ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z] ↔ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
HasContDiffBump E
n : ℕ∞
c g : X → E
s : Set X
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
x : X
hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x
hr : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) s x
hR : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => ↑(f x) (g x)) s x
R : Type u
CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (X.braiding (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom =
  (X.braiding Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (X.braiding Z).hom
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsComplex
⊢ ¬ComplexEmbedding.IsReal φ
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
AddGroupWithOne α
M : Matrix n n α
d : ℤ
⊢ Mᵀ = ↑d ↔ M = ↑d
α : Type u
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set α)
hb : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis b
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ b ∧ a ∈ t) fun t => t
E : Type u_3
SeminormedGroup E
a : ℝ
⊢ ∀ᶠ (x : E) in Bornology.cobounded E, a ≤ ‖x‖
n : ℕ
⊢ Real.Gamma (↑n + 1) = ↑n !
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
⊢ ↑(LucasLehmer.norm_num_ext.sMod' (2 ^ p - 1) k) = LucasLehmer.sMod p k
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : M) (hx : x ∈ s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s
⊢ p x h
α : Type u_1
xs : List α
i : Fin xs.dropLast.length
⊢ xs.dropLast.get i = xs.get ⟨↑i, ⋯⟩
p q : ℚ
⊢ p < q ↔ p.num * ↑q.den < q.num * ↑p.den
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P
⊢ ((IsLocalization.toLocalizationWithZeroMap M S).lift g.toMonoidWithZeroHom hg) z * w + w' = v ↔
  g ((IsLocalization.toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((IsLocalization.toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' =
    g ↑((IsLocalization.toLocalizationMap M S).sec z).2 * v
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k
⊢ mapDomain (actionDiagonalSucc G n).inv.hom ((lcongr (Equiv.refl (G × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k)) ((finsuppTensorFinsupp k k k k G (Fin n → G)) (single g a ⊗ₜ[k] single f b))) = single (g • partialProd f) (a * b)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), P.map c.fst.op y = P.map c.snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
⊢ @AlgebraicGeometry.IsPreimmersion =
  (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Embedding) ⊓
    AlgebraicGeometry.stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] x => Function.Surjective ⇑x
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ a + c ≡ b + d [MOD n]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ ⨅ i, ⨆ a ∈ Ici i, u a = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ OpenEmbedding ⇑f.val.base
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ ¬cs.IsLeftDescent w i ↔ cs.length (cs.simple i * w) = cs.length w + 1
ι : Type u_1
M : Type u_3
Semiring M
f g : AddMonoidAlgebra M ι
⊢ (f + g).toDirectSum = f.toDirectSum + g.toDirectSum
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (Set.univ.pi t)
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : ∀ s ≤ F.submodule, s.FG
⊢ F'.submodule.FG
x : ℝ≥0
z : ℝ
h : 1 ≤ x
h₁ : 0 ≤ z
⊢ 1 ≤ x ^ z
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s✝ : Set α
inst✝ : CompleteSpace α
this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
s : Closeds α
hs : s ∈ closure {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
⊢ IsCompact ↑s
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
a b c d : α
h : a * b = c * d
⊢ a = c ↔ b = d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
h : J₁.IsClosed S
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ J₁.Covers S f ↔ S.arrows f
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≈ y ↔ ⟦x⟧ = ⟦y⟧
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : Differentiable 𝕜 a
b : 𝔸
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => b * a y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
s : Set (E × F)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 Prod.fst s p
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇨ a = ⊤
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊔ x ⊓ yᶜ = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I T : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
⊢ CategoryTheory.Mono (hI.to T) → CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num
q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num
q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num
q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num
q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv
⊢ (q_inv - ↑⌊q_inv⌋).num < q.num
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
⊢ k ∈ (m i j).support → k ∈ (matPolyEquiv m).support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Small.{w, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
⊢ CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
m0 : MeasurableSpace Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h : IndepSets {s} {t} κ μ
u : Set Ω
hu : u ∈ {t}
⊢ MeasurableSet u
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : A ⟶ K.X j
hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0
⊢ (if hi : j = j then (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).hom ≫ φ ≫ 𝟙 (K.X j) else 0) = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W'.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Nonsingular Q
α : Type u_1
l : Filter α
f : ℝ → α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f (Real.exp x)) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atTop l
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
⊢ (∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cocone F)) ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F.op ⋙ yoneda.obj X))
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Group G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y : G
⊢ (f * MonoidAlgebra.single x r) y = f (y * x⁻¹) * r
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
AddCommMonoid W
Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
f : V →ₗ[k] W
⊢ ((ρV.linHom ρW) g) f = ρW g ∘ₗ f ∘ₗ ρV g⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x : List α
n : ℕ
hn : n < x.length
w✝ : List α
⊢ x[n] = (x ++ w✝)[n]
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Countable ↔ #↑s < Cardinal.aleph 1
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
⊢ p = (p - 1) * q
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atBot ↔ 0 < r
G : Type u_1
AddMonoid G
n : ℕ
Fintype G
DecidableEq G
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ m ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ),
    (Finset.filter (fun x => addOrderOf x = m) Finset.univ).card =
  (Finset.filter (fun x => n • x = 0) Finset.univ).card
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
T3Space M
ContinuousAdd M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
g : κ → M
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 • g x.2
⊢ (∑' (x : ι), f x) • ∑' (y : κ), g y = ∑' (z : ι × κ), f z.1 • g z.2
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ (Set.range τ).Countable
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
a✝ : μ t < ⊤
this : ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ
hst_m : MeasurableSet (s ∩ t)
⊢ ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ f1 - g1 ≈ f2 - g2
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ a ∈ s, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε
M : Type u_1
X : Type u_2
VAdd M X
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
self : ContinuousVAdd M X
⊢ Continuous fun p => p.1 +ᵥ p.2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ p ∣ Q.coeff 0
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun N => 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑N + 1) ^ (s - 1)) - 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range N, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑N / (↑N + 1) ^ s)) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α → E
⊢ ∫ (z : β × α), f z.swap.1 ∂ν.prod μ = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
ι : Type u_1
X : Type u_5
TopologicalSpace X
M : Type u_6
AddCommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
x : X
⊢ ∃ s, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∑ᶠ (i : ι), f i y = ∑ i ∈ s, f i y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
⊢ IsClosed ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ⊔ b = b ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
⊢ 𝔠 ≤ #𝕜
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
⊢ l.next (l.get k) hx = l'.next (l.get k) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
SMul 𝕜 β
ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (c • f) μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.take 0 s = []
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
Subsingleton R
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α ⊕ γ
⊢ (Sum.map f g x).getRight? = Option.map g x.getRight?
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.ae (μ.restrict s)).NeBot ↔ μ s ≠ 0
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
x : c.pt
⊢ (↑(c.toPullbackObj x)).1 = c.fst x
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁
W : OpenSubgroup K
hW : ↑W ⊆ U₂
⊢ ∀ x ∈ ↑V, ∀ y ∈ ↑W, (x, y) ∈ U
n : ℕ
⊢ deriv^[n] Complex.exp = Complex.exp
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.φ (-n) = W.φ n
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).J = 𝒰.J
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x y : α
h : x < y
⊢ ∃ z ∈ s, z ∈ Set.Ioo x y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖(h.comp f) x‖ ≤ ‖h‖ * ‖f‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Ioo a b) ⊆ Icc a b
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → TopologicalSpace.Opens α
⊢ x ∈ iSup s ↔ ∃ i, x ∈ s i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x - g x) s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun x => circleMap z R x.2 - x.1) (closedBall z r ×ˢ univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
x✝ : IsUnit q
v : αˣ
hv : ↑v = q
⊢ ↑(v * u⁻¹) = p
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (PartialRefinement u s)
i : ι
ne : c.Nonempty
h : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier
⊢ h.choose ∈ c
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
h : s.Countable
this : Countable ↑s
⊢ Countable ↥((closure L).toFun s)
β : Type u_2
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
a : G
⊢ ∑' (x : β), a = Nat.card β • a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
t : IsSeparatedFor P R
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSheafFor P R
x : ℝ
⊢ Real.sin (-x) = -Real.sin x
α : Type u_2
GroupWithZero α
a : α
s : Set α
⊢ (a • s)⁻¹ = MulOpposite.op a⁻¹ • s⁻¹
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
s : σ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ X s ∣ φ ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s = 0 → (coeff R m) φ = 0
α : Type u
S : Set (Option α → ℕ)
⊢ Dioph S → Dioph {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S}
a b : Ordinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} a = Ordinal.lift.{u, v} b ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (M.map f ⋯).comap f = M
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ 0 ∈ N
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
h : (fun a => (((condDistrib id id μ) (id a)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(id ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)]
⊢ (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]
x : ℝ
⊢ ↑x < 0 ↔ x < 0
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ ¬0 < τ.im
m n a b c d : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] ↔ n ∣ b - a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ IsOpen (e.source ∩ s) ↔ IsOpen (e.target ∩ t)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)
⊢ (coeLinearMap fun i => weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = ∑ᶠ (m : M), ↑(x m)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this✝ : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f
hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q
j : pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ⟶ kernel S.g := pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
pe : Epi j
this : IsIso j
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c
⊢ a < b + c
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
π₂ : TaggedPrepartition I := π.filter fun J => ¬p J
this : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
φ : R[X] →ₐ[R] A
p : R[X]
⊢ φ p = eval₂ (algebraMap R A) (φ X) p