ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
this : ∀ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
⊢ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) = ∑ i ∈ range n, C • (u (i + 1) - u i) • f (u (i + 1))
R : Type u
EuclideanDomain R
x : R
y z : R
h : z ∣ y
⊢ x * y / z = x * (y / z)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p : TangentBundle I M
⊢ chartAt (ModelProd H E) p =
  ((tangentBundleCore I M).toFiberBundleCore.localTriv (achart H p.proj)).toPartialHomeomorph ≫ₕ
    (chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
⊢ Monoid.exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), g ^ n = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
N : Type u_4
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd M
ContinuousAdd N
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
f : M →+ N
hf : Continuous ⇑f
⊢ (v + w).mapRange f hf = v.mapRange f hf + w.mapRange f hf
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∉ e.baseSet
y : F
⊢ e.symm b y = 0
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j : J
x : F.obj j
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.colimitEquivQuot F).symm (Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.Rel F) ⟨j, x⟩) =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
h : Memℒp f 2 μ
⊢ Integrable (fun x => f x ^ 2) μ
α : Type u_2
Zero α
OfNat α 4
NeZero 4
⊢ 4 ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
f : P.complex ⟶ Q.complex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f Q.π = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftHomotopyZeroZero f comm) (Q.complex.d 1 0) =
  f.f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)
⊢ ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (s.sup' hs m)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F L ↥(adjoin L S)) = f
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
SMul M α
SMul M β
a : M
x : α × β
⊢ (a • x).1 = a • x.1
a : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
⊢ sSup s + a = ⨆ b ∈ s, b + a
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z
b n : ℕ
⊢ b.digits n ≠ [] ↔ n ≠ 0
R : Type u
CommSemiring R
self : R[X]
⊢ (Polynomial.toFinsuppIsoAlg R) self = self.toFinsupp
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
⊢ IsSheaf (regularTopology C) F ↔ IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : H →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p H
α : Type u
self : Batteries.DList α
l : List α
⊢ self.apply l = self.apply [] ++ l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
n : ℤ
⊢ CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms (self.LE n)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
n : ℕ
⊢ (n + 1).succ * (n + 1).choose 0 = (n + 1).succ.choose (succ 0) * succ 0
R : Type u
CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (Polynomial.map φ f).IsWeaklyEisensteinAt (Ideal.map φ 𝓟)
a : ℤ
b : ℕ
x✝ : ℤ
ha' : x✝ ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯
⊢ x✝ ∈ (MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom).copy {0, 1, -1} ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : Nonempty α
⊢ StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
x a : α
ha : a ∈ {x_1 | f x_1 < f x}
⊢ ⨅ i ∈ {x_1 | x_1 < f x}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | i < x}) ≤ 𝓟 {x | f a < f x}
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
M0 : 0 < M
⊢ ‖f‖ < M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
Monoid γ
ContinuousMul γ
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf ^ n = MeasureTheory.AEEqFun.mk (f ^ n) ⋯
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLeast Set.univ a ↔ IsBot a
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
h : a ∈ s
h_ne : ¬memPartitionSet f n a = s
h_disj : Disjoint s (memPartitionSet f n a)
⊢ (s ∩ memPartitionSet f n a).Nonempty
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
⊢ p ∣ Q.coeff 0
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Paths (CategoryTheory.Localization.Construction.LocQuiver W)} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Localization.Construction.liftToPathCategory G hG).map f =
    CategoryTheory.composePath
      ({ obj := fun X => G.obj X.obj,
            map := fun {X Y} a =>
              Sum.rec (fun val => G.map val) (fun val => CategoryTheory.inv (G.map ↑val)) a }.mapPath
        f)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ (ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom = ((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
P : Type u_2
AddCommGroup P
Module R P
Module.FinitePresentation R P
Module.Flat R P
⊢ Module.Free R P
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t
⊢ s.sym2 ⊆ t.sym2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : R[M]
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
l : Filter ((i : ι) → α i)
inst✝ : l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
s : Submodule k V
⊢ s.toAffineSubspace.direction = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ∑' (x : { x // x ∈ f.range }) (i : ι), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x}) = ∑' (i : ι) (x : { x // x ∈ f.range }), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
⊢ (T + S).IsPositive
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
x : R
⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) x = 0 ↔ x = 0
G : Type u_1
Group G
a x y : G
⊢ SemiconjBy a⁻¹ y x ↔ SemiconjBy a x y
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
this : α - β = 0
⊢ α - β = 0
R : Type u
EuclideanDomain R
a b c : R
ha : a ≠ 0
h : a * b = c
⊢ b = c / a
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 < f x}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0
h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0
htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
h0_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ 0
⊢ 1 ≤ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
f g : M ≃ₗ[S] M₂
⊢ LinearEquiv.restrictScalars R f = LinearEquiv.restrictScalars R g ↔ f = g
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
x✝ : a ∣ b * ↑u
c : α
Eq : b * ↑u = a * c
⊢ b = a * (c * ↑u⁻¹)
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ UniformSpace.Completion.map f (↑α a) = ↑β (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x a : α
⊢ a ∈ mulSupport (update f x 1) ↔ a ∈ mulSupport f \ {x}
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R
⊢ (optionEquivLeft R S₁) (C r) = Polynomial.C (C r)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Multiset α
a : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
s : Multiset α
⊢ filter p (s.erase a) - filter p t = filter p s - filter p (a ::ₘ t)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
n : ℕ
d : ℕ → ℝ≥0∞
hd : ∀ {k : ℕ}, k < n → edist (f k) (f (k + 1)) ≤ d k
⊢ edist (f 0) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, d i
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hm : Submodule.map f (I ^ m • ⊤) ≤ I ^ m • ⊤
⊢ (fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD Submodule.map f (I ^ m • ⊤)]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ eval₂ f g (p + q) = eval₂ f g p + eval₂ f g q
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ min (a * b) c = min (min a c * min b c) c
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⋂₀ {s} = s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
α : X ≅ Y
⊢ (CategoryTheory.Comma.leftIso α).inv = α.inv.left
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : a < 1
⊢ a • b < b
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1
⊢ s ⊆ t
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
⊢ (A ⟶ X) → ↑(F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Icc a b
⊢ projIcc a b h ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}
n : ℕ
⊢ (sFiniteSeq μ n) (⋃ i, As i) ≠ ⊤
F : Type u_2
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
FunLike F ℍ ℂ
self : CuspFormClass F Γ k
f : F
⊢ MDifferentiable 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) ⇑f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
⊢ IsIso (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map (forgetToSheafedSpace.map (pullback.snd f g)))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : Cᵒᵖ
⊢ F.cones.obj X = ((CategoryTheory.Functor.const J).obj (Opposite.unop X) ⟶ F)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c (dist x c) x = x
α : Type u_3
PartialOrder α
Nontrivial α
⊢ Disjoint Filter.atTop Filter.atBot
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
e : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜) ≃ₜ C(↑(σ 𝕜 ↑a), 𝕜) := let __src := Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯); { toEquiv := __src.toEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
⊢ Function.Injective ⇑(ad R L)
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : BoundedAdd β
inst✝ : ContinuousAdd β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ
⊢ ⇑(nsmulRec (n + 1) f) = (n + 1) • ⇑f
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
H : SetTheory.PGame
⊢ H ≈ G ↔ H + G ≈ 0
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
U : TopologicalSpace.Opens M
x : ↥U
⊢ ↑(chartAt H ↑x).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H ↑x) ↑x)] Subtype.val ∘ ↑(chartAt H x).symm
G : Type u_1
a : G
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ a⁻¹ ∈ s ↔ a ∈ s
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ IsLUB s a ↔ sSup s = a
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c d : ℂ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) MeasureTheory.volume
a m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMLeft 0 ∣ a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
h : SeparatedNhds s t
⊢ Disjoint (closure s) t
hp : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * 2
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsCofiltered J
F : CategoryTheory.Functor J Profinite
C : CategoryTheory.Limits.Cone F
α : Type u_1
Finite α
Nonempty α
hC : CategoryTheory.Limits.IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Ioi b = Set.Iio (a - b)
n m k : ℕ
⊢ n &&& m &&& k = n &&& (m &&& k)
α : Type u_2
Semiring α
⊢ IsDomain α ↔ IsCancelMulZero α ∧ Nontrivial α
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : L
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R
⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = (charpoly (φ x)).coeff i
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
⊢ map i p = C (map i p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
⊢ IsConj σ τ ↔ σ.support.card = τ.support.card
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
⊢ (f - g).domain = f.domain ⊓ g.domain
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = ↑r * ↑(r' j)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ torsionBySet R M Set.univ ≤ torsionBySet R M {1}
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
d : β
hcd : a < a + d
⊢ b₁ • (a + d) + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • (a + d)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) = 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq
⊢ (imageSubobjectIso (Arrow.mk f).hom).hom ≫ image.map sq = imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobjectIso g).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : x ∈ ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
x y : ℝ≥0
⊢ 0 < sqrt x ↔ 0 < x
R : Type u_1
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
h1 : IsSMulRegular (↥N) r
h2 : IsSMulRegular (M ⧸ N) r
⊢ IsSMulRegular M r
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
⊢ ↑(LinearMap.toContinuousLinearMap f) = f
M : Type u_1
AddMonoid M
x : ↥(IsAddUnit.addSubmonoid M)
⊢ ↑(-AddSubmonoid.addUnitsTypeEquivIsAddUnitAddSubmonoid.symm x) = ↑(-Classical.choose ⋯)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ Metric.diam (Metric.closedBall x r) ≤ 2 * r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : γ), κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (Set.univ ×ˢ s)).toReal
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx : x ∈ U i
j : (ofOpenSubsets U).J
hy : x ∈ U j
⊢ ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩ = ((ofOpenSubsets U).ι j) ⟨x, hy⟩
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ Finset.Ioo a b = ∅ ↔ ¬a < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
hf : QuasiconcaveOn 𝕜 s f
⊢ Convex 𝕜 s
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ → L₂
h₁ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : L₁),
    { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ :
  ∀ {x y : L₁},
    { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun ⁅x, y⁆ =
      ⁅{ toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun x,
        { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun y⁆
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, map_lie' := h₃ } = f