ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.262054
Bₘ : Type ?u.262057
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (FractionRing.algEquiv A K).symm ((algebraMap A K) ((intTrace A B) x)) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((trace K L) ((algebraMap B L) x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ (Monoid.PushoutI.NormalWord.cons g w hmw hgr).toList = ⟨i, ↑(⋯.equiv (g * (φ i) w.head)).2⟩ :: w.toList
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J).symm ((Ideal.Quotient.mk (I ⊔ J)) x) = (DoubleQuot.quotQuotMk I J) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
s : Set M
x : M
f : M → M'
g : M → N'
hf : SmoothWithinAt I I' f s x
hg : SmoothWithinAt I J' g s x
⊢ SmoothWithinAt I (I'.prod J') (fun x => (f x, g x)) s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
⊢ cofinite = ⊥ ↔ Finite α
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
R : Type u_6
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
r : R
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
⊢ r • v ≪ᵥ w
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat c b = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a = b
⊢ a ⩿ b
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0
⊢ (∑ i ∈ range n, P ^ i).degree < (P ^ n).degree
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
⊢ (univ.pi fun i => ↑(t i)).Finite
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Finsupp.total ι M R v ∘ₗ hv.repr = (Submodule.span R (Set.range v)).subtype
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Sylow p G
K : Type u_2
Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
h : ↑P ≤ ϕ.range
⊢ ↑(P.comapOfKerIsPGroup ϕ hϕ h) = Subgroup.comap ϕ ↑P
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
hx : IsIntegral Rₘ x
h✝ : Subsingleton Rₘ
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
μ : YoungDiagram
i : ℕ
⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
k m n : ℕ+
⊢ k.Coprime m → k.Coprime n → k.Coprime (m * n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LinearOrder X
OrderTopology X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
NoMinOrder X
a : X
⊢ 0 < μ (Set.Iio a)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i : ι
⊢ f.f i ≫ C₂.dFrom i = C₁.dFrom i ≫ f.next i
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring S
⊢ NonUnitalSubsemiring.comap (↑f) K = NonUnitalSubsemiring.map f.symm K
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : G i
h : i ≤ i
⊢ (f i i h) x = x
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
⊢ IsAddSubgroup (Set.range f)
x : ℝ
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i j : ι
⊢ (h.trans k).hom i j = h.hom i j + k.hom i j
α : Type u_3
OrderedSemiring α
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑n
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial R
x y : R[X]
h : x * 0 + y * derivative 0 = 1
⊢ False
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
M₄ : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
AddCommMonoid M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
⊢ (LinearEquiv.prodProdProdComm R M M₂ M₃ M₄).symm = LinearEquiv.prodProdProdComm R M M₃ M₂ M₄
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, upcrossings a b f ω < ⊤
A : Type u_1
AddMonoid A
M : Type u_2
Monoid M
self : AddChar A M
⊢ self.toFun 0 = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
⊢ (CochainComplex.mappingCone φ).d (i - 1) i ≫ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij =
  -(↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v (i - 1) i ⋯ ≫ F.d i j
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
i1 : Epi f ↔ Epi (groupAddGroupEquivalence.inverse.map f)
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ IsCyclic (QuaternionGroup 1)
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s + t) = (convexHull R) s + (convexHull R) t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1) (hy : y ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1),
    P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1),
    P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 1
⊢ P x hx
a b : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a s - HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven b s) 1
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
x : X
TopologicalSpace Y
y : Y
f : X × Y → Z
⊢ (↑f).sliceLeft = ↑fun x' => f (x', y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑↑(k • f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = (k • ↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = (k • ↑(toSimpleFunc f)) a✝
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map z))
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map x)) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map y) (𝒰.map x) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
a : PosNum
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim (trPosNum a ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
⊢ ∑ᶠ (i : α), (f i).coeff g = (∑ x ∈ f.support, id (f x)).coeff g
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b : α
m n : ℕ
a d : α
⊢ a * b ∣ a * (b * d)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
⊢ (fun r => (mkMetric'.pre m r) (s ∪ t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun x => (mkMetric'.pre m x) s + (mkMetric'.pre m x) t
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
x : S
z : R
⊢ (IsLocalization.map Q g hy) (z • x) = g z • (IsLocalization.map Q g hy) x
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → y.InfiniteNeg → (x * y).InfiniteNeg
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : ι → R
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), r - x i ∈ I i
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x✝ y✝ z✝ : ⨂[R] (i : ι), A i
x y z : (i : ι) → A i
⊢ (((((((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul ∘ₗ mul).compMultilinearMap (tprod R)) x).compMultilinearMap (tprod R)) y).compMultilinearMap (tprod R)) z = ((((((((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip.compMultilinearMap (tprod R)) x).compMultilinearMap (tprod R)) y).compMultilinearMap (tprod R)) z
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet (s - t)
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
X' : Type u_6
TopologicalSpace X'
g : X' → C(Y, Z)
f : X' → C(X, Y)
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => (g x).comp (f x)
α : Type u
x : Tree α
⊢ 0 < x.numNodes + 1
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (x * NormedSpace.exp 𝕂 (t • x)) t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ ∈ perpBisector p₁ p₂
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : InvolutiveStar R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x) ↔ IsSelfAdjoint x
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)
⊢ (F.obj j).presheaf.map ((eqToIso ⋯).inv ≫ eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (colimit.ι F j).base).op.map (eqToHom ⋯)) = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
⊢ finrank K ↥V = (charpoly φ).natTrailingDegree
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ (f ⊗ g).app j ≫ (snd F₁' F₂').app j = snd (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ g.app j
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
StrictOrderedSemiring A
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < e
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ 0 < w.mult
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ¬G.CliqueFree m
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Af : Antitone f
bdd : BddAbove (Set.range g) := by bddDefault
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
AddZeroClass M
AddZeroClass N
FunLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
x : α
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => (f x)⁻¹) x
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[atTop] g
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable g s
α : Sort u_1
⊢ ⨅ x, 0 = 0
b : Bool
n : ℕ
⊢ (Nat.bit b n).div2 = n
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
h : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ DirectedSystem G fun i j hij => ⇑(f i j hij).toIntLinearMap
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun x => x * a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : StrictAnti g
hf : StrictMonoOn f s
⊢ StrictAntiOn (g ∘ f) s
α : Type u_1
l₁ : List α
p : α → Prop
DecidableEq α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x
l₂ : List α
x : α
⊢ x ∈ l₁ ∩ l₂ → p x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
h : CategoryTheory.Limits.IsZero (CategoryTheory.Limits.cokernel f)
⊢ CategoryTheory.Epi f
⊢ MonotoneOn (⇑Cardinal.toNat) (Set.Iio Cardinal.aleph0)
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℤ
this : n ≠ 0
⊢ ↑(n * k / n) = ↑(n * k) / ↑n
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ k, dist x ↑k < ε
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)
⊢ p ∈ s +ᵥ t
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f
a : ℕ
ha : hf.degree * 1 ^ a = f.natDegree
⊢ hf.degree = f.natDegree
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.mkDerivationₗ R f) ((MvPolynomial.monomial s) r) =
  r • s.sum fun i k => (MvPolynomial.monomial (s - Finsupp.single i 1)) ↑k • f i
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ F.IsLeftAdjoint ↔ ∀ (A : D), CategoryTheory.Limits.HasTerminal (CategoryTheory.CostructuredArrow F A)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)
⊢ 0 + n + 0 = n
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₀
D : J → Type u₁
(j : J) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (D j)
X : (i : I) → C i
Y : (j : J) → D j
s : I ⊕ J
⊢ ((CategoryTheory.Pi.sum C).obj X).obj Y s =
  match s with
  | Sum.inl i => X i
  | Sum.inr j => Y j
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ Function.Periodic (toIocMod hp a) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
x : G.toPresheaf.obj U
⊢ G.ι.app U x = ↑x
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.map ofList (sublistsLen n l) <+~ List.map ofList l.sublists'
β : Type u_2
f : β → ℝ≥0
⊢ ∑' (b : β), f b = (∑' (b : β), ↑(f b)).toNNReal
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j✝ : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
⊢ r j * eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
ha : IsCoatom a
hb : b ≠ ⊤
⊢ a ≤ b ↔ b = a
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
x : ↑(C' C ho)
i : I
⊢ ord I i < o → SwapTrue o (↑x) i = ↑x i
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ h.powerBasis.gen = h.root
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i : ℕ
hi : i + 2 ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.scMap φ h₁ h₂ i hi).τ₃ = φ.app ⟨i + 2, ⋯⟩
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃p₁ : ¬p₃ = p₁
⊢ ∡ p₂ p₁ p₃ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ ↑(⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
α : Type u_4
f : α → Set α
⊢ ¬Function.Surjective f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.id c) g)
⊢ t.ofIdComp.right = t.lift
o o' : ONote
m : ℕ
o.NF
⊢ o.split' = (o', m) → o'.NF ∧ o.repr = ω * o'.repr + ↑m
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, (hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣ ↑u - ↑n
⊢ u = 1 ∨ u = -1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a = b / c ↔ a * c = b
n m : Nat
⊢ n.succ - m.succ = n - m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ mellinInv σ f x = ↑x ^ (-↑σ) • 𝓕⁻ (fun y => f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * Complex.I)) (-Real.log x)
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
QuasiIsoAt f i
⊢ (isoOfQuasiIsoAt f i).hom = HomologicalComplex.homologyMap f i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
L : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter id (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) x L
α : Type u_1
β : α → Type u_2
i j : α
s : Set (β i)
h : i ≠ j
⊢ Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s) = ∅
p : ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn z)) x‖