ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
sXY : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit sXY
sYZ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan Y Z
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X sYZ.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.assocInv P s).snd = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.snd sYZ.snd
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ ((((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv) ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X) ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom) ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv = (α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullback.fst f g) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (LightProfinite.pullback.snd f g) g
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
c : α
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x + c) s
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
CategoryTheory.Epi p.unop
⊢ ↑(A.epiComp p).snd = p.unop ≫ A.e
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
e : CategoryTheory.Bicategory.Equivalence a b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag e.unit.hom e.counit.hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor e.hom).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor e.hom).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d b a c : α
⊢ b - a - c = b - (a + c)
X : Type u_1
⊢ OnePoint.infty ∉ Set.range OnePoint.some
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : a ≤ b
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ ∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ {a} ∪ s = insert a s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
this : 0 < ‖1‖
⊢ ‖1‖ = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range n, f i / f (i + 1) = f 0 / f n
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = (∏ i : Fin a, f (castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (natAdd a i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
self : R.Extensive
⊢ ∃ α,
  ∃ (_ : Finite α),
    ∃ Z π,
      R = CategoryTheory.Presieve.ofArrows Z π ∧
        Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk X π))
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ DirSupClosed (Set.Iic a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ interior s ∈ 𝓝 x ↔ s ∈ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (ContinuousLinearMap.proj i) s' f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.cosh (f x)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ
⊢ ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) =ᶠ[ae μ] ↑f
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ x = mk' K (↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩) (sec (nonZeroDivisors A) x).2
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).inv.app X =
  (F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X ≫
    (F.shiftIso n a a' ha').inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj X) ≫
      (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
⊢ (CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ∀ y ∈ rootSpace H (-0), ((killingForm K L) (⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α')) y = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
f g : (i : ι) → π i
DecidableEq ι
i : ι
⊢ {i}.piecewise f g = Function.update g i (f i)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
⊢ (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ₁ ψ₂ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
hψ₁ : B.IsAdjointPair B ψ₁ φ
hψ₂ : B.IsAdjointPair B ψ₂ φ
⊢ ψ₁ = ψ₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
val✝ : Fintype ι
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
⊢ NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K I < ⊤
n : ℕ∞
⊢ Cardinal.toNat ↑n = n.toNat
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
ε' : ℝ≥0∞
hε' : 0 < ε'
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => ε ∈ Set.Ioo 0 ε') fun ε => {p | edist p.1 p.2 ≤ ε}
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ ∃ x, IsLeast s x
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
l : ℕ
hl : ζ ^ (a * l) = 1
⊢ b ∣ l
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a * b ≤ 0
hb : b < 0
⊢ 0 ≤ a
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
⊢ (a.2.1 ∈ t ∧ a.2.2 ∈ t) ∧ a.1.1 * a.2.1 = a.1.2 * a.2.2 ↔ ∃ a_1 a_2 b, (a_2 ∈ t ∧ b ∈ t) ∧ f (a_1, a_2, b) = a
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
⊢ M * N = AddSubmonoid.closure (↑M * ↑N)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (-f) = -MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f
R : Type u
Semiring R
⊢ 0 ≤ Polynomial.trailingDegree 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
⊢ ∃ p, ↑s1 ∩ ↑s2 = {p}
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
a b : α
h : f a < f b
⊢ a < b
q : ℚ
⊢ closure (Rat.cast '' {x | q < x}) = {r | ↑q ≤ r}
α : Type u
MetricSpace α
x y : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ dist x y = Metric.hausdorffDist ↑x ↑y
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x✝ y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ¬SameRay R x (-x)
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
FaithfulVAdd G α
g h : G
ne_one : g ≠ 0
disjoint : Disjoint (AddAction.fixedBy α g)ᶜ (h +ᵥ (AddAction.fixedBy α g)ᶜ)
⊢ ¬AddCommute g h
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : I.IsPrime
⊢ (⊤.prod I).IsPrime
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ (PiTensorProduct.mapL fun i => (g i).comp (f i)) = (PiTensorProduct.mapL g).comp (PiTensorProduct.mapL f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v x < v y
⊢ v (x - y) = v y
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
b : B
h : Inducing (↑(a.pretrivializationAt b) ∘ Bundle.TotalSpace.mk b)
⊢ Inducing (Bundle.TotalSpace.mk b)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ w.IsReal ∨ ¬w.IsReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Over Y) (CategoryTheory.Over X)
h : ∀ (f : CategoryTheory.MonoOver Y), CategoryTheory.Mono (F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)).hom
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.lift F h).comp (CategoryTheory.MonoOver.forget X) = (CategoryTheory.MonoOver.forget Y).comp F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
n : ℤ
⊢ Int.bit n.bodd n.div2 = n
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ ⊤ • N = N
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
⊢ (∏ x ∈ finPairsLT n, if 1 x.fst ≤ 1 x.snd then -1 else 1) = 1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
R : CommRingCatᵒᵖ
f : X ⟶ AlgebraicGeometry.Scheme.Spec.obj R
⊢ (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.homEquiv X R).symm f =
  (AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X.toLocallyRingedSpace R).symm f
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : s ×ˢ t = ∅
⊢ s ×ˢ t ⊆ s₁ ×ˢ t₁ ↔ s ⊆ s₁ ∧ t ⊆ t₁ ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ X.σ j ≫ X.δ i = X.δ (i.pred ⋯) ≫ X.σ (j.castLT ⋯)
α β : Type u
Fintype α
Zero β
⊢ Cardinal.mk (α →₀ β) = Cardinal.mk β ^ Fintype.card α
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ Module.DirectLimit.totalize G f i j = f i j h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f
w✝ : K[X]
left✝ : w✝.Monic
hi : Irreducible w✝
h : f ∣ map (algebraMap K L) w✝
⊢ f.Separable
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (colim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⇑Monoid.AddEquiv.coprodUnit.symm = ⇑AddMonoid.Coprod.inl
α : Type u_3
MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
L.NeBot
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ MeasurableSet A
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A X Y : Matrix n' n' R
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
m : ℤ
⊢ SemiconjBy A (X ^ m) (Y ^ m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ last n ∉ map castSuccEmb univ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s1
⊢ p ∈ s1 ↔ p ∈ s2
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.697927) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ cfc f a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
ι : Type u_1
M : Type u_4
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
f g : ι → M
s : Finset ι
Hlt : ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
α : Type u_1
CommMonoid α
n : ℕ
x : α
⊢ ∏ _i : Fin n, x = x ^ n
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a + b).imK = a.imK + b.imK
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.xz a1 n * Pell.xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * Pell.yz a1 n * Pell.yz a1 n = 1
R : Type u
CommRing R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
Coalgebra R X
⊢ Coalgebra.counit = Coalgebra.counit
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u : κ → α → R
s : Finset κ
aux : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≥ x_1
⊢ (∀ k ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u k)) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderBot α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
⊢ Integrable f μ
op : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a o : Ordinal.{u_1}
hao : a < o
ho : Ordinal.Principal op o
⊢ Ordinal.nfp (op a) a ≤ o
w k : Nat
x y : BitVec w
⊢ BitVec.truncate k (x ^^^ y) = BitVec.truncate k x ^^^ BitVec.truncate k y
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
x : ℝ
⊢ f' x < 0
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s : Set α
a : α
⊢ BddBelow s → BddBelow (insert a s)
R : Type u
Group R
StarMul R
x : R
⊢ star x⁻¹ = (star x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
X : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i
nothing : ⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i = ∅
key : Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
c : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.widePullbackDiagramOfDiagramOver B F)
⊢ ((CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivFunctor B F).obj c).pt = CategoryTheory.Over.mk (c.π.app none)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set (NonUnitalSubsemiring R)
⊢ (sInf s).toSubsemigroup = ⨅ t ∈ s, t.toSubsemigroup
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ ∪ s = Set.univ
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ ∀ (a : Mᵃᵒᵖ), (AddHom.op f) a = (AddOpposite.op ∘ ⇑f ∘ AddOpposite.unop) a
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ (RingEquiv.refl L) ↑↑t = ↑(↑t ^ ZMod.val 1)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
n : ℤ
⊢ ∀ (x : α), (zpowGroupHom n) x = x ^ n
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
LocallyCompactSpace X
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ ↔ ∀ (k : Set X), IsCompact k → MeasureTheory.IntegrableOn f k μ
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.snd (𝟙 X ≫ f) U.ι) ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι U.ι (𝟙 X ≫ f)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f ⊤ (μ.restrict s)
hg : Memℒp g ⊤ (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬⊤ = 0
⊢ eLpNorm (s.piecewise f g) ⊤ μ < ⊤
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : IsUnifLocDoublingMeasure μ
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (Metric.closedBall x (2 * ε)) ≤ ↑C * μ (Metric.closedBall x ε)
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ y₂ x₂ : U
p₂ : Path u x₂
e₂ : x₂ ⟶ y₂
h : φ.obj u = φ.obj y₂ ∧ HEq Path.nil ((φ.mapPath p₂).cons (φ.map e₂))
⊢ ⟨u, Path.nil⟩ = ⟨y₂, p₂.cons e₂⟩
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
⊢ AddMonoidHom.ker f = ⊥
d₁ d₂ : ManyOneDegree
⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₁ → d₁ = d₂
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
⊢ sSup {a} = a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod) x
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Sup β
f g : SupHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l.size l' ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r' r.size ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.balanceR x r) o₂
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ i ∉ Finset.univ → M j i * (Finsupp.single i 1) i = 0
α : Type u
c : Computation α
⊢ (HOrElse.hOrElse c fun x => Computation.empty α) = c
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
β γ : Type v
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map (f.partBind g)) =
  OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map f) >>= OmegaCompletePartialOrder.ωSup (c.map g)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a : R
⊢ a • p = Polynomial.C a * p
m k n : Nat
H : m.Coprime (k * n)
⊢ m.Coprime n
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 ≤ o.card ↔ 1 ≤ o
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ Real.logb b x < Real.logb b y ↔ y < x
c d a b : ℕ
⊢ Zsqrtd.Nonnegg c d (↑a) (-↑b) ↔ Zsqrtd.SqLe b c a d
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x - y) * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - y ^ n
b n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : n ≤ b
⊢ Nat.clog b n = 1