ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
Ring R
n : ℕ
a : R
⊢ (Polynomial.monomial n) (-a) = -(Polynomial.monomial n) a
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : M →ₗ[R] Nₗ
x : M
⊢ (((LinearMap.llcomp R M Nₗ Pₗ) f) g) x = f (g x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder X
DenselyOrdered X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
LinearOrder Y
TopologicalSpace Y
OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, IsExtrOn f (Set.Ioo a b) c
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hy : IsFixedPt f y
⊢ dist x y ≤ dist x (f x) / (1 - ↑K)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ t x
α : Type u_6
G : Type u_7
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) (f : α → G),
  MeasureTheory.integral μ f =
    if x_1 : CompleteSpace G then
      if hf : MeasureTheory.Integrable f μ then MeasureTheory.L1.integral (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) else 0
    else 0
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
Nonempty ι
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
⊢ IsMulOneCoboundary (⇑Additive.ofMul ∘ ↑↑f)
α✝ : Type u_1
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
p q : Set α✝ → Prop
U✝ : Set α✝
ε : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α ≃ᵐ β
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (⇑f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (⇑f '' K)
U : Set β
hU : qb U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ (⇑f ⁻¹' U)
K : Set α
hKU : K ⊆ ⇑f ⁻¹' U
hKc : pa K
hK : r < μ K
⊢ ∃ K ⊆ U, pb K ∧ r < (map (⇑f) μ) K
a b : ℕ
⊢ a.totient * b.totient ≤ (a * b).totient
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ↑(normSq x)) - ↑(normSq x) * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪x, y⟫_𝕜) - ⟪x, y⟫_𝕜 * (↑(normSq x) * ⟪y, x⟫_𝕜) + ↑(normSq x) * (↑(normSq x) * ↑(normSq y)) = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y) - normSq x * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊔ b = b ↔ a ⊓ b = a
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
v : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (-v) = -DFinsupp.subtypeDomain p v
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }
cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }
this✝ : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
⊢ whiskerRight α' Gr ≫ c.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map (pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt))
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ Prime PowerSeries.X
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : NeZero n
⊢ -a.valMinAbs * 2 ≤ ↑n
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
⊢ Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit H
c : CategoryTheory.Limits.Cone H
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.lift H c).app k ≫ (CategoryTheory.Limits.limit.π H j).app k = (c.π.app j).app k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
x : SetTheory.PGame
⊢ x + -x ≤ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F.rightOp.map f).unop = F.map f.op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α × β → γ},
  (∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)) →
    (∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)) → Measurable f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).ψ n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Set X
ht : t.Finite
⊢ Dense (s \ t)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ 0 ≤ ↑x
R : Type u
CommRing R
f₁ f₂ g₁ g₂ : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hf : f₁ = f₂
hg : g₁ = g₂
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₁ g₁ U hu = AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f₂ g₂ U ⋯
X : Type u
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : Nonempty X
p : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)
⊢ p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.geometricPMFReal p n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →L[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f| * μ s
x y : USize
⊢ (x + y).toNat = (x.toNat + y.toNat) % USize.size
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ ((Q.toBilin bm) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] a) l
α β : FinBddDistLat
e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat
a : ↑α.toBddDistLat.toDistLat
⊢ (FinBddDistLat.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤
⊢ μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ ε⁻¹ ^ p.toReal * eLpNorm f p μ ^ p.toReal
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f (-a)
p : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (ProbabilityTheory.geometricPMFReal p)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.gcd = s.gcd
h : a ∈ s
⊢ fold GCDMonoid.gcd 0 s = GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 s)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (Finset.Ico ⌊b (AkraBazziRecurrence.min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty
x : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ x.smoothTransition = 0
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₂
⊢ Function.Bijective ⇑B.flip ↔ Function.Bijective ⇑B
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
⊢ toMatrix (Pi.basisFun R₂ n) = BilinForm.toMatrix'
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
g' y : G
hy : y ∈ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s
hg' : (⇑(zpowGroupHom n))^[j] g' = 1
⊢ (⇑(zpowGroupHom n))^[j] (g' * y) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
a : α
ha : ↑(condCDF ρ a) ↑r = (preCDF ρ r a).toReal
ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
⊢ preCDF ρ r a ≠ ⊤
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ Disjoint s (s.ordSeparatingSet t)
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
y₀ : ↑(π.obj A)
y₁ : ↑(π.obj B)
f₀ : (x₀, x₁).1 ⟶ (y₀, y₁).1
f₁ : (x₀, x₁).2 ⟶ (y₀, y₁).2
⊢ HEq ((prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).map (f₀, f₁)) ((𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).map (f₀, f₁))
m n : Nat
⊢ m.gcd n * m.lcm n = m * n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α
⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ {x} ∪ t
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable (norm ∘ fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
h : x ∈ span R s
⊢ f x ∈ map f (span R s)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio b = Set.Iio ↑b
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
⊢ ∀ (a : J), IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app a) ↔ IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) f (c'.ι.app a)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm x ≠ x ↔ 2 ≤ l.length
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Disjoint aᶜ b
α : Type u
p : α → Prop
s : Set α
⊢ s ⊆ setOf p ↔ ∀ x ∈ s, p x
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
⊢ MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑(f ^ n)) s s
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_7
ι : Type u_16
CommRing R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₁
h : M.Nondegenerate
b : Basis ι R₁ M₁
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂ b b) M).SeparatingLeft
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
⊢ Function.Injective ⇑f.val.base
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ContDiff 𝕜 n (Function.const V (f 0))
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
⊢ a.cast.cast = a
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
⊢ p.support.card = 3
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun x => True) fun i => {b | b - a ∈ B i}
n : ℕ
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i)
⊢ Set.MapsTo (i.insertNth x) ↑(I.face i) ↑I
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (↑q - x)
⊢ Irrational (↑q + -x)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ a - ↑⌊a⌋ = Int.fract a
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
⊢ lc.ι.app j { down := z } ∈ ∅ ↔ c.ι.app j z ∈ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : Module.Finite R M₁
inst✝² : Module.Free R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Nontrivial R
B₁ : BilinForm R M₁
B₂ : BilinForm R M₂
x✝³ : M₁
x✝² : M₂
x✝¹ : M₁
x✝ : M₂
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry ↑(tensorDistribEquiv R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (tensorDistrib R R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝
L : FirstOrder.Language
F : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
L.Structure M
L.Structure N
FunLike F M N
L.HomClass F M N
φ : F
c : L.Constants
⊢ φ ↑c = ↑c
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.IrreducibleCloseds α
⊢ IsClosed self.carrier
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ IsOpen s ↔ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ (a :: l).rotate 1 = l ++ [a]
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p q r : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
φ : α → 𝕜
hφ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable φ μ
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (φ • f) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm φ q μ * MeasureTheory.eLpNorm f r μ
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
⊢ ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ S₂ : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
x y : PGame
k : (x * y).LeftMoves
P : (x * y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inl (ix, iy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (jy : y.RightMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inr (jx, jy)))
⊢ P (toLeftMovesMul (toLeftMovesMul.symm k))
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.eval 1 (bernsteinPolynomial R n ν) = if ν = n then 1 else 0
l r : List Char
⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } } = { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
⊢ setToSimpleFunc T (f - g) = setToSimpleFunc T f - setToSimpleFunc T g
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ ⇑(AlgHom.restrictScalars R f) = ⇑f
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v y < v x
⊢ v (x + y) = v x
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = f (update (update v i (v i + v j)) j (v i + v j))
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+ β
a : Multiplicative α
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative f) a = Multiplicative.ofAdd (f (Multiplicative.toAdd a))
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Mul (f i)
x y z : (i : I) → f i
h : ∀ (i : I), SemiconjBy (x i) (y i) (z i)
⊢ SemiconjBy x y z
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i
p' : ι → Submodule R ↥q := fun i => Submodule.comap q.subtype (p i)
hp₀ : ∀ i ∈ s, p i ≤ LinearMap.range q.subtype
⊢ IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ s, p i)
b : ℕ
x : ℕ
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ Nat.log b x ≤ x
l : List Prop
⊢ (map Not l).TFAE ↔ l.TFAE
a m n : Nat
⊢ (a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable β
m : Set α → M
m0 : m ∅ = 1
s : β → Set α
⊢ ∏' (i : ℕ), m (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
⊢ (F.comp G).μ X Y = G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
h : LipschitzWith K f
s : Set α
⊢ LipschitzOnWith K f s
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
self : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m : M
⊢ (self.bilin m) m = (algebraMap R A) (Q m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
a : α
⊢ filter p {a} = if p a then {a} else ∅
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x => 0) = Pi.single 0 1 n
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} D
F : CategoryTheory.Functor C D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Quotient.lift r F H).map ((CategoryTheory.Quotient.functor r).map f) = F.map f
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n
⊢ j ≤ n - 1