ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b : ℝ
n : ℕ
c : ℂ
hc : c ≠ 0
D : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun y => Complex.exp (c * ↑y) / c) (Complex.exp (c * ↑x)) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.exp (c * ↑x) = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
z₁ z₂ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih₁ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₁ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₁
ih₂ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₂ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₂
⊢ ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (z₁ + z₂) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (z₁ + z₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
⊢ ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ⨆ n, ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
φ : M ↪ₑ[L] N
c : L.Constants
⊢ φ ↑c = ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (⨅ a_1, stieltjesFunctionAux f a ↑a_1))
n : ℕ
A : Type u
α β : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
x : ↑(MvPFunctor.const n A) α
⊢ MvPFunctor.const.get (f <$$> x) = MvPFunctor.const.get x
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
α : Type u_4
SMul α R
SMul α A
IsScalarTower α R A
c : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
m : α
⊢ (m • c).deg = c.deg
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
⊢ {p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
hne : a ≠ b
⊢ (b - a) • slope f a b = f b -ᵥ f a
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
x : α
H : ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
⊢ IsPreconnected s
⊢ default = SetTheory.PGame.toRightMovesNim ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ s.destruct = none → s = Stream'.Seq.nil
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
⊢ image2 f (↑s) (↑t ∪ ↑t') = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t'
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a < b
⊢ ∃ p, a.factorization p < b.factorization p
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
⊢ FormallySmooth Rₘ Sₘ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ ((κ.comapRight hf) a) t = (κ a) (f '' t)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B × CategoryTheory.Functor A C
⊢ (CategoryTheory.prodFunctorToFunctorProd A B C).obj F = F.1.prod' F.2
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inr b)).birthday)) (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inr b)).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
⊢ gauge (-s) x = gauge s (-x)
n : ℤ
⊢ sqrt (n * n) = ↑n.natAbs
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
⊢ L.HasPointwiseLeftKanExtension F
a b c : Ordinal.{u}
⊢ a + b ≤ a ♯ b
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFactor K ≠ 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedCommRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : 𝕜₂
x✝ : E
⊢ (p.comp (c • f)) x✝ = (‖c‖₊ • p.comp f) x✝
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
⊢ q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
⊢ Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
a b : Nat
hnlt : ¬a < b
⊢ a = b ∨ b < a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousOn f s
hg : UpperSemicontinuousOn g s
hcont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun z => f z + g z) s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = (μ t).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts D
A : C
∀ (B : C), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprodComparisonNatIso F A).inv =
  (CategoryTheory.asIso { app := fun B => CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B, naturality := ⋯ }).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
α : Type u_2
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.dens = ↑s.card / ↑(Fintype.card α)
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ↑(PiTensorProduct.mapL f) = PiTensorProduct.map fun i => ↑(f i)
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
g : ι → ℝ
a : ℝ
hg : HasSum g a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖ ≤ a
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f g).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.map f) (self.map₂ η))
      (self.mapComp f h).inv)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
⊢ (φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree ≠ 0
m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Nat.Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
⊢ m.Coprime n
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0
⊢ Tendsto Complex.ofReal' (𝓟 {x}ᶜ) (𝓟 {↑x}ᶜ)
R : Type u
Semiring R
r : R → R → Prop
StarRing R
hr : ∀ (a b : R), r a b → r (star a) (star b)
a : R
⊢ RingQuot.star' r hr { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) (star a) }
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
⊢ ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : F₁ ≅ F₂
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F₁.IsContinuous J K
⊢ F₂.IsContinuous J K
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! x, b + (Equiv.neg ℤ) x • a ∈ Ico c (c + a)
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ 1 ≤ n
α : Type u_1
LinearOrder α
a c : α
⊢ c ∉ Set.Ici a ↔ c < a
F : Type u
Field F
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n - 1).Separable ↔ ↑n ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → ℝ
p : ι → P
h₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
h₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0
⊢ RCLike.re ⟪(s.weightedVSub p) (w₁ - w₂), (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s, ∑ i₂ ∈ s, (w₁ - w₂) i₁ * (w₁ - w₂) i₂ * (dist (p i₁) (p i₂) * dist (p i₁) (p i₂))) / 2
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
p₄ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ (∡ p₂ p₄ p₃).sign = (∡ p₁ p₄ p₃).sign
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
n : ℤ
ha : 1 ≤ a
hn : 0 ≤ n
⊢ 1 ≤ a ^ n
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f : E'' → F''
s : Set E''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : n ≠ 0
⊢ f x₀ = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b
⊢ a ⊔ b ≈ b
b : Ordinal.{u_1}
o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
⊢ o / b ^ Ordinal.log b o < b
α : Type u
self : SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
⊢ cfc f 0 = (algebraMap R A) (f 0)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : dist t 0 < 1
⊢ ‖t‖ < 1
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
Γ' : Type u_5
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
NonAssocSemiring R
f : Γ ↪o Γ'
hf : f 0 = 0
⊢ HahnSeries.embDomain f 1 = 1
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
q₁ : ℚ
h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num
hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)
hd₂ : m ∣ q₁.num * ↑q₂.den - q₂.num * ↑q₁.den
hm₀ : ↑m ≠ 0
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
f g : K[X]
hg : g ≠ 0
⊢ RatFunc.mk f g = IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩
x y : ℂ
⊢ SameRay ℝ x y ↔ (x / y).arg = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.hom.app X).hom₁ = 𝟙 X.obj₁
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
⊢ (X - C x) ^ rootMultiplicity x p * (X - C x) ^ rootMultiplicity x q ∣ p * q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : T2Space β
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
f g : α →ᵤ[𝔖] β
hfg : f ≠ g
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
⊢ abs (cexp x - 1) = abs (cexp x - ∑ m ∈ range 1, x ^ m / ↑m.factorial)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α γ
x : α
he : x ∈ e.source
he' : x ∈ e'.source
⊢ ↑e x ∈ ↑e.symm.symm.symm ⁻¹' e'.source
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ μ ⊗ₘ (κ + η) = μ ⊗ₘ κ + μ ⊗ₘ η
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
⊢ Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})))
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s)
n : ℕ
⊢ n ∉ Multiset.range n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ -φ₂.τ₁ + -(S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀) = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + -φ₂.τ₁
G : Type u_1
AddGroup G
Finite G
x : G
⊢ ↑(AddSubmonoid.multiples x) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : AddLocalization S → Prop
x : AddLocalization S
H : ∀ (y : M × ↥S), p (AddLocalization.mk y.1 y.2)
⊢ p x
m : Num
n : ℕ
⊢ m.testBit n = (↑m).testBit n
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
F₁ F₂ : FreeNonUnitalNonAssocAlgebra R X →ₙₐ[R] A
h : ∀ (x : X), F₁ (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R x) = F₂ (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R x)
⊢ F₁ = F₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ convexBodySumFun (c • x) = |c| * convexBodySumFun x
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
a : α
⊢ (Equiv.ofInjective f hf) a = ⟨f a, ⋯⟩
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, J⁆ = ⁅J, I⁆
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.NoAtoms μ
x : α
⊢ μ {x} = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N.incl.range = N
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
e : ι ≃ ι₂
⊢ (↑(PiTensorProduct.reindex R s e)).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R) =
  (MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv' R R s (PiTensorProduct R fun i => s (e.symm i)) e).symm
    (PiTensorProduct.tprod R)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : Fin n → E
⊢ o.volumeForm (⇑φ ∘ x) = o.volumeForm x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (f * g) s x
b : ℂ
ι : Type u_2
Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ ∫ (v : EuclideanSpace ℝ ι), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) =
  (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : p • ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
⊢ ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 ∈ adjoin A {x}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
s : Set ι
⊢ b i ∈ span R (⇑b '' s) ↔ i ∈ s
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ a ∈ 0, p a
⊢ Multiset.pmap f 0 h = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b + c) = toIocMod hp (a - c) b + c
a b c d n : ℤ
hmn : 0 ∣ n
⊢ n / 0 ∣ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
X : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((F.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).hom.app X).app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.val.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X_1))))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : AddSubmonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ S ≤ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.map f S)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
⊢ ∀ {a b : ℕ}, { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ IsLUB {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} (homogeneousCore' 𝒜 I)
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
⊢ ∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' ↑s')), ↑r • x ∈ M'
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => min (f x) (g x)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : ι → Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor (C i) D
i : I
X Y : C i
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Sigma.desc F).map (CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk f) = (F i).map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
h : IsEmpty ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ ∀ (i : ι), f i < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
m n a b c d : ℕ
h : b ≤ a
⊢ ↑(a - b) ∣ ↑a - ↑b
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
P Q : ChainComplex V ℕ
zero : P.X 0 ⟶ Q.X 0
one : P.X 1 ⟶ Q.X 1
one_zero_comm : one ≫ Q.d 1 0 = P.d 1 0 ≫ zero
succ :
  (n : ℕ) →
    (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f' ≫ Q.d (n + 1) n = P.d (n + 1) n ≫ f) →
      (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' f'' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst
⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f 0 = zero
p n k b : ℕ
hp : Nat.Prime p
hnb : Nat.log p (n + k) < b
⊢ multiplicity p ((n + k).choose k) = ↑(Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Finset.Ico 1 b)).card
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
⊢ range B ⊆ C