ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
⊢ (λ_ (𝟙 a)).hom = (ρ_ (𝟙 a)).hom
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed s
n k m : Nat
H : n ≤ k
h : k < n + m
⊢ k - n < m
x y : ZFSet
⊢ x.toSet ⊆ y.toSet ↔ x ⊆ y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
⊢ ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
⊢ ONote.fastGrowingε₀ 2 = 2048
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
hf : ContinuousAt f x
hx : x ∈ closure s
⊢ f x ∈ closure (f '' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
L : Type u_4
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Field L
algRL : Algebra R L
Algebra R S
Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
Algebra.IsAlgebraic R L
a : S
b : S
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ ClassGroup.finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.TransGen r a b
hbc : Relation.ReflTransGen r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ (CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun X => CategoryTheory.Iso.refl X) ⋯
Γ : Type u_1
i✝ : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i
h✝ : l₁.length ≤ l₂.length
i : ℕ
h : i < l₂.length
h₂ : i < (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length
h' : l₁.length ≤ i
⊢ (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).get ⟨i, h₂⟩ = l₂.get ⟨i, h⟩
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
⊢ p.swap = q.swap ↔ p.2 = q.2
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
A : Set α
hA₀ : MeasurableSet A
hA : ∀ (g : G), (fun x => g +ᵥ x) ⁻¹' A = A
⊢ μ (A ∩ s) = μ (A ∩ t)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
CompactSpace X
Infinite X
⊢ ∃ z, (𝓝[≠] z).NeBot
a : PSet
n : ℕ
⊢ PSet.Arity.Equiv (Function.OfArity.const PSet a n) (Function.OfArity.const PSet a n)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
f : ι → α
g : ι' → α
h : ∀ (i' : ι'), ∃ i, f i ≤ g i'
⊢ iInf f ≤ iInf g
a b c d : Prop
h₁ : a = c
h₂ : b = d
⊢ (a → b) = (c → d)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
b : Bool
⊢ ContinuousMul M
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf CommRingCat X
U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ : TopologicalSpace.Opens ↑X
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑(F.obj (Opposite.op U₁))
y₂ : ↑(F.obj (Opposite.op U₂))
f : ↑(F.obj (Opposite.op (U₁ ⊔ U₂)))
x : ↑(F.obj (Opposite.op U₃))
h₄₁ : U₄ ≤ U₁
h₄₂ : U₄ ≤ U₂
h₅₁ : U₅ ≤ U₁
h₅₃ : U₅ ≤ U₃
h₆₂ : U₆ ≤ U₂
h₆₃ : U₆ ≤ U₃
h₇₄ : U₇ ≤ U₄
h₇₅ : U₇ ≤ U₅
h₇₆ : U₇ ≤ U₆
e₁ : (y₁ |_ U₅) h₅₁ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ U₅) h₅₁ ^ n₁ * (x |_ U₅) h₅₃
e₂ : (y₂ |_ U₆) h₆₂ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ U₆) h₆₂ ^ n₂ * (x |_ U₆) h₆₃
⊢ ((((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ U₄) h₄₁ |_ U₇) h₇₄ = ((((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ U₄) h₄₂ |_ U₇) h₇₄
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
f g h : β → α
b : Filter β
a : α
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a)
hh : Filter.Tendsto h b (𝓝 a)
hgf : ∀ᶠ (b : β) in b, g b ≤ f b
hfh : ∀ᶠ (b : β) in b, f b ≤ h b
⊢ Filter.Tendsto f b (𝓝 a)
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ x.verschiebungFun.coeff n.succ = x.coeff n
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
AddGroup H
M : AddSubgroup H
M.Normal
f : G →+ H
h : N ≤ AddSubgroup.comap f M
x : G
⊢ (QuotientAddGroup.map N M f h) ↑x = ↑(f x)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring S
f : R →+* S
⊢ ↑(Subring.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
⊢ a ↑(2 * n) = 1
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ ∀ (w : X ⟶ X), ∃ c, c • 𝟙 X = w
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+: l₂ → l₁ ⊆ l₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) ψ ≠ 0
⊢ φ = ψ⁻¹ ↔ φ * ψ = 1
α : Type u_2
Div α
g : Filter α
⊢ ⊥ / g = ⊥
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), traverse h (map g ⟦a⟧) = traverse (h ∘ g) ⟦a⟧
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R M₂
TopologicalAddGroup M
f₁ : M →L[R] M₂
f₂ : M₂ →L[R] M
h : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
y : M₂ × ↥(LinearMap.ker f₁)
⊢ (ContinuousLinearEquiv.equivOfRightInverse f₁ f₂ h).symm y = f₂ y.1 + ↑y.2
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ f.FinMeasSupp μ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
⊢ s ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒜 → s ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∃ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
h : x ^ n = 1
⊢ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
⊢ PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (z / ↑(x.gcd y))
S₁ : Type u_1
S₂ : Type u_2
Shelf S₁
Shelf S₂
f : S₁ →◃ S₂
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
NoZeroDivisors R
⊢ P.primeCompl ≤ nonZeroDivisors R
R : Type u
Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
⊢ p / q = 0 ↔ p.degree < q.degree
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) / (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
⊢ num A 0 = 0
α : Type u_11
Mul α
a a' : α
⊢ a • a' = a * a'
α : Type u_1
β : Type u_2
Nontrivial β
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Nontrivial α
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ * t ⊆ s₁ * t ∩ (s₂ * t)
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'
⊢ of ⋙q lift φ = φ
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ rexp (-2 * x) < rexp (2 - ↑⌈x⌉₊) / ↑⌈x⌉₊
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
p : M → Prop
x : M
h : x ∈ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), FirstOrder.Language.ClosedUnder f (setOf p)
⊢ p x
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s
⊢ sInf s ∈ s
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (range p)
⊢ Continuous (⨆ i, ⇑(p i))
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
⊢ Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose
K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }
S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K
Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})
h_zero : 0 ∈ K
h_clos : IsClosed (↑L \ {0})
n : ℕ
⊢ Z (n + 1) ⊆ Z n
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type u_1
Zero α
a : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym a = 0 ↔ a = 0
R : Type u
Semiring R
OrzechProperty R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Bijective ⇑f
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Ioi ↑a = Set.Ioi a
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
⊢ F'.Stable
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleRotation C).unitIso = CategoryTheory.Pretriangulated.rotCompInvRot
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
h_anti : StrictAntiOn (deriv f) (interior D)
⊢ StrictConcaveOn ℝ D f
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+* G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toRingHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G i
⊢ (Ring.DirectLimit.congr e he) ((Ring.DirectLimit.of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) g) =
  (Ring.DirectLimit.of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) ((e i) g)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)) =o[lt] fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (b₁ ∈ if a₁ = a₂ then some b₂ else none) ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_pos : 0 < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
half_ε_pos : 0 < ε / 2
half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤
r : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist μ ν + ε / 2
s : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist ν κ + ε / 2
lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r
lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s
hs_add_r : s + r = levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε
hs_add_r' : s.toReal + r.toReal = (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal
⊢ μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
l : List ι
⊢ (∀ i ∈ l, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) →
  Filter.Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) l).prod) x (𝓝 (List.map a l).prod)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
⊢ ∀ (l : ι' →₀ R), (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0 → l = 0
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
α : Type u_4
SMul α R
SMul α A
IsScalarTower α R A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
m : α
⊢ ↑(m • c).num = m • ↑c.num
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ Quotient.mk'' m = LieSubmodule.Quotient.mk m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v w : E
⊢ ⟪(InnerProductSpace.continuousLinearMapOfBilin B) v, w⟫_𝕜 = (B v) w
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) → Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b})
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
⊢ MonoidAlgebra.domCongr k A (MulEquiv.refl G) = AlgEquiv.refl
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
x : ↑↑(↑((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)).toPresheafedSpace
⊢ Coe.coe ((f ∣_ U).val.base x) = f.val.base ↑x
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 < a
⊢ a ^ n ≤ a ^ m ↔ n ≤ m
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
i : ι
⊢ s i = {x | hs.index x = i}
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
⊢ (C x * X).coeff n = if n = 1 then x else 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
r t : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t
y : E
m : e + y ∈ s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)
⊢ HasSum (fun n => (p.prod q n) fun x => y) (f (e + y), g (e + y))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
SupSet δ
f : sSupHom γ δ
g : sSupHom β γ
h : sSupHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ v : V
⊢ ⊤ ≤ induce {v} G
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
⊢ ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α
⊢ (∃ L, x = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l) ↔ ∃ i S, x = S.join ∧ S.length = i ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ dist a b = ‖a / b‖
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ IsClosed (Set.range ⇑(comap f))
D : Type u_3
V : Type u_7
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MeasurableSpace D
BorelSpace D
SecondCountableTopology D
μ : MeasureTheory.Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : SchwartzMap D V
⊢ MeasureTheory.Integrable (⇑f) μ
X : Type u_2
Preorder X
Y : Type u_3
Preorder Y
Z : Type u_4
Preorder Z
W : Type u_5
PartialOrder W
lYX : X → Y
uXY : Y → X
hXY : GaloisConnection lYX uXY
lWZ : Z → W
uZW : W → Z
hZW : GaloisConnection lWZ uZW
lWY : Y → W
uYW : W → Y
hWY : GaloisConnection lWY uYW
lZX : X → Z
uXZ : Z → X
hXZ : GaloisConnection lZX uXZ
h : ∀ (w : W), uXZ (uZW w) = uXY (uYW w)
x : X
⊢ lWZ (lZX x) = lWY (lYX x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable fun a => ↑(f a)
⊢ (support f).Countable
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ‖f.smulRight z‖₊ = ‖f‖₊ * ‖z‖₊
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∃ a, φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∃ a, ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hrN : N = r • N
hrJac : r ∈ N.annihilator.jacobson
⊢ N = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
⊢ f x = y
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
Y : Type v
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ ∃ Φ Ψ, Isometry Φ ∧ Isometry Ψ ∧ GromovHausdorff.ghDist X Y = Metric.hausdorffDist (Set.range Φ) (Set.range Ψ)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
𝒜 : ι → σ
I : Ideal A
⊢ Ideal.homogeneousCore' 𝒜 I ≤ I
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ k (eval₂ f g p) = eval₂ (k.comp f) (⇑k ∘ g) p
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ 1 ∈ S.toNonUnitalSubsemiring
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ ∅
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ ∅
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ ∅.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
x y : ℝ
⊢ expMapCircle x = expMapCircle y ↔ ∃ m, x = y + ↑m * (2 * π)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
this : (fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s = {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s}
⊢ MeasurableSet ({p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s})
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).counitIso.inv.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj X_1)