ q = p₂ %ₘ q
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
this : finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = Nat.card { x // x ∈ (minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯) }
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = (minpoly F α).natSepDegree
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ cthickening 0 E ⊆ thickening δ E
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ (∃ b, (∃ a, p a ∧ f a = b) ∧ q b) ↔ ∃ a, p a ∧ q (f a)
σ : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)
⊢ (MvPolynomial.expand p) f = f ^ p
X : LightCondSet
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
⊢ Continuous (LightCondSet.coinducingCoprod X)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
⊢ Measurable (mapNatBool α)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (η.left ≫ Y✝.hom).app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ IsColimit (ShortComplex.π₂.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
⊢ (Polynomial.aevalTower g y) Polynomial.X = y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
⊢ ⊤ ≤ ⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : (i : ℕ) → i < n → α
hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a
hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s
f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j
f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯
x : α
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ f' '' univ
R : Type u
Semiring R
a b : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a * b } = { toFinsupp := a } * { toFinsupp := b }
S : Type u_1
CommRing S
IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
ab_mem : a * b ∈ P ^ (i + 1)
⊢ b ∈ P
F : Type u_1
α : Type u_3
MonoidWithZero α
FunLike F ℤ α
MonoidWithZeroHomClass F ℤ α
f g : F
h_neg_one : f (-1) = g (-1)
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f ↑n = g ↑n
⊢ f = g
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ↑(∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2)) = ↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2))
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
n : ℤ
⊢ 1 ^ n = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n
⊢ (fromBlocks M₁₁ M₁₂ 0 M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
⊢ D (p * q) = p • D q + q • D p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
M : Type u_2
N : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
f : Mᵐᵒᵖ →* Nᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : M), (MonoidHom.op.symm f) a = (MulOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.op) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape I A
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedCone F).pt.fst =
  CategoryTheory.Limits.limit (F.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π A))
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
M : Type u_3
OrderedCommMonoid M
l : List M
⊢ (∀ x ∈ l, 1 < x) → l ≠ [] → 1 < l.prod
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
⊢ ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
h : a - b = a
⊢ False
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) = reesAlgebra I
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x : D.glued
⊢ ∃ i y, Multicoequalizer.π D.diagram i y = x
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
⊢ spectrum ℂ x = spectrum ℂ ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
⊢ (erase a f) a = (f - single a (f a)) a
l : List ℕ
a✝ m n✝ n a : ℕ
ha : (n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).greatestFib = a
h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0
⊢ a + 2 ≤ (n + 1).greatestFib
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
ha : ⨆ l, ↑(↑l).length < ⊤
⊢ ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (tangentCoordChange I x x z) v = v
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u = (if u = v then {w} else ∅) ∪ if u = w then {v} else ∅
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
⊢ 0 < diam s ↔ s.Nontrivial
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
p : ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.expand p) (MvPolynomial.C r) = MvPolynomial.C r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ ￢a ≤ b ↔ Codisjoint a b
a b : Int
h : a < b
⊢ a ≤ b
a : ENNReal
h : a ≠ ⊤
⊢ ⊤ / a = ⊤
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ
s : G
⊢ (fun x => ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖) s ≤ (fun a => ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖))) s
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
f : α →₀ G
⊢ (-f).support = f.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : F.obj X
⊢ F.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) a = F.map g (F.map f a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
γ : Path x y
f : X → Y
h : Continuous f
⊢ (γ.map h).symm = γ.symm.map h
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
h : UniformEquicontinuous F
⊢ Equicontinuous F
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
⊢ x ∈ s.disjSum t ↔ (∃ a ∈ s, inl a = x) ∨ ∃ b ∈ t, inr b = x
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
order_pos : 0 < addOrderOf m
a : α
⊢ AddAction.period m a ≤ addOrderOf m
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd
⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f_inv : N → M
f : M → N
map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : N → M
g : M → N
map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ }.toEquiv = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }.toEquiv
⊢ { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a + b ≤ c
⊢ b ≤ c - a
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x u 1 = Matrix.vecHead u
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀
⊢ Comp.mk (tfst f <$> tsnd f' x) = bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_1
s : ι → Set R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus (⋃ i, s i) = ⋂ i, PrimeSpectrum.zeroLocus (s i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x)⁻¹) x
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
y : α
⊢ y ∈ Set.range (vecCons x u) ↔ y ∈ {x} ∪ Set.range u
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s : Set α
f : α → G
⊢ (s.mulIndicator fun a => (f a)⁻¹) = fun a => (s.mulIndicator f a)⁻¹
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
h2' : G.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)
α : Sort u
⊢ Uncountable α ↔ IsEmpty (α ↪ ℕ)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.restrict Set.univ = f
G : Type u_5
AddGroup G
self : AddSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ self.carrier → -x ∈ self.carrier
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))
this : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))
x : α
n : ι
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t
hm' : Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
⊢ ∃ z, (f x, z) ∈ t ∧ (z, F n x) ∈ t
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
⊢ l ∣ 2 * ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g : G
⊢ g = [g].get 0 ^ (-1) ^ ↑0 * ∏ i : Fin 0, [g].get i.succ ^ (-1) ^ ↑i.succ
α : Type u_3
DivisionRing α
a : ℤ
b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
⊢ ↑(a /. b) = ↑a / ↑b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
M.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap (φ ≫ ψ) i = HomologicalComplex.homologyMap φ i ≫ HomologicalComplex.homologyMap ψ i
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L)
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.precomp L F G).obj X).right = X.right
M : Type u_1
AddZeroClass M
p p' : AddSubmonoid M
x : M
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
a b : ℝ
f : ℝ → ℂ
c : ℂ
n : ℤ
hab : a < b
⊢ fourierCoeffOn hab (fun x => c * f x) n = c * fourierCoeffOn hab f n
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
m : Multiset ι
nod : m.Nodup
hs : ∀ i ∈ m, s i ≠ 0
pp : {x | x ∈ m}.Pairwise (Nat.Coprime on s)
⊢ ↑(Nat.chineseRemainderOfMultiset a s nod hs pp) < (Multiset.map s m).prod
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
⊢ eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring S'
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* S'
⊢ ↑(e₁.trans e₂) = (↑e₂).comp ↑e₁
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => -f x) = -μ.withDensityᵥ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.leftOp
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isColimitCoconeOfConeLeftOp F hc).desc s =
  (hc.lift (CategoryTheory.Limits.coneLeftOpOfCocone s)).op
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R : 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b
g : p.obj a' ⟶ R
f : R ⟶ p.obj b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
hf' : p.map φ' = g ≫ f
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ') φ'
this : p.IsHomLift (g ≫ f) φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift g χ ∧ χ ≫ φ = φ'