ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h_le_pow : ∀ (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ (2 ^ (n + 1))⁻¹
⊢ ∑' (i : ℕ), (2 ^ (i + 1))⁻¹ ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ (sphere x r).Nonempty ↔ 0 ≤ r
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι
⊢ (∀ j ∈ t, Polynomial.Splits i (s j)) → Polynomial.Splits i (∏ x ∈ t, s x)
α : Type u_1
m n : PosNum
h : ↑m = ↑n
⊢ pos m = pos n
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
Nontrivial G
Finite G
⊢ Nontrivial ↥(Subgroup.center G)
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a + c < b + d
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, IsCompl (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ (∃ x ∈ H, x ≠ 1) ↔ ¬∀ x ∈ H, x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
y : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a : ℝ
ha : 0 < a
x : E
hx : x ∈ s
ha' : a < gauge s ((fun x => a • x) x) + ε / 2
⊢ gauge s ((fun x => a • x) x + y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s y + ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ Sieve.pullback f R = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
⊢ ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬a + x = a_1
n a b : ℕ
m : ℕ
h : a ≡ b [MOD m * n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctorIso C n i i' hi).hom.app X).τ₁ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z
ry rz₂ : R
hry : 0 < ry
hrz₂ : 0 < rz₂
Hy : ry • y = rz₂ • z
⊢ SameRay R (x + y) z
z w : ℂ
h : z.re = w.re
⊢ edist z w = edist z.im w.im
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Pairwise ι),
  (TopCat.Presheaf.SheafCondition.pairwiseToOpensLeCover U).obj a =
    TopCat.Presheaf.SheafCondition.pairwiseToOpensLeCoverObj U a
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s \ t ∩ (s \ u) = s \ (t ∪ u)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → 𝕜
g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
⊢ MeromorphicAt (f • g) x
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f₁ f₂ : R →+* S₁
g₁ g₂ : σ → S₁
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
⊢ f₁ = f₂ → g₁ = g₂ → p₁ = p₂ → (MvPolynomial.eval₂Hom f₁ g₁) p₁ = (MvPolynomial.eval₂Hom f₂ g₂) p₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
j : J
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.π T j).hom₃ = CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => (T j).obj₃) j
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
h : f = g
x : ι → M
⊢ f x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace γ
T3Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Filter.Tendsto f (Filter.comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
⊢ Continuous (di.extend f)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
a : α
⊢ (Finsupp.onFinset s f hf) a = f a
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
g : S → R
f : R →+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : ↥f.rangeS
⊢ (RingEquiv.ofLeftInverseS h).symm x = g ↑x
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.lengthParity (t * w) ≠ cs.lengthParity w
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ aleph' x ≤ c
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → ℕ → α
⊢ ⨆ n, f (Nat.unpair n).1 (Nat.unpair n).2 = ⨆ i, ⨆ j, f i j
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
⊢ I • N ≤ N
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
U : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace ↥U
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥U
x : E
⊢ (orthogonalProjection U) x = ∑ i : ι, ⟪↑(b i), x⟫_𝕜 • b i
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact ↔
  ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), CategoryTheory.IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
hK : IsPGroup p ↥K
hHK : H ≤ K
a b : ↥H
h : (Subgroup.inclusion hHK) a = (Subgroup.inclusion hHK) b
⊢ ↑((Subgroup.inclusion hHK) a) = ↑((Subgroup.inclusion hHK) b)
n a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ b ≡ a [MOD n]
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ ↑0 = ↑zero >>> n
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ (⋂ i, s i) +ᵥ t ⊆ ⋂ i, s i +ᵥ t
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.coeff (p.natDegree + 1) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
hT : Dense ↑T.domain
CompleteSpace E
⊢ T.adjoint.IsFormalAdjoint T
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
q₁ q₂ : Λ'
q₁_ih : Λ'.Supports S q₁ → trStmts₁ q₁ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₁) S
q₂_ih : Λ'.Supports S q₂ → trStmts₁ q₂ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₂) S
H₁ : Λ'.Supports S (q₁.pred q₂)
HS₁ : insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂)) ⊆ S
h₁ : q₁.pred q₂ ∈ S
h₂ : unrev q₂ ∈ S ∧ ∀ (a : Λ'), a ∈ trStmts₁ q₁ ∨ a ∈ trStmts₁ q₂ → a ∈ S
⊢ Supports (insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂))) S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : M' → M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiff I' J m (⇑h ∘ f) ↔ ContMDiff I' I m f
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIciTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ IsGreatest s (sSup s)
α : Type u
β : Type v
m : α → β
b : β
⊢ Filter.comap m (pure b) = 𝓟 (m ⁻¹' {b})
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
⊢ AddOpposite.op ↑n = ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ v.restrict i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Irreducible a
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s
X Y : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
f : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom X Y
⊢ f.comp (CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.id Y) = f
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective ⇑(MvPolynomial.rename f)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * (t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !))
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i : m
⊢ ‖diagonal v i i‖₊ = ‖v i‖₊
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I✝ J✝ : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
I J : Finset ι
⊢ (P I) univ = (P J) univ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
s : Set α
⊢ f '' lowerBounds s ⊆ lowerBounds (f '' s)
α : Type u_2
DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b
⊢ IsSquare (a / b)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ s.Nodup → s.erase a = Multiset.filter (fun x => x ≠ a) s
α : Type u_2
One α
Mul α
Inv α
a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).alternatingProd = a * b⁻¹ * l.alternatingProd
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : ι → Set E
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
I : Finset ι
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset ι
hJ_ss : I ⊆ J
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂ x ∈ fun a => a ∈ J.val, F x).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hG :
  ⦃Y : C⦄ →
    (f : Y ⟶ X) → CategoryTheory.Limits.IsLimit (G.mapCone (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements (CategoryTheory.presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
⊢ ∃ φ,
  ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g)),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (G.map p.op) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map p.op)
        ((x (CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g) hp).app
          (Opposite.op (CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))))
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0
⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2)) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : t' α
⊢ Comp.mk ((fun x => ⇑(eqv γ) <$> x) <$> traverse f <$> traverse g ((eqv α).symm x)) = Comp.mk (Equiv.traverse eqv f <$> Equiv.traverse eqv g x)
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ (pos p).succ'.pred'.toZNumNeg = ZNum.neg p
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SecondCountableTopology H
s : Set M
hs : ⋃ x, (chartAt H ↑x).source = univ
hsc : s.Countable
this✝ : ∀ (x : M), SecondCountableTopology ↑(chartAt H x).source
this : Encodable ↑s
⊢ SecondCountableTopology M
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term (f - g) s n = term f s n - term g s n
m : Type u_3
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype m
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ ‖Matrix.col ι v‖₊ = ‖v‖₊
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f 0
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae 0] f
⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂0) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂0) / 0 univ
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
PartialOrder 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[<] 0) (𝓝 f')
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
Algebra ℚ R
Algebra ℚ S
f : R →+* S
r : ℚ
⊢ f ((algebraMap ℚ R) r) = (algebraMap ℚ S) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
⊢ (permsOfList (a :: l)).length = (a :: l).length !
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ tangentConeAt 𝕜 Set.univ x = Set.univ
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
M : ℝ
M_nonneg : 0 ≤ M
h_above : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
h_below : ∀ N ≥ 0, (∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ N * ‖x‖) → M ≤ N
⊢ ‖f‖ = M
a b : UInt64
⊢ (a % b).toNat = a.toNat % b.toNat
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set R
a : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
U V : C
f₁ f₂ : U ⟶ V
e : G.map f₁ = G.map f₂
⊢ CategoryTheory.Sieve.equalizer f₁ f₂ ∈ J.sieves U
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Sheaf C X
U V : Opens ↑X
s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)
⊢ F.interUnionPullbackConeLift U V s ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.fst
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i • ⊤ ≤ ⊥
l : Filter ℂ
hre : Tendsto re l atTop
him : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun z => |z.im|
⊢ im =O[l] fun z => z.re ^ 0
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ (A.updateRow i (A i + c • A j)).det = A.det
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
x y : α × β
⊢ Codisjoint x y ↔ Codisjoint x.1 y.1 ∧ Codisjoint x.2 y.2
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff i)).IsHomogeneous (1 * j)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α
⊢ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) ≤ dist a b
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Multiset.toFinset 0 = ∅
a : ℝ
⊢ frontier {z | z.re ≤ a} = {z | z.re = a}
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.cos (z * ↑x) = Complex.sin (z * ↑b) / z - Complex.sin (z * ↑a) / z
α : Type u_2
P : α → Prop
⊢ (MeasureTheory.extend fun x x => ⊤) = ⊤
α : Type u
CommSemiring α
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ (s.card * n + 1) ∈ Ideal.span ((fun i => f i ^ (n + 1)) '' ↑s)
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
x : K
hx : ¬x = 0
this : Invertible x := invertibleOfNonzero hx
⊢ IsAlgebraic R x⁻¹ ↔ IsAlgebraic R x
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
c : C
⊢ adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c) ≫ R₂.map (H.map (𝟙 (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯
α : Type v
Preorder α
NoMinOrder α
b : α
⊢ ⋃ a, Set.Ioo a b = Set.Iio b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ J.W ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).map φ) ↔ CategoryTheory.IsIso φ
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
x : A
⊢ x ∈ I.toIdeal ↔ x ∈ I
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atTop, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≥ a, ∀ l ≥ a, p (k, l)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ (f.extend I).target ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : InvolutiveInv α
f g : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ s⁻¹ ∈ f⁻¹
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
f g : ℕ → ℕ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), ((u ∘ f ∘ φ) n, (u ∘ g ∘ φ) n) ∈ V n
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α → β) (h₁ : f 1 = 1)
  (h₂ :
    ∀ (x_2 y : α),
      { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun (x_2 * y) =
        { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun x_2 * { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun y)
  (h₃ : (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0)
  (h₄ :
    ∀ (x_2 y : α),
      (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x_2 + y) =
        (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x_2 +
          (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y),
  ↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ } =
    { toFun := f, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ }
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Iic b = Set.Iic (a + b)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.8576, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct
⊢ l.l.op ≫ i.op = f.op
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ i}ᶜ