ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
g : (i : ι) → G i →+ G' i
hg : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g i)
i : ι
x : G i
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.map g hg) ((AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) x) =
  (AddCommGroup.DirectLimit.of G' f' i) ((g i) x)
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
⊢ x ∈ M'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
⊢ ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
s : Set R
⊢ Submodule.span R (⇑(Algebra.linearMap R S) '' s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (single i x)
this : (erase i v) i = (single i x) i
⊢ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α
hsn : (↑s).ncard ≤ n
t : Finset α
hnt : n ≤ (↑t).ncard
hst : ↑s ⊆ ↑t
u : Finset α
hsu : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hu : u.card = n
⊢ ∃ u, ↑s ⊆ u ∧ u ⊆ ↑t ∧ u.ncard = n
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | ∃ x n, s = PiNat.cylinder x n}
x : ℝ
⊢ Real.tan (-x) = -Real.tan x
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
i : N →* Q := f.map ⋯ k
hizw : i z = i w
ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)
z' w' : M
x : ↥S
hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'
hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'
⊢ z = w
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) x
x : ℝ≥0∞
⊢ |x.toReal| = x.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
p : α × β → Prop
s : Set β
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ 𝓟 s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ s, p (x, y)
x : UInt64
⊢ x.toNat < 2 ^ 64
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
⊢ ∀ (b : α), (∀ (x : α), b ≤ x) → b = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(tensorQuotEquivQuotSMul M I) ∘ₗ (TensorProduct.mk R M (R ⧸ I)).flip 1 = (I • ⊤).mkQ
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
h : {x | x ∈ s}.Nontrivial
⊢ s.length ≠ 0
R : Type u
Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).degree ≤ 0
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ -a < 0 ↔ 0 < a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : MeasureTheory.IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : MeasureTheory.cylinder I S = MeasureTheory.cylinder J T
hJI : J ⊆ I
⊢ (P I) S = (P J) T
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
⊢ ∃ o f, a.IsFundamentalSequence o f
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpen Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X : C
f : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.IsPushout f (𝟙 Z) (𝟙 X) f
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
c' : R
hc' : c' ≠ 0
li : M →ₗᵢ[R] N
⊢ IsConformalMap (c • c' • li.toContinuousLinearMap)
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocRing α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℤ
v : m → α
⊢ v ᵥ* ↑x = MulOpposite.op ↑x • v
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝ : StrongEpi (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
x✝ : Mono z
u : Q ⟶ X
v : R ⟶ Y
sq : CommSq u g z v
⊢ sq.HasLift
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.LeftMoves
IsEmpty x.RightMoves
⊢ x ≈ 0
N : ℕ
NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
k : ZMod N
⊢ 𝓕 Φ k = ∑ j : ZMod N, ZMod.toCircle (-(j * k)) • Φ j
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι' : Sort u_1
inst✝ : Inv G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : ContinuousInv G
h₂ : ContinuousInv G
b : Bool
⊢ ContinuousInv G
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
n : ℕ
⊢ φ * ↑(Nat.fib (n + 1)) + ↑(Nat.fib n) = φ ^ (n + 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
⊢ Ioc a b ∈ 𝓝 x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ
⊢ IsCodetector (unop G) ↔ IsDetector G
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsScalarTower R A B
inst✝² : FormallyUnramified R B
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra A Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra
this : IsScalarTower R A Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
⊢ ∀ (x : B), (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₁) x) = (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₂) x)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
f'int : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ ψ.op.φK = ψ.φQ.op
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b c : α
⊢ b ≤ c → Codisjoint a b → Codisjoint a c
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hab : a * b < 0
⊢ a < 0 ↔ 0 < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
⊢ (Nat.rfind fun n_1 => (fun m => decide (m = 0)) <$> (↑(decode (Nat.pair n n_1))).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Part.map (fun b => bif (a, b).2 then 0 else 1) (p a.1 a.2)) a)) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Nat.rfind (p a)) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
F : Set α
hFA : F ⊆ A
hFc : IsClosed F
hF : μ A < μ F + ε
⊢ ∃ F ⊆ A, IsClosed F ∧ μ (A \ F) < ε
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
z : 𝕜
⊢ ‖z • f' n.1.1 n.2 - z • f' n.1.2 n.2‖ ≤ q * ‖z‖
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ ([s.head] :: initsCore ([s.head] ++ [s.tail.head]) s.tail.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
α : Type u_1
a : α
n : ℕ
l : List α
⊢ Multiset.replicate n a ≤ ↑l ↔ List.replicate n a <+ l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, 0 = defaultRatCDF b
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
⊢ (fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support ⊆ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a ≤ a * b
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
⊢ (Ideal.map f I).IsMaximal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ (b ⇨ c) ≤ a ⇨ c
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ M.Indep (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) ∧ ⇑f '' I ⊆ range ⇑f
G : Type u_1
AddCommGroup G
A : Finset (G × G)
a b c : G
⊢ (a, b, c) ∈ Corners.triangleIndices A ↔ (a, b) ∈ A ∧ c = a + b
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
x : L
⊢ (Algebra.norm K) x = (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x) ^ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮x⟯) L
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => ‖f x‖₊) μ
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
⊢ c + ⨆ i, f i = ⨆ i, c + f i
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
⊢ (sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, u} #(β a)) = sum fun a => #(WType β) ^ #(β a)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f i * ∏ x ∈ s \ {i}, f x
α : Type u
a : Set α
⊢ ∅ ∪ a = a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
⊢ h.opcyclesIso.inv ≫ S.descOpcycles k hk = h.descQ k hk
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
s : Set E
n : ℕ∞
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_8
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace K (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hΦ : ∀ (i : ι), ContDiffOn K n (fun x => Φ x i) s
⊢ ContDiffOn K n Φ s
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.abLeftHomologyData.π = QuotientAddGroup.mk' S.abToCycles.range
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_pos : 0 < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
half_ε_pos : 0 < ε / 2
half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤
r : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist μ ν + ε / 2
s : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist ν κ + ε / 2
lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r
lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s
hs_add_r : s + r = levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε
⊢ μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
⊢ ∀ (x : β → γ), Continuous' fun g_1 => x <$> g g_1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
⊢ (D.mapGlueData F).J = D.J
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c s' s✝ : Computation α
h : (HOrElse.hOrElse s✝ fun x => empty α) = s'
s : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse s fun x => (empty α).think) = HOrElse.hOrElse s fun x => empty α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β ⊕ γ → α
⊢ ⨆ x, f x = (⨆ i, f (Sum.inl i)) ⊔ ⨆ j, f (Sum.inr j)
α : Sort u_3
h : Finite α
⊢ ∃ n, Nonempty (α ≃ Fin n)
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝² : AddCommGroup β✝
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : AddCommGroup γ
a : FreeAbelianGroup α
f : α → β
g : β →+ γ
⊢ (g.comp (lift f)) a = (lift (⇑g ∘ f)) a
α : Type u
s : Computation α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ n, s.Results a n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
x : α × β
⊢ x.1 ∈ s₂ ∧ x.2 ∈ t₂ ∧ r x.1 x.2 → x.1 ∈ s₁ ∧ x.2 ∈ t₁ ∧ r x.1 x.2
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) := hU.primeIdealOf ⟨x, hx⟩
hy : y = hU.primeIdealOf ⟨x, hx⟩
this : hU.fromSpec.val.base y = x
⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk ↑⟨x, hx⟩)) y.asIdeal
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblXYZ P =
  W.dblZ P •
    ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      1]
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
⊢ f (x + ↑m) = f x + ↑m
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (map f) ((monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x)) = ∑ i ∈ range (n + 1), (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
⊢ M = ∑ x : n, ∑ y : n, M (x, y).1 (x, y).2 • (stdBasisMatrix (x, y).1 (x, y).2 1).map ⇑(algebraMap R A)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Sigma.mk i '' t i ⊆ s.sigma t
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ addOrderOf ↑(a + 1) = n / n.gcd (a + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
W : C
k : (b : I.R) → I.right b ⟶ W
h :
  ∀ (a : I.L),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (k (I.fstFrom a)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (k (I.sndFrom a))
b : I.R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b)
    (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.desc I W k h) =
  k b
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
b : M
c : M
f : α → M
l : Filter α
h : Filter.Tendsto (fun k => f k) l (𝓝 c)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => b + f k) l (𝓝 (b + c))
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
⊢ NormedAddGroupHom.NormNoninc (SemiNormedGrp.explicitCokernelπ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Surjective f
g : β → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (y : β), g y = ∑' (y : β), g (f (surjInv hf y))
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
⊢ Measurable (uncurry u)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
⊢ Isometry Sum.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
⊢ (φ.emb.comp (inclusion ⋯)).comp (inclusion hL) = f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ 0 ≤ ‖f‖
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ⟨a, splitFun f' (recF g ∘ f)⟩)
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r ≠ 0
hv : v.asIdeal = Ideal.span {r}
⊢ v.intValuation r = ↑(ofAdd (-1))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
⊢ Inducing f
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.startPos = { byteIdx := String.utf8Len l }
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w x : { w // w ≠ w₀ }
hx : x ∈ univ.erase w
⊢ v w x < 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T
p : T[X]
g : ℕ → T → R[X]
x : S
⊢ eval₂ f x (p.sum g) = p.sum fun n a => eval₂ f x (g n a)
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0