ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ EuclideanGeometry.Concyclic {p₁, p₂}
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
h : ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc g)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral g
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
U V : Set α
⊢ Disjoint (Quotient.mk' '' U) (Quotient.mk' '' V) ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g +ᵥ x ∉ V
δ : Type u_3
AddCommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico m n, f k = ∑ k ∈ Finset.range n, f k - ∑ k ∈ Finset.range m, f k
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing (a + b) = ofBoolRing a ∆ ofBoolRing b
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
p q : CategoryTheory.ActionCategory M X
⊢ (p ⟶ q) = { m // m • p.back = q.back }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) Z)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y' Z).hom)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
m : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv (p • 1)).coeff m i j = (Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p).coeff m i j
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
γ' : Cochain K L n
⊢ δ n m (((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ').rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' ((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ')).rightUnshift m hm'
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → X
⊢ (∀ (ib : Set X), x ∈ ib ∧ IsOpen ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ ib) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → f n ∈ U
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ imaginaryPart x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖₊ ≤ ‖x‖₊ * ‖y‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ Set.graphOn f (s ∪ t) = Set.graphOn f s ∪ Set.graphOn f t
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Finite ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π.compl.iUnion = ↑I \ π.iUnion
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieSubalgebra.engel R 0 = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
τ : F ⟶ G
⊢ (S.mapNatTrans τ).τ₂ = τ.app S.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun x => κ.density ν a x s) =ᶠ[ae (ν a)] Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t : Set α
a : α
⊢ a ∈ t → s.piecewise f f' a = g a ↔ (a ∈ t ∩ s → f a = g a) ∧ (a ∈ t ∩ sᶜ → f' a = g a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
⊢ (affineCombination k s p₁) w₁ = (affineCombination k s p₂) w₂
α : Type u_2
Group α
a b : α
⊢ {b}.preimage (fun x => a * x) ⋯ = {a⁻¹ * b}
G : Type u_2
AddGroup G
S T : AddSubmonoid G
⊢ -S ≤ -T ↔ S ≤ T
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ c.toOver.ι.app j = CategoryTheory.Over.homMk (c.ι.app j) ⋯
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ (aeval B.gen).range
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Function.Injective ⇑f.rangeRestrict ↔ Function.Injective ⇑f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι : Type u
R : ι → ι → Prop
x : F (α ::: ι)
f : ι → ι
hh : ∀ (x : ι), R (f x) x
this : LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x)
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
EquivLike F α β
OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ EquivLike.inv f b < a ↔ b < f a
n : ℕ
NeZero n
a : ℕ
h : a < n
⊢ ↑↑a = a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝² : TopologicalSpace X
Z B : C
π : Z ⟶ B
inst✝¹ : HasPullback π π
inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G
a : C(↑(G.obj Z), X)
ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.snd π π))
x y : ↑(G.obj Z)
hxy : (G.map π) x = (G.map π) y
xy : ↑(G.obj (pullback π π)) := (PreservesPullback.iso G π π).inv ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype (G.map π) (G.map π)).inv ⟨(x, y), hxy⟩)
ha' : a ((G.map (pullback.fst π π)) xy) = a ((G.map (pullback.snd π π)) xy)
⊢ a x = a y
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
⊢ ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
⊢ IsFundamentalDomain H (⇑f '' s) ν
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
f' : F
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₀ f' x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalAddGroup M
p : Submodule R M
hp : p.ClosedComplemented
⊢ ∃ q e, (∀ (x : ↥p), e ↑x = (x, 0)) ∧ (∀ (y : ↥q), e ↑y = (0, y)) ∧ ∀ (x : ↥p × ↥q), e.symm x = ↑x.1 + ↑x.2
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.map₂ η) (self.app b))
    (self.naturality g).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.naturality f).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.app a) (G.map₂ η))
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
Mul α
Mul β
f : α → β
r : α
A : Matrix n n α
hf : ∀ (a₁ a₂ : α), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
⊢ (MulOpposite.op r • A).map f = MulOpposite.op (f r) • A.map f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ ((∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) + ∫ (a : Ω), ((fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) a) - ∫ (a : Ω), (2 * X * fun x => ∫ (x : Ω), X x) a = (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x
hcont : ContinuousOn F (Icc a b)
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
⊢ ∑ i ∈ t, (fun i => (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2)) i • v i = 0
H : Type u
TopologicalSpace H
PG : Pregroupoid H
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ PG.groupoid ↔ PG.property (↑e) e.source ∧ PG.property (↑e.symm) e.target
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.lcs (k + 1) N = ⁅⊤, LieSubmodule.lcs k N⁆
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
⊢ S.f ≫ k = 0
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ IsIntegral A ((Algebra.linearMap B L) x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n
⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
⊢ ∀ (a : Ideal R), Multiset.count a (normalizedFactors (span {x})) ≤ if a = P then 1 else 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
a : G
ha : a ∈ K
h'a : a ∈ g • L
⊢ g ∈ K * L⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
⊢ e.toPerfectPairing.toLin = ↑e
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r
this : ∀ (x : ℝ), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x - r) (x + r)) f‖
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
α : Type u
l : List α
⊢ List.lookmap some l = l
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * cosh x * sinh x ^ 2
⊢ cosh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p✝ q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n
p : P
h₂ : p ∈ l₂
⊢ lineCount L p = n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C
⊢ (F.mapComon.obj A).comul = F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X
α : Type u
p q : α → Prop
h : ∀ ⦃x : α⦄, p x → q x
⊢ Cardinal.mk (Subtype p) ≤ Cardinal.mk (Subtype q)
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
hc : c < ℵ₀
⊢ c ^ ↑n ≤ max c ℵ₀
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
⊢ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
R : Type u_1
Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (r - 1)
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j
⊢ (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : ℝ≥0), c ≠ 0 → μH[d₂] s ≤ ↑c * μH[d₁] s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ disjointed f (n + 1) = f (n + 1) \ f n
α : Type u_1
I✝ B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
I : Set α
h : M.Indep I
B : Set α
hB : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ M.E}
⊢ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
b : β
s : Set α
x : α
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => b) s x
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainTop 0 β = β
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
⊢ 0 < μ n
α : Type u_1
⊢ ⊤.smallSets = ⊤
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
FunLike F α β
self : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊥ = ⊥
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
NoZeroDivisors R
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
b : A
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ
⊢ ∃ i, orderOf i = orderOf a * n ∧ c ∈ ball i δ
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hb : b < c
⊢ c ∉ Set.Ioc a b
n : ℕ
⊢ cos (↑n * (2 * ↑π) + ↑π) = -1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.leftUnitorEquivalence C).inverse = CategoryTheory.prod.leftInverseUnitor C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ TendstoInMeasure μ f atTop g
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ dimH Set.univ = ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
α : Type u
UniformSpace α
self : AbstractCompletion α
⊢ T0Space self.space
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.42009, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
⊢ ({ val := (isoSheafify J ⋯).inv } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).hom }).val = (𝟙 ((presheafToSheaf J D).obj P.val)).val
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
n : ℕ
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ∧ IsGreatest s a ↔ s = {a}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
Nonempty M
f : M → H
h : OpenEmbedding f
⊢ SmoothManifoldWithCorners I M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ Function.Injective CategoryTheory.CartesianClosed.curry