ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
PartialOrder E
⊢ MeasureTheory.Martingale f ℱ μ ↔ MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ ∧ MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Semiring α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ Function.Periodic f (2 * c)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIcoMod hp a (a + p) = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
⊢ {y | (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) y < 1} = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
c : R
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c • f y) s x = c • fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f g : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ ‖f x - g x‖ ≤ dist f g
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
⊢ s.infsep = 0 ↔ s.einfsep = 0 ∨ s.einfsep = ⊤
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
⊢ ∃ ε > 0, ball y ε ⊆ ⇑f '' s
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
i : ℤ
⊢ A ^ (1 + i) = A * A ^ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
⊢ ‖c‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (c • s)
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : b ≤ c
ha : 1 ≤ a
hc : 0 ≤ c
⊢ b ≤ c * a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
D₁ D₂ : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
s : Set σ
h : Set.EqOn (⇑D₁ ∘ MvPolynomial.X) (⇑D₂ ∘ MvPolynomial.X) s
f : MvPolynomial σ R
hf : f ∈ MvPolynomial.supported R s
⊢ D₁ f = D₂ f
M : Type u_4
MulOneClass M
f g : Monoid.End M
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ (α.app X).hom = α.hom.app X
m n : ℕ+
⊢ n.mod m = m → m ≤ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
Nontrivial E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
⊢ ∫ (x : E), f ‖x‖ ∂μ = dim E • (μ (Metric.ball 0 1)).toReal • ∫ (y : ℝ) in Set.Ioi 0, y ^ (dim E - 1) • f y
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
⊢ autoParam (f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Y.obj) _auto✝
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in cobounded 𝕜, IsUnit (resolvent a z)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, i = n * (n - 1) / 2
n : ℕ
hn : NeZero n
⊢ Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = lcm (2 * n) 4
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
CharZero k
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
⊢ Finset.centroid k fs₁ s.points = Finset.centroid k fs₂ s.points ↔ fs₁ = fs₂
s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) =ᶠ[atTop] fun x => rexp (b * x) / x ^ s
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
hfd : ¬FiniteDimensional F E
⊢ finSepDegree F E ∣ finrank F E
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
⊢ (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2
⊢ Real.sin (Real.pi / 3) ^ 2 = 3 / 4
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
⊢ (CategoryTheory.linearYoneda R C).comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight Cᵒᵖ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj
      (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) =
  CategoryTheory.preadditiveYoneda
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
this : p ∣ q
⊢ p ∈ s ↔ q ∈ s.val
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (x * z + y)
⊢ IsCoprime x y
X Y : TopCat
f : X ≅ Y
y : ↑Y
⊢ f.hom (f.inv y) = y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ (Subalgebra.center R A).toSubsemiring = Subsemiring.center A
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin (↥(Algebra.adjoin R s)) t)).FG
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R (s ∪ t))).FG
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
l₁.NeBot
l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
v₁ v₂ : α
ht₁ : Filter.Tendsto f l₁ (𝓝 v₁)
ht₂ : Filter.Tendsto f l₂ (𝓝 v₂)
⊢ Set.Ioo v₁ v₂ ⊆ f '' s
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support
⊢ ∀ x_1 ∈ (f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support) \ (a i).support, ((a i) x_1 • f i) ⊗ₜ[R] b x_1 = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i) (f j - f k) μ
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring k
AddMonoid G
AddMonoid H
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃+ H
f : MonoidAlgebra A G
⊢ ((AddMonoidAlgebra.domCongr k A e) f).support = Finset.map (↑e).toEmbedding f.support
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.map (↑includeLeft) (RingHom.ker f) = Ideal.map (↑(includeLeft.comp (AlgHom.id R A))) (RingHom.ker f)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableEq α
Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ (f ^ n).support = f.support ↔ ¬orderOf f ∣ n
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
F : A → C ⥤ C
zero : F 0 ≅ 𝟭 C
add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (F (m₁ + m₂ + m₃)).obj X = (F (m₁ + (m₂ + m₃))).obj X
R : Type u_2
K : Type ?u.68264
L : Type ?u.68267
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree < (minpoly R x).natDegree
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
f : L →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
⊢ PerfectRing.lift i (f.comp i) p = f
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
T : Type u_2
Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
⊢ (OreLocalization.universalMulHom f fS hf) (OreLocalization.numeratorHom r) = f r
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
Y : Cᵒᵖ
i : Y ⟶ op X
e : op X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p.op
⊢ e.unop ≫ i.unop = 𝟙 (unop Y) ∧ i.unop ≫ e.unop = p
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E
⊢ (⇑f ∘ fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • (⇑f ∘ v) i) '' Icc 0 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.rotate.mor₂ = T.mor₃
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
ι : Type u_9
b : Basis ι R M
x y : M
⊢ ((b.repr x).sum fun i xi => (b.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b i)) (b j)) = (B x) y
ι : Type u_1
R : Type u_4
CompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
F.NeBot
as_lim : Filter.Tendsto as F (𝓝 x)
⊢ ⨅ i, as i = x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x f' ↔ HasFDerivAt f f' x
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
⊢ WittVector.ghostFun 1 = 1
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
⊢ (fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)) =ᶠ[atTop] fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ (p - 1) / log x ^ 2
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ Pell.pell a1 n = (Pell.xn a1 n, Pell.yn a1 n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ∑ i_1 ∈ insert i s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)
a : NatOrdinal
⊢ Ordinal.toNatOrdinal (NatOrdinal.toOrdinal a) = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
w : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0
⊢ IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯) ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R
⊢ a • (S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂) = S₁.g ≫ (a • h.h₂) + (a • h.h₁) ≫ S₂.f + a • φ₂.τ₂
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
x : (j : J) → F.obj j
h : ∀ (j j' : J) (f : j ⟶ j'), F.map f (x j) = x j'
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π F j (CategoryTheory.Limits.Types.Limit.mk F x h) = x j
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.symm = e.symm.toLinearEquiv
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
⊢ gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : CentroidHom α
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z : E
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖z‖
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
⊢ LocallyConvexSpace ℝ E
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x
⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
⊢ Tendsto (fun b => dist (f b) f_lim) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
this : r ≠ 0
⊢ r ≠ 0
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ ∃ s', ↑s' = s
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ Function.Bijective ⇑(frobenius R p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ ((PartialEquiv.refl α).trans e).source = e.source
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s ⊆ ↑(affineSpan k s)
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b \ {b} = Set.Ioo a b
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A
⊢ ∀ (x : ZFSet), A x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ x ∈ G'.obj U
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ I.radical = I ↔ I.IsRadical
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) ≠ 0
⊢ ¬↑(sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = 0
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.toLaurent (Polynomial.C r) = LaurentPolynomial.C r
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
⊢ Filter.map₂ m f (g₁ ⊔ g₂) = Filter.map₂ m f g₁ ⊔ Filter.map₂ m f g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ M
⊢ id 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
S₁ : Subalgebra R B
x : A × B
⊢ x ∈ S.prod S₁ ↔ x.1 ∈ S ∧ x.2 ∈ S₁
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 < ↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
self : F.ReflectsEpimorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi (F.map f) → CategoryTheory.Epi f
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : J ≤ I
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.single I J h).boxes = {J}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₂ ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₂ = 0
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.trans f g) = Equiv.Perm.sign g * Equiv.Perm.sign f
R : Type u_1
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (x * star x)
α : Type u
MulOneClass α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ -a = -1 * a
A : Type u_1
NormedCommRing A
NormedAlgebra ℂ A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
StarModule ℂ A
⊢ ∀ (a : C(↑(WeakDual.characterSpace ℂ A), ℂ)),
  (gelfandStarTransform A).symm a =
    (↑(RingEquiv.ofBijective { toAlgHom := WeakDual.gelfandTransform ℂ A, map_star' := ⋯ } ⋯)).symm a
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
⊢ Function.Injective (toPullbackDiag f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
⊢ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | i < τ ω}
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R p) f = f.sum fun e a => Polynomial.C a * (Polynomial.X ^ p) ^ e
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0
⊢ D (a / b) = b⁻¹ • D a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ S ∈ (coherentTopology C).sieves X
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
v : V
⊢ H = G.singletonSubgraph v ↔ H.verts = {v}
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∑ a ∈ s, f a‖₊ ≤ ∑ a ∈ s, ‖f a‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s ⊆ range f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
⊢ M = 1ᴴ ↔ M = 1
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
u : Set β
ut : u ⊆ t
u_open : IsOpen u
hu : x ∈ u
⊢ a • t ∈ 𝓝 (a • x)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
hj : j ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s.erase i, eval (v j) (basisDivisor (v i) (v a)) = 0
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p q : k[X]
hq : Irreducible q
a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p
this : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)
⊢ q.degree = 1
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
Archimedean α
ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, x ∈ Set.Ioc (y ^ n) (y ^ (n + 1))
a b c : Int
H : b ≠ 0
H' : b ∣ a
⊢ a.div b = c ↔ a = b * c