ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
hK : Dense ↑K
h : x - y ∈ Kᗮ
⊢ x = y
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z - soln
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝¹ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this✝ : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h
⊢ ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔
  Continuous f ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
z : M ⧸ torsion R M
x : M
x✝ : Quotient.mk'' x ∈ torsion R (M ⧸ torsion R M)
a : ↥R⁰
hax : a • x ∈ torsion R M
⊢ x ∈ torsion R M
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
C : AddCommGroup.DirectLimit G f → Prop
z : AddCommGroup.DirectLimit G f
ih : ∀ (i : ι) (x : G i), C ((AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) x)
⊢ C z
self : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑self.toTopCat
⊢ ∃ U R, Nonempty (self.restrict ⋯ ≅ AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.obj (Opposite.op R))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i => f (a, a_1) (seq i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
z : ℂ
f : ℂ → E
h : DifferentiableAt ℂ f z
hf' : deriv f z ≠ 0
⊢ ConformalAt f z
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actRight ≫ f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
hne : N.E ≠ M.E
⊢ N <r M
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
⊢ {x | gauge s x < a} = ⋃ r ∈ Set.Ioo 0 a, r • s
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
StrictConvexSpace ℝ E
MetricSpace PE
MetricSpace PF
NormedAddTorsor E PE
NormedAddTorsor F PF
f : PF → PE
hi : Isometry f
⊢ ⇑hi.affineIsometryOfStrictConvexSpace = f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
⊢ 0 < μ
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ AdicCompletion.transitionMap I M hmn ∘ₗ AdicCompletion.eval I M n = AdicCompletion.eval I M m
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
F G : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) (D i)
α : (i : I) → F i ⟶ G i
f : (i : I) → C i
i : I
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.pi α).app f i = (α i).app (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, E') n f
hg : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F') n g
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, E' × F') n fun x => (f x, g x)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
hρball : s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ Bornology.IsBounded s
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
hN3 : Nat.card G ≠ 0
this : Fintype G
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
H1 : IsPreconnected s
H2 : x ∈ s
⊢ s ⊆ connectedComponent x
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
⊢ (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅y, z⁆ = 0
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
m : Module.AEval R M a
⊢ m ∈ Module.AEval.mapSubmodule a hp ↔ (Module.AEval.of R M a).symm m ∈ p
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : σ → S
r : R
⊢ ((eval₂Hom f g).comp C) r = f r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
u : F.obj (Opposite.op X)
self : CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s u
⊢ η.app (Opposite.op X) u = CategoryTheory.yonedaEquiv s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
y : Y
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
⊢ x = ↑e.symm y ↔ ↑e x = y
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
h : p.IsPath
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
⊢ (SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s p hp).IsPath
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (num g z).im * (denom g z).re / Complex.normSq (denom g z) - (num g z).re * (denom g z).im / Complex.normSq (denom g z) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) 0 = 0
Γ₀ : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ d, ↑(f ↑d) < r
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal S
⊢ Module.Flat.auxRTensorBaseChange R S M I = LinearMap.rTensor (S ⊗[R] M) (Submodule.subtype I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Zero γ
i : β
c : γ
⊢ Sum.elim 0 (Pi.single i c) = Pi.single (Sum.inr i) c
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ (⇑(lineMap x y) '' Icc 0 1 \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
⊢ (-2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • ofRealCLM.comp (L v) = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
p : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ Submodule.map e.flip p.dualCoannihilator = (Submodule.map e.symm p).dualAnnihilator
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ ∃ K', IsCompact K' ∧ K ⊆ interior K'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
n : M
X : C
⊢ F.εIso.inv.app ((F.obj n).obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ n (𝟙_ M)).app X)
    ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor n).hom).app X)
R : Type u
a : R
Semiring R
⊢ Polynomial.C a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖y‖
⊢ ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ
⊢ f (a ^ n) ∣ f b ↔ a ^ n ∣ b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ NonUnitalAlgebra.adjoin R Set.univ = ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
l : Filter α
⊢ Filter.map f (l ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' s)) = Filter.map f l ⊓ 𝓟 s
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α
s : Set α
hs : s ∈ atBot ⊔ atTop
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
x : SimplexCategory
⊢ ((unop Y✝).hom.app (op x) ≫ f.unop.right).op = (f.unop.left.app (op x) ≫ (unop X✝).hom.app (op x)).op
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
CompactSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ TendstoUniformly F f p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : γ → α
⊢ Function.Injective (f ∘ g) ↔ Function.Injective g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ ⇑h.symm = ⇑h.symm
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.Indep B
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
⊢ MulPosMono α ↔ MulPosStrictMono α
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < -b ↔ b + a < 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
Y : Type u_4
TopologicalSpace Y
g : Y → Path x y
⊢ Continuous ↿g ↔ Continuous g
α : Type u_2
s : Set α
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ∀ (x : α), {x} ∈ B
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ s ∈ B
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ interior ↑s
⊢ s = ⊤
f : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : LSeriesHasSum f s a
⊢ LSeriesSummable f s
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.entries ⊆ s₂.entries
⊢ s₁.keys ⊆ s₂.keys
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
inst✝² : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.biprodComparison' X Y ≫ F.biprodComparison X Y = 𝟙 (F.obj X ⊞ F.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
⊢ Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : MeasurableSpace α
h : m ≤ m'
hsep : HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet univ
⊢ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet univ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
h2 : Multiset.card f.roots ≠ 0 ∧ ∃ a, f.roots = Multiset.card f.roots • {a}
⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
a : Bool
⊢ ∀ {w : Nat} {x : BitVec w}, (BitVec.cons a x).msb = a
V : Type u
Quiver V
a b c d : V
p : Quiver.Path a b
q : Quiver.Path b c
r : Quiver.Path c d
⊢ (p.comp q).comp r = p.comp (q.comp r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
⊢ Smooth (I.prod J) J Prod.snd
α : Type u
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
b : α → ι → Set α
p : α → ι → Prop
hbasis : ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (p x) (b x)
hconnected : ∀ (x : α) (i : ι), p x i → IsPreconnected (b x i)
⊢ LocallyConnectedSpace α
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
a : α
b : β
⊢ pure a +ᵥ pure b = pure (a +ᵥ b)
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞
⊢ (r • s).toReal = r • s.toReal
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing S
inst✝ : Nontrivial R
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
⊢ abv ↑↑x = 1
R : CommRingCat
⊢ (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj R = ↑R
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
a b : α
⊢ (∃ n, Order.pred^[n] b = a) ∨ ∃ n, Order.pred^[n] a = b
α : Type u_1
Primcodable α
f : Bool → Bool → α
⊢ Primrec₂ f
a b : UInt16
h : a = b
⊢ a.val = b.val
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
⊢ FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ UniqueMDiffWithinAt I t x
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Scott.IsOpen α t
⊢ Scott.IsOpen α (⋃₀ s)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
hc : c ≠ 0
h : b * c ≤ a * c
⊢ b ≤ a
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj α
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ ∫ (x : (b : Fin (card ι)) → E (e b)), ∏ i : ι, f i ((MeasurableEquiv.piCongrLeft E e) x i) = ∏ i : ι, ∫ (x : E i), f i x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s
⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
s : σ
⊢ (coeff R 0) (X s) = 0
α : Type u_1
l l' : List α
⊢ l.tailD l' = l.tail?.getD l'
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ cons 1 1 = 1
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : LatticeOrderedAddCommGroup.IsSolid t
⊢ LatticeOrderedAddCommGroup.solidClosure s ⊆ t
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
⊢ Continuous fun x => diracProba x
α : Type u_1
PartialOrder α
f : α → α
p : α → Prop
hf : ∀ (x : α), x ≤ f x
hfp : ∀ (x : α), p (f x)
hmin : ∀ ⦃x y : α⦄, x ≤ y → p y → f x ≤ y
⊢ ∀ (a : α), (ClosureOperator.ofPred f p hf hfp hmin) a = f a
n : ℕ
⊢ (2 * n).bitIndices = List.map (fun x => x + 1) n.bitIndices
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix m p R
⊢ A * A.conjTranspose * B = 0 ↔ A.conjTranspose * B = 0
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
k : ℕ
⊢ (Polynomial.monomial n) r * Polynomial.X ^ k = (Polynomial.monomial (n + k)) r
G : Type u_10
H : Type u_11
Group G
DivisionMonoid H
h : G ≃* H
x y : G
⊢ h (x / y) = h x / h y
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : m = 1 ∨ n = 1
⊢ n = 1 → m = p
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝ + 2 • ψ = ↑π
⊢ ψ.tan = (↑x✝).tan⁻¹
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedSemiring α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atTop
⊢ g ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
⊢ M.IsHermitian
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h : MeromorphicOn s⁻¹ U
⊢ MeromorphicOn s U
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
s : Set X
inj : InjOn f s
sc : IsCompact s
fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u
this : ∀ᶠ (x : X × X) in 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ s, f x.1 = f x.2 → x.1 = x.2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝ˢ s, InjOn f t
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
⊢ (¬∃ f, ¬f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0
b : Nat
a : Nat
h : 0 < b
⊢ 0 < b / a.gcd b
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
g : ι → β
a : α
⊢ Monovary (Function.const ι a) g
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrderBot α
a x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrderBot.finsetIio a ↔ x < a
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ J(a | b) ≠ 0
c d : Char
h : Not (Eq c.val d.val)
⊢ Not (Eq c d)
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1
⊢ (χ.ringHomComp f).IsNontrivial
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
⊢ AddCon.orderIsoOp c = c.op
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'
⊢ dist x y ≤ y' - x'
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
this : Nonempty α
cs : Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b) ∈ s
hc : variationOnFromTo f s (Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b)) b = 0
⊢ edist ((f ∘ Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s) (variationOnFromTo f s a b)) (f b) = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → 0 ≤ᵐ[μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
⊢ MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2
⊢ (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ↑‖a‖₊ = ‖a‖
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(Module.Baer.supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
α : Type u
β : Type v
m : Type v → Type w
Monad m
LawfulMonad m
f : β → α → m β
b : β
l : List α
⊢ List.foldlM f b l =
  List.foldl
    (fun mb a => do
      let b ← mb
      f b a)
    (pure b) l
K : Type u_1
Field K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal (NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ) ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
NormedAddCommGroup γ
BorelSpace γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable g ν
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
⊢ 1 (m * n) = 1 m * 1 n