ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s = Finset.univ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
⊢ (¬∀ ⦃s' : Finset α⦄, s' ⊆ s → ∀ ⦃t' : Finset α⦄, t' ⊆ t → ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card → ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card → |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε) ↔ ∃ s' ⊆ s, ∃ t' ⊆ t, ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card ∧ ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card ∧ ε ≤ ↑|G.edgeDensity s' t' - G.edgeDensity s t|
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
self : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ G → x ∈ e.source → P f s x → P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
x : { x // x ∈ s }
⊢ (Equiv.Finset.union s t h) (Sum.inl x) = ⟨↑x, ⋯⟩
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
l : List α
hl : ∀ x ∈ ⟦l⟧, 1 ≤ x
x : α
hx : x ∈ ⟦l⟧
⊢ x ≤ prod ⟦l⟧
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] =
  if MeasureTheory.Integrable f μ then
    if MeasureTheory.StronglyMeasurable f then f
    else MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f) ⋯
  else 0
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).Finite
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ f.Finite
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → V
⊢ LinearIndependent K b ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank K (Set.range b)
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
l : Filter α
f : α → M
x : M
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
n : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x ^ n) l (𝓝 (x ^ n))
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ Set.Ioi b ⊆ Set.Ici a ↔ a ≤ b
M : Type u_1
Add M
S : AddSubsemigroup M
x y : M
⊢ x ∈ S → y ∈ S → x + y ∈ S
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsGLB s⁻¹ a⁻¹ ↔ IsLUB s a
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ico a c
⊢ Set.Ico a c ∈ 𝓝[>] b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.36381, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
this : S.HasHomology
⊢ IsZero h.H
R : MonCat
⊢ MonCat.units.obj R = Grp.of (↑R)ˣ
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
e : α
he : e ∈ J \ I
hi : (M ↾ X).Indep (insert e I)
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
⊢ IsSubmonoid s → IsAddSubmonoid s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M
s : Set M'
⊢ ContMDiffOn I' (I.transDiffeomorph e) n f s ↔ ContMDiffOn I' I n f s
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R M M₂) (p.prod q) = q
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.ball a r ↔ ‖a - b‖ < r
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + 1
⊢ False
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ (Polynomial.X * p).reverse = p.reverse
s : String
i : String.Pos
⊢ i.byteIdx < (s.next i).byteIdx
α : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
g : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ → MeasureTheory.Integrable (↑g) μ → MeasureTheory.Integrable (↑(f.pair g)) μ
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
⊢ Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : MvQPF.Cofix F α → MvQPF.Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : MvQPF.Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
x y : MvQPF.Cofix F α
⊢ r x y → x = y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f = ((RingHom.id (Localization.AtPrime x.asIdeal)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
⊢ IsOfFinOrder ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : SimplicialObject.Split C} (Φ : X ⟶ Y), (SimplicialObject.Split.evalN C n).map Φ = Φ.f n
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ degreeLT R n
x : R
⊢ eval x p = ∑ i : Fin n, (degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ i * x ^ ↑i
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
⊢ ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
⊢ Function.Injective ⇑unitary.toUnits
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset β
a : α
⊢ a • (s₁ ∪ s₂) = a • s₁ ∪ a • s₂
M : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsAddUnit x}
hf : ∀ (u : AddUnits M), f ↑u = ↑(-u)
⊢ Embedding AddUnits.val
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
x : ↑(C' C ho)
⊢ y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₁ C hsC ho x)) - y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₀ C ho x)) = 0
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
a : A 0
n : ℕ
⊢ GradedMonoid.mk 0 (a ^ n) = GradedMonoid.mk 0 a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ContinuousAt (↑(extChartAt I x)) x
a : Bool
⊢ ∀ {w : Nat} {x : BitVec w}, (BitVec.cons a x).getMsb 0 = a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ EuclideanGeometry.Concyclic {p}
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
⊢ a ^ 2 + b ^ 2 ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
x y : SetTheory.PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ ¬x ‖ y
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ SupClosed (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ InfClosed s
α : Type u_1
n : Type u_3
AddCommSemigroup α
A : Matrix n n α
⊢ (A.transpose + A).IsSymm
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i) = ↑f i • lp.single 2 i 1
⊢ lp.single 2 i (↑f i) = b.repr (b.repr.symm ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
Algebra S B
IsScalarTower R A B
IsScalarTower R S B
SMulCommClass S A B
⊢ LinearMap.ker (KaehlerDifferential.map R S A B) =
  Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(KaehlerDifferential.D R A))
    (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B))
      (Submodule.restrictScalars A (KaehlerDifferential.kerTotal S B)))
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l : Filter α
hfg : f'' =o[l] g''
hg : Filter.Tendsto g'' l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f'' l (𝓝 0)
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.rightDerivedZeroIsoSelf.hom.app X) (F.toRightDerivedZero.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.rightDerived 0).obj X)
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
⊢ ⊥ = 1
a✝ b c d m✝ n : ℤ
m a : ℕ
⊢ ↑m ∣ ↑(m * a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c / (a ⊔ b) = c / a ⊓ c / b
α : Type u_3
β : Type u_4
AddZeroClass β
a : β
⊢ ∀ (a_1 : α), (Pi.constAddMonoidHom α β) a a_1 = Function.const α a a_1
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
⊢ x = IsLocalization.mk' Rₚ 1 m • f y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_4
β : ι → Type u_5
i : ι
(i : ι) → VAdd (α i) (β i)
s : (i : ι) → α i
x : (i : ι) → β i
⊢ (s +ᵥ x) i = s i +ᵥ x i
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (mapDomain f d).degree = n
α : Type u_1
p : PosNum
this : (↑p).bit0 = (ZNum.pos p).bit0
⊢ ↑p.bit0 = ZNum.pos p.bit0
R : Type u
Ring R
StrongRankCondition R
m n : Type v
Finite m
Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = Cardinal.lift.{u, v} (#m * #n)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : c ≠ 0
⊢ 9 * c ^ 4 < 16
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
a0 : a * q - ↑b * p ≠ 0
⊢ False
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
⊢ ∀ (t : ℝ), ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ ↑((Ideal.associatesEquivIsPrincipal R) 1) = 1
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ (X - 1 - ↑n) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1) = (X - (↑n + 1)) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
⊢ K = t.sup L
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f g : A →⋆ₐ[R] B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
x : ↑fun x => x < Ordinal.type r
⊢ (Ordinal.enumIso r) x = Ordinal.enum r ↑x ⋯
α : Type u_2
Inv α
s t : Set α
⊢ (s ∩ t)⁻¹ = s⁻¹ ∩ t⁻¹
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ LipschitzWith 1 ⇑e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
f : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₁ T₂
g : CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleMorphism T₂ T₃
⊢ (f.comp g).hom₂ = f.hom₂ ≫ g.hom₂
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hf : Continuous f
⊢ Continuous (Set.IccExtend h f)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (lowerCentralSeries R L L k) = ⊥
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
X : Type u_5
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ MeasureTheory.Memℒp f ⊤ μ
a b c : Ordinal.{u}
⊢ max (b.blsub fun a' x => a' ♯ c) (c.blsub fun b' x => b ♯ b') ≤ a ↔ (∀ b' < b, b' ♯ c < a) ∧ ∀ c' < c, b ♯ c' < a
α : Type u_1
s t : Set α
h : s = t
a : { a // (fun x => x ∈ s) a }
⊢ (Equiv.setCongr h) a = ⟨↑a, ⋯⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ (adj.homEquiv X' Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((adj.homEquiv X Y) g)
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ Pairwise (fun a_1 b => decide (a = a_1.fst) = true → decide (a = b.fst) = true → False) l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, f =ᶠ[ae ((κ ⊗ₖ η) a)] g → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h) =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.inv η) h
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A
⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑A
ι✝¹ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι✝ : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
ι : Type u_4
A : Set ι
hA : A.Nonempty
I : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i ∈ A, I i)
this : Nonempty ↑A
⊢ M.closure (⋂ i ∈ A, I i) = ⋂ i ∈ A, M.closure (I i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).counitIso.hom.app X).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hQ : Q ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q|) Filter.atTop Filter.atTop
J : Type
Finite J
K : Type
Finite K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
j : J
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.components (CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix m) j k = m j k
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Ioi b = Set.Ioi (b + a)
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : X.Opens
W : (X.restrict h).Opens
e : W ≤ (TopologicalSpace.Opens.map (X.ofRestrict h).val.base).obj V
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE (X.ofRestrict h) V W e = X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
inst✝ : Nonempty α
h_Union : ⋃ i, s i = univ
⊢ (⋃ i, s i).Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
⊢ (m.sum fun i c => c • w i) = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
⊢ a ^ 2 = a * a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
⊢ LieSubmodule.map N.incl N' ≤ N
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
hc : t.ncard < s.ncard
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
h' : ∀ x ∈ s, ∀ x_1 ∈ s, f x = f x_1 → x = x_1
⊢ False
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : Turing.Reaches f a b
⊢ Turing.Reaches₀ f a b
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 < a.x * (a.x * a₁.x) - (a.x ^ 2 - 1) * a₁.x
x : ℝ≥0∞
⊢ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Set.Icc (x - ε) (x + ε)) ≤ 𝓝 x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
Invertible 2
x y : P₁
⊢ (AffineEquiv.pointReflection k x) y = y ↔ y = x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ zeroLocus s
⊢ False
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ dist (sSup (S n)) 0 < ε
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : i ≠ j
a b c d : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I
⊢ (transAt i (transAt j a b) (transAt j c d)) y✝ = (transAt j (transAt i a c) (transAt i b d)) y✝
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ |im z / ‖z‖| ≤ 1
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ w.IsReal ∨ (w.comap (algebraMap k K)).IsComplex
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap R K) p)