ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
R : ListBlank Γ
a : Γ
L : ListBlank Γ
L'✝ R'✝ : ListBlank Bool
b : Bool
l₁ : List Bool
IH : ∀ {l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)
l₂ : List Bool
e : (enc a).toList = (b :: l₁).reverseAux l₂
⊢ Tape.move Dir.left (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append (b :: l₂) R'✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Multiset α
⊢ (Multiset.map f s).Nodup → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1
⊢ a = ↑u⁻¹
a : ℤ
⊢ ZMod.χ₈' ↑a = ZMod.χ₄ ↑a * ZMod.χ₈ ↑a
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
S : Type v
Ring S
p : S[X]
a : ℤ
k : ℕ
⊢ (p * ↑a).coeff k = p.coeff k * ↑a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice β
DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ
⊢ ⨆ x ∈ Finset.image f s, g x = ⨆ y ∈ s, g (f y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : One β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1
hf : Continuous f
⊢ Continuous (s.mulIndicator f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (adj.unit.app X)
∀ (Y : D), CategoryTheory.IsIso (adj.counit.app Y)
X : C
⊢ adj.toEquivalence.unitIso.inv.app X = CategoryTheory.inv (adj.unit.app X)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y).tgt = (X.tgt ⨯ Y.tgt)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ s
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ ↑(s.erase a) = ↑s \ ↑(UpperSet.Ici a)
X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y
⊢ (𝟭 CommRingCat).map f ≫ ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) Y).hom = ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) X).hom ≫ (Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ Γ).map f
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
h' : Tendsto (fun s => 2 * ↑π ^ (-s / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ζ n)) s * L (fun n => ↑(μ n)) s = 1
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy✝ : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
hy : 0 < y
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Ico a b = 0 ↔ ¬a < b
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
(i : ι) → UniformSpace (β i)
⊢ UniformContinuous ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
f : α → β
a : α
h : 𝓝[<] a = ⊥
⊢ leftLim f a = f a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)
eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, t.rnDeriv μ x = ρ.rnDeriv μ x
C : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.rnDeriv μ x))
a✝ : α
Ax : Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 0)
Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝
Cx : Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (t.rnDeriv μ a✝))
⊢ 𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝) = 𝓝 (0 + t.rnDeriv μ a✝)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
h₁ : a₁ < a₂
h₂ : b₁ ≤ b₂
⊢ (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) s1.destruct s2.destruct
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).degree < 2
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z m : ℤ
hm : b - a = m • p
⊢ z • b - z • a = m • z • p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i ≤ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s')
⊢ IsOpen (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
F : Type u
Field F
x : F
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C x).natSepDegree = 1
α : Type u_1
l : List α
a : α
i : Nat
⊢ i = l.length → ∀ (w : i < (l ++ [a]).length), (l ++ [a])[i] = a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n
⊢ ∀ (i_1 j_1 : n) (x : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i_1 j_1 x)).coeff k i j = (stdBasisMatrix i_1 j_1 x i j).coeff k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
S : J.Cover X
⊢ (S.pullback f).sieve.arrows g ↔ S.sieve.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f)
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ¬a = 0
⊢ a * a⁻¹ = 1
α : Type u_1
T : TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
s : Set α
a : α
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ ¬2 ∣ ↑k
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n
⊢ (homogeneousComponent n) φ = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ Disjoint (s.ordT5Nhd t) (t.ordT5Nhd s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι
⊢ ⟪∑ i ∈ s, l₁ i • v i, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Add α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) + t = ⋃ i, ⋃ j, s i j + t
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ
⊢ (LinearMap.trace R M) (↑f * g * ↑f⁻¹) = (LinearMap.trace R M) g
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i✝ : Fin n
i : Fin n.succ
⊢ i ∈ Ioi i✝.succ ↔ i ∈ map (succEmb n) (Ioi i✝)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
⊢ eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ HomologicalComplex.homotopyCofiber.X φ i
h : f ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i = g ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i
⊢ f = g
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : Set.MapsTo g s t
⊢ eVariationOn (f ∘ g) s ≤ ↑C * eVariationOn g s
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
H : P g
⊢ P (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
o : Option α
⊢ (Option.map f o).getD (f x) = f (o.getD x)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : Ideal R
⊢ ↑(I * J) = ↑I * ↑J
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableRel G.Adj
DecidableRel H.Adj
DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
⊢ tris.card ≤ G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
⊢ ∀ (a : ℂ), (RCLike.complexLinearIsometryEquiv h).invFun a = (RCLike.complexRingEquiv h).invFun a
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hs : ∃ i ∈ s, 0 < f i
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, f i
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p /ₘ 1 = p
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : ℕ
⊢ f.degree < ↑n ↔ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f.coeff m = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
q : ℝ
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F
hq_neg : q < 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q 0 = ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
⊢ variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
α : Type u
self : StrictOrderedSemiring α
⊢ 0 ≤ 1
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.x * a₁.y ≤ a.y * a₁.x
a : ℝ≥0
b : ↑(Set.Icc 0 ↑a)
⊢ ↑↑(a.orderIsoIccZeroCoe b) = ↑b
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
⊢ X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = ((bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (X n) - ∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C (⅟↑p ^ n)
α : Type u_1
DecidablePred fun l => l ≠ []
L : List (List α)
⊢ (List.filter (fun l => decide (l ≠ [])) L).join = L.join
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists' α true
⊢ Lists.of' l₁ ~ Lists.of' l₂ ↔ l₁ ⊆ l₂ ∧ l₂ ⊆ l₁
α : Type u_1
p q : α → Prop
f : Filter α
hq : ∀ (x : α), p x → q x
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (X ^ n * p).coeff d = if n ≤ d then p.coeff (d - n) else 0
α : Type u_2
CommSemigroup α
a b : α
⊢ IsSquare a → IsSquare b → IsSquare (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α →. β
(x : α) → Decidable (f x).Dom
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ Finset.pimage f (s ∩ t) ⊆ Finset.pimage f s ∩ Finset.pimage f t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ⟪x - y, x - y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ Monoid.Coprod.clift Monoid.Coprod.mk ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = MonoidHom.id (Monoid.Coprod M N)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑n * x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ (𝓝[I.pi s] x).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (𝓝[s i] x i).NeBot
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
v : ι → M
⊢ e.det (⇑f ∘ v) = LinearMap.det f * e.det v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
z₁ : α
z₂ : β
⊢ ωSup (c₀.zip c₁) ≤ (z₁, z₂) ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ (z₁, z₂)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_7
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : CommSemigroup α
v w : m → α
⊢ v ⬝ᵥ w = w ⬝ᵥ v
⊢ RingHom.LocalizationPreserves @RingHom.FinitePresentation
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
x : M
hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))) s x
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
⊢ A.Definable L ∅
α : Type
Finite α
B : Stonean
X : α → Stonean
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ [CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π, CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π),
    ∀ (b : ↑B.toTop), ∃ a x, (π a) x = b].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a : α
b : β
⊢ ¬toLex (Sum.inr b) < toLex (Sum.inl a)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.degreeOf n f = f.support.sup fun m => m n
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
inst✝ : G.IsEquivalence
hc : IsVanKampenColimit c
e : F ⋙ G ⋙ G.inv ≅ F := NatIso.hcomp (Iso.refl F) G.asEquivalence.unitIso.symm
⊢ IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
⊢ χ ↑1 = 1
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ (Metric.ball x ε).Nonempty ↔ 0 < ε
R : Type u_1
K : Type u_3
CommRing R
Field K
Algebra R K
ι : Type u_4
v : ι → K
IsAlgClosed K
hv : IsTranscendenceBasis R v
⊢ IsAlgClosure (↥(Algebra.adjoin R (Set.range v))) K
α : Type u_1
Subsingleton α
⊢ ⇑(Multiset.subsingletonEquiv α) = Multiset.ofList
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
ι : Type u_3
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → L.Substructure N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f (⨆ i, FirstOrder.Language.Substructure.comap f (S i)) = iSup S
m : Type u
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α
⊢ (M⁻¹ * N * M).det = N.det
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
f : β → α
b : β
h : b ∈ s
⊢ s.inf' ⋯ f ≤ f b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ ↑{ carrier := ↑s -ᵥ ↑s, add_mem' := ⋯ } ⊆ ↑(vectorSpan k ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Set.BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j
p : Fin 1 → Prop
⊢ (∀ (i : Fin 1), p i) ↔ p 0
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ 4) (π ^ 4 / 90)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ HasSum (fun i => (V i) (↑f i)) (hV.linearIsometry f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
⊢ Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝ : V
h : M.IsMatching
v✝ : V
hv : v✝ ∈ M.verts
w : V
hvw : M.Adj v✝ w
hw : ∀ (y : V), (fun w => M.Adj v✝ w) y → y = w
⊢ ∃! w, (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
(x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
(x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ e₁' : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'
b : B
hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) =
  (↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b)).prodMap ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ IsRegular (star x) ↔ IsRegular x
a b : Prop
ha : a → b
⊢ a ∨ b ↔ b
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f x y ∂ν
α : Type u_3
Preorder α
self : SuccOrder α
a b : α
⊢ a < b → SuccOrder.succ a ≤ b
α : Type u_1
o : Option α
h : o.isSome = true
⊢ o.get h ∈ o
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul β α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
c : β
⊢ (c • if h : p then a h else b h) = if h : p then c • a h else c • b h
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hr : r ∈ I * J
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
⊢ C r
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⊆ t → s.card ≤ t.card
r : ℝ≥0
⊢ Set.range ENNReal.ofNNReal ∈ 𝓝 ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Nontrivial R
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range b)) = Fintype.card ι
G : Type u
AddGroup G
H : Type v
AddGroup H
φ : G →+ H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
a : G ⧸ φ.ker
⊢ (QuotientAddGroup.quotientKerEquivOfRightInverse φ ψ hφ) a = (QuotientAddGroup.kerLift φ) a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hfx : IsMaxOn f s x
hfy : IsMaxOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x = y