ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : |A i j| < 1
⊢ A i j = 0
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.univ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
a b c : Prop
h₁ : a ↔ b
h₂ : b ↔ c
⊢ a ↔ c
α : Type u_1
p p' : α × α
h : Sym2.Rel α p p'
⊢ Sym2.mk p = Sym2.mk p'
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
h : a ≤ c
⊢ Set.Iic a ∩ Set.Ioc b c = Set.Ioc b a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n y) (fun y => f (x + y)) atTop (Metric.ball 0 ↑r')
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
⊢ ¬IsUnit p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
⊢ s ∈ ⊤ * f → s ∈ ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ ¬G.Reachable u v ↔ IsEmpty (G.Walk u v)
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G
⊢ a * b * a⁻¹ = b
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
⊢ map π μ ≪ map π (μ.restrict 𝓕)
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
this : DistribLattice α := CommGroup.toDistribLattice α
⊢ mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) = mabs (a / b)
α : Type u
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, ↑i ≠ k ∧ l[↑i] = x
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m
⊢ y <<< n < 2 ^ (n + m)
z : ℂ
⊢ (z * Complex.I).im = z.re
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)
⊢ x ∈ (inducedMap A).fst
α : Type u_2
SemilatticeInf α
t : Set α
a : α
⊢ {a} ⊼ t = (fun b => a ⊓ b) '' t
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.index * Nat.card ↥H = Nat.card G
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Set.Ioo b c = Set.Ioo (b - a) (c - a)
K : Type u
inst✝³ : Field K
Γ : Type u_1
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v : Valuation K Γ
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
x : K
⊢ v x ≤ 1 ↔ v.valuationSubring.valuation x ≤ 1
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ ∅.truncatedInf a = ⊥
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f fun ω => max (τ ω) i
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
⊢ TendstoUniformlyOn (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => ∑' (x_1 : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x_1) x) Filter.atTop K
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.count a (l.erase a) = List.count a l - 1
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SingleObj M), (CategoryTheory.actionAsFunctor M X).obj x = X
K : Type u_3
V : Type u_6
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
x : V
p : Submodule K V
⊢ p ⩿ Submodule.span K {x} ⊔ p
ctx : Nat.Linear.Context
e e' : Nat.Linear.Expr
h : (e.toNormPoly == e'.toPoly) = true
⊢ Nat.Linear.Expr.denote ctx e = Nat.Linear.Expr.denote ctx e'
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iic b \ Set.Iio a = Set.Icc a b
⊢ Bornology.cobounded ℤ = Filter.atBot ⊔ Filter.atTop
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] R
x y : M
⊢ ((LinearMap.BilinForm.linMulLin f g) x) y = f x * g y
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : f ∘ h ≤ h ∘ g
n : ℕ
⊢ f^[n] ∘ h ≤ h ∘ g^[n]
x y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x
⊢ y ∈ z
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.Adapted f (-u)
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ x ∈ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Y
c : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit c) ↔ CategoryTheory.IsIso c.fst
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : Dense s
⊢ Dense sᶜᶜ
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Pair M i
m : M j
⊢ ⟨j, m⟩ ∈ (rcons p).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ m ≠ 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head
α : Sort u_2
β : Sort u_1
a : α
C : α → Sort u_1
x : β
y : C a
⊢ HEq x (⋯ ▸ y) ↔ HEq x y
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Finset.Icc a b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
j : α
h : ⊤ ≤ a j
⊢ ∑' (i : α), a i = ⊤
M : Type u_4
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.sum = (Multiset.map Subtype.val m).sum
a b : Ordinal.{u}
⊢ a.toPGame + b.toPGame ≈ (a ♯ b).toPGame
n a c n0 : ℕ
hn : n0 > 1
h : ∀ n ≥ n0, (a * c) ^ n < (n - 1)!
⊢ ∃ n0, ∀ n ≥ n0, a * c ^ n < (n - 1)!
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
hP : P.StableUnderCobaseChange
⊢ P.unop.StableUnderBaseChange
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
h : a⁻¹ < b
⊢ b⁻¹ < a
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)
key : Tendsto diracProba (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) (map (⇑diracProbaEquiv) (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F)) (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))
⊢ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ)) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
f : M →* N
⊢ MonoidHom.mker (f.restrict S) = Submonoid.comap S.subtype (MonoidHom.mker f)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.toMap (f.sec z).1 = f.toMap ↑(f.sec z).2 * z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (↑a ^ (n + 1))⁻¹ = (↑a)⁻¹ ^ (n + 1)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b x y : α
ha : IsGLB s a
hb : IsLUB s b
hab : b ≤ a
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x ≤ y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
⊢ x ∈ Metric.ball 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 < r ^ 2}
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : IsCoatomic α
inst✝ : OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
h_coatom : ∀ (a : α), IsCoatom a → u (l a) = a
b : β
hb : IsCoatom b
⊢ IsCoatom (u b)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
⊢ (IsPerfectClosure.equiv i j p).symm.toRingHom = PerfectRing.lift j i p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
X : C
x : G.obj (op X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)
y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit
ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op
i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))
a : α
⊢ (G.map (π a).op) (f.app (op X) (i.hom y)) = (G.map (π a).op) x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ o.oangle y x = ↑π
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) * b + b ^ (n + 1) * a ≤ a ^ (n + 1) * a + b ^ (n + 1) * b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) (𝓝[Ioo a b] a) l
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
NonAssocSemiring γ
Preorder γ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f.comp g₁ = f.comp g₂ ↔ g₁ = g₂
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
val✝ : Fintype { l // p ∈ l }
⊢ Fintype.card { p // p ∈ l } ≤ Fintype.card { l // p ∈ l }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableOn 𝕜 a s
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => a x ^ n) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
⊢ s ∈ f ×ˢ ⊤ ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' s ∩ t ⊆ f '' (s ∩ f ⁻¹' t)
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → ℝ} {μ : MeasureTheory.Measure α},
  AEMeasurable (fun x => Real.exp (f x)) μ → AEMeasurable f μ
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ↑(image (fun x => ↑x) A)
⊢ ε / 3 * ↑(Fintype.card (Fin (2 * n + 1))) ≤ ↑(image (fun x => ↑x) A).card
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ico a a = ∅
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s
B : ∀ (n : ℕ), #↑(c ^ n • s) = #↑s
⊢ #↑s = #E
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup N
hH : H ≤ f.range
hK : K ≤ f.range
⊢ Subgroup.comap f H ⊔ Subgroup.comap f K = Subgroup.comap f (H ⊔ K)
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
b : k
a : k
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a - ↑⌊a / b⌋ * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.ShrinkHoms.functor C).obj X = CategoryTheory.ShrinkHoms.toShrinkHoms X
G : Type u_1
AddGroup G
g : G
⊢ AddSubgroup.IsComplement {g} Set.univ
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
a : α
t : ι → Set β
⊢ a +ᵥ ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, a +ᵥ t i
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n
this : τ (f ^ n) = ↑m
⊢ τ f = ↑m / ↑n
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB ({a} ∪ s) (a ⊔ b)
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)) \ {s(t, t)}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j x : n
⊢ v (i - x) * w (x - j) = v (i - x) * w (i - (i - x + j))
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
⊢ (FreeAddGroup.negRev L₁).length = L₁.length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
x y : α
⊢ x ⩿ y ↔ ReflGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < a ^ n ↔ 1 < a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ setToFun μ T hT f = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a : 𝕜
⊢ ContinuousAt (dslope f a) a ↔ DifferentiableAt 𝕜 f a
R : Type u_1
CommRing R
Ring.DimensionLEOne R
p P : Ideal R
p.IsPrime
P.IsPrime
hpP : p < P
⊢ p = ⊥
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ s.toJordanDecomposition.negPart.HaveLebesgueDecomposition μ
s : Set ℝ
h : s.OrdConnected
⊢ (ENNReal.ofReal '' s).OrdConnected
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN) ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N') (inclusion w✝)))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
⊢ ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r s : R
x : M
⊢ (r + s) • x = r • x + s • x
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H : Set (X → α)
S : Set X
h : H.EquicontinuousOn S
f : X → α
hf : f ∈ H
⊢ ContinuousOn f S
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)
inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
h : IsIntegral K x
h1 : p ≠ 0
h2 : minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap F K) p
key_equiv : (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) ≃ (f : K →ₐ[F] E) × (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) := let_fun this := algHomEquivSigma; this
this : (f : K →ₐ[F] E) → Fintype (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E)
⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.univ, Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = (minpoly K x).natDegree
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.re (z * w) = RCLike.re z * RCLike.re w - RCLike.im z * RCLike.im w
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = re * ↑(a.re.gcd a.im)
Him : a.im = im * ↑(a.re.gcd a.im)
⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.length
⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
⊢ (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) ⊆ stdSimplex R ι
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ico a b₁ ⊆ Set.Ico a b₂
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = f ((baseChange W A).toAffine.negY x y)
X : Scheme
⊢ ∀ {U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace} {x : ↑↑X.toPresheafedSpace}, x ∈ U → ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : B'
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁CounitIso hF).inv.app X =
  e'.counitIso.inv.app X ≫
    e'.functor.map (eA.counitIso.inv.app (e'.inverse.obj X)) ≫ hF.hom.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj X))
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
⊢ ∫ (x : E), f ‖x‖ ∂μ = ∫ (x : ↑{0}ᶜ), f ‖↑x‖ ∂Measure.comap Subtype.val μ
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ (Multiset.map f s).prod < (Multiset.map g s).prod
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
⊢ Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : (b - a) * f' c = (f b - f a) * 1
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)
α : Type u_1
n : Type u_4
Zero α
DecidableEq n
d : n → α
⊢ (Matrix.diagonal d).IsDiag
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : p.castSucc < i
hi : i ≠ 0 := ⋯
⊢ p.predAbove i = i.pred hi
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α} {n : Nat}, l.get? n = none ↔ l.length ≤ n
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ H₃ : Subgroup G
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ ≤ H₃ ↔ ∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ⁅g₁, g₂⁆ ∈ H₃
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊔ b) / (a ⊓ b) = mabs (b / a)
R : Type u_2
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
⊢ CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n = remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁ ++ l₂).alternatingProd = (a :: l₁).alternatingProd * l₂.alternatingProd ^ (-1) ^ (a :: l₁).length
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i
⊢ c.ι ≫ 𝟙 X = c.ι
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ ∃ J, M.Basis' J X ∧ I ⊆ J