ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₂ p₁' p₁
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
i : ι
⊢ ((b.prod b') (Sum.inl i)).2 = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
r : ℝ
⊢ (↑(NumberField.Units.unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
a b : UInt8
⊢ a < b ↔ a.val < b.val
x : ℂ
y : ℝ
⊢ (x ^ ↑y).im = Complex.abs x ^ y * Real.sin (x.arg * y)
m : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ ↑n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W
I : Finset (X × Y)
hIW : ∀ x ∈ I, x ∈ W.carrier
hWI : W.carrier ⊆ ⋃ x ∈ I, ↑(U x) ×ˢ ↑(V x)
⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
x : A
⊢ 1 x = x
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).hom ≫ TopCat.prodFst = CategoryTheory.Limits.prod.fst
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
i : ι
j : ι
x : β i
⊢ ((DirectSum.of β i) x) j = if h : i = j then Eq.recOn h x else 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x' : α
hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * x' * y
⊢ p * p ^ (i + 1) ∣ p * x'
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
I : FractionalIdeal S P'
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P') ((FractionalIdeal.canonicalEquiv S P' P) I) = I
α : Type u_2
Lattice α
L M : Sublattice α
h : L ≤ M
a : ↥L
⊢ (Sublattice.inclusion h) a = Set.inclusion h a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
Y : Dᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.opAdjointOpOfAdjoint F G h).counit.app Y =
  (CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (F.obj (G.obj (Opposite.unop Y)))) Y).symm
    (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫
      F.map
        ((CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (G.obj (Opposite.unop Y)))
            (Opposite.op (G.toPrefunctor.1 (Opposite.unop Y))))
          (𝟙 (Opposite.op (G.obj (Opposite.unop Y))))))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofInv s hs).map L hL) (L.map s) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ AhlswedeZhang.infSum (𝒜 ∪ ℬ) + AhlswedeZhang.infSum (𝒜 ⊻ ℬ) = AhlswedeZhang.infSum 𝒜 + AhlswedeZhang.infSum ℬ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' [a + b-[𝕜]a + c] = [b-[𝕜]c]
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : R[X]
self : IsAdjoinRoot S f
⊢ Function.Surjective ⇑self.map
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c
⊢ Rel R X (b + a) (c + a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
g : ℝ → E := fun u => rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
hfx : ContinuousAt g (-Real.log x)
⊢ mellinInv σ (mellin f) x = f x
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)
⊢ c ^ n * u 0 < u n
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeInf α
f : Filter β
u v : β → α
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u →
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f v → Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun a => u a ⊓ v a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ' : Δ'' ⟶ Δ'
θ : Δ' ⟶ Δ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')
A : Splitting.IndexSet Δ''
fac : θ.unop ≫ θ'.unop ≫ A.e = (θ' ≫ θ).unop ≫ A.e
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map (θ' ≫ θ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ' ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ ker (rTensor N' g)
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a + b < 2 • c
⊢ min a b < c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c < b
x : α
xs : x ∈ s
cx : c < x
xb : x ≤ b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t ↔ s ⊆ t
a : ℤ
b : ℤ
hb : 0 < b
⊢ ∃ z, 0 ≤ z ∧ z < b ∧ z ≡ a [ZMOD b]
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
⊢ (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q a : R[X]
⊢ a.toFinsupp = 0 ↔ a = 0
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
f : F
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.map f S).toNonUnitalSubalgebra = NonUnitalSubalgebra.map f S.toNonUnitalSubalgebra
α : Type u_1
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ s(a, b).inf = a ⊓ b
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ Continuous ⇑f
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ (g • w).toList = w.toList
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ‖fderiv ℝ (fun x => ‖x‖ ^ p) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 1
hn' : ↑n ≠ 0
A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n
B : (↑x * ↑n) ^ (s - 1) = ↑x ^ (s - 1) * ↑n ^ (s - 1)
⊢ ↑n ^ (s - 1) * ↑n * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ n) = ↑n * ((1 - ↑x) ^ n * (↑x ^ (s - 1) * ↑n ^ (s - 1)))
G : Type u_3
Monoid G
a : G
n : ℕ
⊢ (fun x => x * a)^[n] = fun x => x * a ^ n
α : Sort u_1
s : Setoid α
⊢ Nonempty (Quotient s) ↔ Nonempty α
r : ℝ
hn : r < 0
⊢ 0 ≤ r.sign * r
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ↑‖∫ (x : X) in s i \ S, f x ∂μ‖₊ ≤ ↑ε
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ⊔ Booleanisation.comp b = Booleanisation.comp (b \ a)
R : Type u_1
MulZeroClass R
Nontrivial R
⊢ ¬IsRegular 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m : ℕ
a : α
⊢ (replicate m a ++ [a]).getLast ⋯ = a
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
⊢ sq.left ≫ (inv sq).left = 𝟙 f.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => c • hf.approx n) n)) < ⊤
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Liftr r x y
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : C
S : CategoryTheory.Sieve X
f : Y ⟶ X
⊢ S ∈ self.sieves X → CategoryTheory.Sieve.pullback f S ∈ self.sieves Y
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
a : G
h : ∀ (a' : G), AddCommute a a'
f : AddMonoidAlgebra k G
⊢ Commute (AddMonoidAlgebra.of' k G a) f
α : Type u_1
MonoidWithZero α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ n
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ π : Ω → ι
AddGroup ι
TopologicalSpace ι
MeasurableSpace ι
BorelSpace ι
OrderTopology ι
MeasurableSingletonClass ι
SecondCountableTopology ι
MeasurableSub₂ ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = π ω}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
TopologicalSpace γ
t : Set γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
g : γ → α
hg : Set.MapsTo g t s
cg : ContinuousOn g t
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p t
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ (s.sup' H fun x => a) = a
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
e : α ≃o β
⊢ e.withTopCongr.symm = e.symm.withTopCongr
A : Type u_2
AddMonoid A
TopologicalSpace A
i : A
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.diag A) i =
  ((ContinuousAddMonoidHom.id A).toAddMonoidHom i, (ContinuousAddMonoidHom.id A).toAddMonoidHom i)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : R' → R
j : M →+ M₁
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R' M₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
hg : Set.EqOn f g s
⊢ AnalyticOn 𝕜 g s
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ b ∈ Set.Ico a b ↔ False
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SequentialSpace X
M : Set X
⊢ IsSeqClosed M ↔ IsClosed M
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (nodal s v).degree = ↑s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosMono α γ
b : β
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 ≤ f b
⊢ a₁ • f b ≤ a₂ • f b
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ ‖0‖ = 0
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SecondCountableTopology H
SigmaCompactSpace M
⊢ SecondCountableTopology M
α : Type u
self : SemilatticeInf α
a b c : α
⊢ a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
φ : (L.withConstants α).BoundedFormula β n
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ↔ φ.Realize v xs
x y z : PGame
⊢ ⟦(x + y) * z⟧ = ⟦x * z⟧ + ⟦y * z⟧
n m : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ m →. ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ n → Mathlib.Vector ℕ m
hf : Nat.Partrec' f
hg : Nat.Partrec'.Vec g
⊢ Nat.Partrec' fun v => f (g v)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
a : Fin n
⊢ w a • ↑(hT.eigenvalues hn a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a = (↑(hT.eigenvalues hn a) * w a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
Finite m
Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (Matrix.stdBasisMatrix i j x)
⊢ P M
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(I * J) = ↑I * ↑J
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
p : K → Prop
x : K
h : x ∈ Subfield.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
f : ↥(LieModule.maxTrivSubmodule R L (M →ₗ[R] N))
⊢ ↑(LieModule.maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom f) = ↑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.radius = ⊤ ↔ ∀ (r : ℝ≥0), Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_5
s : Set ι
f : ι → α
a : α
hs : s.Nonempty
hf : BddBelow (f '' s)
⊢ a ≤ ⨅ i, f ↑i ↔ ∀ i ∈ s, a ≤ f i
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : μ' t - ν s ≤ μ' t - μ' s
B : μ' t = ν t
⊢ μ' t ≠ ⊤
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x - ↑Real.pi) = -Complex.cos x
M : Type u_1
Monoid M
a x y : Mˣ
h : SemiconjBy ↑a ↑x ↑y
⊢ SemiconjBy a x y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝
⊢ val✝¹ < val✝ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Monoid α
ContinuousMul α
⊢ Continuous List.prod
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
n m : ℕ
a b c : Fin n
⊢ a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
f' : X₂ ⟶ X₃
Y : C
α : ↑(({ obj := fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n, map := fun {X₁ X₂} f => { app := fun Y => AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯), naturality := ⋯ } }.obj X₁).obj Y)
⊢ 0 + n = n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T (f - g) =
  MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f - MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T g
α : Type u_1
as : Array α
h : as.size ≠ 0
⊢ ∃ bs c, as = bs.push c
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩
⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
⊢ lowerCentralSeries R L M l ≤ lowerCentralSeries R L M m
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
inhabited_h✝ : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
A : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
B : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q
⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = ghDist X Y
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((h.F m₃).map ((h.add m₁ m₂).inv.app X)) ((h.add (m₁ + m₂) m₃).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((h.add m₂ m₃).inv.app ((h.F m₁).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((h.add m₁ (m₂ + m₃)).inv.app X) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ
⊢ p.obj b✝ = p.obj b✝
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : G ≃+ N
⊢ AddSubgroup.map f.toAddMonoidHom H.normalizer = (AddSubgroup.map f.toAddMonoidHom H).normalizer
xl xr : Type u
x y z : PGame
h₁ : ¬y ≤ x
h₂ : y ≤ z
⊢ ¬z ≤ x
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), ⟦a⟧ ∈ powersetCardAux n l ↔ ⟦a⟧ ≤ ↑l ∧ card ⟦a⟧ = n
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
⊢ ∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x y : V
⊢ midpoint R 0 (x + y) = midpoint R x y
m k n : ℕ
⊢ (∃ y, m * y + k = n) ↔ ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
R : Type u_1
CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ
⊢ (Multiset.map f s.val).esymm n = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α) x * (equivShrink α) y
y : Int
⊢ Lean.Omega.IntList.set [] 0 y = [y]
n : ℤ
z τ : ℂ
f : ℂ × ℂ → ℂ := fun p => 2 * ↑π * I * ↑n * p.1 + ↑π * I * ↑n ^ 2 * p.2
⊢ HasFDerivAt f ((2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) (z, τ)
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
hf' : Nat.Prime (orderOf f)
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : n < orderOf f
⊢ (f ^ n).IsCycle
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : ∀ (g : M), g * a = a * g
⊢ ∀ (g : M), g * ⅟a = ⅟a * g
p n : ℕ
R : Type u_1
x : 𝕎 R
i : Fin n
⊢ TruncatedWittVector.coeff i (WittVector.truncateFun n x) = x.coeff ↑i
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a = quasispectrum S a