ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
g : α → β
γ : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace α} {f : γ → α} {μ : MeasureTheory.Measure γ},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) →
    Measurable f → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S T : Set E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin (↥(IntermediateField.adjoin F S)) T) =
  IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin (↥(IntermediateField.adjoin F T)) S)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right red a x parent)) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
k : ℕ
⊢ ⋃ n, ⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⋃ n, ⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ n), f i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
FunLike F α β
SupHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (s ⊻ t) = Finset.image (⇑f) s ⊻ Finset.image (⇑f) t
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsWeakUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ a → a ⊓ b ⋖ b → b ⋖ a ⊔ b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingCospan),
  (CategoryTheory.Limits.cospanOp f g).inv.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z)) val)
        X_1).inv
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
⊢ Function.Injective AddMonoidHom.toNatLinearMap
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
A : Type u_2
AddCommGroup A
ϕ : ↥H →+ A
T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
g : G
⊢ ϕ.transfer g = AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ T (g +ᵥ T)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k n : ℕ
⊢ ‖p.changeOriginSeries k n‖₊ * r ^ n ≤ ∑' (y : { s // s.card = n }), ‖p (k + ⟨n, y⟩.fst)‖₊ * r ^ ⟨n, y⟩.fst
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : Finmap β
⊢ a ∉ s → (Finmap.insert a b s).entries = ⟨a, b⟩ ::ₘ s.entries
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s) = s ↔ s ⊆ Set.range f
R : Type
Ring R
M N : CategoryTheory.Mat R
f g : M ⟶ N
i : ↑M
j : ↑N
⊢ (f + g) i j = f i j + g i j
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
⊢ Filter.Tendsto (fun s => s • P.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-P.f₀))
G : Type u_6
Group G
MeasurableSpace G
S : Subgroup G
⊢ Measurable QuotientGroup.mk
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ QuasiIsoAt I.ι (n + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ edist (MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf) (MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg) = MeasureTheory.eLpNorm (f - g) p μ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
CompactSpace α
PseudoMetricSpace β
T2Space β
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (BoundedContinuousFunction α β)
in_s : ∀ (f : BoundedContinuousFunction α β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ IsCompact (closure A)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
⊢ e.extendSubtype x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1 ↔ IsPrincipal (maximalIdeal R)
F : Type u_1
M : Type u_12
N : Type u_13
Monoid M
Monoid N
EquivLike F M N
MonoidHomClass F M N
f : F
m : M
⊢ IsUnit (f m) ↔ IsUnit m
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e a : ℝ
ha : 1 ≤ a
⊢ b ^ e ≤ a → b ^ e ≤ a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ x.zmodRepr < p
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : Disjoint (s ∩ Function.mulSupport f) (t ∩ Function.mulSupport f)
hs : (s ∩ Function.mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hnm : n ≤ m
⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
a b : NONote
⊢ (a * b).repr = a.repr * b.repr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) ↑x‖ ≤ C
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop.Arrow α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : TypeVec.splitFun f g = TypeVec.splitFun f' g'
⊢ f = f' ∧ g = g'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : PartialOrder γ
inst✝ : OrderTop γ
⊢ upperBounds univ = {⊤}
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.limitRightOpIsoOpColimit F).inv
    (CategoryTheory.Limits.limit.π F.rightOp i) =
  (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖ ^ 2 = ‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ
⊢ f (preNormEDS' b c d n) = preNormEDS' (f b) (f c) (f d) n
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : AddHom H G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a + b = c + d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
UniqueSums G
⊢ UniqueSums H
α β : Type u
⊢ Cardinal.mk α = Cardinal.mk β ↔ Nonempty (α ≃ β)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
hdeg : f.degree ≤ ↑n
⊢ f.natDegree ≤ n
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).c₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * W.c₆
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0
P : F[X] → Prop := fun r => Splits (algebraMap F (r.comp q).SplittingField) r
key1 : ∀ {r : F[X]}, Irreducible r → P r
key2 : ∀ {p₁ p₂ : F[X]}, P p₁ → P p₂ → P (p₁ * p₂)
⊢ Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p
G : Type u_7
Group G
self : GroupSeminorm G
x : G
⊢ self.toFun x⁻¹ = self.toFun x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
⊢ padicNorm p ↑z ≤ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ IsConformalMap ((cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget Grp) x y
⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ
⊢ ((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Subsingleton
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → F
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖flip b (g x) (f x)‖₊ ≤ ‖g x‖₊ * ‖f x‖₊
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑e
r p : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ↑(p / r) = ↑p / ↑r
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ u v, u ∈ 𝓝 x ∧ v ∈ 𝓝 y ∧ IsCompact u ∧ IsCompact v ∧ Disjoint u v
M : Type u_1
Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
⊢ a.get i * a.get j ∈ Hindman.FP a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfIsSplitMono f).ι = f
α : Type u
AddGroup α
a : α
n : ℤ
⊢ Equiv.addRight a ^ n = Equiv.addRight (n • a)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ ↑⊥ = 0
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
P.IsPrime
⊢ A.idealOfLE (A.ofPrime P) ⋯ = P
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
c : α
h : a ≤ b
⊢ max a c ≤ max b c
E : Type u_1
SeminormedAddGroup E
s t : Set E
hst : Bornology.IsBounded (s + t)
⊢ Bornology.IsBounded s ∨ Bornology.IsBounded t
P : Type u_1
Preorder P
p : P
ι : Type u_2
Encodable ι
𝒟 : ι → Order.Cofinal P
i : ι
⊢ ∃ x ∈ 𝒟 i, x ∈ Order.idealOfCofinals p 𝒟
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (a + n • b) (a + (n + 1) • b))
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝ : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα
a : α
h_0_1_top : (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
⊢ (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ F < ⊤ → limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
y : ℝ
h✝¹ : ¬0 < y
h✝ : y = 0
⊢ 1 * 1 = 1
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H = ⊤ ↔ ∀ (x : G), x ∈ H
α : Type u
self : CompletelyDistribLattice α
ι : Type u
κ : ι → Type u
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨅ a, ⨆ b, f a b = ⨆ g, ⨅ a, f a (g a)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), g y ∈ t
hgf : ⇑g ∘ Subtype.val = ⇑f
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0
⊢ i ∈ ↑s
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
(i : ι) → PartialOrder (β i)
r : ι → ι → Prop
hwf : WellFounded r
x y : (i : ι) → β i
hlt : x < y
⊢ Pi.Lex r (fun i x x_1 => x < x_1) x y
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (AssociatorBimod.homAux M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'
α : Type u
DistribLattice α
a b c : α
⊢ a ⊓ (b ⊔ c) = a ⊓ b ⊔ a ⊓ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n
⊢ n ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) ≤ n ^ s.card
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ Function.Injective ⇑(AdjoinRoot.Minpoly.toAdjoin R x)
⊢ Filter.comap Real.toNNReal Filter.atTop = Filter.atTop
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
p : Set X → Prop
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, p s) → p (⋃₀ S)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := ofCountableUnion p hcountable_union ⋯
this : sᶜ ∈ f
⊢ p s
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).arg = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ ExistsContDiffBumpBase.u (-x) = ExistsContDiffBumpBase.u x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left)
        (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right)).obj
    j =
  F.obj j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ (∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s) → ∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
hf : Injective ⇑f
⊢ f x ∈ span R₂ (⇑f '' s) ↔ x ∈ span R s
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
t : Set X
hst : t ⊆ s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f t μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
L.IsLocalization W
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Localization.whiskeringLeftFunctor' L W E).obj F = L.comp F
α : Type u_2
β : Type u_3
HImp α
HImp β
a b : α × β
⊢ (a ⇨ b).1 = a.1 ⇨ b.1
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ (AffineIsometryEquiv.refl 𝕜 P).toIsometryEquiv = IsometryEquiv.refl P
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
DistribMulAction 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (-s) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hs' : ¬s = 0
⊢ 1 + p * s ≤ (1 + s) ^ p
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ (Weight.toLinear K (↥H) L α) (coroot α) = 2
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f '' univ)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ : ℕ
⊢ disjointed f (n✝ + 1) = f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
AddZeroClass α
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
k : o
⊢ (Matrix.blockDiag'AddMonoidHom m' n' α) M k = M.blockDiag' k
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
⊢ (spectrum ℝ a).Nonempty
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≤ -1 ∨ 1 ≤ ↑n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.2‖ = ‖a‖
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Set.Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Set.Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ
⊢ ↑(a.descFactorial 2) = ↑a * (↑a - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Option α
h : (Option.map f o).isSome = true
⊢ (Option.map f o).get h = f (o.get ⋯)
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => |f x|) μ a b
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∈ Multiset.Nat.antidiagonal n ↔ x.1 + x.2 = n
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M
⊢ Localization.mk a b + Localization.mk c d = Localization.mk (↑b * c + ↑d * a) (b * d)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalSpace F
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : AddCommMonoid F
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
x : β
hx : x ∈ s
y : β
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ (fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s) x y
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
⊢ HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)