ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
x : M
n : ℕ
hx : (φ ^ n) x = 0
⊢ ↑((restrict φ hφV ^ n) ⟨x, ⋯⟩) = 0
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
U : Set X
inst✝ : (x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
x✝ : X
⊢ x✝ ∈ ⇑(ofIsClopen hU) ⁻¹' {1} ↔ x✝ ∈ Uᶜ
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
hT₁ : IsClosed T₁
hT₂ : IsClosed T₂
T_decomp : connectedComponent t ⊆ T₁ ∪ T₂
T_disjoint : Disjoint T₁ T₂
h : connectedComponent t ⊆ T₂
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Ioc ⊥ ↑y = Set.Iic y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
h : CategoryTheory.Limits.IsZero c.pt
⊢ CategoryTheory.Mono f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᵒᵖ
Y : C
⊢ (CategoryTheory.coyoneda.obj X).obj Y = (Opposite.unop X ⟶ Y)
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
⊢ IsConj σ τ
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x * a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds s t
α : Type u_1
p : Lex α → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ a, p (toLex a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
w : CategoryTheory.Limits.image.ι f = 0
⊢ f = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, 0 ≤ f x
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝¹ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r✝ : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r✝ x y → f x = f y
x : RingQuot r✝
a✝ b✝ : R
r : Rel r✝ a✝ b✝
⊢ f a✝ = f b✝
K : Type u
DivisionRing K
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : Gᵐᵒᵖ
h : ∀ (b : G), b * unop a ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ unop a ∈ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
S.HasRightHomology
A' : C
α : A ⟶ A'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.descOpcycles k hk) α = S.descOpcycles (CategoryTheory.CategoryStruct.comp k α) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
g : G →ₗᵢ[𝕜] G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap f‖ = ‖f‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 α
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg' : AntitoneOn g (f '' s)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (g ∘ f)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f✝ : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
f : Filtration ι m
i : ι
s : Set Ω
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s
R S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Algebra.FormallyUnramified R S
Algebra.EssFiniteType R S
s : S
⊢ (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * Algebra.FormallyUnramified.elem R S = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y
this : (s - s') • x + (t - t') • y = 0
⊢ s = s' ∧ t = t'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CommSemiring A
z : E
NormedCommRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p : MvPolynomial σ A
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (MvPolynomial.aeval (f x)) p) z
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ
hf : BoxIntegral.Integrable I l (c • f) vol
hc : c ≠ 0
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f vol
α : Type u_3
NonAssocRing α
f : ℤ →+* α
CharZero α
⊢ Function.Injective ⇑f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
PreirreducibleSpace X
ho : IsOpen s
hne : s.Nonempty
⊢ Dense s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
hf : Function.Injective f
⊢ (List.map f l).Nodup ↔ l.Nodup
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (insertWith (fun x_1 => x) x t).Valid
X : Type u_1
UniformSpace X
s : Set X
hs : IsSeqCompact s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
huc : CauchySeq u
⊢ ∃ x ∈ s, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∃ c, b = a * c
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ s.attach
⊢ (a = x✝¹) = (↑a = ↑x✝¹)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ SameRay R (z -ᵥ x) (z -ᵥ y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f✝ f g : α → Option α
a : α
l : List α
H : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → f a_1 = g a_1
⊢ lookmap f (a :: l) = lookmap g (a :: l)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), (∃ n f', toLaurent f' = p * T ↑n) → (∃ n f', toLaurent f' = q * T ↑n) → ∃ n f', toLaurent f' = (p + q) * T ↑n
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ.inv.inv μ.inv.inv
⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
g : G
⊢ ↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hS g) * g⁻¹ ∈ H
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F
inst✝ : Epi (F.map f)
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)
⊢ Epi f
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
⊢ AlgHom.equalizer ϕ (liftHom f (ϕ (root f)) ⋯) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
DiscreteTopology β
f : α → β
hc : Continuous f
hinj : Function.Injective f
⊢ DiscreteTopology α
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
⊢ A ∈ orthogonalGroup n β ↔ A * star A = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ 0 ≤ a / ↑n
K : Type u
Field K
V : Type v
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
⊢ (coevaluation K V) 1 =
  let bV := Basis.ofVectorSpace K V;
  ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), bV i ⊗ₜ[K] bV.coord i
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s t = hausdorffEdist t s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ f.Integrable → (-f).Integrable
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
⊢ False
n : ℕ
X : Type u_1
Zero X
f : Fin n → X
i : Fin n
⊢ SSet.Augmented.StandardSimplex.shiftFun f i.succ = f i
α : Type u_4
self : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a ≤ b ⊔ c
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → E
h1f : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔
  (∀ᵐ (x : α) ∂μ, MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧
    MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z)
  (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
this✝¹ : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1
g : Perm α
hg : s g = -1
l : List (Perm α)
hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap
this✝ : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1
this : s l.prod = 1
⊢ False
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
p₀ p₁ : P1
⊢ f.comp (AffineMap.lineMap p₀ p₁) = AffineMap.lineMap (f p₀) (f p₁)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
⊢ IsQuasiSeparated ⊥.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, ⊥)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (s.sup p).ball x r = s.inf fun i => (p i).ball x r
p : ℕ+
pp : p.Prime
⊢ ¬↑p ∣ ↑1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ F
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f η = s
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s (CategoryTheory.yonedaEquiv f)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hg' : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.MapsTo.restrict f s t h = Set.codRestrict (s.restrict f) t ⋯
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2
r s : ℤ
h : ↑a * ↑b = r ^ 2 + s ^ 2
⊢ ↑a * ↑b = ↑r.natAbs ^ 2 + ↑s.natAbs ^ 2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ T
⊢ (NonUnitalSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
r : ℝ
h : |r| < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
x : E
⊢ HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) x
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
g : α
⊢ {x | ↑x = ↑g} = g +ᵥ ↑s
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
⊢ ∀ (a : αᵒᵈ), (sSupHom.dual f).toFun a = (⇑OrderDual.toDual ∘ ⇑f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) a
J : Type w
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeUnop J).map f =
    (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap J (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X) f.unop).unop
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
⊢ IsDedekindDomain Aₘ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ sup (o.familyOfBFamily f)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < sup (o.familyOfBFamily f) → succ a < sup (o.familyOfBFamily f)
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), ((aeval f) ((monomial n) a)) x = eval (f x) ((monomial n) a)
M : Type u_1
TopologicalSpace M
Monoid M
⊢ Units.instTopologicalSpaceUnits =
  TopologicalSpace.induced Units.val inst✝ ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
Add A
f g : AddMonoidAlgebra R A
a0 b0 : A
h : UniqueAdd f.support g.support a0 b0
⊢ (f * g) (a0 + b0) = f a0 * g b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
x✝ : α × β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s.biUnion fun a => image (fun b => (a, b)) t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ f s x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (flatten c1).destruct (flatten c2).destruct
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
⊢ f ∈ oneCocycles A ↔ ∀ (g h : G), f (g * h) = (A.ρ g) (f h) + f g
m : ℕ
hm : m ≠ 1
⊢ schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD m]} = (↑m)⁻¹
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
p : Sort u
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (Localization.r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ ((Localization.monoidOf S).mk' a b).liftOn f H = f a b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.314058, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
⊢ 2 < 4 + 1
n k : ℕ
⊢ n.choose k * (n + 1) = (n + 1).choose k * (n + 1 - k)
z : ℂ
⊢ z.re ^ 2 ≤ normSq z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
⊢ (Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)).card ≤ H.index * S.card
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (s.sup' hne f) t x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0
⊢ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
Invertible (Q m)
Invertible ((CliffordAlgebra.ι Q) m)
⊢ ⅟((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (CliffordAlgebra.ι Q) (⅟(Q m) • m)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
⊢ Subsingleton X
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
α : Type u_1
PartialOrder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α
a : α
⊢ IsClosed {a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
eq : ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc f).posPart a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f).posPart
ι : Type u_1
α : Type u
p : ι → Prop
f : (a : ι) → p a → α
l₁ l₂ : List ι
h : ∀ (a : ι), a ∈ l₁ ++ l₂ → p a
⊢ List.pmap f (l₁ ++ l₂) h = List.pmap f l₁ ⋯ ++ List.pmap f l₂ ⋯
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (frobenius ((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) f)).coeff n = f.coeff n
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : IsEmpty α
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
α : Type u
f : Filter α
p q : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Coyoneda.colimitCocone X).pt = PUnit.{v + 1}
M' : Type u_5
α : Type u_6
AddZeroClass M'
VAdd M' α
S : AddSubmonoid M'
g : ↥S
a : α
⊢ g +ᵥ a = ↑g +ᵥ a
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node4L x m y r).dual = r.dual.node4R y m.dual x l.dual
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
⊢ StrictMono fun x => f x * g x
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b
⊢ s ∈ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i)
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℚ M
AddCommGroup M₂
Module ℚ M₂
f : M →+ M₂
⊢ ⇑f.toRatLinearMap = ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (η : X ⟶ Y) (A : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.whiskering C D).map η).app A).right =
    CategoryTheory.whiskerLeft (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.drop.obj A) η
α : Type u_1
s t : Set α
OrderedCancelAddCommMonoid α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s + t).IsPWO
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
a : G₀
⊢ SemiconjBy a 0 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
⊢ extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x =
  (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ (fun i => b.toHilbertBasis.repr.symm (lp.single 2 i 1)) = ⇑b