ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
x' : E
hx' : x' ∈ s
Hx' : dist x y ≤ dist x' y
y' : E
hy' : y' ∈ t
Hy' : dist y x' ≤ dist y' x'
⊢ dist x y ≤ dist x' y'
R : Type u
M : Type v
ι : Type u_3
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → tsze R M
⊢ (∑ i ∈ s, f i).snd = ∑ i ∈ s, (f i).snd
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑s.re
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G : Type u_8
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddMonoid G
SmoothAdd I G
G' : Type u_9
TopologicalSpace G'
ChartedSpace H' G'
AddMonoid G'
SmoothAdd I' G'
self : SmoothAddMonoidMorphism I I' G G'
⊢ Smooth I I' (↑self.toAddMonoidHom).toFun
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
H : Set ι
x : M
hmem : x ∈ Submodule.span R (e '' H)
i : ι
⊢ (ε i) x ≠ 0 → i ∈ H
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
Field K
Algebra K L
IsDomain L
IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α
LocallyCompactSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn F f p K
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : CuspForm Γ k
z : ℍ
⊢ (f + g) z = f z + g z
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
⊢ Isometry ⇑(NormedAddGroupHom.id V)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
TopologicalSpace γ
T2Space γ
f : α → γ
a : α
hf : ContinuousAt f a
⊢ di.extend f (i a) = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 5 → β
⊢ f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (last 4) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback i i
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal i)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (f ≫ i) (g ≫ i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
s : AffineSubspace k P
⊢ (v +ᵥ s).direction = s.direction
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
x : M₁
⊢ (ContinuousLinearMap.inl R₁ M₁ M₂) x = (x, 0)
α : Type u
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).reverse = as.reverse ++ a :: List.nil
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
i : FunLike F α β
f : F
x y : α
h₂ : x = y
⊢ f x = f y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t✝ t : Finset β
⊢ 0 • t ⊆ 0
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
⊢ MvFunctor.LiftP p x ↔ ∃ a f, x = MvQPF.abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (MvQPF.P F).B a i), p (f i j)
α : Type u
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
h : l₁.Sublist l₂
⊢ (List.sublistsLen n l₁).Sublist (List.sublistsLen n l₂)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1
⊢ x = ↑y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ (↑s).tail = ↑s.tail
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homologyπ j ≫ (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).hom =
  (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).hom
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
x : E
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => √(f y)) x
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
⊢ (↑l).NodupKeys ↔ l.NodupKeys
V : Type u
G : SimpleGraph V
a : V
⊢ a ∉ G.neighborSet a
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C
⊢ α.app x✝ ≫ 𝟙 (H.obj (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B
⊢ Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L).toLinearMap (Submodule.map (Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B)) = 1 / Submodule.traceDual A K 1
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
dνκ_finite : levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤
⊢ levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
h : α ≃ β
h' : γ ≃ δ
f : α ↪ γ
⊢ (h.embeddingCongr h') f = Function.Embedding.congr h h' f
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ a ::ₛ Sym.ofVector v = Sym.ofVector (a ::ᵥ v)
k : Type u
inst✝⁵ : Field k
G : Grp
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype ↑G
inst✝² : Invertible ↑(Fintype.card ↑G)
V W : FDRep k ↑G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W
⊢ ↑(finrank k ↥(linHom W.ρ V.ρ).invariants) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ sᶜ =ᶠ[ae μ] tᶜ ↔ s =ᶠ[ae μ] t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.homogeneousHull 𝒜 I = ⨆ i, { toSubmodule := Ideal.span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }
s : ℝ
n : ℕ
⊢ (Complex.ofReal' ∘ s.GammaSeq) n = (↑s).GammaSeq n
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ x' = y'
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
⊢ Int
D : Type u_3
V : Type u_7
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MeasurableSpace D
BorelSpace D
SecondCountableTopology D
μ : MeasureTheory.Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : SchwartzMap D V
k n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖) μ
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : Bornology.IsBounded s
hy : y ∈ s
⊢ (edist x y).toReal ≤ (infEdist x s).toReal + (EMetric.diam s).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
⊢ image (fun i => f l[↑i]) univ = (List.map f l).toFinset
k : Type u
Field k
IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
⊢ p.roots = 0 ↔ p = Polynomial.C (p.coeff 0)
x y i : Nat
c : Bool
⊢ x % 2 ^ i + (y % 2 ^ i + c.toNat) < 2 ^ (i + 1)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
a b : Int
⊢ a.div b.sign = a * b.sign
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
⊢ 0 < log b o
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : LinearMap.GeneralLinearGroup R M
⊢ ↑((LinearMap.GeneralLinearGroup.generalLinearEquiv R M) f) = ↑f
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
⊢ conductor R pb.gen = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).Regular
⊢ μ = map (⇑f.symm ∘ ⇑f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
⊢ (if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊤) = if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id else ⊤
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t
⊢ x ∈ t
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G G' : D ⥤ E
e : G ≅ G'
G.CommShift A
G'.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom A
a : A
X : C
⊢ ((F.postcompIsoOfIso e).inv.hom a).app X = e.inv.app ((F.functor a).obj X)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ RightOrdContinuous ⇑e
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
⊢ (X ^ n).order = ↑n
α : Type u_1
IsEmpty α
⊢ Finset.univ = ∅
g : SL(2, ℤ)
⊢ ↑(T⁻¹ * g) 1 = ↑g 1
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure s ⊆ s ↔ IsClosed s
α : Type u_2
I : Type u_1
CommMonoid α
DecompositionMonoid α
z : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (↑t).Pairwise (IsRelPrime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : ι → ℝ≥0
hf_sum : Summable fun a => f a ^ p
hg_sum : Summable fun a => g a ^ q
⊢ (Summable fun a => f a * g a) ∧ ∑' (a : ι), f a * g a ≤ (∑' (a : ι), f a ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (a : ι), g a ^ q) ^ (1 / q)
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ MeasurableSet (⋂ (_ : x✝ ≥ x✝¹), ⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ x✝¹), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝) ((1 / 2) ^ i) ((1 / 2) ^ x✝²)})
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F
⊢ x ∈ connectedComponentIn F x
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
⊢ f ⁅g₁, g₂⁆ = ⁅f g₁, f g₂⁆
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
⊢ AntilipschitzWith 2 ⇑(Unitization.addEquiv 𝕜 A)
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
h✝ : NeZero b
⊢ J(a | b) ≠ 0
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ ⇑e.symm ∘ ⇑e = id
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s • t ∈ f • g
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
⊢ dist f g = ↑(Finset.univ.sup fun b => nndist (f b) (g b))
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
f : M →+ P
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddCon.kerLift f) = AddMonoidHom.mrange f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalSemiring R
v : m → R
A : Matrix m n R
w : n → R
⊢ ∑ x : m, ∑ i : n, v x * (A x i * w i) = ∑ x : n, ∑ x_1 : m, v x_1 * (A x_1 x * w x)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X)
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
IsDomain R
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i = ⊥
α : Type u_1
CommSemigroup α
a b : α
⊢ a ∣ b * a
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ : E
⊢ p.closedBall x₁ r₁ + p.closedBall x₂ r₂ ⊆ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ s.think ~ʷ t.think
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b
⊢ c * d < a * b
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
a : α
⊢ a ∈ s -ᵥ t ↔ ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ t, b -ᵥ c = a
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q
⊢ (AdjoinRoot.algEquivOfAssociated hp hpq).toFun = ⇑(AdjoinRoot.liftHom p (AdjoinRoot.root q) ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : (fun x x_1 => x + x_1) (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) = (fun x x_1 => x + x_1) p p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
⊢ (of A (0 + i)) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor F).hom.app j = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj j)).hom
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
⊢ (CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones.mkOfHasColimits F).coconePoints = F ⋙ CategoryTheory.Limits.colim
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => (c y).comp (d y)) s x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ ∀ (j : WalkingCospan), (limit.π (cospan g₁ g₂) j) ((forget TopCat).map (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩)) = (limit.π (cospan g₁ g₂) j) x✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s t : Seq α
⊢ map f (s.append t) = (map f s).append (map f t)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F T)) S)
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
u : αˣ
⊢ multiplicity (↑u) a = ⊤
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
hA : A.IsTrivial
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles A)
⊢ ∀ (a : Additive G), ((groupCohomology.oneCocyclesLequivOfIsTrivial A) f) a = (↑f ∘ ⇑Additive.toMul) a
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
p : Submodule R₁ M₁
x : ↥p
⊢ p.subtypeL x = ↑x
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
One β
f : α → β
TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
⊢ IsCompact (f ⁻¹' k)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteDistribLattice α
f : Filter β
u : β → α
s : Set β
DecidablePred fun x => x ∈ s
v : β → α
⊢ Filter.liminf (s.piecewise u v) f = (Filter.bliminf u f fun x => x ∈ s) ⊓ Filter.bliminf v f fun x => x ∉ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toIsometryEquiv = g.toIsometryEquiv ↔ f = g
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨅ x, f x = ⨅ x, a ⊓ f x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Encodable α
e : β ≃ α
n : ℕ
⊢ (decode n).bind (some ∘ ⇑e.symm) = Option.map (⇑e.symm) (decode n)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
A : e.symm ≫ₕ f ∈ G
B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G
C : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ∈ G
D : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ≈ (e.symm ≫ₕ e').restr s
⊢ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ ↑⟨n, npos⟩
⊢ (expand K q) f = f ^ q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
hc : ContinuousAt ((toFun 𝔖) f) x
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
V : Set α
hV : V ∈ 𝔖
hVx : V ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (a : (α →ᵤ[𝔖] β) × α) in 𝓝 (f, x), (Prod.mk ((toFun 𝔖) (f, x).1 (f, x).2) ∘ fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) a ∈ U ○ U
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (↑m * x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cone F.rightOp
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).fst = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).fst
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
x : { x // p x }
⊢ ↑x = ⊥ ↔ x = ⊥