ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ MDifferentiableAt I I' f x' ↔
  ContinuousAt f x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
x : m → R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
α : Type u
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length
hn' : n < (List.insertNth n x l).length := ⋯
⊢ (List.insertNth n x l).get ⟨n, hn'⟩ = x
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset.attach, finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ e ↑P)
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ Real.pi
hxy : x < y
⊢ Real.cos y < Real.cos x
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ Disjoint (filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)) (filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k))
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
ρ ν : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
x✝ : ν s < ⊤
U : Set α
sU : s ⊆ U
U_open : IsOpen U
νU : ν U ≤ ν s + ↑ε
⊢ ρ s ≤ ν s + ↑ε
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpolyDiv R x).natDegree + (X - C x).natDegree
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
⊢ (comap C P).IsMaximal
α : Type u_1
n i : ℕ
x : α
l : List α
⊢ (i, x) ∈ List.enumFrom n l ↔ n ≤ i ∧ l.get? (i - n) = some x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : f ≤ g
⊢ (setToL1 hT) f ≤ (setToL1 hT) g
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ AddSubgroup.centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h + g + -h + -g = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
x : α
⊢ (f^[m] ∘ f^[n]) x = f^[m] (f^[n] x)
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Icc ↑x ↑y = Set.Icc x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻ᵐ / a⁺ᵐ = a⁻¹
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
F : X → Type u_3
(x : X) → TopologicalSpace (F x)
hF : ∀ (x : X), DiscreteTopology (F x)
e : (x : X) → x ∈ s → Trivialization (F x) f
h : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), x ∈ (e x hx).baseSet
⊢ IsCoveringMapOn f s
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.optionCongr e) = Equiv.Perm.sign e
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : cofinite ≤ l
s : ℕ → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
⊢ (⋃ i, (s i)ᶜ).Countable
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → ‖deriv (circleMap c R) t • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R t)‖ ≤ (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c
⊢ False
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
h : ⇑f.linear = ⇑(Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Equiv.vaddConst p)
⊢ Function.Injective ⇑f.linear ↔ Function.Injective ⇑f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x → HasDerivWithinAt f (f' 1) s x
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z : Scheme
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑(Nat.fib n) = (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝ : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ E.direction ≤ Submodule.comap φ.linear F.direction
⊢ NatOrdinal.toOrdinal.symm = Ordinal.toNatOrdinal
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
⊢ Martingale (martingalePart f ℱ μ) ℱ μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (Accumulate f)
⊢ μ (⋃ i, f i) = ⨆ i, μ (Accumulate f i)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set β
a : α
⊢ s.Finite → (a +ᵥ s).Finite
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ a + b ≤ ↑⌈a⌉ + ↑⌈b⌉
R : Type u
S : Type v
Ring R
SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ s
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := ↑y } * a).Nonneg
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j X).inv
    ((CategoryTheory.GradedObject.single j).map f j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso j Y).inv
F : Type u
Field F
⊢ ↑RatFunc.X = (HahnSeries.single 1) 1
b : Bool
⊢ b = true → b = false ↔ b = false
α : Type u
a : α
⊢ ¬a ∈ Computation.empty α
G : Type u_1
Group G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ Subgroup.centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h * g = g * h
⊢ Ordinal.IsNormal fun o => (Cardinal.beth o).ord
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : Ultrafilter (OnePoint X)
⊢ ↑f ≤ 𝓝 OnePoint.infty ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → OnePoint.some '' s ∉ f
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ¬IsSFiniteKernel ρCond
⊢ ρ = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T
⊢ sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
⊢ ↑(lp.single p i a) j = if h : j = i then ⋯ ▸ a else 0
R : Type u_1
Ring R
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
v.RankOne
x : Γ₀
hx : (Valuation.RankOne.hom v) x = 0
⊢ x = 0
m n : ℤ
⊢ Even (m * n) ↔ Even m ∨ Even n
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V
⊢ ∀ (s : Finset V), Basis (↑↑s) K V → False
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : CharZero A
inst✝ : IsAlgClosed A
⊢ Fintype.card (K →+* A) = finrank ℚ K
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
X : C
⊢ 1 = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk S.v₀₁.τ₁ S.v₁₂.τ₁ ⋯).Exact
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
f : ℕ → Set X
ho : ∀ (n : ℕ), IsOpen (f n)
hd : ∀ (n : ℕ), Dense (f n)
⊢ Dense (⋂ n, f n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : OpenEmbedding g
hf : OpenEmbedding f
⊢ OpenEmbedding (g ∘ f)
s : ℝ
hs : s ≠ 0
⊢ (Complex.Gamma ↑(s + 1)).re = s * (Complex.Gamma ↑s).re
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ (AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.ε.app X).f 0 = X.hom.app (Opposite.op [0])
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
h : f ∈ LinearMap.range (groupCohomology.dOne A)
⊢ ↑↑(groupCohomology.twoCoboundariesOfMemRange h) = f
α : Type u_1
x : α
⊢ {x}.op = {Opposite.op x}
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
f g : P1 →ᵃ[k] V2
⊢ (f - g).linear = f.linear - g.linear
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
⊢ IsTrivial L M
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ s =ᶠ[ae μ] univ ↔ μ s = μ univ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι'
hi : i ∈ ↑t
j : ι'
hj : j ∈ ↑t
hij : i ≠ j
i' : ι
hi' : i' ∈ s
j' : ι
hj' : j' ∈ s
⊢ Disjoint (f (i', i)) (f (j', j))
α β : Type u
f : α → FreeAddGroup β
x : FreeAddGroup α
⊢ -x >>= f = -(x >>= f)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
cb : c ≤ b
⊢ eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
Nonempty α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ BddBelow s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p u : R[X]
h₂ : u.coeff 0 = 1
h₁ : u.natDegree = 0
hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0
⊢ p = p * u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t
hiu : (i, i') ∉ u
⊢ ∀ ⦃i_1 : ι × ι'⦄, i_1 ∈ u → Disjoint (f (i, i')) (f i_1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
⊢ StarAlgebra.adjoin R s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
p : α → Prop
⊢ ∏ᶠ (j : Subtype p), f ↑j = ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i
l : List ℕ
a m n : ℕ
⊢ 0 < n.greatestFib ↔ 0 < n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
m : M
n : N
⊢ (TensorProduct.finsuppRight R M N ι).symm (Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i n
⊢ comap re (comap Real.exp (𝓝 0)) = comap re atBot
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.toFinset.card = Multiset.card m.dedup
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
⊢ x ∈ closedBall x ε
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.dualIndepMatroid.E = M.E
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
α : Sort u_3
p : Nonempty α → Prop
⊢ (∃ h, p h) ↔ ∃ a, p ⋯
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
Nontrivial R
⊢ W'.NonsingularLift ⟦![1, 1, 0]⟧
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
x : α
hx : orderOf x = Fintype.card α
⊢ IsCyclic α
m n : ℕ
a b : Bool
h : m < n
⊢ Nat.bit a m < Nat.bit b n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)}
  (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.drop.map f = f.left
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
g : α → β
MeasurableSMul₂ M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun x => f x • g x) μ
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubgroup A
⊢ ↑(a • S) = a • ↑S
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
p i : ℕ
⊢ LucasLehmer.sMod p i % (2 ^ p - 1) = LucasLehmer.sMod p i
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
⊢ ∃ k, ((t • f - (t * μ) • 1) ^ k) m = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
⊢ l.Nodup → (List.filter p l).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : |r| < 1
⊢ Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A
h : M ≤ N
⊢ M * P ≤ N * P
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊆ Set.Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ < b₂
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
⊢ x ∈ nilradical R ↔ IsNilpotent x
x✝ y x : ℝ
⊢ cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2 = 1
N : ℕ
hN : 64 ≤ N
⊢ 3 ≤ Behrend.nValue N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : CategoryTheory.Center C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (CategoryTheory.Center.tensorHom f g).f = f.f ⊗ g.f
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * cosh x * sinh x ^ 2
⊢ cosh x * (cosh x ^ 2 + (cosh x ^ 2 - 1)) + 2 * cosh x * (cosh x ^ 2 - 1) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
h : ∀ (i : I), f ∘ₐ ι R A i = maps
i : I
a : A i
⊢ (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
X' : Type u_6
TopologicalSpace X'
g : X' → C(Y, Z)
f : X' → C(X, Y)
s : Set X'
hg : ContinuousOn g s
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => (g x).comp (f x)) s
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.Monad.monadMonEquiv C).functor = CategoryTheory.Monad.monadToMon C
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
⊢ AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F x + AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F y =
  AddMonCat.FilteredColimits.M.mk F ⟨k, (F.map f) x.snd + (F.map g) y.snd⟩