ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ IsCompact (convexBodySum K B)
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l
e : j = i
⊢ cast ⋯ (f i ⋯) ≈ f j h
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
IsLocalization M S
IsLocalization N T
⊢ IsScalarTower R S T
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c₁ c₂ : Set α
hc₁ : ChainClosure r c₁
hc₂ : ChainClosure r c₂
hc : SuccChain r c₂ = c₂
⊢ c₁ ⊆ c₂
Γ : Type u_1
PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
f : Γ → V →ₗ[R] W
hf : ∀ (x : V), (Function.support fun x_1 => (f x_1) x).IsPWO
x : V
⊢ (HVertexOperator.of_coeff f hf) x = (HahnModule.of R) { coeff := fun g => (f g) x, isPWO_support' := ⋯ }
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
s : Set α
r : α → α → Prop
⊢ (Pairwise fun x y => r ↑x ↑y) ↔ s.Pairwise r
α : Type u_1
Semigroup α
x y : α
⊢ ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) = fun x_1 => x * y * x_1
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
⊢ Finite Rₚ Mₚ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
x : X
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 (f x))
m a b : ℕ
h1 : a ≡ b [MOD m]
h2 : a < b
⊢ a + m ≤ b
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ P.disc ≠ 0 ↔ (Cubic.map φ P).roots.Nodup
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
⊢ SetTheory.PGame.LeftMoves 0 = PEmpty.{u_1 + 1}
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1
hcon : exponent G ≤ m
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r', dist (f (x + x_1)) (p.partialSum n x_1) < ε
S : Type u_1
UnitalShelf S
x y : S
⊢ (x ◃ y) ◃ x = x ◃ y
M : Type u_2
MulOneClass M
x : M
⊢ SemiconjBy 1 x x
ι : Type u_4
Fintype ι
IsEmpty ι
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.Measure.dirac 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F₀ F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C C
α : F₀ ⟶ F₁
β : F₁ ⟶ F₂
X : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F₂
⊢ ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTransComp α β).hom.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p x : P
⊢ x ∈ ↑(affineSpan k {p}) ↔ x ∈ {p}
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
LawfulApplicative m
⊢ Function.comp (traverse F) ∘ HAdd.hAdd = fun x y =>
  Seq.seq ((fun x x_1 => x + x_1) <$> traverse F x) fun x => traverse F y
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p
⊢ (m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s) ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ ⌊a + b⌋ - 1 ≤ ⌊a⌋ + ⌊b⌋
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ 0 ≤ 1 + ‖x‖
⊢ Dioph.DiophPFun fun v => { Dom := 1 < v (Fin2.ofNat' 0), get := fun h => Pell.xn h (v (Fin2.ofNat' 1)) }
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
⊢ induced Prod.fst (induced f inst✝⁴) ⊓ induced Prod.snd (induced g inst✝²) = induced (fun p => (f p.1, g p.2)) (induced Prod.fst inst✝⁴ ⊓ induced Prod.snd inst✝²)
K : Type u
Field K
ζ : K
NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
h : H
heq : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = w'.prod
this : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = (base φ) h
⊢ w = Word.empty
S : Type u_3
Mul S
a : S
⊢ Commute a a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = f'
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → ↑Y.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))
⊢ P f
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
Zero M
s : Finset (ι →₀ M)
x : ι
⊢ x ∈ s.sup Finsupp.support ↔ ∃ f ∈ s, x ∈ f.support
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : StarModule R B
inst✝⁵ : FunLike F A B
inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B
inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B
f✝ g✝ : F
s : Set A
inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
f g : F
h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x
⊢ f = g
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
hb : a ∈ s.erase a
⊢ Commute a a
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}
S_nonempty : S.Nonempty
m : ℕ := Nat.find S_nonempty
s0 : ℤ × ℤ × ℤ
hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2
hs1 : m = s0.2.2.natAbs
a1 b1 c1 : ℤ
h1 : Fermat42 a1 b1 c1
⊢ m ≤ c1.natAbs
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm 1 ≤ 1
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = 0
hf2 : f.coeff 0 = 0
⊢ False
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ AntitoneOn (deriv f) S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f g : β → α
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous fun x => f x * g x
α : Type ua
ι : Sort u_1
UniformSpace α
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p U
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => closure (U i)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
x : K
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(NumberField.basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ↑↑I
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : s ⊆ ⋃ i ∈ u, U i
⊢ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
⊢ P.toPoly.coeff 3 = P.a
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
⊢ normedAddGroupHomCompletionHom f = f.completion
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔
  ∀ (x₂ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj S.X₂)),
    ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
a : (i : ι) → α i
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ t i
⊢ (fun i => ⟨i, a i⟩) '' s ⊆ s.sigma t
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : p ≤ q
Fintype { x // p x }
Fintype { x // q x }
⊢ Fintype.card { x // p x } ≤ Fintype.card { x // q x }
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t s : Set α
⊢ Nat.card ↑s⁻¹ = Nat.card ↑s
A : Type u_4
AddMonoid A
f : AddAut A
a : A
⊢ f • a = f a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b
⊢ a = b
α β : Type u
n : ℕ
⊢ ↑(Fintype.card (ULift.{u, 0} (Fin (n + 1)))) = ↑(Fintype.card (Option (ULift.{u, 0} (Fin n))))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set N
⊢ UniqueMDiffOn I (⇑h ⁻¹' s) ↔ UniqueMDiffOn J s
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a
⊢ ↑(n.choose k) ≡ ∏ i ∈ Finset.range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (FreeAddGroup.negRev L₁) (FreeAddGroup.negRev L₂)
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
s : Set G
conv : Convex ℝ s
hs : (interior s).Nonempty
⊢ UniqueDiffOn ℝ s
x : ℂ
⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : ZeroHom α β
h1 : f.toFun 1 = 1
hmul : ∀ (x y : α), f.toFun (x * y) = f.toFun x * f.toFun y
⊢ ⇑{ toZeroHom := f, map_one' := h1, map_mul' := hmul } = ⇑f
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T'' f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).H = F.obj h.H
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : ContractibleSpace X
⊢ Nonempty (X ≃ₕ Unit)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : LatticeHom α β
a : ↥L
⊢ f ↑a ∈ Sublattice.map f L
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ (p.maxPowDiv n + 1) ∣ n
⊢ p.maxPowDiv n < p.maxPowDiv n + 1
ε : ℝ
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
⊢ Metric.diam (Metric.cthickening ε s) ≤ Metric.diam s + 2 * ε
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.NoetherianSpace α ↔ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
U : Set β → Set α
hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s
hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)
hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s
⊢ AEMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) Filter.atTop fun x => |Polynomial.eval x P|) ↔ P.degree ≤ 0
X : Type u
TopologicalSpace X
r : X → X → Prop
⊢ QuotientMap (Quot.mk r)
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : mabs a < b
⊢ b⁻¹ < a
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
μ : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g μ
⊢ ContDiff 𝕜 n (MeasureTheory.convolution f g L μ)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, x ∈ s
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
⊢ ⋂ i, Iio (f i) = ∅
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : (p.rootSet ℂ).toFinset.card = (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : 1 < |n|
⊢ Ergodic (fun y => n • y) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
⊢ μ.singularPart ν = 0 ↔ μ ≪ ν
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : β
⊢ OrderDual.toDual (a ^ b) = OrderDual.toDual a ^ b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C ↔ (CategoryTheory.Functor.const J).IsRightAdjoint
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
⊢ I * annihilator I = ⊥
a b : Bool
⊢ (a && (a && b)) = (a && b)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ MeasureTheory.Memℒp (MeasureTheory.Filtration.limitProcess f ℱ μ) p μ
R : Type u
CommGroup R
⊢ ↑(CommGrp.of R) = R
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
⊢ MeasurableSet (Sum.inl '' s) ↔ MeasurableSet s
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
⊢ ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) s)) = 0
x : ℂ
⊢ (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
α : Type u_1
Zero α
LE α
a : α
h : 0 ≥ a
⊢ a ≤ 0
P : Type u_1
Preorder P
F : Order.PFilter P
⊢ F.IsPrime ↔ Order.IsIdeal (↑F)ᶜ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a b : M
⊢ a * b * (z₁ * z₂) = a * b * z₁ * z₂
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ upperBounds t
⊢ ↑c ≤ sSup (Subtype.val '' t)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι × G) in l ×ˢ 𝓝 x₀, dist (uncurry g x) z₀ < ε
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
α : Type u_1
ι : Sort u_4
c : α
⊢ (Set.range fun x => c) ⊆ {c}
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[c • f|m] =ᶠ[ae μ] c • μ[f|m]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
⊢ μ.WeaklyRegular
R : Type u_3
M : Type u_4
UniformSpace R
UniformSpace M
⊢ UniformContinuous TrivSqZeroExt.snd
α : Type u
β : Type v
MulZeroClass β
PartialOrder β
PosMulMono β
MulPosMono β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
hg₀ : 0 ≤ᶠ[l] g₁
hf₀ : 0 ≤ᶠ[l] f₂
⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
⊢ Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨a, ha⟩) = Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨b, hb⟩) → Sum.inr ⟨a, ha⟩ = Sum.inr ⟨b, hb⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (g i').SupIndep f
⊢ (s.biUnion g).SupIndep f
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
⊢ (∀ (x : M₂) (a : ι), (f a) x = 0 x a) ↔ ∀ (i : ι) (x : M₂), (f i) x = 0 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a : ℤ
⊢ (-γ).shift a = -γ.shift a
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ p a → Multiset.filter p (a ::ₘ s) = a ::ₘ Multiset.filter p s
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
L : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red (L ++ L₁) (L ++ L₂) ↔ FreeGroup.Red L₁ L₂
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)