ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|
z : ℕ
m : β
hm : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => |k a ^ (z + 1) * f a|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x m
h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun a => |(k a)⁻¹| * m) l (𝓝 0)
x : α
hk0 : k x ≠ 0
hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |k x ^ (z + 1) * f x| m
⊢ |k x ^ z * f x| = |(k x)⁻¹| * |k x ^ (z + 1) * f x|
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ⨅ r, ↑f ↑r = ↑f x
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this✝ : CauchySeq L0
f' : F
f'K : derivWithin f (Ici x) x ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
this : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
⊢ x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
r : ℝ
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.exponentialPDFReal r)
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p ^ n = -1
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
fg : (α →₀ M) × (β →₀ M)
x : α
⊢ (Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.symm fg) (Sum.inl x) = fg.1 x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : LocallyIntegrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict (closure (compactCovering β n)), f x = 0 x
α : Type u_1
x : Set α
s : Set (Set α)
⊢ x ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊂ x → y ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
⊢ ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ decode₂ β i), f j = ⨆ b, f b
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
⊢ (Function.Injective fun n => n • x) ↔ ¬IsOfFinAddOrder x
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1) ∧ x.1 * x.2 = n ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p : Submodule R A
h_one : 1 ∈ p
h_mul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
⊢ ↑(p.toSubalgebra h_one h_mul) = ↑p
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist ↑z ↑(w.center r) = √(2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ (fun x => ?m.78773.factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + 1)) = (fun x => ?m.78773.factorial • x) 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ⊤.toReal
⊢ Memℓp f ⊤
x : ℝ
⊢ cos (π / 2 - x) = sin x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
h : S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j : ℤ
hj : 0 < j
hb₁ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
⊢ j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x}
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
⊢ SameRay R x y ↔ SameRay R y x
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
⊢ DiscreteTopology G ↔ IsOpen {1}
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s) + 2 * ↑0 * μ s))
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
i : ι
hi : i ≠ j
⊢ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).ExactAt i
K : Type u
Field K
k : K
⊢ (RatFunc.C k).intDegree = 0
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ -NonemptyInterval.pure a = NonemptyInterval.pure (-a)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ
hw₄ : kᶜ ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ
hnc : nᶜ ⊆ k \ n ∪ kᶜ
hw : closure (image2 ϕ w s) ⊆ n
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
⊢ closure s ⊆ interior (⇑(AffineMap.homothety x t) '' s)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
h : IsOfFinAddOrder x
⊢ 0 < addOrderOf x
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
HasCountableSeparatingOn α p t
⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : K ⊔ J = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = I ⊔ J
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : U R (n + 1) = X * U R n + T R (n + 1)
⊢ T R (n + 2) = X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r x y : ℝ
⊢ dist x.toNNReal y.toNNReal ≤ ↑1 * dist x y
n : ℕ
Δ : SimplexCategory
θ : Δ ⟶ SimplexCategory.mk (n + 1)
i : Fin (n + 2)
hi : ∀ (x : Fin (Δ.len + 1)), (SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ) x ≠ i
⊢ ∃ θ', θ = θ' ≫ SimplexCategory.δ i
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ [[x, y]] ⊆ s
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x₂ (Polynomial.C y₂) =
  WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W x₂
    (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift (𝟙 R) φ
S T : 𝒮
f : S ⟶ T
ψ : b ⟶ c
p.IsHomLift f ψ
⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I✝ I J : TwoSidedIdeal R
⊢ I < J ↔ ↑I ⊂ ↑J
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans G H
a : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (θ.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (θ.app a) (H.mapId a))) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.mapId a) (θ.app a)))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (θ.app a)).hom)
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (θ.app a)).inv))
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
this : ∀ i ∈ s, (X.toRingedSpace.basicOpen i).carrierᶜ = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ
⊢ ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus (⋃ i ∈ s, {i})
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
bs₀ bs₁ : Multiset β
⊢ (∃ bs₀_1 bs₁_1, Rel (flip r) bs₀ bs₀_1 ∧ Rel (flip r) bs₁ bs₁_1 ∧ as = bs₀_1 + bs₁_1) ↔ ∃ as₀ as₁, Rel r as₀ bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α × β →₀ M
⊢ f.curry.support ⊆ f.support.biUnion fun a => {a.1}
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
⊢ ⋂ i, f i.down = ⋂ i, f i
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
m : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (x ^ m) y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Multipliable f
⊢ ∏' (i : ι), f i ≠ 1 ↔ ∃ x, f x ≠ 1
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
InfSet α
f : ι → ι'
hf : Function.Surjective f
g : ι' → α
⊢ ⨅ x, g (f x) = ⨅ y, g y
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
n : ℕ
⊢ NoZeroDivisors (MvPolynomial (Fin n) R)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ SmoothWithinAt I I' f Set.univ x ↔ SmoothAt I I' f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_5
NormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => ((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 𝕜') p.1) p.2
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s t : Set ι
hst : s ⊆ t
h : MonovaryOn f g t
⊢ MonovaryOn f g s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
g.NeBot
Nonempty α
⊢ (f.coprod g).NeBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit (CategoryTheory.Limits.asEmptyCocone X)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), a ∈ fixedPoints (f i)
⊢ ∃ a_1, derivFamily f a_1 = a
z w : ℂ
⊢ √(Complex.normSq (z * w)) = √(Complex.normSq z) * √(Complex.normSq w)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ sᶜ = Finset.univ ↔ s = ∅
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∃ L L' D,
  M =
    (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * Matrix.diagonal D *
      (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod
α : Type u
Monoid α
x : α
u : αˣ
y : α
⊢ x = y /ₚ u ↔ x * ↑u = y
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑(r i n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
e : A ≅ B
⊢ e.hom.hom₃ ≫ e.inv.hom₃ = 𝟙 A.obj₃
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : { p // p ∣ I }
⊢ ((idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf)) x = (idealFactorsFunOfQuotHom ⋯) x
R : Type u
Ring R
s : Set R
p : R → Prop
x : R
h : x ∈ Subring.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, p x
zero : p 0
one : p 1
add : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : R), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
u v : Nat
⊢ (u.succ = v.succ) = (u = v)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
f g : α → β
(a : α) → Decidable (a ∈ s)
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = g a
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x y : L
⊢ x ∈ S → y ∈ S → x * y ∈ S
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ
this : x ≤ p / 2
⊢ x * q / p ≤ p / 2 * q / p
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A
⊢ f x ∉ Set.Ioc (-A) A → 0 = f x
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ : R₁ →+* R₂
σ' : outParam (R₂ →+* R₁)
self : RingHomInvPair σ σ'
⊢ σ.comp σ' = RingHom.id R₂
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
⊢ eval r M.det = (eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M)).det
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : a • x ∈ a • S
⊢ x ∈ S
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℤ
⊢ LinearEquiv.rTensor N f ^ n = LinearEquiv.rTensor N (f ^ n)
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.exponentialCDFReal r) x = ∫ (x : ℝ) in Set.Iic x, ProbabilityTheory.exponentialPDFReal r x
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝) = ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G
w : E
⊢ ⟪w, (adjoint (A.comp B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, ((adjoint B).comp (adjoint A)) v⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, (⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i))) * ε⁻¹
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ ∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set a), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset a), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun ω => ((condDistrib id id μ) (id ω)) s
x y : EReal
⊢ (x * y).abs = x.abs * y.abs
A : Type u_1
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ QuasispectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x * x = a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f q μ * eLpNorm g r μ
α : Type u_1
f : α → α → α
H : LeftCommutative f
x : α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_f : ∀ (a b : α), p a → p b → p (f a b)
px : p x
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p (Multiset.foldr f H x s)
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharP R 1
r : R
⊢ r = 1 * r
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
f g : N ⋊[φ] G →* H
hl : f.comp SemidirectProduct.inl = g.comp SemidirectProduct.inl
hr : f.comp SemidirectProduct.inr = g.comp SemidirectProduct.inr
⊢ f = g
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e₁ e₂ : A ≃ₐc[R] B
⊢ e₁.toEquiv = e₂.toEquiv ↔ e₁ = e₂
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : NumberField L
f : K ≃ₐ[ℚ] L
f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv
⊢ Algebra.discr ℚ (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) = (algebraMap ℤ ℚ) (Algebra.discr ℤ ⇑((RingOfIntegers.basis K).map f₀))
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
v : V
⊢ ⊤.degree v = Fintype.card V - 1
a b x y u v : ℕ
ha : a = x ^ 2 + y ^ 2
hb : b = u ^ 2 + v ^ 2
⊢ ∃ r s, a * b = r ^ 2 + s ^ 2
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ PiNat.firstDiff x y
⊢ PiNat.cylinder x n = PiNat.cylinder y n
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s +ᵥ t).Nonempty
x y : ℝ
⊢ x - y ≤ dist x y
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ weightSpace L (-((chainLength α β).succ • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)
⊢ z ∈ closure (ball c r)
α : Type u
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.cyclicPermutations = (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) l.tails l.inits).dropLast
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
s : Set α
hs : s.Intersecting
a : α
ha : aᶜ ∈ s
⊢ a ∉ s
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
⊢ ((aeval f) (p * p')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) p) ∧ ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a b : α
⊢ (if b = a then p a else 0) ≤ p b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
⊢ IsOpenMap (⇑h ∘ f) ↔ IsOpenMap f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
TopologicalSpace γ
f : BoundedContinuousFunction α β
g : C(γ, α)
⊢ ‖f.compContinuous g‖ ≤ ‖f‖
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a + c - (b + c) = a - b
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
s : CategoryTheory.Limits.Trident f
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k s.ι = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l s.ι
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp k (s.π.app j) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp l (s.π.app j)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
hst : tᶜ ∈ f
ht : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ 𝓝 x
⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup N
J : AddSubgroup (G × N)
⊢ J ≤ H.prod K ↔ AddSubgroup.map (AddMonoidHom.fst G N) J ≤ H ∧ AddSubgroup.map (AddMonoidHom.snd G N) J ≤ K
ι : Type u_4
M : Type u_5
αs : ι → Type u_13
Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
⊢ l.support = l.splitSupport.sigma fun i => (l.split i).support
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
s : ↑S → ↑S → Prop
w✝ : IsWellOrder (↑S) s
e' : (#↑S).ord = type s
T : Set α := {a | ∃ (aS : a ∈ S), ∀ (b : ↑S), s b ⟨a, aS⟩ → r (↑b) a}
a : α
this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty
⊢ ∃ b ∈ T, ¬r b a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ ↑a ≤ max ↑b ↑c ↔ a ≤ max b c
α : Type u_1
AddGroup α
H K : AddSubgroup α
hHK : H ≤ K
⊢ Nat.card ↥H ∣ Nat.card ↥K
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.map (Option.map (IntFractPair.mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) (n + 1))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard = 1 ↔ ∃ x, s = {x}