ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q : C
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫
    CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl =
  𝟙 (P ⨿ Q)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β
⊢ nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = nndist y₁ y₂
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
s : Subalgebra R A
⊢ (star s).topologicalClosure = star s.topologicalClosure
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ LipschitzWith K (s.restrict f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
CompleteLattice γ
g : sSupHom α γ
⊢ g (Filter.blimsup u f p) ≤ Filter.blimsup (⇑g ∘ u) f p
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
g : ?m.758269
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W B).toAffine.Equation (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
V : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
s : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj V)
x : ↥(Opposite.unop V)
n : ℕ
⊢ ↑(s ^ n) x = ↑s x ^ n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (s ∩ t) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
P : Subobject X
Q : MonoOver X
⊢ mk (arrow (Quotient.mk'' Q)) = Quotient.mk'' Q
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s \ t).ncard + t.ncard = (s ∪ t).ncard
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
⊢ (LinearMap.pi fun i => 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace δ
NormedAddCommGroup β
f : α → δ
g : δ → β
hg : MeasureTheory.Integrable g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ |a| + a = 2 • a⁺
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
a b x : A
⊢ (LinearMap.mulLeftRight R (a, b)) x = a * x * b
γ : Type w
SemilatticeInf γ
a₁ a₂ : γ
s t : Set γ
hs : IsGLB s a₁
ht : IsGLB t a₂
⊢ IsGLB (s ∪ t) (a₁ ⊓ a₂)
α : Type u
s : Finset α
f : α → Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toNat (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, Cardinal.toNat (f i)
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ orderOf g ∣ exponent α
α : Type u_1
a : α
n : Nat
m : Fin (List.replicate n a).length
⊢ (List.replicate n a).get m = a
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x : α
y : M
hy : y ≠ 1
a : α
⊢ a ∈ mulSupport (update f x y) ↔ a ∈ insert x (mulSupport f)
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ (s ∪ t).encard = s.encard + t.encard
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ { toFun := IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux (toRatCDF fun p => f p.2) ((), a), mono' := ⋯, right_continuous' := ⋯ } = { toFun := IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux (fun p => toRatCDF f p.2) ((), a), mono' := ⋯, right_continuous' := ⋯ }
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n✝ : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
n : ℕ
ih : (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b
⊢ (fun x => a • x)^[n.succ] b = a ^ n.succ • b
α : Type u
β : Type v
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
⊢ EqOn f 0 U
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
𝕜 : Type u_2
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 β
SeminormedAddCommGroup γ
NormedSpace 𝕜 γ
g : β →L[𝕜] γ
f : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ ((ContinuousLinearMap.compLeftContinuousBounded α g) f) x = g (f x)
x y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
a b : PartENat
⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
n d : ℕ
⊢ ∃ k, ↑(d ^ n) / ↑(n * d ^ 2) ≤ ↑(Behrend.sphere n d k).card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
⊢ 0 ≤ i
f : C(↑I, ℝ)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => bernsteinApproximation n f) Filter.atTop (𝓝 f)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β
⊢ edgeDensity r s t ≤ 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f g : sInfHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : 𝕜'
⊢ ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ Finset.Ico a b ∪ Finset.Ico b c = Finset.Ico a c
n : Nat
a : Fin n
k : Nat
hk : k < n
⊢ a = ⟨k, hk⟩ ↔ ↑a = k
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
h : (f i) x = 0
⊢ f.toPOUFun i x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
s : Set β
f : β → α
H : IsGLB (f '' s) a
Hne : s.Nonempty
⊢ ⨅ i, f ↑i = a
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
⊢ 0 ≤ dist x x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.map (↑i) (perfectClosure F E) = perfectClosure F K
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
⊢ exponent G ∣ orderOf t
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ ∃ x, IsLeast s x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r✝ : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
g' : Γ'
h : ¬g' = f g
⊢ (embDomain f ((single g) r)).coeff g' = ((single (f g)) r).coeff g'
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ ∃ J, M.Basis J X ∧ I ⊆ J
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Finite R M
⊢ finrank R M = Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
a : ℤ
lt : a < 0
⊢ ↑(↑a)⁻¹.den = ↑(if a = 0 then 1 else a.natAbs)
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ {zI : R}, zI ∈ I → zI ∈ span {x} * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α
⊢ Finset.map g (Finset.map f s) = Finset.map (f.trans g) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ Integrable f ((κ.restrict hs ⊗ₖ η.restrict ht) a)
α : Sort u_1
p : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, a' = a ∧ p a) ↔ p a'
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
⊢ OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop α
a : α
⊢ ⊤ + a = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
Zero β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.FinMeasSupp μ ↔ μ (Function.support ↑f) < ⊤
X : Type u
self : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
⊢ (∀ (t : Set X), t ∈ s → TopologicalSpace.IsOpen t) → TopologicalSpace.IsOpen (⋃₀ s)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
hab : a < b
h : ∀ (c : α), a ≤ c → c ≤ b → c = a ∨ c = b
⊢ a ⋖ b
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
TopologicalAddGroup A
ContinuousStar A
ContinuousConstSMul R A
⊢ Continuous ⇑(StarModule.decomposeProdAdjoint R A)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
α : Type u
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
h : x ∈ Metric.sphere c R
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
⊢ Measurable fun x => if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f (↑i) x) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f (↑i) x
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ bernoulliFourierCoeff k 0 = 0
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₀ eA e').inverse = e'.inverse ⋙ eA.inverse
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
s : Set P
hp : p ∈ s
⊢ p ∈ affineSpan k s
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
CompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
μ'.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
⊢ μ' = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.58582, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.58586, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.58590, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C
⊢ ((F.map P.p).f ≫ (F.obj P.X).p) ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
⊢ HNNExtension.NormalWord.empty.toList = []
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
s : Set α
a : α
f : Filter α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : s ∈ f
(f ⊓ 𝓝 a).NeBot
⊢ IsLUB s a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁.op z₂.op
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ a + star a = 2 * ↑a.re
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
x : M
⊢ (Monoid.Coprod.swap M N) (Monoid.Coprod.inl x) = Monoid.Coprod.inr x
n : Nat
x y : Nat
⊢ BitVec.ofNat n x ≤ BitVec.ofNat n y ↔ x % 2 ^ n ≤ y % 2 ^ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
x : X
⊢ e.symm (e x) = x
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G →* G'
K : Subgroup G
⊢ Nat.card ↥(map f K) = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows).map f =
    CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.casesOn (motive := fun a a_1 t =>
      X = a → Y = a_1 → HEq f t → ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y)) f
      (fun X_1 h =>
        Eq.ndrec (motive := fun X_2 =>
          Y = X_2 →
            HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.id X_2) →
              ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
          (fun h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : X ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.id X) →
                  ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
              (fun f h => 𝟙 ((fun j => Option.casesOn j B objs) X)) ⋯ f)
          h)
      (fun j h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = some j →
              HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.init j) →
                ((fun j => Option.casesOn j B objs) X ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : none ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.init j) →
                  ((fun j => Option.casesOn j B objs) none ⟶ (fun j => Option.casesOn j B objs) Y))
              (fun f h => arrows j) ⋯ f)
          ⋯ f)
      ⋯ ⋯ ⋯
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n a : ℕ
⊢ trunc n (↑(trunc n f) ^ a) = trunc n (f ^ a)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ Continuous fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
x y : Π₀ (i : ι), β i
s : Set ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
i : ι
⊢ (x.piecewise y s) i = if i ∈ s then x i else y i
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
⊢ 0 ≤ (0 + x✝) * (0 + x✝)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
⊢ (iso S f) ((iso S f).symm m) = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (x * z + y)
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : Set α → Prop
h : ∀ (s : Set α), p s ↔ MeasurableSet s
⊢ m.copy p h = m
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M M' : ModuleCat S
g : M ⟶ M'
x : ↑((ModuleCat.restrictScalars f).obj M)
⊢ ((ModuleCat.restrictScalars f).map g) x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
f : β → α
⊢ ∏' (x : ↑{b}), f ↑x = f b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
⊢ (fun h => Nat.find ⋯) = fun h => Nat.find ⋯
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ioo a b).card = (Finset.Icc a b).card - 2
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
h : s =ᶠ[l] t
⊢ sᶜ =ᶠ[l] tᶜ
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
Subsingleton ι
Nontrivial G
i : ι
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖₊ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β
⊢ countP p (l.bind f) = Nat.sum (map (countP p ∘ f) l)
n : ℕ
⊢ a ↑(2 * n) = a 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃₀ t), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ Disjoint b d → Disjoint a c
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
⊢ (f - (algebraMap R (End R M)) μ).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
⊢ Quot.mk (CompClosure r) f = Quot.mk (CompClosure r) f' ↔ r f f'
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
h : 0 < b
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M
⊢ TensorPower.toTensorAlgebra (GradedMonoid.GMul.mul a b) = TensorPower.toTensorAlgebra a * TensorPower.toTensorAlgebra b
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
⊢ (b - a) • slope f a b = f b -ᵥ f a
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
r : S
⊢ Ideal.absNorm (Ideal.span {r}) = ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : Multipliable fun n => f ↑n
hf₂ : Multipliable fun n => f (-↑n)
⊢ Multipliable f
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y = y ↔ x = ⊥ ∧ y = ⊥
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
H : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x y : α
y0 : 0 < y
n : ℕ
h : x / y < ↑n
⊢ x < n • y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T (c.toReal * C)
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
s : Set G
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
⊢ IsCornerFree A ↔
  ∀ ⦃x₁ : G⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃y₁ : G⦄, y₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : G⦄, x₂ ∈ s → ∀ ⦃y₂ : G⦄, y₂ ∈ s → IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂
α : Type u
SemilatticeInf α
a : α
b c : α
h : b ≤ c
⊢ b ⊓ a ≤ c ⊓ a
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯
⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)
X Y : Type u
CommRing X
CommRing Y
f g : X →+* Y
h : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p ^ k ≤ m ↔ k ≤ p.count m.factors
M : Type u_12
N : Type u_13
Mul M
Mul N
h : M ≃* N
x y : N
⊢ h.symm (x * y) = h.symm x * h.symm y
R S : CommRingCatᵒᵖ
f : R ⟶ S
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toTop.map f = AlgebraicGeometry.Spec.topMap f.unop
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)