ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
hF : F.Representable
X : Cᵒᵖ
f : Opposite.unop X ⟶ F.reprX
⊢ (F.reprW.app X).hom f = F.map f.op F.reprx
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a : α
h : List.Chain R a l
⊢ List.destutter' R a l = a :: l
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ￢b ≤ ￢a
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
IsTrans α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ g, ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)) (f (g n))
X : Type u_3
TopologicalSpace X
self : PreirreducibleSpace X
⊢ IsPreirreducible Set.univ
α : Type u_1
F' : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m g μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
x : ℝ
hx_pos : 1 < x
hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ log u ≤ 1 * log x
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
a : M
b : ↥S
eq1 : b • m = f a
⊢ ∃ u, u • b • ⋯.choose.1 = u • ⋯.choose.2 • a
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty
⊢ f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
b : σ
H : b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n
⊢ b ∈ h a n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a ^ n).toProd.2 = a.toProd.2 ^ n
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
m : (i : ι) → E i
⊢ ∏ i : ι, ‖(f i) (m i)‖ ≤ ∏ x : ι, ‖f x‖ * ‖m x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G ↔ (CategoryTheory.preadditiveYoneda.obj G).Faithful
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
⊢ (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
⊢ ∏ i ∈ s, 1 = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
h : SmoothOn I I' f s
⊢ ContMDiffOn I I' n f s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.102730, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.102737, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.102744, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.102796, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
⊢ ({ val := (presheafIso i).hom } ≫ { val := (presheafIso i).inv }).val = (𝟙 ℱ).val
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
G : Type u_4
AddGroup G
MeasurableSpace G
MeasurableNeg G
f : α → G
⊢ (Measurable fun x => -f x) ↔ Measurable f
n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ a + c ≡ b + d [MOD n]
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
h : a * b = c ^ 0
⊢ ∃ d, Associated (d ^ 0) a
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a✝ a : ℕ
⊢ ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑((n / (p * p ^ a)).choose (k / (p * p ^ a))) ≡ ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑((n / (p * p ^ a)).choose (k / (p * p ^ a))) [ZMOD ↑p]
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a b : S
⊢ ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) MeasureTheory.volume 0 1
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
⊢ ∀ (a : W.toAffine.Point),
  (WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffineAddEquiv W).symm a = WeierstrassCurve.Jacobian.Point.fromAffine a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Iio b = Set.Iio (e.symm b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A
⊢ card (t + replicate (n - m) a) = n
G : Type u_1
AddCommGroup G
s : Set G
⊢ AddAction.stabilizer (G ⧸ AddAction.stabilizer G s) (QuotientAddGroup.mk '' s) = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
u : E → G
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hu : DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => (c y) (u y)) x = (c x).comp (fderiv 𝕜 u x) + (fderiv 𝕜 c x).flip (u x)
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M'
Module R M₂
Module R M₃
Module R M'
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
⊢ MultilinearMap.domDomCongr σ (g.compMultilinearMap f) = g.compMultilinearMap (MultilinearMap.domDomCongr σ f)
α : Type u
f : Equiv.Perm α
p : α → Prop
Finite { x // p x }
h : ∀ (x : α), p x → p (f x)
x : { x // p x }
⊢ (f.subtypePermOfFintype h) x = ⟨f ↑x, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
⊢ (∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)
ι : Type v
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
DecidableEq ι
i : ι
x y : L i
⊢ ⁅(DirectSum.of L i) x, (DirectSum.of L i) y⁆ = (DirectSum.of L i) ⁅x, y⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
t : Set α
h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)
this : t ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)
⊢ ∃ T f, ↑T ⊆ s ∧ t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
U V : C
f : U ⟶ V
⊢ G.imageSieve (G.map f) = ⊤
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a * c ↔ b < c
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist p₂ ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c) = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsNoetherian R M
⊢ IsNoetherian S M
α : Type u
s : Set α
h : s.Subsingleton
⊢ s.Finite
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ
⊢ IsRegular ↑a
R : Type u_1
Semiring R
k : ℕ
⊢ ⇑(k.factorial • Polynomial.hasseDeriv k) = (⇑Polynomial.derivative)^[k]
F : Type u_1
Field F
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Polynomial.Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Polynomial.Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) (p₁ * p₂)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ
⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ ⇑(MvPolynomial.monomial 0) = ⇑MvPolynomial.C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝ : 0 ∈ C
this : Convex ℝ C
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : BooleanAlgebra α
inst✝² : BooleanAlgebra β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a \ b) = f a \ f b
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn • ht.min htn
R : Type u_1
Ring R
x y : R
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents ![x, y] ↔ IsIdempotentElem x ∧ y = 1 - x
α : Type u_3
β : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec Prod.snd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' 0 h₁ h₂ = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Field 𝕂
CommRing 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
h : A.IsSymm
⊢ (NormedSpace.exp 𝕂 A).IsSymm
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
j : Nat
v : α
hj : j < a.size
h : ↑i ≠ j
⊢ (a.set i v)[j] = a[j]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ p
z : M
hz : z ∈ p'
⊢ y + z ∈ p ⊔ p'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ a, closure (e '' {a' | (a, a') ∈ s}) ∈ 𝓝 b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
S₁ : NonUnitalStarSubalgebra R B
x : A × B
⊢ x ∈ S.prod S₁ ↔ x.1 ∈ S ∧ x.2 ∈ S₁
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.arctan (f x)) s x
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ e.trans (OrderIso.refl β) = e
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ J(↑0 | b) = J(↑0 | b % (4 * 0))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Monotone fun n => ↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
⊢ J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G) f
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
⊢ s⁻¹.Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_2
β : Type u_5
LinearOrder α
LinearOrder β
a b : α
c d : β
⊢ (a ≤ b ↔ c ≤ d) ↔ (b < a ↔ d < c)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ s.erase a ⊆ s
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ |(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)| = 1
a b : ℕ
Hd : a ∣ b
⊢ a * (b / a) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
⊢ limUnder (𝓝[<] a) f = y
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
Algebra k K
⊢ IsSepClosure k K ↔ IsSepClosed K ∧ Algebra.IsSeparable k K
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
⊢ num (↑(T ^ n)) z / denom (↑(T ^ n)) z = ↑z + ↑n
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
⊢ g i * ↑(sec (v i)).2 = 0
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.inf ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) = (T s) x
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
Unique δ
(i : δ) → MeasurableSpace (π i)
⊢ Measurable uniqueElim
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)
⊢ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.replicate n AssocList.nil)) = 0
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
f : M₁ →L[R₁] M₂
g : M₁ →L[R₁] M₃
⊢ (ContinuousLinearMap.snd R₁ M₂ M₃).comp (f.prod g) = g
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a b : R
bi : K
N : ℕ
f g : R[X]
x✝¹ : DenomsClearable a b N f i
x✝ : DenomsClearable a b N g i
Df : R
bf : K
bfu : bf * i b = 1
Hf : i Df = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f)
Dg : R
bg : K
bgu : bg * i b = 1
Hg : i Dg = i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g)
⊢ bg = bf
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ Nat.factorial 1 • multichoose r 1 = Nat.factorial 1 • r ^ 1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
F : Type u_1
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
m n : Nat
h : m ≤ n + 1
⊢ m ≤ n ∨ m = n + 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet (op [n])), ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Algebra (ZMod p) K
f : K[X]
⊢ (expand K q) f = f ^ q
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ frontier (Metric.closedBall x ε) ⊆ Metric.sphere x ε
s : Set ℝ
hs : ¬BddBelow s
⊢ sInf s = 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x y : P₁
⊢ (AffineEquiv.pointReflection k x) y = x -ᵥ y +ᵥ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type
Finite K
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernelBiproductFromSubtypeIso f p).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc
    (CategoryTheory.Limits.parallelPair (CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p) 0)
    (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ (CategoryTheory.Limits.biproduct.toSubtype f pᶜ) ⋯)
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
⊢ K = ⊤
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
⊢ (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ a ∈ s, (t a).Nonempty
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} * closedBall y δ = closedBall (x * y) δ
α : Type u_2
Zero α
⊢ Set.toFinset 0 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
IsAtomic α
OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
⊢ IsAtom (l a) ↔ IsAtom a
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
⊢ (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f g).comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.lift φ h) = φ