ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K
⊢ p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsLocalMax f a
g : α → γ
hg : IsLocalMax g a
⊢ IsLocalMax (fun x => op (f x) (g x)) a
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = Finsupp.sum f fun a b => b * g (a⁻¹ * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
⊢ Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
α : Type u_1
ι : Type u_4
LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬Pairwise (Disjoint on f)
⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
x✝ y✝ x y : ℝ
⊢ √x / x = 1 / √x
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
this : Fintype ↥G
hsG : ∀ (g : ↥G), g +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.LocalPredicate T
⊢ (TopCat.subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsSheaf
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ edist x y ≤ EMetric.diam s
α : Type u
⊢ Function.Injective FreeCommRing.of
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝[≠] 0) (𝓝[≠] x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
A : ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : α × β), AEMeasurable.mk f hf z ∂μ.prod ν
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.fst x, AddMonoid.Coprod.snd x) = AddMonoid.Coprod.toSum x
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Ioc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (Multiset.count i t + 1 - Multiset.count i s) - 1
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a
⊢ a * (⅟a * b) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Int.fract ⁻¹' s)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
X Y : CategoryTheory.Subobject B
h₁ : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ X
h₂ : X ≤ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f X h₁) (X.ofLE Y h₂) =
  CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f Y ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
⊢ Set.exposedPoints 𝕜 ∅ = ∅
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
k : ℕ
⊢ C r ^ k = 0 ↔ r ^ k = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
⊢ (Polynomial.idealX K).valuation P = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑P
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑(2 * n + 1) ≠ 0
⊢ (W.preΨ' (2 * n + 1)).coeff (((2 * n + 1) ^ 2 - if Even (2 * n + 1) then 4 else 1) / 2) ≠ 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
⊢ ((presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F) = (((presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Tendsto f cofinite (cocompact Y) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → (f ⁻¹' K).Finite
m n₁ n₂ : ℕ
⊢ ack m n₁ < ack m n₂ ↔ n₁ < n₂
K : Type u_4
A : Type u_5
CommRing A
Field K
Algebra K A
Nontrivial A
⊢ AlgebraicIndependent K Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x y : α × β
⊢ (G □ H).Adj x y ↔ G.Adj x.1 y.1 ∧ x.2 = y.2 ∨ H.Adj x.2 y.2 ∧ x.1 = y.1
R : Type u_3
A : Type u_4
Neg R
AddGroup A
r : R
⊢ Unitization.inl (-r) = -Unitization.inl r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
h₁ : 0 ≤ ↑s v
h₂ : 0 ≤ ↑s (w \ v)
⊢ ↑s v = 0
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
⊢ ∀ (a : p.Gal), (galActionHom p E) a = 1 → a = 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id))
a₂ : ℕ
a₁ : ℕ
h : 0 < a₂
⊢ 0 < a₁ + a₂
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p f g : R[X]
hf : (toContinuousMapOnAlgHom s) f ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
hg : (toContinuousMapOnAlgHom s) g ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (f + g) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
CommSemiring R
e : σ ≃ τ
a : ↥(MvPolynomial.symmetricSubalgebra σ R)
⊢ ↑((MvPolynomial.renameSymmetricSubalgebra e) a) = (MvPolynomial.rename ⇑e) ↑a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
hf : UpperSemicontinuous f
hg : Continuous g
⊢ UpperSemicontinuous fun x => f (g x)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in Set.Ioc b a, f x ∂μ
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : True → M
⊢ ∑ᶠ (i : True), f i = f trivial
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s ∩ (t \ u) = (s ∩ t) \ (s ∩ u)
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x
⊢ x.insertLeft x' ≤ x ∧ x ≤ x.insertLeft x'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
hst : s ⊆ t
hft : f ⁻¹' t = toMeasurable μ (f ⁻¹' s)
⊢ (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
K : Set G
Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K
⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) K ∧ r < μ K
n : ℕ
⊢ (ComplexShape.down ℕ).ε n = (-1) ^ n
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal (n + 2) =
  Finset.cons (0, n + 2)
    (Finset.cons (n + 2, 0)
      (Finset.map
        ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })
        (Finset.antidiagonal n))
      ⋯)
    ⋯
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
m m' : OuterMeasure α
s : Set β
⊢ ((map f) (m ⊔ m')) s = ((map f) m ⊔ (map f) m') s
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm (↑↑f) 2 μ
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
k✝ : K'
s✝ : Option Γ' → Option Γ'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.push k✝ s✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
h₁ : Λ'.push k✝ s✝ q ∈ S
h₂ : trStmts₁ q ⊆ S
h₃ : q ∈ S
⊢ Supports (insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)) S
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
⊢ μ (Metric.ball x r) = μ (Metric.ball 0 r)
q₁ q₂ : ℚ
⊢ (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den) ∣ q₁.den * q₂.den
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
⊢ MeasureTheory.Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x • g x) μ
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
q₁ q₂ : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
⊢ q₁ ∈ Turing.TM1.stmts₁ q₂ → Turing.TM1.stmts₁ q₁ ⊆ Turing.TM1.stmts₁ q₂
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
h : a * b < c * d
hc : 0 < c
hh : c ≤ a
⊢ b < d
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
s : Set ℂ
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ derivWithin (fun x => Complex.cosh (f x)) s x = Complex.sinh (f x) * derivWithin f s x
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ ∀ (x : β), (f 0) x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E
⊢ (reflection ⊥) x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜) x✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => c) x = 0
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
⊢ HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
a : I.L
⊢ I.multispan.map (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.Hom.fst a) = I.fst a
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
f f' : A ⥤ ((i : I) → C i)
h : ∀ (i : I), f ⋙ Pi.eval C i = f' ⋙ Pi.eval C i
⊢ f = f'
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : ↥K'
⊢ x ∈ ofLe h ↔ ↑x ∈ K
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker ↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.toPrepartition ≤ π₀ ∧ π.iUnion = π₀.iUnion
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
(↑P).FiniteIndex
⊢ (MonoidHom.transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ ⥤ C} (α : X ⟶ Y) (X_1 : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).map α).app X_1 = H.map (α.app X_1)
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
e : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) (CompHausLike.finiteCoproduct.desc X e) = e a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => 0) μ
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
ppredA predA : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_num_eq : g.nums n = ppredA
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA
⊢ g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredA
R : Type v
CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ Quaternion.normSq ↑x = x ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
G.PreservesZeroMorphisms
i : F.comp G ≅ CategoryTheory.Functor.id C
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits G
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernels C
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l
ix : ℕ
hix✝ : ix < (take k l).length
hix : ix < min k l.length
hx : (take k l)[ix] ∈ take k l
⊢ r l[ix] l[k + iy]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : ∀ (a : Pseudoelement P), pseudoApply f a = 0
⊢ 𝟙 P ≫ f = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod D
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
F.ReflectsMonomorphisms
⊢ CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⊔ a ∆ b = a ⊔ b
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g✝ g : G
H : Subgroup G
⊢ zpowers g ≤ H ↔ g ∈ H
X : Type u_4
TopologicalSpace X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
hf : LocallyFinite fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f n y = F y
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b) μ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : F.Faithful
α : F ≅ F'
X✝ Y✝ : C
a₁✝ a₂✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : F'.map a₁✝ = F'.map a₂✝
⊢ F.map a₁✝ = F.map a₂✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ MeasurableSet (MeasureTheory.Egorov.iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
n : ℕ∞
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f
hg : ContMDiff I 𝓘(𝕜, V) n g
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, V) n fun p => f p • g p
N : Type u_2
AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → N
⊢ ∑ p ∈ Finset.antidiagonal (n + 1), f p = f (n + 1, 0) + ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, f (p.1, p.2 + 1)
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p
⊢ ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (p / q) ≤ a ^ p + b ^ p
ψ θ : ℝ
⊢ -ψ + θ ∈ AddSubgroup.zmultiples (2 * π) ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (F ⊓ comap f G) = map f F ⊓ G
x y : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
⊢ Surreal.mk (x - y) ⋯ = Surreal.mk x hx - Surreal.mk y hy
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]
⊢ ∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (0 * b₂)) = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
hef₀ : ((killingForm K L) e) f ≠ 0
⊢ (2 • (α α')⁻¹ * (((killingForm K L) e) f)⁻¹) • h = coroot α
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s ≤ᶠ[ae μ] t
⊢ μ (s ∪ t) = μ (t ∪ s \ t)
α : Type u_1
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
X Y : Set α
hX : X ⊆ S
hY : Y ⊆ S
⊢ sSup X ≤ sSup Y ↔ X ⊆ Y
m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Odd ↑n ↔ Odd n
α : Type u_1
Preorder α
L S : TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α
Topology.IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a ∧ a ≤ ↑(⌊a⌋ + 1)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
s : CauSeq β abv
⊢ s ≈ CauSeq.const abv s.lim
K : Type u
inst✝ : CommRing K
x✝¹ x✝ : RatFunc K
toFractionRing✝¹ toFractionRing✝ : FractionRing K[X]
⊢ { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
p : Set α → Prop
⊢ (∀ (a : Set α), p a) ↔ ∀ (a : Set β), p (⇑e ⁻¹' a)
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
S : Submodule R M₂
S' : Submodule R M₄
⊢ Submodule.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (Submodule.comap f S).prod (Submodule.comap g S')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(MeasureTheory.AEEqFun.comp₂ g hg f₁ f₂) =ᵐ[μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)