ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α
⊢ x ∈ (insert a s).erase b ↔ x ∈ insert a (s.erase b)
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
a' b' : CategoryTheory.ActionCategory G X
f : a' ⟶ b'
⊢ ∃ a b g,
  ∃ (ha : a' = ⟨(), a⟩) (hb : b' = ⟨(), b⟩) (hg : a = g⁻¹ • b),
    f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ActionCategory.homOfPair b g) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype m
StarRing α
A : Matrix m n α
x : m → α
⊢ Aᴴ *ᵥ x = star (star x ᵥ* A)
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} (D i)
E : (i : I) → C i ≌ D i
⊢ (CategoryTheory.Equivalence.pi E).inverse = CategoryTheory.Functor.pi fun i => (E i).inverse
E : Type u_1
V : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
NormedAddCommGroup V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
w : V
hw : w ≠ 0
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + (fun w => (1 / (2 * ‖w‖ ^ 2)) • w) w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u✝ v✝ : α → 𝕜
u v φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ c * ‖v x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)))
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
m n : ℕ∞
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
⊢ 0 < μ (closedBall x r) ↔ 0 < r
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : M ≃ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ ⇑(e ^ n) = (⇑e)^[n]
k m n : Nat
⊢ n + k < n + m → k < m
R : Type u
AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ↑(n - m) = ↑n - ↑m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
x : M
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : f x = 0
y : M
⊢ (Submodule.liftQSpanSingleton x f h) (Submodule.Quotient.mk y) = f y
⊢ CategoryTheory.RelCat.opEquivalence.unitIso = CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id CategoryTheory.RelCat)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_7
Group N
f : G →* N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.range = ⊤
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : n → α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A (Matrix.diagonal b) =
  Matrix.blockDiagonal fun i => A.map fun a => a ⊗ₜ[R] b i
α : Type u_4
SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Filter.Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ¬Summable f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : I ≤ 1
⊢ I = (fun x => I * x) 1
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subsemiring R
x : R
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
v : ι → F
i : ι
⊢ Lagrange.basis {i} v i = 1
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => sin y ^ (n + 1)) (↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (-cos) (sin x) x
H : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 1) * sin x = sin b ^ (n + 1) * (-cos) b - sin a ^ (n + 1) * (-cos) a - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n * (-cos) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2) = (sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)
α : Type u_1
p : Option α → Prop
⊢ (∃ x x_1, p x) ↔ ∃ x, p (some x)
i : String.Iterator
⊢ sizeOf i = i.s.utf8ByteSize - i.i.byteIdx
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ (x * y).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ b ∈ ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support
M : Type u_1
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
⊢ a ∈ Submonoid.oneLE M ↔ 1 ≤ a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
h : x ∈ e.baseSet
⊢ proj (↑e.symm (x, y)) ∈ s ↔ x ∈ s
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ 2 * ↑π * I ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m < n
⊢ Disjoint (disjointed f m) (disjointed f n)
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
a x : α
h : IsAtom a
⊢ x < a ↔ x = ⊥
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯ = (minpoly K x).natDegree
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
⊢ Irreducible p
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
this✝¹ : Finite (E ⧸ p)
this✝ : Nontrivial (E ⧸ p)
this : Infinite (E ⧸ p)
⊢ False
n : Nat
⊢ n % 2 = 0 ∨ n % 2 = 1
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : Cone F
⊢ (limitCone h).extend (homOfCone h (coneOfHom h (homOfCone h s))) = coneOfHom h (homOfCone h s)
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
n : ℕ
⊢ u ^ ↑n = u ^ n
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
⊢ a ∉ s₁ → AList.lookup a (s₁ ∪ s₂) = AList.lookup a s₂
x y : ℝ*
hix : ¬x.Infinite
hiy : ¬y.Infinite
⊢ x.st < y.st → x < y
n : ℕ∞
⊢ ↑n.toNat = n ↔ n ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f✝ g✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f g : ι →₀ α
i : ι
⊢ i ∈ f.support ∪ g.support ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i ≠ 0
α : Type u_2
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LE α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ if p then a else b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 1
⊢ p₁ ≠ p₃
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : A × B
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.fst A B) self = self.1
α : Type u
IsEmpty α
⊢ #(Multiset α) = 1
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
b' : R[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) (a' * b')
hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b
this : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ IsUnit ((mapRingHom (algebraMap R K)) b' * C b.leadingCoeff)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => √(f y)) (f' / (2 * √(f x))) x
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Ideal.IsJacobson R
P : Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)
hP : P.IsMaximal
⊢ ((Ideal.Quotient.mk P).comp MvPolynomial.C).IsIntegral
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ : List α} {a : α} {l₂ : List α}, l₁.Disjoint (a :: l₂) ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂
α : Type u_1
PartialOrder α
Nonempty α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → BddAbove c
⊢ ∃ m, ∀ (a : α), m ≤ a → a = m
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (MvPolynomial.C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * MvPolynomial.X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ M ((MvPolynomial.monomial s) a)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ × α → β
⊢ ∑ p ∈ r, f p = ∑ c ∈ s, ∑ a ∈ t c, f (c, a)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R) = eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i)
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
A : Type u_1
B : Type u_2
Add A
Add B
Mul A
Mul B
Star A
Star B
e : A ≃+* B
h₁ : ∀ (a : A), e.toFun (star a) = star (e.toFun a)
⊢ ⇑{ toRingEquiv := e, map_star' := h₁ } = ⇑e
z : 𝔻
⊢ abs ↑z ≠ abs (-1)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map LieModuleHom.id (LieSubmodule.map (e.comp e.symm.toLieModuleHom) (posFittingComp R L M₂))
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ (P.coreflection i) (P.coroot j) = P.coroot j - P.pairing i j • P.coroot i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
TopologicalSpace β
T1Space β
SecondCountableTopology β
Nonempty β
f : α → β
h : ∀ (b : β), ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ b
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
s : Finset α
Fintype β
f : α ↪ β
⊢ (Finset.map f s).dens ≤ s.dens
G : Type u_1
AddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ AddAction.stabilizer Gᵃᵒᵖ ↑s = s.op
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.Localization.Lifting.iso L W (L.comp F) F = CategoryTheory.Iso.refl (L.comp F)
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
x : α
hx : ¬p x
⊢ Fintype.card { x // p x } < Fintype.card α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X' X : CategoryTheory.SimplicialObject C
f : X ⟶ X'
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1))) = f.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)) ≫ X'.σ i
α : Type u
f : Filter α
β : Type v
s : β → Set α
is : Finset β
⊢ ⋂ i ∈ is, s i ∈ f ↔ ∀ i ∈ is, s i ∈ f
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M
⊢ (a, m) ∈ f.graph ↔ f a = m ∧ m ≠ 0
α : Type u
β : Type v
Nonempty α
LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h : s.Finite
⊢ ∃ a, ∀ b ∈ s, f b ≤ f a
a : Quaternion ℝ
⊢ ‖star a‖₊ = ‖a‖₊
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
⊢ Prime a ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ∃ p, a = ↑p ∧ Nat.Prime p
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
⊢ 1 ≤ ‖S.normedMk‖
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
⊢ Order.succ a = a ↔ IsMax a
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
σ : ι₁ ≃ ι₂
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
⊢ MultilinearMap.domDomCongr σ f = MultilinearMap.domDomCongr σ g ↔ f = g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
ha : IsGreatest s a
hb : IsGreatest t b
⊢ IsGreatest (Set.image2 f s t) (f a b)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ n
h : m < n
⊢ hitting u s n m ω = m
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : IsEmpty α
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A ≃ₐ[S] B
g : C ≃ₐ[R] D
⊢ (Algebra.TensorProduct.congr f g).toLinearEquiv =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.congr f.toLinearEquiv g.toLinearEquiv
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔ G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ (f - g).toGerm = f.toGerm - g.toGerm
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ p.toSubMulAction = q.toSubMulAction ↔ p = q
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.Restriction M
⊢ M.restrict N.E = N
R : Type u
k : Type y
Field R
CommSemiring k
DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : Polynomial.eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
⊢ Polynomial.eval₂ ϕ α f = 0
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
a b : tsze R M
⊢ (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)
⊢ 1 = 1 + eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset γ
f : γ → β
⊢ Rel r s (map f t) ↔ Rel (fun a b => r a (f b)) s t
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ x + y = x ↔ x ≤ y
X Y Z : Grp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β
⊢ (∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
FiniteDimensional K V₁
f g : Module.Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
⊢ f = g
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
x y z : R
⊢ c x y → c y z → c x z
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
DecidableEq m
d : o → m → α
⊢ (Matrix.blockDiagonal fun k => Matrix.diagonal (d k)) = Matrix.diagonal fun ik => d ik.2 ik.1
x y : Class
⊢ y ∈ ⋃₀ x ↔ ∃ z ∈ x, y ∈ z
M : Type u_1
Add M
Subsingleton (AddSubsemigroup M)
⊢ Subsingleton M
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).birthday = o
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), y i < z i
⊢ y ∈ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set β → Filter γ
m : α → β
hg : Monotone g
⊢ (Filter.map m f).lift g = f.lift (g ∘ Set.image m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
γ : Path (p 0) (p ↑n)
hγ : range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
⊢ (IntermediateField.extendScalars h).toSubfield = E.toSubfield
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
⊢ c ≤ #↑s ↔ ∃ p ⊆ s, #↑p = c
α : Type u
x y : FreeCommRing α
s : Set α
hxs : x.IsSupported s
hys : y.IsSupported s
⊢ (x * y).IsSupported s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
⊢ s ∈ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.id C) (CategoryTheory.Functor.id C)} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Arrow.rightFunc.map f = f.right
x✝ y✝ : ℝ
x y : ℚ
⊢ const abs ↑x < const abs ↑y ↔ x < y
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : C(X, Mˣ)
x : X
⊢ ↑(ContinuousMap.unitsLift f)⁻¹ x = ↑(f x)⁻¹
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
K : Set X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f K μ
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
⊢ (∀ (x : S), ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x) ↔ ∀ (x : S), ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b
⊢ (a ⊔ b) \ b = a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ essSup (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
⊢ (X ^ p ^ n - C y).roots = p ^ n • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
w : F ≅ G
⊢ (P.coconePointsIsoOfNatIso Q w).hom = P.map t w.hom
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
⊢ ∀ (x : M) (i : Set H), (fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x i → IsPreconnected ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x i)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ⇔ b = b ⇨ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 < (2 * ε n) ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
r : Setoid α
⊢ EqvGen.Setoid Setoid.r = r
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
l : Module.Dual R M
i : ι
⊢ (b.dualBasis.repr l) i = l (b i)
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : AddSubmonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
⊢ AddLocalization.mk a₁ a₂ < AddLocalization.mk b₁ b₂ ↔ ↑b₂ + a₁ < ↑a₂ + b₁
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L.IsLocalization W
F₁ F₂ F₃ : CategoryTheory.Functor C E
F₁' F₂' F₃' : CategoryTheory.Functor D E
h₁ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₂ F₂'
h₃ : CategoryTheory.Localization.Lifting L W F₃ F₃'
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' τ)
    (CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₂ F₃ F₂' F₃' τ') =
  CategoryTheory.Localization.liftNatTrans L W F₁ F₃ F₁' F₃' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp τ τ')