ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (Profinite.pullback.cone f g).π =
  {
    app := fun j =>
      Option.rec (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.pullback.fst f g) f)
        (fun val => CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (Profinite.pullback.fst f g) (Profinite.pullback.snd f g) val)
        j,
    naturality := ⋯ }
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (f ≫ g) ▷ Z = f ▷ Z ≫ g ▷ Z
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝² : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (s + t).HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ μ.withDensityᵥ ((s + t).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x x' : M
⊢ ((extChartAt I x').symm ≫ extChartAt I x).source = ↑I '' ((chartAt H x').symm ≫ₕ chartAt H x).source
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
f : SupBotHom α β
⊢ (SupBotHom.id β).comp f = f
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : ν.AbsolutelyContinuous μ
⊢ (fun x => rexp (MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[ν] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal
M : Type u_6
CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
r : R
⊢ Prime (Polynomial.X - Polynomial.C r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ (F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₁ m₂) m₃).app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m₁ m₂ m₃).hom).app X)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μIso m₁ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m₂ m₃)).inv.app X)
        ((F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X))))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ pf.partialSum 1 (y - x) = pf.partialSum 1 (x - x)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => Real.log (↑k + 1) - Real.log ↑k) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
⊢ ⇑(ContinuousAlgHom.id R A) = id
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ c ≤ a \ b ⊔ b \ c
α : Type u
s : Finset α
⊢ Cardinal.mk ↑↑s < Cardinal.aleph0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀ (a : F.cocones.obj X),
  (CategoryTheory.Limits.yonedaCompLimIsoCocones F).inv.app X a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections (F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X)).symm
      ((CategoryTheory.Limits.opCompYonedaSectionsEquiv F X).symm a)
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ arccos x = arctan (√(1 - x ^ 2) / x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalCommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype o
A : Matrix m n α
B : Matrix o n α
x : o → α
⊢ A *ᵥ x ᵥ* B = (A * Bᵀ) *ᵥ x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
w : Word M
h : w ≠ empty
⊢ ∃ i j w', w'.toWord = w
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
⊢ hf.order = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
⊢ AmpleSet (↑E)ᶜ
α : Type u_1
t : Ordnode α
x : α
⊢ findMax' x t.dual = t.findMin' x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : Opposite.unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ Opposite.unop A.fst
CategoryTheory.Epi e
CategoryTheory.Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
⊢ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan Δ).inj A ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).map θ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i ≫
    ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan Δ').inj (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.mk e)
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
x y : Matrix m n α
⊢ x * A = y * A ↔ x = y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.measureUnivNNReal μ = 0 ↔ μ = 0
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
h : IsGδ s
⊢ MeasurableSet s
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
N : Type u_9
f : N → M
g : N → M'
ϕ : N → E →L[𝕜] E'
x₀ x : N
hx : f x ∈ (chartAt H (f x₀)).source
hy : g x ∈ (chartAt H' (g x₀)).source
⊢ inTangentCoordinates I I' f g ϕ x₀ x =
  ((tangentBundleCore I' M').coordChange (achart H' (g x)) (achart H' (g x₀)) (g x)).comp
    ((ϕ x).comp ((tangentBundleCore I M).coordChange (achart H (f x₀)) (achart H (f x)) (f x)))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x y : Y
z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsOpen (f i j)
⊢ IsOpen (⋂ i, ⋂ j, f i j)
R : Type u
Semiring R
⊢ WellFounded fun p q => p.degree < q.degree
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : TopologicalSemiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : ContinuousStar A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
g : C(Y, A)
⊢ (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) ((ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) g) = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
hkl : n ≤ k + l
⊢ p.changeOriginSeriesTerm k l s hs = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : a ≤ b
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
⊢ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) = and
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ e.counit.app (e.functor.obj X) = e.functor.map (e.unitInv.app X)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : R →+* S
x✝ : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map f) x✝) = coeff m 0) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m x✝ ∈ RingHom.ker f
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
u : TopologicalSpace R
t : TopologicalSpace M₂
ContinuousSMul R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ ContinuousSMul R M₁
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Icc (f a) (f b) ⊆ f '' Set.Icc a b
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α
⊢ c • s ≤ᵐ[μ] c • t ↔ s ≤ᵐ[μ] t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id T)).obj f = f
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
⊢ Continuous fun x => ⋯.unit
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
S : Type u_8
Fintype n
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix m n R
v : n → R
i : m
⊢ f ((M *ᵥ v) i) = (M.map ⇑f *ᵥ ⇑f ∘ v) i
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
e : R ≃+* S
x : S
⊢ e.toRingHom.IsIntegralElem x
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ All P (if l.size + r.size ≤ 1 then l.node' x r else if r.size > delta * l.size then l.rotateL x r else if l.size > delta * r.size then l.rotateR x r else l.node' x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
⊢ ∀ (x : PUnit.{w + 1}), (IsNoetherian.equivPUnitOfProdInjective f i).symm x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r✝ : ℝ
x✝ : E
r : ℝ≥0
hc : Convex ℝ s
hr : 0 < r
hs : ball 0 ↑r ⊆ s
this : Absorbent ℝ (ball 0 ↑r)
x y : E
⊢ gauge s y + ‖x - y‖ / ↑r = gauge s y + ↑r⁻¹ * dist x y
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
h : IsCoprime I J
⊢ I + J = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = -p
⊢ Prime (-p)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 1
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.range (Set.projIic a) = Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
D : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hD : CategoryTheory.Limits.IsColimit D
⊢ let ff := fun a => (D.ι.app a.fst) a.snd;
Function.Surjective ff
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻ᵐ = 1 ↔ 1 ≤ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Opens α
⊢ (Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) ((⇑toDual ∘ compl) s) = s
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w, w, v, u} C
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
⊢ MapsTo ⇑g ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E
⊢ finSepDegree F ↥⊤ = finrank F ↥⊤
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (⋃ i, t ∩ s i) = ⨆ i, μ (t ∩ s i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P ⟶ Q
⊢ f = 0 ↔ f.f = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).K = S.X₂
R : Type u
ι : Type x
ι' : Type x'
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
e : ι ≃ ι'
⊢ ∀ (a : (b : ι') → φ (e.symm b)) (a_1 : ι), (LinearEquiv.piCongrLeft' R φ e).symm a a_1 = ⋯ ▸ a (e a_1)
α : Type u
self : Subarray α
⊢ self.stop ≤ self.array.size
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set 𝕜
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hfg : Set.EqOn f g s
⊢ Set.EqOn (iteratedDerivWithin n f s) (iteratedDerivWithin n g s) s
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
⊢ v.IsEquiv v'
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
⊢ biprod.snd ≫ biprod.inr = 0 ↔ IsZero Y
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ P y ≠ 0
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Inv β
x : α
⊢ x⁻¹ = e.symm (e x)⁻¹
R : Type u_3
A : Type u_4
AddGroup R
Neg A
m : A
⊢ ↑(-m) = -↑m
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
h : a.primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList
⊢ a ∣ b
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x + y).denom ∣ x.denom * y.denom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Mon_.equivLaxMonoidalFunctorPUnit C).unitIso = Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.unitIso C
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ ⟪x, r • y⟫_𝕜 = r * ⟪x, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
R' : Type u_10
Semiring R'
Module R' M
f : R ≃+* R'
h : ∀ (c : R) (x : M), f c • x = c • x
i : ι
⊢ (b.mapCoeffs f h) i = b i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))
⊢ (R.map (hX.to c₁ ≫ f)) r • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ RingHom.ker f ≤ I → Ideal.map f I.jacobson = (Ideal.map f I).jacobson
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
⊢ Ideal.absNorm I ≠ 0 ↔ Finite (S ⧸ I)
S : Type u
SetTheory.PGame.State S
s t : S
m : t ∈ SetTheory.PGame.State.l s
⊢ SetTheory.PGame.State.turnBound s ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ (Measure.map X μ).prod (Measure.map Y μ) = (Measure.map X' μ').prod (Measure.map Y' μ')
δ : ℝ
X : Type u
PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X
h : E.Nonempty
⊢ x ∈ Metric.thickening δ E ↔ Metric.infDist x E < δ
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
g : P.complex ⟶ Q.complex
w : g ≫ Q.π = P.π ≫ (ChainComplex.single₀ C).map f
⊢ g.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
Monoid M
φ : AddChar B M
f : A →+ B
⊢ ⇑(φ.compAddMonoidHom f) = ⇑φ ∘ ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : OneOneEquiv p q
⊢ OneOneEquiv p r ↔ OneOneEquiv q r
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
s : Set α
y : α
hs : s ∈ c
hy : y ∈ s
⊢ s = {x | (Setoid.mkClasses c H).Rel x y}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
VAdd 𝕜 β
ContinuousConstVAdd 𝕜 β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c +ᵥ f x
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
⊢ spectrum S a ⊆ f ⁻¹' spectrum R a
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ↑(im z) = I * ((starRingEnd K) z - z) / 2
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ = ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
⊢ C * (y - x) ≤ f y - f x
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
d : ℤ
⊢ selfZPow x B (-d) * selfZPow x B d = 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ ∀ {X Y : (i : CategoryTheory.ConnectedComponents J) × CategoryTheory.Component i} (g : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.decomposedTo J).map g = CategoryTheory.Sigma.descMap CategoryTheory.Component.ι X Y g
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).Nonempty ↔ ¬s ⊆ t
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : AddSubgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑H = Set.univ
⊢ H.FiniteIndex
J : Type w₁
C' : Option J → Type u₁
(i : Option J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C' i)
⊢ (CategoryTheory.Pi.optionEquivalence C').inverse =
  CategoryTheory.Functor.pi' fun i =>
    match i with
    | none => CategoryTheory.Prod.fst (C' none) ((j : J) → C' (some j))
    | some i =>
      (CategoryTheory.Prod.snd (C' none) ((j : J) → C' (some j))).comp (CategoryTheory.Pi.eval (fun j => C' (some j)) i)
x y : UInt8
⊢ (x / y).toNat = x.toNat / y.toNat
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : CompleteLattice.IsCompactElement ⊤
⊢ IsCoatomic α
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε