ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
Q : Type u_1
Quandle Q
x : Q
⊢ x ◃⁻¹ x = x
G : Type u_3
α : Type u_7
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ g⁻¹ • g • a = a
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
s : Set α
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (IsCyclotomicExtension.zeta n K L - 1) = ↑(↑n).minFac
n : ℕ
m : ℕ
⊢ Nat.Primrec' fun x => m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
⊢ ScottContinuous f ↔ Continuous f
m n : Nat
motive : Fin (m + n) → Sort u_1
left : (i : Fin m) → motive (Fin.castAdd n i)
right : (i : Fin n) → motive (Fin.natAdd m i)
i : Fin n
⊢ Fin.addCases left right (Fin.natAdd m i) = right i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (↑m * x)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
s : Finset α
hs : s ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
⊢ s.card = Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card ∨
  s.card = Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card + 1
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Ι a b)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (Function.support f ∩ Set.Ioc a b)
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, 0), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, 0), f z
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ range (f.prod g) ≤ (range f).prod (range g)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
x : α
hx : x ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
⊢ Prime x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₁ p₀) ((lineMap 1 0) (1 - c)) = (lineMap p₁ p₀) c
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
self : H.Preconnected
⊢ H.coe.Preconnected
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
MeasureTheory.IsFiniteMeasure κ
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovDist μ κ ≤ MeasureTheory.levyProkhorovDist μ ν + MeasureTheory.levyProkhorovDist ν κ
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele
⊢ (x + y).IsFiniteAdele
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ insert (f x) (f '' {x}ᶜ) = Set.range f
s : Set Ordinal.{u}
⊢ IsClosed s ↔
  ∀ {o : Ordinal.{u}},
    o ≠ 0 →
      ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s
R : Type u
M : Type v
Neg R
Neg M
x : tsze R M
⊢ (-x).fst = -x.fst
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
j : J
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.γ D).app j = (D.obj j).a
q : ℕ+
⊢ LucasLehmer.X.ω * LucasLehmer.X.ωb = 1
n m : Nat
h : n ≤ m
⊢ n - m = 0
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
Semigroup α
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
C : Matrix q r α
⊢ (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) C).submatrix
    ⇑(Equiv.prodAssoc l n q).symm ⇑(Equiv.prodAssoc m p r).symm =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) B C)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Mono g
x : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).obj x =
  (CategoryTheory.Subobject.map g).obj ((CategoryTheory.Subobject.map f).obj x)
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
ProperSpace E
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ f.toZeroAtInfty x = f x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a : 𝕜
x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a
⊢ ContinuousAt (toIocMod hp a) x
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))
I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y))
⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
α : Type v
Small.{u, v} α
f : α → Ordinal.{u}
⊢ ¬Function.Surjective f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.CatCommSq T L.functor R.functor B) (X : C₃),
  CategoryTheory.CatCommSq.iso'.hom.app X =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.inverse.map (B.map (L.counitIso.inv.app X)))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (R.inverse.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T L.functor R.functor B).inv.app (L.inverse.obj X)))
        (R.unitIso.inv.app (T.obj (L.inverse.obj X))))
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
a_min : a ∈ lowerBounds {g | g ∈ H ∧ 0 < g}
a_in : a ∈ H
a_pos : 0 < a
g : G
g_in : g ∈ H
k : ℤ
right✝ : ∀ (y : ℤ), (fun k => 0 ≤ g - k • a ∧ g - k • a < a) y → y = k
nonneg : 0 ≤ g - k • a
lt : g - k • a < a
h_zero : g - k • a = 0
⊢ g ∈ closure {a}
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
q : Submodule R[X] (Module.AEval R M a)
h :
  (Module.AEval.comapSubmodule R M a) q ≤
    Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) ((Module.AEval.comapSubmodule R M a) q) :=
  ⋯
⊢ Module.AEval.mapSubmodule a h = q
a b c d m n i : ℤ
⊢ -i % 2 = i % 2
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.Polynomial.quotQuotEquivComm I f).symm
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) f}))
      ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) p)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
GH : G ≤ H
⊢ p.transfer H hp = SimpleGraph.Walk.map (SimpleGraph.Hom.mapSpanningSubgraphs GH) p
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i
⊢ Subtype.val '' ↑d ⊆ b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
self : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
x : V
⊢ ‖self.linear x‖ = ‖x‖
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.Valid
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
V : Submodule R M
⊢ Submodule.restrictScalars R V = V
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ e'.re = (reCLM.comp ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')).comp ofRealCLM)) 1
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x < √y ↔ x ^ 2 < y
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
IsDomain S
Nontrivial R
a : R
n : ℕ
⊢ abv (a ^ n) = abv a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ a • b < 0 ↔ 0 < b
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
⊢ IsLUB s (sSup s)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
x : Fin n → FirstOrder.Language.Structure.Sigma f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ x))
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x =
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R (FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f x i hi)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Set.kernImage f sᶜ = (f '' s)ᶜ
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
⊢ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) ≤ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = Set.univ
ht : ⋃₀ t = Set.univ
⊢ instTopologicalSpaceProd = TopologicalSpace.generateFrom (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ Monotone (CategoryTheory.Sieve.functorPullback F)
n : ℕ
ι : Type u_1
e : Fin (n + 1) ↪ ι
⊢ ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst = ⇑e ∘ Fin.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
b : β
⊢ b ∈ Finset.image (Function.const α b) s ↔ s.Nonempty
a b : ℝ
h : a < b
⊢ #↑(Set.Ioo a b) = 𝔠
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Ioc a b ⊆ Set.Ico (f b) (f a)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.lmul R A) = ⇑(LinearMap.mul R A)
α✝ : Type u_1
l l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝
h : l <+ l₁ ++ a :: l₂
⊢ l <+ l₁ ++ l₂ ∨ a ∈ l
a b : ℝ
n : ℕ
h1 : ∀ (c : ℝ), (1 - c) / 2 * ((1 + c) / 2) = (1 - c ^ 2) / 4
h2 : Continuous fun x => cos (2 * x) ^ 2
h3 : ∀ (x : ℝ), cos x * sin x = sin (2 * x) / 2
⊢ (b - a) / 8 - (sin (4 * b) - sin (4 * a)) / 32 = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ 1 * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
f₁ : MonoOver A
f₂ : Subobject A
⊢ (inf.obj (Quotient.mk'' f₁)).obj f₂ = (map f₁.arrow).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : Batteries.RBNode α
⊢ (Batteries.RBNode.insert cmp t v).setBlack = (Batteries.RBNode.ins cmp v t).setBlack
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j
hj_eq_i : j = i
⊢ j = i ∨ Iio i = Iic j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
⊢ ↑(addNSMul h δ 0) = a
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)
⊢ (range ⇑(OrderEmbedding.subtype fun c => a ≤ c)).OrdConnected
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : Set (UniformSpace β)
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β) ↔ ∀ u ∈ u₂, Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) (f.extend I).source
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
⊢ ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (AdjoinSimple.gen F α))) (minpoly F α)
S : Set Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.enumOrd S 0 = sInf S
J : Type w
X Y : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J
⊢ ∀ (a : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOp J).map a = CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpMap J X Y a
E : Type u_4
AddGroup E
p : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ ⇑p.toZeroHom = ⇑p
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
c : ℕ
hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c
⊢ ∀ (a : ι) (b : a ≠ i), (Fintype.card (H ↑⟨a, b⟩)).Coprime (Fintype.card (H i))
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f g : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (f - g) μ
R : Type u_4
NonAssocSemiring R
⊢ (RingEquiv.refl R).toMonoidHom = MonoidHom.id R
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered C
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
A : C
s : Set (CategoryTheory.Subobject A)
f : CategoryTheory.Subobject A
k : ∀ g ∈ s, g ≤ f
⊢ CategoryTheory.Subobject.sSup s ≤ f
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
⊢ { toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ I ⊆ X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ (Primrec₂ fun a n => (decode n).bind (some ∘ f a)) ↔ Primrec₂ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').source = ↑e.symm '' (e.target ∩ e'.source)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
⊢ ∀ (x : ⨂[R] (i : ι), s i), φ₁ x = φ₂ x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I
⊢ ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y)
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √x ≤ y ↔ x ≤ y ^ 2
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : Aˣ
⊢ 0 ∈ resolventSet R ↑a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeSemigroup.map f) (FreeSemigroup.of x) = FreeSemigroup.of (f x)
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.leftTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, -↑s + g ∈ T
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3
⊢ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3
M : Type u_2
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ S.op.unop = S
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
x : m ⊕ n
r : n
hx : σ x = Sum.inr r
⊢ x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inl
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ ((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj j i then x i * x i - x i * x j else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
⊢ μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ
⊢ expMapCircle (x * (T⁻¹ * (2 * π))) = expMapCircle (2 * π / T * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : OneOneEquiv q r
⊢ p ≤₁ q ↔ p ≤₁ r
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
TopologicalSpace X
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : Y → A
inj : Function.Injective g
⊢ IsSeparatedMap (g ∘ f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁.natTrans.app X =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫
    AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₂.natTrans.app
      ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (CategoryTheory.SimplicialObject C)).obj X)
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
⊢ 𝓝 1 = GroupFilterBasis.toFilterBasis.filter