ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x y z : Bool
⊢ x ≤ y → y < z → x < z
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ f ≤ f.closure
β : Type u_1
α : Type u_2
p : α → Bool
f : β → α
l : List β
⊢ List.filter p (List.map f l) = List.map f (List.filter (p ∘ f) l)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
h : edist x y + ε₁ ≤ ε₂
h' : edist x y ≠ ⊤
⊢ EMetric.ball x ε₁ ⊆ EMetric.ball y ε₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G H : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ (α ≫ β).toNatTrans = α.toNatTrans ≫ β.toNatTrans
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
⊢ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) ⊆ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
s : Set ι
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b) μ
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
PredOrder α
a b : α
⊢ Order.pred a ≤ b ↔ a ≤ Order.succ b
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
x : G
hx : x ∈ K
n : ℕ
⊢ n • x ∈ K
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
hpz : ¬f = 0
⊢ f.support.card ≤ 1
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ⊤ ≤ map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
k : ℕ
⊢ ↑(((AlgebraTensorModule.curry (↑(piEquivOfFintype I fun x => R) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R))) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k = ↑(((AlgebraTensorModule.curry ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k
a b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
h : n.succ ≤ m
⊢ ofNat m + -[n+1] = ofNat (m - n.succ)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I : Submodule R₁ K
hI : I = ⊥
⊢ ⊥.FG
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ f.lim ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t x : ℝ
n : ℕ
⊢ HasDerivAt (fun y => (-y + x) ^ (n + 1)) ((↑n + 1) * (-t + x) ^ n * -1) t
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.closedBall 0 δ - s = Metric.cthickening δ (-s)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F
⊢ (mk ∘ dest) x = id x
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
x : α
MeasurableSingletonClass α
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f {x} μ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ (Set.Iic a)ᶜ = Set.Ioi a
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (M₁.tensorBimod N).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M₂.tensorBimod N).actRight
q : ℚ
hq : q.num = 0
⊢ q = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ mk0 ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩ = mk I
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 5
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
⊢ 2 ∣ 8
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).imK = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ → ℕ →. α
h : Partrec (Nat.unpaired f)
⊢ Partrec₂ f
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ X✝ ◁ 0 = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
⊢ N = (mapOrderEmbedding ⋯) ⊤
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
⊢ Partrec f → Nat.Partrec' f
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
this : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ k, (u l, u k) ∈ V n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V n
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : Fin L.length
⊢ drop (Nat.sum (take (↑i) (map length L))) (take (Nat.sum (take (↑i + 1) (map length L))) L.join) = L.get i
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
n : ↑N
hgn : ((QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding) ((PM.comp NP).equivRange n) = (g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype) ((PM.comp NP).equivRange n)
⊢ ↑((((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP) n) = ↑((((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ) n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : G' → E
g : G' → F
x : G'
s : Set G'
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => (B (f y)) (g y)) s x =
  ((ContinuousLinearMap.precompR G' B) (f x)) (fderivWithin 𝕜 g s x) +
    ((ContinuousLinearMap.precompL G' B) (fderivWithin 𝕜 f s x)) (g x)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
A : Set α
hA : A ⊆ Function.fixedPoints ⇑f
⊢ f (sInf A) ≤ sInf A
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
⊢ Submartingale f 𝒢 μ
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
DecidableEq β
AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M
⊢ (s.sum f).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f = partialSups g
⊢ ⨆ n, f n = ⨆ n, g n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ↑ε
⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
⊢ IsFractional S (Submodule.span R {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
this : 1.38 = 69 / 50
⊢ 1 ≤ (1.38 - 1) * x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), (f x).swap ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
S : Type u_5
OrderedRing S
R : Type u_6
Ring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a b : R
⊢ abv a - abv b ≤ abv (a - b)
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
v u : ι → 𝕜
⊢ ‖∑ x : ι, (v x - u x) • (g x - f x)‖ ≤ ∑ i : ι, ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ (↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
b✝ : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
⊢ (∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ forkMap P X π t = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x
a b m n✝ p✝ p k n : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ p ^ k ∣ n ↔ p ^ k ∣ p ^ n.factorization p
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0
⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
hJ : M.Indep (insert e I)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
⊢ (x + y) * (x ^ (n + 1) + y ^ (n + 1)) - 1 * (x ^ n + y ^ n) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).toOuterMeasure = (OuterMeasure.restrict s) μ.toOuterMeasure
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
L : F →SL[τ] G
this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this : UniformAddGroup G
⊢ Continuous { toFun := fun f => L.comp f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ Finset.Ico s t = Finset.image (fun x => s ∪ x) (t \ s).ssubsets
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (↑(extChartAt I'.tangent q) ∘ tangentMapWithin I I' f s ∘ ↑(extChartAt I.tangent p).symm) ((extChartAt I.tangent p).target ∩ ↑(extChartAt I.tangent p).symm ⁻¹' (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ tangentMapWithin I I' f s ⁻¹' (extChartAt I'.tangent q).source))
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
a b : k
ha : 0 < a
⊢ Int.fract (b / a) * a ∈ Set.Ico 0 a
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
⊢ adj₁.unit.app c ≫ adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : Differentiable 𝕜 c
u : (i : ι) → M i
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => (c y) u
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
⊢ op '' s⁻¹ = (op '' s)⁻¹
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α
⊢ (Matrix.diagonal v).toBlocks₂₁ = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
L : Type u_2
Field L
NumberField L
f : K ≃ₐ[ℚ] L
⊢ NumberField.discr K = NumberField.discr L
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
t : τ
ht : Tendsto (fun x => x + t) f f
⊢ ω f ϕ.toFun (ϕ.toFun t '' s) ⊆ ω f ϕ.toFun s
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[s] a
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ Filter.map Prod.swap (𝓤 α) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : 0 < C
⊢ False
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
s : Set Y
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
⊢ Tendsto (fun a => μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s))) l (𝓝 0)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
⊢ { re := ↑s ∅, im := ↑t ∅ } = 0
m n : ℤ
h : n % 2 = 1
⊢ n = 2 * (n / 2) + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ S
left✝ : x ≠ 0
hxneg : -x ∈ S
⊢ x + -x ∈ S
a b : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ a
⊢ a = b
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩) ≠ 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
CommSemiring S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
a : A
⊢ (Algebra.TensorProduct.productMap f g) (a ⊗ₜ[R] 1) = f a
n : Type u_3
α : Type v
Star α
M : Matrix n n α
i j : n
⊢ star M i j = star (M j i)
F : Type u_1
E : Type u_3
Field F
Field E
Algebra F E
E' : Type u_4
Field E'
Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
Algebra.IsSeparable F E'
⊢ Algebra.IsSeparable F E
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 ↑x))] fun x => x ^ n
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
⊢ ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_mono : Monotone S
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
⊢ f univ ≤ C
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
β : Type u_9
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
⊢ ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s.toFinset) (ha₂ : a₂ ∈ s.toFinset), f'' a₁ ha₁ = f'' a₂ ha₂ → a₁ = a₂
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : D
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) (F.comp G)
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.pre S F G).obj X).left = X.left
α : Type u
CommGroup α
IsSimpleGroup α
Fintype α
⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toDFinsupp (s ∪ t) = Multiset.toDFinsupp s ⊔ Multiset.toDFinsupp t