ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯).symm = (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯).trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s
⊢ r.preimage s = r.dom
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ dist (EuclideanGeometry.inversion c R x) y * dist x c = dist x (EuclideanGeometry.inversion c R y) * dist y c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : TopologicalSpace.Compacts X
⊢ rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ} (g : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.SimplicialObject.augmentedCechNerve.obj f).left.map g =
    CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift (CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => f.hom)
      (fun i => CategoryTheory.Limits.WidePullback.π (fun x => f.hom) ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom g.unop) i)) ⋯
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
⊢ PreTilt.valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (PreTilt.valAux K v O hv p f) (PreTilt.valAux K v O hv p g)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Star α
⊢ a ∈ star s ↔ star a ∈ s
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Ico 0 1))
α : Type u
TopologicalSpace α
s t : Set α
H : IsPreconnected s
Kst : s ⊆ t
Ktcs : t ⊆ closure s
⊢ IsPreconnected t
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLattice β
f g : Filter α
h : g ≤ f
u : α → β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
hg : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) g u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf u f ≤ Filter.liminf u g
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ 3 = Real.sin b - Real.sin a - (Real.sin b ^ 3 - Real.sin a ^ 3) / 3
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
x : B
y : Ω[A⁄R]
⊢ (KaehlerDifferential.mapBaseChange R A B) (x ⊗ₜ[A] y) = x • (KaehlerDifferential.map R R A B) y
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
A : Splitting.IndexSet Δ'
⊢ ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
⊢ w.toList.head? = some ⟨i, w.head⟩
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ sSup S
x : SimplexCategory
⊢ SimplexCategory.toTop.obj x = TopCat.of ↑x.toTopObj
R : Type u_1
CommRing R
a b c : R[X]
hAdd : a + b + c = 0
⊢ a.wronskian b = b.wronskian c
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a • f x) = a • ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
Field K
Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hε : 0 < ε
⊢ ⊥.IsUniform G ε
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f a = f b ↔ a = b
p x : ℝ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≼i s
a : α
b : β
⊢ s b (f a) → ∃ a', f a' = b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0
h : Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
⊢ P.degree < Q.degree
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b
⊢ (z - 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
X✝ Y✝ : FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝).left = (eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯).left
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
hB : (A ^ 2).PosSemidef
⊢ A = hB.sqrt
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ sSup (Set.Icc a b) = b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (M.X, N.X) ≫ ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ N.X).hom) = (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x
⊢ HasFDerivWithinAt f₁ f' s x
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.map (fun a => a) l = l
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsWeakAntichain s
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
⊢ r /ₒ s * (r /ₒ s)⁻¹ = 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hl : l.HasAntitoneBasis s
φ : ι → α
h : ∀ (i : ι), φ i ∈ s i
⊢ Filter.Tendsto φ Filter.atTop l
α : Type u
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup ↔ (l₂ ++ l₁).Nodup
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).dens + t.dens = (s ∪ t).dens
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsFractionRing.num A 0 = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set β
⊢ ⇑m ⁻¹' s - ⇑m ⁻¹' t ⊆ ⇑m ⁻¹' (s - t)
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
⊢ x.norm.natAbs = 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ 0 < f.natDegree
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ = fun i => MeasureTheory.stoppedValue u fun ω => min i (τ ω)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m : ι
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω = m ↔ (∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s) → sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) = m
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c -ᵥ p₁ = (1 - c) • (p₀ -ᵥ p₁)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p
⊢ fderivWithin 𝕜 b u p = h.deriv p
R : Type u
Ring R
s : Set R
x : R
h : x ∈ Subring.closure s
⊢ ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.plusObj P ⟶ Q
hγ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.toPlus P) γ = η
⊢ γ = J.plusLift η hQ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
hx : x ∈ t
⊢ (∃ c, (x.1, x.2.1, c) ∈ t) ∧ (∃ b, (x.1, b, x.2.2) ∈ t) ∧ ∃ a, (a, x.2.1, x.2.2) ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.image (s ∩ r.dom) ⊆ r.image s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } = powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.AsSmall.up.map f).down = f
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n < m
⊢ 1 / (↑m + 1) < 1 / (↑n + 1)
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : Filter α
⊢ f.limsSup = ⨅ s ∈ f, sSup s
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
⊢ (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ χ ↑p.1 * f p.1 * (χ ↑p.2 * g p.2) = χ ↑n * (f p.1 * g p.2)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
⊢ 0 < c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
N : Type u
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of M))ᵒᵖ
f : (smoothSheaf IM I M N).presheaf.obj U
⊢ Smooth IM I ↑f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
⊢ rootMultiplicity r ((expand R p) f) = p * rootMultiplicity (r ^ p) f
α : Type u_1
l : List α
ns : List ℕ
⊢ (l.splitWrtCompositionAux ns).length = ns.length
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (OrderIso.divRight a) b = b / a
x✝ y x : ℝ
⊢ 0 ≤ π / 2 - arcsin x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ s.erase a ∈ 𝓓 a 𝒜
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ 0 < a + b ↔ 0 < a ∨ 0 < b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
a : α
hf : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h : ∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ a
⊢ Filter.limsup u f ≤ a
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
s : Set α
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ⟪MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c : WithTop α
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
x y : ℝ
h : x * y < 1
⊢ arctan x + arctan y < π / 2
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p.conjExponent = q
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ IsIntegral R M
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ h₁ h₂
ψ' : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ' h₂ h₃
⊢ (ψ.comp ψ').φQ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.φQ ψ'.φQ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu✝ : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su
xu : Du := isoD.symm x
hxu : xu ∈ su
xu_x : isoD xu = x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu su xu‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
R : Type u_11
AddMonoid M
DistribSMul R M
AddCommMonoid N
g : α →₀ M
b : R
h : α → M → N
h0 : ∀ (i : α), h i 0 = 0
⊢ (b • g).sum h = g.sum fun i c => h i (b • c)
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
x : M
⊢ e.symm (e x) = x
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set X
⊢ DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ x ∈ S, 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k
⊢ { pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } }.π.app j (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0
⊢ Aᵀ.det = 0
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ Polynomial.C (a ^ n) = Polynomial.C a ^ n
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {p : α_1 → Prop} {f : α → α_1} [inst : Functor m] [inst_1 : LawfulFunctor m] {x : m α},
  SatisfiesM (fun a => p (f a)) x → SatisfiesM p (f <$> x)
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨k, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨k, z⟩
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F Y : D ⥤ C
⊢ ∀ {X Y_1 : D} (f : X ⟶ Y_1),
  (F.closedIhom.obj Y).map f =
    (CategoryTheory.MonoidalClosed.pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (Y.obj X) ≫
      (CategoryTheory.ihom (F.obj Y_1)).map (Y.map f)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ (interior s).OrdConnected
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
hxy : x + y ≠ 0
⊢ x.num * y.denom + x.denom * y.num ≠ 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : Polynomial.eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ (IsAdjoinRoot.lift i x hx h) h.root = x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail
⊢ p.IsTrail
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h : Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: m :: l)
this : n ≤ m
⊢ raise (lower (m :: l) n) n = m :: l
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
x : A
φ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ x))
⊢ φ ⟨x, ⋯⟩ ∈ spectrum ℂ x
α : Type u_1
DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a' : α) → a' ∈ m → δ a'
δ' : α → Sort u_3
φ : ⦃a' : α⦄ → δ a' → δ' a'
⊢ (Multiset.Pi.cons m a (φ b) fun a' ha' => φ (f a' ha')) = fun a' ha' => φ (Multiset.Pi.cons m a b f a' ha')
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ 0 ≤ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝³ : NormedRing A✝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
h : ∀ n ∈ ∅, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ ∅, f n z) c
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
HasGroupoid M G
x : M
⊢ chartAt H x ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ (↑s).head = Computation.pure s.head
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I
⊢ Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective c.toSections
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
μ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ μ ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty ↔ ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Continuous γ.extend
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
i : xr
xR : xr → PGame
j : (xR i).LeftMoves
⊢ ((xR i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ x ≠ z
u : PNat.XgcdType
⊢ u.reduce.IsReduced
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0