ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
⊢ (filter (fun i => i.card = m + 1) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).card = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
h : (mulSupport f).Finite
⊢ Multipliable f
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblZ P = 0
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts f ↔ ∃ q, Polynomial.map f q = p
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
s : Set G
⊢ QuotientGroup.mk ⁻¹' (QuotientGroup.mk '' s) = ↑N * s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f (-g) ↔ Antivary f g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ ∫ (a : α), ↑‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}
X : Pointed
⊢ (pointedToTwoPFst.obj X).toTwoPointing.toProd = (some X.point, none)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
G H : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct G H
hH : CategoryTheory.IsCoseparator H
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (G ⨯ H)
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Disjoint s (cylinder x (Nat.find A))
⊢ firstDiff x y < Nat.find A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms S.P
⊢ S.P 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l = l.toFinset.sup id
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
⊢ ChartedSpace.LiftProp P f ↔
  Continuous f ∧ ∀ (x : M), P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) Set.univ (↑(chartAt H x) x)
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
x✝³ x✝² : CliffordAlgebra Q₂
x✝¹ : ∃ a, (map f) a = x✝³
x✝ : ∃ a, (map f) a = x✝²
x : CliffordAlgebra Q₁
hx : (map f) x = x✝³
y : CliffordAlgebra Q₁
hy : (map f) y = x✝²
⊢ (map f) (x + y) = x✝³ + x✝²
ι : Type u_1
α : Type u_3
DecidableEq ι
AddCancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ ∑ i ∈ s \ t, f i = ∑ i ∈ t \ s, f i ↔ ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ t, f i
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3 ↔ P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x
⊢ x ≠ 1
M : Type u_4
AddMonoid M
L : List M
i : ℕ
p : i < L.length
⊢ (List.take (i + 1) L).sum = (List.take i L).sum + L[i]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
⊢ dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' ↑{i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0
⊢ (p ^ (n + 1)).degree = (n + 1) • p.degree
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ ⇑(Monoid.MulEquiv.coprodComm M N) = ⇑(Monoid.Coprod.swap M N)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ ≤ μ + μ'
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
InfSet α
InfSet β
InfSet γ
f : sInfHom β γ
g : sInfHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
this : ContDiff ℂ ↑n cexp
⊢ ContDiff 𝕜 ↑n cexp
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R
⊢ ↑I ≠ 0 ↔ I ≠ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W X Y
CategoryTheory.Localization.HasSmallLocalizedHom W Y Y
α : CategoryTheory.Localization.SmallHom W X Y
⊢ α.comp (CategoryTheory.Localization.SmallHom.mk W (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)) = α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f → ∃ a b, ∃ c ∈ [[a, b]], f c ∉ [[f a, f b]]
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →ₗ[R] β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearMap f) x = DFinsupp.mapRange (fun i x => (f i) x) ⋯ x
n : ℕ
⊢ List.Ico n (n + 1) = [n]
n : ℕ
⊢ Rat.sqrt (OfNat.ofNat n) = ↑(Nat.sqrt (OfNat.ofNat n))
F : Type u
Field F
DecidableEq F
h2 : 2 = 0
⊢ EllipticCurve.ofJ 1728 = EllipticCurve.ofJ0 F
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n✝ : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup L
inst✝¹³ : Module R L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : Fintype ιM
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι'
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
x✝ : L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
x : ChooseBasisIndex R L → R
hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0
c : ChooseBasisIndex R L →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm x
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
c c' : C
f g : c ⟶ c'
c₀ : C
f₀ : IsFiltered.coeq (F.map f) (F.map g) ⟶ F.obj c₀
⊢ F.map (f ≫ F.preimage (IsFiltered.coeqHom (F.map f) (F.map g) ≫ f₀)) = F.map (g ≫ F.preimage (IsFiltered.coeqHom (F.map f) (F.map g) ≫ f₀))
K : Type v
Field K
p : K[X]
m : p.Monic
hsplit : Polynomial.Splits (RingHom.id K) p
⊢ p = (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
h : ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.P (q + 1) = AlgebraicTopology.DoldKan.P q ≫ (𝟙 K[X] + AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q)
⊢ ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) (Real.log ∘ Real.Gamma)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
z : R
a✝ : z ∈ primitiveRoots n R
⊢ X - C z ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y - c) ↔ Differentiable 𝕜 f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable fun n => (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
h : ¬Multipliable f
⊢ ∏' (b : β), f b = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
h : G'.IsSpanning
v : ↑G'.verts
⊢ (RelIso.symm (G'.spanningCoeEquivCoeOfSpanning h)) v = ↑v
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
⊢ (rightDistributor f X).inv ≫ g = (rightDistributor f X).inv ≫ h
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete I) C
f : (i : CategoryTheory.Discrete I) → F.obj i ≅ G.obj i
X : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.natIso f).inv.app X = (f X).inv
α : Type u_1
CompleteLattice α
t : Empty → α
⊢ CompleteLattice.Independent t
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
⊢ ↑(f.supSpanSingleton x y hx) ⟨x' + c • x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x', hx'⟩ + c • y
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.index * Nat.card ↥H = Nat.card G
a b c : ℕ
⊢ (Iic b).card = b + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffOn I' I n f s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x - c) s
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n
⊢ A.adjugate i j = (A.updateRow j (Pi.single i 1)).det
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ Monotone ↑(ProbabilityTheory.cdf μ)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ ‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosStrictMono α
ha : a < 1
bc : b < c
a0 : 0 < a
c0 : 0 < c
⊢ a * b < c
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝¹ * x✝ * (a + b) = x✝¹ * (x✝ * (a + b))
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
inst✝ : T2Space R
I : Ideal C(X, R)
⊢ IsClosed (⋂ i ∈ I, {x | i x = 0})
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
s : (i₁ : ι) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι) → κ₂ i₂ → Set α
⊢ ⋂ i₁, ⋂ j₁, ⋂ i₂, ⋂ j₂, s i₁ j₁ i₂ j₂ = ⋂ i₂, ⋂ j₂, ⋂ i₁, ⋂ j₁, s i₁ j₁ i₂ j₂
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a < OfNat.ofNat n ↔ a < OfNat.ofNat n
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ
⊢ T (m - n) = T m * T (-n)
s : Set ℕ
⊢ ThreeAPFree s ↔ ∀ ⦃a : ℕ⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : ℕ⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : ℕ⦄, c ∈ s → a + c = b + b → a = c
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
htu : Disjoint t u
⊢ (condCount s) (t ∪ u) = (condCount s) t + (condCount s) u
n : ℕ
⊢ n.smoothNumbers = factoredNumbers n.primesBelow
o : Ordinal.{u_4}
⊢ Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) o ⋯ = ⊤
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W
⊢ (fderiv ℝ (fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))) v) y = -2 * ↑π * Complex.I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
ι : Type w
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
⊢ (Algebra.norm R) s = ((Algebra.leftMulMatrix b) s).det
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ' 1 = 1
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
⊢ ↑n < PartENat.find P ↔ ∀ m ≤ n, ¬P m
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ Cycle.map f ↑l = ↑(List.map f l)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
b : M
hb : b ∈ p
⊢ e ⟨b, hb⟩ = 0
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (sum a single) * (liftNC ↑f ⇑g) (sum b single)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ
⊢ IsMono C (l.reindex eη eα eι) ↔ IsMono (fun x => C (⇑eα ∘ x ∘ ⇑eι.symm)) l
α : Type u
self : PseudoEMetricSpace α
⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
v : ExteriorAlgebra R M
⊢ (liftAlternating (ιMulti R)) v = v
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b c : G
⊢ nndist (a - b) (a - c) = nndist b c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A X : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Function.Injective fun f => F.map f a
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
z : FirstOrder.Language.DirectLimit G f
⊢ ∃ i x, (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i) x = z
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Finset α
f : α → R
g : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
⊢ (Finsupp.total α M R g) (Finsupp.onFinset s f hf) = ∑ x ∈ s, f x • g x
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddCommMonoidWithOne G
Add H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
⊢ f (1 + x) = f x + b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ ((map g).comp f) (⇑(map g) ∘ X) φ = eval₂ ((map g).comp f) X φ
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝² : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, u₂} A
inst✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms
this : ReflectsLimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s := reflectsLimitsOfReflectsIsomorphisms
⊢ IsSheaf J P ↔ IsSheaf J (P ⋙ s)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
x : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (∑ j : n, stdBasisMatrix i j (x i j)) i j = x i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
R : CategoryTheory.Functor C D
R.IsRightAdjoint
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
UniformConvexSpace E
ε : ℝ
NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)
h✝ : Nonempty ι
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (⨆ i, f i))
α : Type u_1
⊢ Cycle.nil.lists = ↑[[]]
R : Type u_1
l : ℕ
hl : Squarefree l
⊢ |μ l| = 1
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ∞
⊢ n ≤ G.egirth ↔ ∀ (a : α) (w : G.Walk a a), w.IsCycle → n ≤ ↑w.length
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ J ∈ π.biUnion πi ↔ ∃ J' ∈ π, J ∈ πi J'
m n : Nat
⊢ m ∣ n ↔ n.gcd m = m
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
h : ∃ r, x.IsSt r
⊢ x.st = r
α : Type u_5
E : Type u_6
R : Type u_7
AddCommGroup E
DivisionRing R
Monoid α
Module R E
DistribMulAction α E
n : ℤ
s : α
x : E
⊢ (↑n)⁻¹ • s • x = s • (↑n)⁻¹ • x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀'.map f).F = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.map f
o : Ordinal.{u_4}
ho : ∀ a < o, Order.succ a < o
⊢ NoMaxOrder (Quotient.out o).α
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
l : ℕ
hl : ζ ^ (a * l) = 1
ha0 : a ≠ 0
⊢ b ∣ l
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousOn (↑I.symm) (range ↑I) ∧ ∀ (x : E) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑I.symm ∘ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm) ((extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm ⁻¹' (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
One M
⊢ Continuous 1
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∪ ↑t
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : IsMin a
⊢ ¬b < a
α : Sort u
self : Unique α
a : α
⊢ a = default
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.HasRightDual X
CategoryTheory.HasRightDual Y
CategoryTheory.HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g)ᘁ = gᘁ ≫ fᘁ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) t) i = (LinearMap.rTensor N (Finsupp.lapply i)) t
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a ≤ b
⊢ f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X : C
CategoryTheory.Simple X
⊢ CategoryTheory.Indecomposable X
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
a : α
s : α → β
⊢ ⨆ x ∈ {a}, s x = s a
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a b, (a, b) ∈ l.sublists'.revzip ∧ (↑a, ↑b) = x
⊢ x.1 + x.2 = ↑l