ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
J : Matrix n n R
m : Type w
DecidableEq m
Fintype m
e : Matrix n n R ≃ₐ[R] Matrix m m R
h : ∀ (A : Matrix n n R), (e A).transpose = e A.transpose
A : ↥(skewAdjointMatricesLieSubalgebra J)
⊢ ↑((skewAdjointMatricesLieSubalgebraEquivTranspose J e h) A) = e ↑A
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X
⊢ MapClusterPt x F u ↔ ClusterPt x (Filter.map u F)
α : Type u_1
Zero α
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n
⊢ (fun l => (listDecode l)[0]?) ((fun φ => φ.snd.listEncode) φ) = some φ
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => a • x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
hr : WellFounded (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1)
⊢ WellFounded (DFinsupp.Lex r s)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Pi.single i 1 ∈ stdSimplex 𝕜 ι
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b → b ≤ a → b = a
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
T2Space M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
U : M → Set M
h : f.IsSubordinate U
⊢ f.toSmoothPartitionOfUnity.IsSubordinate fun i => U (f.c i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Ioc a b) ⊆ Icc a b
b n : ℕ
⊢ 0 < log b n ↔ b ≤ n ∧ 1 < b
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
⊢ AddSubmonoid.closure s = AddMonoidHom.mrange (FreeAddMonoid.lift Subtype.val)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ CategoryTheory.Localization.Preadditive.add' W (CategoryTheory.Localization.Preadditive.neg' W f) f = L.map 0
G : Type u_3
AddGroup G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => -c + x) fun x => c + x
α : Type u_1
Top α
a : α
⊢ ⊤ = ↑a ↔ ⊤ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f g : α → β → σ
hg : Primrec₂ f
H : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g a b
a : α
b : β
⊢ f a b = g a b
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
SemilatticeInf T
OrderTop T
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid T
CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset (AddMonoidAlgebra R A)
⊢ (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) m).sum ≤ m.prod.support.inf degt
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
⊢ ‖hatg - (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g - g', mem_ker⟩‖ < ε
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
⊢ CategoryTheory.IsConnected (w.StructuredArrowRightwards g) ↔ CategoryTheory.IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n✝ a✝ : ℕ
⊢ max (2 • some (n✝ + 1 + 1)) (2 • ↑a✝ + 3) ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
CommGroup β
s : Set α
e : β ≃* α
⊢ MulDissociated (⇑e ⁻¹' s) ↔ MulDissociated s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ sInf (Set.range fun x => ↑x.reverse.length) = G.edist v u
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
I : S.Arrow
⊢ (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) ((J.pullback I.f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'
⊢ setToL1S T f = setToL1S T f'
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure α)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (MeasureTheory.Measure.map f) μ).join = MeasureTheory.Measure.map f μ.join
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ
ι : Type u_4
F : Filter ι
F.NeBot
f : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
⊢ Filter.liminf (fun i => f i - c) F = Filter.liminf f F - c
R : Type u_1
Ring R
StarRing R
z : ℤ
⊢ IsSelfAdjoint ↑z
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommGroup M
SetLike σ M
AddSubgroupClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x y : M
⊢ (DirectSum.decompose ℳ) (x - y) = (DirectSum.decompose ℳ) x - (DirectSum.decompose ℳ) y
o : Ordinal.{u_2}
⊢ o.cof ≤ o.card
X : Type u_1
f : X → ℝ
m0 : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
g : MeasureTheory.SimpleFunc X ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑g * f) μ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ Bg ≤ max 0 (max Bf Bg)
n : ℕ
⊢ ↑(n / n) = ↑n / ↑n
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, c < ‖x‖
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x = rexp (log x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ map (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α) ≤ 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
⊢ ↑l.toFinset ≤ {x | l.formPerm x ≠ x}
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
L : List R[X]
⊢ Polynomial.map f L.prod = (List.map (Polynomial.map f) L).prod
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
s : Finset X
⊢ IsClosed ↑s
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes p τ
⊢ (Function.fromTypes_succ_equiv p τ).symm a = a
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (β i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₂ i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → β₁ i →ₗ[R] β₂ i
h : (i : ι) → β₂ i →ₗ[R] N
l : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ ((lsum ℕ) h) ((mapRange.linearMap f) l) = ((lsum ℕ) fun i => h i ∘ₗ f i) l
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
hx : x ∈ tsupport ↑f
this : x ∈ (chartAt H c).source
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, ℝ) ⊤ (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
⊢ IsPurelyInseparable E K
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
i : m
hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0
⊢ v i * M.det = v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1)
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddMonoid β
AddAction β α
H : AddSubgroup α
AddAction.QuotientAction β H
b : β
q : α ⧸ H
⊢ ↑(b +ᵥ Quotient.out' q) = b +ᵥ q
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i✝¹ : ι
x✝¹ : 𝒜 i✝¹
i✝ : ι
x✝ : ℬ i✝
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝)) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in {y | 0 ≤ f y}, f x ∂μ
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ [a] ~ l ↔ [a] = l
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
⊢ a ∣ b * ↑u ↔ a ∣ b
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (truncFun n φ) = if m < n then (coeff R m) φ else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : CategoryTheory.Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
⊢ P ((CategoryTheory.Over.pullback f).map g).left
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : Function.Injective ⇑f
h₂ : map f I = ⊥
⊢ I = ⊥
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
α : Type u_6
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 z) ↔
  Filter.Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Filter.Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ s -ᵥ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S T : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.map f (S ⊔ T) = Subalgebra.map f S ⊔ Subalgebra.map f T
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (l₁ + l₂).eval v = l₁.eval v + l₂.eval v
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
⊢ ∑' (a : α), f a ≤ ∑' (a : α), g a
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially (-f)
α : Sort u
β : Sort v
q : β → Prop
e : α ≃ β
⊢ (∃ a, q (e a)) ↔ ∃ b, q b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
⊢ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i} → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
⊢ a - c - (b - d) = a - b - (c - d)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
⊢ ∃ x, r * ‖x‖₊ < ‖f x‖₊
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ (q : A[X]), q.degree < (X - C a).degree → ¬q = 0 → (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.7784
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ (∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂) ↔ ∀ (a b : X) (b_1 : f a = f b), ⟨(a, b), b_1⟩ ∈ (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ → (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 a ×ˢ 𝓝 b)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
Z : Type u_5
TopologicalSpace Z
f : Z → ↥(MeasureTheory.Lp E p ν)
g : Z → C(X, Y)
s : Set Z
z : Z
hf : ContinuousWithinAt f s z
hg : ContinuousWithinAt g s z
hgm : ∀ (z : Z), MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(g z)) μ ν
hp : p ≠ ⊤
⊢ ContinuousWithinAt (fun z => (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving ⇑(g z) ⋯) (f z)) s z
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n : ℤ
⊢ H.map ((inr φ).f n) ≫ (mapHomologicalComplexXIso φ H n).hom = (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw : (↑v).asIdeal = (↑w).asIdeal
⊢ v = w
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (b : β), f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
ι : Sort u_6
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)
⊢ StrictConvex 𝕜 (⋃ i, s i)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
ab : a * b ≤ 1
⊢ b ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[≤] b, s ∈ 𝓝[Icc a b] b, s ∈ 𝓝[Ioc a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioc l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioc l b ⊆ s].TFAE
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
T : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
⊢ MeasureTheory.FinMeasAdditive (c • μ) T
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝¹ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
σ : Perm (Fin n)
x✝ : σ ∈ univ
⊢ sign (decomposeFin.symm (i.succ, σ)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.map i (separableClosure F E) ≤ separableClosure F K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ i : ℕ
⊢ ⨅ (_ : i ≤ n✝), (f i)ᶜ = ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ (c • f)) =ᶠ[ae μ] c • μ[f|m]
α : Type u_3
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → α
hf : LocallyFinite fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f n =ᶠ[𝓝 x] F
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
p : α → ι → Prop
hic : #ι < c
⊢ ⋂ i, {x | p x i} ∈ l ↔ ∀ (i : ι), {x | p x i} ∈ l
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
a : X
LinearOrder X
CompactIccSpace X
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic a) μ ↔
  MeasureTheory.IntegrableAtFilter f Filter.atBot μ ∧ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f (Set.Iic a) μ
a : Surreal.Multiplication.Args
⊢ a.Numeric → Surreal.Multiplication.P124 a
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIciTopology α
f : β → α
s t : Set β
z : β
ht : IsCompact t
hf : ContinuousOn f t
hz : z ∈ t
hfz : ∀ z' ∈ t \ s, f z' < f z
⊢ ∃ x ∈ s, IsMaxOn f t x
θ ψ : Angle
⊢ θ.cos = ψ.cos ↔ θ = ψ ∨ θ = -ψ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
OpensMeasurableSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
MeasurableSpace δ
SecondCountableTopologyEither α β
f : δ → α
g : δ → β
c : α → β → γ
h : Continuous fun p => c p.1 p.2
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun a => c (f a) (g a)
n : Nat
⊢ ⟨1, ⋯⟩ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ (F.mapIso i).inv = F.map i.inv
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
a : α
⊢ {a} ⊆ s ↔ a ∈ s
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a / a * a = a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
s : Set α
⊢ Dense s ↔ s = Set.univ
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
this✝ : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹
this : (1 - ‖t‖)⁻¹ ≤ 2
⊢ ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ + 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
z : K
⊢ spanSingleton R₁⁰ z * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {(sec R₁⁰ z).1} * I = Ideal.span {↑(sec R₁⁰ z).2} * J
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
⊢ False
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x = x + ↑m
⊢ f.translationNumber = ↑m
M : Type u_11
α : Type u_12
SMul M α
self : MulAction.IsPretransitive M α
x y : α
⊢ ∃ g, g • x = y
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_1
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁
⊢ (Equiv.prodCongrRight e) (a, b) = (a, (e a) b)
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
hc : c ∈ S.objs
d : C
hd : d ∈ S.objs
f : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hf : f ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
g : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hg : g ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
hfg : (fun f => S.hom.map f) ⟨f, hf⟩ = (fun f => S.hom.map f) ⟨g, hg⟩
⊢ ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩