ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : (x : β) → x = b → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ (h : x = b), s x h = s b ⋯
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p a ≠ ⊤
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ rightZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) = (ρ_ (g₂ ≫ g₁)).hom ≫ (λ_ (g₂ ≫ g₁)).inv
G : Type u_7
Group G
L : List G
⊢ L.prod⁻¹ = (List.map (fun x => x⁻¹) L).reverse.prod
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
h : v +ᵥ p ∈ s
⊢ p = -v +ᵥ (v +ᵥ p)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
⊢ ‖(f ∘ fun x => x * I) z‖ ≤ C
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • 𝟙 (K.X (p + a)) ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯) ≫ 𝟙 (L.X (q + a)) = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a b✝ x b : α
⊢ b < a → b = ⊥ ↔ b ≠ ⊥ → b ≤ a → a ≤ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ IsLocalHomeomorph f ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, OpenEmbedding (U.restrict f)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
⊢ ∑ i_1 ∈ t, b i_1 * a i_1 * h i = ∑ i_1 ∈ t, a i * (b i_1 * h i_1)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
⊢ (unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma \ mb ∈ a \ b
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
NoZeroDivisors R
n : R
h : IsPrimePow n
⊢ n ≠ 0
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
a : R
h : a ∈ closure s
b : R
ih : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = b
L1 : List (List R)
h1 : ∀ l ∈ L1, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
x✝ : AddGroup.InClosure (Monoid.Closure s) (List.map List.prod L1).sum
⊢ (List.map (fun x => -x.prod) L1).sum = -(List.map List.prod L1).sum
x y : ℝ
⊢ Real.exp x = Real.exp y ↔ x = y
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ Finset.image₂ (fun x x_1 => x -ᵥ x_1) s t = s -ᵥ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Mon_.equivLaxMonoidalFunctorPUnit C).functor = Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.laxMonoidalToMon C
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
f : Filter X
hs : IsCompact s
hf₂ : f ≤ 𝓟 s
ht₁ : IsOpen t
ht₂ : ∀ x ∈ s, ClusterPt x f → x ∈ t
⊢ t ∈ f
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
⊢ (Function.support f).Nonempty ↔ f ≠ 0
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
⊢ BddAbove (l '' s) ↔ BddAbove s
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
⊢ ∀ (x y : C(AddCircle T, ℂ)), x ∈ range fourier → y ∈ range fourier → x * y ∈ range fourier
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
f' : E →L[ℝ] ℝ
hf : HasFDerivAt f f' a
⊢ HasFDerivAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f
⊢ ker f = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
NormOneClass 𝕜
h : Balanced 𝕜 s
⊢ -s = s
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ (Summable fun i => a * f i) ↔ Summable f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsAntisymm α r
⊢ IsAntichain r (maximals r s)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.toMap (f.sec z).1 = f.toMap ↑(f.sec z).2 + z
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G H : MonCat
f : G ⟶ H
⊢ ∀ {X Y : Action V H} (p : X ⟶ Y), ((Action.res V f).map p).hom = p.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑s (u ∆ v) = 0 → ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
⊢ (map f s).destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x
α : Type u_1
DivisionRing α
n : ℤ
d : ℕ
h : ↑d ≠ 0
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (Rat.rawCast n d) n d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict s u ≤ VectorMeasure.restrict 0 u
hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
⊢ (p * q).coeff 0 = p.coeff 0 * q.coeff 0
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ ∀ (val val_1 : ιb), v (σ (Sum.inr val)) = v (σ (Sum.inr val_1)) → σ (Sum.inr val) ≠ σ (Sum.inr val_1) → swap (σ (Sum.inr val)) (σ (Sum.inr val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
G : Type u
AddGroup G
a : G ⧸ (AddMonoidHom.id G).ker
⊢ QuotientAddGroup.quotientBot a = (QuotientAddGroup.kerLift (AddMonoidHom.id G)) a
R : Type u_3
StrictOrderedRing R
a : R
ha : a < 0
⊢ 0 < a ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ≫
    Bimod.TensorBimod.actRight P Q =
  (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫
    P.X ◁ Q.actRight ≫ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
h : l.idxFun i = Sum.inl a
⊢ ↑l x i = a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↥U
⊢ U.ι.val.base x = ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = f (g a)
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b < c
⊢ Set.Iio c ∈ 𝓝ˢ (Set.Icc a b)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
f' : 𝕜 → F
hs : IsOpen s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ Set.EqOn (deriv f) f' s
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ (↑l₁).ndinter ↑l₂ = ↑(l₁ ∩ l₂)
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
⊢ sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.rotate C).map f).hom₂ = f.hom₃
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
S : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} S
F : CategoryTheory.Functor S T
X : T
f : (Y : S) → F.obj Y ⟶ X
h : ∀ {Y Z : S} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (f Z) = f Y
Y : S
⊢ ((F.toOver X f h).obj Y).left = F.obj Y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Isometry g
hf : Isometry f
⊢ Isometry (g ∘ f)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
f : ι → ↥(lp E p)
s : Finset ι
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C) ∧ Disjoint C₀ C₁
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.Groupoid.inv f ∈ S.arrows d c ↔ f ∈ S.arrows c d
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s t : NonUnitalSubsemiring S
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.comap f (s ⊓ t) = NonUnitalSubsemiring.comap f s ⊓ NonUnitalSubsemiring.comap f t
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NormedAddCommGroup W₂
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V
⊢ ‖f.comp g‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x y : K
⊢ A.valuation x = A.valuation y ↔ ∃ a, ↑↑a * y = x
N : ℕ
s : Finset ℕ
h : N.primesBelow ≤ s
n : ℕ
hn : (¬n = 0 → ∃ x ∈ n.primeFactorsList, x ∉ s) ∧ ¬n = 0
⊢ n ∈ {n | N ≤ n}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q
⊢ c • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀ ∈ Q
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n : ℕ
hf : IsPeriodicPt f n x
m : ℕ
⊢ IsPeriodicPt f^[m] n x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : M
α : Type u_10
s : Finset α
n : α → N
⊢ m ⊗ₜ[R] ∑ a ∈ s, n a = ∑ a ∈ s, m ⊗ₜ[R] n a
a : UnitAddCircle
h : a ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0
⊢ Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0) 0 = completedHurwitzZetaEven a 0 / Gammaℝ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n
⊢ 𝓝 a = n a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a < b * succ (sInf {o | a < b * succ o})
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = ↑(2 * a) * { re := ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(yn a1 (n + 1)) }
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ infDist x (closure s) = infDist x s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsLindelof (f '' univ)
ctx : Nat.Linear.Context
m₁ m₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁.cancel m₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (m₁, m₂)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
⊢ ((∀ (i : ι), Inducing (f ∘ Sigma.mk i)) ∧ ∀ (i : ι), ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i) → Inducing f
G : Type u_1
AddGroup G
A B' B : AddSubgroup G
hB : B' ≤ B
hN : (B'.addSubgroupOf B).Normal
⊢ ((A ⊓ B').addSubgroupOf (A ⊓ B)).Normal
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ 𝓝ˢ ∅ = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * x + b * y
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
d : D
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
vcompd : adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d) = adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj d)) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)
⊢ (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₂.obj d)) ≫ β.app (R₂.obj d) ≫ 𝟙 (L₂.obj (R₂.obj d))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d) = 𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₁.obj d)) ≫ (β.app (R₁.obj d) ≫ α.app (R₁.obj d)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d)
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ {o | a < b * Order.succ o}.Nonempty
θ : Real.Angle
⊢ toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ.toReal = θ.toReal
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ G'.degree v ≤ G.degree v
α : Type u_2
CompleteLattice α
x : α × α
⊢ infsInfHom x = x.1 ⊓ x.2
α : Type u_2
LE α
p : α → Prop
x y : α
hx : p x
hy : p y
⊢ ⟨x, hx⟩ ≤ ⟨y, hy⟩ ↔ x ≤ y
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
⊢ Measurable fun a => (ProbabilityTheory.condCDF ρ a).measure
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : ((f - μ • 1) ^ k) x = 0
⊢ ((f - μ • 1) ^ k) (g x) = 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι' : Sort u_1
inst✝ : Inv G
ts' : ι' → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousInv G
⊢ ContinuousInv G
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖
m m' : (i : ι) → E i
h' : dist m' m < 1
⊢ dist (f m') (f m) ≤ D * ↑(Fintype.card ι) * (‖m‖ + 1) ^ (Fintype.card ι - 1) * dist m' m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
⊢ IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ici a ⊆ s
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring R
x : S
⊢ x ∈ NonUnitalSubsemiring.map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Iio 0 ×ℂ Ioi 0) (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) (↑x * I)‖ ≤ C
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ Real.Gamma (a * s + b * t) ≤ Real.Gamma s ^ a * Real.Gamma t ^ b
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE Set.univ ⋯ ⋯ = μ
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n { byteIdx := utf8Len [] } = { byteIdx := utf8Len [] + utf8Len (List.take n m) }
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r (s.drop n)
α : Type u_2
β : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
A : Set β
x : β
⊢ x ∈ a • A ↔ a⁻¹ • x ∈ A
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ≤ s ∪ t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support
⊢ adjoin R (of' R M '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
α : Type u_1
a : α
⊢ ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint (fun x => ProbabilityTheory.defaultRatCDF) a
x : ℝ≥0∞
⊢ x.toReal = 1 ↔ x = 1
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ 1 < q
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x
⊢ ∀ (a b : α), x = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : M' →ₗ[R] M'
v : ι → M'
i : ι
⊢ ((b.constr S) (⇑f ∘ v)) (b i) = (f ∘ₗ (b.constr S) v) (b i)
x y : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ log ↑n
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.selfAdjointSubmodule ↔ B.IsSelfAdjoint f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.Epi S.f
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤
⊢ a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : α
⊢ some a ∪ some b = some (a ∪ b)
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
OrderedAddCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x + y) ≤ f x + f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) ≤ ∑ i ∈ s, f (g i)
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
⊢ ↑f < ↑g ↔ ∀* (x : α), f x < g x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E ≃L[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑↑f| * μ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : Differentiable 𝕜 g
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ aᶜ ∆ a = ⊤
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
t : Subsemiring S
⊢ Subsemiring.map f (Subsemiring.comap f t) = t ⊓ f.rangeS
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
⊢ 0 ≤ Real.logb b x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
K : ProperCone ℝ E
⊢ ↑(ProperCone.map f K) = (PointedCone.map ↑f ↑K).closure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)
⊢ (∀ Uᵢ ∈ V, Uᵢ ⟂ U) ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ