ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
inst✝¹⁴ : Nonempty κ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : UniformSpace E
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : UniformAddGroup E
inst✝³ : UniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
k : κ
⊢ BddAbove (range fun k_1 => (q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)) ∧ Continuous (⨆ k_1, ⇑((q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)))
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ 1 = (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 0
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
y : 𝕜
⊢ (fun x => a * x + b) ((fun y => (y - b) / a) y) = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ e'.source)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_5
CompleteLattice β
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : Sigma α → β
⊢ ⨅ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⨅ i ∈ s, ⨅ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
I : S.Relation
⊢ (S.index P).fstTo I = I.fst
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
⊢ ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd = ((yoneda.obj (unop X).left).map f.unop.left.op ≫ (unop X).hom.app (op (unop Y).left)) (𝟙 (unop (op (unop X).left)))
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
L : Matrix m n α
M : Matrix n o α
inst✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
i✝ : m
j✝ : o
⊢ (L * M).map (⇑f) i✝ j✝ = (L.map ⇑f * M.map ⇑f) i✝ j✝
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
f : m → n → α
i : m
j : n
⊢ Matrix.of f i j = f i j
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι arrows j ≫ CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc f fs w = fs j
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree = 1 → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoMetricSpace X
PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ
hd : dist x y ≤ d
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₁, y, x₂} → P124 a
⊢ ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₂, y, x₁} → P124 a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
ι : Sort u_1
Finite ι
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
⊢ AlgebraicGeometry.IsNoetherian X ↔ ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Finite ↥H
⊢ 1 < Nat.card ↥H ↔ H ≠ ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
FunLike F α β
CommMonoid α
CommMonoid β
MonoidHomClass F α β
f : F
m : Finset ι
s : ι → Set α
⊢ ⇑f '' ∏ i ∈ m, s i = ∏ i ∈ m, ⇑f '' s i
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
f₁₂ f₂₃ : M →ₗ[R] M
g₁₂ g₂₃ : M₂ →ₗ[R] M₂
⊢ f₂₃.prodMap g₂₃ * f₁₂.prodMap g₁₂ = (f₂₃ * f₁₂).prodMap (g₂₃ * g₁₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (U : Set α), IsOpen U → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ U, ∃ U_1 ⊇ U, IsClosed F ∧ IsOpen U_1 ∧ μ U ≤ μ F + ε ∧ μ U_1 ≤ μ U + ε
α : Type u
β : outParam (Type u)
Mathlib.Tactic.Ring.CSLift α β
a : α
b : outParam β
self : Mathlib.Tactic.Ring.CSLiftVal a b
⊢ b = Mathlib.Tactic.Ring.CSLift.lift a
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : DecidableEq R
a : R
x✝ : a ∈ Finset.univ
⊢ 1 a = if IsUnit a then 1 else 0
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
⊢ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L) = ⊥
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ ↑0 = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x : V
⊢ f ((o.rotation θ) x) = ↑θ.expMapCircle * f x
β : Type u_2
AddMonoid β
f : ℕ →+ β
⊢ (multiplesHom β).symm f = f 1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a : ℕ
x : ZMod a
⊢ (ringEquivCongr ⋯) x = x
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a < b ∨ b ≤ a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ AffineSubspace.mk' p s.direction = s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
j : I₁
⊢ (K.flip.d i i').f j = (K.X j).d i i'
α : Sort u_1
p : α → Prop
Setoid α
s : Subtype p
⊢ s ≈ s
v : Sat.Valuation
a : Prop
n : ℕ
h : v n ↔ a
⊢ Sat.Literal.reify v (Sat.Literal.neg n) a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᵐ[μ] f' n
hgg' : g =ᵐ[μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (nhds (g x))
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f' n x) Filter.atTop (nhds (g' x))
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
i : V = V'
⊢ f.appLE U V' ⋯ ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom i).op = f.appLE U V e
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
⊢ constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0 = 0
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
⊢ Bijective ⇑B.flip ↔ Bijective ⇑B
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
a : α
h : ¬p a
⊢ ↑((Equiv.subtypePreimage p x₀).symm x) a = x ⟨a, h⟩
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
P : Sylow p ↥H
⊢ ∃ Q, Subgroup.comap H.subtype ↑Q = ↑P
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s : M.sections
X Y : Cᵒᵖ
p : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)
⊢ 1 (((unit R).map p) x) • (M.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).map p (↑s X) = (R.map p) (1 x) • (M.presheaf.map p) (↑s X)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
x✝ : I ⊆ X ∧ (∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ∧ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E
hIX : I ⊆ X
h : ∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y
h' : X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E
⊢ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E
D : Type u_3
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup D
MeasurableSpace D
μ : MeasureTheory.Measure D
μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
⊢ ∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ (2 ^ μ.integrablePower * ∫ (x : D), (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower) ∂μ) * (C₁ + C₂)
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f
r : ¬Function.Surjective ⇑f
⊢ False
α : Type u_1
AddZeroClass α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a + b ≤ b ↔ a ≤ 0
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
r : x * b ∈ MonoidHom.range f
⊢ b = x⁻¹ * (x * b)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
H : IsLUB s a
ne : s.Nonempty
⊢ sSup s = a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ deriv f₁ =ᶠ[𝓝 x] deriv f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Multiset α
x : α
h : ∀ x' ∈ s, r x' x
⊢ Relation.CutExpand r s {x}
A : Type u_1
B : Type u_2
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
f : ContinuousMonoidHom A B
x : PontryaginDual B
y : A
⊢ ((PontryaginDual.map f) x) y = x (f y)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => 1 - ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) + (κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = κ + η
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ Λ n ≠ 0 ↔ IsPrimePow n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set X
h : IsClosed t
⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (t ∩ s) ⊔ 𝓟 tᶜ
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : Nontrivial ι
h0 : 1 < ↑#ι
h1 : 0 < ↑#ι - 1
h2 : 0 ≤ 1 / (↑#ι - 1)
h3 : (↑#ι - 1) * (1 / (↑#ι - 1)) ≤ 1
h4 : p = 1 + 1 / (↑#ι - 1)
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ p
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - toIocDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + p + m • p)
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ y ^ z ≤ x
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ Ι x y ⊆ s
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
CommRing R
CommRing S
Ring A
Algebra R A
Algebra R S
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : S
⊢ IsAlgebraic R a → IsAlgebraic R ((algebraMap S A) a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ⌈a⌉ = ⌊a⌋ + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
T : ℝ
hT : T ≠ 0
b : AddCircle T
z✝ : ℝ
h : toCircle ↑z✝ = b.toCircle
⊢ ↑z✝ = b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i
⊢ (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) ≠ 0
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
b : α
ha : IsUnit a
⊢ multiplicity a b = ⊤
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x ^ y < 1 ↔ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s f : R
g : ↥(Submonoid.powers s)
⊢ (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen s)) f = (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen s)) ↑g * const R f (↑g) (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ Monotone (LieIdeal.comap f)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictAnti (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictAnti f
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
⊢ Set.InjOn (Nat.nth p) (Set.Iio hf.toFinset.card)
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
o : Orientation R M ι
⊢ o = positiveOrientation ∨ o = -positiveOrientation
α : Type u_1
a b : α
⊢ Specialization.toEquiv a = Specialization.toEquiv b ↔ a = b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inr ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y)).π.app j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
t : CategoryTheory.IsPushout h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
⊢ CategoryTheory.IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
⊢ abv 0 = 0
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < 0
⊢ StrictAnti fun x => a * x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
aux : ↑|0| ^ s = 0
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedCosZeta (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
f g : C(α, β)
a : α
⊢ (f ⊔ g) a = f a ⊔ g a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : MvQPF.Cofix F α
⊢ MvQPF.Cofix.mk x.dest = x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
⊢ b' ∈ (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b).baseSet
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ Prime ↑p ↔ p % 4 = 3
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map (pullback.snd f g ≫ g).op = P.map g.op ≫ P.map (pullback.snd f g).op
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
⊢ ↑(e.trans e') = ↑e' ∘ ↑e
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c : α
⊢ Finset.image (fun x => x + c) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc (a + c) (b + c)
β : Type u_1
α : Type u_2
ord : Ord β
Batteries.TransOrd β
f : α → β
⊢ Batteries.TransOrd α
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : IsEmpty n
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblZ P = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
v : V
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
ha : a < 0
hb : 0 < b
⊢ a * b < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ q ≤₁ p ⊕' q
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x a : α
h_a : a ∈ fixedPoints ⇑f
h_le_init : x ≤ a
i : Ordinal.{u}
⊢ lfpApprox f x i ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.functor.IsRightAdjoint
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
⊢ Φ.op.functor = Φ.functor.op
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f ↔ g = (lift R) f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ update f i '' uIcc a (f i) = uIcc (update f i a) f
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
f : N → M
h₁ : Function.LeftInverse (⇑e) f
h₂ : Function.RightInverse (⇑e) f
h₃ :
  ∀ (x y : N),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x *
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_mul' := h₃ } = e.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hg : Measurable g
c : γ
s : Set β
⊢ ((κ.comap g hg) c) s = (κ (g c)) s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (∀ (u : ℕ → α), CauchySeq u → ∃ a, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)) → CompleteSpace α
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑(φ * ψ) = ↑φ * ↑ψ
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
r : ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.leastGE f r i)) 1 μ ≤
  2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
⊢ MvPolynomial.esymm σ R = (Multiset.map MvPolynomial.X Finset.univ.val).esymm
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
⊢ (¬∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬p (x x_1)
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n
⊢ Prime ⟨p, ⋯⟩ ∧ ⟨p, ⋯⟩ ∣ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ≅ Y
g g' : Y ⟶ Z
⊢ f.hom ≫ g = f.hom ≫ g' ↔ g = g'
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
⊢ (lift I f H) ((mk I) x) = f x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ ((HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).moduleCatCyclesIso.hom) ≫ ModuleCat.ofHom (twoCocycles A).subtype = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (l ++ [a]).getLast? = some a
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Icc a b \ Set.Ioc a b = {a}
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R] N
m : Fin n → M
x y : M
⊢ f (Matrix.vecCons (x + y) m) = f (Matrix.vecCons x m) + f (Matrix.vecCons y m)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
hnm : S.f n = m - m'
⊢ m ∈ span R (range u)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ LocalRing.maximalIdeal ℤ_[p] = Ideal.span {↑p}
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
⊢ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
α : Type u
β : α → Type v
a : α
b b' : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : ⟨a, b'⟩ ∈ l
⊢ b = b'
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
S : Type u_10
Semiring S
Module S M'
SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
⊢ LinearMap.range ((b.constr S) f) = Submodule.span R (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : EMetricSpace β
a : β
r : ℝ≥0∞
x y : ↑(EMetric.ball a r)
⊢ edist a ↑x + edist a ↑y < r + r