ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
⊢ {s(s, t)}.toFinset ∪ G.edgeSet.toFinset = {s(s, t)} ∪ G.edgeSet.toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G✝ : Type u_6
H✝ : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : CommGroup H✝
G : Type u_9
H : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulOneClass H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
h : ∀ (a : G), f a = 1 → a = 1
x y : G
hxy : f x = f y
⊢ f (x * y⁻¹) = 1
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x : M₁ i
⊢ (f.toLinearMap m i) x = f (Function.update m i x)
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ vecCons x u 0 = x
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : R ⟶ 𝟭 C
c : C
⊢ 𝟙 c ≫ (adj.unit.app c ≫ (𝟙 (R.obj (L.obj c)) ≫ α.app (L.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c) = adj.unit.app c ≫ α.app (L.obj c)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.orderTop.untop ⋯ = ⋯.min ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
⊢ v ∈ s1.direction
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (op α)
x : β
⊢ eval S β (S.map f.op s) x = eval S α s (f x)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.FactorsThrough χ.conductor
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ 0 < o / b ^ log b o
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α α' β : Type u
f : α → α'
x : t α β
⊢ Bitraversable.tfst (pure ∘ f) x = pure (Bifunctor.fst f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
n₁ n₂ : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f n₁ ≫ (CochainComplex.mappingCone φ).d n₁ n₂ =
  G.d n₁ n₂ ≫ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f n₂
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
⊢ ∀ b' < ω, (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b' ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
Subsingleton α
DilationClass F α β
f : F
⊢ Dilation.ratio f = 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp' : ¬p.Nil
hp : u ∉ (p.tail hp').support ∧ (p.tail hp').support.Nodup
⊢ (p.tail hp').support.Nodup
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
⊢ f.comp (CentroidHom.id α) = f
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
⊢ (map f) (mkMetric m) = (restrict (range f)) (mkMetric m)
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =o[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ (fun x => √(f x)) =o[l] fun x => √(g x)
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
this : [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ¬⊥ < ker φ, ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0].TFAE
aux₁ : ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0 ↔ φ m = 0 → m = 0
aux₂ : ker φ = ⊥ ↔ ¬⊥ < ker φ
⊢ [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
r : K
hr : (aeval r) (cyclotomic (↑a) K) = 0
this : NeZero ↑↑a
⊢ IsPrimitiveRoot r ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
⊢ ∀ (a : β), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
⊢ ⋃₀ s ∈ f ↔ ∃ t ∈ s, t ∈ f
α : Type u
Mul α
One α
a : α
self : Invertible a
⊢ ⅟a * a = 1
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
⊢ (-1) ^ (n / 2) = 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ GaloisConnection (NonUnitalAlgebra.adjoin R) SetLike.coe
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0
hz : p.count a.factors = 0
⊢ k ∣ p.count a.factors
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
n : σ
⊢ eval₂ f g (X n) = g n
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
⊢ ((mateEquiv adj₁ adj₃) (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₁ adj₂)) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ (mateEquiv adj₂ adj₃) β).app b
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₃
h₂ : Continuous f
⊢ Continuous f
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
h : ∀ (x : M), IsUnit (f x)
x : M
⊢ ↑((IsUnit.liftRight f h) x)⁻¹ * f x = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) s (iso x)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)
⊢ ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
M : Type u_11
α : Type u_12
VAdd M α
VAdd Mᵃᵒᵖ α
IsCentralVAdd M α
m : Mᵃᵒᵖ
a : α
⊢ AddOpposite.unop m +ᵥ a = m +ᵥ a
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectMap (𝟙 (CategoryTheory.Arrow.mk f)) =
  𝟙 (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f))
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬s.Nonempty
⊢ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ (s.sup p).ball 0 r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
E : Type u_4
Group E
p : GroupNorm E
⊢ ⇑p.toGroupSeminorm = ⇑p
R : Type u
inst₁ inst₂ : CommRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * ↑a ^ n
this : r < r / a
⊢ ↑r < p.radius
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : (a', x') ∈ u ×ˢ ball x (t - t')
⊢ ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y (a', x').2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a', x').2 < r' → ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
SemilatticeInf ι
NoMinOrder ι
Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
⊢ False
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList.prod = n
x : ℂ
h : x.arg ≠ Real.pi
⊢ Complex.log ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.log x)
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ edist (f 0) a ≤ C / (1 - r)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Ring A
Ring B
Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : { g // RingHom.ker f ≤ RingHom.ker g }
⊢ ((f.liftOfRightInverse f_inv hf) g).comp f = ↑g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : R
hx : IsUnit x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 Ring.inverse x
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
h : I.IsMaximal
⊢ I ≠ ⊤
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.normSq z = ‖z‖ ^ 2
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε
m n : ℕ
⊢ Nat.bitwise (fun x y => !xor x !y) m n = Nat.bitwise xor m n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ mfderivWithin I I' f₁ s x = mfderivWithin I I' f s x
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((lof R ι₂ (fun i => M₂ i ⊗[R] M₁') i) (y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.coconeOfIsSplitEpi f).ι.app X_1 = CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.rec f f X_1
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id (toFinsupp 0) = natDegree 0
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α
⊢ dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) ≤ ∑ k ∈ Finset.range n, dist (g (f^[k] x)) (g (f^[k] y))
α : Type u
s : Computation α
_h : s.Terminates
⊢ s = (Computation.pure s.get).thinkN s.length
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2
⊢ f.toAlgHom x * f.toAlgHom y - g.toAlgHom x * g.toAlgHom y - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) = (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)
f g : ℍ → ℂ
hf : IsBoundedAtImInfty f
hg : IsBoundedAtImInfty g
⊢ IsBoundedAtImInfty (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
⊢ essSup (s.piecewise f g) μ = max (essSup f (μ.restrict s)) (essSup g (μ.restrict sᶜ))
a : ℤ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : R →* ℤ
hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ (List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯).prod = (List.pmap (fun a x => (⇑χ ∘ Nat.cast) a) b.primeFactorsList ⋯).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
g' : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g'
⊢ ∫⁻ (b : γ), g' b ∂(κ.map f hf) a = ∫⁻ (a : β), g' (f a) ∂κ a
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
K' : Type u_5
Field K'
Algebra R₁ K'
IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'
⊢ FractionalIdeal.map (↑h) I⁻¹ = (FractionalIdeal.map (↑h) I)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y
⊢ ∃ e ∈ Y, e ∉ M.closure X
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : LindelofSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ LindelofSpace X
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
self : F.CommShift A
a b : A
⊢ CategoryTheory.Functor.CommShift.iso (a + b) =
  CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd (CategoryTheory.Functor.CommShift.iso a)
    (CategoryTheory.Functor.CommShift.iso b)
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ HasProd (Pi.mulSingle b a) a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + c) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ ↑0 = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
H : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ (Subgroup.map f H).index = (H ⊔ f.ker).index * f.range.index
α : Type u_1
Preorder α
Unique α
⊢ krullDim α = 0
α : Type u
HasSubset α
IsTrans α fun x x_1 => x ⊆ x_1
a b c : α
⊢ a ⊆ b → b ⊆ c → a ⊆ c
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
f : F
G : Type u_2
FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
hf : Set.LeftInvOn ⇑g ⇑f ↑I
⊢ Ideal.map f I ≤ Ideal.comap g I
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length (w₁ * w₂) % 2 = (cs.length w₁ + cs.length w₂) % 2
M : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
⊢ l.prod = 1 ↔ ∀ x ∈ l, x = 1
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
c : ℝ
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (1 / (1 - c)) l f₂ fun x => f₂ x - f₁ x
α : Type u_1
l : Lists' α true
⊢ l ⊆ l
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : AddGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
φ : ℕ → α →ₛ E
hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))
this : Tendsto (fun n x => g x + ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (g + f))
⊢ Measurable (g + f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
n : ℕ
h_dim : finrank 𝕜 ↥K + n = finrank 𝕜 E
⊢ finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥Kᗮ = finrank 𝕜 ↥K + n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b x✝ : α
⊢ ¬(x✝ ∈ s → x✝ ∉ t) ↔ x✝ ∈ s ∧ x✝ ∈ t
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (-p) = -eval₂ f x p
p a b : ℕ
hp : Nat.Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
⊢ p ∣ (a + b).choose a
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ (f.toList x).formPerm = f.cycleOf x
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
j : Fin (n + 1 + 2)
hj : j ≠ i
⊢ SimplicialObject.δ S j σ = ((hornInclusion (n + 2) i).app (Opposite.op [n + 1]) ≫ ((S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1])) (horn.face i j hj)