ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
t : β → Set β
t_open : ∀ x ∈ s, IsOpen (t x)
xt : ∀ x ∈ s, x ∈ t x
ht : ∀ x ∈ s, ∀ z ∈ t x, (f z, g z) ∈ r
x : β
hx : ∃ i ∈ s, x ∈ t i
⊢ (f x, g x) ∈ r
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
s : Finset ι
c : R
x : (i : ↑↑s) → M ↑i
⊢ (DirectSum.mk M s) (c • x) = c • (DirectSum.mk M s) x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
P'' : Type u_4
CommRing P''
Algebra R P''
I : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
g' : P' →ₐ[R] P''
⊢ FractionalIdeal.map (g'.comp g) I = FractionalIdeal.map g' (FractionalIdeal.map g I)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
ι : Type u_3
F : ι → α → E
p : Filter ι
f : α → E
s : Set α
Ffs : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => F i x) p (𝓝 (f x))
v : ℝ≥0∞
hv : v < eVariationOn f s
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, v < eVariationOn (F n) s
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph (Order.succ o) = Order.succ (Cardinal.aleph o)
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
MulDistribMulAction α β
x : α
⊢ ∀ (a : β), (MulDistribMulAction.toMulEquiv β x) a = x • a
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x : R
⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) x = 1 ↔ x = 1
m n✝ a n : ℕ
⊢ ↑(a % n) = ↑(a % n + n * (a / n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ⨅ i, ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i.succ] a = ⨅ n, ⨆ i, (⇑f)^[i + n] a
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
h : r ≠ 0
⊢ ((monomial s) r).vars = s.support
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
u : αˣ
⊢ ↑(-u) = -↑u
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
⊢ (comap i μ[|s]) t = (comap i μ)[|i ⁻¹' s] t
⊢ (↑0).sign = ↑(Int.sign 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t✝ : Set α
f✝ g : α → M
a : α
s : Set α
f : α → M
t : Set M
ht : 1 ∉ t
⊢ s.mulIndicator f ⁻¹' t = f ⁻¹' t ∩ s
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ
⊢ f ⁻¹' Metric.sphere (f x) r = Metric.sphere x r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
hs : IsClosed ∅
h : ∅ ⊆ ball x r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, ∅ ⊆ ball x r'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ essSup f (c • μ) = essSup f μ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x
⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖a‖₊
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Fermat42.Minimal a0 b0 c0
h2 : a0 % 2 = 1
hp : 0 < c0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ι → ℝ
hpos : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hε'c : HasSum (fun i => ε' ↑i) c
hcε : c ≤ ε
t : Finset ι
ht : ↑t ⊆ s
⊢ ∀ i ∉ Finset.subtype (fun x => x ∈ s) t, 0 ≤ ε' ↑i
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.230017}
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ range f
⊢ #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁰ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁸ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁷ : ProperSpace 𝕜
inst✝⁶ : CompactIccSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ closure (openSegment 𝕜 x y) = [x-[𝕜]y]
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
⊢ LocallyFinite fun i => tsupport ⇑(f i)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
U : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsOpen U ↔ ∃ s, zeroLocus s = Uᶜ
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
DecidableEq α
h : b ≠ 0
⊢ (f.update a b).support = insert a f.support
ι : Type u_1
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
Fintype ι
DecidableEq ι
v : ι → M
⊢ e.toMatrix v = (LinearMap.toMatrix e e) ((e.constr ℕ) v)
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ
⊢ f <$> (x >>= g) = do
  let a ← x
  f <$> g a
M : Type u_2
Mul M
⊢ ⇑1 = id
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : α
n : ℕ
⊢ 0 • {a} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : Set β → Prop
⊢ (∃ s ⊆ Set.range f, p s) ↔ ∃ s, p (f '' s)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ frontier (Set.Iic a) ⊆ {a}
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalExtrOn f s a
t : Set α
⊢ IsLocalExtrOn f (s ∩ t) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
⊢ Measurable g
α : Type u_1
a : α
⊢ ofBoolRing (toBoolRing a) = a
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K
⊢ (filter (IsUnramified k) univ).card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ).card * finrank k K
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
h : l.length ≤ n
⊢ List.take n l = l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 +ᵥ p1 = -v2 +ᵥ p2
⊢ -v2 +ᵥ p2 ∈ ↑s2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) = μ.withDensity 1
h_one : μ = μ.withDensity 1
⊢ μ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => 1
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
x✝² : SimpleGraph V
x✝¹ x✝ : V
⊢ ((Equiv.refl V).simpleGraph x✝²).Adj x✝¹ x✝ ↔ ((Equiv.refl (SimpleGraph V)) x✝²).Adj x✝¹ x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = ↑‖x‖ ^ 2
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
h : a ∈ l
w : 0 < l.length
⊢ List.minimum_of_length_pos w ≤ a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β → γ
f : α → β
hg : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map g (MeasureTheory.Measure.map f μ) = MeasureTheory.Measure.map (g ∘ f) μ
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
a b : S
⊢ (Algebra.TensorProduct.lmul' R) (a ⊗ₜ[R] b) = a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Factorisation.initial.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
n : Num
⊢ Num.ofNat' ↑n = n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
⊢ MeromorphicAt g x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β
⊢ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l.concat a) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
h₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L'_1, addBottom L'_1 = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L'_1 = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α
⊢ List.filter p l₁ <:+ List.filter p (xs ++ l₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α
⊢ a ∈ closure s ↔ f a ∈ closure (f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f g (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.pullback f g)
n : ℕ
NeZero n
i : Fin (n + 1)
⊢ i.succ.succAbove 1 = (i.succAbove 0).succ
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
(i : α) → Decidable (i ∈ t)
⊢ Finset.filter (fun i => i ∈ t) s = s ∩ t
K : Type u
DivisionRing K
⊢ Subfield.closure Set.univ = ⊤
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l
this : l.NeBot
⊢ Cauchy ↑(Ultrafilter.of l)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
CompleteSpace 𝕜
f : PartialHomeomorph 𝕜 𝕜
f₀' a : 𝕜
h₀ : f₀' ≠ 0
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasDerivAt (↑f) f₀' (↑f.symm a)
hf : ContDiffAt 𝕜 n (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (↑f.symm) a
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
⊢ ∀ {p : α × Bool}, Step (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ Step L₁ L₂
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ
⊢ s = s \ u ∪ s ∩ u
α : Type u_3
NonAssocRing α
f : ℤ →+* α
⊢ f = Int.castRingHom α
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β' → γ
n : β → β'
m' : β → α → δ
n' : δ → γ
h_right_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), m a (n b) = n' (m' b a)
⊢ Filter.map₂ m f (Filter.map n g) = Filter.map n' (Filter.map₂ m' g f)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ StrictAnti ⇑f ↔ ∀ (a : α), a < 0 → 0 < f a
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ orderOf (xa i) = 2 ^ 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y Z : C
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b f₁
big_k : CategoryTheory.IsKernelPair (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ f₂) a b
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair f₁ a b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
PerfectRing R p
⊢ ⇑(WittVector.frobeniusEquiv p R).symm = ⇑(WittVector.map ↑(frobeniusEquiv R p).symm)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ Continuous f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
is_open : IsOpen U
memU : x ∈ U
⊢ ∃ V, IsClopen V ∧ x ∈ V ∧ V ⊆ U
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
s : Set α
⊢ f =O[𝓟 s] g ↔ ∃ c, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (¬∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → ¬q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hpq : q ≤ p
hq : 0 < q.toReal
left✝ : 0 < p.toReal
hpq' : q.toReal ≤ p.toReal
⊢ Memℓp f p
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
⊢ homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w = 𝟙 G
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
⊢ a ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h = ⨆ i, ⨆ (h : p i), a ⊔ f i h
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s \ t ⊆ u ↔ s ⊆ t ∪ u
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
i : Fin (n + 2)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = θ' ≫ δ i
⊢ ∃ i, θ = δ i
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert x s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
R : Type u
CommSemiring R
⊢ Polynomial.X.Separable
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCancelCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
⊢ (Finset.cons i s hi).piAntidiag n =
  (Finset.antidiagonal n).disjiUnion
    (fun p => Finset.map (addRightEmbedding fun t => if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
e : α ≃o γ
⊢ e (blimsup u f p) = blimsup (⇑e ∘ u) f p
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
h : -x ∈ p
⊢ x ∈ p
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
sg : Subsemigroup R
hg : ↑sg = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.mk' s sg hg sa ha) = s
α : Type u
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
A : Matrix (Fin 0) n' α
B : Matrix n' o' α
⊢ A * B = Matrix.of ![]
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.rightUnitor η).inv.app a = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).inv
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑n + 1 = ↑(n + 1)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
⊢ SetTheory.PGame.nim o₁ ≈ SetTheory.PGame.nim o₂ ↔ o₁ = o₂
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
⊢ (Nat.psp_from_prime b p).FermatPsp b
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddMonoidWithOne G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x + ↑n) = f x + n • b
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
Semigroup α
a b c : α
⊢ a ∣ b → b ∣ c → a ∣ c
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Equiv.Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ AlternatingMap.domCoprod.summand a b (Quotient.mk'' σ) =
  Equiv.Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x}
A : (interior (Metric.ball x ε)).Nonempty
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
⊢ ⇑(h.collectedBasis v) = fun a => ↑((v a.fst) a.snd)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl
⊢ IsNilpotent x ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ χ₄ ↑n = (-1) ^ (n / 2)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : Option α → Option α_1 → α_2} {bs : List α_1},
  List.zipWithAll f List.nil bs = List.map (fun b => f none (some b)) bs
m n : ℕ
⊢ 1 < m * n ↔ 0 < m ∧ 0 < n ∧ (1 < m ∨ 1 < n)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ ∀ (t : Set E), Convex ℝ t → x ∈ interior t → Bornology.IsBounded t → μ (frontier t) = 0
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.Ψ (2 * (↑m + 2) + 1) = W.Ψ (↑m + 4) * W.Ψ (↑m + 2) ^ 3 - W.Ψ (↑m + 1) * W.Ψ (↑m + 3) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)
⊢ z ∈ ↑H.toSubsemigroup
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
CommRing T
Algebra R T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
⊢ Embedding (PrimeSpectrum.tensorProductTo R S T)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : Set α → Prop
h : ∀ (s : Set α), q s → p s
⊢ μ.InnerRegularWRT p q
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Collinear k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 1
⊢ Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
x : G
⊢ (IsometryEquiv.mulLeft x).symm = IsometryEquiv.mulLeft x⁻¹
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ a ≤ b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ Set.Bounded r {b | r b a}
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
h : xᶜ ∈ I → x ∉ I
⊢ x ∉ I ∨ xᶜ ∉ I
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ
⊢ ProbabilityTheory.cgf (∑ i ∈ s, X i) μ t = ∑ i ∈ s, ProbabilityTheory.cgf (X i) μ t
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N
g : M →+ P
⊢ (AddMonoidHom.fst N P).comp (f.prod g) = f
⊢ let_fun this := Part.someDecidable 0;
PartENat.toWithTop 0 = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s : Finset α
hs : ThreeGPFree ↑s
⊢ mulRothNumber s = s.card
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
IsRefl α r
⊢ (insert a s).PartiallyWellOrderedOn r ↔ s.PartiallyWellOrderedOn r
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set ι
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ ∀ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
R : Type u
CommSemiring R
S T : Set R
⊢ Ideal.span S * Ideal.span T = Ideal.span (S * T)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
⊢ x = 0 ∧ m < 0 → ¬ContinuousAt (fun x => x ^ m) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
⊢ MeasurableSet {x | g x < f x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
x : F.obj (Opposite.op (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk s))
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.mk s x).snd = F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s : Set α
⊢ (sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ∑' (n : ℕ), ↑(↑(eapproxDiff f n) a) = f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hcμs : c * μ s ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (c.toReal * (μ s).toReal)
⊢ ‖T s‖ ≤ c.toReal * C * (μ s).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
α : Type u
x : α
a b : Set α
H : x ∈ a ∪ b
⊢ x ∈ a ∨ x ∈ b