ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ IsNoetherian R ↥N ↔ ∀ (s : Submodule R M), (N ⊓ s).FG
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ -J l R * Aᵀ * J l R * A = 1
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
x : ↥K
⊢ f ↑x ∈ Subgroup.map f K
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ
⊢ (X s).degrees ≤ {s}
x : ℤ[i]
⊢ 0 < Zsqrtd.norm x ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
⊢ ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
R : Type u_1
MulZeroClass R
a : R
Nontrivial R
ra : IsRightRegular a
⊢ a ≠ 0
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
⊢ padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
x : α
hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ
m : ℕ
hm : g ^ m = x
hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1
⊢ (fun x => (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) ^ x) ↑(m / (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) = x
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
f : X → Bundle.TotalSpace F E
x₀ : X
⊢ ContinuousAt f x₀ ↔
  ContinuousAt (fun x => (f x).proj) x₀ ∧ ContinuousAt (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
x : γ
⊢ x ∈ {c | ∃ a b_1, (a, b_1) ∈ t ∧ a = b ∧ f b_1 = c} ↔ x ∈ f '' {c | (b, c) ∈ t}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
⊢ ↑N ≤ 4096
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
⊢ ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
x : ENNReal
h : x ≠ 0
h' : x ≠ ⊤
⊢ x.log = ↑(Real.log x.toReal)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Complex.exp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f x).re) l Filter.atBot
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).Finite ↔ (B₂ \ B₁).Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.π₂.map f = f.hom₂
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
K : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
f : F.obj c.pt ⟶ X
⊢ (c.toCostructuredArrowCocone F f).pt = CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f a + f b
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ (filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
θ : ℝ
x✝ : θ ∈ Ι 0 (2 * π)
⊢ ‖deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)‖ = |R| * ‖f (circleMap c R θ)‖
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
s : Set α
Nonempty α
⊢ s.Infinite ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, b < a
α : Type u_6
β : Type u_7
Top α
Top β
self : TopHom α β
⊢ self.toFun ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = (f ⊔ g).lintegral μ
α : Type u_2
Sub α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s - (t₁ ∪ t₂) = s - t₁ ∪ (s - t₂)
G : Type u_2
Group G
Fintype G
R : Type u_3
CommRing R
MulSemiringAction G R
x : R
g : G
n : ℕ
⊢ g • (prodXSubSMul G R x).coeff n = (prodXSubSMul G R x).coeff n
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝ : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A K 1
n : Nat
⊢ (Fin.list n).reverse = List.map Fin.rev (Fin.list n)
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
a : R
⊢ (C a).degree = if a = 0 then ⊥ else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
R : Type u_3
DivisionSemiring R
CharZero R
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module R E
f : α → α
x : α
h : Function.IsFixedPt f x
g : α → E
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage R f g x_1 x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ ((pushout.inr S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.op.δ.unop ≫ (pullback.snd S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop).op = ((pushout.inl S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ (pullback.fst S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop).op
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1
⊢ ∏ i : ι, f i ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ ∅ ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
F : CategoryTheory.Functor D E
(F : CategoryTheory.Functor D E) → (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(F : CategoryTheory.Functor D E) →
    (X : C) →
      (W : J.Cover X) →
        (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
⊢ (J.sheafificationWhiskerLeftIso P).inv.app F = (J.sheafifyCompIso F P).inv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L
s : ℝ
⊢ (↑s).GammaIntegral = ↑(∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1))
x y : ℂ
⊢ cexp (x + -x) = cexp x * (cexp x)⁻¹
α : Type u_2
Group α
b : α
⊢ (fun x => x * b) ⁻¹' 1 = {b⁻¹}
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
u : H →L[𝕜] H
hu : u ∈ unitary (H →L[𝕜] H)
x y : H
⊢ ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
⊢ F.lim = X.str F
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
⊢ IsUnit ((LinearMap.toMatrix v v') ↑f).det
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / ↑b
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsHereditarilyLindelof s
ht : t ⊆ s
⊢ IsLindelof t
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.X.mirror = Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ⊤
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r
this : ∀ (x : ℝ), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x - r) (x + r)) f‖
hf : (⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
⊢ ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.Tape.move Turing.Dir.right (Turing.Tape.mk' L R) = Turing.Tape.mk' (Turing.ListBlank.cons R.head L) R.tail
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ List.indexOf l[i] l = i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
x : L
⊢ φ.IsNilRegular x ↔ (LinearMap.charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Function.uncurry f '' s ×ˢ t = Set.image2 f s t
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} (l : List α), l₁ ++ l <+ l₂ ++ l ↔ l₁ <+ l₂
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
hac : a ≠ c
⊢ swap a c ∈ M
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl y z
⊢ Disjoint x y ↔ x ≤ z
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a (a + T)
⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.torsion R ↥(Submodule.torsion R M) = ⊤
M : Type u_1
AddSemigroup M
a : Stream' M
m : M
hm : m ∈ Hindman.FS a
⊢ ∃ n, ∀ m' ∈ Hindman.FS (Stream'.drop n a), m + m' ∈ Hindman.FS a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (algebraMap K E) ((norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d : ManyOneDegree
⊢ d ≤ d
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
⊢ (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range (Aᵀ * A).mulVecLin)) = (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.comapRight ⋯ = κ
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Mul M
Mul N
CommSemigroup P
g₁ g₂ : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
⊢ (g₁ * g₂).comp f = g₁.comp f * g₂.comp f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → 0 ≤ f x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
α : Type u_1
OrderedSemiring α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
Nontrivial α
⊢ SignType.sign 1 = 1
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ separableClosure F E = ⊥ ↔ IsPurelyInseparable F E
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m ((MvPolynomial.monomial s) r * p) = if s ≤ m then r * MvPolynomial.coeff (m - s) p else 0
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ ∀ (a : (↥S.op)ᵐᵒᵖ), ↑(S.ringEquivOpMop.symm a) = MulOpposite.unop ↑(MulOpposite.unop a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ
⊢ (∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∏ i : Fin n, ∑ j ∈ s, f j
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ (Finsupp.cons i σ).sum f = f 0 i + σ.sum (Fin.tail f)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ ↑(finPairsLT n)
b₁ b₂ : Fin n
hb : ⟨b₁, b₂⟩ ∈ ↑(finPairsLT n)
h : (if f a₂ < f a₁ then ⟨f a₁, f a₂⟩ else ⟨f a₂, f a₁⟩) = if f b₂ < f b₁ then ⟨f b₁, f b₂⟩ else ⟨f b₂, f b₁⟩
⊢ ⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
f : ℕ → G
hf : Summable f
⊢ ∑' (b : ℕ), f b = f 0 + ∑' (b : ℕ), f (b + 1)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)
⊢ ∃ a, f a = x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x y : (a : ι) → π a
hs : ∃ I t, (∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
⊢ ∃ I, I.piecewise x y ∈ s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongMono f
⊢ StrongMono g
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hyx : y < x
⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ ((presheafToSheaf J D).map η ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := Q, cond := hQ }).val = η
α : Type u_2
β : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
DenselyOrdered α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTopology β
f : α → β
a b : α
hab : a ≤ b
h : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ f '' Set.Icc a b = Set.Icc (sInf (f '' Set.Icc a b)) (sSup (f '' Set.Icc a b))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0
β : ι → Type u_2 := fun i => Antisymmetrization (α i) fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → α i → β i := fun i => toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝¹ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }
this : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)
x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i
h : x✝ < y✝
⊢ InvImage (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2) (mapRange (fun i => e i) ⋯) x✝ y✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}
R : Type u_1
CommRing R
m : Type u_3
n : Type u_4
DecidableEq m
DecidableEq n
Fintype m
Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ : Matrix n n R
⊢ (Matrix.fromBlocks M₁₁ 0 M₂₁ M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' y
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r ∘ₗ comp p) ((single R a) b) = (eval (Polynomial.eval r p)) ((single R a) b)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
a : ℤ
n : ℕ
⊢ |a / ↑n| ≤ |a|
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
x y : ↥(CliffordAlgebra.even Q)
⊢ (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) (x * y) = (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) x * (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
⊢ μ s / (μ s + μ t) + μ t / (μ s + μ t) = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(LieAlgebra.rootSpace H χ₁)
m : ↥(LieModule.weightSpace M χ₂)
⊢ ↑((LieAlgebra.rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] m)) = ⁅↑x, ↑m⁆
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
PartialOrder N
ContravariantClass M N μ fun x x_1 => x = x_1
ContravariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1
⊢ ContravariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s : Finset α
a : α
⊢ {a} * s = Finset.image (fun x => a * x) s
χ : DirichletCharacter ℂ 0
hn : 1 ≠ 0
⊢ χ ↑1 = δ 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
H' : H.coe.Subgraph
⊢ SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph H' ≤ H
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id L) (Polynomial.map i f) ↔ Polynomial.Splits i f
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g j k i ≫
      AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g k i j ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
            (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
          CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Finset α
⊢ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t } ↔ ∀ (hst : s ≠ t), (symmDiff s t).max' ⋯ ∈ t
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
⊢ Module.rank K V₁ = Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))