ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
⊢ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → orderOf (f ζ) ∣ l
α : Type u_1
Lattice α
s : Sym2 α
⊢ s.inf ≤ s.sup
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : (fun x => ‖f x‖) =ᶠ[l] fun x => ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g x‖ ≤ 1 * ‖f x‖
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m ≤ ⊤
⊢ ↑m < ⊤ + 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Finite ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι), ∀ x ∉ g i, p g → p (Function.update g i (insert x (g i)))
⊢ p f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : Monotone g
hf : AntitoneOn f s
⊢ AntitoneOn (g ∘ f) s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
⊢ Sbtw R x ((AffineMap.lineMap x y) r) y ↔ x ≠ y ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
R : Type u_3
F : Type u_5
NonAssocSemiring R
FunLike F ℕ R
RingHomClass F ℕ R
f g : F
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : ℝ≥0∞
⊢ MeasurableSet {x | ¬f x ≤ a}
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ last n
h' : optParam (i.rev ≠ 0) ⋯
⊢ (i.castPred h).rev = i.rev.pred h'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.δ (i.castLT ⋯) ≫ X.δ j.succ = X.δ j ≫ X.δ i
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Nonempty M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M
S : L.ElementarySubstructure M
left✝ : ∅ ⊆ ↑S
hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ
⊢ ∃ N, Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∧ #↑N = κ
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖-a‖ = ‖a‖
α : Type u
s₁ s₂ : Stream'.Seq α
a : α
h : a ∈ s₁.append s₂
⊢ a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
⊢ sSup (a • s) = a • sInf s
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this✝ : Mono f
this : Mono g
⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hb : ∑ x : α, w x < Fintype.card β • b
⊢ ∃ y, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ, w x < b
a b c : Int
h : a + b ≤ c
⊢ a ≤ c - b
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
R : Type u_1
x : R
MonoidWithZero R
IsReduced R
⊢ IsNilpotent x ↔ x = 0
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
(i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i
c : M
i : ι
⊢ (ContinuousLinearMap.pi f) c i = (f i) c
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = S.sum fun n m => m ⊗ₜ[R] n
α : Type u_2
Mul α
⊢ ⇑Filter.pureMulHom = pure
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
j : ℕ
hj : j + 1 < n + 1 + 1
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 1 ⟨j + 1, hj⟩ ⋯ = F.map' 0 j ⋯ ⋯
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : NormalSpace X
inst✝³ : ParacompactSpace X
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
g : X → X → E
hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y
⊢ ∃ g, ∀ (x : X), g x ∈ t x
α : Type u_2
A B : PartialOrder α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
ha : a • m ∈ Set.range ⇑g
⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute (g x) (f y)
⊢ (↑s).Pairwise fun x y => AddCommute ((f + g) x) ((f + g) y)
G : Type u
Add G
UniqueSums G
⊢ IsLeftCancelAdd G
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 1
h : ↑s.card * ε < ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card
this : ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) - ↑(G.edgeDensity s t) < ε ∧ ↑(G.edgeDensity s t) - ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) < ε
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMono f
ha : a < 0
⊢ StrictAnti fun x => f x * a
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
⊢ Continuous ⇑l
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n
⊢ ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
x : ℂ
⊢ ∃ a, cos a = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ Option.map f (some a) :: Stream'.map (Option.map f) s = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
⊢ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)))
α : Type u_1
l : Array (Array α)
⊢ (List.foldl (fun x x_1 => x ++ x_1) #[] l.data).data = (List.map data l.data).join
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.Results a s.length
k : ℤ
i : Fin 2 → ℤ
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ EisensteinSeries.eisSummand k i (A • z) = UpperHalfPlane.denom (↑A) z ^ k * EisensteinSeries.eisSummand k (i ᵥ* ↑A) z
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (x + ↑r)
α : Type u
Inhabited α
l : List α
⊢ l.head! = l.head?.iget
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : BaireSpace X
inst✝ : Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ
hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)
hgd : Dense (⋂ i, g i)
x : X
hxs : x ∈ s
hxg : ∀ (i : ι), x ∈ g i
⊢ x ∈ ⋃ i, interior (f i)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
IsDedekindDomain S
P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < Ideal.ramificationIdx f p P
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
IsDomain R
NeZero ↑n
μ : R
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S) = S ⊓ f.srange
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U
⊢ MeromorphicOn g U
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
⊢ ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (powersetAux' l).revzip
⊢ x.1 + x.2 = ↑l
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
p : ι → Set α
⊢ ⋃ i, ω f ϕ (p i) ⊆ ω f ϕ (⋃ i, p i)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
a : E
h : IsLocalExtr f a
⊢ HasFDerivAt f f' a → f' = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring P
CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
Algebra R S
Algebra P Q
IsLocalization M S
IsLocalization T Q
g : R →+* P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
r : ↥(RingHom.ker g)
⊢ ↑((RingHom.toKerIsLocalization S Q g hy) r) = (algebraMap R S) ↑r
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : X → M
x : X
hf : ContinuousAt f x
n : ℕ
⊢ ContinuousAt (fun x => f x ^ n) x
x y : ℂ
⊢ cosh (x * I) = cos x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
a : G
⊢ Smooth I I fun b => b * a
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis' I X
hIJ : I ⊆ J
hJ : M.Indep J
⊢ J ∩ X = I
R : Type u
Add R
⊢ ↑(AddMagmaCat.of R) = R
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
H : I ≤ J
⊢ I.radical ≤ J.radical
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
hst : s ⊆ t
b : Set V
bt : b ⊆ t
bi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
sb : s ⊆ b
h : ∀ a ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val}, b ⊆ a → a = b
x : V
xt : x ∈ t
⊢ x ∈ ↑(span K b)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
f : V →ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ f.toAffineIsometry.linearIsometry = f
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : C
E : J.OneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
CategoryTheory.Limits.HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
⊢ E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (CategoryTheory.Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
α : Type u
s : Set α
⊢ s \ ∅ = s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
⊢ Subtype.val ∘ Set.imageFactorization f s = f ∘ Subtype.val
α : Type u_1
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : MeasureTheory.SimpleFunc α G'
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ quasispectrum S a ⊆ f ⁻¹' quasispectrum R a
M : Type u_1
AddGroup M
c : AddCon M
x y : M
h : c x y
⊢ c (-x) (-y)
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
⊢ dist ((starRingEnd ℂ) z) w = dist z ((starRingEnd ℂ) w)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
x : E
hx : IsSeparable F x
⊢ IsSeparable F x⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (ContinuousLinearMapWOT.seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ × α → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (c, a)
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E →ₗᵢ[ℝ] F
u v : E
⊢ InnerProductGeometry.angle (f u) (f v) = InnerProductGeometry.angle u v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) (ν a)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
k n : ℕ
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
z : G
⊢ ‖f.restr s hk z‖ ≤ ‖f‖ * ‖z‖ ^ (n - k)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n m : ℕ
hnq : n < q
hnm : c.Rel m n
⊢ 0 ≫ eqToHom ⋯ = 0
α : Type u
l l' : List α
d : α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ (l ++ l').getD n d = l.getD n d
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : R
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.C (a ^ n) = MvPolynomial.C a ^ n
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.δ) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map (D.φ₁ ≫ D.v₂₃.τ₁) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)
eq₁ : (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M
⊢ (TensorPower.cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a GradedMonoid.GOne.one) = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x
⊢ ↑r < p.radius
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ TypeVec.comp TypeVec.prod.snd TypeVec.prod.diag = TypeVec.id
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.preΨ n).natDegree ≤ (n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a (min b c) = min (max a b) (max a c)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
this : IsIso (image.ι f)
⊢ Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} / Metric.ball 1 δ = Metric.ball x δ
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Subtype MeasurableSet
⊢ ↑(insert a s) = insert a ↑s
α : Type u_1
Encodable α
a : α
⊢ Encodable.encode (some a) = (Encodable.encode a).succ
α : Type u
a : α
AddGroup α
h : ∀ (x : α), x ∈ AddSubgroup.zmultiples a
⊢ addOrderOf a = Nat.card α
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ ∀ (a : List α), f (id a) = ?f' (map id a)
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
⊢ Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ
⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∨ p ∈ b.primeFactorsList
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
c : Composition n
_hc : c ∈ Finset.univ
⊢ (q.removeZero c.length) (p.applyComposition c v) = (q c.length) (p.applyComposition c v)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
i : ι
x : ↥(ℳ i)
⊢ (decompose ℳ) ↑x = (of (fun i => ↥(ℳ i)) i) x
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ ↑(toCircle (n • ↑x)) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
p : ℝ
x : AddCircle p
hp : p ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ |p| / 2
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClopen ∅
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (weightSpace M χ) = weightSpace M₂ χ
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
f' : S →ₗ[R] M
⊢ map f g ∘ₗ rTensor N f' = map (f ∘ₗ f') g
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
v : E →L[𝕜] 𝕜
x : E
⊢ ((topDualPairing 𝕜 E) v) x = v x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : D × C
⊢ (CategoryTheory.Prod.braiding C D).counitIso.hom.app X =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.1, CategoryTheory.CategoryStruct.id X.2)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
s : ℕ → Set α
h1s : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
h2s : ⋃ n, s n = univ
t : ℕ → Set β
h1t : ∀ (n : ℕ), t n ∈ D
h2t : ⋃ n, t n = univ
⊢ IsCountablySpanning (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)