ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ Memℒp f ⊤ μ
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ g +ᵥ AddAction.orbit G a = AddAction.orbit G a
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
BEq α
Hashable α
h : 0 < n
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.Buckets.mk n h).WF
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n
q : ℚ
conv_eq_q : (of v).convs n = ↑q
this : v = ↑q
⊢ ∃ q, v = ↑q
R : Type u_1
Ring R
StarRing R
U : ↥(unitary R)
⊢ ↑(-U) = -↑U
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.obj (CategoryTheory.Limits.pullback f g)
⊢ (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).hom x =
  ⟨((CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) x, (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) x), ⋯⟩
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ List.Sorted r (a :: l) → ∀ b ∈ l, r a b
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2
⊢ ¬2 ∣ x ^ 2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
⊢ False
s n step : Nat
⊢ List.range' s (n + 1) step = s :: List.range' (s + step) n step
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset α
⊢ s.sup id = sSup ↑s
M : Type u_1
X : Type u_2
VAdd M X
TopologicalSpace X
self : ProperConstVAdd M X
c : M
⊢ IsProperMap fun x => c +ᵥ x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L L k = ⊥
⊢ ∃ k, lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = if a ≤ b then a else b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsOpen ∅
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
ι : Type u_1
π : ι → Type u_3
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
⊢ StrictMono (Function.update f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).X₂ = F.obj sq.X₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.leftHomologyData.i = S.f
K : Type u_1
β : Type u_2
Coe K β
b : ℤ
fr : K
⊢ ↑{ b := b, fr := fr } = { b := b, fr := Coe.coe fr }
R : Type u
Ring R
s : Set (Subring R)
⊢ (sInf s).toAddSubgroup = ⨅ t ∈ s, t.toAddSubgroup
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
CompleteLattice γ
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β ≃o γ
⊢ g (essSup f μ) = essSup (fun x => g (f x)) μ
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ (Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + c • A k j).det = Aᵀ.det
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
x : ι
hx : x ∈ c
n : ℕ
hn : f n = ⟨x, hx⟩
⊢ U x ⊆ ⋃ n, U ↑(f n)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : α) → StarAddMonoid (E i)
∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
i : α
⊢ ↑(star f) i = star (↑f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
this : Countable ↑S
⊢ IsSigmaCompact (⋃ i, ↑i)
x y : ℤ
⊢ ↑(x.gcd y) = x * x.gcdA y + y * x.gcdB y
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g⁻¹ * h * g ∈ H
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
𝕜 : Type u_5
NormedAddCommGroup 𝕜
SMulZeroClass 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
hf : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter (c • f) l μ
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : Polynomial.eval (W.addX x₁ x₂ L) (Polynomial.derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0
⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
⊢ insertNth 0 x p = cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Monoid M
l : List Mᵐᵒᵖ
⊢ unop l.prod = (map unop l).reverse.prod
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.comap reverse (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr x.dest) <$$> dest (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : a < 0
⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
g : β → γ
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
⊢ Option.map g (Option.pmap f x H) = Option.pmap (fun a h => g (f a h)) x H
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
y : E
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ HasIntegral I l (↑(piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0))) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0)))
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝
⊢ A.a ≫ G.map (h.hom ≫ h.inv) = A.a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
f : L.Embedding M N
g : L.Embedding N P
p : L.Substructure P
h : ∀ (b : N), g b ∈ p
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.codRestrict p g h).comp f = FirstOrder.Language.Embedding.codRestrict p (g.comp f) ⋯
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : IsIrreducible s
⊢ IsPreirreducible s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : Y ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ (𝒰.add f).J = Option 𝒰.J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ =
  h₁.descH (h₂.liftH (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i h₂.p) ⋯) ⋯
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
⊢ legendreSym p a = 1
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ List.Ico n m = []
K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_5
Field K
Field L
Ring A
Algebra K L
Algebra L A
Algebra K A
IsScalarTower K L A
x : A
A_alg : IsAlgebraic K x
⊢ IsAlgebraic L x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n)
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
Preorder β
f : β → α
hf : Monotone f
s : ι → β
hs : ∀ (x : β), ∃ i, s i ≤ x
⊢ ⨅ x, f (s x) = ⨅ y, f y
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : a ∈ l₂
l₁ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ = l₁.diff (l₂.erase a)
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (MvPolynomial.X i) = 1
x : ℝ
⊢ 1 - x ^ 2 / 2 ≤ Real.cos x
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
ι : Type u_1
R : Type u_2
CanonicallyOrderedCommSemiring R
f : ι → R
s : Finset ι
Nontrivial R
⊢ 0 < ∏ i ∈ s, f i ↔ ∀ i ∈ s, 0 < f i
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : ↥(ideal R S)
⊢ LinearMap.id ((ideal R S).toCotangent x) = (ideal R S).toCotangent x
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1) = ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap (-φ) = -CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
CompleteSpace E
⊢ ∃ f, f.next = f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : ↥e.finiteSubspace
⊢ edist x y = ↑e (↑x - ↑y)
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
b c : α
u : αˣ
⊢ (↑u)⁻¹ * ↑u = 1
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∉ Multiset.Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
this : Countable ↑s
⊢ MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ 0 ≤ normSq a
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ ↑(I ⊔ J) = ↑I ⊔ ↑J
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
S : Set α
hg : UniformInducing g
⊢ UniformContinuousOn f S ↔ UniformContinuousOn (g ∘ f) S
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 ∅ t = ∅
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ w + ↑(-(IsAddUnit.liftRight (f.restrict S) h) y) = z ↔ w = f ↑y + z
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a
⊢ False
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a
⊢ max ‖↑f N - f.lim‖ ‖↑f N‖ ≤ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ (finRange l.length).sublists'.Nodup
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ 2 ≤ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
t : Set E
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1)‖
t_open : IsOpen t
z_mem : 0 ∈ t
⊢ (p fun x => y) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
⊢ Subalgebra.map f (Subalgebra.comap f S) = S ⊓ f.range
α : Type u_1
m : Multiset α
x : α
n : ℕ
⊢ m < Multiset.replicate (n + 1) x ↔ m ≤ Multiset.replicate n x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 (toEuclideanLin A)
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑m + ↑n < ℵ₀
R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝ : Fintype ι
c : R
f : ⨁ (i : ι), M i
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁹ : Monoid A
inst✝¹⁸ : Monoid B
inst✝¹⁷ : Monoid C
inst✝¹⁶ : Monoid D
inst✝¹⁵ : CommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group X
inst✝⁶ : TopologicalGroup X
inst✝⁵ : UniformSpace Y
inst✝⁴ : CommGroup Y
inst✝³ : UniformGroup Y
inst✝² : T0Space Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : LocallyCompactSpace X
V : ℕ → Set Y
hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)
hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V
U0 : Set X
hU0c : IsCompact U0
hU0o : U0 ∈ nhds 1
U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t
U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
s : α
h : P s
⊢ m s h ≤ MeasureTheory.extend m s
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (MonCat.Colimits.coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (MonCat.Colimits.coconeMorphism F j) x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ContinuousOn f Set.univ
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b c : α
l₁ l₂ : List α
⊢ Chain R a (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain R c l₂
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
h : I = 0
x : P
hx : x ∈ I
⊢ x = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ Function.Injective ContinuousAlternatingMap.toAlternatingMap
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
F : Type u_6
FunLike F A B
CoalgHomClass F R A B
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ ¬univ ⊆ {i, k}
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ S.g = 0), π ≫ γ = S.liftCycles z hz ≫ S.homologyπ
⊢ ⇑circle.argEquiv.symm = ⇑expMapCircle ∘ Subtype.val
F : Type u_6
α : outParam (Type u_7)
β : outParam (Type u_8)
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : ContinuousOpenMapClass F α β
f : F
⊢ IsOpenMap ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≤ a
⊢ a ≤ id b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = (dNext p) h.hom + (prevD p) h.hom + φ₂.f p
⊢ (δ (-1) 0 (Cochain.ofHomotopy h)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : TM
⊢ p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).source ↔ p.proj ∈ (chartAt H q.proj).source
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
t : Set γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
g : γ → α
hg : MapsTo g t s
cg : ContinuousOn g t
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : γ
hx : x ∈ t
a : Set α
ha : a ∈ 𝓝[s] g x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ a, (f y, F n y) ∈ u
this : g ⁻¹' a ∈ 𝓝[t] x
⊢ ∃ t_1 ∈ 𝓝[t] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t_1, ((f ∘ g) y, (fun n => F n ∘ g) n y) ∈ u
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀
⊢ (fun g => a * g) (a⁻¹ * g) = g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst
⊢ x ∉ Finset.sigmaLift f a b
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
κ : ProbabilityTheory.Kernel β Ω
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hκ : MeasureTheory.Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = MeasureTheory.Measure.map X μ ⊗ₘ κ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂MeasureTheory.Measure.map X μ, κ x = (ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) x
V : Type u
Nonempty V
⊢ ⊤.Connected
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ wittOne p 0 = 1
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a b : α
h : b ≠ 0
⊢ 1 + a / b = (b + a) / b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
⊢ s = μ.singularPart ν
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)
⊢ Memℓp f ⊤
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
⊢ -v ᵥ* -A = v ᵥ* A
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ A) (Finset.Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑‖f‖₊ = ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
⊢ ↑(e.piecewise e' s t H H') = s.piecewise ↑e ↑e'
X : TopCat
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(X : C) → MulOneClass ((CategoryTheory.forget C).obj X)
∀ (X Y : C), MonoidHomClass (X ⟶ Y) ((CategoryTheory.forget C).obj X) ((CategoryTheory.forget C).obj Y)
F : TopCat.Presheaf C X
self : F.SubmonoidPresheaf
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ self.obj U ≤ Submonoid.comap (F.map i) (self.obj V)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a✝ : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ ∑ k ∈ range (m - n), d (n + k) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
A : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup A
DivisionCommMonoid M
ψ : AddChar A M
⊢ Function.Injective ⇑ψ ↔ ∀ ⦃x : A⦄, ψ x = 1 → x = 0
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
aux : ∀ (g : Ω →ᵇ ℝ≥0), (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)) = fun i => (∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)).toReal
tends_pos : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ))
tends_neg : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ WithBot.map f ⊥ = ⊥
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
t : Set ↑s
ht : (MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ) t = 0
⊢ μ (Subtype.val '' t) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)
⊢ BijOn g (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)