ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n
h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j
⊢ xn a1 n * xn a1 (n - j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n - j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]
A : Type u_1
AddMonoid A
a b : A
⊢ a + b = a + b
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a \ ⊥ = a
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + ↑n
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex (CategoryTheory.Functor J C)} (φ : X ⟶ Y) (j : J),
  ((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.functor J C).map φ).app j =
    ((CategoryTheory.evaluation J C).obj j).mapShortComplex.map φ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
CompactSpace α
f g : C(α, β)
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact (f - g) =
  BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f - BoundedContinuousFunction.mkOfCompact g
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ r.den.Coprime p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A : T.Algebra
⊢ CategoryTheory.Monad.Algebra.Hom.id A = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
⊢ ↑b.parallelepiped = parallelepiped ⇑b
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsClopen s ↔ frontier s = ∅
⊢ Set.InjOn Real.cos (Set.Icc 0 Real.pi)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
⊢ Filter.map (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I c ⊤) ≤ l.toFilterDistortioniUnion J (max c π₀.compl.distortion) π₀
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (A₁.fromColumns A₂).transpose = A₁.transpose.fromRows A₂.transpose
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
h : ContinuousAt f x
⊢ UpperSemicontinuousAt f x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : UpperSemicontinuous f
gmon : Monotone g
⊢ UpperSemicontinuous (g ∘ f)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Multiset.Rel Associated (UniqueFactorizationMonoid.factors (x * y))
  (UniqueFactorizationMonoid.factors x + UniqueFactorizationMonoid.factors y)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : ∃ I_1, ↑I_1 = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (((M.X ⊗ N.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i ≤ ∑ i : ι, f i • g i
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
⊢ orderOf x = 0
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
n : ι
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x = i}] f i
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ n • -a = -(n • a)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑f ∘ ⇑g, map_sup' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_sup' := ⋯ }
n m : ℕ
z : ℂ
⊢ ↑n ^ (↑m * z) = (↑n ^ m) ^ z
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x : M
i : ι
hx : x ∈ ℳ i
⊢ ↑(((DirectSum.decompose ℳ) x) i) = x
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
H : a < b
⊢ Set.Ico a b ∈ 𝓝[≥] a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ‖↑p ^ n‖ = ↑p ^ (-↑n)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
R : Type u
Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (p + q).comp r = p.comp r + q.comp r
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t
⊢ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
α : Type u_1
LT α
s : Set α
n m : ℕ
⊢ ↑n ≤ s.chainHeight + ↑m ↔ ∃ l ∈ s.subchain, n ≤ l.length + m
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hnpos : n > 0
this : NeZero n
⊢ ((expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)).natDegree ≤ (cyclotomic (n * p) ℤ * cyclotomic n ℤ).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Finset α
⊢ filter (fun x => x ∈ s) univ = s
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
s : List (Symbol T g.NT)
hgs : g.reverse.Derives [Symbol.nonterminal g.reverse.initial] s
⊢ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] s.reverse
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x₁
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
hui : univ.erase i₃ = {i₁, i₂}
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂}
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : a < 0
⊢ a < -a
θ ψ : ℝ
⊢ ↑(toIcoMod two_pi_pos ψ θ) = ↑θ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating f) ((ExteriorAlgebra.ι R) m * x) =
  (ExteriorAlgebra.liftAlternating fun i => (f i.succ).curryLeft m) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
a x b c : E
⊢ a + x ∈ [a + b-[𝕜]a + c] ↔ x ∈ [b-[𝕜]c]
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
⊢ ∑ σ : Equiv.Perm (Fin B.dim), Equiv.Perm.sign σ • ∏ i_1 : Fin B.dim, (traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ i_1) i_1 ∈ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).inverse.map f).unmop = f
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ AddSubgroup.zmultiples 0 = ⊥
f : ℕ →. ℕ
h : _root_.Partrec fun v => f v.head
v : ℕ
⊢ f (ofFn fun i => id v).head = f v
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
h2 : (f.aroots F).toFinset.card = f.natSepDegree
⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x y : A
⊢ (∃ x_1, ((multiplesHom A) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, n • x = y
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
s : Set G
conv : Convex ℝ s
hs : (interior s).Nonempty
x : G
hx : x ∈ closure s
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ s x
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
a : α
a' : α := enum r (succ (typein r a)) ⋯
b : α
h : b ∈ S
ab : ¬r b a'
⊢ typein r a < typein r a'
α : Type u_1
LT α
a : WithBot αᵒᵈ
b : WithTop α
⊢ a < WithTop.toDual b ↔ b < WithBot.ofDual a
α : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(lp (fun x => E) ⊤)
⊢ ⇑(AddEquiv.lpBCF f) = ↑f
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasurableSet s →
    MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → (fun x => MeasureTheory.pdf.uniformPDF s x μ) =ᵐ[μ] MeasureTheory.pdf X ℙ μ
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X Y : D
f : Sum.inr X ⟶ Sum.inr Y
⊢ (CategoryTheory.Sum.swap C D).map f = f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[s] a = ⨅ t ∈ {t | a ∈ t ∧ IsOpen t}, 𝓟 (t ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ ⨆ a ∈ s, f a ≤ f (sSup s)
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ (AddCommGrp.kernelIsoKer f).hom ≫ (AddMonoidHom.ker f).subtype = CategoryTheory.Limits.kernel.ι f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
⊢ (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n) = (dickson 1 1 n).comp (dickson 1 1 m)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : F ⟶ G
i j : ℕ
hij : i ≤ j := by valid
hj : j ≤ n := by valid
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i j hij hj) (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ j hj) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ i ⋯) (G.map' i j hij hj)
x n : ℂ
⊢ (x ^ n)⁻¹ = if x.arg = π then if x.arg = π then (x ^ n)⁻¹ else (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)⁻¹ else x⁻¹ ^ n
N : ℕ
NeZero N
R : Type u_1
CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
he : ¬e.IsPrimitive
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
α : Type u_1
Mul α
s t : Set α
⊢ Set.up (s * t) = Set.up s * Set.up t
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
x : AddOreLocalization S R
⊢ x + 0 = x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₂.inf f ≤ s₁.inf f
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.sinh (Real.cosh x) x
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix m n α
Invertible A
⊢ B * A⁻¹ * A = B
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
f' : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g' : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : Injective ⇑f
g₁ g₂ : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
x : M₁
⊢ f (g₁ x) = f (g₂ x)
R : Type u
CommRing R
M N P Q : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
AddCommGroup Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Coalgebra R M
Coalgebra R N
Coalgebra R P
Coalgebra R Q
f : M →ₗc[R] N
g : P →ₗc[R] Q
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CoalgebraCat.ofHom f) (CoalgebraCat.ofHom g)).toCoalgHom.toLinearMap =
  TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
this : IsIso (F.map f)
⊢ IsIso f
α : Type u
Semiring α
Preorder α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ Antitone fun x => a * x
α : Type u_2
LinearOrder α
OrderTop α
s : Finset α
⊢ s.max = ⊤ ↔ ⊤ ∈ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred ⊥
⊢ False
X Y : Type u_1
AddCommGroup X
AddCommGroup Y
f : X →+ Y
x : X
⊢ (AddCommGrp.ofHom f) x = f x
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
⊢ False
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
⊢ (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0) ∨ (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
⊢ ((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.toSubring = S.toSubring.unop
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : Set E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin (↥(IntermediateField.adjoin F S)) T) =
  IntermediateField.adjoin F (S ∪ T)
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : Additive X
⊢ nndist (Additive.toMul a) (Additive.toMul b) = nndist a b
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∀ (i : LeftMoves 0), (∃ i', moveLeft 0 i ≤ x.moveLeft i') ∨ ∃ j, (moveLeft 0 i).moveRight j ≤ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), (∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', moveRight 0 j' ≤ x.moveRight j) ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i
n : ℕ
⊢ Monotone fun f => (⇑f)^[n]
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-x) x = ↑π
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
c : ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (c • f) n = c • fourierCoeff f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : β × γ → δ
g : α → β
h : α → γ
x : α
s : Set α
y : β × γ
hf : ContinuousAt f y
hg : ContinuousWithinAt g s x
hh : ContinuousWithinAt h s x
e : (g x, h x) = y
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f (g x, h x)) s x
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
N : β
hN : U N ⊆ s
m n : β
hmn : (m, n) ≥ (N, N)
⊢ (m, n) ∈ Prod.map f f ⁻¹' s
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ {K | |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ⊆ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ∪ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
V : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
h : LocallyBoundedVariationOn f Set.univ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), DifferentiableAt ℝ f x
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s → U ⊆ t
⊢ s ⊆ t
α : Type u
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
l : List α
⊢ p l
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
s : Set α
m : M
⊢ m ∈ fixingSubgroup M sᶜ ↔ (MulAction.fixedBy α m)ᶜ ⊆ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
hSp : ∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
e : Y ≃ Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ (LocallyConstant.congrRight e) g = LocallyConstant.map (⇑e) g
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (coeff A (n + 1)) (bernoulli'PowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) (X * exp A)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α
⊢ atTop = ⊤
α : Type u_1
Monoid α
x : α
⊢ x ~ᵤ x
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
X : Condensed A
∀ (Y : CompHausᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.StructuredArrow Y Stonean.toCompHaus.op) A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology Stonean) (Stonean.toCompHaus.op ⋙ X.val)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c < b
⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
R : Type u_2
AddGroup R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x - y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
⊢ S.cycles ≅ S.X₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Group α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : 1 ≤ a ^ 2
⊢ 1 ≤ a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ f ∈ reesAlgebra I ↔ ∀ i ∈ f.support, f.coeff i ∈ I ^ i
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s
⊢ u ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (↑a, ⊤), x.1 - x.2 = 0