ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
⊢ spectrum R ((cfcHom ha) ((compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }) (toContinuousMapHom f))) ∪ {0} = range ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : b = a
⊢ a :: (b :: l).tail = b :: l
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₂} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).inverse.map f).right = f.right
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
CategoryTheory.BicategoricalCoherence g h
⊢  ⊗𝟙 = f ◁ ⊗𝟙
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ s)] ↑(extChartAt I x) y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : WittVector p (ZMod p)
⊢ WittVector.verschiebung x = x * ↑p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ -(⁅y, ⁅z, x⁆⁆ - ⁅z, ⁅y, x⁆⁆) + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + -⁅z, ⁅y, x⁆⁆ = 0
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
b : Bool
Decidable (b = true)
⊢ decide (b = true) = b
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : ↑X
⊢ (f ≫ g) x = g (f x)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
L'' : FirstOrder.Language
e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''
⊢ (e.trans e').invLHom = e.invLHom.comp e'.invLHom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I
L'_cont : Continuous ⇑L'
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ countP (fun a => p ↑a) (attach ⟦l⟧) = countP p ⟦l⟧
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
self : CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G S ∈ K.sieves (G.obj X) ↔ S ∈ J.sieves X
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
fixed : m ^ n • a = a
⊢ MulAction.period m a ≤ n
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)))
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ f '' Icc a b
⊢ f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.comap f x) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Grp
I : Type w'
U : I → C
γ : CategoryTheory.PresheafOfGroups.OneCocycle G U
i : I
T : C
a : T ⟶ U i
⊢ γ.ev i i a a = 1
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LT α
ha : ∀ (h : p), a h < 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h < 1
⊢ dite p a b < 1
n k : ℕ
h : k ≤ n
⊢ Finset.filter (fun a => a.2 ≤ k) (Finset.antidiagonal n) =
  Finset.map ({ toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)) (Finset.antidiagonal k)
R : Type u
Semiring R
c : R
⊢ (Polynomial.C c).nextCoeffUp = 0
V : Type u_1
G G'✝ : SimpleGraph V
M✝ M' : G.Subgraph
v w✝ : V
G' : G.Subgraph
M : G'.coe.Subgraph
hM : M.IsMatching
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (Subgraph.coeSubgraph M).verts
w : ↑G'.verts
hw : (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) w ∧ ∀ (y : ↑G'.verts), (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) y → y = w
⊢ ∃! w, (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
h : ∀ (i : α) (j : β), ‖A i j‖ < 1
i : α
j : β
⊢ A i j = 0
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
x✝³ x✝² : C
x✝¹ x✝ : x✝³ ⟶ x✝²
⊢ CompClosure r x✝¹ x✝ ↔ r x✝¹ x✝
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
hi : IsInitial X → False
hc : ∀ (Y : C) (v : Y ⟶ X), (IsInitial Y → False) → Mono v → IsIso v
⊢ IsConnected X
α : Type u_2
AddGroup α
s t : Set α
x : αᵃᵒᵖ
⊢ (x +ᵥ s) ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ -a + b = AddOpposite.unop x
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a b c : α
hb : b ≤ c
ha : a * c ≤ c
⊢ a∗ * b ≤ c
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
⊢ ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n < (x * ↑n + 2) / ↑n
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
α : Type
inst✝ : Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
⊢ EffectiveEpi (Sigma.desc π) ↔ EffectiveEpiFamily X π
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ LSeries (f + g) s = LSeries f s + LSeries g s
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Subsingleton A
a : A
⊢ resolventSet R a = univ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
⊢ Finset.centroid k s p = (Finset.affineCombination k s p) (Finset.centroidWeights k s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₂
hf : f ≫ T.mor₂ = 0
⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₁
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a : α
⊢ comap (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (𝓤 α) = 𝓤 α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }.toFun ⁻¹' K)
G : Type u_3
Mul G
IsRightCancelMul G
a : G
⊢ Function.Injective fun x => x * a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (deriv f) volume
x : ℝ
I : Integrable (fun x => fderiv ℝ f x) volume
⊢ 𝓕 (deriv f) x = (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Subring R
⊢ ↑(Subring.map f s) = ⇑f '' ↑s
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
r : R
⊢ Polynomial.eval₂ f (f r) p = 0 → p.IsRoot r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
CompleteSpace E
y : F
h : ∃ w, ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
⊢ y ∈ T.adjoint.domain
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
⊢ Prime q
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s t : Set ((i : ι) × G i)
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
hxs : x.IsSupported s
j k : ι
hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j
hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k
hjk : j ≤ k
hst : s ⊆ t
⊢ ∀ {x y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)}, (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) x) → (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) y)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) → (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y))) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) (x + y))
f : C(↑I, ℝ)
⊢ ∃ᶠ (x : C(↑I, ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g g' : β → δ
hf : AEMeasurable f μ
h : g =ᵐ[ν] g'
h2 : MeasureTheory.Measure.map f μ ≪ ν
⊢ g ∘ f =ᵐ[μ] g' ∘ f
F : Type u_2
Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(X : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : CategoryTheory.GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X').obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).inv
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p φ
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)))
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring S
b : S
s : α →₀ R
f : α → R → S
⊢ b * s.sum f = s.sum fun a c => b * f a c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.span f g).map CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.Hom.snd = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C} (α : X_1 ⟶ Y_1) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).map α).app X_2 =
    α.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map f).obj (Opposite.unop X_2)))
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
v : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v).adjugate = Matrix.diagonal fun i => ∏ j ∈ Finset.univ.erase i, v j
α : Type u
Order.Coframe α
s : Set α
a : α
⊢ a ⊔ sInf s = ⨅ b ∈ s, a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure (MeasureTheory.Measure.map f μ)
X : Type u_3
TopologicalSpace X
self : WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X
⊢ ∃ s, IsCompact s ∧ s ∈ 𝓝 x
n p : ℕ
h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
⊢ Prime p
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∑ x : Fin (n + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑x) • (φ ≫ X.δ x) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (n + 1 + 2), ((-1) ^ ↑x * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ x = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a : α
d₁ : s.Nodup
d₂ : t.Nodup
⊢ (s + t).Nodup ↔ s.Disjoint t
x : ℝ*
r : ℝ
hi : ¬x.Infinitesimal
hr : x.IsSt r
⊢ x⁻¹.IsSt r⁻¹
R : Type u_1
CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M
Module R M₁
Module R M₂
Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ h.equiv.symm ((f x₁) x₂) = x₁ ⊗ₜ[R] x₂
X : Type u_5
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, 1 ∂μ) = μ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
⊢ 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (J × K) C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitFlipCompLimIsoLimitCompLim F).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F.flip ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) k ≫
      CategoryTheory.Limits.limit.π (F.flip.obj k) j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F ⋙ CategoryTheory.Limits.lim) j ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π (F.obj j) k
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
NoZeroDivisors R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a * a = b * b ↔ a = b ∨ a = -b
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
⊢ v ∉ W → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ℝ
ht : t ∈ Icc v.tMin v.tMax
⊢ ↑(v.proj t) = t
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs k N = ⊤ ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Independent p
⊢ Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
ContinuousMul β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
c : β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun n => c * f n
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ
⊢ Set.MapsTo f (Metric.closedBall x r) (Metric.closedBall (f x) r)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
s : Set X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith C f t
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
α : Type u_1
s t u : Multiset α
h : s ≤ u
⊢ u.Disjoint t → s.Disjoint t
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
⊢ (Fin.find p).isSome = true ↔ ∃ i, p i
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
⊢ AddAction.period m a ∣ AddMonoid.exponent M
s : ℂ
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0
⊢ Complex.abs ↑(μ n) ≤ 1
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₂
g : J → I
j : J
X : C (g j)
⊢ (CategoryTheory.Sigma.inclCompMap C g j).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨g j, X⟩
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ⊓ x = y ⊓ z
⊢ y \ x = y \ z
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y = (x ⊓ (y ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
m : ℤ
⊢ Int.ceil ⁻¹' {m} = Set.Ioc (↑m - 1) ↑m
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (Opposite.unop X)).hom
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
⊢ φ (a.gcd b) * φ (a * b) = φ a * φ b * a.gcd b
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
f✝ : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α
⊢ (Completion.extension f ∘ Completion.map g) (↑α a) = Completion.extension (f ∘ g) (↑α a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
x : α
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁴ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝² : Algebra R Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ
x : R
y : ↥M
⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) (mk' Rₘ (↑y * x) y) = (algebraMap Rₘ Sₘ) ((algebraMap R Rₘ) x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℂ E
map : ℂ →L[ℂ] E
nonzero : map ≠ 0
⊢ IsConformalMap ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ map).comp ↑Complex.conjCLE)