ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : ¬R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x) < 1
⊢ False
self : TopCat.GlueData
i j : self.J
⊢ OpenEmbedding ⇑(self.f i j)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ lsub f = lsub fun i => f i.down
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₃ t₂ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f → Continuous f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasSum (fun x => (starRingEnd 𝕜) (f x)) ((starRingEnd 𝕜) x) ↔ HasSum f x
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, n ≤ l.length → (List.take n l).length = n
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ h (g q) - q ∈ range f
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ IsPeriodicPt (f ∘ g) (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow F d).map f = CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.unop.left.op ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)
⊢ range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (range (k + 1))
n m : Nat
⊢ LE.le n m → Or (Eq n m) (LT.lt n m)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
⊢ (EqvGen.Setoid fun x y => ∃ r ∈ s, r.Rel x y) = EqvGen.Setoid (⨆ a ∈ s, a.Rel)
R : Type u
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ star x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
SemilatticeSup M
OrderBot M
h : MvPolynomial.weightedTotalDegree w φ < n
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ -a < 0 ↔ 0 < a
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) (Finset.sort (fun x x_1 => x ≥ x_1) s)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x
β : Type u_4
LinearOrder β
NoMinOrder β
u : ℕ → β
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atBot
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ k < n, u n < u k
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
⊢ Function.Injective FirstOrder.Language.Term.listEncode
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
⊢ (MvPowerSeries.coeff R d) (f ^ n) = 0
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hr : r < 1
⊢ (lineMap a b) r < (lineMap a' b) r
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ
h₁ : ∀ (k : ℕ), log_stirlingSeq' k - log_stirlingSeq' (k + 1) ≤ 1 / 4 * (1 / ↑(k + 1) ^ 2)
h₂ : ∑ k ∈ range n, 1 / ↑(k + 1) ^ 2 ≤ d
⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
hl : ∃ l, l < a
hu : ∃ u, a < u
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun b => b.1 < a ∧ a < b.2) fun b => Set.Ioo b.1 b.2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
z₁ z₂ : S
⊢ mk' S x y + z₁ = z₂ ↔ (algebraMap R S) x + z₁ * (algebraMap R S) ↑y = z₂ * (algebraMap R S) ↑y
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J
⊢ IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
IsDomain S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
⊢ (RingHom.ker f).IsPrime
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
this : Fact (μ s < ⊤)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ + ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
P : α → Prop
Pbot : P ⊥
Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)
t : Finset β
f : β → { x // P x }
this✝ : SemilatticeSup { x // P x } := Subtype.semilatticeSup Psup
this : OrderBot { x // P x } := Subtype.orderBot Pbot
⊢ ↑(t.sup f) = t.sup fun x => ↑(f x)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
this : (A.ρ 1) (↑f 1) - ↑f (1 * 1) + ↑f 1 = 0
⊢ ↑f 1 = 0
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
⊢ False
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a ^ 2 < b * c
⊢ a < max b c
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f = MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T g
b : Bool
n : Num
⊢ ↑(Num.bit b n) = Nat.bit b ↑n
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
CommRing S
Algebra R S
x : S
p : Submodule R S
y : S
hx : x ∈ nonZeroDivisors S
⊢ x * y ∈ x • p ↔ y ∈ p
R : Type uR
Ring R
Small.{uM, uR} R
M : Type uM
AddCommGroup M
Module R M
inj : Module.Injective R M
P : Type uP
AddCommGroup P
Module R P
P' : Type uP'
AddCommGroup P'
Module R P'
f : P →ₗ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
g : P →ₗ[R] M
⊢ ∃ h, h ∘ₗ f = g
F : Type u_1
Field F
x : F
⊢ IsSolvable (Polynomial.C x).Gal
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
g0 : α → ℝ≥0∞
f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x
g0_cont : LowerSemicontinuous g0
g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2
s : Set α
hs : {x | (fun x => f x = AEMeasurable.mk f fmeas x) x}ᶜ ⊆ s
smeas : MeasurableSet s
μs : μ s = 0
g1 : α → ℝ≥0∞
le_g1 : ∀ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ≤ g1 x
g1_cont : LowerSemicontinuous g1
g1_int : ∫⁻ (x : α), g1 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ∂μ + ε / 2
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
GroupWithZero α
MulAction α β
Zero γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
⊢ (Function.support fun x => f (c⁻¹ • x)) = c • Function.support f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝
⊢ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
⊢ ContinuousAt f b ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝 b) (𝓤 α)
G : Type u
Add G
self : IsLeftCancelAdd G
a b c : G
⊢ a + b = a + c → b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
⊢ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)
⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)).sum.bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' Complex.HadamardThreeLines.verticalClosedStrip 0 1)
⊢ ‖f z‖ ≤ Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f z.re
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
s : Set α
hs : s = ↑L
⊢ ↑(L.copy s hs) = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
⊢ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
X : Type u_3
E : Type u_1
A : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : Set.EqOn (p ∘ g₁) (p ∘ g₂) s
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ Set.EqOn g₁ g₂ s
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
p p' : α → Bool
hp : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x = p' x
⊢ countP p l₁ = countP p' l₁
α β : Type u
⊢ #α ≤ ℵ₀ ↔ Countable α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ ∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet (f ⁻¹' U) ∧ μ (f ⁻¹' U) ≠ ⊤
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
⊢ Function.IsPeriodicPt id n x
Ω : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β
MeasurableNeg β
hfg : ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (-f) g μ
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn rexp (Set.Iic c) MeasureTheory.volume
α : Type u
R : Type v
Ring R
f : FreeRing α →+* R
⊢ FreeRing.lift (⇑f ∘ FreeRing.of) = f
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
⊢ I.distortion = J.distortion
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
f : X →ᵇ E
⊢ ∫⁻ (x : X), ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑‖f‖₊ * μ Set.univ
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish (q + 1) φ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
⊢ ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0
h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : p.content ≠ 0
⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.trunc n ((PowerSeries.derivative R) f) = Polynomial.derivative (PowerSeries.trunc (n + 1) f)
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : H₁.Normal
hH₂ : H₂.Normal
hdis : Disjoint H₁ H₂
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂
⊢ Commute x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ y ∈ s, f x ≤ f y
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝¹ : P.IsPrime
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Q' : Ideal (S ⧸ I)
Q'_prime : Q'.IsPrime
hQ' : comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q' = map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P
⊢ comap (algebraMap R S) (comap (Quotient.mk I) Q') = P
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(f ⊔ g) =ᵐ[μ] ↑↑f ⊔ ↑↑g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.stoppedValue u (MeasureTheory.hitting u s n m) ω ∈ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
⊢ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i) = ⊥
q : ℚ
⊢ Complex.normSq ↑q = ↑q * ↑q
X : Type u_2
TopologicalSpace X
⊢ (∀ (a : X), IsOpen {a}) ↔ DiscreteTopology X
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
⊢ s.IsWF ↔ ∀ (f : ℕ → α), StrictAnti f → ¬∀ (n : ℕ), f (OrderDual.toDual n) ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑(y₂, s₂).2 = (algebraMap R S) (y₂, s₂).1
⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id P = { f := P.p, comm := ⋯ }
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
H : IsReal (φ.comp ↑f)
⊢ φ = (φ.comp ↑f).comp f.symm.toRingHom
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ ∀ (a : CliffordAlgebra Q), CliffordAlgebra.reverseEquiv a = CliffordAlgebra.reverse a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
x✝ : ↑m ≤ n
⊢ Differentiable 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m fun x => 0)
n m : ℕ
⊢ Finset.range n ⊆ Finset.range m ↔ n ≤ m
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : α) in Filter.cocardinal α hreg, a ≠ x
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ edist (f n) a ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff A n) (__src✝.toFun ((algebraMap R (HahnSeries ℕ A)) r)) = (PowerSeries.coeff A n) ((algebraMap R (PowerSeries A)) r)
f : Code → Code
hf : Computable f
g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← (ofNat Code x).eval x (ofNat Code b).eval y
this✝ : Partrec₂ g
cg : Code
eg : cg.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a)
eg' : ∀ (a n : ℕ), cg.eval (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n)
F : ℕ → Code := fun x => f (cg.curry x)
this : Computable F
cF : Code
eF : cF.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (↑F a)
eF' : cF.eval (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF)))
n : ℕ
⊢ (f (cg.curry (encode cF))).eval n = (cg.curry (encode cF)).eval n
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ ≡ b₁ [PMOD p] → (a₁ - a₂ ≡ b₁ - b₂ [PMOD p] ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p])
α : Type u_1
s t : SetSemiring α
⊢ SetSemiring.down (s + t) = SetSemiring.down s ∪ SetSemiring.down t
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent G ≠ 0 ↔ AddMonoid.ExponentExists G
α : Type u_4
Finite α
⊢ ↑(Nat.card α) = Cardinal.mk α
R : Type u
CommRing R
p : ℕ
hp1 : Fact (Nat.Prime p)
hp2 : ↑p ∈ nonunits R
⊢ CharP (R ⧸ Ideal.span {↑p}) p
Γ : Type u_1
i : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i_1 : ℕ), (mk l₁).nth i_1 = (mk l₂).nth i_1
⊢ mk l₁ = mk l₂
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ TensorAlgebra.toClifford ((TensorAlgebra.ι R) m) = (CliffordAlgebra.ι Q) m
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
a : α
⊢ (s.sup' H f) a = s.sup' H fun i => (f i) a
β : Type u_2
MeasurableSpace β
x y : β
h : y ∈ measurableAtom x
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s
⊢ y ∈ s
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x ∂ν = ∫ (x : α), f x ∂μ
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set (ULift.{v, u} X)
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (ULift.up ⁻¹' s)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), cthickening ε E
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module.Free R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
⊢ I ≤ LieIdeal.killingCompl R L ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ SeqContinuous f
θ : Real.Angle
⊢ Real.tan θ.toReal = θ.tan
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
⊢ (∫ (a : G), ‖L (f a)‖ ∂μ) * ε ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
ha : (Set.Ioi a).Nonempty
⊢ interior (Set.Iic a) = Set.Iio a
𝕜 : Type u_1
NNNorm 𝕜
E : Type u_2
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
⊢ egauge 𝕜 s x < r ↔ ∃ c, x ∈ c • s ∧ ↑‖c‖₊ < r