ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ x ∈ map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i))
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
h0n : 0 < n
⊢ (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
haf : a ∉ f.support
⊢ Finsupp.erase a f = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → γ
g : β → γ
i : α
c : γ
⊢ Sum.elim (Function.update f i c) g = Function.update (Sum.elim f g) (Sum.inl i) c
α : Type u
n : ℕ
⊢ finRange n = [] ↔ n = 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedRing 𝕝
NormedSpace 𝕜 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
SMulWithZero 𝕝 E
IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s : Set E
x : E
SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖
⊢ b • x ∈ s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
self : Algebra.Presentation R S
⊢ Ideal.span (Set.range self.relation) = self.ker
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b
⊢ Pairwise r l
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
⊢ interior (frontier s) = ∅
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ P.IsCrystallographic ↔ ∀ (i j : ι), ∃ z, ↑z = P.pairing i j
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
⊢ Continuous (uncurry inner)
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
a : G
b : α
n : ℕ
⊢ a ^ (n % Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b) • b = a ^ n • b
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f v ^ g v
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
⊢ default = Finpartition.empty α
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.MapsTo (↑e.symm) e.target e.source
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A
x' : S
hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring
hx'' : ↑g x' = (algebraMap S S') (↑y ^ n * x)
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
f : α → E
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator f - t.indicator f) p μ = MeasureTheory.eLpNorm ((symmDiff s t).indicator f) p μ
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b✝¹ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R
b✝ b : ℕ
x✝ : 0 < b + 1
⊢ 0 ^ (b + 1) = 0
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
ha : a ≤ OrderHom.gfp f
⊢ f a ≤ OrderHom.gfp f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
⊢ u ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
k : ℕ
x : ℕ
⊢ x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ μ (MeasureTheory.toMeasurable μ s ∪ t) = μ (s ∪ t)
α : Type u_1
Monoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
j : Fin n
⊢ Fin.partialProd f j.succ = Fin.partialProd f j.castSucc * f j
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y ↔ 0 ≤ y - x
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : (n : ℕ) → E n
⊢ (s ∩ PiNat.cylinder x (PiNat.longestPrefix x s)).Nonempty
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
⊢ ↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val + (limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k))) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
⊢ ‖id V‖ = 1
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝¹⁸ : CommSemiring S
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring R'
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Algebra S R
inst✝¹³ : Algebra S R'
inst✝¹² : Module S M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S R M
inst✝⁷ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : Module R' M
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' M
inst✝³ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra R' A
⊢ { f // ∀ (x y : M), f x * f y = 0 } ≃ { fg // (∀ (x y : M), fg.2 x * fg.2 y = 0) ∧ (∀ (r : R') (x : M), fg.2 (r •> x) = fg.1 r * fg.2 x) ∧ ∀ (r : R') (x : M), fg.2 (x <• r) = fg.2 x * fg.1 r }
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulDysonETransform e x).2 = x.2 ∩ e⁻¹ • x.1
n : Nat
x : Fin (2 ^ n)
y : BitVec n
⊢ { toFin := x } + y = { toFin := x + y.toFin }
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun y => ∫ (x : α), ‖f (x, y)‖ ∂μ) ν
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Icc a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic c = Set.Icc a ↑c
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
x y : Pseudoelement P
a a' : Over P
h : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
R : C
p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left
q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left
ep : Epi p
w✝¹ : Epi q
comm : p ≫ ((fun g => app f g) a).hom = q ≫ ((fun g => app f g) a').hom
a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom
Z : C
g : P ⟶ Z
hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0
X : C
p' : X ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) a').left
q' : X ⟶ (Over.mk 0).left
ep' : Epi p'
w✝ : Epi q'
comm' : p' ≫ ((fun g_1 => app g g_1) a').hom = q' ≫ (Over.mk 0).hom
⊢ pseudoApply g (Quot.mk (PseudoEqual P) (Over.mk a'')) = pseudoApply g ⟦a⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
s : β → Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ ≤ ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
⊢ (⨆ ι, #↑↑ι) + ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R M
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
α : Type u_3
β : Type u_4
AddGroup α
a : α
AddAction α β
b : β
Fintype ↑(AddAction.orbit (↥(AddSubgroup.zmultiples a)) b)
⊢ Function.minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b = Fintype.card ↑(AddAction.orbit (↥(AddSubgroup.zmultiples a)) b)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y
⊢ Sbtw R w x z
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n
⊢ Module.rank R M < ℵ₀
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i}, ∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ ∂μ
F : Type u_1
Field F
S : Set F
⊢ IsSubmonoid (Field.closure S)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
h✝ : Subsingleton α
⊢ normalizedFactors s.prod = (Multiset.map normalizedFactors s).sum
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
h : f ≤ g
⊢ μ.FiniteAtFilter g → μ.FiniteAtFilter f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
⊢ μ A = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ A), ⨆ (_ : IsCompact K), μ K
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (Icc a b).Subsingleton ↔ b ≤ a
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n a : A
⊢ a ∈ 1 ↔ a ∈ span R {1}
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))
⊢ (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
x : M
⊢ (quotTensorEquivQuotSMul M I).symm (Submodule.Quotient.mk x) = 1 ⊗ₜ[R] x
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ (insert a s).IsWF ↔ s.IsWF
α : Type u_2
AddZeroClass α
s : Set α
t : Set α
ht : 0 ∈ t
⊢ s ⊆ s + t
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
m : ℕ
⊢ (List.enumFrom n l).get? m = Option.map (fun a => (n + m, a)) (l.get? m)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b : α
⊢ 1 / a * b = b / a
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
i : (nim ↑n + nim ↑m).LeftMoves
⊢ ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue ≠ ↑(n ^^^ m)
a b : Prop
l : List Prop
h_chain : List.Chain (fun x x_1 => x → x_1) a (b :: l)
h_last : l.getLastD b → a
⊢ (a :: b :: l).TFAE
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
x y : ℝ
hx : x ∈ unitInterval
hy : y ∈ unitInterval
⊢ x * y ∈ unitInterval
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ : F
y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ y₁ * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) + y₂ * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) +
    W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (x₁ - x₂) =
  0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
⊢ (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_5
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
⊢ LinearMap.trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
CompactSpace α
⊢ Bornology.IsBounded s
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
⊢ (A * B).FermatPsp b
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ x ∈ affineSegment R x y
x : SetTheory.PGame
⊢ 1 * x ≈ x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
⊢ ↑(ν.map f) A = ↑ν (f ⁻¹' A)
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hG : exponent G = p
g : G
hg : g ≠ 1
⊢ orderOf g = p
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot
⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun c => f (a, c) (seq n)) (ν a)
α : Type u
a : α
CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
h : m ≤ n
⊢ a ^ n ∈ I
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.Equation P ↔
  P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 =
    P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S T : Submonoid M
⊢ Submonoid.comap f (Submonoid.map f S ⊔ Submonoid.map f T) = S ⊔ T
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
ι : Type u_8
𝕜 : Type u_9
RCLike 𝕜
E : Type u_10
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : DirectSum.IsInternal V
a : Fin n
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV' =
  ((DirectSum.IsInternal.sigmaOrthonormalBasisIndexEquiv hn hV hV').symm a).fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hst : _root_.Disjoint s (t.erase a)
⊢ a ∉ t.erase a ∧ _root_.Disjoint s (t.erase a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ a.norm = 1 ↔ ↑a.norm = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ ⊆ s₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
m : Fin 0 → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x) m = f x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ Continuous fun x => x.1 :: x.2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : R
⊢ (∃ x_1 ∈ I.prod J, (RingHom.fst R S) x_1 = x) ↔ x ∈ I
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
⊢ h.coeff z i = 0
α : Type u_1
X Y : Set α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_7
h : F
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
t : Set N
⊢ c • ⇑h ⁻¹' t ⊆ ⇑h ⁻¹' (σ c • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
hf : ∀ (i : ι), Measurable fun x => ↑(f i x)
⊢ Measurable fun x => ↑(g x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : m ≃ n
⊢ x ∘ ⇑e ⬝ᵥ y ∘ ⇑e = x ⬝ᵥ y
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
Field L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
Algebra.IsAlgebraic K L
ϕ : L →ₐ[K] L
⊢ (Algebra.IsAlgebraic.algEquivEquivAlgHom K L).symm ϕ = AlgEquiv.ofBijective ϕ ⋯
α : Type u_1
a b c d : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
a0 : 0 ≤ a
d0 : 0 < d
⊢ a * c < b * d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ (∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s) ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 X) (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).inv =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (𝟙_ C)).hom
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
∀ (A : adj.toMonad.Algebra), CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonAdjunction adj).unit.app A).f =
  (adj.homEquiv A.A (CategoryTheory.Limits.coequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))))
    (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
hS : S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
⊢ Quotient.mk'' ↑((Subgroup.MemRightTransversals.toEquiv hS) q) = q
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
X : CostructuredArrow S T
⊢ (eqToHom ⋯).left = eqToHom ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_6
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
Zero E
TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 A ↔ ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ J.plusMap η ≫ J.plusLift γ hR = J.plusLift (η ≫ γ) hR
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
z : V
hz : z ∈ p
hyq : 0 • x + z ∈ q
hyp : 0 • x + z ∉ p
⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
⊢ Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
x : ↑C
⊢ (Profinite.NobelingProof.Products.eval C l) x = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j
⊢ m ≫ (IsPullback.cone small_k).snd = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).snd
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
X : Type u_8
f : X → (i : ι) → π i
⊢ TopologicalSpace.induced f Pi.topologicalSpace = ⨅ i, TopologicalSpace.induced (fun x => f x i) inferInstance
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S) = S
M : Type u_1
α : Type u_3
SMul M α
a : M
b : α
⊢ a • some b = some (a • b)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Ico (↑n) (↑n + 1) = univ
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (isoProd X Y).inv = lift prod.fst prod.snd
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s =ᶠ[l] t
h' : s' =ᶠ[l] t'
⊢ s ∪ s' =ᶠ[l] t ∪ t'
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
X₁ Y₁ : C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : C₂
X₃ : C₃
⊢ (((CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁₂ G).map φ).app X₂).app X₃ = (G.map ((F₁₂.map φ).app X₂)).app X₃
x : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → (-x).InfiniteNeg
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Semiring A₃
Algebra R A₁
Algebra R A₂
Algebra R A₃
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₃
x : A₃
⊢ (e₁.trans e₂).symm x = e₁.symm (e₂.symm x)