ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
n : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.degreeOf n p = Multiset.count n p.degrees
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
i : ↑(CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.bicone M N).toCone.pt
⊢ (M.biprodIsoProd N).hom i = (CategoryTheory.Limits.biprod.fst i, CategoryTheory.Limits.biprod.snd i)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j
⊢ False
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
⊢ IsTopologicalBasis ((fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t)
R : Type u_1
S : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
⊢ Tropical.untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (Tropical.untrop ∘ f '' ↑s)
α : Type u
Preorder α
Nonempty α
NoMinOrder α
NoMaxOrder α
⊢ ∃ f, StrictMono f
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []
h₁ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]
⊢ Red L [(x, !b)]
α : Type u
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s t : Finset β
hst : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(s ∪ t))
⊢ (s ∪ t).preimage f hst = s.preimage f ⋯ ∪ t.preimage f ⋯
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖ ≤ ‖t.indicator f a‖
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
⊢ MeasurableSet {a | κ a ≪ η a}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)
⊢ (EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂}))) s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton ∅ = ∅
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ F.toEssImageCompEssentialImageInclusion.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
n : Nat
i j : BitVec n
⊢ i.toInt = j.toInt → i = j
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
hx : x ∈ M * M ^ n
⊢ C (n + 1) x ⋯
α : Type u_1
a : Array α
i : Nat
v d : α
⊢ (a.setD i v)[i]?.getD d = if i < a.size then v else d
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
⊢ (coeff R m) ↑(trunc n ↑f) = (coeff R m) ↑f
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.FG L M ↔ ∃ S, S.Finite ∧ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun S = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ p ∣ σ.cycleType.sum
α β : Type u
c : Cardinal.{0}
h' : c < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} c < ℵ₀
⊢ ∃ n, lift.{u_1, 0} c = ↑n
a b : PUnit.{u + 1}
⊢ a \ b = PUnit.unit
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < r i n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
h_spec : spectrum R a ⊆ {r}
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ a = (algebraMap R A) r
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ g i • 1 = 0 • 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C
⊢ (λ_ X.fst).hom ≫ (λ_ X).inv.f = 𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X).fst
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ ∀ (a : List (Fin l.length)), a ∈ (finRange l.length).sublists ↔ a ∈ (finRange l.length).sublists'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x✝ : α
⊢ Ioo (a - x✝) (a + x✝) = {b | |b - a| < x✝}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s1 s2 : Affine.Simplex k P n
⊢ s1 = s2 ↔ ∀ (i : Fin (n + 1)), s1.points i = s2.points i
α : Type u_1
EDist α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
⊢ t.einfsep ≤ s.einfsep
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
h : ∏ x ∈ s, f x ≠ 1
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : ↑e x = y
⊢ x = ↑e.symm y
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : Filter β
u : β → α
a : α
f.NeBot
h : Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
⊢ Filter.limsup u f = a
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
⊢ ProperSpace E
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ ((BilinForm.toMatrix b) (traceForm K L)).det ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsClosed {f | Continuous (toFun f)}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u
CommSemiring α
IsDomain α
b₁ b₂ : α
h₁ : b₁ ≠ 0
h₂ : ¬IsUnit b₂
⊢ Ideal.span {b₁ * b₂} < Ideal.span {b₁}
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(NumberField.mixedEmbedding.latticeBasis K)) ↔
  x ∈ ((NumberField.mixedEmbedding K).comp (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K)).range
a : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 0 < a / a
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j✝ k : ι
φ : K ⟶ L
j : ι
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology j
inst✝ : Mono (φ.f j)
hj : ∀ (i : ι), ¬c.Rel i j
⊢ ¬c.Rel (c.prev j) j
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
⊢ IsCoveringMapOn f Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
s : Set Y
hs : Dense s
f g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Set.EqOn f g s
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
⊢ CategoryTheory.IsPushout g f inr inl
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
x✝ : s ≤ t ∧ a ∈ t
l : s ≤ t
m : a ∈ t
h : a ∉ s
⊢ ndinsert a s ≤ t
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ Zlattice.covolume L MeasureTheory.volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
E'' : Type u_9
NormedAddCommGroup E''
f : ℕ → E''
⊢ (f =O[Filter.atTop] fun _n => 1) ↔ ∃ C, ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C
M : Type u
N : Type v
P : Type w
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
f : M →+ N
g : N →+ P
⊢ AddUnits.map (g.comp f) = (AddUnits.map g).comp (AddUnits.map f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = ↑‖x‖ ^ 2
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℤ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s
x : ↑s
h : ¬∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
a : ℕ
ha : a ∈ s
hax : a ≥ ↑x + 1
⊢ ↑x + (a - (↑x + 1)) + 1 ∈ s
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ Function.Injective MeasureTheory.Measure.toOuterMeasure
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p₁ -ᵥ p = p₂ -ᵥ p
⊢ p₁ = p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
a : α
b : β
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.const α b) a = b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
f : β → α
S : Finset β
⊢ S.sup f = ⊥ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.v₁₂ = CategoryTheory.ShortComplex.opMap S.v₁₂
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieAlgebra.IsKilling.coroot α = LieAlgebra.IsKilling.coroot β ↔ α = β
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs[i]? = xs[j]?
⊢ i = j
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β₀ β₁ β₂ : Type u₁
g : β₀ → β₁
g' : β₁ → β₂
x : F α β₀
⊢ Bifunctor.snd g' (Bifunctor.snd g x) = Bifunctor.snd (g' ∘ g) x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : Filter α
z : Filter β
hx : Filter.Tendsto f x z
h : y ≤ x
⊢ Filter.Tendsto f y z
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ deriv Neg.neg x = -1
n : ℕ
(n + 1).AtLeastTwo
⊢ Real.Gamma (OfNat.ofNat (n + 1)) = ↑n !
k : Type u
Field k
G : Type u
Group G
V : FDRep k G
g : G
⊢ (FDRep.of (Representation.dual V.ρ)).character g = V.character g⁻¹
ctx : Nat.Linear.Context
cs : Nat.Linear.Certificate
h : cs.combine.isUnsat = true
⊢ Nat.Linear.Certificate.denote ctx cs
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s : CategoryTheory.Limits.Trident f
hs : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k s.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l s.ι
⊢ k = l
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary f (n • g)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a ⊓ b ∈ s ⊼ t
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
CommRing Aₘ
IsDomain Aₘ
Algebra A Aₘ
IsLocalization M Aₘ
⊢ IsDedekindDomain Aₘ
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
a : α
⊢ Set.Ioc a ⊤ = Set.Ioi a
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
hm : multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤
⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).inverse = TopologicalSpace.Opens.map H.inv
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint l₂ → l₂.Disjoint l₁
L : Type u_2
Field L
F E : Subfield L
h : F ≤ E
⊢ (Subfield.extendScalars h).toSubfield = E
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup N
hH : H.Normal
f : G →* N
⊢ (Subgroup.comap f H).Normal
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ LocallyConvexSpace ℝ E
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.leftHomologyIso.hom ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = S.leftHomologyIso.hom
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)
⊢ F.map (Pi.π (fun x => X) x) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = x
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p✝ : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R
hp : Prime p
x y : R
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : ¬p ∣ ↑n
⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
⊢ Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K = adjoin F (p.rootSet E))
I : Type u
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
⊢ Profinite.NobelingProof.Proj J x = x
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.pOpcycles i ≫ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.iCycles j = K.d i j
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
⊢ p = ⊥
r : ℝ
hn : r.sign = -1
⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
⊢ a ≤ Order.succ b ↔ a = Order.succ b ∨ a ≤ b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ (ChainComplex.of (fun n => X _[n]) (AlternatingFaceMapComplex.objD X) ⋯).d (n + 1) n = AlternatingFaceMapComplex.objD X n
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
p : Submodule R M
x✝¹ x✝ : ↥p
⊢ I (((B.domRestrict₁₂ p p) x✝¹) x✝) = ((B.domRestrict₁₂ p p) x✝) x✝¹
α : Type u
DecidableEq α
⊢ Finset.antidiagonal 0 = {(0, 0)}
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x✝ : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
⊢ ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)) j = (map I (component R ι M j)) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
y : S
⊢ y ∈ f.range ↔ ∃ x, f x = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
m : ℕ
hm : m ∉ ?m.378525
⊢ ((p m) fun x_1 => x) = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
x' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hx' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = x
y' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hy' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y' = y
⊢ x' = y'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Div (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p q : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth (x / y) (p / q) = i.insertNth x p / i.insertNth y q
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
x y : M × ↥S
⊢ (Localization.r S) x y ↔ Setoid.r x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 - a ≤ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ log (↑r * x) = ↑(Real.log r) + log x
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ X✝ ◁ (f✝ + g✝) = X✝ ◁ f✝ + X✝ ◁ g✝
f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ Function.rightLim (↑f) x = ↑f x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
RCLike 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f g : BoundedContinuousFunction α 𝕜
⊢ ⟪(BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f, (BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 =
  ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k * (n + k - k)! = (n + k).choose k * k ! * (n + k - k)!
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
⊢ IsClosed (Set.diagonal X)
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
f : α →₀ γ
g : β →₀ γ
x : β
⊢ (f.sumElim g) (Sum.inr x) = g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ t
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
A : Matrix l m α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A 0 = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
x : J
⊢ lift F hc s ≫ (F.mapCone c).π.app x = s.π.app x
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ o.card ≤ ↑n ↔ o ≤ ↑n
α : Type u_1
s t : Set α
h : s.ncard < t.ncard
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (t \ s).Nonempty
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
g : G
⊢ (SemidirectProduct.map f₁ f₂ h) (SemidirectProduct.inr g) = SemidirectProduct.inr (f₂ g)
k : Type u_1
DivisionRing k
ι : Type u_4
s : Finset ι
h : ↑s.card ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, Finset.centroidWeights k s i = 1
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h : 0 < a
b : α
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b * c < a
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsLeftDescent w⁻¹ i ↔ cs.IsRightDescent w i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ (𝓝[≥] a).HasBasis (fun x => a < x) (Set.Icc a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.id C).obj X = X
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : (ι → M) → N
h₁ :
  ∀ [inst : DecidableEq ι] (m : ι → M) (i : ι) (x y : M),
    f (Function.update m i (x + y)) = f (Function.update m i x) + f (Function.update m i y)
h₂ :
  ∀ [inst : DecidableEq ι] (m : ι → M) (i : ι) (c : R) (x : M),
    f (Function.update m i (c • x)) = c • f (Function.update m i x)
h₃ : ∀ (v : ι → M) (i j : ι), v i = v j → i ≠ j → { toFun := f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun v = 0
⊢ ↑{ toFun := f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, map_eq_zero_of_eq' := h₃ } =
  { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }