ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = 1
⊢ ψ (-1) * ψ x = ψ x
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
f : α →ₘ[μ] γ
n : ℕ
⊢ (f ^ n).toGerm = f.toGerm ^ n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIocDiv hp 0 (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) r ∈ S
⊢ PrimrecRel fun x x_1 => x < x_1
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
⊢ χ = (changeLevel ⋯) (Classical.choose ⋯)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ x ∈ RingHom.ker (truncate n) ↔ ∀ i < n, x.coeff i = 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
⊢ Fintype.card ↑{v | Odd (G.degree v)} = 0 ∨ Fintype.card ↑{v | Odd (G.degree v)} = 2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
⊢ ↑p ^ (-↑k) ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ ↑k
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
⊢ multiplicity p a = 0
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
e : M ≃+ M₂
h : ∀ (c : R) (x : M), e (c • x) = c • e x
⊢ ⇑(e.toLinearEquiv h) = ⇑e
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
y : ↥(span ℤ (Set.range ⇑b))
x : E
⊢ y +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b ↔ y = -floor b x
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
x y : M
z : ↥S
h₁ : y * ↑z = 1
h₂ : x * y = 1
⊢ x ∈ S
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP p s = Multiset.card s ↔ ∀ a ∈ s, p a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ Nat.factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Nat.Prime p → p ∣ m → p ∈ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁
⊢ π₁ ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = p.leadingCoeff
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᵐ[κ a] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᵐ[κ a] g'
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f' g' κ μ
α : Type u
l : List α
n : ℕ
k : Fin l.length
⊢ l.get k = l.get ⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + n) % l.length, ⋯⟩
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
⊢ (φ.imp ψ).Realize v ↔ φ.Realize v → ψ.Realize v
α : Type u_4
self : DivisionRing α
a : ℚ
x : α
⊢ DivisionRing.qsmul a x = ↑a * x
R : Type u₁
inst✝³ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CharP R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (fun n => φ ((coeff R p n) f)) (n + 1) ^ p = (fun n => φ ((coeff R p n) f)) n
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEMeasurable (f ∘ Subtype.val) (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ)
w : Nat
x : BitVec w
r : Nat
⊢ x.rotateLeft (r % w) = x.rotateLeft r
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : EuclideanGeometry.angle b p c = π
⊢ dist a b ^ 2 * dist c p + dist a c ^ 2 * dist b p = dist b c * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ⇑(Equiv.prodComm α β) = Prod.swap
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖))
p : PosNum
n : ℕ
⊢ p.shiftr n = p >>> n
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
⊢ ¬↑x = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty ((X_1 : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)) → Unique (X_1 ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
⊢ nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = nndist x₁ x₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ s
α : Type u_2
Zero α
Add α
Neg α
a : α
⊢ [a].alternatingSum = a
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
⊢ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)
S : Type u_3
Mul S
a b : S
h : Commute a b
⊢ Commute b a
n : Nat
m : Nat
i : Fin m
⊢ Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd n i) = i.addNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
x✝ : Set α
⊢ (∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ x✝, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ g, t ⊆ {x | (fun y => ∀ x ∈ x✝, (x, y) ∈ s) x}
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
h₁ : U' ∈ X.affineOpens
h₂ : x ∈ U'
h₃ : U' ≤ U ⊓ V
⊢ hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
Gl : CategoryTheory.Functor C D
Gr : CategoryTheory.Functor D C
adj : Gl ⊣ Gr
Gr.Full
Gr.Faithful
F : CategoryTheory.Functor J D
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp Gr)
H : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), CategoryTheory.Limits.HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
(X : D) →
    (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
(X : C) →
    (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f (c.ι.app i)) Gl
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1
⊢ (sec M x).1 ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
⊢ ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) t
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
hg : Function.Injective ⇑g
k : (AddSubmonoid.map g S).LocalizationMap Q
⊢ Function.Injective ⇑(f.map ⋯ k)
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi c, ↑t ^ a = -↑c ^ (a + 1) / (a + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
g : S₂ ⟶ S₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₂ g.f₂
n m : Nat
⊢ n.Coprime m → m.Coprime n
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : α → β
hf : ∀ (s : Set α), f (sSup s) = sSup (f '' s)
⊢ ⇑{ toFun := f, map_sSup' := hf } = f
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ 0 ≤ ↑(finrank ℚ K) ∧ 0 ≤ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖ ∨ ↑(finrank ℚ K) ≤ 0 ∧ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖ ≤ 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₀ : J
h : ∀ (p : Set J), j₀ ∈ p → (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → (j₁ ∈ p ↔ j₂ ∈ p)) → ∀ (j : J), j ∈ p
⊢ CategoryTheory.IsConnected J
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
R : Type
CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
⊢ ↑(Zsqrtd.lift.symm f) = f Zsqrtd.sqrtd
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
⊢ IsOpen ↑Valued.v.integer
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
Monoid γ
(i : ι) → AddMonoid (β i)
(i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (r • f) = r • DFinsupp.subtypeDomain p f
M : Type u_2
CommMonoid M
a b : ℕ
hab : a < b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ico a b, f k = f a * ∏ k ∈ Finset.Ico (a + 1) b, f k
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)
⊢ ∑ x : Fin n, ↑(f x.castSucc) * (n✝ + 1) ^ ↑x + ↑(f (Fin.last n)) * (n✝ + 1) ^ n < (n✝ + 1) ^ (n + 1)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x.fst⁻¹ ≠ 0
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
⊢ ∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝ (x * y) = __src✝ x * __src✝ y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
p : R[X]
k : ℕ
⊢ (⇑derivative)^[k] (C a * p) = C a * (⇑derivative)^[k] p
n : ℕ
⊢ 2 ^ (n + 1) * √(2 - Real.sqrtTwoAddSeries 0 n) < π
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s / t)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁ = μ₂ ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s = μ₂ s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
⊢ h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p - φ₂.f p
l m r : List Char
it₂ : Iterator
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂
h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }
⊢ { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract it₂ = { data := m }
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : AddCommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ≤ f b + f (a / b)
X Y : Type u
i : X ≅ Y
⊢ equivIsoIso.inv i = i.toEquiv
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : CompleteSpace F
hm : m ≤ m0
⊢ IsComplete {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ Iic (⨅ i, f i) ↔ x✝ ∈ ⋂ i, Iic (f i)
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ p) (k / p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ CategoryTheory.composePath Quiver.Path.nil = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u
t : TopologicalSpace α
h : TopologicalSpace.SeparableSpace α
s : Set α
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
Fintype ↑(Gᶜ.neighborSet v)
Fintype V
⊢ Gᶜ.degree v = Fintype.card V - 1 - G.degree v
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ LinearMap.SeparatingLeft (LinearMap.dualProd R M) ↔ Function.Injective ⇑(Module.Dual.eval R M)
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this : Finite K R
⊢ a.IsSemisimple
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ taylorWithin f (n + 1) s x₀ =
  taylorWithin f n s x₀ +
    (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))
      ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀))
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ s.Disjoint (a ::ₘ t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithTop.some '' Set.Ico a b = Set.Ico ↑a ↑b
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) =
  f ((WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < 1
H : 0 < 1 - (1 + x + x ^ 2) * (1 - x)
⊢ rexp x < 1 / (1 - x)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), Set.EqOn (F n) (G n) s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn G f p s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ
⊢ conductor 1 ∣ n
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ (∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ ↑s = {a} ↔ s = {a}
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) Filter.atTop
α : Type u_1
β : α → Type u_2
F : (a : α) → Equiv.Perm (β a)
⊢ (Equiv.Perm.sigmaCongrRight F)⁻¹ = Equiv.Perm.sigmaCongrRight fun a => (F a)⁻¹
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Subalgebra R A
⊢ s ≤ Subalgebra.centralizer R ↑(Subalgebra.centralizer R ↑s)
α : Type u_2
A : Set α
⊢ Function.Injective (Set.image Subtype.val)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(P.obj X)
⊢ (P.map f) x = (P.presheaf.map f) x
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n * r = n • r
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
m : ι → M
i : ι
⊢ f (Function.update m i 0) = 0
α : Type u_1
Mul α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ min a b ≤ max c d
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedAddCommGroup Z
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
g : Y → Z
x : X
hg : ConformalAt g (f x)
hf : ConformalAt f x
⊢ ConformalAt (g ∘ f) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
StarMul A
a : A
u : ↥(unitary A)
⊢ spectrum R (↑u * a * star ↑u) = spectrum R a
x y : ZFSet
⊢ ↑(x ∩ y) = ↑x ∩ ↑y
x✝¹ x✝ : ℝ
h : (↑x✝¹).toReal = (↑x✝).toReal
⊢ ↑x✝¹ = ↑x✝
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ
⊢ (fun x => rexp (a * x ^ 2 + b * x)) =o[Filter.atTop] fun x => x ^ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).g' = S.g
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ ↑x = 0 ↔ ∃ n, n • p = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
fst snd : S.Arrow
r : fst.Relation snd
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.mk' r).snd = snd
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
f : (i : ι) → κ i → AddSubgroup (AddUnits M)
⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j).ofAddUnits = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).ofAddUnits
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U V : OpenSubgroup G
x : G
⊢ x ∈ U ⊓ V ↔ x ∈ U ∧ x ∈ V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
μ ν : Measure α
κ : Kernel α β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((μ + ν).bind ⇑κ) s = (μ.bind ⇑κ + ν.bind ⇑κ) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ K.homologyπ j ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyπ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Nontrivial
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ (f '' s).Nontrivial
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ mk m 1 = mk (↑s • m) s
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k
⊢ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = 0
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
⊢ WittVector.coeff 0 n = 0
a b : UInt32
⊢ a * b = { val := a.val * b.val }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map f.left) B.hom = A.hom
x : ℝ≥0
⊢ x ^ 0 = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
⊢ f ≤ 𝓝 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ f ▷ Z ≫ (β_ Y Z).hom = (β_ X Z).hom ≫ Z ◁ f
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
t : Set β
⊢ extentClosure r (intentClosure r (extentClosure r t)) = extentClosure r t
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
self : MeasurableEmbedding f
⊢ Measurable f
R : Type u
ι : Type y
Semiring R
s : Finset ι
g : ι → R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (∑ i ∈ s, g i) = ∑ i ∈ s, Polynomial.eval x (g i)
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ extentClosure r ∅ = Set.univ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ζ : R
i : ℕ
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hi : i ∈ Nat.divisors 0
⊢ ζ ^ 0 = 1
α : Type u_2
i : α → Type u_3
Fintype α
(a : α) → Mul (i a)
⊢ commProb ((a : α) → i a) = ∏ a : α, commProb (i a)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.Limits.HasKernels Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasCokernels Cᵒᵖ
X : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyFunctorOpNatIso C).hom.app X = (Opposite.unop X).leftHomologyOpIso.inv
s : ℂ
⊢ s.Gammaℝ = 0 ↔ ∃ n, s = -(2 * ↑n)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
a b : A
e₁ : (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D a)
e₂ : (CategoryTheory.shiftFunctor C b).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D b)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd e₁ e₂).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e₂.hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map (e₁.hom.app X))
        ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X))))
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
i j : ℕ
⊢ a ^ i = a ^ j ↔ i = j
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
⊢ AddAction.orbitRel (↥H) α ≤ AddAction.orbitRel G α