ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Icc a b
hc : IsMinOn g (Icc a b) c
cmem' : c ∈ Ioo a b
this : Icc a b ∈ 𝓝 c
⊢ f' c - m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.ncard = t.ncard ↔ (s \ t).ncard = (t \ s).ncard
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
⊢ IsClosed {f | IsCompactOperator ⇑f}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Bijective fa
hf : Injective f
⊢ BijOn fb (f '' univ) (f '' univ)
R : Type u_1
S : Type u_4
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
⊢ f.Finite ↔ f.IsIntegral ∧ f.FiniteType
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
StrictOrderedCommRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ [y-[𝕜]z]
⊢ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (powersetAux l).revzip
⊢ x.1 + x.2 = ↑l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
h : f.left = g.left
⊢ f = g
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : { v // v ≠ 0 }
⊢ Projectivization.mk' K v = Projectivization.mk K ↑v ⋯
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
⊢ (p.append q).length = p.length + q.length
G : Type u_1
H : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup G
OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Set.Ici 0)
⊢ StrictMono f
m : ℤ
n : ℕ
⊢ Surreal.dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m (Submonoid.pow 2 n)) = m • Surreal.powHalf n
p : ℕ
w : 1 < p
⊢ ↑(sMod p (p - 2)) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.GoodProducts.SumEval C ho ∘ Sum.inl =
  ⇑(ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.πs C o)) ∘
    Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
inst✝ : DecidableEq V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).toSubgraph = c.toSubgraph
α : Type u_1
p : α → Bool
l l' : List α
h : l <+~ l'
⊢ List.filter p l <+~ List.filter p l'
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s → Finset.image (fun x => a ⊓ x) t ⊆ s ⊼ t
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget D)
G : CategoryTheory.Functor (Type (max v₁ u₁)) D
adj : G ⊣ CategoryTheory.forget D
Y : CategoryTheory.SheafOfTypes J
⊢ ((CategoryTheory.Sheaf.adjunctionToTypes J adj).unit.app Y).val =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).unit.app ((CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf J).obj Y))
    (CategoryTheory.whiskerRight
      (CategoryTheory.toSheafify J
        (((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max v₁ u₁)) D).obj G).obj
          ((CategoryTheory.sheafOfTypesToPresheaf J).obj Y)))
      (CategoryTheory.forget D))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ ((2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = 2 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 5) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) ∧ (2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1)) ∧ ((2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 3 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 3 * ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * if Even m then 0 else 6
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
m : F
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ s + t ⊆ Set.range ⇑m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
x✝ : ?m.181632
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
a b c : α
h₁ : IsCompl b c
h₂ : b ≤ a
⊢ IsCompl ⟨a ⊓ b, ⋯⟩ ⟨a ⊓ c, ⋯⟩
d : ℤ
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
⊢ (Pell.Solution₁.mk x y prop).y = y
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : B ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.Base B ↔ M✶.Base (M.E \ B)
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : M
hab : a < b
⊢ a ^ n < b ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hι : IsEmpty ι
⊢ False
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).pt ≅ H.cocone.pt
a b : Nat
⊢ a - (a - b) = min a b
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
m n : ℕ
x : Fin (m * n)
⊢ finProdFinEquiv.symm x = (x.divNat, x.modNat)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
⊢ Topology.scottHausdorff α ≤ inst✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
⊢ tsupport (f.normed μ) = Metric.closedBall c f.rOut
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ ∃ f, Function.support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ Set.range f ⊆ Set.Icc 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
X₀ : C
f : X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ⟶ X₀
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f
i : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (X.augment X₀ f w).hom.app i = X.map ((SimplexCategory.mk 0).const (Opposite.unop i) 0).op ≫ f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1
⊢ ↑k + 1 ≤ (↑k + 1) ^ 2
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
L : List α
a b : α
⊢ count a (orderedInsert r b L) = count a L + if a = b then 1 else 0
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
C : Type u
CommRing C
Algebra R C
Algebra.FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
⊢ g.comp (Algebra.FormallySmooth.liftOfSurjective f g hg hg') = f
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
⊢ ContinuousAt (⇑f) m
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
f : R →+* S
⊢ (PowerSeries.map f) PowerSeries.X = PowerSeries.X
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
⊢ GaloisConnection (StarAlgebra.adjoin R) SetLike.coe
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b = (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
s₁ : Set ℕ := {k | derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥}
s₂ : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k : ℕ
⊢ k ∈ s₁ ↔ k ∈ s₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : CategoryTheory.Grothendieck (G.comp CategoryTheory.typeToCat)
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).unitIso.inv.app X).fiber = CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
h : IsIntegralCurveOn γ v s
hs : s' ⊆ s
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s'
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : N ≃* G
K : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap f.toMonoidHom K = Subgroup.map f.symm.toMonoidHom K
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ Function.rightLim f y ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
h : List.map f l ≠ []
⊢ (List.map f l).getLast h = f (l.getLast ⋯)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
⊢ tangentMap (I.prod I') I' Prod.snd p = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
x : R
IsLocalization.Away x S
s : S
⊢ s * (algebraMap R S) (x ^ (IsLocalization.Away.sec x s).2) = (algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec x s).1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z
⊢ Wbtw R w y z
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a ⇔ b) = OrderDual.ofDual a ∆ OrderDual.ofDual b
σ : Type u_1
Fintype σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ MvPolynomial.psum σ R k =
  (-1) ^ (k + 1) * ↑k * MvPolynomial.esymm σ R k -
    ∑ a ∈ Finset.filter (fun a => a.1 ∈ Set.Ioo 0 k) (Finset.antidiagonal k),
      (-1) ^ a.1 * MvPolynomial.esymm σ R a.1 * MvPolynomial.psum σ R a.2
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ leftTransversals ↑H
⊢ Finite (G ⧸ H) ↔ H.FiniteIndex
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = (⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a a₂ : α
hf : HasSum f a
h : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i ≤ a₂
⊢ a ≤ a₂
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ b ∈ List.dlookup a l
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
⊢ (idealX K).asIdeal ≠ ⊥
n : ℕ
hn : 2 ≤ 2 + n
⊢ 0 < n + 1
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalNonAssocRing A
Module R A
⊢ Function.Injective NonUnitalSubalgebra.toNonUnitalSubring
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} ∂κ a
n : ℕ
⊢ cos (↑n * (2 * π) + π) = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
α : Type u_2
DecidableEq α
β : Type u_9
i : Finset β
f : β → Multiset α
⊢ i.sum f = i.sup f ↔ ∀ x ∈ i, ∀ y ∈ i, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x ≤ y ↔ x ≤ y ^ 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑⊥
R : Type u_3
S : Type u_4
OrderedCommRing S
Ring R
abv : AbsoluteValue R S
NoZeroDivisors S
a b : R
⊢ abv a - abv b ≤ abv (a + b)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * ∫ (a : α) in a, ↑‖f a - f x‖₊ ∂μ = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
a : α
hacc : Acc r a
⊢ Acc (Relation.CutExpand r) {a}
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)
⊢ IsOpen t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.map f).app Δ =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).desc Δ fun A =>
    f.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K').cofan Δ).inj A
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f
R : Type u1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : IsCentralScalar R M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ N
inst✝ : IsCentralScalar R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ toTrivSqZeroExt.comp (map f) = (TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ CategoryTheory.Limits.image φ
CategoryTheory.Epi e
i : CategoryTheory.Limits.image φ ⟶ Δ''
CategoryTheory.Mono i
fac : e ≫ i = φ
⊢ CategoryTheory.Limits.image.ι φ = i
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z✝ : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y ≤ ε₂ - ε₁
z : α
zx : z ∈ ball x ε₁
⊢ z ∈ ball y (ε₁ + (ε₂ - ε₁))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
⊢ (∏ a ∈ filter p s, if p a then f a else 1) = ∏ a ∈ s, if p a then f a else 1
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ ∀ t₁ ∈ insert ∅ s, ∀ t₂ ∈ insert ∅ s, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ insert ∅ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
x : A
⊢ φ x ∈ NonUnitalAlgHom.range φ
α : Type u
AddMonoidWithOne α
a : α
n : ℕ
self : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n
⊢ a = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
t : Set E
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1)‖
t_open : IsOpen t
z_mem : 0 ∈ t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
⊢ (p fun x => y) = 0
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsNowhereDense ∅
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I
⊢ I.IsPrime ∧ Disjoint ↑M ↑I
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
hf : IsRingHom f
⊢ IsAddGroupHom f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m k : ι
hk₁ : k < MeasureTheory.hitting u s n m ω
hk₂ : n ≤ k
⊢ u k ω ∉ s
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M ≃ₗ[R] N
⊢ (Finsupp.mapRange.linearEquiv f).toAddEquiv = Finsupp.mapRange.addEquiv f.toAddEquiv
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Mono S₁.f
⊢ Mono (S₂.f ≫ e.inv.τ₂)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (of v).dens n = ↑q
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s t : Interval α
⊢ (s + t).length ≤ s.length + t.length
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ * A = 1
right✝ : A * A⁻¹ = 1
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ ‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - ⨍ (x_1 : α) in a, f x ∂μ‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
h : MeasureTheory.ProgMeasurable f u
⊢ MeasureTheory.Adapted f u
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ x ∈ EMetric.ball y ε ↔ y ∈ EMetric.ball x ε
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Pell.pellZd a1 (m - n) = Pell.pellZd a1 m * star (Pell.pellZd a1 n)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Set.range f)ᶜ.Nonempty
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
⊢ (x * of' k G g %ᵒᶠ g) g' = 0 g'
n k : ℕ
⊢ n < k → n.choose k = 0
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (T • z).im = z.im
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f ((swap i 0) 2)) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 3)) ^ 2 = 0
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x ≤ x'
hy : ∀ (y' : β), y ≤ y'
⊢ f x = y
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
y : M
h : ∀ x ∈ l, Commute y x
⊢ Commute y l.prod