ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅J, I⁆ ≤ I
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q ((AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f (n + 1))
α : Type u_1
CommRing α
n e1 t1 k l : α
e2 : ℕ
h1 : n * e1 = t1
h2 : l * n ^ e2 = k
⊢ k * e1 ^ e2 = l * t1 ^ e2
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
⊢ False
R M : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Flat R M
K N : Type u
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : Module R K
inst✝⁴ : Finite R K
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : K →ₗ[R] N
x : N →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : ∀ (K' : Submodule R K), K'.FG → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ K' ≤ ker (a ∘ₗ f)
⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a ∘ₗ f = 0
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a ^ n + b ^ n ≤ 2 * (a + b) ^ n
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n.minFac ∣ n
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopBraidedFunctor C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
a b : ℕ
⊢ ↑a * a.gcdA b ≡ ↑(a.gcd b) [ZMOD ↑b]
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v + ((-1 * Perm.sign σ) • MultilinearMap.domDomCongr (swap i j * σ) ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsClosed s
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ 1 * a ≤ a⁻¹ * a ↔ a ≤ 1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
⊢ (∃ xs, ∀ φ ∈ List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)), φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
w x y z✝ z : ℝ
h_one_le : 1 ≤ z
hx : ⊥ ≤ 1
⊢ ⊥ ^ z ≤ ⊥
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
x₀ : E
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹
⊢ IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
⊢ (⇑ofDual ⁻¹' s).chainHeight ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ'.fst ⊗ₖ η.comapRight he
α : Type u_1
Monoid α
u : αˣ
⊢ ↑u ~ᵤ 1
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsHereditarilyLindelof s
⊢ IsLindelof s
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {a : α}, 0 < n → List.find? p (List.replicate n a) = if p a = true then some a else none
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set (Set α)
⊢ f '' ⋃₀ s = ⋃₀ (Set.image f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsTotal β s], IsTotal α r
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I✝ : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
bM' : M → ι →₀ ↥I
hbM' : ∀ (x : M), (Ideal.finsuppTotal ι M I b) (bM' x) = f x
A : Matrix ι ι R := fun i j => ↑((bM' (b j)) i)
⊢ ∃ M_1, (toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
h : ζ ^ ↑k = 1
⊢ ζ = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
(i : ι) → SMul α (β i)
r : α
x : Hamming β
⊢ Hamming.ofHamming (r • x) = r • Hamming.ofHamming x
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
hp : (setOf p).Infinite
a b : ℕ
⊢ a < Nat.count p b ↔ Nat.nth p a < b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
hs : ∀ a ∈ s₁, a ∉ s₂ → f a = 1
⊢ ∏ a ∈ s₁ ∪ s₂, f a = ∏ a ∈ s₂, f a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ 0 ≤ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x
k : ℕ
M : Type u_7
B : Type u_8
CommMonoid M
SetLike B M
SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N
⊢ IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(m • B - n • B).card ≤ (↑(A + B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
T : Submonoid N
f : F
⊢ Submonoid.map f S ≤ T → S ≤ Submonoid.comap f T
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter α
a : α
hf : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f := by isBoundedDefault
h : ∀ (b : α), (∀ᶠ (n : α) in f, n ≤ b) → a ≤ b
⊢ a ≤ f.limsSup
N✝ N : ℕ
x : SL(2, ℤ)
HA : x ∈ Gamma1 N
⊢ x ∈ Gamma0 N
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u✝ : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiff 𝕜 N (f i)
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) x‖ ≤ ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDeriv 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) x‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
⊢ Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α α' β : Type u
f : α → α'
x : t α β
⊢ tfst (pure ∘ f) x = pure (fst f x)
α : Type u
i : Nat
⊢ List.drop i List.nil = List.nil
G : Type u_1
Group G
a : G
m n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ m * a ^ n = a ^ n * a⁻¹ ^ m
n p : ℕ
hp : Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3
h : p < 5
⊢ False
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : ↥K →ₐ[F] L
⊢ f.fieldRange ≤ ⨆ f, map f K
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ.compProd η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
u v : Set α
u_open : IsOpen u
v_open : IsOpen v
xu : f x ∈ u
yv : g y ∈ v
huv : Disjoint u v
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
εx : ℝ
εxpos : εx > 0
hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u
εy : ℝ
εypos : εy > 0
hεy : ball y εy ⊆ g ⁻¹' v
⊢ False
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ ThreeAPFree (sphere x r)
p : Char → Bool
s : String
⊢ s.takeWhile p = { data := List.takeWhile p s.data }
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
m : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.pt ⟶ s.pt
w : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ m = s.ι.app default
⊢ m = (fun s => s.ι.app default) s
c : Cardinal.{u}
h : c < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat c = Classical.choose ⋯
α : Type u_1
n : Type u_4
Star α
A : Matrix n n α
⊢ (∀ (i j : n), star (A j i) = A i j) → A.IsHermitian
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
Fintype α
DecidablePred fun x => a < x
⊢ Finset.filter (fun x => a < x) Finset.univ = Finset.Ioi a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
⊢ b * c % b = 0
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ ↑l₁ ≤ ↑l₂ ↔ l₁ <+~ l₂
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
h3a : 3 ∣ a
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
⊢ a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 ≠ 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ↑μ.mass = ↑μ Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
I : ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
htendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = I
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : Type u_3
m : β → (i : ι) → α i
l : Filter β
⊢ (∀ (i : ι), Tendsto (eval i ∘ m) l (f i)) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => m x i) l (f i)
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ z ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Set.Ioi 1
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.nodal (s.erase i) v = Lagrange.nodal s v / (Polynomial.X - Polynomial.C (v i))
m n : ℕ
h : Odd (m * n)
⊢ Odd m
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
⊢ B.toCone.pt = B.pt
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV✝ : V ∈ 𝓝 0
i : ι
hi : q i
hV : s i ⊆ V
⊢ Absorbs 𝕜 V A
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ G'.deleteEdges (s ∩ G'.edgeSet) = G'.deleteEdges s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.RegularMono f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f CategoryTheory.RegularMono.left =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f CategoryTheory.RegularMono.right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
p : α → Prop
⊢ Continuous p ↔ IsOpen {x | p x}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
⊢ F.Full
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
self : FloorDiv α β
a : α
⊢ 0 ⌊/⌋ a = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : RingHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m_1, ↑↑ζ ^ (m % ↑(orderOf ζ)).toNat = ↑↑ζ ^ m_1
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ ∀ x < ℵ₀, c ^ x ≤ max c ℵ₀
n : ℕ
⊢ (n + 1).centralBinom = 2 * (n + 1 + n).choose n
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ∀ (a : ↥⊤.toSubalgebra), IntermediateField.topEquiv a = ↑a
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
⊢ HasSum (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), ∑' (i : ι), F i a ∂μ)
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
h : (a ::ₘ s).Nodup
⊢ a ∉ s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f hf a)) Filter.atBot (𝓝 0)
K : Type u
DivisionRing K
x : K
⊢ x ∈ ⊤
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => Complex.log (f t)) (f' / f x) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hα : α ≠ 0
hx : x ∈ ⨅ β, Weight.ker
⊢ x = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
Fintype κ
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
a : Module.Dual R (TensorProduct R M N)
⊢ (TensorProduct.dualDistribEquivOfBasis b c).symm a =
  ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, a (b x ⊗ₜ[R] c x_1) • b.coord x ⊗ₜ[R] c.coord x_1
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
⊢ ∀ x ∈ s * t, ‖x‖ ≤ Rs + Rt
γ : Type w
SemilatticeSup γ
s : Set γ
x₀ : γ
⊢ BddAbove s ↔ ∃ x, x₀ ≤ x ∧ ∀ y ∈ s, y ≤ x
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i * w⁻¹) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
⊢ List.oldMapIdx f l = map (uncurry f) l.enum
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
Subsingleton ι
i : ι
f : G →L[𝕜] G'
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G' i) f‖ = ‖f‖
n : ℕ
⊢ fib n * (2 * fib (n + 1) - fib n) + (fib (n + 1) ^ 2 + fib n ^ 2) = fib (n + 1) * (2 * fib n + fib (n + 1))
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ List.scanr f b (a :: l) = List.foldr f b (a :: l) :: List.scanr f b l
x : ℂ
⊢ (∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x + ↑π / 2) ↔ ∃ k, -(↑π / 2) + ↑k * (2 * ↑π) = x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
⊢ H.index ≠ 0
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : W.IsCompatibleWithShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ W ((shiftFunctor C a).map f) ↔ W.inverseImage (shiftFunctor C a) f
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ φ W.a₃ ^ 2 + 4 * φ W.a₆ = φ (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.darts = (List.map SimpleGraph.Dart.symm p.darts).reverse
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a < b ↔ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s