ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
N : s.Normal
g : α
⊢ g +ᵥ ↑s = AddOpposite.op g +ᵥ ↑s
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc (n - 1) ((PowerSeries.derivative R) f) = Polynomial.derivative (PowerSeries.trunc n f)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ ((α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actRight ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂
⊢ ∀ (x x_1 : ℝ),
  Real.inf x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_2 => x ⊓ x_2) ⋯ x y }
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last (n + 1)
hb : b ≠ last n
hk : optParam (a.succAbove b ≠ last (n + 1)) ⋯
⊢ (a.castPred ha).succAbove (b.castPred hb) = (a.succAbove b).castPred hk
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s : V
t w : V
hw : w ≠ t
⊢ (G.replaceVertex s t).Adj s w ↔ G.Adj s w
a b c : Int
h : b < a
hc : c < 0
⊢ c * a < c * b
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
S : ι → Set X
hc : s.Countable
hcomp : ∀ i ∈ s, IsSigmaCompact (S i)
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i ∈ s, S i)
G : Type u_3
AddSemigroup G
a b c : G
h : AddSemiconjBy a b c
⊢ Function.Semiconj (fun x => a + x) (fun x => b + x) fun x => c + x
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
C : ℝ≥0
h : ‖f‖₊ ≤ C
⊢ ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
CompleteSpace E
f : PartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
hf : ContDiffAt 𝕜 n (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (↑f.symm) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (Opposite.op (X i))
hx : CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible P π x
i : I
⊢ hx.familyOfElements (π i) ⋯ = x i
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
r : ℝ≥0
⊢ ↑r ≠ ⊤
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
n : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, ‖f b‖ ≤ n b
⊢ ‖∑ b ∈ s, f b‖ ≤ ∑ b ∈ s, n b
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
⊢ s ⊆ {a}ᶜ ↔ a ∉ s
G : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup G
TopologicalSpace G
OrderTopology G
Archimedean G
S : AddSubgroup G
hbot : S ≠ ⊥
H : ¬∃ a, IsLeast {g | g ∈ S ∧ 0 < g} a
⊢ Dense ↑S
R : Type u1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : IsCentralScalar R M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ N
inst✝ : IsCentralScalar R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ (toTrivSqZeroExt.comp (map f)).toLinearMap ∘ₗ ι R = ((TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt).toLinearMap ∘ₗ ι R
S : ShortComplex Ab
⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
h₁ : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h₂ : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
⊢ SpectrumRestricts a f
M : Type u_2
Monoid M
g h : M
H : IsConj g h
Hh : h ∈ Set.center M
⊢ g = h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N
⊢ (↑↑s →₀ R) →ₗ[R] ↥N
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ⇑RCLike.reCLM = ⇑RCLike.re
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
h : ¬Summable f
⊢ ∑' (b : β), f b = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
t : Set A
ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val
hr : range Subtype.val ≤ t
⊢ range Subtype.val = t
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
Nonempty β
hb : Fintype.card β • b ≤ ∑ x : α, w x
⊢ ∃ y, b ≤ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ, w x
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.span R (Set.range v) ↔ ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a : R
H : -2 ≤ a
n : ℕ
⊢ 1 + ↑n * a ≤ (1 + a) ^ n
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
⊢ (∃ t₂ ∈ f, univ * t₂ ⊆ s) → s = univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P Q R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
X : C
⊢ J.diagramNatTrans (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.diagramNatTrans η X) (J.diagramNatTrans γ X)
α : Type u_2
AddGroup α
f g : Filter α
⊢ 0 ≤ f - g ↔ ¬Disjoint f g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.11479, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
F : { i // i ≤ j } ⥤ C
i : J
hi : i ≤ j
x✝² x✝¹ : { k // k < i }
k₁ : J
hk₁ : k₁ < i
k₂ : J
hk₂ : k₂ < i
x✝ : ⟨k₁, hk₁⟩ ⟶ ⟨k₂, hk₂⟩
⊢ (restrictionLT F hi).map x✝ ≫ (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₂, hk₂⟩ = (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₁, hk₁⟩ ≫ ((const { k // k < i }).obj (F.obj ⟨i, hi⟩)).map x✝
ι : Type u_5
F : Filter ι
F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
⊢ Filter.limsup (fun i => (xs i).toReal) F = (Filter.limsup xs F).toReal
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
⊢ -A *ᵥ -v = A *ᵥ v
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
StarRing R
x : R
⊢ starRingEquiv x = MulOpposite.op (star x)
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
⊢ ∃ g, ContinuousMap.restrict s g = f
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
n : ℤ
a : Aˣ
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R ↑a)) _auto✝
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f (x ^ n)) ↑a = cfc f ↑(a ^ n)
α : Type u_2
Add α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ + t ⊆ (s₁ + t) ∩ (s₂ + t)
α : Type u_1
β : Type u_2
𝓑 : Filter (β × β)
⊢ Filter.IsBasis (fun V => V ∈ 𝓑) (UniformFun.gen α β)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : Prop
Decidable P
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : P → (Y ⟶ Z)
g' : ¬P → (Y ⟶ Z)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (if h : P then g h else g' h) =
  if h : P then CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (g h) else CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (g' h)
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))
x : G
⊢ (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) x ∈ map ((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))).comp N.subtype) ↑P ↔ ↑n * g * x * (↑n * g)⁻¹ ∈ map (N.subtype.comp ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g)))) ↑P
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ p : P
⊢ midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p) + ⅟2 • (p₂ -ᵥ p)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
⊢ ↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x) = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
⊢ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n k : ℕ
a✝ : k ∈ q.support
⊢ q.coeff k • (-↑n) ^ k = ↑(q.coeff k • (-↑n) ^ k)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
S.HasRightHomology
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g x
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.rightHomologyι (S.descOpcycles k ⋯) = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (c Y) (Sieve.pullback f R) = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
α : Type u
DecidableEq α
w x y z : α
hwx : w ≠ x
hyz : y ≠ z
⊢ IsConj (Equiv.swap w x) (Equiv.swap y z)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ModularForm Γ k
⊢ ⇑f.toSlashInvariantForm = ⇑f
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
p' : G.Walk u v
hp' : p'.IsPath
h : Path.map f hinj ⟨p, hp⟩ = Path.map f hinj ⟨p', hp'⟩
⊢ ⟨p, hp⟩ = ⟨p', hp'⟩
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α G
a : α
ha : a ≠ 0
S : Subgroup G
x : G
⊢ x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f g : ι → α
⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ x, g x ⊔ f x ∆ g x ∧ ⨆ i, g i ≤ ⨆ x, f x ⊔ f x ∆ g x
α : Type u_3
MeasurableSpace α
self : MeasurableSpace.CountablySeparated α
⊢ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet Set.univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ ‖r‖⁻¹ ≤ 1
⊢ ∀ {a b : CategoryTheory.Cat} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g),
  CategoryTheory.WithTerminal.prelaxfunctor.map₂ η = CategoryTheory.WithTerminal.map₂ η
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
⊢ μ (limsup s atTop) = 0
P : PFunctor.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : ↑P α
a : P.A
f₀ f₁ : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f₀⟩
yeq : y = ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : P.B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).1) <$> ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun t => (↑t).2) <$> ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
⊢ (CategoryTheory.algebraEquivUnder X).functor = CategoryTheory.algebraToUnder X
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
⊢ (f ⍟ g) 0 = 0
α : Type u_1
c : Bool
a b : α
⊢ (bif c then a else b) = if c = true then a else b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s✝ t : Finset α
a✝ : α
m n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * (↑r / ↑t) ^ n
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
G : Type x
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
AddCommGroup G
Module 𝕜 G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
f : F →L[𝕜] G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ f.compFormalMultilinearSeries p n = f.compContinuousMultilinearMap (p n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
h : Periodic f c
hc : c ≠ 0
a : α
⊢ f '' uIcc a (a + c) = range f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c x / d) (c' / d) s x
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ LSeries.term (f - g) s n = LSeries.term f s n - LSeries.term g s n
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
⊢ ⇑(D1 - D2) = ⇑D1 - ⇑D2
α : Type u_2
self : IndepMatroid α
I B : Set α
⊢ self.Indep I →
  I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | self.Indep I} →
    B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | self.Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, self.Indep (insert x I)
m n : ℕ
⊢ m ∈ n.smoothNumbers ↔ m ≠ 0 ∧ m.primeFactors ⊆ n.primesBelow
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ ofRat (x / y) = ofRat x / ofRat y
θ : ℝ
⊢ 2 • ↑(θ / 2) = ↑θ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c ⊥ f g
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
PseudoMetricSpace 𝕜
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero 𝕜
Zero β
SMul 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(c • f) = fun x => c • f x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
l : X.left ≅ Y.left
r : X.right ≅ Y.right
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.map l.hom) Y.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R₁.map r.hom) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Comma.isoMk l r h).inv.right = r.inv
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s
⊢ r a • f a = r a • f a
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
r : R
⊢ (Polynomial.expand R p) f = Polynomial.C r ↔ f = Polynomial.C r
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u v : U
e : u ⟶ v
⊢ φ.costar v (Quiver.Costar.mk e) = Quiver.Costar.mk (φ.map e)
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
h : Filter.liminf u f < b
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, u x < b
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
h : SemiconjBy a x y
f : F
⊢ SemiconjBy (f a) (f x) (f y)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
⊢ [IsGalois F E, IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥, Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = FiniteDimensional.finrank F E,
    ∃ p, p.Separable ∧ Polynomial.IsSplittingField F E p].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
U : ℕ → Set α
hAU : ∀ (n : ℕ), U n ⊇ A n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : ∀ (n : ℕ), μ (U n) < μ (A n) + δ n
⊢ μ (⋃ n, U n) < r
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁷ : DecidableEq n✝
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
R : Type v
inst✝³ : CommRing R
n : Type u_3
inst✝² : Unique n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
⊢ A.det = A default default
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
v' : Valuation R Γ₀
f : Γ₀ →*₀ Γ'₀
hf : Monotone ⇑f
inf : Injective ⇑f
h : v.IsEquiv v'
H : StrictMono ⇑f := Monotone.strictMono_of_injective hf inf
r s : R
⊢ v' r ≤ v' s ↔ f (v' r) ≤ f (v' s)