ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
⊢ ⋃ i, ⋃ (hi : p i), Set.Ico (f i hi) a = Set.Iio a ↔ ∀ x < a, ∃ i, ∃ (hi : p i), f i hi ≤ x
m : ℕ∞
⊢ ↑m = 1 ↔ m = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ ↑e '' e.source ⊆ e.target
n m : Nat
h : LE.le n m
⊢ LE.le n m.succ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
f_int : Integrable f μ
lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
α : Type u_12
e : M ≃* N
f : α → M
g : α → N
⊢ ⇑e.symm ∘ g = f ↔ g = ⇑e ∘ f
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊤
⊢ a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : a ∈ I
⊢ ⋯.some = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
⊢ m ∈ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆)
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α
⊢ k ≤ l.length
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ).restrict s = MeasureTheory.Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atBot atTop
x y : SetTheory.PGame
⊢ ⟦x * -y⟧ = -⟦x * y⟧
α : Sort u_1
β : Sort u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
x y : α
⊢ ⇑(Equiv.swap (f x) (f y)) ∘ f = f ∘ ⇑(Equiv.swap x y)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
w : (g ≫ f) ≫ sm.retraction = (h ≫ f) ≫ sm.retraction
⊢ g = h
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a : α
PosMulMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
⊢ a * max b c = max (a * b) (a * c)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ (a \ b) \ c = (a \ c) \ b
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
c : α × M
f : α →₀ M
⊢ c ∈ f.graph ↔ f c.1 = c.2 ∧ c.2 ≠ 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.9082, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
⊢ (i₁ ≫ snd f i) ≫ i = (i₁ ≫ fst f i) ≫ f
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
Nonempty F
⊢ Function.Injective Pretrivialization.toPartialEquiv
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
DecidableEq β
s : Set α
t : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s • t)
⊢ (s • t).toFinset = s.toFinset • t.toFinset
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
⊢ (na.mul ↑db).add (-(nb * ↑da)) = (↑k).mul nc
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
⊢ t ∈ fp.part s ↔ fp.part s = fp.part t
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
u : ↑n ≤ ↑n ^ 2
⊢ 0 ≤ (↑n + a) ^ 2 - (↑n + a ^ 2)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
⊢ ∀ (x : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } x = ↑(?f' x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n = s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → f^[k + 1] x ≤ f (f^[k] x)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t u : Finset α
⊢ s ⊼ t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ⊓ b ∈ u
α : Type u_1
s t : Set α
LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
⊢ ⋯.min ⋯ = hs.min hsn * ht.min htn
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
⊢ s.WSameSide x z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)
⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
ι : Type u_1
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommGroup α
TopologicalSpace α
Archimedean α
OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
⊢ Set.univ.Finite
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
⊢ h.IsClassified
G : Type u
AddMonoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), n • g = 0
⊢ 0 < AddMonoid.exponent G
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
r : ℝ≥0∞
⊢ a ∈ EMetric.ball 1 r ↔ ↑‖a‖₊ < r
α : Type u_2
Bornology α
a : α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in Bornology.cobounded α, x ≠ a
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ ((cons i s hi).biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
α : Type u_1
Lattice α
s : Set α
⊢ BddBelow s ∧ BddAbove s ↔ ∃ a b, s ⊆ Set.uIcc a b
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ BddBelow (Set.range fun u => p u + q (x - u))
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ C ⅟↑p ^ n - C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) * C ⅟↑p ^ n = 0
b : ℝ
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ oddKernel ↑b =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Sub α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s - t).sup f = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => f (x - x_1)
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ LinearMap.ker (mulLeftMap N m) = ⊥
β : Type u_1
α : Type u_2
Unique β
x : α
⊢ (Equiv.prodUnique α β).symm x = (x, default)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsNilpotent f ↔ X.basicOpen f = ⊥
a n : ℕ
⊢ (Finset.filter a.Coprime (Finset.Ico n (n + a))).card = a.totient
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝ : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
⊢ IsSheaf J P ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T25Space X
x y : X
⊢ Disjoint ((𝓝 x).lift' closure) ((𝓝 y).lift' closure) ↔ x ≠ y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (ExteriorAlgebra.liftAlternating f) 1 = (f 0) 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
X : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoSpan F).hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint x (y \ x)
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
P : (Fin n.succ → α) → Prop
⊢ Forall P ↔ ∀ (x : Fin n.succ → α), P x
ι : Type u_1
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b : α
h : ∀ i ∈ s, Commute b (f i)
⊢ Commute b (∑ i ∈ s, f i)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
R : CommRingCatᵒᵖ
f : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.rightOp.obj X ⟶ R
⊢ (AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X R) f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (AlgebraicGeometry.identityToΓSpec.app X)
    (AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceMap f.unop)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin n.succ → A
⊢ ‖(List.map m (List.finRange n.succ)).prod‖ ≤ (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange n.succ)).prod
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + μ.withDensity (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ)).toSignedMeasure - (μ.withDensity (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ) + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = s.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - s.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving (J.over X) J (CategoryTheory.Over.forget X)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : TopologicalSpace.IsSeparable s
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable (f '' s)
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U (K₁ ⊔ K₂) ≤
  MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₁ + MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₂
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s : Set L
K : LieSubalgebra R L
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L s ≤ K ↔ s ⊆ ↑K
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β
⊢ dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂) = max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ))
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
IsScalarTower R A P
AddCommMonoid Q
Module R Q
m : M
p : P
q : Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.leftComm R A M P Q) (m ⊗ₜ[A] p ⊗ₜ[R] q) = p ⊗ₜ[A] m ⊗ₜ[R] q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology j
⊢ K.toCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
h : f.right = g.right
⊢ f = g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ i = 0
k : ℕ
⊢ (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * (π / 2) ≤ W k
R : Type u_1
Ring R
CharZero R
u : Rˣ
⊢ u ≠ -u
α : Type u
as : List α
b : α
bs : List α
⊢ as ++ b :: bs = as ++ b :: List.nil ++ bs
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : ¬w s = 0 → n = 0
⊢ n = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t✝ : Finset α
b : β
t : Finset β
⊢ pimage f s ⊆ t ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ f x, y ∈ t
v : PrimeMultiset
⊢ Multiset.map Subtype.val (Multiset.map Coe.coe v) = Multiset.map Subtype.val v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ (CategoryTheory.sheafEquivSheafOfTypes J).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun X => CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Sheaf J (Type w))).obj X)) ⋯
a n : ℕ
NeZero n
⊢ ↑a = 0 ↔ n ∣ a
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Subsingleton ↥H
⊢ H = ⊥
α : Type u_1
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.reverse.reverse = t
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
WfDvdMonoid R
r : R
⊢ (∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r) ↔ (r = 0 ∧ ∀ (x : R), ¬Irreducible x) ∨ Squarefree r
m n : Nat
⊢ ↑(m / n) = (↑m).div ↑n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ Tendsto (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i)) atTop (𝓝 (∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
G : Type u
self : RightCancelSemigroup G
a b c : G
⊢ a * b = c * b → a = c
m n : ℤ
⊢ (m + n).bodd = xor m.bodd n.bodd
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ IntermediateField.adjoin F (insert x ↑(IntermediateField.adjoin F S)) = IntermediateField.adjoin F (insert x S)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
p : J → Prop
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
DecidablePred p
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.fromSubtype f p =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun j =>
    if h : p j then CategoryTheory.Limits.biproduct.π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
f : X ⟶ Y
Z : Mon_ C
⊢ (f ▷ Z).hom = f.hom ▷ Z.X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ = ‖p (k + l)‖₊
f : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ ∃ p, (0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1) ∧ ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
σ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
r s : R
⊢ MvPolynomial.C r = MvPolynomial.C s ↔ r = s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
g : β → γ
f : α → β
⊢ List.map g ∘ List.map f = List.map (g ∘ f)
a b m n✝ p✝ n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
p : ℕ
pp : Prime p
⊢ d.factorization p ≤ n.factorization p
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
⊢ μH[↑0] s ≠ ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
X : BoolAlg
⊢ (CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.obj X).str = inferInstance
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
Nontrivial S
pb : PowerBasis R S
⊢ 0 < pb.dim
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) = η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.225151}
S T : Set α
h : T ⊆ S
⊢ #↑(S \ T) + #↑T = #↑S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero ≫
    CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f g h =
  0
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
R₃ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R₂
inst✝⁸ : Ring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : M₂ →ₗ[R₂] M₂ ⧸ range f), u.comp f = v.comp f → u = v
h₁ : comp 0 f = 0
⊢ ker 0 = ⊤
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
h : ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) s = (η a) s
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f g : α → β
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, f a = g a
x : β
⊢ x ∈ f '' s ↔ x ∈ g '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∑ y ∈ f.range, μ (↑f ⁻¹' {y}) = μ Set.univ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
⊢ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ (p • μ) a
y : ℝ
⊢ 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤