ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
H K : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E
α : CategoryTheory.MonoidalNatTrans F G
β : CategoryTheory.MonoidalNatTrans H K
X : C
⊢ (α.prod β).app X = (α.app X, β.app X)
α : Sort u
x : αᵒᵖ
y : α
⊢ Opposite.unop x = y ↔ x = Opposite.op y
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
k : 𝕜
hk : k ∈ (σ ↑a)⁻¹
⊢ k ∈ σ ↑a⁻¹
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : 1 < nilpotencyLength R L M
⊢ (match nilpotencyLength R L M with | 0 => ⊥ | k.succ => lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M 1
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Add M
S : ι → AddSubsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x₁ hx₁
V : Type u
G : SimpleGraph V
H₁ H₂ : G.Subgraph
⊢ (H₁ ⊔ H₂).edgeSet = H₁.edgeSet ∪ H₂.edgeSet
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ w.im * (1 - rexp (-dist z w)) = dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) - dist ↑w ↑(w.center (dist z w))
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
⊢ Injective fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ IsSolvable (X ^ n - 1).Gal
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Order.pred a < b ↔ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
s : Stream'.WSeq α
t : Stream'.WSeq β
⊢ Stream'.WSeq.LiftRel R s t ↔
  Computation.LiftRel (Stream'.WSeq.LiftRelO R (Stream'.WSeq.LiftRel R)) s.destruct t.destruct
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
x y : 𝕜
C : ℝ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
bound : ∀ x ∈ s, ‖derivWithin f s x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
⊢ ⟪fourierLp 2 i, fourierLp 2 j⟫_ℂ = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
⊢ ∀ (i : ℕ), μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ i) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i j : ι
hi : e.f i = i'
hj : e.f j = j'
⊢ (K.extend e).d i' j' = (K.extendXIso e hi).hom ≫ K.d i j ≫ (K.extendXIso e hj).inv
H : Type u_5
M : Type u_6
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ x ∈ (chartAt H x).source
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ update f i '' Ioc a b = Ioc (update f i a) (update f i b)
⊢ 2 ^ 32 ≤ 2 ^ System.Platform.numBits
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
x✝ : ↥(torsion G)
x : G
n : ℕ
npos : n > 0
hn : Function.IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1
⊢ ↑((fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ n * x_1) 1) = 1
⊢ Function.Injective ⇑natUnionInftyEmbedding
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ T
⊢ ↑(hST.equiv g).2 = 1 ↔ g ∈ S
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
⊢ u = 1
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
this✝ : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝¹ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set (M ⧸ M')
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
t : Set ↥M'
ht : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ t }) R Subtype.val
f : M ⧸ M' → M
hf : ∀ (b : M ⧸ M'), Submodule.Quotient.mk (f b) = b
⊢ #↑↑⟨s, hs⟩ + #↑↑⟨t, ht⟩ ≤ Module.rank R M
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 1 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
⊢ x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) hf.toFinset) ∩ mulSupport f
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime
hlt : Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P
⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
hg : Function.Surjective g
⊢ Function.RightInverse f g
f : StieltjesFunction
⊢ ∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : 0 < ‖x‖
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
f g : SimpleFunc (ι → ℝ) E
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g)
hfi : HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
hgi : HasIntegral I l (↑g) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) g)
⊢ HasIntegral I l (↑(f + g)) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (f + g))
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ nonZeroDivisors R
⊢ p ∈ nonZeroDivisors R[X]
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
⊢ (fun x => x ^ b) =ᶠ[𝓝 a] fun x => Complex.exp (Complex.log x * b)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
One α
⊢ 1 < ↑a ↔ 1 < a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
AddZeroClass Y
x : X
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y), (LocallyConstant.evalAddMonoidHom x) a = a x
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_bot : limsup u f = ⊥
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (φ ⟹ ψ ⇔ ∼φ ⊔ ψ).Realize v xs
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : AList β
⊢ a' ∈ AList.replace a b s ↔ a' ∈ s
R : Type u
CommRing R
q : R[X]
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
h : q ∣ p₁ - p₂
⊢ p₁ %ₘ q = p₂ %ₘ q
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) ↑m ↑n < ω
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h : MeasurableSet s
⊢ μ s + μ sᶜ = 1
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ‖mapL f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
⊢ ∃ b, b ∈ t ∧ R a b
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : dlookup ⟨a, b⟩.fst l = some b
⊢ b ∈ dlookup a l
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
d : ℕ
⊢ ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = d → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis X.affineOpens
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.bicone X Y).inr = CategoryTheory.Limits.biprod.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M → N
h_zero : ∀ (b : β), h b 0 = 0
h_add : ∀ (b : β) (m₁ m₂ : M), h b (m₁ + m₂) = h b m₁ + h b m₂
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).sum h = s.sum fun a m => h (f a) m
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
x✝ : X
⊢ ((Setoid.quotientKerEquivOfSurjective ⇑f ⋯).invFun ∘ ⇑f) x✝ = Quotient.mk' x✝
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
β : LieModule.Weight K (↥H) L
Nontrivial L
⊢ LieAlgebra.IsKilling.chainLength 0 β = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (FirstOrder.Language.Substructure.comap f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs Ys : ι → Set α
A : Set ι
h : ∀ i ∈ A, M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)
⊢ M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i) = M.closure (⋃ i ∈ A, Ys i)
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L 1 s = riemannZeta s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h : (Set.image2 f s t).Nonempty
⊢ s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑s (u ∆ v) = 0 → ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : ↑⌊(↑j + 1) / r⌋ * r ≤ ↑j
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x} ∨ ∃ k, ↑k ≤ ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r < ↑k + 1
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x y : ↥I
⊢ I.toCotangent x = I.toCotangent y ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
⊢ c ⊔ d = ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y
f : ℕ → ℕ →. ℕ
⊢ Nat.Partrec (Nat.unpaired f) ↔ Partrec₂ f
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
a : α
h : BddAbove s
⊢ a ≤ sSup s ↔ ∀ b ∈ upperBounds s, a ≤ b
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
⊢ Function.Injective Matrix.blockDiagonal
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ ENNReal.ofReal δ
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}
⊢ a < c.ord → Ordinal.nfp f a < c.ord
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ R.mul ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
a : X
⊢ MulAction.IsBlock G (MulAction.orbit G a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
u : ℕ → X
p : X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, u x ∈ s ∩ insert p (range u)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
t : Multiset α
d : s.Nodup
⊢ s.ndinter t ≤ t
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
⊢ ↑(P.reflection i) (↑(P.reflection j) v) = ↑(P.reflection j) (↑(P.reflection i) v)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
MeasureTheory.HasPDF X ℙ MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ), x * (MeasureTheory.pdf X ℙ MeasureTheory.volume x).toReal = ∫ (x : Ω), X x ∂ℙ
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.75509, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
n : ℕ
⊢ f.f (unop (Splitting.IndexSet.id (op [n])).fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = f.f n ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
AddCommMonoid N
Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.scalarRTensor (MvPolynomial.X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then n else 0
x y : ℕ+
⊢ dist ↑x ↑y = dist x y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iic a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici b = Set.Icc (↑b) a
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
SemilatticeSup ι
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_indep : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.CondIndep m' (m i) m₁ hm' μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
h_le' : m₁ ≤ mΩ
hm : Monotone m
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (⨆ i, m i) m₁ hm' μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f.unop ↔ CategoryTheory.IsIso f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.id C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
n k : ℕ
h : MinFacHelper n k
⊢ 1 < n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousOn F S
a b c : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iic b) = b + 1
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a < b + c
hle : b ≤ 0
⊢ a < c
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
i j : Nat
h : i + j = n
h' : j ≤ n
⊢ List.ofFnTR.go f j h' (List.ofFn.go f i j h) = List.ofFn f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : ConvexOn 𝕜 t f
hst : s ⊆ t
hs : Convex 𝕜 s
⊢ ConvexOn 𝕜 s f
α : Type u_1
LT α
DecidableRel LT.lt
DecidableEq α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
lt_antisymm : ∀ {x y : α}, ¬x < y → ¬y < x → x = y
⊢ Batteries.TransCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom.app A ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (F.op ⋙ coyoneda) A).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i) = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
⊢ e = s((Quot.out e).1, (Quot.out e).2)
G : Type u_3
Group G
H : Subgroup G
⊢ Group.FG ↥H ↔ H.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
⊢ Finset.fold op b f (insert a s) = op (f a) (Finset.fold op b f s)
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
l : ι →₀ R
⊢ h.coeffs (Module.DualBases.lc e l) = l
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
α : Type u_1
L : List α
j i : Nat
h : i < (List.take j L).length
⊢ (List.take j L)[i] = L[i]
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
this : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree
⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree
d : ℤ
a : ℤ
b : ℤ√d
⊢ (↑a * b).im = a * b.im
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2) = (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ b * (1 / -a) = b * -(1 / a)
n p : ℕ
h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
h1 : 1 < p
a b : ℕ
hab : p = a * b
⊢ a = p → b = 1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v f g : ι → F
⊢ (fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) (f + g) = (fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) f + (fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) g
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < ADEInequality.sumInv {p, q, r}
⊢ ADEInequality.Admissible {p, q, r}
x y : PSet
⊢ x.Equiv y ↔ ∀ {w : PSet}, w ∈ x ↔ w ∈ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' m' : ℤ
hn' : n + a = n'
m : ℤ
hm' : m + a = m'
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n' m' (γ.leftShift a n' hn') =
  a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n m γ).leftShift a m' hm'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n
⊢ ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n‖ * ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
p : R[X]
hp : p ∈ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥
n : ℕ
⊢ (Quotient.mk (comap C P)) (p.coeff n) = 0
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
⊢ (insert a s)ᶜ = sᶜ.erase a
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ Isometry Subtype.val
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫_ℝ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ 4 ^ 2 * ‖w‖ ^ 2 + (‖w‖ ^ 2 - 4) ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≠ 0 ↔ a ≠ b
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMulZeroClass R V
r : R
x : HahnSeries Γ V
⊢ (HahnModule.of R) (r • x) = r • (HahnModule.of R) x
α : Type u_1
a b : α
Neg α
p : a = b
⊢ -a = -b
R : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
k : ℕ
s : Finset ι
φ : PowerSeries R
f : ι → PowerSeries R
⊢ (∀ i ∈ s, ↑k < (f i).order) → (PowerSeries.coeff R k) (φ * ∏ i ∈ s, (1 - f i)) = (PowerSeries.coeff R k) φ
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)
f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯
⊢ P γ