ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
c : ℝ
b : α
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] b, ‖f a‖ ≤ c
hb : b ∈ {b}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (n : ι) (n_1 : ℕ), (((κs n).seq n_1) a) s = ∑' (n : ℕ), (((κs (e n).1).seq (e n).2) a) s
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
⊢ f = ⇑(s.orderEmbOfFin h)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
inst✝ : IsEmpty ι
this : aeval x = (ofId R A).comp ↑(isEmptyAlgEquiv R ι)
⊢ AlgebraicIndependent R x ↔ Injective ⇑(algebraMap R A)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ r.toNNReal = ‖r‖₊
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ↑I.incl = (lieIdealSubalgebra R L I).subtype
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ leftHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • leftHomologyMap' φ h₁ h₂
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
MulZeroOneClass R
a : α
e : Sym2 α
h : e ∉ G.incidenceSet a
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e = 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
q : E → ℝ
hq : q ∈ upperBounds (DFunLike.coe '' s)
⊢ p x ≤ ⨆ i, ↑i x
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)
⊢ c • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = c • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1
s : ℕ
hs : (-ζ) ^ s = x
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P.IsPrime
I : Ideal S
I.IsPrime
hIP : Ideal.comap (algebraMap R S) I ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ Ideal.comap (algebraMap R S) Q = P
α : Type u
s t : Set α
⊢ s.ite t s = t ∩ s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = -K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂''
x✝ y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x
⊢ -x ≤ mk (-f)
A : Type u_1
B : Type u_2
CommSemiring A
CommRing B
Algebra A B
NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
hQ : ∀ i ∈ Finset.range (Q.natDegree + 1), p ∣ Q.coeff i
hz : (Polynomial.aeval x) Q = p • z
⊢ z ∈ Algebra.adjoin A {x}
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
⊢ (MvPolynomial.finSuccEquiv R n) p =
  (MvPolynomial.eval₂Hom (Polynomial.C.comp MvPolynomial.C) fun i =>
      Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (MvPolynomial.X k)) i)
    p
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
hs : s.Infinite
⊢ ∃ x, AccPt x (cofinite ⊓ 𝓟 s)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ₂ h₁ h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a
s : Set α
hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0
g : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => if a ∈ s then 0 else f n a
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
⊢ (HahnSeries.embDomain f x).support ⊆ ⇑f '' x.support
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
n : ℕ
⊢ HasDerivAt Real.Gamma (↑n ! * (-γ + ↑(harmonic n))) (↑n + 1)
M : Type u_2
Add M
S : Set (AddSubsemigroup M)
s : AddSubsemigroup M
hs : s ∈ S
x : M
⊢ x ∈ s → x ∈ sSup S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
⊢ Filter.rcomap r ∘ Filter.rcomap s = Filter.rcomap (r.comp s)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
⊢ y ∈ {x | swap x y ∈ closure S}
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f) fun x => f ⁻¹' x
x : X
s : Set Y
hs : (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f
⊢ IsCompact s
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ((borelMarkovFromReal Ω η) a) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ)
  (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) μ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval x)
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ a ∈ conjugatesOf a
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(restrictScalars K S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesFunctor C).obj S = S.opcycles
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
U' : ℕ → Set (α × α)
hU' : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ i, U' i ⊆ s
⊢ CompleteSpace α
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
DecidableEq α
X : α → V
d_X : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq_X : ∀ (n : α), d_X (n + 1) ≫ d_X n = 0
Y : α → V
d_Y : (n : α) → Y (n + 1) ⟶ Y n
sq_Y : ∀ (n : α), d_Y (n + 1) ≫ d_Y n = 0
f : (i : α) → X i ⟶ Y i
comm : ∀ (i : α), f (i + 1) ≫ d_Y i = d_X i ≫ f i
i : α
⊢ (ChainComplex.ofHom X d_X sq_X Y d_Y sq_Y f comm).f i = f i
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ (X ◁ g ≫ f ▷ Y') ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ g ▷ X ≫ Y' ◁ f
α : Type u_1
ι : Type u_2
Countable ι
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop φ
⊢ MeasureTheory.AECover μ Filter.atTop fun n => ⋃ k ∈ Set.Iic n, φ k
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j
⊢ f i = ∏ i ∈ {i}, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ Fin n → ℕ
ι : Type v
DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
DecidableEq M
AddCommMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : DirectSum ι fun i => ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeAddMonoidHom A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : x = 0
⊢ log b x ≤ log b y
α : Type u
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length
hn' : n < (List.insertNth n x l).length := ⋯
⊢ (List.insertNth n x l).nthLe n hn' = x
α : Type u
x y : α
⊢ { down := x } = { down := y } ↔ x = y
f : ℕ → Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.sum f = f 0 + Cardinal.sum fun i => f (i + 1)
s t : Set ℝ
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (s ×ℂ t)
α : Type u
Preorder α
b : α
a : α
hb : IsGLB (Set.Ioi a) b
⊢ a ≤ b
α : Type u
Semiring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, 1 ^ i = ↑n
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.RTendsto r l₁ l₂ ↔ l₁ ≤ Filter.rcomap r l₂
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a b : MvPolynomial σ R
⊢ max a.totalDegree (-b).totalDegree = max a.totalDegree b.totalDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arccos (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
a b : Int
h : 0 ≤ b
⊢ a ≤ b + a
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
R : Type u_1
CommRing R
Algebra R L
μ : L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
g : L ≃ₐ[R] L
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow R hμ) g = (ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
h : IsMaxOn f s a
⊢ IsExtrOn f s a
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x y z : L
n : ℕ
⊢ ((LieAlgebra.ad R L) x ^ n) ⁅y, z⁆ =
  ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅((LieAlgebra.ad R L) x ^ ij.1) y, ((LieAlgebra.ad R L) x ^ ij.2) z⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.sub h').h₀ = h.h₀ - h'.h₀
α : Type u_1
l : List α
⊢ l <:+ l
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_10
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
MulOneClass Q
f : M →* N
g : N →* P
h : P →* Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ abs (invInterpStrip f z ε) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : DivInvMonoid G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : ContinuousOn f s
y : G₀
⊢ ContinuousOn (fun x => f x / y) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
X : Fin (n + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.obj F).obj X = F.obj X.succ
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
h : y ∈ s
⊢ Metric.infDist x s ≤ dist x y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₄ : p₄ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
⊢ (CategoryTheory.Subgroupoid.generatedNormal X).IsNormal
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
⊢ dimH (f '' univ) ≤ dimH univ / ↑r
R : Type x
MulOneClass R
HasDistribNeg R
a : R
⊢ SemiconjBy a (-1) (-1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s ⊆ {x | gauge s x < 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' (s \ f ⁻¹' t) = f '' s \ t
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : s ∈ (fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) U
⊢ s ∈ Submonoid.comap (F.map i) ((fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) V)
⊢ Filter.map Real.exp Filter.atBot = 𝓝[>] 0
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
⊢ IsOpen s ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
⊢ ∃ p, a ~ᵤ p ∧ f = {p}
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Precoherent C
W X : C
α : Type
inst✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows.cocone
x : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)
hx : x.Compatible
x_ext : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows := x.sieveExtend
hx_ext : x.sieveExtend.Compatible
S : Sieve X := Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)
t : (yoneda.obj W).obj (Opposite.op X)
t_amalg : x_ext.IsAmalgamation t
t_uniq : ∀ (y : (yoneda.obj W).obj (Opposite.op X)), (fun t => x_ext.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
⊢ (F.trans G).symm = G.symm.trans F.symm
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ ∑ i ∈ Finset.range 0, m (t ∩ s i) = m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < 0), s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm ⋯ ⋯ x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist b (a + b) = ‖a‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a * b < c * d
hc : 0 < c
ha : a ≠ 0
hh : a⁻¹ ≤ c⁻¹
this : a⁻¹ * (a * b) < c⁻¹ * (c * d)
⊢ b < d
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimit G
inst✝ : HasColimit (curry.obj G ⋙ colim)
j : J
k : K
⊢ (colimit.ι G (j, k) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv = (colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
⊢ g.graph.topologicalClosure = g.graph.topologicalClosure.toLinearPMap.graph
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(ν a).restrict u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) < ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Cardinal.lift.{max u w, v} (Cardinal.mk ↑(Set.range f)) = Cardinal.lift.{max v w, u} (Cardinal.mk α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Option α
f : α → Option β
g : β → Option γ
⊢ (x.bind f).bind g = x.bind fun y => (f y).bind g
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
⊢ adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
⊢ (algebraMap R P) ↑I.den • ↑I = I.den • ↑I
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m
this : Injective fun x => 2 * x
ho : HasProd (fun x => f ↑x) m'
⊢ HasProd f (m * m')
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) x = 0 ↔ x = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
⊢ x ∈ Metric.sphere 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}
R : Type (u + 1)
Ring R
X Y : CondensedMod R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (Opposite.op S.compHaus))
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u₁
AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
x : γ
⊢ (DirectSum.fromAddMonoid ((DirectSum.of (fun i => γ →+ β i) i) f)) x = (DirectSum.of β i) (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : G → E
t : Set G
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
hg : DiffContOnCl 𝕜 g t
h : Set.MapsTo g t s
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (f ∘ g) t
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
⊢ ContinuousMul M
R : Type u
Ring R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
⊢ ↑(ModuleCat.of R X) = X