ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_11
α : Type u_12
SMul M α
self : FaithfulSMul M α
m₁ m₂ : M
⊢ (∀ (a : α), m₁ • a = m₂ • a) → m₁ = m₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
⊢ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
X : WithTerminal ↑a✝
⊢ (map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app X = ((mapComp (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (mapComp f✝ g✝).hom (map h✝) ≫ (Bicategory.associator (map f✝) (map g✝) (map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (map f✝) (mapComp g✝ h✝).inv ≫ (mapComp f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app X
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α
⊢ ↑(sign x) * x = |x|
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
⊢ False
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ (a ::ₘ s).ndunion t = Multiset.ndinsert a (s.ndunion t)
a : UnitAddCircle
n : ℕ
this : -2 * (↑n + 1) ≠ 0
⊢ hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : α → α
g : α → M
x : α
⊢ birkhoffAverage R f g 0 x = 0
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
p : Z.TotalSpace
b : B
⊢ p ∈ (Z.localTrivAt b).source ↔ p.proj ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
α : Type u
s t : Set α
h : t ⊆ s
⊢ sᶜ ⊆ tᶜ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
a b : α × β
⊢ a < b → Prod.map f g b < Prod.map f g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
M : Type u_1
Monoid M
a : M
h : IsUnit a
⊢ ↑h.unit = a
R : Type u_1
σ : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
⊢ ∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (MvPolynomial.X i)) =
  ∑ j ∈ Finset.range (Fintype.card σ + 1), Polynomial.C (MvPolynomial.esymm σ R j) * Polynomial.X ^ (Fintype.card σ - j)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuousAt (f i) x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ minpoly A x = 0
R : Type u_1
MulZeroClass R
⊢ IsLeftRegular 0 ↔ Subsingleton R
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
a : F.obj (Opposite.op 0)
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ F.map (Opposite.op { down := { down := h } }) ((fun x => match x with | Opposite.op n => CategoryTheory.Limits.Types.limitOfSurjectionsSurjective.preimage hF a n) (Opposite.op n)) = (fun x => match x with | Opposite.op n => CategoryTheory.Limits.Types.limitOfSurjectionsSurjective.preimage hF a n) (Opposite.op m)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v
uv_disj : Disjoint u v
T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}
T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}
fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v
T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u
T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v
⊢ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : CharZero R
f : α → α
x : α
h : IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ birkhoffAverage R f g n x = g x
α : Type u_2
Bornology α
⊢ Bornology.IsBounded Set.univ ↔ BoundedSpace α
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
H : Type u_5
TopologicalSpace H
self : Pregroupoid H
⊢ self.property id Set.univ
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
⊢ (AdicCompletion.map I f) ((AdicCompletion.mk I M) a) =
  (AdicCompletion.mk I N) ((AdicCompletion.AdicCauchySequence.map I f) a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.op =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.op X)).hom
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
⊢ Antitone ⇑f ↔ ∀ (a : α), a ≤ 0 → 0 ≤ f a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ a✝¹).withDensity (0 a✝¹)) s✝ = (0 a✝¹) s✝
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
ha : a ⋖ c
hb : b ⋖ c
⊢ a = b
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
p : G
_hp : p ∈ H₁
q : G
hq : q ∈ H₂
⊢ ⁅p, q⁆ ∈ ⊥ ↔ q * p = p * q
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)
⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x
⊢ connectedComponentIn F x = connectedComponentIn F y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.topMap X).f = T.map X.a
t : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x * Real.log (1 + t / x)) Filter.atTop (𝓝 t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
p : E
⊢ (reflection K) p = 2 • ↑((orthogonalProjection K) p) - p
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) x✝
⊢ x✝.next.Valid
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : b ≤ a
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
⊢ abs ∘ ⇑f = toReal ∘ ⇑f.nnrealPart + toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
f : ℕ → G
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) Filter.atTop (𝓝 0)
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u
⊢ c₂ t < c₂ u
M : Type u_3
AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, ∑ j ∈ Finset.Ico (i + 1) b, f i j = ∑ j ∈ Finset.Ico a b, ∑ i ∈ Finset.Ico a j, f i j
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ a ⊔ -a ≤ |b|
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun p => p.1) p
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type w
CommRing S
Algebra R S
T : Type z
CommRing T
Algebra R T
f : S ≃ₐ[R] T
M : Matrix n n S
⊢ f M.det = (f.mapMatrix M).det
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
CompleteSpace F
CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) (f (x + y))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (z₁.comp 0 h).v p q hpq = v 0 p q hpq
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg : ContinuousWithinAt g s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J' (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt (I'.prod J') (f x, g x)) ∘ (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₂ ≠ p₃
⊢ (∡ p₂ p₄ p₃).sign = (∡ p₁ p₄ p₃).sign
α : Type u_1
ι : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
h : f i ⊓ f j ≠ ⊥
⊢ i = j
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
a b : Int
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → a.div b = a / b
R : Type u_1
M : Type u_3
Monoid R
MulAction R M
a : Rˣ
⊢ IsSMulRegular M ↑a
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
Bifunctor F
self : LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β : Type u₁
x : F α β
⊢ bimap id id x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ν.restrict s).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator 1
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
Nonempty ι
SupSet α
f : ι → α
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
α : Sort u_1
p q : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, p a ∧ q a ∧ a' = a) ↔ p a' ∧ q a'
α : Sort u_1
β : Sort u_2
IsEmpty β
f : α → β
⊢ IsEmpty α
α : Type u_1
a b : α
⊢ Topology.WithScott.toScott a = Topology.WithScott.toScott b ↔ a = b
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
⊢ μH[d₂] s = 0 ∨ μH[d₁] s = ⊤
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0
⊢ MeasurableSet (π ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
g : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
⊢ ⇑(g.comp f) = ⇑g ∘ ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
f g : α → E
l : Filter α
x y : E
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) l (𝓝 ⟪x, y⟫_𝕜)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x => c) s x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ≼i s
g : r ≃r s
a : α
⊢ g a = f a
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c
⊢ c * a = b ↔ a = ⅟c * b
K : Type v
Field K
f : K[X]
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K f.SplittingField) f
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
a : α
hmax : ∀ (p : β), p ≤ f a
x : α
⊢ x ≤ a
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ IsSubgroup (Group.closure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
BorelSpace β
SecondCountableTopology β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f ↔ Measurable f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c d : P
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (Order.succ a)
a b : α
h : a ≤ b
⊢ p a ↔ p b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (y * z + x) y
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
Zero α
i : ℕ
hid : i < d
⊢ Holor.slice 0 i hid = 0
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : B × F
hx : x ∈ e.target
⊢ ↑e (↑e.symm x) = x
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
⊢ (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (algebraMap K E) ((norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen))))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }
⊢ s = (insert a s).erase a
α : Type u
f g : Filter α
⊢ f = g ↔ f.sets = g.sets
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
⊢ b ⨳ c ⨳ a' ♯ b' ⨳ c ⨳ a ♯ b ⨳ c' ⨳ a ♯ b' ⨳ c' ⨳ a' ≤ b ⨳ c ⨳ a ♯ b' ⨳ c ⨳ a' ♯ b ⨳ c' ⨳ a' ♯ b' ⨳ c' ⨳ a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C
⊢ (tensorUnit.tensorObj X).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.leftUnitor X.src).hom (prod.leftUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
⊢ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Fintype ι
⊢ ⇑b.sumCoords = ⇑(∑ i : ι, b.coord i)
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set ℝ
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ φ = ψ
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
⊢ Monotone fun n => f^[n] x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ ((α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι
hik : k ≠ i
⊢ e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v k) = ↑e.det (update v i (v k))
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
⊢ Inducing (g ∘ f) ↔ Inducing f
a s : ℝ
⊢ (Summable fun n => 1 / |↑n + a| ^ s) ↔ 1 < s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι'
s : ι → ι' → Set α
hs : ∀ (i : ι), Monotone (s i)
⊢ ⋃ j, ⋂ i, s i j = ⋂ i, ⋃ j, s i j
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
this : f '' (s ∩ t) ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
X : BddLat
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ BddLat SemilatSupCat).obj X).X = ↑X.toLat
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
⊢ (Matrix.diagonal fun x => 0) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DistribLattice α
DistribLattice β
s : Set α
t : Set β
⊢ latticeClosure (s ×ˢ t) = latticeClosure s ×ˢ latticeClosure t
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
L'' : Language
e'✝ : L' ≃ᴸ L''
e✝ e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''
⊢ (e.invLHom.comp e'.invLHom).comp (e'.toLHom.comp e.toLHom) = LHom.id L
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
y : Fin n
hi : y.succ ≠ 0
⊢ predAbove 0 y.succ = y.succ.pred hi
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x < NNReal.sqrt y ↔ x < y
k n m : Nat
H1 : k.Coprime n
H2 : k ∣ m * n
t : k ∣ (m * k).gcd (m * n) := dvd_gcd (Nat.dvd_mul_left k m) H2
⊢ k ∣ m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
x✝ : ℕ
⊢ ofNat (ℕ × ℕ) x✝ = unpair x✝
α : Type u_2
β : Type u_1
as : AssocList α β
⊢ as.toList = as.toListTR