ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix m p R
⊢ A * Aᴴ * B = 0 ↔ Aᴴ * B = 0
F : Type u_1
Field F
Finite F
R : Type u_2
CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
n : ℕ
β : TypeVec.{u_2} (n + 1) → Sort u_1
f : (t : Type u_2) → (v : TypeVec.{u_2} n) → β (v ::: t)
v : TypeVec.{u_2} n
α : Type u_2
⊢ TypeVec.casesCons n f (v ::: α) = f α v
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
n : ℕ
⊢ ↑1 n = 1 n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
⊢ (↑x.2! * (↑x.2 + 1) = (↑x.2 + 1) * ↑x.2! ∨ (x.1 + x.2)! = 0) ∨ bernoulli x.1 = 0
α : Sort u_3
s : Setoid α
⊢ Function.Surjective (Quotient.mk s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
R : Type u
NonAssocSemiring R
StarRing R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ star (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁ = h₂
⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
d : β
hcd : a < a + d
⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d < b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : OrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ e
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β) (f' : α → β) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this✝ : IsAffine ↑U
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)
h₂ : ↑((↑U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (Opens.inclusion U)).obj V)
this : U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
f.NeBot
hf : f ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x f
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
⊢ f i ≤ x
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
⊢ FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse = (unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
p✝ : α → Prop
x y z : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
n : ℤ
⊢ (g.extendDomain f ^ n) ↑(f x) = ↑(f y) ↔ (g ^ n) x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.BijOn f s₁ t₁
h₂ : Set.BijOn f s₂ t₂
h : Set.InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ Set.BijOn f (s₁ ∪ s₂) (t₁ ∪ t₂)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ∀ (x : Fin (n + 2)), x ≠ 0 → ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑x • (Γ₀.obj K).δ x) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = 0
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c
⊢ ⅟c * a = b ↔ a = c * b
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
s : AList β
⊢ a' ∈ AList.erase a s ↔ a' ≠ a ∧ a' ∈ s
a : ℝ
⊢ frontier {z | z.im < a} = {z | z.im = a}
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h : Continuous fun f => f (term I ho)
⊢ IsClosed {f | f (term I ho) = true}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ Collinear k {p₁, p₂}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ κ.restrict hs ⊗ₖ η = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : CategoryTheory.Under X
x' : CategoryTheory.Under X
u : x ⟶ x'
⊢ (CategoryTheory.Under.pushout f).map u =
  CategoryTheory.Under.homMk
    (CategoryTheory.Limits.pushout.desc
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp u.right (CategoryTheory.Limits.pushout.inl x'.hom f))
      (CategoryTheory.Limits.pushout.inr x'.hom f) ⋯)
    ⋯
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I) = I.radical
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (𝟙 F)).comp z₂ ⋯ = z₂
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
s : Set ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ ((MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ ↑i) + MeasureTheory.Measure.sum fun i => μ ↑i) = MeasureTheory.Measure.sum μ
α : Type u
β : Type u_1
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (l.zip l').length
⊢ i < l.length
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
xl✝ xr✝ xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ (((∀ (i : yr), -yR i ⧏ -mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : xl), -mk yl yr yL yR ⧏ -xL j) ↔ (∀ (i : xl), xL i ⧏ mk yl yr yL yR) ∧ ∀ (j : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR j) ∧ (((∃ i, -mk yl yr yL yR ≤ -xR i) ∨ ∃ j, -yL j ≤ -mk xl xr xL xR) ↔ (∃ i, mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ mk yl yr yL yR)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
⊢ o.volumeForm (⇑φ ∘ x) = o.volumeForm x
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}
⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
⊢ ((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.1 ≫ F.map ((U p.1).infLELeft (U p.2)).op) = (Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.2 ≫ F.map ((U p.1).infLERight (U p.2)).op
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.CondIndep m' (m i) m₁ hm' μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
h_le' : m₁ ≤ mΩ
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (⨆ i, m i) m₁ hm' μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η
⊢ (Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ (finSuccEquiv' i) (i.succAbove j) = some j
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝² : SeparableSpace ↑s
this✝¹ : SecondCountableTopology ↑s
this✝ : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s ⋯)
this : SecondCountableTopology ↑(f ⁻¹' s)
⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F G F' G' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F.map f ⊗ F'.map f) ≫ (α.app Y ⊗ β.app Y) = (α.app X ⊗ β.app X) ≫ (G.map f ⊗ G'.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Denumerable α
inst✝¹ : Denumerable β
γ : α → Type u_3
inst✝ : (a : α) → Denumerable (γ a)
n : ℕ
⊢ some (ofNat (Sigma γ) n) = some ⟨ofNat α (unpair n).1, ofNat (γ (ofNat α (unpair n).1)) (unpair n).2⟩
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b - (a + c) = b - c
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
⊢ x ∈ LieModule.ker R L M ↔ ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ∀ (x : PUnit.{v + 1}), Submodule.botEquivPUnit.symm x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ S.arrows f → CategoryTheory.Sieve.pullback f S = ⊤
K : Type u
DivisionRing K
⊢ max ℵ₀ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
this : Nonempty ↥s
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
hs1 : (Submodule.map f s).FG
hs2 : (s ⊓ LinearMap.ker f).FG
⊢ s.FG
a b : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) 1
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C × C × C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associatorNatIso C).hom.app X =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X.1 X.2.1 X.2.2).hom
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : 𝕜), Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
⊢ χ₄ ↑n = 1
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b : ℝ
u v : ι → ℝ
intervalIntegral.FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f (lb' ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt lb
hv : Filter.Tendsto v lt lb
⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in a..v t, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2) = 2 ^ (r / 2) * ((√2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)) ^ r)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p μ
this : support ↑(const α c) = Set.univ
⊢ μ s < ⊤
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
⊢ Filter.map f (𝓟 s) = 𝓟 (f '' s)
a b : Char
⊢ a < b ↔ a.val < b.val
x y : ℝ
a✝ : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
A : √(x ^ 2 + y ^ 2) = Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I)
Z : ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I)) * (Complex.cos ↑(↑x + ↑y * Complex.I).arg + Complex.sin ↑(↑x + ↑y * Complex.I).arg * Complex.I) = ↑x + ↑y * Complex.I
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) ((fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y)) = (x, y)
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
h : Std.Commutative ctx.op
x : Nat
xs : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort (x :: xs)) = Lean.Data.AC.evalList α ctx (x :: Lean.Data.AC.sort xs)
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ map (algebraMap R K) (minpoly R s)
α : Type u_4
Finite α
l₁ l₂ : List (Equiv.Perm α)
h₀ : l₁.prod = l₂.prod
h₁l₁ : ∀ σ ∈ l₁, σ.IsCycle
h₁l₂ : ∀ σ ∈ l₂, σ.IsCycle
h₂l₁ : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l₁
h₂l₂ : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l₂
⊢ l₁.Perm l₂
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
l : Filter α
f : α → X
h : ∀ᶠ (x' : α) in l, f x' = x
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : P.natDegree = 0
⊢ IsUnit P
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z ↔ w = f ↑y * z
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, p x ∧ q x
R : Type u
CommSemiring R
s : Set R
⊢ s • ⊤ = Ideal.span s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h h' : IsAdjoinRoot S f
eq : ∀ (x : R[X]), h.map x = h'.map x
⊢ h = h'
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : TopologicalSpace α
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
⊢ AnalyticSet s
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
⊢ Derivation R A ↥I ≃ { f // (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I) }
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.Integrable f (μ + ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
x y d m : ℕ
hd : x.gcd y = d
d0 : d.beq 0 = false
dm : x * y = d * m
⊢ x.lcm y = m
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : α
⊢ ↑(round x) ≤ x + 1 / 2
x : SetTheory.PGame
IsEmpty x.RightMoves
H : ∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).Numeric
⊢ x.Numeric
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c✝ : E
f✝ : ContDiffBump c✝
x✝ : E
n : ℕ∞
c g : X → E
s : Set X
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
x : X
hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x
hr : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) s x
hR : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
⊢ insert a (s ∩ t) = insert a s ∩ insert a t
x : ℝ
⊢ Real.sinh x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
hx : 1 < x
⊢ (clog b x).pred < clog b x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝
⊢ ((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ stalkPushforward C (𝟙 X) ℱ x = ((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.V).inv
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R✝
M : Subsemigroup R✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
z : R
⊢ z ∈ center R ↔ ∀ (g : R), g * z = z * g
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
hne : v ≠ w
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : e = s(v, w)
⊢ G.Adj v w
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Mul Y
f g : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (f * g) x = f x * g x
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.HasPoints P L
Fintype P
Fintype L
hPL : Fintype.card P = Fintype.card L
p : P
l : L
hpl : p ∉ l
⊢ Configuration.lineCount L p = Configuration.pointCount P l
α : Type u_1
Preorder α
⊢ upperClosure Set.univ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ S.homologyι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.iCycles S.pOpcycles
u v : PrimeMultiset
⊢ (u ⊓ v).prod = u.prod.gcd v.prod
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
hx : x ∉ Ioo y x
ht : (Ioo y x).Nonempty
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) = 1
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
⊢ ↑((k * m).gcd n) = ↑(m.gcd n)
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
snd✝ : κ₁ i
⊢ ((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨i, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = i then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s +ᵥ t₁ ⊆ s +ᵥ t₂
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
b : α
hs : s.Nonempty
H : ∀ a ∈ s, a ≤ b
H' : ∀ w < b, ∃ a ∈ s, w < a
⊢ sSup s = b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
⊢ Mono (app' φ 2 ⋯)
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (Perfection.coeff R p (n + 1)) (f ^ p) = (Perfection.coeff R p n) f
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
CommRing S
IsDomain S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
⊢ ∀ (a : ↥(rootsOfUnity n R)), ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) a) = f ↑↑a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
⊢ ∃ n, ∀ m > n, P.coeff m • Q = 0
D : GlueData
i : D.J
x y : ↑(D.U i)
h : (D.ι i) x = (D.ι i) y
w✝ : ↑(D.V (⟨i, x⟩.fst, ⟨i, y⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, x⟩.fst ⟨i, y⟩.fst) w✝ = ⟨i, x⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨i, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst) ((D.t ⟨i, x⟩.fst ⟨i, y⟩.fst) w✝) = ⟨i, y⟩.snd
⊢ x = y
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₀ : NumberField.InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : NNReal
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : NumberField.InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
x : ℝ*
r s : ℝ
hr : x.IsSt r
hs : x.IsSt s
⊢ r = s
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ = g₁ * g₂ * g₁⁻¹ * g₂⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot
f g : β → α
a b : α
ha : Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Tendsto g l (𝓝 b)
h : Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)
⊢ ClusterPt (a, b) (𝓤 α)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCover.t' x y z = 𝒰.gluedCoverT' x y z