ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
⊢ 0 a ≤ (g - f) a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
b c : α
H₁ : (Set.Iio c).Nonempty
H₂ : b ≤ c
⊢ (𝓝[Set.Iio c] b).NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.trans e').symm = e'.symm.trans e.symm
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddSubgroup.closure (-s) = AddSubgroup.closure s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : Dial C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ π(prod.map π₁ π₁ ≫ π(π₁, prod.map f₁.f (𝟙 Z₁.tgt) ≫ g₁.F) ≫ f₁.F, prod.map π₂ π₂ ≫ π(π₁, prod.map f₂.f (𝟙 Z₂.tgt) ≫ g₂.F) ≫ f₂.F) = π(π(π₁ ≫ π₁, prod.map (π₁ ≫ f₁.f) π₁ ≫ g₁.F) ≫ f₁.F, π(π₁ ≫ π₂, prod.map (π₂ ≫ f₂.f) π₂ ≫ g₂.F) ≫ f₂.F)
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f g : Module.End R M
⊢ (LinearMap.trace R M) ⁅f, g⁆ = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
a b : ℕ+
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
⊢ x.swap ⋖ y.swap ↔ x ⋖ y
α : Type u
β : Type v
s : β → β → Prop
hb : WellFounded s
⊢ WellFounded (PSigma.SkipLeft α s)
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ gcd a b ∣ c
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) volume
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
⊢ Function.Injective (⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i) ∘ ⇑freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom)
C : Type u
X Y Z : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.α_inv X Y Z⟧ = (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).RightMoves
P : (x + y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inl j))
hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inr j))
⊢ P (toRightMovesAdd (toRightMovesAdd.symm k))
x : EReal
h : 0 < x
⊢ x * ⊥ = ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
w : f.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R = g.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R
⊢ f = g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (WittVector.toPadicInt p).comp (WittVector.fromPadicInt p) = RingHom.id ℤ_[p]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsClosedMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)
⊢ ∀ (u : Set α), IsClosed u → Subtype.val ⁻¹' u = t → ∃ v, IsClosed v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s.restrictPreimage f '' t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1
⊢ ∃ r, ∀ (i : ℕ), abv (f i) < r
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'
x₀ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x₀
hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖
h : C < ‖f ↑x₀‖
⊢ ∀ {z : ℂ}, 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ C
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (X 0 + X 1) = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
⊢ x ∈ (fun h => ↑H) J
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
z : L
hz : aux f z ≠ 0
this : aux f z = ∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z
g : L ≃ₐ[K] L
hf : ∀ (g h : L ≃ₐ[K] L), ↑(f (g * h)) = g ↑(f h) * ↑(f g)
⊢ ∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z = ∑ x : L ≃ₐ[K] L, ↑(f (g * x)) * g (x z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0∞
a_mble : Measurable a
c : ℝ≥0∞
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
ε_ne_top : ε ≠ ⊤
⊢ count {i | ε ≤ a i} ≤ c / ε
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b x✝ : A
⊢ (mulRight R (a * b)) x✝ = (mulRight R b ∘ₗ mulRight R a) x✝
a b c : Bool
⊢ (a || b || c) = (a || (b || c))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
⊢ {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Inv G
μ : MeasureTheory.Measure G
self : μ.IsInvInvariant
⊢ μ.inv = μ
m n : Nat
⊢ m ^ (n + 1) = m * m ^ n
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ ⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x) = ⊤
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ (C a * T n).support = {n}
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
⊢ (univ ℤ n).coeff (univ ℤ n).natDegree = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
⊢ IsUnit ((IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x))
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A B : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V
f : A ⟶ B
⊢ (Action.functorCategoryMonoidalEquivalenceInverse V G).map f = Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.map f
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
a : G
⊢ ↑(-a) = -↑a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}
z : E
hzA : z ∈ s
hz : IsMaxOn (⇑l) s z
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork (f - g)
⊢ (CategoryTheory.Preadditive.forkOfKernelFork c).ι = CategoryTheory.Limits.Fork.ι c
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → β
TopologicalSpace β
Zero β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable (f ⊓ g) μ
a b : ℤ
h : a ≤ b
P : Prop
h' : ∀ (n : ℕ), a + ↑n = b → P
⊢ P
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : ∀ (x : A), f x = g x
⊢ f = g
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0
a : Fin n
⊢ s a = 0 a
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
⊢ S.fromLeftInv 1 = 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange (MonoidHom.inl M N) = ⊤.prod ⊥
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
⊢ ¬s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
α : Type u_2
Ring α
h : Nontrivial α
NoZeroDivisors α
⊢ IsDomain α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A ((CategoryTheory.ihom.coev A).app B))
    ((CategoryTheory.ihom.ev A).app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B)
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : 0 < finrank R M
⊢ Finite R M
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
x y : SimplexCategory
g : x ⟶ y
j : Fin (x.len + 1)
⊢ f.hom ≫ (fun i => WidePushout.ι (fun x => f.hom) ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom g) i)) j = WidePushout.head fun x => f.hom
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂
⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
g : Y ⟶ A ⟹ X
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) g)
    ((CategoryTheory.exp.ev A).app X)
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
⊢ ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) V
α : Type u
l : List α
h : l.Nodup
i j : ℕ
hi : i < l.length
hj : j < l.length
⊢ l.nthLe i hi = l.nthLe j hj ↔ i = j
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length
⊢ (ofFn f)[i] = f ⟨i, ⋯⟩
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
v : Fin2 n → ℕ
x : ℕ
⊢ ((x ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ (x :: v) ∈ S
x : ℝ
h : 1 ≤ x
⊢ expNegInvGlue x = expNegInvGlue x + expNegInvGlue (1 - x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Convex 𝕜 s ↔
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F
x : E
xR : ‖x‖ ≤ R
hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
⊢ (G.interedges s t).card + (Gᶜ.interedges s t).card = s.card * t.card
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
⊢ IsCoprime p q ↔ ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ a ⇔ b = a ⊓ b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ - ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
v : Empty → M
x : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.relabel Sum.inr φ).Realize v x ↔ φ.Realize x
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Zero (f i)
DecidableEq I
i : I
⊢ Function.update 0 i 0 = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
NonUnitalNonAssocSemiring A
TopologicalSpace A
Module 𝕜 A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ⇑(WeakDual.CharacterSpace.toCLM φ) = ⇑φ
a b c : Int
h : b < -a + c
⊢ a + b < c
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ 0 < a • b ↔ b < 0
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
⊢ LocallyConnectedSpace M
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
Group G
Fintype G
Monoid M
DecidableEq M
FunLike F G M
MonoidHomClass F G M
f : F
x y : M
hx : x ∈ Set.range ⇑f
hy : y ∈ Set.range ⇑f
⊢ (Finset.filter (fun g => f g = x) Finset.univ).card = (Finset.filter (fun g => f g = y) Finset.univ).card
F : Type u
Field F
n : ℕ
a : F
hn : ↑n ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a).Separable
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
c : ℝ≥0
CompleteSpace E
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') Set.univ c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ Function.Surjective f
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ LieModule.weightSpace M (-α + ⇑(LieModule.chainBot α β)) = ⊥
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
⊢ #↑Set.univ < 𝔠
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (f x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero = iX.inv
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ ((LinearMap.toMatrix b b) f).det = LinearMap.det f
K : Type u_1
RCLike K
x : ℝ
⊢ ↑x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ 2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
h : x.gcd n * x.gcd m = x
⊢ x ∣ n * m
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
Finite ι
⊢ IsOpen {f | LinearIndependent 𝕜 f}
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => c - f y) x = -deriv f x
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
TopologicalSpace H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ hf.image.carrier = Set.range f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ s.erase a ∩ t = (s ∩ t).erase a
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
S : Set G
hS1 : ∀ σ ∈ S, ((toPermHom G α) σ).IsSwap
hS2 : closure S = ⊤
h : IsPretransitive G α
this : IsPretransitive (↥(closure (⇑(toPermHom G α) '' S))) α
⊢ closure (⇑(toPermHom G α) '' S) = ⊤
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((rename f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, f i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
hg' : g Set.univ = ⊤
⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
⊢ Measurable f ↔ (Measurable fun a => (f a).1) ∧ Measurable fun a => (f a).2
α : Type u_1
s : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a (s \ {b})).ncard = s.ncard
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
DecidableEq n
DecidableEq p
CommRing R
Fintype n
Fintype p
M : Matrix n n R
L : List (Matrix.TransvectionStruct n R)
N : Matrix p p R
⊢ Matrix.fromBlocks M 0 0 N *
    (List.map (Matrix.TransvectionStruct.toMatrix ∘ Matrix.TransvectionStruct.sumInl p) L).prod =
  Matrix.fromBlocks (M * (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod) 0 0 N
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
h_mon : toMonoid = toMonoid
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
this✝ : Monoid.npow = Monoid.npow
this : DivInvMonoid.zpow = DivInvMonoid.zpow
⊢ m₁ = m₂
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f
⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
m : ℝ
hm : 1 < m
k : ℕ
⊢ 0 < LiouvilleNumber.remainder m k
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
⊢ Multiset.filter (fun x => x < c) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico a c
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
NatCast β
n : ℕ
x : α
⊢ ↑n x = ↑n
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hc : IsConnected s
hb : BddBelow s
ha : BddAbove s
hcl : IsClosed s
⊢ s = Set.Icc (sInf s) (sSup s)