ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u
SubNegMonoid M
PseudoMetricSpace M
IsometricVAdd Mᵃᵒᵖ M
a b c : M
⊢ dist (a - c) (b - c) = dist a b
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
c : G
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => c • f x) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
⊢ LineDifferentiableAt ℝ f (p + s • v) v
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A
⊢ x ∈ A.idealOfLE (A.ofPrime P) ⋯ ↔ x ∈ P
G : Type u_2
SubNegMonoid G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : G
H : 0 ≤ x
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ 0 ≤ n • x
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i j : ι
⊢ (comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle j = TensorProduct.map (lapply i ∘ₗ lsingle j) (lapply i ∘ₗ lsingle j) ∘ₗ comul
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
s : Set A
⊢ NonUnitalAlgebra.adjoin R s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulMono α β
a : α
b : β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a • b
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : l.NeBot
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
⊢ (Summable fun n => ξ ^ n) ↔ ‖ξ‖ < 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
K L : Subgroup N
hf : Surjective ⇑f
⊢ comap f K < comap f L ↔ K < L
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
S : Set L
inst✝ : Finite ↑S
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional K ↥(⨆ i, K⟮↑i⟯)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : y ∈ v
h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ
xv : x ∉ v
yu : y ∉ u
⊢ False
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
s : ↑X
⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) (x ⊗ₜ[R] s) = g (x ⊗ₜ[R] s)
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p₁ p₂ : Path x₀ x₁
hp : ∀ (t : ↑I), p₁ t = p₂ t
⊢ ⟦p₁⟧ = ⟦p₂⟧
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖(r1 - r2) • v‖ * ‖(r1 - r2) • v‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u
u : Core α
x : α
⊢ ∀ (a : α), ∀ i ∈ u.uniformity, ∀ᶠ (x : α) in comap (Prod.mk a) u.uniformity, Prod.mk a ⁻¹' id i ∈ comap (Prod.mk x) u.uniformity
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
⊢ (C (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂))).degree < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
Add B
OrderBot B
D : A → B
p q : AddMonoidAlgebra R A
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : AddMonoidAlgebra.supDegree D p ≤ D ap
hq : AddMonoidAlgebra.supDegree D q ≤ D aq
⊢ (p * q) (ap + aq) = p ap * q aq
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsSymm α r
⊢ maximals r s = minimals r s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.rightOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeRightOp c).pt = Opposite.unop c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : β → Set α
t : Finset β
⊢ m (⋃ i ∈ t, s i) ≤ ∑ i ∈ t, m (s i)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
p : ℕ
⊢ ringChar R = p ↔ CharP R p
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α
⊢ {x} ∈ atTop
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (Prod.swap ⁻¹' s)
a : Bool
⊢ ((!a) = false) = (a = true)
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r
⊢ f ![a, b] < f ![r 0, r 1]
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ perfectClosure F E = ⊤
α : Type u
TopologicalSpace α
F : Set α
x : α
h : x ∈ F
⊢ connectedComponentIn F x = Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, h⟩
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring S
CommRing R
AddCommGroup M
Algebra S R
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
IsScalarTower S R N
Invertible 2
⊢ ⇑(QuadraticMap.associatedHom S) = ⇑QuadraticMap.associated
n : ℕ
⊢ Nat.Primrec'.Vec fun x => Mathlib.Vector.nil
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝¹ : T2Space M
a b : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
⊢ Xor' (∃ T > 0, Periodic γ T) (Injective γ)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
⊢ (zipWith f l₁ l₂).get? i = (Option.map f (l₁.get? i)).bind fun g => Option.map g (l₂.get? i)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ Fintype.card ↑(G.neighborSet v) = G.degree v
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ AntitoneOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s ↔ MonotoneOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support
⊢ False
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ W.ρ g = ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).inv ≫ V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom
R : Type x
Monoid R
HasDistribNeg R
⊢ (-1) ^ 2 = 1
M : Type v
X : Type x
Y : Type y
UniformSpace X
UniformSpace Y
SMul M X
UniformContinuousConstSMul M X
f : Y → X
hf : UniformContinuous f
c : M
⊢ UniformContinuous (c • f)
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoid α
CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
⊢ IsMulFreimanIso m A B f
α : Type u_4
β : Type u_5
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : AntilipschitzWith 0 f
⊢ Subsingleton α
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
l : FreeAddMonoid α
⊢ (FreeMonoid.count x) l = Multiplicative.ofAdd (List.count x l)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
hb2 : 2 ∣ b
⊢ False
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
ι : Sort u_1
f : K →+* L
s : ι → Subfield L
⊢ Subfield.comap f (iInf s) = ⨅ i, Subfield.comap f (s i)
a : ℤ
b : ℕ
x✝ : b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
hb : b ≠ 0
h : a.gcd ↑b ≠ 1
⊢ J(a | b) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
⊢ m * n ≠ 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) x = 0 ↔ x = 0
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
⊢ 1 / 2 ≤ S
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ x ⤳ y ∧ y ⤳ x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Iic b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iio b) (Set.Ioi (f b))
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
_i : LipschitzAdd β
⊢ LipschitzWith (LipschitzAdd.C β) fun p => p.1 + p.2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • 𝓕⁻ (fun y => f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)) (-Real.log x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι (CategoryTheory.Preadditive.kernelForkOfFork c) = c.ι
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_sub : w ○ w ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s
R : Type u
CommSemiring R
S : Type v
CommSemiring S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ Set.range ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) = ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ ↑a ⋖ ↑b ↔ a ⋖ b
K : Type u_1
Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
⊢ ((NumberField.mixedEmbedding.commMap K) x).2 ⟨w, hw⟩ = x w.embedding
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarMul A
Algebra R A
StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap R A) r)
γ : Type w
LinearOrder γ
s : Set γ
a b : γ
ha : IsGLB s a
hb : b ∈ s
⊢ IsGLB (s ∩ Set.Iic b) a
x : ℝ
⊢ Real.sinh x < Real.cosh x
b o : Ordinal.{u_1}
⊢ foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 [] = 0
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
o : Ordinal.{u_4}
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (Order.succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
h : o.IsLimit
⊢ o.limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₃ o h fun x _h => x.limitRecOn H₁ H₂ H₃
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν ≠ ⊤
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ (a ⇨ b) ≤ b
f : CauSeq ℂ ⇑Complex.abs
⊢ (Complex.cauSeqAbs f).lim = Complex.abs f.lim
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
ha : SupPrime a
⊢ ¬IsMin a
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
⊢ False
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : r < 1
⊢ b < (AffineMap.lineMap a b) r ↔ b < a
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ¬Inseparable x y
α : Type u
n : Nat
⊢ List.nil.get? n = none
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
I : Ideal R
⊢ x ∈ Ideal.span {y} * I ↔ ∃ z ∈ I, y * z = x
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
⊢ IsAddUnit {a}
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
(n : ℕ) → (f : L'.Functions n) → Decidable (f ∈ Set.range fun f => ϕ.onFunction f)
(n : ℕ) → (r : L'.Relations n) → Decidable (r ∈ Set.range fun r => ϕ.onRelation r)
h : ϕ.Injective
M : Type u_1
Inhabited M
L.Structure M
⊢ ϕ.IsExpansionOn M
c f : Bool
⊢ (bif c then true else f) = (c || f)
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
a : α
h : a ∈ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => p x) s
⊢ p a
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
N : Type u_5
AddCommMonoid N
Module A N
Module R N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R A N
e : M ≃ₗ[A] N
⊢ ↑(e.compDer D) = ↑R ↑e ∘ₗ ↑D
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ ClosedEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), ClosedEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = (map Prod.fst (f.pair g)).lintegral μ + (map Prod.snd (f.pair g)).lintegral μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ m = n
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
m : Submodule R M
⊢ IsSimpleModule R ↥m ↔ IsAtom m
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
⊢ ({x} ∩ s).encard ≤ 1
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)
hx' : IsUnit ⟨star x * x, ⋯⟩
⊢ ↑hx.unit * ↑↑hx'.unit⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : DivInvMonoid G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
x : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
y : G₀
⊢ Tendsto (fun a => f a / y) l (𝓝 (x / y))
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
⊢ (of' k G g * (x /ᵒᶠ g)) g' + (x %ᵒᶠ g) g' = x g'
F : Type u_3
E : Type u_4
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ IntermediateField.adjoin F Set.univ = ⊤
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ (MeasureTheory.Measure.mkMetric m) s =
  ⨆ r,
    ⨆ (_ : 0 < r),
      ⨅ t,
        ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t),
          ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), EMetric.diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (EMetric.diam (t n))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
hP : P.IsPrime
n : ℕ
h : P ∣ I ^ n
hP0 : ¬P = ⊥
⊢ P ∣ I
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ lcm a b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
LinearOrder ι
hf : AntitoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ MonovaryOn f g s
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
this : s ∩ U = s
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
⊢ Summable fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddCommMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ⇑(f i)
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a = c - b
⊢ a + b = c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
⊢ TotallyBounded (f '' s) ↔ TotallyBounded s
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup M
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥S
⊢ ↑((S.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
G.LocallyFinite
n : ℕ
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p ∈ G.finsetWalkLength n u v ↔ p.length = n
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
⊢ (∃ a_1, ((a < a_1 ∧ a_1 ≤ b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a < x ∧ x ≤ ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
F.Initial
d : D
c : C
s s' : F.obj c ⟶ d
⊢ ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s'
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
⊢ o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)
x : ℂ
⊢ Complex.cos x + Complex.sin x * Complex.I = Complex.exp (x * Complex.I)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s
z : ℂ
h : 0 < z.im
⊢ ↑(UpperHalfPlane.mk z h) = z
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
carrier : Set R
zero_mem : 0 ∈ carrier
add_mem : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → y ∈ carrier → x + y ∈ carrier
neg_mem : ∀ {x : R}, x ∈ carrier → -x ∈ carrier
mul_mem_left : ∀ {x y : R}, y ∈ carrier → x * y ∈ carrier
mul_mem_right : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → x * y ∈ carrier
x : R
⊢ x ∈ TwoSidedIdeal.mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↔ x ∈ carrier
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
⊢ I.jacobson = I
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i
⊢ edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁)) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) = edist b₁ b₂
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
⊢ LinearIndependent ℤ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval C) ↔
  LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.range C)) => ↑p
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hf : Nat.Primrec' f
⊢ Nat.Primrec' fun v => (Nat.unpair (f v)).2
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
IsEmpty α
⊢ Ordinal.type r = 0
n : ℕ
⊢ (2 * n + 2).choose (n + 1) * (n + 1) = (2 * n + 1).choose n * (2 * n + 2)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
⊢ ⋂ i, Iio (f i) ⊆ ∅
α : Type u
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b → b ≤ a → a = b
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ BfactorSetMem ⟨p, hp⟩ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Antivary f g
n : ℕ
⊢ Antivary (n • f) g
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
⊢ 0 < mk f ↔ f.Pos
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : 1 ≤ M
⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X
⊢ _root_.HasSeparatingCover s t
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y