ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)
⊢ v.toList.reverse.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
sets_prop : (∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)) ∧ (∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤) ∧ ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : CommSemiring A'
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
r : R
h : eval₂ f (f r) p = 0
⊢ f (eval r p) = f 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ 1 ≤ ⨅ U, ⨅ (hU : IsOpen U), ⨅ (_ : ↑K₀ ⊆ U), (haarContent K₀).innerContent { carrier := U, is_open' := hU }
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : EuclideanGeometry.OrthocentricSystem s
⊢ ∃ r, ∀ (t : Affine.Triangle ℝ P), Set.range t.points ⊆ s → Affine.Simplex.circumradius t = r
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
h₁ : ContinuousOn f (spectrum R ((algebraMap R A) r))
x : R
hx✝ : x ∈ spectrum R ((algebraMap R A) r)
hx : x ∈ {r}
⊢ (spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f ⟨x, hx✝⟩ = (algebraMap R R) (f r)
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ 0 < rexp (log x * y)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid α
DistribMulAction α M
SMulCommClass α R M
a : α
S T : Submodule R M
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List α
i : Fin L.length
⊢ drop (↑i) (take (↑i + 1) L) = [L.get i]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.StrongEpi self.e
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
I : Function.Injective (f ∘ g)
⊢ Function.Injective g
n : Nat
a : Fin n
h : ↑a < n
⊢ a.castSucc.castLT h = a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ AssociatorBimod.homAux M (regular Y) N ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
⊢ Odd (a + 1 + a)
m n : ℕ
⊢ ↑(-[m+1].gcd ↑n) = -(↑m + 1) * -m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)
hb₂ : abv b₂ < max 1 (max K₁ K₂)
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f j) ((f i j hij) x) = (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i) x
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
n : ℕ
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i ⊆ ⋃ i, s i
x : ℝ
⊢ deriv Real.log x = x⁻¹
α : Type u
s : Set α
⊢ (∃ a, s = {a}) ↔ s.Nonempty ∧ s.Subsingleton
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)
⊢ P f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
⊢ (biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst) ≫ f = 𝟙 Y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
f : S →ₐ[A] S'
⊢ (aeval (f pb.gen)) (minpoly A pb.gen) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.inv g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.hom h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id W) g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id W) h)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
⊢ x = midpoint 𝕜 (x + y) (x - y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableAt 𝕜 f₂ x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (f₂ x).1) x = (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).comp (fderiv 𝕜 f₂ x)
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
⊢ (NumberField.InfinitePlace.mk φ).embedding = φ ∨
  (NumberField.InfinitePlace.mk φ).embedding = NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
posmeas : Set ι := {i | 0 < μ (As i)}
posmeas_def : posmeas = {i | 0 < μ (As i)}
as : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictAnti as
as_mem : ∀ (n : ℕ), as n ∈ Ioo 0 1
as_lim : Tendsto as atTop (𝓝 0)
fairmeas : ℕ → Set ι := fun n => {i | as n ≤ μ (As i)}
countable_union : posmeas = ⋃ n, fairmeas n
⊢ (⋃ n, fairmeas n).Countable
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂
⊢ (fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = Set.image2 (fun a b => f a + g b) ↑S ↑S'
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Finite α
⊢ univ.ncard = Nat.card α
n : ℕ
⊢ (Nat.bit false n).bitIndices = List.map (fun x => x + 1) n.bitIndices
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
f : E → 𝕜
inst✝¹ : MeasureSpace E
inst✝ : SigmaFinite volume
⊢ ∫ (x : ι → E), ∏ i : ι, f (x i) = (∫ (x : E), f x) ^ card ι
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
⊢ interior (f.extend I).target ⊆ interior (range ↑I)
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
f : α ⊕ β →₀ M
⊢ Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp f = (Finsupp.comapDomain Sum.inl f ⋯, Finsupp.comapDomain Sum.inr f ⋯)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : Finite ↑↑H
x : G
hx : ↑x ∈ MulAction.fixedPoints (↥H) (G ⧸ H)
ha : ∀ {y : G ⧸ H}, y ∈ orbit ↥H ↑x → y = ↑x
n : G
hn : n ∈ H
this : x⁻¹ * n * x ∈ H
⊢ x⁻¹⁻¹ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ
hf : Monotone fun n => ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
cf : ∀ (i : ℕ), C (f.coeff i) ∈ I
⊢ Ideal.span {g | ∃ i, C (f.coeff i) = g} ≤ I
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)
sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid α
DistribMulAction α M
SMulCommClass α R M
m : M
a : α
S : Submodule R M
⊢ m ∈ S → a • m ∈ a • S
p : ℝ
g : ℝ → ℝ
n₀ n : ℕ
⊢ AkraBazziRecurrence.sumTransform p g n₀ n = ↑n ^ p * ∑ u ∈ Finset.Ico n₀ n, g ↑u / ↑u ^ (p + 1)
α : Type u_1
⊢ AddOpposite.op ∘ AddOpposite.unop = id
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f' n x
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))
R : Type u_1
Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.opRingEquiv R) p).coeff n = MulOpposite.op ((MulOpposite.unop p).coeff n)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
⊢ (b * b⁻¹ * b⁻¹) • D a + -((a * (b ^ 2)⁻¹) • D b) = ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a + -(((b ^ 2)⁻¹ * a) • D b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D} (α : X ⟶ Y) (A : CommMon_ C),
  (((CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.mapCommMonFunctor C D).map α).app A).hom = α.app A.X
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ({ toFun := fun x => ↑(x.appr n), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x).cast = 0 ↔ { toFun := fun x => ↑(x.appr m), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x = 0
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : p ≤ q
⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
x : R
y : ↥M
⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) (IsLocalization.mk' Rₘ x y) = IsLocalization.mk' Sₘ ((algebraMap R S) x) ⟨(algebraMap R S) ↑y, ⋯⟩
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal S
h : I.IsPrime
⊢ (⊤.prod I).IsPrime
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (CategoryTheory.Subgroupoid.ker φ).IsNormal
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S : ValuationSubring K
x : K
⊢ g • x ∈ g • S ↔ x ∈ S
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
α : Type u₁
β : Type u₂
g : β → α
f : α → β
h : Function.LeftInverse g f
⊢ g ∘ f = id
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ S.W g ↔
  ∃ X f h,
    ∃ (_ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles),
      S.P X
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ (QuotientAddGroup.equivIcoMod hp a) 0 = ⟨toIcoMod hp a 0, ⋯⟩
K : Type u_1
DivisionRing K
CharZero K
a : ℕ
⊢ ↑(a.choose 2) = ↑a * (↑a - 1) / 2
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
⊢ g ∈ C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N : ℕ
h_B : B N ≤ ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
h_sub : eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop
⊢ ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, eLpNorm (f n - f b) p μ ≤ ε
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ ≠ a₂ → f a₁ ≠ f a₂
c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
h : n * a < n * b + n
⊢ n * a ≤ n * b
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∇ f x = 0
n : Type u_3
α : Type v
Sub α
A B : Matrix n n α
⊢ (A - B).diag = A.diag - B.diag
n : ℕ
⊢ ↑n ≠ 0 ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Set.SurjOn id s s
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.mulIndicator f ≤ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α × β
⊢ Set.Ici a = Set.Ici a.1 ×ˢ Set.Ici a.2
L : Type u_1
TopologicalSpace L
Inf L
self : ContinuousInf L
⊢ Continuous fun p => p.1 ⊓ p.2
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ Function.Bijective ⇑e
α : Type u_6
l : Filter α
R : Type u_7
AddCommMonoid R
ι : Type u_8
f : ι → α → R
s : Finset ι
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
hb : some b ∈ c
i : ℕ
ha : c i = some a
⊢ a = b
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ρ s ≤ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
α : Type u
MetricSpace α
⊢ LipschitzWith 2 fun p => Metric.infDist p.1 ↑p.2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
K : CompactExhaustion X
⊢ K.toFun = ⇑K
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
Nonempty Y
⊢ (ContinuousMap.const Y x₀).Homotopic (ContinuousMap.const Y x₁) ↔ Joined x₀ x₁
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
⊢ sInf (-s) = -sSup s
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ
⊢ Set.preimage f^[n] = (Set.preimage f)^[n]
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 5
hc : a / 2 = c
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat c b = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = -r
q : ℚ
f : ℚ → ℚ → ℚ
f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ
fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂
f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂
⊢ f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ = f₁ a b c d /. f₂ a b c d
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
DecidableEq n
v : n → α
⊢ ‖Matrix.diagonal v‖ = ‖v‖
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
ι : Sort u_1
f : ι → I.Filtration M
⊢ (iInf f).N = ⨅ i, (f i).N
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i
s : Finset ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
h : f ≤ g
a : ι
ha : a ∈ f.support
⊢ a ∈ g.support
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
l : List α
⊢ ‖l.prod‖₊ = (List.map nnnorm l).prod
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → S₁
y : m → S₂
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ (RingHom.id S₂) (y x✝¹) •> (RingHom.id S₁) (x x✝³) •> M x✝³ x✝¹ = x x✝³ •> y x✝¹ •> M x✝³ x✝¹
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Countable β
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hd' : Disjoint (⇑ofDual ⁻¹' s) (closure (⇑ofDual ⁻¹' t))
ha' : toDual a ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s
⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : C(β, γ)
f : C(α, β)
⊢ TopologicalSpace.Opens.comap (g.comp f) = (TopologicalSpace.Opens.comap f).comp (TopologicalSpace.Opens.comap g)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) T
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.proj S T).obj X = X.right
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass S R N
a : S
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (a • Q) x = a • Q x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 b p
G : Type u_3
AddGroup G
b : G
⊢ Function.Injective fun a => b - a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
⊢ WittVector.truncateFun n x.out = x