ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
f : F
s : Finset α
⊢ (Finset.imageAddHom f) s = Finset.image (⇑f) s
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid R
AddCommMonoid S
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : R →+ S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i →+ R
⊢ h ((DFinsupp.sumAddHom g) f) = (DFinsupp.sumAddHom fun i => h.comp (g i)) f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal
⊢ False
α : Type u
S T : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑S ≤ Cardinal.mk ↑(S \ T) + Cardinal.mk ↑T
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n
⊢ FrobeniusNumber (m * n - m - n) {m, n}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g : ↥(simpleFunc G p μ)
⊢ ↑↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑g ↔ f ≤ g
b a : Prop
⊢ (∃ _h, b) ↔ a ∧ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 ≤ a
this : 1 / a ≤ 1 / -1
⊢ 1 / a ≤ -1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
t : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : toTopologicalSpace = t
h' : toTopologicalSpace = t
this✝ : CompactSpace γ
this : CompactSpace γ
⊢ 𝓤 γ = 𝓤 γ
α : Type u_1
LE α
s : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a
⊢ IsUpperSet (s \ {a})
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = (sum fun i => μ.restrict (s i)) t
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
c1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)
⊢ False
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i
w x✝ y z p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
⊢ 0 < x ^ p
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable f ↑s.re
R : Type u
AddGroup R
StarAddMonoid R
r : R
⊢ star (-r) = -star r
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
c : M'
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' (fun x => c) s x
α : Type u_2
LT α
x y : α
h : x < y
⊢ y > x
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T) ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ᶠ (b : β), f b
E : Type u_2
NNNorm E
x : E
⊢ ‖OrderDual.toDual x‖₊ = ‖x‖₊
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ ∀ a ∈ s, ¬(p a ∧ ¬p a)
α : Type u
a : Set α
⊢ ∅ ∩ a = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f s (⋂ i, t i) ↔ ∀ (i : ι), Set.MapsTo f s (t i)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
VAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ ((fun x => c +ᵥ x) ⁻¹' s) ≤ μ s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
h : Embedding ⇑(f ≫ g).val.base
⊢ Embedding ⇑f.val.base
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
m : ℕ+
hm : p m
⊢ PNat.find h ≤ m
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ↑y ∈ engel R ↑x
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
F : PFunctor.{u}
x : ↑F F.M
⊢ PFunctor.Approx.AllAgree (PFunctor.M.Approx.sMk x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ Set.image2 f (upperBounds s) (upperBounds t) ⊆ lowerBounds (Set.image2 f s t)
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
s : Cycle α
hn : s.Nodup
hs : (↑⟨s, hn⟩).formPerm ⋯ = f
hs' : ∀ (y : { s // s.Nodup }), (fun s => (↑s).formPerm ⋯ = f) y → y = ⟨s, hn⟩
⊢ ∃! s, (↑s).formPerm ⋯ = f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
𝕜 : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0) ↔ |r| < 1
k : ℕ
hk : k ≠ 0
this : 2 ^ (2 * k - 1) = 2 ^ (2 * k) / 2
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 ^ (2 * k) / 2) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) * (2 ^ (2 * k) * π ^ (2 * k)) / 2 / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulli (2 * k))
α : Type u_1
Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom
⊢ a.Dom
x y : Bool
⊢ x ≤ y → x ≠ y → x < y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞
i : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + ↑i ≤ n
⊢ ContDiff 𝕜 m (iteratedFDeriv 𝕜 i f)
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (x - ↑m)
⊢ Irrational x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
⊢ a ≤ iInf f ↔ ∀ (i : ι), a ≤ f i
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ
⊢ (a * b).factorization p = (a.factorization + b.factorization) p
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f).symm (f.toMap x) = (AddLocalization.addMonoidOf S).toMap x
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
t : Subsemiring S
h : t ≤ f.rangeS
⊢ Subsemiring.map f (Subsemiring.comap f t) = t
R : Type u_3
CommRing R
r : R
a : ℍ[R]
⊢ ↑r * a = r • a
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAboveEmb i = p.succAbove i
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card
⊢ s ⊆ t
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
⊢ (max a b).toReal = max a.toReal b.toReal
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
hn : n ≠ -1
c w : ℂ
R : ℝ
H : w ∈ sphere c |R| → -1 ≤ n
hd : ∀ (z : ℂ), z ≠ w ∨ -1 ≤ n → HasDerivAt (fun z => (z - w) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) ((z - w) ^ n) z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
G : Type u_1
AddCommGroup G
AddGroup.FG G
⊢ Nat.card G ∣ AddMonoid.exponent G ^ AddGroup.rank G
R : Type u_1
A : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
LinearOrderedField k
abv : A → k
IsAbsoluteValue abv
p : Polynomial R
hd : 0 < p.degree
h₀ : (algebraMap R A) p.leadingCoeff ≠ 0
l : Filter α
z : α → A
hz : Filter.Tendsto (abv ∘ z) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => abv ((Polynomial.aeval (z x)) p)) l Filter.atTop
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q₁ q₂ : Submodule R N
h : q₁ ≤ q₂
⊢ Submodule.map₂ f p q₁ ≤ Submodule.map₂ f p q₂
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (∃ y k, Code.evaln k cf n = Option.some y) ∨ ∃ y k, Code.evaln k cg n = Option.some y
⊢ ∃ n_1 a, a ∈ HOrElse.hOrElse (Code.evaln n_1 cf n) fun x => Code.evaln n_1 cg n
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j✝ : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
is : List ι
hl : (i :: is).Nodup
v w : TProd α (i :: is)
hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi
j : ι
hj : j ∈ is
⊢ TProd.elim v.2 hj = TProd.elim w.2 hj
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : D ⟶ D
h : Homotopy f (𝟙 D)
g : C ⟶ D
i j : ι
⊢ (h.compLeftId g).hom i j = g.f i ≫ h.hom i j
S : Type u_1
Semiring S
a b : ℕ
⊢ ↑(a.ascFactorial b) = Polynomial.eval (↑a) (ascPochhammer S b)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
a : α
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.erase a f).support = f.support.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Zero β
Preorder β
Zero γ
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
SMulPosStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
⊢ SMulPosStrictMono α β
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
hA : A ≠ 0
this : ∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * max 1 ‖A‖) ^ e
⊢ ∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * ‖A‖) ^ e
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
⊢ 0 ≤ Metric.hausdorffDist s t
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
x : P
⊢ x ∈ ↑I ↔ x ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
⊢ p ≠ 0 ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : α
⊢ toLex b +ᵥ a = b +ᵥ a
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
a : Multiplicative A
⊢ ψ.toMonoidHom a = ψ (Multiplicative.toAdd a)
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
⊢ f.outer s ≤ f.length s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
⊢ ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
LinearOrderedCommRing R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ Matrix.GeneralLinearGroup.det ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toGLPos g) = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ pNilradical R p = nilradical R
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α : TypeVec.{u} m
x : ↑(P.comp Q) α
⊢ MvPFunctor.comp.mk (MvPFunctor.comp.get x) = x
α : Type u
Semiring α
s t : Set α
⊢ Ideal.span (s ∪ t) = Ideal.span s ⊔ Ideal.span t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
a : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun n => (κ.seq n) a) = κ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C E
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D E
e : F₁ ≅ F₂
e' : F₁' ≅ F₂'
CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₁ F₁'
⊢ CategoryTheory.Localization.Lifting.iso' W =
  CategoryTheory.isoWhiskerLeft L e'.symm ≪≫ CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W F₁ F₁' ≪≫ e
ι : Type u_6
α : Type u_8
Fintype ι
AddCommMonoid α
DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → j = i → α
⊢ (∑ j : ι, if h : j = i then f j h else 0) = f i ⋯
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K
⊢ b ^ m ≠ a
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x✝¹ x✝ : List α
h : x✝¹ <+ x✝
n : ℕ
⊢ drop n x✝¹.tail <+ drop n x✝.tail
α : Type u_1
x : ℕ × α
l : List α
h : x ∈ l.enum
⊢ x.1 < l.length
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hs : s ≠ ∅
⊢ (indiscrete hs).IsEquipartition
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
hp : f ⁻¹' t ⊆ s
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (f ⁻¹' t)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
n : ℕ
_hn : 0 < n
hx : x ^ n = 0
⊢ ¬Prime x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
⊢ ∀ s ∈ 𝓝 (μ {b}), μ (Icc (b - 0) (b + 0)) ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hG : G.IsHamiltonian
x✝ : IsEmpty α
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset ι
a : α
f : ι → α
NonUnitalSemiring α
h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i
⊢ a ∣ ∑ i ∈ s, f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
x y : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo
f : x ⟶ y
⊢ I.multicospan.map f =
  match x, y, f with
  | x, .(x), CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.Hom.id .(x) =>
    CategoryTheory.CategoryStruct.id
      ((fun x =>
          match x with
          | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left a => I.left a
          | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b => I.right b)
        x)
  | .(CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left (I.fstTo b)), .(CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b),
    CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.Hom.fst b => I.fst b
  | .(CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left (I.sndTo b)), .(CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b),
    CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.Hom.snd b => I.snd b
m✝ n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i
⊢ (finSuccEquiv' i) m.castSucc = some m
M : Type u_1
c : M
X : Type u_2
VAdd M X
TopologicalSpace X
h : ProperConstVAdd M X
⊢ IsProperMap fun x => c +ᵥ x
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n k : ℕ
⊢ ((1 + X) ^ n).coeff k = ↑(n.choose k)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this : LocallyCompactSpace H
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z : K
⊢ RCLike.re ((starRingEnd K) z) = RCLike.re z
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : ¬p ∣ Fintype.card α
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ ∃ a, σ a = a
α : Type u
Inhabited α
n : ℕ
⊢ List.takeI n [] = List.replicate n default
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ TotallyDisconnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = {x}
c d : Cardinal.{u}
hc : c < Cardinal.aleph0
hd : d < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat (c + d) = Cardinal.toNat c + Cardinal.toNat d
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime
⊢ False
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
hsf : s.Finite
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Fork f g
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.Mono c.ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s
⊢ a = ↑((equivShrink ↑s).symm ((equivShrink ↑s) ⟨a, ha⟩))
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)
⊢ ‖x'‖ ≤ r⁻¹