ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (f z - 1) * ((starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) 1) = (z - 1) * ((starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) 1)
⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
⊢ ∀ (a : ℕ), (FirstOrder.Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).Functions a = FirstOrder.Sequence₂ c f₁ f₂ a
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp f U ≫
    f.val.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U)) =
  X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ → ℕ → α
h : Primrec (Nat.unpaired f)
⊢ Primrec₂ f
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a b c : A
hc : c ∈ Algebra.adjoin R {b}
h : Commute a b
⊢ Commute a c
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y = 0
α : Type u
CommMonoid α
Subsingleton αˣ
a b : α
⊢ a * b = 1 ↔ a = 1 ∧ b = 1
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
⊢ ∃ b, a * b = 1
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ [].rtake n = []
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.unitCofork A).pt =
  G.obj (CategoryTheory.Limits.coequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
n : ℤ
⊢ Complex.cos (↑n * (2 * ↑Real.pi) - ↑Real.pi) = -1
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
MulOneClass H
f : Multiplicative G ≃* H
a : Additive H
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative''.symm f).symm a = (AddMonoidHom.toMultiplicative'.symm f.symm.toMonoidHom) a
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ Ring.inverse x * (x * y) = y
α : Type u_1
M : Matroid α
M.InfiniteRk
⊢ ¬M.FiniteRk
α : Type u_2
SemilatticeInf α
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set α
t : Finset ι
hs : InfClosed s
ht : t.Nonempty
⊢ (∀ i ∈ t, f i ∈ s) → t.inf' ht f ∈ s
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
f : BoundedOrderHom β γ
g : BoundedOrderHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c ∈ Q
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.PrelocalPredicate T
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
f : (x : ↥U) → T ↑x
h : P.pred f
⊢ P.sheafify.pred f
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ p.support), b ∈ (f a h).support
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ n, some a ∈ s.get? n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝ : Mono S₁.f
this : Mono S₂.f
⊢ IsIso φ.τ₂
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.centralizer R Set.univ = NonUnitalStarSubalgebra.center R A
α : Type
d : ℕ
ds : List ℕ
Ring α
x : Holor α (d :: ds)
⊢ ∑ i ∈ (Finset.range d).attach, (Holor.unitVec d ↑i).mul (x.slice ↑i ⋯) = x
α : Type u_2
Sub α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ - t ⊆ s₂ - t
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
hne : s.Nonempty
⊢ Tendsto (s.sup f) l (𝓝 (s.sup g))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ FreeAddGroup.Red L₁ L₂ → FreeAddGroup.Red (p :: L₁) (p :: L₂)
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app ((F ⊗ G).obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ (a + b + a * b) * (1 + a * b) = a + b
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
h : l.prod ≠ 1
⊢ ∃ x ∈ l, x ≠ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer I
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit I.multicospan (CategoryTheory.forget C)
x y : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.multiequalizer I)
h : ∀ (t : I.L), (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I t) x = (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι I t) y
⊢ x = y
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
c : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ (fun v => ↑↑c v) v ∈ adicCompletionIntegers K v
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
⊢ p ≤ 1 ↔ p = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
t : Set Y
hg : HolderOnWith Cg rg g t
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith Cf rf f
ht : ∀ (x : X), f x ∈ t
⊢ HolderWith (Cg * Cf ^ ↑rg) (rg * rf) (g ∘ f)
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
⊢ residueFieldMap (f ≫ g) x = residueFieldMap g (f.val.base x) ≫ residueFieldMap f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
κ : ι → Type u_10
Nonempty ((i : ι) × κ i)
∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)
x y : Char
h1 : x ≤ y
h2 : y ≤ x
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h₁ h₂ : α ≃ᵢ β
H : ∀ (x : α), h₁ x = h₂ x
⊢ h₁ = h₂
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P
⊢ lTensor M (f - g) = lTensor M f - lTensor M g
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
x : α
⊢ f^[n] x ≤ f (f^[n] x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
⊢ p ^ n ∣ p ^ n ∧ ¬p ^ (n + 1) ∣ p ^ n
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor A C
G : CategoryTheory.Functor B C
X : A
⊢ (F.inlCompSum' G).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.sum' G).obj (Sum.inl X))
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then (fun x => a) <$> l.get? n else l.get? n
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
x : E
hx : ∀ (i : ι), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
xs : x ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ f s x
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
a : α
⊢ ¬r a a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H✝ : IsCoprime x y
a b : R
H : a * x + b * y = 1
⊢ b * y + a * x = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ e.trans e.symm = AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : f = 0
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f 0 = 0
a : ℕ
⊢ Function.Periodic (fun n => n % a) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasFDerivAtFilter f₁ f' x L
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ ∃ fl, ∀ (z : ℤ), z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
s t : Multiset α
hs : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ ∅
ht : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ ∅
⊢ card s = n → card t = n → ((map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right
⊢ (map = map') = True
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : |a - b| < c
⊢ a - c < b
o : Ordinal.{u_4}
⊢ o.pred < o ↔ ∃ a, o = Order.succ a
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ LinearMap.stdBasis R φ i = LinearMap.pi (LinearMap.diag i)
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = g x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Int.fract (OfNat.ofNat n) = 0
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⊓ ￢a = ∂ a
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = a ∨ min a b = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryExtensive C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
⊢ Injective ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
B_decidableEq : DecidableEq α
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE B_decidableEq B_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
M : Type u_1
α : Type u_5
β : Type u_6
VAdd M α
VAdd M β
a : M
b : α
c : β
⊢ a +ᵥ (b, c) = (a +ᵥ b, a +ᵥ c)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
x : R
⊢ (constantCoeff.comp C) x = (RingHom.id R) x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : x = yᶜ
⊢ IsCompl yᶜ y
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
x✝¹ x✝ : ↑S.objs
s : C
hs : s ∈ S.objs
t : C
ht : t ∈ S.objs
⊢ (inclusion h).obj ⟨s, hs⟩ = (inclusion h).obj ⟨t, ht⟩ → ⟨s, hs⟩ = ⟨t, ht⟩
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap R M₁ (M' i)
⊢ ⇑(ContinuousMultilinearMap.pi f) = fun m j => (f j) m
α : Type u
p : α → Prop
⊢ ↑{x | p x} = { x // p x }
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ [[a₂, b₂]] ↔ a₁ ∈ [[a₂, b₂]] ∧ b₁ ∈ [[a₂, b₂]]
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ fundamentalDomain b = ⇑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)) ⁻¹' fundamentalDomain b₀
α : Type u
n : ℕ
v : Fin n → α
⊢ Matrix.vecAppend ⋯ ![] v = v
m n r : ℤ
⊢ r ∈ m.range n ↔ m ≤ r ∧ r < n
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ (Polynomial.X + Polynomial.C x).Monic
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
⊢ abs z / ↑n < 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
hw_fact : ↑w.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑w.asIdeal
hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0
⊢ count K v ↑w.asIdeal = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure s = μ s
i : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), n.testBit i = n.bits.getI i
n : ℕ
⊢ n.bits.tail.getI i = n.bits.getI (i + 1)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun b => if h : p then f b else sInf ∅
R : Type u
Ring R
S : Type v
Semiring S
s : Set R
hs : Subring.closure s = ⊤
f g : R →+* S
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
self : Derivation R A M
⊢ ↑self 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α
⊢ (hasse α).Reachable a b
p : Bool → Prop
b : Bool
⊢ (∃ x, p x) ↔ p b ∨ p !b
α : Type u_2
β : Type u_3
EDist α
EDist β
f g : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist f g = (if edist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if edist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
g' : (P.drop.B a).Arrow α
g : (j : P.last.B a) → TypeVec.Arrow (P.WPath (f j)) α
⊢ (P.wMk a g' fun i => ⟨f i, g i⟩) = ⟨WType.mk a f, P.wPathCasesOn g' g⟩
c : Char
cs : List Char
i : String.Pos
⊢ { data := c :: cs }.get (i + c) = { data := cs }.get i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : ι' → ι
hf : Injective f
p q : MvPolynomial ι' R
⊢ (aeval (x ∘ f)) p = (aeval (x ∘ f)) q → p = q
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
(S₁.map F).HasHomology
(S₂.map F).HasHomology
F.PreservesLeftHomologyOf S₁
F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
    (S₂.mapHomologyIso F).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapHomologyIso F).hom (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ (X.ofRestrict ⋯).c = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u
Nonempty α
⊢ #(α →₀ ℕ) = max #α ℵ₀
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
h : finrank K V = 1
⊢ span K {v} = ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
l m : List α
a : α
_H : ∀ (hl : m ≠ []), Chain r ↑m ↔ List.Chain r (m.getLast hl) m
hl✝ : m ++ [a] ≠ []
⊢ Chain r ↑(m ++ [a]) ↔ List.Chain r ((m ++ [a]).getLast hl✝) (m ++ [a])
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m - 0‖ < ε → ‖f m - f 0‖ < 1
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
hs : IsOpen s
⊢ ↑(ApproximatesLinearOn.toPartialHomeomorph f s hf hc hs) = f
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
he : ∀ e ∈ J \ I, ¬M.Indep (insert e I)
⊢ False
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Function.Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Set.Icc a b)
⊢ StrictMono f
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict t)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard ≠ ⊤ ↔ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup (g ∘ f) μ ≤ essSup g (MeasureTheory.Measure.map f μ)
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ ↑(Fintype.card ↑(Set.Ico a b)) = b - a
X : Type u_1
Y : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : Zero X
inst✝¹⁷ : Zero Y
inst✝¹⁶ : CommSemiring M
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : StarRing S
inst✝⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝⁴ : ContinuousStar S
inst✝³ : Module M R
inst✝² : Module M S
inst✝¹ : ContinuousConstSMul M R
inst✝ : ContinuousConstSMul M S
φ : R →⋆ₙₐ[M] S
hφ : Continuous ⇑φ
x✝ : C(X, R)₀
⊢ ∀ (x : X), ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun (star x✝)) x = (star ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun x✝)) x
o : Ordinal.{u}
⊢ #↑{o' | o' < o} = Cardinal.lift.{u + 1, u} o.card