ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M
hM : 0 ≤ M
h1 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r ^ 2
h2 : ‖∮ (z_1 : ℂ) in C(z, r), ((z_1 - z) ^ 2)⁻¹ • f z_1‖ ≤ 2 * π * r * (M / r ^ 2)
⊢ ‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ * ‖∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (-b) = p - toIocMod hp (-a) b
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).head = Computation.pure (some a)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
hx : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
⊢ (X.presheaf.germ ⟨↑x, ⋯⟩) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) = (X.presheaf.germ x) f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
⊢ l.get ⟨0, ⋯⟩ ∈ l.formPerm.support
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
hs : IsOpen ∅
⊢ ∃ f, support f = ∅ ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
⊢ (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ = s.min' ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y} (f : X_1 ⟶ Y_1),
  (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.toBiconeFunctor.map f).hom = f.hom
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ MulAction.period m a ∣ orderOf m
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : Basis.SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
i : ι
hi : i ∉ Set.range ⇑snf.f
⊢ (snf.bM.repr ↑m) i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : α →₀ M
⊢ equivMapDomain e.symm (equivMapDomain e v) = v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α → α × β)
hs : s ∈ map (fun b a => (a, b)) g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ s.seq t ∈ (map Prod.mk f).seq g
K : Type u
Field K
L : Type u_1
S : Type u_2
Field L
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S L
φ : K[X] →ₐ[S] L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K
⊢ (RatFunc.liftAlgHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
s : Set E
⊢ closure (0 • s) = 0 • closure s
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hXI : X ⊆ M.closure I
⊢ M.Basis I X
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : Filter α
⊢ Cauchy f ↔ f.NeBot ∧ ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, edist x y < ε
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : E
⊢ IsPurelyInseparable F ↥F⟮x⟯ ↔ (minpoly F x).natSepDegree = 1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h𝒜 : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜
⊢ MeasureTheory.IsSetRing 𝒜
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Set (Finset α)
h𝒜 : 𝒜.Intersecting
s t : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
ht : t ∈ 𝒜
⊢ ∃ a ∈ s, a ∈ t
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.trans e e⁻¹ = 1
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
⊢ IsClopenable s ↔ MeasurableSet s
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j % (4 * n) + 4 * n * (j / (4 * n))) ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
⊢ IsClosed ↑⊥.direction ↔ IsClosed ↑⊥
α : Type u
a : α
l : List α
n : Nat
⊢ (a :: l).get? (n + 1) = l.get? n
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
⊢ mk x.dest = x
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≈ y → y ≈ x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝ : v \ u = v
this : x ∉ u
hus : u ⊆ s
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
⊢ (¬∀ f ∈ I, f x = 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (wittStructureInt p Φ n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OrderDual.ofDual (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.p h.opcyclesIso.inv = S.pOpcycles
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R
x✝ : σ
⊢ comap (rename f) x x✝ = (x ∘ f) x✝
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
S : Type u_7
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
TopologicalSpace S
A : X → Matrix m n S
f : S → R
hA : Continuous A
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => (A x).map f
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
n : ℕ
⊢ n • a < n • b → a < b
R : Type u_10
V : Type u_11
P : Type u_12
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AffineSpace V P
p : P
t : Rˣ
⊢ ⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom p) t).symm = ⇑(AffineMap.homothety p ↑t⁻¹)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
⊢ ∑ i ∈ s, w i = 1 →
  ∑ i ∈ s, w₁ i = 1 →
    ∑ i ∈ s, w₂ i = 1 →
      ((Finset.affineCombination k s p) w ∈
          affineSpan k {(Finset.affineCombination k s p) w₁, (Finset.affineCombination k s p) w₂} ↔
        ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i)
X Y : AddMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ AddMonCat.uliftFunctor.map f =
  AddMonCat.ofHom (AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (AddMonoidHom.comp f AddEquiv.ulift.toAddMonoidHom))
a b c : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
bc : b < c
⊢ a * b < a * c
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
h01 : s.points 0 ≠ s.points 1
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
LocalRing R
x : R
⊢ x ∈ LocalRing.maximalIdeal R ↔ x ∈ nonunits R
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
⊢ x ∈ span R (insert y s) ↔ ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f g : P ⟶ Q
h : ∀ (X : C) (p : yoneda.obj X ⟶ P), p ≫ f = p ≫ g
X : Cᵒᵖ
x : P.obj X
⊢ f.app X x = g.app X x
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
hIX : I ⊆ X
⊢ M.Basis I X ↔ M.Basis I (M.closure X) ∧ X ⊆ M.E
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeMagma α
⊢ FreeMagma.toFreeSemigroup ((FreeMagma.map f) x) = (FreeSemigroup.map f) (FreeMagma.toFreeSemigroup x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
e : ι → β
he : Function.Injective e
f : ι → α
⊢ ⨆ j, Function.extend e f ⊥ j = ⨆ i, f i
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
f : α ≃o β
b : β
⊢ b ∈ (LowerSet.map f) s ↔ f.symm b ∈ s
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star (x + d) = star x + p
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ✝
μ✝ μ' : Measure α✝
ν✝ ν' : Measure β✝
τ✝ : Measure γ✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
μ : Measure α
ν : Measure β
τ : Measure γ
hf : Measurable f
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
h2f : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, QuasiMeasurePreserving (fun x => f (x, y)) μ τ
⊢ QuasiMeasurePreserving f (map Prod.swap (ν.prod μ)) τ
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ a < Order.succ a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E
⊢ p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
h₁ : x < y
h₂ : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
l : List α
⊢ l ∈ s.lists ↔ s = ⟦l⟧
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv M.charmatrix).coeff k i j = (X - C M).coeff k i j
f : CircleDeg1Liftˣ
⊢ ⇑(CircleDeg1Lift.toOrderIso f)⁻¹ = ⇑↑f⁻¹
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ Prime X
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X
⊢ inv (invApp f U) = f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n
⊢ |a - b| < n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝
⊢ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = ((presheafToSheaf J D).map (whiskerRight f.val G)).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m
ho : HasProd (fun k => f (2 * k + 1)) m'
⊢ HasProd f (m * m')
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.outerMeasure ↑U'
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
this : ContinuousOn f (Ioo b a) → Tendsto f (𝓝[>] b) (𝓝 lb) → ContinuousOn (extendFrom (Ioo b a) f) (Ico b a)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ioc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ iSup f * a = ⨆ i, f i * a
α : Type u
Ring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i = if Even n then 0 else 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ∆ c = a ∆ (b ∆ c)
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ht : μ t = 0
⊢ s \ t =ᵐ[μ] s
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
⊢ ((Polynomial.X ^ p ^ n - Polynomial.C y) ^ m).roots = (m * p ^ n) • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ (s ×ˢ t).Finite
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K
⊢ Tendsto (⇑v) (𝓝 x) (𝓝 (v x))
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ
⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.snd (decode n))
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun b => (f b)⁻¹
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
m : Set (MeasureTheory.Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_3
Sup α
⊢ SupHom.dual.symm (InfHom.id αᵒᵈ) = SupHom.id α
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : 2 ≤ n
hx : 0 < x
npos : 0 < ↑n - 1
c : (f ↑n - f (↑n - 1)) / (↑n - (↑n - 1)) ≤ (f (↑n + x) - f ↑n) / (↑n + x - ↑n)
⊢ f ↑n + x * log (↑n - 1) ≤ f (↑n + x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ a - b = a + b
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
A : Matrix m m α
e : l → m
⊢ (A.submatrix e e).diag = A.diag ∘ e
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hpq : ∀ (x : α), p x → q x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L
⊢ ↑(sSup S) = sSup {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}
X : Type u_1
ι : Sort u_3
TopologicalSpace X
BaireSpace X
Countable ι
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i, f i
⊢ Dense (⋃ i, interior (f i))
α : Type u
SemilatticeSup α
OrderTop α
a : α
⊢ a ⊔ ⊤ = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsSuccLimit a
b : α
hb : ¬IsMax b ∧ succ b = a
⊢ a ∈ range succ
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : PLift ι → Set α
⊢ ⋂ i, f { down := i } = ⋂ i, f i
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s) = Finset.filter p s
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : CategoryTheory.GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap
    p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F I J).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap
    p
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj X)) φ)
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).hom φ
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n) = C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n)
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
m n : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
j : Fin n
hj : i.succAbove j ≠ i
⊢ (finSuccEquiv' i) (i.succAbove j) = some ((i.castLT ⋯).predAbove (i.succAbove j))
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
⊢ Continuous (ContinuousMap.toNNReal ∘ _root_.toContinuousMap)
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
j : Fin 2
⊢ IsCoprime (↑A 0 j) (↑A 1 j)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : (y : β) × { x // f x = y }
⊢ (Equiv.sigmaPreimageEquiv f) x = ↑x.snd
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ s ⊆ s ⊼ s
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋃ i ∈ s, g i
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Function.Injective f
⊢ LinearIndependent R (v ∘ f)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
⊢ Submodule.restrictScalars R (Ideal.map Algebra.TensorProduct.includeRight I) =
  LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x
⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ (!decide (x.isRight = x.isLeft)) = true
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
⊢ ((hasseDeriv n) p).natDegree = p.natDegree - n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
x : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : α✝¹
j : β✝
⊢ ⟦a✝³ i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = -⟦a✝³ i * -mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieModuleHom.id.ker = ⊥
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
h : (f.prodMap g x).Dom
⊢ (f.prodMap g x).get h = ((f x.1).get ⋯, (g x.2).get ⋯)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ Y - (2 * Y + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃))) = -Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃))
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₂.length ≤ l₁.length
⊢ (l₂.zip l₁).unzip.swap.2 = l₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
y : F
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => f (x, y)
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ o.bsup f ≤ a ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h ≤ a
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
p.IsHomLift f φ.hom
⊢ (CategoryTheory.IsHomLift.isoOfIsoLift p f φ).inv ≫ f = 𝟙 S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
self : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (self.toFun x)
α : Type u_2
s : Set α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ x, s = {x}
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ BddAbove (Set.Ioo a b)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
hf : Summable fun a => ‖f a‖
⊢ CauchySeq fun s => ∑ a ∈ s, f a