ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangleIsoBinaryBiproductTriangle X₁ X₂).hom.hom₂ =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
x✝ : χ.FactorsThrough 1
w✝ : 1 ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R 1
hχ₀ : χ = (changeLevel w✝) χ₀
⊢ χ = 1
C : Type u
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X₁.Hom Y₁
g : X₂.Hom Y₂
⊢ ⟦f.tensor g⟧ = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom ⟦f⟧ ⟦g⟧
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
p : Submodule R A
hmul : ∀ (x y : A), x ∈ p → y ∈ p → x * y ∈ p
⊢ p.toNonUnitalSubalgebra hmul = { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, mul_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
n k : ℕ
⊢ Behrend.sphere (n + 1) 0 k = ∅
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
μ : MeasureTheory.VectorMeasure α ℝ≥0∞
⊢ (∀ ⦃s : Set α⦄, μ.ennrealToMeasure s = 0 → ↑v s = 0) ↔ v ≪ᵥ μ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ last n
x : { x // x ≠ p }
⊢ (finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.arctan (f x)) ((1 / (1 + f x ^ 2)) • f') s x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
x a : R
⊢ x = a • generator S ↔ x = generator S * a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
hf : Mono f
⊢ (P.hom ≫ T.map (Subobject.underlyingIso f.right).inv) ≫ T.map (Subobject.mk f.right).arrow = A.hom
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
⊢ CompleteSpace α ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ∃ x, ↑l ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
⊢ Measurable (memPartitionSet t n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
R : Type u_3
NormedRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse ↑x
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ min (min a b) c = min a (min b c)
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True
⊢ padicValNat p p = 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : Preadditive D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop x✝))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap 0).app x✝ = colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ NatTrans.app 0 x✝
R : Type u_1
Ring R
R₂ : Type u_2
Ring R₂
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M
⊢ e (-x) = -e x
⊢ Tendsto cos (𝓝[<] (π / 2)) (𝓝[>] 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
x✝ : Quotient r
x : α
⊢ Quotient.lift f H (Quot.mk Setoid.r x) = g (Quot.mk Setoid.r x)
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)).ι.app j) ((mapPair (α.app { as := 0 }) (pullback.fst c₂.inr i)).app j) i (c₂.ι.app j)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.degree ≤ 1
hif : 0 < (map i f).degree
⊢ Splits i f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
⊢ (e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂) ≫ S₂.g = 𝟙 S₂.X₃
m n l : Nat
h : m - n = l + 1
⊢ n < m
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
Field K
Field L
Algebra K L
Field M
Algebra K M
IsSepClosed M
Algebra.IsSeparable K L
⊢ IsSepClosed.lift = Classical.choice ⋯
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
⊢ selfAdjointPart R ∘ₗ (selfAdjoint.submodule R A).subtype = LinearMap.id
α : Type u_2
CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ IsCompactlyGenerated α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A B : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : CategoryTheory.Aut A
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMapHom f) σ = CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f σ
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
hk' : I.lcs M k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
⊢ (∑ i ∈ range (n % p + 1), ∑ j ∈ range (n / p + 1), X ^ i * ↑((n % p).choose i) * (X ^ (p * j) * ↑((n / p).choose j))).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
F.Full
F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ a
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ f.integralNormalization.support → a✝ ∈ f.support
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 - p.2) (μ.prod ν) μ
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ hurwitzZetaOdd (-a) s = -hurwitzZetaOdd a s
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
⊢ False
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s
⊢ #↑t ≤ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
⊢ 1 ≤ ↑x ^ z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOn F (fun x => c) p s
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
⊢ Computable fun a => F a (c a)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
h : i = j
⊢ (TensorPower.cast R M h).symm = TensorPower.cast R M ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
uγ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
⊢ UniformSpace.comap (g ∘ f) uγ = UniformSpace.comap f (UniformSpace.comap g uγ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)))) = remainder p n + (-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))))))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
α : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
F : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
s : Finset (CategoryTheory.Discrete α)
⊢ (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinset F).obj s = ∐ fun x => F.obj ↑x
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_5
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Countable ι
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
TopologicalSpace γ
SecondCountableTopology γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
g : β → γ
hg : Measurable g
⊢ MeasurableSet {x | Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))}
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - (b + c) = a - b - c
v : Nat
⊢ (BitVec.allOnes v).toNat = 2 ^ v - 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
J.PreservesSheafification F
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
⊢ J.W.IsInvertedBy (((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F).comp (CategoryTheory.presheafToSheaf J B))
X : Type u
Y : Type v
Setoid X
TopologicalSpace X
f : Y → X
hf : DenseRange f
⊢ DenseRange (Quotient.mk' ∘ f)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (n • b) ((n + 1) • b))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x y : 𝕜'
⊢ ‖((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 𝕜') x) y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ a ∉ (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).snd
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal
⊢ (x * y).Infinitesimal
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
hpq : p.comp q = Polynomial.X
hqp : q.comp p = Polynomial.X
a : R[X]
⊢ (p.algEquivOfCompEqX q hpq hqp).symm a = (Polynomial.aeval q) a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y + θ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂ν
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R ≃+* S
K : Subring S
⊢ Subring.comap (↑f) K = Subring.map (↑f.symm) K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.equalizerComparison f g G)
    (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι (G.map f) (G.map g)) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
⊢ 𝓝[s] a ≤ 𝓝 a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEMeasurable g μb
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N P : Bimod X Y
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
Q : Bimod Y Z
⊢ Bimod.whiskerRight (f ≫ g) Q = Bimod.whiskerRight f Q ≫ Bimod.whiskerRight g Q
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
⊢ (fun i => f i) = fun x => 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm (o.rightAngleRotation x)) y = -⟪x, y⟫_ℝ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a \ b) \ a = ⊥
k : Type u_1
Ring k
a b c : k
⊢ (AffineMap.lineMap a b) c = (1 - c) * a + c * b
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R] N
m : Fin n → M
c : R
x : M
⊢ f (Matrix.vecCons (c • x) m) = c • f (Matrix.vecCons x m)
k : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
⊢ 0 < Nat.findGreatest P k ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
X : Type u
Preorder X
a b c : X
hab : Opposite.op a = Opposite.op b
hbc : c ≤ b
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom hab) (CategoryTheory.homOfLE hbc).op =
  (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
hn : (↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
⊢ ‖(↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n‖ = 1
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr : r > 0
hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U
c : 𝕜₁
hc : r < ‖c‖
hcnz : c ≠ 0
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedLatticeHom β γ
g : BoundedLatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑(f.comp g), map_sup' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_sup' := ⋯ }
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ b < c / a ↔ a * b < c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
S : Set (Set E)
h : ∀ s ∈ S, StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋂₀ S)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d e : C
f : c ⟶ d
g : d ⟶ e
hg : g ∈ S.arrows d e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g ∈ S.arrows c e ↔ f ∈ S.arrows c d
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det ⇑f = -1
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ₃.natDegree ≤ 4
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
⊢ IsOpen {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)}
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ I * Ideal.span {x} ≤ J * Ideal.span {x} ↔ I ≤ J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
P : Type u_1
Preorder P
x : P
I : Order.Ideal Pᵒᵈ
⊢ x ∈ { dual := I } ↔ OrderDual.toDual x ∈ I
t : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (1 + t / x) ^ x) Filter.atTop (𝓝 (rexp t))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
⊢ p₃ ≠ p₂
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) (↑(extChartAt I x₀).symm (f t)))
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h : LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I
⊢ LieAlgebra.derivedAbelianOfIdeal I = ⊥ ↔ I = ⊥
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Functor.functorialityCompPostcompose α).hom.app X).hom = α.hom.app X.pt
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : X ⟶ Y
⊢ CochainComplex.mappingCone.triangleh f ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ op x • ↑s ↔ x_1 ∈ op y • ↑s) ↔ y * x⁻¹ ∈ s
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup G
hH : f.ker ≤ H
hK : f.ker ≤ K
hf : AddSubgroup.map f H = AddSubgroup.map f K
⊢ H = K
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ a * (a⁻¹ * b) = b