ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDifferentiableAt (I.prod I') I'' f p
⊢ (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace (I.prod I') (p.1, p.2))
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : M < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥
⊢ ⊤ < ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
⊢ (Ideal.map (algebraMap A (Away f)) (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal).IsPrime
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A B : Matrix n' n' R
h : Commute A B
m n : ℤ
⊢ Commute (A ^ m) (B ^ n)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
α : Type u
β : Type v
a : α
⊢ ⊥ a = none
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
yy : M'
hyy : yy ∈ q₁ ⊔ q₁'
x : M
hx : x ∈ p
x' : M
hx' : x' ∈ p'
hxx : x + x' ∈ p ⊔ p'
⊢ (x + x', yy) ∈ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ BddAbove {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map f s.val, x ≤ n
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)
f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c
f_succ : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → f n (m + 1) = f n m ∩ e (m + 1)
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type u_1
SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c (c x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : Antitone u
⊢ IntervalIntegrable u μ a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤
  ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * (∫⁻ (a : α), (f a + g a) ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
⊢ Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop atTop
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a : α
h : filter p [a] ≠ []
h' : p ([a].getLast ⋯) = true
⊢ (filter p [a]).getLast h = [a].getLast ⋯
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
⊢ ∀ (x : G), x ∈ center G
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ ker f ≤ comap f (ker g)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : EuclideanGeometry.angle a' b' c' = EuclideanGeometry.angle a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
⊢ dist a' c' = r * dist a c
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h_odd : Odd n
hlt : 1 < n
B : ℚ⟦X⟧ := PowerSeries.mk fun n => bernoulli' n / ↑n !
h : B * (exp ℚ - 1) = X * exp ℚ
⊢ evalNegHom B * (1 - exp ℚ) = -(X * 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ p f : Perm α
h : p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
⊢ p.support ≤ f.support
f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
⊢ f ^ n ≤ g ^ n
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ fromBlocks (0 * 0 + -1 * 1) (0 * -1 + -1 * 0) (1 * 0 + 0 * 1) (1 * -1 + 0 * 0) = -1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
⊢ False
a : ℤ
b : ℕ
ha4 : a % 4 = 0
hb2 : b % 2 = 1
⊢ jacobiSym (a / 4) b = jacobiSym a b
β : Type u_2
LinearOrder β
a b : β
⊢ (¬a > b) = (a ≤ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
n : Nat
f : α → Option β
h : f a = some b
⊢ List.filterMap f (List.replicate n a) = List.replicate n b
α : Type u
CompleteSemilatticeSup α
⊢ GaloisConnection sSup Set.Iic
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
⊢ N = J • N
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => f x i) t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Preorder β
OrderClosedTopology β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasurableSet {a | f a ≤ g a}
α : Type u_1
n : Type u_4
Sub n
v : n → α
i j : n
⊢ Matrix.circulant v i j = v (i - j)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
⊢ CategoryTheory.equivEssImageOfReflective.inverse = i.essImageInclusion.comp (CategoryTheory.reflector i)
x y : ℂ
⊢ sinh x + cosh x = cexp x
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s✝ : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a✝ : μ s < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₂]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β
x : δ
⊢ dist ((extend f g₁ h₁) x) ((extend f g₂ h₂) x) ≤ max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ))
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℝ
u : ℝ
hf : HasDerivAt f u z
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑(f y)) (↑u) z
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ -Ioc a b = Ico (-b) (-a)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I) = (FractionalIdeal.mk0 K) I
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : s₁ ⊆ s₂
ht : Set.InjOn f s₂
⊢ Set.InjOn f s₁
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
ι : Type u_1
R : Type u_2
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
a : Π₀ (i : ι), η i →₀ N
⊢ (sigmaFinsuppLequivDFinsupp R).symm a = sigmaFinsuppEquivDFinsupp.symm a
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
T2Space G
H : Type u_2
Group H
f : H →* G
hf : Function.Injective ⇑f
hf' : DiscreteTopology ↥f.range
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = 𝟙 (H.obj ((mappingCone φ).X n))
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveInv G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
s : Set G
⊢ μ.inv s = μ s⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun x => ‖d x‖) l (𝓝 0)
G : Type u
CategoryTheory.Groupoid G
IsFreeGroupoid G
a b : G
⊢ Nonempty (a ⟶ b) → Nonempty (Quiver.Path (IsFreeGroupoid.symgen a) (IsFreeGroupoid.symgen b))
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V
⊢ Nontrivial K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
a : α
⊢ 𝓝[⋃ i, s i] a = ⨆ i, 𝓝[s i] a
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
⊢ -a + a = 0
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
c : ℝ≥0
h : I.distortion ≤ c
⊢ Metric.diam (BoxIntegral.Box.Icc I) ≤ ↑c * (I.upper i - I.lower i)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : MvQPF.Cofix F α → MvQPF.Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : MvQPF.Cofix F α), r x y → MvFunctor.LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x y : MvQPF.Cofix F α
⊢ r x y → x = y
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ range (f ∘ₗ g) ≤ range f
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : ℕ →+* R
CharZero R
⊢ Function.Injective ⇑f
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
⊢ ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of σ ⋙q lift σ φ τ h).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))
⊢ ∀ {α : Type u_1} {α_1 : Type u_2} {α_2 : Type u_3} {f : α → α_1 → α_2} {l : List α} {l' : List α_1} {n : Nat},
  List.take n (List.zipWith f l l') = List.zipWith f (List.take n l) (List.take n l')
α : Type u_2
AddMonoid α
f : Filter α
hf : 0 ≤ f
⊢ ⊤ + f = ⊤
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
x : ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
a✝ : x ∈ ⊤
j : V
⊢ Quot.lift ↑x ⋯ (G.connectedComponentMk j) = ↑x j
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsLeast s a ↔ s = {a}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)) * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) - ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 - (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) ^ 2 = ↑C.u⁻¹ ^ 8 * (W.a₁ ^ 2 * W.a₆ + 4 * W.a₂ * W.a₆ - W.a₁ * W.a₃ * W.a₄ + W.a₂ * W.a₃ ^ 2 - W.a₄ ^ 2 + 3 * C.r * (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆) + 3 * C.r ^ 2 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃) + C.r ^ 3 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) + 3 * C.r ^ 4)
α : Type u_2
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
m n : ℕ
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
⊢ Disjoint (𝒜 # m) (∂ (Finset.falling n 𝒜))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
⊢ Filter.pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s) = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : QuotientMap f
h_fibers : ∀ (y : β), IsConnected (f ⁻¹' {y})
a : α
⊢ f ⁻¹' connectedComponent (f a) = connectedComponent a
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ s.OrdConnected
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
⊢ (M ↾ R).Basis' I X ↔ M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r s : R
rs : C r = C s
⊢ r = s
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
⊢ (a != b) = true ↔ a ≠ b
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Limits.limLax.map α = CategoryTheory.Limits.lim.map α
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ MvPolynomial.symmetricSubalgebra σ R ↔ p.IsSymmetric
α : Type u_1
Preorder α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (Ordnode.insert' x t).Valid
n : ℕ
⊢ Nat.maxPowDiv 0 n = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
⊢ homMk (ofHom W f) ≫ homMk (ofInv s hs) = homMk (mk f s hs)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
⊢ ∫⁻ (t : α), ∏ j ∈ insertNone s, (j.elim (g t) fun j => f j t) ^ j.elim q p ∂μ ≤ ∏ j ∈ insertNone s, (∫⁻ (t : α), j.elim (g t) fun j => f j t ∂μ) ^ j.elim q p
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
X : C
⊢ isoClosure P X ↔ ∃ Y x, Nonempty (X ≅ Y)
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Mul R
ContinuousMul R
A : X → m → R
B : X → n → R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => Matrix.vecMulVec (A x) (B x)
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
hst : (s ×ˢ t).Nonempty
f : ι → α
g : κ → β
⊢ (s ×ˢ t).sup' hst (Prod.map f g) = (s.sup' ⋯ f, t.sup' ⋯ g)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ s - Metric.closedBall 0 δ = Metric.cthickening δ s
G : Type u_1
Group G
S : Subgroup G
⊢ ↑(Subgroup.toAddSubgroup S) = ⇑Additive.toMul ⁻¹' ↑S
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
k : ℕ
⊢ (f.genEigenspace μ) k ≤ (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ⨆ m, LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ n)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : ∀ u ⊇ u₀, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = u₀
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiff 𝕜 (↑m) f
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A
⊢ Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(Algebra.adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (uniformity β ⊓ Filter.principal (S ×ˢ S)).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ U ∈ uniformity α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ π.iUnion = ⋃ J ∈ π, ↑J
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : Set E
⊢ μ (r • s) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set β
⊢ (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) ↔ M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F G : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
inst✝ : HasLimit G
c : Cone F
α : F ⟶ G
j✝ : J
⊢ c.π.app j✝ ≫ α.app j✝ = ((Cones.postcompose α).obj c).π.app j✝
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
f : R[X]
hf : f.Monic
a : S
ha : a ∈ f.aroots S
⊢ a ∈ integralClosure R S
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddGroup E
inst✝³ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
x✝ y✝ : E
r✝ : ℝ
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
x y : ℝ
⊢ r • max x y = max (r • x) (r • y)
α : Type u_2
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
β : Type u_5
One β
f : α → β
h : HasCompactMulSupport f
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ HasCompactMulSupport fun x => f (c • x)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
⊢ ∃ n f', Polynomial.toLaurent f' = f * LaurentPolynomial.T ↑n