ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : α → Type u_10
ι : Sort u_11
inst✝ : (i : α) → SupSet (β i)
f : ι → (a : α) → β a
a : α
⊢ sSup (range ((fun f => f a) ∘ f)) = sSup (range fun i => f i a)
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x y : M (Fin.last n)
⊢ f (Fin.snoc m (x + y)) = f (Fin.snoc m x) + f (Fin.snoc m y)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ = ⁅map f I₁, map f I₂⁆
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
V : Type u_2
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
MeasurableSpace V
W : Type u_3
AddCommGroup W
Module 𝕜 W
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
TopologicalSpace V
BorelSpace V
TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ VectorFourier.fourierIntegral e μ L f + VectorFourier.fourierIntegral e μ L g =
  VectorFourier.fourierIntegral e μ L (f + g)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ C r = C r * T ↑0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ιX : Type u_5
ιY : Type u_6
px : ιX → Prop
py : ιY → Prop
sx : ιX → Set X
sy : ιY → Set Y
x : X
y : Y
hx : (𝓝 x).HasBasis px sx
hy : (𝓝 y).HasBasis py sy
⊢ (𝓝 x ×ˢ 𝓝 y).HasBasis (fun i => px i.1 ∧ py i.2) fun i => sx i.1 ×ˢ sy i.2
α : Type u_4
self : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ DivisionSemiring.nnqsmul q a = ↑q * a
α : Type u_1
f g g' : α → α
h : Function.Commute f g
h' : Function.Commute f g'
⊢ Function.Commute f (g ∘ g')
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
this : s ∩ o ∈ 𝓝[s] x
⊢ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) =ᶠ[𝓝[s] x] f'
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
⊢ dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a - ⨅ i, f i = ⨆ i, a - f i
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : AdicCompletion I M
⊢ x = y ↔ ∀ (n : ℕ), ↑x n = ↑y n
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
⊢ IsRelPrime x x ↔ IsUnit x
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
⊢ Function.Injective (WType.elim γ fγ)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).comp (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ w, ∑ i : ι, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
⊢ UniformIntegrable f p μ
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_8
f : ι → M
hf : Function.Injective f
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range f }) R Subtype.val ↔ LinearIndependent R f
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
hB : B.IsSymm
⊢ (-B).IsSymm
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ (Multiset.map g t).prod ∈ (Multiset.map f t).prod
N✝ N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ γ ∈ Gamma N ↔ ↑(↑γ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑γ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 1) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ log 2 * 2 ^ 2 ≤ ↑3
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length (w₁ * w₂) ≤ cs.length w₁ + cs.length w₂
C : ℕ → Sort u
H : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (Nat.bit b n)
n : ℕ
⊢ (2 * n).bitCasesOn H = H false n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f.curry g, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ᶠ (y : β) in g, p (x, y)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
⊢ (ContinuousLinearMap.pi fun x => 0) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
FrechetUrysohnSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ FrechetUrysohnSpace X
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
⊢ Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε
n m : Nat
⊢ n ≤ m ↔ n < m ∨ n = m
G : Type u
inst✝ : Monoid G
⊢ (¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : G), g ^ n = 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ ∫ (a : ℝ), gaussianPDFReal μ v a = 1
G : Type u_1
AddGroup G
D H : AddSubgroup G
D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
⊢ ∃ t, ↑t ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑(D.addSubgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g +ᵥ ↑D = ↑H
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
hx0 : x < 0
⊢ if Even 2 then ∑ i ∈ range 2, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range 2, x ^ i
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
⊢ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ ≠ ⊤
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t s : Set α
ms : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℕ
v : m → α
⊢ v ᵥ* ↑x = MulOpposite.op ↑x • v
α : Type u
Group α
Infinite α
g : α
h : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ orderOf g = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyι = K.homologyι j ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).hom
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ (Trivialization.symmL R e b) ((Trivialization.continuousLinearMapAt R e b) y) = y
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵈᵐᵃ
⊢ Filter.map (⇑DomMulAct.mk.symm) (𝓝 x) = 𝓝 (DomMulAct.mk.symm x)
M : Type u_6
Mul M
⊢ ⇑(MulEquiv.refl M) = id
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
⊢ ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk p q) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk p q)
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ a - b = -b + a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection U
⊢ (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0 ↔ U ⟂ V
α : Type u_1
E : Type u_4
𝕜 : Type u_6
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp (c • f) ⋯ = c • MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf
x y : ℝ
⊢ rexp (log 1) = rexp 0
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
r : ℝ
hr : r ∈ Set.Ioo 0 f.rOut
⊢ (f.updateRIn r hr).rOut = f.rOut
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
this : ⇑(D.f j i) ⁻¹' (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)) = ⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ⊆ ⇑(D.ι j) ⁻¹' Set.range ⇑(D.ι i)
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
⊢ Submodule.map p.subtype (Module.End.eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) ≤ f.eigenspace μ
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
⊢ (∑ x : ι, f (b x) • b.coord x) m = f m
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
b : β
⊢ List.map (Function.const α b) l = List.replicate l.length b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x + y‖
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s₁ ∩ s₂ ⊆ (a +ᵥ s₁) ∩ (a +ᵥ s₂)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
⊢ of ↑(φ.symm b) = t⁻¹ * (t * of ↑(φ.symm b))
K : Type u_3
V : Type u_8
Field K
Invertible 2
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
Q : QuadraticForm K V
⊢ ∃ w, QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares K w)
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.powerset = {∅} ↔ s = ∅
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nontrivial α
a : ℤˣ
h : a = -1
x y : α
hxy : x ≠ y
⊢ sign (swap x y) = a
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
⊢ X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩ ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = (X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ ↑↑(unitsNonZeroDivisorsEquiv.symm u) = ↑u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T T' : C
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
hT' : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T'
⊢ (hT.uniqueUpToIso hT').inv = hT.from T'
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
⊢ Function.Injective (DFinsupp.mk s)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
y : G
hy1 : y ∈ lowerCentralSeries G n
z : G
⊢ y * z * y⁻¹ * z⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
c : γ
⊢ (OrderIso.sumAssoc α β γ).symm (Sum.inr (Sum.inr c)) = Sum.inr c
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t
⊢ Disjoint (Finsupp.single (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1) 1).support (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
τ : ℍ
⊢ MDifferentiableAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (⇑(eisensteinSeries_SIF a k)) τ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ
⊢ -(2 * S * ↑|n|) ≤ 2 * ↑n * z.im
α : Type u
s t u v : Set α
⊢ s ∩ t ∩ (u ∩ v) = s ∩ u ∩ (t ∩ v)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
AddZeroClass α
AddZeroClass β
AddZeroClass γ
f : β →+o γ
g : α →+o β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
⊢ (Submodule.map f p).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.map f p.toAddSubmonoid
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x * x'⁻¹) (y * y'⁻¹)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
⊢ e.toDilationEquiv.toDilation = Isometry.toDilation ⇑e ⋯
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddZeroClass M
f : G →+ M
x : G
⊢ x ∈ f.ker ↔ f x = 0
n m : ℕ
⊢ n ≤ m.dist n + m
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht) = s \ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
K : ℝ≥0
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[s] x
hft : LipschitzOnWith K f t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : x ∈ y :: l ++ [x] := ⋯
⊢ (y :: l ++ [x]).next x h = y
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
⊢ s (Classical.choose ⋯) = s a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (x x_1 : E.I₀) (j : E.I₁ x x_1), (E.map F).Y j = F.obj (E.Y j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommMonoid α
hf : Periodic f c
x : α
m : ℕ
⊢ f (⟨(fun i => i • c) m, ⋯⟩ +ᵥ x) = f x
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
X : Preord
⊢ Preord.dual.obj X = Preord.of (↑X)ᵒᵈ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.trim 0 = 0
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) c
hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s
⊢ HasSum (fun n => (NormedSpace.expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
⊢ ∃ x' ∈ s, dist x y ≤ dist x' y
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ Convex 𝕜 ∅
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ 1 - x ∣ 1 - x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
⊢ κ.density ν a x s ≤ κ.density ν a x s'
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ Ideal.torsionOf R M m = ⊤ ↔ m = 0
n✝ a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a
n : ℕ
⊢ p n = (p ∘ fun x => x % a) n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
⊢ ‖f‖ = ‖g‖
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Submodule.comap p.mkQ (Submodule.map p.mkQ p') = p ⊔ p'
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l l₁ l₂ : List α}, l.Disjoint (l₁ ++ l₂) → l.Disjoint l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ Measurable fun p => (↑p).toReal
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ xs + ys = List.zipWithAll (fun x y => x.getD 0 + y.getD 0) xs ys
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
N : Type u_6
M' : Type u_13
P' : Type u_15
AddCommMonoid N
AddCommGroup M'
AddCommGroup P'
Module S N
Module R M'
Module R₂ P'
Module S₂ P'
SMulCommClass S₂ R₂ P'
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M' →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P'
x : M'
y : N
⊢ (f (-x)) y = -(f x) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫ f
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
⊢ x⁻¹ ∈ S.units ↔ x ∈ S.units
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ filtrationOfSet hsm = natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯
α : Type u_1
P : α → Prop
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P t.dual ↔ Ordnode.All P t
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ edgeDensity r s₁ t₁
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂