ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => match x with | ⟨a, b⟩ => Y_n a b) fun x => match x with | ⟨a, b⟩ => π_n a b ≫ π a) ∈ (coherentTopology C).sieves X
y : PartENat
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m ≤ y
⊢ ↑m < y + 1
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderBot α
s : Finset ι
h : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ ∃ i ∈ s, s.sup f = f i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ l, p x
⊢ p l.prod
G : Type u_1
Group G
Preorder G
CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set G
a : G
⊢ IsGLB s⁻¹ a ↔ IsLUB s a⁻¹
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsAddLeftInvariant
s : Set G
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.addHaarScalarFactor μ • μ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝¹ : LinearOrder X
inst✝ : CompactIccSpace X
x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
s : Set X
hsl : s ∈ atBot
hs : IntegrableOn f s μ
h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
this : Nonempty X
a' : X
ha' : ∀ b ≤ a', b ∈ s
⊢ IntegrableOn f (Icc a' a) μ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set G
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ ↑(stabilizer G s) * s ↔ x✝ ∈ s
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
⊢ (restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y' = (fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k
⊢ orderOf (ζ ^ p) = k / p
b : Bool
⊢ ((!b) = true) = (b = false)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p ⊤
s m n : Nat
⊢ range' s m ++ range' (s + m) n = range' s (n + m)
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedCommSemiring α
StrictOrderedSemiring β
Algebra α β
SMulPosStrictMono α β
a : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < (algebraMap α β) a
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁶ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁵ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝⁴ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝² : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝¹ : IsScalarTower R S S'
this✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
this : IsLocalizedModule MX k
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
x y : PSet
⊢ x.Equiv y → ∀ {w : PSet}, x ∈ w ↔ y ∈ w
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
⊢ Differentiable 𝕜 Complex.exp
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : f ≫ g = 𝟙 Y
⊢ IsIso (inv g)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Ioi a ⊆ Ici a
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z)) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y))
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Real.log =o[Filter.atTop] fun x => x ^ r
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
⊢ f.measure (Set.Ioc a b) = ENNReal.ofReal (↑f b - ↑f a)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this : DecidableEq G
⊢ ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ u :: List.map (fun x => x.toProd.2) p.darts = p.support
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥
⊢ ↑(comap f (map f N)) = ↑N
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : ∀ (x : M₁), B x = 0 → x = 0
x : M₁
hB : ∀ (y : M₂), (B x) y = 0
h' : B x = 0
⊢ x = 0
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
g : S → R
f : F
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : R
⊢ ↑((RingEquiv.sofLeftInverse' h) x) = f x
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace 𝕜
β : Type u_4
inst✝ : UniformSpace β
f : β → Matrix m n 𝕜
⊢ (∀ (i : m) (i_1 : n), Filter.Tendsto ((fun a => (a.1 i i_1, a.2 i i_1)) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) (𝓤 𝕜)) ↔ ∀ (i : m) (j : n), Filter.Tendsto (fun x => (f x.1 i j, f x.2 i j)) (𝓤 β) (𝓤 𝕜)
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
⊢ IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p✝ q p : ℝ≥0
right✝ h : ↑p < b
c : ℝ≥0∞
pc : ↑p < c
cb : c < b
⊢ ∃ q, 0 ≤ q ∧ ↑p < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.IsReduced (AlgebraicGeometry.Spec R) ↔ IsReduced ↑R
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).X₄ = f.right.right
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ≤ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
i : ι
l : List ι
f : (j : ι) → j ∈ i :: l → α j
⊢ List.Pi.cons i l (List.Pi.head f) (List.Pi.tail f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
⊢ (e.piecewise e' s t H H').symm = e.symm.piecewise e'.symm t s ⋯ ⋯
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * p).natDegree = p.natDegree
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Fin (n + 2) → Type u_1
x : α 0
p : (i : Fin n.succ) → α i.succ
⊢ cons x p 1 = p 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S : Set α
hS : IsClosed S
hxS : x ∈ S
⊢ IsGenericPoint x S ↔ ∀ (Z : Set α), IsClosed Z → x ∈ Z → S ⊆ Z
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U
⊢ f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝⁴ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝³ : DecidableRel c.Rel
inst✝² : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
D : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} D
H : HomologicalComplex C c ⥤ D
hH : (homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H
this : IsIso (H.map (π K))
⊢ H.map (ι₀ K) = H.map (ι₁ K)
M : Type u_1
E : Type u_2
Monoid M
AddGroup E
DistribMulAction M E
Bornology M
s t : Set E
⊢ Absorbs M (-s) (-t) ↔ Absorbs M s t
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set (α ⊕ β)
⊢ M.Basis ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' I)))) ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' X)))) ∧ N.Basis ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' I)))) ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' X)))) ↔ M.Basis (Sum.inl ⁻¹' I) (Sum.inl ⁻¹' X) ∧ N.Basis (Sum.inr ⁻¹' I) (Sum.inr ⁻¹' X)
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ dist (c • f) (c • g) = dist f g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.1.divisorsAntidiagonal, f x.snd.1 • g x.snd.2 • h x.fst.2 = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.2.divisorsAntidiagonal, f x.fst.1 • g x.snd.1 • h x.snd.2
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a : α
b : β
⊢ Set.Ici a ×ˢ Set.Ici b = Set.Ici (a, b)
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 ≤ x
⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.reverse.next ⋯ x ⋯ = s.prev hs x hx
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Function.Surjective (Submodule.comap (Module.Dual.eval K V))
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ P.coxeterWeight i j = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : measureUnivNNReal μ ≤ 0
⊢ μ = 0
a b : Int
n : Nat
h : a + ↑n.succ = b
⊢ a < b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hlt : padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
h : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) ≠ padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
hi : N ≤ i
hN' : padicNorm p (↑(f - g) i) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) - padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
hpne : padicNorm p (↑f i) ≠ padicNorm p (-↑g i)
⊢ False
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
CategoryTheory.Epi S.g
i : ι
S.X₁.HasHomology i
S.X₂.HasHomology i
S.X₃.HasHomology i
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (HomologicalComplex.opcyclesMap S.f i) (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact
α : Type u_1
I : Set α
⊢ Matroid.uniqueBaseOn ∅ I = Matroid.loopyOn I
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
ι : Type u_1
s : Finset ι
M : ι → Set A
⊢ ∏ i ∈ s, Submodule.span R (M i) = Submodule.span R (∏ i ∈ s, M i)
V : Type u
G G' : SimpleGraph V
h : G ≤ G'
⊢ G.support ⊆ G'.support
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ J, ∀ y ∈ I, x * y ∈ I * J
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝¹ l✝ : List α
x : α
l : List α
y : α
hp : l.reverse = l → l.Palindrome
hr : [y].reverse ++ l.reverse ++ [x] = x :: (l ++ [y])
⊢ (x :: (l ++ [x])).Palindrome
α : Type u_1
inst✝ : StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Ioc 0 1)
⊢ x = 1 ↔ ↑x = 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
⊢ S = ⊤
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Complex.Gamma s = s.GammaIntegral
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (p * p.mirror).toFinsupp }
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
⊢ ∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V
⊢ ∃ x ∈ {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = index K' V
α : Type u_1
p : (_ : α) × PUnit.{u_2 + 1}
⊢ (Equiv.sigmaPUnit α) p = p.fst
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
⊢ ((fixedBy α f)ᶜ.Finite ∧ ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → f ∈ closure S
α : Type u
s t : Set α
DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s \ t).Finite
⊢ h.toFinset = hs.toFinset \ ht.toFinset
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
CompleteLattice R
a : ι → R
⊢ Filter.limsup a F = sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
Group β
TopologicalGroup β
hu : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.Adapted f u⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
P : Type u_6
AddGroup P
K : AddSubgroup P
g : N →+ P
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.comap g K) = AddSubgroup.comap (g.comp f) K
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
a b n : ℤ
h : a + b = n
a' : ℤ
ha' : a' = a + x
n' : ℤ
hn' : n' = n + x
⊢ ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a b n h ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f n =
  (K.shiftFunctor₁XXIso a x a' ha' b).hom ≫
    K.ιTotal (ComplexShape.up ℤ) a' b n' ⋯ ≫
      (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (ComplexShape.up ℤ)) x n n' hn').inv
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, PowerSeries.exp A ^ k =
  PowerSeries.mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p.factorial)⁻¹
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x y : α
r : ℝ
h : dist x y ≤ K * r
rpos : 0 < r
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
⊢ closedBall y r ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x
a b c : Int
h₁ : a < b
h₂ : 0 < c
⊢ c * a < c * b
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring T
f : S →+* T
g : σ → T
h : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) ((MvPolynomial.bind₂ h) φ) =
  (MvPolynomial.eval₂Hom ((MvPolynomial.eval₂Hom f g).comp h) g) φ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ i : ι, b.repr x i • b i = x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : Continuous ⇑p
r : ℝ
hr : 0 < r
this : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → γ
hg : Set.InjOn g t
hf : Set.InjOn f s
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.InjOn (g ∘ f) s
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
this : a₁ ≠ a₂
⊢ (lapply a₂ ∘ₗ lsingle a₁) b = 0
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
⊢ (1 + s) ^ p < 1 + p * s
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J K : Ideal R
hIJ : I ≤ J.radical
hJ : J.radical.FG
k : ℕ
hk : J.radical ^ k ≤ J
⊢ I ^ k ≤ J
R : Type u
σ : Type v
CommRing R
s : Set σ
p : MvPolynomial (↑s) R
⊢ Prime ((MvPolynomial.rename Subtype.val) p) ↔ Prime p