ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
⊢ f.roots.Nodup ↔ f.Separable
n m : Nat
⊢ n ≤ m → n < m.succ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
J : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveYonedaObj J)
⊢ (preadditiveYonedaObj J).PreservesEpimorphisms
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l
⊢ l.next (l.prev (l.nthLe n hn) hx) ⋯ = l.nthLe n hn
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : λ ∣ -x - 1
⊢ x ^ 3 + 1 = -((-x) ^ 3 - 1)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R
⊢ ∀ f ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) s, f.Monic
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ s.ncard = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
⊢ CategoryTheory.ULiftHom.up.obj A = CategoryTheory.ULiftHom.objUp A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Invertible 2
x y : E
⊢ x ∈ [x - y-[𝕜]x + y]
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : p = 0
⊢ Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
⊢ Metric.thickening ε (Metric.cthickening δ s) ⊆ Metric.thickening (ε + δ) s
n : Type u_1
Fintype n
R : Type u_2
CommRing R
DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ ↑(P.toLinearEquiv' h).symm = Matrix.toLin' ⅟P
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
⊢ f.mapMatrix M.adjugate = (f.mapMatrix M).adjugate
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id sq).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
⊢ MeasurableSet {x | Integrable (f x) (κ x)}
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
MeasurableSpace G
R1Space G
BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ μ.measure ↑K = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : D
f : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.Map.Arrows φ hφ S c d f ↔
  ∃ a b g,
    ∃ (ha : φ.obj a = c) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b),
      f =
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.map g) (CategoryTheory.eqToHom hb))
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
⊢ (a + b) * succ c = a * succ c + b
α : Type u_1
m m' : MeasurableSpace α
hsep : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
h : m ≤ m'
⊢ MeasurableSpace.SeparatesPoints α
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j => 1 - Besicovitch.goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
⊢ n ≤ Besicovitch.multiplicity E
α : Type u_1
MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
hnonempty : C.Nonempty
CompleteSpace α
⊢ ∃ f, Set.range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 1 ∂ν a))
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s : Finset α
⊢ G.edgeDensity s ∅ = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a✝ p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ a • P ≠ 0
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : OneHom M N
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
σ : Type u_3
PartialOrder α
f : σ → α
pt : σ
inf : σ → σ → σ
h₁ : ∀ (a b : σ), f (inf a b) ≤ f a
h₂ : ∀ (a b : σ), f (inf a b) ≤ f b
a : σ
⊢ { f := f, pt := pt, inf := inf, inf_le_left := h₁, inf_le_right := h₂ }.f a = f a
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s = ⋃ i ∈ s, {i}
R : Type u
ι : Type y
CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → R[X]
hs : ∀ i ∈ s, (f i).Monic
⊢ (∏ i ∈ s, f i).Monic
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
acc✝ : Array (List α)
a✝ : List α
⊢ (foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: a✝)) acc✝ l).data = acc✝.data ++ map (fun a => a :: a✝) l
a b c d : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a + c ≤ b + d
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
⊢ eval₂ g x (s • p) = g s * eval₂ g x p
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
c : α
f : β → α
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => dist c (f x)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l (Bornology.cobounded α)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
h : IsHausdorff ⊤ M
⊢ Subsingleton M
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ frontier (ball x r) = sphere x r
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < (-y).orderTop
⊢ (x + -y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 ⋯) f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f + (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball y r = EMetric.ball (x, y) r
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
x : B
⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((Algebra.intTrace A B) x) =
  (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Set α
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (a : α) (_ : a ∈ s), f a = ∑ᶠ (a : α), s.indicator f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor D C
Quiver.IsThin C
hC : CategoryTheory.Skeletal C
hF : F₁ ≅ F₂
⊢ F₁ = F₂
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x
⊢ proj ∘ f ⁻¹' e.baseSet ∈ 𝓝 x
R : Type w
CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
⊢ Submodule.torsionBy R (R ⧸ Submodule.span R {a * b}) a =
  Submodule.span R {(Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {a * b})) b}
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ ⊗ₘ κ) s = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
CategoryTheory.Preadditive A
P Q : CategoryTheory.Sheaf J A
f g : P ⟶ Q
U : Cᵒᵖ
⊢ (f + g).val.app U = f.val.app U + g.val.app U
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun i => ↑(f i)
⊢ tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆).natDegree ≤ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
⊢ False
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Function.Injective fun f => F.map f.hom a
G : Type u_1
Group G
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (n % Nat.card G) = a ^ n
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x ε : ℝ
hx : 0 ≤ x
hε : 0 < ε
h : 0 < x
⊢ ε * log x ≤ x ^ ε
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
⊢ UpperSet.Ioi ⊤ = ⊤
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Turing.Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
⊢ Turing.Reaches f b c
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Icc a₂ b₂
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq✝ : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
hsq : EqOn ((f / g) ^ 2) 1 S
⊢ EqOn f g S ∨ EqOn f (-g) S
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ e.symm.symm = e
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b
⊢ a ^ c ≤ a ^< b
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
p : Z.TotalSpace
⊢ ↑(Z.localTrivAt p.proj) p = (p.proj, p.snd)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f g : ℂ → E
hdf : DiffContOnCl ℂ f (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)
hBf :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.im) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.im|))
hdg : DiffContOnCl ℂ g (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)
hBg :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      g =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.im) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.re ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.im|))
ha : ∀ (z : ℂ), z.re = a → f z = g z
hb : ∀ (z : ℂ), z.re = b → f z = g z
⊢ Set.EqOn f g (Complex.re ⁻¹' Set.Icc a b)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).tan * dist p₁ p₂ = dist p₃ p₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ
⊢ (r • s).rnDeriv μ =ᵐ[μ] r • s.rnDeriv μ
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card
⊢ ∃ C, n < C.card ∧ (C ⊆ X ∨ C ⊆ Y)
L : Type u_2
Field L
Γ₀ : Type u_3
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : Valued.v.RankOne
x y : L
⊢ Valued.norm (x + y) ≤ max (Valued.norm x) (Valued.norm y)
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
⊢ HEq (_root_.cast ⋯ p) p
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
p : Submodule K V
⊢ p ∈ b.toFlag ↔ ∃ k, b.flag k = p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
hsc : MeasureTheory.Measure.count s = 0
⊢ s = ∅
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
h : A * B = 1
⊢ Function.Injective fun x => B * x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
n : ℕ
⊢ mulLeft R a ^ n = mulLeft R (a ^ n)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β
this : Finite ↑s
⊢ {y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
⊢ ⇑(ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow R M).symm = fun x => ![x.1, x.2]
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop
⊢ P ![] ↔ P finZeroElim
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
x : (M₁ ⊗[R] M₂) ⊗[R] M₃
⊢ (Q₁.tensorAssoc Q₂ Q₃) x = (TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) x
α : Type u_1
M : Matroid α
B I X R J : Set α
⊢ (∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
x : X
⊢ (e.toHomeomorph he) x = e x
α : Type u_1
R : Type u_3
s t : Finset α
DecidableEq α
AddGroupWithOne R
h : s ⊆ t
⊢ ↑(t \ s).card = ↑t.card - ↑s.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(Y, Z)
hf : f.Nullhomotopic
g : C(X, Y)
⊢ (f.comp g).Nullhomotopic
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ ↑(a + 1) = ↑a + ↑1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
⊢ (fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
⊢ IsClosed (⋃ i, s i)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ frontier (Metric.closedBall x r) = Metric.sphere x r
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Step (FreeGroup.invRev L₁) (FreeGroup.invRev L₂)
⊢ Step L₁ L₂
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
hc : c ∉ LocalRing.maximalIdeal S
hr : f r ∉ LocalRing.maximalIdeal S
e : c * f r * x = c * f y
⊢ ∃ a, f a = x
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → F'
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] μ[g|m]
α : Type u_3
AddMonoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise AddCommute
y : α
h : ∀ x ∈ s, AddCommute y x
⊢ AddCommute y (s.noncommSum comm)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
⊢ sᶜ ∈ f
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
a : α
⊢ a ∈ MulAction.fixedPoints M α ↔ ∀ (m : M), m • a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u
a : α
s : Set α
Fintype ↑s
h : a ∉ s
⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
init : β
arr : Array α
⊢ Array.foldl f init arr 0 = List.foldl f init arr.data
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
B : Type u_2
Ring B
Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
Algebra.IsAlgebraic R A
⊢ Algebra.IsAlgebraic R B
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
⊢ x ∈ ⋂ i, ⋂ j, s i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), x ∈ s i j
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
Zero ι
CommSemiring S
Semiring R
Algebra S R
A : ι → Submodule S R
SetLike.GradedOne A
s : S
⊢ (algebraMap S R) s ∈ A 0
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Kˣ
⊢ ↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1 * ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict R⁰) ⋯) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2)⁻¹
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x
ι✝ : Sort u_1
f✝ g : ι✝ → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h0 : x ≠ 0
h : x ≠ ⊤
⊢ x * iInf f = ⨅ i, x * f i
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M
⊢ RelMap leSymb ![a, b] ↔ a ≤ b
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht : ∃ a b c, (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a b ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a c ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj b c ∧ t = {a, b, c}
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → β
b : β
hd : α
tl : List α
ih : (∀ (a : α), a ∈ tl → ∀ (b : β), f a b = g a b) → foldr f b tl = foldr g b tl
H : (∀ (b : β), f hd b = g hd b) ∧ ∀ (x : α), x ∈ tl → ∀ (b : β), f x b = g x b
⊢ foldr f b (hd :: tl) = foldr g b (hd :: tl)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
MeasurableSpace β
g : MeasureTheory.SimpleFunc β ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ g.lintegral (MeasureTheory.Measure.map f μ) = (g.comp f hf).lintegral μ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
⊢ Pi.single j x i * v i = Pi.single j (x * v j) i
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs : f '' s ∈ 𝓝 (f a)
⊢ ContinuousAt f a
α : Type u
UniformSpace α
x y : α
h : Inseparable x y
⊢ 𝓝 (x, y) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ a ∈ s
A : Type u_1
CommRing A
K : Type u_2
Field K
Algebra A K
R : Type u_3
CommRing R
Algebra A R
Algebra K R
IsScalarTower A K R
x : R
h : IsSeparable A x
⊢ IsSeparable K x
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.reverse.inits = (List.map List.reverse l.tails).reverse
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx' : nilpotencyClass x = 0
hx : x ^ nilpotencyClass x = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.OuterMeasure α →ₗ[ENNReal] MeasureTheory.OuterMeasure β
hf : ∀ (μ : MeasureTheory.Measure α), inst✝ ≤ (f μ.toOuterMeasure).caratheodory
s : Set β
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s ((MeasureTheory.Measure.liftLinear f hf) μ)
⊢ ((MeasureTheory.Measure.liftLinear f hf) μ) s = (f μ.toOuterMeasure) s
ι : Type w
s : Finset ι
S : Type u_1
Semiring S
n : ℕ
f : ι → S[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).natDegree ≤ n
⊢ (∑ i ∈ s, f i).natDegree ≤ n
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
a : αᵒᵖ
⊢ unop a ∈ s.unop ↔ a ∈ s
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
hind : CompleteLattice.Independent H
⊢ Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod hcomm)
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a : α
⊢ Disjoint ⊤ a ↔ a = ⊥
X Y : Type u
AddMonoid X
AddMonoid Y
f : X →+ Y
x : X
⊢ (AddMonCat.ofHom f) x = f x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) μ