ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W
⊢ (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w' = (((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)) w'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
f : p → α
⊢ ⨆ (h : p), f h = if h : p then f h else sSup ∅
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p : P
⊢ ∃ radius, ∀ p_1 ∈ {p}, dist p_1 p = radius
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
⊢ ↑(AddSubmonoid.multiples x) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
ι : Type u_1
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
⊢ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u ∈ Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α β : Type u_1
h : α → β
⊢ Functor.map h ∘ Coe.coe = Coe.coe ∘ Functor.map h
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioo a c ⊆ Set.Ioo a b ∪ Set.Ico b c
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
AddCommMonoid α
DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∑ j : κ, ∑ _i : { i // g i = j }, f j = ∑ i : ι, f (g i)
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
b : B
⊢ b ∈ (trivializationAt F E b).baseSet
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
⊢ ∀ (g : G), g • (B₁ ∩ B₂) = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • (B₁ ∩ B₂)) (B₁ ∩ B₂)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ'
hb : b ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
⊢ Topology.IsUpperSet αᵒᵈ ↔ Topology.IsLowerSet α
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = (M.actRight ≫ f.hom) ≫ RightUnitorBimod.inv N
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hfp : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm (↑(AEEqFun.mk f ⋯)) p μ < ⊤
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
IsWellOrder ι r
IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : Ordinal.type r = o
ho' : Ordinal.type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup (Ordinal.familyOfBFamily' r ho f) ≤ Ordinal.sup (Ordinal.familyOfBFamily' r' ho' f)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Sym2 α
⊢ ↑(Sym2.sortEquiv s) = (s.inf, s.sup)
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
G₀ : Type u_6
GroupWithZero G₀
MeasurableSpace G₀
MulAction G₀ β
MeasurableSMul G₀ β
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ (Measurable fun x => c • f x) ↔ Measurable f
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖-f‖₊ = ‖f‖₊
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁷ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v, u₂} D
inst✝⁵ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝³ : HasCokernels C
inst✝² : HasKernels C
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits G
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (coimageIsoImage F G i adj f).hom = Abelian.coimageImageComparison f
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ ∀ a ∈ G.edgeFinset, 1 ≤ (bipartiteAbove (fun e s => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) a).card
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = if b ≤ a then b else a
a n m : Nat
h : 1 < a
⊢ a ^ n ≤ a ^ m ↔ n ≤ m
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset
⊢ f = g
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
hm : m ≤ m0
f₁ f₂ : α → E
h12 : f₁ =ᵐ[μ.trim hm] f₂
⊢ f₁ =ᵐ[μ] f₂
M : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero M
UniqueFactorizationMonoid M
Unique Mˣ
x : M
⊢ UniqueFactorizationMonoid.factors x = UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
A : Set α
hA : MeasurableSet A
⊢ s A = (μ.singularPart ν) A
α : Type u_2
β : Type u_3
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
f : HeytingHom α β
⊢ f.comp (HeytingHom.id α) = f
α : Type u_1
f : α → ℝ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal (f x)) l (𝓝 ⊤) ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}
this : 0 < ∑' (b : α), if b = a then 0 else p b
⊢ 1 < ∑' (a : α), p a
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
x✝¹ x✝ : M
⊢ ((associated (linMulLin f g)) x✝¹) x✝ = ((⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ f g + (mul R R).compl₁₂ g f)) x✝¹) x✝
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
x : α
hx : Function.IsFixedPt f x
⊢ x = ContractingWith.fixedPoint f hf
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.countP p l = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h
a b c : Int
h₁ : a < b
h₂ : b ≤ c
⊢ a < c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_8
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
v : α → M
l : α →₀ R
⊢ f ((Finsupp.total α M R v) l) = (Finsupp.total α M' R (⇑f ∘ v)) l
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b c d : G
hbc : Commute b c
hbd : Commute b⁻¹ d
hcd : Commute c⁻¹ d
⊢ a / b / (c / d) = a / c / (b / d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set β
⊢ ⋃ i, s i = (⋂ i, (s i)ᶜ)ᶜ
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ List.insert a l = l
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Surjective f
ℱ : Filter Y
x : X
hx : ClusterPt x (comap f ℱ)
h : MapClusterPt ((g ∘ f) x) (comap f ℱ) (g ∘ f)
⊢ ∃ x_1, g x_1 = (g ∘ f) x ∧ ClusterPt x_1 ℱ
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0
⊢ ↑q * ↑q.den = ↑q.num
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
⊢ ∀ (m : M) (l : ℕ), ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
h' : G.Adj w x
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).concat h' = SimpleGraph.Walk.cons h (p.concat h')
w : ℂ
h : 0 = 0 → w.re = 0 → w = 0
hw : w.re = 0
⊢ abs (0 ^ w) = 0 ^ w.re / rexp (arg 0 * w.im)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (f x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Ioo (f x) (g x)) s
x y : SetTheory.PGame
h : x.Fuzzy y
⊢ ¬y ≈ x
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₁ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ -b + a < c ↔ a < b + c
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
⊢ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) v = v
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (x + ↑m) ↔ Irrational x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ContractibleSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ContractibleSpace X
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u✝ v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y ∧ P y x
h' : Transitive P
x y : α
u : Set α := {z | P x z}
⊢ P x y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ (∀ s ∈ 𝓤 β, (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ⁻¹' s ∈ p ×ˢ 𝓟 {x}) ↔ ∀ s ∈ 𝓤 β, (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' s ∈ p
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
hs : ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hi0 : w₁ i = 0
hj0 : w₁ j = 0
hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)
⊢ SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
f : (a : α) → a ∈ s → β
g : (a : α) → a ∉ s → β
⊢ (sᶜ.restrict fun a => if h : a ∈ s then f a h else g a h) = fun a => g ↑a ⋯
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
s : Set S
⊢ Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S A) '' s) = Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S A) (Algebra.adjoin R s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.colimMap (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) =
  q ≫ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f' g'
α : Type u_1
Add α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma + mb ∈ a + b
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
h : ∀ (m₁ m₂ : M) (n₁ n₂ : N), ∃ m n, m₁ ⊗ₜ[R] n₁ + m₂ ⊗ₜ[R] n₂ = m ⊗ₜ[R] n
⊢ ∃ m n, x = m ⊗ₜ[R] n
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.map γ) g = g'
A : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ (w.costructuredArrowDownwardsPrecomp g g' γ hγ).obj A =
  CategoryTheory.TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w g' A.left.right
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ A.left.hom) A.hom.right ⋯
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)
⊢ π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ (⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.biprod.map f g)
⊢ CategoryTheory.IsIso g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (b - m • p) = toIocDiv hp a b - m
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∪ s₂ + t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ + t₁ ∪ (s₂ + t₂)
M : Type u_1
Mul M
Infinite M
⊢ commProb M = 0
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ ‖x‖ = √⟪x, x⟫_ℝ
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ x ∈ LinearMap.ker I.toCotangent ↔ ↑x ∈ I ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.Semiconj f id id
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1
⊢ 1 ≤ ↑I⁻¹ * spanSingleton S w
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Iio b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
hC₂ : ↑s C < ↑0 C
D : Set α
hD₁ : MeasurableSet D
hD : D ⊆ C
hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D
hD₃ : ↑s D < 0
this : ↑s (A ∪ D) < sInf s.measureOfNegatives
⊢ MeasurableSet (A ∪ D)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
hs : s.antidiagonal = map (fun t => (s - t, t)) s.powerset
⊢ (a ::ₘ s).antidiagonal = map (fun t => (a ::ₘ s - t, t)) (a ::ₘ s).powerset
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
⊢ ∃ U, U * U = U ∧ ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ Hindman.FP a
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a ≤ a / b ↔ b ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
SMul 𝕜 β
f : F → β
g : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
⊢ ConcaveOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
x : Ei 0
m : (i : Fin n) → Ei i.succ
⊢ ‖f‖ * (‖Fin.cons x m 0‖ * ∏ i : Fin n, ‖Fin.cons x m i.succ‖) = ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
β : Type u_6
γ : Type u_7
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {x_1 : MeasurableSpace γ} {f : α → β} {g : α → γ},
  Measurable f → Measurable g → Measurable fun a => (f a, g a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter (f - g) l μ
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
⊢ Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective (sectionOfCone c)
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ toSubmodule S * toSubmodule S = toSubmodule S
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs✝ : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
t t' : Set X
ht : t ⊆ t'
hs : s ∈ 𝓝ˢ t' ×ˢ l
⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ×ˢ l
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
⊢ UniformContinuous fun x => x⁻¹
V : Type u_2
Quiver V
h : Quiver.HasInvolutiveReverse V
a b : V
p : Quiver.Path a b
⊢ p.reverse.reverse = p
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ range (n + 1), (x + 1) = (n + 1)!
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.symm.h₂ = -h.h₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
⊢ Continuous f.toFun