ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
⊢ ∃ c, b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c ∧ ¬a ∣ c
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
Algebra S B
IsScalarTower R A B
IsScalarTower R S B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B))
      (KaehlerDifferential.kerTotal R A) ⊔
    Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) =
  Submodule.restrictScalars A (KaehlerDifferential.kerTotal S B)
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ (of A (ai + bi)) (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) = (of A (bi + ai)) (GradedMonoid.GMul.mul bx ax)
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
Rₘ✝ : Type u_4
Sₘ✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing Rₘ✝
inst✝¹² : CommRing Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R✝ Rₘ✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization M✝ Rₘ✝
inst✝⁹ : Algebra S✝ Sₘ✝
inst✝⁸ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S✝ M✝) Sₘ✝
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hf : eval₂ f x p = 0
M : Submonoid R
hM : p.leadingCoeff ∈ M
Rₘ : Type u_8
Sₘ : Type u_9
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) Sₘ
triv : ¬1 = 0
⊢ (IsLocalization.map Sₘ f ⋯).IsIntegralElem ((algebraMap S Sₘ) x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
G.PreservesEpimorphisms
(F ⋙ G).ReflectsEpimorphisms
⊢ F.ReflectsEpimorphisms
R : Type u
α : Type u_1
SMul α R
x : R
n : α
⊢ Tropical.trop (n • x) = Tropical.trop x ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
u : (i : ι) → M i
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => (c y) u) s
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)
key : Tendsto (diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))
⊢ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ)) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
toFun : A₁ → A₂
invFun : A₂ → A₁
left_inv : Function.LeftInverse invFun toFun
right_inv : Function.RightInverse invFun toFun
map_mul :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun (x * y) =
      { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun x *
        { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun y
map_add :
  ∀ (x y : A₁),
    { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun (x + y) =
      { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun x +
        { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun y
commutes :
  ∀ (r : R),
    { toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv }.toFun ((algebraMap R A₁) r) =
      (algebraMap R A₂) r
⊢ ⇑{ toFun := toFun, invFun := invFun, left_inv := left_inv, right_inv := right_inv, map_mul' := map_mul,
      map_add' := map_add, commutes' := commutes } =
  toFun
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
f' : ℕ → α → ℝ := fun i a => -f i a
F' : α → ℝ := fun a => -F a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ 𝓟 s → Cauchy ↑f
⊢ ∀ (f : Filter α), f.NeBot → f ≤ 𝓟 s → ∃ c ≤ f, Cauchy c
w : Nat
x : BitVec w
v : Nat
hmsb : x.msb = true
⊢ BitVec.signExtend v x = ~~~BitVec.zeroExtend v (~~~x)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ IsPrimePow (n ^ k) ↔ IsPrimePow n
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a - b ∈ Set.Ico c d ↔ b ∈ Set.Ioc (a - d) (a - c)
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β) ≤ #(α →₀ β)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).sup f = t.sup fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Mul α
Add β
LE β
FunLike F α β
self : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a * b) ≤ f a + f b
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ : α
w : G.Walk b₁ b₂
⊢ (SimpleGraph.Walk.boxProdRight G a w).ofBoxProdRight = w
x y : EReal
⊢ (∀ (z : ℝ), x < ↑z → y ≤ ↑z) → y ≤ x
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
F : Type u_3
N : Type u_4
AddCommMonoid N
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
g' : F
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
⊢ g' (birkhoffSum f g n x) = birkhoffSum f (⇑g' ∘ g) n x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
x : α
⊢ ↑(↑(φ + (ψ - φ)) x) ≤ max ↑(↑φ x) ↑(↑ψ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : Multiset α
⊢ (Multiset.map f m).sym2 = Multiset.map (Sym2.map f) m.sym2
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
g : D ⟶ E
n : ι
⊢ (nullHomotopicMap' hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
⊢ (span R s).toAddSubmonoid = closure (univ • s)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax F F').mapComp f g = F'.mapCompIso f g
F : Type u_3
K : Type u_4
CommRing F
NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : Polynomial F
h1 : p.Monic
h2 : Polynomial.Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (Polynomial.map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
⊢ ‖(Polynomial.map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s) = v.intValuation ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι s ≫ f = 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
v : M
x fx : CliffordAlgebra Q
⊢ ((CliffordAlgebra.contractLeftAux Q d) v)
    ((CliffordAlgebra.ι Q) v * x, ((CliffordAlgebra.contractLeftAux Q d) v) (x, fx)) =
  Q v • fx
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
Hne : s.Nonempty
⊢ IsLUB (f '' s) (⨆ i, f ↑i)
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
⊢ s.indicator (fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * g i
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
hf : HasSum f a₁
hg : HasSum g a₂
⊢ a₁ ≤ a₂
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Martingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (f + g) ℱ μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ CategoryTheory.IsFiltered C
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
hx : x ∈ Set.Icc (q₁ i) (q₂ i)
⊢ i.insertNth x ⁻¹' Set.Icc q₁ q₂ = Set.Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
⊢ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}.WellFoundedOn DevosMulRel
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C✝ : ℝ
s : Set E
x✝ y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
x : E
x_in : x ∈ s
y : E
y_in : y ∈ s
⊢ ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
ι : Sort u_1
f : R →+* S
s : ι → Subring S
⊢ Subring.comap f (iInf s) = ⨅ i, Subring.comap f (s i)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ y = φ.symm (φ y)
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a = b / c ↔ c * a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') γ = γ.leftShift a n' hn'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] E
⊢ IsSelfAdjoint A ↔ ContinuousLinearMap.adjoint A = A
α : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ List.count i m
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ ∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) = ∑ j ∈ range (Fintype.card σ + 1), Polynomial.C (esymm σ R j) * Polynomial.X ^ (Fintype.card σ - j)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F β → IsIntegral F (α * β)
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n
h : i ∈ Fin.find p
j : Fin n
hj : p j
⊢ i ≤ j
R : Type u
Ring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
⊢ (Subring.mk' s sm sa hm ha).toSubmonoid = sm
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s₁ s₂ s₃ : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s₂ μ
h32 : s₃ ⊆ s₂
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s₃ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
s' : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ (Finset.filterMap f s' f_inj).val = Multiset.filterMap f s'.val
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, NullMeasurableSet t μ
⊢ NullMeasurableSet (⋃₀ s) μ
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b 1 = 0
x : ℂ
h : cos x = 0
this : ¬DifferentiableAt ℂ tan x
⊢ deriv tan x = 1 / cos x ^ 2
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s
⊢ s = k • ∑ a ∈ s.toFinset, (count a s / k) • {a}
p : Polynomial ℤ
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
⊢ IsNoetherian A C
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
⊢ IsBounded (s ×ˢ s) ↔ IsBounded s
a b : ℕ+
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => -f x) l a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app ⟨4, ⋯⟩ = app₄
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ (succ ℵ₀).IsRegular
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
p : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L
⊢ ⇑f '' p.rootSet K = p.rootSet L
x : ℝ
⊢ ContinuousAt Real.arcsin x
ι : Sort u_1
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ
⊢ r * ⨆ i, f i = ⨅ i, r * f i
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Sub (f i)
s : Set I
(i : I) → Decidable (i ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : I) → f i
⊢ s.piecewise (f₁ - f₂) (g₁ - g₂) = s.piecewise f₁ g₁ - s.piecewise f₂ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
⊢ b ∈ f.fix a ↔ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
α : Type u_2
Preorder α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s / t).toProd.2 = s.toProd.2 / t.toProd.1
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
c x : G
⊢ (IsometryEquiv.addLeft c) x = c + x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f g : Monoid.Coprod M N →* P
h₁ : f.comp Monoid.Coprod.inl = g.comp Monoid.Coprod.inl
h₂ : f.comp Monoid.Coprod.inr = g.comp Monoid.Coprod.inr
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
⊢ Set.InjOn f s
a b : USize
⊢ a - b = { val := a.val - b.val }
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
hT : Dense ↑T.domain
CompleteSpace E
y : ↥T.adjointDomain
x₀ : E
hx₀ : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪x₀, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
⊢ (LinearPMap.adjointAux hT) y = x₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
L : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.expComparison F A)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.frobeniusMorphism F h A)
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
self : P →ᴬ[R] Q
⊢ Continuous self.toFun
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Finset α
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun i => ↑(f i)) ↔ s.PairwiseDisjoint f
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
M : Type u_5
M' : Type u_6
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H M
ChartedSpace H M'
self : Structomorph G M M'
c : PartialHomeomorph M H
c' : PartialHomeomorph M' H
⊢ c ∈ atlas H M → c' ∈ atlas H M' → c.symm ≫ₕ self.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ G
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
⊢ (map id S.toFinset.val).prod ∣ S.prod
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
w : p.natDegree < n
⊢ p = ∑ i ∈ Finset.range n, (Polynomial.monomial i) (p.coeff i)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
⊢ Set.range (Nat.nth p) = insert 0 (setOf p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
a : α
⊢ closure {a} = Ici a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist (e N) x < ε
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
⊢ Function.Injective Quiver.Hom.mop
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans G H
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ (η.vcomp θ).naturality f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (η.app b) (θ.app b)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f) (θ.app b))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) (θ.app b)).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (θ.naturality f))
          (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (H.map f)).inv)))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯
h : s.PartiallyWellOrderedOn fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ s.WellFoundedOn fun x x_1 => x < x_1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommRing 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra 𝕜 A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ∀ (a : A), (WeakDual.CharacterSpace.toAlgHom φ) a = (WeakDual.CharacterSpace.toNonUnitalAlgHom φ).toFun a
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
⊢ QuasiIso f ↔ ∀ (i : ι), QuasiIsoAt f i
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a b : F
⊢ quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (HurwitzZeta.evenKernel (↑a) t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
MulOneClass α
MulOneClass β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
⊢ ∀ (a : Finset α), (Finset.imageMonoidHom f) a = (Finset.imageMulHom f).toFun a