ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker E c).ι = CategoryTheory.whiskerLeft E c.ι
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
hl : l.Balanced c n
⊢ l.balance1 v r = Batteries.RBNode.node Batteries.RBColor.black l v r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
⊢ (r • j).toSignedMeasure = r • j.toSignedMeasure
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
ha : G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : MeasureTheory.Memℒp f p (μ + ν)
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p ν
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.7784
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ IsSeparatedMap f ↔ IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico a (min b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
hY : CategoryTheory.Limits.IsZero Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoBiprodZero hY).hom = CategoryTheory.Limits.biprod.inl
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b b' : β a
⊢ Finmap.insert a b (Finmap.singleton a b') = Finmap.singleton a b
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign (f * g) = Equiv.Perm.sign f * Equiv.Perm.sign g
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ a ∈ s → f a ∈ Stream'.WSeq.map f s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarAddMonoid R
NonUnitalSemiring A
Star A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ ∀ (a : ↥(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A))),
  (Unitization.inrRangeEquiv R A).symm a = (↑a).snd
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃
⊢ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂))
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
V : Submodule R M
⊢ (Submodule.restrictScalars S V).toAddSubmonoid = V.toAddSubmonoid
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts is : List α
⊢ List.map (List.map f) (ts.permutationsAux is) = (List.map f ts).permutationsAux (List.map f is)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
⊢ ∀ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {x}) = g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a : ⨂[R]^na M
b : ⨂[R]^nb M
c : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
⊢ lhs = rhs
a b c d : Nat
hle : a ≤ b
hlt : c < d
⊢ a + c < b + d
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.65248, u_3} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
hW : W ≤ MorphismProperty.isomorphisms C
inst✝ : L.IsEquivalence
this : (𝟭 C).IsLocalization W
⊢ L.IsLocalization W
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
S : Type u_10
Semiring S
Module S M'
SMulCommClass R S M'
f : M' →ₗ[R] M'
v : ι → M'
⊢ (b.constr S) (⇑f ∘ v) = f ∘ₗ (b.constr S) v
x : ℤ[i]
⊢ toComplex (star x) = (starRingEnd ℂ) (toComplex x)
α : Type u_1
⊢ Function.Bijective MulOpposite.unop
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X.Hom Y
β : Y.Hom Z
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.comp α β).c = β.c ≫ (TopCat.Presheaf.pushforward C β.base).map α.c
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
h : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval h.gen) p = 0
⊢ ↑h.dim ≤ ↑p.natDegree
x : ℝ
⊢ Real.sin (Real.pi - x) = Real.sin x
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
Ring k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V3
AffineSpace V3 P3
Module k V1
Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommGroup (φv i)
(i : ι) → Module k (φv i)
(i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
g : P3 →ᵃ[k] P1
⊢ (AffineMap.pi fp).comp g = AffineMap.pi fun i => (fp i).comp g
x : ℂ
y : ℝ
⊢ (↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)).im = abs x ^ y * Real.sin (x.arg * y)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
⊢ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal} ≤ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal})
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
⊢ ⇑e.symm ∘ ⇑e = id
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0
⊢ (a • p).aroots S = p.aroots S
w x y z : SetTheory.PGame
hwx : w.LF x
hyz : y ≤ z
⊢ (w + y).LF (x + z)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) (cosKernel (↑a) t - 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
hf : SmoothOn I I' f s
⊢ MDifferentiableOn I I' f s
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
⊢ ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : ∀ (n : ℤ), jacobiTheta₂'_term n (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂'_term (n + 1) z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂_term (n + 1) z τ)
⊢ jacobiTheta₂' (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
as : List α
⊢ 𝓝 as = traverse 𝓝 as
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
this : ↑(2 * k + 1)! = (2 * ↑k + 1) * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1)
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / (2 * (2 * ↑k + 1) * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1)) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * ↑k + 1) / ((2 * ↑k + 1) * 2 * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x
α : Type u_4
M : Type u_5
AddZeroClass M
VAdd α M
VAddAssocClass α M M
c : AddCon M
a : α
w x : M
h : c w x
⊢ c (a +ᵥ w) (a +ᵥ x)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ 0 ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ (((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U))) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U) = (((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0
⊢ ∀ (g₁ : F[X]), g₁.Separable → (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f → ∀ (g₂ : F[X]), g₂.Separable → (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f → n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
hbj : b ≠ j
M : Matrix n n α
⊢ (M * stdBasisMatrix i j c) a b = 0
α : Type u
G : Type u_1
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousSub G
b : G
c : G
f : α → G
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun k => b - f k) l (𝓝 (b - c)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
α : Type u
NonAssocSemiring α
n : α
⊢ 2 * n = n + n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ (PolynomialModule.comp p) (p' • q) = p'.comp p • (PolynomialModule.comp p) q
α : Type u_1
β : Type u_2
Infinite α
Fintype β
Fintype (α ↪ β)
⊢ ‖α ↪ β‖ = 0
q : ℚ
r : ℝ
⊢ ↑(q • r) = q • ↑r
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
a : ↑α.toLat
⊢ (BddLat.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ Real.log x < Real.log y ↔ x < y
x : Nat
⊢ ↑(OfNat.ofNat x) = OfNat.ofNat x
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ IsUniversalColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ MulOpposite.op a • ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
q : Q
⊢ ⇑(ContinuousAffineMap.const R P q) = Function.const P q
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
AddMonoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Multiplicative G →* A
x : G
⊢ ((AddMonoidAlgebra.lift k G A) F) (AddMonoidAlgebra.of' k G x) = F (Multiplicative.ofAdd x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
⊢ ‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ ↑(S.integer K) = {x | ∀ v ∉ S, v.valuation x ≤ 1}
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ Integrable (f ⊓ g) μ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ FiniteDimensional.finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) = FiniteDimensional.finrank ℚ K
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ
⊢ (↑u).val + (↑u⁻¹).val + (↑u⁻¹).val * (↑u).val = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
this : MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}
α : Type u
f : Equiv.Perm α
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n => -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x => 2 * x) = fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ HasSum term (log (1 + x) - log (1 - x))
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
_hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ p ^ (n + 1) ∣ Nat.card ↥H.normalizer
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
⊢ c.ord.cof = c
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
A : ρ (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {0})
B : ρ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {⊤})
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
m n : Nat
h : 0 < n
⊢ m ∣ n → m ≤ n
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ (X.restrict h).toPresheafedSpace = X.restrict h
P : Type u_1
inst✝ : CompleteSemilatticeInf P
F✝ : PFilter P
x : P
F : (PFilter P)ᵒᵈ
⊢ (fun x => toDual (principal x)) x ≤ F ↔ x ≤ (fun F => sInf ↑(ofDual F)) F
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ image castSucc univ = {last n}ᶜ
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ generator (map ϕ N) ∣ ϕ x
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
⊢ False
a b : NatOrdinal
⊢ NatOrdinal.toOrdinal (min a b) = min (NatOrdinal.toOrdinal a) (NatOrdinal.toOrdinal b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
⊢ (⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h).Countable ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), (t a ha).Countable
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0
⊢ f.natSepDegree ≠ 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp = p.natDegree
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ I N = I n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable (F (x (n + k)))
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
⊢ Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
h : g ∈ H
⊢ ⟨g, h⟩ = 1 ↔ g = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑(w.center r) ≤ w.im * Real.sinh r
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ (t * s).card ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasWidePullback B objs arrows
X : C
g : X ⟶ CategoryTheory.Limits.widePullback B objs arrows
⊢ g =
  CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift (g ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.base arrows)
    (fun j => g ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.π arrows j) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, IsBigOWith c l f g') ↔ ∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ s.OrdConnected
ι : Type u_1
x : ℕ
t : Finset ι
s : ι → ℕ
⊢ x.Coprime (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, x.Coprime (s i)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
⊢ ↑(CategoryTheory.Grpd.of C) = C
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ Ordering.casesOn ((pos a).cmp (pos b)) (↑(pos a) < ↑(pos b)) (pos a = pos b) (↑(pos b) < ↑(pos a))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hgk : IsBigOWith c l g k
hc : 0 < c
hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g
c' : ℝ
c'pos : 0 < c'
this : 0 < c' / c
⊢ IsBigOWith c' l f k
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b c : α
h : Disjoint (a ⊓ b) c
hle : a ≤ c
⊢ Disjoint a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X.Hom Y
w : α.base = β.base
h : HEq α.c β.c
⊢ α = β
α : Type u_1
SemilatticeSup α
⊢ ⇑UpperSet.iciSupHom = UpperSet.Ici
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
x✝ : G
⊢ (y • f ⋆[L, μ] g) x✝ = (y • (f ⋆[L, μ] g)) x✝
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
⊢ m + n ∈ {m | p (m - n)}
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
y : R
hx' : ((Quotient.mk I).comp C) y ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
⊢ C y ∈ I