ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m})
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this✝² : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)
this✝¹ : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)
this✝ : ↑m - ↑i ≠ 0
this : ↑(m.choose i) ≠ 0
⊢ ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose i) * ↑(n - i) * (↑i + 1)⁻¹ * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y
⊢ (F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y = F.εIso.inv.app X ≫ f ≫ (F.map (ρ_ m).inv).app Y
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis)⁻¹ *ᵥ traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis)⁻¹ *ᵥ traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Mul α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) * t = ⋃ i, ⋃ j, s i j * t
z τ : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂' z τ) = jacobiTheta₂' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
M : Type u_1
Monoid M
a : M
h : IsUnit a
⊢ ∃ b, a * b = 1
x y : ℝ≥0∞
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
V : Type u
G : SimpleGraph V
β : Sort u_1
f : V → β
h : ∀ (v w : V) (p : G.Walk v w), p.IsPath → f v = f w
v : V
⊢ SimpleGraph.ConnectedComponent.lift f h (G.connectedComponentMk v) = f v
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Set.univ ×ˢ Set.univ = Set.univ
R : Type u
Ring R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ ∃ n, ↑n = x
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((μ + ν).trim hm) s = (μ.trim hm + ν.trim hm) s
α : Type u
HasSSubset α
a b c : α
hab : a ⊂ b
hbc : b = c
⊢ a ⊂ c
α : Type u_1
Mul α
x y : αᵐᵒᵖ
h : Commute x y
⊢ Commute (MulOpposite.unop x) (MulOpposite.unop y)
C : Type (u + 1)
inst✝⁵ : Category.{u_1, u + 1} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
D : Type (u + 1)
inst✝³ : Category.{u_2, u + 1} D
inst✝² : ConcreteCategory D
inst✝¹ : HasForget₂ C D
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : IsIso ((forget₂ C D).map f)
i' : IsIso ((forget D).map ((forget₂ C D).map f))
this : IsIso ((forget C).map f)
⊢ IsIso f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ MeasurableSet (Set.Icc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] ↑↑(0 x)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ p ⟨b, hb⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ = MeasureTheory.eLpNorm (↑g) p ν
R : Type u
CommSemiring R
f : R
I : PrimeSpectrum R
⊢ I ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asIdeal
α : Type u
Ring α
Invertible 2
⊢ 1 - ⅟2 = ⅟2
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
⊢ ↑a * a.gcdA b ≡ ↑(a.gcd b) [ZMOD ↑b]
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsTotallyDisconnected {x}
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nodup
⊢ s.Nontrivial ↔ ¬s.length ≤ 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ (-f) x = -f x
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
hadp : Adapted 𝒢 fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)
i : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[∑ k ∈ Finset.range (i + 1), ξ k * (f (k + 1) - f k) - ∑ k ∈ Finset.range i, ξ k * (f (k + 1) - f k)|↑𝒢 i]
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
PredOrder α
a : WithTop α
ha : a ≠ ⊤
⊢ Order.pred (a.untop ha) = (Order.pred a).untop ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : Module 𝕜 E
⊢ (↑↑0).Pointed
ρ : Type u_1
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
x y : ReaderT ρ m α
h : ∀ (ctx : ρ), x.run ctx = y.run ctx
⊢ x = y
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Finite ι
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : Set.range ⇑P₁.coroot = Set.range ⇑P₂.coroot
⊢ P₁ = P₂
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ ENNReal.ofReal (x / y) = ENNReal.ofReal x / ENNReal.ofReal y
α β : Type u
f : ℕ → Cardinal.{u}
⊢ #(Quotient.out (f 0) ⊕ (n : ℕ) × Quotient.out (f (n + 1))) = f 0 + sum fun i => f (i + 1)
x : ENNReal
⊢ ↑(ENNReal.orderIsoIicOneBirational x) = (x⁻¹ + 1)⁻¹
M : Type u_1
DivInvMonoid M
a : Mᵈᵐᵃ
n : ℤ
⊢ DomMulAct.mk.symm (a ^ n) = DomMulAct.mk.symm a ^ n
n m k : Nat
hm : 0 < m
h : n * m = k * m
⊢ n = k
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ o.bmex f < (Order.succ o.card).ord
n : ℕ
m : Fin n
⊢ (finSuccEquiv n).symm (some m) = m.succ
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP :
  ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β)
    (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)
⊢ (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).IsStableUnderComposition
R : Type u
Semiring R
self : RankCondition R
n m : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R
⊢ Function.Surjective ⇑f → m ≤ n
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.map (⇑e) Filter.atTop = Filter.atTop
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
R : Type u_1
S : Type u_4
T : Type u_5
CommRing R
CommRing S
CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.IsIntegral
hg : g.IsIntegral
⊢ (g.comp f).IsIntegral
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ Irreducible a ↔ Prime a
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
SupSet α
f : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Function.Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x
⊢ ⨆ x, f x = ⨆ y, g y
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueAdd A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueAdd A B p2.1 p2.2
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueAdd A B a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
𝕜' : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : ContDiffWithinAt 𝕜' n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0
ha : 0 ≤ a
⊢ m ∣ n
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t
this : t ∉ e
⊢ ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), e ≠ b
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
⊢ g • s = s
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) y = o.oangle x y - θ
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
⊢ ￢⊤ = ⊥
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
f : X → L
t : R
a : lib R X
⊢ (FreeLieAlgebra.liftAux R f) (t • a) = t • (FreeLieAlgebra.liftAux R f) a
α : Type u_1
Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : p ∣ Fintype.card α
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
a : α
ha : σ a = a
⊢ ∃ b, σ b = b ∧ b ≠ a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w₁ w₂ : ReducedWord G A B
hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂
d : TransversalPair G A B
w₁' : NormalWord d
hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁
hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList
hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₁.head ∈ toSubgroup A B (-u)
w₂' : NormalWord d
hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₂'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂
hw₂'2 : List.map Prod.fst w₂'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList
hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₂'.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
⊢ List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocRing R✝
inst✝⁴ : Pow R✝ ℕ
inst✝³ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ r * (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ k).smeval r = k • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ k).smeval r + (r * (descPochhammer ℤ k).smeval r - (↑k).smeval r * (descPochhammer ℤ k).smeval r)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
BorelSpace G
TopologicalAddGroup G
H : Type u_4
AddGroup H
TopologicalSpace H
MeasurableSpace H
BorelSpace H
TopologicalAddGroup H
e : G ≃+ H
he : Continuous ⇑e
hesymm : Continuous ⇑e.symm
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure
a b : Int
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ a + b ≤ 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
b : ↥(𝒜 j)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * ↑b
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α.Arrow β
a : P.A
f' : (P.drop.B a).Arrow α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ MvFunctor.map g (P.wMk a f' f) = P.wMk a (TypeVec.comp g f') fun i => MvFunctor.map g (f i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u v : Finset α
⊢ s ∩ t ∩ (u ∩ v) = s ∩ u ∩ (t ∩ v)
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
x✝ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ testAgainstNN 0 x✝ = 0 x✝
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
F'.IsRightKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor C H
i : F ≅ G
G' : CategoryTheory.Functor D H
β : L.comp G' ⟶ G
G'.IsRightKanExtension β
⊢ (F'.rightKanExtensionUniqueOfIso α i G' β).inv =
  F'.liftOfIsRightKanExtension α G' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp β i.inv)
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1
⊢ x = y
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
LinearOrder α
a b : α
⊢ Ι a b =ᵐ[μ] Set.uIcc a b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.comp LinearMap.id LinearMap.id = B
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : Module.rank R (M ⧸ N) ≠ 0
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
⊢ #↑t ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝¹ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n✝ : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n✝ ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)
hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ s : Finset (Fin n), (p n) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y))
α : Type u
DivInvMonoid α
z : ℤ
a : Additive α
⊢ Additive.toMul (z • a) = Additive.toMul a ^ z
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
SecondCountableTopology X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
⊢ B f K r s ε ∈ 𝓝[>] x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
⊢ MeasurableSet {p | LineDifferentiableAt 𝕜 f p.1 p.2}
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
R : Type u
CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).toCoalgEquiv = CoalgEquiv.refl R ↑X.toModuleCat
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p1 : P
p2 : P
r : ℝ
hp : p1 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ s.orthogonalProjectionSpan (r • (p2 -ᵥ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2)) +ᵥ p1) = ⟨p1, hp⟩
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ Filter.Tendsto norm (Bornology.cobounded E) Filter.atTop
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := hc.conePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
⊢ IsIso (Fork.ι c)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : MeasureTheory.SigmaFinite (MeasureTheory.Measure.map f μ)
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite μ
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ zeroLocus {f ^ n} ↔ x ∈ zeroLocus {f}
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
x✝ : IsCoprime x x
a b : R
h : a * x + b * x = 1
⊢ x * (a + b) = 1
a b m n p : ℕ
⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G₁ G₂ : StructureGroupoid H
h : HasGroupoid M G₁
hle : G₁ ≤ G₂
⊢ HasGroupoid M G₂
C : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A✝ A' B B' : C
inst✝⁸ : HasBinaryProduct A✝ B
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁶ : HasBinaryProduct (F.obj A✝) (F.obj B)
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A✝)) (G.obj (F.obj B))
inst✝³ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A✝) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : HasBinaryProducts D
A : C
inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (prodComparison F A B)
⊢ prod.functor.obj A ⋙ F ≅ F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)
a b : ℤ
⊢ IsCoprime a b ↔ a.natAbs.Coprime b.natAbs
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (↑(integerLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
α : Type u
s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
hs : s₂.Countable
⊢ s₁.Countable
ss : List String
⊢ (String.join ss).data = (List.map String.data ss).join
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
a c : M
b d : ↥S
⊢ AddLocalization.mk a b = AddLocalization.mk c d ↔ (AddLocalization.r S) (a, b) (c, d)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : B * A = 1
⊢ IsUnit A
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
⊢ ⨆ i, range (stdBasis R φ i) = ⊤
A : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.129256, u_1} A'
inst✝³ : Category.{?u.129260, u_2} B'
inst✝² : Category.{?u.129264, u_3} T'
L✝ : A ⥤ T
R✝ : B ⥤ T
C : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} C
D : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} D
F : C ⥤ A
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
X✝ Y✝ : Comma (F ⋙ L) R
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ L.map (F.map f.left) ≫ ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) Y✝).hom = ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) X✝).hom ≫ R.map f.right
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ s = t → s ⊆ t
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ (killingForm R L).restrict H.toSubmodule = LieModule.traceForm R (↥H) L
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ Set.BijOn f s ∅ ↔ s = ∅
α : Type u_1
f : α → α
a : α
l : List α
n : Nat
⊢ List.modifyNth f (n + 1) (a :: l) = a :: List.modifyNth f n l
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)
⊢ f.natDegree = 0 ∨ M f
ι : Type u_1
LinearOrder ι
i : ι
⊢ IsGLB (Set.Ioi i) (LinearLocallyFiniteOrder.succFn i)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ π / 2
⊢ (π / 2)⁻¹ * x ≤ sin x
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a + c ≡ b + c [MOD n]
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp : ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) ((toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
⊢ ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α✝
inst✝¹ : Semiring β
a b : α✝
m n : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : Semiring α
x : α
⊢ (x ∈ Set.range fun x => 2 * x + 1) ↔ x ∈ {a | Odd a}
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
⊢ (p.coeff i).IsHomogeneous j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedLinearOrderedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
self : StrictConvexSpace 𝕜 E
r : ℝ
⊢ 0 < r → StrictConvex 𝕜 (Metric.closedBall 0 r)
b c d : ℕ
mr₂ : b + c + 1 ≤ 3 * d
⊢ c ≤ 3 * d
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (equiv K') (mk I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I)