ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
this : ℵ₀ ≤ Module.rank R R
⊢ False
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group α
a : α
inst✝¹ : MulAction α β
b : β
inst✝ : Fintype ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)
⊢ minimalPeriod (fun x => a • x) b = Fintype.card ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
ξ : AddCircle T
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∃ j ∈ Set.Icc 1 n, ‖j • ξ‖ ≤ T / ↑(n + 1)
G : Type u_3
CommGroup G
K : Subgroup G
g : Multiset G
⊢ (∀ a ∈ g, a ∈ K) → g.prod ∈ K
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
g : E₂ →ₛₗ[σ₂₁] E
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f.toLinearMap = LinearMap.id
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry f g h₁ h₂).symm = ⇑g
α : Type u_1
s : Set α
h : s.Subsingleton
r : α → α → Prop
⊢ s.Pairwise r
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
i : α
⊢ b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ ψ : F
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalAlgHom.equalizer φ ψ ↔ φ x = ψ x
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t) = ↑((1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
⊢ (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ ↑(NonemptyInterval.pure a) = {a}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
p : P
h₂ : univ.Subsingleton
hp : p ∈ s
this : s = {p}
⊢ Subsingleton P
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z ↔ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f z
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p - 1
α : Type u_1
f : α → α
⊢ List.modifyHead f [] = []
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
Q R : C
J : Type u_2
s : Finset J
g : J → (Q ⟶ R)
P : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (∑ j ∈ s, g j) P =
  ∑ j ∈ s, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (g j) P
c : Prop
h : Decidable c
hnc : ¬c
α : Sort u
t : c → α
e : ¬c → α
⊢ dite c t e = e hnc
A : FintypeCat
⊢ FintypeCat.toProfinite.obj A = Profinite.of ↑A
α : Type u_1
⊢ Nontrivial α ↔ ∃ x y, x ≠ y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1
⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹ ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedCosZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a s
M : Type u_1
CommMonoid M
⊢ IsPrimitiveRoot 1 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : IsBasis p s
t : Set α
⊢ t ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ ∀ (f : R[X]), f.support = ∅ → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding ∅
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
ha : (Set.Iio a).Nonempty
⊢ frontier (Set.Ici a) = {a}
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : ∃ p q, v = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w = p ++ r.output ++ q
p : List (Symbol T N)
⊢ ∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H = H
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictMonoOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ StrictMonoOn f s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op
⊢ ((pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.fst f.op g.op).unop = (pushout.inl f g).op.unop
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : (fun f => ⇑f) f x ≠ (fun f => ⇑f) f y
⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ ≠ 1 ↔ ∃ a, χ ↑a ≠ 1
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
⊢ ⊤.edgeFinset = Finset.filter (fun e => ¬e.IsDiag) Finset.univ
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / (1 + x ^ 2) = Real.arctan b - Real.arctan a
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))
⊢ x * (2 * x) ^ √(2 * x) * 4 ^ (2 * x / 3) ≤ 4 ^ x
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+: l₂
⊢ l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ Filter.Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝[≥] 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Summable f
b : β
⊢ Summable fun c => f ⟨b, c⟩
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : Type u_5
LieRing L'
LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x y : L
⊢ ((killingForm R L') (e x)) (e y) = ((killingForm R L) x) y
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ × ℕ), x.1 + x.2 = n → bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
X✝ Y✝ : Karoubi (Karoubi C)
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f.f.f = ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f.f.f ≫ ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) Y✝).p
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = (-1) ^ (n / 2)
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
⊢ False
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (liftIco T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ ∃ p, x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
⊢ ⇑f ⁻¹' ⋃ i, ↑(U i) = ⋃ i, ⇑f ⁻¹' ↑(U i)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : α → E × F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x).1) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val
⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
a b : X
⊢ 𝓝 a ≤ 𝓝 b ↔ a = b
α : Type u_1
r : Setoid α
x : α
b : Set α
hc : b ∈ r.classes
hb : x ∈ b
b' : Set α
hc' : b' ∈ r.classes
hb' : x ∈ b'
⊢ b = b'
α : Type u
s t r : Set α
rs : r ⊆ s
rt : r ⊆ t
⊢ r ⊆ s ∩ t
⊢ Small.{max (u + 1) v, u + 1} (Type u)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree
⊢ f.eraseLead.leadingCoeff = f.nextCoeff
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
Preorder β₁
Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂
⊢ Filter.map u₁ Filter.atTop ×ˢ Filter.map u₂ Filter.atTop = Filter.map (Prod.map u₁ u₂) Filter.atTop
α : Type u
s : Computation α
a : α
⊢ a ∈ s → a ∈ s.think
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : f =o[l'] g
hl : l ≤ l'
⊢ f =o[l] g
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ IsMin x ↔ IsMin x.1 ∧ IsMin x.2
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasStrictFDerivAt l l' y
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasStrictDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
n : ℕ
h : 0 < n
R : Type u_1
CommRing R
⊢ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, Polynomial.cyclotomic i R = ∑ i ∈ Finset.range n, Polynomial.X ^ i
α : Type u_4
n : ℕ
β : Type u_3
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ : Type u_1
ζ : Type u_2
f₁ : γ → β → ζ
f₂ : α → γ
⊢ Mathlib.Vector.map₂ f₁ (Mathlib.Vector.map f₂ xs) ys = Mathlib.Vector.map₂ (fun x y => f₁ (f₂ x) y) xs ys
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p : P
⊢ EuclideanGeometry.angle (p₁ -ᵥ p) (p₂ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p) = EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
g g' : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
hg' : Set.EqOn g g' sᶜ
g'_meas : Measurable g'
⊢ Measurable g
α : Type u_1
⊢ Finset.eraseNone {none} = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : IsEmpty α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
⊢ μ s = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
Φ : PartialDiffeomorph I J M N n
hn : 1 ≤ n
x : M
hx : x ∈ Φ.source
⊢ MDifferentiableAt I J (↑Φ.toPartialEquiv) x
n : ℕ
⊢ (↑n).toZNum = ↑n
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ adjoin A {ζ} = ⊤
α : Type u_5
E : Type u_6
m m₂ : MeasurableSpace α
TopologicalSpace E
Zero E
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (⨆ a ∈ {j | j ≠ i}, t a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
y : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
a b n : ℤ
h : a + b = n
b' : ℤ
hb' : b' = b + y
n' : ℤ
hn' : n' = n + y
⊢ ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b n h ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f n =
  (a * y).negOnePow •
    (K.shiftFunctor₂XXIso a b y b' hb').hom ≫
      K.ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b' n' ⋯ ≫
        (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (ComplexShape.up ℤ)) y n n' hn').inv
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ S.proj m ≫ S.diagram.map (Opposite.op (CategoryTheory.homOfLE h)) = S.proj n
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 0 ⊆ p.ball 0 (r₁ * 0)
K : Type u
Field K
n : ℕ
a : K
hn : 0 < n
ha : a ≠ 0
⊢ AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) ≠ 0
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : AntitoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ b ∈ lowerBounds (f '' s)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
x : n → R
hx : x ≠ 0
⊢ star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x = star (star x) ⬝ᵥ M *ᵥ star x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
h : l ≠ []
ainl : a ∈ l
⊢ a ∈ cycle l h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (coclosedCompact X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) compl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
⊢ (Equiv.sumAssoc α β γ) (Sum.inl (Sum.inl a)) = Sum.inl a
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
x : B
h : x ∈ e.baseSet
h' : x ∈ e'.baseSet
⊢ SmoothAt IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b)) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
k G✝ : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u
inst✝ : Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A
⊢ (A.ρ g⁻¹ * A.ρ g) x = x
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
x y : Y
⊢ f (Sum.inr x, Sum.inr y) = dist x y
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
b : G
hb : b ∈ f.range
⊢ (T (↑(map g f) ⁻¹' {g b})) (g b) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g b) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
⊢ (FirstOrder.Language.Structure.RelMap R fun a => ⟦FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) =
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ legendreSym p 1 = 1
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr : ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
hs : s.Nonempty
⊢ (ofErase {s} ⋯ ⋯).parts = {s}
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Sub G
m : MeasurableSpace α
f g : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSub₂ G
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (f - g) μ
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
x : α
⊢ ‖‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x‖
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ edist f f = 0
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K
⊢ (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match some i with | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i) | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈ 𝒟 i
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
⊢ volume (EMetric.ball a r) = 2 * r
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l l' : Filter ℝ
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
Filter.TendstoIxxClass Set.Ioc l l'
l'.IsMeasurablyGenerated
hμ : μ.FiniteAtFilter l'
c : E
hf : Filter.Tendsto f l' (𝓝 c)
u v : ι → ℝ
lt : Filter ι
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
⊢ ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (u t) (v t)
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
b : ℝ
a : ℝ≥0
⊢ ↑a < ENNReal.ofReal b ↔ (↑a).toReal < b
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
f : r ↪r s
h : y ⊆ ⇑f '' x
⊢ x ∩ ⇑f ⁻¹' minimals s y = minimals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x‖ / ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : b₁ * ↑a₂ = a₁ * ↑b₂
⊢ ↑a₂ * b₁ = ↑b₂ * a₁
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
h : IsNilpotent (a - b)
⊢ IsNilpotent ((aeval a) P - (aeval b) P)