ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
⊢ Submodule.map₂ (mk R M N) ⊤ ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f✝ : α → 𝕜
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
b : S
e : b * (algebraMap R S) a = 0
⊢ b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (↑f).Dom = Set.univ
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ 0 < a / b ↔ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F ⊤ = ⊤
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff ((Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : C
f : Y ⟶ X
R : CategoryTheory.Presieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate (CategoryTheory.Presieve.pullbackArrows f R) =
  CategoryTheory.Sieve.pullback f (CategoryTheory.Sieve.generate R)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s t r' s' t' : R
⊢ (if _hr : 0 = 0 then (r', s', t') else let q := r' / 0; let_fun x := ⋯; xgcdAux (r' % 0) (s' - q * s) (t' - q * t) 0 s t) = (r', s', t')
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
f : α → M
⊢ Set.univ.mulIndicator f = f
α : Type u_2
DivisionMonoid α
HasDistribNeg α
n : ℤ
h : Even n
⊢ (-1) ^ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f₁ f₂ : α → β
⊢ Set.EqOn f₁ f₂ (s₁ ∪ s₂) ↔ Set.EqOn f₁ f₂ s₁ ∧ Set.EqOn f₁ f₂ s₂
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑(a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)!)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict s) t = 0 ↔ μ (t ∩ s) = 0
ι : Type u_1
a : ι
u u' : ι →₀ ℕ
h : u a ≠ 0
⊢ u - Finsupp.single a 1 + u' = u + u' - Finsupp.single a 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ GaloisConnection (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F) (CategoryTheory.Sieve.functorPullback F)
G : Type u_2
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulLeftInvariant
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
⊢ IsGδ k
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p) / (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
⊢ Matrix.toBilin' (LinearMap.BilinForm.toMatrix' B) = B
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
s' : Set X
hs' : IsClosed s'
ht : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s')
⊢ IsClosed (s ∩ s')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
x y : E
⊢ ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 E) x) y = ⟪x, y⟫_𝕜
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂) t).imK = -t.imK
α : Type u_5
MeasurableSpace α
ι : Type u_6
Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ∑' (i : ι), f i x) μ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ prod.lift (prod.lift a b ≫ σ) (prod.lift c d ≫ σ) ≫ σ = a - b - (c - d)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint fun i => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)
α' : Type u_6
TopologicalSpace α'
MeasurableSpace α'
μ : MeasureTheory.Measure α'
s : Set α'
h : μ (frontier s) = 0
⊢ interior s =ᵐ[μ] s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ Metric.diam ∅ = 0
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : HomotopyEquiv C D
⊢ (quotient V c).map f.hom ≫ (quotient V c).map f.inv = 𝟙 ((quotient V c).obj C)
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n
⊢ a < (a.castPred ha).succ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₁ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).functor.obj X).right = X.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a✝ : (i : ι) × α i
b✝ : (i : ι) × β i
h : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄ ⦃b : β i⦄, f a b ⊆ g a b
a : (i : ι) × α i
b : (i : ι) × β i
x : Sigma γ
hx : ∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
⊢ ∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ g (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
T : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : T ⥤ D
X✝ Y✝ : Over X
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.left ≫ ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) Y✝).hom = ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) X✝).hom
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) = (aeval y) f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ∀ (a : ↑e.target), ↑(e.toHomeomorphSourceTarget.symm a) = ↑e.symm ↑a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ abs (↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)) * abs (↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p.sum fun a b => b * ↑a * if n = a - 1 then 1 else 0) = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype ↑M.verts
h : M.IsMatching
⊢ Even M.verts.toFinset.card
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn g (closedBall x₀ (φ i).rOut) μ
R : Type u_1
S : Type u_4
T : Type u_5
CommRing R
CommRing S
CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : T
h : (g.comp f).IsIntegralElem x
⊢ g.IsIntegralElem x
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
C : E
⊢ C = 0 ∨ (μ.restrict s) univ < ⊤ ↔ C = 0 ∨ μ s < ⊤
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hneg : p.1 < 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist y₀ (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Star α
TrivialStar α
A : Matrix m n α
⊢ Aᴴ = Aᵀ
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ Nonempty (UniformSpace.Completion α) ↔ Nonempty α
R : Type u_1
MonoidWithZero R
Nontrivial R
⊢ ¬IsNilpotent 1
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ t2Setoid X ≤ Setoid.ker f
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
C0 : motive 0
⊢ motive z
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
γ : Cochain F G n
p q' : ℤ
hpq : p + n = q'
⊢ γ.v p q' hpq ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq G ⋯).inv = γ.v p q' ⋯
I : Type v₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ ((i : I) → C i)
∀ (i : I), CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ CategoryTheory.Pi.eval C i)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <:+ l₂ ↔ List.take (l₂.length - l₁.length) l₂ ++ l₁ = l₂
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
f : R →+* S
e : Perm σ
⊢ (rename ⇑e) ((MvPolynomial.map f) φ) = (MvPolynomial.map f) φ
b n : ℕ
⊢ 0 < Nat.log b n ↔ b ≤ n ∧ 1 < b
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
⊢ (↑I).IsPrincipal
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 0 → β
⊢ ∏ i : Fin 0, f i = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.IsOrthogonal i j
⊢ Commute (P.reflection i) (P.reflection j)
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
⊢ (f.coprod g).comp (AddMonoidHom.inr M N) = g
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ FiniteInter (FiniteInter.finiteInterClosure S)
M : Type u_1
AddZeroClass M
s t : Set M
⊢ AddSubmonoid.closure (s ∪ t) = AddSubmonoid.closure s ⊔ AddSubmonoid.closure t
p n k : ℕ
hn : 0 < n
⊢ p ^ (n.choose k).factorization p ≤ n
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
⊢ p w
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.inv.app X).hom₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₃)
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) a).support ⊆ {s}
α : Type u_1
MulZeroClass α
PartialOrder α
⊢ MulPosReflectLT α ↔ ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t
⊢ t ≤ closure {↑H.genericPoint}
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
α : Type w
Finite α
X : α → CompHaus
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι X a) (CompHaus.coproductIsoCoproduct X).inv =
  CompHaus.finiteCoproduct.ι X a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
⊢ (canonicalEquiv S P P).trans (canonicalEquiv S P P) = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) (f * g * h) = (LinearMap.trace R M) (h * f * g)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty
⊢ OrderDual.ofDual (s.max' hs) = (Finset.image (⇑OrderDual.ofDual) s).min' ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ 1 • s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
tX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
F : J ⥤ C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfDiagramTerminal tX F).pt = F.obj X
R : Type u_1
CommRing R
P : Ideal (Polynomial R)
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), Polynomial.C x ∈ P → x = 0
⊢ ∃ p ∈ P, Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P)) p ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
RingHomIsometric σ₁₂
f : F →SL[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ((ContinuousLinearMap.compSL E F G σ₁₂ σ₂₃) f) g = f.comp g
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ m ∈ LieModule.posFittingCompOf R M x ↔ ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((LieModule.toEnd R L M) x ^ k) n = m
α : Type u_3
DivisionCommMonoid α
m : Multiset α
⊢ (Multiset.map Inv.inv m).prod = m.prod⁻¹
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
⊢ a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : Mᵃᵒᵖ
S : AddSubmonoid M
⊢ x ∈ S.op ↔ AddOpposite.unop x ∈ S
α : Type u_1
Preorder α
l r : Ordnode α
hl : l.Valid
hr : r.Valid
sep : Ordnode.All (fun x => Ordnode.All (fun y => x < y) r) l
⊢ (l.merge r).Valid
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ≤ b - c ↔ c ≤ b - a
α : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
inst✝ : Unique α
β : α → Sort u_1
f : (i : α) → β i
i : α
⊢ uniqueElim ((fun f => f default) f) i = f i
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
x : α
y : β
⊢ y ∈ omegaLimit f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun t => ϕ t x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Semiring S
Algebra R S
Module S M
IsScalarTower R S M
i : ι
m : M
k : κ
n : N
⊢ (finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i m ⊗ₜ[R] Finsupp.single k n) = Finsupp.single (i, k) (m ⊗ₜ[R] n)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
c : Continuous e
dense : DenseRange e
inj : Function.Injective e
H : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓝 (e a), ∀ (b : α), e b ∈ t → b ∈ s
⊢ DenseEmbedding e
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : ∀ (b : Subgroup H), M < b → b = ⊤
⊢ ∀ (b : Subgroup G), comap φ M < b → b = ⊤
B : Type u
Quiver B
a b : CategoryTheory.FreeBicategory B
f g h : a ⟶ b
η : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂ f g
θ : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂ g h
⊢ (η.vcomp θ).mk = CategoryTheory.CategoryStruct.comp η.mk θ.mk
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
⊢ a * x * x + b * x + c = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 < y.1
h₂ : x.2 ≤ y.2
⊢ x < y
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousAdd E
s : Set E
x : E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (x +ᵥ s) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
Zero M'
⊢ Smooth I I' 0
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 α = (𝓤 α).lift' closure
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : IsEmpty β
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
V : Type u
Quiver V
⊢ CategoryTheory.Groupoid.Free.of V =
  Quiver.Symmetrify.of ⋙q CategoryTheory.Paths.of ⋙q
    (CategoryTheory.Quotient.functor CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep).toPrefunctor
m n : ℕ
⊢ 0 < m + n ↔ 0 < m ∨ 0 < n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hy : y ∈ H
⊢ ⁅y, x⁆ ∈ H ↔ ⁅x, y⁆ ∈ H