ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
ι : Type u₃
δ : ι → Type u_1
(i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => Set.range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, Set.range ⇑(φ i) = Set.univ
⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
i : α
n : ℕ
hin : ¬IsMin (Order.pred^[n - 1] i)
⊢ Order.succ^[n] (Order.pred^[n] i) = i
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ∈ Ico a b ↔ a < b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ 2 * φ W.a₄ + φ W.a₁ * φ W.a₃ = φ (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)
c : ℕ × ℕ
cells : Finset (ℕ × ℕ)
isLowerSet : IsLowerSet ↑cells
⊢ c ∈ { cells := cells, isLowerSet := isLowerSet } ↔ c ∈ cells
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T
⊢ sSup T = a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ untrop (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, untrop (f i)
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ Finset.filter (fun x => x.1 = a) m.toEnumFinset = {a} ×ˢ Finset.range (Multiset.count a m)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g✝ f g : Perm α
x : α
⊢ x ∈ (f * g).support → x ∈ f.support ⊔ g.support
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ↑0 = 0
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ DifferentiableAt ℝ AkraBazziRecurrence.smoothingFn x
X : Type u_2
EMetricSpace X
x : X
⊢ dimH {x} = 0
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty
⊢ f ∈ range toBCF
α : Type u_1
a b : α
⊢ a ∈ [b] ↔ a = b
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => g • t ∩ s)
⊢ μ t ≤ μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
⊢ Summable (star f) ↔ Summable f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (r • f))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (r • baseChange A f)) 1) x✝
β : Type u_2
AddGroup β
ι : Sort u_3
us' : ι → UniformSpace β
h' : ∀ (i : ι), UniformAddGroup β
⊢ UniformAddGroup β
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
AddCommGroup N'
Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
IsLocalizedModule S f
h : Module.FinitePresentation R M
g : M →ₗ[R] N'
⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g
α : Type u_1
M : Type u_2
Fintype α
LinearOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
LocallyFiniteOrderBot α
AddCommMonoid M
f : α → α → M
⊢ ∑ i : α, ∑ j ∈ Finset.Ioi i, (f j i + f i j) = ∑ i : α, ∑ j ∈ {i}ᶜ, f j i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
A : Matrix m n α
r_reindex : l → m
c_reindex : o → n
⊢ (A.submatrix r_reindex c_reindex)ᵀ = Aᵀ.submatrix c_reindex r_reindex
X : Type u_1
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure X
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → MeasureTheory.Measure X
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ Filter.liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ I.IsMaximal ∧ y ∉ I
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s : Set X
hs : s.Finite
⊢ ∃ U, (∀ (x : X), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)) ∧ s.PairwiseDisjoint U
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑(X.presheaf.stalk (e.inv.val.base (e.hom.val.base x)))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.hom x) ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x)) y) =
  (X.presheaf.stalkSpecializes ⋯) y
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
e : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
t : x + 1 = 0
⊢ False
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
⊢ ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ < 2 * ε
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
t : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
⊢ Absorbs G₀ (⋂₀ S) t ↔ ∀ s ∈ S, Absorbs G₀ s t
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
⊢ p x ≤ ⨆ i, ↑i x
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s✝ : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s✝) → β ↑i
i✝ : ι
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
H : mk s x = mk s y
i : ι
hi : i ∈ s
h1 : (mk s x) ↑⟨i, hi⟩ = (mk s y) ↑⟨i, hi⟩
⊢ x ⟨i, hi⟩ = y ⟨i, hi⟩
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : α
s : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ s.infsep ≤ dist x y
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ 0 ≤ n • x
α : Type u_1
l : List α
⊢ l <+ [] ↔ l = []
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Set (StarSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
F : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalRingHomClass F A B
NonUnitalStarRingHomClass F A B
FunLike G B A
f : F
g : G
h₁ : ∀ (x : A), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : B), f (g x) = x
a : A
⊢ (StarRingEquiv.ofStarRingHom f g h₁ h₂) a = f a
n : ℕ
⊢ ⇑(Fin.succEmb n) = Fin.succ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
⊢ Differentiable ℂ P.Λ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
x : ℝ
⊢ deriv f x < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ gcd a 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet Set.univ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ TendstoUniformly F f p
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
⊢ (Monoid.Coprod.map f g).comp Monoid.Coprod.inr = Monoid.Coprod.inr.comp g
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x
i : ι
hi : i ∈ pt
hi' : i ∈ S
⊢ m i ≤ ⨆ i ∈ S, m i
x : ℝ
⊢ Real.sin (x + Real.pi / 2) = Real.cos x
α : Type u_1
R : Type u_11
Semiring R
a : α
b : R
⊢ b • Finsupp.single a 1 = Finsupp.single a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.rightOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeRightOp c).pt = Opposite.unop c.pt
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') x
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : Nontrivial α
⊢ 1 = FactorSet.prod 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (a * c) (b * c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
n : ℕ
⊢ (n • f) ≫ g = n • f ≫ g
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
⊢ ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
α : Type u
l : List α
⊢ l.length = 2 ↔ ∃ a b, l = [a, b]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : G → E
t : Set G
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : DiffContOnCl 𝕜 g t
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (f ∘ g) t
Y : Type u_5
α : Type u_7
β : Type u_9
tY : TopologicalSpace Y
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
A : Set Y
u : Y → β → α
hA : UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
hu : Continuous u
⊢ UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
n : ℕ
⊢ (↑n).cauchy = ↑n
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
π₀ : Prepartition I
⊢ (l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
M : Type u_3
TopologicalSpace M
CommMonoid M
S : Submonoid M
oS : IsOpen ↑S
⊢ ↑S ∈ 𝓝 1
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
h : ⊤ ≤ S.centralizer
x✝¹ : M
hx : x✝¹ ∈ S
x✝ : M
⊢ x✝ * x✝¹ = x✝¹ * x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.compAlongComposition p c f) v‖ ≤
  (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin n, ‖v i‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁.unop z₂.unop
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E : IntermediateField K L
⊢ IntermediateField.map (AlgHom.id K L) E = E
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0 ↔ p ≠ 0
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
⊢ ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s
α : Type u_1
Preorder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
a : α
⊢ Antitone (Matrix.vecCons a f) ↔ f 0 ≤ a ∧ Antitone f
n : Nat
x y : Fin n
⊢ ↑↑(x + y) = (↑↑x + ↑↑y) % ↑n
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hne : x ≠ y
i : ℕ
⊢ x ∈ PiNat.cylinder y i ↔ i ≤ PiNat.firstDiff x y
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
g : Equiv.Perm (Subtype p)
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype g).cycleType = g.cycleType
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ Multiset.ndunion 0 s = s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
⊢ Algebra.IsIntegral R A
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
s t : Subfield K
f : K →+* L
⊢ Subfield.map f (s ⊔ t) = Subfield.map f s ⊔ Subfield.map f t
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ (s ∩ {a}).Nonempty ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
μ : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ((sum μ).restrict s) t = (sum fun i => (μ i).restrict s) t
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (m i)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ Order.pred b = a
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n
⊢ ∑ x ∈ s, A.cramer (fun j => f j x) i = A.cramer (fun j => ∑ x ∈ s, f j x) i
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact S
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
g : Set (α × α) → Filter β
f : Filter β
hg : Monotone g
h : ((𝓤 α).lift fun s => g (Prod.swap ⁻¹' s)) ≤ f
⊢ (𝓤 α).lift g ≤ f
α : Type u_1
DecidableEq α
β : Type u_2
m : Multiset α
f : α → β
⊢ Multiset.map (fun x => f x.fst) Finset.univ.val = Multiset.map f m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ ∀ (x : C) (x_1 : F.obj x), CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inl.app x x_1 = Sum.inl x_1
K : Type u_1
LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c ≤ 0
⊢ discrim a b c ≤ 0
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
n : α
⊢ (factorization n).support = (normalizedFactors n).toFinset
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Ioc a b) = Ioc ↑a ↑b
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
⊢ (⋂ i, t i).Nonempty
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (-a).re = -a.re
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : ∀ {a b : G}, a ∈ A → b ∈ A → a = b
hB1 : ∀ {a b : G}, a ∈ B → b ∈ B → a = b
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Nonempty X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
s : Set X
inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s
hgm : NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∀ (U : Set X), MeasurableSet U → (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ U) ∨ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∉ U
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : a ∈ lowerBounds s
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ f a b ∈ lowerBounds (Set.image2 f s t)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : IsClosed s
H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hss : s ⊆ u ∪ v
huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅
H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∨ s ⊆ v
⊢ s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s