ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
DecidableEq ι
k : ℕ∞
x : (i : ι) → F' i
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 k (Function.update x i)
γ : Type u_3
δ : Type u_5
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ Set.univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ↑f b = 0
⊢ ↑f b * μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑f b}) = ↑f b * μ (↑f ⁻¹' {↑f b} ∩ s)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.basis s v i = C (nodalWeight s v i) * (nodal s v / (X - C (v i)))
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
f g : BoundedContinuousFunction α ℝ
⊢ f x ≤ g x + dist f g
n : ℕ
⊢ Coprime 2 n ↔ Odd n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ 0 ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hf : Tendsto f l atTop
b : β
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a) b
b' : β
h : b < b'
⊢ False
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
p✝ : Γ' → Bool
k₁✝ k₂✝ : K'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
⊢ Supports (insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)) S
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) (↑(re z) + ↑(im z) * I) = ↑(re z) - ↑(im z) * I
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
⊢ Filter.Tendsto (fun N => ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPt e N) x) Filter.atTop (𝓝 x)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = G.map f ↔ G.map f = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f) w n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop (Metric.ball x ↑r')
x : ℝ≥0∞
⊢ x⁻¹.log = -x.log
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
⊢ s + ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s + t))
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a
⊢ (starAlgHom φ h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
K : Type v
Field K
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor = Polynomial.map (AdjoinRoot.of f.factor) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
⊢ finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X
this : Nonempty ↑Xs
⊢ M.Basis I (⋃ i, ↑i)
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
α : Type v
x : α
⊢ (pure x).run = pure (pure x)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hs : s ⊆ (extChartAt I c).source ∧ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s = closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
⊢ LinearMap.toMatrix' LinearMap.id = 1
B : Type u_1
B' : Type u_2
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
e : B ≃ B'
⊢ (cs.reindex e).mulEquiv = cs.mulEquiv.trans (M.reindexGroupEquiv e).symm
n : ℕ
b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Iio b) = Finset.Iio ↑b
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Function.Injective fun a => a ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a ⊔ b)ᶜ = aᶜ ⊓ bᶜ
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
⊢ ((WittVector.map g) (f x y)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x) ((WittVector.map g) y)).coeff n
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ ↑(N.lTensorOne' ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) = ↑(y • n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
n : ℕ
⊢ μ (support (c • ↑(hf.approx n))) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)
⊢ Measure.map (u ∘ f) μ = Measure.map (u ∘ g) ν
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.AddContent C
I : Finset (Set α)
_h_ss : ↑I ⊆ C
_h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
_h_mem : ⋃₀ ↑I ∈ C
⊢ self.toFun (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, self.toFun u
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ Nat.find ⋯ = p.count a.factors
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ Cardinal.mk α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0
⊢ ⟨k, property✝⟩ * ⟨k⁻¹, ⋯⟩ = 1
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G
⊢ (A.ρAut g).inv = A.ρ g⁻¹
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ IsLocalAtTarget P.universally
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : s ≠ 0
⊢ cons y s ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
g : β → α
h : t₁ ≤ t₂
⊢ TopologicalSpace.induced g t₁ ≤ TopologicalSpace.induced g t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
ContinuousMul α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
⊢ Multipliable fun b => f b * g b
⊢ PartOrd.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ PartOrd Preord = CategoryTheory.forget₂ PartOrd Preord ⋙ Preord.dual
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ < a
⊢ ⊥ < a
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α
⊢ (inducedOuterMeasure m P0 m0) (⇑f ⁻¹' A) = (inducedOuterMeasure m P0 m0) A
α β✝ : Type u
c b✝ : Cardinal.{u}
β γ : Type u
this : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty
hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β
f : γ ↪ β
b : β
hb : ¬∃ a, f a = b
⊢ Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.bind₁ f) ((MvPolynomial.monomial d) r) = MvPolynomial.C r * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
hja : ↑j < Nat.supOfSeq a
⊢ ((↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1).Coprime ((↑j + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1)
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)
⊢ eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' 1 = {a⁻¹}
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ↑⊤ x = ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ ⊥.CG
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ (o.blsub f).cof ≤ o.card
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ
⊢ s n ∩ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k ⊆ ∅
α : Type u_5
H : PartialOrder α
⊢ OrderDual.instPartialOrder αᵒᵈ = H
α : Type u_1
Semiring α
b : ℕ
L : List ℕ
⊢ ↑(Nat.ofDigits b L) = Nat.ofDigits (↑b) L
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
R : Φ.RightResolution X₂
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id R).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id R.X₁
α : Type u_1
s t : Multiset α
n : ℕ
h : s.Nodup
hn : n ≠ 0
⊢ s ≤ n • t ↔ s ≤ t
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ padicValNat p (a ^ n) = n * padicValNat p a
η : Type u_4
Finite η
Gs : η → Type u_5
(i : η) → Group (Gs i)
H K : (i : η) → Subgroup (Gs i)
⊢ ⁅Subgroup.pi Set.univ H, Subgroup.pi Set.univ K⁆ = Subgroup.pi Set.univ fun i => ⁅H i, K i⁆
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
⊢ ⨅ (ht : P (⇑f ⁻¹' s)), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ht = ⨅ (ht : P s), ⨅ (_ : A ⊆ s), m s ht
a : UnitAddCircle
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a 0 = if a = 0 then -1 / 2 else 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : ¬p i
⊢ DFinsupp.filter p (DFinsupp.single i x) = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (Filter.pi f ⊓ 𝓟 (Set.univ.pi s)).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot
G : Type u_1
X : Type u_2
Group G
MulAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
T2Space X
WeaklyLocallyCompactSpace X
DiscreteTopology G
ContinuousConstSMul G X
⊢ ProperlyDiscontinuousSMul G X ↔ ProperSMul G X
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.blimsup u f p ⊔ Filter.blimsup u f q ≤ Filter.blimsup u f fun x => p x ∨ q x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
a : α
ha : ∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ a
b : α
hb : ∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ b
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ a ⊔ b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
F.IsTriangulated
F.mapArrow.EssSurj
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ IsPiSystem (generatePiSystem S)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : FirstObj P R
⊢ ((firstObjEqFamily P R).hom x).PullbackCompatible ↔ firstMap P R x = secondMap P R x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ
⊢ α
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T✝ : L.Theory
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
T : L.Theory
⊢ M ⊨ φ.onTheory T ↔ M ⊨ T
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k
l : ℕ
hn : 0 ≤ ↑l
⊢ A ^ (↑k + ↑l) = A ^ ↑k * A ^ ↑l
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ ((p + q).support.sup fun s => toMultiset s) ≤ (p.support.sup fun s => toMultiset s) ⊔ q.support.sup fun s => toMultiset s
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
s : Set α
c : α
y : E
h : IsMaxOn (norm ∘ f) s c
hy : SameRay ℝ (f c) y
⊢ IsMaxOn (fun x => ‖f x + y‖) s c
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
h_pos : 0 < k
⊢ choose 0 k = 0
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M
e : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M
left✝ : e ∘ₗ f = f
univ : ∀ (y : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M), (fun l => l ∘ₗ f = f) y → y = e
⊢ iso S (mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
z : ℝ
x✝¹ x✝ : ℝ≥0
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hx0 : ¬x✝¹ = 0
hy0 : ¬x✝ = 0
hxy : x✝¹ ≤ x✝
⊢ ↑(x✝¹ * x✝) ^ z = ↑x✝¹ ^ z * ↑x✝ ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
x : ℕ → Set α
⊢ (⨅ i, 𝓟 (x i)).IsCountablyGenerated
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
⊢ μ univ = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
CommSemiring B
AddCommMonoid M
Algebra R A
Algebra R B
Module A M
Module B M
Module R M
Algebra A B
IsScalarTower R A B
IsScalarTower A B M
d : Derivation R B M
⊢ ∀ (a : A), (Derivation.compAlgebraMap A d) a = d ((algebraMap A B) a)
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
⊢ List.range' s m step ⊆ List.range' s n step ↔ m ≤ n
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
x b : X
a y : X
ha : x ⊓ y = a
hxy : x ≠ y
hxb : JordanHolderLattice.IsMaximal x b
hyb : JordanHolderLattice.IsMaximal y b
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal a y
⊢ Set.InjOn (⇑Cardinal.toENat) (Set.Iic Cardinal.aleph0)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
x✝ : E
⊢ (⨆ i, ⇑(p i)) x✝ = ⨆ i, (p i) x✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ¬Disjoint (doset a ↑H ↑K) (doset b ↑H ↑K)
⊢ b ∈ doset a ↑H ↑K
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.Memℒp g p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ (fun x => f x * g x) a = cfcₙ f a * cfcₙ g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 1 → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ bsup 1 f = f 0 ⋯
m : Type u_1 → Type u_2
σ α β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
x : StateT σ m α
y : StateT σ m β
⊢ (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (Function.const α id <$> x) fun x => y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H1 : UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α)
⊢ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ ∀ (a : R) (x : L), χ x = 0 → χ (a • x) = 0
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ
⊢ ∑' (x : γ) (b : ↑(g ⁻¹' {x})), f ↑b = ∑' (i : β), f i
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
⊢ univ.encard = s.encard
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ (List.filter (fun b => decide (p b)) (List.range n)).length = (filter p (range n)).card