ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Function.Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 0 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ tsum f ≤ tsum g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂
⊢ ⟦(a✝.prod b✝).map ⋯⟧ = ⟦b✝⟧
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₁ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).f' = h.f'
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module S✝ M
inst✝⁴ : SMul S✝ R
inst✝³ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝² : Ring R'
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R' M'
S T : Submodule R' M'
s t : M'
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T
⊢ s - t ∈ S ⊔ T
x : ℝ
hx₁ : Real.pi / 2 < x
hx₂ : x < Real.pi + Real.pi / 2
⊢ Real.cos x < 0
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0
⊢ False
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovDist μ ν = MeasureTheory.levyProkhorovDist ν μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
⊢ b ∈ s
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : R
⊢ ∀ (x_1 : M), ((Module.toAddMonoidEnd R M) x) x_1 = x • x_1
α : Type u
f : α → α
Hsurj : Function.Surjective f
n : ℕ
⊢ Function.Surjective f^[n]
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
⊢ (CategoryTheory.linearCoyoneda R C).comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight C (ModuleCat R) (Type v)).obj (CategoryTheory.forget (ModuleCat R))) =
  CategoryTheory.coyoneda
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ f g)
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ Y Y').isLimit (ℬ Y' Y).isLimit).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.braiding (ℬ X X').isLimit (ℬ X' X).isLimit).hom
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ g f)
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
k : ℕ
⊢ s.powerset = univ ↔ s = univ
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k✝ : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
k : Set α
hk : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
h'k : IsCompact k
⊢ μ k = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝¹ a✝ : α
z a : ℤ
⊢ a ≤ ⌊a✝ + ↑z⌋ ↔ a ≤ ⌊a✝⌋ + z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
⊢ ClosedEmbedding ⇑hA.cfcAux
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ ‖(starRingEnd K) z‖ = ‖z‖
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
⊢ Filter.pi f₁ ≤ Filter.pi f₂ ↔ ∀ (i : ι), f₁ i ≤ f₂ i
R : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalAddGroup R
norm : R → 𝕜
norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x
norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y
nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}
⊢ TopologicalRing R
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : WithBot ℕ
⊢ f.degree ≤ n ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)
⊢ s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᵐ[μ] g
h : ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ g x
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
IsLeftCancelAdd α
ha : a ≠ ⊥
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
j : J
n : ι
⊢ ((HomologicalComplex.coneOfHasLimitEval F).π.app j).f n =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n) j
α : Type u
SemilatticeInf α
a : α
b c : α
h : b ≤ c
⊢ a ⊓ b ≤ a ⊓ c
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ 0 ≤ if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.invRotate.obj₁ = (CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).obj T.obj₃
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
⊢ b * ↑a ≤ c * ↑a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop
⊢ (∀ x ∈ Ι a b, P x) ↔ (∀ x ∈ Set.Ioc a b, P x) ∧ ∀ x ∈ Set.Ioc b a, P x
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C (a + 0)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f s t = (f '' s).seq t
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x ((mfderivWithin I' I'' g u (f x)).comp (mfderivWithin I I' f s x))
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
g₁ g₂ : PreStoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ preStoneCechUnit = g₂ ∘ preStoneCechUnit
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
y : α
this : IsLUB (⇑(f₁ g) '' range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ((f₁ g) (h y))
⊢ IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ z ⊓ y = (x ⊓ y) \ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s ×ˢ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ×ˢ t i j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
R : CategoryTheory.Presieve X
f : Y ⟶ X
h : R f
⊢ CategoryTheory.Presieve.functorPushforward F R (F.map f)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ E
μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ f,
  Continuous f ∧
    MeasureTheory.eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
      (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MeasureTheory.Memℒp f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → x ∉ s
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ 0 ∉ s ∧ ⊤ ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : DecidableEq β
f✝ g✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
β' : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β'
inst✝ : DecidableEq γ
f : β → γ
g : α → β
f' : α → β'
g' : β' → γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)
⊢ image f (image g s) = image g' (image f' s)
⊢ ∀ {X Y : Type u} (f : X ⟶ Y) (a : Option X), (typeToPointed.map f).toFun a = Option.map f a
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
⊢ (A.updateColumn j fun k => ∑ i : n, c i • A k i).det = c j • A.det
a b c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
h : m * a ∣ n * a
⊢ a * m ∣ a * n
R : Type u
Ring R
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G
⊢ ↑k * g ∈ G
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a)) (⨆ a ∈ t, LinearMap.range (lsingle a))
a : Nat
b c : Nat
h : a ≥ c
⊢ (a ≤ b + c) = (a - c ≤ b)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → E
ht : MeasurableSet t
ht_eq : ∀ x ∈ t, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
n : ℕ
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ List.map (⇑σ) (List.finRange n) ~ List.finRange n
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
x y : R
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t : Finset α
⊢ n ≤ s.card → powersetCard n s ≠ ∅
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
hG : Nat.card G = p ^ 2
⊢ IsCyclic (G ⧸ Subgroup.center G)
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
x : PGame
hx : x ∈ lowerBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))
⊢ BddBelow (Set.range f)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
a : ℕ
ha : a ∈ range (card α + 1)
⊢ (↑(card α) - ↑a)⁻¹ = (↑(card α + 1 - 1 - a))⁻¹
n : ℕ
⊢ ZMod.χ₈' ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
α : Type u_1
f : Filter α
CountableInterFilter f
u : α → ℝ≥0∞
⊢ ∀ᶠ (y : α) in f, u y ≤ Filter.limsup u f
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq l
f : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
a : (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun x => Matrix.blockDiagonal' (f x)) (Matrix.blockDiagonal' a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π ((M.tensorBimod (regular Y)).actRight ▷ N.X) ((α_ (M.tensorBimod (regular Y)).X Y.X N.X).hom ≫ (M.tensorBimod (regular Y)).X ◁ N.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (regular Y) N, inv := AssociatorBimod.inv M (regular Y) N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = coequalizer.π ((M.tensorBimod (regular Y)).actRight ▷ N.X) ((α_ (M.tensorBimod (regular Y)).X Y.X N.X).hom ≫ (M.tensorBimod (regular Y)).X ◁ N.actLeft) ≫ (whiskerRight (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom N).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
s : Set α
⊢ f '' insert a s = insert (f a) (f '' s)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
I : Type u
f : I → Type v₁
i : I
(i : I) → One (f i)
⊢ 1 i = 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
M : Type v
AddCommGroup M
Module R M
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
⊢ DirectSum.IsInternal fun p =>
  Submodule.torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (UniqueFactorizationMonoid.factors I))
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
⊢ toTopologicalSpace = generateFrom (⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k))
α : Type u
l₁ l₂ : List α
H : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
V : Type u_10
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
⊢ ∀ (a : C^⊤⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯) (a_1 : N), SmoothMap.coeFnLinearMap a a_1 = a a_1
α β : Type u
n : ℕ
f : Function.OfArity α β n
⊢ Function.OfArity.curry f.uncurry = f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
⊢ (toFinsuppIso R) (trunc (C r * T n)) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection Kᗮ
v : E
hv : v ∈ K
⊢ (orthogonalProjection Kᗮ) v = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, List.replicate 1 a = [a]
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f → t ∈ g → s * t ∈ f * g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
⊢ (s.sigma fun x => Set.univ) = Sigma.fst ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹
⊢ Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
f : G →* H
⊢ Abelianization.lift (Abelianization.of.comp f) = Abelianization.map f
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Free R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : Free R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Finite R M
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0
⊢ (comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist (MulOpposite.op x) (MulOpposite.op y) = nndist x y
n : ℕ
⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯).val
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x).toNNReal) μ
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
⊢ ⨆ s, #↑↑s < c
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
h : s.Nonempty
⊢ ∃ a b, a < b ∧ Set.Ioo a b ⊆ s
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
⊢ Function.Injective ContinuousAffineEquiv.toAffineEquiv
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence hF hG).functor = F ⋙ eB.inverse
α : Type u_1
p q : α × α
⊢ Sym2.mk p = Sym2.mk q ↔ p = q ∨ p = q.swap
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
hs : IsAntichain r s
⊢ IsAntichain (Function.swap r) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
⊢ (map ret (map f s)).join ~ʷ map f s
α : Type u_2
LE α
⊢ WithBot.toDualTopEquiv ⊥ = ⊥
⊢ UniformEmbedding ⇑Complex.equivRealProd
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) (CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v₁))
φ : F.comp CategoryTheory.yoneda ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp G
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
X : C
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ P
⊢ CategoryTheory.yonedaEquiv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.presheafHom φ P)) =
  (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X))
    ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (f • g) μ
⊢ μ.withDensityᵥ (f • g) = (μ.withDensity fun x => ↑(f x)).withDensityᵥ g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
n : ℕ
a : α
⊢ ↑(eapprox f n) a < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulStrictMono α β
SMulPosMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ < b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 ≤ b₁
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
l : Filter X
l' : Filter Y
h : Filter.Tendsto f l l'
⊢ Filter.Tendsto f (l.lift' closure) (l'.lift' closure)
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g hfg).f = f
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
s : Set α
φ : ι → Set α
hs : MeasurableSet s
ae_eventually_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∀ᶠ (n : ι) in l, x ∈ φ n
measurable : ∀ (n : ι), MeasurableSet (φ n)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ φ i
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ
⊢ ∃ f, (∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ∧ f x ≠ 0
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
⊢ FirstOrder.Language.LHom.sumInl.sumElim FirstOrder.Language.LHom.sumInr = FirstOrder.Language.LHom.id (L.sum L')
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ ψ : F
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ ↔ φ x = ψ x