ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
q : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑q < ρ a / μ a
⊢ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, (q • μ) a ≤ ρ a
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x✝¹ : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑(MaxProducts C ho)
a : Products I
ha : a ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o)
b : Products I
hb : a ∈ MaxProducts C ho
hab : a = b
ha' : ord I (term I ho) < o
⊢ False
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
⊢ c * a ≤ c * b
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, t.ι.app j y = x
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
⊢ multiplicity.Finite (X - C a) p
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
α : Type u_1
TopologicalSpace α
C : Set α
⊢ Perfect C ↔ IsClosed C ∧ Preperfect C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv α γ
x : α
he : x ∈ e.source
he' : x ∈ e'.source
⊢ ↑e x ∈ (e.symm.trans e').source
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ { x // x ∈ primitiveRoots n ℂ } → NNRealˣ
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M
⊢ polar (⇑Q) y 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ l.closureOperator x = u (l.toFun x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sInf s)
Mf : Monotone f
ftop : f ⊤ = ⊤
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
M : Type u_4
CommMonoid M
l l' : List M
h : l.length = l'.length
⊢ l.prod * l'.prod = (List.zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
hy : y ∈ span K {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommRing R
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
h : (g.comp f).FiniteType
⊢ g.FiniteType
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblX (u • P) = (u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
x : R
⊢ (Polynomial.C x).roots = 0
τ : Type u_1
TopologicalSpace τ
AddMonoid τ
ContinuousAdd τ
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
t : τ
ht : Filter.Tendsto (fun x => x + t) f f
⊢ omegaLimit f ϕ.toFun (ϕ.toFun t '' s) ⊆ omegaLimit f ϕ.toFun s
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl y z
⊢ x ⊓ z = ⊥ ↔ x ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ (∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n) → s.ncard = n + 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
y : G
hy : y ∈ a.support
x : G
_hx : x ∈ b.support
⊢ (fun a_1 b => ↑f (a y * b) * g (y * a_1)) x (b x) = (fun a_1 c => ↑f (a y) * g y * (↑f c * g a_1)) x (b x)
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n)
⊢ Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate v 0 = v
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a ^ n).toProd = a.toProd ^ n
α : Type u_1
Nontrivial α
PartialOrder α
OrderBot α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
⊢ (∀ (i : α), i ≠ ⊥ → P i) ↔ ∀ (i : α), P (SuccOrder.succ i)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ Y₁ Z₁ : ModuleCat R
X₂ Y₂ Z₂ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ tensorHom (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) = tensorHom f₁ f₂ ≫ tensorHom g₁ g₂
α : Type u_1
CompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ 0 ≤ NumberField.house.supOfBasis K
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), f x_1 - x_1 ≤ f x - x
α : Type u_3
AddCommMonoid α
n : ℕ
f : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n → α
⊢ ∑ i : Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex n, f i =
  ∑ i : Fin (n + 1), f (Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i) +
    f Affine.Simplex.PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex
M : Type u_2
X : Type u_5
SMul M X
Y₁ : Type u_8
SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ f.inverse g h₁ h₂ = f.inverse' g ⋯ h₁ h₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
hp₀ : p ≠ 0
⊢ p.nextCoeffUp = p.coeff (p.natTrailingDegree + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
DenselyOrdered X
a b : X
f g : X → Y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict (Set.Ioc a b)] g
hf : ContinuousOn f (Set.Ioc a b)
hg : ContinuousOn g (Set.Ioc a b)
⊢ Set.EqOn f g (Set.Ioc a b)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple M s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : (algebraMap A K) x = (algebraMap A K) ↑y
hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0
⊢ x = ↑y
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝¹⁰ : Ring F
inst✝⁹ : Ring K
inst✝⁸ : AddCommGroup A
inst✝⁷ : Module F K
inst✝⁶ : Module K A
inst✝⁵ : Module F A
inst✝⁴ : IsScalarTower F K A
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : StrongRankCondition K
inst✝¹ : Module.Free F K
inst✝ : Module.Free K A
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex F K) F K := Module.Free.chooseBasis F K
c : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K A) K A := Module.Free.chooseBasis K A
⊢ lift.{w, v} (Module.rank F K) * lift.{v, w} (Module.rank K A) = lift.{v, w} (Module.rank F A)
X : Type u_4
TopologicalSpace X
⊢ Continuous 𝓝
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
⊢ s1.direction ⊔ s2.direction ≤ (s1 ⊔ s2).direction ∧ ∃ x ∈ (s1 ⊔ s2).direction, x ∉ s1.direction ⊔ s2.direction
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Semifield S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra S A
Algebra R S
Algebra R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ ClosedEmbedding ⇑(SpectrumRestricts.starAlgHom φ h)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q
this : ContinuousOn (↿g') (univ ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ
R : Type u_1
Ring R
n m : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt n m → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (↑n) m
B : Type u₁
inst✝⁴ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝³ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝² : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)
inst✝ : ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), IsIso (F.mapComp f g)
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ F.map₂ (α_ f g h).hom = (((F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom) ≫ F.map f ◁ inv (F.mapComp g h)) ≫ inv (F.mapComp f (g ≫ h))
z : ℂ
⊢ z⁻¹.re = z.re / Complex.normSq z
α : Type u
RatCast α
q : ℚ
⊢ { down := ↑q } = ↑q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ a \ d ≤ b ∧ a \ d ≤ c ↔ a \ b ≤ d ∧ a \ c ≤ d
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ e.symm.target ∩ ↑e.symm.symm ⁻¹' s ×ˢ univ ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₁
h₁ : f.comp g = AlgHom.id R A₂
h₂ : g.comp f = AlgHom.id R A₁
a : A₁
⊢ (AlgEquiv.ofAlgHom f g h₁ h₂) a = f a
m : Type u_1 → Type u_2
α β : Type u_1
Monad m
x : m α
f : α → ExceptCpsT β m β
⊢ (ExceptCpsT.lift x >>= f).runCatch = do
  let a ← x
  (f a).runCatch
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
n : ℕ := addOrderOf u
m : ℕ
hm : ↑(↑m / ↑(addOrderOf u) * p) = u
⊢ ‖u‖ = p * (↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Codisjoint (a ⇔ b) (a ⊔ b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) %ₘ q = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)
⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
H : Type u_2
MulOneClass H
a : H
⊢ (MulEquiv.multiplicativeAdditive H).symm a = Multiplicative.ofAdd (Additive.ofMul a)
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
Finite W
h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F
⊢ Nonempty (G →g F)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
E : (i : I) → C i ≌ D i
⊢ (CategoryTheory.Equivalence.pi E).counitIso = CategoryTheory.NatIso.pi fun i => (E i).counitIso
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ((φ.polyCharpoly b).coeff i).IsHomogeneous j
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝ : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, ∀ (x : X × Y), dist (f x) (↑g x) < u n
⊢ Measurable f
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : True → α
⊢ iInf s = s trivial
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.zeta n)) s * L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) s = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
x : ↥I
y : ↥I
z : L
⊢ (Φ ⁅↑x, ↑y⁆) z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
m0 : MeasurableSpace α
f : α → β
hf : MeasurableSet (Set.range f)
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂MeasureTheory.Measure.map f μ, x ∈ Set.range f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
M : Type u_4
Mul M
self : Subsemigroup M
a b : M
⊢ a ∈ self.carrier → b ∈ self.carrier → a * b ∈ self.carrier
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ (fun n m => limMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.succ ≤ p
⊢ p.succAbove i = i.castSucc
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0
⊢ ↑(s.sup f) = s.sup fun x => ↑(f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X X' Y : C
CategoryTheory.Closed A
f : X ⟶ X'
g : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A X' ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A f) g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalClosed.curry g)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.val 0 = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ Localization.mk ↑(y1 + y2).num ⟨↑(y1 + y2).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ↑y2.num + ↑⟨↑y2.den, ⋯⟩ * ↑y1.num) (⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ⟨↑y2.den, ⋯⟩)
a b c : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
hc : a + b = c
⊢ c - b = a
R : Type u
Semiring R
self : OrzechProperty R
M : Type u
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
⊢ Function.Surjective ⇑f → Function.Injective ⇑f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ t.card ≤ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m ⋯ m0) s = MeasureTheory.extend m s
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
TopologicalSpace β
MonoidWithZero β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (f * g) μ
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (ArithmeticFunction.sigma 1) (p ^ i) = ∑ k ∈ Finset.range (i + 1), p ^ k
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)
⊢ mk (mk x) = mk x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
ι : Type u_1
Fintype ι
⊢ stdSimplex ℝ ι ⊆ Metric.closedBall 0 1
R : Type u_1
CommRing R
⊢ CliffordAlgebra.involute = AlgHom.id R (CliffordAlgebra 0)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact (f '' s)
α : Type u
SubtractionMonoid α
b : α
h : IsAddUnit b
a : α
⊢ a + b - b = a
x✝ y x : ℝ
⊢ log x ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ -1
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0
⊢ z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2 = 4 * z ^ 2 / ↑(2 * n + 2) ^ 2
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal r
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)
inst✝ : Small.{v, u} R
inj : Injective R Q
I : Ideal R
g : ↥I →ₗ[R] Q
eI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R
eR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R
⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : (i : ι) → β i → γ
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
⊢ ((subtypeDomain p v).prod fun i b => h (↑i) b) = v.prod h
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
h : separableClosure F E ≤ L
⊢ IsPurelyInseparable (↥L) E
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) μ).trim = (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) μ.trim
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
A : Type u_6
CommRing A
Algebra R A
⊢ LinearMap.toMvPolynomial (Algebra.TensorProduct.basis A b₁) (Algebra.TensorProduct.basis A b₂)
    (LinearMap.baseChange A f) i =
  (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i)