ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Module R V2
inst✝ : SMulCommClass k R V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
p✝ : V1
⊢ ((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) ({ toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) p✝ = (⇑f.linear + fun x => f 0) p✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ mk ↑f ⋯ = Quotient.mk'' (Quotient.out' f)
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} c < Cardinal.aleph0 ↔ c < Cardinal.aleph0
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e e' : X ≃ᵈ Y
h : ∀ (x : X), e x = e' x
⊢ e = e'
α : Type u_1
p : α → Prop
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.All p (l.balance1 v r) ↔ p v ∧ Batteries.RBNode.All p l ∧ Batteries.RBNode.All p r
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ ((algebraMap A K).mapMatrix M).det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν < ⊤
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Module.Injective R (CharacterModule M) ↔
  ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
    (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M L)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ ↑(lowerClosure s) = s
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
⊢ q z • p' = p'.smulRight (q z)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g : G
hg : g ∈ closure S
⊢ (fixedBy α g)ᶜ.Finite
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
f g : R → R
a : A
h : cfc f a = cfc g a
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ Set.EqOn f g (spectrum R a)
R : Type u_3
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
hf : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hnil : IsNilpotent f
⊢ IsNilpotent (f.restrict hf)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
n : ℕ
x : X
⊢ Urysohns.CU.approx n c x ≤ 1
s n : Nat
⊢ List.range' s n = List.map (fun x => s + x) (List.range n)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
hq0 : a ≠ 0
⊢ a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ star a = -a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ X ^ n - 1 = ∏ ζ ∈ nthRootsFinset n R, (X - C ζ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α
⊢ 1 + l∗ * l = l∗
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)
⊢ (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
X : 𝓞 K
hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X
Y : 𝓞 K
hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Y
Z : 𝓞 K
hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Z
⊢ ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ cgf X μ 0 = log (μ Set.univ).toReal
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
⊢ e.comp (algebraMap R R') = (IsLocalization.Away.map R' S' f r).comp (algebraMap R R')
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card (Sym2 α) = (Fintype.card α + 1).choose 2
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' (s ∩ t) = Subtype.val ⁻¹' t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P.op.unop = P
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : CategoryTheory.Adjunction.CoreUnitCounit F G
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight self.unit F)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.associator G F).hom (CategoryTheory.whiskerLeft F self.counit)) =
  CategoryTheory.NatTrans.id ((CategoryTheory.Functor.id C).comp F)
a b c : ℚ
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : CategoryTheory.Functor D T
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X) (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T))),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.toUnder X F).obj X_1).left = X_1.left
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates
⊢ s.length + 1 ≤ s.think.length
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
i : CategoryTheory.SymmetricCategory C
⊢ CategoryTheory.reverseBraiding C = CategoryTheory.SymmetricCategory.toBraidedCategory
⊢ Algebra.norm ℝ = ↑Complex.normSq
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M
⊢ (𝟙 (of R R)) (x, 1).2 • f (x, 1).1 = f (1 • x)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
⊢ (f fun i_1 => e (i i_1)) = (f ⇑e • e.det) fun i_1 => e (i i_1)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
a : R
Q : QuadraticMap R (n → R) R
⊢ (a • Q).toMatrix' = a • Q.toMatrix'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
⊢ ∃ C r, ∃ (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (PMF.pure a).support → PMF β
⊢ (PMF.pure a).bindOnSupport f = f a ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
h : IsUpperSet s
h' : DirSupInacc s
d : Set α
d₁ : d.Nonempty
d₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
x✝ : α
d₃ : IsLUB d x✝
ha : x✝ ∈ s
b : α
hbd : b ∈ d
hbu : b ∈ s
⊢ ∃ b ∈ d, Ici b ∩ d ⊆ s
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
zero : T.mor₃ = 0
this✝ : Epi T.mor₂
this : IsSplitEpi T.mor₂
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
hfst : 𝟙 T.obj₂ - T.mor₂ ≫ section_ T.mor₂ = fst ≫ T.mor₁
⊢ ∃ e, T.mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl ∧ T.mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd
σ : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring S
⊢ MvPolynomial.aevalTower (AlgHom.id S S) = MvPolynomial.aeval
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ LinearMap.range (ι Q) ≤ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨1, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
⊢ (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) = q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
ho : o✝.IsLimit
H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'
⊢ (o✝.bsup fun x x_1 => f x) = o✝.bsup fun x x_1 => g x
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
⊢ ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t
n : ℕ
⊢ s.get n = t.get n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
⊢ AEMeasurable f μ
m n : Nat
h : m < n.succ
⊢ Int.ofNat m + Int.negSucc n = Int.negSucc (n - m)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R (x - y) (x + y) = x
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
h : b ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a / b ≤ 1
q : ℚ
f : ℚ → ℚ → ℚ
f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ
fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂
f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
hc : c /. d = { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ }
⊢ f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ a b c d /. f₂ a b c d
q : ℚ
⊢ q⁻¹ = Rat.divInt (↑q.den) q.num
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = ⊥ → I = ⊥
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
IsDomain K
u : K[X]
hu : IsUnit u
⊢ Polynomial.Splits i u
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ IsPathConnected sᶜ
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hμν : levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
key : (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) ≤ fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal + ε
intble₁ : IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
intble₂ : IntegrableOn (fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
⊢ u.finish.IsReduced
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
pa qa : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT pa qa
f : α ≃ᵐ β
pb qb : Set β → Prop
hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (⇑f ⁻¹' U)
hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (⇑f '' K)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).InnerRegularWRT pb qb
w : Nat
α : Type u_1
f : Fin w → α → α × Bool
state : Nat → α
i : Fin w
ind : ∀ (i : Fin w), (f i (state ↑i)).fst = state (↑i + 1)
⊢ (BitVec.iunfoldr f (state 0)).snd.getLsb ↑i = (f i (state ↑i)).snd
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
a : S
Algebra R S
hfx : (Polynomial.aeval a) f = 0
x : R
⊢ (AdjoinRoot.liftHom f a hfx) ((AdjoinRoot.of f) x) = (algebraMap R S) x
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : spectrum ℝ a ⊆ Set.Icc (-↑t) ↑t
h : spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
⊢ ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ x
f : CircleDeg1Lift
⊢ StrictMono ⇑f ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α
⊢ t ∈ rcomap' r (rcomap' s l) ↔ t ∈ rcomap' (r.comp s) l
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
⊢ M = loopyOn M.E ∨ M.RkPos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᵐ[μ] g n
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ ↔ MeasureTheory.UniformIntegrable g p μ
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : a.val ≤ 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set β
⊢ ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
K : Type u
DivisionRing K
S : Subfield K
⊢ S.subtype = S.subtype
R : Type u
Semiring R
c : R
⊢ (Polynomial.C c).nextCoeff = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.op.mapArrow.EssSurj
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ∀ (m : R) (x : ↥(fst R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ Ioc a b = cons b (Ioo a b) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
hc : 0 < c
hx : x ∈ S
⊢ c • x ∈ S
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
c : S
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
⊢ ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f)) x✝ = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : Fintype ι
b b' : Basis ι ℤ A
⊢ discr ℤ ⇑b' = (b'.toMatrix ⇑b).det ^ 2 * discr ℤ ⇑b'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
s : Set E
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.setToFun μ T hT ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 ⋯ n))
  Filter.atTop (𝓝 (MeasureTheory.setToFun μ T hT f))
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⊂ a ::ₘ s
R : Type u_5
NonAssocSemiring R
f g : ℤ →+* R
⊢ f = g
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a c u v w : V
e : Sym2 V
h : G.Adj a a
⊢ False
𝕂 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕂
CompleteSpace 𝕂
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ HasDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a b : α
ContinuousMul α
s t : Set β
hs : IsCompl s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasProd f (a * b)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Prime X
n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
⊢ a - c ≡ b - d [ZMOD n]
n m : ℕ
i : Fin 2
hi : i ≠ 0
⊢ i = 0 ↔ 1 = 0
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ x * x⁻¹ = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
⊢ f₁ = f₂ ↔ S.pOpcycles ≫ f₁ = S.pOpcycles ≫ f₂
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp p β
i : ι
⊢ (x - y) i = x i - y i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
SecondCountableTopology V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
⊢ ContDiff ℝ N (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.map (NonUnitalRingHom.id R) s = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i : ι
i' : ι'
hi : e.r i' = some i
⊢ e.f i = i'