ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
⊢ IsCompact (closure s)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
a : k × Multiplicative G
⊢ AddMonoidAlgebra.singleHom a = AddMonoidAlgebra.single (Multiplicative.toAdd a.2) a.1
θ : Angle
⊢ (↑π - θ).sign = θ.sign
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a / d ≤ b / c
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ Polynomial.aeval (f x) = f.comp (Polynomial.aeval x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖
a b c : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a
⊢ a ^ b = a ^ c ↔ b = c
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s (μ.restrict t)
⊢ (μ.restrict t).restrict s = μ.restrict (s ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
h : Primrec₂ f
a : α
⊢ (Vector.ofFn fun i => f a i).get = f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
⊢ X.δ i.succ ≫ X.σ j.castSucc = X.σ j ≫ X.δ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H H'
x : M'
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
this : ChartedSpace H M' := ChartedSpace.comp H H' M'
⊢ writtenInExtChartAt I I (↑(chartAt H' x) x) (↑(chartAt H' x).symm) y = y
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
⊢ ¬G.CliqueFree n
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ adjoin K ((X ^ ↑n - 1).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
m k : Nat
n : Nat
H : m ∣ k
⊢ n.gcd m ∣ n.gcd k
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.ΨSq (-n) = W.ΨSq n
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ (b \ a) = a ⊔ b
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
i : { x // x ∈ s }
⊢ ↑((OrthonormalBasis.span h s) i) = v' ↑i
α : Type u_3
β : Type u_4
Fintype α
Fintype β
⊢ Finset.univ.disjSum Finset.univ = Finset.univ
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
⊢ (Subgroup.pi Set.univ fun i => ⊥) = ⊥
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
⊢ PiTensorProduct.projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) =
  ‖a‖ * PiTensorProduct.projectiveSeminormAux p
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ Function.Injective NonUnitalSubsemiring.toAddSubmonoid
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
Zero M
⊢ Embedding TrivSqZeroExt.inl
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPushout b.inr 0 b.fst 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
f : α → β
v₁ v₂ : β →₀ M
hv₁ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₁.support)
hv₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₂.support)
hv₁₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(v₁ + v₂).support)
a✝ : α
⊢ (comapDomain f (v₁ + v₂) hv₁₂) a✝ = (comapDomain f v₁ hv₁ + comapDomain f v₂ hv₂) a✝
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
⊢ Monotone fun t => s.prod t
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ UniformContinuous ⇑f
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : (pullback.fst (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤).op (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤).op).unop ≫ (PreservesPullback.iso (AffineScheme.forgetToScheme.op ⋙ Scheme.Γ).rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom.unop = Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤
⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ 𝟙 (X.obj Δ) = ∑ A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x : M
⊢ (⇑(((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) ((fun F => F.toLinearMap ∘ₗ ι R) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x = (⇑(F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝¹ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (triangle S.f).mor₃ n₀ ≫ ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom.app S.X₁ = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : MonotoneOn f t
⊢ a ∈ lowerBounds t → a ∈ t → f a ∈ lowerBounds (f '' t)
α : Type u_1
Group α
DecidableEq α
⊢ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}.WellFoundedOn DevosMulRel
α : Type u_1
I B✝ X E : Set α
Base : Set α → Prop
base_exchange : ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
B : Set α
h : Base B ∧ B.Finite
⊢ ∃ B, Base B
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
CompleteSpace X
z : X
⊢ ∫ (x : E), f.normed μ x • z ∂μ = z
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ Subgroup.leftTransversals ↑H ↔ Function.Bijective (S.restrict Quotient.mk'')
α : Sort u_1
p q : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, (a = a' ∨ q a) ∧ p a) ↔ p a' ∨ ∃ a, q a ∧ p a
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
T2Space V
K : ConvexBody V
⊢ IsClosed ↑K
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
r : β → β → Prop
hr : ∀ {x y z : β}, r x (op y z) ↔ r x y ∧ r x z
c : β
⊢ r c (Finset.fold op b f s) ↔ r c b ∧ ∀ x ∈ s, r c (f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : TransGen CovBy a b → TransGen LT.lt (f a) (f b)
⊢ f a < f b
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
⊢ Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
α : Type u_3
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
h : {x | x ∈ 0}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
a : α
⊢ Multiset.noncommFold op 0 h a = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
K : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ TopologicalSpace.Compacts.map id ⋯ K = K
I : Type v₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ ((i : I) → C i)
∀ (i : I), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ CategoryTheory.Pi.eval C i)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ r ∈ Module.annihilator R M ↔ ∀ (m : M), r • m = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H →L[𝕜] E
φ_int : MeasureTheory.Integrable φ μ
v : H
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => (φ a) v) μ
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
⊢ Monotone fun x => n • x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ
⊢ f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k i : Nat
⊢ (∃ x_1, l[i]? = some x) ↔ l[i]? = some x
m✝ n✝ m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (bit b n).testBit m.succ = n.testBit m
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
⊢ (∀ (f : V →L[R] R), f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l
x : X
hxi : x ∈ f i
hlx : ↑l ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ range (n + 1) = insert 0 (map { toFun := fun i => i + 1, inj' := ⋯ } (range n))
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Subsemigroup M
h_one : 1 ∈ s.carrier
⊢ ↑{ toSubsemigroup := s, one_mem' := h_one } = ↑s
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I
⊢ ⊤ ∈ I
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
⊢ (z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! = ∑ b : Fin 2, ((z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)!) / 2
l m r : List Char
it₁ it₂ : Iterator
h₁ : ValidFor l (m ++ r) it₁
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂
⊢ it₁.extract it₂ = { data := m }
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ RingHom.ker (algebraMap R (Localization.AtPrime P))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
α : Type u_1
AddGroup α
n : ℕ∞
⊢ n ≤ AddMonoid.minOrder α ↔ ∀ ⦃s : AddSubgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ c • 0 = 0
R : Type u_1
Ring R
⊢ IsArtinianRing R ↔ IsArtinian R R
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : Summable fun x => f x x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
⊢ Summable fun n => f n x
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b ∣ b
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : UniformSpace K
inst✝² : TopologicalDivisionRing K
inst✝¹ : CompletableTopField K
inst✝ : UniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space (hat K)
f : hat K → hat K := fun x => x * x.hatInv
c : K → hat K := fun x => ↑K x
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
⊢ f x = 1
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
t : Set α
a : α
Hf : AntitoneOn f t
⊢ a ∈ upperBounds t → a ∈ t → f a ∈ lowerBounds (f '' t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ c.inl = c.inr
α : Type u_1
a : Topology.WithUpper α
⊢ Topology.WithUpper.toUpper (Topology.WithUpper.ofUpper a) = a
G₀ : Type u_4
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
self : HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
⊢ x ≠ 0 → ContinuousAt Inv.inv x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Sub β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α
⊢ ↑(f - g) x = ↑f x - ↑g x
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.20056, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.20063, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.20070, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
a : M
f : ShiftedHom X Y a
⊢ a + m₀ = a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
h : x ∈ adjoin R s
r : R
this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
⊢ f ((algebraMap R A) r) = r • f 1
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W
⊢ Isometry ⇑{ toFun := ⇑i.hom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.ofCone t).π = t.π ≫ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoCospan F).hom
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ W.preΨ₄.coeff 6 ≠ 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
⊢ x ∈ ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r ↔ x ∈ {x | p x ≤ r}
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
⊢ s ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set (γ × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ.swapRight a) s = (κ a) {p | p.swap ∈ s}
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (x : X), ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f) x = (MulActionHom.id M) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m = k + n.succ
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : F α
⊢ abs ((g ⊚ f) <$$> repr x) = abs (g <$$> f <$$> repr x)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
⊢ ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.mkOfUnitCounit adj).counit = adj.counit
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
c : R
x : A
⊢ Pi.prod (⇑f) (⇑g) (c • x) = (MonoidHom.id R) c • Pi.prod (⇑f) (⇑g) x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
C : β → Prop
h : ∀ x ∈ s, C (f x)
y : β
⊢ y ∈ f '' s → C y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
H : ∀ (U : Cᵒᵖ), Function.Surjective ⇑(f.app U)
U : C
t : (forget A).obj (F.obj (op U))
⊢ imageSieve f ((f.app (op U)) t) ∈ J.sieves U
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.dedup = l ↔ l.Nodup
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
⊢ ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = F 1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
Group α
OrderedAddCommMonoid β
GroupNormClass F α β
f : F
x : α
⊢ f x = 0 ↔ x = 1
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ Part.Fix.approx (⇑f) i ≤ Part.Fix.approx (⇑f) j
α : Sort u₁
β : Sort u₂
g : β → α
f : α → β
⊢ Function.LeftInverse g f → Function.Injective f
a b c : ℕ
⊢ ((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0) = a % c + b % c
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
a : α
b : M
⊢ ⇑(Finsupp.single a b) = Pi.single a b
m n : ℕ
hm1 : m % 2 = 1
hn1 : n % 2 = 1
⊢ m * n / 2 = m * (n / 2) + m / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ sup f = lsub f ↔ ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) s).prod) μ
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.SplitEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi f
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : (α × β) × γ
⊢ x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ) ⁻¹' s ×ˢ t ×ˢ u ↔ x✝ ∈ (s ×ˢ t) ×ˢ u
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
⊢ f (∏ᶠ (x : α), g x) = ∏ᶠ (x : α), f (g x)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) =ᵐ[μ] μ[f|m]
X : Type u
⊢ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)