ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsIncompTrans α r
a b c : α
⊢ ¬r a b ∧ ¬r b a → ¬r b c ∧ ¬r c b → ¬r a c ∧ ¬r c a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
self : CategoryTheory.CompatiblePreserving K G
ℱ : CategoryTheory.SheafOfTypes K
Z : C
T : CategoryTheory.Presieve Z
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
⊢ x.Compatible →
  ∀ {Y₁ Y₂ : C} {X : D} (f₁ : X ⟶ G.obj Y₁) (f₂ : X ⟶ G.obj Y₂) {g₁ : Y₁ ⟶ Z} {g₂ : Y₂ ⟶ Z} (hg₁ : T g₁) (hg₂ : T g₂),
    f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂ → ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y k : R
hk : x - y = (1 - e) * k
⊢ ↑⟨e, ⋯⟩ * x = ↑⟨e, ⋯⟩ * y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.core s = f.preimage s ∪ f.Domᶜ
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : SupBotHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ (InfTopHom.dual.symm f).toInfHom = InfHom.dual.symm f.toSupHom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
α : Type u
CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a /ₚ u₁ + b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ + ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t
⊢ s ⊆ t.toFinset ↔ ↑s ⊆ t
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
⊢ Matrix.det ![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]] = 1
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
⊢ center G = ⊤
C : Type u
X : (CategoryTheory.Discrete ∘ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject) C
⊢ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusion.obj X = CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusionObj X.as
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
G : Type u_1
Group G
M : Type u_8
Monoid M
f : G →* M
⊢ f.toHomUnits.ker = f.ker
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
⊢ ∀ (ss : WSeq α), a ∈ ss → ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s t : Set α
⊢ DirSupInacc s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → sSup d ∈ s → (d ∩ s).Nonempty
R : Type u_2
Ring R
a b : R
⊢ (Int.negOfNat 1).rawCast * a = b → -a = b
α : Type u_2
GroupWithZero α
DecidableEq α
⊢ 0⁻¹ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : Fin n → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin n, ‖v i‖
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
h : μ s ≠ ⊤
⊢ μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
inst✝³ : DecidableEq ι₂
inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ
f₁ : (i : ι₁) → β₁ i
support'✝¹ : Trunc { s // ∀ (i : ι₁), i ∈ s ∨ f₁ i = 0 }
s₁ : Multiset ι₁
h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0
f₂ : (i : ι₂) → β₂ i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι₂), i ∈ s ∨ f₂ i = 0 }
s₂ : Multiset ι₂
h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0
⊢ ∑ x ∈ s₂.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₁.toFinset, ((h x_1 x) (f₁ x_1)) (f₂ x) = ∑ x ∈ s₁.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₂.toFinset, ((h x x_1) (f₁ x)) (f₂ x_1)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ insert a s = s
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x y : K
⊢ IsFractionRing.num A y * ↑(IsFractionRing.den A x) = IsFractionRing.num A x * ↑(IsFractionRing.den A y) ↔ x = y
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g : G
⊢ x.modOf g + AddMonoidAlgebra.of' k G g * x.divOf g = x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst
m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd
⊢ a ≫ f₁ ≫ f₂ = b ≫ f₁ ≫ f₂
α : Sort u_4
β : Sort u_5
r : α → α → Prop
a bot : α
ha : Acc r a
C : β → Prop
f : α → β
ih : ∀ (b : α), f b ≠ f bot → C (f b) → ∃ c, r c b ∧ C (f c)
⊢ C (f a) → C (f bot)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
e : F ≃L[𝕜] E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑e ⁻¹' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ ⊥.Factors f ↔ f = 0
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
U : Set G
⊢ U ∈ B → ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) ⁻¹' U
α : Type u_1
Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ Irreducible (↑a * b) ↔ Irreducible b
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
⊢ nndist a⁻¹ b⁻¹ = nndist a b
s : Lean.Omega.Constraint
x v : Lean.Omega.Coeffs
w : s.sat' x v = true
⊢ (Lean.Omega.normalizeConstraint s x).sat' (Lean.Omega.normalizeCoeffs s x) v = true
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
x : M
hn : 0 < n
h : x < 1
⊢ x ^ n < 1
R : Type u_1
Rack R
x y z : R
⊢ x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = (x ◃⁻¹ y) ◃⁻¹ x ◃⁻¹ z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β
⊢ f =ᶠ[l] g ↔ f ≤ᶠ[l] g ∧ g ≤ᶠ[l] f
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
⊢ p ∣ Q.coeff 0
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z
h : explicitCokernelπ f ≫ e₁ = explicitCokernelπ f ≫ e₂
g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂
w : f ≫ g = 0
⊢ e₁ = e₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j
ham : a ≤ m
⊢ φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ j ≫ X.σ (⟨a, ⋯⟩.castLT ⋯)
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
x : R
h : ¬p.IsRoot x
⊢ Polynomial.rootMultiplicity x p = 0
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
f : K[X]
g : K[X]
hg : g ≠ 0
⊢ RatFunc.mk f g = IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : CompactIccSpace α
a b : α
⊢ IsCompact (Set.Icc a b)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
a : G
n : ℕ
⊢ ↑(n • a) = n • ↑a
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ MulOpposite.op x • ↑s = MulOpposite.op y • ↑s ↔ y * x⁻¹ ∈ s
α : Sort u_1
p q : α → Prop
e : ∀ (x : α), p x ↔ q x
b : { b // q b }
⊢ ↑((Equiv.subtypeEquivRight e).symm b) = ↑b
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedGroup (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ ∑ i : ι, ‖f i‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖f‖₊
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b : α
hab : a ≤ a + b
d : α
hcd : c ≤ c + d
⊢ a * (c + d) + (a + b) * c ≤ a * c + (a + b) * (c + d)
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.ball x δ / {y} = Metric.ball (x / y) δ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f g : r ≼i s
a : α
⊢ f a = g a
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
⊢ False
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x : ↥H
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
fst✝ : E
snd✝ : F
⊢ (fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.counitIso.hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ i ∈ range n, X ^ i).Monic
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, d = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ Finset.range (n.factorization p + 1), p ^ k
X : AddMonCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ (fun x' => f x' - f x) =O[L] fun x' => x' - x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(ofDual (s.max' hs)) = ↑((image (⇑ofDual) s).min' ⋯)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
⊢ Continuous f ↔ ∀ (y : E), Continuous fun x => (f x) y
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).inv.app K).f n)
⊢ ((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Function.Surjective ⇑h
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
a b z : R
⊢ gcd a b ∣ z ↔ ∃ x y, z = a * x + b * y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.SurjOn f s t
hf' : Set.RightInvOn f f' s
⊢ Set.LeftInvOn f f' t
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
⊢ e.trans e.symm = RelIso.refl r
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = s
⊢ ∀ (n : ℕ), IsCompact ((fun n => f '' K n) n)
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y
⊢ (g y).toFun (f r) = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ Z : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ __src✝.obj Z ◁ __src✝.map f ≫ tensor_μ C Z Y✝ = tensor_μ C Z X✝ ≫ __src✝.map (Z ◁ f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₁ p₂
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m✝ : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b m : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
ho : m ∈ foldl (argAux r) o (tl ++ [a])
⊢ ¬r b m
α : Type u_1
p : α → Bool
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.any p t = true ↔ Batteries.RBNode.Any (fun x => p x = true) t
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
m : ℕ → Measure α
hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤
hμ : μ = sum m
⊢ μ (toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
TopologicalSpace R₁
ContinuousSMul R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
x y : M₁
⊢ ContinuousLinearMap.toSpanSingleton R₁ (x + y) =
  ContinuousLinearMap.toSpanSingleton R₁ x + ContinuousLinearMap.toSpanSingleton R₁ y
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.212142}
n : ℕ
⊢ (∃ t, ↑t = univ ∧ t.card = n) ↔ ∃ h, Fintype.card α = n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomIsometric σ₂₁
RingHomIsometric σ₁₂
Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e‖ * ‖↑e.symm‖
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * inverse (1 + ↑x⁻¹ * t)
⊢ (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * (inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x y₀ y ϕ = ϕ
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
⊢ s.FG
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
⊢ (_root_.Disjoint on fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)) i j
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ uniformity α, ∃ V ∈ nhds x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
Module R M
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ IsBaseChange R ↑e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : CategoryTheory.Injective P
⊢ CategoryTheory.Injective Q
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ↑a.sqrt ≤ √↑a ∧ √↑a < ↑a.sqrt + 1
⊢ CategoryTheory.RelCat.opEquivalence.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.RelCat.unopFunctor.comp CategoryTheory.RelCat.opFunctor)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
H : CategoryTheory.Functor D E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D} (α : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj H).map α = CategoryTheory.whiskerRight α H
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
u : (i : ι) → M i
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => (c y) u) x = (fderiv 𝕜 c x).flipMultilinear u
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
x : R
x_ne_zero : x ≠ 0
hx : (algebraMap R K) x ∈ I
⊢ map h I ≠ 0
s : Set PUnit.{u + 1}
⊢ sSup s = PUnit.unit
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
⊢ chainLength α 0 = 2
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : 0 < G
⊢ False
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).obj Δ = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.obj₂ K Δ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
⊢ ∃ y ∈ frontier s, infDist x sᶜ = dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
AddCommGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (g + f) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
F : Type u_3
MeasurableSpace F
ν : MeasureTheory.Measure F
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving g μ ν
⊢ MeasureTheory.HasPDF (g ∘ X) ℙ ν
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ (∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
⊢ f.mk' x y = z ↔ f.toMap x = z * f.toMap ↑y
R : Type u_1
AddMonoid R
l : List R
⊢ Tropical.trop l.sum = (List.map Tropical.trop l).prod
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitorNatIso C).hom.app X = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.openCoverOfIsIso f).J = PUnit.{v + 1}
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : Mul α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
x : R
v w : m → α
⊢ v ⬝ᵥ x • w = x • (v ⬝ᵥ w)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
z : ℝ
⊢ x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ T s + T t + (T' s + T' t) = T s + T' s + (T t + T' t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h : x ~ᵢ y
⊢ y ⤳ x
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
⊢ ↑(y ^ k) < 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(W₀.sum (lp.single 2)) = ⇑W₀
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N n ω ≤ 1
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
s : Set G
_hs : MeasurableSet s
⊢ ⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ' U = ⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 8).eval
    (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: a4 :: a5 :: a6 :: a7 :: a8 :: t)) =
  a8
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ |x - ↑(if fract x < 1 - fract x then ⌊x⌋ else ⌈x⌉)| = if fract x < 1 - fract x then fract x else 1 - fract x