ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M M₁ : Type v
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R M
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (embedding C).map (f j i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
⊢ ∑ᶠ (i : α), (coeff.addMonoidHom g) (f i) = (coeff.addMonoidHom g) (∑ x ∈ f.support, f x)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖(lift.symm ↑l) x‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
⊢ ∃ y, y + f x + f x * y = 0 ∧ f x + y + y * f x = 0
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn1 : n % 2 = 1
⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
n : ℕ
⊢ Prod.swap ⁻¹' ↑n.divisorsAntidiagonal = ↑n.divisorsAntidiagonal
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
AddCommGroup M₀
AddCommGroup M₀'
Module R M₀
Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₁'
Module R M₁
Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
⊢ (IsLocalizedModule.map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(IsLocalizedModule.iso S f₀) =
  ↑(IsLocalizedModule.iso S f₁) ∘ₗ
    (IsLocalizedModule.map S (LocalizedModule.mkLinearMap S M₀) (LocalizedModule.mkLinearMap S M₁)) g
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
⊢ Multiset.map (⇑(frobenius R p)) ((Polynomial.expand R p) f).roots ≤ p • f.roots
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalExtrOn f s a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalExtrOn (g ∘ f) s a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
⊢ ⨆ x ∈ S, F⟮x⟯ = adjoin F S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
⊢ ∀ (x : β), f x✝ = some x → ¬(if x = b then some c else none) = some a✝
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h₁ : s ≤ u
h₂ : t ≤ u
⊢ s ∪ t ≤ u
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : ↑↑X
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x =
  CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap β x
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ ||a| - |b|| ≤ |a - b|
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ (g.comp f).range = AddSubgroup.map g.toAddMonoidHom f.range
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
R : Type u_1
Field R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
A : M ≃L[R] M
⊢ (↑A.symm).det = (↑A).det⁻¹
α : Type u
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ (↑s).get? n = Computation.pure (s.get? n)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
⊢ D ∈ ⊤
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ n ∈ n.divisors
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
AddGroup N
f g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂
w : Nat
x y z : BitVec w
⊢ x ||| y ||| z = x ||| (y ||| z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a✝ a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (x : α), x ∈ (uniformOfFinset s ⋯).support ↔ x ∈ ↑s
R : Type uR
CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ LinearMap.range f.dualMap ≤ (LinearMap.ker f).dualAnnihilator
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.toENat a = OfNat.ofNat n ↔ a = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
⊢ sSup X ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯) ↔ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N
⊢ ∀ p ∈ {p | ∀ ⦃r : S⦄ {n : M}, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p}, r • m ∈ p
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x = y ↔ x.toNat = y.toNat
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(x / y).arg = ↑x.arg - ↑y.arg
a b : Prop
h : Or a (Not b)
nb : b
⊢ a
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t u : Finset α
⊢ s ⊼ (t ⊼ u) = t ⊼ (s ⊼ u)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }
⊢ Monoid.PushoutI.homEquiv.symm f = Monoid.PushoutI.lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
h : Subsingleton M
x y : Submonoid M
i : M
⊢ 1 ∈ x ↔ 1 ∈ y
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ Int.negOfNat nb) num den
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ b) num den
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
⊢ WithBot.map (⇑ofDual) s.max = s.inf (WithTop.some ∘ ⇑ofDual)
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ s⁻¹ ↔ ∃ y ∈ s, y⁻¹ = x
ι'' : Sort u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
π : ι'' → Type u_1
e : ι ⊕ ι' ≃ ι''
f : (i : ι) → π (e (Sum.inl i))
g : (i : ι') → π (e (Sum.inr i))
j : ι'
⊢ (Equiv.piCongrLeft π e) ((Equiv.sumPiEquivProdPi fun x => π (e x)).symm (f, g)) (e (Sum.inr j)) = g j
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
⊢ (FinPartOrd.Iso.mk e).inv = ↑e.symm
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsTerminal X
hY : IsTerminal Y
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ hX.from Y = 𝟙 X ∧ hX.from Y ≫ f = 𝟙 Y
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
⊢ (univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs).card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
Semiring S
Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
⊢ PowerSeries.map (g.comp f) = (PowerSeries.map g).comp (PowerSeries.map f)
M : Type u_1
AddMonoid M
b : M
h : IsAddUnit b
⊢ Function.Injective fun x => x + b
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
B : Type u_2
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
Algebra.IsAlgebraic R B
⊢ Algebra.IsAlgebraic R A
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
h : HasSum (fun n => f (n + 1)) m
⊢ HasSum f (f 0 + m)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
⊢ W ⊔ B.orthogonal W = ⊤
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
M : α := max 1 (max K₁ K₂)
K0 : 0 < M
εK : 0 < ε / 2 / M
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M
ha₁ : abv a₁ < M
hb₂ : abv b₂ < M
this : abv (a₁ - b₁) * abv b₂ + abv (a₂ - b₂) * abv a₁ < ε / 2 / M * M + ε / 2 / M * M
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
⊢ (productMap f g).range = f.range ⊔ g.range
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit sq.pullbackCone
⊢ sq.IsPullback
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ mk ((FractionalIdeal.mk0 K) I) = mk0 I
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
⊢ ∀ (n : ℕ), v.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b) ≤ w.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)
α : Type u_1
Preorder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Set.Icc a b)
n : ℤ
h : Odd n
⊢ 2 * (n / 2) = n - 1
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
f : ⊤ ↪g G
⊢ Nonempty (⊤ ↪g G)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.iInf s f).Realize v v' ↔ ∀ b ∈ s, (f b).Realize v v'
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Polynomial.eval x p) s
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
⊢ (finChoiceAux (i :: l) fun i_1 h => ⟦f i_1 h⟧) = ⟦f⟧
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ ∀ (a : ℕ), ((x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) a = (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)) a
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ g₃ : G
⊢ g₃ * ⁅g₁, g₂⁆ * g₃⁻¹ = ⁅g₃ * g₁ * g₃⁻¹, g₃ * g₂ * g₃⁻¹⁆
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim v xs) t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ y ^ 2 + (W.a₁ * x + W.a₃) * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆) = y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
⊢ 0 < ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f ∩ s)
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
f g : X → M
s : Set X
x : X
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x * g x) s x
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule S * Subalgebra.toSubmodule T = Subalgebra.toSubmodule (S ⊔ T)
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2
this : rexp |z.re| ≤ rexp z.re + rexp (-z.re)
⊢ 0 ≤ Real.cos b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n
K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k
j : Fin k
⊢ r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j)) = r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩ * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩))
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : Function.LeftInverse g₁ f
h₂ : Function.RightInverse g₂ f
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ Sym2.GameAdd rα s(a₁, b) s(b, a₂)
⊢ (Iff ⇒ Iff ⇒ Iff) (fun x x_1 => x → x_1) fun x x_1 => x → x_1
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
⊢ Polynomial.eval₂ g x (s • p) = g s * Polynomial.eval₂ g x p
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
K : Type u_3
Group K
f : Monoid.Coprod G H →* K
⊢ f.range = (f.comp Monoid.Coprod.inl).range ⊔ (f.comp Monoid.Coprod.inr).range
n m : Nat
⊢ n * m ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ m ≠ 0
α : Type u_2
LE α
⊢ ⇑(OrderIso.refl α) = id
μ : YoungDiagram
j a b : ℕ
⊢ b = j → (a < μ.colLen b ↔ a < μ.colLen j)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l
⊢ x * y = y * x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt f f₁' s x
⊢ Set.EqOn (⇑f') (⇑f₁') (tangentConeAt 𝕜 s x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ∫ (x : α) in s, f x ∂μ else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ 0 ∉ p.coeffs
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
Nonempty β
SemilatticeSup β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) a < ε
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ y ^ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x
this : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < p.radius
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
⊢ ∫ (x : α), f x ∂MeasureTheory.Measure.dirac a = f a
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑(Polynomial.Gal.restrictDvd hpq)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
t : Set β
inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑t
h : NullMeasurable f μ
hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
hne : t.Nonempty
⊢ AEMeasurable f μ
m₁ m₂ : ℤ
y₁ y₂ : ℕ
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ y₂
⊢ ↑m₁ * Surreal.powHalf y₂ = ↑m₂ * Surreal.powHalf y₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
⊢ closure (e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U)) ∈ 𝓝 b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
o : Ordinal.{u}
ho : o ≠ 0
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (o.blsub fun x x => a) = Order.succ a
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
CompHausLike.HasExplicitPullback f g
⊢ (CompHausLike.pullback.cone f g).π =
  {
    app := fun j =>
      Option.rec (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHausLike.pullback.fst f g) f)
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CompHausLike.pullback.fst f g) (CompHausLike.pullback.snd f g) val)
        j,
    naturality := ⋯ }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
j : J
⊢ c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.ε.app c.pt = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Odd (m + n)
⊢ 4 ∣ 2 * m + 1 + (2 * n + 1) ∨ 4 ∣ 2 * m + 1 - (2 * n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ MonotoneOn f₁ s ↔ MonotoneOn f₂ s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addX (WeierstrassCurve.map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = f (W'.addX P Q)
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Polynomial.Splits i f
hfd : (Polynomial.map i f).degree ≠ 0
⊢ Polynomial.rootOfSplits' i hf hfd = Polynomial.rootOfSplits i hf ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
⊢ B.orthogonal ⊤ = ⊥
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v
⊢ f v
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
h : f x = 2
⊢ Function.Involutive ⇑(Module.preReflection x f)