ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ dist x ((x + y) / 2) ≤ 1 * ((y - x) / 2)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : CompleteLattice.Independent V
⊢ Cardinal.lift.{v, w} #{ i // V i ≠ ⊥ } ≤ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
S : L.Substructure M
g : L.Hom N P
f : L.Hom M N
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map g (FirstOrder.Language.Substructure.map f S) =
  FirstOrder.Language.Substructure.map (g.comp f) S
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
α : Type u_1
f : α → ℕ
a : α
⊢ (Levenshtein.weightCost f).delete a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
SemilatticeSup β
f g : α →o β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
o : Ordinal.{u_4}
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
⊢ (succ o).limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₂ o (o.limitRecOn H₁ H₂ H₃)
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
X X' : D
f : (reflector i).obj (A ⨯ B) ⟶ X
g : X ⟶ X'
⊢ i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj X')).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯) (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj X')) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj X')).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯) (((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj X')) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X') (f ≫ g) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')) = i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj X)).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯) (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj X)) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj X)).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯) (((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj X)) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X) f ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)) ≫ g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ ∀ᶠ (p : F × ↥(LinearMap.ker f')) in 𝓝 (f a, 0),
  f (HasStrictFDerivAt.implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker p.1 p.2) = p.1
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
⊢ False
θ : Real.Angle
⊢ (θ - ↑(π / 2)).cos = θ.sin
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
α : Type u_1
M : Type u_8
G : Type u_12
Zero M
AddCommGroup G
f : α →₀ M
h₁ h₂ : α → M → G
⊢ (f.sum fun a b => h₁ a b - h₂ a b) = f.sum h₁ - f.sum h₂
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 < re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x > 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
α : Type u_1
inst✝ : Mul α
a x y : αᵐᵒᵖ
⊢ SemiconjBy (unop a) (unop y) (unop x) ↔ SemiconjBy a x y
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 < n
a b : α
hab : a < b
⊢ 1 < (b / a) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
⊢ ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
⊢ ∀ (a : α →+ Additive β) (a_1 : Multiplicative α),
  (MonoidHom.toAdditive''.symm a) a_1 = Additive.toMul (a (Multiplicative.toAdd a_1))
G : Type u
H : Type v
Mul G
Mul H
f : G ≃* H
⊢ UniqueProds G ↔ UniqueProds H
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
a : α
⊢ f a = funMulInvSnorm f p μ a * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i
⊢ 0 ≤ ↑(Nat.find ⋯)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
s : Finset S
hs : Submonoid.closure ↑s = invSubmonoid M S
x : S
⊢ x ∈ ↑⊤
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : find p = some i
⊢ ∃ i, p i
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).inf f = t.inf fun i' => s.inf fun i => f (i, i')
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum fun n => μ.restrict (disjointed (MeasureTheory.spanningSets ν) n)) = μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.const α x * f).lintegral μ = x * f.lintegral μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).inv Z)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).inv
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ ∀ (a : L), (UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) a = (UniversalEnvelopingAlgebra.mkAlgHom R L) (ιₜ a)
α : Type u_3
⊢ PartENat.card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑‖y + x‖ * ↑‖y + x‖ - ↑‖y - x‖ * ↑‖y - x‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G
⊢ False
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), comap ϕ.symm.toMonoidHom H = H
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = hammingDist y x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l.dedup
⊢ ¬∀ b ∈ pwFilter (fun x x_1 => x ≠ x_1) l, a ≠ b
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) ↔ Monovary f g
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
⊢ (f * MonoidAlgebra.single x r).support = Finset.image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ fderiv ℝ (fun x => Real.cos (f x)) x = -Real.sin (f x) • fderiv ℝ f x
α : Type u
Semiring α
IsDomain α
⊢ ⊥.IsPrime
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
this : {Composition.ones 1} = Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.ones 1).length
hi2 : i < 1
⊢ ((p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ ⟨i, hi1⟩)) = (p 1) v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
⊢ IsRatStieltjesPoint (toRatCDF f) a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a → α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f i ∈ f_1 '' univ
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Module.Finite R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : SMulCommClass R S N
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : StrongRankCondition S
inst✝ : Module.Free S N
⊢ finrank S (M →ₗ[R] N) = finrank R M * finrank S N
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
t : τ
⊢ MapsTo (ϕ.toFun t) (ω f ϕ.toFun s) (ω f (fun t_1 x => ϕ.toFun (t + t_1) x) s)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
n0' : 0 < ↑n
n0 : 0 < n
⊢ x < ↑(↑(z + 1) / ↑n) ∧ ↑(↑(z + 1) / ↑n) < y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
⊢ Subtype.val = p ∘ ⇑fe
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
e : α ≃ α
he : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ
he' : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) μ μ
k : ℤ
hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s
⊢ ⇑(e ^ k) '' s =ᵐ[μ] s
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P
x : M
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations k).toMap x = k (f.toMap x)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
i : Fin (n + 1)
v : Mathlib.Vector α n
⊢ ↑(Mathlib.Vector.insertNth a i v) = List.insertNth (↑i) a ↑v
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
l : Filter α
c : F
h : f =O[l] fun _x => c
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
⊢ ⨅ i, a * f i = a * ⨅ i, f i
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback lift (Sieve.pullback map (imageSieve f a)) ∈ K.sieves Y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
⊢ pi f = ⊥ ↔ ∃ i, f i = ⊥
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (kernel.ι α).app X ≫ 𝟙 (F.obj X) = (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ≫ kernel.ι (α.app X)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ rightHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ - rightHomologyMap' φ' h₁ h₂
α : Type u_1
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Monoid.IsTorsionFree α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s * t).card
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
e : β → γ
l : Filter α
hm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
hu : ∀ (c : γ), ∃ b, c ≤ e b
⊢ Filter.Tendsto (e ∘ f) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
C : Type u₁
X : C
⊢ { unmop := X }.unmop = X
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
DecidableEq R
Fintype R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
⊢ Fintype.card R ≤ p.natDegree * (Finset.image (fun x => Polynomial.eval x p) Finset.univ).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
TopologicalSpace Y
⊢ ContinuousMap.yonedaPresheaf F Y = F.op ⋙ ContinuousMap.yonedaPresheaf' Y
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
h : f < const abs (sSup S)
⊢ False
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V
⊢ ∀ (s : Finset (Module.Dual K V)), Basis (↑↑s) K (Module.Dual K V) → False
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p
q : ℕ
h : CharP R q
⊢ CharP R p
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : α → Set β
x : α
xs : x ∈ s
⊢ ⋂ x ∈ s, t x ⊆ t x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0
⊢ R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : p ∣ Fintype.card α
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
a : α
ha : σ a = a
⊢ ∃ b, σ b = b ∧ b ≠ a
α : Type u
OrderedSemiring α
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Finset β
⊢ Monotone fun s => s.disjSum t
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
a : α
inst✝ : Finite ↑(orbit G a)
ϕ : ↑(orbit G a) ≃ G ⧸ stabilizer G a := orbitEquivQuotientStabilizer G a
this✝ : Finite (G ⧸ stabilizer G a)
this : (stabilizer G a).FiniteIndex
⊢ ∃ n, Nat.card ↑(orbit G a) = p ^ n
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
One α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
i j : n
⊢ 0 ≤ 1 i j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
x b : β
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : Fintype ↑(orbit α b)
inst✝ : Fintype ↥(stabilizer α b)
⊢ Fintype.card ↑(orbit α b) * Fintype.card ↥(stabilizer α b) = Fintype.card α
C : Type u₁
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁷ : AddMonoid M
inst✝⁶ : HasShift C M
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
f : X ⟶ Y
⊢ (L.map f ≫ L.map ((shiftFunctorZero C M).inv.app Y ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C 0).obj Y))) ≫ (L.commShiftIso 0).hom.app Y = L.map f ≫ (shiftFunctorZero D M).inv.app (L.obj Y) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor D 0).obj (L.obj Y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
f : α → β
h : Continuous f
⊢ map (Prod.map f f) (𝓤 α) = map (Prod.map f f) (𝓝ˢ (diagonal α))
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
⊢ Con.orderIsoOp c = c.op
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
p : UniformSpace.Completion α → UniformSpace.Completion β → UniformSpace.Completion γ → Prop
a : UniformSpace.Completion α
b : UniformSpace.Completion β
c : UniformSpace.Completion γ
hp : IsClosed {x | p x.1 x.2.1 x.2.2}
ih : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), p (↑α a) (↑β b) (↑γ c)
⊢ p a b c
R : Type u_1
CommRing R
x : R
B : Type u_2
CommRing B
Algebra R B
IsLocalization.Away x B
d : ℤ
⊢ selfZPow x B (-d) * selfZPow x B d = 1
V : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
One α
A : Matrix V V α
self : A.IsAdjMatrix
i j : V
⊢ A i j = 0 ∨ A i j = 1
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ : IntermediateField K L
S : Subalgebra K L
inv_mem : ∀ x ∈ S, x⁻¹ ∈ S
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ (S.toIntermediateField inv_mem).toSubalgebra ↔ x✝ ∈ S
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x : Unitization R A
⊢ φ.toAlgHom x = (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
⊢ (π.biUnion πi).restrict J = πi J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
F : C ⥤ Type u_1
j : C
x✝¹ x✝ : (i : C) ×' (i ⟶ j)
i : C
ij : i ⟶ j
k : C
kj : k ⟶ j
⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨i, ij⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z) ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨k, kj⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z)
X : Type u_1
Dist X
a b : X
⊢ dist (Multiplicative.ofAdd a) (Multiplicative.ofAdd b) = dist a b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
⊢ F.map ((h.to { a := F.obj A.a, str := F.map A.str }).f ≫ A.str) = F.map (𝟙 A.a)
R : Type u
CommRing R
C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.variableChange (C.comp C') = (W.variableChange C').variableChange C
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
j : Fin (n + 1)
⊢ (∃ a ∈ Finset.univ, c.toComposition.boundary.toEmbedding a = j) ↔ ∃ i < c.boundaries.card, (take i c.blocks).sum = ↑j
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
p : Submodule R (Module.Dual R N)
⊢ (Submodule.map e.flip.symm p).dualAnnihilator = Submodule.map e p.dualCoannihilator
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hlt : ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ V ⊆ (Prod.snd '' s)ᶜ
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ Quot.mk FreeGroup.Red.Step L = FreeGroup.mk L
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : A
n : ℕ
I : Ideal A
⊢ Associates.mk I ^ n ≤ Associates.mk (span {x}) ↔ x ∈ I ^ n
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)
⊢ 0 ≤ x - ↑n