ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id
⊢ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor N (Submodule.subtype I))
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι
⊢ IsOpen (Set.range (Sigma.mk i))
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
J : Type u₁'
f : J → C
g : I → J
X : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.functorComp f g).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (f (g X.as))
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
⊢ (χ.coeff i).natDegree < s.card
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R
⊢ b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) v) = v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
F G : CategoryTheory.Limits.ImageMap sq
⊢ F.map = G.map
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
c : Con M
s : Multiset ι
f g : ι → M
a✝ : List ι
h : ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝, c (f x) (g x)
⊢ c (Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r a✝)).prod (Multiset.map g (Quot.mk Setoid.r a✝)).prod
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
g : Y → Z
⊢ IsOpenMap (Sum.elim f g) ↔ IsOpenMap f ∧ IsOpenMap g
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s a
hR : ContDiffWithinAt ℝ n R s a
hx : ContDiffWithinAt ℝ n x s a
hne : x a ≠ c a
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s a
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
inst✝ : DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0
⊢ (map φ P).roots.toFinset.card = 3
χ : DirichletCharacter ℂ 0
⊢ χ ↑0 = δ 0
α : Type u_2
Sub α
s t : Set α
⊢ (s - t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ : Filter α
f : α × α → β
x : Filter α
y : Filter β
⊢ Tendsto f (x ×ˢ x) y ↔ ∀ W ∈ y, ∃ U ∈ x, ∀ (x x' : α), x ∈ U → x' ∈ U → f (x, x') ∈ W
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.type r).bsup (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f) = (Ordinal.type r').bsup (Ordinal.bfamilyOfFamily' r' f)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v₁ v₂ : Valuation R Γ₀
h : ∀ (r : R), v₁ r = v₂ r
⊢ v₁ = v₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ (𝓟 s).IsMeasurablyGenerated → MeasurableSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Mem.other h ∈ z
a : ℝ≥0
h : a ≠ 0
⊢ a / 2 < a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s t : Set α
hs : s ∈ 𝓝[t] x
t' : Set α
⊢ s \ t' ∈ 𝓝[t \ t'] x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.braiding P Q).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s
⊢ ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s
r : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ↑r < ↑n ↔ r < ↑n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
β : Type u_3
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
⊢ NumberField.house.ξ K x ≠ 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
m : Multiset α
⊢ m.multinomial = (Multiset.card m).choose (Multiset.count a m) * (Multiset.filter (fun x => a ≠ x) m).multinomial
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ (Metric.sphere x r).Nonempty ↔ 0 ≤ r
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ R.map f.left.hom ≫ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk f.hom.right)).hom = (CostructuredArrow.mk g).hom
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroupWithOne α
m : ℤ
x✝ : ℕ
ih : ∀ (n : ℤ), ↑(↑x✝ * n) = ↑x✝ • ↑n
⊢ ∀ (n : ℤ), ↑((↑x✝ + 1) * n) = (↑x✝ + 1) • ↑n
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (-f) ℱ μ
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
⊢ x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
⊢ b.IsLimit → (a + b).IsLimit
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
α : Type u_1
SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma \ mb ∈ a \ b
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
⊢ ((χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (↑(ringChar FF') ^ ↑n')
α : Type u_1
n : Type u_4
AddMonoid α
StarAddMonoid α
⊢ Matrix.IsHermitian 0
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ 1
⊢ x ≤ sin (π / 2 * x)
cs₁ cs₂ : List Char
⊢ cs₁.Sublist cs₂ → String.utf8Len cs₁ ≤ String.utf8Len cs₂
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
x : α
⊢ (stoneCechExtend hg ∘ stoneCechUnit) x = g x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Y''
g'' : X'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout f' g'
inst✝ : HasPushout f'' g''
e₁ : f ≫ i₂ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₁ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₂ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₁ ≫ g''
⊢ f ≫ i₂ ≫ j₂ = (i₁ ≫ j₁) ≫ f''
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
I_le_J : I ≤ J
⊢ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ⊆ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f
ι : Type u_1
Nonempty ι
Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall x r) =
  ENNReal.ofReal r ^ Fintype.card ι *
    ENNReal.ofReal (√Real.pi ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (↑(Fintype.card ι) / 2 + 1))
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hpq : q ∣ p
⊢ (↑↑(AdjoinRoot.algHomOfDvd hpq).toRingHom).toFun = ⇑(AdjoinRoot.liftHom p (AdjoinRoot.root q) ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
a✝ : α
ha : ↑↑0 a✝ = 0 a✝
⊢ (g ∘ ↑↑0) a✝ = 0 a✝
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Cofix F α)
⊢ (mk x).dest = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
x✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g
t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (s.ite (f ⁻¹' t) (g ⁻¹' t))
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ ↑((Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x) = (Algebra.trace ℚ K) ↑x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
⊢ Ioc (z x) x = Ioo (z x) (y x)
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
⊢ (a.feraseIdx i).size = a.size - 1
R : Type u
AddGroupWithOne R
n : ℤ
⊢ ↑(-n) = -↑n
α : Type u
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
⊢ s = Computation.empty α
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
Norm E
Norm F
Norm G
f : α → E
g : α → F
k : α → G
l : Filter α
hfg : f =o[l] g
hgk : ∀ (x : α), ‖g x‖ ≤ ‖k x‖
⊢ f =o[l] k
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
f : α →₀ M
CommSemiring R
g : α → M → ℕ
⊢ ↑(f.prod g) = f.prod fun a b => ↑(g a b)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ (s.altitude i).direction = (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
⊢ (a ≫ f) ≫ g = (b ≫ f) ≫ g
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
⊢ ↑(FractionalIdeal.spanSingleton S x) = Submodule.span R {x}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L✝ : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hK : (K.sc i).Exact
L : HomologicalComplex C c
e : K ≅ L
⊢ (L.sc i).Exact
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F
y : α
hy : y ∈ F
h2y : ⟨y, hy⟩ ∈ connectedComponent ⟨x, hx⟩
⊢ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F ↑⟨y, hy⟩
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ M.Basis J X ∧ I ⊆ J
R : Type u_1
Semiring R
p q : R[T;T⁻¹]
h : ∀ (a : ℤ), p a = q a
⊢ p = q
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ IsCompl x xᶜ
α : Type u
β : α → Type v
κ : Cardinal.{max u v}
hκ : (Cardinal.sum fun a => κ ^ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (β a))) ≤ κ
⊢ Cardinal.mk (WType β) ≤ κ
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Ici r)
G : Type u_1
Group G
⊢ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } = Nat.card (ConjClasses G) * Nat.card G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y ⊆ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0
⊢ ((range n).sup fun b => (P ^ b).degree) < (P ^ n).degree
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
(i : ι) → Zero (π i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Continuous fun x => Pi.single i x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (abc : α × β × γ), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ orderOf (a 1) = 2 * n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : i ≠ j
⊢ x = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p) = ⇑(Bundle.TotalSpace.toProd H E)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
_hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
⊢ f (p.coeff n) * f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * x ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w
⊢ Even (finrank k K)
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ b - a + a = b ↔ a ≤ b
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type v
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
x : s.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π F j (CategoryTheory.Limits.limit.lift F s x) = s.π.app j x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ (t : Set X), (∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)) → IsClosed t
⊢ RestrictGenTopology S
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn f g ∅
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
x✝¹ x✝ : ↑X
⊢ g (1 ⊗ₜ[R] (x✝¹ + x✝)) = g (1 ⊗ₜ[R] x✝¹) + g (1 ⊗ₜ[R] x✝)
α : Type u_2
Neg α
f : Filter α
f.NeBot
⊢ (-f).NeBot
α : Type u
s : Set α
LinearOrder α
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x < y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivAt (f i) (f' i) x
⊢ HasDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N
⊢ 0 < 2
α : Type u
Add α
x y : Multiplicative α
⊢ Multiplicative.toAdd (x * y) = Multiplicative.toAdd x + Multiplicative.toAdd y
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
q₁ q₂ : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
x✝¹ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₁
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₂
i₁ : ι
p₁ : (G i₁)[X]
ih₁ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ = q₁
i₂ : ι
p₂ : (G i₂)[X]
ih₂ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂ = q₂
i : ι
h1 : i₁ ≤ i
h2 : i₂ ≤ i
⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (Polynomial.map (f' i₁ i h1) p₁ + Polynomial.map (f' i₂ i h2) p₂) = q₁ + q₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
⊢ (A * B).card * (A * C).card + (A * B).card * A.card - (A * B).card * (A ∩ (A * C / {x})).card = (A * B).card * (A * C').card
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
⊢ Continuous (ToSpec.toFun f)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.Ψ (-n) = -W.Ψ n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
IsBezout R
⊢ IsBezout S
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveInv α
s : Finset α
⊢ ↑s⁻¹ = (↑s)⁻¹
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.inv f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support.card = 1 ↔ ∃ a, f a ≠ 0 ∧ f = Finsupp.single a (f a)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ Small.{u, max u v} (CategoryTheory.Limits.Types.Quot F)
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing (a - b) = ofBoolRing a ∆ ofBoolRing b
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.TypeMax.colimitCocone F).pt = CategoryTheory.Limits.Types.Quot F
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
x : α
⊢ max (↑φ x) (↑ψ x) ≤ max (↑φ x) (↑ψ x)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Monoid M
Monoid N
Monoid P
x : P
⊢ (Monoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P) (Monoid.Coprod.inr x) = Monoid.Coprod.inr (Monoid.Coprod.inr x)
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = q.toFun i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
f : E → 𝕜
hf1 : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
hf2 : ∀ ⦃c : 𝕜⦄ (x : E), 0 ≤ c → f (c • x) ≤ c * f x
B : 𝕜
⊢ Convex 𝕜 {x | f x ≤ B}
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
φ₁ φ₂ : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
h : ∀ (x : G), φ₁ (MonoidAlgebra.single x 1) = φ₂ (MonoidAlgebra.single x 1)
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ I.IsBoundaryPoint x ↔ ↑(extChartAt I x) x ∈ frontier (Set.range ↑I)
N n : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun k => k ≠ 0 ∧ n ∣ k) (Finset.range N.succ)).card = N / n
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
IsEmpty α
⊢ ⇑OrderEmbedding.ofIsEmpty = fun a => isEmptyElim a
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ normalizedFactors (x * y) = normalizedFactors x + normalizedFactors y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : x + y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ x + t • y ∈ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)
⊢ StronglyMeasurable f
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b ∪ Set.Icc b a