ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
f : R →+* S
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
p : ↥V
⊢ ↑((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f U V hUV) s) p =
  (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal f ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap f) ↑p, ⋯⟩)
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R) = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom R) 1)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ (fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = fun n => a * ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
⊢ l.length ≤ n → l.get? n = none
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
⊢ Tendsto Inv.inv (𝓝[≥] a⁻¹) (𝓝[≤] a)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (a, c)
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = (↑s₁ • ↑s₂) • mk' f m₁ s₁ • mk' f m₂ s₂
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
x : α
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => dist x_1 x) (Filter.cocompact α) Filter.atTop
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ i, (chartAt H ↑i).source
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
ha : Differentiable 𝕜 a
hb : Differentiable 𝕜 b
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => a y * b y
G : Type u_2
AddGroup G
⊢ ⊤.op = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E
⊢ (reflection K) x = x ↔ x ∈ K
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
ha : a ≠ 0
⊢ a ≤ a ^ b
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
hX : X ⊆ E
⊢ (loopyOn E).Indep ∅ ∧ ∅ ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), (loopyOn E).Indep J → ∅ ⊆ J → J ⊆ X → ∅ = J
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorP.obj S = S.P
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
y : α
hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x
⊢ x ∈ (a⁻¹ * b) • s
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
⊢ (LieSubalgebra.engel R x).normalizer = LieSubalgebra.engel R x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (s ∪ t).card = s.card + t.card ↔ _root_.Disjoint s t
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
Zero X
MulAction R X
⊢ 0 = 0 /ₒ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
⊢ Function.Injective OrderIso.symm
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
this : ∀ x ∈ s, ∃ R > 0, ball x R ⊆ u
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ico a b \ Set.Ioo a b = {a}
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
h2s : μ s ≠ 0
y : G
⊢ μ ((fun x => x * y) ⁻¹' s) ≠ 0
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : ¬f.IsClosable
⊢ f ≤ f.closure
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
ha : a ∈ R⁰
b c : R
hbc : (fun x => x * a) b = (fun x => x * a) c
⊢ b = c
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q) = ⊤
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, f' x = f a - m
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)
B : Tendsto (fun k => M + μ (S \ s k)) l (𝓝 M)
⊢ μ S ≤ M
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
⊢ IsSFiniteKernel (Kernel.sum fun n => κ.withDensity (fs n))
x : ℝ
⊢ Real.exp x = 1 ↔ x = 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
⊢ Submonoid.closure (⋃ i, Set.range ⇑Monoid.CoprodI.of) = ⊤
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv
⊢ 2 * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, f i = ∑ i : Fin n, f ↑i
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
⊢ r = s.circumradius
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
⊢ f (s.noncommProd comm) = (map (⇑f) s).noncommProd ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n < q
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyPToId X (q + 1)).hom n (n + 1) =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyPToId X q).hom n (n + 1)
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A → B
h₁ : f 1 = 1
h₂ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun x * { toFun := f, map_one' := h₁ }.toFun y
h₃ : (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun 0 = 0
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun (x + y) =
      (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun x +
        (↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂ }).toFun y
h₅ :
  ∀ (r : R),
    (↑↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄ }).toFun ((algebraMap R A) r) =
      (algebraMap R B) r
h₆ :
  ∀ (x : A),
    (↑↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅ }.toRingHom).toFun
        (star x) =
      star
        ((↑↑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄,
                    commutes' := h₅ }.toRingHom).toFun
          x)
⊢ ⇑{ toFun := f, map_one' := h₁, map_mul' := h₂, map_zero' := h₃, map_add' := h₄, commutes' := h₅, map_star' := h₆ } = f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
K : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
L : TopologicalSpace.NonemptyCompacts β
⊢ ↑(K.prod L) = ↑K ×ˢ ↑L
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
hm : ∀ (i : β), P (f i)
val✝ : Encodable β
⊢ extend m (⋃ i, f i) = ∑' (i : β), extend m (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ (FreeGroup.freeGroupCongr e).symm = FreeGroup.freeGroupCongr e.symm
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ (ν.map f) A = ν (f ⁻¹' A)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
n : Nat
f : α → Option β
h : (f a).isSome = true
⊢ List.filterMap f (List.replicate n a) = List.replicate n ((f a).get h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ CPolynomialOn 𝕜 ⇑f ⊤
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
ha : a ≤ 0
⊢ Monotone fun x => f x * a
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G✝
inst✝¹ : Group G✝
s✝ : Set G✝
G : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
s t : Set G
x : G
⊢ (∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure t, y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x) ↔ ∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure t, ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum (↑n).succ' ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim ((match ↑n with | Num.zero => [] | Num.pos n => trPosNum n) ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => 0) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x
this : 1 < x
⊢ 1 / log x ≤ 1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ R > 0, ∀ x ∈ s, ‖x‖ < R
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax
⊢ ↑(v.proj t) = t
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : ↥f.domain
⊢ (↑f x, ↑x) ∈ f.inverse.graph
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + c - (b + c) ≤ a - b
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ (f i) x ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
h : X = Y
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.eqToHom h) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x
⊢ ∃ S y, x = mk y
α : Type u
s t u : Set α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : t ⊆ u
⊢ t ∪ u \ s = u
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R
⊢ (algebraMap R A) x = ((algebraMap S A).comp (algebraMap R S)) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
⊢ IsOpen (f '' univ)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hba : y * x ∈ H
⊢ y ∈ H
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
b : α
hb : b ∈ l
c : α
hc : c ∈ [a]
⊢ r b c
G : Type u_1
AddGroup G
x y : G
h : IsOfFinAddOrder x
h' : y ∈ AddSubgroup.zmultiples x
⊢ IsOfFinAddOrder y
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u : α → β
l : Filter α
c : β
hu : u ~[l] Function.const α c
⊢ Filter.Tendsto u l (nhds c)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
j : κ i
h : f i j ≤ a
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j ≤ a
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a : α
ZeroLEOneClass α
MulPosStrictMono α
hn : 1 < a
⊢ a < a * a
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁
⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))
gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i
⊢ ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) (f * gl) = ((sheaf X).val.map (iVU i).op) 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ (B x) 0 = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
n : ℤ
t : ℝ
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f volume t₁ t₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in t..t + n • T, f x = n • ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α ⧸ s
b c : α
h : Setoid.r b c
key : f ↑b = f ↑c
⊢ ((f ↑b)⁻¹ * b)⁻¹ * ((f ↑c)⁻¹ * c) ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β × γ), ⨆ n, ↑(F n) a = Function.uncurry f a
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f b c ∂η (a, b) ∂κ a
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
⊢ 0 ∈ span R (s • t)
α : Type u
s t : Set α
l : Filter α
⊢ s ∩ t =ᶠ[l] t ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ t → x ∈ s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
MeasurableSpace V
BorelSpace V
SecondCountableTopology V
μ : MeasureTheory.Measure V
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hf' : MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
⊢ HasFDerivAt (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)
  (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (VectorFourier.fourierSMulRight L f) w) w
α : Type u_1
l₁ l₂ r₁ r₂ : List α
s₁ s₂ : α → α → Bool
hl : l₁ ~ l₂
hr : r₁ ~ r₂
⊢ List.merge s₁ l₁ r₁ ~ List.merge s₂ l₂ r₂
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddMonoid G
p : AddMonoidAlgebra k G → Prop
f : AddMonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((AddMonoidAlgebra.of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : AddMonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : AddMonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
⊢ p f
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x_1, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑x_1 → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x_1, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑x_1 → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)
this : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
a n' : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (γ.rightUnshift n hn) =
  a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n' m' γ).rightUnshift m hm'
f : Bool → Bool → Bool
⊢ Nat.bitwise f 0 0 = 0
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x ⧏ x'
⊢ (-x).insertLeft (-x') ≈ -x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ⊥ ≠ ⊤
i : ℤ
⊢ Int.gcd 0 i = i.natAbs
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
g : B → A
f : A →ₐ[R] B
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : A
⊢ ↑((AlgEquiv.ofLeftInverse h) x) = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
⊢ 𝔠 ≤ #𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i
⊢ (range fun i => f ⟨i, ⋯⟩) ⊆ range f
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A : Action V G
⊢ ((Action.functorCategoryMonoidalAdjunction V G).unit.app A).hom = 𝟙 ((𝟭 (Action V G)).obj A).V
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
m : M
p : Subsemigroup M
⊢ closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p