ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : ⌊(triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹⌋₊ < Fintype.card G
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ False
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ Nat.card ↥(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w) = 1 ∨ Nat.card ↥(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w) = 2
x✝ y z x : ℝ
⊢ x ^ 1 = x
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 1
⊢ ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) = ↑n * ((1 - ↑x) ^ n * (↑x * ↑n) ^ (s - 1))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝¹ : μ
s : Finset ι
n✝ : μ
f : ι → μ
n x₁ x₂ : μ
⊢ (∃ a ∈ univ.piAntidiag n, a = (Equiv.boolArrowEquivProd μ).symm (x₁, x₂)) ↔ (x₁, x₂) ∈ antidiagonal n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}
⊢ x ∈ lowerCentralSeries G n
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
SemilatticeSup β
OrderTop β
f g : TopHom α β
a : α
⊢ (f ⊔ g) a = f a ⊔ g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
μ : Measure δ
s : Set ι
f : ι → δ → α
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅
⊢ AEMeasurable (fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
I : Function.LeftInverse g f
s : Set β
⊢ f ⁻¹' s ⊆ g '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
n : ℕ
⊢ ‖∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i‖ ≤ 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s, ↑(sec M (f x)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖ ≤ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜 * RCLike.re ⟪y, y⟫_𝕜
m n : ℤ
⊢ Even (m + n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : μ s ≤ 0
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
h : Continuous (↑↑f.toRingHom).toFun
⊢ ⇑{ toAlgHom := f, cont := h } = ⇑f
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝ : V
h : M.IsMatching
v✝ : V
hv : v✝ ∈ M.verts
w : V
hvw : M.Adj v✝ w
hw : ∀ (y : V), (fun w => M.Adj v✝ w) y → y = w
⊢ (fun w => (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w) y → y = w
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = max b a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f x = g y
z : α
⊢ f z = g z
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ ENNReal.ofReal x = ↑⟨x, h⟩
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
⊢ CategoryTheory.equivEssImageOfReflective.unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun X => (CategoryTheory.asIso ((CategoryTheory.reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ P PEmpty.{u + 1}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
e : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasDerivWithinAt (⇑e) (e 1) s x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α' : Type u_8
β : Type u_9
uβ : UniformSpace β
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuous F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂).1 ∈ s ∧ (a₁, a₂).1 = (a₁, a₂).2
⊢ ∃ a ∈ s, (a, a) = (a₁, a₂)
M : Type u_1
MulOneClass M
S T : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
x : A
⊢ Continuous (elementalStarAlgebra.characterSpaceToSpectrum x)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f₁ f₂ g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hg : Memℒp g 1 μ
⊢ Memℒp (f ⊓ g) 1 μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : x ∈ Metric.closedBall c f.rIn
⊢ ↑f x = 1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
h✝ : 0 = c
⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.obj R = AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj (Opposite.unop R)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖
m m' : (i : ι) → E i
h' : dist m' m < 1
this : max ‖m'‖ ‖m‖ ≤ ‖m‖ + 1
⊢ ‖f m' - f m‖ ≤ D * ↑(Fintype.card ι) * (‖m‖ + 1) ^ (Fintype.card ι - 1) * ‖m' - m‖
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
i : ℕ
⊢ (p.append q).getVert i = if i < p.length then p.getVert i else q.getVert (i - p.length)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i a ≤ a) ↔ ∃ o, Ordinal.derivFamily f o = a
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
S : Type u_10
Semiring S
Module S M'
SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
i : ι
⊢ ((b.constr S) f) (b i) = f i
R : Type u
CommRing R
DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
⊢ Polynomial.eval r (Polynomial.derivative (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) S).prod) =
  (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V''
Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ Cardinal.lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ min (Cardinal.lift.{v', v''} f.rank) (Cardinal.lift.{v'', v'} g.rank)
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ = ‖g x‖
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = MeasureTheory.eLpNorm g p μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0
t : Set (α × β)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (μ.prod ν) t = 0
⊢ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u
Monoid α
b : αˣ
a c : α
⊢ a = ↑b⁻¹ * c ↔ ↑b * a = c
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
PartialOrder Γ'
VAdd Γ Γ'
IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
Zero R
AddCommMonoid V
SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • y)).coeff a =
  ∑ ij ∈ Finset.VAddAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((HahnModule.of R).symm y).coeff ij.2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₀ : ∀ (j : ℕ), d ∈ cthickening (r₁ (f j)) (s (f j))
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ f y ≠ 0
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b : B
a : F
i j : ι
⊢ { proj := b, snd := a }.proj ∈ Z.baseSet (Z.indexAt b)
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
H : (s ∩ t).Nonempty
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
⊢ IsPreconnected (s ∪ t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
⊢ {t | t.Finite ∧ t ⊆ s} ⊆ range fun t => Subtype.val '' ↑t
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f v % g v
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
⊢ 𝓝 a = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
CommRing L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
IsPRadical i p
PerfectRing L p
x : L
⊢ (PerfectRing.lift i i p) x = x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
x : α
⊢ (FreeMonoid.countP p) (FreeMonoid.of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
d : ℕ
hs : ∀ s' ⊆ s, MulDissociated ↑s' → s'.card ≤ d
⊢ ∃ s' ⊆ s, s'.card ≤ d ∧ s ⊆ s'.mulSpan
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype ↑C.colorClasses
this : Fintype ↑(Setoid.ker ⇑C).classes
⊢ card ↑(Setoid.ker ⇑C).classes ≤ card α
n : Nat
P : Fin (n + 1) → Prop
⊢ (∀ (i : Fin (n + 1)), P i) ↔ P 0 ∧ ∀ (i : Fin n), P i.succ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
⊢ f = g
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
i : α
⊢ 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
h : x ≠ y
⊢ e x ≠ e y
α : Type u_1
LE α
S : Set (UpperSet α)
a : α
⊢ a ∈ sInf S ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
σ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ Function.Injective ⇑MvPolynomial.C
α : Type u_1
as bs cs : Array α
⊢ as ++ bs ++ cs = as ++ (bs ++ cs)
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
h : o.Dom
⊢ o.toOption = some (o.get h)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s ×ˢ t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
⊢ (↑p).coeff 0 = 0
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' (fun r => ↑(basicOpen r)) r)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite
H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k = (n + k).factorial / n.factorial
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
ι' : Type u_6
Fintype ι'
DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).det v = b.det (v ∘ ⇑e)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
⊢ Continuous ((Function.uncurry fun x y => x.uncurry y) ∘ ⇑(Homeomorph.prodAssoc C(X, C(Y, Z)) X Y))
α : Type u_1
n : Type u_3
A : Matrix n n α
⊢ (∀ (i j : n), A j i = A i j) → A.IsSymm
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j i : ι
hi : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (HomologicalComplex.single V c j ⋙ HomologicalComplex.eval V c i)
a b : ℝ≥0∞
⊢ a < b ↔ ∃ r, a < ↑r ∧ ↑r < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
q : ℚ
⊢ ∀ᵐ (c : α) ∂ρ.fst, (preCDF ρ q c).toReal ≤ 1
R : Type u
M : Type v
N : Type w
Ring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
ContinuousSMul R M
Module R N
ContinuousAdd M
IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
⊢ IsClosed ↑(LinearMap.ker l) ∨ Dense ↑(LinearMap.ker l)
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ 1 < a * a ^ n
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableVAdd G α
c : G
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.vadd c) = fun x => c +ᵥ x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (((↑{ toLinearEquiv := (ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x)) 1) (Fin.tail fun x => 1) = (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ m) x ↔ x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
E : Type u_6
NormedGroup E
a b : E
⊢ 0 < ‖a / b‖ ↔ a ≠ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X' X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
f : X ⟶ X'
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ f.app (SimplexCategory.mk n) = f.app (SimplexCategory.mk (n + 1)) ≫ X'.σ i
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l l₁ l₂ : List α}, l.Disjoint (l₁ ++ l₂) → l.Disjoint l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.mop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor { unmop := X }).inv
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
x y z : M × N
⊢ AddSemiconjBy x y z ↔ AddSemiconjBy x.1 y.1 z.1 ∧ AddSemiconjBy x.2 y.2 z.2
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
⊢ p.Nil ↔ p.length = 0
G : Type u_1
AddGroup G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsGLB (-s) a ↔ IsLUB s (-a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace β
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.CountablyGenerated α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : Turing.Reaches₀ f a b
h₂ : c ∈ f b
⊢ Turing.Reaches₁ f a c
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[<] a⁻¹) (𝓝[>] a)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 4 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u_1
p : Equiv.Perm α
n : ℤ
⊢ {x | (p ^ n) x ≠ x} ⊆ {x | p x ≠ x}
R : Type u
CommRing R
S : Type u
⊢ ↑((AlgebraCat.free R).obj S) = FreeAlgebra R S
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
⊢ ↑z = 0 ↔ z = 0
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W' f).toJacobian.polynomial = (MvPolynomial.map f) W'.polynomial
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.map f SimpleGraph.Walk.nil = SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
⊢ ‖MeasureTheory.L1.integralCLM‖ ≤ 1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous (circleTransformDeriv R z w f)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
⊢ TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne = M.lTensorOne
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s t : List α
hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a
ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a
hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'
h : s.Disjoint t
⊢ (List.pmap f s hs).Disjoint (List.pmap f t ht)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x : E
⊢ x ∈ perfectClosure F E ↔ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
⊢ ThreeAPFree (insert a s) ↔ ThreeAPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a + c = b + b → a = b
M : Type u_1
One M
⊢ DomMulAct.mk 1 = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
⊢ LinearMap.range f = Submodule.map f ⊤
α : Type u
DecidableEq α
x y : FreeAddGroup α
⊢ (x + y).norm ≤ x.norm + y.norm
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), gammaPDF a r x = 1
α : Sort u_1
⊢ ¬Finite α ↔ Infinite α
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
t : xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
h : ¬G.IsUniform ε s t
ht : t ∈ P.parts
hst : s ≠ t
⊢ G.nonuniformWitness ε s t ∈ P.nonuniformWitnesses G ε s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P →ₐ[R] P'
⊢ FractionalIdeal.map g 1 = 1