ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
e' : (i : ℕ) → M ⧸ Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤ ≃+ M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤ := fun i => QuotientAddGroup.congr (Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤).toAddSubgroup (Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤).toAddSubgroup e ⋯
x✝ : Fin as.length
⊢ ∀ (x : M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑x✝) as) • ⊤), (e' ↑x✝).toEquiv (as.get x✝ • x) = bs.get ((finCongr ⋯) x✝) • (e' ↑x✝).toEquiv x
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a + b).imI = a.imI + b.imI
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
⊢ σ.cycleType = ↑(List.map (Finset.card ∘ support) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : One N
inst✝² : One P
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq M
f : α → M
x : α
y : M
⊢ mulSupport (update f x y) = if y = 1 then mulSupport f \ {x} else insert x (mulSupport f)
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
Preorder β
Zero β
f : α → β
⊢ 0 < ↑f ↔ ∀ᶠ (x : α) in ↑φ, 0 < f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
F : Set X
OpensMeasurableSpace X
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hF : IsClosed F
⊢ μ F = 1 ↔ F = Set.univ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ f.den ∈ 𝒜 f.deg
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_7
ι' : Type u_10
N : ι' → Type u_11
(i : ι') → AddCommMonoid (N i)
(i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→ₗ[R] N i
⊢ ↑(AlternatingMap.pi f) = MultilinearMap.pi fun a => ↑(f a)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
⊢ Chebyshev.T R ↑n = C ⅟2 * (dickson 1 1 n).comp (2 * X)
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
DecidableEq α
t : Finset α
a : α
⊢ ({a} * t).card = t.card
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊OfNat.ofNat n⌋ = ↑n
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
⊢ μ t = ∑' (g : G), μ (t ∩ g • s)
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) ≤ max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ s ⊆ a ::ₘ s
R : Type u_4
k : ℕ+
CommRing R
IsDomain R
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity k R) ≤ ↑k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x : α
⊢ x ∈ s ∪ t ∪ u ↔ x ∈ s ∪ u ∪ t
a b : Prop
Decidable b
⊢ (a ↔ b) ↔ a ∧ b ∨ ¬a ∧ ¬b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ Function.Bijective ⇑(f.val.app (Opposite.op U))
α : Type u
l : List α
x : α
⊢ l.cyclicPermutations = [[x]] ↔ l = [x]
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ
⊢ sMod p i < 2 ^ p - 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
hs : Set.EqOn f₁ f s
hx : x ∈ s
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
f_cont : Continuous f
H : ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
K : Set Y
hK : IsCompact K
K' : Set X
hK' : IsCompact K'
hK'y : K'ᶜ ⊆ (f ⁻¹' K)ᶜ
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y ⟶ Z✝
W E X Z : C
c : BinaryCofan W E
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : HasPullbacks C
hc : IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : IsPushout f c.inl h i
hc₁ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c.pt).obj { as := WalkingPair.left }
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY c.inl
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
hc₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr))
⊢ pullback.snd αY c.inr ≫ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inl = (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inl ≫ αZ
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
B₁ : Set (Set α)
B₂ : Set (Set β)
h₁ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₁
h₂ : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis B₂
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) B₁ B₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
P : CategoryTheory.Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g
⊢ P.Factors (f ≫ g)
α β : Type u
e : α ≃ β
⊢ e.optionCongr = EquivFunctor.mapEquiv Option e
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ lowerClosure ↑s
⊢ s.truncatedSup a = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
this : RingHom.ker (Ideal.Quotient.mk J) ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))
⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' + r₁ = r' + ↑s₂
⊢ r₁ -ₒ s₁ + (r₂ -ₒ s₂) = r' + r₂ -ₒ (s' + s₁)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ ↑(convexAddSubmonoid 𝕜 E) = {s | Convex 𝕜 s}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
G : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (F.op.comp G.val)
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D
F : D ⥤ E
inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
⊢ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
⊢ G.Connected
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
⊢ (toMatrix b b) ((lsmul R R S) x) = diagonal fun x_1 => x
β : Type u_2
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (s ∩ ↑(U i))
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_3
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
OmegaCompletePartialOrder γ
f : β →𝒄 γ
g : α →𝒄 β
⊢ ∀ (a : α), (f.comp g) a = f (g a)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.Functor.const J).obj X ⟶ F),
  (CategoryTheory.Limits.limitCompCoyonedaIsoCone F X).inv a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections (F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X))).symm
      ((CategoryTheory.Limits.compCoyonedaSectionsEquiv F X).symm a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
hd : p.degree < 0
⊢ (p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
x : n → 𝕜
⊢ (Matrix.toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)).symm x) =
  (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm ((Matrix.toLin' A) x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
n : ℕ
x : X
⊢ 0 ≤ Urysohns.CU.approx n c x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
⊢ IsNilpotent R L (M ⧸ N) ↔ ∃ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base → IsIso f.val.base
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α
⊢ y = x ++ y ↔ x = []
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
⊢ (algebraMap R S) (∏ m ∈ ClassGroup.finsetApprox bS adm, m) ≠ 0
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
⊢ p (a ⊔ b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ ≠ 0
⊢ closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
g : ArithmeticFunction R
hg : g.IsMultiplicative
⊢ f = g ↔ ∀ (p i : ℕ), Nat.Prime p → f (p ^ i) = g (p ^ i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h₁ : Continuous f
h₂ : Function.Injective f
h₃ : IsClosedMap f
⊢ ClosedEmbedding f
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
⊢ stationaryPoint hf ≤ max (stationaryPoint hf) (max v2 v3)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
e : R ≃+* S
⊢ Function.Surjective ⇑e
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ ↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ HEq (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Topology.IsLowerSet α
Topology.IsLowerSet β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ Continuous f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hs : s ∈ 𝓝 x
this : s = univ ∩ s
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
r : K
x : RatFunc K
⊢ r • x = RatFunc.C r * x
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_3
MulAction R X
C : Sort u_2
P : X → ↥S → C
hP : ∀ (r : X) (t : R) (s : ↥S) (ht : t * ↑s ∈ S), P r s = P (t • r) ⟨t * ↑s, ht⟩
r : X
s : ↥S
⊢ OreLocalization.liftExpand P hP (r /ₒ s) = P r s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
x : γ
⊢ ‖κ.densityProcess ν n a x s‖ ≤ 1
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
⊢ m = 1 ∨ m = p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s
⊢ ContMDiffOn I J n f s
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoidWithZero M
f : α →₀ M
g : α → M → ℕ
p : ℕ
pp : Prime p
⊢ p ∣ f.prod g ↔ ∃ a ∈ f.support, p ∣ g a (f a)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
CompleteSpace G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv : MeasureTheory.Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x) + (L (u' x)) (v x)) MeasureTheory.volume
h_bot : Filter.Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) Filter.atBot (𝓝 m)
h_top : Filter.Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) Filter.atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) + (L (u' x)) (v x) = n - m
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D
⊢ ((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).map ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).map ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit.app ((sheafCompose J (forget D)).obj X))) ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D)) = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
G : Type u_1
X : Type u_2
SMul G X
B : Set X
hfB : MulAction.IsFixedBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock G B
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t✝ u : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ filter (fun t => t.erase a = s) 𝒜 ↔ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (Polynomial.X ^ n + 1).leadingCoeff = 1
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
GroupWithZero G₀
MeasurableMul G₀
g : G₀
hg : g ≠ 0
⊢ (MeasurableEquiv.mulRight₀ g hg).toEquiv = Equiv.mulRight₀ g hg
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
⊢ (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = (monomial (m + n - k)) ((∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)) * (r * s))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s
⊢ (convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s) ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ⊤.relindex H = 1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ IsClosed {f | (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, ↑↑↑f x ∂μ}
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ ModularGroup.fdo
hg : g • z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ ↑g 1 0 = 0
r : Rat
⊢ Rat.normalize r.num r.den ⋯ = r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
𝕜' : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' Fₗ
IsScalarTower 𝕜' 𝕜 Fₗ
f : E →L[𝕜] Fₗ
⊢ ‖ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜' f‖ = ‖f‖
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
z : E
hs : Convex ℝ s
⊢ ConvexOn ℝ s fun z' => dist z' z
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Monotone fun n => ↑(eapprox f n)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
R : Type u_2
CommRing R
χ : MulChar F R
⊢ orderOf χ ∣ Fintype.card F - 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ SmoothWithinAt I I' f s x ↔ ∀ (n : ℕ), ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Functor F
Functor G
LawfulFunctor F
LawfulFunctor G
α β γ : Type v
g' : α → β
h : β → γ
x : Functor.Comp F G α
⊢ Functor.Comp.map (h ∘ g') x = Functor.Comp.map h (Functor.Comp.map g' x)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Balanced C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
hgh : g ≫ f = h ≫ f
G : C
hG : G ∈ 𝒢
i : G ⟶ Z✝
⊢ i ≫ g = i ≫ h
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
v : V
b : AffineBasis ι k P
⊢ (v +ᵥ b).basisOf = b.basisOf
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
b0 : 0 ≤ b
a0 : 0 ≤ -b
this : b = 0
⊢ -b = b
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
B : Type u_1
CommSemiring B
Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
⊢ Submodule.map h.toLinearMap (I / J) = Submodule.map h.toLinearMap I / Submodule.map h.toLinearMap J
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u * φ = 1
n : ℕ
⊢ Function.Injective ZMod.valMinAbs
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L
⊢ Fintype.card P = order P L ^ 2 + order P L + 1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : ModularForm Γ k
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g