ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
h₁ : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
h₂ : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
v : Set γ
hv : v ∈ 𝓝 (f x)
⊢ v ∈ map f (𝓝[s] x)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l
ha : ⊥ < o
hslt : ((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o
he : eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) '' {m | m < l})
⊢ eval (π C fun x => ord I x < o) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o) '' {m | m < l})
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
c : β
hc : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, c) q
q : ℚ
⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun r => f (a, c) ↑r)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ Codisjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Codisjoint s₁ s₂ ∨ Codisjoint t₁ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
⊢ p.toOuterMeasure (s ∩ p.support) = p.toOuterMeasure s
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
⊢ x • 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
bdd : BddAbove (Set.range g) := by bddDefault
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty
hA₀ : 0 < ↑A.card
⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
α : Type u_1
ι : Type u_6
s : ι → Set α
⊢ (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
⊢ ∀ᵐ (y : γ) ∂Measure.map g ν, p y
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ✝ μ : Measure α
x✝¹ : Set α
x✝ : MeasurableSet x✝¹
h0 : μ x✝¹ ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ x✝¹, ∃ m, m ≠ 0 ∧ id^[m] x ∈ x✝¹
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
r : R
m : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(r, m).2 = (algebraMap R S) r
⊢ z = z * ((algebraMap R S) ↑(r, m).2 * ↑((toInvSubmonoid M S) m))
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K.IsRadical
⊢ (Ideal.comap f K).radical.IsRadical
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) (h₁ : f 1 = 1)
  (h₂ :
    ∀ (x_2 y : α),
      { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun (x_2 * y) =
        { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun x_2 * { toFun := ⇑f, map_one' := h₁ }.toFun y)
  (h₃ : (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0)
  (h₄ :
    ∀ (x_2 y : α),
      (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x_2 + y) =
        (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x_2 +
          (↑{ toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y),
  { toFun := ⇑f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ } = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
MulZeroOneClass Y
U V : Set X
Nontrivial Y
hU : IsClopen U
hV : IsClopen V
h : LocallyConstant.charFn Y hU = LocallyConstant.charFn Y hV
⊢ U = V
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
x : ℝ
⊢ Real.sinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ (GenContFract.of v).s.get? n = some { a := 1, b := ↑ifp_succ_n.b }
α : Type u_1
a : α
h₁ h₂ t₁ t₂ : List α
p₁ : h₁ ~ h₂
p₂ : t₁ ~ t₂
⊢ h₁ ++ a :: t₁ ~ h₂ ++ a :: t₂
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ μ.restrict (⋃ i, s i) = ν.restrict (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ ⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n) = (⇑((RingAut.toPerm R) (frobeniusEquiv R p)))^[n]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm
⊢ MapsTo (⇑iso.symm) s (⇑iso ⁻¹' s)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β → γ
h : UniformContinuous₂ f
⊢ UniformContinuous (Function.uncurry f)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iio b ∪ Set.Ici a = Set.univ
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
m : ℕ
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ MvPolynomial.restrictTotalDegree σ R m ↔ p.totalDegree ≤ m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
Finite ι
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
⊢ (swap x y).signAux = -1
F : Type u
Field F
j : F
DecidableEq F
h0 : j ≠ 0
h1728 : j ≠ 1728
⊢ EllipticCurve.ofJ j = EllipticCurve.ofJ' j
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
⊢ ∃ x ∈ s, l ≤ 𝓝 x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.45682, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.45686, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45690, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.45694, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.45698, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.45702, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
e : F ≅ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
⊢ ((e.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((e.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = 𝟙 (((F'.obj (X₁ i₁)).obj (X₂ i₂)).obj (X₃ i₃))
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.E = ∅ ↔ M = Matroid.emptyOn α
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
x✝¹ : Ideal S
x✝ : x✝¹ ≠ ⊤
s : S
r : R
hr : f r = s
⊢ 1 ∉ x✝¹
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.Integrable f μ
l : Filter α
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X✝ Y✝ X' : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ◁ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ≫ μ X' Y✝ = μ X' X✝ ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (X' ◁ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Option β → α
⊢ ⨅ o, f o = f none ⊓ ⨅ b, f (some b)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M ≃+ N
⊢ ↑(Finsupp.mapRange.addEquiv f) = Finsupp.mapRange.addMonoidHom f.toAddMonoidHom
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (GenContFract.IntFractPair.seq1 v).2.get? n = GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : IsOfFinOrder x
h : orderOf y ∣ orderOf x
⊢ IsOfFinOrder y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Set.range ⇑h = Set.univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
⊢ (Submodule.span ℂ (Set.range (fourierLp p))).topologicalClosure = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : α ↪ β
g : M → N
p : α →₀ M
hg : g 0 = 0
⊢ Finsupp.embDomain f (Finsupp.mapRange g hg p) = Finsupp.mapRange g hg (Finsupp.embDomain f p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.toQuotientPaths C).obj X).as = X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
⊢ ∀ i_1 ∈ {i, j}, Disjoint (f i_1) (({i, j}.erase i_1).sup f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor D C
F.Faithful
F.Additive
⊢ CategoryTheory.MonoidalPreadditive D
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m
⊢ (diagonal d).blockDiag k i j = diagonal (fun i => d (i, k)) i j
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
self : H.Connected
⊢ H.coe.Connected
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'
h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
h : lift.{w', w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s') = #↑s'
⊢ max ℵ₀ (lift.{max u v, w} #↑(s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s') + lift.{w, max u v} #((i : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions i)) ≤ lift.{max u v, w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s')
G : Type u_1
Group G
x y : G
DecidableEq G
hx : IsOfFinOrder x
⊢ y ∈ Subgroup.zpowers x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range (orderOf x))
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
v w s t : M
v_in : v ∈ V
w_in : w ∈ V
s_in : s ∈ V
t_in : t ∈ V
⊢ v * w * s * t ∈ u
α : Type u_3
SemilatticeSup α
Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in Filter.atTop, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≥ a, ∀ l ≥ a, p (k, l)
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
⊢ (∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i) ↔ i < a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing R
a : R
⊢ a * a - 1 = (a + 1) * (a - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
r : R
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
⊢ ↑(r • v) s = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x₁ x₂ : P.Elementsᵒᵖ
f : x₁ ⟶ x₂
⊢ yoneda.map (↑f.unop).unop ≫ yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₂).snd = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₁).snd
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J
⊢ map f I ≤ J
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a / 2 < a ↔ 0 < a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
p : 𝕜[X]
x : 𝕜
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Polynomial.eval x p)
  (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p))) s x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A T : C
hT : IsTerminal T
inst✝ : Mono (hT.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
⊢ f ≫ hT.from A = g ≫ hT.from A
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
φ ψ : R⟦X⟧
⊢ (φ * ψ).order = φ.order + ψ.order
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ edist (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf) 0 = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
o : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f : X ⟶ Y
⊢ f = 0
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
⊢ f = 0
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n = 0
⊢ p.content ∣ p.coeff n
α : Type u_2
Zero α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ s ⊆ 0 ↔ s = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n + 1])) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (FreeAlgebra.ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
⊢ C a
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ (∀ x ∈ s, LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x) ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
h : E → 𝕜
z : E
S : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 h S z
hz : h z ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) S z
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
ι' : Type u_1
e : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ (ContinuousMultilinearMap.domDomCongrEquiv e).symm f = ContinuousMultilinearMap.domDomCongr e.symm f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ DenseRange Subtype.val
a b : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Ico a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
u : ℕ → Set G
hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u
u_anti : Antitone u
this : ∀ (ib : ℕ), ∃ a b, True ∧ ∀ (a_1 b_1 : G), a_1 ∈ u a → b_1 ∈ u b → a_1 * b_1 ∈ u ib
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) (log (1 + z))
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J
⊢ J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →+* B
h : ∀ (r : R), (↑↑f).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
⊢ ⇑{ toRingHom := f, commutes' := h } = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Add β
f g : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) (f + g) = (UniformOnFun.toFun 𝔖) f + (UniformOnFun.toFun 𝔖) g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
hab : AddCommute a b
⊢ -(a + b) = -a + -b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty
⊢ IsPreconnected {y | s.WOppSide x y}
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ EuclideanGeometry.angle (v +ᵥ p₁) (v +ᵥ p₂) (v +ᵥ p₃) = EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
s t : Multiset α
⊢ Multiset.map f s ≤ Multiset.map f t ↔ s ≤ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
φ : A →+ B
CategoryTheory.HasShift C B
X : CategoryTheory.PullbackShift C φ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero (CategoryTheory.PullbackShift C φ) A).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).hom.app X)
    ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C B).hom.app X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ t.flip.snd = t.fst
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r
h₁ : u.r < u.bp + 1
⊢ u.r - 1 < u.bp
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
this : IsSplitEpi S.toCycles
⊢ Epi S.toCycles
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β✝
inst✝³ : CommMonoid β✝
α : Type u_6
inst✝² : CommMonoid α
β : Type u_7
inst✝¹ : Fintype β
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ s.toFinset → f x = 1
α : Type v
LinearOrder α
s : Set α
a : α
a_lub : IsLUB s a
a_mem : a ∈ s
⊢ ⋃ x ∈ s, Set.Iic x = Set.Iic a
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
inst✝⁶ : HasProduct f
D : Type t
inst✝⁵ : Category.{r, t} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F
inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)
x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y
⊢ ∀ (j : Discrete J), (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) j) ((piComparison F f) x) = (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) j) ((piComparison F f) y)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
x y : N
⊢ x = y
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsNilpotent (C r)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ‖PiTensorProduct.mapL f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g₁ g₂ : Fix F → α
h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ g₁ (mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩)) = g₂ (mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.FiniteType