ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i x✝ : ι
⊢ (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr) ((restrictScalars R b) x✝) = ((↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))) ((restrictScalars R b) x✝)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
⊢ derivative (X ^ 2) = C 2 * X
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
f : C(X, ℝ)
⊢ f ∈ closure L
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : p.degrees.Disjoint q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset
b✝ b : ℂ
c T : ℝ
⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
⊢ l.formPerm (l.nthLe 0 ⋯) = l.nthLe 1 hl
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
hfg : Filter.Tendsto (g ∘ f) a c
hg : Filter.comap g c ≤ b
⊢ Filter.Tendsto f a b
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
k : αˣ
h : IsUnit A.det
⊢ (k • A)⁻¹ = k⁻¹ • A⁻¹
l : List ℕ
a✝ m n✝ n a : ℕ
ha : a ∈ ((n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).zeckendorf ++ [0]).head?
h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0
⊢ a + 2 ≤ (n + 1).greatestFib
X Y : FinBoolAlg
a : BoundedLatticeHom ↑X.toBoolAlg.toBddDistLat.toBddLat.toLat ↑Y.toBoolAlg.toBddDistLat.toBddLat.toLat
⊢ FinBoolAlg.dual.map a = BoundedLatticeHom.dual a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Function.Surjective ⇑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f U ≫
    f.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U)) =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : m + 1 < PNat.find h₂ + 1
⊢ ¬p (m + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ 0 ≤ ExistsContDiffBumpBase.u x
X : Type u_2
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
f : X → E
c : X
y : E
h : IsLocalMax (norm ∘ f) c
hy : SameRay ℝ (f c) y
⊢ IsLocalMax (fun x => ‖f x + y‖) c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'
b : β
a✝ : f a₀ ≤ b
a : α
hba : b < f a
⊢ ∃ a, succ b < f a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
c : M'
⊢ ContMDiff I I' n fun x => c
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
s : Set { x // p x }
⊢ IsLindelof s ↔ IsLindelof (Subtype.val '' s)
α : Type u_1
a b : α
⊢ some a = some b ↔ a = b
α : Type u_2
TopologicalSpace α
T1Space α
s : TopologicalSpace.Closeds α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ x, s = TopologicalSpace.Closeds.singleton x
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁵ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁴ : FiberFunctor F
X A B : C
inst✝³ : IsConnected A
inst✝² : IsConnected B
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
i : A ⟶ X
j : B ⟶ X
h : F.map i a = F.map j b
inst✝¹ : Mono i
inst✝ : Mono j
Y : C := pullback i j
u : Y ⟶ A := pullback.fst i j
v : Y ⟶ B := pullback.snd i j
G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl
e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j
y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩
hn : IsInitial Y → False
this : IsIso u
⊢ ∃ f, F.map f.hom a = b
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop ↔ 0 < r
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
hy : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {y}) ↑S
⊢ False
α : Type u_6
PartialOrder α
OrderBot α
⊢ Filter.atBot = pure ⊥
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
γ : Type u_5
x : X
y : Y
f : Filter γ
mx : γ → X
my : γ → Y
hx : Filter.Tendsto mx f (𝓝 x)
hy : Filter.Tendsto my f (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun c => (mx c, my c)) f (𝓝 (x, y))
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ENNReal.ofReal r = OfNat.ofNat n ↔ r = OfNat.ofNat n
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ pure a
⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
W₁.ContainsIdentities
W₂.ContainsIdentities
⊢ (W₁.Q.prod W₂.Q).IsLocalization (W₁.prod W₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hs : univ ∈ l
⊢ univ ∈ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : A ⨯ Y ⟶ X
g : Y ⟶ A ⟹ X
⊢ g = CategoryTheory.CartesianClosed.curry f ↔ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry g = f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
⊢ g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj X) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0
x : F
hx : eval₂ (RingHom.id F) x (GCDMonoid.gcd f (derivative f)) = 0
⊢ ∃ x, 1 < Multiset.count x f.roots
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
i : I
this : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).inv ≫ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i)) (liftedConeElement' F) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i (liftedConeElement' F)
⊢ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
Zero M
Zero M'
CommMonoid N
f : α →₀ M
g : β →₀ M'
h : α → M → β → M' → N
⊢ (f.prod fun x v => g.prod fun x' v' => h x v x' v') = g.prod fun x' v' => f.prod fun x v => h x v x' v'
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous ⇑DomMulAct.mk
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetSemiring C
s : Set α
⊢ s ∈ C → ∀ t ∈ C, ∃ I, ↑I ⊆ C ∧ (↑I).PairwiseDisjoint id ∧ s \ t = ⋃₀ ↑I
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
⊢ Codisjoint (H.subgroupOf (H ⊔ K)) (K.subgroupOf (H ⊔ K))
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
Sub α
OrderedSub α
ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊a - OfNat.ofNat n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - OfNat.ofNat n
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = (n + 1, 0) ::ₘ map (Prod.map id Nat.succ) (antidiagonal n)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Set β
hs : Function.support f ⊆ s
⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x = ∑' (x : β), f x
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec Mathlib.Vector.length
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ (-xs).dot ys = -xs.dot ys
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x : A
⊢ ↑(Submonoid.powers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubmonoid.multiples x)
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ
⊢ AEMeasurable (f :: l).prod μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → γ
a : α
h : ∀ (b : γ), f a b = b
t : Finset γ
⊢ ↑(image₂ f {a} t) = ↑t
X : Type u_1
ι : Sort u_3
TopologicalSpace X
BaireSpace X
Nonempty X
Countable ι
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : ⋃ i, f i = Set.univ
⊢ ∃ i, (interior (f i)).Nonempty
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)
e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = X.basicOpen ((Hom.app f (f ''ᵁ U)) ((Hom.appIso f U).inv r))
⊢ f ''ᵁ X.basicOpen r = Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuous f
hg : LowerSemicontinuous g
hcont : ∀ (x : α), ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuous fun z => f z + g z
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A
⊢ ∀ (a_1 : σ) (b : ℕ) (f : σ →₀ ℕ), a_1 ∉ f.support → b ≠ 0 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial f) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial f) 1 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) 1
α : Type u
x : α
hx : ↑x ≠ 0
⊢ WithZero.unzero hx = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z
⊢ M.comul ≫ (f ⊗ M.counit) = f ≫ (ρ_ Z).inv
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a - d ≤ b - c
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ (map W' f).toJacobian.polynomialZ = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialZ
M : Type u_5
ι : Type u_6
AddCommMonoid M
s : Finset ι
I : ι → M
⊢ ∑ i ∈ s, {I i} = {∑ i ∈ s, I i}
N O n o : ℕ
hn : n ≤ N
ho : o ≤ O
⊢ (Polynomial.revAt (N + O)) (n + o) = (Polynomial.revAt N) n + (Polynomial.revAt O) o
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ ((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (init m)) (m (last n)) = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun b => bif b then μ else ν) = μ + ν
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ∏ i : Fin j, ∑ j ∈ Ico 1 n, r * (a ^ j * p j) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ ⇑(MultilinearMap.alternatization ↑a) = ⇑((Fintype.card ι).factorial • a)
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
⊢ IsMonoidHom f
a : Ordinal.{u_4}
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b
⊢ a % b % c = a % c
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
a : A
b : B
c : C
⊢ (Algebra.TensorProduct.assoc R A B C).symm (a ⊗ₜ[R] b ⊗ₜ[R] c) = (a ⊗ₜ[R] b) ⊗ₜ[R] c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoToPlus P hP).inv = J.plusLift (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) hP
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
t2 : -(s + 1).re < ↑n
⊢ GammaAux n (s + 1) = s * (GammaAux n (s + 1) / s)
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP
⊢ IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0) ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
D : GlueData
i : D.J
a : ↑(D.U i)
j : D.J
b : ↑(D.U j)
k : D.J
c : ↑(D.U k)
x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd
y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))
e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd
e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k)) := (pullbackIsoProdSubtype (D.f j i) (D.f j k)).inv ⟨((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x, y), ⋯⟩
eq₁ : (D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z) = x
eq₂ : (pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z = y
⊢ D.Rel ⟨i, a⟩ ⟨k, c⟩
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso (opMap (unopMap φ))
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
⊢ (u1 * u2 * s2) • (m3, s3).2 • (m1, s1).1 = (u1 * u2 * s2) • (m1, s1).2 • (m3, s3).1
K : Type u_1
Field K
p q : ℕ
CharP K p
h : p ∣ q
⊢ (Polynomial.X ^ q - Polynomial.X).Separable
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
α : F ⟶ G
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ CategoryTheory.Limits.colimMap α = α.app j ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι G j
p : ℕ
hp : 0 < p
⊢ p.totient = p - 1 ↔ Nat.Prime p
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : s.Nonempty
⊢ NullMeasurableSet (0 • s) μ
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 0)
⊢ -ofSeq f < ↑r✝
x : ℝ
⊢ Real.sinh x - Real.cosh x = -Real.exp (-x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ finrank ℝ ↥(s.altitude i).direction = 1
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
Nontrivial α
⊢ ⊥ < ⊤
m : Nat
n : Nat
H : 0 < n
⊢ n * m / n = m
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
⊢ (p.reverseAux q).length = p.length + q.length
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ μ.restrict A ≠ 0 ↔ μ A ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
n : ℕ
⊢ (↑n + 1).toNat = n + 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x =
  ∑ w : { w // w.IsReal }, ‖x.1 w‖ + 2 * ∑ w : { w // w.IsComplex }, ‖x.2 w‖
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
t : Set α
ht : t ∈ piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S
⊢ MeasurableSet t
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ 1 • g x = g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b
U : Set α
U_open : IsOpen U
U_nonempty : U.Nonempty
⊢ (U ∩ s).Nonempty
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
⊢ (sInf {d | μ ≤ d + ν}).restrict s = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}
R : Type u_1
CommRing R
a b : R[X]
⊢ (-a).wronskian b = -a.wronskian b
σ R : Type u
CommSemiring R
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max #R #σ) ℵ₀
α : Type u_1
σ : α → Type u_3
a : α
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
⊢ (a :: l₁).sigma l₂ = List.map (Sigma.mk a) (l₂ a) ++ l₁.sigma l₂
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
⊢ lowerBasis α = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ {s | ∃ a, (Ici a)ᶜ = s}}
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
CommRing R'
AddCommGroup M'
Module R' M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
i : ℕ
m : M
⊢ (PolynomialModule.map R' f) ((PolynomialModule.single R i) m) = (PolynomialModule.single R' i) (f m)
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.cosh (Real.log x) = (x + x⁻¹) / 2
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
Add C
Mul C
SMul R C
Star C
e₁ : A ≃⋆ₐ[R] B
e₂ : B ≃⋆ₐ[R] C
x : C
⊢ (e₁.trans e₂).symm x = e₁.symm (e₂.symm x)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ A → -x ∈ A
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
MeasurableNeg G
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
MeasureTheory.SFinite ν
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ν
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)