ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
μs : ι → MeasureTheory.Measure α
i : ι
hνμ : ν.AbsolutelyContinuous (μs i)
⊢ ν.AbsolutelyContinuous (MeasureTheory.Measure.sum μs)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G : CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf F
⊢ G ≤ CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J G
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).inv.app X).τ₃ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ ↑(finrank ℝ E) < ↑d
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
⊢ RingHom.ker (MvPolynomial.map f) = Ideal.map MvPolynomial.C (RingHom.ker f)
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal - (φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal) = 0
⊢ φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal - (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)) = 0
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
z✝ : G
⊢ Continuous fun g => g • ↑z✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
⊢ (¬∃ i ∈ s, (t i).Nonempty) ↔ ∀ i ∈ s, t i = ∅
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ t ∈ ae (μ.restrict s) ↔ t ∈ ae μ ⊓ 𝓟 s
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : Ideal S
hI : I ∈ (Ideal S)⁰
J : ↥(Ideal S)⁰
mk0_eq_mk0 : mk0 ⟨I, hI⟩ = mk0 J
J_dvd : (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ∈ ↑J
⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = mk0 ⟨I, hI⟩
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x : L
p : { x_1 // x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0 } := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯
h : Polynomial.map (algebraMap R L) ↑p ≠ 0
⊢ x ∈ (↑p).aroots L
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ⇑e '' s = t
⊢ ↑(e.toPartialEquivOfImageEq s t h).symm = ⇑e.symm
p₁ p₂ : Sort u
q₁ q₂ : Sort v
h₁ : p₁ = p₂
h₂ : q₁ = q₂
⊢ (p₁ → q₁) = (p₂ → q₂)
ι : Sort uι
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
t : Submodule R A
s : ι → Submodule R A
⊢ t * ⨆ i, s i = ⨆ i, t * s i
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ nndist (AddOpposite.unop x) (AddOpposite.unop y) = nndist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddCommGroup β
f g : α → β
hf : IsAddGroupHom f
hg : IsAddGroupHom g
⊢ IsAddGroupHom fun a => f a - g a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
s : Finset (Equiv.Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Equiv.Perm.Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
⊢ σ.cycleType = Multiset.map (Finset.card ∘ Equiv.Perm.support) s.val
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Infinite α
Finite β
f : α → β
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ f x = f y
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
z : K
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ z * ↑I = ↑J ↔
  Ideal.span {(IsLocalization.sec R₁⁰ z).1} * I = Ideal.span {↑(IsLocalization.sec R₁⁰ z).2} * J
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f' n x
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f' n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (F - f 0) x ∂μ))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
a✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ f c ∈ uIcc (f a) (f b)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
k : ℕ
hk : (((toEnd R L M) x).genEigenspace (χ x)) k ≠ ⊥
⊢ ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ Subsingleton M
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f₁ : R →+* S
g₁ g₂ : σ → S
p₁ : MvPolynomial σ R
h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i
⊢ (eval₂Hom f₁ g₁) p₁ = (eval₂Hom f₁ g₂) p₁
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
⊢ C * (y - x) ≤ f y - f x
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
⊢ p.toSubgraph ≤ ⊤.induce {v_1 | v_1 ∈ p.support}
𝕂 : Type u_1
𝔸✝ : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕂
inst✝⁹ : NormedRing 𝔸✝
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸✝
inst✝⁷ : NormedRing 𝔹
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝔸✝
ι : Type u_4
𝔸 : ι → Type u_5
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → NormedRing (𝔸 i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAlgebra 𝕂 (𝔸 i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (𝔸 i)
x : (i : ι) → 𝔸 i
j : ι
xj : 𝔸 j
i : ι
⊢ Function.update (exp 𝕂 x) j (exp 𝕂 xj) i = exp 𝕂 (Function.update x j xj) i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂ ↔ (∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ s.pi t₁ = ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : Module.End R M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ⨅ m, LinearMap.range (f ^ m) = LinearMap.range (f ^ n)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ x.appr n < p ^ n
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
⊢ StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ Nontrivial ↥S ↔ ∃ x ∈ S, x ≠ 1
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun (-x) = NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Set.range ((⇑U.ι.val.base ∘ ⇑(↑U).isoSpec.inv.val.base) ∘ ⇑(Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base) = ↑U
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
x : P
⊢ x ∈ nonZeroDivisors P ↔ (↑h).symm x ∈ nonZeroDivisors R
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
σ : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'
⊢ ‖domDomCongr σ f‖ = ‖f‖
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⊤.units = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ f (Function.invFunOn f s (f a)) = f a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ) S₂.fromOpcycles =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.fromOpcycles φ.τ₃
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ fun ⦃a b⦄ => ([a-[𝕜]b] \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap a b) c ∈ interior s
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
AddMonoid M
φ : G →+ M
HN : N ≤ φ.ker
g : G
⊢ (QuotientAddGroup.lift N φ HN) (Quot.mk Setoid.r g) = φ g
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ β✝ : Type u
x✝¹ : α✝ → β✝
x✝ : t' α✝
⊢ traverse (pure ∘ x✝¹) x✝ = id.mk (x✝¹ <$> x✝)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
⊢ ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S A) = algebraMap S A
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x : P
⊢ (Equiv.pointReflection x) x = x
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ IsLeast (Set.Icc a b) a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : Set (Set α)
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ t ∈ c, IsOpen t
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, ↑i
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ c, ball x δ ⊆ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : (Submodule.span 𝕜 (Set.range v))ᗮ = ⊥
⊢ (fun i => (HilbertBasis.mkOfOrthogonalEqBot hv hsp).repr.symm (lp.single 2 i 1)) = v
R : Type u_1
m : ℕ
this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i
⊢ 2 * (2 ^ 2) ^ m = 2 * 4 ^ m
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} (f g : α →+* α), f * g = f.comp g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.extensiveTopology C) A} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.inverse.map f).val = f.val
G : Type u_3
Group G
a x : G
⊢ SemiconjBy a x (a * x * a⁻¹)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β
⊢ ((Injective fun x => f (some x)) ∧ ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none) → Injective f
K : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : IsAlgClosed A
x : K
⊢ (range fun φ => φ x) = (minpoly ℚ x).rootSet A
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
⊢ map ι (LinearEquiv.refl R M) = Equiv.refl (Orientation R M ι)
α : Type u_2
One α
⊢ Set.Nonempty 1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots ⊆ p ^ n • f.roots
P : Type u_1
LE P
I : Order.Ideal P
p : P
nmem : p ∉ I
⊢ I.IsProper
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇨ ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
⊢ False
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
⊢ (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.fst f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.fst f i
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
⊢ (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedRing 𝔹
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (exp 𝕂 x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (α i)
x : (i : ι) → α i
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (Measure.pi μ) (Metric.ball x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.ball (x i) r)
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
⊢ dimH (⇑e '' s) = dimH s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x : 𝔸ᵐᵒᵖ
⊢ exp 𝕂 (MulOpposite.unop x) = MulOpposite.unop (exp 𝕂 x)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousConstSMul α β
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ a • t ∈ 𝓝 (a • x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f ⊔ g) μ
α : Sort u_1
a' : α
⊢ ∃! a, a = a'
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ
⊢ Nonnegg c d (Int.negSucc a) ↑b ↔ SqLe (a + 1) d b c
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ Disjoint aᶜᶜ b ↔ Disjoint a b
α : Type u
Group α
IsCyclic α
Fintype α
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
⊢ (Finset.filter (fun a => orderOf a = d) Finset.univ).card = d.totient
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s : Finset α
f : p → α → β
g : ¬p → α → β
⊢ (∑ x ∈ s, if h : p then f h x else g h x) = if h : p then ∑ x ∈ s, f h x else ∑ x ∈ s, g h x
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj
⊢ K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f ↔ J.W f
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
φ ψ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
hψ : MeasureTheory.AECover μ l ψ
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => φ i ∩ ψ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
⊢ gauge s (‖r‖ • x) = gauge s (r • x)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
H : ∀ (i : ι), μ i ⟂ₘ ν
⊢ sum μ ⟂ₘ ν
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯ = (minpoly K x).natDegree
α : Type u_2
TopologicalSpace α
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
⊢ ⨅ i, { carrier := s i, closed' := ⋯ } = { carrier := ⋂ i, s i, closed' := ⋯ }
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
h : P.parts.card = 0
⊢ s.card % P.parts.card ≤ P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
g : β → γ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) a = g (↑f a)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1
⊢ cons m ls h1 h2 = rcons (let __src := { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }; { head := m * { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }.head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
⊢ (Submodule.map f p).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.map (↑f) p.toAddSubmonoid
M : Type w
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s : Set (α → M)
⊢ ∅.Definable L s ↔ ∃ φ, s = setOf φ.Realize
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Multiset (Set E)
⊢ (convexHull R) s.sum = (Multiset.map (⇑(convexHull R)) s).sum
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ → μ s = 0 ∨ μ s = ⊤ → MeasureTheory.pdf X ℙ μ =ᵐ[μ] 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
x : α
⊢ (single a b) x ∈ {0, b}
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : List Γ
⊢ Turing.BlankRel l l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
hP : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
⊢ hP.lift h k w ≫ fst = h
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
PE : Type u_1
PF : Type u_2
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
MetricSpace PF
NormedAddTorsor F PF
FiniteDimensional 𝕜 E
f : PE ≃ᵃ[𝕜] PF
⊢ ⇑f.toHomeomorphOfFiniteDimensional.symm = ⇑f.symm
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
f : α → m β
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), SatisfiesM (p i) (f as[i])
⊢ SatisfiesM (fun arr => ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (Array.mapM f as)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Unique α
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = (μ Set.univ).toReal • f default
E : Type u_6
SeminormedGroup E
z : E
⊢ |‖z‖| = ‖z‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
AddGroup G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
LieAddGroup I' G
f g : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : MvPolynomial.constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ⊔ a ⊓ b = a ⊔ b