ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
N : ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ N.primesBelow, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ x + y = Tropical.trop (min (Tropical.untrop x) (Tropical.untrop y))
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
m n : ℕ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
α : Type u_1
s : Set (Sym2 α)
⊢ Sym2.fromRel ⋯ = s
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Filter.Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ Metric.closedBall (w j) (K * δ j)
⊢ Filter.Tendsto (fun j => Metric.closedBall (w j) (δ j)) l ((IsUnifLocDoublingMeasure.vitaliFamily μ K).filterAt x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
m n m' : ℕ
a✝ : m.le m'
IH : (s.get? m').Terminates → (s.get? m).Terminates
⊢ (s.get? m'.succ).Terminates → (s.get? m).Terminates
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio a = Set.Iio b ↔ a = b
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U : (Matrix m m 𝔸)ˣ
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra
⊢ exp 𝕂 (↑U * A * ↑U⁻¹) = ↑U * exp 𝕂 A * ↑U⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Q : CategoryTheory.MorphismProperty C
Q.RespectsIso
E : C ≌ D
⊢ Q.inverseImage E.inverse = Q.map E.functor
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
f g : Y → X
l : Filter Y
a b : X
ha : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
hfg : ∃ᶠ (x : Y) in l, f x = g x
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ ∩ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : Antitone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ici a) (Set.Iic (f a))
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ → Ordnode.nil.Bounded (↑x) o₂ → Ordnode.All (fun x_1 => x_1 > x) t → t.Bounded (↑x) o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 < ν.rnDeriv μ x
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
⊢ 𝓤 G = Filter.comap (fun p => p.2 / p.1) (𝓝 1)
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b) x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x b'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ s.truncatedInf a ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] f
a : EReal
⊢ a.exp < 1 ↔ a < 0
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ φ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : γ → α → σ₁ → σ₁ × φ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2 xs s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y x_1 =>
        match x_1 with
        | (s₁, s₂) =>
          let r₂ := f₂ x y s₂;
          let r₁ := f₁ r₂.2 x s₁;
          ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
α : Type u_1
MetricSpace α
β : Type u
Nonempty β
p : Besicovitch.TauPackage β α
x : β
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → E
h1f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔
  (∀ᵐ (x : α) ∂μ, MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧
    MeasureTheory.HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
a b : UInt64
⊢ a.toNat = b.toNat → a = b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ μ.withDensity f ≪ μ
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
⊢ IsOpen (notBelow y)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ (κ + η) =
  ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ κ + ProbabilityTheory.Kernel.prodMkLeft γ η
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}
⊢ IsRelPrime (s i) (s j)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ s = IsSubgroup.trivial G ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f)
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Epi (c.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one)
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ n.properDivisors, x = 1 ↔ Nat.Prime n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddMonoid M
S : Set (AddMonoidAlgebra R M)
hS : Algebra.adjoin R S = ⊤
⊢ Algebra.adjoin R (AddMonoidAlgebra.of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x y : G
⊢ 𝓝 (x * y) = 𝓝 x * 𝓝 y
z : ℂ
h : 0 < z.im
⊢ (UpperHalfPlane.mk z h).im = z.im
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app X = ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app X
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
H : 0 < a₁
H' : 0 < a₂
⊢ (if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ t • x ∈ interior s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n
h_last : ∀ (n : ℕ), t n n.succ = 0
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
⊢ ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ Finsupp.single g 1 * average k G = average k G
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).inv.app X = ((shiftFunctorZero C ℤ).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).inv.app X
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ℕ → E
a : E
hf : Summable fun i => ‖f i‖
⊢ HasSum f a ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 a)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2
⊢ ContDiff ℝ ⊤ (stereoInvFunAux v)
K : Type u_1
Field K
φ : K →+* ℂ
hφ : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
x : K
⊢ ↑(hφ.embedding x) = φ x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
y : α
hy : (image f s).max = ↑y
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ ![(u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P, (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P, u ^ 4 * W'.dblZ P] = u ^ 4 • W'.dblXYZ P
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p : Polynomial ↥(subfield M F)
x : ↥(subfield M F)
⊢ m • Polynomial.C x = Polynomial.C x
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε
⊢ x ∉ cthickening δ E
G : Type u_1
Group G
self : IsKleinFour G
⊢ Nat.card G = 4
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
⊢ 𝓤 G = Filter.comap (fun p => p.2 - p.1) (𝓝 0)
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.Limits.HasBiproductsOfShape J C
F : J → C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBiproduct F
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A + C).card * B.card ≤ (A - B).card * (B - C).card
α : Type u_1
DecidableEq α
l l' : List α
⊢ Disjoint l.toFinset l'.toFinset ↔ l.Disjoint l'
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ d * a.y * (a.y * a₁.x) < a.x * (a.x * a₁.x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f₂ : 𝕜 → F
h : ContDiff 𝕜 n f₂
hn : 1 ≤ n
⊢ Continuous (deriv f₂)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
Fintype ι
DecidableEq ι
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
⊢ (ContinuousMultilinearMap.alternatization f).toAlternatingMap = MultilinearMap.alternatization f.toMultilinearMap
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : FreeAddMonoid (M ⊕ N) →+ P
hM₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl 0)) = 0
hN₁ : f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr 0)) = 0
hM :
  ∀ (x y : M), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inl x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inl y))
hN :
  ∀ (x y : N), f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr (x + y))) = f (FreeAddMonoid.of (Sum.inr x) + FreeAddMonoid.of (Sum.inr y))
w : FreeAddMonoid (M ⊕ N)
⊢ (AddMonoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN) (AddMonoid.Coprod.mk w) = f w
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
⊢ map (Prod.fst ∘ Prod.swap) ρ = ρ.snd
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)) U = ν (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
MulZeroClass R
ContinuousMul R
f g : ContinuousMapZero X R
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)
this : Mono (homologyMap φ ≫ S₂.homologyι)
⊢ Mono (homologyMap φ)
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
n : ℤ
hn : n ≤ 0
⊢ selfZPow x B n = IsLocalization.mk' B 1 (Submonoid.pow x n.natAbs)
Δ : SimplexCategory
Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ((𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject (Type u))).obj (SSet.standardSimplex.obj Δ)).obj Δ'),
  (SSet.Augmented.standardSimplex.obj Δ).hom.app Δ' a =
    CategoryTheory.Limits.terminal.from
      (((𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject (Type u))).obj (SSet.standardSimplex.obj Δ)).obj Δ') a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
t : Setoid β
f : α → β
h : (Setoid.r ⇒ Setoid.r) f f
x : α
⊢ Quotient.map' f h ⟦x⟧ = ⟦f x⟧
α : Type u_3
Inf α
⊢ ⇑(InfHom.id α) = id
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
Fintype ↑G.edgeSet
⊢ e ∈ G.edgeFinset → ¬e.IsDiag
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (Polynomial.expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.expComparison F A)
    (CategoryTheory.whiskerLeft F (CategoryTheory.pre (F.map f))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.pre f) F)
    (CategoryTheory.expComparison F A')
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e : PartialHomeomorph M H
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn Q (↑e.symm) e.target
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
emb : Fintype (α ↪ β)
⊢ ‖α ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α‖
a c b d : Nat
hac : a < c
hbd : b ≤ d
hb : 0 < b
⊢ a * b < c * d
α : Type u
L : List α
i : ℕ
h : i < L.attach.length
⊢ ↑L.attach[i] = L[i]
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
hR : Ideal.IsJacobson R
⊢ Ideal.IsJacobson S
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
self : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
⊢ (∀ y ∈ s, f y = g y) → f x = g x → P f s x → P g s x
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ (MultilinearMap.domDomCongrEquiv σ).symm m = MultilinearMap.domDomCongr σ.symm m
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (fun h => exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h) =o[𝓝 0] fun h => h
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]
⊢ Nat.Prime x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ E
SecondCountableTopologyEither α E
Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
μ.WeaklyRegular
⊢ Dense ↑(MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ)
R : Type u_1
CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : ¬IsUnit x
⊢ n = 0 ∨ n = 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ ∑' (i : G), μ (i • s) ≤ 0
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : m < n
⊢ n ∈ rfind p
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ f = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∏ x ∈ Finset.Ico a b, f (c + x) = ∏ x ∈ Finset.Ico (a + c) (b + c), f x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ⇑μ.toOuterMeasure = ⇑μ
n : ℕ
x✝ : ℂ
⊢ logTaylor (n + 1) x✝ = (logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) x✝
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (f.hom ▷ X.X ▷ TensorBimod.X N P) (f.hom ▷ TensorBimod.X N P) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ AssociatorBimod.inv M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M' N ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
g g' : ℝ → ℝ
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Filter.Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
DenselyOrdered α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hc : c ∈ Set.Icc a b
⊢ sInf (f '' Set.Icc a b) ≤ f c
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
⊢ (∃ a b, a * (X ^ n - 1) + b * (C ↑n * X ^ (n - 1)) = 1) → ↑n ≠ 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι
⊢ (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom + Hom.f 0 i
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
⊢ ↑(a - 1) = ↑a - 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
i j : ι
i' j' : ι'
hi : e.f i = i'
hj : e.f j = j'
⊢ (K.restriction e).d i j = (K.restrictionXIso e hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.restrictionXIso e hj).inv
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s ∈ s.powerset
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y Z : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : φ ≫ πY = πX
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
w : t ≫ πX = f i ≫ b
t' : A i ⟶ Y
fac : t ≫ φ = t'
⊢ t' ≫ πY = f i ≫ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (c + a) (c + b)
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_init : x ≤ f x
a : Ordinal.{u}
h_a : a < (succ #α).ord
b : Ordinal.{u}
h_b : b < (succ #α).ord
h_nab : a ≠ b
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
⊢ lfpApprox f x (succ #α).ord ∈ fixedPoints ⇑f
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq β
⊢ Finset.image Prod.snd (s ×ˢ t) ⊆ t