ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Neg α
SemilatticeSup β
s : Finset α
hs : (-s).Nonempty
f : α → β
⊢ (-s).sup' hs f = s.sup' ⋯ fun x => f (-x)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x → (LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ↔ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x)
α : Type u_1
Semifield α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a + 1 / b = (a + b) / (a * b)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
Nontrivial R
⊢ W'.Nonsingular ![1, 1, 0]
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
V : Set Gᵐᵒᵖ
hV : V ∈ 𝓝 (op 1)
hV' : op '' K * V ⊆ op '' U
⊢ op ⁻¹' V * K ⊆ U
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : ℝ
ht : 0 ≤ t
x : E
⊢ ‖t • x‖ = t * ‖x‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X), closure (f '' s) ⊆ f '' closure s
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋃₀ s) μ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Nat.card ↥H * H.index = Nat.card G
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
h₁ : a'' ≠ a
b' : δ a''
h : a ≠ a''
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a'' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a'' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
⊢ HEq (cons (a'' ::ₘ m) a b (cons m a'' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a'' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⇑(AlgHom.id R A) = id
α : Type u_2
M : Type u_4
One M
SemilatticeSup M
f g : α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x ⊔ g x) ⊆ Function.mulSupport f ∪ Function.mulSupport g
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.powerset ⊼ s.powerset = s.powerset
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
r s : R
m : PolynomialModule R M
⊢ (Finsupp.sum m fun i c => r ^ i • s • c) = (RingHom.id R) s • { toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.IsSplitEpi f
hf' : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.section_ f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
l k : ℕ
⊢ LieSubmodule.lcs (l + k) N₁ ≤ N₂ ↔ LieSubmodule.lcs l N₁ ≤ LieSubmodule.ucs k N₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.LimitCone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.limitConeOfComp F t).cone = CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone.obj t.cone
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.remainder p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
α : Type u
n : ℕ
m' : Type uₘ
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m' → α
x : α
w : Fin n → α
⊢ Matrix.vecMulVec v (Matrix.vecCons x w) = Matrix.of fun i => v i • Matrix.vecCons x w
𝕜 : Type u
A : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
self : 𝓜(𝕜, A)
x y : A
⊢ self.toProd.2 x * y = x * self.toProd.1 y
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), P.map c.fst.op y = P.map c.snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
α : Type u_1
CommRing α
LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
⊢ Prime |p|
R : Type x
CommRing R
NoZeroDivisors R
a b : R
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 → a = b ∨ a = -b
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ Pell.yn a1 m ∣ Pell.yn a1 n ↔ m ∣ n
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s v
m e : Nat
⊢ (if true = true then normalize (↑m) (10 ^ e) ⋯ else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
d : M.Derivation φ
f : M ⟶ N
⊢ ∀ {X : Dᵒᵖ} (a : ↑(R.obj X)), (d.postcomp f).d a = (PresheafOfModules.Hom.app f X) (d.d a)
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ x
⊢ xᶜ ≤ y
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ Polynomial.eval x ((Lagrange.interpolate s v) r) =
  Polynomial.eval x (Lagrange.nodal s v) * ∑ i ∈ s, Lagrange.nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
⊢ N.Basis (f '' I) (f '' X ∩ N.E) → InjOn f I → I ⊆ X → I ⊆ f ⁻¹' N.E
n : ℕ
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
hf : RingHom.IsStandardSmoothOfRelativeDimension n f
⊢ f.IsStandardSmooth
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd
⊢ (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 β
s : Set β
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConvexOn 𝕜 s id
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.bind₁ id = MvPolynomial.join₁
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
⊢ (trunc n 0).coeff m = Polynomial.coeff 0 m
M : Type u_6
N : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
g : N →* M
h₁ : g.comp f = MonoidHom.id M
h₂ : f.comp g = MonoidHom.id N
⊢ ⇑(f.toMulEquiv g h₁ h₂).symm = ⇑g
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
SeparatingDual R V
T2Space R
⊢ T2Space V
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j
⊢ (TensorProduct.gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((DirectSum.lof R (ι × ι) (fun i => 𝒜 i.1 ⊗[R] ℬ i.2) (i, j)) (a ⊗ₜ[R] b)) =
  (-1) ^ (j * i) • (DirectSum.lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) (j, i)) (b ⊗ₜ[R] a)
X✝ X : LocallyRingedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (𝟙 X.toSheafedSpace) x)
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
⊢ ↑f' x = v x
α : Type u_1
LE α
⊢ ↑⊥ = Set.univ
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
(i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x y : E i
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨i, y⟩ = dist x y
α : Type u_1
f g : α → α
h : Function.Semiconj f g g
⊢ Function.Commute f g
V : Type u
r : V → V → Prop
v w : V
⊢ (SimpleGraph.fromRel r).Adj v w ↔ v ≠ w ∧ (r v w ∨ r w v)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ofReal |a| • Measure.map (fun x => x * a) volume = volume
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ ¬Order.IsPredLimit a ↔ ∃ b, a ⋖ b
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range n)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (S₁.descOpcycles φ.τ₂ ⋯)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
inst✝ : HasPullbacks C
K : Pretopology C
⊢ (∀ (E : A), Presieve.IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) (P ⋙ coyoneda.obj (op E))) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (generate R).arrows.cocone.op))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
P : R[X]
a : A
⊢ eval a (map (algebraMap R A) P) = (aeval a) P
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s : σ
h : ∀ (a : α) (b : β), (f a b s).1 = s
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s = (s, Mathlib.Vector.map₂ (fun x y => (f x y s).2) xs ys)
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : CompletelyDistribLattice.MinimalAxioms α
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ let x := minAx.toCompleteLattice;
⨅ i, ⨆ j, f i j = ⨆ g, ⨅ i, f i (g i)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β
⊢ (∀ ⦃t : Set β⦄, MeasurableSet t → MeasurableSet (g ⁻¹' t)) ↔ ∀ (x : Set β), MeasurableSet x → MeasurableSet (g ⁻¹' x) ∧ g ∘ f ⁻¹' x = g ⁻¹' x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ ∀ (x : N) (y : Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (rTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
A' : Type u_1
AddCommGroup A'
Module R A
Module R A'
f : A →ₗ[R] A'
⊢ Function.Surjective ⇑(CharacterModule.dual f) ↔ Function.Injective ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ X.δ i.castSucc = 𝟙 (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
⊢ Function.Injective LinearEquiv.toEquiv
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomologyπ A 0 ≫ (groupCohomology.isoH0 A).hom = (groupCohomology.isoZeroCocycles A).hom
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val
⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
b c : Ordinal.{u_1}
ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) (ω ^ c)
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) ((ω ^ c) ^ b)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ Int.log b r = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
One B
a : A
b : B
DecidableEq B
⊢ Function.mulSupport (Pi.mulSingle a b) = if b = 1 then ∅ else {a}
α : Type u_2
⊢ 𝓝 ⊥ = pure ⊥
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Set α
a : α
n : ℕ
hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)
ha : a ∈ s
⊢ G.CliqueFreeOn (s ∩ G.neighborSet a) n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a
⊢ p1a -ᵥ p2a + (v1 - v2) ∈ vectorSpan k s
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S T : Submodule R M
s t : M
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
⊢ s + t ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ s ∪ t =ᵐ[μ] s ↔ t ≤ᵐ[μ] s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ cthickening (min δ 0) E ⊆ cthickening δ E
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : Differentiable 𝕜 c
f : F
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => c y • f
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g✝ : α → β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
⊢ ∑ j ∈ t, (filter (fun i => g i = j) s).card = (filter (fun i => g i ∈ t) s).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Over X} (g : X_1 ⟶ Y), ((CategoryTheory.overToCoalgebra X).map g).f = g.left
x y : ℝ≥0
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
⊢ e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as}
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
a : α
⊢ ⨆ x, a ≤ a
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
⊢ num = (normalize num den nz).num * ↑(num.natAbs.gcd den) ∧ den = (normalize num den nz).den * num.natAbs.gcd den
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
x : E
s : Set E
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (↑L).comp (f x)) s x =
  (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout f.op g.op
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f.op g.op ≫ (CategoryTheory.Limits.pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op =
  (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g).op
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ~ l₂ ↔ a ∈ l₂ ∧ l₁ ~ l₂.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β
h : s ⊆ t
⊢ f.core s ⊆ f.core t
α : Type u_1
⊢ Set.diagonal α = Set.univ ↔ Subsingleton α
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
t : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ht : t ∈ unop (op V)
⊢ HomogeneousLocalization.val (↑(sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) ⟨t, ht⟩)) = HomogeneousLocalization.val (↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨t, ht⟩))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsPreirreducible (closure s) ↔ IsPreirreducible s
R : Type u
Ring R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Injective R M ↔ Module.Injective R (ULift.{v', v} M)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ fst i i = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g ≫ f
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy ⇑m = m
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M
⊢ b.repr m ∈ Finsupp.supported R R ↑(b.repr m).support ∧ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr m) = m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
⊢ I.toSigmaCoforkFunctor.obj K = K.toSigmaCofork
a b n : ℕ
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b
⊢ n < b
α : Type u_1
β : α → Type u_2
F : (a : α) → Equiv.Perm (β a)
⊢ (Equiv.Perm.sigmaCongrRightHom β) F = Equiv.Perm.sigmaCongrRight F
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁) = ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) 0
α : Type u_7
self : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ self.MeasurableSet' s → self.MeasurableSet' sᶜ
a b c : ENNReal
h : a < b / c
⊢ a * c < b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
α : Type u_12
e : M ≃+ N
f : α → M
g : α → N
⊢ f = ⇑e.symm ∘ g ↔ ⇑e ∘ f = g
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), {x} ∈ 𝓝 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : CategoryTheory.Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : CategoryTheory.Limits.KernelFork h
⊢ (CategoryTheory.Limits.isKernelCompMono i g hh).lift s =
  i.lift (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι (CategoryTheory.Limits.Fork.ι s) ⋯)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R : 𝒮
a : 𝒳
ha : p.obj a = R
⊢ p.IsHomLift (𝟙 R) (𝟙 a)
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n i : ℕ
h : i ≠ n
⊢ (erase n p).coeff i = p.coeff i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : T₁ ≅ T₂
⊢ T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
i₁ i₂ : ι
⊢ c'.Rel (e.f i₁) (e.f i₂) ↔ c.Rel i₁ i₂
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
⊢ x ≡ y [SMOD U] ↔ Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
hB : B ≤ 0
⊢ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B) = 0
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) = 𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
a : α × α
ha : Quot.mk (Rel α) a = x
⊢ (∃ a ∈ univ, Sym2.mk a = x) ∧ ¬x.IsDiag ↔ ¬x.IsDiag