ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0
⊢ (w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + (w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ t, w i • z i = (w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + ((∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹) • ∑ i ∈ t, w i • z i
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
⊢ |log 2 - 287209 / 414355| ≤ 1 / 17179869184 + (1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc b a ∪ Ioc c b) μ
α : Type u_1
p : α → Bool
b : α
l : List α
⊢ List.findIdx p (b :: l) = bif p b then 0 else List.findIdx p l + 1
P✝ : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝² : Finite α
X : α → CompHausLike P✝
inst✝¹ : HasExplicitFiniteCoproduct X
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P
a : α
e_2✝ : ↑(finiteCoproduct.cofan X).pt.toTop = (forget (CompHausLike P✝)).obj (finiteCoproduct X)
⊢ ⇑(homeoOfIso ((colimit.isColimit (Discrete.functor X)).coconePointUniqueUpToIso (finiteCoproduct.isColimit X))) ∘ ⇑(Sigma.ι X a) = ⇑(finiteCoproduct.ι X a)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ici a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic b = Set.Icc a ↑b
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
⊢ f = g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
⊢ (Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ (Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) r = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_2
Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
s : ↥S
⊢ (OreLocalization.universalMulHom f fS hf) (r /ₒ s) = ↑(fS s)⁻¹ * f r
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
hJ : J ≤ I
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).IsHenstock ↔ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
⊢ Absorbs G₀ (⋂₀ S) t ↔ ∀ s ∈ S, Absorbs G₀ s t
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝
⊢ ↑↑x✝ = ℚ⟮⋯.choose⟯
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ s = ⋃ i ∈ s, i
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
A : Set G
⊢ μ (-A) = μ A
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
CommSemiring R
N₁ : Type u_6
AddCommMonoid N₁
Module R N₁
N₂ : Type u_7
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N : Type u_8
AddCommMonoid N
Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
σa : ι₁ ≃ ι₃
σb : ι₂ ≃ ι₄
⊢ MultilinearMap.domDomCongr (σa.sumCongr σb) (a.domCoprod b) =
  (MultilinearMap.domDomCongr σa a).domCoprod (MultilinearMap.domDomCongr σb b)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : M
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P) (AddMonoid.Coprod.inl (AddMonoid.Coprod.inl x)) = AddMonoid.Coprod.inl x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
⊢ R v = w
k : ℕ
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ Summable (HurwitzKernelBounds.f_nat k a t)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b ⊆ Ι b a
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
ι' : Type u_7
M' : ι' → Type u_8
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] M' i
⊢ ⇑(ContinuousAlternatingMap.pi f) = fun m j => (f j) m
p x : ℝ
r : ℚ
⊢ LiouvilleWith p (↑r - x) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
h : x ∈ xs
⊢ map (fun y => s(x, y)) xs <+ xs.sym2
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addXYZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.111353, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.111357, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A
X : C
⊢ τ.app ((shiftFunctor C a).obj X) = (F₁.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor D a).map (τ.app X) ≫ (F₂.commShiftIso a).inv.app X
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
hb : 1 < b
⊢ n * b < a * b ^ (n + 1)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ s ∈ map (Prod.map f f) atTop
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
⊢ TotallyBounded {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ log 8 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
x : Lean.Omega.Coeffs
m : Nat
⊢ (x.bmod m).length ≤ x.length
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M → M'
⊢ ContMDiff (I.transDiffeomorph e) I' n f ↔ ContMDiff I I' n f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f✝ : α → β
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ ⊤) (𝓤 β)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
p.NeBot
⊢ ContinuousOn f s
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ algebraMap (MvPolynomial σ R) (MvPolynomial σ S) = MvPolynomial.map (algebraMap R S)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.isLimit F).lift c = CategoryTheory.Limits.limit.lift F c
Ω : Type u_1
a b : ℝ
N : ℕ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω ≤ N
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
⊢ (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(2 * a / 2 | b) else J(2 * a / 2 | b)) = J(2 * a | b)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.dZeroArrowIso A).inv.right = ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A).symm
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
⊢ ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Disjoint (f.tailings i n) (OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)))
q✝ q : ℚ
⊢ q⁻¹ = ↑q.den /. q.num
α : Type u
Preorder α
a : α
s t p : Set α
hs : IsGLB s a
hp : IsGLB p a
hst : s ⊆ t
htp : t ⊆ p
⊢ IsGLB t a
V : Type u
G : SimpleGraph V
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ t ∈ (p.append p').support.tail ↔ t ∈ p.support.tail ∨ t ∈ p'.support.tail
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map f (W.addPolynomial x y L)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
h : ↑↑(sign σ) * ↑↑(sign (τ * σ⁻¹)) = ↑↑(sign τ)
⊢ (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ x : n, M ((τ * σ⁻¹) x) x
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
⊢ (Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)) = cocompact ((d : ι) → X d)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ (e.trans e').target = ↑e' '' (e'.source ∩ e.target)
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : L
ht : IsPrimitiveRoot t ↑n
⊢ g t = t ^ (ModularCyclotomicCharacter.toFun n g).val
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
x : M
⊢ (f.lift hg) (f.toMap x) = g x
E : Type u_1
i : SeminormedAddCommGroup E
r : ℝ
v : ↑(Metric.sphere 0 r)
⊢ ↑(-v) = -↑v
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
g : β → α
f : ι → β
⊢ sSup (range (g ∘ f)) = sSup (range fun i => g (f i))
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
n : σ
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (MvPolynomial.X n) = g n
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
hU : U ≤ f.opensRange
⊢ f.app U ≫ (f.appIso ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U)).inv = Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y
hxz : f x < f z
⊢ f z < f y
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
⊢ ‖f‖ ≤ M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ M
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => ↑n) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
a : α
ha : a ∈ Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
⊢ b ≤ ↑f (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x =
  (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderiv 𝕜 f x)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i b < Ordinal.nfpFamily f a) ↔ b < Ordinal.nfpFamily f a
R : Type u
CommRing R
q p : R[X]
⊢ q.modByMonicHom p = p %ₘ q
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Function.Injective f
x y : α
⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y
x✝ y x : ℝ
⊢ √(x * x) = |x|
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq G.ConnectedComponent
⊢ LinearIndependent ℝ G.lapMatrix_ker_basis_aux
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
b : α
l : List α
⊢ insertionSort r (b :: l) ~ b :: l
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
m : ℤ
f : E → 𝕜
hf : Differentiable 𝕜 f
h : (∀ (x : E), f x ≠ 0) ∨ 0 ≤ m
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => f x ^ m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
⊢ (fun a => max (f a) (g a)) ∈ measurableLE μ ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ X.δ j.succ ≫ X.δ (i.castLT ⋯) = X.δ i ≫ X.δ j
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ (-1) ^ (Fintype.card l + Fintype.card l) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
⊢ Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s
⊢ ⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ (⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i)) / ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c✝ d a b c : K
⊢ a / c - b / c = (a - b) / c
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0
ps_zero : p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)
a : Set α
ha₁ : MeasurableSet a
ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n
ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a
⊢ ↑v a ≤ ↑w a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ closure (f i), ContinuousWithinAt g (f i) x
x : X
⊢ ContinuousWithinAt g (⋃ i, f i) x
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f false
⊢ true = false
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = b ⇔ a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this✝ : PreservesColimits G
this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f
⊢ HasCokernel f
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
K : Set α
hK₁ : IsCompact K
hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1
C : ℝ
hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C
x y : α
this : ∀ (x : α), f x ∈ closedBall 0 (max C 1)
⊢ dist (f x) (f y) ≤ max C 1 + max C 1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : ¬M ⊨ φ
⊢ ¬N ⊨ φ
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → n • ⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a✝
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
a b : 𝕜
hb1 : a - p < b
hb2 : b < a
⊢ ∃ e, a ∈ e.source ∧ QuotientAddGroup.mk = ↑e
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h : 0 < n
⊢ ∃ a b, (b + 1) ^ 2 * (a + 1) = n ∧ Squarefree (a + 1)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
⊢ S₂.LeftHomologyData
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
hε : |p| / 2 ≤ ε
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ Any P (node size✝ l x r) ↔ ∃ x_1, Any (Eq x_1) (node size✝ l x r) ∧ P x_1
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
m : M
s t : ↥S
⊢ Localization.mk r s • LocalizedModule.mk m t = LocalizedModule.mk (r • m) (s * t)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
f : (i : ι) → s i
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R 0 f = 0
α : Type u
x : α
s : Set α
⊢ x ∈ insert x s
p n : ℕ
hp : 1 ≤ padicValNat p n
h : ¬p ∣ n
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∉ l.dedup
⊢ ∀ b ∈ pwFilter (fun x x_1 => x ≠ x_1) l, a ≠ b
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
g : C(X✝, Z)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ι.comp f
x : ↑s
this : r.comp (ContinuousMap.restrict s g) = r.comp (ι.comp f)
⊢ (ContinuousMap.restrict s (r.comp g)) x = f x
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd
i : ι
⊢ mk x ⋯ ≤ mk (g i) ⋯
a : ENNReal
h : a ≠ 0
⊢ 0 < a / 2
α : Type u_1
⊢ ofBoolRing.symm = toBoolRing