ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
hc : AddLECancellable c
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ b
⊢ a ≤ b - c ↔ c ≤ b - a
α : Type u
l : List α
x : α
n k : ℕ
⊢ k < n →
  ∀ (hk : k < l.length) (hk' : optParam (k < (List.insertNth n x l).length) ⋯),
    (List.insertNth n x l).nthLe k hk' = l.nthLe k hk
K : Type u_1
CommRing K
⊢ ∀ (x x_1 : RatFunc K),
  x.mul x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFractionRing := p }, { toFractionRing := q } => { toFractionRing := p * q }
z : ℂ
⊢ Complex.sin z = 0 ↔ Complex.cos z = 1 ∨ Complex.cos z = -1
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Order.Ideal P
⊢ (↑I ∩ ↑J).Nonempty
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (trunc (n + 1) f).natDegree < n + 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ (Set.image2 f s t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
IsDedekindDomain R
Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ DirectSum.IsInternal fun p =>
  Submodule.torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (UniqueFactorizationMonoid.factors ⊤.annihilator))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hq0 : q ≠ 0
m : ℕ
r' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
⊢ Nat.card (G ⧸ center G) ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g t y
⊢ ContinuousWithinAt (Prod.map f g) (s ×ˢ t) (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
I X : Set α
⊢ (N.comap f).Basis' I X ↔ N.Basis' (f '' I) (f '' X) ∧ Set.InjOn f I ∧ I ⊆ X
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯
this : Continuous ⇑q
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAnti f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ico a b) (Set.Ioc (f b) (f a))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
f : ι → ↑(Set.Iic a)
p : ι → Prop
⊢ ↑(⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ↑(f i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ ¬Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∃ s ∈ l₂, ∃ᶠ (x : α) in l₁, f x ∉ s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ : LeftFractionRel φ₀ φ
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red L₁ L₂ → FreeAddGroup.Red L₁ L₃ → Relation.Join FreeAddGroup.Red L₂ L₃
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
L' : FirstOrder.Language
φ : L →ᴸ L'
h : φ.Injective
(n : ℕ) → (f : L'.Functions n) → Decidable (f ∈ Set.range fun f => φ.onFunction f)
(n : ℕ) → (r : L'.Relations n) → Decidable (r ∈ Set.range fun r => φ.onRelation r)
M : T.ModelType
Inhabited ↑M
⊢ (FirstOrder.Language.Theory.ModelType.defaultExpansion h M).struc = φ.defaultExpansion ↑M
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0
hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R
hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ
this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (μ t < ⊤ → ∫ (x : Ω) in t, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in t, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ) → μ tᶜ < ⊤ → ∫ (x : Ω) in tᶜ, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in tᶜ, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ
cf cg : Nat.Partrec.Code
⊢ Encodable.encode cf < Encodable.encode (cf.comp cg) ∧ Encodable.encode cg < Encodable.encode (cf.comp cg)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ False
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
⊢ IsLocalizedModule S f
K : Type u_1
Field K
I : Type v
s : I → K
H : Function.Injective s
⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => Polynomial.X - Polynomial.C (s i))
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
W : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} W
CategoryTheory.Preadditive W
c : ComplexShape ι
F : V ⥤ W
F.Additive
⊢ CategoryTheory.NatTrans.mapHomotopyCategory (𝟙 F) c = 𝟙 (F.mapHomotopyCategory c)
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
this : cmpLE x y = cmpLE y x
⊢ (Ordnode.insert x (node size✝ l y r)).dual = Ordnode.insert x (node size✝ l y r).dual
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
L : List ι
f : ι → M
G : Type u_8
FunLike G M N
MonoidHomClass G M N
g : G
⊢ (List.map (⇑g ∘ f) L).prod = g (List.map f L).prod
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
⊢ f₂ = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ Submodule.span R (Set.range v)
⊢ (Basis.mk hli hsp).repr x = hli.repr ⟨x, ⋯⟩
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ
⊢ Prime p ∧ p ∣ a * b ↔ Prime p ∧ (p ∣ a ∨ p ∣ b)
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G
⊢ cokernel.π (G.map f) ≫ (iso G f).inv = cokernel.π (G.map f) ≫ cokernelComparison f G
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint (Bornology.cobounded α) (𝓝ˢ s)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i))).Monic
⊢ M.charpoly.Monic
a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n
⊢ (↑a - ↑b).natAbs < n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.equivOfNatIso α).unitIso =
  CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransId.symm ≪≫
    CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransEq ⋯ ≪≫
      CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransComp α.hom α.inv
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : PerfectClosure.R K p y1 y2
⊢ PerfectClosure.mk K p (x.1 + y1.1, (⇑(frobenius K p))^[y1.1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y1.2) =
  PerfectClosure.mk K p (x.1 + y2.1, (⇑(frobenius K p))^[y2.1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y2.2)
p : Nat.Primes
⊢ (PrimeMultiset.ofPrime p).prod = ↑p
α : Sort u_1
o b : Ordinal.{u_2}
hb : 1 < b
ho : o.IsLimit
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
a : Ordinal.{u_2}
h : a < b ^ o
⊢ ∃ i, a < b ^ f i
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s = s ↔ IsOpen s
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set ι
⊢ Set.InjOn f s ↔ s.Pairwise fun x x_1 => f x ≠ f x_1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
Y : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.representative.obj Y).arrow = Y.arrow
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.mk' x₂ y + f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ + x₂) y
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Zero R
LinearOrder Γ
LocallyFiniteOrder Γ
Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
⊢ n ≤ (HahnSeries.ofSuppBddBelow f ⋯).order
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (LinearMap.toContinuousLinearMap.symm.symm (o.areaForm x)) y = (o.areaForm x) y
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
⊢ (HNNExtension.NormalWord.ofGroup g).head = g
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
b : β
⊢ Set.image2 f s {b} = (fun a => f a b) '' s
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : (↥S.toSubsemiring)ᵐᵒᵖ), ↑(S.mopAlgEquivOp a) = MulOpposite.op ↑(MulOpposite.unop a)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ (Finset.affineCombination k (Finset.filter pred s) p) w = (Finset.affineCombination k s p) w
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
s : Set Γ₀
⊢ IsOpen s ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Set.Iio γ ⊆ s
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
⊢ IsPGroup p ↥⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
p : α → Prop
q : β → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
⊢ (Finset.filter (fun x => p x.1 = q x.2) (s ×ˢ t)).card =
  (Finset.filter p s).card * (Finset.filter q t).card +
    (Finset.filter (fun x => ¬p x) s).card * (Finset.filter (fun x => ¬q x) t).card
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
⊢ G ≈ 0 ∨ G ‖ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V
p : P
⊢ Sbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)
⊢ f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((lineMap a b) r) ≤ slope f a b
l r : Type u
L : l → PGame
R : r → PGame
x✝ : (mk l r L R).Impartial
i : (-mk l r L R).LeftMoves
this : (R i).Impartial
⊢ ((-mk l r L R).moveLeft i).grundyValue = ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
⊢ lineDeriv 𝕜 f x v = f'
n : ℕ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi) + Real.pi) = -1
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
p : MvPolynomial Unit R
⊢ (IsLocalization.Away.mvPolynomialQuotientEquiv S r)
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X () - 1})) p) =
  (MvPolynomial.aeval fun x => IsLocalization.Away.invSelf r) p
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
⊢ Function.Injective fun x => a ^ x
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → MeasureTheory.pdf.IsUniform X (MeasureTheory.toMeasurable μ s) ℙ μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace E
⊢ Kᗮᗮᗮ = Kᗮ
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
⊢ inv ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y)) = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm
x : ℝ
h : Liouville x
⊢ Irrational x
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀
S : Set Λ
ss : Supports M S
q : Λ
T : Tape Γ
c' : Cfg₀
h₁ : c' ∈ step M { q := q, Tape := T }
h₂ : { q := q, Tape := T }.q ∈ S
⊢ c'.q ∈ S
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
z : ℤ
⊢ ⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) z f) = z • ⇑f
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s = {a} ↔ s.Nonempty ∧ ∀ x ∈ s, x = a
α : Type u_1
⊢ FreeAddMonoid.ofList.symm = FreeAddMonoid.toList
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 = a
⊢ sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace CommRingCat
Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toScheme Y f).toLocallyRingedSpace =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toLocallyRingedSpace Y.toLocallyRingedSpace f
α : Type u
UniformSpace α
s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)
⊢ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α) ↔ ∃ t ∈ 𝓤 α, ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)
⊢ n ∉ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ (A.pull θ).e ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι (θ.unop ≫ A.e) = θ.unop ≫ A.e
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A✝ A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
⊢ oneCoboundaries A = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
hm : m ∈ s
⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ (x ^ n).toNNReal = x.toNNReal ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).unitIso.inv.app X).base = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.base
R : Type u_2
Ring R
NoZeroDivisors R
p q : Polynomial R
⊢ (p * q).trailingCoeff = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
α : Type u_2
Group α
a b : α
⊢ {b}.preimage (fun x => x * a) ⋯ = {b * a⁻¹}
γ : Type u_3
δ : Type u_5
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
⊢ Measurable f
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
S : L.ElementarySubstructure M
T : L.Theory
⊢ ↥S ⊨ T ↔ M ⊨ T
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
⊢ LowerSemicontinuous g
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
h : a ≡ b [PMOD p]
⊢ c + a ≡ c + b [PMOD p]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).left.left = sq.X₁
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
e : α
he : e ∈ B' \ B
h : M.Indep (insert e B)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : trace K L = 0
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hst : { ofColex := s } < { ofColex := t }
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
⊢ a / b < c ↔ a < c * b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.thickening δ E = (fun x => EMetric.infEdist x E) ⁻¹' Set.Iio (ENNReal.ofReal δ)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
μ : MeasureTheory.Measure G
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => MeasureTheory.convolution f (g q.1) L μ q.2) (s ×ˢ Set.univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m' : MeasurableSpace β
inst✝ : BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap f (MeasurableSpace.comap compl inferInstance) = MeasurableSpace.comap f inferInstance
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ Codisjoint a (￢￢b) ↔ Codisjoint a b
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ 0 < MeasureTheory.Measure.haar.index (↑K) V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
self : CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X Y : C
⊢ P X → P Y → P (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⇑(Algebra.linearMap R A) = ⇑(algebraMap R A)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
hn : ↑(numDerangements n) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑n + 1) * ((-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x))) = (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n + 1 - x))
R : Type u_1
AddCommGroup R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ skewAdjoint R ↔ star x = -x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
f : β → α
b : β
⊢ {b}.gcd f = normalize (f b)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
hne : v ≠ w
⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
G : Type u_1
AddZeroClass G
a : Additive (Multiplicative G)
⊢ (AddEquiv.additiveMultiplicative G) a = Multiplicative.toAdd (Additive.toMul a)
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x
c : ℝ
hc : c ∈ f ⁻¹' closedBall x (dist y x)
⊢ ‖c‖ * dist y x ≤ 1 * dist y x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
IsEmpty σ
a : R
j : σ →₀ ℕ
⊢ ((MvPolynomial.isEmptyRingEquiv R σ).symm a) j = Pi.single 0 a j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖b‖₊
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝³ : IsIntegralClosure B A L
this✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ K
this : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
v : M
h : v ≠ 0
⊢ -rayOfNeZero R v h = rayOfNeZero R (-v) ⋯
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ a ∈ MulAction.orbit G (g • a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
e : X ≅ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso e.hom