ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ (insert a s).card * (𝒜 ∩ ℬ).card
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : ∀ i ∈ s, f i 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ (∑ i ∈ s, f i) a = ∑ i ∈ s, cfcₙ (f i) a
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : R
⊢ (AdicCompletion.transitionMap I R hmn) ((Ideal.Quotient.mk (I ^ n • ⊤)) x) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ m • ⊤)) x
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
i : s ⟶ t
x : B
h : x ⟶ c
⊢ ((s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right)) ≫ (α_ h t.lift f).hom = (t.whisker h).hom ≫ (α_ h t.lift f).hom
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ Function.Injective Subsemiring.toSubmonoid
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
⊢ x ∈ ⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
m : M
⊢ 0 m = 0
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
h_le : ε₁ ≤ ε₂
B : Set Ω
hε₁ : μ B ≤ ν (Metric.thickening ε₁.toReal B) + ε₁
⊢ μ B ≤ ν (Metric.thickening ε₂.toReal B) + ε₂
xs : Lean.Omega.IntList
⊢ -xs = List.map (fun x => -x) xs
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f s
hs : (f '' s).Countable
⊢ s.Countable
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f g : A[ε] →ₐ[R] B
hinl : f.comp (inlAlgHom R A A) = g.comp (inlAlgHom R A A)
hinr : f.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε) = g.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε)
a : A
⊢ f (inr a) = g (inr a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.right = iZ.inv
n : PosNum
⊢ n + n + 1 = n.bit1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), filter p (n • s) = n • filter p s → filter p (n • (a ::ₘ s)) = n • filter p (a ::ₘ s)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f Set.univ ↔ LipschitzWith K f
ι : Type u
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
DecidableEq ι
f : Π₀ (i : ι) (j : α i), δ i j
i : ι
j : α i
⊢ f.sigmaUncurry ⟨i, j⟩ = (f i) j
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
⊢ P f
n : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.cyclotomic n R) = Polynomial.cyclotomic n S
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0
b : S
b_mem : b ∈ ↑I
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0
r' : S
hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'
a : S
ha : a ∈ ↑I
q : S
r : R
r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm
lt : abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
⊢ b ∣ r' * a
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (r :: rs)
ι : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ZMod p
⊢ (f₁ s a).totalDegree + (f₂ s a).totalDegree < 2 * p - 1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ (AlgEquiv.op f).toRingEquiv = RingEquiv.op f.toRingEquiv
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {s | MeasurableSet s} = inst✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
CategoryTheory.Limits.HasPullback i₁ i₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIso f i i₁ i₂).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst i₁ i₂ ≫ i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
⊢ gcd I J = I ⊔ J
⊢ Turing.ToPartrec.Code.tail.eval = fun v => pure v.tail
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)
h₂ : ⨆ j ∈ J, span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ j ∈ J, LinearMap.range (stdBasis R (fun j => Ms j) j)
⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F.CommShift A
⊢ F.commShiftIso 0 = CategoryTheory.Functor.CommShift.isoZero F A
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a x : (i : ι) → π i
ha : ∀ (i : ι), x i < a i
⊢ Set.Iic a ∈ 𝓝 x
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedAddCommGroup H
ContinuousNeg H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Neg.neg (𝓝[≥] a) (𝓝[≤] (-a))
R : Type u_3
CommRing R
r : R
a : ℍ[R]
⊢ Commute (↑r) a
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
⊢ 0 ≤ SchwartzMap.seminormAux k n f
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
b c k : ℕ
d e : R
⊢ b = c * k → a ^ c = d → d ^ k = e → a ^ b = e
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
F' : Type u_7
GroupWithZero G₀
MonoidWithZero M₀'
FunLike F' G₀ M₀'
a : G₀
MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f a = g a
⊢ f a⁻¹ = g a⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
M : Type u_1
inst✝⁴ : Zero M
l : List M
inst✝³ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝² : AddZeroClass R
x : R
xs : List R
inst✝¹ : DecidablePred fun i => (xs ++ [x]).getD i 0 ≠ 0
inst✝ : DecidablePred fun i => xs.getD i 0 ≠ 0
⊢ (xs ++ [x]).toFinsupp = xs.toFinsupp + Finsupp.single xs.length x
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ AddAction.IsPretransitive G α ↔ Subsingleton (AddAction.orbitRel.Quotient G α)
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g : α →₀ N
⊢ f.neLocus (f - g) = g.support
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
⊢ (x, y) ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' s) ∩ e.baseSet ×ˢ univ ↔ (x, y) ∈ (s ∩ e.baseSet) ×ˢ univ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
x✝² x✝¹ x✝ : OpensLeCover U
f : x✝² ⟶ x✝¹
g : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map f ≫ { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
iso : F ≅ F'
X : C
Y : D
g : F'.obj X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.equivHomsetLeftOfNatIso iso).symm g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (iso.hom.app X) g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : ContinuousMul α
x : α
l : List α
ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)
⊢ Tendsto prod (𝓝 (x :: l)) (𝓝 (x :: l).prod)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ residual X ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsOpen t) ∧ (∀ t ∈ S, Dense t) ∧ S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s
α : Type u
β : α → Type v
L : List (List (Sigma β))
⊢ L.join.NodupKeys ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ List.Pairwise List.Disjoint (List.map List.keys L)
ι : Type u_5
κ : Type u_7
ρ : κ → ι → Type u_8
(j : κ) → (i : ι) → TopologicalSpace (ρ j i)
j : κ
i : ι
⊢ Continuous fun p => p j i
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
e : W₁ ≌ W₂
e.functor.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
⊢ (e.mapHomologicalComplex c).functor = e.functor.mapHomologicalComplex c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n] f) s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬(Icc a b).Subsingleton
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
⊢ ∀ (a : ProjectiveSpectrum 𝒜) (u : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r), a ∈ v ∧ v ⊆ u
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : IsAtom (f b)
⊢ IsAtom b
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ∀ (a : αᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.neg α)) a = -OrderDual.ofDual a
R : Type u_3
M : Type u_4
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup M
r : R
⊢ ‖TrivSqZeroExt.inl r‖ = ‖r‖
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
⊢ (p.bindOnSupport f).toOuterMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toOuterMeasure s
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≠ 0
IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x
s t s' t' : R
⊢ (xgcdAux x s t y s' t').1 = gcd x y
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
LocallyFiniteOrderBot α
⊢ Finset.Ioc a b ⊆ Finset.Iic b
α : Type u_3
PartialOrder α
Nontrivial α
⊢ Disjoint Filter.atBot Filter.atTop
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A - C).card * B.card ≤ (A - B).card * (B - C).card
G : Type u_1
Group G
S : Set G
Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
⊢ x ∈ Subgroup.setNormalizer S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
I.Boundaryless
x : M
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝 y
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n x✝ : ℕ
⊢ g (x.coeff x✝) = ((WittVector.map g) x).coeff x✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
⊢ ⨆ y, f (x * y) / f y ≤ f x
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
⊢ l.any p = !l.all fun x => !p x
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ SimplexCategory.δ i.castSucc ≫ SimplexCategory.σ i = 𝟙 (SimplexCategory.mk n)
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
b : β
⊢ ∏ x ∈ s, Function.update f i b x = b * ∏ x ∈ s \ {i}, f x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (X_1 : X.Opensᵒᵖ), AlgebraicGeometry.Scheme.restrictFunctorΓ.hom.app X_1 = X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ico a b).Nonempty ↔ a < b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) 1 = deriv f x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : NoZeroDivisors R
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ 2
⊢ ζ = -1
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Ici a * Set.Ioi b ⊆ Set.Ioi (a * b)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (⁅x, traceForm R L M⁆ y) z = (0 y) z
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a b : M
⊢ a * (b * z₁) * z₂ = a * (b * z₁ * z₂)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆).coeff 3 = 4
α : Type u_1
l l₁ : List α
l₂ : List α
⊢ l ⊆ l₁ → l ⊆ l₁ ++ l₂
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
⊢ (g.comp f).range ≤ g.range
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ : CategoryTheory.Functor J C
F₂ F₂' : CategoryTheory.Functor J C
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft F₁ g).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁.obj j) (F₂'.obj j)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁.obj j) (F₂.obj j)) (g.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Iio ↑a})
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
Y : Type v
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ GromovHausdorff.toGHSpace X = GromovHausdorff.toGHSpace Y ↔ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
Subsingleton ι
i : ι
f : M →L[R] N
⊢ ((ContinuousAlternatingMap.ofSubsingleton R M N i) f).toContinuousMultilinearMap =
  (ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton R M N i) f
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
f : Filter β
m : α → β
hf : Cauchy f
hm : Filter.comap (fun p => (m p.1, m p.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
⊢ (Filter.comap m f).NeBot → Cauchy (Filter.comap m f)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
⊢ ∀ (i : tt), ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) = ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelZeroIsoSource.hom = CategoryTheory.Limits.kernel.ι 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 𝓥 𝓦 : X.OpenCover
f : 𝓤 ⟶ 𝓥
g : 𝓥 ⟶ 𝓦
j : 𝓤.J
⊢ (f ≫ g).idx j = g.idx (f.idx j)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+o β
⊢ (↑f.toAddMonoidHom).toFun = ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
⊢ (X ⨯ Y).str = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
p : Nat.Primes
⊢ factorMultisetEquiv.symm (↑p).factorMultiset = factorMultisetEquiv.symm (PrimeMultiset.ofPrime p)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv^[2] (fun x => x * log x) x = x⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ ≤ ‖⟪x, y⟫_ℝ‖ * ‖⟪y, x⟫_ℝ‖
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD -p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
M N K : C
f : M ⟶ N
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
g h : CategoryTheory.Limits.cokernel f ⟶ K
w :
  ∀ (n : (CategoryTheory.forget C).obj N),
    g ((CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) n) = h ((CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) n)
⊢ g = h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[>] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ (fun x => x ^ (a - b) • x ^ (-a)) t = (fun x => x ^ (-b)) t
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsRightDescent w i
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ ∑ x : R, ∑ c : R, χ c * ψ (x * (c - 1)) = ↑(Fintype.card R)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
m : MeasurableSpace α
f : α → β
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f 0
a b : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ b = a ↔ b = 1
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ 0 < logb b x ↔ x < 1
α : Type u
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b : α
l : List α
⊢ List.foldl f a (b :: l) = f b (List.foldl f a l)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
t : R
⊢ (p + Polynomial.C t).reverse = p.reverse + Polynomial.C t * Polynomial.X ^ p.natDegree