ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Set.uIcc a b).Finite
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).toSubgraph = p.toSubgraph ⊔ q.toSubgraph
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
⊢ (a ::ₘ s).lcm = lcm a s.lcm
α : Type u_1
AddGroup α
One α
n : Num
⊢ ↑n.toZNumNeg = -↑n
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
⊢ Matrix.IsDiag 0
α : Type u
x : FreeAddGroup α
⊢ (FreeAddGroup.lift FreeAddGroup.of) x = x
α : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = Set.univ
⊢ Subsingleton ι
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ~ a :: l₂ ↔ l₁ ~ l₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.isoTriangleOfIso₁₂ T₁ T₂ hT₁ hT₂ e₁ e₂ comm).hom.hom₂ = e₂.hom
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPushouts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : Mono f
s : PushoutCocone f g
hs : IsColimit s
this : Mono ((colimit.cocone (span f g)).ι.app WalkingCospan.right)
⊢ Mono s.inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
f g : β → γ
h : f = g
⊢ CategoryTheory.GradedObject.comapEq C ⋯ = (CategoryTheory.GradedObject.comapEq C h).symm
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i
hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), (if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) = a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (f x, g x)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
self : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (QuaternionAlgebra.imIₗ c₁ c₂) self = self.imI
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
e : α
he : e ∈ M.closure X
⊢ e ∈ M.E
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
⊢ ↑(Units.mk0 a h) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ (fun f => Finsupp.toMultiset f) ((fun s => { support := s.toFinset, toFun := fun a => count a s, mem_support_toFun := ⋯ }) s) = s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s : Set L
p : L → Prop
x : L
h : x ∈ LieSubalgebra.lieSpan R L s
mem : ∀ x ∈ s, p x
zero : p 0
smul : ∀ (r : R) {x : L}, p x → p (r • x)
add : ∀ (x y : L), p x → p y → p (x + y)
lie : ∀ (x y : L), p x → p y → p ⁅x, y⁆
⊢ p x
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
⊢ False
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V
k : ℕ
hg : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card = 2 * k + 1
⊢ ∃ w, w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S) = Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0
⊢ ∀ {R : C} (g : S.X₂ ⟶ R), S.f ≫ g = 0 → g = 0
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
AddCommGroup M'
Module R M'
Module.Free R M'
Module.Finite R M
Module.Finite R M'
cond : FiniteDimensional.finrank R M = FiniteDimensional.finrank R M'
⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂✝ : Type u_13
N₃✝ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₂
inst✝⁶ : Module R M₃
N : Type u_17
N₂ : Type u_18
N₃ : Type u_19
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
e₁ : M ≃ₗ[R] N
e₂ : M₂ ≃ₗ[R] N₂
e₃ : M₃ ≃ₗ[R] N₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : N
⊢ ((e₁.arrowCongr e₃) (g ∘ₗ f)) x✝ = ((e₂.arrowCongr e₃) g ∘ₗ (e₁.arrowCongr e₂) f) x✝
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
⊢ IsPFilter ↑IF.F
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ (s.mongePlane i₁ i₂).direction = (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ κ.compProdFun η a (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = y ↔ yᶜ = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ
a : ℝ≥0∞
h : 0 ≤ c
⊢ (ENNReal.ofReal c * a).toReal = c * a.toReal
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
⊢ (equiv W L) (mkInv f hf) = (isoOfHom L W f hf).inv
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ HasDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂) = ⊤
x y : UInt64
⊢ x.toNat = y.toNat → x = y
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
⊢ ¬G.Adj t u
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
⊢ bernsteinApproximation n f ∈ (polynomialFunctions I).toSubsemiring
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
s : Set α
hg : Function.Injective g
hf : Set.InjOn f s
⊢ Set.InjOn (g ∘ f) s
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail
⊢ p.IsTrail
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝ : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
⊢ (∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))) ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) φ ≠ 0
⊢ φ⁻¹ * φ = 1
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ P ≈ ![1, 1, 0]
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ quadraticCharFun F a = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
m : M
⊢ m ⊗ₜ[R] 0 = 0
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsNoetherianRing R
⊢ FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) = 0 ↔ IsField R
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : CauchyFilter α
h_ex : ∀ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α), ∃ y, (f, pureCauchy y) ∈ s
⊢ f ∈ closure (range pureCauchy)
m n : ℕ
⊢ (↑m).lcm ↑n = m.lcm n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ Function.Surjective cs.wordProd
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
ι : Type u_3
R : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : ι → R
hf : (Function.support f).Finite
x : M
⊢ (∑ᶠ (i : ι), f i) • x = ∑ᶠ (i : ι), f i • x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
a : Quotient (Setoid.ker ⇑f)
⊢ hf.homeomorph a = a.liftOn' ⇑f ⋯
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : QPF.Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (QPF.Fix F)), h (QPF.Fix.mk x) = g (h <$> x)
⊢ QPF.Fix.rec g = h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ a * b
⊢ a * 1 ≤ a * b
R : Type u_1
S : Type u_3
F : Type u_4
CommSemiring R
CommRing S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (RingHom.ker f).IsRadical ↔ IsReduced S
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
h' : f' = g'
⊢ HasDerivAt f g' x
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R) (MulOpposite.op Polynomial.X) = Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
q : TwoPointing β
Nonempty α
⊢ (TwoPointing.pi α q).snd = Function.const α q.snd
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_4}
H : Ordinal.IsNormal f
a : Ordinal.{u_4}
⊢ f a ≤ a ↔ f a = a
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}
⊢ a ≤ 1 ↔ a = 0 ∨ a = 1
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C
⊢ m + n = 0
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
⊢ Subgroup.closure {σ | σ.IsThreeCycle} = alternatingGroup α
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.map f - Algebra.Generators.Cotangent.map g = f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
this : boundOfDiscBdd N - 1 < boundOfDiscBdd N
⊢ 2⁻¹ ^ NrComplexPlaces K * ↑(sqrt ‖discr K‖₊) * 2 ^ finrank ℚ K ≤ 1 * ↑(sqrt ↑N) * 2 ^ rankOfDiscrBdd N
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
CommRing L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
⊢ IsPerfectClosure.equiv i i p = RingEquiv.refl L
p np : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat p np → ¬LucasLehmerTest np → ¬LucasLehmerTest p
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ‖↑(newton_cau_seq hnorm) n - a‖) Filter.atTop (𝓝 ‖soln_gen hnorm - a‖)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι
⊢ eLpNorm (↑↑(f n - f_lim)) p μ ≠ ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : ∀ (x : β), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F univ
⊢ UniformContinuousOn f univ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m
⊢ r a x
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ (closure L).toFun s ↔ ∃ t, Term.realize Subtype.val t = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝ : Finite ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[univ.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R U) f = AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f 1 U ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hS : IsPreirreducible S
hU : IsOpen U
h : (S ∩ U).Nonempty
h' : ¬S ⊆ closure (S ∩ U)
⊢ False
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hu : ⋃₀ c = Set.univ
H : c.PairwiseDisjoint id
a : α
⊢ ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ ‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : True), sSup (u '' Ici i) = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
u v : PrimeMultiset
⊢ (u ⊔ v).prod = u.prod.lcm v.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => ↑(f a)
n : ℕ
⊢ n ∈ divisors 0 ↔ n ∣ 0 ∧ 0 ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
functor : CategoryTheory.Functor C D
inverse : CategoryTheory.Functor D C
unit_iso : CategoryTheory.Functor.id C ≅ functor.comp inverse
counit_iso : inverse.comp functor ≅ CategoryTheory.Functor.id D
f :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (functor.map (unit_iso.hom.app X)) (counit_iso.hom.app (functor.obj X)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.id (functor.obj X)
⊢ { functor := functor, inverse := inverse, unitIso := unit_iso, counitIso := counit_iso,
      functor_unitIso_comp := f }.unit =
  unit_iso.hom
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i k : ι
hk : i < k
⊢ {s k} = {t | ∃ n ∈ {k}, s n = t}
α : Type u_1
R : α → α → Prop
S : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
d : Pairwise R l₁
⊢ Pairwise R l₂
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x - y, m⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅y, m⁆
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
u : Finset β
s : Set α
t : Set β
⊢ ↑u ⊆ s +ᵥ t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' +ᵥ t'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J
⊢ (aI * y') • b = aI • (b * aJ • y)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α}, (a :: as).enum = (0, a) :: List.enumFrom 1 as
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
a : α
aq : a ∈ q
⊢ ∀ (h : ∀ a ∈ q, ∀ b ∈ q, f a = f b), q.liftOn f h = f a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x m : Fin 0 → G
⊢ (curry0 𝕜 G (f x)) m = f m
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Function.Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Function.Injective (f₂ a)
⊢ Function.Injective (Sigma.map f₁ f₂)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a b : α}, (some a).getD b = a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
p₂ : ι₂ → P
hi₂ : ∀ i ∈ s₂, ∀ j ∈ s₂, p₂ i = p₂ j → i = j
he : p '' ↑s = p₂ '' ↑s₂
⊢ centroid k s p = centroid k s₂ p₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
ι : Sort u_5
x : E
f : ι → ConvexCone 𝕜 E
⊢ x ∈ iInf f ↔ ∀ (i : ι), x ∈ f i
n : ℕ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
⊢ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f ↔ ∀ (i : Fin n), r (f i.castSucc) (f i.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
⊢ FinStronglyMeasurable (f * g) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β → γ → α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ x, f x.1 x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
⊢ (s ×ˢ t).Nontrivial ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty ∧ (s.Nontrivial ∨ t.Nontrivial)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ s ⊆ t.erase a ↔ s ⊆ t ∧ a ∉ s
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ (NormedAddCommGroup.toCompl.comp (NormedAddGroupHom.incl f.ker)).range ≤ f.completion.ker
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆) = 0
P : ℕ → Prop
h : ∀ (N : ℕ), ∃ n > N, P n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsRightRegular (a * a ^ n.pred) → IsRightRegular a
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 1
hy : y % 2 = 1
⊢ x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1 ∨ x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ IsLUB (Ico a b) b
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Asymptotics.IsBigOWith (C i) l (A i) g
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
⊢ (i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
h : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄ ⦃b : β i⦄, f a b ⊆ g a b
a : (i : ι) × α i
b : (i : ι) × β i
⊢ Finset.sigmaLift f a b ⊆ Finset.sigmaLift g a b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Set ↑s
ht : t.Countable
h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets
uninf✝ : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜ ∈ f
uninf : ⋃ i ∈ t, U i ∉ f
⊢ False
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
l : List α
f : β → α → m β
b : β
⊢ List.foldlM f b l.reverse = List.foldrM (fun x y => f y x) b l
z w : ℝ
⊢ ↑z = ↑w ↔ z = w