ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => (c y).comp (d y)) x
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
⊢ f.comp (MulSemiringActionHom.id M) = f
α : Type u_1
OrderedRing α
a b : α
a' b' : ℤ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b'
h : decide (b' ≤ a') = true
⊢ ¬a < b
R : Type u
CommRing R
X Y Z : CoalgebraCat R
e : X ≅ Y
f : Y ≅ Z
⊢ (e ≪≫ f).toCoalgEquiv = e.toCoalgEquiv.trans f.toCoalgEquiv
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
obj : Fin (n + 1) → C
mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ
⊢ ∃ F e,
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < n),
    mapSucc ⟨i, hi⟩ =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e ⟨i, ⋯⟩).inv
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' i (i + 1) ⋯ hi) (e ⟨i + 1, ⋯⟩).hom)
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ limit.lift (𝟙_ (J ⥤ C) ⊗ X) { pt := limit (𝟙_ (J ⥤ C)) ⊗ limit X, π := { app := fun j => limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (λ_ X).hom) ≫ limit.π X j
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : Associated (d ^ k) a
⊢ ∃ d, a = d ^ k
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ it.atEnd = true ↔ r = []
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})
hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)
t : β
hf : Surjective f
⊢ IsPreconnected (f ⁻¹' connectedComponent t)
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
Fintype I
x : R
hx : IsIdempotentElem x
hx₁ : x * ∑ i : I, e i = 0
hx₂ : (∑ i : I, e i) * x = 0
⊢ OrthogonalIdempotents fun x_1 => x_1.elim x e
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = ∏ x : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L, ?a.f✝ x
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ LipschitzWith 1 negPart
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
k n : ℕ
⊢ Nat.nth p k ≤ Nat.nth p n ↔ k ≤ n
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ WithBot.orderIsoPUnitSumLex ↑a = toLex (Sum.inr a)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I ↔ ∃ S, I = Ideal.span (Subtype.val '' S)
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (∏ x ∈ Finset.Iio a, f x) * f a = ∏ x ∈ Finset.Iic a, f x
p p' : Prop
q q' : p → Prop
hq : ∀ (h : p), q h ↔ q' h
hp : p ↔ p'
⊢ (∀ (h : p), q h) = ∀ (h : p'), q' ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space Y
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ T0Space X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
h : Primrec fun a => ↑(f a)
n : ℕ
⊢ encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) (decode n)) = encode (Option.map f (decode n))
α : Type u
Group α
⊢ Function.Injective GroupTopology.toTopologicalSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
_hs : MeasurableSet s
q : ℚ
⊢ ∫ (b : β) in s, f (a, b) q ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Set.Iic ↑q)).toReal
a b c : Prop
⊢ (a ∧ b) ∧ c ↔ (a ∧ c) ∧ b
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
n : σ
⊢ ∑ x : σ, (Fintype.card K - 1) * Multiset.count n {x} = Fintype.card K - 1
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
r₁ r₂ : ι → ι → Prop
s₁ s₂ : (i : ι) → α i → α i → Prop
hr : ∀ (a b : ι), r₁ a b → r₂ a b
hs : ∀ (i : ι) (a b : α i), s₁ i a b → s₂ i a b
a b : (i : ι) ×' α i
h : PSigma.Lex r₁ s₁ a b
⊢ PSigma.Lex r₂ s₂ a b
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
ι : Sort u_7
f : G →+ N
s : ι → AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f (iSup s) = ⨆ i, AddSubgroup.map f (s i)
α : Type u_1
LE α
AddZeroClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a ≤ a + b ↔ 0 ≤ b
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
e : α ≃ β
f : γ → α
g : γ → β
⊢ ⇑e.symm ∘ g = f ↔ g = ⇑e ∘ f
α : Type u_3
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
⊢ (s.sigma t).card = ∑ a ∈ s, (t a).card
R : Type u_1
Mul R
StarMul R
a : R
s : Set R
h : ∀ a ∈ s, star a ∈ s
ha : a ∈ s.centralizer
⊢ star a ∈ s.centralizer
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
⊢ ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
α : Type u
β : Type v
Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : Cardinal.lift.{max v w, u} #α = Cardinal.lift.{max u w, v} #β
h2 : Cardinal.lift.{max v w, u} #↑s = Cardinal.lift.{max u w, v} #↑t
⊢ Cardinal.lift.{max v w, u} #↑sᶜ = Cardinal.lift.{max u w, v} #↑tᶜ
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
x : α × α
⊢ x ∈ Finset.addAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 + x.2 = a
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
⊢ ↑⊤ = ⊤
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω
⊢ (c • μ) x✝ = (c • ⇑μ) x✝
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
R : ℝ
Rpos : R ∈ Ioi 0
hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}
x : α
t r : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 K
hr : r ≤ R
rneg : r < 0
⊢ μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
a b m n p✝ p : ℕ
⊢ count p (primeFactorsList 0) = (factorization 0) p
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
s✝ : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
s : Multiset α
ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
hs : (a ::ₘ s).Nodup
ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup
⊢ ((a ::ₘ s).pi t).Nodup
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ (LieDerivation.ad R L).ker = LieAlgebra.center R L
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ deriv (fun y => c y • f y) x = c x • deriv f x + deriv c x • f x
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imK 1 = 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l l'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.unit.app Y) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (e.unit.app Y) ↔ f = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι → Set α
h : ¬∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → ∀ t ≤ f i, t ≤ f j → t ≤ ⊥
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
⊢ nndist I.lower I.upper / nndist (I.lower i) (I.upper i) ≤ I.distortion
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
DecidableEq α
a : α
⊢ a ∈ sᶜ ↔ a ∉ s
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜
⊢ ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.re y) + (↑(RCLike.im x) + ↑(RCLike.im y)) * I = ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I + (↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.im y) * I)
α : Type u
l : List α
BEq α
⊢ List.nil.isSuffixOf l = true
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
s : O
hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s) = 0
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s)) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s))
n : ℕ
⊢ Nat.fib (2 * n + 2) = Nat.fib (n + 1) * (2 * Nat.fib n + Nat.fib (n + 1))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
hq_neg : q < 0
⊢ eLpNorm' 0 q μ = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
hle : f ≤ᶠ[𝓝[s] a] g
hfga : f a = g a
h : IsLocalMinOn f s a
⊢ IsLocalMinOn g s a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -opcyclesMap' φ h₁ h₂
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
Group β
TopologicalGroup β
Lattice β
TopologicalLattice β
f : C(α, β)
x : α
⊢ (mabs f) x = mabs (f x)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Infinite
h' : ∃ ε, ε ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
ε : ℝ≥0∞
hne✝ : ε ≠ 0
hε : ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
this : Infinite ↑s
x y : ↑s
hne : x ≠ y
⊢ (Disjoint on fun x => {↑x}) x y
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
f : α → β → γ
el : l ≃ l'
em : m ≃ m'
M : Matrix l m α
N : Matrix n n' β
⊢ Matrix.kroneckerMap f ((Matrix.reindex el em) M) N =
  (Matrix.reindex (el.prodCongr (Equiv.refl n)) (em.prodCongr (Equiv.refl n'))) (Matrix.kroneckerMap f M N)
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, term (i + 1) 1) atTop (𝓝 (1 - γ))
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f) Set.univ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces
h : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s
⊢ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
c : C
⊢ adj₁.unit.app c ≫ ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c)
α : Type u_1
Finite α
⊢ 1 < Nat.card α ↔ Nontrivial α
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuous f
hg : LowerSemicontinuous g
⊢ LowerSemicontinuous fun z => f z + g z
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ Monotone l
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)
hr : r ≤ 0
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
⊢ p x ≤ ‖k‖ * r → ∃ y ∈ p.closedBall 0 r, k • y = x
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < b
⊢ wellOrderSucc a ≤ b
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
a b : X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
LinearOrder X
CompactIccSpace X
T2Space X
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f [[a, b]] μ
α : Type u_1
⊢ Function.Injective Finset.Colex.toColex
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Semiring α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f (↑n * (2 * c))
α : Type u
p : α → Prop
l : List α
⊢ List.Forall p l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (insert x s) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
α : Type u
l l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁, l₂) ∈ l.sublists.revzip → (l₁ ++ l₂).Perm l
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
⊢ ∃ u v,
  StrictAnti u ∧
    StrictMono v ∧
      (∀ (k : ℕ), u k ∈ Set.Ioo x y) ∧
        (∀ (l : ℕ), v l ∈ Set.Ioo x y) ∧
          (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) ∧ Filter.Tendsto v Filter.atTop (𝓝 y)
n : Nat
a b : Fin n
h : a < b
⊢ b ≠ a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
p : L.Substructure N
f : L.Hom M N
h : ∀ (c : M), f c ∈ p
c : M
⊢ ↑((FirstOrder.Language.Hom.codRestrict p f h) c) = f c
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ b / (a * b) = 1 / a
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_8
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → A
z : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
hg : AnalyticAt 𝕜 g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x * g x) z
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ (NonemptyInterval.toProd 0).2 = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℕ
⊢ (∀ (y : α), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})) → Measurable f
α : Type u_1
arr arr' : Array α
⊢ (arr ++ arr').data = arr.data ++ arr'.data
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀
h8 : (sphere z₀ r).Nonempty
h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)
x : ℂ
hx : x ∈ sphere z₀ r
hfx : IsMinOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r) x
⊢ ball (f z₀) (‖f x - f z₀‖ / 2) ⊆ f '' closedBall z₀ R
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocRing R
self : RingSeminorm R
x y : R
⊢ self.toFun (x * y) ≤ self.toFun x * self.toFun y
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
h : ↥H
⊢ ⁅h, x⁆ = α h • x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj X) = limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F ⋙ evaluation R X).obj j)).inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : MDifferentiableOn I I' f s
⊢ ContinuousOn f s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
G : CategoryTheory.Functor C D
H : D ≌ E
i : G.comp H.functor ≅ F
X : C
⊢ i.isoCompInverse.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (H.inverse.map (i.inv.app X)) (H.unitIso.inv.app (G.obj X))
w : Nat
x : BitVec w
n m : Nat
⊢ x >>> (n + m) = x >>> n >>> m
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔
  ∀ (t1 t2 : Set Ω),
    MeasurableSet t1 →
      MeasurableSet t2 →
        μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
x : R
⊢ x ∈ ClassGroup.finsetApprox bS adm ↔
  ∃ i j, i ≠ j ∧ (ClassGroup.distinctElems bS adm) i - (ClassGroup.distinctElems bS adm) j = x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ Measurable f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → f (g^[k] x) < g^[k + 1] x
ι : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
β₁ : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
(i : ι) → Module R (β₁ i)
⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => LinearEquiv.refl R (β₁ i)) = LinearEquiv.refl R (Π₀ (i : ι), β₁ i)
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ I.cotangentEquivIdeal (I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩) = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set α
⊢ r.image (s ∪ t) = r.image s ∪ r.image t
G : Type u_1
⊢ Function.Injective (@CommGroup.toGroup G)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
ι : Type u_6
Fintype ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
u : (i : ι) → M i
m : E
⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y) u) s x) m = ((fderivWithin 𝕜 c s x) m) u
α : Type u_1
xs : List α
⊢ List.map (⇑(Sym2.equivSym α)) xs.sym2 = List.sym 2 xs
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.basis W) 1 = (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * g a ^ (p - 1) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g₁ g₂ : PseudoEpimorphism β γ
f : PseudoEpimorphism α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂