ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddZeroClass M
CommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ (f + g).prod h = f.prod h * g.prod h
M : Type u_11
N : Type u_12
Monoid N
SMul M N
h : ∀ (x : M) (y : N), x • 1 * y = x • y
⊢ IsScalarTower M N N
n m m' : ℕ
h : n ^^^ m = n ^^^ m'
⊢ m = m'
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n✝
M : Matrix n✝ n✝ R
hM : M.PosSemidef
n : ℕ
⊢ (M ^ (-↑n)).PosSemidef
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
⊢ ∀ {x d₂ : D} (f : x ⟶ d₂) (e : C),
  ((CategoryTheory.evaluationLeftAdjoint D c).map f).app e =
    CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun h =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun x => d₂) h)
ι : Type u_1
Fintype ι
DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |(Matrix.diagonal D).det| •
    MeasureTheory.Measure.map (⇑(Matrix.toLin' (Matrix.diagonal D))) MeasureTheory.volume =
  MeasureTheory.volume
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η θ : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) η =
    CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) θ ↔
  η = θ
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * (n + 1) [MOD a - 1]
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ e ∈ I → ¬M.Dep (insert e I)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : F →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) x ↔ HasFDerivAt f f' (iso x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₃'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : CommMon_ C
⊢ 𝟙 A = 𝟙 A.toMon_
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
s : Set M
f : M → N
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
h1 : f 0 = 0
hmul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), f (x + y) = f x + f y
⊢ ⇑(AddMonoidHom.ofClosureMEqTopLeft f hs h1 hmul) = f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hf' : AntitoneOn f s
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : α
⊢ a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → f a = f b
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → ε' → ε
n' : β → γ → ε'
h : Filter γ
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = m' a (n' b c)
⊢ map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ m' f (map₂ n' g h)
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap
this : Dual.eval R N = ↑ed.symm ∘ₗ Dual.eval R M ∘ₗ ↑e.symm
⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R N)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : mk' K x y = 0
⊢ x = 0
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f g : Module.End K M
FiniteDimensional K M
PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
⊢ (f - g).IsSemisimple
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.fst)
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd)
      CategoryTheory.Limits.prod.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (fun p => (p.1, p.2)) = id
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
g : InfTopHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : InfTopHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ SupBotHom.dual.symm (g.comp f) = (SupBotHom.dual.symm g).comp (SupBotHom.dual.symm f)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
s : S
h : s ∈ Set.range ⇑f
⊢ C s ∈ lifts f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughInjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk f (CategoryTheory.Injective.d f) ⋯).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
g : γ → β
f : β → α
hg : Function.Injective g
⊢ ∑' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∑' (x : γ), f (g x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ φ.τ₃.op ≫ S₁.g.op = S₂.g.op ≫ φ.τ₂.op
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
⊢ List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) (a :: l₂✝)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ tsupport ↑f = Metric.closedBall c f.rOut
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑b
G : Type u_1
Group G
g₁ g₂ : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆ ∈ commutatorSet G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
r : α → Prop → Prop
this : (fun x x_1 => x ↔ x_1) = fun x x_1 => x = x_1
⊢ (r ∘r fun x x_1 => x ↔ x_1) = r
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
⊢ a ≤ ⨆ i, f i → ∃ i, a ≤ f i
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.toList.prod = s.prod
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
ι : Sort u_4
p : α → ι → Prop
hp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i
i : ι
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ FiniteDimensional.finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{z, w} D
CategoryTheory.Abelian D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (CategoryTheory.Abelian.FunctorCategory.imageObjIso α X).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.kernel.map (CategoryTheory.Limits.cokernel.π (α.app X))
      ((CategoryTheory.Limits.cokernel.π α).app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X))
      (CategoryTheory.Limits.cokernelComparison α ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X)) ⋯)
    (CategoryTheory.Limits.PreservesKernel.iso ((CategoryTheory.evaluation C D).obj X)
        (CategoryTheory.Limits.cokernel.π α)).inv
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 4 = pqr
⊢ 1 < sumInv pqr
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
IsDomain R
h : f.degree ≠ 0
⊢ Nontrivial (AdjoinRoot f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
DecidableEq ι
i j : ι
v : G i
w : G j
⊢ ⟪(V i) v, (V j) w⟫_𝕜 = if i = j then ⟪(V i) v, (V j) w⟫_𝕜 else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
a : α
L : Sublattice β
⊢ a ∈ Sublattice.comap f L ↔ f a ∈ L
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.optionCongr.removeNone = e
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (proj i) f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
c : Set α
hca : c ⊆ Ici a
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c
⊢ ∃ ub ∈ Ici a, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun x => (f x.1) x.2
α : Type u_4
β : Type u_5
Monoid α
Monoid β
x : α × β
⊢ orderOf x = (orderOf x.1).lcm (orderOf x.2)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
⊢ 𝟙 (X _[0]) - 𝟙 (X _[0]) = 0
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
n : M₂
⊢ ↑((Submodule.sndEquiv R M M₂).symm n) = (0, n)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
e : ℕ
n : σ
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.monomial (s + Finsupp.single n e)) a = (MvPolynomial.monomial s) a * MvPolynomial.X n ^ e
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
x : B
⊢ (algebraMap A K) ((Algebra.intTrace A B) x) = (Algebra.trace K L) ((algebraMap B L) x)
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
this : ⇑(eval (π C J) l) ∘ ⇑(Homeomorph.setCongr ⋯) = ⇑(eval (π (π C K) J) l)
⊢ ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).sin * ‖x + y‖ = ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : ∀ (i : ι), ∃ x ∈ s i, f x = y
⊢ y ∈ f '' ⋂ i, s i
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ Equiv.symm (Equiv.mulLeft a) = Equiv.mulLeft a⁻¹
A : Type u_3
AddMonoid A
f g : ℕ →+ A
⊢ f 1 = g 1 → f = g
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
n : ℤ
⊢ n • (a + b) = n • a + n • b
a b c d : ℂ
⊢ (a + b) * (c + d) + (a - b) * (c - d) = 2 * (a * c + b * d)
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ Polynomial.degreeLT R n
x : R
⊢ Polynomial.eval x p = ∑ i : Fin n, (Polynomial.degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ i * x ^ ↑i
n k : ℕ+
⊢ ↑n < ↑k ↔ n < k
G : Type u
F : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝³ : Monoid M₁
inst✝² : Monoid M₂
inst✝¹ : FunLike F M₁ M₂
inst✝ : MonoidHomClass F M₁ M₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
m₁ : M₁
⊢ f m₁ ^ exponent M₁ = 1
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
⊢ u 0 ∪ ⋃ i, u (i + 1) = ⋃ i, u i
R : Type u
M : Type v
r : R
m : M
⊢ TrivSqZeroExt.fst (r, m) = r
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
h : indexOf x l = indexOf y l
⊢ x = y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.sub h').h₁ = h.h₁ - h'.h₁
s : Set ℝ
⊢ frontier (Complex.im ⁻¹' s) = Complex.im ⁻¹' frontier s
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (f + g) p) n = (f * g) n
S : Type u_4
L : Type u_5
α : Type u_6
SMul S α
LieRing L
AddCommGroup α
LieRingModule L α
self : LieDerivation.SMulBracketCommClass S L α
s : S
l : L
a : α
⊢ s • ⁅l, a⁆ = ⁅l, s • a⁆
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
n : ℕ
⊢ (L.mapComposableArrows n).EssSurj
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₃ : X₂₁ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ h₂₃
t : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₁₂ v₁₂ v₁₃ (t.desc (h₁₂ ≫ v₁₃) h₂₃ ⋯)
K : Type u
Γ₀ : Type v
Field K
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O K
IsFractionRing O K
hv : v.Integers O
⊢ IsIntegrallyClosed O
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
g : β → γ
s : Set γ
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) ⁻¹' s = ↑f ⁻¹' ↑(Finset.filter (fun b => g b ∈ s) f.range)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
f : α →+ β
a : α
⊢ f (-a) = -f a
B : Type u
Quiver B
a b c : B
p : Quiver.Path a b
f g : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom b c
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.normalizeAux p f = CategoryTheory.FreeBicategory.normalizeAux p g
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Ι a b ↔ a < b
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
⊢ Module.rank (↥(subfield G F)) F ≤ ↑(Fintype.card G)
m n : ℤ
P : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → P n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n
hn : m ≤ n
⊢ Int.strongRec lt ge n = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
⊢ μ s⁻¹ = 0
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E
K_pos : 0 < K
this : ↑f x / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ ≤ 1 / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ
⊢ 1 / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ ≤ K ^ finrank ℝ E / (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B ⥤q C
a : CategoryTheory.FreeBicategory B
⊢ (CategoryTheory.FreeBicategory.lift F).mapId a =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F,
          map₂ := fun {a b} {f g} => Quot.lift (CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom₂ F) ⋯, map₂_id := ⋯,
          map₂_comp := ⋯ }.map
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id a))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b ≤ a
⊢ [[a, b]] = Icc b a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a ≤ 1 * a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation (WSeq α)
⊢ Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ c, c1 = (flatten c).destruct ∧ c2 = c.bind destruct
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) = a • f x + b • f y
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
v : α
hv : v ∈ (mulTSupport f)ᶜ
⊢ v ∈ f ⁻¹' N
J : Type w
X : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily J
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.Hom.id X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a \ b) \ (a \ c) ≤ c \ b
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)
⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) (φ a₁ + φ a₂) ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
f : R[X]
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
⊢ (f • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, f.coeff x.1 • g x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Mf : Monotone f
bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i ≤ p
⊢ p.predAbove i.castSucc = i
⊢ |rexp 1 - 2244083 / 825552| ≤ 1 / 10 ^ 10
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
⊢ f ≫ (g - g') = f ≫ g - f ≫ g'
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
I : FractionalIdeal S P'
g : P ≃ₐ[R] P'
⊢ FractionalIdeal.map (↑g) (FractionalIdeal.map (↑g.symm) I) = I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ), X.rightOpLeftOpIso.inv.left.app X_1 = 𝟙 (X.left.obj X_1)
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
Nontrivial n
⊢ A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ A.det = ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i)
C : Type u₁
Z : C → Prop
self : CategoryTheory.FullSubcategory Z
⊢ Z self.obj
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
UniformSpace δ
h₁ : α ≃ᵤ β
h₂ : γ ≃ᵤ δ
⊢ (h₁.prodCongr h₂).symm = h₁.symm.prodCongr h₂.symm
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Infinite α
⊢ univ.Infinite
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
⊢ sSup c ∈ nonPrincipals R
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ Continuous c.lim
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
CategoryTheory.IsIso i
f : ↑(X.presheaf.obj U)
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = X.basicOpen f
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
⊢ (f.genEigenspace μ) k ≤ f.maxGenEigenspace μ
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ X.toRingedSpace.basicOpen 0 = ⊥
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
⊢ x = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : 1 < ↑p
⊢ ‖↑p‖ = ↑p ^ (-1)