ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
J2 : (μ' (f ⁻¹' {1})).toReal = ((μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})).toReal
C : IsCompact (f ⁻¹' {1})
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : Module.Dual R M
n : N
g : Module.Dual R N
p : P
⊢ (dualTensorHom R N P) (g ⊗ₜ[R] p) ∘ₗ (dualTensorHom R M N) (f ⊗ₜ[R] n) = g n • (dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ Function.Injective AlgHom.toLinearMap
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Injective ⇑f
inst✝ : H.IsCommutative
a b : ↥(comap f H)
⊢ ↑(a * b) = ↑(b * a)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
⊢ z ∈ closure (s \ {z}) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≠] z, x ∈ s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable fun x => κ.rnDerivAux η a x
α : Type u_1
Zero α
LT α
a : α
h : 0 > a
⊢ a < 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
IsWellFounded α r
h : Cycle.Chain r s
⊢ s = Cycle.nil
R : Type u_1
L : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : Type u_5
LieRing L'
LieAlgebra R L'
LieAlgebra.IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieAlgebra.IsKilling R L'
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R M) (LinearEquiv.refl R N) = LinearEquiv.refl R (TensorProduct R M N)
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ
⊢ LucasLehmer.sMod p i < 2 ^ p - 1
α : Type u
x : FreeAddMagma α
⊢ 0 < x.length
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ≠ ⊤
⊢ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N).comp AddMonoid.Coprod.inr = AddMonoid.Coprod.inl
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
this✝ : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)
this : Rₘ →ₐ[R] Q := let __src := IsLocalization.lift this✝; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ (↑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp this)).comp (algebraMap R Rₘ) = (↑f).comp (algebraMap R Rₘ)
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
this : ∀ k ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f (u (n + 1)) ≤ f k
⊢ (u (n + 1) - u n) • f (u (n + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f k
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 1 ≤ rexp x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
v : α →₀ M
f g : α → β
h : ∀ x ∈ v.support, f x = g x
⊢ Finsupp.mapDomain f v = Finsupp.mapDomain g v
R : Type u
a b c : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).natDegree ≤ 2
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
⊢ (φ ⊓ ψ).Realize v ↔ φ.Realize v ∧ ψ.Realize v
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ y ∈ U, p y
α : Type u
c₁ c₂ : Computation α
h : c₁.Equiv c₂
c₁.Terminates
c₂.Terminates
⊢ c₁.get = c₂.get
ι : Type u
α : Option ι → Type v
(i : Option ι) → AddZeroClass (α i)
f g : Π₀ (i : Option ι), α i
⊢ DFinsupp.equivProdDFinsupp (f + g) = DFinsupp.equivProdDFinsupp f + DFinsupp.equivProdDFinsupp g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β
⊢ (e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s)).source = (e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)).source
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
h : indexOf x l = indexOf y l
x_eq_y : l.get ⟨indexOf x l, ⋯⟩ = l.get ⟨indexOf y l, ⋯⟩
⊢ x = y
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ IsSimpleModule R (M ⧸ m) ↔ IsSimpleOrder ↑(Set.Ici m)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x + fract x = -↑⌊x⌋
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A A' : C
f : A' ⟶ A
vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp (prodComparisonNatIso F A).inv (prod.functor.map (F.map f))) = rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv) ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))
⊢ (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f))) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv
x✝ y z x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < deriv cosh x
α : Type u
s t u : Set α
h : t ⊆ u
d : Disjoint s u
⊢ Disjoint s t
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
⊢ LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ≠ 0 ∧ ((((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Injective X
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μb)
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ ‖(MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving f hf) g‖ = ‖g‖
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S
⊢ IsLUB S (sSup S)
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ s.inf' H f < a ↔ ∃ i ∈ s, f i < a
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ -a < b ↔ 0 < b + a
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsAffineOpen (PrimeSpectrum.basicOpen f)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x : P.Cotangent
⊢ Algebra.Generators.Cotangent.of x.val = x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
ContinuousMul α
hf : HasProd f a
hg : HasProd g b
⊢ HasProd (fun b => f b * g b) (a * b)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
⊢ ∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ i
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ↪ β
I X : Set β
⊢ (M.mapEmbedding f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ Set.range ⇑f
α : Type u_2
SupSet α
⊢ sSupHom.dual.symm (sInfHom.id αᵒᵈ) = sSupHom.id α
θ : ℂ
hθ : cos θ ≠ 0
⊢ (∃ k, θ = ↑k * ↑π) ∨ False ↔ ∃ k, ↑k * ↑π = θ
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ p.insertNth a f = g ↔ a = g p ∧ f = p.removeNth g
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ a * b / b = a
G : Type u_2
Group G
S₁ : Subgroup Gᵐᵒᵖ
S₂ : Subgroup G
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
R₁ : Type u_2
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
Semiring R₁
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
e : N₁ ≃ₗ[R₁] N₂
c : R₁
x : N₁
⊢ e (c • x) = c • e x
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
hI_tendsto : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i))
⊢ Tendsto (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i)) atTop (𝓝 (∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y - g y) s x
G : Type u
Group G
A : Type v
CommGroup A
f : G →* A
φ : Abelianization G →* A
hφ : ∀ (x : G), φ (Abelianization.of x) = f x
x : Abelianization G
⊢ φ x = (Abelianization.lift f) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Mul α
Mul β
Mul γ
f : α →ₙ* β
g : β →ₙ* γ
⊢ WithOne.map (g.comp f) = (WithOne.map g).comp (WithOne.map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
f g : X ⟶ Y
h₁ : f.left = g.left
h₂ : f.right = g.right
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ 0 ∈ ⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r ∧ IsOpen (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r) ∧ Balanced 𝕜 (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r) ∧ Convex ℝ (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r)
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
⊢ a < Fin.last n ↔ a ≠ Fin.last n
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ (M.toSquareBlockProp fun i => b i = k).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬b i = k).det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (A₁.fromRows A₂).toRows₂ = A₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ ↑n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a c : α
⊢ Relation.TransGen r a c ↔ ∃ b, Relation.ReflTransGen r a b ∧ r b c
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
i : ℤ
⊢ (Turing.Tape.move Turing.Dir.right T).nth i = T.nth (i + 1)
𝓕 : Type u_11
R : outParam (Type u_12)
R₂ : outParam (Type u_13)
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : outParam (R →+* R₂)
E : outParam (Type u_14)
E₂ : outParam (Type u_15)
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
self : SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ -↑(a + b) = -↑a + -↑b
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, rexp x = rexp b - rexp a
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)
⊢ (fun k => f a - f k) =ᶠ[atBot] fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedCosZeta (-a) s = HurwitzZeta.completedCosZeta a s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₂
⊢ (B 0) x = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x
⊢ f x = 0
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
ha : Even a
hb : Odd b
⊢ Odd (b + a)
⊢ CategoryTheory.forget₂ BddLat Lat ⋙ CategoryTheory.forget₂ Lat PartOrd =
  CategoryTheory.forget₂ BddLat BddOrd ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddOrd PartOrd
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousOn f s
hg : LowerSemicontinuousOn g s
hcont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun z => f z + g z) s
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (φ ⇔ ψ).Realize v xs
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y Z : Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z
⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom
A : Type u_2
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
CompleteSpace A
a : ℂ
⊢ (NormedRing.algEquivComplexOfComplete hA) a = (algebraMap ℂ A) a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
⊢ (zeroLocus ↑I).Nonempty ∧ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ Summable fun n => ‖(p n) fun x_1 => x‖
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
ι : Type u_1
f : ι → Polynomial R
s : Finset ι
⊢ s.prod f ≠ 0 → (s.prod f).roots = s.val.bind fun i => (f i).roots
α : Type u_1
σ : Type u_3
F : CFilter (Set α) σ
a : Set α
⊢ a ∈ F.toFilter ↔ ∃ b, F.f b ⊆ a
R A B : Type u
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ (CommRingCat.pushoutCocone R A B).inr = Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
⊢ ∃ w, LinearIndependent R w
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 {1} = ∅
α : Type u
a b : α
i j : ℕ
l : List α
⊢ i ≤ j → j ≤ l.length → List.insertNth (j + 1) b (List.insertNth i a l) = List.insertNth i a (List.insertNth j b l)
a b : Int
⊢ a % b + b * (a / b) = a
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : β
⊢ l (u a) ≤ a
α : Type u
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ (∃ x, b = a * x ∧ a ≠ b) ↔ ∃ c, c > 1 ∧ b = a * c
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'
⊢ HasProd f (g * g' / f 0)
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
a : A
⊢ (AddChar.toAddMonoidHomEquiv ψ) a = Additive.ofMul (ψ a)
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (ρ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)
h₄ : ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)
this : ∀ (i : ℕ), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i - f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = -((f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i)
⊢ f m • g m + (f (n - 1) • (range n).sum g - (f m • ∑ x ∈ range m, g x + f m • g m) + -∑ x ∈ Ico m (n - 1), ((f (x + 1) - f x) • ∑ x ∈ range x, g x + (f (x + 1) - f x) • g x)) = f (n - 1) • ∑ x ∈ range n, g x - f m • ∑ x ∈ range m, g x - ∑ x ∈ Ico m (n - 1), ((f (x + 1) - f x) • ∑ x ∈ range x, g x + (f (x + 1) - f x) • g x)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Semigroup G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
α : Type u_4
SMul α G
SMulCommClass α G G
MeasurableSpace α
MeasurableSMul α G
μ.IsMulLeftInvariant
a : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun x => a • x) μ).IsMulLeftInvariant
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ s.singularPart μ ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
α : Type u
R : α → α → Prop
l l₁ : List α
h : List.Chain' R l
h' : l₁ <+: l
⊢ List.Chain' R l₁
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
k : Set α
fk : k.Finite
ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}
u : Set α := k ∩ {y | ∃ x ∈ s, (x, y) ∈ r}
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < ↑p.natDegree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
⊢ 1 ≤ ↑p.natDegree
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
⊢ F.map (h.hom i j) = 0
a b : ONote
a.NF
b.NF
⊢ (a.cmp b).Compares a b