ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
AddCommMonoid N'
Module R N'
TopologicalSpace N'
f : M [⋀^ι]→L[R] N
g : M [⋀^ι]→L[R] N'
m : (i : ι) → (fun x => M) i
⊢ (f.prod g) m = (f m, g m)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ
⊢ (I.stableFiltration N).N i = I ^ i • N
a b : Prop
h : a = False
⊢ (a → b) = True
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : dist a₁ b₁ ≤ r₁
h₂ : dist a₂ b₂ ≤ r₂
⊢ dist (a₁ - a₂) (b₁ - b₂) ≤ r₁ + r₂
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal + ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasLimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K
⊢ pre F E₂ ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝ = (pre F E₁ ≫ lim.map (whiskerRight α F)) ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ f m = 0 ↔ ∃ s', s' • m = 0
x y : ℝ
h : (∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * Real.pi / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * Real.pi / 2
⊢ Real.tan (x + y) = (Real.tan x + Real.tan y) / (1 - Real.tan x * Real.tan y)
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
⊢ Polynomial.eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑φ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d) (d • c') s x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
⊢ ∀ (a : β × β), (∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i a.1, (u ∘ Subtype.val) i a.2) ∈ V) → a ∈ S ×ˢ S → ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i a.1, (u ∘ Subtype.val) i a.2) ∈ U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 ⋯) f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ IsZero T.obj₁ ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
R : Type u_1
Mul R
a : R
ca : ∀ (b : R), Commute a b
h : IsLeftRegular a
⊢ IsRightRegular a
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
⊢ (f * g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U
⊢ (∃ a, ↑a = x) → x ∈ ↑U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
k : R
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ z₁.comp (k • z₂) h = k • z₁.comp z₂ h
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ (M.restrictSubtype M.E)✶ = M✶.restrictSubtype M.E
a b c : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
⊢ a / b ≤ c
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ ‖-x‖ = ‖x‖
z : ℂ
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd ℂ) z * ↑(Complex.normSq z)⁻¹
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
huv : G.Reachable u v
hvw : G.Reachable v w
⊢ G.Reachable u w
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
⊢ ↑(a /. b) = ↑a / ↑b
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
m : α
⊢ l.minimum = ↑m ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → m ≤ a
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
⊢ (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.tau f) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨x • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity
α : Type u
UniformSpace α
β : Type v
UniformSpace β
T0Space β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ CauchyFilter.extend f (CauchyFilter.pureCauchy a) = f a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop
⊢ (∃ a, P a) ∨ ∀ (a : α), ¬P a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, TopologicalSpace.IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₁ : S.P T.obj₁
h₂ : S.P T.obj₂
⊢ CategoryTheory.isoClosure S.P T.obj₃
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : IsBigOWith d (𝓝[>] 0) f fun x => x ^ (-b)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
x : M
n : ℕ∞
h : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
⊢ ContMDiffAt I I n (↑e) x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr✝ : r ∈ Ioi 0
hr : 0 < r
⊢ (fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)
n : ℕ
⊢ (finRotate (n + 1)) (Fin.last n) = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : (minpoly A x).coeff 0 = 0
⊢ x = 0
z : ℂ
⊢ Complex.abs z ^ 2 = Complex.normSq z
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ (isoOfEquivalence e w).inv ≫ limit.π F j = limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
α : Type u_1
p : α → Prop
H : ∀ {x : α}, p x
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p t
x : ℂ
y z : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f g : ι →₀ α
⊢ f + g = 0 ↔ f = 0 ∧ g = 0
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
⊢ (n * a + 1).Coprime (m * a + 1)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
MulZeroOneClass R
a : α
e : Sym2 α
Nontrivial R
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e = 1 ↔ e ∈ G.incidenceSet a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
h : ¬i = j
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (fourier (-i + j)) x ∂haarAddCircle = 0
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * p).roots = p.roots
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
⊢ ((ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr (f m)) i = (algebraMap R Rₛ) ((b.repr m) i)
L : Type v
self : LieRing L
x y z : L
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
⊢ p.rev.predAbove i = (p.predAbove i.rev).rev
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
Φ : κ → Finset ι := fun k => (b.repr (v k)).support
w₁ : #ι ≤ #↑(range Φ)
⊢ lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #κ
m n : ℕ
⊢ (if m < n then n * n + m else m * m + (m + n)) < max m n * max m n + (max m n + (max m n + 1))
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
CommMonoid α
e : ι ≃ κ
f : ι → α
g : κ → α
h : ∀ (x : ι), f x = g (e x)
⊢ ∏ x : ι, f x = ∏ x : κ, g x
E' : Type u_4
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace ℂ E'
CompleteSpace E'
T : E' →L[ℂ] E'
⊢ T.IsPositive ↔ ∀ (x : E'), ↑(RCLike.re ⟪T x, x⟫_ℂ) = ⟪T x, x⟫_ℂ ∧ 0 ≤ RCLike.re ⟪T x, x⟫_ℂ
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : EDist α
inst✝ : EDist β
x y : WithLp p (α × β)
x' : α × β
f g : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist f g = (if edist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if edist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommGroup γ
f g : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_sub : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ - b₂) = h i b₁ - h i b₂
this : ((f - g).sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)) = (f.sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)) - g.sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)
⊢ (f - g).sum h = f.sum h - g.sum h
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p : 𝕜
⊢ ↑p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this✝ : Nonempty β
this : ∀ (m : β), f m ≤ g n
⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective fun x => ↑x
X Y : GrpWithZero
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget GrpWithZero).map f = ⇑f
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι
⊢ ((b.dualBasis.toDual ∘ₗ b.toDual) (b i)) (b.dualBasis j) = ((Dual.eval R M) (b i)) (b.dualBasis j)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
O n o : ℕ
ho : o ≤ O
n' : ℕ
hn : n ≤ n + n'
⊢ (revAt (n + n' + O)) (n + o) = (revAt (n + n')) n + (revAt O) o
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (φ - φ') =
  CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ - CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ'
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ ‖term f s n‖ = if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
⊢ IsAlgebraic R 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g
⊢ h.isoPullback.inv ≫ snd = pullback.snd f g
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
b : β
⊢ UniformContinuous fun x => b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ μ[fun a => f (X a, Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᶠ[ae μ] fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0
g : ι' → ℝ≥0
a : ℝ≥0
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ f i + g j
⊢ ↑a ≤ (⨅ i, ↑(f i)) + ⨅ i, ↑(g i)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
S₁ T₁ : NonUnitalStarSubalgebra R B
⊢ S ≤ T → S₁ ≤ T₁ → S.prod S₁ ≤ T.prod T₁
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
⊢ hd :: tl <+ l'
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp : ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᶠ[ae μ] fun a => (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ((Functor.const J).obj ↑F.sections).obj j
⊢ (((Functor.const J).obj ↑F.sections).map f ≫ (fun j u => ↑u j) j') x = ((fun j u => ↑u j) j ≫ F.map f) x
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
⊢ M.Dep X
α : Type u_2
Preorder α
p q : α → Prop
h : ∀ (a : α), p a → q a
x : { x // p x }
⊢ ↑((Subtype.orderEmbedding h) x) = ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ sesqFormOfInner.IsAdjointPair sesqFormOfInner A (LinearMap.adjoint A)
a n : ℕ
⊢ 1 < a → 1 < n → ¬a ^ n ∣ a
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.map p = CategoryTheory.Limits.biproduct.map' p
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
⊢ Function.Surjective ⇑imaginaryPart
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
⊢ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct (((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯) ≤ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct ((closure (L[[↑A]])).toFun s)
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + -(↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s / 2) = ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + ↑(SignType.sign (-(↑n + 1) + a)) / ↑|-(↑n + 1) + a| ^ s / 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
z : ℂ
⊢ Complex.tan (2 * z) = 2 * Complex.tan z / (1 - Complex.tan z ^ 2)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a c✝ c : α
⊢ a ∣ c * a
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsPath
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).IsPath
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') x
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
x : Y
hx : x ∈ s
⊢ e.source ∈ 𝓝 (↑e.symm x)
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
⊢ s ⊆ interior (⇑(AffineMap.homothety x t) '' s)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
a✝¹ b✝¹ c✝ d m n a✝ b✝ c a b : ℤ
⊢ a < b ∨ ¬a < b
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ ⋃ i, ↑(Hom.opensRange (𝒰.map i)) = ↑⊤
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ re (I * z) = -im z
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.fromStructuredArrow F).obj c).pt = c.right
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ closure {0} = {x | ‖x‖ = 0}
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 (Multiplicative.ofAdd x) = Filter.map (⇑Multiplicative.ofAdd) (𝓝 x)
α : Type u
β : Type v
n : ℕ
f : α → β
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ Mathlib.Vector.map f (Mathlib.Vector.cons a v) = Mathlib.Vector.cons (f a) (Mathlib.Vector.map f v)