ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
h5 : Integrable B μ
h6 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, HasFDerivAt (fun x => F x v) (F' w' v) w'
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
f : ↑I → ↑I
hfcont : Continuous f
hf₀ : f 0 = 0
hf₁ : f 1 = 1
⊢ (Path.refl x).reparam f hfcont hf₀ hf₁ = Path.refl x
a b : ℝ
n : ℕ
x✝ : ℝ
h : x✝ ∈ Ι (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ √(1 - sin x✝ ^ 2) * cos x✝ = cos x✝ ^ 2
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsOpen {b | f b < g b}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
⊢ WithSeminorms p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
self : IndexedPartition s
x : α
i j : ι
⊢ x ∈ s i → x ∈ s j → i = j
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))
n d : ℕ
R : Type u_2
DivisionRing R
⊢ Rat.rawCast (Int.ofNat n) d = n.rawCast / d.rawCast
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
⊢ (lsub f).cof ≤ #ι
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ 0 ≤ NumberField.house.c K
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
⊢ FractionalIdeal.spanFinset R₁ s f = 0 ↔ ∀ j ∈ s, f j = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : 𝒜.Shatters s
⊢ s.card ≤ 𝒜.vcDim
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.comp 1 p = 1
R S : CommRingCat
f : AlgebraicGeometry.Spec S ⟶ AlgebraicGeometry.Spec R
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.homEquiv f = AlgebraicGeometry.Spec.preimage f
b : ℕ
l1 l2 : List ℕ
h : l1.length = l2.length
⊢ Nat.ofDigits b l1 + Nat.ofDigits b l2 = Nat.ofDigits b (List.zipWith (fun x x_1 => x + x_1) l1 l2)
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Finset α
⊢ #↑(↑s)ᶜ = #α
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ gcd (Associates.mk a) (Associates.mk b) = Associates.mk (gcd a b)
R : Type u_1
MulOneClass R
⊢ IsRegular 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
f : CompleteLatticeHom β γ
g : CompleteLatticeHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
x : β
⊢ Function.Injective (AddAction.ofQuotientStabilizer α x)
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ a ⨳ b ≤ c ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.covolume G α ν = ν s
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).coeff 0 = ∏ i ∈ s, (f i).coeff 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = (μ s).toReal⁻¹ • ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
g : β → γ
f : α → β
l : List α
n✝ : ℕ
a✝ : γ
⊢ a✝ ∈ ((map g ∘ map f) l)[n✝]? ↔ a✝ ∈ (map (g ∘ f) l)[n✝]?
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (u * v') (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (u' * v) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
x : CliffordAlgebra Q
⊢ star (r • x) = r • star x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
N : Set α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ a
h' : p ^ n ∣ a * b
⊢ p ^ n ∣ b
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f₁ f₂ : X ⟶ Y
h : ∀ (x : 𝒰.J), 𝒰.map x ≫ f₁ = 𝒰.map x ≫ f₂
⊢ ∀ (b : 𝒰.gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π 𝒰.gluedCover.diagram b ≫ 𝒰.fromGlued ≫ f₁ = Multicoequalizer.π 𝒰.gluedCover.diagram b ≫ 𝒰.fromGlued ≫ f₂
x : ℝ
⊢ ↑x ∈ slitPlane ↔ 0 < x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.HasRightHomology
⊢ Nonempty S.RightHomologyData
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf this : FiniteDimensional k ↥s.direction
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑s)) ≤ finrank k ↥s.direction + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z Z' : C
q : Z' ⟶ Z
k : Z ⟶ t.pt
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.homIso ht Z') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp q k)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp q ↑((CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.homIso ht Z) k)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = ⊤)
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ Set.range ⇑(Function.Embedding.sigmaSet h) = ⋃ i, s i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x : ↑s
⊢ s.restrict f x = f ↑x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.HasSplitEqualizer f g
⊢ ∃ W h, Nonempty (CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g h)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ count a [b] = if a = b then 1 else 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ IsConnected (Set.Icc a b)
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
⊢ ↑(φ n) = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullback.fst f g) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullback.snd f g) g
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
IsDomain R
h : ¬IsField R
⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime,
    Submodule.IsPrincipal (LocalRing.maximalIdeal R),
    FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) = 1,
    ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = LocalRing.maximalIdeal R ^ n].TFAE
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : Int.fract a ≠ 0
⊢ ↑⌈a⌉ - a = 1 - Int.fract a
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s \ {a}).ncard + 1 = s.ncard
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
⊢ IsTwoCoboundary ↑↑f
α : Type u_8
β : Type u_9
InfSet α
InfSet β
self : sInfHom α β
s : Set α
⊢ self.toFun (sInf s) = sInf (self.toFun '' s)
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ Nat.findGreatest P n ≤ n
x : ℂ
⊢ ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
φ ψ : A →ₗc[R] A
x : A
⊢ (φ * ψ) x = φ (ψ x)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
v : ι → M
⊢ Submodule.span R (Set.range v) = ⨆ i, Submodule.span R {v i}
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).num = p
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ f =O[atTop] fun n => ↑n ^ s.re
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ d.initialHom.h = d.ι
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
st : s ⊆ t
f' : E →L[𝕜] F
hf' : HasFDerivWithinAt f f' t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
n : Nat
a b : Fin n.succ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.pred ha < b.pred hb ↔ a < b
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) x = r • x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b : β
hab : 0 ≤ 0 • b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
⊢ 0 • b < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, f i a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp₀ : p ≠ 0
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅
⊢ IsPreconnected {y | s.WOppSide x y}
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
⊢ (∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N},
    ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → TensorProduct.VanishesTrivially R m n) ↔
  ∀ (M' : Submodule R M), M'.FG → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N M'.subtype)
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : α → β
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ ∅
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ CircleIntegrable f c R ↔
  IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) MeasureTheory.volume 0 (2 * π)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
a : α
⊢ μ.restrict {a} = μ {a} • MeasureTheory.Measure.dirac a
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ ↑n = ofNat n
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
h2 : p ≠ 0
h3 : p.degree ≠ ↑0
⊢ (map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ 0 ≤ 2.7182818286
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
a : α
⊢ insert a s ×ˢ t = Prod.mk a '' t ∪ s ×ˢ t
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.map f) ((PiTensorProduct.tprod R) x) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (x i)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
h : (i : ι) → κ i
ha : ∀ (b : κ (g h)), ∃ f, ∃ (h_1 : g h = g f), h_1 ▸ b = f (g f)
⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ f (g h) (h (g h))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
h : x ⤳ y
hd : _root_.Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
⊢ ¬_root_.Disjoint (𝓝 x) (𝓝 x)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
a : α
⊢ LowerSet.iicInfHom a = LowerSet.Iic a
p : Prop
⊢ (p ↔ False) = ¬p
G : Grp
H : Type u
Group H
f : ↑G →* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
⊢ Set.range Real.arcsin = Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ I ∈ (zeroLocus 𝒜 {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.opEquivalence V c).functor = HomologicalComplex.opFunctor V c
x y : ℝ
⊢ ↑(sin (3 * x)) = ↑(3 * sin x - 4 * sin x ^ 3)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) < a • g x + b • g y
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
⊢ i ≠ 0
R : CommRingCat
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceObj R).presheaf = (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑R).val
n : ℕ
⊢ Finset.Iio (Fin.last n) = Finset.map Fin.castSuccEmb Finset.univ
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ (MvPolynomial.map f) (MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C g p) =
  MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C (⇑(MvPolynomial.map f) ∘ g) ((MvPolynomial.map f) p)
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f : Hom a b
g : Hom b c
⊢ normalizeAux nil (f.comp g) = (normalizeAux nil f).comp (normalizeAux nil g)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
i : ι
⊢ HEq 0 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
⊢ map f I₁ ≤ map f I₂
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
DecidableEq R
x : { x // x ∈ ((Polynomial.expand R p) f).roots.toFinset }
⊢ ↑((Polynomial.rootsExpandToRoots p f) x) = ↑x ^ p
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ ∏ a ∈ s, f a < ⊤
α : Type u_1
Mul α
s : Set α
x : α
a : α
hxS : x ∈ s
⊢ x * a ∈ MulOpposite.op a • s
β : Type u_2
MeasurableSpace β
Countable β
x : β
⊢ MeasurableSet (measurableAtom x)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
b : Basis n R N
f : N →ₗ[R] N
⊢ minpoly R ((LinearMap.toMatrix b b) f) = minpoly R f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : α
h : a ∈ t
hs : s ∈ 𝓝 (π a)
⊢ π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hj : (up ℤ).next i = j
hf : f ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j = 0
i' : ℤ
hi' : n + i = i'
j' : ℤ
hj' : (up ℤ).next i' = j'
⊢ (f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) ≫ K.d i' j' = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
this✝ : Module.Finite R S
this : Module.Free R S
i j : ι
⊢ traceMatrix Rₘ (⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) i j = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b) i j
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom (of L ι G f i).toHom.range = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddCommMonoid N
f : M →+ N
n : ℕ
x : M
⊢ (n • f) x = n • f x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f)) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun f => eVariationOn f s) f
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a * b).toProd.2 = b.toProd.2 * a.toProd.2
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Metric.diam (Set.range ⇑f) = Metric.diam Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hf : Embedding f
⊢ IsSigmaCompact s ↔ IsSigmaCompact (f '' s)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstVAdd G α
AddAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hμK : μ K ≠ 0
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ 0 < μ U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
n : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.augmentedCechNerve.obj f).left.obj n =
  CategoryTheory.Limits.widePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
val : α
hv : val = ↑u
inv : α
hi : inv = ↑u⁻¹
⊢ ↑(u.copy val hv inv hi) = val
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
FiniteDimensional F E
DecidablePred fun x => x ∈ H
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥(IntermediateField.fixedField H)) E = Fintype.card ↥H
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F G : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.inv.app X).unop (e.hom.app X).unop =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (F.obj X))
α : Type u
R : α → α → Prop
L : List (List α)
⊢ ¬[] ∈ L →
  (List.Chain' R L.join ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ L → List.Chain' R l) ∧
      List.Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) L)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ∀ (r : ℝ≥0), (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[Filter.atTop] fun x => 1
⊢ p.radius = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).card = s.card + t.card - (s ∪ t).card
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
x : MulAction.orbitRel.Quotient G α
⊢ Set.MapsTo (fun x => g • x) x.orbit x.orbit
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ 2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint M
Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥M), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥M ≤ 1