ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : HasPDF Y ℙ ν
⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : Aˣ
r : R
hr : r ∈ spectrum R ↑a
⊢ r ≠ 0
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse = 0 ↔ f = 0
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 0, μ ((g +ᵥ k) \ k) < ε
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.continuum * OfNat.ofNat n = Cardinal.continuum
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
⊢ p = 1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
A : DiscreteQuotient X
⊢ DiscreteQuotient.LEComap (ContinuousMap.id X) A A
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
self : LowerAdjoint u
⊢ GaloisConnection self.toFun u
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t
S : ℕ → Set α
hSne : (range S).Nonempty
hSc : (range S).Countable
hS : (∀ s ∈ range S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ range S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
AddCommGroup N
Module R N
h' : Module.Finite R N
hN : Module.IsTorsion R N
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ Submodule.span R {p i ^ e i})
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
h : r ↪r s
⊢ Ordinal.type r ≤ Ordinal.type s
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ (l₁ ×ˢ l₂).length = l₁.length * l₂.length
α : Type u_1
⊢ ¬Nontrivial α ↔ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
γ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : ContinuousAdd β
f : γ → C(α, β)
g : C(α, β)
hf : HasSum f g
x : α
ev : C(α, β) →+ β := (Pi.evalAddMonoidHom (fun a => β) x).comp coeFnAddMonoidHom
⊢ HasSum (fun i => (f i) x) (g x)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ⇑v.toMonoidWithZeroHom = ⇑v
α : Type u_2
Fintype α
SemilatticeSup α
OrderTop α
a : α
⊢ Finset.fold (fun x x_1 => x ⊔ x_1) a (fun x => x) Finset.univ = ⊤
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₂ ~ l₁
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y
⊢ ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹) = x * ↑a⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ (pathComponent x).Nonempty
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
hb : n ≤ p ^ b
⊢ n.factorization p ≤ b
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ (asIso (Scheme.Hom.stalkMap hU.fromSpec y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
b : β
s : Multiset α
⊢ b ∈ Multiset.map f s ↔ ∃ a ∈ s, f a = b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α
⊢ dist x₂ y₂ ≤ dist x₁ y₁ + (dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
⊢ X 0 = 0
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
self : UniformAddGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 - p.2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
Nonempty ι
f : ι → α
x : α
hf : IsGLB (Set.range f) x
hx : ¬Order.IsPredLimit x
⊢ ∃ i, f i = x
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
⊢ p s hs✝
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
⊢ (unitization s).range = StarAlgebra.adjoin R ↑s
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ (a : α), f a ∈ t
ht : t.Finite
⊢ ∃ a b, a < b ∧ f a = f b
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul β
f g : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun (f * g) = UniformFun.toFun f * UniformFun.toFun g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : α → β
hf : Surjective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : RightDistribClass α
add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
x y z : α
⊢ (f x + f y) * f z = f x * f z + f y * f z
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ IsPiSystem (Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ lcm m n ∣ lcm (m * k) n
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv
⊢ ↑(S.fromLeftInv x) * ↑x = 1
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
IsAdicComplete I R
⊢ I ≤ ⊥.jacobson
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n
this : CauchySeq u
⊢ (⋂ n, s n).Nonempty
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad R ↥H) x)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
left✝ : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
⊢ SameRay R (z -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
v v₁ v₂ v₃ : V
⊢ EuclideanGeometry.angle (v + v₁) (v + v₂) (v + v₃) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Nonempty ι
Fintype ι
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ∀ (a : V),
  (basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind card_eq).repr a =
    lin_ind.repr ((LinearMap.codRestrict (Submodule.span K (Set.range b)) LinearMap.id ⋯) a)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι < ℵ₀
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
F : C → D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory D F} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.inducedFunctor F).map f = f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
h : ContDiff 𝕜 (↑n + 1) f
⊢ ContDiff 𝕜 (↑n) f
G : Type u_3
Group G
H : Subgroup G
H.Normal
g : G
h : ↥H
⊢ ↑((MulAut.conjNormal g)⁻¹ h) = g⁻¹ * ↑h * g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂CompWhiskeringLeftToKaroubiIso C D).inv.app X).app X_1).f =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s \ t.erase a = insert a (s \ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖lsmul 𝕜 𝕜'‖ = 1
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C
⊢ eqToHom ⋯ ∈ S.arrows c c
S : Type u_2
CommRing S
A : Type u_6
CommRing A
IsDomain A
Algebra A S
M : Submonoid A
IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
⊢ NoZeroDivisors S
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
r : R
left✝ : r ^ Fintype.card n = 1
hr : (scalar n) r = ↑↑A
⊢ ↑↑((fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) A)) = ↑↑A
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
h : ∃ n, ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s n) s' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (⋂ n, s n) s' μ
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
⊢ ‖z‖ ≤ ↑(NNReal.sqrt 2) * ‖equivRealProdLm z‖
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective (Subgroup.comap f)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 3 = Polynomial.C Polynomial.X * Polynomial.C W.Ψ₃ ^ 2 - Polynomial.C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 2
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac () ⊗ₘ ProbabilityTheory.Kernel.const Unit μ).snd = μ
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ≠ 0
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S T : Set R
⊢ closure S * closure T ≤ closure (S * T)
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : NormalizationMonoid α
u : αˣ
⊢ normUnit ↑u = u⁻¹
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ
⊢ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n} ↔ ↑n ≤ x.valuation
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F × G
x : E
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x).1) x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ Function.Injective ⇑AddMonoid.Coprod.inl
p : ℕ
f : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R
self : WittVector.IsPoly p f
⊢ ∃ φ,
  ∀ ⦃R : Type u_3⦄ [inst : CommRing R] (x : WittVector p R), (f x).coeff = fun n => (MvPolynomial.aeval x.coeff) (φ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = RCLike.re ⟪x, ((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A) x⟫_𝕜
R : Type w
Semiring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
self : CategoryTheory.Linear R C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
r : R
g : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (r • g) = r • f ≫ g
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanLift f g
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
⊢ ∃! τ,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanLiftUnit f g)
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight τ f) =
    s.unit
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ IsUnit a → IsUnit (-a)
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Inv α
s : ι → Set α
⊢ (⋃ i, s i)⁻¹ = ⋃ i, (s i)⁻¹
a b c : Int
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ ∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ v.restrict i
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
K : Set X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
SecondCountableTopologyEither X E
hf : ContinuousOn f K
hK : MeasurableSet K
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f K μ
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
⊢ α + γ = β + γ ↔ α = β
x : ℝ
hx : x ≠ 0
h : deriv (deriv fun x => x * log x) x = x⁻¹
⊢ -deriv (deriv fun y => y * log y) x = -x⁻¹
n : ℤ
⊢ abs ↑n = |↑n|
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
σ : L ≃ₐ[K] L
x : B
⊢ ((galRestrict A K L B) σ) x = ((galRestrictHom A K L B) ↑σ) x
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ
⊢ Finite a b ↔ a.natAbs ≠ 1 ∧ b ≠ 0
α : Type u
L : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeAddGroup.Red.Step ((x, b) :: (x, !b) :: L) L
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization
h : f x ∈ ⋯.toTrivialization.baseSet
⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ balancedCore 𝕜 s ↔ ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ x ∈ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
self : IsProperMap f
ℱ : Filter X
y : Y
⊢ MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
⊢ ⇑(ContinuousLinearMap.flipₗᵢ 𝕜 E Fₗ Gₗ) = ContinuousLinearMap.flip
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * (x.imJ * y.imJ)) • 1 + -((c₂ * (x.imJ * y.imK)) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (c₂ * (x.imK * y.imJ)) • q.i + -((c₂ * c₁ * x.imK * y.imK) • 1)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+: l₂ → l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t
⊢ (Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ)) (s ×ˢ t) = (μ 0) s * (μ 1) t
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
x✝ : OpensLeCover U
⊢ ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (𝟙 x✝)).left = (𝟙 ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.obj x✝)).left
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ
⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ a +ᵥ s ⊆ a +ᵥ t ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(L.compLp f) a = L (↑↑f a)
a b : ↥circle
⊢ (rotation a).trans (rotation b) = rotation (b * a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : y ≤ 0
⊢ LowerSemicontinuous (s.indicator fun _x => y)
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α β : TypeVec.{u} m
f : α ⟹ β
x : ↑(P.comp Q) α
⊢ MvPFunctor.comp.get (f <$$> x) = (fun i x => f <$$> x) <$$> MvPFunctor.comp.get x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ t.flip.pt = t.pt
a : ℚ
⊢ a ≠ 0 → a * a⁻¹ = 1
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α ↪ β
⊢ ⇑(SimpleGraph.Embedding.completeGraph f) = ⇑f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
g : G := g₂⁻¹ * g₁
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ (s \ t) = 0
⊢ μ (s ∩ tᶜ) = 0
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
r : R
⊢ (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = MvPolynomial.C ((algebraMap R S₁) r)
x y z : Bool
⊢ ((x || y) && z) = (x && z || y && z)
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hf : IsLUB (Set.range f) x
hx : ¬Order.IsSuccLimit x
⊢ ∃ i, f i = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
⊢ abv (f (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), f x - ∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), a x - ∑ x ∈ range (max n i), a x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : Fin f.natDegree
⊢ h.coeff z ↑i = (h.basis.repr z) i
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Disjoint (LinearMap.range (ExteriorAlgebra.ι R)) 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, 0 < r
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
⊢ (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Set C
⊢ (CategoryTheory.Subgroupoid.full D).objs = D
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H = ⊥ ∨ ∃ x ∈ H, x ≠ 0
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
DecidablePred p
f : (i : ι) → Y i
⊢ (Homeomorph.piEquivPiSubtypeProd p Y) f = (fun x => f ↑x, fun x => f ↑x)
C : Type u_1
D : Type u_2
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
X Y : CategoryTheory.GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : CategoryTheory.Functor C D
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (e.inv j)) (F.map (e.hom j)) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj (Y j))
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num
q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num
q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num
q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num
q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv
⊢ ↑q.den - q.num * ⌊q_inv⌋ < q.num
α : Type u_1
l : List α
is : List (Fin l.length)
h : Pairwise (fun x x_1 => ↑x < ↑x_1) is
n : Nat
l' : List α
hl' : l' = drop n l
his : ∀ (i : Fin l.length), i ∈ is → n ≤ ↑i
⊢ map l.get is <+ l'
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : N
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P).symm (AddMonoid.Coprod.inr (AddMonoid.Coprod.inl x)) =
  AddMonoid.Coprod.inl (AddMonoid.Coprod.inr x)