ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
LieModule.IsTrivial L M
⊢ ⁅I, N⁆ = ⊥
q : ℕ+
x y z : LucasLehmer.X q
⊢ (x + y) * z = x * z + y * z
α : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
f : α → E
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
hc : 0 ≤ c
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f fun x => (f' x, g' x)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ N₀, ∀ N ≥ N₀, ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m‖ < ε
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ ⇑1 = id
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
val✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
bI : Basis (Fin (Fintype.card ι)) R ↥(restrictScalars R I)
f : Fin (Fintype.card ι) ↪ ι
a : Fin (Fintype.card ι) → R
snf : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), ↑(bI i) = a i • bS (f i)
e : Fin (Fintype.card ι) ≃ ι := Equiv.ofBijective ⇑f ⋯
⊢ ∃ b' a ab', ∀ (i : ι), ↑(ab' i) = a i • b' i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β
⊢ Measurable g ↔ Measurable g ∧ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → g ∘ f ⁻¹' s = g ⁻¹' s
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
⊢ (fun a => ↑a) '' (closure (Subtype.val ⁻¹' s) \ frontier (Subtype.val ⁻¹' s)) = intrinsicInterior 𝕜 s
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Zero α
⊢ Metric.diam 0 = 0
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_4
Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N
s : Submonoid N
⊢ MonoidHom.mrange (Monoid.CoprodI.lift f) ≤ s ↔ ∀ (i : ι), MonoidHom.mrange (f i) ≤ s
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
he : e ≈ e'
s : Set α
⊢ e.restr s ≈ e'.restr s
α : Type u
DivisionMonoid α
b : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ b / (a * b) = a⁻¹
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
h₀ : 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ι a b))] f
⊢ a < b ∧ 0 < volume (support f ∩ Ioc a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1
⊢ ∃ a, s = {a}
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x_1 ∈ u, ∀ y ∈ v, x_1 = x → y ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
α : Type u_1
s : Set α
BooleanAlgebra α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (compl ⁻¹' s)
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ 0 ≤ a * b ∨ 0 ≤ b * c ∨ 0 ≤ c * a
α : Type u_1
n : Type u_4
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α
⊢ (A.conjTranspose + A).IsHermitian
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
y : β
hyt' : y ∈ t'
⊢ y ∈ t ∪ f '' s₁ ∩ t'
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
⊢ ↑2 * X y ^ (2 - 1) * 0 + (((0 * X x + C W'.a₁ * 1) * X y + C W'.a₁ * X x * 0) * X z + C W'.a₁ * X x * X y * 0) + ((0 * X y + C W'.a₃ * 0) * X z ^ 3 + C W'.a₃ * X y * (↑3 * X z ^ (3 - 1) * 0)) - (↑3 * X x ^ (3 - 1) * 1 + ((0 * X x ^ 2 + C W'.a₂ * (↑2 * X x ^ (2 - 1) * 1)) * X z ^ 2 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * (↑2 * X z ^ (2 - 1) * 0)) + ((0 * X x + C W'.a₄ * 1) * X z ^ 4 + C W'.a₄ * X x * (↑4 * X z ^ (4 - 1) * 0)) + (0 * X z ^ 6 + C W'.a₆ * (↑6 * X z ^ (6 - 1) * 0))) = C W'.a₁ * X y * X z - (3 * X x ^ 2 + 2 * C W'.a₂ * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)
b n : ℕ
⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
⊢ (StronglyMeasurable fun x => g (f x)) ↔ StronglyMeasurable f
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ≅ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.hom)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I.Boundaryless
⊢ IsOpen (f.extend I).target
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2
⊢ ((↑n ! / (√(2 * ↑n) * (↑n / rexp 1) ^ n)) ^ 2) ^ 2 / (↑(2 * n)! / (√(2 * ↑(2 * n)) * (↑(2 * n) / rexp 1) ^ (2 * n))) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1)) = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
K : Type u_1
Field K
x y : NumberField.RingOfIntegers K
h : ↑x = ↑y
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
x : m ⊕ n
l : m
hx : σ x = Sum.inl l
⊢ x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inl
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
⊢ IsIso (f.val.app (op U))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e => L e (n e) (n e)
this✝ : CauchySeq L0
f' : E →L[𝕜] F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
this : HasFDerivAt f f' x
⊢ x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
⊢ ⊤.chromaticNumber = ↑(card V)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
e : α
he' : ∀ (x : ι), e ∉ I x
i : ι
hes : e ∈ X i
⊢ e ∈ M.E
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) s).prod.roots = s
b o : Ordinal.{u_1}
hb : b ≤ 1
ho : o ≠ 0
⊢ CNF b o = [(0, o)]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K K' L L' : C
f : K ⟶ K'
g : L ⟶ L'
⊢ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K' g ≫ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight f L' =
  CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight f L ≫ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K g
s : ℝ
⊢ ↑(Gamma s * Gamma (s + 1 / 2)) = ↑(Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π)
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Bipointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (g.toFun ∘ f.toFun) X.toProd.1 = Z.toProd.1
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap R A) 1)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : Cone F
⊢ { pt := s.pt, π := h.hom.app (op s.pt) { down := (h.inv.app (op s.pt) s.π).down } } = s
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid M
⊢ ↑(Submonoid.map f S) = ⇑f '' ↑S
X : Type u_1
M : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
Zero X
CommSemiring M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
TopologicalSpace S
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
CommSemiring S
StarRing S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
Module M R
Module M S
ContinuousConstSMul M R
ContinuousConstSMul M S
φ : R →⋆ₙₐ[M] S
hφ : Continuous ⇑φ
f : ContinuousMapZero X R
⊢ (ContinuousMapZero.nonUnitalStarAlgHom_postcomp X φ hφ) f =
  { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp f
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ Set.image2 f (s ∪ t) (s ∩ t) ⊆ Set.image2 f s t
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝
⊢ False
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ e.functor.map (e.unit.app X) = e.counitInv.app (e.functor.obj X)
n : ℕ
⊢ Behrend.box (n + 1) 0 = ∅
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
⊢ Y.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.inv = f.inv ≫ X.d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ s)))
x : ℝ
hx : x ≠ 0
h : deriv^[2] (fun x => x * log x) x = x⁻¹
⊢ deriv^[2] (fun x => -(x * log x)) x = -x⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
h : x < y
⊢ Function.leftLim f y ≤ Function.rightLim f x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
⊢ trunc (C r * T n) = if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).inv.app X = (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
M : Type u_6
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
a b : M
h : a ⤳ b
n : ℕ
⊢ (n • a) ⤳ (n • b)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : y ∈ v
h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ
xv : x ∉ v
yu : y ∉ u
this : (s ∩ (uᶜ ∩ vᶜ)).Nonempty
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
⊢ ↑r < p.radius
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R.map γ) g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ (w.costructuredArrowDownwardsPrecomp g g' γ hγ).map φ =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯) ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s t : Set E
x v : E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v ↔ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f t x v
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.refl L N).comp f = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop
h_liminf_pow : ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) atTop ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.ihom.coev M).app N =
  (TensorProduct.mk R ↑(Opposite.unop (Opposite.op M)) ↑((𝟭 (ModuleCat R)).obj N)).flip
α : Type u
l : List α
⊢ l.attach = [] ↔ l = []
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
⊢ { ofColex := insert a s } < { ofColex := insert b s } ↔ a < b
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ μ ≤ MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
D : Type u₃
CategoryTheory.Bicategory D
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxFunctor C D
⊢ (F.comp G).toPrelaxFunctor = F.comp G.toPrelaxFunctor
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 1 ≤ a
⊢ l₁.prod ≤ l₂.prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : C
X Y : C
Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
h' : CategoryTheory.IsPullback fst' snd' f g
⊢ (CategoryTheory.IsPullback.isoIsPullback X Y h h').inv ≫ fst = fst'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.op.X₁ = Opposite.op S.X₃
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ essSup (f * g) μ ≤ essSup f μ * essSup g μ
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ Finsupp.restrictDom M R s ∘ₗ (Finsupp.supported M R s).subtype = LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h₀ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₀'
h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₁'
⊢ f₀' = f₁'
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
Subsingleton ι
i : ι
f : M →L[R] N
⊢ ((ContinuousAlternatingMap.ofSubsingleton R M N i) f).toAlternatingMap = (AlternatingMap.ofSubsingleton R M N i) ↑f
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap
g : M →* N := f.toMap
a z w : N
ha : a ≠ 0
hazw : a * z = a * w
b : M × ↥S
hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1
x : M × ↥S
hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1
y : M × ↥S
hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1
b1ne0 : b.1 ≠ 0
⊢ ↑y.2 * x.1 = ↑x.2 * y.1
p n exp : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
⊢ p.maxPowDiv (p ^ exp * n) = p.maxPowDiv n + exp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
⊢ sf < sg
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.dZeroArrowIso A).inv.left = ↑(groupCohomology.zeroCochainsLequiv A).symm
⊢ Complex.cos (2 * ↑Real.pi) = 1
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (FreeAddMonoid.sumAux.match_1 (fun x => E) (List.map (fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.toList ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]))) (fun _ => 0) fun x xs => List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) x xs) = 1 • φ f
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg
c₂ : (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg < π / 2 + π / 2
⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
⊢ CategoryTheory.Mono S.f → CategoryTheory.Epi S.g → S.ShortExact
α : Type u_1
E I : Set α
h : I ⊆ E
R : Set α
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).restrict R = Matroid.uniqueBaseOn (I ∩ R) R
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R)
i : n
⊢ (Matrix.scalar n) (↑A i i) = ↑A
α : Type u_1
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s \ {a} ⋖ s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < (W.Φ n).natDegree
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f
⊢ (quotMapOfEquivQuotMapCMapSpanMk I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (span {f})) (Ideal.map C I))) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) x
β : Type u_3
Semiring β
s : List ℕ
⊢ ↑s.prod = (List.map Nat.cast s).prod
a b n : ℕ
ha : 0 < a
hb : 1 < b
⊢ n * b < a * b ^ (n + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
AddMonoid A
StarAddMonoid A
SMul R A
StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint (r • x)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.284157, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
⊢ (snd φ).v n n ⋯ ≫ ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).f + ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).g ≫ (-(inl φ).v (n + 1) n ⋯) = 𝟙 ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).X₂
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : M
hx : x ∈ S
this : x = ↑(IsUnit.unit ⋯)⁻¹⁻¹
⊢ x ∈ S.leftInv.leftInv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => f x.1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
⊢ f j ((single i b₁) j) ((single i b₂) j) = (single i (f i b₁ b₂)) j