ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s x
hg : SmoothWithinAt I' I g s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (f + g) s x
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.WEquiv x y → MvQPF.recF u x = MvQPF.recF u y
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
h : f =O[l] g'
⊢ ∃ c > 0, Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ t ∈ tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ t ∈ hd :: tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1
⊢ C (List.map List.prod (hd :: tl)).sum
R : Type u
CommRing R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
hQz : Q z ≠ 0
⊢ P ≈ Q ↔ P = Q
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (a ::ᵥ v).get 0 = a
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
ht : IsOpen t
⊢ exterior s ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range ⇑f)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.map f S ⊔ Subsemigroup.map f T) = S ⊔ T
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
⊢ Algebra.IsPushout R S R' S' ↔ Algebra.IsPushout R R' S S'
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Ico a b \ {a} ↔ x ∈ Ioo a b
β : Type u_4
LinearOrder β
NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ k < n, u k < u n
R : Type u
CommSemiring R
n k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C ↑(n.descFactorial k) * Polynomial.X ^ (n - k)
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
x : ↥(LinearMap.ker f)
⊢ f ((LinearMap.ker f).subtype x) = 0
α : Type u_1
s : Multiset α
h : s ⊆ 0
⊢ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ insert a l = if elem a l = true then l else a :: l
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ (¬∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ ¬o.nfpBFamily f a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
T X Y : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.lift f g)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X Y) =
  f
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G
hx : x ∈ ker f
⊢ f x = f 1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
⊢ ⇑(Q + Q') = ⇑Q + ⇑Q'
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : IsProj m f
x : ↥m
⊢ f ↑x = ↑x
α : Type u_1
⊢ WithBot.toDual ⊥ = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
ha : a ∉ (Submodule.span R {y}).annihilator
⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Type u_3
hι : Nonempty ι
s : ι → Set M
hs : ∀ (i : ι), IsAddSubmonoid (s i)
Directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k
⊢ IsAddSubmonoid (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ∑ i : ι, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ β
h1 : Measurable ⇑e
h2 : Measurable ⇑e.symm
⊢ { toEquiv := e, measurable_toFun := h1, measurable_invFun := h2 }.symm =
  { toEquiv := e.symm, measurable_toFun := h2, measurable_invFun := h1 }
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hf' : Memℒp f' p μ
f'meas : Measurable f'
this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})
n : ℕ
hn : eLpNorm (↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f') p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
⊢ verschiebung (frobenius x) = frobenius (verschiebung x)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
a b : αᵒᵈ
hab : a < b
⊢ μ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a) = ν (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : C * A = 1
⊢ B = C
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
k : α
hk : a = 2 * k + 1
⊢ Odd (-a)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
h : f.Disjoint g
⊢ (f * g).support = f.support ∪ g.support
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ (∀ (g : G) (A : Set G), MeasurableSet A → μ ((fun h => g * h) ⁻¹' A) = μ A) ↔ μ.IsMulLeftInvariant
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ ι Q = f ↔ g = (lift Q) ⟨f, cond⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b : β
⊢ (a₁, b) ≤ (a₂, b) ↔ a₁ ≤ a₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 < a
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
CompleteSpace A
a : A
⊢ (NormedRing.algEquivComplexOfComplete hA).symm a = ⋯.some
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
hn : n ∈ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))
⊢ False
A : Type u_1
AddMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
x : (n : A) × { x // x ∈ Finset.antidiagonal n }
⊢ Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd x = ↑x.snd
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑(rTensor M f)
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B✝ I✝ X R J I E B : Set α
hB : B ⊆ E
⊢ (uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶.Base B ↔ (uniqueBaseOn (E \ I) E).Base B
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M
⊢ ((fun m => m • y) g).2 ∈ orbit M y.2
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
⊢ {x | 1 < Valued.v k}.Finite
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
this : IsCofiltered J
u : (j : J') → F'.obj j
hu : u ∈ F'.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
h : F'.map { down := f } (u { down := j }) = u { down := j' }
⊢ F.map f ((fun j => (u { down := j }).down) j) = (fun j => (u { down := j }).down) j'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ ↑(pimage f (s ∪ t)) = ↑(pimage f s ∪ pimage f t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length
this : (take (i + 1) L).prod = (take (i + 1) L').prod
⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term (f + g) s = LSeries.term f s + LSeries.term g s
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ∫ (y : Ω), ‖f (X a, y)‖ ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) μ
p a : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ padicValNat p (a ^ n) = n * padicValNat p a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
a : A
X : C
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor E 0).obj (G.obj ((F.functor a).obj X))) ≫ (G.commShiftIso 0).inv.app ((F.functor a).obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D 0).obj ((F.functor a).obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorZero E A).hom.app (G.obj ((F.functor a).obj X))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = ν
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ (RingHom.snd R S).rangeS = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor
s : CategoryTheory.Limits.Cocone D
⊢ ((CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.liftedCoconeIsColimit c t).desc s).f = t.desc (T.forget.mapCocone s)
α : Type u
S T : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
h : Stream'.WSeq.LiftRel Stream'.WSeq.Equiv S T
⊢ S.join ~ʷ T.join
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ ⟦y₁ * x₂⟧ + ⟦y₂ * x₁⟧ < ⟦y₁ * x₁⟧ + ⟦y₂ * x₂⟧
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
n : OuterMeasure ((i : ι) → α i)
⊢ n ≤ OuterMeasure.pi m ↔ ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (univ.pi s).Nonempty → n (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
v : E
SecondCountableTopologyEither E F
hf : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => lineDeriv 𝕜 f x v) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z
⊢ {x, y, z}.einfsep = edist x y ⊓ edist x z ⊓ edist y z
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜) (4⁻¹ * (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) = 4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 1 = 1
hp_one : p 1
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), ((∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
⊢ Filter.Tendsto Real.sin (𝓝[<] (Real.pi / 2)) (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : β → γ
f : α → β
hg : MeasurePreserving g μb μc
hf : MeasurePreserving f μa μb
⊢ map (g ∘ f) μa = μc
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
self : CategoryTheory.WellPowered C
X : C
⊢ Small.{v, max u₁ v} (CategoryTheory.Subobject X)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
⊢ l.HasBasis p' s'
z w : ℂ
h : z.re = w.re
⊢ nndist z w = nndist z.im w.im
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ f (-c) = -f 0
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
self : Pretrivialization F proj
⊢ IsOpen self.target
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x y : E
s : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
x : ℝ
⊢ cos (x + π / 2) = -sin x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
⊢ M⁻¹ i j = 0
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
s : Set α
f : α → β
⊢ Filter.pmap (PFun.res f s) l = Filter.map f (l ⊓ Filter.principal s)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []
⊢ (a :: b :: l).dropLast ++ [(a :: b :: l).getLast h] = a :: b :: l
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ (fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p => p.1 - p.2
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
n : ℕ
h : (PowerSeries.coeff R n) φ ≠ 0
⊢ φ.order ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
l : f.LimZero
⊢ g.LimZero
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonUnitalNonAssocRing.toNonUnitalNonAssocSemiring R)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
b : β
⊢ (↑fun x => b).IsConstant
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
J : Type u_4
i : J ≃ I
⊢ OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ OrthogonalIdempotents e
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
a : α
⊢ Int.fract (↑n + a) = Int.fract a
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
hre : RCLike.re z = RCLike.re w
him : RCLike.im z = RCLike.im w
⊢ z = w
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ Function.Surjective (⇑(S.transitionMap n) ∘ ⇑(S.proj (n + 1)))
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₂ <+ l₁ ++ l₂
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ Embedding
  ⇑(CategoryTheory.Limits.prod.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x
⊢ (∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x) ∧ ‖g.extendTo𝕜‖ = ‖f‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
t : Set X
⊢ EMetric.diam (f '' (t ∩ s)) ≤ ↑C * EMetric.diam t ^ ↑r
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv i) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv i) p)
h : j ≠ i
⊢ (pderiv i) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv i) (p * X j))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
P Q : Submonoid M
⊢ MulAction.fixedPoints (↥(P ⊔ Q)) α = MulAction.fixedPoints (↥P) α ∩ MulAction.fixedPoints (↥Q) α
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ (𝟙 (F.obj (𝟙_ C) ⊗ F.obj X) ≫ F.μ (𝟙_ C) X) ≫ F.map (λ_ X).hom
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h :
  ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal),
    Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
⊢ I ≤ J
α : Type u_1
s : α → α → Bool
r : List α
⊢ List.merge s [] r = r
n : Type u_3
p : Type u_4
R : Type u_6
Fintype n
Fintype p
AddCommMonoid R
DecidableEq p
M : p → Matrix n n R
⊢ (Matrix.blockDiagonal M).trace = ∑ i : p, (M i).trace
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithUpper.ofUpper ⁻¹' s) ↔ TopologicalSpace.IsOpen s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
⊢ ∃ h, Bijective h
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ Function.swap dist = dist
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.leftOp
m : s.pt ⟶ (coneLeftOpOfCocone c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneLeftOpOfCocone c).π.app j = s.π.app j
j : J
⊢ (c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeLeftOp s)).unop) s).op).unop
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsGLB (range f) a
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 a)
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).degree ≤
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