ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{u + 1, u} c < univ.{u, u + 1}
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex R M × Module.Free.ChooseBasisIndex R M), (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ i).IsHomogeneous 1
Ω : Type u_2
PseudoMetricSpace Ω
TopologicalSpace.SeparableSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
⊢ inferInstance = TopologicalSpace.coinduced MeasureTheory.LevyProkhorov.toProbabilityMeasure inferInstance
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ Ring.inverse ↑x
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
⊢ findGreatest P k = 0 ↔ ∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
Algebra R S
K : Type u_1
Field K
Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
Field L
Algebra S L
IsFractionRing S L
IsDomain S
IsDedekindDomain R
Algebra K L
Algebra R L
IsScalarTower R K L
IsScalarTower R S L
IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
IsNoetherian R S
⊢ FiniteDimensional.finrank (R ⧸ p) (S ⧸ Ideal.map (algebraMap R S) p) = FiniteDimensional.finrank K L
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
⊢ (equiv W L) (comp ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)) = (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ≫ (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι✝
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ IsSeparable (range g)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id P = CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.decompId_i P.decompId_p
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
d : ℕ
a b : Fin n → ℕ
⊢ { toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun (a + b) = { toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun a + { toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun b
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
F : CategoryTheory.Functor C B
R : CategoryTheory.Functor B T
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L (F.comp R)} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.preRight L F R).map f).left = f.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoTerminal.hom = 0
a b r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ ↑(filter (fun x => r ∣ x) (Ico a b)).card = max (⌈↑b / ↑r⌉ - ⌈↑a / ↑r⌉) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
⊢ SimpleGraph.hasse (α × β) = SimpleGraph.hasse α □ SimpleGraph.hasse β
k m : Nat
n : Nat
H1 : k.Coprime m
⊢ k.Coprime (m ^ n)
m n : ℕ+
⊢ m.factorMultiset ⊓ n.factorMultiset ≤ (m.gcd n).factorMultiset
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α
⊢ ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ‖f x‖ * ?m.10603
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h = 1
⊢ False
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
s : Set α
⊢ BddAbove s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ (x : TaggedPrepartition I), (∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) x ∧ x.iUnion = π₀.iUnion) → integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (c * x)) atTop (𝓝 (f c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x))
F : Type u_1
K₁ : Type u_3
Field F
Field K₁
Algebra F K₁
E : Type u_6
Field E
Algebra F E
Algebra E K₁
IsScalarTower F E K₁
Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
⊢ (Normal.algHomEquivAut F K₁ E).symm σ = (IsScalarTower.toAlgHom F E K₁).comp ↑σ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
g : β → γ
⊢ ∃ z, ∀ (i : β), r (f (g i)) (f z)
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑(n + 1)) * ↑(rexp (-π * ↑↑(n + 1) ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑(n + 1))) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑i) * ↑(rexp (-π * ↑↑i ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑i)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑i) ^ 2 * t))))
⊢ HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
α : Type v
Preorder α
NoMinOrder α
b : α
⊢ ⋃ a, Set.Ioc a b = Set.Iic b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (image Sym2.mk s.offDiag).card = s.card.choose 2
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Div (f i)
DecidableEq I
f₁ f₂ : (i : I) → f i
i : I
x₁ x₂ : f i
⊢ Function.update (f₁ / f₂) i (x₁ / x₂) = Function.update f₁ i x₁ / Function.update f₂ i x₂
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ (fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ x⌋₊ - ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun _x => 1
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
⊢ (univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : N
⊢ (f.lift ⋯) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
s : Set α
f : α → β
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ f (Function.invFunOn f s b) = b
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x y : α
r : ℝ
h : dist x y ≤ K * r
rpos : 0 < r
⊢ Metric.closedBall y r ∈ (IsUnifLocDoublingMeasure.vitaliFamily μ K).setsAt x
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
⊢ a' * g ∣ b' * g
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
S : Submonoid N
f : F
⊢ Submonoid.comap f (Submonoid.map f (Submonoid.comap f S)) = Submonoid.comap f S
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c₀ c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
h : c₀ ≤ c₁
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₀ ≤ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c₁
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsMaximal ↔ IsCoatom I
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f
x : X
hx1 : (g ∘ f) x = g y
hx2 : ClusterPt x ℱ
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
ha : a ≤ c
hb : b ≤ c
⊢ a ⊔ b ≤ c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom = (λ_ X).hom
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 6 → β
⊢ ∏ i : Fin 6, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5
α : Type u_1
L : List (List α)
⊢ L.join.reverse = (List.map List.reverse L).reverse.join
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f
Ω : Type u_1
s : Set Ω
DecidablePred fun x => x ∈ s
ι' : Type u_4
i j : ι'
f : ι' → Ω → ℝ
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f (s.piecewise (fun x => i) fun x => j) = s.indicator (f i) + sᶜ.indicator (f j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ a * s.prod
h : p ∣ s.prod
⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⩿ b
h2 : a ≠ b
⊢ a ⋖ b
s : ℕ
h : s ≠ 0
⊢ (s.xgcdAux 1 0 0 0 1).2.2 = 0
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
h : ¬IsPredLimit (pred a)
this : ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMin b} {hc : ¬IsMin c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_pred b hb (x b) = H_pred c hc (x c)
⊢ (let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
c : ι₁ →₀ R
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑c) (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = (b₂.repr (f (b₁.repr.symm c))) i
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
j : J
⊢ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) ≫ limit.π F j = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F) ≫ limit.π F j
α : Type u
NatCast α
n : ℕ
⊢ (↑n).down = ↑n
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioc ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Ioc a b)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
eq1 : (m, s).2 • x = f (m, s).1
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E
⊢ (F.prod' G).toFunctor = F.prod' G.toFunctor
α : Type u
s : List α
hd x : α
n : ℕ
⊢ List.insertNth (n + 1) x (hd :: s) = hd :: List.insertNth n x s
K : Type u
Field K
L : Type u_1
CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K
⊢ (RatFunc.liftMonoidWithZeroHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c) = ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
⊢ Function.Injective Monoid.CoprodI.Word.rcons
a : Ordinal.{u_3}
⊢ a < 1 ↔ a = 0
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
SMul G P
IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
f' : α →ₛ ℝ≥0∞
hf' : (fun h => ↑h ≤ f) f'
g' : α →ₛ ℝ≥0∞
hg' : (fun h => ↑h ≤ g) g'
⊢ f'.lintegral μ + g'.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
a x : ℝ
ha : a < 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * Real.log a - rexp (Real.log a * x) * Real.sin (x * π) * π) x
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
hx : addOrderOf x ≠ 0
hn : n ∣ addOrderOf x
⊢ addOrderOf ((addOrderOf x / n) • x) = n
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ c \ a ∆ b = c ⊓ a ⊓ b ⊔ c \ a ⊓ c \ b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Limits.Cones.forget F).map f = f.hom
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
r : β → β → Prop
m : Multiset α
h : {a | a ∈ m}.Pairwise fun a₁ a₂ => r (f a₁) (f a₂)
⊢ {b | b ∈ Multiset.map f m}.Pairwise r
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
b : β a
⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₁ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C
⊢ ((α.inv ◫ β.inv) ≫ α.hom ◫ β.hom).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
α : Type u_1
x : α → Σˣ f
i j : ι
ij : i ≤ j
h : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
a : α
⊢ (⇑(f i j ij) ∘ unify f x i h) a = unify f x j ⋯ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
⊢ ∀ i ∈ S ×ˢ T, IsOpen (i.1 ∪ i.2)
R : Type u_1
AddCommGroup R
StarAddMonoid R
x : ↥(skewAdjoint R)
⊢ star ↑x = -↑x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
α : Type u_1
Mod α
a b : Part α
⊢ a % b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y % x) b
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ Fintype.card n - 1 < Fintype.card n
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
γ : Type u_4
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Continuous g
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (g ∘ f) μ
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
s₁ s₂ : NonUnitalSubsemiring R
hs : s₁ ≤ s₂
t₁ t₂ : NonUnitalSubsemiring S
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
M : Type u_1
A : Type u_4
Monoid M
Group A
MulDistribMulAction M A
r : M
x y : A
⊢ r • (x / y) = r • x / r • y
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
⊢ Function.Injective CoxeterSystem.simple
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
μ : MeasureTheory.Measure G
⊢ μ (s * closure {1}) = μ s
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
f : CompleteLatticeHom β γ
g : CompleteLatticeHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.DynkinSystem.ofMeasurableSpace m₁ ≤ MeasurableSpace.DynkinSystem.ofMeasurableSpace m₂ ↔ m₁ ≤ m₂
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SSameSide x y
hyz : s.WSameSide y z
⊢ s.WSameSide x z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
a : α
⊢ MeasurableSet (memPartitionSet t n a)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Unique ι
F : ι → X → α
x : X
⊢ EquicontinuousAt F x ↔ ContinuousAt (F default) x
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ ↑U = ∅ ↔ U = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
R : Type u
⊢ √2 ^ 4 = 1 * 4
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ coeff m (X s * p) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M
⊢ (ExteriorAlgebra.ιMulti R n.succ) v = (ExteriorAlgebra.ι R) (v 0) * (ExteriorAlgebra.ιMulti R n) (Matrix.vecTail v)
R : Type u_4
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ e.toNonUnitalRingHom.comp e.symm.toNonUnitalRingHom = NonUnitalRingHom.id S
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sInf s) = sInf (⇑f.symm ⁻¹' s)
α : Type u_1
BooleanRing α
a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ (b ⊔ c)
X Y : Type u_1
Semiring X
Semiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
⊢ ↑a = 0 ↔ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
n : M
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.obj n).map (F.ε.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μ (𝟙_ M) n).app X)
      ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor n).hom).app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.obj n).obj ((𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)).obj X))
q : Λ'
s : Option Γ'
L : List ℕ
c d : List Γ'
o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (head main q), var := s, stk := elim (trList L) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trList [L.headI]) [] c d }
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ balancedHull 𝕜 s ↔ ∃ r, ‖r‖ ≤ 1 ∧ x ∈ r • s
α β : Type u
⊢ #(α ↪ β) = 0 ↔ #β < #α
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
m : M
⊢ LinearMap.lTensor M f ∘ₗ (TensorProduct.mk R M N) m = (TensorProduct.mk R M P) m ∘ₗ f
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
⊢ TotallyBounded t
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
entry' : ℕ → ℕ → ℕ
h : entry' = ⇑T
⊢ T.copy entry' h = T
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
u v a : α
⊢ UV.compress u v (UV.compress u v a) = UV.compress u v a
x₁ x₂ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
i : x₂.LeftMoves
h : Surreal.Multiplication.IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hl : x₁ ≤ x₂.moveLeft i
⊢ Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₁ y₂