ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ a • b < b ↔ a < 1
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
L : F₁ →SL[σ] F₂
v : F₁
⊢ b ∈ e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet
a : EReal
h : a ≠ ⊥
h' : a ≠ ⊤
⊢ a⁻¹⁻¹ = a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ γ : Type
s : σ
Inhabited β
f : α → β → σ → σ × γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (s : σ), f a default s = f a b s
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys s = Mathlib.Vector.mapAccumr (fun a s => f a default s) xs s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : r₁ ≤ 0
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
f : α →₀ M
CommRing R
g : α → M → ℤ
⊢ ↑(f.prod g) = f.prod fun a b => ↑(g a b)
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
x : ℕ → ℚ
hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 0)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
⊢ (∃ y, (∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → y ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty) ∧ ↑y = x) ↔ ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp g p μ
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
V : α → Set Y
hVo : ∀ (i : α), IsOpen (V i)
heV : range e ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : α), V i ⊆ U i
⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ relabel Sum.inl φ = castLE ⋯ φ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).φK =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).K
α : Type u
Semiring α
⊢ Ideal.span Set.univ = ⊤
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ ∃ ν, MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν ∧ μ ≪ ν
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, a = d ^ k
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
i : ι
⊢ (f - g).f i = f.f i - g.f i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
g : Z ⟶ X
⊢ pullbackArrows f (singleton g) = singleton (pullback.snd g f)
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc ↑a ↑b
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton β
f : α → β
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
⊢ ∑ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∑ i ∈ s, f i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
α : Type u
u : UniformSpace.Core α
x : α
⊢ 𝓝 x = Filter.comap (Prod.mk x) u.uniformity
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ w = w⁻¹⁻¹
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((fderivWithin ℝ (↑(extChartAt I x₀) ∘ ↑(extChartAt I xₜ).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I xₜ) xₜ)) (v xₜ)) t
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
⊢ ↑(c.invEmbedding j) = ↑j - c.sizeUpTo ↑(c.index j)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (Metric.thickening δ s) (Metric.thickening δ t)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
Y X : C
c : Cocone (pair X Y)
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit c
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ Measurable (Classical.choose ⋯).2 ∧ (Classical.choose ⋯).1 ⟂ₘ ν ∧ μ = (Classical.choose ⋯).1 + ν.withDensity (Classical.choose ⋯).2
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
⊢ coeff m (X i) = if Finsupp.single i 1 = m then 1 else 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : Set (L.Substructure M)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
(CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Presieve.ofArrows X π) ↔
  Nonempty
    (CategoryTheory.Limits.IsLimit
      (CategoryTheory.Limits.Fork.ofι (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap P X π) ⋯))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDerivWithin n f s
α : Type u_1
ι : Sort u_6
s : ι → Set (Set α)
⊢ ⨆ i, MeasurableSpace.generateFrom (s i) = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Finset M
s : span R ↑w = ⊤
⊢ #ι ≤ ↑w.card
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : AddCircle T → E
c : ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (c • f) n = c • fourierCoeff f n
α : Type u_1
β : α → Type u_2
⊢ ∀ (a : (a : α) × (β a → WType β)), (WType.equivSigma β).symm a = WType.ofSigma a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace δ
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
p : α → Prop
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
s : Set α
f g : α → β
hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})
⊢ ContinuousOn f (s ∩ {a | p a})
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ eval₂ f (↑n) p = f (eval (↑n) p)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y₁
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F).map φ ≫ (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ ((const (CostructuredArrow L Y₁)).obj (colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F))).map φ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hxy : JoinedIn F x y
hyz : JoinedIn F y z
⊢ JoinedIn F x z
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
⊢ J.Covers R f
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
⊢ (f =O[l] fun _x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul M α
SMul β α
SMulCommClass β M α
g : N → M
⊢ SMulCommClass β N α
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ image2 m (u₁ ∩ u₂) (image2 n v w) ⊆ s
a b c : Int
h : a - b < c
⊢ a < b + c
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Metric.ball b r = Metric.ball (-a + b) r
α : Type u_1
G : Type u_2
TopologicalSpace G
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderTopology G
l : Filter α
f : α → G
a : G
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |f x|) l (𝓝 |a|)
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
g : β → α
t : Set β
h : Set.RightInvOn g f t
⊢ LipschitzWith K (t.restrict g)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
⊢ 𝓝 f = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), ⨅ U, ⨅ (_ : IsOpen U), ⨅ (_ : Set.MapsTo (⇑f) K U), 𝓟 {g | Set.MapsTo (⇑g) K U}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE
i : ι
hi : e.f i = c'.prev (e.f j)
⊢ False
M : Type u_1
β : Type u_4
SMul M β
α : Type u_5
Monoid M
AddMonoid α
DistribMulAction M α
a : M
c : β
⊢ a • (0, c) = (0, a • c)
α : Type u_2
DistribLattice α
s t u : Set α
⊢ s ⊼ (t ⊻ u) ⊆ s ⊼ t ⊻ s ⊼ u
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist z x + hammingDist z y
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y : CategoryTheory.GradedObject J D
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap
    p
j : J
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).inv j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app (Y j))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j))
      (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F p ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X) Y 0 j j ⋯))
α : Type u_1
inst✝³ : Ring α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : TopologicalRing α
inst✝ : UniformAddGroup α
m : α →+ α →+ Completion α := AddMonoidHom.mul.compr₂ toCompl
this : Continuous fun p => (m p.1) p.2
di : DenseInducing ⇑toCompl
⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊥.distortion = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (↑m.succ * ↑n.succ) = a ^ ↑((m + 1) * (n + 1))
a : Int
h : 0 ≤ a
⊢ -a ≤ 0
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a b : α
hb : 1 ≤ b
⊢ b * a ≤ b → a∗ ≤ b
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
⊢ insert a b (singleton a b') = singleton a b
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.7784
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x₁ x₂ : X
x✝² : f x₁ = f x₂
x✝¹ : x₁ ≠ x₂
x✝ : (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂)
t : Set (X × X)
ht : t ∈ 𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂
t_sub : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ
⊢ ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
b c : α
h : c ⩿ b
⊢ c ≤ c ∧ c ≤ b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
m : M
n : N
p : P
⊢ (TensorProduct.leftComm R M N P) (m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] p) = n ⊗ₜ[R] m ⊗ₜ[R] p
a b c : Ordinal.{u}
⊢ 1 ♯ a = succ a
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = lintegral μ 0
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Ioo a b).card = ↑b - ↑a - 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
⊢ MDifferentiable 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f ↔ Differentiable 𝕜 f
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
x y : ℂ
⊢ (cexp x).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a : α
⊢ Associates.mk a = 0 ↔ a = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
StarRing 𝔸
ContinuousStar 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
h : A.IsHermitian
⊢ (NormedSpace.exp 𝕂 A).IsHermitian
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
⊢ L.join.NodupKeys ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise Disjoint (map keys L)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ ↑((p.linearProjOfIsCompl q hpq) x) + ↑((q.linearProjOfIsCompl p ⋯) x) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.congr X e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun Y => CategoryTheory.MonoOver.isoMk (e.counitIso.app Y.obj.left) ⋯) ⋯
α : Type u
p : Set α → Prop
h : ∃ s, p s
⊢ (∃ s, (∀ (n : ℕ), p (s n)) ∧ ⋃ n, s n = Set.univ) ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (∀ s ∈ S, p s) ∧ ⋃₀ S = Set.univ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
x : β
⊢ MeasureTheory.Adapted f fun x_1 x_2 => x
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g : G
n : N
⊢ SemidirectProduct.inl ((φ g) n) = SemidirectProduct.inr g * SemidirectProduct.inl n * SemidirectProduct.inr g⁻¹
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
MeasurableSpace G₀
MeasurableSpace α
MeasurableSMul G₀ α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ MeasurableSet (a • s)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
⊢ (match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).s.get? 0 = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group G
MulAction G α
MulAction G β
⊢ MulAction.orbitRel G (α × β) ≤ Setoid.comap Prod.fst (MulAction.orbitRel G α)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ), X.leftOp.left.obj X_1 = Opposite.unop (X.right.obj (Opposite.unop X_1))
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
m : OuterMeasure β
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s)
x y : ℝ
⊢ sin x ^ 2 ≤ sin x ^ 2 + cos x ^ 2
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
⊢ ⇑(G.recolorOfEmbedding f) = (SimpleGraph.Embedding.completeGraph f).toHom.comp
𝕜 : Type u
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x : G
⊢ ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 G G') f) x = f (Fin.snoc 0 x)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix m n R
⊢ (Aᴴ * A).PosSemidef
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : βᵒᵈ
a : α
⊢ OrderDual.ofDual b +ᵥ a = b +ᵥ a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s t : Ideal A
h : s ≤ t
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑s
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J) → map f (sInf A) = sInf (map f '' A)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b : ℝ
l : Filter ℝ
l.NeBot
Filter.TendstoIxxClass Set.Icc l l
hl : [[a, b]] ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l Filter.atTop
hfg : deriv f =O[l] g
⊢ ¬IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume a b
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖a / b‖ < r
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LT α
ha : ∀ (h : p), a h < 0
hb : ∀ (h : ¬p), b h < 0
⊢ dite p a b < 0
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y ⊓ (x ⊔ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.rightInvSeq ω.reverse = (cs.leftInvSeq ω).reverse
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace ↑(Set.range f)