ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Field S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalRing S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
Algebra R S
Module R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
CompactSpace ↑(quasispectrum S a)
g : R → R
⊢ cfcₙ g a = cfcₙ (fun x => (algebraMap R S) (g (f x))) a
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ¬IsMax a ↔ ∃ b, a < b
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
f : Module.End K V
FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ p = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ⟪↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f), g⟫_𝕜 = ⟪f, ↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) g)⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 3 → β
⊢ ∏ i : Fin 3, f i = f 0 * f 1 * f 2
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ G.CliqueFree n ↔ IsEmpty (⊤ ↪g G)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : X.Opens
⊢ ∀ (x : 𝒰.J), (𝒰.restrict U).obj x = ↑((TopologicalSpace.Opens.map (𝒰.map x).val.base).obj U)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.contractibleTriangleIso X).hom.hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => (fourier (-n)) ↑y) (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x) x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
p' : Submodule R (M ⧸ p)
⊢ p ≤ Submodule.comap p.mkQ p'
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤
⊢ s.Subsingleton
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑q < ρ a / μ a
a : Set α
ha : ↑q < ρ a / μ a
⊢ ↑q * μ a ≤ ρ a
R : Type u
S : Type v
Semiring R
SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (r • p).coeff n = r • p.coeff n
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x))
n : ℕ
b : Multiset ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ b → 0 < i
hb₂ : b.sum = n
⊢ ∃ a, ofComposition n a = { parts := b, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Primrec₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)
⊢ Primrec₂ f
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s → a ::ₘ s.erase a = s
α : Type u_1
xs : LazyList α
⊢ xs.append (Thunk.pure LazyList.nil) = xs
b : Bool
n : ℕ
h : Nat.bit b n ≠ 0
⊢ (Nat.bit b n).size = n.size.succ
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
f : α → β
comm : {x | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (s ∪ t).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ≤ a ♯ b
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
z : N
⊢ g ↑(f.sec z).2 + (f.lift hg) z = g (f.sec z).1
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) 1).modMonomial s = 0
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ ↑s.toOpens = ↑s
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ whiskerLeftIso (F.map f) (F.mapId b) = (F.mapComp f (𝟙 b)).symm ≪≫ F.map₂Iso (ρ_ f) ≪≫ (ρ_ (F.map f)).symm
R : Type u
K : Type v
CommRing R
Field K
Algebra R K
NoZeroSMulDivisors R K
self : IsAlgClosure R K
⊢ IsAlgClosed K
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : Polynomial R
h : q ≠ 0
⊢ p ∣ q → p.roots ≤ q.roots
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
x : f.Dom v
hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S
⊢ ∃ (h : (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).2
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ IsChain r (⋃₀ cs)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ ∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Set.Ioi x) x
a x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ angle (cexp (↑x * I)) 1 = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) x|
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
p : ℕ
hc : CharP R p
⊢ Nat.Prime p ∨ p = 0
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x| * |g x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x| * |g x|) x) (c₂ * (fun x => |f x| * |g x|) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
i : ι'
hi : p i
h'i : s i = ∅
⊢ liminf f v = sSup univ
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
inst✝ : f.NeBot
⊢ map₂ (fun x y => y) f g = g
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).degree ≠ 0
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
hf0' : map i f = 0
⊢ ∃ x, eval₂ i x f = 0
μ : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDF μ 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
hκ : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κ i)
f : α → β → ℝ≥0∞
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum κ).withDensity f = ProbabilityTheory.Kernel.sum fun i => (κ i).withDensity f
α : Type u_2
Lattice α
self : IsUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ a → b ⋖ a ⊔ b
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f g : Π₀ (i : ι), α i
hfg : f ≤ g
⊢ f.support ⊆ g.support
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.dblY (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblY P)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty
⊢ ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
⊢ (fun a => f a ⊔ g a) ∈ measurableLE μ ν
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a
h : b.natAbs = 0
⊢ (a / b).natAbs = a.natAbs / b.natAbs
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
FunLike F α β
self : BiheytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a \ b) = f a \ f b
α : Type u_1
AddCommGroup α
a ta t : α
pra : a = ta
prt : -ta = t
⊢ -a = t
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (p.update n a).support = insert n p.support
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
σ : α → Equiv.Perm β
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.prodCongrLeft σ) = ∏ k : α, Equiv.Perm.sign (σ k)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
t : Finset β
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s → a +ᵥ t ⊆ s +ᵥ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
a : E
⊢ ↑(PartialHomeomorph.unitBallBall c r hr) a = r • a +ᵥ c
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
this : ν s ≠ ⊤
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
hf : f ⁻¹' {1} ⊆ s
νf : r < ν (f ⁻¹' {1})
⊢ r < μ' s
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
⊢ HahnSeries.leadingCoeff 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ≤ max x y
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
a b : Associates α
hlt : a < b
⊢ DvdNotUnit a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ ContinuousOn f s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
⊢ ∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ ∀ p ∈ ?w.w.V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ unop (op U✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ t + μ s
⊢ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊂ Finset.Icc a₂ b₂
R : Type u_1
CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)
⊢ IsCoprime (Polynomial.X - Polynomial.C a) (Polynomial.X - Polynomial.C b)
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
k : Set α
h : Function.mulSupport f ⊆ k
⊢ Set.range f = f '' k ∨ Set.range f = insert 1 (f '' k)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L L k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f ⊥ = ⊥
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
⊢ appLE f U V e ≫ (appIso f V).inv = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
h : ¬(IsChain r s ∧ ∃ x, SuperChain r s x)
⊢ s ⊆ SuccChain r s
α : Type u
Monoid α
n : ℕ
a : α
⊢ Additive.ofMul (a ^ n) = n • Additive.ofMul a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
α : Type
Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj (X a)) fun a => F.map (π a)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) = s ↔ IsLowerSet s
X : Type u_2
MeasurableSpace X
MeasurableSpace.SeparatesPoints X
⊢ Function.Injective fun x => MeasureTheory.diracProba x
M : Type u_1
AddZeroClass M
s t : AddSubsemigroup M
h_one : 0 ∈ s.carrier
h_one' : 0 ∈ t.carrier
⊢ { toAddSubsemigroup := s, zero_mem' := h_one } ≤ { toAddSubsemigroup := t, zero_mem' := h_one' } ↔ s ≤ t
R : Type u
S : Type v
ι : Type y
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
s : Finset ι
g : ι → R[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (∑ i ∈ s, g i) = ∑ i ∈ s, Polynomial.eval₂ f x (g i)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
AddZeroClass M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑finsuppAddEquivDFinsupp = Finsupp.toDFinsupp
x : ℤ[i]
⊢ 0 < norm x ↔ x ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ π * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
x : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo
⊢ I.multicospan.obj x =
  match x with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left a => I.left a
  | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b => I.right b
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
a : Int
⊢ a.sign * ↑a.natAbs = a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2047, u_1} D
W W' : MorphismProperty C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ W f = W' f
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) = 0 ↔ μ s = 0 ∧ μ t = 0
n i j : ℕ
hij : i ≠ j
h : n.testBit i = true
⊢ (n &&& 2 ^ i).testBit j = (true.toNat * 2 ^ i).testBit j
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn f (-g) s ↔ AntivaryOn f g s
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
f : M →ₗ[R'] N
x : tsze R' M
⊢ ((TrivSqZeroExt.map f) x).fst = x.fst
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
Nonempty n
M : Matrix n n R
⊢ M.trace = -M.charpoly.coeff (Fintype.card n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
SMul 𝕜 β
ContinuousSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x • c) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β × γ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x).2) s
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop 0 s = s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
rpos : 0 < r
f : E → E := fun y => x + (r * ‖y‖⁻¹) • y
A : ContinuousOn f {0}ᶜ
B : IsPathConnected {0}ᶜ
C : IsPathConnected (f '' {0}ᶜ)
⊢ IsPathConnected (sphere x r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C} (α : X_1 ⟶ Y_1) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).functor.map α).app X_2 =
    α.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map H.hom).obj (Opposite.unop X_2)))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (l ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
⊢ Tendsto (fun q => (f q.2, F (u q.1) q.2)) (atTop ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G
k n : ℕ
f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
C : ℝ
H : ∀ (m : Fin n → G), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
v : Fin k → G
⊢ ‖(f.restr s hk z) v‖ ≤ C * ((∏ i : Fin k, ‖v i‖) * ‖z‖ ^ (n - k))
E : Type u_4
Group E
DecidableEq E
x : E
⊢ 1 x = if x = 1 then 0 else 1
α : Type u_1
r : Rel α α
x y : RelSeries r
length_eq : x.length = y.length
toFun_eq : x.toFun = y.toFun ∘ Fin.cast ⋯
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α →ₘ[μ] β
p : (α →ₘ[μ] β) → Prop
H : ∀ (f : α → β) (hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ), p (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf)
⊢ p f
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ 𝓝[s ×ˢ t] (x, y) = 𝓝[s] x ×ˢ 𝓝[t] y
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddMonoidWithOne G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ f (OfNat.ofNat n) = f 0 + OfNat.ofNat n • b
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.b = φ P.a * -(x + y + z)
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ (fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocones.functoriality F G).obj A).ι.app j = G.map (A.ι.app j)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
hzx : ⟪z, x⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
η : Type u_6
Gs : η → Type u_7
inst✝ : (i : η) → Monoid (Gs i)
x : (i : η) → Gs i
h : IsOfFinOrder x
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : x ^ n = 1
⊢ ∀ (i : η), IsOfFinOrder (x i)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
P : s.IsKan
Q : t.IsKan
⊢ (P.uniqueUpToIso Q).inv.right = Q.desc s
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ -b ^ x ∈ Iio 0 ∧ logb b (-b ^ x) = x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
⊢ W.preΨ ↑n = W.preΨ' n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.lift (f.compr₂ g) = g ∘ₗ TensorProduct.lift f
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
ij : (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).J × (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).J
⊢ (AlgebraicGeometry.disjointGlueData f).V ij = if ij.1 = ij.2 then f ij.1 else ∅
n m : ℕ
⊢ n.dist m = m.dist n
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (fixedPoints f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
⊢ ↑n ≤ 1 ↔ n ≤ 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : Subgroup.closure S = ⊤
⊢ Subgroup.closure ((fun g => ⟨g * (↑(Subgroup.MemRightTransversals.toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (R * S)) = ⊤