ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
a b : ZMod p
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 = ↑x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : (comap f μ) (s \ t ∪ t \ s) = 0
h_eq_α : {a | ¬s a = t a} = s \ t ∪ t \ s
h_eq_β : {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = f '' (s \ t ∪ t \ s)
⊢ μ (f '' (s \ t ∪ t \ s)) = 0
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : 1 - t.re < ↑n
⊢ -t.re < ↑n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
⊢ B.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.inv = iso₃.inv ≫ A.mor₃
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
⊢ (((resolution k G).d (n + 1) n).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (d k G (n + 1) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
f : α → Set β
g : α → Set γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => f x ×ˢ g x
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
s : Set G
MeasurableNeg G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsAddLeftInvariant
ν'.IsAddLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ' s * ∫⁻ (y : G), f (-y) / ν' ((fun x => x + -y) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ List.modifyNthTail id n l = l
a : ℝ
⊢ HasSum (fun n => a / 2 / 2 ^ n) a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.enumOrd S o = sInf (S ∩ {b | ∀ c < o, Ordinal.enumOrd S c < b})
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.inv.codom = r.dom
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)
⊢ f '' s =ᶠ[ae μ] f '' toMeasurable (comap f μ) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.zero h₁ h₂).φH = 0
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
⊢ IsDedekindDomain.selmerGroup.valuation.ker = IsDedekindDomain.selmerGroup.subgroupOf IsDedekindDomain.selmerGroup
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
x₀ x : E
hx₀ : x₀ ∈ s
hx : x ∈ s
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)
this : l.NeBot
⊢ Cauchy (map (fun n => f n x) l)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => (ProbabilityTheory.preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ A * A⁻¹ = 1
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
x : α
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ Set.range s.toFun
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
⊢ (AdicCompletion.sum I M) ((DirectSum.lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) =
  (AdicCompletion.map I (DirectSum.lof R ι M j)) x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
⊢ (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback (f₁.arrow ≫ g)).obj ((map g).obj f₂))
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformContinuous f ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : α}, edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommGroup γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_sub : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ - b₂) = h i b₁ - h i b₂
⊢ (f - g).sum h = f.sum h - g.sum h
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Q : Algebra.Generators S T
P : Algebra.Generators R S
i : (Q.comp P).vars
⊢ (Q.ofComp P).val i = Sum.elim MvPolynomial.X (⇑MvPolynomial.C ∘ P.val) i
f : ℕ → ℂ
⊢ DifferentiableOn ℂ (LSeries f) {s | LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re}
q✝ q r : ℚ
⊢ q * r = mkRat (q.num * r.num) (q.den * r.den)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α ↪ β
a : α
b : β
(a' : α) → Decidable (a' = a)
(a' : α) → Decidable (f a' = b)
⊢ (f.setValue a b) a = b
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : (M.disjointSum N h).Indep I
⊢ ∃ IM IN, M.Indep IM ∧ N.Indep IN ∧ Disjoint IM IN ∧ I = IM ∪ IN
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).sin = ‖y - x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
h : IsOpen s
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ Continuous fun p => edist p.1 p.2
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ p.totalDegree ≤ Multiset.card p.degrees
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : PartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
rij rij' : c.Rel i j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ C.d i j = C.d i j
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0
⊢ ‖f‖ = ‖f.contLinear‖
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : 2 < ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : 0 ≤ f
⊢ ∑ i : ι, f i = 0 ↔ f = 0
m n : ℕ
k : Fin (n + 1)
⊢ ¬k - 1 < k ↔ ¬0 < k
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
bc : b < c
ha : 1 < a
a0 : 0 < a
b0 : 0 < b
⊢ b < c * a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
r : ℝ
⊢ ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime ℱ τ → IsStoppingTime ℱ π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (x : Ω), π x ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) π x ∂μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
f : ℂ → E
h : DifferentiableAt ℂ f z
hf' : deriv f z ≠ 0
⊢ IsConformalMap (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z))
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ x ∈ q
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(e.extend I).symm) (↑I '' e.target)
α : Type u
Small.{v, u} α
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (Shrink.{v, u} α)) = Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α)
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : b.testBit i = true
⊢ b ^^^ v < b
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete (Fin n)) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
I : Type u
X : I → TopCat
g : (i : I) → ↑(π.obj (X i))
i : I
⊢ ((FundamentalGroupoidFunctor.piToPiTop X).obj g).as i = (g i).as
α : Type u_1
AddCommMonoid α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
tr t : α
prl : l = tl
prr : r = tr
prt : Mathlib.Tactic.Abel.smul tl tr = t
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smul l r = t
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∪ sᶜ = Set.univ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
c : α
h : ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c
a : κ i
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
ha : a ∈ t i
hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a
aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i
j : ι
hj : j ∈ insert i s
⊢ (fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) j hj ∈ t j
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
m : α
⊢ ↑m = OfNat.ofNat n ↔ m = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
n : ℕ
⊢ ‖(f (n + 1) + -f n) • (Finset.range (n + 1)).sum z‖ ≤ b * |f (n + 1) - f n|
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
ι : Sort u_3
P : ι → Subgroup M
⊢ MulAction.fixedPoints (↥(iSup P)) α = ⋂ i, MulAction.fixedPoints (↥(P i)) α
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ S ∈ 𝓝[>] x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
⊢ dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist p₁ p₂
α : Type u
AddGroup α
⊢ Equiv.addRight 0 = 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Q : Algebra.Generators S T
P : Algebra.Generators R S
x : T
⊢ (Q.comp P).σ x =
  Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r =>
    (MvPolynomial.rename Sum.inr) (P.σ r) * (MvPolynomial.monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1
m n : ℕ
⊢ min m n = 0 ↔ m = 0 ∨ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α
p : (a : β) → a ∈ map f s → Prop
h : ∀ (x : α) (H : x ∈ s), p (f x) ⋯
x : β
hx : x ∈ map f s
⊢ p x hx
s : List Char
i p n : Nat
⊢ utf8GetAux s { byteIdx := i + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux s { byteIdx := i } { byteIdx := p }
α : Type u
n : ℕ
⊢ [].rotate' n = []
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
⊢ a / 2 - (a / 2 + a / 2) = -(a / 2)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
S : Set V
uS : u ∈ S
vS : v ∉ S
⊢ ∃ d ∈ p.darts, d.toProd.1 ∈ S ∧ d.toProd.2 ∉ S
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ Order.IsPredLimit (OrderDual.toDual a) ↔ Order.IsSuccLimit a
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Order.succ (Ordinal.sup f) = Ordinal.lsub f ↔ ∃ i, f i = Ordinal.sup f
R : Type u_3
CommRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a = -a ↔ a.re = 0
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ a ≠ b
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ a < b ∨ a = b → a ≤ b
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (List.map f l₁).zip (List.map g l₂) = List.map (Prod.map f g) (l₁.zip l₂)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
⊢ v '' s ⊆ ↑(map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s))
R : Type u
M : Type v
Semiring R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousConstSMul R M
ContinuousAdd M
s : Set M
⊢ closure s ⊆ ↑(Submodule.span R s).topologicalClosure
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
⊢ False
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
x : X
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_mble : Measurable fun X_1 => ↑(f X_1)
⊢ Tendsto (fun i => ↑(f i)) (𝓝 x) (𝓝 ↑(f x))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ∈ zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s) ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ (orthogonalProjection K) v = 0
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b
h2 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b
h3 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[≠] a ⊔ pure a = 𝓝 a
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ 2 * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
⊢ G.PreservesMonomorphisms
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
⊢ H = ⊤
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
j : Fin n
⊢ init (update q (last n) z) j = init q j
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ (insert a s).min' ⋯ = min (s.min' H) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
⊢ (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ ρ.fst s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
self : CategoryTheory.CartesianClosedFunctor F
A : C
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.expComparison F A)
α : Sort u_1
β β' : α → Sort u_2
h : ∀ (a : α), β a = β' a
⊢ ((a : α) → β a) = ((a : α) → β' a)
α : Type u_2
β : Type u_3
hα : OrderedCommMonoid α
hβ : OrderedCommMonoid β
f : α →*o β
⊢ f.toMonoidHom = ↑f
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
n : ℕ
this : √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2) < π
⊢ 2 ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
CategoryTheory.IsIso h.unit
X : C
⊢ h.whiskerLeftLCounitIsoOfIsIsoUnit.inv.app X = L.map (h.unit.app X)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
h : Continuous f
a : α
⊢ Set.MapsTo f (connectedComponent a) (connectedComponent (f a))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})
⊢ ∀ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ (↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = ↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) * ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
⊢ minpoly A x ∣ p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.Epi S.toCycles