ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
n : Type u_6
Semiring α
DecidableEq n
k : α
⊢ (k • 1).IsDiag
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a b : Ordinal.{max v u}
hb : b < o.nfpBFamily f a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) b < o.nfpBFamily f a
R : Type u
Semiring R
⊢ 0 = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
⊢ Tendsto (fun x => x.eraseIdx 0) (𝓝 (a :: l)) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx 0))
α : Type u
IntCast α
n : ℤ
⊢ (↑n).down = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Antitone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ IsGLB (Set.range f) a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Mul α
AddCommMonoid α
M : Matrix l m α
N : Matrix m n α
i : l
k : n
⊢ (M * N) i k = (fun j => M i j) ⬝ᵥ fun j => N j k
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
c : S
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
⊢ { toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id S) c • { toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun f
α : Type u_1
p q : PMF α
h : ∀ (x : α), p x = q x
⊢ p = q
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a u' : α
s : Set α
hu' : a < u'
⊢ s ∈ 𝓝[≥] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioc a u', Set.Ico a u ⊆ s
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
IsEmpty ι
m : M₂
⊢ (ContinuousMultilinearMap.constOfIsEmpty R M₁ m).toMultilinearMap = MultilinearMap.constOfIsEmpty R M₁ m
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
ha : pseudoApply S.f a' = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
a : Over S.X₁
ha' : ⟦a⟧ = a'
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : 0 + B * cyclotomic' k K = X ^ k - 1 ∧ degree 0 < B.degree
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
ι : Type u_4
SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : ⊤ ≤ (⨆ t, U t).topologicalClosure
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) Filter.atTop (𝓝 x)
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Monoid M
Monoid N
Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : M →* P
h : φ.CompTriple ψ χ
x : M
⊢ ψ (φ x) = χ x
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
p' : Path u' v'
⊢ cast hu hv p = p' ↔ HEq p p'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
⊢ f.comp (PFun.id α) = f
M : Type u_1
Mul M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ Subsemigroup.closure s ≤ Subsemigroup.closure t
R : Type u_1
OrderedRing R
x : R
⊢ Wbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : StrongEpi f
X Y : D
Z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono Z
⊢ HasLiftingProperty (F.map f) Z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
h : a ∈ s - t
h' : a ∈ t
⊢ False
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
StarRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℤ
⊢ (A ^ n)ᴴ = Aᴴ ^ n
α : Type u
n : ℕ
⊢ map Fin.val (finRange n) = range n
x y : ZFSet
⊢ x ∈ y → y ∉ x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), (C a * X ^ n).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ n) → (C a * X ^ (n + 1)).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ (n + 1))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.newCone c).π =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.π CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.γ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
t : ConvexCone 𝕜 E
⊢ t ∈ {t | s ⊆ ↑t} ↔ t ∈ {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ a / b = sInf {o | a < b * Order.succ o}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ ∀ (a a_1 : CategoryTheory.Bicone J), (a ⟶ a_1) = CategoryTheory.BiconeHom J a a_1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
χ : ↥H → R
⊢ LieSubmodule.comap H.incl' (LieAlgebra.rootSpace H χ) = LieModule.weightSpace (↥H) χ
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
⊢ f = g
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ f.support = {a} ↔ f a ≠ 0 ∧ f = Finsupp.single a (f a)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∃ x ∈ s, f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) P ↔
  ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
    CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π → CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
⊢ ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∏ i ∈ s, f i
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ∈ MulAction.orbit G a₂ ↔ a₂ ∈ MulAction.orbit G a₁
R : Type u_1
GroupWithZero R
StarMul R
U₁ U₂ : ↥(unitary R)
⊢ ↑(U₁ / U₂) = ↑U₁ / ↑U₂
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic n (ZMod p) * cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) * cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1)
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
h : 0 < l.length
⊢ List.maximum_of_length_pos h ∈ l
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α
⊢ star '' s = star ⁻¹' s
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
FiniteDimensional k K
h : Odd (Fintype.card (K ≃ₐ[k] K))
⊢ IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ Gᶜ.neighborFinset v = (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v}
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
Top β
⊢ ⇑⊤ = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
n : ℤ
⊢ CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms (self.GE n)
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
⊢ { num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ } * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ } =
  { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → α
⊢ ⨆ i, f ↑i = ⨆ t ∈ s, f t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
⊢ s.tail.drop n = s.drop (1 + n)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
f : M → M'
inst✝ : One M'
x : M
hx : x ∉ mulTSupport f
n : ℕ∞
s : Set M
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x
B : Tendsto (fun y => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑y ^ 2)) atTop (𝓝 (-(2 * b)⁻¹ * 0))
⊢ (2 * b)⁻¹ = -(2 * b)⁻¹ * 0 - -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑0 ^ 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.op.p = h.i.op
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
⊢ False
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x y : E
z : F
⊢ f (x - y, z) = f (x, z) - f (y, z)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a = 0
⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory C
X Y : C
i : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono i
⊢ ∃ Z u, Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk i u))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (Continuous fun a => ↑(f a)) ↔ Continuous f
y z : ZFSet
x : ZFSet
h : z ∈ y
⊢ z ∈ insert x y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
w✝ : Submodule R M
N' : Submodule R N
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl w✝ N'))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ
⊢ ofDigits (↑b') (b'.digits n) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]
n : ℕ
c : Composition n
n₁ : ℕ
c₁ : Composition n₁
i₁ i₂ : Fin c₁.length
hi : ↑i₁ = ↑i₂
⊢ i₁ = i₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
α : Type u_1
r r' : α → α → Prop
hr' : Reflexive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : Relation.ReflGen r x y
⊢ r' x y
α : Type u_1
β : Type u_2
DivisionRing α
Semiring β
Nontrivial β
f : α →+* β
⊢ Function.Injective ⇑f
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (rTensor ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
R : Type u_1
x : R
Zero R
Pow R ℕ
Subsingleton R
⊢ nilpotencyClass x = 0
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
⊢ n < p ^ (padicValNat p n + 1) → p ^ padicValNat p n ≤ n
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
OrderBot β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_bot : f a = ⊥
x : α
⊢ a ≤ x
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
⊢ (s.append t).destruct = s.destruct.bind (Stream'.WSeq.destruct_append.aux t)
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
h : ¬l + r₂ ≤ 1
⊢ l ≤ delta * r₂
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nonempty → (∃ a, s = {a}) ∨ s.Nontrivial
⊢ (Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1) = Ordinal.omega
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0
hij : i ≠ j
⊢ (if p j then (single i x) j else 0) = if p i then (single i x) j else 0
α : Type u
s t : Set α
x : α
⊢ s ⊆ insert x t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
i : ι
MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
⊢ MeasureTheory.NoAtoms (MeasureTheory.Measure.pi μ)
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
Hloc : ∀ (x : M), ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ g, ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n g U ∧ ∀ y ∈ U, g y ∈ t y
⊢ ∃ g, ∀ (x : M), g x ∈ t x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
x : L
n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id
h₁ : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x = n + χ x • LinearMap.id
h₂ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ)) n = 0
⊢ 0 + (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ)) (χ x • LinearMap.id) = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x
a : Nat
⊢ a < UInt16.size → ↑(UInt16.ofNat a).val = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝ : Preorder α
f : Filter β
u : β → α
b : α
hb : b ∈ lowerBounds (range u)
⊢ ∀ (x : β), u x ≥ b
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.even
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.even.get n)
⊢ (fun b => a = b) (s.get (2 * n))
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
⊢ s.toList.length = card s
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
c : Fin g.natDegree →₀ R
⊢ (AdjoinRoot.powerBasisAux' hg).repr.symm c = (AdjoinRoot.mk g) (∑ i : Fin g.natDegree, (Polynomial.monomial ↑i) (c i))
α : Type u_2
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ (n • s).toProd = n • s.toProd
α : Type u
β : Type v
x : α
xs : List α
f : α → List β
⊢ (x :: xs).bind f = f x ++ xs.bind f
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑Monoid.CoprodI.of
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
x : M
hx : x ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p)
y : M
hy : y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q)
hxy : x + y = v
⊢ v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
a : MvPolynomial (Option S₁) R
⊢ (MvPolynomial.optionEquivRight R S₁) a =
  (MvPolynomial.aeval fun o => o.elim (MvPolynomial.C Polynomial.X) MvPolynomial.X) a
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℤ
h : ↑(x.natAbs * x.natAbs) = ↑(d * y.natAbs * y.natAbs)
⊢ x = 0 ∧ y = 0
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
h : LocallyBoundedVariationOn f univ
x : ℝ
hx : x ∈ univ → DifferentiableWithinAt ℝ f univ x
⊢ DifferentiableAt ℝ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
⊢ UniformContinuous ⇑(toFun 𝔖)
G : Type u
AddGroup G
H : AddGrp
f : G →+ ↑H
⊢ AddMonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.toList = [] ↔ s = ∅
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ t ⊆ f i, IsCompact t
t : Set α
ht : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ IsCompact (⋃ i, t ∩ f i)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ioi a)
l : Filter β
⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullback f g).OpenCover
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G
⊢ (Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {y | y * x⁻¹ ∈ s i}
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
⊢ (Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑h.choose
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ x = φ.symm (φ x)
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r a b
⊢ r a c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α
⊢ ↑⌈x⌉ < x + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ
⊢ a / 0 ≤ 1 ↔ 0 < 0 ∧ a ≤ 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ InfIrred a → s.inf f = a → ∃ i ∈ s, f i = a
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ ≤ ν
⊢ μ.transpose ≤ ν.transpose
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ {k, m, n} ⊆ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support