ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainBot (-α) β = LieModule.chainTop α β
α : Type u_1
Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
a : α
⊢ (Quotient.mkRelHom H) a = Quotient.mk' a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A B : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : CategoryTheory.Aut A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f σ).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp σ.hom f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
c c' : C
f g : c ⟶ c'
c₀ : C
f₀ : IsFiltered.coeq (F.map f) (F.map g) ⟶ F.obj c₀
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalAddGroup G
H : Type u_4
AddGroup H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
T2Space H
TopologicalAddGroup H
f : G →+ H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Function.Surjective ⇑f
h_prop : Filter.Tendsto (⇑f) (Filter.cocompact G) (Filter.cocompact H)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).IsAddHaarMeasure
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
a b : α
⊢ DvdNotUnit (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ DvdNotUnit a b
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
h : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj x✝¹
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) h = ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g) h
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f - Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f - Set.range g → dist x y ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ Measurable (Set.rangeSplitting f)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W : C
X Y Z : C
f : X ≅ Y
g : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W (f ≪≫ g) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W f ≪≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso W g
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') 0 = 0
⊢ map (algebraMap T S) 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D₂
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
W' : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁.IsLocalization W'
L₂.IsLocalization W'
⊢ (CategoryTheory.Localization.uniq L₁ L₂ W').symm = CategoryTheory.Localization.uniq L₂ L₁ W'
G : Type u
Group G
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
⊢ H = ⊤
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ (match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_1 => x + x_1) ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MulZeroClass (α i)
DecidableEq ι
i : ι
x : α i
j : ι
⊢ (MulHom.single i) x j = Pi.single i x j
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M
Module R₂ M
PartialOrder N
AddCommMonoid N
Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
⊢ Q.PosDef ↔ (∀ (x : M), 0 ≤ Q x) ∧ Q.Anisotropic
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ (Metric.thickening δ s)⁻¹ = Metric.thickening δ s⁻¹
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
⊢ (fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd) 1 = 1
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : M), x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n => κ ⊗ₖ η.seq n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ map f (tail ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).tail
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ioo a b ⊆ Ico a b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
⊢ s.WSameSide x z
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
b : M
h : b ≠ 0
⊢ Function.Injective fun a => Finsupp.single a b
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn : m * n = 0
⊢ m = 0 ∧ n = 1 ∨ m = 1 ∧ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t
f : α × β → E
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (x : α × β) in s ×ˢ t, f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α) in s, ∫ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
IsAntisymm α r
IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
⊢ minimals r s = minimals r t
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
⊢ ∀ {a b : B} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g), (CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct.id B).map₂ η = η
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (g ∘ f) x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign σ = (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) σ.cycleType).prod
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ 1 + x ^ 2 ≠ 0
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) = (a = b)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms S.P
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₁ : S.P T.obj₁
h₃ : S.P T.obj₃
⊢ S.P T.obj₂
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
left✝ : PathConnectedSpace Y
right✝ : ∀ (x y : Y), Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient x y)
⊢ SimplyConnectedSpace Y
α : Type u_5
TopologicalSpace α
β : Type u_6
TopologicalSpace β
s u : Set α
t v : Set β
a : α
b : β
hu : u ∈ 𝓝[s] a
hv : v ∈ 𝓝[t] b
⊢ u ×ˢ v ∈ 𝓝[s ×ˢ t] (a, b)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
hv : Submodule.span R {v i} ⊓ Submodule.span R (Set.range fun i_1 => v ↑i_1) = ⊥
this : r • v i ∈ ⊥
⊢ r = 0
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
self : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
⊢ W₁ ≤ W₂.inverseImage self.functor
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
⊢ I.minimalPrimes = {I.radical}
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = C (f.coeff 0)
⊢ IsUnit f
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
⊢ AlternatingMap.domDomCongrₗ S (Equiv.refl ι) = LinearEquiv.refl S (M [⋀^ι]→ₗ[R] N)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a - b ∈ Set.Ioc c d ↔ b ∈ Set.Ico (a - d) (a - c)
n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x * y).cast = x.cast * y.cast % ↑n
a : ℝ
⊢ (-a).cauchy = -a.cauchy
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
⊢ HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
P : Prop
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {a b : α} [inst : Decidable P], (if x : P then a else b) = if P then a else b
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑b ≤ ↑a
⊢ max ↑a ↑b = map₂ max ↑a ↑b
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hp : p.Monic
map_eq : Polynomial.map f p = 1
a✝ : Nontrivial R
hdeg : p.degree = 0
hndeg : p.natDegree = 0
⊢ p = 1
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
m : ℕ
c : R
hm : m ≠ 0
⊢ ↑n ∣ Polynomial.eval c ((⇑Polynomial.derivative)^[m] (f ^ n))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (𝓝ˢ s).lift' interior = 𝓝ˢ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
h0 : ∀ (f : A →L[𝕜] A) (C : ℝ≥0), (∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊) → ‖f‖₊ ≤ C
h1 : ∀ (b : A), ‖a.toProd.1 b‖₊ ^ 2 ≤ ‖a.toProd.2‖₊ * ‖a.toProd.1 b‖₊ * ‖b‖₊
h2 : ∀ (b : A), ‖a.toProd.2 b‖₊ ^ 2 ≤ ‖a.toProd.1‖₊ * ‖a.toProd.2 b‖₊ * ‖b‖₊
⊢ ‖a.toProd.1‖ = ‖a.toProd.2‖
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
Nonempty β
⊢ Function.Injective f
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
⊢ (GradedTensorProduct.auxEquiv R 𝒜 ℬ) 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → List β
p : α → β → Bool
hf : Primrec f
hp : Primrec₂ p
a : α
⊢ List.foldr (fun b s => bif p a b then 0 else s + 1) 0 (f a) = List.findIdx (p a) (f a)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
⊢ (toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F = 𝟭 F.Elements
n : ℕ
⊢ (fun x => Complex.exp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
x y : G
h : addOrderOf x = addOrderOf y
n : ℕ
⊢ (multiplesEquivMultiples h) ⟨n • x, ⋯⟩ = ⟨n • y, ⋯⟩
α : Type u_1
a' a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = some a'
⊢ List.replaceF p (a :: l) = a' :: l
X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S
s : ↑(compHausToTop.obj (Opposite.unop S))
⊢ (X.topCatAdjunctionUnit.val.app S x) s = X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x
x y : USize
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % USize.size
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedCommRing 𝕜
n : ℕ
hn : Even n
⊢ ConvexOn 𝕜 Set.univ fun x => x ^ n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃) = 1 ↔ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = π / 2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝³ : Nonempty ↥s₁
inst✝² : Nonempty ↥s₂
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₂.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
⊢ P.d = Q.d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
⊢ (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
a : ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
Nonempty ι
⊢ iSup s + a = ⨆ b, s b + a
a : ℤ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : R →* ℤ
hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ J(a | b) = (List.map (⇑χ) (List.map Nat.cast b.primeFactorsList)).prod
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
⊢ (expSeries 𝕂 𝔸).sum x = (expSeries 𝕂' 𝔸).sum x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S R
Algebra S A
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
⊢ (↑(MvPolynomial.aevalTower g y)).comp MvPolynomial.C = ↑g
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.den + q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)
α β : Type u
Infinite α
eq : #α = #β
⊢ #(α ≃ β) = 2 ^ #α
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
⊢ IsClosed (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
α : Sort u
β β' : Sort v
h' : α → β = β'
⊢ ((x : α) → (fun x => β) x) = (α → β')
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
inst✝² : Preorder α
a✝ : α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
hf' : Antitone f
a b c : α
hac : a ≤ c
hbc : b ≤ c
⊢ f a = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
⊢ IsGLB s p ↔ IsGLB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsGLB (Prod.snd '' s) p.2
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Set.Ici a)
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l Filter.atTop
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / n)) = n
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
G : Type u_10
AddGroup G
a b : G
⊢ (Equiv.subLeft a) b = a - b
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ e.toPartialHomeomorph.source = Set.univ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
h : (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
IsDedekindDomain A
⊢ IsDedekindDomainDvr A
α : Type u_2
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.formPerm.IsCycleOn {a | a ∈ l}
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : NeZero 3
⊢ ofJ 0 = ofJ0 F
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (Quotient.mk'' y1 + Quotient.mk'' y2).val = val (Quotient.mk'' y1) + val (Quotient.mk'' y2)
a b : ℕ+
⊢ (a.xgcd b).wp + (a.xgcd b).x + 1 = (a.xgcd b).wp + 1 + (a.xgcd b).x
α : Type u
l : List α
⊢ l.cyclicPermutations.head? = some l
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharP R 1
r : R
⊢ ↑1 * r = 0 * r
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
⊢ SimpleGraph.ComponentCompl.hom h C = D ↔ ↑C ⊆ ↑D
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : a * t = 1
⊢ 1 ≤ t
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⊆ t
⊢ a ∈ s → a ∈ t
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝¹ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
x✝ : i ≠ j
r : α
hr : (scalar n) r = M
⊢ Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
x : E
h : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ AnalyticOn 𝕜 f (Metric.ball x r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
⊢ Measurable fun x => (f x).toNNReal
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a
h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω
⊢ False
n : ℕ
h : ¬Fin.last (n + 1) = 0 := ⋯
⊢ (Fin.last (n + 1)).pred h = Fin.last n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
t S U : Set X
ht : IsPreirreducible t
hU : U.Nonempty
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
⊢ IsIrreducible S
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ sign a = -1 ↔ a < 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ↑{i | gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0}
hij : ¬i = j
⊢ ⟪(fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) i, (fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) j⟫_𝕜 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
⊢ u * u = 1 ↔ u = 1 ∨ u = -1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
⊢ chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
α : Type u_4
β : Type u_5
UniformSpace α
UniformSpace β
self : α ≃ᵤ β
⊢ UniformContinuous self.invFun
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : V
h : ρ.IsTrivial
⊢ (ρ g) x = x