ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ = ∅ ↔ s = Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ s
hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
x : X
hxs : x ∈ s
hxu' : x ∈ u'
hxv' : x ∈ v'
⊢ f x ∈ v
R : Type u_17
M : Type u_18
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : M
⊢ IsLinearMap R fun c => c • a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.rightUnitor.hom.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd
    (CategoryTheory.Limits.terminal.from ((X.src ⨯ ⊤_ C) ⨯ X.tgt))
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
w₁ w₂ : Monoid.PushoutI.NormalWord d
hhead : w₁.head = w₂.head
hlist : w₁.toList = w₂.toList
⊢ w₁ = w₂
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Surjective (Set.image f) ↔ Function.Surjective f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β
⊢ map f (c • μ) = c • map f μ
K : Type u_1
DivisionRing K
s : Stream'.Seq (GenContFract.Pair K)
p : GenContFract.Pair K
h : s.head = some p
n : ℕ
⊢ GenContFract.convs'Aux s (n + 1) = p.a / (p.b + GenContFract.convs'Aux s.tail n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
⊢ StronglyMeasurable f
P : Type u_2
MetricSpace P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ { center := s.center, radius := s.radius } = s
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ ‖f_nat k a t n‖ ≤ g_nat k a t n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
DecidableEq ι
Fintype ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, x i) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, x j) • ContinuousLinearMap.proj i) x
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
this : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))
⊢ ((χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (↑(ringChar FF') ^ ↑n')
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ Finset.Icc s t = Finset.image (fun x => s ∪ x) (t \ s).powerset
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
⊢ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer (J.plusObj P))
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).1 1 ⊗ₜ[k] single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).2 a) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a * b ≤ a ↔ b ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
f : R[M]
hf : f ∈ S
⊢ f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₂
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
π : P →+* R
self : PerfectionMap p π
x y : P
⊢ (∀ (n : ℕ), π ((⇑(frobeniusEquiv P p).symm)^[n] x) = π ((⇑(frobeniusEquiv P p).symm)^[n] y)) → x = y
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f)) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
⊢ s.OrdConnected ↔ ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
⊢ max (μ univ) (ν univ) < ⊤
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.index K V ≤ MeasureTheory.Measure.haar.index K' V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial A
⊢ CategoryTheory.IsIso A.str
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
⊢ SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯) ≫ SimplexCategory.δ j.succ = SimplexCategory.δ j ≫ SimplexCategory.δ i
E' : Type u_1
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
FiniteDimensional ℝ E'
⊢ 0 < lipschitzExtensionConstant E'
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = 0 → x = y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
ChartedSpace H M
ChartedSpace H' M'
x : M × M'
⊢ extChartAt (I.prod I') x = (extChartAt I x.1).prod (extChartAt I' x.2)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f
⊢ ∀ᶠ (x_1 : X) in 𝓝[≠] x, f x_1 ∈ {f x}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
δ : Type u_7
MeasurableSpace δ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
μd : MeasureTheory.Measure δ
MeasureTheory.SFinite μa
MeasureTheory.SFinite μc
f : α → β
g : γ → δ
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μc μd
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (Prod.map f g) (μa.prod μc) (μb.prod μd)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ a < EquivLike.inv f b ↔ f a < b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ c < a → c < b → c ∉ [[a, b]]
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : Antitone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iic b) (Set.Ici (f b))
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.supported M R ∅ = ⊥
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
s : Set M
h : s.Countable
⊢ Countable ↥((closure L).toFun s)
n : ℕ
⊢ n.choose n.succ = 0
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / ‖2‖
c : Code
k : Cont'
⊢ trStmts₁ (trNormal c k) ⊆ codeSupp' c k
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x✝ y✝ : F
h : W.Nonsingular x✝ y✝
a₂✝ : W.Point
hP : toClass (some h) = toClass a₂✝
⊢ toClass (-some h) + toClass (some h) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
x d : α
⊢ [].nextOr x d = d
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
l : List ι
hle : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i < g i
⊢ (map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod < (map g (Quot.mk Setoid.r l)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
⊢ False
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductCone X Y).snd = Prod.snd
α : Sort u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.trans 1 = e
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f g : A →A[R] A
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) s = (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ re (r • z) = r * re z
α : Type u
UniformSpace α
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ (x, y) ∈ (𝓤 α).ker
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hs : s ⊆ f.source
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑(f.extend I) '' s
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ ↑b = ↑a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
U : Set X
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal⁻¹ = p⁻¹.toReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
h₂ : S₂.IsComplex
i j k : ℕ
hij : i + 1 = j := by omega
hjk : j + 1 = k := by omega
hk : k ≤ n := by omega
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.sc'MapIso e h₁ h₂ i j k hij hjk hk).inv =
  CategoryTheory.ComposableArrows.sc'Map e.inv h₂ h₁ i j k ⋯ ⋯ ⋯
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
hn : l ≠ []
i j : ℕ
h : l.rotate (i % l.length) = l.rotate (j % l.length)
⊢ i % l.length = j % l.length
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b < 1
⊢ a * b < 1
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y
⊢ l ≤ 𝓝 y
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub f = 0 ↔ IsEmpty ι
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
⊢ 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
⊢ IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ → IntegrableAtFilter f l μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (s_1 : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s_1, f i ∈ {s i}) → μ[(⋂ i ∈ s_1, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s_1, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
f : ℤ[X]
a b : ℤ
b0 : 0 < b
fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0
⊢ 1 ≤ ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|
l : List ℕ
a m n : ℕ
x✝ : [].IsZeckendorfRep
⊢ (map fib []).sum.zeckendorf = []
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b' b : α
hr : r b' b
⊢ Relation.CutExpand r {a, b'} {a, b}
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
K K' : AddSubgroup N
⊢ K ≤ K' → AddSubgroup.comap f K ≤ AddSubgroup.comap f K'
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 ⨳ a = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ (pushout.inr S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.op.δ.unop ≫ (pullback.snd S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop = (pushout.inl S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ (pullback.fst S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
⊢ ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, ∀ (i : ι), p.2 ∈ K i → closedBall p.2 p.1 ⊆ U i
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hy : y.Infinite
⊢ (x * y).Infinite
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
⊢ (quadraticChar F) (-1) = χ₄ ↑(Fintype.card F)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
⊢ tangentMap I I.tangent (zeroSection E (TangentSpace I)) { proj := x, snd := v } = { proj := { proj := { proj := x, snd := v }.proj, snd := 0 }, snd := ({ proj := x, snd := v }.snd, 0) }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
⊢ ContinuousOn f univ ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) univ
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor D E
G : CategoryTheory.Functor E D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : CategoryTheory.Sheaf J E
⊢ ((CategoryTheory.Sheaf.adjunction J adj).unit.app X).val =
  ((CategoryTheory.Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X.val
      ((CategoryTheory.presheafToSheaf J D).obj (X.val.comp G)).val)
    (CategoryTheory.toSheafify J (X.val.comp G))
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : R
⊢ Polynomial.eval₂ f (f x) p = f (Polynomial.eval x p)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
n x y : Nat
h : y = x % (n + 1)
⊢ ↑↑(OfNat.ofNat x) = OfNat.ofNat y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n - g) + tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
x : E
⊢ A x = (adjoint B) x
b : ℕ
⊢ 1 < b → ∀ {n : ℕ}, 0 < n → b.digits n = n % b :: b.digits (n / b)
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s : ι → M
⊢ ∃ I,
  (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b * c = c / b * a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑e
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : IsProbabilityMeasure ℙ
⊢ AEMeasurable (s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)) μ
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : { a // p a } → Prop
⊢ (∃ x, q x) ↔ ∃ a b, q ⟨a, b⟩
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
SemilatticeInf β
OrderTop β
a : α
⊢ ⊤ a = ⊤
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
⊢ (↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_14
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : Matrix (m × o) (n × o) α
k : o
⊢ Mᴴ.blockDiag k = (M.blockDiag k)ᴴ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) x
V W : SemiNormedGrp
i : V ≅ W
h1 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.hom
h2 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.inv
v : ↑V
⊢ ‖v‖ ≤ ‖i.hom v‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : X → ℝ
c : Continuous f
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ g, ∀ (x : X), ‖↑g x - f x‖ < ε
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
⊢ Summable f
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty n
⊢ M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
n : ℕ
⊢ (finEquivZMultiples x hx).symm ⟨n • x, ⋯⟩ = ⟨n % addOrderOf x, ⋯⟩
α : Type u_1
DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Set α
⊢ (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep I ↔
  ∀ (J : Finset α), ↑J ⊆ I → Indep J
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (z * y + x) y
⊢ IsCoprime x y
x : ℝ
⊢ Real.sin (2 * x) = 2 * Real.sin x * Real.cos x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
⊢ x ⊔ y < z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2
⊢ abv (a₁ + a₂ - (b₁ + b₂)) < ε
R : Type u_1
LinearOrder R
l : List R
⊢ Tropical.trop l.minimum = (List.map (Tropical.trop ∘ WithTop.some) l).sum
a b c : SimplexCategory
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ SimplexCategory.Hom.toOrderHom (f ≫ g) = (SimplexCategory.Hom.toOrderHom g).comp (SimplexCategory.Hom.toOrderHom f)
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s t : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
ht : t.PairwiseDisjoint f
h : ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → i ≠ j → Disjoint (f i) (f j)
⊢ (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
α : Type u
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : ExistsMulOfLE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
x : α
hxb : b < x
⊢ a ≤ x
α : Sort u
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
C : α → Prop
a : α
h : ∀ (x : α), (∀ (y : α), r y x → C y) → C x
⊢ C a