ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ IsUnit ((X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h✝ : m ≤ m'
xs ys : List α
h : ⟦xs⟧ ≤ ⟦ys⟧
⊢ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ≤ Multiset.sym2 ⟦ys⟧
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₀ f' x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
⊢ ⇑(v.toOrthonormalBasis hv).repr = ⇑v.equivFun
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
⊢ Continuous ⇑(algebraMap R A) ↔ Continuous fun p => p.1 • p.2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3) ≠ 1
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (if P then a else b) = b ↔ ¬P
m n✝ n : ℕ
⊢ ↑(Nat.gcdA 0 (n + 1)) = 0
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B u → u = u'
⊢ HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ (HNNExtension.NormalWord.cons g u w h1 h2).toReducedWord =
  HNNExtension.of g * (HNNExtension.t ^ ↑u * HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w.toReducedWord)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
⊢ ContinuousOn f univ
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal' M).blockDiag' = M
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
t : Set α
⊢ t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, (i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i) ∧ ball x i ⊆ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ Monotone (CategoryTheory.Sieve.pushforward f)
α : Type u_1
⊢ RegularExpression.matches' 0 = 0
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
⊢ v +ᵥ ⊤ = ⊤
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
d : n → α
i j : n
h : i ≠ j
⊢ Matrix.diagonal d i j = 0
a : Cardinal.{u_1}
b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 < b
⊢ a < b ^ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ WithSeminorms (ContinuousLinearMapWOT.seminormFamily 𝕜 E F)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospan f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left = X
G : Type u_2
DivisionMonoid G
⊢ ⇑(MulEquiv.inv' G) = MulOpposite.op ∘ Inv.inv
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : ↑p ^ i = 0
⊢ i = n
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
⊢ (∑ x ∈ s, f x).sum t = ∑ x ∈ s, (f x).sum t
⊢ SurjOn sin (Icc (-(π / 2)) (π / 2)) (Icc (-1) 1)
n a : ℕ
ha : Even a
⊢ Even (n % a) ↔ Even n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X ⟶ Y
⊢ F.map ((α.homCongr β) f) = ((F.mapIso α).homCongr (F.mapIso β)) (F.map f)
c₁ c₂ : Cardinal.{u_3}
⊢ c₁.ord < c₂.ord ↔ c₁ < c₂
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = MeasureTheory.eLpNorm' g q μ
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ countP (fun a => p ↑a) (↑l).attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in residual X, p x) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = (AlgebraicTopology.DoldKan.P n).f n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ ((⨅ i ∈ I, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (eval i) (𝓝 (x i)) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
k✝ : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k✝
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k✝ V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k✝ V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k✝ V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k✝ V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
k : Type u_10
inst✝ : LinearOrderedField k
f : k →ᵃ[k] k
a b : k
⊢ ⇑f '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (f a) (f b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyFunctor C).map φ = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ a ⋖ Order.succ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+o β
⊢ (OrderAddMonoidHom.id β).comp f = f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
⊢ ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝ : Invertible 2
x y : M
⊢ LinearMap.IsOrtho (associated Q) x y ↔ Q.IsOrtho x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : IsNoetherianRing ↑Γ(X, U)
this : IsNoetherianRing ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ NoetherianSpace ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ Monotone (⇑toLex ∘ Sum.inl)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'
a : PosNum
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trPosNum a ++ [Γ'.cons]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trPosNum a.succ ++ [Γ'.cons]) [] c d }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ ∀ x ∈ N, x = 0
C : Type u
self : CategoryTheory.LocallyDiscrete C
⊢ CategoryTheory.LocallyDiscrete.locallyDiscreteEquiv self = self.as
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Antivary f g₁
h₂ : Antivary f g₂
⊢ Antivary f (g₁ * g₂)
b : ℕ
m : ℕ
h : 1 < b
p : b.digits m ≠ []
q : b.digits (m / b) ≠ []
⊢ (b.digits m).getLast p = (b.digits (m / b)).getLast q
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α
⊢ Nat.card (α ⧸ s) ∣ Nat.card α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
⊢ ((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) + ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt c)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
a : F
ha : f a ∈ s
⊢ (f a)⁻¹ ∈ s
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₁.unit.app c) (α.app (L₁.obj c)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app c)
    (R₂.map (((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter X
⊢ ∀ s ∈ l, ∀ᶠ (a : X) in l, s ∈ pure a
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ∅ ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
⊢ count K v (∏ᶠ (w : HeightOneSpectrum R) (_ : w ≠ v), ↑w.asIdeal ^ exps w) = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
⊢ (∡ p₁ p p₂).cos = Real.cos (∠ p₁ p p₂)
α : Type u_3
Ring α
a x y : α
h : SemiconjBy a x y
n : ℤ
⊢ SemiconjBy a (↑n * x) (↑n * y)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.post F H ≫ H.map (CategoryTheory.Limits.colim.map α) =
  CategoryTheory.Limits.colim.map (CategoryTheory.whiskerRight α H) ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.post G H
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : ↑(y.1⁻¹ * x.1) = 1 ∧ ↑(x.2 * y.2⁻¹) = 1
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ A.rank = Fintype.card { i // hA.eigenvalues i ≠ 0 }
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
UniformSpace E
UniformAddGroup E
AddCommGroup F
UniformSpace F
FirstCountableTopology E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
RCLike 𝕜'
Module 𝕜' F
ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
UniformAddGroup F
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → Bornology.IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
⊢ Continuous ⇑f
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm} (f : X ⟶ Y),
  (HomologicalComplex.opInverse V c).map f = Quiver.Hom.op { f := fun i => (f.f i).unop, comm' := ⋯ }
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ Set.Iio ↑γ ∈ 𝓝 0
X : Type u_2
EMetricSpace X
s t : Set X
h : s ⊆ t
⊢ dimH s ≤ dimH t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ evalEval x y (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
⊢ FG L N
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
⊢ ContinuousAt inverse ↑x
G : Type u_2
AddGroup G
⊢ ⊥.op = ⊥
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
⊢ IsCyclotomicExtension {n} A B ↔ (∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ ∀ (x : B), x ∈ adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}
G : Type u_3
CommSemigroup G
a b c : G
⊢ a * b * c = b * c * a
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ HasSum (Pi.single b a) a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
boxes : Finset (WithBot (BoxIntegral.Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint).iUnion = ⋃ J ∈ boxes, ↑J
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ioi a)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
⊢ ↑z ∈ span s✝
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
f : M →* P
⊢ Function.Injective ⇑(Con.kerLift f)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : k ≤ s.card
a : Fin k
⊢ (s.orderEmbOfCardLe h) a ∈ s
X Y : Type u
Semigroup X
Semigroup Y
e : X ≃* Y
⊢ ∀ (a : X), e.toSemigrpIso.hom a = e.toFun a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
e : (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (Finsupp.embDomain u (b.repr x)) = ↑⟨x, p⟩
⊢ ⟨x, p⟩ ∉ (Finsupp.embDomain u (b.repr x)).support
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Semiring C
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : B →ₐ[R] C
⊢ (g.comp f).toLinearMap = g.toLinearMap ∘ₗ f.toLinearMap
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableVAdd G α
c : G
⊢ MeasurableEmbedding fun x => c +ᵥ x
α : Type u_1
a : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 0 < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ f '' ∅ = ∅
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
self : f.HasCore S
⊢ (f.domRestrict S).closure = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Irreducible p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α
hab : q = a * b
⊢ q * ↑u⁻¹ = a * (b * ↑u⁻¹)
n : ℕ
⊢ factoredNumbers (Finset.range n) = factoredNumbers n.primesBelow
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ IsIntegral R h.root
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Semifield S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra S A
ContinuousFunctionalCalculus S q
Algebra R S
Algebra R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
CompactSpace ↑(spectrum S a)
g : R → R
⊢ cfc g a = cfc (fun x => (algebraMap R S) (g (f x))) a
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α
⊢ IsLUB (f '' s) (⨆ x ∈ s, f x)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ (x + y).coeff a = x.coeff a + y.coeff a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
h : ∃ a, ∀ b ≥ a, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
⊢ ¬Summable f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : MvQPF.Cofix F α
h : x.dest = y.dest
⊢ x = y
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addXYZ (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = ⇑f ∘ W'.addXYZ P Q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
⊢ AntivaryOn f g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ Continuous ⇑f
n : ℕ
a : UInt16
⊢ n • a = { val := n • a.val }
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ Set.range f
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (f ⁻¹' s)
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i : I
⊢ Pi.single i 0 = 0
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
⊢ {x * y, x, y, 1}.card = Fintype.card G
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜).symm 1 = 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖
α : Type u_1
l : List α
⊢ Quot.mk Setoid.r l = ↑l
R : Type u_1
CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
t : Finset ℕ
ht : ∀ p ∈ t, Nat.Prime p
⊢ f (∏ a ∈ t, a) = ∏ a ∈ t, f a
R : Type u_2
Zero R
Γ : Type u_3
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
⊢ x.order ≤ g
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : a ≤ b
δ : α
⊢ ↑(Set.Icc.addNSMul h δ 0) = a
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
r : R
⊢ (C r).Separable ↔ IsUnit r
R : Type u_1
CommMonoid R
⊢ Squarefree 1
α : Type u_1
s : Finset α
n : ℕ
i : { x // x ∈ s } ≃ Fin n
⊢ s.card = n
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω → ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in L, ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ↑((fs n) a) ≤ (fun x => ↑c) a
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ (∃ a, s = {a}) ↔ ∃! a, a ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) x
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < deriv^[2] (fun x => x * log x) x
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
⊢ ↑(pos p).bit0 = ↑(pos p) + ↑(pos p)