ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι
⊢ m i = 0 i
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ f (↑↑γ • z) * ↑(↑↑↑↑γ).det ^ (k - 1) * denom (↑↑γ) z ^ (-k) = f z ↔ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.OrdConnected
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ (o.oangle y (y - x)).sin * ‖y - x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
f f' : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ContinuousOn f' (t.ite s s' ∩ closure tᶜ)
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
Invertible A
⊢ LinearIndependent K fun i => A i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂
hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
this : CompleteSpace ↑s
y : ↑s
hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y
h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) atTop (𝓝 y)
hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) y ≤ edist ⟨x, hxs⟩ (MapsTo.restrict f s s hsf ⟨x, hxs⟩) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
⊢ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 ↑y)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
y : E b
hb : b ∈ e'.baseSet
⊢ (↑e' { proj := b, snd := y }).1 = b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
s : Subsemiring R
x : ↑↑s.toAddSubmonoid
⊢ ↑((e.subsemiringMap s) x) = e ↑x
x y : ℝ
n : ℕ
⊢ (fun x => log x ^ n) =o[atTop] id
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ X
n : ℕ
⊢ ⇑(e ^ n) = (⇑e)^[n]
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ
⊢ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
⊢ ∑ j : Fin n'.succ, (-1) ^ (↑(e i) + ↑j) * A' (e i) j * (A'.submatrix (e i).succAbove j.succAbove).det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : a ∈ l₂
l₁ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ = l₁.diff (l₂.erase a)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p q : P
⊢ dist q ((Equiv.pointReflection p) q) = ‖2‖ * dist p q
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
h : G.CliqueFree n
s t : α
⊢ (G.replaceVertex s t).CliqueFree n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecompositionMonoid α
a : α
⊢ Irreducible a ↔ Prime a
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
f : α → β
e : β ≃ γ
⊢ Function.Bijective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Bijective f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖ = ‖setToL1SCLM α E μ hT‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ Tendsto (HPow.hPow ‖x‖) atTop (𝓝 0)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f : X ⟶ Y
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = s.φ f (unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ[R] F
p : Submodule R E
x : ↥p
⊢ ↑(f.toPMap p) x = f ↑x
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
x y : α
⊢ x < y ↔ Relation.TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ LipschitzWith 1 Subtype.val
R : Type u_2
CommSemiring R
t : R
⊢ LaurentPolynomial.invert (LaurentPolynomial.C t) = LaurentPolynomial.C t
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
CommRing R₁
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
hF : IsField R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I = 0 ∨ I = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.inverse C).map φ =
  Quiver.Hom.op { hom₁ := φ.hom₃.unop, hom₂ := φ.hom₂.unop, hom₃ := φ.hom₁.unop, comm₁ := ⋯, comm₂ := ⋯, comm₃ := ⋯ }
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
TopologicalSpace X
CommRing 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
Nontrivial 𝕜
NoZeroDivisors 𝕜
x : X
f : C(X, 𝕜)
⊢ ((WeakDual.CharacterSpace.continuousMapEval X 𝕜) x) f = f x
R : Type u_1
A : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Ring B✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : Ring C
inst✝⁷ : Algebra R B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : Algebra R C
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : Algebra A C
inst✝² : IsScalarTower R A C
b : B
inst✝¹ : FunLike F B C
inst✝ : AlgHomClass F A B C
f : F
P : R[X]
hP : P.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R B) b P = 0
⊢ IsIntegral R (f b)
G : Type u_1
φ : G → G
Div G
g : G
⊢ MonoidHom.commutatorMap φ g = g / φ g
z : ℤ
⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : a ≤ 1
⊢ b ≤ a * b
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ Set.MapsTo (fun x => m +ᵥ x) (AddAction.orbit M a) (AddAction.orbit M a)
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a ≠ 0 → b ≠ 0 → a * b ≠ 0
m : Type u → Type u
Monad m
α β : Type u
LawfulMonad m
f : β → α → m β
xs : FreeMonoid α
⊢ (Monoid.foldlM.ofFreeMonoid f) xs = MulOpposite.op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ (G.neighborFinset v).card = G.degree v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
j : ι
⊢ ∑ i : ι, (fun i => A i j * 1) i • b i = ∑ i : ι, A i j • b i
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
⊢ χ.conductor ≤ (Classical.choose ⋯).conductor
N : Type u_2
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
IsSymmOp N N mu
⊢ Contravariant N N (flip mu) r ↔ Contravariant N N mu r
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ (L + L').compLp f = L.compLp f + L'.compLp f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPairwiseIntersections
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
⊢ Measurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x
N : ℕ+
⊢ CongruenceSubgroup.IsCongruenceSubgroup (CongruenceSubgroup.Gamma0 ↑N)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
P : (Fin n → α) → Prop
hf : P f
h : ∀ (σ : Equiv.Perm (Fin n)) (i j : Fin n), i < j → (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i → P (f ∘ ⇑σ) → P (f ∘ ⇑σ ∘ ⇑(Equiv.swap i j))
this : Preorder (Equiv.Perm (Fin n)) := Preorder.lift fun σ => toLex (f ∘ ⇑σ)
σ : Fin n ≃ Fin n
hσ : (fun σ => f ∘ ⇑σ) σ ≠ (fun σ => f ∘ ⇑σ) (sort f)
hfσ : P ((fun σ => f ∘ ⇑σ) σ)
⊢ ∃ c < σ, P ((fun σ => f ∘ ⇑σ) c)
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
c c' : ℝ
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
hf : Asymptotics.IsBigOWith c l f' k'
hg : Asymptotics.IsBigOWith c' l g' k'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (max c c') l (fun x => (f' x, g' x)) k'
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
⊢ ((s • M).updateColumn j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Abelian.imageIsoImage f).inv =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f) (CategoryTheory.Limits.image.ι f) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
α : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X)).obj ((G.op.comp ℱ.val).obj X_1)),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.isoOver α X).hom.app X_1 a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (α.hom.app X_1)
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 6 → β
⊢ ∑ i : Fin 6, f i = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ x = r • y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X × Y
⊢ Filter.map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x) = 𝓝 x.2
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hf : f.FinitePresentation
hg : Function.Surjective ⇑g
hker : (RingHom.ker g).FG
⊢ (g.comp f).FinitePresentation
α : Type u_1
LE α
a : WithTop α
⊢ ⊤ ≤ a ↔ a = ⊤
p : Fin 2 → ℝ
⊢ Complex.measurableEquivPi.symm p = ↑(p 0) + ↑(p 1) * Complex.I
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup ↔ l₁.Nodup ∧ l₂.Nodup ∧ l₁.Disjoint l₂
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
f : Z ⟶ Y
⊢ f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y ↔ f ∈ R
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsLocalizedModule.iso S (LocalizedModule.mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : G →* H
hϕ : Function.Surjective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p H
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
h : x ∈ adjoin R s
r : R
⊢ (fun a => f a ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))) ((algebraMap R A) r)
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
AddGroup β
DistribMulAction α β
IsScalarTower α β β
SMulCommClass α β β
r : α
a : β
⊢ IsUnit (r • 1 - a) ↔ IsUnit (1 - r⁻¹ • a)
a b : Int
⊢ ↑(a - b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den - (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hη : 0 ∈ nthRootsFinset n R
⊢ False
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ Finset.filter (fun t => t.erase a = s) 𝒜 =
  if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
b : ℂ
hl : b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0
⊢ (fun x => f x ^ b) =Θ[l] fun x => Complex.abs (f x) ^ b.re
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ StrictAnti fun x => b ^ x
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
h : IsUnit p
⊢ p.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
f : α → β
S : Multiset (Multiset α)
⊢ map f S.join = (map (map f) S).join
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M
n : ℕ
a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n
hd : F.A
h' : hd = head' (x.approx 1)
ch : F.B (head' (x.approx 1)) → CofixA F n
h : x.approx n.succ = CofixA.intro (head' (x.approx 1)) ch
a : F.B (head' (x.approx 1))
a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))
hh : HEq a a''
⊢ children' (x.approx n.succ) a'' = ch a
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length
⊢ take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take x.length y ++ [y[x.length]]
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
⊢ sInf (map f '' A) ≤ map f (sInf A)
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N
g : M →* P
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i < p.succ
hi : i ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ p.predAbove i = i.castPred hi
f : ℕ → ℝ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
r : ℝ
⊢ 0 < r → Hyperreal.ofSeq f < ↑r
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := haar
A : μ' s = μ'.haarScalarFactor ν • ν s
B : μ s = μ.haarScalarFactor ν • ν s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis' I X
⊢ M.Basis I (M.closure I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : Set α
x : α
⊢ 𝓝[s] x = 𝓝[t] x ↔ s =ᶠ[𝓝 x] t
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
⊢ c.ε 0 = 1
K : Type u
DivisionRing K
ι : Sort u_1
s : ι → Set K
⊢ Subfield.closure (⋃ i, s i) = ⨆ i, Subfield.closure (s i)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
hf : Injective fun a => f a b
⊢ image₂ f (s₁ ∩ s₂) {b} = image₂ f s₁ {b} ∩ image₂ f s₂ {b}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s = 0
⊢ μ s = 0 ∨ μ s = ENNReal.ofReal T
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
ω : Ω
h₁ : ∀ (a b : ℚ), a < b → upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤
h₂ : liminf (fun n => ↑‖f n ω‖₊) atTop < ⊤
⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet
L : F₁ →SL[σ] F₂
⊢ (continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L = (Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ b).comp (L.comp (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ b))
n : ℕ
h : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < n.rawCast
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G✝ : Type u_4
inst✝¹² : Mul G✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H G✝
inst✝⁹ : SmoothMul I G✝
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M
g✝ h✝ : G✝
G : Type u_8
inst✝³ : Semigroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ChartedSpace H G
inst✝ : SmoothMul I G
g h x✝ : G
⊢ (𝑹 I (g * h)) x✝ = ((𝑹 I h).comp (𝑹 I g)) x✝
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hbc : r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
R : Type u_1
Semiring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.C R) a) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Mon_ C
f : M.X ≅ N.X
one_f : M.one ≫ f.hom = N.one := by aesop_cat
mul_f : M.mul ≫ f.hom = (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul := by aesop_cat
⊢ (Mon_.mkIso f one_f mul_f).hom.hom = f.hom
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : Seminorm 𝕜 E
⊢ ⇑(r • p) = r • ⇑p