ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
⊢ (Continuous f ∧ ∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
UniformSpace ι
CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ UniformInducing F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
⊢ CategoryTheory.Dial.tensorUnit.tgt = ⊤_ C
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
LieAlgebra.IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
⊢ (-α).IsZero
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
this : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ≤ finrank F ↥F⟮α⟯
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
a : S
⊢ a ∈ p.rootSet S ↔ Polynomial.map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval a) p = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Order.Frame α
f : ι → ι' → α
hf : ∀ (i : ι), Monotone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i, f i j = ⨅ i, ⨆ j, f i j
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n : α
⊢ gcd k (m * n) ∣ gcd k m * gcd k n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
α β : Type u
m : Type u → Type u
Applicative m
F : α → m β
x : FreeAddSemigroup α
⊢ FreeAddSemigroup.traverse F x = traverse F x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f a‖
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ f, f x < f y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConvexOn 𝕜 s ⇑f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Icc b c = Set.Icc (a - c) (a - b)
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Functor B C} (f : X_1 ⟶ Y) (Y_1 : CategoryTheory.Functor B D) (X_2 : B),
  ((((CategoryTheory.whiskeringRight₂ B C D E).obj X).map f).app Y_1).app X_2 = (X.map (f.app X_2)).app (Y_1.obj X_2)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R P
Module R Q
p : P
f : M →ₗ[R] Q
m : M
⊢ ((TensorProduct.lTensorHomToHomLTensor R M P Q) (p ⊗ₜ[R] f)) m = p ⊗ₜ[R] f m
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
⊢ IsLprojection X (P + Q - P * Q)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ a / b ≤ 1 ↔ b ≤ a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y
⊢ x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ y.hom
α : Type u_1
LE α
s : Flag α
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : (i : ι) → β i
s : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
⊢ i ∈ { toFun := f, support' := s }.support ↔ { toFun := f, support' := s } i ≠ 0
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this✝ : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
this : c.length - 1 + 1 = c.length
⊢ j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ DirectSum.toAddMonoidAlgebra 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α
hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α
τ : Perm α
hτ : τ ∈ alternatingGroup α
hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩
π : Perm α
hπ : π * ↑⟨σ, hσ✝⟩ * π⁻¹ = ↑⟨τ, hτ⟩
⊢ IsConj ⟨σ, hσ✝⟩ ⟨τ, hτ⟩
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x y : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (x + y) = NormedSpace.exp 𝕂 x * NormedSpace.exp 𝕂 y
m✝ n✝ a b c d n m : ℕ
⊢ n % 2 = 1 → m % 2 = 1 → n * m % 2 = 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
b : Associates α
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count a.factors = 0 ∨ p.count b.factors = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R
⊢ MeasurableSet (ceil ⁻¹' {⌈x⌉})
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct X Y
⊢ (pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ prod.snd = pullback.snd 0 0
α : Type u_5
AddMonoid α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → n • Set.univ = Set.univ
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf' : DifferentiableOn ℝ f D
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) D
hf''_nonpos : ∀ x ∈ D, deriv^[2] f x ≤ 0
⊢ ConcaveOn ℝ D f
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f = g
⊢ f x = g y
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a = ‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ Subsingleton (TensorProduct R (LocalRing.ResidueField R) M) ↔ Subsingleton M
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
⊢ ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1))) (⨆ i ∈ t, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
X : Type u_2
EMetricSpace X
μ : MeasureTheory.OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
⊢ borel X ≤ μ.caratheodory
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
IsAlgClosed k
a₁ : WittVector p k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : WittVector p k
⊢ WittVector.RecursionBase.solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = WittVector.RecursionBase.solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
a : ℝ≥0∞
⊢ a.toReal ≠ 1 ↔ a ≠ 1
a b c d : ℕ
h : 0 < b
⊢ a / b = d ∧ a % b = c ↔ c + b * d = a ∧ c < b
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => c * x) (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v) =
  ProbabilityTheory.gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
n : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ f.cechNerve.obj n = CategoryTheory.Limits.widePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
hab : (a \ b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y \ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ \ b.get ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
u : UniformSpace β
hf : Function.Injective f
⊢ UniformEmbedding f
b : Bool
⊢ b = false → b = true ↔ b = true
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝ : LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
h : b j < b i
⊢ (M - N) i j = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ s.ordSeparatingSet t = t.ordSeparatingSet s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape J G
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J D
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
X : CategoryTheory.Functor J C
⊢ (CategoryTheory.preservesColimitNatIso G).inv.app X = (CategoryTheory.preservesColimitIso G X).inv
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
⊢ Epi (F.map f)
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Module.Finite K (Module.Dual K V) ↔ Module.Finite K V
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Prime p
a b : Associates α
h : p ≤ a * b
⊢ p ≤ a ∨ p ≤ b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R '' Metric.sphere y (dist y c) =
  insert c ↑(AffineSubspace.perpBisector c (EuclideanGeometry.inversion c R y))
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
hab : a ∣ b
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → a ∣ b ^ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f✝ : α → β
f : α → ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + dist x y
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + ↑1 * dist x y
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f g : S.LocalizationMap N
h : ∀ (x : M), f.toMap x = g.toMap x
⊢ f = g
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ a ∈ Set.uIcc a b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
g : B ⟶ op X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)
⊢ ?refine_1.hom ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι (i.hom ≫ g).unop
G : Type u_1
AddGroup G
s : AddSubgroup G
⊢ (↑s).Nonempty
α : Type u
f g : α → α
x : α
hfg : Function.IsFixedPt (f ∘ g) x
hg : Function.IsFixedPt g x
⊢ Function.IsFixedPt f x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α → β
hf : Function.Injective f
v₁ v₂ : β →₀ M
⊢ Finsupp.comapDomain f (v₁ + v₂) ⋯ = Finsupp.comapDomain f v₁ ⋯ + Finsupp.comapDomain f v₂ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
⊢ (∫⁻ (b : β), g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
Semiring S
g₁ g₂ : S →+* 𝕎 R
h : ∀ (k : ℕ), (WittVector.truncate k).comp g₁ = (WittVector.truncate k).comp g₂
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 ⋯ = setToL1 hT + setToL1 hT'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ (DerivedCategory.triangleOfSES hS).mor₁ = DerivedCategory.Q.map S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
t₁ t₂ : Finset α
ht₁ : t₁ ∈ initSeg s
ht₂ : { ofColex := t₂ } < { ofColex := t₁ } ∧ t₂.card = s.card
⊢ { ofColex := t₂ } ≤ { ofColex := s }
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
⊢ IsEmpty (α → β) ↔ Nonempty α ∧ IsEmpty β
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : TopologicalSpace R₁
f g : R₁ ≃L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
x : R₁
⊢ f (x * 1) = g (x * 1)
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
this : Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
x✝ : Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) := Fintype.ofFinite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
⊢ Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedDivisionRing α
SeminormedAddCommGroup β
Module α β
BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ dist (s • x) (s • y) = ‖s‖ * dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : β → γ
l : Filter α
l' : Filter β
h : f =ᶠ[l'] g
φ : α → β
hφ : Filter.Tendsto φ l l'
⊢ ↑(f ∘ φ) = ↑(g ∘ φ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'
⊢ (b.reindex e).repr x i' = b.repr x (e.symm i')
X Y : Type u
Semiring X
Semiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toSemiRingCatIso.hom = e.toRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
hf : Summable f
s : Set β
⊢ Summable (f ∘ Subtype.val)
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ (a : X.val.obj (Opposite.op (LightProfinite.of PUnit.{u + 1}))),
  (LightCondSet.toTopCatMap f) a = f.val.app (Opposite.op (LightProfinite.of PUnit.{u + 1})) a
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
a b : M
⊢ Filter.Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a + b))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)
⊢ IsIntegral R (∑ σ : Equiv.Perm n, Equiv.Perm.sign σ • ∏ i : n, M (σ i) i)
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
h : s ⊆ t
⊢ Group.normalClosure s ⊆ t
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
⊢ Function.Injective (Finsupp.single a)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E
⊢ ∫ (x : X), ↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = (μ t).toReal • e
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x ^ n ≤ 1 ↔ x ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 0)
⊢ positiveOrientation.volumeForm = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
⊢ F.map' 0 1 ⋯ ⋯ = F.hom
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans G H
a : B
⊢ (η.vcomp θ).app a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.app a) (θ.app a)
R : Type u
Semiring R
⊢ IsRegular Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 0 < ↑6
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioi a = Set.Iio (a / c)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ ⇑(Equiv.piCongrLeft α f) ⁻¹' Set.univ.pi t = Set.univ.pi fun i => t (f i)
R : Type u
CommSemiring R
p q : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R p) ((Polynomial.expand R q) f) = (Polynomial.expand R (p * q)) f
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
n : N
f : M →+ N
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ f ((AddEquiv.ofBijective f hf).symm n) = n
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0
⊢ x ^ z ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
huv : ⟪u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ‖RCLike.reCLM‖ = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
a : Set (Submodule R M)
ha : a.Nonempty
⊢ ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ : Set α
hf : Injective f
s t : Set α
⊢ f '' s ∆ t = (f '' s) ∆ (f '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Set β
t : Finset α
⊢ s.PairwiseDisjoint fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) t
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
⊢ (∏ j : ι, if i = j then f j else 1) = f i
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : Polynomial R
n : ℕ
⊢ ↑(φ ^ n) = ↑φ ^ n
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
s : Set F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasGradientWithinAt f (gradientWithin f s x) s x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) y.asIdeal
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
⊢ sᶜ ∉ comap m f