ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X : C
P : CategoryTheory.StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)))
hP₁ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁),
    P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk φ) →
      P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (L.map f)))
hP₂ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂),
    P (CategoryTheory.StructuredArrow.mk φ) →
      P
        (CategoryTheory.StructuredArrow.mk
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W w hw).inv))
g : CategoryTheory.StructuredArrow (L.obj X) L
⊢ P g
α : Type u_2
Distrib α
s t u : Set α
⊢ (s + t) * u ⊆ s * u + t * u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ (DerivedCategory.triangleOfSES hS).obj₃ = DerivedCategory.Q.obj S.X₃
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Even m
⊢ m % 2 + (m + n) % 2 = 1
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ c
h₂ : b ≤ c
⊢ max a b ≤ c
X : Type u_3
TopologicalSpace X
⊢ R1Space X ↔ ∀ (x y : X), x ⤳ y ∨ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.π₃.obj S = S.X₃
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
h : Continuous f
⊢ Continuous (s.restrictPreimage f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.cos (f x)
M : Type u_4
CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ Finset.range (n + 2), f i (n + 1 - i) ^ (n + 1).choose i =
  (∏ i ∈ Finset.range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) *
    ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor.obj sq).hom.left = sq.f₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
⊢ s = {a} ∨ s.Nontrivial
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a ∪ Ioc c b ∪ Ioc a c, f x ∂μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd = -1
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : G.IsAcyclic
v w : V
p q : G.Path v w
⊢ p = q
α : Type u_1
Fintype α
n : ℕ
s : Finset α
hsn : s.card ≤ n
hnα : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t.card = n
M : Type u_2
AddCommMonoid M
P : Submodule ℕ M
⊢ P.FG ↔ P.FG
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ (MeasureTheory.condexpInd G hm μ) 1
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
y : G
hy : y ∈ ↑A
z : G
hz : z ∈ ↑B
hyz : y * z ∈ ↑C
⊢ y⁻¹ * (y * z) ∈ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
f : β → α
⊢ ∏' (x : ↑s), f ↑x = ∏' (x : β), s.mulIndicator f x
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.LocallyLinear → G.EdgeDisjointTriangles
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
⊢ (if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x) ≤ N + 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
⊢ IsLowerSet s → IsLowerSet (closure s)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ spectrum 𝕜 a ⊆ Metric.closedBall 0 (‖a‖ * ‖1‖)
z τ : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' z τ) = HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.coprodPUnit M).symm = ⇑Monoid.Coprod.inl
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
⊢ ker (codRestrict p f hf) = ker f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
⊢ p.coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, LinearMap.id m✝⁆ = LinearMap.id ⁅x✝, m✝⁆
a : SignType
⊢ 0 ≤ a ↔ a ≠ -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
⊢ MeasurableSet (Iio a)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
h2 : Function.Bijective fun f => F.map f a
f : A ⟶ X
hf : (fun f => F.map f a) f = x
⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (⇑p) 0
m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hnm : n.natAbs < m.natAbs
⊢ n = 0
α : Type u_1
AddCommGroup α
a : α
⊢ AddDissociated {a} ↔ a ≠ 0
F : Type u → Type u
Applicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
LawfulApplicative F
as bs : List α'
⊢ traverse f (as ++ bs) = Seq.seq ((fun x x_1 => x ++ x_1) <$> traverse f as) fun x => traverse f bs
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
v : E
SecondCountableTopologyEither E F
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
⊢ Subsingleton ι
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.comp 1 = C (eval 1 p)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = t ^ (a - 1) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x ≤ y
⊢ Relation.TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
x y : FractionRing R[X]
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := x } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := y } → { toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[Filter.cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : TopologicalSpace.Compacts ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[Filter.cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
h : D1 = D2
a : L
⊢ D1 a = D2 a
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y.toTopCat
s : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj (Y.toRingedSpace.basicOpen s) =
  X.toRingedSpace.basicOpen ((f.val.c.app (Opposite.op U)) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ s.truncatedInf a = a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
⊢ (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
h : Module.rank R M = 1
⊢ Module.Finite R M
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (x / ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
K : Type u_1
Field K
x : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ IsIntegral ℤ ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) x)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ o.oangle (x - r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ : α
b₂ : β
⊢ Finset.Ioo (Sum.inl a₁) (Sum.inr b₂) = ∅
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ≤ z
⊢ z ⊔ y \ x ≤ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
i : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.augmentedCechNerve.obj f).hom.app i =
  CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => f.hom
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
AddZeroClass P
g₁ g₂ : M →+ N
f : P →+ M
⊢ (g₁ + g₂).comp f = g₁.comp f + g₂.comp f
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
X : W₁
⊢ ((HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex F c j).hom.app X).f i = 0
σ : Type v
D : Type u
CommRing D
IsDomain D
UniqueFactorizationMonoid D
Fintype σ
⊢ UniqueFactorizationMonoid (MvPolynomial σ D)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeAddGroup α
⊢ (FreeAddGroup.map f) x = (FreeAddGroup.lift (FreeAddGroup.of ∘ f)) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
⊢ P a
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ Q₂.tensorLId.toLinearEquiv = TensorProduct.lid R M₂
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
s1 s2 : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.Indep (MeasurableSpace.generateFrom s1) (MeasurableSpace.generateFrom s2) κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s1 s2 κ μ
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : α
⊢ toLex (b +ᵥ a) = b +ᵥ toLex a
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ s.Nodup → (Multiset.filter p s).Nodup
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
F : ι → Set E
s : Finset ι
h_card : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card
h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)
h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x * y.moveLeft j⟧ + ⟦x.moveLeft i * y⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : List α
⊢ ↑s ∩ ↑t = ↑(s.bagInter t)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((decompose 𝒜).symm ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] (decompose ℬ).symm ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂)) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S
⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
α : Type u_3
β : Type u_4
f : β → ℝ
hf : 0 ≤ f
s : α → Set β
hs : ∀ (i : β), ∃! j, i ∈ s j
⊢ Summable f ↔ (∀ (j : α), Summable fun i => f ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑(s j)), f ↑i
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.refl φ).h₀ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n
⊢ (a ^ n)⁻¹ ≤ (a ^ m)⁻¹
⊢ Function.Periodic (⇑expMapCircle) (2 * π)
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
⊢ BddBelow (Set.range f)
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
A : W ≃ₗᵢ[ℝ] V
f : V → E
w : W
⊢ 𝓕⁻ (f ∘ ⇑A) w = 𝓕⁻ f (A w)
S : Type u_1
R : Type u_2
Star R
SetLike S R
self : StarMemClass S R
s : S
r : R
⊢ r ∈ s → star r ∈ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
hgu : IsUnit g
⊢ p.degree = 1
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
j : J
⊢ F.toEventualRanges.obj j = ↑(F.eventualRange j)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : Filter ((i : ι) → α i)
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
K : Subgroup N
⊢ ↑(H.prod K) = ↑H ×ˢ ↑K
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : μ ≪ ν
⊢ μ.singularPart ν = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
h : a = a'
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ 𝒰.map i ≫ f = (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ≫ g
α : Type u_2
GroupWithZero α
g : Filter α
hg : g.NeBot
⊢ 0 ≤ 0 / g
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
y : α
hl : l.Nodup
h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l
h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l
hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y
H : (y :: l).getLast ⋯ ∈ (y :: l).dropLast
hk : 0 < (y :: l).dropLast.length
hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨0, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯
⊢ False
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
Subsingleton ι
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun m f κ μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0) ↔ p = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
⊢ Continuous toNNReal
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x))
  (-(2 * ↑π * Complex.I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x))
x y : Nat
⊢ min x.pred y.pred = (min x y).pred
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (Int.negSucc m * ↑n) = (a ^ Int.negSucc m) ^ ↑n
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
v w : V
Zero α
One α
⊢ SimpleGraph.adjMatrix α G v w = if G.Adj v w then 1 else 0
β : Type v
NormedField β
f : CauSeq β norm
⊢ CauchySeq ↑f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
⊢ deriv (fun x => x ^ m) x = ↑m * x ^ (m - 1)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : X
r : R
h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r
f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0
f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1
hf0 : r = 0
hf1 : f1 (ι R x) = 1
⊢ False
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
⊢ ∃ h, Bijective h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)
⊢ Mono (F.map f)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
⊢ Q (x + y + z) + (Q x + Q y + Q z) = Q (x + y) + Q (y + z) + Q (z + x)
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
S : Type u_4
inst✝¹ : DivisionSemiring S
inst✝ : Module S M
x✝³ : α → α
x✝² : α → M
x✝¹ : ℕ
x✝ : α
⊢ birkhoffAverage R x✝³ x✝² x✝¹ x✝ = birkhoffAverage S x✝³ x✝² x✝¹ x✝
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderBot α
ι : Type u
Fintype ι
f : ι → α
⊢ ∐ f = Fintype.elems.sup f
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
JB : JoinedIn sᶜ b z
⊢ JoinedIn sᶜ a b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν : MeasureTheory.Measure α
h₁ : μ₁.AbsolutelyContinuous ν
h₂ : μ₂.AbsolutelyContinuous ν
⊢ (μ₁ + μ₂).AbsolutelyContinuous ν
⊢ DistLat.dualEquiv.inverse = DistLat.dual
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
⊢ fderiv 𝕜 (Function.update x i) y = ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
R : Type u_1
CommRing R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ ∏ i : I, (1 - e i) = 1 - ∑ i : I, e i
α : Type u
s : Set α
⊢ s ⊆ Set.univ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
⊢ Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1
⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) 1 + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 - P.f 1 + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) 1
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ s₁ ∪ s₂ +ᵥ t = s₁ +ᵥ t ∪ (s₂ +ᵥ t)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Zero R
LinearOrder Γ
LocallyFiniteOrder Γ
Nonempty Γ
⊢ HahnSeries.ofSuppBddBelow 0 ⋯ = 0