ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
i j : ℕ
hj : 0 < j
this : j * (j - 1) < j ^ 2
⊢ j * (j - 1) * (i / j + 1) ^ 2 < (i + j) ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
g : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ ∃! η, CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map η) = g.hom
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
C : ℝ≥0
⊢ ‖f‖₊ ≤ C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊
α : Type u
l : List α
⊢ l.revzip.length = l.length
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
this : AddCommGroup ↥W := inferInstance
⊢ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual ∧ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual.flip
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β
g : α ≃ β
⊢ Injective ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Set α
a : α
⊢ a ∈ ∏ i : ι, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
⊢ (List.pmap f l h)[n]? = Option.pmap f l[n]? ⋯
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom S = T
x : M
⊢ (f.ofMulEquivOfLocalizations (f.mulEquivOfMulEquiv k H)).toMap x = k.toMap (j x)
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
hc : ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑t ^ c.val
⊢ c = ModularCyclotomicCharacter.toFun n g
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n k : ℕ
⊢ 2 ^ n ≤ 2 ^ (n + k)
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
⊢ IsOpen (closure U)
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Multiset.card (Polynomial.nthRoots n 1) = n
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Z
g : Y → Z
⊢ IsOpenMap (Sum.elim f g) ↔ IsOpenMap f ∧ IsOpenMap g
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.IsNormal f ↔ StrictMono f ∧ Continuous f
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[>] x) (𝓝 (Function.rightLim f x))
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1)))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B' : LinearMap.BilinForm R M'
⊢ B.IsAdjointPair B' 0 0
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
⊢ ↑(a.castPred ⋯) ≤ ↑(b.castPred ⋯)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)
tends_neg : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ).toReal)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ a < max b c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ HasSeparatingCover ∅ s
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
⊢ Computable fun a => Option.map (g a) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
m : ℝ≥0
hm : ↑m = μ i
⊢ ⟨↑μ.toSignedMeasure (univ ∩ i), ⋯⟩ = m
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.vars 1 = ∅
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ 0 < Real.log x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal R
x : S
⊢ x ∈ IsLocalization.coeSubmodule S I ↔ ∃ y ∈ I, (algebraMap R S) y = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.rightHomologyι S.fromOpcycles = 0
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a ≤ 1
hb : b < 1
⊢ a * b < 1
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0
⊢ ∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match a with | (f, g) => (f (), g ())) ∈ antidiagonal n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
e : P ≅ P'
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ (∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x) ↔ ∀ (I : Ideal S), I ≠ ⊤ → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g) = g
α : Type u_1
M M' : Matroid α
h : M.Restriction M'
h' : M'.Restriction M
⊢ M = M'
m n : ℕ
h : n ≤ m
i : Fin n
⊢ (Fin.castLEOrderEmb h) i = Fin.castLE h i
x : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
⊢ (x.moveRight i).birthday < x.birthday
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → CommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
⊢ Multipliable f ↔ ∀ (x : α), Multipliable fun i => f i x
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
g : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (-g) i = -g i
Γ : Type u_4
Group Γ
T : Type u_5
TopologicalSpace T
MulAction Γ T
SecondCountableTopology T
ContinuousConstSMul Γ T
⊢ SecondCountableTopology (Quotient (MulAction.orbitRel Γ T))
a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d Turing.PartrecToTM2.K'.aux = c
m✝ n✝ m n : ℕ
nzm : NeZero m
a : ZMod m
h : a.val < n
nzn : NeZero n
⊢ a.cast.val = a.val
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ IsComplemented ⊤
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal S
⊢ Ideal.comap f I = ⊤ ↔ I = ⊤
z : ℂ
⊢ z.re = -abs z ↔ z ≤ 0
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
⊢ 1 • x ^ 0 = 1 • x ^ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)
⊢ ⋃ i, (fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) i = univ
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
Nontrivial B
⊢ minpoly A 1 = Polynomial.X - 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x✝ y : M
b✝ : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M
w : Set M
hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val
h : Set.range ⇑b ≤ w
x : M
p : x ∈ w
q : x ∉ Set.range ⇑b
e : (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x) = x
u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
f : E →L[𝕜] Fₗ
hf : Embedding ⇑f
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s
⊢ IntegrableOn f t μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
h : m.trim s = 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (MvPolynomial.X i) (w i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ ⟨⅟2, ⋯⟩ • (pi Q).polarBilin = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
R : Type u
M : Type v
VAdd R M
s : ULift.{u_1, u} R
x : M
⊢ s +ᵥ x = s.down +ᵥ x
α : Type u_1
⊢ ∀ (a : PUnit.{u_2 + 1} × α), (Equiv.punitProd α) a = a.2
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ (mk g) ((monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i)) = root g ^ ↑i
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ WittVector.ghostMap x n = (WittVector.ghostComponent n) x
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b c : R
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ c * a ≤ c * b
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
g : ↑↑t
f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g
this : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away ↑g)
⊢ Function.Surjective ⇑f'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
A : G.Coalgebra
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id A).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id A.A
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
p : CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ CategoryTheory.leftDualIso p p = CategoryTheory.Iso.refl X
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : SubMulAction R M
x : M
hx : x ∈ p
⊢ -x ∈ p
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
γ : ↥Γ
⊢ f ∣[k] γ = f ∣[k] ↑↑γ
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
f : X →ₑ[φ] Y
⊢ (MulActionHom.id N).comp f = f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ SeparationQuotient.mk ⁻¹' (SeparationQuotient.mk '' s) = s
α : Type u
p : α → Prop
x : α
l : List α
⊢ List.Forall p (x :: l) ↔ p x ∧ List.Forall p l
G : Type u_1
H : Type u_2
K : Type u_3
Add G
Add H
Add K
a : G
b : H
c : K
e₁ : G ≃+c[a, b] H
e₂ : H ≃+c[b, c] K
⊢ ∀ (a_1 : G), (e₁.trans e₂) a_1 = e₂ (e₁ a_1)
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
t : AddSubmonoid M
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑↑f) μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
a : α
⊢ frontier (Set.Ici a) = {a}
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f volume
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, f (x + ↑n)) (∫ (x : ℝ), f x)
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n ≤ toPartENat c ↔ ↑n ≤ c
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.ofNat n) 1 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap
i : ι
x : φv i
⊢ f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Sbtw ℝ p₂ p₃ p₃'
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃'
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b
M : Type u_2
MulOneClass M
a : M
⊢ SemiconjBy a 1 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2
⊢ IsUnit W.twoTorsionPolynomial.disc ↔ IsUnit W.Δ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
hg : IsLocalMax g a
⊢ IsLocalMax (fun x => f x + g x) a
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r₁ r₂ : R
⊢ 0 = r₁ •> 0 + 0 <• r₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
i : X ≅ Y
⊢ hF.isoEquiv i = F.mapIso i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
⊢ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j) ⟂ span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i}
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
⊢ s.Finite
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₁ : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
h₂ : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯)
h₃ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 4 ⋯)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
x : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) ((Matrix.toEuclideanCLM A) x) =
  (Matrix.toLin' A) ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) x)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
hg : MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => g (x / R)) MeasureTheory.volume
K : Type u_2
CommRing K
IsDomain K
CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ ∃! P, Polynomial.map (Int.castRingHom K) P = Polynomial.cyclotomic' (↑n) K
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) ≤ μ s * ν t
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
⊢ p = 0 ∧ q = 0 ∨
  p = 0 ∧ q = ⊤ ∨
    p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ (EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂}))) s.circumcenter =
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.pointsWithCircumcenter)
    (Affine.Simplex.reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
⊢ ∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousAdd E
s t : Set E
hst : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s + t)
hs : s.Nonempty
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
⊢ iteratedDeriv n f x = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
⊢ (s.erase x).min = ((map toDual.toEmbedding s).erase (toDual x)).max
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
x : E
⊢ stereoToFun v x = (2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) x
a b : EReal
h₁ : b ≠ ⊥
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : b ≠ 0
⊢ a / b * b = a
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ ↑s.toList = s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.inv.app X).hom₃ = (F.commShiftIso 1).hom.app X.obj₁
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : ℝ
hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x
this : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[≥] x, ‖f x_1 - f x - (x_1 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
⊢ Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝 b) f g ↔ Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : IsEmpty α
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2
⊢ 0 < μ
α : Type u_3
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Filter.atTop.HasBasis (fun x => a < x) Set.Ioi
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.toFinset ⊂ Finset.univ ↔ s ⊂ univ
s : ℕ
h : s.succ ≠ 0
⊢ (s.succ.xgcdAux 1 0 0 0 1).2.2 = 0