ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t 𝒰 f g i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
a b : Π₀ (i : ι), α i
⊢ Pi.Lex r (fun {i} => s i) ⇑a ⇑b = DFinsupp.Lex r s a b
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
⊢ a - b < a - c ↔ c < b
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (partialSups f) n ≤ x✝ ↔ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f ≤ x✝
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
⊢ a < (b ^ a).ord.cof
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
self : CategoryTheory.ComonadHom M N
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.app X) (N.δ.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.δ.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.app (M.obj X)) (N.map (self.app X)))
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H ≠ ⊥ ↔ ∃ a, a ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
⊢ x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 * 1
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hsl : s ∈ l
hs : s.Subsingleton
⊢ ∃ a, l = pure a
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝² : Quiver U
inst✝¹ : Quiver V
inst✝ : Quiver W
h : HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
⊢ reverse (reverse f) = f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
⊢ inv ((F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)) = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ m₂) m₃).inv.app X
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
OrderTop α
LE β
OrderTop β
f : BotHom αᵒᵈ βᵒᵈ
a : αᵒᵈ
⊢ (TopHom.dual.symm f) a = f a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base x).asIdeal ↔
  ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
C : Set X
hC : IsClosed C
hC' : IsClosed (⇑f '' C)
⊢ IsClosed (⇑f.symm ⁻¹' C)
α : Type u_1
β : Type u_2
Semiring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β
⊢ PosSMulMono α β ↔ PosSMulStrictMono α β
m n : ℕ
⊢ ↑(Nat.bitwise (fun x y => !x && y) m n) = -[m+1].land (ofNat n)
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => (fourier (-n)) ↑y) (-2 * ↑π * Complex.I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x) x
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
x : X
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ 0 < μ (Metric.ball x r)
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
⊢ IsPiSystem {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
this : Summable (fourierCoeff ⇑F)
⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = F ↑x
α : Type u_2
Preorder α
MulOneClass α
⊢ ⇑(OrderMonoidHom.id α) = id
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Equiv.Perm.sumCongr 1 1 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
v : ι → M
i j : ι
h : v i = v j
hij : i ≠ j
⊢ f v = 0
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
⊢ ∃ a, f = rotation a ∨ f = Complex.conjLIE.trans (rotation a)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
⊢ ⇑(CoheytingHom.id α) = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
h : Y ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = f ↔ h = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8
fg : (α →₀ M) × (β →₀ M)
y : β
⊢ ((Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R).symm fg) (Sum.inr y) = fg.2 y
X : Compactum
x : X.A
⊢ (β.η.app X.A ≫ X.a) x = x
x y : SetTheory.PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)
⊢ x ≈ y
α : Type u_3
LE α
self : Flag α
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) self.carrier
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational (↑(-q) + (↑q + x))
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
f f' : M₂
⊢ smulRight 1 f = smulRight 1 f' ↔ f = f'
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ l s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < 0
⊢ False
b : ℝ≥0∞
⊢ IsOpen (Set.Ico 0 b)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
Zero ι
AddMonoidWithOne R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
SetLike.GradedOne A
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ A 0
x : ℝ
⊢ Real.arccos (-x) = π - Real.arccos x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
Field K
Field L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
⊢ Algebra.discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis =
  (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f) → StronglyMeasurable l.prod
hl : StronglyMeasurable f ∧ ∀ x ∈ l, StronglyMeasurable x
⊢ StronglyMeasurable (f :: l).prod
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
M : Type u_1
AddMonoid M
s : AddSubmonoid M
⊢ s ≤ AddSubmonoid.centralizer ↑(AddSubmonoid.centralizer ↑s)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ dist x y = ↑(nndist x.1 y.1 ⊔ nndist x.2 y.2)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
⊢ re ↑x < re ↑y ∧ im ↑x = im ↑y ↔ x < y
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L' ⟶ L.comp G
F : CategoryTheory.Functor C H
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).map φ).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N₁ N₂ P₁ P₂ : Submodule R M
hn : N₁ ≤ N₂
hp : P₁ ≤ P₂
⊢ N₁.colon P₂ ≤ N₂.colon P₁
α : Type u_1
M : Matroid α
I X B : Set α
hIX : M.Basis I X
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
⊢ M.Base I
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : 2 • a < b + c
⊢ a < max b c
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
⊢ ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s ≤ μ'.haarScalarFactor μ • μ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.trivial C = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.injective C ≤ CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
ha : a < 0
⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0
α β : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
f : β → α
h : Ordinal.type r ≤ Ordinal.sup (Ordinal.typein r ∘ f)
⊢ Set.Unbounded r (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
H : Type u_4
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
ChartedSpace H H'
x : M'
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ writtenInExtChartAt I I (↑(chartAt H' x) x) (↑(chartAt H' x).symm) y = y
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
f : α → α → α
a b : α
a' b' c : ℕ
⊢ f = HAdd.hAdd →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' →
    Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → a'.add b' = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (f a b) c
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I
⊢ a ∈ {a}
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + o₁.repr < ω ^ e.repr * ↑↑n₂ + o₂.repr
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Set (Additive M)
⊢ AddSubmonoid.toSubmonoid' (AddSubmonoid.closure S) = Submonoid.closure (⇑Multiplicative.ofAdd ⁻¹' S)
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ ↑(Fin.castAdd m i) = ↑i
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)
⊢ ↑↑(ζ ^ ((χ₀ n h).val * (χ₀ n g).val)) = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n h * χ₀ n g).val)
α : Type u_1
xs : FreeAddMonoid α
⊢ FreeAddMonoid.ofList (FreeAddMonoid.toList xs) = xs
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
⊢ IsLocalHomeomorphOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
⊢ f.augmentedCechNerve.right = f.right
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
φ : σ
⊢ f (X φ) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X φ)
α : Sort u
β : Sort v
p : α → Prop
e : α ≃ β
⊢ (∃ a, p a) ↔ ∃ b, p (e.symm b)
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
inst✝ : Invertible 2
⊢ (QuadraticMap.associated (-Q)).toQuadraticMap = 0 - Q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.trivial C).one = 𝟙 (𝟙_ C)
G : Type u_1
Group G
G' : Type u_2
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass G' ≤ Group.nilpotencyClass G
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Set (Set α)
hc : 2 < c
hunion : ∀ (S : Set (Set α)), #↑S < c → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋃₀ S ∈ l
hmono : ∀ t ∈ l, ∀ s ⊆ t, s ∈ l
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.ofCardinalUnion l hc hunion hmono ↔ l sᶜ
n : ℕ
x✝ : Decidable (↑n).Dom
⊢ (↑n).toWithTop = ↑n
x y : ℝ
n : ℕ
ih : log (0 ^ n) = ↑n * log 0
⊢ log (0 ^ (n + 1)) = ↑(n + 1) * log 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Prop} {l : Batteries.RBNode α} {v : α} {r : Batteries.RBNode α},
  Batteries.RBNode.All p l → p v → Batteries.RBNode.All p r → Batteries.RBNode.All p (l.balLeft v r)
M : Type v
Monoid M
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj M) (Type u)
s : ↑J.sections
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.sections.equivFixedPoints J) s) = ↑s (CategoryTheory.SingleObj.star M)
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ : F
y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) -
    W.negY (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) =
  ((y₂ - W.negY x₂ y₂) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) -
      (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) /
    (x₂ - x₁)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ closure K = ⋃ x ∈ K, {y | Inseparable x y}
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set E
Semiring 𝕝
Module 𝕝 E
Module 𝕝 F
LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
⊢ StrictConvex 𝕜 (⇑f '' s)
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ -(↑2 * ↑π * -I * ↑↑n * cexp (↑2 * ↑π * -I * ↑↑n * (starRingEnd ℂ) z + ↑π * -I * ↑↑n ^ 2 * (starRingEnd ℂ) τ)) = ↑2 * ↑π * I * ↑↑n * cexp (↑2 * ↑π * I * ↑↑n * -(starRingEnd ℂ) z + ↑π * I * ↑↑n ^ 2 * -(starRingEnd ℂ) τ)
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ f.cycleFactorsFinset = {f}
a b : ℕ+
⊢ Fintype.card ↑(Set.uIcc a b) = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
⊢ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = s.snd
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y
⊢ ContinuousOn f s
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (((kroneckerMapBilinear f) A) B).det = (((kroneckerMapBilinear f) A) 1 * ((kroneckerMapBilinear f) 1) B).det
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddCon.ker AddMonoid.Coprod.mk = AddMonoid.coprodCon M N
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J F
hG' : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G ≤ G'
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
⊢ μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
c : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ ⋯) f = c • (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₂ : α
b₁ : β
⊢ Finset.Ico (Sum.inr b₁) (Sum.inl a₂) = ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
this : ↑(Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = ↑(Multiset.count (normalize ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))))
⊢ (R ⧸ I)[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (coeff R (n + 1)) (X * φ) = (coeff R n) φ
β : Type u_1
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
f : (i : ι) → β → X i
⊢ IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i}
α : Type u_1
as : Array α
⊢ as.zipWithIndex.size = as.size
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 * p.2
α : Type ua
UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ i, UniformSpace.ball (xs i) U = Set.univ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 0 < n
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E
v : Fin n → F
⊢ (p.comp q n) v = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (q.applyComposition c v) + (p 1) fun x => (q n) v
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedSinZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaOdd a s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
Nonempty α
CompactSpace α
f : BoundedContinuousFunction α β
M : ℝ
⊢ ‖f‖ < M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
⊢ Finset.filterMap f ∅ f_inj = ∅
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
d : ℕ
⊢ MvPolynomial.degreeOf n f ≤ d ↔ ∀ m ∈ f.support, m n ≤ d
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Disjoint (Bornology.cobounded α) (𝓝 x)
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ Polynomial.map T.subtype (p.toSubring T hp) = p
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a * b ≤ c ^ 2
⊢ min a b ≤ c
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
r : A
hr : r ∈ (aeval x).range
⊢ r ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∑ g : { g // g i = j }, ∏ k : ι, w k (↑g k) = w i j