ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ (ihom.ev M).app N = (TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
⊢ (l.rotate n).rotate m = l.rotate (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hf' : Memℒp f' p μ
f'meas : Measurable f'
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
TopologicalSpace R
f g : R →A[R] A
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ (pf 0) v = f x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
z : E
x✝ : z ∈ s
⊢ IsClosed {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) z‖ ≤ 1}
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : x ∈ ((of R).symm (x✝ • y)).support
⊢ x ∈ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb✝ : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : trace K L = 0
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ Nonempty (Fin pb.dim)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
LinearOrder X
OrderTop X
CompactIccSpace X
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atBot μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
C : Type u
X Y X✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
T : CategoryTheory.Monad C
T.Additive
F G : T.Algebra
r : ℤ
α : F ⟶ G
⊢ (r • α).f = r • α.f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
hg : Differentiable 𝕜 g
hf : Differentiable 𝕜 f
⊢ Differentiable 𝕜 (g ∘ f)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Clopens α
⊢ IsClopen self.carrier
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone
⊢ t.fst = ht.desc (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0)
M : Type u_4
N : Type u_5
SubNegMonoid M
SubNegMonoid N
f : M →+ N
hf : ∀ (x : M), f (-x) = -f x
a : M
n : ℤ
⊢ f (n • a) = n • f a
p : Class
x : ZFSet
⊢ ↑(ZFSet.sep p x) = {y | y ∈ x ∧ p y}
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ∈ slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => cexp (Complex.log x.1 * x.2)) p
α : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 < 4
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ Summable f
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hl : l.HasAntitoneBasis s
t : Set α
ht : t ∈ l
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in Filter.atTop, s i ⊆ t
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
hm : Function.Surjective m
⊢ (Filter.comap m f).NeBot
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H
g : G
⊢ g⁻¹ * ↑(Subgroup.MemLeftTransversals.toFun hS g) ∈ H
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (p.filter s h) a = 0
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] (N →ₗ[R] Q)
⊢ (homTensorHomEquiv R M N P Q) x = (homTensorHomMap R M N P Q) x
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.ceil (𝓝[>] ↑n) (pure (n + 1))
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)
⊢ 8 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K L
⊢ pb.equivAdjoinSimple.symm pb.gen = AdjoinSimple.gen K pb.gen
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ a * iSup f = ⨆ i, a * f i
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : CommRing R
⊢ fromBlocks 0 1 (-1ᵀ) 0 = fromBlocks (-1 • 0) (-1 • -1) (-1 • 1) (-1 • 0)
X : Bipointed
⊢ (Bipointed.swap.obj X).X = X.X
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
s : Set G
MeasurableNeg G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsAddLeftInvariant
ν'.IsAddLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun y => y + x) ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : (fun x => dirac x) x = (fun x => dirac x) y
⊢ x = y
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s t'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x
⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
hi : N.Indep (f '' I)
⊢ I ⊆ f ⁻¹' (f '' I)
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ (ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖a‖ ^ k * ‖f a‖
x y z : Bool
⊢ (x && (y || z)) = (x && y || x && z)
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
⊢ s.Promises s.get
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
x : M
r : R
h : x ∈ p
⊢ r • x ∈ p
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
hι : Nonempty ι
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set ((i : ι) × π i)
⊢ IsPreconnected s ↔ ∃ i t, IsPreconnected t ∧ s = Sigma.mk i '' t
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
⊢ (∃ t, p (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, p ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inl)) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Mono S.fromOpcycles
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
m : M₂
⊢ (e.toIsometry.comp e.symm.toIsometry) m = (QuadraticMap.Isometry.id Q₂) m
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
b a : α
⊢ {b}.truncatedSup a = if a ≤ b then b else ⊤
M : Type u_1
Add M
S T : AddSubsemigroup M
h : ∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hf : Function.Injective2 f
⊢ Set.image2 f (s ∩ s') t = Set.image2 f s t ∩ Set.image2 f s' t
E : Type u_2
Norm E
x : E
⊢ ‖Additive.ofMul x‖ = ‖x‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ ∀ (x y : V), (if x = t then if y = t then False else G.Adj s y else if y = t then G.Adj x s else G.Adj x y) ↔ (G.Adj x y ∧ ¬(G.Adj x y ∧ (t = x ∨ t = y)) ∨ s(x, y) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x, y) ∉ {s(t, t)}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
⊢ f.IsCycle
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
U : ↑X.affineOpens
S : 𝒰.J → ↑X.affineOpens := fun i => ⟨Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i), ⋯⟩
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑U ⋯)
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
⊢ False
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ (↑x).imI = 0
x y : EReal
hx : x ≠ ⊤
h'x : x ≠ ⊥
hy : y ≠ ⊤
h'y : y ≠ ⊥
⊢ (x - y).toReal = x.toReal - y.toReal
I : Type u
β : Type u_2
f : I → Type v₁
(i : I) → SMul β (f i)
b : β
x : (i : I) → f i
i : I
⊢ (b • x) i = b • x i
z : ℤ
hp : 0 < z
⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Monoid M
x : Mˣ
u : ↥(MulAction.stabilizer (ConjAct Mˣ) x)
this : ↑u • x = x
⊢ ↑x * ↑(ConjAct.ofConjAct ↑u) = ↑(ConjAct.ofConjAct ↑u) * ↑x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => -f x) s a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ ((∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
α : Type u_1
f : α →₀ ℕ
i : α
⊢ i ∈ Finsupp.toMultiset f ↔ i ∈ f.support
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ ⇑(Equiv.mulLeft₀ a ha) = fun x => a * x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
W'' : Submodule R (Module.Dual R (Module.Dual R M))
⊢ (Module.mapEvalEquiv R M).symm W'' = Submodule.comap (Module.Dual.eval R M) W''
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'
ts✝ : List α
h✝ : ts✝.length < n + 1
ts : List α
t : α
x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'
h : ts.length < n
⊢ (ts ++ [t]).permutations ~ (ts ++ [t]).permutations'
s : Substring
⊢ s.Valid → ∀ (n : Nat), (s.take n).toString.data = List.take n s.toString.data
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : List Γ
⊢ (List.map f.f l).headI = f.f l.headI
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
⊢ ⨆ c ∈ f '' t, g c = ⨆ b ∈ t, g (f b)
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Finset.univ = ∅ ↔ IsEmpty α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
i : ι
hit : i ∈ t
hit' : i ∉ filter (fun i => w i ≠ 0) t
⊢ w i = 0
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_2
α : Type u_3
f : β₁ → β₂
g : α → β₂ → α
l : List β₁
init : α
⊢ List.foldl g init (List.map f l) = List.foldl (fun x y => g x (f y)) init l
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep f
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint f
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
⊢ (n₁.natAbs * n₂.natAbs).Coprime (d₁ * d₂)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
q : α
hq : p ~ᵤ q
hf : (∀ b ∈ {q}, Prime b) ∧ {q}.prod ~ᵤ p
⊢ Prime q
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset (α × β)
⊢ s ⊆ Finset.image Prod.fst s ×ˢ Finset.image Prod.snd s
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β × γ
⊢ OrderHom.prodIso f = (OrderHom.fst.comp f, OrderHom.snd.comp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioc a b) (Set.Ioc (f a) (f b))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ b \ a ∆ b = a ⊓ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
⊢ HasFDerivWithinAt Φ Φ' s x ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => Φ x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp Φ') s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 id x
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x y : M₂
⊢ (fun x => f fun x_1 => x) (x + y) = (fun x => f fun x_1 => x) x + (fun x => f fun x_1 => x) y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
_hs' : DiscreteTopology ↑s
⊢ Filter.Tendsto Subtype.val Filter.cofinite (Filter.cocompact X)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
⊢ |↑g 1 0| ≤ 1
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
⊢ SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : a ≤ b
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ affineSpan 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ≤ affineSpan 𝕜 s
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIsomorphic X Y ↔ Nonempty (X ⟶ Y)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W
iWU : W ⟶ unop (op U)
h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
a b : R
h' : ∀ (x : ↥W), ∃ (hs : b ∉ (↑x).asIdeal), ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) a ⟨b, hs⟩
⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t \ {a}
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C
⊢ dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
⊢ l.revzip.reverse.unzip.1.zip l.revzip.reverse.unzip.2 = l.reverse.revzip
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : K
⊢ x ∈ A.toSubring ↔ x ∈ A
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ G.cliqueSet n = ∅ ↔ G.CliqueFree n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofHasCokernel S hg).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
⊢ List.destutter' R a [] = [a]
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ⊔ d = ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
t : N → ↑I
⊢ GenLoop.const t = x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : (p * q).Monic
⊢ p.Monic
α : Type u_1
t : Set α
ι : Sort u_11
s : ι → Set α
⊢ Disjoint t (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint t (s i)
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0
⊢ p ≤ q ↔ p.num * q.den ≤ q.num * p.den
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f = Y.ofRestrict ⋯ ≫ g
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioc ↑x ↑y = Ioc x y
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
x x' : M
⊢ x = x' → f x = f x'
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
G'' : SimpleGraph X
s : Set V
t : Set W
r : Set X
φ : G →g G'
φst : Set.MapsTo (⇑φ) s t
ψ : G' →g G''
ψtr : Set.MapsTo (⇑ψ) t r
⊢ (SimpleGraph.induceHom ψ ψtr).comp (SimpleGraph.induceHom φ φst) = SimpleGraph.induceHom (ψ.comp φ) ⋯
n : ℕ
⊢ (Nat.bit false n).fastFibAux =
  let p := n.fastFibAux;
  (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
G₀ : Type u_8
GroupWithZero G₀
x : G₀
hx : x ∈ G₀⁰
⊢ IsUnit x
x : ℝ
⊢ (Complex.cos ↑x).re = Real.cos x