ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
Y : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ ((CategoryTheory.plusPlusAdjunction J D).counit.app Y).val = J.sheafifyLift (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y.val) ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ (loopyOn E).Base B ↔ B = ∅
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ 0 < (↑(n + 1) / ↑n)⁻¹
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪r • x, (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Finset X
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, {x}
⊢ s.Finite
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
p1 p2 : P1
⊢ f.linear (p1 -ᵥ p2) = f p1 -ᵥ f p2
α : Type u_2
LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ IsGLB (↑s) i ↔ IsLeast (↑s) i
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x y : K
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x + y ∈ s
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S
⊢ φ (funMap f fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
h : G'.IsSpanning
v : V
⊢ ↑((G'.spanningCoeEquivCoeOfSpanning h) v) = v
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 (𝓝 x) = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 (Iic (𝓟 s))
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
S S' : Set (HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
inst✝ : Fact (0 < n)
⊢ Function.Injective ⇑fromUnitLift
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α → Finset β
DecidableEq β
a : α
⊢ {a}.biUnion t = t a
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯;
HEq (SetTheory.PGame.nim o).moveLeft fun i => SetTheory.PGame.nim (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
m : M
x_fx : CliffordAlgebra Q × N
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr'Aux Q f) m) x_fx = ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x_fx.1, (f m) x_fx)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
ho : IsOpen s
⊢ s ∈ 𝓝ˢ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
⊢ HasSum (fun n => a / 2 / 2 ^ n) a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
ha : pseudoApply S.f a' = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂MeasureTheory.volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
⊢ ⇑invMonoidHom = Inv.inv
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m + n) → α
⊢ List.ofFn f = (List.ofFn fun i => f (Fin.castAdd n i)) ++ List.ofFn fun j => f (Fin.natAdd m j)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : ‖f z‖ = ‖z‖
⊢ (f z).im = z.im ∨ (f z).im = -z.im
α : Type u_1
Add α
a b : Part α
hab : (a + b).Dom
⊢ a.Dom
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
x : A
⊢ x ∈ ⊥.toNonUnitalSubalgebra ↔ x ∈ ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c : ℝ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f (a * x)) (Set.Ioi c) MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi (a * c)) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ insert a (Set.Iio a) = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ (n + 1) = a ^ (n + 1) * b ^ (n + 1)
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
⊢ IsOpen (⇑(D.ι i) '' ↑U)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
b : β
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₁ b) (Sum3.in₀ a) ↔ ∃ c, (a, b, c) ∈ t
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ (↑n).re = ↑n
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
this : c = x * (b - x)
⊢ ∃ y, y * y - b * y + c = 0 ∧ x + y = b ∧ x * y = c
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, c ∂μ = c * μ s
ιA : Type u_1
ιM : Type u_3
A : ιA → Type u_4
M : ιM → Type u_5
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιM
GradedMonoid.GMonoid A
self : GradedMonoid.GMulAction A M
a a' : GradedMonoid A
b : GradedMonoid M
⊢ (a * a') • b = a • a' • b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelEpiComp f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc (f ≫ g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π g) ⋯
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w
⊢ (⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t).verts = (⊤.induce (s ∪ t)).verts
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i = 0
⊢ z i ^ w i = x ^ w i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∉ support R M ∪ support R P → x ∉ support R N
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).g' = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ f ∅ t = ∅
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
⊢ S.units.ofUnits ≤ S
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hB : B ⊆ A
hC : C ⊆ A
h : A ↓∩ B = A ↓∩ C
⊢ B = C
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
self : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
i : ℕ
h : i < rs.length
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take i rs) • ⊤) rs[i]
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
a : α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (a • M) i✝ j✝ = (M * diagonal fun x => a) i✝ j✝
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuous f ↔ IsClosed {p | p.2 ≤ f p.1}
ι : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
e : M → N
he0 : e 0 = 0
f : ι →₀ M
he : Function.Injective e
⊢ (Finsupp.mapRange e he0 f).support = f.support
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F✝
inst✝ : Module ℝ F✝
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x => 1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → Indep J → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Set α⦄, Indep I → I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofFinite hE Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).E = E
G : Type u_1
ι : Type u_2
CommGroup G
N : Subgroup G
s : Finset ι
f : ι → G
⊢ ↑(s.prod f) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
w x y z : SetTheory.PGame
hwx : w ≤ x
hyz : y.LF z
⊢ (w + y).LF (x + z)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.dist u v ≠ 0 ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v
α : Type u
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
⊢ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ σ, (∀ (i : ↑{i | i ∈ I}), (σ i).Finite) ∧ (∀ (i : ↑{i | i ∈ I}), σ i ⊆ s ↑i) ∧ t = ⋃ i, σ i
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : IsInitial I
h : ∀ (X : C), Mono (hI.to X)
I' X : C
hI' : IsInitial I'
⊢ Mono ((hI'.uniqueUpToIso hI).hom ≫ hI.to X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
c : 𝕜
x : E
⊢ (c • f) x = c • f x
α : Type u_3
Preorder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Filter.atBot, x ≠ a
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r ^ p) ≠ 0
s : O
hy : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (s ^ p) ≠ 0
h1p : 0 < 1 / ↑p
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s) ≠ 0
G : Type u_1
AddGroup G
n : ℕ
hn : (Nat.card G).Coprime n
⊢ Function.Bijective fun x => n • x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ a • s ⊆ t ↔ s ⊆ a⁻¹ • t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ derivative ↑n = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ Metric.diam (range f) = Metric.diam univ
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree = ↑i
⊢ f.integralNormalization.coeff i = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
f' : F
x : 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => star (f x)) (star f') x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℤ
⊢ re ↑n = ↑n
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
a : α
⊢ a ∈ (PMF.ofMultiset s hs).support ↔ a ∈ s.toFinset
α : Type u_4
LinearOrderedSemiring α
⊢ Subsingleton (FloorSemiring α)
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
⊢ MvPolynomial.degreeOf j (((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) p).coeff i) ≤ MvPolynomial.degreeOf j.succ p
n : Nat
k : Fin n
⊢ k.succ.rev = k.rev.castSucc
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : 0 < ⌊a⌋₊
ha : a ≤ 0
⊢ 0 < 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
⊢ H.Connected ↔ H.verts.Nonempty ∧ ∀ {u v : V}, u ∈ H.verts → v ∈ H.verts → ∃ p, p.toSubgraph ≤ H
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)
⊢ ↑(a + b).valMinAbs = ↑(a.valMinAbs + b.valMinAbs)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
⊢ Continuous (Function.uncurry fun x y => x.uncurry y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
this : CompactSpace ↑s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformlyOn F f p s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
⊢ (∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ u, (∀ (a_2 : ι), IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ univ.pi u ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
this : Nonempty ↑s
hx : f x ∈ closure (Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)))
⊢ Tendsto (fun n => ↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) atTop (𝓝 (f x))
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
β : α → Type u_3
f : (x : α) × β x → ℝ≥0
⊢ (Summable fun i => ↑(f i)) ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0
⊢ Pi.single i x ⬝ᵥ v = x * v i
X Y : Type u
CommRing X
CommRing Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toCommRingCatIso.hom = e.toRingHom
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
DecidableEq m
a : α
⊢ a • 1 = Matrix.diagonal fun x => a
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this✝⁵ : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
hsep : (minpoly (↥E') x).Separable
this✝⁴ : Algebra.IsSeparable F ↥E'
this✝³ : Algebra.IsSeparable ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝² : FiniteDimensional ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥(↥E')⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic ↥E' ↥(↥E')⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥E')⟮x⟯)
⊢ IsSeparable F x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
x : β
⊢ (x ∈ s.biUnion fun a => {f a}) ↔ x ∈ image f s
K : Type u_2
Field K
⊢ (PowerSeries.idealX K).intValuationDef PowerSeries.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
Nontrivial L
⊢ LieModule.chainTopCoeff (⇑α) 0 = 1
R : Type u
M : Type v
ι : Type u_3
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ TrivSqZeroExt.inr (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, TrivSqZeroExt.inr (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N
⊢ mapRange ⇑f ⋯ (mapRange ⇑f.symm ⋯ x) = x
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Set.Icc (a - ε) (a + ε)
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
⊢ Supermartingale (f + -g) ℱ μ
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ lfpApprox f ⊥ (succ #α).ord ≤ lfp f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s✝.destruct t✝.destruct
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s t
h : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s.destruct t.destruct
r p : ℝ≥0
⊢ ↑(r - p) = ↑r - ↑p
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
c : Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
j✝ : J
⊢ ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = ι F j✝ ≫ desc F c ≫ f
α : Type u_1
EDist α
x : α
⊢ {x}.einfsep = ⊤
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
f : m ≃. n
i : m
j : n
⊢ f.toMatrix i j = if j ∈ f i then 1 else 0
R : Type u_3
SeminormedCommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ r, (Ideal.Quotient.mk I) r = x ∧ ‖r‖ < ‖x‖ + ε
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Fin (n + 2) → Type u_1
x : α 0
p : (i : Fin n.succ) → α i.succ
⊢ cons x p 1 = cons x p (succ 0)
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f : ι → Set α
hS : ∀ s ∈ S, IsClosed s
⊢ IsClosed (⋃₀ S)
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ LinearMap.range (map f) = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
α : Type u_6
ι : Type u_7
AddCommMonoid α
f : ι → Multiset α
s : Finset ι
⊢ (∑ x ∈ s, f x).sum = ∑ x ∈ s, (f x).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLattice β
f g : α → β
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ essInf f μ = essInf g μ
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c d : C
p : c ⟶ d
γ₁ : c ⟶ c
x✝¹ : γ₁ ∈ S.arrows c c
γ₂ : c ⟶ c
x✝ : γ₂ ∈ S.arrows c c
h : (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) γ₁ = (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) γ₂
⊢ γ₁ = γ₂
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSolvable R L
Nontrivial L
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R L 1 < ⊤
α : Type u_2
self : NormedLinearOrderedAddGroup α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
α α' : Sort u
β : α → Sort v
β' : α' → Sort v
f : (a : α) → β a
f' : (a : α') → β' a
hα : α = α'
h : ∀ (a : α) (a' : α'), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
⊢ HEq f f'
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ
x : α
⊢ s ∩ Multiset.replicate n x = Multiset.replicate (min (Multiset.count x s) n) x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Irreducible ↑p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ ℕ
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯
⊢ (α + β).hom = α.hom + β.hom
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
h : BddAbove s
⊢ BddBelow s⁻¹