ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X : C
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Subobject (Opposite.op X)),
  (CategoryTheory.Limits.kernelOrderHom X) a =
    CategoryTheory.Subobject.lift (fun A f x => CategoryTheory.Subobject.mk (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f.unop)) ⋯ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ sq₃ : CategoryTheory.Square C
f : sq₁.Hom sq₂
g : sq₂.Hom sq₃
⊢ (f.comp g).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₃ g.τ₃
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : (Matrix n n α)ˣ
⊢ IsUnit (↑A).det
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
⊢ ωSup (approxChain f) ≤ X
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
h3 : 3 ≤ Fintype.card α
⊢ Nontrivial ↥(alternatingGroup α)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ |RCLike.re z / ‖z‖| ≤ 1
P : ℝ → Prop
x₀ r : ℝ
hr : 1 < r
hx₀ : 0 < x₀
base : ∀ x ∈ Set.Ico x₀ (r * x₀), P x
step : ∀ n ≥ 1, (∀ z ∈ Set.Ico x₀ (r ^ n * x₀), P z) → ∀ z ∈ Set.Ico (r ^ n * x₀) (r ^ (n + 1) * x₀), P z
x : ℝ
⊢ x ≥ x₀ → P x
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
as : Array α
f : α → m β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f as[i])
⊢ SatisfiesM (fun arr => motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (mapM f as)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ (¬∀ C > 0, ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < C) ↔ ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
hX : (Ideal.span {X}).IsMaximal
⊢ LocalRing.maximalIdeal k⟦X⟧ = Ideal.span {X}
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : f.val.base x ∈ U
y : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base x, hx⟩) y) =
  (X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩) ((f.val.c.app (Opposite.op U)) y)
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.tan (↑n * ↑Real.pi - x) = -Complex.tan x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
c : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) c
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
hpc : ↑p ^ 2 ∣ c
⊢ False
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
⊢ Zspan.fract b (Zspan.fract b m) = Zspan.fract b m
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOpEquiv.unitIso.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one =
  CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) × α i → Prop
⊢ (∃ x ∈ s.sigma t, p x) ↔ ∃ i ∈ s, ∃ a ∈ t i, p ⟨i, a⟩
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
b : G
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / b) l (𝓝 (c / b))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set β
hι : Nonempty ι
⊢ s ×ˢ ⋂ i, t i = ⋂ i, s ×ˢ t i
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
χ : LieAlgebra.LieCharacter R L
x y : L
⊢ χ ⁅x, y⁆ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ a₂ : α
⊢ Finset.Ioo (Sum.inlₗ a₁) (Sum.inlₗ a₂) = Finset.map (Function.Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Ioo a₁ a₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
K : ℕ∞
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
⊢ Convex 𝕜 ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ (x - y) ^ p
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X ≃ₜ Y
g : Y ≃ₜ Z
z : Z
⊢ (f.trans g).symm z = f.symm (g.symm z)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
hq : q ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) q = 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r
⊢ hausdorffEdist s t ≤ r
n : ℕ
⊢ Finset.image Prod.fst n.divisorsAntidiagonal = n.divisors
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V : FDRep k G
⊢ V.character 1 = ↑(finrank k (CoeSort.coe V))
α : Type u
β : Type v
Add α
AddZeroClass β
f : AddHom α β
x : α
⊢ (WithZero.lift f) ↑x = f x
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : β → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
A : C
f : (i : β) → F i ⟶ A
i : β
⊢ c.inj i ≫ CategoryTheory.Limits.Cofan.IsColimit.desc hc f = f i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂ ↔ (∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ s.pi t₁ = ∅
n : ℕ
⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.baseChange A LinearMap.id = LinearMap.id
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s.card ≤ 1 ↔ Subsingleton { x // x ∈ s }
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ LinearMap.range (fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Full
X Y : C
f : F.obj X ⟶ F.obj Y
⊢ F.map (F.preimage f) = f
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
f g : ι → M₀
⊢ Function.support (f * g) = Function.support f ∩ Function.support g
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g
⊢ ⨆ n, f n ≤ ⨆ n, g n
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ * Equiv.swap i j = σ ↔ i = j
a b c d : Prop
h₁ : a ↔ c
h₂ : c → (b ↔ d)
⊢ a → b ↔ c → d
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : R
hU : U ∈ unitary R
⊢ star U * U = 1
α : Type u
p : Multiplicative α → Prop
⊢ (∀ (a : Multiplicative α), p a) ↔ ∀ (a : α), p (Multiplicative.ofAdd a)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity k (𝓞 K) ↔ ζ = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid Y
Module R Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y) (a_1 : X), (LocallyConstant.coeFnₗ R) a a_1 = a a_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : l.Germ β
lc : Filter γ
g : γ → α
hf : f.IsConstant
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ (f.compTendsto g hg).IsConstant
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
⊢ Function.Injective Submodule.toAddSubgroup
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : QuotientMap f
⊢ Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
α : Type u_1
I B✝ X E : Set α
Base : Set α → Prop
base_exchange : ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
B : Set α
hB : Base B
hfin : B.Finite
⊢ ∀ X ⊆ E, ExistsMaximalSubsetProperty (fun x => ∃ B, Base B ∧ x ⊆ B) X
α : Type u_1
z : α × α
⊢ (Sym2.mk z).IsDiag ↔ z.1 = z.2
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ spanningSets μ n)
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
⊢ a ⊓ b ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.castSucc ≤ b.castSucc ↔ a ≤ b
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
n : ℕ
⊢ (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ ((p + q).natDegree - n + (p.natDegree - (p + q).natDegree)) = (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ (p.natDegree - n)
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a
⊢ IsRightRegular (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (0 a) ∂μ < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α), edist (g a) (0 a) ∂μ < ⊤
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
⊢ f ↑n = ↑n
R : Type u_1
Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ p ^ n =
  x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 (p ^ n), x ^ k * y ^ (p ^ n - k) * ↑((p ^ n).choose k / p)
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
x✝ : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑z, im := ↑w } * { re := ↑x, im := -↑y }).Nonneg
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
h : ∀ i < n, x.coeff i = 0
⊢ x = (⇑WittVector.verschiebung)^[n] (x.shift n)
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
⊢ Finite (IntermediateField F E)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ∧ CategoryTheory.Epi S.g ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieRingModule L P
f : N →ₗ⁅R,L⁆ P
g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ↑(f.comp g) = ↑f ∘ₗ ↑g
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α
⊢ s ⊂ ht.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
h : integral μ (A.indicator 1 ∘ f * B.indicator 1 ∘ g) = integral μ (A.indicator 1 ∘ f) * integral μ (B.indicator 1 ∘ g)
⊢ μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B) ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.simplicialCosimplicialEquiv C).unitIso.inv.app X = (Opposite.unop X).rightOpLeftOpIso.inv.op
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
  (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
x : R
⊢ abv x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
ι η : Type x
Semiring R
s : ι → η
f : ι → R
⊢ ∀ (a : η), (Function.ExtendByZero.linearMap R s) f a = Function.extend s f 0 a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ ∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiff ℝ n f
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Real.sin (f x)
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0
⊢ m + (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s
y : ↑s
hyt : y ∈ t
hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)
⊢ U ↑y ⋯ ∈ 𝓝 x
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S q.succ
HS₁ : insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q)) ⊆ S
⊢ Supports (insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q))) S
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : p a ≠ 0
⊢ D a ≤ supDegree D p
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇨ b ⇨ c = b ⇨ a ⇨ c
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op V ⟶ op V'
⊢ f.appLE U V e ≫ X.presheaf.map i = f.appLE U V' ⋯
K : Type u_2
Field K
φ ψ : K →+* ℂ
⊢ NumberField.InfinitePlace.mk φ = NumberField.InfinitePlace.mk ψ ↔ φ = ψ ∨ NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ = ψ
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s + t).sup f = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => f (x + x_1)
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(↑n * x) = n • ↑x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable f (MeasureTheory.Measure.sum μ) ↔ ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
α : Type u_1
GroupWithZero α
a : αˣ
⊢ ↑(unitsEquivNeZero a) = ↑a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝⁶ b✝ : 𝕜
x : E
a✝⁵ : x ∈ univ
y : E
a✝⁴ : y ∈ univ
a✝³ : x ≠ y
a b : 𝕜
a✝² : 0 < a
a✝¹ : 0 < b
a✝ : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior univ
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ Filter.cocompact X ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
α : Type u
G : Type u_1
Group G
f g : FreeGroup α →* G
h : ∀ (a : α), f (FreeGroup.of a) = g (FreeGroup.of a)
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
n d : Int
⊢ -(n /. d) = -n /. d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h : {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x} ∈ l
⊢ Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.whiskeringEquivalence e).functor = CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.functor
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩
⊢ Γ(X, ↑U) ≅ Γ(Y, ↑V)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f g : β → α
hg : Summable g
hfg : Summable fun b => f b - g b
⊢ Summable f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯
hnd : mk' K n d = k
hn0 : n ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = I
α : Type u_1
xs : List α
ns : List Nat
⊢ xs.takeList ns = xs.takeListTR ns
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
f : F
s : Set M₂
⊢ span R (⇑f ⁻¹' s) ≤ comap f (span R₂ s)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).degree = n • p.degree
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ SimplyConnectedSpace X ↔ Nonempty (FundamentalGroupoid X ≌ CategoryTheory.Discrete Unit)
α β : Type u
f : α → β
s : Set β
h : Function.Injective f
h2 : s ⊆ Set.range f
⊢ Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' s) = Cardinal.mk ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1 ^ k
⊢ ‖ξ‖ < 1
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n k : ℕ
⊢ ((X + 1) ^ n).coeff k = ↑(n.choose k)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis' I X
⊢ M.Basis I (M.closure X)
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = Submonoid.closure (Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inl) ∪ Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inr))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
⊢ (CategoryTheory.NatIso.hcomp α β).hom = α.hom ◫ β.hom
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝¹ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this✝ : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h
⊢ ‖q‖ ≤ 1
m n : Num
⊢ m ∣ n ↔ n % m = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
⊢ ⊥.jacobson ≤ J
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
⊢ (∃ x h, ¬P x h) → ¬∀ (x : α) (h : p x), P x h
α β : Type u
f : FreeAbelianGroup (α → β)
⊢ (Seq.seq f fun x => 0) = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ (∀ y ∈ H, ⁅y, x⁆ ∈ H) ↔ ∀ y ∈ H, ⁅x, y⁆ ∈ H