ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
r : ↑((↑U).presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj ((↑U).basicOpen r) =
  X.basicOpen ((X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op) r)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
j : ι
⊢ update f i (a ⊔ b) j = (update f i a ⊔ update f i b) j
G₀ : Type u_3
TopologicalSpace G₀
GroupWithZero G₀
ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.map (fun x => x * a) (𝓝 1) = 𝓝 a
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ (if h : j = j then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else 0) = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjXSelf c j B).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] fun z => -deriv ε z
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
⊢ infEdist x s ≤ edist x y + infEdist y s
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMapZero.id ⋯) = a
x : ↑(σₙ S a)
⊢ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ((ContinuousMapZero.id ⋯).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })) x = (ContinuousMapZero.id ⋯) x
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)))).Coprime (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ s = ⋃ i ∈ s, i
C : Type u
X Y : C
⊢ CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left = X
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s t : Finset ι
(i : ι) → Decidable (i ∈ s)
(i : ι) → Decidable (i ∈ t)
h : s ⊆ t
f₁ f₂ g : (a : ι) → π a
⊢ s.piecewise (t.piecewise f₁ f₂) g = s.piecewise f₁ g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ
⊢ ↑((homeomorphUnitSphereProd E) x).1 = ‖↑x‖⁻¹ • ↑x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C (ComplexShape.up α))
n : α
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).functor.obj P).X n).p = P.p.f n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
⊢ MonovaryOn f⁻¹ g s ↔ AntivaryOn f g s
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α
⊢ (completion 0 ⋯) x = 0 x
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor D E
hF : F.FullyFaithful
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D}
  (f : ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj X ⟶ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj Y)
  (X_1 : C), ((hF.whiskeringRight C).preimage f).app X_1 = hF.preimage (f.app X_1)
F : Type u_3
K : Type u_4
CommRing F
NormedField K
p : Polynomial F
f : F →+* K
B : ℝ
hB : B < 0
h1 : p.Monic
h2 : Polynomial.Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (Polynomial.map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
⊢ p = 1
a b : Int
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b
α : Type u_1
⊢ Mathlib.Vector.nil.tail = Mathlib.Vector.nil
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
a : G
⊢ (Homeomorph.addRight a).symm = Homeomorph.addRight (-a)
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b
⊢ a - b + b = max a b
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ
⊢ ∀ (a : ℝ), max b 0 ^ (1 / y) ≤ a → b ≤ a ^ y
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
homeo : ↑C.pt ≃ₜ ↑(limitConeInfi F).pt := homeoOfIso (hC.conePointUniqueUpToIso (limitConeInfiIsLimit F))
⊢ ⨅ i, induced ((Types.limitCone (F ⋙ forget TopCat)).π.app i ∘ ⇑homeo) (F.obj i).str = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : LinearMap.IsProj p f
⊢ f = (p.prodEquivOfIsCompl (LinearMap.ker f) ⋯).conj (LinearMap.id.prodMap 0)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : y₁ ^ 2 + W.a₁ * x₁ * y₁ + W.a₃ * y₁ = x₁ ^ 3 + W.a₂ * x₁ ^ 2 + W.a₄ * x₁ + W.a₆
h₂ : y₂ ^ 2 + W.a₁ * x₂ * y₂ + W.a₃ * y₂ = x₂ ^ 3 + W.a₂ * x₂ ^ 2 + W.a₄ * x₂ + W.a₆
hx : x₁ = x₂
⊢ (y₁ - y₂) * (y₁ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) = 0
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
β : Type v
e : α ≃ β
⊢ toNat #α = toNat #β
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : α → β
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).map f = Matrix.fromBlocks (A.map f) (B.map f) (C.map f) (D.map f)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
x✝ : ι
⊢ torsionBy R M (q x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q x✝})
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
j : Fin (n + 1) →₀ ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ
⊢ r * coeff m (if i = j 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ j x.succ else 0) = r * if j = cons i m then 1 else 0
ι : Type u_1
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j k : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord H i j
hk : j ≠ k
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f) w.prod • X k ⊆ X i
R : Type x
Mul R
Add R
LeftDistribClass R
a b c : R
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
x : NNReal
h : x ≠ 0
⊢ (↑x).log = ↑(Real.log ↑x)
P : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝¹ : Finite α
X : α → CompHausLike P
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball 1 δ * {x} = ball x δ
M : Type u_1
AddMonoid M
s₁ s₂ : Set M
is₁ : IsAddSubmonoid s₁
is₂ : IsAddSubmonoid s₂
⊢ IsAddSubmonoid (s₁ ∩ s₂)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
⊢ K = IntermediateField.adjoin F S
m n : Nat
⊢ m.gcd (n.gcd m) = n.gcd m
α : Type u
s : Set α
⊢ Disjoint ∅ s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
⊢ ∃ u, (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> u = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> u = g <$$> x
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
⊢ φ (n / d) = (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
x y : α
⊢ ↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑(Kf * Kg) * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
⊢ a * b = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0
m n : ℕ
⊢ m.gcd n = 1 ↔ ∀ ⦃d : ℕ⦄, d ∣ m.gcd n → d ∣ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
a : A ⊗[R] CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.equivBaseChange A Q).symm a = (CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) a
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
hab : a ∣ b
⊢ a ≤ b → 0 < b
α : Type u_1
OrderedSemiring α
CharZero α
a b : α
a' b' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b' → b'.ble a' = false → a < b
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c✝ : E
f✝ : ContDiffBump c✝
x✝ : E
n : ℕ∞
c g : X → E
s : Set X
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
x : X
hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x
hr : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) s x
hR : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
⊢ Ioi 1 ×ˢ univ ∈ 𝓝 ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).val = (a ::ₘ s.val).dedup
R : Type x
MulOneClass R
HasDistribNeg R
a : R
⊢ Commute (-1) a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ (⨍⁻ (x : α), f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α), (f x).toReal ∂μ
β : Type u_3
Finite β
f : Equiv.Perm β
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ (f ^ n).IsCycle ↔ n.Coprime (orderOf f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, P n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
t : Set β
⊢ ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂(ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a =
  if a ∈ s then ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂η a
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ
hmk : m ≤ ↑k
⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n (fun x => (id x).proj) x ∧ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) n (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E (id x).proj) (id x_1)).2) x
⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
⊢ LinearMap.toMatrix (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R n) = LinearMap.toMatrix'
x y : SetTheory.PGame
k : (x * y).LeftMoves
P : (x * y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (iy : y.LeftMoves), P (SetTheory.PGame.toLeftMovesMul (Sum.inl (ix, iy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (jy : y.RightMoves), P (SetTheory.PGame.toLeftMovesMul (Sum.inr (jx, jy)))
⊢ P k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
⊢ WithSeminorms p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
e : Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ∧ Ico a₂ b₂ ⊆ Ico a₁ b₁
⊢ (a₁ ≤ a₂ ∧ a₂ ≤ a₁) ∧ b₁ ≤ b₂ ∧ b₂ ≤ b₁
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ diam (insert x s) ≤ d ↔ max (⨆ y ∈ s, edist x y) (diam s) ≤ d
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s
s : Set X
hs : T0Space ↑s
x y : { x // x ∈ s }
hxy : Inseparable ↑x ↑y
⊢ ↑x = ↑y
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ IsNilpotent (nilradical R)
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
b : α
⊢ ↑(-a) + (↑a + b) = b
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
ctx : Nat.Linear.Context
m₁ m₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (m₁.cancel m₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (m₁, m₂)
L : outParam FirstOrder.Language
F : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
FirstOrder.Language.Structure L M
FirstOrder.Language.Structure L N
self : FirstOrder.Language.HomClass L F M N
φ : F
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x → FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (⇑φ ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ LinearMap.ker f
⊢ (p.liftQ f h).comp p.mkQ = f
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
⊢ 0 < clog b n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
⊢ μ h_sing.nullSetᶜ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s✝ : Set α
s : Set β
f : α → β
hf : Surjective f
x : α
hx : f x ∈ s
y : α
hy : f y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
⊢ (f ⁻¹' s).Nontrivial
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ n.choose k ≡ (n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p) [MOD p]
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
self : ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
⊢ Filter.Tendsto (f a) Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u_3
s : Finset α
a : α
M : Type u_6
CommGroup M
DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : α → M
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x) / f a = ∏ x ∈ s, f x
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
M : Type u_3
Zero R
SMulZeroClass M R
ContinuousConstSMul M R
m : M
f : ContinuousMapZero X R
⊢ ⇑(m • f) = m • ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
Nonempty ι
a : α
⊢ Function.const ι a = 0 ↔ a = 0
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
⊢ ⨆ i, (FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i).toHom.range = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Embedding f
hsurj : Function.Surjective f
⊢ OpenEmbedding f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m : ℕ
h : Fin n = Fin m
⊢ _root_.cast h = cast ⋯
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
x : β
⊢ ∀ (a : α), (OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.const x) a = x
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel lt
inst✝ : IsStrictOrder α lt
a b : α
⊢ lt b a → ¬lt a b
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
⊢ (CompleteLatticeHom.id β).comp f = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : C ⥤ D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : G.IsCocontinuous J K
U : C
S : CategoryTheory.Sieve (G.obj U)
⊢ S ∈ K.sieves (G.obj U) → CategoryTheory.Sieve.functorPullback G S ∈ J.sieves U
α : Type u
s t : Set α
DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s ∪ t).Finite
⊢ h.toFinset = hs.toFinset ∪ ht.toFinset
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (s.sup fun b => a \ f b) = a \ s.inf f
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ
⊢ (bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) m n))
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard ≤ 1 ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : a.y = 0
⊢ a = 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ
⊢ Integrable (fun a => X a ^ 2 + Y a ^ 2) ℙ
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
a b : α
⊢ f a = f b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f (a • x' + b • y') < a • f x' + b • f y'
a b : Int
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e.symm).reindex e = s
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'
⊢ range (F.map f) ⊆ range (F.map f')
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν✝ ν₁ ν₂ μ ν : Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ = 0
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
h : a + b = 0
⊢ b = -a
K : Type u_1
RCLike K
x : ℝ
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x < b
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
one_mem : 1 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s
inv_mem : ∀ a ∈ s, a⁻¹ ∈ s
a b : G
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
this : a * b⁻¹⁻¹ ∈ s
⊢ b = b⁻¹⁻¹
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
h : IsIntegralCurve γ v
t : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (f + g) x + b • (f + g) y + a * b * (φ + ψ) ‖x - y‖ ≤ (f + g) (a • x + b • y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ AddMonoid.Coprod.fst ((AddMonoid.Coprod.swap M N) x) = AddMonoid.Coprod.snd x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.v₂₃ = CategoryTheory.ShortComplex.opMap S.v₀₁
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
⊢ ⊥.IsMaximal
k : Type u_1
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
e : V₁ ≃ₗ[k] V₂
⊢ ⇑e.toAffineEquiv = ⇑e
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
h : {x | x ∈ s ↔ x ∈ t} ∈ f
⊢ s ∈ f ↔ t ∈ f
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.cosh x
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Functions x✝²
x✝ : Fin x✝² → V
⊢ funMap x✝¹ x✝ = funMap x✝¹ x✝
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((x.imK * y.imK * (c₁ * c₂)) • 1)
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
a✝ : A₁
⊢ ((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ψ)) a✝ = ψ a✝
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ χ ↑p.1 * f p.1 * (χ ↑p.2 * g p.2) = χ ↑p.1 * χ ↑p.2 * (f p.1 * g p.2)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ ∀ x ∈ s, eval x (f - g) = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b
⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
h : (Function.support f).Finite
⊢ Summable f