ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
AddGroup H
I : Type u_1
AddGroup I
M : AddSubgroup H
O : AddSubgroup I
M.Normal
O.Normal
f : G →+ H
g : H →+ I
hf : N ≤ AddSubgroup.comap f M
hg : M ≤ AddSubgroup.comap g O
hgf : N ≤ AddSubgroup.comap (g.comp f) O := ⋯
⊢ (QuotientAddGroup.map M O g hg).comp (QuotientAddGroup.map N M f hf) = QuotientAddGroup.map N O (g.comp f) hgf
α : Type u
β : Type v
f : β → Filter α
s : Set β
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s
ne : s.Nonempty
⊢ (⨅ i ∈ s, f i).sets = ⋃ i ∈ s, (f i).sets
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary (-f) (-g) ↔ Monovary f g
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
Bot β
f : BotHom α β
⊢ (BotHom.id β).comp f = f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
e : M ≃+ N
S : AddSubsemigroup M
x : ↥(AddSubsemigroup.map (↑e) S)
⊢ ↑((e.subsemigroupMap S).symm x) = e.symm ↑x
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : eval x (p /ₘ (X - C x) ^ rootMultiplicity x p) * eval x (q /ₘ (X - C x) ^ rootMultiplicity x q) ≠ 0
⊢ rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ
g : γ → α
cg : Continuous g
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p univ
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∈ Metric.closedBall c R
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0
⊢ ∀ (j : Fin n), ∑ x : Fin n, v x * f j ^ ↑x = 0
n : ℕ
⊢ n.greatestFib = 0 ↔ n = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : ℝ
hr' : r' < r
hr'₀ : 0 < r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c r'
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 s ⊆ frontier s
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x⁻¹.norm = x.norm
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure
h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure
this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure.toSubalgebra
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ s / closedBall x δ = x⁻¹ • cthickening δ s
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Multiset α
⊢ Multiset.countP p (s + t) = Multiset.countP p s + Multiset.countP p t
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ (∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = (∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)) + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (Function.uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ ∃ v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀,
  v ⊆ insert x₀ s ∧
    ∃ f', (∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeSup α✝
inst✝⁴ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g✝ : β✝ → α✝
a✝ : α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t
⊢ (s ×ˢ t).sup (Prod.map f g) ≤ i ↔ (s.sup f, t.sup g) ≤ i
a b c : Nat
⊢ max (a - c) (b - c) = max a b - c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
p : β
hp : p ∈ Icc (f a) (f b)
⊢ p ∈ f '' Icc a b
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
⊢ f (g, 1) = g • f (1, 1)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤
α : Type u_1
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ ⊤ s = ⊤
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
k : ℕ
hk : k ≤ r
⊢ ((List.drop k (Matrix.Pivot.listTransvecCol M)).prod * M) (Sum.inr ()) i = M (Sum.inr ()) i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ✝ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ✝ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
δ : α → Type u_7
inst✝¹ : (i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ≤ g₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ≤ g₂ i
⊢ s.piecewise f₁ f₂ ≤ s.piecewise g₁ g₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s
X : TopCat
T : ↑X → Type u
⊢ (X.presheafToTypes T).IsSheaf
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra.IsAlgebraic K L
S : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ subalgebraEquivIntermediateField.symm S ↔ x ∈ S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) ≠ 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
⊢ Sieve.pullback (iZU₁ ≫ G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Z
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
⊢ LinearMap.range hV.linearIsometry.toLinearMap = (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
hf : Adapted ℱ f
hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R
h₁ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
h₂ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot
h₃ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (μ[f (n + 1) - f n|↑ℱ n]) ω
ω : Ω
hω₁ : ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
hω₂ : ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot
hω₃ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (μ[f (n + 1) - f n|↑ℱ n]) ω
hω₄ : ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
⊢ Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝² : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a * b ∣ c
ha✝ : ¬a = 0
ha : 0 < a
h1 : ∃ d, c = a * b * d
d : ℕ
hd : c = a * b * d
⊢ c = a * (b * d)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α
⊢ ENNReal.ofReal (dist y x) < ENNReal.ofReal ε ↔ dist y x < ε
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
m : (i : ι) → E i
⊢ ∃ V ∈ {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}, V ∈ 𝓝 m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : μ U < μ K + ε / 2
⊢ μ (U \ s) + μ (s \ U) < ε / 2 + ε / 2
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ 0 < f.degree
a b : ℤ
h : b ∣ a
⊢ ↑(a / b) = ↑a / ↑b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid M
T : Submonoid N
⊢ Submonoid.map f S ≤ T ↔ S ≤ Submonoid.comap f T
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ normSq x = 0 ↔ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
α : Type u
ι : Sort w
CompleteBooleanAlgebra α
f : ι → α
⊢ (iSup f)ᶜ = ⨅ i, (f i)ᶜ
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).verts = {v, w}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f
hf' : IsOpenMap f
s : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ ↑(TopologicalSpace.CompactOpens.map f hf hf' s) = f '' ↑s
n : ℕ
⊢ List.finRange n.succ = (List.map Fin.castSucc (List.finRange n)).concat (Fin.last n)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
ψ : L₁ →ᴸ L₂
_n : ℕ
⊢ ∀ (a : L.Functions _n ⊕ L₁.Functions _n),
  (ϕ.sumMap ψ).onFunction a = Sum.map (fun f => ϕ.onFunction f) (fun f => ψ.onFunction f) a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ a • ball b r ↔ x✝ ∈ ball (a • b) r
a b : Int
h : a = b
⊢ a - b = 0
G : Type u_2
Group G
s : Set G
⊢ (Subgroup.closure s).op = Subgroup.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
N : Type u_5
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
M : Type u_6
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v₁ v₂ : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
⊢ v₁ - v₂ ≪ᵥ w
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
v : V
⊢ (CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) (z ⊗ₜ[R] (CliffordAlgebra.ι Q) v) =
  (CliffordAlgebra.ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (z ⊗ₜ[R] v)
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then q else p) = (p ∧ q)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f + Hom.τ₂ 0
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
WeaklyLocallyCompactSpace α
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
α : Type u_1
Primcodable α
β : Type u_4
e : β ≃ α
⊢ Primrec ⇑e
𝕜 : Type u_13
E : Type u_14
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
self : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
⊢ self.toFun (a • x) = ‖a‖ * self.toFun x
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a c < max b c ↔ a < b ∧ c < b
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ ∀ x ∈ antidiagonal n, (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
h : ∀ (a b : R), a ∈ nonunits R → b ∈ nonunits R → a + b ∈ nonunits R
⊢ LocalRing R
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
NonarchimedeanRing R
U : OpenAddSubgroup R
⊢ ∃ V, ↑V * ↑V ⊆ ↑U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ ((pf 0) fun x_1 => y - x) = (pf 0) fun x_1 => x - x
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖g.comp f‖ ≤ C₂ * C₁
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f) ↑b'
q : ℕ+
x : LucasLehmer.X q
⊢ (-x).2 = -x.2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2
⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √(2 * (1 + ‖x‖ ^ 2))
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
u : Set ι
h : ∃ n ∈ u, ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (⋂ n ∈ u, s n) s' μ
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
Y' : D
f' : Y' ⟶ unop U
hf' : (Sieve.coverByImage G (unop U)).arrows f'
x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))
⊢ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').map.op = (x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1)
α β : Type u
f : α → FreeAddGroup β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this✝ : Nonempty ι
this : DecidableEq ι
x : ι := Classical.arbitrary ι
y : α
hy : y ∈ t x
ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}
t' : ↑ι' → Finset α := fun x' => (t ↑x').erase y
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
a b : ENNReal
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ n > 0, ↑n * a < b
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)
this : ∀ᶠ (y : ℝ) in l, y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x
⊢ (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) =ᶠ[l] fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)
α : Type u
p : α → Prop
a : α
h : a ∈ {x | p x}
⊢ p a
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
δ₁ : Type u_6
δ₂ : Type u_7
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
h_cover : Set.range φ₁ ∪ Set.range φ₂ = Set.univ
⊢ UniformFun.uniformSpace α β =
  UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑UniformFun.toFun) (UniformFun.uniformSpace δ₁ β) ⊓
    UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑UniformFun.toFun) (UniformFun.uniformSpace δ₂ β)
α : Type u_1
a : α
⊢ ↑{a} = {a}
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (limitProcess f ℱ μ ω))
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
(i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : Set.MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : Set.MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
⊢ Set.MapsTo (s.piecewise f₁ f₂) (s.ite s₁ s₂) (t.ite t₁ t₂)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ l₂ : List α
s : l₁.Sublist l₂
⊢ (List.map f l₁).Sublist (List.map f l₂)
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
κ : Type u_6
s : Finset ι
t : Set κ
f : ι → κ → β
⊢ t.indicator (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, t.indicator (f i)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial) Filter.atTop (𝓝 (Real.exp (-1)))
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
N : Subgroup G
N.Normal
⊢ MulAction.IsBlockSystem G (Set.range fun a => MulAction.orbit (↥N) a)
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ c • Metric.ball x r = Metric.ball (c • x) r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m✝ l n m : ℕ
⊢ m < n ↔ m ∈ range n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
hα : Nonempty α
⊢ (κ ∘ₖ η).Invariant μ
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : HasProd (fun n => f (↑n + 1)) m
hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'
⊢ HasProd f (m * f 0 * m')
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesColimit (parallelPair S.f 0) F
this : PreservesLimit (parallelPair h.g' 0) F
wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0
⊢ (S.map F).RightHomologyData
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Square C)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.opFunctor.map φ).τ₄ = φ.unop.τ₁.op
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.length w < cs.length (w * t) ↔ cs.length w ≤ cs.length (w * t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
⊢ {i | ε ≤ a i}.Finite
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
R : Type u_1
MulZeroClass R
⊢ IsRightRegular 0 ↔ Subsingleton R
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
CategoryTheory.Category.{v₆, u₆} F
CategoryTheory.Category.{v₇, u₇} X
CategoryTheory.Category.{v₈, u₈} Y
CategoryTheory.Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : CategoryTheory.Functor A D
H₁ : CategoryTheory.Functor B E
K₁ : CategoryTheory.Functor C F
G₂ : CategoryTheory.Functor D X
H₂ : CategoryTheory.Functor E Y
K₂ : CategoryTheory.Functor F Z
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
L₂ : CategoryTheory.Functor B C
L₃ : CategoryTheory.Functor D E
L₄ : CategoryTheory.Functor E F
L₅ : CategoryTheory.Functor X Y
L₆ : CategoryTheory.Functor Y Z
α : G₁.comp L₃ ⟶ L₁.comp H₁
β : H₁.comp L₄ ⟶ L₂.comp K₁
γ : G₂.comp L₅ ⟶ L₃.comp H₂
δ : H₂.comp L₆ ⟶ L₄.comp K₂
⊢ CategoryTheory.leftAdjointSquare.comp α β γ δ =
  CategoryTheory.leftAdjointSquare.vcomp (CategoryTheory.leftAdjointSquare.hcomp α β)
    (CategoryTheory.leftAdjointSquare.hcomp γ δ)
x : ℝ
⊢ arctan (-x) = -arctan x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
⊢ ∃ b, ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i