ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
h : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f x - (f b - f a) * g x
hI : h a = h b
h' : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f' x - (f b - f a) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x
hhc : ContinuousOn h (Icc a b)
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : h' c = 0
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (g b - g a) * f' c = (f b - f a) * g' c
q : ℚ
this : ↑q.den ≠ 0
⊢ q.num /. ↑q.den * (↑q.den /. 1) = q.num /. 1
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support
⊢ m i ≤ MvPolynomial.degreeOf i f
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDomain A
I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
y : K
hy : y ∈ ↑I
⊢ 1 * y ∈ 1
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
h : a ∈ l
w : 0 < l.length
⊢ a ≤ List.maximum_of_length_pos w
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt)))).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ ⇑S.subtype = Subtype.val
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ j.toSignedMeasure.toJordanDecomposition = j
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
⊢ a ∣ b
R : Type u_1
Ring R
⊢ ↑ArithmeticFunction.zeta * ↑ArithmeticFunction.moebius = 1
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
TopologicalSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
f : δ → α
hf : LowerSemicontinuous f
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
m n : ℕ
a : Fin (m ^ n)
b : Fin n
⊢ ↑(finFunctionFinEquiv.symm a b) = ↑a / m ^ ↑b % m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'
CategoryTheory.Limits.HasPushout f (g ≫ g')
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g' ≫
    (CategoryTheory.Limits.pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr f (g ≫ g')
k : ℕ
hk : k ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * x))
  ((-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! *
    Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
x : WittVector p R
k : ℕ
⊢ (x * ↑n).coeff k = (MvPolynomial.aeval x.coeff) (WittVector.wittMulN p n k)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ q.support \ p.support ⊆ (p + q).support
R : Type u_11
M₁ : Type u_12
M₂ : Type u_13
ι : Type u_14
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
⊢ f.smulRight z = (LinearMap.id.smulRight z).compAlternatingMap f
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_5
SemilatticeInf α
LinearOrder β
FunLike F β α
RelHomClass F (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : F
m n : β
⊢ a (m ⊓ n) = a m ⊓ a n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
x y : E
⊢ ⟪↑A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, ↑A y⟫_𝕜
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ finrank K ↥(span K {v}) ≤ 1
z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ UpperHalfPlane.verticalStrip A B
⊢ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1)) ^ (-k) ≤ EisensteinSeries.r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
⊢ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) = s.ι n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ range (extend f g g') = range g ∪ g' '' (range f)ᶜ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hle : ∀ i ∈ s, g i ≤ f i
⊢ ∏ i ∈ s, g i ≤ ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = ((κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ swap x (f x) ∈ closure fun x => ∃ x_1 y, x_1 ≠ y ∧ x = swap x_1 y
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a
⊢ (H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {b | b ^ ↑n = 1}
⊢ x ∈ ↑(adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B))
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ IsSubgroup (f '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hc : c ≠ 0
⊢ c • sphere x r = sphere (c • x) (‖c‖ * r)
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
a : A
⊢ (Algebra.TensorProduct.lid R A) (r ⊗ₜ[R] a) = r • a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
Std.Associative ga
h : Function.Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Function.Surjective f
⊢ Std.Associative gb
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat = (λ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv
m n : ℕ+
⊢ ↑m ∣ ↑n ↔ m.gcd n = m
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den ∨ c = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
l : List α
⊢ ∏ i : Fin l.length, l[↑i] = l.prod
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
l : Filter β
f : β → α × α
h : Filter.Tendsto f l (𝓤 α)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ((f x).2, (f x).1)) l (𝓤 α)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
⊢ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
⊢ ∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)) = ∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)))
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : ∀ (k : n), ∑ i ∈ Finset.univ.erase k, ‖A i k‖ < ‖A k k‖
⊢ A.transpose.det ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f.f
⊢ (CategoryTheory.Center.isoMk f).hom = f
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ (toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ {x | gauge s x < 1} = s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]
⊢ q ^ (n - 1) ∣ C ↑n * q ^ (n - 1) * derivative q * r + q ^ n * derivative r
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B
⊢ x✝ ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range φ) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
S : Subring R
self : IsInvariantSubring M S
m : M
x : R
⊢ x ∈ S → m • x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
⊢ i ≠ j ↔ j ≠ i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (AEDisjoint μ on s) i j
w : Nat
msbs : BitVec w
lsb : Bool
⊢ msbs ++ BitVec.ofBool lsb = msbs.concat lsb
m : Type u_2
n : Type u_3
m' : Type u_6
n' : Type u_7
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
eₘ : m ≃ m'
eₙ : n ≃ n'
⊢ (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₙ).symm = Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ.symm eₙ.symm
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i✝ : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b : α
h : ∀ i ∈ s, Commute b (f i)
i : ι
hi : i ∈ s.val
hb : f i ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
⊢ Commute b (f i)
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s s' : ↥S
⊢ ↑(s' * s) ∈ S
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
⊢ 0 ≤ J(r.valMinAbs | b) ^ 2
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
⊢ (⋃ i, s i)ᶜ = ⋂ i, (s i)ᶜ
x y : ℝ
h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∃ l, y = (2 * ↑l + 1) * π / 2
⊢ tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : AddCommMonoid R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R
⊢ A.trace = A 0 0 + (A 1 1 + (A 2 2 + 0))
α : Type u
a : α
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples a
⊢ Finset.image (fun i => i • a) (Finset.range (Fintype.card α)) = Finset.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
CategoryTheory.Balanced C
⊢ CategoryTheory.IsIso S.g ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero S.X₁
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < a + b
⊢ 0 < b
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ √x < y ↔ x < y ^ 2
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ‖⟨↑r, h⟩ - ↑(PadicInt.modPart p r)‖ < 1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card))) ≤ ↑(G.interedges x y).card
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
⊢ ((LinearMap.toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
F : Type u_1
Field F
S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x / y ∈ S
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Memℒp (f i) p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (∑ i ∈ s, f i) p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1282777) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ f a ≤ cfcₙ g a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x₀ x₁ : L
hx₀ : x₀ ∈ LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H
hx₁ : x₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L
⊢ ((killingForm R L) x₀) x₁ = 0
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocCommRing A
IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆) = 0
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type u_2
hs : IsCompact s
f : Filter ι
f.NeBot
u : ι → X
hf : Filter.map u f ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, MapClusterPt x f u
x : ENNReal
⊢ 0 < x.log ↔ 1 < x
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ (iso L f).hom ≫ L.map (image.ι f) = image.ι (L.map f)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J K : FractionalIdeal S P
⊢ I * J ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
⊢ (PerfectRing.liftEquiv M i p) j = PerfectRing.lift i j p
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
⊢ (σ ^ n).support = σ.support
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
b : P.obj (op X)
hb : P.map c.fst.op b = P.map c.snd.op b
h₁ : ((pullbackIsPullback π π).conePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ c.fst = pullback.fst π π
hb' : P.map (pullback.fst π π).op b = P.map (pullback.snd π π).op b
⊢ ∃! x, P.map π.op x = b
a b : Prop
⊢ a = b ↔ (a ↔ b)
K : Type u_1
RCLike K
r s : ℝ
⊢ ↑(r + s) = ↑r + ↑s
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc ⋯ = 0
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α
⊢ indexesValues (fun b => decide (p b)) as = filter ((fun b => decide (p b)) ∘ Prod.snd) as.enum
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
α : Type u_5
Preorder α
⊢ IsStronglyAtomic α ↔ ∀ (a b : α), a < b → ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : WellFounded r
⊢ IsIrrefl α r
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ Set (Set X)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s = t ↔ ∀ (a : α), Multiset.count a s = Multiset.count a t
a b : Prop
⊢ (a → b ↔ b) ↔ a ∨ b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
⊢ (traceForm K L M) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Prime a ↔ Cardinal.aleph0 ≤ a ∨ ∃ p, a = ↑p ∧ Nat.Prime p
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ ⇑(Polynomial.mapRingHom f) = Polynomial.map f
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = μ (s ∩ t)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
r : R
⊢ D ((algebraMap R A) r) = 0
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ (lift (f + g)) 0 = (lift f) 0 + (lift g) 0
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
H : s.Nonempty
⊢ (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ = s.min' H