ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddZeroClass M
MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H :
  ∀ (x : α),
    f.comp (AddMonoidHom.toMultiplicative (Finsupp.singleAddHom x)) =
      g.comp (AddMonoidHom.toMultiplicative (Finsupp.singleAddHom x))
⊢ f = g
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
⊢ VanishesTrivially R m n
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ
⊢ ∀ (a_1 : σ →₀ ℕ), coeff a_1 (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ a_1.support ↔ coeff a_1 φ ≠ 0 ∧ i ∈ a_1.support
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
x : (i : ι) → φ i
⊢ ({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f i => f ∘ₗ single i) f)) x = f x
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ (b ∆ c) = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c) ⊔ c \ (a ⊔ b) ⊔ a ⊓ b ⊓ c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
v : F
s : Set E
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => v) s
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Iio 0) Real.log
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
a : α
l₁ l₂ : List α
h : Lex r l₁ l₂
⊢ Lex r l₁ l₂
α : Type u
f : Filter α
s✝ t s : Set α
⊢ s ∈ f ↔ s ∈ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
hc : Differentiable 𝕜 f
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => Complex.exp (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
⊢ IsSeparable (range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a • b₁ < a • b₂ ↔ b₁ < b₂
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
⊢ IsUnit ((X.presheaf.Γgerm x) r)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))
⊢ o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + x) x = ↑(Real.arctan r)
α : Type u
Lattice α
a b c : α
⊢ a ⊓ b ⊔ a ⊓ c ≤ a ⊓ (b ⊔ c)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
s : Setoid M
self : L.Prestructure s
n : ℕ
f : L.Functions n
x y : Fin n → M
⊢ x ≈ y → FirstOrder.Language.Structure.funMap f x ≈ FirstOrder.Language.Structure.funMap f y
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (n • x) = NormedSpace.exp 𝕂 x ^ n
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a / b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F✝
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
F G : C ⥤ C
α : F ⟶ G
X✝ Y✝ : Coalgebra F
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) X✝).str ≫ G.map f.f = f.f ≫ ((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) Y✝).str
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
H : IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing S
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrder ι
CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) =
  ∏ i ∈ s, f i +
    ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => i < j) s, f j
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
a : α
b : β
⊢ {a} • {b} = {a • b}
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : ℕ
x✝ : n
i✝ : l
j✝ : m
⊢ (MulOpposite.op ↑b • A) i✝ j✝ = (b • A) i✝ j✝
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ 0 < a ∧ a ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
x : X
⊢ 𝓝 x ≤ 𝓝ˢ s ↔ x ∈ s
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M
⊢ ⇑c.mk' = Con.toQuotient
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.inverse C).obj T =
  Opposite.op
    (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk T.mor₂.unop T.mor₁.unop
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T.obj₁).unop
        ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₃.unop)))
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.erase a).diff l₂
α : Type u_1
x : Part α
⊢ x.bind Part.some = x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : (affineSpan k ↑s).direction < (affineSpan k ↑t).direction
⊢ s.card < t.card
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (uniformity α).HasBasis p s
⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in uniformity β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
H : IsOpenMap f
⊢ IsOpenMap (s.restrictPreimage f)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ ψ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap (φ - ψ) i = HomologicalComplex.homologyMap φ i - HomologicalComplex.homologyMap ψ i
L : FirstOrder.Language
⊢ Cardinal.mk ((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) ≤ max Cardinal.aleph0 L.card
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = ↑(d.symm ⟨1, ⋯⟩)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i : Ordinal.{u}
hi hj : i < o
hij : i ≤ i
⊢ f i hi ≤ f i hj
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ‖x ^ y‖₊ = ‖x‖₊ ^ y
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
m : (i : ι) → E i
hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε
⊢ ∏ _x : ι, ε / ‖c‖ ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  self.P T.obj₁ → self.P T.obj₃ → CategoryTheory.isoClosure self.P T.obj₂
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i < j
⊢ 0 < i.dist j
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝³ : Group H
M : Type x
inst✝² : Monoid M
I : Type w
inst✝¹ : Group I
f : G →* H
inst✝ : f.range.Normal
g : H →* I
h : (mk' f.range).comp g.ker.subtype = 1
x : H
hx : x ∈ g.ker
⊢ ↑x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v w : E
⊢ ⟪B♯ v, w⟫_𝕜 = (B v) w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0
e : cokernel γ ≅ Abelian.coimage S.g := (colimit.isColimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0)).coconePointUniqueUpToIso S.cokernelToAbelianCoimageIsCokernel
⊢ S.RightHomologyData
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ R.X P.X S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft = R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop
⊢ (x + y).leadingCoeff = y.leadingCoeff
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
b : β
⊢ ∑ x ∈ s, Function.update f i b x = b + ∑ x ∈ s \ {i}, f x
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ¬single i (p ^ (n - i)) = 0
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : 2 < p
h : ↑2 = 0
this✝ : p ∣ 2
this : p ≤ 2
⊢ False
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Set.Ioc a₁ b₁ ∩ Set.Ioc a₂ b₂ = Set.Ioc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
C D : Type u₁
CategoryTheory.SmallCategory C
CategoryTheory.SmallCategory D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
⊢ CategoryTheory.RepresentablyFlat F ↔ CategoryTheory.RepresentablyFlat F.op.lan
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)
⊢ a ∈ stabilizer G a✝
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
⊢ l.minimum = none ↔ l = []
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g
⊢ ¬Summable fun b => g • f b
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (x + y * z) y
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ ∀ (b : Finset α) (x x_1 x_2 : α), G.Adj x x_1 → G.Adj x x_2 → G.Adj x_1 x_2 → b = {x, x_1, x_2} → (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
f : R → R
a : A
ha : ¬(p a ∧ ContinuousOn f (spectrum R a))
⊢ cfc f a = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : a * b = a0 * b0
⊢ a = a0 ∧ b = b0
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a * b
α : Type u_1
n : ℕ
Neg α
x : α
v : Fin n → α
⊢ -Matrix.vecCons x v = Matrix.vecCons (-x) (-v)
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f' : α → E' × F'
⊢ (fun x => (f' x).1) =O[l] f'
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.simple i = 1 * cs.simple i * 1⁻¹
F : PFunctor.{u}
Inhabited F.A
n : ℕ
⊢ PFunctor.Approx.Agree default default
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x
this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
a : α
as : a ∈ s
la : liminf u f < a
au : a < limsup u f
b : α
bs : b ∈ s
ab : a < b
bu : b < limsup u f
A : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a
B : ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n
⊢ False
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1)‼ = ∏ i ∈ Finset.range n, (2 * (i + 1) + 1)
α β : Type u
⊢ (α ⟶ β) = (α → β)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
Φ.HasRightResolutions
⊢ (Φ.functor.comp L₂).EssSurj
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
χ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (χ i)
as bs cs : (i : ι) → χ i
γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)
t : ↑I
i : ι
⊢ { toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (Path.pi γ₀).extend (2 * t) else (Path.pi γ₁).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } t i = (Path.pi fun i => { toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (γ₀ i).extend (2 * t) else (γ₁ i).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }) t i
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q
⊢ ∀ {i : ℕ} (m_1 : ↥(𝒜 i)), ↑m_1 • x ∈ carrier f_deg q
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ ((κ.singularPart η) a) univ = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
T1Space X
x : X
⊢ IsGδ {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
c : Continuous i
dense : ∀ (x : β), x ∈ closure (Set.range i)
H : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓝 (i a), ∀ (b : α), i b ∈ t → b ∈ s
⊢ DenseInducing i
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁.length < l₂.length
l : List α
p : l ~ l₁
s : l <+ l₂
⊢ ∃ a, a :: l₁ <+~ l₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
i : ℕ
m : M
⊢ (eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) ((single R i) m)) = p ^ i • (single R 0) m
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
⊢ liftIco p a f ↑x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
c : α
⊢ StrictAnti fun x => c * f x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ W.add P Q = addU P Q • ![1, 1, 0]
α : Type u_1
MulOneClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a * b < b ↔ a < 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
⊢ f ⁻¹ᵁ V = (Opens.map f.val.base).obj ((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
⊢ ∃ x_1, ↑x_1 ∈ zpowers x ∧ ↑x_1 = y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
ι : Sort u_1
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
hS' : ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
x : ↥(Submodule.map (↑e) p)
⊢ ↑((e.submoduleMap p).symm x) = e.symm ↑x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsUpperSet (f i j)
⊢ IsUpperSet (⋃ i, ⋃ j, f i j)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring R
⊢ Monotone fun t => s.prod t
ι : Type u
α : ι → Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → Preorder (β i)
l : (i : ι) → α i → β i
u : (i : ι) → β i → α i
gc : ∀ (i : ι), GaloisConnection (l i) (u i)
⊢ GaloisConnection (fun a i => l i (a i)) fun b i => u i (b i)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
α : Type u
NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
ι : Type u_1
α : Type u_3
A : ι → Type u_2
(i : ι) → SMul α (A i)
a : α
x : GradedMonoid A
⊢ (a • x).snd = a • x.snd
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Ici a ⊆ Set.Icc a b ∪ Set.Ici b
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol
⊢ BoxIntegral.integral I l (f - g) vol = BoxIntegral.integral I l f vol - BoxIntegral.integral I l g vol
f : Bool → Bool → Bool
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
mod_two_iff_bod : ∀ (x : ℕ), decide (x % 2 = 1) = x.bodd
⊢ (if f n.bodd m.bodd = true then bitwise f (n / 2) (m / 2) + bitwise f (n / 2) (m / 2) + 1 else bitwise f (n / 2) (m / 2) + bitwise f (n / 2) (m / 2)) = (if f n.bodd m.bodd = true then fun x => x + x + 1 else fun x => x + x) (bitwise f (n / 2) (m / 2))
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
⊢ (∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p) ↔
  ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ),
    D ((MvPolynomial.monomial s) 1 * MvPolynomial.X i) =
      (MvPolynomial.monomial s) 1 • D (MvPolynomial.X i) + MvPolynomial.X i • D ((MvPolynomial.monomial s) 1)
α : Type u_1
Preorder α
x : α
⊢ (LowerAdjoint.id α).toFun x = x
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableSMul₂ M α
⊢ Measurable (Function.uncurry fun x x_1 => x • x_1)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
w : f ≫ C.d 0 1 = 0
i : ℕ
⊢ (C.truncateAugment f w).inv.f i = 𝟙 ((CochainComplex.truncate.obj (C.augment f w)).X i)
α : Type u
LinearOrder α
a b c d : α
⊢ a ≤ c → b ≤ d → min a b ≤ min c d
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (y : β), ↑μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂↑ν).toNNReal
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
t : R
⊢ eval t (0 /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t 0) = (comp 0 (X + C t)).trailingCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.RightInvOn f' f t
hf : Set.SurjOn f' t s
⊢ Set.MapsTo f s t