ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : CompHaus
CategoryTheory.Projective X
⊢ X.toStonean.toTop = X.toTop
x y : ℝ
hy : y ∈ Set.Ioc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin x < y ↔ x < Real.sin y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Antitone ![a]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Comonad C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id T).toNatTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.id T.toFunctor
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).Perm l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ ↑s • Set.univ = Set.univ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometryEquiv.toLinearEquiv
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
a : Int
b : Int
H : 0 < b
⊢ a < (a.fdiv b + 1) * b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X : Cᵒᵖ
⊢ contractibleTriangle X ∈ distinguishedTriangles C
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hx : x ∈ U
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x)
    (((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hx⟩) s) =
  ↑s ⟨x, hx⟩
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ (o.oangle x (r₁ • x + r₂ • y)).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.f 0) (Q.π.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.leftDerived n).map f) (Q.isoLeftDerivedObj F n).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedObj F n).hom
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).comp
          (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n)).map
      φ)
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
α β : Type u
f : α → β
a : m (m α)
⊢ joinM (Functor.map f <$> a) = f <$> joinM a
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ indicator s f = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Injective (image f) ↔ Injective f
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
⊢ ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
Nonempty ι
s : Set α
⊢ s ∈ iInf f ↔ ∃ i, s ∈ f i
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing R
⊢ ringChar R = 0 ↔ CharZero R
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
⊢ ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S : StarSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ S.toSubsemiring ↔ x ∈ S
α : Type u_1
Add α
x y : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (x + y) = MulOpposite.unop x + MulOpposite.unop y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℤ
⊢ (1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist s s = 0
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
⊢ #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
w v : Nat
h : w = v
x : BitVec w
⊢ (BitVec.cast h x).toFin = Fin.cast ⋯ x.toFin
x y : ℝ
⊢ ↑(cosh x - sinh x) = ↑(rexp (-x))
α : Type u_1
β : Type u_8
MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure β
hfi : Function.Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasureTheory.NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
⊢ μ (f '' s) ≤ (MeasureTheory.Measure.comap f μ) s
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
⊢ Tendsto ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ g))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E
⊢ (∃ n, i x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F K).range) ↔ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range
X Y : Type u
AddMonoid X
AddMonoid Y
e : X ≃+ Y
⊢ e.toAddMonCatIso.inv = AddMonCat.ofHom e.symm.toAddMonoidHom
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ (f.lift ⋯) x✝ = j x✝
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
⊢ (s ×ˢ t).Infinite ↔ s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty
a b : Int
ha : 0 < a
hb : b < 0
⊢ a * b < 0
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : A * C = 1
⊢ B = C
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
OrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosMono α β
⊢ Monotone ⇑(algebraMap α β)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
h : S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ((evalRingHom 0).mapMatrix (1 - X • M.map ⇑C)).det = det 1
a x✝ z x : ℂ
⊢ Real.sin (if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π else Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) = x.im / abs x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsMinFilter f l a ↔ IsMinFilter g l a
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => (v &2 = 0 ∨ v &0 < v &2) ∧ ∃ x, v &0 + v &2 * x = v &1
z x y : ℕ
e : x % y = z
⊢ (y = 0 ∨ x % y < y) ∧ ∃ c, x % y + y * c = x
α : Type u_1
LT α
a b : WithTop αᵒᵈ
⊢ WithTop.ofDual a < WithTop.ofDual b ↔ b < a
α : Type u_2
Div α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ / t ⊆ s₂ / t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)
a b c : ℤ
h : Fermat42.Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
⊢ False
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
R : Type u_2
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => c • f y) (c • f') x L
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
y : Set β
⊢ minimals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' minimals s y
A : Type v
Ring A
R : Type u
CommRing R
Algebra R A
B : Type w
Ring B
Algebra R B
f g : A →ₐ[R] B
h : f.toLieHom = g.toLieHom
⊢ f = g
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
n : ℕ
hb : 0 ≤ b
h : a ^ n < b ^ n
⊢ a < b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.Compacts α
h : (interior s.carrier).Nonempty
⊢ ↑{ toCompacts := s, interior_nonempty' := h } = ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (f (a, b)) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
h : x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).get ⟨0, ⋯⟩ = x
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f
n : ℕ
⊢ ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
ψ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ.onSentence ψ ↔ M ⊨ ψ
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
⊢ #(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.632038
Bₘ : Type ?u.632041
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) x = 0 ↔ x = 0
s : Finset ℕ
m n p✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
h : Squarefree p ∧ k = 1
⊢ Prime (p ^ k)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
Quiver.IsThin C
F : CategoryTheory.Functor E D
G : CategoryTheory.Functor D C
⊢ CategoryTheory.ThinSkeleton.map (F.comp G) =
  (CategoryTheory.ThinSkeleton.map F).comp (CategoryTheory.ThinSkeleton.map G)
R : Type u_1
CommGroup R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ ArithmeticFunction.moebius x.1 = f n
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t
⊢ exterior s ⊆ t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
⊢ ↑(m.coeEquiv x) = m.coeEmbedding x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, ε < c → dist y x < c) ↔ ∀ i > ε, y ∈ ball x i
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hpq : q ∣ p
⊢ (AdjoinRoot.algHomOfDvd hpq) (AdjoinRoot.root p) = AdjoinRoot.root q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
⊢ A = B ↔ ∀ (x : E), A x = B x
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑n = !![↑n, 0; 0, ↑n]
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
⊢ (∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (i : 𝒰.J) (i_1 : ↑Y.affineOpens), P ((𝒰.map i ≫ f) ∣_ ↑i_1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ StrictConvex 𝕜 Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct A B
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (A ⊞ B) ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero A ∧ CategoryTheory.Limits.IsZero B
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ fderiv ℂ (fun x => Complex.cos (f x)) x = -Complex.sin (f x) • fderiv ℂ f x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
i : J
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict (fun j => j ≠ i) f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelBiproductιIso f i).inv =
  (CategoryTheory.Limits.biproduct.isColimitToSubtype f i).desc
    (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone
      (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f i) 0))
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))
G : Type u
self : AddSemigroup G
a b c : G
⊢ a + b + c = a + (b + c)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3951, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ A.EqId ↔ (unop Δ).len ≤ (unop A.fst).len
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∪ t = ∅ ↔ s = ∅ ∧ t = ∅
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z z
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
⊢ ∃ a, Function.uncurry (mk' f) a = x
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.preΨ' (2 * (m + 2) + 1) =
  (W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) -
    W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
m : ℤ
a : α
⊢ Int.fract (↑m + a) = Int.fract a
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ E ⊆ (Metric.thickening δ (Metric.thickening δ E)ᶜ)ᶜ
b n : ℕ
hb : b ≤ 1
⊢ log b (n / b) = log b n - 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ ↑(ConvexCone.strictlyPositive 𝕜 E) = Set.Ioi 0
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ ↑(- -⌊(-π + 2 * π - θ) / (2 * π)⌋) * (2 * π) = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} {f : ↥(MeasureTheory.lpMeas F 𝕜 m p μ)}, ↑↑↑f = ↑↑↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t : Set α
h : s ⊆ t
hs : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ inclusion h '' (Subtype.val ⁻¹' u) = Subtype.val ⁻¹' u ∩ Subtype.val ⁻¹' s
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t
⊢ ⋃₀ {s_1 | s_1 ∈ B ∧ s_1 ⊆ s} = ⋃₀ {s | s ∈ B ∧ s ⊆ t}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E₂
r : ℝ
⊢ ⇑e ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (e.symm x) r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Set.Icc (f p.1) (g p.1)}
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
M₀ : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
h : 0 = 1
a b : M₀
⊢ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) x
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q
⊢ ker (f.restrict hf) = ker (f.domRestrict p)
K : Type u_2
Field K
NumberField K
h : FiniteDimensional.finrank ℚ K = 1
⊢ NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K = 1
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ ((colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hg : Measurable g
a✝¹ : γ
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((comap 0 g hg) a✝¹) s✝ = (0 a✝¹) s✝
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W X Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W X T
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y T
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Z T
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
γ : SmallHom W Z T
⊢ (α.comp β).comp γ = α.comp (β.comp γ)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ
⊢ ‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤ ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ 1 < a / b ↔ b < a
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
⊢ n ≤ φ.totalDegree
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
n : ℕ
⊢ r ^ (p.natDegree + q.natDegree - (p * q).natDegree) * ((p * q).coeff n * r ^ ((p * q).natDegree - n)) = (p.scaleRoots r * q.scaleRoots r).coeff n