ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤
⊢ Continuous (uncurry Sub.sub ∘ fun x => (a, x))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
⊢ φ⁻¹ = 0 ↔ (PowerSeries.constantCoeff k) φ = 0
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
x y : M
⊢ x ∈ S → y ∈ S → x * y ∈ S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
⊢ ¬(convexHull 𝕜) s = ∅ ↔ ¬s = ∅
x : ℂ
⊢ Complex.exp x - Complex.sinh x = Complex.cosh x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Sheaf J D
⊢ (CategoryTheory.sheafificationIso P).hom.val = (CategoryTheory.isoSheafify J ⋯).hom
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P) Filter.atTop Filter.atTop ↔ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
m M N : ℕ
i : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)
⊢ i ∈ compPartialSumSource m M N ↔ (m ≤ i.fst ∧ i.fst < M) ∧ ∀ (a : Fin i.fst), 1 ≤ i.snd a ∧ i.snd a < N
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ interior s = ∅ ↔ Dense sᶜ
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ ContinuousWithinAt Complex.log {z | 0 ≤ z.im} z
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : q.Monic
⊢ q ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Sum.inr_ C D).map f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ ↑s
⊢ a ∈ ↑(s.sdiff t ⊔ lowerClosure t)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
⊢ k ∉ (matPolyEquiv m).support → k ∉ (m i j).support
s : Set Cardinal.{u_1}
hs : BddAbove s
⊢ Cardinal.lift.{u, u_1} (sSup s) = sSup (Cardinal.lift.{u, u_1} '' s)
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
b c : α
⊢ ↑a⁻¹ * b = c ↔ b = ↑a * c
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
y : E b
⊢ { proj := b, snd := y } ∈ e'.source ↔ b ∈ e'.baseSet
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ n < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n
⊢ 0 ≤ max 0 x
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}
⊢ n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
α : Type u₁
X : (CategoryTheory.Discrete α)ᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Discrete.opposite α).functor.obj X).as = (Opposite.unop X).as
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
⊢ ↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * ↑(toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
LE α
x : α
⊢ Set.Accumulate s x = ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing T
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
⊢ NonUnitalSubring.map g f.range = (g.comp f).range
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ [].alternatingProd = ∏ i : Fin [].length, [].get i ^ (-1) ^ ↑i
x : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤
⊢ ¬hausdorffEdist t u = ⊤
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M'
this : (p : Submodule R M) → DecidableEq (M ⧸ p)
⊢ lift.{u, v} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) + lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)) = lift.{v, u} (Module.rank R M)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(aeval Subtype.val).range
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
⊢ x = y
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
⊢ { toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l) = l
S : Type u
CommRing S
X Y X' Y' : ModuleCat S
i : X ≅ X'
j : Y ≅ Y'
f : X ⟶ Y
⊢ (i.homCongr j) f = (i.toLinearEquiv.arrowCongr j.toLinearEquiv) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
x : E
g' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivAt f g' x
H : ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f' = g'
⊢ HasFDerivAt f f' x
α : Type u_1
p : α → Prop
t : Batteries.RBNode α
h : Batteries.RBNode.All p t
⊢ Batteries.RBNode.All p t.setRed
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ range f
⊢ ((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom).comp C = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)).comp C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ StrictConvex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
FiniteDimensional K V₁
f : Module.Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥
⊢ IsCompl (LinearMap.ker f) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_mono : Monotone S
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
n : ℕ
⊢ μ (S n) ≠ ⊤
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))
⊢ ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
σ φ : Type
c : σ
f : α → β → σ → σ × φ
x : α
y : β
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f (xs.snoc x) (ys.snoc y) c =
  let q := f x y c;
  let r := Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f xs ys q.1;
  (r.1, r.2.snoc q.2)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : (p * q).Monic
⊢ q.Monic
α : Sort uA
β : Sort uB
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
motive : Quotient s₁ → Quotient s₂ → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β), motive (Quotient.mk s₁ a) (Quotient.mk s₂ b)
q₁ : Quotient s₁
q₂ : Quotient s₂
⊢ motive q₁ q₂
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π.toSubordinate r).IsSubordinate r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
h : Unique ι
x : α
⊢ (∃ y, f y = x) ↔ x ∈ {f default}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
⊢ (zeroLocus (⋃ i, {f i}))ᶜ = Set.univ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_2
SMul M α
x : M
v : Fin 0 → α
⊢ x • v = ![]
A : Type u
CommRing A
IsDomain A
ValuationRing A
a b : A
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff i) * PowerSeries.X ^ i = ∑ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
⊢ (u ×ˢ v).card ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : D
⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).inv.app x = (adj2.rightAdjointUniq adj1).hom.app x
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ k₂ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = a -ᵥ p
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
hnot : k₁ = 1
⊢ False
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ v.IsEquiv v
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)
hgf : IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)
⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
f : R →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.ringLmapEquivSelf R S M) f = f 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ ∀ K ∈ ?m.51400, IsCompact K
α : Type u
f g : Ultrafilter α
h : ∀ (s : Set α), s ∈ f ↔ s ∈ g
⊢ f = g
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ ∀ s ∈ F, x ∈ closure s
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hx : e ∈ B₁ \ B₂
⊢ ∃ y ∈ B₂ \ B₁, M.Base (insert y (B₁ \ {e}))
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : MeasureTheory.Integrable φ μ
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
R : Type u_4
CommRing R
IsReduced R
p k : ℕ
m : ℕ+
ExpChar R p
ζ : Rˣ
⊢ ζ ^ (p ^ k * ↑m) = 1 ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R : Type u_5
One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
x : X
⊢ (f.mulIndicator hU) x = U.mulIndicator (⇑f) x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_5
CommRing P''
Algebra R P''
IsLocalization S P''
⊢ (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P').trans (FractionalIdeal.canonicalEquiv S P' P'') =
  FractionalIdeal.canonicalEquiv S P P''
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V
u : V
hu : u ∈ s
patches : ∀ {v : V}, v ∈ s → ∃ s' ⊆ s, ∃ (hu' : u ∈ s') (hv' : v ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩
⊢ (induce s G).Connected
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
x : R
⊢ ContinuousAt star x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_11, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_12, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D₃
H₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
R₁ : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
H₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
w : CategoryTheory.TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
H₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
E : C₂ ≌ C₃
E' : D₂ ≌ D₃
w' : H₂.comp E'.functor ≅ E.functor.comp H₃
L₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R₁₂ : CategoryTheory.Functor D₁ D₃
eL : L₁.comp E.functor ≅ L₁₂
eR : R₁.comp E'.functor ≅ R₁₂
⊢ (w.vComp' w'.hom eL eR).GuitartExact ↔ w.GuitartExact
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ μ.cofinite ↔ μ s < ⊤
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
⊢ 1 ≤ |M * ↑n - m|
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Finsubgraph
⊢ ↑(G₁ ⊔ G₂) = ↑G₁ ⊔ ↑G₂
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ SpectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x ^ 2 = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 / a = ma / mb
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ {x * y, x, y, 1}.card = 4
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
i : ι
⊢ (K.restriction e).X i = K.X (e.f i)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ ∀ (i : ↑f.sets), IsClosed (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
this : sizeOf u.step < sizeOf u
⊢ x✝.reduce.IsSpecial
G : Type u_3
AddGroup G
u v : UniformSpace G
hu : UniformAddGroup G
hv : UniformAddGroup G
h : 𝓝 0 = 𝓝 0
⊢ u = v
⊢ Filter.Tendsto (fun N => FormalMultilinearSeries.compPartialSumTarget 0 N N) Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
y : B
⊢ y ∈ Subalgebra.map f S ↔ ∃ x ∈ S, f x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.leftDerivedZeroIsoSelf.inv.app X) (F.fromLeftDerivedZero.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, (-↑x + 1) ^ (u - 1) * ↑x ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
z : R
f : (i : ι) → s i
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R z f = z • (PiTensorProduct.tprod R) f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.colimitHomIsoLimitYoneda' F A).hom
    (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.rightOp.comp (CategoryTheory.yoneda.obj A)) i) =
  (CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op).app A
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
h_zero : (fun x => x ^ p.toReal) 0 = 0
⊢ (fun x => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊) x ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x
M : Type u_1
AddZeroClass M
p₁ p₂ : AddSubmonoid M
⊢ Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x : M}, x ∈ p₁ → x ∈ p₂ → x = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s : Set G
z : ℤ
⊢ ContinuousOn (fun x => z • x) s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')
⊢ f (C.restrict (invFun ⇑f) c) = id (hC c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a / mabs a = (a⁻ᵐ ^ 2)⁻¹
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ StrictMono (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)))
α : Type u_1
ι : Type u_3
Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), t i ≤ t₀
ht : ∀ (i : ι), ∃ u, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = t i
⊢ ∃ u, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (F.map (CategoryTheory.inv f)) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p
⊢ -x ∈ p
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
CompleteLattice α
CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
⊢ l (sInf (u '' s)) = sInf s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
r : α → β → Prop
f₁ : α → γ
g₁ : β → δ
f₂ : γ → ε
g₂ : δ → ζ
a✝ : ε
b✝ : ζ
a : α
b : β
⊢ (∃ b_1 a_1, (r a b ∧ f₁ a = b_1 ∧ g₁ b = a_1) ∧ f₂ b_1 = a✝ ∧ g₂ a_1 = b✝) → r a b ∧ f₂ (f₁ a) = a✝ ∧ g₂ (g₁ b) = b✝
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ c + 1 ≤ succ c