ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
⊢ CategoryTheory.Skeletal (CategoryTheory.ThinSkeleton C)
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s t : Set (α → M)
hs : A.Definable L s
ht : A.Definable L t
⊢ A.Definable L (s ⇨ t)
n m : ℕ
H : Ordnode.Raised n m
⊢ m.dist n ≤ 1
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
p : Bundle.TotalSpace F Z.Fiber
⊢ (↑(Z.localTrivAt b) p).2 = Z.coordChange (Z.indexAt p.proj) (Z.indexAt b) p.proj p.snd
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ (∏ i ∈ s, (f i)!) * Nat.multinomial s f = (∑ i ∈ s, f i)!
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ u ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ l ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
x y : SetTheory.PGame
⊢ -y ≤ -x ↔ x ≤ y
n : ℕ
K : Type u_2
Field K
μ : K
NeZero ↑n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GSemiring A
n : ℕ
fι : Fin n → ι
fA : (a : Fin n) → A (fι a)
⊢ (List.ofFn fun a => (DirectSum.of A (fι a)) (fA a)).prod =
  (DirectSum.of A ((List.finRange n).dProdIndex fι)) ((List.finRange n).dProd fι fA)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
StarAddMonoid F
ContinuousStar F
StarModule 𝕜 F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => star (f x)) (star f') x L
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
easy : ¬↑P G < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
⊢ {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
K : Type u_1
Field K
f : K[X]
a : K
hf' : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative f) ≠ 0
⊢ IsCoprime (Polynomial.X - Polynomial.C a) (f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a))
r : ℝ
⊢ Convex ℝ {c | c.re < r}
a b : Prop
l : List Prop
h : b ∈ l
⊢ (a :: l).TFAE ↔ (a ↔ b) ∧ l.TFAE
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffAt I I n id x
α : Type u
L : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeGroup.Red ((x, b) :: L) [] ↔ FreeGroup.Red L [(x, !b)]
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ f.mk' x 1 = f.toMap x
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m (s ∩ t ∪ s \ t) - m t ≤ m (s \ t)
α : Type u_1
E I X : Set α
⊢ (Matroid.loopyOn E).Basis I X ↔ I = ∅ ∧ X ⊆ E
a c b_n : ℕ
b_ih : a.choose c ≤ (a + b_n).choose c
⊢ a.choose c ≤ (a + (b_n + 1)).choose c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : SimplexCategory ⥤ Cᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategory), ((CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).counitIso.inv.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj X_1)
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors
⊢ a.factors = b.factors
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ ζ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : α → γ → σ₁ → σ₁ × ζ
f₂ : β → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ xs (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ ys s₂).2 s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y s =>
        let r₂ := f₂ y s.2;
        let r₁ := f₁ x r₂.2 s.1;
        ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
refl : Reflexive r
trans : Transitive r
⊢ Relation.ReflTransGen r = r
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.support.card ≤ p.natDegree + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f✝ : R →+* S
g : R →+* T
f : R →+* S × T
x : R
⊢ (((fst S T).comp f).prod ((snd S T).comp f)) x = f x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.sin (x - ↑n * (2 * Real.pi)) = Real.sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrder β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
⊢ ContinuousAt arg x
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ (a + b) * c = c * a + c * b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
⊢ K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)
p : Prop
α : Type u
h₁ : Subsingleton α → p
h₂ : Nontrivial α → p
⊢ p
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 VAdd.vadd s t = s +ᵥ t
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).disjSups t = s₁.disjSups t ∪ s₂.disjSups t
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
t : Subring S
⊢ Subring.map f (Subring.comap f t) = t ⊓ f.range
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s
h : ∀ s ∈ S, TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃ i ∈ S, i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0
⊢ (laurent 0) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
⊢ ∀ (i : ℕ), G'.Colorable i → ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₃ f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₁ f₂ =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₁ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
n : ℕ
⊢ f.SameCycle ((f ^ n) x) y ↔ f.SameCycle x y
X : Type u
TopologicalSpace X
p q : X → Prop
hp : IsOpen {x | p x}
hq : IsClosed {x | q x}
⊢ IsClosed {x | p x → q x}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a✝ a : α
⊢ {a}⁻¹ = {a⁻¹}
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
g : β → γ
f : γ → α → m α
a : α
l : t β
⊢ Traversable.foldrm f a (g <$> l) = Traversable.foldrm (f ∘ g) a l
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n
⊢ X ^ n - 1 = (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
x : α
⊢ 0 ≤ ∫ (a : Ω), ‖f (x, a)‖ ∂ρ.condKernel x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ
⊢ p.2 < count p.1 m₁ → p.2 < count p.1 m₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
f : α →+ H
a b : α
g : ↑(⇑f ⁻¹' {f a})
⊢ ↑((f.fiberEquiv a b) g) = b + (-a + ↑g)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
⊢ ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Embedding f
s : Set α
h : IsTotallyDisconnected (f '' s)
⊢ IsTotallyDisconnected s
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
A B : J
f : A ⟶ B
⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app B = c.π.app A ≫ (D.map f).f
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ p = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ InnerProductSpaceable.innerProp' E ↑(-1)
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : α → β
H : ∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, f x = f y → x = y
d : l.Nodup
⊢ (List.map f l).Nodup
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x y : K
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x / FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ y = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ (x / y)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ((f j) r).cast + ((f j) s).cast - (((f j) r).cast + ((f j) s).cast) = 0
R : Type u_1
CommRing R
Ring.DimensionLEOne R
p₀ p₁ p₂ : Ideal R
hp₁ : p₁.IsPrime
hp₂ : p₂.IsPrime
⊢ ¬(p₀ < p₁ ∧ p₁ < p₂)
α : Type u_2
Bornology α
S : Set (Set α)
hs : S.Finite
⊢ Bornology.IsBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, Bornology.IsBounded s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.Integrable (f i) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f g₁ g₂ : α → β
h : f =ᶠ[l] g₁
h₂ : g₁ ~[l] g₂
⊢ f ~[l] g₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ Tendsto (fun y => ‖y - (x, x)‖) (nhds (x, x)) (nhds 0)
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ MeasureTheory.Measure.map Prod.fst (μ.prod ν) = ν Set.univ • μ
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp : GenContFract.IntFractPair K
stream_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp
⊢ let g := GenContFract.of v;
let B := (g.contsAux (n + 1)).b;
let pB := (g.contsAux n).b;
v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))
α : Type u_1
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
⊢ s.toFinset ⊆ t.toFinset ↔ s ⊆ t
α : Type u
p : α → Bool
l : List α
x : α
hx : x ∈ List.takeWhile p l
⊢ p x = true
G₀ : Type u_3
MulZeroClass G₀
a : G₀
⊢ SemiconjBy a 0 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g₁ g₂ : β → γ
hf : Set.SurjOn f s t
hf' : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s ↔ Set.EqOn g₁ g₂ t
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ c * b
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Add M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableAdd M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => c + f x
w : Nat
x : BitVec w
y : Nat
⊢ x.toNat = y ↔ y < 2 ^ w ∧ x = BitVec.ofNat w y
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
f₁.NeBot
g₁.NeBot
⊢ f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂ ↔ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f → QuasiconcaveOn 𝕜 s (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s ∅ ↔ s = ∅
n : ℤ
⊢ |↑n| = Complex.abs ↑n
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
⊢ Ordinal.type r = 1 ↔ Nonempty (Unique α)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ WithTop.map f ⊤ = ⊤
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
b : Γ
h : b ∈ ((HahnSeries.single a) r).support
⊢ b = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.rightFraction.s φ.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.rightFraction.f φ.s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ -θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b : ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : [[a, b]] ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
⊢ ¬IntegrableOn g [[a, b]] volume
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ
⊢ (∀ᵐ (x : E) ∂μ, L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : (Finsupp.total ι M R v) f ∉ Submodule.map (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.supported R R ↑f.support)
w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
p : Fin (n + 1)
f : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ p.insertNth (f p) (p.removeNth f) = f
E : Type u_1
G : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAlgebra ℝ 𝕜
NormedSpace 𝕜 G
IsScalarTower ℝ 𝕜 G
f : E → 𝕜
g : E → G
v : E
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (fderiv ℝ f x) v • g x) μ
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • (fderiv ℝ g x) v) μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • g x) μ
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
⊢ ∫ (x : E), f x • (fderiv ℝ g x) v ∂μ = -∫ (x : E), (fderiv ℝ f x) v • g x ∂μ
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
I_ne_top : I ≠ ⊤
homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, SetLike.Homogeneous 𝒜 x → SetLike.Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ I.IsPrime
α : Sort u_1
β : Type u_2
p : Set β
f : α ↪ β
H : ∀ (a : α), f a ∈ p
a : α
⊢ (Function.Embedding.codRestrict p f H) a = ⟨f a, ⋯⟩
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval r) (p • 0) = Polynomial.eval r p • (eval r) 0
R : Type u_1
Ring R
p : Polynomial R
⊢ p ∈ Subring.closure (insert Polynomial.X {f | f.degree ≤ 0})
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ofMulAction k G (Fin (n + 1) → G) ⟶ A
x : Fin n → G
⊢ f.hom ((diagonalSucc k G n).inv.hom (Finsupp.single 1 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single x 1)) = f.hom (Finsupp.single (Fin.partialProd x) 1)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x y : M
⊢ f (x - y) = f x - f y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
⊢ Tendsto (fun n => Memℒp.toLp (f n) ⋯) fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₃ p₂ p₁ = ↑π
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
⊢ (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k)
ι : Type u_1
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
I : BoxIntegral.Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J
H_nhds :
  ∀ z ∈ BoxIntegral.Box.Icc I,
    ∃ U ∈ 𝓝[BoxIntegral.Box.Icc I] z,
      ∀ J ≤ I,
        ∀ (m : ℕ),
          z ∈ BoxIntegral.Box.Icc J →
            BoxIntegral.Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
⊢ p I
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : QPF.IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop
⊢ Functor.Liftp p x ↔ ∀ u ∈ Functor.supp x, p u
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
⊢ LinearMap.ker (q.leadingCoeff • f - (algebraMap K (End K V)) (-q.coeff 0)) = LinearMap.ker (eval₂ (algebraMap K (End K V)) f (q.leadingCoeff • X + C (q.coeff 0)))
f : StieltjesFunction
s₁ s₂ : Set ℝ
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ f.length s₁ ≤ f.length s₂
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
⊢ (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m ∈ q.asIdeal) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal)
a : ℤ
e b : ℕ
⊢ J(a ^ zero | b) = J(a | b) ^ zero
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
⊢ (α_ X.fst Y.fst (U ⊗ U')).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β (U ⊗ U')).hom ≫ (α_ X.fst (U ⊗ U') Y.fst).inv ≫ (X.snd.β (U ⊗ U')).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ (U ⊗ U') X.fst Y.fst).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom) ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : Set.univ ⊆ s ∪ t
hsu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)
htu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)
⊢ MeasurableSet u
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.dedup ⊆ t ↔ s ⊆ t
α : Sort u
lt : α → α → Prop
IsStrictWeakOrder α lt
DecidableRel lt
a b c : α
⊢ lt a b → ¬lt b c ∧ ¬lt c b → lt a c
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
h : ¬∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
⊢ ∃ a, S = closure {a}