ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
s : Set Y
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, μ ((⇑(f x) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
f : ι → α
H : BddAbove (Set.range f)
c : ι
h : a ≤ f c
⊢ a ≤ iSup f
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
⊢ P (IntermediateField.adjoin F s)
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ : α
h : a ∣ b
c : α
⊢ a ∣ c * b
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ((f ^ n) x - x) / ↑n) Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
k : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), (antidiagonalTuple k n).Nodup
n : ℕ
⊢ (∀ x ∈ antidiagonal n, (map (fun x_1 => Fin.cons x.1 x_1) (antidiagonalTuple k x.2)).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (map (fun x => Fin.cons a.1 x) (antidiagonalTuple k a.2)).Disjoint (map (fun x => Fin.cons b.1 x) (antidiagonalTuple k b.2))) (antidiagonal n)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' q q'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ q) (p' ×ˢ q')
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
⊢ (-mk xl xr xL xR).birthday = (mk xl xr xL xR).birthday
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β
⊢ List.countP p (l.bind f) = Nat.sum (List.map (List.countP p ∘ f) l)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
n : ℕ
⊢ Continuous fun a => a ^ n
n : ℕ
u v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
⊢ u = v ↔ (List.ofFn fun i => (u.snd i).blocks) = List.ofFn fun i => (v.snd i).blocks
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < c
h₂ : b < c
h : a ≤ b
⊢ max a b < c
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ (I * J).radical = I.radical ⊓ J.radical
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l
x : M
hx : x ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k
⊢ ↑((LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l) ⟨x, hx⟩) = ↑(0 ⟨x, hx⟩)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
⊢ CauchySeq f
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Set.Ico a₂ b ⊆ Set.Ico a₁ b
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)
⊢ (↑(t * y), t * y) * (p, q) = (↑(t * q), t * q) * (x, y)
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
⊢ -x ≡ -y [SMOD U]
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ mellin (fun t => f (t * a)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
α : Type u_1
Add α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LE.le
a b : α
⊢ Set.Ici a + Set.Ici b ⊆ Set.Ici (a + b)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
z : { z // ofHom φ₁ = δ (-1) 0 z + ofHom φ₂ }
p : ℤ
⊢ φ₁.f p = (((dNext p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + (prevD p) fun i j => if hij : i + -1 = j then (↑z).v i j hij else 0) + φ₂.f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
⊢ (∃ x, x ∈ s) ∧ b = c ↔ s.Nonempty ∧ b = c
m n k : ℕ
⊢ (fib m).gcd (fib (n + (k + 1) * m)) = (fib m).gcd (fib n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ (affineSpan k s).direction = vectorSpan k s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B
a : A
⊢ 0 a = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Field 𝕂
CommRing 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 Aᵀ = (NormedSpace.exp 𝕂 A)ᵀ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Submonoid S
x : R
⊢ x ∈ IsLocalization.localizationLocalizationSubmodule M N ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.y - a.x * a₁.y < 0
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.prev j = i
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ e.inv.val.base (e.hom.val.base x) = x
R : Type u
Semiring R
f g : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (f * g) = Polynomial.derivative f * g + f * Polynomial.derivative g
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ⌊√↑a⌋ = ↑a.sqrt
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (↑e '' (s ∩ e.source)) (↑e x)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : IsNilpotent ((Polynomial.aeval x) P)
h' : IsUnit ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative P))
n : ℕ
⊢ (Polynomial.aeval x) P ^ 2 ^ n ∣ (Polynomial.aeval (P.newtonMap^[n] x)) P
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0
⊢ (↑a).toReal ≤ (↑b).toReal ↔ ↑a ≤ ↑b
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : ι → Set E
t : Set E
⊢ ⋃ x, ⋃ i, ⋃ (_ : x ∈ s i), ⋃ y ∈ t, segment 𝕜 x y = ⋃ i, ⋃ x ∈ s i, ⋃ y ∈ t, segment 𝕜 x y
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
⊢ (ContinuousSMul G X ∧ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, g • x₂ = x₁ ∧ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)) ↔ ContinuousSMul G X ∧ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ RCLike.re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.tail <:+ l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C)).obj X = X
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ (Equiv.symm (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.tau f)) Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a + b).val ≤ a.val + b.val
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha : c ∣ a
⊢ c ∣ b → c ∣ m → a ≡ b [MOD m]
x✝ y x : ℝ
h₂ : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ arcsin (sin x) = x
F : Type u_1
Field F
K : Type u_2
Field K
f : F →+* K
s : Set F
hs : IsSubfield s
⊢ IsSubfield (⇑f '' s)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P Q : Sylow p G
⊢ P = Q ↔ ↑P = ↑Q
r : ℝ
hr : 2 < r
⊢ ∑' (i : ℕ), volume {x | ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑i, |x - ↑a / ↑i| < 1 / ↑i ^ r} ≠ ⊤
n : Nat
⊢ List.iota n = (List.range' 1 n).reverse
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ico a 1 = Set.Ico (Pi.mulSingle i a) 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts D
F : CategoryTheory.Functor C D
L : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.CartesianClosed C
CategoryTheory.CartesianClosed D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
⊢ (CategoryTheory.conjugateEquiv (h.comp (CategoryTheory.exp.adjunction A))
      ((CategoryTheory.exp.adjunction (F.obj A)).comp h))
    (CategoryTheory.frobeniusMorphism F h A) =
  CategoryTheory.expComparison F A
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
ContinuousAdd M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
x : M₁
⊢ (f + g) x = f x + g x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
MeasureTheory.SFinite μ
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod MeasureTheory.volume) (regionBetween f g s) = ∫⁻ (y : α) in s, ENNReal.ofReal ((g - f) y) ∂μ
α : Type u_2
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.IsCycle → (g * f * g⁻¹).IsCycle
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ ∀ (a_1 b : Sigma β), b ∈ Option.guard (fun s => a = s.fst) a_1 → a_1 = b
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderBot α
⊢ Filter.atBot ≤ 𝓝 ⊥
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
i : ι
⊢ ∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
⊢ m (s₁ ∪ s₂) ≤ m s₁ + m s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ (fun x => ↑(f x).toNNReal) =ᶠ[ae μ] f
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p
⊢ ↑(p - 1) = (1 - (↑p)⁻¹) * ↑p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β → γ
l : List β
⊢ List.zipWith f [] l = []
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i
⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
hχ : χ.IsPrimitive
⊢ 𝓕 (⇑χ) k = χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ stdAddChar
C : Type u₁
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ { unmop := X.unmop } = X
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card G
a : G
ha : ∀ (x : G), x ∈ zpowers a
⊢ a ^ k ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ StrictMono ⇑toLex
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.9430) (N : Type ?u.9429) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Iic a
z : α
hzb : z ∈ Iio b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) a * (liftNC ↑f ⇑g) b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
t : Multiset α
⊢ ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T
⊢ ∀ (x : S) (y : T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x ⊗ₜ[R] y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
β : ι → Type u_4
f f' : (i : ι) → α i → β i
h : ∀ (i : ι), f i =ᵐ[μ i] f' i
⊢ (fun x i => f i (x i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] fun x i => f' i (x i)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.Indep (⋃ i, bif i then I else J)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : EuclideanGeometry.Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
⊢ AffineIndependent ℝ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
hAB : (inducingFn 𝕜 E F) A = (inducingFn 𝕜 E F) B
⊢ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)
α : Type u_1
a : α
⊢ MeasurableSet {s | a ∈ s}
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : CommApplicative F
inst✝ : CommApplicative G
g : α → G β
h : β → γ
s : Finset α
⊢ (Multiset.toFinset ∘ Functor.map h) <$> Multiset.traverse g s.val = Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse (Functor.map h ∘ g) s.val
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
this : HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) ((c x • smulRight 1 d' + (smulRight 1 c').smulRight (d x)) 1) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
s : { x // x ⊆ S }
hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩
hs' : C ↑s
a : α
ha' : C (insert a ↑s)
ha1 : a ∈ S
ha2 : a ∉ ↑s
⊢ ∃ c > s, C ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
g₀ : α →ₛ ℝ≥0
hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)
g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ
h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ
g : α →ₛ ℝ≥0
hg : ∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑g₀ x
gL : ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤
gtop : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂
⊢ ⟪p₂ -ᵥ s.center, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ ≠ ‖p₁ -ᵥ s.center‖ * ‖p₁ -ᵥ s.center‖
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (X i)), s i ∈ ↑f → ∃ x ∈ s i, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
⊢ ∃ x ∈ {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}, ∀ (i : ι), Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))
α : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0, x ∉ Metric.thickening δ E
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : AddSubmonoid N
⊢ AddSubmonoid.comap f S ≤ AddSubmonoid.comap f T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
⊢ supported M R (⋃ i, s i) = ⨆ i, supported M R (s i)
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ f (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeSup L
ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => s.sup' hne fun x => f x a) t
α : Type u_1
DecidableEq α
Inhabited α
l : List α
⊢ l.dedup.tail = if l.headI ∈ l.tail then l.tail.dedup.tail else l.tail.dedup
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : G.toPresheaf ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U : Cᵒᵖ
s : G.toPresheaf.obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection ↑((homOfLe ⋯).app U s)).arrows i
⊢ F'.map i.op ((homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s) = F'.map i.op (f.app U s)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ (Polynomial.aeval x) p ∈ ↑(↑I)⁻¹
α : Type u
C : FreeAddGroup α → Prop
z : FreeAddGroup α
C1 : C 0
Cp : ∀ (x : α), C (pure x)
Ci : ∀ (x : α), C (pure x) → C (-pure x)
Cm : ∀ (x y : FreeAddGroup α), C x → C y → C (x + y)
⊢ C z
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (M.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ Q.X) (f.hom ▷ Q.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ 𝟙_ C = ⊤_ C
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K
h : ¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)
⊢ a = b
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ ⌊0⌋₊ = 0
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
x : ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
a✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range G.lapMatrix_ker_basis_aux)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV' : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ ε / 5 = 2 * (ε / 10)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
⊢ (_root_.closure s).Subsingleton
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ t.noncommProd f comm ∈ S
T : Type u
TopologicalSpace T
⊢ CategoryTheory.Pretopology.toGrothendieck (TopologicalSpace.Opens T) (Opens.pretopology T) =
  Opens.grothendieckTopology T
F : Type u → Type u
q : QPF F
⊢ QPF.SuppPreservation ↔ QPF.IsUniform
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
⊢ (if MeasurableSet i then ↑v i else 0) = 0
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p = q
⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p