ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor η).inv.app a = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).inv
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
⊢ (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (↑(v i)) (descPochhammer ℤ ↑j)).det =
  ↑(∏ i : Fin n, (↑i).factorial) * (Matrix.of fun i j => ↑((v i).choose ↑j)).det
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ - -a ⊔ -a ≤ |b|
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
⊢ ∀ (x y : M ⊗[R] N), x ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → x + y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k ↔ i.Coprime k
n k : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite (2 * n + k)).coeff k = (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1).doubleFactorial * ↑((2 * n + k).choose k)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
t : Batteries.AssocList α β
BEq α
BEq β
⊢ (Batteries.AssocList.nil == Batteries.AssocList.cons a b t) = false
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t₁ t₂ : α → Finset β
DecidableEq β
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a
⊢ s.biUnion t₁ ⊆ s.biUnion t₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ a * ↑u₁⁻¹ + ↑u₂⁻¹ * b = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹ * (↑u₁ * b)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Irreducible ϖ
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮} (F : CategoryTheory.BasedFunctor X Y) (G : CategoryTheory.BasedFunctor Y Z),
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp F G = F.comp G
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s ν
⊢ MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain G α ν
X : Type u_1
α : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
x : X
⊢ SeparationQuotient.lift f hf (SeparationQuotient.mk x) = f x
R : Type u
Star R
r : Rᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (star r) = star (MulOpposite.unop r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : QuotientMap g
hf : QuotientMap f
⊢ inst✝ = coinduced (g ∘ f) inst✝²
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R
⊢ (A * A.conjTranspose).mulVec v = 0 ↔ A.conjTranspose.mulVec v = 0
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).2) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ Function.Injective ContinuousAddMonoidHom.toContinuousMap
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f ε
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
⊢ ⇑LatticeHom.snd = Prod.snd
a b m n p✝ p : ℕ
hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support
q : ℕ
hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support
h : ¬b.factorization p ≤ a.factorization p
h✝ : b.factorization q ≤ a.factorization q
⊢ Coprime 1 1
x : PartENat
⊢ ∀ {x_1 : Decidable x.Dom}, ↑x.toWithTop = x
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1
h : HasProd (fun b_1 => update f b x b_1 * if b_1 = b then f b else 1) (a * x)
⊢ a * x = a' * f b
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ x₂ : X
P₀ : Path x₀ x₁
P₁ : Path x₁ x₂
⊢ ⟦P₀.trans P₁⟧ = Path.Homotopic.Quotient.comp ⟦P₀⟧ ⟦P₁⟧
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : F
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c - f y) s x
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
s : Set (B × F)
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ s) = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).degree ≤ p.degree
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'
⊢ a :: l ~ l₁' ++ l₂'
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s ↔ ∀ (S : L.Substructure M), s ⊆ ↑S → x ∈ S
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥(Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker
⊢ ↑↑(A.principalUnitGroupEquiv.symm a) = ↑↑↑a
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
⊢ G.CliqueFree n
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
DivisionRing L
AddCommGroup W
Module L W
σ : K →+* L
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ Projectivization.map f hf (Projectivization.mk K v hv) = Projectivization.mk L (f v) ⋯
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
f : α →₀ M
x : α
⊢ x ∈ f.toAList ↔ f x ≠ 0
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Countable G
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)
aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)
h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ s
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
g : M
r : R
⊢ r ∈ (span R {g}).annihilator ↔ r • g = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ Bornology.IsBounded s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ x ∈ Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B)) ↔ x ∈ Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B))
X : Sort u_2
DecidableEq X
x : X
Y : Sort u_1
f : { x' // x' ≠ x } → Y
⊢ ⇑(Equiv.subtypeEquivCodomain f) = fun g => ↑g x
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
LinearOrder R
p : Polynomial R
hp : p ≠ 0
⊢ ∃ x₀, ∀ (x : R), p.IsRoot x → x ≤ x₀
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑|↑n + b| ^ s = 1 / (↑n + ↑b) ^ s
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Ordinal.lift.{u, v} (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a b : E
h : ‖a - b‖ ≤ 0
⊢ a = b
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
H : ↑n ≤ p.trailingDegree
⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x = (fderiv 𝕜 f (iso x)).comp ↑iso
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
CategoryTheory.Limits.HasWidePushout B X f
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.wideSpan B X f)
    (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (CategoryTheory.Limits.widePushout B X f)
⊢ (∃ y, (CategoryTheory.Limits.WidePushout.head f) y = x) ∨ ∃ i y, (CategoryTheory.Limits.WidePushout.ι f i) y = x
cs : List Char
⊢ String.utf8Len cs.reverse = String.utf8Len cs
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
C : ℝ
hf'_gt : ∀ (x : ℝ), C < deriv f x
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ C * (y - x) < f y - f x
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
⊢ f (ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z) = f z
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)
⊢ a.val = 0 ↔ ↑a = ↑0
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z ⊔ y \ z)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (U : Set G), IsOpen U → (fun t => t • closure {1} = t) U
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x₁ x₂ : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P (CategoryTheory.Sieve.generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
⊢ CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂ →
  x₁ = x₂
R : Type u
CommRing R
M N : FGModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj M N).obj = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj M.obj N.obj
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
f g : CategoryTheory.MonoOver X
k : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp k.left g.arrow = f.arrow
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Neg (f i)
s : Set I
(i : I) → Decidable (i ∈ s)
f₁ g₁ : (i : I) → f i
⊢ s.piecewise (-f₁) (-g₁) = -s.piecewise f₁ g₁
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y = √(∑ i : ι, dist (x i) (y i) ^ 2)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
⊢ Ordinal.{u}
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0
this : Nontrivial α
⊢ p ^ k ≤ Associates.mk m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ (Associates.mk m).factors
α β γ : Type u
F : Type → Type v
inst✝ : Alternative F
h : Decidable True
⊢ guard True = pure ()
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x))) (Ioi 0) volume
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : (CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C)ᵒᵖ
⊢ ∀ {X_1 Y : Fin (n + 1)} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).functor.obj X).map f =
    ((Opposite.unop X).map (⋯.functor.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯))).op
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → One (f i)
DecidableEq I
i : I
⊢ Function.update 1 i 1 = 1
x : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
m₁ m₂ : Nat.SOM.Mon
⊢ Nat.SOM.Mon.denote ctx (Nat.SOM.Mon.mul.go fuel m₁ m₂) = Nat.SOM.Mon.denote ctx m₁ * Nat.SOM.Mon.denote ctx m₂
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
⊢ IsAddFreimanIso m (Set.Iic ↑k) (Set.Iic k) Fin.val
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ p.IsCycle
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) = 0 ↔ a = 0 ∧ n + 1 ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
e : Option.rec none some = id
⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z : ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ StableUnderGeneralization s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
⊢ (Summable fun i => (V i) (f i)) ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ 2
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π.restrict I = π
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.card
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤
α : Type u
β : Type v
ConditionallyCompleteLinearOrder α
f : β → α
s : Set β
x₀ : β
hx₀ : x₀ ∈ s
h : IsMaxOn f s x₀
⊢ ⨆ x, f ↑x = f x₀
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure s
⊢ ContinuousAt (fun x => (infDist x s)⁻¹) x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
inst✝ : IsIso g
⊢ f ≫ g = 0 ↔ f = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S.FG
⊢ S.FG
α : Type u_1
⊢ Sym.nil.attach = Sym.nil
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
h : IsMaxChain r s
⊢ ¬SuperChain r s t
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.reduce L₁ = FreeGroup.reduce L₂
⊢ FreeGroup.mk L₁ = FreeGroup.mk L₂
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
h : s.Finite
⊢ univ.Finite
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → Y ⊆ F
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hpn : ∃ k, p k ∧ n ≤ k
⊢ n ≤ Nat.nth p (Nat.count p n)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
G : K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfEquivalence e w).inv ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
n b m : ℕ
h : 1 < b
p : b.digits m ≠ []
q : b.digits (m / b) ≠ []
hm : ¬m = 0
⊢ (m % b :: b.digits (m / b)).getLast ⋯ = (b.digits (m / b)).getLast q
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
⊢ lowerBounds t ⊆ lowerBounds s
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ ofFnRec h (ofFn f) = h n f
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ (CategoryTheory.DifferentialObject.Hom.id X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
⊢ (lapply a₂ ∘ₗ lsingle a₁) b = 0
x : ℂ
h : x ≠ 0
⊢ 0 ^ x = 0
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ (∀ b ∈ s, a ≤ b) → a ≤ sInf s
α : Type u_2
AddGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' {b} = {b + -a}
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => s.inf' hne fun x => f x a) t
r q : ℝ≥0
⊢ ↑r < ↑q ↔ r < q
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).inv)
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
homeo : ↑C.pt ≃ₜ ↑(limitConeInfi F).pt := homeoOfIso (hC.conePointUniqueUpToIso (limitConeInfiIsLimit F))
⊢ induced (⇑homeo) (limitConeInfi F).pt.topologicalSpace_coe = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str
α : Type u
β : Type v
⊢ Function.LeftInverse Sum.swap Sum.swap
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
u : ℕ → Set ι
hu : l.HasAntitoneBasis u
⊢ MeasurableSet {x | Cauchy (map (fun n => f n x) l)}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ StableUnderSpecialization sᶜ ↔ StableUnderGeneralization s
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ ↑ζ * ↑μ = 1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ
⊢ Tendsto (fun y => y ^ s * rexp (-a * y ^ 2)) atTop (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
d : ℝ
h : ∀ (t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)), dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * d
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist (f₁.next.toFun t) (f₂.next.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)! * d
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
h : map f id ^ n = map (f ^ n) (id ^ n)
⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
⊢ p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
⊢ (CategoryTheory.linearYoneda R C).comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ (ModuleCat R) (Type v)).obj (CategoryTheory.forget (ModuleCat R))) =
  CategoryTheory.yoneda
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.cone F).π.app = CategoryTheory.Limits.limit.π F
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
⊢ (X.restrictStalkIso h x).inv = AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ AddMonCatMax
CategoryTheory.IsFiltered J
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ AddMonCat.FilteredColimits.coconeMorphism F j' = AddMonCat.FilteredColimits.coconeMorphism F j
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M ≃ₗ[R] M
a : M
⊢ f • a = f a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PerfectSpace α
⊢ Perfect Set.univ
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k l : ℕ
h : k ≠ l
⊢ Disjoint (primitiveRoots k R) (primitiveRoots l R)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring S
f : R →+* S
x : R
⊢ x ∈ Subring.comap f s ↔ f x ∈ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree