ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddCommSemigroup M
⊢ Set.addCenter M = Set.univ
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = ⊥ ↔ H₁ ≤ Subgroup.centralizer ↑H₂
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ RCLike.re (r • z) = r * RCLike.re z
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
g : Multiplicative G
x : AddMonoidAlgebra k G
⊢ (AddMonoidAlgebra.divOfHom g) x = x.divOf (Multiplicative.toAdd g)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.Red (FreeGroup.reduce L₁) L₂
⊢ FreeGroup.reduce L₁ = L₂
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.log n = Real.log ↑n
R : Type u_1
Semiring R
N n : ℕ
⊢ Polynomial.reflect N (Polynomial.X ^ n) = Polynomial.X ^ (Polynomial.revAt N) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α
⊢ comap Inv.inv (comap norm atTop) = comap norm (comap Inv.inv atTop)
α : Type u_1
xs ys : List α
h : xs.Subperm ys
⊢ xs.sym2.Subperm ys.sym2
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Iio (Order.succ a) = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ
⊢ AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≺i s
a : α
⊢ s (f.toRelEmbedding a) f.top
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.ListBlank.map f l).head = f.f l.head
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
self : AffineBasis ι k P
⊢ affineSpan k (Set.range self.toFun) = ⊤
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ
⊢ Measure.map (fun ω => X ω + y) ℙ = gaussianReal (μ + y) v
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ f ∈ B.skewAdjointSubmodule ↔ B.IsSkewAdjoint f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ Continuous (uncurry inner)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ L : CompleteSublattice α
s : Set β
hs : s ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
⊢ sInf s ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
α : Type u_1
l : Language α
⊢ (Language.reverseIso α) l = MulOpposite.op l.reverse
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u
M' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
α β : Type u
s : Set α
⊢ Nonempty (↑(ULift.down ⁻¹' s) ≃ ULift.{v, u} ↑s)
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s
y : ℕ → ι
hy_tendsto : Tendsto y atTop l
hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s
ms : ℕ → ℕ
hms_tendsto : Tendsto (fun n => x (y (ms n))) atTop f
⊢ False
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
⊢ IsCoatomic α
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
n✝ : ℕ
hn : n✝ < (Polynomial.map φ f).natDegree
⊢ (Polynomial.map φ f).coeff n✝ ∈ Ideal.map φ 𝓟
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => x ^ (a - 1) • ↑(x ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (x ^ a)) (Ioi 0) volume
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : IsAffine ↑U
this : IsIntegral ↑U
⊢ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) = ⊥.asIdeal.primeCompl
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J K : FractionalIdeal S P
⊢ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R
⊢ IsLinearMap R fun z => c • z
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
⊢ span R (Set.range (w • v)) = ⊤
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n₁ : ℕ
x a₁ : α
n₂ : ℕ
a₂ : α
n' : ℕ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.term n₁ x a₁ + Mathlib.Tactic.Abel.term n₂ x a₂ = Mathlib.Tactic.Abel.term n' x a'
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
⊢ character (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj V ⊗ Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj W)) = V.character * W.character
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ x ∈ Metric.ball f ε, x ∈ L
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle x y = 0 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
⊢ G.lift f hf ≫ G.ι = f
α : Type u_1
a : α
SemilatticeInf α
OrderBot α
x y : ↑(Set.Iic a)
⊢ Disjoint x y ↔ Disjoint ↑x ↑y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : SecondObj P X π
h : ∀ (ij : I × I), Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₁ = Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₂
⊢ z₁ = z₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ join₂ ((map f) φ) = (bind₂ f) φ
a b : ℕ
⊢ φ (a.gcd b) * φ (a * b) = φ a * φ b * a.gcd b
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
⊢ toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a✝ : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a✝, (a✝, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}
a : β
ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0
⊢ ((borelMarkovFromReal Ω η) (a✝, a)) {c | (a, c) ∈ t} = ((η.comapRight he) (a✝, a)) {c | (a, c) ∈ t}
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi =ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h =ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
⊢ finrank K ↥(LinearMap.ker f) + 1 = finrank K V₁
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ f (preNormEDS b c d n) = preNormEDS (f b) (f c) (f d) n
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
GroupWithZero α
MulDistribMulAction α M
a : α
ha : a ≠ 0
S T : Submonoid M
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this : f₂.NeBot
⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
α : Type u
β : Type v
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasProd f (a₁ * (a₂ / a₁)) ↔ HasProd f a₂
x y : ℂ
⊢ Complex.exp (x - y) = Complex.exp x / Complex.exp y
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
this : a.natAbs * d = n.natAbs * b.natAbs
⊢ n.natAbs ∣ a.natAbs * d
α : Type u
l : List α
⊢ {x | x ∈ l}.Finite
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toSheafedSpace.obj R = AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj (Opposite.unop R)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.toSubring.subtype = ↑S.val
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ (∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p : P
⊢ p ∈ ⊤
R : Type u
inst✝² : Ring R
M✝ L M N : ModuleCat R
f : L ⟶ M
inst✝¹ : HasImage f
g : underlying.obj (imageSubobject f) ⟶ N
inst✝ : HasCokernel g
y : ↑N
l : ↑L
⊢ (cokernel.π g) (y + g ((factorThruImageSubobject f) l)) = (cokernel.π g) y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ μ.singularPart (r • ν) = μ.singularPart ν
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
⊢ ProbabilityTheory.evariance X μ < ⊤ ↔ MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a) 0 = a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
⊢ W'.polynomialZ =
  MvPolynomial.C W'.a₁ * MvPolynomial.X x * MvPolynomial.X y +
      MvPolynomial.C (3 * W'.a₃) * MvPolynomial.X y * MvPolynomial.X z ^ 2 -
    (MvPolynomial.C (2 * W'.a₂) * MvPolynomial.X x ^ 2 * MvPolynomial.X z +
        MvPolynomial.C (4 * W'.a₄) * MvPolynomial.X x * MvPolynomial.X z ^ 3 +
      MvPolynomial.C (6 * W'.a₆) * MvPolynomial.X z ^ 5)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
⊢ AnalyticSet (f '' s)
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
key : zeta n K L ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L)
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁.Perm l₂
⊢ (Multiset.powersetAux' l₁).Perm (Multiset.powersetAux' l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (s.mulIndicator f) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)
⊢ HasProd (f * (s.mulIndicator f)⁻¹) a₂
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ ¬P ≈ Q
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.toComposition.boundaries = c.boundaries
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f g : K[X]
⊢ IsCoprime f g ↔ ∀ {A : Type v} [inst : CommRing A] [inst_1 : IsDomain A] [inst_2 : Algebra K A] (a : A), (aeval a) f ≠ 0 ∨ (aeval a) g ≠ 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hx : c x ≠ 0
⊢ deriv (fun x => (c x)⁻¹) x = -deriv c x / c x ^ 2
d : ℤ
a : Solution₁ d
⊢ d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2
⊢ M ⊨ r.symmetric ↔ Symmetric fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]
α : Type u_1
as bs : List α
⊢ (as ++ bs).reverse = bs.reverse ++ as.reverse
α : Type u
UniformSpace α
⊢ (((𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen).lift' fun s => s ○ s) ≤ (𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen
⊢ ∀ {X Y : CommRingCatᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.map f = AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
x✝ : α
⊢ ((fun x => -u x) - fun x => -v x) x✝ = -(u - v) x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
F.Faithful
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Faithful
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Faithful.div F G obj h_obj map h_map).comp G = F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : W₁.MapFactorizationData W₂ f
⊢ W₁ self.i
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ (Function.support ⇑f).Finite
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
this : p (Nat.find h')
⊢ Part.fix f x = Fix.approx f (Nat.find h').succ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ ⨅ i ∈ f, sSup (u '' id i) = ⨅ s ∈ f, ⨆ a ∈ s, u a
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1
⊢ g' ∈ Submonoid.powers g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f : 𝕜 → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
⊢ iteratedDerivWithin n (c • f) s x = c • iteratedDerivWithin n f s x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : G.Walk u v
⊢ w.getVert 0 = u
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.Tendsto Prod.snd (f ×ˢ g) g
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S
⊢ (hST.equiv g).1 = ⟨g, hg⟩
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ioc a 0 = Set.Ioc (Pi.single i a) 0
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[d] s
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp (a - p) b = toIocDiv hp a b + 1
B C : CategoryTheory.Cat
F : B ⟶ C
X : ↑B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ b ≤ a
s : List Char
i e n : Nat
⊢ String.extract.go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = String.extract.go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Z''
g'' : Y'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' g'
inst✝ : HasPullback f'' g''
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''
⊢ f ≫ i₃ ≫ j₃ = (i₁ ≫ j₁) ≫ f''
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
⊢ MonotoneOn f (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Disjoint (f.tailings i n) (f.tailing i (n + 1))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
(S.map F).HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
α : Type u_1
x : α
xs : List α
h : x ∉ xs
⊢ (List.map (fun y => s(x, y)) xs).Disjoint xs.sym2
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
A : o.volumeForm.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = 1
⊢ o.volumeForm.measure = volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ univ ∈ 𝓝[s] a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f' : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
x✝ y✝ : 𝕜
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : 𝕜), deriv f x = 0
x y z : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f z) 1 = 0 1
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∀ (x : L), IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L M) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f'‖ ≤ ↑c * ‖f - f'‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
⊢ CategoryTheory.shiftFunctor (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C) n =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
⊢ Monotone ⇑(MeasureTheory.OuterMeasure.map f)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
X Y : R
⊢ W'.NonsingularLift ⟦![X, Y, 1]⟧ ↔ W'.toAffine.Nonsingular X Y
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ⊔ (b ⊔ c) = a ⊔ b ⊔ (a ⊔ c)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ ∏ i : ι, volume (Icc (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E
⊢ (orthogonalProjection K) x = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
hf : Function.Surjective ⇑f
S : IntermediateField K L'
⊢ IntermediateField.map f (IntermediateField.comap f S) = S
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
Fintype Ω
s : Set Ω
⊢ (ProbabilityTheory.condCount Set.univ) s = MeasureTheory.Measure.count s / ↑(Fintype.card Ω)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : CuspForm Γ k
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g