ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
⊢ (x * y).Numeric
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
⊢ erase a 0 = 0
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b
⊢ sInf {o | 0 < b ^ o} ≤ succ 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ioo A B)) l fun i => Set.Ico (a i) (b i)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G')
m : ι ⊕ ι' → G
⊢ f.uncurrySum m = (f (m ∘ Sum.inl)) (m ∘ Sum.inr)
α : Type u_1
AddMonoid α
s : AddSubmonoid α
a : α
⊢ a ∈ a +ᵥ ↑s
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : Semiring C
inst✝⁶ : Algebra R C
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S C
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S C
f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
ha : f.comp includeLeft = g.comp includeLeft
hb : (AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight = (AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight
a : A
b : B
this : f (a ⊗ₜ[R] 1) * f (1 ⊗ₜ[R] b) = g (a ⊗ₜ[R] 1) * g (1 ⊗ₜ[R] b)
⊢ f (a ⊗ₜ[R] b) = g (a ⊗ₜ[R] b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Disjoint (LinearMap.range (TensorAlgebra.ι R)) 1
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
⊢ C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })))
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
r : R
⊢ ¬IsUnit (Polynomial.X - Polynomial.C r)
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ x ∈ s, f x ^ p = 0
i : ι
his : i ∈ s
⊢ f i = 0
R : Type u_1
AddMonoid R
a b : R
h : b + a = 0
⊢ IsAddLeftRegular a
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (-x) = -(equivShrink α).symm x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
M : Matrix m n α
x : Matrix l m α
⊢ M.addMonoidHomMulRight x = x * M
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
⊢ ∀ t₁ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ t₂ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
Preorder α
x : α
⊢ Set.Accumulate s x ⊆ ⋃ i, s i
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
CommSemigroup P
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
p : M × N
⊢ (f.coprod g) p = f p.1 * g p.2
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a ∧ Iio a ⊆ s
⊢ ∃ i, a < i ∧ Iio i ⊆ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsAntisymm α r
⊢ IsAntichain r (minimals r s)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
A : (∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose (i + 1)) * f 0 (n + 1) = ∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i
⊢ (∏ k ∈ range (n + 1), f (k + 1) (n + 1 - (k + 1)) ^ (n + 1).choose (k + 1)) * f 0 (n + 1 - 0) ^ (n + 1).choose 0 = (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
F G : Paths V ⥤ C
h_obj : F.obj = G.obj
h : ∀ (a b : V) (e : a ⟶ b), F.map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.toPath ≫ eqToHom ⋯
⊢ F = G
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) ((of (fun i => ↥(V i)) j) x)) = ((of (fun i => ↥(V i)) j) x) i
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
⊢ Disjoint (s.ordT5Nhd t) (t.ordT5Nhd s)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ {k, m, n}
⊢ ↑i ≤ ↑n
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
⊢ (if a = true then 2 * x + 1 else 2 * x) % 2 = if a = true then 1 else 0
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ (Homeomorph.mulRight a).symm = Homeomorph.mulRight a⁻¹
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s t : ↥S
⊢ r₁ * ↑s /ₒ t * (r₂ /ₒ s) = r₁ * r₂ /ₒ t
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HNot (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ ￢a = fun i => ￢a i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Preorder ι
Zero β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ (fun i => (s i).indicator f a) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => (⋃ i, s i).indicator f a
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
LT α
f : n → m
h : M.BlockTriangular b
⊢ (M.submatrix f f).BlockTriangular (b ∘ f)
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
Unique Mˣ
Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
l : ↑(Set.Iic (Associates.mk m))
⊢ ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) l) = Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩)
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
j : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows).obj j = Option.casesOn j B objs
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ a∗ = a ↔ a * a = a ∧ 1 ≤ a
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
h₁ : CategoryTheory.Epi φ.τ₁
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
h₃ : CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrichotomous α r
s : Set α
⊢ IsChain r s
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : 𝕜
⊢ Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩ = Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
α : Type u_1
X : Set α
M : Matroid α
⊢ (M.restrictSubtype X).E = Set.univ
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s : Finset α
⊢ s * ∅ = ∅
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a * c ≤ b * d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
⊢ Ico a b ⊆ {a}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
A2 : μ + ν₁ ≤ μ + ν₂
⊢ ν₁ ≤ ν₂
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Finite n
c : R
val✝ : Fintype n
⊢ updateRow 1 i (1 i + c • 1 j) = transvection i j c
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
inst✝ : Fintype ι
μ : F
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i, s i) ≤ ∑ i : ι, μ (s i)
G : Type u_1
Group G
A B' B : Subgroup G
hB : B' ≤ B
hN : (B'.subgroupOf B).Normal
⊢ ((A ⊓ B').subgroupOf (A ⊓ B)).Normal
α : Type u_1
b c : α
Sub α
p : b = c
a : α
⊢ a - b = a - c
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (n + 1 + 1 + 1 + 1) = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => χ ↑n) s = 0
⊢ False
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
⊢ P %ₘ X + X * (P /ₘ X) = C (eval 0 P) + X * (P /ₘ X)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → Bool
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {true})
⊢ Measurable f
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
this : ((f.liftOfRightInverse cast ⋯) ⟨g, ⋯⟩).comp f = ↑⟨g, ⋯⟩
⊢ f = g
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a * a⁻¹ * b ≤ a * b⁻¹ * b ↔ b ≤ a
α : Type u_1
CompleteLattice α
a b : α
⊢ sSup {a, b} = a ⊔ b
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
DecidableEq ι
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
b : Basis ι R L
⊢ φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : α ⧸ s
b c : α
h : Setoid.r b c
⊢ Setoid.r ((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) b) ((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : G.LocallyCoverDense K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Sieve.functorPullback G ↑T) ∈ K.sieves (G.obj X)
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
y : G
hy : y ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
⊢ y ∈ (f * single x r).support
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Multiset.filter p 0 = 0
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
SupSet α
Inhabited ↑s
⊢ sSup = fun t =>
  if ht : t.Nonempty ∧ BddAbove t ∧ sSup (Subtype.val '' t) ∈ s then ⟨sSup (Subtype.val '' t), ⋯⟩ else default
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (coimageImageComparison α).app X = (coimageObjIso α X).hom ≫ coimageImageComparison (α.app X) ≫ (imageObjIso α X).inv
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
v w : V
⊢ f w ∈ G'.neighborSet (f v) ↔ w ∈ G.neighborSet v
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
self : OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s : ↥S
⊢ r₁ * ↑s = r₂ * ↑s → ∃ s', ↑s' * r₁ = ↑s' * r₂
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.val.base
stalk_iso :
  ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ = s₂ ↔ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ↔ a ∈ s₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
⊢ Differentiable 𝕜 (⇑iso ∘ f) ↔ Differentiable 𝕜 f
a b : ℝ
n : ℤ
h : 0 ≤ n ∨ n ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ n = (b ^ (n + 1) - a ^ (n + 1)) / (↑n + 1)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x => L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
⊢ (f.toSmoothPartitionOfUnity hf).toPartitionOfUnity = f.toPartitionOfUnity
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
h0 : q ≠ 0
hl : q.natDegree < p.natDegree
⊢ ¬p ∣ q
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ (𝓝[s] x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => EMetric.ball x ε ∩ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
⊢ DiscreteTopology X ↔ IsLocallyInjective fun x => y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝³ : s ⊆ insert a u
this✝² : t ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a s ⊆ insert a u
this✝ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this : a ∉ s ∩ t
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }
h : rng.topologicalClosure = rng
x✝¹ x✝ : ↑(characterSpace ℂ A)
⊢ (∀ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑rng.toSubalgebra, f x✝¹ = f x✝) → x✝¹ = x✝
α : Type u
β : Type v
Preorder α
P : β → α → Prop
hP : ∀ (x : β), Antitone (P x)
⊢ Antitone fun y => ∀ (x : β), P x y
G : Type u_1
M : Type u_2
Group G
CommGroup M
MulAction G M
f : G × G → M
hf : groupCohomology.IsMulTwoCocycle f
g : G
⊢ g • f (g⁻¹, g) / f (g, g⁻¹) = f (1, 1) / f (g, 1)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
⊢ (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
NormedCommRing A'
NormedAlgebra 𝕜 A'
DecidableEq ι
NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiff 𝕜 N (f i)
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) x‖ ≤
  ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDeriv 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) x‖
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ≥0
⊢ (↑q).re = ↑q
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
⊢ s.destruct.Terminates
a b c : Nat
⊢ max (min a b) c = min (max a c) (max b c)
G : Type u_1
H : Type u_2
⊢ ∀ {x : AddGroup G} {x_1 : AddGroup H} (h : G ≃+ H), IsAddGroupHom ⇑h
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
NormedAddCommGroup E₁
NormedAddCommGroup E₂
NormedSpace 𝕜 E₁
NormedSpace 𝕜 E₂
g : E₁ × E₂ → G
f₁ : F → E₁
f₂ : F → E₂
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf₁ : ContDiff 𝕜 n f₁
hf₂ : ContDiff 𝕜 n f₂
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => g (f₁ x, f₂ x)
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p.order ≠ 0
⊢ p p.order ≠ 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ 0 < ProbabilityTheory.mgf X μ t
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ ({a} ∩ s).Subsingleton
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ
⊢ HasPDF X ℙ volume ↔ map X ℙ ≪ volume
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
y : ZMod p
hy : y ^ 2 = -1
⊢ p % 4 ≠ 3
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ Prime (minpoly R x)
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ ↑(toNat c) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding
          (ℬ (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit
          (ℬ Z (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorObj ℬ X Y)).isLimit).hom
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
      (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ Y Z).isLimit (ℬ Z Y).isLimit).hom)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv
      (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ
        (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ X Z).isLimit (ℬ Z X).isLimit).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y)))
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ ∀ (a : M), (DistribMulAction.toLinearMap R M s) a = s • a
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ 0 < (minpoly A x).natDegree
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ Finset.cons a s h ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t