ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
⊢ ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a * b⁻¹) = 1
⊢ f a = f b
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : 1 < triangleRemovalBound (ε / 9) * 27 * ↑(Fintype.card G)
A : Finset (G × G)
hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A
hε₁ : ε ≤ 1
this : NoAccidental (Corners.triangleIndices A)
⊢ triangleRemovalBound (ε / 9) * 27 * ↑(Fintype.card G) * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ 1 * ↑(Fintype.card G) ^ 2
⊢ Filter.Tendsto Real.log (𝓝[≠] 0) Filter.atBot
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p (x + y) x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : N
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P) (AddMonoid.Coprod.inl (AddMonoid.Coprod.inr x)) =
  AddMonoid.Coprod.inr (AddMonoid.Coprod.inl x)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
⊢ 1 = 1 ^ n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ univ
⊢ (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) i) ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Sort u_2
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsSeparable (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
a a' : α
b b' : β
inst✝² : DecidablePred (r a)
inst✝¹ : (a : α) → Decidable (r a b)
m n : ℕ
inst✝ : (a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
⊢ ∑ a ∈ s, (bipartiteAbove r t a).card = ∑ b ∈ t, (bipartiteBelow r s b).card
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : { center := p, radius := r }.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere { center := p, radius := r }.center { center := p, radius := r }.radius → { center := p, radius := r } = s.circumsphere
⊢ r = s.circumradius
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ↑(image (fun x => ↑x) A)
⊢ False
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
h : IsMinOn f s a
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ lineDeriv ℝ f a b = 0
θ ψ : Angle
h : θ.sign = ψ.sign
⊢ θ = ψ ↔ |θ.toReal| = |ψ.toReal|
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ¬p ∣ n
⊢ IsUnit ↑p
M : Type u_1
AddMonoid M
a b c : M
h : IsAddUnit a
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (s.erase a)ᶜ ↔ a✝ ∈ insert a sᶜ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ (coeff R n) (X ^ n) = 1
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : αᵒᵈ
⊢ Finset.Iio (OrderDual.ofDual a) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ioi a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddBelow (range f)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (⨅ i, f i))
⊢ ∀ {X Y : LightProfinite} (f : X ⟶ Y), lightProfiniteToLightDiagram.map f = f
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
⊢ Injective x
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
Nontrivial R
h : IsCoprime x y
⊢ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Fin 0 → M
⊢ Finsupp.total (Fin 0) M R f = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
a : X
hU : IsClopen U
⊢ (f.mulIndicator hU) a = if a ∈ U then f a else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ UniformContinuous ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.FinitePresentation R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
⊢ (LinearMap.ker l).FG ↔ Module.FinitePresentation R N
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
⊢ ⇑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ⇑(p i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
x : A
⊢ Algebra.adjoin R (insert x ↑(Algebra.adjoin R s)) = Algebra.adjoin R (insert x s)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₂ ⟶ X₃₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
s : IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) v₁₃ h₃₁
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ h₁₁ ≫ v₁₃ = v₁₁ ≫ v₂₁ ≫ h₃₁
α : Type u
DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
⊢ x ∉ xs → SlimCheck.InjectiveFunction.List.applyId (xs.zip ys) x = x
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩
⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
⊢ (a ++ b).get hab = a.get ⋯ ++ b.get ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c₁ c₂ : Urysohns.CU P
h : c₁.U ⊆ c₂.C
n₁ n₂ : ℕ
x : X
⊢ Urysohns.CU.approx n₂ c₂ x ≤ Urysohns.CU.approx n₁ c₁ x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G.CommShift A
a : A
⊢ (F.postcomp G).functor a = F.functor a ⋙ G
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
h : k + 2 ≤ n
⊢ (n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
R : Type u
M : Type v
S : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S
hI : IsPrincipal (comap f I)
⊢ I = Submodule.span S {f (IsPrincipal.generator (comap f I))}
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f : α → β
hf : ∀ (a b : α), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
⊢ ⇑{ toFun := f, map_sup' := hf } = f
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
⊢ Finsupp.supported M R (s ∩ t) = Finsupp.supported M R s ⊓ Finsupp.supported M R t
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v => e (-(L.toLinearMap₂ v) w) • f v) μ
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ IsGreatest (↑s) (s.max' H)
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
a✝ : List α
⊢ Functor.map h <$> traverse g ⟦a✝⟧ = traverse (Functor.map h ∘ g) ⟦a✝⟧
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
R : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n
Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
⊢ A * B₁.fromColumns B₂ = (A * B₁).fromColumns (A * B₂)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → F
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasureTheory.Memℒp g p (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ MeasureTheory.Memℒp (g ∘ f) p μ
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ≤ mabs b ↔ a ≤ b ∨ a ≤ b⁻¹
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : ↥L), ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range
⊢ L ≤ perfectClosure F E
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁
⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').unit.app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R
⊢ SameRay R v (r • v) ↔ 0 ≤ r ∨ v = 0
a : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ 0 → ∀ (n : ℕ), a ^ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ ∀ K ∈ ?m.51400, EquicontinuousOn (Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)) K
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁴ : CommRing R
inst✝²³ : CommRing S
inst✝²² : CommRing T
inst✝²¹ : Algebra R S
inst✝²⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : Field L
inst✝¹⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R L
inst✝¹³ : Algebra L F
inst✝¹² : Algebra R F
inst✝¹¹ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : CommRing B
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : CommRing C
inst✝⁶ : Algebra A C
E : Type z
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : Module.Finite K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : κ → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Fintype κ
e : κ ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (traceMatrix K b).map ⇑(algebraMap K E) = embeddingsMatrixReindex K E b e * (embeddingsMatrixReindex K E b e)ᵀ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
⊢ False
q : ℚ≥0
⊢ { cauchy := ↑q } = ↑q
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α β : Type u₀
e : α ≃ β
⊢ (EquivFunctor.mapEquiv f e).symm = EquivFunctor.mapEquiv f e.symm
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f ↔ (lift R).symm g = f
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b
⊢ a • p ≤ b • q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ (E.multicospanIndex F).L = E.I₀
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
n : ℕ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑n / x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M → N
hf : f 0 = 0
g : α →₀ M
a : α
⊢ (Finsupp.mapRange f hf g) a = f (g a)
α : Type u_3
CompleteLattice α
self : IsCompactlyGenerated α
x : α
⊢ ∃ s, (∀ x ∈ s, CompleteLattice.IsCompactElement x) ∧ sSup s = x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b * (↑η + 1) + λ * k' = λ * k
⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ (SumEval C ho)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
v : Set (β × β)
hv : v ∈ 𝓤 β
w : Set (β' × β')
hw : w ∈ 𝓤 β'
hvw : v ×ˢ w ⊆ (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ (a : α) (b : α'), a ∈ s → b ∈ s' → ((F m.1.1 a, F' m.1.2 b), F m.2.1 a, F' m.2.2 b) ∈ u
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
u : (i : ι) → M i
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => (c y) u) s x
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
AddGroup G
SubtractionMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
a b : G
⊢ f (a - b) = f a - f b
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
⊢ ↑f (1, g) = ↑f (1, 1)
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric (c • m) = c • MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
⊢ IsUnit (k • 1 - a)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ FractionalIdeal.count K v I = I
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
⊢ projIci a x = ⟨a, ⋯⟩ ↔ x ≤ a
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint s (t \ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
(F : CategoryTheory.Functor D E) → (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(F : CategoryTheory.Functor D E) →
    (X : C) →
      (W : J.Cover X) →
        (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
X : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (J.plusFunctorWhiskerLeftIso P).hom.app X = (J.plusCompIso X P).hom
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
⊢ IsMulFreimanHom m A B f
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
x y : (i : δ) → π i
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∉ s, x i = y i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
o : Part α
⊢ Part.map g (Part.map f o) = Part.map (g ∘ f) o
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
⊢ ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i = t i
⊢ ⋂ i, s i = ⋂ i, t i
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
M₃ : Type u_1
AddCommGroup M₃
Module R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ f.dualMap ∘ₗ g.dualMap = (g ∘ₗ f).dualMap
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) x = 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) x
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : (i : ι) → E i ≃L[𝕜] E₁ i
⊢ (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapEquivL G f).symm =
  ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapEquivL G fun i => (f i).symm
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
NoZeroSMulDivisors ℤ M
r : ι ↪ M
c : ι → Module.Dual R M
hfin : (Set.range ⇑r).Finite
h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2
h_mapsTo : ∀ (i : ι), Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection (r i) (c i))) (Set.range ⇑r) (Set.range ⇑r)
⊢ Set.InjOn (⇑(Submodule.span R (Set.range ⇑r)).subtype.dualMap) (Set.range c)