ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
LinearOrderedCommMonoidWithZero β
LinearOrderedCommMonoidWithZero γ
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
⊢ g.comp (f₁ * f₂) = g.comp f₁ * g.comp f₂
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
this : ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (𝟙 j, f) ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (uncurry.obj F).map (𝟙 j, f)
⊢ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Limits.ReflectsLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J (P.comp s)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
H : LeftHomologyMapData φ (LeftHomologyData.ofZeros S₁ hf₁ hg₁) (LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₂ hf₂ (KernelFork.ofι S₂.iCycles ⋯) S₂.cyclesIsKernel) := { φK := S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯, φH := S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯, commi := ⋯, commf' := ⋯, commπ := ⋯ }
⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
⊢ gauge s x < ε
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f g : SupBotHom α β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑(f ⊔ g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)
this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i
⊢ Q (pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g)
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
⊢ a⁻¹ * b * a = b
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
⊢ x₁ = x₂
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α
⊢ a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Setoid.r a a✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g : β →o γ
w : α
h : w ∈ c
⊢ f w ∈ c.map f
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
⊢ HasStrictDerivAt Real.arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ Real.arcsin x
α : Type u_1
i : Nat
as bs : List α
h : ¬i < as.length
h' : i < (as ++ bs).length
h'' : i - as.length < bs.length
⊢ (as ++ bs)[i] = bs[i - as.length]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ (((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x)).withDensity fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ GaloisConnection (Subalgebra.map f) (Subalgebra.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
⊢ UnifIntegrable f p μ
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ ¬xa i ^ 2 ^ 1 = 1
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
⊢ f.lim = 0 ↔ f.LimZero
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : support f ⊆ s
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ (a ♯ b) ⨳ c = a ⨳ c ♯ b ⨳ c
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ (IntermediateField.adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ n ≤ MeasureTheory.hitting u s n m ω
α : Type u
β : Type v
x✝ x y : FreeMagma α
hx : (toFreeSemigroup x).length = x.length
hy : (toFreeSemigroup y).length = y.length
⊢ (toFreeSemigroup (x * y)).length = (x * y).length
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (Metric.sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ Module.End.HasEigenvector (↑T) (↑(⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
x y z : Class
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x
⊢ y ∈ z
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x y : WithLp p (α × β)
⊢ (x - y).1 = x.1 - y.1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
DecidableEq ι
DecidableEq κ
DecidableEq τ
Fintype ι
Fintype κ
Fintype τ
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
⊢ (LinearMap.toMatrix ((bM.tensorProduct bN).tensorProduct bP) (bM.tensorProduct (bN.tensorProduct bP)))
    ↑(TensorProduct.assoc R M N P) =
  Matrix.submatrix 1 id ⇑(Equiv.prodAssoc ι κ τ)
α : Type u_1
Sub α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma - mb ∈ a - b
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
⊢ Quiver.Hom.cast hu hv e = e' ↔ HEq e e'
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
⊢ Function.Bijective LieEquiv.symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
⊢ μ.withDensityᵥ (-f) = -μ.withDensityᵥ f
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
L : List (Matrix.TransvectionStruct n R)
⊢ (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod *
    (List.map (Matrix.TransvectionStruct.toMatrix ∘ Matrix.TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod =
  1
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ β✝ γ✝ : Type u
x✝² : β✝ → F✝ γ✝
x✝¹ : α✝ → G✝ β✝
x✝ : t' α✝
⊢ traverse (Comp.mk ∘ map x✝² ∘ x✝¹) x✝ = Comp.mk (traverse x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)
f : ℕ → ℕ → ℕ
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired f) ↔ Primrec₂ f
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n
⊢ log b (n / b * b) = log b n
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g m) = l (mk m s)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Setoid X
t : Setoid Y
f : X → Y
hf : Continuous f
H : (Setoid.r ⇒ Setoid.r) f f
⊢ Continuous (Quotient.map' f H)
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ
w : V
H : w ∈ f.eigenspace μ
ne0 : w ≠ 0
⊢ eval μ (minpoly K f) • w = 0
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
⊢ p.natDegree ∣ Fintype.card p.Gal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s)) t = (μ.restrict (f ⁻¹' s)) t
x y : ℂ
⊢ (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (-(log x * y))) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y))⁻¹
⊢ LinearMap.det ↑Complex.conjLIE.toLinearEquiv = -1
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.support.card = f.support.card - 1
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val := (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯).symm (τ₀ ≫ toSheafify α φ')
eq : τ.val = f.hom
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M) (inl i) (inr ()) = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
⊢ ↑((i - l).choose k * i.choose l) = ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : 0 < r
⊢ a ≤ (AffineMap.lineMap a b) r ↔ a ≤ b
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsScottHausdorff α
⊢ inst✝ = Topology.scottHausdorff α
R : Type u_1
CommSemiring R
a b₂ c : R
b₁ : R
⊢ a + b₂ = c → a + (b₁ + b₂) = b₁ + c
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ = g₂
⊢ g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
G : Type u_2
Group G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
⊢ ↑(H ⊔ N) = ↑H * ↑N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : Cᴹᵒᵖᴹᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).functor.map f = f.unmop.unmop
R : Type u
CommRing R
X : QuadraticModuleCat R
⊢ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat = X.toModuleCat
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.think.head = s.head.think
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
⊢ b ∈ AList.lookup a (s₁ ∪ s₂) ↔ b ∈ AList.lookup a s₁ ∨ a ∉ s₁ ∧ b ∈ AList.lookup a s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (f '' s).ncard = s.ncard ↔ Set.InjOn f s
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
⊢ map π μ ≪ map π (μ.restrict 𝓕)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S I
x : R
y : ↥I.primeCompl
h : LocalRing S := ⋯
⊢ IsLocalization.mk' S x y ∈ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∈ I
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Pretrivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Finset.Ico ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ = Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (Finset.Ico a b)
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
⊢ unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝)) = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝)
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
⊢ ∀ (j : Fin n.succ), M' 0 j = N 0 j
L : Language
L' : Language
⊢ Language.empty.card = 0
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m n : M
⊢ ⁅x, m + n⁆ = ⁅x, m⁆ + ⁅x, n⁆
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (fun x => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊) x ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a : α
B : ¬P → α
⊢ dite P (fun x => a) B ≠ a ↔ ∃ h, a ≠ B h
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α
⊢ (a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = a ⊓ b ⊔ a ⊓ c
K : Type u
Field K
n : ℕ
hn : Odd n
a : K
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧.keys = ⟦s₂⟧.keys ↔ s₁.keys ~ s₂.keys
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
⊢ AccPt x (𝓟 C)
a x✝ z x : ℂ
⊢ ↑x⁻¹.arg = -↑x.arg
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
s : Set A
⊢ Subalgebra.map φ (Algebra.adjoin R s) = Algebra.adjoin R (⇑φ '' s)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ x ^ orderOf x = 1
α : Type u
Preorder α
WellFoundedGT α
⊢ StrictAnti ⋯.rank
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M✝
a : M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s
l : List M
h1 : ∀ y ∈ l, y ∈ s
h2 : l.prod = x
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.prod = x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ s.carrier = ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf J A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.functor J K e A).map f).val.app X_1 =
    f.val.app (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X_1)))
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
n✝ m n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : b ≤ a.castSucc
⊢ a.castSucc.predAbove b.castSucc = (a.predAbove b).castSucc
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c₀ : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
c₁ : OmegaCompletePartialOrder.Chain β
n : ℕ
⊢ (c₀.zip c₁) n = (c₀ n, c₁ n)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g
⊢ Embedding ⇑(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
⊢ Function.mulSupport (s.mulIndicator f) = s ∩ Function.mulSupport f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
V : FDRep k G
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = ↑(finrank k ↥(invariants V.ρ))
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atBot
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hac : a ⩿ c
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
⊢ b ⩿ c
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite
h : s ⊂ t
⊢ s.encard < t.encard
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Subtype.val ∘ ⇑f.rangeRestrict = ⇑f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ deriv (fun x => Complex.cos (f x)) x = -Complex.sin (f x) * deriv f x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
f : α ≃ β
g : β ≃ γ
⊢ f.mapMatrix.trans g.mapMatrix = (f.trans g).mapMatrix
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
h : Continuous f
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun f => f i) s'
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
⊢ ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤ → ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ ((P.X ⊗ S.X) ◁ S.one ≫ P.actRight ▷ S.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.cyclesMap (𝟙 K) i = 𝟙 (K.cycles i)
α : Type u_1
p : α → Prop
a : α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ [a] → p x) ↔ p a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
PartialOrder 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Set.Iic x) x
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
⊢ (↑P).Normal