ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ ∀ x ∈ g.support, x ∉ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).support → h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = 1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Module R M
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type u_3
AddCommMonoid Q
Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), g₁ (f x) = g₂ (f x)
⊢ g₁ = g₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) 1 = 1
α : Type u_1
m : ℕ
i : Fin2 m
v : Vector3 α m
n : ℕ
w : Vector3 α n
⊢ v.append w (Fin2.left n i) = v i
x : ℝ
h0 : 0 < x
h1 : x < 1
⊢ Real.log x < 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : UpperSemicontinuousAt f y
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ 0 ≤ x.valMinAbs ↔ x.val ≤ n / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero β
Zero γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Function.Injective g
hg0 : g 0 = 0
⊢ g ∘ f ≠ 0 ↔ f ≠ 0
α : Type u_1
o : Part α
⊢ o = Part.none ↔ ∀ (a : α), a ∉ o
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E
x✝ : Finite ↑I
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, IsVonNBounded 𝕜 (s i)
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty σ
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ lim)
j : J
k : K
⊢ (limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ (limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫ limit.π (uncurry.obj F) (j, k) = (limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ limit.π (F ⋙ lim) j ≫ limit.π (F.obj j) k
α : Type u_2
SemilatticeSup α
t : Set α
⊢ ∅ ⊻ t = ∅
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : HahnSeries.order f ≤ n
⊢ f.coeff n = 0
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
⊢ ![P y ^ 2 / P x ^ 2 * (Q x ^ 2 / Q y ^ 2) * Q x, P y ^ 3 / P x ^ 3 * (Q x ^ 3 / Q y ^ 3) * Q y, 0] = ![P x, P y, 0]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ ¬↑n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β → σ
h : α → γ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
hh : Primrec₂ h
a : α
⊢ (bif (encode (f a)).bodd then Option.map (h a) (decode (encode (f a)).div2) else Option.map (g a) (decode (encode (f a)).div2)) = some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a))
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_sub : w ○ w ⊆ s
this : symmetrizeRel w ⊆ w
⊢ symmetrizeRel w ○ symmetrizeRel w ⊆ s
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mul_mem : ∀ (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → ∀ (m : A) (hm : m ∈ M), C i.succ (x * m) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
⊢ ∀ (hx : x ∈ M ^ n * M), C (n + 1) x ⋯
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
Finite l
DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (LinearMap.toMatrix v₂ v₃) f * (LinearMap.toMatrix v₁ v₂) g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
C : ℝ
h₀ : 0 ≤ C
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ C
⊢ Metric.diam s ≤ C
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hn : Function.IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.IsPeriodicPt f m x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Nontrivial R
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
x : G
⊢ x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup ↔ x ∈ AddCommGroup.torsion G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ ∀ {X Y : Mon_ (C ⥤ D)} (f : X ⟶ Y) (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.functor.map f).app X_1).hom = f.hom.app X_1
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
⊢ ∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      MeasureTheory.Integrable f μ → MeasureTheory.Integrable g μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → MeasureTheory.Integrable f μ → P f → P g
f : α → E
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ → P f
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ RingHom.ker (map f g) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)
M : Type u
LeftCancelMonoid M
a b : M
⊢ a = a * b ↔ b = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : Set β
⊢ Set.MapsTo f ∅ t
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a + (b - a) = b
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
⊢ α = β
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
⊢ (if m < n then (coeff R m) ↑f else 0) = (coeff R m) ↑f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ inv ((F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X) ≫ inv ((F.map (λ_ n).inv).app X) = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
hf : ∀ b ∈ t, Function.Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => Finset.image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
⊢ s.card ∣ (Finset.image₂ f s t).card
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_1
s : Set ι
b : Basis (↑s) R M
h : Module.rank R M < ℵ₀
⊢ s.Finite
α : Type u_1
a : α
⊢ (PMF.pure a).support = {a}
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
g : β → Option γ
s : Multiset α
⊢ Multiset.filterMap g (Multiset.map f s) = Multiset.filterMap (g ∘ f) s
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
⊢ ⇑0 = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : HasShift D M
inst✝³ : L.CommShift M
inst✝² : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n : M
X Y : C
f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y
a a' : M
h : n + a = a'
⊢ (F.shift a).map (L.map f ≫ (L.commShiftIso n).hom.app Y) ≫ (F.shiftIso n a a' h).hom.app (L.obj Y) = (e' a).hom.app X ≫ ((G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y) ≫ (e' a').inv.app Y
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ ∑ x ∈ s₂ \ s₁, f x + ∑ x ∈ s₁, f x = ∑ x ∈ s₂, f x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : a < 1
⊢ a < a⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiHomologicalComplexEquivalence C c).inverse =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.inverse
n : ℕ
⊢ ↑n = Int.ofNat n
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
x y : FractionRing R[X]
h : (map φ hφ) { toFractionRing := x } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }
⊢ { toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
i j : ι
hf : MeasureTheory.Adapted f u
hij : i ≤ j
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (u i)
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ ⊆ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
⊢ p⁻¹ * x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
f : ι → α
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ {i, j}.SupIndep f ↔ Disjoint (f i) (f j)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ (((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f).app A.obj ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom.app A.obj ((colimit.ι ((incl F).op ⋙ coyoneda) (Opposite.op A)).app A.obj (𝟙 A.obj))) = f.app A.obj A.pt
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
Y' : C
h : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso h
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectCompIso f h).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject (f ≫ h)).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow ≫ h
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
⊢ HasSum (fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (1 / (2 * a + 1)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a⁻¹))
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ.cycleType = 0 ↔ σ = 1
C : Type u_1
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} D
K L : CategoryTheory.Coverage C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C (K ⊔ L)) P ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C K) P ∧
    CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.Coverage.toGrothendieck C L) P
α : Type u
f : Filter α
P Q : Set α → Prop
hP : Antitone P
hQ : Antitone Q
⊢ ((∃ u ∈ f, P u) ∧ ∃ u ∈ f, Q u) ↔ ∃ u ∈ f, P u ∧ Q u
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L
⊢ (toFun n g).val = (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α
⊢ ((aeval f) g) x = eval (f x) g
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
(i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm = fun f => i.insertNth f.1 f.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ
⊢ UniformIntegrable (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) p μ
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a : A
s : ↥S
⊢ (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a s) = IsLocalization.mk' K a ⟨↑s, ⋯⟩
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)
⊢ ((CliffordAlgebra.lift Q) ⟨f, cond⟩).toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q = f
n m : ℕ+
⊢ m ∣ n.lcm m
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
⊢ ∅⁻¹ = ∅
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f a < f b ↔ a < b
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (MeasureTheory.squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s}) = MeasurableSpace.pi
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S
⊢ finrank R ↥S = 0 ↔ S = ⊥
a b : EReal
⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
e : K ≌ J
α : e.functor ⋙ F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e α).functor =
  CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.functor ⋙ CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.hom
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
⊢ a ∈ g⁻¹ • s ↔ a ∈ s
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (-a).imK = -a.imK
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (0 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = 0 i ⊗ₜ[R] g k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ (s ∪ s') ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s' ×ˢ t
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝[≥] a).HasBasis (fun u => a < u) fun u => Set.Ico a u
a b c : ℚ
⊢ c + a ≤ c + b ↔ a ≤ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s t : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y
f : α → WithTop α := fun x => (filter (fun y => x < y) t).min
⊢ s.card ≤ t.card + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
f : M → M'
hf : MDifferentiableOn I I' f s
hd : ∀ x ∈ s, DenseRange ⇑(mfderivWithin I I' f s x)
⊢ UniqueMDiffOn I' (f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N K : Bimon_ C
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
⊢ ∑ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ x ∈ I, t x), f a = ∑ᶠ (i : ι) (_ : i ∈ I) (j : α) (_ : j ∈ t i), f j
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0
⊢ p ∣ c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
⊢ u ~[l] u
α : Type u
CommSemiring α
LinearOrder α
a d : α
PosMulMono α
MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
⊢ max (a * b) (d * c) ≤ max a c * max d b
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
hb' : Odd (b % (4 * a))
⊢ J(↑a | b) = J(↑a | b % (4 * a))
z : Complex.UnitDisc
⊢ z.conj.im = -z.im
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
⊢ ∀ b ∈ s.erase a, Commute a b
a : ℤ
ha0 : 0 < a
⊢ (Int.natAbs 1).Coprime a.natAbs
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
p : ↥(Algebra.adjoin R s) → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(Algebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(Algebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
x : ↥(Algebra.adjoin R s)
⊢ p x
p : ℕ
⊢ p.maxPowDiv 0 = 0
X Y Z : Type u
CommRing X
CommRing Y
CommRing Z
f : X →+* Y
g : Y →+* Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑(g.comp f)
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
i j : ι
⊢ X.op.d i j = (X.d j i).op
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
s : Set α
⊢ closure s = s
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
⊢ μ s ≤ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f : A ⟶ B
h : CategoryTheory.Epi f.right
⊢ CategoryTheory.Epi f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
⊢ y • 1 ≤ gauge s ↑⟨y • x₀, hx⟩
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
r : R
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] (algebraMap R (⨁ (i : ι), ℬ i)) r) = (algebraMap R (⨁ (i : ι), ℬ i)) r ⊗ₜ[R] a
n : ℕ
NeZero n
i : Fin n
⊢ Fin.predAbove 0 i.succ = i
G : Type u_1
Group G
hG : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
⊢ lowerCentralSeries G n = ⊥ ↔ Group.nilpotencyClass G ≤ n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
s : Set α
c : α
⊢ ∀ (a : ℝ), sᶜ ⊆ closedBall c a ↔ (closedBall c a)ᶜ ⊆ s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x = (y :: l).getLast ⋯
hl : l.Nodup
⊢ (y :: l).getLast ⋯ ∉ (y :: l).dropLast
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse)).prod = cs.wordProd ω
K : Type u_1
RCLike K
n : ℤ
⊢ RCLike.re ↑n = ↑n
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
I : Set η
H : (i : η) → Subgroup (f i)
J : Subgroup ((i : η) → f i)
⊢ J ≤ Subgroup.pi I H ↔ ∀ i ∈ I, Subgroup.map (Pi.evalMonoidHom f i) J ≤ H i
α : Type u_1
β : α → Type u_4
γ : Type u_7
Nonempty γ
a b : α
f : γ → β a
g : γ → β b
h : Sigma.mk a ∘ f = Sigma.mk b ∘ g
⊢ a = b ∧ HEq f g
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
i j : J
φ : i ⟶ j
n : ι
⊢ 𝟙 (limit (F ⋙ eval C c n)) ≫ limit.π (F ⋙ eval C c n) j = limit.π (F ⋙ eval C c n) i ≫ (F.map φ).f n
m n k : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' false m (n + k) = Nat.shiftLeft' false (Nat.shiftLeft' false m n) k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z Z' : C → Prop
h : ∀ ⦃X : C⦄, Z X → Z' X
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.FullSubcategory Z} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.FullSubcategory.map h).map f = f
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
⊢ Memℓp (f + g) p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y
⊢ adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g) ≫ f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) ≫ G'.map g