ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
hk : k < (List.ofFn.go f i j h).length
⊢ (List.ofFn.go f i j h).get ⟨k, hk⟩ = f ⟨j + k, ⋯⟩
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
s : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsClosed s ↔ ∃ I, s = X.zeroLocus ↑I
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (IsLocalization.integerNormalization R⁰ p).primPart
⊢ IsUnit p
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
p : ℤ
hp : Prime p
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
⊢ p ∣ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
CompleteLattice δ
f : FrameHom γ δ
g : FrameHom β γ
h : FrameHom α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ hS.singleTriangleIso.inv.hom₂ = ((DerivedCategory.singleFunctorsPostcompQIso C).inv.hom 0).app S.X₂
α : Type u_1
r : Rel α α
s : RelSeries r
irrefl : Irreflexive r
⊢ s.length = 0 ↔ {x | x ∈ s}.Subsingleton
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).ε ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = (LaxMonoidalFunctor.id D).ε
m : ℕ
inst✝¹ : NeZero (m + 1)
inst✝ : Fintype (ZMod (m + 1))ˣ
⊢ (∑ a : ZMod (m + 1), if a.val.Coprime (m + 1) then 1 else 0) = ∑ i : Fin (m + 1), if (↑i).Coprime (m + 1) then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y
f : E →L[ℝ] ℝ
s t : ℝ
hs : ∀ a ∈ {x}, f a < s
st : s < t
ht : ∀ b ∈ {y}, t < f b
⊢ ∃ f, f x < f y
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
l : Combinatorics.Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
e : η
h : l.idxFun i = Sum.inr e
⊢ ↑l x i = x e
p' : ℕ
⊢ (mersenne (p' + 2)).minFac ≠ 2
p np : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat p np → LucasLehmerTest np → LucasLehmerTest p
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : L → R
⊢ ↑(LieModule.weightSpace M (χ ∘ ⇑⊤.incl)) = ↑(LieModule.weightSpace M χ)
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ ⇑f.val.base '' Set.univ = Set.univ ∩ Set.range ⇑f.val.base
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ hV.linearIsometry (W₀.sum (lp.single 2)) = W₀.sum fun i => ⇑(V i)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
hF : F.Final
hFG : (F ⋙ G).Final
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
⊢ ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
L' : FirstOrder.Language
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
x : M
S : L'.Substructure M
⊢ x ∈ φ.substructureReduct S ↔ x ∈ S
x : ℝ
⊢ oddKernel 0 x = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (-o).rightAngleRotation x = -o.rightAngleRotation x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
u : β → α
v : γ → β
f : Filter γ
⊢ Filter.limsup (u ∘ v) f = Filter.limsup u (Filter.map v f)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
p : Submodule R M
hp : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : f.IsSemisimple
⊢ Module.End.IsSemisimple (LinearMap.restrict f hp)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 X).c.app U = 𝟙 (X.presheaf.obj U)
b a : Nat
h : ¬b ≤ a
⊢ ↑(a - b) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (y : β) in s, f y ∂MeasureTheory.Measure.map g μ = ∫⁻ (x : α) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ
R : Type (u + 1)
Ring R
X Y : CondensedMod R
f : X ⟶ Y
S T : CompHausᵒᵖ
g : S ⟶ T
x : ↑(X.val.obj S)
⊢ (f.val.app T) ((X.val.map g) x) = (Y.val.map g) ((f.val.app S) x)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hy : y.Numeric
ihyx : IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ y.moveLeft k < y.moveRight (toLeftMovesNeg.symm l)
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ UniversallyClosed f ↔ (topologically @IsClosedMap).universally f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b x : α
⊢ x ≠ a → x ≠ b → (Equiv.swap a b) x = x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates ↥R⁰
⊢ ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (x * y)) = ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) * ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) y)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
⊢ (pderiv 0) (X 1 ^ 2 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * X 2 + C W.a₃ * X 1 * X 2 ^ 2 - (X 0 ^ 3 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * X 2 + C W.a₄ * X 0 * X 2 ^ 2 + C W.a₆ * X 2 ^ 3)) = C W.a₁ * X 1 * X 2 - (C 3 * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X 0 * X 2 + C W.a₄ * X 2 ^ 2)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a b : MvPolynomial σ R
⊢ (a - b).totalDegree = (a + -b).totalDegree
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
p : X → Prop
a : X
ha : a ∈ {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}
hb : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[≠] a, p x
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] a, p y
p n k b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnb : Nat.log p (n + k) < b
⊢ padicValNat p ((n + k).choose k) = (Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Finset.Ico 1 b)).card
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier s = (interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
⊢ s ⊆ balancedCore 𝕜 t
L : List ℕ
⊢ L.tail.sum = L.sum - L.headI
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => x ^ n / ↑n !) (exp 𝕂 x)
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ Valuation.comap (Ideal.Quotient.mk J) (v.onQuot hJ) = v
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ ((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f n = (Γ₀.splitting K[X]).φ ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f n
β : Type ub
x : β
V W : Set (β × β)
⊢ UniformSpace.ball x (V ∩ W) ⊆ UniformSpace.ball x W
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ 𝟙 (X.presheaf.obj (op U)) = invApp f U ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : (LinearMap.ker l).FG
⊢ Module.FinitePresentation R N
p : ℝ[X]
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
X : Set α
⊢ M.closure (insert e (M.closure X)) = M.closure (insert e X)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y = x ↔ Disjoint x y
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (p + q).Monic
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ.rnDeriv ν =ᵐ[ν] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
A : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup A)
Af : Antitone f
A_nonemp : A.Nonempty
A_bdd : BddAbove A := by bddDefault
⊢ f (sSup A) = sInf (f '' A)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp ppred pred : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1) = ppred
succ_nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1 + 1) = pred
⊢ g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α
⊢ (¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ IsUnit x ↔ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s✝ t : Set α
E : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike E α β
inst✝ : OrderIsoClass E α β
e : E
s : Set α
hs : s.OrdConnected
⊢ (⇑(↑e).symm ⁻¹' s).OrdConnected
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C
⊢ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ ((α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom ≫ (α_ U Y.fst X.fst).inv) ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 (OrderDual.ofDual x) = Filter.map (⇑OrderDual.ofDual) (𝓝 x)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ
h3 : 3 < 4 + n
⊢ { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }.toPoly.coeff (4 + n) = (↑f).coeff (4 + n)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
h : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Red L₂ (FreeGroup.reduce L₁)
x y : ℂ
⊢ cexp (x + y) = cexp x * cexp y
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b ≠ Ordering.gt ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (gauge s) x
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
⊢ S₂.LeftHomologyData
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r✝ : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
r : ι → ι → Prop
hwf : WellFounded r
x y : (i : ι) → β i
hlt : x < y
⊢ ∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i
α : Type u_2
Add α
⊢ ⇑Filter.pureAddHom = pure
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
l : Filter E
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖f‖ l ⇑f fun x => x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
CommMonoid β
MeasurableMul₂ β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
f : ℕ → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (∏ j ∈ Finset.range n, f j) (f n) κ μ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
⊢ ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in t ∩ g⁻¹ • s, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g⁻¹ • (g • t ∩ s), f x ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∡ p₂ p₁ p₃ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : T3Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd g a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
hf' : Multipliable f
⊢ HasProd f a
S : LightProfinite
C : Type u_1
D : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : CreatesLimit K F
c : Cone (K ⋙ F)
t : IsLimit c
n : J
this : (liftedLimitMapsToOriginal t).hom.hom ≫ c.π.app n = F.map ((liftLimit t).π.app n)
⊢ (liftedLimitMapsToOriginal t).inv.hom ≫ F.map ((liftLimit t).π.app n) = c.π.app n
L : List ℕ
⊢ L.headI ≤ L.sum
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m
hj₂ : u j ω ∈ s
this : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
β : Type u_2
DecidableEq β
Fintype β
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
⊢ (g.extendDomain f).support = Finset.map f.asEmbedding g.support
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : e ∈ ⋂ J ∈ Js, M.closure J
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)
⊢ N (S.attach.sup f) ≤ M'
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : A
⊢ (↑𝕜 a).toProd.1 = (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
X_1 : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{1}
⊢ (CategoryTheory.Limits.asEmptyCone X).π.app X_1 = id (CategoryTheory.Discrete.casesOn X_1 fun as => ⋯.elim)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 1 f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX)) C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ πY = πX
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorMapSrc f πX πY φ hφ)
    (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πY) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.SmallObject.functorObjTop f πX) φ
α : Type u
as bs : List α
⊢ (as ++ bs).length = as.length + bs.length
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
f : α → β
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n
⊢ Sym.map f (Sym.mk m hc) = Sym.mk (Multiset.map f m) ⋯
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup
⊢ ↑(A.unitGroupToResidueFieldUnits x) = (Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)) ↑(A.unitGroupMulEquiv x)
α : Type u_3
M : Type u_6
DecidableEq α
AddCommMonoid M
f : α → M
l : List α
_hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.sum f = (List.map f l).sum
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
Unique ι
f : ι → α
⊢ ⨆ i, f i = f default
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
s : Set H
hs : IsAddSubgroup s
⊢ IsAddSubgroup (f ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α
⊢ (f.trans g) a = none ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∉ f a ∨ c ∉ g b
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ val ⁻¹' (t ∩ s) = val ⁻¹' t
α : Type u
i : Nat
a : Array α
⊢ i ≤ i
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'
⊢ ((of R).symm (0 • x)).coeff x✝ = ((of R).symm 0).coeff x✝
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j
⊢ (((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j') x = ((fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f) x
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
⊢ IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ Monotone (AddSubmonoid.comap f)
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ ^ 2 = ‖z - 1‖ ^ 2
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ Multiset.map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
hUV : U ≠ V
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y