ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : Fintype ι'
f : ι' ≃ ι
⊢ Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) (Measure.pi fun i' => μ (f i')) = Measure.pi μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ (X.ofRestrict h).base = f
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Epi ⇑((forget₂ C Ab).map f) ↔ Epi ((forget C).map f)
α : Type u
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous SeparationQuotient.mk
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
⊢ ⋃₀ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}) = univ
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (fun x => (x, x)) '' s = Set.diagonal α ∩ s ×ˢ s
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
⊢ Set.univ.Finite
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α
⊢ Disjoint a (b ⊓ c) ↔ Disjoint b (a ⊓ c)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ ∀ (m : ↥↑E), ∃ n, ((toEnd K ↥U ↥↑E) (α • u + x') ^ n) m = 0
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
htne : t.Nonempty
⊢ ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb
⊢ Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • Perm.sign al • Perm.sign ar • domDomCongr σ ((domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α
⊢ x ∈ ⋃ i, f i
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔ (Finset.filter (fun p => p.1 * p.2 = a0 * b0) (A ×ˢ B)).card ≤ 1
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
h : ∑ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ s, f a ≠ 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
hs : (f '' s).Infinite
⊢ s.Infinite
R : Type u_1
Semiring R
z : R
⊢ z ∈ Subsemiring.center R ↔ ∀ (g : R), g * z = z * g
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
⊢ f₁ c₁ = none
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ Int.negSucc n • a = -((n + 1) • a)
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
⊢ |30417026706710207 / 51397301678363663775930777600| ≤ 7011591 / 167772160000000000
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso (α.app X) ↔ CategoryTheory.IsIso (α.app Y)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
x : α
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.spanningSetsIndex μ x = n ↔ x ∈ disjointed (MeasureTheory.spanningSets μ) n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
A : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.cthickening (↑r) A))
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : R
⊢ (p + Polynomial.C a).natDegree = p.natDegree
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set Gᵐᵒᵖ
a : Subgroup G
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {K | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑K}
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ Irreducible v.asIdeal
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ J.IsAdjointPair J₂ A₁ A₁
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n
⊢ Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) (Nat.bit b n) = ↑(Nat.bit b n)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ DFinsupp.toMultiset (Multiset.toDFinsupp s) = s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
hM : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ ∃ k, ∀ (x : L), (LieModule.toEnd R L M) x ^ k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
⊢ a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ (EuclideanGeometry.reflection s) p =
  ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
hb : b ≠ 0
j : ι
h : ¬i = j
⊢ j ∈ (single i b).support ↔ j ∈ {i}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ ⌈a - 1⌉ = ⌈a⌉ - 1
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ¬∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J / I < I⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
n : ℕ
ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
a b : Perm α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ a :: b :: l, g.IsSwap
hn : (b :: l).length = 2 * n + 1
⊢ a * b * l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ 4⁻¹ * (starRingEnd 𝕜) (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) = 4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ x ^ n = x ^ m ↔ n ≡ m [MOD orderOf x]
α : Type u_1
s t r : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ↑(Sum.inr ⁻¹' (⇑(Function.Embedding.sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ t
S : Finset Λ'
k : Cont'
H₁ : contSupp k ⊆ S
⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret k))
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ σ ∈ Stab (mk φ) ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g = fun p => (↑p).1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
self : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ c₂.π c₁ c₁₂ (i₂, i₁) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal p < ↑n ↔ p < ↑n
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun δ => μ (Set.Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ {b}))
α : Type u
a b : α
l : List α
⊢ (b :: l).getLastD a = l.getLastD b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
⊢ cons ⋯ (Walk.boxProdLeft H b w).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hdvd : a ∣ b
heq : 0 = multiplicity a b
⊢ a ^ 1 ∣ b
b : String
⊢ Levenshtein.stringLogLengthCost.insert b = (b.length + 1).log2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x₀
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.indicator f ≤ f
α : Type u
β : Type v
r : Rel α β
l : Filter α
⊢ (Filter.rmap r l).sets = r.core ⁻¹' l.sets
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis I X ↔ M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
this✝ : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)
key : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ι → K) ∧ lift.{v, u} #K ≤ Module.rank K (ι → K)
this : Infinite ιK
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial s) 0 = 0
R : Type u
Ring R
r : R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C r).degree ≤ 1
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace ℝ G
f : G ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
x y : G
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).re
α : Type u_1
ι : Sort u_4
P : ι → α → Prop
⊢ ⋂ i, {x | P i x} = {x | ∀ (i : ι), P i x}
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
⊢ tan x * cos x = sin x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
C' : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C'
D' : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D'
iC : CategoryTheory.Functor C C'
iD : CategoryTheory.Functor D D'
L' : CategoryTheory.Functor C' D'
R' : CategoryTheory.Functor D' C'
adj : L' ⊣ R'
hiC : iC.FullyFaithful
hiD : iD.FullyFaithful
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
comm1 : iC.comp L' ≅ L.comp iD
comm2 : iD.comp R' ≅ R.comp iC
X : C
Y : D
f : L.obj X ⟶ Y
⊢ ((adj.restrictFullyFaithful hiC hiD comm1 comm2).homEquiv X Y) f =
  hiC.preimage
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app (iC.obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R'.map (comm1.hom.app X))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R'.map (iD.map f)) (comm2.hom.app Y))))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type w
AddCommMonoid M'
Module R M'
M'' : Type u_7
AddCommMonoid M''
Module R M''
B : LinearMap.BilinForm R M''
l r : M →ₗ[R] M'
l' r' : M' →ₗ[R] M''
⊢ (B.comp l' r').comp l r = B.comp (l' ∘ₗ l) (r' ∘ₗ r)
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : G →* A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ ((MonoidAlgebra.lift k G A) F) f = Finsupp.sum f fun a b => (algebraMap k A) b * F a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
⊢ AEStronglyMeasurable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) = 1 / u
m : Type u_1 → Type u_2
β : Type u_1
α : Type u_3
Monad m
f : β → α → m β
b : β
⊢ List.foldlM f b List.nil = pure b
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
LinearOrderedField K
s_pos : ∀ {gp : GenContFract.Pair K} {m : ℕ}, m < n → g.s.get? m = some gp → 0 < gp.a ∧ 0 < gp.b
⊢ g.convs n = g.convs' n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ‖f‖ = (eLpNorm (↑(toSimpleFunc f)) p μ).toReal
α : Type u_2
Neg α
⊢ -Set.univ = Set.univ
a b c d : Nat
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a + c ≤ b + d
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α
⊢ s.powerset ⊼ s.powerset = s.powerset
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Icc a b \ Set.Ico a b = {b}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
b : WithBot α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ↑a ≤ b
⊢ l.maximum ≤ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s : Set α
t : Set β
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
v : Finset β
hv : v.Nonempty
hvt : ↑v ⊆ t
⊢ ↑(u ×ˢ v) ⊆ s ×ˢ t
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
⊢ (cons (a, s) S).join = cons a (s.append S.join)
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ ω ≤ c.alephIdx
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y
⊢ Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 X)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.toAddSubmonoid ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : (MeasureTheory.Measure.map f μ) s = 0
⊢ μ (f ⁻¹' s) = 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ Finsupp.single (((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom x) ((-1) ^ ↑x✝¹) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
α : Type u_2
InvolutiveInv α
a : α
s : Set α
⊢ (insert a s)⁻¹ = insert a⁻¹ s⁻¹
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
r : ℝ
hm : Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => m x ^ r) f (𝓝 (a ^ r))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a * a⁻¹ * a = a
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
hv : X ≃ₕ Unit
⊢ (ContinuousMap.id X).Nullhomotopic
a b c : ℕ
⊢ a / b % c = a % (b * c) / b
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
⊢ Tendsto F p (𝓝 f)
F : Type u_1
K : Type u_2
CommRing F
Ring K
Algebra F K
⊢ Algebra.IsSeparable F K ↔ ∀ (x : K), IsIntegral F x ∧ IsSeparable F x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ update f i '' Ioo a (f i) = Ioo (update f i a) f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
hf' : LinearMap.ker f.linear = ⊥
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → NNReal
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ↑(m a)) f Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto m f Filter.atTop
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
n : ℕ
hn : r < ↑n
h1 : r ≤ ‖↑n‖
⊢ False
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∑ i : Fin pb.dim, (Ioi i).card = n * (n - 1) / 2
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
⊢ ∃ p, p ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsSemisimpleModule R M
inst✝ : Nontrivial M
⊢ ∃ m, IsSimpleModule R ↥m
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ EventuallyConst s⁻¹ (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
Nonempty α
Nonempty γ
f₁ : α → β
g₁ : γ → δ
f₂ : β → α
g₂ : δ → γ
⊢ Function.RightInverse (Prod.map f₁ g₁) (Prod.map f₂ g₂) ↔ Function.RightInverse f₁ f₂ ∧ Function.RightInverse g₁ g₂
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
j : Nat
hj : j < a.size
v : α
⊢ (a.set i v)[j] = if ↑i = j then v else a[j]
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ s.sup' hs f ⊓ a = s.sup' hs fun i => f i ⊓ a
R : Type u_1
CommSemiring R
s : Subsemiring R
m : Multiset R
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
x : G
hx : x ∈ K
n : ℤ
⊢ n • x ∈ K
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
(i : I) → MulOneClass (f i)
MulOneClass γ
g : (i : I) → γ →* f i
x : γ
i : I
⊢ (Pi.monoidHom g) x i = (g i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ symmDiff (f '' s) (f '' t) ⊆ f '' symmDiff s t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.StructuredArrow PUnit.{w + 1} F
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromStructuredArrow F).obj X = ⟨X.right, X.hom PUnit.unit⟩
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
b : M
a : α
hb : b ≠ 0
⊢ (Finsupp.single a b).support = {a}
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ a / a * a = a
n : ℕ
P : ℕ → Sort u_1
h : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → P m) → P n
⊢ n.strongRecOn' h = h n fun m x => m.strongRecOn' h
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
l : List α
h : List.Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
⊢ r (l.get a) (l.get b)
α : Type u_3
Inf α
a : α
⊢ (InfHom.id α) a = a
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
Subsingleton ι
Nontrivial G
i : ι
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖ = 1
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y
⊢ derivWithin f (Set.Iio y) y ≤ slope f x y