ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
r₁ r₂ : S
x✝¹ : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ (aeval r₁) P = 0
x✝ : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ (aeval r₂) P = 0
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : (aeval r₁) P = 0
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : (aeval r₂) P = 0
⊢ r₁ = r₂
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n
⊢ ∑ j_1 : m, (if j_1 ∈ f i then 1 else 0) * M j_1 j = Option.rec 0 (fun val => M val j) (f i)
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a₁.y * (a.x * a₁.x) < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit
ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op
i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))
a : α
this : f.app (op (Y a)) (y a) = G.map (π a).op x
⊢ ((Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone.π.app { as := a } ≫ (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as)))).hom.app { as := a }) y = y a
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Ici b = Set.Ici (b - a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
a : α
⊢ HasProd (⇑g ∘ f) (g a) ↔ HasProd f a
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (sin ↑x) = sin ↑x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
r : R
⊢ (↑↑{ toFun := fun x => ↑(f x) + (algebraMap A B) x, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X₂ Y) =
  CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X₁ Y
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
    (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M L)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' x
⊢ slope f x y ≤ f'
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h0 : x ≠ 0
h : x ≠ ⊤
⊢ x * iInf f = ⨅ i, x * f i
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
⊢ (e.unitsSMul w).det = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • e.det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.hom (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) h₂.homologyIso.hom
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x
⊢ slope f x y < derivWithin f (Set.Ioi x) x
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y a x : G
⊢ a * x = a * x * a⁻¹ * a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y : C
h : IsInitial X
c : BinaryCofan X Y
⊢ Nonempty (IsColimit c) ↔ IsIso c.inr
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ ⇑(UniformEquiv.prodComm α β) = Prod.swap
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : (p.dropUntil u h).length + (p.takeUntil u h).length = p.length
⊢ (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) ⊥
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
hd : Disjoint s₁ s₂
h₁ : P s₁
h₂ : P s₂
⊢ extend m (s₁ ∪ s₂) = extend m s₁ + extend m s₂
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* Nᵐᵒᵖ
l : List M
⊢ MulOpposite.unop (f l.prod) = (List.map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ (↑e.symm).comp ↑e = AlgHom.id R A₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ HomologicalComplex.homologyMap ((HomologicalComplex.single C c j).map f) j ≫
    (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j B).hom =
  (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ f
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset β
b : β
⊢ Finset.filter (fun a => b ≠ a) s = s.erase b
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
b : β
⊢ f +ᵥ pure b = Filter.map (fun x => x +ᵥ b) f
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
hf : Summable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 0)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝
s t : Set α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
g : α → β
g_mble : NullMeasurable g μ
⊢ {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → Norm (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ ‖f‖ = ⨆ i, ‖f i‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
n : ℕ
⊢ 1 ^ ↑n = 1
M N : SemiNormedGrp₁
f g : M ⟶ N
w : ⇑f = ⇑g
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
μ.IsOpenPosMeasure
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Function.Injective ⇑(ContinuousMap.toLp p μ 𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
LE α
LE β
φ : α ↪o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ '' s) ↔ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0
⊢ Irrational (↑q / x)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂
φ : K₂ ⟶ K₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).map φ).f i₁).f i₂ = (F.obj (K₁.X i₁)).map (φ.f i₂)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
n : ℕ
⊢ Urysohns.CU.approx n c x ≤ c.lim x
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
d : ENNReal
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : edist x y ≤ d
⊢ s.einfsep ≤ d
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f
⊢ Function.Surjective ⇑f
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ¬b.degree ≤ ↑j
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : FilteredClosure f j
⊢ ∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
f : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ x * ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ Finset.insertNone s, i.elim x f
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
self : IsPRadical i p
x : L
⊢ ∃ n y, i y = x ^ p ^ n
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddGroup R
x y : HahnSeries Γ R
x✝ : Γ
⊢ (x - y).coeff x✝ = (x.coeff - y.coeff) x✝
G : Type u_1
A : Type u_2
Group G
AddCommGroup A
MulAction G A
f : G → A
hf : groupCohomology.IsOneCocycle f
g : G
⊢ g • f g⁻¹ = -f g
α : Type u_1
β : Type u_2
SupSet α
SupSet β
s : Set α
t : Set β
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ sSup (s ×ˢ t) = (sSup s, sSup t)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : ↥(lp E p)
⊢ (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 => ↥(lp E x) → ℝ) (fun f => ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f else if p = ⊤ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
V'' : Set V
hV : V'' = G'.verts
adj' : V → V → Prop
hadj : adj' = G'.Adj
⊢ G'.copy V'' hV adj' hadj = G'
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (g * f).Separable
⊢ g.Separable
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
i : ℕ
hi : p.coeff i = 0
⊢ r • p.coeff i = 0
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Set.Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Set.Icc x₀ x)) (Set.Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Set.Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Set.Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Set.Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
⊢ ∃ x' ∈ Set.Ioo x₀ x,
  f x - taylorWithinEval f n (Set.Icc x₀ x) x₀ x =
    ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Set.Icc x₀ x) x'
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
CategoryTheory.Limits.HasColimit (e.functor ⋙ F)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorZero C A = h.zero
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
x : M
⊢ (FirstOrder.Language.ElementaryEmbedding.refl L M) x = x
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
⊢ (CategoryTheory.Under.forgetCone X).pt = X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.map F).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithInitial.of x => CategoryTheory.WithInitial.of (F.obj x)
  | CategoryTheory.WithInitial.star => CategoryTheory.WithInitial.star
b : Ordinal.{u_1}
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ o % b ^ Ordinal.log b o < o
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ a + b ≤ 0
R : Type u_1
One R
Neg R
x : ℍ[R]
⊢ (Quaternion.equivTuple R) x = ![x.re, x.imI, x.imJ, x.imK]
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
⊢ ∀ (a : G), (IsFreeGroup.toFreeGroup G) a = (IsFreeGroup.mulEquiv G).symm a
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ StrictMono NonUnitalSubring.toNonUnitalSubsemiring
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
π : ι → Set (Set Ω)
f : ι → Set Ω
hfπ : ∀ (i : ι), f i ∈ π i
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hπ : ProbabilityTheory.iIndepSets π μ
⊢ ProbabilityTheory.iIndepSet f μ
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.coeff 1 = 1
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < 3
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Topology.WithUpperSet.toUpperSet a ⤳ Topology.WithUpperSet.toUpperSet b ↔ b ≤ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
r : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(r • s) = r • ⇑s
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Set (Subalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
⊢ ∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D
α : Type u
β : Type v
f g : α → β
l : Filter α
H : f =ᶠ[l] g
⊢ g =ᶠ[l] f
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
⊢ a / c * b / a ≤ b / c
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
⊢ boundedBy 0 = 0
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
S : Type u_7
CommRing S
f : S →+* R
⊢ (Valuation.comap f v).supp = Ideal.comap f v.supp
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₂
⊢ AffineSubspace.map f (AffineSubspace.comap f s) ≤ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ comonEquiv.counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl ((cartesianComon_ C ⋙ Comon_.forget C).obj X)) ⋯
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ ‖f x‖₊ ≤ ‖f‖₊
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X Y : C
inst✝ : HasImage 0
⊢ ι 0 = 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I
⊢ f x ∈ map f I
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hpq : q ≤ p
⊢ Memℓp f p
x✝ y x : ℝ
⊢ cosh x * 2 = rexp x + rexp (-x)
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≤ b
hb : a < c
⊢ a ≤ min b c
α : Type u
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ Function.Involutive (List.map f)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ ↑n ≤ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).trailingDegree
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.next { byteIdx := String.utf8Len cs } =
  { byteIdx := String.utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : op g • s ≠ s
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
s : Set ι
f g : (i : ι) → α i
⊢ (s.pi fun i => Set.Ioo (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] s.pi fun i => Set.Icc (f i) (g i)
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
⊢ g * h ∈ connectedComponent 1
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans G H
a : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)).hom)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (θ.app a) (H.mapId a))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapId a) (θ.app a)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (θ.app a)).hom)
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (θ.app a)).inv))
R : Type u_1
Bornology R
Sub R
self : BoundedSub R
s t : Set R
⊢ Bornology.IsBounded s → Bornology.IsBounded t → Bornology.IsBounded (s - t)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan s.pt X
Q : IsLimit t
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian
⊢ A.adjugate.IsHermitian
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
⊢ Continuous fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
k : Type u_1
CommSemiring k
G : Type u_2
Monoid G
H : Type u_3
MulAction G H
g : G
x : H
r : k
⊢ ((Representation.ofMulAction k G H) g) (Finsupp.single x r) = Finsupp.single (g • x) r
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
m : M
⊢ m ∈ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p ↔ m ∈ ⋂ s ∈ S, ↑s
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.map g) ((MvPolynomial.bind₂ f) φ) = (MvPolynomial.bind₂ ((MvPolynomial.map g).comp f)) φ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
hK : IsLimit K
T : C
f g : T ⟶ K.pt
h : ∀ (a : I.L), f ≫ K.ι a = g ≫ K.ι a
⊢ f = g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
h : Set.EqOn f g (Metric.sphere c R)
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), g z
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
s : Multiset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ (Multiset.map f s).prod ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Mul α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, s i) * t = ⋃ i, s i * t
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Over X
f : U.left ⟶ V.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f V.hom = U.hom := by aesop_cat
⊢ ⋯ = ⋯
i : ℕ
n : ℕ
hi : 2 ≤ i
⊢ i + (n + 1).factorial < (i + n + 1).factorial
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
⊢ ConvexOn ℝ D f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₀.obj S = S.L₀
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.37168
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
s : T
this : ∀ (x : P.Ring), (aeval (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val)) x = (algebraMap S T) ((aeval P.val) x)
⊢ (aeval (Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val))) ((fun x => Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r => (rename Sum.inr) (P.σ r) * (monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1) s) = (aeval Q.val) (Finsupp.sum (Q.σ s) AddMonoidAlgebra.single)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp0 : IsUnit p.leadingCoeff
⊢ IsUnit p.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
x y : α × β
⊢ Prod.GameAdd rα rβ x y ↔ rα x.1 y.1 ∧ x.2 = y.2 ∨ rβ x.2 y.2 ∧ x.1 = y.1
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (aleph' (succ o)).alephIdx ≤ (succ (aleph' o)).alephIdx
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
⊢ Ioi a ∈ 𝓝ˢ (Ici b) ↔ a < b