ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝ : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ • t ⊆ s₂ • t
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ b.factorization ≤ (a * b).factorization
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.sym 0 = {∅}
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ (M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
⊢ Pell.xn a1 (2 * n - j) + Pell.xn a1 j ≡ 0 [MOD Pell.xn a1 n]
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ μ ≪ (μ univ)⁻¹ • μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Option α
⊢ (Option.map f o).isSome = o.isSome
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I J : Ideal S
h : I ≤ J
⊢ Ideal.spanNorm R I ≤ Ideal.spanNorm R J
n' : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq n'
inst✝³ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nonempty n'
inst✝ : Nontrivial R
A : M
ha : IsUnit A.det
z : ℤ
this : IsUnit (A ^ z).det
⊢ A ^ z ≠ 0
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ ↑p ≤ 0 ∨ 1 < ↑p
R : Type u
CommSemiring R
t : Set (PrimeSpectrum R)
I : Ideal R
⊢ t ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ↔ I ≤ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : Integrable f volume
⊢ ∀ᵐ (a : V), Tendsto (fun n => cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a) atTop (𝓝 (f a))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
Nonempty ι
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddBelow (Set.range g)
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → ∃ a b, ∃ c ∈ [[a, b]], f c ∉ [[f a, f b]]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ c * f x ∈ upperBounds (Set.range fun y => f (x * y) / f y)
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
h : IsOpenMap ⇑f
x : ↑X
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : TopologicalSpace.OpenNhds x} (i : X_1 ⟶ Y_1), (h.functorNhds x).map i = h.functor.map i
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : IsEmpty α
⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I₁ ≤ I
h₂ : I₂ ≤ I
⊢ ⁅LieIdeal.comap I.incl I₁, LieIdeal.comap I.incl I₂⁆ = LieIdeal.comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
⊢ S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + (S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f + φ₃.τ₂) = S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + (h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f) + φ₃.τ₂
α : Type u_1
a : PUnit.{u_2 + 1}
⊢ (Equiv.optionEquivSumPUnit α).symm (Sum.inr a) = none
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' frontier s ⊆ frontier (f ⁻¹' s)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, Polynomial.X ^ i).Monic
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ
⊢ n.ceilRoot (a ^ n) = a
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
t : LowerSet α
⊢ lowerClosure s ≤ t ↔ s ⊆ ↑t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₁ N ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
X : V
⊢ HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.up ℕ) 0 X =
  CategoryTheory.Iso.refl (((HomologicalComplex.single V (ComplexShape.up ℕ) 0).obj X).X 0)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
a : α
k : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField k
x : k
hx : 0 < x
⊢ (fun y => x * y) '' Ioi 0 = Ioi 0
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x (p.comp q) = Polynomial.eval₂ f (Polynomial.eval₂ f x q) p
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
⊢ ∀ (x : Fin n), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * m ^ ↑x = 0
M : Type u_2
MulOneClass M
H : Submonoid M
a : { a // (fun x => x ∈ H) a }
⊢ ↑(H.equivOp a) = MulOpposite.op ↑a
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
⊢ ↑1 = 1
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m
⊢ A ^ (m - n) = A ^ m * (A ^ n)⁻¹
x : ℝ
⊢ Real.arccos x = 0 ↔ 1 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s = ∅
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ AntilipschitzWith (Dilation.ratio f)⁻¹ ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)) o₂
this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr
⊢ Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax ↑(findMax' x (rl.node' rx rr)) ∧ (l.node' x (rl.node' rx rr)).size = (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax.size + 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : HasCompactSupport f
⊢ HasCompactSupport (fderiv 𝕜 f)
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Monoid M
Monoid N
Monoid P
Q : Type u_5
Monoid Q
φ₁ : M →* N
φ₂ : N →* P
φ₁₂ : M →* P
κ : φ₁.CompTriple φ₂ φ₁₂
φ₃ : P →* Q
φ₂₃ : N →* Q
κ' : φ₂.CompTriple φ₃ φ₂₃
φ₁₂₃ : M →* Q
⊢ φ₁.CompTriple φ₂₃ φ₁₂₃ ↔ φ₁₂.CompTriple φ₃ φ₁₂₃
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0
⊢ x ^ z < 1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ Codisjoint I J
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (Polynomial.C a * p) = a * Polynomial.eval x p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
⊢ κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = ((κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p x : P
⊢ x -ᵥ p ∈ vectorSpan k {p} ↔ x ∈ {p}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
⊢ CategoryTheory.Simple X ↔ IsSimpleOrder (CategoryTheory.Subobject X)
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.42595, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.42599, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.42603, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.42611, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.42615, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (homEquiv W L₁ L₁) f = f
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom = x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'
⊢ rnDeriv 0 ν' =ᶠ[ae (ν.restrict h.nullSet)] 0
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (intNorm A B) 0 = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : ∀ (i : ι), (s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty
⊢ (univ.pi fun i => s₁ i ∩ s₂ i) ∈ univ.pi '' univ.pi C
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
s : Cocone F
U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
j : Jᵒᵖ
w : (Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) (unop j) ≫ colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop = eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (((forget C).mapCocone s).ι.app (unop j))).map i.unop ≫ eqToHom ⋯
⊢ (s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V))) = ((limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))
R : Type u_1
LinearOrderedField R
q : ℚ
⊢ (↑q).imI = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ Function.Injective SimpleGraph.Walk.reverse
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocRing α
IsLeftCancelMulZero α
⊢ NoZeroDivisors α
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (List.dlookup a l).isSome = true ↔ a ∈ l.keys
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t + ↑s ∈ S
⊢ r -ₒ s = t +ᵥ r -ₒ ⟨t + ↑s, hst⟩
x y : ℝ
⊢ ↑(cos x - cos y) = ↑(-2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2))
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
⊢ ‖↑r‖ = |r|
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
⊢ MonovaryOn f g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
Fintype ↑M.verts
h : M.IsMatching
⊢ Even M.verts.toFinset.card
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'
i j : ι
⊢ b'.toMatrix (⇑f ∘ ⇑b) i j = (LinearMap.toMatrix b b') f i j
α : Type u_1
l : List α
⊢ l <+: l
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
CommRing R
v : AddValuation R Γ₀
x : R
⊢ x ∈ v.supp ↔ v x = ⊤
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ factorization (a * b) = factorization a + factorization b
α : Sort u
β : α → Sort v
f g : (x : α) → β x
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f = g
p : ℕ
q : ℚ
hp : p ≠ 1
hq : q ≠ 0
⊢ padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯)
⊢ typesGrothendieckTopology ∈ Sheaf.finestTopologySingle '' Set.range yoneda.obj
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
hc : c < 0
⊢ a / c < b / c ↔ b < a
x : ℝ
⊢ ↑x.cot = (↑x).cot
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : factorization a = factorization b
⊢ a ~ᵤ b
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
r' : ι → ℝ
hlt : ∀ (i : ι), r' i < r i
hsub : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r' i)
⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
h : IsMinFilter f l a
l' : Filter α
⊢ IsMinFilter f (l ⊓ l') a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
⊢ evalEval (C X) Y (baseChange W R[X][Y]).toAffine.polynomial = W.polynomial
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ AEMeasurable (codRestrict f s hfs) μ
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ LieAlgebra.rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.nfp (fun x => a * x) 0 = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖
α : Type u
β : Type v
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
s : Set α
sne : s.Nonempty
sbdd : BddBelow s
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x✝ y x : G
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ≠ 0), x ^ i = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ioc a 1 = Set.Ioc (Pi.mulSingle i a) 1
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, UV.IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
⊢ (UV.compression u v 𝒜).shadow.card ≤ 𝒜.shadow.card
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ List.modifyNth f n l = List.take n l ++ List.modifyHead f (List.drop n l)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α
i₀ : ι
hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀
⊢ PolishSpace α
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ eLpNorm f ⊤ μ < ⊤
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) = e.source ∩ s
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set (Submodule R M)
x : M
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂0 ≠ ⊤
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 < ⊤
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
⊢ M.closure (⋂₀ Js) = ⋂ J ∈ Js, M.closure J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ ⨅ i, f i + a = ⨅ b, a + f b
n : ℤ
hn : n % 4 = 3
⊢ χ₄ ↑n = -1
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
i : I
⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)) ((ι R) ((DirectSum.lof R I A i) 1)) = 1
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun i => closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
this : ↑f (g * 1, 1) + ↑f (g, 1) = (A.ρ g) (↑f (1, 1)) + ↑f (g, 1 * 1)
⊢ ↑f (g, 1) = (A.ρ g) (↑f (1, 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ₁ ≪ ν
h2 : μ₂ ≪ ν'
s : Set α
hs : ν s = 0 ∧ ν' s = 0
⊢ μ₁ s = 0 ∧ μ₂ s = 0
α : Type u_1
LT α
s : Set α
⊢ [] ∈ s.subchain
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
⊢ a ≤ y
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this✝ : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
hM : M ∈ hf.toFinset
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, (algebraMap R A) c = a * b
⊢ False