ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
b : I.R
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.multicofork I).ι.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right b) =
  CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f : X ⟶ Y
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ f.app Δ = s.ι (unop A.fst).len ≫ f.app (op [(unop A.fst).len]) ≫ Y.map A.e.op
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ ENNReal.ofReal x⁻¹ = (ENNReal.ofReal x)⁻¹
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ ‖a‖ - ‖b‖ ≤ ‖a - b‖
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
T : Scheme
g : T ⟶ W
x✝ : ⊤.arrows g
⊢ ({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ IsSemisimple 0
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable f (μ.restrict (s ∩ t))
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
IsAntisymm α r
a b : α
⊢ r a b ∧ r b a ↔ a = b
d : ℤ
z : ℤ√d
⊢ (star z).im = -z.im
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, b = d ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ
L : List ℕ
hL : List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L
⊢ (List.map (fun i => 2 ^ i) L).sum.bitIndices = L
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
⊢ x < y ↔ x ≤ y ∧ ∃ i, x i < y i
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.ball 0 (‖0‖ * r) ⊆ 0 • p.ball 0 r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLeftAdjoint
⊢ CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty D
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l → List.Chain' R l
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite
h : ∀ (a : α), a ∈ s
⊢ False
x : 𝓞 ℚ
⊢ ↑x = ↑1 ∨ ↑x = ↑(-1) ↔ ↑x = 1 ∨ ↑x = -1
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
x y : G
⊢ edist x⁻¹ y = edist x y⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
⊢ s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s t : Set P
ha : AffineIndependent k fun x => ↑x
hs : s ⊆ t
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
a b c : Int
H : c ∣ b
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a
⊢ ⅟a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), a * x = z ↔ a = y
⊢ (f * MonoidAlgebra.single x r) z = f y * r
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
⊢ Tendsto F l (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set X), IsCompact K → Tendsto (fun i => restrict K (F i)) l (𝓝 (restrict K f))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬Monic 0
⊢ (if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0) = 0
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
⊢ UV.compression u v (UV.compression u v s) = UV.compression u v s
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
r : ℝ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
hr : 0 < r
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ log (r • a) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r) + log a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
h : P.StableUnderInverse
⊢ P.unop.StableUnderInverse
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup M₁
NormedSpace 𝕜 M₁
SeminormedAddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜 M₂
SeminormedAddCommGroup M₃
NormedSpace 𝕜 M₃
SeminormedAddCommGroup M₄
NormedSpace 𝕜 M₄
p : (M₁ →L[𝕜] M₂) × (M₃ →L[𝕜] M₄)
⊢ (ContinuousLinearMap.prodMapL 𝕜 M₁ M₂ M₃ M₄) p = p.1.prodMap p.2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
⊢ minpoly K y = minpoly K x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
hermite_explicit_recur : ∀ (n k : ℕ), hermite_explicit (n + 1) (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
⊢ (hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff k - (↑k + 2) * (hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff (k + 2) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace γ} {f : α → γ → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f) → ∀ {x : α}, MeasureTheory.StronglyMeasurable (f x)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ Continuous (Set.projIcc a b h)
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
x a : R
left✝¹ : a ∈ univ
ha : eval a f = x
b : R
left✝ : b ∈ univ
hb : eval b (-g) = x
⊢ ∃ a b, eval a f + eval b g = 0
α : Sort u_1
p q : α → Prop
⊢ (∀ (x : α), p x ∧ q x) ↔ (∀ (x : α), p x) ∧ ∀ (x : α), q x
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = _root_.closure ((fun a => a.swap) '' ↑f.graph)
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
⊢ 0 < a.x
α : Type u_1
SeminormedRing α
NormOneClass α
l : List α
⊢ ‖l.prod‖₊ ≤ (List.map nnnorm l).prod
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h : 0 ≤ a
⊢ SameRay R v (a • v)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
F : Type u_3
FunLike F α β
OrderHomClass F α β
f : F
s : Set β
hs : s.OrdConnected
⊢ (⇑f ⁻¹' s).OrdConnected
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
⊢ h.coeff ((algebraMap R S) x) = Pi.single 0 x
α : Type u_2
Inv α
f : Filter α
⊢ Filter.map Inv.inv f = f⁻¹
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ mabs a
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m (⋃ i, s i) = ∑' (i : ℕ), m (s i)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
val✝ : Fintype τ
z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0
reassoced : ∀ {t : τ} {W : C} (h : T t ⟶ W), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t ≫ h = 0 ≫ h
x : S s ⟶ S s := biproduct.ι S s ≫ f ≫ inv f ≫ biproduct.π S s
h₁ : x = 𝟙 (S s)
h₀ : x = 0
⊢ 𝟙 (S s) = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
⊢ σ.cycleType = Multiset.map (Finset.card ∘ support) s.val
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : Equiv.Perm α'
p : β' → Prop
DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
b : β'
h : ¬p b
⊢ (e.extendDomain f) b = b
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
⊢ (spectrum 𝕜 ↑a)⁻¹ = spectrum 𝕜 ↑a⁻¹
⊢ Ordinal.lift.{u_3, u_4} Ordinal.omega = Ordinal.omega
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ s.card % P.parts.card ≤ P.parts.card
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x) = ∫ (x : ℝ) in d + a..d + b, f x
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
e : (c : γ) → { a // f a = c } ≃ { b // g b = c }
⊢ ∀ (a : β), (Equiv.ofFiberEquiv e).symm a = ↑((Equiv.sigmaCongrRight e).symm ((Equiv.sigmaFiberEquiv g).symm a)).snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
⊢ ↑f ⟨y • x₀, hx⟩ ≤ gauge s ↑⟨y • x₀, hx⟩
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ ‖A i j‖ ≤ ‖A‖
M : Type u_1
Mul M
a b : Mᵈᵐᵃ
⊢ DomMulAct.mk.symm (a * b) = DomMulAct.mk.symm b * DomMulAct.mk.symm a
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ logb b |y| < logb b |x|
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
⊢ 0 < s.dens ↔ s.Nonempty
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Nontrivial S
Module.Free R S
Module.Finite R S
⊢ Ideal.spanNorm R ⊥ = ⊥
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
⊢ (↑(↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))) = ((↑(p 0) * ↑(↑g 0 0) + ↑(p 1) * ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) * (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)) * denom (↑g) z
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (CategoryTheory.forget (CompHausLike P)).obj (X a)
⊢ (CompHausLike.finiteCoproduct.desc X π) ((CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) x) = (π a) x
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsIso (homologyMap f i)
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M
⊢ (Module.annihilator R M).IsMaximal
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
x : ↥S.leftNeg
⊢ ↑((S.leftNegEquiv hS) x) + ↑x = 0
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ (L1 ++ L2).length + 2 = (L1 ++ (x, b) :: (x, !b) :: L2).length
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b t₀ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Set.Ioo a b
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t
hfs : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t
hgs : ∀ t ∈ Set.Ioo a b, g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ Set.EqOn f g (Set.Icc a b)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2919, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
Z Z' : C
g : Z ⟶ W
j : E.I₁ i₁ i₂
h : Z ⟶ E.Y j
fac₁ : g ≫ p₁ = h ≫ E.p₁ j
fac₂ : g ≫ p₂ = h ≫ E.p₂ j
φ : Z' ⟶ Z
⊢ ∃ j h, (φ ≫ g) ≫ p₁ = h ≫ E.p₁ j ∧ (φ ≫ g) ≫ p₂ = h ≫ E.p₂ j
α : Type u_1
β : Type u_2
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
f₁.NeBot
g₁.NeBot
⊢ f₁ ×ˢ g₁ ≤ f₂ ×ˢ g₂ ↔ f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
x : α
⊢ birkhoffSum f g 1 x = g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : CategoryTheory.Functor A B
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
X : C
S : J.Cover X
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan (S.index (P.comp F)).fstTo (S.index (P.comp F)).sndTo),
  (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.multicospanComp F P S).hom.app X_1 =
    (match X_1 with
      | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.left a => CategoryTheory.Iso.refl (F.obj (P.obj (Opposite.op a.Y)))
      | CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan.right b =>
        CategoryTheory.Iso.refl (F.obj (P.obj (Opposite.op b.r.Z)))).hom
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.194255 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.199706 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ = pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h✝ : W.Nonsingular x₁ y₁
⊢ some h✝ + zero = 0 ↔ some h✝ = -zero
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
I : Set ι
hI : I.Countable
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ I, IsOpen (f i)
⊢ ⋂ i ∈ I, f i = ⋂₀ (f '' I)
α : Type u
Inhabited α
Preorder α
a : α
l : List α
h : List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
ha : a ∈ l
⊢ l.head! ≤ a
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω'
BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ Continuous fun ν => ν.map f
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f).symm (f.toMap x) = (Localization.monoidOf S).toMap x
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ volume (EMetric.closedBall a r) = 2 * r
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
ha : a ≤ 0
⊢ Antitone fun x => a * f x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : E'' → F''
s : Set E''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : n ≠ 0
⊢ ‖x₀ - x₀‖ ^ n = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ n ≤ 0 ↔ n = 0
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
One β
TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun δ => (Metric.cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))
feq : f x = y - 0
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
s : Set X
hs : IsPreconnected s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x = f y
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))
⊢ Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
hx : IsAlgebraic K ↑x
⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L.IsAlgebraic
L.IsRelational
n : ℕ
a : L.Functions n
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.ofIsEmpty L L').onFunction a = ⋯.elim a
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
a b c : E
⊢ dist a (b - c) = dist (a + c) b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) m
hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'
hi₂ : Injective Int.negSucc
this : IsCompl (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)
⊢ HasProd f (m * m')
α : Type u_1
⊢ Topology.WithScott.ofScott.symm = Topology.WithScott.toScott
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ nndist f g = r ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x : M
⊢ (IsLocalizedModule.lift S f g h) (f x) = g x
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ xs → ¬p x = true
sep : α
hsep : p sep = true
as : List α
⊢ List.splitOnP p (xs ++ sep :: as) = xs :: List.splitOnP p as
x p : ℝ
n : ℕ
h : x ≠ 0 ∨ ↑n ≤ p
⊢ ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x => x ^ p) x