ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ⟪u t - x, T (y - T x)⟫_𝕜) Filter.atTop (nhds ⟪0, T (y - T x)⟫_𝕜)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.rtakeWhile p l <:+ l
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s t : Set β
a : α
⊢ Disjoint (a • s) (a • t) ↔ Disjoint s t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ (reflection Kᗮ) v = -(reflection K) v
α : Type u_1
Inv α
Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm x⁻¹ = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback g.right (fun x => g.left) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mapAugmentedCechNerve F).right = F.right
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
TopologicalAddGroup N
m : ι → M
⊢ (-f) m = -f m
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅I, N⁆ = ((LieModule.toModuleHom R L M).comp (TensorProduct.LieModule.mapIncl I N)).range
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ c₂ -ᵥ c₁ ∈ (perpBisector p₁ p₂).direction
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteWidePullbacks C
Γ : Type u_1
i : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ
l₁ l₂ : List Γ
H : ∀ (i_1 : ℕ), (mk l₁).nth i_1 = (mk l₂).nth i_1
h : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ mk l₁ = mk l₂
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m N₂
x : M₁
y : M₂
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, (b₁.repr x) i •> (b₂.repr y) j •> M i j
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ 0 < addOrderOf x ↔ IsOfFinAddOrder x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
⊢ ∀ (x : α), x ∈ {x | p x} ↔ p x
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ sInf (s \ {⊤}) = sInf s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ
⊢ ‖↑x‖⁻¹ • ↑x ∈ sphere 0 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
a : α
⊢ a ∈ s.inf f ↔ ∀ i ∈ s, a ∈ f i
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorization + b.factorization = a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
m : (colimitCocone X).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : C), (colimitCocone X).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ ∀ (x : (colimitCocone X).pt), m x = (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s x
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y Z X X' : C
f : X ⟶ X'
⊢ f = (λ_ X).inv ≫ 𝟙_ C ◁ f ≫ (λ_ X').hom
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
p : OverArrows η s
⊢ η.app (op (unop (op X))) p.val = yonedaEquiv s
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
a : α
⊢ Submodule.span R (Finsupp.single a '' s) = Submodule.map (Finsupp.lsingle a) (Submodule.span R s)
R : Type u_4
Ring R
k : ℤ
⊢ ↑k ∈ AddSubgroup.zmultiples 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
I : Set β
⊢ (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
him : AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_2
Mul α
g : Filter α
a : α
⊢ pure a * g = Filter.map (fun x => a * x) g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂) n (fun x => (g x) (f x)) s x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl x y
hle : a ≤ b ⊔ y
⊢ b ⊓ x ⊔ y ⊓ x = b ⊓ x
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
OrderBot β
f : InfHom α β
a : WithBot α
⊢ f.withBot' a = Option.elim a ⊥ ⇑f
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
s : Set α
h : ∀ (t : τ), ϕ.toFun t '' s ⊆ s
t : τ
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s
⊢ ϕ.toFun t (ϕ.toFun (-t) x✝) = x✝
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3
⊢ False
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t
⊢ Absorbs M (s₁ + s₂) ({x} +ᵥ t)
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (cosKernel a) (Ioi 0)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π₁ ≤ π₂ ↔ (∀ J ∈ π₁, ∀ J' ∈ π₂, (↑J ∩ ↑J').Nonempty → J ≤ J') ∧ π₁.iUnion ⊆ π₂.iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
g : α → ℝ
h : (fun x => ‖f' x‖) =ᶠ[l] g
x : α
hx : (fun x => ‖f' x‖) x = g x
⊢ (fun x => ‖f' x‖) x = (fun x => ‖g x‖) x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
f : R[T;T⁻¹]
m : ℤ
a : R
⊢ AddMonoidAlgebra.single (n + (0 + m)) (1 * (a * 1)) = AddMonoidAlgebra.single (0 + m + n) (a * 1 * 1)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s : Finset α
a : α
⊢ {a} / s = Finset.image (fun x => a / x) s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
⊢ z.re * w.im + -z.im * w.re = (-0 * z.re - -1 * -z.im) * w.re - (-0 * -z.im + -1 * z.re) * w.im
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝ : ReflectsLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit ((P ⋙ s).mapCone S.arrows.cocone.op))
⊢ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op))
M' : Type u_5
α : Type u_6
MulOneClass M'
SMul M' α
S : Submonoid M'
g : ↥S
a : α
⊢ g • a = ↑g • a
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ = ∑' (n : ι), ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ (∃ x, succ x = a) ↔ a ∈ range succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
⊢ False
n : ℕ
⊢ ↑(Finset.range n) = Set.Iio n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ Bornology.vonNBornology 𝕜 E = PseudoMetricSpace.toBornology
I : Type u
f : I → Type v
i : I
DecidableEq I
(i : I) → Preorder (f i)
(i : I) → Zero (f i)
⊢ Monotone (Pi.single i)
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R 1 1 U ⋯ = 1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R
⊢ (Mᵀ.updateRow j u).det + (Mᵀ.updateRow j v).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 ≤ a * b
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
Algebra R A
s : Subalgebra R A
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α
⊢ u ⬝ᵥ (v - w) = u ⬝ᵥ v - u ⬝ᵥ w
α : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
⊢ List.drop (List.take i (List.map List.length L)).sum L.join = (List.drop i L).join
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
Zero α
DecidableEq m
DecidableEq l
d : m → α
e : l ≃ m
⊢ (Matrix.diagonal d).submatrix ⇑e ⇑e = Matrix.diagonal (d ∘ ⇑e)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq.natDegree = 3
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ✝ : DirichletCharacter R n
χ : DirichletCharacter R 1
a✝ : (ZMod 1)ˣ
⊢ χ ↑a✝ = 1 ↑a✝
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
M : Type u_2
Mul M
e₁ e₂ : MulAut M
m : M
⊢ (e₁ * e₂) m = e₁ (e₂ m)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f g : ι → α
⊢ ∏ i ∈ s, (f i - g i) = ∏ i ∈ s, f i - ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j - g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r ≤ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b c d a : α
⊢ |a| = max a 0 + max (-a) 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : M₂
⊢ ((toLin v₁ v₂) M) (((toLin v₂ v₁) M') x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
b : β
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.replace a b l).toList = List.replaceF (fun x => bif x.fst == a then some (a, b) else none) l.toList
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists = List.map List.reverse l.reverse.sublists'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ ℝ
hf : Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f
this : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑(map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)
⊢ integral μ f = integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a : R
s : S
SMul R M
SMul R S
SMul S M
IsScalarTower R S M
ra : IsSMulRegular M a
rs : IsSMulRegular M s
⊢ IsSMulRegular M (a • s)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAntisymm α r
a b : α
⊢ r a b → r b a → b = a
z w : ℂ
h : z.im = w.im
⊢ nndist z w = nndist z.re w.re
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
t : Finset (Fin n)
this : ∀ (m : ℕ) (hm : n = m), (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (p m) ((Finset.map (finCongr hm).toEmbedding t).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
⊢ let s := changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩; (((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y) = (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
G : Type u
AddCommGroup G
hG' : AddGroup.FG G
hG : AddMonoid.IsTorsion G
⊢ Finite G
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀
  (a :
    (CategoryTheory.yoneda ⋙ (CategoryTheory.whiskeringLeft Jᵒᵖ Cᵒᵖ (Type v)).obj F.op ⋙ CategoryTheory.Limits.lim).obj
      X)
  (j : J),
  ((CategoryTheory.Limits.yonedaCompLimIsoCocones F).hom.app X a).app j =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X) (Opposite.op j) a
R : Type u
Semiring R
k n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ k).coeff n = if n = k then 1 else 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ index K V
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
⊢ ⨆ i, (f i).range ≤ (lift f).range
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ -(a ⊓ b) = -a ⊔ -b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
⊢ Continuous i
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
Z : μ' univ = μ'.haarScalarFactor μ • μ univ
⊢ μ' = μ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝
inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝
M : Submonoid R
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝
inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝
inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
this : Module.Finite R S
⊢ traceMatrix Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
⊢ b ≤ ⌊a + ↑n⌋₊ ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1
k : Type u_1
ι : Type u_2
V : ι → Type u_3
P : ι → Type u_4
Field k
Invertible 2
(i : ι) → AddCommGroup (V i)
(i : ι) → Module k (V i)
(i : ι) → AddTorsor (V i) (P i)
f g : (i : ι) → P i
i : ι
⊢ midpoint k f g i = midpoint k (f i) (g i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => κ.density ν a x s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
f' : β → γ
gc : γ → γ → γ
hf' : Function.Semiconj₂ f' gb gc
hf : Function.Semiconj₂ f ga gb
⊢ Function.Semiconj₂ (f' ∘ f) ga gc
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
⊢ WEquiv x y → recF u x = recF u y
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L M : Sublattice β
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.comap f L ⊔ Sublattice.comap f M ≤ Sublattice.comap f (L ⊔ M)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ∃ I, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → ℕ
a : β
⊢ ∏ i ∈ s, a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ s, f i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c : ℝ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f (x * a)) (Set.Ioi c) MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi (c * a)) MeasureTheory.volume
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ c - b < c - a
X : Type u_1
⊢ Nonempty (FundamentalGroupoid X) ↔ Nonempty X
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.range = ⊤
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ (s ∩ t) = s \ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₀ : T.mor₃ = 0
inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂
inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductData T hT hT₀ inr inr_snd fst total).isBilimit =
  CategoryTheory.Limits.isBinaryBilimitOfTotal
    { pt := T.obj₂, fst := fst, snd := T.mor₂, inl := T.mor₁, inr := inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯,
      inr_snd := inr_snd }
    total
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Set (Set α)
hc : 2 < c
hl : ∀ (S : Set (Set α)), #↑S < c → S ⊆ l → ⋂₀ S ∈ l
h_mono : ∀ (s t : Set α), s ∈ l → s ⊆ t → t ∈ l
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.ofCardinalInter l hc hl h_mono ↔ s ∈ l
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
f : L →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
⊢ (PerfectRing.liftEquiv M i p).symm f = f.comp i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
R.Faithful
R.Full
X : D
Y : C
e : Y ≅ R.obj X
⊢ CategoryTheory.IsIso (h.unit.app Y)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
W : C
inl : Y ⟶ W
inr : Z ⟶ W
eq : f ≫ inl = g ≫ inr
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.mk inl inr eq).inr = inr
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xz : c * (x * z) ≤ d * (y * w)
xy : c * (x * x) ≤ d * (y * y)
zw : c * (z * z) ≤ d * (w * w)
⊢ SqLe (x + z) c (y + w) d
z : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (z / OfNat.ofNat n).im = z.im / OfNat.ofNat n
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
Nonempty ι
DecidableEq ι
x : Orientation R M ι
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ (x.someBasis h).orientation = x
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a v))
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a + c ≡ b + c [ZMOD n]