ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
this : NeZero ↑↑n
⊢ NeZero ↑↑n
ι : Type v
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
DecidableEq ι
i j : ι
x : L i
y : L j
⊢ ⁅(DirectSum.of L i) x, (DirectSum.of L j) y⁆ = if hij : i = j then (DirectSum.of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (s \ t).ncard + t.ncard = (s ∪ t).ncard
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X : C
S : Presieve X
w✝ : C
hS : ∃ f, (S = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f) ∧ EffectiveEpi f
this : S.regular
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) S
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
l m : List α
o : Ordinal.{u}
hl : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
hm : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m
hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
hmltl : Lex (fun x x_1 => x < x_1) m l
⊢ ∀ i ∈ m, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
⊢ (cfcₙHom ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) = ∑ i ∈ s, a i • lineDeriv ℝ f x (v i)
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y ∈ Ici a, r * y = x) ↔ x ∈ Ici (r * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
G : Type u_7
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
g : ↥H
⊢ ↑↑((Subgroup.subgroupOfEquivOfLe h).symm g) = ↑g
β : Type u_4
LinearOrder β
NoMinOrder β
u : ℕ → β
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atBot
N : ℕ
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u n < u k
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
⊢ Fin.cons (q 0) (Fin.tail q) = q
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁴ : SMul M X
inst✝³ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝² : SMul N Y
inst✝¹ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝ : SMul P Z
f : X →ₑ[φ] Y
x : X
⊢ (f.comp (MulActionHom.id M)) x = f x
n : ℕ+
x : ℂˣ
⊢ x ∈ rootsOfUnity n ℂ ↔ ∃ i < ↑n, Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
val✝ : Invertible A
⊢ A * A⁻¹ = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E'
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) x⟫_𝕜 - ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective BialgEquiv.toEquiv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
α : Type u_2
AddGroup α
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ -(a +ᵥ s) = AddOpposite.op (-a) +ᵥ -s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
X : D
⊢ ((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f)).app X = ((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))).app X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hg : HasFPowerSeriesAt g q (f x)
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
R : Type u_1
Semiring R
f g : Polynomial R
N : ℕ
⊢ Polynomial.reflect N (f + g) = Polynomial.reflect N f + Polynomial.reflect N g
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ (constantCoeff σ k) φ⁻¹ = ((constantCoeff σ k) φ)⁻¹
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
⊢ e'.re = (reCLM.comp ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')).comp ofRealCLM)) 1
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
⊢ n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
α : Type u
f : Filter α
⊢ f.NeBot ↔ f ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : Set.BijOn f s t
⊢ (Set.BijOn.toPartialEquiv f s t hf).target = t
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a / 3 + a / 3 + a / 3 = a
K : Type u_1
LinearOrderedField K
v : K
FloorRing K
terminates : (GenContFract.of v).Terminates
⊢ ∃ n, v = (GenContFract.of v).convs n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
B : ℝ
x : K
⊢ (NumberField.mixedEmbedding K) x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySum K B ↔
  ∑ w : NumberField.InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E
X : C
Y : D
⊢ ((CategoryTheory.currying.inverse.obj F).obj X).obj Y = F.obj (X, Y)
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R N₁
Module R N₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
Q₁' : QuadraticMap R N₁ P
Q₂' : QuadraticMap R N₂ P
e₁ : Q₁.Equivalent Q₁'
e₂ : Q₂.Equivalent Q₂'
⊢ (Q₁.prod Q₂).Equivalent (Q₁'.prod Q₂')
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =
  (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp
    ↑((MeasureTheory.condexpL2 ℝ ℝ hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.π₁.obj S = S.X₁
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑(LinearMap.inl R M M') '' s ∪ ⇑(LinearMap.inr R M M') '' t)) => ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s t : Set α
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hft : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplexUnitIso b V).inv.app X).f i = 𝟙 (X.obj i)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hn : Function.IsPeriodicPt f n x
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
⊢ Function.IsPeriodicPt f (n + m) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s1
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⊥.ofAddUnits = ⊥
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℝ M
FiniteDimensional ℝ M
Q : QuadraticForm ℝ M
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated Q)
⊢ ∃ w,
  (∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ M)), w i = -1 ∨ w i = 1) ∧
    QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares ℝ w)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
i : n
⊢ ¬B.flip.IsOrtho (v i) (v i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ BddBelow (image2 f s t)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
x : T
Algebra R T
hx' : (Polynomial.aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ (IsAdjoinRoot.liftHom x hx' h) (h.map z) = (Polynomial.aeval x) z
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝³ : IsIntegralClosure B A L
this✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ K
this : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
a b : Prop
⊢ ¬(a ∧ b) ↔ a → ¬b
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
⊢ ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
P : Type u_2
LE P
self : Order.Ideal P
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) self.carrier
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R
⊢ 1 ∉ univ → ↑↑(sign 1) * ∏ i : n, diagonal d (1 i) i = 0
α : Type u_1
g : α → ℝ≥0
hg : Summable g
i : α
hi : 0 < g i
⊢ 0 < ∑' (b : α), g b
α : Type u_2
DistribLattice α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ b ∈ [[a, c]] → c ∈ [[a, b]] → b = c
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => a * x) ⁻¹' Metric.ball b r = Metric.ball (a⁻¹ * b) r
α : Type u
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])
⊢ List.reverseRecOn [] nil append_singleton = nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨆ i, f i b) μ
x : ℝ
hx : Real.cos x ≠ 0
⊢ Real.tan x * Real.cos x = Real.sin x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ (MeasureTheory.Measure.pi μ) (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
y z : V
h : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • o.oangle x y = 2 • o.oangle x z
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
a : α
⊢ 0 ⌈/⌉ a = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent E v
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero α
Zero β
SMul α β
BoundedSMul α β
x : α
y₁ y₂ : β
⊢ dist (x • y₁) (x • y₂) ≤ dist x 0 * dist y₁ y₂
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
a : X
g : G
⊢ a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
y : S
⊢ y ∈ NonUnitalRingHom.srange f ↔ ∃ x, f x = y
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x : M
⊢ Q (a • x) = (a * a) • Q x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ : ι
h : p₁ = p₂
p₃ : ι
⊢ (K.XIsoOfEq h).hom ≫ K.d p₂ p₃ = K.d p₁ p₃
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f 1 μ
c : E
⊢ Memℒp (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) 1 μ
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : List (α × Bool) → β
H : ∀ (L₁ L₂ : List (α × Bool)), FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → f L₁ = f L₂
⊢ Quot.lift f H (FreeGroup.mk L) = f L
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]
⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
a : UInt8
n : ℕ
⊢ a ^ n = { val := a.val ^ n }
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
⊢ M.det = ∑ σ : Equiv.Perm n, Equiv.Perm.sign σ • ∏ i : n, M (σ i) i
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j : n
⊢ (cramer 0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : p.natDegree + r.natDegree < p.natDegree
⊢ False
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p * (b ^ 2 - 1) < b ^ (2 * p) - 1
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = (baseChange W B).toAffine.negY (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a + b).toProd.2 = a.toProd.2 + b.toProd.2
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Irreducible a
⊢ normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
⊢ X.map (SimplexCategory.δ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (j.pred ⋯)).op
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup G
⊢ K.prod ⊤ = Subgroup.comap (MonoidHom.fst G N) K
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε ε' : 𝕜
h : ε ≤ ε'
⊢ P.nonUniforms G ε' ⊆ P.nonUniforms G ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (o.kahler (φ x)) (φ y) = (o.kahler x) y
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ u 0 ⊓ ⨅ i, u (i + 1) = ⨅ i, u i
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a + a = ↑(2 * a.re)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I J : Ideal R
h : I ≤ J
x : R
hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1
⊢ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ {J_1 | J ≤ J_1 ∧ J_1.IsMaximal} → x ∈ I
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.WSameSide x y ↔ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ univ ∧ edist (f x) b < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ
⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
C : Type u_4
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
⊢ (CategoryTheory.HasShift.Induced.zero F s i).inv.app (F.obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X)) ((i 0).inv.app X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ {t | s ⊆ ↑t} = {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ LipschitzWith (‖f'‖₊ + c) (s.restrict f)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v' : Valuation R Γ₀
f : Γ₀ →*₀ Γ'₀
hf : Monotone ⇑f
inf : Function.Injective ⇑f
h : v.IsEquiv v'
⊢ (Valuation.map f hf v).IsEquiv (Valuation.map f hf v')