ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι
⊢ a + iSup s = ⨆ b, a + s b
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
⊢ M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
n0' : 0 < ↑n
n0 : 0 < n
⊢ ↑(↑n).num ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
⊢ Measurable (f ∘ ⇑e) ↔ Measurable f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β
h : CauSeq.const abv x ≈ f
⊢ x = f.lim
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hbf : x ∈ support (f • g)
hf : g x = 0
⊢ (f • g) x = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
⊢ N.LinearDisjoint M
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
⊢ ((F.mapBiproduct f).hom ≫ desc fun j => F.map (g j)) = F.map (desc g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : (adjoint u).comp u = 1
⊢ ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ cos (angle x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = ⟪x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℝ p μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.posPart f) = (↑f).posPart
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
⊢ IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
⊢ ∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (y : ℕ), extend encode (fun b => m (s b)) 1 y
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
⊢ f x ∈ NonUnitalRingHom.srange f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t
hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)
this✝ : MeasurableSet ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s ×ˢ t)
this : MeasurableSet (Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t)
⊢ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : o.oangle (y - x) y = ↑π ∨ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
⊢ p ∣ exponent G
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
X Y : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
j : J
h : X = Y
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X Y) j (CategoryTheory.eqToHom h) =
  CategoryTheory.eqToHom ⋯
xs ys : Lean.Omega.Coeffs
d : Int
h : d ∣ ↑xs.gcd
⊢ (xs.sdiv d).dot ys = xs.dot ys / d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G H : CategoryTheory.Functor C D
I J K : CategoryTheory.Functor D E
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
γ : I ⟶ J
δ : J ⟶ K
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β ◫ CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ δ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α ◫ γ) (β ◫ δ)
p : ℕ
⊢ Nat.Prime p ↔ Prime ↑p
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{?u.110262}
property✝¹ : a ∈ Iio o
b : Ordinal.{?u.110262}
property✝ : b ∈ Iio o
⊢ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, property✝¹⟩ ≤ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, property✝⟩ ↔ ⟨a, property✝¹⟩ ≤ ⟨b, property✝⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β
⊢ MapsTo f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), MapsTo f s (t i j)
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
B : ι → AddSubgroup A
self : RingSubgroupsBasis B
x : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ ∃ J, M.Basis' J X ∧ I ⊆ J
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
⊢ (∑ i ∈ s, if i ∈ s then f i else 0) = ∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i + -∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k + -∑ k ∈ range (max n i), a k
⊢ abv (f (k' + max n i)) + abv (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C X
h : F.IsSheaf
⊢ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj F).IsSheaf
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ Polynomial.eval 0 (Polynomial.derivative (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det) = M.trace
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
h : ∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
⊢ False
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0
⊢ (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
m : Type u_2
α : Type u_12
M : Matrix m m α
p : m → Prop
⊢ M.toSquareBlockProp p = Matrix.of fun i j => M ↑i ↑j
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
h' : c < ℵ₀
⊢ False
α : Type u_1
b : Bool
n : Num
⊢ ↑(bit b n) = Nat.bit b ↑n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ VectorFourier.fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w
    n =
  VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂
    (iteratedFDeriv ℝ n fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v k) w
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : 0 < b
⊢ a < a + b
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
z : ℤ
⊢ (↑z).toSlashInvariantForm = ↑z
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
a b : WithBot α
⊢ WithBot.map f a ≤ WithBot.map f b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ Measurable (Set.rangeFactorization f)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
self : FiberPrebundle F E
x : B
⊢ x ∈ (self.pretrivializationAt x).baseSet
α : Type u_3
TopologicalSpace α
⊢ QuasiSober α ↔ ∀ {S : Set α}, IsIrreducible S → IsClosed S → ∃ x, IsGenericPoint x S
F : Type u_1
Field F
f : F[X]
hf : f.Separable
g : F[X]
⊢ (EuclideanDomain.gcd f g).Separable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Filter.Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
h_eq : MeasureTheory.cylinder I S = MeasureTheory.cylinder J T
hJI : J ⊆ I
⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
α : Type u_1
Inhabited α
l : List α
n : Nat
⊢ l.length ≤ n → l.get! n = default
V : Type u₁
Quiver V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C
Φ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Paths V) C
hΦ : CategoryTheory.Paths.of ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Φ = CategoryTheory.Paths.lift φ
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
f : σ → R
⊢ (MvPolynomial.eval f) (-p) = -(MvPolynomial.eval f) p
s t : List Char
i b : Nat
e : String.Pos
⊢ b = String.utf8Len s + i →
  String.extract.go₁ (s ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := b } e = String.extract.go₂ t { byteIdx := b } e
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X)
α : Type u_1
ι : Type u_4
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
⊢ (⋃ i ∈ s, f i) \ ⋃ i ∈ t, f i = ⋃ i ∈ s \ t, f i
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
⊢ a < (a + b) / 2 ↔ a < b
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
⊢ K ≤ AddSubgroup.centralizer ↑K ↔ K.IsCommutative
a b : ℕ
⊢ ↑a = 0 ↔ b ∣ a
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
S : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
T : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq β)
h : Stream'.WSeq.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRel R) S T
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R S.join T.join
x y : ℂ
⊢ cexp x = cexp y ↔ ∃ n, x = y + ↑n * (2 * ↑π * I)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y
⊢ f y ≠ y ∧ y ≠ x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1
⊢ a₁ = a₂
R : Type u
Ring R
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ Subring.closure s
hb : b ∈ Subring.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
R : Type u
S : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
AddCommGroup M
Module R M
Module.Flat R M
N : Type t
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
⊢ Module.Flat S N
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
⊢ Finset.image (fun x => a +ᵥ x) s = a +ᵥ s
a b c : ℕ
h : c ≤ a
x : ℕ
⊢ (∃ a_1, (a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ a_1 - c = x) ↔ a - c ≤ x ∧ x < b - c
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ 2 = (Real.sin a * Real.cos a - Real.sin b * Real.cos b + b - a) / 2
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h0 : j ≠ 0
h1728 : j ≠ 1728
⊢ ofJ j = ofJ' j
⊢ @Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR = @Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rank
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ (c ⊔ d).toProd.2 = c.toProd.2 ∩ d.toProd.2
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
⊢ r a c
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ StrictAntiOn (fun x => x ^ r) (Set.Ioi 0)
a b m n p✝ p : ℕ
hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support
q : ℕ
hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support
h : b.factorization p ≤ a.factorization p
h' : p = q
⊢ b.factorization q ≤ a.factorization q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
K : CochainComplex C ℤ
γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K (CochainComplex.mappingCone φ) i
⊢ γ₁ = γ₂ ↔
  γ₁.comp (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)) hij = γ₂.comp (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)) hij ∧
    γ₁.comp (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯ = γ₂.comp (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
⊢ ⊥.jacobson ^ n = 0
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
s : Set α
hs : Scott.IsOpen α s
⊢ IsUpperSet s
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₂
b : β₁
⊢ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (Sum.inr a) (Sum.inl b) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
⊢ insert a s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => f ≫ x
⊢ IsIso f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
S : CategoryTheory.Sieve X
R : CategoryTheory.Presieve X
h : S.arrows ≤ R
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R
n : ℕ
NeZero n
⊢ 0 < Fin.last n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : s =ᵐ[μ] t
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ ∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), f ↑b)
α : Type u
Semiring α
⊢ Ideal.span 0 = ⊥
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ : ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ + ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c - f y) s
f : CircleDeg1Lift
⊢ Filter.Tendsto f.transnumAuxSeq Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.reverse.head? = l.getLast?
G : Type u
Group G
⊢ ∀ (a : G), QuotientGroup.quotientBot.symm a = ↑a
x p : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hx0 : x ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal x ^ p = ENNReal.ofReal (x ^ p)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
a : I.L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.fst a) (K.π (I.fstFrom a)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.snd a) (K.π (I.sndFrom a))
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)
x : α
hx1 : x ∈ s
hx2 : x ∈ t
y : M
hy : y ≠ 0
⊢ False
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ Turing.Tape.move Turing.Dir.left (Turing.Tape.move Turing.Dir.right T) = T
d n : PosNum
⊢ ↑n / ↑d = ↑(d.divMod n).1 ∧ ↑n % ↑d = ↑(d.divMod n).2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
⊢ edist (uncurry f (a₁, b₁)) (uncurry f (a₂, b₂)) ≤ ↑(Kα + Kβ) * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
s : Finset L
this : DecidableEq L
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ ∅, IsIntegral A (y • x)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
c : R
x : M
⊢ f (c • x) = c • f x
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommGroup R
A B : Matrix n n R
⊢ (A - B).trace = A.trace - B.trace
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal S
x : S
hx : x ∈ I
⊢ (Algebra.norm R) x ∈ Ideal.spanNorm R I
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
IsEmpty ι
f : ι → α
⊢ iSup f = ⊥
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
(↑P).FiniteIndex
⊢ ¬p ∣ Nat.card ↥(MonoidHom.transferSylow P hP).ker
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ (↑s).Nonempty ↔ s ≠ ⊤
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ‖x - ↑(x.appr n)‖ ≤ ↑p ^ (-↑n)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f g : R[X]
h : (taylor (-r)) ((taylor r) f) = (taylor (-r)) ((taylor r) g)
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
⊢ (toFunAlgHom R A) (invFun R A x) = x
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hf : Nat.Primrec' f
⊢ Nat.Primrec' fun v => f v.tail
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
⊢ (p.coeff i).IsHomogeneous j
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Icc a b)
a b : α
hab : ¬a ≤ b
⊢ IsCompact ∅
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).lift' closure = 𝓝 x
⊢ RegularSpace X
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| ≤ |a - c| + |b - d|
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
R' : Type u_7
A : Type u_9
Monoid R'
Semiring A
Module A M
Module A N
DistribMulAction R' N
ContinuousConstSMul R' N
SMulCommClass A R' N
f : M [⋀^ι]→L[A] N
c : R'
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }
⊢ ↑x ∈ m.toEnumFinset
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : (↑g).det = 1
⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
h : b < a
r : ℝ≥0
hr0 : 0 < r
hr : b + ↑r < a
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p q : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ p ⊔ q ↔ x ∈ range (p.subtype.coprod q.subtype)
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
s : Set V
⊢ affineSpan k s ≤ (Submodule.span k s).toAffineSubspace
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ
G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ
G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ
disj' : Disjoint (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ
disj'' : Disjoint (closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ) (closure (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ)
hx₁' : ρ x₁ ∈ closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.op.Initial
⊢ F.Final
x : ℝ
hx0 : x < 0
hpx : -(Real.pi / 2) < x
⊢ Real.tan x < 0
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
⊢ Fin.foldl (n + 1) f x = Fin.foldl n (fun x i => f x i.succ) (f x 0)
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
f : Γ → Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L R : ListBlank Γ
⊢ ∀ (f : Vector Bool n → Stmt Bool Λ' σ), stepAux (readAux n f) v (trTape' enc0 L R) = stepAux (f (enc R.head)) v (trTape' enc0 (ListBlank.cons R.head L) R.tail)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
NormalizationMonoid R
a b : R
ha : a ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors b
⊢ Ideal.span {a} ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {b})