ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ q₀ q₁ : Path x₀ x₁
F : p₀.Homotopy p₁
h₀ : p₀ = q₀
h₁ : p₁ = q₁
a : ↑I × ↑I
⊢ (F.cast h₀ h₁) a = F a
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
⊢ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Subobject.mk f = ⊥ ↔ f = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r ∘ₗ comp p) f = (eval (Polynomial.eval r p)) f → (eval r ∘ₗ comp p) g = (eval (Polynomial.eval r p)) g → (eval r ∘ₗ comp p) (f + g) = (eval (Polynomial.eval r p)) (f + g)
x : ℝ
hl : -π ≤ x
hr : x ≤ π
this : 0 ≤ cos (x / 2)
⊢ cos (x / 2) = √((1 + cos x) / 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).X₂ = f.right.left
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
⊢ IsAtomic α ↔ ∀ (b : α), b = ⊥ ∨ ∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
h : (CoordinateRing.basis W).equivFun x 0 • 1 + (CoordinateRing.basis W).equivFun x (Fin.succ 0) • (mk W) Y = x
⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable g p μ
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => s.inf' hne fun x => f x a) t x
m n : ℕ
⊢ m + n ≤ pair m n
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
⊢ ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖∑ i ∈ n, F i a‖ ≤ (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) a
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α →+*o β
⊢ f.toRingHom = ↑f
ι : Type v
M : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : DirectSum ι fun i => ↥(A i)
⊢ (Function.support fun i => ↑(x i)).Finite
R : Type u
LE R
OrderTop R
x : Tropical R
⊢ x ≤ 0
R A : Type u
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
⊢ #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ #R[X] * ℵ₀
G : Type u_2
MeasurableSpace G
SubNegMonoid G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x - g) μ = μ
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s t : Finset α
⊢ Eₘ[s, t] = Eₘ[t, s]
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
r : R
⊢ ↑m • mk' S r m = (algebraMap R S) r
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
h : (minpoly k x).degree = 1
this : (aeval x) (minpoly k x) = 0
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b < a⁻¹ * c ↔ a * b < c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Z ≅ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g.inv = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' g.inv ↔ f = f'
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)
x : ℝ
hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x
⊢ (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) x = (fun x => (1 + t / x) ^ x) x
a✝ x✝ y✝ a x y : ℂ
⊢ angle x (y / a) = angle (x * a) y
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Sym2.GameAdd rα s(a₁, b₁) s(a₂, b₂) ↔ Prod.GameAdd rα rα (a₁, b₁) (a₂, b₂) ∨ Prod.GameAdd rα rα (b₁, a₁) (a₂, b₂)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.lengthParity (w * cs.simple i * w⁻¹) = Multiplicative.ofAdd 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X Y Y' : C
CategoryTheory.Closed A
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalClosed.curry f) ((CategoryTheory.ihom A).map g)
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp ↑f) ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx⟩
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ μ = μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁷ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x x
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 < a
left✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ z ∈ {x}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
⊢ eLpNormEssSup (s.indicator f) μ = eLpNormEssSup f (μ.restrict s)
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.cosZeta (↑x) (2 * ↑k) =
  (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! *
    Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a • s ⊆ t ↔ s ⊆ a⁻¹ • t
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ f.toFun = ⇑f
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V
A B : Action V G
⊢ inv (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).app PUnit.unit).hom = 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (A ⊗ B)).obj PUnit.unit)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s
⊢ 1 ∈ s ^ 0
⊢ ∀ (a : ℤ × ℤ), SetTheory.PGame.Domineering.shiftRight.symm a = Prod.map (fun x => x + -1) id a
α : Type u
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
⊢ s = {a} ∨ s.Nontrivial
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : LinearMap.ker f = ⊥
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
⊢ ↑(ContinuousLinearEquiv.ofBijective f hinj hsurj) = f
V : Type u
self : SimpleGraph V
⊢ Symmetric self.Adj
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₂ → P j₁
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
mx : M
sx : ↥S
my : M
sy : ↥S
mz : M
sz : ↥S
⊢ (sx * (sy * sz)) • (sz • sy • mx + sz • sx • my + (sx * sy) • mz) = (sx * sy * sz) • ((sy * sz) • mx + (sx • sz • my + sx • sy • mz))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ‖↑(re ⟪x, x⟫_𝕜)‖ = re ⟪x, x⟫_𝕜
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Multiset A
h : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R s.sum
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ μ s + μ sᶜ = μ univ
ι : Type u_1
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
CommRing R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
DecidableEq ι
e : Basis ι R₂ M₂
w : ι → R₂
hw : ∀ (i : ι), IsUnit (w i)
⊢ e.toMatrix ⇑(e.isUnitSMul hw) = Matrix.diagonal w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μIso m n).inv.app X) ((F.obj n).map ((F.obj m).map f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n)).map f)
    ((F.μIso m n).inv.app Y)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]z -ᵥ x]
⊢ y = (AffineMap.lineMap x z) r
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G
⊢ ∫ (x_1 : G), (L.flip (g (x - x_1))) (f (x - (x - x_1))) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : B.Nonempty
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
a : α
⊢ a ∈ s ⊓ t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
p : ι → P
⊢ centroid k (map e s₂) p = centroid k s₂ (p ∘ ⇑e)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c
⊢ a ≤ b / c ↔ c * a ≤ b
k m n : ℕ+
⊢ (↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑(m * n)).Coprime ↑k
m n : ℤ
⊢ Odd n ↔ ¬Even n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.singularPart μ = 0
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hH : H ≤ L
hK : K ≤ L
⊢ H.addSubgroupOf L ⊔ K.addSubgroupOf L = (H ⊔ K).addSubgroupOf L
s : Set ℝ
h : s.Nonempty
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ a ∈ s, a < sInf s + ε
n power : Nat
h₁ : power > 0
h₂ : power < n
⊢ n - power * 2 < n - power
X Y : SimplexCategory
x✝ : IsIsomorphic X Y
I : X ≅ Y
⊢ Fin (X.len + 1) ≃ Fin (Y.len + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
⊢ b ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegralElem p
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : A ⊆ Finset.range n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
⊢ ¬ThreeAPFree ↑A
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
⊢ firstDiff x y = firstDiff y x
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x : M₀
h : ¬IsUnit x
⊢ Ring.inverse x = 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
TopologicalSpace α
Zero α
T1Space α
f : G → α
hf : HasCompactSupport f
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
⊢ sInf (Set.Ioi a) = a
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x : M₃
⊢ x ∈ range (f.coprod g) ↔ x ∈ range f ⊔ range g
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
⊢ p ∣ Q.coeff 0
m n : Num
⊢ m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
ht : t ⊆ s
⊢ EMetric.diam (f '' t) ≤ ↑C * EMetric.diam t ^ ↑r
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α
⊢ (fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) ((fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) (Quotient.mk'' a)) = Quotient.mk'' a
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
⊢ ∃ R,
  0 < R ∧
    ∀ (x : α) (t r : ℝ),
      t ∈ Set.Ioc 0 K →
        r ≤ R →
          μ (Metric.closedBall x (t * r)) ≤
            ↑(IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ K) * μ (Metric.closedBall x r)
l : List Prop
⊢ (List.map Not l).TFAE ↔ l.TFAE
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (FirstOrder.Language.Substructure.map f S) = S
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ ae μ' ≤ ae ν'
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Nonempty Z
MetricSpace Z
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
⊢ Isometry (Metric.toGlueR hΦ hΨ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
U_op : IsOpen U
this : LocPathConnectedSpace ↑U
⊢ PathConnectedSpace ↑U ↔ ConnectedSpace ↑U
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (DFinsupp.eraseAddHom β i) x = DFinsupp.erase i x
z w : ℍ
⊢ z.im / rexp (dist z w) ≤ w.im
a b c : Int
h : a - c < b - c
⊢ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
e : α ≃ β
h : e.Computable
p : β → Prop
⊢ ManyOneEquiv (p ∘ ⇑e) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C).inv.app X).hom₁ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₁
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z => (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)
H : (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹
⊢ ‖z‖ ^ (n + 1) * ‖∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ n * (1 + ↑x * z)⁻¹‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * ((1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1))
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ nb) ne
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Type u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(N i)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
⊢ Continuous TotalSpace.proj
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ ⨆ i, lift.{v', v} #↑↑i ≤ ⨆ i, lift.{v, v'} #↑↑i
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η : ApplicativeTransformation F G
⊢ ApplicativeTransformation.idTransformation.comp η = η
m n : ℕ
h : m.Coprime n
⊢ (m * n).totient = m.totient * n.totient
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ f (↑g).det = 1
cf cg : Nat.Partrec.Code
a : ℕ
⊢ (cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, r ∂μ = r * μ {x | f x = r}
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a : Heyting.Regular α
⊢ ↑aᶜ = (↑a)ᶜ
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ a z = b z
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0
⊢ ∀ (a b : Fin pb.dim), ¬b = a → (e a) pb.gen ≠ (e b) pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval ((e a) pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : Polynomial R
⊢ d ((Polynomial.aeval a) f) = (Polynomial.aeval a) (Polynomial.derivative f) • d a