ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : F.map (𝟙 X) ≫ I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0
⊢ (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) = I.toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ InfIrred a ↔ ¬IsMax a
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a₁ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
DecidableEq β
a : α
⊢ HasProd (Function.update f b a) (a / f b * a₁)
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
p : ℕ
hp : p ∈ (a.factorization ⌈/⌉ n).support
this : Prime p ∧ p ∣ a ∧ ¬a = 0
⊢ Prime p
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hε : {y | ‖y‖ < ε} ⊆ ⇑q ⁻¹' Iio 1
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : F), q x ≤ C * ‖x‖
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.IsCompatibleWithTriangulation
W.HasLeftCalculusOfFractions
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang
hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₁ b = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a T₂.mor₁
⊢ ∃ c,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₂ c = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b T₂.mor₂ ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor D 1).map a) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp c T₂.mor₃
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
f : SlashInvariantForm Γ k
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂
i : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₁.restrict (spanningSets μ i)) s = μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₂.restrict (spanningSets μ i)) s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => s • (1 / s) • P.f₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 P.f₀)
M : Type u_4
N : Type u_5
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
l : List M
⊢ f l.prod = (List.map (⇑f) l).prod
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
hx : ↑f x ∈ f.inverse.domain
h : ↑f.inverse ⟨↑f x, ⋯⟩ = ↑x
⊢ y = ⟨↑f x, ⋯⟩
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal - ↑(-f a).toNNReal ∂μ
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a b : E
f' : ℝ
h : IsExtrOn f s a
hd : HasLineDerivAt ℝ f f' a b
h' : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, a + t • b ∈ s
⊢ f' = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M 0)) x)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝² : TopologicalSpace X
Z B : C
π : Z ⟶ B
inst✝¹ : HasPullback π π
inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G
a : C(↑(G.obj Z), X)
ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.snd π π))
x y : ↑(G.obj Z)
hxy : (G.map π) x = (G.map π) y
xy : ↑(G.obj (pullback π π)) := (PreservesPullback.iso G π π).inv ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype (G.map π) (G.map π)).inv ⟨(x, y), hxy⟩)
ha' : a ((G.map (pullback.fst π π)) xy) = a ((G.map (pullback.snd π π)) xy)
h₁ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.fst π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.fst (G.map π) (G.map π)) y
h₂ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.snd π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.snd (G.map π) (G.map π)) y
⊢ a x = a y
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p q : Path x₀ x₁
h : p.Homotopic q
f : C(X, Y)
⊢ (p.map ⋯).Homotopic (q.map ⋯)
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
r : R
hf' : ∀ (i : ι) (x : β₁ i), f i (r • x) = r • f i x
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ DFinsupp.mapRange f hf (r • g) = r • DFinsupp.mapRange f hf g
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ OpenEmbedding ⇑U.inclusion
α : Type u_1
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
⊢ a * c = a * b * d ↔ c = b * d
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)
s : PushoutCocone f g
⊢ (f ≫ ι₁) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right) = (g ≫ ι₂) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b = 0 ↔ ¬a ∣ b
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
hT' : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
⊢ productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hd : finrank K V = d + 1
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : α) → StarAddMonoid (E i)
∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
⊢ Memℓp (star f) p
ι : Type u_5
B : Type u_6
TopologicalSpace B
F : Type u_7
TopologicalSpace F
self : FiberBundleCore ι B F
i j k : ι
x : B
⊢ x ∈ self.baseSet i ∩ self.baseSet j ∩ self.baseSet k →
  ∀ (v : F), self.coordChange j k x (self.coordChange i j x v) = self.coordChange i k x v
ι : Type u_1
M : Type u_3
DecidableEq ι
Semiring M
(m : M) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraAddEquivDirectSum.symm = DirectSum.toAddMonoidAlgebra
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
⊢ LinearMap.det LinearMap.id = 1
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
head₁ : G i
tail₁ : Word G
fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝¹ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
head₂ : G i
h₁ : ↑(⋯.equiv head₁).2 = ↑(⋯.equiv head₂).2
h₃ : (⋯.equiv head₁).1 = (⋯.equiv head₂).1
fstIdx_ne✝ : tail₁.fstIdx ≠ some i
normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1
⊢ head₁ = head₂ ∧ tail₁ = tail₁
z : ℍ
⊢ (ModularGroup.T⁻¹ • z).re = z.re - 1
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, g' x ≠ 0
hfa : Filter.Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hga : Filter.Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[≠] a) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
u v a : α
hua : Disjoint u a
hva : v ≤ a
⊢ UV.compress u v a = (a ⊔ u) \ v
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ ↑(Heyting.Regular.toRegular a) = aᶜᶜ
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) f) = ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) g)
⊢ ⇑f = ⇑g
α : Sort u_1
s : α → Prop
⊢ (¬∀ (x : α), s x) = ∃ x, ¬s x
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P'
inst✝⁵ : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P''✝ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing P''✝
inst✝³ : Algebra R P''✝
loc'' : IsLocalization S P''✝
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
P'' : Type u_5
inst✝² : CommRing P''
inst✝¹ : Algebra R P''
inst✝ : IsLocalization S P''
I : FractionalIdeal S P
x✝ : P''
⊢ x✝ ∈ (canonicalEquiv S P' P'') ((canonicalEquiv S P P') I) ↔ x✝ ∈ (canonicalEquiv S P P'') I
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ S
I : Ideal S
bI : Basis ι ℤ ↥I
⊢ (b.det (Subtype.val ∘ ⇑bI)).natAbs = Ideal.absNorm I
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
⊢ Matrix.blockDiagonal' 0 = 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ M.charpoly.coeff k = (∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K K' : ℝ≥0
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
⊢ MeasureTheory.Memℒp (g ∘ f) p μ ↔ MeasureTheory.Memℒp f p μ
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
s : σ
f : α → σ × σ → (σ × σ) × β
h : ∀ (x : α) (s : σ), (f x (s, s)).1.1 = (f x (s, s)).1.2
⊢ (match (s, s) with | (s₁, s₂) => s₂ = s ∧ s₁ = s) ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α), (match s with | (s₁, s₂) => s₂ = q ∧ s₁ = q) → (match (f a s).1 with | (s₁, s₂) => s₂ = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1 ∧ s₁ = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1) ∧ (f a s).2 = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
f : PointsWithCircumcenterIndex n → α
h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, f i = ∑ i : Fin (n + 1), f ((pointIndexEmbedding n) i) + f circumcenterIndex
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1
this : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).Monic
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
⊢ ↑0 = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), f (coeff m p) = f (coeff m q)
⊢ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p = coeff m q
R : Type u_9
M : Type u_10
Semiring R
CharZero R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
⊢ -v = v ↔ v = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Distrib α
s t u : Finset α
⊢ (s + t) * u ⊆ s * u + t * u
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.IsReflection (cs.simple i)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.degree = q.degree
hlc : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff + q.leadingCoeff
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
K : CompactExhaustion X
n : ℕ
⊢ IsClosed (K n)
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c
⊢ Rel r (b + a) (c + a)
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.Linear R D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Functor.Linear R F
X Y : C
⊢ ⇑(CategoryTheory.Functor.mapLinearMap R F) = F.map
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (u n) a < ε
α : Type u
s : Computation α
self : s.Terminates
⊢ ∃ a, a ∈ s
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff A n) (PowerSeries.exp A) = (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n.factorial)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
⊢ LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap C L)) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((traceForm K L).dualBasis ⋯ b))
α : Type u_3
Preorder α
TopologicalSpace α
self : SupConvergenceClass α
a : α
s : Set α
⊢ IsLUB s a → Filter.Tendsto CoeTC.coe Filter.atTop (𝓝 a)
m n : Nat
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ m.lcm n ≠ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β
⊢ ∏ x ∈ s, update f i b x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
w✝ : α
hc : filter (Setoid.r w✝) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
⊢ b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
⊢ IsCompact (range f)
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : Ergodic f μ
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
⊢ ∃ x, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ^ (z * z⁻¹) ↔ x ≤ y ^ z
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Embedding ⇑h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s ≤ ↑s -ᵥ ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Monoidal.FunctorCategory.tensorObj F G).map f = F.map f ⊗ G.map f
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ 0 ≤ (↑(finrank ℝ E))⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t
hiu : (i, i') ∉ u
j : ι
j' : ι'
hij : (i, i') ≠ (j, j')
hj : (j, j') ∈ s ×ˢ t
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a b : α
⊢ Specialization.toEquiv a ≤ Specialization.toEquiv b ↔ b ⤳ a
P : Type u_1
Preorder P
D : Order.Cofinal P
x : P
⊢ x ≤ D.above x
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (a : E), (∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Ico 0 1) → ∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Icc 0 1
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R
val✝ : Fintype R
⊢ IsSquare a
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
⊢ (s.mulIndicator fun x => 1) = fun x => 1
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ γ
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ ⟨a, splitFun (g ⊚ f') (P.wMap g ∘ f)⟩ = ⟨a, splitFun (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)⟩
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J✝ : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I J : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ I * J
⊢ x ∈ ↑I * ↑J
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
i : ι × ι
⊢ ∃ i', f i.1 ⊓ g i.2 ≤ f i' ⊓ g i'