ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ K ∈ 𝓝 0
ι : Type u_1
Fintype ι
⊢ Bornology.IsBounded (stdSimplex ℝ ι)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ CategoryTheory.IsIdempotentComplete C ↔ ∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → CategoryTheory.Limits.HasEqualizer (𝟙 X) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J K : Type
Finite J
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
Finite K
f g : J → C
h : K → C
m : (k : J) → f k ⟶ g k
n : (j : J) → (k : K) → g j ⟶ h k
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.map m ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix n =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun j k => m j ≫ n j k
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
hc : c ≠ 0
hf : LSeriesSummable (c • f) s
⊢ LSeriesSummable f s
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Subsingleton α
a : Associates α
this : Subsingleton (Associates α)
⊢ a.factors = ⊤
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
self : r ↪r s
a b : α
⊢ s (self.toEmbedding a) (self.toEmbedding b) ↔ r a b
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
c : V
q : Quiver.Path b c
⊢ (p.comp q).toList = q.toList ++ p.toList
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ ↑b = ↑a
x : ℂ
⊢ cos (↑π / 2 - x) = sin x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
f : R →+* R ⧸ span {↑p} := mk (span {↑p})
h : f a = f b
hf : ∀ (r : R), ↑p ∣ r ↔ f r = 0
⊢ ↑p ∣ ∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j ∈ insert k s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M (r :: rs) ↔
  IsSMulRegular M r ∧ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) rs
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
⊢ IsGLB ∅ ⊤
L : FirstOrder.Language
α : Type w'
⊢ (L.withConstants α).card = Cardinal.lift.{w', max u v} L.card + Cardinal.lift.{max u v, w'} (Cardinal.mk α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
hs : s.Nonempty
hb : ∀ a ∈ s, a ≤ b
⊢ sSup s ≤ b
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᵐ[μ] s
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ IsCoprime v (u - ⌊ξ⌋ * v)
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
x y : AddOreLocalization S R
z : AddOreLocalization S X
⊢ x + y +ᵥ z = x +ᵥ (y +ᵥ z)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ y ∈ I → y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
f g : DirectSum ι fun i => M i
h : ∀ (i : ι), (DirectSum.component R ι M i) f = (DirectSum.component R ι M i) g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(r • j).toSignedMeasure i = ↑(r • j.toSignedMeasure) i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), μ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler (o.rightAngleRotation x)) (o.rightAngleRotation y) = (o.kahler x) y
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Mul M
Mul N
Semigroup P
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
mn : M × N
⊢ (f.noncommCoprod g comm) mn = f mn.1 * g mn.2
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ (lowerBounds s ∩ t).Nonempty → BddAbove (f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
f : X ⟶ Z
⊢ α.homFromEquiv f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.inv f
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = a ∧ a ≤ b ∨ min a b = b ∧ b < a
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
f : MvPolynomial σ R
this : C a • D f = D (C a * f)
⊢ C a • D f = a • D f
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hps : ∀ x ∈ s, p x
⊢ p (a * s.prod)
R : Type u
CommRing R
f : R
⊢ IsUnit ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)) f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = ((D.f i j).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⊥ = ⊤
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a 0 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a⁻¹ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℤ
⊢ (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n
θ : ↑I
⊢ unitInterval.qRight (0, θ) = 0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x + a) '' Set.Iio b = Set.Iio (b + a)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α * β)).Gal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
h : f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k
q : ℚ
left✝ : 0 ≤ q
lt_q : ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k < ↑(↑q).toNNReal
q_lt : ↑(↑q).toNNReal < f a
this : ↑(↑q).toNNReal ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k
⊢ False
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
⊢ Injective (⇑(aeval x).toRingHom ∘ ⇑(MvPolynomial.map (algebraMap R K)))
f : ZFSet → ZFSet
PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
⊢ y ∈ ZFSet.map f x ↔ ∃ z ∈ x, z.pair (f z) = y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
⊢ parallelepiped ⇑b = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑b = Icc (-1) 0
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
⊢ (x ◃ y) ◃ x ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
⊢ BddAbove ↑(lowerClosure s) ↔ BddAbove s
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a * c * (b / c) = a * b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0
hμs : μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} = 0
⊢ μ s = 0
K : Type u_1
RCLike K
⊢ Continuous ⇑(starRingEnd K)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[L', μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
⊢ Tendsto (fun i => μ (Accumulate f i)) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (Accumulate f i)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
⊢ e.congrRight.counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun F => F.associator e.inverse e.functor ≪≫ CategoryTheory.isoWhiskerLeft F e.counitIso ≪≫ F.rightUnitor) ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x : α
y : β
⊢ e.symm y ≤ x ↔ y ≤ e x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Add G
a b : AddMonoidAlgebra k G
⊢ (a * b).support ⊆ a.support + b.support
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
⊢ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ = ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ iInf f ↔ ∃ t, s ∈ ⨅ i ∈ t, f i.down
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ
⊢ ¬Acc r (f k)
α : Type u_3
β : Type u_4
DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
⊢ (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
⊢ (if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then Measure.comap (embeddingReal Ω) (η a) else Measure.comap (embeddingReal Ω) (Measure.dirac (Exists.choose ⋯))) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.unop.X₃ = Opposite.unop S.X₁
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
β : Type u_7
MeasurableSpace β
i i' : δ
h : i = i'
f : β → π i
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ⋯.mp (f x)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra ℚ R
I : Ideal R
a b : ℕ
h_ab : ↑a = ↑b
hI : a ≠ b
⊢ ↑a - ↑b ≠ 0
α : Type u_2
CommSemigroup α
s t : Set α
⊢ (s ∪ t) * (s ∩ t) ⊆ s * t
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
p : { x // x ∈ s } → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p s.attach =
  Finset.map { toFun := Subtype.map id ⋯, inj' := ⋯ } (Finset.filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩) s).attach
α : Type u_1
l : List α
m : Nat
acc : Array α
xs : List α
n : Nat
⊢ l = acc.data ++ xs → List.dropSliceTR.go l m xs n acc = acc.data ++ List.dropSlice n (m + 1) xs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
⊢ OneOneEquiv p q → OneOneEquiv q r → OneOneEquiv p r
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
⊢ closure {1} = ⊥
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
h : ∃ g, orderOf g = Nat.card α
⊢ IsCyclic α
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
h : OpenEmbedding f
⊢ OpenEmbedding (s.restrictPreimage f)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).unitIso.inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : r ≤ 1
⊢ log b r = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ κ a ≪ η a
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
F G : Paths V ⥤ C
h_obj : F.obj = G.obj
h : ∀ (a b : V) (e : a ⟶ b), F.map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.toPath ≫ eqToHom ⋯
⊢ ∀ (X : Paths V), F.obj X = G.obj X
i : Nat
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate i).eval v = v.get i
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a
⊢ a ∆ b = a \ b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t
f : α × β → E
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫ (a : α) in s, ∫ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
n : ℕ
_hn : n ≠ 0
hm : 1 ≠ 0
hmn : Coprime 1 n
⊢ 1 (1 * n) = 1 1 * 1 n
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (∃ j, i = j.castSucc) ∨ i = Fin.last n
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ c / b ≤ c / a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : Cofork f g
i : s.pt ≅ t.pt
w : autoParam (s.π ≫ i.hom = t.π) _auto✝
⊢ t.π ≫ i.inv = s.π
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
𝕜' : Type u_13
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
AddCommGroup E
Module 𝕜' E
SMul 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
p : Seminorm 𝕜' E
⊢ ⇑(Seminorm.restrictScalars 𝕜 p) = ⇑p
m n₁ n₂ : ℕ
⊢ ack m (max n₁ n₂) = max (ack m n₁) (ack m n₂)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ico A B)) l fun i => Set.Icc (a i) (b i)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
a : (Quotient.out (succ o)).α
⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) a < succ o
R : Type u
CommRing R
Fintype R
R' : Type v
CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
⊢ χ ↑a * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑a) = gaussSum χ ψ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e₁ : α ↪ β
e₂ : γ ↪ δ
⊢ ⇑(e₁.prodMap e₂) = Prod.map ⇑e₁ ⇑e₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ⊤.verts = Set.univ
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
h : Multiset.card s = n
⊢ ↑(Sym.mk s h) = s
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ IsConj a b ↔ conjugatesOf a = conjugatesOf b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b c x : R
h : a * x * x + b * x + c = 0
⊢ b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
G : Type u_1
Add G
a : G
⊢ ⇑1 = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α
⊢ reverse 1 = 1
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = m * (r * s)
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi : m = i ^ 2 ∨ m = -i ^ 2
hi' : ¬m = -i ^ 2
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)
⊢ Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : ¬n < HahnSeries.order f
⊢ f.coeff n = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
⊢ Finsupp.erase a f = f.update a 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p ↔ CategoryTheory.HasLiftingProperty p.unop i.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsOpen (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R S : CategoryTheory.Sieve X
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ (R ⊓ S).arrows f ↔ R.arrows f ∧ S.arrows f
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : MulAction G₀ α
inst✝² : MeasurableSpace G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSMul G₀ α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ MeasurableSet (a • s)
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f
n m : Nat
h₁ : LE.le n m
h₂ : LE.le m n
⊢ Eq n m
α : Type u
β✝ : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
β : α → Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
x : (i : α) × β i
⊢ (x ∈ t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) ↔ x ∈ filter (fun a => a.fst ∈ t) s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1
⊢ False
L : FirstOrder.Language
T T' : L.Theory
h : T'.IsSatisfiable
hs : T ⊆ T'
⊢ T.IsSatisfiable
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
Semiring S
SMul R S
Module S M
IsScalarTower R S M
⊢ Submodule.span R s ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S s)
X Y : Type u
e : X ≃ Y
⊢ e.toIso.inv = ⇑e.symm
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
u : kˣ
h : (PowerSeries.constantCoeff k) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u = φ⁻¹
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
⊢ c • x ≠ 0 ↔ c ≠ 0 ∧ x ≠ 0