ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
hn : ↑(numDerangements n) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))
x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range (n + 1)
h_le : x ≤ n
⊢ (↑n + 1) * ((-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x))) = (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n + 1 - x))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
iter₁ : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
⊢ (CategoryTheory.Functor.Iteration.Hom.id iter₁).natTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.id iter₁.F
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ False
R✝ : Type u
S : Type v
a✝ b : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ
⊢ (if n✝ = n then a else p.coeff n✝) = p.coeff n✝ + if n✝ = n then a - p.coeff n else 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∅ ^ n = ∅
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k ≤ N
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
G : Type u_2
AddGroup G
x : G
S : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ AddOpposite.op x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : β × γ → δ
g : α → β
h : α → γ
x : α
s : Set α
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousWithinAt g s x
hh : ContinuousWithinAt h s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f (g x, h x)) s x
k : ℕ
⊢ bernoulliFun k 0 = ↑(bernoulli k)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ
⊢ x ^ m * x ^ n * p.smeval x = x ^ m * (x ^ n * p.smeval x)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : EquivLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
a : A
⊢ ‖a‖₊ ≤ ‖φ a‖₊
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f g : Module.End R M
h : Commute f g
μ : R
k : ℕ
⊢ Set.MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ p.succAbove i ≤ p.succAbove j ↔ i ≤ j
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
⊢ (CliffordAlgebra.ι Q) a * (CliffordAlgebra.ι Q) b =
  (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) - (CliffordAlgebra.ι Q) b * (CliffordAlgebra.ι Q) a
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0
⊢ (x * y) ^ n = 0
R : Type u
EuclideanDomain R
b : R
⊢ 0 % b = 0
α : Type u_1
s : Set α
t : Set ↑s
⊢ Subtype.val '' t ⊆ s
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p * q).degrees ≤ p.degrees + q.degrees
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit b
⊢ a + -b = 0 ↔ a = b
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
⊢ Integrable ((fun i v => cexp (-b i * ↑v ^ 2 + c i * ↑v)) i) volume
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) * Complex.I).arg = ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
⊢ Set.range f = ∅ ↔ IsEmpty ι
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
⊢ Tendsto (fun n => ‖n‖) atTop atTop
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
a : α
⊢ (s + t) a = s a + t a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' s) = s
k : Type u
inst✝⁶ : Field k
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field A
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] A
x : K
⊢ Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F (f x))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hx : x.IsCycle ∧ ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = f a
hy : x.IsCycle ∧ ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = g a
⊢ False
α : Sort u_4
β : Sort u_5
f : α → β
p : β → Prop
h : ∀ (a : α), p (f a)
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.Bijective (Subtype.coind f h)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ n.pred = n ↔ n = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
⊢ (p.comp q).natDegree = p.natDegree * q.natDegree
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
h : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => r⁻¹ * (r * f x)) l atTop
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction k A
φ₁ φ₂ : AddMonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
h : ∀ (x : G), φ₁ (AddMonoidAlgebra.single x 1) = φ₂ (AddMonoidAlgebra.single x 1)
⊢ φ₁ = φ₂
x : Int
m : Nat
⊢ ↑m ∣ x % ↑m - x
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
⊢ (nim o).birthday = o
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
s : Set M
hs : s ⊆ ↑M'
hs' : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set M
ht : LinearIndependent (ι := ↑t) R (Submodule.Quotient.mk ∘ Subtype.val)
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ t)) R Subtype.val
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : K ⟶ M
β : L ⟶ M
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl.f i ≫ (CategoryTheory.Limits.biprod.desc α β).f i = α.f i
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w v' w' : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v' w'
hv : v' = v
hw : w' = w
⊢ SimpleGraph.Walk.cons h (p.copy hv hw) = (SimpleGraph.Walk.cons ⋯ p).copy ⋯ hw
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ snd (f ≫ i) (g ≫ i) = snd f g
a b : Nat
⊢ a < b → a ≤ b - 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | dist p.1 p.2 ≤ f x}
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑n + x)
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = φ m • f x
h₂ : { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
⊢ ↑{ toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ } =
  { toFun := ⇑f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }
n : ℕ
⊢ Finset.Nat.antidiagonalTuple 2 n = Finset.map (piFinTwoEquiv fun x => ℕ).symm.toEmbedding (Finset.antidiagonal n)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
⊢ HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourier i) f
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ (s.head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail).tail = corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail
α : Type u_1
R : Type u_2
StrictOrderedRing R
Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(f n)) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ -(↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) ^ 3 + 36 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)) - 216 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)) = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (-W.b₂ ^ 3 + 36 * W.b₂ * W.b₄ - 216 * W.b₆)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x : W.CoordinateRing
⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y = x
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ t ∧ s'.ncard = k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ ν
⊢ μ - ν = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
hg : g.SurjectiveOnStalks
hf : f.SurjectiveOnStalks
I : Ideal T
hI : I.IsPrime
this : Function.Surjective (⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap g I) I g ⋯) ∘ ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f (Ideal.comap g I)) (Ideal.comap g I) f ⋯))
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (g.comp f) I) I (g.comp f) ⋯)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ 𝓝 OnePoint.infty = Filter.map OnePoint.some (Filter.coclosedCompact X) ⊔ pure OnePoint.infty
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I
⊢ Profinite.NobelingProof.ord I i = o ↔ Profinite.NobelingProof.term I ho = i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l l' : List α
h : l' ∈ sublistsLen (n + 1) (a :: l)
⊢ l'.length = n + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
Nonempty ι
⊢ p.basisSets.Nonempty
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ ∅.Pairwise r
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ (Measure.map f (Measure.comap f μ)) t = (μ.restrict (range f)) t
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
⊢ Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Quotient.lift redStep (Paths.lift (Quiver.Symmetrify.lift φ)) ⋯).toPrefunctor) = φ
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ (f ∣[k] γ) z = f z ↔ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z
α : Sort u
β : Sort v
f : α ≃ β
⊢ ⇑f.toEmbedding = ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
x : M
y : N
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (CategoryTheory.Abelian.coimageStrongEpiMonoFactorisation f).m = CategoryTheory.Abelian.factorThruCoimage f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : i ∈ t), i.asIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ
w : V
H : w ∈ f.eigenspace μ
ne0 : w ≠ 0
⊢ (minpoly K f).IsRoot μ
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => n • x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
⊢ DirectedOn r {b, a}
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M₁), f x = g x
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable ((Function.uncurry fun a b => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b) * κ.rnDeriv η a b) ∘ fun b => (a, b))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ
⊢ (isometryOfOrthonormal v) z = z.re • v 0 + z.im • v 1
a b : ℤ
n : ℕ
⊢ a.gcd b ∣ n ↔ ∃ x y, ↑n = a * x + b * y
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
h : m ≤ n
⊢ a ^ m * a ^ (n - m) ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity (fs n))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
⊢ a ≤ gauge s x
t : ↑I
⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : ↥s
⊢ ↑(-x) = -↑x
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommSemiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass S R M
SMul R S
IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (Module.End S M)) x)
m m' : M
⊢ m' = ↑h.unit⁻¹ m ↔ m = x • m'
α : Type u_1
d : MeasurableSpace.DynkinSystem α
β : Type u_2
Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
⊢ d.Has (⋃ i, f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
y : R
Algebra R S
IsLocalization.Away y S
Ideal.IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsMaximal
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
m : FiniteAdeleRing R K
hm : ∃ a, a • ↑(↑r * ↑b) = m
⊢ ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) m
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ico a b + Finset.Icc c d ⊆ Finset.Ico (a + c) (b + d)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.s S.g = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₃
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ (S ∪ T) = ⋃₀ S ∪ ⋃₀ T
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.fst M N) = ⊤
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : GradedObject I C
inst✝ : X₁.HasTensor X₂
A : C
j : I
f g : tensorObj X₁ X₂ j ⟶ A
h : ∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j), ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ f = ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ g
⊢ f = g
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α
⊢ u ⬝ᵥ (v - w) = u ⬝ᵥ v - u ⬝ᵥ w
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ p.support, b ≠ n + 1 → (p.coeff b * ↑b * if n = b - 1 then 1 else 0) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.10991, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : IsZero S.X₂
⊢ S.Exact
a : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (⇑(AddSubgroup.zmultiples a).subtype) Filter.cofinite (Filter.cocompact ℝ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : ∀ i ∈ s, Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
h₂ : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
⊢ Filter.limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => Filter.limsup (F i) f
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬Sbtw R x x y
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
⊢ log p (n - k + k) < b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs
n : σ →₀ ℕ
hnsupp : n ∈ p.support
hn : 0 = coeff n p
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n → s ^ m ⊆ s ^ (n + 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ basicOpen (f * g) ≤ basicOpen g
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
a b : α
x : ↑(Set.Icc (a ⊓ b) a)
⊢ ↑((infIccOrderIsoIccSup a b) x) = ↑x ⊔ b
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
⊢ Polynomial.aroots 1 S = 0
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
⊢ S.ofUnits.units = S
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
⊢ β ∈ F⟮γ⟯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ F, Continuous F ∧ ∀ (y : α), (f y, F y) ∈ u
⊢ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ F, ContinuousOn F univ ∧ ∀ y ∈ univ, (f y, F y) ∈ u
α : Type u
a : α
⊢ {b | b = a} = {a}
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card - G.degree t - {s(t, t)}.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ ∀ (x : ↑M) (y : ↑((ihom M).obj N)), ((ihom.ev M).app N) (x ⊗ₜ[R] y) = ((TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip) (x ⊗ₜ[R] y)
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, Tape := T }
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
⊢ c'.l ∈ Finset.insertNone S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β
⊢ find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (List.find? (fun x => x.fst == a) l.toList)