ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ ∃ b₂,
  Turing.PartrecToTM2.TrCfg (Turing.ToPartrec.stepNormal c k v) b₂ ∧
    Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
      { l := some (Turing.PartrecToTM2.trNormal c (Turing.PartrecToTM2.trCont k)), var := s,
        stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList v) [] [] (Turing.PartrecToTM2.trContStack k) }
      b₂
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
p : α → Prop
⊢ ∀ {x : DecidablePred p}, (∀ x ∈ s, p x) → ∀ (f g : α → β), (∏ x_1 ∈ s, if p x_1 then f x_1 else g x_1) = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)
⊢ Red (reduce (invRev w)) (invRev (reduce w))
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h✝ : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
h : ϕ.comp (of f) = algebraMap R S
⊢ eval₂ (ϕ.comp (of f)) (ϕ (root f)) f = eval₂ (ϕ.comp (of f)) (ϕ.toRingHom (root f)) f
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σa : Perm α
σb : Perm β
⊢ sign (σa.sumCongr 1) = sign σa ∧ sign (sumCongr 1 σb) = sign σb
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
⊢ ∃ y ∈ LinearMap.range ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), y + z = v
M : Type u_1
m₁ m₂ : AddCommMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
⊢ m₁ = m₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b
x y z : ℂ
⊢ cos z = cos ↑z.re * cosh ↑z.im - sin ↑z.re * sinh ↑z.im * I
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.toQuotientPaths C).map f =
    Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure (CategoryTheory.pathsHomRel C)) f.toPath
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → α
i : ι
⊢ Ordinal.bfamilyOfFamily' r f (Ordinal.typein r i) ⋯ = f i
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 < z
⊢ 1 ≤ x ^ z
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
⊢ map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime}
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
⊢ ↑a = 1 ↔ a = 1
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ UniformContinuous ⇑h
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMRight b ∣ b
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ f ∈ Ideal.map Polynomial.C I ↔ ∀ (n : ℕ), f.coeff n ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
⊢ s = ∅ → G.IsClique ↑s
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
self : Algebra.FormallySmooth R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
I : Ideal B
⊢ I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
m n : Nat
⊢ m ∈ List.range n ↔ m < n
α : Type u_1
s t : Finset.Colex α
⊢ s.ofColex = t.ofColex ↔ s = t
α : Type u
⊢ 𝒫∅ = {∅}
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p = 2 ∨ Odd p
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ e.restr (e.source ∩ s) = e.restr s
n m : ℕ
⊢ m ∈ n.smoothNumbers ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p < n
n : ℕ
i : Fin (Composition.ones n).length
⊢ (Composition.ones n).blocksFun i = 1
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
S : CategoryTheory.Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
⊢ (CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ S).IsNormal
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
x y : ℝ
hx : x < -1
⊢ 0 < log (-x)
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
⊢ P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure
h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure
this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure
a✝ : X
⊢ f a✝ = (I f_re + RCLike.I • I f_im) a✝
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : μ.OuterRegular
A : Set α
⊢ MeasurableSet A → ∀ r > μ A, ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
G : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup G
AddTorsor G P
h : Function.Injective fun x => 2 • x
y : P
⊢ Function.Injective fun x => (Equiv.pointReflection x) y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s1))
hp0s2 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s2))
⊢ False
X Y : Type u
Semigroup X
Semigroup Y
f : X →ₙ* Y
x : X
⊢ (Semigrp.ofHom f) x = f x
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
⊢ 1 / 2 ≤ ∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
α : Type u
g : Filter α
p : Filter α → Prop
hp : Monotone p
⊢ (∀ (f : Filter α), f.NeBot → f ≤ g → p f) ↔ ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ g → p ↑f
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (2 * n).bits = false :: n.bits
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
U : ↑Y.affineOpens
⊢ P (f ∣_ ↑U) ↔ ∀ (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑U)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
⊢ lt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ lt.Compares b a
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
hf : Function.Bijective ⇑f
x : M
⊢ (LinearEquiv.ofBijective f hf) x = f x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
b : β
hb : b ∈ s
⊢ s.inf f ≤ f b
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ
hx0 : x ≤ 0
⊢ if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i
I : Type u
R : Type u_1
f : I → Type v
⊢ ∀ {x : CommSemiring R} [inst : (i : I) → Semiring (f i)] [inst_1 : (i : I) → Algebra R (f i)] (i : I)
  (f_1 : (i : I) → f i), (Pi.evalAlgHom R f i) f_1 = f_1 i
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ min (a * b) (a * c) = a * min b c
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
t : W
ht : t ∈ cs.rightInvSeq ω.reverse
⊢ cs.IsReflection t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ (a.1 • x₁ + a.2 • x₂, y) = a.1 • (x₁, y) + a.2 • (x₂, y)
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ l <:+ a :: l
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
⊢ (h₁₁ ≫ v₁₂) ≫ v₂₂ = v₃₁ ≫ h₃₁
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : x ∈ V
iVU : V ⟶ U
f g : R
hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
hs : const R f g V hg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
⊢ (localizationToStalk R x) (↑s ⟨x, hxU⟩) = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s
D : CategoryTheory.GlueData (Type u_1)
⊢ Function.Surjective D.π
V : Type u_1
α : Type u_2
A : Matrix V V α
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
⊢ ¬A i j = 0 ↔ A i j = 1
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a : α
⊢ Multiset.Ico a a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ ∑' (i : α), (ofNNReal ∘ a) i = ↑(∑' (i : α), a i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (x + ↑(-y)) = round x - y
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
κ : Type u_6
SMul α β
b : ι → α
c : κ → β
⊢ Set.range b • Set.range c = Set.range fun p => b p.1 • c p.2
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
hmn : m ∣ n
⊢ filter (fun x => x ∣ m) n.primeFactors = m.primeFactors
R : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
CommRing R
Nontrivial R
d : n → R
i : n
⊢ Module.End.HasEigenvector (Matrix.toLin' (Matrix.diagonal d)) (d i) ((Pi.basisFun R n) i)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iio b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ici b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iio b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ici b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)
hs : Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) s
⊢ s.sum.support = (map Finsupp.support s).sup
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsLocallyFiniteMeasure (μ.restrict s)
x : α
hx : Tendsto (fun a => (μ.restrict s) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.restrict s).rnDeriv μ x))
h'x : (μ.restrict s).rnDeriv μ x = s.indicator 1 x
⊢ Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l.get? i ≠ l.get? j
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => (PInfty.f (unop A.fst).len ≫ f.app A.fst) ≫ ((Γ₀.splitting K[Y]).cofan (op [n])).inj A) ≫ (Γ₀.splitting K[Y]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ f.app (op [n])
α : Type v
Preorder α
a b c : α
h : b ≤ c
⊢ Disjoint (Set.Ioc a b) (Set.Ioi c)
H✝ : Type u
H'✝ : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α
⊢ (range fun p => (f p.1, p.2)) = range fun p => (f p.1, p.2)
R : Type u_1
CommRing R
f : R[X]
⊢ AlgebraicGeometry.Polynomial.imageOfDf f = ⇑(PrimeSpectrum.comap Polynomial.C) '' (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
self : IsAtomic α
b : α
⊢ b = ⊥ ∨ ∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.Integrable (Function.uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), ∫ (y : β), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (z : α × β), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 2 ∩ Set.Iio 1
⊢ x ∈ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
q : ℚ
⊢ 0 ≤ Rat.sqrt q
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ lowerBounds (⇑f '' s) = ⇑f '' lowerBounds s
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁
⊢ { lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = { lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }
R : Type u
S : Type v
Ring R
Semiring S
f : R ≃+* S
⊢ RingHom.ker ↑f = ⊥
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
⊢ ((expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)).natDegree ≤ (cyclotomic (n * p) ℤ).natDegree
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
hb : AddLECancellable b
⊢ a ≤ b + a - b
α : Type u_1
Neg α
Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (-x) = -(equivShrink α).symm x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
⊢ J.PreservesSheafification F ↔ IsIso (sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂)
b : Bool
Decidable (true = b)
⊢ decide (true = b) = b
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0
x : k
hx : (map (↑e.symm) p).IsRoot x
⊢ eval (e x) p = 0
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g
⊢ v (x - y) ≤ g
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).degree = p.degree
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt p = Real.log ↑p
ι : Type v
ι' : Type v'
f : ι → Cardinal.{w}
f' : ι' → Cardinal.{w'}
hf : BddAbove (Set.range f)
hf' : BddAbove (Set.range f')
g : ι → ι'
h : ∀ (i : ι), Cardinal.lift.{w', w} (f i) ≤ Cardinal.lift.{w, w'} (f' (g i))
⊢ Cardinal.lift.{w', w} (iSup f) ≤ Cardinal.lift.{w, w'} (iSup f')
α : Type u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p
t1 : Set α
ht1 : t1 ∈ ⋃ n, p n
t2 : Set α
ht2 : t2 ∈ ⋃ n, p n
h : (t1 ∩ t2).Nonempty
⊢ t1 ∩ t2 ∈ ⋃ n, p n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ sublistsLen (a :: l).length (a :: l) = [a :: l]
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
h : Codisjoint s t
⊢ Codisjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
y : F
x : E
hx : x ∈ {0}
⊢ ‖(B x) y‖ ≤ 1
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
t : IsLimit c
x : ↑F.sections
j : J
⊢ c.π.app j ((isLimitEquivSections t).symm x) = ↑((isLimitEquivSections t).toFun ((isLimitEquivSections t).invFun x)) j
M : Type u_1
N : Type u_2
AddSemigroup M
AddSemigroup N
s : Set M
f : M → N
hs : AddSubsemigroup.closure s = ⊤
hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → f (x + y) = f x + f y
⊢ ⇑(AddHom.ofDense f hs hmul) = f
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 ≤ a
⊢ Antitone fun n => (a ^ n)⁻¹
α : Type u_3
OrderedSemiring α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 0 ≤ OfNat.ofNat n
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β
⊢ {y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (x + y) = NormedSpace.exp 𝕂 x * NormedSpace.exp 𝕂 y
R : Type u_1
L : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
⊢ LieAlgebra.rank R L = ((↑(LieAlgebra.ad R L)).polyCharpoly b).natTrailingDegree
α : Type u_3
CommMonoid α
⊢ Multiset.prod 0 = 1
α : Type u_1
f : ℕ → α
a : ℕ
hf : Function.Periodic f a
n : ℕ
⊢ f (n % a) = f n
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
s t : Set α
h : Set.BijOn (⇑g) s t
⊢ Set.BijOn (⇑(g.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' s) (Subtype.val ∘ ⇑f '' t)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ L.map (h.unit.app X✝ ≫ R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
SMul M β
m : MeasurableSpace α
g : α → β
MeasurableSMul M β
hg : Measurable g
c : M
⊢ Measurable (c • g)
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
s : Rel α α
h : r ≤ s
⊢ ∀ (a : Fin (x.length + 1)), (x.ofLE h).toFun a = x.toFun a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
⊢ HasMellin (fun x => P.f x - P.f₀) s (P.Λ s)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
j : J
⊢ ∀ {X Y : ↑(((CategoryTheory.Functor.const J).obj (CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeX F)).obj j)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitCone F).π.app j).map f =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X Y) j f
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : K
⊢ ↑((NumberField.InfinitePlace.embedding_of_isReal hw) x) = w.embedding x
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
⊢ A.leftRegularHomEquiv.symm x = A.leftRegularHom x
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
n : ℕ
⊢ List.oldMapIdxCore f n l = List.oldMapIdx (fun i a => f (i + n) a) l
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ ↑(hC.diffFinset hs ht) ⊆ C
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
⊢ ∃ d, d ≠ 0 ∧ num = (Rat.normalize num den nz).num * ↑d ∧ den = (Rat.normalize num den nz).den * d
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ frontier s ⊆ s ↔ IsClosed s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc b c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc a c, f x ∂μ
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ ∑ n ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff n) * (z * f p.leadingCoeff) ^ n = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i
T : ℝ
x y : AddCircle T
⊢ (x + y).toCircle = x.toCircle * y.toCircle
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p q : Path x₀ x₁
F : p.Homotopy q
x : ↑I × ↑I
⊢ F.symm₂ x = F (x.1, σ x.2)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : -1 ≤ a ∧ a ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
⊢ a • x ∈ s
α : Type u_1
LT α
a b : α
⊢ OrderDual.toDual b ⋖ OrderDual.toDual a ↔ a ⋖ b
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
t : Matrix.TransvectionStruct n R
⊢ t.toMatrix * t.inv.toMatrix = 1
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
⊢ ∀ (a : α₁ ⊕ β₁), (ea.sumCongr eb) a = Sum.map (⇑ea) (⇑eb) a
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
a : α
⊢ a ∈ s.unop ↔ Opposite.op a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
⊢ Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
R : Type u_1
One R
Neg R
a : ℍ[R,-1,-1]
⊢ (Quaternion.equivProd R) a = (a.re, a.imI, a.imJ, a.imK)
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
⊢ (↑e).inverse = ↑e.symm
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f x ^ n) a = cfc f a ^ n
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z
⊢ {x, y, z}.infsep = dist x y ⊓ dist x z ⊓ dist y z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
f✝ : ι → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ a
⊢ ⨆ i, f i ≤ a
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
⊢ sum f ≤ lift.{u, u} #ι * iSup f
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁.diffs t ⊆ s₂.diffs t
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ ContinuousOn (fun z => Bundle.TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ Set.univ)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
BinomialRing R
k : ℕ
⊢ Ring.multichoose 0 (k + 1) = 0
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ↑⊤ = Set.univ
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => x / g) μ μ