ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : (s₁ ∩ s₂).Nonempty ∧ (t₁ ∩ t₂).Nonempty
⊢ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ Filter.generate s = Filter.generate (Set.sInter '' {t | t.Finite ∧ t ⊆ s})
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
⊢ y ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
y : E
hy : y ∈ s
hgauge : gauge s ((fun x => r • x) y) < 1
⊢ ∃ y_1 ∈ s, (fun x => r • x) y ∈ openSegment ℝ 0 y_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset (α × β)
⊢ s.sum.2 = (Multiset.map Prod.snd s).sum
z : ℍ
n : ℤ
⊢ ↑(ModularGroup.T ^ n • z) = ↑z + ↑n
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ l[List.indexOf a l]? = some a
a : Int
b c : Int
⊢ c ∣ b → a * b / c = a * (b / c)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b✝ : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
x : ForInStep β
b : β
⊢ j + 1 + i = as.size
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G n
h : ∀ (p q : ℤ) (hpq : p + n = q), z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ z₁ { p := p, q := q, hpq := hpq } = z₂ { p := p, q := q, hpq := hpq }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
ContinuousMapClass F α β
f : F
s : Set α
a : α
⊢ ContinuousWithinAt (⇑f) s a
m n : ℕ∞
h : m < n
⊢ m + 1 ≤ n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
this : filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t) = filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)
⊢ (filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card + (filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card = (s ×ˢ t).card
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option α}, o ≠ none ↔ ∃ x, o = some x
⊢ (-1) ^ (1 + 1) * (2 * π) ^ (2 * 1 + 1) / 2 / ↑(2 * 1 + 1)! * Polynomial.eval (1 / 4) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * 1 + 1))) = π ^ 3 / 32
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs : Fin k → M
⊢ ((relabelEquiv g) φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (v ∘ ⇑g) xs
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ p.natDegree ≤ n ↔ p.degree ≤ ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
⊢ ⟪p1 -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p2), ↑((orthogonalProjection s) p2) -ᵥ p2⟫_ℝ = 0
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K
⊢ minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x y : E
hx : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
hy : Algebra.IsSeparable ↥F⟮x⟯ ↥(↥F⟮x⟯)⟮y⟯
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥F⟮x⟯)⟮y⟯)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Supermartingale g ℱ μ
⊢ Supermartingale (f + g) ℱ μ
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ((LinearMap.toMatrix b b) f).trace
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ : M₁
m₂ : M₂
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (m₁, 0) (0, m₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ
this : ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ)
⊢ ∀ (a : X), ENNReal.ofReal (g a) ≤ 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.closedBall x (r i)
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n
hn : 2 < n
⊢ {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ n
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ j : κ, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j
α : Type u_1
s : Multiset α
DecidableEq α
t : Multiset α
⊢ s.Nodup → (s ∩ t).Nodup
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map (↑f) ((baseChange W A).toAffine.addPolynomial x y L)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.268023, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X : Cᵒᵖ
⊢ IsZero (Opposite.op ((shiftFunctor C (-1)).obj 0))
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on f)
n : ℕ
⊢ Function.Injective (HXor.hXor n)
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (Metric.closedBall x (2 * ε)) ≤ ↑C * μ (Metric.closedBall x ε)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k : ℕ
hlt : ∀ (hf : (setOf p).Finite), k + 1 < hf.toFinset.card
⊢ filter p (range (nth p (k + 1))) = insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x - x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
⊢ ¬a ∈ l → l.erase a = l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
⊢ x = y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f}
⊢ a.IsSemisimple
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
e : X ≃ₜ Y
f : PartialHomeomorph Y Z
f' : PartialHomeomorph Z Z'
⊢ (e.transPartialHomeomorph f).trans f' = e.transPartialHomeomorph (f.trans f')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔ HasFDerivAt f ((↑iso.symm).comp f') x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : α → β
s : Set α
h : AntitoneOn f s
hl : BddBelow (f '' s)
hu : BddAbove (f '' s)
⊢ ∃ g, Antitone g ∧ Set.EqOn f g s
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p → Polynomial.eval x (eval₂ f g q) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) q → Polynomial.eval x (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (p + q)
α : Type u_1
a : α
Lattice α
BoundedOrder α
x y : ↑(Set.Iic a)
⊢ IsCompl x y ↔ Disjoint ↑x ↑y ∧ ↑x ⊔ ↑y = a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z
⊢ 𝟙 X ≫ f = f ≫ 𝟙 Z
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ a ∈ s, ↑(f a).toNNReal
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ⊆ t i
⊢ Set.iUnion s ⊆ Set.iUnion t
α : Type u_2
TopologicalSpace α
x : α
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b c : α
hab : Disjoint a b
hbc : Codisjoint b c
⊢ a ⊓ (b ⊔ c) ≤ (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.FinallySmall J
⊢ ∃ s, ∃ (_ : Small.{w, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
SemilatticeSup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β
⊢ (f.comp g).withTop = f.withTop.comp g.withTop
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable f s'
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁
⊢ (B.counitIso.inv.app (R.obj (T.functor.obj X)) ≫ B.functor.map (B.inverse.map (R.map (T.counitIso.inv.app (T.functor.obj X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X)))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.inv.app X))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.hom.app X)) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
⊢ IsLprojection X (1 - P)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ inverse (star a) = star (inverse a)
x : ℤ[i]
⊢ Zsqrtd.norm x = 0 ↔ x = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
hm : m ≤ n
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ⇑h) s x✝ ↔ h.toEquiv x✝ ∈ ⇑h.symm ⁻¹' s → ContMDiffWithinAt J I' m f (⇑h.symm ⁻¹' s) (h.toEquiv x✝)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
c : ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ (c • μ).testAgainstNN f = c • μ.testAgainstNN f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R'), ∑ i ∈ s, g i • (⇑j ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a < 0
h : b < 1
⊢ a < a * b
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae μ ⊓ 𝓟 sᶜ] g
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
hx0 : x < 0
⊢ ∀ (n : ℕ), 2 ≤ n → (if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i) → if Even (n + 1) then ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e
⊢ ∃! e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e
R : Type u_1
Nontrivial R
Ring R
Algebra ℚ R
⊢ CharZero R
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative (f * g))
⊢ IsCoprime f g
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
r : R
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A (r • B) = r • Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A B
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (n + 1 + 1), x = (n + 1)!
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, f i = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
R : Type u_2
CommSemiring R
x y : R
⊢ Ideal.span {x} ⊔ Ideal.span {y} = ⊤ ↔ IsCoprime x y
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
θ : ℂ
n : ℤ
⊢ eval (cos θ) (T ℂ n) = cos (↑n * θ)
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Add M
Add N
Add P
g : AddHom N P
f : AddHom M N
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a b : α
⊢ b * a ≤ b → b * a∗ ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f (⋃ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), Set.MapsTo f (s i) t
x : SetTheory.PGame
⊢ -x + x ≈ 0
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V
⊢ v.rep ≠ 0
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
⊢ tsupport ↑f ⊆ (chartAt H c).source
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.inr R M M₂ = LinearMap.prod 0 LinearMap.id
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≠ I
this : Tendsto (fun x => -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) x) atTop (𝓝 (-γ))
n : ℕ
⊢ -(↑(harmonic (n + 1)) - log ↑(n + 1)) = -↑(harmonic (n + 1)) + log (↑n + 1)
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ Rat.normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = Rat.normalize n d d0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hN' : ¬N < Nat.find ⋯
⊢ upperCrossingTime a b f N N ω = N
n : ℤ
⊢ ↑n.toNat + ↑(-n).toNat = ‖n‖₊
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizer f
⊢ (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.trident f).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero =
  CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ {x | x ∈ t ∧ x ∈ s} = s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W : C
⊢ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ (extensiveCoverage C).covering X, IsSheafFor (yoneda.obj W) R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Ioi t) volume
⊢ s.re < -1
V : Type u
⊢ ⊥.edgeSet = ∅
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ Inducing
  ⇑(CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g))
n : ℕ
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : Function.FromTypes p τ
⊢ Function.FromTypes.curry f.uncurry = f
b : ℕ
hb : b > 0
a : ℕ
ha : a + 1 + 1 ≠ 0
h : (a + 1 + 1).primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList
⊢ a + 1 + 1 ∣ b
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
hy : y ∈ Icc (-1) 1
⊢ x ≤ arcsin y ↔ sin x ≤ y
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
⊢ (FirstOrder.Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).Constants = c
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ (filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ (G.cliqueFinset 3).card
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
Group G₁
Group G₂
Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : { g // f.ker ≤ g.ker }
x : G₁
⊢ ((f.liftOfRightInverse f_inv hf) g) (f x) = ↑g x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (f n) (f (Order.succ n)))
α : Type u
l : List α
a : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup
⊢ (l.concat a).Nodup
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
⊢ PathConnectedSpace E
⊢ FinBoolAlg.dualEquiv.functor = FinBoolAlg.dual
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ m) x) (f x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
x : X
hx1 : ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = (c • ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) x
hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x
hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x
hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ⊥ ≠ Interval.pure a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p : ℤ
hpq : p + 0 = p
⊢ F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p p hpq = F.d p' p ≫ ψ p
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
⊢ ∀ i ≤ d.blocks.length, (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum