ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ f (x, x) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH : ∀ m ≤ n, ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}, ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s → (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) → (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s
hC : ∀ i ≤ n.succ, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n.succ → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
M : ↑n < ↑n.succ
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n.succ ! * C * D ^ n.succ
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'
⊢ (η.naturality (f ≫ g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map (f ≫ g)) h).hom ≫ η.app a ◁ G.mapComp f g ▷ h = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ (η.naturality g).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ (η.naturality f).hom ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
d₁ d₂ : n → α
h : ∀ (i : n), d₁ i = d₂ i
⊢ diagonal d₁ = diagonal d₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ Set.image2 f (upperBounds s) (lowerBounds t) ⊆ upperBounds (Set.image2 f s t)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p3 -ᵥ p1 = (-r + 1) • (p2 -ᵥ p1)
θ : Angle
⊢ 0 ≤ θ.cos ↔ |θ.toReal| ≤ π / 2
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor D C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
G.IsCoverDense J
G.IsContinuous K J
G.Full
(G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
f : P ⟶ Q
⊢ K.W (CategoryTheory.whiskerLeft G.op f) ↔ J.W f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
⊢ (EMetric.diam (s ∪ t)).toReal ≤ (EMetric.diam s).toReal + (edist x y).toReal + (EMetric.diam t).toReal
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.reverse = l₂.reverse ↔ l₁ = l₂
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ a b
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
d : Dᵒᵖ
⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
⊢ (of v).s.get? (n + 1) = (of (fract v)⁻¹).s.get? n
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
a : α
f : α → Option β
⊢ List.filterMap f (List.replicate n a) =
  match f a with
  | none => []
  | some b => List.replicate n b
R : Type u_1
Semiring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_3
Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
φ : OreLocalization S R →+* T
huniv : ∀ (r : R), φ (OreLocalization.numeratorHom r) = f r
⊢ φ = OreLocalization.universalHom f fS hf
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
MeasurableSingletonClass α
⊢ MeasureTheory.Measure.count s = ⊤ ↔ s.Infinite
α : Type u_2
δ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → δ
s : Set α
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ f =ᵐ[μ.restrict s] g
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : derivWithin f s x ≠ 0
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subsemiring R
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
⊢ Ioo x y = ball ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑(v + w) = ↑v + ↑w
M : Type u_1
Zero M
x : M
xs : List M
DecidablePred fun x_1 => (x :: xs).getD x_1 0 ≠ 0
⊢ (x :: xs).toFinsupp 0 = x
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).mirror = (Polynomial.monomial n) a
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_7
MonoidWithZero M
MonoidWithZero M'
FunLike F M M'
NoZeroDivisors M'
MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
⊢ P (algebraMap R' S')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a (-b) = p - toIcoMod hp (-a) b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
⊢ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
a : α
ha : a ≤ sSup S
⊢ ∃ T ⊆ S, a = sSup T
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
h1 : ‖x - y‖ ^ 2 = (‖x‖ - ‖y‖) ^ 2
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
a : α
⊢ -a ∈ -s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
q₁ q₂ : Semiquot α
⊢ q₁ = q₂ ↔ ∀ (a : α), a ∈ q₁ ↔ a ∈ q₂
E : Type u_2
NNNorm E
x : ULift.{u_5, u_2} E
⊢ ‖x.down‖₊ = ‖x‖₊
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
g : G
⊢ (SemidirectProduct.lift f₁ f₂ h) (SemidirectProduct.inr g) = f₂ g
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
f : α → β
l : Array α
⊢ b ∈ Array.map f l ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ f a = b
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a * b).imK = a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Ioi b ↔ x ∈ Ioi (e.symm b)
V : Type u_1
W : Type u_2
e : V ≃ W
⊢ e.simpleGraph.symm = e.symm.simpleGraph
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
f : R
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.germ x) ((toOpen R U) f) = (toStalk R ↑x) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Disjoint K Kᗮ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.RegularEpi f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.RegularEpi.left f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.RegularEpi.right f
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a + |a| = 2 • a⁺
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.11305, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (F.map f ⊗ (F.closedIhom.obj G).map f) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
⊢ Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = volume
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ 0).log = ↑0 * x.log
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
⊢ ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hbj : ↑j < b.degree
⊢ j < d
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : M' →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ f = g
x : M
⊢ (↑(iso S f) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x = f x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
p : ι × ℝ
⊢ splitMany I (insert p s) = splitMany I s ⊓ split I p.1 p.2
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))
W : C
q : W ⟶ Z
x : (forget A).obj ((H.op ⋙ F).obj (Opposite.op W))
h : ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op W)) x = ((H.op ⋙ G).map q.op) ((forget A).map (G.map map.op) a)
⊢ (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))).arrows q
α : Type u_1
a b : α
LT α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
a : F
⊢ { proj := b, snd := a } ∈ (Z.localTrivAt b).source
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).degree = ↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
i j k : ℕ
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
⊢ CategoryTheory.Functor.OfSequence.map f i k ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Functor.OfSequence.map f i j hij)
    (CategoryTheory.Functor.OfSequence.map f j k hjk)
k G A : Type u
CommRing k
Group G
AddCommGroup A
Module k A
DistribMulAction G A
SMulCommClass G k A
f : ↥(groupCohomology.oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ groupCohomology.IsOneCoboundary ↑↑f
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Function.Involutive f
hn : Even n
⊢ f^[n] = id
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → InfClosed t → infClosure s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
⊢ FinStronglyMeasurable (f ⊓ g) μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
Group K
ϕ : G →* K
⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.map ϕ H)
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ((monomial n) ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n) + erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
r : Fin n
⊢ append u v (natAdd m r) = (v ∘ cast ⋯) (natAdd m r)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
x : P
⊢ dist x (v +ᵥ x) = ‖v‖
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
⊢ ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.algEquiv M S Q) (IsLocalization.mk' S x y) = IsLocalization.mk' Q x y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
⊢ ⨆ i, (f i).ord < c.ord
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ ∀ (a_1 : G ≃+c[a, a] G) (a_2 : G), ↑(AddConstEquiv.equivUnits a_1)⁻¹ a_2 = a_1⁻¹ a_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f
⊢ ⇑f '' t ⊆ Ioi s
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
⊢ ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑e c), ‖f (↑e.symm a)‖ = ‖f c‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ⊕ β → γ
a : α
⊢ ((Equiv.sumArrowEquivProdArrow α β γ) f).1 a = f (Sum.inl a)
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ ↑↑a * 1 = ↑↑a
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : StarModule R B
inst✝⁵ : FunLike F A B
inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B
inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B
f✝ g✝ : F
s : Set A
inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
f g : F
h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x
a : ↥(adjoin R s)
r : R
⊢ (fun y => f y = g y) ((algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ (s \ {∅}) = ⋃₀ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s
a b : ℝ≥0∞
⊢ a < b ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)
⊢ aestabilizer G μ s = ⊤
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + ↑K * dist x y
b p : ℕ
⊢ 2 ≤ b → Odd p → (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
α : Type u
s : Set α
t : Set (Set α)
⊢ s ∈ t \ {∅} ↔ s ∈ t ∧ s.Nonempty
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ ↑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C y)) *
    (↑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x (Polynomial.C (W.negY x y))) *
      (↑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XIdeal W x))⁻¹) =
  1
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
⊢ (∃ a, (((finSuccEquiv R n) f).coeff i) a ≠ 0 a) ↔ ∃ a ∈ f.support, a 0 = i
α : Type u_1
MonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
⊢ multiplicity a 0 = ⊤
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∈ [[a, b]]
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ (∏ _x ∈ Finset.range n, I) ⊔ J = ⊤
X : Type u_1
MeasurableSpace X
PseudoEMetricSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
⊢ μ E ≤ ∫⁻ (x : X), ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x) ∂μ
α : Type u_2
Ring α
a b : α
ha : Even a
hb : Odd b
⊢ Odd (a - b)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t + s
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ (Multiset.map (fun i => (X - C i).nextCoeff) P.roots).sum = -P.roots.sum
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsRegular M₂ (List.map (⇑σ) rs)
a : Nat
⊢ a ≠ 0 → a - 1 ≠ a
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
⊢ Matrix.toBilin (Pi.basisFun R₂ n) = Matrix.toBilin'
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
motive : {u w : V} → (p : G.Walk u w) → ¬p.Nil → Sort u_1
cons : {u v w : V} → (h : G.Adj u v) → (q : G.Walk v w) → motive (SimpleGraph.Walk.cons h q) ⋯
h' : G.Adj u v
q' : G.Walk v w
⊢ SimpleGraph.Walk.notNilRec (fun {u v w} => cons) (SimpleGraph.Walk.cons h' q') ⋯ = cons h' q'
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op
⊢ ((pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.snd f.op g.op).unop = (pushout.inr f g).op.unop
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ (↑n).size + 1 = (2 * ↑n).size
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
AddGroup G
AddAction G X
IsometricVAdd G X
c : G
⊢ (IsometryEquiv.constVAdd c).symm = IsometryEquiv.constVAdd (-c)
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
s : Finset (Equiv.Perm α)
⊢ σ.cycleFactorsFinset = s ↔ (∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Equiv.Perm.Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
ht : Convex ℝ ∅
disj : Disjoint s ∅
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ ∅, u ≤ f b
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
x : P
⊢ x ∈ 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
b : ↑(Set.range ⇑f)
⊢ f (f.invOfMemRange b) = ↑b
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}
⊢ Cauchy (map (fun n => f n x) l)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr
⊢ Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax ↑(findMax' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) ∧ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax.size + 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
⊢ ∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (0 * b₂)) = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x y : FirstOrder.Language.ring.Term α
v : α → R
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (x + y) = FirstOrder.Language.Term.realize v x + FirstOrder.Language.Term.realize v y