ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
⊢ Function.Injective ⇑(IsLocalization.lift hg) ↔ ∀ (x y : R), (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y ↔ g x = g y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.81832, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p = 𝟙 ((mappingCone φ).X p)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
⊢ ⇑OrderHom.coeFnHom = fun f => ⇑f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : ∀ (m : ℕ), cyclotomic (p ^ (m + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i ↔ (∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ m) ^ i) * ∏ x ∈ range (m + 1), cyclotomic (p ^ x) R = X ^ p ^ (m + 1) - 1
n_n : ℕ
n_ih : cyclotomic (p ^ (n_n + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n_n) ^ i
⊢ cyclotomic (p ^ (n_n + 1 + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ (n_n + 1)) ^ i
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ ∅ ∉ hC.diffFinset hs ht
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
⊢ (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) d ≤ m * n
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
p : Submodule R M
RingHomSurjective σ₁₂
⊢ Submodule.map 0 p = ⊥
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
⊢ ‖(a / b) ^ n‖ < n • r
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f * (s.mulIndicator f)⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv = 𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
x y : α
Nontrivial α
h : IsRelPrime x y
⊢ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α
⊢ (∀ (ι : Type u_2) (s_1 : ι → Opens α), s ≤ iSup s_1 → ∃ t, s ≤ t.sup s_1) ↔ ∀ {ι : Type u_2} (U : ι → Set α), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → ↑s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, ↑s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
(X₂ : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C)
      ((CategoryTheory.MonoidalCategory.curriedTensor C).flip.obj X₂)
X : CategoryTheory.GradedObject I C
i : I
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.leftUnitor X).inv i =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (X i)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit₀.inv (X i))
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorUnit X 0 i i ⋯))
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard = ⊤ ↔ s.Infinite
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
Module.Flat R M
r : R
h : IsSMulRegular M' r
⊢ IsSMulRegular (TensorProduct R M M') r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ + ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
⊢ x₁ = x ∨ x₂ = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
⊢ ∃! s, ∀ (i : I), ↑s (Opposite.op (Y i)) = x i
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
Group G₁
Group G₂
n : ℕ
⊢ lowerCentralSeries (G₁ × G₂) n = (lowerCentralSeries G₁ n).prod (lowerCentralSeries G₂ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this✝ : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
l : Filter Y
f : Y → (i : ι) → π i
x : (i : ι) → π i
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
i : ι
g : Y → π i
xi : π i
hg : Tendsto g l (𝓝 xi)
j : ι
⊢ Tendsto (fun i_1 => Function.update (f i_1) i (g i_1) j) l (𝓝 (Function.update x i xi j))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
a : B
⊢ ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax' F).mapId a).hom = CategoryTheory.inv (F.mapId a)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m n : ℕ
h : Nat.nth p m < Nat.nth p n
hm : m < hf.toFinset.card
⊢ m < n
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
Field K
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Fintype ι
Fintype ι'
NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i : ι') (j : ι), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑b) i j)
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑b = Algebra.discr ℚ ⇑b'
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
h : P.degree ≤ Q.degree
⊢ (fun x => Polynomial.eval x P) =O[Filter.atTop] fun x => Polynomial.eval x Q
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t u : Set α
⊢ s ⊻ (t ⊻ u) = t ⊻ (s ⊻ u)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x ≤ NNReal.sqrt y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
⊢ Set.range (Set.IciExtend f) = Set.range f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
N : ℕ
hNN₀ : N₀ ≤ N
hN : ‖f N‖ ≠ 0
⊢ ¬Summable fun n => f (n + N)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : m → α
⊢ (∑ j : m, ‖row ι v default j‖ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : m, ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v i‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z w : N
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
⊢ f a b ∈ image2 f s' t'
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁵ : L.NeBot
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
⊢ limsup (fun i => (μs i) Gᶜ) L ≤ μ Gᶜ
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C : G.ComponentCompl K
⊢ (↑C).Nonempty
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
⊢ μ.outerMeasure (↑U' ∩ U) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
v : F
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (fun x => v) x
M : Type u
⊢ Function.Injective (@AddCancelCommMonoid.toAddCommMonoid M)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
a : WithTop (WithBot α)
⊢ f.withTopWithBot a = WithTop.map (Option.map ⇑f) a
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Ι ↑p ↑q = Ι p q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
X' : C
h : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso h
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobject (h ≫ f) = CategoryTheory.Limits.imageSubobject f
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' {1}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
⊢ eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitorNatIso a b).hom.app X = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor X).hom
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S
i : P.rels
⊢ P.relation i ∈ Ideal.span (Set.range P.relation)
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.sigmaMk f) ⟨i, x⟩ = (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f i).val.base x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ f ⁻¹' v
⊢ (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
⊢ map id ⟨f, al⟩ = ⟨f, al⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ = η ↔ ∀ (a : α), κ a = η a
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable
⊢ (map f p).degree ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
⊢ log b r₁ ≤ log b r₂
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
IsDomain R
h : ↑(FiniteDimensional.finrank R L) ≤ Cardinal.mk R
⊢ ∃ x, LieAlgebra.IsRegular R x
m n✝ : ℕ
⊢ n✝ + 1 < n✝ + 1 + 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Set.Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b
n x : ℕ
hx : x < n
⊢ antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₁ i
hf₂ : ∀ i ∈ s, 0 < f₂ i
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s
⊢ MonovaryOn (f₁ / f₂) g s
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
f : X → Z
inst✝ : CountablySeparated ↑(range f)
hf : Measurable f
hr : MeasurableSet (range f)
s : Set Z
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : 𝒰.J
⊢ (𝒰.pullbackCover f).obj x = CategoryTheory.Limits.pullback f (𝒰.map x)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l a✝ : List α
⊢ l ∈ lists ⟦a✝⟧ ↔ ⟦a✝⟧ = ⟦l⟧
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
⊢ WfDvdMonoid α
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
y : M
hfg : a ∈ s → f a ≤ y
hg : a ∉ s → 0 ≤ y
⊢ s.indicator f a ≤ y
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : ¬l.size + r.size ≤ 1
h_1 : delta * l.size < r.size
h_2 : delta * r.size < l.size
⊢ r.dual.rotateR x l.dual = r.dual.rotateL x l.dual
x : ℂ
hx : x = 0
⊢ x ^ 1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ ⊤.inv = ⊤
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
⊢ Monotone (sequenceOfCofinals p 𝒟)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) G
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesPullback.iso G f g).inv ≫ G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (G.map f) (G.map g)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0
h₂ : (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))
⊢ (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) = I.toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
h : s < ⊤
⊢ finrank K ↥s < finrank K ↥s + finrank K (V ⧸ s)
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h : b ≤ c
x : α
hab : a ≤ x ∧ x < b
hbc : c ≤ x ∧ x < d
⊢ False
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
⊢ IsOpen (↑e.symm '' t) ↔ IsOpen t
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Mul (α i)
s t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => s i * t i) = Fintype.piFinset s * Fintype.piFinset t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), f n.succ ≤ᵐ[μ] f n
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
A B : Finset G
a0 b0 : G
DecidableEq H
f : AddHom G H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ UniqueAdd (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueAdd A B a0 b0
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
⊢ count b (filter (fun x => ¬a = x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a)) = count b ↑m
K : Type u_1
RCLike K
x y : ℝ
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : CategoryTheory.Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
⊢ P = Q
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
⊢ J₁.close (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f (J₁.close S)
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ 1 ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ⇑h) s x ↔ ContMDiffWithinAt J I' m f (⇑h.symm ⁻¹' s) (h x)
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ x * x⋆ = 0 ↔ x = 0
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (f' x) x
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : Submodule.span R (y' • ↑s) = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois X ↔ MulAction.IsPretransitive (CategoryTheory.Aut X) ↑(F.obj X)
n : ℕ
⊢ Finset.image (fun x => n / x) n.divisors = n.divisors
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in Filter.cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalMinOn f s a ↔ IsLocalMinOn g s a
α : Type u
β : Type v
s : Set (α × β)
⊢ (Prod.fst '' s).Finite ∧ (Prod.snd '' s).Finite ↔ s.Finite
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Fintype n
Fintype o
NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
x : n ⊕ o → α
⊢ x ᵥ* Matrix.fromBlocks A B C D = Sum.elim (x ∘ Sum.inl ᵥ* A + x ∘ Sum.inr ᵥ* C) (x ∘ Sum.inl ᵥ* B + x ∘ Sum.inr ᵥ* D)