ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α
⊢ (frontier s).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ s ≠ univ
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
AddCommSemigroup β
LE β
MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ≤ f b + f (a / b)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ Nontrivial (AddSubgroup G) ↔ Nontrivial G
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ : ‖x + y - z + (x + z)‖ * ‖x + y - z + (x + z)‖ + ‖x + y - z - (x + z)‖ * ‖x + y - z - (x + z)‖ = 2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)
⊢ ‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
self : DiffContOnCl 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
⊢ ∀ (c_1 : 𝕜), c • x ∈ c_1 • s → ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c_1‖₊
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
b : B
⊢ Inducing (Bundle.TotalSpace.mk b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'
f : ℕ → α × β
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2) (f m) (f n)
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (Function.update x i xᵢ) ∂μ i ∂μ
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
⊢ (∑ i ∈ s, f i).natAbs ≤ ∑ i ∈ s, (f i).natAbs
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
ha : s ⊆ Set.Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Set.Ioo a b ⊆ s
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atBot = 𝓝[>] a
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Iio b).card = ↑b
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
q : ℚ
⊢ q.toNNRat = 0 ↔ q ≤ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
hfm : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.exp
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
Nonempty ι
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i)) =
  ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
α β : F ⟶ G
w : ∀ (X : C), α.app X = β.app X
⊢ α = β
J : Type v₁
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete J) C
j : CategoryTheory.Discrete J
f : j ⟶ j
⊢ F.map f = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj j)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
ha : IsMax a
hb : IsMax b
⊢ IsMax (a, b)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
m : Multiset M
comm : {x | x ∈ m}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
⊢ m.noncommProd comm ∈ S
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K L : HomologicalComplex C c'
e' : K ≅ L
e : c.Embedding c'
K.IsStrictlySupported e
⊢ L.IsStrictlySupported e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ Set.image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, (fun a => f a b) '' s ⊆ u
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
self : Monoid.CoprodI.Word M
l : (i : ι) × M i
⊢ l ∈ self.toList → l.snd ≠ 1
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (PiToModule.fromMatrix R b) 0 = (PiToModule.fromEnd R b) 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Pow R ℕ
inst✝² : BinomialRing R
inst✝¹ : MulOneClass R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
⊢ multichoose r 0 = 1
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
s t : Submodule R A
⊢ s * t = Submodule.span R (↑s * ↑t)
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ PowerSeries.rescale 0 = (PowerSeries.C R).comp (PowerSeries.constantCoeff R)
⊢ {x | Liouville x} = ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), Metric.ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b}
n : Type u_3
α : Type v
Fintype n
MulOneClass α
AddCommMonoid α
v : n → α
⊢ 1 ⬝ᵥ v = ∑ i : n, v i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConcaveOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) {x, y}) f
hz : z ∈ (convexHull 𝕜) {x, y}
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
x✝ y x : ℝ
⊢ rexp x < 1 ↔ x < 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasRightKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ (L.ranAdjunction H).unit.app G =
  (L.ran.obj (L.comp G)).liftOfIsRightKanExtension (L.ranCounit.app (L.comp G)) G
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ s.ite Set.univ ∅ = s
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'
⊢ IsCompl (x ⊓ x') (y ⊔ y')
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
x y : ULift.{u_3, u_2} β
⊢ dist x y = dist x.down y.down
α : Type u
β : Type v
Infinite α
Zero β
Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) = max (Cardinal.lift.{v, u} #α) (Cardinal.lift.{u, v} #β)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
⊢ add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
s : Set G
⊢ closure (⇑(closure s).subtype ⁻¹' s) = ⊤
p q : Prop
hpq : p → q
hnpq : ¬p → q
⊢ q
R : Type u_1
AddGroup R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ selfAdjoint R ↔ star x = x
α : Type u_1
d y : α
x : WithBot α
⊢ WithBot.unbot' d x = y ↔ x = ↑y ∨ x = ⊥ ∧ y = d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square Cᵒᵖ
h : sq.IsPullback
⊢ sq.unop.IsPushout
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) c
⊢ b = c
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
⊢ φ ∈ T
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1
⊢ ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
⊢ Antitone fun r => s ×ˢ Iic ↑(-r)
⊢ ⇑Complex.conjAe = ⇑(starRingEnd ℂ)
α : Type u
a : α
⊢ ¬[a, a].Nodup
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R
hR : Infinite R
⊢ f = 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
⊢ H.verts.Nonempty
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁵ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : Algebra R Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
y : ↥M
⊢ IsUnit ((algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) ↑y))
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i ≤ ↑(max 1 (w i))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Integrable (-f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ h.op.H = Opposite.op h.H
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y ^ n) (↑n * c x ^ (n - 1) * c') univ x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
x✝ : α
⊢ ‖(c • f) x✝‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖f x✝‖₊
m n : ℕ∞
h : m ≤ n
hn : n ≠ ⊤
⊢ m.toNat ≤ n.toNat
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d i₁ i₁').f i₂ = (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂)
R : Type v
NonAssocSemiring R
StarRing R
S : StarSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a + c = b
⊢ a = b - c
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
⊢ upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' y
⊢ f' < slope f x y
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A B : ↥(unitaryGroup n α)
⊢ toLin' A ∘ₗ toLin' B = ↑(toGL A * toGL B)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
⊢ ⨅ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ Nonempty ι
α : Type u_1
ι : Type u_4
CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
h : f.HasBasis p s
⊢ f.limsInf = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), sInf (s i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1
⊢ IsUnit x
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
x : ℝ
⊢ 0 < gaussianPDF μ v x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Mono f
abar abar' : Pseudoelement P
⊢ pseudoApply f abar = pseudoApply f abar' → abar = abar'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
⊢ ↑⊥ = ↑↑s ∩ ↑⊥
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
h : s = t
a : α
⊢ (Subgroup.quotientEquivOfEq h) ↑a = ↑a
α : Type u
l l' : List α
h : l <+: l'
k : Nat
⊢ l.eraseIdx k <+: l'.eraseIdx k
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples p)
⊢ ∀ (a_1 : 𝕜), ↑(AddCircle.partialHomeomorphCoe p a) a_1 = ↑a_1
R : Type u
CommRing R
b c d : R
m : ℕ
⊢ preNormEDS' b c d (2 * (m + 3)) =
  preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) -
    preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
A : 0 < 3 / 2
⊢ Gamma (3 / 2) < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
⊢ _root_.Disjoint s t ∨ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ ⌈a + b⌉ ≤ ⌈a⌉ + ⌈b⌉
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - 1).Gal
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
hm : μ.IsMetric
⊢ inst✝¹ ≤ μ.caratheodory
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 f
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 g
F : Type u
Field F
d : ℤ
α : F
hα : α ≠ 0
⊢ (HahnSeries.single (-d)) α⁻¹ = ((HahnSeries.single d) α)⁻¹
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
⊢ P f
n : ℕ
c : Composition n
d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet
length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length
i : ℕ
hi : i ≤ d.blocks.length
i_lt : i < d.boundaries.card
i_lt' : i < c.boundaries.card
i_lt'' : i < c.length + 1
A : (d.boundaries.orderEmbOfFin ⋯) ⟨i, i_lt⟩ = (c.boundaries.orderEmbOfFin ⋯) ⟨i, i_lt''⟩
⊢ (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x₀ : E
m : ℕ∞
f : E → F → G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n (Function.uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕜 m (fun x => fderiv 𝕜 (f x) (g x)) x₀
n : ℕ
e : ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m} ≃ { x // x ∈ filter n.Coprime (range n) } := { toFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, invFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ φ n = Nat.card ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ log 2 * 2 ≤ √(log 8)
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop
⊢ (x + y).leadingCoeff = y.leadingCoeff
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i : J
hi : i ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
⊢ ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f
h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g
a : { x // x ∈ s }
x✝¹ : a ∈ ↑s.attach
b : { x // x ∈ s }
x✝ : b ∈ ↑s.attach
hab : a ≠ b
x : γ
hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a
hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b
⊢ False
θ : Angle
⊢ 0 ≤ θ.toReal ↔ 0 ≤ θ.sign
m n : ℕ
⊢ 0 < m → m ≤ n → m ∣ n.factorial
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.LeftInverse (Set.rangeFactorization f) (Set.rangeSplitting f)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs₀ : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (_x : α) in s, c ∂μ = c
n : ℕ
⊢ (↑n).toReal = ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.BicartesianSq b.fst b.snd 0 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ Odd (m + n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
M : Type u_4
CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
⊢ a ∣ l.prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
self : CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
⊢ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁UnitIso hF).inv.app X =
  eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.inv.app X)) ≫
    eA.inverse.map (e'.unitIso.inv.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.unitIso.inv.app X
α : Type u
a b : Set α
u : Ultrafilter α
ua : u ∈ (fun s => {u | s ∈ u}) a
ub : u ∈ (fun s => {u | s ∈ u}) b
⊢ ∃ t₃ ∈ ultrafilterBasis α, u ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (fun s => {u | s ∈ u}) a ∩ (fun s => {u | s ∈ u}) b
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
j : J
⊢ 1 = MonCat.FilteredColimits.M.mk F ⟨j, 1⟩
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskeringEquivalence e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun s => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cone F)).obj s).pt) ⋯)
    ⋯
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
a b : Fin m
⊢ Fin.castLE hmn a = Fin.castLE hmn b ↔ a = b
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
p : α → β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ (y : β), p x y
y : β
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, p x y
x y : Bool
⊢ (x || y) = false ↔ x = false ∧ y = false
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∀ (t : Finset ι), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, ε' i ≤ ε
α : Type u_2
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.closure B = M.E
n m : ℕ
⊢ 2 ≤ m → m ∣ n → n.minFac ≤ m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
U : Set M
hU : U ∈ B
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ B, V • W ⊆ U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
x : CategoryTheory.Meq P S
I : S.Arrow
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι (S.index P) I) ((CategoryTheory.Meq.equiv P S).symm x) = ↑x I
z w : ℂ
⊢ (z * w).im = z.re * w.im + z.im * w.re
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
h : Order.pred a < b
⊢ Set.Ico (Order.pred a) b = insert (Order.pred a) (Set.Ico a b)
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} {x_2 : AddCommMonoid P} {f g : M →+ N →+ P},
  f = g ↔ ∀ (x_3 : M) (y : N), (f x_3) y = (g x_3) y
s : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ Nat.Subtype.toFunAux x = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * Q y