ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a < c / b ↔ a * b < c
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
AddCommGroup V₁
AffineSpace V₁ P₁
R' : Type u_10
CommRing R'
Module R' V₁
c p : P₁
⊢ (AffineMap.homothety c (-1)) p = (AffineEquiv.pointReflection R' c) p
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s) ∨ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s
n₁ n₂ : ℕ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
⊢ NNRat.divNat n₁ d₁ * NNRat.divNat n₂ d₂ = NNRat.divNat (n₁ * n₂) (d₁ * d₂)
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term n (-z) τ) = jacobiTheta₂_term n ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (a : X), ↑(f a) ∂μ < ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Multiset (α × β)
⊢ s.prod.2 = (Multiset.map Prod.snd s).prod
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
x : M
⊢ (Submodule.toLocalizedQuotient' S p f M') (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).comp (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯ = β
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Complex.cosh (f x)) (Complex.sinh (f x) * f') s x
n m : ℕ
hnm : n < m
⊢ List.filter (fun x => decide (x ≤ n)) (List.Ico n m) = [n]
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2
⊢ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformInducing f
hd : DenseRange f
⊢ DenseInducing f
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
S : IntermediateField E K := separableClosure E K
⊢ adjoin E ↑(separableClosure F K) = S
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (if hw : w.IsReal then ‖(-x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(-x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ
⊢ a ^ (↑m * ↑n) = (a ^ ↑m) ^ ↑n
x y nx ny : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt x nx → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt y ny → IsCoprime nx ny → IsCoprime x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioo (f i) b = Set.Ioo f (Function.update f i b)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => 0) s μ
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.map (Function.Embedding.refl α) s = s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R
⊢ (map W f).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ W.Equation x y
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Vector α n
x : α
⊢ ⟨b :: List.scanl f (f b x) ↑v, ⋯⟩ = b ::ᵥ ⟨List.scanl f (f b x) v.toList, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
⊢ ∀ (a : LeftInvariantDerivation I G) (a_1 : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯),
  (LeftInvariantDerivation.coeFnAddMonoidHom I G) a a_1 = a a_1
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
a : A
⊢ 1 a = 1
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x : X
⊢ ((lift R) f) (ι R x) = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ (F.mapMon.obj A).X = F.obj A.X
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
a p : R[X]
hap : a ∣ p
⊢ a.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h_odd : Odd n
hlt : 1 < n
B : ℚ⟦X⟧ := PowerSeries.mk fun n => bernoulli' n / ↑n !
h : B * (exp ℚ - 1) = X * exp ℚ
⊢ evalNegHom (B * (exp ℚ - 1)) * exp ℚ = evalNegHom (X * exp ℚ) * exp ℚ
α : Type u
s : Set α
⊢ Countable ↑s ↔ s.Countable
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ (Spec Γ(X, U)).basicOpen (((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) f) = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a + 1 / b = (a + b) / (a * b)
m a b c : ℤ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [ZMOD m]
⊢ a ≡ b [ZMOD m / ↑(m.gcd c)]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ pimage f (s ∩ t) ⊆ pimage f s ∩ pimage f t
n : ℕ
i : Fin n
⊢ (Equiv.symm Fin.revPerm) i = i.rev
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
μ.InnerRegular
μ'.InnerRegular
⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
⊢ Gamma (s + 1) = s * Gamma s
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
l₁.NeBot
l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
v : α
ht₁ : Filter.Tendsto f l₁ (𝓝 v)
ht₂ : Filter.Tendsto f l₂ Filter.atTop
⊢ Set.Ioi v ⊆ f '' s
X Y : TopCat
f g : X ⟶ Y
h : f = g
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapIso f g h).inv.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
u : PNat.XgcdType
hr : u.r ≠ 0
⊢ sizeOf u.step < sizeOf u
R : Type u
M : Type v
Ring R
StrongRankCondition R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set α
⊢ (Measure.comap f μ) s = (Measure.comap f μ) (f ⁻¹' (f '' s))
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_5
MeasurableSpace β
TopologicalSpace γ
PolishSpace γ
MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
Countable ι
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun t => Ring.inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
⊢ b ∈ op a • ↑s ↔ b ∈ ↑s
α : Type u_2
s t u : Set α
hst : s ⊆ t
htu : t ⊆ u
⊢ Set.inclusion htu ∘ Set.inclusion hst = Set.inclusion ⋯
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ Subgroup.map f (H ⊓ K) ≤ Subgroup.map f H ⊓ Subgroup.map f K
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
H : f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂
⊢ f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
h : c ≤ a ∨ c ≤ b
⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Adhesive D
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan F
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan F
F.ReflectsIsomorphisms
⊢ CategoryTheory.Adhesive C
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ AntilipschitzWith C⁻¹.toNNReal ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q
β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'
E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor
α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor
α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
⊢ (SmallHom.equiv W₂ L₂) ((SmallHom.equiv W₂ W₂.Q).symm ((((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app X).homCongr ((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app Y)) ((Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).map g))) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) ≫ e.inv.app Y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt ((g ∘ ↑f.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑f.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑f x))
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
y : V
hy : y ∈ p
hxy : (f.restrict h) ⟨y, hy⟩ = ⟨f x, hx⟩
⊢ x ∈ p ⊔ ker f
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J
⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
g : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
h : type r ≠ 0
this : Nonempty α
⊢ f ((type r).bsup g) = (type r).bsup fun a h => f (g a h)
f : StieltjesFunction
a : ℝ
u : ℕ → ℝ
u_mono : StrictMono u
u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a
⊢ f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring S
Semiring T
Module R S
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Module S M₂
IsScalarTower R S M₂
TopologicalSpace S
TopologicalSpace M₂
ContinuousSMul S M₂
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousAdd M₂
Module T M₂
ContinuousConstSMul T M₂
SMulCommClass R T M₂
SMulCommClass S T M₂
c : M →L[R] S
⊢ ⇑c.smulRightₗ = c.smulRight
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y z : X
f : Y → Path x y
g : Y → Path y z
⊢ Continuous f → Continuous g → Continuous fun t => (f t).trans (g t)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n (fun x => (g x).comp (f x)) s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ X (f + f') = X f + X f'
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
⊢ Continuous fun x => ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : (uncurry fun a b => f (a, b)) = f
⊢ Measurable (uncurry fun a b => f (a, b))
α : Type u_2
Group α
s t : Set α
x : αᵐᵒᵖ
⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = MulOpposite.unop x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (i : ι), ∃ n, s i ^ n • x ∈ S'
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
⊢ x ∈ S'
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
x✝ : ∃ n y, f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
n : ℕ
y : F
h : f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
⊢ f.natSepDegree = 1
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ Ideal.map (↑f) I = Ideal.comap f.symm I
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
⊢ ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Ioi a = Set.Ioi (r • a)
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
⊢ μ.withDensity (pdf X ℙ μ) = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f
α : Type u_1
p : Equiv.Perm α
a : α
⊢ p a ∈ {x | p x ≠ x} ↔ a ∈ {x | p x ≠ x}
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val.base = f.val.base ≫ g.val.base
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
h : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered D
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ (e.adjustToOrientation x).toBasis.det = e.toBasis.det ∨ (e.adjustToOrientation x).toBasis.det = -e.toBasis.det
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8
fg : (α →₀ M) × (β →₀ M)
x : α
⊢ ((Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R).symm fg) (Sum.inl x) = fg.1 x
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
⊢ f i * f j ≤ ∏ k ∈ s, f k
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
⊢ Matrix.Represents b 0 0
H : Type u_1
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x ↔
  x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ Set.EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
s : Set α
⊢ μ (h.nullSet ∩ s) = 0
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ
⊢ HasFiniteIntegral (X * Y) μ
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (insert a s).ncard = s.ncard + 1
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
l : Y ⟶ X
hl : l ≫ f = g
⊢ l = AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift f g H'
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ x ∉ s
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
self : RF.IsRightDerivedFunctor α W
⊢ RF.IsLeftKanExtension α
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.mulETransformLeft e⁻¹ x = (Finset.mulETransformRight e x.swap).swap
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n
⊢ 0 < ⋯.eigenvalues i
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ ¬p ∣ n / p ^ n.factorization p
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : FirstOrder.Language
ψ : L'' →ᴸ L'
⊢ (ϕ.sumElim ψ).comp FirstOrder.Language.LHom.sumInr = ψ
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
self : IsLinearMap R f
x y : M
⊢ f (x + y) = f x + f y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
f : K₁ ⟶ K₂
⊢ (I.toSigmaCoforkFunctor.map f).hom = f.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1
r : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ Real.nnabs (x a)
n d : PosNum
⊢ ↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(pos d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X Y
h : f = g
x : X
⊢ f x = g x
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
⊢ ↑(Multiplicative.ofAdd (RatFunc.intDegree 1)) = 1
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
⊢ T.IsSatisfiable ↔ T.IsFinitelySatisfiable
α : Type u_1
p : Multiset α → Prop
s : Multiset α
h₀ : p 0
h₁ : ∀ (a : α) (s : Multiset α), (∀ t ≤ s, p t) → p (a ::ₘ s)
⊢ p s
α : Type u
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ Equiv.swap x y * f = f * Equiv.swap (f⁻¹ x) (f⁻¹ y)
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsClosed s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
this : s \ U = s
⊢ False
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : L.ExactAt i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ K.ExactAt i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
β : Type u_3
m : β → (i : ι) → α i
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto m l (Filter.pi f) ↔ ∀ (i : ι), Filter.Tendsto (fun x => m x i) l (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Semiring α
m✝ n✝ m n : ℕ
⊢ ↑(m ^ (n + 1)) = ↑m ^ (n + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M
x' y' : R
hx' : x = gcd x y * x'
hy' : y = gcd x y * y'
hu : IsUnit (gcd x' y')
⊢ ∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ mk' A x ⟨y, hy⟩ * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x