ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L.comp G ⟶ L'
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L') (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.postcomp₁ G f F).obj X).hom.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.left.map (f.app X_1)) (X.hom.app X_1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
α : G₂.obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)
hα : adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
⊢ (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f : R[X]
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hfl : f.leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
hfd0 : 0 < f.degree
h0 : f.coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : f.IsPrimitive
⊢ Irreducible f
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
⊢ Subgroup.map f H = ⊥ ↔ H ≤ f.ker
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a) = a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
⊢ Continuous ↿(γ.truncate t)
R : Type u_1
AddCommGroupWithOne R
PartialOrder R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass R
NeZero 1
m n : ℤ
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace
α : Type u
β : α → Type v
C : Finmap β → Finmap β → Prop
s₁ s₂ : Finmap β
H : ∀ (a₁ a₂ : AList β), C ⟦a₁⟧ ⟦a₂⟧
⊢ C s₁ s₂
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.odd.get n = s.get (2 * n + 1)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
σ : G
hσ : σ ∈ S
⊢ ∀ (x : α), σ⁻¹ • x ∈ T ↔ x ∈ T
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 1)
y : G × G
⊢ (A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) - x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + ((-1) ^ (↑0 + 1) • x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)) + (-1) ^ (↑1 + 1) • x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)))
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
TopologicalSpace A₂
Semiring A₂
Algebra R A₂
TopologicalSemiring A₂
α : Type u_5
TopologicalSpace α
g : A →ₐ[R] A₂
hg : Continuous ⇑g
f : C(α, A)
⊢ ∀ (a : α), ((AlgHom.compLeftContinuous R g hg) f) a = g (f a)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
⊢ toOpen R U ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ x = toStalk R ↑x
x y : UInt32
⊢ x.toNat = y.toNat → x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))
As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)
obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}
n : ℕ
⊢ ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sFiniteSeq μ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
⊢ X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩ ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = (X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ
x : α
hx : x ∉ s
⊢ f x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ (fun x => x + z) (a • x + b • y') = a • (x + z) + b • (fun x => x + z) y'
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
q : Group.IsNilpotent ↥(frattini G) ↔ ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p ↥(frattini G)), (↑P).Normal
⊢ Group.IsNilpotent ↥(frattini G)
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
OrderTop α
Nontrivial α
a : α
⊢ Order.pred a ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
l₂ : List β
f : α → β
l : List α
⊢ List.map f l = b :: l₂ ↔ Option.map f l.head? = some b ∧ Option.map (List.map f) l.tail? = some l₂
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
⊢ ∀ {X Y : b ⟶ c} (η : X ⟶ Y) (x : a ⟶ b),
  ((CategoryTheory.Bicategory.postcomposing a b c).map η).app x = CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft x η
α : Type u
β : Type u_1
f : α → α → β
x y : α
l : List α
⊢ List.zipWith f (x :: y :: l) ((x :: y :: l).rotate 1) = f x y :: List.zipWith f (y :: l) (l ++ [x])
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
⊢ 0 < μ n
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ Convex 𝕜 (s \ {x}) ↔ x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a : X
⊢ Set.range ⇑(Path.refl a) = {a}
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
⊢ ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
h : (Ordinal.type r).IsLimit
⊢ ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = (Ordinal.type r).cof
R : Type u_1
NonAssocRing R
NoZeroDivisors R
CharZero R
a : R
⊢ -a = a ↔ a = 0
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ ↑μ.normalize = μ.mass⁻¹ • ↑μ
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : N ≃* M
K : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.comap (↑f) K = Subsemigroup.map (↑f.symm) K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → ℝ≥0∞
M : ℝ≥0
hM : ∀ x ∈ s, f x ≤ ↑M
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ⊤
f : ℕ → ℝ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
r : ℝ
⊢ 0 < r → -↑r < Hyperreal.ofSeq f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c : α
⊢ lcm a b ∣ c ↔ a ∣ c ∧ b ∣ c
X : Type u_4
TopologicalSpace X
self : PathConnectedSpace X
x y : X
⊢ Joined x y
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
h✝ : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
⊢ p (∏ i ∈ h✝.toFinset, f i.down)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
PartialOrder γ
e₁ : α ≃o β
e₂ : β ≃o γ
⊢ e₁.withBotCongr.trans e₂.withBotCongr = (e₁.trans e₂).withBotCongr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
W W' : C
k : W ⟶ W'
k' : W' ⟶ X
h : (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).Factors (k ≫ k' ≫ f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).factorThru (k ≫ k' ≫ f) h =
  k ≫ k' ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImageSubobject f
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n x y : A
⊢ x ∈ map ((LinearMap.mul R A).flip y) P ↔ ∃ z ∈ P, Mul.mul z y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, ↑(f i) ^ r = ↑(∏ i ∈ s, f i) ^ r
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
ContinuousAdd α
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ Summable fun b => f b + g b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set (Set α)
⊢ ⋂₀ ⋃ i, s i = ⋂ i, ⋂₀ s i
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ 1 ≤ Multiset.count a s ↔ a ∈ s
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.cos (x - ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.cos x
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
H₁ : s₁ ⊆ s₂
H₂ : s₂ ⊆ s₁
⊢ s₁ = s₂
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R'
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A i)
Algebra R' R
(i : ι) → Algebra R (A i)
(i : ι) → Algebra R' (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r : R'
i : ι
DecidableEq ι
⊢ (algebraMap R' (⨂[R] (i : ι), A i)) r = (PiTensorProduct.tprod R) (Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r))
σ : Type u_1
M : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
Finsupp.NonTorsionWeight w
f : σ →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.weight w) f = 0 ↔ f = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
x✝ : Fin 0 → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 0 f x) x✝ = (p 0) x✝
H : Type u_1
G : Type u_2
F : Type u_3
Group H
Group G
hH : IsCyclic H
FunLike F H G
MonoidHomClass F H G
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsCyclic G
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set M
a : M
h : a ∈ AddMonoid.Closure s
⊢ ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s) ∧ l.sum = a
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i
⊢ f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i_1 ∈ {i_2 | i_2 ∈ i :: l}, f i_1 ∈ t i_1
G : Type u_3
CommGroup G
H : Subgroup G
m : Multiset ↥H
⊢ ↑m.prod = (Multiset.map Subtype.val m).prod
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Fin.equivSubtype a = ⟨↑a, ⋯⟩
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∪ t = s ↔ t ⊆ s
R : Type u_1
OrderedCommSemiring R
s : Multiset R
h : ∀ a ∈ s, 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ s.prod
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ r ∉ (X.toΓSpecFun x).asIdeal ↔ IsUnit ((X.presheaf.Γgerm x) r)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
⊢ mapMono K i ≫ mapMono K i' = mapMono K (i' ≫ i)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
self : A →⋆ₙₐ[R] B
a : A
⊢ self.toFun (star a) = star (self.toFun a)
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
⊢ c * ⨆ i, f i = ⨆ i, c * f i
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)
S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ
φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)
⊢ ∀ (a₁ : P) (ha₁ : a₁ ∈ S) (a₂ : P) (ha₂ : a₂ ∈ S), φ a₁ ha₁ = φ a₂ ha₂ → a₁ = a₂
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
⊢ (coeff R n) (φ.invOfUnit u) = if n = 0 then ↑u⁻¹ else -↑u⁻¹ * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (φ.invOfUnit u) else 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
CategoryTheory.Injective Z
⊢ (CategoryTheory.InjectiveResolution.self Z).ι = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CochainComplex.single₀ C).obj Z)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f g).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst g f
p q✝ q : ℚ≥0
⊢ q.num.Coprime q.den
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ IsLeftRegular (star x) ↔ IsRightRegular x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Qiso s hs).hom =
  (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).map s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => r • x) μ = ENNReal.ofReal |(r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹| • μ
M : Type u_1
Mul M
p p' : Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ p ⊓ p' ↔ x ∈ p ∧ x ∈ p'
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ List.count a l = l.length ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
⊢ IsCompact (closedBall x₀ r)
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
a : G
h : a ∈ AddGroup.closure s
⊢ ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ -x ∈ s) ∧ l.sum = a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ Mono S.f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α
⊢ ∃ a ≤ x.1 + x.2, (a, x.1 + x.2 - a) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ (𝓝 0).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets id
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
⊢ μ ∅ < ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
K : ℕ → Set X
hK : ∀ (n : ℕ), IsLindelof (K n)
n : ℕ
⊢ IsLindelof (Set.Accumulate K n)
α : Type u_1
p : TwoPointing α
⊢ Nontrivial α
α : Type u_3
UniformSpace α
Group α
h₁ : UniformContinuous fun p => p.1 * p.2
h₂ : UniformContinuous fun p => p⁻¹
⊢ UniformGroup α
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ (↑↑A * ↑↑B) i i = ↑↑A i i * ↑↑B i i
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
⊢ ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ∈ f.eraseLead.support
⊢ a < f.natDegree
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
W : Set G
W_mem : W ∈ 𝓝 1
W_closed : IsClosed W
hW : W ⊆ V
⊢ W ∩ W⁻¹ * (W ∩ W⁻¹) ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a✝ b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
a : α
ha : a ∈ minimals r x
a' : α
h' : a' ∈ x
⊢ r a' a → r a a'
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ s ⊆ interior s ↔ IsOpen s
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
⊢ ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ⊓ c = (a ⊓ c) ∆ (b ⊓ c)
a : Multiplicative ℕ
b : ℕ
⊢ Multiplicative.toAdd (a ^ b) = Multiplicative.toAdd a * b
a b c : Prop
⊢ a ∧ (b ∨ c) ↔ a ∧ b ∨ a ∧ c
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (s n).indicator f a) atTop (𝓝 ((⋂ b, s b).indicator f a))
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
hy : IsPrimal y
⊢ x * y ∣ z
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R0Space X
x : X
⊢ IsCompact (closure {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
SupSet α
SupSet β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ ⨆ i, (f i, g i) = (⨆ i, f i, ⨆ i, g i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.leadingCoeff = 0 → x = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
⊢ (fun m n => r (f m) (f n)) m n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ im ⟪x, y⟫_𝕜 = -im ⟪y, x⟫_𝕜
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ Fintype.card ι ≤ finrank R M
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+: l₁ ++ l₂
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ (m * n) • a = n • m • a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F (CategoryTheory.forget C)
D : CategoryTheory.Limits.Cone F
hD : CategoryTheory.Limits.IsLimit D
x y : (CategoryTheory.forget C).obj D.pt
⊢ (∀ (j : J), (D.π.app j) x = (D.π.app j) y) → x = y
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ φ i, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), f x ∂μ
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ closure (Metric.sphere x ε) = Metric.sphere x ε
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ l
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hf : IntegrableOn f (t ∩ u) μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t ↔ x ∈ t ∩ u
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e a : ℝ
⊢ 1 ⊔ b ^ e ≤ a → logb b a ≤ e
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ ((a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).lift.op = (sheafOver ℱ' (unop U)).val.map (Nonempty.some hf).lift.op ((a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1))
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α = 0
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
r : (α.prod α).Arrow (TypeVec.repeat n Prop)
⊢ TypeVec.comp (TypeVec.subtypeVal r) (TypeVec.toSubtype' r) = fun i x => TypeVec.prod.mk i (↑x).1 (↑x).2
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c_pos : 0 < c
hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
x : R
h : p.IsRoot x
⊢ Polynomial.eval x p = 0
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate' (l.length * n) = l
α : Type u_1
f✝ : Filter α
β : Type u_2
inst✝¹ : Countable β
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
g : Filter β
u : α → β → ℝ≥0∞
⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, ∀ (b : β), u a b ≤ limsup (fun a' => u a' b) f
G : Type u
inst✝ : Monoid G
⊢ exponent G ∣ 0 ↔ ∀ (g : G), g ^ 0 = 1