ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖(addEquiv 𝕜 A) x‖ ≤ 2 * ‖x‖
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
⊢ (s \ ⋃ x, Set.Ioo ↑x.1 ↑x.2).Finite
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
φ : CostructuredArrow.mk (L.map f) ⟶ CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂)) := CostructuredArrow.homMk f ⋯
⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (L.map f))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) = F
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Finite ι'
⊢ (LinearMap.toMatrix b b') LinearMap.id = b'.toMatrix ⇑b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) p = f (MvPolynomial.constantCoeff p)
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
p : ι → Sort u_3
s : (i : ι) → p i → Set X
⊢ interior (⋂ i, ⋂ j, s i j) ⊆ ⋂ i, ⋂ j, interior (s i j)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup M
T : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
⊢ Subsemigroup.map f S ≤ T → S ≤ Subsemigroup.comap f T
K : Type u
Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
⊢ Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (Polynomial.X - Polynomial.C (ζ ^ i * α))
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule
⊢ L₁' = L₂'
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ f = g
α : Type u
p : α → Prop
f g : Filter α
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f ⊔ g, p x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∧ ∀ᶠ (x : α) in g, p x
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
h : p = ⊤
x : M
⊢ (LinearEquiv.ofTop p h).symm x = ⟨x, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
x : X
⊢ f = Function.const X (f x)
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
s : Set α
hs : IsOpen s
c : G
⊢ IsOpen (c • s)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r + s) j) - (↑(nthHom f r j) + ↑(nthHom f s j))) < ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g f
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm Subalgebra.opEquiv) S = S.unop
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG
⊢ I.FG
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
⊢ Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}.cof
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ ⇑(ContinuousMap.isometryEquivBoundedOfCompact α β) = BoundedContinuousFunction.mkOfCompact
R : Type u_1
Ring R
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂
⊢ e₁ = e₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ insert x t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ insert x t, U i
⊢ ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0
⊢ dual A K 1 * I⁻¹ ≤ dual A K I
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0
M : Type u_1
Add M
s : Set M
p : M → Prop
x : M
h : x ∈ AddSubsemigroup.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
⊢ p x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ∀ x_1 ∈ insert i (univ.erase i), (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M x_1) (x x_1)) = ?h.convert_3 x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ c • f =ᶠ[ae μ] c • f'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
inst✝ : AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f - g =ᶠ[l] 0
⊢ f =ᶠ[l] g
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
⊢ False
α : Type u_1
Bot α
a : α
⊢ ↑a = ⊥ ↔ a = ⊥
n : ℕ
⊢ range n.succ = n ::ₘ range n
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
l : Multiset α
d : l.Nodup
⊢ a ∈ l.erase b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ l
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ hT.eigenvalues hn i = RCLike.re (↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b ≤ c ↔ a ≤ b ⊔ c ∧ b ≤ a ⊔ c
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
SemilatticeSup β
u : β → α
hu : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (k : β) (l : β) in Filter.atTop, (u k, u l) ∈ V
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
W : Stonean
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
⊢ Stonean.pullback.lift f hi a b w ≫ Stonean.pullback.fst f hi = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
t : CategoryTheory.IsPushout h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
xy : A × A
⊢ xy.swap ∈ antidiagonal n ↔ xy ∈ antidiagonal n
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ IsUnit (A.det ^ (n + 1))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ Memℒp ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n)) p μ
R : Type u
CommRing R
M : Submonoid R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
Rₚ : Type u'
CommRing Rₚ
Algebra R Rₚ
IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type v'
CommRing Aₚ
Algebra R Aₚ
Algebra A Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type v'
CommRing Bₚ
Algebra R Bₚ
Algebra B Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
Algebra Rₚ Aₚ
Algebra Rₚ Bₚ
IsScalarTower R Rₚ Aₚ
IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(IsLocalization.mapₐ M Rₚ Aₚ Bₚ f)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
hv : v ≠ 0
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ SameRay R (r • v) v ↔ 0 < r
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0
this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype
h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f
⊢ ∏ g : G ⧸ stabilizer G x, (Polynomial.X - Polynomial.C (ofQuotientStabilizer G x g)) ∣ Polynomial.map (subfield G F).subtype f
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ x₁ y₁ : U
p₁ : Path u x₁
e₁ : x₁ ⟶ y₁
ih : ∀ ⦃a₂ : PathStar u⦄, (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) ⟨x₁, p₁⟩ = (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) a₂ → ⟨x₁, p₁⟩ = a₂
h : φ.obj y₁ = φ.obj u ∧ HEq ((φ.mapPath p₁).cons (φ.map e₁)) Path.nil
⊢ ⟨y₁, p₁.cons e₁⟩ = ⟨u, Path.nil⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
⊢ (LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E hv).toLinearMap = LinearMap.toSpanSingleton 𝕜 E v
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : a < 1
⊢ Injective fun x => a ^ x
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
self : OpenAddSubgroup G
⊢ IsOpen (↑self).carrier
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b x : α
hc : p * b = a * (p * x)
⊢ p ∣ a ∨ a ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f 0 = 𝟙 (K[X].X 0)
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
⊢ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' ≤ a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ cof 0 = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : f.embeddingPiTangent x = f.embeddingPiTangent y
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
C : β → Sort u_2
op : β → α → β
b : β
hb : C b
hl : (b : β) → C b → (a : α) → a ∈ [] → C (op b a)
⊢ [].foldlRecOn op b hb hl = hb
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A * A.adjugate = A.det • 1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ GaloisConnection SetLike.coe TopologicalSpace.Opens.interior
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ Set.image2 (fun x x_1 => x \ x_1) s t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s'.diffs t'
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : ∃ a ∈ f.roots.toFinset, (algebraMap K L) a = y
⊢ y ∈ ↑⊥
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
δ : Type u_2
UniformSpace β
Preorder γ
Preorder δ
u : γ → α
v : δ → β
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v
⊢ CauchySeq (Prod.map u v)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
⊢ ∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap ((fun t => ((Path.refl { down := 1 }) t, p' t)) t)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist 0 x = hammingNorm x
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s
⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
⊢ ?f ≫ f.arrow = (sInf s).arrow
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
h : a < b
⊢ a / b = 0
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio c = Set.Ioo a ↑c
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f
n : ℕ
⊢ LocallyLipschitz (f ^ (n + 1))
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Subsingleton M
a✝ : Nontrivial R
⊢ Finite R M
a : UnitAddCircle
⊢ ∀ (a_1 : ℝ), (HurwitzZeta.hurwitzOddFEPair a).f a_1 = (Complex.ofReal' ∘ HurwitzZeta.oddKernel a) a_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, Codisjoint (LinearMap.ker (f ^ b)) (LinearMap.range (f ^ b))
⊢ Surjective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
⊢ x = 0 ∧ y = 0
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹¹ : Monoid M
inst✝¹⁰ : Monoid N
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : DistribMulAction M α
inst✝⁷ : SMulCommClass M α α
inst✝⁶ : IsScalarTower M α α
inst✝⁵ : DistribMulAction N α
inst✝⁴ : SMulCommClass N α α
inst✝³ : IsScalarTower N α α
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : SMulCommClass R α α
inst✝ : IsScalarTower R α α
T S : CentroidHom α
a b : α
⊢ T (S (a * b)) = S (T (a * b))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
⊢ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
r₁ r₂ s : ℝ
h1 : (↑r₁).IsSt s
h2 : (↑r₂).IsSt s
⊢ r₁ = r₂
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ IsOpenMap ⇑e
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
⊢ Function.Injective SetLike.coe
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ {x | IsBot x}.Finite
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
this : [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ¬⊥ < ker φ, ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0].TFAE
aux₁ : ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0 ↔ φ m = 0 → m = 0
⊢ [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f g : Filter α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f ⊔ g, p x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in g, p x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ 1 ∈ H
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n z τ) (jacobiTheta₂ z τ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqr : ¬q + r = 0
⊢ -padicValRat p (q + r) ≤ -padicValRat p q
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
v : n → R
h : ∀ (w : n → R), Matrix.dotProduct v w = 0
⊢ v = 0
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = mk x y
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ supported M R s ⊓ supported M R t = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Multiset (Set E)
h : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 i
⊢ Convex 𝕜 s.sum
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
x : PLift α
x✝ : x ∈ s
hxf : x ∉ hf.toFinset
⊢ f x.down = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ s.chainHeight ≤ ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight
x : ℝ
⊢ Ioo ↑↑x ↑⊤ = Ioo ↑x ⊤
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊓ v).prod = n.gcd m
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
m n : ℕ
h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n
hmlen : m ≤ n
⊢ m = n
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝ : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
i : ι
j : α i
x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd
i' : ι
j' : α i'
⊢ (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩ = ((single i (single j x)) i') j'
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f = 0 ↔ f.LimZero
β : Type ub
V W : Set (β × β)
h : V ⊆ W
x : β
⊢ UniformSpace.ball x V ⊆ UniformSpace.ball x W
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ f.completion.comp NormedAddCommGroup.toCompl = NormedAddCommGroup.toCompl.comp f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
α : Type u
as bs : List α
⊢ as.reverseAux bs = as.reverseAux List.nil ++ bs
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ↑S.toNonUnitalSubalgebra = ↑S