ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M'✝
inst✝⁴ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommGroup M₁'
inst✝ : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
h : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁ g₁
h' : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁' g₁'
x : M₁
y : M₁'
⊢ (B₁' ((f₁ - f₁') x)) y = (B₁ x) ((g₁ - g₁') y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
i j : ι
hjk : c.Rel j i
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inlX φ i j hjk ≫ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ α hα).f j = hα.hom i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork S.g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).iso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S hf c hc).H
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b✝ : β
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ GameAdd rα s(a₁, b) s(a₂, b)
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : ∀ s_1 ∈ {s}, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun {s}) ∘ id) ((UniformOnFun.toFun {s}) f) (𝓝 f) s_1
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ -Metric.cthickening δ s = Metric.cthickening δ (-s)
G : Type u
self : LeftCancelSemigroup G
a b c : G
⊢ a * b = a * c → b = c
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
F : Type u_3
Semiring S
FunLike F R[X] S[X]
AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
φ_k : ∀ (f : R[X]), f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((Polynomial.monomial n) c)).natDegree = n - k
⊢ (φ p).natDegree = p.natDegree - k
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
FunLike F α β
AddHomClass F α β
m : F
s t : Set β
⊢ ⇑m ⁻¹' s + ⇑m ⁻¹' t ⊆ ⇑m ⁻¹' (s + t)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h : Continuous fun f => f (term I ho)
⊢ IsClosed {f | f (term I ho) = false}
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r
⊢ b = y⁻¹ * l * a * (r * r'⁻¹)
G : Type u_10
H : Type u_11
AddGroup G
SubtractionMonoid H
h : G ≃+ H
x y : G
⊢ h (x - y) = h x - h y
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t : Finset β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : Set.InjOn f ↑s
⊢ s.card ≤ t.card
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
f : Multiset α
hi : ∀ b ∈ f, Irreducible b
u : αˣ
hn0 : f.prod * ↑u ≠ 0
hnu : ¬IsUnit (f.prod * ↑u)
⊢ ∃ f_1, (∀ b ∈ f_1, Irreducible b) ∧ f_1.prod = f.prod * ↑u ∧ f_1 ≠ ∅
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
⊢ ∃ i_1, (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n))).arg = ↑i_1 / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i_1 ↑n ∧ i_1.natAbs < n
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
⊢ Function.Surjective ⇑(Algebra.trace K L)
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x => g * x
⊢ ∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Pow R ℕ
inst✝² : BinomialRing R
inst✝¹ : MulOneClass R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
⊢ multichoose r 1 = r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂
⊢ (map (fun x => f₁ x.1) s).prod = (map (fun x => f₁ x.1) t).prod ∧ (map (fun x => f₂ x.2) s).prod = (map (fun x => f₂ x.2) t).prod ↔ (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
⊢ DiscreteTopology G
F : Type u_1
Field F
Finite F
⊢ ringChar ℂ ≠ ringChar F
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₂.map (α.app d)) (adj₂.counit.app d) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d))
    (adj₁.counit.app d)
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
hb : 0 < b
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hnd : n.natAbs.Coprime d
hab : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := hnd }
⊢ 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := hnd } ↔ 0 ≤ a
⊢ Tendsto (fun z => z * Gamma z) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ I ≠ ⊤ ∧ J ≠ ⊤ → ¬(I.prod J).IsPrime
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
d : D
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
vcompd : ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))).app d = (rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))).app d
⊢ (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₂.obj d)) ≫ β.app (R₂.obj d) ≫ 𝟙 (L₂.obj (R₂.obj d))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d) = 𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₁.obj d)) ≫ (β.app (R₁.obj d) ≫ α.app (R₁.obj d)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
f : A ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
right✝ : F.map f a = x
⊢ ∃ A x, IsGalois A
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
G : ℝ → ℝ
G_mble : Measurable G
G_nn : 0 ≤ G
g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G
g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G
G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t
F : α → ℝ
F_mble : Measurable F
F_nn : 0 ≤ F
f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
n✝ n : ℕ
⊢ ↑n ≡ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum [ZMOD 11]
α : Type u_1
ι : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂MeasureTheory.Measure.sum μ, p x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ i, p x
k : Type u_1
A : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Semiring k
s : Set G
x : MonoidAlgebra k G
⊢ x ∈ Ideal.span (⇑(of k G) '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
k : ℕ
⊢ (p ^ k).properDivisors = Finset.map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (Finset.range k)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
c : R
a : α
⊢ (Finsupp.total α M R v) (single a c) = c • v a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s - t).singularPart μ = s.singularPart μ - t.singularPart μ
K : Type u
Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.IsEquiv v₂ ↔ v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (sinKernel a) (Ioi 0)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.finSepDegree F E = 1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : ∀ (x y : A), Commute (f x) (f y)
⊢ ↑(f.fromOpposite hf) = (↑f).fromOpposite hf
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ Disjoint H₁ H₂ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + 1
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
⊢ (∃ t, q (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, q ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inr)) = 0
α : Type u
Group α
Fintype α
g : α
hx : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ orderOf g = Fintype.card α
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i => f i ^ p
hg_sum : Summable fun i => g i ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
  (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑x = 1 ↔ x = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∃ x, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
⊢ μ S ≤ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightShift 0 a n' hn' = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Monovary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ max (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight i).birthday) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
α : Type u
LT α
x y : α
⊢ x > y ↔ y < x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ (∑ i : I, e i) * (1 - ∑ i : I, e i) = 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
α : Type u_1
x y z w : α
⊢ s(x, y) = s(z, w) ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ (Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y) ↔ Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
⊢ ∃ᶠ (y : S) in Filter.map f F, y ≤ f u
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
x : β
⊢ (0 • x)⁻¹ = 0⁻¹ • x⁻¹
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k
⊢ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g) ≫ (F.mapBiprod X Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift (F.map f) (F.map g)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
One α
f : ι → α
g : ι → α → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hg : ∀ (a : ι), g a 1 = 1
⊢ ∏ i ∈ t, g i ((↑s).mulIndicator f i) = ∏ i ∈ s, g i (f i)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ ((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single (x 0) 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single (fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ) 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
H : IsGreatest s a
⊢ sSup s = a
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k + 1 ≠ -↑n
h3 : (2 * ↑k + 1).Gammaℂ ≠ 0
⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => v &2 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ v &0 * v &2 ≤ v &1 ∧ v &1 < (v &0 + 1) * v &2
z x y : ℕ
⊢ y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ x / y = z
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
⊢ ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
M : Type u_3
AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (Fin.natAdd a j) = 0
⊢ ∑ i : Fin (a + b), f i = ∑ i : Fin a, f (Fin.castLE ⋯ i)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ Set.range (Nat.nth p) = setOf p
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L ⁻¹' s)
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
AddCommMonoid M₂'
Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
⊢ ((Matrix.toBilin b) M).comp ((Matrix.toLin c b) P) ((Matrix.toLin c b) Q) = (Matrix.toBilin c) (P.transpose * M * Q)
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a ↔ b = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ ((range n).biUnion fun i => (↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars) ⊆ univ ×ˢ range n
m a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m
⊢ a = b
n✝ c n : ℕ
hn : n ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
⊢ c ^ n < (n - 1)!
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
⊢ e ∈ M.closure (X ∩ M.E)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∀ (a₁ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₁ : a₁ ∈ compPartialSumSource m M N) (a₂ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₂ : a₂ ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a₁ ha₁ = compChangeOfVariables m M N a₂ ha₂ → a₁ = a₂
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
⊢ ⇑F.toContinuousMap = ⇑F
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ Polynomial.eval 0 M.charpolyRev = 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β → γ
as✝ : List α
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h : (a :: as).length ≤ (b :: bs).length
⊢ map₂Left f (a :: as) (b :: bs) = zipWith (fun a b => f a (some b)) (a :: as) (b :: bs)
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G
⊢ a • (S ⊓ T) = a • S ⊓ a • T
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ S ⊓ T ↔ x ∈ S ∧ x ∈ T
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
q : ℚ
x : ↥s
⊢ ↑(q • x) = q • ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
SMulPosMono α β
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
⊢ 0 ≤ a • b
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
DistribMulAction αᵐᵒᵖ A
IsCentralScalar α A
⊢ IsCentralScalar α (AddSubmonoid A)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
h✝ : Nonempty β
⊢ (comap Prod.fst f).NeBot ↔ f.NeBot ∧ Nonempty β
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p n : α
hp : Irreducible p
d : α
hdp : d ∣ p
hdn : d ∣ n
hpn : ¬IsUnit d
⊢ p ~ᵤ d
G : Type u_3
AddGroup G
a b : G
⊢ a + b = 0 ↔ -a = b
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A
⊢ ↑p ≠ ↑q ↔ p ≠ q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l✝ : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
A : Set E
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
w : E
hw : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
⊢ ∃ l_1 a, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l_1 x}
α : Type u_1
LE α
S : Set (Set α)
hf : ∀ s ∈ S, IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (⋂₀ S)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol
c : ℝ
⊢ BoxIntegral.Integrable I l (c • f) vol
γ : Type w
δ : Type u_2
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
f : γ →C₀ δ
⊢ f.comp (CocompactMap.id γ) = f