ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor D H
β : F ⟶ L.comp G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L (F'.descOfIsLeftKanExtension α G β)) = β
R : Type u_1
PseudoMetricSpace R
Sub R
K : ℝ≥0
lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2
⊢ BoundedSub R
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse.trailingCoeff = f.leadingCoeff
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f₁ f₂ : MvPolynomial σ K
h : f₁.totalDegree + f₂.totalDegree < Fintype.card σ
F : Bool → MvPolynomial σ K := fun b => bif b then f₂ else f₁
this : ∑ b : Bool, (F b).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f₁ = 0 ∧ (eval x) f₂ = 0 }
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : L.IsCountablyGenerated
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
aux : ∀ (ω : Ω), E.indicator (fun x => 1) ω = ↑(E.indicator (fun x => 1) ω)
⊢ μ E = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(E.indicator (fun x => 1) ω) ∂μ
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Neg α
M : Matrix m n α
⊢ (-M)ᵀ = -Mᵀ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
f g : β → C
z : (b : β) → f b ≅ g b
j j' : β
w : j = j'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z j).hom (CategoryTheory.eqToHom ⋯) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (z j').hom
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι
⊢ ¬LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ ∃ f ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) f = 0 ∧ f ≠ 0
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ Odd (∑ i ∈ s, f i) ↔ Odd (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ choose 0 (n + 1) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
⊢ (f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})) = f.sum fun x n => n * Multiset.count a {x}
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ (M.updateColumn j (s • u)).det = s * (M.updateColumn j u).det
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
⊢ ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalSemiring α
StarRing α
v w : m → α
⊢ star v ⬝ᵥ w = star (star w ⬝ᵥ v)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
b : α
⊢ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b} = b
α : Type u_2
β : Type u_3
u : UniformSpace α
v : UniformSpace β
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = instTopologicalSpaceProd
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers A
CategoryTheory.Limits.HasImages A
CategoryTheory.StrongEpiCategory B
CategoryTheory.Limits.HasImages B
L : CategoryTheory.Functor A B
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) L
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.factorThruImage (L.map f))
    (CategoryTheory.PreservesImage.iso L f).hom =
  L.map (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k d : ℕ+
ζ : Mˣ
h : ζ ∈ rootsOfUnity k M
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity (k * d) M
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : ↑a = r * r
⊢ False
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃
⊢ (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂'' = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂''
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ x.zmodRepr < p ∧ x - ↑x.zmodRepr ∈ LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p]
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible b
⊢ a * ⅟b * b = a
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ edist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ edist a₁ b₁ + edist a₂ b₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsClosed V) id
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ i : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n,
    Affine.Simplex.reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ i =
  1
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ 𝓝 x₀ = B.N x₀
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
R S : 𝒮
a b : 𝒳.obj
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
⊢ 𝒴.p.IsHomLift f (F.map φ) ↔ 𝒳.p.IsHomLift f φ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
self : BundledCorePresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
⊢ self.map (𝟙 X) = (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app (self.obj X)
α : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_4
AddCommMonoid A
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
⊢ (∑ k ∈ s, f k) i = ∑ k ∈ s, (f k) i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ (M₁.tensorBimod N).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M₂.tensorBimod N).actRight
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
x : ↑s
⊢ (restrict f s s h)^[n] x = restrict f^[n] s s ⋯ x
a b : Int
H : a + 1 ≤ b
⊢ a < b
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : beattySeq r k = j
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j
⊢ False
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i : LinearIndependent R v
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) R Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ι → α → β
p : ENNReal
hf : MeasureTheory.UnifTight f p μ
ε : ENNReal
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
⊢ Metric.infDist x s = ⨅ y, dist x ↑y
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : R[X]
⊢ (algebraMap R A) (p.coeff 0) = (Polynomial.aeval 0) p
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g✝ : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
g : R →+* R ⧸ Ideal.comap f I := Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)
this : (Ideal.quotientMap I f ⋯).comp g = (Ideal.Quotient.mk I).comp f
h : (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral
⊢ ((Ideal.Quotient.mk I).comp f).IsIntegral
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
H : d * (a₁.y ^ 2 - a.y ^ 2) = a₁.x ^ 2 - a.x ^ 2
⊢ a₁.y ≤ a.y
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.quotQuotMk I J)
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ (aeval h.gen) ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDeriv n f = deriv^[n] f
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
⊢ (RingHom.fst R S).rangeS = ⊤
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
u : Rˣ
⊢ (constantCoeff R) (invUnitsSub u) = 1 /ₚ u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (1 / 2) ^ i ≤ 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
⊢ Function.Injective LieModuleEquiv.toEquiv
a b : ℕ+
hab : a < b
⊢ ↑a ≤ if 1 < b then ↑b - ↑1 else 1
α : Type u_2
self : Ultrafilter α
g : Filter α
⊢ g.NeBot → g ≤ ↑self → ↑self ≤ g
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (f - g) p μ ≤
  MeasureTheory.LpAddConst p * (MeasureTheory.eLpNorm f p μ + MeasureTheory.eLpNorm g p μ)
α : Type
ds : List ℕ
Monoid α
AddMonoid α
x : Holor α ds
h : x.CPRankMax1
⊢ Holor.CPRankMax 1 x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
e : 𝕜 →L[𝕜] F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (⇑e) s x = e 1
α : Type u_1
R : Type u_2
SMul R α
c : R
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (c • a) = c • SymAlg.unsym a
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
s : Set V
h₁ : Convex ℝ s
h₂ : IsCompact s
h₃ : s.Nonempty
⊢ ↑{ carrier := s, convex' := h₁, isCompact' := h₂, nonempty' := h₃ } = s
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((resolution.d k G (n + 1)) (Finsupp.single (Fin.partialProd g) 1))
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ arcsin x = y ↔ x = sin y
P : TopCat → Prop
self : CompHausLike P
⊢ CompactSpace ↑self.toTop
θ : Angle
h : θ.sign = -1 ∨ θ.sign = 0
⊢ -↑|θ.toReal| = θ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ * b = ⊥
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
f : (i : ι) → s i
⊢ ((tprod R) fun i => f (e.symm (e'.symm i))) = ((domDomCongrLinearEquiv' R R s (⨂[R] (i : ι₃), s ((e.trans e').symm i)) (e.trans e')).symm (tprod R)) f
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
⊢ closure (⋃ i ∈ s, f i) = ⋃ i ∈ s, closure (f i)
a b : ℕ
⊢ (a + 1) / b = a / b + if b ∣ a + 1 then 1 else 0
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : a ∣ b
⊢ ¬IsUnit b
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ x, p ↑x = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s
⊢ (⨆ x, comap f (p ↑x)) ⊔ LinearMap.ker f = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
c d : α
cd : c ≠ d
ac : ¬a = c
h' : swap a b * swap c d = swap a b * swap a c * (swap c a * swap c d)
⊢ swap a b * swap c d ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l.size l' ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r' r.size ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ (l.balanceR x r).size = l.size + r.size + 1
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : l₁.length ≤ n
⊢ (l₁ ++ l₂).get? n = l₂.get? (n - l₁.length)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}
⊢ Measurable fun a => min (π a) j
x : ℝ
⊢ ↑|x| = |↑x|
R : Type u_1
CommSemiring R
b₁ b₃ : R
a₁ a₃ : ℕ
a₂ : ℕ
⊢ ↑a₁ = b₁ → ↑a₃ = b₃ → ↑(a₁ ^ a₂ * a₃) = b₁ ^ a₂ * b₃
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
⊢ μ = ν
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
j : σ
f : MvPolynomial σ R
⊢ degreeOf j (f * X j) ≤ degreeOf j f + 1
G : Type u
Group G
Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ (↑P).Normal
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : TendstoUniformlyOn f g l s
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l s
⊢ TendstoUniformlyOn (f - f') (g - g') l s
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.card (Multiset.Ioc a b) = Multiset.card (Multiset.Icc a b) - 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0
⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n).f = Y.p.app (Opposite.op [n]) ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i
⊢ ¬∃ i, ∃ (_ : i ∈ t), a ∈ f i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ∑ i_1 ∈ s.erase i, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
DiscreteTopology β
Group β
UniformGroup β
FunLike hom α β
MonoidHomClass hom α β
f : hom
⊢ UniformContinuous ⇑f ↔ IsOpen ↑(↑f).ker
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ Disjoint z (y \ x) ↔ z ≤ x
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
i : ι
hi : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (((HomologicalComplex.single V c j).obj A).X i)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.9360, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ l.l.unop ≫ i.unop = f.unop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ t.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one = t.fst ≫ f
s : String
⊢ String.Iterator.ValidFor [] s.data s.mkIterator
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u : αˣ
⊢ ↑(1 / u) = 1 /ₚ u
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ (∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a b : α
h₁ : b ∈ s
h₂ : s.min = ↑a
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f g : β → α
CompleteSpace α
hf : Summable f
h : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b
⊢ Summable g
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Zero α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsDiag ↔ A.IsDiag ∧ B = 0 ∧ C = 0 ∧ D.IsDiag
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
⊢ (map f (cons l.head l.tail)).tail = map f l.tail
n : ℕ
NeZero n
⊢ 0 = 1 ↔ n = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating f) ((ExteriorAlgebra.ιMulti R n) v) = (f n) v
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
i : ι
s : Set (σ i)
hs : IsClosed s
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsClosed (Sigma.mk i_1 ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
⊢ (q - 1) ^ n.totient < Polynomial.eval q (Polynomial.cyclotomic n ℝ)
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
x' : X
hx' : ↑e.symm (↑e x') = x'
h : ↑e x' = ↑e x
⊢ x' ∈ {x}
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a
⊢ n.choose k ≡ ∏ i ∈ Finset.range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p) [MOD p]
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
s : Finset (n × n) := Finset.map { toFun := fun i => (i, i), inj' := ⋯ } Finset.univ
⊢ (∑ x : n × n, ‖diagonal v x.1 x.2‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖₊ ^ 2)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.invRotate.obj₃ = T.obj₂
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι
⊢ IsOpen (s i)
c₁ c₂ : Code
n₁ n₂ : ℕ
h₁ : c₁ = c₂
h₃ : Code.const n₁ = Code.const n₂
h₄ : Code.id = Code.id
⊢ n₁ = n₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Fintype ι
Fintype ι'
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
MeasurableSpace E
BorelSpace E
MeasurableSpace F
BorelSpace F
SecondCountableTopologyEither E F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
⊢ (v.prod w).addHaar = v.addHaar.prod w.addHaar
α : Type u
DivisionMonoid α
a b : α
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ IsUnit (a / b)