ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (a == b) = false
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
hα : 1 < Nat.card ↑(fixedPoints G α)
⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
⊢ closure (range fun x => x ^ n) = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.sin (f x)) s x = Real.cos (f x) • fderivWithin ℝ f s x
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} J
⊢ CategoryTheory.InitiallySmall J
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
x y : R
I : Ideal R
⊢ x ∈ span {y} * I ↔ ∃ z ∈ I, y * z = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
p : (α →₀ M) → Prop
f✝ : α →₀ M
h0 : p 0
ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (f + single a b)
s : Finset α
f : α →₀ M
hf : f.support = ∅
⊢ p f
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s₁ s₂ s₃ : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s₂ μ
h32 : s₃ ⊆ s₂
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets s₁ s₃ μ
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ ↑(alternatization (a.domCoprod b)) = ↑((alternatization a).domCoprod (alternatization b))
C : ℕ → Sort u
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (Nat.bit b n)
⊢ Nat.binaryRec z f 0 = z
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)
⊢ M.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ∧ N.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : ¬Disjoint s v
⊢ False
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
F'.IsRightKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor D H
β : L.comp G ⟶ F
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F'.liftOfIsRightKanExtension α G β).app (L.obj X)) (α.app X) = β.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set α
t : Set β
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s ×ˢ t)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y
⊢ HasIntegral I l (-f) vol (-y)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
R'_jacob : IsJacobson ↥R'
J : Ideal (↥R')[X] := map (mapRingHom i) I
h_surj : Function.Surjective ⇑(mapRingHom i)
⊢ I.jacobson = I
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ p ⟨b, hb⟩
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
h0 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ (interior t)ᶜ, f x = 0
h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
x : M
hx : x ∉ t
⊢ f x = 0
α : Type u
β : α → Type v
p₁ p₂ : (a : α) × β a
h₁ : p₁.fst = p₂.fst
⊢ Eq.recOn h₁ p₁.snd = p₂.snd → p₁ = p₂
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ jacobiSym a b ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ofTensorProduct I (ι → R) = ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid P₂
Module R M₂
Module S N₂
Module R P₂
Module S₂ P₂
SMulCommClass S₂ R P₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M₂ →ₗ[R] N₂ →ₛₗ[σ₁₂] P₂
r : R
x : M₂
y : N₂
⊢ (f (r • x)) y = r • (f x) y
α : Type u_2
One α
⊢ Finset.card 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d x : α
h✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
H : ∀ (y : α), r y x → Acc (Relation.TransGen r) y
y : α
hyx : r y x
⊢ Acc (Relation.TransGen r) y
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.42576, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ≅ G.obj i
w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).hom = (app ⟨i, ⋯⟩).hom ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi
i : ℕ
hi : i < n
⊢ G.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).inv = (app ⟨i, ⋯⟩).inv ≫ F.map' i (i + 1) ⋯ hi
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
a : α
h : p a
⊢ (Finsupp.filter p f) a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
h :
  ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ d.Has (s₁ ∪ s₂)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 < s.circumradius
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
T : ℕ → Set α
hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable
hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹
f : ℝ≥0∞ → α → α
hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s
hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)
x : α
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ y ∈ ⋃ n, f (↑n)⁻¹ '' T n, edist x y < ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
h₂ : 1 < s.card
⊢ s.min' ⋯ < s.max' ⋯
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
⊢ (self.homEquiv X' Y).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) ((self.homEquiv X Y).symm g)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CompleteLinearOrder α
f : ι → α
hf : ¬Order.IsPredLimit (⨅ i, f i)
⊢ ∃ i, f i = ⨅ i, f i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
Subsingleton F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
Module R α
Module R β
Module R γ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
C : Matrix q r γ
⊢ ((Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A B) C).map
        ⇑(TensorProduct.assoc R α β γ)).submatrix
    ⇑(Equiv.prodAssoc l n q).symm ⇑(Equiv.prodAssoc m p r).symm =
  Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A (Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) B C)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
m : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ‖m i‖ = 0
⊢ ‖f m‖ = 0
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
⊢ Q.diagonal f ↔ P.diagonal f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral (f + g) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Embedding f ↔ Inducing f ∧ Function.Injective f
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + (-⁅L b, L (a * a)⁆ + -⁅L a, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (-⁅L c, L (a * a)⁆ + -⁅L a, L (c * c)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + (-⁅L c, L (b * b)⁆ + -⁅L b, L (c * c)⁆)) = 0
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
hd0 : d ≠ 0
a : α
ha' : a ∈ filter (fun a => orderOf a = d) univ
ha : orderOf a = d
h1 : ∑ m ∈ d.properDivisors, (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = ∑ m ∈ d.properDivisors, φ m
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ (a ⊔ b) \ b = a
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set X
h : IsClosed (f '' s)
⊢ IsClosed (f ⁻¹' (f '' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s : Set α
x : α
y : β
⊢ ContinuousWithinAt (update f x y) s x ↔ Tendsto (update f x y) (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y)
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
SMul α β
SMul α γ
SMul β δ
SMul α δ
SMul γ δ
IsScalarTower α β δ
IsScalarTower α γ δ
SMulCommClass β γ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
⊢ (a • b) • c • d = (a • c) • b • d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p s
t : Set α
⊢ t ∈ l ↔ t ∈ l'
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤
⊢ ⊤ ≤ span A S
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
S : Submonoid M
a b : α
h : a ∈ MulAction.orbit (↥S) b
⊢ a ∈ MulAction.orbit M b
V : Type u_2
Quiver V
h : Quiver.HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
⊢ f = Quiver.reverse g ↔ Quiver.reverse f = g
A : Type u_4
AddZeroClass A
S : Submonoid (Multiplicative A)
⊢ ↑((RelIso.symm AddSubmonoid.toSubmonoid) S) = ⇑Multiplicative.ofAdd ⁻¹' ↑S
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ ↑1 = 1
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β
⊢ nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = nndist y₁ y₂
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
⊢ m ∣ a.val + b.val - (a.val + b.val) % n✝.succ
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
x : 𝕜
⊢ (AddCircle.equivAddCircle p q hp hq).symm ↑x = ↑(x * (q⁻¹ * p))
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r
⊢ Absorbent 𝕜 (Metric.ball x r)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
⊢ derivWithin (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x
F : Type u
Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : p ≠ 0
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (Polynomial.expand F (p ^ n)) g = f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R : Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ S.arrows f ↔ pullback f S = ⊤
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
Star A
S U : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubring = U.toNonUnitalSubring ↔ S = U
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R
⊢ J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I) ↔ J = I.radical
x y z : Bool
⊢ (x != y) = (x != z) ↔ y = z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ HasMFDerivAt (I.prod I') I Prod.fst x (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h : ∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ (z.IsOption y → P24 x₁ x₂ z)
z : PGame
⊢ (-z).IsOption x₂ → P24 z (-x₁) y
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
r : R
a : A
⊢ ↑a * Unitization.inl r = ↑(r • a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
⊢ ⇑f '' (convexHull 𝕜) s = (convexHull 𝕜) (⇑f '' s)
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.Sublist l₂ → ((l₂.erase a).diff (l₁.erase a)).Sublist (l₂.diff l₁)
α : Type u_1
a : α
⊢ Specialization.ofEquiv (Specialization.toEquiv a) = a
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
n : ℤ
⊢ UniformContinuous fun x => x ^ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
φ : ℕ → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
f g : ι →₀ α
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t x : Set α
f : ι → Filter α
⊢ x ∈ iSup f ↔ ∀ (i : ι), x ∈ f i
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
q : ℕ
hq' : Nat.Prime q ∧ q ∣ n
⊢ List.count q n.primeFactorsList ≤ List.count q (List.replicate (n.factorization p) p)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
α : Type u_3
Monoid α
s : Multiset α
a : α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute
⊢ (a ::ₘ s).noncommProd comm = s.noncommProd ⋯ * a
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ S.op.unop = S
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i ≤ a) → Ordinal.sup f ≤ a
R : Type u_5
Semiring R
M : Type u_9
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total M M R id)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitEpiOfKernel i).inr = CategoryTheory.section_ f
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S = ∅
⊢ Dense (⋂₀ S)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
c : R
x : M (last n)
⊢ f (snoc m (c • x)) = c • f (snoc m x)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)],
  Fintype.card G = p → ∀ {g g' : G}, g ≠ 0 → g' ∈ AddSubgroup.zmultiples g
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
A : Type u_1
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = 0
x : M
⊢ ((ExteriorAlgebra.lift R) ⟨f, cond⟩) ((ExteriorAlgebra.ι R) x) = f x
⊢ ↑π ^ 4 / 90 = ↑(π ^ 4 / 90)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
⊢ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
na nb nc : ℕ
a : ⨂[R]^na M
b : ⨂[R]^nb M
c : ⨂[R]^nc M
⊢ (TensorPower.cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c) =
  GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c
⊢ a + (b + ((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0)) = (a + b + if c ≤ a % c + b % c then c * 1 else c * 0) + (a + b) % c
R : Type u
Semiring R
q : ℕ
hp : CharP R 0
hq : ExpChar R q
⊢ q = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * g x) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≠ ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.pair X Y) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesLimitPair.iso G X Y).hom = CategoryTheory.Limits.prodComparison G X Y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
A₀_inv : A₀ ^ 2 = 1
A₁_inv : A₁ ^ 2 = 1
B₀_inv : B₀ ^ 2 = 1
B₁_inv : B₁ ^ 2 = 1
⊢ (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁) * (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁) = 4 * (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (∃! a, p a) ↔ (filter p univ).card = 1