ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
γ : Type u₁
AddCommMonoid γ
f g : (i : ι) → β i →+ γ
⊢ DirectSum.toAddMonoid f = DirectSum.toAddMonoid g ↔ f = g
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulAction (Perm α) β
i j : α
x : β
⊢ swap i j • swap i j • x = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : CommMon_ C} (f : X ⟶ Y) (x : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.commMonToLaxBraided C).map f).app x = f.hom
fs : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret (Turing.PartrecToTM2.Cont'.cons₁ fs k)) =
  Turing.TM2.Stmt.goto fun x =>
    Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun x => false) Turing.PartrecToTM2.K'.main Turing.PartrecToTM2.K'.aux
      (Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun s => decide (s = Turing.PartrecToTM2.Γ'.consₗ)) Turing.PartrecToTM2.K'.stack
        Turing.PartrecToTM2.K'.main
        (Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun x => false) Turing.PartrecToTM2.K'.aux Turing.PartrecToTM2.K'.stack
          (Turing.PartrecToTM2.trNormal fs k.cons₂)))
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map ⇑f) (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m) = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Semiring 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
⊢ ⇑(PiLp.continuousLinearEquiv p 𝕜 β).symm = ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
self : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois self.obj
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
f : (Y : E) → F.obj (G.obj Y) ⟶ X
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (G.map g)) (f Z) = f Y
Y : E
⊢ (G.toCostructuredArrow F X f h).obj Y = CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (f Y)
R : Type u_1
Ring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
⊢ p.update n a = p + Polynomial.C (a - p.coeff n) * Polynomial.X ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
f : α → Part β
x : Part α
g : β → γ
⊢ Part.map g (x.bind f) = x.bind fun y => Part.map g (f y)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
⊢ ⊤.dualAnnihilator ≤ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
⊢ P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P f s x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 0] (fun t => x + t • v) ⁻¹' t
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a ^ 0
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
SecondCountableTopology G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsHaarMeasure
⊢ μ ≪ ν
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
X : Type u_3
hX : 5 ≤ Cardinal.mk X
h : IsSolvable (Perm X)
key : Nonempty (Fin 5 ↪ X)
⊢ False
R : Type u_1
Ring R
⊢ algebraMap ℤ R = Int.castRingHom R
n : ℕ
x : ℝ
⊢ deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x =
  (-1) ^ n * (Polynomial.aeval x) (Polynomial.hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2))
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ swap hammingDist x y = hammingDist x y
α : Type u
x : α
xs : List α
n : ℕ
h : n = xs.length
⊢ (x :: xs).nthLe n ⋯ = (x :: xs).getLast ⋯
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some '' Set.Ico a b = Set.Ico ↑a ↑b
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
p : α × α
hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n
⊢ p.1 ∈ setSeq hf U_mem N
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
i : I
⊢ ∀ {X Y : C i} (a : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Sigma.incl i).map a = CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk a
α : Type u_1
self : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∃ c, b = a + c
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
(𝓝[>] a).NeBot
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, a < x
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ IsUnit Aᴴ ↔ IsUnit A
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
a : ℚ
⊢ a.num < 0 ↔ a < 0
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M✝
M : ι → ι → R
⊢ (basisFun R ι).det M = detRowAlternating M
R : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : σ → ↥S
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval fun i => ↑(x i)) p = ↑((MvPolynomial.aeval x) p)
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
Y : Type v
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ Metric.hausdorffDist (Set.range (GromovHausdorff.optimalGHInjl X Y)) (Set.range (GromovHausdorff.optimalGHInjr X Y)) =
  GromovHausdorff.ghDist X Y
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : D
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ R.map (L.map (R.map f)) ≫ R.map (h.counit.app Y✝) = R.map (h.counit.app X✝) ≫ R.map f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
aA : a0 ∈ A
bB : b0 ∈ B
h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = a0 * b0
x y : G
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
l : x * y = a0 * b0
a✝ : (a0, b0) ∈ A ×ˢ B ∧ (a0, b0).1 * (a0, b0).2 = a0 * b0
J : ∀ (y : G × G), y ∈ A ×ˢ B ∧ y.1 * y.2 = a0 * b0 → y = (a0, b0)
⊢ x = a0 ∧ y = b0
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasLeftKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
γ₁ γ₂ : L.leftKanExtension F ⟶ G
hγ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.leftKanExtensionUnit F) (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₁) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.leftKanExtensionUnit F) (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₂)
⊢ γ₁ = γ₂
z : ℂ
⊢ Complex.abs z * Complex.abs z = Complex.normSq z
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x : G
s : Set G
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ s, y - x ∈ U
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
⊢ Polynomial.map (eval₂Hom f M) (univ R n) = (of (Function.curry M)).charpoly
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
g : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapRange.linearMap f) g = Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ g
p q : ℚ≥0
⊢ ↑p = ↑q → p = q
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
⊢ (a.castPred ha).succ = a + 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hunif : UniformIntegrable f 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) 1 μ ≤ ↑R
hmeas : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - limitProcess f ℱ μ) 1 μ) atTop (𝓝 0)
x y : SetTheory.PGame
ihxy : Surreal.Multiplication.IH1 x y
i j : x.LeftMoves
⊢ Surreal.Multiplication.P24 (x.moveLeft i) (x.moveLeft j) y
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
n : ℕ
h : LieAlgebra.derivedSeries R L 1 = ⊤
⊢ LieAlgebra.derivedSeries R L n = ⊤
α : Type u_1
s : Finset (Option α)
⊢ ↑(Finset.eraseNone s) = some ⁻¹' ↑s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℕ
⊢ (↑n).toProd.2 = ↑n
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : H
⊢ x✝¹ ∈ Finset.image (⇑f) A → x✝ ∈ Finset.image (⇑f) B → x✝¹ * x✝ = f a0 * f b0 → x✝¹ = f a0 ∧ x✝ = f b0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
⊢ Convex ℝ (convexBodyLT' K f w₀)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.hom₂
h₃ : CategoryTheory.IsIso φ.hom₃
⊢ CategoryTheory.IsIso φ.hom₁
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (p * q) = Polynomial.eval x p * Polynomial.eval x q
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
⊢ IsMin ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
⊢ ⊤ ∈ self.sieves X
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = (μ univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
v : V₁
⊢ f v = g v
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
PartialOrder N
AddCommMonoid N
R : Type u_8
LinearOrderedCommRing R
Module R M
Module R N
PosSMulStrictMono R N
Q : QuadraticMap R M N
h : Q.PosDef
a : R
a_pos : 0 < a
⊢ (a • Q).PosDef
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeSup α
NoMaxOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atTop l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.map φ).τ₃ = φ.left.right
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
this : 0 < ε
UVl : 4 / 5 * ε * (4 / 5 * ε) ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card)
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ 4 / 5 * ε * (4 / 5 * ε) * (9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {s₁ t₁ s₂ t₂ : List α}, s₁ ++ t₁ = s₂ ++ t₂ → t₁.length = t₂.length → t₁ = t₂
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ
fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g
⊢ IndepFun (AEMeasurable.mk f h_meas_f) (AEMeasurable.mk g h_meas_g) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
f' a : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' a
hf' : f' ≠ 0
g : 𝕜 → 𝕜
hg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 a, g (f x) = x
⊢ HasStrictDerivAt g f'⁻¹ (f a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Order.Frame α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)
⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hG : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 0
⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑∅.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)
h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
⊢ (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
⊢ M.Basis B M.E ↔ M.Base B
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : PosNum
⊢ ↑(sub' 1 b) = ↑1 - ↑b
R : Type u
Ring R
M : ModuleCat R
⊢ M.ofSelfIso.hom = 𝟙 M
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
g' : G
hg' : g' ∈ V
hy : g' • x ∈ interior (V • {x})
J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ IsSquare 2 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMapIso e).inv = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap e.inv
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 n * xn a1 (n + j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n + j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
⊢ (if P then a else b) ≠ a ↔ ¬P ∧ a ≠ b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ t ∪ t = s ∪ t
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
m : M
n : N
⊢ (-m) ⊗ₜ[R] n = -m ⊗ₜ[R] n
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
⊢ F.map g x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
x y : N
h : Injective ⇑(LinearMap.fst R M N)
⊢ x = y
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ + ↑π).sin = -(↑x✝).sin
α : Type u_1
a : α
n : Fin 1
⊢ [a].get n = a
m n : PosNum
⊢ m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
z : G
h : IsComplement {z} S
y : G
property✝ : y ∈ S
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (⟨z, ⋯⟩, ⟨y, property✝⟩) = z * x
⊢ x ∈ S
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ P s → ((∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x))
x y : SetTheory.PGame
⊢ x.IsOption (-y) ↔ (-x).IsOption y
f : ℕ → ℂ
m : ℕ
s : ℂ
h : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ iteratedDeriv m (LSeries f) s = (-1) ^ m * LSeries (LSeries.logMul^[m] f) s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt f f' x
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ levyProkhorovEDist μ μ ≤ sInf (Ioo 0 ⊤)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = ltByCases x' y' h₁' h₂' h₃'
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : x ∈ RingHom.ker (f.comp i)
⊢ x ∈ pNilradical K p
α : Type u_1
PartialOrder α
s : UpperSet α
Finite α
⊢ InfIrred s ↔ ∃ a, UpperSet.Ici a = s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ![x, y] = ![y, x] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / 2 ∧ abv (↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : abv (↑f j) < ε / 2
H₂ : abv (↑g j) < ε / 2
⊢ abv (↑(f + g) j) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ edist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
F : Type u_3
E : X → Type u_4
TopologicalSpace F
DiscreteTopology F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : X) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
⊢ IsCoveringMap Bundle.TotalSpace.proj
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝[>] 0) = 𝓝[>] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
hf : Injective f
s : Finset α
a : α
⊢ ↑(image f (s.erase a)) = ↑((image f s).erase (f a))
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ Module.rank F ↥S = 1 ↔ S = ⊥