ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
⊢ ∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map (g.comp f)) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I
h : y ^ m ∈ I.radical
⊢ x ∈ I.radical ∨ y ∈ I.radical
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t s' t' : Set α
h : s =ᵐ[μ] t
h' : s' =ᵐ[μ] t'
⊢ s ∩ s' =ᵐ[μ] t ∩ t'
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
R : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid Y
Module R Y
AddCommMonoid Z
Module R Z
f : Y →ₗ[R] Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.mapₗ R f) g) a = f (g a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Itop : ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u} [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu}, ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ g t
hf : ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (g ∘ f) s
a b : Int
ha : a < 0
hb : b ≤ 0
⊢ a + b < 0
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
⊢ nonPrincipals R = ∅ ↔ IsPrincipalIdealRing R
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ -a + b = 0 ↔ a = b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π
⊢ ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) 0)) (f fun i => ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.succ) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m
⊢ G + H ≈ nim ↑n + nim ↑m
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
Fintype ↥S
⊢ Fintype.card ↥S ≤ 1 ↔ S = ⊥
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 1
hab : b ≤ a
⊢ mabs a ≤ mabs b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
CategoryTheory.Injective Z
⊢ (CategoryTheory.InjectiveResolution.self Z).cocomplex = (CochainComplex.single₀ C).obj Z
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R : ℝ
x : P
⊢ inversion x (dist x x) x = x
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
g : α
⊢ {x | ↑x = ↑g} = g • ↑s
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ (s + t).Nonempty → s.Nonempty
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
⊢ ∀ (a : MonoOver Y), (map g).obj (Quotient.mk'' a ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' a) ⊓ (map g).obj f₂
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ'
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ
hs : ↑θ = ↑ψ
⊢ ↑θ = ↑ψ
α : Type u
Preorder α
f : ℤ → α
hf : Monotone f
n : ℤ
x : α
h1 : f n < x
h2 : x < f (n + 1)
a : ℤ
⊢ f a ≠ x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
⊢ (∃ b_1, b_1 ∈ pure b ∧ R a b_1) ↔ R a b
L : Type u
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R L
μ : L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
g : L ≃ₐ[R] L
⊢ ↑((autToPow R hμ) g) = ↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
i : α
hi : i ∈ s
⊢ s.piecewise f g i = f i
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ S₂ : Submonoid M
⊢ S₁.op ≤ S₂.op ↔ S₁ ≤ S₂
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁
⊢ map f (v +ᵥ s) = f.linear v +ᵥ map f s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Icc a b = Icc (a / c) (b / c)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
⊢ ∀ (a : k), MonoidAlgebra.singleOneRingHom a = (↑(Finsupp.singleAddHom 1)).toFun a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {R : α → α → Prop}, List.Pairwise R (a :: l) → ∀ {a' : α}, a' ∈ l → R a a'
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ s ∩ t.erase a = (s ∩ t).erase a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ yoneda.map ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁) = yoneda.map (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
⊢ ↑⊥ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
h : (Ioi a).Nonempty
⊢ closure (Ioi a) = Ici a
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp Turing.ToPartrec.Code.zero' k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal Turing.ToPartrec.Code.zero' k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.contSupp k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s t : Set α
h : f '' s = f '' t
⊢ s = t
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ range n, (a, n + 1 - a) = (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) a
α : Type u_1
x : α
⊢ Part.some x ≠ Part.none
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑s.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitness ε s t).card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : Tendsto ns atTop atTop
ms : ℕ → ℕ
left✝ : StrictMono ms
hms' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns (ms i)) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < n • x ↔ 0 < x
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : (k * k).ble n = false
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
hmn : m ≤ n.sqrt
h2mn : m ∣ n
⊢ False
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ (vanishingIdeal s).radical.IsRadical
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
⊢ ↑k.succ ! / ↑k.succ ^ k.succ ≤ 1 / ↑k.succ
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
⊢ False
X : TopCat
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↑X
m : x ∈ U ⊓ V
⊢ (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨x, m⟩ = ⟨x, ⋯⟩
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (mulEquivOfQuotient f) (mk x y) = f.mk' x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.preadditiveCoyonedaObj X).map f =
    ModuleCat.ofHom { toFun := fun g => CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
α : Type u_1
⊢ (Set.range fun x => x) = Set.univ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ≠ 0
⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h : a < b * c
hle : b ≤ d
⊢ a < d * c
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1
⊢ False
a : ℝ
⊢ ↑StieltjesFunction.id a = id a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᵒᵖ × CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
x y : (CategoryTheory.yonedaPairing C).obj X
w : ∀ (Y : Cᵒᵖ), x.app Y = y.app Y
⊢ x = y
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
⊢ (SemidirectProduct.map f₁ f₂ h).comp SemidirectProduct.inr = SemidirectProduct.inr.comp f₂
α : Type u
t : TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
a : Set ι
h : a.PairwiseDisjoint s
ho : ∀ i ∈ a, IsOpen (s i)
hne : ∀ i ∈ a, (s i).Nonempty
⊢ a.Countable
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ (CategoryTheory.Limits.Image.monoFactorisation f).m = CategoryTheory.Limits.image.ι f
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
E₁ : A ≌ B
E₂ : C ≌ D
⊢ (E₁.prod E₂).inverse = E₁.inverse.prod E₂.inverse
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (b - p) = toIocDiv hp a b - 1
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ SignType.sign a = if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩) z ≠ 0
hc : c ≠ 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im
⊢ ↑(⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => a / c +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => c * d +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨c * c, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2
⊢ ↑s1 ∩ ↑s2 = {p}
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∃'φ) (∃'ψ)
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a
⊢ ↑(n.choose k) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a : ι → α
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
NoMinOrder α
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Ioi (a i)
x y z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
C : Type ?u.25950
inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C
r : HomRel C
D : Type ?u.25982
inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G
⊢ natTransLift r τ.inv ≫ natTransLift r τ.hom = 𝟙 G
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
h : f =ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] μ[g|m]
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℚ
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.preCDF ρ r)
m n : ℤ
h : Odd (m * n)
⊢ Odd m
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ
h : IsLocalMin f a
hf : HasDerivAt f f' a
⊢ f' = 0
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
⊢ ∀ {X₁ X₂ : C₁ × C₂} (f : X₁ ⟶ X₂) (X : C₁ × C₂),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X =
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.1 X.1, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.2 X.2)
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
⊢ (n - (k + 1 + 1)) * (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < (n - (k + 2)) * n.descFactorial (k + 2)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
F : Type u_2
Group F
MulAction F G
MulAction.QuotientAction F H
f : F
T : ↑(Subgroup.leftTransversals ↑H)
q : G ⧸ H
⊢ f • ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q) = ↑((Subgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) (f • q))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ MapsTo ⇑f' ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableOn 𝕜 (f i) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)
gi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → E →L[𝕜] 𝕜
hgf : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) (x : ↥p), (gi i) ↑x = (fi i) x
a✝ : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))), ‖gi i‖ = ‖fi i‖
⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
⊢ (p.toList x).length = (p.cycleOf x).support.card
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
n : ℕ
⊢ ‖((fun n => χ ↑n) * f) n‖ ≤ ‖f n‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ a ∈ lowerClosure ↑(s ∪ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∨ a ∈ lowerClosure ↑t
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
⊢ ↑(Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤
γ : Type w
SemilatticeInf γ
s : Set γ
hs : BddBelow s
x₀ : γ
⊢ ∃ x ≤ x₀, ∀ y ∈ s, x ≤ y
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
h : x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).nthLe 0 ⋯ = x
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
X : Type u_5
seq : X → Y × Z
f : Filter X
p : Y × Z
⊢ Filter.Tendsto seq f (𝓝 p) ↔
  Filter.Tendsto (fun n => (seq n).1) f (𝓝 p.1) ∧ Filter.Tendsto (fun n => (seq n).2) f (𝓝 p.2)
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
⊢ ↑(m ^ n) < ω
A : Type u_1
NormedRing A
StarRing A
CstarRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
a : A
t : NNReal
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
α : Type u_1
⊢ ⊥.girth = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
f g : CategoryTheory.Over X
h : f ⟶ g
CategoryTheory.Epi h
⊢ CategoryTheory.Epi h.left
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
hc : c ≠ 0
⊢ { a := 0, b := 0, c := c, d := d }.toPoly.leadingCoeff = c
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₁' : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet (f k)
⊢ (if MeasurableSet (⋃ i, f i) then ↑v (⋃ i, f i) else 0) = ↑v (⋃ i, f i)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablySeparated α
⊢ MeasurableSingletonClass α
α : Type u
Group α
a : α
n : ℕ
⊢ Equiv.mulRight a ^ n = Equiv.mulRight (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set (Set β)
⊢ f ⁻¹' ⋃₀ s = ⋃ t ∈ s, f ⁻¹' t
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
LinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
(i : ι) → PartialOrder (β i)
⊢ Monotone ⇑toLex
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
⊢ Absorbent 𝕜 (p.ball x r)
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv j) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv j) p)
⊢ (pderiv j) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv j) (p * X j))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
i : ι
x : ℝ
⊢ π ⊓ BoxIntegral.Prepartition.split I i x = π.biUnion fun J => BoxIntegral.Prepartition.split J i x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ (Q₁.prod Q₂).Anisotropic ↔ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ Q₁.Anisotropic) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ Q₂.Anisotropic
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderTop α
a : α
⊢ a ⊓ ⊤ = a
α : Type u
Preorder α
NoMaxOrder α
⊢ ¬BddAbove Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (τ : X ⟶ Y) (F : SimplexCategory.Truncated n ⥤ C) (c : SimplexCategory.Truncated n),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Truncated.whiskering C D).map τ).app F).app c = τ.app (F.obj c)
F : Type u_2
E₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup E₁
R₁ : Type u_4
Field R₁
Module R₁ E₁
Module R₁ F
FiniteDimensional R₁ E₁
FiniteDimensional R₁ F
li : E₁ →ₗᵢ[R₁] F
h : FiniteDimensional.finrank R₁ E₁ = FiniteDimensional.finrank R₁ F
⊢ ⇑(li.toLinearIsometryEquiv h) = ⇑li
R : Type u_1
M : Type u_3
α : Type u_4
Finite α
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
DecidableEq α
x : α
m : M
⊢ (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R M α).symm (Pi.single x m) = Finsupp.single x m
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
⊢ Function.Injective (Finsupp.embDomain f)
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
⊢ IsClosed s ↔ 0 ∈ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ s ⊆ Ici γ
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G
⊢ a / (b * a) = b⁻¹
x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ 0
hx2 : 0 ≤ 3 * π / 2
⊢ cos 0 ≤ 1 / √(0 ^ 2 + 1)
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hf : Set.BijOn (⇑f) s s
⊢ Set.BijOn (⇑f⁻¹) s s
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedLatticeAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
OrderedSMul ℝ E
f : α → E
hf : f ≤ᵐ[μ] 0
⊢ μ[f|m] ≤ᵐ[μ] 0
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
h : m < n
⊢ Fin.foldl.loop n f x m = Fin.foldl.loop n f (f x ⟨m, h⟩) (m + 1)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
b : β
bs : Multiset β
a : α
as' : Multiset α
⊢ flip r b a ∧ Rel (flip r) bs as' ∧ as = a ::ₘ as' ↔ r a b ∧ Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'