ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
G : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ G
p : YonedaCollection F X
⊢ op (CostructuredArrow.mk p.fst) = op (CostructuredArrow.mk (map₁ η p).fst)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
x y : M
⊢ (⋯.choose x) y = (Q.polarBilin x) y
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : Rˣ
⊢ 1 ↑a = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
n₀ n₁ n₀' n₁' : ℤ
h₀ : n₀ + x = n₀'
h₁ : n₁ + x = n₁'
⊢ ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).D₁ (ComplexShape.up ℤ) n₀ n₁ ≫ (K.totalShift₁XIso x n₁ n₁' h₁).hom =
  x.negOnePow • (K.totalShift₁XIso x n₀ n₀' h₀).hom ≫ K.D₁ (ComplexShape.up ℤ) n₀' n₁'
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : _root_.Embedding g
⊢ _root_.Embedding (g ∘ f) ↔ _root_.Embedding f
α β : Type u
f : α → β
x y : FreeAddMagma α
⊢ f <$> (x + y) = f <$> x + f <$> y
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x : ↥H
⊢ ↑(-x) = -↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : IsUnit ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P))
⊢ P.newtonMap x = x - ↑h.unit⁻¹ * (Polynomial.aeval x) P
α : Type u
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
⊢ (⋃ i, ⋃ (h : i ∈ s), t i h).Finite
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ (f + g).NeBot → g.NeBot
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this✝ : IsIso g
this : IsIso h
⊢ g = h
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Order.pred a < b ↔ a = b ∨ a < b
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF (fun p => ProbabilityTheory.condCDF ρ p.2) (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ)
  (ProbabilityTheory.Kernel.const Unit ρ.fst)
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x : α
p : Fin n → α
⊢ i.insertNth x p ∘ rev = i.rev.insertNth x (p ∘ rev)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p} (h : ∀ i ∈ s, p i) (f : (i : α) → p i → β) (g : (i : α) → ¬p i → β),
  (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
⊢ γ = -(↑0! * (-γ + ↑(harmonic 0)))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r t : CategoryTheory.Limits.Cone F
i : r ≅ t
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit r
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsLimit.equivIsoLimit i) P = P.ofIsoLimit i
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
⊢ S ≤ S ⊔ T
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ ↑(a * b) = -↑a * -↑b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ (map R' f) (p • 0) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) 0
r s t : ℝ
⊢ r = s → s = t → r = t
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ l.maximum ≠ ⊥
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a (1 - s) = HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hI : F.I = F'.I
hm : F.m = CategoryTheory.eqToHom hI ≫ F'.m
⊢ F = F'
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (preimage f)
y : β
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' {y}
⊢ ∃ a, f a = y
x y : ZFSet
⊢ y ∈ ⋂₀ {x} ↔ y ∈ x
α : Type u
Group α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => a ^ n = 1) Finset.univ).card ≤ n
a : α
⊢ (Finset.filter (fun b => b ^ orderOf a = 1) Finset.univ).card = orderOf a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x✝ : L
φ : R
k : ℕ
x : L
⊢ MapsTo ⇑(((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) φ) ^ k) ↑N ↑N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.sheafifyMap J (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.sheafify J P)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
b : α
⊢ s.Nonempty → (∀ a ∈ s, b ≤ a) → (∀ (w : α), b < w → ∃ a ∈ s, a < w) → sInf s = b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
f : R ≃+* S
⊢ ker ↑f = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ t.Nonempty
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Word M
⊢ (⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨ (i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m₁⟩) ∨ m₁ ≠ 1 ∧ ∃ (h : j = i), m₁ = h ▸ (let __src := (equivPair j) w; { head := m₂ * if h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = j then ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd else 1, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ }).head) ↔ ¬i = j ∧ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList ∨ m₁ ≠ 1 ∧ ∃ (hij : i = j), ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨ (∃ m', ⟨j, m'⟩ ∈ w.toList.head? ∧ m₁ = ⋯ ▸ (m₂ * m')) ∨ w.fstIdx ≠ some j ∧ m₁ = ⋯ ▸ m₂
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
x✝¹ : ℝ≥0
hx0 : ↑x✝¹ ≠ 0
x✝ : ℝ≥0
hy0 : ↑x✝ ≠ 0
hxy : ↑x✝¹ ≤ ↑x✝
⊢ (↑x✝¹ * ↑x✝) ^ z = if (↑x✝¹ = 0 ∧ ↑x✝ = ⊤ ∨ ↑x✝¹ = ⊤ ∧ ↑x✝ = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else ↑x✝¹ ^ z * ↑x✝ ^ z
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s
f : Y✝ ⟶ i
⊢ F.map g x ∈ F.map f ⁻¹' s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
p : OverArrows η s
⊢ yoneda.map p.val ≫ η = s
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a : E
s : AddSubgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
⊢ ∃ v,
  Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), v i) Filter.atTop (𝓝 a) ∧
    (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 - a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : (X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equiv F).inv c).pt = Opposite.unop c.fst
α : Type u_1
S : Set (Set α)
H : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ S, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
x : Set α
hx : x ∈ S
⊢ ∃ m ∈ S, x ⊆ m ∧ ∀ a ∈ S, m ⊆ a → a = m
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G'' : SimpleGraph X
s : Set V
t : Set W
r : Set X
φ : G →g G'
φst : Set.MapsTo (⇑φ) s t
ψ : G' →g G''
ψtr : Set.MapsTo (⇑ψ) t r
hi : Set.InjOn (⇑φ) s
⊢ Injective ⇑(induceHom φ φst)
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
⊢ (CompleteLatticeHom.id α) a = a
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hf' : ∀ (x : ℝ), deriv f x ≤ 0
⊢ Antitone f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ e.subtypeRestr hs = (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).trans e
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ ‖x‖ = Metric.infDist 0 {m | ↑m = x}
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a - b).im = a.im - b.im
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U
⊢ Continuous (coev X Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
t : α → Set β
⊢ ⋂ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋂ i, ⋂ x ∈ s i, t x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b c : α
⊢ (if P then a else b) = c ↔ P ∧ a = c ∨ ¬P ∧ b = c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ f₁ : E → F
x : E
s : Set E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : x ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₀ s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
⊢ s₁ ∪ s₂ ∪ s₃ = s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : a ∈ ⨅ i, ker (proj i)
⊢ a ∈ ⊥
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩
this : a₁ = a₂
⊢ ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p q : TangentBundle I M
⊢ p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).source ↔ p.proj ∈ (chartAt H q.proj).source
α : Type u_1
a b : List α
h0 : a ≠ []
⊢ a ++ b ≠ []
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGLB s a
Hb : IsLUB s b
x y : α
Hx : x ∈ s
Hy : y ∈ s
Hxy : x ≠ y
⊢ a < b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
i : ι
hi : i ∈ ↑ι'
⊢ s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ (Set.Iic a).Nonempty
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
I : Ideal S
Algebra R S
Nontrivial R
IsDomain S
x : S
x_ne_zero : x ≠ 0
x_mem : x ∈ I
hx : IsIntegral R x
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) I ≠ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_top : 0 ≠ ⊤
hf : Memℒp f 0 μ
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) 0 μ < ε
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(μ (thickening n {a | t ≤ f a}))) (volume.restrict A)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ n = (A ^ n)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
S : PointedCone 𝕜 F
x : E
⊢ x ∈ PointedCone.comap f S ↔ f x ∈ S
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
this : Nonempty β
⊢ ∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* K
hf : Function.Injective ⇑f
r s : S
hr : eval₂ f (f r / f s) p = 0
hs : s ∈ nonZeroDivisors S
⊢ eval₂ f (f r) (p.scaleRoots s) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
SecondCountableTopology β
hf : Inducing f
⊢ SecondCountableTopology α
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ LieAlgebra.IsSimple R ↥↑I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P'
CategoryTheory.BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategory.map h).map f = f
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
⊢ ∃ p, CharP R p
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f : Π₀ (i : ι), β i
h₁ h₂ : (i : ι) → β i → γ
⊢ (f.prod fun i b => h₁ i b * h₂ i b) = f.prod h₁ * f.prod h₂
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
P : Ideal A
h : Prime P
Submodule.IsPrincipal P
⊢ Prime (Submodule.IsPrincipal.generator P)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
Subsingleton ι
i : ι
f : M [⋀^ι]→L[R] N
x : M
⊢ ((ContinuousAlternatingMap.ofSubsingleton R M N i).symm f) x = f fun x_1 => x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.HasShift E ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject E
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Preadditive E
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor E n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
CategoryTheory.Pretriangulated E
(F.comp G).IsTriangulated
F.IsTriangulated
F.mapArrow.EssSurj
⊢ G.IsTriangulated
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) = (reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).hom
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝¹ : Finmap β
x✝ : α
⊢ lookup x✝ (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝¹)) = (↑(keysLookupEquiv x✝¹)).2 x✝
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).coeff d = if n ≤ d then p.coeff (d - n) else 0
α : Type u_2
AddCommSemigroup α
s t : Set α
⊢ s ∩ t + (s ∪ t) ⊆ s + t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
⊢ ↑(-z) = -↑z
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.appLinearMap X) α = α.app X
n : ℕ
⊢ n.totient = (Finset.filter n.Coprime (Finset.range n)).card
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ ∃ M ε, 0 < M ∧ 0 < ε ∧ {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y z w : ℤ
h1 : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0
h2 : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0
⊢ { re := x, im := y } = 0 ∨ { re := z, im := w } = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π (CategoryTheory.Preadditive.cokernelCoforkOfCofork c) = c.π
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x✝ y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : Ray R M
⊢ x ≠ -x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ ↑f.contLinear = f.linear
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅v, x⁆ ∈ H
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : CommRing M
inst✝⁵ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f✝ : L →+* M
g✝ : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : ExpChar N p
inst✝ : IsPRadical i p
h : pNilradical M p = ⊥
f g : L →+* M
heq : (fun f => f.comp i) f = (fun f => f.comp i) g
x : L
⊢ f x = g x
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
AddCommMonoid N
Module R N
p : MvPolynomial σ R
n : N
⊢ MvPolynomial.scalarRTensor (p ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum p fun i m => Finsupp.single i (m • n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
s : Finset β
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α
⊢ (s.sup' hs fun b => t.sup' ht (f b)) = t.sup' ht fun c => s.sup' hs fun b => f b c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : SeminormedRing α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : Module α β
h : ∀ (r : α) (x : β), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
a₁ a₂ : α
b : β
⊢ dist (a₁ • b) (a₂ • b) ≤ dist a₁ a₂ * dist b 0
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
⊢ M.Indep I ↔ ¬M.Dep I ∧ I ⊆ M.E
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
gt : cs.length (w * cs.simple i) > cs.length w
⊢ cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D₁
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
G : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
CategoryTheory.CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
G.IsEquivalence
⊢ Φ.IsLocalizedEquivalence
n : ℕ
⊢ ∀ (a : (Fin n)ᵒᵈ), Fin.revOrderIso a = (OrderDual.ofDual a).rev
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a'✝ a' : α
⊢ a' ∈ (pure a).support ↔ a' ∈ {a}
R : Type u_1
Semiring R
M' : Type u_5
AddCommGroup M'
Module R M'
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v' : ι → M'
DecidableEq ι
i : ι
x : M'
⊢ g' (Function.update v' i (-x)) = -g' (Function.update v' i x)
α : Type u_2
β : Type u_3
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
DecidableEq β
t : Finset β
a : α
⊢ -a • t = -(a • t)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type w
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R C
X Y Z : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (r • f) ≫ g = r • f ≫ g