ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2
⊢ PD l R * ⅟2 • (PD l R)ᵀ = 1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 0
⊢ HasCompactSupport f
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : f < 0
⊢ ∑ i : ι, f i < 0
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.moduleCatLeftHomologyData.H = S.moduleCatHomology
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t₁ t₂ : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (t₁ ∪ t₂) = convexJoin 𝕜 s t₁ ∪ convexJoin 𝕜 s t₂
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Field L
Field M
Algebra R M
NoZeroSMulDivisors R M
IsAlgClosure R M
Algebra S L
NoZeroSMulDivisors S L
IsAlgClosure S L
hSR : S ≃+* R
r : R
⊢ (IsAlgClosure.equivOfEquiv L M hSR).symm ((algebraMap R M) r) = (algebraMap S L) (hSR.symm r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ coborder (f ⁻¹' s) ⊆ f ⁻¹' coborder s
x y : Bool
⊢ (x && y) = false ↔ x = false ∨ y = false
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
hp : ∃ a, a ∈ l ∧ p a
⊢ List.choose p l hp ∈ l
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : (TopologicalSpace.Opens ↑Z)ᵒᵖ
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (f ≫ g)).op.obj U =
  (TopologicalSpace.Opens.map f).op.obj ((TopologicalSpace.Opens.map g).op.obj U)
α : Type u_2
Add α
IsCancelAdd α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s + t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩) = (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩)
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 x, deriv (fun x => x * log x) y = log y + 1
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
h : μ ≪ ν
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
htν : ν (t ∩ s) = 0
⊢ μ (t ∩ s) = 0
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝² : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝¹ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝¹.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝¹
b_eq : b = Basis.extend this✝¹
i1 : Fintype ↑(this✝¹.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this✝ : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝¹.extend ⋯
this : span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) = ⊤
⊢ S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U)
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
α : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
v : α →₀ M
c : R
h : α → M →ₗ[R] M₂
⊢ ((c • v).sum fun a => ⇑(h a)) = c • v.sum fun a => ⇑(h a)
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
IsRightCancelAdd α
s t : Set α
⊢ (s + t).Finite ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y
⊢ EqvGen (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) (𝟙 X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z))
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
c : α
⊢ StrictMonoOn (fun x => c + f x) s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
⊢ (LinearMap.eqLocus f g).toAddSubmonoid = (↑f).eqLocusM ↑g
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
hψ : ψ.IsHomogeneous n
⊢ (φ - ψ).IsHomogeneous n
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
p f : Equiv.Perm α
h : p ∈ f.cycleFactorsFinset
⊢ p.support ≤ f.support
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) ⊤ μ) l (𝓝 0)
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
⊢ Tendsto (fun i => μ {x | δ ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
i : ι
y : E i
⊢ fderiv 𝕜 (Pi.single i) y = ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
α : Type u_1
n : Type u_4
Semiring α
StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.conjTranspose.IsDiag ↔ A.IsDiag
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddCommGroup G
⊢ Function.support (MeasureTheory.convolution f g L μ) ⊆ Function.support f + Function.support g
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
α : Type u_2
Preorder α
a b : α
h : a = b
⊢ a ≥ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.Limits.prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (CategoryTheory.Dial.isoMk e₁ e₂ eq).inv.F = CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd e₂.hom
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
⊢ (EsakiaHom.id α) a = a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
⊢ 0 < i
α : Type u
β : Type v
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
⊢ map (⇑f) 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α × β →o γ
x : α
y : β
⊢ ((OrderHom.curry f) x) y = f (x, y)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
⊢ H = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x
⊢ IsIntegral R (((minpoly K x).aroots (AlgebraicClosure L)).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ ⋃ a ∈ s, a +ᵥ t = s +ᵥ t
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
⊢ 0 < (Fintype.card α).choose r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F₁ F₂ : W.FunctorsInverting D
α β : F₁ ⟶ F₂
h : α.app = β.app
⊢ α = β
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))
⊢ v.intValuation r = ↑(ofAdd (-1))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f
    (FirstOrder.Language.Substructure.map f S ⊔ FirstOrder.Language.Substructure.map f T) =
  S ⊔ T
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})
⊢ ContinuousMapZero.id h0 ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (symmDiff s t).Nonempty ↔ s ≠ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑x = ↑y
hl : x.natAbs ≤ n / 2
⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
⊢ P.d (i + 1) ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) (i + 1) = P.d (i + 1) i ≫ f i (i + 1)
X : Type u
TopologicalSpace X
U : Set X
⊢ Continuous U.boolIndicator ↔ IsClopen U
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
⊢ List.mapIdx f l = List.oldMapIdx f l
f : ↑(stdSimplex ℝ (Fin 2))
⊢ ↑(stdSimplexHomeomorphUnitInterval f) = ↑f 0
α : Type u_1
l : List (Option α)
⊢ (none :: l).reduceOption = l.reduceOption
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
⊢ Fintype.card G.Dart = 2 * G.edgeFinset.card
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ F.map prod.snd ((fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = y
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
⊢ IsNilpotent (Polynomial.reflect N P) ↔ IsNilpotent P
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ a < ⊤ ↔ a ≠ ⊤
α : Type u
inst✝² : Monoid α
a : α
inst✝¹ inst✝ : Invertible a
⊢ inst✝¹ = inst✝
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ + ν) ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ∧ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ν
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯
ctx : Nat.Linear.Context
c : Nat.Linear.PolyCnstr
⊢ c.isUnsat = true → Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c = False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * (p * x) ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
⊢ p ∣ a
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)
⊢ f (bernstein.z n) • bernstein n✝ ↑n ∈ polynomialFunctions I
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ p x hx
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocPathConnectedSpace X
U : Set X
U_op : IsOpen U
⊢ IsPathConnected U ↔ IsConnected U
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : C ⥤ Mon_ D
⊢ ∀ (X_1 : C), ((CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.inv.app X).app X_1).hom = 𝟙 (X.obj X_1).X
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.FiniteType
hg : g.FiniteType
⊢ (g.comp f).FiniteType
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (changeForm h) ((contractLeft d) m) = (contractLeft d) ((changeForm h) m)
⊢ (changeForm h) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((ι Q) x * m))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
h₂ : μ t = μ s
⊢ μ (t \ s) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Combinatorics.Line α ι
v : ι' → α
x : α
⊢ (fun x i => ((l.horizontal v).idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) v
a b : Prop
⊢ Xor' a b ↔ (¬a ↔ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
p : Partition 1
h : p.parts = replicate (card p.parts) 1
h' : card p.parts = 1
⊢ p.parts = {1}
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hn : s.Nonempty
ha : a ∈ s
⊢ hs.min hn ≤ a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
b : α
hs : s.Nonempty
hb : b < sSup s
⊢ ∃ a ∈ s, b < a
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars (-q).vars
⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α i) in f i, p i x
⊢ ∀ᶠ (x : (i : ι) → α i) in Filter.pi f, ∀ (i : ι), p i (x i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.op.left = ψ.right.op
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ ∅.upShadow = ∅
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * z.im * w.im) = sinh (r / 2) ^ 2
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ normEDS b c d 4 = d * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsZero X
f g : X ⟶ Y
⊢ f = g
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
m : X
⊢ Quot.mk (FreeAlgebra.Rel R X) (FreeAlgebra.Pre.of m) = FreeAlgebra.ι R m
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ MulOpposite.unop (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : s.gcd r = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
k : ℤ
hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2
hk0 : k ≠ 0
hj2 : r ^ 2 = j ^ 4
hk2 : s ^ 2 = k ^ 4
hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4
hn : n ≠ 0
hic : i.natAbs < c.natAbs
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f = g ↔ ↑f =ᵐ[μ] ↑g
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
(x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | p x k}
⊢ Measurable fun x => Nat.findGreatest (p x) N
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).natDegree ≤ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ a • b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
α : Type u
l : List α
⊢ [] ~r l ↔ [] = l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.P q + AlgebraicTopology.DoldKan.Q q = 𝟙 K[X]
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
⊢ Quotient.mk'' (Sum.inl (Φ x✝)) = Quotient.mk'' (Sum.inr (Ψ x✝))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => -f x) univ x
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
this : DecidableEq M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange) f).det
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
l.IsCountablyGenerated
⊢ (∃ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∃ x, Filter.Tendsto x Filter.atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p (x n)
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype l
Fintype m
Fintype n
RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (proj x, (↑e x).2) = x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom
i : ι
⊢ HomologicalComplex.Hom.isoApp (HomologicalComplex.Hom.isoOfComponents f hf) i = f i