ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
⊢ (permutations'Aux x s).nthLe k ?intro.intro.refine_1 = (permutations'Aux x s).nthLe (k + 1) ?intro.intro.refine_2
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h : Set.range (sum_to C ho) = Set.range Subtype.val ∪ Set.range Subtype.val
⊢ Set.range (sum_to C ho) = GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set β
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
α : Type u
R : Type u_1
Monoid α
Ring R
f : FreeAbelianGroup α →+* R
⊢ ⇑(FreeAbelianGroup.liftMonoid.symm f) = FreeAbelianGroup.lift.symm ↑f
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Subsingleton R
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
R : Type u_1
A : Type u_2
Mul R
Add A
Mul A
SMul R A
x₁ x₂ : Unitization R A
⊢ (x₁ * x₂).snd = x₁.fst • x₂.snd + x₂.fst • x₁.snd + x₁.snd * x₂.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a b : α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
StrongRankCondition R
pb : PowerBasis R S
⊢ FiniteDimensional.finrank R S = pb.dim
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).unitIso.hom.app X).base = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.base
x : EReal
⊢ x.exp = 0 ↔ x = ⊥
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
Zero α
DecidableEq m
DecidableEq l
d : m → α
e : l ↪ m
⊢ (Matrix.diagonal d).submatrix ⇑e ⇑e = Matrix.diagonal (d ∘ ⇑e)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (↑l).dedup = (↑l).dedup.inf
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : n < p.natTrailingDegree
⊢ p.coeff n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ 0 < ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f)
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ castSucc 0 < a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f⁻¹ g ↔ Antivary f g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
i : Fin 1
⊢ (Affine.Simplex.mkOfPoint k p).points i = p
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0
hb : b > 0
⊢ (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α
⊢ N i ≤ P i + 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊓ (a ⇨ b) ≤ b
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M.Base ∅ ↔ M = loopyOn M.E
R : Type u_1
CommSemiring R
x y : R
⊢ ∀ (a : R[X][Y]), (Polynomial.evalEvalRingHom x y) a = Polynomial.eval x (Polynomial.eval (Polynomial.C y) a)
α : Type u_3
γ : Type u_5
SemilatticeInf α
SemilatticeInf γ
f g : α → γ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atBot Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g Filter.atBot Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map f g) Filter.atBot Filter.atBot
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
f : ℕ → δ → α
hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => Filter.limsup (fun i => f i x) Filter.atTop
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
x✝ : ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
s : Finset M
h₁ : s.card = n
h₂ : LinearIndependent R Subtype.val
⊢ ↑n ≤ Module.rank R M
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (nhds x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (uniformity α).HasBasis p₂ s₂
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a > b → a ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).app ⟨2, ⋯⟩ = app₂
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set Ω)
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} {s : ι → Set Ω} [inst : Fintype ι],
  ProbabilityTheory.iIndepSets π μ → (∀ (i : ι), s i ∈ π i) → μ (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, μ (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (-s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure M
T : L.Substructure N
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f S ≤ T → S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.comap f T
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ a ≤ (algebraMap R A) r
K : Type u_1
LinearOrderedField K
v : K
FloorRing K
terminates : (GenContFract.of v).Terminates
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, v = (GenContFract.of v).convs n
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : hs.Quotient
⊢ hs.index (Quotient.out' x) = hs.index (hs.out x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.id F).app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)
I : Ideal R
⊢ (↑↑I).FG ↔ I.FG
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
⊢ Differentiable ℝ fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddZeroClass β
ContinuousAdd β
f g : α →C₀ β
⊢ (f + g) x = f x + g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ (S.comp T).comp (adjoint S) = S.comp (T.comp (adjoint S))
k G V : Type u
Field k
Group G
AddCommGroup V
Module k V
FiniteDimensional k V
ρV : Representation k G V
W : FDRep k G
⊢ (FDRep.dualTensorIsoLinHom ρV W).hom.hom = dualTensorHom k V (CoeSort.coe W)
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
⊢ J ∈ πi (π.biUnionIndex πi J)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1
⊢ p.natDegree = (1 * p).natDegree
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ (natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).inv).app ((functor r).obj X) = (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).hom.app X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
f : 0 ⟶ X
⊢ f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ e.target ∩ t = e'.target ∩ t
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b✝ : Basis ι R M
c : Basis κ R M
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)
⊢ (trace R M) f = ((toMatrix b b) f).trace
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ
⊢ (SimpleGraph.ComponentCompl.supp (↑e K)).Infinite
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
h : A.det = 1
⊢ ↑⟨A, h⟩ = A
α : Type u_8
ι : Type u_9
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hf : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μ (⋂ j ∈ {j | j ≤ i}, f j)) Filter.atTop (nhds (μ (⋂ i, f i)))
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b ≠ ⊤ ↔ multiplicity.Finite a b
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ LinearMap.fst R M₂ M₃ ∘ₗ f.prod g = f
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ cmp (f x) (f y) = cmp x y
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
ι₁ : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
Fintype ι₁
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
⊢ LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₁ LinearMap.id = MvPolynomial.X
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ (s + t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
AddCommMonoid S
DistribSMul T S
p : R[X]
b : T
f : ℕ → R → S
⊢ b • p.sum f = p.sum fun n a => b • f n a
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
⊢ ↑(AddEquiv.prodProdProdComm M N M' N') = Equiv.prodProdProdComm M N M' N'
ι : Type u_1
M : Type u_2
Monoid M
c : Con M
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, c (f x) (g x)
⊢ c (List.map f l).prod (List.map g l).prod
b m : ℕ
hb : 1 < b
⊢ m < b ^ (b.digits m).length
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Bot α
Bot β
Bot γ
Bot δ
f : BotHom γ δ
g : BotHom β γ
h : BotHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
m n : ℕ
⊢ m + n + 1 ≤ ack m n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ affineSpan k {p₁, p₂} ≤ s
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.reverseOpEquiv a = CliffordAlgebra.reverseOp a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f✝ : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
f : A₀ ⟶ A₁
inst✝ : IsIso f.f
⊢ F.map (inv f.f) ≫ F.map f.f ≫ A₁.str = A₁.str
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ HasSum (fun x => (f x).toReal) (∑' (x : α), (f x).toReal)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx' : nilpotencyClass x = 0
hx : 1 = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
⊢ Real.logb b x ≤ Real.logb b y ↔ x ≤ y
R : Type u
CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (CoalgebraCat R) (ModuleCat R)).obj X = ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) t fun x => x + dt) (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
⊢ (Function.swap dslope z₀)^[p.order] f z₀ ≠ 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
⊢ IsPurelyInseparable F E
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.eraseNone (Finset.map Function.Embedding.some s) = s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
⊢ 0 ≤ (cfcHom ha) f ↔ 0 ≤ f
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
StarRing C
StarModule R C
φ : A →⋆ₙₐ[R] C
⊢ Unitization.starLift φ = { toAlgHom := φ.toAlgHom, map_star' := ⋯ }
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (colimMap (J.diagramPullback P f) ≫ colimit.pre (J.diagram P Y) (J.pullback f).op) ((colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
n m : ℕ
ha : a ≤ 1
h : n ≤ m
⊢ a ^ m ≤ a ^ n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
Q : Sylow p G
⊢ Q ∈ MulAction.fixedPoints (↥P) (Sylow p G) ↔ P ≤ ↑Q
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Icc a c ⊆ Set.Ico a b ∪ Set.Icc b c
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
⊢ 0 ≤ ifp_n.fr ∧ ifp_n.fr < 1
P : Type u_1
Preorder P
p q : P
⊢ Order.PFilter.principal q ≤ Order.PFilter.principal p ↔ p ≤ q
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
x : X
I : Type u_3
TopologicalSpace I
h : IsEvenlyCovered f x I
⊢ x ∈ h.toTrivialization.baseSet
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ ⊤.FG
a : Ordinal.{u_4}
h : a ≠ 0
⊢ a / a = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
X Y : C
h : P X
e : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso e
⊢ CategoryTheory.isoClosure P Y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ IsClosed {b | b ∈ closure (Set.range Int.cast)}
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ContDiff ℝ 1 fun x => ‖x‖ ^ p
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.mk L₁ = FreeAddGroup.mk L₂ ↔ Relation.Join FreeAddGroup.Red L₁ L₂
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a + b ∈ Set.Ico c d ↔ b ∈ Set.Ico (c - a) (d - a)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.support f ⊆ s ↔ ∀ x ∉ s, f x = 0
x : ℂ
⊢ Complex.tanh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.tanh x)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ ij ∈ antidiagonal (n + 1), f ij.1 ij.2 ^ (n + 1).choose ij.1 = (∏ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 (ij.2 + 1) ^ n.choose ij.1) * ∏ ij ∈ antidiagonal n, f (ij.1 + 1) ij.2 ^ n.choose ij.2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0
⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (SimplexCategory.δ 0) = K.d (n + 1) n
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : β → Sort v
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse g f
C : (a : α) → γ (f a)
a : α
⊢ Eq.recOn ⋯ (C (g (f a))) = C a
n : ℕ
⊢ Fin.succAbove 1 1 = 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (CategoryTheory.Subobject.pullback (CategoryTheory.Limits.prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (CategoryTheory.Dial.isoMk e₁ e₂ eq).hom.f = e₁.hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{w, w', v₂, u₂} D
CategoryTheory.CreatesColimitsOfSize.{w, w', v₁, v₂, u₁, u₂} F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{w, w', v₁, u₁} C
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s
⊢ μ s = 0 ∨ μ s = 1
α₁ : Type u_1
β₁ : Type u_2
DecidableEq α₁
e : Equiv.Perm β₁
a a' : α₁
h : a' ≠ a
b : β₁
⊢ (Equiv.Perm.prodExtendRight a e) (a', b) = (a', b)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
a : α
x✝ : ℝ
⊢ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ x✝) → 0 ≤ x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : (ts ++ [t]).length < n + 1
⊢ (ts ++ [t]).permutations ~ (ts ++ [t]).permutations'
n : ℕ
G : Type u_6
AddGroup G
h : (Nat.card G).Coprime n
⊢ (nsmulCoprime h) 0 = 0
x₁ x₂ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hx : x₁ < x₂
hy : y₁ < y₂
⊢ Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₁ y₂
α : Type u_2
Bornology α
s : Set αᵒᵈ
⊢ Bornology.IsCobounded (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ Bornology.IsCobounded s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
⊢ IsCompact (closure {x})
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑f.toAddMonoidHom = ⇑f
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ Sym.map (fun x => x) s = s