ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
⊢ μ = ν
α : Type u
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : Fin 0 → α
B : Matrix (Fin 0) o' α
⊢ Matrix.vecMul v B = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ LieModule.lowerCentralSeries R L M 0 = ⊤
R : Type u_1
Ring R
u : Rˣ
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) (PowerSeries.invUnitsSub u) = 1 /ₚ u
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
CompleteSpace A
S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
⊢ IsUnit ↑x ↔ IsUnit x
i : ℤ
⊢ i.natAbs.lcm (natAbs 0) = 0
α : Type u_1
LT α
s : Set α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
⊢ ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ Continuous (Pullback.lift f)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
⊢ x.coeff g ≠ 0
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
f : R →+* B
⊢ f.IsIntegralElem 1
α : Type u_3
a b : α
⊢ a ∈ some b ↔ b = a
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (a \ c) b
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (Q + Q') x = Q x + Q' x
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommMonoidWithZero R
g : ι → ℕ
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
s : Finset ι
hs : (↑s).Pairwise (Nat.Coprime on g)
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) = ∏ i ∈ s, f (g i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
inst✝ : ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε + Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a + b) (ε + δ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (WittVector.frobeniusPoly p n) = MvPolynomial.X n ^ p
α : Type u_1
a : α
⊢ (Booleanisation.comp a)ᶜ = Booleanisation.lift a
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
ContinuousConstSMul M α
⊢ MulAction.IsMinimal M α ↔ ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = Set.univ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
h : L.Equiv N P
⊢ Function.Injective h.comp
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (C a).degree = 0
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq
⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)
R : Type u
CommRing R
⊢ ∀ {X₁ X₂ : ModuleCat R} (f : X₁ ⟶ X₂) (N : ModuleCat R),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f N = ModuleCat.MonoidalCategory.whiskerRight f N
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
c : ↑(Set.Ioo a b)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici c = Set.Ico (↑c) b
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u v, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ IsOpen v ∧ y ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
b : Ordinal.{0}
h : (e.oadd n a).NFBelow b
⊢ e.repr < b
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
f : R →+* ZMod n
⊢ Function.RightInverse ZMod.cast ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : g₁ a ≠ 0
this : g₂ a = 0
⊢ (g₁ + g₂) a ≠ 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
m : σ →₀ ℕ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (p + q) = MvPolynomial.coeff m p + MvPolynomial.coeff m q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Tendsto fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν k : ℕ
w : k < n - ν
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] (bernsteinPolynomial R n ν)) = 0
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ ClusterPt x (𝓟 s) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
h : ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1
⊢ ∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
α : Type u_1
OrderedSemiring α
CharZero α
a b : α
a' b' : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a'
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b b'
h : a'.ble b' = false
⊢ ¬a ≤ b
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : CompletelyDistribLattice.MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ let x := minAx.toCompleteLattice;
⨆ i, ⨅ j, f i j = ⨅ g, ⨆ i, f i (g i)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
⊢ p (a * s.prod)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
hB : μ (B j) ≠ ⊤
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ ↑(1 - C⁻¹) * μ (B j)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
Nontrivial R
hI : I ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) s).prod.natDegree = Multiset.card s
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E
⊢ x +ᵥ r • Metric.closedBall 0 1 = Metric.closedBall x r
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
g : Y → Z
s : Set Z
⊢ IsOpen (f ⁻¹' (g ⁻¹' s))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
L : Sublattice α
g : LatticeHom β γ
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.map g (Sublattice.map f L) = Sublattice.map (g.comp f) L
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (a + c) (b + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).formPerm ((x :: xs).get ⟨xs.length, ⋯⟩) = x
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 ((fun u => ↑u⁻¹) u)
⊢ s ∈ Filter.map (fun u => ↑u⁻¹) (𝓝 u)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NormedDivisionRing α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : CompleteSpace α
a : α
⊢ a * Matrix.unitOf a = (algebraMap ℝ α) ↑‖a‖₊
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
⊢ (∀ ⦃c : α⦄, c < a → c < b) ↔ a ≤ b
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
P : C
p : (b : J) → P ⟶ f b
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.lift p ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j = p j
α : Type u_1
ι : Sort u_2
s : Set α
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (m i)) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) (⨅ i, m i)
n p : ℕ
h : n ≤ p
⊢ ↑((p - 1).descFactorial n) = (-1) ^ n * ↑n !
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C
⊢ F.map X.d ≫ (F.map ((shiftFunctor C 1).map X.d) ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j : n
⊢ adjugate 0 i j = 0 i j
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯
M : Type w'
LE M
h : NoTopOrder M
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.order.noTopOrderSentence
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
Y : D
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjointOfOpAdjointOp F G h).counit.app Y =
  (CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op (F.obj (G.obj Y))))
    ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op (G.obj Y)))
      ((CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (G.obj Y)) (Opposite.op (G.obj Y))).symm (𝟙 (G.obj Y))))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Complex.cos (f x)
a b : ℕ
h : a = b
z : ℤ
⊢ (ZMod.ringEquivCongr h) ↑z = ↑z
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapId b).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom)
      (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).inv)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
f g : α → δ
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ i, s i))] g ↔ ∀ (i : ι), f =ᶠ[ae (μ.restrict (s i))] g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => x) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
⊢ Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
n : ℤ
⊢ ↑(-n) = -↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 X) (𝟙 Y) = 𝟙 (X ⨯ Y)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
i : ι
hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}
⊢ i ∈ {i | (t ∩ support ⇑(ρ i)).Nonempty}
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1
⊢ D a = -(a ^ 2 • D b)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : (Φ.functor ⋙ L₂).IsLocalization W₁
this : CatCommSq Φ.functor (Φ.functor ⋙ L₂) L₂ (𝟭 D₂)
⊢ Φ.IsLocalizedEquivalence
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
hx : a.x = b.x
hy : a.y = b.y
⊢ a = b
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
EquivLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ (Submodule.orderIsoMapComap f) p = Submodule.map f p
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
OrderedAddCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 0 = 0
h_mul : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ f x + f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) ≤ ∑ i ∈ s, f (g i)
m : ℕ
⊢ 1 + ↑m = ↑(succ m)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0
⊢ W.Ψ₂Sq ≠ 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.indicator f a = f a ↔ a ∉ s → f a = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
t : Set γ
⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ t) ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) ∧ sg i.fst i.snd ⊆ t
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
⊢ (RatFunc.laurent r) RatFunc.X = RatFunc.X + RatFunc.C r
b a : Prop
Decidable b
⊢ a ∨ b ↔ ¬b → a
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₃ + (p₂ -ᵥ p₄)‖ / ‖2‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
n : ℕ
k : ℕ
pk : Nat.Prime k
dk : k ∣ n
dkk : ¬k * k ∣ n
o : Option ℕ
H : (n / k).MinSqFacProp o
⊢ n.MinSqFacProp o
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : CategoryTheory.IsSubterminal A
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A A
⊢ hA.isoDiag.hom = CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.diag A)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : Type u_3
γ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
⊢ normalize 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ
⊢ Integrable f μ
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
CommRing B
Algebra R₁ B
I : Ideal A
J : Ideal B
f : A →ₐ[R₁] B
H : I ≤ Ideal.comap f J
x : A
⊢ (Ideal.quotientMapₐ J f H) ((Ideal.Quotient.mk I) x) = (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ J) (f x)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ (s ∪ t).card = (s ∪ t).card + (s ∩ t).card ↔ _root_.Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
⊢ (∃ x ∈ s, x ≠ a) ↔ s.Nontrivial
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t s : Finset β
h : s.Nonempty
⊢ ↑(0 • s) = ↑0
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy' : P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3 = 0
hy : P y = W'.negY P
⊢ P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (𝓓 a 𝒜).vcDim ≤ 𝒜.vcDim
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoN₁.hom.app X).f = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
val✝ : Fintype σ
⊢ (f.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
m : MeasureTheory.Measure α
⊢ m.bind 0 = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a - a = 0
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
Preorder α
GradeOrder 𝕆 α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ grade 𝕆 a ⋖ grade 𝕆 b
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set (NonUnitalSubring R)
⊢ (sInf s).toAddSubgroup = ⨅ t ∈ s, t.toAddSubgroup
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R[X]
x : R
⊢ x ∈ I.leadingCoeff ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
w : F ≅ G
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι G j ≫ (CategoryTheory.Limits.HasColimit.isoOfNatIso w).inv =
  w.inv.app j ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (GradedAlgebra.ι R M) m * (GradedAlgebra.ι R M) m = 0