ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ
g : γ → α
cg : ContinuousOn g univ
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S T : CategoryTheory.Sieve X
h : S ≤ T
Y : Cᵒᵖ
f : S.functor.obj Y
⊢ ↑((CategoryTheory.Sieve.natTransOfLe h).app Y f) = ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ ↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ - -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
z : S
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
p : R[X]
p_ne_zero : p ≠ 0
px : (aeval z) p = 0
a : R := p.leadingCoeff
a_ne_zero : a ≠ 0
⊢ ∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n => thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto (fun n => ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
⊢ 0 = ∫ (x : M) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
⊢ z * (algebraMap R S) ↑(IsLocalization.sec M z).2 = (algebraMap R S) (IsLocalization.sec M z).1
α : Type u
Semiring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, 0 ^ i = if n = 0 then 0 else 1
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ 0 < star x ↔ 0 < x
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
⊢ Turing.Tape.move Turing.Dir.right (Turing.Tape.move Turing.Dir.left T) = T
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂ - CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
M : Type u_3
AddMonoid M
u : AddUnits M
a : M
⊢ IsAddUnit (↑u + a) ↔ IsAddUnit a
a b : Cardinal.{u_1}
h' : a ≠ 0
h : ℵ₀ ≤ b
⊢ a * b = max a b
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) < u
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (stoppedValue u τ) p μ
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
⊢ HasProd f 1 ↔ ∀ (x : ι), f x = 1
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Epi f
⊢ MonoidHom.range f = ⊤
x y : PUnit.{1}
⊢ x + y = PUnit.unit
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ LowerSet.Iic a ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ f.Integrable
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_4
CompleteLattice α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
f : ι → α
⊢ u (l.toFun (⨆ i, u (l.toFun (f i)))) = u (l.toFun (⨆ i, f i))
n : ℕ
⊢ Finset.image Fin.succ Finset.univ = {0}ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t
⊢ invFunOn f s (f (invFunOn f s y)) = invFunOn f s y
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.snd
R : Type u_1
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n
Fintype n₁
Fintype n₂
DecidableEq n
DecidableEq n₁
DecidableEq n₂
CommRing R
e : n ≃ n₁ ⊕ n₂
A₁ : Matrix n n₁ R
A₂ : Matrix n n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂ = 1 ↔ B₁.fromRows B₂ * A₁.fromColumns A₂ = 1
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b
⊢ max ↑a ↑b = map₂ max ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
a : α
s : Finset α
⊢ image f (insert a s) = insert (f a) (image f s)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
DecidableEq α
hG : G.EdgeDisjointTriangles
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
⊢ G.FarFromTriangleFree ε
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
⊢ ClosedEmbedding ⇑hA.cfcAux
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y W Z : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ Cᵒᵖ (X, W) (Y, Z)).unop =
  CategoryTheory.tensor_μ C (Opposite.unop X, Opposite.unop Y) (Opposite.unop W, Opposite.unop Z)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp_n ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K
nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
succ_nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ ↑ifp_succ_n.b ≤ ifp_n.fr⁻¹
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
ι : Type u_2
F : ι → α →C₀ β
f : α →C₀ β
l : Filter ι
⊢ Filter.Tendsto F l (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i => ⇑(F i)) (⇑f) l
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
module_M : Module R M
⊢ Monotone Submodule.toAddSubgroup
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ ContinuousMul α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
a : Set α
p : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in 𝓟 a, p x) ↔ ∃ x ∈ a, p x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ BddAbove (cutMap β a)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
s : Subgroup E
x : ↥s
⊢ ‖x‖ = ‖↑x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
⊢ projIcc a b h x = ⟨x, hx⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
⊢ CategoryTheory.IsPullback snd fst g f
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq V
c : G.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
⊢ Even (Fintype.card ↑c.supp)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K : C
L L' L'' : C
g : L ⟶ L'
g' : L' ⟶ L''
⊢ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K (g ≫ g') =
  CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K g ≫ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerLeft K g'
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p} → ↑↑m = ↑↑n
⊢ ↑m = ↑n
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
⊢ (W.Φ n).coeff (n.natAbs ^ 2) ≠ 0
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
a : α
⊢ IsMaxOn f Set.univ a ↔ ∀ (x : α), f x ≤ f a
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (E.map φ).a₄ = φ E.a₄
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ (traceMatrix A ⇑b *ᵥ b.equivFun z) i = (trace A B) (z * b i)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
Preorder ι
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet s κ μ
i : ι
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s i})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j < i, s j = t}) κ μ
c : ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially fun x => c
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ ⇑(MvPowerSeries.monomial R 0) = ⇑(MvPowerSeries.C σ R)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
⊢ s.encard ≤ ↑k ↔ s.Finite ∧ s.ncard ≤ k
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
i : ι
⊢ ((span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P₁.toLin.flip) (P₁.coroot i) = ((span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P₁.toLin.flip) (P₂.coroot i)
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a⁺ ≤ b⁺ ∧ b⁻ ≤ a⁻
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* M
h : f.ker = ⊥
x y : G
hxy : f x = f y
⊢ x = y
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
G : Type u_1
CommGroup G
a b : G
⊢ a * (b * a⁻¹) = b
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
⊢ M = Matroid.loopyOn E ↔ M.E = E ∧ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((CategoryTheory.forget₂ Grp MonCat).obj H)
CategoryTheory.LeftRigidCategory V
⊢ (ᘁX).V = ᘁX.V
R : Type u_1
V : Type u_2
Field R
AddCommGroup V
TopologicalSpace R
TopologicalSpace V
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup V
Module R V
SeparatingDual R V
ContinuousSMul R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ A, A x = y
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : Sphere P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = r
⊢ sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
ι : Type u
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
⊢ DFinsupp.sigmaCurry 0 = 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsCoverDense K
ℱ : SheafOfTypes K
X : D
s t : ℱ.val.obj (op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, (Sieve.coverByImage G X).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup β
AddCommGroup γ
a : FreeAbelianGroup α
f : α → β
g : β →+ γ
⊢ g ((FreeAbelianGroup.lift f) a) = (FreeAbelianGroup.lift (⇑g ∘ f)) a
x y n : Nat
left : x < 2 ^ n
right : y < 2 ^ n
⊢ x ^^^ y < 2 ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
VAdd α β
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, s i) +ᵥ t = ⋃ i, s i +ᵥ t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X + C b).leadingCoeff = a
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D
h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
⊢ F₁ = lift r (functor r ⋙ F₂) ?m.14535
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
IH : (⇑derivative)^[n] (p * q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k] q)
⊢ (⇑derivative)^[n + 1] (p * q) = ∑ k ∈ range (n + 1).succ, (n + 1).choose k • ((⇑derivative)^[n + 1 - k] p * (⇑derivative)^[k] q)
R : Type u
M₁ : Type v
M₂ : Type w
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
⊢ e.lieConj.symm = e.symm.lieConj
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).a₆ =
  ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.equivOfNatIso α).inverse =
  CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTrans α.hom
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ
g : α → E
s : Set α
⊢ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α) in s, (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ
α : Type u_1
R S : α → α → Prop
HRS : ∀ ⦃a b : α⦄, R a b → S a b
a b : α
Hab : ∀ ⦃c : α⦄, R a c → S b c
l : List α
p : List.Chain R a l
⊢ List.Chain S b l
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.mul ▷ P.X ▷ S.X) (((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X S.X).hom ≫ (α_ R.X R.X (P.X ⊗ S.X)).hom ≫ R.X ◁ R.X ◁ P.actRight ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv) ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ⨅ x, ‖y - ↑x‖ < ε
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
⊢ Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilteriUnion I ⊤) (l.toFilteriUnion J (Prepartition.single J I h))
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).sym2 = Finset.image (fun b => s(a, b)) (insert a s) ∪ s.sym2
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ limsup u f < ↑x - ↑y
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x y : 𝕜
⊢ dist ((algebraMap 𝕜 𝕜') x) ((algebraMap 𝕜 𝕜') y) = dist x y
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : T
m : M
s : ↥S
⊢ (x * y) • mk m s = x • y • mk m s
M : Type u_2
AddCommGroup M
𝕜 : Type u_5
Field 𝕜
Module 𝕜 M
f : M ≃ₗ[𝕜] M
⊢ LinearMap.det ↑f.symm = (LinearMap.det ↑f)⁻¹
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type ?u.36861
N : Type ?u.36864
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
x y : M
⊢ { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
f : Equiv.Perm α
h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)
x : α
h : f ∈ l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l)
hx : f x ≠ x
y : α
hy : y ∈ l
hy' : f ∈ List.map (fun f => Equiv.swap a y * f) (permsOfList l)
g : Equiv.Perm α
hg₁ : g ∈ permsOfList l
hg₂ : Equiv.swap a y * g = f
hxa : ¬x = a
hxy : ¬x = y
⊢ g x ≠ x
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
⊢ ↑p₁.natDegree - ↑q₁.natDegree = ↑p₂.natDegree - ↑q₂.natDegree
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
s : ForInStep β
l₁ l₂ : List α
⊢ ForInStep.bindList f (l₁ ++ l₂) s = do
  let x ← ForInStep.bindList f l₁ s
  ForInStep.bindList f l₂ x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20343, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : J.OneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
⊢ E.sieve₁ (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂)) ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ (p.coeff i).IsHomogeneous j
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type w
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type v'
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type w'
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ (I.prod I').source = {x | x.1 ∈ I.source ∧ x.2 ∈ I'.source}
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b = -(eVariationOn f (s ∩ Icc b a)).toReal
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ G ≈ nim G.grundyValue
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
⊢ ↑s n = ↑(empty α) n
α : Type u_1
n m : ℕ
l : List α
a : α
h : a ∈ List.dropSlice n m l
⊢ a ∈ l
α : Type u
β : Type v
m : α → β
⊢ Filter.comap m ⊥ = ⊥
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R p) f = 0 ↔ f = 0
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
l : M ≃ₗ[R] M'
⊢ associatedPrimes R M = associatedPrimes R M'
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, ⨆ j, ∫⁻ (a : α), f i j a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ j, f i j a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
h : range f ∈ 𝓝 (f a)
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
M : Type u_1
AddMonoid M
s t : Set M
ht : IsAddSubmonoid t
h : s ⊆ t
⊢ AddMonoid.Closure s ⊆ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
z : F.obj a × G.obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductEquiv F G a).symm z = CategoryTheory.FunctorToTypes.prodMk z.1 z.2
α : Type u
l₁ : List α
σ : α → Type u_1
l₂ : (a : α) → List (σ a)
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup
⊢ (l₁.sigma l₂).Nodup