ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : Subalgebra K L
hS : IsField ↥S
⊢ (S.toIntermediateField' hS).toSubalgebra = S
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : a < 1
⊢ a < a⁻¹
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t) ≤ rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
tf : α → L.Term β
v : β → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (t.subst tf) =
  FirstOrder.Language.Term.realize (fun a => FirstOrder.Language.Term.realize v (tf a)) t
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
π₀ : Prepartition I
this : ∀ (c : ℝ≥0), (l.toFilterDistortioniUnion I c π₀).HasBasis l.RCond fun r => {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
⊢ (l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
⊢ P.map F ≤ P.isoClosure.map F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
v : E
⊢ v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass N
a : Π₀ (i : ι), η i →₀ N
⊢ sigmaFinsuppAddEquivDFinsupp.symm a = sigmaFinsuppEquivDFinsupp.symm a
a b : UInt8
⊢ a ≤ b ↔ a.val ≤ b.val
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = 0
⊢ p = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
h : c ≤ Con.ker f
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(c.lift f h)
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
α : Type u_3
Preorder α
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
T2Space α
f : ℕ → α
c : α
hf : Summable f
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ ∑' (n : ℕ), f n ≤ c
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ max (a / b) (a / c) = a / min b c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x.1 ∧ q x.2) ↔ (∃ᶠ (a : α) in f, p a) ∧ ∃ᶠ (b : β) in g, q b
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ comap (algebraMap ℤ S) I ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ IsIntegral ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n))
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
⊢ (ι R) x = 0 ↔ x = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h✝ : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1
h : |x| < 1
⊢ False
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
t : Finset α
a : α
⊢ {a}.diffs t = Finset.image (fun x => a \ x) t
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
f : α →₀ M
⊢ f.sum Finsupp.single = f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun a => ¬p a) s = s \ Finset.filter p s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s
step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (↑P.k - s - 1) • P.f t = (↑t ^ (↑P.k - s - 1) * (P.ε * (↑t ^ (-↑P.k) * (P.ε⁻¹ * ↑(t ^ P.k))))) • P.f t
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
self : M.IsQuasicoherent
⊢ Nonempty M.QuasicoherentData
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
⊢ x ∈ insert a (s.erase a) ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpInd E hm μ s) x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected X
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois Y
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap g ∘ CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p = 0
⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
boxes : Finset (WithBot (BoxIntegral.Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
H : ∀ J ∈ boxes, J ≠ ⊥ → ∃ J' ∈ π, J ≤ ↑J'
⊢ BoxIntegral.Prepartition.ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint ≤ π
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ Finset.filter p s, f x
n : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.sigma 0) n = n.divisors.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : (interior U).Nonempty
h : μ U = 0
⊢ μ K ≤ 0
G : Type u_2
CommGroup G
UniformSpace G
UniformGroup G
CompleteSpace G
f : ℕ → G
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
⊢ (∃ a₂ b₂ c₂_1, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inr c₂ = inr c₂_1 ∧ c₂_1 ∈ g a₂ b₂) ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f g : β → α
x : Filter β
a b : α
hf : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g x (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => nndist (f x) (g x)) x (𝓝 (nndist a b))
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ l, f i ≤ g i
h₂ : ∃ i ∈ l, f i < g i
⊢ (List.map f l).sum < (List.map g l).sum
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
hu : ↑u ⊆ image2 f s t
⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
⊢ eval (x + y) f = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ x = (S.leftInvEquiv hS) ((S.leftInvEquiv hS).symm x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s \ {a}, f x = ∏ x ∈ s, f x
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
⊢ (Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ↑‖p n‖₊ * ↑r ^ n
⊢ Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : TotallyBounded s
ht : TotallyBounded t
⊢ TotallyBounded (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f f' : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b = f' a b
⊢ Finset.image₂ f s t = Finset.image₂ f' s t
C : Type u_1
D : Type u_6
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_6} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} H
RF RF' : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
α' : F ⟶ L.comp RF'
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
e : RF ≅ RF'
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L e.hom) = α'
⊢ RF.IsRightDerivedFunctor α W ↔ RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
⊢ x = y
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : Setoid.IsPartition c
⊢ ⋃₀ c = Set.univ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
this : Nonempty ↑s
⊢ ⋂ i ∈ s, f i ∩ t = (⋂ i ∈ s, f i) ∩ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set β
s : β → Set α
ht : t.Countable
hm : ∀ i ∈ t, MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
hd : t.Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f a ∂μ = ∑' (i : ↑t), ∫⁻ (a : α) in s ↑i, f a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ (F.precomp f).δ₀ = F
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : NonAssocSemiring β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NonAssocSemiring γ
inst✝ : Preorder γ
f g : α ≃+*o β
h : f.toOrderRingHom = g.toOrderRingHom
⊢ (fun f => ⇑f) f = (fun f => ⇑f) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
heq : EqOn f₁ f₂ s
t : Set β
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ f₁ ⁻¹' t ↔ x ∈ f₂ ⁻¹' t
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Set.Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Set.Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opEquivalence Φ X₂).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ((CategoryTheory.LocalizerMorphism.RightResolution.unopFunctor Φ (Opposite.op X₂)).rightOp.comp
      (CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opFunctor Φ X₂))
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ↑⊥ = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{z, w} D
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (CategoryTheory.Abelian.FunctorCategory.imageObjIso α X).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.kernelComparison (CategoryTheory.Limits.cokernel.π α)
      ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X))
    (CategoryTheory.Limits.kernel.map ((CategoryTheory.Limits.cokernel.π α).app X)
      (CategoryTheory.Limits.cokernel.π (α.app X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X))
      (CategoryTheory.Limits.PreservesCokernel.iso ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X) α).hom ⋯)
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
MulOneClass M
MulOneClass N
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
x : M
hx : ∃ y, y * x = 1
⊢ ∃ y, y * f x = 1
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : Y.Opens
W : X.Opens
e₁ : V ≤ g ⁻¹ᵁ U
e₂ : W ≤ f ⁻¹ᵁ V
⊢ Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (homOfLE e₁).op.unop).op ≫ (homOfLE e₂).op) = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ dist x y < ↑c ↔ nndist x y < c
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ n ≤ m + n
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
Δ Δ' : SimplexCategory
f : Δ ⟶ Δ'
CategoryTheory.Epi f
⊢ ↑(SimplicialObject.Splitting.IndexSet.mk f).snd = f
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
ho : o + 1 = m + 1 + n
x : α
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin (o + 1)
⊢ (if h : ↑i < m + 1 then vecCons x u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - (m + 1), ⋯⟩) = vecCons x (fun i => if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩) i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * (↑(δ' i) / ↑(max 1 (w i))) ≤ ↑(δ' i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]
this : (minpoly R x).Monic
⊢ (aeval x) (f %ₘ minpoly R x + minpoly R x * (f /ₘ minpoly R x)) = (aeval x) (f %ₘ minpoly R x)
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ) * 2) (jacobiTheta τ - 1)
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
X : SemilatInfCat
⊢ SemilatInfCat.dual.obj X = SemilatSupCat.of X.Xᵒᵈ
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (x - y) = mapFun (⇑f) x - mapFun (⇑f) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.map f g = f ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ Disjoint H₁ H₂ ↔ ∀ {x y : G}, x ∈ H₁ → y ∈ H₂ → x * y = 1 → x = 1 ∧ y = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
h : Set.EqOn f g ↑s
a✝ : β
⊢ a✝ ∈ image f s ↔ a✝ ∈ image g s
a b : Ordinal.{u}
i : (a ♯ b).toPGame.LeftMoves
⊢ (a ♯ b).toPGame.moveLeft i ⧏ a.toPGame + b.toPGame
α : Type u_3
MeasurableSpace α
self : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ self.posPart ⟂ₘ self.negPart
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
⊢ UniformEmbedding Subtype.val
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S ⊆ ↑K
α : Type u_1
l : List α
⊢ FreeAddMonoid.toList (FreeAddMonoid.ofList l) = l
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : ∀ (x : α), x ≠ a ∧ x ≠ b → f x = 1
⊢ ∏ x : α, f x = f a * f b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
μ : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
⊢ HasFDerivAt (fun q => MeasureTheory.convolution f (g q.1) L μ q.2)
  (MeasureTheory.convolution f (fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) (ContinuousLinearMap.precompR (P × G) L) μ q₀.2) q₀
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Sub β
ContinuousSub β
f g : C(α, β)
x : α
⊢ (f - g) x = f x - g x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.erase i f + DFinsupp.single i (f i) = f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J✝ : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
J : LieIdeal R L' := let __src := Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ }
⊢ ↑(map f I) = Submodule.map ↑f ↑I
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι
⊢ (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
s : Set E
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith C f s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
x₁ x₂ y : SetTheory.PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : Surreal.Multiplication.IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : Surreal.Multiplication.IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
⊢ x₁ * y ≤ x₂ * y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) (x +ᵥ s) = x +ᵥ (convexHull 𝕜) s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.NatTrans.removeLeftOp (CategoryTheory.CategoryStruct.id F.leftOp) = CategoryTheory.CategoryStruct.id F
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q r : ℤ_[p]
⊢ ‖q + r‖ ≤ max ‖q‖ ‖r‖
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x x' y y' : P
⊢ midpoint R x y = midpoint R x' y' ↔ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
this : ↑x.snd < count x.fst m
⊢ 0 < count x.fst m
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ Prod.snd '' s ×ˢ t ⊆ t
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ rexp (107 / 60) < 6
α : Type u_1
Lattice α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Set.uIcc a₁ b₁ ⊆ Set.uIcc a₂ b₂ ↔ a₁ ∈ Set.uIcc a₂ b₂ ∧ b₁ ∈ Set.uIcc a₂ b₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq m
a : α
⊢ a • 1 = diagonal fun x => a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
⊢ f x ≤ b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ interior (Set.Ioo a b) = Set.Ioo a b
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
⊢ (f.noncommCoprod g comm).comp (MonoidHom.inl M N) = f
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
r : K[X]
hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r
s : R
s0 : s ∈ R⁰
hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r
h : p ∣ q * (C s).primPart
⊢ R[X]