ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) ≤ c • ⇑h ⁻¹' t
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ leftpad n a l = leftpadTR n a l
G : Type u_6
Monoid G
g : ConjClasses G
⊢ g ∈ ConjClasses.noncenter G ↔ g.carrier.Nontrivial
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.isEmpty = true ↔ m = []
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
⊢ (μ (s ∩ ↑I)).toReal - (μ t).toReal ≤ ↑ε
f : Int → Int
xs : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (Lean.Omega.Coeffs.map f xs).length ≤ xs.length
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
⊢ a * b = max a b
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).degree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degree
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' y
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : Set.MapsTo h s t'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x
⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ orderOf (DihedralGroup.sr i) = 2
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
AddMonoid M
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ (DirectSum.decompose (AddMonoidAlgebra.gradeBy R ⇑f)) (Finsupp.single m r) =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(AddMonoidAlgebra.gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
i : B
⊢ cs.leftInvSeq (ω.concat i) = (cs.leftInvSeq ω).concat (cs.wordProd ω * cs.simple i * (cs.wordProd ω)⁻¹)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (fun r => r • 1) (g i) = (fun r => r • 1) 0
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉ - ⌈-↑(v % r) / ↑r⌉ = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
⊢ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Icc 1 b)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝² : G.Full
inst✝¹ : G.Faithful
I : D
hI : Injective (G.obj I)
X Y : D
f : X ⟶ I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_2, v₁, u_1, u₁} G
⊢ ∃ h, g ≫ h = f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r = finrank K L
⊢ Ex ≤ Ey
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : C
n : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorComm C n 0).inv.app X)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometryEquiv.toHomeomorph
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Continuous fun p => Mathlib.Vector.insertNth p.1 i p.2
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
⊢ DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c ↔ DifferentiableOn ℂ f s
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
⊢ ∃ k, f.norm = padicNorm p k ∧ k ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) atTop (𝓝 0)
x y : ZFSet
⊢ (∃ z, ↑x z ∧ y ∈ z) ↔ ∃ z ∈ x, y ∈ z
S : Type u_3
AddSemigroup S
a b c : S
hac : AddCommute a c
hbc : AddCommute b c
⊢ AddCommute (a + b) c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃x : ℕ → X⦄, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) → ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
x y : M
FunLike F M N
AddHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : AddCommute (f x) (f y)
⊢ AddCommute x y
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
N' : Subsemigroup N
x : ↥(Subsemigroup.comap f N')
⊢ ↑((f.subsemigroupComap N') x) = f ↑x
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ ↑n)
⊢ Irrational x
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : CategoryTheory.GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
X₁.HasTensor Y₁
X₂.HasTensor Y₂
X₂.HasTensor Y₁
⊢ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.whiskerRight f Y₁)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.whiskerLeft X₂ g)
m a b c : ℤ
h : a / c ≡ b / c [ZMOD m / c]
ha : c ∣ a
⊢ c ∣ b → c ∣ m → a ≡ b [ZMOD m]
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t t' : Set α
h : Set.EqOn f g t
h' : Set.EqOn f' g t'
⊢ Set.EqOn (s.piecewise f f') g (s.ite t t')
x : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hx₂ : x ≤ π / 2
⊢ Real.arcsin (Real.sin x) = x
a b : Int
h : 0 ≤ a - b
⊢ b ≤ a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y : α
hs : Bornology.IsBounded s
hy : y ∈ s
⊢ dist x y ≤ Metric.infDist x s + Metric.diam s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzWith K (v t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Ici t) t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Ici t) t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
t : ℝ
⊢ t ∈ Set.Icc a b → dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
α : Type u_1
LinearOrderedField α
x : α
⊢ (CauSeq.const abs x).Pos ↔ 0 < x
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
f : α₁ → α₂
g₁ : α₁ → β → α₁
g₂ : α₂ → β → α₂
l : List β
init : α₁
H : ∀ (x : α₁) (y : β), g₂ (f x) y = f (g₁ x y)
⊢ List.foldl g₂ (f init) l = f (List.foldl g₁ init l)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
f : β → α
⊢ ∅.inf f = ⊤
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ { toFinsupp := (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r } = (algebraMap R A[X]) r
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
⊢ M.LinearDisjoint ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f g : A →A[R] B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
m n k : ℤ
i : ℤ
H : m % n = k % n
⊢ (m + i) % n = (k + i) % n
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
a : α
T : Multiset α
haS : a ∈ S
a✝ : T ⊆ S
IH : (map g1 T).prod ∣ (map g2 T).prod
⊢ (map g1 (insert a T)).prod ∣ (map g2 (insert a T)).prod
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
a✝ : Nontrivial R
⊢ W.polynomial.Monic
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
h : List.Chain' R l
n : ℕ
⊢ List.Chain' R (List.drop n l)
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
hd : Disjoint s t
⊢ Disjoint s (frontier t)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
a b : α
h1 : 0 ≤ a
h2 : 0 ≤ b
⊢ a * a = b * b ↔ a = b
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
hm : m ≤ mΩ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ[f|m] =ᵐ[μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
x : G
⊢ ((MonoidAlgebra.lift k G A).symm F) x = F (MonoidAlgebra.single x 1)
R : Type u_1
NonAssocRing R
Finite R
⊢ ringChar R ≠ 0
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b
⊢ BddAbove (range fun y => a ^ ↑y)
R : Type u
A : Type w
ι : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
b : Basis ι R M
h : Function.Bijective ⇑(algebraMap R A)
⊢ ⇑(Basis.algebraMapCoeffs A b h) = ⇑b
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformRight e x).1 + (Finset.addETransformRight e x).2 ⊆ x.1 + x.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F f ∘ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₂ F g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
h : (Ioi a).Nonempty
⊢ closure (Ioi a) ⊆ Ici a
α : Type u_1
A B : Set (Finset α)
r : ℕ
h : A ⊆ B
hB : Set.Sized r B
⊢ Set.Sized r A
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ + a₂ - (b₁ + b₂)) < ε
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
M : Matrix m n R
x : m → R
⊢ M.vecMulLinear x = x ᵥ* M
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
s : Sym α n
f : α → β
⊢ ↑(Sym.map f s) = Multiset.map f ↑s
α : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
x y : α
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime (x ^ m) (y ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
u : Set α
⊢ (∃ t₂ ∈ 𝓟 t, u ×ˢ t₂ ⊆ s) → u ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Embedding M N
⊢ f.toHom = g.toHom ↔ f = g
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
f : α
hfB' : f ∉ B
x : α
he : x ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {x} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {x}))
hind : M.Indep (insert f B)
hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)
⊢ False
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
fg : LeftInverse ⇑f.rangeRestrict ⇑g
⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P✝
inst✝¹³ : AddCommMonoid P'
inst✝¹² : Module R✝ M✝
inst✝¹¹ : Module R✝ M'
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
inst✝⁹ : Module R✝ N'
inst✝⁸ : Module R✝ P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P'
f : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
Q : Submodule R N
⊢ Exact ⇑Q.subtype ⇑Q.mkQ
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ : P
g : G
p₂ : P
⊢ p₁ = g +ᵥ p₂ ↔ p₁ -ᵥ p₂ = g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
x : P
⊢ Subtype.val ⁻¹' {x} = Set.univ
α : Type u_1
Fintype α
⊢ ⇑Fintype.finsetOrderIsoSet = Finset.toSet
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α
h : Codisjoint (a ⊔ b) c
hle : c ≤ a
⊢ Codisjoint a b
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝).toReal ≤ π
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ↑‖∫ (y : β), ‖f (a, y)‖ ∂ν‖₊ ∂μ < ⊤
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x' : V
⊢ (WithLp.equiv p V).symm (-x') = -(WithLp.equiv p V).symm x'
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ (∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g⁻¹⁻¹ • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddCommMonoid α
ι : Type u_10
s : Finset ι
M : ι → Matrix m n α
⊢ (∑ i ∈ s, M i)ᵀ = ∑ i ∈ s, (M i)ᵀ
σ : Type u_1
s : σ
f : σ →₀ ℕ
⊢ f s ≤ f.degree
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hne : I.Nonempty
⊢ M.RkPos
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)
⊢ HasProd (fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a) (∏ i ∈ s, a i)
x y : ℝ
⊢ Real.cos x - Real.cos y = -2 * Real.sin ((x + y) / 2) * Real.sin ((x - y) / 2)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).op = CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.op X)
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
σ : ι ≃ ι'
⊢ AlternatingMap.domDomCongr σ 0 = 0
a b : ℤ
⊢ a + b ≤ 0 ↔ a ≤ -b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')
⊢ (f ∘ₗ (hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (hC c) = id (hC c)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Y
⊢ coprod.inr ≫ (pushoutZeroZeroIso X Y).inv = pushout.inr 0 0
m n k : ℕ
h₁ : m ≤ k
h₂ : k < m + n
⊢ finAddFlip ⟨k, h₂⟩ = ⟨k - m, ⋯⟩
r p : ℝ
⊢ r.toNNReal < p.toNNReal ↔ r < p ∧ 0 < p
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁
⊢ d.Has (s₁ \ s₂)ᶜ
α : Sort u_1
p q : α → Prop
⊢ (∃ x x_1, q x) ↔ ∃ x, p x ∧ q x
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ LinearIsometryEquiv.refl R E * e = e
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s : Finset α
⊢ mulRothNumber s ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousWithinAt f s x
ht : t ∈ 𝓝[f '' s] f x
⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree
⊢ (p - C a).degree = p.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ (s ⊼ t).card * (s ⊻ t).card
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : m x ∈ t
⊢ False
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Finset α
DecidableEq α
⊢ G.IsNClique 3 s ↔ ∃ a b c, G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c ∧ s = {a, b, c}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)
⊢ IsIntegral R M.det
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ Associated x (ϖ ^ Multiset.card fx)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
h : Function.Injective ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M r)
⊢ map ((LinearMap.lsmul R M) r) ⊤ ⊓ N ≤ map ((LinearMap.lsmul R M) r) N ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ n ≤ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α × β →₀ M
g : α → β → M → N
hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0
hg₁ : ∀ (a : α) (b : β) (c₀ c₁ : M), g a b (c₀ + c₁) = g a b c₀ + g a b c₁
⊢ (fun a b => (single a.1 (single a.2 b)).sum fun a f => f.sum (g a)) = fun p c => g p.1 p.2 c
⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
⊢ (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
g : Filter β
h : ∀ s ∈ f, m '' s ∈ g
⊢ g ≤ Filter.map m f
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : ¬∀ᵐ (x : α) ∂μ, |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R
⊢ False
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
a : A i
r : R
x : A j
⊢ { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun x